大家好，我是周老师，今天分享一道关于矩形的一个最值问题啊，题目说矩形 a， b， c， d， a， b 的 长度是等于三， b， c 的 长度是等于六，那现在 m 呢，是在 b、 d 上运动的， n 呢是在 b、 c 上运动。 那问了我们 c m 加 m n 的 一个最小值是多少？那这不就长得有点像我们将军与马模型吗？啊，所以我们依然可以用将军与马去做，那这个时候有 n 和 c 两个点 选，谁去做关于 b、 d 的 对称点比较合适呢？啊，那我们优先选择定点，也就是这个 c 去做对称点。好，那我们先来操作一下啊，先做 c 关于 b、 d 的 对称点。好，那我们这边给它啊，做个垂垂直 过 c 做这个 b、 d 的 垂线，再给它延长出去。 啊，延长出去啊，那这个垂足假设是 o 啊，延长出去啊，延长到这个 c、 o 的 长度和这边假设这个点啊，这边 c 关于它的对称点是 c 一 撇 啊，延长到这边的 c 一 撇，使得 c、 o 长度和 c 一 撇 o 的 长度这两条是相等的啊，那么我们 c 关于 b、 d 的 对称点， c 一 撇就找到了，那这个时候我们可以把 c 一 撇和 b 连起来啊， c 一 撇和 b 连起来，那这个时候我们的 b、 c、 o 这个三角形会和 b、 c 一 撇 o 这两个三角形就会全等啊，那这个时候呢，我们可以把这条 c m 转化成 c 一 撇 m 好，也就是这一条的长度会和这条 c 撇 m 就 相等了。那么现在这条 c m 转到这条过来之后，原来的这两条最值，那就变成了这一条 c 撇 m 加上 m、 n 的 一个最值就可以了。 那现在 c 撇这个地方是一个定点，它不动， m 会动， n 也会动，那现在相当于是 c 撇最终到 b c 的 一个最小值是多少？那很明显 啊，过 c 撇这个点呢，做 bc 的 垂线啊，那么这个位置呢，就是刚好最小值的时候 n 的 位置，这个位置呢？就是啊，最小值的时候 m 的 位置， 那现在就是要把这条 c 撇 n 给它求出来，就是我们要的答案了。那现在我们要观察一下啊，我们刚才的一些数据， 这条三，这条六啊，那么这条也是三，说明我们现在可以把这条呃对角线 b d 求出来。那先确定一下思路啊，怎么去求这条 c 一 撇 n 呢？ 啊？那我们可以考虑用等面积法去求，我们可以先把这个 c 一 撇 bc 这个大的三角形面积先给他求出来， 求完之后，那再用 b c 当底， c 撇 n 当高啊，那么就可以把 c 撇 n 求出来了。好， 那现在要把这个 c 撇 b c 这个大三角形面积求出来的话，那我们只需要求一半的面积就可以了，也就是说求 b o c 这个三角形的面积就行，那等会乘以二，那就是这个大三角形的面积。 那现在我要求 b o c 的 面积啊，那现在我们的条件是什么呢？这一条 b o 啊底不知道， o c 呢？也是不知道啊，很明显需要求啊，那现在这一条 o c 可不可以求呢？可以啊， 我们可以考虑先把这个三角形 bc 的 面积先求出来，那么求完之后用 b d 当底， 这个 o c 当高啊，所以也是等面积法就可以先把 o c 求出来， o c 求完之后用勾股定理再把 bo 求出来啊，所以这边需要这么一系列的操作，那我们先把这个 b、 d 这条求出来啊，那 b、 d 我们利用勾股定律啊，这一条是六啊，六的平方是三十六，加上这条平方是三三得九啊，所以这个四十五，那么就是啊，三三得九，五九四十五， 所以 b、 d 的 长度我们就求出来了，那现在用等面积法啊，等面积法，这个三角形 b、 c、 d 的 面积呢，它会等于 二分之一，乘于这条 b、 c 的 长度是六，再乘以它的高是我们的三，还会等于二分之一的 b、 d 当底也就是三六根号五啊，再乘上我们的高，也就是 o、 c 的 长度 啊，那左右都有二分之一约掉，所以先把 o、 c 的 长度先算出来啊，那么这边三和三还可以约掉，所以六除以根号五，也就是 五分之六。又根号啊，那这个是我们 o、 c 的 一个长度，那这个 b、 o 呢？我们可以考虑 b、 o、 c 这个直角三角形勾股定律啊，那现在这条 b、 o 就 会等于啊，根号下 这条斜边是 b c， b c 是 六六的平方三十六，减去 c、 o 的 平方啊，这个 o、 c 的 平方五分之，根号五的平方是五分之一，所以是五分之啊，三十六啊，那这个我们给它算一下啊， 这边呢是三十六，变成五分之一百八，一百四十四啊，所以这边是一四四， 那么这个一四四开完是十二啊，所以这边是五分之十二，又跟号五啊，那么 bo 的 长度我们也算出来了，那这个时候 bo 有 了，哎，那我们这时候把这个三角形的面积就可以求出来了，也就是三角形的 b、 o c 的 面积就等于二分之一的 bo， bo 是 我们的五分之十二，又跟号五， 再乘以我们的高，也就是 o c 是 等于五分之六又根号五啊，那么根号五，根号五是五，五和五约掉啊，刚好是一，那么这边约一下啊，所以这个地方呢，应该是五分之 三十六啊，五分之三十六，好，那么 b、 o、 c 的 面积我们是求完了，那么这个大的啊，大的面积 b c 撇啊 c， 那 这个大的面积是这个小的 b、 o、 c 面积的两倍，所以是二乘上我们这边的两倍。五分之三十六啊，也就是五分之 七十二，好，那现在我们已经把这个面积求完了，那再用等面积法把这条 c 撇 n 求出来啊，那这个大三角形的面积还会等于二分之一的， 现在 bc 当底啊，那么现在 c 一 撇 n 当高， c 一 撇 n 当高，那这个的值跟这个值是相等的啊，那我们就五分之七十二会等于这边约一下，是三啊，再乘以 c 一 撇 n， 好，那么最后这个 c 撇 n 呢，就等于五分之七十二，除以三，相当乘以三分之一啊，那就是五分之二十四啊，那也就是说我们想要的这个最值就求完了啊，那最后就是五分之 二十四，所以这题主要的方向啊，第一个就是将军于马把这条 c m 去转化一下， 第二个呢，用等面积法再把这个 c n 取 c 撇 n 求完就行了啊，那么像这类最值问题呢啊，要懂得用关键的方法去做啊，那你学会了吗？关注周老师，让数学变轻松！
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03:41查看AI文稿AI文稿这是张老师八年级下册创新班的同学们使用的一份讲义，这份讲义呢，对同学们的压轴拔高拓展部分啊，非常有用。今天张老师给同学们讲其中的一道题目， 我们来看专题四，矩形的压轴题队形一矩形的性质和判定的综合。 他说，如图，矩形 a b c d， a， b 是 根号七， c， e 平分角 b c d 好 注意， c e 平分角 b c d。 并且 a d 和 bc 是 平行的话，那么我们一定会有一个两平出等腰的这么一个技巧在， 所以我们立刻就可以看出来啊，这两个角相等，然后再是内角相等，那么此时 我们的 e、 d 和 dc 是 相等的， dc 和根号期相等，所以 e、 d 也是根号期。然后他说， m 是 c d 上的一个动点连接 b m， e f 和 b m 垂直交于 f， 如果 b f 和 fm 相等， 且 e f 等于二 d m， 则 c m 的 长度，那么我们读到 e f 垂直于 b m， b f 和 f m 相等，那么这里就一定是三线合一。那我们可以知道 b e 和 e f 这两条线段应该是相等的，也就是 等腰三角形。好，我们把 b e 和 e m 连接，那么它让我们算 c m。 按理来说，直接设 c m 是 x， dm 就 可以表达出来， dm 是 根号七减 x， 但是它的 e f 是 二倍 dm， 那 我此时表达 e f 的 时候就会比较繁琐，是二乘，根号七减 m 比较长，所以我们干脆直接设 d m 是 x， 那 e f 就是 二 x 了。 那从图里面同学们能看到，这样有一个一线三垂直，可以得出三角形 a， b e 和我们的三角形 d， e m 是 全等三角形，所以我们的 a e 和 d m 也应该是 x， 而且我们通过 b， e， m 是 等腰三角形，可以知道我们的这个角 e， b， m 是 四十五度， 既然它是四十五度，然后 e， f 又垂直于 b m， 那 说明这个小小的 e， b， f 也是等腰直角三角形，那从而可以得到 b， f， 就 可以用 x 表达出二 x， 那 么现在我们是不是就可以直接看出？我如果要算出 x， 那 首先可以看到这里有两个直角三角形，同时用勾股定律把 b， e 的 平方表达出来。 b 的 平方在三角形 a， b， e 的 这个勾股里面，它是作为我们的斜边，然后是根号七的平方加上 x 的 平方。 而在我们的三角形 b， e， f 中，它也作为我们的斜边，指示它的这个两条直角边是相等的，是二 x 的 平方，然后再加二 x 的 平方，那么从而我们就得到啊，可以直接解一个 七，加 x 的 平方等于八 x 的 平方，也就是七 x 的 平方是七，那 x 因为它是一条线段，那它应该是一。既然 x 算出来是一了，那么我们的 m s， 那 我们的 m， c 就 可以算出来是根号七减一，所以答案选择 a。 同学们，你看这一道题啊，它相当的综合，非常好。
21:46查看AI文稿AI文稿好，咱们再来看到数学活动当中的黄金矩形，什么是黄金矩形呢？就是说长和宽之比是根号五减一比上二，这个值约为零点六一八， 有这样长与宽笔直的矩形，咱们就叫做黄金矩形。他下面介绍了如何用折纸的方法去做一个黄金矩形，出来总共分了四步，咱们一步一步来看啊。第一步，找到一张矩形的纸片，沿着它其中一条边啊，其中这边一侧， 利用图一的方法折出一个正方形，那就是沿着这个 a m 把这个三角形折过去，让 m n 和 b m 重合啊， a n 和 ab 重合，那么这是一个正方形啊，为什么是正方形呢？等会儿我们再解释。 好，现在你就把它当做一个正方形，再以这个正方形的对称轴，也就这个 c d， 把这个左边的长方形折到右边去，让左右可以重合啊，左右可以重合，这是第二步，再把它翻回来。好，那再接着怎么样呢？找到 这个 b d， 也就是这个长方形的对角线，你把这个 b、 d 翻折下去，让这个折完之后和下面这条边重合，让这两个重合，那他的折痕就是这一条啊。所以第三步，他画了这样一个图，把这个 b、 d 折下去，他的折痕就是这一条， 然后让这一条边和下面这条边的交点啊，交点找到，找到一个 e 点， 把这个 e 点沿着这个 e 点再画一条啊，再折一次，得到 e f 这个折痕，他折的话就是把这边的哎折到这边来就可以了，对吧？这个就它的折痕，对不对？好， e f， 他 就说 这个三这个矩形，它就是一个黄金矩形，为什么他这里说的是假设这个 m、 n 的 长度等于二， 那实际上呢？简单讲一下思路啊。那简单讲一下这正方形，这四条边都是二，把它折过来之后，这就是中点，这里就是一，这里就是二。你用勾股定，你就可以算出这个 b、 d 的 长度等于根号五， b、 d 的 长度等于这里等于根号五，你把这个 b、 d 折过来，这里也是根号五，对不对？