莱州中考几何压轴
几何综合题一直是初中孩子们丢分的重灾区，今天就站在命题的角度来分析，遇到这种几何综合，我们如何才能拿高分拿满分？废话不多说，我们直接看题目， 他说在 r t 三角形当中告诉我们 a b 等于 a c 等于两倍的根号二，并且还告诉我这个角度等于九十度，实际上他想告诉你什么 a b c， 他 实际上是一个等腰直角三角形，并且我可以把 a c 算出来他应该是不是你们的四，然后他说 p 点是 a c 上面的一个洞点， b p 是 这样旋转过来，并且旋转九十度，所以这条边等于这条边，也就是这里他也是一个什么等腰直角三角形 好，第一题，他们求 c q 等于我们的 ap， 那 么我们要想 c q 等于 ap， 是 不是求两个线段的长度相等，那么我们很容易常见的有两个，第一个在等腰三角形里面等角对等边，第二个就是我们初中最常见的也就求全等三角形得到对应边相等， 那么我们到底是求哪一个？我们把线段在图中给标起来，比如说 a p 它在这个地方， c q 它是这个地方，那么很明显这个不在同一个三角形里面，那么我们就想到第二个全等，那么这里有哪两个三角形全等呢？那很明显的是这个三角形和这个三角形全等， 那么怎么证明也很简单，第一个题目中告诉我什么 ab 等于我们这个 bc 的 等于二倍根号二，对不对？第二个它是它旋转过来的，所以得到两条边了，再找一个夹角是不是就 ok 了？那么这个夹角是哪一个？在这里这个角 等于这个角，这是经典的同角的与角相等，说明这两个三角形是全等的。所以第一题 ap 等于我们的 c q 就 搞定了，很简单。 好，我们继续往下面看。第二个 a p 等于一，求这个 c 的 长，我们还是一样的，你第一题的条件你还是要用上的。第一条件是得到什么？是不是这个三角形和这个三角形是全等三角形，那么全等三角形你可以得到它的对应角是不是相等的，所以这个角它等于多少度？是不是等于四十五度？ 那么它所对应的对应角是不是在这里，是不是也等于四十五度？并且对应边 a p 和 c q 是 相等的，它等于一。我们第一题当中把这个 a c 算出来，它等于四，那么我们的 c p 它应该等于几？是不等于三？ 这个等于四十五度，这个是不是也等于四十五度？那么这里就出现了九十度，这个等于一，这个等于三，说明我们这个 p q 它应该等于根号十， 那么 p q 他 是在这个等腰直角三角形的斜边，那么我可以把这两个边算出来，他应该等于几，是不应该等于根号五。 bc 等于 bc， 这条边我知道他等于二倍，根号二，并且我还知道这个角度等于四十五，求什么？求 c e， 那 么我只要求出什么也是可以的，我求出 b e 是 不是也是可以的？那么我们观察一下，在这个三角形出现了一个四十五度， 在这个三角形也出现了个四十五度，并且这两个角还是什么共同角，这个就是我们常见的一个什么模型， 是不是子母形相似，是不是这样的形状？这个角和它是公共角，这个角等于它都等于四十五度，这是不是子母形相似？在这题当中，已知线段比较少的情况下，并且让你求这个线段 c e， 那 么我们用相似也是比较好解决的。 好，我们怎么解？也就是 b e 比上我们这个 b q， 它应该等于我们这个 b q， 比上我们这个 bc， 我 们可以把 b q 乘过来，也就等于 b q 的 平方，它就等于五 bc， 它就等于二倍根号二，然后分子分母同时乘以根号二，它就等于四分之 五倍根号啊。当我们把 b e 算出来之后， c e， 它是不是应该等于二倍根号啊？ 减去一个四分之五倍根号啊，也就等于四分之三倍根号啊。我们看第三题，他说这个 a、 a、 b 和这个是互相垂直的，让我们探求一下这个 p、 f 和这个 c、 e， 他的什么数量关系，他们的数量关系，那么怎么样求这两个数量关系呢？我们看观察一下这个长度，应该是这个长度是在这里，你看到题目，先比较一下这两长度是不是有点什么感觉是相等的， 那么我们就要需要证明他两个相等。我们看这里对应边 a p 的 对应边是 c q 依旧成立，并且这里是九十度，他等于四十五度，他也等于四十五度。 那么如果我在这个里面构造出一个全等三角形和它相等的这题，是不是应该就可以成功了一大半？那么怎么构造呢？这一题需要我们干嘛？是让我们求他和他之间的关系，那么我是不是要在这里构建一个边和这条边是不是相等的？ 所以我可以想到什么在 b c 上面找一个点，找一个点 m， 使得我们的什么 m q 等于我们的 e q， 接下来我们找这两个三角形，看它是否全等。第一条边 c q 等于 ap， 已知的这个四十五度 也是可以正出来的。接下来你是不是缺一个角度？我们做的是 m q 等于 eq， 说明这两个角度是不是相等的。比如说这角一等于角二，而角二和它是对顶角等于 角三，我们发现这里等于垂直，这里等于垂直。那么角 f 加上角三是不是应该等于一百八十度？而角 c m q 加上角一，是不是也等于一百八十度？ 而且我可以得到角 f， 它实际上是等于角什么呢？ c m q 的 也就这个角等于这个角， 那么此时这两个三角形全等是不是已经正出来了？那么全等我可以得到什么？是不是可以得到 f p， 它应该等于我们的 m q， 那 m q 又等于什么？等于我们的 eq， 此时我就可以得到 p f 和 eq， 它俩的数量关系是相等的。
粉丝1.4万获赞6.9万
相关视频
