反比例函数中点模型
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24:13查看AI文稿AI文稿这两天有点事，没有及时给大家更新视频，那么今天给大家说几个我们反比例函数当中比较常见的模型结论，大家能记住更好，其实我们主要去体会的啊，还是我们当中的一个证明思路。 那么第一个就是我们的一点一垂直模型，那么这个其实很简单，我们直接写了啊，在这里我们求的是阴影部分的面积，比如说三角形 p u、 a， 它的面积其实就是我们二分之 k 的 一个绝对值。然后第二个我们之前也说过了，比较简单啊，它在这里求的是我们矩形 s 举 a、 b、 o、 c 的 一个面积，它其实就是我们 k 的 一个绝对值。 那么从第三个开始啊，我们简单的给大家来证明一下，在这里我们求的啊，还是我们三角形的一个面积，那么怎么去求我们三角形的面积？它就是我们二分之一乘底，乘高就 ok 了。 那么第一个我们这个三角形 a、 b、 c 的 面积等于多少？我们用二分之一底是谁啊？在这里我们标了这里有一个垂直， 我是不是可以以 bc 为底啊？然后我们做一下延长线，我过 a 点做一条勾，就是 a h， 那 么这个三角形的面积它就是二分之一乘 bc， 我们再乘 a， 这就可以了吧。那么具体是多少呀？我们来观察一下这个图啊。在这里我们 ab 这条直线是过圆点的，所以说我们 ab 关于圆点肯定是乘一个中对称的，如果说我 b 点的坐标是 x， 逗号 y， 那 么 a 点的坐标肯定就是负 x， 逗号 负外，所以说 bc 的 长度我们是不是有了呀，它就是我们 b 点的一个横坐标，就是 x b， 然后我们乘什么？是不是乘 a h 啊？ a h 的 长度等于什么呀？我们是不是在图里面可以看出来，其实就是我们这一段加上我们这一段啊？那么我们找一下呗， 这一段多长呀？我先看看啊。这个 h 点的坐标，纵坐标就是 b 点的一个纵坐标， 说负 x 的 话 y， 所以 说这一段其实就是 y， 对 吧？然后下面这一小段呢？我要正的，所以说这里我们应该是一个负 y 的 对值吧，所以说在这里我们乘的应该是一个，我直接化简了，我是不是乘一个二 y 就 行了呀？ 那么所以说这我再写一个，就是二分之一，是不是 x 乘二 y， 然后你这个二一消，那么他就是 x 乘 y， 也就是我们的 k 了，对吧？当然啊，你这个图我们过的是一个一三相线，你这里 k 是 大于零的，我直接写 k， 可以。 那么如果说我们过的是一个二四相线，你那个 k 是 不是小于零了呀？ 那么在这里一样呢？我们做的话，我还是把 b c 沿出去，我们过 a 点做一个垂线，你 a c 两点是不是也是关于圆点成对称的呀？所以说在这里我们三角形 abc 的 面积，它就是二分之一乘 bc， 我 们再乘一个 a， 是 了吧？ 然后你二分之一乘 bc， bc 多长呀？它其实就是我们 c 点的一个纵坐标吧，就是 y b， 然后你 a h 多长呀？其实就是这一段，我是不是加上这一段了？这两段 我肯定是相等的，对吧？跟刚才是一样的啊，那么我们是不是乘一个二倍的，是不是 x a 就 行了呀？那么在这里啊，你一乘这是二分之一，我们直接化简乘以 y， 是 不是再乘二倍的 x， 那么最后就是 x， y 也是等于 k， 那 么注意这里是我们过的是二次向量，所以说 k 我 们应该加一个绝对值，然后第三个是我们求我们一个平行四边形的面积，在这里还是看面积，我们这个平行四边形的面积是不是它就等于底乘高啊？ 所以说我们找的话，我们把这个平行四边形的底和高是不是找出来就 ok 了呀？一样的啊，还是观察一下我 b、 d 两点是不是这条直线，我过的是圆点，对吧？所以说它们俩肯定也是关于圆点成正对称的。那假如说 b 是 x， 逗号 y 的 话， 你第一点就是负 x， 逗号负 y， 对 吧？那么你平行四边形 a， d， c b， 那 么它就是等于我们的 ab， 然后我们过 c 点，是不有一条高，就是我们乘一个 ac 就 可以了吧？ ab 是 多少？他就是我们 b 点的横坐标，就乘个 x， 然后 ac 呢？其实他就是我们的 这一段，是不是加这一段了呀？然后你这一段他就是 y 了，对吧？那你这一段呢？他的长度是不是负 y 的 一个绝对值，对吧？所以说我们去节用 x 去乘一个二 y 就 行了吧，所以说这是二倍的 x， y 也就是二 k， 然后下面还是一样的啊，在这里我们过的就是我们的二十四向下了，那么它的面积等于多少呀？还是 s a， b， c， d 一 样的啊，我们可以以 ab 为底，然后以 b、 d 为高吧，我去找它的长度，你 ab 的 长度还是我们还去设一下吧，假如说 a 点是 x 多少 y， 那 你这就是负 x 多少 y， 然后 ab 多长，它是不是就是我们 a 点的一个中坐标，就是 y 了，对吧？那你 b、 d 呢？找一下，是不是就这一段加上我们这一段啊？那么它多长呀？你这一段就是我们 a 点的一个横坐标吧，是 x， 那 同样的这里 我们是不是也是 x？ 注意啊，你这 x 是 不是小于零的呀？所以说在这我们乘的应该是一个 二倍的 x 的 一个绝对值吧，那么它就是二 x 的 值，我们再乘一个 y， 那 么也就是我们二倍的 k 的 一个绝对值。这第四个模型， 那么接着我们再看另一个，还是我们的两线两垂直，这是另一个了另一种模型了，那么这个面积其实也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也好看，它就是我们二分之一乘 c、 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 bc， 我 们找它们的长度就行了，对吧？还是一样的，你 a、 b 肯定关于原点对称，那么你这段长度，如果说你设 b 是 x 的 话， y 的 话，那你 c、 b 肯定就是 二 x 了吧，你 c 肯定就是二 y 了吧，所以说它就是二分之一乘二 x 乘二 y， 也就是我们二倍的 x， y 也就是二倍 k 的 绝对值，那么后边这个图也是我们不难想，它肯定也是我们二倍的一个 k 的 对值。 第五个两条同号 k 值曲线加一个平行线，然后围成了我们的一个矩形，问我们这个矩形的面积是多少？在这里我们说看两条曲线的对吧？假如说上面是 y 一 等于 x 分 之 k 一， 那 y 二我们是不是等于 x 分 之 k 二，那么这个矩形面积我们怎么求啊？ 那么我们可以通过做差法去表示一下我们这个面积，那么我们怎么做差啊？我们可以因为你这个 d、 c 和你的 ab 是 平行的，我们可以过 cd， 我 们做下延长线，那么你这是肯定也是垂直的呀，标一个点 g 吧， 那么我们这个 s， d， c， b， a， 它的面积我是不是可以转化成为我们矩形 s， c， b， o， g 减去我们矩形的另一个矩形，就是 d， a、 o， g 的 一个面积， 你 c、 b、 o， g 是 不是相当于我过外面的一条，我往 y 轴，往 a 轴做垂线，那么它的面积是不是就是我们的 k 一 了呀？然后你这个 d， a、 o、 g 呢？是过地点，你往 y 轴和 a 轴做垂线，那么你这个面积是不是就是我们的 k 二了呀？所以说你 d、 c、 b， a 的 面积就是我们 k 一 减 k 二，然后这还剩我们在 d 一 象限的，你 k 大 于零的，我们这样写，可以，那么如果说你在 二次相切呢？那么其实这里是一样的，我们还是过 c 点，我们做一个垂线，你这个矩形 d， c， b， a 的 面积，它还是等于我们我们这个大矩形啊，就是 a、 o、 g， d 减我们这个小矩形 b、 o、 g， c 吧，你大矩形面积在这里我们就需要加一个绝对值了，你外边这个还是 y 等于 x 分 之 k 一， 你里边这个是 y 等于 x 分 之 k 二。 你大的减小的，是不是还是我们 k 一 减 k 二啊？只不过我们过的二次相线，所以说在这里啊，我们加一个极对值，那么下一个在这是让我们求一个三角形面积，已知你的 a、 b 和内轴还是平行的，你是不是我们也可以做一条延长线呀？就是我们的 a、 d 也是垂直于我们的 y 轴的，在这里你求我们阴影部分的面积，假如说还是一样的，这外面这是 y 等于 x 分 之 k 一， 里面这是 y 等于 x 分 之 k 二。我们是不是也可以用一个做差法去确定啊？ 在这里你三角形 a、 b、 o 的 一个面积，它是不是就是我们这个大三角形 a、 o、 d 减，你那个三角形 b、 o d 啊？你 a、 o、 d 的 面积在这是多少呀？它 a 点，在这个图像上，你是不是过 a 点做 a 轴外轴的一个垂线，所以说它的面积就是我们的 二分之 k 一 吧，那么你另一个就是我们的二分之 k 二了吧，那么这是第一种，那么这是在一三下线，那么如果说在二四下线呢？一样的，你过这里我们做一条垂线， 那么你 s、 a、 b、 o 的 面积是不是还是等于你这个 s a、 o d 减去 s 三角形 b、 o、 d 啊？ 那么在这里你就需要加一个绝对值了吧？还是一样的，就是我们外面这个是 y 等于 x 分 之 k 一， 里边是 y 等于 x 分 之 k 二，那么它就是我们二分之 k 一 的一个绝对值，是不是减去我们二分之 k 二的一个绝对值了？那么继续往下一个两条异号 k 就 取线， 这个我们怎么求啊？方法其实很简单，跟刚才一样，在这里，假如说我们右边这个是 y 等于 x 分 之 k 一 啊，你左边这个是 y 等于 x 分 之 k 二啊， 你 ab 和 ab 平行，所以说在这我都是垂直的，那么所以说你这个 s a、 o b 的 面积，三角形 a、 o d， 我 们设的是一个点 d， 是 不就是 a o d 加上三角形 b o d 了呀？ 你 a、 o d 的 面积就是我们二分之 k 二的一个绝对值吧，然后你再加上二分之我们 k 一 的绝对值就可以了吧，然后第二个也一样， 所以这个焦点是 d 啊，你 a b 和 y 轴平行的，在这里是，所以说在这我们是不是也是垂直的？那你 x 三角形 a、 o b， 它就等于 s 三角形 a o d 加 s 三角形 b、 o d， 设一下，上面是 x 分 之 k 一，下面是 y 等于 x 分 之 k 二， 那么所以说它的面积就是我们二分之 k 一 加上二分之 k 二吧，你可以都加个绝对值， 一样的啊。然后下一个求矩形了，你矩形也一样，你就是我们稍微简单点讲了啊，你这是 s 一， 这是 s 二啊，你 s 一 加 s 二，你这是这个 k 值是 k 一， 你这个 k 值是 k 二，那么你算的话，是不是也就是 k 一 的一个绝对值？假设我们 k 二的一个绝对值啊？ 然后在这里一样，这是 s 一， 这是 s 二，那你 s 一 加 s 二，它也是我们 k 一 的一个绝对值，加我们 k 二的一个绝对值了。接着我们看第七个梯形面积模型，在这里它也可以叫做圆点三角形， 那么这个图形的面积我们怎么去求啊？如果说我们用常规的方法去求你这个三角形，它是一个不规则的，对吧？