北师大版八年级数学下册第四章基础题
粉丝3802获赞1.4万
相关视频
05:38查看AI文稿AI文稿代数啊，靠公式打天下，所以这公式一定要记清楚。 我们在因式分解当中，我们回想我们前面所学的平方差公式，那么在七年级当中，我们学 a 加 b， 乘以 a 减 b， 等于 a 的 平方减 b 的 平方，这是我们前面整式乘法里面所学的，那么现在我们反过来， a 的 平方减 b 的 平方，咱们就可以写了， a 加 b， 乘以 a 减 b， 好， 把多项式就写成了整式的积的形式啊，这就是我们所要说的这个因式分解，所以我们今天套用这个方法， 也就是说我们已知的 b 就是 两个数的平方，中间是减号，就是两个数的平方差。 好，第一题，下列过程中不能用平方差公式来拟式分解了，你看，这是 y 的 平方，这是七 x 整个的平方，呃，这个就不是了，这是怎么说呢？这个就是平方和的相反数，很显然这个不是，对吧？ 那么这个呢，可以理解是二分之一括号 p 加 q 整个的平方，这里是减三的平方，这里理解是 n 的 平方减去 m 平方的平方，对不对？那么这个都可以理解是两个设的平方差 好，我们必须要认识它。好，我们的第二个任意两个基数的平方差，总能， 呃，总能怎么去揍呢？我们这里来给他证明一下。我们说两个基数，一个基数加二， m 加一， 另一个基数呢，叫做 r n 加一，那么我们也不知道是连续还是不连续了啊，一个基数的平方减另一个基数的平方 好，他们的平方差，现在我们来算一算啊，那我们说一个式的平方减另一个式的平方，等于两个数的和乘以两个数的差，两个数的和，就是 r m 加一，加上 r n 加一 好，乘以 r m 加一，减去 r n 加一，那么去括号啊，由于时间我的步骤省略了，减一啊，是减去括号 r n 加一的意思，所以我们看到这里就是 r m 加 r n 加二，等于 r m 加 r n 加二， 好，后面呢，这是 r m 减 r n， 一 减一等于零， r m 减 r n。 呃，在对英式分解的时候啊，咱们有一个要求，咱们要看清楚啊，就说要分到不能再分为质，分到不能英式分解要分到不能再分为质啊， 就说只要哪一步有可以分解的，我们还要继续往下分啊。所以这个你要看好，这里又有一共音是二了，这里有个共音是二，所以这里二，这二拿出来就是等于四，好， m 加 n 加一，然后这是 m 减 n， 好，现在我们看到如果 m n 同是奇数，那么比如说这个三加一等于四，三加一等于四，这加一等于五， 三加一等于四，那它是个偶数，偶数加一就变成奇数。三减一等于二，所以那么这个是奇数的话，这个就是偶数。当 m n 同是偶数的时候， 那么偶数减偶数都是偶数，偶数加偶数都是偶数，偶数加一奇数，奇数偶数。当 m n 一 积一偶的时候， 你看这个一积一偶，这加起来就等于奇数。比如一加二等于三，三减一等于四偶数，那么这个一积一偶呢？这两个相减就是奇数，也就是说不管它们同积同偶或者一积偶， m 加一加一或 m 减呢， 肯定一个是基数，一个是偶数，那就说这里有一个四，就是这两个音节当中必定还有一个叫做二啊，偶数呢，肯定就是二的倍数，能把二整除，这是四，所以最后呢，我们说就应该选择 d 啊，所以最后这这两个当中有一个是二，所以他一定能够被这个八整除啊，这个第二题啊，我们就会被这个八整除啊，这个第二题啊，我只是嘴巴上细数了一下， 我们看到第三题，好，我们提的公式是四，然后 m 的 平方减 n 的 平方，那就是 m 加 n 乘以 m 减 n， 有 公式可提的，咱们还得需要提公式。第四个， 嗯，我们先把 a 的 平方减 b 的 上，咱们可以写着 a 加 b 乘以 a 减 b 好， 加二， b 好， 这个 a 加 b 呢，等于一，一一，我就不写了，那现在就是 a 减 b 加二， b 好， 又等于 a 加 b， 最后就等于一了，最后就等于一。 好，我们看到第五题， x 的 根号五加根号三， y 的 根号五减根号三，这 x 的 平方减 y 的 平方，那就等于 x 加 y 乘以 x 减 y， 哎，注意哈，我们最好，我们看怎么减呢，咱们怎么做，对吧？就根号五加根号三， x 加根号五减根号三，好， y 呢？呃，那个根号五加根号三， 减根号五，减去负根号三，是加根号三，注意啊，这个减 y 啊，减去整个的啊，减去，所以这里要注意编号，所以根号五乘根号五，就是啊，根号五加根号二，根号五，因为这里正负底消了。呃，这里就是二，根号三， 那么这样呢，二得四四，根号一十五等于四，根号一十五。记得点赞关注哦。
06:01查看AI文稿AI文稿第四张的数学满分并不难，我们看到八年级的数学下册小册六十五页纸上的，我们看到多项式因式分解，那我们来找它的公式，有 m， 然后这里有 a 减三，好，我们把这个公式提出来之后，对吧？共同的，那么这个三节我们有利于 a 减三，提个符号，这里还留下个 m， 那 么刚才 m a 减三，这里我们要变个号， 所以很多同学啊，这个其实并不难的，他也拿不到好分数啊，我们要做好每一个细节。 第二个， a、 b、 c 是 三边则，呃，我们可以用不同的方法，比如说我们说 b 减 c 小 于 a， 两边之差小于 d 三边，所以 a 比 b 减 c 要大，那就是 a 的 平方减 b 减 c 的 平方，那肯定是大于零， 对吧？这个我们根据两边之差小于第三名。当然，如果你要是根据因式分解我们来算的话，我们把这式子写出来也可以。你看 a 的 平方减去后面平方，就是前面加后面， 前面减去 b 减 c， 注意，减去 b 减 c， 应该是减去括号， b 减 c， 所以 减 b 加 c 两边之后大于第三边，两边之后大于 a 加 b 大 于 c， a 加 c 大 于 b， 所以 这个大于零，这个大于零的最后还是大于零的，所以我们还是选择 a。 第三题，第三题啊，我们要仔细分析四 x 的 平方，我们可以理解是二 x 括号的平方，加上二乘以二 x 乘以一加一的平方， 所以在这中间我们可以填四 x 啊，可以填四 x， 所以， 对对对，当然对于这个地方，我们填负四 x 也是行的， 所以它可以等于二 x 正负一括号的平方就是二 x 加一括号的平方，或者是二 x 减一括号平方，它就是四 x 的 平方，加四 x 或者是减四 x， 最后加一。 好，我们刚才这里呢，要加一个数或一个单项式，使它成为一个多项式的完全平方。注意啊，虽然四 x 平方加一再减一，它是等于二 x 括号的平方，但那个是单项式， 所以您这减四个平方也不行，就四一个平方加一减四个平方。如果说如果多相似，四一个平方加一加一个数或一个单项式，使它成为一个完全平方，没有多相似，那么则这个也行。 现在说的是多相似的完全平方，所以第一个、第四个就不行，那么第二个、第三个和第五个，所以这里我们选择四一。好，为什么？第五个事情我们再来看一下 四 x 平方加一啊，咱们可以理解是二乘以二 x 平方乘以一再加一的平方，所以首先呢，就是二 x 平方的平方， 对吧？所以那么这样呢，它就可以写成是二 x 的 平方加一括号的平方，这样呢就等于什么东西呢？四 x 的 四次方加上二的，四 x 的 平方加一，所以四 x 的 四次方，这个是可以的。 哎，其实我们来看的啊，如果我们在这里来加呢？你看，如果我们是这个叫做啊，二 x， 呃，括号的平方加上二乘以二 x 乘以四 x 分 之一，你看这中间不就一吗？加上四 x 分 之一括号的平方等于二 x 加上四 x 分 之一，括号的平方也是一个平方。但是注意啊，这里他不是都无相失， 不是读物线是。好，所以请大家弄清楚，这道题很重要，按题只能贴二三五，但是未来呢，有没有这个第一个，第四个和这一种情况的呢？那你还是要看灵活的看题目了 好。第四题， x 加二是这个一个因式，所以我们可以把这个 x 平方减二， x 加 m， 咱们把它分解为是 x 加二，乘以 x 加 m。 好，那我们把它反过来乘出来，就是 x 平方加上 n， x 加二， x 就是 n 加二，括号 x， 然后加上二 n。 好， 那么这样我们看到这个 二 n 呢， m 就 应该等于二 n， 对 吧？那么这个 n 加二呢？应该是等于负二，这里负二，对吧？所以 n 就 应该等于负四了吧？ n 等于负四，那么 m 等于二乘以负四，所以 m 就 等于负八。 好，这道题题的找的是 m， m 等于负八啊。我们要先通过大定系数法，记住，我们这里一种方法叫大定系数法。 我们的第五题，第五题，咱们把这个五 a 减 b 提出来，留下来 x 平方减 y 的 平方，所以我们这个横线不能这么写，我们的是五 a 减 b， 然后呢， x 平方减 y 的 平方，又得写着 x 加 y 乘以 x 减 y。 好， 这个因式分解的结果是这样的。 第六题啊，这个呢，平时老师还没讲过，您还真的做不到。已知 a， b， c 是 三角的三边长，并且满足 a 的 平方加 b 的 平方加 c 的 减 a， b 减 b， c 减 c， a 等于零，我们把这个式子乘以二， 那就是二 a 的 平方加二， b 的 平方加二， c 的 平方减二 a， b， c 减二 c， a 等于零。 哎，这样我们把这个 a 拆开， a 的 平方减二 a， b 加 b 的 平方，然后加 b 的 平方减二 b， c 加 c 的 平方加 c 的 平方减二 c， a 加 a 的 平方等于零。这样我们就有 a 减 b 的 平方，加上 b 减 c 的 平方，加上 c 减 a 的 平方 就等于零。由于 a 减 b 的 平方大于等于零， b 减 c 的 平方大于等于零， c 减 a 的 平方大于等于零。啊，几个非负数的和等于零，这几个数都等于零，所以 a 减 b 等于零， b 减 c 等于零， c 减 a 等于零。好，这些我嘴巴上说的，但是我手并没有写出来， 所以最后 a 等于 b 等于 c。 因此三角形 a b， c， 它就是等边三角形。好，这个很重要，记得点赞关注哦！
