重庆中考数学24题压轴题怎么做？
看这个题的第三问，然后第三问呢，还是要补充两个技能，首先是沿斜线平移，哎，说实话，就这个沿斜线平移也基本上是重庆中考连续三年每年必考的东西啊， 沿斜线平移连着考三年了啊，什么叫沿斜线平移呢？就比如说啊，我现在告诉你说这个直线 a b 上有一个动点屁，我让这个点屁呢，沿着射线 a b 的 方向，沿着射线 a b 的 方向平移了根二个单位 平移个二个单位来，那我想问你，他实际是怎么平移的？各位，咱们知道啊，在坐标系中平移的时候，我们更习惯于描述他是水平方向移多少，数值方向移多少， 说白了就是我们比较常用的是横竖方向的平移，这个是我们喜欢用的，但这个题里面呢，他给的是一个斜线的平移，你会拍你就不太好用， 所以这时候我们需要干啥呢？我们需要把这个斜线的平移转化成水平数值方向的平移，你要去转化一下， 而这个转化其实也是一种化学位置。那这里熟悉的朋友已经直接爆平移量了啊。然后呢，我给大家讲一下怎么算， 其实你要算这个沿斜线平移的平移量，思路非常简单，思路非常简单，就是你直接去做横竖线就行了，你直接搁这过屁，做个竖线啊，过平移后的这个点，比如说这个点 q， 你 去做个横线，你直接做横竖线就行了。 那接下来呢，我要研究的平移量其实就是这节竖线段和这节横线段，而这两节线段咋算呢？它肯定跟你这个直线 a b 的 条件是有关的，你会发现咱们这个直线 a b 表达式知道你这 b 点坐标是六零，这是六 a 点坐标是零六，你得到这一节是六，相当于你的 a、 o、 b。 直接是一个啥呀？直接是一个等腰直角三角形，那你这里横线横线平行，是不是就正出了 你的 p、 q、 h 也是一个等值，那它是等值的话，各位怎么移的？这也是一，这也是一，从 p 到 q， 从 p 到 q， 那 是不是就是向下一个单位，再向右一个单位就好了？ 这就是沿斜线平移的处理思路。你以后但凡看到沿斜线平移，你就直接做竖线做横线，做竖线做横线，你去得到一个直角三角形，你去看这个直角三角形，跟这条斜线 所在的直角三角形有什么关系？他俩肯定会相似啊，你就看这个小三角形和斜线的三角形相似，你就能知道他水平数值的平移量了， 本质也是把斜线通过相似转化成了横竖线。然后接下来呢，我们练一个啊，练一个来，比如说现在呢，哎，注意啊， 在坐标平面内呢，有随便的一个点 q， 然后现在我让点 q 呢，沿着射线 b a 的 方向。什么叫沿射线 b a 的 方向？其实就是沿平行于 b a 的 方向啊， 沿射线方向就是沿平行于 b a 的 方向啊，让它去平移。比如说平移完了以后呢，得到一个点 n 来，我想问你从 q 到 n 水平数值的平移量分别是什么？注意啊，是射线 b a， 射线 b a 啊，相当于是这么走的啊，来一块看一下啊。首先这个已知的直线是有一个等腰直角三角形的， 然后接下来呢，你的这个 q n 沿斜线平移，我要去求它的横竖线平移量，那我是不是就直接做横竖线？直接做横竖线， 那你做完横竖线以后，你会发现这个 q h 平行于 x 轴，而你的 n q 呢，平行于 ab， 那 这两条线平行，这两条线也平行，那它们的夹角，夹角肯定能正。什么？这两个角肯定能正相等嘛，所以你就得到这也是四十五度， 那这是四十五度咋移的？其实就是向左两个，向上两个，向左两个，向上两个啊，但是注意看清楚这个射线方向啊，从谁到谁，别把左右搞反了， 那么最后得到是左二上二。最后再练一个啊，就是你这个沿斜线平移的点。会了，那我现在问你，沿斜线 b a 的 方向移根号二个单位，来一块看啊， 这种抛物线的平移，你首先怎么去想呢？第一步呢，你得先把这个沿斜线平移，沿斜线平移转化成水平数值的平移量来，那你看啊，他说沿 b a 的 方向移根号二个单位， 沿这个方向移根号二个单位，首先这个方向呢，肯定是平行于 ba 的， 然后呢，我知道了斜着移根号二个单位，那我就得知道水平数值平移量是多少。那你会发现这个水平数值平移的三角形跟你的 ba 所在的直角三角形肯定是相似的关系。 那这个 b a 的 三角形呢？你能得到它是负一零零一，得到它是个等值，那么你会发现上面这个三角形跟它相似，肯定也是个等值， 所以我就得到这是一，这是一。哎，你会发现沿着射线 b a 方向平移跟二个单位，其实就是左一 下移的意思，你先把平移量算出来，当你算出平移量以后，现在问题就变成啥了呢？问题就变成了要让这个抛物线向左移一个，向下移一个，那不就非常简单了吗？抛物线的顶点我们知道吗？是零零 零点零零，你左移下移，左移下移，移完了是个啥呀？你会发现，移出来就得到了新顶点，是负一负一， 新顶点时负一负一，新顶点有了，那么抛物线表达式也就能写了啊，平移过程中 a 不 变，所以呢， y 等于 x 加一的平方，再减一平移后，解析式就有了。所以你看，让抛物线也斜线平移啊，其实就是多一步， 你还是先把水平数值平移量解出来，解法呢？还是直接做横竖线，看三角形和这个已知直线三角形的相似， 然后平移量求出来以后呢，第二步就变成了一个抛物线要以相同方式平移的问题，那这个大家其实就都很熟了，就是两步完事来。注意啊，射线是有方向的，射线是有方向的，你沿 b a 平移，就默认了是往左下方移了。 如果我给你改成沿射线 ab 平移，那这时候就是从左下方往上方移， 那么这样的话，就变成了右移上移。注意这个方向啊，沿射线平行是有方向的。这个听懂了以后呢，接下来啊，我们稍微聊一下三角函数，当然咱们聊的是坐标系里面的三角函数。坐标系中的三角函数呢，主要会有两种情景啊，有两种情景， 一种情景呢，就是给了你这个角的一条边，是平行于横竖边的啊，平行于 x 轴、 y 轴的。比方说我现在告诉你摊正它 r 等于三分之一，告诉你摊正它 r 等于三分之一。然后你现在要把这个三角函数用起来，你需要干什么？ 那我们知道初中的三角函数其实就是直角三角形的边长比， 所以我们的第一反应肯定是要先想着做垂线，给它弄直角三角形去。那现在的问题就是，我应该怎么做呢？我们说这种情况， ab 是 竖线，那你肯定是过屁直接做垂线，过屁直接做垂线，做完垂线以后呢，就相当于得到了横竖线的比例关系， p h 比上 a h alpha 的 对边，比上零边，这两条横竖线的比等于三分之一，那么接下来你就能继续算了。 所以啊，有一条边是横竖线的三角函数，你就直接做垂线，但是做的时候尽量要能够出横竖线，是为了方便接下来的计算来，然后接下来继续啊。但我们知道啊， 那有这种带横竖边的三角函数，那肯定也有这种边全部都是斜线的三角函数。 比如说我现在给你一个角 c d q， 给你一个角 c d q 啊，我告诉你这个角的三角函数，比如说是贪正态阿尔法等于一个三分之一， 给你一个这样的斜着的角。好，那这个角怎么用呢？你的第一步肯定还是要先把它放进直角三角形啊，放进直角三角形啊，比如说我就可以过 c 去做个垂线， 而各位，当你做完垂线以后，你会发现你就得到了这个直角三角形的一个 边长比来。各位，那现在你说这个直角三角形又应该怎么用？首先他肯定没有前面这个好用，前面这个直接就是横竖线段的比例算就完了。但这个三角形呢，他的线段是斜着的， 你会发现，你直接求直接表示就不好弄了。那这时候要借助什么？借助一个什么东西？那么在这幅图里面呢，我们会发现这是有一个斜着的直角，斜着的直角我们可以干啥呀？可以构造 三垂直啊，斜着的直角可以构造三垂直，怎么构呢？你就过你的 h 去做一条竖线，然后呢过 d 过 c 分 别做横线， 那么做完了以后呢，你就会得到这两个阴影，三角形是相似的，而这个三角函数一比三，就给了相似的什么东西。你看这个东西其实就相当于给了这个三垂直的 相似比，我就可以利用这个三垂直里面的横竖线段比例去进行计算了。其实在这里三垂直的作用是啥呢？就是把斜着的一比三转化成了它里面横竖线段的一比三， 你看这个红线，这个红线一比三，然后呢，这个绿线和这个绿线一比三，原本是斜着的一比三，转化成了横竖线的一比三， 所以这个玩意本质也相当于在化学位置。接下来继续啊，这道题呢，又有一点大杂烩的感觉啊。所以你要一层层搞明白。第一层，让抛物线沿 c a 方向平移，根二个单位得到 y 撇 b 的 对应点是 f。 各位，这句话啥意思？这不就刚刚练过的吗？沿 c a 方向平移跟二，你问 c a 其实就是跟二，那沿 c a 方向平移，不就是相当于 c 移到 a 吗？所以 这句沿 c a 方向平移，翻译过来就是个啥意思呀？翻译过来就是一个向左移一个向下再移一个，咱们刚刚讲过的斜线平移吗？ 左一下一，这就是他第一句话的意思。而诸位，你知道了平移方式了，知道了平移方式了，那意味着啥？ 意味着这个平移后的表达式是不是肯定能求了啊？那我觉得大家有这么多做题经验，你读到这你都不用看后面说啥，你赶紧先把这个表达式求出来， 至少是一分拿到手了，先把这个表达式求出来。怎么求表达式呢？其实就是看零点平移就行了啊。我把这个原抛物线呢，配个方，把原抛物线呢配个方， 负四分之一倍的 x， 减二分之三的平方，加一个十六分之九，再加上一，这是原抛物线的解析式。 我们推导出了他要往左移一个，往下移一个。哎，其实就相当于是要让二分之三，十六分之九加一， 往左一个，往下一个，那他往左一个变成啥了？往左一个呢？是不是横坐标变成二分之一了，往下一个呢？纵坐标是不是变成十六分之九了？所以呢， 我就得到了平移后的新顶点，平移后的新顶点是二分之一，是六分之九。好了，那这时候 y 撇的表达式也就求出来了吗？其实 a 是 不会变的吗？ a 还是负四分之一，顶点呢？是二分之一， 十六分之九，那平移后的表达式就算出来了。这就是这个题的第一个环节。我一看到沿斜线平移，先把平移量搞出来，进而把平移后的表达式先给他求好，抛物线平移得到了，那你会发现 b 的 对应点是 f， 那 f 的 坐标你肯定也顺手求了吗？我们求一下啊，从 b 平移得到 f 也是左移下移呢，我就得到了这个点的坐标呢，是三逗号负一 来，各位，这时候有没有一个小细节，你注意到你从 b 到 f 是 左一下一，然后呢，你从 c 到 a 也是左一下一， 你有没有发现这两条斜线有个什么关系？你会发现这两条斜线呢，它跟 x 轴夹角都是四十五度啊，所以呢，你注意一下， 平移方向相同，这两条线其实肯定是平行的啊，这个小细节注意一下，这个解决掉以后呢，接下来我们就处理第二个关键条件。第二个关键条件呢是 m， 是 平移后抛物线上的一点 直线 a m 交 b f， b f 就是 刚刚右边这个绿线与点 n， 然后呢，给了你一个角的关系。好，现在这一页 ppt 有 点乱了啊，咱们把这一句要处理的条件摘出来， 去下一页啊去下一页，相当于我已经知道了平移后的表达式，我顺手给他展开了 有了平移后的表达式，然后呢，他说 m 是 这个上面的一个点，他让 am 交 b f 啊，交 b f 与点 n。 那 为了大家好理解呢，我先帮大家把平移后的表达式画一下啊，这比方说就是这个平移后的表达式， 然后呢，它相当于说啥呢？它相当于说这个抛物线上呢，有一个点 m， 然后呢，它把直线 a m 和这个直线 b f 交于了一个点 n 来画出来， 交于了一个点 n， 然后它说个啥呢？它说这个 a nb 角啊，就这个角要等于 a、 c、 b 减九十度， a c、 b 减九十度。各位找一下 a、 c、 b 在 哪？这就是那个 a、 c、 b 角，我们把它起名叫阿尔法吧。我让这个阿尔法角呢，要等于这个大角减去九十度， 你会发现接下来的关键肯定在于谁。人家让你去求的是 m 的 坐标，然后呢？已知的条件呢？一个是抛物线的表达式啊，一个是 m 所在的抛物线的表达式， 还有一个条件呢，是这个 a、 n、 b 的 度数来，那各位你想一想，接下来想求这个 m 点，你肯定要重点关注哪个条件？我是不是肯定得先研究这个角度怎么用， 而研究这个角度，那你会发现，我是不是就得知道这个角大概有多大呀？现在呢，他说的不清不楚的， a、 c、 b 减九十度啊，具体是个多大的角我也不知道， 那我怎么办？是不是应该先把这个角想办法给它找出来，至少我能够直接看到一个等于 a、 c、 b 减九十度的角吧。 那怎么去把这个角找出来呢？哎，其实就很容易了，他说 a、 n、 b 是 这个角减九十度，那你就从这个角里面给它分出来一个九十度角就好了嘛。直接给它刨出来一个九十度，从它里面刨一个九十度出来，那咋刨？那我搁这直接做个垂线不就行了嘛，对不对？ 直接搁这做个垂线。哎，那做垂线的时候稍微注意一下啊，咱们刚刚发现了，这两条蓝色的斜线是平行的，两条蓝色的斜线是平行的。那你说在这个绿角里面做个九十度怎么做最合适？我是不是直接做两条平行线的垂直是最合适的？ 他俩是平行的，那我搁这直接一做垂线，相当于做了一个平行线间的距离吗？那这是不是能更好的用上平行啊？所以呢，这样去做个九十度出来， 这个九十度以做出来，那你会发现旁边这个角就是 alpha， 而你会发现除了得到它是 alpha， 结合平行线 上面是直角，那是不是得到下面这也是一个直角，哎，所以我就找到了等于 alpha 的 一个锐角，这一步核心就是我想要找到角 a、 n、 b 的 大小， 找到这个角的大小，所以我就想着从这个已知的 a、 c、 b 角里面分出一个九十度， 分出一个九十度，直接一做九十度，剩下的这个阿尔法就出来了。那么当你做完这个垂线以后啊，当你做完这个垂线以后，你有没有发现这个阿尔法它其实是有办法求的，为啥呢？你会发现咱们的 c、 a 跟坐标轴夹角是四十五度， 我的 b、 f 跟坐标轴加角也是四十五度，那么这就导致这里有一堆的等腰直角，哎，那我用这一堆的等腰直角，是不是很容易就能求出来这个阿尔法所在三角形的边长，是不是很容易求出这些边长？我们来求一下啊， 你会发现这里面 a、 c 这里呢长度我知道是根号二，然后呢？这是个直角，那右边这就是根号二， 然后呢，下面这个线段呢，我就知道是个二，而接下来呢， a 点坐标知道， b 点坐标知道，是不是 ab 全长就有了， ab 全长就有了，是个几啊？五吗？ 有了五以后呢，这节等于三就出来了，哎，于是接下来三除以根号二，等于二分之三倍根号二， 这一节二分之三倍根号就全给它算出来了。这是因为这个图的特点啊，给的是一堆与 x 轴夹角四十五度的线， 就导致这些线段呢，你都不用考虑什么技巧，一路硬算就全算出来了。那算完了以后你就会发现啥呢？我的这个 alpha 的 对边是 bh， 然后呢，我的阿尔法的邻边呢？是 c h 啊，所以我能得到贪婪，他阿尔法就是他的对边比上他的邻边， 对边是二分之三倍根号二，邻边呢？邻边呢？是二分之三倍根号二。再加一个根号二， 算出来是个啥呀？算出来三角函数值其实就是一个五分之三，也就是说，我既能找到等于它的角， 同时呢，我还能算出来这个角的三角函数值。通过这一系列的计算呢，我们成功的找到了这个 alpha 角的大小，它的三角函数值。有了题目，让我去做一个直线 am， m 是 这个抛物线上的一个点，然后呢，这个 am 跟直线 b f 呢，要交于一个点 n， 他 想让我满足一个 a， nb 是 r 法，那你后面这个 r 的 三角函数都求出来，它大小是确定的，来那个位意味着啥？能求了你这个角的大小，知道了， 你这根线又是确定的， a 点也是确定的，那接下来是不是意味着这个 n 点坐标大概率就能求出来了？那如果 n 点坐标能搞定， n 点坐标能搞定，那现在想求 m 点坐标要怎么求？是不是只要有了 n 点坐标，那么我就能够得到 an 的 表达式，而有了 an 的 表达式，我就可以让 an 跟谁连力啊？是不是可以让 an 跟咱们的 y 撇连力？那么这时候我就可以求出 m 的 坐标了， 所以接下来的整体思路就是这样的，我先想办法去求 n， 只要把 n 点坐标搞定了，然后接下来 m 坐标也就解决了。