01:52查看AI文稿AI文稿中考几何压轴题，每个字都不是废话，出题人其实在每道题里面都喊了，用什么方法去做，但是你的耳朵，你的眼睛能不能听得懂？看懂，今天给大家翻译几个核心的黑话。 第一种是求线段长度，说了很多遍哈，要么勾股，要么相似，要么三角函数，要么面积法。比如最近考的圆的题，圆里面有直角，这种勾股给你有平行线，八字和 a 字相似就能够相似。 告诉我，三十度，四十五度，六十度就有三角函数，翻来覆去就这几种，要么一种方法，要么两种方法，三种结合总能算出来。第二种，求两条线段的比值。比值是啥？相似啊， 还有什么比相似更能体现比值的呢？就这么明显的告诉你，就是相似，你只要确定它是 a 字八字还是共角，子母手拉手在这些类型里面找就可以了。 第三种，求某个角度圆的。第一位，常考的角度，之前说过各种倒角方法，平行线内错角，同位角去角垂直在直角，三角形的余角去倒，用弦切角，圆周角，圆心角的关系去倒。等腰三角形，两底角相等角，凭借两个角相等去倒，最终 最重要的就是倒角，想尽一切办法去倒角。第四种是求面积。三角形面积会求吧，二分之一乘以底乘以高。四边形面积也要会求，但有时候和二次函数结合求面积，这时候要用到铅垂法，横平竖直做辅助线，本质上还是三角形，求面积就稍微转一个弯。 第五种，求最值，最短路径，最大面积，最大角度看到最短路径，想将军引马面积问题，二次函数最值化为顶点式或者隐形圆点圆最直，线圆最直，就这些。 第六种是否存在问题啊？存在性问题。点屁是什么成立？大多数都是存在的，不然出这个题干嘛呢？存在之后还是用相似的高股三角函数把几何翻译成方程解出来就可以了解出来。存在，不存在就不存在。
24方熠讲出题人思维
03:03查看AI文稿AI文稿中考几何压轴题，每个字都不是废话，出题人其实他在每一道题里面都暗示了我们应该用什么方法去做，但是你能不能对得上出题人的暗号呢？今天我来给你 翻译几个核心的黑话。第一个，求线段的长度，要么用勾股，要么用相似，要么用三角函数。比如咱们最近的圆考的比较多，圆里面如果遇到直角三角形以后，我们应该怎么做呀？哎，勾股定律，如果有平行线这种呢？八字形也好呀， a 字形也好，我们怎么做？ 肯定是相似。那如果告诉我们的角度，比如说三十度呀，四十五度这种，我们肯定有三角函数，它翻来翻去就这几种，要么是一种方法，要么是两种方法相结合。第二个 考试考法，两条线段的比值，这个就差把相似糊在我们脸上，因为整个初中几何里面，唯有相似是专门来计算线段的比例的。然后我们只需要定模型就行了，无非就是那几种， a 字形啊，母子啊，手拉手就这几大类。 第三个，求角度。圆的第一弯是不是就经常让我们求角度？但是我们一定要注意，角度不是看出来的，它是导出来的。比如说我们平行线的内错角啊，同位角啊，这样去导。或者说如果说我们直角三角形里面，我们用余角去导，我们用斜切角去导， 我们用圆周角和圆心角的关系去倒。如果有等腰三角形两边的底呢，我们就用等腰三角形两边的底角相等去。角平分线呢，我们就用这两个角相等去倒。所以最重要的是倒角，还是那句话，角不是瞪眼看出来的，是倒出来的。第四个，求面积。 那正常的肯定三角形的面积会求吧，二分之一底乘高，但是呢，这是相对来说比较简单的，他有时候会跟二次函数我们相结合去求面积，这时候我们就用到什么了，这个前垂高法，割补法，说白了我们还是要去做辅助线，但本质上都还是三角形求面积的问题，就稍微拐了个弯而已。 第五个，也就是最常考的最值问题了，很多人一听到最值就觉得头大了，但其实他也翻来翻去，就那几种考法，比如说两个线段相加最小，我们一立马想到什么将军引马的模型， 如一个线段最小的，那就是引圆，引圆呢，又分为啊，定边啊，定角啊，定长啊，又或者说是呃，瓜豆啊，胡不归阿，是圆这些模型所，所以说就这几种，而且实在是没招了，我们就见戏嘛，一见一个准。 第六个呢，就是问是否存在点屁，这个其实就是一个废话，就如果他不存在的话，他出来干什么呢？逗逗我们玩吗？是不是？所以遇到这种题，不管我会不会写，我就先写一个存在上去，然后呢，我们再把已知的几何条件给它转化为方程，给它解出来，解出来这道题我们就拿满分，要是我 这道题实在是不会，我也解不出来，我也要把它写出来，就是装出的，我们装出我们能把它解出来的样子，这样的话，至少他是能拿到两个分步骤分的。所以说，千万不要被几何的压轴题吓住了， 做这种题就好比去剥洋葱，把皮一层一层的剥开，你就会发现本质上就是我们学过的一个一个简单的知识点。
65中科大翼老师
01:07查看AI文稿AI文稿中考第六道答题，几何压轴也可以称为，哎，动态几何，一般考点的话就是动点最直，旋转折叠， 哎，会出现线段最直，面积最直。特殊三角形存在性问题，平行四边形存在性问题。 解决这类题的方法呢，有三步，第一步，画图，把动态化为静态。第二步，分类讨论，不要漏情况。第三步，用相似 勾股或者说是函数建模去叠方程。第一问呢，一定是很简单哎，前两问最好都去拿分啊，之后的话就能写多少咱就写多少啊。
