张宇函数连续和单调性
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15:13查看AI文稿AI文稿通过一道题掌握一类题，这次我们来学变现积分函数的连续性和可导性。思考三秒，我们直接开始。小 f x 是 个分段函数，大 f x 是 以 f t 为被积函数的变现积分函数 则在 x 等于零处，大 f x 有 没有定义呢？连续吗？可导吗？这是不是在考察我们变现积分函数的连续性和可导性呀？ 那我们先回忆一下这里对应的结论，如果被积函数 f x 是 一个可积函数，那我们先说明这个变现积分函数 x， 它的取值范围是 a 到 b 上， 那我们再说 f x 的 可积性也好。接下来说的连续性也好，指的都是在这个区间上的连续性和可积性。好吧，若 f x 在 这个 b 区间上是可积的， 那么咱们的变现积分函数一定是连续的。那你回想一下咱们对变现积分函数的背景函数最起码的要求是什么？ 最起码的要求就是待可积，所以说变现积分函数一定是连续的。连续是不是就是说每个点上都有定义，而且每点上都要满足极限值等于函数值？再看第二个结论，如果我们的 f x 是 b 区间上连续的函数， 那么变上限积分函数 f x 一定是处处可到的。并且呢， 我们这里的大 f 求导就是 a 到 x， f t d t 这个变线积分函数求导，它求完导刚好是背极函数。那下面我们再说一下，如果我们的函数 f， 它在这个 b 区间上 只有一个点不连续，其他点都连续，就一个点不连续，而这个点它又是我们不连续里面的跳跃间断点。 此时变现积分函数打 f 处处可导吗？ 此时变现积分函数处处可导吗？ 除 x 零以外的地方肯定是处处可导的，因为我们已经说了，在 x 零以外的地方，是不是小 f 都是连续的？小 f 只要连续，变现积分函数就一定可导。现在我们纠结的地方是这个点，它是跳跃间断点。那么变现积分函数在这个跳跃间断点处可导吗？ 可导不可导不知道，但它一定是连续的，因为小 f x 只要是可积的，是不是都连续？这个条件是不是能保证小 f 可积啊？那那大 f 是 不是一定是处处连续的？ 在这里想重点得到的结论是，大 f 这个变现积分函数，它在 x 零一定连续，这里是没话说的。现在想知道的是，大 f 它可导吗？ 在 x 不 等于 x 零的时候，大 f 一定可导，它的导函数就是小 f x， 但是在 x 等于 x 零时，大 f 不 可导。呦， 不可导，为什么呢？因为大 f 算出来， x 零处的左导刚好是小 f 自 x 零的左极限 x 从左侧去选 x 零时 f 的 极限， 而大 f 在 x 零的诱导算出来是 x 从就是从左侧，从右侧，就像 x 零是 f 的 极限。 因为我们的小 f 在 x 零是跳跃间断点，跳跃间断点的定义不就是 f x， 它的左极限和右极限都存在，但不相等吗？哎，它俩是不相等的。也就是说大 f 在 x 零这一点是不可导的。 这句话啊，你可以用白话文在旁边记一下，大 f x 在 x 零不可倒。 咱再用一句话总结一下这段在说什么。就是被积函数里的小 f x， 如果它有跳跃间断点，则以 f 为被积函数的变上限。积分函数在 x 零这个点处，只连续不可倒。 如果你知道右边的结论，咱们的题目你就可以秒杀。 如果不知道结论，不知道结论就不知道结论呗。我们可以根据变现积分函数的定义，把变现积分函数的表达式给写出来。写出来以后，我看看它到底在零处连不连续，可不可倒不就行了吗？只不过计算量稍微大一点而已。 那咱们用两种方法来做一下本题。先说方法一，咱就套结论了啊。 那我们先看一下这个变现积分函数的背积函数它的连续性。如果连续的话，咱们不就可以直接说大 f 肯定是可导的了吗？小 f 连续吗？ 在零到一这个区间上， f 的 表达式是负 x， 负 x 可是处处连续的，负一到零上一加 x 也是处处连续的。那就看分段点零零这一点连不连续呢？ 因为分段点零两侧的表达式不一样，所以说我们在算函数 f 极限的时候，得算它的左极限还有右极限来。从左侧趋向于零时， f 的 表达式就是一加 x 喽。 它的极限是一吧。哎，极限是一，从右侧趋向于零时， f 的 表达是，那就是负 x 了。它的极限是零，左右极限都存在，但不相等。 这说明啥？这说明 x 等于零为函数 f x 的 跳跃间断点， 并且还分析过了，零以外的地方都连续 f x 在 负一到零，并上零到一连续。 那这里直接套我们的第三个结论不就出结果了吗？变现积分函数只在零连续，但不可导哟。所以说大 f x， 它只在 x 等于零连续， 但不可导，并且不可导的原因是它的左导和右导都存在不相等导致的。因此本题的答案选 c。 如果不是为了规范这个版书，这道题目铁定能够在十秒内做出来的。你再回头过一遍， 左极限是一，右极限是零， f 在 零是跳跃间断点，零以外是连续的。所以说大 f 只在零连续，但不可等。选 c 结束结论超级好用，把它掌握住。 如果你不知道这个结论，或者说你不是很理解这个结论，你想知道为什么，那咱们就用方法二定义法，把它的前因后果都说清楚。方法二定义法， 咱们把题目里给的这个背记函数的表达式带到这个里面来，算出这个积分，那么我们不就知道了大 f 的 表达式了吗？ 咱们在带这个 f t 的 时候，需要看一下 t 的 曲值到底是零到一还是负一到零。我为了让大家看的更清楚，我画一个简单的竖轴辅助你理解一下。这里呢，是 t 轴吧， 虽然这个 f 它本身的自变量用 x， 那 自变量用 t 还是用 x， 是 不是都一样呀？好，我把自变量用 t 了啊，这是 t 轴，如果这里是零的话，这里是负一，这里是一，那么我们的函数 f t t 如果落在了零到一这个区间上， 我们代入表达式负 t， 如果落在了负一到零这个区间上，我们把 f 的 表达式带成一加 t， 那 么开始，那么咱们想要的大 f x 就是 负一到 x 上背接函数带谁啊？你看 t 的 取值范围是不是从负一到 x， 从负一到 x， x 在 哪？是在这个位置呢？还是在这个位置呢？ 是不是得讨论呀？如果 x 在 零的左侧，那我们的积分区间就是负一到 x， 它只在这一段上取值，我们被记函数代入的就是一加 t。 可是如果我们的 x 现在大于零的话，我们就是从负一到这里积分， 那从负一到这个位置上，我们的背及函数那就要分两种情况了，就是分成负一到零上，咱们带它，而零到 x 上呢，咱们带它。所以说第一步应该先讨论 x 是 小于零还是大于等于零，当 x 小 于零的时候， 当 x 大 于等于零的时候。好，先看小于零的时候，小于零的就是我们这个蓝色笔的部分，就是 x 在 零的左侧，积分区间是这一段，那么被积函数代入的就是一加 t， 那这里是一加 t， 咱们基础来就是 t 加上二分之 t 方带入上下线，带入上线就是二分之， x 方加上 x， 再减去个下线，下线的话是负一加上二分之一，是不是就是负二分之一？ 