八年级下册数学人教版全品作业本函数
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02:58查看AI文稿AI文稿清晨的马路上，汽车保持匀速向前行驶，时间在悄悄流逝，车子开过的路程也在不断增加，这两个变化的量之间藏着一种固定的对应关系。 上节课我们已经发现，路程和时间的关系可以用式子 s 等于六十 t 来表达，只要给出一个行驶时间 t 就 能唯一确定对应的行驶路程。 yes！ 我们还可以把这些一一对应的数值整理成一张表格，用罗列数据的方式呈现，直观又清楚。不用计算，一眼就能看出不同时间分别行驶了多远。如果把这些对应的数值放到平面直角坐标系里，描出一个个点，再把点连起来，就会形成一条完整的线条。 这条线条又能告诉我们哪些隐藏规律？接下来我们一起探求其中的奥秘。 同学们，路程和时间的关系能用式子表格和图像表示，很多函数难以用式子清晰表达，但图像能一眼看懂，即便有式子，配上图像，变化规律也更直观。今天我们就来学习如何画出函数，通过图像读懂函数的变化规律。
41阿峰
08:59查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百一十六页习题二十三点一。 嗯，第一题，下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？那我们看第一个 y 等于负的零点二 x， 那 么它应该是形如 y 等于什么？ k， x， 对 吗？啊？一共两项，然后自变量和函数都是一次。所以呢，它应该是既是正比例函数， 也是一次函数。因为正比例函数属于特殊的一次函数啊，它是正比例的，就一定是一次。那么第二题，我们可以把它整理一下， y 应该等于负三， x 减三，那么你看一二三三项， x， y 都是一次，所以呢，它应该是一次函数，那它是正比例吗？它不是啊，它是一次函数，不是正比例函数。 第三个， s 等于派 r 方，那 s 和 r 是 变量，然后呢，你的 r 是 自变量，那但是呢，你的 r 是 什么二次方，那就不行了，所以它既不是 正比例函数， 也不是一次函数。 那么第四个 y 等于二分之 x， 我 可以给它变一下，变成二分之一 x 啊。所以这个呢，应该是形容 y 等于 k， x， 你 看，这是姊妹俩，这是它的 k， 是 吧？所以呢，它既是 正比例函数， 也是一次函数 啊。然后第二题，用函数解析式来表示下列问题中的 y 与 x 的 关系。 第一个，一个长方体的长是两厘米，宽是一点五厘米，高是 x 厘米。问，他的体积啊，那他的体积 y 是 不是应该等于长乘宽乘高，二乘一点五乘 x， 所以呢，你给他整理一下，就是 y 等于三 x 啊， y 等于三 x， 这是第一个。那么第二个，他说某水箱里有水十升，以零点五每分的速度开始往外放水，看啊，说放水时间为 x 分 钟，那么剩余水两 y， 那 你说原来有十升，那么越放是不是越少？ 所以呢，你的 y 应该等于十减去零点五 x 啊，十减去零点五 x， 这是第二题。 那么第三题说，若 y 与 x 成正比例，且 x 等于二， y 等于八，写出 y 关于 x 的 函数解析式，并求 x 为和值时， y 等于 负四。那实际上这道题呢，就是已知了 y 和 x 为正比例关系，而让我们求它的函数解析式。所以这个呢，我们有一个名称叫做待定系数法。 所以说呢，他题里如果给你这个解析式了，让你求代定系数，就是求你的 k 啊，那你就直接把你的 x y 带进去就可以，但是这里面呢，你连函数解析式也没有。所以第一步我们得先设 设啊，你的 y 与 x 的 函数解析式 为 y 等于 k， x， 它不是正比例吗？然后 k 不 为零。强调一下啊，它不是正比例吗？ y 等于 k， x， 然后 k 不 为零，然后将你的 x 等于二， y 等于八代入， 将 x 等于二， y 等于八代入得，那么你的二 k 应该等于八，所以 k 应该等于四。所以呢，你的函数解析式啊， y 关于 x 的 函数解析式 为 y 等于把你的 k 给我带回到你。在这个解一设的解一式里，那就是 y 等于四 x， 这是第一个小问解决了。那当 x 为和值时， y 等于负四，那也是当 y 等于负四时， 那你的四 x 应该等于负四， x 应该等于多少， x 应该等于负一啊，所以这个题就解决完了。那么第四题说某银行一年期存款利率为百分之一点五， 嗯，既存入的本金为 x， 一 年到期时的本息和为 y 啊，注意，这个词叫本息和，就是本金加利息。那我的写出 y 与 x 的 函数关系式，那么 y 应该等于 本是 x 加 c 是 本金乘利率再乘以存期一年。所以呢，你可以整理为 y 等于 x， 加上 零点零一五 x， 那 么 y 就 等于一点零一五 x， 所以 最后的解式应该是这个 啊，这些都是我计算过程啊。那么第二个，存入一万元一年七十的一年到期时的本息和多少？那你存入的本金为 x 吗？所以令你的 x 等于多少？一万呗。写，当第二问啊，当 x 等于一万时， 你的 y 应该等于一零一五零。 咱迈一步也行，一点乘一个一万等于一零一五零啊。这么写，然后答，本息和为 一零一五零元啊，这慢一点。然后第五题说学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包呢，六十元。张华现有积攒的零花钱是四百八十元，即他用零花钱捐献的书包 数为 x 个，剩余的钱为 y。 第一个呢，是要求我们写出 y 关于 x 的 函数解析式，以及自变量 x 的 区域范围。 那你想往外捐，是不是你剩的钱就越来越少？所以 y 应该等于从你的总钱数里边减去你书包的钱，那就是六十 x 啊， 这个呢，就是你的函数解析，那你的自变量 x 呢？你想我剩的啊，我这个 y 是 不是剩的钱？我剩的钱能为负吗？不能吧啊，因为 y 得大于零，所以你的四百八十减六十， x 得大于零，所以呢？捷德，你的 x 应该小于等于八 啊。然后你的 x 是 书包的数量，又因为 x 得大于等于零，所以最后你的 x 取出范围是大于等于零。小于等于几啊？ 小于等于八啊。然后你的书包数他不可能为分数，就是二分之一个，三分之一个数都都不可能。那我们强调一下， x 为什么数 为整数啊？这就是括号一。那么括号二是说至他至少要留一百八十元购买课外书，问你他最多能捐献多少个书包？那我剩下这个一百八不就是剩下的钱吗？ 是不是？那意思就是我要 y 得大于等于一百八，至少为一百八。那我 y 是 不是就等于四百八 减六十 x 啊？那么解，这个不等四十五呗，不等四呗。所以是负六十。 x 大 于等于负三百，所以 x 小 于等于几？小于等于五。所以答 啊，这块再写一个啊。不用啊，因为他已经在这个范围当中了哈。所以呢，他最多 能捐献五个书包 啊，小于等于五，最多就是五个。
96讲数学晓红老师
17:53查看AI文稿AI文稿好，来看依次函数的图像与性质，研究依次函数，哎，你就不免研究它的特殊情况，正比例函数，正比例函数呢，就是特殊的依次函数，形容 y 等于 k x k 不 等于零，那么这个就是正比例函数的一般式，对不对？好，那么既然要研究图像和性质，那你就要先画图吧，对不对？那这里的例题一呢，他就给了两对正比例函数让我们画 啊。第一对呢，是 y 等于二 x 和 y 等于三分之一 x 啊，它这里呢列了个表格，这个表格呢，仅仅只是写 y 等于二 x 的， 那这个是 y 等于二 x 的， 那么我们还要把 y 等于三分之一 x 算出来，不过我们先观察一下它这个表格里面给出来的数据，能得到哪些点，对不对？好， y 等于二 x， 当 x 等于负二的时候，那么用二乘负二等于负四， 当 x 等于负一的时候，二乘负一等于负二，对不对啊？然后零乘二得零，一乘二得二，二乘二得四，好，把它的函数全部写出来，哎，你就可以知道这个 y 等于二 x 一定会过哪几个点呢？ 第一个点是负二、负四，负一、负二、零零一二二四，他会过这五个点，书上已经给我们画好了，他把这五个点呢，都画在图像上，已经标好了，看到没有？ 负二负四就是这个点，负一负二就是这个点，零零在这里，一二在这里，二四在这里啊，他已经给我们画好了，并且连接起来这条直线，另外这条蓝色的线就是 y 等于三分之一 x 了， 那么这里没有告诉我们点呢，所以我们自己补充一下，好吧，那我们在下面一行就写 y 等于三分之一 x， 当这个 x 等于负二的时候，你把负二乘上三分之一，就等于负三分之二，你拿负一乘三分之一等于负三分之一，你拿零乘三分之一得零，你拿一乘三分之一得三分之 二就可以了。哎， 那么我们就会发现， y 等于三分之一 x 一定会过什么负二负三分之二这个点，也会过负一负三分之一这个点， 过零零这个点，过一三分之一这个点，然后过二三分之二这个点，所以它会过这五个点，那么你把这五个点描上去也是一样的，对吧？所以它会过 负二负三分之二就这个点，负一负三分之一在这里，零零在这里，一三分之一在这里， 二三分之二在这里。