二五年北京中考一模房山数学几何综合
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11:05查看AI文稿AI文稿好，我们来学习房山一模的几何啊。首先读题，他说 a、 b 等于 a、 c， 然后 a、 d 还垂直于 b， c， a， b 等于 a， c、 m， 这不咱们常说的吗，得二三角形三线合一， 中间有一个垂直，那么 d 就是 一个中点，然后被长的话， a、 b 被长也可以成为一个中位线， 把这个终点，老师拿绿笔给它画出来。 ok， 继续读题，他说点 e、 a 分 别在线段直线 b、 c 两侧连接， c， e， c， e 等于二倍的 a、 d， 也就是 a、 d， 它是个一，那 c、 d 就是 二啊， c， e 就是 二。那题中反复就说了， c、 e 等于二倍 a、 d， 一定，咱们一定是要考试 中规线，背长中规线对不对？要不然你 ab 呢？往这背长，然后下来下来，这两个边相等，要不然呢，你就 a、 c 往这背长下来下来，哎，这中规线这样全等， 那继续往下看，他说了过点 e 做点 a 的 对称，点 f。 哦， ok， 我 们看到了，它是中心对称，所以 a、 e 等于 af 有 了一个中点， 那是不是很容易？咱们想到什么呀？背长中线对吧？这题啊，咱们只讲第二问啊，第一问比较简单，把图补出来就基本上答案出来了。看第二个，当点 e 不 在 a、 d 延长线的时候，用等式表示 b， c， e 啊，咱们标出来一个 b， c， e 一个 c， b， f， c， b f 在 这里，那这个时候咱们可以把它标为 alpha 和 beta， 这个时候老师说的就是用餐倒脚。那 首先别着急算，而是先把已知条件用上。咱们刚刚说了，有两个中点， a 一定是个中点， d 一定是个中点，那比如说，然后呢，咱们拿蓝色的笔来画，那这个 a、 e 呢？这是不是两相等啊？ a e 不是 等于 af 吗？ 是不是可以背长中线啊？背长中线怎么也都得背长 a， 这个点，咱们说要不背长 a c， 要不背长 a b， 那 这种情况下，老师呢，先背长一个 a c， 咱们先看看感觉啊， 这样的话，咱们稍微点 g， 那 我看一下啊，咱们拿绿色的 b 直接把 b g 连起来， 因为肯定要中卫线嘛，这是咱们肯定的，那是不是就给封上了？为啥呀？因为 e f 啊， a e 等于 a f 被成中线了，然后呢？ a c 还等于 aj， 那 咱们直接封口呗， f j 一 就封口，那是不是出全等了？ 这块和这个 a、 e、 c 是 不是直接出全等？同学们，那当这两个三角形出全等以后，那是不是肯定要倒角啊？ 那这是 r 法，这是 b， 它一共九十度，那么 a b g 就是 一个九十阶 b 它，而且咱刚刚说了， a d 等于 二分之一 c e c e 跟 g f 还相等，所以 c e 就 等于 g f 就 等于 b j， 那 就倒角呗，全部用条件去贴结论， 条件不断传染啊。所以这块 g f b， 那 一定也就是九十度见贝塔呗，那中间这个角，它就是二倍的贝塔，那 r 法在这 怎么跟它产生关系呢？那因为有一个全等，所以呢，这块啊，这个 a c b， 咱们设为一个伽马， 设为一伽马射线伽马。那么内侧角 f g c 这个角啊，我拿红笔写 f g c， 那 它就是一个 阿尔法加伽玛，那是不是出来了？那 f g c 是 阿尔法加伽玛，那跟这个贝塔还掺和不到一块是吧？咱们来看一看啊，如果掺和不到一块的话， 这种情况下，因为阿尔法在北塔中间，咱也不能说这个这条线它平分啊，咱没有依据啊。所以说不能说阿尔法在伽马等于一个北塔，那咱们把这个角变出来 b g c， 那 b g c， 因为这是个直角的话，这是直角， 然后这个角 c 是 伽马，那也就是这个 b c c 就是 个九十度减，这个时候肯定就不加贝塔加伽马，对不对？ ok， 那 现在我们就知道了，是不是能列出来了，等式二，贝塔就等于阿尔法加伽马， 再加上一个九十度减干嘛？那是不是二 a， 它就等于九十度加二，那他俩的数量关系就出来了，那角 b c e 加上一个 九十度，是不是等于二倍的三角形 c b f， 所以 这道题提示咱们什么呀？就是如果遇到一个角度关系的时候，你比如说常见的，咱们说这个，呃，两边呀， 是不是能算出来相等二倍，是不是都能很好看出来？那比如说要三边的数量关系，或者说咱们角度关系，那就别瞎猜，而是根据条件梯级论 啊，去不断倒兵倒将，去正出来求他们的等量关系。因为咱们说了，这个终点八中斜三嘛，而且这两个已经是个终点，会构成中位线，所以咱们再换一种条件，再正一正试试啊。 也就是说朋友们，你在考场上的时候，当你如果向右背长呢，咱们依然是能做出来的，所以说就千万别着急啊。 ok， 咱们先梳理下条件。第一个， 嗯，这个 a e 是 不是等于 a f， 这是咱们知道的，他俩做对称了吗？而且这个 a d 他 肯定是个中位线，所以毋庸置疑，咱们就肯定延长 a b 嘛，延长 a b 到这儿的话，比如咱们设点 h， 那 ab 是 不是就等于 a h， 这样的话，咱们肯定要把 c h 连起来，老规矩， 稍等啊。 嗯， ok， 那 连起来以后呢？因为这是被长中线，所以说 h c b 它就是一个直角，咱们还是来表示呗。 b c e 用 r 法，那么这个 刚刚说那个角 b c 还有个 c b f c b f c b f 在 这，那是不是同时倒过来了？倒过来这 c b f 是 北塔， 那么 a g c 啊，因为这被长中线了，对，然后差个被长中线，所以咱们连接了一个，这样再换一个啊， 换一个紫色的，因为咱们非常中线，换了个条件，所以这个 e h 它们相连，它们相连以后，它不还是全等吗？是不是还是正了个全等？ 被上中线出的全等，那这样的话，咱们就好倒边了啊。因为 fbc 是 一个角， b， 它那么平行过来以后， h 也就是 hd h， 比如这是 m 吧，这没点 hmc 这个角呢？这就是个 b， 它这样你是不是好连接啊？ 因为咱们得知道 a d 呢？它是等于二分之一 c e 的 c e 不是 等于 c h 吗？所以你肯定得往这靠呀，这两个是等边呀，肯定有倒边的情况。又因为这个 h c b 是 九十度， 那么这个 e h c 呢？就是九十度减去 被它， ok， 那 么 h e c 呢？也就是九十度减去， 那还是求出来一个等零关系，那也就是说这个 h c e 这个大角就等于一百八十度减去 h e c 减去 e h c 这个角，所以咱们直接就列式了。那 h c e 这底下有啊，一百八十度减去这两个角以后， h c e 是 阿尔法，加上一个九十度，这咱们是可以明白的，对吧？ 一百八十度减去九十度减贝塔，再减去一个九十度减贝塔，应该就等于二倍的贝塔，然后跟咱们刚刚结论一样，所以呢，角 b c、 e 就 加上九十度就等于二倍的角 c、 b、 f。 好， 那这道题就讲完了，咱们来回顾下这道题啊， 这防山一模的几宗。首先啊，第一个角度别乱猜，一乱猜容易影响你的思路跟判断。第二，大家一定要学会读已知， 已知才是咱们解题的关键。当看到 ab 等于 ac 垂直的时候，一定是等腰三角形，等腰三角形一定有三线合一，三线合一一定会藏着中位线 对称，中线八中斜三啊。第二， c、 d 等于 c， e 等于二 a、 d， 这样的话一定是，要不然你得找出来 c、 e 的 关系，要不然得找出来 a、 d 的 关系，让它们相等，只要有相等就会出等腰。第三，有了对深点，是不是咱常说的啊，老师常讲的这种， 如果有一点哎，比如这个点 b 它是中点，这两个边相等，那是不是一定会对称呀？ 哎呀，背长中线背长过来以后，那这三角形是不是全等了呀？构成全等三角形，它一定会出来。最后，因为咱们要求这个两个角的数量关系，所以这个时候咱们一定要学什么呀？学的是射餐标角来倒角哎，一是把条件协商，条件是咱们做副主线的关键。 第二，射餐标角是咱们依据条件来把角度尽可能全染到整图，让他们构成什么样等量关系？因为一旦出现等量关系以后，那这个角度的问题其实也就由人而解了，好吧？那这道题咱们就讲到这。
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11:52查看AI文稿AI文稿好，那我们今天来看防晒一膜的代数综合。首先来读题，点 a 一 逗号外一，它是抛物线上一点，然后点 b， a 加二，逗号外一呢？ 他是点 a， 点 b 不 重合，所以我们要知道的，点 b 他 是在抛物线外一点，而且他们俩的纵坐标是一样的，所以他的横坐标肯定都在一个横轴上呗。而且告诉我们， a 加二是不等于一的，因为他不重合吗？所以 a 等于负一。 看第一个，他说抛物线对圆轴，那不就是负的 a 分 之 b 吗？所以算出来 x 应该等于 a 啊，这很简单，这看第二个， 当线段 a b 抛物线尤其只有一个公点的时候，尤其只有一个公点，那不就像之前常考的公点问题吗？那还是那句话，首先画图啊，把图画出来，咱们才能表示出来。那有些同学说了，他说 咱们比如说咱们先画一个开口向上，那对称轴为 a 的 时候呢？ a 加二一定是在右边，对吧？但 a 的 坐标呢？ a 坐标是一啊， 那这个 a 的 坐标它在哪比较合适啊？现在这图是不是画不出来啊？那咱们就是别着急啊，要寻找确认点， 那只能是要不然这个 a 要不然在对称轴的左边，要不然 a 呢？对对称轴上，要不然 a 就 在对称轴的右边，那一个一个确定呗。那比如说，先说第一个，如果 a 呢，它在对称轴的左边，那咱们该怎么算？ 那第一种情况，也就是 a 大 于一的时候，那么 x 等于一是关于 应该是对称轴， x 等于 a 对 称过来，它的点是二， a 减一，对不对？那所以它对称过来是二， a 减一的话，因为 ab 就 一个公点，那这个 b 它再怎么动， 他是不是不能超过这抛物线？抛物超过抛物线是不是两个点了？他是不是只能再抛物线一回啊？所以那这个横坐标呢？这个 a 加二是不是一定是小于二？ a 减一的，咱们列式 这样，我们直接可以算出来 a 是 大于三的。那第二种情况，咱们就说那 a 在 右边呢？ 还是画出来的抛物线？ a 在 右面，对称轴 等于 a， 那 这个时候 a 一定是小于一的，而且等于一行不行， 是不是也可以？这两种情况是可以并一块的，那如果这样的话，你看这个 b 在 哪？ b 肯定是在对称轴的右边，所以咱们就发现了他肯定在这，对不对？他无论取哪，取到 函数图像里边还是图像外边，是不是 ab 只能和这个二次函数有一个交点？所以咱们只需要确定的是 a 加二，也就是 b 的 这个点，他应该是不等于一即可，为什么呀？因为他只要不跟 a 重合，那他这个线段一定会与二次函数相交点，所以 a 是 不等于负一，对不对？那当 a 在 这个坐标轴上的时候， 那时候 b 在 这是不是也可以？所以说他们又一并讨论 a 小 于等一的时候？所以最后咱们都出来情况了。第一种情况是不是 a 大 于一和 a 大 于三吗？同大取大，所以说是 a 大 于三或 a 小 于等于一，且 a 不 等于负一，这个时候一定要写清楚啊。那要看第二个，他说在一的条件下，在一的条件下， 过点 b 做 x 轴的垂线，交抛物线一点 c， e 的 条件下要注意。第二个就是交抛物线一点 c， 然后顺 b c 延长 a 的 扩大增大，这不就是跟咱们常考的这个增减性的问题吗？还是要画图，咱们呢先把这个方法拉下来啊， 画这个图怎么画呢？首先先把图画出来，咱们才能好表示嘛，所以圈挂一圈二，咱们把这去掉，这写成一个二角形，对吧？ 好，那圈二的话，首先第一种情况呢？是不是咱刚刚说的 a 在 左边啊？如果 a 在 左边，那么 b 在 右边，他说了是过点 b 做 x 轴，对称轴交勾形点 c， 那 么这个 b 是 不是在这上边， c 肯定在下边。 那第二种情况呢？哎，这个 b 应该在这， b 不是 横着的吗？ b 应该在这，那交抛物线是不是交在这？第二种情况呢？这 a 在 右边呗，当 a 在 右侧的时候，比如说 b 在 左侧， b 在 这里的话， c 就 在这，那还是那就知道了，那还是 bc 的 长随着 a 增大而增大。首先咱们就得把表示 b a 表示出来嘛，因为式子表一切嘛。 ok， 那 就表示呗，因为咱们不知道它是谁上谁下，所以说应该是绝对值的 bc 它等于什么呀？还是咱说的就是 y b y c 减 y b 呗，都套绝对值了， 那 y c 呢？ y c 等于什么呀？ y c 是 不是它横坐标一样？横坐标是不是 a 加二啊？ 对吧？因为它不是过点 b 做的吗？点 b 横坐标 a 加二吗？那它带出来的 y 因为 y 一 y 轴都一样，所以 a 加二，直接带进去是不就可以了？所以 y c 呢，它就是带进去的值， 就等于括号 a 加二的平方减二， a 平方减 r， a 括号 a 加 r， 这样直接带你就行，再减去一个 y b， 那 y b 其实是什么呀？ y b 在 这表示的其实就是 y b 的 横坐标也是 y e， 那 y e 的 话，那其实它不是也是 y e 吗？就减 y e 吧。 好，那咱们就是减 y 一， 那 y 一 其实就什么呀？ y 一 是不是也就是这个一啊，对不对？那也是把这个一带进去，是不是也能把 y 一 求出来， 所以直接取值带进去，所以说应该是把它展出来，是 a 方加四， a 加四，然后 y 一 应该是减去 二， a 减四， a 减一加二 a， 哎，这样的话是不是全出来了，哎， x 方， ok， 这样的话咱们合并一下，那就是负 a 方 加上二， a 减三的绝对值，这样的话还是一下就到咱们熟悉的情况，把符号提出来，就变成了十字相乘， a 加一和 a 减三，这样是不是算出来它与 x 轴交点了，是 a 等于负一， a 等于三。 ok， 知道交点以后还是要画图来表示向量数，这样画图啊，因为是 a 小 于零，所以开口向上。 