06:37查看AI文稿AI文稿十秒就能搞定答案。把你的数学下册小册的六十二页纸上，你看，我们对道题，他说 x 平方减八， x 加 m 是 一个完全平方式，则 m 是 多少？你看啊， 我们看到完全平方式，我们就知道是首平方，尾平方，对吧？减二倍的乘以首乘以尾，对吧？那么加上 这个 m， 那 么这个二乘以手，这里是负八，那我们得乘以四啊，所以，那么这里得要加上四个平方啊，对吧？所以这个 m 就 等于多少呢？四是一十六啊，哎，您看， 其实就是把公式看一下就出来了，对吧？ x 平方减去二乘以 x， 对 吧？乘以这个四才是八，所以一看就这是四，所以这个时候你就要把公式给我弄清楚， 我们看到下面这个，哈哈，刚才是后面这部分不知道，现在是中间，这不知道。那么完全平方是，你看首平方，尾平方， 首尾乘积的两倍在中央。那么由于我们完全平方是有两个，一个是加号，一个是减号的，那你看，这就是 x 加四或 x 减四的平方，你把它乘出来，首平方加或者减，对吧？二 x 乘以四，二次的八， x 加四十一十六。 哎，这跟上面不一样，这个 m 我 们就得等正负八， m 等正负八，所以这个时候这两题你就小心一点，所以有的同学考试啊，总是做不对啊。好，我们看到第六题， 第六题，我们看到这里就应该是一加四分之 m 括号的平方，我们前面一的平方，后面四分之 m， 对 吧？整个的平方一十六分之 m 平方。好，我们看到二乘以一乘以这个二四分之 m， 二的一个分就是四分之二，二分之一，嗯，没错。哎，我们有时会验证一下啊，方阵写错了，我们看到首平方 尾，平方是二的平方，中间呢是二首尾啊，这里有减号的，所以 m 加 n 减二括号的平方就直接写啊，对吧？这个看下一题吧。 呃，这里我们应该怎么做呢？我们要先把它给，先把它乘出来，把这个再塞进去啊，因为我们因式分解，最后变得是 g 的 形式，虽然这里已经是个 g 的， 但这里有个减号在里， m 的 平方加 r m n 加 m 的 平方减四 m n， 现在咱们把这个放进去，就是 m 的 平方减 r m n 加 m 的 平方。好了，现在是标准的完全平方式了，就等于 m 减 m 括号的平方好。这题公式要熟练地把它练清楚。 呃，下面这个呢，我们应该先把首先的符号提出来，还有个 a 是 吧？负八 a， 把公式有公式可提的哈，这里留下 x 符号，负八乘以负二 x y 负八好，这里加 y 的 平方好，等于负八 a 括号 x x 减 y 括号的平方 好。下面，呃，读一读， x 平方加二， x 减 y 平方加一啊，就是一个完全平方式，所以这里我们加一之后，我们就减去，因为我们无缘无故在的加一。 呃，这样减四之后，哎，又成了这个二的平方了，结果又成了新的。刚才利用是完全平方公式的方法，现在我们利用这个平方差公式的方法，前面加后面，前面减后面， 那么这种方法我们成为它配方法好。根据这个配方法的这个特点，我们来看下面的这个题目。第一题，那我们看到 x 平方减四 x， 那 我们可以减去二乘 x 乘二加二的平方，对吧？那我们就加多少呢？ 加上这个四对吧？加上四呢？那个减去四加上三， 对吧？减四加三，所以这前面这就是 x 减二的平方，后面减四加三，那就是减一，所以结果我们现在可以等于 x 减二加一，然后呢， x 减二减一，结果就等于 x 减一乘以 x 减 x 减一，乘以 x 减三了。好，那么对于这个地方呢，我想跟大家再补充说明啊，我们来补充说明一个十字相乘法 啊，我们来补充一个十字相乘法。刚才说的叫什么叫配方法啊？我们看呢，十字相乘法，我们可以理解为 x 乘以 x， 三理解为负一乘以负三， 因为负一加负三等于负四，所以这样我们可以得到这两个相乘负三 x 这两个相乘十字相乘负一， x 就 负 x， 结果他相乘的这个乘积的和等于中间的，然后我们就可以横着写， x 减一，乘 x 减三， 当然我们通过配方法一直得到这个结果，而这个式的相乘，书上没学过的，希望大家学会练习。好，我们看到第二小题。好，第二小题我们到这样来写啊， 四 x 平方加一十二， x 减七，那我们可以看到一点什么东西呢？一点二 x 的 平方，对吧？那么加上二乘以二 x 这一十二的话，那就是二十二 x 四就得乘以三。好，加上三的平方，咱们减去三的平方，再减去七不就行了吗？ 好，那么前面就是二 x 加三括号的平方，哎呀，这个三乘的九九七十六减一，十六减一十六，实际上就是减四的平方，就是二 x 加三加四，然后乘以二 x 加三减四，好，接着往下等等，二 x 加七乘以，这个叫做二 x 减一。 那么你看到这个地方，我们说十字相乘行不行？你看二 x 乘以二 x， 然后那个负七，我们离九是七乘以负一，正七乘以负一， 看一下二七一十四 x， 然后二 x 乘 x， 负的就负 x 负二 x 负二 x， 你 看十四 x 加二 x， 刚好是十二 x， 所以 结果相乘的结果就是二 x 加 t 乘以二 x 减一。好，这是十字相乘法。 好，我们看到第三题，我们写的这啊，把题目头抄一遍， x 平方加二 x， y 加 y 的 平方加十， x 加一十六，好，我们看到这里可以等于 x 加 y 括号的平方加上 十倍的 x 加 y， 有 这里我们可以利用前面的地方加二乘以五，对吧？乘以千米，所以这里我们可以加五的平方，那么这里我们可以多少呢？减五的平方加一十六，对不对？ 好，那么这个可以等于 x 加 y 加五的平方。呃，这么多等于多少呢？负二十五加一十六，等于负九啊，负二十五加，好，所以现在又可以变成是 x 加 y 加五的话再加三， x 加 y 加五的话再减三， 好，所以等于 x 加 y 加八乘以 x 加 y 加二。好，这里我们讲的是配方法，但是我刚才也提到了十字相乘法，记得点赞关注哦。
04:33查看AI文稿AI文稿十秒钟就可以秒杀一道难题！ 八年级数学下册的小册，六十五页纸，我们看到这里的第八题，嗯，看到这道题呢，我们很多同学，你看了这么多， a、 b、 c、 m， 你 看的头都昏了，对吧？那么但是对于这道题来说， 我们看到题目， a 的 平方加 b 的 平方加二， a， b 减二十一，括号 a 加 c， 我 把题目抄一遍啊，好， a 等于几， b 等于几，你往里面搭，你怎么做？ 那很难做的，那么我们仔细来看一看，如果我们平时做题，我们有，哎，您看，这就是完全平方，是有规律的。 a 加 b 的 平方减二， c 乘以 a 加 b， 把这个 a 加 b 看成一个字母， 对吧？前面的平方减二乘以前面乘以后面加后面的平方，那不就是前面，由于这是减号减后面的平方吗？ 现在你把它带进去， a 的 二分之 m 加一， b 是 二分之三， m 加二减 c， c 是 二， m 加四。由于减 c， 所以 我们这里要编号 好平方，二分之 m 加二分之三， m 就是 二， m 加 m 等于零，一加三等于一，加二等于三减四等于负一，负一的平方就等于正一。你看这里是不是刚才就这个一个过程，十秒钟就够了吧。 但有的同学说，你说了好长时间了，那我刚才看题目呢，啊，还在抄题目呢，对吧？那么我们就把这题目看完了，您说写这东西不是十秒钟就够了吗？那有的同学，你往里面带，慢慢带，你带死都带不出来了，很麻烦的。 好，我们看到上面的这些，你看到这里， a 的 平方减去二乘以 a 乘以 b， 你 看 a 二零二五， b 二零二四，那么二乘以二零二五 乘以二零二四，对吧？二乘以二零二五乘二零二四，就这样理解，对吧？减号，所以这里就是二零二五减去二零二四的平方，不就是一的平方等于一吗？对吧？那你看到这里，这里就是 a 减 b 加三括号的平方啊。 那你看到这里，这里我们提起 a 减一，这里留下 x 的 平方， a 减，这个 a 减一，这是一减一啊，当我们理解为 a 减一的时候，我们就变号。 当，如果你说这这里，那这个答案是错误的，因式分解要分到不能再分为止，所以你们不能坐在这里就停下来了，你还得往下坐。 好，我们看到这一题，因式分解，我们来看到这里，有字母 b 啊，有共音式可提的，一定要先提共音式好，然后我们再记记，看能不能再记起反侧，但是 b 好， 这里刚好是公式 a 减 b 的 平方 啊。熟练的把公式弄清楚，我们看到第九题说大正方形 a 的 边长是小于的 a， 小 正方形 b 的 边长是小于的 b， 两个正方形重叠的，也就是阴影部分面积呢，用 m 来表示，现在用 b 和 m 两个字母来代表 b 的 空白的面积。 好，下面 a 加 b 等于八， a 减 b 等于四。有设正方形 a 的， 我们看到右边呢，设正方形 a 的 这个空白的面积为 s 一， 那个正方形 b 的 空白的面积为 s 二，求 s 一 减 s 二。好，刚才上面说了这个第一小题啊，叫我们先把这个 s 二给它求出来，就是 b 的 空白的，那么它不就等于 b 的 平方减 m 吗？ 对吧？很简单的。第二个 s 一 不就等于 a 的 平方减 m 吗？这个这个空白部分等于这个正方形的面积的边长的平方吗？减去这个吗？这个边长的平方吗？减去这个吗？好，那么所以我们的 s 一 减 s 二， s 一 减 s 二等于几呢？我们代进去等于 a 的 平方减 m， 再减去 b 的 平方。注意这样填括号，所以等于 a 的 平方减 b 的 平方。负 m 乘 m 等于零，等于 a 加 b， 括号 a 减 b。 呃，这个 a 加 b 呢？刚才题目上说的是等于八， a 减 b 等于四，所以这就是四八三十二， 记得点赞关注哦！
06:39查看AI文稿AI文稿数学也是很容易拿满分的，八年级数学下册课本一百一十五页之上的 题。共因式，因式分解与单项式的乘以多项式，我们说它们是互逆的关系啊，前面我们， 呃说我们主要是用分配力的方法反运用，对吧？互逆互逆反过来嘛，对吧？好，我们看到这里练习。好，这里有共因式 m， 给它提出来 a 加 b， 对吧？这里有找数字五，找字母 y， 最低一次密是二，按了三步啊，三步确定，定字母，定啊，定系数，定字母，定指数啊，在一定按照这个顺序来做啊。好，然后我们看到这个还有一个 y， 这里有一个四，对吧？嗯，了了，要看清楚，稍微慢一点啊。 好，我们看到这里有二三三三，那有个三，有个 x， 好， 把。其他的，这里有个 r， 那 么三提出来，还有个符号，在这里还有一个三，还有个 y， 好， 看到这里有系数就不行了，这里是一，对吧，所以我们找字母相同的，有 ab， 好， 这里还有一个 a， a 的 最低次幂减五 啊，这都容易。呃，这里有一个最大个位数是二，二二都是二，三有 m， m 的 最低是二，好，这留下来还有一个二 m， 因为 m 的 立方，这里二呢，这还留下个负，三， 好，这里系数字母系数看到没有了，一不行的，好，找字母，字母 b 最低最低就是一，好，这里留下一个 a 的 平方， b 留下一个负五 a， 嗯，那下面还有 b， 留下一个九， 好，这个，那么这个首先有符号啊，首先有符号，我们把符号提出来，数字呢，就一好，打字母，字母有 a 都有 a， a 的 最低是一，好，负 a， 那 么负 a 乘以 a 的 平， a 的 平方就负 a 乘以 a， 好， 负 a 呢？还得乘以负 b 才是正 a， b 负 a 乘以正 c， a 减 b 加 c。 好， 这个呢，我们看到有符号提出来，二四六有最大公休数，二有字母 x， 最低是一。好了，公因是负二 x 负二 x， 这里要乘以 x 平方。嗯，负二乘以负二才等于正四 x 平方， 这里 x， 那 还有一个是留在这里，那么负二的要乘以正负二 x 乘以正三啊，负 x 平方减二， x 加三，前面是负二 x。 好， 我们要把它看清楚。 好，看到下面的例题。下面的例题啊，我们是把一个整个多项式当做一个字母来理解，就像 a 乘一个字母，二， b 乘一个字母，对吧？这个公式呢，就是 x 减三。好，然后留下来呢，就是 a 加二 b， 对 吧？好，我们看到这一个呢，我们就应该理解，为什么呢？这里有 y 有 y 有 x 加一，有 x 加一， y x 加一，咱们把它提出来 啊。现在我们看看剩下什么，这 y x 加一这一项，剩下一，因为他乘以一啊，有的可能没搞懂，哪来的一呢？一乘以这个，然后 y x 加一，再乘个 y， x 加一，所以加上 y x x 加一， 因为这是平方号。好，这里我们要打个中国号。呃，在前面很多我都一步就到位了，那么在这里我们还得多写一步， y 括号， x 加一，然后呢，一加 x， y 再加上 y。 呃，那这里我跟这书上顺序不同，没有关系的啊。 