好了，这五个点连起来也是一条直线啊，是同他们在同一条直线上，这条直线就是 y 等于三分之一 x， 好 吧，好，你会发现这两个图像它都经过一三象限 回原点，对不对？这个是第一对正比例函数，再看第二对，那它也画了啊，它在画下面也画了个表格 来，这里写的是 y 等于负一点五， x 的， 你拿负二乘负一点五就会等于三， 拿负一乘负一点五就会等于一点五，拿零去乘负一点五就会等于零啊，也，后面也是一样的，可以得到这五个点，所以我们就可以得到 y 等于负一点五 x 会经过哪五个点呢？会经过负二三 负一一点五零零一，负一点五 二负三啊。这个 x 呢，对应呢就是横坐标， y 呢，对应呢就是它的重坐标啊，会过这五个点，那书上呢？已经给我们画好了，这个在这，这个在这，这个在这，这个在这，还有这个啊， 连起来是一条直线，然后呢，这个 y 等于负四 x， 它这里没写，我们同样补充一下啊，同样补充一下， y 等于负四 x 负二乘负四等于八负二，而这个负一乘负四等于四零乘负四得零，一乘负四得负四，二乘负四得负八。好，所以我们就会知道 y 等于负四 x 会经过 负二八这个点，会经过负一四这个点，零零这个点，一负四这个点，以及二负八这个点，它会经过这五个点，然后呢，我们把这五个点描出来啊， y 等于负四 x 会过负二八在哪里呢？ 负二八的话就估计在这里了，我们就要把这条线延长出来了。延长一下，好吧， 它这个负二八的话，估计标的比较远，估计得跑这来。这是负二八，然后负一四在这个位置啊，零零在这个位置， 一负四大概在这里，然后下面的话，二负八其实还要往下延啊，还要往下延长啊，这里我就不延长了，大概在这个位置。好吧， 好，也是。这五个点把它连起来是一条直线，它是经过什么呢？这两个直线都只经过二四象限和圆点，对不对？好，你看一下它是怎么总结的？ 再回顾一下，当这个 k 值都是正数的时候，它经过一三象限，对不对？ 当这个 k 值都是负数的时候，发现了吗？它都经过二四相减，看到没有？以上四个函数图像都经过圆点，其中 y 等于二， x 和 y 等于三分之一。 x 的 图像它是经过第三和第一相减的，从左向右上升，看到没有啊？ 斜上方，它是斜上画的，从左到右是上升的， 你再看 y 等于负一点五 x 和 y 等于负四 x， 它都是斜向下， 看到没有？它都是经过第一项线和第四项线的，并且从左到右，向下，向下。 那么这个画法呢，有很多种说法，有从左向右上升，我们书上管它叫什么呢？我们书上管它叫 y 随 x 增大而增大。斜向上，斜向上，我们把它称之为 y 随 x 增大而增大，斜向下，我们称之为 y 随 x 增大而减小。 那么有些呢，有些老师也会直接说，哎，向上画或向下画啊，但是他会理解为这样向上，这样向下啊，那是不对的，知道吧？斜向上，斜向下，那么到了高中的话，我们叫单调递增和单调递减啊，单调递增，单调递减， 所以叫法有很多，知道吧？啊，反正书上的说法就是 y 随 x 增大而增大，这是 k 大 于零的时候，它就是斜向上画的， 然后呢， y 这个 k 小 于零的时候，那么它就会从左向右下角书上是叫 y 随 x 的 增大而减小。你们答题的时候最好按照这个标准来，不要想着啊，我写这个，你写这个的话就很容易错了，知道吧啊，因为它不够严谨。 记住，斜向上化叫 y 随 x 增大而增大，斜向下化叫 y 随 x 增大而减小，对不对？那么我们总结出来就是什么呢？总结出来就是 k 大 于零啊，向上化，斜上化， 斜向上啊， k 小 于零，斜向下，然后这个呢，是经过什么呢？ k 经过第一项线和第三项线，这个呢，是经过第二项线和第四项线啊， 然后你再看我们刚才画图的时候，立体里面是不是都给了五个点啊？对不对？但是你会发现正比例函数图像画出来是不是都是一条直线？ 哎，你发现这个问题了，那书本上也发现这个问题，他说由于正比例的正比例函数的图像他都是一条直线，那么你想一下，一条直线是不是有两个点就可以确定下来，为什么呢？因为两点确定一条直线呢？ 两个点就可以确定一条直线了，对不对？所以我们只需要画两个点就够了。而正比例函数 y 等于 k， x k 不 等于零，它的图像又是经过原点的直线，所以我们只需要再知道一个点就可以了。因为正比例函数怎么样一定会经过原点， 正比例函数一定会经过原点，所以你只需要再加上另外一个点就可以了。 所以只需要在确定正比例函数图像上的另一个点，就可以画出正比例函数的图像。一般的我们可以取 e k 这个特殊值，因为 y 是 等于 k， x 的， 当这个 x 等于一 y， 一定会等于 k， 因为 k 乘一得 k 嘛，对不对啊？所以你可以取圆点和一 k， 取点一 k 以及圆点，再单独写一下，加圆点，这两个点都是特殊点， 那么你在脑子里就可以把这个图像画出来了。来看到练习，第一个用你认为最简单的画法 画出下列函数图像，那么最简单的刚刚前面已经提过了，对不对？第一个正比例函数怎么样？过圆点零零，然后呢？他一定会过一 k 这个点，对吧？两点确定一条直线，你就可以直接把这两个正比例函数画出来了。 所以第一个是零零肯定会过的，第二个就是一 k， 这是它的特殊点，所以我们把这两个函数画成一个表格啊，所以我们画三格就可以了。 第一行写 x， 我 们就写零和一，第二行写 y 啊， y 等于二分之三 x， 这里写 y 等于负六 x， 你 把零带进去，一定等于零，对吧？零乘任何数都得零，然后你再把一带进去，一乘任何数都得任何数等于二分之三以及负六。所以它这个函数图像，它会经过零零这个点， 它会过零零这个点，也会过一二分之三这个点，然后这个呢，会过零零这个点，也会过一负六这个点。 ok 了，好，咱们现在画一下图像， 原点肯定是要有的，对不对？ x， 然后这两个点，另外两个点呢？它在第一象限和第四象限， 这里是零啊，然后这里写这个，写，这就写一吧，等一下写这里吧，这里写一。然后呢，这个上下要取到六，这里是六，这是三 五四二一，这里取到负六负三啊，其实可以了，够了，一个是零零，一个是一二分之三，在这个位置， 这里对到二分之三两点，确定一条直线，连一下这两个点，这条直线就是 y， 等于二分之三 x。 再看这个，这里经过零零，不用多说。然后一负六，找到一负六，一负六就在这里， 这就是一负六，这是圆点。好，把这两个点连起来。 好，这条直线呢，就是 y 等于负六 x， 好 了，咱们这个图像就画完了。 再看第二题，若点二 m 和点负三 n 都在函数图像上，这个函数是 y 等于 k x， 并且 k 小 于零，对吧？叫我们尝试比较 m 和 n 的 大小，那么这个就要借助图像了，你说，哎，这个 k 没告诉我们呢， 我怎么借助图像呢？它告诉我们 k 小 于零，对不对？好，我们这里可以写，因为 y 等于 k x， 并且 k 小 于零，说明什么？所以这个图像就是 y 随 x 的 增大而减小 啊。 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小， k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大，我们把它写出来， y 随 x 的 增大 而减小啊，所以这个图像过这个二四象限，过二四象限和圆点。 如果你还是不太理解，你还是可以跟刚才一样画表格，对不对？画哪两个点呢？一零啊， 零零和一 k。 假如说这个是 x， 这个是 y 等于 k x， 那 么你把零带进去就是零零，你把一带进去就是一 k， 所以 你会过零零这个点和一 k 这个点，而 k 怎么样？它是小于零的，你在图像上画出来， 那原点肯定是会过的，对不对？还有一个是一，而 k 呢，是一个负数， k 是 小于零的，它是一个负数，所以在第四项线，那么假如说这个点就是 k， 这个 k 不 一定就在这里啊，它 k 也有可能在这里，对吧？它也有可能在更下面，都可以啊，连接这两个它就怎么样，它就是它的函数图像。好，那么一个是二，一个是负三，二在哪里啊？呐？假设这里就是二， 它对应的这个点的这个位置对应的就是 m 啊，这 y 轴上的点就是 m， 然后你再把这个点，这个线延长一点出来，那再找到负三， 假如说负三在这啊，这个 x 轴咱们也要稍微画长一点，不然对不上 好对齐，这个点就是 n， 因为这个点呢，在图像上就是负三 n， 它既然说这两个点一定会在函数图像上，所以它只能这么画，知道吧？这个就是 r m， 那 你觉得 这个 m 大 还是 n 大 呀？你就在 y 轴上去找 y 轴上 n， 在 这个 m 的 上面，是不是说明这个 n 比 m 大， 所以我们这里就可以直接由图可知，对不对啊？由图 可知，这个 n 是 小于啊，不对， n 是 大于 m 的， 或者是你这里写 m 小 于 n 也是可以的，对吧？但是呢，像这种方法啊，比较麻烦， 那么我们更多的呢，是用什么呢？用它的性质，它 y 随 x 增大而减小嘛，什么意思呢？这句话就是 x 越大 啊，它的 y 就 越小，明白吗？所以我们就直接接着这个下面去写，因为这个二是大于负三的，所以我们就可以得到这个 m 就 小于 n 就 可以了。 以后的话，这个题目是不需要画图的，你只需要通过它 k 值是正数还是负数去判断它是 y 随 x 增大而减小，还是 y 随 x 增大而增大，就可以了。所以 k 大 于零，单调递增， k 小 于零，单调递减 啊，这个一定要记住，我们都是通过这个性质去判断的，不会再画图了，知道吗？只有刚开始的时候，我们研究的时候才会去画图，以后就不会画了。 那么这里呢，我们再说一下，就是它的横坐标 x 越大，在这里，因为它是 k 小 于零嘛，所以是 y 随 x 增大而减小，所以这里 x 越大，说明它的纵坐标就越小，知道吧？好，所以二大于负三的情况下，那么这个 m 就 会小于 n， 那 如果这里 k 大 于零，那就反过来了，那就反过来。如果这里是 k 大 于零的话，那么 x 越大，它的 y 就 越大，就这个意思。