那减去负二分之一就是加上二分之一。再看 x 大 于等于零的情况， x 大 于等于零就是 x 在 零点的右侧，是不是就是我们图形上红色笔的这种情况？ 此时我们的背记函数带谁？如果负一到零上的话，就带它，零到 x 上是不是带它？所以说我们的负一到 x 这个区间要分成负一到零以及零到 x。 利用积分区间的可加性，负一到零上的表达式是一加 t， 而零到 x 上的表达式是负 t。 关于这一项积分是不是写出元函数了？ 只不过我们现在带上限的时候带零了，带上限带零，那不就是这块是零了吗？下限带进去是不是算出来是？它意思就是说这个定积分算出来刚好是二分之一， 而后面负 t 的 原函数是负的二分之 t 的 平方代入上下线，是不是刚好是负二分之 x 方，减去二分之一 x 的 平方？ 那咱们就把大 f 的 表达式算好了，是一个分段函数是不是？哎，大 f x 是 个分段函数，在 x 小 于零的时候是二分之 x 方，加上 x 再加二分之一。在 x 大 于等于零的时候呢，是二分之一减去二分之一被 x 方。 题目不就是想问我们大 f 在 分段点零有没有定义？有定义啊， 不是有定义吗？连不连续？那我们算一下 x 从左侧趋向于零时，大 f 的 极限，再算一下 x 从右侧趋向于零时，大 f 的 极限，再算一下大 f 在 零的值， 算零处的左极限，是不是让这个表达式 x 从左侧去向于零，这个极限显然是二分之一吧。哎，这里算出来是二分之一， x 从右侧去向于零时， f 的 表达式是它让它再 x 从右侧去向于零算极限，这个极限显然是二分之一吧。 哎，二分之一大 f 在 零的函数值呢？是不是这个表达式里 x 取零还是二分之一？它们三可是相等的哟，这说明大 f x 在 x 等于零这个点是连续的。 下面我们再判定一下大 f 在 零，可导吗？判定可导要用导数的定义吧，就是我们要算一下 f 在 零的导数，因为零左右两侧的表达式不一样，所以说我们再算它的左导以及右导 来， x 从左侧趋向于零时，分母上是 x 减零，而分子上呢？是不是大 f x 这里是零左侧时的表达式，是不是它 把它抄过来就是二分之 x 方加上 x， 再加二分之一，再减去，大 f 在 零的函数值是不是二分之一？你看一下，分子上二分之一减二分之一是不是抵消掉了？ 此时我们让这两项和分母上是不是可以约一个 x， 约完 x 求极限，求出来刚好是一哦。我们再算零的诱导数， x 从右侧去向零，分母上是 x 减零，分子上是大 f 在 零，右侧的表达式是不是超过来 二分之一减二分之一被 x 方再减去大 f 在 零的函数值是二分之一。 我们看到这里的二分之一和这里的二分之一抵消掉了。上面是不是一个二阶的，下面是个一阶的，上面是下面的，勾结无穷小量哟！极限等于零，是不是看到零的右导和零的左导都存在，但不相等了， 从而就说明了大 f x， 它在 x 等于零是不可导的啊？因此答案选 c。 最后总结一下这道题目，它属于我们变现积分函数概念和性质的一个基本考察。它属于基础题，如果你是基础阶段做这道题的话，那你两个方法都把它掌握熟练。 可是如果你是强化或冲刺才做到这个题，时间又很紧张的话，你可以选择直接背。结论就是使用我们的方法一来做。
296考研数学欧阳蕊
32:27查看AI文稿AI文稿请注意，本视频共计三十二分钟，主要讲解的是高中数学导数至导数函数单条性自用版仅分享，如有侵权可联系下架视频。 hello， 大家好！通过前面的学习，我们知道导数就是函数在每一点的瞬时变化率，它可以刻画出函数的变化趋势， 而函数的变化趋势中最明显的一个特征就是单调性。既然如此，一个函数的导数和它的单调性之间有什么关系呢？哎，这个视频我们就来给大家揭开这个秘密。 先举个简单的例子，比如图中这个函数，我们来观察一下它的单调性和导数之间有什么关系。 从图像上看，这个函数的单调性非常明显，在 x 小 于一这部分是单调递增的，在 x 大 于一这部分是单调递减的。我们先把目光聚焦在左边，看看在单调递增的区间上，这些点的导数有什么共同特点。 根据导数的几何意义，一个点的导数等于这一点处切线的斜率。那我们做出这些点的切线，观察一下它们的斜率都有什么共同点呢？ 很明显，这些切线都是斜向右上的，斜率大于零，也就是说这些点的导数都大于零。 再来看右边单调递减的区间，做出几个点的切线，那你来看看他们的斜率又有什么共同点呢？ 答案选 b。 这些切线都是斜向右下的，斜率为负，也就是说倒数都小于零。 综合左右两边，想必大家已经发现了函数的单调性和导数的正负之间存在着密不可分的关系。其实这并不是个例，再多看几个函数，它们的导数和单调性之间也有着对应关系。 这就引出了这节课最重要的结论，在开局键 a b 上，如果导数大于零，函数就单调递增。如果导数小于零，函数就单调递减。 结论非常简单明了，不过关于他的严格证明却比较复杂，要用到一个叫拉格朗日中之定律的东东，超过了高中的范围，这里就不多说了，不过我们可以从几何直观上来理解一下他为什么是对的。 导数是函数，切线的斜率在一个区间上，每一点的导数都大于零，就是切线斜率都大于零，切线都是斜向右上的，那函数在这个区间上就是这么走的， 也就是单调递增的。反过来一样，每一点的导数都小于零，切线就斜向右下。函数是这么走的，就说明在这个区间上，函数是单调递减的，很清楚吧。 注意，这有一点要提醒大家，这条结论是说，从导数的正负可以退出函数的增减，但反过来是不对的。 函数单调递增推不出，它的导数一定大于零，函数单调递减也推不出它的导数一定小于零。举个最简单的例子， f x 等于 x 立方这个三次函数，很明显它在 r 上是单调递增的， 然而他并不是在每一点的导数都大于零，在零这一点的导数就等于零，所以单调递增推不出导数一定大于零。 更详细的解释我们留到以后再说。现在还是把目光移回到这个结论本身，他告诉我们导数和单调性之间的对应关系，那接下来的问题就是，知道了他有什么用呢？ 其实最直接的用途就是今后我们可以用导数来研究函数的单调性。比如这样一个函数， f x 等于 x 平方减四， x 加二，用导数求它的单调区间。 要用导数，就先对函数求导，导数等于二， x 减四，先来求单调递增区间。根据导数和单调性的关系，导数大于零的时候，函数就单调递增， 所以要求增区间，只需要让导数大于零解出 x 的 范围就行。那好，令导数大于零，也就是二 x 减四，大于零解出 x 大 于二， 所以当 x 大 于二时，函数单调递增，那么函数的单调递增区间就是二到正无穷 求减区间。也是类似，当导数小于零的时候，函数单调递减，所以令导数小于零解，不等式算出 x 小 于二，所以函数的单调递减区间就是富无穷到二。 坐在这，可能有同学要说，这不过是个二次函数，它的图像和单调性我们明明白白，根本就没有必要用导数求它的单调区间。 