湖北中职数学母题公式大全
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02:25查看AI文稿AI文稿同学们，咱们这条视频来讲一下三角函数啊，两角和与差的题型，咱们先来看一下第一题，计算这一块相加的值为多少，对吧？想计算这种题型的话，我们得记一个公式啊。来，同学们，把这公式记一下， sine 括号加减 贝塔括号等于 sine alpha 乘以 cosine beta 加减， cosine alpha 乘以 sign 贝塔啦。好，我们把这公式记一下啊。来，我们就对应着看呗，这个很明显就对应的这个这一块的，对吧？那 alpha 对 应的就是三十度嘛，对吧？ beta 对 应的就是这个三十度啊，那也就是等于这一块东西就等于 sign 的 alpha， 我 们知道就三十度，就三十度，来加上贝塔，我们也知道是三十度，对吧？就等于 sin 的 六十度呗。那 sin 六十度等于多少呀？就二分之根号三吗？啊？就 c 选一下。好，再来看一下第二题，来，同样的计算这一块相加的值等于多少，对吧？好，那这个呢，我们要记一个公式了，括塞的啊， cosine 括号 alpha 加减贝塔。括号展开就是 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔。记得啊，这里有点不一样了啊，这里是加减，这里就是减或者是加啊， sign alpha 乘以 sign 贝塔。好，来了，我们观察一下这一块东西，对吧？它相加的对吧？相加的话对应的就是 cosine 相减的呗，对吧？相加它就相减了，也就是这里七十五度对应的就是 alpha 四十五度对应就背他呗，对不对？也就是七十五度减去四十五度啊。那有同学问了哈，他说这里是相减，为什么对应的这里，这里是相加，为什么对应这里是相减呢？那我都说了吗？你看观察这一块东西，这里面是加， 展开就减，这里面是减，展开就加啊啊，同学们，这里要记好，不要搞混啊，这里有点绕。好吧，那也是得出来就等于 cosine 的 三十度，那 cosine 三十度我们知道它就是等于 二分之根号啊，二分之根号三就是 a 选项啊，答案就是选 a。 好， 这条视频就讲完了。
06:40查看AI文稿AI文稿也是二选一，股份百分之百考。那么项链的垂直公制是怎么样？它也是一样，比如说有个项链 a， 它是怎么样？ x 一 y 项链 b 等于什么？ x 二 y 二，那么如果 若向量 a 垂直向量 b， 那 有什么情况？ x 一 乘 x 二，加上 y 一 乘 y 二，直接反手乘个例， 这个就叫什么向量的形式，公式非常的简单，就是 x 乘 x 加上 y 乘 y 乘 y。 好， 我们继续将这个题目来进行粗细讲。 good， 那 我们看着这样的情况比较多了，对吧？它是怎么说的？向量相互垂直的一组向量是我们的，垂直又怎么样？ x 一 乘 x 二加上 y 一 乘 y 二等于零，那我们来练习一下， 这个是 x 一， 是 x 二三乘四，加上什么？ y 一 y 二 负二乘负六就等于九，前面三四十二加上等于负二乘负六十二等于多少？十二加十二，二十四不是等于零，不是。这个 b 选项 x 一 x 二三乘负五，对吧？要加上负乘上 前面三乘负五等于负十五，加上这个多少？负五乘三也等于负十五， 所以负十五加负十五就负十五，正负的负减十五，但是负三四不是，这个要 c 选项， x 一 x 二单乘负五，加上什么？负五乘负三， 负五乘负三，前面这个是负十五，加上这个是 加上这个负负得正负十五加十五等于零就 ok， 很 明显这里选的是 c， 那 么 d 选项我们也稍微算一下， d 选项是负三乘四 加上多少？二乘负六等于多少呢？负十二加上多少？负十二，负十二减十二等于负的二十四，很明显，这个对吧？ 很明显这题到底就选 c 了，对吧？就是很简单的计算，我们看一下长值， 已知向量 a 一 一向量 b x 二分之一，且 a 垂直 b x 的 值，那就来了，对吧？如果 a 向量 a 垂直向量 b， 那么就这么， x 一 乘 x 二加上 y 一 乘 y 二，是等于等于零的，我们看一下，这个是 x 一， 这个是 x 二，呃，这个应该不是 x， 应该是 y 一， 我们改一下，改为改一，改 好的，就是 y 一， 这个是什么？ x 二，这个是 y 二，所以我们看 x 一 乘 x 二，就是一乘 x， 对 吧？加上 y 一 乘 y 二， 我们看一下，是加上 a 乘 y 就 等于一乘二分之一等于零，一乘 x 乘 x 一 乘二分之一等于二分之一等于零。移过来， x 等于负的二分之一，很明显减去 a， 这个题很简单，对吧？这种题都是非常的简单。 good， 我 们看一下这个三十三 d 二十三 d， 它给了个什么？项链 a， 项链 b， 你 要这里是 a 加 b 与 a 垂直，那么跟跟前面相同，这里是不是有个 a 加 b， a 加 b 呢？像这种 a 加 b 是 怎么做的？那它是这样的。六、 a 是 什么？ x 一 y 一 b 是 怎么样？ x 二 y， 那 么 a 加 b 怎么怎么求？ a 加 b 是 什么？ x 一 加 x 二， y 加上 y 二，对吧？直接加就行，非常简单。那我们来看一下，把 a 加 b 求出来， a 加 b 是 等于什么？然后等于这个一加二，然后是一加 m， 然后就等于多少放一加 m， 是 吧？搞定， a 加 b 求出来， a 加 b 是 等于三，一加 m， 然后啊， a 是 多少？ a 是 一一，所以这两个 a 加 b 啊，垂直 a， 那 还是一样，就是 x 一 乘 x 二加上什么 y 一 y 等于零， x 部分这个是三，这个是一，所以怎么样三乘一加上什么一加 m， 一加 m 要乘一，要是等于零的，你就是三加一加 m 等于零，你就数出来四加 m 等于零，移过来 m 等于多少？复习， 对吧？你得复制，所以这可以选那个什么 a 选项。好的，那我们继续，呃，继续下一个部分的学 习。这个前面那基本上这套公式就行。还有的三角，三角函数的。
02:20查看AI文稿AI文稿同学们，咱们这条视频呢，讲一下函数最小正周期这种题型该怎么去解啊？咱们主要就记两个公式， sin 跟 cosine 的 最小正周期公式啊。 好，那 sin 跟 cosine 的 最小正周期公式呢？是一样的啊。啊，是 t 等于二 pi 除以我们改的绝对值好吧，那天整的呢啊，天整是 t 等于 pi 除以我们改的绝对值啊，它们相差就一个二好吧。好，咱们先看一下第一题， 第一题 y 等于 sine， 二 x 让我们求它最小正负奇是什么对吧？那首先我们就套用 sine 的 最小正负奇公式呗，对不对？ t 等于二 pi 除以这个 omega， omega 是 什么呀？ omega 就是 x 前面的数啊，二好，套进去呗，就二 pi 除以二嘛， 答案就是约，相约啊，相约，答案就是 pi。 好， 再来看下第二题，第二题求这个 y 啊，这个式子 啊的最小正容期是什么对吧，观察一下啊，这个是 cosy 的 对吧？ cosy 的 话它的最小正容期公式就是 一样的，跟三引啊， t 等于二派除以欧米伽的绝对值同样，我们找出来欧米伽。欧米伽是什么呀啊，就是 x 前面的啊，东西二派嘛，好，带进去就除以二派，答案就一嘛，答案就一。 再来看一下第三题啊，第三题观察一下，是 sin 的 sin 的 话就一样道理呗， t 等于二派除以着欧米伽嘛，欧米伽就是 x 前面的数，二分之一，二分，二派除二分之一的话，答案就等于四派，对吧？答案四派。 好，那改一下啊，改一下，把这个前面改成是天数呢，天数的话一样道理嘛，就套公式呗，套的是 t 等于派除以 omega 的 绝对值，对吧？好，那我们就算一下啊算一下。 那就是啊，改成是 y 等于天数二 x 啊，算一下它的最小作用是多少呀？啊，就套这个 t 等于 pi 除以欧米伽的角值，那欧米伽同样就是 x 前面的数码二吗？对不对？套进去啊？答案算的就是二分之 pi 啊，就那么简单。 好，剩下的四五这两道啊，同学们就回去做一下，有做的时候就把答案写在评论区里。好，拜拜。