其次，一个焦点是在负一，一个焦点是在三，那么横轴标线标出来， 因为它是绝对值，所以下分上。所以呢，那我们来看它其实表示哪个点是表示的这个老师画蓝色笔的点，但是人家又说了，它是在 a 圈一的条件下， 如果是在圈一的条件下，圈一的条件是什么呀？是不是 a 大 于三或 a 小 于等于一，且 a 不 等于负一样，所以咱们来条件标一下， a 大 于三。老师拿绿色的笔，是不是在这半部分还有一个 a 小 于一，比如说这画一个一吧， 这是个一的话，那也就是说从这条线开始，而且不等于负一，所以这画空心剩下的画蓝笔，也就老师画蓝笔的这个部分， 题目上他说了，说是随 a 的 增大增大，也就外随 x 的 增大增大呗，那咱们就可以判断出来了吗？那 a， 首先他就是要大于负一小于一，对不对？中间这是一，第二个 就是 a 或或 a 大 于三。 最后咱们要进行取等确认和前提确认。取等确认，首先来看一下啊，因为它是不带负一的，所以说 a 大 于负一，不用带等于号。第二个因为它是 y， x 增大增大它就等于一，是不是也是增大的呀？ 所以说他这个一是可以带等号的啊啊，老师纠正一下啊，这个因为这个 a 呢，他应该是在负一和三的中间，这样的话他应该这是一个最高点， 所以一是一个最高点，最高点的话，它是可以等于一的，因为这段距离它是不是增大而增大，当它等于一的时候，它仍然是增大而增大，增到了一个顶点了，对不对？还有一个就是 a 大 于三，因为它本来就不带三，所以咱就不用再等于，所以最终答案 就是它最终啊。 ok， 那 咱们来回顾一下第一个二次函数啊，首先就是要画图 啊，开轴点，开轴点，首先要画图，你只要把提议了解清楚了，把他特特意关注的点咱们分析清楚了，一个在抛物线上，一个呢没在抛物线上，但是呢，他俩横坐标都在一条直线上，因为外轴相同嘛。 第二，他只要问有没有什么公共点，不管他怎么问，一定是要画图，而且如果遇到不确定性的问题话，咱们刚刚说这 a 是 一，那这个 a 大 a 点 a 的 坐标横坐标也是一，怎么判断？就要寻找确定点，把它对称轴 a 的 这个点确定了以后，那他大 a 点 a 的 坐标是不是也确定了？第二圈二的情况下，只要 抛物线垂直于点 c 什么增大，增大的时候一定要怎么样？还是要画图，你只要画出来图，那这个柿子就列出来一半，因为你只要确认掉，你才能拿柿子出来表示，拿柿子出来表示以后增大，增大，那就是咱们老生常谈的 画出绝对值的图，再把星函数的图像画上，因为咱们有了 x 轴的焦点坐标，所以咱们下翻上，再根据圈一的条件来寻找取值范围，最后要进行取等确认和前提确认 即可。好吧，同学们每道题型呢，考察是千变万化，但是知识点呢？还是那么几个，大家呢？把几类的问题归零到一块，用一些共用的思维去探索一下代数综合，好吧，嗯。
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04:39查看AI文稿AI文稿牛哥一直在说，确定性才是解决考试问题的核心，刚结束的防晒一摸，其实难度很小了，咱们就重点来看一下这道题的确定性路径是什么？对于几何综合来说，确定性路径无非有三个，图形，操作与结论。 对于这个题来说，图形和结论啊，图形和结论并没有太好的路径， 这个一眼就看出来了。然后接下来这道题就只剩操作了，而操作又分为对称、旋转与终点，哎，你看是不是很完美的路径啊？正常的几何综合图形，操作与结论，然后操作对称，旋转与终点，这里边没有啊，有对称吗？有对称，但是这个对称对称出来是终点， ok， 好， 那么这个地方实际情况就只有终点这一条来，在后座里面只有终点这一条点， a 是 e f 终点。那么对于这个终点，我们如何去用呢？很简单，背长中线，我们直接背长，最简单的四个口诀是不就是背长， 倍长之后我们就会发现，哎，啊，倍长 c a 到 g， 我 们就发现这个有什么啊，有中位线就出来了，是不是，哎， a d 二倍的 a d 平行且等于 b g， 那 么这个出来之后是不是就是就是 b g 就 等于了 c e 啊， ok 吧， b j 等于 c e， 哎，这道题是不是到这个地方就结束了，哎，就很完美，这个题你做题的方式就很确定，非常完美。 然后接下来就是纯粹倒角了，哎，接下来你不要看牛哥在这叭叭叭叭讲，看实际情况，我倒角切倒了一会呢啊，我个人认为对我来说难度最大的就是倒角， 好怕啊。接下来你会发现我做题会很倒角，倒的很经典，实际并不是这样的哈，实际并不是这样，实际就是我花了好多时间去倒， ok， 好， 题目说是这样的啊，这个地方 啊是 b， 这个地方是 c 啊，我就这样标吧，问 b 和 c 的， 呃，数量关系 好，我们背长中线得到的结论是不是三角形？我写在下边，三角形谁呢？三角形 a， c， e 全等于三角形 a， g， f， 那 么是不是也就这个角也就做出 角 a， g， f 就 等于角 a， c， e 啊？ c， e 等于 c 加什么？我把这个角记作角 a， c 加 a， 好吧，这是 c 加 a， 然后，然后你看这个 c 和 b 没有显然的联系，但是 b 处有垂直，是不是 b 处这个位置有垂直？ ok， 有 垂直的话，哎，这个垂直缺了一个角是吧？缺了一个是吧？缺了这个角，这个角是多少？ 然后我们去找这个角的时候，这个角是不是，哎，就涉及到等腰啊，也就是角 f b g， 涉及到等 腰啊，等腰 g b f， 那 g， b， f 等要求底角的话，得需要顶角，顶角这个 b， g， f 缺点啥是吧？哎，缺了这个这一部分，这一部分啊，又在谁里边？又在三角形 c， b， g 里边，所以这个地方是九十减 a 是吧？直角三角形 c b， g 里边九十加 a， 所以 对上边这个 g 就是 九十加 c， 九十加 c， 那 九十加 c， 哎，那么这个底角就出来了，这个角 g b， f 是 不是就是一百八减去九十加 c， 九十减 c 除以二？ 好，所以答案是不是九十减 c 除以二，加上这个小 b 等于九十度啊，所以二 b 减 c 等于九十度啊，这就是答案啊。那个把 b 和 c 替换一下，替换这俩角就行了是吧？啊，分别替换一下。 所以这道题路径很简单。方法很简单。方法很简单，就倒角太复杂。 不，还是那句话，不要看我在这捣的很顺畅不要看很多老师捣的很顺畅，其实这个地方且花时间呢。 好吧，那就是伤害。呃，伤害性不大，侮辱性极强。好，那么这个题就说这些视频的最后呢？我这有一个，有一个公益课啊，讲解几何做辅助线的。啊，周日晚上。
11:11查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下刚考完的二六防山一模的带宗，那么这道题是结合了前几年非常火的考点，公共点的问题， 又结合了这两年非常火的考点，就是研究线段的长度的问题，所以在做这样的题的时候，它的综合性很强， 那么我们就要把之前的知识也再好好的啊捋一遍，争取就是他们问什么我们练过什么啊，我们一起来看一下。呃，在平面直角坐标系中，点 a 一 到 y 一 为 抛物线， y 等于 x 的 平方减二 a， x 上一点，点 b 的 坐标为 a 加二到 y 一 点 a 与点 b 不 重合。来，孩子们， 这句话太重要了，点 a 和点 b 不 重合，其实立刻告诉我们了一个范围呀，就是 a 加二，它是不能等于一的，对吗？所以 a 就 不能等于负一，哎，这个大前提我们要贯穿整道题啊。 第二个，我们再来观察一下这两个点啊，这两个点的纵坐标全是 y 一 啊，说明这两个点是不是在一条横线上啊，对吧？哎，这也是我们分析出来的。 第三点，就是太容易犯错的地方了，请问告诉你点 a 是 抛物线上的点了吗？ 题中告诉我们了吗？并没有啊，对吧？所以说在这里啊，你可不能直接去把点 b 在 抛物线中就画出来了，那就错了啊。好，那么我们来看第一问，求抛物线的对称轴，哎，还是老三样，先看开口，开口向上 对称轴呢，就是 x 等于 a， 并且抛物线是过定点零逗零的。然后我们直接来看括号二，连接 ab， 当线段 ab 与抛物线尤其只能有一个公共点时，直接写出 a 的 取值范围， 线段与抛物线，尤其只有一个公共点，那他是一个什么样的状态呢？这是一个抛物线，是不是我的线段只能穿过这条抛物线，并且这个点是不能到达抛物线的这边的，对不对？ 还有是什么状态呢？就是横切的状态，哎，那么这两个状态就是抛物线与直线只有一个交点的啊。那好，接下来我们现在要开始把抛物线画出来了，开口向上，对称轴为 a， 我 要开始标点了。 首先我能确定的是什么呢？点 b 啊，他的横坐标是 a 加二，咱们的对称轴是 x 等于 a， 所以 我的点 b 一定是在轴右的，对吗？点 b 一定是在轴右的，但是 不能是对称轴啊。好，接下来呢，我们再去看。一应该画在哪里呢？ 一是在轴左还是在轴右，你知道吗？不知道。那不知道的时候就要分类讨论，一可以在轴左，一可以在 轴上，呃，就是这个对称轴这条线上，呃，另外呢，一还可以在轴右，所以我要分三种情况去讨论啊。第一个假设，哎，这个点 a 一逗 y 一 就在这里。然后呢，我想让 ab 啊，他只有与抛物线只有一个公共点，那你看现在是不是这个公共点就是这个点 a 呀？ 那说明我的点 b 应该怎么样呢？他一定是在轴右的，那么点 b 可以 在这里，可以在这里。 我们看，如果点 b 在 这里的话，那是不是我的这条线段就与抛物线有两个公共点了，对吗？那不符合，所以我的点 b 一定是在哎，这里的，对吗？不能超过这个点 是不是？所以我就可以列示了啊。首先的范围是什么？ a 是 大于一的，因为一在轴左，我的第一个分类讨论啊， 好，那么现在 a 加二就在这里，我想让它不超过这里，所以我需要把这个点的坐标给它算出来，那么也就是二倍的对称轴减去一就得它，也就是二， a 要减去一， 那么我的 a 加二不能大于这个点，所以也就列出来式子，就是 a 加二要小于二， a 减一，那么负 a 呢，也就小于负三， a 要大于三。哎，我第一个取值范围就求出来了啊，好， 我们再看第二个，也就是当我的这个一啊，他就在这个顶点这呢，那抛物线是不是此时就变成了一啊，对吗？也就是 x 等于一了啊，这就可以改成 x 等于一了，那我们看，因为 a 加二一定是在轴右的，对吗？随便一点，我们看，你无论 a 加二在哪里，哎，我们的 a b 永远都与抛物线是只有一个公共点的，对吗？所以当 a 等于一的时候是可以的，对吧？哎，好了，那么接下来是满足的啊，接下来我们再看下一种情况，就是，就是我的这个一啊，是在抛物线的右侧， a 要小于一， a 小 于一的时候，哎，我们的 a 加二呢，它可以在这里，也可以在这里， 那我们去看看它应该是在哪里呢？是不是它一定是在对称轴的右侧呀？右侧的所有点，无论你这个点 a 加二在哪里，哎，它和我的这个点 a 一 连线， 都会与抛物线只有一个公共点，对吗？所以 a 小 于一，他也是横成立的啊。那么最后我们就得出了什么样的范围。综上所述，就是 a 要小于等于一或 a 要大于三，并且呢， a 是 不能等于负一的啊，大前提贯穿整道题，那么圈一我们就做， 我们来看第二问，在圈一的条件下，什么叫圈一的条件下呀？就是我们要用到圈一的结论啊，我们所有的题都要去符合圈一的结论，哎，这叫在圈一的条件下好 过点 b 做 x 轴的垂线，交抛物线于点 c， 若线段 b c 的 长随 a 的 增大而增大，求 a 的 取值范围。 这不又到了我们最熟悉的求研究线段长的问题了吗？对吧，研究线段长，我们就要把 b c 去表示出来，线段 b c 的 长度就是点 b 和点 c 的 纵坐标之差。 哎，那么点 c 在 抛物线上，所以，并且呢，它是过点 b 做 x 轴的垂线，所以点 c 的 纵，这这个横坐标也是 a 加二， 我只需要把 a 加二代入到我们的抛物线中，就能求出 y c， 最后整理一下，就是负 a 的 平方加四，那么 y b a y b 它也不在抛物线上啊，那怎么去表示它呢？ 我们去看啊，因为前提告诉我们了，这个点 a 和点 b 它的纵坐标是一样的，那么既然我 y b 表示不出来，那我就用 y a 表示出来呗，对不对？因为 y a 这个点 a 是 在抛物线上，也就是我需要将 呃，点 a 的 横坐标一带到抛物线中，那么它的这个 y b 是 等于一减二 a 的， 因为不知道 bc 谁上谁下，对吧，它们是动的呀，所以我需要在表示线段的时候要加绝对值啊。 呃，也就是 bc 的 绝对值等于 y b 减 y c， 整理一下就变成了一个关于 bc 的 新的函数， 然后我们要去研究新函数，我们就要去画新函数的图像，那么画新函数的图像一要注意开口， 二呢要求出这个新的抛物线与 x 轴的交点。第三个就是我们要进行下翻上 啊，因为是有绝对值的嘛，所以就是函数值是没有负数的，也需要把 x 轴下方的图像翻到上方，就变成了一个我们非常熟悉的 w 图，对不对？好，那么因为抛物线它的开口是向上的， 而且我通过音式分解可以求出，哎，这个抛物线与 x 轴的交点，一个是负一，一个是三， 那么我就画出来，并且进行下翻上好。因为它的长啊，是随 a 的 增大而增大，那么 a 的 范围是多少啊？是不是上一问我们求了， 对吧？也就是 a 它一个范围是 a 大 于三，哎，那我们看 a 大 于三的时候，是不是符合 线段？ bc 的 长随 a 的 增大而增大，这是符合的，对吧？所以这一段 a 大 于三是可以的。接下来我们要讨论的是 a 小 于等于一， 那么新函数的对称轴是 a 等于一，所以我要讨论的是轴左的图像，也就是这一部分的图像，对吗？但是孩子们一定要看好了，还有一个限制条件，就是 a 不 等于负一，所以这里哎是一个空心的， 哎，那什么时候他的 bc 的 长随 a 的 增大而增大呢？是不是就是这一部分的图像啊？对吗？也就是 a 要大于负一，他不能等于负一啊。 然后呢，他要小于等于对称轴，那么在这个区间内，哎，他是一个上升的，对不对？好，那么最后综上所述啊，最后还有一点就是 a 为什么不能取等，不能等于三。 就是 a 不是 大于三吗？为什么不能等于三？因为当 a 等于三的时候， bc 就 重合了，他们线段的长度就是为零了，所以在这里是不能取等的啊。那么这道题就求完了。