那这些都知道了以后呢，那下来呢，那我们就想办法去求 n 吧。然后呢，首先你会发现上面呢，肯定能做出来一个 a n b 角，但是呢，这里一定要注意啊， 人家说的是直线上有一个 a、 n b， 那 你能在上面去做一个 a n b 意味着啥？上面能做出来一个 a n b， 那 你忽然 n 点往下走以后，往下走以后，你在下面 一定也能做出来一个这样的角啊。所以呢，接下来这个 n 是 有两种情况的，两种情况也没关系，你就求两次 n， 求两次 n， 然后呢，求完两次 n 以后呢，去分别连力表达是算 m 点就行了。好，那现在问题就是怎么求这两个 n？ 你 是不是知道三角函数呀？ 知道三角函数首先要做什么？求 n， 你 会发现已知的是三角函数，那三角函数 我要干啥呀？我要想到去做垂直吗？那这里显然要怎么做，你看着这个图，这么有特色的一个图，应该怎么做？你都已经出现这是个等腰三角形了，这个垂线过 a 做是不就非常合理了？ 所以呢，我过 a 做，做了个垂线 a t， 而各位，这个垂线做完了以后，大家有没有什么感觉？有没有发现这个垂线上边有东西可以求了？你做了这个垂线以后，你会发现，因为这四十五度角的存在，你不是就相当于又做出了一个底边式横线的等值吗？ 谁的坐标直接求了？这 t 点的坐标不是直接求了吗？怎么求呢？你给他做个垂直，做个垂直其实就相当于做了等腰直角的三线合一， 等腰直角的底边呢，是四减负一是个五啊，所以呢，这些线段二分之五、二分之五、二分之五就都有了啊，于是 t 的 坐标直接出。怎么想到求 n 的 坐标？ 因为你现在手里的条件就是 a n b 这个角呀，然后呢，这个角最直接相关的条件就是 n 点呀，这是咱们从条件的角度反向去解读啊。 实际上就是我们之前经常会遇到已知角度已知角度要求坐标的题，这种题从初二开始就会遇到已知一个角度，然后呢，这种题做多了以后，你一看这个图，你就知道 n 坐标应该是可以求的， 那你只要 n 坐标能求了， m 坐标就能求，这个思路就顺下去了。就你做一个综合题，肯定不能是一点基础都没有，从头开始直接全都能做出来啊，那也不科学。 所以我跟你说，最可靠的逻辑就是你之前是做过已知角度求坐标的题的，就是说告诉你 a n b， 你 把 n 求出来， 你把这个做会了，你到这道题才能快速的想到求 m 坐标需要先求 n， 那 有了这个点坐标以后，那你会发现，我知道这个角的三角函数，哎，那这时候我是不是就可以得到这些线段的比例关系？相当于我知道了，这个是占三份的，这个是占五份的， 这有一个三比五，来家人们这个三比五斜着的这个直角，看到了，想到可以怎么去求？恩，那这不是咱们之前说过的斜放的直角吗？斜放的直角怎么办？构造 三垂之位。所以呢，我怎么够呢？我过 t， 做个横线，过 a 过 n， 分 别做竖线，我就得到这两个三角形是全等的了。而这两个全等了以后呢，你会发现，哎，这边三角形的边长都能求。首先这个竖线的长度就是 纵坐标零减去这个负二分之五，竖线是二分之五，而你会发现，这个横线的长度呢，我也能算出来是二分之五，二分之三减负一也是二分之五。然后呢，接下来呢，两个阴影三角形是相似的，相似比是三比五。 那所以呢，你给左边的线段除三再乘五，除三再乘五，你就可以算出来，右边的线段是六分之二十五和六分之二十五，左边线段能直接算，利用相似比右边六分之二十五就算出来了。 那你说你现在已知 t 点的坐标，已知 t 点的坐标 n 一 的坐标，是不是直接写了，他不就是 t 点往右平移六分之二十五，再往上平移六分之二十五吗？ 所以呢， n e 的 坐标就可以算出来了，你自己去加去算啊，我就不展示了啊。总之，算完了以后， n e 的 坐标可以直接出 n e 坐标有了以后，那你 a n 的 表达式是不是直接就有了？好， a n 的 表达式有了， 你的 m 点是啥呀？ m 点是不要在这个已知的平移后的抛物线上，然后呢，同时呢，你 a m 其实就是这个直线 a n， 所以你会发现你的 m 点就是抛物线和这个 an 的 焦点，抛物线和这个 an 的 焦点，所以怎么求这两个或连力？ 连力以后解放成就行了啊，我也就不算了啊，他俩一连力 m 坐标就算出来了。第一个答案是一二分之一，第一个答案搞定了，然后呢，咱们在这停一下， 我们来说一下，这一问，咱们到底干了哪些事啊？就这个题，就是重庆的这个函数题呢，和他的几何题很像，就是拼接感特别强， 一道题里面恨不得给你塞进去七八个不同的题，所以就感觉流程特别长啊，但是其实每个环节的逻辑都是比较清晰的，我们来复盘一下啊，这个题整个的逻辑是啥呢？首先第一步啊，我们是看到他说沿斜线平移， 沿斜线平移呢，你就要立刻反应过来，他的平移量是可以求出来的啊，其实就是一个左移下移，那通过平移量呢，我就搞定了 y 撇的表达式，这是他的第一步。 而搞定 y 撇的表达式以后呢，接下来第二步呢？第二步呢，他提到说 m 是 这个平移后抛物线上的一个点， m 是 这个抛物线上的一个点。然后呢，他还要满足 a n b 等于 a c b 减九十度。 哎，我一看这个条件里面，这个角的关系肯定很重要，但是呢，他现在给你一个角的和差你也不好用，那所以想到啥呢？想到我可以先给这个大角减个九十度，减完九十度以后，剩下的这个角就是我的阿尔法， 而这个阿尔法呢，你在图里面很明显能发现他是渴求的，相当于我就得到了一个三角函数已知的角，有了这个角以后呢，那你会发现，哎，你再去看这个角的条件， 他的想法就会比较明显了。这个角的条件啊，很容易想到，利用它能求出 n 点的坐标，那能求出 n 点坐标 a， n 表达式，有了抛物线的表达式有，那么 m 点的坐标就能有办法求。所以接下来第二步呢，我们得到了角以后，发现目标就是想着去求 n， 想着去求恩，求了恩， m 点坐标就能搞定。而想到这个以后呢，下来的任务就是具体怎么求恩，具体求恩的时候呢，你会发现，其实给的就是一个角的条件， 那角的条件的话，三角函数已知。三角函数已知，那我就想到了，先去做垂直，做完垂直以后，你就有了一个已知比例的直角三角形，那我就想到了，可以去构造三垂直。 而有了三垂直以后，我就求出了 n 的 坐标 a， n 表达是搞出来了连力 m 点的坐标， m 点的坐标我就搞定了啊，这就是它的整个流程，其实就是三个大步，算上连力 就是四步，算上连力就是四步。那么走到这为止呢，我其实已经求出了 n e 的 坐标，然后呢，进而求出了 m e 的 坐标， 然后接下来呢一种想法呢，就是我照猫画虎，下面这有个 f 嘛，它所在的直角三角形呢，也有一个三比五啊，所以有一种思路呢，就是我继续去用三垂直，把我的 n 二坐标一算啊，这是一种想法， 但其实这里有一个更简单的办法，你不用重新三垂直了。什么办法呢？大家还记不记得刚刚这做了两个角相等，这是个什么三角形？等腰三角形吗？等腰三角形呢？我搁这做了个垂直，相当于做了它的 三线合一嘛，也就是说，我的这个 t 点，我的 t 点其实是 n 一 n 二的什么 终点？哎，各位，那现在请问你想要求 n 二的坐标，有没有快一点的办法？相当于我知道了终点的坐标， 知道了一个端点的坐标，可以怎么求 n 二？是不是用终点坐标公式就直接推了？当然了，这里呢，你最好是知道那个口诀啊，终点坐标公式的那个变形二倍终点 减一端啊，二倍中点减一端就已知中点，已知一个端点，另外一个端点呢？可以直接这么算啊，就是两倍的中点减一个两倍的二分之三，就是三，减去三分之十七啊，所以算出来他是负的三分之八。然后呢，两倍的中点纵坐标， 二倍的负二分之五就是负五，负五减去三分之五啊，就是负的三分之二十。所以我用中点坐标公式可以快速的算出 n 二。当你求出这个 n 点坐标以后，接下来就又跟之前完全相同了。 那你 a n 的 表达式是不是可以求 a n 的 表达式？有了跟抛物线连立，那么 m 二的坐标是不也就搞定了？最后答案的数字居然还挺简单的啊，至少这种题我也还比较仁慈， 你算完了以后会特别踏实。你看这个答案，这么抽象的一道题，中间的数字一个比一个诡异啊，然后呢，算到最后居然是这么好看的一个数字， 算完心里面就会觉得我肯定算对了。那么到这为止呢，各位，基本方法我就给大家讲完了，最后啊，我给大家说一下，这道题其实有一个 能降低计算量的算法，但是他有一个问题是不太好想，所以我没有一开始就说， 然后接下来呢，我给大家说一下这个不太好想的做法，那么咱们刚刚的做法呢，其实就相当于是啥呢？相当于是在已知三角函数的情况下，已知三角函数的情况下，通过做垂直勾三垂直 来硬算啊，整个这个逻辑相当于是最直接最粗暴的方式去硬算这个坐标，只不过这个计算呢，比较常用啊，你算熟了以后复杂度也就那样，但是你说这个有没有更好算的办法呢？是有的，给大家讲一下更好算的办法是啥呢？ 就是尝试去倒角，接下来方法二，尝试去倒角， 我们看看给的这些角关系，通过倒角能不能变得更简单。好，那现在我们来看啊，怎么倒角呢？倒角其实就是考虑啥呢？考虑等于补外几个字，你现在已知了这个阿尔法了，然后呢，你要去倒角，你就去看阿尔法的等角与角，补角外角， 那所以你会发现我很容易得到阿尔法呢，有一个与角就是这个贝塔，而各位这个贝塔跟下面的这个阿尔法啥关系？这个红色的角是贝塔角，然后呢，这个红色的角是阿尔法角， 你有没有发现，这个贝塔跟阿尔法在同一个四边形里，是四边形的菱角，而我知道阿尔法和贝塔是互余的 来，诸位能推出什么，你会发现我把这条线延长出去，把这条线延长出去，这两条线应该是什么关系？是不是一定能推出来？这是直角呀，也就是说我这里呢，通过倒角，通过倒角就推出来啥呢？推出来我的 a n 二 是垂直于 bc 的， 有个啥好处？你的 a n 二垂直于 bc， bc 的 斜率是知道的呀，你 bc 的 斜率能算出来是负四分之一啊。 那就意味着我 a n 的 斜率能直接算出来是啥？我是不是直接推出 a n 的 斜率就是正四了？ 啥就直接算出来了？是不是 a n 的 表达式就直接算出来了？首先， a n 的 斜率有了 k 等于正四，那么它的表达式就可以写成四 x 加 b， 四 x 加 b 呢？你把负一零带进来，就得到了零等于负四加 b， 所以 b 等于正四就有了啊。于是你的 a n 二是 y 等于四 x 加四直接出， 你直接得到，他的表达是你就直接连地球 m 了，不用什么三垂直，不用终点坐标。这个方式好处是啥？好处就是计算量小了很多，但坏处是什么呢？这么乱七八糟的一个图里面。然后呢，你要在考场上能够认认真真的去想一想脚怎么倒， 其实没有训练过是挺不容易的，尤其是在你已经找到了一个可以直接计算的思路的前提下。 我就这么说吧，你，你如果身在重庆，这种题硬算的思路是肯定要会的，这个是最粗暴 最保底的方案。然后呢，你这时候呢，看到他已经能硬算了，然后呢，就因为不想算，你要去找一找倒角，有没有更简单的办法？我觉得很多小伙伴可能都不愿意去想，所以这个叫做理论上好算啊，但是你要是没看出来， 你也不用纠结，硬算就完了。好，这是算这个 a n 二。然后呢，同样的，我们通过导角啊，其实也能把 a n 一 的表达式直接怼出来，但这个呢，就更麻烦一点了。然后呢，我们刚刚说要导角等于补 y 啊，朋友们，要导角等于补 y， 那 你会完？这里有平行线，有平行线，那这个 alpha 是 不是就换地方了， alpha 就 挪到了这里，这是 alpha 啊。 然后呢，这个角是四十五度等腰直角三角形嘛？那它是四十五度，它是 r 法。我是不是可以先把这个角推出来？是四十五度减 r 法， 那这时候再结合它也是四十五度减 r 法，我就正出个啥呀，这个小红角和这个小红角是相等的，相当于正。出啥了， 这个蓝三角形就是一个等腰三角形啊，蓝三角形是等腰。大家知不知道 bc 和 a n 一 的斜率是什么关系？ bc 和 a n 的 斜率就是互为相反数的，为啥呢？你可以认为它是等腰，所以呢， 这两个幺就相当于关于竖线对称，关于竖直线对称的两条直线，斜率是互为相反数的。所以我由此可以推出 a n 一 的斜率直接等于 bc 斜率的相反数就是一个正的四分之一， 它的斜率正四分之一。有了 a 点坐标，知道 a n 的 直线表达式就能直接求出来了。但是是不是很显然，这个推导就比刚刚那个要更扯淡了？我甚至有一点是带着答案去推这个角关系，然后呢，才找出来的，因为这个导角明显 相对是比较复杂的。所以啊，这类型题呢，我告诉你，就是理论上它都有一个比较简单的算法， 倒角就能硬倒出来，但是你与其去纠结这种算法，不如去把那个硬算的思路学会。啊，硬算的思路其实综合考虑下来是相对更可靠的。
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39:25查看AI文稿AI文稿好的，同学们，我们一起来看一下重庆市二零二五年中考数学真题倒数第二道题，函数压轴题。来，我们一起来看一下这道题的难度如何。首先看一下题目， 他说这个函数与 x 轴交于 ab 两点，然后与 y 轴交于 c 点，对称轴是 x 等于二分之五。那第一问要求这个抛物线的表达式，那我们来看一下，我们把这几个点标出来，这个点是六和零， 那么这根对称轴是 x 等于二分之五。那我们看一下啊，根据这个抛物线，它是关于这个对称轴对称的，那么 b 点到这个对称轴的距离是不是就等于 a 点到这个对称轴的距离啊？对称轴是二点五，它和 b 相隔三点五个距离，所以说 a 这样算出来， a 的 位置是不是就是负一和负一和零， 对吧？那么把 a 点的位置算出来之后， b 点的位置知道。哎，我们把这个， 我们把这个，呃，什么东西呢？我调一下这个啊，我把这个 a 点， a 点是负一和零，然后 b 点是零和六，把它把这两个点带入到这个呃抛物线里面去，是不是就可以解除？解解除这个 b 等于多少？ c 等于多少啊？那么这是一个方法，这是一个方法，还有一个方法，就是 什么呢？因为我们这个一元二次函数啊，就是这个二次函数，它和我们的这个一元二次方程是对应的。这个抛物线，这个抛物线与 x 轴有两个交点，那对应的是不是就是这个 x 平方加 b， x 加 c 等于零啊？这个一元二次方程和。呃，有两个根呐？ 啊？是不是有两个根，一个根是负一，另外一个根是六，那这个，那这个方程是不是就可以改写成这样，改写成哪样呢？他的，因为他的两个根，一个是负一，另外一个是正六，是不就可以写成写成多少了？ 就是 x， x 加一乘以 x 减六等于零，是不这样？ 那你看一下这个方程的它的两个根是不是恰好就是负一和正六啊？然后我们再把这个这个方程展开，它是不是就直接等于 x 的 平方， 然后减六， x 加一个 x 是 不是就是减五， x 然后减六等于零？哎，那，那这三个方程是不是应该是一样的？所以说我们就直接得到了 y 等于 x 平方减五， x 减六，那么这个是方法一啊，这个 是啊，这个是方法二啊，两种都可以啊，两种都可以，看大家喜欢哪一种啊？那么我个人是偏向于下一种啊，因为下一种做快的话，其实你可以口算出来的。 好，那我们就得到了这个抛物线的表达。是啊，就是 y 等于 x 平方减五， x 减六。好，我们一起来看一下这个第二问 啊。前面是第一问啊，第二问，他说这个 p 点是抛物线上的一个动点啊， p 点是一个动点，连接 o p 与 bc 的 交点于 q 就是 o p 和 b， c 的 交点是交在 q 这里的，然后 d 和 e 是 抛物线对称轴上的对点啊， d 和 e 也是动点，然后他告诉了 d， e 的 距离是四，现在连接这几个点啊，他问的是什么东西呢？就是当这个 p q p q， 大家看一下 p q 除以 o q 的 时候啊，是最大的时候，然后求 p 的 坐标，然后以及 b d 加 p， e 的 最小值，那我们来看一下这个第二问怎么做啊？