06:58查看AI文稿AI文稿来，同学们看一道等差数列啊，已知 sn 其中的几个关系，然后求你的通项公式，还有求 b n 啊， 设 n 的 话呢，是等差数列，前项和的话呢，是 sn， 然后 s 五等于三倍的 s 三减去个二， a 三等于二倍的二倍的 a 二减个一啊，第一问的话呢，求通项公式，你看啊，就很明显这个，还有这个哪个比较好算一点？ 是不是 a 三等于二倍的 a 二减个一，那人家告诉你了，是不是已经告诉你是等差了，对吧？那么等差数列什么 a 三的话呢，是不是就等于 a 一 加上个二 d 啊，对吧？来，那 a 二的话呢，是不是 a 一 加上个 d 啊， 然后再加再减个一啊，对吧？来，简单化简一下，你可以看到一件什么事啊，你就瞅着，这的话呢，是不是 a 一 加上个二 d 等于个二， a 一 加上个二 d， 再减个一， 对吧？那到这的话，其实很明显的，这边有二 d， 这边有二 d， 是 不是消掉了，然后你再挪一下的话呢，是不是把一挪到这边去，然后把 a 一 挪过来，是不就是 a 一 等于个一啊？ 啊？所以第一件事其实你是求出来的 a 一 啊，然后下一步的话呢，你要注意啊，是不是肯定用到它了，对吧？那 s 五等于个三倍的 s 三减了二啊， 你注意一下，这里边的话呢，有一个东西， s n 啊，等于什么？是不是二分之，你可以写成 s n 等于二分之 n 倍的 a 一 加 a n， 对 吧？ 你可以写这个，但是这里边我们用到的是哪一个是 n？ a 一 加上个二分之 n 乘 n 减一倍的 d 啊，这个也是我们很常用的啊，这个一定要记住的来，所以往里代一下啊，是不是 s 五的话呢？也就是谁 是不是 n 变成五，也就是五倍的 a 一， 然后加上一个二分之五乘上个几，是不是乘个四啊？然后他背的 d 啊， 然后再等于谁是不是三倍的，谁来把它代一下，是不是三？ a 一 加上一个二分之三乘二倍的 d 啊，然后再减个二啊，然后你注意一下 a 一 是不是已经告诉你等于一了， 对吧？那 a 一 等于之后的话呢，我们是不是可以直接把 a 一 整没了吧？你就别写了啊，就整没了，是不是就五加上个二分之几，这是不是四和二一消剩个十倍的 d 啊？ 对啊，然后这边的话呢，是不是三乘上个几来？三乘上个里边是不是三加上个三 d， 然后再减个二，嗯，然后再化简一下，五加上个十 d 等于是不是九加上个九 d， 然后减二， 对吧？那所以到这之后很好算了，这边是十地，这边九地是不是把它挪过去，对吧？那你把它挪过去之后的话呢，这边是不是就变成地了，对吧？然后等于几？这是不是九减二，是不是变七啊？九减二变七，你这边五再挪过来是不是就变成七减五， 减五的话是不是等于二？所以求出来了来，是不是到这了， a 有 了 d 有 了 a， n 的 话呢？等于啥？等差啊？ a 的 话 a n 的 话呢，是不是等于 a 加上个 n 减一倍的 d 啊？ 来，带进去一下，等于几？ a 一 告诉你了，是一加上一个二倍的 n 减一来等于几，是不是二 n 啊？ 本来减二，是不是现在减一啊？这个就是你的同样公式啊。第二问的话呢，令 b n 的 话呢，等于 a n 乘上 a n 加一分之一啊，然后让你去求 b 一 加到 b 五，这个你说老师，那我上来先干嘛？ 是不是先至少把这个 b n 我 们写出来，对吧？ b n 的 话呢？写出来你的 a n 我 们是知道的，是不是二 n 减一啊？来， a n 加一等于几？ a n 加一是不是二 n 加个一， 对吧？你把这个变成 n 加一嘛？本来是减一，然后里边再加个二，是不是变成二 n 加一分之一啊？ 然后的话呢，这里边有一个很大的问题啊，有一个东西叫做列项向消啊，列项向消怎么消来着？它的话呢，是不是等于二分之一倍的二 n 减一分之一，减去个二 n 加一分之一啊？ 啊，这是列项相消啊，也是我们尽量要去记住的。所以对于我们而言的话呢，来，你的 b 一 加 b 二，一直加加加，加到个 b 五等于啥？是不是二分之一倍的？什么？ 这是不是 n 等于一的时候，这是不是二乘一减一分之一是不是就是一啊？ 是不是一减去个三分之一啊？加上个 n 等于二的时候，是不是三分之一减减去个五分之一啊？然后加上一个五分之一减七分之一， 然后再加上个七分之一，减九分之一，再加上一个九分之一，减去十一分之一啊， 对吧？嗯，到这一定是要理解的啊，然后，所以你到这因为一共五项吗？我们都写出来就行啊。你这的话呢，减三分之一加三分之一啊，这是不是没了？减五分之一加五分之一是不是他也没了？减七分之一，减九分之一，是不是都没了？最后就剩谁了？ 是不是就剩个一减去个十一分之一啊？所以就等于什么？是不是二分之一乘上个几？ 一减十一分之一，是不是十一分之十啊？对吧？来把它化简一下，等于几？是不是十一分之五啊？ 嗯，呃，整个这道题的话呢，它的复杂程度稍微复杂一点啊。如果说你在考试中，你说老师我确实写不了这么全的话怎么办？就至少首先第一个，第一问你是要写出来的， 就这个分你尽量是要拿到的。然后第二问的话呢，你的这个 b n 通项啊，你写到这啊， 就是 b n 等于二 n 减一乘上二 n 加一分之一。后边呢，你说老师我确实不会写了，不会写就不会写了 啊，或者说是你真能写到这的话呢，你把它写出来啊，算不出来，最后结果，扣个结果分也没有什么大问题。 呃，这个是二零二四年的河北省的职教高考的真题的第三题啊，就是关于咱们等差熟略这些相关的问题啊，有什么问题的话呢，随时和老师说。
98教数学的孙老师
02:05查看AI文稿AI文稿同学们，咱们这条视频呢，讲一下三眼的二倍角啊，这种题型该怎么去做啊？来，首先呢，我们想做重题型的话，我们得知道三眼二倍角，它展开有个公式，三眼二阿法等于二，三眼阿法乘以 cos 阿法啊，这公式同学们要回去记一下。 来，我们先看一下题目，他说已知三眼阿法加上 cos 阿法等于二分之一啊。首先我们想做重题型的话，就左右两边啊，加个平方， 左右两边加个平方嘛，也就是这边加个平方的话，也就是撒引 alpha 加上 cosine alpha 加平方， 先加个括号啊，平方等于来，右边也是加个平方，也就是二分之一的括号平方，对吧？好，左边平方展开就是变成了撒引平方 alpha 加上 cosine 平方 alpha 加上二 cosine alpha 乘以 cosine alpha， 对 吧？然后左边要知道怎么展开啊，那右边呢，平方的话，二分之一的平方就等于四分之一呗，对吧？好，那我们得知道啊， sine 的 平方加上 cosine 的 平方，它是有个公式的， sine 平方加上 cosine 的 平方是等于一的啊，这公式同学们要知道要回去记一下，那我们也就相当于就知道这一块是等于一了呗。一加上这一块， 那这一块是不是很熟悉啊？就是我们刚写的这个位置，对不对？它就是等于三引二阿法，好，等于四分之一，那现在题目上叫我们求的是三引二阿法，对吧？就求的是三引的二倍角，那就求它呗，对不对？ 那我们直接把一移过去，答案不就出来了吗？记得啊，移项呢，同时要记得编号一移过去要变成负一，也就是三引二阿法等于四分之一，减去一啊，那答案就是四分之一减去把一变成跟它同分母嘛，也就是四分之四， 答案就是负的四分之三啊，最终结果就是负的四分之三啊。好，这道题就讲完了，你有没有听懂呢？最后为了解面，同学们到底有没有听懂啊？这道题就留给同学们去做，有做出来就把答案写在评论区里。好，拜拜。