10Li OK老师
04:16查看AI文稿AI文稿来了，作为房山最懂教育的房产主播，终于让我找到最新的摸底考试成绩了，本次数据可信度极高，排名必须立刻膨胀，废话少说，我们开始！ 第十名，房山四中，城关的老牌公办初中，人数十八名，咱们买了揽星月的朋友，大概率初中会分配到这里边，备选是房山三中四中呢，靠的还会更近一点，名次也会高一些，大家注意选择。 并列第八名，良乡五中房山二中，人数，二十四名良乡五中，名字才带良乡，其实位置是在延村镇寄宿型中学山区，不少学生会分配到这边，而二中在城关的红寺区域，在城关以西，靠近西环路。这两个学校啊，成绩都相当的不错，值得夸赞。 并列第六名，铁二中朗月十二中人数，二十五名，谁都看不上你，偏偏你最争气，这一次啊，铁二中可以算是一飞冲天了，以前还说各种看不上，现在 这可是修了新校区，改了风水了，是不是非常值得称赞啊！另外，朗月十二中就不用说了，大学城北站以东，新里程、朗月、博悦府、五矿、广九这些都是新贵，可以说是啊，学著商非常平衡的区域。 第五名，北四分，人数，二十六名。怎么说呢，高中去年出了状元，虽然投机取巧吧，但六百分以上成绩仍然能排到第三，那么人才库不会太差，属于稳定发挥型。这种老牌的学校啊，如果你对孩子的教育是有需求的，综合下来，北四分永远是你孩子的最好保底之一。 第四名，清华附人数，二十九名新名字上线，长阳学校终于可以是扬眉吐气了一把，这次打上豪门啊，这一下长阳区域可以算是一门双至尊了，今年高中不能一招生，妥妥的房山新贵。我以前可真是小瞧了这个学校啊， 将来一定会成为第六实验学校最有力的竞争对手。第三名，昊天外国语，人数，三十二名。那么恭喜咱们学府润府的朋友，你们的学校一飞冲天， 直接来到了第三名，本来五名开外的学校啊，这次直接冲到了这个位置，可以说是可圈可点，但依然给你们泼一盆冷水啊，中关村三小还是没有消息，哈哈哈。 第二名，梁乡三中人数，五十五名。如果昊天是冲天，那么梁三中就是在大气层之外，西路街道的独苗，距离房山第一高中梁副最近的学校， 现在啊，咱们也改名叫做良乡附中初中部了，一加三可以直通，可以做到近水楼台先得月，最近揽星辰交房，不少人还是等着下房产证的买家欢喜卖家愁吧。第一名，良乡二中最后人数，八十七名，唯一真神， 良乡二中，良乡老城核心中的核心话外音。北路园目前也算是良乡二中的分校，因此啊，北路园的十二个人如果算进来，那可是九十九人的总数，还是非常恐怖的。如果不在意小学式行宫啊，阿宅非常推荐一个小区叫做依林俊 景辰呢，目前是归属在北路园，大家自行可以去断定啊！临捷稿了，刷到这么一个表格算了，让 ai 给咱们做一个排名，北路园那实属实的是黑马中的黑马，这个可以说是和二中合并完以后的结果吗？我觉得 可真的是不简单中的不简单。那么这次最让人跌破眼镜的就是理工夫了，人数是十四，占比是第十一，这个是好学生都去国际部了吗？现在这个年头啊，国内的教育挺好的，出国深造性价比没有那么高了，咱们也别真拿公立学校当私立去用了。好吧， 最后，咱们铁二中的朋友这次可以是大杀四方了，一百三十八人直接把高分比例干到了百分之二十。如果这是真的啊，仅代表我个人为以前宣传你们学校是差校进行道歉，实在道歉啊，差的可能是咱们的曾经，但事隔三日，必须刮目相看， 不知道今年大家的房子买的怎么样？这份资料你们是否满意？最后声明哈，数据来自于网络，不是百分之百做准，信不信你们自己去考虑。阿宅除了做一个搬运工之外， 就是给大家分享一些我自己的理解，至于你们孩子的未来，咱们还有不少纠错的机会，下次分析视频就等中考之后吧，阿宅还是不会放弃咱们房山的朋友的，因此啊，大家有问题随时问阿宅，努力给每一个朋友做回答。
314阿宅房谈
08:17查看AI文稿AI文稿好朋友们，咱们今天来学习二六年逢山易磨，小寒入总和。首先来读题，他说经过了一逗号五和负一，逗号负一，那么直接就连立， k 跟 b 直接就出来了。大家自己算一算， k 等于三， b 等于二，这样的话，咱们第二问就可以把函数先写上了， k 加 b 呢，一定是 y 等于三， x 加二， x 加 b 呢？它一定等于 x 加二，还是老规矩，先画坐标， 因为它是负一，所以呢，咱们把这个高放大一点啊， 先找邻界值，把邻界值先画上，因为这是负一的话，他说是小于负一，所以咱们画一个朝左的箭头， m x 加一必须大于三， x 加二，三 x 加二，咱们先算一下，当 x 等于零的时候， y 应该是等于二， 在这拿蓝笔绿色 y 等于二，那么 x 等 y 等于零的时候，应该是负的二分之三，三分之二在这，所以说咱们给它连起来， ok， 这样的话， y 就 等于三分之三， x 加二，这个时候咱们应该知道是大于啊。据看第二个 x 加二，那很显然， x 等于零的时候， y 应该等于二， y 等于零的时候， x 应该等于二，所以咱们直接连起来负二， ok， 这个值应该是 y 等于 x 加二，要小于它，也就是说在 x 负一的左侧，我这个值呢， m x 加一又要大于 三， x 加二要小于 x 加二。那首先咱们 m 还是是 k 嘛？对不对？那 k 就 考什么，一个是香蕉，一个是平行，而且从初十点咱们开始算啊， 那 k 如果 m 算四十五度，然后加一，应该是在这转， 那很显然啊，第一个如果是出平行的话，那肯定是首先要出平行出打的，哎，不对， 因为它加一嘛，所以横过一一，所以说应该横过这个点， ok， 那 同学们，咱们来看一下，你要想比这个 x 加二要小，那是不是肯定首先要平行啊？这平行我们直接就能看出来， 所以它最小值应该是等于一 k 是 等于一，是平行，那我们判断一下合适不合适，满足不满足？第一， 在负一的左侧跟他平行，是横比他小，而且还比这个三 x 加要高要大，对不对？而且，那我们来看一下吧，那能不能再往上移，也就是说这个点， 这个点他能往上移动吗？是不能啊，如果他再往上移动的话，可能会出现什么情况？那他俩是不是就会相交啊？ 他俩如果相交的话，那就可能比他大，所以说这个呢，就是最小值， ok， 那 看，那就往上转呗，看能不能往上转，那他怎么转呢？ 第二个，那肯定就是香蕉喽，香蕉的话要比你大，对不对？所以我再怎么转，再怎么转，是不是能给它相交的时候就不行了？那我看看能不能满足题一，首先第一个 是不是比这根线要小，第二还比它大，但是如果你再往上转的话，那是不是 就会出现比他小的情况了？朋友们，你看是不是就比这根三 x 加二要小啊？所以第二种情况一定是香蕉，香蕉的话，我们知道了，横坐标它是负一，重坐标算出来带进去 y 等于三， x 加二，那外轴也是负一， 所以它们相交的是负一，逗号负一，那么直接代入进去 y 等于 m， x 加一，负一就等于负 m 加一，这个时候咱们算出来 m 是 等于二， 最后取到能不能取到？因为咱们通常说 x 如果不带等于号的话， 咱们的结果就会带等号，为什么呀？因为他小于负一，咱们是以负一为节点的，那其实根本是取不到负一的，所以咱们是满足提议的，那如果已知条件他带着等于的话，那咱就不能等于。为什么呀？如果等于的话，那是不是就不满足提议了？ 是不是就不大于或者不小于？只能说是等于这两函数的值。所以说最终答案 m 呢，是 大于等于一，小于等于二。这个时候老师还要再提醒一句，因为这个 m 他 在 k 的 位置上， 如果 m 算出来，比如 m 是 大于等于负一，小于等于一的话，一定要写上 m 不 等于零啊，这个是大几啊？因为 k 永远不等于零，只要他涉及到有零这个区间，那一定要写上 m 等于零。好，那最后呢，咱们来总结，第一， 这个依次函数咱们该怎么做？首先是要建立平面直角坐标系，建立完以后呢，咱们标出临界值。 第三呢，要标出不等号，因为你画出图像以后，你首先得把函数解析式也标上去，然后把大小也标上去。因为考试的时候不会像老师一样直接一张纸下来，而是他在 试卷的一个角里边，你要通过草稿纸，那你在这个草稿纸跟这个试卷来回反复再横对一会，再比比是大于还是小于啊？没必要咱们直接写上，方便计算。 转的时候一定要是从原始的初式的，比如 k， 咱就从四十五度，对不对？ m 咱们按零算 去转，而且不重不漏，什么情况呢？也就是说，当你觉得转对了以后呢？一定要看看第一是否符合第一。第二， 你看往上转或者往下转能不能转，能转那说明还能再转，不能转说明他是最大值或者最小值，对不对？第三，要明确渠道， 这答案其实就出来了。还有一点老师要告诉你的是，他刚刚说了 k 他 取之范围如果包含零的话，必须注明 k 不 等零。 最后老师要提问的是，第一问一定要计算准确啊，如果你第一问计算不准，那不好意思，那第二问全部都以第一问的结果来计算的，那肯定会出错，对吧？好吧，那就这样。
5蔚宁数学
13:40查看AI文稿AI文稿还在为几何压轴体里的中点发愁，一看到中点就卡壳！别以为会背长中线、斜边中线就够了，中考根本玩不转！ 今天我就给你解锁双中点线段和叉竖叉型中位线这些隐藏大招。我们先来看线段和的形式，也就是说， c 在 a b 之间， p 一 是 a c 的 中点， a p 一 等于 p e， c 等于二分之一 a c p 二是 b c 的 中点 c p 二等于 p 二， b 等于二分之一 bc。 所以 p 一 p 二等于二分之一 a c 加二分之一 bc 等于二分之一 ab。 反过来，如果已知 p 一 p 二等于二分之一 ab， 且 p 一 是 a c 的 中点，那么可以得出 p 二是 c b 的 中点，那么可以得出 p 在 a b 的 延长线上。这个结论也是成立的。 p 一 是 a c 的 中点 a p 二等于 p 二， c 等于二分之一 bc， 所以 p 一 p 二是线段差，等于 p e c 减 c， p 二等于二分之一 ab。 反过来，如果已知 p 一 p 二等于二分之一 ab， 且 p 一 是 a c 的 终点，那么可以得出 p 二是 bc 的 终点。 有同学可能会说了，你前面讲的这些小学生就会啊，跟中考有什么关系啊，他还真就有点关系。这不你看二六年西城一模就这么考的，而且很多同学还吐槽说太难。角 b， a c 等于阿尔法 ab 等于 ac cd 垂直于 abbm 平行于 ac。 角 c， a q 等于角 a p c e 是 a p 的 中点，用等式表示 d e 与 b q 的 数量关系，并证明 a b 等于 a c b m 平行于 a c， 所以 角 b a c 等于角 a b q。 注意到最终要求的里面有 b q 这条边， 因此我们可以尝试通过边角边构造全等，把 b、 q 这条线段转换到 a、 b 上来，在 a、 b 上找一点 n， 使得 a、 n 等于 b、 q 就 可以构造全等三角形。 我们已知 e 是 ap 的 中点，如果我们猜测 e、 d 等于二分之一 a、 n， 那 么是否就意味着 d 为 np 的 中点呢？ 那么就会有 e， d 等于 e p 减 d， p 等于二分之一 a， p 减二分之一 n， p 等于二分之一 a、 n。 再捋一下，这个双中点构造 p 在 a、 n 的 延长线上， e 和 d 分 别是 a、 p 和 n p 的 中点， 所以就会有 e， d 是 二分之一 a、 n。 当然，这里是假定 d 为 np 中点。 接下来我们依次证明下，首先，由边角边三角形 a、 n、 c 全等于三角形 b、 q、 a。 所以 角一等于角，二角 c， a、 q 等于角三加角二等于角三加角一， 而角 d、 n、 c 作为三角形 a、 n、 c 的 外角恰好等于角，三加角一也等于角 a、 p、 c。 加上 c、 d 垂直 a、 b， a、 a、 s 就 可以证出三角形 c、 d、 n 全等于三角形 c、 d、 p 了。所以 d、 n 等于 d p， d 确实是 n p 的 中点。结合双中点线断叉 b、 q 等于二倍 d， e。 小 节一下，本题其实就分两大步，第一步需要读题，想到 s、 a、 s 全等。第二步则需要熟悉双中点线断叉模型。 接下来我们还是简要复习下中点中位线的常见考法，然后再继续真题。等幺三角形 a、 b 等于 a， c， d 是 bc 中点。 根据全等可知，等幺三角形顶角平分，线底边上的中线底边上的高，这三条线互相重合，直角三角形 a、 b、 c。 角 a， c、 b 等于九十度 d 是 斜边 a、 b 的 中点， 斜边中线等于斜边的一半 c、 d 等于 d， a 等于 d b。 这个不止在几宗里会出现，在原宗里也经常考背长中线 d 是 bc， 中点延长 a， d 至 e， 使 d， e 等于 a， d 两边夹角相等三角形 a、 b、 d 全等于三角形 e、 c、 d。 从而 ab 等于 c、 e， 而且内错角相等 ab 平行于 c、 e。 中位线定里 d、 e 分 别是 ab 和 ac 的 中点连接 d、 e。 结论是 d、 e 平行于 b、 c， 且 d、 e 等于二分之一 b、 c 构造中位线，已知 d 是 b， c 中点，取 a， c 中点 e 连接 d， e 就 得到了中位线 d、 e 平行于 a， b， d、 e 等于二分之一 a、 b。 有 时候题目可能也只给出这种竖叉形。连接 c、 e 并延长至 a， 使 a、 e 等于 c、 e。 这样就构造出了中位线 d、 e。 第二道二五年房山异母等腰直角三角形旋转加中位线，图形挺简单，辅助线小有点多， 已知角 b， a、 c 等于九十度 a、 b 等于 a， c、 d 是 a， b 边上一点， e 为 b， c 的 中点，将线段 d、 c 要点 d 顺时针旋转九十度，得到 d， f， n 是 a、 f 的 中点，连接 n、 d 和 n， e。 