04:20查看AI文稿AI文稿各位，今天我们来一起探讨一下这个中考填空压轴题啊，很多人呢，看完题后就懵了，无从下手，也有一些同学呢，直接带入硬算，算着算着呢，也懵了 啊，这例题呢，我们都有一个通用的方法，学会了之后呢，以后不管四次五次还是九十九次，通通都能轻松搞定。那接下来呢，我们一起来探讨一下啊。看题二，已知条件 m 等于二分之一，加根号两千零二十一，看着比较复杂啊。嗯，看求的值呢，括号里有 m 的 三次方，括号外面还有四次方，哎，求的值呢，次数呢，也比较高，这个时候怎么办呢？ 能不能把 m 三 m 的 三次方换成 m 次呢？也就是说我们要用到降次的方式，也就是说能不能把 m 的 三次方转换成 m 呢？最好能抵消掉的那一种。 如何降次呢？就是把一边次数高，高次数用低次数来表示， 理想状态下呢，一边是两次方，一边呢是一次方，那这是比较理想的状态啊。那我们现在来看看已知条件能否这样去转换啊， 我们把这个已知条件转换下，看看啊能不能转换出来我们所要的那种效果， 这个时候一边是根号，一边这个时候加个平方，就能把根号去哪？ 做到这步的时候怎么办呢？我们就像刚才所说的，一边是什么呀，次数高的，一边是次数低的，把它构造出来就可以了。 接下来呢，我们要利用这个四次去解题了啊，看看如何去运用这个降次啊。我们呢，先算括号里的，不算四次方，先就算单一的算括号里面的， 我们把 m 的 三次方呢写成 m 的 平方乘以 m， 你 看这个时候 m 的 平方就可以用 m 加五零五来替换了啊， 又出现 m 的 分，继续替换啊。 你看我们求出括号里的值是二，也就是说这个答案是多少呢？二的四次方，二的四次方多少呢？也就十六，是不是很好用呀？
59好轻松快乐规划
03:55查看AI文稿AI文稿上个视频我讲了一下周老师的教学理念，我的教育理念是什么呢？就是系统性的学习加单点突破，再加上极致的重复。 在这个过程中，不仅能解决孩子的畏难情绪，更能激发出孩子对这种压轴题、难题、拔高题的这种挑战兴趣。 在这种极致的重复当中，孩子们不仅能理解消化老师所传授的解析方法， 更能在这种系统性的训练过程当中，他能提炼出总结出自己的解析思路，这个是最好的一个现象。另一个好处就是，在这种系统性的极致重复当中，就算孩子总结不出他自己的解析方法， 但是就凭肌肉记忆，他也知道这种题应该怎么去解决。这就是为什么很多家长他自己都认为自己的孩子天资不那么出众，但是到周老师这来之后，他的当科成绩仍然能保持在中上游的一个水平。 俗话说，师傅领进门，修行在个人，但周老师的想法是什么呢？老师把孩子领进门之后，我们如果还能扶上马，再送一程，那更能对得起我们作为老师的这种职业初心，也能对得起 家长对老师的一个信任，以及孩子对自己未来的一个期望。这也是为什么很多家长选择周老师的一个期望，这也是为什么很多家长选择周老师，以及很多家长需要周老师的原因。好， 我们继续看这道题。已知矩形 a b c 的 b p 等于 a q， 求 a p 加 b q 的 最小值来。 b p 等于 d q 两条相等线段不在同一条直线上，典型的什么逆等线问题，逆等线问题怎么解决？平移或者构造全等三角形，使我们的目标线段形成共线的趋势， 然后用两点之间线段最短以及点到直线的距离，垂线段最短就可以了。我们看 b p 和矩形的一条边形成了一个直角三角形，那和它相等的 d q 我 们怎么办呢？我以 d q 这个线段为基础，我构造一个全等三角形，我延长 a d 到 h， 使 d h 等于 ab 等于五倍。来，我们看 d q 等于 b p， a， b 等于 d h， 那 我们只要连接 h q， 那 么三角形 d h， q 和三角形 p b a 是 不是就全等了？全等之后我们看 a p 等于 q h。 来，那我们让我们求 a p 加 b q 的 最小值，现在是不是就转换成 b q 加 q h 的 最小值？ b 点是定点， h 点是我们验长出来的五，那 h 点也是定点，两点之间什么线段最短？我们只要连接 b h， 那 么 b h 是 不是就是我们所求的两条线段相加的最小值了？来，我们看 ab 等于五，这是个直角 a d， a， d 等于七， d h 等于五，那么 b h 是 不是就等于 ab 的 平方加上 a h 的 平方等于什么？二十五加上一百四十四 等于根号，一百六十九等于十三。周老师讲明白没？好，今天这节课就到这，更多精彩内容，我们下个视频见。
39周～先生
01:47:07
01:23查看AI文稿AI文稿中考数学最难的压轴大题，翻来覆去就这八道，一、二次函数的最值问题二，取值范围问题三，二次函数与相似三角形四、最值问题五，二次函数的图像与几何综合六、公共点问题七，二次函数与一次函数的交点问题 八，存在性问题。很多孩子看到这些题就懵，为什么？因为这些题考的是多个知识点的综合运用，孩子单独学，每个知识点都会，一揉到一起就不会了， 自己不会练，家长又不会教。可以用这套新华书店的中考数学压轴卷，选择填空解答新题型四合一。 它包含了中考数学能考到的所有压轴题类型，比如二次函数与相似三角形这道题考察多个知识点的综合运用。很多孩子一看题就蒙了， 但这套卷子怎么做呢？他直接把答题方法、答题步骤以及涉及到的考点，在原卷上标注的明明白白，一步步教孩子如何踩准得分点。关键就连新情境新考法，他也给你整理好了。传统文化题、数学文化题、跨学科融合题等等，这些都是中考的风向标， 你把考点和题型提前吃透，上了考场就像回家一样熟悉。另外，扫码还能免费领三十套中考真题，让孩子提前适应考试的强度和节奏。家有初三生的，赶紧安排，早用早受益！
