三下数学苏教版相交与平行同步怎么画
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07:27查看AI文稿AI文稿同学们，上节课我们学习了画垂线和点到直线的距离， 今天我们继续探索画平行线和平行线之间的距离。首先我们来复习一下什么是平行线呢？ 五、相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。你说的很好，现在我们先来看一个有趣的问题。 a 和 b 互相平行，在直线 a 上任意取几个点，分别向直线 b 划垂直线段。 大家先动手画一画，再量一量这些垂直线段的长度，看看有什么发现。 我发现画出的垂直线段既和直线 a 垂直，又和直线 b 垂直，我发现这些垂直线段的长度都相等， 完全正确。像这样两条平行线之间的垂直线段长度都相等，这个长度就叫做平行线之间的距离，而且平行线之间的距离处处相等。 大家在观察这些垂直线段，它们互相平行吗？ 它们平行。没错，平行线之间的垂直线段不仅长度相等，还互相平行。 大家注意，平行线之间的距离特指垂直线段的长度，不是线段本身。而且不管在平行线的哪个位置，画垂直线段长度都一样， 这是平行线的重要性质。我们认识了平行线之间的距离，我们来学习画平行线。 画平行线之前，我们要明确，我们是在同一个平面内画两条直线。那你知道什么是同一平面吗？ 我们借助正方体来理解。大家看正方体， 不同平面的两条直线，即使不相交，也不是平行线。 只有在同一平面内不相交的两条直线才互相平行， 这个前提一定要记牢。大家想一想，有哪些方法能画一组平行线呢？我利用方格指画，沿着方格指的横线或竖线画就是平行线。 我是沿着直角的对边画，两条直线也平行，太棒了！这两种方法都很简易，现在我们重点学习用直角和三角板画平行线， 这种方法更灵活，步骤可以总结为，依靠二移，三划。依靠。先固定直尺，把三角板的一条直角边紧紧的贴在直尺上， 然后沿着三角板的另一条直角边画一条直线。二移， 保持直尺不动，沿着直尺慢慢平移。三角板平移时三角板不能离开直尺。三画平移到合适的位置后， 再沿着三角板的这条直角边画另一条直线。 大家注意，平移时三角板要平稳，不能倾斜，这样画出来的两条直线才平行。画完后可以用画垂直线段的方法验证一下， 看看两条直线之间的距离是否处处相等。现在我们的难度升级了，过直线 l y 一 点 p， 画一条与直线 l 互相平行的直线， 同样用直尺和三角板，大家试一试。我采用的还是依靠二姨和三画，依靠将三角板的一条直角边靠在已知直线 l 上， 另一条直角边紧靠直尺。二移保持三角板与直尺贴合，慢慢推动直尺，直到这条边与点 p 重合。 三画经过点 p， 沿着直尺的这条边画一条直线，这条直线就与 l 平行。 大家注意，平移时一定要保证三角板和直角不分离，点 p 要正好落在三角板的直角边上，这样画出来直线才准确。 今天我们学会了画平行线和认识平行线之间的距离，谁来总结一下这节课的收获？ 我知道了两条平行线之间垂直线段的长度叫做两条平行线之间的距离。我知道了平行线之间的距离处处相等。 我知道了同一平面内两条不相交的直线就是互相平行的。 我们可以利用直尺和三角板自己画出一组平行线。 画平行线的方法可以总结为依靠二移三画。 我知道了在同一平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行。 大家总结的很全面，画平行线在生活中用处很多，比如画黑板报的横线、设计图纸等， 大家课后多加练习，今天的课就上到这里，下课。
78姜题通
05:54查看AI文稿AI文稿我们来看一下三年级练册练习六，就是第五十五页这一课时的作业。先来看一下填空题，说在两条平行线之间可以画多少条垂线段？可以画无数条，两条平行线 无限可以延长，你可以竖着画无数条他们的垂直线段。第二题说两条平行线之间的什么处处相等？平行线之所以平行，是因为他们之间的距离是处处相等的，所以你可以延长以后永远不相交。第三题说，如右图， 直线 a 和直线 b 互相垂直，画垂直符号就记作 a 垂直 b 中间用垂直符号连接就可以了。然后呢说读作，那写完整的话就是直线 a 垂直于直线 b。 第四题说互相垂直的两条直线的焦点，它有一个特殊的名字叫做垂足，只有垂直的焦点叫做垂足。接下来看判断题， 同一平面内两条直线的位置有相交，平行和垂直。同一平面内两条直线的位置就两种，要么相交，要么平行。垂直只是相交里面的一种特殊情况，就相当于正方形，其实属于特殊的长方形一个道理啊，所以它的 包含关系是这个样子的。再来看第二小题，说经过任意两点都可以画一条直线是对的。第三题说两条直线相交。 我们刚说了，只有垂直的焦点叫做垂足，相交就叫做焦点就可以了。这句话错的，正方形相邻两条边互相垂直，相对两条边互相平行没问题。然后我们来看判选择题， 同一平面内不相交的两条直线一定是不相交，你就一定平行。第二题说过，一直线上一点能画几条直线与已知直线垂直，就是我们之前画的图，你画过一个点，画一条线，过这个点只能画一条它的垂线。 然后接下来看第三题，说不能看成，注意是注意看题，不能看成平行线的是 铁轨，可以是黑板的，长边和短边的是垂直的关系。教数学书，相对的上下两条边一定也是平行的，所以选的是 b。 最后看第四题，说下面图形中既有互相平行的边，又有互相垂直的边，平行四边形， 这个不一定，因为正方形、长方形属于特殊的平行四边形，但是平行四边形里面不一定有这种情况，所以只能选 b， c 肯定也没有啊。 我们来看一下五十六页这一部分画图的内容，看第四题说分别画出与已知直线距离是一厘米、两厘米、三厘米的平行线，那画平行线我们就需要直尺和三角板，那怎么确定这个距离呢？ 那我比如说第一个啊，我们三角板这么去放，然后呢直 线给它垂直，这样去摆，然后呢上下移动一厘米就可以了，向上也行，向下也行， 那怎么样能一次性画出这个一厘米呢？其实你用直尺，比如说你随便取一个刻度，比如说六这个长刻度线，你就和已知直线去重合，那么往上数一点，比如我这是五过去，五是一厘米的，所以呢，我把这个三角板移到五刻度线的时候呢， 顺着直尺画一条线就是你的一厘米的距离，顺着这条直角边画一条线，就是你的平行线，然后撤掉直尺，把这条平行线给他，这样延长，就能画出距离为一厘米的平行线了，那么这两个图也是一样的操作方法。 然后第五题说过， a 点画已知直线的垂线与平线，就是过 a 点先画出已知直线的垂线，先画出垂线，然后呢再过这个点，画出与已知直线的平行线一样的画法。 他已经把 a 点给设定好了，那我们一条直角边和已知边重合，直角边给他靠起来，向上移动位置，沿着直尺，沿着直尺这个地方可以画出垂线。沿着三角板的直角边啊，这条边， 沿着这条边就可以画上平行线，然后拿到尺子以后，你可以给他延长标好咱们的垂直符号。上面这题也是，你画好垂直符号就能明确表示你这是垂直的关系。那第二题也是一样的，画好以后你再用你的三角板或者直尺量出这个 a 点到现在的距离，他用毫米为单位，所以你数清楚就可以了。 然后第六题说要修一条从学校到公路的小路，画出最短路线，这个公路呢，这样横着过来的还斜了过来一段。那么我这个学校我们知道画垂线 是最短的，画垂直的线段是最短的，那我是向上沿着这个横着公路画垂线还是斜着画呢？那我这条最短，所以你把两个都画出来以后，拿尺子量一量， 沿着这个公路去画的话，这样画垂线画出来这个长度是十二毫米，沿着这个画垂线的话，画出来是十三毫米，那么按最短的话，我们就把这个十三毫米的给它去掉，只要十二的就可以了。 再来看一下拓展应用，这个第十最后一个拓展提升说小鸭子呢，他在岸上走路是比较吃力的，却擅长游泳， 他准备从他家去小猫家玩，就是从这个点到这个点，他在水里游其实是无所谓的，因为他擅长游泳，所以呢，我们只要求他在 陆地上，岸上的走的距离最短就可以了。那其实就是从小鸭家垂直的进入小河，那么我们可以沿着这条线过这个点画垂线就可以了，那么在河里其实无所谓。然后接下来到小猫家的话，从岸上上来以后，我们到这个点上来以后，还是 可以从这个地方给他画垂线。你说这个题啊，他是放了情境的本质上来说还是过已知点画已知直线的垂线，因为垂线的 垂直的线距离是最短的，画这个垂线就可以了，画好以后一定要标好垂直符号就可以了。