那好，我们换一个函数，比如 f x 等于 x 的 立方加 x， 它的单调区间是什么呢？哎，不好下手了吧。 所以说，世上有那么多函数，我们会画图的是极少数，大部分的函数，我们不可能通过图像来了解它的单调性，但可以告诉大家，如果用导数，这些函数的单调性就可以轻松解决。比如说眼前这个， 先求导 f x 的 导数等于三， x 平方加一。接下来通过导数的正负来判断函数的单调性。那你来判断一下函数 f x 的 单调性如何吧？ 答案，选 a。 无论 x 取什么值，导数三 x 平方加一都是大于零的，导数横大于零，那么对应到函数的单调性上，就是函数在富无穷到正无穷，单调递增。 借助这个例子，就是想告诉大家，用导数研究单调性是一个不受函数种类限制，适用性非常广的方法。 说到实用性广，可能大家还记得我们也学过用定义法证明函数的单调性， 可这道题对比一下，定义法的步骤明显用导数简单的多。所以说用导数研究函数的单调性，不仅实用性广，而且步骤非常简单。 好啦，又到了总结时间，这个视频我们介绍了导数与函数的单调性之间密切的关系。在一个开区间上，导数大于零则函数单调递增，导数小于零则函数单调递减。 他提供了一种全新的用导数研究函数单调性的方法，这种方法大家在以后的学习中还会经常打交道。 最后可能有同学要问，这里说大于零对应单调增，小于零对应单调减，那等于零怎么办呢？哎，这个就比较复杂了，留到以后再说。这个视频先到这里，拜拜， 欢迎回来。通过之前的学习，我们知道了函数和它的导数之间有这样一个特点， 在区间 a、 b 上，如果函数的导数大于零，函数就单调递增。如果导数小于零，函数就单调递减。导数的正负和函数的增减之间有着如此简洁的对应关系。 因此，如果我们知道了导数的正负，就能判断函数的单调性，进而大致勾勒出函数图像的走势。那么反过来知道函数的单调性，也可以推断出导数的正负。 这就催生了一类题目，由导数的图像判断函数的图像，或者反过来从函数的图像判断导数的图像。哎，今天我们就来解决这类问题。 先来看第一题，读题已知一个函数的导函数的图像是这幅图，问， y 等于 f x 这个函数本身的图像是哪个？选项？ 先从题干的图中读取信息，题目属于从导数图像推断函数图像，所以解析逻辑是从导数的正负推断函数的单调性。 先看图中导数的正负。注意，为了判断函数的单调性，暂时不需要去关心导数图像到底长什么样，只需要聚焦在导数的正负上，会发现有一个关键的点是负一零， 当 x 小 于负一时，图像在 x 轴下方，也就是说导数小于零，而 x 大 于负一时，导数大于零。 接下来把导数的正负性翻译成函数的增减性。导数小于零意味着函数单调递减，大于零意味着单调递增。 所以现在我们手上的信息就变成了，当 x 小 于负一时，原函数单调递减，当 x 大 于负一时，单调递增。有了这些信息，就可以进入下个阶段了。脑补图形， 如果这条虚线是 x 等于负一的话，那圆函数图像在虚线左边的部分要走下坡路，单调递减，右边的图像要往上走，单调递增。有了这个判断以后，我们看一下选项，你觉得该选谁呢？ 很明显，只有 b 的 图像满足在 x 小 于负一时单调递减，大于负一时单调递增。回顾一下，这道题给的是导数的图像，那就从图像上看导数的正负， 依照导数的正负分段之后，将导数的正负对应到函数的增减，再对照选项逐个判断增减趋势与导数反应的单调性是否一致就可以了， 基本的方法就是这样。不过这类题还有一种变化是给出函数图像，让你选导数图像的。我们也来看一个例子， 已知函数 y 等于 f， x 的 图像长这样问他的导函数 y 等于 f， 撇 x 的 图像可能是 a、 b、 c、 d 中的哪个？审题时一定要认真，这道题给的是函数图像去推导数图像，和上一道题正好相反， 所以我们要从函数的图像中看出单调区间，推断出对应区间上导数的正负，最后选出与之相符的导数图像。 那先来看题干的图，明显分为两个部分，先看小于零的区间，从图形的形状一眼就能看出是单调递减的， 那在大于零的区间呢？哎，也是单调递减的。注意了，因为现在看的是函数图像，所以我们只关注单调性，千万别产生幻觉，去关注函数具体的值是否大于零什么的，只看单调性。 把函数在两个区间都单调递减这个信息翻译到导数那边，你来判断一下最终的结果吧。 单选 d， 因为在这两个区间上，导数都应该是小于等于零的，图像都在 x 轴下方，对照选项只有 d 选项符合要求。 通过这两道题，你应该掌握基本思路了。这种图像辨析的题就两个重点，一、先明确题干给的图是函数的还是导数的，这一步如果搞混了，那就全玩完。 第二个重点就是分段，如果给的是函数图像，就按照增减区间来分段。给的是导数图像，就按照正负来分段。 提取信息后翻译出来，逐段对照检查一下，判断图像是否一致就行了。最后还有一道题，就请你自己巩固一下吧。 答案选 c。 这道题给的是导函数的图像，那我们就要把导数的正负翻译成函数的增减，然后看哪个选项符合 导数的图。按照正负分可以分为三个区间，负无穷到零是正的，零到二是负的，二到正无穷是正的，翻译到函数那边就应该是负无穷到零无穷增。 考察每个选项，只有 c 符合条件，注意下 b 的 走势也是增减增，一眼容易看错，但它的单调区间整体往右偏了，在零到二这个区间上并不是单调递减的，所以错了。 好啦，这类题就是这样，看好题干图是导数的还是函数的，别弄混， 然后认真看分段，怕粗心的话就别光盯着图看，动笔把关键信息写出来，提醒自己，只要稳着来，基本就是送分题了。好啦，这个视频就先到这里，拜拜！ 哈喽大家好！在学完了导数与函数单调性的关系之后，我们手中就有了两个可以研究函数单调性的工具，一个是单调性的定义，另一个就是刚学的导数。 利用定义，我们可以证明一些简单函数在某个特定区间上的单调性，但如果想对函数的单调性进行更高水平的研究，比如随便给你一个函数，让你写出它的单调区间，应该怎么办呢？ 对于这样的三次函数单调性的定义，明显就有点力不从心了，不过不用着急定义解决不了的导数完全可以。所以这个视频我们就来看看如何利用导数研究函数的单调性。 先举个简单的例子，比如刚才这个函数要求它的单调增区间。 既然要用导数解决，我们先简单回顾一下导数和函数单调性的关系。在某个区间 a、 b 上，如果导数大于零，那么函数单调递增。 如果导数小于零，函数单调递减。根据这种对应关系，我们要求单调增区间只需要求出 f x 的 导数，并且让导数大于零解不等式即可。 思路有了，下面开始做吧。不过先别着急求导，为什么呢？因为一个函数的单调区间必须是它定义域的子区间， 所以我们拿到一个函数，首先要做的是确定它的定域，很明显， f x 的 定域是 r。 接下来求 f x 的 导数，对这几项主项求导，得到导数 f 撇 x 等于负三倍的 x 平方加三， 显然导数定律也是 r。 