飞镖模型三种连线方法
这个模型就太重要了，初中生是必须要会的，他长得像一个飞镖，所以孩子们给他起名叫飞镖模型，也有叫燕尾模型的。结论，角一加角二加角三是等于角四的。下面我给五种证明方法。第一种， 连上这两根线并延长，那你会发现我们的飞镖被这根线分成了左右两个三角形，这里是左边三角形的外角，他就等于角一加上这个角， 这里是右边三角形的外角，他就等于角三加上这个角。至此，角四就是这两个角的核，也就是这四个角的核。那很明显，角四是等于角一加角二加角三的。第二个方法，我延长这根线， 或者是这根线都一样啊，再延长其中一根，那这样的话，你会发现这根线又把废标分成两个三角形，那我这个角就是这个三角形的外角，它是等于角一加角二的， 而角四又是这个三角形的外角，他就等于这个角加角三。这次又正完了，角四是等于这俩角的和， 而这个角又是角一加角二的合，所以角四就等于角一加角二加角三。第三个方法， 我连上底下这两根线，那这样的话，这个废标就出现了两个三角形，分别是这个扁的三角形和这个大的三角形，三角形的内角和是等于一百八十度的，我们来看底下这个三角形，这个叫角叉，这个叫角圈。 角四是角差和角圈的补角。再看大的三角形，角一、角二、角三，再加他俩也是一百八十度，所以一二三三个角也是角差和角圈的补角，所以等角的补角相等，那角四就等于角一加角二加角三。 来第四个方法，一根辅助线也不用做，这里是不是一个四边形啊？四边形的内角合适，三百六十度，这个是众所周知的，所以角一加角二加角三。注意，这是他的一个内角，加上这个角五， 他是等于三百六十度的角五。这里啊，在初中叫优角，那现在一、二、三、五加起来是三百六十度，而五和四这两个角是一个圆周角啊，也是三百六十。 那这样的话，根据等式的性质，角四是等于角一加角二加角三的第五个方法，我可以把这根线想象成一个小棍， 那这根小棍一开始是绕这么一个点，往这个方向旋转了一个脚。一，咱看一下，这个方向是逆时针方向，好，转成这个样子之后，那现在再绕这个点啊，往这个方向 转了一个角二，那我们看看这个方向，哦，也是逆时针方向，那现在转成了这个样子，再绕这个点啊，往这个方向转了一个角三，那再看这个方向还是逆时针方向，转成这个样子之后，再 绕着这个点，哎，往这个方向转了一个角四，哎，你会发现这个角度他是顺时针方向。 好了，统筹来看，小棍转了四次，三次是逆时针，一次是顺时针，最后又回到原来的位置， 说明我们顺时针转的这个角度肯定是等于逆时针转的角度和的，要不然他回不到原来的位置。这是五种方法证明这个废标模型。
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c、 d， ok 吗？是一样的 延长 c、 d 的 话，我们的这幅图也一样，角 b f、 c 等于角 a 加角 c。 那 么这个大角 d 呢？它就等于角 b 加角 f。 我 们最终也可以推出来角 d 等于角 a、 b、 c 的 和第三个方法也是我们用的最多也是最简洁的方法，直接连接 a、 d 并延长，我们发现了这条虚线，这条延长线将角 d 分 成了两部分， 角一和角二。角一他做的是左边三角形的外角，所以角一直接等于角三加角 b， 角二做的是右边三角形的外角，所以他可以直接写成等于角四加角 c。 那 么我们来整理一下角 d 等于角一加角二，角一呢，他等于的是角三加角 b， 角二呢，它等于的是角四加角 c， 所以 继续来整理角三加角四，这不就是大角 a 吗？我们也可以得到最后的结论，无论你用这三个结论当中的哪个结论，我们都可以证明飞镖模型。