02:53查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来学习用尺规做等长线段。怎样用尺尺和圆规画一条与线段 a、 b 同样长的线段呢？第一种画法，先用尺尺画一条射线， 然后用圆规量出现段 a、 b 的 长度，保持圆规两脚尖的距离不变。把此时圆规的针尖放在射线的端点处， 转动圆规做弧线。弧线与射线相交的这一点，就是所做等长线段的另一个端点，然后在这两个端点的位置标上字母 c 和 d， 这样与线段 ab 等长的线段 cd 就 做好了。 第二种画法，先描出一个端点 c， 用圆规量出线段 a、 b 的 长度，保证圆规两脚尖的距离不变，并且把圆规的针尖放在点 c 的 位置，转动圆规做弧线。 此时可以在弧线上描出任意一点，并给这个点标上字母 d， 连接 c、 d， 这样与线段 a、 b 同样长的线段 c、 d 就 画好了。当然，我们也可以在弧线上再找一点，标记为点 e 连接 c、 e， 或者再找一点，标记为 f， 连接 c、 f。 此时的线段 c、 d、 c、 e、 c、 f 都是与线段 a、 b 同样长的。 怎样在直线上用尺规画一条线段，使它的长度等于已知线段 a 的 长度的和呢？先用圆规量出线段 a 的 长度，在直线上描出一个端点， 保持圆规两脚尖的距离不变。把针尖放在钢苗的斑点处，转动圆规做弧线，就画出了线段 a 的 等长线段， 再用圆规量出现段 b 的 长度。因为要画线段 a、 b 长度的和，所以此时圆规的针尖要放在刚才弧线与直线的交点处，转动圆规做弧线，此时整个线段的长就是线段 a 与 b 长度的和， 你会用刚才的方法画出线段 a 的 等长线段。 需要注意的是，这次要画的是线段 a、 b 长度的差，所以用圆规量出线段 b 的 长度后，还要把圆规的针尖放在第一个端点处， 两条弧线与直线相交的两点之间的距离就是线段 a、 b 长度的差。好了，今天的学习就到这里，你学会了吗？
22任老师敲黑板
07:04查看AI文稿AI文稿同学们，准备好了吗？准备好了。好，上课起立。老师好，下面好，起步。 我们呢，已经很熟悉了，我们之间是什么关系？好，你来说。师生关系。真准确。师生关系，那你们之间是什么关系呢？你来说同学关系。哦，是同学关系， 在生活中有很多关系。那在数学上是不是也有一些奇妙的关系呢？这节课我们的学习就与关系有关。好，同学们，老师现在摸到的是 黑板的面哦，他摸起来平面的，我们称他为平面。平面， 你在生活中还能找到平面吗？好，你说墙面哦，墙面，你说桌子哦，桌子，还有桌面？好，你来说地面哦，地面，你说 本上哦，本上，你来说尺子上哦，尺子上。好，坐下，你说书上哦，书上。书面。好，你来说 门上哦，门上。好。王兆辉，你来说纸上哦，纸上。纸面。可以说面在我们的生活中可是无处不在。嗯，平面在我们的生活中无处 不在。那老师摸到了黑板面和你的纸面是不是一个平面呢？不是，不是。嗯，我们这节课的研究啊，是发生在同一平面上的问题。 好，大家再看。 咳， 你看到了什么？中，中中，看到了无数，无数是无中四个字，他们分别在 四个平面上，那么如果老师这样呢？把他们就放在一个里面。好， 看到了这四个字，你想到了谁？好，你说。直线。哦，直线，为什么你说 看到他就想到了直线呢？因为直线是没有端点的，直线可以无限延长啊，他受到了直线的什么 特写？直线可以无限延长。好，坐下。那为什么我，我们可以在作业纸上画出直线呢？好，你说。因为那只是直线的一小部分哦，一小部分，真棒，坐下。 好，之前我们研究的问题是一条直线的特点，那我们这节课要加大难度，看看两条直线他在同一平面上有什么样的 关系，大家有兴趣吗？有，那就先听老师的要求，你在你的作业纸上用深颜色的彩呃，水彩笔画出两条直线。好，现在开始 在你的作业期的作业纸上画就可以了。 画好同学做的非常端正， 同学们的想象力真丰富。嗯，画了这么多的作品，我刚才呢看了这几个同学的作品，我们一起把它粘贴，我把它粘贴在了黑板上， 为了吗？我们观察方便。现在呢，我们把这几幅作品给他编上序号来，我们一起来说， 一二三四五六七八九。好，现在观察这九幅作品， 如果把这些作品根据他们的位置关系来进行分类的话，你想怎么分？ 好，自己先想一想。然后呢，可以把你的想法跟你同桌交流一下。好，开始。 九， 第一个，第三个，第八个， 大家讨论完了。嗯嗯，好。老同学起来说一下你的想法是什么？他说的时候你出去听他的想法和你一样吗？ 好，你来说，你来说。我觉得应该是一和。我在这里记得啊，一，嗯，三三 八八放在一起。嗯，还有呢？嗯，还有四四也放在一起是吧？啊，不是。
98最新公开优质课
15:27查看AI文稿AI文稿我们来看一下三年级第五单元长方形和正方形前三课时的作业。先看第一课是相交于平行， 第一题呢，就让你来判断一下下面哪些呢是平行线，哪些呢是互相垂直的，如果平行的话，就在圆括号里面画这个平行的符号，如果是互相垂直的这样一个符号，那么这个符号呢，它就表示这是平行，这是垂直， 甚至我们到了初中、高中以后呢，仍然沿用的是这两个符号，那么我们用肉眼其实可以看出来，因为第一课时呢，只认识一下香蕉和平形， 第一组呢是平行的，什么叫平行呢？就是这是两条直线，两端都可以无限的延长，那么你延长以后仍然不会相交啊，不是吃的那个香蕉，是这个香蕉这两个字就是你无论你延长多长以后都不会相交的两条直线，就这个是平行线， 像这一组和第三个就属于的是平行线，我们画平行符号就可以了，像这种线，你明显在这个地方给他延长以后肯定会相交在一起的， 那接下来还有这个线肯定也是会延长以后再相交在一起的。那接下来看什么是垂直呢？垂直就是指我们都有三角板， 什么叫垂直呢？那么这个三角板的这条边和这条边相交的这个点，这是一个直角， 那么就说这两条边是互相垂直的，在三角板里面，我们也说这两条边是这样三角板或者这三角形的两条直角边啊，这俩是互相垂直的。那怎么判断垂直呢？这个拿肉眼看，有时候分辨不来，有同学觉得这也是垂直啊，哎，这并不是，怎么来判断呢？拿上你的直角板， 你把这个角这个地方一放，跟其中的一条边啊，你的直角边跟这条边重合以后，你发现这条边并没有和这条边 重合，所以呢，这并不是直角，并没有垂直。咱们来看第二行的第一个，我们把三角板往这一放，你发现这两条直角边和图上画的两条直角边怎么样吻合在一起的，所以呢，这个就是垂直了，很明显。这个呢，也不是， 我们学过锐角、钝角和平角，你看这个角很明显这边是钝角，这边是锐角，所以肯定不是垂直的关系啊。只是第一题，认识一下平平行和相交垂直， 其实这个垂直就是相交里面的一种，那你说这个不叫垂直叫什么呢？叫相交呀，两条线有交点，叫做是相交问题。好，第二题，填空题问你 时钟里面几点整和几点整？钟面上分针和时针互相垂直。在此之前，我们有一个是专门是认识这个时钟问题的，那么成直角的话，一个是这样的直角，这是这边的直角，指的是九点整。 第二题说一个长方形中有几组互相平行的线段，你可以随手呢画一个长方形， 我们简单来画一个长方形，这样一个长方形，那么有几组平行线呢？上下两条边平行且相等，左右两条边也是平行且相等，所以有两组。第三题说看这个图， 然后呢，他都给你画的这个符号表示直角符号。问，你与 ab 平行的边是指哪条边？与 ab 平行是哪条边呢？是 dc 这条边。 然后呢，与 ad 互相垂直，与 ad 垂直，这个地方直角符号，所以 ab 跟它垂直，这有直角符号，所以 dc 也跟它是垂直的关系。 第三题比较简单说，你在方格纸上画一组互相平行的线，再画一组互相垂直的直线，这个地方可能看不清楚啊，我这描的这，因为他给的是呢这个方格纸，那方格纸上下两条边总是平行的， 一横一竖一横，沿着隔线去画，一竖一横一定是垂直的关系，所以你按照你的隔线来描一下就可以了。垂直的话，我们标一个直角符号，表示它代表是直角的意思啊。再来看这个，突然应用右边这个图，问，你有几组互相平行的线， 这个地方我们可以来找一下，画的都是直线，它可以延长，但是你发现上面这条横着的线和下面这条横直线，它肯定是平行的关系， 左右也是平行的，这已经两组了，斜着这两条边平行，这样斜也平行，所以有四组平行线。那有几组互相垂直的线呢？你可以拿着你的三角板，你过来对比一下，你发现这个地方角，这是一个 直角，同样这也是直角，这也是直角，所以呢，他就有四组互相垂直的线，这是五十二页里面认识相交和平行。那接下来我们来翻到这边看五十三页。 先看填空题，说两条直线相交成什么时就是互相垂直，我们刚说过了，相交成直角的时候就是互相垂直的。 然后接下来说，小明家到附近笔直的公路上画了三条线段，分别长一百三十六米、一百二十米和一百五十四米，其中有一条是垂直线段，问你小明家到这条公路的距离是多少？你要知道从一个点 画个图给大家说一下，从这个点要到这个公路上有三条路，一条路呢长一百三十六米，一条路呢长一百二十米，一条路呢长一百五十四米，大概就是这样的一个图，你就发现这条边是最短的，所以 垂线。我们到了初中以后学垂线段其实是最短的，从点某一个点到一条直线上，垂线段是最短的，所以选这个一百二十米是最短的，那么这个就看成一百三十六，这个可以看成是一百五十四了。就这样的一个图，可以去画图理解一下这个意思啊。 然后再来看第三小题，说右边这是一个长方形，给你标好了长三厘米，宽一厘米。