猜想线段 n、 d 与 n、 e 之间的数量关系和位置关系，并证明 猜想 n、 d 等于 n， e， n、 d 垂直于 n， e， n 是 a、 f 中点。这题有两个中点相关的式子，因此可以把 n、 d 和 n、 e 都看作中位线。 延长 f d 至 h， 使 d h 等于 f， d， d 是 f h 的 中点， n、 d 就是 三角形 a、 f、 h 的 中位线。 同理，延长 a、 e 至 g， 使 eg 等于 a， e、 n、 e 就是 三角形 a、 f、 g 的 中位线 n， d 等于 a h 的 一半， n， e 等于 f， g 的 一半。要证 n， d 等于 n e， 只需证 a， h 等于 f， g。 连接 c， f。 不知道你看出这里面的手拉手权等没有共顶点 c 等线段 h， c 等于 f c， a， c 等于 g， c。 等顶角角 h， c， f 等于角 a， c g。 容易看出 c， d 垂直平分 f h。 而且 f， d 等于 h， d 等于 c， d。 三角形 c， d， h 和三角形 c， d， f 都是等腰直角三角形，所以 h c。 等于 f c。 角 h c， d。 等于枣 f c， d。 等于四十五度角 h c， f 等于九十度。类似的， e 是 bc 中点 斜边中线等于斜边一半 e， a。 等于 e a。 所以 e a。 等于 e， c 等于 e g。 三角形 e c， a 和三角形 ec 都是等腰直角三角形，所以 a， c。 等于 g c。 角 a， c， e 等于角 g c， e 等于四十五度角 a， c， g 等于九十度。这里就有了手拉手全等 三角形 h c， a 全等于三角形 f， c， g。 全等可得 a， h 等于 f g， 所以 n， d。 等于 n e。 接下来证 n， d 垂直于 n e， n， d 平行于 a h， n e 平行于 f g。 只需证 a， h。 垂直于 f g。 延长 h， a 和 f g。 交于点 i。 在 全等三角形中角 c h， a。 等于角 c， f g。 直角三角形 c h f。 中角 c h f。 加角 c f h。 等于九十度。 替换可得角 h i f 等于九十度 h i 垂直于 f i n d 平行于 h i n e 平行于 f i。 所以 n d 垂直于 n e。 小 结一下本题，通过两次倍长构造中位线，将 n d 和 n e 转化为 a， h 和 f g 的 一半，再通过手拉手全等正等量和垂直关系。 第三道二五年石景山异母斜边中线加中位线构造，还结合了手拉手全等 在三角形 a b c 中角 b a c 等于阿尔法， ab 等于 a c， d 是 bc 的 中点， f 是 a e 的 中点线段 f e 右点 f 逆时针旋转阿尔法，得到线段 f h 连接 a h 和 e h。 第一问，求角 a h e 的 大小。第二问，判断 d h 与 a c 之间的位置关系。我们来分析下。题目告诉我们， f 是 a e 中点， f h 等于 f e， 也就是 fa 等于 f h 等于 f e， f 是 三角形 a h e 斜边 a e 的 中点，这是斜边中线的结构，所以角 a h e 等于九十度。 第二问，看上去是垂直关系，那我们是延长呢？还是寻找平行线？要证 d h 垂直于 a c。 如果能把 d h 看成某个三角形的中位线，就有了平行， 但 d 不是 某条线段的终点，怎么办？这就需要用到共终点模型。具体来说，我们先截取 c n 等于 b e， 因为 d 是 bc 的 中点，由共中点模型 d e 等于 d n， d 也是 e n 的 中点。然后我们延长 e h 到 m， 使得 h m 等于 e h， 这样 d h 就是 三角形 e n m 的 中位线， d h 平行于 n m。 做完辅助线，我们还可以立马看出另一条中位线 f 是 a e 的 中点， h 是 e m 的 中点，所以 f h 是 三角形 e a m 的 中位线， f h 平行于 a m。 所以 我们只要证明 n m 垂直于 a c 就 可以了。先来看第一问，角一等于角二，角三等于角四， 四个角相加等于一百八十度，所以角二加角四等于九十度，也就是说角 a h， e 等于九十度。我们再来看第二问，大家看出来没有？这里有个手拉手的全等。 前面我们已经证明了 f h 平行于 am， 而角 e f h 等于阿尔法，所以角 e a m 也等于阿尔法，等于角 b a c。 另外， f h 等于二分之一 a m， a e 等于二倍 f h， 所以 a， e 等于 a m。 共顶点，等线段等顶角，这就是手拉手的结构。减去公共的角 e a c。 角 b a e 等于角 c a m。 所以 三角形 a， b e 全等于三角形 acm， 所以 c m 等于 b， e 等于 c n。 全等，还可以得到 a， c m 等于角 b。 也就等于角 a c n， 所以 a c。 平分角 n c m。 而三角形 c n m 是 等腰三角形，三线合一，所以 a c 垂直于 n m。 因为 d h 平行于 n m， 所以 d h 垂直于 ac。 最后我们放松下，看看这道二六年大兴一亩几棕，相信你一定能轻松搞定了！ 已知角 a， c， b 等于九十度， ac 等于 bc， 角 b c， d 等于阿尔法。将线段 dc 要点 d 逆时针旋转九十度，得到 d， e， f 是 b e 的 终点，用等式表示 d f 与 a e 的 数量关系，并证明 f 是 b e 终点。这题只有单个终点，需要计算的式子包括 d f。 因此可以把 d f 看作中位线， 延长 e d 到 h， 使得 d h 等于 e d。 这样 d f 就是 三角形 e b h 的 中位线。又因为角 c， d， e 等于九十度， d h 等于 d e， 所以 c， d 垂直平分 e h， 所以 c， e 等于 c h。 角 e c， d 等于角 h c， d 等于四十五度角 a c b 和角 e， c h 都是直角。减去公共的角 e c， b。 得到角 a， c， e 等于角 b c h。 右 a c 等于 b c 两边夹角相等，三角形 a、 c、 e 全等于三角形 b、 c、 h。 全等可得 a、 e 等于 b h。 所以 d、 f 等于二分之一， b、 h 也就等于二分之一 a、 e。 怎么样，今天这些终点中卫线的神仙操作，是不是让你豁然开朗？赶紧给视频点个赞收藏起来，下次做题卡壳了直接翻出来抄作业！还没关注的同学点个关注！后面还有更多几何压轴题的破题口诀！
183EasyAI
01:10查看AI文稿AI文稿各位房山的家长大家好，房山二零二六年中考一模排名终于出来了，那多少分能够上什么学校呢？ 今天大胆预估一下咱们房山区二零二六年中考统招排名分数线，您可以根据自己的情况参考一下以下排名。根据一模考试排名预估，北师大良乡附中三百九十分区排名三百九十一名以内。北理工附属实验学校三百八十四分、五百八十六名。 北四分三百八十分、七百二十八名。良乡中学三百六十七分、一千二百二十三名。首师附实验三百六十二分、一千四百五十一名。房山中学三百五十分、一千九百三十八名。 房产实验中学三百三十七分、两千四百七十二名。佛立中学三百三十一分、两千六百九十八名。宿迁中学三百二十五分、三千零八十五名。首师附未来三百二十一分、三千零八十五名。首师附房产学校三百一十二分、三千三百八十六名。 如果低于三千五百名，如果走自主招生，可能会多一些选择的空间。以上都为预估分风险，请勿对号入座，关注我，中考不迷路，上岸更轻松！
309韬哥学业规划
08:25查看AI文稿AI文稿好，同学们，今天咱们来学习二三年北京中考的几何综合。首先我们来读题，三角形 a、 b c 中角 b 等于角， c 等于阿尔法，咱们要把条件给它，先标上 阿尔法，继续往下读。他说了 am 垂直于 bc， 所以 说这有一个直角 md 是 mc 上一动点， 看到了吗？他说将线段 dm 绕点 d 顺时针旋转，阿尔法得到了线段 d e， 所以 看到了旋转。我们要知道是边等角等 啊，所以 dm 是 等于 d e 的， 同时这还有一个二阿尔法，那而且旋转我一定会考到一个什么样，同学们，就是 手拉手。好，那么来看第一题啊，如图一， e 在 线段 a c 上时求证 d 是 mc 终点，这与二四年中考题目是如出一辙。 那么 d 如果想证 mc 为终点的话，那就是 dm 等于 dc 等于 d， e 这边呢？咱们又旋转性质可得咱们说了， dm 等于 d， e 是 阿尔法， 这里边就用到一个什么呀，三角形的外角和哎，也就是一个外角，等于不相邻的两个内角之和， 所以角 d e c 也是阿尔法，这样直接得出了 d c 等于 d， e 等于 d m， 所以呢 d 就是 为 cm 的 中点。哎，一般第一问都比较简单啊，然后看第二问， 那若线段 b、 d 上存在一点 f， d， f 等于 dc， 所以 d 是 一个中点。一想到中点，同学们，咱们应该中考常考的四个，第一个中位线， 第二个直角三角形的斜边中线，第三个就是背长中线， 第四个就是等二三角形的三线合一，这是中考阶段终点一定会考，这四个方面咱们一定要牢记。继续咱说，直接写出三角形 aef 大 小，那这个时候 考场上不论是边的比值还是角的度数，咱们是通过量还是去判断，很好得出，这 aef 其实是一个直角， 那直角怎么读出来啊？要不然就是等边对等角，等二三角形三角合一，要不然就证明这个 f a e 和 e f a 这两个边相等， 又有角度，从而得出来他。但很显然这个角都不存在这，而且有一个中位线。咱们很想到的是应该是用等腰三角形，那咱们来分析判断一下。当咱们没有思路的时候，首先把已知条件再重新梳理一遍。 角 b， 哎角 c 是 阿尔法，他说了 dm 绕点 d 顺时针旋转，所以 dm 和 d e 其实是相等的。此外， d e d m 它是一个阿尔法， d 又是中点。我们要想构成等腰三角形，因为手拉手模型嘛，咱们肯定要共端点， 所以还要倍长 e f， 比如说咱们把倍长的这个线段呢，设为 d n h， 这样的话，咱们依次把 c h 和 a h 联系起来， 那么这个时候咱们要做的是把条件无限的传到 d， e 是 c h 的 中位线，所以说呢，它是平行的，平行的话呢， a h c a 它一定是阿尔法，为什么？因为这是阿尔法嘛， e d m 是 二二方，所以 h d b 也是二二方，所以 h c a 呢，它就是二二方嘛。第二就是咱们为了表示传达边的关系，因为有终点了，咱们就要给它设未知数，方便表示 c d 呢，咱们设为 n d e， 咱们 d m 就是 m 吧，因为 d e 也就是 m， 这样的话， d f 一定是 n 减 m， d e 是 c h 的 中位线，所以 c h 也就是二倍的 m。 好， 那说到现在以后我们是不是肯定要正全等啊？同学们，那我们发现条件有什么呀？ ab 等于 ac 还有什么吗？没了，但是我们想想， ab 等于 ac 的 时候，它还有什么等于三角形，那 m 是 不是也是一个终点啊？ 那是 b f 是 不是很好就算出来了， b f 一定是 b b m 吧？ b m 是 一个 m 加 n 对 不对？那么 b f 呢？一定是 n 减 m， 咱们刚刚算出来，所以这样的话咱们就能把 b f 求出来 n 减，这样算出来应该是二 m。 嗯，那这样的话咱们就表示出来了。 又有，因为有角相等，所以咱们能判定出来三角形 a b f 是 全等于三角形 a c h 的， 它的判定是 s a s。 这个时候我们就知道了， a f 一定是等于 a h 的， 是不是？同学们， 那怎么证明它 a e f 它是垂直呢？那咱们发现了 a f a h 它们相等的 e 又是中点，所以它就是等腰三角形的 三线合一。哎，就在这，所以咱们就答案呼之欲出，即 a e 呢是垂直于 f h 的， 为什么呀？因为是 e f 呢，是等于 e h， 这样呢，极可以得出来，这样形 a e f 是 等于九十度。那这道题咱们来回顾一下。 第一，老师一直强调就是一定要读已知，已知是非常关键的，咱们所有的题目思路方法全都是从已知得出来的。第二，第二，问的时候一定要把条件再重新的书里边。 第三，通过已知的时候通过旋转，通过，等腰一定会考旋转手拉手，有旋转手拉手的时候就会共端点啊，线段共端点一定会构造全等。 第四，如果有终点的话，一定要想想这四个啊，终点的应用如何去应用到题目当中。第五，包括角，包括边， 如果有两个终点出现的话，一定要尝试的是中位线，而且可以去给边设一个字母，将他们的边和角度去全倒，从而证明出来全倒。 第四，思路一定要稳中求进，不要着急去剖析，你比如说 a b c 这个， b， a c 这个角就没角度对不对？那角度只给它是不是 edm 这上面。 所以说手拉手的时候，就不像是咱们说共端点旋转多少度这个样子，而是在保另外一个点，因为答案一定藏在已知条件集中的地方。好吧，这道题咱们就讲到这里。
33蔚宁数学