你用常规的方法求它肯定不太好求，我们怎么去做呢？我们可以过 a 点往下做一个垂线， 你交 o、 b 有 点 c， 交 a 轴有点 d， 你 再过 b 点往下做一个垂线，你交 a 轴有一点 h， 其实 很简单，我们是不是可以得到我们这个三角形 a、 o、 t 的 面积，肯定是等于三角形 b、 o、 h 的 面积啊？ 你在这里你会发现啊，我们这两个三角形是不是有一个重合的部分呀？就是我们的三角形 o、 c、 d， 对 吧？那假如说你 o、 c、 d 上面我这个三角形是 s 一 啊，然后你 o、 c、 d 右边这是不是 s 二啊？你 a、 o、 h， 它是不是 s 加上你这个 s 蓝色的部分呀？那么你 b、 o、 h 它是不是 s 二，加上你这个 s 蓝色的部分，那么所以说我们可以得到 我们 s 一， 它肯定等于 s 二了。所以说你 a、 d 这条直线啊，你左边红色的阴影部分，我是不是可以放在我们右边去了呀？那么这我们是不是就不要了？ 这里我们是不是不要了呀？所以说我们求面积，我们求的是三角形 a、 o、 b 的 面积，在这里它是不是应该等于我们梯形 b、 h、 o a 的 一个面积？所以说我们求它是不是就可以了呀？那么也就是 b h 加 a d 阔起来，你乘个高高就是 d h， 你 再乘二分之一就可以了吧？这是一个转化啊。那么继续我们看右边这个图，在右边这个图当中，它只不过就是在每一条曲线上给我们取了两个点，然后我们连接它，我们并与点 o 相连，在这里我们还是有一个三十的面积， 那么这个面积我们如果说直接去求的话，也是不太好求的，那么这个我们怎么做呢？给大家说一下啊，你在这里我们有点 b， 哎，我 b o 是 不是连上了呀？那么我是不是可以 过 o 点哎，我给它延长出去啊？你看啊，那么你与这个坐标轴我是不是还会交了一个点？那么假如说啊，我们这个点是点 c 啊，然后你再把谁连上呀？你再把这个 a、 c 连上， 那么你现在有两个三角形，一个三角形是 s， 三角形 a、 b o， 另一个三角形是 s， 三角形 a、 o、 c， 那 它的面积是什么关系呢？你知道你这个 b 点和我们这个 c 点关于圆点肯定是对称的，所以说我们在这里可以得到我们 b o 肯定等于 o c， 对 不对？所以说你在这个三角形 abc 当中，你 b o， 我 们是不是等于 oc 了呀？所以说你这个 a o 它是不是就是我们底边 bc 上的一个中线的呀？那么中线有什么性质啊？比如说在一个三角形里边啊， abc， 我 取一个中点，我是不是可以得到我们这个三角形 abd 的 面积， 肯定等于三角形 a、 d、 c 的 面积啊？中线我们是等分面积的，所以说在这里啊，我们 a、 b、 o 的 面积肯定等于我们 a、 o、 c 的 一个面积，然后我们求红色阴影布的面积，我是不是可以转化成求我们 绿色阴影布的一个面积，那么绿色阴影布面积怎么求啊？哎，它是不是和我们第一个图就一样的呀？那么你绿色阴影布的面积，我是不是可以给它转化成一个梯形的面积啊？你过 a 点， 你往下做一个垂线，你过 c 点往下做一个垂线，那么你蓝色左边这个绿色的面积，我是 s 一 啊，然后你这个空白部分， 我是 s 二啊，那在这里啊，我们 s 一， 我是不是等于 s 二的呀？所以说我们求 a o c 的 面积，我们就可以让 x 二加 s 三就行了吧，我是不是又转化成了一个梯形的面积啊？所以说这是我们的梯形面积模型啊。第八个，双曲线穿矩形模型。在这里我们先说一下这个图的一个结论， 第一个就是我们用 b f 比上 fc， 它是应该等于我们的 a e 比上 ec 的。 第二个就如果说把 ef 连上，再把 ab 连上，你这个 ef 跟 ab 是 一个平行的关系，那么具体的啊，我们怎么去正一下它呀？那我看这个图 ef 两点啊，我们都是在这个反比函数上的，那么如果说我们过 e 点，我们往下做一个垂线， 然后我们会得到啊，你这个矩形整个的就是 a o b c， 它的面积就是我们矩形 a o h e， 是 不是加上我们这个矩形 e h b c 啊？这个也没问题，对吧？那么还是一样的，你 f 点是不是也在这个图像上的呀？哎，我们如果说过 f 点，你再做一条垂线，这是一点 m， 那么我是不是可以得到你这个矩形 a、 o b c 也是两个矩形相加，对吧？它就是我们的矩形 b o m f 加我们的矩形 a c f m 吧，那么你这两个矩形我们看一下啊，你 a o h e 和你的 b o m f， 它的面积是不是都是我们 k 的 一个绝对值啊？所以说通过这两个调节，我们可以得到你这个矩形 e h b c， 它肯定就是等于我们矩形 a c f m 的， 那么这两面是相等的，那么我们再看这里啊，我们正一个比的关系，那么我们正比的关系我们可以怎么正？也就是说我们看第一组啊，你正 b f bfc 在 这里啊，我们是通过一个矩形的面积是正的啊，你在这里，我们矩形的面积我们用哪一个？你在这里我们先看一下这个 b f、 m o 啊，然后比上我们这个矩形 a c m f， 那 你矩形面积怎么求？你 b f m o 在 这里，我们是不是可以用我们的 b f m o 在 这里，我们是不是可以用我们的 b f m o 呀？那么比上谁？你 a c m f， 他 在这里是不是就是我们的 f c 去乘我们的 m f 呀？你 m f 约掉在这里，我是不是得到了 b f 比上我们这个 f c 啊？那么另一组也是一样的啊，我们要谁比谁，是不是要 a e 比 e c 啊？那么我是不是可以用我们的矩形 a e h o 比上我们的矩形 e h b c 啊？那么它就是用我们的 a e 乘 a o 比上我们下面这个就是 e c， 是 不是乘了 a o 啊？ 那么 a o o 约掉他，是不是就来了一个 a e b e c 啊？那么为什么他们的比值相等啊？你前面我们刚才说了，你这两个矩形的面积是相等的，所以说我们可以得到你这两个矩形的面积是不是也是相等的呀？所以说我们通过前面这几个条件啊，我们是不是可以得到 我们的 b f 比上 f c， 它就应该等于我们 a e 比上 e c 了呀？那么这是第一个啊，它的一个边的一个比例，那么第二个我们怎么去称啊？在这里啊，我给大家连上， 用黑色的，我们把 e、 f 还有 a、 b 跟它一连，那么为什么说它是平行的呢？那么刚才我们第一个结论我们证出来了啊，你两条边是成比例的，哎，在这里啊，我们有一个直角，如果说你 b f 比 f c 等于 a， e 比 e c 的 话，那么我是不是可以得到？ 就有这个条件，我是不是可以得到我们的 a c 比上我们的 e c 肯定是等于我们的 bc 比上一个 fc 的 呀？然后其中我们这个角 c 是 公共角啊，那你这个角 c 是 公共角，它是不是等于九度？所以说通过它我是不是可以得到我们三角形 abc 是 相似于我们三角形 e、 c、 f 的 呀？那么我们用的是啊，是 s、 a、 s 边角边吗？如果说相似的话，我们得的话，是不是就是这两个角肯定相等了呀？然后你这两个角是不是也相等的呀？然后内错角相等，是不是两直线平行，所以说我就可以得到我们的 e f 是 不是平行于 a b 了呀？ 第九个双曲线穿直线模型。在这里我们先说结论，它的 c b 肯定是等于 a、 d 的， 我们怎么去证它是相等的呀？那么肯定是证全等呗。那么在这里啊，我们就需要构建一个全等向量形，怎么去构建？我是不是可以过 b 一 点， 你往这里做条垂线，假如说这是 b h， 然后你过 a 点，你往下做垂线，这是 am， 那 么你是不是可以正 b c h 全等于我们去正三角形 b c h 是 不全等于三角形 a d m 就 可以了呀？那么我们找找条件啊，在这里就是指向，然后你这两个角再除以 alpha 和 b， 它，那么我们是不是有 alpha 加 b， 它肯定等于九十度啊？那么我们这个 b， 它啊，是不是加上你这个角 m a d， 他也等于九十度啊？由此我是不是可以得到我们这个角 m a d 肯定就等于我们这个角 r f 了吧？所以说我们标一下，这个角就是 r f， 由此你这个角是被他了呀，然后 你这个角是被他，你这个角是被他。哎，我是不是可以得到？再推一步，那么是不是 h b， 我 们就平行于我们这个 md 了呀？ 然后你正全等在这里，我们有角等了，三个角都是相等的，那么我是不是找一组边就可以了呀？在这里啊，我们找谁？我们找的是 h b 和 md 是 相等的，因为这里有一组平行了吧。那么如果说我们把谁连上，我们把这个 h m e 连， 我们去正，我们有一个四边形了吧？就是我们去正啊，你这个四边形 h b d m， 我 们是一个平行四边形就可以了吧？你有一组边是平行了，我是不是要另一组边是平行就可以，它就是一个平行四边形了？那么我们平行四边形是不是肯定有对边？肯定是相等的呀？我们 h b 是 不肯定就等于 md 了呀？ 那么我们怎么去证它是平行四边形呢？在这里我们就需要用到我们上一个模型的一个结论，我们把它摘出来看一下啊，比如说我们坐标系当中 简单给大家画一下，这是垂直，然后这有一个点，这有一个点， 我这做了个垂直，然后过这里做了个垂直，我连接了它，然后又连接了它， 那么它就类似于我们上个模型，哎，这是垂直的啊，这也是垂直的，我是不是可以把它延延长出去啊？我是不是可以给它补成一个矩形，然后放在我们这个模型当中，也就是说我们过 b 点，我们延长出去，然后你过 a 点，我们再延长出去， 它也就是我们那个双曲线穿矩形的那个模型了吧？我们刚才正了啊，我们这个 b a， 哎， 在这个模型当中是不是肯定是平行于我们这个 hm 的 呀？所以说这个平行形我们就挣出来了，利用的就是什么啊？我们刚才那个双曲线穿矩形， 那么我们正得我们这个 b a 是 不是平行于我们这个 hm 的 呀？由此我们是不是可以得到我们这个 m d 肯定是等于 b h 的 呀？那么它既然相等了，也就说我们这个三角形是不是全等了呀？所以说最后我们退出来，我们这个 c b， 我 们是不是等于我们这个 a d 的 呀？
551子恒老师