根据刚才的思路，要求单调增区间需要让导数大于零，于是得到这个式子。下面解不等式。 首先把二次项系数变成正的，两边同乘负一，注意不等号的方向一定要改变，于是得到三倍的 x 平方减三小于零。下面请大家快速算一下结果吧。 答案选 a 很 简单吧，两边同时约去三因式分解就好。最后的答案是 x 大 于负一小于一， 因为定域是 r， 那 么 f x 单调增区间自然就是负一到一。结合函数图像来看一下，确实是这样的。 好啦，题目做完了，稍微总结一下，利用导数求单调区间，主要有这么几步，首先确定函数的定义域，然后求导。接下来根据要求的是增区间还是减区间，列出不等式，最后解不等式。 好了，我们再用一道相似的题巩固一下这个思路。读题，让我们求这个函数的单调区间。注意，人家没有说是单调增区间还是减区间，所以两个区间都得求。 首先还是得确定函数的定义域，在这里 long x 要求 x 大 于零， x 分 之十二要求 x 不 等于零， 所以函数 f x 的 定义域应该是零到正无穷。定义域有了。下面我们来求导数，对这几项逐项求导。前面两项很简单，是负六加 x 分 之十八。 最后一项可要注意了，它的导数是负的， x 平方分之十二，千万别把括号忘了。于是我们就得到了导数， f 撇 x 等于负六加 x 分 之十八，减去 x 平方分之十二， 他的定义域也是零到正无穷。接下来求单调区间。首先是单调增区间，让导数大于零，于是得到这个不等式。 左边是分式相加减，所以先通分得到这个式子。分子上有负六十八，负十二都是负六的倍数，所以我们把负六提出来，于是左边就变成负 x 平方分之六乘以这一坨， 两边同乘负一，去掉负号。接下来 x 平方分之六这一项横正， 就因为定域是零到正无穷， x 本身取不到零，这一项没有额外的约束，所以左右两边可以把 x 平方分之六约掉，于是就剩下 x 平方减三， x 加二小于零， 一眼就能看出。因式分解可以得到， x 减一乘以 x 减二小于零，所以 x 大 于一小于二，它在函数的定义域中，所以函数 f x 单调增区间为一到二。 接下来求单调减去减，我们让 f 撇 x 小 于零，化减过程大同小异，最终得到这个不能是。那你觉得 f x 的 单调减去减是什么呢？ 大家选 b 选 a 的 同学肯定纳闷，为什么 x 还必须要大于零呢？ 元音啊，我们在第一题已经说过了，一个函数的单调区间必须是它定义域的子区间。这道题 f x 的 定义域是零到正无穷，所以 x 当然要大于零， 于是 f x 的 单调减区间就是零到一，二到正无穷。我们用逗号或者和把它们隔开好啦，最终 f x 的 单调增区间是一到二，单调减区间为零到一，二到正无穷。 我们对照一下函数图像，确实是这样的。在这里还要跟大家解释一点，可能有一部分同学会疑惑，为什么单调区间都是开区间呢？把这里改成 b 区间好像也没有问题啊。 是这样，我们需要明确一点，单调性体现的是函数在某个区间上的性质，单个点是没有单调性的。所以在高中阶段，用导数求函数单调性得到的单调区间，我们统一写成开区间，大家就不用纠结了。 好啦，视频的最后总结一下，今天我们初步学习了如何利用导数求函数的单调区间，先确定定义域，然后求导数，最后根据要求增区间还是减区间列不等式。求解 思路确实很简单，只是要注意，计算的时候，无论是求导还是解不等式，都一定要细心，不要跳步。最后预告一下，今天见到的两个函数求导之后相对比较简单， 而下个视频我们将利用导数研究更多类型函数的单调性，有很多都是考试常见的大坑，赶快点开下个视频吧，拜拜， 欢迎回来！通过上个视频的学习，我们已经感受到了利用导数研究函数单调性的各种好处，思路清晰，步骤简单，非常的方便。 但视频的最后也说了，除了这些简单的函数，我们平时作业考试中还充斥着大量复杂的函数，求他们的单调区间可就没那么容易了。所以这个视频我们就通过两道典型例题，一起来看看碰到这些棘手的情况该怎么办。 首先来看第一题，求 f x 的 单调减区间。这个函数有点陌生，不过没关系，无论什么样的函数，用导数研究函数单调性的思路都是一致的。 首先确定函数的定义域，然后求导数，最后根据要求增区间还是减区间列不等式求解。下面我们还是按照这个思路来做，先确定函数的定义，首先分母上的 x 要求 x 不 能为零。 其次， l x 要有意义， x 还必须大于零。综合这两者， f x 的 定义域应该是零到正无穷。 接着来求导数， f x 可以 看作两个函数的商，使用函数商的求导法则， f x 的 导数应该等于 x 平方分之九倍， ln， x 的 导数乘以 x 减去九倍， ln， x 乘以 x 的 导数。 分子中的这两项需要继续求导。九倍绕 x 的 导数是 x 分 之九， x 的 导数是一，于是我们就得到了 f x 导数，等于这一坨 约掉这里的 x， 得到 f x 的 导数等于 x 平方分之九减九倍绕 x 最后列不等式求解，因为是求单调递减区间，所以应该令 f x 的 导数小于零，也就是这个式子小于零。 看到这个不等式，有些同学可能会有点懵，不知道该怎么下手。不过别怕，我们来分析一下不等式左边分子两项都有九， 我们试着把它提出来，得到 x 平方分之九乘以一减零 x， 这样不等式的左边就变成了两项的乘积。那么要判断这个乘积的正负，我们只需要分别讨论这两个因式的正负就可以了。 幸运的是，前面这项 x 平方分之九在定律零到正无穷上是恒为正的， 所以不等式两边可以同时约去这一项。现在只剩下一减 log x 小 于零。这就简单了，一个项变形得到 log x 大 于一。下面你来算一下 x 的 取值范围吧。 答案选 b。 不 熟悉的同学回想一下 long x 的 图像， long x 在 零到正无穷上是单调递增的，这个一就是 long e， 所以 long x 大 于一的解集就是 x 大 于 e。 结合 fx 的 定义来看，函数的单调递减区间就应该是 e 道正无穷。对照一下函数图像，嗯，确实是这样的。 回顾一下这道题，像这种复杂一点的函数求单调区间方法并不难，还是确定定义、求导也不等式这三步，它难就难在求导之后的不等式不太常见， 此时先考虑将左边写成乘积的形式。接下来只要在定义上分别讨论他们的正负就好。如果某项横正或者横负，我们还可以把它约掉，只讨论剩下几项的正负。 再举个例子，比如求这个函数的单调递增区间，很明显，定域是 r， 使用函数 g 的 求导法则算出导数等于二， x 减二乘以 e 的 x 次方。 加上 x 平方减二， x 乘以 e 的 x 次方。接着把 e 的 x 次方提出来，得到导数等于 x 平方减二乘以 e 的 x 次方。因为是求单调递增曲线，所以导数大于零。 看到了吗？左边又是两相相乘，并且有一项在 r 上还恒大于零，那就是 e 的 x 次方，我们可以直接把它约掉， 这样不等于就变成 x 平方减二大于零。