张宇基础习题精练讲解1.5
考研数学只做章宇基础三十讲跟一千题和真题能考多少分？我二五考研的时候只做了基础三十讲章宇基础三十讲一千题， a b a 组题和 b 组题和真题是数学二， 虽然最后只考了八十七分，但是我是对于那些做过的题目，真题还学过的知识点题目没有真正的搞懂，如果真正搞懂，至少一百零几是有的， 发挥好一点，一百十几也是能考到的。当时是二五年，比二六年的还要稍微难一点，当时真题只做了一遍，对于真题上的错题，我当时因为最后时间比较紧了，也就看了一遍，没有真正做。考前十天也是自己大意了，没怎么做题，导致最后上考场做题的时候手生了， 还有最重要的一点就是没有做好。回顾温故瓦之心，导致后期好多之前学过的知识点都有点忘记了， 所以平常大家学习的时候，对一些重要知识点可以拿本子记下来，经常翻翻看看，防时忘记。如果当时我能做好以上几点，到考场上考个一百十几分应该也是有希望的。
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06:56查看AI文稿AI文稿章鱼基础三十讲超详细攻略，这期视频我将带大家梳理一遍章鱼基础的重点难点，还有一些可以舍弃的部分。 首先我们看到第一讲，第一讲前面的部分都是一些函数的基本的概念和知识点，这些都是必须要看的。然后我们直接看到函数的定义，函数的函数，极限的概念，这里这个极限的定义， 呃，大家可以理解就行了，不需要太深究，看不懂的可以可以略过。然后这一大块直接跳过就行了，这里这里肯定不卡，这个超时速，超时是最没用的，直接跳过不用看，试着运算，这里这是基础的内容，这是必须要看的， 这个很重要，性质，性质咱们就记结论就行了。这个推导过程咱们都不用看， 所以说这个第一个唯一性，局部有界性，还有这个局部保护性，就是理解他的意思就可以了。推导过程不用看这些定义，呃，他说的很严谨，但是呢，考试基本都不会考，所以大家都是做一个了解就行了 啊。但是无穷小的接触，这个是，这是一个重点，这个考试也经常考，所以大家在这个地方还是要好好看的。还有这个第八个 无穷大的定义，跟刚刚说的一样，可以作为一个了解啊。计算肯定是最重要的，你考试就是考计算，计算必须要看 诺必达，诺必达是非常重要的，就必须看必考点这个以下的内容就直接跳过就行了。 这里没有用他的公式，他的公式不毋庸置疑的，必须必须看这里这一小块，他这个第五个，这里没有什么用，就是直接跳过就可以了。 嗯，这些都是计算，计算的一些技巧，这些大家都必须要看，就必须要理解。关于这个定义，定义他说了很多，一大堆，自己，呃，读一遍就好，不需要看，甚至可以直接跳过。 然后这些其实这些都是必考点，这些都是基础内容，这些必须要看。我们看到第二讲，第二讲这个定，这个极限定义这里他有时候会出这个 呃，证明题大家，但这个一般都是都很难。然后这一块有讲了一些放书的技巧，这一块我我建议 目标分数在一百三十以上的同学可以看一下，但是目标分数不到一百三的同学这里直接跳过就可以了。这一块，嗯，很难，就是很难，所以目标分数很不高的同学直接跳过，没有必要，没有必要在这上面浪费时间。 还有就还有就这里，嗯，这个第七个也是一个很重很重要的都要看。然后我们看到第三讲，第三讲这里这里有一个很很长的一个推导过程，这个过程我建议大家 可以不看，就是一样的一百三十以上的同学你可以看，嗯，目标分数没有那么高，同学可以直接跳过，因为这些很难，真的你即使看了也不一定看懂。这个高级导数基本经常考，基本每年都考一个，但是这个，这个这个地方挺难的， 建议大家还是好好学一下。然后第四讲，第四讲就是特别特别重要，因为他考，他是讲的计算，本来数学考的就是计算，很多很多的计算方法还有技巧。第四章是非常是重中之重， 前面这一很，前面很多都是很基础的内容，这些都是必须要看的，没有说没有，每一个都很重要，没有不重要，每一个都必须看。高阶导数很难，这个考的题会很难，嗯，但是他经常考， 所以这一块建议大家多看看，多花点时间看，这个是他的展开的公式。这这这一页是必须要记的，这一页是最基础的内容。第四讲，第四讲，第四讲基本上是都要看，因为第四讲非常重要，这一讲建议大家就是 把速度放慢一点，多熟悉，多做，多做一点题，把这一讲的知识彻底弄懂。然后我们看到第五讲，第五讲的几何应用题，相对来说考的分数没有那么多， 经常考的点就是这个凹凸性，凹凸性是，嗯，必须要看，也需要大家花一点时间去理解。 这里有可导点的必要条件和三个充分条件，我这个第三个充分条件大家可以接跳过，不用看了， 这个不考第一和第二，第一个和第二个大家可以熟悉一下，但是老师肯定也不考，只是帮助你理解这个必要条件，必要条件非常重要，这个也很简单，其实这个第五个是一个结论性的东西，大家只要记住这个结论， 这个结论就行了。嗯，推导过程不需要知道监禁线，监禁线是必考的，每年必考题， 这个取对半径。只有数一和数二的同学学，数三同学不学这个也只需要记结论就可以记结论直接用 第六讲，基本上是属于压轴题的，所以的证明题。第六讲，第六讲，我觉得目标分数在一百三十分以上的同学就要好好看了， 因为这就是你拿分的点，但是目标分数不到一百二同学没必要被纠结这个，但是你要看，但是就如果，如果 做不出来的题，可以适当的跳过，因为这个是属于压轴题的内容。前面这很多的定力大家还是要还是要了解的，这个拉拉格量中的定力那是必须看的，这个是整个证明题的基础中的基础，必须要理解。 微分短视这一块期可以不用做重点，不用重点看大家就是大家可以作为一个了解，特别是对于目标分数不到一百二十分的同学，可以简单看看， 包括这个微分不等式，因为这一张都是很难很难的证明题的内容，所以，呃，很难理解，所以大家简单看看就行了。 第七讲，第七讲主要是主要针对数三的同学，数三的同学在学的内容比较多，但数一数的内容就比较少， 我们看一下前面，前面是前面，这里他是必考的，这个是整一讲的基础，这个这个是必须要会的，然后基本上数一数的同学就看到这一下就数三同学的内容，数三同学的内容也是， 哎，这这里建议都看一看，都要学，因为他都会考，第七讲的内容也不多，所以都呃，所以建议大家都学，因为这个是基本上每年的必考题，出一个题，但可能分值也不多。
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01:32查看AI文稿AI文稿昨天我讲了，呃，大部分的同学都不适合用章鱼的基础三十讲来打基础啊，也不适合跟章鱼老师 啊，为什么好多同学在下面留言啊，就说自己已经从这个呃章鱼转战周养心了。还有同学说，呃转战其他老师的。其实啊，我就特别强调，我说这个基础三十讲，名字叫基础三十讲，同学们，他真的不基础， 你学起来就懂了。里边的东西不是说不好，我感觉拿来给老师背课就不错了，因为它相当于是一个很好的备查的东西。但是对于学生来讲，我说你一上来就去学这么上头的东西，我感觉到最后你一定会崩溃，而且你搞得你自己抓不住重点了。 好多同学第一反馈就是问我说，学长这个应该背哪些公式？这书上了那么多公式，到底应该背哪些？我说实在的，真的是没法搞，如果像这种情况，所以我的建议是什么呢？如果说你们自己是吧你背，你感觉你这个知识框架你构建不起来，反正我自己是整理了这样的一份这个数学思维讲义，就专门呢给大家，就是把那些 将来呃骨干的这个知识吧啊抽取出来，那这样你学起来会快了很多，对吧？啊，不管你跟哪个老师学，我觉得如果说你发现你学的时候你边学边忘，边学边忘，那这个时候呢，你就要怀疑一下你的路线是不是正确的了。我敢说，百分之九十以上的同学，你们跟张女士一定是吃力的啊，因为原因很简单，这个里边的东西 实在是太多了，而且你一下子你是搞不过来。还有一个同学问到呢，他说要不要去学这个基础三角形的时候呢？配套的做一点一千题，我的建议就是百分之九十的同学你是不用做的，因为你根本就没有时间做。你如果说有时间的话，你把你学过的基础三角形好好复习一下，效果会更好一些。
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01:28查看AI文稿AI文稿我现在是学到那个基础三十讲的第八讲，但是我明显感觉到在那个一千题 a 组题中，就感觉有点做不动，有点乏力。三十讲所讲的这个例题，和我们这个一千题的基础篇所对应的这个题型，这两个是互 补的一个关系。呃，我不会说把例题给你讲完之后，我在对应的题型里面完全出跟我们讲的例题一 一样的这种题目，尤其是考察方式，考察的角度，甚至命题的这个表达方式都是几乎一样的。这样呢，你做一千题的 a 主题就会显然就会非常的舒服，因为我讲的例题跟你做的习题，它不是个互补的关系，而是一个重复的关系。 而我现在设计的一千题的基础篇的习题和三十讲的例题，它恰恰是一个互补关系。我的例题里所表达的考察的东西，是跟习题里所表达考察的东西是不一样的，但是这两个合在一起代表了一个完整的考察的方式。 如果你听懂了我这个解释的话呢？那么在基础阶段就到六月三十号之前啊，我想这个阶段里头，大家一千题的基础篇的题目也不一定非得都当做题型独立去做，你也可以把这个 a 主题当做例题去看，尤其是对于复习没有章法的同学，就是刚开始开头比较困难的同学，做习题及正确率很低的同学。 那么我想你这个时候要真正提高自己的复习的效率，真正提高自己复习的效果，那么你不妨把这些题题题也当做例题去学，这样的话，你不妨把这些题题题也当做例题去学，这样的话我觉得基础阶段 是可以不独立做题的啊，你这个时候不要太多的去关心什么正确率。
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01:59查看AI文稿AI文稿今年考研数学的同学哈，基础的限行代数，不知道选哪本书的可以闭眼充，这款由我们章鱼老师主编的啊，考研数学基础三十讲限行代数的一个分册，这款书籍的话是二零幺七年考研数学零基础同学可以闭眼充的一款书籍，带大家去看一下我们的书籍目录。 咱们的话是零基础小白直接冲，从我们的一个入门，到我们的行列式，到我们的矩阵，到向量组，到我们的一个限性方程式特征值和二次型，他都会给大家去一一的讲解。 开篇章节的话有个码，扫码可以观看本章节配套章鱼老师的精讲视频课程，让你的话去跟着我们老师的节奏。对于本章节的知识点，后面的话就是我们的一个案例的题型的一个讲解 题的话比较多哈，前面是知识点，后面的话是我们的求解过程，求解过程旁白的话有注视，有多种的解题方法，帮你的话去实战 答题流程哈，我们既能够去构建好我们完整的知识框架，又可以去进行刷题，基础也能看，零基础也能听得懂会做题哈， 也是二战同学啊必备的一款增分利器。现行代数的话，对于二战的同学，他的一个概念混淆或者是公式记不住，解析的话没有方向没有思路的，这本书都能够帮助你重新构建起完整的知识框架， 打通我们行列式矩阵，向量，方程式特征值，二次型，扫清二战遗留下来的漏洞。然后这款书籍的话数一数二数三全部通用， 考点全覆盖，标注差异化的内容，我们精准匹配二期考研数学的要求，理论基础和我们的试试题 一站式打牢固。咱们想信信代数不丢分，先把理论知识吃透，二期的考研基础三十讲，我们零基础可以变充二战同学能够提分，咱们抓紧时间去进行我们信信代数的学习吧。
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08:40查看AI文稿AI文稿章鱼基础三十讲超详细攻略！这期视频我将带大家梳理一遍章鱼基础的重点难点，还有一些可以舍弃的部分。现在我们看看第八章。 首先前面的很长一段都是基础，这些是必须看的，必须要熟悉理解 这一段很多的证明，这以下很多的证明，证明过程不用看，只用记结论就可以了。想考一百三十分以上的同学，呃，其实所有的证明还是建议看，建议理解这个证明过程， 但是目标分数呢？不到一百二十分或者一百二十分左右的同学呢，只要记结论就行了。证明，证明过程不考以下这个第二段，他有一段很长的证明，一直到这里这里，这这么长一段证明，我建议 目标分数一百二十分左右的同学，不用看，直接跳过，直接跳过，呃，但是呢，如果你分数要求高，可以看看，但是我看完更感觉没有太大用，几乎 几乎没用。建议还是建议大家不用看，不用在这上面花费时间。这道题非常的经典，这道题是也是基础知识点的应用，大家可以重点看一下。 同样的证明过程咱们可以不看。反常积分是每年必考题，每年都会有一个反常积分的选择题，嗯，所以这一张还是大家还是要好好学，好好看。这里这里，以下的内容都要看，这个就没用了，这个就是闲闲聊不看。 还有这个，这个收敛准则判定，让我们看看第九讲，第九讲也是非常非常重点，这个讲这一章，这一讲占的分子很大， 首先就是个积分的内容，积分前面没什么好说的，前面都是基础，基础必须要判，包括这些换元、三角换元、根式换元、倒带换，这些是积分的基本技巧，这里大家重点，一定一定要重点看。 个人感觉这一款有个小的技巧，但是我个人感觉这里不太实用，大家我还是建议大家不用看，可以跳过 这个，这个这个技巧其实我觉得是比较实用的，我建议大家看。现在记一下，这里还是比较实用的，包括这个，这个也很实用，这个是重点看，这里的点火，这里的很多很多公式，这里 这里给大家总结了一些，呃，求不定积分时的一些方法和技巧，这里必须看，必须必须看，这里非常的重要。 编码函数在考试中几乎用不到，我做了很多的往年题，没有用到过编码函数，可以直接跳过，包括这个题直接跳过。 第九章整体来看都很重要，建议大家能做的都做。刚刚给大家标了一些可以不做的地方，除了那些都必须要重点看。第九章非常非常重要，它占比非常非常大，所以都建议大家都看一下。 现在我们看到第十讲，第十讲也非常非常重要，基本上每年都会考一个大题，前面的都是一些基础内容。到这里这里这里讲了一个东西，我觉得这个不实用，这个没考过，大家可以直接跳过 这公式，也不用记，这个公式你没也没考过，一直到这一段都是可以跳过的。然后这个地方，这个地方就挺很重要，这个地方经常考这个结论，就记住，记个结论就行了，然后就套公式就可以了， 这个地方，这个地方就有点偏了，偏难了，这个有点偏，几乎从来没考过，考研从来没考过，所以这个地方 这个不用看。然后我们看到第十一讲，第十一讲就特别特别难，他是他是处于压轴题的，他一般出都是出压轴题，一般证明题。然后我的建议是 还是一样的，一百三十分以上同学，你就，你就必须看，但是目标分数不到一百二十分的同学可以简单看， 嗯，遇到太难的，不会的可以跳过，不用勉强自己。首先第一个，第一个公式还建议大家都看一下，这个是最基础的。