06:35查看AI文稿AI文稿同学们，咱们这条视频呢，讲一道函数的大题。好，咱们先来看一下题目，已知函数 y 等于这个式子。第一问，我们求什么呀？求函数的最小正周期，对吧？那最小正周期呢？有个公式啊， t 等于二派除以欧米伽。 那我们想算出这个最小正周期，那就要把这个欧米伽给求出来啊，求出来之后，往这里面一带，最小正周期就出来了啊，怎么求这欧米伽呀？需要把这个他所给的题目 sin 括号这一块把它先展开啊，展开去计算，欧米伽就出来了。好，展开的话， sin 括号展开，它有一个公式啊，来，我把这公式写一下。同学们，回去记一下。 sin 括号， alfa 加上贝塔展开就是撒引 alpha 乘以 cosine 贝塔加上 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔啊，这就用 cosine 括号展开的形式。好，现在我们把这一块把它展开吧， 就对照着这个公式去展开嘛，就是括号六分之 pi 加上二 x 展开就是 cosine 的。 六分之 pi 乘以 cosine 二 x 加上 cosine 六分之 pi 乘以 cosine 二 x 减去 cosine 二 x， 对 吧？这减 cosine 二 x 是 后面的嘛，对不对？好，咱们现在对吧，再进行下一步。那 cosine 六分之 pi 是 等于多少呀？那 cosine 六分之 pi 相当于就是一百八十度， pi 就 一百八啊，除以六，那就是 cosine 三十度啊，那 cosine 三十度的话，它的数值是什么呀？啊，它就是二分之一，那不会的同学啊， 那就要看一下这个啦，就要记一下啊，三角函数特殊值 sin 三十度对应的就是二分之一啊，这个三角函数特殊值，同学们，不会的啊，要回去赶紧背了啊。 好，现在我们知道 sin 三十度就是二分之一，再乘以 cosine 二 x 加上 cosine， 这个也是 cosine 三十度等于多少呀？二分之根号三啊，好，乘以 cosine 的 二 x 减去 cosine 二 x， 好，来了，我们观察一下，它跟它是不同类象，对不对？可以相合并嘛。所以说我们先把这一块的东西啊，中间这一块把它提到最前面，二 x， 二分之根号三， 撒引二 x， 好， 二分之一 cosine 二 x 减去一 cosine 二 x 就 等于减二分之一 cosine 二 x 嘛，对不对？好， 现在啊， sine 二 x 跟 cos 二 x， 我 们先把它提到前面来。都提到前面啊， sine 二 x， 好， 这里 sine 二 x 乘以这个二分之根号三，那二分之根号三，我们就把它变成 cos， cos 多少呀，就是 cos 六分之 pi 嘛，对吧？好，这里我们就把这个是减号，减号先写上这里 cos 二 x 同样跟它是提到前面去。 提到前面去先啊，这有二分之一，塞多少多少度等于二分之一啊，就是塞引的三十度嘛，六分之派啊。 所，所以我们首先啊，先把它变成这个形式，塞引口，塞口，塞塞引的形式，你看，就跟它一样，塞引口，塞口，塞塞引的形式。行啊，好，变一下，然后现在就把它给合并一下。怎么合并啊？就像它一样把它合并成这种形式嘛，把它 而变成啊，就这种形式就等于 sine 的 i， 那 这里的 alpha 对 应的就是二 x 嘛，对不对？所以说就是二 x， 那 这里是减号减去，那贝塔对应的是什么呀？贝塔对应的就是六分之派，所以说减去六分之派啊， 好，也就是 y 就 等于它了啊，现在我们就把它合并成这种形式了。那现在就可以算阿尔法了啊，现在就可以算这个欧米伽了。欧米伽等于多少呀？就看这个 x 前面这个数啊，二就是欧米伽，所以说欧米伽等于二， 现在就把这个欧米卡等于二带到这里面去呗。所以说啊，二派就除以二嘛，对吧，除以二的话就等于派了呗。所以说啊，最小这种奇就等于派啊，就这么算。好吧， 好，咱们再来看一下第二题啊。第二题，当 x 取和值时，函数有最大值。最大值为多少呀？那最大值为多少？就看这个撒引 啊，这个括号，这个整体的前面啊，前面就是一嘛，所以说最大值是一。好，咱们再来看，当然 x 取和值时，函数有最大值呀。好想算这个 x 取和值，咱们就看这里面的啊，这里面的东西二 x 减去六分之派取和值时，它有最大值，就是等于二分之派加上二 k 派， k 属于整数。 像这个啊，等于二分之派加二 k 派的话，就是有最大值啊。好，那咱们就要把这 x 算出来嘛。怎么算啊？就把这个 六分之派移过去啊，移过去记得要编号负的。六分之派移过去就变成正的啊，加上六分之派，再加二 k 派。好，这里算一下啊， 那二分之派加六分之派，对吧？算一下就等于三分之二派啊，那不会算，同学呢，好，这里讲一下，就把它们通分嘛，分母变成一样的，都变成六呗。那这里的二分之派怎么变成六啊？就乘一个三嘛，对吧？就变成六分之 啊，三派，对吧？下面乘一个三，那上面要跟着乘一个三啊，所以说就六分之派加上六，六分三派加上六分之派的话就是六分之四派，六分之四派到约分，对吧？就等于三分之二派，就这么来啊。好，再加上一个二 k 派， 好，这里还没完啊，要把这个 x 解出来嘛，所以说这个二要移过去，移过去的话相当于就乘以二分之一，对不对？所以说这里就算的是六分之二派，那这里六分之二派的话，要化简就变成了三分之派， 再加上二 k pi 啊，答案就出来了，所以说 x 就 取它的时候啊， x 取它的时候就有最大值好吧。好，所以说要写成截集啊，解集的形式，最后要写成解集的形式， x 等于三分之派加二 k pi， k 属于整数啊，这时候就有最大值了，最大值是为一啊，最大值为一。好，这道题就解完了，你有没有搞懂呢？就为了检验同学们到底有没有搞懂啊。老规矩就出来，到同类型，同类型同学们回去做一下，有做出来就把答案写在评论区。好，拜拜。
03:08查看AI文稿AI文稿同学们，咱们这条视频呢，讲一道二次函数啊，求最小值，最大值，这种题型该怎么去解啊？好像这种题型呢，首先我们先把这个对称轴先解出来，对称轴啊，有个公式， x 等于负二， a 分 之 b 啊，这个公式同学们要知道算对称轴的。然后来我们就把这个 a 跟 b 先找出来吧，同学们要知道 a 跟 b 是 什么啊， a 是 x 平方前面的数啊，一一一般会省略掉，不写，同学们要知道啊，所以说 a 等于一的来， b 等于 等于什么呀？就是看这 x 前面的数啊，四啊， b 就 等于四了，好，带进去算得 二乘一分之四，对吧？那解出来对称轴就是负二啊，好，对称轴解出来了啊，来，我们就大概的画一个草图啊，草图，同学们要知道怎么画图啊， 对称轴有什么作用呢啊，就体现在这里了。来，我们知道对称轴 x 等于负二，对吧？好，先把负二标出来，在这，对吧，对称轴的作用就是说啊，有一条啊，虚线啊，关于这个 有一条虚线啊，是在这个负二上面的啊，咱们先画一个虚线在这个负二上面的，然后呢，二次函数它的图呢，像一个碗状的，开口向上或者向下的，到底开口向上还是向下呢？就看 a， a 大 于零的开口就向上， a 小 于零的话开口就向下啊， 好，很明显，这个题的话， a 对 吧，我们刚找出来，是 e 吗？大于零开口就向上呗，对吧？好，他的图呢，就关于这个虚线对称啊， 啊，大概就长这样子。好吧，好，来，现在咱们就把这个负三跟六也标上去呗，负三跟六大概就是在这个位置呗，负三对吧？好，六呢？大概就右边一些啊，右边一点对吧？好，来观察一下啊， 观察一下这个图，负三对应上去就是这个点，然后负二对应上去就是这个点，然后六呢？对应上去，就这上面啊，来观察一下，叫我们求最小值跟最大值，对不对？很明显最小的就是 负二对应的这个点是最低的，对吧？所以说最小值啊，来，六他对应上去这个点是最高的，说明他是最大值啊。所以说我们要想算最小值跟最大值，就把这个负二带进去 算的它的 y 就是 最小值，把这个六最高点啊，六带进去算的 y 就 最大值。来算一下带呗，把 x 等于负二带进去啊，带入对吧？带入算的它的 y 就是 最小值嘛，因为负二是最低点，最低点算的最小值啊，就这个逻辑好，算一下 算的 y 就 负二，也就是负二就是最小值。好，最大值什么呀？就把它这个六对应上去最高点，对吧？那六带进去呗，算的就是最大值啊，六带进去算一下， 那就 y 就 等于六的平方，加上四乘以六加二，对吧？解出来就等于六十二了，六十二就是最大值，就这么简单。好，剩下第二题就留给同学们去做，有做出来就把答案写在评论区里。好的呗。
