重庆数学中考正方形几何题
二零二五重庆中考第九题，三分钟拿下它，稳保一百三看题！正方形 a、 b、 c、 d 边长为二， d、 h 和 g、 h 分 别是角平分线， e 是 b、 c 的 中点。将三角形 c、 e、 d 翻折到三角形 f、 e、 d。 求三角形 d、 g、 g 的 面积。第一步，连接 g、 e， 先证明三角形 b、 g、 e 和 f、 g、 e 全等。证明方式很简单，角 b、 e 是 九十度，这个角是九十度， e 是 中点， b、 e 等于 c， e 翻过来是 ef， g、 e 呢是公共边。所以直角三角形 h、 l 这两个三角形全等。全等之后， g、 b 等于 g、 f。 假设 g、 b 和 g、 f 是 x 正方形，边长是二， a、 g 是 二减 x， cd 也是二，所以 d、 g 是 x 加二， a、 d 等于二。在三角形 a、 d、 g 中，使用勾股定律，二的平方等于括号二加 x 的 平方展开 四加四减四， x 加上 x 方，等于四加四， x 加 x 方，而减得到 x 等于二分之一。所以 a、 g 是 二分之三， g、 d 是 二分之五。 求三角形 d、 h、 g 的 面积。由于 d、 h、 g、 h 是 角平分线， h 是 三角形 a、 d、 g 的 内心 过 h 点向三边做垂线，这三条垂线段应该相等，因为这是角平分线的性质。我们假设这三条垂线段的长度为 h， 那 么三角形 a、 d、 g 的 面积 既可以表示为二分之一乘 a， d 乘 a、 g， 也就是二分之一乘二乘二分之三，也可以表示为三角形 a、 h、 d 加三角形 g、 h、 g 的 面积， 也就是它的周长。二加二分之三加二分之五乘上 h 乘上二分之一。通 过这个方程解得 h 等于二分之一，所以三角形 d、 h、 g 的 面积等于二分之一乘二分之一乘二分之五等于八分之五，你学会了吗？
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05:08查看AI文稿AI文稿今天我们一起来看一下二零二四年重庆中考的一道真题。好，这是一道关于正方形的一道选择题。好，我们一起来看一下题目。边读题的时候可以把信息标在图上，如图，在边长为四的正方形 a， b， c， d 中 点 e 是 bc 上一点点 f 是 c， d 的 延长线，上一点连接 a， e， a， f， a， m 平分角 e， a， f， a， m 平分角 e， a， f， 那 么可以在图上标出这两个相等的角， 交 c， d 于点， m 连接 e， m， 若 b， e 等于 d， f 等于一， b， e 等于 d， f 等于一。好，这些都可以标上。后面要求的是 d， m 的 长度。 好，那么，呃，以正方形为背景的题，那里面的话会有，因为我们在学正方形的时候，他有很多的性质，正方形是最特殊的一类平行四边形，那当然要用到哪些信息，我们到时候需要用到哪些信息，我们都把它列出出来。 好，下面我们再观察一下。这个图形要求的是 dm， 要求的是 dm， 那 这里的话我们看一下哈。呃，这个，这里面三角形 a、 b， e 和三角形 a、 d， f， 观察一下这两个三角形很像什么啦？很像全等的，那到底是不是全等啦？我们刚刚说了，根据正方形的性质，那正方形当然它有， 嗯，边长，它的每条边长都相等，那所以有 a， b 等于 a， d， 当然这里角，这个角，这个角都是九十度，那这两个角也相等。还有题目当中告诉的 b， e 等于 d， f 等于一，那所以首先这两个三角形全等，我们把它写出来， a， b， e 全等于三角形 a、 d、 f， 那 这个当然是通过边角边来占的。好，那占了这两个全等过后有什么用啦？那占了，占了这两个全等过后，我们再通过题目上上面观察，可以发现，呃，这里这个 a 三角形 a e m 和三角形 a f m 他 也很相似，全等的好，那题目当中他又告诉了这两个角相等，所以我们也很容易就挣出来这两个三角形全等怎么挣呢？ 首先有刚刚的这两个全等过后，可以得到 a e 等于 af。 好， 那么有 a e 等于 af， 还有就是中间的两个角相等，还有中间有一个 am， 它是公共边，所以我们一样的通过边角边可以证明出来。三角形 e a m 全等于三角形 f a m 也是通过边角边。好， 那我们占这两组全等过后的用处是什么？其实我们占全等过后，它可以得到一些线段相等，那比如说这我们要求的是 dm， 那 这我们可以把这个 dm 设为 x， 是不是 x， 那 也就说 dfdf， 它是一，那这个 fm 它就是一加 x， 那 通过全等可以得到什么啦？可以得到这个 em， 它其实也是什么？就是一加 x， x 加一。 好，我们把写出来，这是由全等得到的， e m 等于 m， f 等于 x 加一。好，我们再观察一下， 那这的话我们观察一下这有一个直角三角形，那么想到看到直角三角形，那我们就想到勾股定律， 那勾股定律也就是它的三边，三边的关系。好，那我们现在看一下 e m， 它是 x 加一，其他的两条边能不能把它求出来，或者是表示出来啦？好，那我们试一下哈，那这 c e c e 其实是可以求出来，它等于三， 因为边长是四，四减一就等于三。好，那 c m 它是等于多少啦？它等于整条边长四减去 x。 所以我们可以通过可以通过勾股定律来构造一个方程出来，也就是也就是三的平方加上 四减 x 的 平方，等于 x 加一的平方。好，接下来我们来解一下这个方程。九加十六减八， x 加 x 平方等于 x 平方加二， x 加一。 好，左右两边 x 平方抵消，然后通过移项十 x 等于 二十四，那么 x 算出来就等于五分之十二。好了，我们答案就选出来了，这个就是选 d 答案。
04:31查看AI文稿AI文稿同学们，今天我们把重庆中考数学选择题第九题正方形综合压轴小题所有能用到的解题方法一次性讲透，不管题目怎么变，总有一种方法能搞定，大家认真听，吃透这些技巧， 这道题的分数稳稳拿到手！首先我们先回顾正方形的核心性质，是解析的基础，四边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分，且相等平分，对角出四十五度角，所有方法都是围绕这些性质展开。接下来我们逐个讲解每一种方法，讲清楚用法和适用题型。 第一种也是保底万能法，建立平面直角坐标系法，就算你不会做辅助线，用这个方法绝对能算出答案，零失误。第一步，以正方形的直角顶点为圆点， 相邻两条边分别作为 x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系。第二步，为了计算减变，直接把正方形边长设为一或者二，避免分数计算。第三步，把题目里所有的点，包括正方形顶点、线段、交点、中点， 全部写出坐标。第四步，根据问题用坐标求线段长度，用两点间距离公式求平行垂直关系，看斜率，求线段笔直，直接算坐标差值， 求面积，用坐标割补法，甚至可以用解析式求焦点。这个方法思路简单，不用想复杂。辅助线唯一要注意的就是计算细心，坐标别标错。适合所有正方形综合题， 尤其是图形复杂，找不准几何关系的时候，首选间隙法。第二种，快速解题法，几何构造法，这是高手秒题的关键，主要针对线段和叉线段最直角度证明全等转化类题目。第一小类，旋转构造法 正方形最核心的构造技巧，看到正方形顶点出发的两条线段，比如从 a 点引出的线段 a、 p、 a、 q， 直接将对应的三角形绕正方形顶点旋转九十度，把分散的线段角整合到一起， 构造出全等三角形。等腰直角三角形，瞬间理清线段关系。第二小类，截长薄短法。题目要求正线段和差，比如 a、 b 等于 c， d 加 e、 f， 就 在长线段上截取一段等于其中一条短线段，或者延长短线段，补出另一段，再正三角形全等即可。第三小类，辅助线构造， 连接正方形对角线，直接得到四十五度角。垂直关系连接终点，构造中位线斜边中线遇到垂直就做高，快速构造直角三角形。解题第三种直接计算法，锐角三打横入法，专门解决求线断长线段比直角度计算类题目。 正方形里全是直角，我们可以把要求的线段放到直角三角形当中，利用正方形的直角对角线分出的直角，找到对应的锐角，直接用正弦与弦正切的定义列式计算， 尤其是出现四十五度三零度、六十度特殊角时，三表函数法计算极其快捷，不用正全等，不用间隙，一步算出结果，适合纯计算类的正方形小题。第四种基础核心法，全等与相似三角形法，这是最常规的几何解析思路，大部分正方形题都能通过全等或相似解决。 先找全等，利用正方形四边相等四角为直角，找相等的边，相等的角，结合公共角对顶角、互余角，证明三角形全等，进而得到对应边，对应角相等，再找相似。如果题目里有平行、垂直角相等，或者有公共角、直角，就找相似三角形。利用相似比求线段长度，线段比例。 这是几何解析的根本方法，适合基础扎实，擅长几何推理的同学。第五种，特殊线段法，中点、斜边、中线、中位线法。题目里出现中点、斜边、平行线时，优先用这个方法。 正方形里遇到直角三角形，斜边直接用斜边，中线等于斜边的一半，出现多个中点，直接连接构造中位线。利用中位线平行且等于第三边一半的性质解析， 遇到中点做垂线角平分线，结合正方形性质，快速推导线段等量关系，简化答题步骤。第六种，面积转化法针对求面积、求线段长、求高类题目，利用正方形面积公式，还有同底等高等底、同高、全等图形面积相等的性质进行面积转化。 比如同一个三角形，面积用不同的底和高表示建立等式，直接求出未知线段长度。不用复杂的几何推理，换个角度考场做题思路，拿到正方形综合题， 先看题目条件，图形复杂没思路，直接间隙稳拿分。想快速解题优先。旋转构造全等纯计算求边长，求笔直，用三角函数常规几何推理找全等，找相似。出现中点、直角，用中位线，斜边中线涉及面积，线段高，用面积转化。 把这些方法全部练熟，不管重庆中考第九题正方形综合题怎么出题，你都能快速找到解题方法，轻松拿分，再也不用怕这道压轴小题。