07:04查看AI文稿AI文稿我们来看这道题，在平面直角坐标系中，点 a 的 坐标呢，是零度四，好，这个呢，是个四啊，点 b 的 坐标呢，为三度四， 将三角形 a、 b、 o 向右平移到三角形 c、 d、 e 的 位置，那么既然是平移，我们知道 a、 b、 o 和 c， d， e 其实是全等的，是吧？ a 的 对应点是 c、 o 的 对应点是 e， 函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像经过点 c 和 d， e 的 中点 f， 这个中点好，这个 f， 它是 d 和 e 的 中点， 则 k 的 值。那么这道题啊，要想求 k 的 值，不用说，肯定是根据我们反比例函数图像上点它的性质来进行，是吧？把它的点的横坐标向成，那么就是我们想要求的 k 值。 那么一般情况下，我们如果知道一个点啊，知道一个点的坐标，那么把这一个点的横纵坐标相乘，就能解决这个问题，是不是啊？比如说这个点坐标呢， a 点它是 x 度 y， 那 么 x 乘以 y 就 等于 k， 那么如果是两个点的坐标呢？比如说 a 点是 x 度 m， b 点呢，是 n 度 y， 哎，这样的两个点，我们如何进行，他这这个点都不知道，所以我们一般情况下，两个点就会有其中一个未知数 啊，把他们其中一个位置数，比如说 a 点是二度 m， b 点呢，比如说是 m 度三，是吧？那么这样呢？或者 m 加一度三， 那么这样的情况下，我们一般就通过一个等式来解决这个问题，比如说二乘 m 等于三乘，以 m 加一，我们以这样的形式把 m 解出来来解决 好。那么这道题有 c 和 f 两个点，所以呢，我们首先第一步看能不能尝试去求出一个点的坐标，那么 a 点坐标呢是零度四， b 点坐标呢是三度四，现在呢，把这个三角形平移到这个位置，但是问题是我不知道平移到多少，所以我们解决这道题，我们首先确定肯定是利用第二种方法来解决，是吧？我们假设平移的距离为 m 的 话， 那么 c 点的坐标是多少，我们就要写出来， c 点的坐标呢，就是我们的 m 度四， 那么现在如果能用 m 表示出 f 点的坐标，那么这道题就算是解决了，怎么办呢？写你的 m， 我 们 e 点的坐标呢，就变成了 m 度零，而 d 点的坐标呢，就变成了 m 加三度四 啊。通过平移，因为 b 点呢是三次，所以这些呢都很容易得到，而我们 f 点是 b， d 的 中点，那么中点公式孩子们还记得吗？所以它的 f 点的坐标，它的横坐标就是我们 d 点和 e 点横坐标的和的一半啊。 好，那么纵坐标呢，就是我们 d 点和 e 点纵坐标和的一半， 这样我们就得到 f 点的坐标呢，就是 m 加二分之三 度二。好的，那么现在 c 点坐标知道了， f 点坐标也知道了，那么根据我们的等式关系，就会得到四， m 等于二倍的 m， 二倍的 m 加上二分之三。 好，我们解一下。四， m 等于二， m 加三，这样呢会得到 m 等于二分之三。好，那么 m 等于二分之三，我们的 k 的 值就等于 这个是二分之三的话，那么就等于二分之三乘以四等于六，所以呢，我们 k 的 值就得出是六 啊。所以这道题啊，我们明确的目标，什么目标？目标呢？就是这里面有两个点，我们就可以假设有一个未知数，然后用这个未知数同时表示出这两个点的坐标， 把它们连立起来就可以了，形成一个等式。好，那么这是代数的方法，那么这道题如果用几何的方法能不能解决呢？其实也是可以的啊，老师在这里呢讲一下几何的方法。 那么几何的方法我们就要根据 k 的 性质了，我们知道反比例函数，它的系数 k 等于这一个点到 x 轴， y 轴做垂线所形成的矩形的面积，是吧，所以呢，我们这个 k 就 可以写成这样一个面积， 那么这个面积多少多少呢？就是四 m 啊，那么同时呢，也可以形成这样一个面积啊， f 点做面积，我换一个颜色啊，来 f 点去做一个四边形。 好，那么这个怎么去求它的面积呢？我们知道连接这个啊，我们根据三角形的中位线，这个 f 点是中点，然后呢这些都是垂直的，所以这个也是中点，那么这个 f， 比如说这个地方是 h 吧，这是 k 啊，那么 f h 就等于我们二分之一的 d q 啊， d q， d q 的 长度呢是四，也是 f h 等于二，所以这个边等于二， f k f 呢是 d e 的 中点， k 呢是 a o 的 中点， 所以呢，它是我们这个梯形的中位线，那么梯形的中位线 f k 就 等于上底和下底和的一半，那么下底是 m， 上底是 m 加三，那就是二分之 m 加上 m 加三， 从而得到它是 m 加上二分之三，这样我们的二 f h 乘以 f k， 也就是二乘以 m 加三，其实得到的就是我们刚刚这个等式 啊，所以这道题我们是用几何的方法，或者是用代数的方法都是可以的。但是这道题里面啊，它有一个非常重要的知识点，叫做钟点公式，这个希望同学们呢要记住它。好，本道题呢，我们就讲到这里，谢谢大家。
30汪栐数学讲堂
05:00查看AI文稿AI文稿如果在考试中遇到这些模型，你不能识别，秒杀就太可惜了，今天带你速通反比例函数与矩形与依次函数相结合的问题。模型一， 矩形截线段问题。如果在考试中遇到反比例函数的一只被一个两边都以坐标轴相重合的矩形所及，那么有什么重要的二结合呢？连接 o， b 可以 得到两个三角形的面积是一样的。 连接 o m 和 o n， 又可以利用反比的函数 k 的 几和 e 得到两个长方形的面积是一样的，所以大面积减去小面积，大面积减去小面积，是不是可以得到两个黄色的三角形？面积是一样的，那么我们面积之比 就是相等的，所以三角形 o， m， b 比上三角形 o， c， m 一定等于三角形 o， b， n 比上三角形 o， d， n， 那 么把这个三角形再拆开，又可以把二分之一都抹掉，再把相等的线段都抹掉，那么面积之比就变成了线段之比。 所以有重要的二个结论需要大家背下来，叫做圆点矩形交反含截出等比线段 b， m 比上 m， c 等于 b， n 比上 n， d。 我 们看一眼在真实的考题中，如何考察 平面直角坐标系中矩形的顶点矩形的 b， n 都告诉你了，所以就是圆点矩形交反含， 它告诉你 b， e 比上 e， a 等于三比一，那么所截线段乘比例 b， f 比上 f， c 就 等于三比一了，所以 c 选项快速的秒杀掉。再来一道小事，牛刀一下，又是一个矩形 平面直角坐标系，如图所示， c 点 a 点都告诉你了，这个矩形是圆点矩形交反含 反比例函数还经过了 a、 b 的 终点，所截线段乘比例，所以 b、 d 比上 d， a 就 等于 b， e 比上 ec， 所以 等于。一，这道题 a 选项快速的得出答案是不是非常快？模型二，依次函数截线段问题，是反比例函数与依次函数相结合的问题， 如果在考试中遇到了反比例函数与直线有两个交点的时候，又有什么重要的二级结论呢？过点 c 做垂线，过点 d 做垂线，过两个相交点，而且做垂线就可以得到了 c、 g、 d、 h。 当我们延长的时候，就可以两条垂线相交于点 f。 当我们在连接 g、 h 的 时候，你可以得到什么重要的结论呢？是不是 f、 c 比上 c， g 等于 f， d 比上 d、 h， 那 么还可以得到 b、 e 平行于 g h 喽？是不是就可以得到 b、 e 平行于 g、 h 喽？是不是就可以得到这两边再一连，一个平次出来了？ 如果把这两边一连，是不是另外一个平次又出来了？平次边有什么状的结论，对边平行且相等，所以 b、 g 和 d、 h 是 相等的， c、 g 和 e、 h 是 相等的，再加上它们的夹角又是九十度，所以两个三角形是全等的了，那么 bc 和 d、 e 是 相等的。重要的二阶论又出来了，依次函数交反，含结出相等的线段，我们看一眼在真实的考题中如何应用？ 平面直角坐标系中，直线 ab 与 x 轴 y 轴相交于 a 点和 b 点， cd 是 其交点，过点 c 做垂直，过点 e 做垂直。那么若 cd 等于 a、 c 求面积之比，是不是一次函数交反含有两个交点，那么所截线段 b、 d 和 c 是 相等的？题干用告诉你， c、 d 和 c、 a 也是相等的，所以这三条线段 都是相等的。那所求的两个面积之比应该是线段之比的平方，相似比的平方对不对？所以面积之比就是二比一的平方，所以四比一是不是快速的得出结论来了？答案，选 c 选项，再来一道小时牛刀一下， 依次函数与反比的函数相交于 ab 两点，依次函数交反含，它要求一二三。这三个结论哪个是对的？第一个， 香蕉的 a 点坐标我们只要带进去就好了，把 a 点坐标带进去， y 就是 六，把 a 点坐标带进去， y 还是六没问题，一是对的，第二个我们都知道二级结了，是不是选择题直接秒掉？二是对的。三、 三角形 a、 o、 d 和三角形 o、 b、 c 的 面积。如果你听过上一级，那么就可以快速的得到 a、 o、 e 和 o、 b、 f 两个面积，一样的是反比函数 k 的 几何 e， 再听过这一角，又可以得到这两个三角形的 相似。还因为相似率是一，所以面积又是相等的，那么两个面积一拼，是不是面积又是相等的了，所以三也是对的，所以这道题一二、三都是对的。 一道票问题送上同学们，下一集我们将会讲到相似三角形了。最后我将本集的重要考点放在屏幕上，供大家参考。下一集相似三角形我们下期见！
778韩肇霖｜初中数学
04:36查看AI文稿AI文稿东莞中考数学我预测今年会考这一题。这是一道反比例函数的题目，在去年考的是压轴大题的最后一题，前几年考的分值比较低，我预测他今年会出现在选择或填空的最后一题压轴题。 今天我们看东莞中考数学压轴题第二期反比例函数，那么这道题常规的做法应该怎么做呢？首先，同学们应该非常熟悉，我们的函数上的点 d， 函数上的点 m， 都要做一个垂线段，垂直于我们的轴，假设这个是点 e， 点 f， 那么熟悉中点模型的同学呢，就会马上得到这个 o e 和 e f， 还有这个 f， b 啊，长度都是这个小 a。 如果不熟悉的同学话呢，你们可以利用这个三角形 o， d， e， 三角形 o， m， f， 它们的面积都是二分之 k 的 绝对值，利用它们的二分之一，底程高相等，因为 m f 是 我们的三角形 b， d， e 的 中位线，那么我们把 m 点的纵坐标啊， 设为 h 的 话， d 点的纵坐标就是二 h 了。此时呢，我们把 b e 这个线段啊，长度分为二 a， 那 么 e， f 和 f b， 根据中微线，它俩是相等的。此时把 o e 的 长度设为 x， 被发现三角形 o， d， e， 三角形 o， m， f 呢，它们的面积相等高，是一个两倍的关系，那么底边也必然是一个两倍的关系，从而推导出 x 也是小 a 好，因为题目说它是一个菱形啊，所以我们的 o d 呢，就是三 a 了。勾股定律算一遍，我们的 c e， c， e 是 能够得到我们的 h 和小 a 的 一个关系。题目问的这个对角线的比值呢？ 由于对角线互相平分啊，所以我们其实是 am 比上这个 dm 的 一个比值，那么根据这个比值呢，我们设点刚刚的 d 点， m 点的坐标已经出来了， 通过这个两点距离公式，我们把 am 的 长度， bm 的 长度算出来，然后再用这个比值得到最后的答案，会发现呢，这个计算量有点大，并且呢方法其实不太好想到。那么我先来教你们一个新的方法。这个方法呢，首先需要同学们的 这个观察力比较灵敏，因为它是一个菱形，所以我们的 amb 一定是一个九十度。其次，刚刚讲过反比例函数的题呢，习惯于令我们函数上的点啊，做一个垂线段下来。哎，聪明的同学已经发现了，这里其实是一个摄影定比，那么摄影定比我们有什么结论呢？我们的 m e 的平方等于 a e 乘 b e， 以及我们的 a m 的 平方等于 a e 乘 ab。 最后是我们的 b m 的 平方等于 a b 乘上我们的 b e。 由于我们题目的问题问的是对角线的比值，同时它也是对角线一半的比值，那么题目的问题，我们把它转换成 a m 比上 b m， 那么这两个比值呢，会发现在射影定律里面，我们有他们平方的一个式子，我们看一下令这两个等式作除法，最后的结果呢， 是 a e 比上 b e， 所以 题目的问题啊，是我们这个式子的一个扇数平方根，那么 a e 比 b e 的 值是多少呢？刚刚讲过一个钟点模型，还记得吗？我们的点 d 做一个垂线段下来， 那么这是小 a， 这也是小 a， 这也是小 a， 会发现 a e 的 长度是两个 a， b， e 的 长度是一个 a， 所以 最后答案就是二，但是别着急哦，我们题目的问题是它的一个算术平方根，所以最后给它打一个根号，就是根号二了。所以这题 我们首先得先把题目中容易找到的九十度 a， m， b 给它画出来，从而观察出这个摄影定律，把公式往里一套，答案一下子就算出来了。那么回顾这道题的两个解法呢？会发现第一种在考场上做出来的话，会发现它非常的繁杂， 花的时间非常多，得分率非常低，如果用的是后面那种第二种，如果是用的后面的第二种解法，会发现，呃，花的时间非常少。对于考场中的学生来说呢，你能给后面的大题节约出非常多的时间。