然后呢，原来这段是一，所以下面这一段，这一段也是一，所以这个 a、 e 这一段就等于根号五减一，而 ab 的 长度和 m、 n 的 长度是二， 所以它这里的宽与长之比就是根号五减一，比上二，那么和这个比例是不是就对上了，对吧？ 这个就是思路。好，我们知道了这个思路，再把它的证明过程写一下。先说为什么这是一个正方形，好吧，先说为什么这是一个正方形，来看它是不是折叠过来的，它是折叠过来的，对不对？这个矩形是九十度，对吧？啊？有矩形 和什么和折叠， 我们可以推出这一段啊，这个角它是四十五度，九十度被折过来，折叠前后的两个角相等的，对不对？可以得到角 a、 m、 n 等于角， a、 m、 b 等于四十五度，所以呢，这两个角都等于四十五度，而下面这个角 b 是 九十度，角 n 是 九十度，所以这里也是四十五度啊。你可以用三角形内角合算出来，这边是二， 那么因为这两个都是四十五度，所以是等腰直角三角形，这里也是二。然后你再把这两条边都折到这里来，那这两条边也是二， 这两条边也是二，对不对？好，折完之后都是二，再加上有一个角是直角，那么就是菱形，加一个直角就可以得到它是正方形，就这么来的。好吧，我们完善一下，好，就可以得到三角形。 a， n、 m 为等腰直角三角形， 所以 a， n 等于 m， n 啊，等于二，那又因为 b， m 等于 m， n 等于二，它折叠过去了吗？对不对？然后呢，这个 ab 等于 a， n 等于二，所以这四条边相等。 a， m 等于 ab 等于 b， m 等于 m， n， 所以 这个 m、 n， a、 b 为菱形。 四边相等于菱形，又因为角 n 等于九十度，所以菱形加九十度，它就是正方形，所以 m、 n， a、 b 为正方形。 这就是为什么它沿着这里折一下，能够折出正方形的原因。好，知道了，它是正方形，那么我们接着折第二步，这里是二，这里是二，那么它对折嘛？对不对？说明这个 b、 c 等于 m， c， bc 这一段和这一段相等，那么二被平分，就是一和一嘛，对吧？然后这个 c、 d 也是二嘛，对吧？啊？下面这个也是一被平分了，这两个也是一，好在连接对角线 b、 d， 那 对角线 b、 d 就 会用勾股定律算，就是根号五，对吧？好，我们写一下因为什么？因为折叠， 因为折叠，所以 b、 c 会等于 m、 c， 或者我们用下面的，直接直接用下面的就可以了。 我们觉得下面呢，所以这个 a、 d 会等于 d， n 会等于二分之一的 a， n 等于二分之一，乘上二等于一，所以这两段都等于一， 那么这个是我们前面证明了它是正方形，所以这个角肯定是直角，对不对？因为角 b、 a、 d 等于九十度，所以这个 b、 d 就 会等于 ab 的 平方，加上 ab 的 平方再开方， 它就会等于二的平方，加上一的平方再开方，它就会等于根号五，所以 b、 d 等于根号五。好了，它等于根号五了，对不对？你再把它往下折，折痕在这里，那我们就要看第三个图了，那这里是根号五， 这段是一，对吧？好，又是因为折叠，因为折叠， 所以呢？这个 b、 d 会等于 d、 e 啊， b、 d 会等于 d、 e 等于根号五， 然后因为这个 a、 d， 我 们在上一个图说明了它是一的，所以这个 a、 e 就 会等于根号五减一， 这一段就等于根号五减一。好，再来到第四个图，看到没有？刚才我们已经说了，这一段是根号五减一的， 而这个 ab 呢，是正方形的边长二，对吧？它怎么样？展开之后，按照所得的点 e 折出 e、 f， 对 吧？折出 e、 f， 那 么你看一下这个矩形的两边宽和长，是不是就得根号五比上二，对不对？ 好，那么由于折叠折出来再写，因为折叠， 所以这个 e、 f 因为折叠，所以我们就说这个 a、 b、 f、 e 为矩形， 对吧？折叠嘛，这里九十度，这里九十度嘛，这里九十度，这里九十度，它就是矩形嘛。然后它这个 a、 e 比上 ab 就 会等于根号五减一，比上二，所以我们就说矩形 a、 b、 f、 e 为黄金矩形 就可以了啊。那么这个步骤的话，大家可以分开看啊，分开看 活动二是剪拼正方形，如图五有两个不等的正方形纸片，你能通过剪拼的形式把它们拼成一个大的正方形吗？试试看。哎，这里是一个正方形，这里也是一个正方形。图六给出来的 剪拼方式就是把小正方形放在这个大正方形的上面，然后连接这两个点，把这里裁出来的三角形 移到这里来，然后连着这个点，这条线出来了之后，做一个垂直延长过来，把这个分割出来的三角形，哎，移到这里来， 移到这里来。然后呢再拿这个三角形啊，连到这里之后，再做一条线垂直这里，把这个三角形挪到这里来，你就会发现变成了一个大的正方形， 那么这个呢，就是刘辉证明勾股定律当中的清出出入图，哎，他就是这个方式，那清出什么意思呢？就是把青色的这两个三角形面积，一个补到这里，一个补到这里啊，这个叫清入，那珠出，珠入呢？就是珠出，就是把这个红色的这个三角形， 哎，补到这来，这个就叫珠入，这个就叫珠出，就这个意思啊，那么他问我们，他叫我们说出这种 这个剪拼的过程，那么我们呢就举个具体的例子啊，比如说这个大的正方形，大一点的正方形，它的边长，我们把它假设为九，然后这个小的正方形呢，我们把它假设为六。好吧，那我们在网格图里面把它画出来， 一个边长是六，一个边长是九，画一下边长是六，这是一二三四， 再等一下， 好，这个是边长为六的正方形，再换一个边长为九的正方形， 看格子对不对啊？三三三对的，三三三对的。好，这个边长呢就是六，这个边长呢就是九。好，现在我们接下来进行分割啊，连接 这两个顶点，看到没有？因为这里是切割，这里是六嘛，其实正好交于这个点，所以这一段呢，这一段就是四， 这一段就正好是四，然后这一段就正好是二，这一段正好是三啊，这一段就正好是三， 然后呢我们要把这个三角形挪到下面这个大概这个位置，然后呢这里注意连接的这个，你看这段是三，对不对？这段是三，那我们是要把什么这个三角形从这里移过来，所以我们找到这个是三，找到这个是三， 在这里连接一下，它其实正好是一个直角的，它正好是一个直角啊，然后呢这一段是二，那这一段也是二，那就连接这两个点延长出去， 大概就在这个位置 好，然后最后这两个点少了一点啊，少了几个，我们把它补出来，从这里延长过去， 连接这个焦点，它就是一个大的正方形，看到吗？就拼出来了。那为什么会出现这种情况呢？我们可以把我们标出来的三角形写出来，那你看 这段是九，这段是六，对不对？这段是六，这里是直角，那么你看这个是直角， 这一段呢，其实少了两个啊，这一段就是六，这一段就是九，你看这两个三角形是不全等看到了吗？啊？然后呢这一段是六，这一段是四，这是九十度， 这里是六，这里也是四，看到没有？这里也是四，所以这两个三角形全等。然后还有这个三角形和这个三角形，这一段是二九十度，这段是三九十度，二和三 是挪过来的，所以它就是通过这个方法啊去裁剪出来的。好像这种呢， 补出来的哎，就叫清出，拿出来的叫清出，补过去的就叫清入，就这个意思。那这个数据呢？是我设计了一下的啊，设为整数，把它设计成整数的转移。好，现在我们把这几个点标一下，假如说 这个是 a、 b， c， a， b， c， d 啊，然后这里写 e、 f， g， 然后 m、 n。 好 了，那么点咱们就标完了，那这里呢，其实就是这三个三角形全等啊，这个和这个， 这个和这个，然后第三号三角形就这里三个三角形全等。假如说第一号就三角形 e、 f、 m 全等于三角形，这里再标一个点，假如说这个是 h 点啊，三角形 a、 h， n， 三角形是全等的， 第二号三角形就是这里啊，假如这里没有标，这里是个点 p， 三角形 a， d， p 全等，三角形全等于三角形 n、 h， 哎，这里也没有标，假如说这个是点点 k 啊， n， h， k。 第三组三角形是三角形 p， c， e， 全等于三角形 k， g， m。 好了，就是这三组三角形全等就可以拼出来了。那你要验算的话呢，你就算一下这个 a， e， a， e， 它怎么算？它这一段是六，这一段是九，对不对？那六的平方加上九的平方再开放，它就会等于根号下三十六加八十一，等于 根号一百一十七，那么也就等于三倍根号十三。当然我们要求最大的 这个三角形面积就会等于 a、 e 的 平方，而正方形的面积它就会等于一百一十七，对吧？中等的这个正方形的面积，它就会等于九乘九， 等于八十一，然后最小的这个正方形的面积就会等于六乘六，等于三十六，那么就满足条件，小三角、小正方形加上中等的正方形啊，大正方形、中等正方形、小正方形 就会等于大正方形的面积。哎，这样的话我们就说清楚了， 这里问我们还有没有其他方法，这里再介绍一种方法。这种方法呢？要重新设计一下数据，比如说 上面的这两个正方形，我们把它的边长设为四、四和三三啊，这个正方形的边长设为三，然后我们把它并排画在一起，好，画一下，这里画个四， 这里画个三。 好，怎么去设计呢？这里就不是切割三角形了，就是切割这个正方形和长方形，好， 把它重新补一下来，把这个小正方形从这里，它的边上是三吗？这个是三、三、四、四，然后从这里切割一下， 从这里切割， 然后再从这里切割一下。它怎么补的呢？好看。好了，假如说这里是第一块，这里是第二块，这里是第三块，都是矩形啊，这个是正方形，这两个都是长方形，你把这个小的 正方形，把这个补到这里来，给它补到这里来， 补到这个位置，那从这里补到这里，然后你再把这个大的长方形，大一点的长方形铺在这个位置， 那把这个补到这里来，然后最后这个第二块把它补到这里来， 来看一下这个大正方形，咱们是没动过的，咱们是没有动过的这个小正方形，把它切割成了四块，这里一块，这里三 块，进行平移啊，以及这个旋转，它是先旋转再平移到这里，这里也是先旋转再平移到这里，这里直接平移到这里，一对一，它重新拼出来的一个 大正方形，它的面积就是五，对不对？好，那么我们这里也把这几个点标一下啊，看够不够用。假如说这个是 a， b， c， 这个点一 e， f， g， 然后 h， i， j， k， l， 就 写 l， l， m， n， o， p， q， r， 好， 够了啊，够了。那么这里的话呢，我们拼接的这三个，那第一个就是正方形， 正方形，这个 h， j， k， i， 哎，全等于正方形 d， e， h， n， 那 这两个 好，这个第二个就是矩形 j， l， m， k， 全等于矩形，这个 p， r， n， o， 第三个就是这个也是矩形，矩形 i， m， g， f， 全等于矩形 q， a， r， p， 那就平移这三个就可以了啊。面积怎么算呢？那这里一样的小正方形， 它的面积等于三乘三，等于九，然后中等的正方形 面积是四乘四，等于十六，而这个最大的正方形在哪里呢？在这个位置， 它呢就等于五乘五，等于二十五。这里呢咱们把这个正方形的是怎么写上去？小正方形是 e， c， g， f， e， c， g， f， 中等正方形是 a， b， c， d， 大正方形是 q， b， q， b， l， o， q， b， l， o。 完事了，那么我们就可以得到两个小正方形，小正方形加上中等正方形，就会等于大正方形的面积就 ok 了，这个就是另外一种拼法。