好，我们看到下面这个例题，这里是 x 减 y， 这里我们也理解为 x 减 y， 但是理解为 x 减 y 的 时候，我们就要注意编号了，我们就这里要写着负 b， 所以呢，书本上的例题分两步，我们也可以一步到位， x 减 y， 然后这个 a， 那 就减 b， 这个地方呢，大家还是慢一点，当然大家不会做的时候，开始可以学着书本上先抄一步啊，抄熟了再做。好，那我们看到这个第二个这里不好写，那我就在这里写，就着这个例子来写啊，六个一十二里面有个六 m 减 n 的 立方，这里也是 m 减，因为 m 减 m 的 平方跟 m 减 m 的 平方是一样的，你看那个， 你比如说二减一的平方等于一减二的平方，对不对？呃，所以正负一的平方一样的，正负二的平方一样的，对吧？但是立方就不行啊，立方就不行，如果说这里是立方，两个你要全部加填个符号，所以我们看到这个 m 减 n 的 平方，我们也可以把这个理解为 m 减的平方，所以如是我们把 m 减 n， 就类似于相同的字母，第一次密是 r， 好 留下来，这里面呢还有一个 m 减 n， 然后这里的题目呢，这个六呢，还有一个 f r， 好， 我们看到这里就一个小括号，哎，所以书本上呢，就分了好几步来写，如果大家会做的话，你其实一步就可以到位的。 好，我们看到第一百一十六页的题目，利用 t 公式法硬式分解啊，哎，我们看到下面这个说说什么说 选择其中的两张卡片能拼成一个长方形吗？哎，你把这两张卡片拼到一起啊，把这个啊，把这个 n 的 n n， 对 吧？那么拼到一起可以拼成一个长方形，对吧？选择一二就可以了，一二选择这两个就不行了，选择这两个也不行啊，那么如果要选择三个呢？ 好，那么写的三个咱们可以怎么拼呢？咱们可以把这个 a 加 b， 哎呀，这个 a， 这里 b， 好， 我们把这个 a 咱们放在这里，然后大家可以拿着尺 放在这，然后把 b 呢？哎，这个是 b 啊，这个是 a， 放在这里，那么这个宽就是 n， 这就是 n， 这就是 a， 这就是 a， 对 吧？这是 m， 那 么根据这里的式子，那我们现在就可以把这个三个加起来，等于这个面积，所以那我们就可以这样来分解， 呃，那就是 a， m 加 b， m 加上这个是什么？ a 加 b， 括号 m， 对 吧？三个图形的面积，那就等于长方形的面积，就是乘乘以宽。 哎，我们这就得到一个，把一个多项式变成两个整式的乘积的形式。哎，对于这里我还是来说一下他的这个理解步骤。我们这提到一个叫分组分解法，分组分解法啊， 你看啊，这个 a， n 加 b 呢，我们可以把它等于 n， 括号 a 加 b， 这里呢就依旧是 a 加 b， 括号 m， 照抄。好，现在我们就前面可以提公式啊，然后把这两个合起来呢，我们也提新的公式， a 加 b， 然后把其他的给它抄在一起， n 加 m 啊， m 加 n 加 m， 都可以，记得点赞关注哦。
06:37查看AI文稿AI文稿你想数学拿高分数吗？套公式就不要套错了，八年级数学下册的课本一百二十二以上的。我们看到第二题。好，这里是三的平方，这里是二提一的平方，然后呢，我们看到三减二提括号的平方。 嘿，我们来看一下中间是不是二乘以三。呃，乘以这个负二的六，负二的以上，嗯，检查一遍，防止写错了啊。那么这个 y 的 平方，这二分之一的平方， y 加二分之一括号的平方， 看中间 y 乘以二分之一，再乘以二。嗯，是这样的。好，再来看一下，这里是五 m 五 m， 这中间是减号，这里是八的平方，六十四，好，我们看到中间，对不对？呃，二乘以前面后面二五一十，负八负八十。嗯，没错，好，看到这里，前面是 x 加 y， 括号里面后面是三的平方，所以 x 加 y 加三。 好，那我们看到中间的二乘以三乘以括号的 x， 二三得六。嗯，没错，好，这里我们看到前面是 a， 后面是 b 加 c， 减去括号， b 加 c， 我 就写减 b 减 c， 为了快速的写完啊，就是 a 减括号， b 加 c， 就是 二乘以 a 推这个 b 加 c， 然后前面一个减号，嗯，看来也没错。嗯，不要把符号搞错了。这里我们要怎么办呢？先有，首先有符号的提出来，我们最好要加密排列啊。这里我们提到一个词叫做加密排列， 就是按照把负一提到，然后我们 a 的 平方减二，一加一的形式来写啊。我们看到负一留留下 a 的 平方，负一留下了负二，一负一留下了正一，所以等于负 a， 然后这里是 a 减一括号的平方，那这里要小心一点。好，我们看到第三题， 呃，第三题，我们说 x 的 平方加一加一个单项式，我们说 x 平方加二乘以 x 乘以一，一就不写加一的平方，对吧？它就等于 x 加一括号的平方。当然了， x 平方如果写减二乘以 x 乘一，不写加一等于 x 减一括号的平方， 所以我们找出一个满足的单项式，我们可以逆时针填，它是一个二 x， 也可以是一个负二 x， 嗯，还可以是什么呢？我们来看看啊。嗯，如果说有一个数的平方加上二乘以那个数，乘以后面的这个一 啊，如果加上一的平方，这中间呢？如果是等于 x 的 平方，所以我们来看到乘以二分之 x 的 平方，我们看到刚才我们是在中间加，如果我们在前面加呢？二乘以二分之 x 的 平方 的平方，就这个意思，所以它就等于二分之 x 的 平方加一括号的平方， 所以这里我们也就说这里面就是四分之 x 的 四次方，四分之 x 的 四次方 啊，这道题很多人就搞不懂了，我们可以这样填，我们继续来探讨一下啊。我们说要是在后面加行不行？你看 x 平方加二乘以 x， 哎，这中间的是一，那就乘以 x 分 之什么一，是吧，那就是二 x 分 之一， 对吧？我们看到二 x 分 的一，那就加上二 x 分 的一的平方，现在我们就得 x 加二 x 分 的一括号的平方，呦，这也是一个平方哈，这个，但是注意啊，注意， 这不是多项式，所以这个不行啊，大家，你别把我这个抄出来了啊，这个不行啊，因为我们这个因式分解啊，我们这是分式啊，分式，呃， 整分析跟整式是同级别的，对吧？整式呢，包括单向的多件式，所以这个分析的级别比这个单向的级别要高啊，所以这个不是啊，这个你要给我看清楚，我只是跟你讲这个平方的这个道理。 好，我们看到第四题，大小两个，这个半圆，他的这个围成的环形，所以这个面积，那我们就可以等怕大的平方减怕小耳的平方等于呢？我们不要直接带进去啊，直接带进去很难算的。呃，大耳加小耳，大耳减小耳。 呃，这个好像带进去之后也不是十分好算，但是比这个八点四五乘以八点四五还是好算一些好。数字之间，我们把这乘法写出来，八点四五加上三点四五，多少乘以八点四五减去三点四五。 好，那么就等于三点一四乘以一十，一点九乘以减了五等于三点一四，这两个相乘等于五十九点五。哎呦，有时间关系，我就把我乘的结果写出来啊，一百八十六点八三，有单位 cm 的 平方 啊，有答案我们就写出来啊，有时间我们看到第五题，第五题啊，叫我们把这个规律用发出来看。二的平方，那么二的平方，呃，有的同学写 n 的 平方减去 n 加二的平方等于呢？那您看到这里就是 n 乘以， 对吧？这个 n 就是 n 加上 n 加二，然后乘以呢？ n 减去 n 加减 n 减二的意思， n 减 n 等于负二，呃，这里就是二， n 加二乘以这个负二，所以拿出来把负二呢等于负四的 n 加一 啊。有人就是写着这样的式子，我们说这个时候的这个 n 呢，是大于等于二，且 n 为整数。 r n 整数啊，我们说这样写，我们觉得概率就是对的啊。但是呢，我再来写个我觉得啊， 如果是这样写的话， n 减一的平方，减去 n 加一的平方，你看等于 n 减一，加上 n 加一，对吧？前面加后面，前面减后面，那么这就等于 n 乘以 n 等于乘以负二， 所以等于负四 n， 那 么这个时候呢， n 是 大于等于三，且 n 为整数。 哎，同学们，你觉得你喜欢这种还是这种呢？网络上的答案包括参考书上答案可能是这种吧。嗯，现在老师也没有参考书了啊，就是根据自己的理解来写的。记得点赞关注哦！
05:01查看AI文稿AI文稿有的学生理不清的英式分解， 八年级数学下册的小册五十八 h， 我 们看到英式分解啊，我们说英式分解呢，就是把一个多项式变成几个整式的乘积，所以它右边数乘积，左边是多项式，但是这里能看到这里有加号，对吧？这个不是。呃，这里，这里应该是， 当然他是不是对的，我们来看一下啊，我们也可以反过来验证一遍。你看， x 减四的平方， x 减二次的八， x 加一十六，对吧？呃，这个呢，属于整数乘法。 呃，这里左边不是多项式，我们是说把一个多项式变成几个乘数的乘积。对于，这里是 x 减四，乘 x 减四。但是呢，相同的音势，我们常常写着 m 的 形式啊，相同的音势，我们常常写着 m 的 形式。好，我们看到第二题。 呃，这个因式分解的结果是，我们 m 是 什么？我们可以把 x 平方加 m， x 减八，我们可以，也就是等于 x 加四，乘以 x 减二，对不对？ 但是我们不知道 m 等于几，我们可以把它反过来乘出来，你看，等于 x 乘以 x 平方， x 乘以负二，负二， x 加四 x， 那 我们合并就是加二 x 四乘以负二，就是负八。哎，那么这样我们就把 m 求出来等于二，所以 m 等于二。那这题我们也是写的 b。 好， 我们看到第三问四， x 平方加 m， x 加一等于二， x 减一，括号的平方。 呃，现在是问下列说法当中正确的从左到右形式是因式分解。这个式啊，把一个多项式变成整数的积的形式，第一个是，第二个，从左到右是整数乘法，不对啊。 呃，从右往左是整数乘法。第三个 m 等于四， m 是 不是等于四呢？我们可以把右边给它乘出来，你看， a 减 b， 跨的平方等于 a 的 平方减二乘以 x， 就是 减二乘以减四， x 加一，所以 m， 这应该等于几？ m 等于负四。哎，那这个 m 这地方对应的这 m 等于负四，所以这个也不对，那这就是说这一个是对的，就是第一个是对的，我们就选择 a， 这一个是对的，好。第四题， x 的 平方加 m， x 减一十二，等，我们把它给它乘出来看一下。我们有时因为它们是整数乘法，跟那个因式分解啊，是互逆的关系，所以我们可以把它呃，左往右写，右往左写，来来回回的写，对吧？ 我们把它乘 x 乘以 x， x 平方， x 乘以 n， x 加二， x 就是 二加 n， x， 咱们可以合并同类项，加上二 n。 好，现在我们来看到这里，那就是说 r n 就 说明是负一是二，然后这个二加 n 呢，就等于 m 好， r n 等于负一是二， n 就 应该等于负六了， n 等于负六， n 等于负六，二减六就应该等于负四，所以 m 就 应该等于负四。哦，题目问的是 m 的 值，那就是负四，那我们就选择 c 一 了 啊。第五题，第五题，同样我们把后面的把它乘出来，对吧？ x 平方减 x 加一， 等于 x 加一，乘以 x 减二，我们说因为它互逆的，咱们反过来做， x 乘以 x， x 平方， x 乘以负二， x 加一 x， 结果就是负一， x 负一的一，不能写出来减二。好，那么这样呢？ a 就 应该等于负二， a 就 等于负二啊，你就写个负二就可以。 第六题，根据下面的拼图，写出一个多项式因式分解的过程。多项式因式分解的过程，那我们看到这里，呃，这就是 x 平方，这里是加二 x 加四 x， 所以 我们可以写加六 x， 然后加二十的八。 好，那么这样呢？我们看到这里就是这边是 x 加二，呃，这边是 x 加四，所以也就是都将是 x 平方加六， x 加八，我们可以把它写成是 x 加二，乘以 x 加四。大家在这个地方给我多观察一点啊，多观察一点， 以后啊，我们还会啊多讲这个，因为后面这个我们要把它说成叫十字相乘法啊，这个十字相乘法，我们怎么十字相乘法呢？我们就说这 x 呢，我们可以理解是 x 乘以 x 八呢？我们可以理解是二乘以四，然后交叉四 x r x， 当它这里是正号的时候，如果它们的和等于中间的，手乘以手等于手，尾乘以尾等于尾，交叉的和等于中间的。假如说这个草稿纸是成立的话，那它就会横着出来， x 加二，乘以 x 加四。这个呢我们课本上没有讲， 嗯，我这里先提个影子，我们后面呢还要多讲这东西，记得点赞关注哦。