第二问我们先， 哎，看完题目之后呢，你会发现这个 p 点它是一个动点，然后因为 p 点在动，所以说这个 q 点它也是一个动点，然后呢 d、 e 也是个动点，那么这样看来，是不是就有四个动点呢？ 那我现在想要求这个 p q 除以 o q 取得最大的值的时候，那能不能把这个 p q 的 距离算出来，然后 o q 的 距离也算出来，用上面除以下面就行了呢？嗯，这样应该是不行的哈，因为它们这个 p q 都在动啊，都在动，那我们要算它的最大值的时候，那怎么办呢？就是直接算，算不出来，那是不是就需要转化一下呀？嗯，根据 第一问的条件，哎，我们知道了这个函数的表达式是 x 平方减五， x 减六，那我是不是可以把这个 p 点设它的横坐标设为 x， 横坐标设为 x 的 话，重坐标是不是就是 x 平方减五 x 减六啊？对吧？因为这样设的话，就只有 x 一个未知数，对不对？然后接下来我们看一下该如何转化。嗯，这个 p q 除以 o q， 因为都在，都在动嘛，都在动，所以说你无法确定它的具体值是多少，那我转化的时候就是这个转化的时候，该怎么转化呢？ 那你看一下，我们观察一下，观察一下这个 o q p q， 特别是这个 o q， o q， 它是不是在三角形 o c q 里面呢？ 它比上这个这个 p q， 比上这个 o q， 这个 o q 竟然是在一个三角形内，那我是不是可以把这个 p q 也放在一个三角形内啊，而且通过第一问，我们知道这个 c 点的坐标应该是多少啊？是不是就是零和负六啊？因为它是这个抛物线和这个 y 轴的交点。 好了，那你看一下这个 o c 的 距离是不是就已经确定了是六？那我现现在想要求这个 p q 除以 o q， 求它的最大值，我转换一下，就是把它放在两个三角形里面试一下。那怎么办呢？我就过这个 p 点 过 p 点像这个，呃，像这个 x 轴做垂线，假如说这个它交于这个 b p， 这个 b c 是 f 点， 那大家看一下，看一下我左图上画的这个点呢？看得清楚吧？哎，因为我是做的这个，做的这个 p f， 它是垂直于 x 轴的， 那我们是显然就可以得到。得到什么东西呢？得到这个 p f， 它是不是平行于这个 a c 的 呀？对吧？ p f 是 平行于 a c 的， 然后这个 q 点又是三角形 a c q 啊，不是 o c q 和这个 p f q 的 这个公共点，那我们是不是就可以得到？得到什么东西呢？得到这个三角形 a c q 三角啊，不是，是这个 o c q， 我 写错了。 o c q， 三角形 o c q 是 不是和这个三角形，哪个三角形的啊？ p f q 是 不是相似啊？就是三角形 a o c o c q 和这个 p f q 这两个三角形相似 没问题吧？啊？应该是相似的啊，相似的话，那大家看一下，我们就可以通过相似笔来进行一个转化，这个 p q， 这个 p q 除以这个 o q， 是 不就可以转化成什么东西呢？ p q 除以这个 o q， 是 不就可以转化成 p f 除以这个 o c 啊？哎，这里为什么要转化成 p f 除以 o c 呢？因为 o c 它是一个定值啊， o c 等于多少？ o o c 是 不是等于六？那这个式子是不是就变成了六分之一乘以这个 p f 啊？对不对？ 那我现在要求这个 p q 除以 o q 的 最大值，是不是就转化成了？求 求 p f 的 最大值啊，对吧？那 p f 的 最大值怎么求了？那大家看一下这个 f 点， f 点是 p 点向 x 轴做的一个垂线，那 f 点和这个 p 点的横坐标是不是一模一样的？都是 x， 对 吧？ 那 f 点的纵坐标，哎，我们来看一下哈， 大家观察一下这个 f 点，它是不是在 b c 这条直线上啊？ 直线上好， b c， 我 们可以 b c 这条线，我是不是可以把它看成一个一次函数啊？那我是不是就可以把这个 b c 的 这个函数解析式算出来？那你看一下， b c 是 一个一次函数，它过六和零，还有零和负六， 那是不是很容易得到？这个 bc 的 这个解析式就是 x 减六啊？啊，大家可以把这两个点带进去验证一下啊 啊？六和零带进去是不是？六是不是刚好等于零？零带进去是不是刚好等于负六？那所以如果说 bc 的 这个解析式是不是就求出来了？那因为又因为这个 f 点是不是在 bc 上？那 f 点的横坐标是不是在 bc 上？那它的纵坐标是不是就是 x 减六啊？ 对不对啊？没错吧，我现在要要求这个 p f， 因为这个 p q 它除以这个 o q， 是 不是现在就转化成了六分之一的 p f， 对 吧？这个 p f 它在同一条直线上，而且它们的这个 x 横坐标相等，那它的长度是不是就有 这个纵坐标大的减去这个纵作撇纵坐标小的呀？是不就是有六分之一乘以这个 x 减六，就是 f 点上面这个点减去下面这个点的 纵坐标，是不是 x 减六？减是减的下面这个整体啊？一定要打括号，是不是就是减 x 平方加五， x 加六呀？对不对？那我们来化简一下，是不是就等于六分之一乘以？ 哎，来看一下里面是不是就是负 x 的 平方，然后 x 加五， x 是 不是就是加六， x 减六加六是不是抵消掉了？那是不是就等于多少了？ 嗯，负的六分之一 x 平方加上 x， 对 不对？好， 那我要求这个 p q 除以 o q 的 最大值，是不是就相当于求这个负六分之一 x 平方加 x 这个东西的最大值啊？好，那大家看一下这个函数它是不是一个开口向下的二次函数？ 开口向下的二次函数在哪里取得最大值啊？是不是就是在它的对称轴处？来，我们写一下对称轴的这个公式，是不是？那就是负的，我们算一下 二 a， a 是 不是负六分之一，二 a 是 不是就是负的三分之一，然后 b 是 一来负负负号和负号约掉了，是不是就得到 x 等于三呢？ 对不对？哎，那就是说当 x 等于三的时候， x 等于三的时候，这个 p q 除以这个 o q， 它可以取得最大值，对吧？ 我们看一下这个题目，他要求我们把这个最大值算出来没有？哎，大家看一下这个题目啊，他是没有要求我们算这个最大值的啊，感兴趣的同学也可以把这个最大值算出来，那我们这里就选择了不算。 那既然 x 等于三的时候， p q 除以 o q 取得了最大值，那现在 p 点的坐标是不是就可以算出来了？ p 点的坐标是不是就是三？把它带进去三的平方九九减六等于三啊？再减十五是不是就是三和负十二啊，对吧？ 三和负十二，然后 f 点的位置是不是三和负三啊？没错吧？啊， 这个 p 点的坐标我们现在解决了，然后我们现在要算的是什么呢？就是这个 b d。 好， 我把它写在左边来了啊，我们现在要求的就是这个 b d 加上 p e 的 p e 的 最小值啊，就是这个整体的最小值啊， 我们要求两个线段加起来的最小值。这个模型在哪里学过啊？是不是八年级有一个板块就是叫什么东西呢？将军与野马啊，大家还有印象吧，对吧？是不是在那个模块里面，我们就学过两个线段加两个线段最小值是怎么做的呀？ 啊，我给大家回忆一下，我写在这个最左边的哈，最左边的，大家看到这个最左边啊，就是八年级有个教材，上面是不是有有个人骑着马，还有个蒙古包 啊？假如说这里是 a 点啊，这里是 b 点，好，我们把这个题目简化一下，把这个将军引马的问题，假如说我画的这条横线是一条路，在这个路上要建一个 p 点，要建一个 p 点，使这个 a p 到 a p 和 b p 的 距离最短。 a p 和 b p 的 距离加起来和最短是怎么做的？是不是就过以这个路为对称轴做 a 点的对称点？好， a 一 撇，然后连接 a 一 撇和这个 b， 那 这个， 那这个 a 一 撇 b， 这条直线和我们这个路的交点是不是就是 p 啊， p 的 位置啊？就是它，就是，不就是利用了两条直线之间， 两条啊，几个点之间这个直线段最短啊，这个本质对不对？那我们这里也是一样，我们要求这个 b d 加这个 p e 的 最小值，是不是也可以进行转换？那大家看一下， 大家看一下啊，这个图，这个 b 点，它是不是关于这个和这个 a 点，关于这个对称轴对称呢？那这个 b d 我 是不是就可以把它转化成 a d 啊？ 对不对？那这个图形是不是就转化成了 a d 加 pe 的 最小值了？没问题吧？好， a d 加 pe， 哎，但是这里又出现了几个问题啊，又出现了几个问题，那就是什么呢？我把这个 a d 连接一下， 这个 a d 连接一下之后呢，你会发现 a d 和 p e 它根本就没有在同一条直线上啊，对不对？那怎么办呢？哎，别慌别慌，题目还告诉了一个条件是什么呢？这个就是这个 d e， 它是等于四的 d e 等于四，我想要把这个 p e、 a d 转化在同一条直线上，那我可以怎么办呢？哎，相信大家已经想到它就是我把这个 p 点向上， 哎，向上平移四个单位长度，假如说它平移到 p 一 撇这个位置来了啊， p 一 撇这个位置来了，那 p 一 撇的坐标是多少呢？ 大家看图， p 一 点现在的位置是不是三和负十二，它向上平移四个单位长度的话，那 p 一 撇的坐标是不是就是三和三和负八呀？对不对啊？没问题，是不是它就是三和负八，然后我再连接这个， 我再连接这个 d p 一 撇， d p 一 撇，大家自己看我左边画的这个图啊， 哎，那大家看一下，从这个图上，因为这个，因为什么东西呢？这个 d e， d e 它是不是等于四？然后我刚才平移把这个，把这个点，就是这个 p 点向上挪了四个单位长度，所以说这个 p p 一 撇，它是不是也等于四个单位长度啊？对吧？ 然后这个 p p 一 撇，它是不是在这个 p f 这条直线上？同时呢？是不是就是不是得到了这个 d e 啊？等于 p p 一 撇，同时呢？ d e 是 不是还平行？ p p 一 撇？哎，没错吧？啊， 两条直线相等且平行的四边形啊，就是说有一条对边平行且相等的四边形，是什么四边形呢？啊？没错，就是平行四边形啊，所以说我们就得到了四边形啊，四边形， 四边形谁了？ d e p p e 是 一个平行四边形，是不是它是一个平行四边形？那既然它是一个平行四边形的话， 那这个 p e 我 写在这里啊，空空里面，这个 p e 它是不是就等于多少了？ p e， d 呀？是不是？ p e， d 没问题吧？好，没问题，我们继续。 哎，那我们之前的这个是不是就可以转化成了下来的这个 a d 加 p e 的 最小值，是不是我现现在就可以写成 a d 加上这个，加上这个 p e， p e， d 啊？是不是就是这个 d p e， 对吧？ p e， d 和 d p e 是 相等的，那，那你看一下 a d 加上 d p e， 这我是不是就把两条线段现在就可以转化成了？你看下 a d 加上这个 d p e， 它们之间的最短距离，是不是就它们的最短距离，是不是就等于这个 a p e 啊？ 是不是就等于这个 a p 一 的距离，对不对？就说当这个地点刚好在 a p 一 这条直线上的时候，那么 a d 加上 d p 一 是不是就是最短？是的哈，没错，那么我们现在就可以算一下了。 我知道 a 点的坐标，知道 p 一 的坐标是不是 a 点的坐标是不是负一和零， p e 的 p 撇的坐标是不是三和负八，对吧？知道这两个点的坐标，我要求这两个点之间的距离，怎么求？是不是根据勾股定律，对吧？根据勾股定律的话啊，是不是就是，呃，怎么样？四个平方加上 八的平方啊，对不对？那就等于多少了？十六加上六十四，是不是就是根号八十？根号八十是不是就等于十六乘以五，是不是就是四倍的根号五啊？ 对，好，就等于四倍的根号五。那我们是不是就把这个啊， b d 加 p e 的 最小值给求出来了？多少啊？是不是就是四倍的根号五啊？好，看一下这个第二问，第二问， 第二问。总的来说呢，第一个要求，这个 p q 除以 o q 的 最大值的时候，是不是把它转化一下啊？通过我们九年级学的这个相似啊，来转化一下，然后后面这个 p 点的坐标是不是也固定下来了？ 哎，然后这个 b d 加 p e 的 最小值是不是也能求出来的呀？对吧？啊，这个考的知识点还是比较全面啊，那我们再看一下这个第三问吧。 第三问啊，我们来一个一个解决啊。他说在 p q 除以 o q 取得最大值的条件下，这个条件下是哪个条件下？是不是 p 的 坐标是三和负十二？ 哎，对哈，哎，这个抛物线是不是我们已经求出来，它是 y 等于 x 平方减五， x 减六啊？ 啊？减五 x 减六，对吧？他说沿着 b c， 大家看图看图， b c 是 哪个方向？ b c 是 不是这个方向，是不是朝这个方向啊？平移二倍根号二个单位长度得到 y 一 漂， 大家想一下，这个二倍根号二个单位长度是怎么平移出来的？好，我给大家画个图，大家就演示一下，是不是我们在九年级的这个教材上只学了向上平移，向下平移，向左平移，向右平移，没有说， 哎，向着斜着方向平移，对吧？那我们怎么去算呢？那大大，大家思考一下，这个二倍根号二是不是 很特殊啊？他是不是刚好是根号？他是不是刚好是二的根号二倍啊？哎，大家看一下，看到我画的这个图啊，如果我向左先平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，那你看一下，从假如说从原来这个点到现在这个点， 那大家看一下，是不是刚好就是二倍根号二个单位长度啊？哎，对不对啊？对的啊，就是 相当于是一个等腰直角三角形，对不对啊？等腰直角三角形啊，对吧？那这个 y 一 撇，那这个 y 一 撇，它是怎么来的呢？是不是就是相当于这个由这个 y 先向左平移 两个单位长度，再向下平移两个单位长度？好，我们 y 它是等于多少了？ x 的 平方减五， x 减六，那我们先把它配方， 它配方是不是就是 x 减二分之五的平方，然后减 六减六，这里是不是加上了一个四分之二十五，是不是还要减去一个四分之二十五？他就等于 x 减二分之五的平方，减去四分之后多少？ 是不是四十九啊？啊？没，没问题吧？啊？六十四分之二十四啊，没问题啊，那 y 一 撇是多少呢？ y 一 撇， y 一 撇，是不是由 y 先向左平移两个单位长度？来，大家 练一下口诀，左加右减好，左加右减好，这个基础上平移两个单位长度是不是左加呀？是不是加二的平方啊？然后减去四分之四十九，再向下平移多少？两个单位长度是不是再减二， 对不对？再减二。那我们来整理一下，他是不是就等于 x 减多少啊？ 大家看一下，减二分之五加二，是不是就是减去二分之一的平方，再减去四分之二十四分之八，是不是四分之五十七，对不对？然后我们把这个展开，是不是就等于 x 的 平方减 x 加四分之一，减，是不是就是减四分之五十七？是不是减四分之五十六？是不是减十十四啊？ 对吧？好，那我们是不是就得到了 y 一 撇的这个函数解析式，是不是就是 x 平方减 x 再减十四啊？好， 他说 n 是 y 一 撇上的一个动点，那 n 的 坐标是不是不知道？那不行，把 n 的 坐标设出来吧，那 n 假如说它就等于 a 横坐标，是不是就是 a 的 平方？减 a 再减，再减十四， 对不对？哎，我这里没有设 x 啊，因为我在第二问的时候设了设了 x， 我， 我就把这个 x 改成了 a 啊，改成 am 都可以哈啊，自己喜欢用哪个用哪个，然后我们来看一下这个图啊， 我在这里画一个，画一个图啊，我就不翻，翻上去了，我们先把原来这个图画一下 啊，这个图，因为在平板上这个图不是很好画，这个水平有限啊，大家大家看一下啊， 好，假如说这是原来这个图吧，这是，这是 y 啊，这是 y， y 到 y 一 撇，它是不是先向左平移两个单位长度，然后再向下平移两个单位长度？