高一下册数学立体几何垂直

哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二第八章立体几何初步八点六点三，平面与平面垂直。好，来到了我们的本章的最后的一节课哈，也是我们的这个垂直的最后的一节课哈，面面垂直的关系 好，我们通过呢。跟之前一样，我们说除了线面垂直是一个特例，他得单独定义之外，别的都是先定义角。我们这里看一下哈，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。同学们说，哎，没看懂什么意思？ 从一条直线出发两个半平面，什么叫半平面？我这个地方这条直线截了这一边，你就不要去延伸了，平面是往四周 无限延伸的，对吧？那这边不要延伸了，往这边延伸一半的平面叫半平面，这个东西哈，半平面和平面不要觉得它很复杂，我们只需要去类比半平面是什么射线， 那么平面呢？就是直线好不好？那么我们的这个另外一个呢？你看这边被塔这个整体所形成的图形，它就叫做二面角， 那么平面呢，会有两个角，也跟我们的直线是一样的，直线我们会有什么？平面角？它实质上是两条什么两条射线组成的角，它是有 零度到一百八十度的，对吧？那么另外一个呢？我们两边延伸，它又变成了什么？变成了直线，它的范围就是零到九十度，这个叫直线与直线所成角。所以其实我们的直线也有两个，我们就可以完全类比。 说很多时候哈，我们在画图的时候，我们都可以这样画啊，这个是非常重要的一个技巧好吧，比如说我们画这个角度的一个侧面，他就是什么，如果是平面，我们就画成什么，画成直线，如果是二面角就是半平面，我们就画成这个射线啊，就这样子。 好，这个叫二面角，那么这条直线呢？叫做二面角的棱，那两个半平面呢？叫做二面角的面哈，整体的整个东西叫做二面角。好，棱为 a、 b， 面，分别为阿法和贝塔。棱是什么？ a 和 b， 记作什么呢？记作阿法 a， b， b， 就是 说 我用这边的一个面，然后呢这个 a、 b 这条棱再加上另外一个面来做命名啊，这是一个命名的规则。那么有时为了方便，也可以在阿法和贝塔里面 棱以外的半平面的部分分别取点 p 和 q， 然后将这个二面角记作二面角 p， a， b， q， 那 同学们说为了方便它不方便呢？我，原来阿法 a、 b 那 个贝塔不挺好的，我还得找两个点，找两个点之后，这两个东西有啥区别吗？对吧？那么这里问题来了哈， 我们为什么要这么做呢？我们要有背景的，比方说我们看一下我们的正方体，那么比方说我们要去形容这个二面角，绿色的两个组成的一个二面角，好吧，那假如我们要使用平面的方式，我们就要写成这样子，对吧？ a， e， d， e， d， a， 一 杠 a， d， c， d， 然后呢，我们如果取点的话呢，就 a， e， a， d， b。 所以我们会发现什么问题啊？我们是要看上下文的，刚才我们要找这个点 p、 q， 我 们当然不去找了，对吧？对吧？而且刚才呢，我们有个面，这个阿法、贝塔现在没有嘛， 所以呢，当我们有这个点，然后这个面也没有做一个命名阿法、贝塔干嘛的时候，我们使用这样的方式是会方便简洁很多的，这个呢就是关于二面角的这个命名的法则的问题，对吧？ ok， 接着呢，我们来看刚才我们是定义了什么东西是二面角，我们还没有讲这个二面角多大，接下来我们看生活当中我们常说把门 开大一点，那这个是什么大呢？我们会知道哈，刚才定义了之后，会知道这个门跟我们的这个平面可以形成一个，比如说这里截住半平面，那这个就能形成什么？门面和墙面的一半就能形成一个二面角，那么这个二面角多大呢？就会涉及到这里的问题。我们来看一下 在二面角阿法 l 贝塔当中的棱上面任取一点，又哪任取一点，哪个都不重要， o 以点 o 为垂足，在半平面阿法和贝塔内分别做垂直于棱 l 的 这个射线 o a、 o b 好 垂直于这个垂直哈，不是 o a 跟 o b 垂直啊，这个不一定，我是 o a 和这个 l 垂直， o b 和这个 l 垂直啊，对吧？那么则射线 o a 和 o b 构成的这个角 a、 o b 就 叫做二面角的平面角，这个东西是不是就 跟我们的什么跟我们的这个平面角很像，呃，一样的，对吧？这样子二面角的大小呢？可以用它的平面角来做度量，好吧，所以呢，我们的这个平面角就是来量这个二面角的 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角，你看我们先花很长的时间来定义什么是面面所成角，然后呢九十度就是 直二面角呗，就这样子，二面角的平面角的取直范围是零到一百八十度，零可以取，就是他们闭起来啊，像嘴巴闭起来这样子，一百八十度像，像我说的，其实就跟我们的这个平面角一样的，如果我们从侧面图去看，就是一样的东西啊，对吧？好， 接着我们说平面与平面所成角，这个呢，课本在我们的下一本书选 b 一 那里才定义呢？很多同这很多老师，包括很多教材编辑教材的人都表示不理解，那我其实我就直接在这个地方讲了，因为其实关联度很大，我觉得没必要 平面阿法和贝塔相交，我们刚才是干嘛？半平面就这里是没有的，这里是没有的，那现在我们形成了四个二面角，如果是平面的就形成了四个二面角，我们把这四个二面角当中不大于九十度的二面角 称为平面阿法和平面贝塔的夹角，所以我们说干嘛用直线去类比就可以了，一模一样。那么这个地方呢，我就先做一个我们现在所接触到的所有所成角的定义， 因为呢，我们并不需要通过背这个角度的定义来记住以下五种，其实一共是六种，但是呢，我们的六种在我们的选 b 一 那里呢，我们做一个定义，因为还缺了一个。好吧，那么这个地方为什么在这个地方我们先讲一次，后面又总结一次呢？因为就真的太多同学在记这个东西了，这个鬼东西了， 永远选举所成角当中的叫小指，我今天提一个点哈，就无论你们学数学也好，学英语也好，你一定要相信别人是有规则的， 对吧？不要认为数学家闲着没事干，是不是他是正常人，而且科学家最喜欢偷懒啊。数学，科学，学科。直线与直线所成角范围是零到九十度，为什么呀？因为我们说一条直线，一条直线 会形成一个角，两个角，那我肯定是不要这个大的角，我贪麻烦吗？是吧？所以我要所成的角是小的，所以是零到九十度，这个不用记。 接着，如果，如果是向量与向量呢？向量是有这个点的，就是不是两边延伸的，他们的定义是拖到同一个起点，那此时是不是也可以这样子，所以他是可以零到一百八十度，那同样的，其实他也有一个大于一百八十度的，肯定不要大的，就这样子。 然后呢？直线与平面直线与平面，我们怎么定义的？我们的上一节课直线，我们的有一个摄影，对吧？投影，然后接着呢，这次也形成两个度，那我为什么，对吧？又是小的那个角度吗？简单的那个，然后就到了我们的这节课的半平面，对吧？半平面，我们说什么呢？我们就通过我们的平面角来做理解，对吧？ 射线，射线啊，这个是 o 啊，这个射线是一样的，这个就是半平面，而我们的平平面的整一个平面呢，就是直线啊，两个是可以完全对照的啊，这个地方呢，也是一个小的角，一个大的角， 平面一个小的角，一个大的角，所以这个东西呢，我从来一个都不可能背的哈，但我看到有些同学背的很辛苦啊，这个锁上角，这个锁上角背完之后呢，还会错啊，太夸张了，这个东西背来干什么呢？对吧？不，不要浪费这么多时间在这些东西上面所找到它的规律 啊，对吧？就是你们一定要知道，找不到规律是一定是你的问题。就像以前我们工作的时候就是在大公司，你如果觉得大公司的流程全都是很麻烦，很繁琐，都是有问题的，那一定是你的问题， 对吧？你一定要有这样的精神。很多同学看我的课，像我说的，如果我的课一百个人里面有五十个，有六十个没看懂，那么一定是我的问题。但如果有九十九个没看懂，有一个没看懂，那你就要知道，那一定是你的问题啊，对吧？这个是一个很简单的一个东西，我们一定要去理解对方啊，不要去这样死背， 所以这些东西节省很多的一些功夫，不要浪费时间在这些上面，这样子， ok， 我 们看一下利益。下列命题当中是真命题的，有两个相交平面组成的图形叫二面角呢，这个当然是错的， 一面直线 a、 b 分 别和一个二面角的两个半平面垂直，你看我们怎么画？这样的问题，我们要处理的时候怎么画两个半平面，还要去画平面，太难画了，对吧？太耗费时间了，用射线来表明就是这样子的，对吧？这个阿法， 这个贝塔，那我们会换另外一个颜色的笔，或者说画粗一点来表达，然后一面直线 a、 b 呢？分别跟它们垂直，这个是，哎，这个画细一点，对吧？这个是 b 啊，这个是直线，好吧，这个就清晰了，这个垂直，这个垂直则 a b 所成的角与这个二面角的平面角相等或者互补， 我们来看一下是不是的他们相等的相乘的角是这样子，这个，那这个是什么关系？互补，那有没有可能是那个什么？有没有可能是相等啊？有，比方说这个情况下小的，对吧？那这个时候，这个这个， 那这个时候呢？这个角和这个角就是相等的关系，所以我们怎么找他关系？怎么画，这样用剪图来画就可以了，明白吗？然后呢？所以这个是对的，这个是错的。 二面角的平面角呢？是从棱上的一点出发，分别在两个半平面内做射线所成角的 啊？半平面内所做射线，刚说做射线所成角的最小的角啊，那当然不是啊，这棱上出发干嘛要垂直，对吧？不是所成角的最小角是一定是垂直，那个是确定的，对不对？垂直，所以这个是错错的。二面角的大小与其平面角的顶点 在棱上的位置没有关系啊，这个是对的，对吧？我们说这个顶点是可以任意取的，哪里都可以，所以这题选二和四。然后接着呢，就是我们面面垂直的判定，那其实这个就是我们说的，我们定义了二面角，我们只要是九十度就可以了。那我们这个地方说一下有些什么样的情景呢？比方说 教室里面的墙面，墙面所在的这个平面与地面所在的平面相交，他们所成的这个二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上，那么一般的两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 啊，记作 r 法垂直于北塔，对吧？那么这个地方同学们说啊，半平面，半平面已经不重要了，因为它如果是垂直的状态呢，形成的两个半平面它都是九十度，对吧？那么画两个互相垂直的平面的时候呢？通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。我们来看一下 什么意思啊？画两个互相垂直的平面的时候，这个就会比较有立体感，对吧？这个是我们的画法。 ok， 然后接着我们看建筑工人呢，在砌墙的时候，常用铅锤来检测锁器的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的系绳紧贴墙面，什么意思啊？就说如果我们的这个，呃，木工师傅，我们要检测这个墙面 是否垂直于地面，他怎么做的？他垂下来一个这样子的，如果我们说右边的这个面，如果这条红色的绳子贴紧了这个墙， 那么我们就能认为这个墙面是什么是垂直的哈，这个方法我们说明了什么样的问题？因为我们刚才说我们定义了二面角，是啊，那个垂直是二面角，当二面角为九十度的时候，但是如果我每个场景都要去计算二面角等于九十度，就太麻烦了，所以我们有一个特别的判定方式， 那么这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，因为铅垂下来，这一个红色的线一定是垂线， 那么如果墙面经过他的垂线，如果他紧贴的时候，就说明他经过，那么墙面就可以判定与地面垂直，这个是这样子的一个应用，类似的结论呢，在长方体当中可以发现，比方说在右图的长方体当中， 我们的平面 a d、 d e、 a e 啊，也就是说我们左手边紫色的这个经过了平面下面的这个绿色的垂线 a a、 e， 对 吧？这个 a a、 e 是 底面的垂线，而左边的这个面经过了它，我们就已经可以判定它垂直啊这样子的东西。所以 一般的我们有下面判定两个平面互相垂直的定律，如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言表示为，对吧？这个就比较简单直接写出来。好，我们看。第二，在正方体当中求证 我们的平面 a 撇 b d a 撇 b d， 紫色的这个和平面绿色框的这个是垂直的关系，所以我们要很灵敏的看到哪些直线，我们是最好找的，应该能看到什么 b d， 我 们只需要去证明 b、 d 是垂直于什么？垂直于我的这个面 a c c 撇 a 撇的，而我的 b、 d 是 在这个平面 a 撇 b d 上的，那么这两个条件就足以让我去证明这两个平面是垂直的关系，所以这里其实只有两个，两个条件就能推反，而这个地方要五个，对吧？ 它垂直于两条相交的，而这个垂直这个 a a 一 撇呢？又垂直于它， a a 一 撇垂直于它呢？又要多一个步骤，我们要说明， a a 一 撇垂直于底面，它是底面的一圆，对吧？然后呢？这两条相交于点 a， 然后都属于这个平面，对吧？好，那这个地方在正方体当中， 然后呢，所以这个在正方体的对角线的关系， a、 c、 b、 d， 又因为 a、 a 撇和这个 a、 c 相交于 a， 而这两个呢，都在这个平面上五个条件，所以 b、 d 垂直于这个绿色的这个平面，而又因为又因 b、 d， 它在这个面 a 撇， b、 d 上面，所以这两个平面 垂直。看一下我们的表述哈，基本上这个表述是没有问题的，那么这个表述的语言它是精简的，怎么样去减少我们的书写？这个很关键，不要密密麻麻写一堆文章，然后还有一些点去是遗漏的，没有用的哈，数学不要嫌字多，一定要去精准、严谨、简洁就 ok 了，好吧， 然后看第三，如图，已知 p、 d 垂直于正方形 a、 b、 c、 d 所在的这个平面连接这些啊， p、 d 是 垂直的，它是一个 则一定垂互相垂直的平面。有几对？这里面就很考察我们有没有掌握到我们刚才的这个定律，我们怎么去找，我们怎么去找？我们一定要去有这个条理的去找。怎么样有条理去找呢？我们通过什么？因为 b、 d 垂直于这个里面，我们先通过线面，你看，我们通过线垂直于面， 然后呢，我们去找所有过 p、 d 的 平面来垂直于这个面， a、 b、 c、 d， 这样子我们就能做到不重不漏，对吧？过 p d 有 什么？有 p a， d， 有 p b d， 有 p c、 d， 所以 这个地方呢，我们找到了三个面的垂直关系，接着我们来看，同理 我们的 c、 d 和 ab， 它都会垂直于 p a、 d， 所以 那我们的 c、 d 和 a b， c、 d 和 a b 啊，这两条对吧？是平行的，它都会垂直于旁边的这个 p a、 d， 那 这里具体我们就不做证明了，对吧？这个也比较简单的证明，这个是直角，这个是直角，那么这个呢，我们就通过这组作为第二组 来找经过 c d 和 a、 b 的 都行，有什么有 p a、 b c， 有 a b、 c、 d 重复的，我们最后再排除掉它，我们最后再排除掉它。 第三组我们的什么呢？ a d 和 b c 啊， a d 和 b c 平行的两，这两个它会垂直于这个 p d、 c 的 这个面，那么这个时候呢，我们又找过 a d 和 b c 的 面，有三个，最后呢我们看 a c 垂直于 p d， b 啊，这个是很多同学可能会遗漏掉的啊，这个 p d、 b 和这个 a c， 那 么这个时候呢，过 a、 c 的 面会有两个，对吧？底面以及 p a c， 那 么所以这个地方怎么一共七对呢？三三三二，一共十一，那我们看一下重复的 p a， 这里出现了一个重复， 是吧？然后接着呢，这里出现了这三个都是重复的，然后我们来看一下还有什么啊？ pdc 啊，这个 pdc 和 a p d， 那 么和这个 p c、 d 这两个是重复的，所以 一二三四是重复的，所以十一减四等于七，我们就找出重复的部分就可以了。 所以这道题呢，关键要看我们是怎么样去把它分成四组的。如果我们要做穷举，我之前我说穷举也是有技巧的，同学们穷举也是有技巧的，所以我们要知道这个东西，我们在选 b 三就会特地的去讲这个点啊。 ok， 我 们的例四继续是课本的立体，如图， a b 呢是我们圆 o 的 直径， pa 呢？垂直于圆 o 所在的这个平面 啊？ pa 又是一个 pa， 是 垂直的 c 呢？是圆圆周上不同于 a b 的 任意一个点哈，随便的一个点，没有规则求证。我们的平面就是绿色的这个平面， 垂直于平面， b c p b c 啊，红色的这个平面，我们来想，当然，我们很容易能想到一定是跟什么相关，既然它任意，一定是跟我们初中所学的，我们直径所对的圆周角是九十度， 这个是相关的，对吧？那接着呢，肯定又跟 pa 平行于这个平面，那我们可以干嘛啊？ p 垂直于 pa， 垂直于这个平面，它就会垂直于 bc， 所以呢，我们就会知道这个是垂直的，就 bc， 它会垂直于 ac， 而 bc 呢，也会垂直于 pa， 那 这个地方呢？要去单独说明啊，在这个这个地方要有个证明，在这个地方，对吧？然后我们这两个相交 于点 a， 对 吧？然后这个和 pa 都在我们的 p a， c 上， 对吧？所有的这些，我们就能推动五个条件哈，这里两个哈，我们就能推出来 b c 垂直于这个面， p a c， 然后再加多一个什么，再加多一个 p c， 它包含于这个平面 p b c， 所以 得到 p a c， p b c。 平行 整个思维的脉络。你看，先这里拿整个思维导图，先从这里推出我们的这个这个结合这四个条件，我们得到了平行于平面，平行平面，再加多一个 b c， 得到了最终的，你看这个层级要很清晰，好吧，所以是这样子的一个东西，我们看一下， 直径所对圆珠角为直角，所以又因为，然后相交于 a， 所以 b c 垂直，平行垂直于这个平面 b b a c 又因为 p c 包含于这个面， p b c， 所以 这个很清晰很简洁的这个表达的过程，对吧？ 面面垂直的性质定律，面面垂直，我们来看它有什么样的性质定律。我们有以下平面与平面垂直的性质定律。第一， 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另外一个平面垂直，两个平面是垂直的关系。如果有一条直线 l 它垂直于谁？垂直于交线， 那么这条线呢，就会跟另外一个平面垂直。好吧，符号语言表达为这四个条件啊，同学们啊，再次提醒，不要被这些会发现，好多好多，是吧？我们说理解就可以了， ok， 面面垂直呢，还有以下的这个性质定律，我们去拓通一下。第一个呢，垂直于同一个直线的两个平面平行， 如果一条直线垂直于一个平面，那么其所有平行线也都垂直于这个平面。我们来看一下模型。首先我们来看一下第二个结论，如果一条直线垂直于个平面啊，这个是跟这个平面是垂直的关系，其所有的平行线，所有的平行线都垂直于这个平面， 好吧。第二个呢，是垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线，这个或者这个都一样，两个平面是平行的， 那么所以这两个结论呢，告诉我们很重要很重要的一个东西就是什么呢？这些性质，我们会发现一个一些一件事， 相对比线和面的平行关系，我这样也行，这样也行，这样也行，对吧？我的课桌我拿着一支笔，这样子也是平行，这样子也行，这样转都可以，所以没有办法，去干嘛呢？去锁定 啊，用了一个很通俗的词语，虽然一个平面的平行线和垂直线两者都是无数条的，但是垂直线的方向是确定的， 这个很多时候像我们玩的套圈圈，对，套圈圈啊，或者那些积木啊，对吧？一根棍子，然后套进去，我这根棍子我可以放在这里，可以放在这里，可以放在其他地方，但是只要是这样放它上面套的圈圈的这个方向就是 固定的，所以这个呢，我们有锁定的意义。这个给到后续我们解决平面的问题提供了重要的思路， 就是我们在后续的呃，那个选 b 一 的第一章，我们就会知道怎么去做平面的问题呢？我们要用法向量，就是不是用它平行的向量，而是用一条法向量，到时候就会讲这个问题，所以这些呢，都是我们一些理论的基础，好吧， 接着我们看例五，如图，已知平面 alpha 垂直于平面 beta， 直线 a 呢，也会垂直于 beta， 那 这个 a 呢，是不在平面 alpha 上的，判断 a 与 alpha 的 位置关系，当然我们从感官上面来说，从空间感来说，就知道它是平行的关系，那么我们怎么证明呢？我们来看一下，设 ar 加贝塔等于 m 啊，我们这个地方，因为在题目当中上面没有讲在阿法当中呢，做直线 b 垂直于 m 啊，我们做一个 b 垂直于 m， 那 此时因为阿法垂直于贝塔，而且呢 b 包含于阿法，我们哪里的结论就是前面我们说一个平面内垂直于它们相交的棱 的这条直线啊，它会垂直于另外一个平面呢？前提是两个平面垂直，所以我们就会得到 b 会跟 beta 垂直，而我们知道 a 跟 beta 也垂直。那前面又有结论，垂直于同一平面的两条直线相互平行， a 平行于 b， 然后接着我们就知道了 b 在 阿法里面，然后呢， a 不 在阿法里面，是吧？那么我们就能得到 a 会平行于阿法，简单的一个证明，对吧？我们会知道这个结论，然后是我们的例六，如图，已知 p a 呢，垂直于平面 abc， 底面 平面 a p a b， 就 绿色的这个面垂直于平面 p b c。 求证 b， c 垂直于平面 p a b。 当然我们这个条件，两个条件，这个条件应该一眼就知道 p a 垂直于 b， c 是 这样去使用这个条件的，那这个呢？我们要想一想。 那么从感官上来讲，我们是很希望能找到 a b 和 bc 垂直的，我们非常希望找这个，对吧？但事实上，我们没有条件能做到这样子的事情，我们就要用什么样的心智。我们就要过 a 做一条垂线， 那么这条垂线就会垂直于这个，能，这个时候我们就能运用这个条件，那么比方说这个是 d， 那 么 a， d 就 会垂直于这个平面 p b c， 那么进而 a d 就 会垂直于 bc， 那 么我们 bc 用哪两条直线来证明这个垂直的关系？用 a d 和 ap 啊，这两个相交的直线，对吧？我们要搞清楚。所以呢，过点 a 做 a， d 垂直于 p b， 垂足为 d 啊，这应该要加多一个垂足为 d， 对 吧？因为平面 p a b 加平面 p b c 等于 pp 啊，这是它们相交的一条能，然后呢？ a d 呢？又在这个平面 p a b 上面，所以 a d 呢？呃，会 垂直于我们的 p a p b c， p b c 啊，那接着呢？我们的 b c 在 这个里面，所以 ad 会垂直于它， 好吧，那这个就很好使用了。 pa 和 pc 的 关系，所以这里一个条件，两个条件，加多三个条件，三个条件，四个条件，五个条件，一共五个条件，我们就能证明，对吧？这个 b c 和这个平面的垂直关系。 好，这个就是我们的这节课，我们做一个总结，我们前面说了，我们的线线垂直，线面垂直，对吧？然后呢？面面垂直，两个平面所成角为直，二面角， 然后呢，如果一个平面过另外一个平面的垂线，这个是判定的方式，对吧？我们通过线面垂直来判定面面垂直，这本身 特殊，这本身也是一个判定方式，我们可以通过求得他们所称的角是指二面角，但这个东西呢，它更麻烦，比起这个要麻烦的多啊，对吧？所以我们一般用这个， 然后它的性质会有什么呢？线面垂直，两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，就他们的能，那么这条直线与另外一个平面垂直，我们会得到这个性质是关于什么？线面垂直，所以这是不是又有一个路径？ 我们想要知道线面垂直的时候不一定要通过线线垂直，我们这个路径他也走得通，对吧？像我们之前的立体，所以这个网络也是要慢慢去搭建，去搭建起来哈，这个就是我们的这节课，也是结束了我们的第八章的一个学习啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