189毕老师细讲数学
22:05查看AI文稿AI文稿第十二题呢，这道题依然是考察的我们矩形的折叠问题，跟前面有一道题非常类似啊，前面一道题是哪哪里的？看一下啊，对比一下。就这道题，徐州十三中的这道折叠问题非常像，特别像这个题目，第一小问和这个题目中的第二小问几乎可以说是一模一样的。来，我们一起看题目， 同学们在新课程开展活动中啊，以下操作，欢迎完成相应的任务。第一小问，反正是抛绘题，是大家都会做啊，小明呢，按照如图一的方式沿着 b、 e 进行折叠，折叠完之后的纸片， a、 b、 c、 d 中的 a 点和 a 撇点是对应的。好了，那这个地方我标一下，这个角跟这个角一定是直角，这个是对称过来的，这个跟这个是相等的。好，那紧接着下面若角 a、 e、 b 等于五十度， a、 e、 b 等于五十度哦，这个角是五十度， 所以这个角是不是也是五十度？那这个角是多少度？八十度，那题目要求的是哪个角？看一下，题目要求的是 f e、 f b， e、 f b 啊，这个角，那这个角你看看内错角相等，所以立刻直接写答案，五十度哦，八十度，哎，这个有手就行啊，随便写。写好。第二小问，如图啊，小丽计划利用这张纸裁出一个面积最大的菱形，如果我们要裁一个菱形，哎，这个就跟我们刚刚那个题几乎是一样的了， 这个菱形如果要面积最大，这个菱形的高是不是固定的？永远是三吧，因为他告诉我们 a、 b 等于三， b、 c 等于六，那么所以你要想这个菱形的面积最大，是不是要使得这个底边最大，也就是菱形的边长最大？菱形的边长最大，那么这个点，比如说我叫 e 点， e 点是不是要越往右越好啊？但是 在仰往右的过程中，这个点就这个点，我们叫 f， 这个 f 点又不能无限往右，他最多最多到达点 c， 要不然他就出去了。所以换句话说，就是这个菱形的一个顶点 f 正好是在哪里啊？哦，菱形，比如说这个 a， e f， g 这个菱形，菱形的 f 点恰好跟 c 重合的时候，这个面积最大吧？再想想能不能想明白，因为菱形的高固定是三， 那么菱形的面积最大，是不是要使得底边最大呀？而因为菱形的边长是相等的，所以使得这个底边最大，就是使得这条斜边直角三角形 a、 b， e 的 这条斜边要最大， 那么这条斜边最大，你看 e 是 不是越往右它才会越大？但是 e 能不能无限往右呢？因为你 e 越往右，那这个 f 点是不是也得往右啊？你 f 点往右，你 f 点不可能到达 c 点的右边去，你 f 点最多最多只能跟 c 点重合吧。所以由此可见，那么面积最大的时候就是 f 和 c 重合。那好嘞，那我们这个图大概的图就可以画出来了， f 跟 c 重合，那这时候这个图是不是就是一个菱形啊？这就是一个面积最一，这是 f 啊， g 这个面积是最大的，那此时因为菱形的对角线是相互垂直并且平分的。那题目让你第一小问，请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规二尺规作图来做出这个菱形，简不简单呢？特别简单，我们只要连接一个 ac， ac 就是 这个菱形的对角线，然后做 ac 的 垂直门线，以 ac 分 别为圆心，以大于二分之 ac 的 长做半半径做弧，是不是啊？做弧，两弧的交点一连完事之后，这就是我们 ac 的 垂直门线，一旦做出垂直面，这个焦点就是 g， 这个焦点就是 e， 结束吧。好，来，我们把这个图稍微画好一点，那么这时候我们把这个图稍微画好一点，那么两弧分别交于 两点，这两点把它连起来，连起来做弧，做弧，然后这也是做弧，做弧，这两个弧交于两点，把这两连起来，就是它垂直平分线与 b、 c 和 a、 d 分 别交于这个 g， 这个叫这个 c 点，我们就不标了，这个就叫 f， 所以 此时这个菱形就出来了， a、 e、 c、 f， 这就是菱形吧，对吧？这个地方还是比较简单的啊。当然这个题目中他让你做的是什么？做出这个菱形的话，那可能前期的这些你可以用虚线去做啊。最后这个菱形你用实线把它做出来 好了。紧接着求小丽剪出来的菱形的边长，你要求边长就是求 a、 e 的 长度呗。那我不妨设这个边长为 a， 可以 不？那因为菱形的边长都相等这是 a， 那 么这段长度是不是六减 a 呀？因为题目中已经明确的告诉我们，这段长是六，这段长是三。哎呀，那这个不就是我们常说的一个什么勾股定律吧。 好，紧接着第二小问就是个送分题喽。第二小问就是二 t 三角形 a、 b、 e 当中 有什么？有 ab 的 平方加上 b、 e 的 平方，那就等于 a、 e 的 平方吗？代入数据就是三的平方加上六减 a 括号的平方就等于 a 的 平方口算一下， a 等于多少呢？因为平方向咔咔没了，这边依次向正好是十二个 a， 这边是三十六加九。 哦，三十六加九是不是等于四十五啊？十二个也等于四十五，所以一个 a 是 多少呢？哦，十二分之四十五，分子分五，约掉三的话就是四分之十五，所以它的边长是四分之十五好像，嗯，没什么难度吧？还行，这个难度应该很多同学应该能够接受的。好了，那接下来我们来看一下第三小问， 他说点 e 在 线段 a、 d 上一个动点，又出现动点了，那现在小亮利用会读软件，将三角形 a、 b 上一个动点逆时针旋转九十度，所以此时这个角是不是九十度啊？ 是吧，这个角数也是九十度，因为你是往这边旋转，逆时针旋转的九十度，你旋转角是九十度，这个角也是九十度，这些好多九十度的角。好，那这时候要连接 b 撇 c 和 a 撇 c， 那 这时候问，当三角形 abc， abc， 这个三角形 a 撇 b 撇 c， 以 b 撇 c 为幺的等幺三角形，这个是幺，对不对？而我们知道这个题目当中啊，你即使旋转，这是三，这是三，那如果你是幺的话，你要么等于三是吧？要么你这个是三 啊，这两个相的对吧？要么就是你这两个相的，对吧？那这个题目怎么做呢？有同学就蒙了，老师，这我不会呀，那怎么办呢？首先你看这题没有思路怎么办？万能间隙法吗？这个题目间隙是不是超级简单？你看看我们以 b 为坐标原点来建立平面直角坐标系，你看图中有没有哪个点是你表示不出来的？ 不存在的，每个点都能轻松表示出来，而且表示的时候非常简单，你看我把它表示出来啊。平平面交坐标系 x， y 全部建立，那么这个最终要求 a 一 的长度。好了，那我就设 a 一 的长度为 m。 注意，我设的是线段长为 m 哦， m 是 一条线段的长度，所以 m 它是一个正值 此时此刻，我们一点的坐标能不能表示出来？横坐标是 m， 中坐标是三，没毛病吧？那此时这个 a 撇点的坐标我们能不能表示出来？ a 撇点，我们知道这段长跟这段长相等，是不是也是 m 啊？这个也是 m， 所以 大家看一下，这个横坐标是 m， 重坐标是不是在三的基础上向下降了三个单位？所以由此可见，这个 a 撇点的坐标，我们表示一下，横坐标是 m， 重坐标是三，减 m 没有问题吧？ 好，再看一下 b 撇点的坐标是什么？ b 撇点的横坐标这是三，这是 m， 所以 它的横坐标是不是 m 加三啊？ m 加三， 他的重坐标是什么呢？ a 重坐标跟 a 撇点是不是一一模一样啊？因为你看这个长，这段长度跟这个长度是一样的吗？因为你旋转九十度，你这个是个直角，你这个也是个直角，所以旋转九十度之后，你这条线跟那条线是平行的。既然是平行，那么我们就知道了， 这个点和这个点的纵坐标相等，所以它也是三减 m。 好 了，那么当我们得到这个三个点， c 点坐标，还差 c 点坐标直接写了六零。好，三个点坐标都知道了，那接下来这个等腰三角形，你说送不送分呢？这不是妥妥的送分吗？第三小问，根据有题，或者我直接设什么呢？ 设 a e 等于 m， 那 则三个点的坐标我们直接写了 a 撇点坐标是，横坐标是 m， 正坐标是三减 m， b 撇点的坐标是什么呢？横坐标是 m 减三。 哦， m 加三，正坐标是三减 m。 好， 还有一个 c 点坐标是六零，那此时此刻，根据两点之间距离公式，能不能表示出三边长？那肯定可以啊，最简单的一个，我先把它写下来，就是 a 撇 b， 永远都是三。这个都不用用两点之间距离公式了， 你用也行。这个减这个等于等于什么？等于三，这个减这个正好就是零，所以三的平方在根根号是不是还是三啊？所以这个是很简单的另外两条边来表示一下，可能需要用公式的。 a 撇 c 等于什么？是等于根号下， 呃， m 减六括号的平方，再加上三减 m 括号的平方，那么我们可以把这个式子稍微化简一下，就等于根号下。这是什么？ 两个 m 的 平方，这是二次项，一次项是减十二 m 再减六 m， 总共是减了十八 m。 再看长数项，长数项是六六三十六加九等于四十五， 所以很明显我们化解完就它好。还有最后一个就是 b 撇 c， b 撇 c， 我 们也可以把它表示出来， b 撇 c， 那 么利用两点间距离公式是 m 加三减六，就是 m 减三的平方， 再加上 m， 再加上三减 m 的 平方，那就是乘以二吧，我就不高兴再多写一个了，那么也可以化解一下，这个化解完之后就能得到什么呢？ 就是两倍的 m 的 平方减去十二 m， 再加上三三得九加十八，是不是这样的呀？好了，那接下来因为这个三角形是以 b 撇 c 为等腰，那么第一种就是 b 撇， c 等于 a 撇 b 撇， 那么这种情况是，是不是我们得到一个式子，就是啊，或者，或者我干脆把它怎么的给他直接开根啊，开根号平方了，二 m 的 平方减十二 m 加十八，是不是就等于等于什么？加十八是不是又等于九啊？所以这时候我们可以对它进行 一项合并，同类项就变成二 m 的 平方减去十二 m 在 加九等于零，是这样的一个式子吧。这个方程我们要怎么去解呢？啊？我们可以配方啊，对不对啊？这二提取出来就变成 m 的， 我用我在草稿纸上解一下，用蓝色的比较，因为解这个你 算的时候，你直接解得就可以了，直接 m 等于多少，那么至于 m 等于多少，我们在草稿上算一下。二括号 m 的 平方减去六 m， 再怎么样？再加九，再减九， 再加九是不是等于零啊？这个能看懂吗？首先你把这两个前前两项提取个二，提取一个二出来之后，就得到这样一个式子，这两个式子呢，要加上九才能配成完全，再减去九是不是就可以了？好了，那这个式子我们立刻就能得到二乘以括号 m 减，当然你可以用那个叫因式分解也可以啊， 但是因为因式分解，有些同学没有学过一元二次方程的解法，那我配方的话，很多人是会的，这个是减十八加九，就指减九等于零，减九等于零就是等于九吧，所以很快就能得到我们的 m 减三的平方就等于二分之九，所以立刻就能够得到 m 减三就等于正负二分之三根号。二，因为 m 是 正数，所以 m 这两个都是正数吧，所以是 m 加减二分之三根号。这两个答案都是对的吧，他是正两个都是正数， 不管是三加二分之三根号，还是三减二分三根号，他都是正数，所以我们两个答案都保留好了，最后 m 的 值我们就可以写上去了，等于三加减二分之三根号，二， 也就是 m， m 就是 什么？就是 a e 嘛，所以 a e 的 长度就等于三加减二分之三根号。 那么第二种情况，刚才说是以 b 撇 c 为幺，那 b 撇 c 有 可能等于什么？