02:43查看AI文稿AI文稿欢迎回来，各位忠实的黑马，今天呢，继续跟林老师来练习诱导公式，那么在之前的视频呢，我们已经系统的学习了诱导公式，总结为了两句口诀，既变而不变，符号看象限。那么如果对这些啊诱导公式不熟悉的同学，请考古老师之前的诱导公式的视频。 那么在之前的视频我们也已经知道，在已知三角函数的角度来求三角函数的值，利用这个公式怎么去用？好，那我们今天继续在已知三角函数的值啊，来求另外一个三角函数的值，怎么去求？那么这个题呢，请各位同学暂停，自己试试吧， 好，答案呢，是 b， 你 们做对了吗？所以我们再根据之前的视频的总结来看一下啊，先把式子里面的角都统一成 r 法，也就是说把一百八加 r 法，九十加 r 法跟二百七减 r 法，三百六减 r 法，全部都把它画成 r 法， 那怎么去画呢？要导公式对吧？然后呢，再利用三角函数之间的关系求值，例如平方关系跟商数关系。好，那我们继续。 首先呢，这边呢，角度啊角度咱们不是很熟啊，不亲切，所以呢，咱们把它画成弧度。那么首先一百八加二反呢，就是派加二反，九十度加二反呢，就是二分的派加二反。好，继续， 那么上引派加二反呢，会等于负的上引二反，扣上引二分的派加二反呢？啊，这里是即便无变了啊，因为它是基数倍，所以呢，余弦变正弦，然后呢，再看他的那个正负九十度呢，加一个锐角倍，所以呢，余弦变正弦。然后呢，再看他的那个正负九十度呢，余弦变正弦，然后呢再看他的那个正负九十度呢？负三弦变正弦，然后呢，再看他的那个正负三弦， 所以呢，我们得到了啊， sine alpha 呢是二分之 a。 好， 这里就是左边，搞定，我们再来看右边，那么右边同样也是角度，咱们呢把它画成弧度， 变成这样子。好，继续，这里是基变无变了啊，三是基数，所以需要改变函数名称，变成 sine 二百七十度减 alpha 呢在第三项线，第三项线呢是 y 选的是负的啊，所以这就是负的。 再来啊，这里啊，派啊，直接无视啊，拿掉，那就变这里变成了负二法。最后呢，再把这个啊负二法的符号给提出来，对吧？这又这又是这个上引的用的公式就得到了呢，负的上引法减去两倍上引法。 那么好做到这里呢，我们也知道啊，在左边呢，我们也得到了，上引 r 法，等于二分之 a。 好， 我们继续，那么这里会得到呢，负的三倍上引 r 法，那么上引 r 法呢，等于二分之 a 啊，代入得到的最后答案呢是负的二分之三 a。 各位同学，你们是这么做的吗？ 好的，我们再总结一下啊，在做这样的题的时候呢，咱们先把这个角呢都统一成阿尔法，如果需要用到同角三角函数之间的关系的时候，咱们就用，例如平方关系跟商数关系，那么这个题呢，就没有用到，对吧？好的，各位同学呢，有任何疑问欢迎在评论区留言下课。
01:44查看AI文稿AI文稿欢迎回来，各位忠实的黑马，今天呢，继续跟林老师练习诱导公式，那么在之前的视频呢，我们已经系统的学习了诱导公式，总结为两句口诀，即变偶不变符号看上线。如果各位同学对这些公式不熟悉的话，请考古老师之前的诱导公式的视频。 那么好，在上上个视频，我们已经知道啊，怎么通过已知角度来求三角函数的值，那么今天我们要接触一下，在已知一个三角函数的值，要求另外一个三角函数的值。那么在这个题里面啊，老师已经给出了提示，各位同学请暂停，自己试一试吧。 好的，答案是，第一，你们做对了吗？那么好，首先呢，我们需要把这个上引 pi 法等于三分之一，这个呢是诱导公式， 再来啊，上引法呢，就会等于负的三分之一把符号移过来。最后呢， r 法呢，它是第四象限角对吧，那我们再求 cosine 法， cosine 法呢，可以通过平方关系啊，把它算出来，因为它是第四象限角，所以呢，咱们这里是个正的啊，是个正的。最后呢， tan 呢，就是塞比扣，答案呢，就是负的四分之根号二，各位同学，你们是这么做的吗？ 好，我们来总结一下啊，首先呢，需要把这个派加法的派给消掉，也就是统一角啊，然后呢，再把这个 cosine 加法呢，通过同角的三角函数关系把它求出来，也就是平方关系。 所以呢，咱们在诱导公式，在已知一个三角函数值，求另外一个三角函数的时候，先看看啊，需不需要把这个四角的角都统一成 r 法。然后呢，再利用这个同角的三角函数之间的关系求值，例如平方关系和商数关系。好的，有任何疑问呢？欢迎在评论区留言下课。
05:15查看AI文稿AI文稿等比数列已知 s n 求 a n 通项公式啊！第一问的话呢，这个已知前 n 相和 s n 的 话呢，是二 a n 减二啊。然后第一问的话，让你去求 a n 的 通项公式，这里边的话呢，求通项公式啊！第一问，你就始终记住一点，先求一下谁 先求一下 a 一 啊？也就是 n 等于一十， n 等于一十的话呢？ s 一 是不是等于 a 一 啊？对吧？那所以我们拿过来的话呢？来这是不是变成 a 一 了？ a 的 话呢，是不是等于二 a 一 减二啊？然后很容易你可以得到，是不是把二挪过来，把 a 一 挪过来，是不是可以求出来 a 一 等于个二啊？ 对吧？那求出来 a 等于二的时候，然后此时我们再去讨论谁是不是 n 大 于等于二十， 然后来 s n 我 们已知的是不是二， a n 减二，对吧？然后 s n 减一是不是等于二 n 减一减二啊？ 然后你注意一下， s n 减去， s n 减一啊？这是不是就是我们数列里边一个必须要知道的点，就是 s n 减去， s n 减一，是不是就是 a n 也就是 a n 等于谁？是不是它二 a n 减二减去个二， a n 减一再减二啊？ 然后简单化简一下，这有减二，这是不是也有一个减去负二，就是变成加二，所以它就没了啊？所以的话呢，是不是 a n 等于个二， a n 再减去二倍的 a n 减一啊？ 然后再怎么化解一下？把它简单挪一下，是不是把它挪过来，把它挪过来是不是就变成二倍的 a n 减一等于二， a n 减 a n 是 不是等于 a n？ 那 所以再把它挪到这边去，是不是就是 a n 比乘 a n 减一是不就等于二啊？ 那这个是什么？什么？那个向量是不是就是等比向量，就是后一项除以前项就等于二啊？所以的话呢，这里边它其实就等于谁？是不就等于 q 啊？ 那就等于 q 了， a 一 知道 a 等于二，然后 q 还等于二，所以 a n 的 话呢，是不是等于 a 乘上了二的 n 减一次方，也就是是不是就等于二乘上了二的 n 次方啊？ 对吧？啊，这就是第一问啊，我们求出来的 a n 的 通项公式，然后第二问的话呢，来 b n 等于个它啊。首先第一步的话呢，我们是不是需要把这个 a n 给我带进去？ b n 的 话呢，来等于什么？ n 乘上个 a n 通项公式是不是二的 n 次方，然后再比上个二的 n 减一次方 来，他的话等于什么？二的 n 次方？二的 n 减一次方，他俩差了个几，是不是差了个二啊？对吧？上面永远比他多个二，所以他是不是就等于二 n 呢？ 二 n 的 话，这个东西啊，熟悉吗？其实就你看二 n 的 话，你随便带 n 等于一的时候二啊， n 等于二的时候的话呢，是不是四 n 等于三六啊？所以的话呢，你可以求出来谁是不是先求一下 b 一 等于几？ b 一 是不是等于二啊？就二乘一嘛。 然后的话呢，你求再求一下 b n 减去个 b， n 减一啊，等于谁？是不是二？ n 减去个二倍的 n 减一等于几？是不是等于二？这个也是什么？这是不是就我们要求的 d 啊？ 