接下来我们来看飞镖模型的拓展模型多了一条线段， b e、 b、 e 做的是大角 b 的 角平分线 c， e 做的是大角 c 的 角平分线。所以我们就直接可以得到结论，阿尔法和阿尔法相等，同理，贝塔和贝塔是相等的，那么此时这个角 a、 角 e 和角 d 有 怎样的数量关系呢？这里存在一个飞镖模型，那么在这个飞镖模型当中，角 e 直接套结论等于角 a 加阿尔法加贝塔。 同样的，下面这里也是一个小飞镖，所以我们就可以直接得结论，角 d 等于角 e 加阿尔法加贝塔。 所以我们来看一下式子一和式子二，发现这两个式子里面都有 alpha 加贝塔，所以我们来看式子一里面的 alpha 加贝塔就等于角 e 减角 a。 式子二里的 alpha 加贝塔，它等于角 d 减角 e。 来，你来整理一下减角 e， 移向移到左边，所以我们就得到了最后的结论，即二角 e 等于角 a 加角 d。 这个呢，就是关于角平分线与飞镖模型的一个模型结合。接下来我们就先来练一下有关于飞镖模型六类练习题的第一类 基础飞镖，基础飞镖的题型我们都可以直接秒杀出答案来，让我们求阿尔法熟悉的不能再熟悉了吧，直接阿尔法就等于角 a 加角 c 加角 b。 所以 这个题的答案老师就不再讲了， 来看一下第二题，让我们求的是角 b o c 的 度数 b o c。 好， 我们就可以发现这里又存在了一个飞镖模型，角 b o c 就 等于小角 b 加小角 c 加小角 a。 好 巧呀，三个角的度数都有，直接求和我们就能出答案来。下一题， 下一题让我们求的是角 c 的 度数，它也是基础飞镖。没有设计难题，我们就可以发现角 a、 角 b、 角 c 和角 d 之间的数量关系，即角 c 等于角 d 减角 a 减角 b。 好 了，直接把数据往里一带即可。来再看一下这道题，这道题它也是一道基础飞镖， 只不过呢，这个九十度的角啊，是通过垂直告诉我们的，已知这里是二十七，这里的度数有，然后让我们去求角 b 的 度数， 那么角 b 它就等于九十减二十七，减角 d 的 二十。接下来第二类三角板与飞镖，这就涉及到了一部分，重合来将一幅三角板如图放置，求角一的度数来，我们要看一下这幅图里面它的飞镖在哪里呢？ 飞镖模型在这里，所以我们就要得来得结论啊，结论就是这个角是个九十度的角，等于三十度加角一加这个角角， 那么现在就来了，这个阿尔法是多少度的角呢？我们不难可以发现，阿尔法和他是对顶角，这里是一个三角板九十度，所以我们就可以发现这是一个等腰直角，阿尔法等于四十五度， 所以让我们求的角一的度数，在黄色的飞镖当中，直接来得角一就等于九十减四十五度，减去三十度，我们就轻松的搞定了。哎，下一道题还是关于三角板拼成，如图所示，角 c 等于三十度，角 e 等于四十五度。哦，这里的度数是正好给我们给反了啊， 可以反我们度数了，角 b 应该等于的是四十五度，角 e 等于三十度。让我们去求角 b、 f、 d、 b、 f、 d。 好， 求这个角角， 我们不能直接求出来这个角，但是我可以发现啊，这个飞镖模型我们求的这个外角是这个角的什么角啊？是这个角的邻补角。我们来看一下这个飞镖模型的这个外角 r 阿尔法，它就等于四十五加三十加九十，所以让我们求的这个角 b、 f、 d， 那 它就等于一百八十度，减去阿尔法，这道题也轻松的搞定了。接下来就是关于第三种类型，我们需要自己去画辅助线构造飞镖，来一起看已知角 b 加角 c 等于九十度， 角 a 等于五十度，角 d 等于四十，则角 a、 e、 d 的 度数。这幅图形当中并没有直接给我们画出飞镖模型，我们需要读完题之后自己去标飞，自己去做辅助线，所以这个题我们需要连接 a、 c， 角 b 加角 c 是 一百八。