好，那今天我们来计算二面角的大小，我们通过第二面角， 然后呢，平面角是九十度，就叫做十二面角，两个平面就垂直，这跟初中定义两个直线垂直是对立的， 那这一局我们的任务就是来求这个二面角的大小。那首先我们回顾一下什么是二面角？一条能出发的两个半平面构成的图形出二面角， 那怎么来度量它的大小呢？它需要用平面角来度量，是吧？ 那哪一个角是它平面角能上去一点，分别处垂线所形成的图形，比如说我们的图中是一个钝角，这是它平面角， 为什么这个脚可以来衡量贝塔香奈儿法的位置呢？ 别人就不行呢？啊？最大？什么最大？什么角度最大？如果我做 b 点不垂直的呢？ 那这条线 b o 撇跟 r 所成角在哪里啊？ 哎，我们刚才是钝钝的二面角，是吧？所以它的射影是谁啊？ 我们把这点记做 h 好 不好啊？那 bo 跟 bo 撇所成的角是谁啊？ 这两条线跟二把所成角是谁啊？一个是 b o h， 一个谁？ b o 撇 h 谁更大？因为对边带一样长一样长，而 o 撇 h 比 o h 来的长，所以这个角度应该来的大， 所以我们用的是用的是什么角？是面里面的线和另外一个平面所成角里面最大的角，最大的角，这就确定呢？这是唯一的来定义， 来定义贝塔相对二法的情节程度，对吧？那比如说在这里，那应该在这个陷面角的什么角？五角，如果钝角的时候是最大的陷面角的五角，最大的陷面角是什么呀？五角，如果他是内二倍角呢？ 那就是我们的什么最大的陷面角，最大的陷面角啊， 好，那第一个是大小的度量来看题，这是一个三轮锥， v c 根号三，其他都是二， 其他全是二。请问 b a b c 大 小谁是零？ ab 两个半平面， v a b 跟 c a b， 那 我怎么做它呢？你们讲我们注意到 v a、 b 是 什么原因？ 等边， c a d 也是等边能上取一点，分别引垂线，那就取什么点，那就去取谁的终点。 a b 终点，我们把它记作 m 吧。然后呢，连接 m v 跟 m c 兄弟连起来，连起来。然后呢，则怎么样？则 v a v m 垂直于 ab， v m 垂直于 ab， v c 呢？ m c 呢？垂直于 ab， 所以呢， a 角 c v m c 为 二面角的平面角。六，这三段都知道，所以这个角度几度？六十六十，然后下结论。所以二面角的大小多少？ 其实是三步骤是吧？第一步是干嘛呢？对吧？第一步，我们在做的是什么？什么活来度，把这个角度做出来。 第二步，我叙出了一堆来证明这个角数是二面角的一面角。 然后第三步，去去什么取，把这角给取出来，所以有三步骤。那我们把这种求二面角的方法叫什么法来，第一个方法叫什么法？定义法是吧？ 特别的构成这两个半平面是有特点的，是不是那两个都是全等的？等边塞，那我 v m 若垂直连接 cmcm 度也一定垂直啊，这两个是全等啊。 来，接着我们拆开第二二面角六十度， 那我们画一个四域图，二面角六十度，等于是 l a、 b 在 a、 b 分 别在二百根贝塔内，到它的距离是二根四，这是两个单位，这是四个单位距离，距离是垂直的。 然后再来这条长度为十，长度为十， 求 ab 跟 l 所成角正弦值是多少？ 呃，事实我都看明了，是吧？在哪个东西没看到？没看懂啊。六十度在哪里啊？ 能上几点？分别引垂线？哎，我虽然是引了垂线，但是几个点 两个点，说明啥意思啊？说明我 a、 c 跟 b、 d 这两个异面直线所加的几度。 我真的那意念直接转下六十度那意念了怎么办？共灭。怎么变成共灭呢？你已知之爱。 其次，我要求线 a、 b 跟 l 所成角，我也得去什么啊，所以也得去平移。所以怎么做过 c 做 b b 的 平行线，然后再过 b 做 c， b 的， 这全部都搬过来了。 哎，当完以后这个 a、 c、 e 这个平面长的什么特点？ 这个平面跟人什么关系啊？哦，你们人是不是垂直的？这个 c、 e、 b、 e 有 什么特点？ c、 d， b 是 什么？什么形啊？什么矩形啊？ 那我所乘角在哪里？ a、 b 跟 l 所乘角在哪里？哪个角？ a b a b a b 换哪里？研究 ab， a、 b， e 是 什么原因？因为 b、 e 跟正面什么关系？所以说什么原因？ 我的六十度在哪里？ a c， a、 c、 e， 这是根据什么来的啊？还是刚才那个问题出定义法？上局一定有分别是以权限六十，这等于二，这等于四，这 道等于几十，所以这条是什么？十 正弦值等于谁啊？就等于两倍的根号差除以几啊，对了没？所以刚才这个二面角我们怎么处理呢？第一把你有锤子吧，横上取一点，分别引全线， 如果是一点引全线，一步到位都是两点的半移在一起就变成一点了吧。你过来啊，你过来啊！第三题， 已知三人追踪， s a b 九十， s a c 九十，还有 abc 也九十，知道吗？ s a 跟 ab 相等， s b 跟 bc 相等， 那信息我都给它可塑化了，在图上给它标识出来了，清晰可见，对吧？ 这是啥东西啊？哦，原来是编码的模型，编码的模型对吧？第一步，这名 s b， c 跟 s a、 b 垂直，判定定命 运垂直，通过评估一下谁的权限好走，是 s a， b 好 还是 s b c 好？ s b c y 似的是不是？ 而 s a、 b 是 绿色的，它又是边到的模型，所以它的垂线是谁啊？啊？ b c b c 垂直于平面 s a b， 然后我 s b， c 过 b c 垂直了没？ 二，求二面角 a s c b 来思考一遍。 uhh， 那这个编码的模型所有的长度，这个关系度都清楚了。所，所以我们设 a b 为 a， 但是都可以标注出来的 啊，那构成这个二面小的两个半平面， a s c 角三角 形，斜边为几？哎，斜边为二 a， 所以 这两边直角边 a 跟二三 a， 另外一个呢？ s c， b 呢？啊？ s c， b 是 等腰直角三角形 能上去一点分别引垂线好做吗？是吧？不好做，这招怎么办呢？ 我们的目标是不是做能 l 的 垂线， 那如果要线线垂直，那什么呢？我们线线转换什么？空间里面线线转换成什么？是不是成了固面的线？线垂直也就转换什么线，找一条线在另外一个面呢？啊，是说射影所成的角 摄影垂直是斜线垂直吧，你看我们这是 s c， 这里面一个 a， 这里面是一个 b。 来，那你要用摄影三垂线来找摄影，所以我过 a 列记住 s， b， c 的 垂线， 这步 a 点在这边的摄影做出来了。那如果我这里做垂直呢？我做摄影垂直，则一定有什么斜线做垂直， 或者我斜线如果垂直，那摄影呢？而且这是一个什么原理？所以我们第二招用三垂线法来做 三垂线啊。三垂线， 因为这两个半平面同一点做不好做，因为两个半平面不是相等的，对吧？咱们也没什么确定不好做，所以我们去构建会知道在哪。 那怎么样？那现在到底是 b 去做 s， a， c 的 垂线好做，还是 a 去做 s， b， c 的 垂线好做？ b 比较好做是不是？ 然后过 b 点做 s、 c 的 垂线，那就只要做谁的垂线就行了啊，是不是？兄弟，那这条线我就去做 b e 吧。 b e 谁是 a c？ 那 b e 会不会谁是背面？这是 a， 根号 a， 根号三 a， 谁这条长度 二， a 除谁根号三 b 去做正面的垂线垂足，我记住 e 这条长度是几？二， a 除根号三。接着呢？ 先生，你过 b 点去做人的垂线可以，你过 e 点去做人的垂线，可不可以效果一样一样。 那到底是 b 点好做还是 b 点？为什么 b 点好做？那取它什么点？取中点连起来，这个 b o 是 不是全是 n c？ 而 bo 在 s a， c 的 射影是谁啊？ o e， 哦， bo 跟 s c， 谁是谁？ o e 呢？谁是谁？这个角就是 二面角呢？一面角，而且这个三角形是什么意思？ 那 o b 多长嘞啊？ o b 是 a 这么长，是不是？所以这个角的什么值可以搞定了？正弦值，所以正弦值？是啊， 二除以 c 搞定了没？不有可能是二啊，根化二大于一，根化二除以根化三搞定了。 因为我要做人的垂线嘛，是不是叫做人的垂线？ 所以，所以我要斜线跟你垂直，我摄影跟你垂直就行了吧？摄影跟斜线不也垂直啦？所以我们勾线，勾线，线面垂直来勾线这个二面的弧面的。 大哥们，那刚才我们做出来的这个面跟人什么关系啊？垂直的什么跟人垂直啊？所以我要找二面角和平面角，其实就是找一个面跟人怎么样垂直， 所以找一个面跟人垂直，所以我们这种话就叫做垂楞管。啊，垂楞管， 那既然跟人垂直，所以我做的这个面跟阿尔法贝塔什么关系啊？做也垂直了，第一次，那就是垂面法， 我如果做一个面跟阿尔瓦贝塔都垂直呢？我做一个面跟你阿尔瓦贝塔都垂直呢？那我跟你的交线什么关系？垂直的，那就 l 是 垂直我这个面，那 l 是 垂直我这两条线，所以这个角是二面角，平面角， 那其实都是一回事的，就是做一条，做一个面跟人怎么样？做一面跟人垂直就行。那要做一个面跟人垂直，就是做一个面跟阿卡贝塔都垂直，是做面的曲面。 好，接下来我们来看一下，已知平面被塔内有一条直线，是 a c a c 跟二百三十度， a c 跟 b d 四十五度，请问这个二面角的大小多大？ 哎，三十度这条线在哪里啊？过 a 点做这面的怎么样？垂线，这垂足为 a 型，然后呢？ 所以这个角度几度？三十度，这个角度三十度， a c h 三十度，我 h 跟里面谁知道把脚面都摆上要求的平面角在哪里啊？ 这二面角的平面角在哪里啊？啊？三垂线法是吧？有线面垂直的，我只要做交叉垂线就行了嘛，所以过过 h 点也行，过 a 点呢也行。过 a 做 b d 的 垂线垂足为 o， 然后连接 o h， 所以 这个呢？而且 a h o 什么概念？不知道这样的哎，搞定了没？ 哎，那现在我这个二面角大小都减减，直角大于谁啊？啊？ a o h 是 吧，都减下 a o h 设了，它为 a， 那 c o 呢？ ac 呢？ ac 更换为三十度，谁搞定了？ a h， a h 是 二倍的根化二，二倍二是它一半，二分之根化二 a 一 半呢？三十度 这个数只要占一半一半 a， 那 a o s 数两边知道了， 一边是他这个角的什么值？左边对边，一边是边边，所以这角的什么值可以取出来啊。所以正弦等于几啊？二分之根号二，所以大小四十九。好的， 那刚才我们是用这一定是吧。用三垂线法，三垂线， 斜线，垂直的摄影角，所以得到的是二面角的平面角，用三垂线法来做来。那继续我们再看。 已知 abcd 是 一个正方形， pa 跟底下垂直，并且 pa 的 长度跟 ab 一 样长。 九 p a b 跟 p c d 所成二面角的大小。 哎，这个模型叫什么？羊马是吧？ 现在这个二面角长的什么特点呢？各位 能能没刨出来是不是？但能是不存在的。我们这两个半明明是有交界的吧，有姑娘对一条交界这种的话，我们把它叫做无能二，命小啊。 第一种结话，零人怎么办？五人法是不是 怎么补这两人？这两人长得什么样？那不就是球 p c d 跟 p a b 的 交线了？ 你都知道他是养马了，那补一下，这是谁啊？从宋康里的一条人啊。为什么 我们说 p a b 交 p c d 于 l l 有 什么特点呢？ l l 是 跟谁平行，为什么 l 跟 ab 平行呢？那个点， 为什么 l 跟 ab 平行呢？过线这面找标线什么前提？所以这线是平行呢？因为 ab 平行 c 力，所以 ab 会不会平行平面 pcb， 然后呢？过线过线又 ab 再平面 pcb 中过线 做了一个面，找到谁交线，结论， a b 平行，谁来了？右 pa 垂直于底面，所以 pa 垂直谁 a b 所以 pa 垂直，谁来了， pa 又垂直来了， 那 pd 会不会垂直 l 啊？也会是吧？选 pd 也垂直 l。 所以 二面角的平面角是谁啊？啊？ a p d 什么 a p d？ 这不就是我们二角平面角， 那这个角度为几度？四十，所以这个二内角大小为补，能把能给补出来，但是大家你们发现我们补来补去补来的寂寞， 哎，你们都不要把二段就行了哈。为什么不要把二段也行啊？你要做二面小的比面小，事实上是 做一个面，做一个面跟谁谁吃，跟 l 谁吃，是吧？要做一个面，跟他交界谁吃。就是要做一个面跟这两个面都垂直， 都要做一个面，跟这两个半明面都谁吃啊？所以刚才我们有一个方法，几方法是叫什么法啊？水念法是吧？来，我们具体怎么实施， 先证谁先证平面 p a d 垂直平面 b a b， 然后平面 p a d 垂直于平面 b c d 这两个平面交于 l 则怎么样？ 这两个平面都跟他垂直，他的交界跟我这平面有什么关系？你看地板平面比，这个地板平面跟你左边的墙面，他们的交界跟我这平面有什么关系？所以我 l 跟跟谁 p a d 是 垂直的， 所以呢？ pa 会不会垂直 l p d 会不会垂直 l？ 所以呢？咱们下结论说三个角平面角对不对 啊？在这个角度是不是四十五度？搞定了没？所以五个人二面讲两招，一定要把它补出来，是不是 一定要把它补出来？第二招呢？第二招，我们找他的面的水面或者人的水面 啊，那这是我们今天啊讲的内容就是侧面讲我们常见的招数啊，第一招是地面法，第二招是全面法 啊，第三招是三权现法，对吧？第三招是三权现法。第四招呢？ 就冷的水面跟什么啊？根面的水面对吧？把它吹起来叫做什么啊？常见的是这三招，常见的是这三招。 好，那今天第二个任务，上一周大家做的一些题目，我们来点评一下吧，对了， 难受的地方在于什么？ 如果没有根号五，咱们彩笔的招数是将军一号啊，将军一号拉直的是不是折线度拉直的？ 但是这屏幕的特点是，这是一个直角三，这条边为一，这条边为谁？你看数据太吉利了。根号五根一啥意思？破 m 做他的什么线？ 你说 m 撇吧，那我这是不肯定大于等于根号五倍的谁 啊？根号五倍的 m n 撇是不是谁啊？你这不根号五比一嘛，所以根号五倍的 m n 撇就是谁啊？就是 a m 撇是不是 另外一条呢？ m a， m a 是 斜线段最小，什么叫最小？垂直的上最小，那就 m n 撇吧。 那现在就变成 a m 撇加上 m n 撇吧。 a m 加上 m n 撇等于谁啊？这恰好是不是等于 ab 的 长度啊？因为我们这边是一个什么形，所以它就是 abd 的 长度，是不是就等于杠五？ 所以呢，当然以后我们学完语言以后，根号五倍啊，经常会去找他的叫做还原点啊。还原点，因为我们语言可以看作是到两定点距离之比，是一个 定值，对吧？所以根原上点根号五倍就等于另外一段。这有一个系数的问题，我们记得以后也经常会用到这一招啊，这一招啊，当然今天我们就这样。另外一个呢？ 另外一个角度，一个根号五跟 pm 存在一起有点像。什么面面积？总面积除以二分之根号五，这面积可以分成几块？ a， b， e， m 跟谁啊？ b e， m c 是 吧？ 那这面积数等于二分之根五乘以 p m 再乘以什么高高，你把 p m 变成什么？又高来？ p m 是 大于 二分之一乘以 m a， 再乘以这个角度 r， 好 吧，除以 m n 跟 b c 的 夹角处 r， 这是贝塔吧，对吧？上面是阿尔瓦这个贝塔，阿尔瓦贝塔有戒吧，所以给他放松一下，所以起来练习。 二分之一根号是谁？这边呢？二分之一左边呢？好了吗？两边都乘以二，是不是根号就出来了？所以第二个你要想到这里面是面积，所以可以面积把它记住 啊。再来再来，一四七面一十五皮， 打一个正方形的纸片。那你翻折的问题，我们首先 把它的平面图画一下咯， 我现在要把 a b， e 绕着 a e 处翻起来， 直角三角形，绕着斜边翻起来是什么？这样是不是旋转体了？是不是旋转体了 啊？刚给同学提到出两个圆锥，那旋转体的问题要注意啥？轴的什么线？垂线？那就过 b 做 a 的 垂线 是不是垂直过来，刚好是它什么点？终点，这是二，这是一随这段为二除根号，整条根号随这段为三除根号。那你这是二根号。这边出一个三等分点 啊， f o 的 三的分点数，这个，这个 b e 是 吧？呃，这有 b b 撇啊，我就 b e 啊，看见没？那你就翻起来呢？翻起来长得怎么样？ 这是 o 是 吧？所以这翻起来以后是一个啥？是一个圆圈的底啊？那翻到背面去，是不是这边的三角形？这里啊？ 翻到底下来是不是这个？所以点 b 撇的轨迹是什么？是一个圆，并且 b 撇 b o、 m 这四个点呢？共面是不是共面的？ 因为你这边要垂直吧，延长过去下一个终点啊，所以这个 f 啊， b 啊， o 啊， b 就 空空面了。再来， b 撇在里面摄影是谁啊？ 你这个 b o b b o， b 撇这个面的里面都垂直了，所以 b 撇在底下摄影出这条线上的某个点，摄影出在线上某个点， 没毛病吧？来，这 a b c d 哪个选项需要解释一下？ 比如 c 选项好不好？ c l 会零点吗？ f 点，然后 b 撇 f 跟底面所乘角， 线面所乘角就是谁了？ b 撇 f， 谁 用 b 撇 f， 而这这些是共面呢？共面呢？我看不懂，我把平面图画出来，这是 b 啊，这是 o， 对 不对？这是 b， 这里还有一个三分之一，这点是 f 点，你是长这样子的， 然后这个连起来什么社会最大？切切的话连起来是九十度，最大的一记，二除根号最大的一记， 单独跟好友，谁的挣钱是最大啊？不是这么多事情想恨着，明白吗？要再比如说，谁知道问题呢？ b 撇 b 会跟 a e 谁生呢？那 b 撇 b 的 投影是谁啊？ b f， 那 b f 跟 a e 会谁生？那是不是斜线这里也垂直的啊？斜线都可以做出来对吧？是旋转的问题。 再来，若两条异面所成角七十度，或空前一点，跟它们都成七十度，这样直线有多少度？ 所成角？那我们是不是都可以移到一起来啊？可以吗？ 那如果我过点 p 做一条直线，跟它所成角如果相等，这条直线长的什么特点？ 这个角跟这角相等啊？那我这上面找一点 q 做正面的射影，做 o， 然后过这做垂直过来， 比如说 q e 垂直啊，这个真 q 是 吧？这是 o 啊， q e 垂直 a q e， 如果垂直 a， 那 o e 呢？垂直 a， 那 q f 垂直于 b， 那 o o f 呢？ 这两个脚相等刚才这只直角，所以左右两侧的两个三有什么关系？全等，这两段是不是相等？ 这两段对于底面来讲叫什么？叫斜线？那斜线如何相等呢？投影是不相等， 这两段相等是啥意思啊？到角的两边距离相等，所以这个点在哪里？ 所以我们现在解决了一个问题，如果过点 p， 要做一条线，跟 a b 所成角相等，那这个这条直线 l 在 这底面射影，一定是谁啊？是角平分线， 所以你看我们这个是七十度是吧？那七十度这个区域里面是不是这个叫做角平分面啊？从上到下还有呢？还有是不从下到上 只有两个区域，上面可以做，做一条，底下能做一条。还有两个平面是谁啊？钝角一百三十，一百一十度，这边是不也有啊？ 看见没？看见没？这个角度，这个最小是几度啊？三是三十五，所以跟 a、 b 三十五这样子有几条？ 是不是？有，且只有在这个面上的这条，然后四十度有几条？ 这一边是可以做一条四十度的，底下能不能穿上来一条？可以。而在这个区域里面，你是一百一甚至几度？五十五最小几度， 最小是五十五。那你要做四十度，能做的来吗？做不来对吧？做不来， 因为我们刚才为什么这个是最小的？为什么三十度最小？三十度是什么？躺着的都躺着的， 所以我这个斜的一定比躺着的来着什么大，所以最小是几度啊？三十五是最小是三十五。来回到本题， 他说要做七十度的，是不是？那你这里最小几度？三十五，所以在这个区七十可以做几条？两条这边是几度？最小几度？五十五也可以做几条。什么时候是三 条？那七十度改到几五十五，那这样子线可以做几条？什么时候两条 三十五到五十五之间是多两条三十五度的叫几条？三十度？没有，没有是吧？搞定了吗？ 因为所成角是可以进行平移的，所以你都移到一起来，变成过一点的线。