嗯，这个题建议大家看，这个题大家重点看一下，因为这个是最基础的题，这个题太偏了，不用看了， 包括这个，这个，这个题你在考场上你要能做出来，你可以考一百四十分。所以大家可以建议大家目标分数不高的同学跳过这个题，包括这个也是这个太难了。这些，这几我给大家标的这几个题都是属于有点偏、难怪的题。 呃，不，并不是说他一定不考，但是他考的概率很低，大家可以适当的跳过。然后我们看到十二讲，十二讲首先它的内容就比较少， 而且，呃，但是每年呢，都会考一点奢，但是每年都会考到奢奖的内容，对，这个在这个物理和经济方面的应用，所以这个这一讲基本上都要看，基本上很多知识点都会得，都得看，因为内容比较少。 这个，这个应该是章鱼老师自己加的哺乳金第一定律，我建议大家别看，建议大家不用看，因为这个只是一种新的方法，你用，你用以前的方法呢，也能算这些，这个东西我说实话，我在做 往年题以及模拟题的时候没有遇到过这种东西，这么长一段，建议大家可以不看啊，这个就数三的同学，数三同学这一块，这一块你就必须要做的第十三讲。第十三讲一般是作为大题在出，每年都会出大题， 这一讲呢，基本上每一个知识点都很重要，因为每一个知识点他都会考，没有什么，没有什么说什么是不会考的。 这个地方就用到了之前，之前第九讲给大家，让大家记得那个公式，然后这个微分微分的，呃，可谓的定义，这个必须看这个图，这个图毋庸置疑啊，必须必须必须理解，必须会的。 还有这个可谓的判定，这个多元微分呢，就不得不说了。多元微分就不多说了，肯定是必考题。这里有这个拉格尔的定义，这个证明过程还是一样的，不用看，可以跳过。这个也是的，这个肯定是记结论就行了，就记这个结论就可以了。以下这些呢， 不作为重点看，但是大家有时间可以看，这些考的很少，甚至可能，呃，大概率不考，所以大家可以稍微看一看，但是如果看不懂的， 看不懂的同学不要太为难自己，可以直接跳过，然后十四讲，十四讲的二重积分也是大题，也是 每年都会出的大题，前面的基础必须看到这一题，这一题我觉得大家可以不看这一题，太，这一题肯定几乎不考，几乎不会考。转换对称性是二重积分非常非常重要的一部分，计算的内容就不说不多说了，计算的技巧方法啊，这些肯定是要看的。 这里有一段，有一小段讲这个图形的，这个图形这里不用看，这里不考试不考， 这里只帮助你理解，而且这个没有用，这里有个股股五经第二定律，这里这里，这里可以不看，这里没有用，这里是章鱼老师自己加的，从这个以上，这不用看。嗯，这图就是随便看看就行了， 没必要深究。然后我们来到第十五讲，第十五讲也是每年必出一大题，十五讲的微分。前面呢 就不说了，前面都是很基础的，都是必须要看这个地方，这一段都特别重要，特别重要， 这是做题的基础，必须看，包括这里和这里啊。从这里，这有个微分算子算的，这里有个微分算子，微分算子的那种不用看，不用，微分算子只是给你提供了另外一种方法， 你考试的时候可以直接用原来的方法，不需要用这种方法，所以你只要把全面学会就行。这个几何的应用，几何的应用也特别特别难。嗯，所以我还是建议 目标分数在一百二十分左右的同学可以不看，可以直接跳过，但是你一百三十加的同学呢？嗯，可以稍微看一点，我觉得自己的内容呢，基本不会考。
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03:22查看AI文稿AI文稿主播，主播，我起步比较晚，时间巨紧张，但是章宇一千题之后，我还在整本死磕，不知道来不来得及，课听得懂，答案看得懂，可一道自己做题偏偏没思路，我该怎么办？状态拿出来笔记一看，到这复习到六点，我告诉你，错一个推两个小时，我们说过的复习睡觉不可以太晚的， 两点睡觉你要打的好，早晨起床不要太早，六点起床，保持四个小时的充足睡眠。什么呀？主播，有没有对身体好点的复习方法？小猫也想考高分，小猫也想读研究生，保持四个小时的充足睡眠。什么呀？主播，有没有对身体好点的复习方法？小猫更想活到上岸那天。 好，各位二期考研同学，大家好，我是厂长老师，现在有很多同学，他觉得自己复习起步晚，刷题时间严重不够，刷章鱼的一千题也是越刷越崩溃。他很多同学都已遇到了以下几个痛点，比如第一个 啊，章鱼老师的课他上的比较有感染力，对吧？然后大家都听得明明白白，然后做题目的话，答案也能看懂，但是刷题的时候自己动笔，大脑直接空白，完全没有解决思路。 这其实根本不是你基础差，而是说你只看懂了步骤，而却没有对题型有过一个比较好的总结。这样这种题目我们应该套用哪种公式，用哪种惯性思维，以及我们怎么找切切入点。然后我的一千题的那个精华代刷课的话，我会给大家按照题型给大家做好分类， 你学完这个题型，你再去做这个，做这道题目，他的那个效率绝对是高的。然后接下来的话就有点类似于手把手教学，教你怎么看到题目应该怎么想，怎么入手， 所以说我们哪怕是起步比较晚，也能快速建立我们的剪辑思维。然后第二个就是有些同学会说，学长一千题这个书本太厚了，我从头到尾我没有信心把它全部给刷完的方法，有的兄弟有的因为你一千题他虽然说厚，但是他可能是， 呃，原因是在于有一些考点他是重复的吗？那如果说我们要快速吃透他的一个精华精华的话，那就需要把这些题型给他进行一个筛选， 对吧？然后我的这个讲义的话，就是每一个呃题型都给你精筛五道题目以内，然后基本上就是四道左右嘛，四道左右你只要其实我们刷题的目的就是把这个知识点学会就可以了， 其实刷五道，刷六道，刷七道、刷八道其实效果是差不多的。那我们如果说要快速刷完，我们就啊对着这个题型刷个五道题目左右，其实也能够比较好的一个掌握了。然后第三个就是说有一些追求比较高的同学，他说学让我是卷王，我在刷别的老师的习题，但我是章鱼老师的一千题我也不想放过 啊。那这样子的话呢，其实可以也也很适合于我推出的这个一千题的一个精华内容，就是这样的话，就是把里面的好题全部选出来，然后把一些重跟其他题目重复的那些题，或者说已经讲烂的那种题把它给剔除掉，这样的话你就可以 得到一个知识点的一个互补，对不对？那这样的话比你埋头苦学把这一千题全部刷完肯定是要好，对不对？好。然后这个一千题的话，现在是我们的第二期，我们第一期的话其实也收获了很多的好评，然后第二期的这个课程的话，我们是包含了全程的一个奖励，加上我们的一个 视频讲解。在此基础上我们还请了数学一百四以上的学长给大家进行一个呃，十五天的为期十五天的一个答疑。这个答疑的话是不限制于考研数啊，就是我们章鱼一千题里面的题目的，而是说你考研数学里面任何题目， 你只要不是那种野题，对吧？你有问题你都可以在里面。呃，在我们的答疑群里面问，如果有兴趣的同学可以点一下我主页的小黄车进行详细的了解。
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08:07查看AI文稿AI文稿二期考研五月份张宇高数基础结束后，也就是考研数学选择蓝开基础结束之后该如何学习呢？以及后续高数强化该如何选择？应很多同学的要求，今天我们再出一期视频来说明，绝对极致详细。 那到五月份，大部分数学二的同学已经选完了高数基础，少部分数一数三的同学也结束了高数基础的学习。 那我们在前面的视频中强调了很多次，从二五考研开始，章宇基础三十讲内容，他就包括了传统的基础课加强化课，也就是说你选择了章宇基础三十讲，就是选择了基础强化一体的课程。所以当你结束基础三十讲高数部分学习的时候，你已经学了考研数学高数部分要求掌握的基本内容。 而剩余的张宇强化三六讲呢，则是主要教你系统解析的新的知识点已经不多了，课时也很短。那我建议你可以选择两条路线，首先第一条就是高速基础结束之后，紧跟着现代基础和现代强化，然后再是高速基础，我觉得大部分难看的同学都可以选择这条路线啊。 那我建议的第二条路线就是高速基础结束之后进行高速强化，然后再进行现代基础和现代强化。 你也可以选择传统的路线，就是全部的基础结束之后再开始强化内容，这样也是没有问题的，因为这就是按照我们市面上主流老师的一些课程来安排的， 你只要认真学，也是能够学好的。只是我个人觉得现在和概率基础强化连起来学会更好，会更加有效率。 那接下来我们就具体说一下两条路线该如何进行。首先第一条，也就是我建议大部分同学都可以选择路线，就是高速基础之后，紧跟着现在基础和强化，再进行高速强化，然后再进行概率的基础和强化。 那现代的基础强化呢？建议一点五个月左右时间完成，当然了，你也可以多花一点时间，花两个月也没有问题。 在结束基础三角学习之后呢，我们开始现代的学习，先学完全部的现代基础，再去学现代强化。那建议时间是一点五个月左右，当然了，我说了两个月也是勉强可以的。 关于现代老师，你可以先试听一下张宇，看一看他的风格适不适合你，因为张宇的现代听课门槛是有点高的，他在课程里面引入了空间限量的概念，会比较抽象啊。如果你觉得不合适呢，可以选择江小千、梅老李永乐。 关于现代老师的选择和学习规划，我在主页已经有一期详细的视频说明，大家有需要的话可以去看一下。每个老师的特点和该如何学习，我都有详细说明。 学现代，我们的支线任务就是不要丢下高数。现代和高数的时间占比呢，可以给到二比一左右啊，比如你数学一共是五个多小时，那就给现代三小时，高数两小时左右，这段时间高数呢，就是二刷基础，三讲复习，讲一知识点， 例题还有做错题，如果学有余力，错题已经刷完，我们可以再补一本六零五百题，或者是八八零的基础篇。 蓝开高速强化问题最佳的选择呢？就是重刷，就三讲和看部分的专题课，然后做题进行。我们在上面已经说了章与课程体系的原因， 三十讲已经有了强化课内容，你再次重刷三十讲，然后做一讲对应的一千题强化篇。遇到做题还是比较有问题的章节，去看单独的专题课就行了，没有必要再从头到尾去看长长的强化课。专题课的推荐后续还会出一些说明。 还有就是目标分数比较高，或者想跟着张宇学习系统解析的同学，那可以去看强化三十六讲。那我个人还是比较推荐强化三十六讲的。强化三十六讲呢，过几天马上就要出了，到时候我也会出一期视频进行详细说明该如何使用，以及他的一些变化情况。 我们可以把这个三十六讲主要当成习题测，因为我前面说了，他是主要教你解析的，遇到不太明白的我们再去看课。他的强化课是非常短的， 选择强化章鱼也还是要继续重刷基础三人奖，因为大部分的知识点还是在三人奖上面，接下来就是下下册，如果你的基础三人奖学的非常不好，题目啥也做不动，但是呢，这种情况已经很少或者基本不存在了，因为 在学现代的时候，我们已经给你安排了二刷基础三讲和做错题的任务，你对三十讲的这些知识会有进一步的巩固和加深。那如果实在有这种情况，想去看下系统的强化课，我推荐五中小强化课或者是二四的章鱼强化，后者的话搭配的是基础三讲， 那这个二四章鱼强化呢？也是秘密哥主推的？那我个人是二无考研，我自己在备考的时候是没有看过二四章鱼强化的， 因为我那一年刚好就是章宇课程体系大改的第一年啊，那时候的基础参展奖就是基础强化一体课了。强化参与奖那一年也是特别特别的厚啊，给我都干懵逼了。前者也就是五中强强化，我主页有详细的视频说明，但是这个五中强强化大家一定要慎重选择，真的不适合所有人。 补充说明书一专项如果跟章宇学的不是很清楚，极数方面可以去看下方号取面积分可以看下李艳芳或者是 e p。 关于选择五中强强化，我更建议数学二同学选择，或者你在五月之前就已经结束了高数基础，最好在看课之前呢，自己先刷一遍五中强强化讲义，遇到问题比较大的章节再详细听课，其他快速过，这样会更省时，也会有更多自己的思考选择基础章与强化五中强最大的问题就是耗时， 但是你只要能够保证自己独立思考和做题的时间，刷完一定要上习题册。那你去听吴忠祥强化课也不会有任何的问题，你只会成为一个高质量的耐刷王，不会成为耐听王的，这点你放心，最重要的就是保证做题和思考。 还有很多同学都存在一个问题，我也说明一下，那就是不论在学现代还是学高数的时候，我们都会边学边忘，学了，后面的前面的也忘记了。针对这个问题，有效的一个解决方法就是边推进你的学习进程边复习。每天在开始学习新内容之前，或者结束学习任务之后，花半小时左右的时间，也不需要太多 来复习前面章节的知识点，把这一章的公式、定律、性质都认真看一遍，还可以顺带记忆一下过一遍例题。以章鱼记住三十讲为例，我们今天在开始学习之前复习第一讲，明天在开始学习之前，我们复习第二讲，后天复习第三讲，如此循环往复，一遍又一遍。 如果你是第一遍开始复习一些大的章节，比如第一讲，第八讲，第九讲，你可能半小时左右完不成，那你可以多花点时间或者两天完成复习一个章节任务，因为我们说了，你是第一遍复习慢一点没有关系。除此之外，还建议每天搭配上错题任务，五道左右。当然了，如果你的时间不足，两道三道也是可以的。 错题呢，你最好标注错误的原因是计算错误还是没有思路。一道题目如果三分钟左右还是没有思路，就可以继续标，就会错题，翻看答案学习了。 好了，接下来我们看第二种路线，就是我们说的高速基础结束之后，紧跟着高速强化，然后再进行现代基础加现代强化，然后再进行概率基础和概率强化。这条路线的话，我只建议少部分的同学选择， 因为这条路线是给高速基础学的并不怎么样的同学进行。也就是说你的基础三项学的很一般， 习题正确率普遍在百分之四十甚至更低。那你可以直接进入高速强化阶段，首选肯定是二刷基础三讲加专题课这条路线，这期间你要彻底搞懂知识点和例题，将知识点的熟人于心， 再搭配基础阶段错题和一千题的强化篇进行，还是学完一讲写一讲的题。一些比较薄的章节呢，我们直接可以去看专题课，如果你实在二刷不动就三讲，或者认真二刷完一讲之后还是做不动这一讲强化题，那就得去系统学习一下强化课了， 可以选择五中强强化或者是二四章鱼强化。当然选择五中强强化搭配的首选题型就是强化延伸题了，后面再补做一千题的强化。学完高数强化之后呢，就是现代基础强化的学习。 现代基础强化我主页已经有一期视频详细说明了，大家可以去看一下。推进现代同时呢还要复习高数啊， 建议高数的时间给到两小时左右，如果你的数学学习时间比较长，我建议现在和高数的时间占比可以给到二比一或者一比一。高数的任务就是重刷旧三角或者是强化讲义，看你选择哪种路线。如果你选择五中强， 那就是刷强化讲义和做错题，学有余力做题做完我们可以再加一本八八零或者一千题的强化篇，当然了，加一千题的强化篇是你选择高数跟五中强的，如果是加八八零，那就是选择我们二刷三角的策略。 初二同学的完成上面的任务就已经结束了，考研数学内容的学习可以再整体复习一遍，完成八八零数一数三同学呢，还要进行概率基础和强化的学习。那好，以上就这期的全部内容，希望对你有所帮助。
1760摩西摩西.