06:05查看AI文稿AI文稿你也可以拿满分的，八年级数学下册的小册，六十一页纸。我们看到第六题应用题有时间解元式急凑，就不写了。四 x 加三分之 y， 四 x 减三分之 y， 对 吧？咱们前面的平方减后面的平方。好，这个呢， 我们前面的平方是七 x， 后面的是五 x 减二，直接加上后面的五 x 减二啊，前面的平方减后面的平方，前面加后面，然后前面减去后面。注意啊，减去五 x 减二呢，减五 x 得是加二，这就涉及到编号的问题。 好，七五一十二 x 减二。呃，七 x 加五 x 加二。注意啊，我们这因式分解要分到不能 占分为止。注意，这句话，只要中间有公式可提的，还得是一提 二套啊。就首先要想到提公式，这里可以提这个二，这里也可以提这个二，这是六 x 减一，这里就是 x 加一。好，这地方一定要给我小心一点，不要弄错了。好，我们看到第三个 啊，前面的平方减后面的平方。那由于时间，我就直接写前面加后面， 然后前面减后面。注意，是减过整体的啊，所以由于时间关系，因为我这省略了一些步骤。好，五 x 加五 y， 这里三 x 加 x 减 y， 你 这样做啊，这题就算是错误的，因为这里有五，然后我们把五提出来 啊，所以我们刚才这里啊，我们在前面也多次说过，要分到不能再分为止，只要有公式可提的，有公式可应用的，还得往下做，当然我们还有其他的方法。 好，我们看到这里因子分解四 x 减十六 x 的 立方，我们这里有公因式四有 x， 这里留下一，这里留下四，还留下 x 平方，所以等于四 x， 然后呢，这个一的平方减二 x 括号的平方加二 x， 然后呢，一减二 x， 应该这样做， 哎，这题叫我们干嘛呢？他的小人是这样子的，他把这个这符号跑哪去了呢？啊？一般的来说，我们有一个问题说要加密排列 啊，但加密排列我们把符号也提出来啊，对吧？所以看来这个是错误的啊，好，我们看瞎躲的做法，四 x 一 减 x 的 平方，这个跟我这里是一样的， 然后呢，一加二 x 的， 这应该是二 x 括号的平方的意思啊，所以小云的我们看下面的问题，小云的错误，从哪一步开始的错误，小云的错误，这是第一步啊，从第一步开始错的。那么错误的原因是什么东西呢？那就说他这个提起符号之后， 他提取符号后，把符号搞丢了啊，符号丢失 啊，或者说就是他忘记了编号啊，或者忘记编号，大概是这样的内容。小朵的解答过程，第一步没有错误，第二步是开始错了。第二步错误的什么东西呢？他利用这个平方差公式啊，对，用错了，所以我们说平方差公式，平方差公式 啊，这个用错了啊，或者说大家说套错了。平方的公式写出正确的过程，我已经在这里写了。好，我们看到下面的这个 第一题，下面呢，用完全平方公式进行英式分解了，那么对于完全平方公式来讲，我们就始终要搞清楚，首平方，尾平方， 对吧？乘积的两倍在中央，当然这中间可能是正好符号，但前后都得是正好的意思。好，现在耶，这正好，怎么没写出来呢？啊？好，我们看到这是 x 平方，这是一，这中间是二乘 x 乘一，这个不能用。 呃，这里有，这里是减号，这个是平的，这个可以用平方。差公式啊，这是平，这里说的是完全平方公式。好，那么这个就是 x 减三的平方。 好，所以看来用能用完全平方公式的是 d 啊， d 可以 用完全平方公式， x 平方，这里是 r x 负三， r 乘 x 除以负三。放到这里。好，第二个小花利用完全平方公式对这个进行应用分解，我们看到对不对啊？这应该是 x， 后面应该是 r r 的 平方啊， 是 x 的 平方，加二乘以 x 的 两倍，对吧？二 x 二， x 的 两倍，二乘以 x 乘以二，对吧？加二的平方，这里呢，我们看到 x 的 二， x 的 平方，这里应该是加，这中间呢是二乘以二， x 乘以负一，所以这里应该是负四 x， 所以 这个 不对，这个也不对，对吧？好，我们看到下面的，下面的这个应该是三的平方，减去二乘以三乘以 m 减 n， 呃，这里加上 m 减 n 的 平方，所以应该是三减。去，注意三减括号， m 减的平方，所以三减 m 加 n 啊，应该是加音，要注意这里个符号的问题，所以大家一定要小心一点，慢一点。我们来这个，我们把符号提出来， a 的 平方减二， a， b 加 b 的 平方。好，这里刚好就是 a 的 平方减二， a， b 加 a 减 b， 括号，这个看来 d 是 对的。 我们看到这里的计算，我们可以看到首平方减二倍的首尾加尾的平方，这里减号，那就是一百减九十九的平方。我们这个叫类似于因式分解的方法来解题 啊，所以这个叫一的平方等于一，所以我们选择 b， 记得点赞关注哦！
11:07查看AI文稿AI文稿今天我们讲的是题型四点二。首先我们先来看第一题的第一个，我们在音式分解的时候， 看每一项都有的公共的音式，那就是找系数的最大公约数，然后相同字母以及相同字母的最低次密，那么第一小题里面系数那就不用说了，那来看相同字母和它的最低次密 a x y， 那 提出共音式之后，括号里面剩的，我们就拿 a 的 平方 x， 平方 y 除以 a x y， 那 它就等于 a x， 然后第二项除以 a x y 就 剩一个 y， 所以说这是第一小题最终的结果。我们再来看第二小题。第二小题进行因式分解的时候，那系数我们就是公因式，那就是三，然后再找 x， 那 这是它的公因式。 第一项三 x 的 三次方除以三 x， 剩一个 x 的 平方，第二项剩一个负 x， 第三项剩一个三，这是我们的第二问。 第三小题，我们首先先把负号提到前面来，负号，然后二十四 x 的 平方 y 加十二 x， y 的 平方加二十八 y 的 三次方，然后我们来提它的公音式， 那就是二十四，十二和二十八，我们来找它的公音式，那这里面我们可以得到它的公音式是四 x， 嗯， x 不 行，这个里面没有 x， 那 就是四 y 负四 y， 然后四 y 提出来之后，这个剩一个六 x 平方，这个剩一个三 x y， 然后这个剩一个七 y 的 平方。 好，再看第四小问，那同样我们先把符号提出来，负括号四 a 的 三次方， b 的 三次方减六 a 的 平方 b 加二 ab， 然后我们来提它的公因式，那就是公因式，就是二 ab， 然后第一项除以二 ab， 就 剩一个二 a 的 平方 b 的 平方，然后第二项减 三 a， 然后在这个二 a b 除以二 a b 就 剩一个一了，我们要带上括号。 再来看第五小题，同样他前面有符号，我们先把符号提出来，二 x 平方加十二 x y 的 平方减八 x y 的 三次方。然后我们去提公音式，那就是首先符号照抄，公音式是 二 x， 然后第一项除以二 x 就 剩一个 x， 第二项除以二 x， 就 剩一个六 y 的 平方，然后这个除以一个二 x 就是 负四 y 的 三次方。 好，第六个同样就是第一项有符号，我们先把符号提出来，负的括号，三 m a 的 三次方减六 m a 的 平方加十二 m a， 然后我们去提它的公音式，公音式在这里面就是三 m a， 那 第一项除以三 m a 就 剩一个 a 的 平方，第二项除以三 m a 就 剩一个四。 再来看第二题，一、利用因式分解进行计算。好，那我们在进行计算的时候，如果一个一个去代入就比较麻烦，那我们可以首先给他进行因式分解，把 m 提出来，就是 m 倍的 r 一 的平方加 r 二的平方加 r 三的平方，然后我们再给他进行计算， r 一 的平方就是二十的平方 加十六的平方加十二的平方，然后我们再去乘以三点一四， 二十的平方是四百十六的平方是二百五十六，十二的平方是一百四十四，然后乘以三点一四，然后我们这个给他进行计算，这个等于八百，然后乘上三点一四， 然后最后写出结果就可以了。然后看第二个，第二个我们首先还是要进行音式分解，公音是 z 提出来，那里面就剩一个 x 减 y， 然后我们代入的时候， z 是 十一分之七， x 是 十七点八，减 y 就是 减二十八点八，那就等于十一分之七乘上 负十一，最后就等于负七。然后第三问，那首先我们还是给他进行因式分解，他的公因式是 ab， 那 因式分解之后，第一项就剩一个 a， 第二项就剩一个 b， 然后 ab 是 七， a 加 b 是 六，那乘进去，最后就等于四十二。 然后第三题的第一问，因式分解，这里面的公因式，它是一个多项式，我们把 a 加一， a 减一提出来，那就最后就剩一个七加 x， 然后第二小题，第二小题，这是 a 减 b 的 平方，这是 b 减 a， 那 我们可以给它进行变形，要么都变成 b 减 a， 要么都变成 a 减 b， 都可以。如果我们都变成 b 减 a， 那 我们这个可以变成三倍的 b 减 a 的 平方 加六倍的 b 减 a， 那 这里面的我们的这个公式系数的话就是三，然后这个的话，那就是 b 减 a， 第一项除以三倍的 b 减 a， 那 就剩一个什么呀？ b 减 a， 然后第二项就剩一个二，这是我们最后因式分解的结果。然后再看第三小题，第三小题，那这里面它的公因式就是 m 减 n， m 减 n， 那 么第一项就剩一个 二倍的括号， m 减 n， 然后第二项就剩一个负 m， 然后我们给它进行化简， m 减 n 乘上这个是二， m 减 m 就是 m， m 减二 n 好。第四个，第四个，这里面 x 减 y 和 y 减 x 互为相反数，所以我们可以进行变形， x 倍的 x 减 y 的 平方，减外倍的 x 减 y 的 平方，然后它的公因式在这里面是 x 减 y 的 平方，然后最后这地方就剩一个 x 减 y。 好，再看第五个，第五个这里面它的公因式在这里面是二 a 加 b， 那 我们把它提出来，然后第一项就剩一个二 a 减三 b， 第二项就剩一个负三 a， 然后后面这个可以化解，我们就给他化解一下，二 a 减 b， 乘上这个就变成了一个负 a 减三 b。 好，第六个，第六个，那这里面我们可以发现，这是不是都有一个 x 减加 y， 然后这还有一个 x， 所以 它的公音式就是 x 倍的 x 加 y， 那 提出来之后，第一项里面剩一个 x 减 y， 然后第二项，那就剩一个什么呀？ 负的 x 加 y， 然后注意我们要去括号， x 倍的 x 加 y， 然后乘上这个 x 减 y 减 x， 再减 y， 那 最后就剩一个负二 y， 我 们可以把它写到前面，乘以负二 y， 那 就等于负二 x， y 倍的 x 加 y。 好，再看第四题，先因式分解，再计算求值。好，那我们来看，先看第一个，第一个这里面，那这个它的公因子就是 x 倍的 m 减二，那第一项里面我们就剩一个什么呀？