06:10查看AI文稿AI文稿几何综合题一直是初中孩子们丢分的重灾区，今天就站在命题的角度来分析，遇到这种几何综合，我们如何才能拿高分拿满分？废话不多说，我们直接看题目， 他说在 r t 三角形当中告诉我们 a b 等于 a c 等于两倍的根号二，并且还告诉我这个角度等于九十度，实际上他想告诉你什么 a b c， 他 实际上是一个等腰直角三角形，并且我可以把 a c 算出来他应该是不是你们的四，然后他说 p 点是 a c 上面的一个洞点， b p 是 这样旋转过来，并且旋转九十度，所以这条边等于这条边，也就是这里他也是一个什么等腰直角三角形 好，第一题，他们求 c q 等于我们的 ap， 那 么我们要想 c q 等于 ap， 是 不是求两个线段的长度相等，那么我们很容易常见的有两个，第一个在等腰三角形里面等角对等边，第二个就是我们初中最常见的也就求全等三角形得到对应边相等， 那么我们到底是求哪一个？我们把线段在图中给标起来，比如说 a p 它在这个地方， c q 它是这个地方，那么很明显这个不在同一个三角形里面，那么我们就想到第二个全等，那么这里有哪两个三角形全等呢？那很明显的是这个三角形和这个三角形全等， 那么怎么证明也很简单，第一个题目中告诉我什么 ab 等于我们这个 bc 的 等于二倍根号二，对不对？第二个它是它旋转过来的，所以得到两条边了，再找一个夹角是不是就 ok 了？那么这个夹角是哪一个？在这里这个角 等于这个角，这是经典的同角的与角相等，说明这两个三角形是全等的。所以第一题 ap 等于我们的 c q 就 搞定了，很简单。 好，我们继续往下面看。第二个 a p 等于一，求这个 c 的 长，我们还是一样的，你第一题的条件你还是要用上的。第一条件是得到什么？是不是这个三角形和这个三角形是全等三角形，那么全等三角形你可以得到它的对应角是不是相等的，所以这个角它等于多少度？是不是等于四十五度？ 那么它所对应的对应角是不是在这里，是不是也等于四十五度？并且对应边 a p 和 c q 是 相等的，它等于一。我们第一题当中把这个 a c 算出来，它等于四，那么我们的 c p 它应该等于几？是不等于三？ 这个等于四十五度，这个是不是也等于四十五度？那么这里就出现了九十度，这个等于一，这个等于三，说明我们这个 p q 它应该等于根号十， 那么 p q 他 是在这个等腰直角三角形的斜边，那么我可以把这两个边算出来，他应该等于几，是不应该等于根号五。 bc 等于 bc， 这条边我知道他等于二倍，根号二，并且我还知道这个角度等于四十五，求什么？求 c e， 那 么我只要求出什么也是可以的，我求出 b e 是 不是也是可以的？那么我们观察一下，在这个三角形出现了一个四十五度， 在这个三角形也出现了个四十五度，并且这两个角还是什么共同角，这个就是我们常见的一个什么模型， 是不是子母形相似，是不是这样的形状？这个角和它是公共角，这个角等于它都等于四十五度，这是不是子母形相似？在这题当中，已知线段比较少的情况下，并且让你求这个线段 c e， 那 么我们用相似也是比较好解决的。 好，我们怎么解？也就是 b e 比上我们这个 b q， 它应该等于我们这个 b q， 比上我们这个 bc， 我 们可以把 b q 乘过来，也就等于 b q 的 平方，它就等于五 bc， 它就等于二倍根号二，然后分子分母同时乘以根号二，它就等于四分之 五倍根号啊。当我们把 b e 算出来之后， c e， 它是不是应该等于二倍根号啊？ 减去一个四分之五倍根号啊，也就等于四分之三倍根号啊。我们看第三题，他说这个 a、 a、 b 和这个是互相垂直的，让我们探求一下这个 p、 f 和这个 c、 e， 他的什么数量关系，他们的数量关系，那么怎么样求这两个数量关系呢？我们看观察一下这个长度，应该是这个长度是在这里，你看到题目，先比较一下这两长度是不是有点什么感觉是相等的， 那么我们就要需要证明他两个相等。我们看这里对应边 a p 的 对应边是 c q 依旧成立，并且这里是九十度，他等于四十五度，他也等于四十五度。 那么如果我在这个里面构造出一个全等三角形和它相等的这题，是不是应该就可以成功了一大半？那么怎么构造呢？这一题需要我们干嘛？是让我们求他和他之间的关系，那么我是不是要在这里构建一个边和这条边是不是相等的？ 所以我可以想到什么在 b c 上面找一个点，找一个点 m， 使得我们的什么 m q 等于我们的 e q， 接下来我们找这两个三角形，看它是否全等。第一条边 c q 等于 ap， 已知的这个四十五度 也是可以正出来的。接下来你是不是缺一个角度？我们做的是 m q 等于 eq， 说明这两个角度是不是相等的。比如说这角一等于角二，而角二和它是对顶角等于 角三，我们发现这里等于垂直，这里等于垂直。那么角 f 加上角三是不是应该等于一百八十度？而角 c m q 加上角一，是不是也等于一百八十度？ 而且我可以得到角 f， 它实际上是等于角什么呢？ c m q 的 也就这个角等于这个角， 那么此时这两个三角形全等是不是已经正出来了？那么全等我可以得到什么？是不是可以得到 f p， 它应该等于我们的 m q， 那 m q 又等于什么？等于我们的 eq， 此时我就可以得到 p f 和 eq， 它俩的数量关系是相等的。
114任老师数学思维
03:02查看AI文稿AI文稿石景山一模的几何中难用好方法真不难，今天给大家介绍一个比较简单的方法，我们一起来看一下二零二零年北京石景山一模的几何综合 题目，告诉我们几个比较关键的信息。第一个在这里边有一个直角三角形，并且告诉我们这个角是阿尔法，这样的话怎么就能得到这个角是九十度减去阿尔法， 然后又告诉我们它里面旋转了一百八十度减去二倍的阿尔法，所以第一问我们就直接秒掉了二倍关系，这里咱们就不做过多的赘述了。好，同理呢，我们在这边也要简单的去说一下 a d 绕着点 a 旋转这样的一个度数，这里边呢有一个直角且是二倍的关系，所以对于手拉手稍微有一点点了解的学生都知道，我们可以在 a 处再去构造一半这样的一个三线合一的状态，也能出一个在 a 处顶角为一百八十度减去二倍阿尔法的一个等三角形， 等腰三角形加等腰三角形就会出手拉手模型，所以对于大家来说，这个三角形和这个三角形全等，那我们都是能快速得到的。好，接下来我们要去证明 p q 和 df 之间的一个关系，大家对于这个关系应该也都能快速简单的猜测出来， df 应该是等于二倍的 p q 的， 在证明的过程当中，我们可以八仙过海，但是这道题有一个更加简单巧妙的方法，也是二零二五年北京中考对于我们方法上的一个提示了，就是对于边的一个 用法，倒边。好，我们来看一下这道题到底该怎么去解决它，我们可以在这里面发现，因为你这条边和这条边是平行的， 然后我们根据手拉手的全等知道这个角是阿尔法，下面这个角也是阿尔法，那进而我们能得到这个地方有一个小等腰三角形，那 既然他有等腰三角形的，我们就以此为突破口，假设这边是 x， 那 这边是 y， 那 这样的话我就能得到这条边应该就是 x， 加上 y， 同理这条边应该也是 x， 加上 y， 又因为是轴对称，所以这个点是中点，那这条边应该就是中位线，所以这条边就是二倍的 x。 这样的话呢，我们还能得到这边应该是二倍的 x， 加上二倍的 y。 至此很多人可能就觉得我们这个导边是不是结束了，其实并没有，我们会发现 中间还有一个特殊图形，特殊图形就是可以辅助我们去导边的，所以这个特殊图形咱们也可以用起来，它是一个矩形，这个矩形的证明非常简单，四个直角直接给了，所以我们就直接设这边是个 z， 这样的话我们就能得到这边应该是 y， 加上一个 z。 好 了，各位，这个点 c 是 中点，咱们千万不能忽略。那至此我们能得到这一条边应该是二倍的 x， 加上一个 y， 再加上一个 z。 好， 同理，那这边和它应该是相等，因为它是一个等腰三角形， 这里边就涉及到了三线合一的用法，所以这边也是二倍的 x， 加上一个 y， 再加上一个 z， 我 们用这个大边再减去这个小边，你会发现这条边应该就是 z， 减去一个 y。 好 了，现在我们来看一下这里边的关系， d f 是 z 减 y 和 z 加 y， 所以 这边应该是二倍的 z， p q 是 z， 所以 它们之间二倍的关系就直接中出来了。 这就是我们所说的这道题比较巧妙的一个方法，极致的导边。在这两年导角和导边都成了咱们几何中的核心内容，大家呢一定要注意借助全等和中点进行设参，利用参数让关系呈现的更加明确，希望这个视频可以帮助到大家。
59小程老师讲数学
01:38查看AI文稿AI文稿我也对二模做一个预测，寻求和二次函数结合的区域应该会变多。北京十二个区，初三一模的专题分析来了，今天要给大家讲的是选择压轴体，后续我们还会推出待增、己增等专项，希望大家关注我们账号。在一模之前，我曾做过预测，我说选择压轴题啊， 会有大约一半或者一半多的区域，会完全考察和二零二五年中考一致的，是反比例函数加几何综合的这种选择。亚洲这是二零二五年第一次出现的题型，更早之前呢，是纯几何的，所以大部分的区域呢，会选择完全模仿中考。 那这十二个区中，我们看到朝阳、西城、丰台、平谷、通州、房山、燕山这七个区确实超过了一半。那第二种类型是什么？就是我不仅想模仿，我还想超越。哎，我觉得这个题他不一定非得和反比例函数结合，还有可能去和其他函数结合，而这个所谓的其他函数，那大概率就是 二次函数，所以有的区想走在前面。那今年就出现了两个这样的区，一个是海淀，一个是大兴。除此之外呢，可能还会出现第三种类型。果然就是出现了。说我呢，不知道是由于什么样的想法，还是没有关注这种考试的变化。我依旧考察二三年和二四年喜欢考的这种 纯几何综合的题，那就是昌平、石景山和顺义。总结完了之后呢，我也对二模做一个预测，二模呀， 纯模仿中考的第一种类型应该会减少，寻求去往前进一步，和二次函数结合的区域应该会变多。至于是否还会有继续考察第三种类型的，那我确实就没法判断了。所以大家要重点关注和二次函数相结合的这种考试题型。
35北京初数程老板
08:19查看AI文稿AI文稿我们来看房山一模的这道几宗题啊，那么第一问，我们就先不看了，我们先看第二问，那么这道题想求的是两个角度的数量关系， 但是这道题的这两个角啊，它的数量关系还不是我们通常能猜出来的关系啊，所以这道题需要你能完美的去结合所有的条件，还有就是要开发条件，能给我们什么样的引导， 好吗？我们一起来看一下啊。在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c， 哎，好，那么我们立刻就能得出三角形 a、 b、 c 是 一个等腰三角形，对吧？ 第二个又告诉我们， a、 d 垂直于 b、 c， 哎，那我立刻三线合一啊，知道点 d 就是 一个终点呢，是吧，要充分的去开发条件啊。 点 e 与点 a 分 别在 b、 c 的 两侧连接 c e， 且 c、 e 等于二倍的 a、 d 又给了我们一个线段的数量关系，如果它的长度是 a 的 话，那么 c、 e 的 长度就是二 a， 好， 我们再看连接 e a 做点 e， 关于点 a 的 对称点 f， 哎，那说明什么呀？ 其实是不是就说明，哎，我的点 a 是 ef 的 终点呢？是不是这个意思，哎，所以要开发条件啊。然后看第二题，如图，点 e 不 在 a、 d 的 延长线上，用等式表示角 bce 与角 c、 b、 f 的 数量关系，哎，要求这两个角，那我先把这两个角找出来吧。 b、 c、 e 在 这呢，我可以设它为 r 法，那么 c、 b、 f 在 这呢啊，我可以设它为贝特。 哎呦，这个 c、 b、 f 啊，它还是被分了，你看是不是它是一个角，中间还有一条线，是吧？那我应该怎么去正呢？ 有点没有思路，没有思路的时候，我们就去想，刚才我们挖出来了什么，我们是不是挖出来了两个终点呢？ 并且还有两条线段也具有这样一半的数量关系，对吗？是不是这样的？所以，哎，我先从哪里出发呢？我先从 a d 和 e c 出发，因为这个 e c e 啊，是等于二倍的 a d， 所以 我的想法就是，哎，既然给了我二倍，那么我就能怎么样，我是不是就能找出一倍啊，和 a d 相等的边呢？ 对吧？我要找出 e c 的 一半，哎，那 e c 的 一半又怎么去找呢？ 哎，题中又给了我这么多终点，我突然想到，终点多的时候，我可以利用中位线呢，对不对？而且中位线还出这种二分之一的数量关系，对吗？所以我的第一想法就是，哎，我首先我先连接 b e， 然后呢，我在 b e 上找一个终点 k， 接下来我就连接 d k， 大家看我的这个 e c e 的 一半是不是就找到了，对吧？你的点 k 是 b e 的 中点，哎，我的点 d 是 bc 的 中点，那么它不就是中位线吗？ 对吧？中位线不但出数量的关系，还出平行，对吧？哎，也就是我这里呢，这个角呢，现在也是 r 发了，而且我找到了和 a d 相等的边，就是 k d， 好，那既然找到了，那我赶紧连接起来吧，他们两个一定是能够成一个等腰三角形的呀， 对不对？哎，因为这道题我想求数量关系，所以呢，我就要把能求的角我全都求上啊， 好，我们看三角形 a d k 是 等腰三角形，对吧？等腰三角形，他的顶角呢，是九十度加上 r 发， 那么其中的一个底角是不是就是一百八十度减去九十度加上 r 发再除以二啊？也就等于四十五度减去二分之二发，哎，那么这个角就是四十五度减去二分之二发 好了，那么刚才我连接了 ak， 我 突然间又发现了，哎呀，这儿 k 是 b e 的 中点，我点 a 呢，是 ef 的 中点，我这不又出了一个中位线吗？孩子们看到了吗？ 哎，也就是我的这个 k ak 呀，它平行且等于二分之一倍的 b f 啊，对吧？好，那么也就是平行还出角等呢， 那么也就是我的整个的这个角和整个的这个角相等，对吧？哎，那如果这个，哎，可是这个这个角啊，他其中有一个小角是贝特， 那我可以另这个点是点角，行吗？好，接下来我们再看啊，接下来应该怎么去处理呢？我先把这个这些没有必要的先给他擦一下，不然图会很乱啊。好， 接下来我还想去把 r 发和贝特，哎，能弄上关系， 哎，我们去想，这个角啊，其实是不是就是贝特加上点角啊，对吗？也就是贝特加上一个点角，就等于四十五度减去二分之 r 发，再加上一个这个角， 再加上一个这个角，那这个角应该怎么去求呢？我得把它去表示出来，对吧？好，那么此时啊，你不用着急啊，你看这点 d 是 不是已经是一个终点了，对吗？那如果我现在，哎再找 e c 的 一个终点，这么去连我让这是什么呢？这是这吧， 那你看这个又是不是又出现了一个中位线呀，也就出现了 d j 平行且等于二分之一的 b e 啊，对不对？哎，那么好，也就是他和他是平行的，对吗？刚才我们已经证明了这两个是平行的，所以中间的 k、 d、 e、 j， 他 就是一个平行四边形， 平行四边形的角对角是相等的，对吧？我现在想求这个角的度数，那我只需要去求这个角的度数就可以了，是吗？ 好，那么这个角的度数应该怎么去求呢？我们看啊，刚才的我这一组的中位线做出来了之后，这个点角数就变成这了， 那么这个圆圈是不是就是我们这个这个角的外角啊？对吧？他就等于点加上 r 法，哎，所以我的这个圈角啊，就是点加上 r 法，那么我就在这里面加上一个点，再加上一个 r 法。 好， r 法和 r 法没有了，然后我们把式子整理一下，贝特也就等于四十五度，再加上二分之二法， 那么我在最后的结论呢，不想有分数，所以我同时等号的左右两边乘二，也就是二倍的 beta 等于九十度，再加上 alpha， 我们把 r 发换成角 bce， 把贝特换成角 cbf。 这道题我就做出来了，所以这道题因为给了我们很多的终点呢，所以我们把终点就玩到了极致，所有的辅助线做的都是中位线，就做。