后面大家都会解了，我们就不用多说了。 在各种复杂的函数中，有一类奇葩是三角函数，碰到他们求单调区间的时候，一定要格外小心。我们来看一下最后一道难度升级的题， 求这个函数在零到派上的单调区间。审题一定要仔细，题目要我们求单调区间，所以单增单减都得求。 老规矩，还是先看定域。这里题目已经给出来了，是零到派。接着我们来求导数，观察一下，函数 f x 等于两项相减，那它的导数应该等于这两项各自求导再相减。 先来看第一项， e 的 三引 x 次方，这是一个复合函数，根据复合函数的求导法则，它的导数应该等于 e 的 三引 x 次方，再乘以三引 x 的 导数。 三引 x 的 导数等于 cosine x， 所以 整个第一项的导数等于 cosine x 乘以 e 的 三引 x 次方。 下面来看第二项，这个很简单，三 e x 的 导数就是 cos x， 所以 f x 的 导数应该等于。这个式子 提出公一式 cos x 就 得到它等于 cos x 乘以 e 的 cos x 四方减一。最后列不等式求解。 先来看单调递增区间令导数大于零得到这个不等式，看到了吗？左边还是两项的乘积，所以我们分别讨论这两项的正负。 但别忙，先看看在地狱上有没有哪一项是横正或者横负的，能把它约掉 在地狱零到派上， cos 肯定不是恒正的。当 x 大 于零小于二分之派时， cos 大 于 x 大 于零。当 x 大 于二分之派小于派时， cos 小 于 x 小 于零。 接下来看第二项，因为在零到派内，三 e x 恒大于零。回忆一下指数函数 e 的 x 次方的图像，当三 e x 大 于零时，你说 e 的 三 e x 次方和一谁大谁小呢？ 答案选 a， 把一看成 e 的 零次方，因为三 x 大 于零，所以 e 的 三 x 次方肯定是大于一的，那么 e 的 三 x 次方减一肯定恒大于零， 所以你看吧，这一项又能约掉，就剩下 cos 大 于 x 大 于零了。这个我们刚刚已经说过，它的解集是 x 大 于零小于二分之派，所以函数 f x 的 单调递增区间是零到二分之派。 同样的，我们也可以得到函数 f x 的 单调递减去减乘二分之派到派。结合图像对比一下，确实是这样的。 当然，这道题还要给大家补充一点，如果改变定域，比如变成零到二派，求导之后，就不存在横正或者横负的项了，但约不掉也没关系，让这两项同正或者同负解不等式就好。 好啦。视频的最后总结一下，今天我们利用导数研究了一些复杂函数的单调性，但无论简单还是复杂，利用导数研究函数单调性的步骤都是一样的。好啦，这个视频就先到这里，拜拜。
05:47查看AI文稿AI文稿今天我们来说一下关于章鱼一阶题的使用方法，还有六六六能能的使用方法。章鱼一阶题主要分为这个基础篇、提高篇啊，作文试卷三个部分， 基础篇对应于张宇三十讲的内容，提高篇对应于强化十八讲内容。最后的四套作文试卷则是往年呃，张宇的张四试卷是我和最后冲刺阶段的作能力自测。关于 a 组题，也就是基础篇， 呃，建议是学完一张立即复习，再完成对应章节的一千题。基础题这一段以稳为主，不要要求进度，也不要要求你的正确率，怎样 把每个知识点池头错离彻底掌握以后，再进入下一阶段。此外， a 组题中的部分题目都比较高，因为这个章鱼的题目整体都是偏难的，建议不要死磕。一千题的计算量偏大，能够有效的提高计算能力。 如果说遇到知识点覆盖不足的情况，可以通过错题查漏补缺，回归知识点，复习 长语。一千题的答案部分比较晦涩难懂，计算部分也有可能有些省略。这里在这里推荐 b 站的三位 up 主，一个是 b 站远哥、葫芦哥，还有泪眼汪汪三位，他们定期会更新一千题的讲解视频，包含 反常积分、连散性、现在信一带数的特恩值、向量等章节，内容比较丰富。然而在这个一千题中，有些题目是像一些证明题，比如说 中制定例以及微分中制定例的，这个证明还有积分等式和积分不等式， 像这些，嗯，以及无穷积分。像这三张就可能考的证明题比较多，建议是你刚下手，肯定是想不出来任何方法，想不到任何 呃结论去写它的。所以我在这里建议一下，你可以就是先看一下 b 站上面的一些视频课，你把这些章节的视频课了解一下，然后把它们证明方法了解一下，然后就可以 做相应的题目。而且这三张是在一般是在数一，一般是在大体图出现，正作为证明题出现， 绝大多数人是写不出来，就算写出来，你肯定很多这个步骤也是 有欠缺的。我建议是这三张。嗯，不一定非要强求自己去掌握，但是你可以呃看相关的这个题目，看相关的证明题目，它这个视频讲解过程，然后你掌握一些方法，到时候能写出来一点，能写一点是一点，也是一个得分的一个技巧嘛。 像这个 b 组片，也就是提高片，理论上对应于强化十八项，但是章鱼的三十项也将强化和基础内容相融合，知识点全覆盖。 强化时跟他讲仅是针对重点提醒进行提高。我复习时是基础篇和强化篇一起做的，我是三人讲，肖恩一讲，然后做一张强化，做一张基础， 遇到不是不会的知识点，先翻答案，找对应的知识点，再回归到三十讲还是十八讲复盘，然后重新做错题。如果遇到知识点还不理解，可以搜索 b 站的李列老师或者葫芦哥，他们都有对应的专题讲解，能够 帮助掌握方法，最重要的是可以及时复盘，定期回顾，以温故知新。 但是强化片他们这些题目量是非常大的，而且计算量也是非常非常之大。呃，像启航教育他们是定期会出这个 呃叫什么重点题，你可以把那些重点题先掌握，剩下的一些题目，呃，根据自己的实际情况 找新找相关的，这个找一些题目做一做就可以，主要把那个启航，到时候会在七月份八月份出强化篇的重点题，把那些重点题掌握就可以了。 最后再提个建议，一千题的难度确实比较高，做起来会非常吃力。比如说我当时写到这概率论部分， 他我我当时就觉得有些题目是非常难的，而且方不光是偏难，而且是有些题目方向就感觉很偏。于是我在这个学到概率论的时候，我就换了俞炳森老师，他的这个概率论烂皮书， 我觉得适合自己的才是最好的，不必要一直死磕，不是大家人运营就一定要死磕，适合自己才是最好的。同时六六零的实用化和一千题比较类似，但是难度相对较低，但他概念性、综合性更强。 呃，适合，非常适合刚进入技术阶段同学使用。可据所系而言，我认为六六零的高数部分题目非常不错，难度非常适中，但是他的后续一些题目则就是因人而异。 以上是针对一千题还有六六零的呃使用方法的讲解，谢谢各位聆听。
44老王的锅炉核弹厅