然后呢说与 bc 垂直的边，与 bc 找到 bc， bc 就是 我们在每个顶点上标好字母， 表示线段的话，是把端点的两个字母一块说叫这条边就叫 bc， 这条边就叫 cd， 或者叫 dc， 都可以。与 bc 垂直的边， 它画的是个长方形，这里面的角都是直角，所以它垂直的边就是 ab 和 cd， 或者以画写 dc 也行。再说点 a 到线段 bc 的 距离，点 a 到它的距离就是画垂线段，其实就是 ab 的 长度，也就是 cd 的 长度，就是三厘米了。然后呢又说点 a 到 dc 的 长度，就是宽一厘米就可以了。再来看第二部分， 填选择题，说两条直线相交成四个角，什么叫相交成四个角？读题读不明白什么意思，就是你随便画两条中间的线， 这样的话就一二三四四个角，其中如果有一个角是直角，那么另外这三个角呢，一定也是直角， 这两个角叫对顶角，可能相等的，所以呢，他俩加起来一百八十度，他九十度，他也是九十度。 这两个相邻的角加起来是平角，一条直线过去，平角加起一百八十度，他九十，他也九十，同样的这也是九十，所以呢，另外三个一定是直角。第二题，一个长正方形中有几组互相垂直的线段， 你给他画个正方形不就出来了吗？比如说这个地方就有个正方形，有几条互相垂直呢？四个角都是直角，所以呢，就有四组互相垂直的线段，选 c。 第三题，主要是这个图怎么去画呢？ 已经过点 a 画直线的垂线，那第一个怎么去画呢？还是你的三角板？一定要是三角板啊，我们可以将一条直角边和已知直线给它 重合，然后呢，顶点直角，这个点呢，刚好顶在 a 这个地方，那么画沿着 这另外一条直角边，我们画出来的线就是和这个线是垂直的，并且呢过这个点 a 了。如果说我们画出来以后，你发现，哎，我画只画这半截，那这半截没有怎么办呢？我画的是什么呀？直线，所以我可以 通过尺子再给他把这边延长出来，就是这边给他重合以后，延长就可以了，不要改变方向，只是延长。 第二个怎么画呢？我要过 a 点画下的垂线，那么还是一样的，我用这条直角边去找 a 点另外一条直角边和我的已知直线去重合，这样的话，沿着这个尺子这样画一条线， 同样的，我可以把它往下延一延，然后呢把这条线给它延长。注意，画完以后我画的是垂线，怎么证明我画的是垂线呢？哎，我把这个直角符号标清楚，表示直角就往上垂线了。第三个也是一样的，我们把尺子转压方向， 那么用这条边和已知直线重合，另外一条边找到 a 点，放好尺子，摁直以后呢，画线就可以了，再延长画直角符号，这就是画垂线已过已知点，画已知直线的一个垂线。 好，第三题说用画垂线的方法将下面图形补成一个长方形，一个正方形。第一个图他已经给你画好了一个长和一个宽了，那么我们根据 画垂线的方法，这个地方给他垂直画垂线就可以了，你要量一量你画出来这个长有多长，你把这个长呢给他截取一下， 两条长要一样长，画下长方形，同样的，画好一条边以后，把尺子这样转一下，就可以画这条宽了。第二个图画正方形也是一样的，因为正方形它其实就是特殊的长方形，把这两条边画好以后，把直角符号一标就可以了。 好，那接下来我们继续看第五十四页，五十四页呢是认识平行，刚刚是垂直，现在是平行。我们先把基础的相交平行和垂直理解清楚了，我们可以做后面的练习题了。 先来看第一题，说直线 ab， 这两条线呢是一组平行线，然后说线段 ab 垂直于 ab 垂直于 b， 然后呢 cd 垂直于 a， 然后根据他给的这些条件让你判断对错。第一个线段 a b 垂直于直线 a， 线段 a， b 也垂直线 a 没问题，因为 a、 b 是 两条平行的线， 两条平行线，那么这条线垂直于 b 的， 肯定也垂直于 a 了，所以第一题没问题。第二个说线段 a、 b 和 c、 d 的 长度不一样，这两条线都是两条这一组平行线，这样的垂线，平行线，这样的距离就是画垂线来画表示的距离， 距离是处处相等的，所以一定是相等的，这句话不对。第三句话说线段 a、 b 和线段 c、 d 互相平行没问题，因为这个地方是直角，它垂直于这条线，它也垂这条线，所以它俩平行，并且长度还相等。 好，那接下来我们来看第二题，又是画图题了。刚刚我们练习的是画垂直，现在练习的是画平行，给一条直线给了一个点，怎么样能画过这个点，画出已知直线的平行线呢？我们需要用到的是铅笔三角板和一个直尺， 这个地方你的两只手一定要配合好。那么我要过这个点画平行线，怎么去画呢？ 第一种方法我们可以呢，用你的三角板的一条直角边和已知直线重合，然后另外一条直角边找到这个地点，也就是说 这条边和直角边去重合，这个点和这条直角边重合在一起。然后我们可以放上你的这个直尺， 这个直尺呢，紧靠着这条直角边，然后你可以向下移动这个尺子，直到露出这个 a 点以后，把直尺移走，沿着这条线画线就可以了。这边画好以后，这边没有，为了美观，我们可以把尺子这样转过来，把它延长就可以了，这样画出来的线就和已知直线是 平行的关系啊。同样的，后面两个图也是一样，他只是方向变了，变，那方向变了，没关系，你的尺子可以跟着他的去方向去变，这样去重合，然后往下移划线就可以了。同样的这个地方也可以，我们把尺子呢这样转一下， 把你的书呢给他压直一点，然后呢这样重合，把这个尺子往这 往这一靠，然后呢移动这个尺子向上露出这个点以后，按住尺子开始划线就可以了。 这是第一种方法，第二种方法还可以怎么去画呢？还有一种方法就是说我们刚刚已经教过垂直怎么去画了， 两条线如果是平行的关系，那么它的垂直的线段肯定是垂直于这条线的，所以呢，你可以过这个点，先把这条垂线用虚线给他这样画出来，画出来以后呢，你再画这条垂线的，再垂线就可以了。也就是说我可以第一步呢，先画出 过这个点的一个什么呢垂线，然后呢我再画跟这条垂线再垂直的一条线段，比如说我把尺子呢转到这边， 然后呢画这条线呢再垂线， 这样两次垂直以后，那么画出这条线和原来这条线呢，肯定也是平行的关系的，都可以啊，两种方法就是说你要把你的尺子按住了去画，有小朋友呢，他就是手比较松，刚开始对的时候呢对好了，然后呢 开始画的时候左手一松，一画画就歪了，所以你一定要把尺子摁好了再去画啊。然后第三题，让你在图上用同一种颜色的笔描出一组平行线。 第一个他，其实你通过测量能发现他给的是个长方形，长方形的对边都是平行的关系，所以这两条边我用红笔描，这两条边我用铅笔描。第二个图给的是正方形， 这个地方是垂直的关系，所以呢，对边平行且相等，他俩是平行的，他俩是平行的。第三个图他给的是个梯形，梯形只有这样两条边，上底和下底是平行的，所以只把这两条边描出来就可以了。再来看五十四页的最后一个拓展应用啊，拓展提升问，你下面画了这么多线， 有几组是平行的？有几组呢是互相垂直的，我们为了方便表示呢，我给它标了个号，从第一条线从左往右开始，指是 a、 b、 c， d， e， f， 横着这个线标成了字母 l， 都是写写字母。然后我们来开始找平行。平行的话，第一条线 a 和 f 他 倾斜的方向呢，是一致的，那我怎么样判断他是不是平行呢？就跟这我们刚画的方法一样，你可以拿尺子呢，去随便找两个点，测量一下两个点之间的距离，这样去量一量还可以怎么办呢？ 我就拿上我的三角板和直尺，相当于我在画一条，画一组平行线一样，我跟他， 然后往下移尺子移到这个地方，哎，你发现是平行的关系，所以这样也是可以判断平行的，所以 a 和 f 是 平行的， b 和 e 也是平行的，并且呢，可横着这个线还垂直， b 和 e 平行，然后最后一组就是 c 和 d， 斜方向是一样的，也平行，所以呢，有三组平行。那互相垂直的有谁呢？就是 b 垂直于直线 l， e 垂直于直线 l， 所以呢，有两组垂直。这就是我们这个单元前 三页吧？五十二、五十三、五十四，这三页的课时作业。