275毕老师细讲数学
11:08查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百一十二页复习题二十二的一、二三、四题。 第一题， a、 b 两地相距十千米，李明从 a、 d 出发，骑自行车，以二十千米每时的速度前往 b、 d， 嗯，用 x 表示骑车时间， y 表示李明与 b、 d 的 距离，指出其中的场量和变量，自变量与函数，并写出函数解析式和自变量的取的范围。 这个问题比较多，是不是？首先第一件事呢？咱们来了解一下故事啊，他一个什么样的故事情节呢？是说李明骑车从 a、 d 到 b、 d 啊，就是讲这么一个事， ab 和 b、 d 一 共是十千米啊，然后呢，他速度呢？是二十千米每时，你读到这你就想，那他零点五小时不就走完了吗？是不是零点五小时就能走完？ 然后第二呢，你在想，你的这个 x 和 y 分 别表示的是骑行时间和你的这个呃，里明与 b、 d 的 距离，那你说里明是从 a、 d 走的，离 b、 d 的 距离，那不应该是剩余路程吗？ 啊，这个你要清楚，然后要求我们指出常量和变量。那么我们先来回答第一个问题，哪个是常量呢？写在这上面啊，常量是指 两地之间的距离十啊，长量是指两地的距离十，还有一个它的速度啊，还有一个是速度，那我们可以写，嗯， a、 b 两地距离 还有一个速度二十千米每时啊，这两个是常量，那么它的变量 应该是骑行时间 与距 b、 d 的 距 离 y 啊，然后问你自变量和函数，那么自变量 就是骑行时间 x， 骑行时间先变，骑行时间越长，那么你的剩余路程越少，对不对？那么函数应该是，嗯， y 是 x 的 函数 啊， y 是 x 的 函数，那么写出函数解一式，那么函数解一式 y 表示的是剩余路程，那我用我的总路程去掉它以行路程 就是它的剩余路程，这是解一式。那自变量的取之范围呢？第一呢，你的总时间应该是十除以二十等于零点五小时，然后，嗯，第二呢，你的总时间应该是十除以二十等于零点五小时，然后，嗯，第二呢，你的总时间应该是十除以二十等于零 啊，剩余路程不能啊，不能为零，去了不能为负，所以是十减二十， x 得大于等于零，负二十 x 得啊，大于等于，那这个求出来也是 小于等于零点五。那这个咱就换一个方法做啊，也就是你的时间必须得大于等于零，不可能为负啊。所以呢，你的自变量取的范围应该是大于等于零，小于等于零点五，你看这个 剩余路程非负啊，所以能求出小于等于零点五。然后呢，你的时间啊，他也不能为负啊，也是非负啊，非负，对，所以呢，他也是大于等于零，那这就是他的取值范围 啊。那么第二题说某水库的水位高度与相应的蓄水量，如图所示，这不是那个表格吗？啊， 水位 m 就是 九十五米的时候，蓄水量是一点零五乘以十的七次，然后水位是零一百零四米的时候，是二点四一乘以十的七次方，然后等等。 那么第一问是设水库的水位高度为 x， 也说这为 x， 那 蓄水量为 y， 那 问你 y 是 x 的 函数吗？为什么？这个是还是不是？我们当时学函数的时候咋说的呢？ 当你的一个量确定一个值的时候，另一个量是不有唯一确定的一个值，语气相对应。那你看你的高度确定了你的蓄水量是不有唯一的值，那它就是函数呗，对不对？所以来我们回答第一问， y 是 x 的 函数理由，那我可以说，因为当 x 确定一个值时， y 有 唯一确定的值 与其相对应 啊，这个就说明它是函数关系了。那第二个，根据表格中的数据，随着水位高度的变化，蓄水量是如何变化的？你观察这表格第一行水位在逐渐的增加 啊，那么你的蓄水量也在什么也在增加，你看这是一点零五乘以十的七次，二点四一乘以十的七次，七点一二乘以十的七次，九点五四乘以五三乘以十的七次，那这个数呢？都在增加的，对不对？所以呢，我们可以回答来第二问， 说，随着水位高度的增加 增大，蓄水量也在增大 啊，这是第二题，那我们看第三题，判断下列各点是否在函数 y 等于 x 加一分之一的图像上 啊，一共有四个点，那它，呃如何去判断呢？你就可以把这个点的坐标带进去，你的这个横坐标就是那个自变量 x， 你 的重坐标就是那个函数 y， 那有时候把你的自变量带进去，如果他等于啊，就是求出来这 y 的 值等于重做表，那就说明这个点在，如果不等于，那就说明他不在啊。那来咱们求第一个，当 x 等于负二时， 那 y 等于负二，加一分之一等于负一，那负一是不等于负一，所以负二到负一在啊，在函数图像上 啊，就这么写就可以了。那么第二个呢，就是当 x 等于负一时，那你看你的分母，当 x 等于负一时， x 加一是不等于零了？等于零了的话，等于零的话，那你分母为零，它就无意义了呗，是不是？那么分母为零，嗯，此函数不存在 无意义啊，这是第二个。第三个就是当 x 等于零时， y 等于零，加一分之一是不等于一，它是不也等于一？所以呢，你的那个，所以你的零逗一在函数图像上。 然后第四个是，当 x 等于一时，你的 y 等于一，加一分之一等于二分之一，它是不等于二的。所以呢，你的一到二不在函数图像上 啊，这个这么大即可。来，那我们看第四说某水果批发市场啊，每次批发苹果都不少于一百千克时， 批发价为，呃，四点五元每千克。小王携带了九千块钱到特价市场批发苹果，并以批发价买进 啊设购买的苹果 x 千克，小王付款后还剩余 y 元，写出 y 关于 x 的 函数解析式，并指出自变量 x 的 取值范围。 那么这里要知道，你的 y 表示的是剩余的钱款啊，剩余的款。然后你的这个 x 是 苹果的千克数，那我一千克是四点五元，那我 x 千克是四点五元，四点五 x， 那 我带的钱呢？是九千。所以 第四题来， y 应该等于九千啊，减去我花了的那么自变量的取值范围。 题里说了，每次批发苹果不少于一百，那就得大于等于多少一百，然后呢，你还得小于等于多少呢？这里边你要想到你的这个钱啊，九千块钱最多就能买多少。那你算算，九千去除以四点五 等于两千，也说我最多啊就能买两千，所以它的取值范围就应该是大于等于一百，小于等于两千。
84讲数学晓红老师
13:38查看AI文稿AI文稿大家好，我们这个视频来讲一下一次函数与方程而方程组不等式之间的联系。现在我们给 这个一次函数 y 等于二， x 减一， 现在我们知道它与 x 轴的交点坐标是零点五，还有零啊， 假设我把这个 y 变成零啊， y 变成零啊，也就是说它就变成了这样一个方程啊，本来是 y x 减一，现在我把 y 变成零，它就变成 x 减一等于零。 好，我把这个方程方程解出来，那 x 就 等于二分之一，你会发现当这个 y 等于零的时候，这个一元一次方程的解刚好是 这个一次函数和 x 轴交点的横坐标。我们再举个例子看一下， 我们再给一个啊，看这个啊，这个已知数是 y 等于 负二的实减四，现在它与 x 轴的交点坐标是负二零。 同样的，我们当我们把 y 变为零的时候，它就会变成负二， x 减四等于零，我们把这个一元一次方程解出来看一下， 那 x 刚好等于负二，你发现这个一元一次方程这个的解，刚好是这个一次函数 和 x 轴的交点横坐标。所以这样我们就得到一个结论啊， 什么结论呢？一次函数 y 等于 k， x 加 b 与 x 轴的交点横坐标 是一，是一元一次方程 k x 加 b 等于零的解啊，刚好是啊，对吧？ 你你你，这个，你这个的焦点横坐标是零点五，那刚好是二 x 减一等于零这个方程的的解。这个也是啊， 这条线与横坐标交点是负二零，这个横坐标刚好是负二个时间，是等于零的结。啊，有这样的规律啊。 啊，这个是一人一次方程与呃，一一次函数与方程的关系啊。不等式有什么关系呢？我们先把这个隐藏起来啊。 啊？不懂事，看看有什么样的关系啊？ 留这个啊。 呃，现在呢，我仍然把这个一次函数的解释改造一下啊。我把等于 y 改为 我把等于 y 我 改为二 x 减一大于零，看这个不等式它的解是什么？