本期视频来看高一数学立体几何通过结面延展的方法证明垂直的问题。已知直三棱柱这个侧面有一个面是正方形， ab 等于 bc 等于二， ef 分 别为所在棱的中点 b f 垂直于 a 一 b 一， 然后 d 点现在是图中没有标出来，它是在 a 一 b 一 线段上的动点， 现在要证明 b f 是 垂直于 d e 的。 那么现在问题来了，这个 d 既然是动点，为什么要正垂直呢？大家观察一下这个 d， 我 标出来当地位于左、中、右三个位置的时候，这个 d e 连线是什么样的呢？是这样的，那现在要证明无论 d 在 什么位置，这个 d e 始终垂直于 b f 吧。那说明什么呢？什么样的线动起来之后和另外一个线一定垂直， 那就是线面垂直，对吧？如果一条线垂直于一个面，并且这个动线是在面内的，那这个动线始终垂直于这个垂线。所以说下面我要形成一个垂面连接 a e、 e 和 b e e。 嗯，证明 b f 始终垂直于 d e， 也就是要证明这个 b f 是 垂直于平面 a e、 b e 的 吧。好，下面如何证明线面垂直？最常用的方法就是证明这条线和面内两条相交直线都垂直，那线已经有这个 b f 垂直于 a e、 b e 了。 想要证明这个 b f 还垂直于面 a e、 b e、 e， 那 只需要在这个平面 a e、 b e、 e 内再找一条和 a e、 b e 相交的线，并且证明它和 b f 垂直就行了， 对吧？那现在很显然，这个现成的这个面里很难找到一条和 b f 垂直线。那我想到了一个平面延展，我将这个面 a e、 b e e 向右继续延展，所以我过一点做一条 这个 a e、 b e 的 平行线啊，和 b c 有 一个交点，设为 h， 然后再连接 b e h。 原来的平面 a e b e e。 就 延展为了平面 a e b e h e 吧。很显然，在右侧面有一个线 b e h。 我 现在能不能证明 b f 垂直于 b e h 呢？呃，在右侧平面内，我可以利用初衷平面几何的三角形全等正出 三角形 b b、 e、 h。 是 全等于三角形 c、 b f 的 理由很简单，应该是边角边啊，这个加角都是九十度，证明全等以后， 继而可以得到这个 b f 是 垂直于 b e h 的， 那么这个分析的思路就完成了闭合啊。最后咱们写证明过程的时候，就是从后往前写就可以了，大家理解了吗？

本期我们学这个学会就是满分 一个视频搞定立体几何垂直证明。我是小树老师，今天我将会用二十四分钟时间带你系统梳理立体几何垂直证明的四大常考题型。首先我们来看一下我们今天要给大家讲的第一种题型，如何证明线面垂直。 那么我们要搞清楚线面垂直的基本方法呢？我们首先需要知道它的基本原理是什么？我在屏幕当中呢已经给大家写出来了，他是这样说的，他说如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直的话，我们就说这条直线呢，与此平面垂直。具体这个原理应该如何使用呢？我们来看看下面这道题啊，他给了你这样一个四棱锥， 然后告诉你 pa 和底面垂直，底面是菱形， e 为 c、 d 中点。最后让你证明 b、 d 和 p、 a、 c 垂直，就让你证明什么呀？让你证明这条直线 b、 d 和这个平面 p、 a、 c 呢？垂直。 根据我们刚刚所讲的线面垂直的基本原理，我们要去证明 b、 d 垂直于面 p、 a、 c 的 话，只用证明什么？只用证明 b、 d 垂直于这个面 d、 a、 c 中两相交直线。那么这时候大家就会有问题了，那么请问应该是哪两条线呢？有没有一些什么样的基本方法？其实是有的啊，就是我们要去关注题干当中已有的垂直关系。 我们回过头来看一下题干啊，他有这样的一个条件，他是这样说的，他说 pa 呢和 abcd 垂直，就是这条数值的直线 pa， 他 和这个平面 abcd 呢是垂直的。这有个知识点大家需要知道啊，就是若 pa 垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 话，那么则这个 p、 a 呢？它就垂直于这个面 a、 b、 c、 d 中所有直线。大家看这个图啊，很明显这个 b、 d 怎么样？它就在这个平面 a、 b、 c、 d 当中， 所以说因为 b、 d 呢，它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的。 哎，所以说我们就可以得到 pa， 怎么样他就和我们的 b、 d 垂直，这不就是大家所找到的第一组垂直关系吗？ b、 d 垂直于 pa， 因为我们刚才讲了过要 b、 d 怎么样垂直于这个平面当中的两条相交直线，一条是不是还不够啊？我们需要再找一条， 那么另外一条在哪呢？你不是还有一个条件没有用吗？他是这样说的，他说底面 a、 b、 c、 d 呢，是菱形。朋友们，你们回顾一下你在初中学到的关于菱形的知识点里面有个什么知识点就是菱形啊， 他的这个对角线呢，是互相垂直的，是这样吧，就这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是个菱形， b、 d 和 ac 呢，刚好是他的两条对角线， 所以说自然它是怎么样是垂直的，所以说已经拥有了我们的第二组垂直关系，就这个 b、 d 呢，怎么样和 ac 也是垂直的，所以说你看这个是不是就符合我们刚刚所讲到的线面垂直的基本定律？就是 b、 d 垂直于 pa， b、 d 垂直于 ac， 这个 pa 呢？和 ac 怎么样还交于我们的 a 点，所以说我们就可以得到 b、 d 呢？它就垂直于我们的这个面 p、 a、 c 就 完事了。 基于刚刚给大家讲到的这个线面垂直证明方法，大家可以趁热答题呢，来做一下下面这道题，他是这样说的，他给了你这样的一个正三能柱， 大家知道什么叫正三能柱吧，我把他的基本性质呢给大家写到这，他有两个性质，第一个就是底面呢是正三角形，第二个特点呢是侧能与底面垂直啊，这次关系后面肯定都用得上啊。然后呢他又说了，第一呢分别是这个两条能的中点， 并且呢告诉你 a、 e、 a 和 a、 e、 b、 e 呢是相等的。最后让你证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直，就是哪条线就这条线 a、 e、 b 和哪个平面垂直，就是和这个红色的平面 c、 e、 d、 e 垂直。我们刚刚是不是讲到过了，你要证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明这个 a、 e、 b 垂直于这个面 c 一、 d、 e 中两相交直线。那么这个时候大家同样会有一个问题啊，就是请问是这个平面当中的哪两条相交直线呢？这个找直线的技巧是什么？这确实是有一个统一的解析技巧啊，叫做先找 相交垂直，再找意面垂直。可能有同学不太能够理解这两句话什么意思啊？我们来给大家解释一下。我们回到左边这个图，我们来观察一下，你会发现这个红色平面当中你能够看得见的线条是不是有三条， c、 e、 d， c、 e 还有 d、 e 这一共这三条线吧，那么你会发现这三条线当中有没有哪条线和我们的 a、 e、 b 是 相交的呀？有没有？有吗？哪条线和 a、 e、 b 是 相交的？ d、 e， 你 发现这个 d、 e 呢，和我们的这个 a、 e、 b 呢是相交的， 那么如果他们俩垂直的话，我们就把称之为香蕉垂直。之所以要先找香蕉垂直呢，是因为这种垂直是最好正的。我们回到我们的题干了，他给了你这样的一些条件，首先呢，他说了这是一个正三棱柱，我们都知道棱柱的侧面都是平四吧， 又因为它是一个正三能柱，侧能与底面垂直，所以它不仅是一个平四，它还是个什么形？是个矩形。再加上题干当中还有这么一个条件，叫 a 一 a 和 a 一 b 一 相等，就是这条线和这条线相等，所以它是个什么呀？它是个平四，是个矩形还是一个正方形。 所以说这个四边形 a e a b b e， 它是个什么形啊？是个正方形，那正方形的话，它的对角线肯定是互相垂直的呀，那这个是 a、 e、 b， 这个呢是 a、 b、 e， 然后我们这个 d、 e 呢，它和 a、 b、 e 呢是平行的， 所以说我们就可以得到 a 一 b 垂直于 a、 b 一， 然后这个 d、 e 呢，他又是平行于 a、 b 一 的，所以说我们就可以得到 a 一 b 呢，他就是垂直于我们的 d、 e 的， 这不我们就得到了第一组垂直吗？就是 a 一 b 垂直于 d、 e 就 完事了。那么找完了香蕉垂直之后，你会发现剩下的线条都没有和 a、 e、 b 怎么样相交了，这个时候我们就要怎么样去找意面垂直。这时候大家还是回到我们左边这个图案，你会发现这个红色平面当中，除了 d、 e 之外，还有两条线，一条是 c e d， 一 条是 c e、 e， 那 么这两条线当中很有可能有一条和 a、 e、 b 垂直，那么请问我们是优先选择 c、 e、 d 呢？还是选择我们的 c、 e 啊？ 选择哪一个？大家觉得我们是不是应该选择 cad？ 为什么我们这道题到了这个时候要优先选择去证明 cad 和这个 ab 垂直呢？理由是什么？理由是题干当中所给到你的条件是有利于你用 cad 去找垂直关系的。哪个条件？他不是一个正三能柱吗？我们说到过正三能柱怎么样？底面是一个正三角形啊，正三角形怎么样？三线合一。 所以说我们要优先去证明什么呀？我们要去证明这个 a 一 b 垂直于我们的 c 一 d 就是 我们的第三个图。 但是意面垂直呢？这也有一个技巧，叫做你要怎么正？你直接正，正不了啊，他那没挨着叫做反过来正。哎，这有个同学不太能够理解什么叫反过来正，就是我本来要证明 a 一 b 和 c 一 d 垂直对不对？但是你要反过来证明什么呀？ 你要反过来证明 cad 垂直于 aeb 所在的面，因为如果 cad 和 ab 所在的面都垂直了，那他不就和 ab 垂直吗？ 那么问题来了，我要证明这个 cad 和这个 ab 所在的平面垂直的话，他应该是哪个平面呢？很明显就是这个蓝色的平面，即你要证明什么呀？即你要证明这个 cad 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e。 所以 说你得怎么样？你得再证明一次线面垂直。那么根据我们刚所讲的基本原理，你要证明 c、 e、 d 和这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 垂直的话，只用证明什么呀？只用证 c、 e、 d 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 中两相交线，那么请问是哪两条线呢？不又来了吗？第一课就是 c、 e、 d， 它是垂直于 a、 e、 b、 e 的， 为什么这个 c 一 d 和这个 a 一 b 一 垂直呀？是因为这个三角形 a 一 b 一 c 一 是一个正三角形，三线合一嘛，我把这个图给大家画出来，正三角形的特点呢？比如这是 c 一， 这是 a 一， 这是 b 一， 这是 d， 这不就垂直吗？所以第一个垂直关系咱们是不是有了？那么第二个垂直关系是什么呢？就是这个 c 一 d 呢？它就垂直于这个 a、 a 一。 那么为什么 cad 和 a 一 垂直呢？那是因为因为什么呀？是因为它是一个正三楞柱啊，这个侧能 a、 a 一， 它是垂直于这个面 a 一 b 一 c 一 的呀，正三楞柱的性质吧，侧能与底面垂直啊，你看这不就连上了吗？侧能和底面垂直，所以说侧能就和底面所有的直线垂直。 a、 a、 e 和底面垂直，那么 a、 a、 e 就 和底面的 c、 e、 d 垂直。那由此的话，我们 c、 e、 d 是 不是就垂直于这个面当中？两条相交直线，那么 c、 e、 d 呢？它就和 a、 e、 b 垂直，整个逻辑链条呢，就清晰了。 如果大家没有听得很明白的话，我建议大家倒回去再听一遍，这道题背后的方法呢，非常重要。讲完了线面垂直之后呢，紧接着我们来给大家讲第二种题型，就是如何证明线线垂直。同样的，我们先把线线垂直的基本原理告诉大家，就是如果一条直线呢，与一个平面垂直，那么该直线呢？与这个平面当中的所有直线都垂直， 所以说如果我们要证明线线垂直的话，我们最终都需要把它转化成什么呀？转化成线面垂直来证。这个时候大家其实是有两个选择的，第一个选择呢，就是我要去证明 b、 f 垂直于 a、 d 所在的面，或者是呢，我们就要去证明 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面，那么我们具体应该选择哪一个呢？我们先在图当中把这两条直线给大家找着啊，一个呢是我们的 b、 f， 一个呢是我们的 a、 d， 你 看这个图啊朋友们，你觉得是 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面好找呢？还是 b、 f 垂直 a、 d 所在的面好找？很明显是这个 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面更好找一些， 就是我们 a、 b、 f 这个面，如果说你实在是无法一下子就判断出来的话，你可以都尝试一下啊，所以这个基本逻辑就很清晰了，就是如果你要去证明这个 b、 f 和 a、 d 垂直，只需要证明什么呀？只用证明 a、 d 垂直于这个面 a、 b、 f。 所以 他又回到了我们刚刚所讲的线面垂直的问题啊，那所以就怎么样只用证明 a、 d 垂直于这个面？ a、 b、 f 中两相交直线 哪两条？第一条 a、 d 和 af 是 垂直的，这是已知的呀，题干里面是不是说了呀，这不用你去证，直接用就好了。那么第二个是什么呢？第二个是这个 a、 d 呢？垂直于我们的 ab， 为什么呀？因为底面这个 a、 b、 c、 d 是 个什么东西？它是个矩形啊，题干当中不是说了吗，矩形的邻边是不是垂直的？所说 a、 d 和 ab 垂直是因为什么呀？是因为这个 a、 b、 c、 d 是 矩形，这不就完事了吗？ 因为 ad 和 af ab 垂直，所以 ad 就 垂直于平面 abf， 而这个 bf 呢，恰巧又在这个平面里头，所以说 ad 和 bf 垂直就完事了。我们再来做一道题，让大家巩固一下，大家可以先自己暂停一下，自己做一做，然后再来听我讲啊， 我来带大家读一下题啊，他是这样说的，他给了你这样的一个多面体，然后呢告诉你 d、 e 和 a、 f 平行，然后又是垂直，并且呢这个四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形，最后让你证明 b、 d 和 c、 f 垂直。 根据我们刚刚所讲的原理啊，就是我们要证明 b、 d 和 c、 f 垂直的话，其实你就两个选择，要么你就证明 b、 d 垂直于 c、 f 所在的面， 要么你就去证明 cf 呢垂直于 b、 d 所在的面。那么我们应该是选择上面这个呢还是下面这个呢？我们其实需要看一下 b、 d 和 cf 的 相对位置啊，我们在图当中呢，先把这两条线呢给它找着啊，这是我们的 b、 d， 这是我们的 cf。 初学的同学呢，可能确实不知道应该选择这两个当中哪一个，那么如果说你不知道应该选择哪个的话，你就读读题，他会给你一些提示， 比如说这个地方，他告诉你这个四边形 a、 b、 c、 d 呢是菱形，那你想菱形有什么特点呢？对角线互相垂直啊，那你把这个 b、 d 和 a、 c 呢对过来连起来之后，哎，你把这个图一画，你不大概就能看出来那个面的图形了吗？那不就是我们的 afc 吗？是吧？至少他是你的首选吧， 它有可能是证明别的线和面啊，但是这个一定是第一选择，那所以说我们会考虑啊，证明什么呢？证明 b、 d 垂直于这个面 afc。 那 么根据我们刚刚讲完的线面垂直证明方法，我们要证明 b、 d 和 afc 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明 b、 d 垂直于这个面 afc 中 两相交线。那么其实我们刚刚在找面的过程当中，不是已经找着一条了吗？哪一条呢？就是 b、 d 和 a、 c 垂直，那么 b、 d 为什么和 a、 c 垂直？我们刚讲到过这个四边形是个什么形啊？这个四边形 abcd 呢？是个菱形啊，菱形的对角线 是垂直的，所以这组垂直关系呢，是比较好判断的，这是菱形的性质。那么另外一条呢？ b、 d 应该和谁垂直呀？ 那自然和我们的 af 垂直了，那为什么会想到 af 这条线呢？你肯定不能选择 cf 呀，因为 cf 本来就是你要去正的呀，是吧？我们就要去证明 bd 和 af 垂直，我们在图当中把这个 bd 找着，把这个 af 找着， 发现什么问题了吗？这个是不是就是咱们刚刚所讲到的这是什么垂直啊？这是一个意面垂直，就这两条线怎么样不相交啊？意面垂直，咱们刚刚说了，应该怎么正，应该反过来正， 怎么反过来，就是你本来要证明的 b、 d 和 af 垂直，是不是？但是因为它两不相交，你没法直接证，所以你要反过来证明什么呀？证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，反过来证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，那么应该是哪个面呢？那 b、 d 在 哪个面上？ b、 d 很 明显在这个底面上啊，所以其实就证明什么呀？就是证明我们的 af 垂直于这个面， a、 b、 c、 d。 那 为什么面 a、 f 和 a、 b、 c、 d 垂直呢？你得读读题，题干当中说了 d、 e 看见了吧？和这个 a、 f 怎么样是平行的， 然后这个 d、 e 呢？它又是和底面垂直的，那如果两条直线平行，其中一条和底面垂直，那么另外一条肯定也垂直呗，所以就两个条件，第一个， 第一垂直于面 abcd， 第二个，第一和 af 平行，有他们俩你就可以得到 af 呢和 abcd 垂直。你看这个逻辑链条呢，就完整了， 也就是我们在思考的时候，肯定是从结论往条件上去推啊，我们在写步骤的时候呢，就倒着写回去不就得了吗？从这种题一定要大家自己去做一做，自己去体会一下，就题不在多，一定在于大家有没有掌握它的基本逻辑，因为发现我们讲的这几道题都是一个基本的规律，都是一个套路。 讲完了线面垂直和线线垂直之后呢，就是我们的第三种题型，面面垂直。这个面面垂直很像他最终都是需要转化成线面垂直来正的， 具体的转化原理是什么呢？我们来看一下。他是这样说的，他说如果一个平面经过另外一个平面的垂线的话，那么这两个平面是垂直的。我再给大家读一下这句话啊， 就是如果一个平面经过另外一个平面的垂线，那么这两个平面呢？就是垂直的。那所以说我们要去证明两个面垂直应该怎么证明？我们应该证明 其中一个面上一直线垂直于另外一个面。比如说这道题，你要去证明这个 abc 和 pop 垂直的话，这个时候你也有两个选择，要么你就证明这个面 abc 中一直线 垂直于这个面 pop， 你 要么呢就是另一个选择，就是证明面 p o、 b 中一直线垂直于这个面 abc。 那 么同样的问题来了，我应该选那一个呀？具体的话还是一样，你需要先在图当中把这两个面找着，看谁更像一点，谁的垂直关系更多一点，你就选谁。 我们先在图当中把这两面给它画出来吧，一个是 abc， 就 这个底面，一个呢是我们竖着这个 p o b 看了这个图之后呢，如果有经验的同学确实能一眼瞪出来啊。如果是初学的同学呢，也不用着急，如果你实在是不会选了，我们说了，你就看一看题干当中有哪些已经知道的垂直关系呗。 你先把它在图当中给它标记出来，你比如说他说了 p a、 c 这个三角形是个什么三角形？是个等边三角形啊。等边三角形有什么性质呀？三线合一就是角平分线，中线和高是同一条线， 那么这个 p a、 c 是 等边三角形， o 又是 a c 中点，所说哪个角是直角？这个角是直角，没问题吧？这不就是一组垂直关系了吗？然后呢？他这还说了个条件，说个什么条件？ ab 和 bc 相等啊，所以这个三角形它不是一个正三角形，但它是个什么三角形？这个等腰三角形，等腰三角形也满足三线合一的这个性质， 所以这个角也是直角，那么由此我们就可以知道什么呀，我们就可以知道 a c 它和 o p 垂直， a c 呢？它和这个 o b 呢也垂直，又因为这个 o b 和这个 o p 怎么样？它是相交的呀，所以我们就可以知道什么呀，我们就可以知道这个 a c 呢，它就垂直于这个面 p o b， 然后又因为什么呀？又因为 a c， 它在另外一个面 a b c 上，所以这个面 abc 它就垂直于这个面 p o b。 这不就是我们刚刚所说到的 abc 当中的一条直线和 p o b 垂直吗？我们选的是哪条线，选的是 a c 啊？ 那这个 ac 这条线是怎么找出来的？是我们根据题干当中已有的垂直关系给他判定出来的，就如果你有经验，你看到这个图形，你可以快速的给他蹬出来，如果说你没有经验呢，你就可以先把题干当中已有的这些垂直关系怎么样都给他标出来，你一放，你会发现他就一目了然了。 这道题呢，我们就给大家留成练习题，大家可以先自己暂停做一做，然后呢把你的答案呢发到我们的评论区里面，我来帮助大家看一下，如果大家有什么疑问的话，我们欢迎大家随时来讨论。 然后呢我们来看一下今天要讲的最后一种题型，就是面面垂直的性质定律。那么什么叫做面面垂直的性质定律呢？具体的使用场景又是什么呢？就大家在以后做题的时候，你会发现有的时候这个题干当中的条件呢，是两个面垂直， 那么如果遇到两个面垂直这样的条件，我们应该如何翻译？我们先来看一下他的基本原理是什么？他是这样说的，他说如果两个面垂直，其中一个平面内有一条直线垂直于这两个面的交线，我们就说这条直线呢，和另外一个面垂直，是不是乍一读不知道他什么意思啊？我给你画个图，你大概理解一下，你就明白了。 比如说我这有个平面的 alpha， 然后呢，我这还有一个平面 beta， 这个 alpha 和这个 beta 有 什么特点呢？哎，他俩是垂直的，并且呢，这两条直线怎么样？还相交了一条交线 m， 即我们的 alpha 和 beta 相交交于这个直线 m。 现在呢，我有另外这条直线 l， 这个 l 有 什么特点呢？它是包含于这个平面阿尔法的，就是它整个在这个平面阿尔法里头，并且呢，它还和这个直线 m 呢，是怎么样是垂直的？那么如果说同时满足这四个条件的话，我们就可以得到 这个 l 呢，它就是垂直于这个贝塔的。那么进一步呢，这个 l 呢，它就垂直于这个面贝塔中 左右直线。你看这个链条，我们可以把面面垂直转化成线面垂直，进一步转化成线线垂直。那么具体这个原理应该如何使用呢？我们肯定就要就题论题了，我们来看下这道题啊，他跟你说这个正方形 a， b， c， d 和这个正三角形 a d， p 所在的平面呢？怎么样是互相垂直的， 然后呢， q 呢？是 a d 中点，让你去证明 p q 垂直于 b q。 你 这道题首先应该先把条前面这个条件给它翻译一下，就是这个平面 p a、 d， 它和这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是垂直的？根据我们刚刚所讲到的这个原理，我们是不是要去找着它的交线？很明显这个交线是谁啊？是我们的 a、 d 呗， 所以我们照着左边这个原理就可以直接来翻译它了，因为这个面 a、 b、 c、 d 垂直于这个面 a、 d、 p， 然后这个面 a、 b、 c、 d 怎么样？它是不是和我们的这个面 a、 d、 p 相交了？交线刚是不是画出来了，就是我们的 a、 d 呗。 那么是不是应该要找到怎么样一条和交线垂直？直线？那么哪条线和交线是垂直的？你看题干当中他不是说了这是一个什么形？这是一个正三角形啊，正三角形有什么特点？三线合一啊，所说哪条线和交线是垂直的？这条蓝色的线 p q， 因为 q 是 终点吧， 所以很明显这个 p q 呢？它是不是又包含于我们的那个红色的面 p a、 d 的？ 那所以说根据我们刚刚所讲的这个基本性质，我们就可以得到这个 p q 呢？它是垂直于我们的这个面 a、 b、 c、 d 的， 对吧？ 我们不是讲到过，如果这个 p q 垂直这个面的话，它是不是就应该垂直这个面当中所有的直线？所以因为这个 b、 q 它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的， 所以说 p q 他 不就垂直于 b q 了吗？你看就这完了，就这么简单。我们再来看一个是一样的做法，他给了你这样的一个三等锥，然后呢告诉你，三角形 p、 b、 c 呢？是等边三角形，你看等边三角形很有可能就会用到三线合一的那个性质啊，然后 a c 垂直于 p b， 然后这两个面又垂直，就让你证明 a c 和 p b c 垂直。 看着好像各种乱七八糟，条件一大堆吧，你就记住了，你就一步一步来，按部就班的做，你就能做出来。首先应该怎么样？你首先应该先把这个条件翻译一下，因为面面垂直作为条件是没法直接用的 啊。先找着这个平面 pbc 好， 找着它，然后找着这个平面 abc， 通过这个图能看出来这个交线是谁，就是我们的 bc 吧，所以我们来写一下这个基本步骤，你看因为面 pbc 垂直于面 abc， 然后这个面 pbc 是 不是和我们的这个面 abc 怎么样 相交了吧？有一条交线是不是就是 bc？ 那 么紧接着应该怎么样找到一条和 bc 垂直的直线啊？那谁和 bc 垂直？你读读题，这不有一个条件吗？看见没有？ pbc 是 等边三角形， o 又是中点，这不就是我们所说的了，什么东西啊，三线合一啊，说哪是个直角， 这是个直角啊，等边三角形的性质吧。好，所以说我们就可以知道哦，这个 p o 它是垂直于我们的交线 b c 的， 又因为这个 po 呢？它在这个面 p b c 上吧，在那个蓝色面上，所以根据我们刚所讲到的面面垂直的性质，我们就可以得到这个 po 呢，它就垂直于面 abc， 那 它垂直于面 abc 的 话，那么所以说这个 po 它就垂直于这个面 abc 中所有直线，这不就翻译完了吗？这个条件就到此为止了啊。 然后我们再回到我们这道题的结论，你看你要证明的是什么？你不是要证明 a c 垂直面 p b c 吗？跟我们今天所讲的第一种题一样，我们要证明 a c 和 p b c 垂直的话，只用证明 a c 垂直于这个面， p b c 中两相交线，那么哪两条相交线第一条就是 a c 是 垂直于谁的呀？ p b 的 呀？这个是已知的呀，这不用你去证。那么第二个是 a c 垂直于谁呢？ a c 呢？垂直于 po， 这个是因为什么呀？是因为 po 垂直于 abc 这个平面当中所有的直线呗。你看这不就完事了吗？就做完了呀， 因为 ac 垂直于 p o， ac 垂直于 pb， 所以 ac 垂直于这个平面当中。两条相交之前他就和这个平面垂直了，就和我们的今天讲的第一种题型不就连起来了吗？ 所以说大家如果把这几道题放在一块看的话，你会发现其实立体几何的垂直证明呢，并不复杂，关键点在于大家有没有掌握一套基本的解析逻辑和思路，如果纯平感觉肯定不太行。 以上呢，就是我们关于立体结合数学证明的所有知识解读，希望对于大家的学习会有帮助。我是小树老师，关注我带你掌握更多的高中数学知识。