01:41查看AI文稿AI文稿这道题目经常考，如果说在丢分的话，那就非常可惜。正方形中角一等于多少度？这个角十六度，这个角六十一度，角一在这里，它等于多少度呢？正方形每个角都是九十度，是直角， 那么这个角能不能算出来？九十减去六十一等于二十九度，那么九十减去二十九减去十六，这个角等于多少度？四十五度， 四十五度刚好就是九十度的一半半角模型，那么解决半角模型最简单的方法就是旋转，怎么旋转呢？把这个直角三角形旋转一下，旋转到这里啊，我们来旋转一下， 旋转到这里以后，那么这条边和这条边是不相等的，那么这个角十六度，这个角它就是十六度，对吧？十六加二十九多少？四十五度 啊，他是四十五，他是四十五，这条边等于这条边，这条边呢？共共。所以啊，这个三角形和这个三角形就全等了。 s， e， s， s， e， s， 全等以后对应角相等，那么角一和这个角是对应角的， 角一的度数就是它的度数，它等于多少？是不是一百八减去四十五，再减去六十一啊？所以呢，角一就是一百八十度，减去多少？减去六十一度，再减去四十五度 等于多少？等于七十四度，是不是非常简单？
214GY趣味数学
04:18查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们今天学习正方形常见十大模型，第三个模型，同行张等角。好，那么关于这个后面的资料我们老师都已经给大家准备好了，大家评论区扣出六六六就可以领取了。 好，我们来看这个类型的，这个题的模型是形容正方形啊，一是外面一个点给出 b、 e、 d 九十度，那第一个要求正 e、 c 平分这个九十度啊，我们要怎么做？那平分这个九十度，也就是要证明是四十五度， 你要证明他是四十五度，那就要证明四十五度就出现在等腰直角三角形，那么呢我们这个做法就是做垂直和这边延长线相交 a 区。好，那么这里我们就要想证明他是四十五度， 想证明是四十五度，那就是要证明 e、 c、 h 是 等腰直角啊，那么也是我们想正边相等，那于是我们就可以想着看能不能够边锁在三角形全等啊。第一步我们想正三角形全等。 好，我们找一下条件，这个全等有一个是正方形的边相等，正方形边相等，那么都有九十度的情况下，角一和角三是相等，那还缺少一个条件，那么题末单独给的这个条件也要用，是吧？也要用，那么由此的话我们就可以得到这个对角是互补的 啊，这个也就跟上一个模型对角互补有关，它都是联系的。好，那我们说这个对角互补，那他就一定会和他的角相等角相等，那于是角边角就全懂了。 第一个是 e、 d、 c 会全等 h b c 啊，全等之后我们就有 e c 等于 h c， 所以 e c h 为等腰直角，那么就有九十度了 啊，就有四十五度啊，就证明了第一位好，第二位啊，等腰直角之后，第二位 b e 加上 e d， b 一 加 e d， 那 这里有全等的话， e d 就 直接变成了 b h， 再加 e d， 也就是 e h， 它是等腰直角，所以自然就是根号二倍啊，左边相加呢，就是 e h， 它就等于根号二的 e c， 这是第二问好，第三问， 第三问看数据，给了一 d 是 一，给了 a 一 是二倍，根号二求 b 一 的长， b 一 好，那么相当于它给的是一个这样子的图形里面，在这个里面，所以我们要做也是跟它有，跟它，跟题目给的数据要有关，那么这里我们就通过 做一个垂直，和 a 一 垂直， 做一个和 a 一 垂直啊，那么我如果可以的话，那么数据就可以过来全等之后，那这里我们要证哪一个全等呢？那就是 a e d 跟这个有关，全等 a f b 这两个能不能全等啊？那么这两个全等我们也要找一下条件， 条件有哪些？首先正方形的边长是有的，边长有，然后因为垂直，所以这两个锐角是相等，标角二和角四， 那么还有哪个角是相等的，或说边有没有了，我们再看一下啊。第三个的其他的边啊，这两个边，这是我们需要的，肯定没有相等啊，这两个边我们也是不知道，那就找角啊， 那钝角有没有可能相等？有没有思路啊？那另外一个角有没有思路能相等呢？哎，我们看着另外一个角，我们就会发现它存在一个八字形啊，因为这里有垂直，八字形里面有垂直，那这个角就是相等的，所以这里有 这个角呢？角五和这个角角六就相等了。那这里我们就可以证 a e d 全等 af， 所以 那么 a e 就 等于 af 了。那这里就是我们想要的 a e f 为等腰直角， 又一个等腰直角三角形了。好，那等腰直角之后，我们的数据就好算了啊，那 e f 五就等于根号二倍的 a e 也就等于四， b f 等于 e d 就是 一，那结果 b e 就是 相加了 啊，就是结果就是五。好，那么也就是说在这个同旁加等角里面，我们最重要的结论是什么？两个全等啊，一个是这一边和这一边的全等，然后得出一个等腰直角三角形，另外就是它对应在左边做垂直，也可以有个全等，然后也可以得出一个等腰直角三角形。好，收藏，点赞，关注，考试前多看几遍。
766(数学博士)阿丽讲数学
03:32查看AI文稿AI文稿重庆初中的同学们，家长们大家好，我是老江。很多孩子一看到中考数学最后一道几何压轴题，直接就慌了，觉得题目又难，辅助线又想不到， 干脆直接放弃，其实完全没必要，今天老江就跟大家把重庆中考几何压轴题彻底讲透，听完你会发现他真的没有想象中那么难。首先咱们先捋清楚中考几何压轴题最核心，考的最多的就这几个模型，把它们吃透，辅助线一下子就能找到思路。 第一个就是一线三垂直模型，这是考直角全等相似的高频考点，只要看到直角垂直关系，第一时间往一线三垂直上想， 辅助线很容易就画出来了。第二个是背长中线，但凡题目里出现中点中线，想构造全等三角形转化线段，背长中线是最常用的方法，直接延长中线，快速找到解题突破口。第三个是截长补短法，专门解决线段和差问题， 比如证明一条线段等于另外两条线段的和或者差，截长或者补短，选对方法，题目直接迎刃而解。 第四个就是手拉手模型，说白了就是旋转，这是重庆中考几何压轴的重中之重，最常考的就是两种旋转，一种是九十度旋转构造等腰直角三角形， 另一种是六十度旋转构造等边三角形。大部分综合几何题都是这两种旋转模型的变形与综合，把旋转的性质摸透全等角度、线段关系全都能理清。 除了这些核心模型，剩下的都是咱们课本上学过的基础知识点，比如中卫线定律、直角三角形、斜边中线等于斜边的一半，这些定律都很简单，属于解析的基础工具，只要记熟性质，直接套用就行，难度并不大。其实我跟大家说句实在话， 咱们初中几何学了那么多定理、公理、推论，还有各类性质定理、判定定理，说白了，这些东西全都是用来做辅助线的。做题的时候不要盲目去画辅助线，先看题目给的条件， 有中点想中线，有直角，想垂直，有线段合叉，想截长补短，有共顶点等角想旋转， 根据条件对应定律和模型，辅助线自然就有了方向，根本不是瞎猜瞎画。再说说大家最头疼的第三问，压轴小问，重庆中考几何压轴第三问最常考的就是动点轨迹问题，核心就是做引援辅助线，去确定动点的运动轨迹， 要么是圆，要么是直线，只要能找到定点定长，判断出引圆的圆心和半径，找到动点轨迹，再结合前面的模型定理，剩下的计算和证明就简单多了，这一问的分数就能牢牢抓在手里。最后老江给大家吃一颗定心丸。 几何压轴题真的不可怕，关键在于专项训练，不要盲目刷题。针对性的把一线三垂直背长、中线截长补短、手拉手旋转这几个核心模型一道道练透， 在集中训练引援轨迹题型，踏踏实实练够五十道甚至一百道。对于成绩优秀的同学来说， 只要把答题思路练熟，考场上合理安排好答题时间，完全能把这道大题的分数拿到手。所以，别再害怕几何压轴题，把模型记牢，把定力用活，多练专项题型。中考数学最后一道大题你也能轻松攻克！
07:11查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来看一个八年级下期的期末考试压轴题，这是一个正方形综合题，其中涉及到了线段数量关系的判定和证明。利用正方形的十字架模型，可以快速找到长度相等的线段，从而构建特殊的三角形。求解。 首先我们介绍一下正方形的十字架模型，它指的是在正方形当中，如果有两条互相垂直的线段，比方说图中的 e、 f 和 g、 h， 而且这两条线段的两个端点各自在一组对边上，比方说 g 点在 a、 d 上， h 点在 bc 上，这是一组对边， 然后 e 点在 a、 b 上， f 点在 c、 d 上，这又是一组对变。那么这个模型我们称之为十字架模型。因为 ef 和 g、 h 互相垂直，它很像一个我们汉字的十字十字架模型当中两条线段相等，也就是说 ef 的 长度和 g、 h 的 长度相等。 要证明这个结论，我们可以过两条线段的其中一个端点做对边的垂线。比方说我们过 e 点做 e、 m， 垂直于 cd， 垂足为 m。 过 g 点做 g， n 垂直于 b， c， 垂足为 n。 再设 ngh 这个角为角一， nhg 这个角为角二。那么很显然，角一加上角二等于九十度。那么根据同位角我们可以看出， epo 这个角，它也等于角二。而三角形 epo 这个三角形是一个直角三角形， 所以 oep 这个角也为角一，那么 e、 f、 m 这个角，它肯定也等于角二。 现在我们观察三角形 g、 n、 h 这个三角形和 e、 m、 f 这个三角形，这两个三角形各有两个角相等，就是角一等于角一，角二等于角二，然后各有一条边相等，也就是 e、 m 的 长度和 g、 n 的 长度相等。 这样我们就能够得到结论，三角形 g、 n、 h， 它是全等于三角形 e、 m、 f 的。 这样我们就证明了 g、 h 和 e、 f 长度相等。 接下来我们来看题目。如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中，一点是 c、 d 边上的一点连接 a、 e 点， f 是 a、 e 的 中点，连接 b、 f 和 c f。 第一个问，求证 b、 f 和 c、 f 相等。 我们观察图形，发现 b、 f 和 c、 f 它们所在的三角形并不具备全等的性质，所以我们需要做辅助线。我们过 f 点做线段 j、 k 平行于 a、 d， 其中 g 点为 ab 上的点， k 点为 cd 上的点。 那么很显然， j、 k 是 垂直于 ab， 而且也是垂直于 c、 d 的。 由于 f 点是 a、 e 的 中点，所以 af 和 ef 是 相等的。角 a、 f， j 和角 e、 f、 k 这两个角是对等角，它们也是相等的。所以我们就能够得到第一个结论， 也就是三角形 a、 f、 g 这个三角形和三角形 e、 f、 k 这个三角形，它们是全等的，所以 g、 f 这一段的长度和 k、 f 这一段的长度相等。 因为 g、 f 等于 k、 f， 而且我们很容易得到 c、 k 和 b g 这两条线段相等。