剩一个四， 然后第二个剩一个三倍的 m 减二，然后我们来给它进行化简， x 倍的 m 减二，然后这个就是四减三， m 加六， 就是 x 倍的 m 减二，括号十减三 m， 然后我们再进行求值呢，就是 把 x 等于一点五， m 等于六代入得，然后我们给他带进去去算一下就可以了，然后第二个里面，然后同样这是 a 减二，这是二减 a， 他们虽然说不相等，但是他们互为相反数，所以我们可以通过变形把这个变成二减 a 的 平方，然后减去六倍的二减 a， 那 我们把二减 a 提出来， 然后第一项剩一个二减 a， 第二项剩一个六，然后我们再进行化简，二减 a 乘上括号负四减 a， 然后我们再把 a 等于负二，然后代入，我们就可以得到这个原式，他就等于二减负二 乘上负四减负二，二减负二就是四负四减负二就等于负二，最后结果就是负八。 第五题，下列音式分解是否正确？为什么？那我们来看一下啊。他在提的时候，他提了一个二 n， 但你发现二 n， 他 提了个二，但是后面这两项是没有二的，所以第一个是错误的。然后第二个我们可以先把符号提出来，提出来之后，然后 他就会变形成负的括号 ab 的 平方减二 ab， 然后加三 b， 然后接下来我们找他们的公因式，那公因式里面 只有一个 b， 我 们把 b 提出来之后，第一个就剩一个 ab， 第二个剩一个负二 a， 第三个应该剩一个正三，这个地方不是负三，所以说第二个也是错的。 第三题，我们的公因式是 x 减 y， 对 吧？所以把 x 减 y 提出来之后，它还剩一个 x 减 y， 它就是 x 减 y 乘 x 减 y 的 平方，那这个是对的。然后第四个 第四个它为什么不对呢？因为因式分解是把一个多项式分解成几个因式乘积的形式，那这个是不是就不对？所以说正确的只有第三个。 第六题，某大学有三块草坪，第一块草坪的面积给你了，第二块草坪也给你，第三块也给你了，然后让你求三块草坪的总面积，那是不是就把他们加在一块，那就是 a 加 b 的 二次方，加上 a 倍的 a 加 b， 然后再加上 b 倍的 a 加 b。 好， 那我们要想计算，我们可以给他进行因式分解， 他们共有的音式就是 a 加 b， 我 们把 a 加 b 提出来，然后第一项剩一个 a 加 b， 然后第二个我们剩一个 a， 第三个剩一个 b， 然后我们再给他进行化解。 a 加 b 加 a 加 b， 那 是不是就二 a 加二 b， 那 二 a 加二 b， 那 是不是还可以进行提，对不对？我们就可以变成提二出来，二倍的 a 加 b 乘上 a 加 b， 那 就是二倍的 a 加 b 的 平方。
135周末老师的日常
05:40查看AI文稿AI文稿英式分解的提升题，学会以后啊，多考高分啊！八年级数学下册五十八页上呢，我们看到第七题， 先读一读，已知二次三角是 x 平方减四， x 加 m， 有 一个英式是 x 加三，那么求它的另外一个英式记 m 的 值，就是 x 平方减四， x 加 m， 它是等于 x 加三，再乘另外一个英式的， 那我们说 x 乘以 x 等于 x 的 平方，那么 x 还乘以什么东西呢？所以书本上这里说，如果说它乘以是 n 的 话， 我们就可以把这两个呢给它乘出来，等于 x x x 平方三， x 加 n， x 就是 n 加三，然后 x x， 然后加三 n。 好， 那我们说明 m 就 等于三 n， 并且这个 m 加三呢，就应该等于负四， 所以这个 m 呢就等于负七， m 呢，就等于三乘以负七，负二十一。所以，呃，另外一个音式就是 x 减七 m 呢，就等于负二十一啊。这里题目帮我们都做好了的，我们就了解一下就可以了啊。现在我们模仿上面的做法来做，说有个二次三角式， x 平方加三， x 减 k， 说有一个音式是 x 减五，那我们可以说它另一个音式为 x 加 n， 因为 x 乘 x 等于 x 平方，对吧？我们有模仿上面说另一个音是 x 加 n 啊，但是这个文字我没写啊，我只把主要的过程跟大家说一遍。 好，我们把它乘出来， x 平方加 n， x 减五 x， 所以 加 n 减五倍的 x 减五 n， 现在我们来看到 n 减五啊，那就应该等于三， 这个负 k 呢，就等于负五， n 好， 所以 n 就 应该等于多少呢？八移过来啊，那么负 k 等于负 n， k 就 等于多少呢？那两边同时出负五八四十， 五八四十，所以另一个音式我们就写完了，那就是 x 加八，因为这 n 等于八，那么 k 呢？等于四十。好，这里要学会模仿的写， 我们看下面的题，共因式法，题，共因式法，实际上我们说啊，就是分配律 a， b 加， 我们说 a 括号 b 加 c 等于 a， b 加 a， c， 这个呢，我们说是整式乘法，现在反过来， a， b 加 a， c 呢，就等于 a， 括号 b 加 c， 所以 实际上这是小学里面的，我们把它的互逆运算一下就可以了。 好，我们看到这里，三 x 平方减三，可以理解，三 x 乘以负一，对吧？所以三 x 乘以 x 减一，所以它提起的公因子叫三 x， 显示一，我们把这个 a 啊，我们给他取个名字叫公因子，就是公共的因子。 好，我们看到第二个，那我们理解 a 乘以 a， a 乘以负四，对吧？那就 a， 然后 a 减四，所以我们选择 a， 第三个，那我们看到这里，我们三 a 的 平方， b 加三， a， b 的 平方，我们可以理解是三 a， b 乘以 a， 三 a， b 乘以 b， 所以 三 a， b 乘以。然后呢，就把 a 加 b 写出来。 好， a， b 等于二，三乘以二， a 加 b 等于四六四六二十四，所以它就等于二十四。 好，我们看到这里了，二 x 平方， y 减 x， y 的 平方，怎么理解呢？咱们理解为啊，嗯，这里有 x， y 乘以二 x， x， y 乘以 y， 所以 等于 x， y 乘以，这里是二 x， 这里是符号 y， 所以 x， y 等于二。二 x 减 y 等于多少呢？二分之一，你看这结果就等于一。好，第三个，我们看到我们有 x 的 平方， y 加 x， y 的 平方，咱们理解为 x， y 乘以 x， x， y 乘以 y， 所以 x， y 乘以 x 角 y 好，它就等于什么呢？ x， y 等于八八， x 加 y， 哎，题目上说等于四十八，六八四十八，所以 x 加 y， 那 就等于六。 第四题，如果啊，变成 a， b 的 长方形的周长是十，哎，周长， 周长是十，那就是二倍的 a 加 b 等于十，所以 a 加 b， 那 就应该是等于五喽，对吧？ a， b 的 长边的周长是十嘛？厘米的和等于五，面积是六，那就 a 乘以 b 等于六。 好，我们来看了，所以 a 的 平方， b 加 ab 的 平方，就等于 ab 乘以 a 加 ab 乘以 b， ab 乘以 a 加 b， 那 就等于六乘以五，所以它就等于三十啊，这个就等于三十。 好，我们看到第五题， x 平方加三， x 减二等于零。二， x 的 平方加六， x 减四呢。 咱们理解二乘以 x 的 平方，二乘以三， x 二乘以负二，所以我们把这个二，我们类似于分配律提出来 二 x， 啊，那这就 x 平方了啊，二提出来了， x 平方，这里呢，就留下了三， x 留下了负二啊，留下了负二，所以等于二乘以零等于零，所以它的答案就等于零。记得点赞关注哦！
06:18查看AI文稿AI文稿数学也是很容易拿满分的， 我们看到八年级数学下册小册六十页之上呢，我们看到第一题，呃，他说用 t 共用式法应试分解应 t 的 共用式， 我们看到这应 t 的 共用式，这里有 x 减 y 有 个三，那我们分为第一步，找数字的最大的公因子，第二个，找最低次命好，有三，有 x 减 y， 所以 那么这应该就选择 c 三 x 减 y。 第二个，呃，他应该提起的，我们来看呢，先找数字的六和八里面有二公因式，然后找字母，有 a 有 b， a 的 最低次幂是 e， b 好， 然后有 x， 有 一个式子 x 减 y， 最低次幂是二，所以二 a b x 减 y 的 平方。二， a b x 减 y 的 平方，所以第二题我们说它的公因式是 a。 第三题， 第三题，这个英式分解的结果，我们看到有 m， 咱们把 m 提出来，然后呢，有 a 减二，我就提 a 减二吧， m a 加二，还留下个 m， 那 么这里我们来看到 m， 这里 a 二减 a， 咱们理解 a 减二的话，咱们要填个符号，所以如此还留下个负一，所以就是 m a 减一， m 加一，哪里呢？ m a 减二， a 减二， m 减一，那就是选择 c。 第四题，呃，这里写 q 减 p 的 平方， q 减 p 的 地方，那么这个 p 减 q 的 平方，我们也可以理解是 q 减 p 的 平方，所以我们说等于 q 减 p 的 平方的话， 呃，那 q 减 p 的 这样写完了， q 减 p 乘一，所以这里现在这个括号应该是一，然后我们看到这个 q 减 p 的 立方，那提提 q 减 p 的 平方，还有一个 q 减 p， 注意括号 q 减 p， 那 么这个题目这里乘 e， 什么 e 就是 这个，我们去掉括号来填空，那就是 e 减 q 加 p， 所以 我们这应该就写 e 减 q 加 p。 好， 看到第五题 还有时间，我们接着就写等号减元式呢，我就不写了啊，我们看到这 x 减 y 留下来是三 a 减一，很容易。好，第二个，呃，提起 m 减二，留下来是 a m 减二， m 减二呢？那就把 b 改为负 b 了 啊，解元式我都不写了。好，下面这个呢，我们提起 m， 然后提起 m 减 n， 当然你写 m 减 m 也可以啊。呃，由于提起的不一样，所以可能有一些细微的不一样。 m m 减，还留下一个 n， 留下个 n。 好， 这里 m 提完了，注意，这部分呢，我们可以理解是 m 减 n 的 平方的意思。嗯，所以还留下 m 减去括号， m 减 n。 有 这里小括号，我们就得改为中括号了。 好，我们得要慢一拍啊，慢一点还得写 m m 减，嗯，这里就是 m 减负，负的正 r m 减 m， 这怎么好像跟书上的题目是一样的啊？ 我们看到第六题，那第六题我们看到这里有，这怎么做饭呢？周题，这也不行吗？所以我们可以把这两个等，我们可以提供的是 a a 减 b 啊，这个整个都不能提，我们来看，我们分慢一点，所以这里就涉及了我们新学的一种方法，叫做分组分解法 啊，我们这个课本呢，北师大版课本呢，这个没说。有一种音质分解的方法叫分组分解法，就是说我们把这里面的分成两组或者三组啊，然后我们来看看有没有公式，包括后面的公式里面有没有。 好，这里我们看到这两部分呢，我们就可以把它分成的是提出个 c， 然后有 a 减 b。 好 了，这么一处理的话，新的公式就出来了， a 减 b， a 减 b， 然后这里是 a 加 c。 好， 刚才所说的是一种新的方法，叫分组分解法。好，我们看到第七题 第七的第一个，我就接着这写吧。当然 m m 减二， m m 减二，然后这里留下一个四， m m 加二，提完了 m m 加二，这里留下一个三。 好，我们现在看到这里 m 减二提一个，还留下个 m 减三，对吧？减三，然后 m 减三。慢一点啊，好，把中国号给它补上来。 好，慢一点看可能弄不好就会搞错的啊，等于 m m 减二，然后呢？四减三， m 复合的人加六，那就是十减三， m。 好， 现在不能再往下这个了。好，我们把它带进去。 m 呢，是二分之三 乘以， n 减二，就是六减二乘以，然后呢，十减去三乘以六，一十八和二分之三乘以四乘以，这个负八有。这根书上的怎么是一模一样的啊？又分二，二得四，二三得六，六八，四十八，符号负四十八。 好，我们看到第二题，第二题呢？这里 a 减二，咱们提出来第二题啊，原式等于啊，由于时间有的，前面我都没有写 a 减二，那么这里面还留下了一个 a 减二， a 加这个 a 减二，我们要写 a 减二，我们这里就得写加六 啊，所以等于 a 减二乘以。嗯，六减二就加四， a 加四。 好，我们把它带进去，带进去的结果，那就是 a 是 多少呢？ a 是 负二，负二减二，我这里是负二加四，所以等于负四乘以二等于负八。 好，这题比较容易。呃，我们看到这原式等于 a 的 平方， b 加 a， b 上提取 ab， 括号 a 加 b， 然后呢？减去括号 a 加 b。 我 们这里也刚才说的叫分组分解法 啊，英式分解的方法很多种，咱们慢慢的讲。好，这里把 a 加 b 咱们也提出来，留下来是 ab 减一。好，现在才可以带进去。 a 加 b 是 五七减一，等于六五六三十。记得点赞关注哦！