在立体几何中看见二面角，一定要找到它的平面角是什么。已知 a、 b、 c、 d 和 c、 d、 e、 f 都是直角梯形， a、 b 平行于 d， c、 d、 c 平行于 e、 f、 a、 b。 五、 d， c 等于三， e、 f 等于一 b， a、 d 等于 c， d、 e 等于六十度。二面角 f、 d、 c、 b 的 平面角为六十度， f、 d、 c、 b、 m、 n 为 a、 e、 b、 c 的 中点，证明 f、 n 垂直于 a、 d。 他告诉我了上下这两个都是直角梯形，我们想不想判断出来到底谁是直角呀？是不是这里是六十度，这两个又平行，说明这个是一百二十度，这是六十度，肯定都不是直角，这两个是。这样就得到了很多垂直。 先判断谁为直角。 既然有这么多垂直，就可以找到二面角的平面角。这个二面角相当于是一个整个的梯形，下底是五，上底是一，把它拦腰截断，中间翻上来得到的一个图形。此时我们就能发现角 f、 c、 b 就是六十度，因为他是这个二面角的平面角，这两个都是垂直的嘛。要把二面角转平面角，就是要找到两个垂直，垂直的一定是交线和另外在两个平面内的线垂直， 这就把二面角变成了平面角 f、 c、 b。 接下来要证明 f、 n 垂直于 a、 d。 我 们发现这里的固定角和固定边比较多，所以这道题大部分应该都是计算中的， 要正垂直嘛，边比较多，角也很多，正定量的多，肯定需要勾股定律来正。大概率的 先研究上面这一个梯形，其实上下这两个梯形是同样的道理，我们接下来就写同理就行。先研究上面这个 e、 f、 g、 e、 f、 c、 d。 画出平面图 做垂直，因为这样就可以求出梯形的高，这里是一，这里是三，所以这里就是二，这是四，二倍根三， f、 c 应该是二倍根三。做垂直在图上体现出来是这样子的， 制造求出的 f、 c 是 二倍根三，同理可以得到 b， c 应该也是二倍根三。是不是因为我刚才说的是拦腰截断，正好下面还有一个同样高度的梯形高，都是二倍根三。 此时我们发现这个三角形 f、 c、 n 应该是固定的。知道了两条边，还知道了一个加角吗？可以说是类似于全等。同理， b、 c 等于二倍根三， n， c 等于根三， 二倍根三，根三六十度。不用说，这肯定是直角。这要证出的 f、 n 垂直于 c、 b， 而我们要证的 f、 n 垂直于 a、 d， 可以 来证明 f、 n 垂直于底下。 a、 b、 c、 d。 这个面已经证明一条了，另外一条很简单呀，这垂直这么多，肯定选 d， c 垂直于这个面，进而证明 d、 c 垂直于 f、 n。 还有 f、 c， e 和 b， c 都在这个 f、 c、 b 面上，就不写了，大家需要写上推得 c、 d 垂直于右边这个面， f、 c、 b。 又因为 f、 n 在 面上，所以 c、 d 垂直于 f、 n。 最后综上， f、 n 垂直于底下这条面 a、 b、 c、 d。 当然这里也要说一些话，比如说 c、 b 和 c、 d 相交于 c， 还有 c， b 和 c、 d 都在底下这个面上都要说啊。 又因为 a、 d 属于这个面， a、 b、 c、 d， 所以 f、 n 垂直于 a、 d。

垂直证明就是四大题型，线面垂直、看点和性质面面垂直综合应用。听完我这节课，卷子上的垂直题全都是元喽，欢迎来到立体几何垂直的全现场，在这里呢，我会给你讲清楚线面垂直，面面垂直所有的题型哈，保证一个不漏， 而且记忆方式也非常简单，没有一个会让你彻底忘记哈。那么首先来我们来看到第一类题型，就是我们要去证明线面垂直，哎，大家注意哈，我们线来知道，线就是线，而面它其实是模子，它其实是由一组相交直线所构成的， 一组相交直线就可以唯一确定一个平面，所以说你知道一个平面的 logo， 也就叫做这一组相交直线哈，就是它的标志。那 此时呢，如果你要去证明线面垂直的话，其实就是在证明我的这个线和这一组相交直线垂直，也就是在证明，哎，我跟他垂直，哎，我也跟他垂直，所以我们要正线面垂直，只需要去正两组 线线垂直就可以了哈。那么我们常见的线线垂直有什么呢？我给大家讲一讲， 比方说第一个 number one 就是 非常常考的，只要你看到菱形，我们菱形的对角线连起来，它就是垂直的哈。那么其次， number two 如果说有一些矩形或者正方形的， 那么它的角是不是为九十度的，对吧？然后其次第三个，如果题目在第一问之前，它就告诉你了很多的数字，那么跟数字有关的一定是跟谁有关？同学们，勾股定律， 你们要思考一个逻辑，如果说我在第一问之前我用不上勾股定律的，我为什么不在第二问的题干再告诉你说，哎，我现在定了 哪一条边长为多少，哪一条边长为多少，我为什么不在第二问告诉你，非要在第一问之前告诉你，也就是因为他一定是会用上勾股定律的哈，那么他就可以证明垂直。然后第四个是什么嘞？如果说题目告诉了你线面垂直或者面面垂直，我告诉你哈， 线面垂直是世界上宇宙间最强的条件，他给你线面垂直不是为了给你线面垂直，而是给给为了给你其他的线线垂直的哈， 所以此时来一共是有这四步的。那么我们来看到这一道题目，他说有一个平行六面体了，底面是一个菱形好菱形的对角线相互垂直，已经有了一个垂直了。 其次呢，他说 b a d b a d 为六十度哈， b a d， 那 这里是一个六十度，而 a e 是 一个根号六哈，他不知道为什么给你数字好，数字来了，那就是什么就是勾股定律了。然后此时呢， a e a b 等于 a e a d a e a b， 哎， a e b， 也就是说这一个角度等于 a e a d， 哎，等于这个角度。 然后呢，咱们的 a e a o 等于四十五度， a e a o 哎，也就是说这一个角度哈，它是为四十五度的。那么此时第一问，他让你去证明，哎，咱们的 a e o， 它是垂直于咱们的底面的。 那么我们来看一下这道题目哈。首先呢，你看我们的 a e o 看起来就跟谁是垂直的，我们先来用一下咱们的勾股定律哈， 呃，一定是用谁呢？ a e o 垂直于咱们的 o a 的， 我们放在三角形 a e a o 这个三角形中来哈，我们来看一下它的长度，里面呢是边长为二的菱形，这里是二，这里就是一哈，因为这一个角是六十度，那么这个角就是三十度，所以说这一段是为根号三的， 所以此时你就会知道咱们的 a e a 嘞， a e a 它又是等于根号六的，而咱们角度 a e、 a o 又是等于四十五度的，所以呢，这里你可以由一个余弦定会得到咱们 a e、 o 的 平方，它是等于根号六方，也是六，再加上一个根号三方就是三，然后呢，再减去二倍，根号六乘根号三，再乘上扩散四十五度哈，也是为二分之二的， 对呢，最后你可以算出来，咱们的 a、 e、 o 为模子啊，他是刚好为根号三的，所以你会发现根号三方加上根号三方，他是等于根号六方的，所以马上可以推得咱们的 a o， 他 就垂直于 a e o 了。所以当题目给了你数字的时候，一定是暗示你，他就一定绝对可以用勾不定的，那 那么我们就推走了第一条哈， a o 垂直于 a o 的， 那么其次第二条我们来看菱形可以怎么用哈，你会发现不行，这里用不了菱形对角线，因为菱形对角线就是说这条垂直于这条嘛，但是我们要证的是 a e、 o 垂直于底边， 那就不行了，那我们再怎么来看呢，你会发现哈，我可以去证明 a e o 垂直于咱们的 b d 的 正， a e o 垂直于咱们的 b d 的。 那么你就想一想，我为什么有一个垂直来，你会发现啊， o 为 b d 的 中点 哎，它是中点的情况下哈，如果说咱们的 a、 e、 d b， 它是一个什么，它是一个等腰三角形，那么我们就可以证明这个线线垂直哈，所以呢，我们的下一步是去证明咱们的三角形 d， b， b， a、 e， 它是为等腰三角形的。然后呢，我要怎么说明它是等腰三角形的？其实就是说明我怎么去说明 a、 e、 d 它是等于 a、 e、 b 的 嘞？你就会发现哈， 就是我的 a、 d， 它是等于 ab 的， 对不对？然后呢， a、 e 等于 a 的 题目还告诉你说，哎，我的这一个角是等于这个角的，所以说你就会得到一个三角形，它是全等的三角形。然后呢， a、 d， a、 e， 它是全等于咱们的三角形 a、 b， a、 e 的。 所以呢，它是由一个 s a s 证明全等的哈， 那么此时呢，我们一层一层往上面推，我们就可以推得这一个垂直了。然后你再去说明咱们的 a o 啊，交 b d 于 o 点， 就因为呢，他们这一组啊，他都是在咱们的平面 a、 b、 c、 d 上的，所以你最后就可以说明咱们的 a、 e、 o 就是 垂直于这一整个平面的哈。所以第一题就结束了，这几个的讲义和扣细节我全都整理好了，点击我的主页这里去聊。 我们再来看到第二个题型哈，就是它还是证明线面垂直，但是呢，它会用上咱们的面面垂直，用上咱们的线面垂直哈。 如图，在一个四棱锥当中，咱们平面垂直平面，宝贝们，平面垂直，平面，他不是为了给你这个条件的，是为了让你继续往下面推倒的，就是只要你在这两个平面上找到有一个线，他垂直于这两个平面的交线的话， 所以说你就可以发现什么咱们的 l 他 就垂直于另外一个平面的，你就会得到宇宙最强的一个线面垂直的条件。 那么你来看一下哈， p a b p a b， 就是 说咱们的下平面嘛，垂直于 a、 b、 c、 d， 也就是咱们的后平面嘛，然后呢，它们俩的交线就是为咱们的 ab 嘛？然后此时呢， p a 垂直于 ab， 也就是说我的 p a 垂直于咱们的交线之后，你就可以推得马上 p a， 它就垂直于咱们的后平面儿的，对不对？ 也就是垂直于咱们的 a、 b、 c、 d 的。 然后呢，你得到线面垂直一定是为了推得下一个线线垂直的，这才是它最终的一个目的地。而最后呢，它问的是 b、 c 垂直于咱们平面， p a、 c， 那 肯定跟 b、 c 没跑了。所以说你又去取 b， c 是 包含于这个平面的，你就可以推得 pa 啊，它是垂直于 bc 的， 对吧？ bc 包含于后平面，那么此时我们就推得了第一组垂直哈，这是跟咱们的面面垂直，一层一层往下面垒的。 然后我们继续来看后面呢，他说底面 a、 b、 c、 d 为一个等腰梯形， a、 b 平行于 c、 d， 然后此时嘞，咱们的 a、 b 等于二， c、 d 来等于一的，然后你就会发现哈，你就会发现模子嘞，就是这里出现了数字，那么数字肯定是跟谁有关的，肯定是跟勾股定律有关的。所以说第二步就是说我们要去用一个勾股定律，哎，我们要证明的是 b、 c 呀，它是垂直于谁？ p a、 c 一 日垂直于这一个 面，我们刚才已经证明了它和它垂直，那么我们只需要证明它和它垂直就行了，所以这时候嘞，只要我们来证明三角形 a b c， 它是为一个直角三角形就可以了哈， 那么这时候怎么搞嘞？我们先要去得到咱们 a c 的 长度，对不对？ a c 长度其实外号求哈，你去过 c， 你 做一个垂直下来 作 c m 垂直于 ab， 那 么此时你会发现我这是一个等腰梯形，对不对？所以说这个一一平移下来，那么我这应该是二分之一，这应该是二分之一的，所以呢，我这一段是为母子，是不是为一个二分之三的？ 然后你们继续来看哈，我这为二分之一的情况下，那么此时呢，我这个角肯定就是为三十度的，对吧？他为三十度的情况下来，我们就知道了，这条边他就应该是为二分之根号三的，哎，他为二分之根号三，他为二分之三，你就可以推得这条边为多少，是不是为根号三的。 所以此时哈，你由计算，你可以得到咱们的 a c 呀，它是等于根号三的。那么我们再放到这一个三角形里面来，我们是不是有根号三的平方，再加上一的平方，等于底边 ab 也是二的平方， 所以呢，你就可以推得了，这里确实是一个直角的，所以你就得到了 a c， 它是垂直于 b c 的， 那你看，我现在又有两个垂直了，然后你就可以说咱们的 pa 啊，交 a c 于哪一个点呢？于 a 点，又因为 pa 和 ac 都是包含有平面 pa c 的， 所以最后得到 b c 垂直于平面 p a c 就 结束了，那么我们来看到第三个题型哈，证明面面垂直，那么大家要注意这里跟平行不太一样的一点是什么嘞？就是在垂直的世界里边是线面垂直，他是老大，他是王中王的， 所以说只要你有线面垂直，很多东西都能推导出来，你看哈，如果说在这幅图里边，你能够推导出来咱们的 a， 它是垂直于下面这个平面的，那么 但凡是包含 a 这一条直线的平面，他都垂直于下面这个平面的，所以说你只要有线面垂直，那么包含这个线的所有平面，他都是垂直于另一个平面的， 大家理解吧哈。而我们要去证明线面垂直，刚才已经讲过了，只需要去证明哎，这一个线和下面这个平面的那一组相交直线都垂直就可以了，所以本质上还是线线垂直的问题。 那么我们来看到这道题，他说在一个四面体当中， ab 等于 ac， 等于 ad， 等于 bc， 等于 b、 d 等于二，哈，好多的东西，好多的二，那么此时你就会发现有很多的等腰三角形和等边三角形， 那么等腰三角形和等边三角形有一个很大的特征是什么？就是你只要连接了中点中线之后嘞，那么此时你只要连接了中线，它也是垂线的哈，所以说这就会出现一个垂直了。 那么无论这道题他问没问这个条件，只要他让你证明垂直，你就马上去连接这一个中点， ok， 那 么第一问，他让你去证明 a、 c、 d， 他 是垂直于 b、 c、 d 的 a、 c、 d。 来，我们来画一下哈，就是右边这个平面，他是要垂直于咱们的啊， b b c d 的 b c d 就是 说下面这个平面，所以我们真正要证明的是右平面垂直于下平面。首先同学们，我们先去取一下哈，取 c d 中点 m， 然后嘞，我们去连接 b m， 连接 am， 那 么此时我就会得到两个垂直，对不对？首先 number one b m 是 垂直于 c d 的， 其次咱们的 number two am 是 垂直于 c d 的， 那么得到两个垂直的情况下，我们再来看要用什么哈，这就是有两个垂直了。我们再来看，还可以用一个勾股定律，因为题目涉及到了很多数字，那肯定是跟勾股定律有关的哈。 然后大家来看一下，我在这说了一个什么，我说咱们的 bc 是 垂直于 b 的， 哎，感情好，咱们在底面上这还是有个垂直的，又因为底面我是不是一个等腰只有三角形啊， 所以说我这条边长它就出来了哈，它是为啊，根号二的，这里也是为根号二的，那么这又是为一个二，这里也是一个垂直的，所以这也是为根号二的。 所以呢，你就可以推得俺们的 a m 也是等于根号二的，而咱们的 b m 也是等于根号二的。 你就会发现，在三角形 b m a 中是不是有根号二的平方，加上根号二平方等于二的平方，马上快就很推得咱们的 b m， 它也是垂直于 a m 的。 那么你就来看哈，咱们同时出现了两个大的垂直，一个是 b m 垂直于 c d， 另外一个是 b m 垂直于 am， 你 就可以说咱们的 am 啊和 cd 啊，它是交于 m 点， 因为呢，咱们的 a m 和 c d 都是包含于右边这个平面 a、 c、 d 的， 所以可以快准很推的。咱们的 b、 m 是 垂直于右边这个平面的。然后你再去说明，又因为 b、 m 它是包含于咱们的平面 b、 c、 d 的， 所以咱们两个平面是垂直的。所以说你就是要先证明线面垂直，就可以得到面面 垂直了。我们再来看到最后一道拔高难度的垂直的综合应用，如图，在一个四棱锥当中， pa 垂直于平面 abcd 的， 此时线面垂直移过来，马上可以得到所有的线材垂直。最后你看它要证明的是 a、 b 垂直于咱们的 p、 c 的。 那么我们这时候可以先说明咱们的 p、 a 它是垂直于 a、 b 的 哈。然后我们继续来看说 a、 d 呢是平行于 bc 的， 而咱们 a、 d 呢，它是垂直于 c、 d 的。 哎，就是说我们的底面是一个 的直角梯形，而且此时 p、 c 等于 b， c 等于二倍根号二， p c 等于 b， c 啊，二倍根号二，然后呢， a、 d 等于 c， d 等于根号二，呃，这里根号二，根号二等。 然后我们继续来看， pa 是 等于二的。然后此时哈，我们如果要去证明 a、 b 它是垂直于咱们的 pc 的， 你会发现这两个东西它是隔得很远的，你是意面直线，你是看不出来它到底是不是垂直的。那可以怎么做嘞？我就直接证明咱们的 a、 b 是 垂直于这一整个平面嘛，对吧？ 所以说上一步是要去证明咱们的 a、 b 它是垂直于平面 p、 a、 c 的， 而我怎么去证明它是垂直于这个平面嘞？我就去找到说它的一组相交直线嘛。 所以呢，我们如果能找到 a、 b， 它是垂直于 a， 我 们已经有了垂直于 p a 哈，有了。然后呢，我们再来找一个 a b， 它是垂直于谁？ a c 嘛，就可以了。而 a b 垂直于 a c 呢？那肯定是要跟勾股定律有关了，对不对？因为 题目出现了非常多的数字，所以这时候来我们要去证明的，就是说 a b 垂直于 a c， 就是 要证明它是一个直角，所以我们在三角形 a b c 中，我们要去把每一个边长都给它写出来哈，而 这时候我们的 a c 等于多少来？这里是根号二，这里是根号二，又是直角，所以说它是为二的哈。然后我们继续来看，呃，这里是为多少来 a b？ 你 确实是不知道的哈，但是呢，我们可以过 a 点，我做一个垂直下来， 用了，一个垂直下来，这段是为根号二的，这段是为根号二的，那么他也是为根号二，然后这段和这段又是平行的，他是为根号二，所以说 ab 又出来了，是为二的。 所以此时哈，你会发现，在咱们三角形当中，二方加上二方又等于二倍根号二的平方，所以呢，你就可以得到咱们的 ab 又是垂直于 ac 的， 所以这一个条件也可以得到了。那么我们就可以推到上一层，他是垂直于这个平面。那 你又需说明，因为 pc 它是包含平面 pac 的， 所以可以得到咱们 ab 是 垂直于 pc 的。 那么如果你听完我这一课，你就会在证明垂直的所有题型中如鱼得水。 视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大解析一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 接下来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这边群聊数学想要考年级第一从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见。