09:07查看AI文稿AI文稿今天开始呢，我们就来开启第五单元的学习，长方形和正方形。好，那么首先这个单元呢，我们先来学习关于平面上的两条直线的这个位置关系哈，我们先来学习平面上 两条直线的位置 关系。好，首先我们来学习相交与平行啊。好，这就是平面上两条直线的一个位置关系啊，怎么合适呢？好，我们来看一看。好，来看立意 啊，这个是七，是一个什么道路示意图哈，七里沟街道主要道路示意图。好，那么 我们可以看到这些道路什么纵横交错的，对不对？但是道路与道路之间他们的这个位置关系呢？我们如果给他们拎出来，就变成下面的这六个图，我们看一下 下面几组直线，分别表示上图中相关道路的位置关系。根据每组中两条直线的位置关系，你能将它们分类吗？好，仔细观察一下这 六幅图，你可以发现什么？有的道路是相交的，有的道路没有相交好，相交的有哪些道路呢？ 好，比如我们的一肯定是相交的，对不对？好，它们交在这个点是吧？好，二呢？二没有相交好，所以不相交哈， 二是没有相交的。三呢？三是相交的是吧？相交在这个点好，四，四肯定是没有相交的，对不对？好，五呢？五，到底相交没有现象？ 好，如果我们把这两条线给它怎么样？延长，注意，我们延长要用虚线哈。 好，你看这两条线相交没有呢？很明显它们是不是交在这个点， 对不对？好，所以我们说五它是相交的这条路好，再来看六呢？六很明显是不是相交的在这个点，对吧？ 好，那么所以，好，我们现在就把这六组路线给它们分类了，按照什么它们是否相交，对不对？好， 那我们来看一下，像图二和图四啊，这样不相交的两条直线呢？我们把它叫做什么？互相平行的两条直线，也就图二，你看 和图四好，把它们叫做什么？互相 平行的两条直线好，也就是平面上的两条直线，它们的位置关系什么样的，你要么相交，要么不相交，我们把不相交的这种情况叫做什么？互相平行好，那么平行是一种直线的位置关系好。我们说， 对于啊，不相交的两条互相平行的这个直线呢，我们说其中的一条直线是另一条直线的平行线啊，比如说下面的这这组平行线啊，这这组平行线啊，我们说 a 和 b 直线， a 和直线 b 是 互相平行的，那么 记住什么？ a 平行于 b 好， 这个平行符号你要会写啊，它其实就是两两个短短的平行线，看到没有？两条短短的平行线，我们记住 a 平行于 b 啊，读作什么？ a 平行于 b。 好， 凡是你看到这个符号 啊，我就知道 a 和 b 是 互相平行的， a 是 b 的 平行线， b 也是 a 的 平行线。好，你要知道这一点好， 那什么叫做平行线？知道了，不就是不相交的两条直线，我们就把它称作为平行好，所以这是平行的定义 好，不相交的两条直线，什么互相平行好，那么再来看剩下的四直线里面，它们都是什么相交的好，我们的什么一、三、 五还有六，是吧？好，对，这些相交的线里面，我们观察下，你发现他们有什么的特点呢？ 他们都只有一个点，首先是吧，然后你会发现他们相交以后形成了几个角啊，是不是四个角？我们可以换一换，是不是四个角，好，比如这里是角一角二，角三角四，对吧？这有一个角是吧？ 这是角一啊，角二角三角四。如果你用这个三角尺的这个直角三角尺里面的那个直角去比一比，你会发现它们这四个角都是直角， 这四个角都是直角，好，这里也是角一角二角三角四，好，第六组也是角一角二角三角四，好。如果你用 啊三角板的这个直角去比，你也会发现这些角它们都是直角， 那么我们说图三和图六中的直线，它们都分别相交成四个直角， 好，那对于这样子的一个情况，也就是两条直线它们所相交形成的四个角都是直角的情况，我们就称这两条直线是互相垂直的。 好，所以我们说两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直啊，这个就是垂直 啊，两条直线的位置关系里面啊，它们垂直的定义啊， 好，那么其中的一条直线呢？我们就把它称作另一条直线的垂线，那么这两条直线的焦点在这儿啊，就叫做垂垂足哈， 好，既然你要表示这两条直线是互相垂直的，那么你这个地方要标一个什么直角符号，直角符号，那，而且这里是有个垂足的垂足的哈， 那么向右图这样子哈，直线 a 与直线 b 互相垂直，那么我们就记作 a 垂直于 b， 那 读作 a 垂直于 b， 这个垂直符号要会写啊， a 垂直于 b， 这个是什么叫垂直符号 好，要区分一下。这个是直角符号啊，一个是直角符号， 一个是垂直符号，要会区分好，要知道什么叫做垂足好，也就是两条相交，垂直相交的这个直线，它们的交点啊叫做垂足好，那么接下来我们看一下，想想做做好。 好，这个地方我们总结一下哈，我们知道两条直线，它在一条，在一个平面上哈，它有两种位置关系对不对？要么相交，要么不相交，不相交的这种情况呢？我们把它叫做平行对不对？好， 那么相交的这种情况呢？它有一个特殊的情况，就叫垂直，所以我们先来补充一下啊，对于相交的这种情况呢，它有一种特殊的情况是叫垂直 啊，所以在平面上两条直线的比较特殊的啊，这个位置关系，你要么说它们互相平行，要么说它们垂直，或者还有一种是啊，相交的，但是它不垂直，对不对啊？那我们只研究特殊的啊。
478小拾数学
02:40查看AI文稿AI文稿什么是平行线？平行线不有两线平行吗？平行线就是两条线不相交。哦，是。那如何判断什么是平行线呢？那我们就说哈，如果你看两条直线非常接近平行， 你是看不出来他是不是平行的，你不能把他无限延伸，看他到底会不会橡胶，对吧？那么我们怎么确定呢？我们需要再辅助另一条线，呃，我们需要把他和这一条线呢，必须和这两条线，第一条线和第二条线都相交，这就是第三条线。 然后呢我们有了这个这一条线之后呢，我们就会出现这八个角，你看一二三四五六七八，一二三四五六七八这八个角， 这八个角。那首先呢，我们先判断一个什么是同位角，同位角呢？就比如说这是同位角，这个四号角和八号角是同位角， 一号角和五号角是同位角，三号角和七号角是同位角。那这些同位角呢？如果我们把它量一量这个角，量一量这些同位角，如果这个同位角呢，它是相等的，那就说明这两条直线是平行的，如果不相等，这两条直线就是不平行的。 还有一个呢就是内错角，内错角呢，就是在这第一条直线和第二条直线之间的角，然后是这个两旁的这些就是内错角。 然后我们量一量内错角，如果相等的话，那也能证明这两条直线是平行的。还有呢就是同旁内角，同旁内角，内角吗？他也是在这两条直线之间的， 嗯，他们是同一边的，比如说这个四号角和六号角，他就是同旁内角，三号角和五号角，五号角就是同旁内角。 然后呢他们他们就不是，呃，他们俩的话就不是，嗯，相等，是这两条线平行了，他们两个呢？是互补，就相加起来是一百八十度，才能证明这两条线是平行的。 我们随便再画一条第三个线，随便这样画画线都行，只要就是这两条线，你在上面随便画第三条线，怎么画都行，你怎么画都行，怎么画他都只有有四个角，他都会有四个角的。
15冰说太极拳
23:26查看AI文稿AI文稿上一节课我们讲了线的投影，今天我们来讲平面的表示方法，就平面的投影，对于直线的投影而言，你只需要分别在不同的投影面里面画一条直线就可以了啊。然后他书上是给了五种表示平面的方法，我在这里我可以很负责任的讲，只有最后这两种是我们会用到的， 前面这三种就不用看了，因为前面这三种它的问题就在于它的表现性不是特别好，我们一般考试里还有试卷上成的都是最后两种。第四种就是平行的两条直线，平行的两条直线，再加上题目里给的条件，就能知道它是平面，这个才是我们最常用最常用的平面的表示方法，以后画图的话都按第五种来画就可以了。 然后是记线表达平面，这个我们考试用的一个特殊位置的投影面来讲，我们这里就过一下， 我们回忆一下什么叫际线呢？际线无非就是一个面，他跟正面、侧面还有水平面这三个面所相交的那个投影。对于际点来说，际点呢？际点就是空间上那条直线，他跟不同面的这个焦点，焦点就是际点，这里的际其实本质上就是相交的意思， 跟 w 面就是侧面，际线跟 h 面就是水平际线。对于际线表示平面的方法很负责任的讲，一般我们也不会用际线去表示平面，用际线来表示平面，这是一种情况，仔细看只有当这个平面他是一个特殊面的时候，也就是说垂直于一个投影面的平面， 他是垂直或平行于正面、侧面或者水平面的时候，这个时候我们才会用际线表达，因为际线他只有在这种时候，他是便于表达出他的这个特征的。 我们先来看垂直于 h 面的平面叫做铅垂面，垂直于 v 面叫做正垂面。我们先来看四杠八，这个就是这个面就是铅垂面，铅垂面本质上就是跟 h 面垂直嘛，是不是？然后 表示这里就有说法了，因为铅垂面的话，它的最大的特征是啥？它跟 h 面垂直，然后你会发现如果铅垂面按照我们刚才那种正常的特征是啥？它跟 h 面垂直，然后你会发现如果铅垂面按照我们刚才那种正常的画三角形垂直，然后你会发现如果铅垂面就大概跟这个矩形差不多， 这样就不太好表示啊。所以说我们就直接用这个，我们就直接用这个线，我们就直接把际线往这一划，见于他这个铅垂面本来的性质，因为铅垂面他是垂直于 h 面的，所以说他在 h 面里面的这个投影本身就能够反映他的倾斜斜度之类的属性。 所以在表达铅垂面的时候，我们只需要在他垂直的那个面里面，然后画一条际线，这就是际线最常用的用法。然后接下来我们来看铅垂面的性质， 铅垂面的水平投影它可以积聚成一个倾斜的直线，为啥呢？因为铅垂面它本身就跟 h 面垂直，我们说过，呃，一条线垂直于一个面，那它在它垂直的这个面里面，它的投影就是一个点，如果一个面它垂直于另一个面，那它在它垂直这个面投影就是一条线。 第二个千层面的水平投影跟他的水平线相重合。第三个，千层面的水平投影跟 o x 轴的夹角反映他对 v 面的角度跟水平投影夹角反映他对 w 面的角度。伽玛跟贝塔仔细看一下，把这个补全，然后这个 就我现在标记的这个面就是千层面，然后千层面他的这个水平投影，他跟这个这个轴，也就是 o y 轴的这个夹角，就可以反映它跟 w 面的夹角。