00:55查看AI文稿AI文稿的强化呢？这个是这样，就是你需要好好的刷一下题目啊，就是这个刷题呢，就是高中十八讲啊。啊，这个高十八讲就是一本这个高等数学的这个习题了啊，或者说你做其他的习题也可以，但是呢，你这个强化必须得把高等数学啊， 呃，作为中性的题目，要好好的去刷一刷啊，去做一做，因为高等数学基础跟强化之间他还是有一定的这个难度上的差异的 啊，有一定一定的难度上差异。呃，数学二的同学呢？你的这个难点啊，就是高等数学的难点，主要集中在高等数学上册，这个内容是比较多而且比较杂的，比如说一元微分学的应用 啊，一元积分学和一元积分学的应用，那么这三块知识是构成了整个数学二那么高等数学的难度的。这就是天花板，你们爱说这个词啊，天花板就到了这个顶顶顶了。
01:46查看AI文稿AI文稿考研数学强化习题册从夯到拉排行，首先登场的是伍忠祥老师的强化研试卷，红开强化跟舞的课程的话是非常适配的，整体难度不简单，也不太难，如果时间充裕，强化跟舞还是推荐做完善。化研试卷的缺点是如果跟其他老师或者没听舞的强化课， 那这本书的朴实性并没有那么强，可以给个顶级。然后登场的是章鱼老师的一千题， b 组，高数部分可以给个夯，但是现代概率质量比不过八百八十，部分题目也是只适合章鱼的体系下，所以综合下来能给个顶级。 接下来是三百三十题，这是一本强化大题测，目的是为了弥补六六零没有大题的遗憾。但是部分题目过于难，整体的题量少，导致综合性不够，无法支撑起全面强化，给个 n p c 吧。接下来出场的是江小谦的真题同源，一百五十题， 说是真题同源，一翻开很多竞赛或者数分题。此外这点题量的定位也非常尴尬，拿来系统强化题目又太少了，直接拉完了。 接下来真神登场，李林老师的八八零，八八零综合片是整个考研强化习题策里面最好的习题策，高数的话一千币勉强能和八八零扳扳手腕。 现代概率的质量八百八十明显高不少，属于是大部分考研人都必做的一本，直接给到吭。接下来出场的是李艳芳老师的九百题 b 组，这部分的题目比前面提过的所有题都难，不管是思路上还是计算上，题目毫无疑问是好题。但是对于绝大多数考研人来说， 这样的搭配太难了，根本做不动，能做得动的人寥寥无几。当然，如果跟着博主从中选择一些好题作为补充也是不错的，给个人上人吧。
1834beta~gamma
07:45查看AI文稿AI文稿先说结论，我去年属于一百四十三，但备考前期也被三十讲折磨的够呛，那时候每天跟着宇哥的课，笔记记了一本又一本，感觉知识点都听懂了，结果一上手做题一千题，基础篇十道只能对四道，脑子里一片空白。我当时真的很崩溃，甚至怀疑自己是不是不适合考研。 后来才明白，这不是我的问题，是三十讲本身的维度太高了，那种炫技般的拓展内容，比如二阶常数变异法、分段估值问题，那些繁杂永长的公式花样摆出的图形，一股脑全塞给你的二级结论，看的时候觉得，哇好厉害，做题的时候全还给宇哥了。 但我最后还是考到了一百四十三，靠的不是死磕那些高难度内容，而是找到了一套真正可行的方法。今天这篇文章我就把我踩过的坑和后来的破局思路一次性讲清楚。 好消息是，今年还有一个县城的降维方案，二七版三十讲相比二六版做了大幅精简，那些让人头秃的拓展内容要么删了，要么移到选学部分。如果说去年三十讲的吃透难度是九分，今年以直线降为五至六分，学习时长也缩短了不少， 核心知识点一个没少，但学习门槛实实在在降下来了。针对这些三十讲中提到的复杂公式和二阶常数变异法等高危难点，我开始通过智能型来寻找更高效的突破口。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。 有人问我，那我是跟二七版还是用去年二六版的讲义？二七版删的主要是难题和超纲内容，核心考点都还在。我对比了一下，新旧版本改动主要有这几方面，去年凡是非考研重点的边角知识点，该删减的都删减了。 这些内容说实话，考研真题里出现的频率本来就不高，删掉反而减少了记忆负担。另外， g 二五的小白鼠实验失败后推倒重来，今年新版类似于二四的风格，框架精炼，内容集中，我自己翻了几张，能明显感觉到对考研重点的针对性比去年强了几个档。 那为什么要删？因为去年很多人说三十讲啃不动，暑假复习不完了。网上舆论很大，大多数人并不是拔高不行，而是基础就不行。去年那个版本信息量太大，很多人过了一遍，但没有巩固，知识点没留下来。 所以如果你问我选哪个版本，我的建议是，基础一班的同学直接用新版，内容精简，重点突出，不会让你陷入看不完的焦虑。如果你是二战，手里有去年的版本，也完全能用。 但是请一定要对照今年删减过的专题，把那些钻研性价比极低的内容去掉后再去自学。去掉之后，相当于今年版本的加强版，例题更多，深度更高。但不管用哪个版本，有一个坑，你一定要避开。我当时就是过于纠结版本选择，结果在这上面浪费了好几天。后来发现真正的问题不是版本，而是我学完之后根本做不出题。 记得当时我刚看完三十讲的极限部分，感觉七大未定时，等价无穷小。这些都懂了，但当我开始在智能型上刷对应专题时，系统推了一道需要用泰勒展开处理菱菱形的题目，哎，直接卡住了。我当时还挺纳闷，心想这不就是个常规题吗，肯定是计算哪里出错了。结果系统紧接着又推了几道类似的，便是题，我连着做错了三道。 那一刻我才意识到，我对于什么时候用泰勒展开到第几节这个判断标准完全是模糊的。书上的例题我都看懂了，但那是因为宇哥已经帮我选好了方法，我只是在跟着走。那种感觉就像是被精准的戳中了软肋，系统根本不管我看没看完书，只看我能不能做对题。后来我跟着他的引导，把这个细分的知识点死磕了三天。 他推的题是循序渐进的，先是最简单的直接展开，然后是带参数的，最后是复合函数嵌套的。等我把这个专题刷通，再回去翻书上的例题，才明白宇哥讲课时跳过的那些步骤，原来是这个意思。如果你也在纠结版本选择，不妨先测一测自己的实际水平，可能问题根本不在版本上。 这是一个很普遍的陷阱，看老师解析轻松，自己做题就没思路，听完课正确率还在百分之五十以下。我当时的情况是，三十讲，跟着宇哥过了一遍，课后题也做了，感觉知识点都理解了，结果一刷一千题，基础篇正确率只有百分之四十左右。但后来我想明白了一件事，不是听完课就进入强化阶段了。 强化阶段最重要的事是什么？提高解题能力。三是讲，确实覆盖了基础加强化的所有知识点。但问题是，强化阶段的真正目标不是听完课，而是会做题。那为什么听完课还是不会做题？我觉得核心原因有两个，第一，知识点没有真正内化， 看视频的时候觉得都懂，但过段时间就忘了做题，想不起来。这是因为光输入没有输出知识点，只是在脑子里过了一遍，没有形成肌肉记忆。第二，缺乏针对性训练习题测是按章节编排的，但你不知道自己哪个知识点薄弱， 可能你花了很多时间做已经会的题，但真正不会的点一直没被发现。我后来的做法是先搞清楚自己到底哪里不会，再针对性的练。 这个方法帮我从百分之四十的正确率一路提升到最后考场上的一百四十三。这里我想详细说说我是怎么发现自己薄弱点的。当时我以为自己导数学得还行，毕竟求导公式、练式法则这些都很熟。但有一次我在智能型上做综测，遇到一道引函数求二阶导的题，我算了半天，答案就是不对。 我当时想着可能是这道题比较特殊，就跳过了，结果第二天系统又推了一道类似的题，还是引函数求导，但换了个形式，我又做错了。紧接着第三道、第四道全是引函数相关的，便是我 这才慌了，原来我对引函数求导这个点根本就没掌握，只是之前做的题恰好没考到这个类型。那几天系统一直在推引函数的题给我，从最基础的一阶导开始，到二阶导，再到代参数的情况 我记得特别清楚，大概到第三天的时候，突然就开窍了。之前总是搞混的地方，比如什么时候要用乘法法则，什么时候要把 dy dx 当成整体，一下子就理顺了。 那种感觉就是综测给一道新题，忽然能把会的知识点用上了，能自己做出来了。还有一个困扰我很久的问题，学后面，望前面。以前我做习题测，今天做完极限，明天做导数，等到做积分的时候，前面极限的解析技巧就忘得差不多了， 反反复复的忘了捡起来，忘了捡起来，那种拉扯感特别消耗人。但我在智能型上刷题的时候发现一个规律，今天做对的题，过几天它会再推一遍，而且刚好是我快要忘的时候。一开始我还觉得烦，怎么又是这道题，后来才明白，这是在帮我巩固。这样反复几次之后，那些题就真的刻进脑子里了，不会出现隔两周全忘了的情况。 所以有没有效果，关键要看留下来多少，一轮一轮过，没留下来的都造成了时间上的浪费，这也是我最后能考一百四十三的关键。不是我天赋多好，而是知识点真的留下来了。 基础阶段的目标要清晰，不是看完课，而是打牢基础。我的标准是一千题基础篇一刷，正确率能到百分之八十以上， 达不到这个标准，说明基础还有漏洞，后面强化会很吃力。关于看课，我的建议是，跟课的一定要做好提前预习，趁听课前一晚翻五至八页的讲义，不需要你预习的多深入，只要清楚大概题型与没读懂的纯文字性概念，第二天再带着目的去听课，效率比你全程被动接受知识输出高的多。 关于做题，这里有个很重要的点，不要光学学到的，要巩固下来。刷题可以巩固知识点，自己做出来的题巩固效果最好。但问题是市面上的习题测题量都很大，一千题八八零、六六零，每本都有上千道题，全做根本做不完。 后来我发现，智能型上 ai 猜你会不会功能，可以预测习题测上的题我会不会做。我试了一下，发现有些我以为很难的题，系统显示我大概率能做对，反而有些看着简单的题，系统预测我可能会错， 我就按这个来筛选。预测能做对的题我就扫一眼，有思路就跳过预测，可能做错的我就认真做一遍，这样对照着来写习题策省了大概百分之八十的时间。 去年专题考了一些冷门知识点，比如二四数一纲考过的复历元，二五数一还考了博松定律，网上说四十年没考，很多人说这些是老师没重点讲的，所以觉得考试不会出。但其实这些点我在智能型大约覆盖百分之八十五知识点，但真题是可能考到任何知识点的， 所以那些看着冷门的内容，该练还是得练，这也是我能拿一百四十三的原因之一，没有明显的知识盲区。最后总结一下我的建议，关于版本选择，新版三十讲删减的主要是边角料和难题，核心知识点都在关于学习方法。记住，不是听强化课就进入强化阶段了。 强化阶段的目标是会做题，不是看完课行动起来最重要。我能从基础篇百分之四十正确率到最后考场上的一百四十三，靠的不是选了什么版本，而是真正把薄弱点一个个攻克了。 真正决定你分数的是你学到的东西有没有留下来，先提自己做出来，这才是我们追求的目标。加油，你一定可以的。二期考研冲。
916小知死忠粉
01:15:06查看AI文稿AI文稿这是最难的一张，也是问的人最多的一张，没有之一。就是张宇一千题基础篇第十一讲的积分等式与不等式的证明。但是凯哥做这一张的时候反而是最快的，为什么呢？因为考研范围、考研难度类的证明题，我基本上全都做完了，尤其是积分等式与不等式。我记得以前我是花了一周的时间专门研究积分等式与不等式， 所以什么一千题，一千八百题，八百八十题里面所有的积分等数与不等式，我基本上全都做过。那么接下来，凯哥就花一个多小时的时间，快速讲完这十一道题啊，尤其是想冲高分的同学，一定要认真听啊，我会把每一个题都讲的特别清楚的。 ok， 那 现在开始吧。 好，我们先来看到前两道题，这两道题，第一道送分，第二道送命。同意这个观点的在弹幕里面发一个一。好吧， 就是我没想到第一道可以这么简单，也没想到第二道可以这么难。我们先来看到第一道啊，他说 a 大 于零，那么在零到 a 这个区间上这个方程的时，根个数是多少？你要知道，方程的根和函数的零点本质上是一码事，那我就把等号左边的这个函数另为 f x 好看到变现积分，你是不是忍不住求导？所以我们对 f 求导得到的是什么呢？不要把它具体写出来啊，因为我这写不下了，是不是应该等于一个根号加上这个根号分之一，对不对？那是不是肯定是大于零的嘛？对不对？ f 一 撇大于零，是不是？推出来 f x 单调递增 对不对？然后呢，养成一个好习惯，就是构造出了变现积分函数之后，你要习惯性的去令上限等于下限。比如说你看这两个积分，一个下限是零，一个下限是 a， 那 我们就令 x 等于零和 x 等于 a， 得到什么呢？得到 f 零，你看第一个是零到零的积分，就是零，对吧？第二个是什么呢？是 a 到零的积分， 对吧？然后被积函数是一个正的四 a 平方减 t 平方分之一 d t， 那 这个积分是不是显然是一个负的？ 因为你把这个 a 到零看成负的零到 a 嘛，对吧？那这个 f 零是不是算出来一定是一个小于零的？那同样的道理 fa 呢？你看令 x 等于 a， 后面这个积分等于零呢？前面就是零到 a 这个区间上根号的积分，那肯定是一个正的呀，对不对？所以这个时候你想一负一正这俩之间是不是可以用一个零点定律， 对吧？只能证明在零到 a 这个区间里面至少有一个零点。那到底一共有几个呢？是不是根据我们刚才这个地方的单调性， 对吧？它是单调递增的，那说明只要这个图像与 x 中有交点，那就只有唯一的交点。所以这个题选 b 选项能听懂吧， 对吧？听懂了发个一啊。这个第一题送分好，第二题有点难，真的有点难啊。他说 f x 二节课到 f 一 撇 x 大 于零， f 两撇 x 小 于零 i 一 呢，等于 f x 乘以三 x 在 负拍到拍上的积分 i， 二是 f x 乘以 cosine x 在 负拍到拍的积分。然后问你 i 一 和 i 二谁正谁负？ 那么这个题的解法有很多啊，我说一下我自己的解法，凯哥的解法其实用到了区间在线公式的一个推论，对吧？就是 a 到 b f x 的 积分是等于 a 到 b f a 加 b 减 x 的 积分，这一个等号就叫区间在线公式。这个公式的证明也很简单，你直接令等号右边的 a 加 b 减 x 等于 t， 换元之后，你就发现右边就是左边，我就不再具体写了，好吧。而你要知道，这两个积分既然相等，那么它们加起来除以二是也应该相等，那就是二分之一倍，然后 a 到 b f x 加上 fa 加 b 减 x 的 积分，对不对？这是我们最标准的区间在线公式。那么我刚才说的区间在线公式的推论是什么呢？是对称区间，看清楚了哟。假如有一个区间是负 a 到 a， 你要知道，看到对称区间，你就要想到奇偶性，但是如果被极函数没有奇偶性呢？被极函数 f x， 它既不是奇函数，也不是偶函数，那这个时候我们可以用区间在线公式强行制造奇偶性。看清楚喽。你看 区间在线公式之后的积分，是不是相当于把被极函数的 x 换成上限加下限减 x， 那 a 加负 a 减 x 不 就是负 x 吗？ 对吧？那他是不是应该等于这两个积分加起来再除以一个二，对吧？那就是二分之一倍。负 a 到 a， 然后 f x 加 f 负 x， 然后 d x。 好， 兄弟们，看清楚，单独看 f x 非积非偶函数，再来看单独看这个 f 负 x 也非积非偶，但是你把整个中括号看成一个整体的话，对吧？这个整体如果是 y y 等于 f x 加 f x， 那 这个 y 是 不是明显是一个偶函数啊？ 对吧？你在心里面把 x 换成负 x 嘛，对吧？那加号前面变成 f 负 x 了，但是加号后面又变回 f x 了，那这个 y 是 不是就是一个偶函数？偶函数在对称区间的积分是不是可以用奇偶性呢？就变成二倍零到 a 的 积分，二倍和二分之一抵消，是不是就变成了零到 a 这个区间？ f x 加 f 负 x， 然后 d x， 对 吧？我告诉你，这个公式特别特别有用，为什么呢？因为它可以压缩积分区间，你看原来的积分区间是负拍到拍，它比较长，长到什么程度呢？就是它包含了三 x 的 整个周期， 对吧？三 x 在 负拍到零是一个负的，在零到拍才是一个正的。那你在整个负拍到拍上，那你的三 x 是 不是一会是负的，一会是正的？那我要判断这个 i e 到底是正的还是负的，就很麻烦，能听懂吧？ 但是如果能够通过这个公式把区间压缩到零到派，把区间越短，咱们这个积分是不是反而越简单， 对不对？所以我们来试一下，赌一把。你看我们 i 一 这个积分啊， i 一 这个积分，我们这个地方不是直接用那个公式啊，我们相当于再给大家推一遍那个公式，就是你把被积函数的 x 换成上限加下限减 x， 是 不是积分不变，这就叫区间在线，所以就等于负拍到拍，然后呢？ f 负 x， 然后塞音里面的 x 变成负 x， 但是塞音是一个奇函数，所以塞音负 x 就是 负的塞音 x d x， 对 吧？提干的 i e 和我们这个地方写的 i e 是 不是应该是一样的？所以加起来除以二，是不是应该值不变？所以就应该等于二分之一倍 负拍到拍这个区间被奇函数相加，是不是有共音式塞音 x 可以 提出来？提出来之后，你看剩下的是什么？是不是剩一个 f x， 然后减一个 f x， 对不对？你看我们的三 x 是 一个奇函数吧，对吧？而 f x 减 f 负 x 呢？是不是也是一个奇函数？你在心里面把 x 换成负 x 吗？对吧？那这个中框里面是不是变成 f 负 x 减 f x， 那 减数和被减数颠倒了，对吧？那就说明把 x 换成负 x 之后，这一坨会变成原来的相反数，那这不就是奇函数的定义吗？ 对不对？所以整个倍积函数就是奇函数，乘以奇函数，那其实就是偶函数了，对吧？那偶函数在对称区间的积分是不是就等于二倍？零到拍的积分二倍和二分之一抵消，那就是零到拍这个区间 sine x， 然后乘以一个 f x 减 f 负 x d x。 我 告诉你，做到这儿， i e 这个积分正负已经判断出来了，为什么呢？因为我们压缩了积分区间之后，在这个区间内， sine x 就是 一个横正的， 对不对？在零到 pi 里面， sin x 是 一个大于零的，而 f x 呢？你看题干说了， f 一 撇是大于零的，那说明 f x 单调递增，既然它单调递增，那就说明自变量越大，函数值也就越大。所以，当 x 在 零到 pi 的 时候， 对不对？ f 里面的 x 是 不是比后面的负 x 要大？那么你正数一定大于负数，那 f 又是一个递增的，那 f x 就 一定大于 f 负 x， 所以 这俩相减之后，这个中括号也大于零， 所以两个正的乘起来是不是也是一个正的？那它在零到派的积分是一定就是正的，所以 i 一 就大于零啊，对不对？好，我们再来看 i 二这个积分， i 二这个积分，你可以先分布积分，再区间在线，你也可以先区间在线，再分布积分，其实本质上都是一样的， 就比如说你第一反应是用区间在线公式把区间减半的话，那么你看它是不是可以写成负 x， 而 cosine 是 不是还是 cosine x， 对吧？这两个 i 二是不是应该是一样大的？那加起来除以二也不变，那就是二分之一负派到派。然后你看这俩倍积函数一加 cosine x 是 一个共音式提出来，剩下的就是 f x 加一个 f 负 x 了。 你看单独看 cosine x 是 一个偶函数，单独看 f x 加 f 负 x 是 不是也是偶函数，对吧？那偶函数乘偶函数是还是偶函数？那在对称区间，积分就是二倍，零到派二和二分之一抵消，那就是零到派 cosine x 乘以一个 f x 加 f 负 x， 然后 d x， 对 吧？做到这儿之后，你就发现在零到拍这个区间里面，这个 cosine x 它还是有正有负，对吧？很麻烦，那我们就直接分布积分，对不对？你看我把 cosine 凑到 d 后面去，变成 d 三 e， 然后分布积分，是不是应该等于这两个东西相乘再带上下限，对吧？而 d 后面是 sin 呢？ sin 在 零和 pi 这两个点，是不是函数值都是零，对吧？ sin 零是零， sin pi 也是零，所以这俩相乘不管带上限还是下限是不都是零啊？然后减去是不是零到 pi 这个区间上交换位置的积分 sin x 跑到前面去了，然后呢？ d f 加 f 是 不是相当于对这两个 f 求导吗？对吧？所以就是 f 一 撇 x， 然后呢，这个地方 f 负 x 求导是不是应该是负的？ f 一 撇负 x， 对 吧？负和函数求导吗？ 好，做到这之后完全就和刚才是一个道理了，在零到拍这个区间，我们的三 x 终于是一个横正的了， 对不对？然后呢， f 一 撇减， f 一 撇是小于零的，说明 e 接导函数是单的， d 减的， 对吧？说明一阶导的次变量越小，函数值越大，次变量越大，函数值越小。那在零到拍这个区间， x 要大于负 x， 但是 f 一 撇 d 减，所以这俩是小的减大的是不？其实就应该是小于零的，所以被积函数一个正的乘一个负的，是不是乘出来就是负的？那在零到拍的积分积出来是不是也是负的？但是没关系，前面有个符号啊， 那么积分符号前面有个符号，这个符号是不是分布积分出来了一个符号对不对？所以负负得正是不是又是大于零，对吧？所以中上啊，我们就得到 i 一， 你看 i 一 的结果是大于零的，我们 i 二的结果呢？你看 i 二最后也是大于零的。选什么？是不是选 d 选项 能听懂吧？听懂的发个一啊，听懂的发个一。这个题。凯哥的方法非常非常的实用对不对？就是用区间再向公式强行制造既有性，然后压缩积分区间，就把负拍到派这个三 x 本来要变号的一个区间变成了零到派这个不变号的区间，是不是就方便分析正负啊， 对不对？一定要学会凯哥这个思想，然后我们接下来再讲下一个题，好吧，好，第三题说 f x 连续大 t， 这个字母呢？大于零，叫我们证明小 f x 以大 t 为周期的冲要条件。记住哦，双向箭头就是互推的意思， 你可以推我，我也可以推你，那不就是冲要条件吗？对吧？冲要条件是对，任意的 a 都有 a 到 a 加大 t 的 积分，这个积分永远是一个不变的常数， 好吧，那么既然是冲要条件，我们就把左边假设成已知的，先推一遍右边，然后呢，再把右边假设成已知的，推一遍左边，好吧，我们先从左往右推 f x 已经以 t 为周期了，那是不是就是说 f x 加 t 应该等于 f x， 这是一个已知的条件嘛，对不对？那么现在你要证明这个积分是一个常数，而这个积分里面的上下线这个字母 a， 它可以变，那就说明什么呢？说明不管 a 怎么变，这个积分的值是不变的。 那是不是我们可以把这个积分看成一个关于 a 的 函数，对吧？是一个变上下线积分函数。比如说我们令大 f x 就是 a 到 a 加 t f x d x， 你 想我们要？哦，这个地方是大 f a 啊，不好意思，对吧？因为 a 在 变嘛，对吧？所以我们这个函数是一个关于 a 的 函数。你想我们要证明一个函数是一个常数，是不？只需要证明这个函数的导数等于零就可以了，能听懂吧，对吧？因为导数描述描述的是斜率嘛， 你斜率都等于零了，那你是不是就是一条水平线，对吧？函数值是不是就不动了，对不对？所以我们就对大 f 求导，它就等于上限带去就是 fa 加 t 减去，下线带去就是 fa， 对 吧？那 f 又是一个以大 t 为周期的，所以 fa 加 t 就 等于 fa， 那 这两相减是不就等于零啊，对吧？那等于零，那就说明大 fa 是 不就应该为常数？ 那我们这个地方甚至可以精确一点，就是，它既然等于常数，那它到底等于哪一个常数呢？很简单，我们大 f a 是 不是应该等于任何一个点的函数值啊？因为反正每个点的函数值都是一样，那我们就选一个简单的令 a 等于零， 对不对？大 f a 横等于大 f 零，那等号左边就是 a 到 a 加 t 的 积分，对吧？ f x d x。 兄弟们，把这一个公式给我背下来啊！这个公式在考研的时候经常用到啊，这个公式代表什么呢？就代表只要你的背记函数它的周期是 t， 那 么只要你的积分区间长度是 t， 那 么这个时候你的积分的积分区间的起点和终点具体在哪里就不重要了， 对吧？只要你的长度是 t， 那 你不管向右平移若干个单位，还是向左平移若干个单位，只要你区间长度是 t， 那 你得到的积分都是和零到 t 这第一个周期的积分是一样的， 对吧？这是不是相当于其实就是平移定律啊，对不对？好，这是我们这个题的一半嘛，对吧？从左往右正，那从右往左正，我告诉你，几乎一模一样的，你看，你现在是已知对于任意的 a 这个玩意儿都是常数，那其实就是说什么呢？就是说这个大 f a 等于 a 到 a 加 t， f x d x， 他 既然是一个常数，我们就把它假设，为什么呢？你可以假设一个 k， 或者假设一个 c 嘛，对吧？一般来说，我们都用 c 表示常数，那既然他已经是常数了，那我左右两边同时求导，对吧？而且是对 a 求导， 那我们就得到左边变线积分求到，是不是就应该是 f a 加 t， 然后呢？减 fa 啊，对吧？等号右边常数求到，那是不是就应该等于零？那 f a 加 t 等于 fa， 那 不就说明小 f x 以 t 为周期吗？ 好，到这虽然我们做完了啊，但是有同学可能会说，凯哥，你怎么从左往右正和从右往左正感觉写的一模一样呢？ 对不对？都是对这个大 f 求大等于零，但是其实不是的，看清楚哦，看清楚喽，我们从左往右正的时候，我们大 f 一 撇 a 等于零，是因为什么呢？认真听喽，是因为大 f 一 撇 a 先等于了小 f a 加 t， 再减一个小 f a， 然后我们现在把小 f 的 周期为 t， 当成一个已知条件，所以这俩相减等于零， 对不对？这个能听懂吧？但是我们从右往左正的时候，我们这个大 f 一 撇 a 等于零，是因为什么呢？是因为等号右边是任意常数 c， 对 吧？是因为常数求到等于零，所以才得到大 f 一 撇 a 等于零，对吧？从而两个小 f 相间等于零， 对不对？也就是说，从左往右正的时候，小 f 的 周期为 t 是 条件，而从右往左正的时候，小 f 周期为 t 是 最后的结论，能听懂我的意思吧？好吧， ok， 我 们再来看到第四题啊，这个第四题，凯哥全程班的同学应该都可以一秒之内搞定， 对吧？你看完这个题，干这个等式之后，你第一反应就是等号左边这个定积分。怎么背积函数还有一个积分呢？这种积分套积分的题目是不就两种解法，要么交换积分秩序，要么分布积分。但是我们现在这个题在一元函数积分里面，那我们就分布积分嘛， 对不对？所以说我们整个等号左边就等于什么？是不等于在哪相乘？那就是 t 乘以零到 t， u， d， u 带上下线，下线是 t 等于这个地方的 x， 对吧？然后减去这个零到 x， 这个区间是这俩交换位置的积分， t 跑到前面去了，然后 d 这一个变现积分，那就是对变上限积分求导呗，对吧？那就是被极函数 f， t， dt， 对 不对？这是等号左边嘛？好，我们再来啊，把这个减号前面下线带去啊。零乘以任何东西是不是都是零？然后把上线 x 带去 t 等于 x， 那 就是 x 乘以零到 x， f， u， d， u， 对 吧？减去零到 x t， f t， d t。 而我们又知道这个积分的计算结果与积分变量用哪个字母表示无关，所以这个地方的零到 x 这个区间， f u， d u 和 f v， d v 是 不都是一样的， 对不对？那既然后面积分变量是 t， 那 我就把前面也改成 t， 直接改就行了啊，直接改，那改完了之后，我们注意到对 t 积分的时候，其他字母都看成常数，所以外面的这个 x 是 可以拿到积分符号里面去的，因为它相当于就是一个长细数拿进去， 对吧？拿进去之后，这个积分区间和这个积分区间都是零到 x， 那 就可以提出来，那背极函数都有一个 f t 就 可以提出来之后剩下的就是 x 减 t 嘛，对吧？ x 减 t， 然后 f t， d t， 而这个表达式不就是我们等号的右边吗？对吧？所以说我们分布积分就可以证明出左边等于右边整完了。 好，接下来的两道题对凯哥的学生而言，都是顺分题，尤其是这个第五题啊，中值定义证明题看到可赛就激动，对 吧？凯哥的学生看到可赛就激动，因为我的中值定义确实讲的没毛病。好吧，你看他说 f 和 g 连续 x 属于 b 区间， a 到 b， 使得看起来这么复杂的一个等式成立。 而凯哥一再强调中值定，你证明题的核心是什么？是去思考你要证的东西是怎么来的，对不对？我们在曹格纸上把等号右边的挪到左边，并且把可赛改成 x， 看着舒服一点，对吧？那相当于我们要证的就是 f x 乘以一个 x 到 b 这个区间， g t， d t， 然后减去，那是不是可赛变成 x 就是 g x， 然后 a 到 x 这个区间 f t， d t 是 不是应该等于零啊？ 对吧？那等号左边是不是某一个函数求导之后的结果呢？当然是，为什么？因为 a 到 x， f t， d t， 这是一个变上限积分，它求倒是不是刚好就是前面的 f x 对 不对？而减号前面是不是有一个变下限积分呢？对吧？它求导之后是不是应该等于负的 g x， 而刚好这个地方是减号，所以负的 g x 就是 这个玩意求导之后的结果， 对不对？所以你看一下我的这个箭头，是不是明显等号左边就形成了前倒后不倒加后倒前不倒的样子，对吧？你把减 g x 看成加上一个负的 g x 吗？能听懂吧，对不对？所以我起手第一步就是令大 f x 这个辅助函数是什么呢？是 a 到 x 这个变上限积分，倍积函数是 f t d t 再乘以 x 到 b 这个变下限积分，对吧？背记函数 g t d t， 对 不对？那很明显，因为有第一个积分的存在，它下限是 a， 所以 大 fa 肯定等于零， 对不对？然后又因为有第二个积分存在，那 x 等于 b 的 时候， b 到 b 的 积分也等于零，所以这个大 f 天然的左右两个端点都是零，那由罗尔定律 是不就一定存在一个可赛属于开区间 a 到 b 使得什么呢？使得大 f 一 撇可赛等于零啊， 对不对？其实做到这直接写正 b 就 行了，为什么呢？因为我们这个大 f 求导是不是刚刚才在草根本上已经算过了，对吧？大 f 求导之后是不是就是我们要证的这个结论，把右边减到左边去之后的结果，对不对？所以我们到这就证完了。 然后接下来第六题为什么也是送分题呢？因为它是我们三月二十七号的每日一题，这是免费的内容，而且我在付费课里面也讲过嘛，对吧？就是所有形容这种一加上 k 倍 x 平方加一个 x 的 四次方， 然后分之一加减 x 平方 d x， 对 吧？我在全成分里面是讲过这一类题的，对吧？分母是一加上 k 倍 x 平方， k 可以 任取， 对吧？然后再加一个 x 四次方，分子是一加减 x 平方，所有的这种题，它方法都是一样的，都是分子分母同时除以一个 x 平方，好吧， ok， 那 我们回到这个第六题来，他说让我们证明零到正无穷这个区间，一加 x 的 四次方分之一的积分 和 e 加 x 四次方分之 x 平方的积分是相等的，而且都等于四分之根号二派相当于要把这两个积分算出来，对吧？而凯哥在讲反常积分的时候，专门强调过零到正无穷这个区间上，如果你用导弹换，那就实现了区间再现， 对吧？就是我们定积分的区间在线，是不是把背极函数的 x 改成上限加下限减 x， 而零到正无穷反常积分的区间在线就是直接倒代换，你看，本来等号左边是零到正无穷一加 x 的 四次方分之一 d x， 现在我倒代换，我令 x 等于 t 分 之一， 对不对？那换圆 b 换线，当 x 趋向于零正的时候啊，当然 x 不 可能取零嘛。 x 如果取零，等号右边是 t 分 之一，那怎么可能等于零呢， 对不对？所以 x 只能趋向于零正，那这个时候我们的 t 是 不是应该趋向于正无穷？这是下线对下线，上线对上线的话， x 要趋向于正无穷，那等号右边分母 t 是 不是只能趋向于零正，那我们就写零嘛， 对不对？号被积函数一加上 x 的 四次方，就是 t 的 四次方分之一。然后呢？再来 d x， 那 是不是 t 分 之一求到就是负的 t 平方分之一 d t， 对 不对？然后这个负号是不是刚好把这个上下线交换回来？是不是写成零到正无穷？ 然后我在这个等式的基础上，分子分母同时乘以一个什么呢？乘以 t 的 四次方，那分母就变成了 t 的 四次方，加一分子乘的这个 t 的 四次方和这个 t 平方分之一，约掉一个 t 平方，是不是还剩一个 t 平方 d t？ 而我们又知道，不管是定积分还是收敛的反常积分，它积分的结果是不是与积分变量用了一个字母表示无关，对不对？所以我们就把 t 改成 x 嘛， 那就是零到正无穷 x 平方除以一加 x 四次方，然后 d x， 对 吧？所以左边是分之一的积分，右边是分之 x 平方的积分，那我们的第一个等等号就挣完了吗？对吧？这两个积分是相等的， 那他为什么会等于四分之根号二排呢？很简单，我们之前在讲定积分的区间在线公式的时候，我们就说过，区间在线之前的积分和区间在线之后的积分多半都不好算，但是加起来除以二就好算了， 对不对？