而 x 就 大于二分之一， 或者我改为二 x 减一小于零，我把这个一元一次不等式解出来啊， 移过来 x 就 小于二分之一，你会发现这两个不等式那个端点的值，这个解集的端点的值，它的端点就二分之一嘛。这个解集的端点二分之一，这个端点的值刚好和这个 奇函数和 x 轴交点横坐标是一样的。 也就是说我们其实根本就不用解这个不用解这个不等式就可以可以得到这个 这个不等式的解，那就是那就是。呃，这个不等式的解，这个不等式的解就是 x 大 于二分之一呀。 在右边这部分的图像，它它它都是大于零的。从这里开始，从这里开始，这一部分这一部分图像啊， 这一部分图像往右全部是 y 大 于零的啊，对吧？那往右其实就是 x 大 于二分之一，相反， 从 x 小 于 m g， 往左全部是这部分图像，全部是 y 是 小于零的，也就是这个解的解集啊。所以就可以通过函数图像 相应的函数图像可以得到这个不等式组的解集。 原来我们通过实际解得出结局，现在可以通过一次函数图像得出它的结局，这是另一种思考方式， 是吧？就相当刚才我们那个第一个一样，也是可以根据一元一次函数的， 以 x 轴的焦点横坐标得出一人一次方程的解啊，通过图像得出解。 好，那我们就可以得到第二个，刚才是第一个啊，得到第二个小结就一次函数 y 等于 k x 加 b 与 x 轴的交点横坐标 是一元一次不等式， k x 加 b 大 于零，或者 k x 加 b 小 于零解集的单点值，对吧？从这两个方面我们就可以 你通过一元一次呃，一次函数的图像直接得到相应一元一次方程的解，还有一元一次不等式的解集啊，是吧？ 啊，我们继续讨论它跟方程组又有什么样的关系？我们把先把隐藏起来方程组啊，现在我把另一个这两大家关注这两条，这两条直线有个交点啊， 这两条直线有个交点啊， 这个焦点的红坐标是负的零点七五，重坐标是负的二点二点五，那么这个点的坐标既符合第一个解析式，也符合第二个解析式。 大家再观察这个解析式，它是不是一个二元一次方程， 再观察另一个解析式，它也是一个二元一次方程，如果我把这两个解析式组合成 一个方程组行不行？如果行，它的解是不是刚好就是这个焦点的坐标，我们可以试一试啊，现在我们可以试一下啊。 呃， 一个是 y 等于二 x 减一，一个是 y 等于 负，二 x 减四啊，我们回忆一下啊，二元一次方程组的解是怎么样解的？用代入吧， 把一带入二是最容易的，会加减也可以啊，带入也也可以啊，我用带入吧。那那那就用 x 减一代替第二个方程的 y 了吧。然后得 二 x 减一等于二， x 减四，而负的移过来，二 x 加二， x 等于负四加一， 四 x 就 等于负三， x 就是 负的四分之三，那不是 负的零点七五吗？哎，对的了，你看 y 对 不对啊？谁带进一个方程，求 y 出来，二乘以负的零点七五减一，这个是负的一点五 减一就是负的二点五了。哎，刚好是， 那也就是说把两条直线的解析式啊， 组成一个二元一次方程组，对吧？你会发现这两条直线的焦点坐标刚好是两条直线解析式组成方程组，二元一次方程组的解。 那这个是另另一个发现啊，另一个发现啊， 另一个发现，对吧？两条直线的焦点坐标是由两条直线解析式组成二元一次方的角啊， 好，我们把这节课的小结展示出来，一共有三个方面啊， 第一个是一元一次函数 y 等于 k， x 加 b， 与 x 轴的交点坐标是一元一次方程 k x 加 b 等于零的解啊，也说 可以根据一次函数的图像得出相应一元一次方程的解。第二个一元一次函数 y 等于 x 加 b， 与 x 轴的交点作横坐标， 也是一元一次不等式， x 加 b 大 于零或者 x 加 b 小 于零，介级的断点值 也可以根据一次函数图像直接得出，得出相应不等式组的解。集 三是两条直线的焦点坐标是由两条直线解析式组成二元一次方程组的解。 也说可以根据两条直线的焦点坐标得出两条直线解。一次组成的二元一次方程的解。他们之间有这样的联系啊，谢谢大家。
20记莫
28:48查看AI文稿AI文稿好，来看到第二十二章函数。啥是函数呢？其实简单一点来讲，就是研究两个变量之间的关系啊。你来看， 万物皆变，行星在宇宙的位置随着时间的变化而变化，我国天宫空间站与北京航天飞行控制中心的距离也随着时间的变化而变化，气温会随着海拔的变化而变化， 树高会随着树龄的变化而变化。在现实世界当中，这种一个量随着另外一个量变化而变化的现象大量存在。 为了研究变化，研究运动变化现象当中的变量之间的关系，数学当中就逐渐形成了函数的概念，知道吧，他找的是变量之间的关系。 人们通过研究函数及其性质，可以更深入的认识现实世界当中事物变化的规律啊。实际上函数就是去找他们两个之间的变化规律，找变量之间的关系。 那在本章当中，我们就可以通过一些实际的例子，认识什么是常量，什么是变量，学习函数的概念和表达方式。在此基础之上，用函数描述一些简单问题当中的变量之间的关系，感受函数 在刻画变量关系和变化规律当中的作用。这个章节我们主要的是了解函数和知道函数的作用。 咱们先来看几个具体的例子，再去理解函数的概念。那这里思考有写四个。第一个他说汽车以六十千米每小时的速度匀速行驶， 当它行驶的时间 t 分 别为一小时、两小时和五小时的时候，行驶路程 s 分 别为多少？ s 随着 t 的 值的变化而变化嘛，那肯定的，对不对？这里问的是什么？这里问的是路程。路程等于什么？路程 等于速度乘上时间， 而它的速度这里是不是没变化？是不没变化啊？六十千米每小时匀速行驶，所以当这个是一小时的时候，一小时的时候就是六十千米每小时，乘上一小时，它就等于六十千米。 好，当他是两小时的时候，两小时，那六十千米每小时乘上两小时等于一百二十千米，对吧？好，五小时的时候呢？五小时就是六十千米， 乘上五小时等于多少啊？等于三百千米。 好，你看时间，它的值越大，时间的值越大，那么路程是不就随着增加了，对不对？好，这里用字母来表示的话，就是这个路程 s 等于速度 v 乘上时间 t， 这里的 v 速度就六十千每小时，所以它等于六十 t， 就 这个意思啊，这六十 t 那 么分别为多少？我们已经答了，对不对？那 s 随着 t 的 值的变化而变化嘛？肯定的，对吧？啊？是的，这里回答是的， 它是随着它的变化而变化的。那这第一个例子，第二个例子，电影票的售价是四十元一张，第一场售出了八十张，第二场售出了一百零五张，第三场售出了一百八十张。 三场电影的这个票房收入各是多少元？设，一场电影售出 x 张，票房收入为 y 元， y 随 x 的 值的变化而变化吗？啊，肯定也是的，对吧？你票卖的越多，你收入的账就金额就越大，就这个意思，那四十块钱一张对不对？好，那么这里呢？我们表示出来的关系是什么？票房收入？这里我放大一点写啊， 这个票房 收入它等于什么呀？它就等于这个票的单价乘上票的数量，对不对啊？ 售价乘上售价数。好，第一场是八十张，那第一场 就是八十乘上四啊，也可以理解为是四十元一张乘八十就等于三千两百元。第二场 是四十乘上一百零五张，它等于四千两百元。第三场 第三场是卖了一百八十张，那四十元一张乘一百八十张，它就等于七千两百七千两百元。 好，那么他问，我们这个摄一场电影，售票为 x 张，票房收入为 y， 那 票房收入为 y， 售价是四十，是固定的售这个售票数啊，这个是售票数，不是售价数啊，写错了， 那么这个 y 等于什么呢？ y 就 等于四十乘上 x， 那 单价是四十，对不对？ x 是 张数，对吧？ y 呢，是票房收入，那么就这样去表示它， 那么 y 随 x 的 变的值的变化而变化吗？是的，也是随着它的变化而变化的。 第三个例子是，你见过水中的涟漪吗？如图所示，圆形的水波慢慢地怎么样扩大？在这个过程当中，当圆的半径 r 分 别为十厘米、二十厘米、三十厘米的时候，那么圆的面积 s 分 别为多少？ 面积会随着半径的值的变化而变化吧？那肯定的，对吧？半径越大，面积越大，对吧？因为扇形的面积公式等于 pi r 平方嘛，对不对？好，我们这里表示一下，我们就不直接算出来了，我们就把它的 这个 s 全这个面积表示出来，用 pi 表示出来，对吧？好，那么圆的面积 s 等于 pi r 平方，对不对？当它是十厘米的时候，十厘米，那么这个 s 就 等于 pi 乘上十的平方就等于一百 pi 平方厘米。我这里呢，就直接用派表示，这是十厘米的，那如果是二十厘米的，就是派乘上二十的平方等于四百平，四百派 平方厘米，那如果是三十厘米呢？那么就是派乘上三十的平方等于九百派平方厘米。 好，那么这三个时刻的面积就表示出来了，那么因为这个 s 它是等于 pi r 平方的，所以它肯定会跟着它变化的。 s 等于 pi r 平方，它会跟着它变化而变化吗？肯定是的，对不对？肯定是会跟着它的变化而变化的， 圆的面积由它的半径决定，对吧？好，再来看第四个。第四个说长方体的体积为一千立方厘米，当长方体的底面积 s 分 别为五十 平方厘米、一百平方厘米和一百二十五平方厘米的时候，它的高是多少？那么我们要知道长方体它的体积， 长方体的体积等于什么？等于长乘宽乘高，而它的底面积呢？ 