06:01查看AI文稿AI文稿你想因式分解拿高分数吗？请跟我来把你的数学下册的小册六十三页上的回顾。第一题， 把多项式因式分解，因 t 的 公式，多项式因式分解呢？ t 公式我们分三步，第一步，找各系数的最大公约数，这里是四，找相同的字母，有 a 有 b， 对 于相同字母指数，其最低的，这是三，这是二，好，这里是二，这 b 是 一，好四， a 的 平方 b， 那 么第一题我们就选择 d 啊。三步， 好，这里的因式分解我们说，呃，我们可以把后面把它反过来乘出来，三 x 加四 y， 三 x 减四 y， 那 么它就等于九 x 平方减十六 y 的 平方，所以 a 就 等于九， b 就 等于一十六，所以等于九减一十六，那么九减一十六，那么就应该等于负七了。 d 啊，就应该等于负七，好，第三题， x 加二 y， 哎，我们看到这个地方， d 地方 x 平方减四 y 的 平方，就可以理解是 x 加二 y 乘以 x 减二 y， 呃，现在加上这个二 x 减四 y， 我 们提取二，然后 x 减二 y， 好， 我们继续来看呢，这里有 x 减二 y， 咱们再提出来， x 减二 y， 好，现在这里写的是 x 加二娃加 x 加二娃加二，好，把它带进去。嗯， x， 二娃减 x 等于三， x 加二娃，那看到应该等于负三了，编号啊，二娃减 x 等于三， x 减二娃等于负三， x 加二娃等于五，五加二等于七， 所以负三七二十一。那么看到这题就应该写到 c c， 我 们看到第四题， 第四题，他说是一个完全平方式，完全平方式呢，就是首平方，尾平方，接着两边正中央，他就应该是一个什么东西呢？就是二分之一 x， 二分之 x 正负四 y 括号的平方， 大家注意哈，我们从首平方，从尾平方，由于完全平方公式设计了两个，所以我们再把它给展开一下，它等于多少呢？就等于四分之一个平方，正负二乘以二分之一，那这里就是二乘以二分之一。那么还有这个四就是四 x y 加一十六 y 的 平方， 好，现在我们看到负的 k 加一等于正负四，负正四也是正负四， 对吧？ k 就 应当等于四减一等于三，或者是负四减一等于负五。哎呀，这题有两个答案， k 等于三或者是负五，你得小心一点啊，完全平方公式啊，这个设计了两个，不要搞错了。我们看到第五题， 呃，第五题，我们看到这里，它是因式分解，能分到这个，我们把它给它乘出来看一下啊。 x 乘以三 x 三 x 的 平方， x 除以负 n 负 n， 呃，负三三 x 负九， x 负负得正加三 n， 好， 那么现在我们看到这样对比，三 n 就 等于六， 三 n 等于六 n 就 等于二，然后这个负 m 呢？就等于负 n 减九啊，这个 r 加进去就是负 m 等于负二，减去负一是一，负 m 等于正 一是一， m 等于正一是一，好， m 等于一十一， n 等于二加一十一，所以 m 加 n 等于一十三，好，这里我们可以从后面反过来往前面去。第六题， x 减二娃等于三，把它带进去啊，这里就是 x 加二娃乘以 x 减二娃，哪里能化解就从哪里开始慢一点。 x 减二娃等于三，好，就是三倍的 x 加二娃，因为 x 加二等于三减一十二娃，好，再来计算啊， 等于三 x 加六娃减一十二娃。好，继续往下化解，三 x 减六娃，有，哎，现在又可以提起三了， x 减二娃， x 减二百等于三。又来了，三乘三等于九。哎呀，这里的步骤就是一步步的往后面来，您得有点耐心，您得往下揍，对吧？能化解呢，把它化解 好。下面这个因式分解，本来呢，我们要写减元式等啊，因为我在讲的时候，由时间的关系，视频的时间不能太长了，所以有的时候我就省略了很多。三 x 一， 这留下负四啊，还留下 x， 三 x 括号，一减四 x。 好，我们看到下面这个提起 m， m 减二。好， m 减二，提了 n， 所以 这里还留写个 n， n 提完了呦，这里二减 m 离九， m 减二的话，那就要把这个符号变正好了，那就是加一，所以 m m 减二， n 加一。 好，我们看到第这一题，哎，我们先提起 r， a 减 b。 好，我们看到这二， a 减 b， 这里二，呃，这个 b 减 a， 我 们也理解为 a 减 b， 那 么这前面留下一个 a 减 b， 现在小心一点啊。呃，这里的二乘以这个二，这个 b 减 a 减 b 的 话，前面填符号。 哎，那这是负四呢？二，这是负二，所以二的 a 减 b， a 减 b 减二。当然呢，对于这个问题啊，有的同学也可以不一定是这种答案啊，你看，有人等二括号，他提起 b 减 a， 因为这个 a 减 b 的 平方呢，也可以理解是 b 减 a 的 平方，那么就 b 减 a， a 减 b 的 跟 b 减 a 的 平方一样的，对吧？二倍的 b 减 a， 留下 b 减 a， 然后这个 b 减题完了，这二题完了，还有个二，那这里就是加二，二倍的 b 减 a 乘以 b 减 a 加二，所以这两个呢，我们说都是对的啊，大姐你小心一点。 呃，这里有二 x 加一，咱们把它提出来，留下三 x 减二，这里注意减去提起这个，这个平方还有一个二 x 加一，你这样写 就写错了，你的编号啊，这里编号因为时间呢，我这个步骤啊，中间我省略了一些，二 x 加一，现在三 x 减二， x 就是 x 减三。记得点赞关注哦。
06:29查看AI文稿AI文稿这部分的数学容易拿满分的，八年级数学下册课本的一百一十六页纸。我们看到 c 的 练习，把下列各式因式分解，我们看到这里有 a 加 b。 好， 咱们把这个 a 加 b 直接提出来 啊，留下来的就是 x 加 y。 好， 这里有 x 减 y， 咱们提出来，这里有三 a， 三 a 减一，不要忘掉三 a 减一。 好，这里呢，有数字六，然后有 p 加 q， 这里也可以立，就是 p 加 q 啊，括号 p 加 q。 六，括号 p 加 q， 那 么这个贴出来之后留下来的这还有一个 p 加 q， 然后这里呢，这个六提完了，我们就六乘以负二。呃， q 加 p 也是 p 加 q， 负二。好，下一个括号 p 加 q 减二。我们看到第四个 m 减二，这里我们也可以立，就是 m 减二， 所以可以等于 m 减二，这里就是 a 减 b， 因为 m 减二，这二减 m， 我 们离点 m 减二的时候，我们把符号放前面，这样不就有公式 m 减二了吗？所以注意，这里慢一点啊，慢一点，这里 b 要写成负 b。 好，下面我们看到这里呢，是 x 减 y， 这里 y 减 x 的 平方啊。呃，可以理解是 x 减 y 的 平方，当然你不懂的同学，你可以写慢一点，我这里就直接写 x 减 y， x 减 y 呢，那么这里留下来就是二倍的， 对吧？呃，二倍的，所以我们写二 x 减二 y， 然后这里还有三放在那里。二， x 减二， y 加三。所以这里你要是不明白的话，你就多写两步。 好，我们看到第六股有共用式 m， 有 共用式 m 减 n。 哎，我们通常保留这个 g 次方 啊，按着记，因为偶次方的话，它可以换个换个部分写啊， n 减 m 的 平方，那些 m 减 n 的 平方可以，但是 g 次方呢，叫小心一点。好， m， m 减 n， 这也可以立的是 m 减 n， 好， 现在我们留下来啊，我们看一下括号里面，这里还留写个 m， 呃，这里留下了什么呢？ m， 刚才我们说这是 m 减 n 的 意思，所以减去这个 m 减 n， 因为这 m 我 们就提出来了，对吧？这里 m 减 n， 提出来一个，还留下一个，所以这里我们打中国号啊，慢一点啊，这 m 减 m 的 负负的加 n， 所以 我们还得往下写啊，有时一步没有写完整， r n 减 m， 哎，这个稍微麻烦一点。 好，看看下面的音式分解。好，这里有 a， 有 x， 有 y 啊，最低一次面，那留下来，这有 a， x 减 y， x 减 y， 好， 下面这个呢，应该是 有数字三有 x， 好， 我们看到这还有个 x 平方，留下来的三 x， 还留下一个负一 x 负 x， 三 x， 还留下一个什么呢？留下一个三 啊，看清楚，写慢一点。好，下面这个地方呢，那我们看呢，就等于，嗯，负的多少呢？ 好，如果你要不明白的话，那我们可以采取这样的一种办法，你看啊，二十四，一十二，二十八，采取小学的分解，二一十二，二六，二一十四， 好，再用二六二三二七，好，现在不行了，那就说是四数字部分，首先有符号的要提出来啊，刚才跟你说了，注意这点，你听清楚了吗？首先有符号的要先提出来，然后呢，分三步找系数的最大公因子，我们找完了，这样来找，然后找相同的字母，有 y。 好，对于相同字母，我们来找他的几次方，这里，哦，这里是一次方。好，这样公式就找完了。好，把其他的都抄到括号里面。负四乘以六， x 还没拿出来，是吧？好，现在这里负四乘以三，又 x 还没拿出来， y 呢，拿了一个出来，还留下一个 y， 哎，负二十八，负四呢，乘一个七， y 的 立方，说明这 y 拿出来，还有 y 的 平方没拿出来。 好，这里一下，我们仍然也是先把符号提出来，然后呢来找数字，二四六二，这就比较容易，口算就可以了啊，口算不会的话，你就列式子。好吧，你就打彩稿。 负二 ab， 这里还有一个二 a 的 三字旁，那还有 a 的 平方， b 的 三字旁还有 b 的 平方六，负二呢，还有个负三，在这里面有一个 a 没拿走，负二 ab 有 的时候先拿走，我们就打跨，行不？不行，这里加一， 不然你反过来，你就漏掉了一项啊。所以大家你看了我的答案，你跟着我一起来练。好，我们看到第五题，第五题，我们当然也是要把负号先给它提出来， 等于负的，然后有二，有 x， x 最低是一。好看，括号负二 x， 这还有一个 x， 嗯，现在是什么呢？负二乘以那个正六吧， 负二这个真六， y 的 平方，嗯，负二乘以负四， x 拿出来，还有个 y 的 立方， x 加六， y 的 平方减四， y 的 立方。好看，下面也是把符号先提出来，我在这等吧，在哪等呢？在这 等于负三 m a， 负三 m a， 我 们看括号里面负三 m a， 这个 a 的 立方啊，那还有一个 a 的 平方，负三呢，还有一个负二了，因为这里是正六嘛， m a， 那 还有一个 a， 负三呢，就成正四了， m a 呢？拿完了，那就这么写呗。 我们看到第二题利用因式分解来做，那么这个呢，我们就要等于 m 括号，然后 r 一 的平方加 r 二的平方加 r 三的平方， 对吧？咱们然后再把这个 i 给它带进去，三点一四乘以那个，这就是二十的平方加十六的平方加十二的平方，哎，二百五十六加一百四十四，就是四百四百加四百等于这个八百，所以三点一四乘以八百，哎，那就等于二千五百一十二。 好，下面这个呢？呃，有一个 z 提出来， z 括号 x 减 y， 呃， z 等于一十一分之七乘以 x 减 y 一 十七点八，减去二十八点八，那么这个等于负一十一 啊，负一十一，所以一十一月份这个七负七。好，这个呢，就等于 a b 括号留下有 a 加 b， 呃，一个是七，一个是六，就等于四十二。记得点赞关注哦。