还有可能等于 a 撇 c， 如果是 b 撇 c 等于 a 撇 c， 那 就是因为这两个十字相等，那这两个是相等根号，我们通通去掉，直接得到二 m 的 平方减去十八， m 加上四十五，加上四十五，就应该等于二 m 的 平方，二 m 的 平方减去十二 m 再加上十八。那我们来解一下这个方程 m 等于多少呢？对于我们而言，咔咔这个约掉，这个挪过去变成六 m， 六 m 等于四十五减十八。哎呀，六 m 等于四十五减十八， 四十五减十八的话，应该是等于二十七吧。所以啊，六 m 等于二十七的话， m 等于六分之二十七，那就是二分之九，所以 m 的 值就出来了。最终 m 得到了之后， a e 是 不是就是二分之九啊？ 所以综上我们 a e 的 长度出来了没有呢？ a、 e 就 有了，就等于二分之哎，我们把这个写一下就可以了，总共有三个答案， 一个答案，两个答案，三个答案啊，还有个答案在这，这个题目我们就能解决了。所以如果在考试的时候遇到这种重动点问题，而且是在什么，而且是题目中出现的是什么？正方形啊，还有矩形这样的题目的时候，我们最好的办法也是最快的方法，用间隙法，速度会更好 更好，算你不需要去特别麻烦，还得怎么怎么去表示这条线段，利用建立勾股定律，怎么怎么的，那个太麻烦了，我不建议大家这么做了，直接间隙就可以解决。 第十题，这道题呢，考察的是一个正方形边长的一个问题，但是它里面涉及的动点问题了，那最好的方法，这个题目我们看一下用什么呢？如图，在一个四边形 a、 b、 c、 d 中，它的边长是六 点， e 呢？是边 a、 d 所在直线，注意是所在直线上运动连接 b、 e 以 b、 e、 f、 g， 它的顺序是按照逆时针排类的， b、 e、 f、 g 好，当正方形 b、 e、 f 中的某一顶点落在直线 a、 c 上的时候，那么折正方形的边长是多少？那么对于这个题目，我们最好的方法用什么呢？叫间隙法。那这时候我不妨以什么 以我们 b 为圆点，构造一个平面直角坐标系，这样的话，我们图中的每一个点的坐标要么就可以标出来，要么就可以射出来，是吧？来，同学们尝试一下，我们来射一下。 此时如果我们建立一个平面直角坐标系，从途中我们是不是立刻能知道 b 点坐标是零零， c 点坐标是六零，因为 c 是 边长是六吗？ a 点坐标是什么？ a 点坐标是零六 啊， d 点坐标是六六。好，那此时 e 点是一个固定啊，是一个动点，那么这个动点呢？它永远在直线 a、 d 上运动，所以我可以设它的横坐标为 m， 纵坐标为六，没毛病吧？ 接下来我只要用含有 m 的 式子表示出 f 点坐标，表示出我们 g 点的坐标。那这种情况下，我们是不是就可以当题目中哪个点在 a、 c 上呢？他说有一个点在 a、 c 上，那 b 肯定不可能在 a、 c 上了，因为 b 点压根是固定的。 那么 a c 这条直线的表达式对于我们来说是不是很轻松啊？ a 点坐标知道了， b 点 c 点坐标知道，所以 a、 c 的 直线表达式是 y 等于负 x 加六吧。 好，下面我们的目标就很明确，我只要构造三垂直，遇到等腰直就做三垂直，去表示出 f 点和 g 点的坐标，然后把 f 点和 g 点的坐标带到这个直线表达式里面，就能求出 m。 当 m 求出来了， 这个正方形的边长是不是 b b、 e 的 长度，利用两点之间距离公式就可以求出来呀？好，那紧接着下面我们说做就做，来试一下， 把我们这个两点利用，构造一个三垂直模型。那此时图中有一些全等三角形哪些呢？比如说这个，哎，颜色有点粗了，小黄三角形，从图中，这就是我们常说的遇到等腰值就做三垂直吧，和这个小绿是不是立刻就是全等啊？ 那么此时 f 点的坐标我们能不能表示出来呢？那肯定是可以的呀，那在途中这段长度是不是就是 m 啊？所以这个也是 m 啊？说啊，这段长度是几啊？是六啊，所以 f 点的横坐标就是什么呢？ 就是这段长是六，那么这个长度是 m， 所以 这个长度就是什么六减 m， 但是这个点是负的，所以它的坐标就应该是 m 减六吧。横坐标，它的横坐标我们写下来就是 m 减六，它的重坐标是什么呢？重坐标看看，是这段长，这段长，这是六，是 m， 所以 重坐标就是六加 m， f 点坐标有了，那接下来你要求我们 m 的 值，是不是只要把 f 点带入到 a c 的 直线表达式里来求啊？那我干脆把 g 点呢也求出来，最后一起来带啊。对于 g 点坐标，我们怎么求呢？同样也是构造三垂直图中的这个三角形，我们给它取名叫小南， 那这个小南三角形是不是必然也是跟什么？跟我们小黄小绿都是全等的吧。既然是全等，所以这段长度是不是也是 m， 这段长度是不是也是六？那么所以 g 点的横坐标就一定是负六，而重坐标就是 m 吧。好了，那紧接着接下来他说有三个点或者是什么。 呃，题目说的是什么呢？你看正方形呢，有某一顶点落在直线 a c 上时，不与 a c 重合，注意他不能与 a c 重合。那接下来我们看第一种情况，他有三个点， b 肯定就不用考虑了， b 点他是不会动的， 所以我们就看三个点。第一个点，点 e 在 a c 上，时点 e 在 a c 上，这个基本上是可以舍的，不用算，为什么？因为点 e 肯定是直线 a， d 上，他又在直线 a c 上，那这时候是不是他说了不与 a 重合，所以这个直接就舍了？ 这个直接舍，我们不用写。那么第二种情况就是 f 在 a c 上， f 在 a c 上十，那这时候我们将 f 点的坐标 m 减六， m 加六，带入哪里呢？带入 y 等于负 x 加六后，我们可以得到什么呢？就是 m 加六就等于负 x 就是 负 m 加六再加六，所以我们解一下解得 m 等于多少？ m 等于三，所以这种情况下， m 减等于三，所以 e 点的坐标就是三六，那么此时边长 b e 的 长度就有了呀，哦，就等于三根号五，这是第二种情况。那么第三种情况就是，既在 a c 上十， a c 上十，如果 g 在 a c 上，那我们只要将什么将我们 g 点坐标 g 点的坐标横坐标是负六，纵坐标是 m， 带入哪里呢？带入 y 等于负 x 加六，同样也是 m 就 等于六加六，所以从而就能得到 m 等于十二。 当我们得到 m 等于十二的时候，那此时此刻我们就有了 b 点的这个 e 点的坐标是什么呢？就是十二六。那此时我们 b e 这个正方形的边长是不是就有了呀？是等于六根号五， 所以我们这个题目正方形的边长要么就是三根号五，要么就是六根号五。同学们感受一下这个方法是不是超级好用啊？就是在正方形当中，一旦出现这种哎，相当于我们要求某个某个点的坐标哦，动点，以动点为直角顶点，要表示这个 f 点坐标的时候，我们直接就可以间隙 把主动点的这个坐标设出来，剩下的点通通可以用含有你的这个参数表示出来，接下来就可以完美的解决问题。 第十三题这道题呢是南京外国语八下的期中考卷上的第六题，我们看看这个题目，如同 e、 f、 g、 h 分 别是矩形四条边上的四个点，那现在把这个四条四个点连起来构成一个四边形。 题目问，我们得到这个四边形，这个四边形的说法正确的是存在无数个四边形，是平行四边形，我们看是不是无数个呢？首先我们要弄清楚，如果这个四边形是平行四边形，那么我们一定要弄清楚，它是中心对称图形。既然是中心对称图形，那我们知道这个 e、 g 这两个点的连线是不是一定经过这个对称中心啊？经过我们矩形的对称中心吗？那我们看看，如果要画平行四边形，怎么画？特别简单啊，我们只要随便过这个点 啊，画一条线，再过这个点，画一条线，这两个线的交点，这个构成的四边形，它一定是平行四边形，因为对角线是相互平分的吗？好理解吧。那继续，你比如说我再再重新画一个，再重新画一个，你看是不是能画出无数个这样的四边形啊？那这样的四边形是不是都是平行四边形啊？所以它属于一个 平，无数个平行四边也是对的。那我来证明一下，有同学说，老师，为什么你这个过这个中心点的就一定是平行四边形呢？因为你知道，比如说因为矩形它是一个中心对称图形， o 是 它的对称中心，所以我们知道这段跟这段是相等的，它是关于 o 对 称的， 这段跟这段也相等。那么对角线互相平分的四边形，那不就是平行四边形吗？所以存在无数个。第一个是菱形，那如果是菱形，同样你也考虑对称轴， 那么菱形的对称头是什么关系啊？是相互平分并且垂直的，所以我们既然要垂直，那平分，你只要经过这个，他一定是相互平分的，这个没有什么问题。但是如果对角线要垂直怎么办？你就随便画一个， 然后呢，你再过这个点做垂线，是不是就会出现这是个菱形啊？看得懂吗？当然我这条线可以这么画，那我可不可以这样画呢？ 只要首先你过这个点画一条垂啊，画一，画一条线段，然后呢再过这个中心点做一条他的垂线，是不是也会存在无数种情况啊？所以一定也是无数个菱形。 那么接下来我们看矩形，那么矩形是什么呢？哦，矩形我们只要满足什么相等就行了，那请接着。同样我也是做一条线，比如说我这边做一条过这个中心点做一条线，那此时我只要这上面做一条过这个中心点做一条线，那此时我只要这上面做一条过这个相等的，这个跟这个相等，是吧？这两个， 这，这个，这四条都相等，所以连起来他一定是个矩形吧？那这样有多少个呢？是不是也有无数个？你看刚才我是这样画的，那我可不可以这样画呢？稍微歪一点点，哪怕歪歪一点点，歪一度歪，歪零点一度，歪一点点，歪一点点，是不是这边必然会找到一个，可以找到一个跟他相等的呀？只要找到，所以他也是有无数个矩形， 那么接下来存在有正方形，也有无数个。我们看正方形的要求就更加苛刻了，他不仅要对角线相互平分，相互平分这是最低要求，只要过这个点，所有的两条线都是相互平分的。其次还要相互垂直，那么 平分并且垂直来，我们首先看一下，你看如果说我再过这个 o 点，做一个他垂直于他的这条线，你看一下啊，比如说我这个画的有点特别了，我往这边稍微歪一点点， 那我们看一下，我画一个垂直，只要垂直，他一定是菱形吧。但其实啊，如果他是菱形的情况下，你看假如说他是菱形的情况下，他有没有可能是正矩形呢？不可能，为什么？ 因为你看啊，假如你看这个矩形，你看这个跟这个是垂直。根据我们十字架模型，我们学过的十字架模型中，假如这两条边相等，那必须这个是个正方形，也就是说 a b 边必须要等于 a d 边，所以他压根根本就不可能存在正方形，应该是存在菱个 四边形，是正方形，他根本就不可能。为什么？因为你垂直他就不可能相等，相等他就不可能垂直，如果垂直又相等，那他必须是正方形，但他很明显他不是正方形吧。所以这个题目第四个一定是错的，所以正确答案只有一、二、三，选 c 啊。有同学问我老师，为什么垂直就一定不相等？相等就一定不垂直？因为我们根据我们十字架模型里面的结论，还记得吧？在我们正方形当中， 只有在正方形当中才会出现垂直且相等啊，如果他们是垂直的，那么他一定相等，如果是相等的，他一定垂直，那如果说在矩形当中如果出现啊相等的垂直，他就一定不相等，是不是因为矩形当中我们知道垂直的话，他们的 两条十字加之笔等于长宽笔，之前我们讲过的这个结论是不是？那所以他绝对不可能相等，那如果相等他就一定不垂直，所以这个题目第四个一定是错的啊，所以正确答案选 c。