09:05查看AI文稿AI文稿大家好，上一个视频给大家拆解了咱们中考几何综合题常考的手拉手、构造全等，它的两种模式，以及那顶角是阿尔法，这种旋转它的便是它的一个具体的一个拆解。 这节课呢，咱们接着上节课呢，进行拆解。咱们顶角啊，旋转的角度呢，是一百八十度减二阿法，也就是我们这个等腰三角形，它的底角是阿法啊，这种情况它的一个具体的拆解方法。首先呢，我们来看一下这张图， 在这张图中呢，它给出了四个已知，第一个已知呢，就是角 a、 c， b 啊，是一个直角， 另外呢，角 abc 是 一个阿法的角，还有呢，就是 ad 啊， ad 呢，绕着点 a 逆时针旋转一百八十度减二阿法得到了 a e 啊，这个是一个关键信息来了，就是一百八十度减二阿法啊。此外呢，这个题还给了另外一个已知啊，就是附加的条件就是 ef 呢，平行于我们的 ab， 他问的是什么呢？问的是 df 和 bc 的 关系， df 和 bc 是 在一条线段上啊， 我们来看一下这个解题的关键点，就是啊，我们会发现，就是我们这个角 d、 a、 e 是 一个一百八十度减二 r 法，但是呢，他们和我们这个给的已知的角 abc、 r 法 没有产生联系，怎么产生联系？我只要给把 ab 沿着 a 点啊，我顺时针旋转一个一百八十度减二阿法啊，这样的话呢，联系就建立起来了。大家想一下，我旋转了一百八十度减二阿法啊，我教我这个点应该落在哪？ 这个点应该落在我的 b、 d 线段上，对不对？因为 a、 c 这个线 就是一个三线合一啊，等于说 a g 这个辅助线我们做出来之后，它是有两个作用，一个呢是构造手拉手的一个全等，第二个呢就是构造了一个三线合一，手拉手的全等呢，我们还差一个条件，就是我们要把 b、 e 给它连上， 这样的话呢，我们把 d g 啊转移到 b、 e 上面去。大家看一下，当我转移到 b、 e 上面去之后，我对于整个题的解析啊，并没有一个突破性的进展。 我仔细看一下，是因为我有一个平行还没有用啊，平行条件还没有用，那怎么用？平行之后我们有三个性质，最起码内错角同旁内角啊，还有同位角啊，这些性质是相等的。在这道题当中，我们主要的用的是一个内错角， 比如角 e、 f、 b 啊，通过这个平行线，它就等于角 abc， 也就等于我们的角 r 法。我们再看另外一个角，就是角 f、 e、 b， 它等于多少度？它应该怎么进行一个组合拆分 它这个角呢？我们可以看出它是由两个角组成的，其中一个角啊，角 f e a 应该等于角 b a、 e， 这样的话，我们这一个角 f 一 b， 其实就等于我们手拉手这个角里面的两个小角，这两个小角和等于多少呢？在这个三角形 a、 b、 e 当中不好算，所以我们可以把它转移到三角形 a、 d、 g 当中， 就一目了然。这两个小角相加呢，就是我们的 r 角，所以呢，我们三角形 b、 f、 e 就 应该是一个等腰，所以我们 b、 f 就 等于我们的 b e， 这样的话呢，我们整个线段啊， b、 f 也应该是等于 d、 g， 我 们把这个线呢都转移到这个 b、 d 这条线段上来，我们再对线段啊进行一个边转换就可以得出啊， d f 等于二倍的 d c 啊，这样的是一个思路啊，大家看一下这道题目啊，这类题目乍一看很难很难， 因为他这个条件啊，没有相通性，不知道怎么用，但是他恰恰这个不相关的阿尔法和一百八十度减二阿尔法给出来，我们去做手拉手全等的 这个体验，他就告诉我们，其实就是等于是在告诉我们要用啊，再把另一条边给他旋转一个一百八十度减二阿尔法就可以做了啊，等于是这么一个意思啊，下面再来看一下这张图呢，也是给出了这么三个已知啊， 角 b、 a、 c 啊，这上面这个小锐角是一个 r 法，角 b 呢是一个九十度的角， 还有呢 a d 啊，顺时针呢，绕 a 点，顺时针旋转了一百八十度，见二 r 法。 那咱刚才第一道题，咱现在应该知道啊，一百八十度减二 r 法，虽然和 a、 c 没关系，其实它给我了我们一个信号，就是让我们把 a、 c 也顺时针旋转一百八十度减二 r 法， 就是它怎么做啊，它这个线怎么怎么做，咱们就怎么做，做一样的线啊，旋转完之后呢，就得到一个点，假如说是 af， 我 们这个时候把 ef 和 fc 都给它连上， 所以呢这个第一个旋转的这个线 a f 啊，是我们的主辅助线，剩下的两个连啊，可以把它理解为一个负辅助线，但是这个负辅助线啊，旋转了以后我们会有啊很多的作用，然后就是这个线呢，也是一线多用的， 连成这样的一个图形之后呢，我们看它求的是三条边的关系，三条边的关系，然后呢，我们经常啊 啊，最常用的就是会把它放到一个直角三角形当中啊，用勾股定律来求我，因为我们现在啊，旋转完之后，我们直接可以得出的结论就是 e f 肯定等于 c d， 那 ab 怎么办？ ab 应该转移到哪个地方去？我们会发现角 b a c 啊，是一个 r 八的角，角 a c f 啊，也是一个 r 八的角，这个时候我只需要做一条主线，就是过 a 啊，做 a h 垂直 f c 与 h， 等于是我在三角形 a f c 当中做一个三线合一的线，这时候呢，我 h c 啊，就可以用 a c 乘以 cosine r 法表表来表示， ab 也是 a c 乘以 cosine r 法，所以呢， h c 和 a 和 ab 就 建立了关系，那 h c 呢，又等于二分之一的 f c， 所以呢， f c 就 等于二 ab， 当然这一个呢，我们也可以用三角形全等啊， 很多方法，但是证出来结论都是一样的。这样的话呢，我们还差一点，就是我需要证角 e f c， 它是一个直角， 怎么证啊？这个角呢，它可以作为三角形 a e f 当中的一个角，那我们通过内角和来解决，我们发现呢，角 a f e 有 两部分组成，一个是三角形 a c f 的 底角啊，再加一个角 e f c， 我 们在三角形 a e f 当中，这两个小角小锐角加起来呢，可以转移到我们手拉手那个三角形当中去，它就是一个九十度角 r 八的角，再加上一个啊，角 a f c， 这个角 就是一个 r f 的 角，对不对？这样加起来呢就是一个九十度，剩下的这一部分是谁呢？就是角 e、 f c， 它呢也是一个九十度的角，这样的话呢，我垂直就挣出来了，我把线段关系往上一带啊，再等量代换一下就可以了。 以上呢就是咱们关于啊旋转呢，一百八十度减二 r f 这类题目的一个讲解， 大家可以发现这类题目呢难就难在我的旋转角度一百八十度减 r r 法 和另一个给出的 r r 这条线段呢，这个角度的线段呢，好像没有直接的关系，我们只需要旋转，绕着这个共同的顶点旋转一个跟 r r 这个角的啊旋转，它呢一个一百八十度减 r r， 我 们的关系就呼之欲出。 大家呢，要把我这一节课讲的两个例题和上节课讲的两个例题， 包括顶角旋转阿尔法的和底角式阿尔法，旋转一百八十度减二阿尔法这四道题目一定要理解透吃透，今天的讲解就到这里，谢谢大家。
74焦通数理
05:58查看AI文稿AI文稿今天来学习二六年西城一模的几个综合。首先我们来看题角， b a c 是 阿尔法， ab 等于 ac， cd 垂直于 ab， 这个时候很常见，北京中考很常见的直角三角形，给它补成等腰三角形好继续往下看。他说 b m 平行于 a c， 那 这个时候肯定是会出现一个倒角， p 是 d b 上一点 他说了 c a q c a q 和 a p c 是 相等的， a p c 设为 beta， 那么 c a q 它整体就是一个 beta， 那 么 b a q 就是 个 beta 减阿尔法。 ok， 他 说了，当 c a q c a q 是 阿尔法阿尔法时候，那就是 b a q 是 阿尔法了。求 b c p 的 度数，那因为 c p a 他 们都是相等的，对不对？所以 咱们就知道了，这个 abc 这个角他应该是一百八十度减阿尔法除以二，他应该是九十度减去一个二倍的阿尔法，那所以咱们就直接可以代入一个外角等于不相邻的两个内角之和， 这个外角两个内角之合。这杯塔咱们也知道是个阿尔法阿尔法，所以角直接写出来，角 b c p 就 等于角 abc 减去角 abc 等于二倍的阿尔法。减去九十度，加上一个二分之二法一定要变号，所以就等于应该是二分之五倍的阿尔法，二分之 五倍的阿尔法减去九十度。第一问咱们就做出来啊，主要来看来看第二问。咱们首先来梳理条件，首先 b a c 是 阿尔法， 那么 ab 等于 ac， 这两个边肯定是要用到的， b m 还平行于 ac， 肯定会出现倒角， p 是 d b 上一点做了 c a q， 咱们刚刚说了 c a q， 咱们说为贝塔，所以 b a q 就是 贝塔减 or 还等于 a p c a p c 就是 贝塔。这方面他说了， e 为终点的时候，让你求 d e 和 b q 的 关系，要不然你就找谁跟 b q 相等，要不然你就看谁是 d e 的 二倍，这个时候全等 d e， 要 e 就是构造全能集中。第二就是最近几千年初学的重点一直是直角三角形补充等于三角形。这个题考察方式在 二五年的中考，二五年的海淀一模，二六年的海淀一模，全部都体现，所以大家这个要做重点，那你看题中有哪些直角三角形，是不是一个 a， d p 就可以？这个 a， d， b 是 不是也可以包括 a， d， c 是 不是也可以？咱们首先第一个说个大三角形，比如说咱们倍长 a， d 倍长 a d 到点 n， 这样的话连接 c n 这样，那这个 c n a， 它就是等于一个 r 方，这是贝特，所以 p c n， 这也就是个贝特减 r 方，一个角相等了，还有一个角内错角，它俩平行，所以 abm， 它就是一个 r 方，这有两个角已经相等了。除此以外， c a 等于 c， a 等于 ab 等于 c n， 所以角也是相等的。咱们不难看出来，这两三角形其实已经全等了，是把那个凸比给你画了起来，也就是 abq 和 cpn， 这两三角形是全等三角形。如果知道全等三角形以后，第二步 咱们就判断他关系，既然判断他们的边的关系，肯定要构成等量关系，对不对？这个跟咱们二三年的中考题如出一辙，只要看见边程关系，如果乱的，咱们就直接设参数，咱们设餐。如果 e 是 e 是 这个 ap 的 终点，那么咱们就可以分别设，那么 d e 咱们就可以设为小 a， 那 么 d p d p 就是 设为小 b 就 可以了。因为 e 是 ap 的 终点，所以 a， e 就是 a 加 b， 那 p n 呢？ p n， e 是 a p， 然后 d d 又是一个 a n 的 中点，所以 d n d n 应该是二 a 加 b， 那 么 p n 因为 b q 跟这个 p n 挂钩了，所以 p n 应该应该是二 a 加 b， 再减一个 b， 所以 应该就是二 a， 这个时候咱们就可以转换过来了，所以 b q， 它就等于 p n 就 等于二倍的 d e， 所以 最后多出来 b q 就 等于二倍的 d e。 第一种解决方法咱们先总结一下。第一，第一问还是很简单，主要看第二问，条件一定要用上平行，一定会倒角。第二，边相等的时候一定要注意，因为首先咱们第一全等的 做法就是直接应用到几何综合现象做出来，首先只有直角用全等。第二，咱们要注重这一点，这直角三角形要补充直角三角形，这样的话会有 背长、中线、边相等，还会出现倒角。其次，如果遇到边长关系乱的情况下，你比如说 e 也是中点， d 也是中点，怎么办？那就分别设参数为小 a、 小 b， 这样的话， 一你不会觉得乱，第二很容易找到等量关系。好吧，那这道题就说到这，随后老师还会。
18蔚宁数学