第三点，性质怎么理解呢？我们直接从这个直观图入手， 这个面是个铅垂面，然后我们就可以注意到，对于 bc 这条线段来说，它跟这条线的夹角，它本身就可以反映出这个铅垂面跟 w 面的夹角。对于 bc 这条线来说，它跟 ox 轴的夹角，本质上也能反映出它跟 v 面的夹角大小， 从公式上简单理解一下就可以了。然后后面正垂面跟侧垂面都是一样的，以此类推啊。接下来我们来讲平行面，平行面跟垂面其实差不多， 平行于投影面叫投影面，平行于 h 面， v 面是正平面， w 面是侧平面。正平面的水平投影和侧面投影各积聚成一条直线，具有积聚性，且分别平行于 o x 轴跟 o z 轴。我们这里要强调一个是，那就是正平面，它 不仅是正平面，它也是侧垂面跟铅垂面，就这个面，正平面，你看它是不是跟 h 面垂直，它是不是也跟 w 面垂直？是不是就像一个铅垂线，它同时也是正平线跟侧平线。 很多时候平行跟垂直，他们两个条件其实都是相互，包括相互转化的。第二点，正平面的水平投影和侧面投影和他的界线相中和，这个也是没用的，我们一般不会用界线去表达一个平面。第三个，正平面的正面投影可以反义实形。 哎，那我这里就要强调一点了，不是正平面，不是所有的正平面他都是像这样的，像我们图里这个正平面，他就是无限向外延伸的，但不是所有的正平面都是这样，他有的正平面就是这样的，他是一个小三角形，然后这个小三角形他在微面里表示的这个图像呢，就是这个小三角形本来的形状，这个倒是很重要， 这是我们这三条性质里面最重要的一点。然后这个第一点性质主要是怎么用的呢？有的时候他会让你判断，就是说他会把这个条件隐藏在题目里面，然后他会告诉你，哎，他在水平面的投影是一条直线，他在侧面的这个里面投影也是一条直线， 然后你要通过这种直线引含的条件来判断出它是个正平面，然后进而才能把这个题目写出来，这个相当于一个引含条件，这个是第一个性质的用法。第三个性质的用法呢，就在后面截一些时长啊，还是截些乱七八糟东西，他会用到。 然后我们现在来讲，平面里的点和直线的关系很重要的一个知识点，取属于定平面的直线，一定要取已知的直线，这怎么会理解呢？ 那我们就要记住，在这里你只要记住一个链条就可以，那就是点到线线再到面。然后呢，我们的点 他是不能一步升天，直接升到面的。为啥？因为人的视角投影法他的局限就在这里，他的点跟面他是没有直接关系的，必须要是线组成了面，然后点构成了线点，他是不能直接把一个面表示出来的，这是投影法这个性质本身决定的， 所以说他需要中间这个线做一个媒界，才能把这个里面的点表示歪了。我们来看例题，已知相交两直线， ab 跟 bc 给定了一个平面，然后逝去属于该平面的任意两点，任意两点， 哎，他现在让你把这个平面里的点给它表示出来，那我们一定要记住这个关系图，点跟线相互转化，然后线跟面相互转化，而点跟面他不能相互转化，不能，不能直接转化。我们现在看题目， ab 跟 bc 给的那个平面， 那就是说这个平面他是这样的，然后现在呢，我们要怎么样才能把这个平面里的两个点给它弄出来呢？我们就直接在这个 a， b 还有 bc 上各取一点，然后把这个直线根据他的这个点的投影性质把这几个点弄出来了。哎，那你这个时候就有人说，哎，你这不偷裤子放屁吗？是不是？你看 那本来就有个线，那你刚才讲那么大一圈，那我直接在这个能构成平面上的几条线上标个点，然后根据那个点的投影上下垂直蹲一下就可以了吗？ 你想啊，如果呢？他现在有一个点是在这里，如果他有个点是在这边，他不在任何一条线上，那我们要怎么样才能把这条线做出来呢？ 要记住啊，我们点一定是要跟线才能联系在一起的，所以说你第一步干的应该是你要在这三个点， abc 三个点里面随机找一个点，然后跟这个点构成直线， 然后他跟另外一条直线构成的焦点呢，让这个点不能虚空，不能虚空定在某个地方，你要让，你要让一条线把它连起来，让它有个依靠，然后呢你把它往下延伸，哎，然后就会发现一个事情，这个点他是一个确定的点， 那我就可以把这个点的水平投影给它做出来。然后呢我们只要把 b 点的水平投影跟这个点的水平投影一连， 然后会发现什么，就会发现这个点就是我们刚才那个虚空的点，他的水平投影我们就知道了，就是我现在标标圈的这个地方，一定要记住一个原则， 点跟一个面是不能直接联系在一起的，点要跟线联系在一起，然后线才能帮助点让他和面联系在一起，在以后的做题中一定不要犯这样的错误。 然后我们现在来看平面内部的直线，哎，那我们刚才说点根面不能直接联系，但其实呢，但我们的线根面是不是就可以直接联系了？我们来看这个定义取属于定平面的直线要经过属于该平面的已知两点，或经过属于该平面的一个已知点， 且平行于已知直线就有两种，一个就是说你已经知道这个平面上两个点了，然后你直接把这两个点一连，所以说这条线就平行上的直线特别合理。第二个就是说你知道一个点，然后另一条直线是平行这个平面的，你把这两条直线做个平行线，然后这个点也出来了，然后我们来看这边的例题， 记住啊，表示面一定要把这个三角形连起来，我们一般做题都是要把这个三角形连起来的，他说相交直线 ab 跟 bc 给定了一个平面，然后让你随便取这个平面上两条直线，那就随便在这平面上定两点不就行了吗？这一点，这一点，然后把这两点连起来，这一点，这一点 一连就好了。然后我们来看第二个或者经过该平面的一个已知点和平行于属于该平面的一条已知直线。那你仔细看，我们这里面的 c f 不 就是第二种例子吗？他这里的已知点对应的是啥呢？对应的就是这个 c 点，然后已知直线呢？就是 cf， 他说要平行于属于该平面的一条直已知直线。其实啊，你所有这个表示出来的面，他都在刚开号的时候，他已经告诉你一条、两条、三条，这三条直线 既构成了这个平面本身，他同时也是平面里面的一条已知直线。所以呢，你就经过这个定点，然后根据这个三条直线的任意一条做平行线，就可以做出他的这个平面的直线了。 平行线有个要求，我们在上节课里面讲过了，那它的正面投影跟水平投影都必须要跟这一条线平行，然后我们仔细观察一下，你看是不是？ 然后我们仔细观察一下，你就会发现 ab 这条直线跟 c f 这条直线，它们啊，是不是平行的呢？哎，你发现是啊，它们真是平行的，所以这就是取平面的直线的一个流程。 然后我们来看取属于特殊位置平面的点和直线。现在看第一个，这个面刚才我已经讲过了，他是一个用 g 线来表达的一个正垂面， 正垂面上的点，那就很简单了，你就直接在这个线上一标就可以了，因为正垂面这个线本身就可以反映这个正垂面的全部特征，他已经没有什么别的特征，再让你作妖了。然后这个时候就有人问了，哎，既然我现在知道了这个点，他的正面投影在这里， 那他水平投影在哪啊？哎，你认真看看嘛。他说对于个正垂面来说，正垂面啊，在投影连线上任取水平投影，说白了啥意思呢？ 你只要在这一条红线上，你随便，你随便抓一个点都算对，就这意思，写这个书的人，他自己也不知道这个在正垂面上的点，他的这个水平投影在哪。通过这个东西， 只通过这个图，他是没有办法判断出他的水平投影在哪了，你在下面，你，你随便抓一个就可以了。 b 点是同理， 然后如四杠二十所示，已知正平面 q 由 q w 给定，取属于该平面的直线。这道题跟刚才其实是一样的，这两道题都一样， 它就是说在你这个特殊平面上，你这个记线上啊，你随便抓一个点，然后呢？抓一个点，你再根据这个点的这个特征，你往左无限的平移，你往左无限的平移， 然后不停的抓，就是抓，揪吧，就是你随便蒙，你在哪蒙都可以。像这个题目里面，他 c d 是 向左斜的，那其实你也可以这样写，没人管你怎么写， 你随便写就可以了，只需要保证一件事呢，就说这两个投影，他永远都是在这两条线上，这个可以算是本节课里面最重要的一个。点，过一般位置直线，总可以做投影面的垂直面。这里就有个问题， 一般位置的直线，一般位置直线就是既不跟谁垂直，也不跟谁平行，他啥啥啥啥都没有，没车、没房、没存款， 他什么特征都没有。然后你现在让他去做这个投影面的垂直面，为什么我会说这个很重要呢？因为我们后面会学到一个东西叫做画面法， 画面法他就是根据这个东西，画面法的原理就是这个过一般位置直线，你总可以做一个透明面垂直面，然后你就通过不停的做垂直面，然后把一个复杂的一个平面，然后把它变成一个规范的平面， 这个非常重要，我们这里把定义复述一遍，想要过一个一般位置直线 e f 来做一个铅垂面，总是可能的。证明如下，过属于已知直线的任意点，如 e 点做一个铅垂线 e m， 然后这个 e m 它就是垂直于 h 面的。 根据我们高中数学的知识呢，我们就知道只要过这个 em， 这条直线的所有平面，它都是垂直于这个 h 面的，也就是说它都是铅垂面。过这个 em 的 所有平面，那它都是垂直于 h 面的。