11:00查看AI文稿AI文稿亲爱的同学们，大家晚上好！今天我们所学习的内容是八年级下册专题，专题的内容是矩形与折叠。 在这部分过程中，我们主要涉及到的是折叠那折叠前和折叠后两个图形全等，那利用全等中得到的线段相等和角相等来构造直角三角形，再利用勾股定律， 那首先第一道题，在矩形 a、 b、 c、 d 纸片中，一点为 a、 d 上的任意点，将三角形 c、 d、 e 沿着 c、 e 翻折，得到三角形 c、 e、 f， 所以 这两三角形全等，对吧？那因此我们可以得到我们的 d、 e， 这条线段就等于我们的 e、 f。 现在题目中讲到 a、 f 是 三， bc 是 九，让去求 a、 e 的 长，那我们就可以令 a、 e 等于 x， 那 我们的 d、 e 是 不是就等于九减 x？ 由反折可知 d、 e 是 不是又等于我们的线段 e、 f？ 接着在二 t 三角形 a、 e、 f 中有勾股定律，可知 a、 e 的 平方加上 a、 f 的 平方是不等于 ef 的 平方，那所以 a、 e。 我 们刚讲到设为 x if 题目中告诉你是三 ef， 我 们得到的是九减 x， 那 所以我们是不是就得到了一个关于 x 的 方程，那解方程我们就能求出 a、 e 的 值？ 第二题，如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中，一点是 a、 b 上的一点，将矩形的一角沿着 c、 e 进行折点，点 b 的 对应点恰好落在 a、 d 上，那我们可以讲到两个三角形 c、 b、 e 和三角形 c、 f、 e。 两三角形全等，我们可以得到 b、 e 等于 ef， 那 除此之外，我们还能得到我们的线段 bc 等于线段 c、 f。 所以 我们可以根据这题目中讲到 三角形 a、 e、 f 的 周长等于六，那所以我们是不是就可以得到我们的 a e 加上我们的 af， 加上我们的 ef 是 不等于六？刚刚我们还知道 ef 是 不是又等于 e b， 那 所以我们是不是就转化成 a e 加 e b 加上我们的 ef 等于六，那 g a、 b 加上我们的 ef 等于六，可以吧？接着我们再看三角形 c d f， 三角形 c d f 的 周长等于十二，那所以我们是不是可以得到就等于 c d 加上 d f 加上我们的 c f， 那 大家又知道 c d， 它等于我们的线段 abd 减去我们的 af， 而我们的 c f 等于线段 bc， 那 片线段 bc 也就等于我们的 ad， 所以 等于 十二。那在这两个式中，我们发现加 i f 减 i f， 所以 两者一结合， 一加二，我们就可以得到二倍的 a b 加上我们的二倍的 a d 是 不等于十八，那所以 a b 加 a d 是 不就等于九？ 那我们求出来 a b 加 a d 等于九之外，那我们就可以得到。那咱来看 a b 和 a d， a b 和 a d， 那 是不是就可以看作是 a e 加上 e b， 对 吧？那你看 a b 加 a d 啊，即 a b， 我 们可以拆作是 a e 加 e b 加上 ef 加上 ef 等于九，而 a e e b e b 是 不可以快算成 e f， 那 加 if， 那 前三条线段是不就是三角形 a e f 的 周长？所以六加 d f 是 不等于九？我们可以得到 d f 是 不等于三？ 那我们又知道刚刚是不求出来 ab 加上我们的 ad 是 等于九，而 ab 是 不就是 cd？ 那 不妨设 cd 为 x， 那 我们的 bc 是 不就是九减 x， bc 等于 c f， 所以 你看它是不是九减 x， 那 在这里面大家就会会发现，在二 t 三角形 我们的 c、 d、 f 中有勾股定律，可知 c、 d 的 平方加上 d、 f 的 平方是不等于 c、 f 的 平方，所以 x 平方加上九等于八十一，减去十八 x， 再加上 x 平方，换算之后我们就能得到十八， x 就 等于八十一减九，也就是 七十二，那 x 就 等于四， x 等于四，所以我们的 a、 d 等于九减四，那是不等于五， a、 d 等于五，所以此时我们就能求出来 af 就 等于五减三等于二 这一道题。哈，别看他题目给的相对来说比较简单，对吧？还是不太好做啊。好，接下来我们再来看一下第三题。第三题这里讲到的是在长方形 a、 b、 c、 d 中， a b 等于六， a、 d 等于八， 将其沿着 m、 n 进行折叠，使得点 d 落在 c、 d 边的 b 撇处啊。 b 点和 b 撇点是一个对称点， 点点 a 的 对称点是点 a 撇，然后说 b 撇 c 等于二，求 am 的 差。那在这里面大家会发现我们的 m n 是 不折痕，大家知道折叠问题中折痕就是 什么？我们讲到折横就是角平分线，那我们除此之外是不是还可以看错是折横，它是不是就是对应连锁连线段的垂直平分线？所以我们如果连接我们的 b m 和 b p m， 由折叠性质我们是不可以得到。我们的 b m 是 不就等于 b p m， 那 b m 是 直角三角形 abm 中的一条斜边，所以 b m 的 平方，也就是 a b 的 平方加上 a m 的 平方，那是不就等于直角三角形 d m b 撇，也就是 d m 的 平方加上 d b 撇平方 ab 题目中告诉你是六的平方， a， m 是 我们所求的，所以不妨令它为 x， 而 dm a d 是 不等于八， dm， 那 是不就是八减 x d b 撇，题目中讲到了 b 撇 c 省于二，所以 d， b 撇是不六减二，也就是四，那我们就能得到了一个关于 x 的 一个方程，解方程就能求出 a m 的 长好。最后一， 在长方形 a， b， c， d 中，点 e 是 c d 添上一点连接，它使得点 d 恰好落在这，那我们讲到 使得点 d 在 我们的 b、 c 边上的 f 处，如果 a b 等于八， ce 等于三，让去求折痕 a、 e 的 值，那在这里面我们不妨 由折叠，我们是不可以得到我们的 af 等于 ad， 对 吧？我们的 ef， ef， ef 是 不就等于我们的 d、 e 而题目中告诉你 ab 等于八， c， e 等于三，所以我们不难得到这是不是五， 那它为五的话，在直角三角形 c， e、 f 中，由勾股定律可知， c、 f 是 不等于四，可以吧？ 那 c、 f 等于四？这道题我们现在不知道我们的 a、 d 等于多少，那我们令 a、 d 为 x， 那 所以 b f 是 不是就是 x 减四，而 af 是 不是就是 x？ 在 直角三角形 abf 中， 我们 a、 b 的 平方加上 b、 f 的 平方，那是不就等于我们 a、 f 的 平方？ a b 八的平方， b f x 减四的平方等于我们的 a、 f， 那 是不就是我们 x 的 平方， 可以吧？那接着求出来，我们借助这，我们是不可以求出方程中 x 的 值， x， 那 是不就是我们方程中我们 af 的 场，那要想去求 ae， 再借助我们的直角三角形 aef 中， 对吧？ af x 我 们刚求出来等于十，我们的 ef 等于五，所以 a， a、 e， 那 是不就十的平方加上五的平方根，也就等于五倍的根号五 还行吧。好，第五个，在矩形 a、 b、 c、 d 中， e 点是 bc 的 中点啊，中点，那折叠啊，这条线段等于，这条线段由中点 b， e 是 不是又等于我们的 c、 e？ 接着 延长它交于点 f， a， d 等于四， c、 h 等于三分之四。那不难发现，大家如果连接我们的 e、 h、 eh， 那 是不是 e 的 三角形 e、 f、 h 是 不全等于我们的三角形 e、 c、 h， 那 由全等我们就可以得到我们的 h f、 h， f 是 不等于 c， h 是 不等于三分之四？那么接下来求啊，令 ab 等于 x， 那我们是不是可以得到我们的 a、 h 等于 af 加上我们的 f、 h 是 不就是 x 加上三分之四？ 而我们的 d、 h， 那 是不等于我们的 cd 减去 c， h， 那 是不等于 x 减去三分之四？不难发现，在直角三角形 a、 d、 h 中，由勾股定律可知， a、 d 的 平方加上 d、 h 的 平方 是不是就等于 a、 h 的 平方？所以由此方程就能求出来 a、 x 的 值，那 x 的 值就是我们的 a、 b 求出来 a、 b 之后，让你去求折痕 a、 e 的 值，所以我们就可以利用 讲到在直角三角形 a、 b、 e 中， a、 b 知道 b、 e， 那 就是 a、 d 的 一半，也就是二勾股定律是否可以求出 a、 e 的 长，对吧？那思路我们今天就讲到这里，再见。
23数学魔法屋
03:10查看AI文稿AI文稿来看第四题啊，如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， p、 q 分 别是上面的点， a p 等于 a 啊， b p 平分角 a p q， 那 就是这两个角相等， 那么第一问，证明 p q 等于 b q， 那 这好整，角一等于角二，角一又等于角三，所以角二等于角三，所以相等啊，这是折叠处等腰。第二个，当 a 等于二的时候，我们标一下啊， a 等于二，那么这两条边相等是永远成立的， a b 等于六， a d 等于十。判断 q 点是否与 c 点重合，那我就先不把这个使用起来，我问，我就看 q 点就是 b， q 是 不是等于十，如果 b q 等于十，那么 a d， 那 么 q 点就和 c 点重合了，对不对？ 你可以算一下，这边，这边直接做个垂直就行了，做个垂直，哎，这边做个垂直啊， 那么这个就是二。设它为 x， 那 么这个也是 x 哦，这个是六， 这个是二，这就是 x 减二。一个勾股定律，我们发现 x 应该是等于十的，所以我们发现这个 b q， 它是等于十，也就等于 b c， 所以 q c 重合， q c 重合。 好吧，这是这一本好，下面，下面一个连接 d q 啊，他说当 a d 等于六的时候，那这个是二，这个是六，那这个就是四，他说当他是菱形的时候，他要是菱形，那么这个是四，那这个不就是四了吗？那么求 a b 的 长 a b 就是 二，根号三结束了啊。 啊，这一本比较简单啊，然后最好再说一下，当 a、 b 点二根号三的时候，它这个菱形正，简单简单正一下啊，有时间就正，没时间就不正了啊，好过了啊。 呃，主要是第三问这条题目，他说 a b 等于 m， b q 等于 n， 是 否存在？常数 a 时的 m， a 无论取何值， n 减二分之一， a 等于 m 平方。横成立，若存在就 a 的 值， 那这条题目的话，这个是 a， 我 们发现 a m a 是 有关系的，刚才通过这一文得到的，所以我们先把它关系给得到，因为这条题目也就只有这一个突破口，没有其他突破口了啊。所以我们先做啊，做完之后再再看它是什么情况啊？这个是 a， 那 么这个是 n， 这个就是 n 减 a 啊，然后这边就是 a 平方，应该等于 a 减 a 括号的平方 啊，所以最后我们算一下，就是 a 平方减去 m 平方，等于 a 平方减二 a， n 加 a 平方， 把这个一约，所以我们可以知道 m 平方它要等于二， a， n 减 a 方，而我们看一下这边 m 平方又等于它，所以 a， n 减去二分之一 a， 它就应该等于二， a n 减 a 方， 那对比一下，所以 a 应该等于二分之一就行了。好吧，存在的啊， a 等于二分之一的时候很顺利。