角 b， g、 f 和角 c、 k、 f 这两个角都是直角，所以我们就能够得到第二个结论， 也就是三角形 b、 j、 f 这个三角形和三角形 c、 k、 f 这个三角形，它们全等。这样我们就证明了 b、 f 等于 c、 f 这个结论。 第二个问，连接 a、 c 和 b， f 交于点 g 过 g 作 g， h 平行于 f， c 交 b、 c 于点 h， 然后再连接 d、 h。 如果 a、 e 和 d h 是 垂直的话，让我们用等式表示线段 a e、 b g 之间的数量关系，并证明。 题目。让我们求 a e 和 b g 这两条线段的数量关系。但是观察图形，我们发现这两条线段并不在同一个三角形内，所以我们需要去找到和这两条线段长度相等的其他线段， 因为 a e 它是垂直于 d h 的。 根据我们前面所述的十字架模型，我们知道 a e 和 d h 它的长度是相等的。 第一个问，我们证明了 b f 和 c f 相等，那也就是说 f b c 这个角，我们假设是角一，那么 f c b 这个角它也是角一。 又因为 g h 是 平行于 f c 的， 所以 g h b 这个角它也是角一，那么这样我们就知道 b g 的 长度和 g h 的 长度也是相等的。 现在我们得到了 a g 等于 d h， b g 等于 g h 这样的结论。我们再来观察 d h 和 g h 这两条线段的位置， g h 是 这条线段， d h 是 这条线段，那这两条线段他们就有机会组成一个三角形。 我们连接 d g， 因为角 b a g 这个角是四十五度角， d a g 这个角也是四十五度，而 a g 是 一条公共边， ab 的 长度和 ad 的 长度相等，所以我们就能够得到如下结论， 也就是三角形。 ab g 就是 这个三角形和三角形， ad g 就是 这个三角形，它们是全等的， 所以 b g 的 长度和 d g 的 长度是相等的，而 b g 的 长度和 g h 也相等，那么当然就有 g h 的 长度和 d g 的 长度相等。我们再过 g 点做 m n 平行于 ab， 其中 m 点在 ad 上面， n 点在 bc 上面。 那根据刚才所证明的全等三角形的结论，我们设 a、 d， g 这个角为角二，那么很显然， a、 b， g 这个角，它也是角二。由 g， n， 它是平行于 ab 的， 所以 b， g， n 这个角，它也是角二，那么 h， g， n 这个角，它也是角二。 我们再设 m、 g， d 这个角为角三，那么很显然，角二加上角三是等于九十度的。既然角二加上角三等于九十度，那么 d， g， h 这个角，那必然是直角，它也等于九十度。 现在我们有了结论，就是 d， g 和 g h 的 长度相等，并且 d， g， h 这个角是九十度，那么三角形 d， g， h 也就是这个三角形，它就是一个等腰直角三角形， 那么当然就有 d， h， 它是等于根号二倍的 g， h 的， 而 a， e 又是等于 d， h 的， g， h 又是等于 b， g 的。 所以我们就能够得到结论，即 a， e 等于根号二倍的 b、 g。 正方形的十字架模型是指在正方形中互相垂直的线段，如果它们的端点都在正方形的对边上，则这样的线段长度相等。 本题中，我们利用这个原理快速找到长度相等的线段，再利用正方形的其他性质和等腰三角形的原理，构建出特殊的三角形，进而求解出线段长度的数量关系。感谢关注，行有戒思无戒，这里是无戒数学，我是彭老师，我们下期再见！
52无界数学
00:56查看AI文稿AI文稿每天一分钟学会压轴题，给出一个正方形，将一号三角形翻折，得到二号三角形，让你求 d g 的 长度。遇到这种选择填空题，用常规方法会非常的麻烦，但如果你知道一二三四五模型，那就非常简单了。什么是一二三四五模型呢？ 如果两个角相加等于四十五度，并且一个角的正切值等于二分之一，那么另一个角的正切值一定等于三分之一。这三个条件之二推一 回到题中，你会发现，由于翻折，一号和二号三角形是相等的，我们可以得到这两条黄色线段相等的，且这个角是直角。你让我求 d g 的 长度，我们就连接 a g， 又能得到三号和四号三角形全等。我们设这个角是 alpha， 这个角是 beta， 由于它们相加得九十度，所以 alpha 加 beta 等于四十五度。又因为角 alpha 的 正切值等于 b， e 比上 ab 等于二分之一，所以角 beta 的 正切值必然等于三分之一，也就是 d g 比上 ad， ad 又已知等于四，答案不就出来了吗？那这道题常规解法是什么样子的呢？同学们，你学会了吗？
207正能亮数学
03:45查看AI文稿AI文稿你不会做难题的原因是因为你知道模型还不够多，这是我听一个老师讲这道题的时候所说的话，我太生气了，完全是误人子弟。 我们现在中考、高考的趋势都是回归课本，都是创新，都是实践， 你那所造出来的几百个模型，让大家去报你的课，去学这些套路化的东西，书本上一个都没有，请问这叫回归课本吗？请问这叫创新吗？ 其实这些题目我们回归它的本质去做，都是没有什么难度的。 但是如果靠背模型记模型的话，那一道题目有一个模型，一百道题目你就要记一百个模型， 你，你都没有做过那么多题目吧，但是模型你记得比你做过的题目还多，显然是不可取的。那我们接下来看这道题目，这是它所谓命名的一二三四五模型， 已知一个边长为六的正方形点 e 是 a， d 上一点 a， e 等于二， f 是 中点， 这个题目有正方形，有中点，我们很明显的可以去建立一个平面直角坐标系，那么这个建立点，我们把它选在点 e， 以 e 为圆点建立平面直角坐标系，那么点 e 的 坐标就是零零。从点 e 的 坐标出发，我们把其他点的坐标也给表示出来， 也就是这一个正方形的顶点的坐标，再加上我们点 f 的 坐标，因为点 f 是 e b 的 中点，所以我们用中点坐标公式，就把点 f 也能表示出来， 那点 g 我 们表示不出来，我们就设点 g 的 坐标为四 g， 因为我们知道它的横坐标肯定跟点 d 的 横坐标是一样的，是四，然后纵坐标我们不知道，我们就设纵坐标为 g， 也就是设 d 一 g 等于 g， 那 么我们接下来呢？解出这个 g 来，就能解出来这道题目。 题目中还给了一个信息是角 e f g 等于四十五度，那我们 将点 f 绕圆点，也就是点 e 逆时针旋转九十度，旋转后的 f 撇的坐标是三负一，那么此时点 f 跟 f 撇跟点 g 是共线的，三点共线，三点共线就说明这条线上的直线的斜率都是一样的，因为它们在一条线上，所以 f f 撇跟 g f 撇的斜率是相等的。 那么通过我们的斜率公式就可以列出来个式子，负二比负四等于 g 加一比一， 最后解出来 g 等于负二分之一，那么 d g 就 等于二分之一。这道题目就已经解完了。
1.6万kenne
02:34查看AI文稿AI文稿本期视频来看初中数学全等正方形重叠面积中心旋转不变性原理，看两道例题啊！第一道题已知两个边长都是二的全等正方形， 这里的 e 是 位于 a、 b、 c、 d 这个正方形中心的位置。现在要求两个正方形重叠部分的图形面积，也就是这里的四边形 e、 m、 c、 n 的 面积，看看怎么做呢？连接两条辅助线 c， e 和 d， e。 因为 d， e 和 c、 e 都是正方形对角线的一半，所以它俩相等， 然后角一加角二也是九十度，同角的与角相等，所以角一等于角三。 又因为角四和角五都是四十五度，所以根据 a、 s、 a 得到三角形 e、 c、 m 是 全等于三角形 e、 d、 n 的， 那么这两部分面积也相等吧。要求的这个四边形 e、 m、 c、 n 的 面积转化为了 这个三角形 c、 e、 n 面积加上 d、 e、 n 的 面积，而这两个三角形面积相加，就是三角形 c、 d、 e 的 面积，也就是整个正方形面积的四分之一，所以它的重叠部分 e、 m、 c、 n 的 面积就是 e。 咱们得到了一个结论，只要是第二个正方形，它其中一个顶点位于前面这个正方形的中心位置，那无论这个第二个正方形如何旋转，如何摆放角度， 他们两个正方形重叠的图形的面积都是不变的啊，都是正方形面积的四分之一，这是一个非常重要的结论。再看第二道题， 现在有 n 个边长为一的全等正方形，这个图里我示意指画出了五个，其实它有 n 个，这个 n 是 未知数，边长都是一，这个靠右侧的正方形的一个顶点都是位于左边正方形的中心位置的，这样依次交叉重叠。 现在求各个阴影部分的面积之和。首先考虑一共有 n 个正方形彼此重叠，那一共有多少块重叠的图形呢？有 n 减一块重叠面积， 那他们的和怎么算？根据刚才的结论，每两块正方形，他们的重叠面积都是整个正方形面积的四分之一， 那么一共有 n 减一块，就乘以 n 减一就行了吧。所以单个阴影面积先求出来是四分之一，正方形面积就是四分之一，然后所有的阴影部分面积和就是用 n 减一乘四分之一。答案就是四分之 n 减一，大家理解了吗？
45张老师数学思维
03:06查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们今天来学习正方形常见十大模型的模型。一、十字架模型，我们来看十字架模型呢，就是在正方形里面， 正方形里面，然后这里有两条线，它是垂直的，那么我们就可以正出对应的三角形是全等，于是就可以得到线段相等， 那么如果这条线是垂直，但是这条线没有和边挨在一起，那么我们就可以把这条线 f g 可以 进行平移一下，让它和边挨在一起，那么就转换成为和第一个图形一样的，可以正直角三角形全等。 啊，那这种形式，你看这两条边，他都没有和正方形的边挨在一起，所以但是他也是垂直的，那我们就可以做直角三角形构造，直角三角形也是可以全等，那么全等之后也可以得出我们的结论。 好，现在我们来看第一个题，第一个题给了正方形，给了 c、 e 和 d f 相等，然后问这个 a e 和 b f 能否相等？那因为是正方形，这两段相等的情况下，那么长一点的线段也是可以相等， 所以呢，如果要证 a 一 和 b、 f 相等，那么我们就证 a 一 所在直角三角形和 b、 f 所在直角三角形全等就可以了。好，那我们看啊，我们要证这个以及 这个是全等的。找条件，我们刚刚已经有了个短边相等，正方形长边相等，而且还各自有九十度，所以它就是可以全等的了。 a、 b， f， d， e， a 啊，全等之后就有对应的边相等，第一问就结束了。好，第二问，第二问给了边长为四， c e 是 一，那这个就是三，因为全等，这个也是三。 好，那么怎么求 a h 呢？这个我们刚刚只得出了这两个线段是相等，两个线段相等，但是它没有让我们正这两个线段垂直，那这两个线段是否垂直呢？那这时候我们就要自己思考这个模型，正方形的十字加模型，那么垂直和相等都是存在的， 我们可以通过垂直推出相等，也可以通过相等推垂直，所以这个时候我们就要用我们的熟悉度，因为它是可以，我们是可以证明垂直的，通过角度，角一，角二， 角三啊，这里角一加角二可以是九十度，因为全等，所以呢角二和角三是相等，那么角一加角三就也是九十度，那于是我们就推出来了垂直，这个垂直就很重要， a h 垂直 b f， 那 这样垂直就求这个斜边上的高，那我们就可以做了这个三角形直角，三角形三四，这个边就是五，那我们就可以通过等面积法 来求三角形的面积，底层高除二是它的面积，换一个底层高也是可以的，五乘 a h 除以二也可以，所以 a h 就是 五分之十二就 完了。那么这个模型呢，它是在中考的填空选择里面经常会出现啊，会让我们求边长啊，求线段长度，那只要是认出了这个正方形十字加模型，那不用复杂的推导，我们直接套剪就可以很快的做出来了。好，大家点赞收藏，多看几遍。