115东莞初中数学潘老师
06:38查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享中考题里边的一个反比例函数与等边三角形结合的问题。 首先观察已知条件里面一个反比例函数图像 y 等于 x 分 之六，它的两个分支出现了， 然后在这个分支上，第一项项的分支上有一个动点 a， a 是 动点，把 a 和 o 坐标原点连起来延长，与另一个分支产生一个交点 b， 然后就以 ab 为边，构造了一个等边三角形，一个等边三角形， 那么 a 在 动，肯定 b 也在动， b 在 动，那这个顶点 c 肯定也在动。就让我们找一找过点 c 的 有一个函数图像，也就是点 c 总在一个函数图像上运动。 让我们找一下点 c 所在的那个函数图像的解析式。那个函数图像都没有啊，不存在，但是他告诉我们了，这个点 c 一定在某一个固定的函数图像上运动。就让我们找一找点 c 所在的那个函数图像的解析式是什么？ 同学们，观察一下啊，要想求点 c 所在的那个图像的解析式，肯定你首先第一任务就是要找到点 c 的 坐标，要找到点 c 的 坐标，这是第一个关键点。 第二，再来观察这里，同学们啊，突破点就在 o a 和 o b 上， o a 和 o b 怎么产生的？同学们，连接 a o 并延长，将这个反比例函数图像移一点 b。 那 我们知道反比例函数图像它是关于圆点成中心对称的，那连接 a o 并延长之后的这个 o， a 和 o b 又是什么关系呢？同学们， 很显然，他俩也是关于原点成中心对称，我们可以把它看成是一个正比例函数图像的一部分，我们知道正反比例函数图像如果有焦点，他的焦点一定关于原点，成中心对称，也就是说这里的 o a 和 o b 是 相等的， 这是解决这个问题的关键点。那么既然知道 o a 等于 o b 了，同学们，那么我们就得来等边三角形里边出终点，我们就得要想等边三角形的三线合一连接 o c， 那显然这个地方就要垂直了。哎，这里垂直之后，你们再来想斜着出现一个直角的时候，我们通常的思维定势就是构建一线三等角。怎么构建？哎，你就过这个直角的两个端，点 a 和 c 向坐标轴做垂直就可以了。过点 a 做 am 垂直，过点 c 做 c， n， e r 垂直，那这里的一线三等角就构建出来了， 显然这个一线三等角就产生了。那这两三角形它是相似的， 因为这个角加它是九十度，这个角加它也是啊，九十度，所以这个角和这个角相等，再加直角和直角相等，这两三角形相似，一线三等角相似。那么接下来咱们就得用点 a 的 坐标，因为为什么要设点 a 的 坐标呢？因为 a 它在这个， 它所在的这个反比例函数解析式它是已知的。那么我们借助于点 a 的 坐标去表示点 c 的 坐标，会出现一个什么现象？嗯， 那如果我设点 a 的 横坐标是 m， 纵坐标是 n 的 话，显然它的纵横坐标之积就等于比例系数 k 啊六了，那这个线段这就是 m 了，这个线段就是 n 了。接下来我们就要用含 m n 的 代数式去表示 c n 和 o n 的 长度， c a 和 o a 表示出来了，那点 c 的 坐标也就啊出来了，这是我们解决问题的关键点。接下来同学们再来看啊，既然这两三角形相似了，它们的相似比才是解决问题的关键。同学们观察它们的相似比， 我找一对相似比，同学们观察啊， o a 和 o c 之比，观察一下它等于几？比几， 显然就是这个三十度角的正切值了。挡边三角形，三线合一，这就是三十度了。三十度角的正切值对边比啊，邻边摊面的三十度，显然就是一比啊，跟三的关系了。 所以说， o a 和 o c 之比是一比，根号三，那这个 a m 与 o n 之比也是一比啊。根号三，它是 m， 那 它就是根号三 m 了，它是 n， 那 它就是根号三 a 了，也就是 c n 的 长度啊。 o n 等于根号三倍的 a m， 也就等于根号三倍的 o m 了。 根号三倍的 o m e 啊，就是根号三 n 了，这就是 o n 和 c n 的 长度，因为它们的相似比是一比。根号三嘛，短的是 m， 那 这个短的就是根三 m， 长的是 n， 那 这个长的就是根号三 n。 那 点 c 的 坐标，点 c 的 坐标，这个时候就可以表示了。注意，我们表示这是线段的长度啊，点 c 在 d 啊。四象限，它的横坐标是正的，那就是根号三 a 了， 那它的纵坐标在负半轴上，所以说它的纵坐标是负的，根号三 m。 不要忘了加符号，忘了加符号，前功尽弃。 那么就再来观察，咱看一看，它的纵横坐标之间又等于什么？根号三，乘以负的根号三 m， 它等于什么？等于负的三 m n 啊，等于负的三 m， 也就是负的三乘以六等于负十八， 也就是说点 c 的 纵横坐标之积，它等于的是负十八，所以它所在的函数关系式就是 y 等于负的 x 分 之十八了，仍然是一个反比例函数解析式。 这是一个非常典型的借助等边三角形，三线合一构建一线三等角，设一个点的纵横坐标， 记住这一个点的纵横坐标表示另一个点的纵横坐标，这里显然用的不是 k 的 几何意义。同学们，我们知道求反比例函数解析式就两种思路，第一个就是用 k 的 几何意义，第二个就是设点的坐标， 用同一个字母去表示不同的点的坐标，从而根据 k 等于纵横坐标之积来解决问题。哎，这里我们就找到点 c 的 纵横坐标，给它乘起来恰好等于负十八，这说明他就是一个反比例函数解析式。希望这个题目能够帮到大家。
62初中数学柳老师
09:07查看AI文稿AI文稿就是这两个变量 x 和 y 的 成绩是 开的，四个垒一定要看好，一错点一， 眼睛一错点二，把反比例函数和正比例函数搞混，记住，正比例函数、自变量指数 一错点三，以为只要分母在下面， 一体完全符合，一般是分母 式。图像落在第一和第三项线 在占屏幕上，小红点的滑动随着 x 的 增大，也就是往右走，小红点是再往下掉的，也就是说在 x 的 整体也就是 k 减二。所以我们列出不等式 k， 搞懂了图像核心至到了考场上，我们最常遇到的实战题型就是求解析。 算 k 的 时候符号丢了，或者符号算反了。现在我们来看经典立体六，已知图像经过点二负三求解析。 遇到这种题不要慌，跟着箭头分两步走，第一步，先求出解析式，是我们 自己二，所以解析式就是 y 等于负的 x 分 二。第二步，把新的字变量 x 等于六，代入这个钢球出来的解析式不是二除以六。
760数学rap思维
02:55查看AI文稿AI文稿这个视频我来讲讲反比例函数的图像。先看 k 大 于零时，以 y 等于 x 分 之六为例，当 x 等于一时， y 等于六，除以一得六。 当 x 等于二时， y 等于六除以二得三。用同样的方法，依次将 x 等于三、四、五、六、十的外值求出，在坐标系上将这些点描出来，再用光滑的线将它们连接起来，就得到了函数在 x 大 于零时的图像， 它在第一项线。当然， x 还可以小于零，在这些 x 值的前面加个符号，那 y 的 值自然就也得加个符号。 把这些点在坐标系上描出来，再用光滑的线连起来，就得到了函数在 x 小 于零时的图像，它在第三项线。由此，咱就得到了反比例函数完整的图像。而这两条曲线也有一个专门的名字，就叫做双曲线。 不难看出，双曲线是关于二四象限的角平分线对称的，所以直线 y 等于负， x 就是 它的一条对称轴。另外，双曲线还关于另一条直线对称，即一三象限的角平分线 y 等于 x。 所以， 反比例函数的图像是有两条对称轴的轴对称图形。 事实上，双曲线也是中心对称图形，你如果把它们以原点为中心，旋转一百八十度，就会和原来的图形重合，所以原点就是它的对称中心。 看来，反比例函数的图像既是中心对称图形，也是轴对称图形。函数图像的对称性说完了，再说说函数的增减性。不难看出，在第一项线里， y 随 x 的 增大而减小。在第三项线里， y 也随 x 的 增大而减小。所以你可以说，在第一项线和第三项线里，函数分别随 x 的 增大而减小。 如果我把 k 变大一点，由六变成十二，用同样的秒点连线的方法，就可以得到 y 等于 x 分 之十二的函数图像。不难发现，这两条曲线与坐标轴的距离要比原来远一些。可见， k 越大时，函数图像与坐标轴的距离越远。 现在 k 大 于零的情况搞清楚了，接着来看看 k 小 于零的情况。以外等于负 x 分 之六为例，还是先把 x 等于一、二、三、四、五、六时的外值求出来，然后上坐标轴秒点连线，发现它在第四项线 在 s 值前面都加个符号，外值自然也得变成原来的相反数。然后上坐标轴秒点连线，发现它在第二象限。 不难看出， y 等于负 x 分 之六的函数图像也是有两条对称轴，并且关于原点对称的双曲线，但它是在二、四象限，而且在每个象限里， y 随 x 增大而增大。 如果我把负六变成负十二，用同样的方法做出它的函数图像，不难发现这两条曲线与坐标轴的距离要比这两条曲线远一些。那这时你能说 k 越大，函数图像与坐标轴的距离越远吗？显然这么说是不对的，因为负十二比负六小。不过，如果你说 k 的 绝对值越大，函数图像与坐标轴的距离越远，那就没问题了。 现在反比例函数的图像已经比较清楚了，一起来总结一下。首先，反比例函数的图像是双曲线，它既关于两条直线对称，又关于原点对称，而且 k 的 绝对值越大，函数图像离坐标轴的距离就越远。 其次，当 k 大 于零时，图像在一、三象限。在每个象限里， y x 增大而减小。当 k 小 于零时，函数图像在二、四象限。
26数学思维