01:43查看AI文稿AI文稿啊，来自于我们课本上的一个立体的证明，平四边形 a、 b、 c、 d 的 四个角的平分线分别交于四个点，让证明四边形 e、 f、 g、 h 是 平行，是矩形。那么想到啊，平四边形，因为四边形 a、 b、 c、 d 呢，是平行四边形，这个时候我们选择走角度来分析。啊，角度来分析，也就是 a、 d 是 平行于 bc 的， 对吧？这俩是平行的，所以呢，角 a、 d、 c 呢，是加上角 d、 c、 b 是 等一百八十度的，我们选择一个这样的角度，这个角加这个角等于一百八，这俩加一百八的时候呢，我们可以把这个角一和角二呢 给他表示出来。又因为 d、 f、 c、 h 分 别平分上面这两个角 a、 d、 c 和角 d、 c、 b， 这俩平分完之后，所以角一先写角二吧，等于二分之一，角 a、 d、 c， 角一等于二分之一。角 d、 c、 b， 所以 角一加角二呢，就等于二分之一的它俩的和 接近。二分之一百八十度，等于九十度，那所以我们可以得到角 d、 h、 g、 f 等于角 d、 g、 c 等于九十度。啊，那下面呢，我们就不再一一写了，可以写同理， 因为每一个呢，都是利用这个角度来挣出来的，对吧？同理，角 f 等角 h 等于九十度，那我们发现一个四边形里边三个九十度，所以四边形 e、 f、 g、 h 是 矩形。
85乐其数学
02:34查看AI文稿AI文稿大家好，我是航十八五班的耿子肖，今天给大家带来的是矩形中的折叠问题， 然后我们来看题，根据题目的信息，我们可以得到四边形 a， b， c， d 是 矩形，然后 a， e 等于 e， b， d， f 等于 f， c。 嗯，三角形 a， b， m 全等于三角形 n， b， m。 然后题目要求的问题是角 a， b， m， 角 m， b， c 的 关系，我们把它画下来， 这样我们就可以得到了这个图。接着我们来做辅助线，来辅助我们解决这道题。 我们延长 m， c， m， n 交 bc 于点 q， 然后过点 n 做做 ad 的 垂线， 然后分别交 ad 为 h， 交 bc 为点 g。 然后接着 我们由于由于刚才得到信息，四边形 abcd 是 矩形，所以 ae 等于 e， b， 然后四边形 a， e， n， h 也是矩形 e， b， g， n 也是矩形，所以 a， e 就 等于 h， n， e， b 就 等于 ng， 所以 h， n 就 等于 ng。 接着因为角 m， n， h， q， n， g 是 对顶角，所以呢，三角形 m， n， h， q， n， g 就是 全等，我们就可以得到 m， n 等于 n， q， 然后呢，因为 b， a， m 等于九十度，所以 m， n， b 也等于九十度，则 b， n， q 也等于九十度。 那么根据边角边，我们就可以得到 m， b， n 全等于三角形 q， b， n 这样的话，角四就等于角五了。又因为角三等于角四，所以角三等于角四等于角五。 又因为四边形是矩形，所以角 a， b， c 等于九十度，那么九十除以三，那么每个角就都等于三十度。谢谢大家。
02:39查看AI文稿AI文稿二零二六年，我国天舟九号货运飞船成功对接天宫空间站。此次任务，它为空间站运送了核心科研装备高精度实验柜。这个实验柜的核心轮廓 正是我们数学中熟悉的举行。要让它严丝合缝嵌入舱体，首先要保证它的对边相等，四角为直角，还要保证安装孔位精准匹配， 更要验证举行对角线相等且互相平分的特性。正是举行的这些特殊性质，保障了航天装备的万无一失。今天就让我们一起探究举行的定义和性质究竟藏着怎样的奥秘。
398自由的鹤
15:55查看AI文稿AI文稿历史这道题呢，也是苏州四市联考的这种八下期中卷的亚洲题啊。对于我们而言，这个题目呢，依然考的是长方形的折叠问题。对于矩形的折叠啊，我们说了之前讲过的一个矩形折叠常考的两种题型，这个题目全有涉及哪两种题型？回顾一下。 第一种是求线段长，哎，我把它写全啊，用勾股 求线段长。第二个是动点，轨迹为圆。 来，咱们来看一下这个题吧。比如说，已知一个矩形纸片 a、 b、 c、 d， 它的长宽全部都给我们了，一个是十，一个是八哦，长宽就有了。现在点 e 呢？为 a、 d 边上的某一个点，不与端点重合的一个动点， 将纸片 a、 b、 e 这个纸片啊，沿着 b、 e 进行翻折，至长方形所在平面内，得到另外一个三角形 a， 呃，这个 b、 e、 f 这个三角形。 第一小问，若角 a、 b、 e 等于二十五度，这就送分题喽。这是二十五度，这也是二十五度，把你折过来，那请问要求的是 d、 e、 f 这个角哎，这个角不就是五十度吗？为啥？因为这是个垂直，这是个垂直。所以我们单纯的只是看这个四边形而言，它的对角是不是互补啊？这个跟这个是互补， 所以这个字四边形对角的内对角，所以你看这个角跟这个角是不是也是互补 哦？您补角，这个角跟这个角是不是也是互补哦？四边形的内角和是三百呃，四百呃，三百六十度，这两个是去掉一百八，所以剩余的这两个角是不是也互补啊？同一角的补角相呢？所以这个是五十度。第一题是送分题，直接写答案好，第二题如图一， 现在三角形 b， e、 f 的 顶点在哪上面？在点， 顶点在这个 f 在 哪上面？恰好落在哦，恰好落在 dc 上面啊，恰好落在 dc 上面，求 a 一 的长度。这题目不就是用勾股 定力来求线段长吗？用非重叠。首先第一步，找到非重叠部分的一个直角三角形是哪个？这两个吧，然后利用这两个三角形来看看，用勾股定力来去解决，你看怎么用？ 首先根据题目，我们根据题目折叠的是十，这是八啊，第一次勾股定你能得到值六。好了，那紧接着，这不就是吗？第二次勾股定，你咱要求 a e， 设 a， e 是 x， 那 这个数也是 x， 这一段就是八减 x， 勾股定，你是不是能算出 a e 的 长度等于五？这口算的话基本上好。这第二题 啊，今天我就不说了，直接是八减 x 的 平方加四的平方等于 x 平方。其实我们能猜到 x 就是 五，我其实没算，我是猜的，但你们可以验证一下，它的 x 等于五，是不是满足呢？那肯定满足，毋庸置疑。 好，第二个，如图啊，连接 c f， d f o， 把 c f 和 d f 连起来，此时三角形 c， d f 是 以 c f 为腰的等腰三角形，要求此时 a 的 长度。那怎么处理呢？来，同学们仔细看。 如果这个题目中我要求 a 的 长度 a， 它已知的是这一段，如果等于这段，当然也有可能是这一段等于这段，所以要分两种情况，它只是以 c、 f 为幺吧， 可能是这两段相等啊，也有可能是这两段相等。那我们先看这个图，这个图中画的更像这两段相等，对不对？那我们就假设这个相等的相等，那此时图中是不是四条线的都相等，都等于几？都等于十吧， 这四角形呢？是不是都是十？好了，那此时此刻题目要求的 a e a 这一段，这一段相等，那怎么去处理呢？首先根据题目，我们知道等腰三角形最常见的辅助线叫三线合一，所以我很快就想到了，我此时是不是要做一个三线合一啊？ 好嘞，我把它做出来，做完了之后，我们很明显的能发现，比如说我标个字母吧，这个字母给它取名叫 m， 那么根据题目啊，三线合一，这个是 m 的 话，这一段就是四，这一段是十，是已知的，对不对？那么根据勾股定能不能算出 fm？ 那 肯定是可以的吧。当你 fm 算出来之后，那么如果在这个情况下，我把它稍微延长一下，你会发现为什么要延长？ 我们会发现在这个上面的 n f 就 能知道，因为我们为什么要延长？核心定律很简单，核心原理是不是很简单？因为我们要求的 a e 在 上面呢， 对不对？你根据三线合一得到的在下面，所以你这个这个上面的怎么处理它呢？所以我把它哎做过来，一旦做过来之后，你看这个三角形，我们是不是又是一个非重叠部分的勾股定律，又可以用这个三角形的勾股定律去来表示出这个要求的这个三条边，从而用勾股定律来解题啊。 好了，那我们看一下，比如说这个长度，我设为 m， 这个长度是不是也是 m 啊？这个长度是不是四减 m 啊？那现在核心是不要求出 f m 哦， f n 对 于我们来说简不简单哦？ f n 特别简单，你 f m 求出来之后，直接用 十减去 f m， 是 不是就能知道 f n 哦， f n 知道了哦，这段长音是 m， 这段长音是四减 m， 根据勾股定律，能不能把 m 解出来哦，完全是口可以的吧。好，来我们来算一算。第三小问，首先 f m 的 长度利用勾股定律，这个是十，这个是 啊四，那相当于就是二比五吧，二比五比上根号二十九，所以这段长度应该是根号二十九，所以就是二根号二十九，对吧？勾股精，你只能求出来。当我们求出这一段之后了，那么接下来哦，这个是二二得四就是 四啊，减啊，我刚问错了，是应该是二十一啊，二十五减四，不是加四，所以是二根号二十一。好了，那么有了 f m， 那 么 f n 是 不是就等于十减去二根号二十一， f n 有 了， f n 有 了。那接下来在二 t 三角形 f n e 当中 有什么呢？啊？这个三角形呢，有三个关系，一个是 f n 的 平方加上 e n 的 平方就等于 e f 的 平方。那下面我们代入数据就是十减二根号二十一的平方， 再加上四减 m 括号的平方就等于 m 方。这个式子呢，好像就第一个代根号算起来稍微麻烦一点，但是也并不难。为什么？因为他 m 方 m 方完全约掉了，所以他其实一次项只有一个八 m， 所以他此时此刻不就是八 m 等于什么吗？八 m 等于这个的平方加上十六吧。啊，这个平方是多少？这个的平方就是一百首平方加上尾平方，尾平方是多少？呃，四二二得四四，乘以二十一就是八十四。 首平方尾平方二倍乘积放中央，四十根号二十一，对吧？这就是我们要求的还有一个十六，别忘了。那此时 m 能不能算出来呢？啊？因为我们要除以的是八，两边同时除以八八，我可以加完了再除，也可以除完了再加啊。那先除以四吧， 再除以四，这个就变成了二十五，这个除以四就变成二十一，这变成什么？十根号二十一，这个就变成什么四。那么所以啊，这个时候就可以相加了，二 m 就 等于加起来就这边是四十六， 四十六加五就是五十，再减去十根号二十一，那 m 就 得了二十五，减去十根号二十一，而 m 是 不是就是我们要求的谁？ a e 的 长度吧， 等于二十五，减去十根号二十一啊，这是第一种情况吗？我们把它写全，第一种情况是什么？第一种情况就是 c f 等于 c d 时， 因为它是等腰三角形，是以 c f 为腰的。好嘞，那有没有可能是另外一种情况呢？就是题目中出现的是 c f 等于 d f， 你 想如果 c f 等于 d f， 意味着 f 必须在 c d 的 垂直平分线上吗？这是第一个 f 的 轨迹必须在这条线上。 