371(数学博士)阿丽讲数学
07:32查看AI文稿AI文稿最近有家长朋友问周老师，为什么一个类型题，我们非得要讲出这么多种变化？在这里周老师给大家说一下。首先，经常关注周老师的朋友们，大家能够了解周老师的视频里边讲的都是几何压轴题，那压轴题的难度 不言而喻，周老师不强调了，也就是说这种题周老师讲个一遍两遍。对于一少部分学生来说，他知道自己 我差在这，我需要补在这，他自己回去能够学。但是这种学生绝对是年初前几的存在，大部分学生基本上都是，你别说让他主动给自己补差或者提优，你让他能够保质保量的按时完成作业， 已经谢天谢地了，更何况让他主动学习呢？主动学习的学生毕竟是少数，我们不是说不主动学习的学生不好啊。对于学生来讲，周老师带了这么多年学生了，初一初二是一个 变化非常大的一个阶段，很多学生在初一的时候非常听话，老师说什么他干什么，家长说什么他也听，一旦到初二，你看变化就来了， 老师说什么留作业也不写，老师让记，笔记也不记，家长一说话也开始顶嘴了。他到这个阶段了，他牵扯经历的事情非常多，所以说你让他主动学习有点强人所难。 其次，另一部分原因就是什么关于周老师的这个教育理念了。周老师的教育理念很简单，其实就是系统性的学习，加单点突破，再加极致的重复。 在这个过程当中，我们拿出来一两道题这个类型，先学习系统的解析方法，让学生知道，哎，这道题可以这么解，哎，这道题还可以这么做。 我们在经过单点突破加极致的训练，让学生在学习的过程中，他能消化老师所传授的知识，而且在这个学习过程中，学生能把老师传授的传授的这些知识转化、理解、消化为自己的解析能力。 最最次最次的，就算他消化不了，但是在这种极致的重复当中，他能形成肌肉记忆，哪怕就靠肌肉记忆，他以后考试遇到这个类型题，他也能解的出来。 另一部分的好处是什么？在学生解难题的过程当中，他刚开始他是有畏难情绪的，他遇到这种题，哎，我解不出来，他会产生排斥心理，那长期来讲，遇上难题我就不做了。但是在这种极致的重复，当刚开始他会感觉难， 但是周老师讲完了之后，他，哎，他会感觉这个东西我好像能比了，再加上几道题的训练之后，他会感觉压轴题不过如此，所以说这个心理的变化过程也是非常主要的。 这就是周老师为什么要一个类型的题，我们要讲很多很多的变形。今天这个话题就聊到这，我们先看今天这道题，正方形 abc 被变长为以 ef 分 别为边， ab 和 bc 变成的动点， 然后 a e 等于 b f， 让我们求 d e 加 d f 的 最小值。典型的什么 逆等线问题，逆等线问题我们怎么解？还是说两条相等的线段，但不在同一条直线上的，管它叫逆等线？那逆等线的解决方法是什么呢？一个是平移，一个是根据两条相等的线段，我们构造什么全等三角形，让我们 求的这两条线段形成共线的趋势，然后用什么两点之间线段最短或点到直线的距离垂线段最短，我们就能解决它。好，我们先看这道题。 来 a、 e 等于 b、 f， 两条相等的线段不在同一条直线上，我们看 a、 e 和正方形 a、 b、 c、 d 的 a、 d 形成了一个直角三角形。那我们在 ef 这个位置也照一个 和它全等的三角形，我们是不是就能够让对 e 和对 f 形成共线趋势呢？来，我们试试，我们验成 ab， 使 b、 g 等于 ab。 来，我们看 正方形 a、 b、 c、 d， 那 这个角是直角，这个角也是直角，这个边 b、 f 等于 a、 e， 这个边 b、 g 等于 a、 d， 那 我们只要连接 f、 g， 那 么三角形 b、 f、 g 是 不是就全等于三角形 a、 e、 d 了？全等了之后， f、 g 是 不是就等于 d、 e？ 那 这个时候 d、 f 和 f、 g 是 不是就形成了共线趋势？由于 a、 b、 c、 d 是 定点，那么 g 点一定是定点，因为 b、 g 等于 a、 b 啊。那我们求 d、 f 加 f、 g 的 最小值， 两点之间线段最短，我们直接连接对记就可以了。此时的对记就是我们所求的对 e 加对 f 的 最小值。来，我们看这个边长为一，这个边长一加一，这个是二，那么对记的最小值 是不是就等于根号下二的平方四加上一等于根号五了？周老师讲明白没？还有第二种方法来，我们看 a、 e 等于 b f， a， b 还等于 b c， 那 么 ab 减 a、 e， 也就是 b、 e 是 不是就等于 c、 f 了？那我们看 c、 f 和 正方形的哪个边上形成三角形了？还是个特殊三角形 c、 f 和 c、 d 啊，形成了一个直角三角形，那我们在这边以 b、 e 为边，再做一个与三角形 a、 c、 f 全等的三角形，然后让 d、 e 和 d、 f 形成共线趋势，是不是就可以了？来，我们试一下 c、 f 和 c、 d 形成了一个直角三角形，那我们把这个位置延长，延长到 h， 使 b h 等于 b c， 然后 b、 e 等于 c f， b h 等于 c。 对， 那我们这个时候只要连接 b、 h， 那 么三角形 e、 b、 h 和三角形对 c、 f 是 不是就全等了？全等了之后， e、 h 等于 d、 f， 那 么此时 d、 e 加 d f 的 最小值就转化成 d， e 加 e、 h 的 最小值。同理， a、 b、 c 类是定点， h 肯定也是定点，因为 d、 h 是 等于 c 类的， 没问题吧？ d 点是定点， h 点是定点，两点之间什么线段最短？那我们此时只要连接 d、 h， 那 么 d、 h 就是 我们 所求的最小值来， c 的 边长为一， b c 为一， b h 为一，那这边整个边长为二，那 d h 就 d h 通过互补定律，还是二的平方四，加上一的平方一，就等于 根号五。周老师讲明白没？好，今天这节课就上到这，更多精彩内容，我们下个视频见。
51周～先生
06:10查看AI文稿AI文稿几何综合题一直是初中孩子们丢分的重灾区，今天就站在命题的角度来分析，遇到这种几何综合，我们如何才能拿高分拿满分？废话不多说，我们直接看题目， 他说在 r t 三角形当中告诉我们 a b 等于 a c 等于两倍的根号二，并且还告诉我这个角度等于九十度，实际上他想告诉你什么 a b c， 他 实际上是一个等腰直角三角形，并且我可以把 a c 算出来他应该是不是你们的四，然后他说 p 点是 a c 上面的一个洞点， b p 是 这样旋转过来，并且旋转九十度，所以这条边等于这条边，也就是这里他也是一个什么等腰直角三角形 好，第一题，他们求 c q 等于我们的 ap， 那 么我们要想 c q 等于 ap， 是 不是求两个线段的长度相等，那么我们很容易常见的有两个，第一个在等腰三角形里面等角对等边，第二个就是我们初中最常见的也就求全等三角形得到对应边相等， 那么我们到底是求哪一个？我们把线段在图中给标起来，比如说 a p 它在这个地方， c q 它是这个地方，那么很明显这个不在同一个三角形里面，那么我们就想到第二个全等，那么这里有哪两个三角形全等呢？那很明显的是这个三角形和这个三角形全等， 那么怎么证明也很简单，第一个题目中告诉我什么 ab 等于我们这个 bc 的 等于二倍根号二，对不对？第二个它是它旋转过来的，所以得到两条边了，再找一个夹角是不是就 ok 了？那么这个夹角是哪一个？在这里这个角 等于这个角，这是经典的同角的与角相等，说明这两个三角形是全等的。所以第一题 ap 等于我们的 c q 就 搞定了，很简单。 好，我们继续往下面看。第二个 a p 等于一，求这个 c 的 长，我们还是一样的，你第一题的条件你还是要用上的。第一条件是得到什么？是不是这个三角形和这个三角形是全等三角形，那么全等三角形你可以得到它的对应角是不是相等的，所以这个角它等于多少度？是不是等于四十五度？ 那么它所对应的对应角是不是在这里，是不是也等于四十五度？并且对应边 a p 和 c q 是 相等的，它等于一。我们第一题当中把这个 a c 算出来，它等于四，那么我们的 c p 它应该等于几？是不等于三？ 这个等于四十五度，这个是不是也等于四十五度？那么这里就出现了九十度，这个等于一，这个等于三，说明我们这个 p q 它应该等于根号十， 那么 p q 他 是在这个等腰直角三角形的斜边，那么我可以把这两个边算出来，他应该等于几，是不应该等于根号五。 bc 等于 bc， 这条边我知道他等于二倍，根号二，并且我还知道这个角度等于四十五，求什么？求 c e， 那 么我只要求出什么也是可以的，我求出 b e 是 不是也是可以的？那么我们观察一下，在这个三角形出现了一个四十五度， 在这个三角形也出现了个四十五度，并且这两个角还是什么共同角，这个就是我们常见的一个什么模型， 是不是子母形相似，是不是这样的形状？这个角和它是公共角，这个角等于它都等于四十五度，这是不是子母形相似？在这题当中，已知线段比较少的情况下，并且让你求这个线段 c e， 那 么我们用相似也是比较好解决的。 好，我们怎么解？