底面积它就等于长乘宽，所以我们就可以通过这个信息得到长方体的体积， 长方体的体积它可以等于底面积乘上高，那反过来，如果你要去求高的话，哎，你会怎么做？你是不是就让长方体的体积除以底面积，所以它的高就可以表示为长方体的体积去除以底面积。 而体积是不是告诉我们了，它固定等于一千立方厘米，所以它就等于一千除以底面积， 它就等于一千除以底面积。然后呢，它这个底面积是五十厘米、五十平方厘米、一百平方厘米和一百二十五平方厘米的时候，我们就分别算一下， 那么这个高等于一千，除以五十的时候，对吧？那除以五十，它就等于二十，那这个时候高是二十厘米，那如果它底面积是一百，那么这个高就等于它的高就等于十厘米。 如果它的底面积是一百二十五，那么这个高就等于一千，除以一百二十五平方厘米，它就等于八厘米， 那么它的高啊，对应的就是二十厘米，十厘米和八厘米，对不对？那你看一下，这个高是不是也会随着它的底面积的变化而变化呀？是的，所以我们就回答是的，那你会发现上面的这四个例子，这四个例子 它反映了不同的事物变化过程当中啊，不同的变化过程。第一个问题反映的是这个路程， 汽车行驶的路程随着行驶的时间 t 的 变化而变化，这个过程当中行驶的速度始终不变，对吧？都是六十千米呐，一直是六十千米每小时嘛，对不对？速度是不变的， 然后时行驶时间 t 和行驶时间行驶路程 s 的 值是变化的。问题二当中反映的是票，电影票票房收入 y 和这个票数的出票数的变化和变化。这个过程当中， 电影票的售价始终不变，它的售价始终是四十块钱一张，对不对？始终是四十块钱一张。 然后呢，这个售出的票数 x 和票房收入 y 的 值是不断的在发生变化的，对吧？你售出的越多，你收入的这个票房收入就越高，对吧？好， 那我们来看到你看到没有，他不管是在第刚才指出的第一个问题还是第二个问题，他是不是始终都有一个不变的东西？看到没有啊？ 指出来第一个是行驶速度始终不变，第二个呢是电影票的售价始终不变，对吧？好，那么我们就说一般的在这个变化过程当中，我们称数值始终不变的就叫 常量，数值会经常发生的，哎，就是变量。 比如说第一个问题和第二个问题当中，汽车行驶的速度是不变的，所以它的速度就是常量啊。然后电影票的售价是四十块钱一张， 它也是不变的，它就是常量，而随着某样东西的变化而变化，比如说它会随着时间的变化路程会发生变化，那这两个它就属于变量，它这两个就属于变量。 而售出的这个电影票的数量和票房的总额，它这个也是变量，看到没有，其中一个变，另外一个就会跟着变，对吧？这种呢就属于变量。 所以我们要知道什么叫场量，什么叫变量，你先不要着急学后面的，先把这两个东西搞清楚。 它旁边还问到问题三和问题四当中反映了什么样的变化过程？其中的常量和变量又分别是什么？对不对？好，问题三这里反映的是什么？ 问题三反映的是圆的面积会随着半径的变化而变化的过程，对吧？好，我们写一下啊，这里我们写在这里吧，写在这个位置 反映的是圆的面积随半径的变化而变化的过程。好，那么问题三当中的长量和变量分别是什么呢？我们来看到 圆的面积 s 等于 pi， r 平方半径会变，面积也会变，谁不变？ pi 不 变对不对？所以我们这里的长量就是 pi， 写在前面， s 等于 pi， r 平方常量就是 pi， 它是固定不变的。啊，变量是谁呢？ 变量就是圆的面积和半径，圆的半径二和圆的面积 s， 这个是问题三，然后它问题四也同样问了，对不对？问题四怎么样？ 问题四它反映的是一个什么样的变化过程呢？它反映的是长方体的这个高，长方体的这个高会随着什么？会随着底面积的变化。你看它的底面积是不断的在发生变化，会随着底面积的变化而变化的一个过程。好， 我们就写，也是写在这里，问题四 反应的是长方体的高 随底面积 变化而变化的过程。 好，再来讲一下它这里的长量和变量，那我们前面已经看了，看到没有？这个高等于体积除以底面积， 它这里的高是等于体积除以底面积的，对不对？好，然后这个体积呢，是等于一千固定不变的，我们把这个写在旁边， h 等于一千除以底面积啊， 除以底面积，所以这个一千是固定不变的，知道吧？也就是说长方体的体积是长量，长方体的体积 为长量， 那么变量呢？哎，变量就是这个高和底面积了， 底面积 s 高 h， 那 这两个都是变量，知道吧？啊？那么这样的话，我们就把问题三和问题四里面的问题找出来了 来看例题一，指出下列问题当中的常量和变量。第一个，某市居民生活用水的价格为五元一吨，即某户的月用水量为 x 吨， 月应缴水费为 y 元。那么在这个过程当中有三个量，对吧？价格、用水量和总费用，对不对？那么他们的关系是什么呢？是这个应缴水费，这个水费啊， 它等于什么？它等于这个单价，也就是五元一吨，去乘上什么？去乘上这个用水量 x 吨，乘上 x 吨，这里乘的话写个点， 乘 x 吨，对吧？好，你用的水越多，你缴的水费就越多，对吧？好，水费这里是 y 元， 那在在这个变化过程当中，五元一吨单价，他是不变的，对不对？所以呢，我们就说他这里的单价，这个是场量，而这两个呢，都是变量，知道吧？这两个都是变量，大家可以看一下，那 生活用水的价格是敞亮，那这个价格是敞亮，用水量 x 和月薪缴水费 y 都是变量，就 ok 了。再看第二个，在某地乘坐公交车刷公交卡，每次收费一元。李明在公交卡当中存了三十元， 即此后他乘坐公交 n 次，那公交卡中的余额就为 w 元，这个是余额，对吧？他现在存了三十元，他刷两次减两块，那就还剩二十八，所以他这里的关系应该是余额 等于什么？等于他充的三十块钱，减去他乘坐公交车的费用吧，对不对？ 减去这个费用，而这个费用呢，它是一元一次啊，一次就是一元，那 n 次的话就是 n 元，对吧？所以它这个关系式我们就可以写成余额 w 等于三十，减去 n 乘一，也就是 n， 因为一元一次， n 乘上一还是 n， 对 吧？它就可以表示成这样，而三十元是不变的，对吧？这个费用乘车费用和余额都是在发生变化的，所以呢，这个三十元就是常量，费用和余额就是变量，那大家可以看一下，书上也有写，对不对？ 刷公交卡每次的费用和存入的钱的这个钱数是敞亮，对了，这里还有收费，收费一元，对不对？这个乘上一，咱们也写出来乘上一，这个乘车费用，咱们写详细一点， 乘车费用啊，就是 n 次乘上一元，这个一和三十都是常量，存入的钱以及每次的收费都是常量。乘坐公交车的次数， n 和公交卡中的余额是变量，它们都在发生变化，对吧？好，再来看第三个， 用二十米长的绳子围成一个矩形，既矩形的一边长为 x 米，矩形的面积为 s 平方米。首先你要知道，矩形它其实就是长方形嘛，对不对？好，那么一个长方形， 它现在把其中的一边设为 x， 那 假如说这边就是 x， 它的宽是 x， 那 么它的长怎么表示呢？那么它的长就要用什么呀？就用周长减去宽再除以二，减去宽再除以二，所以它就等于周长 减去宽乘上二，再除以二，那你用二十周长减去两个宽，就是两个长，所以再除以二就是一条长，那么它的长就可以表示为二十减去二 x 除以二， 写出来二十减二 x 除以二，就等于十减 x， 所以 它的长就是十减 x， 这里也是十减 x， 那 么这个面积呢？面积它就等于长乘宽， 那么这里的 s 就 等于长是十减 x， 乘上宽 s， 它就可以写成十 s 减 x 平方。以后我们写成函数形式，会习惯性的写成负 x 平方，加上十 x， 会把高次的项写在前面，低次项写在后面，会这样去写。那不管怎么样啊，我们还是先来看到在这里不变的是什么？不变的是不是就是这个周长， 对不对啊？也就是说这个绳子的长度它是不变的啊。然后呢，另外一条边，也就是它的长会跟着这个 x 会变化，跟这个宽变化，对吧？它的面积也会跟着这个宽变化，所以在这个过程当中， 绳子的长度是长量啊，就是不变的，矩形的一条边的长和它的面积都是变量，这个 x 就是 其中一条边长面积 s， 它会随着这个长宽的变化而变化，所以它也是变量，就 ok 了。 来看到练习第一题，指出下列问题当中的常量和变量。第一个像一个水池注水，注水的速度为零点一立方米每分钟， 即注水时间为 x 分 钟，注水量为 y 立方米，对吧？好，我们先可以把它的关系表示出来，总共注入的量注水量， 它是等于注水速度乘上注水时间的，等于注水速度乘上注水时间， 那么也就是 y 等于零点一 x， 那 这个零点一是不变的，对不对？所以它这里的常量就是注水速度， 常量是注水速度， 变量呢？变量就是注水量和注水时间啊，注水时间 x 和注水量 y。 再看第二个，我国十三五期间，每年国内产生的种植，如下表所示，年份二零一六二零一七二零一八二零一九二零二零。 国内生产种植 y 是 单元，是亿元啊，单位，单位是亿元，你看年份在变， 生产种子在变，都在变，没有不变的，是不是没有一个不变的？所以这里我们怎么说啊？那么没有长量，对吧？没有长量，所以我们就写长量。无 解释一下。它的年份和国内生产种植 都在变化， 再看它的变量，那变量就是这个年份和国内生产种植，对不对？