07:50查看AI文稿AI文稿好，我们一起来看一下啊，普罗摩吉多定律，这个定律很多同学肯定听过啊， 只不过是这个名字可能不太记得，这个在中考还是非常高频的去出题，虽然你可能对他的名字不是很敏感，但是这些模型啊，还有这些结论条件你可能都是比较熟悉了啊，其实他就属于旋转那一类的手拉手那一类的。好，让我们一起来看一下啊这些。呃，这个经典的这个题目 好，首先它的条件是四边形，两个正方形啊，就是 a b e， a， b e d 和 a c f g 啊， 然后呢，它相当于是手拉手模型了啊，如果你把这个啊 b g， 把这个 b g 和这个 d c 连起来，是吧，就是标准的那个手拉手模型，全等了。好，但是这里边呢，它属于不是这个 b g 和 d c 连起来，而是属于这个 d g 和 bc 连起来，就是有一种左手拉右手的啊，你说老师怎么样看是左手右手呢？那你把 a 点 a 点就是一个人头吧，然后你的脸朝着朝着这个方向啊，然后你的 a j 是 吧，就是左胳膊， a c 是 不是右胳膊？ 那同样道理， ab 一 得这个三角形，你的脸也朝前，然后你的脸朝前的话，是不是 a 得就变成右胳膊， ab 变成左胳膊啊，那得点就变成右手了，所以说它属于左手拉右手的一个状态啊，相当于一个错位的手拉手模型了哈， 那他要以他有什么样子的已知条件结论呢啊？首先还有一个结，已知条件是 m 是 多这个中点啊，然后则 a m 就 垂直于 bc 于 h， 也就是说 a h 垂直于 bc， 并且 bc 等于两倍的 a m。 好， 就这几个条件啊 啊，这个条件，你比如说 b c 等于两倍的 am， 那 就涉及的涉及的一，一是涉及到一个手拉手模型，二是用的辅助线是倍长中线，所以说这个模型在中考里边会考的比较多，因为它涉及到好几个模型了嘛。 好，那怎么正呢？其实比较简单了啊，好，你像我，我们在下面写了一下，如果条件的话，是的 m 等于 m g， 也就是中点的话，结论那就是垂直和两倍，方法就是被长中线勾八字全等啊。首先要第一个，第一个全等的话就是 am， am 的 和 i m g 是 八字全等，很简单，对吧？好，你的辅助线是被长中线。好，全等完之后，然后你再去正 a， b， c 和 g i a 这个三角形全等， 怎么正？里边其实有点像昨天我们做的那个脚拉脚模型的啊，它重点的是里边的那个 a， 那 个就角相等的。同学们，你可以正一下啊啊，边的话其实比较简单，有，里边已经有 aj 等于 ac 了，然后这个呃，然后再有一个呃 g， ig 啊， ig 和 ab 相等了，所以说只需要正一个角相等，那这个角相等的话，你就利用的是三百六十度，然后再去掉两个九十度，同学们，你可以在细节的算一算。啊，好，那同样一个图，它也可以把条件和结论互换一下，然后把 am 垂直于 ab， 垂直于 bc 啊，垂直于 bc 作为条件，那结论的话，那就是得 m 变成 d c 的 中点啊， bc 仍然等于两倍的 am， 那这个辅助线怎么样？首先它已经不是终点了，所以说你就不能用倍长中线的这个词汇来描述了，那你怎么样做呢？其实你会发现这两个状态图什么一模一样 啊，只是它的辅助线的语言描述不一样，这个语言描述是是做平行，也就是做 g i 平行于 a 的， 然后再正八字得中点啊，而且它的一个全等全等于 g a i g i a 好，正完之后就得到了 i g 和 ab 相等，对吧？那 i g ab 相等， ab 又和 a d 相等，所以说 i g 和 a d 相等， 相等之后，然后再平行，内错角对顶角两角一边肯定全等。全等之后是把这个 d g， 这个 d m 和和 m g 就 相等了啊？还是所以说里边这两个 这两个。嗯，条件和结论的重点其实都是在证那个全等的时候，就那个 a 啊，利用的是里边的一个三百六十度减去两个九十度啊，同学们，好，这里边还有一个结论，就是面积 a 的 这面积和 abc 这个三角形的面积是相等的，为什么呢？那是不是这个三角形和这个三角形全等，那它俩的面积 肯定相等，那然后一三一三又和 a， b， c 是 不是是全等的？所以说一三的面积和 a， b， c 面积肯定相等，那一三相等，那二三肯定也相等，对吧？好，这个结论一定要注意了哈。好，这个模型是吧，比较简单啊，这个模型比较简单，但是呢，中考给你考的是把这个模型给 是吧？给他转了一下，转转，旋转了一下啊，你会看，发现这个来，你看 ab 得 e 还是 ab 得 e 啊？ ab 得 e， a c g f 啊，他啊，把它旋转了一下啊，你会发现 m 还是得这个中点的话， am 是 吧，你要延长反向延长的话，你会发现在 bc 的 延长线上还是存在垂直啊，所以说到时候不要因为他在延长 延长线上垂直你就不画了啊，他的证明方法一模一样。好，那然后啊，刚才那些图都是属于没有相交，对吧？这两个三角形大小不一样的正方形，大小不一样的正方形，他都不是没有相交的。那这个右边这个图是吧，都是画了一个相交的， 在在里边有，有公共部分的。那怎么样你，你就一定要分清大手拉小手啊，这左手拉右手啊，好，一定要学会左手拉右手，一定记着，我们不如叫他错位手拉手模型好，能体现出他这个这个，这个辅助线怎么加错位 啊？就是左手拉右手，错位手拉手了啊，同学们，我觉得应该这个可能表现出来，他的他的辅助线啊，那个名字是人家那个人名命名的啊。好，你会发现脸朝前是吧？ a b， a d， a， d 是 他的右手，那脸朝前， a， g 是 不是这个大三角形的左手？所以说 g 和得连起来， b 和 c 连起来，然后取了得 g 的 中点的话， m， 那 你延长 am 到 bc 上就是会垂直，当然你如果连取 bc 的 中点，那你再连接连接 a， 你 就会做出垂直于得得 g 了啊，好，它的 它的证明还是一模一样，所以说不要因为图形变化了，你就会对这个模型，嗯，就是一下子不认识了啊，一定背过它的一个 辅助线的方法就是左手拉右手，而且公共顶点，你会发现是不是那个九十度那个地方啊？就是他们那个。呃，应该是顶角，因为我们后面还有一个扩展的是一般等腰三角形啊，一般等腰三角形的两个，一般等腰三角形的一个，一个左手拉右手。仍然有。同学们，你不觉得他像我们昨天讲的 啊？