也就是 b e 比上我们这个 b q， 它应该等于我们这个 b q， 比上我们这个 bc， 我 们可以把 b q 乘过来，也就等于 b q 的 平方，它就等于五 bc， 它就等于二倍根号二，然后分子分母同时乘以根号二，它就等于四分之 五倍根号啊。当我们把 b e 算出来之后， c e， 它是不是应该等于二倍根号啊？ 减去一个四分之五倍根号啊，也就等于四分之三倍根号啊。我们看第三题，他说这个 a、 a、 b 和这个是互相垂直的，让我们探求一下这个 p、 f 和这个 c、 e， 他的什么数量关系，他们的数量关系，那么怎么样求这两个数量关系呢？我们看观察一下这个长度，应该是这个长度是在这里，你看到题目，先比较一下这两长度是不是有点什么感觉是相等的， 那么我们就要需要证明他两个相等。我们看这里对应边 a p 的 对应边是 c q 依旧成立，并且这里是九十度，他等于四十五度，他也等于四十五度。 那么如果我在这个里面构造出一个全等三角形和它相等的这题，是不是应该就可以成功了一大半？那么怎么构造呢？这一题需要我们干嘛？是让我们求他和他之间的关系，那么我是不是要在这里构建一个边和这条边是不是相等的？ 所以我可以想到什么在 b c 上面找一个点，找一个点 m， 使得我们的什么 m q 等于我们的 e q， 接下来我们找这两个三角形，看它是否全等。第一条边 c q 等于 ap， 已知的这个四十五度 也是可以正出来的。接下来你是不是缺一个角度？我们做的是 m q 等于 eq， 说明这两个角度是不是相等的。比如说这角一等于角二，而角二和它是对顶角等于 角三，我们发现这里等于垂直，这里等于垂直。那么角 f 加上角三是不是应该等于一百八十度？而角 c m q 加上角一，是不是也等于一百八十度？ 而且我可以得到角 f， 它实际上是等于角什么呢？ c m q 的 也就这个角等于这个角， 那么此时这两个三角形全等是不是已经正出来了？那么全等我可以得到什么？是不是可以得到 f p， 它应该等于我们的 m q， 那 m q 又等于什么？等于我们的 eq， 此时我就可以得到 p f 和 eq， 它俩的数量关系是相等的。
106任老师学习方法
03:15查看AI文稿AI文稿今天我们继续来讲这道流量明星，就说这个正方形呢，在全国各地市的考试中呢，出现的次数比较多，所以呢，我最近呢非常非常想跟同学们说一下，这个分是很容易拿到手的，网上那些说这个分多么多么难打的，全是在妖言惑众， 那我今天呢就带同学们来证一下啊，就说我把这个题目读完之后，我的答案就自然浮现在眼前，同学们跟我一起来浮一下啊， 这两个角相等的，右边相等，所以角相等，所以这个角也相等。找这个时候让我们证明是平分的，也就是角一等于角，二 角一等于角，很简单呀，你找跟他相关的，什么叫相关的？你东西被偷了，那你首先想的是不是我周边的人呢？我的邻居啊，是吧，谁谁谁谁谁，是不是？所以你就找跟他相关的互鱼的互补的，我找到了互鱼，所以这两个角相等，同角的与角相等没了。 第二步的时候也极其的简单，说这个 b a e 是 等于阿尔法，那就这个角是等于阿尔法，这个角是四十五度，所以这个角就是四十五度加阿尔法。五角星， 他呢也是等于四十五度加阿尔法，也就这个角四十五度加阿尔法，这个角是四十五度，这个角也四十五度，所以这两个三有相似，他就必须有的啦。很简单， 那最后一问的时候说这个 o e 是 等于四的，我们要给同学们解决什么要要领先的思想啊，不要说那些七的八的没有用的，就同学们的用起来的最简单的极简的想法，就从第二问的时候，我们已经证明了这两个角相等的对不对，所以这个大角跟这个大角也是相等的。同学们，为什么想不到？我告诉你们，你看 我在这个图里面我就做了很多的标记，是吧？我平时都跟同学们说过很多遍，你自己要善于做标记，你不要什么都等着我，好像看着我写很开心的样子，等到考试你就傻眼了。那么到了这个时候呢，你就要发现啊，为什么我标了这个你没发现吗？它对的是它，它对的是它， 这两个角又相等，所以这个三角形就是三角形 o、 e、 b。 同学们写的时候注意啊，三角形 啊， a、 c、 e 这两个三角形是相似的，并且他们的相似比是一比二。结束收工了，我可以拜拜，再见了。为什么 就说明这个边是等于几的？等于八的哇，我已经得到它等于八了，你说我都知道它等于八了，对我来说是不是小意思了？没有了，彻底结束了。为什么这么说？因为 b、 e 比上一个 c 一 等于一个一比二，它们相似在这个地方已经证明了，所以我就把它八 求什么 a f， a f 也就等于个八，乘以个三分之二等于个六。你看我这道题目从头到尾写的有那么多吗？啥也没写呀，你说你跟学生说多难多难多难， 我觉得不对的，我们把思路给理理，就是很简单，你就把一些已知角标一标，什么结论啥的，就上一问这名的结论，标一标彻底解决了， 你是不是觉得神清气爽？哇，你的自信又回来了。好了，同学们，我们今天就到这里了，可以在评论区告诉我，你想让我帮你解决什么样的问题？散会。
86阿源教你口算压轴
01:08查看AI文稿AI文稿如果你学会了正方形还有矩形里面的十字架模型，我们做起题来就特别的快，我们来看什么叫十字架模型，首先它在正方形里面，四个顶点 分别在四个边上，而且两个线段是垂直的，那么这两条线段就是相等的关系。现在我们用一下这个十字架模型， 一个 a b， c d 正方形边上为四，然后 a 点呢？通过折叠折痕是 m n 到 e 点， e 点正好是中点，求折痕 m n 的 长度， 那就要找十字架，我们看 m n 在 这里，那现在我们把 a e 给它连上，对应点的连线和折痕呢，是垂直的关系。那根据十字架模型，我们知道 a e 呢和 m n 相等的， 所以要想求 m n 求 a e 就 好了，那 a e 呢？正好是在 a b e 直角三角形里面，根据勾股定律，这个是二，这个是四，它等于 a e 等于根号下四的平方加上二的平方等于根号二十，也就是二倍的根号。
56采知数学
04:18查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，我是朱强，八年级的同学应该认真思考一下这样一个小题，南京的这道期中考试的压轴题，把正方形里面的全等折叠、对称以及各种特殊的线段考察到了极致。九年级同学更要看一下这样的一个好题， 因为它马上就要中考了，怎么解决这个问题呢？边长是九，沿着 p q 翻折好，我给它画上去， p q 就是 a m 的 垂直平分线，这里是垂直，我把垂直符号标上去， b m 的 长度是这个三分之一的 b c， 那 就是三，那这边还是九，我用红色的笔来标一下，说 q e 和 f p 以这两条线段相加之和等于多少？我们之前呢学过十字架模型，十字架模型就是在正方形之中，如果两条线是呈互相垂直状态，那么这两条线段就是相等。所以呢，我们可以根据以往的经验， 我们得到 a m 是 等于 p q 的， 这是我们以前知道，如果这个十字架呀，呈如图所示的这样的一种状态，也就是它过这个顶点， 并且呢， p q 呢，是垂直平分于 a q 的， 形成这种十字架，那么我只要连接 b d 和它交于的这个 f 点，以及之前所形成的 e 点，这个长度， 我呢用个颜色给它标出来，就是这个 e f， 这个长度是等于二分之一的 p q 的， 也就是二分之一的 a m。 这块。这两个结论呢，怎么证明呢？非常好办，再换一个颜色的比，我把 a f 连接起来，我把 f c 连接起来，这两条线段绝对相等。 因为呢， a b f 和 c b f 这两个三角形是全等三角形，所以对应线段相等， 那这两个边相等，我再把 f m 连接起来，因为 q p 是 垂直平分 a m 的， 所以 a f 和 fm 也相等，所以相等的线段我标上标记，那么这样的话，有三条边相等，我把边等转化为角等，这两个是相等的。刚才已经说了，这个 b a f 三角形和 bcf 这两个三角形呢，是全的三角形，所以这里呢，这个角呢，也应该和这里的这个角啊相等，所以也是阿法，这个时候好办了呀，阿法加上它的零补角，我假设贝特阿法加贝特 等于一百八十度，那所以那这一组也是阿法加贝特也是等于一百八十度，那这个不就是对角互补吗？那同理可得角 a b m 加上角 a f m 也应该等于一百八十度吧，因为四边形的内角和是三百六十度，而我们知道 a b m 已经是九十度了吧，所以 a f m 重大发现呢， a f m 是 九十度，所以这个时候呢，我们可以说呢，这个是 a b m f 是 一个特殊的叫零等对角四边形，当然这个时候我不需要用这个了， 我要求 f m， 因为 f m 是 这个等腰直角三角形的底边上的高吧，是不是三线合一啊？所以 f e 等于 二分之一的 a m， f e 等于二分之 a m， 那 么剩下来的这么两小段 q e 和 p f 相加，也应该是等于二分之一的 a m 啊， 而 a m 的 长度就应该是等于二分之一，乘以根号下三方加九方，利用这个勾股定律 就可以解决出来这样的长度，所以答案应该是等于你通过计算等于二分之三倍，根号十。当然了，我还可以提另外一种方法，就没有这个巧妙过 m 了。向上做个垂直，我证明出这两个三角形是全等的，你看看你能不能再证明出这两个三角形 也是全等的。一定要看好了，就这两个三角形也是全等的，这两个特别好，正 是不是因为这个点呢？是特殊的。是一个终点吗？是不是八字形全等？这两个全等你怎么证明呢？给你思考一下呗。那如果这两个全等的话，这边和这边就相等，也是可以解决问题的。 是不是提示一下啊，可以计算出长度来。那这块是三，这块等于多少和这块的长度呢？哎，有一个线段对应相等就能够解决了。
1003中考数学朱强