它都在变，是不是？所以我们就说变量 年份 x 和国内生产种植 y， 每年 数字都不同，好，就 ok， 再看第三个，第三个是什么呢？ 一个平行四边形的底边长为五，高 h， 可以 任意改变，它的面积为 s。 平行四边形，对吧？平行四边形，底边为五，它的高会任意改变，那么高会发生变化，对吧？那么高一变， 它这个面积也会变，因为底是固定为五的，对不对啊？平行四边形的面积，我写上面一点，平行四边形的面积等于底层高， 那么用字母表示就是 s， 等于底是五，高是 h， 那 你看在这里，这个五也就是底边的边长，它是不变的，所以它就是长量，而高和面积都在发生变化，所以它就是变量， 所以我们就说长量 是什么？是底边长， 五是不变的，变量呢？变量就它的面积和高啊，写错了，是变量， 变量高 h 和面积 s。 第二题叫我们举两个运动变化的例子，并且分别指出其中的长量和变量，那么我们就越简单越好，对不对？就跑步嘛，游泳嘛，对不对？好，那我们就说第一个啊，小明跑步， 然后呢？它的速度五米每秒，对吧？跑步时间咱们设为 t， 跑步时间 七秒，好，然后跑的过的路程，跑过的路程 为 s 米， ok， 好， 那么在这个过程中，它的速度就是常量，时间和路程都是变量，我们再把它的常量和变量指出来，它的常量就是速度， 变量 就是跑步时间和跑步路程。布置下来完事了啊的第一个例子，第二个例子，运动的话就游泳嘛，对不对？小钢游泳 啊。小钢游泳，然后呢？它的速度是两米每秒啊，都有点快了，一点五米每秒吧啊，然后咱们就说游泳的时间 七秒游过的路程 y 米吧，我们换一下啊，换一下时间，这里把它设为 x 啊，跟上面有点区分啊。一样的。那剩下的就是把它的长量指出来，把它的变量指出来， 它的长量是速度不变，对吧？啊？把速度复制过来，那变量呢？游泳的时间和游泳的路程 ok 了啊。
2667毕老师细讲数学
12:21查看AI文稿AI文稿我们来看一下十四题。一辆快车从甲地驶往乙地，先画一个简单的图，甲乙 标清快车与慢车的一个位置， 接着说两车同时出发，匀速行驶，当两车在途中相遇时，快车恰好出现了故障，慢车继续驶往甲地， 快车维修好以后，按原速继续驶向一地，两车到达各自终点后停止。 s 表示的是两车之间的距离和慢车行驶的时间。我们来看一下我们的 st 图， 这样的图呢，我们关心的是起点拐点和终点，起点目测时间为零时，两车相向而行， 距离为四百八十千米，所以由此可知甲乙两地的相距的距离为四百八十千米， 然后接着两车相向而行， 直到相遇。根据图像知道，两车相距的距离越来越小，直到三小时的时候，他们两个人相遇了。哎，快车和慢车都走了三个小时， 在这里我们会看到地下一个拐点，就是在四小时的时候发生， 代表了什么呢？就代表了我们的快车维修的时间是三到四小时，一共经过了一个小时的时间， 那么这一个小时两个车之间的距离变化了六十千米，说明了慢车对应的速度就是六十千米每小时。 那么在这里回过头来看我们前面三个小时这一段可以得到的信息。那么在这里快车它的速度怎么算呢？就等于慢车三个小时所走的路程， 用四百八十做减法，再除以三就能得到快车所对应的一个速度， 得到的为一百千米每时啊，就是我们快车的一个速度通过前半段的信息得到的。然后接着我们看一下下一个拐点 a 表示了什么，就表示了我们在这里 快车在这一个位置相遇了， 相遇之后慢车又走了一个小时，然后接着继续向甲地行驶，那快车再相遇以后也继续向乙地行驶。 那么全程快车从甲乙甲乙两地一共用时多少呢？我们来算一下啊。全程 快车所用的时间和慢车所用的时间。快车所用的时间为四百八十除以一百等于我们的 四点八小时，但是因为他中间还修了一个小时的车，所以 t 撇快就等于四点八，加一，一共用时是五点八小时， 那在这里 t 慢所用的时间就是四百八十除以一个六十就等于八小时。 那通过计算会发现，还是我们的快车先到达我们的乙地，那么 a 点所表示的含义就是快车 到达乙地之后，剩下我们的慢车继续用时间去到达了我们的甲地啊。这就是整个图的一个分析，关心的是起点、终点和其中的拐点。得到这样的一些信息来看题目的问题。第一个， 两车出发多少小时相遇？由我们的图表可值为三小时，快车的速度通过计算为一百千米，每时 求出点 b 和点 a 的 坐标来看一下我们的点 a， 点 a 表示的是我们快车到达了乙地，通过观察分析，快车所用时间为五点八，所以 a 的 横坐标就为五点八， 那它的纵坐标表示的是什么呢？纵坐标表示的是两车相 距离的一个长度，此时的话呢，我们快车已经从这里到达了乙地，那我们只要算出慢车五点八小时移动了多远的距离，那么两车的相距的距离 s 即为所求， 来算一下啊，五点八小时慢车 行驶路程 s 片就等于五点八，乘以一个六十等于一个三百四十八千米。 好，我们的快车五点八小时到达了乙地，慢车五点八小时走了三百四十八千米，那么两车相距的距离就为三百四十八， 所以点 a 的 坐标在这里就是五点八到我们的三百四十八， b 点的距离就表示的是我们慢车， b 点表示的就是慢车从乙到甲所用的时间一共是八小时， b 点表示的坐标为八到四百八十。 那么在这里 a 点的实际意义为什么呢？ 先说横坐标，再说纵坐标为表示慢车 行驶五点八小时时， 快车到达以地， 两车相距 三百四十八千米，两车相距三百四十八千米， 写的数字分开一点， 我们来看最后一问，第三问，问什么啊？ 第三问的话呢，慢车出发多少小时后，两车相距二百千米来看啊，我们来分析一下， 我们在相遇之前距离越来越小，有可能为二百千米，相遇之后我们再往啊，分开走的时候，距离也有可能相距二百千米。所以在第三问里的话呢，我们要分两类去讨论。 第一类，在相遇前， 在相遇前的话呢，两车相距二百就代表快车行驶的距离，加上慢车行驶的距离，再加上我们两车之间相距的二百，即为全程四百八。 好解，我们的一元一次方程得到 t 等于四分之七秒，也有可能在相遇后 来，在相遇后。以后的话呢，我们来观察一下 快车相遇后啊，然后快车行驶的路程如图所示。慢车行驶的路程 啊，如这根笔所示，那么两车此时相距为二百，那就意味着快车的路程加上慢车的路程再减去重叠部分的二百，就等于我们的全程四百八，所以我们的式子可以列为 六十 t 加上一百 t 再减去重叠部分的二百。 在这里要强调一下啊，我们这个因为相遇之前快车没有修理，但是在相遇之后 快车进行了修理，所以呢，我们行驶的时间是要比 t 少一个小时的啊，再减去我们的二百就等于四百八十，解出来 t 等于 八分之三十九秒。综上 t 为四分之七秒或八分之三十九秒。
28隔壁王老师
12:49查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百二十四页习题二十三点二的六、七八九十题。 第六题，将一次函数 y 等于负二， x 加一的图像向上平移两个单位，能得到哪个函数图像？那向下平移三个单位长度呢？这个，嗯，平移啊， 上下平移，他就是在这个 b 这个位置加减，向上为加，向下为减，所以他第一次呢，是向上平移两个单位，那也是你的正一要加二，那么你的函数解一式就应该是负二 x 加三， 那么第二个呢，他是向下平移，那就在正一这减三。所以呢，他得到的解一式应该是 y 等于负二， x 减二 啊，这个是平移，记得上下平移是那个 b 上加减啊， b 上加减，因为 b 决定了与 y 轴的交点位置 啊。那么第七小题说，已知负一点三，负 y 一 负三，负 y 二二负 y 三是直线， y 等于负十三， x 加 b， b 为常数的三个点 啊，是比较 y 一 y 二 y 三的大小。那这道题考察什么呢？考察的是增减性啊，也就判断你的 y 的 值是谁大谁小。 那么你的增减性由谁决定？由你的 k 决定啊。所以说呢，因为你的 k 等于负十三，它是小于零的，那我们可以判断出你的 y 是 随 x 的 增大而怎么的而减小， 是这意思吧。然后呢，又因为你的这个，呃，这三个 x 值看啊，是负三小于负一点三，又小于二， 那你看 y 随 x 的 增大而减小，你 x 越大， y 反而越小，你的 y 越小， x 反而越，怎么样 越大。所以你负三对应的 y 二应该是最大的啊，越小的越大，他应该大于 y 一， 然后大于 y 三 啊，这就是你的第七题。那么第八题说，当 b 大 于零时，函数 y 等于 x 加 b 的 图像应该经过哪几个象限？哎，这个经过象限呢？咱们说了，他一共有这么两个点，第一，你的 k， 你的这里的 k 是 一，一是不大于零。一大于零的话，他就应该是经过一、三相线， 那你的 b 也大于零，那么你想他得往上平移，在 y 等于 x 基础上往上平移，平移他往上，那你想上面除了一，是不还有二，所以他经过 一、二、三。或者你用我们的顺口溜，这个是正的，他大于零，这也是正的。大于零，大于零是正的吧，那叫大，大不过四，所以经过一、二、三。 