02:31查看AI文稿AI文稿啊，你看这个第一题呢分析，我觉得这个大家没问题的，是吧？ f x 等于 x 的 平方乘进来 x e 的 cosine x 四方， 首先是不是有界，这个大家很好判断，因为这个猜你的 x， 大家知道当 x 趋向于二分之派的时候，它是个无界的几本乘等函数啊，各位，对吧？那么既然 x 去二分之派的时候它是无界的，那你想想看， x 方去 x 去二分之派的时候是不是个常数？ 二分之派的平方是不是四分之派方啊？哎，不理我是吧？一的 cosine cosine 二分之派是小于零的，一的零方是不是小于一啊？是吧？一个小于一的，一个小于四分之派方的，这都不小于零啊，那么它是无穷的，那显然它不是有界函数啊，是无界的都不理我，是不是，对吧？哎， 你，你这个弹性函数啊，是无界的都不理我，是不是，对吧？哎，你，你这个弹性 x， 大家很熟悉的，就这样长这个样子， 对吧？你这个是二分之半嘛，所以他这这个要么正无穷，要么负无穷啊，那么这个就曲无穷的，所以他不是有界的啊，这个很好说的啊，这就有一点极限思想了，是吧？哎，你要趋向的思想单调吗？ 啊，我这么说单调不单调，等我们学了导数，你用导数求导来看，是吧？在一个区间上，如果他导数始终大于零， 那么他就单调增啊，使使用导数幺零单调减，你现在那么没有导数工具，实际上大家看能看出来。我问你答，这个贪心的 x 是 不是有周期性啊？ 是不是？这个一的扣上也是不是有周期啊？他有没周期性啊，因为你口上 x 是 不是有周期的， 是不是？所以大家知道一个基本的一个情况，正是因为他们具有周期性是什么意思啊？就是在一个周期里面的东西会在下一个周期重复出现，是吧是吧？那么这样的话，他显然没有单调性， 对不对？那么我再说一遍啊，你到后面判断是用导数工具，你其实概念上也可以判断出来了，那么再说它是周期函数吗？那当然也不是，为什么？因为前面还有个 x 平方是吧？ x 平方不是周期函数， 对吧？啊？说这个判断应该是不难的，那答案选 d 了，那极函数当然作为选择题，一眼就能看出来，是不是啊？ x 方是不是偶函数啊？ e 的 口三 x 是 不是偶函数啊？中间的猜你的 x 是 不是极函数啊，这样正确的，当然极函数。
71启航考研自习室
05:28查看AI文稿AI文稿点八，我们说如果对于数列，我简单写了啊，对于数列根，是吧？我们存在常数 k， 这里 k 呢，是大于零小一的，使得 这个 x n 加一减去 a 的 值，对，值是小而等于 k 倍的 x n 减去 a 的 值的，这里 n 取一二一再取下去，是吧？说，请你证明 这个竖列 x n 啊，是收敛于 a 的， 大家听啊，都非常重要啊。分析， 呃，这个是我们在刚开始啊，这个进入第二讲以后的这种证明性问题，他本身呢，就是一些个对大家提高能力很有帮助的问题了啊，同时这个结论很很重要啊， 好，大家看呢，说，我们给的是一个，就是这个啊，这是我们这个关系式了，是吧？这叫关系式， 对吧？那关系式当然可以是不等式的啊，我们用的定义式，就是说他就他就是熟练嘛，对吧？然后存在一个常数 k， 你 可以认为这个 k 的 话呢，是一个约束啊，他就这个 k 啊，是大零小一的数，对吧？啊，使得这个关系式成立，然后证明 x 是 收敛于 a， 所以 大家一定要用好关系式，对的啊，用好关系式， 虽然这个大家看的很清楚，他就是一个地推嘛，是吧？地推对于 x n 加一减 a 来讲，他本身是大于点零的，是吧， 对吧？大家绝对值大点零，是吧？然后呢，就小于等于说了，这个题目叫做 k 倍的 x n 减 a， 所以 大家看啊，呃，从 n 加一 到 n 说就大于号的变到小于号的，他付出的代价是什么呢？你这个放大的代价很简单，就是说把 n 加一写成 n 之后呢，外边要乘个 k， 是吧？这就是他的形式上的怎么放大，所以你要学会这个，你就会写了，所以他就写二，等于继续来写。那么我们学了这个，一只葫芦画瓢，他就是这个，是地推，就是个思路。好，刚才说了啊，心中默念说，等大一号的写成小一号的，是不是写成 x n 减一了， 懂吧？哎，你把大一号的写成小一号，是不是你付出代价，是不是前面成个 k， 这是个常数吗？对吧？好，那么本来他原来还有个 k， 是 不是写 k 方了？ 再来一遍啊，那就继续加减去，说，你把这个就都挡住了啊，你把这个就都挡住了，都不要了，是不？就看他再来啊。心中默念说，把大一号的写成小一号的 x 减二， 这付出代价是不是前面成个 k 啊？当 k 原来有 k 方了，是不是 k 三次方，所以这规律就找到了，是吧？大家，所以一直写下去，那么写到多少呢？你就写到 x 一 减去 a， 大家想，这时候 k 了多少次方，是不就很容易出来了？ 因为这是一次方，这是 n， 这是二次方，这 n 减一，所以大家知道他俩加起来一定是 n 加一对的，所以这是一的时候呢，这显然就是 n 了。 所以大家以后要学会啊，这种连续放松啊，这个方法思路呢，掌握好它， 好，到这一步呢，我们就出来了，加倍准则可以用了，为什么呢？因为这块呢，就是零，是吧？大家？而这块的话呢，大家看， x 一 是这个竖列的首项吧，那首项这个数当然是个常数了， a 呢，也是一个常数啊，就是收敛于 a 嘛，这 a 是 常数了，对吧？然后呢，整个这个就是个数， 而 k 呢，是在零到一里面的常数，是不是所以大家知道这一项在 n 趋无穷大时说，哎， x n 趋无穷大时，那么这一项是趋零的， 对吧？因为大家知道这个是零到一里的常数啊，一个常数零到一里常数的无穷大次方是不是趋零的啊？所以这是无穷小，乘上一个常数是不极限为零， 大喊一声哪里跑我们就可以得到啊。就是 limit n 去无穷大，是不是叫 x n 加一减去 a 的 绝对值，是不是这个都等于 对了吧。哎，好，根据这个我们前面讲过的啊。呃，极限啊，跟绝对值极限的关系，我们毫不犹豫立即写 limit n 去无穷大，是不是 x n 加一减去 a 是 不是也等于零， 对吧？去掉绝对值是一样的，因为也可以写成它等于 a 了，对吧啊，于是我们就可以知道我这个 x n 啊是收敛的，这是定义了啊，且收敛于证明完毕。 大家不要在意这个加一啊，因为 n 无穷大时， n 加一和 n 没有区别的是吧，所以就也就是 x n 就 显示 a， 所以 得到了 x n 就 收敛于 a 的 啊。这个结论很重要啊，这个是我们的，就是在这个给大家介绍的啊，这个简化版的压缩映射原理啊。注， 这个是一个简化版的啊。呃，不是这个我只能这么说啊，简化版的压缩映射原理， 呃，这是原理，你把它掌握了就行了啊。呃，原版的，呃，但我们这个在高等数学或者微积分里是用不着的啊。呃，所以你不需要啊，你只要知道这个就够了啊，知道这个就可以了。这简化版的压缩因子原理啊，解决考研题的啊。
87启航考研自习室