07:59查看AI文稿AI文稿今天我们来讲解这道考前冲刺第一天，选自深圳南山二模卷的这道反比例函数题，那么这道题的话，我们今天选用一个面积法来给大家作为讲解。 其实这个题的话，面积法和坐标法有两种方法，我今天先给大家讲一个面积法，如果大家有兴趣的话，后面再出一期视频给大家讲一下这个坐标法。 好，我们来一起读一下题目。我们说如图，在平面直角坐标系中， o 点是坐标原点， 然后平行四边形 abc 的 边， ab 在 次轴上，顶点的在 y 轴上点 c 在 第二象限。然后来看第一句话，将三角形 a o 的 沿 y 轴翻折，使得点 a 落在这个点 e 处。好，根据这句话我们能够得到什么信息？ 我们是把三角形 a、 o d 沿着 y 轴翻折得到的是这个三角形，三角形 e、 o d， 也就是说三角形 a、 o d 是 全等于三角形 e、 o d 的， 那么我们能够得到的结论就是 o e， 它是等于 o a 的 好。继续往下看，点 b 恰好是 o e 的 中点，哎，那就是说我们的 b e 也好，或者说 o b 也好，其实都是一半的 o e 其实也就等于一半的 o a。 好， 那这个地方我们发现它会有一个倍数关系的话，假如说我们设 这个 o b 等于 b， e 等于一，哎，然后的话，这个 看一下 ab 的 长度， ab 的 长度是不是会等于 o b 加上 o a， 因为刚才我们说这个 o b 的 长度是二分之一的 o a， 说明 o a 的 话就是两倍的 o b， o a 应该是等于个二，所以 ab 的 话应该是等一个一加二等于三。 好， ab 的 长度有了，那上面 c 的 这个长度实际上我们也有了， c 的 长度也等于三好，为什么要算？这个？ ab 和 c 的 很明显是平行于这个 s 轴的， 也就是说刚好上下两个三角形，因为平行构成了八字相似。哎，因为 c 的 平行于这个 e、 b， 所以 的话我们就能够直接得到三角形 c 的 f， 它是全等于三角形 b、 e、 f 的。 哦，相似。 sorry， 相似于三角形 b、 e、 f 的， 并且相似比的话，是不是已经有了？因为前面我们这个部分我们是设的这个一嘛，我们发现当 b、 e 的 长度是一的时候，这个 c 的 长度是三，所以相似比的话，我们也直接有了， 相似比的话，就直接等于一个 b、 e， 比上 c 的 应该是等于一个一比三。好。接着往后看，下一步告诉我们，这个三角形 b、 e、 f 的 面积是二分之一， b、 e、 f 的 面积有了， 那上边这个 c、 d、 f 的 面积是不是也有了？哎，我们说相似三角形的面积之比的话，应该是相似比的平方， 所以我们直接就能够得到三角形 c 的 f， 相似比是一比三，对吧？所以的话面积之比应该是一比九，直接就是一个九倍的二分之一。好，它的面积是等于个二分之九。 好，然后我们说今天我们如果用面积法去求的话，我们现在来看一下 c 点，在这个反比例函数图像上，如果我们想用面积法的话， 那么要么就是我从 c 点往下去做一条垂线，然后我们去求这个矩形的面积，但是这样求的话，其实不太好求，为什么？因为我们其实只有这两个八字三角形，旁边的话是两个不规则四边形，其实我们是不好去求这个矩形的面积的， 既然不好求矩形面积，那我们看一下能不能换一下去连接 oc， 求这个特征直角三角形，那我们好不好求？ 好， co 的 的话看一下，现在我们只有 c 的 f 和 b e f 的 面积， co 的 实际上也是不好求的，那我们能不能再给它转化一下这个地方？我假如说连接 b 的， 大家看一下， 我们来看一下三角形 bc 的 和三角形 co 的 有什么关系？来观察一下它们两个的底，我都可以 c 的 为底， 来看一下这两个三角形，我们的底都可以写成 c 得高的话，不管是从 b 点 往 c 得去做垂线，还是说从 o 点往 c 得去做垂线，大家会发现这两个长度上其实也是相同的，其实就是得点的作坐标嘛，所以的话高我们是不是都可以用 o 得来表示出来？好，那我发现 c o 得 和 bc 的 如果是一个同底等高的关系的话，那这两个三角形面积上是不是一定相等啊？ 好，这两个三角形相等的话，我就可以把三角形 c o 的 面积转化成三角形 bc 的 面积，然后我们去求 bc 的， 看看怎么去求。 来，我们连一下 bc 的 看看。为什么会选择用 bc 的 呢？因为 bc 的 的话，首先第一个是我有这个 c 得 f 的 面积，这个我上一步刚求出来是不是等于个二分之九，哎，然后的话还有我们换一个颜色哈，还剩下了一个得 bf 这个红色三角形的面积，哎，那这个红色的三角形我们怎么去求呢？哎，这个得 b、 f， 我 们再来看一下我们是不是有这个 b、 e、 f 的 面积， 我发现 b 点又是它们相同的顶点，如果我从 b 点往下做垂线的话，高是不是又是一样的？来，我们看一下三角形 b、 e、 f 和三角形 d、 b、 f， 它们两个高又是一样的，底 一样吗？底肯定不一样，但是我们好像有比例关系，刚才我们刚正了相似，并且说相似比的话是一个一比三，那我是不是能够得到对应边的话，其实 e、 f 比上一个的 f 应该也是一个一比三？好，哎，我们说 底之比是一比三，然后高相等的话，是不是就能够得到面积之比？其实就是底之比。哎，所以这个 b、 e、 f 比上这个得 b、 f 直接就是他们的底之比，一比三，那么 b、 e、 f 的 面积是不是就是一个三倍的二分之一，也就是一个二分之三？ 好，这样的话我们就能够把 bc 的 面积给它求出来，它就等于一个三角形 c 得 f 的 面积加上一个三角形，得 b、 f 的 面积 等于一个二分之九，加上一个二分之三，结果的话是二分之十二，等于一个六。好， b、 c 的 面积求完了之后，那我们 c、 o、 d 的 面积是不是也就和它相等好？现在这个 c、 o、 d 的 面积有了，那整个矩形的话，是不是应该就是两倍的 c、 o、 d 等于个十二？一定注意一下，我们用面积法一定要注意一下 k 的 正负 在这个图像 c 点的话，是不是在第二象限，哎，在第二象限的话， k 是 小于零的，所以的话 k 不是 等于十二，一定是等一个负十二，这就是我们如何用面积法去解决 这道题。
35:58查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天继续带来我们专题六的讲解，我们来看一下反比例函数在河南中考当中是怎么考察的啊？来看一下这五道题，他呢，每年都会在解答题十八或者是十九的位置考察一道反比例函数与几何的综合题目，其实它并不难，一个九分的题， 它是一个九分的题啊，我们来看一下这里头考了反比例函数的哪些点，考了几何的哪些点。先来看我们的二五年的十八题， 二五年十八题呢，是一个反比例函数跟三角板的一个结合，三角板呢，只要题目当中说了一负三角板，它指的就是两个三角形，一个是含有三十度角的三角形，另外一个呢是一个四十五度角的等腰直角。三角形啊， 指的是这两个，所以题目当中呢，也给我们说明了，其中含三十度角的三角板呢，他的 o a 这条边是落在外轴上的这条直角边，所以这个角呢，就是我们的三十度角。然后含四十五度角的三角板呢，他的顶点，顶点的坐标 c 是 一个二逗号二， 他是一个二十多号二，也就是说这个是一个四十五度的直角三角形。然后呢，说了反比例函数呢，解析式是 y 等于 x 分 之 k， k 不知道，他呢？哎，经过点 c 点 c 的 坐标知不知道呢？哎，知道呀，他是一个二十多号二。那么第一问 求反比例函数的表达式出来了吧，一会我们看后面那几道题的时候，你就会发现，每一道题全部都是题干，当中 k 不知道，但是给出来了一个函数图向上的点坐标，第一问一定是求它的 k 的 值，或者说求函数的表达式解析式， 一样的套路从来没变过，这五年啊，所以我们第一问呢，是直接把点 c 二逗号二代入到我们反比例函数的解析式当中， y 等于 x 分 之 k， 从而呢，我们可以求得 k 等于的是四，所以就得到了函数的表达式， y 等于 x 分 之四，其实 k 就是 x 乘 y 嘛，二乘二等于四，对吧？ 那第一问就没有问题了啊，所以第一问就考了一个函数的表达式的求结点代入就可以了，代定系数反。然后第二问呢，说将 oab 这个三角板呀，绕点 o 顺时针旋转了九十度， 顺时针，绕点 o 旋转九十度顺时针是怎么转？应该是这样转，这是一个顺时针，那他顺时针转了九十度之后，他跑到哪了呢？我们来这个图上画一画啊，因为 oa 此时呢，是跟外周重合的， 那它旋转九十度之后，应该跑到 x 轴上了，所以呢， o a 就 变了，变到这面了。 那同样的啊，由我们说，三角形或者三角板的旋转，其实就是它上面一些线段，或者说一些点的旋转。我们现在确定了点 a 了，那点 b 呢，这就在它的上方嘛，画一个垂直，因为这是直角呀，它是一个直角三角板，这是我们的点 b， 然后连接一下 o b。 那我们这里头啊，用撇来表示啊，它旋转之后得到了三角板，一个新的三角板， o a 撇， b 撇，这是它旋转后 得到了三角形 o a 撇 b 撇。那同时呢，这个点 d， 人家说了 a b 边上的点 d 恰好落在了反比例函数的图像上，所以呢，点 b 啊，点 d 啊，点 d， 原来在这儿，它在 a、 b 这条直角边上，那现在呢，旋转完了之后，它说它落在了反比例函数的图像上，也就是说 直角边 a 撇 b 撇与谁的交点，它与我们反比例函数的交点就是我们的 d 撇 d 撇，旋转后的点 d 称之为 d 撇，那让我们求的是旋转前的点 p 的 作点 d 的 坐标，那我们来看一下吧， 来看一下怎么去计算啊？题目当中呢，只给了我们三十度，四十五度以及一个点 c 的 坐标，以及反比例函数的解析式，给了这些条件，怎么去求点 d 的 d 撇的坐标呢？ 其实你要求点 d 的 坐标，其实呢，我要求出来 d 撇的坐标是不是就可以了？因为点 d 的 坐标它跟点 a 的 纵坐标相同，那我无非是需要去求一下点 d 的 横坐标，点 d 的 横坐标就是 a、 d 这条线段的长度，取一个符号就可以了，因为它是在第三项啊，第二项线， 那 d 撇呢？ a 撇 d 撇跟 a、 d 是 不是相等的？旋转前后嘛，旋转的性质对应线段相等，所以它是相等的，所以只要我能够求出来 a 撇 d 撇，我就可以求出来 a、 d， 那 么点 d 的 坐标我就知道了。那 d 撇呢？因为它是在反比例函数的图像上， 所以我们可以设它的点，代入到反比例函数的表达式，求出来一些长度，那这里头的话，我们的点 c 的 坐标二十多号二，我们除了在第一问求我们的函数解析式以外，我们还可以求出来 o、 c 的 长度，对吧？因为它是二十多号二，那你这里头给它做一条垂线的话， 你做 x 轴的垂线也行，做 y 轴的垂线也行，也就说这是二，这呢也是二，所以 oc 就是 一个二倍根号二， ac 呢，也是一个二倍根号二， 那么我们这段是不是也是个二？也就是说我们的 oa 是 谁啊？ oa 是 二加二，等于的是四，所以可以根据点 c 的 坐标二逗号二，我可以得到 oa 等于的是四， o a 等于四，那么点 a 的 纵坐标是不是就知道了？零逗号四，那么点 d 呢？点 d 的 纵坐标呢？也知道了，也是一个四， 所以 o a 等于 o a 撇，那么 o a 撇呢？也是四，所以这就是旋转嘛，旋转它的一个性质，旋转前后对应边是相等的，所以 a 撇的坐标就是一个四逗号零 a 撇的坐标。知道了，那点 d 撇的坐标跟 a 撇的坐标有什么关系呢？ 它俩哪一个坐标相同？横坐标还是纵坐标？