本视频时长三十七分钟，带你搞定立体几何四个基本事实，从原理出发，讲透说了啥，能干啥，配合立体代练，掌握解析思路，回复立体几何，可领取视频讲义。 今天我们要讲的这个内容呢，叫做立体几何中的基本事实。啥叫基本事实呢？就是有四个不用证明的，大家认为它成立的这样一个事实，一、二、三、四，那对应的是啥呢？就是这四个东西， 比如说一本事实一过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，那你想一下，你随便画一个不在一条直线上的三点 abc， 我 们用常识去想一下，它就只有一个平面，就是这个平面 abc 所 说，你一想这好像说了什么，又好像什么都没说，所以基本事实或者说公理，他给我们的感受就是他说这句话是对的，但是这句话说了之后又等于没说这种感觉，那没错，所以就是因为这种感觉，我们会产生一种好像我把公理学了， 但是到真正去用公理，或者说用公理，或者叫总之我说公理，大家就知道说的就是这个基本事实啊。这个说基本事实还是我不习惯的一个方向，就是我们用公理真正要去证明一个问题的时候， 我们小伙伴可能就会联系不起来，因为真正要去挣的东西，和他描述的这个东西在很多情况下会差一些。所以今天呢，咱们就围绕这几个基本事实，他到底说了啥？他能挣啥， 对吧？比如说刚才所说的过不在一条直线上的三点，有些只有一个平面，其实它能够去证明多点共面，那怎么正呢？其实就是正这几个点所构成的两条线是平行或者相交都能得到它们几个点是 面的，那包括后边的也是一样，这个公理描述的很绕，但是他可能能正的和这个建立不起关系。所以我们今天一起先来感受一下公理聚焦的说人话，他到底说了什么，然后以后遇到要去证明哪些问题的时候，哦，他考的是这个公理，对吧？ 那你知道了，考的是这个公里，然后他正的时候到底是怎么正的，过程是怎么写的啊？要把它整清楚，这是咱们这节课的目标。当然了，这四个公里呢，更重要的在后续咱们要对一些 几何体去找面与面的交界，或者说要去找结面，要把一些结面补充出来或者画出来，其实 本质上考察的也是大家对什么对这四个公理的理解。所以我们今天就聚焦于这四个基本共识啊，说了啥，能干啥，然后怎么干？ 解决这三个问题，那基本上公里所产生的这些证明题你就会了。那我们首先从第一个大家最好理解的这里没出现的基本事实四开始，因为这个是所有人都能够理解，也都能用得上的，他说的比较明确，平行于同一条直线的两条直线平行 那么在初中就学过，只是当时是指在一个平面内平行，同一条直线的两直线是平行的， 那么今天再扩充一下啊，放在空间内，平行于同一个直线的两个也是平行的。我们用数学语言或者用符号表示，就是 l 一， 比如说平行于 l 三， l 二也平行于 l 三，那么 l 一 和 l 二也是平行的， 那这个具体的咋用？或者说特别是过程咋写？我们通过一个非常简单的题带大家认识一下。如果说考个题啊，你感觉好像这就是成立的呀，这还要写过程吗？那我们主要看一下过程咋写啊。比如说这里有一道题，在一个空间四边形 a、 b、 c、 d 中， 那也就是什么三棱锥， a、 b、 c、 d 中， h、 j 分 别是这两个或的什么中点啊？ h 点、 j 点是这两个棱的中点，然后 e 点、 f 点呢？分别是这两个线段的三等分点。 现在要让我们证明四边形 e、 f、 g、 h 是 一个梯形，想一想，要证明它是梯形，本质上是在证明什么？本质上是不是在证明 h、 j 和 e、 f 平行，当然了， e、 f 和它还不能怎么样相等，如果这两个货再相等， 那就变成平四了啊，那我把这个证明的思路和过程都给大家过来，这非常简单，本质上你要证明它两平行，那它两又没有直接的条件能正平行。但是你看到这里终点你就会想到啊，这是中位线，所以它平行于 a、 c， 然后接下来在这个三角形当中呢，在三角形当中，当然就是在一个平面当中了，对吧？然后呢啊，两边对应成比例，所以这两个也平行， 所以你看这里就用一个点，就是咱们基本共十四，在空间中平行于同一条直线的两个直线是什么平行的？再结合它等于这个的多少二分之一， 它等于这个多少三分之二，然后它俩是不相等的，所以整个图形是七行 啊，这就是考到了基本共十四的时候，我们对它的理解，那有了这个理解非常简单，然后呈现一下过程，在这道题里边，从它给的图，它没有连接这两条线，所以首先你连接一下 e、 f， 连接一下 g、 h， 然后接下来在第一个三角形 a、 c、 d 当中，也就是在这个平面 a、 c、 d 当中， h、 j 分 别是这两个边的什么啊？中点，所以呢， h、 j 平行于它，这靠的是什么中位线，而且等于它的一半就有了。 同样道理，在三角形 a、 b、 c 中，这有一组比例，所以 e、 f、 e、 f 也平行于这个线，并且等于它的三分之二。那在这种情况下，你会发现 平行于同一个直线的两条线是平行的，它俩平行，并且 e、 f 比 gh 要大， 所以它俩平行却大小不等，所以四边形 e、 f、 gh 是 梯形，所以这是一个我相信，就是可能在这老丈没梳理，大家也会理解的非常清楚， 他只是把在平面中平行的传递性延伸到了什么空间中，依然是成立的，所以我们优先把最好理解的基本共十四说完。那么接下来的话，我们就基本式十一，基本式十二、基本式十三一起来看，这几个稍微会比较抽象一点，比如说这句话，就是不在同一条直线上的三个点， 能够确定唯一一个平面，对吧？这就是啊，他说的对，但是这有啥用呢？咋用呢？对吧？那么这个本质上大家可以理解为不在同一条直线上的三个点 啊，任意两个连线，他们都是，这两个线都是什么相交的？举个例子啊，比如说这两个连线啊，我们画出来他俩是相交的，这两个连线他俩画出来也是相交的，对吧？ 这两个连线画出来也是相交的。所以说你对这个公里或者是基本事实的理解，可以理解为什么相交可以正共面，如果两个直线相交的，他就可以正共面， 那这刚好和他引申出来的推论就完全一致了。比如说推论一，他说一条直线和直线上任意一点一连线，他还是一个什么 两条线相交的关系，所以说我们能得到的就是相交还是可以正这些点是怎么样的共面的。 那再来，这就更赤裸裸，两条相交直线确定一个平面，所以相交可以正共面好了，这是基本事实一，和它对应的推论一、推论二，在这给大家说一下什么叫做相交能正共面， 那这样的话，你就对于你学的基本事实一未来能干什么有一个认识了。因为我们以后会看到的题，比如说你不管它条件告诉我们什么，它最终会经常说证明哪几个点是共面的，那你就要知道啊，相交可以正共面。比如说 啊，我把这四个点看成一个线， p q 和 bc， 如果我能够证明 p q 与 bc 相交，那就能正共面了。 所以这样基本事实一，哎，一下子就有了什么作用了。本来你想着不共线的三个点确定一个平面，那除了它，你好像感觉跟这个靠不拢，但是你把它理解成 相交的两条线可以得到一个面啊，那就可以得到它们共面，那相交就可以去正四点共面了。以后遇到多点共面，你也就想到基本事实一，通过相交可以正好接下来看它通中三。通中三是指两个平行直线，也可以确定一个平面。 那也很简单，那刚才是相交直线能够正共面，这回就是平行也能正共面。感受一下，还是刚才这个例题，你看到这个问题，现在就能想到了啊。我，那我看一下 p、 q 和 b、 c 是 不是平行的，如果我能证明它俩平行，我就能解决这个问题。所以 基本事实一，你结合它的三个推论，你想明白了，就是在告诉你，同样一件事情，相交和平形都可以得到这些点是共面的，所以它能干啥呢？它就能挣多点共面。但凡你以后像刚才一样看到证明哪几个点共面， 那你就看它们构成的两条线，能用平行正，还是能用相交正？能正它们平行结束了，能正，它们相交也就结束了，这就是基本事实一，用来要干的事情。好，接下来就看题。那咱就看刚才这道题。 这道题告诉我们，有个三棱锥， s、 a、 b、 c 啊，一个三棱锥，然后点屁，是这个面啊，所在三角形的重心，点 q 是 这个面，所在这个三角形的重心。 现在要证明 p、 q 和 bc 啊，这四个点是共面的重心，是三条中线的焦点啊。首先第一个啊，有人可能不知道重心，重心是中线的焦点，而且分中线为一比二两部分啊，一比二两部分。 这道题的话呢，老赵就用两个方式都带大家过一下重点还是一想明白。二呢，咱们要会写过程啊，证明其写过程。那这里你一看四点共面，你脑海中马上想 正共面的方式有两个，一个是证明平行，一个是证明相交。所以你在这先做个选择。这道题大家选正平行还是正相交？看到 bc 与 p q， 啊？平行是吧？这看着就平行，对吧？啊？我们说立体图形中，因为斜二侧画法会导致可能角 变得跟以前不一样了，相等的角看着不相等，相等的长度看着不相等，但是平行看着永远是平行的，所以平行永远可以用眼睛一看。嗯，看着平行，所以我也选平行， 所以我就要试着去证明这两个是平行的，要正正，这两个平行直接正肯定正不了，因为它是重心，我们就想一下重心是什么？中线的焦点，而且它分中线为一比二，那就连一下呗， 它是中线的焦点，我就连接一下 s p， 我 就连接一下 s q， 连完之后呢，我设这里的焦点是 m， 这里焦点是 n， 那 m n 是 什么呢？ m n 就是 这两个边的什么中点，因为它是中线的交点，那这里是中点的话，首先我们就知道 m n 肯定和 b c 是 平行的中位线嘛。然后又因为这是二比一，这是二比一，所以 p q 和谁啊？ m n 也是平行的，所以它俩都平行于谁啊？ m n， 那 所以它俩平行， 所以这样的话，我们就知道 p q 平行于 bc 了，那 p q 平行于 bc， 所以 它们四个点一定共面，整个思路就结束了。 所以这就是我们看到四点共面，你马上想到的方向是正它们平行，或者正它们对应的组成的线是什么？相交的。然后你看了一眼平行，那你就朝平行去正就行了啊。好了，那接下来老赵写一下过程。那么这道题首先做的辅助线是连接 sp 加 ac 于 m， 连接 sq 加 a b 于 n 啊，再连接一下 m n， 那 第一个证明的时候是因为 p q 分 别是重心，然后呢， m n 就 会是中点，因为重心，所以连完之后就会得到这是中点，并且呢， s p 还等于二 pm， s p 等于二 pm， 这些初中所学过的性质就不用证了，可以直接写，对吧？所以这里是二比一，那我们就得到 bc 会是平行于 m n 的， 为什么？根据的是中点加中位线，也会得到 p q 是 平行于 m n 的， 对应的是什么？三角形中两侧边乘比例对应边平行， 所以 b c 平行于 p q， 所以 p q b c 四点共面结束了。所以说你看，当你理解清楚了，看到四点共面，你的方向是很明确的，我就是正平行，或者正什么香蕉，然后怎么选啊？你选了平行， 那么像我永远经常上课的时候给大家讲，我总是那种比较另类的，我就在想，那香蕉行不行？你们都用平行，我也用平行，显得我很没个性，对吧？来香蕉行不行？我看到这四点的时候，我看到的是 p c 和 b q 这两线一看就不平行吗？ 那他俩不平行，我要去正，我就想，那我能不能证明这两货是相交的？那我要证明这两是相交。最关键的，我相信很多人脑海中会打个问号， 咋才算证明他俩相交了？没听过正相交这个词呀，对吧？所以接下来咱们就正一下。那么要证明他相交，你就先把这个线延长，他和谁啊？ s a 肯定会有个交点，你设成 m， 然后你把 b q 也延长，它跟 s a 也会有一个交点，但是你也不能说是什么 m， 要不然你发现那一延长就像交完了呀。啊，那不能这么说，你只能说交它于 m 撇， 那么接下来怎么证就能说明他俩是相交了。哎，不是反证法，你一个延长过来看，他肯定是相交 m 的， 这个延长过肯定是相交的，你设为 m 撇，然后你接下来怎么证就说明他俩相交了？对，证明重合， 所以接下来你只要证明 m 和 m 撇是重合的，那他俩就一定相交了。哎，有人问为啥一定会在 s a 上相交？ 首先你要知道 c p 和 s a 这是一个平面问题，在一个三角形是一个平面内过重心肯定和对边是相交的啊， 这是一个平面问题，所以一定相交。所以接下来要正就很简单了，连接 c p 交射，连接 c p 交它于点 m， 连接 b q 交于 m 撇。然后接下来，因为 p q 都是这两个三角形的重心，所以 m m 撇重合，所以 两条直线相交于 m， 所以 四点共面。所以你看，反过来一道题，我说了，平行可以正共面，香蕉可以正共面，那这就是利用香蕉正它们共面，而且用香蕉正好要过程还更简单一些。好了， 那到这里的话呢，咱们宫里一及其他的推论咱们就讲完了啊。就是，所以宫里一就是说不共线的三点确定一个平面相交，直线确定一个平面，直线和直线外一个点确定一个平面，三个合起来都在说相交可以正共面， 然后平行直线确定一个平面平行可以正共面，所以以后看到多点共面，你的方向就是，那我要证明由它们四个点组成的线分成两条线，对吧？ l 一 l 二，我们要么证明它们相交于一点，我要么证明它们平行 就行了。那到底证明相交还是平行？你通过图看呗，你看到了平行，你正平行，我看到了相交，我正相交。总之 至少有那么一种方法一定是能挣出他的。好了，这道就先过了一个期，先带大家从两个角度把 事实、基本事实一感说明白，我们接下来就说基本事实二，基本事实二就感觉更加废话了，他说若一条直线上有两点在一个平面内，那整条直线在这个平面内，那你这个要一想啊，就是那么回事，因为面是无限延伸的吗？对吧？你两个点在，你整个直线在，你说的对， 所以说这句话你看说了好像也啥也都没说，那么这个能干啥呢？说实话，这么多年了，我也没见他能够直接去证明什么，其这个定律往往是用来辅助我们把过程写的更严谨。 你这个，呃，公理，他经常和公理三会一起去证明多点贡献或者多线共点，所以他在描述的时候主要是为了给我们描述点在面内。 那我具体说一下啊，那这道题的话，它写出来就是用字母表示， c 属于 r 法， d 属于 r 法，那直线 c、 d 一定包含于什么 r 法啊？在这些刚好把这个属于啊，还有这种包含关系的。这说一下，后边的话就不再强调了。首先 我们在空间中的元素是点的什么集合，面是点的什么集合？ 所以点与线面之间的关系用什么？你想你站在集合的元素与集合之间，一定用什么属于关系啊？所以你看，只要是点与线，点与面都是属于， 那线与面之间，两个集合之间是什么包含？而且线和面不可能相等，还是真包含，所以线与面之间独有的真包含经常就这么来表示。好吧，这就说完了，所以以后当你想不清楚是什么，就站在集合的角度， 点是元素，线和面都是点的集合，它们之间的这种关系属于还是不属于？包含还是不包含，你一下就通透了。 好了，接下来我们说这个说了啥？就是线上有两点在这个平面内，那所有点都在，它能干啥？它比如说我看到了平面 abc， 哎，看到平面 abc， 我 肯定知道 a 是 什么属于这个平面的，对吧？因为 a 就 在这个面上， 但是如果说我这个平面 abc， 我 看到是这样的，那我如何说 d 在 ab 上，我如何描述 怎么得到 d 在 这个平面上呢？所以说好像直接说 d 在 这个平面上，好像有点欠缺，因为从描述的方式上，这个平面里边也没提到 d， 对 吧？所以说在描述的时候，有些时候它能干啥？就是正点在面， 比如说啊，我们先说点在线上，然后线在面上，那最终你就一定能得到这个点也在面上，这就是他所说的。所以这个描述的时候，主要在公里二和公里三合起来做一些证明其的描述严谨性上。比如说我已知的是 bc 啊， 这两点在这个平面上，那我怎么说明 a 也在？那你只要 a 在 这个线上，线在这个面上，那 a 就 在这个面上， 所以他不会作为一个独立的证明其去证。所以你未来想证明一个点在一个面上的时候，很多时候你发现你要先说这个点在他上面其中一个线上，从而得到他在一个面上， 所以这是我们描述点在面上的一个非常严谨的过程啊，所以说这个大家理解一下就行。然后这里我说了，他不会独立去证，他会结合谁啊？公里三一起去证，公里三中一定会用到这样的描述，那接下来我们就说基本事实三， 基本事实三呢是如果两个不重合的面，那不重合的面要么平行，要么怎么样相交，那么能有一个公共点，那他俩自然是什么相交了。比如说点屁，就是他们的公共点， 那他告诉我们过点屁，有些只有一条直线啊，有些只有过该点的一条公共直线啊，是公共直线。然后你看这个话说的特别的绕啊，我都不知道说啥，那说白了就是说如果两个面是相交的， 他俩的公共部分是唯一的一条直线，或者说两个平面公共部分是一条线，两个平面相交 是一个交线，那你的公共部分肯定都在这个交线上，只要这个点是公共部分，肯定在这个线上。你看这要说成白，就是咱们人话就特别的简单，特别的通俗，所以说他再说了个啥，就是公共点一定是在唯一的交线上， 那还是那句话，那它能干啥呢？它能挣多点贡献。如果你没有这样去了解的话，你会发现啊，比如说你遇到了其说证明 p、 q、 r 三点贡献。站在我们正常的角度会去想，我怎么证明这三点贡献呢？像公里、一公里、二公里、三公里四中，没有一个说是点贡献的问题，对吧？那我就会想啊，我先证明两个点一定是贡献的，我再证明另外一个在他上边，那这样就走远了， 我们真正的以后只要你遇到了，证明多点贡献，咋证啊？只要证明这每个点都在这个交线上， 那他们不都就贡献了吗？对吧？点 p 在 交线上，点 q 在 交线上，点 r 在 交线上，那你说他们共不贡献，那他们一定贡献，那我咋证 它在交线上呢？咋证一个点在交线上，如何去证明啊？空间中一个点在两个面的交线上，很简单，就是证明这个点同时在两个平面。 你想，如果你能证 a 属于平面 r 法，你也能证明 a 属于平面贝塔，那你想 a 等于啥？ a 的 这个功力就是在告诉我们，如果两个平面有个公共点，那这不就是两个平面的公共点吗？那它一定在这个唯一的直线上。所以你要证明这三个点共线是证明 a 同时在两个平面 啊， p 同时在两个平面， q 同时在两个平面， r 同时在两个平面，其实他们三个各自挣各自的，他们三一点关系都没有，最后他们三个都在交线上，所以他们贡献。 所以你只要遇到了，证明三点共线啊，想都不用想。在例题集合中，嗯，跟刚才先证明两个点，确定一个线，把另外一个证明他也在上边啊？不是，这就直接证明他们都在交线上就行了啊。所以说公里三学完之后他能干啥你就想明白了， 只要遇到多点贡献，考的就是基本是十三。那咋正呢？就是每一个点你都证明他既在这个面上，又在那个面上，那他就能正，当然了，他还能正什么？多线共点，这个一起待会，这个在这个图上说不清楚，待会通过例题再给大家讲。好吧，好了，到这里呢，我们说 关于啊，基本是十一、二、三，咱就四也说了啊，四太简单了，四大家都能想明白，所以就不用整在这了，所以他们分别说了什么。 那么公理一，主要就是说如何去判断共面啊？就是正多点共面就是正他们相交，或者证明他们所啊几个点构成的两个线平行嘛，然后这两个结合起来，主要是在证明多点共线或者多多线共点，那么咋正都是正点在这个两个平面内。举个例子吧， 比如说这道题，你看结果说证明 c、 e、 e、 o 三个点贡献，你一看到这三点贡献呀，哎，考基本是十三嘛，这就是你理解之后知道它能干啥的时候，你就觉得这很丝滑的，就对应啥。那那咱们找一下， o 是 啥呢？ o 是 底面对角线的焦点， 然后这个 e 是 啥呢？ e 是 起对角线与这个面啊，一条线与这个面的一个交点啊，就是 a、 e、 c 与 c、 e、 d、 b 这个面的交点， c、 e 是 这个。 那你想一下，要证明这三点共线，我们说啊，跟这三点没关系，要同时证明它们在两个平面内。 那首先你看，很明显现在已知的它们三个都在哪个平面内？第一个就是我画的这个 c、 e、 b、 d 嘛，那第二个你还要再找一个，那你给大家找第二个，那还要再找一个跟这个面相交的，而且它们都在的，那那个面是谁啊？大家说 a、 e、 a、 c， 你写成这个面的话，你你，你发现你如果只说这个三角形构成的面的话，这个 c 一 不太好说，所以咱们直接说成四个点，好不？你就把它也包上，那第二个面是不是就说明 a 一、 a、 c、 c 一 它们，你如果能证明它们同时也在这个面上， 你说跟线有啥关系没有？你只要证明都在蓝色面上，然后都在什么黄色面上，然后两个面是相交的，结束了，这就是我们要证明的。我们说你学完他之后，你会发现他要挣的三点贡献，跟这个基本公里三 直接描述的这个就根本挂不上钩。但是你把它想明白理解清楚了，你就知道他能干啥了，你知道他能干啥了，你也知道怎么干了，那就太简单了。那接下来就剩下如何严谨的写出过程。首先我们接下来一个点一个点的来写，比如说我来先写点 o 啊， 当然辅助线先做一下，因为原来里边是没有谁啊， a 一、 c 一 的，所以先连接 a 一、 c 一， 然后设两个平面的交线为 l， 因为在这个正方起中，它俩很显然是正方起中是相交的，你就设它们的交线为 l。 然后 首先第一个 c 一， 因为它很明显，你看你描述的这个平面，它就属于这个平面，那同样 c 一 是不是也属于 b、 d、 c 一， 而这两个直接可以描述， 那说明 c 一 在什么？ c 一 一定属于 l， c 一 就证明完了。接下来比如说我要证明 o， 你 会发现 o 在 证明的时候还有点说道，你没办法直接说 o 就 在这个平面内， o 在 这个平面，因为从 你所描述的这些字母来看， o 没在这个平面内，对吧？所以为了严谨就要用公里二， o 在 哪里呢？ o 在 b d 上， 所以 o 属于 b d， 那 b d 呢？在平面 b d， c e 中，所以 b d 包含有它，所以 o 属于它，这就是在用公里二， 点在线，线在面，所以点在面。所以我说公里二不单独考。但是很多时候在证明三点共线的时候，为了把一个点在这个面上能描述清楚， 你会发现它要从点在线，然后现在面，然后得到点在面。在这里写过程的时候，还原了一下 基本事实二，他描述他是干什么，就是让大家在这写过程的时候严谨的，没有给人感觉从这里脱离了你的这个图，你根本就看不出。哦，为啥在这个平面？你这么说肯定就说清楚了， 然后同样 o 在 ac 嘛， o 在 ac， 那 ac 在 哪里？ ac 在 这个什么面上，所以 o 在 o 同时在两个面上， o 属于 l， 同理， e 属于 l， 三个点都在 l 上，所以 c、 e、 e o 三点共线结束了。 所以这道题的话，就是咱们理解了基本式十二，基本式十三知道了它在说什么，它能干什么， 写过程就是怎么干，除了你要证他同时在两个面上，还要怎么去写他在两个面上。那到这里呢？我们说基本事实二和基本事实三能干的第一件事情，证明多点贡献就说完了，你会发现那个谢 并不，他们之间没啥关系，各挣各的，挣完了，这，哎，你也在这个线上呀，哎，你也在这个线上，给人一种这样的感觉，而不是，哎，咱俩一起去那个线上啊，没有这种感觉啊。好了，接下来我们说第二个，第二个他能解决的问题叫做证明好几个线交于一点，就是老赵所说的多线共点 啊。那我先帮大家读一下，这个七又是个空间四边形，啥意思呢？就是个三轮锥吗？这两个点是中点，这两个点三等分点。好像在今天第一个描述基本事实的时候， 一模一样的条件证明了个啥？谁还记得？我看有没有人从十一开始就跟进来。今天我们基本事实四用的利奇跟他一模一样，证明了这个线啊，证明他是七行，这证明这这两个线是什么？ 平行的，对吧？证明这两好了，那这其实就换句话说，我们如果一开始就清的话，看到这里我们就知道这两线是平行的，用什么呢？用咱们的基本事实四，也就是平行的传递性很快就能证明出来。但是接下来这道题人家不是，人家还证明这三条线交于同一点， 证明三个交于一点的时候，往往是先证明两个交于一点，然后你比如说你先选两条，它交于一点，假设是点屁，然后你再证明这个点屁在最后一条上， 那么要证明点在一条线上，你想想往往是证明点在一条什么线上。根据咱们上一个证明三点共线，我们往往证明一个点在什么线上比较拿手， 是在交线上，所以看一下这个棋里边哪个扮演交线会比较好？那我们发现这个线扮演交线比较好，你看这个线刚好在这个面里边，这个线刚好在这个面里边，他扮演了两个交线。 所以我们第一步如果说先能证明这两条线是什么相交的，假如他们相交于点 p， 然后我们设这条线 a、 c 是 l， 我 们再证明点 p 什么属于 a、 c， 那 是不是就可以证明三线是共点的？那么我们首先第一个要解决的就是，那这俩是不是相交的呢？是不是相交得看它们是不是共面的， 然后他们所共面的这个能不能是平行，哎，就是不平行的，那这个很简单，这就是为啥我刚才给大家说，今天一上来咱们讲基本事实四的时候，就证明了这是一个什么七行。为啥快速的说一下啊？在三角形 a、 b 啊这里 abd 中啊， a、 b、 d 中，在 a、 b、 d 中， e、 h 分 别是中点，所以 e、 h 平行于 b、 d， e h 也等于二分之一 b、 d。 好， 然后接下来呢，在三角形 c、 b、 d 当中，因为一比二、一比二， 所以这个线也平行于 b、 d， 并且等于 b、 d 的 多少三分之一，从而你就得到了这个货和这个货是平行的，并且它两之间不相等，不相等的话，那这个四边形 e、 f、 g、 h 就是 一个什么啊？是一个梯形， 如果它俩是梯形，两腰 g h 和 e f 是 不平行的，所以我们就可以设两腰 e、 f 和 g h 交于点 p， 你 可不敢上来，直接设 e f 和谁啊？ g h 交于点 p， 你 得证明它俩是共面并且不平行的，你才能假设它俩相交于点 p 不 敢上来，你说你会了，你就直接写了它俩相交人，然后再证明这个交点在什么交线上，那你写的那个过程也不会得分啊，所以这里一定要写严谨。好了， 到这里呢，我们已经证明啊， e f 和它相交于点 p， 所以 第二部分就很简单，要证明点 p 在 a c 上， a c 是 交线，怎么证明点在 交线上呢？只要证明点 p 同时在两个平面上，因为点 p 是 e f 和 g h 的 交点，所以点 p 一定你看属于 e f， e f 又包含于平面 abc， 所以 这就点在线，线在面，所以点在面，是不是又在这里用基本式十二写过程？同样道理， p 点属于什么？ g h， 因为它是这两个线的交点，肯定在它上边， 那 g h 又在哪个？ g h 又在这个平面内，所以 p 在 线上，线在面内，那点在面内，那这两个点都在这个面内，所以假设两个面的交线，哎，从图中知道是 a c， 所以 p 在 a c 上，那你看 它俩交于点 p， 点 p 在 a c 上，所以三线交于一点，那非常严谨，也非常的清晰，所以到这里你才算把基本式十二、基本式十三， 什么叫做证明多线共点怎么证？什么叫做证明多点共线怎么证？整明白了，好，那这是前两个，我们说通过这两个带大家感受了一下，他能干什么呀？他能挣点共线，多线共点。当然了， 在后续我们在解决平行啊、垂直啊、洁面问题的时候，为什么要把这个我们说基础在这讲了，那你未来比如说要去证明个平行，找个交线你都找不到，所以还有这种考法啊，比如说已知 p a、 b、 c、 d 是 个四棱锥，然后 b、 c 和 a d 是 平行的， 然后 bc 小 于 ad， 啥意思呢？七型设，它两个的交线是 l， 然后请你做图确定 l 的 位置，并说明理由，就是你做出来还得证明一下它是交线。 那这个是对咱们未来影响最大的，因为我们在做垂直的时候，会有交线相关的性质定律，我们在去正平行的时候，会有交线相关的性质定律。那有些时候，有些图的交线就是看不到， 你要想去证明，有些时候就得做出来。当然了，以后去处理洁面的时候，也经常要去做胶线，所以这个能力很重要啊，做一个试试看。那要找胶线其实很简单， 首先你知道两个平面相交啊，公共部分是胶线，怎么样确定一个胶线呢？两点确定一个胶线吗？那你就找到两个他俩的公共点。 什么是他们的公共点呢？就是既在这个平面，又在这个平面的点，那么一画一放啊，只有一个点。屁， 这么大的两个平面公共点只有一个吗？那不行，还得找一个，那咋找呢？那你就得去找，就是公共点是什么？哎，你看这个假设个阿尔法好说，阿尔法面内的一条线与贝塔面内的一条什么线的交点，你比如说点屁，可以看作是这两个，也可以看作是这两个。 所以你在两个平面内，首先要各找一条线，然后让这两个线相交。哎，那这个点不就是两个平面的公共点吗？ 那你就盯着你看这四个线啊，一号、二号、三号、四号都交于点 p 了，那你要关注的就是五号这两个平面内肉眼可见的六号线，看一下这两个会不会相交， 如果会，你能不能把它的交点做出来。那么题目你看，告诉你这两平行说明什么？这四点共面，那 a、 b 和 c、 d 是 共面的， 你就看它们平行不平行，只要不平行，共面的一定相交，因为这两平行是七型，所以这两延长一定会交于点 q， 所以 连接 p q 就 一定是这个交线。所以要找很简单，就是在两个平面内各找一条线，让它们相交， 只要他们相交，找到这个交点，两个一点就是交线。思路没问题的话，接下来我再说一下，那咋咋正呢，人家还让说理由呢。好吧，来，我接下来说过程。所以接下来你要证明它是交线，那也很简单，你只要证明点 q 同时在两个平面内， 点 p 同时在两个平面内，那同时在两个平面内的点肯定在交线上。两点确定一个什么直线， 所以接下来我们延长 a、 b 和 c、 d 交于点 q， 这是我们对在这道题中的什么啊辅助线完了之后呢？我们说啊， q 是 属于 ab 的 啊，因为它延长，那么这样 ab 是 属于平面 abp 的 啊。 pab， 所以 点在线，线在面，所以点就在什么点就在平面内，就 ok 了。然后第二个也是一样， q 属于谁啊？ cd， 因为它在它的延长线上点在线，那 cd 又在这个平面 pcd 上点在线，线在面，点在面，你看两个都是在描述什么？公里二，或者基本是十二， 它俩同时在两个平面内，那它俩一定在交线上，所以此时 q 一定是属于 l 的， 在交线上。 那么根根据这个题目，我们发现点 p 也是属于两个平面的，所以点 p 也在交线上，所以直线 p q 为交线 l 就 证明完了，这就是我们最终要写的过程。对，就是 p q 两个点都同时属于两个面就 ok 了。那到这里的话，就是你对基本事实最终的理解就是 应该要停留在这简洁而且通俗易懂的就是他说了啥，他能干啥，你发现这个就是他不会去考题，但是他是为了让我们对于点线面的关系描述更怎么样，更严谨。 所以在很多时候，但凡要用公里三去证明多点贡献，多线贡点的时候，都要用公里二来证明点在什么 面上，对吧？所以写点的面上就要用它，那么证明多点共线，多线共点，你以后只要看到，只要看到你就知道啊，他考的就是公里三。那到底怎么用公里三？你只要描述出这两个点，这个点同时在两个平面上，他就在交线上，就整个就结束了。 那么对于公里基本事实一也是一样的，看似一个公里加上三个推论，本质上他都在说怎么证明几个点是共面的，那么证明的方式无非就是两个，看着相交，正相交，看着平行，正平行 就完了。那么正平行有正平行的方式啊，香蕉有香蕉的方式，正平行在这用的比较多的就有咱们的基本事实 几了，基本事实四啊，所以这是从理论上用人话翻译出来，然后刚才讲的这些例题呢，就是让你更直观的啊，想到这个东西的时候，别人如果看你笔记，看到这些字，就是这些字，他未必能够彻底的理解，这 看似是人话，好像还是不知道咋用。那么这些例题就是来印证具体用的时候咋用，过程咋写，最重要是过程啊，最重要是过程，因为只要是证明其例题结合的过程，对严谨性要求是很高的。