05:28查看AI文稿AI文稿看一下四，我跟你对比一下啊，这个四呢，就是就对，大家就是要求你要把它这个做的更好一些。分析， 这是真题啊，我这么跟你说，这是个真题里面考过的一个内容，当年考这个时候就是一大堆同学写的乱七八糟的，写不出来这个词是什么。我们还是这句话啊，来看一下，在负无穷的正无穷上满足大家看，就是这个式子是对任意 x 作成， 哎，是不是这样？写一下吧，任意 x 是 不是都成立，他说了在无穷中正无穷啊，看到没有？然后且 f 的 f x 在 哪成立？零到派， 看到没？你要想写 f x 具体表达式，这个等号的成立必须是 x 在 零到派里头或者它的子区间，这个呢，就是任意，这个等号的成立是任意的， 对吧？大家啊，你紧紧抓住这条，你不会出错的，现在你求 f x 在 派到三派上的这个表达式，所以大家现在看啊，那无无非我还是要做坐标系的，这个就这个变量的平移，对吧？啊？这个平移变换嘛，这个很简单的。好，开始派到三派， 我画一下啊，这是零，这是派到三派，是吧？他只给了什么？零到派上是 x 吧， 是吧？那你现在看啊，他给我的区间长度是不是只有派，你现在是不两个派，你平移不了，你不可能把一个区间啊，平移的时候是不可能伸缩的，是吧？所以你分两段看，你先看这一段，如果 x 在 二派到三派的话， 那么这个时候你要怎么样他才能变到零到派呢？说他只要减二派就行吧，你把它平移到这是不是减二派就行了？所以是 x 减去二派，是不是这个东西是在零到派里头的？ 我为什么要这个？我是不是用这个等号了？因为零到派里能用它，看到没有，所以这个时候的 f x 不 就有了吗？所以我的这个 f x 等于什么？ 我的 f x， 哦，这个就这个有难度了啊，我一下就先说最难的这个了，这个没关系啊，我说大家看着，那么你 x 减二派是带不进去的吧，是吧？带不进去吧，带不进去咋办？ 你想想，带不进去咋办啊？你得再变一次，这个等号是不是随便写啊？这个等号里面是不是就任何 x 都成立啊？那你怎么造个二派出来？减二派出来，那你在这个 x 里减块吧， 听懂没有？你看我们写啊， x 减派是不是等于 f x 减派？减派加上 sign x 减派，对不对？看懂没有？对了，我把这里的三个 x 是 不是写成了三个 x 减派 啊？因为可以啊，你扔给的都可以啊，对不对？那为什么要这样写呢？因为我知道它等于几，它等于几，它就是 f x 减二派吧。那么 f x 减二派， x 减二派是不是在零到派里头？只要在零到派里，就是 f， 狗等于狗， 是吧？就是 f， 你 这里写什么？这就是，所以它就等于几啊？这几啊，就是 x 减二派， 对吧？哎，就是 f u 等于 u， 那 么这个是多少？这个三角是有了公式了，既变偶不变，这是可复可三啊，偶不变嘛，这是二分之二派，是吧？负三 x 吧， 怎么都不理我是不是？哎，这不有了吗？所以你 f x 减派就写出这个了，所以 f x 出来了吧，所以我得到我的 f x， 它就等于因为这个乘法，就等于因为你把现在把这个式子抄过来了吧？ 你咋不理我？是不是抄过来之后再加个三 x 是 多少？ x 减二拍， 看懂了吧？这一步很难的啊，这就是当年考研的时候，这个学生搞不清楚的地方。哎，你这样，我这样说大家，像这种式子， 你千万不要盯着他一个字一个字往后看，你这样看答案的话，你也看的不清楚，你就每一个等号，你去盯着，是属于这个等还是属于这个等，是吧？这是无条件等，还是有条件等，是吧？这样的话，你每一步都很顺， 听懂没有啊？下一个简单， x 如果在这个区间就是派到二派，这个大家直接就减一个派吧，你减一个派就过来了吧，那么减一个派，他就在零到派里头了， 是不是？这就直接有了啊？所以这个话呢，我们的 f x 就 直接超了，那就是 f x 减派，那么再加上三 x， 对 不对？因为你现在的 x 减派就在零到派，零到派里满足 f u 等于 u， 所以 是 x 减派加上三 x， 对了吧？啊？所以呢，它在派到三派的表达式是个分段函数吧，所以在这个区间上它是这个表达式，在这个区间上它是这个表达式。我就不写了啊，大家自己把它写完， 这个分段函数啊，那实际上呢？来讲的话，它有三段，就零到派是 x， 对 吧？然后派到二派是这个啊，二派到三派是这个。
16启航考研自习室
02:10查看AI文稿AI文稿二点五，就是说当 x， 我 简单写了啊，在零到二分之派的时候， 然后问你， limit n 趋无穷大，那么 n 次根号下，撒引 x 的 n 次方加上 cos x 的 n 次方，说这个等于多少？这个也给大家讲过了，对吧？解啊，简单说一下啊， 就是说你要把在零到二分之派上的什么个位，对了，哪一段的最大值，就要这个，把它找到，是吧？找到它 在零到二分之派里头的话呢，我们知道这个商印呢，他是这样的，商印是这样画的，对吧？那么考商印呢，是这样画的，那可能这样，所以呢，他们这个焦点呢，正好这个这个位置是四分之派了，所以我们就看的很清楚了。说在零到四分，这是四分之派了，所以我们就看的很清楚了。说在零到四分，这是四分之派里的话呢， 我们写加了啊，就说在零到四分之派里， x 属于零到四分之派啊，你可以这个 b 字开都可以的，在这个区间上，谁大 cos 也大啊，所以我们这个极限呢，就是这个 limit n 趋无穷大， n 次根号下， 那么 sin x 的 n 次方加上 cos x n 次方，是吧？它就等于这块呢，是等于 cos x， 然后在四分之派到二分之派呢，三大啊，所以这个当 x 在 四分之派到二分之派的时候的话呢，我们说三 x 啊，他就等于三 x， 那 具体的原因，嗯，说过了，就这在这，对吧？啊，更具体原因呢，就是我们在技术三章里写过了 啊，凡是这种表表达式，你就打一个框框啊， n 次方，加上一个框框的 n 次方啊，甚至再加有现象就行了， 开平方根啊，在 n 区无穷大的时候呢啊，他这个值呢？就是看哪一项最大就把哪一项往这填，是吧？那么就是这个分段函数啊，虽然这个定义成一个什么函数，是吧？分段函数， 但表达式是什么？各位算就这段，这段和这段，对吧？就这段和这段这两个最大值嘛？这后面大家会知道这一点是连续的啊，后面你也会知道这一点是不可倒的啊，这以后再说了。
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08:45查看AI文稿AI文稿呃，我们来看一下函数的单调性啊，函数单调性是高中阶段数学里面很重要的一个知识点啊，那么我们先来看一下单调性。 单调性的这个定义是在于呃，当自变量的这个呃上升趋势，不，恰恰是 呃确定以后，他相对应的啊，这个相关的函数值啊，看是否是呈现相同或是相反的一个变化方向啊，那么来去判断他，他到底是一个单调递增的， 是一个单调递减的这样的一个属性啊。那么具体我们来看一下，就是这一类题目的呃，其中一种，呃解析思路就是所谓的这种定义法， 那么呃，这是最基本也是最简单的一个单调性方面的一个判断啊，就利用单调性的一个定义啊定义， 那么也就是考察啊，如果说 x 以小于 x 二的情况下，对应的相对的函数值 f x 一 和 x 二之间的这个关系啊，那么如果说 f x 一 啊， 大于 f x 二， 那么也就是它们的大小关系刚好是相反的话，那么它就是一个单调递减啊， 那么第二的话就是如果是反过来啊， f s 一 也是小于 f s 二的啊，跟这个大小关系是同向的啊，那么它就是一个单调递增啊。