那我们看第二个，他说 b 小 于零时， y 等于负， x 加 b 的 图像经过几，那我们可以用顺口溜啊，这个 k 是 小于零的， 小于零，这是小，那 b 也是小于零的啊，他，呃， b 不 小于零的吗？也是小于零的，他也叫小，那叫小，小不过几啊。小，小不过一，不过一就过几啊， 二三四啊，你看顺口溜对不对？那么你这个 k 小 于零， k 小 于零的正比例是 k 小 于零数二、四，然后你 b 小 于零往下走， 那么下面除了四，还有三，所以是过二、三、四。那我们看第三个，当 k 大 于零时， y 等于 k， x 加一的函数图像经过哪几个象限？那你想 k 如果大于零，那就经过一、三了，这个也大于零，那你想上面除了一，还有几啊？ 还有二，所以它经过一、二、三，那么也可以用顺口溜，这叫大，大不过四。哎，那小于零的，这个是经过二、四，正的往上， b 大 于零是往上，上面除了二还有一，所以应该经过一、二四。 那用顺口溜也行啊，小大不过三啊。这个是第八题， 然后第九题，某自来水公司啊，为了鼓励市民节约用水，采取了分段收费的标准，居民每月应缴 缴水费 y 与用水量 x 的 函数，其图像如图所示。哎，你看这里边分段计费，你看见没？前面啊，零到十五这段是一个，然后比十五大的又是一段，所以这叫分段计费。 那么第一个叫分别求出当 x 大 于等于零，小于等于十五时和 x 大 于十五时， y 关于 x 的 函数解一式， 那咱们都知道它是经过，它是有两段的，对不对？所以我们在设解一式的时候啊，一定要分两段来设，那我们观察第一段，零到十五这段，它是经过原点的，所以它应该是一个正比例函数。 那么第二段呢，它不经过原点，你看到吗？所以呢，它应该是一个一次函数。所以说这个地方呢，你设的时候要注意啊， 来，咱们在这写啊，第一个，嗯，我们来设一下啊，当 x 大 于等于零，小于等于十五时，设函数解析式为 y 等于 k 一 x， 那 么为啥写 k 一， 因为这里头有两个 k， k 是 不相等的啊，所以呢，设 y 等于 k 一 x k 一 不等于零。然后呢，我们找一组点的坐标，你看这里就一个系数 k 一， 所以只需要一个点的坐标往里带就可啊，那你的这个端点是不是十五到六十，对吧？那么我们就可以说，嗯 嗯，当 x 等于十五时， y 等于六十，代入得， 那么也就是十五， k 一 等于六十，所以 k 一 应该等于四啊。所以你的这个函数 曲折范围跟上，当 x 大 于等于零，小于等于十五时，函数 解析式为， y 等于四， x 啊， y 等于四 x， 这是第一段。那么第二段，当 x 大 于十五时，我们来设这个函数 解析式为， y 等于 k 二， x 加 b， 其中 k 二不等于零。那这时候呢，我们得选两个点的坐标往里带了，因为它是要两个系数，一个 k 二，一个 b， 所以 两组点的坐标往里带啊。那我们可以说，因为图像经过 这个十五到六十，还有二十到九十啊，所以你的十五 k 二加 b 等于六十二十， k 二加 b 等于九十，皆得 k 二等于 b 等于二是减一是五， k 二等于三十， k 二等于六， k 二等于六，这个是九十，所以它是负三十啊，负三十，嗯，所以我们最后 那个，当 x 大 于十五时，这个函数解析式为， y 等于六， x 减三十啊。这是第一小题。那么第二小题说，若某用户某月用水九吨，应该缴纳多少钱？九吨是不是 x？ 所以呢，你就写，当你的 x 等于九十，你的 y 应该等于的是， 嗯，九是不应该在零到十五之内，所以代入到你的 y 等于四， x 也是四乘九等于三十六啊。那么第二个呢，说当某月的缴纳水费一百零二元时，那不就是当你的 y 等于一百零二十吗？ 那你的 y 等于一百零二呢，就是六， x 减三十等于一百零二，所以呢，你的 x 应该等于，嗯，加三十一百三十二，那就是二十二呗，二十二吨。然后你就可以答了，答啊，应缴水费 三十六元，然后用水二十二吨啊，这个是第九题，那我们看第十， 第十题他说已知 y 等于 x 啊，不是 y 与 x 加 b 成正比例关系，然后并且呢，你的 x 等于负三十， y 的 零， 你的这个 x 等于二十， y 等于负十，然后让我们求 y 与 x 的 函数解一式，那么这里边他已经说了他与 y 与 x 加 b 是 正比例，对不对？所以我们设就应该设正比例函数解一式来，我们写括号一解， 设这个函数解析 式为 y 等于它与谁呀？与 x 加 b 成正比例对吗？那么我得代比例系数，这个 x 加 b 属于自变量啊，其中 k 是 不等于零的， 然后将你的 x 等于负三， y 等于零， x 等于二， y 等于负十，代入得两组啊， 负三，那就是，嗯， k 括号负三加 b， 然后等于零，然后那就是 k 二加 b 扩回等于负十，然后解得 k 等于 b 等于。那我们来求一下啊，拿个验钞纸纸呢？ 乘法分配率负三， k 加 kb 等于零，二， k 加 kb 等于负十，然后用一四减二是负五， k 等于十， k 应该等于负二， k 等于负二的话，那么你的二加 b 就 等于五，所以 b 应该等于三啊，所以呢，你的函数 解析式为 y 等于负二，括号 x 加三啊，即 y 等于负二， x 减六啊， y 等于负二， x 减六，这是最后的那个函数解一式啊 啊，第二问，他说若负四啊， y 大 于负四小于二，求 x 的 曲值范围， 求 x 垂直范围，那么我就那你想这个是 y， y 是 不等于负二 x 减六啊？那我把直接把它带进去呗，是不是因为 y 是 大于负四小于二的，所以呢？你的负二 x 减六大于负四小于二会解不等式。不 啊，左右两边同时加六负二， x 大 于二小于八，然后三面同时除以负二，那就是 x 这头过来大于负四小于负一，所以最后你的自变量 x 取出范围就是它。
83讲数学晓红老师
15:44查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到知识点小卖铺，今天我们继续学习八年级下册数学核心知识点速通课程。 我们直接进入正题，聚焦八年级下册的核心内容。这一阶段的数学无论是代数还是几何，都比上册有了显著的升华和拓展。我们将系统梳理分式、反比例、函数、勾股定律、四边形以及数据的分析这几个关键章节，帮助大家构建清晰的知识框架。 首先来看分式，分式本质上是整式的升级版，形式是 a 除以 b， 其中 a 是 分子， b 是 分母，而且分母 b 必须包含字母。这里有两个核心概念要牢记。第一，分式有意义的前提是什么？没错，分母不能为零， 这是铁律，任何情况下都不能违反。第二，什么时候分式的值等于零？答案是分子为零，并且分母同时不为零。很多同学容易在这里犯迷糊，只看分子等于零， 忽略了分母的限制，导致结果出错。比如分式 x 减二，除以 x 加三，当 x 等于负三时，分母为零，整个分时就失去了意义。 而当 x 等于二十，虽然分子为零，但此时分母为五，所以分式的值确实为零。这两个条件缺一不可，务必谨记。掌握了分式的概念，接下来就是它的基本性质和运算。分式的基本性质 和我们熟悉的分数非常相似，分子、分母同乘或同除，以一个非零的整式，分式的值保持不变。基于这个性质，我们可以进行约分，也就是化简分式。比如二 x 除以四 x 平方，可以约分为一，除以二 x。 反过来，为了进行加减法，我们需要通分，也就是把不同分母的分式变成同分母的分式，找到最减公分母是关键。 至于运算规则乘法，就是分子乘分子分母乘分母除法呢？记住一句口诀，除以一个分式，等于乘以它的倒数 加减法。同分母直接操作异分母，先通分，再操作乘方，则是分子分母各自乘方。这些规则看似简单，但在实际计算中，尤其是符号和密次的处理上，稍有不慎就容易出错，需要细心。重头戏来了。分式方程， 顾名思义，就是方程里出现了分母含有未知数的情况。解这种方程 核心步骤有三步，第一步，去分母怎么做？两边同时乘以所有分母的最小公倍数，也就是最简公分母。 这样就把复杂的分式方程转化成我们熟悉的整式方程了。第二步，解这个转化后的整式方程，这通常不难。第三步，也是最容易被忽略但极其重要的一步检验。为什么？因为在去分母的过程中，我们乘的那个最简公分母 可能在某些情况下等于零。如果圆方程的解使得这个最减公分母为零，那么这个解就不是圆分式方程的解，我们称之为增根。 检验的方法很简单，把求得的解带回到最减公分母中，看看它是否为零。如果不为零，恭喜你找到了正确解。如果为零，那就说明这个解是增根圆方程。在这种情况下，可能无解或者有其他解。千万别忘了这一步 分时方程不仅仅是纸面上的练习，它在实际问题中应用广泛。想想看，行程问题里速度、时间、路程的关系，如果涉及到不同速度下的时间比较，或者合作完成任务的工程问题，假以两人工作效率不同，一起干需要多久？ 利润问题，成本、售价利率之间的换算，还有浓度问题，加水稀释、前后浓度变化等等，这些场景都可能抽象出分式方程模型。解这类应用题的关键在于准确找出题目中的等量关系，然后建立分式方程。解出来之后， 除了要像前面说的那样检验是否为增根，还要结合实际情况判断解是否有意义。 