那所以现在的情况是什么？就是你的 b 一 等于二，你是什么数嘞？你是不是等差啊？等差的话呢，我们的 s n 等于什么？ 是不是二分之 n 倍的 a 一 加上个 a n 啊？这是我们原始的，所以这里边的话呢，我们去求 s 十 s 十的话等于什么？是不是二分之十倍的来， 这里边是 a 一， 这里边是不是 b 一 啊，对吧？十乘上个二加上一个 b 十 b 十，是不是 n 等于十？ n 等于十的时候，是不是二乘十也就是二十啊，对吧？那所以变成什么？是不是五乘上个二十二等于几， 是不是一百一，是吧？你像这种的话呢，就是他通过一道题把等比数列、等差数列跟 s n 啊相结合的问题啊，就是你要分解开来看，你别说，老师我一看到这玩意，对吧？我心慌了啊，别慌别慌， 第一问的话呢，你先去瞅一下他 a n 图像公式是不是可以，你就是不会，这道题我是不是也可以求出来 n 等于一的时候，它等于几， 对吧？然后你再深深地记住一点，就是 s n 减 s n 减一，它等于 a n 啊。呃，第二问的话呢，需要基于你前边第一问求出来 a n 之后， 然后往里去代啊，最后再求出来我们的这个前十前十项的和啊，不要慌，不要慌，千万不要慌，就是一步一步去算的。
144教数学的孙老师
01:43查看AI文稿AI文稿技能，高考数学最后四十六天零基础答题提分技巧，点赞收藏起来！技能，高考文中数学只剩最后四十六天零基础提分方法，同学王老师就帮你到这了，最后四十六天，不要慌，也不要摆赖，想在短期内能够提分，核心就一个，抓住基础，放弃难题。 具体怎么操作？第一，只练选择题，大题只做前面两道选择题和填空题，分子比较高，难度又比较低，是我们提分的主力军。数学最后的大题直接放弃，把时间全部砸在简单的题上，容易得分。 第二，必备的公式，这个时候每天至少要抄两遍，像集合函数、定义域，三角函数公式等等，其实也不需要理解的太深，只要牢记公式就能够套出分来， 这个是我们这边的数学老师多年亲测有效的经验。那么第三点，真题做近几年的就可以了，只要重复的去刷题，不要做新题和难题，这是画蛇添足，因为技能高考题型比较固定，只有十个章节，练熟了以后去考场直接秒。 第四点，看整理出来的错题，一定要有错题本，更要把这些错题弄懂，因为初心丢分比不会更亏， 计算慢一点都没有关系，步骤写完整就可以了。第五点，考场的策略是先易后难，就跟刷怪一样，这个时候不要去死磕它，一道题超过三分钟直接跳过去，我们时间有限，一百五十分钟，还有语文的大作文，把能拿的分都拿到，能写一步是一步，大题哪怕写公式也是有步骤分的。 最后四十六天，数学不需要考满分，只要把基础抓牢就能提升五十分，不能够甩开一大片的人。从现在开始，从此刻开始上岸的你肯定是有戏的。最后四十六天，想要文化课冲刺的同学，关注王老师，二零二六你必成功！
308王老师讲升学(湖北)
01:46查看AI文稿AI文稿欢迎继续回来，各位忠实的黑马，今天呢，继续跟林老师来练习诱导公式，那么在之前的视频呢，我们已经系统的学习了诱导公式，总结为两句口诀，即变偶不变符号。看上线 再次提醒，如果有同学啊，这个诱导公式学的不是很好的，建议先去翻看啊老师之前讲解诱导公式的视频，再来看这个做题的视频。好的，我们来看一下正切的诱导公式的题，各位同学可以暂停啊，自己先做一下。 好的，我们来看题啊，根据之前的两个视频呢，我们已经知道它的规律，如果有符号呢，就把符号先消掉，然后呢在大角画小角，最后呢画成锐角，三角函数，对吧？好，那我们就按照这个规矩来，首先呢，符号先去掉，根据 tan 负而法呢，会等于负的 tan 而法呢，咱们直接把符号提到前面来， 就会等于负的 ten 六分之十九派。好，再把六分之十九派这个大角呢画小角，把它拆分成三派加六分的派，那么三派里面含了一个二派，直接无视掉，那么就移下来就变成了派加六分的派啊，大画小了 再来看啊，根据 time 派加六分之派，也就是 time 派加阿尔法的这个呃，诱导公式呢，咱们可以直接把它变成 time 法，对吧？所以就是 time 六分的派，那么就变成了负的 time 六分的派，答案呢，就是负的三分之二。好的，各位同学，你们做对了吗？ 最后我们再来总结一下啊，咱们碰到诱导公式的题啊，把负的呢画正的，把 大的呢变小的，实际上呢，就是把其不管任何象限的角变成第一象限角，最后再来计算它的值，然后还有一句口诀啊，既变而不变符号看象限。有任何疑问呢？欢迎在评论区留言下课！
02:05查看AI文稿AI文稿好的，欢迎继续回来，各位忠实的黑马，今天呢，我们来学习第五个诱导公式。第五个诱导公式呢，在全国范围内呢，只有部分省份会考，所以各位同学对号入座啊，先看看自己的省份考不考。 那么之前我们已经学了符号看象限这句口诀，今天呢，我们要加一句，既变偶不变。那么什么意思呢？看老师的鼠标位置啊，二分之 k 派加减 r 法。如果碰到这样的角度，先看这个 k 的 啊，奇数还是偶数？奇数呢，一三五七九。那么需要改变函数名称啊，就是变的意思， 上引变成扩散引，扩散引呢？变回上引啊，以此类推。那么如果 k 是 偶数，二四六八十这样的偶数，则不需要改变，上引呢？还是上引，扩散引还是扩散引？ 所以呢，公式右边啊，是哪个三角函数，就根据这个 k 的 基友性来，这就是既变偶不变这句话的意思。那么符号看象限呢，就不多讲了，你就说把 r 法看为锐角公式，左边是什么符号，右边呢就是什么符号。 好的，来到我们今天要学的这个新公式， sine 呢？ r 分 的 pi 减 r 法。先看第一句口诀，既变偶不变，那么 pi 前面 k 啊，系数是一，一是基数，所以呢，需要变函数名称，那就是 sine 呢，变成了 cosine。 那么再看他的符号，九十度呢，减一个锐角在第一项线，第一项线的正弦呢，是正的，那么第一项线的余弦呢，也是正的，第一项线的正切呢，都是正的，因为他们都是二分之派，所以都变了函数名称。好的各位同学呢，举一反三，来看一下这三个该怎么变呢？ 好，变换成这样子，各位同学，你们变对了吗？好，我们来看一下啊，都是反的派，都得变函数名称，对吧？然后再看一下它的符号，都在第二项线嘛，那么第二项线的正弦是正的，第二项线的余弦是负的，第二项线的正弦呢，是负的。好的，总结为呢，咱们的刚刚的口诀， 既变偶不变，符号看象限，请各位同学呢把它背下来。有任何疑问呢，欢迎在评论区留言下课！
05:06查看AI文稿AI文稿好，同学们，来看一道三点函数的比较难的题啊，已知的话呢， sine 二法加 cosine 二法是五分之一啊，二法的话呢，是第四，第二象限角。这里边首先知道它的话，是不是告诉你 sine 是 大于零的， cosine 是 不是小于零的， 对吧？这是首先你要知道的一件事。然后第一问的话呢，让你去求 sin 二法啊，这里边的话呢，你看着它啊，不管是选择题还是大题。里边的话呢，看着它，你就记住一点，想要计算它减变，肯定是要把它乘一下的， 完全平方啊，等于几？是不是二十五分之一啊？并且的话呢，我们知道的是不是 sin 方加 cos 方是不等于一啊？ 啊，这是必然要用到的东西。来，所以的话呢，是不是塞方阿尔法加上个二倍的塞阿尔法？扣塞阿尔法， 然后再加上个扣塞方阿尔法是不是等于二十五分之一啊？来，你还知道它俩相加等于一啊？所以什么？是不是二倍的塞阿尔法？扣塞阿尔法它等于几？ 是不是二十五分之一减去个一，也就是负的二十五分之二十四啊？然后有了这个之后，我们再求一下谁啊，我们再求一下谁？再求一下。来， sine 阿尔法减去 cosine 阿尔法的平方 来化减一下的话呢？哎，还是谁？是不是变成一减去个二倍的 sine 阿尔法？ cosine 阿尔法呀， 对吧？它的平方，它的平方等于一，然后减去二倍的它来减去二倍的它等于什么？是不等一减去你知道它了，是不是减去负的二十五分之二十四啊？来，是不是等于几？