所以这一个积分和这个积分如果都不好算，那我加起来除以个二，就变成二分之一倍零到正无穷分母一加 x 四次方，分子一加 x 平方，然后 d x， 对 不对？然后分子分母同时除以一个 x 平方，这是标准操作了，对吧？还是零到正无穷分母就是 x 平方加 x 平方分之一，对不对？而分子呢？是不是变成一加 x 平方分之一 d x？ 接下来肌肉记忆嘛，直接把分子凑到 d 后面去，这个全程班都已经讲烂了，对不对？凑到 d 后面去之后，你看咯，一积分，对吧？凑到 d 后面去，本质上就是对分子积分嘛，一积分就是 x， 对 不对？而 x 平方分之一积分是不是就是负的 x 分 之一，对吧？而凯哥一再强调凑到 d 后面去的东西，它是一个整体， 相当于我们要把地前面的这个东西这个表达式也写成 x 减 x 分 之一这个整体的函数。所以我们需要对分母配方嘛，对吧？配方之后是不是就是 x 减 x 分 之一这个整体的平方？但是你把括号打开之后，你是不是多了一个常数项就是减二，那你是不是需要把这个减的二加回去，就变成加二， 对不对？那现在把 x 减 x 分 之一看成一个整体，然后把这个二看成根号二的平方，那我们这个积出来是不是就是 ark 贪监特的那个公式啊？对吧？就等于二分之一倍，然后把二看成根号二的平方，哦，那就是根号二分之一。 ark 贪监特里面是根号二分之多少，是不是应该是 x 减 x 分 之一？带上下限是不是应该是零？带不进去就只能带极限， 对吧？带零正的奇限，那就等于二倍。根号二分之一乘以多少？你看上限正无穷，带去那分子就是正无穷，减正无穷分之一，那分子就是正无穷。正无穷除以根号二还是正无穷。阿克丹尼的正无穷是不是二分之派啊？ 然后减去多少呢？下限零正带去那就是零，正减去一个正无穷，对吧？零正分之一就是正无穷嘛，对不对？那零减去正无穷，那负无穷除以根号二，是不是负无穷？阿克丹尼的负无穷就是负的二分之派， 对吧？那二分之派减去一个负的二分之派，那合起来是不是就是派呀？对吧？所以就是二倍根号二分之一再乘一个派。如果你分子、分母同时再乘一个根号二，那分母就变成四分子，就是根号二再乘一个派。这就是我们要证的结论嘛。四分之根号二派， 对吧？听懂的发个一样。这两个题对于我的学生来说都是送分题，好吧，好，同学们，接下来的第七题和第八题，这两个选择题，又是一道送分，一道送命 题，真的太简单了，对不对？我们快速把它秒杀一下，他说 f x 和 g x 可导，然后 f 一 撇大于零， g 一 撇小于零，说明 f 递增，递减嘛，对吧？然后问你 a、 b、 c、 d 哪个对？ 一眼看过去没什么思路，那咱们直接上杀手锏，这毕竟是一个选择题，我们可以怎么样？我们可以用特殊指法，对吧？ f 递增递减，那满足递增和递减的最简单的两个函数是什么呢？是不是就是可以取 f x 就是 x， 而 g x 就是 负 x， 是 不是就是一个递增一个递减，对吧？我们现在把它带进 a、 b、 c、 d 四个选项，我们看哪个对哪个错。你看 a 选项，如果你把 f 等于 x， g x 等于负 x 带进去，那这个不等号的左边就变成了负一到零这个区间。你看 x 乘以负 x， 是 不是就是负 x 平方，然后 d x 要大于零到一，你看这俩相乘，又是负 x 平方， d x。 看清楚了，兄弟们，我没说这个大于符号一定是成立的，我只是说 a 选项的不等式，对吧？我取了特殊之后值之后就变成了这个不等式，这个能听懂吗？对吧？好，那它又等价于什么呢？我们来算一下吧。 负 x 平方这个倍值函数是一个偶函数，偶函数在零到一的积分和负一到零的积分应该是一样的，也就是说右边算出来是负的三分之一，左边也应该是负三分之一啊，但是你中间怎么是大于负号呢？对吧？相当于 a 选项就等价于负三分之一，要大于负三分之一，自己，这显然是荒谬的，所以 a 错了，能听懂吧？ 那同的道理， b 选项又等价于什么呢？你把 f 等于 x， g 等于负 x 带进去，那 b 选项的左边就等价于负一到零，是不是负 x 平方这个整体的绝对值，那不就是 x 平方吗？ d x 对 吧？要大于零到一是不是也是 x 平方？ d x 对 吧？还是那句话， x 平方，它是一个偶函数，负一到零的积分和零到一的积分是一样的，所以 b 选项就等价于三分之一，大于三分之一是不是也是荒谬的？所以 b 就 错了嘛。好，再来看到 c 选项，你看， c 选项的左边是 f g x， 这是一个复合函数，而 f x 就是 x， 那 么 f g x 是 不是就是 g x f 方框就等于方框嘛，对不对？所以 f g x 就是 g x， g x 又是负 x， 所以 c 选项的左边就是负一到零，然后呢？负 x d x， 它要大于零到一。 f g x 刚才才说了就是负 x d x， 你 看，负 x 是 一个奇函数，它在零到一的积分和负一到零的积分应该是互为相反数的才对，对不对？那右边零到一积分是不是负二分之一？ x 平方带上下限，那就是负二分之一嘛？ 也就说，右边既然是负二分之一，那左边负一到零这一半的区间积出来，就应该是正的二分之一，对吧？也就说 c 选项就等价于二分之一大于负二分之一，这是不是对的？但问题是听清楚了，这句话非常重要啊， 就是特殊执法只能用来排除错误选项，他没办法去证明正确选项，对吧？除非什么呢？除非我用这一个反例直接排除了三个选项，那剩下的一个只能是对的了，能听懂吗？也就说，做到这啊，听清楚哦，做到这。你不能坚信 c 一定是对的，你必须再把 d 排除掉才行， 对不对？你看， d 选项等价于 f f， 那 不就是 x 吗，对不对？那就是负一到零 x， d x 要大于零到一 g g x， 对 吧？ g x 自己就已经是负 x 了，对不对？然后呢，你再添一个符号，那负的负 x， 那 不就是 x 吗， 对不对？ d x， 那 被积函数都是一样的，都是 x， 都是积函数，对吧？那在零到一的积分和负一到零的积分是不是互为相反数的，对吧？偶函数积分才是相等嘛，对不对？所以负一到零的积分是负二分之一，然后呢，零到一的积分是正二分之一，这个更逆天，对吧？负的大于正的是不肯定也错了。所以呢，我们选 c 选项， 好吧，到这还没结束啊。但是你能听懂的发个一，相当于我们用排除法说明了 c 是 对的，但是如果这个是个大题怎么办呢？他直接让你证明 c 是 对的，你怎么去正呢？ 很简单，我告诉你，统一区间就可以了，你看 c 选项，左边是负一到零，右边是零到一，对不对？如果能够通过换元，把左边的负一到零变回右边的零到一，是不就可以了？所以我们可以做一个负代换，你看，对于 c 选项，你怎么去正呢？我们令 x 等于负 t， 那么 c 的 左边你看本来是负一到零 f g x d x 对 不对？那你换元之后，你看这两这俩的 x 都变成负 t 了， 对吧？ d 后面是不是也是负 t， 对 不对？那换元之后， b 换线，上线对上线，下线对下线，对不对？当 x 等于零的哦，当 x 取下线负一的时候， t 是 不是应该取一？当 x 取上限零的时候， t 是 不是应该取零， 对不对？然后这个地方 d 负 t 是， 其实就是负的 d t， 那 这个符号刚好把一到零变回零到一，所以就是零到一 f f 里面是 g 多少？本来是负 t， 然后呢？ d t， 但是这个定积分的计算结果与积分变量用了一个字母表示无关，所以我就写成负 x， 然后呢 d x 了， 对不对？所以看清楚啊兄弟们，我们现在 c 选项的左边啊， c 选项的左边是这一个积分，而 c 选项的右边是这一个积分，是不是积分区间都是零到一？外层函数都是 f， 内层函数都是 g， 对 吧？是不是长得差不多了？唯一的区别就是 g 里面的东西不一样。那幸亏提杠告诉了单调性啊， 就是在这用的，你在同一个区间里面，你才方便讨论单调性嘛，对不对？你积分区间是零到一，那就说明零小于 x， 小 于一的时候， 那你的这个负 x 是 不是应该比 x 要小啊，对吧？负数小于正数，这个没问题吧？然后又因为 g 撇是小于零的，说明 g 是 单调递减的，单调递减，那就说明质变量越小，函数值反而越大，那说明 g 负 x 反而是大于 g x 的， 对不对？然后 f 一 撇又是大于零，说明 f 递增，那就说明 f 里面的东西越大，那整个 f 是 也就越大。所以 f g 负 x 这个整体是大于 f g x 这个整体的， 对不对？然后你左右两边再零到一积分，对吧？再零到一积分，积完了之后，你再把左边的这个 f 负 x 看清楚，哦，你再把左边的零到 e f g 负 x 这个玩意，对吧？写回换元之前的负一到零 f g x， 对 不对？就是我们，我们是通过换元证明了这两个积分相等吗？现在你再把这个积分给我写回负一到零 f g x d x， 对吧？那是不就证明出来了？ c 选项的左边，对吧？是不是应该是大于 c 选项的右边的？能听懂吗？那 c 就是 对的嘛？ 好到这能够听懂了，发个一，这就是非常完美的解决了这个题，对吧？我们先用排除法排出了三个错误选项，并且直接证明了 c 选项是对的。好吧，好，我们再来看到第八题啊，这个第八题极其逆天， 我都不知道为什么会放在这个基础篇啊。这个第八题是去年最新的章与八套卷的一道选择题， 这道选择题连十一、十二月的那些同学他们去做都很多人没做出来，不知道怎么思考，结果这个题居然在基础篇， 而且这个题啊，它设置了干扰项之后，导致你不知道怎么思考。所以凯哥为了讲解的方便，我直接把第八题改成证明题。好吧，就是假设 f x 和 g x 在 零到一连续，而且单调性是相反的，然后叫我们证明积分的乘积是大于等于什么呢？大于乘积的积分 啊，大于等于乘积的积分，这个玩意看起来有点像科西不等式，但是其实没什么关系。好吧，这个积分不等式自己有，名字叫做切比雪夫不等式， 但是这个切比雪夫呢，就不是我们概率统计里面那个切比雪夫，这是积分不等式里面的切比雪夫不等式。好吧，那么它的证明方法有很多啊，我没有看宇哥参考答案怎么做的，那我这个地方用一个我自己最喜欢最喜欢的方法，就是看到定积分乘积， 然后呢，叫我们证明积分不等式。我一般来说都会选择二重积分加轮换对称性，这是我个人的做题风格，如果你没有学到二重积分，那你学完了之后再再回过来听凯哥这个方法。好吧，这个方法非常的惊艳。 当然，我在讲这个方法之前，我先做一个科普啊，就是 a 到 b， f， x， dx 的 积分，如果乘以一个 c 到 d 这个区间上 g x， dx 的 积分啊，这两个定积分乘起来是可以直接得到一个二重积分的， 对吧？这个二重积分的积分区域就是 x 在 a 到 b， y 呢？在 c 到 d 啊，当然，我们这个地方默认 a 小 于等于 b， c 小 于等于 d 嘛，对吧？被积函数是什么呢？是 f x 乘以一个 g y， 然后 d x d y。 大家记住哦，两个定积分乘起来是可以直接合成一个二重积分的，这个二重积分的积分区域，其实就是这个积分上下线围成的一个矩形区域。然后这个被积函数呢，是把这个 g x 里面的 x 改成 y 之后，对吧？跟前面的 f x 乘起来之后得到的二元函数，我知道很多同学不知道为什么， 对吧？但是呢，既然这是一个等式，那左边既然等于右边，那右边肯定等于左边嘛，对吧？所以从左往右不好正，我们从右往左正，是不是可以啊？对不对？所以我们直接证明这个二重积分啊，算出来之后，等于这两个定积分成绩就可以了。所以我们把这个二重积分积分区化一下，这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 d， 是 不是其实就是一个这样的一个矩形区域啊，对吧？那这样的一个二重积分，你看右边就是二重积分，我们先 x 后 y， 或者先 y 后 x， 是 不是都可以？比如说你先 y 后 x， 后极先定线， y 的 范围是从下往上穿， y 的 范围是不是？你看穿入是不是下面这条边，穿出是上面这条边，所以 y 的 范围是 c 到 d， 对 吧？而且我先对 y 积分，哦，那就是 f x g y 对 y 积分， y 的 范围是不是 c 到 d， 对 吧？ g 完了之后扩起来，然后再对 x 积分， x 的 范围是不是 a 到 b， 对吧？你就把二重积分转化成了累计积分嘛。而你要知道，对 y 积分的时候， x 这个字母看成常数，所以这个地方内层的 f， x 可以 拿到内层之外，但是要放在外层之内嘛，对不对？好，拿出去之后就变成了 a 到 b， f， x， 然后呢，再乘以一个 c 到 d， g， y， d， y， 然后 d， x， 这个没毛病吧？而我们又知道 g， y 对 y， 积分再带上下线，那这个玩意儿不就是一个什么呢？不就是一个数字吗？ 对吧？它既然是一个数字，比如说它，你就把它想象成二或者三，对吧？那你是不是可以把背接函数里面的二倍、三倍直接提到整个积分符号外面去，对吧？相当于把这个整个我圈起来的积分提到积分符号外面，那就变成 c 到 d， g， y， d， y， 再怎么样，乘以 a 到 b， f， x， d， x， 对 吧？做到这里，是不是相当于把这两个积分分离开来了， 对吧？而我们又知道，这个定积分的积分结果与积分变量用了一个字母表示无关，所以我这个地方的 g， y， d， y 的 定积分，我是不是就可以写成 g， x， d， x 的 积分，对吧？当然，而且乘法具有交换率，我把后面的写到前面来，那就是 a 到 b， f， x， d， x， 对吧？也就是说，为什么两个定积分相乘，可以合并成一个二乘积分，那是因为这个二乘积分你先 y 后 x 或者先 x 后 y 算出来，就等于这两个定积分乘起来啊， 对吧？那你右边等于左边，左边肯定就等于右边吧。好吧，好，知道了这个之后，我们再回过头来看这个题啊，我说过这个方法很惊艳啊，大家赏析一下。你看左边， 看到了两个定积分乘积，我想把它合成一个二重积分，对不对？但是右边呢，是不是只有一个积分，对吧？那我怎么样合成一个二重积分呢？很简单，我在右边平白无故成一个一，这总可以吧，对吧？而一是不是可以看成零到一这个区间上一对 y 积分， 对不对？为什么要写成 dy 呢？因为右边已经有一个 d x 的 积分了，我要再来一个 dy 的 积分，才能合并成二重积分， 对吧？而左边也是一样的，左边如果我把第一个积分不改的话，那就需要把左边的第二个积分改成 g y， d y 的 积分， 对吧？那相当于啊，要证原来的这个不等式，极证什么呢？你看我一写极证两个字，你是不是就知道这个题是用分析法，对吧？就相当于是倒推法，就要证原来的不等式，等价于证明这个，而等价于证明这个，又等价于证明什么？什么？一直往回推，对吧？所以说极证 零到一 f x， d x， 然后零到一 g y， d y 要大于等于零到一 f x， g x 乘以一个零到一 g y d y， 哎，坐到这，我发现这个地方是不是写错了，对吧？这个地方比误了吗？对吧？应该这个地方是零到一，一 d y， 对 不对？我在这改一下啊， 改成一对不对？好，所以我们说回来啊，说回来这个地方，待会我剪辑一下，就是你把这两个定积分是不是可以合并成一个二重积分？这个二重积分的积分区域是不是 x 和 y 都要在零到一？那就是一个正方形的小区域嘛，对吧？这就是不等号的左边， 那右边是不是还是这个区域？贝级函数是不是 f x 乘以 g x， 然后呢？ d x， 然后这个地方是不是 dy 啊？ 对不对？好，现在把右边挪到左边，对吧？那积分区域又一样，那右边减到左边之后，积分区域就合并被积函数是不是有共因式？都有一个 f x， 那 就可以提出来，那剩下的是不是 g y， 然后呢？减一个 g x， 然后 d x d y 大 于等于零呢，对吧？做到这之后，接下来我要用一部轮换对称性了哟， 你看，兄弟们，我要用一部轮换对称性。什么叫轮换对称性呢？就是如果一个二重积分看清楚啊，如果一个二重积分，他的积分区域关于 y 等于 x 啊，积分区域关于 y 等于 x 轴对称的话，啊比，就比如说我们这个地方，对吧？