比如求时间，结果不可能是负数吧，求人数也不能是小数，所以实际意义的检验同样重要。 进入函数的世界，我们先来看看反比例函数，它的标准形式是 y 等于 k， 除以 x， 这里的 k 是 一个不等于零的常数。注意，因为分母是 x， 所以 x 的 取值范围是 x 不 等于零的所有实数。这个函数还有两种等价写法， y 等于 k， 乘以 x 的 负一次方，或者更常用的 x， y 等于 k。 这三种形式要能互相转换。反比例函数的图像非常有特色，它不是直线，而是一条双曲线，分布在两个象限。 k 的 正负决定了双曲线的位置。如果 k 大 于零， 双曲线位于第一、第三象限。如果 k 小 于零，则位于第二、第四象限。更重要的是它的增减性，当 k 大 于零时，在每个象限内 y 随 x 的 增大而减小。当 k 小 于零时， 在每个象限内外随 x 的 增大而增大。这里必须强调是在每个象限内讨论，不能笼统地说 在整个定义域内单调、递增或递减，否则就会犯逻辑错误。反比例函数里有一个非常巧妙且高频出现的考点，就是 k 值的几何意义。这个知识点特别实用，想象一下， 反比例函数图向上任意一点 p， 从 p 向 x 轴和 y 轴分别是 a 和 b， 那么形成的矩形 o p a， b 的 面积是多少？答案就是 k 的 绝对值。同样，如果我们只从 p 向 x 轴做垂线到 b， 那 么形成的直角三角形 p o b 的 面积呢？ 是二分之一乘以 k 的 绝对值。这个性质，无论 k 是 正是负都成立。因为我们讨论的是面积，所以要用绝对值。为什么这个性质有用？因为它提供了一种快速计算特定区域面积的方法，而且 体现了数形结合的思想。考试中经常利用这个性质来解析或者证明。反比例函数的应用和我们之前学的一次函数类似，关键在于根据实际问题建立函数模型。哪些场景适合用反比例函数呢？比如工程问题，如果总工作量固定， 比如挖一条隧道，那么工作效率和所需时间就是反比例关系形成问题。如果总路程一定，比如从 a d 到 b d， 那 么行驶速度和所需时间也是反比例。还有面积问题， 比如一个长方形的面积固定，那么它的长和宽就是反比例。解这类问题的思路一般是先设出函数解析式， y 等于 k 除以 x， 然后根据题目给定的一组对应值，比如某种速度下用了多少时间或者某个尺寸下的面积来确定 k 的 值。一旦 k 确定了，函数就唯一了，就可以根据自变量的取值范围来求解相应的函数值，或者反过来求自变量的值， 核心还是找到那个反比例关系。接下来是第十八章勾股定律。勾股定律是在直角三角形中由形推数值角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，即对于直角三角形的三边， a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方。而它的逆定理是由数推形，用来判断一个三角形是否为直角三角形，两者是互逆的关系。另外有一些经典的勾股数组合，比如三四五、 五十、二十、三七、二十四、二十五、八十五十七，以及它们的整数倍， 比如六、八十，这些都是满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方关系的整数。三元组认识这些常见的勾股数，能在解题时节省不少时间，尤其是在需要快速判断或计算时。 除了正向使用勾股定律求边长，还有一个非常重要的逆定律，它的内容是，如果一个三角形的三点场 a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方的关系，那么这个三角形一定是直角三角形，其中 c 是 斜边。这个逆定理非常有用，它可以用来判断一个三角形是不是直角三角形。勾股定律 及其逆定理的应用场景非常广泛，最基本的就是已知直角三角形的两边长求第三边。 在实际测量中，比如想测量一个池塘的宽度或者一棵大树的高度，我们常常通过构造直角三角形，利用已知距离和角度间接求出目标距离。还有向长方形折叠后求线段长度，或者求圆柱体长方体表面上 两点之间的最短路径。这些问题往往也需要通过展开图形构造出直角三角形，再运用勾股定律来解决。现在我们进入四边形的世界，首先要掌握的是平行四边形。 平行四边形有哪些核心性质呢？主要有三条，一是对边不仅平行，而且长度相等。 二是对角相等，三是连接对角线，他们会互相平分。这些性质在证明题和计算题中都非常常用。那么，如何判定一个四边形是平行四边形呢？有五种主要方法，设两组对边分别平行。设两组对边分别相等。 设一组对边平行且相等。设两组对角分别相等，设对角线互相平分。在实际解析时，要根据题目给出的条件，选择最合适的判定方法。比如，如果题目告诉你一组对边平行且相等，那就可以直接判定它是平行四边形了， 这是一个非常常用且高效的判定方法。在平行四边形的基础上，我们来看看几种特殊的平行四边形。首先是矩形，定义很简单， 就是一个角是直角的平行四边形。作为平行四边形，它自然具有平行四边形的所有性质，但它还有自己的独特之处，四个角都是直角，而且对角线相等。判定矩形的方法也有几种，比如有一个角是直角的平行四边形， 或者对角线相等的平行四边形，甚至三个角是直角的四边形，本身就是矩形。然后是菱形，定义是有一组菱边相等的平行四边形，它的独特性值是四条边都相等，而且对角线不仅互相垂直，还平分一组对角菱形的面积 除了可以用底乘高，还可以用两条对角线长度的乘积的一半来计算。 s 等于二分之一乘 a， c 乘 b， d。 这个公式在已知对角线时非常方便。判定菱形的方法包括有一组菱边相等的平行四边形，或者对角线互相垂直的平行四边形，以及四条边都相等的四边形。 最后是正方形，它是极大成者，既是矩形又是菱形，所以它兼具了矩形和菱形的所有性质。四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直。平分。判定正方形 可以从矩形的角度出发，比如有一组邻边相等的矩形，也可以从菱形的角度出发，比如有一个角是直角的菱形。 除了平行四边形和特殊平行四边形，梯形也是四边形中一类重要的图形。梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。其中，如果梯形的两条腰相等，我们就称之为等腰梯形。等腰梯形有一些特殊的性质， 同一底上的两个底角相等，而且两条对角线也很重要。三角形的中位线 是指连接两边中点的线段，它平行于第三边，并且长度等于第三边的一半。梯形的中位线 是指连接两条腰中点的线段，它平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度之合的一半。这两个中位线定律在计算线段长度或证明平行关系时非常有用。 最后我们来看数据的分析部分，这部分主要学习几个常用的统计量。首先是平均数， 最常见的是算数。平均数就是把所有数据加起来，再除以数据的个数。但有时候各个数据的重要性不一样，这时候就要用到加权平均数。 它的计算公式是各个数据乘以其对应的权重，然后求和，再除以所有权重的和。比如计算学期总评成绩、平时作业、期末考试的权重可能不同，就需要用加权平均数。接着是中位数， 它是将一组数据从小到大排列后处于中间位置的那个数。如果数据个数是基数， 就是正中间的那个。如果是偶数，就是中间两个数的平均数。中位数的一个优点是不容易受到极端值的影响。 比如一组数据里有个特别大或特别小的数，中位数可能比平均数更能反映数据的典型水平。最后是种数，它是指一组数据中出现次数最多的那个数值。种数可以有一个，也可以有多个，甚至没有。种数能快速告诉我们 数据中哪个数值出现的最频繁。除了描述数据的集中趋势，我们还需要了解数据的波动程度，也就是数据的离散程度。衡量这一点的常用统计量是方差，方差越大， 说明这组数据越分散，波动越大，稳定性越差。反之，方差越小，数据越集中，波动越小，稳定性越好。在实际应用中，选择哪个统计量取决于我们的目的。 如果想了解整体水平，用平均数。如果想了解典型水平，且不受极端值干扰，用中位数。 如果想知道哪个数值最常见，用重数。如果想评估数据的稳定性或一致性，那就得看方差了，比如评价运动员的发挥稳定性，或者比较不同班级成绩的均衡性，方差就是一个很好的指标。今天我们系统梳理了 八年级下册的主要内容，从分式的运算与方程，到反比例函数的图像性质与应用，再到勾股定律及其逆定律，以及四边形的各种性质判定和数据的分析方法。这些知识点相互关联，构成了初中数学的重要基础。 希望大家课后能针对自己的薄弱环节进行有针对性的复习和练习。下一节课我们将进入九年级全册的重要基础里，那是中考复习的关键阶段， 今天的课程就到这里，希望这次的速通课程能帮助大家更好的掌握八年级下册的数学知识。祝同学们学习进步，我们下节课再见！
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