是不是一加上它也就是二十五分之四十九吧， 然后这里边你要注意一件事啊，对吧？ sin 是 正的啊，它是负的，所以 sin 减 cosine 是 不是一定是什么的一定是正的？所以这里边的话呢，我们也知道 sin alpha 减 cosine alpha 等于几？把它开方把它开的话呢，底下是不是剩个五？ 上面剩几是不是剩七来，然后再把这个方程和谁简单连立一下来 sine alpha 加上 cosine alpha 等于五分之一啊，来把它们两个简单连立一下，是不是就成了我们最简单的二元一次方程组了？ 它俩相加，它俩相加的话呢，左边是不是减 cosine 二法加 cosine 二法没了吧，所以是不是就二倍的 cosine 二法来？后边加一块是不是五分之七？加五分之一是不是五分之八？哎，所以第一问是不是求出来了？ cosine 二法来等于几？是不是五分之四啊， 对吧？第一问我们就求出来了啊，然后再求第二问，让你去求个他啊，求他的话呢？这里边我们把这个题先简单抄一下啊，是不是塞隐阿尔法加上个二分之三，派 加上个 tangent 太减阿尔法？这里边的话呢，用到的是我们诱导公式啊，既变偶不变符号看象限，这是等于几 来？脑子里边揪一下，是不是等于负的扣散元阿尔法呀，后边贪婪的派减阿尔法等于什么？负的贪婪他阿尔法啊，这是纯诱导公式啊，同学们该记住记住啊，然后算出来这个之后来散元阿尔法是不知道了，对吧？ 那 cosine 阿尔法？首先第一个 cosine 阿尔法是不是肯定负的来 cosine 阿尔法的话呢，是不是等于个根号下啊？前面还得加个符号啊， e 减塞隐 阿尔法的平方啊，来算一下其实等于几？是不是负的五分之三啊？当然你说老师其实我记住了，对吧？我他的话呢，是四比五这三数啊，又出来捣乱了啊，然后贪占他阿尔法 是不等于 sine 阿尔法比上 cosine 阿尔法呀，来等于几？是不是五分之四？乘上个负的三分之五是不就等于负的三分之四啊？ 那所以原式等于啥？原式是不等于个它对吧？那所以对于我们而言的负的 cosine 二法是不是负的负五分之三啊？再减去个 tan 二法是不是负的三分之四？ 来给老师简单算一下，这是不是五分之三加上个三分之四， 对吧？那所以的话呢，他的底下是不是十五分之几啊？这是不是三乘个三啊？是不是九？他是乘个五是不是加上二十？所以最后答案十五分之二十九啊，这个就是我们要的最终答案。
87教数学的孙老师
04:54查看AI文稿AI文稿来看一道等差数列求通项公式，并且和等比数列相结合的问题啊。已知的话呢，等差数列 a n 的 话呢，且 n 相和的话呢，是 s n， 并且的话呢，这个 s 五等于十五， s 十等于个八十啊。这里边的话呢，首先第一件事， s 五等于十五， s 五等于谁？是不是二分之五倍的 a 加上个 a 五啊？ 那 a 加 a 五的话呢，等于谁？ a 加 a 五是不是等于二倍的 a 三，也就是五乘上了二倍的 a 三，那是不是就等于五倍的 a 三呢？当然其实这个可以当成结论来用啊，也没有什么问题。 五倍等于三， s 五是不是等于十五的？所以五倍的 a 三等于十五，所以 a 三是不是等于三呢？对吧？这是第一个的话呢，你 s 十等于八十， s 十等于几？是不是二分之十倍的 a 一 加上个 a 十啊？ 所以等于谁？是不是五倍的 a 一 加 a 十啊？这里面直接十除以二的啊。然后到这之后的话呢，来 a 一 加 a 十，这有 a 三， 嗯，哎，可以根据这个求出来，哪个是不是等于五倍的，来我这换成 a 三了，下角标是不是相加等于相等就可以了？这你这是一加十，是不是十一？所以我这是几？是不是 a 三加上 a 八来等于谁？ 是不是等于五倍的谁？ a 三知道等于三，是不是加上个 a 八，然后等于个八十啊？ 对吧？那所以对于我们而言的话呢，到这之后再化简变成啥了？是不是两边同时除以了个五，所以是三加上个 a 八等于几， 是不是八十除以五等于几啊？是不是十六，对吧？十六来，所以 a 八等于几？ a 八是不是等于十三？ 等差数列吧，等差数列的话呢？来， a 八减 a 三是不是等于个五 d？ 来， a 八减 a 三等于几？是不是十三减去个三啊？来，十三减三等于个五 d 啊，所以十三减三等于十嘛。所以五 d 是 不是等于十？所以 d 等于二吧， 那 d 等于二了。来，还求谁？是不是 a 一？ 求一下 a 的 话呢？是不是等于 a 三减去个二 d 啊？ a 三知道是三啊，减去个二乘二等于负一啊？来，所以 a n 等于谁？是不是 a 一 加上个 n 减一倍的 d 啊？ 来，等于几？ a 一 求出来的是不是负一加上一个二倍的 n 减一啊？化简一下等于几？ 化简一下是不是二 n 减三？因为你这减个一，再减个二，所以就是二 n 减三啊？行，这个就是我们求出来的这个第一问，第二问的话呢？求谁？ 你是等比数列来， b 一 等于 a 四来， a 四带进来，是不是二乘个四减个三呢？等于几？是不是等于五， 对吧？那下一个的话呢？是谁？是不是求一下 b 二等于个 a 九是不是等于二乘个九减三等于几？ 二乘九减三，十八减三嘛？是不是等于十五？来，所以你的 q 等于几？是不是等于 b 二比上个 b 一 啊， 是不等于十五比上个五等于个三啊？这是你的 q q 知道了 b e 也知道了 q 第一，这个求完了。所以 t n 等于什么 t n 啊？等比数列前项和是什么？是不一减？ q 分 之 a 一 乘上个一减 q 的 n 次方 来，带进来等于几？是不是一减三？分之 a 一 是不是五？那个 b 一 是不是五，对吧？这写成 b 啊，五倍的一减三的 n 次方啊。简单化简一下，是不是它变成什么？ 他变成啥？他变成啥？哎哎哎，他变成啥？底下这是不是有个符号？这是不是有个符号？所以就是五倍的三分之方减一啊？你说老师我想再化简一下也没事啊，二分之五倍的 三单四方，减去谁，是不是减去二分之五就可以了啊？所以这个就是最后的答案啊，等差和等比相结合这种题的话呢，这个如果写不全，你把中间部分该写上的写上就差不多。
460教数学的孙老师
02:45查看AI文稿AI文稿乾坤未定，你我皆是黑马，各位忠实的黑马。今天开始呢，跟林老师一起来练习诱导公式。那么在之前的视频呢，我们已经系统的学习了诱导公式啊一大堆，总结为呢两句口诀，既变偶不变，符号看象限。 那么在这里林老师要提醒一下，如果各位同学的诱导公式学的不是很好的话，建议先去看前面几个视频，再来看这个视频。好的，我们开始做题，计算扩散以负五百一十度的值，那么根据余弦的诱导公式呢，咱们可以直接把这个符号无视掉， 然后呢，那么括号负的五百一十度呢，它会就直接等于五百一十度扩散，那么再把五百一十度里面拆分啊，变成三百六十度加上一百五十度，那么再根据这个公式呢，直接无视三百六十度，对吧，直接就变成了扩散一百五十度，这个时候呢，再把它拆分一下 啊，让它变成一百八十度减三十度，然后呢，把它划成弧度啊，因为我们学习的导公式都是用的弧度，对吧，这样就亲切一点。 那么根据余弦的诱导公式呢，他就直接会等于负的扩散以六分的派。在这里啊，咱们可以把它再猜一下，把它猜成了二乘以二分的派。 为什么这么猜呢？因为有句口诀，奇变偶不变，对吧？那么此时此刻呢，派前面的系数是二，所以呢，是偶数偶不变。那么余弦还是余弦没有变好？再来看他的符号派减六分的派呢，是二象限的，余弦呢是负的， 所以呢，答案呢，就是负的扩散六分之派，等于负的二分之根号三。好的，各位细心的同学啊，会发现其实还有别的办法啊，我们再来看一下， 咱们呢，做到这一步之后呢，可以把它变成二分之派加三分之派，那么二分之派加三分之派呢，根据基变而不变呢啊，二分之派派前面系数是一，所以它要变函数名称，那么余弦呢？变成正弦再来看啊，第二项线的余弦呢，是负的，所以前面加个负号， 所以呢就变成了负的 side 三分之派，答案呢就是负的二分之根号三，那么两个呢，都是一样的，答案都可以，所以诱导公式啊，它是非常灵活的，各位同学啊，根据情况来做就行了。那么这里再提醒一下， 右边这边呢，很多省份是不考这个二分之派加减的，所以各位同学对号入座啊，所以优先以第一种做法为准。 那么好，我们总结一下啊，碰到任意角的三角函数呢，如果有负角呢，直接把它变成正角，再把这个大角呢啊，变成小角，也就是说把它变成零到二分之 pi 的 三角函数， 再最后把它变成锐角的三角函数，也就是零到二分之 pi 的， 最后呢，我们就可以进行计算了。好的，有任何疑问呢，欢迎在评论区留言下课。