前几天讲的是昨天讲的那个呃，脚拉脚模型。来看一下，老师正好画了一个脚拉脚模型。脚拉脚模型它的条件是，呃，我写了这个条件啊，写了一个特殊的 a、 c， b， b， d， e 是 等腰直角三角形，你会发现脚拉脚的时候，它的空洞顶点是那个脚丫子，不是那个九十度啊，不是那个九十度， 他也属于呃，那个左手拉右手啊。你比如说按照 c 点，哎呦，这个地方，呃，这个地方是这个的点哈，我忘写了，好， c 点。如果是头的话，朝前，脸朝前，那 c、 b 是 他的右手，如果的点是头的话，是把脸朝前的话，那 b 的是他的左手，他也属于一个左手拉 左手拉右手，只不过是，只不过是他的顶点，他并不是以刚才的那个呃，就是九十度这种的这种的那个顶角顶角作为公共角啊，公共顶点啊。同学们，好， 那，那如果具体的看的话，可以看我们之前讲的那个角拉角模型，我讲的那个是一般型的，就是一般的等腰三角形，一般的等腰三角形的一个角拉角，然后里边是不是有一个，呃，加起来一百八十度啊？ 这个错位手拉手其实也有刚才说的一般型的啊，只是我们等着以后再讲啊。同学们，看一下老师画的这个，对比一下啊。这个脚拉脚模型和这个这个错位手拉手模型的话， 它的区别在哪里？其实区别是在公共顶点和辅助线上了啊，千万不要混了，你看一下老师做的这个辅助线和结论啊，脚拉脚模型的结论和和辅助线啊，是如图上面的好同学们会了吗？
12:13查看AI文稿AI文稿每天十分钟搞定中考压轴题！从这个视频开始，要解剖一类中考常见问题，几何中的动点问题，就是那种有运动速度的问题。 老师说我是很讨厌这类问题，因为它又简单又很无聊，毫无思考的乐趣，就是算起来吧，比较麻烦，当你算的心烦意乱的时候，它就会趁虚而入，让你犯下各种错误。 那么如何才能又快又准的做对这类问题呢？嘿嘿，我想在听我讲解之前，你得先自己做一下体验一下吧，这样你才能清晰的理解我讲的东西对你是多么的有价值。 嗯，哎呀，第一问真的是弱爆了，选这一问的同学，也许你就是想听听我是怎么做的吧，不过我也没有什么新鲜的方法。根据条件，三角形 a、 b、 o 是 一个三十度的直角三角形， 把它绕点 o 顺时针旋转六十度。说到旋转六十度，你会想到什么呢？反正我会想到等边三角形，你看，根据旋转 o、 b 等于 o、 c 角， b、 o、 c 等于六十度，这些都是旋转的性质吧。所以三角形 b、 o、 c 是 等边角 o、 b、 c 当然是六十度做出来了吧。下面要听第二问吗？ 欢迎来到第二问。在这一问中，动点均正式出现了，一个 m， 一个 n， 在研究他俩之前，根据条件中的 o、 b 等于四，可以算出这几条边的长度、过程和结果。在这你自己看看，没有问题就可以继续了。 下面要开始分析动点了。当看到动点时，你觉得首先要弄清楚什么呢？ 动点的特点就是会动呗，所以首先要搞清楚动点是怎么动的。不过这事通常很简单， m 沿着 o、 c、 b 突突突的运动，速度是一点五。 写题的时候可以先在 o c 上随便点个 m， 然后把速度一点五写在显眼的地方，以防忘记。 再看点 n 沿着 o、 b、 c 啵啵啵的运动，速度是一同样的处理方式，到他俩相遇时，运动停止。哎，这就可以求出运动的总时间了吧。 总路程十二除以速度和二点五五分之二十四秒，所以点 n 一 共走了五分之二十四的路程，除了 o b 等于四，还剩五分之四的路程。 在这里取个点 d， 让 b， d 等于五分之四，那么 m n 运动到点 d 时，同时停止运动。这样一来，动点的运动彻底搞清楚了。下面来看看问题。 设运动时间为 x， 三角形 o m， n 的 面积为 y， 求 y 关于 x 的 函数关系式，也就是说，得把 y 写成多少多少 x。 那 么该怎么做呢？ 可能你一下子想不到该怎么做，毕竟这个 x 会变，而且时间和面积那能有个毛线的关系哟， 是的，少年，时间和面积确实没有直接关系，但是来 把你的脑回路稍稍拉长一点。思考一个严肃的问题，知道了速度时间，你还能求出什么？ a， 总不会是路程吧？恭喜你，少年，答对了。不要觉得这么简单的问题是在侮辱你的智商，因为它的背后就隐藏着解决动点问题的奥秘。来让我们捋一捋。 知道了时间 x 和速度可以求出路程。在时间 x 内， m 走过的路程是二分之三， x， n 走过的路程是 x。 很 简单的计算题，继续路程这东西反映在图上是什么呢？是的，就是线段的长度呢？线段的长度就和面积有关系了吧。 说到这，是不是有点恍然大明白了。把运动时间转化为路程，再转化为线段长，这就是解决动点问题的关键了。这套思路呢，说起来很简单， 不过转化为线段长时，就可能出现让你心烦意乱的分类讨论，这又是闹哪样呢？ 比如来看 m 吧，它沿着 o、 c、 d 运动，路程是二分之三， x 对 应的是哪条线段的长度呢？ 显然，当 m 在 o c 上运动时，路程就是 o m， 跑到 bc 上呢，路程就是 o c 加 cm 了吧， 是两条线段的和，所以怎么分类就呼之欲出了吧。 m 的 运动轨迹被分成了两段，就按这两段分类。 分类之前，说一下分类的要点，要明确分类的标准。在动点问题中，就是运动对应的时间范围， m 在 oc 上的运动时间是四，除以一点五等于三分之八， 总的运动时间是五分之二十四。所以呢，从三分之八起分成两段，当 x 取零到三分之八时， m 在 oc 上运动，此时 o m 等于二分之三 x。 而当 x 取三分之八到五分之二十四时， m 就 跑到 c d 上运动了， 此时他的运动路程还是二分之三， x 去掉 o c， 剩下的 c， m 就是 二分之三， x 减四，这样 m 的 运动就彻底转化为线段长了。 