这个单位正方形肯定和 y 等于 y 等于 x 轴对称，那这个时候啊，我们积分区域低上 f x y 这个二元函数的积分就一定等于 f y x 这个二元函数的积分，对吧？这就叫轮换对称性，对吧？就是把背极函数的 x y 这两个字母之间对调，对调了之后，得到了新的背极函数的积分，居然跟原的积分是一样的，对吧？好，接下来这句话你会听着很熟悉， 那就是二重积分，就算他有轮换对称性，就算他的这个积分区域关于 y 等于 x 对 称，但是你轮完了之后，得到的新积分和原的积分多半都不好算， 对不对？那这个时候加起来除以二，可能就会发生奇迹，对吧？相当于这两个积分既然相等，那它就等于区域低上 f x y 加上 f y x 的 积分，然后 d x， d y， 没问题吧？对不对？所以我们回到这来，就是你要证明原来的积分，现在呢，就变成了证明这个积分大于等于零，但是其实也不好证，那对吧？那我们注意到积分区域关于 y 等于 x 的 轴对称性，轮完了之后，你把 x 换成 y， 对吧？然后把 y 换成 x， x x 换成 y， 那 就是 g x 减 g y， 对 吧？然后，然后 d x d y 大 于等于零， 而我告诉过你，这个积分大于等于零，如果不好挣，那么下面这个积分大于等于零，多半也不好挣，但是因为这两个积分是相等的，我干脆就把它们加起来除以一个二，对吧？所以就等价于什么呢？积分区域 d， 当然啊， 加起来除以一个二，但是本来右边是大于等于零嘛，对吧？那你除的那个二，你把分母的二乘到右边，零乘以二，是不是还是零？所以那个二分之一那个系数我就不再写了，对吧？我就直接把这两个积分加起来，能听懂吧，对吧？而这俩相加的时候，奇迹发生了， 上面是 g y 减 g x， 下面是 g x 减 g y， 是 不是相当于本质上就是相同的共音式，只是相差一个负号，对吧？所以我如果啊提一个 g x 减 g y 出来，对吧？就是这两个背积函数相加的时候，我提一个 g x 减 g y 出来，那这个地方是不是剩一个 f y 啊， 对不对？而上面本来是 g y 减 g x， 你 提的 g x 减 g y， 那 就是减 f x， 对不对？然后呢？ d x d y 大 于等于零，对不对？好做到，这是不是看起来已经很对称了，因为第一个中框是两个 f 相减，第二个中框是两个 g 相减，是不是看着就比这一排和这一排看着舒服一点？ 能听懂吧，对不对？但是呢，如果你还觉得不顺眼，你发现这个 f 里面，对吧？减号前面是 y， 减号后面是 x， 而这个 g 呢？啊，减号前面是 x， 减号后面是 y， 那 咱们干脆就把第一个中框， 对吧？提一个负号出来，对吧？那把负号约掉的话，不等号会改变方向，那相当于就是要证明这一个不等式成立，那就等价于什么呢？等价于证明区域低上。把第一个中括号改成相反数，那就是 f x 减 f y 乘以一个 g x 减 g y， 然后呢？ d x d y 小 于等于零，对吧？也就是说，我们本来要证明原来的这个不等式，现在就变成了证明这个不等式，而这个不等式，我告诉你，是显然天生成立的，为什么呢？因为有一个条件，我们到现在都还没用啊，就是单调性相反， 对吧？ f 和 g 的 单调性相反，说明什么？说明我们这个地方看清楚了哦，如果 f x 比 f y 要大，那么这个时候 g x 就 一定比 g y 要小， 对不对？因为它俩单调性是相反的嘛，对吧？如果这两个中框是同正或者同负，那不就单调性相同了吗？对吧？同样的道理，如果 f x 啊，如果，如果第一个中框里面，减号前面的 f x 是 比 f y 要小的，对吧？如果 f x 小 于 f y， 那 么 g x 就 一定会大于 g y， 因为 f 和 g 的 单调性相反， 对吧？那说明什么呢？说明这两个中括号一定是异号的，对不对？当然，除非 x 刚好等于 y 的 时候，对吧？这俩就等于零嘛。所以我们这个地方补一句话，那就是由于啊， f 和 g 单调性相反 啊，单调性相反，那就说明上面的这个背接函数 f x 减 y， 对 吧？乘以个 g， x 减 g y， 对不对？我再强调一遍喽，如果第一个括号是正，第二个括号一定是负。如果第一个括号是负，第二个括号一定是正。当然啊，如果 x 刚好等于了 y， 那 第一个中括号和第二个中括号是不是都是零？所以这两个中括号乘起来的时候，要么是两个异号的乘起来，要么是两个零乘起来，对不对？所以乘起来一定是小于等于零的， 对吧？那背景还说小于等于零呢，那这个二重积分是一定就小于等于零了，对吧？那他小于等于零之后，看清楚了哟，我们这个地方就是双向箭头，我们每一步都是横等变形，对吧？都是可以倒推的，所以这一步显然是成立的，对吧？那倒推，那这一步也成立，这一步也成立，这一步，这一步全都成立，对不对？所以故原不等式成立， 能听懂吧，兄弟们做到这啊，我都没有去看宇哥的参考答案怎么做的，因为这就是我自己的讲课习惯和思维习惯，就是当我自己把这个题秒杀或者用了什么方法做出来之后，我一般来说就不想看别人是怎么做的了， 因为每个人的思维是不一样的。那现在你听懂了这一个思想方法的，听懂了这个证明过程的，可以在弹幕里面扣波一，好吧，如果你没有听懂，不要着急，很有可能是因为你还没学到二重积分，你但凡学了，你再回过头来听，你一定能看懂的， 对不对？好，最后的最后我再总结一点啊，就是为什么凯哥会想到一个这么秀的方法呢？这个方法一点都不超纲哦，对吧？为什么会想到呢？就是因为凯哥知道两个定积分乘起来可以合并成一个二重积分，就这么简单， 对不对？好， ok， 那 我们继续啊。好，接下来第九题啊，这个题其实很简单，你看他说 f 一 撇在 a 到 b 上连续 f a f b 都是等于零的，叫我们证明，当 x 属于开区间 a 到 b 的 时候， f x 的 绝对值小于等于二分之一倍 a 到 b f 一 撇绝对值的积分。 那你要知道，不等号左边只有 f 不 等号，右边是不是有 f 一 撇？那要建立 f 跟 f 一 撇之间的关系。一般来说有两种方式，第一种是拉格朗日中值定律，也就是 f b 减 fa， 是 不是等于 b 减 a 乘以 f 一 撇可赛， 对吧？那等号左边是 f 减 f， 等号右边出现了 f 一 撇，是不是建立起了 f 跟 f 一 撇之间的关系？但问题是，听清楚啊，拉格朗日中值定律有一个致命的缺陷，那就是它得到的那个 f 一 撇里面，它不是 x， 而是可赛。 这个可赛是一个不确定在哪个地方的一个中值而已，对不对？你只知道可赛在 a 到 b 这个区间里面，而我们这个地方要挣的是什么呢？要挣的不是 f 一 撇可赛的积分，而是 f 一 撇 x 的 积分，对不对？那这个时候我们就想，那还有什么方法可以建立 f 跟 f 一 撇之间的关系，而且这个 f 一 撇里面还是 x 呢？ 很简单，那就是利用牛顿来逼值公式。看清楚啊，也就是说，见到 f b 减 f a 是 不是可以还可以把它还原成 a 到 b 上 f 一 撇 x 的 积分呐，对 吧？你 f 一 撇积分就是 f 带上下线，那不就是 f b 减 f a 了吗？对吧？当然，这个等式成立的前提条件是 f 一 撇 x 要连续， 因为 f 一 撇在 a 到 b 里面了嘛，对不对？在定级分符号里面，所以不仅要求 f x 可导，而且还要要求导函数可积，最好导函数是一个连续函数好吧， ok， 说多了扯，扯回来啊，我们扯回来。你看我们这个地方不等号左边只有一个 f x， 对 不对？我们没有出现同频函数相减，我们就用不了这个利用 牛顿来宾式公式。但是题干是不是同时说了，两个端点的函数值都是零啊，对不对？那就说明 f x 是 不可以写成 f x 减 fa， 对 不对？然后呢，把它利用牛顿来宾式公式是不是写成 a 到 x 这个区间 f 一 撇 t dt， 对 吧？而我们要正的是带了绝对值的，那我就加一个绝对值嘛，加一个绝对值，再加一个绝对值，对不对？而积分的绝对值是小于等于绝对值的积分，那就小于等于 a 到 x 这个区间 f 一 撇 t 绝对值 dt。 把绝对值拿到里面去之后，积分会变大吗？能听懂吗？好，同样的道理。那你如果想用到 f b 等于零这个条件呢？那我是不是可以把 f x 的 绝对值写成 f x 减 f b， 然后再加绝对值，那同名函数相减，又利用牛顿来分之公式，是不是可以把它写成 x 到 b 这个区间 f 一 撇 t 的 积分？ 那有同学可能会说，哎呀，这个积分积出来带上下限，那不是 f b 减 f x 吗？你这个地方是 f x 减 f b， 但是要加绝对值啊，那就无所谓了呀，对吧？谁减谁是不是都是一个意思，反正有绝对值 对不对？那你看小于等于多少呢？把绝对值拿到里面去，那不就是 x 到 b， 对 吧？这个区间 f 一 撇 t 的 绝对值 d t。 好 做到这这个题基本上已经做完了这两个等式，一加这个题就结束。你看左边加左边就是二倍 f x 的 绝对值，右边加右边，你看小于等于多少？ 上面这个积分和下面这个积分是不是刚好把积分区间拼到一起了？ a 到 x， x 到 b， 是 不是刚好续上了，对不对？那不就是 a 到 b 整个完整的区间吗？然后 f 一 撇， 本来应该是 f 一 撇 t 的 绝对值 d t， 但是定积分的积分结果与积分变量用哪个字母表示无关，对不对？所以我就写成 f 一 撇 x 的 绝对值 d x， 然后把二除过去，那我们就得到 f x 的 绝对值小于等于二分之一倍， a 到 b 这个区间绝对值 f 一 撇 d x， 这不就是我们要证的结论吗？ 做完了对不对？听懂的发个一啊，兄弟们，听懂的发个一。这个题我会直接讲五种解法，这五种解法都不超纲，都是考研数学必须掌握的方法。我们来分析一下我们要证的结论。我们发现我们要证的这个结论的左边只有 f， 对 吧？它描述的是 f 的 事，但是呢，这个不等号的右边却有大 m， 这个大 m 限制的是 f 一 撇的范围，也就是说，我们要证的不等式，是不是相当于连接起了 f 和 f 一 撇之间的关系啊？ 那我们回想一下，我们学过的所有定律里面，哪一个定律是专门连接 f 和 f 一 撇之间关系的？大家把这几个字打在弹幕上，对吧？什么定律可以建立 f 跟 f 一 撇之间的关系？是不是？拉格朗是中值定律啊， 对不对？但是拉格朗是中值定律，是同名函数相减，而你左边的背接函数只有一个 f， 那 么没有什么东西和它相减，那怎么办呢？那我们注意到题干里面有一个 f 零等于零，那我是不是可以在 f x 后面给他减一个 f 零，因为反正 f 零是零吗？减了是不是相当于没有减，对不对？所以我们要正的这个不等式的左边，我们照抄 零到一 f x d x 积分的绝对值，你可以先在 f 的 后面给他减一个 f 零，强行制造同名函数相减， 对不对？那 f x 减 f 零用完拉格朗日之后，是不是应该是 x 减零乘以一个 f 一 撇可算，对吧？然后 d x 再加绝对值嘛？ 然后接下来就要用到一个非常常见的不等式了，就是积分的绝对值是一定小于等于绝对值的积分的，当然前提是积分下限小于等于积分上限嘛，对吧？就是 a 到 b， f x 先积分再加绝对值，是小于等于 a 到 b 到 b 上先对被积函数加绝对值再积分的。 这个不等式大家知道吧，对吧？它的几何意义很明显哦，定积分的几何意义是平面图形的面积，而且这个背积函数是不是就是那个曲边梯形的高， 对不对？那 f x 本来是可正可负的，对吧？那你直接积分的话，那可能正面积跟负面积有一些会抵消，对吧？但是如果你先对 f 加绝对值，那是不是相当于把 x 轴下方的那些图像也翻到上面去了？那相当于每一块都是正面积，那你加起来的总面积是一定就会大于正负抵消之后的面积。 能听懂我的意思吧，对不对？所以我们这个地方积分的绝对值是小于等于绝对值的积分，所以把绝对值拿到里面去。而又因为 x 的 范围就是零到一，它本来就是正的，所以它就不用加绝对值了，所以就只需要写成 x 乘以 f 一 撇可塞的绝对值，是不是就可以了， 对吧？而你一看到 f 一 撇的绝对值，你是不是马上想用条件把它放大，放大成大 m， 对 吧？所以它就小于等于零到一 x 乘以大 m， 然后 d x， 对吧？大 m 是 一个常数，它可以提到外面去嘛，那就只剩零到一 x 的 积分，那不就是二分之一 x 平方带上下线，那就是二分之一哦，再乘以前面的大 m， 那 就是二分之大 m， 所以 我们就正完了正 b， 这是不是最自然的解法？但是它只是我们这一个视频的冰山一角啊！我们再来看第二个解法。好，我再问大家一个问题，就是我们学过的所有定律和公式里面，有哪一个定律是建立起了 f 跟 f 一 撇之间的关系。 有同学听到这，感觉时光倒流了，他说，凯哥，你刚才不是问过吗？拉格朗日中值定律啊。但问题是，难道只有拉格朗日中值定律，它可以建立 f 跟 f 一 撇吗？见到同名函数相减，不要只会拉格朗日中值定律，你还要会利用牛顿来表示公式， 对吧？就是 f b 减 f a， 我 是不是可以看成 f e 撇 x 的 积分，然后带上下线 a 到 b， 那 不也是 f b 减 f a 吗？ 所以回到这来解法二的第一步，和解法一是一样的，但是见到同一函数相减，我把它还原成 f 一 撇的积分，可不可以？那就是最外层的零到一不动里面的 f x 减 f 零，把它写成零到 x 这个区间， f 一 撇 t 的 积分，没毛病吧，对不对？然后再 d x 回去， 对不对啊？当然啊，绝对值我又忘了加啊，绝对值忘了加，那么你想我们刚才说过，积分的绝对值小于等于绝对值，那现在是不是积分的积分的绝对值？ 那我现在如果想把绝对值往积分符号里面拿的话，那是不是相当于一层一层剥开了积分符号的心？我可以先把最外面的绝对值先往里面拿一点点，对吧？相当于把这个中括号的位置改成绝对值，那是不就已经是小于等于符号了？ 然后再来这个改成绝对值之后，绝对值里面还是积分，那我是不是又可以用这个不等式把绝对值再往里面拿，对吧？那我连续用两次这个积分的绝对值小于等于绝对值的积分，那相当于就把绝对值拿到最里面去了，那就是小于等于零到一，然后呢？零到 x， 对吧？绝对值里面是不是就是 f 一 撇 t， 然后呢？ d t 好 扩起来 d x 嘛，对吧？而你一见到 f 一 撇的绝对值，你是不是就想把它放大成大 m， 对 吧？所以我们继续放缩小于等于零到一，然后零到 x 大 m， d t 扩回来再 d x， 对 吧？而内乘积分大 m 居然是一个常数，常数的定积分是不是就等于这个常数乘以上线减下线，那就说明这个小括号里面这个积分其实就是 m 乘以个 x， 对吧？你把 m 提到外面去， x 在 零到一的积分是不是又是二分之一，所以整个积出来又是二分之大 m， 所以 我们又正完了，正 b， 好 到这能够听懂的发个一，但是还没完呢，这还是冰山一角。那么我再问大家一个问题，有什么定律和公式可以建立 f 跟 f 一 撇之间的关系？ 有同学听到这都想打我了，他，凯哥，你别卖关子了，你赶紧讲吧。好，我再教你一招啊，是什么呢？是分布积分。 你想啊，分布积分是不是会把一个积分变成另外一个新的积分？而那个新的积分是不是相当于就是把 d 前面的和 d 后面的交换了一下位置， 对吧？而放到 d 后面去的东西，是不是相当于就对那个东西求导，对吧？就比如说 d f x 是 不是相当于就是 f 一 撇 x d x 对 不对？所以你为了制造导函数，对吧？你为了让左边的 f 变成 f 一 撇，从而出现大 m 这个东西， 对不对？那你是不是可以用分布积分呐？也就说零到一 f x d x， 我 直接分布积分，是不是一定也会出现 f 一 撇，对不对？但是分布积分的时候一定要注意一个非常重要的点啊，一般的老师是不会教给你的，听清楚， 那就是当我们通过分布积分把一个积分转变成另一个积分的时候，我们希望等号右边另一个积分前面什么都没有，什么意思呢？给大家举一个例子啊，就比如说，当我们要计算这个 a 到 b 这个区间 f x， 然后呢？ d g x 的 积分的时候， 对不对？它是不是根据分布积分应该等于 f x g x 带上下线 a 到 b， 减去 a 到 b 这个区间上交换位置的积分，那就是 g d f d f 是 不是 f 一 撇，然后 d x 嘛？ 对吧？