那假如说 y 一 撇， y 一 撇，大概就是， 啊，大概就是这样吧，看得清楚吧啊，应该看得清楚啊，好，这里这个点是 a 点，这个点是 b 点。 好， p 点， p 点的坐标是不是还是三和负十二？假如说 p 点在这里吧， p 点三和负十二啊， p 点在这里。好，或者我先不写这个 p， 等的这个，我先不写 p， 等这个坐标吧。 好， p 点。然后他说说什么 m 点是 p 点的对应点，那 m 点大概是不是就是在这个位置？ 好， m 点大概就是在这个位置看得清楚吧。好，那我们是继续把剩下的这个点给它标出来，这个，这个是 o 点 啊， o 点 p 点好，是不是还要然后呢？他告诉了一个什么东西啊？他说 啊，他说这个，说，说什么东西呢？他说这个角 n a b 是 不是等于角 o p m 减四十五度啊，对吧？那 n 在 哪里呢？ n 我 是不是不知道？假如说 n 就 在， n 就 在这里吧。 好，假如说 n， n 在 这里， n 在 这里。好，我们先把这几个连起来啊，第一个是 n a b， 好，我先把这个 n a b 连接起来， n a b， 嗯，角 n a b 是 不是就在这里？大家看到了吧？我画的这个 n a b， 然后 o p m 是 不是还要连接 o 和 p 啊？ 好， o 和 p 还要连接 p 和 m 啊？ p 和 m 没问题吧？哎，大家看一下哈， 现在这个 n a b， 找到 n a b 这个角，它是不是等于 o p m 减去四十五度啊？ 哎，四十五度在哪里出现了？哪里出现了呢？大家有没有印象？就是我这个上面，这里，这里，我画的这个图就是二倍根号二，这里这个图， 这个二倍根号二，是不是他？我们刚才他是怎么平移的？他是不是相当于一个等腰直角三角形呢？那这个角是多少度？ 就是我画的这个角，大家看见没有？是不是刚好就等于四十五度？因为他是个等腰直角三角形，对不对？哎，那这一点， 这一点是不是就相当于是 p 点？这一点相当于是什么？ m 点，是不是这样啊？没错哈，没错，就是这样哈。这，那么这个角是不是相当于四十五度？那现在 p 点是？不知道了，我就过 p 点，我是不是就可以过 p 点向这个 x 轴，向这个 y 轴做垂线呢？ 好， p 点做垂线是不这样？那假如说这个垂足的地方是 r 吧？假如说这个垂足的地方是 r， 那 大家看一下我画的这个点，我画的这个角，我画的这个角是不是就是四十五度？ 是不这样，大家看看到我画到哪里了吗？好，就是这个 r p m 这个角是不是就是四十五度， 对吧？它是怎么来的？就是因为我们刚才根据这个平移，根据这个平移把它推出来的呀？先向左再向下，是不是平移相同的长度，是不是？那这个夹角就是四十五度，对吧？那大家看一下 这个 o p m o p m 减去这个四十五度，是不是刚好就等于角 o p r 啊？ 是不是刚好就等于这个角 o p r 没问题吧？是不是？那我是不是就得到了这个角 n a b 角 n a b， 它是和这个角 o p r 是 相等的，对不对？ 对吧？这个 n 点我们是不是刚才把它的坐标给设出来了？是 a 和 a 的 平方减 a 减十四，对吧？ 那我现在知道这两个角相等，我怎么把这个 a 求出来了啊？我怎么把这个 a 求出来？其实这里哈就要用到一点，这个可以用到说可以用到一个三角函数的， 三角函数的里面一点点东西啊，就是这两个角相等，这两个角相等，那他们的这个正切值是不是也相等啊？ 好，他是，是不是？他们两个角的这个正切值是不是也相等？ o p r， 对 吧？那这个两个角的正切值怎么求呢？我先过这个 n 点向这个 x 轴做垂线，好过 n 点向 x 轴做垂线， 这个不是垂直的，我重新画一下 做垂线，假如说是，假如说这个点是 k 点吧？那那这个你看一下哈，它们的这个正切值相等的话， p 点是不是？我知道它的坐标是三和负十二，对不对？那这个，那这个角我们先看这个，先看一下这个 o p r 这个角 啊， o p r 这个角找到没有？ o p r 这个角，那它的正正切值，它的正切是不是就它的探径 t c 正切值是不是就等于对边比邻边？那对边是不是就是 o r o r 的 长度？ o r 的 长度是多少啊？是不是十二？就是 p 点的纵坐标？ o r 的 长度是不是 p 点的纵坐标就是十二？然后 它的零边，零边是不是 p r p r 的 长度是不是就是 p 点的横坐标？是不是就是三？对不对？那，那这个 这个角 n a b 的 正切值怎么求呢？大家找到 n a b 这个角，它的正切值是不是也是对边比零边对边是不是就是 n k 的 长度？ n k 的 长度是不是就是这个 n 点的纵坐标啊？对吧？因为我现在把 n 点画在了这个 x 轴的下方，我把 n 点画在了 x 轴的下方，那这个 a 的 平方 什么东西呢？ a 的 平方减 a 减十四，是不是就是一个？是不是就是一个负数啊？对吧？哎，我们现在是要求它的这个探间 t c 的， 那是不是？我要是就是它的， 它是距离吧？它是这个 n k 比上 a k 的 这个距离，距离是不是一个正数啊？是不是？但是这个 a 平方减 a 减十次是个负数，那是不是还需要打上一个相反的符号啊？然后 a k 的 长度是多少了？ ok， 是 不是？ a？ 是 不是 a， 对 吧？ a k 的 这个坐标， a 点的坐标是不是负一？那 a k 的 距离是不是就是 a 减负一？ a 减负一是不是就等于 a 加一啊？ 对不对？那我是不是就把这个，呃，他们的这个等量关系是给写出来的呀？那你看一下左边左边这个分子上是不是有个符号，我直接把这个符号甩到右边去，甩到右边去，那是不是就相当于左边这个 a 的 平方减 a 减十四，除以 a 加一，是不是就等于负四啊？ 对不对？好，我们来算一下，那 a 的 平方减 a 减十四，是不是就等于 负多少了？负四 a 减四，是不是这样？好，我们把它整理一下，是不是就是 a 的 平方， a 的 平方减多少？呃，负四 a 移过来是不是加四？ a 四， a 减 a， 是 不是就是加三 a， 然后减十等于零了？大家看一下，这个是不是可以因式分解，它是不是可以等于多少？ x 加五哦？ a 加五， a 加五乘以多少？ a 减二等于零，是不是？它是不是可以因式分解啊？ a 加五乘以 a 减二，那我们是不是就可以得到两个根，一个根 a 等于负五，一个根 a 等于多少？ a 等于 a 等于根二，那大家看一下，那大家看一下我画的这种关系啊？ 啊？这个，这个 n 点，这个 n 点在哪里啊？ n 点是不是在这个下方啊？ 那这个 a 右下方，那这个 a 等于负五，这个是不是要把它排除啊？ a 等于负五，这个是不是要排除？那 a 等于二的时候， a 等于二的时候，我们把它带到 n 点这个坐标里面去，是不是就得到得到了 n 点的坐标？是二啊？二得四，四减二，二，二减十四，是不是就等于负十二啊？那是不是就得到了 n 点的其中一个坐标 啊？就是二和负十二。那还有一种情况啊，就说这个 n 点， n 点在哪里？ n 点在 x 轴的上方， n 点在 x 轴的上方，那假如说 n 点在这个地方吧， n 点在这个地方，那 n 点在 x 轴的上方，它这个分析方法是不是和 x 它在 x 轴下方一样？那现在， 那，那大家看一下，是不是那现在这个 a 的 平方减 a 减十四，就是一个什么正数了，对不对？那它再除以 a 加一，是不是就等于四了呀？对吧？是不是直接就等于四啊？那我们来看一下， 还是来看一下，解一下，是不是 a 的 平方减 a 减十四，是不是就等于四 a 加四啊？四， a 加四的话，我们把它移过来， a 的 平方 减 a 减四， a 是 不是就减五？ a 减五， a 等于等于十八，那我们配方吧，我们通过配方法，通过配方法的话，是不是就可以得到 a 减二分之五的平方就等于多少了？ 左边还要加一个四分之二十五，是不是？十八加上四分之二十五，那就等于四分之多少了啊？十八乘以四等于多少啊？ 呃，四八三十二，一四得四是不是？七十二、七十二，七十二加上二十五是不是就等于九十七？好，那这个我写到左边来了，我写到左边来了。这个 a 减二分之五是不就等于 二分之根号九十七？或者是 a 减二分之五就等于负的二分之根号九十七，那 a 一 是不是就等于多少了？二分之 五加根号九十七，对吧？ a 二就等于多少了？ 二分之二，我写，我等一下，有点不好写啊。二分之 五减根号九十七。那大家看一下，看一下这个图 a 是 一个什么数啊？ a 是 不是肯定是一个正数啊？正数是不是就要把这个 a 二给去掉？好， 我们把这个 a a 等于二分之五加根号九十七代入一下，是不是 n 点的坐标就是二分之五加根号九十七来纵坐标，纵坐标是不是带到这个 a 的 平方？ a 的 平方纵坐标是不是带到这个 a 的 平方减 a 再减十四这个里面去啊？那这个纵坐标大家自己算一下，自己算一下， 就是把这个就是把这个东西带到这个 a 的 平方减 a 减十四里面去算一下，然后再把这个结果写到这里就可以了 啊，这个有点难得算哈，我就不去算了，反正大致就是这么算的啊。啊，那么这个就是啊，这道题呢，就是二零二五年重庆市中考啊，倒数第二道函数压轴题啊， 我也是简单看了一下，就是说，呃，还是用了花了一点功夫啊，花了一点功夫啊，才把这道题给做出来， 才把这道题做出来。那么其中啊，啊有有的东西啊，是大家肯定会的，那么 啊，大家肯定会的，如果大家不会的话，大家可以借鉴一下，就是参考一下我的这个思路和方法啊，我的这个思路和方法，然后呢？ 啊，其中可能有些东西啊，讲错了，或者是讲的不恰当，那么大家理性的看待啊，理性的看待，因为我本身这个水平也不是很高啊，也不是很高 啊，做这些题其实都是能力比较有限，哎，所以说如果讲的不好的地方，大家啊，理性的看待，理性的看待。好的，那么这个就是这道题啊，大家结合自己的情况看一下吧，看一下， ok， 好， 我们到此结束。
456李大诗✨
13:31查看AI文稿AI文稿我是幺二三老师，我们继续讲节省压轴冲刺满分！二零二六年中考数学压轴题会编重庆站第二十四题的第三问，请看题啊！前面两位我们已经啊已经讲了，我们直接看第三问。 将抛物线沿射线 ca 沿射线 ca 的 方向平移，根号二个单位长度得到 y 一 撇， 点 b 的 对应点为 f， m 是 平移后抛物线 y 一 上的一点直线 a， m 交直线 b， f 为点 n， 且角 a m b 等于角 a， c b 减九十度。请直接写出所有符合条件的点 m 的 坐标，并写出求解点 m 其中一种情况的过程。只要写一种情况的过程，说明它至少有两种情况吧。 好，我们先回忆一下这个抛物线第一位，我们就求了，它的解析式是， y 等于 负的四分之一 x 平方加上四分之三 x 加一啊，这是第一问，也就是这个 y 的 抛物线的一个解析式。 好，我们再看这个，第一句话，将射线啊，将，这个抛物线就是这个抛物线沿着射线 c a 的 方向， c a 的 方向。这里啊，从 c 到 a 平移，跟它二个单位的长度得到 y 一 撇，我们怎么理解这个啊？沿 c a 的 方向 啊，从 c 向 a 往下面移，对吧？平移两个单位，平移两个单位，这是斜着移啊， 那我们可能要改邪归正啊，这里我们知道，这里的点刚好是零到一啊，这里就是一啊，还记得吧， o c 等于一啊， a 点也是啊，负一到零啊， 那 o a 不 也是刚好等于一吗？这是一比一，比根号二，这是个等腰值啊。所以平移根号 a 个单位也就是什么意思啊？向啊，向下，向下啊，先向下， 再向左平一一个单位，对吧？平一一个单位， 平一一个单位啊，是这个意思，先向下，再向左平一个单位。 好了，我们知道这个啊，左加右减自变量，上加下减常数项，就很快就可以把这个 y 一 的啊 y 一 撇的解析式就可以求出来嘛。 首先我们要把前面这个 y 的 解析式呢，要进行配方，配方以后得到顶点式的一个解析式，那就是负的四分之一乘以 x 减二分之三，括号的平方加上 十六分之二十五，这是配方以后的顶点式，那么现在它是呃， y 一 撇呢， 他就等于啊，这个负四分之一，左加右减啊，这个常数项啊，这个左加右减是自变量，也就是 x 减二分之三。刚才说了，他是向啊左平移了一个单位，那就是左加加一 自变量啊，加上啊，这是括号啊，加上十六分之二十五，上加下减长竖向，这是向下，那就减一个单位长度。 好，然后我们可以把它整理一下啊，整理一下以后，它等于负的四分之一， x 平方 加上二分之一，这就是 y 一 撇的减去四。 好，我们继续往下看，点 b 的 对应点为 f 点， b 在 这里它是抛物线上的一个点呢，它也应该是像什么，像它原来的，它的坐标是四到零啊， 四的零，他也是向下平一个单位，向下平一个单位，那就是等于三了，是吧？啊，向左向左就是，原来是四吗？现在是三，向下零就是负一， f 点的坐标应该是 三斗负一，对吧，大概是这个样子啊，这个也是按这个一样的啊，往这边移 啊，保持这一条线要和 c a 呢，是平行的就可以了啊，我们可以看得到啊，这里是四的，话时候，我们可以把它平均分成四份嘛， 四份，那大概在这里了，这个 f 点就在这个地方。这，是啊，向左向下各平一个单位长度，那也是一啊，这个这里是一，这里是一，对吧？好，这个我们就把 啊，这个点 b 的 啊，这个平移后的对应点 f 点的坐标也求出来了。好，我们继续往下看， m 是 平移后抛物线 y 一 撇上的一个点， 那么我们可以大概的我们把这个平移后 y 一 撇的抛物线可以画出来，因为这个 c 点他到这里来了，是吧？ c 点都在这里来了，那大概是这个样子，是吧，大概是这个样子 啊，现在是过 f 点喽啊，画的不是很很标准，大概是这个样子啊，大概这个样子。好了，这里我们啊，我也大概的画了一下啊，这里我们看一下， 好，大概是这个样子，对吧，这个放大一下也好看一些啊，也好看一些，好，这里我们继续把它补充完整就可以了。这里，首先啊，这里是 绘制一下这个直线啊，这里是过 b 点嘛，过 b 点 画一条和 a c 平行的，跟 a c 是 平行的啊，跟 a c 平行 好了，跟 a c 平行。这里的 f 点刚才也已经知道了，大概是在这里四十五度啊，大概的是这个地方刚好呢，这个焦点，这个是 f 点， f 点是三斗负一， b 点是啊，四斗零，是吧？ b 点是四斗零啊， 好，这个 c 点是零斗一，这个 a 点是负一斗零啊，这些坐标是前面的条件当中已经有的。好，我们继续往下面啊，翻译，直线 a m 啊，直线 a m 交直线 b f， 这是 b f， 直线 v 点 m， 且角 a m b a n b n， 大 概是在这个上面一点，是吧？ n 肯定是在这，也可能是在下面，是吧，也可能是下面，假如说这里是 n 一 吧，这里是 n 二吧。 好，我们也可以画一条直线啊， a n b， 这个是大个样子，我们把它画出来吧。啊，画出来 a 啊， a 叫做什么？ a m b a m b， 那 我们就 a n b 大 概在这个位置啊，尽量画标准一点吧。啊，这就是 a n e b。 哈，还有一个是在下面，应该是 a m b。 啊，这个 啊，画的不是很标准，这应该两个是一样的啊。啊，已经短了，这个我们可以把它延长一点点啊，延长一点 啊，这里好，这个啊，这个不太好画了，这里不方便了。现在啊，我们大概就知道在这里就可以了。好吧，我们知道在这里就可以了，这是 n 二吧， n 二到这里来了哈，为了发标这点，这两个角是相等的，对吧？ 好，角 nb， 它是等于 a c b， 角 a c b， 角 a c b 的， 这里这个大角 减去九十度，减去九十度啊，我们把它啊，这个倒一下，角啊，角 a m b， 在 这里，角 m b a m e b 啊，在这个位置，它是等于角 a c b， 角 a c b， 是， 这个减去九十度，我们知道这里是一比一，这是等于要直，这里是四十五度，是吧？