15:44查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到知识点小卖铺，今天我们继续学习八年级下册数学核心知识点速通课程。 我们直接进入正题，聚焦八年级下册的核心内容。这一阶段的数学无论是代数还是几何，都比上册有了显著的升华和拓展。我们将系统梳理分式、反比例、函数、勾股定律、四边形以及数据的分析这几个关键章节，帮助大家构建清晰的知识框架。 首先来看分式，分式本质上是整式的升级版，形式是 a 除以 b， 其中 a 是 分子， b 是 分母，而且分母 b 必须包含字母。这里有两个核心概念要牢记。第一，分式有意义的前提是什么？没错，分母不能为零， 这是铁律，任何情况下都不能违反。第二，什么时候分式的值等于零？答案是分子为零，并且分母同时不为零。很多同学容易在这里犯迷糊，只看分子等于零， 忽略了分母的限制，导致结果出错。比如分式 x 减二，除以 x 加三，当 x 等于负三时，分母为零，整个分时就失去了意义。 而当 x 等于二十，虽然分子为零，但此时分母为五，所以分式的值确实为零。这两个条件缺一不可，务必谨记。掌握了分式的概念，接下来就是它的基本性质和运算。分式的基本性质 和我们熟悉的分数非常相似，分子、分母同乘或同除，以一个非零的整式，分式的值保持不变。基于这个性质，我们可以进行约分，也就是化简分式。比如二 x 除以四 x 平方，可以约分为一，除以二 x。 反过来，为了进行加减法，我们需要通分，也就是把不同分母的分式变成同分母的分式，找到最减公分母是关键。 至于运算规则乘法，就是分子乘分子分母乘分母除法呢？记住一句口诀，除以一个分式，等于乘以它的倒数 加减法。同分母直接操作异分母，先通分，再操作乘方，则是分子分母各自乘方。这些规则看似简单，但在实际计算中，尤其是符号和密次的处理上，稍有不慎就容易出错，需要细心。重头戏来了。分式方程， 顾名思义，就是方程里出现了分母含有未知数的情况。解这种方程 核心步骤有三步，第一步，去分母怎么做？两边同时乘以所有分母的最小公倍数，也就是最简公分母。 这样就把复杂的分式方程转化成我们熟悉的整式方程了。第二步，解这个转化后的整式方程，这通常不难。第三步，也是最容易被忽略但极其重要的一步检验。为什么？因为在去分母的过程中，我们乘的那个最简公分母 可能在某些情况下等于零。如果圆方程的解使得这个最减公分母为零，那么这个解就不是圆分式方程的解，我们称之为增根。 检验的方法很简单，把求得的解带回到最减公分母中，看看它是否为零。如果不为零，恭喜你找到了正确解。如果为零，那就说明这个解是增根圆方程。在这种情况下，可能无解或者有其他解。千万别忘了这一步 分时方程不仅仅是纸面上的练习，它在实际问题中应用广泛。想想看，行程问题里速度、时间、路程的关系，如果涉及到不同速度下的时间比较，或者合作完成任务的工程问题，假以两人工作效率不同，一起干需要多久？ 利润问题，成本、售价利率之间的换算，还有浓度问题，加水稀释、前后浓度变化等等，这些场景都可能抽象出分式方程模型。解这类应用题的关键在于准确找出题目中的等量关系，然后建立分式方程。解出来之后， 除了要像前面说的那样检验是否为增根，还要结合实际情况判断解是否有意义。 比如求时间，结果不可能是负数吧，求人数也不能是小数，所以实际意义的检验同样重要。 进入函数的世界，我们先来看看反比例函数，它的标准形式是 y 等于 k， 除以 x， 这里的 k 是 一个不等于零的常数。注意，因为分母是 x， 所以 x 的 取值范围是 x 不 等于零的所有实数。这个函数还有两种等价写法， y 等于 k， 乘以 x 的 负一次方，或者更常用的 x， y 等于 k。 这三种形式要能互相转换。反比例函数的图像非常有特色，它不是直线，而是一条双曲线，分布在两个象限。 k 的 正负决定了双曲线的位置。如果 k 大 于零， 双曲线位于第一、第三象限。如果 k 小 于零，则位于第二、第四象限。更重要的是它的增减性，当 k 大 于零时，在每个象限内 y 随 x 的 增大而减小。当 k 小 于零时， 在每个象限内外随 x 的 增大而增大。这里必须强调是在每个象限内讨论，不能笼统地说 在整个定义域内单调、递增或递减，否则就会犯逻辑错误。反比例函数里有一个非常巧妙且高频出现的考点，就是 k 值的几何意义。这个知识点特别实用，想象一下， 反比例函数图向上任意一点 p， 从 p 向 x 轴和 y 轴分别是 a 和 b， 那么形成的矩形 o p a， b 的 面积是多少？答案就是 k 的 绝对值。同样，如果我们只从 p 向 x 轴做垂线到 b， 那 么形成的直角三角形 p o b 的 面积呢？ 是二分之一乘以 k 的 绝对值。这个性质，无论 k 是 正是负都成立。因为我们讨论的是面积，所以要用绝对值。为什么这个性质有用？因为它提供了一种快速计算特定区域面积的方法，而且 体现了数形结合的思想。考试中经常利用这个性质来解析或者证明。反比例函数的应用和我们之前学的一次函数类似，关键在于根据实际问题建立函数模型。哪些场景适合用反比例函数呢？比如工程问题，如果总工作量固定， 比如挖一条隧道，那么工作效率和所需时间就是反比例关系形成问题。如果总路程一定，比如从 a d 到 b d， 那 么行驶速度和所需时间也是反比例。还有面积问题， 比如一个长方形的面积固定，那么它的长和宽就是反比例。解这类问题的思路一般是先设出函数解析式， y 等于 k 除以 x， 然后根据题目给定的一组对应值，比如某种速度下用了多少时间或者某个尺寸下的面积来确定 k 的 值。一旦 k 确定了，函数就唯一了，就可以根据自变量的取值范围来求解相应的函数值，或者反过来求自变量的值， 核心还是找到那个反比例关系。接下来是第十八章勾股定律。勾股定律是在直角三角形中由形推数值角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，即对于直角三角形的三边， a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方。而它的逆定理是由数推形，用来判断一个三角形是否为直角三角形，两者是互逆的关系。另外有一些经典的勾股数组合，比如三四五、 五十、二十、三七、二十四、二十五、八十五十七，以及它们的整数倍， 比如六、八十，这些都是满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方关系的整数。三元组认识这些常见的勾股数，能在解题时节省不少时间，尤其是在需要快速判断或计算时。 除了正向使用勾股定律求边长，还有一个非常重要的逆定律，它的内容是，如果一个三角形的三点场 a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方的关系，那么这个三角形一定是直角三角形，其中 c 是 斜边。这个逆定理非常有用，它可以用来判断一个三角形是不是直角三角形。勾股定律 及其逆定理的应用场景非常广泛，最基本的就是已知直角三角形的两边长求第三边。 在实际测量中，比如想测量一个池塘的宽度或者一棵大树的高度，我们常常通过构造直角三角形，利用已知距离和角度间接求出目标距离。还有向长方形折叠后求线段长度，或者求圆柱体长方体表面上 两点之间的最短路径。这些问题往往也需要通过展开图形构造出直角三角形，再运用勾股定律来解决。现在我们进入四边形的世界，首先要掌握的是平行四边形。 平行四边形有哪些核心性质呢？主要有三条，一是对边不仅平行，而且长度相等。 二是对角相等，三是连接对角线，他们会互相平分。这些性质在证明题和计算题中都非常常用。那么，如何判定一个四边形是平行四边形呢？有五种主要方法，设两组对边分别平行。设两组对边分别相等。 设一组对边平行且相等。设两组对角分别相等，设对角线互相平分。在实际解析时，要根据题目给出的条件，选择最合适的判定方法。比如，如果题目告诉你一组对边平行且相等，那就可以直接判定它是平行四边形了， 这是一个非常常用且高效的判定方法。在平行四边形的基础上，我们来看看几种特殊的平行四边形。首先是矩形，定义很简单， 就是一个角是直角的平行四边形。作为平行四边形，它自然具有平行四边形的所有性质，但它还有自己的独特之处，四个角都是直角，而且对角线相等。判定矩形的方法也有几种，比如有一个角是直角的平行四边形， 或者对角线相等的平行四边形，甚至三个角是直角的四边形，本身就是矩形。然后是菱形，定义是有一组菱边相等的平行四边形，它的独特性值是四条边都相等，而且对角线不仅互相垂直，还平分一组对角菱形的面积 除了可以用底乘高，还可以用两条对角线长度的乘积的一半来计算。 s 等于二分之一乘 a， c 乘 b， d。 这个公式在已知对角线时非常方便。判定菱形的方法包括有一组菱边相等的平行四边形，或者对角线互相垂直的平行四边形，以及四条边都相等的四边形。 最后是正方形，它是极大成者，既是矩形又是菱形，所以它兼具了矩形和菱形的所有性质。四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直。平分。判定正方形 可以从矩形的角度出发，比如有一组邻边相等的矩形，也可以从菱形的角度出发，比如有一个角是直角的菱形。 除了平行四边形和特殊平行四边形，梯形也是四边形中一类重要的图形。梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。其中，如果梯形的两条腰相等，我们就称之为等腰梯形。等腰梯形有一些特殊的性质， 同一底上的两个底角相等，而且两条对角线也很重要。三角形的中位线 是指连接两边中点的线段，它平行于第三边，并且长度等于第三边的一半。梯形的中位线 是指连接两条腰中点的线段，它平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度之合的一半。这两个中位线定律在计算线段长度或证明平行关系时非常有用。 最后我们来看数据的分析部分，这部分主要学习几个常用的统计量。首先是平均数， 最常见的是算数。平均数就是把所有数据加起来，再除以数据的个数。但有时候各个数据的重要性不一样，这时候就要用到加权平均数。 