警告！高中数学立体几何板块还不会的看过来，本期视频带你一口气吃透对棱相等的外接球模型，学会直接秒杀题目，先收藏再观看！不废话，我们直接来看题目 有一类题就是三棱锥的个个边长都是相等的，让我们去求外接球的半径，这个时候我们怎么理解？其实沈老师告诉大家，在三个 三对棱他都相等的情况下，其实这样的三棱锥他是可以放进一个长方体当中的，我们不妨先假设他们的每个边长都是 a、 c、 b， 把它假设好，这个时候能发现他一定是能够放进长方体的 这个长方体的。那如果说大家对于这个长方体的这个画法有什么疑惑，大家不妨拿个长方体出来试一试。你把每一个对角线斜着画，比如说 上面这个对角线左下到右上的，下面这个对角线就是右下到左上的，这样都连起来之后，这个长方体里边一定会存在一个对龙相等的这么一个三棱锥。 那继续我们不妨去设这个长方体的每个边长为 x、 y、 z， 那 这样我会发现，如果我能算出来整个长方体的体对角线是不是这样的，红色的这个三棱锥，他的外力球直径就可以算出来了，没错的，那我们继续，我们这里面发现这个 abc 其实隐藏了一些关系，比如说 a 方其实就等于 x 方加 y 方，对不对？比如 b 方就等于 y 方加这方，那比如说 c 方就等于 x 方加这方，那我们把这些关系写好，那写好之后我们把它整理一下， 我们就可以得到 a 方加 b 方加 c 方，把上面设置两两相加就可以得 a 方加 b 方加 c 方，等于二倍的 x 方加 y 方加这方。 那有了这个东西干嘛呢？因为大家不难发现，整个三棱锥的外接球的二 r 和长方体的外接球的二 r 应该是一致的。好，所以我们把长方体的二 r 写出来，它就是二 r 等于根号下 x 方加外方加 z 方， 那么我们再把这个 x 方加外方加 z 方，换成二分之 a 方加 b 方加 c 方，我就可以得到结果了，那我的结果就这个， 那这个公式就是一个经验公式，大家务必要把它背下来，以及我们在什么时候会用它呢？那自然而然就是 我们在这个三棱锥他对棱相等的时候，或者说四面体他对棱相等的时候就可以用。对棱是谁？对棱是 abc， 因为六个棱相等，他有三组 abc， 你 直接用就行了。 那沈老师再给予大家一定的总结。三棱锥对棱相等模型，首先你要读题有没有三组对棱相等模型，首先你要读题有没有三组对棱相等，如果有，你把它标出来，那么你的二啊，注意是二啊，他就一定等于根号下 二分之 a 方加 b 方加 c 方。细节注意一下，这个二在根式里面，这个二 r 算出来是提掉线，所以这里面他是有二的， 当然有很多可能会把这个二给他放进去，或者把这个二给他拿出来油理化一下，这都问题不大，只要大家能记住就可以了。好，这里弹一下 abc， abc 就是 三组相当的。对了， 话不多说，我们一起来用公式来验证一下我们这个公式的效果，能不能达到一个直接秒提的效果，我们一起来试一试。二 r 等于根号下 二分之五的平方加上一个二倍，根号五的平方，加上一个根号十三的平方，结果是不就直接出现了，大家不妨计算一下，那所以二 r 等于根号二十九， 这里面我们要算的是表面积记四 pi r 方是不是直接平方成个 pi 就 可以了，所以秒杀。这里大家可以发现沈老师对于这个题的理解是我们学会秒杀就可以了吗？ 不是这样的，我还是希望大家能够像我一样手动的画出一个长方体的里面存在的这么一个 对棱相等的三棱锥，这件事情我觉得比背公式更有意义。石老师给大家画一下，首先我画了一个非常特殊的长方体啊，如任何一个长方体都可以，那接下来看我操作，随便连一条， 底边连一条，这两边连一条，当然实际上看不见的线大家是要用虚线来表达的， 继续相连，在这个位置，我们再把这个面对角形相连在这个位置再一相连， ok， 成了，也就说每一个长方体当中都可以画出这样的一个对龙相等的四面体。希望大家把这个技巧理解好，先扭一扭， 一边扭一扭，第二边连线，第三边连线，那么三组对边相等就出现了。今天的课程给大家讲到这里，大家可以关注我，有很多比较有意思的数学模型， 我都会总结好发到我的粉丝群里面，希望大家一箭三连，关注沈老师，沈老师手把手带你通关数学。

高三档注意线面垂直证明题是不是每次都卡壳？别慌，今天这节课呢，我就把这类题的拿分模板一次性的给你讲透。讲拿分模板之前呢，我们先来看一下线面垂直的判定定律，也就是当一条直线 垂直与平面内两条相交直线就能推出来线面垂直，那也就是我们需要的是两组线线垂直。第二个我们就来看一下找线线垂直的三大拿分模板。第一个就是矩形自带，比如说矩形，正方形， rt 三角形， 它都自带一些垂直关系。第二个就是勾股定律去证明啊，那这个呢，适用于题目中给了很多数据的情况下啊，也就是题目 多数据时，那我们只要证明出来 a 方加上 b 方等于 c 方，就能证明两线垂直。第三个也就是最高频最常考的一种方法，叫做线面 垂直推，那就是题目中他可能会告诉我们一个线跟一个面是垂直的，那么我们就能得到的结论就是，那这个线就和这个面内的所有直线垂直， 那找线线垂直呢？基本上就这三招。接下来我们就来看一道高考真题，那这道题呢，就用到了我们今天讲的两大拿分模板 来看题啊。在这个三棱锥中， p a 垂直于平面 abc， 那 也就是 p a 就 垂直于 abc 里边的任意一条直线，并且告诉了这么多边的关系啊，我们可以去标一下， p 是 一，一，这个是一，这个是根号三，数据也很多啊，所以可能会用到勾股定律，它求证 b c 垂直于平面 p a b， 那 这就是一个典型的线面垂直问题，所以我们需要找两组线线垂直啊，那也就是需要在这个平面 p a、 b 里边找两条相交直线跟这个 b、 c 都垂直啊。 那看第一条，那不就是 b、 c 垂直于 pa 吗？第二条大概率是要通过运算的啊，咱们来算一下，看能否计算出来这组垂直关系。那你看 pa 是 一， a b 是 一，那所以 p b 是 不是就是根号二，那就在这个三角形 p b、 c 中，它的三边是不是都有了？那不难发现， 不是 p b 的 平方加上 b c 的 平方，是不是就等于 p c 的 平方？那所以 b、 c 是 不是就垂直于 p b？ 那 是不是两组线线垂直就有了？那线面垂直是不是就有了？接下来写一下这个证明过程。那就证明先来写第一组线线垂直啊，因为是不是 p a 垂直于平面 abc， 那 ab 跟 bc 是不是都在这个平面 a、 b、 c 内？那所以是不是 p a 就 垂直于 a b， p a 就 垂直于 b c？ 好， 第一组有了，接下来写第二组啊。第二组需要运算，那就是在 r、 t 三角形 p a、 b 中，是不是 p a 等于 ab 等于一，所以 p b 就 等于根号二，那就在三角形 p b、 c 中，那 b、 c 等于一， p c 是 不是等于根号三，所以就能得到 p b 的 平方，加上 b c 的 平方就等于 p c 的 平方，所以 b c 就 垂直于 p b？ 好， 接下来我们需要去写线面垂直了，那把两组线线垂直给它写到一起啊。那又因为是不是 b、 c 垂直于 pa， 然后 pa 交 p b 于点 p， 这个条件是同学们特别容易忽略的啊。必须说明这两个直线是相交直线， 并且这两个直线都在这个平面 p a b 中，所以我们才能得到 b c 就 垂直于平面 p a b。 那 大家来看整道题，我们完全就是按照我们的模板来的，所有线面的垂直题基本上都是这个套路。今天的课呢，我们就分享到这儿，最后请同学们查收一下本期作业和下期预告。

如果你是三十分到六十分的同学，跟着田鸡老师的思路，把这道二零二五年天津的高考原题答题、提问，从头到尾在一天时间之内把它弄清楚，搞明白，那么等于你做会了一百道同类型的例题及格大题， 高考必涨五分。这道题目也收入在了田七老师的题库之中。下面跟着田七老师好做完这个看似费力的练习，好，另外学习如何费力的学习。这是一道正方体啊，棱长给了，终点给了，让我们求证 g f 垂直于平面， e b f， 先不要急着在图中找出对应的线还有面，我们看他要我们正什么？要我们正的是线面垂直。 我们呢，不是说试图直接把这道题做出来，而是由婷婷老师带你由这道题迁移到所有关于立体几何的第一位，证明好。我们在做这道题的时候，在自己的头脑中要建立自己的立体几何解析地图， 这是一道证明线面垂直的问题，那我们就要去想立体几何的证明一共涉及到了哪些方面。 一题集合，无非让我们正平行或者是垂直。这个大家不管是三十分、二十分，还是你六七十分，肯定是要知道这个问题的啊，平行还有垂直？那既然我们要正平行啊。假如说一道题让我们正平行，平行有哪几种？平行 有三种线，线平行，线面平行，还有什么面面平行好，立体几何无非就是研究线的关系，或者是面的关系。我们先来想一想，线面平行，它证明的依据是什么呢？ 一条线垂直于一个平面，假设线是 l， 那 么我们必定要找到这个平面之中有一条直线，如果我平面外的这条直线垂直于平面上一条直线，那就是可以证明线面平行。面面平行呢？ 两个平面平行，我们就要寻找一个面上的两条相交直线 a 和 b。 如果 a 和 b 分 别平行于下面这个平面，比如说是 r 方， 那么就可以说明啊，两个面面平行。还有一种如果在阿尔法上也存在于两条直线，一个是 a 撇，一个是 b 撇，如果 ab 和 a 撇 b 撇分别平行，那么也就是说两条相交直线平行于另外两条相交直线，也可以证明线面平行。 既然啊是正平行关系，大部分的高道题题目都会让我们找两个线相互平行，而大部分的两个线相互平行啊，又是跟中点有关系。比如说一个三角形，这两边边的中点连线叫中位线， 如果好下面一个平面底边 b、 c 正好在这个平面上，那是不是中间的 e、 f 直线就平行于 b、 c？ 那 么根据我们线面平行的啊证明原则，是不是可以证明线面平行了？ 通过线面平行，我们还可以得到什么呢？假如说我现在已经知道一个线 l 跟下面的平面平行了，我过 l 做一个平面平行于平行，平行于平面 alpha， 那 么我这个平面和平面 alpha 的 一个相交线 b 就 平行于 l， 这也可以证明线面平行。如果是两个面面平行呢？如果两个平面已经是平行关系了，那么我现在又有了第三个平面， 假设这个第三个平面是 gamma， 它分别和 alpha、 beta 相交于两条直线，假如说 b 和 c， 那么 b 和 c 也是平行线的关系。你看，通过我们刚才这段话，已经可以把所有关于线线平行、线面平行、面面平行的证明和定义推论全都掌握了。如果你觉得刚才我们说的你没有掌握，你没看懂，那么就再回头听一遍。 如果你还看不懂，就带着我们的问题回去翻翻我们教材，我们教科书相关的定义和证明，你只要用一天时间把这些全都弄懂好，那么关于证明平行，你就毫无问题了。讲完了平行，我们还有还有什么？垂直 垂直和平行一样，也无非就是线与线垂直，线与面垂直，面与面垂直 垂直关系啊，看似很难，但其实呢，它远远比线线比平行关系要更好找啊。为啥？因为比如这道题，他就让我们正线面垂直，那么你就条件反射的想，我一定要去找一个线 垂直于平面上的两条相交直线 a b l。 如果 l 垂直于 a， l 垂直于 b 啊， ab 又有一个交点是 o， 那 一定有这条直线 l 垂直于下面的平面 b， 这就是所有线面平行的证明原则。那么线面平行，我们证明完了面面啊，线面垂直，我们证明完了面面垂直呢？ 我要证明一个平面 alpha 和另一个平面 beta 是 垂直关系。 我知道了， alpha 和 beta 相交的直线是 l， 如果在平面 alpha 里面有一条直线，它是 m 垂直于 l， 那 么我们就可以说 m 垂直于平面 beta， 这就是面面平行。好在这里又要提出一个二面角的概念，三十分到六十分，同学，你能不能告诉我二面角的定义是什么？ 如果你把二面角的定义搞懂了，立体几何的大了，大题第二问你也是一点问题也没有。二面角的定义就是，如果现在有一条直线，从这个直线延伸出两个半平面， 注意哦，这个平面都是一半一半一半，就像你翻出啊，那么这两个平面 alpha 和 beta 中间的这个夹角就是二面角。二面角怎么求？一般就是以这个公共的直线 l， 好， 在这两个平面上分别做垂线， 最后求出这两个直线的夹角，这都是垂直关系。嗯，这就是二面角的几何证明。我们看面面垂直，实际上是什么呢？两个平面的夹角是九十度，那他必然是面面垂直，所以面面垂直还可以通过二面角来证明。假如我这有一条直线，哎， 只有一条直线 b， a 和 b 都在， a 在 alpha， b 在 beta， ab 呢，都垂直于直线 l， 那 么如果直线 a 和 b 的 夹角是九十度，是不是就是二面角是九十度， 那自然面面垂直嘛，对吧？那线线垂直如何证明呢？往往我们要通过线面垂直来证明。假如说我现在直线 l， 假如直线 l 垂直于平面二法，那么我就可以得出 l 垂直于二法平面上的任意直线， 那现在是不是就可以证明 l 垂直于 a 或者 l 垂直于 b 了？这就是线线垂直的基本正法。 那如果你再翻翻教材，还有一种证明方法，比如说，我现在知道了 l 垂直于平面 bet， 那 么现在我在 l 啊，有一条不重合于 l 的 一条平行线， 这条平行线在这里，假如说它是 m， 我 知道了 m 平行于 l， m 跟 l 又不重合了，那么 m 也是垂直于这个平面被它的 啊，在立体几何之中平行平行，平行的两条直线，我们就可以通过一些平移啊，来让这两条平行直线重合吧。那 m 平移到 l 的 位置，是不是 m 也垂直于平面，被到了 面面垂直啊？我们怎么通过它来得到线线垂直呢？如果我是两个平面，阿尔法和贝的垂直啊，在阿尔法上有一条直线， a 垂直于平面，垂直于 l， 在贝特上有一条直线， b 垂直于 l， 那 么我们也可以说 a 和 b 肯定是互相垂直的吧，并且 a 垂直于平面贝特任何一条直线， b 呢，也垂直于平面任何一条直线。 到现在为止，我们已经把立体几何关于平行垂直所有的证明全都讲完了。真心建议三十分到六十分的同学，花一天的时间好好研究一下我们整个的证明过程。如果有哪一个知识点你觉得我没有理解，我没有掌握，赶紧翻书翻教材， 为什么叫费力的学习呢？就是因为你在这整个动作之中，你用自己的努力来解决了一个实际的问题。我研究明白了平行垂直在高考答题中是怎么证明的，然后通过选择性的练习，我选一些高考题目去证明他第一问，第二问， 不断的加深我的这个条件反射以后，看到这个题，我马上在头脑中调出这一个一个的工具包，平，平行的判定定律垂直的判定定律，平行的性质，垂直的性质。什么叫二面角啊？下面我们顺势再介绍最后一个东西，就是你们老感到头疼的三垂线定律， 把这个定力补充之后，平行和垂直对你来说就是毫无难度的。三垂线定力研究的是什么呢？是三条线的相互关系。我在平面阿尔法上有一条直线，假如说是 a 经过这个平面阿尔法有一条斜线 b b 在 off 上的投影，我们叫做 l。 什么叫投影呢？就是过这条直线的一点，做一个该平面的垂线，好在连接这个垂点与 这条直线，平面的交点就是这条直线的投影，就像一个阳光从上面照到下面它的影子，所以叫做投影。三垂线定律研究的就是直线 a 直线 b 直线 l 之间的关系。 如果 a 垂直于 b， 那 么我 a 也垂直于 l， 如果 a 垂直于 l， 那 么 a 也垂直于 b， 这两个分别是叫三垂线定律的逆点和三垂线定律。 那我们现在是不是又增加了一些关于线线垂直的证明？以后遇到平行垂直，你就马上把这张图完整的在脑海里过一遍， 好让我们干啥？让我们判断平行，我们就去找怎么证明平行垂直，让我们判断平行，我们就找怎么证明平行，让我们找怎么证明垂直，我们就去想啊，我有哪些工具包来证明垂直，这就是条件反射 这道题，让我们证明 g f 垂直于平面， e b f g f 在 这里 e b f 是这条这个平面，我刚才想我们刚才讲的是什么？如果要证明线面垂直，那么我就在这条平面上找两条相交直线，那我看看找哪两条相交直线合适呢？ e f 是 不是可以试一下啊？ b f 也可以试一下，那 b e 也可以垂直，也可以试一下， 只要找到两条，我们就可以证明了啊。 e、 f 这条线啊，分别是中点啊，中点肯定是跟正方体，他的各个棱 a、 b、 c、 d、 e 都是平行的， 所以 e、 f 他 应该垂直于哪个面啊？ b、 c、 c、 d、 e， 所以 e、 f 也垂直于这个面上的任何一条直线。这现在是不是又到了线线垂直的工具包了？我们再看 b、 f 啊，很明显，在三角形 b、 f、 g 中，我要想证明 b、 f 垂直于 b g， 那就说这个角是直角，这个三角形是一个直角三角形啊，是不是可以试着去正一下？嗯，我们在这里啊，你如果不会三角形相似来证明，可以就粗暴的把它们的长度都求出来啊。棱长是四啊，这是 f， c 是 二， b， f 是 二， 他们是三倍的关系，那就像是一和三好侧棱是四，这里呢，一二根号五， b f 二倍根号五， b、 g 呢，是五 根二五的平方加二倍根号五的平方二十五，再开根号得五，刚好。 b、 f、 g 是 直角，那我现在已经证明完了，一 f 垂直于 f g， 那 b、 f 也垂直于 f g， 是不是想到 f g 垂直于这个平面？ e、 b、 f 上两个相交直线，此题可证。我们讲课的重点并不是说如何去证明这一道题啊，而是通过这一道题，引申出我们所有关于线线平行，所有关于平行和垂直的这个定律，也就达到了一一题抵百题这样一个目的。 如果你真的想短时间内高考提五分，那么你就信点击老师的话，用一天的时间把这些东西完完整整的复刻在你的脑子里，通过你自己，而不是拄着老师这根拐棍，这样才能达到低分的逆袭。