那你现在过 ef 跟 em 做个面，这个面本身也是 emm 的 面之一，所以说它就是一个铅垂面， 因此过这一条线他一定就可以做出千垂面。而且我们这里再拓展一下，难道说他真的就只可以做千垂面吗？那按照刚才我们那个说法来说，你看这个 e 点啊，你往这个正面延伸一下，你会发现 e 一 撇跟大 e 点这两条线，他是垂直于 v 面的， 那因此啊，你这个 e f 跟大 e 小 e 一 撇，他们其实也构成了一个正垂面， 那如果这边你再来一个 w 面，其实你也可以构成一个这个侧垂面，哎，思路开拓下来，没有过一条线啊，你可以做出三个垂面，甚至有的时候你还能爆出个 ssi， 就是 可以做出一个平行面，这个就是我们后面换面法的本质。现在用 e m 跟 e f 来表示这个平面， 哎，这里我们出现了既线的第二个用法，既线在这个时候也可以这么用，你直接啊，在这个 e f 上面，左边升个这个 小粗粗的东西，然后右边是个小粗东西，他就可以帮助你去表示这个垂面了。刚才我们都已经讲过了，过，一般位置直线，你可以做牵垂线，正垂线，还有侧垂线。那现在告诉你，让你过一个特殊位置的直线做一个平面，那还不如简简单单小菜碟吗？ a piece of cake right。 例如试过铅垂线 mm 做一个平面，那我们现在审题吧，你会发现铅垂面，它在正面投影是一条垂直于 o x 轴的线，它的水平投影既然是个点， 哎，那这个时候你就应该条件反射了，这一条什么线啊？这是一条铅垂线，是吧？铅垂线，记住啊，这是一条铅垂线，所以说呢，过铅垂线 mm 可以 做一个正平面 p 一个侧平面 q 还可以做无穷多个铅垂面，没有办法理解的，那你现在你就把你手中的笔，然后往这个桌上一立，你想象一下，你看过这个 过这个笔的这条直线啊，它是不是可以做一个正平面，一个侧平面，还有无数多个铅垂面，是不是？然后呢？用正平线，正平线 e f 正平线的特征是啥？正平线跟正面平行，所以说他这个水平投影他是一条平行 o x 轴的线，然后他的正面可以反映出他的时长。经过空间分析所知过一条正平线可做一个正平面，一个正垂面 还可做无穷多个一般位置的平面，但不能做铅垂面，还有侧垂面，他的投影图如这个四杠二十四所示，这里其实他这表述有点问题，他这里是可以做铅垂面跟侧垂面的，但是呢，这个铅垂面跟侧垂面同时 他也是一个正平面，那我们不信的话，我们再来看这是正平面，然后你会发现 正平面他其实是啥呀？一个正平面他同时啊也是一个铅垂面跟一个侧垂面，是不是你会发现这个面他跟 h 面他是垂直的，他跟 w 面也是垂直的。所以说刚才那那里的表述其实是有一点问题的。 来看他的投影做正平面的话，那很简单，你就直接在他的水平投影里面，然后做一条平行 o x 轴直线就可以了。正垂线呢，你就在他正面投影里面延长一下，两边伸出个这个咯吱窝，把咯吱窝伸出来。 然后这边记得在你们用既线来表达一个平面的时候，旁边一定要加上这个 q v， 他 这个有三种， q v、 q h 还有 q w， 其实这个是后面画面法的时候才用到的规范。我这一题先讲一下你这个垂面垂直于哪个投影面，那你旁边你就要加上这个投影面的名字，就不用你看在这个里面。 这个正垂面它是啥呀？它垂直于正面投影的正面投影的英文代号是啥？ v， 是 不是？所以说你这个 q 下面要加个 v， 我 们再来看左边，因为它这里是一个铅垂面，它是垂直于这个 h 面的，所以说它这 q 的 右下角要加个 h。 我们来看这个，这个主要讲的啥呢？头一面平行线，具有头一面平行线的头尾性质，然后它也保持同轴关系。说白了，你这一个面里面，你这个线的性质跟你这个面是息息相关的，就是说你这个线的很多东西跟你这个面是一样的。 我们来看图四杠二十五，属于平面 p 的 水平线。水平线是啥呀？水平线就是平行于 h 面的线，它是平行于水平 g 线的， 也就是说这两条线是平行的。我现在画圆圈的这条线，它是一个水平线，它平行于 h 面，然后这条线它平行于这个 p 面，它的水平际线， 然后它的正平行呢，自然而然也就平行于它的正面积线。 p v， 就是 说这条线平行于这条线， 这个东西用的其实不多，由于属于一般位置。头尾面平行线平行于相应际线，就是说这个头尾面里面的平行线啊，他跟你这个际线是平行的，然后就要用什么头尾面平行线方法，然后做出他的最大斜度线， 这里我们出现了一个名词，最大斜度线啊，可能听到你有点害怕，但我可以很负责任的告诉你，这个东西他基本不会考，如果考的话那又太难了， 说白了就是让你求一个平面跟投影面这的倾斜角度，说难也不难。上高中那个时候我们谁没求过什么？这个面跟这个面的夹角是多少口算有多少，对吧？用限量解是吧？然后平面法线的作图也要依靠该平面投影面平行线的方向。 下一步的时候我们直接来看例题，例四杠四试过 a 点做属于该平面的水平线，过 c 点做属于该平面的正平线。看他这里面告诉我们图 abc， abc 这是一个面，他现在让你过 a 点来做一个该平面的水平线。那我们看到这个题目我们第一点要做的是啥呢？ 先审题，我们来看这个题目里面有没有什么特殊的东西，哎，第一个知识点水平线， 第二个正平行，这两个知识点我们都知道了，就是说我们审题把这两个点给审出来了。之后呢， 我们就要来看图了，这个图里有没有什么特殊东西自己看，现在我们就看 abc 这个三角形，我们不要看别的东西，你会发现 abc 三角形构成三角形，这三条边里面没有一条是特殊直线，是不是没有一条是特殊直线？所以说这就是个一般位置平面，一般位置平面那他就没有任何特征， 我们很重要，很重要的一点就是说你要把这个题目里面他告诉你，哎，这个直线他是一个特位置直线，那个面他是个特殊位置面，我们要把这个知识点给他提取出来，有的时候他题目里就是缺这么一个隐藏条件，你只有把这个条件给他弄出来之后，你才能 get 到这个题目中的答案。我们先来看水平线它有什么特征， 水平线它无非就两个特征嘛，水平线，水平线跟水平线，那也就是说它是平行于 h 面的， h 面有什么特征？就是说它在 h 面里面的这个投影啊，它能反应原长，然后呢，它在 v 面的跟 w 面的投影是平行于投影轴的， 也就是说它是一条在 v 面跟 w 面的投影，它就是平平的一条，一条平平的一条线，它现在让你过 a 点啊，做这个线的水平线， 那很简单吗？你给我 a 点，然后你直接做一条这个水平线，跟这个点相交，那这个时候就有问了，哎，你为啥跟这个面相交啊？不是，你为啥跟这个 bc 这条线相交啊？忘了吗？我说过点他是依靠线来表达的， 如果你没有线作为媒界的话，那这个点根本就画不出来，所以说你现在光有一条线，就是说 a b a 一 撇， b 一 撇，这条线不够你把这个点表示出来，所以说你还需要 b 一 撇， c 一 撇，两条线在一起，才能更好的把这个点表示出来。 然后呢，把这个往下做一条垂线，这个就是我们这条水平线，然后同理呢， 我们说正平线，正平线是啥意思啊？正平线你在 v 面，你的投影可以反应的圆长，然后你的这个正平线，你的正平线的这个水平投影，它是平行于这个 o s 轴的。所以说啊，你过 c 点，直接做一条水平线，然后交这个 ab， 然后你会发现 ab 啊， 一个地点在 a b 上，然后你刚好就可以把这个地点呢的这个正面投影给它搞出来，然后你现在又知道 c 点的正面投影跟 d 正面投影，然后把这个两个一连，其实你就知道了 c、 d 这条线的正面投影啊，然后最后我们来看一个东西啊，叫最大斜度线 啊，其实这个东西讲了也不会考，所以大家想听就听，不想听你现在就可以把这个视频关掉了。最大斜度线是啥呢？它是属于并垂直于该平面投影平面平行线的直线。 平面上垂直于水平线的直线称为对水平头一面的最大斜度线，垂直于正平线的直线称为对于正立面的最大斜度线。对侧平面，对于侧里头一面最大斜度线。是不是一听头就发毛？太复杂了，是不是？如图四根二十七所示，你看这个 c、 d 啊，它是一条水平线， 然后你就在这个面里面呢过 c、 d， 然后做一条垂线，然后你还要保证这条垂线在这个面里面，那这条线就 a、 e， 那 这个其实就是它的这个水平头里面的最大斜度线。最大斜度线怎么画呢？说白了你就在投影上 先找出这个正平线，然后你会发现这一条水平线，然后你把这个水平线啊，这个不规则。这个投影里面就是说你把这个能反映水平线时长的这个投影里面，然后过 a 点做一条垂线，那这条线就是他的最大斜度线。最大斜度线是啥呀？就是说对投影面的角度最大， 然后我们来看他在三维立体图里面具体的含义。过一个 a 点，然后做最大斜度线 y 属于的任意 a s， 让你会发现，哎，这个 a s 跟这个 h 面的这个投影这个角好像有点小，那，那既然这个角比较小， 我们就要找出一个最大的角度，因为这样才能反，更好的反映出这个平面的特征。然后又根据什么这样投影定律啊？然后我们最后就得出了最大斜度线，他的这个角度是最大的，几何意义呢？就是说他能够测平面对同面的角度 二面角的大小。二面角是不是很熟悉，是用平面角来测定的，所以说我们就要找到这个平面，这个平面怎么找呢？我们又要通过水平线跟正平面来找，只要把这个水平线正面找到了，平面就找，平面找到，那我们就自然可以测出这个二面角了，这个就是它具体的含义，我们这就不细讲了。