四十五度，那这里呢，还要减掉九十度，那还要找个四十五度啊，找个四十五度，也就是刚好是什么？这里我们画一下， 划一下四十五度，那也就是 o c， 要等于这里的啊，这里 o t 也可以啊，几个字母 o t 都可以，那这里就是四十五度啊，好，现在我们继续看， 那说明这个角呢啊，因为这两个 o c， 这里是 o t 吧。好，随便有几个字母 o t 等于 o c 呢，这里也是四十五度啊，这两个角加起来刚好就是九十度吧，那这个角就是我们的目标角了，也就是等于角 啊， c 这个 tcb tcb 是 吧，这两个角是相同的啊，这个角和这个角是相等的，同时这个角也是一样的，相等的啊，这个角也是相等的。 好了，现在我们要求啊，求什么？其写出这个 m 点， a 直线 a m 直线 a m， 这个 m 是 啊， y 一 撇上的一个点，也就是这里，这就是 m 一 了 啊，这次是 m 一 啊，求 m 点的坐标啊。 m 一， 我们先求 m 一 吧，它有，还有下面这种情况是 m 二，对吧？ 那 m 要想求的 m 一 呢，就必须要求的什么？因为这个啊， y 一 撇的解释式我们已经知道了， y 一 撇的解释式我们再写一遍，是等于负的四分之一， x 平方加上四分之一， x 加上二分之一， 对吧。还有呢，它是跟 am 的 焦点，也就是求它的什么有连力啊，连力就可以求它的焦点呐，那连力你必须求到什么？要求到 y a m 的 解析四啊，就这条线啊， y a n 也的解解析四啊，差等于多少？那这个很难求哦，这里是负一到零， m 点是我们要求的，那你必须要求到 a 一 点这个点的坐标啊。啊，用这个代数方法还是有点难度的啊，我们能不能换种思路，用几何的办法呢？ 啊，用几何的办法，我们来看一看啊。呃，几何的办法又怎么去求呢？我们看这个 a、 c 和这里的 b、 f 是 平行的，这里是四十五度，那这个地方呢？也是四十五度啊，这里也是四十五度，对吧？四十五度， 四十五度，我们来看这个是四度，四十五度，哎，这里是目标角，它也是这个外角啊，刚好是等于这个外角啊，看见没有？ a 一 撇和 a b 这个三角形，这是外角啊，那我们假设这个角为什么啊？为 c 塔 c 叉，如果说我们求到它的斜率就好办了吧。这个斜率怎么求？斜率就是它的正切啊，这个 c 叉角，它的正切等于对比零啊，就这个比上这里啊，这里要做垂线下来，对吧？哎，这个很难求啊，有没有其他的办法呢？看看啊， 哪里还有 c 大 角，哎，我们看这里是不是四十五度啊？刚才说了，这个 o t c 是 四十五度啊，这也是四十五度。减掉目标角，这不也是 c 塔吗？哎，这个角也等于 c 塔啊， 所以这个角 c 塔，这个角的 c 塔，它的正切就是对比零，这里是一啊，这里是四啊，哎，这一个角 c 也就是它的正切 乘以的这个 c 叉角，它是等于一比四啊，这个好求啊，是吧？这个好求啊。哎，那这个也是一比四啊， 同样的，这个角也是一比四，一比四的话说，那么它的斜率就知道了，它的斜率就知道了，就是 y 等于呢，那么它的解析式我们就很容易了，四分之一啊，四分之一 x， k 值是四分之一嘛，再把这个点负一到零带进去，就可以得到 y 等于四分之一 x 加四分之一， 这样啊，只要连立就可以把 m 一 的点求出来。 m 一 的点啊，这里我就不写了啊，它是等于一逗二分之一 啊，这是 m 一， 同样的，我们 m 二也是可以求出来的啊。 m 二，大家不妨可以去试一试啊，它是等于负十四逗负五十二。 好，我们这里只要写出九点 m， 在 其中一种的解题过程，这里老师把解题过程就收到了。另外一种过程呢，大家自己去思考，答案可以给到大家啊，如果有不明白的地方可以留言，谢谢！点关注不迷路！
02:54查看AI文稿AI文稿现在咱们来解决重庆二零二六年中考二十四题，第二问的第一个肯定是怎么求 p d 的 最大值。 很多同学一上来就定做垂直距离， p d 直接泛滥，不知道怎么练式子。从印算距离公式根号套根号，越算越乱。这里咱们用转化思维把蓝顺的斜线段转化好为好算的数字线段。首先我们来分析 我们这里如何求 p d 的 p d 的 最大值呢？当我们知道 p d 是 不是垂直 bc 了，那我们可以做 p g 为主，以 f 轴垂直为点进叫 bc 一 点 h 了。这样的话呢，我们很显然可以发发现这个蓝色的小三角形与这个黄色的三角形是相似的。 这里呢，我们可以算出来啊，因为我们要求的是 pd 的 车。那我这个地方是选择用 dh 表示 dh 好 还是 ph 好 呢？当然是 ph 好， 为什么呢？因为我只要设 p 点作 p 点的纵坐标， h 点的纵坐标就出来了，那是我 d 点坐标不好表示， 对吧？他这样的话我们就可以得到啊， p d 比 p h 等于 d o 比 bc， d o 四 bc， 我 们可以用勾股定律求出来是根号十七，我们得到 p d 等于根号十七分之四 p h。 这样的话，我们把求 p d 的 最大值转化给出 p h 了。嗯，接下来我们看一下卢克球。 首先我们可以设 p 点的坐标，因为它在抛物线上，所以设它的反坐标是 m， 重坐标我们带入己知就可以表示出来。那么 a 去点呢？因为它是在 b c 上， b c 我 们是渴求的。设 y 等于负四分之一 f 加一， a 去点的坐标很显然是 m， 我 们斗负四分之一 m 加一 啊，这样的话，我们很显然 toph 就是 高点的纵坐标，减低点的纵坐标 小于负四分之一 m 方加四分之三 m 啊，这样的话呢，我们就可以表示 p d， p d 很 显然是等于根和十七分之四百的 p h。 那 我们进行配方 出来显蓝啊，半径的一半的时候它有最大值，这样的话我们可以求出 p h 是 等于啊，可以求出 p 点坐标，使半都有二分之三。 我在这里多说一句思维启发，以后空到抛物线上动点到定子线的垂直线段最短。问题 不用死磕点套直线的公式，优先构造竖直线和水平线，用相似转化把斜心距离转化为竖线段，计算计算量直线角半径。这道题的核心转化思路一定要记牢哦！
15鹏叔数本
02:40查看AI文稿AI文稿重庆中考固定设置第二十五、 t v 几何综合压轴三小问梯度设问，以旋转加动点加翻折为核心，再提出重几何构造逻辑推理、轨迹分析与最值计算。 第一问，送分题勾股定律和解三角形结果等于根号六。第二问，题目中出现线段相减，首先就应该想到截长不短。另外 终点的常见处理方法有两种，构造中位线或者中线备长。本体是需要构造中位线，连接 dh， 第一对全等， dac 全等 d fbs， 第二对全等 edc 全等 adbsas， 第三对全等。因为 e、 d 等于 a， d 等于 d f， 所以 d 为 e， f 中点连接 h， d 即为中位线 e 的 第三对全等 d、 h、 c 全等的已知 b， 所以 三角形 h， d、 g 为等腰直角三角形根号二 d， h 等于 g， h， 所以 等式左边 b、 c、 e， c 等于 c， f 等于二， d， h 等于根号二 g、 h 得正。 第三问，题目问到 a、 q 加 d q 最小值，第一反应就是将军野马模型两地移动球线段和最小， 只需要判定 q 点轨迹为直线即可。过其中一个定点 d 作 b q 的 对称点， d 连接 a， d 艾利 b q 的 焦点即为 q 点，此时 a q 加 d q 最小。 因为 d 暗等于 d q， 所以 d 的 轨迹为圆。题目要求 c、 n q 的 最小值 c、 q 的 线段长度已经确定，只需要求圆点到 c q 的 最大距离即可。线圆最直，一箭穿心过圆心， d 做 c、 q 的 垂线段，与圆交于案点， 此测三角形面积即为最大值。计算过程比较复杂，这里我就不做展示。答案附在视频最后。 最后总结，本题考察了截长不短的基本思想，终点的处理，同时围绕旋转构造了至少四队全等三角形。第三位，利用固定角度证明直线，结合将军野马和线缘最值问题，求简难度适中，区分度较好。
54广州雷老师讲数学
01:50查看AI文稿AI文稿初中家长可悬殊，别划走二零二零重用中考数学二十四题涉及到一个知识点，函数中斜的线段的最值问题，全是百分之七十八的考生卡在了 p d 最大值上，三十四万考生一大半直接空题丢分。如何解决 p d 最值问题？今天一步讲透通用解法，再遇到这个类型题，直接拿满分！我们首先来看题， 已知二次函数解释之道点 p 是 d 向前抛向上一点， p d 垂直于 b c 求斜的线段。 p d 的 最大值是多少？在函数问题里，我们会解决 一条水平线段长度或者是数直线段长度。那么这道题是要求鞋子的线段长度的最大值。我们的基本思想，把鞋子的线段长转化为数值的线段长度或水平的线段长度。我们可以过 p 点向两个坐标轴引垂线段。那这道题我们过 p 点向 x 轴引垂线段，交 b c 与 q 点， 这样我们就发现了两个角是相等关系。利用八字形相似，这两个角相等，这两三角形相似，或者说两个角的三角函数直角相等。在抛物线理解式知道，我们就知道 b、 c 两点的坐标， b c 的 解析式就知道。这样 大家再看 b c 的 解析式知道，我们就能把 p、 q 两点的坐标给设出来。 p 点在抛物线上，它的横坐标是 m， 重坐标也能设出来。 q 点在直线 b c 上， p q 两点的横坐标是一致的，都是 m p q 坐标的指导，这样 p q 的 长度就能表示出来。我们发现了 p q 上用的二次函数。解决二次函数的最值问题，我们把解析式化成顶点式，发现了当 m 等于二的时候， p q 的 最大值为一， p q 的 最大值是一。这样我们在直角三角形 p d q 中 就能把 p d 的 最大值能求出来。使用角 p 的 余弦值， p d 的 最大值就求完了。这到二零二六重庆中考压轴 p d 最值，通用方法是中考必考题型。 如果你认为我的分享对你有益，点赞加收藏，刷题坎坷，直接翻出来看，并把这道题转化为你的同学，大家一起拿下压轴大题！想看二十四题完整三小问解析评论区扣一关注我！
130老杨数学
01:51查看AI文稿AI文稿这道题是我们初二必考的勾股定律的一个题型，勾股定律是我们八年级必考的知识点，很多孩子在这个知识点上会丢分，别慌，今天杨老师呢，用一个视频教会大家勾股定律的这一类的题，我们看题，如图，所有阴影部分， 四边形是正方形，所有三角形啊，都是直角三角形，那么他说若正方形 a 的 面积是六，正方形 a 的 面积是六， b 的 面积呢是十， b 的 面积是十， d 的 面积呢是二十四， d 的 面积是二十四，他让我们求正方形 c 的 面积。 那么很多同学看到这样的题呢，就慌了，不知道该怎么去理解这一道题。那么首先什么是勾股定律呢？勾股定律就是在一个直角三角形当中，如果两个直角边分别是 a 和 b 的 话，斜边是 c， 那 么它存在 a 方 加上 b 的 平方是等于 c 的 平方的，就是两个直角边的平方相加等于斜边的平方，这就是勾股定律。那我们我们看本题，他说这个三角形是直角三角形，那这两条边不就是直角边吗？那 正方形 a 和正方形 b 的 面积就是两个直角边的平方，那他们加起来等于十六，那这个十六呢，就是斜边的平方，就是正方形 e 的 面积。那么好，那我们再看这一个三角形，那这一个三角形，这不是 这个三角形的两个直角边吗？那这两个直角边的平方加起来等于二十四，那这一个是十六，那这一个 就是八。这就是本题的最后的答案，你学会了吗？关注杨老师，带大家解锁更多数学方法！
48杨老师初中数学
16:28查看AI文稿AI文稿好，我们来看今年重庆市中考数学试卷的倒数第二题，这道题比较复杂，来看题，在教材作比较中，抛物线的解析式给定了，但是还有参数 b， 参数 c 两个参数 交 x 轴， a， b 两点 b 点的坐标告诉我们了啊，用 y 轴加一点 c 的 坐标，有了两点的坐标，将这个两点的坐标带有了这个抛物线方，则，我们就能求得参数 b 与参数 c 的 值。好，写下过程，这是送分了。来看第二位 连接 a， c， b， c 啊，这个我，我左边的，我没画出来，等会再画啊，先用右边的，是这样用不到左边的。点 p 是 抛物线 b， c 上方的一个洞点，过点 p 作 p， d 垂直于 b， c 垂直为点为点 d， d， e， e 是 x 轴上一个洞点连接 p e， 当 p d 的 长度取了最大值的时候， 求点 p 的 坐标。好，那么就是要求点 p 的 坐标了。在这个情况下，账号再求点 p e 加二分之根号二倍的 a e， 这样子好，那么我们一步一步来，先求 当 p d 取最大时候点 p 的 坐标啊。如果高中生来说就很简单了，这个就利用求打，或者说我们可以 构造一条直线与 p c 的 斜率相等，然后利用直线与曲线连力求解得到一个关于 x 的 方程，这个方程有两个相同的实数根。 当然这种操作对初中人来说这个这个有点陌生，那么我们还可以怎么操作呢？过点 p 做直线啊，做直线 p q 交 c， b 与点 q 垂直 x 轴啊，那么显然这两个直角三角形是相似的，而这个直角三角形，这个大直角三角形又是相似的，也就是说这个三角形 p h q， 这个 r d 三角形形状是已经固定了的， 如果我们能求的 p q 的 最大值，那么对应的 p d 也就是它的最大值。 好，表达线段 p q 的 长度很好表达的，也就是点 p 的 重坐标减点 q 的 重坐标 b c 两点坐标有了，那么 b c 所实现方程也能得到点 p 在 抛物线上。第二，我们也觉得点抛物线的方向，那么我们就可以设点 p 的 横坐标为 x 零，那么对于点 q 的 横坐标也是 x 零。 对应的点 p 的 重坐标可以用 x 来表达点 q 的 重坐标，因为在 b c 上所有的它也可以用 x 来表达，那么我们就能得到将两者一减，就能得到关于 x 以零的一元二次方二二次代数式，然后求这个代数式的它的最大值。 好，两者的重坐标一减，得到这个代数式。当 x 等于零等于二的时候，好， p q 取得最大值。 我们要的什么？要的是点 p 的 坐标。哦，好，那么表达出点 p 的 重坐标好，点 p 的 坐标就得到了。好，换一幅图，把上面的辅助线擦掉，省得晃眼 啊。假如点 p 的 坐标啊，这个，这个是这在这个位置，假如说啊，在这个位置就是最大值了。好，我们已经得到了点 p 的 坐标了。在这个的时候， 让我们求 p e 与二倍的根号，而二分之根，二倍的 a e， 二分之根二。由此我们就可以想到构造一个等腰直角三角形 a e 就是 这个等腰直角三角形的斜边。 好，我们过点 a 做与 x 轴的这个夹角，反向夹角，这是四十五度，这样一个过点 e 做这个垂线，那么这个这一段呢？就是二倍，这个二倍的 a e 了 啊，这两也就是求这两条线段它的值和这样子点 e 是 动态的，什么时候是这样子 过点 p 做直线， o 的 垂线垂直于 h。 好， 这个 p h 与这个交点啊，这个点当点一运动到这个位置的时候，显然是这两条线段的结合的取得最强势。 好，接下来的任务我们就是求 p h 的 长度就好了啊。求这个长度方法有很多， 但是我认为比较简洁的方法就是充分利用。这个夹角是四十五度，那么对应的与 y 轴的夹角也是四十五度， 那么对应的与 y 轴平行线的夹角也是四十五度。我们过点 p 做与 y 轴的平行线，那么这也是四十五度，因为这是垂直的，所以说 p h， 假如 g， 那 么这个三角形是个等腰直角三角形。 好了，有这有了这种转换的话，那么接下来就就方便多了。点屁，他的纵坐标我们已经有了二分之三。 