大家好，我是有着九年经验，在昆明教数学的高老师，然后上个视频的话，老师分享了，如果你想证明面面垂直，我就可以转化成线面垂直，线面垂直，我可以转化成线线垂直。那老师今天这个视频的话带你搞定。如果你想证明线线垂直，而这两个线呢，是一面直线，不好证明，那这个时候怎么办呢？这个时候我可以证明线垂直这条线， 这个时候因为我们线垂直一条线，这个时候这个线就垂直这条线。那究竟怎么操作呢？我们一起看一下立体啊，你看一下立体，如图， 在直三棱柱。好，那这里老师要强调一下，什么是直三棱柱？直三棱柱的话，它侧棱垂直于底面，也就是说这里的 a， e 啊， b， b 啊， c， c， e 啊，是垂直于上下两个面，垂直于面， a， b， c 垂直面， a， e， b， c， e 啊。这个时候的话，老师要补充一下正棱柱。那什么叫正棱柱呢？首先它包含了直棱柱， 它侧棱也是垂直上下两个面的，嗯，但它更特殊一点啊，就是它底面为正六边，它侧棱也是垂直上下两个面的，嗯，但它更特殊一点啊，就是它底面为正四棱柱的话，底面就是正四面型啊。好，那我们继续读题， 角 a、 b、 c 等于九十度，有九十度就有垂直，我们把垂直符号标上去，角 a， b、 c 等于九十度， a a 一 等于 ab， a a 一 啊，这个是 a a 一 等于 ab， a a 一 等于 ab， 我 们可以得到什么呢？大家想一想，我们是不是可以得到它是正方形呢？ 为什么呢？首先它是平行四边形，平行四边形加菱边相等，就是菱形，再加一个什么，不管是菱形还正方形，它都有什么？都有对角线互相垂直， 所以这个时候我们可以连一下 a、 e、 b 啊，对角线互相垂直，又得到了一个垂直，那我们看一下它证明什么？它让我们证明 a、 e、 c 垂直 a、 b、 e。 那 我们刚讲的线线垂直可以转化成线面垂直，也就是说它有两条路可走， a、 e、 c 垂直于 a、 b、 e 所在的面， a、 b、 e 垂直于 a、 e、 c 所在的面。这两条路你走哪一条都可以。当然了，如果你走第一条路特别的难，或者说有点不不找不到，那你这时候别纠结，直接走第二条路。好，那这题的话，确实是第二条路比较好走啊。那么一起来看看为什么。首先我们 a、 b、 e 垂直于 a、 e、 c 所在的面，因为刚刚我们做了一条线，这条线就有垂直，我们可以说明 可以任意 a、 b 垂直 a、 c 所在的面， a、 c 所在面是哪一面呢？那就是面 a、 e、 b、 c。 那 你要垂直面的话，垂直面内两条相交线，那 a、 b、 e， 那 垂直谁呢？垂直于 a、 e、 b， 我 们刚讲了是正方形，正方形的话对角线互相垂直，它一定搞定。那 a、 b、 e 还垂直于谁呢？ a、 b、 e 还垂直于 b、 c。 为什么呢？为什么垂直于 b、 c 呢？这个时候线线垂直，它不好直接证明它又有一个线垂直于面，什么意思呢？也就是说我证明 b、 c 垂直于 a、 b、 e 所在的面， a、 b、 e 所在的面是哪个面呢？那就是面 a、 b、 b、 e、 a、 e。 它为什么垂直呢？两条相交线，首先 b、 c 垂直于 ab， 为什么呢？因为题目说了这个角是九十度。再者的话， b、 c 垂直于 b、 b、 e， 这个就是我们刚说的侧棱垂直上下两个体面，你垂直这个面就垂直面内所有线啊。好，那这个时候 a、 b 交 b， b、 e 等于 b， 也就是说我证明了线垂直面内两条相交线，所以这个时候这个就成立，那他成立的话，他就成立，那他成立的话，这个时候他两个 a、 b 交 b， c， a， e， b 交 b、 c 等于 b 点，那这个时候我就可以推出 a、 b、 e 垂直于 a、 e、 c 所在的面啊，这个时候我们就 证明出来了， a、 c 垂直于 a、 b。 好， 对，这一题的话，老师总结一下。首先就是直角柱和正楞柱的区别，直角柱的话就是侧楞垂直于上下两面，但正楞柱的话比较特殊，正楞柱的话就底面是这么多边形，且包含了直角柱，也就是说且它的侧楞也垂直于上下两面。 再者的话，如果你想证明线这条线和这条线垂直，我们可以转化成线垂直他所在的面。当然了，如果他是有两条路的，你可以证明线垂直他所在的面，也可以证明线垂直他所在的面，也可以证明怎么好做怎么来，不要纠结，不要死磕啊，不要说我就非要证明上面第一条，对吧？但是我们这题明显的是第二条比较简单。好，那如果你听懂的话，我们可以 去做一做练习啊，做一做下面这个练习。好，今天我们就分享到这里。

好的，那么我们接下来会讲到我们的垂直模型，垂直模型里面我们也有四个定律，首先第一个就是我们的线面垂直的判定定律， 第二个就是我们线面垂直的性质定律，第三个就是我们面面垂直的判定和性质定律，那在这块垂直我们比平行要难挣的多，因为垂直呢，在空间中他没有这种像平行的这种空间位置关系，所以呢往往会出现这种情况，我们明显呢看见 肉眼观察到这两个线，这个线和这个面它不垂直，但是题目中就是让我们正它是垂直的，那到底应该如何去学好这个垂直？首先这儿呢它有很多的模型，那么点赞关注老师，老师会在后面的视频中把每一个模型给大家讲清楚，相信大家学了这些模型之后， 那么处理我们垂直的题目也像平行一样简单。 ok， 那 么我们废话不多说，先看第一个线垂直于面的判定定义，在线垂直面中它是非常重要的一个定义，首先呢我们要去看它的这个符号语言， 它的图呢长这样子，那它的符号语言我们表示出来，我要证这个线 l 垂直面 alpha， 那 我应该如何去证明？或者说我满足怎样的条件，我们可以证明 l 垂直于 alpha 呢？那首先呢，我们得证明 l 垂直于 b， 再说 a 交 b 等于一个 a， 同时还需要满足我们的 a 包含于 alpha， 并且呢 b 包含于 alpha， 这样我们就可以说我们的 l 垂直于这个面 alpha 前面垂直就得正了。根据它的符号语言，我们可以说它的文字语言呢也非常的重要， 大家在第一遍学习过程中一定要去理解他文字语言的意思，你可以按照自己的话说，但是必须确保他的意思是正确的，而且要非常清楚的知道他是如何表达的。首先他的文字语言我们可以直观的看到，若我要去正这个线垂直面，那么我们可以说什么？平面外的一条直线 垂直于平面内的两条相交直线，那我们可以说明则线垂直于面，那知道了它的符号元和文字元之后，我们看应该如何去使用，那像老师刚说的垂直里面它的模型会非常的多，那在这我们就从题目中给大家把每种模型讲清楚。首先第一个我们看一下这道题， 告诉我们已知矩形 a， b， c， d， 并且呢 pa 垂直底面 a， b， c， d， m， n 分 别是它的终点 d。 问，我们正平行平行在这样呢比较简单，自己下去正对吧？我们可以去得到直接去正吗？我们得到找 p e， d 的 终点 为 e， 连接我们的 n， e， 再连接我们的 a， e， 所以呢我 d 问去正这个平行四边形就可以了， 因为这个线平行于面，所以呢我们直接去正这个 m 平行于 a， e 就 可以了，自己把这个过程给它写清楚就可以了。主要正第二文它告诉我们 pa 等于 pa d， 那 pa 等于 ad。 求证 m n 垂直于平面 p， c， d。 啊，那有第一问的铺垫的话，我们发现我要证 m n 平行于这个面 p， c， d， 实际上就让我们证明 a d 平行这个面 p c， d， 那 么 a d 垂直于这个面 p c， d， 那 么 a， e 要垂直这个面的话呢？是不是线垂直面，我需要找到 a e 垂直于面 p c、 d 里面的两条相交就可以了，那也就是说在这呢，我们不妨去证一下，我们说由一只 我们的 m n 平行于 a e， 那 也就是说要正这个极正，我们的 a e 垂直于我们的平面 p c、 d 就 可以了 啊。那此时的话呢，首先有第一个模型，第一个模型出现了，因为你发现给了我们的这个条件是啥？ pa 等于 ad， 这是我们第一个模型，就叫做 等腰三角形，三线合一。那就说这如果在题目中我们出现了等腰三角形，需要去找到它的终点，并且呢连接它的终点，那我们会得到 a e 垂直于 p d 的 要正 a e 垂直面，是不是要正 a e 垂直面的两条相交直线？所以现在正了一一条，在正另外一条的时候，我们要去用到题目条件，我们要去正 a、 e 垂直于 这个里面的线，这个面里面完，我们把这个面给它画出来，我们的 p c、 d 长这样，那我们要去正另外一条线的时候，需要去找到这条线是谁，那就是说我要去找出 p d 已经找了，那现在要找 c d 还是找 p c？ 一 般来讲，我们要去找题目中条件给的多的，已知条件多的什么意思？比如说在这个题目中，它告诉你 a、 b、 c、 d， 它是矩形，所以你发现 c、 d 的 条件，它大于 bc 的 条件， c、 d 会有垂直，所以我们要证的肯定是 a e 垂直于 c d 这条面，这条这条线。那具体怎么去证？我们需要逆向思维。 首先呢，我们来先把前面的一些好吧，比如说因为我们的这个 pa 等于 ad， 然后呢 e 为 p d 中点， 所以呢我们直接就可以得到我们的 a， e 是 垂直于我们的 p d， 这是一条了，要正 a、 e 垂直这个面，我们再正另外一条。我们刚刚说是 c、 d， 那 在这有一个什么东西？逆向思维，什么叫逆向思维？往往我们在做一些正着去想的事情的时候会比较简单，如果逆着去想的话，我们往往觉得比较难想， 因为我们现在是不是要正 a、 e 垂直于 c、 d， 那 我们反过来能不能正 c、 d 垂直于 a、 e 呢？为什么要这么想？是因为 c、 d， 它在这是不是发现就没有了？ 因为你 a、 e 垂直于 c、 d 跟我们 c、 d 垂直 a、 e， 它是等价的，那么 c、 d 的 条件多，那我们就拿 c、 d 证明垂直于 a、 e 即可。所以你看我们在这的这样一个操作，因为我们的 pa 垂直于底面 a b， c d， 并且 c、 d 是 不是包含于这个面 a、 b c d。 所以 此时我们是不是就可以得到我们的 pa 垂直于 c、 d？ 又因为 矩形 a b， c、 d， 所以呢我们会得到 c、 d 又垂直于 a、 d， 这样的话呢，你发现通过这两个条件的话，我们会得到 c、 d， 它是垂直这个面 p a、 d 的， 也就说对吧？在这先正了一个线垂直面， 因为 c、 d 垂直这个面 p c， p a d 里面的两条相交直线 p a 交 a， d 等于点 a， 并且呢 p a 包含于这个面 p a、 d， 并且呢我们的 a、 d 包含于这个面 p a、 d。 所以 你发现是不是五推 e？ 我 们刚才符号线垂直面一定是五推 e， 所以 大家写的时候看自己能不能找到这五个条件，如果五个条件找到了之后，我们自然会推出来线垂直面，所以此时是不应该是 c d 垂直于这个面 p a d。 找到了，那么 c d 垂直这个面， p a d。 此时我们在这再只用说一句就行了， c d 垂直面的任何一个直线，所以呢，我们就说我们的 a e 包含于这个面， p a d。 所以呢，我们的 cd 垂直于 a e。 是 不是又找到了一个新的 cd 垂直 a e 了？那么现在我们发现我们有什么？我们的 c a e 垂直于 pd， a e 垂直于 cd， p d 和 c d 相交于点 d， 所以 能得到 a e 垂直这个面， p c d。 我 们把这个条件写就行了。那也就是说，所以又因为我们的这个 p d 交，我们把这过程给它写好，此时我们说 p d 给它交这个 c d 等于点 d， 并且呢， p d 包含于这个面 p c d， 我 们的 c d 包含于这个面， p c d。 所以我们会得到我们的 a e 垂直于面 p c d。 啊，此时的话是五推一，我们看红色的一二三四五五推一。就因为我们的 m n 已经平行 a e 了，所以呢，我们就直接可以说 m n 垂直于 我们想正的这个面， p c d。 就 得正了。怎么样，线垂直面是不是比我们的平行稍微能难一些？我们要再去找一条线垂直两条相交直线的时候，一定要去用到我们想要用到的模型，那么这道题用的模型实际上就是用了一个 等腰三角形，三角合一和逆向思维，你要去正这个线线可以去正它垂直于另外一个线，通过线面 垂直，我们可以得到线线垂直，再通过这个线线垂直，我们去得到这个线面垂直就可以了。 ok， 这个就是这个题目，那接着我们看第二个题，因为线面垂直刚开始比较抽象，所以老师在这可以去给大家多讲几个线垂直一面，并且让大家能熟悉这块的一个证明方法。首先第二个，我们去看 长方体里面 a b 等于二，并且呢 a a 一 等于一个四，那在这他给了我们所有的边长都知道了 点 p 为 d d e 的 中点，让我们证明 b d e 平行平面， p a c， 那 这个很简单，对吧？第一问，平行呢？大家自己去，正因为它连了，所以呢我们直接去连接 p 跟底面的交点，比如说是 o， 然后直接中立线就可以了，这个就不需要去正，我们看第二问，求证 p b e 垂直于这个平面， p a c， 我 们先找到这个 p a c 在 哪里？ p a c 在 这个地方，我们的 p b e 在 这个地方，那也就是说我要证明 p b e 见垂直面，要证明 p b e 垂直于面里面的两条相交直线就可以了。 那么这道题所用的这个模型是什么？发现如果在一个几何体中，我们已知边长和给了所有的边长，或者给了所有边之间的关系的时候，我们要用的这个定力，用的这个模型是什么？模型是我们的勾股定律的逆定律。 在这把这个模型给大家去讲一下什么时候使用这个勾股定律。逆定律就是说我们已知了边长或者边之间的关系，那么这道题目大半多半就要使用我们的勾股定律的逆定律。那什么是勾股定律？逆定律就是说我们知道了这个三边满足了勾股数，所以呢，我们能推出来直角，这就是我们勾股定律的逆定律。 看这个题应该如何使用勾股定力。定力，那就是说如果 a 方加 b 方等于 c 方边长，那我们是可以推出来角 c 等于九十度，角 c 等于九十度。是不是有垂直？有了垂直我们就可以去正线垂直于面了。 ok， 那 首先在这我们去看，我们要去连接 o、 b、 e， 那 我们先去证明第一个垂直连接 o、 b、 e， 因为四边形 abcd 是 正方形，所以呢，我们会得到的是 a、 c 垂直于 b、 d， 然后又因为我们的 b、 e、 b 垂直于底面， abcd， 因为它是一个长方体， 所以呢，我们会得到我们的 a、 c 就 垂直于这个面，我们连接一下这个面，这个面就是我们的中间的这个面，对吧？ b、 b、 e、 d， e、 d， 然后呢，又因为我们的 p、 b、 e 是 不是包含于这个面？ b、 b、 e、 d、 e、 d， 所以 我们就可以直接去证明我们的 a、 c 垂直于 p b、 e， 这呢又因为我们的长方体 a、 b、 e、 c， e， d， e， a， b 呢，等于 a、 d 等于一个二，并且呢， a、 a 一 等于一个四，对吧？此时的话，我们算它的边长，我们的 p、 b 一 的边长是不可以算的，就等于根号下我们的二的平方，再加上一个二倍根，二的平方等于一个二倍根三， 算它的边长就可以了。我们的 o、 p 的 平方是不是也可以算 o、 p 就 等于二分之一倍的 b d 一 二分之一 b d 的 话就等于梯的腰线，对吧？那就是二的平方加二的平方，加四的平方 等于一个二十四，二十四再给他乘以一个二分之一，那就变成了根六，变成一个根六了。然后呢， o b 一 的长度我们是也可以算的， o b 的 长度就等于一个根号下四的平方再加上一个根二的平方，那就等于一个三倍的根二。所以呢，我们发现在这个三角形 p o b e 中，我们的 p b， e 的 平方再加上一个 o p 的 平方，是不是就刚好等于 o b e 的 平方？所以呢，我们能推出来，我们的 p b， e 就 垂直于 o b 了，它是垂直于 p， b， e 就 垂直于 o p。 所以此时我们是不是得到了两条线线垂直 p b e 垂直于 a c， p b e 垂直于 o p， 那 我要五推一把，剩下的条件它写全就行了。又因为我们的这个 a c 交 o p 等于一个 o， 并且呢， a c 包含于这个平面 p a c， 我 们的 o p 包含于这个平面 p a c， 所以呢，我们就可以得到我们的这个 p b， e 垂直于这个平面 p a c 就 可以了。比如说我们在正的时候里一定要去用到对应的模型，对吧？并且呢，再去把五推一给他写出来，我们自然就可以得到线垂直面。我可以相信呢，大家通过这道题的讲解，线垂直面应该如何证明已经掌握的差不多？接着我们就要给大家去讲到的是 我们的线面垂直的性质定义。性质定义首先去看它的符号原比较简单，那就是我们垂直于同一个平面的两条直线，它们是相互平行的。很简单， l 垂直于阿尔法， a 也垂直于 alpha， 我 们就可以推出来我们的这个 l 平行于 a 线平行线。第二个，它的文字语言老师刚已经说过了，它的文字语言就是垂直于同一个平面的两条直线平行， ok， 那 这个东西应该如何去使用？我们在这儿给大家去证明一下。比如说告诉我们第一个题，他说了面交面， 阿尔法交贝塔等于 l， ok， 它是两面的交线， p a 垂直于阿尔法， p b 垂直于贝塔，垂足分别是 ab， 告诉我们 a 包含于平面，阿尔法 a 垂直于 ab。 求证我们的 a 平行于阿尔法。这个东西我们一眼就知道了，它要用垂直的性质定律去证明 线线平行，也就是说垂直性定律呢？怎么去证呢？我们知道了垂直于同一个平面的两根直线平行的，那也就是说我们如果都能证明 l 和 a 垂直于某一个平面的话，是不是可以自然说明它两平行的？在这他给的条件我们可以看一下，他实际上就想让我们证 l 和 a 垂直这个面， p a b 就 可以了，那我们分别去证 l 垂直于 alpha。 那 首先第一个我们先知道了 p a 垂直于 alpha， l 包含于 alpha， 所以呢，我们知道了这个 p a 垂直于 l， 又因为我们的 p b 垂直于 b， 它 l 也包含于 b， 它，所以呢， p b 是 不是也垂直于 l， 又因为它是不是已经有了相交了？ p a 交 p b 等于一个 p， 并且呢， p a 包含于这个面， p a b， p b 也包含于这个面， p a b 是 五推一了，五推一了，一二三四五五推一，所以呢，我们知道了 l 垂直于这个面， p a b 就 可以了，那接下来呢，我们只需要去证明 a 也垂直这个面就行了。 a 垂直面，又因为 此时我们会得到 p a 垂直于阿尔法， a 包含于阿尔法，所以呢， p a 也垂直于 a， 那 题目中又给了我们一个 a 垂直于 ab， 现在是不是就可以得到了 p a 交 ab， 因为它已经满足了 a 垂直面内的两条相交了，所以我们要写出来 p a 交 ab 等于 a， 并且 p a 包含于这个面， p a b a b 包含于这个面， p a， b 是 包含于不是属于，刚开始学的时候，很多同学把它叫属于，属于是不对的，一定是包含于一二三四五五推一，所以我们会得到 a 垂直于这个面， p a b 了，那么可以得到的是这两个线都垂直于这个面，应用它的性质定理，是不是就直接可以得到我们的线线平行，所以呢， l 平行于 a 就 可以了，只要我们证明它满足定定理了，我们就直接可以说明它是平行的， ok 啊，线垂直面的性质定理相对来讲比较简单，大家可以通过 我们刚刚讲的这个题去证明一下。我们练习 e 啊，练习 e 的 第一问就可以了，那我们如何能证明 e b 平行这个面 a c， d 呢？你直接证是不能证的，你需要去找到 一个线，找到这个线呢，实际上就是 c d 的 终点连接，大家需要把这个过程呢给它写好，对吧？老师可以给你提供这个思路，比如说是一个 o， 因为它是等边向量， a， c、 d 等边向量嘛，所以它也垂直。那也就是说我现在只需要证明 e、 b 垂直于 a， e、 b 垂直于这个这个面 b、 c、 d 听之一知了，所以咱现在只需要再证明谁 a、 o 垂直于这个面 b、 c、 d 是 不就可以了？ 那 a、 o 如果垂直这个面 b、 c、 d， e、 b 也垂直，所以它俩就平行。我们发现了 a、 o 是 不是在这个面 a、 c、 d 内，所以它满足它，平行于它就可以了。 ok， 下来呢，自己把这个过程呢给它写一遍。第二个呢，我们后面去讲角的时候来再去讲它就可以了。 ok， 那 么今天这个视频就讲到这里，我们主要学习了我们的线垂直面的垂直模型，希望大家下去呢认真观看，把我们每一个模型都要理解清楚，并且在做题中要灵活应用。 ok， 有 问题的同学再来及时跟老师沟通，我们下个视频再见。