14矢量工图
00:49查看AI文稿AI文稿或点 c 任意画一条直线，与 a、 b 相交， 以焦点为圆心，任意长为半径画弧。以点 c 为圆心，同样长为半径画弧。 与直线 a、 c 交于点 d。 用圆规确定 e、 f 的 长度画弧标记， 以点 d 为圆心，同样长为半径画弧。 两弧交点为 g， 连接 c， g、 c、 g 平行于 a、 b。
8酒思思
03:21查看AI文稿AI文稿b 五单元长方形与正方形第一课时平行于相交，我们先来整理一下它们之间的知识点，在同一平面内，两条直线的位置关系要么是相交，要么是不相交，而不相交就称之为这两条直线互相平行。 相交呢，又分两种，当相交的时候形成的是直角，这时候就说这两条直线互相垂直，那么形成的直角就是四个直角，而这个焦点我们称之为垂足。 可以看图有一二三四四个直角，那么其他的情况，它形成的是两个锐角和两个钝角，那么如图，角一和角二是两个锐角，角三和角四是两个钝角。 那么这些两条直线的未知关系。一定要注意的是，我们在谈论它的时候，都是在同一平面内， 脱离了这个同一平面内，这个前提就不是这样的概念了。所以我们一定要记住，在同一平面内，两条直线的位置关系是相交或者是平行。好，我们来结合一些判断题来充分理解这些概念，大家可以先按下暂停键自己试一试。 欢迎回来，我们来看看第一题。小马胡在纸上画了一条平行线和一条垂线，一条线他是不存在平行或者是垂直这两种状态的，所以正确的描述方法，这个一条我们可以说成 一组。小马胡在纸上画了一组平行线和一组垂线，这样是可以的，所以第一题是错的。第二题，把一张长方形纸对折再对折，折痕的关系一定是互相垂直，这道题也是错的。 为什么这么说呢？当长方形的折痕成第一种状态的时候，那么这两条折痕确实是互相垂直的，但是长方形的折痕成第二种状态的时候，它就不是互相垂直，而是互相平行了，所以这道题是错误的。 我们再来看第三题，在同一平面内，两条直线要么互相垂直，要么互相平行。在同一平面内，两条直线的关系要么是不相交， 也就是说明这两条直线是互相平行的，要么就是相交。但是相交又分两种，如果相交成直角的时候，那么这两条直线互相垂直， 那么还有不垂直的时候，对吧？所以这两条直线的关系要么垂直，要么平行，这种说法是不正确的，所以这道题是错的。 第四题，在同一平面内，过直线外一点，能画无数条直线与这条直线平行，大家可以试着去画一画，那么我们首先是有一条直线，然后有直线外一点，那么过直线外一点， 画直线，与这条直线平行的话，只能画出一条，所以他说出有无数条直线与这条直线平行这句话是不可能的，所以他是错的。 第五题，同一平面内不相交的两条线叫做平行线。很多同学觉得这道题是对的，但是实际上这道题是错的，为什么呢？就少了一个字，他不是两条线，他有特定的称呼，得是两条 直线。正确的概念是，同一平面内不相交的两条直线可以叫做平行线，你做对了吗？
05:33查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天要讲的题目是平行相交。三线八角在同一平面内，两直线相交，形成四个角，出现两对对顶角并且相等， 角一和角三互补相加等于一百八十度。另外还有三对角互补， 两直线相交并且垂直。一条射线把直角分成两个角，那么这两个角互余相加，等于九十度。在同一平面内，两直线平行，被第三条直线所截，形成八个角， 这就是三线八角。角一和角五都在结线同侧平行线上方或下方，这两个角叫做同位角。一共有四对同位角， 角三和角五都在结线两侧平行线内部，这两个角叫做内错角。一共有两对内错角， 角四和角五都在结线同侧平行线内部，这两个角叫做同旁内角。一共有两对同旁内角。 接下来看例题。例一，如图和角一是同位角的式，同位角先找到结线和两条非平行线在结线同侧非平行线上方。角二， 第二个问题，内错角先找到结线和两条非平行线在结线两侧，非平行线内部。角四、 例二，如图 ab 平行 cd 平行 e、 f。 若角 abc 等于一百三十度， 角 b、 c、 e 等于五十五度，求角 c、 e、 f。 先标出两个角和所求角，新建一个角一。题目中两直线平行，内错角相等，得出角 e 等于六十五度。 同样两直线平行，同旁内角互补，求出角 c、 e、 f 等于一百零五度。 第二种方法，新建一条辅助线和角二。题目中两直线平行，同旁内角互补，得出角二等于六十度。同样两直线平行，内错角相等，求出角 c、 e、 f 也是一百零五度。 例三，如图已知角 b a、 g 加角 a、 g、 d 等于一百八十度 e， a 平分角 b， a、 g， f、 g 平分角 a、 g、 c。 求证 a、 e 平行 g、 f 题目中两个角相加等于一百八十度，同旁内角互补，两直线平行， 而两直线平行，内错角相等。还有两组角平分线，所以角 b、 a、 g 的 一半等于角 c、 g， a 的 一半内错角相等，两直线平行。 例四，如图直线 a、 b 平行 c、 d， 且被直线 m、 n 所截 m、 n 分 别交 a、 b 和 c、 d 于点 e、 f 点 q 在 pm 上，角 a、 p 等于角 c、 f、 q。 求证角 e、 m、 p 等于角 f q m。 题目中两直线平行，同位角相等。又因为角 a、 e、 p 等于角 c、 f、 q， 所以 角 q、 f、 n 等于角 p、 e、 n 同位角相等，两直线平行，而两直线平行，同位角相等。 例五，如图已知 a、 b 平行 c、 d 连接 bc， 点 e、 f 是 直线 a、 b 上不与 a、 b 重合的两点 g 是 c、 d 上的一点连接 e、 d 交 bc 于点 n 连接 f， g 交 bc 于点 m。 若角 e、 n、 c 加角 c， m、 g 等于一百八十度。第一个问，求证角二等于角三， 题目中两直线平行，内错角相等，又因为这两个角相加等于一百八十度，而对顶角相等，所以角 f、 m、 b。 加角 e、 n、 c 等于一百八十度，同旁内角互补，两直线平行， 得出角二等于角 d。 两直线平行，同位角相等，而角 d 又等于角三。 第二个问，若角 a 等于角一加六十度，角 a、 c、 b 等于五十度。求角 b， 题目中两直线平行，同旁内角互补，角 a、 c、 d 等于角 a、 c、 b。 加角一， 得出角一等于三十五度，而角一又等于角 b。 同学们在做题的时候， 如果找不到解析思路，就从多个角度去思考，总会找到解析方法。这就是今天讲的平行相交三线八角，同学们再接再厉，未来可期！
6七纨骓纡
00:34查看AI文稿AI文稿这道题孩子错是因为概念层级没理清，不是背。要画图。同一平面上两条直线位置关系哪个图对？先记住一句话，两条直线 要么相交，要么平行。没有第三种，选 a 的， 把平行套进香蕉里。错，平行和相交是此对头，不能包含。选 c 的， 把三个并列。错，垂直不是和他们平级，他是 香蕉的孩子，平行在旁边互不干扰。香蕉是妈妈，垂直是闺女，平行是邻居，不进这家门。这句口诀转述给孩子，比讲十遍概念有用，收藏了去试试。
10橙诚爱数学
07:05查看AI文稿AI文稿预备开始二零二六届新高考数学复习第七十八期今天我们正常来说一下面面平行。面面平行怎么证明呢？非常非常简单，要想证明这两个平面互相平行，你只需在这个阿尔法内找两条相交的直线，重点同学们找几条两条，这两条玩意啥关系相交的就搞定了。好吧，写过程的时候就这么写， 找一条直线 l 平行于被它，找一条直线 m 平行于被它。然后呢，这俩玩意交于点 a， 一定要写成像集合的这个样子， l 交 m 等于 a， 所以 alpha 平行于被它。好吧，啊，当然了，你也不一定非得在 alpha 那 找， 你也可以在 beata 内找我。假如说 beata 内有这么两条直线，假如说一个是 l 一， 一个 l 二，我也可以这么写， l 一 平行于阿尔法， l 二平行于这个阿尔法，然后 l 一 交 l 二，我假如说是 b 点吧，等于 b 也能推出来阿尔法平行于 beata， 非常非常简单啊，这个东西啊， 相比于怎么证明面面平行，有一个更重要的事，就是说，如果，如果能证出来面面平行，或者说我把面面平行当已知条件告诉你，我们能得到什么？ 这个东西就叫面面平行的性质啊，意思就把面面平行当已知告诉你，或者说你证出来它有啥用啊？