那么如果你想画这个图，首先你得画出这个 c d 的 垂直平行线，因为 f 必须落在上面。其次还有什么？哎，其次就是我们刚刚讲的这个动点的轨迹为圆的问题，你想要在整个折叠的过程中，你这个 f 这个动点，你看折叠 a 点到 f 点， f 点这个点的轨迹在哪里？ 因为 f b 永远都等于 fa， 所以 f 的 轨迹它肯定在哪上面，在以 b 为圆心，以十为半径的一个圆上。所以我们想要画这个 f， 简单不？特别简单，我们只要以 b 为圆心，然后十为半径画一个圆。但我这是随便画的一个啊，你，你自己可以自己也去画一下啊， 然后画一下，差不多就应该是这个样子的，或 你用尺子量一量量了，只要差不多小，差不多大就行了。那我根据题目，我们知道，此时呢，我们的 f 点既要求在这条线上，又要求在这个圆上，所以你说 f 点在哪里？ f 点是不是只能在这个位置啊？ 那有天说了，老师， f 点能不能在这里？如果 f 点在这里的话，它相当于折痕，是不是在这里啊？因为 a 跟 f 是 对应的年限，一定是以折痕，折痕是对应的年限，在那垂直分线，对不对？所以这个 折痕的这个 e 点就会落在 a d 的 反向延长线上。可是题目说的这个 e 点啊，它必须落在哪里？必须落在 a b 边上，对不对？所以说 f 只有这一个，它不能在这边，好理解吧。当你确定了 f 点之后，好，紧接着下面我们的图就变得尤其的简单了，比如说这个点就是我们的 f 点，那我们看 折叠之后，它要求的 e 在 哪里呢？我们要永远记住， e 是 a f 的 垂直平分线，所以 e 大 概的位置在哪里啊？我们把 e 也画出来， e 大 概就在这里吧。啊，我们很快就知道了，折叠之后是不是长这个样子，能不能看懂？如果说你这个圆啊，看着不舒服，那我就可以把这个圆咔咔咔给它擦掉，对不对？所以这就是它折叠之后的样子。 好，我们来画一下，这是 e o， 这是 f， f 在 我们 dc 的 垂直平面上，所以 df 跟 dc 相等，这是不是一个等腰三角形 能得到吧？哦，以 cf 为腰的等腰三角形就出现了，不过此时要注意， f 跑到了 cd 的 右边，他不可能出现这个里面的，因为出现里面这个长度就不可能为十了，对不对？因为他还要保证在它垂直平面上，所以只能在外面。好，在这种情况下，这个 a 的 长度要怎么来求呢？好了，那我们来求求看 好了，既然这个三角形为等腰三角形，那么这个边根，这个就是它的垂直边上点了，对吧？那么把已知条件再图中标，这个长度是十来，下面这个长度是不是也是十啊？你折叠过来的，你折叠过来也是十，那么我们要求的 a e， 比如说 a e 设为 m， 那 么 e f 是 不是也是 m 啊？那你折叠过来之后，接下来我们看看，是不是要想到做一个垂直啊？你要求它，你是不是要构造一个直角三角形，把它放入直角三角形当中，构造一个勾股定律啊？啊，那我们只有做一个垂直，当你做完这个垂直之后，你会很惊喜的发现什么？看清楚， 因为 f 是 在 c d 的 垂直平分线上，所以 f 到 c a d 的 这个距离是五，这段啊，竟然是已知的，对不对？好，这个是已知的，这是几， 这是五，我们可以标一下。接下来我们要解 m 核心思想，是不是要把这个这一段求出来，比如说这个地方标个字母叫 n 点，是不是 核心要求出 e n 啊？但是 e n 的 话，目前已经知道这一小小一段是不是八减 m 啊？但是还差这小小一段怎么处理呢？好了，那么接下来我们最最重要的第二个勾股定律，你看折叠之后的这个部分跟这个部分是重叠的，那么非重叠部分的勾股定律一个是这个在哪里？根据我们刚才的经验，是不是应该在这？ 你看刚才我们是过点 f 做一条竖直线，现在也是过点 f 做一条竖直线吗？所以这条竖直线你是不是依然要把它延长下去啊？ 只不过这个跑到外面去了对不对？那你把它延长过来之后，立刻发现，哎，在这个三角形当中，我们是不是就可以求出这一段的长度啊？来，咱们来求求看，这个长度是不是也是五啊？在图中标一标，这个是十，所以我标一个字母，这个是垂直，这个是 m， 所以 f m 等于五哦， f b 等于十，所以 b m 的 长度对于我们来说能不能轻轻松松？是不是五根号三啊？ b m 是 五根号三，所以 a n 是 不是也是五根号三？这个总长度也是五根号三。既然你是五根号三，所以 e n 是 不是就是五根号三减 m， 二是五根号三减 m 就 可以了。好了，有了这个东西之后，紧接着下面我们第二种情况就来了呀。 第二种情况是什么？是我们 c f 这条边等于 d f 这条边了，那么这种情况下，同样我们也是一样的，在二梯三角形 efn 当中有什么？有 e n 的 平方加上 f n 的 平方是不是等于 ef 的 平方？那紧接着下面我们就代入数据，就是五根号三减 m 括号的平方加上五的平方是不等于 m 的 平方。解一下这个方程，这个 m 是 不是也很好解？ 你看他这个方方消掉了，那剩下的是什么？就是一次项跟长数项，一次项是十个根号三，长数项是谁？长数项是一百吧，十个刚好三等于一百，所以 这个口算吧，三分之十刚好三，十个刚好三等于一百的话，那，那啊，刚好三。写错了，比五，三分之十刚好三，是不是？所以这个就送分啊， 相当于是。呃，这个题目就是两种情况，那 am 这个 m 就是 a e 就 等于三分之十刚好三结束，好像这个也没有难度吧，所以综上，我们就结束了。当然这个题目你写过程肯定是好好写的，因为他并毕竟没有说让你直接写出答案。写过程怎么办？我大致的给你们展示一下啊。 首先你上来做垂辅助线，上来辅助线过点 f 做 b m 垂 f， m 垂直于点 m， 反向延长 f 或者延长 f， m 交 a d 于点 n， 是 不是？设 a e 等于 x 对 不对？ a e 等于 m， 则我们的 e f 也等于 m。 接下来在直角三角形 c m f 当中， c f 是 等于十的， c m 是 等于四的，所以 m f 把它求出来 是二根号二十一，当你求出来之后，所以我们的 n f 就 等于 m， n 减去 m f 就 等于十减二根号，呃，根号二，根号二十一。接下来的步骤基本上就一样了，没啥好说的了。那么同样这个也是一样的。第一步上来过 f 做一个 f， m 垂直于 b c 于点 m， 延长 什么延长？ f m 交 a d 的 延长线于点 n， 对 不对？那紧接着当你是辅助线做完，接下来设未知数，设这个等于 m， 得这个也等于 m， 对 不对？当然你可以是换一个字母设啊，你这个设 m， 你 这个就可以设 n， 换一个字母，对不对？那你设完 n 之后，那么接下来就是跟在这个三角形当中，这等于十，是不是这个长度？因为是因为我们的 f c 等于 f d， 所以 f 在 c d 的 垂直面上，所以 f 点到 b c 的 距离这段就等于五，对吧？就是把我刚刚讲的每每一句思路，我讲的这个整个的过程里，把它展示出来，写出来，那么这个题目就 ok 了。 注意核心，对于这个题目以后再考的折叠，你一定要记住他的常用的思维就是用勾股定律求线的长度，那么勾股定律用的是什么？ 非重叠部分的直角三角形？你不要看那个重叠的，比如你折完了这个部分，跟这个部分折叠重连，那绝对不用他们这两个三角形勾股定律那么反而用的是什么？没有重叠部分的那个直角三角形，你去找一般直角在哪里，就是过你折叠完了这个点，然后做一条竖直线或者水平线，当然方向有时候会变啊， 那这个题目肯定就做竖直线，这个过这个点，做竖直线，这个正好，这上面属于做竖直线，是不是构成两个三角形啊？也就是说你折叠后之后，你折叠完了这个点，你做一条竖直线，是不是上下都会产生两个直角三角形？用勾股定力，同样你看这个地方，因为他这个没有经过 cd， 所以 你在这个地方做一个，是不是？ 那这个超出去了？你在这个地方做一个，是不是也就上下两个直角方？第二个就是我们的动点轨迹，你要牢牢记住 在我们折叠之后的那个对称点，对称的点的那个轨迹啊，一定是在某一个圆上的，当你确定了这个 f 在 这个圆上之后，你很快就能画出正确的 f 点。
26无锡初中老吴全科
02:03查看AI文稿AI文稿图在矩形 a b c d 中， a d 等六， a d 等八， p 是 b c 上的点， pe 垂直 b d， p f 垂直 a c 求解 p f 加 p 的 值。我们看到 p 作为一个动点，而且是两对角线上的垂线，那么可以把这个 三角形 b o， c 把它的面积分解成三角形 b o p 和三角形 c o p。 三角形 b o， p 呢，是等于二分之一， b o 乘以 pe， c o， p f 呢，是二分之一， c o 乘以 p f。 由于这个 b o 和 c o 是 相等的，所以是二分之一，我们可以用 b o 去乘以 pe 加上 p f。 这个三角形 b o， c 的 面积呢，我们看到是 b o 为底，然后它成了一个高的问题，这高呢，我们可以在 c 点这里往 b o 所在直线作高，所以它也等于二分之一 b o 去乘以的 c g。 那通过这个跃分之后， c g 等于 p e 加上 p f， 那 p e 加 p f 的 求解方式就是求 c g 的 过程。 c g 呢？我们可以选择用等面积法来求。根据六八十这一个直角三角形，它斜边的高就是六乘八除以十，等于四点八。 通过我们的分析呢，我们可以总结出类似的矩形，然后它的边上一点向对角线做垂线， 得到的垂线段的和，等于 他一条对角线上的高，也就是等于什么呢？等于两边相乘除以对角线的长，也就是这是我们来快速做题的一个小技巧。
44乐其数学