28:05查看AI文稿AI文稿最后时刻压轴大题篇巅峰出世几何辅助线没思路，三秒教会你如何想到！这期是上海考生的福利哦，赶快收藏起来，二模前看一遍，多拿十分，是二五年上海的最后一道几何压轴。 那么读题平四面形 a b c d e f 为 b c c d 上两点 d 问，当 e 是 bc 的 终点时， e 是 bc 终点啊，然后第一个如图一啊，图一是在这里 啊，连接 e f， 如果连接 e f a e 等于 e f， 求证角比 a 一， 求证这个角一等于角 c f， 求证角一等于角二。好，那么它的一个证明呢？就是我们证明角相等。那么回到我们的知识点，或者说我们总结的一些方法技巧，这里面大家呃，不要愣着，赶紧截图，有这道题中总结出来的证明角相等的方法。 首先我们边看图边依次介绍第一个 s a s 型全等，那么根据它的中点，我们是有 比 e 等于 c e 的， 那么就能想到，哎，会不会可能这个三角形全等呢？证明角一点角二呢？那你发现它的加角完全不相等的，这个图里，它这个图是画的很准的，它角都不相等，证明不是一种方法。 那么第二个我们就可以想到什么呢？它既然不是图里面有的这个三角形全的，那么有可能就是第二种构造全的，那么我们再看到这种 s a s 型的就是什么叫 s a s 型呢？就是说 已经出现了在同一个顶点，这个 e 这个点这里卡出了什么呢？两组相等的边， a e f 比 e c e， 那 么一开始你以 s a s 形去看的时候，他们加角形，那么这个时候我们还有个方法，就是在一些题目里，我们就会分开来叉开来看，比如说这两条一起看，这两条一起看，也就是说比 e 和 e f 去连起来， a e 和 c e 去连起来，这样子就形成一种叫手拉手，还是叫这个脚拉脚的这种圈的。 那么你会发现啊，这个题目也不是这么去做啊，因为没什么用。但是呢，这种方法或者这种经验，这种我们要积累下来的模型，你要知道看到这个图你要有反应，你不能大脑一片空白，好吧，那么第三个就是倒角，也就是你在一开始想圆间图形中的权的 挣不出来，没有权的。第二种就是根据这个图形特征，我们想到构造这种叉开型的手拉手，类似这种权的也没有，那第三个我们就不想权的，我们看下有没有什么倒角的，为什么呢？因为他给了我们 a e 点 e f 这么个条件，那么我们就有 等腰，这个角是 c 它角，这个角是 c 它角，哎，一旦有 c 塔，你就发现这个平行四边形吧，那么此时我们就要研究 c 塔一二的关系了，你发现他们是一个什么同行，内角互补，也就是我们有角一加上角二加上二， c 塔它等于一百八十度， 然后你得到这个条件中，你就发现什么都干不了，因为你不能继续研究下去，而且有这个 c 塔， c 塔也不知道多少度，而你要的是什么呢？你要的一个表达是什么呢？你要证明的表达是角一等于角二， 那你发现现在这个表达是有一百八十度，有 c 卡，你又得不到角一和角二的与 c 卡的关系，不能消圆，是吧？会非常麻烦。所以你这个时候你只能先把这个方程，这个角的这个方程啊，这个角的这个方程先放在这里，先不着急，你就放在这，我们就接着用第四个方法。那么很多同学就会说，那我这样一个一个方法试， 考试的时候不是很浪费时间吗？啊，是是这样的，因为如果你练的少的话，你只能这样一个方法考试，或者说根据你自己这个题目的一个判断，你跳着，哎，有可能你用完第一个，你发现不是你瞬间想到是第四个，但有些人做的题目啊，做的多的自然而想到能够用第四个背长中线 或者说截长不短，那那怎么看到呢？因为你全面的方法都失败了。你根据这个之前啊，我也总结过的在几何模型里面的一些方法，也就是背长中线。什么意思？ 上行里面出中点出中线，和平型四边形的四边形里面出中线，特别容易考到。就四边形里面啊，特别容易考到被长中线，或者说你可以理解为一个内被长中线，因为它不是三角形的中线 啊，当然你也可以理解为它就是三角形的中线，为什么呢？ a e 他 不就可以把这个 a c 连起来吗？ a c 连起来他不就是 a e 不 就是中线吗？对吧？那你不连起来呢？你就可以理解为是一个内中线。内被长中线什么意思？我们为什么要内变成中线？因为我们这名角一点角二他们隔得太远了，也就是延长 a e 这里用红色的角一点角二，他们隔得太远了，也就是延长 a e 至点 t， 你要辅助线描述就是延长 a e 至点 t， 使得 e t e t 这条线啊，使得 e t 等于 a e， 然后呢，你再描述连接 tc。 好， 那么接下来你就，你要接，怎么写呢？我们就有，因为你是延长的嘛，那 b c 和这个 a e 本质是相交，你一旦延长 e 了，那这个就有个对顶角阿法，阿法角是相等的，然后呢，我们就有边相等，然后比 e 等于 c， 那 我们就有三角形啊，你就可以写三角形旋转，也就是三角形 a e b 全等于三角形，是吧？ a e b 三角形 t e c， 那 么理由是 s a s 全等是吧？一旦有了这个全等，我们的角一不就转到这里来了。好，那这时候有些人就很着急啊，说，因为 这有个易错点啊，因为 e t 啊，等于这个什么啊？你看这个图吗？这个一个点等，一个点 e t 等于一个 e f， 所以 角一就等角二，你别那么快。为什么呢？因为被抢东西的结算部分，经常就要证明一个三点共线的问题，也就是说你连接这个 tc 的 时候， 你要证明这个是互补的，因为你你不能保证它延长过来，你这个 tc 连起来和这个 cf 它们是同一条线，也就是说你可以以为我延长过来，我点 t 可能在这。那你这样子和 tc 连起来，这个 cf 是 平的吗？不是平的呀，这是两条线段，它不是共线的，所以你要去证明一百八十度。那怎么证明啊？很简单， 这个角 b 啊，它这个转到这个角 e c t 来，我们就为角三，那么角三和这个这右边这个角角四是一百八十度是吧？因为从内错角移过来，或者说 不是内错角啊，这里不是内错角啊，各位，为什么呢？因为我们还没贡献呢，我没贡献我们就用不了平行线，能理解吗？我们还没证明出 t c 和 c f 是 同一条线，所以我们不能用平行四面形的平行条线，所以我们这里只能用全的倒角角三等于角臂，而角臂加角四是一百八十度。所以呢，我们应该先说因为角三应该这么写啊，因为角臂 加角三等于啊，不是角三，我也写错了，应该说角四，角币加角四等于角币连角三，因为全等加角四连到多角币加角四是多少多？你应该在前面先写啊。呃， 我给他写好一点啊，很多基础的基础，大家基础话都不太懂了。因为角币加角四等于一百八十度吧。角币加角四等于一百八十度， 又因为全等，你可以说啊，因为这个全等，也就说你喜欢这个全等之后你要说所以角 b 等于角三，然后再说因为角 b 加角等于一百八十六，所以啊，这里直接所以了，所以角三加角四等于一百八十六。所以什么呢？所以 tc f 三点 贡献，所以干嘛？所以 tc f 一 旦成点贡献了，说明 tf 本身就是一条线段。那么这里你就可以说因为 这个 e t 等于什么呢？ e f 啊， e f 等于幺嘛，所以你说它是等幺造型，所以你说角一点角二， 我们就整完了，这是第一问，我们这个步骤啊，比较充分一点，是吧？那么后面我就讲的比较不会不会给他写那么长的过程啊，给他简约一点讲，主要重，重点是讲思路。好吧，那么最重要的还是这个，这个这个技巧，大家一定要把它截图啊，不要愣着啊，截图或者自己做做笔记，给它记住了怎么分析？好，我们下一个。 如果 c f 等于 e f， 也就是 f 是 中点连接 a， e 连接 b， f 交 a 与点 g， 求三角形 b e， g， 也就这个蓝色的比上三角形 a， e， f， 也就这个黄色的这个大两个长方形的比值，面积比值。好，那么首先我们来给大家总结一下，出现面积比值我们能有哪些思路？ 第一个就是面积比，我们通过这两个三角形正处相似，转成相似比的平方，这是最常见的，或者说是最方便的，考的比较多的简单题里面特别多，之前都是这么考。那么第二种方法啊，那这道题你能不能用呢？大家可以自己想一想啊。 ok， 其实是不能用的，你不能直接证明这两个相似，或者说这两个压根就不相似，因为它们最大的角都不相等， 是吧，你可以自己来计算啊，非常简单。那么第二个方法依次乘 s 一、 s 二，能算吗？算不了，你去算数也非常麻烦啊，因为我自己也去算了一下啊。第三种方法就转换成 s 三，就是转换成第三个面积，就说用第三个面积的一个表达式去替换他们两个，然后最后呢的比值呢，就能或者说引入一个未知数的意思， 比如说他等于多少多少 s， 那 么那么的 s 比上这个下面是什么？下面是 k 倍的 s， 那 s s 消掉就等于两个什么呢？两个长整数的比值，那不就是出来了结果，但是你发现 你如果去射这些东西的话，你们在最后像我这样的结果啊，也是不行的，因为这个小的呢，没办法去转换，是吧？未知数太多了。第一，然后还有一个方法，就转换成他的这个长度的笔直，什么意思？也就是通过观察割补啊，同时他有还有这两种方法呢，有可能结合起来 就是相当于三角形 a e f， 你 给它拆成 a g f 和 e g f， 这样子，他们就是两个三角形，你会发现他们是同高不同底，对吧？那这个时候 这个上写 a f 的 表达式，他不就可以写出来了吗？你，你可以写成什么呢？你就可以设成这个，这个单独一个高是 h 三，它的面积可以是 ag 加上 eg， 然后二分之一乘以底，然后乘以他们的高 h 三，对吧？ h 三拿出来，你可以是这么写，你可以是上面这种写法，也就是我，我画出两个高，我画出两个高，这下面的 h 一 是为了和 b g e， 然后呢产生一个关联，他们就可以在下面的就是二分之一的。什么呢？ 下面的 e f， 它就是呃 h 一 h 二就是通过 g f 来当同底但是不同高的这个三角形，那么去表达，那下面呢就是 b g 乘以一个 h 一 啊，这样子我们就可以转成两个线段的比，也就是 这个转换成第一比第二，这个意思就是说我们去算面积啊，通过面积二分之一底层高啊，同时有时候借助一下割补进行一个切割，把三角形进行切割，然后呢去换一种方式，算面积二分之一，底层高，转换成别的线段，目的就是什么呢？原先的三角形不相似，我们转成别的线段的比。之后呢，我们去看别的线段 的相似三角形，或者说是再去构造相似三角形啊，但是你发现这所有的方法都不行，对照的时候方法都行，那怎么做呢？他就在接近第一问， 第一道题，他这个图的一个非我们刚才讲的那道题的方法，那么刚才我们第一问是非常中线去做啊，相对来说麻烦一点，但是呢也是一个方法，我希望大家能知道，也是我自己做题的方法。那么这题还有个更快的方法，也就是延长借助平行线，什么意思？也就是说他这里 e 是 终点是吧？那么可以他已经把 a e 连起来是吧？那我就延长 a e， 延长这个 f c， 听清楚，我这延长，一旦延长，我们这里比如说产生一个 t 点，那我是延长过来的，那我内侧角是相等的呀，那我这个角一等于这个角一是吧？啊，这是角二，角一点角一，然后呢，对零角是相等的呀，然后一点，我们由于是延长，那么它一定有 线段相等，那么就一定有 a a s 型全等，一旦全等，那么的角一啊，不对角一啊，一旦全等，我们的什么 a e 这个勾就等于 e t 这个勾，那么 a e 它题目给了是等于 ef 的，是等于这个勾的，而由于是我们延长了我们形成的三角形，什么呢？