如果阿尔法平行于比特，当做一个已知条件的话， 那么老一老师翻译成大白话，你就是你在阿尔法那随便找条直线都平行于北特，或者你在北特那随便找条直线都平行于阿尔法。好吧，老师再说一遍，如果你把阿尔法平行于北特挣出来了，或者说把这玩意当已知条件给你，你在阿尔法那随便找条线都平行于北特，你在北特那随便找条线也平行于阿尔法。 所以说，同学们，那么根据这种说法，我假如说我随便画一条阿尔法内的直线，我假如说它是 l 三吧，要想证明 l 三平行于 b 塔，那正常，按照老师上次课的说法，是不应该在 b 塔内找条线平行 l 三呢？那有些时候你没那么好找怎么办？我干脆看看你 l 三在哪个面里头 啊？我看，哎， l 三在阿尔法面里头，我就直接证明阿尔法平行于贝特就得了，就得出来阿尔法平行于贝特，你别说 l 三了， l 四 l 五，只要是那个阿尔法内的线都平行于贝特。所以说我们可以拿面面平行来转正线边平行，这是个非常重要的方法，大家要学会。来， 我们先来啊，巩固一下怎么证明面面平行，以及它怎么写过程。来，我们来看一下这个题的第二个啊，求证这个 n b d 一 啊，老师给它描出来就这个面 平行于平面 m a c 下面那个三角形的面。求证，这两三角形的面平行非常非常简单，你要么在 m a c 内找两条橡胶直线平行于 d n d e， 要么你在那个 d n d e 内找 d b， d e 内找两条橡胶直线平行 m a c， 对 不对？哎，就完事了。好，我们之前上次课说了，你平行四边形底边只要跟你连一个对角线了，我们一定一定要给他连另一个对角线， 形成了几个终点，俩终点对不对？假如说这个点是 o， 那 我肯定跟谁连上啊？我绝对要跟 m 连上啊，对吧？在三角形 b， d， d 一 当中，那个 o m 是 不是很明显是 d， d 的 那个中位线啊，对吧？所以说，那这样的话，我们说第二个连结， b d 交 a， c 等于 o， 因为 o 为 b， d 终点， m 为 d， d 一 终点， 所以 o m 平行于 b d 一， 然后 o m 不 含于面 b， n， d 一 b d 一， 所以说 o m 平行于面 b， n， d 就 得了，是不是？哎，好，那我找到这条黑色的面，平行于 b， d， b， n， d 一， 我再在这个 m， a， c 内找一条跟 o， m 相交的直线，平也平行于 d， n， d 一 不就得了吗？是不是？找哪条啊？我肯定找这条啊， m， c 啊， 对不对？大家看 m c 数平行于 d， n， 对 吧？那这样的话，我轻轻松松就可以证明出 m， c 也平行于 b， n， d 一 就得了，是不是？哎，像老师这样，哎， 再把这个大括号写一遍就得了，是不是？哎，咋写呢？这个 m， c 平行于 d， n， m， c 不 含于面 d， n， d， n 含于面 d， n， d， 所以 说，你得到了 m， c 平行于面 d， n， d， 然后重点有一句话一定要写，强调一下它俩的相交直线，怎么说呢，因为 o， m， g， o， m， c 等于 m， 所以两面平行就得了，好吧，哎，好，我们再来看一个题， 这个题啊，我们来看一下。呃，求证 d， e 平行于平面 a， c， e， a， c， c， a， e 就是 侧面那个矩形。 呃，乍一看，好像现成的线好像不太够用啊，比如说这个 a a， e c c a e c e a， c， e 好 像跟这个 d， e， 你 从视觉上看，它都不平行， 所以怎么办？我肯定得自己做辅助线呢，对吧？如果啊，能力比较强的同学，我们直接啊在这个面内找一条线，平行于我这个 d、 e 就 得了，我取哪条线呢？大家看，有终点，有终点，老师上次说过一定会考中位线的，对不对？我取这个终点， 然后连它，然后我连它，这样的话啊，大家看，老师涂红色阴影这个 a、 f、 e， d 是 个什么型？绝对是个平行四边行，为啥？因为 ef 平行且等于 a a e 的 一半， 然后呢 d 又是中点，所以说 e、 f 就 平行且等于 a d 了，所以说这个红色阴影是个平行四边形，所以说 d、 e 平行于面内的那个 a f 这题就正出来了， 好吧，啊，当然了，如果要是没看出这个东西，用我们这次课说的面面平行也是 ok 的， 我们就看你 d、 e 经过哪个平面呢？哪个平面它都不经过，我们自己构造啊，怎么办呢？我们取 b c 的 那个中点，假如说是也是 f， 我这么一连，我这么一连，大家看，如果我要是能证明出老师涂红色阴影那个 d、 e、 f 平行于侧面那个大矩形 a c c a e 是 不是也能正出来啊，对不对？而且这么一看就比刚才方便多了，好办多了。为什么？因为你 d、 f 平行于 a、 c 中位线嘛，对吧？所以我能得到 d、 f 平行于你这个面， 对吧？然后同时 e、 f 是 不是跟那几条棱都平行且相等啊？所以说我也能轻轻松松的得到我 e、 f 也平行于那个 a c c e a 那 个面，这俩玩意是不是相交直线呢？所以面 d、 e、 f 也肯定平行，我那面 a c c a e 嘛，对不对？好，这个都得出来了，你 d、 e、 f 当中任意一条直线， 比如说 d、 e 是 不是也平行于这个面啊？所以说它比这个啊，直接去正线线平行要更方便一些，更好想一些。 所以总结一下啊，如我们怎么去证明面面平行这个事非常简单，你在面内找两条相交直线平行于另一个面就得了啊。 包括遇到一些比较困难的线面平行的时候，比如说我要让你证明 l 三平行于我平面 b 特，那我干脆证明经过 l 三的平面 alpha 也平行于平面 b 特。这样的话，把线面平行转正成面面平行也会比较方便，因为两个面互相平行，你面内的任意一条线都平行于另一个面。
572芒果街上的咖啡厅
00:32查看AI文稿AI文稿物体的阴影怎么画？假如光线是从这个方向照射过来，首先我们沿着这个角画一条垂直线，再画一条平行于河盖的线段，画一条平行的光线过焦点，画一条水平线，与光线相交，沿光线的焦点分别画出河盖的两条平行线。 这样合格的阴影范围呢？就确定了。画出剩余关键部的光线，用同样的方法画出剩余部分的阴影，这就是平行光线平行于画面时的阴影。关注我，带你学各种知识！
265画画的建造师
02:06查看AI文稿AI文稿下面我们来看一下平行垂直里面的高频考题，主要考察小朋友们的有序思考不漏数，一般小朋友的错误就是漏数，他会少数几组。我们来看一下第一种类型的数平行线组数的方法。第一个我们确定好它是数的，是平行的线，它不是让你数线段啊，我们通常会用分类法，就是我们根据平行线的方向，数值水平倾斜来寻找那个不同的组数。 来看一下这张图里面啊，它里面我们来分分类型，给它数值水平倾斜方向的有 bg、 m、 d， 我 们就按照方向去找。我们来看一下第一个里面数值方向的，我们从 ab 开始，我们一定要按照顺序去数啊，不要突然从当中看到 g、 f 等于 e、 m， 我 们数好了，哎，是的， ab 等于 dc 好 了，这样我们很容易错，很容易少，我们就从 ab 按照顺序往后我们分别找到的是 ab 和 g、 f， 然后再从 ab 开始， ab 对 应的是 e、 m， a， b 对 应的是 dc， 那 ab 这边是不是都好了？好了，我们是有三组，然后接下来我们看 g、 f， g， f 对 应的是 e、 m， g， f 对 应的是 dc， 那 这边的话我们就是有六组，对不对？接下来我们看水平方向， 水平方向我们是 a， d 和 b， c 就 一组，我们去标好听写方向是 b， g 和 n、 d 又是一组，那这样合起来一共就是八组，我们把每一个方向的数出来的组数都写好对应的一个数量，这样就不会漏了啊。 第二种的是我们是数垂直线段组数的方法，我们一般是用每局法，然后看到这个线段两个字，一定要给我标上，让我们是数线段。好了，我们回到前面我们学过的知识点，怎么去数线段，是不是我们又开始了， 现在是又考到了，只不过他把很多知识去结合在一起了。我们来看一下我们数线段，我们先给这个图上去标上字母，如果我们有的出现图，他没有字母，他就是空空的一张，我们去给他标上字母，这样数起来会比较方便一点。找到一对应的关系。我们从 abbc 和 ac 开始数，因为我们来看这条线段它是有三条线段的对不对？我们不能只数一个 ac 就 结束了。 ok， 下面我们来数 ab 与 af， 还有是 e、 b 相交且垂直。然后第二个是 bc， bc 的 话与 b， e 和 c、 d 相交且垂直。第三个是 a、 c、 a、 c， 我 们对应的是有 fa， e， b 和 dc， 那 这样加起来我们一共是有七组，那同理，我们看 f、 e， e、 d 和 f d 也有七组相交且垂直的线段，那这样合起来一共就是十四组。 这种类型题目它都不难，主要是我们要有序思考，一步一步去把数得的数去写下来，一个一个写，这样基本上是不会有错的啊。
25瓜子爱学习