那点 n 呢，也是一样的，你自己动动笔，写出针对点 n 的 分类吧。 点 n 在 o b 上的运动时间是四秒，所以 x 在 零到四时，点 n 在 o b 上， o n 等于 x， x 在 四到五分之二十四时，点 n 在 b d 上运动，路程是 x， 那 b n 就 等于 x 减四。 好的，现在咱们把零到五分之二十四的总运动时间分别在三分之八秒、四秒处分了个段。 接下来为了求三角形 o、 m、 n 的 面积，势必要把两个动点的运动结合起来看， 这样一来，三分之八、四就会把整个时间分成三段，零到三分之八，三分之八到四，四到五分之二十四得分成三种情况。讨论呢， 先把这三段对应的范围都写出来，写的时候吧，注意两个问题。第一，看一下零能不能取，题目中没有明说，但是 x 等于零时，没有三角形 o、 m、 n， 对 吧，所以 x 不 能取零。 第二，注意分界点处，比如这个三分之八，可以这里加等号，这里不加，也可以这里不加等号这里加。总之有一个地方有三分之八就行，但不能都不加，也不能都加等号。 下面分段讨论。先看第一段， x 大 于零，小于等于三分之八十。之前说过了， o， m 等于二分之三， x， o， n 等于 x， 要求三角形 o、 m， n 的 面积， y 求三角形的面积，首先可以考虑底乘高除以二吧，比如选 o m 作为底做 n， e 垂直， o m 于点 e， 那 n， e 就是 高，它要怎么求呢？ 相信大家都看出来了，三角形 o、 n， e 是 三十度的直角三角形， 所以 n， e 等于二分之根三倍的 o， n 等于二分之根三 x， 这下就可以求面积了吧，底乘高除以二， y 等于八分之三倍根三 x 方。 第二段， x 大 于三分之八，小于等于四十点， n 在 o b 上， m 在 c d 上，就像这样，之前分析过，现在 c， m 等于二分之三， x 减四， o， n 等于 x， 求面积还是找底和高呗。这次三边中只有 o n 已知吧，选它作为底做 m h 垂直 b o 于 h， 那 怎么求高 m h 呢？ 这一次啊，可以用另一个三十度直角三角形 b h， m， bm 等于 bc 减 mc 等于八减二分之三 x， m h 等于二分之根三， b， m 就 等于二分之根三乘以八减二分之三 x 小 底小高一相乘除以二， y 等于负八分之三倍根三 x 方加二倍根三 x。 最后的第三种情况，套路呢，大家很熟悉了，你自己算一下呗。 此时 x 大 于四，小于等于五分之二十四， m 和 n 都在 b c 上， c m 等于二分之三， x 减四， b， n 等于 x 减四，那么 n m 是 不是就可以求出来了？ b c 减 b， n 减 c， m 等于十二减二分之五 x 就 选它作为底了。高就是这条呗。 其实也是等边三角形 o b c 的 高， o b 等于四，所以高等于二根三，然后面积就出来了，等于十二根三减二分之五根三 x。 最后呢，把三种情况汇总一下，给一个总的答案。由于三种情况下关系式并不一样，所以要分开写，这样题目就做完了，视频的最后会有完整的解析，想看的同学可以到时候看看喽。
93中学生加油站
13:35查看AI文稿AI文稿纵有待费扣贷，也要变得 easy！ 欢迎大家来到 easy 老师，我们再来看第三问。将抛物线向左平移两个单位长度得到 y 一， 我们知道一个口诀叫做上加下减长竖向左加右减自变量。原来的抛物线呢，方程是， y 等于负， x 方加四， x 加一。 那么你的新的方程 y 一 就等于负的向左移两个单位长度就是加二 等于负的 x 方减四， x 减四，加四， x 加八，加一等于负， x 方加五。平移后的抛物线与圆抛物线相交于点 d， 那我们下意识就想求出点 d 的 坐标，我们来求一下，也就是两个方程组连立呗。 y 等于负， x 方加四， x 加一和 y 一 等于负， x 方加五，四 x 加一等于五，四 x 等于四， x 等于一。往 y 一 里面带简单， y， e 等于四，那么一点坐标就是一四点。 e 为圆抛物线对称轴上的一点。圆抛物线的对称轴是什么呢？ x 等于负的二， a 分 之 b， 那 就是负的负二就是二，二分之四就是二。 f 是 平面直角坐标系内的一点，那你就是没有限制 f 必须在哪条线上， f 任意了。当以 b、 d、 e、 f 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 f 的 坐标，那我们也需要计算。既然这个菱形以 b、 d、 e、 f 为顶点， 那么也就意味着这个菱形有两种可能，第一种可能呢，就是菱形以 b、 d 为边。第二种可能就是这个菱形以 b、 d 为对角线，这么画一个菱形，那我们先来看它以 b、 d 为边的情况。 b 点坐标是零一 两点间的距离公式，根号下以减零的平方加上四减一的平方 等于根号，下一的平方加三的平方等于根号十，也就是这个菱形的边长是根号十。画第一种情况，以 b、 d 为边，我们想找出来另两个点，我们知道 e 在 圆抛物线对称轴上，也就是在 x 等于二上，我们怎么找呢？ 我们想到了尺规作图，我们用圆规，用圆规，那我们以哪个点为圆心呢？我们先以 b 点为圆心， 以 b 为圆心， b、 d 长为半径画圆，这个圆与 圆对称轴 x 等于二，交于相交的点就是 e 点。我们来画一下，我们发现它与对称轴呢交于两个点，我们设这两个点为 e 一 和 e 二。