我们形成 b， 形成一个三角形 e f t 的， 所以有这两个勾相等的，我们就推出它是等腰，我们角一就等于角二了，就正好了。同理的， 我们可以延长 e， 我 们也可以延长 e f 啊，我们也可以延长 e f， 延长 e， 因为因为什么呢？这里 f 它不是特殊点， a 点不是特殊点，就是说 a 点是顶点，我们去延长的话，它这个特殊性可能会比较特殊一点，能理解为什么 f 线还不是终点吗？当然它去延长也是一样的，有权的，因为你去延长，因为你只要是和 e 点连连接的一个线段延长过去，它必有这个 b， e 等于 e， 那 么它就 一定会有什么由于同时你延长，然后呢？你 b 位和平行四边形另外一主线它延长，另一个另外一主线延长，刚好 f 就 在这里， f 就 在这条线上，那它就有平行，一定有内错角，就有 a a s， 刚才是同理的， 它刚才是同理。大家感悟一下，一样的，都是过一延长，那么就有线段相等，同时他们就从一侧到另一侧，然后另外一条平行的边也延长，那么你一定有平行线内错角相等，能理解意思吗？所以它一定还同理有这个权的啊。角二 那么一样的道理，还是 a a s 全的，对，顶角一旦全的了，那么这个这个勾就跑到这来了，那同理还是一个三角形的，等腰角一点角二是吧？这就是第一问给我们的思路。而我们在做这种综合大题，特别是难的题目里的时候，他 这种在同一个小问里，或者说第一个问，或者说同一个小问里的第一个问，他们的一些服务性思路是差不多的，就可以相互借鉴了。所以当你第二问，你 在做第二问的时候，你的策略就是应该首选用什么的？第一道题，你做这个题的时候，你的辅助线思路你去尝试做，第二问，做不出来，再去想刚才的那那么那么些思路啊，那么这些思路怎么来？你说你考试时候没想到怎么来，那你就现在看这视频，把它总结下来，把它截图截下来，不要愣着。好吧， 都是这样的，结合题就是这么玩，结合题就是这么去多做题，多总结，因为不是所有人都能想到辅助线的，等你多去做题，多去看图，多去感悟啊。 那么在你要敢，你要学会揣摩出题的意图。他第一问是呢， e 是 终点，然后我们是延长 e 的 一个线段，那第一问他给了我们 f 的 终点，那么很显然我们第二问，你应该首选的就是去延长跟 f 有 关的线段，那么 我们还是依旧找顶点跟 f 相连的线段，它这个图形会比较好看一些啊，性质会比较特殊一些。所以这个时候我们就是干嘛呢？谁跟 f 连 a？ f 有 b， f 有 在这里呢？我们延连续延长什么 b f， 为什么？因为它这里产生了一个新的上行 b g 啊。而如果我们延长 b f， 它出来的一些图形肯定跟 b 这个顶点，以及跟这个 e g 有 有可能有关系， 专门延长变幅，那么接下来我们自然而照 b 对 应的这个边，它一定要延长产生三角形，哎，重画一下，好， 那么我们把这个图给它转一转，这个是 m 点，好，那接下来我们要干嘛呢？我们延长处有什么有相似，一直中点，我们就可以说这个是 k， 这是 k， 我 们上面呢？对，这个是对边。 ok， 好， 那么我们可以观察到， 首先我们延长过去，我们是有一个全等的，什么全等？三角形全等哪里？同样的呀？我们根据左边有全等，右边一定有全等，你延长，你只要去一个点和 m 点延长过去，然后对边平行的那个线段延长过去，一定有全等，同样还是 a s， a s 型全等， a s 型全等也就是三角形，这里是相等的，然后对零角， 然后那错角 a s 全等，那么此时这个 ok 就 能转上去了，是吗？ ok， 这里是 ok， 这是 k， 这是 ok， 这是四 k， 那 你发现你得到这个 ok 之后，上面是有四 k， 然后呢，这个时候就是你对图形的把握能力了，你发现这里刚才的全等是一个什么八字形的 全等，接下来就会读什么呢？八字形的相似，要学会在平行四边形中找，多找这种八字形的相似，多去构造，多去延长。平行四边形的一些做体习惯，就是多去延长，特别是一些中点线段。好吧，好的，是一个经验的问题，你怎么去观察到八字形在哪里呢？我们看图在这里，我这上面这个 我就不写了，只检验一下。所以通过这个八字形相似我们可以知道什么呢？ k 比相乘四， k 是 一比四，等于其他线段的比，等于什么？等于 b， g 比乘什么呢？ g 比乘什么呢？ g， 哎，你看 a g 比 g 这个东西是什么东西啊？我瞬间反应到，这是 a、 e、 f 这个三角形里面的两个三角形的分别的一个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 a、 e、 f 这三角形里面的两个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 b g 比，这面是没错的，这里面倒倒过来啊，是 g e 比上一个 a g， 所以 这里是四分，这里是一分。哎，你这里就瞬间翻译了，这是四分之一分，你再观察上行 a f 他 们的底 啊，不对，他们高是相同的。那好，这是经典的上行里面切割出来的两个长形，也就我刚才说的这个长形可以通过割补切成两个长形，同时他们他们是干嘛的？同高的，那么我们就根据求他们底底的比例，我们就可以用一个未知数去表示它们的面积， 也就是说这是一个 s， 那 么根据底的一个比例，双面积它就是四 s， 所以 此时三角形 a、 e、 f， 它就是五个 s， 所以 我们只要知道 b g 它是几个 s 就 行了，那么 b g 是 几个 s， 我 们反过来想，哎，一开始 s 哪来的？不就通过这个线段比例来的吗？而线段比例关键的就是这两个线段，所以我们就看一下这个这个三角形 b g 有 哪些线段和这个 g e、 a g 有 关系。那你看 离他挨得最近的是不是这个三角形？这样 g e f 上面那个 a g f 虽然说有一种八字形的感觉，但它们是不相似的，所以我们找 g e f， 同时 g f 还跟这个 b g 又在同一个三角形里面啊，这三角形 b e f， b f， 然后通过 e g 这条线段拆成了两个方形，同时它们又是同高的，和刚才一个情况是一样的。所以我们今天只要求求什么呢？你的目标就知道了呀，你就知道我们的需求，我们只要知道 b g 比上 g f 它是多少，这个比例我们知道了，那么这个 b g 那 么同高，那么根据底的比例， b g e 这个长形的 s 多少 s 我 们也知道了，我们的目标就是求 b g 比 g f， 而当你观察到我们要求 b g 这个线段比 g f 这个线段的时候，你就知道弧线是啥，这也是一个 一个固定的一个套路，一个图，或者说你不知道这个图，那你就去想，我们刚才做出辅助线，得到我们的有效条件，这个辅助线是跟 f 这个终点有关的，是延长，那这一次依旧和 f 有 关啊，然后你就可以去奇思妙想，看能不能想到辅助线，那么辅助线是什么？那我觉得你按到第一个想是最容易想到辅助线的，也就是 那么辅助线就是过点 f 去做 a e 的 平行线，那么我们是可以做到这么个辅助线的，过直线外一点做已知直线的平行线是可以做到的。然后交 a d 于点 t， 交 b c 的 延长线于点 n， 那 么这个时候 我们就可以得到全等啊，同理的还是有全等，为什么呢？相等，相等，然后呢？内错角还是平行？内错角 a s 和 a s a 都行， 一旦全等了，我们就有啥呢？我们就有这一段是相等的，也就是 f 还是这个 t n 的 中点。那我们的目的是什么呢？我们刚才得到了，这是四份，这个是一份你你可以把它理解，为什么呢？我们就可以设一下啊，这是四 d， 这是一个 d， 那 总共这个 a e 就是 五个 d， 那 你会分成 t、 n 呢？ 我们说这是平行线，那么上面是不是也是一组平行线？那他们就是一个平行四面形吗？所以这是五 d， 五 d 的 话呢？它是终点，那这个就是二点五 d。 聪明人都知道，我要干嘛呢？这是干嘛？平行线分线到成比例定，或者说是我们的平行型 a 字型相似了， 有了这个相似，我们 b g、 b g、 f 就 可以转一下了吗？也就是说我们最终的目的就是为了得到 b g、 b g、 f， 而他处于这么个图形里面，我们就想到了，我们去做做这个 g、 e 的 平行线，那就做他的一个平行线吗？ 然后呢？我们这个时候做平线，我们这个长度是不知道的，所以我们延长，延长刚好平是平行，他等于五 d， 哎，这个是中点，全等二点五 d， 把这个比例就知道了，就这么巧，就这么神奇，这是辅助线呢，我们给大家一个好的思路，能想到的，而不说死记硬背，当然大家把这个土背下来也是有必要的，所以我们就有了 这个相似的比啊，相似比是多少？一比二点五，所以我们这个比上这个是一比二点五，那就相当于说一份二点五份，那这个是几分？这个是一点五分，这是一份，所以他们的比值就知道了，是一比一点五， 也就是十比十五，那个二比三。好，那 b g、 b g、 f 二比三，那么 s 就 知道了，也就是 b g 那 个三角形，三角形 b e g 比上三角形 g、 e、 f， 它的面积比是二比三，那么我们的 b e、 g 就 等于什么呢？这个 g、 e、 f 我 们设成了 s 对 不对？上面那个是四 s， 没问题吧？所以呢，我们移过去就是三分之二 s， 这两个一比 s s 一 约，对吧？就是三分之二比上一个五，所以就等于十十五分之二啊，就是二比十五。这一问就结束了，那么这个总结我教大家把这个好好总结，好好的收藏，这期视频含金量贼高。第三问，求 a f 长度。这一问的话，我一开始是 自己想了一个创新方法，然后失败了，可以贴出来给他看一下我的做的过程啊，是失败的啊，所以这种总结出来就是说这种几何综合的很多问的他基本上辅助线都是一样的，或者说出类旁通的，为什么这么说呢？我们先读一下题目， 他说连接 aef， 那 么这里的话就是说一点 f 点是一般的点了，没有具有上两问的一个终点性质了，所以是非常一般的，所以你发现从上往下是由特殊到一般的一个终点性质了，所以是非常一般的。你看如果 a 点五，给你平行四边的长度了， a 点三， 然后专门给你什么的 c f 等于一，那你解这个是二，哎，这个比例是知道的。三等三等分点，然后给你角相等。好的，三个一线三等角啊，我一开始想一线三等角，这个是角相等啊，我们就画成圈圈，好吧， a f e 啊，这个圈啊，这个弧吧，嗯， a e b 等于 a f e 等于 e f c， 哎，你看到这个的话，这个 e f 是 不是像角分线了？