应该是横坐标相同，所以地平的坐标应该是四逗号 y， 那 地平呢？它是在函数图向上的，所以把它的坐标四逗号 y 带入到我们的解析式当中， y 等于 x 分 之四，进而我们可以得到 x 啊 y 的 值， 求出来 y 的 值， x 是 四， y 等于四分之四， y 等于的是一， y 等于的是一，所以点 d 的 坐标我们就知道了。 d 撇的坐标就是四逗号一，四逗号一，也就是说 a 撇 d 撇这条线段的长度是一对吧？ 那 a d 呢？哎，也是一，对应线段相等，所以点 d 的 坐标是不是就出来了？它的 x 等于几啊？等于一对吗？哎，应该是负一，这里头一定要小心啊，应该是一个负一，因为它在第二项线呀， a、 d 的 长度是一，但是它在第二项线，它的横坐标应该是负的，所以是负一，所以点 d 的 坐标就是负一，逗号四，这是我们二五年的这道题，它考察的点，其实你看一下它考反比例的哪些点呀？第一问，点代入求了一个解析式。第二问，点代入求了一个点，坐标没了， 这是解析式跟点坐标之间的来回的转换，有点坐标得到解析式有解析式得到点坐标而已。这是我们考的反比例函数的一个点啊， 反比例函数的考点就是点坐标跟表达式之间的一个转化， 那它考了几何的什么点呢？这里头有一些特殊角，三十度，四十五度，这里头三十度的角呢？它的性质没有用到，没有用到它所对的直角边是斜边的一半这个性质，但是呢，用到了四十五度角，求它的一个边长，对吧？所以用到了几何的 四十五度的直角三角形，去根据坐标得到边长 以及我们的旋转图形变换。旋转的一个性质， 旋转角呀，怎么画出来？旋转后的图形以及旋转前后的对应边是相等的，对应线段是相等的，是这样一个点啊，这是我们这道题，其实也非常简单吧，没有什么难点，九分就可以拿到，完完全全可以完全拿到的。然后看二十四年这道题啊，更简单， 我们刚刚那道题呢，是反比例函数跟几跟三角板的一个结合，然后涉及到了旋转这样一个图形变换。那二四年这道题呢，它是跟巨型的一个结合，它涉及到了一个平移的一个变换，所以这里头其实它涉及到的点还挺多，但是每个点考的都非常简单， 看一下二四年这道题，矩形 a、 b、 c、 d 四个顶点都在格点上，那可以通过这个坐标系 a、 b、 c、 d 的 坐标我们都是可以看到的，对吧？然后呢，对角线 a、 c、 b、 d 交于点 e， 点 e 呢，它的坐标我们也可以得到。然后说，反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 经过点 a， a 的 坐标是多少？三二看图就可以了。 第一问，干啥？表达式熟悉吗？直接带入对吧？点 a， 根据图形可以得到点 a 的 坐标是三逗号二，所以呢，把它带入到 y 等于 x 分 之 k 当中，可以求出来， k 等于的是六，那么表达式就出来了， y 等于 x 分 之六。 第一问解决了吧，跟二五年同样的套路，对吧？然后呢，第二问说，先描出反比例函数上不同于 a 点的三个格点，再画出反比例函数的图像， 描点画图，对吧？那解析式我们知道的找点还不好找吗？点 a 是 一个点，但是呢，人家要找的是不同于点 a 的 另外三个点， k 是 六，也就是说它的横纵坐标的乘积是六， 那六分呗，一乘六，六乘一，二乘三，三乘二，对吧？所以一乘六，我们可以得到一逗号六这个点，那么二逗号三，这个点三逗号二，就是我们的点 a 了。那同样呢，还有一个六逗号一这个点，这三个点都在我们反比例函数的图像上，描完点之后用平滑的曲线连接起来， 有点不太平滑。 ok， 好， 大致就是一个描点法去画图。 然后第三问呢，它是一个填空题，过程都不带写的，对吧？将句型向左平移，然后呢，点 e 落在了函数图像上，问你平移的距离是多少？ 那就看它平移前和平移后两个点之间的距离呗。因为它是向左平移的，所以我们看一下点 e 在 哪呀？对角线的焦点是点 e， 它在这儿，点 e 的 坐标是多少呢？很清楚地看到，它是个六逗号四，所以我们得到了点 e 的 坐标。六逗号四，将它平移， 得到一撇，所以一撇跟 e， 它的坐标，横坐标和纵坐标哪一个是相同的？向左平移，你猜一下应该是横还是纵？纵坐标，对吧？纵坐标相同，所以它的横坐标我们不知道设为 x， 纵坐标相同还是四， 因为是左右平移，动作表不变，如果它是上下平移呢？应该是横坐标不变，这就是我们平移的性质嘛。上一题是旋转的性质，这一题是平移的性质，所以点一撇的坐标我们知道了。那么一撇在哪个图像上？ 在我们的反比例函数图像上，也就是 y 等于 x 分 之六在它的图像上，那带进去 x 是 不是就可以求出来了？ 我们可以得到， x 等于的是二分之三，所以一撇的坐标就是二分之三。逗号四，那么点一往左平移，平移，平移。哎，平移到跟反比例函数相交，得到了一撇，那一撇，它的横坐标是一个二分之三。 点一的横坐标呢？是一个六，它是一个六啊，那你想它的平移的距离是多少呀？六减二分之三，对吧？六减二分之三就出来了二分之九。 那么我们再来梳理一下它这个的一个考点啊，首先呢，它是一个反比例与句型的集合综合，还涉及到了我们的平移，那反比例考的是哪些点呢？ 跟上一道题一样吧，同样的也是点坐标代入到解析式当中，或者说表达式当中求出来 k， 那 么得到表达式之后呢，再由表达式得出来，它的点坐标 还是一个点坐标和表达式之间的一个转化，那几何当中它取得到了什么呢？哦，对，反比例，这还有一个画图描点法画图， 这是反比例的几何当中呢，我们来看一下，第一问没有考到，第二问呢，画图也没有考到，第三问考到了。首先一个就是平移， 平移的性质，平移前后，因为它是图形的平移，平移前后对应角相等，对应线段的长度相等，以及平移前后两个点的连线是平行的关系啊， 所以它这个呢，是向左平移，那么它的在坐标轴上反映出来的就是它的纵作比较不变，如果是上下平移的话，就是横作比较不变，所以考到了我们的平移的性质，所以它就是其实就是这些点 就没有了，也是非常简单，而且它的过程也非常简单，其实只有第一问需要写过程，第二问就不需要写，第二问是画图，第三问是填空而已，所以它的书写量也非常小，对吧？九分的题也是没有问题的啊，要有信心。然后看我们二三年的这道题， 而三年这道题在图形上来说，虽然看着有点复杂，但是也很简单，我们来看一下它呢，小军是借助反比例函数图像设计一个鱼形的图案， 在这个坐标系当中呢，反比例函数 y 等于 x 分 之 k 上的点 a 和点 b 为顶点，以这两个点为顶点作两个菱形。做完之后呢，说了这两个菱形的顶点在 x 轴上，然后再以圆点 o 为圆心， o， a 长为半径，做了一个圆弧，然后连接我们的 b， f 连接了一下对角线，所以这 a c 是 一条圆弧，以 o 为圆心，以 o c 为半径做了一个圆弧 a c。 然后第一问，干嘛干啥呢？ k 求出来， k 不 就是求出来表达式吗？它跟前面二四年和二五年是不是一个问题？怎么用呢？ a 点代入， 这不给了我们点坐标吗？它经过点 a， 根号三，逗号一，所以呢，把它代入到解析式当中， y 等于 x 分 之 k， 那 么 k 就 得出来了， k 等于的是根号三乘一，所以还是根号三。那么它的解析式呢，就是 y 等于 x 分 之根号三。当然人家这里头让你求的是 k 啊，你解析式不写也是可以的，没有问题，不影响得分。 然后第二个呢，求的是我们的扇形 aoc 的 半径，它是以谁为半径呀？题目当中跟我们说了以 oa 为半径，所以也就是说我们要求出来 oa 的 长度。求了半径之后，还让你求圆心角，它的圆心角是谁呢？是角 aoc， 也就说求 aoc 的 一个长度，所以一个是 那个线段长，一个是角度的度数啊。那我们来看一下怎么去求，同样的，这里头只有一个点是知道的，谁呀？根号三，逗号一。所以呢，我们从点 a 做一条垂线， 垂直于 x 轴，这个焦点呢，垂足我们设为 h， 根据它的坐标是根号三，逗号一，所以 o h 是 根号三的长度， a h 呢是一，一根号三，因为它还是个直角三角形，非常顺利的就得出来了 o a 的 长度是多少？二，所以它的半径是 o a 的 长度是一个二，得到了，就是利用了一个勾股定律，通过点坐标向坐标轴做垂线，构造直角三角形，通过勾股定律求出来它的边长， 然后下一步我们就是求圆心角了，对吧？这个求圆心角呢，你可以从呃两个角度思考，都是可以的，一个呢是我们看一下三角形 a、 o、 h， 这个三角形是一个什么三角形呀？ 直角边短的直角边是 a， h 是 一，斜边是二，它俩的比是多少？一比二，所以呢，这个角应该是多少度？三十度，可以利用这样一个特殊角的线段的比例关系得到，它是一个三十度，因为呢， a、 o、 c、 d 它是一个菱形，菱形它是具有对称型的，所以下边这个角 c、 o d 跟 a、 o d 什么关系呢？三十度，因为它的对角线是干啥？对角线平分对角，所以 a、 o、 d、 c、 o d 都是三十度。那么我们的圆心角 a、 o、 c 是 不是就可以得出来了？六十度，六十度， 所以这里头我们用了一个特殊角度，以及我们菱形的一个对角线平分对角的性质。另外一个思路呢，就是你可以延长一下我们的 a h， 它跟点 c 是 相交的， 这样的话， a h 是 一， c h 呢，是不是也是一？同样的，也是根据我们菱形对角线互相平分垂直的一个性质，所以我们的 a、 c 就是 一个二了。那根据我们刚刚求出来的 o a 是 二， o c 是 几啊？因为都是半径嘛， o c 也是二，所以 o a o c 和 a c 都是二三条边相等， 所以它是一个等边三角形，那么它的内角 a o c 就是 一个六十度，也可以从等边三角形的判定的角度来进行考虑啊，都可以， 这是我们的第二问，半径和圆心角我们就可以求出来了，分别利用的是勾股定律，还有我们特殊角度的边长之笔，以及我们的菱形对角线平分对角的性质啊。然后我们再看第三问，直接写出图中阴影部分的面积之合。图中的阴影部分呢？有几？ 这是一个，我们把左边这个面积命名为 s 一， 右边这个阴影呢？面积命名为 s 二，面积之合呢？ s 阴影部分的面积就是 s 一 加 s 二，对吧？ 那我们就分别来看一下 s 一 和 s 二应该怎么去计算，看下 s 一 是上边和下边这两个三角形，或者说三角形 b o f 也可以，因为呢， b o f e， 它是一个什么 菱形，所以这个面积其实我们可以给它转化一下，你可以把上边这个小三角形的面积这个交点，我们给它设成 f 吧。啊，有 f 了，那就是 m 吧， m o m f 这个三角形我们是其实可以给它转换呀，给它放下来，或者说 a o m o m f 这个三角形的面积跟 b o m 这个三角形上下两个三角形的面积是啥关系？相等的，相等的， 它俩的面积相等，那我们可以直接给它写成 s 一， 就等于二倍的 s 三角形 o m b， 那 o m b 的 面积是多少呢？ 点 b 的 坐标也不知道呀，那怎么求呢？它是反比例啊，反比例还有一个知识点呢，叫做啥？ k， 它的几何意义？ k 其实就是它的横纵坐标的乘积，对吧？