它的计算公式是各个数据乘以其对应的权重，然后求和，再除以所有权重的和。比如计算学期总评成绩、平时作业、期末考试的权重可能不同，就需要用加权平均数。接着是中位数， 它是将一组数据从小到大排列后处于中间位置的那个数。如果数据个数是基数， 就是正中间的那个。如果是偶数，就是中间两个数的平均数。中位数的一个优点是不容易受到极端值的影响。 比如一组数据里有个特别大或特别小的数，中位数可能比平均数更能反映数据的典型水平。最后是种数，它是指一组数据中出现次数最多的那个数值。种数可以有一个，也可以有多个，甚至没有。种数能快速告诉我们 数据中哪个数值出现的最频繁。除了描述数据的集中趋势，我们还需要了解数据的波动程度，也就是数据的离散程度。衡量这一点的常用统计量是方差，方差越大， 说明这组数据越分散，波动越大，稳定性越差。反之，方差越小，数据越集中，波动越小，稳定性越好。在实际应用中，选择哪个统计量取决于我们的目的。 如果想了解整体水平，用平均数。如果想了解典型水平，且不受极端值干扰，用中位数。 如果想知道哪个数值最常见，用重数。如果想评估数据的稳定性或一致性，那就得看方差了，比如评价运动员的发挥稳定性，或者比较不同班级成绩的均衡性，方差就是一个很好的指标。今天我们系统梳理了 八年级下册的主要内容，从分式的运算与方程，到反比例函数的图像性质与应用，再到勾股定律及其逆定律，以及四边形的各种性质判定和数据的分析方法。这些知识点相互关联，构成了初中数学的重要基础。 希望大家课后能针对自己的薄弱环节进行有针对性的复习和练习。下一节课我们将进入九年级全册的重要基础里，那是中考复习的关键阶段， 今天的课程就到这里，希望这次的速通课程能帮助大家更好的掌握八年级下册的数学知识。祝同学们学习进步，我们下节课再见！
533知识点小卖铺
11:30查看AI文稿AI文稿今天我们讲的是题型四点三。首先我们先来看第一题，把下列各式因式分解来看第一个，第一个，它这里面有两项是差的形式，三十六，我们可以写成六的平方， 因此我们可以利用平方差公式进行因式分解，把它分解成六 加 x 乘上六减 x。 第二个，第二个，里面同样是两项的平方， 两项都是平方的形式，中间是差，所以我们这个可以看成是零点五 q 的 平方，这个看成是十一 p 的 平方，所以它可以因式分解为零点五 q 加十一 p 乘上零点五 q 减十一 p。 第三个，一百六十九是十三的平方， 然后这个四是二的平方，所以我们可以因式分解成十三 x 加二 y 乘上十三 x 减二 y。 第四个，第四个，这里面四十九是七的平方，所以这个可以写成七倍的 a 减 b， 然后的平方十六是四的平方，所以他可以写成四倍的 a 加 b 的 平方，然后我们给他进行因式分解，就等于七倍的 a 减 b， 加上四倍的 a 加 b， 然后乘上七倍的 a 减 b， 减去四倍的 a 加 b， 然后我们给它进行化简，然后上面这个是十一 a 减三 b， 然后再乘上这个是三 a 减十一 b。 好，第五个，第五个，这里面我们首先可以先提公因式，公因式是三 a 提出来之后，第一项剩一个 x 的 平方，第二项剩一个 y 的 四次方， 然后 y 的 四次方可以看成是 y 的 平方的平方，所以它可以写成三 a 乘上括号 x 加 y 的 平方， 乘上 x 减 y 的 平方。然后第六小题 p 的 四次方可以看成是 p 的 二次方的平方， 所以它因式分解之后就是 p 的 二次方加一，乘上 p 的 二次方减一，然后 p 的 二次方减一，又可以看成是 p 加一，乘上 p 减一。 我们再来看第二题。第二题这里面第一个它是有三项，九可以看成三的平方， 四 t 方可以看成括号二 t 的 平方。所以我们可以利用什么呀？完全平方公式进行因式分解，那么它就等于三减二 t 括号的平方， 然后第二个这个四分之一可以看成是括号二分之一的平方，所以他一式分解的结果就是 y 加二分之一的平方。然后第三个二十五 m 方可以看成是括号五 m 的 平方，六十四可以看成是 八的平方，所以他就等于五 m 减八括号的平方。然后第四个我们把 x 加 y 当成一个整体，九是三的平方，所以他可以写成 x 加 y 再加三的平方。然后第五个我们把 b 加 c 作为一个整体之后，他其实就等于 a 减去 括号， b 加 c 反括号的平方，然后我们这个地方给他去括号，就是 a 减 b 减 c 括号的平方。然后再来看第六个。第六个，首先我们先把符号提出来，那就变成 a 减二 a 的 平方，然后 减加上 a 的 三次方，然后这里面共音式是 a， 我 们把 a 提出来，就这个一减二 a， 然后加 a 的 平方，然后这个正好是一个完全平方的形式，就等于负 a 乘括号 一减 a， 或者是 a 减一都可以啊。 a 减一括号的平方，一减 a 括号的平方也可以，这两个是相等的。第三个，已知多项式 x 平方加一与一个单项式的和，是一个多项式的平方，请你找出一个满足条件的这个 单项式，因为他加一个单项式是一个多项式的平方，那我们要知道 x 平方加一，那我们当然是要加一个 二 x 的 话，那他正好就等于 x 加一的平方，这就满足他是一个多项式的平方，其实就是把它配成一个完全平方的形式，所以这个满足天的单项式我们配是二 x。 第四题，如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是大二厘米和小二厘米。求它们所围成的环形的面积啊，那么环形面积就等于大圆的面积减去小圆的面积，大圆的面积是派 乘上大 r 的 平方，然后小圆的面积就是 pi 乘上小 r 的 平方，然后就等把 pi 提出来，就 pi 乘上 r 的 平方减 r 的 平方，然后我们可以进行因式分解，就是 pi 乘上大 r 加小 r 乘上大 r 减小 r， 然后这时候圆环的面积我们可以用这种方法来表示，为什么这样表示呢？因为当我们给这个大 r 和小 r 的 值的时候，我们一式分解之后再去计算，是不是就比较简单？那我们当 大 r 等于八点四五，小 r 等于三点四五的时候，那我们就可以求出来，这个就是首先派是三点一四，三点一四，乘上 八点四五加三点四五，那我就是十一点九，然后再乘上八点四五减三点四五，就是乘上五，然后我们给他进行计算， 最后我们计算的结果在这里面就是一百八十六点八三，然后单位就是平方厘米。 好，第五题观察下列各等式，你发现了什么规律？请用代数式来表示，并说明其正确性。那我们来看一下啊。首先这个 二三四五，这里面很明显是递减，递减递加一的，然后这个四就是二 多了，二五就是三加二，六就是四加二，七就是五加二，然后后面等于的这个前面都是一个负四，对不对？然后后面跟的是三四五六，三是比二多一，四是比三多一，五是比四多一，六是比五多一。所以这里面我们在找规律的时候啊，我们就可以 把这个中间的这个数，比如说当成 n， 或者是把前面的这个数当成 n， 这个都可以啊。那这个题里面，那我们假如说这是第一个式子，这是第二个式子的话，那这里面这个是 n 等于一， n 等于一，那二怎么表示？二在这里面就表示为 n 加一， 然后这个四，那就表示为 n 加一，然后这个三三是不是就可以表示成 n 加二？ 所以我们用代数式来表示的话，就可以得到这样这样一个式子，然后他说让你验证一下，那我们来验证一下，那先来看这个式子等号左边 我们给他展开，如果利用这个因式分解，那他就是 n 加一，加上 n 加三，乘上 n 加一，减去 n 减三， 然后这个就是二， n 加四，乘上这边是一个 n 减 n， 抵消了一减三，就是负二， 然后最后就可以得到它是一个负四， n 减八，然后它的公音是我们把负四提出来，就是负四倍的 n 加二，那右边也是负四倍的 n 加二，所以说它是什么呀？它是正确的 啊。然后我们再来看第六题，第六题他说让你证明任意两个连续基数的平方差是这个八的倍数， 那这时候我们要说的是两个连续的基数啊，我们基数可以用二 n 加一和二 n 减一来表示，那那我们就可以让这两个连续基数，一个是二 n 减一，一个是二 n 加一，然后他们的平方差， 那平方差肯定就是大数。二 n 加一的平方减去二 n 减一的平方，然后他说是八的倍数，那我们就来算一下啊。我们利用这个因式分解，二 n 加一，加上二 n 减一，然后乘上二 n 加一，减二， n 加一， 然后上面这个化简证就是四 n， 然后下面这个化简证他就等于二，然后最后经过计算，他是等于八 n 的， 那等于八 n， 所以 说他就是八的倍数，因为在这里面 n 他 是一个整数，所以第六题是对的。 我们再来看第七题，今有还田中周九十二步，外周一百二十二步， 径五步，问未填几何，他的意思就是说这个内圆的周长是九十二步，然后外圆的周长是一百二十二步，两圆的半径差为五步。然后问你圆环 形填的面积是多少？那我们知道啊，要想求这个圆环的面积，那其实就等于大圆的面积减去 小圆的面积。而对于这个九张算数说，他的算法是两圆周长之合的一半，与这两圆半径的差的积就是圆环的面积。那我们来看一下为什么啊？首先我们先去求这个圆环的面积的时候，他应该等于 大圆的面积减去小圆的面积，对不对？那我们提取这个 pi， 就 等于 pi 乘上大 r 的 平方减去小 r 的 平方，然后这后面可以进行因式分解，就等于 pi 乘上大 r 加小 r 乘上大 r 减小 r 的 形式。 然后那如果说我们要利用周长的和去求的话，那首先这两个的周长就等于二派 r 加二派 r， 好， 我们把二派提出来，就等于二派乘上大 r 加上小 r， 对 吧？然后这时候 我们就可以得到这里面的派派，在这里面等于什么呀？就等于这个 c 一 加 c 二，然后 除以二，这个派乘上这个派乘上大 r 加小 r， 就 等于二分之 c 一 加 c 二。为什么要这样呢？因为你看他说 两圆周长之和的一半与这两个圆半径差的积，你看两圆的半径之差是不是他？ 然后周长和的一半，他在这里面是不是派倍的大 r 加小 r 是 不是正好是他？所以他俩之积就是圆环的，就是这个圆环的面积，所以这个是正确的啊。然后我们可以给他进行计算，代入公式之后，最后等于一百零七步， 这就是我们今天讲的 ct 四点三，你学会了吗？
119周末老师的日常
01:18查看AI文稿AI文稿朋友们好啊，今天继续给大家整理八年级下册数学的全册预习重点预习，抓主线，破难点，按章节拆分，明确核心重点，预习关键易错点，方便直接用来规划预习，精简实用。今天关注第四章因式分解。一、 核心重点，因式分解定义，把多项式化成整式乘积形式与整式乘法互逆两大基本方法，提供因式法和公式法，平方差公式必背数。 二、预习关键，先练提公因式法，再练公式法。注意公式的特征，平方差是两项，平方差完全平方是三项，有两数平方和还有乘积二倍，避免用错。公式。三、易错点，提公因式要提彻底，符号别出错。 公式法要先判断是否符合公式特征再套用。如何才能提高预习效率呢？给大家分享几个实用的操作方法。一、 先看教材立体，先精读教材，再看例题步骤，搞懂每一步的依据。二、抓核心公式，把相关定义、因式分解公式抄在笔记本上反复记。三、基础题优先，练预习时不用攻难题，重点做教材课后基础题，夯实基础比刷难题更重要。 四、标记疑问点，遇到不懂的地方做好标记，开学后重点听老师讲解，针对性突破。
104初中数学肖老师