好，同学们，立体几何不用愁，题型套路全知透，这个视频我们要学习的是空间中的垂直关系，作为立体几何的重中之重，拉分核心，高考几乎必考，后续空间角度、距离的计算都离不开的一个视频带你梳理通透，让我们开始吧。同学们，今天呢，我们来接着去讲 在立体几何当中啊，比较重要的一些定力，我们今天主要来讲呢，平行涉及到的，呃，这个判定定力以及他对应的性质定力。首先我们还是一样分为三大模块，线线垂直，线面垂直，还有面面垂直。那首先呢，我们先来看线面垂直， 首先看线线哈，好，那线线垂直呢，也是一样啊，如果说他并没有单独做一问小问考察，那我们可能比如说用我们之前初中所学的一些相关内容，我们就可以去解决了。那我们说 在初中当中学到的这个证明垂直我们可能主要是两种，一种呢是利用平面几何的关系，还有一种呢，我们是利用计算，计算呢，可能相对来说比较熟悉啊，计算的话我们主要的就是这个，呃 呃，这个，哎，啊，勾股定律啊，对，计算的话呢，我们主要就是勾股定律。然后如果说是我们对应的这个平面几何啊，平面几何的话，那我们就常见的利用几何图形去理解，比如说啊，像我们比较典型的矩形或者菱形， 或者还有一个最典型的是涉及到我们的等腰三角形，菱形对应的是什么垂直呢？菱形对应的就是我们的对角线互相垂直，对吧，且平分，那等腰三角形利用就三线合一，那除此之外，在我们这学期学完之后啊，其实我们对于计算去证明线线垂直呢，其实 还有一种方法，利用什么呢？利用我们的向量去证，因为我们在学了向量之后，我们知道如果两向量垂直，它对应的数量积必然等于零，对不对？所以我们也可以利用平面间隙啊，也就是向量数量积为零去证明，也就是 a 向量乘点乘 b 向量等于零等于零啊，就可以了。 这是我们说线线垂直，但当然如果他单独做疑问去考察，这个时候我们就肯定不是用这些方法了，我们当然会来讲，还是利用性直定理。那接下来我们来看线面垂直， 那我们对于线面垂直呢，就是我们有比较规范的啊，这个判定定理以及性质定理了，比如说我们来看一下啊，首先来看一下它的判定定理。 判定定理怎么去证呢？那我们来想一下，如果说我想证明线垂直于面，我们先来看比较基础，按照我们前面的证明平行逻辑，我们也知道证明线面，按道理来讲，我应该去找什么？找线线对不对？好，那现在来讲一下啊， 我如果想去证明一个线和一个面垂直，我要去找几组线线，那我们先思考一组线线行不行？比如说我，哎，我证明这条线垂直于面内一条直线，则线一定垂直于面，那这个时候你就要注意，我们是有一种临界情况，什么临界情况？ 这个线在这，但是呢，我这平面内的线在这，但是我的这个与它垂直的直线是这样斜着穿过来的， 那这个时候我能不能满足它垂直？这条线可以，但它显然不垂直面，对不对？所以一组线线并不能解决问题。所以我们这要求啊，必须是两组，而且我们对这个线也是一样有特殊要求，必须是相交的直线。 所以这是 l 啊，这是阿法。那此时它的判定定理就是 l 必须要垂直于 a， l 也必须要垂直于 b， 且同时 a 在 阿法内， b 也在阿法内，以及 a 和 b 必须有交点才可以，那这个时候就可以推出线是垂直呃，垂直于面的啊。 所以也就是说我们的判定定理需要用到什么？需要去用到我们对应的一组线线垂直， 这是我们对于线面啊，怎么去证明好？那他对应的性质定理由是什么呢？我按照我们还是一样按照平行的逻辑来，我们说对于线面，你要去正，我得找线线，那我已知线面可以推什么？也可以反过来去推线线，对不对？那这个地方其实比较相对来说会比较好理解。你就想 我线垂直于面，那我这线和面内的任意一条直线是什么关系啊？显然都是垂直的，对不对？所以这个时候描述的时候就是已知 l 垂直于阿法， 且 a 属于阿法则，我一定可以推出 l 是 垂直于 a 的 啊。那这个就是我们刚刚前面讲的，我们对应的线面垂直是可以去推线线垂直的， 而这个就是我们对于线线垂直另一种正法。也就是如果说你发现有一道题，他单独的去问了你线面垂直怎么正，他一般来说都是在考性质定力啊，你般用性质定呃，性质定力就可以了，然后接下来最后一种面面垂直， 那面面垂直，按照逻辑来，这个时候就应该利用线面垂直去正了，对不对？那现在我们就来想啊，我需要用到几组线面垂直，那这个时候我们说对应的一组就够了，这个怎么去理解？我们来画个图啊，去辅助我们理解一下。 比如说我现在呢，这里是有一个面，然后呢现在垂直于这个面的啊，有一条直线，那我们就想啊， 过这条线我可以做无数个面，对不对？那我会发现，只要过这条线，我对应的是不是每一个面？比如说我就以这条线为一个轴，我绕着这个轴这个面开始旋转，不管怎么旋转，它是不是一定都会和底面垂直？所以也就是说我们证明那面垂直，其实一组线面垂直就够了啊，所以这个时候描述的时候，这是 l， 这是 alpha， 过该线的有一个平面，比如说这是 beta 啊，所以这个时候只要满足 l 是 垂直 alpha 的， l 是 属于 beta 的， 此时我就一定能说明 alpha 是 垂直于 beta 的。 所以也就是说啊，我们对应你要去正面面垂直，需要用的是一组线面啊，我刚上面写写反了，应该是两组线线啊， 这地方应该是二哈，因为我们刚这一想了嘛， l 垂直于 a， l 垂直于 b 啊，应该是两组线线。好，这面面垂直的判定定理，然后对应的还有它性质定理。性质定理的话呢，我们主要找，呃，讲这个最常见的，最常考的， 也就是我已知两个面垂直，那我可以推什么呢？按照我们前面所学啊，已知两面垂直，我其实是可以去推对应的线面垂直的， 那这个时候你要注意，他并不是任意一条线都会垂直另一个平面，他必须满足特殊条件，比如说你看我这一条线会垂直于这个杯塔面吗？显然不垂直，对不对？所以只有什么情况呢？只有我这条线垂直于两平面交线的时候才可以啊，所以这个时候我们对这条线是有特殊要求的，他必须垂直于交线。 假如说交线标为 l， 然后呢？这个是，哎，这个是标 l， 这个是 m 啊，那这个时候描述的话，就是已知阿法垂直于贝塔，且 m 属于阿法，阿法交贝塔于这个 l， 然后呢，这个时候 m 又垂直于 l， 所以 接下来我就可以推了， m 一定是垂直于贝塔的，所以就相当于它是可以去倒推线面垂直的。 这个是我们相对来说啊，比较喜欢去考的一个，或者说我们还会涉及到面面垂直的一个应用呢，就是我们涉及到三个平面，就涉及到这个墙角问题的时候啊，比如说我这个是一个墙角模型， 我这改一下吧，改成序号，这样看起来呢，更直观一点啊，给它改一下， 这个地方也一起来改成序号哈。好，那这个时候这里是三个平面啊，相互垂直， alpha 垂直于伽玛，然后 alpha 垂直于伽。呃，这个贝塔啊，然后还有贝塔垂直于伽玛， 反正就三个面互相垂直，那这个时候你就要注意，它也有一个性质，任意两平面的交线一定会垂直于另一个平面，比如说像这里这个是 l， 也就是 alpha 交伽玛 于 l， 那 这个时候我一定可以推出 l 一定是垂直于贝塔的啊，但这个定律我们相对可能用的不是特别多。好，接下来我们来看例题， 如图， pa 垂直以 ab 为直径的圆所在平面， c 为圆上溢于 ab 的 任意点 a e 垂直于 pc， 垂足为 e 啊，这个地方 a e 垂直于 pc， 这个地方是垂直 e f 呢，为 p b 上对应的一个点。则下来判断不正确的是我们来看出来 a 选项 b， c 呢，是垂直于平面， p a c。 好， 那这个时候我们要去正线面垂直，线面垂直，按照我们判定定来找，需要找什么呢？我们说需要去找线线对不对？而且我们说要找几组线线啊，对应的应该是两组线线，那我们来看一下啊， bc 垂直于 p a c， 我 只需要证明 bc 垂直于 p a c 面内的两条直线即可。那首先先怎么去找呢？那你就要注意了， 由于题目已知 ab 是 直径，我们知道直径所对的角是什么，一定是直角对不对？所以首先我能先确定一个条件，也就是 a c 是 垂直于 bc 的， 这个是我们按照刚才讲直径所对，圆周角为值九十度。 好，那接下来还能得到什么呢？那你就要注意了， p a 还垂直于底面，那我们已知线面垂直是可以去推线线垂直的啊，所以这个地方首先要根据 p a 垂直面 abc， 那 我们说线垂直面，则线垂直面内任意一条直线，所以我可以推出 p a 垂直于 bc， 那 你就会发现，哎，两组线线我有了， 有了对不对？而且同时要注意，我们说线线垂直的时候，这两组线必须要满足相交，所以这个手应该还要再写一个条件，也就是 a c 交 pa 应该是等于 a 点，那接下来我就可以推出我对你的 b c 垂直面 p a c 了，所以 a 选项正确哈， b 选项 a e 垂直于 e f。 好， 那我们说线线垂直，我们要么是直接通过计算勾股定律或平面向量， 或者说呢，我们利用几何关系，对吧？还有一个就是我们说比较写答题，比较想喜欢考证明的利用性质定例。那我们说你要去证明线线垂直的话，我们说想到应该用线面去证，对不对？那我们就想了， a e 垂直 e f。 那 除非我可以证什么 a e 垂直于面 p b c 或者说你反过来证明 ef 垂直于面 p a c 也是可以的。好，那这个时候我们怎么去证？比如说我们先来看能不能去证 a e 垂直于面 p b c。 那 这个时候我们已知的有什么？ a e 是 不是垂直于 p c， 这是一个条件啊， a e 垂直于 p c 的， b c 垂直于面，则 b c 垂直于面内任意一条直线，所以根据 a 选项，我是可以推出 bc 是 垂直于 a e 的。 好，那这个时候你就会发现 a 两组线线且 pc 交 bc 于 c 点，所以我可以推什么？我可以推 a e 垂直面 pbc。 那 你就想了， a e 垂直面 pbc 呢？ a e 一定垂直面内任意一条直线，所以它显然会垂直面内的 e f b 也是对的。再来看 c 选项， a c 垂直于 pb ac 垂直于 p p 的 话，那也是一样的道理，我们就要去想，我是不是可以利用性质定理，对不对？那你就想了，我们刚才 b 选项证了什么？ bc 是 垂直于面 p a c 的， 我们刚才前面推的话，是不是啊？我们前面刚才是不是推了一个 ac 垂直于 bc， 对 吧？这个是已知的。那你就想啊， 我现在有一个线同同时垂直于面内，如果说我们假如从这个 c 上如果成立的角度来看，如果它成立，是不是线垂直于面内两条相交直线？所以按道理来讲，这个时候是不是应该能推出 a c 垂直于面 p b c， 那 这个时候你会发现，如果线面垂直，那我是不是又能推出来 a c 垂直于面内一条直线 p c， 但你发现 a c 和 p c 有 没有可能垂直？显然不可能，对不对？所以它不成立也就意味着它不可能成立， 而它不成立，也就意味着你这个条件肯定是不成立的，因为它是必须满足的，所以只能是第一个条件出了问题，所以 c 是 错的哈，所以这 c 选错误。再来看 d 选项， b 选项平面 aef 和平面 pbc 垂直。好，那你就回忆一下，我们前面讲说，证明面面垂直需要知道什么？需要找一组线面垂直对不对？那你就想了，我们刚才前面证了这么多和 pbc、 aef 有 关的，我们已知 b 选项，是不是？呃，已知这个， 我们已知 b 选项， b 选项我们刚是不是正出来了？ a e 垂直于面 p b c。 那 这个时候你只需要再说明 a e 属于面 a e f， 那 你接下来立马就可以把这个 d 选项正出来了啊， 所以 d 选项正确，那你选 c。 好。 然后接下来我们再来看第三题，如图，在三棱柱当中， c、 b 是 垂直于底面的哈，这里有个线面垂直且平面侧面 a a， a a e c， e c 和底面和这个侧面 b、 b， e， c， e、 c 啊，它们是垂直的。第一问，让我们去证明线线垂直，那这首先啊，就是想到我们前面讲的说，如果线线垂直或线线平行，单独作为一问去考这道题，一定不是常规做法， 我们一定是要利用什么性质定理，对不对？好，那我们想一下，线线垂直，我们说性质定涉及到的只有一个线面，那我们就想了，我要证明 a、 c 垂直于 b， b、 e， 那 我可以找哪一组线面垂直， 那我们就结合图来分析，我是证明啊，这个 a、 c 垂直于 b b 一 所在直线呢？还是去证我对应的 b、 b 一 垂直于 a、 c 所在的这个面。 好，那这个时候我们就要结合具体问题来分析啊，你看，首先 c、 e、 b， 我 可以确定它是不是一定是垂直于底面的，是，这样吧。好，同时， 那这个时候我们说线面垂直，我就一定可以推线线垂直于 a、 c 的， 我们先把这个条件往我们需要找 a c 和 b b 一 上去凑，然后再来根据平面， a a， e c， e c 垂直于 b b， e c， e c 啊，面面垂直我们又能推什么？我们说面面垂直的话，我们是不是想到，哎，我好像可以去推线面垂直，那线面垂直怎么去推呢？我们说必须要满足的应该是线要垂直于两平面的交线。好，那这个时候这两个平面交线是谁？是 c c 一， 那我能不能在这个面内找到和这个 c、 c 一 啊？垂直的，呃，垂直的这条线 直接来找的话，好不好找？显然是不好找，对不对？所以我们就要想办法我给他做出来，因为不管怎么样，这面面垂直条件我一定要是要用起来的，所以我们不妨过 b 点去做一个垂直。这个垂足在哪我不确定，但是我知道一定有这么一条直线，所以这个时候我们可以首先做 b、 e 垂直， c、 c 一 于一点，那接下来我是不是就可以正了，对不对？只需要去说明。因为面 a a 一 c 一 c 垂直面 b b 一 c 一 c 同时啊，用满足两平面，我这个地方就减写了啊，两平面交于 c c 一， 你真正在写的时候，其实最好的是用那个呃，这里改成交集，然后等于 b c、 c e 啊，这个是最好啊，那这个时候说，呃，又因为你前面 b、 b、 e 是 垂直于 c 一 一呃 c、 c 一 的啊，所以接下来我就可以说明， b e 呢是垂直于面另一个平面，也就是 a a e c e c。 当然这个地方其实你还是要再说一句啊， b、 e 是 属于面 b b、 e、 c 的 好，那接下来我是不是，哎，又挣出来一个线面垂直，那又挣出来一个线面垂直，我又可以得，又可以得线线垂直了，所以这个时候我又可以得出 b、 e 是 垂直于 a、 c 的， 你就会发现，哎， c e b 垂直于 a， c， b e 也垂直于 a、 c 两组线线垂直，且有一个公共的线是 a、 c， 所以 我接下来就可以写，因为 c、 e、 b 交上 b、 e 应该等于 b 点，它俩相交，又同时垂直于同一条线，所以我就可以推 a、 c 是 垂直于面过 c e b 和 b e 的 面，所以也就是 b b e c e c 那 接下来我就可以推出线线垂直 a c 是 垂直于 b b e 的， 所以第一问我们就解决了啊。所以这个时候我们说结合具体的一个证明题，我们去体会一下。就做这种题，你一定要首先先想到我到底应该是用什么定力逐步的去倒推，我应该找什么条件，你接下来证明的思路就会很顺畅。

立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。

高中的例题，几何答题第一问，线线垂直。当我们遇见这样的一个问题的时候，往往会想，哦，线线垂直，那不就是勾股定律吗？ 如果说大家只会单纯的勾股定律，这个问题在平面图形当中是没有问题的。可惜啊，我们现在的问题是什么？是立体几何，那么在立体几何当中，线线垂直，我可以告诉大家，百分之九十九题目都是通过线面垂直的判定来证明的。 简单来说，你想正 b 倒垂直 a c 两个方向，方向一， b 倒垂直 a c 所在面，第二个方向 a c 垂直于 b 倒所在面。 好，这就是今天我想表达的核心内容。大家在往往遇见线线垂直证明的时候，我们往往可以通过这样的手段，利用线面垂直的星直定力来解决问题。我们一起来书写一下线面垂直定力，当我们想证明一个线 他要垂直一个面的时候，这个过程呢叫做判定。我们假设这条线已经垂直这个面了，这个呢叫做性质， a 已经垂直 alpha 了，那么我们能推出来什么东西？很简单， a 垂直 alpha， 一 条线在面内， 我们就可以推出来 a 垂直于 b。 换句话说，一个线垂直面，我们就可以推出来线垂直面内的任何一条直线，这就是我今天想表达的这个性质的一个应用。 甚至在题干当中，只要出现线面垂直，百分之九十九会用到这个东西。当然二四年高考，他用的是另外的一个性质，这个我们称之为性质一。在我们高一目前的学习当中啊，这个性质我可以说用的是最多的。 好，我们接下来不妨来尝试一下啊。既然让我正 b 倒垂直 a c， 那 么有两种方向，是 b 倒垂直于 a c 所在面，还是 a c 垂直于 b 倒所在面，这就是问题。那你说老师每个题都两个方向，那我每个题的两个方向都要都要去想吗？ 那我这里教大家另外一个方法，线面垂直，线线垂直。这里面其实是有一个 小小的 bug， 好， 这个 bug 呢，我先把这个图画好之后我再跟大家讲，我们先把 abbc 等一，我很自然的想到了中线，它是垂直的，换句话说呢，我好像发现了一些东西。第二个方法论叫做 通过线线垂直，其实它有一个技巧，线线垂直，我认为是最简单的。什么叫做反推，让我正它垂直， 我问一下，它实际上垂不垂直？它实际上是不是一定是垂直？所以 b 导一定是垂直 a c 的， 那我们又得到了这个 b h 垂直 a c， 看懂了吗？也就是说，实际上 a c 是 不是它一定又要垂直 b 导，那么 a c 是 不是一定又要垂直于 b h 呢？那是不是 ac 就是 垂直这个面的呀？大家听懂了吗？但是我们证明的时候是不是不能用哪一条？是不是不能用这一条？因为这一条是我通过结论来反推出来的东西。因此我们换一个方向， 我们要再找一根线，这个线已经很明显了吧，所以这个线是谁？这个线是不是就倒 h？ 我 们在正常书写的时候，不要拿结果来用啊，这结果不可能能用的呀。所以我们就写 ac 垂直于倒 h， a c 垂直于 b h， 是 不是线线，这两条线相交于一点，再写这个线在面内一个五推一，我们就可以判定出来 a c 是 垂直这个面的，那么自然垂直这个面的话，我们再次用这个性质底是不就可以推出来 a c 是 垂直于 b 道的，我完整的书写下过程。 那么接下来的话呢，就是我要表达的第二个事情， b h 交导 h 等于一点， h 导 h 在 b， h 在 面， b 导 h 中，所以推导出来 a c 垂直于面， b 导 h， 在这样的一个基础下的话呢，我就可以用性质定比了，因为这个叫线面垂直，所以它垂直面内所有直线既 a c 垂直于 b 道，这就是我想表达的两条方法论，大家可以把对应的笔记进行整理，第一个是课本给出的这个性质定理无比的重要， 第二个给的是我们在做线线垂直的题目的时候，我们可以把这个对吧要正的当做已知来反面的去找到这个面， 找到这个面之后呢，我们又不能用这个，所以我们在这个面内再找第三根线就可以了。以上的话呢，是我想表达的今天的对于线线垂直的证明的核心思路。关注我，我是数学沈老师，通过本质讲数学。