好，它们两个一百八，角 a 是 五十度，我们可以得到三角形内角和是一百八十度，那么剩的这个角，角一和角二的度数之间得到了角一加角二就等于一百八加五十度，减去三角形 a、 b、 c 的 内角和一百八十度等于五十度。 接下来我们来看一下这个题当中的飞镖在哪里呢？飞镖不就是在这吗？让我们求角 a、 e、 d 的 度数，已知角一加角二好，角 d 的 度数也已知是四十度，所以让我们求的角 a、 e、 d 就 等于五十度加四十度，答案等于九十，轻松的就搞定了。来继续下一道题，这道题让我们求的是角 a、 c、 b、 e 的 度数和大家看一下已知条件，已知这个角角是一百度，这个角角，这个角角是一百三十度， 怎么去求呀？还是需要我们去连接辅助线构造飞镖模型，所以我可以连接 a、 d， 我 们就可以发现啊，右面这里有一个飞镖， 同时左边这里他还是一个飞镖，左边这里还有一个飞镖，所以这道题我们构造出来了两个飞镖模型来，一百三十度等于这些黄色角， 一百度等于这些蓝色角，那么加到一块呢？这个度数和直接出一百三，加上一百度等于二百三十度，我们就轻松的搞定了。接着第四类关于角平分线与飞镖模型。刚才我们一起总结了关于角平分线与飞镖模型的结论，所以在这一幅题里面 告诉我们 b、 e 和 c、 f 分 别是角分线，所以这个题里面的结论就是关于角 a、 角 g 和角 d， 即二角 g 等于角 a 加角 d。 一 起来看题干当中给我们的条件啊，角 d 等于一百四，角 g 等于一百，求角 a， 好， 那这我们不就直接得到了吗？两百度等于 角 a 加一百四，所以直接得角 a 就 等于六十度，我们这一问就可以轻松搞定。如果你不会角分线加飞镖模型，那么这道题你去倒角计算，至少是需要你一分钟记住这个结论，至少老师可以给你省一分钟。继续来下一道题。 已知角 a 加角 b、 c、 d， 它加上它是一百四， b、 o 平分， b、 o 也平分，求角 b、 o、 d 一 样的呀。我们有结论，我们直接来角 b、 o、 d。 两倍的角 b、 o、 d 等于角 a 加角 c， 即一百四十度， 所以直接得角 b、 o、 d 等于七十度，你就轻松搞定。来。接下来就是关于多角飞镖，多角飞镖的这一类题呢，它是作为填空和选择题的高频题型，一起看，如图， 角 a、 b、 c、 d、 e 的 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47初中数学袁老师
02:13查看AI文稿AI文稿我估计啊，看到这道题呢，很多同学第一时间想的是，哎，有平行线，是不是平行线当中的拐点模型呢？我是否需要去过点 b、 点 c 跟点 d 去做平行线呢？我估计是很多同学第一想法，但是呢，如果说你看了我的上个视频，讲解 你利用飞镖模型来去做这道题，那可就简单太多了。我们先来看下道题说的是什么，他说有一个 a m 平行 e， n 给了呀，角 b 加角 d 等于一百五，角 c 加上角 e 等于五十，求的是角 m a b 也就是这个角的一个度数， 不要再去过拐点做平行线了。我们如果说呀，连接 a n， 那么在这里面你会发现他就回到了我们上一个视频当中讲的一个图形了，在这个图形当中，你发现角 b 跟角 d 是 凹进去的，哎，角 n a， b， 角 c， 角 e 和这个角 n 是 凸出去的。 可以看我上个视频的结论，我们能够直接得到一个结果就应该是什么呢？凹进去的角 b 再加上角 d， 它应该是等于凸出去的。我这个接为角 e 再加上角 c 加上角 e 再加上角 n， 凹进去的两个角等于凸出去的四个角的和。