那么我们怎么去做菱形？我们就是做 b、 e、 e 的 平行线， 拿着你们那个直尺做平行线的标准尺规作图的方法，过点 d 做 b， e 一 的平行线，这个点 就是 f 一 点。我们再来画下一个，也就是说连接 b e 二过点 d 做 b 一 二的平行线，比如说它在这儿就是 f 二点， e 连结，那我们求 e 一 和 e 二点的坐标，就是用这个圆的方程和抛物线的方程连立。我们知道圆心是 b 点，那就是 x 减零的平方加上 y 减一的平方， 半径是根号十等于十，也就是 x 方加上 y 减一的平方等于十。圆 b 的 方程。这个轴呢？ 十 x 等于二，连立一下，就是将 x 等于二往里代入，就是四加上 y 减一的平方等于十， y 减一的平方等于六。 y 减一等于正负根号六。 y 一 等于一加根号六。 y 二等于一，减根号六，所以 e 一 点的坐标就是二一加根号六 一，二点坐标就是二一减根号六。这时同学就会说，老师，人家说求的是点 f 的 坐标，你求点 e 干什么呀？这块教大家一个小技巧。我们看，因为 b 点零一 到 d 点一、四，它是横坐标向右平移啊， 一个单位纵坐标向上平移三个单位，由于菱形的四条边相等，你想求 f 一， 是不是只需要 e 一 像 b 一 样移动就能得到 f 一 啊？因为 b、 d 和 e 一 f 一 是平行的，所以我们知道 e 一 是二，一加根号六，所以 f 一 它就是 二加一，一加根号六，加三，也就是三四加根号六。而一二呢？二一减根号六， 向右移一个单位，那就是二加一，三向上移三个，那就是一加三四四减根号六。 我们就求出了 f 一 和 f 二的坐标。我们再来看，以地点为圆心的时候，以 b、 d 为边，以 d 为圆心， b、 d 长为半径， 画圆与圆对称轴， x 等于二，交于地点是一、四，在这儿交于交于 e 三、 e 四两点，我们连接 d、 e 三与 r、 d 的 方程是。 地点的坐标是一四，那就是 x 减一的平方，加上 y 减四的平方，等于根号十的平方，也就十 与 r、 d 又是 x 减一的平方，加上 y 减四的平方得是。而原来对称轴是 x 等于二连立，那就是一加上 y 减四的平方等于十， y 减四的平方 等于九， y 减四等于正负三， y 三等于七， y 四等于一。所以一三是二七， e 四是二一。我们仍然说过点 d 作 b、 e 的 平行线，我们需要验证 b、 d、 e 是 不是在同一直线上，那么我们就要看它们的斜率是否一样， 因为 b 点零一， d 点是一四， 一三点是二七， b、 d 的 斜率呢？纵坐标差比横坐标差就是三，而 d、 e 三的斜率呢， 是七减四，比上二减一也是三，斜率相等。所以 b、 d、 e 三三点共线， 那就没有 f 三了。所以我们再来看 f 四，我们连接 d、 e 四，过点 b 做 d、 e 四的平行线。那么此时我们想求 f 四的坐标，还要跟刚才一样， 但刚才我们是以 b 为圆心，找 d 的 时候去看 b 到 d 如何变化，但现在我们是以 d 为圆心，那我们就看 b 到 b 是 怎样变化的。地点一四到 b 零一是 向左停一一个单位， 向下平移三个单位，所以 e 四二一向左平移一个单位，就是二减一，一向下平移三个单位，就是一减三负二。我们现在以 b、 d 为边， 我们讲到的技巧就是求点坐标时，可以利用平移来求，以及要注意三点共线的情况。我们再来看以 b、 d 为对角线的情况。 地点坐标为一四，连接 b、 d。 既然以 b、 d 为对角线，我们知道菱形的两条对角线互相垂直且平分，那么 b 点的坐标是零一， d 点坐标是一四。我们设 b、 d 的 中点为 m， m 坐标就是横坐标和的一半二分之一，纵坐标和的一半二分之五。我们只需要过点 m 作 b、 d 的 垂线，它与圆对称，轴 x 等于二的交点 就是 e 点。而相对应的，我们连接 d、 e 去做 b、 f 平行于 d、 e 这个点就是 f 点。我们知道两直线垂直，它们斜率的乘积就是负一，那么 b、 d 乘以 e、 f 的 斜率就是负一，而 b、 d 的 斜率呢， 是 d 点的纵坐标减 b 点纵坐标比上 d 点，横坐标减 b 点，横坐标，也就是三。所以 e 五 f 这条直线的斜率就是负三分之一。我们同时还知道 m 点的坐标，所以 我们设 e 五 f 五这条直线。解析式为， y 等于负的三分之一， x 加 b， 我 们代入 m 点，二分之一，二分之五， 也就是二分之五等于负的三分之一乘以二分之一加 b， b 就 等于二分之五，加六分之一等于六分之十五加一，六分之十六， 也就是三分之八。 e 五 f 五这条直线就是 y 等于负的三分之一， x 加上三分之八， 我们连立 e 五 f 五这条直线和圆对称轴，只需要将 x 等于二往里带，那么 y 就 等于 y 就 等于二，所以 e 五的坐标是二二， e 五的坐标是二二。那么我们想去 f 五的坐标，我们看 e 五到 m， m 是 终点， 它是怎样移动的，它是向左平移二分之三个单位， 向上平移二分之一个单位， 所以你用 m 去平移，得到 f 五二分之一减二分之三是二。负一二分之五加二分之一是二三。此时我们就把 f 点的坐标都求出来了，分别是三四加根号六 三四减根号六一负二 以及负一三。第三问，需要截图的同学请截图。第三问，我们需要注意的就是分情况，讨论 b d 到底是边还是对角线，以及 是否存在共线的情况和求作标识的小技巧。那我们今天的课程就到此结束啦，我们下次见！
23数学EZ老师