记住，当我们使用分布积分证明积分不等式的时候，我们特别特别渴望等号右边的第一项等于零，对吧？这个东西叫什么呢？叫做边界值 对吧？这个东西叫做边界值，我们都希望边界值等于零，因为这样的话，我们就把一个积分直接转化成了另一个积分，对不对？是不是等号右边就没有任何干扰项 对不对？那回到这个地方来，如果我直接使用分布积分，是不是应该等于这俩相乘？带上下线下线零带进去是不是零， x 也是零，然后呢？ f 零也是零 对不对？是不是下线带去肯定是零，那上限带去是不是一倍的 f 一 等于几对吧？那就凉了，那边界值不为零， 那这个时候我们应该怎么办呢啊？一般来说啊，遇到这种情况，我们都可以在 d 后面加减某一个常数，从而使得这俩相乘之后，不管带上限还是带下限都是零，也就是边界就是零， 对吧？那到底加减哪一个常数呢？很简单，认真听我讲啊，你看这俩相乘的时候，如果把下限零带进去，是不是 f 零自己就已经等于零了？ 也就是说， d 后面的东西，不管是 x 还是 x， 加一个常数都不重要，反正下线带进去的时候， f 零自己就已经是零，那零乘任何东西都是零。 所以我就只需要考虑把上线一带进去的时候， f x 乘以 x， 如果等于零就好了，对吧？但是 f 一 提干没告诉你啊，对吧？ f 一 不一定等于零，那你就寄希望于 d 后面，对吧？如果 d 后面的东西等于零就好了， 对吧？那怎么才能等于零呢？很简单，你把零到一 f x， d x 的 积分写成什么呢？写成 d x 减一， 对吧？在 d 后面加减一个常数是不会改变积分值的，能听懂我的意思吧，对不对？那这个时候你看分不积分的话，这俩相乘，带下限进去 f 零是零，带上限进去 d 后面一减一是零，对吧？所以边界值就等于零，减去零到一这个区间交换位置的积分， 对吧？那 d f x 是 不是就是 f 一 撇 x， 然后呢？ d x 对 不对？好，左右两边同时加绝对值，左边加绝对值就是零到一 f x d x 的 绝对值。右边呢？你看这个符号加了绝对值之后，符号是不是就抹掉了？ 那就变成了绝对值，零到一 x 减一乘以 f 一 撇 x d x， 对 吧？是不是又可以用那个绝对值不等式了？就是积分的绝对值小于等于绝对值的积分，那是不是相当于把绝对值往里面拿，那就变成小于等于零到一这个区间上。你看 x 减一的绝对值，是不是就是一减 x， 对 吧？因为 x 减一在 x 属于零到一的时候，肯定是个负的嘛。那你把绝对值打开，是不是自动就是一减 x， 然后再乘以一个 f 一 撇绝对值 d x， 对 吧？而你一见到 f 一 撇的绝对值，是不是就就忍不住把它放大成大 m， 对 吧？所以就小于等于把这个大 m 提出来，那就是零到一一减 x d x， 对 吧？而从减号处拆开嘛，一再零到一积分就是一 x， 再零到一积分是不是就是二分之一？一减二分之一是不是又是二分之一啊？再乘以前面的大 m， 就是 二分之大 m。 又做完了，好，接下来教大家第四个解法。这个第四个解法最惊艳啊，没有之一。来， 这个方法我自己取了一个名字，叫做以退为进，泰勒展开。你看，一提到泰勒展开，大家就会觉得高阶岛才能泰勒展开，你这个地方只告诉了一阶科岛，怎么泰勒展开呢？所以我补充了前面的那四个字，叫做以退为进。 也就是说，我不研究 f x 本身了。虽然题干告诉的都是小 f 相关的东西，但是我现在把变上限积分函数当成我要研究的新的函数，也就是说，我退一步，我去研究大 f x 等于零到 x 这个区间，然后 f t d t， 对 吧？好，一旦构造了一个变上限积分函数之后，一定要养成好习惯，那就是把上限和下限让他们相等，得到一个天然的大 f 零就等于零了， 对吧？而我们要知道，大 f 作为变上限积分，大 f 求导是不是就是小 f？ 所以 小 f 零等于零，其实就是大 f 一 撇零等于零， 对不对？那这个时候你想大 f 这个函数在零这个点的函数值和导数值都知道，那你能够忍住不太的展开吗？啊？你能够忍得住，那你也是神人啊， 对不对？告诉了同一个点的函数值导数值，那你是不是可以把大 f 在 零这个点展开，对吧？而且我们注意到我们要正的是什么呢？我们要正的是零到一的积分，对吧？那是不是刚好就是大 f 一 的绝对值？ 也就是说，我们不是把大 f x 在 零这个点展开，而是直接把大 f 一 在零这个点展开，是不是应该等于大 f 零加大 f 一 撇零乘以 x 减零啊？乘以一减零，乘以一减零，再加上二的阶乘分之大 f 两撇可赛乘以一减零的平方， 对不对？现在我们把所有的数据全部带进去，大 f 一 是啥呀？就是零到一 f x d x， 而大 f 零跟大 f 一 撇零都是零，所以这两项就没了，那就只剩一个余项，对吧？就搞了半天，你这个积分居然就等于这个拉格朗是余项，那就是二分之多少？大 f 是 小 f 的 原函数，那大 f 的 二阶导就是小 f 的 一阶导， 对不对？所以大 f 两撇可赛就是小 f 一 撇可赛，然后一减零的平方，那不就是一吗？对吧？那做到这，兄弟们做完了呀？为什么我们直接两边加绝对值不就结束了吗？零到一 f x d x 的 积分的绝对值 是不是应该等于二分之 f 一 撇可赛的绝对值？而见到 f 一 撇的绝对值，是不是把它放大成大 m， 那 就小于等于二分之大 m 做完了， 这个方法是不是最惊艳了，对吧？直接构造变现积分函数，然后呢？泰勒展开，展开完之后，你发现这个积分居然就等于拉格朗日，余下直接放松，战斗结束 好，还没完呢，你还能学到东西。我们再来讲最后一个解法。解法五，那就是我们回到这个地方的问题，就是有什么东西可以建立 f 跟 f 一 撇之间的关系？ 就是如果你没有学过什么拉格朗格公式的，你没有学过分布积分，没有学过流动来的公式，其实你也能建立 f 跟 f 一 撇之间的关系。当然我说句题外话，知不知道为什么要建立 f 跟 f 一 撇之间的关系？ 就是因为我在这个视频最开头我就讲了，因为这个不等式的左边研究的是 f 的 事儿，这个不等号的右边这个大 m 是 f 一 撇的范围，也就是说，这个不等式是不是相当于把 f 跟 f 一 撇通过小于等于符号连接起来了。所以这也是为什么我们一直要寻找建立 f 跟 f 一 撇之间的关系的一个定律呢？ 但是这个方法在具体实施的时候，其实有一个小的注意事项，就是这个题啊，他给的这个区间零到一，其实是掩盖了这个结论的本质，为什么呢？因为其实他应该是小于等于二分之大 m 乘以一的平方，这是一的平方，刚好等于一了，让你以为他什么都没成。 比如说我给你举一个例子啊，我们在讲减法五之前，我们把区间如果改成零到 a， 对 吧？改成零到 a 的 话，你看一下这个结论会怎么变？ 你看零到 a 这个区间 f x d x， 如果你要使用拉格朗日中值定律，你在 f x 后面减一个 f 零，再拉格朗日是不是应该是零到 a 这个区间 x 减多少？减零，然后乘以一个 f 一 撇可赛，对吧？然后再加绝对值嘛， 对不对？然后呢？再把积分的绝对值放大成绝对值的积分，那就小于等于零到 a 这个区间上 x 乘以 f 一 撇可赛 的绝对值，对不对？然后 d x 那 见到 f 一 撇的绝对值，就想把它放大成大 m， 那 就小于等于大 m 乘以多少？看清楚了哟。 x 积分是二分之一 x 平方，但上下线零到 a， 哦，是等于二分之大 m 乘以 a 的 平方， 也就是说这个题目啊，它区间给的零到一，其实掩盖了右边这个 a 平方的本质，让你以为右边就是二分之大 m， 对 吧？但其实它还成了一个区间长度的平方，能听懂吧？ 那为什么我要讲这个事呢？很简单，因为这才是这个题的本质，对吧？知道了本质之后，我们才能更好的构造第结发五的辅助函数。你想，我们要正的是这个积分的绝对值小于等于二分之大 m 乘以 a 的 平方，那你如果把绝对值打开的话，那它是不是相当于证明 零到 a 这个区间 f x d x 是 小于等于二分之大 m， 然后乘以个 a 平方， 是不是相当于？你要证的其实是这一个玩意？那这个时候我们就把这个不等式当成一个常规的不等式来证明就行了，对吧？怎么证呢？就是我们高中生都最熟悉的方法就是一下构造函数求导判断单调性就可以了，这是最普通最普通的方法， 对不对？也就是说啊，我们的解法五起手第一步是什么呢？是令 g x 这个辅助函数等于什么呢？等于零到 x 这个区间， f t d t 减多少？减二分之大 m 乘以 x 平方，一定要再乘一个 x 平方好。构造出了函数之后，我们求导之前，我们先算一下端点值， g 零等于几？零到零的积分是零，零的平方也是零，所以零减零是不是还是零啊？对不对？然后我对 g 求导，得到 g 一 撇等于 f x 减去一个二分之大 m 乘以 x 平方求导，那不就是 m x 吗？ 对不对？好，得到了 g 一 撇之后，再带一下端点，发现 g 一 撇零是不是也是零啊？因为 f 零是零吗？零减零是不是还是零，对不对？然后我们再来算一下 g 两撇，兄弟们，大的要来了哟， g 两撇居然等于 f 一 撇减去大 m， 对吧？你见到 f 一 撇又见到大 m， 是 不是想到题干给的这个不等式啊？ f 一 撇的绝对值小于等于大 m， 那 f 一 撇自己是不是负的大 m 到正的大 m 之间，对不对？那 f 一 撇减去大 m 是 不一定小于等于零的， 对吧？那既然小于等于零，那就说明 g 一 撇 x 是 单调递减的嘛。而又因为 g 一 撇零刚好就是等于零，你 g 一 撇又是单调递减，那就说明 x 大 于零的时候啊，那就说明 x 大 于零的时候，我们的 g 撇 x 是 不是就应该是怎么样？是不是小于 g 撇零等于零呢？而 g 撇小于零，是不是说明 g x 单调递减了， 对不对？ g x 单调递减， g 零又等于零，那就说明 g e 是 不是应该是小于等于我们的 g 零的， 对吧？因为它单调递减嘛，所以变量越大，函数值越小。那为什么这个地方是小于等于而不是小于呢？那是因为这个地方对吧？人家的 g 两撇本来也是小于等于零嘛，对吧？题干告诉的也是绝对值小于等于大 m， 那做到这其实就已经做完了，为什么呢？因为 g 零等于零不等号，右边就是零，对不对？那 g 一 等于多少？是不是就是零到一的积分减去二分之大 m， 对 吧？这俩相减小于等于零，那你把二分之大 m 挪到右边，那不就是零到一的积分 小于等于二分之大 m 吗？对不对？而这只是我们解法五的一半吗？那做到这之后，有同学可能会有疑惑，他说，凯哥，人家叫你证明的有绝对值，你这个地方怎么没绝对值呢？很简单，因为我们在做解法五之前，我们在草稿纸上分析了一下，我们发现要用解法五做的话，其实要先把绝对值打开才能求到吗？ 而你打开之后是不是一个不等式链？我们刚才的过程，结发物里面的过程，是不是只证明了右边这一半的不等式，对吧？那同样的道理，如果你要证明左边的不等式的话，那你是不是需要把最左边加到中间去，对不对？所以同理啊，同理，我们是不是可以令 h x 等于中中间的零到 x f t d t， 然后怎么样？是不是加上左边的二分之大 m 乘以 x 平方， 对不对？好，我们带一下端点， h 零是等于零的，对不对？好，我对 h 求导，得到 h 一 撇等于 f x 加一个 mx， 对 吧？ h 一 撇零呢？是不是刚好也是零啊，对吧？ f 零是零吧？零加零就是零，然后我再对 h 求导，得到 h 两撇，是不是就是 f 一 撇再加一个大 m， 对不对？而题干里面又说了， f 一 撇是不是介于负大 m 到正大 m 之间的，对吧？所以 f 一 撇加一个大 m 怎么都是大于等于零的，对不对？那 f 那 h 两撇大于等于零，那就说明 h 一 撇单调递增，而 h 一 撇零刚好等于零，那就说明 x 大 于零的时候， 对不对？我的 h 一 撇 x 是 应该是大于等于 h 一 撇零是不是应该等于零的？那 h 一 撇 x 大 于等于零，那就说明 h x 是 不是应该是单调递增的？这是就是高中数学那个玩意儿，对吧？一直求导吗的判断单调性，对吧？ h 递增，那就说明我们的 h 一 应该大于等于 h 零， 对不对？ h 一 是多少，你看是不是就是零到一？ f t d t 其实就是 f x d x 嘛，对吧？再加一个二分之大 m 乘以一的平方，就是加二分之大 m， 对 吧？那怎么样呢？要大于等于 h 零，那就是大于等于零嘛？那你把左边的加二分之大 m 挪到右边，那就是大于等于负的二分之大 m， 对不对？所以中上啊，我们就可以得到，我们构造 g x 证明出了不等是右边。我们构造 h x 证明出了不等左边，对不对？所以这两个不等式一连立，那不就是负二分之大 m 小 于等于零到一 f x d x 小 于等于二分之大 m 吗？ 对不对？那么一个积分介于两个相反数之间，那就说明这个积分的绝对值怎么样呢？是不是一定小于等于二分之大 m 做完了 对吧？兄弟们，五个解法一览众山小。听到这，我觉得你能忍住不关注我吗？不可能吧，对不对？我们这五个解法我们口头叙述一下啊！ 来，这五个解法大家应该还记得吧，我快速回顾一下啊。解法一，为了建立 f 跟 f 一 撇之间的关系，就构造同名函数相减，用拉格朗日中置定律。解法二呢，也是构造同名函数相减，写成了 f 一 撇的积分，对吧？然后用绝对不等式也能放缩出来。 解法三呢，很牛逼，是直接分布积分，它也能建立 f 跟 f 一 撇之间的关系。而我们的解法四，是不就是最惊艳的直接构造变上限积分函数？然后呢，泰勒展开，展开之后发现这个积分居然就是拉格朗日余像，对吧？所以直接对 f 一 撇的绝对值函数直接就做出来了， 对吧？而我们的解法五呢，是不是直接回到了高中思维，对吧？就是要证明一个绝对值不等式，那我就把绝对值打开，打开了之后，先正左边再正右边，对吧？而且分别正左边正右边的时候，我们是不是就是把两边的东西挪到中间去，然后构造函数求导判断单调性？ 听到这之后，再回过头看我们的第一页，我们的标题就叫做一道题，学会考研范围内积分不等式的所有解法。我没有给大家吹牛吧，对吧？五种解法，完全五种不同的思维方式，对不对？而且我告诉你，这一道题以及这五个解法，只是我全程班讲积分不等式的第一道例题而已， 对吧？我就是通过这一个例题，先让大家学会积分不等式一共有哪些常考的考法。然后呢，针对每一个考法，我又给大家列出了几道比较难的题目，所以凯哥的学生遇到积分不等式是不可能害怕的好吧，所以如果你想学习系统的解析方法的话，真的可以直接听我的全程班。 听了我的全程班，其实我的每日一题你真的都不用听了，因为我全程班里的东西，基本上就把考研范围内所有的知识点和解题方法全部都给你囊括了。好，我们再来看到最后一个题啊，这个题好多同学都在问，我说完全没有任何思路，那你听一下凯哥讲，你是不是会觉得非常自然，认真听啊？ 他说 f x 是 x 到 x 加一这个区间三以 u 平方的积分，叫我们证明的是 x 大 于零时， f x 的 绝对值小于等于 x 分 之一。那这个题有两个非常重要的矛盾， 第一个就是三以 u 平方 d u 这个积分，它没有初等元函数，它算不出来，你就不要尝试着非要把它计算出一个具体的结果，然后再放缩算不出来的，好吧，这是第一点。第二个突破口是什么呢？就是我们要正的这个不等式，它的 x 在 分母， 你想一下， x 怎么可能才变到分母去呢，对吧？这是第二个突破点，对吧？我们一个一个来， 首先 sin u 平方 d u 的 积分，刚才已经说了是积不出来的，但是如果你完全不对它变形不动它的话，这个题就没办法做了，对不对？所以我就想，如果我能够把 sin 凑进去就好了， 对吧？但是呢，如果是 sin u d u， 那 当然简单呐，那积出来就是负的 cosine， 对 不对？但是 cosine 里面是 u 平方，那怎么办呢？我们就想，如果 d 后面也是 u 平方就可以了，那这个时候我把 u 平方的这个整体，那 cosine 积分不就是负的 cosine u 平方吗？那为此我需要做这样一个操作，就是 f x 等于 x 到 x 加一这个区间，我要在 sin u 平方的前面给它补一个 u， 对 吧？因为这个 u 就是 用来凑到 d u 的 后面去的，对吧？这个时候 u d u 的 积分，那不就应该是二分之一倍 d u 平方吗？ 