点屁的横坐标对应的是二，将 x 等于二带入到这个直线这条直线里面，那么就能得到点击的纵坐标。将 x 等于二带进来，那么点击的纵坐标就是负三，那么总长就是二分之三加三， 也就是二分之九，对应的 p h， 二分之九乘以二分之根号二。好，这样一来我们就求得最小值来看。第三问， 将抛物线就是原来的抛物线，沿着射线 ca 这个方向平移根号二个长度，得到抛物线 y 撇，这是什么意思呢？这是个射线，沿着这个方向，我们将这个方向分解，分解为纵向上与横向上这样的进行分解，就像分解力的分解一样，那么也就意味着 将原来的抛物线 y 向下平移一个单位，向左再平移一个单位，就能得到 y。 好，我们表达 y 撇，根据第一问，我们有了，已经有了这个原来的跑位，这个解释了，向下平移一个单位好减一，向左平移一个单位，左加右减。 为什么是加呢？就比如说啊，某一个点呢？再假如哈，这个位置是一的这个点的话，向左平移一个单位的话，那么得到就是到了这个点了这个位置了。 也就是原来的函数是 y 等于 f x， 通过向左平移一个单位，得到函数 y 撇等于 f x 加一。 因为是横向平移，所以说纵向相等，什么时候纵向相等啊，这两个什么时候去等啊？是当 比如这里的 x x 等于一十，那么这里的 x x 等于零，那么也即是 f 一 等于 f 零加一。 好，这就解释了为什么向左边平移平移啊，就是将向右边平移反过来好，减。 好。接着读题，他说点 b 对 应的为点 f， 就是 平行过后啊，那么也就意味着啊，这两个线段啊，它是平行且相等的， 它的 m 是 平移后的抛物线上一点随便啊，假如这是 m 直线 a m， 这直线 a m 交 b， f 交 b f， 假如啊，随便先先画个草图啊，加一点 n， 它都要满足什么？ a m b 这个角等于 a c b 这个角减去九十度，这个角减去九十度， 让我们求所有符合条件的 m 的 坐标。要解决这个问题，我们首先要解决个什么问题，要搞明白这到底是个什么玩意儿？其实 我们与其来摸索这个点 n 点 m m n 的 位置，我们倒不如先摸索， 把这个搞明白，这个实际上是很好表达的。怎么好表达？我们只需要过点 c 做 b f 这个垂线，这就是九十度了，那么这个大角尖九十度就是这个小角了，也就意味着这个角等于这个小角好，先搞清楚这个问题， 据说这个抛物线的与平后的这个抛物线呢，我们先不管，先把它抹掉，擦掉，我们只需要什么呢？只需要 a， 点 c， 点 b 点 f 点 好，先要这几个点。接下来有了点 b， 点 f， 我 们连接 b， f， 就是 先表达出 b、 f 所来的直线， b、 f 的 直线好表达，好表达他与 a c 是 平行的，点 b 的 坐标有了，那么与这个平行斜率相等，从而就表达出 b f 所来的直线。 好，我们表达了 b、 f 所来的直线，并且 a c 所来的直线呢？我们先前已经表达了斜率相等好，都是一好。接下来构造这么一个角度，过点 c 做 做 c m 垂直于 b f， 交 a b 加入点 k 好，这样一来我们就得到一个 r t 直角三角形。我们先要把这个直角三角形搞明白，因为未来的以后啊，未来的这个点 m 点 n 呐，对应的，假如我们这样构造一个直角三角形的，那么这个大直角三角形与这个直角三角形一定是相似的。 后面我们一定是要求点 n 的 坐标，求到了点 n 的 坐标，根据点 a 的 坐标得到直线 a n 连立直线与函数 y 撇，我们就能得到 m 的 坐标 好。所以说我们把其他的烦恼都忘掉，我们来解决我们当前能解决的问题。因为 a c 的 长度是根号二， 这是垂直的。好，这是四十五度，那么这个等腰只有三角形， a k 就 等于二了，而这个总长 a b 是 等于多少？等于四减负一，总长等于五，那么 b k 就 等于三， c k 等于二乘以二分之二， m k 等于三乘以二分之二，那么总长就是五乘以二分之二。 好，在这个三角形里面，这个边有了，这个边显然是三乘以二分之二， 对应的 bc， 这个这个斜边，我们可以根据这个两点的坐标啊，能得到，我们也可以根据根据这个两个直角边能得到。好，这个三角形，我们就已经搞明白了。 好，接下来过点 a 做 b f 的 垂线垂直于 点 z， 接下来才是构建这个角，构建这个角，我们可以通过这样做得到一个角，还可以通过这样做得到一个角。 好，做。下图这两个哈点呐，是关于 z 点对称的，这两条线段的长度是相等相等的， 那么它的长度可以通过 a g 这个长度与这个假角的正弦值的比值来表达。 a n 一 a n 二，也其实上就是 a n。 好，写一下逻辑步骤哈，在逻辑上我们可以，我们可以一个初中生还是不方便利用这个挣钱与钱的，什么挣钱与钱，我们就啊个构建思想相似，这样的话对初中来说更有具有适应性。好，通过相似线段对应成比例，我们就能表达出 an 的 长度，也即是 a n 一， a n 二。好，有了线段的长度，我们接下来是求这个点的坐标哦，求这个点的坐标哦，这两种情况，好，我们过点 n， 我 们过点 n 呐，做这个 x 轴的垂线，垂直于 t 一， 垂直于 t 二。如果我们设点 n 的 坐标，横坐标是 x 零， 那么对应的纵坐标就可以用二次函数来表达。为什么呢？因为无论是按一按二，不论是怎么样了，它都在直线 b f 上，直线 b f 有 了 x 零减四， 那么这样一来，在这个 r t 三角形里面，直角边 a t 一 就可以表达了，等于 x 零加一，加这一部分，也就是减负一，就是加一括号方，加 纵向上 x 零减四括号方，等于 a n 的 长度的平方。这种情况对应的是 x 零减负一 啊。我，呃，正确描述应该是负一减 x 零，负一减 x 零，也是 x 零加一哦，加纵向上 负的 x 零减四，括号方，哦，不也是 x 零减四括号方吗？等于 a m 方吗？所以说，这两种情况实际上完全可以合二为一，我们没有必要分开讨论。 好，设点 n 的， 作点 m 的 坐标，利用勾股定律得到一个关于横坐标的方程。好因子分解。这两个因子的乘积等于零，那么就意味着 x 点有两个解 好，分别是 x 零等于这个或者等于这个啊。两个解对应的 y 的 就是重坐标哈，也有两个哈重坐标，那么这样一来，点 n， 两个坐标我们就表达出来了。 好，点， n 有 两个坐标，那么对应的 a n 直线所在的直线方程就有两种可能，好，接下来我们分开了，我们这个要分开了哈，当 n 的 坐标等于这个的时候， a 的 坐标啊，原来就有了。那么得到 a n 所在的直线方程， 我们要求的是什么？要求的是点 m 的 坐标，点 m 在 抛物线 y 撇上啊， y 撇的解析式在哪里啊？在这个哟，那么连立这个直线与 y 撇这个解这个这个解析式，我们连立求解，就能得到一个 关于变量 x y 的 二元二次方程组。好，解这个方程组哈，我们先消掉 y， 消掉 y， 解出 x， x 有 两个值， 有两个值，其中有一个值啊，一定是点 a 的 横坐标的好，那么舍弃我们就得到另一个对应的是就是点 m 的 横坐标了，这就点 m 的 坐标了，那么接下来的操作也是一样的好， 将第二种情况按的坐标带进来的与点 a， 得到第二种情况， a 按做的直线连立直线与曲线，最后得到也是两个字，其中有一个是点 a 的 横坐标 好，那么就另外一个就是点 m 的 横坐标了，那么另外的横坐标就是，呃，横坐标啊，得到另外一种可能，点 m 的 坐标，这是第一种可能，这是第二种可能。所以说点 m 的 坐标有两种，表，两种可能。好，我们就讲完了。
59计氏数学
10:09查看AI文稿AI文稿读了老毕的同学和家长都知道这样一个信息啊，就是全国各地的中考卷，光数学卷每一年有一百七十六套，那么一百七十六套里面都有什么样？每套卷里是不是都有几分压轴题啊？如果你想知道全国顶级难度的中考压轴题长什么样，那么今天这一期开始，老师陆续给大家讲一讲。 首先今天咱们来拿这道是全国数一数二的重庆卷的中考压轴题，那大家一起来看一下吧。大体干告诉我们， ab 等于 ac， 它是一个等幺， d 点是这个边上的任意一个点， cut 不 一定是中点，所以你不要有什么误会， d 点不跟端点重合，然后 d 关于直线 a b 得对称过来。哦，那这是垂直且等的，因为我对称过去了， 那对称过来，你点可以对称过来，这个边其实是不是也可以对称过来啊？同样这边是不是也可以对称过来啊？哦，所以整个对称该怎么做？弧线大家都要能想得到，有可能有用哈，也就是说，对称这个条件反射大家要建立起来。那么紧接着再继续 啊，说，我关于这条线上取一个点，然后把它连上，连完以后怎么样呢？恰好让这个角吧，跟这个大的这个等腰的顶角是相等的，就有了这个关键条件。那接下来 直接看第二步了啊，偌大的这个角得六十，他得六十的话，那我本来就是等腰，这回等腰就升级成什么了，等边对吗？哦，那有人说，老师，你这图画的不太准， 不好意思，我这个图是咱们中考卷上的原图，换句话说，人家给你的就长成这样，那不太准，我们应该怎么办？大家， 图不准是非常影响我们分析的，对吗？所以我们自己给它调成精准的，你在旁边重新画一个。那么在画图的时候，邓老师要提醒大家一下，说这个 d 点是 b、 c 上的点，那我是画特殊的还是画一般的，哎，大家 不要画特殊的，因为你如果取这三项合一的中点，那你对称过来，他有的特点，一般的条件里面可不一定有，所以这个时候我们就画一个普通的，哎，越普通越好，比如说地点就长在这， ok， 这个时候我把它一对称，哎，我这是不是又垂直又相等啊？ 哦，那么这个点就是咱们的点 e， 刚刚表老师说了，我要顺便把整个对称都给他连上， ok， 于是乎我就把这条线连上了，那么这两段必然也相等，我再把这连上，那么这两段必然也相等，没有问题吧？ 那接下来说，尽量告诉我们这两个角相等，哎，并且又告诉我们了，这个角等于六度啊，所以大家可以用量角器去量，尽量做的精准一点，好吧， 啊，当然差一点点问题也不大啊。好，那这个点就是咱们的 f 了，这个点就是咱们的 g 了，所以我现在想要的什么，想要的是这条边跟谁？跟第一，这条蓝线咱们的比值是多少？ ok， 好， 那接下来就是毕老师帮大家的分析了。首先第一个 要想破解这种压轴题，他的条件是特别多的，条件多，那就是要靠大家解决综合问题的能力了，有些同学就是这块思维没有经过系统训练才会带来麻烦的。那么记住毕老师第一句话， 我们几何的这个题目要求边长先求角度，也就是求边先求角。那我为什么要先求角度呢？大家来看啊， abc 现在是一个等边三角形，那这角是不是就得六十啊？同样，这边这个角是不是也得六十？ 哎，于是我还把它给翻过来了，对称过来了，那你六十度一对称是不是跑这边来了啊？那我整个这个大角就是多少 一百二十度吧，他一旦是一百二，这还是六十，那你告诉我这两条红线是什么关系，是不是就是平行关系？你说你不先求角，这平行关系能得到吗？哎，是不是就得不到了？所以第一个求边先求角， 角倒的明白，这种题才看得通透。好吧，那接下来不仅如此，大家说我这个小蓝三角形，你看啊，你这个大角得六十，哎，那你是等腰啊，那我这个底角就应该得多少啊， 是不是就应该得三十？哦，你得三十，我也得三十啊。哦，那接下来这个小蓝三角形啊， 表示给你拎出来好吗？啊，也就是咱们的这个，呃， e d b 这个小三角形对吧？那么他是顶角，是一百二十度的等腰三角形。 哎，基本功强大的人都知道，这个家伙的变长比就是一比，一比刚好三，换句话说啊，我这个长的 d e 他 就是多少呢，就是 b e 这段短的根号三倍， 嗯，那我为什么往这上倒啊？大家来看一下咱们的问题啊，问题想问的是， c g 这个边长比上这个蓝色的比值 对吗？那我蓝色已经知道是 b e 的 根号三倍了，那我紧接着我要 c g 是 b e 的 多少倍不就完事了吗？ ok， 哎，那接下来有同学就好奇了，老毕你为什么非得要这条线跟他的比值呢？ 哎，因为他们两个在位置上我已经挣出来了。怎么样，是不是他是平行的呀？平行的这种线段的比是特别好比的， 在学相似之前就有一讲叫做平行线，分线段成比例，对吧？或者说大家知道的，哎，我们的相似基本模型中是不是有一个叫做正 a 字的家伙呀， 它是不是就平行的？所以但凡有平行线的比，我们都往什么，都往同一条直线上线段比去做。 ok 啊，那说到这就不难看出了，我这题只需把 c b 延长， 把记忆延长，让它们延长以后交于一个点啊，我就叫做 h 点吧。啊，那我想知道这个家伙是它的多少倍？我只需知道 c h 是 b h 的 多少倍就行了，因为它在一个 a 字形中，对吗？哎，那继续， 那他到底是他的多少倍呢？各位，要求边长先求角度。哎，再来一遍啊，说，你这个大角得一百二，那隔壁这角就应该得六十，你得六十， 我等边这你得六十啊，那你说中间这块得多少啊？啊？对称过来还是六十啊？哎，那这个六十度 可就等于我这个六十度了啊。一个条件来了，对吗？再有第二个条件，现在还有哪一个关键条件咱从头到尾都没用一点呢？是不是就这个角得六十啊？那这个角得六十有什么用呢？大家来看啊， 我假设这个小角是阿尔法，可以吗？因为它对称过来，所以这个角也是阿尔法，没毛病吧？啊，那再来，由于大的等边这个 b a、 c 得六十，所以这边这个小角就是六十度减阿尔法，哦，没有问题吧？哦，这回再来看， 说你是六十度，那我对零角相等，这个角就是六十，那我外角等于不相邻的两个内角和，所以这个角它就是一百二十度，减去一个二法， 你是一百二减二法，你是六十，咱们俩加在一起是一百八减二法，而在三角形中，内角和应该得一百八呀。哦，一百八减二法再加上一个二法，是不是刚好得一百八？ 换角说，我能推导出来这个角就是阿尔法，那么阿尔法跟这个阿尔法显然怎么样相等？两个阿尔法相等，两个六十度相等，这条边还是个公共边，于是 a a s 三角形直接全等，那就意味着 b a 是 这个边长等于谁？它等于 b a 这个边长，而 b a 又是一个等边的边长，所以它就等于 bc 这个边长。换角说 b 点其实是这条线上的什么点？ 是不是中点了？既然你是中点，你俩还平行，那你就是中位线，对吗？哦，最终根据 a 字形相似，我们就能导出来， c g 这个边长就是 b e 这个边长的两倍， 我是 b e 的 两倍，你是 b e 的 根号三倍。那咱俩比一下呗，你不就想要一个等量关系吗？那就是 e d 比商， c g 等于根号三比二。这道题我们就轻松破解了。那么讲到这，毕老师帮大家总结一下。 首先第一个，我们在面对中考压轴题的时候，你先别慌，你要相信你有足够的知识储备去灭掉它。大家发现被老师欺负压轴题一个特点吧，几乎不用什么魔想对吗？遇见一个题的时候，大家千万别回忆啊，这个是我哪个老师给我讲过的哪一个，那个是哪个老师给我讲过哪一个？不用， 你就就题论题的去分析就行了，但是综合题大家要知道它的特点，那就是条件比较多，比较乱，对吗？所以我们要梳理出来一条主线啊。那么毕老师给大家的主线是什么？第一图不准怎么办？自己画， 遇见动点了，别画特殊的。第二个，求边，先求角，你只要做完一个辅助线，那你就倒一倒，这里面有没有什么角度关系？哎，角度是特别重要的。那么紧接着这个题还提醒我们两个基本知识点，一个是 三十度，三十度，一百二十度的等腰赛形，这个边长笔你是否会求？当然写过程的时候大家就做一个垂直，自己倒一下就出来了。第二个，平行线段的笔，哎，那我们就主动给他拓展 a 字或者八字笔，变成共线线段的笔，那么这种题就能够轻松破解了。 那么其实类似于重庆中考几何压轴题这种创新题啊，才是未来我们中考的主流，因为它第一反模型，第二反套路，从而反硬式，反死记硬背，直指数学的核心素养。那么关于中考的创新题，毕老师也都给大家准备好了， 总之从第一个选择开始，到最后一个中考探究压入题，老毕在一个完整的复习计划中全都给到大家了，那么距离中考还有不到三个月的时间，这样一个完整的计划相信能够对大家有非常大的帮助，想要详细了解的家长和同学下方评论区留言联系老毕。