02:43查看AI文稿AI文稿好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型， t 字模型。好同学们，我们今天来看一个特别经典的模型， t 字模型。先看坐标系， o 是 圆点， x 轴和 y 轴互相垂直， 有一根梯子，两岸分别在两条轴上滑动， a 端在 y 轴上， b 端在 x 轴上。 t 字的长度 ab 是 固定的，不会变， q 是 梯子 ab 的 中点，然后过 b 做 bc， 让 bc 垂直于 ab， 最后把 o、 q、 c、 q、 o、 c 都连起来。问题来了， o、 c 最大是多少？ 注意看这个关键。角 a 在 y 轴上， b 在 x 轴上，所以角 a、 o、 b 正好是两根轴之间的夹角。九十度 在直角三角形 aob 里，直角在 oab 是 斜边， q 是 斜边的中点。根据一个基本结论，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以 oq 等于 qb 都等于二分之一， ab 等于二。 梯子怎么滑？ oq 的 长度永远不变，等于二分之一 ab， 这说明什么？ q 的 运动轨迹是以 o 为圆心，以二分之一 ab 为半径的一段圆弧。 再来看 b q、 c， 因为 b、 c 垂直于 a b， 而 q b 就 在 a、 b 的 延长方向上，所以角 q、 b、 c 也是直角。由勾股定律 c q 等于根号下 q b 的 平方加 bc 的 平方，也就是根号十三，这也是个常数。 好，现在看 o、 c、 o、 q、 c 三点构成一个三角形，由三角不等式任意三角形两边之合大于等于第三边，所以 o c 小 于等于 o q 加 q c。 等号什么时候成立？就是 o、 q、 c 三点共线的时候，这时三点成一条直线， o c 等于 o q 加 q c 达到最大值。 来，我们把梯子滑到那个共线的位置，你看 o q c 现在恰好在一条直线上了，梯子的倾斜角度调整了，但 o q 和 c q 的 长度完全没变。 结论来了， o c 的 最大值等于 o q 加 c q， 也就是二分之一 ab 加上根号下二分之一 ab 的 平方加 bc 的 平方，带入数据，最大值是二加根号十三。这就是梯子模型的核心公式，记住它哦！
33AI+ 教育创新
26:29查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学大家好，这里是小王老师课堂啊，今天这一讲，咱们来自专门讲来自咱们粉丝的一个投稿啊，这位粉丝同学啊，他是来自湖南衡阳的哈， 这个题我觉得是非常有必要一做的哈，这个今天讲的是中考数学最后两道大题里面就是最难，分值最高，拉分最狠的一类题哈，这个题我觉得好的原因是他考到了全等相似旋转以及 就全等相似旋转几何综合压轴题啊，我觉得这个题是非常的好的，他其实我感觉还是对不难哈，如果跟过我的同学应该还是觉得很轻松的哈，但是他这种考法是非常好的哈，很多同学看到这种题哈， 他就会直接放弃，他留白写两笔，他，他就写两行，他就停笔了哈，其实这种题他比较有固定的模型哈，有万能的口诀哈，有一些一步一步的得分的一些套路哈，今天我带大家 弄一弄啊，就是哪怕你基础一般啊，听完这节课，这个题，比如说满分十分，你也能拿到至少七到八六七分啊，就已经很不错了啊，七分八分哈， 基础好的同学直接就拿满分了。这个题哈，跟着我来做一做这个题哈，这个，这我讲题的时候，希望同学最好记一下笔记，尤其是我觉得有些非常重要的同学，可以记一记哈，对你肯定的学习是有帮助的哈。来，我们来看，话不多说，我们来看第一题啊，我们先读题， 他说有两个三角形 a、 b， c 啊，同学们稍微可以，我把它放大一点大，大一点点哈，怕有些同学看不见我用红笔哈，嗯，看，他说有两个三角形 a、 b、 c、 d， 再和三角形 a、 d、 e 均为直角三角形，注意，是指 a、 b、 c， a 和三角形 a、 d、 e。 就是 a、 c、 b 和 a、 d、 e， 它的两个直角边一个是 a、 c、 b， 对吧？一个是 a、 d、 e， 注意，这两个角是呃，九十度。他说 b、 a、 b， a、 c。 角和角 e、 a、 d 都等于三十度。注意看图，角 b、 a、 c 是 不是这个图？ 角 e、 a、 d 是 不是这个度？这这，这两个角哈，我们看一下，我用用蓝色的笔给大家标一下，就是这个角，角一，这个角，这个，这两个，这两个所谓的对顶角是不是等于三十度啊？那我们看，这个角等于三十度，这个角等于三十度啊，注意一下，他说连接 b， e， f 为 b e 的 终点，这个 f 为 b， e 的 终点 v v b 的， 那是不是 b， f 是 不是等于 f？ 一 啊？好，他说了，过点 e 做 bc 的 平行线，交 c 线， c， f 于顶点 bc 的 平行线，这条的平行线，然后过点 e、 e 在 这里，然后交于 g 点，那是不是就 bc 平行于 e g 啊？题干就这么简单哈， 有两个有，有一个平行，有一个对顶角，等于三十度，有两个直角等于九十度，就那两个直角三角。题干读完了，我们来看一下，他说 c、 e 三点在同一条直线上来，认真看图， c、 e。 正在看，同学们， c、 a、 e。 看看，读啊， c、 a、 e 就 这三个点，这三个红点，他在一条直线上就读。 e。 考试的速度很快的，就如图哈，因为很多题，可同学肯定没这个题，我给大家 放一放啊， c， f 等于 g f， 他 问，你证明 c， f 等于 g f， 也就证这两个。同学们啊， c f 等于 g f， 在 你的脑子里面证明，证明两条线段相等的，嗯的时候，你的脑子里面是不是最先想到了应该就是全等啊？同学们，对吧？你看这个题一看，太好了， c f 和 g f 题干已知了。 bc 和。呃，这个 bc 和这个，这个这条线叫 g e 平行，对吧？ bc 和 e 啊，这个平行，平行，平行，是不是这些角度相等啊， 对吧？什么？这些角是不是都应该相等？还有个对顶角也相等，是不是有三个角了？这三个角都相等，那再再找条边啊，随便找一条边，他说这个是总点哇，给的太好了，就这样， b f 和这个这个我画的太乱了，把它删全部删掉啊，总点就这个玩意啊，大家重新看自己看啊， 我知道就这两个相等加这些角，这个角相等对对零角，而且平行的时候不需要这个对零角也行，你需要给了也行哈。这两个顶三十的中间这些角是不是应该？所谓的什么内错角，是不是应该相等？随便加吧， 就可以把这两个三角形全等，注意看，有红色三角形，这两个三角形是不全等，那全等的不应该 c f 就 等于 g f 吗？第一问就如此的简单哈，来看我在这里写的步骤哈，我怕影响大家讲，他说这个 f 为 b e 的 终点，大家看这个是不是 b e 就 等于 e f 了， 对吧？ b 等于 f。 刚才我说了啊，提杆你们给了 b 一 就等于 f 啊， b f 就 等于 f 啊， b f 就 等于 f 哈，他说这两个平行平行，是不是这个两个角相等啊，对吧 对吧？我用的这个是一个对顶角加上一个对顶角， bfc 就 提杆给这个 bfc 和这个这个对顶角，哈， 这两个角啊，刚才这个这两个角是也是对顶角，是等于三十度提纲给的啊，别看混了刚才我才看混啊，那我用的这个是不是脚脚边角，对吧？就就证明出来了？也可以啊，你也可以选这两个角这两个角 对吧？这个角，这个角和我用红笔不同的角，给大家画一画吧。认为有些同学他，他说，哎呀，只能这样吗？不可不是，这个角和这个角相等，对吧？那这红色的笔再来一个是吧？这个角和这个角相等，是吧？ 可以吧，对吧？这个所谓的内错角哈，对吧？然后你再加上刚才给的那条边，就 b f 和 e f 和 e f， 是 不是就角角边都能挣出来？第一位就送粉底啊， so easy 啊，不用管啊， 老师，看第二位哈，我讲啊，主要是这种题我不相信有人不会啊。好，第二第二问啊，从这里开始就有点难了哈，他说要连接这个 cd 和 d g， 这题图其实已经连好了 cd 和 d g， cd d g 就 我们次当心的画一下和 d g， 对 吧？就在这里啊，他说证明这个角 d c g 等于三十度哈， 你们看一下 d c g 在 哪里？要把全部调掉。 d c g 是 哪个？哪个玩意？是不是这个大角，这个红色的大角它要等于三十度。我的天，等于三十度，这个角是不是太特殊了？以你的认知里面能证明这个角等于三十度的时候，对吧？你的脑子里面有哪些思维方式，对吧？ 首先在这个三角函数里面，塞应是不是正弦，正弦是不是等于对边比斜边， 对吧？你的脑子里面也可以想到这些东西，对吧？如果你真的一个正弦或者余弦，同样的还有正切，对吧？你想一下这里面可不可以实现？还有你证明某个角等于三十度数，如果你能算算出这两个小角，这比如说这两个小角， 这两个小角，这三角形的两个小角加起来如果等于三十，对吧？很明显这种特殊的角，那你你想一想，肯定是在 你的脑子里面是不是应该在 r t 三角形面去找这些东西哈？既然要找 r t 三角形，是不是要找直角？你找到直角的时候证明这个东西就比较简单了，证明直角，你看题干给了这么多直角三角形，对吧？ a c b 和 a d e， 你 要向 你要从你的思维里面去碾压别人哈，就是要这样去想，你怎么想到的哈，不是说什么啊，你随便做的哈，啊，跟上我的思维了，我们看一下哈。 好，我我，我在前面的视频里面是不是说过了，你第一问做的东西啊，第一问出现的东西啊，就你第第一小问出现的东西，一定一定是把它一定会用到第二小问甚至第三小问的啊，就相当于是你已知的第一问里面，我们是不是得到了 c f 等于 g f 啊？ 也就这两个三角形，我写在旁边，三角形 b f g， 就 我们这里这个 b f g 无所谓， b f c 是 不是全等于三角形？这个啊， e e f g 的 就写在这里嘛， 这两个三角形全等，对吧？他全等的时候我刚定位是不是得到了 c f 等于 g f 啊？好，这个就是你一定要把它在你的脑子里面永远都把它记住。那 bc 是 不是应该也等于 eg 啊？就这两个东西， bc 和 eg 全等的时候， bc 是 不是应该等于 g e？ 好， 有了这两个东西了，我们来分析一下这个题怎么做是最快的哈。就这个三角形， d c g， 如果说你看 这条，呃，等于这这个角等于他的三十度，你看如果说这个，这个 c f 等于 f g， 对 吧？ c f 是 不是等于 f g 的 同学们，对吧？ c f 等于几何？如果说哈，你能证明这个角等于三十度， 这证明这个角等于等于九十度啊，这个角这个角，你要证明这个等于有不同的数学方式，这个 f 点是不是终点？如果证明这个是直角，并且你能正到 df 等于 f 七的时候，就刚好是他的中线的时候，你也能挣到这个角是三十度。为什么？三十度数就这不就是直角三角形的那个定义？直角三角形，而三十度所对的，呃 呃，脚是不是等斜边的一半，对吧？如果你能证明到这个东西，那也能证明到这个东西是，对吧？也能证明到他是，呃，三十度，这只是一种术语方式，他是可以做的啊，这里我就不再讲了，这其他的方法就可以用这个方法来做啊。好，我我我这里给大家分享一种啊，如果你能算到他的正切，对吧？就 d g 和这个 cd， 就他的正切算出来等于多少？正切多少度等于三十度，是不是三米六三，对吧？三米六三的时候你能算出来？为什么我我能想到用这个正切起来，因为他题干给了太太多这个角顶三十度了。他，他是在提醒你，同学们哈，他是在提醒你，他要正的，就这个三十度。为什么这么说哈，你要搞明白哈， 怎么能想到这些？还有刚才我说那种方法也能正哈，我在这里就不讲哈，方法讲太多了，时间有点长哈，我带大家理一下这个方法思路就行哈，看一下。 好，我们刚才讲是 bc 是 不是等于记忆，你看这个角是不是正七啊？这个角是 a、 c、 b， 我 用其他笔给大家演示一下蓝色笔哈。这个角角 a、 c、 b， 是 不是直角，这个角是不是三十度？这个角的这个角是不是等于 bc？ 比上 ac 是 吧？你看 bc 就 等于记，这不就是所谓的桥梁吗？对吧？你看一下那记忆和 ac 是 不是就有关系了？ 是不是？同学们，这个角是三十度，这个角是三度，这个角是不是一百五啊？角 c， a， d， 哎，你看角 c、 a、 d 等于不？跟我们来算一下这个角，这个角就是 c、 e， g， 是 不是九十度加上这个， 哎，这个 a、 e、 d， 就 这个小角，这个黄色的，这个黄角，这个角是不是等于六十度？哎，同学们说为什么等于六十度？因为这个等于三十度，这个是直角，既然给了 b、 d， 这个 a、 d， e， 也就是这天，这个，这个角九十，这个三十，那这个不是六十吗？六十加九十，这个角也是一百五啊，你看这两个角一百五就三角形，这个 c、 a、 d 和。呃，这个角 g， c， a， d 和角这个 g、 d 有 两个都一百五了，你看一下这两个角全部相不相似嘛？全等，咱说不上，其实就是手，那个手拉手模型的那个有点像，对吧？这两个东西， 对吧？你脑子里面其实能判断出这两个相是为什么？这这个东西有个公公共用角，这个角夹起来直角，这个这个 c、 d、 g， 如果你我们目标是不是正角啊？ c、 d、 g 是 直角，如果说这两个相似，你看，你看，这个这个角啊，有一个公共角，这两个角，哎，又换个颜色，笔， 黑笔。同学们，你们看，如果这个黑色的两个角相等加加上这个公共角，对吧？这个公共角加起来等于九十度，那这个黑色角和，呃，相等的时候，那这个黑色这个黑色的角和这个公共角加起来不也是九十度，不就完成了目标？完成了目标的时候，那不就是他的？ 如果能再能挣到这这条边比他这边比三分之二三，他不就挣出来？这个我就用这种收尾法做的。还有刚才我说的另外一种收尾方式也能做哈，我在这里就没说哈，来哈，有了刚才的收尾方式，我们来来现在的目标就是挣这两个三角形要红色的， 来吧，用这两个三，用，这就真的这两个三角形要相似。哇，这两个三角形相似太简单了，这这个角一百五，这个角一百五，对吧？他现在 为什么这个相，这个三角形的相似正起来难了。就是很多同学百分之九十的题啊，正相似的，都是都是用的两个角相似。来来正啊。而这这道题的时候，你用两个角角相等来正相似，他是不好正的，要用这里的， 对吧？两边成比例且夹角相等，这个这个定义来正还比较快。为什么啊？因为他给了一个正切，很多同学这里没反应过来，我把它擦掉，你看， 认真看，同学们，这个角是不是 dc 比上 ac 是 不是正切？这个是对顶角，这个也是直角 d e 和 a d， 不， 他也是正切啊，而且他俩正切相等啊，你看到这一点的时候你就明白，这如果把这个对顶角，我把这个图抽象出来，这个其实是一种模型哈， 我，我讲过哈，其实我不是跟同学们讲啊，我私下里面的有学习，其实很简单的，这种题 私下的学生应该是，对吧？你看这两个对吧？