那么在这里边，人家让我们去求的是这个角 m a b 的 度数，我们把这个角呢记为角二，它不就是让我们去求角一再加上角二吗？ 那根据我们的上下平行两直线平行内错角相等，角二是不是可以换成我的角 n 呢？所以就变成了角一再加上角 n， 那 角一加角 n 好 像刚好在这个式子里边呀，我们把其他进行替换，角 b 加角 d 等于一百五十度， 嗯，角 c 加角 e 等于五十度。剩余什么？剩余角 e 加上角 n 了。所以说呀，角 e 加上角 n 等于一百五，减去五十也就是一百度。 所以呢，这个题呢，你用飞镖模型去做呢，比那个过拐点做平行线要简单得多。可以看一下我们上下两个视频的一个联系。
03:35查看AI文稿AI文稿来看一道考试压轴题，这道题啊，乍一看题干很简单，但无从下手是吧？告诉我们角 a 是等于八十度的，告诉我们角 d 是等于一百什么六十度的， 然后让我们求中间的角屁，还有一个已知条件没有写，就是这是角平分线，然后这是角平分线，两个角的角平分线相交所成的角啊，叫做角屁。好嘞，那么请问这个角屁怎么去求呢？ 但是如果这道题我的学生去做，他直接就秒了，因为这题考察的是我们经常讲的飞镖模型啊，其实直接就有结论的，这里面的角 p 跟角 a、 角 d 是有关系的。来，我们正好通过这道题，我们来导一下啊，什么是飞镖模型啊？飞镖模型，大家看下边这个小图形， 长得像飞镖，所以我们叫飞镖模型，有的时候也叫燕尾模型，在这个模型中是有结论的，这一个角是等于这三个角相加，这个是怎么正的呢？你直接把它延长，这一个角是不等于角一加角 c， 而角一是不等于角一加角 b， 所以这一个角等于 cab 相加，听懂了吧，我前面视频专门讲过了。好，那么看这个，这里面你就去找模型呗，根据这个结论找模型，这里有几个非凡模型，你发现了吗？ 哎，他可是不止一个啊。我们先看跟角 p 相关的吧，毕竟我们是想求求角 p， 角 p 等于什么？上面的 a、 b、 p、 c， 角 p 是不是应该等于八十度？ x 和 y 相加，记住啊，是不是应该等于八十度，加上一个 x 加 加 y， 那我只要把 x 加 y 求出来是不角 p 就知道了。来，我们再看下边的一百六等于什么？在下面 b p、 c、 d 中这一百六十度，哎，一百六十度，这也是一个飞镖模型，它是不是就等于角 p 加 x 加 y 啊？ 等于角 p 再加 x 再加 y 好了，那这个题根据这两个方程是不是一定能求出角 p 了？例如我们先把这里边的 x 加 y 倒一下 啊， x 加 y 去倒一下，把它替换掉是不可以了？比如由第二个，由第二个方程 x 加 y 是不是就等于一百六十度再减角 p 没有问题吧？好嘞，那么把它往第一个里边一带，把它往这里一带，角 p 就应该等于八十度，加上 x 加外。整体思想啊，整体思想考试总考把 x 加外，看到整体往里一带，是不是就一百六十度减角屁好了，减角屁再移过来是不二倍的角屁就等于八十度，再加一百六十度来，那角屁等于什么？ 角屁是不是等于二分之八十，再加个一百六十度？好了，我们是不是就求出答案了，能听懂吗？来吧，看这这个是不就这里的模型结论呢？ 这是两个角分线的时候，角 p 这一个角，等于这个角和这个角相加除以二一半。听明白这意思了吗？把这个结论迅速记住，来，所有人把最后答案写在评论区，好把它算一下吧。那么这就是飞镖模型，掌握模型才能掌握做压轴题的 突破口啊！整个初中一百三十八个方法和技巧，我们后面会陆陆续续讲到，但是可能周期比较长啊，需要讲两年左右。好嘞，这个我们平时课程里都会讲的，来吧，赶紧点赞收藏分享一下。
7374清华春哥讲思维