97跟着毕老师学数学
10:28查看AI文稿AI文稿同学们，我们一起来看一下暑假几何压轴题打卡的第二十四题。正方形 a b c d 边长是二， 然后 b m 和 d n 是 两个外角的平分线，所以这个角四十五，这角四十五，这角四十五，这角四十五。 那如果说我们把这个 a c 一 连，那我们其实知道什么呀？这个角四十五，那完了之后呢，我们就知道 d q 是 平行， a c a c 平行于 b m， 所以 就说 d q 和 b m 它这里都是平行的。 好，然后，而且呢，它满足什么呀？这个 p 点和 q 点是这两个角平分线的点，而且 ap 和 a q 它的假角是四十五度，那我们假设把这些角角， 角一、角二，角三、角四啊，那我们很明显就知道角一加角二 等于角二，加角三等于角三，加角四等于四十五度。好，所以我就得到了，什么呀，角一等于角三，角一等于角三，还有这个角二等于角四啊， 那我们看到这个假设是角五啊，我们说角五是等，也等于角五和角二，它是内错角 啊，那这里面我们其实也可以把这个叫角六啊，角六它其实也是等于角三的 啊，因为是内错角。好完了之后呢，这里连接 p q 啊，连接 p q， p c 和 c q 连接 p q 好， 第一个说 b p 乘 d q 等于三点六，那我们说问道线段的乘积或者线段比例，我们都想相似， b p 和 d q 怎么联系在一起呢？那我们注意到啊， 呃，你这里面角四它是等于角五的，然后你这个角四十五，所以它是就是 abp， 角 abp 它是等于角 adq 等于一百三十五，然后呢，你这里面角四又等于角五啊，角四又等于角五，所以就会有什么呀，就会有 p b。 三角形 p b、 a 相似于三角形 a、 d、 q 啊，那我们说 b p 和 d q 是 关键线段， p b 对 应 ad， 而 ab 对 应 d q， 所以 我们把这个 p b 和 d q 乘一下，就会等于 ad 乘 ab 就 等于四 啊，它并不等于三点六。这里啊，所以这个第一个是错误的啊。第二个 q， ad 啊，是角一，其实说的是啊， a、 p、 b 说的是角六，角一和角六本来就相等的，所以第二个没有问题。 第三个 p c、 q， p c， q 是 说是一百三十五度啊，这个角一百三十五度正确吗？啊？我们刚刚这里我们说呀，会有 a、 b、 p 和这个 q、 a、 d 相似啊，通过这里面呢，我们说 ab， 我 可以把它替换成 bc， ab 可以 换成 bc， 而你上面这个 a、 d 呢，可以被我换成 d c 啊， a， d 可以 换成换成 d c， 那 我们就可以看到什么呢？这里就会有 p、 b、 c 啊，就由这一个，我们把它写下来，就是 p b 笔上 啊，我们把这个 dc 和 bc 交换一下，它就得到 dc 比上 d q 啊，那我们看到 p b 比上 bc， 是 这个夹角 等于 dc 比上 d q， dc 比上 d q 啊，它们的夹角都等于四十五度，那我们就可以得到什么呢？三角形 p、 b、 c 相似于三角形 c、 d q。 好， 那也就是说这个叫角七啊，这个叫角八 啊，这个角叫角八啊，角七等于角八，我们说这个 b、 p、 c， 这个叫角九啊，这个叫角十啊，我们知道角九加上角七啊，放在 b、 p、 c 当中是等于一百三十五度， 而你这里面呢，角九是等于角十的啊，所以说角十加上角七等于一百三十五度，你这两个角加一百三十五，这个角九十度，根据一千三百六，那我们就可以得到角 p、 c， q 是 等于一百三十五度。 好，注意，这里我们是怎么导出来的？其实是由第一问开始， a、 b、 p 和 q d， a 相似，然后将这个等线段形替换了，把 ab 换成 bc， 把 ad 换成 dc， 导出了新的相似， b， p、 c 和 dc q 相似，然后根据相似又产生对应的角相等，所以导出了 t、 c， q 一 百三十五度。好了，第三问也是正确的。那第四个我们发现是一组平方关系，那既然是平方关系，我们想到了什么呢？想到了勾股定律。那既然是勾股定律，你得首先达到一个目标是什么？把这三条线段转化到一个三线当中 啊，所以这里如何做到线段的一个转移呢？我们可以说有平移对称和旋转一。刚好你这里是正方形呢，我怎么想的？把这里的 b、 p、 d， q 给它转化到一个三角形里面的啊？我们可以将 a、 d， q 绕点 a 顺时针旋转九十度啊，将三角形 a， d， q 啊 a， d， q 绕点 a 顺时针旋转九十度。但是其实我们在做辅助线的时候，我是不能旋转三角形的啊，我们可以 呃，旋转线段 a、 d 转九十到 ab， a， q， 我 可以选择说将 a、 q 绕点 a 顺时针转九十度。假设到 ar。 好， 那这个时候呢，我们把 r、 b 连起来啊，我就产生了三角形 ab， r， 它是全等于三角形啊 a、 d， q 的。 好，那这个时候呢？呃，我们说这里的角一，它就等于啊角十一啊，角一等于角十一啊，我们说啊， d q、 d q 被我们转移到 r b 这里了， 而 r b 和 b p 已经可以在一个算域当中了啊，也就说我把我成功地将 b p 和 d q 放在一个算域当中了，那这个角看起来挺像九十度的 啊，那 b p 方加 r b 方是不是等于 r p 方呢？啊？所以很自然地想到说，我要把 r p 连在一起， 我把 r p 连在一起啊，我已经把这两条线段放在一起了，那这个角是不是 九十度呢？这里啊，这个角是不是九十度呢？啊？因为我们发现什么呀？我们发现 ad q 一 百三十五，所以 a b r 一 百三十五，但是呢， abm 一 百三十五，所以呢啊， rbp 是 九十度，这个是没有问题的 啊，那我们可以知道 r b 方加上 b p 方等于 r p 方， 而现在已经知道什么呢？已经知道 r b 其实就是 d q 啊， d q 方加上 b p 方等于 r p 方，那我们接下来目标是什么呢？对比一下，我只要能证明 p b 和 r p 相等就结束了 啊，我们要证明线段相等，要证明前等啊，看上来呢，我们可以考虑什么？可以考虑证明 a p r 和 a p q 全等，那我如何证明这两层全等？它们有一个公共边啊？然后啊，这个 a p 等于 a p， 我 知道 ar 等于 a q， 那这两个假角是否相等呢？因为我们知道角一等于角十一，角一等于角十一，然后呢，角一， 角二等于角四，角二等于角四，角一，加角二是四十五度，所以这里面角二加角三。其实 啊，本来就是 p a q 就是 四十五度啊，所以角十一加四就是角一加角四，而角一加角四呢，其实就等于角三加角四就等于四十五度，所以这个角四十五啊，这边这个角四十五，也就证明了角 rap 等于角 q a p 等于四十五度。好，也就成功的证明了 r p 等于 p q 啊，也就是第四个得到了证明啊。这个题难度也比较大，同幸们可以 听到每一个可以暂停下来，自己再研究一下，答案是二三四。好，那这个题我们就讲到这里。
16:06查看AI文稿AI文稿好，我们今天来讲一个初中的一个模型啊，它的名字叫一二三四五，然后我们学一二三四五模型之前，我先讲一下，嗯，关于初中的一个三角函数的内容。 好，我们来接着看一下这个三角函数，这个三角函数呢，它实际上就是三角形，一个特殊三角形的三面关系。就比如说我这个三十度的一个 三十度六十度，他的一个三角形，他的三边关系，呃，上面这个正弦啊，也就是我们的三三，他的边是他说角 a 的 对边比上斜边，也就是我们这个 下面这个图角 a 的 对边比上我们的斜边，我们这里他就是 a 比上 c， ok， 这这读作三啊。 然后另外一个叫余弦，它余弦的话就是 cosa， cosa 它是 临边比上斜边，临边比上斜边， ok， 我 们简单看一下这个图，就是这个 a， c 这条边比上 ab 这条边，也就是我们的 c 分 之 b 好，然后第三个就是正切，正切的话就是我们说的一个贪点 t， 他 跟我们幺二三四五啊，就有一定的联系。贪点 t 的 话就是对边比上零边好，然后贪点 t， 我 们这里的贪点 a 是 等于 b 分 之 a， 也就是对边比上零边， bc 比上 ac 好， 这是我们三角函数初中比较常见的，就我们要学主要掌握的这三个东西。 然后我们看一下下面这个表格，呃，就是一个特殊角的一个三角函数值， 就比如说我这个三十度这个三角形，这里面我把这个 c， 通常哈他是斜边当成是二，然后这条边应该是一，这条边的话应该就是根号三好，根据上面我们的一个比值关系，这个三三十度，三三十度，他应该就是我们的 a 比上 c 是 不就是二分之一？然后我们接着看这个六十度，六十度，也就是我们这个三 b 三 b 六十度，他的对边就是根号三，然后斜边的话就是二，所以说他等于二分之根号三。 那么如果说一下这个，比如说这个探点体六十度，探点体六十度的话，嗯，比如这个角是六十度，因为这个角三十度，所以这个角是六十度，那我们可可以知道它是应该是 a c 比上 bc， 是 不是应该等于根号三比一？ ok， 这里是根号三比一啊，所以等于根号三，然后我们看它如果是四十五度，四十五度的一种特殊直角三角形， 它同样的就比如说 cosine 阿尔法，我的 cosine 阿尔法如果等于四十五度的时候，邻边比上我们的斜边，是吧？ cosine 邻边比上斜边，那如果说我们这里特殊三角形，把它当成是一，这里当成一，那这里就是根号二，这应该没问题吧？ ok， 好， 其实这个表格哈，我们结合上面的这一个图形去记忆它，其实比较容易的，我们 一定要记住的一个东西是什么呢？就是上面这个三， cosine t 他 们到底是哪个边比哪个边？必须必须得记住。好，我们把这个完整的看一下哈，这就是我们三角函数你必须要掌握的一个技术知识。 好，我们看完三角函数之后，我们来看这个一二三四五的一个基本模型哈，首先 我们可以看到这样的一个图形，它是在一个六宫格里面，然后呢？呃，这个 tangent 尔法是等于 b c 比上 ab， 所以 说它是 tangent 尔法，应该是二分之一，对吧？ ok， 然后另外一个探点的北塔，他是应该是 ef 比上 af， 他 是一比三的关系，对边比上我们的邻边，所以说探点的北塔应该等于三分之一。 ok， 然后我们来观察一下这个蓝色的和这绿绿色的这块三角形，他们的关系是什么？ 对，他们是不是应该就是全等的？从图，从我们这个图图里面可以观察出来，他们两个是全等的。好，既然全等，那么就可以得到这个 a、 c 和 c、 e 的 长度是不是应该相等？ 好，相等。然后呢？根据这个实际上它就是一个一线三垂直，有个垂直，这个垂直，这个垂直它叫一线三垂直，那么可以知道这个角是不推出来是九十度。好，如果它是九十度，那么就可以推出来 c、 a、 e， 它的角度数是不是它两个角相加起来就是一个四十五度？ ok， 这就是我们从图形里面看出来的。 好，那我们就可以说哈，就是贪婪点，我这里写贪婪点，阿尔法如果说等于二分之一，贪婪点贝塔等于三分之一，那么就可以推出来，阿尔法加贝塔等于四十五度。 啊，或者说我们看第二个，如果说知道碳电体阿尔法等于这个二分之一，然后阿尔法加北塔等于四十五度，那是不可以推出来，这个碳电体北塔应该就是三分之一。然后第三个，同样的，你如果知道这个碳电体北塔等于三分之一，然后这个阿尔法加这个北塔 他是等于四十五度的，那同样是可以推出来这个贪定 r 法等于二分之一的，这里我们就其实就是一个知二求一的问题啊。 ok， 这个他写了一个二分之一加三分之一等于四十五度， 然后注意哈，大家不要把他当当成是我们简单的分数计算，这里这个二分之一实际上表示的是这个贪定体的值，他是二分之一贪定体， 然后他们呢？如果说相加的时候是等于四十度，就是他的意思就是比如说贪点 t 阿尔法等于这个二分之一，然后贪点 t 白塔等于这个三分之一，他们两个角的度数相加是等于这个四十五度的，这里要理解一下 这叫，然后我还没说为什么叫一二三四五哈，可以单纯看这个式子里面就看出来这里出现了个一，这里有个二，这里有个三，然后后面有个四和五啊，然后所以把它连起来，它叫一二三四五。 好，然后关于这个一二三四五它的一个拓展的一些结论哈，就比如说下面这个，这个如果说知道贪点 t 二二法等于四分之三 啊，他这里怎么推导的？这里要引用我们一个高中的一个公式，这里大家简单记一下就可以了哈，就是贪婪地尔法加北塔，应该等于 贪婪地尔法加上贪婪地北塔，然后一减去贪婪地尔法去乘以贪婪地北塔，这是我们要需要记的一个公式，然后通过这个公式，通过这个公式我们是可以推导出来这个四分之三的。 就比如说如果说我这个贪点体阿尔法等于三分之一，我们可以简单写一下贪点体 阿尔法怎么等于四分之三的？这个贪点体阿尔法我们是可以写成阿尔法加上阿尔法，对吧？好，那根据上面的一个公式，我们套用一下， 这个相当于就等于贪利耳法加上贪利耳法，然后一减去贪利耳法的平方， ok， 那 么就可以写成，呃，三分之一加上三分之一，然后一减去三分之一乘以三分之一。 ok， 二，然后下面的话一减九分之一是九分之八， ok， 啊，所以我们这里算出来就三分之一乘以八分之九，约下分， ok， 这里是一，这里是四，然后是不是就等于这个四分之三是不推倒出来了？好，然后下面这个一样的，哈，一样的道理，知道它的点被它等于二分之一，那它的点二被它等于三分之四。 好，我们接着上面的那个，我们刚推到这个公式。啊，啊，其实就是下面就有这个公式呢，我们初中叫合脚公式。好，前面这个叫合脚公式，因为它这里是加，对吧？那后面这个那就叫合差公式。 好，我们来看一下这个和角公式和和差公式他们的一个大区别啊，你看这里，呃，和角公式就前面他是加，那我们的分子上是不是应该就是加，然后呢？分不上，分不上，他们的符号两个是 相反的，对吧？好，这个和差公式和差公式就是分同样的，还是分子上，分子上它是相同的，然后呢？这个分母和它是相反的。 好，大家要注意啊，就他们两个的区别，然后，呃，下面他运算了一个贪婪点二法等于多少贪婪点二法呢？我们一般该写成贪婪点二法，加 就二法加上二法，然后下面他写了一个什么贪贪点二法加上贪点二法，二分之一加二分之一。好，这个地方注意啊，我们一般默认的就是贪婪点二法等于 二分之一，然后呢，贪点体比特等于三分之一。好，这是一般是我们通常默认的一种情况，但不是说这个贪点点二法一定给二分之一，这个贪点二法他也可以为三分之一，也可以为四分之一，五分之一，五分之三都可以的， 他可以为任意的一个比值关系，这一一般是我们默认的，它是二分之一。啊，好，大，大家这个点要取并开来，然后下面就是一些补充公式。 呃，如果大家在前面那些公式掌握掌握的情况下啊，可以来看一下下面这个，就比如说泰利尔法加北塔等于四十五度，然后呢，泰利尔法等于 a 分 之 b， 那 我就可以直接通过这个公式把这个泰利尔法算出来，就是 a 加 b 分 之 a 减 b。 就比如说下面我写了个例子， alpha 加贝塔等于四十五度，然后贪心点 alpha 等于五分之三，那贪心点贝塔应该就等于五加三分之五减三，那就等于四分之一。可以快速计算 alpha 加贝塔等于四十五度，贪心点 alpha 等于五分之三，应该就是带这个差角公式，是吧？就是我们算一下哈，你看它是不是一样的， 这个碳晶体北塔应该是等于碳晶体四十五度，减去 r 法。好，带上带上上面的一个公式，这里我们应该写成 碳晶体四十五度是不等于一，然后一减去碳晶体 r 法，我这个碳晶体 r 法写的是五分之三，那就一减五分之三，然后一 加上一乘以五分之三。好，上面的话应该是五分之二，是吧？