对不对？但是你前面成了一个 u， 那 你不可能平白无故乱乘啊？那你是不是要补一个 u 分 之一去抵消它，对不对？所以你看这个 u 凑到 d 后面去，变成二分之一倍， 这些积分符号都是照抄的，然后 u 分 之一也照抄 sin u 平方 d u 平方，没毛病吧？我们把 u 平方的这个整体，我们是不是可以把 sin 凑进去， 对吧？好，那就应该等于 sin 积分是负的 cosine， 所以 就是负的二分之一被 x 到 x 加一这个区间，然后 u 分 之一 d cosine u 平方。 好。有些同学坐到这之后，他就提出质疑，他说，凯哥，你如果说要分布积分的话，那你为什么不直接在这分布积分呢？对吧？直接分布积分，那就应该等于 u 乘以三 e 又平发，然后再减去交换位置的积分，那不也是分布积分吗？ 对吧？你搞了半天，坐到这之后，我终于知道你要干嘛了哦？要分布积分吗？但是为什么要想到把三引凑进去呢？很简单，这就涉及到我们的第二个矛盾，我们的第二个矛盾是我们的 x 在 分母啊， 对不对？所以你是不是必须让 u 出现在分母，然后这俩相乘之后带上下限 x 才会跑到分母上去，对不对？不然的话，如果你直接对一这个式子分布积分，是不是 x 永远在分子，根本就制造不了分母， 对不对？这一下你是不是就懂了，为什么我们要把三引凑进去再分布积分，然后呢？就应该等于负二分之一倍，这俩相乘就是 u 分 之扩散 u 平方带上下限 x 到 x 加一， 然后减去在哪交换位置的积分，而这个方本来就是负号，那就是加二分之一 x 到 x 加一，然后呢？交换位置之后， cosine u 平方跑到前面去了，对不对？而 u 分 之一积分呢？是不是应该是负的 u 平方？分之一，对不对？所以就变成 u 平方就跑到这来了，然后 d u 这个地方是不是就是减号？ 好，我们把这个上下限带进去一下嘛，那就是负二分之一倍，然后呢？这个 x 加一分之一倍，然后呢？这个 x 加一的平方， 对不对？然后呢，再减去 x 分 之 cosine x 的 平方，然后再减去二分之一百的这个积分 x 到 x 加一 u 平方分之多少？你看是不是 cosine u 平方 d u 做到这基本上就快结束了，为什么呢？虽然看起来很复杂，但是我们注意一下，我们要证的这个结论里面有两个特点，第一，人家的 f 上面加了绝对值的 对吧？你这个地方是不是没加，所以我左两边可以加绝对值？第二，就是我们这个不等式的右边干干净净的分子就是一个一，对吧？而我们现在这些每一项的分子是不是都是扩散一个东西的平方， 对不对？那我们是不是可以通过放缩把 cosine 给放掉？因为 cosine 的 绝对值最大最大也就是一嘛，对不对？所以我左右两边同时加绝对值，对吧？而我们又知道，和或者差的绝对值就是 a 加减 b 的 绝对值是小于等于 a 的 绝对值加 b 的 绝对值的，对不对？那我是不是可以直接把这一项两项三项 对不对？全部各自加绝对值之后再相加，那就相当于小于等于二分之一倍，你看 x 加一分子多少？你看，因为 x 大 于零，所以分母是一个正的。本来分子应该写 cosine 这个玩意的绝对值，但是我一不做二不休，我直接把 cosine 的 绝对值放大成一， 没问题吧，对不对？好，再来啊，这个地方加上，记住，这个地方本来虽然是减号，但是 a 加减 b 的 绝对值都是小于等于 a 的 绝对值加 b 的 绝对值的，你甭管左边是加还是减，右边绝对值你只能相加， 对不对？所以我们这个地方虽然是减号，但是仍然要变成加上 x 分 之 cosine 的 绝对值放大成一嘛，对不对？然后你看这个地方本来是减去二分之一，对吧？我把它看成三项的加加减减， 那三项加加减减之后再加绝对值，是不是应该等于第一个的绝对值，加第二个的绝对值，加第三个的绝对值，所以这个地方也得变成加号二分之一倍， 对不对？而绝对值我们刚才才说过啊，上一个题才说过，积分的绝对值是不应该小于等于绝对值的积分，所以我们最开始绝对值在这个最外面，对吧？现在变成了这个积分的绝对值之后，是不是要把绝对值拿到里面去，对吧？所以就是 x 到 x 加一，然后 u 平方分之 cosine 的 绝对值， 对不对？但是 cosine 的 绝对值要放大成一，对不对？ du， 因为你想嘛，你如果不放大的话，你这个积分都算不了，对吧？ u 平方分之 cosine， u 平方怎么算积分嘛， 对不对？那做到这战斗结束，我们来算一下，二分之一，前面是 x 加一分之一加 x 分 之一，后面呢？你看 u 平方分之一积分是不是就是负的 u 分 之一？负的 u 分 之一带上一下线， 对吧？上限 x 加一带进去，那其实就是负的 x 加一分之一，下限 x 带进去是负的这个 x 分 之一，但是呢，是减去下限带进去，对吧？所以负负得正，那就变成加上 x 分 之一， 括号打开，奇迹发生了，兄弟们，你看，二分之一乘以 x 加一分之一，加上二分之一乘以负的 x 加一分之一，那说明这俩刚好抵消，抵消了之后，那就只剩二分之一倍 x 分 之一加上二分之一倍 x 分 之一，这俩二分之一倍加二分之一倍，那不就是一倍吗？ x 分 之一做完了， 对不对？如果还没有特别懂这个题的，按个暂停思考一下，或者回过头啊，把镜头调往前滑一下，再听一遍。因为我已经尽可能的把这个题里面最难想的那些步骤，到底为什么要这么做，已经讲清楚了， 对吧？好，同学们，那听到这，你是不是该给我点一个关注了呢？对吧？因为这一张就是整个章与一千题基础篇最难的一张，因为它是十一道证明题啊， 对不对？全是积分等式的证明与积分不等式的证明，很多同学都特别害怕。那你听完凯哥讲完之后，是不是感觉其实也就那样，对吧？因为每一个题我不仅讲了解题方法，我是不是还把为什么要这么做也给你讲了的， 对不对？听懂的觉得有收获的发个一或六，给凯哥点个关注，点个赞，点个收藏，转发。好吧，那我们下一张再见，拜拜！拜拜！
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00:22查看AI文稿AI文稿二七年考研数学真题从三页就可以开始练了。章宇真题大全包含基础篇、加强化篇，数一到数三都齐全，基础篇试卷与解析测一一对应， 还标注其他解法，当你举一反三。强化篇包含近十四年真题，精准把握出题方向，针对性查漏补缺，下方链接带走刷透真题备考更有把握。
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01:06查看AI文稿AI文稿基础阶段跟章鱼的同学们一定要抓住大章节，这种章节他既会出选择题，也会出填空题，而且非常重要， 这种章节一定要好好学，尽量不要给自己留下太多问题。你像什么第八讲和第九讲，这两讲就是刚开始学的时候比较难，你不能因为这些东西刚开始学特别难，你就想放弃，这肯定不行的，不能为难。那么对于这些小章节的东西，它本质上这个是属于强化的一部分延伸， 所以这些东西如果你感觉基础阶段学这个特别难受，完全可以不学，或者你只完成讲一场的题就可以。 如果你的目标在一百三，那像这种章节你需要在你强化结束之后再去研究，强化之后 还是优先掌握这些大章节的内容，再去搞这些比较难的章节。那么对于大多数人来说呢？第五讲啊，第十讲，这种关于几何应用与物理应用的内容，你可以看一下其他老师讲的更好的视频去学一下， 包括你之前学的不好的章节，也可以去看其他老师的视频，但是还是要多做题。下一期咱们讲一下心态怎么去调整，关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。
9166亚瑟爱数学*
09:07查看AI文稿AI文稿大家好呀，作为刚上岸的学长，今天给二期考研的学弟学妹们梳理一下章宇蓝开体系的全套用法和时间规划，帮大家少走弯路，高效备考。 先说说蓝开体系的核心逻辑基础，三十讲是地基强化，三十六讲是拔高关键，一千题是配套练习。 三十讲内容其实已经覆盖了基础，加强化，所以不用赶进度，慢慢学透概念就好。三十六讲则侧重解题方法和技巧的精练，是冲高分的核心。一千题分 a、 b、 c 三组，分别对应三十讲、三十六讲和综合拔高，大家可以按需选择。 基础阶段，三至六月，核心任务是肯完基础，三十讲搭配一千题 a 组，打牢基础。 听课前一定要先预习章节内容，试着做例题，哪怕只思考十分钟，带着问题听课，效率会翻倍。听课后必须亲手做一遍例题和课后题，每学完一讲，花半天时间复盘整理，把知识点串成线。 强化阶段，七至九月，跟着强化三十六讲，精进解析技巧，主攻一千题 b 组用法和三十讲类似，先自己做例题再听课，最后整理出自己的解析框架和思维导图，重点复盘错题的思路，把错音对应到知识点上。 真题阶段，十至十一月，全力刷进二十年真题，查漏补缺，这时候要把之前的错题本拿出来，对照真题考点，针对性弥补薄弱环节，不用再盲目刷新题。 冲刺阶段，十二月，用模拟预测卷，比如张八套练手感，模拟考场节奏，同时回归基础知识点，保持做题状态即可。在处理这些真题和冷门考点时，我开始尝试用智能型来辅助复习，后面我会重点说说他如何帮我 用法。和三十讲类似，先自己做例题，再听课，整理出自己的解析框架。做题时别死磕卡壳的题，先标记跳过，保证整体节奏。 当天的错题一定要写下错音，每周集中回顾，把错题毛定到三十六讲的知识点上。如果一千题正确率太高，找不到薄弱点，可以搭配李永乐六六零题练思维，难度会更虐一点，帮你精准发现问题 目标不是幺三零家的同学，一千题 c 组可以暂时不做，把时间留给错题，复盘更划算。 去年有一阵子，我被六六零题虐的心态崩了，那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截。真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂。 去年有一阵子，我被六六零题虐得心态崩了，就在那时候偶然试了之能行。 最让我印象深刻的是，他不让你随便看答案。刚用的时候，每道题都得自己想办法，第一步怎么下手只能硬想，说实话挺痛苦的， 但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症，慢慢地看到题目自己能摸出思路来了。 那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截。一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批。 如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二快满格。如果你有一道题做错了，知能行会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分，逐一攻破， 真正高效的方法拆分，然后发现智能型的拆分知识点功能简直就是神奇。我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，而且看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点。 而知能行就能把一道题拆分得很清晰。把一道综合性很强的题目拆分成多个基础知识点，让你逐一排查，直到找到这道题中你的知识盲区，再对该知识点进行更细致的训练。 当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了。智能型会防止我为了作对而去专门记答案，变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。智能型既然可以帮你拆分加训练， 不得不感叹当代人工智能算法的伟大。经常就出现这种情况，智能型给我出了一道题，不会，他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。等到你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目。 哎，这题我会了，没错，就是这么神奇！然后我再去写六六零题，正确率完全不一样了， 提高了好几倍。我还作死的去试了试其他没有使用过智能型的章节，依旧是没思路，计算乱错，真的特别神奇，感觉又生气又好笑。彻底搞懂每个知识点 真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后，再刷下一道题。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了。每次刷着刷着就上瘾了， 那谁又会这么有空去一道题一道题拆呢？而且本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一张都不错了，还拆知识点，过于高估自己的水平了。所以回头看，知能行竟然可以帮你拆分加训练， 不得不感叹当代人工智能算法的伟大。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课培养了自己的学习思维。 如果我有一道题做错了，智能型会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分，逐一攻破。当然，如果有一个知识点做错次数较多，智能型就会变换多样的题目形式，全方位帮我复习巩固该知识点， 变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒，最后也只是感动自己而已。当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级，等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。 智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，每个等级的题目数量也是不固定的哦，都是因人而异， 独家定制。因为你刷题量的多少，并不代表着你上考场时候的考试水平。有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习。按照智能型给你安排的时间认真进行专题训练，你的等级就会提升的快。 因为你刷题量的多少，并不代表着你上考场时候的考试水平。有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二快满格。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习。不过也不用灰心，只要每天完成综测， 按照知能行给你安排的时间认真进行专题训练，你的等级就会提升得很快。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了。知能行会防止我为了作对而去专门记答，变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。 不过也不用灰心，只要每天完成综测，按照知能行给你安排的时间认真进行专题训练， 你的等级就会提升的很快。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了。智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的， 每个等级的题目数量也是不固定的哦，都是因人而异，独家定制。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课，培养了自己的学习思维。 如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二快满格。 当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了，每次刷着刷着就上瘾了。
177很怀念