03:21查看AI文稿AI文稿矩形 a、 b、 c、 d 中 o 是 a、 c 的 一个中点，那，那我们知道 o 是 对角线的中点，那么 o 就是 一个中心，对吧？过 o 点分别过 o 点的直线， ab 啊，过 o 点的直线，分别与 abcd 交于 e、 f 啊，连接 b f 啊落 c o b 等于六十度啊，这边这个六十度，这个角是六十度的话，那我们知道这边是九十度， 这边是个矩形，应该这三条边应该是相等的，所以再加上这个六十度，所以这个我们可以得到这三角形 o b c 是 等边 啊。好，继续，他说 f o 等于 f c， f o 等于 f， f o 等于 f c， 就 这两条边也相等啊。然后我们可以把这边数据标一下，这个六十，这个就是六十，这个就是三十， 这个呢也是一个三十，这边呢就是一个六十度，所以这个角它也是一个六十度啊，这边这个角也得六十度，然后数据标一下这边，呃，我们看吧，看题目吧。第一个， aoe 和 cof 全等， aoe， aoe 和 cof 全等，这肯定是对的啊，对中心对称的啊。 呃，第二个， e、 o、 b 和 c m b 全等，这个三角形和这个三角形全等，看起来好像不像，对吧？简单证明一下，为什么不是全等啊？为什么不是全等啊？因为 如果说他俩全等的话， b o 看那 b o 和谁啊？ m b 就 b o 和 m b， 是 吗？是对应边，你发现这两条边可能相等吗？不可能相等的，他不可能相等的啊，这个角我们大伙可以证出来，他是一个九十度的，因为这 这个边和这个边相等，这个边和这个边怎么样也相等，所以这条线是一个什么垂直平分线，所以这边是个九十度的啊，所以，呃，这边也是个九十度，所以这两条边是对应边啊，这两条边不相等，所以这个是错的。 第三个 f、 b 垂直于 o、 c 啊，对了，对吧？垂直平分线 o m， m cm 啊，这是对的啊， 好。第四个菱形 e、 b、 f、 d， e、 b、 f、 d 是 一个菱形啊，是一个菱形啊，这个对不对？首先 a、 e 和 f、 c 怎么样？这两个三角形全等，所以这个 d、 f 就 和 e、 b 相等， d、 f 和 e、 b 又平行，所以它是一个平行四边形 啊，再挣一个零边相等就行了。零边相等怎么挣？这个角是多，这个三十，这个就是六十，所以这个角是多啊，六十，所以这个 f、 e、 b 也是一个 f、 e、 b 也是一个等边相等，所以这两条菱边相等，菱边相等的话，他就是个菱形了。 那好吧，在在第五个 m b 比上，一个 o、 e 是 三比二，那么这两条边的关系怎么比呢？我们先不设这两条边，因为这两条边设出来都不太好表示，我们设这条边为 a 最短的这条边，那么这个是三十度。左边的直角边是斜边的一半，所以这条边应该是二 a， 然后这边 f、 o 和 o、 e 是 相等，所以这边也是二 a， 然后再来在这个三角形 b、 o、 f 这个三角形里面，我们知道这是这个，这个大的是一个等等边三角形，这边一连的话，这个三角形就是一个三十、六十、九十的一个直角三角形， 对吧？那么这个三角形里面，我们知道三十度所对的直角边是斜边的一半，所以 b、 f 应该是四 a， 这个是 a， 所以 这条边应该是三 a， 所以 最后二比三就出来了。所以最后正确的应该有四个选择， boy， 选择 boy 啊。
01:25查看AI文稿AI文稿这是咱们八年级下平行四边形当中的举选择题，虽然是选择题，但是看上去也并没有那么简单，跟着老师只用一招，很快就能解这道题，我们一起来看一下。 p 是 a、 d 上的一个点，两条边， a、 b、 d、 c 分 别是三和四，这是三，这是四。现在要求 p 到矩形的两条对角线的距离之和， p 到这到对角线距离之和， 咱们还有个小技巧，垂直的话它就是高，对吧？是不是可以想到面积， p 点和 o 点连起来， p e 是 不是 a o， p 的 这个三角形的高， p f 是 不是 p o， d 的 这个三角形的高？然后这两个三角形加起来以后，是不是这样一个规则的三角形？既然 ab 等于三， bc 等于四，那么 ac 是 不是等于五啊？ a、 o 是 不是等于 d， o 等于二分之五啊？整个的面积是多少，是不是就等于三乘四啊？是不是等于十二？那么这个三角形的面积是它的四分之一， s 三角形 a、 o、 d 应该等于就等于三，是不是？那两个小三角形面积是不是这个小三角形面积多少？二分之一的 a、 o 乘 pe 是 不是加上二分之一的，哪个 乘以 p f 这个地方二分之一乘二分之五，这个地方二分之一乘二分之五，二分之一乘以二分之五提出来，然后 p e 加上 p f， 然后它是等于这个面积等于三，是不是那么 p 一 加 p f 就 等于五分之十二？所以这道题答案是 a。 咱们可以点击收藏一下啊，关注我，每天分享数学学习干货！
11大Z老师讲数学
00:40查看AI文稿AI文稿八年级家长看过来，孩子学平行四边形是不是总犯难？知识点绕不清，做题没思路，错了还不知道咋改？ 别慌，这款二零二六年八年级数学下册通用版平行四边形题型救急了！十九页全是核心考点题，每道都带详细答案，孩子做完能直接自查，精准补漏！ 两种版本，超贴心！电子版秒发，不懂下单流程，找客服打印版直接邮寄到家，省得你熬夜打印！左下方小黄车赶紧拍，部分地区不包邮，早练早掌握，别让平行四边形拖孩子后腿，错过可就亏大了！
04:32查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下第二题啊，第二题还是一道易错题啊，大家做到这种题目还是比较容易错的啊。来是选条件的， 在四边形 a、 b、 c 的 a、 b、 c、 d 中有以下四个条件， a、 b 平行于 c、 d， a、 d 平行于 bc， a、 c 等于 b、 d， 角 a、 d、 c 啊，等于九十度。那让我们从中选出几个条件，三个条件 可以判定四边形 a、 b、 c、 d 为矩形，这这样的选择共有几种？我这就是属于什么矩形的一种矩形的判定。那么矩形的判定我们知道，从平行四边形基础之上， 对角线相等的平行四边形，有一个角是九十度的平行四边形，或者什么有三个角是直角的四边形。那这样我们选择的时候，你看啊，我们先画一个图吧， 先把一个曲简单画一个矩形，那么 abcd， 根据他的意思，这个四边形 a、 b、 c、 d 啊，如果要是矩形的话来，那么这两个条件是不是平行啊？所以一二组合在一起啊， 这里就能产生一个什么平四，是不是首先这个就能产生一个平行四边形，两组对面分别平行。 好，接下来 a、 c 等于 b、 d， 那 不就对角线相等的平行四边形吗？所以一二三是可以的，对吧？这很轻松啊，一二加个三，然后一二 加个四行不行，四是角， a、 d、 c 就是 这个角等于九十度，那么有一个角是直角的平四加四也可以，这也是可以的 啊，因为这两个都是在我们一二组合的基础之上，对吧？已经是平式的基础之上。好了，这样我们已经找到两种了，接下来还有什么？是不是还有一 三四，或者说二三四组合，我们把这四种都试一下。一三四是什么呢？来看一下。 ab 和 cd 是 平行的， 这个和这个平行的，这个和这个是相等的，再加上这个角九十度，能不能说明它的矩形？那这个其实也是可以的， a、 b 和 c、 d 是 平行，我们怎么证呢？连接 a、 c， 再连接 b、 d， 利用全等，我们利用全等啊，那么根据啊，这个角是九十， ab 和 cd 是 平行的，所以这个角也是九十，那我们在三角形 abd， 哎，和三角形什么？这个 a、 b、 d 和三角形 d、 c、 a 当中啊，看这两个三角形啊，九十对九十，斜边对斜边，公共边都是直角边，哎，所以是 h、 l 全等啊， 哎，全等之后呢？是不是 ab 等于 cd 啊？ ab 等于 cd， 那 我们这个一是 ab 平行于 cd， 那 平行且相等，它是平四平四，再加一个直角，或者说大家对角线相等都可以啊，所以这个也是也对的。 那最后一个行不行？最后一个二三四也是一样的，就是如果是左右平行了，呃，再加对角线相等，这个角的直角行不行？也行，左右平行，对角线相等，这个角的直角还是正全等， 对吧？呃，我们还是正全等，呃，就是这个三角形，呃，和这个三角形 啊，是全等的，全等的话，这个边等于这个边，对不对？那再加上它们平行呢？是不还是 就是平行四边形啊？平行四边形，再加一个角也可以的啊？好，所以答案是四种。
44宿迁朱老师
03:36查看AI文稿AI文稿同学们，矩形折叠问题是特殊平行四边形章节的必考题型，今天用一道例题带你吃透。首先，记牢折叠的核心性 质，即折叠前后对应边相等，对应角相等。简单来说就是折叠产生的图形与折叠前全等，这是咱们解析的重点突破口。来看例题，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于六， b、 c 等于八。 将矩形沿 a、 e 进行折叠，点 b 恰好落在对角线 a、 c 上的点 f 处，求 b、 e 的 长度。 第一步，叫标已知条件，矩形 a、 b 等于六， b、 c 等于八，角 b 等于九十度。那么根据折叠的性质， a、 f 就 会等于折叠前的 a、 b 也等于六， b、 e 与 f、 e 相等，角 a、 f、 e 等于角， b 等于九十度，所以角 e、 f、 c 也等于九十度。 第二步，逆向理清逻辑链条，由折叠可知我们 b、 e 与 f、 e 等长， 那 f、 e 呢？又是直角三角形 e、 f、 c 的 一边，那么我们的思路就是在直角三角形 e、 f、 c 中求出 f、 e 的 长度，进而就会得到 b、 e 的 长度。 第三步，算出目标直角三角形的一边之长。先在 r、 t 三角形 abc 中求出 ac， 我们有六、八，根据我们勾股数三、四、五，那么 a、 c 长为十，所以 f、 c 的 长度就等于 a、 c 减去 a f 十减六等于四。 第四步，设未知数，用勾股定律求解，我们设所求 b， e 为 x， 则 f、 e 与它相等也等于 x， 那 我们的 c e 等于 bc 减 b e， 即八减 x。 在直角三角形 e、 f、 c 中则有 f、 e 方，加上 f、 c 方等于 c， e 方代入即得 x 方加四方等于八，减 x。 括号的平方 展开计算，两边同时消掉 x 方，再进行一项，我们能得得到 x 等于三，所以 b e 等于三。最后总结万能的四步法，第一步，标全已知条件。 第二步，理清思路，确定我们的目标三角形。 第三步，求出目标三角形的一条边。第四步，用未知数来表示其余的边长，再用勾股定律求解。学会的同学点赞关注我，数理化抓分更精准！
34初中数理化子墨
03:16查看AI文稿AI文稿继续做还是 t、 o 十四，这回第四题，他说在菱形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四，就四条边都等于 b 的 菱形呗。角为一点二，那角 b 就是 六十呗。 因为六十度好用一点，所以重点关注这个六十度的角， 顺次连接这个菱形 a、 b、 c、 d 各边的中点，这些都是中点。 e、 f、 g、 h。 然后他问你连完之后，四边形 e、 f、 g、 h 的 周长是多少？ 那你看一下呗。 ab 是 四，那 bc 也是四，有个六十度，那你就把 ac 连上呗。 就说把 b、 d 也连上吧，有用没用，先连上 交点为 o 呗。 你看这个 a、 c， 它是一个六十度的等边，那就是一个等幺。六十度等幺就是等边，那 a、 c 就是 四， 那 o、 c 就是 二， o、 a 也是二。 e、 f 中点中点嘛，是 a、 c 的 一半，那就 e、 f 也等于二。 然后你看 b、 d 这条边，这款是二，这款是四。在这个直角三角形里头， o、 c、 d 里头一条直角边是二，斜边是四，一、二根号三，那就是 o、 d 就 等于 二倍的根号三，对吧？ o、 d 就 等于 o、 d 等于二倍根号三， b、 d 就是 四倍根号三，那 f、 g 就是 它的一半的终点，终点它是 b、 d 的 中位线呗。再来用 c、 b、 d 的 一条底边的中位线， 那他就剩 f、 g 就 等于二倍的光三倍，那你算吧。菱形中点连出的图形是矩形，对吧？ 这个你可以回去找本书，或者榜上有很多好正。它平行于 b、 d， 它平行于 c、 h、 g 平行于 c。 这两条对角线 a、 c、 b、 d 是 垂直的这块直角，这块直角，这块直角，这块死角是个矩形。至于矩形里的这个一条相邻的两条边，知道了， 一个是二，一个二倍根号三，把他俩的合成二，就是四加四倍根号三了，这就转完了。
12刷题号