直接来说，这两个正确，他不光正确，他的正弦一线，哎，不是都相等吗？这里恰好用的是正确，为什么他两我用的是两边乘比例，哎，对吧？对，甲角相等来正的，对吧？ 所以第二问，其实也是很简单的哈。好，来，我给说。这么啰嗦的原因是因为有些同学可能平时接触这种压轴题比较少，这种数学方式没接触接触到导致的啊，这就我们现在目的目标已经正好了， 对吧？就挣，这两个东西相生相似，刚才其实我已经说已经能挣了，对吧？我们来书写一遍啊，最后能蹬到这个角为九十度，这个角为九十度，就是 g d 比 c d 的 时候，你把它算出来就 ok 了。来看一下我写的过程，同学们认真看在这里，好，第一问，这个刚才有了，对吧？我说了这两个全等， 第五个三角形 fbc 和 d f e g 全等，全等是不是可以得到 bc 等于 e g 就 这两个。哎呦，这两这两个玩意 g 它是相等的，对吧？刚才我说了，为什么？因为它是桥梁，这个 bc 和 abc 和 ac 刚好就是正切它的比，而这个 bc 刚好就能换成 g， 你 看在这个三角形面，它不是等于三十度吗？对吧？它它那角 bc 哈， bc 比上 e c， 因为这个一 bc 就 等于一，那这个短线不就三，三只杠三吗？你要注意看哈，我用红笔的同学给同学这里要认真啊，有些同学他看不懂啊。这个玩意比上这个是不是给三只杠三？同理， 这个，这个角是一百五，刚才我已经解释了。这两个大角红色的角相等啊，我已经不是就在这里啊，你看一下刚才我，我已经解释了，这里我就不再浪费时间了哈，都等一百五哈。咱们再看一下这个，这个角， 就刚才我说的这个，这个，这个玩意 d e 比上 a d 是 不是也是正切啊？也是差不成高三，你看两边，两边哎，成比例且夹角相等，所以说这两个玩意就相似了，是吧？ 相似了过后，对吧？相似了过后，这这两个这个角和这个角再换一种颜色的笔啊，黄色的笔，这两个角是不是相等相等呢？这 这个角一，这个是角二，角三，角二加角三等于九十度，这经经常用的一个一个东西啊，角一加角二等于多少？并且角一要等于角三，那这个 这个这个角一号，再加上去角一加角二不是也是九十度吗？这个大角不是就是九十度吗？九十度不就是，就现在你要求的是这个角，那你算出这个 d g 比上 g d。 他的正切不就 ok 了吗？这个这个正切是不是收一的呀？朋友们，是吧 是吧？这个他的正确是不是 d g 比上 d c 是 吧？是不是 d g 比上 d d c？ 就 像这这个玩意儿，他 d g 比上不就是 e g 比上 e c 吗，对吧？就是 e g 比上 e c 啊，是吧？就是 e g 比上 e c 啊，对吧？就因为刚才这个，这两玩意儿 他不是相似嘛，相似他就有这个比例。咱们是干啥再去写一写啊？很简单哈，主要是刚才那个思维过程很重要，所以一直这个题哈。哎，我们不在这里多废话哈，有了第二问的基础啊，做到这里的时候，这个题对吧？一共十分的话，前两问就六分，对吧对吧？到这里六分已经到手了。 好，我们来看啊，看一下最最后一问啊，把它擦掉啊，不然图有点滑。看到有好，其实，其实我个人觉得啊，第第三问你会的的情况下，第 啊第三问你，你其实应该能八九不离十的把它做出来啊。听我说，带你们做一下他三角形 a d e 就 这个东西，三角形 a d e 绕，他绕到图二的位置，图二就长这样， a d e， 然后连接 d f d g， d f d g， 图上都已经连了， d f d g 这些玩意都连好的，然后他问你 d f g， 哎，考试的时候你看嘛，他也是个等边三角形嘛，至少是个等腰嘛，肯定是个等边嘛，对吧？你考试就写一个，他是个等边三角形。一分到手了，加上前面的 啊个六分，已经七分了，压轴题十分满分，你得了七分，你还要咋样呢？满分一百五的卷子上对吧？现在就考一百就接近一百四，其实是很简，就相对来说就比较容易了，你考一百三十五以上没啥问题啊。哎，这个题其实很简单， 他第二问件，嗯，就是在为第三问做准备，就相当于一个探究的过程。第二问，你用到的思想方法来做第三问，就能把这个题做出来。第二问，是不是告诉你 cd， d， g 要连接起来吗？这就是一种特殊情况了，对吧？你把它连接起来， c， d 和 d， g 连接起来哈。第二问，我们做的是什么？是不是证明了三角形 g， e， d 和三角形 c， e， d， 三角形 c， e， d 和三与三角形这个玩意儿与三角形，这个 g， e， d， 对 吧？ g， e， d， g， e， d， 你 看它相不相似？三角形 g， e， d 来，我用，我用这个笔，这个颜色的笔给大家看一看啊，对吧？这个这样， c， e， d 这个玩意儿和这个 g， e， d， 你说他俩看着像不像？是你考试的时候你，对吧？这个玩意儿你要用，用到第二题的那个就要用他的那个叫类比推理的方法，一种思维方式哈，在这里我不多讲哈，你把这两个的东西相似给他震出来，相似震出来的时候，那这个题不是就很简单的吗？还有用刚才我，呃，用 就做第二个方法震这个玩意儿， d， c， g 是 不是要 d c g 零三十度，就那个三十度啊，你想一下这个 d， c， g 是 吧？ d， c， g 这玩意儿是不是三十度啊？ 是吧？你要想一下你怎么用这玩意？他第二问，他给了这些玩意，你要去用啊？你把你，你把你，最后你搞不明白，第二问是不是让你挣到 dc 等于三十？那这这第三问就是在第二问的延续，你把这个 dc 等于三十度挣出来，你看这个题，如果 dc 等于三十度，整出来是成什么玩意了？这题很简单，其实啊，我觉得 你其实呀，这个出题人已经很就是他在带着你做这个题，题干是不是给了 f 等于 g， f 题干给了吧， f 为 b 的 终点，是不是？如果这个角等于三十度， 这是不是终点？你看一下啊，终点的时候是不是天然 c f 是 等于 f g？ 好， 我们再分析一个问题，如果说你真的这个角就这这个角，这个角 c d g， 这个这个第二问，我们是不是挣出来这个玩意等于九十度，如果这个这个角等于三十度，你看等于九十度啊，垂直的啊， 是不是三十度所对应边等于斜边的一半，那这个这个边是不是等于这个这条 c g 的 一半？那这这个这个 g d 等于他一半，那是不是天然就应该 g d 是 不是就应该等于 f g 了？而这个是这个，这个是中线斜边，那这条边是不是也应该等于斜边的一半？那不就等于要等边了吗？三条边都相等。 对啊，所以说咱们的目的，这个题你听我讲的这个数就很简单，是不是就应该正这玩意等于垂直，并且正到这个等于三十度，那不就是等边了，你就搞定了这个题， 对吧？所以说我们现在目标就是挣这个玩意，他就是第三问，其实就是在第二问的基础上去盘让你，他给了你提示，就把第二问的方式再重新用用一遍。只是现在你要去怎么挣到这个角等于三十度，以及这个角为什么垂直啊？我看一下 这个角等于三十度，以及这个角为什么垂直，对吧？现在我们目标就要正，这个好，我们开始啊，对吧？这个题是很简单的，我个人觉得这种压轴题哈，如果是我所要选，那就送分的了。我感觉啊， c d 肯定是要连的，为什么呢？刚才我解释了，是吧？ 首先他他就连了，第二我们我们的目标是要，对吧？根据第二问，第一小问的第二第一小问，第一问的第二小问来分析啊。刚才口误了，认真听哈，我们来看一下。哎，这个 cd 先连接起来，我们我们现在的目标是，首先正，这两个三角形相似啊，我用直接用的这两个玩意相似， 来看看能不能挣哈，完全和第二问的这个第一小问的第二问完全方法啊类似。首先你去看一看能挣不能挣，两个挣两个角，对吧？你要把它 相等那个那个正出来，对吧？就是我刚才说的就是这个角 a， d， 就 这个这个角，这个角这个角 c， a， d 和这个 g， 就 这个角 g， e， d 这两个相相等，你看它正出来，然后再用刚才的方法两边对应成比例且夹角相等，对吧？两边就你，你说就 a z 是吧？ ac， bc， 这个就 ac 吗？你看我这个 bc， 你 看这个角不是三十度吗？听见了，用刚才的方法 bc 比上 ac 是 不是等于三十度？同同样的方法，因为这个 bc 和 d 问记忆是相等，那所以说记忆和这个 ac 他 就不就有联系了吗？ 对吧？你看这里我其实都写了哈。好，我们来看下这个题怎么做的啊，我带着大家做一点啊，这这里有一有一条辅助线，不是大家有，光是这样震的话，你是震不出来的啊，有条辅助线哦，你对吧？就是这个 cd 辅助线，大家都是会做的哈，我们用红笔吧。这题把我的思路听明白啊，其实很简单， 连接 cd 没问题哈，过点 b 做 bh 垂直平行于 d 啊，为什么要这样做？就是等会首歌时候我给大家讲一下 为什么是做的，我做的是平行线，你自己做平行线的时候，这这种题你你才好做，因为平行线的时候在角里面的他才会出现什么内错角 这种，对吧？什么同位角这种方这东西你才你才去找好角相等，而且这里其实如果你的脑子灵活了，其实我还还是用的那种所谓的四点四点共圆的方式啊，就你平时如果说没有那方面的思维方式，你做题就很难哈，你看这个角是 直角对吧？ a、 c、 b 这条平行线，你想想那个圆里面直角三角形对吧？那个圆周角的问题，不就这个玩意了吗？你这这这边再找一个，那玩意不是也锤子吗？你看这个为什么，为什么这样做，你看这个 a、 d、 e 是 不是给了九十，这个九十，这就是为什么当时这个就是九十，你看你，你这样做是有原因的，这个角角九十，这个角九十，不是说你这样胡乱做的，并不是说我想怎么做就怎么做哈。 啊，有了这些，呃，各位老师，我直接问一个问题，就看这个 c、 b， h 啊，这个角，这个角 c、 b、 h 等等等，不等于这个角，这个 g、 e、 d， 我 看有没有同学能快速按。就这个角这两个红色 呀，可能是角太多了，换个颜色，就那个黑色的角，为什么能不能直接判定出它俩相等？好，脑子灵活的同学一秒就能判出来它相等啊， 对吧？为什么？首先题干给了，是不是这个 bc 是 平行于 e g 的？ 哎呀，我把这个擦掉了， bc 和 e g 是 不是平行的？你看啊， bc 和 e 角，这个角和这个角是不是内错角？ 呃，这个这个平行的，嗯，老师是吧？啊？这，这个，这个，这个玩意和这个平行，你看它是不是内错角？那这个角呢？ 这个角和这个角是不是也是内错角？这两个平行？这就是就直接快速的得到这两个角相等了。好，这两个角相等那个是有什么用？这个角我们的目标是不是要正到这个角，这个角，这个角 啊和他相啊相等，怎么正呢？你看这个，我玩意这两个是直角四边形，他内角和是不是三百六？三百六，减去这两个角加这两个角加起来是一百八，请问 这个角加这个角等于一百八，而这个这个角，那你看这个角，我，我一定要看图啊，我没念什么角一角二，就这个，这个角和这个角加起来是不是平角，角一，角二，角三啊？角一加角三 等于一百八，角一加角二也等于一百八，那是不是角二就等于角三？角二等于角三，那刚才说了角三是不是就直接等于一万？因为这个角角二和这个角他是相，就我们的目标就是这两个角要乘到相等不就 ok 了吗？ 认真听一下刚才我说的那个哈，因为这个角天生，刚才我说的是等于这个角的，这个角就等于这个角了。好，我们来角，角我已经搞定了哈，我们来看，我把这个擦掉， 因为我这个不喜欢说太多的那种字母啊，写字母的话有些同学理解不了。好，现在我们已经正到了这个角和这个角相等，刚才我下面的书写就在这些啊，可以下去自己看一看哈。就角 cad 啊，就这，我就不喜欢写什么角 cad cad 啊，这种其实容你容易失去对这种学习的兴趣啊。嘴，好，现在看两 角相，等着我们正两边对吧？两边，哎，对应成比例，你看这个低温的知识一定要用起来。就 eg 和 bc 是 不是相等， cf 和 f 相等，那 bc 比上 ac， bc 比上 ac 是 不是刚才用了利用这个三十度是不是正切？ 而刚才说了 bc 又等于 g e， 那 不就是 eg 比上 ac 不 就等于那个正切三分之二吗？同理，这个三角形。嗯嗯嗯，这个玩意儿叫啥？ 懂？你是不是可以得到这个 g d 和 c d g d 和这个 c d 的？ 呃呃，笔直是吧， 自己去看一看，利用这个 e a d e a d 哈， e a d 自己看一看 e a d 这玩意儿啊， e a d 我 们就不在这里不多说了，也等于三分之二三哈，用刚才第二个我讲的很清楚的那个方法啊，好，有了，这两个东西，有了有，有了两边计甲，加上这个两边对应成比例，加上甲甲相等过后，这个相似就有了相似，有了过后我们就来看一下 有，有了相似过后，我们得到一些角的相等哈，好，这个角相等是不是这，哎呦，我们目标是乘这个角等于九十度是吧，好，这个角是不是，哎呀，不好，擦呀，这个样和刚才那个是一样的，其实是 压到底就烦的很，就这样画画图画的画的很乱哈。 c， 然后这个角 a， d、 e 是 不是等于九十度啊？ 那 c、 d、 g 是 不是也是九十度？刚才我说了啊，那这个 c、 d、 g 等于九十度，正那个角啊，我这就不太画了啊， c、 d、 g， d 比 c d 是 不是三根杠三，三根杠三，这个角不就三十度吗？就已经正完了，这玩意就刚才我说的那一套， 三十度的所对边等于斜边的一半，这个等于斜边的一半，那证明这个 f 点也是中点，那这个玩意是吧，那加上那个中线性质，这条三十度，这这条线的一半，那三三条边都相等，所以说是等边三角形。 后面我说的比较快啊，因为主要是第二段，主要思维方式很重要啊，像以后看到这种题啊，请不要慌，他不要慌，他不要怕。 好，这个题我们就讲到这里啊，就是因为这个是投稿的吗？因为主要可能也是部分同学比较那个的比较难的啊，觉得啊，以后看到全等箱式旋转的压轴的，往这方面想一想啊，其实可能对你的提升很大，这这个辅助线最最主要是这个辅助线怎么做的？想一想啊， 压轴题的分数你们就是十分左右，能得个八分九分就就挺好的了，能得分更好啊。还有不会做的压轴题的就是你们可以在这个私信我投稿啊，我们下一期再见啊，拜拜。