01:01查看AI文稿AI文稿中考数学最难的亚洲答题就这八道，从现在开始练起来，湿透了，考试直接躺赢！一，二次函数的最值问题二，取值范围问题三，二次函数与相似三角形。四、最值问题 五，二次函数的图像与几何综合六，公共点问题七，二次函数与一次函数的交点问题八，存在性问题，自己不会练，家长也不会教。可以用这套叠变的中考数学亚洲题， 包含了中考数学能考到的所有亚洲题。像二次函数与相似三角形各个知识点的综合运用，很多孩子一看题就蒙了，他直接把解题方法、答题步骤以及涉及到的考点在原书上标注的清清楚楚，一步步教孩子踩准得分点 关键。就连新情境、新考法也都整理好了。以下传统文化题、数学文化题、跨学科融合题等等，这可是中考的风向标，把考点和题型提前吃透， 上了考场就像回家一样熟悉。另外还有新定义问题、创新题，让孩子提前适应考试强度，考前用好这套书，中考数学就是小菜一碟。交友初三生的啊，抓紧安排上！
226浩之有想法
05:22查看AI文稿AI文稿又是一道逆等线加动点坠直问题，这个题型的重要程度周老师在前几期视频反复强调，在这里就不赘述了。动点坠直加上逆等线这个重要题型，他们两个结合又能碰撞出什么样的火花呢？ 来看今天这道题，我们说逆等线。首先来讲什么是逆等线模型。逆等线模型最主要的特征就是有两条相等的线段，并且这两条线段不在同一条直线上。那逆等线题型我们怎么去解决它呢？一共有两种方法， 第一种我们最常用的就是平移，第二种方法就以相等的两条线段为基础，构造全等三角形。无论是平移也好，还是构造全等三角形也好，最终目的都是让我们将目标线段的 一个端点重合在一起，从而使两条线段呈现出共线的趋势，然后用两条线段相加最小和的本质问题去解决它，也就是两点之间线段最短，点到直线的距离，垂线段最短。好，我们看今天这道题， 正方形 a、 b、 c 的 边长为二， m 是 b， m 等于 cm， ef 分 别是 a、 b、 c、 d 边上的动点，且 ef 垂直于 am， 求 em 加 af 的 最小值。那我们说 逆等线得有两条相等的线段，并且这两条线段不在同一条直线上。那这道题相等的线段除了正方形的四条边之外，还有什么呢？这道题的第一个知识点就涉及到了一个什么模型， 十字架模型。来，我们看什么是十字架模型？说在正方形 abc 这种有两条线段，而且这两条线段的端点一定是在正方形边上啊，两条线段相互垂直，那么这两条线段一定相等，怎么正 来，我们说我过 f 点做 f h 垂直于 ab， 那 么 f h 一定等于 ab， 这个没问题吧？来我们再看 垂直的话，角一加角二等于九十度，角二等于角三，角三加角四等于九十度，那么角一是不是等于角四 没问题吧？角 b h f 等于九十度，角 a b c 等于九十度，那么你是不是非常容易能证出了三角形 a b m 和三角形 f h e 全等，全等了之后，那么 e f 等于 am， 那 么第一个问题我们就解决了，通过十字架模型，我们找到了两条相等的线段，那接下来我们怎么做呢？那我们是用平移呢？还是用全等呢？我们看 让我们求 em 加 af 的 最小值，我们先用平移看看能不能使我们的目标线段的一个端点重合来，那我平移 em 到这可不可以我们平移 em 这 f g， 那 此时我一连接 f g， 那四边形 e m g f 是 不就是平行四边形？因为 f g 平行且等于 em， 那 么四边形 e m g f 就是 平行四边形，平行四边形中 e f 就 平行且等于 m g， 然后你再看两条直线平行，这个位置有个垂直 am 垂直于 mg， 然后你再看两条直线平行，这个位置一定垂直于 mg， 同时 am 等于 ef， 那 这里 am 是 不是就等于 mg？ 由于 mg 是 我从 em 平移过来的， m 还是 b c 的 终点，那么 m 就是 定点，定点之后我给它平移到这，那 g 点一定是定点， g 点是定点， a 点是定点。让我们求 af 加 e m 的 最小值，那现在是不是就转换成 a f 加 f g 的 最小值，而且两个定点两点之间线段最短，此时我只要连接， 那么 ag 就是 我们要求的 em 加 af 的 最小值。来，我们往下继续。 ab 等于二， bc 等于二， m 是 终点，那么 bm 等于一， bm 等于一， am 就 等于根号， mg 就 等于根号五，那 ag 就 等于根号，二倍的 mg 就 等于根号十。周老师这道题讲明白没有？ 好，这道题就讲到这，如果你有动点坠职问题或者几何压轴题的问题，可以评论区留言或者私信周老师，我们大家一起探讨解决。这节课就上到这，更多精彩内容，我们下个视频见。
121周～先生
00:57查看AI文稿AI文稿中考数学最难的亚洲答题就这八道，从现在开始练起来。一、二次函数的最值问题二，取值范围问题三，二次函数与相似三角形四、最值问题五，二次函数的图像与几何综合六，公共点问题七，二次函数与一次函数的交点问题八，存在性问题， 自己不会练，家长也不会教。可以用这套蝶变的中考数学亚洲题，包含了中考数学能考到的所有亚洲题，像二次函数与相似三角形各个知识点的综合运用。很多孩子一看题就蒙了，他直接把解题方法、答题步骤以及涉及到的考点在原书上标注的清清楚楚，一步步教孩子踩准得分点 关键。就连新情境、新考法也都整理好了。以下传统文化题、数学文化题、跨学科融合题等等，这可是中考的风向标，把考点和题型提前吃透，上了考场就像回家一样熟悉。另外还有新定义问题、创新题，让孩子提前适应考试强度，考前用好。这套书要有初三生的啊，抓紧安排上！
181浩之有想法