那这里头三角形 o、 m、 b， 它的面积是不是二分之一的横纵坐标的乘积，所以也就是二分之一 k 的 绝对值， 二倍的二分之一 k 的 绝对值，所以就是二乘二分之一 k 的 绝对值等于一个 k 的 绝对值。 s 一 我们就知道了吧。那 k 呢，是根号三，所以直接就出来了。那 s 二呢？ s 二其实比 s 一 更好办一些。 s 二非常明显，它应该是我们菱形 a、 o、 c、 d 菱形的面积减去我们的扇形 a、 o、 c 扇形的面积怎么求？需要知道圆心角以及我们的半径，知道吗？知道了呀，第二问对吧？ 第二问已经求出来了它的一个半径和圆心角，所以它的面积可以直接计算得到。那么问题就来了，怎么去计算菱形 a、 o、 c、 d 的 面积？ 哎，对， a、 o、 c、 d 菱形的面积，我们说对角线把菱形的面积分成了啥？四个相等的直角三角形， 四个相等的直角三角形，那我求出来其中一个直角三角形的面积乘以四，是不是就是菱形的面积了？所以这里头呢，根据我们刚刚所做的垂直 a、 h 垂直于 o、 d， 其实你连接 o、 c， o a c， a、 c 是 它的对角线，它的交点就是我们的 h， 那 么也就是说它的面积应该是四个 a、 o、 h 这个三角形的面积， 所以它等于的是菱形 a、 o、 c、 d 的 面积减去我们扇形的面积，扇形是 a、 o、 c， 然后呢，菱形的面积可以写成四倍的 s， 三角形 a o h 减去我们的扇形 a o c， 那 我们就直接代入计算就可以了。 a o h 的 面积是二分之一，底乘高两个直角边，一个是一，一个是根号三，所以二分之一乘以根号三，再乘一，这是它的面积减去扇形。扇形的面积呢？三百六十度分之， 它的角度，三百六十度分之它是圆形，角是一个六十度，然后乘以 pi， r 的 平方， r 是 谁啊？ o a， 也就是二二的平方是四，对吧？然后下面我们就可以直接得出来，它是一个二倍。根号三减去三分之二倍的 pi， 这是 s 二。 然后千万千万别忘了啊，我们最后求的不是 s 二，是阴影部分的面积和他等于的是 s 一 加 s 二，要求了这么一大串，觉得结束了一定一定再回过头来看最终的结果，要求求的是什么？所以根号三 加上四二倍，根号三减去我们的三分之二 pi， 所以 合并一下是三倍。根号三减三分之二 pi 减去三分之二 pi， 这就是它最后的一个结果啊。同样的，我们再来梳理一下这道题所考察的知识点，它考的类型呢，是反比例 与菱形的一个综合，而且这里头同样也涉及到了图形变换， 除了菱形呢，这里头还多了一个扇形，其实扇形的相关的阴影部分的面积在其他的一些填空题、选择题当中也有考察，我们后面也会给大家汇总一下，然后看一下它的面积到底是怎么求的啊。所以这里头考到的反比例的点有啥呀？ 你看一下，回顾一下这三问，第一问，根据点坐标求解析式，第二问，根据点坐标求线段长，这里头没有涉及到我们反比例的点。第三问，哎，人家求的这面积也没有反比例，所以这里头只涉及到一个，就是根据点坐标去求出来了我们的解析式，或者说求出来了我们的 k。 然后第二问没有用到。第三问呢？在求我们呃，左边这个阴影部分的面积的时候，用到了一个 k 的 几何 e， e， k 的 几何 e 去求面积啊，其实我们刚刚说把它合并成了一个二倍的角三角形 o b， m， 其实也可以把它给旋转下来，把它补成一个句型，也是可以的句型，这个句型它的面积就是 k 的 绝对值， 这是我们反比例上面的知识点。然后第二个看一下我们的几何当中用到了什么。首先是第二问，第二问，根据点坐标结合勾股定律去求出来的线段， 这个我们之前的题目是不是也有过点坐标结合勾股定律求线断长。然后呢，根据特殊点的性质啊，特殊角度的性质， 以及我们菱形的性质，什么性质呢？菱形的对角线平分对角 得出来了我们的圆心角，这是我们的第二问。然后第三问呢，除了 s 一 是用 k 的 几何 e 来做的，然后 s 二呢？ s 二其实还是用了我们菱形的性质，对吧？对角线平分，垂直平分的一个性质，以及我们扇形的面积公式， 这是这一部分的考点啊，这是二三年这道题。然后我们继续往后看二二年的这道题，它的图形来说，嗯， 也不是矩形，也不是正方形，也不是菱形，那我们看一下它到底是跟哪个几何去结合了。他说反比例函数 y 等于 k x k y 等于 x 分 之 k 经过点 a 读到这能明白啥意思吗？点 a 干啥呀？带进去求 k 对 吧？所以对应的就是我们的第一问，所以你要学会去题干当中，一边读题一边去思考他这个条件我可以用来干啥，其实就是解决下面的问题了啊，然后经过点 a， 也经过点 b， 就是 这两个点，点 a 呢是一个二逗号四， 然后点 b 是 在点 a 的 下方确定一下它的位置， a c 平分角， o a b 角平分线，它结合了一个角平分线 o a b 这个角，也就是这俩角相等呗。 o a c 和 c a b 这两个角相等，然后角平分线跟 x 轴交于点 c， 然后第一问就是表达式很简单， 点 a 二等号四，直接代入就可以了，经过这个点就把这个点代入，我们可以得到 k 等于的是八，所以解析式就出来了， x 分 之八。 结束。第二问呢，说用无刻度的直尺和圆规做线段， a c 的 垂直平分线，哎，垂直平分线在这考了 之前，他都是单独一道题，然后第二问是一个证明的题，第一问是只会做图做一些线，然后第二问是一个证明的题，结果呢，他二二年跟我们的反比例函数进行了一个综合，把它融进去了。那我们来看一下啊，做 a c 他的一个中垂线， 这个具体的做法步骤呢，你们自己可以去回顾一下，然后时间原因，我在这就直接把这条线画出来了啊，我们后面同样也有只会做图的一个专栏去讲解这道题，也会详细去讲的。 然后我们看一下，比如说它跟它是一个垂直的啊，它跟我们的 a、 c 的 这个交点呢？我们命名为点 e， 然后下面人家第三问说了，线段 o a 与垂直平分线相交于点 d， 也就是这个点是点 d， 然后这个点是点 e， 然后连接 cd 连一下，让我们证明 cd 和 ab 平行证明平行线，平行线的证明。判定三种方法，要么正内错角相等，要么正同位角相等，要么正同旁内角互补。那我们看一下，这里头我们有什么条件可以通过哪个判定方法来证明啊？ 首先平分角，平分线这个性质，这个条件还没有用到，对吧？我们把它命名为角一和角二啊，所以根据 a、 c 平分角 o， a、 b， 我 们可以得到角一和角二相等， 角一和角二相等，然后第二个又多做多出来一条什么线呢？垂直平分线，谁的垂直平分线？ a、 c 的 垂直平分线，垂直平分线有什么性质呀？ 到线段两端的距离相等，所以呢，这里头还能得到哪些线段相等？哎，对，应该是 a、 d 和 d c， 所以 根据我们 a、 c 的 垂直平分线， 它的垂直平分线跟 o a 交于点 d， 所以 其实 d、 e 垂直平分 o 啊，垂直平分 a、 c， 我们可以得到 a， d 等于 dc 那 边相等，等边得到，等什么？哎，等角，所以呢，这个命名为角一、角二，那这个我们写成角三啊，也就是说角一等于角三，根据等边对等角，那现在角一等于角二，角一等于角三，那角二和角三啥关系？哎，相等的， 所以可以得到呢，我们的角二起的有点大了，角二等于角三，角二和角三啥关系啊？内错角，所以内错角相等，两直线平行。内错角， 这里头呢，有一个非常小的一个几何的模型，就是我们第三问， 角平分线，对吧？然后呢，根据垂直平分线得到了等边对等角，然后它俩进行角度的一个转化，进而得到我们内错角相等，两直线平行，所以这里头有一个点叫有一个小的模型，角平分线， 等边对等角，或者说等幺二三角形， 以及呢，我们的平行线，哎呀， 还有我们的平行线这三者呢？你知道其中两个就可以推出来另外一个。 那么这道题呢，我们是知道了角平分线和等边对等角的一个之条件，然后根据这两个条件的结合，得出来了平行线。那同样呢，我们也可以通过平行线和角平分线，从而得到等边对等角。比如说我给你画一个图啊， 平行线，这是两条线，它是平行的，然后我再画一条线，那我来画一个，嗯，角平分线， 比如说这是角一和角二，它是一个角平分线，然后它两个 a 和 b 这两条直线是平行的，比如说这个角是点 a， 点 b、 点 c， 那 么让你判断 a、 b、 c 是 一个什么三角形。 通过平行线，角二和哪个角相等，应该是 b、 c、 a 和这个角相等，我们把它命名为角三，所以根据平行线得到角二和角三相等，根据角平分线得到角一和角二相等，所以角一和角三啥关系？相等 可以得到等角，那等角对等边，所以得到了 a、 b、 c 是 一个等边三啊，等一二三角形，对吧？所以它们三个是可以知二求一的啊。这是二二年这道题，然后我们再继续看二一年最后一道题了，也非常简单啊，这道题的知识点给大家梳理一下，忘记了， 它考察的是反比例，不是跟图形了，是跟线段相结合。直线反比例与我们的角平分线 以及中垂线相结合，而且混入了一个指标作图的一个首问，对吧？指标作图做中垂线，那这里头考察的反比例的点。首先第一问，点坐标求解析式。 第二问，指标作图没有用到。第三问，证明角平分线啊，证明平行线也没有用到，所以这里头只有第一问是个反比例相关的知识点，剩下的就没了，所以只有一个点，坐标去求表达式就结束了， 然后看一下他用到了几盒。首先第二问的尺规作图，尺规作图是基本上是每年必考的，而且其他省市也是要考的，尺规作图的重要性已经被新课标又提升了一点，所以尺规作图我们肯定是要清楚的，最常考的其实就是角平稳线和垂直平稳线这两条直线啊， 使规作图。然后呢？其次就是我们的第三问，第三问我们刚刚说了，一个是角平分线得到了两个角相等，垂直平分线的性质以及等边对等角，得到了那个平行线的一个判定，所以这里头有角平分线的性质， 垂直平分线的性质到边到那个线段两边的距离相等，以及我们等边对等角，其实是等腰三角形的一个性质， 等一二三角形的性质等边对等角，然后呢，最后就来到了我们最终的平行线的判定， 这是我们这道题的一些知识点啊，这是二二年这道题，下面我们看最后一个二三年，二一年的这个 二一年呢，它是一个与正方形的结合，说了两个大小，两个正方形的中心均与它的原点重合。什么叫中心？正方形是一个什么图形中心？对称图形，这个中心指的就是它的对称中心， 然后后面呢，说它的边与坐标轴平行，然后反比例函数呢，与大正方形的一边交于了点 a， 坐标给出来了，干啥呀？ 求函数的解析式，然后经过小正方形的顶点 b， 所以 第一问不就来了吗？求反比例函数的解析式，怎么做呢？点 a 一 逗号二代入， 代入之后我们可以得到 k 等于的是二，所以解析式式 y 等于 x， 分 之二就结束了。然后第二个呢，是求图中阴影部分的面积，又是一个求面积的题，我们上边儿也会有，也有一个就是我们上行的那道题，对吧？它是求两个阴影的面积的和，那这个呢，求的是一个阴影面积，那我们看一下这个阴影面积由谁构成？ 这个阴影呢，就是一个框框，它是一个大正方形减去一个小正方形的一个框框，对吧？所以它的面积我们就知道了。 s 阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积，减去小正方形的面积，那我们分别去求大正方形和小正方形的面积之后，就可以得到最后的结果。