好，下面的话就写成五分之 五分之八， ok， 然后五分之二去除以五分之八，他是不是应该就等于四分之一？ 大家这个点看懂吗？你看它和我们这样算出来的结果，它是不是一样的？就用它的一个 a 加 b 分 之 a 减 b， 算出来的结果是一样的。 ok， 同样的这第二个也是，如果说你知道这两个角相减得有四十五度，然后这里要注意啊，它是说它的平方等于 a 分 之 b， 这个推出来它是等于 a 减 b 分 之 a 加 b， 他和我们刚刚那个刚好是相反的啊。要注意好，大家在前面这几个掌握的情况下，就可以把这个作为一个拓展内容嘛。 他其实对于我们做小几何的时候，呃，用处还是比较大的，就后面我们还是通过具体的例子立体去讲解啊。好，然后第三个，第三个的话就比较重要了，我们看一下，他说阿尔法加上二倍，它等于九十度。 好，这个阿尔法加二北塔等于这个九十度，实际上这个阿尔法加北塔是不是应该等于四十五度？ 那阿尔法加北塔等于四十五度，我们把它当放在一个三角形里面去。哈，你看他们的一个摊点体的一个关系，就比如说是在一个 abc 这个三角形中。好，然后呢？这 ab 的 长度假设是三嘛？ 然后 ab 的 长度是五， ok， 那 么我们可以知道这个探点体 a 的 值应该等于多少？探点体 a 是 不应该等于五分之三？好，另外一个探点体 c 是 不应该等于三分之五？你看他们的一个关系是什么关系？是不就是负为倒数？ ok， 好， 这点大家掌要一样掌握。就是如果说这两个角相加等于九十度啊，那么他们这两个角的贪心题就是负为倒数的。好，同样的第四个，第四个作为了解嘛。 呃，其实考的有时候也会考一点啊，就大家如果实在是算不出来的情况下，你可以把这个当成一百八十度，就是两个角相加等于一百八十度，然后呢？这 tanning 二法等于三分之二，然后另外一个 tanning 二倍塔等于负的三分之二。 好，怎么算出来了？这里我写了一个 tanning 一 百八十五等于这个零等于零。其实我们可以看一下下面这个 tanning 一 百八十五等于这个具体图像， 然后我们可以看一下这个点，这个 pi， 一 般我们这个 pi 在 高中里面是表示的一百八十度，这个也就是我们的这个 x 轴，它表示的是 pi， x 表示的 pi 啊，不， x 不是 表示 pi， 是 表示的一个度数啊，要注意，度数就是一个具体度数嘛。好，你看我们这个 pi 的 这个位置，它与我们这个图像是不是刚好 在 x 轴上，在 x 上它它的纵轴标是为零。好，然后这个图像呢？这个纵轴标表示什么东西？它其实实际上表示的就是它的平方，它的平方也就是它的那个 它的一个的值，这个它的平方等于什么？二分之一啊，三分之一啊，这些具体的，这具体的数。好，如果说当这个平方等于拍的时候，它刚好就为零了，大家把这个掌握就可以了。 好，就比如说哈，我们举个例子，这个阿尔法加上阿尔卑塔，呃，相加等于一百八十度，然后呢？这个贪心体阿尔法等于这个， 嗯，写个七分之二吧，写个七分之二，那现在我们要去求这个贪心体 r 比特，如果掌握上面这个，是不是它就等于一个负的七分之二？ ok， 它等于负的七分之二。好，如果通过我们公式去计算的话，这里就写成它的一百八十度减去 r f， 那 就是零减去七分之二，然后呢？ 一加上零，是吧？所以说六等于负的七分之二，这个大家能懂吗？ ok， 好， 可能大家有点疑问啊，就是他说为什么这个贪心体会有一个负值出现？ 你可以，如果大家有一个疑问，我们可以看一下下面这个图像哈，你看这个图像，这个图像，这这一下面这部分，下面这部分，他是不都是在 y 轴的一个下方，是吧？他都在 y 的 下方。所以说我们的这个弹性底，他其实实际上是可为可以为负的这个负的。 在我们函数里面，他不是说他就是负值，他其实叫做负方向的一个意思，我们高中一般把负号哈定定义为一个负方向。 ok 啊，这里不说太多了啊，我们只要把最基本的这个这几个点给它掌握了就可以了。
10:14查看AI文稿AI文稿嗨，大家好，我们紧接着分析一下二零二六中考的最后一题，压轴题啊。好，这道题目的题干依旧非常简洁，他说半圆 a o q 中 o 为圆心， a q 为直径，弦， ab 跟 cd 是 相等的。哎，这个关键， ab 跟 cd 相等，那么这是等弦的一题。 apq 和 c p q 相等，也就是说求它是一个角平分线，那显而易见，我们做辅助圆的方法是什么？通过 o 点做 a b 的 垂线，再通过 o 点做 c p 的 垂线，那么这个垂线相交来看成一个 m 和 n， 那 么我们知道等弦对等弦间距，那我们可以知道 o m 就 等于 o m， 它们又垂直，其实 角平分线上的一个点到两边的距离相等，其实我们就已经可以推导出来角 a p o 等于角 c p o 了。角平分线。但是第一题的话，你得出这个结论，呃，还不够，我们紧接着往后分析一下，其实我们也可以推导出来什么东西啊？ pm 等于 pm， 而 pm 跟 c m 相等，其实我们可以推导出来 a p 等于 pc， 这个结论对我来说是非常有用的。在后面的图二、图三里面，我们都可以 知道 a p 跟 pc 相等，因为第一题它它没有限制条件，就直接求证，所以说我们知道 a p 跟 pc 相等，后面会直接把它用上去就好了。好，第一小问，我们解决了啊。第二小问，他说连接 ob 相交于一点， h a q 是 四，那么半径就是二 p b 是 一， p o 跟 o h 相等，那显而易见，逼迫着你做辅助线什么？垂直， 那么你这样做的这个垂直，那么之前那个垂直也要把它画上去得了呗，对吧？ dt 的 辅助线会显而易见的也要把它画上去，还是把它看成 m， 还是把它看成 m， 那 么这时候它求 p h 的 长度， 那么一般情况下我们压轴题会用到，那我们怎么去处理它呢？ o p 跟 o h 相等，其实我们可以知道 omp 和 omh 它们是全等的对不对？但是这个全等对我来说好像也没什么太大用，但是我们在连接 o c 的 时候 就有用了，这里面有一个叫旋转全等，也就是说第二题我写在旁边啊，三角形 o m b 全等，三角形 o n c 全等的理由是它都是直角三角形啊， o m 等于 o m， 一个直角边，还有 o b 等于 o c 斜边 h 要圈等，那么圈等读出来以后会知道这两个角干嘛相等，并且我们还可以知道 m b 和 c n 相等，而刚才我已经说了， m p 和 n h 相等，可以推导出来 b p 和 c h 相等等于多少等于一的，对不啦？好，那么这里面还有一个叫斜八字相似，那么这个相似我们可以知道对应的 b p 比个 o c， 它其实就是一比多少一比二的，对吧？等于 b h 比个 h c， 那 么这时候 h c 就是 多少二分之一了，也等于 p h 比个 o h， 那 么 h 就是 多少 二分之三，那么这个时候我们可以推导出来 p h 等于二分之一乘一个二分之三等于多少四分之三的，因为比值是一比二的嘛，那第二小问也是显微易见的能够解决。好，那我们看一下第三小问， 他说连接 p q 和 a c 相交于点， e p f 等于四分之 a f， 那 我把 a f 看成 a， p f 看成四 a 标上去啊，并且我们知道这个这个角等于这个角， 因为它已经把它画出来了，所以你把这个点角乘以点角 d e t 证明出来 pa 等于 pc 嘛。若 p e 等于 q e a， 说明它是终点，一直终点 p e a 等于 p f q， 那 告诉我 p e a 跟 p f q 有 什么用啊？好像有点怪怪的，但是我们可以通过这个分析， p e a 等于圈角加这个点角 b f q， 这个圈角跟圈角是对等角，那说明这个点角跟这个点角就相等，那我就用同一个点角来表示就可以了。其实就想告诉我 它相等，就想告诉我这两个点角相等，这两点角相等，不就有一个点形的一个相似在里面吗？对不对？不管能不能用得上啊，我们可以知道 p a e 相似三角形 p q f， 对 吧？所以说你把你能够得出的结论尽量写在旁边，以防万一后面要用上啊。好，那么到这里的时候，他问你 p e 和 a e 的 比值是多少？那么 p a c 是 等腰，那我们做辅助线连接 po， 为什么呢？因为你会发现 o a 跟什么？ o a 跟 o c 相等，而 pa 跟 pc 相等，说明了 po 是 我们的垂直，干嘛平分线？好，我们写在旁边， po 是 a c 垂直平分线，如果你是我的垂直平分线，那么这就是多少九十度把它看成一个 g 点，并且呢，如果你很敏感的发现，发现 e 是 终点， 那个 o 也是中点，那么 g 是 三角形 p a q 的 重心，对吧？我在上课的时候讲过，我说考试的话，如果你没有用到重心的话，你大概率在压缩体里面可以用到，那这时候你发现两个中线的交点就是我们的重心，如果知道重心以后，我们可以知道 a g 和 g e， 那 就是二比一的关系，那这时候我们把 g 看成 m， a， g 就是 二 m， 那 么这时候有个双钩股了，这双钩股就是多少，就是四 a 的 平方，减掉二 m 的 平方，我肯定要找到 m 跟 a 的 关系，不可能有两个未知数的，对吧？对， p e 的 平方 减掉 m 的 平方，那么关键一点，这个 p e 怎么去处理它，你会发现 p e 就 用我们刚才 这个条件就能够处理了，跟他前面用到的相似。那么 pa 是 多少？ pa 是 五 a， 对 应的是 p q， p q 是 多少？是两倍，是 pe， 对 吧？因为一直终点嘛，等于 pe 比一个 p f， p f 是 多少？四 a， 那 么就是 p e 的 平方。 二根式约掉变成一个二 p e 的 平方等于十 a 的 平方，那么 p e 就是 几啊？根号十 a， 然后这里面 pe 的 平方就等于十 a 的 平方，对吧？那么这时候我们可以求出来 m 等于根号尾，求出 m 等于根号尾，那后面就非常简单了，那么 pe 是等于根号十 a 的， 比三 a 等于两倍是多少？根号 是三倍，对吧？ a e 是 三 m， 三倍根号为把它约掉等于多少了，三分之多少，根号二。好，那这道题目给大家分析到这里啊。
10^_^大旭数学✊
01:34查看AI文稿AI文稿武汉的家长你敢相信吗？初三数学最难的不是第二十四题，是第二十三题。对于武汉的原调和中考来说呢，他的第二十四题考的是二次函数，第二十三题呢，考的是几何压轴，这两道题呢，他的难点本质上是不一样的啊。 第二十四题呢，他是会不会算的问题，思路相对稳稳定，但是呢，他的计算会有些复杂，可以通过训练和掌握技巧来攻克练熟呢，保底有七到九分。而第二十三题呢，他却恰恰相反，他的计算没有那么复杂，是你能不能想到的问题， 它考验的是你的几何思维和辅助线的能力，想到呢，你就能拿全对，想不到就只能是干瞪眼了。一个是会不会算，一个是能不能想到。中间呢，隔着一个最难跨的门槛儿，思维能力。 所以呢，它不是靠长期记忆记忆就能获得啊。暑假的话呢，我会带着孩子们集中火力，优先去攻克第二十四题，二次函数。两个原因，第一个就是你现在练的九上和中考的第二十四题啊，它的题型是完全一样的，所以它的性价比贼高，你现在就相当于在练中考题型了。 第二个原因呢，就是二十四题呢，他看起来是死算，其实他背后呢，也是有巧算的，尤其是掌握一个神秘公式，那么可以轻松拿捏第二十四题的。第三问， 暑假的话呢，在八月十七号，我给开了一个压轴题专门的训练班，呃，也就是下周一。那如果家长想了解初三压轴题的专题班，可以在评论区私信给我留言。
51武汉讲数学的憨豆
07:06查看AI文稿AI文稿接上一个视频，我们继续来分析二零二六年重庆中考第二十四题二次函数压轴题的第三小题。 我们在上一个视频已经求出了这个第一问的 p、 f、 c 的 解析式，以及第二问的这一个问题。下面我们看第三问。将 p、 f、 c 沿着 c、 a 方向平移根号二个单位，得到 y、 p、 b 点，对应的点是 f 点，我们看 c a 方向平一，根号二，我们可以知道 o a 的 长度就是一， c 幺的长度也是一，所以 a、 c 就是 根号二。 a o、 c 是 个等腰直角三角形，所以你按照 c、 a 方向平移根号二的单位，实质上就是向左并向下各移动一个单位， 所以 c 点按照这个移动就移动到 a 点，而 b 点按照向左向下移动到 f p， 并且 f、 p 的 坐标由 b 点的坐标四零变为负，变为三负一， 同时 a、 c 跟 b、 f 平行并相等，所以这个 a、 f、 b、 c 就是 一个平行 式平行，并且 b 点 f 点的坐标我们就都知道了啊。下面我们继续来看新的 property， 经过 a 点 f 点， 那么它的 a 是 不变的，所以我们可以用待定系手法求出新的抛物线， 这就是新的抛物线，新的抛物线。知道了，下面我们看实线 a m a 点就在这里， m 点是抛物线上点，我们先不要管它，你这个角 a、 m、 b， 就是说这个 n 点是跟 b、 f 相交的，所以我们把这个线段 b、 f 延长，你这个 a、 n、 b 要等于这么一个 a， c、 b 减九十度，那这里就要用到构造，我们要构造一个 a， c， b 减九十，就是在 a、 c、 b 上我们 去掉一个九十度，我们可以过 c 点做 b c 的 垂线，跟 b f 交于 mp， 那 么你看到这个 b c mp 就是 九十度，那 a c b 减去九十度就是 a c mp， 所以这个 a n b 就 等于 a c n p。 好， 这里我们看一下 a c n p， a c 跟 b f 对 边平行，所以 a c n p 就 等于这个角 c n p b。 好， 下面我们来看一下。 c 点坐标是知道的，实质上 c 跟 np 跟 a b 的 焦点，我们假设为 p， 由于 p c b 是 直角， a c 垂直于 p b， 那 么 p 点的坐标可求， c 点的坐标也知道，所以 c p， 也就是 c n p 这个直线的表达式我们也能够求出来。再来看，由于 分析了，我们说 c n b 这个角要等于 a n b， 我 们叫是 a n b 的 这个位置，那么 a n b 等于 c n p b， 那 么它应该是平行， 所以我们过 a 点做 c n p 的 平点线，这个焦点就是 n， 那 a、 n、 b 就 满足这个设置。所以下面我们只要将 a、 n 的 表达式求出来， a n 平行于 c n p， 所以他们的一次下系数开相等，再经过 a 点，同样用对等细说法，可以将 a n 的 表达式 求出来，我们将这个作为一式，这个作为二式，连累得到方程组可以求出 a n 跟新的二次函数的交点， 那么这个就是 md， 这就是第一种情况，那么这里要注意，第一个要构造这个 好，下面我们再来看，他说写出符合条件的 md 的 坐标，实质上我们这个 a、 m、 b， 我 们可以画到上面去， 所以他有第二种情况，我们来看一下，可以这样子画， a、 m、 b 是 这个角，那么这个角要等于 a c b 减九十度，我们同样构造 a c b， 现在怎么构造呢？这里已经看出来了，我们使得 o k 等于 o 为连接 c k， 那 么 c o k 也是一个等腰直角三角形， 所以说 a c k 就是 直角，我们去掉 a c k， 剩下的就是 k c b， 所以 现在只要这个 k c b 跟 a n f 相等，那么这里 a n 交易 p 点，我们同样可以求得 p 点的坐标，进而求出 a n 的 表达式 啊。这个具体步骤我不详细写了。最后得到 a m 的 表达式，同样这个实线和新的二次函数 组成一个方程组，我们可以求得 m 的 坐标是一二分之一。 那么本期有两种情况，我们要挑一种情况写出详细的证明过程好，本期的关键是构造好，本期就分析到这里，再见。
28苏州人讲数学