02:16查看AI文稿AI文稿已知等差数的 a n 中公差 b 是 三， s 三等于十五，然后求 a n 同样公式啊！第一问的话呢，拿过来啊，这个 s 三，其实我们要知道的话， s 三是不是等于 a 一 加 a 二加上 a 三呐？ 哎，这里边其实有一个很简单的用用的东西，就是 s 三等于三倍的 a 二，你看 a 一 加 a 三的话呢，是不等于二倍的 a 二，所以它是不等于三倍的 a 二啊， 然后三倍的 a 二，来，你告诉我是等于几，是不等于十五，所以 a 二是不等于十五除以三等于五啊。那所以对于我们而言的话呢，来 a 二知道了 a 一 是不等于 a 二减个 d 啊， 对吧？那所以带进来是不是五减去个三等于个二啊？这就是我们要求的一个 a 一 啊， a 一 知道了， d 知道了，所以 a n 等于什么？ a n 是 不是等于 a 一 加上个 n 减一倍的 d 啊？来往里带一下， a 一 是二，加上一个几，是不是三倍的 n 减一，来算出来是不是三 n 减一啊？ 啊，这就是我们的图像公式啊。第二问的话呢，来，我拿过来， b 一 等于 a 一 啊， b 一 等于 a 一 就等于几啊，我们刚才算出来是不是等于二啊，对吧？那所以来 b 二等于 a 三， a 三等于几，是不是直接带进来就是三乘三减个一等于个八， 所以根据他的话呢，可以求出来谁是不可以求出来 q， 因为他是等比数列啊，是不是就是 b 二比 b 一 等于几，是不是八比二等于个四啊？ 那现在 q 有 了， b 一 有了，所以去求 t n 啊，等于什么？是不是一减 q 分 之 q 是 几，是不是四 一减 q 分 之 b 一 的话呢？是个二啊？乘上一个一减四的 n 次方啊，然后简单化简一下吧。啊？这个的话呢，是不是对他而言这底下是不是三，对吧？然后上下同时取一个符号，是不是三分之二倍的 四的 n 次方减个一啊？你说老师我这么着写着可能不太顺，我自己再简单化简一下啊，也没有任何问题啊。好，这个就是我们要的最终答案。
69教数学的孙老师
15:00查看AI文稿AI文稿好，各位同学们，咱们再来看一下我们随机变量里面的二项分布内容。 好，那么我们在上节课其实讲过这个分布力，那咱们应该可以理解了，那么分布力其就是把一个 实验对象 x 所能代表的一个精确值给他一个一个列出来，列成了表格嘛，就构成我们这么一个分布列的一个内容，对吧？那么到了我们二项分布，哎，那么二项分布跟这个分布列好像同一个内容里面的，那么他们有没有什么区别呢？那么肯定是有的 啊，所以这里要明白一下啊，我们的二相分布，我们可以给他理解成他是跟分布列是一个等价的，一个同等地位的一块内容，只是说他的一个计算方式呢，是不同的，他的要求会更严谨，等于好像被 限制过的一个升级版本啊，所以我们二三分布呢，它是适用于怎么样的一个实验对象呢？啊？我们叫做这个，叫做这个，我努力实验。啥意思？就是每一次实验的这个结果呢？哈，就两种，要么成功，要么失败，要么行，要么有，要么没有。 那它的结果呢？只有两种啊，成功或失败啊，行或者不行，有或者没有啊，就是这个意思。 而且他的结果是有两种的，跟我们前面做的题目是不是结果有一种可以取零、取一、二，取三、取四，是不？很多种取法呢？不可以，只有两种，行或者不行，有或者没有，对吧？然后概率呢？我们成功的概率呢？一般就是我们这个屁。 然后一般做这类题目呢，大部分的题目是放回型的，因为每当我们选东西放回了之后，其实每次概率就会很定住，所以大概就是做一个放回的题目 啊，再然后我们看啊，那么这个实验呢？啊，啊，那么它还有个特点叫做什么呢？叫做 n 次重复啊，因为我们这个也叫做 n 重复能力实验。 啥意思？就说在这个实验过程当中，我们是应该有个多次实验的啊，会有个多次结果啊，就会多次做这个实验，多次啊，不会一次结束的，要做好几次，这样子的意思 好，然后呢，每次这个概率呢？反正就 p 都不会变的，而且每次概率 p 是 不会变的啊，那么我们来看一下啊，那么有同学会问，呃，听完这个做好像还是没什么感觉， 那没关系的啊，我们学东西不要紧，我们先讲理论，现在我们这个内容是理论部分，文字部分，大家听着非常出像是对的，但是我们等会看一下题目啊，在看题目之前呢，我们要先把这个二项分布的重点使用的公式先给你们讲清楚啊。好， 那么来看这个定义，二项分布的定义啊，首先如果一个随机变量 c 来表达这个 n 重复率实验当中成功的次数，看到没有 n 重复实验当中成功的一个次数， 那么它就可以作为服从参数 n 跟 p 的 一个二项分布，那么既作啊，这个中文我们可以不管，但数学符号一定要管既作 c 啊，杠这个 b， 然后 n p， 哎，来啊，这个 n 代表什么？可这代表什么？可这是个啥字母，它不代表什么，就是个符号， c 换成 x 也可以换成 y， 都可以的啊，好，那这个这个 b 代表什么啊？这个 b 也就也是一个符号，都可以替换的，但是这个 n 就 有问题了， n 代表什么？ n 代表的是 n， 从 试验，也就所谓的几次试验的次数，所以 n 代表的是什么试验的次数呢？ n 的 不同于当中所试验的一个次数。搞清楚啊，要搞清楚， n 代表这个次数 啊， n 次重复实验，就这个意思好，然后这个 p 啊 p 代表做这个实验的什么来成功的概率，或说行的概率，或者说不行的概率， 这样子要弄清楚啊，所以呢，他们会有个这个公式，那么这个公式我们来计算。怎么个算法呢？来这里 啊，算它的概率就可以用这个计算。那么看你这个科 c 等于多少的时候 啊？等于多少的时候，那么带进去是 c 哦， c 什么什么屁？什么什么一减屁哦，这个屁代表是概率，一般题目会给或者自己算嘛，然后这个是一减屁， 假设成功的概率是零点四，那这就是零点六的意思，然后这个 n n n 就是 什么呢？看你这个实验次数，恩宠嘛，恩次嘛，对吧？恩次实验就是恩宠嘛，这意思啊。然后呢，这个 k 啊 k 啊 k 是 你题目要问的内容， 对吧？当你的 q c， 他 问你多少的时候啊？他这个符号嘛，在多少的时候，你带你去算好，所以发现没有二项分布，它是有一套尺子可以计算的，这个有点像我们的二项式。对，是很像，但是切法不一致的哦， 它是个怎么个写法呢？它是前面和中间同个 k， 最后尾巴是 n 减 k 啊， k 跟 k， 后面是 n 减 k。 别弄反了，我们二幺分布啊，那个好像是不是这样子的啊？二幺分布是 k， k， n 减 k， 别搞错了，好， 然后我们这里呢，也有一个期望和放叉，也有个期望和放叉，那这个期望和放叉呢？就比那个分布量好算很多，为什么呢？这个期望也是用 e 来表达的，放叉也是用 d 表达的，这个字母都是一致的啊，期望和放叉，那它呢？这个就是 n 乘 p 啊，然后它的方差呢？ n 乘 p， 乘一减 p， 再乘一次，乘一次一减 p 就 可以了啊，非常简单啊，所以我们要把这个公式呢，脑子咱们先背下来，那等会我们再来看题目，咱们就知道什么叫二项分布了啊，好，那么我们把这些公式要脑子里背下来，那我们背完之后来我们来看题目。 好，那我们来看一下二项分布的专题练习，我们就会明白这个题目到底是什么样的类型，怎么样去做。