那先来看啊，看下大正方形的面积怎么求呢？ 题目题干当中说他跟大正方形的交于点 a， 点 a 呢，是一个一，逗号二，通过它的坐标一，逗号二， 我们可以得到这个点，应该是二，也就是说这条长度它是一个二，对吧？这是大正方形这条长度，因为呢，点 o 是 它的一个中心，也就是对称中心，根据它的对称性，那么下面这个呢，也是一个二，那这条线是不是就是它的一个边长是几啊？四， 所以大正方形的边长我们就可以知道了。根据点 a 的 坐标一，逗号二，以及它的一个中心对称性，可以得到大正方形的一个边长，等于的是四边长，知道了，那么面积就出来了四的平方 十六，然后就是我们小正方形，小正方形呢，他说了，经过小正方形的顶点 e， 点 b， 在 这 经过小正方形的顶点 b， 那 同样的，根据我们正方形的中心对称性，点 b 的 横坐标和纵坐标是啥关系呢？是不是相等的，也就是这两段应该是相等的，对吧？所以我们可以设点 b 的 坐标呢，是 m， 逗号 m， 因为呢，反比例函数经过点 b， 所以 我们把它带入到反比例函数的解析式当中，可以求出来它的坐标，所以 m 就 等于的是根号二，那么点 b 的 坐标就知道了，它是一个根号二，逗号根号二，也就是说这是根号二，这呢也是根号二， 那由此能够得到小正方形的面积是多少呀？啊，不是，面积是它的一个长度，边长，根据它的一个中心对称性可以得到小正方形的边长等于的是二倍根号二， 那么它的面积就知道了，二倍根号二的平方是多少，等于的是八，所以最后我们阴影部分的面积就知道了吧，两个数相减就可以了，做个减法， 十六减八等于八，所以最后的结果就是八就结束了。它只有这两问啊，没有第三问了。那同样呢，我们再来看一下这里头的一些考点。这道题呢，它考的是我们的反比例函数跟正方形的一个结合， 而且还涉及到一些对称性关于反比例的一些考点呢。第一问，求解析式，点坐标代入还是点坐标？ 第二问呢，我们是根据了点 b， 在 函数图向上设出来点坐标，带入到解析式当中，求出来点坐标。所以呢，它同样呢，还是考了点坐标跟表达式解析式之间的一个转化，根据点坐标求解析式，根据解析式求点坐标，那么下一步是几何？ 第二问当中呢，在求面积的时候，它用到了我们的正方形的中心对称性，去求出来它的边长， 正方形的一个性质，以及求我们面积的时候，用到了一个正方形的面积公式 就没有了。所以这道题它的考点其实还挺少的，也非常简单，就两问，对吧？所以你看一下，这是二一年这道题啊，总的我们再回头过一遍。二二年这道题与角平分线和中垂线，它是一个三问，结合了一个尺规作图。 然后二三年这道题，它是跟菱形相结合，也是三问。二四年这道题，同样也是三问，它是跟句型相结合，而且涉及到了平移这个图形变换。这二四年啊， 二五年呢，它是跟三角形、三角板相结合，同时涉及到了旋转这个图形变换，也就是说二四年和二五年这两年除了它跟几何相结合以外，它还有啥？还有图形变换，所以这一道题我们补充一下，它是一个反比例与三角形 以及我们的旋转这一个图形变换的一个综合，所以这两年呢，偏向再结合一个图形变换了。但是尽管它结合图形变换这两道题也不难吧？平移旋转 也不难，对吧？也是非常简单的，而且它这里头这五道题反比例的考点全部集中在了反比例它的一个点坐标跟表达式的一个转化上面，然后几何的话就是一些几何图形的一些性质以及我们图形变换的性质而已，也不难，没有什么难点或者说关键点，容易卡住的点在， 只要你耐心的做完就可以了，这九分是非常轻松就可以得到的。那我们今天关于反比例函数就先讲到这。
06:24查看AI文稿AI文稿今天我们一起来学习中考一对一的一个专项培优的一个题目，是关于反比例函数的一道中考真题。呃，如图，我们的点 a 是 在反比例函数 y 等于 x 分 之四的图像上， b 在 另一个反比例函数图像上是 y 等于负的 x 分 之二。 呃，剩下的就是连接，这有个条件，若 o a 和我们的 b o 是 垂直的， 我们认真的把每个条件分析一下，因为中考它是相对比较综合一点。呃，第一个就是反比例函数啊，我们遇到反比例函数，呃，一个就是它的一些图像性质，我们要知道还有一个就是我们的什么反比例函数配的绝对值的几何意义？ k 的 绝对值的几和 e， 它是不是代表的是我们反面函数的上的点分别做 x 轴， y 轴的垂线得到的这个矩形的面积，对不对？当然了，我们也要知道，二分之 k 的 绝对值代表的是，比如说过点 b 做 y 轴的垂线，然后呢，怎么样 再连接我们的 o b 得到的这个是小三角形的面积，对不对？好，呃，这是我们要注意的，一个是小三角形的面积是二分之 k 的 绝对值， 这是一个。呃，第二个就是我们这出现了一个什么呢？很特殊的角，是直角啊，我们做题做多了，一定要有这样一个意识，出现直角， 然后我们这个题目又是在一个直角坐标系里头，所以这个辅助线到底出现点 a， 点 b 辅助线到底应该怎么做呢？优先要想到有可能会用到我们的什么呢？ 一线三直角，很明显它这条线上中间出现了一个直角，对不对？那我们就要优先想辅助线有可能要过点 b 做 y 轴的垂线，过点 a 做 y 轴的垂线， 呃，交于一点，这交于一点 c， 这交于一点 d 做垂线。呃，那它的依据有两个，一个就是我们的一线三直角，另外一个就是我们刚刚说的，它不是刚刚好会得到一个 obd 这个三角形的面积吗？对不对？以及什么呢？ aoc， 这个三角形的面积一定是可以知道的，我们稍微写一下， 其实就是三角形 b o d 的 面积，它是不是就是二分之一的什么呢？呃，负二的绝对值得到的就是一。那另外一个三角形 a o c， 它是不是就是二分之一四的绝对值得到的就是二？好，这两个部分面积是知道的。 呃，那根据一线三直角的话，我们是不是也能得到这两个三角形什么呢？我们的 d o b 一定相似于三角形什么呢？ c o a 啊，这是比较容易得到的。但是怎么来证明呢？比如说我们这有一个角，我们标一下， 这有一个角一，好，这有一个角二，然后这边有一个角三，那我们很明显知道就是角一加角二等于九十度，角二加角三又等于九十度，那么必然就能得到一个结论，是不是 角一等于角三，所以它们相似，对吧？好，呃，那看一下问题啊，问题他说现在要求 tan 这个角什么呢？ b a o， 那 他的正切值 b a o 这个角的正切值不就是我们的对边比零边，也就是 o b 比 o a 吗？对不对？呃，通过我们刚才分析了一通， 这里要求的这个正切值不刚刚好就是我们这两个相似三角形的一个对应边的比吗？对不对？呃，当然 o、 b 和 o a 的 比值 结合我们这个题里头是不是出现两个什么三角形的面积？当然我们这里还需要知道的就是我们的两个相似三角形，它们的面积比应该等于相似比的平方，这个千万不能错。好，大概我们就可以有一个思路，现在就是怎么样能把这个过程来写一下， 正着写一遍其实就可以了。首先我们需要做的辅助线就是过点 a， 做我们的 a、 c 垂直 y 轴，简单的写一下，然后，嗯，过点 b， 嗯，做我们的什么 b、 d 垂直 y 轴。好，呃，那接下来我们是不是，嗯，可以得到我们的这个？呃，两个角就等于九十度 角，嗯， d、 d、 o 是 不是等于角 a、 c、 o。 当然同时角 a、 o、 b 是 不是都等于九十度，对不对？所以能得到角一 加角二是不是等于角二加角三，所以角一就等于角三结合九十度，所以这两个三角形 d、 b、 o 就 相似于三角形 c、 o、 a 用的是两角对应相等，两个三角形相似，那当然我们说了，呃，想要它们的对应边的笔是不是由它们的 面积来得到的，对不对？所以我们先把它的面积来单独写出来。又因为我们的三角形 b、 o、 d， 它是不是等于什么呢？二分之一 k 的 绝对值九十一，然后三角形 a、 o、 c， 它的面积等于二分之四的绝对值九十二， 那我们是不是就能得到这两个三角形相似，所以就能得到什么呢？它的对应边的比一， 嗯，的平方就等于相似比一，所以三角形 d o d b o b o b 一个意思，比上三角形 a、 o c， 它就应该等于我们的什么 o b， 比上 o a 的 平方，那得到的不就是我们的 o b b o a 刚刚好就是等于什么 根号下我们的一比二，对不对？稍微化解一下就是我们的什么二分之根号二，那自然我们的什么要问的 ten 角 b a o 不 就刚刚好是我们的二分之根号二吗？ 呃，相对来说这个题还是比较综合一点啊，所以我们在中考一定要具备的就是一个，呃，综合应用的一个能力。那后续如果我们有需要一对一的可以私信了解，主要涉及到三个部分，就是一个基础的查漏补缺。第二就是类似的一些综合题的一个专项的培优。 嗯，把一些元二次函数啊，特殊的平行四边形相似分板块来练习。第三，我们随时在晚上十二点以前，呃，有什么问题的话可以随时进行一个答疑。那有需要我们可以私信了解。
02:40查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天学姐想要分享的章节是反比例函数，分值大约在三到五分，可能会出现在选择题里。反比例函数的式子是 y 等于 s 分 之 k， 其中 k 不 等于零，也就是 k 为不等于零的一个常数。我们一定要记住这个 特定的条件， k 大 于零的时候呢？图像在一三象限长，这样， k 小 于零的时候，图像在二次象限长，这样。好，我们一定要把这个图像认真记住， 跟前面的一次函数还有正比例函数要区分开来。好，我们来看第一道题，已知反比例函数 y 等于 s 分 子 k 的 图像过点二三，则 k 的 值为多少？好，我们遇到这种已经给出了 s 和 y 的， 我们直接带入进去就好。好， 我们把那个 x 还有还有 y 分 别带入进去。 好，最后我们这道题算出来，答案是六，所以我们这道题目选的是 b 选项。好，我们来看下一题， 若反比例函数 y 等于 x 分 之 m 减二的图像在第二第四象限，则 m 的 取值范围是多少？好，我们这道题目给出的是什么？象限？象限，那二色象限是什么？ 是不是 k 小 于零？这种情况它在二四象限，所以我们这里暗示的是什么？ k 小 于零是不是？那我们这个图像哪里？这个图像的是指哪里？是 k， 是 不是 m 等于二？这部分是 k， 所以 怎么样？ m 减二要怎么样？小于零，所以 m 要小于二，所以我们这道题目选的是什么？ d 选项 m 小 于二。好，我们来看下一题。已知点 a。 一 四，在反比例函数 y 等于 s 分 之 k 的 图像上，当 x 等于负二时， y 的 值等于多少？好，这个时候他们也是怎么样给出了 s 和 y， 就是 给出了其中一个点。 好，那我们首先第一步就是要把这个 s 和 y 带到这个图图这个式子里面去。 好，最后我们再把 k 带回到原来的式子里。 好，最后我们得到了这个反比例函数的一个解析式，而这个时候他说当 x 等于负二时，那我们依旧是把这个 x 等于负二带进去这个式子里， 所以我们最后这个 y 值算到等于负二。好，学姐今天的分享就到这里，希望同学们有收获。
56平安🍎