当然的话，呃， 现在说的这种单调性，我们一般来讲都是在区间啊，在一个区间内进行讨论啊，进行讨论，而区间的话，在我们那个具体的这个解析思路里面，那也会是一个比较重要的条件。 下面我们看一个例子，一个比较典型的例子来看一下，就是如何用定义法来判断那个函数的单调性， 那么我们看这样一个题目，判断边，证明函数 f x 等于 a x 平方加上啊 s 分 之一，其中 a 是 在一到三之间啊，在区间一二 里面的这个单调性啊，注意这个区间啊，这个区间其实的话也是一个暗含条件，暗含条件啊，那我们来看一下啊，这个比较典型的这种可以用定义法来呃， 证明它的这个单调性的这种解析思路啊。那么第一，我们按照相关的一个定义法，我们不妨假设啊， x 一 小于 x 二 啊，同时我们去啊，要注意啊，这个 x 的 定义是在这个区间上，那么肯定也就是有这个小于等于二， 大于等于一啊，区间本身就给予了我们这样一个呃，暗含的一个条件，那么然后我们来考察啊， f 一 f x 一 和 f x 二之间的这个大小关系啊 啊， f x 一 f x 二， 那么考察这种单调关系，我们一般来说就是做差啊，那看他们之间的差是大于零还是小于零，来判断他们之间的大小啊，那么我们按照相关的这个定力 进行一个代入，那么很显然就是 a 的 s 一 平方减去 s 二平方加上 s 一 分之一，减去 s 二分之一， 那我们来看一下啊，做一定的这个呃，多项式整理以后，我们看一下啊，到底是怎么样一个结果啊，那么这里很显然就是一个平方差公式啊，我们可以把它展开， 加上 hr， 乘以一个 x 一 减 hr 啊，那右边的话，我们可以进行一个通分， x 一 x 二相对应的是 x 二减 x 一， 那么可以看出啊，它们可以提取相关的这个公式啊， x 一 减去 x 二提出来啊，然后剩下的话就是 a 的 x 一 加 x 二 减去 x 一 x 二分之一， 是这样一个等式啊，那么按照相关的一个地部的一个定义，那么 s 一 小于等小于 s 二，那么这一块肯定是小于零， 那么重点考察右边这一块啊，那么这里面我们可以看到啊， s 一 和 s 二都在那个一跟二之间，那么很显然的话， s 一 加 s 二肯定是大于一的 啊，大于二肯定是大于二啊，因为它最小都是一嘛啊，然后 a 的 话，它是在呃一到三之间啊，那么一到三之间，再乘以一个大于二的数，它肯定它也是大于， 或者说等于二，最多就是等于二啊，那么这个 s 一 乘以 s 二，因为是在一到二的区间里面，那这个分子分子肯定是大于一的一个数，那么这个的话肯定就是什么呢？小于一， 那么一个大于二大于等于二，呃，减去一个，呃，小于等于一啊，小于等于一的这样的一个，呃一个数的话，那么这一块 很显然应该是大于零的， 那么一个小于零，一个小于零，那么它的一个整体这个肯定是一个小于零，也就是一个负数 小于零，那么也就是啊，换句话来说就是 f x 一 小于 f x 二， 变量的大小跟函数值的大小符号相同，大小符号相同，那么很显然的话，就是它是一个什么递增递增的一个特性，也就是说 f x 在这个区间一到二上面是单调递增啊，单调递增， 那么这里面的话啊，我们使用的话就是一个函数的单调性的最基本的一个定义，定义方式来做这个单调性的判断啊，这也是最基础，也是我们对类子，对这一类单调性 函数单调性的这个题目的话，最基本最基本的一个解题原理。
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04:03查看AI文稿AI文稿这个题呢，因为大家要要熟悉，就在考试当中啊，有的时候要找一些特殊的点，是吧？特殊的位置，首先大家看得出来这是个什么函数， 这是偶函数吧？ x 方是不是偶函数啊？对吧？你，你看这个图，明显的它是极数，极函数还是偶函数的问题吧，首先先把这个就能排除一半， 这个 e 的 x 减 e 的 负 x， 这个显然是什么？这是奇函数吧，这个不用我啰嗦了啊。三、 x 是 不是奇函数啊？那两个奇函数相乘，是不是奇，是不是偶函数了？偶函数加偶函数是偶函数，所以 a c 就 先排除了， 对吧？那么再看其他的呢？那你实际上就找一些特殊点吧，是吧？这个特殊点呢？这个题目标的是区间，是个负二点八到二点八， 你也不用管他这个题目当中是不是还给了一个特殊的点，叫做一，是吧？你就看一这个位置是大零还是小零不就行了， 是还不是这就能定下来了，是吧？所以你把一带进去，这个 y 呢，就等于什么？就是负一加上 e 减去一分之一乘以三一， 是吧？哎，你这个呢，我这个打里头我是自己算了个数啊，这个，这个当然，当然，答案不唯一了，你怎么估计他？你只要估出他是正还是负的就行，对吧？啊，我是这样说的，这个 e 呢？大家知道这个大概是二点七， 对吧？二点七的话呢，我是这样想，你现在是这个呢？肯定是，就是说你要把它这个，因为这个负一是定下来的，是吧？我现在要把它确定它到底是大于这个，我想的是什么？说这个是大于 一，大于一的还是小一的，是这意思吧，对吧？如果它大于一，那么它减一就正的， 是这意思吧，能，能听懂吧？那么大一的话呢？那你对于这个数来讲的话呢？你就把它缩小，我看到我缩小了之后，它还是大一的，那不就是选 b 了吗？ 是吧？其实这些数呢，因为我知道等于几，因为那考场上呢？很多同学可能不知道。那你讲课你要把这个道理要说清楚。那我数字是这样写的啊，那么这个一是二点七，那大家告诉我，二点七比二点五是不是要大，对吧？啊？那二点五好写，二点五是二分之五， 是不是？所以呢？我想把它缩小，我把它缩小呢，它就是它是大于二分之五，减去五分之二，同意吧，因为你 e 变小了，是不在缩小，但是你的倒数 e 缩小是不在一分之一就变大了吧？啊？一分之一变大了，你减去一个大的，是不是更是缩小， 明白吧？啊？是这个意思。然后呢？乘上三以一，呃，我把三以一呢，我也把它缩小，我写到多少呢？我写到二分之一， 可以吧？写到二分之一，那肯定的，肯定是因为四分之派，是吧？呃呃，我写二分之一的话，我写的是六分之。哦，二分之六，你你，你写多少？四分之派？ 四分之派的话，那你算的是二分之二了啊，也可以，六分之派也行，我算的是六分之派， 也差不多，是吧？反正你缩小它，缩小它，我要缩到二分之一更小嘛，对吧？我缩到二分之一更小了吧，对不对啊？你二分之二也行，那么这样的话呢，它就等于多少？这个是二五一十，二十五减二十一，是吧？ 是这个吧，对吧？那你这个东西是不是肯定还是大一的？因为你这个是二十分之二十一嘛？所以选 b 了， 对吧？啊？这个我这个说你自己定啊。我我我这个数我反，这个是对的啊，但是你可能会有更好的取的一些数，来来来处理它啊。好，这个就这个图形的。
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