好，我们先看第一问， 那这个非常简单，就是个套公式的，那么首先我们把刚刚的公式咱们怎么样先背一下，那么根据这个信息，我们的公式是怎么样子的？是 p， 然后呢？括号，你要求的啊，你要求的是多少？这个是 x 零二。那么带进去应该带什么？先带 c， c， c 下面是，下面是 n， n 是 什么？ n 是 那个实验次数，也就是这个里面的，那这个数学符号语言表达的是什么？这个四搞错了，代表这个四的意思，这个随机变量啊，这代表 n 的 位置呀，这个是什么？ n p 啊？ 对， n 是 四，那这是二，那就带二，然后再写什么？ 再写什么？再写，我们这个 p 是 二分之一，二分之多少次啊？也是二次，这里不用减的，不是四减二，是二，跟这前面是一致的，然后再乘以后面的一减 p， 那 这个 p 是 不是二分之一，那么一减 p 呢？也等于二分之一，那这个二分之多少次啊？这个时候是四减二了，这么来的，同学们别搞错， 千万别弄错啊，这样才对。然后再化解是 c 四啊，这是二分之一的二次空面是二次，是二分之四次嘛，我们把这个计算一下，正好等于十六分之六，那么最后等于多少？那八分之三约一下， 好，看懂了吗？大家都明白了，那么首先他这个对应好的啊，对应我们标准的就是什么什么杠什么，那这是什么？ 这个是四，代表的是 n 的 位置，二分之一是 p 的 位置，别搞错了，二， n 代表的是这次实验，那么这个 p 代表的是这个概率啊，所以拿这个去带啊，那么带，带到我们公司里去，然后我们公司是什么样子呢？是 c n， 你求了 k， 对 吧？乘以 p 的 k 次，然后是 e 减 p， 那 就是 n 减 k 啊，公式给它出来就好了。好，同学们，咱们再看第二文啊，那么第二变得复杂了一点，首先我们还是先搞清楚这个的二代表的是 n 的 位置， n 代表的是几次实验，所以这里是两次实验，对吧？那么我们假设这个是成功和失败，好了，那么就是两次成功呗，对吧？当然他也他也可以， n 等于零一二都可以的，因为在我们这个实验当中，那么本身 这个 n 的 取值就是什么零一二，因为本身你就是总共做两次实验嘛，对不对？要么就是零次成功，一次成功这个意思能讲，所以这个 n 代表的是几次实验？ 那他问的是什么？问的是 x 在 大于等于一的时候，那么本身总共就做了两次实验，你大于等于一，那他可能是表达的是成功的在里面大于等于一，那么怎么说也就是 x 取什么？取一或者二的时候吗？那么还有谁？还有零倍取？ 因为总共你两次实验，要么就是零一二嘛，所以你这个是指的是 x 一 二的时候，那么把零给他刨掉了嘛？所以这个题目呢，我们可以这样去算啊，我们可以这样去做。首先问呢，是这个，呃，大一点一的嘛，那么实际上呢， x 大 于等于一，那就等价于一减去 x 等于零，能不能理解？因为总共的概率还是为一的，这个逃不掉的，那么我们把这个等于零的时候给它减掉，那么剩下是不是一二？一二不就是 x 大 于一吗？哎，就这个意思，跟我们那个分布列是差不多的啊。好，那么减完之后呢？ 那么你看 e 减九分之五，等于九分之四就可以了，那不对，这个写法，这九分之五啊，啊，这个 e 减去这个九分之五啊，等于九分之四，那不对，九分之五啊， 九分之五嘛，那么就说明什么？说明这个 x 等于零的时候，其实就是多少九分之四嘛， 所以这个大于等于一就等价于，这个的意思，是吧？有很大的共性。然后再看求什么，求期望，那这个不着急， 求期望，那我们先看是不是算出来这么一个值等于九分之四，那我们把这个带到公式里去，别忘了是不是有公式的？有了呀，那么等于 c 是 不是等于零的时候？ c 二零乘以 p， p 是 不是二？ p 是 多少 啊？老铁们，我们算下看是不是零也是零，然后呢，一减 p， 一 减 p， 一 减 p 多少？二减零是二。好，这是等于九分之四，那么这个等式建立完毕了，我们可以把 p 给它，怎么样给它解出来啊？ p 解完之后呢？ p 正好等于三分之一， 这样子，好了，三分之一对了，然后最后求这个期望，期望是 n 乘以 p 啊，那还不简单嘛，对吧？ n 乘以 p 嘛，那么就是二乘以三分之一等于三分之二。选择 a 好 了，搞定 好了，我们再看这个，第三问啊，第三问啊，咱们再做做就熟了啊。第三问也是给你一个标准的随机编的表达， x b 啊，这个是四，那就 n 等于四的位置啊，那么，哦，那么给你，给你方差的方差是什么？同学们，方差是什么？ 当它是 n 乘以 p 乘以一减 p， 懂吗？所以呢，等过来呗， n 是 四，然后乘以 p， p 还是 p， 那 么一减 p 等于几？等于一？好，这个数字里面毫无疑问， p 我 们是可以算出来的题目，那么算出来 p 等于多少？ 二分之一，咱们检查 p 的 二分之一好了，有了。然后是不是标准套公式啊，非常标准的套公式 啊，来等于 c， 总共几次实验？四次，那么是三呢？三次的时候啊，那三次的时候，那么乘以什么？ p， 那 p 就是 二分之一，这里还是三次，一减二分之一，这多少次啊？四减三次呢？这样写下好了，把标准流程走一遍， 那么计算一下，那这个七就是四嘛，这个就是二分之一的三次方八分之一了，这个嘛，二分之一，四方二分之一了，对吧？它点到它等于四分之一嘛，简单吗？非常简单，你看啊，其实我们这个呢，它不难，只要把这个公式背背就好了。 好，我们再看第四文啊，第四文，那第四文这个，那我们这个形式表达呢，要注意一下，我们这个前面的话是这个 还是我们的二项分布，但后面这个表格呢，它是一个什么？是一个这个正态分布了啊，正态分布了，也就这个四对应的是什么啊？原来是平方，所以他这个里面要注意一下，从每一个来算第一个方差，对吧？ ex， 那 这个么等于 n 乘以 p 了，对吧？二项分布内容，如果大家不熟悉的，看我的另外一个课程就可以了吧，那么等于 n 乘以 p 等于四十二分之一等于二。然后面这个呢， e y e y 这个的话，你直接算就好，它这刚好点多少？刚好等于这个二，应该是 好了，所以它们相不相等哦，相等呢，就选择 a， 其实啊，题目非常简单，选择 a 就 好了。好，另外大家可以自己算，看看你的不对啊，我这也就不算了，因为时间比较久，那么请看下面。 好，我们来看下这个第五题，也是浮动随机变量的二项分布嘛，然后这里呢？哎，这里有个很有意思的现象，呃，等于三的时候呢，是等于四的，不是大于零。 那这个是不是一个等式，我们是不是会知道这个公式呢？什么公式？屁， x 等于三，我们是不知道怎么写呢，怎么计算呢？是不是 c n， 这题目是 n， c n 是 不是三，然后乘以二分之一的 n 啊，也是什么三，再乘以多少？一减二分之一的， 这个 n 减三次，这样子，还有个什么 x 等于四了，是吧？那么 c n 四乘以什么？ p 二分之一的四次乘以一减 p， 一 减二分之一的 n 减四啊，是不是这么两个形式， 那他们是不是要相等，对吧？啊，把他们相等等下就好了。那么这个相等的话呢，理论上来讲，我们是可以解出一个信息来的，对吧？等于它，我们把它处理一下，处理一下，这个等于 c n 三乘以， 后面这也是二分之一啊，这合在一起是二分之一的 n 次方，这里给大家复习一下。 c n 四，后面也正好是二分之一，那这里呢，正好也是二分之一的 n 次方，然后这两个是不相等。 哦，看到没有？哟，原来是这样子的，这样的啊，所以后面这个等于这个，哈哈，那是不是这个等于这个了？后面弄了半天，七去给我们什么信息？ c n 三等于 c n 四，下面 n 零下等于七喽，大于零了吧，等于七， 好了吧，这是七呢，来，这这个题目就变成了 c 七二，加上 a 七二，哎呀，变成了一个 a 组合的运算题去了，这样子的，那我们把它算好就好，好， 这个自己计算一下，我不多说了，等于六十 c 啊， c 选项，只要高考就找小明的课堂。
106小铭的课堂
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