那你就想到角平分线的各种弧线思路， 那现在大家可以自己记一下，角平分线到角两边距离是相等的，如果说出现了一个垂直，那我们立马做另外一个垂直过去，是吧？还有另外一种，第二种的话，就是角平分线上出现了一个什么呢？垂直于角平分线的线，我们就给他延长，是吧？出等腰啊，出旋转， 然后第三种的话，就是角平分线定律往这边延长延长，那么我们这个比乘这个等于这个比这个啊，当然刚才我就是用角平分线定律做的，然后呢？失败了，但我还没去找一下，大家可以帮我看一下哪里出了问题，是吧？来帮我看一下。然后那这一个呢？还有第四种啊，就是也就是我们这道题考察的什么呢？ 角平分线在平行四边形里出现，或者平行线很多的时候出现平行线的一个背景题目里，我们就一定首选 g， 干嘛构造怎样？三角形怎么构造呢？ 你有这么个思路，你想到了去干嘛？把这个延长一下，把这个延长，把这个延长，那这个时候我们这个弧是不是等于这个弧，它这里不就出等腰了吗？我们可以说这个是 p， 那 么 a f， 我 们求 a f 的 长度是不是等于 ap 这个长度啊？因为求 f 的 长度，是吧？我们转成求 ap 了， 哎，就转换了一下，是不是角平分线出平行线构造等腰，这是你能想到的思路，我们总结下来，那么如果你没有这个思路，我们怎么做的？第一问，我们是怎么做的？第一问，当他说 e 是 终点的时候，我们可以这么去延长，是吧？然后呢？ 构造一个全等，然后呢？同样道理，得到等腰对不对？得到它这个角形的是不是？那第二问，他是干嘛呢？第二问他就给了多给了个 f 之终点，那我们就是延长什么呢？我们就是延长，往 f 这个方向去延长，往 f 这个方向去延长，然后呢？再延长这边，是吧？去构造全等，所以 这一次我们同样的，不仅仅左边我们要去构造，右边也构造，因为什么呢？因为这里一次 e f 都不是重点，它的性质非常不特殊，所以我们同时去延长啊，这个 e f 往下延长，构造一个长形，然后这个 e f 再往上延长，再构造一个长形，这样我们就 把特殊性质拉满了，就非常的特殊，这样子的话，我们就有更大的概率能做出题目，你就可以这么去想，好吧，你可以把这个图给记下来，嗯，我，我是习惯的去，就是记这种思路，记这种尝试的思路， 这样子你做几何题呢？就可以。呃，挨个去试，至少你有思路，不会说一片空白，不知道辅助线是什么，或者说你不会知道，你会说我没有，没有，没有什么思路没有，就考场上我什么都下不了笔。所以我再说一遍，页幅往下延长，不仅仅是说出等腰，更是为了接见。第一问往上延长，不仅接见第二问，更是为了 把这个一比二的比例利用的利用起来啊。他为什么给你 c f 一 啊？我专门给你这个条件，在这里有个二，为什么给这个条件就是一比二，为了测出 e c 点 x 是 二 x 题目条件呢？每一个条件他都是我们要发挥到淋漓尽致，把它们都用到位了，题目才能做出来，我们接着看。 那么我们接下来长度条件我们分析完了，接下来我们看角度条件，首先这两个角线的是角，平分线的一个条件，没问题，但是这个角线的你一定要去得到东西啊， 如果没有到东西，你这题也是做不下去的，那是什么呢？很关键的一步叫外角定力，你是这个大角是不等于里面这个弧加上这个点，但是这里也是弧，说明里面这个这个点是等于这个点，能理解吗？ 外角定力啊，这个初一就学了，我就不太多说，很简单，所以这个点是等于这个点，哇哇哇，使劲点好，就这样，这个点，这个点， 而且你还你还发现啊，上面这个什么呢？ a 字型，我们也要把这个给它拎上去，这个我们先换成 x， 内扣角，这个是 x， 然后呢？这个是这个圆圆的啊，然后这个弧， ok， 然后上面这个 a、 e、 f， 你 会发现和下面这个是一模一样了，所以它这个角也是 x 啊，这个角也是 x， 咱们就用这个叉在这，那么你会发现下面其实也会有这个叉，然后这个这个圆啊，这个弧，是吧？所以你们的这图里面有很多的这种这个弧 圈叉的这种三角形是相似的，三个角都现在相似吗？所以里面会有一些特殊的一些三角形相似，那么这里首选的，大家在考试里首选的去找什么呢？反 a 字形相似， 也就是这样的切过来，然后呢？这是公共角，然后这两个角是相等的啊，这是 r 法，这个是 r 法， ok， 我 们在这道题里面呢，是谁呢啊？就是我们的三角形观察这个图形啊，三角形， 我换这个，这个点，三角形 e a f 相似于 e a f 相似于 e a f 的 话，你看是不是？呃，这个 e t 为 就这个一一个圈圈叉，圈叉，是吧？这就是反义词相似吗？那这个相似，那就这个相似，我们又可以得到什么呢？那个比例是，也就是我们，呃，再自己整理一下吧。最后的答案就是，我就写，快点， a 一 方等于 e f 乘以 e q， 而我们的 e q 呢？它可以写成三倍的 e f， 这就等于三 e f 方，所以我们就可以得到 a e 是 等于根号三倍的 e f， 好 家伙， a e 等于根号三倍的 e f， 我 们设为 x， 什么设为 t， 这是二 t， a e 等于三倍的 e f， 根号三倍的 e f 等于根号三倍的 t， 好 家伙，这样的三角形，我们该说这样的三角形，这个弧圈叉，这种三角形，他们的什么呢？就是这个这个圈圈，它左右两条边的比例是一比。根号三， 好家伙，那你瞬间反应到有长度的有没有弧线叉，有长度的上下？有啊，那你瞬间就可以得到长度了，这样 e c e c 是 什么呢？一比二三，那这个长的不就是直接根号三吗？ e c 直接知道了，那上面不就二倍根号三吗？我，天呐，那就基基本就要做出来了，那现在还欠你一个什么呢？那么我们的目标是什么呢？我们目标是求 a f， 而 a f 已经通过一个 平行出等腰转成这个什么 ap 了，说明就观察 ap 的 三角形有没有相似啊。答案是有的，那我们这里就要结合看一个大范围的什么呢？结合这个二倍杠三，这样求出来了，也就是刚才求出来的二倍杠三，结合这个五，也就是有 a q 这个长度，然后 ap 这个长度，然后形成了一个大三角形，和哪个三角形相似呢？ 我们的三角形 b， e， p 啊，这个一个什么呢？平行形的啊，这个平行线你可以理解为平行线，分线段成比例定理，你也可以理解为是我们的这个叫 a 字相似，是吧？ a 字型相似，所以 出现相似的时候有有选啊，优先找反 a 字型，反 a 字型，然后呢，这个八字形，还有我们的平行线分线段成比例定理的这种 a 字型啊，啊，都有很多，就这三大类好吧， a 字一类， 八字型一类，平行线一类，总共三类，然后每一类 a 字型和八字型都有对应一个反反反 a 反八，然后平行线平行线的话就基本上就是一个这种类型，好吧，比较多。 ok， 我 们就给大家总结好了， 通过这几个字，希望大家也是收获满满，好吧，然后呢，呃，仔细品味，放在收藏夹里，时不时拿出来看一下，扣签收获的确是很多的，说不定就给你遇到了这种平行平行平行四边形的那种几何，你就哎多拿了几分，对吧，好好收藏，收藏起来好好看啊，没看完，好好看。 这样的相似之后，我们就可以写出相似方程，也就直接写了，我们直接写比翼比向什么呢？下面的那个 a q 等于在哪里等于什么呢？我们要求的是 ap 呢，那就用比翼比向 ap。 那 么接下来我们看一下啊，直接就带进来了啊，直接带进来了，比翼减多少呢？比翼不就是上面是五，这里是刚好三，所以是五减刚好三，是吧？比上 a q 呢？ a q 是 五，加根号三，等于什么呢？比屁，比屁是什么？比屁我们可以转成 a p， 有 没有 a p 要求吗？所以上面这个是什么？这个长度是三，所以它可以等于 a p 减去三，比上我们的 a f。 好， 那 a p 就是 我们要选的 a f 嘛，对不对？所以我们就可以把它设为一个 x 直接求了，或者说啊，我们就直接写了啊，就这个移过去五减根号三倍的 a f， 等于五加根号三倍的 f， 减去一个三倍的五加 高三，然后这个移过来五减五，约了加一个括号三，所以这里是二倍根号三 a f。 哎，不对啊，不对，不对，出问题了，这上面是二倍根号三，上面二倍根号三，这是二倍根号三，这里是二倍根号三，所以这里是三倍根号三，所以接下来三三一约。把这个根号三除过去，这 a f 的 长度就直接知道了。 a f 的 长度应该同时乘以根号三，应该是三分之五倍根号三，加上。 好家伙，这里又是一个计算的一个错误啊，这我们今年只改一个数据啊，还有一个数据没改呢，这减三，这边乘过来，应该是减去什么的。三乘五，加二倍根号三，所以这也是二，所以这里也是二，所以这里同时除以根号三，过去三分之五倍根号三，加上。上面的话是六。 我差点我脑子又不好使了。那你就可以写成三分之五倍根号三加二。 ok， 正确答案就这个啊，所以呢，你蒙是蒙不到的，数填填空题也是蒙蒙出来的。好，那么这期视频呢？三三个问，我希望大家可以分别由上到下分别去看，循序渐进的看你感悟这种 连续的，这种几何中和他的一个辅助线思路是差不多的，助类旁通。我希望大家可以好好的学习，好好总结起来，平行的平行，四边形的 a 字型，八字型，还有这种相似的魅力， 这期视频真的是非常的干货，大家考前一定要拿出来再看一遍，特别是我们这个上海的考生啊，上海考生。好吧，那么我们这个下一期视频不见不散，我是修树。
1908修数（数学博主）
02:50查看AI文稿AI文稿每天一分钟学会压轴题！这是一道来自山东的中考真题，给出两个边长已知的正方形，且三角形 a、 b、 c 是 直角，三角形让你求线段 g、 e 的 长度。这道题图形看似非常复杂，但是如果你知道垂美四边形，那就会变得非常简单。 什么是垂美四边形呢？给出一个四边形连接对角线，且对角线相互垂直，这个模型就称为垂美四边形。它有一个非常好用的性质，就是对边的平方和一定相等，也就是 a 方加 c 方等于 b 方加地方。这个结论百分之百成立， 证明它其实一点也不难。我们令这四条线段分别为一、二、三、四。根据勾股定律， a 的 平方等于一的平方加上三的平方， c 的 平方等于二的平方加上四的平方，同理可得 b 的 平方和 d 的 平方。此时你会发现左右两边都是一、二、三、四，这四条线段的平方和，所以相等。证明完毕。 回到题中，你会发现这个图形就是我们常见的手拉手模型。因为是正方形，所以这两个角都是直角，中间的这个角又是公共角，所以这两个大角相等。黄边等于黄边，绿边等于绿边，轻松可得这两个三角形全等， 从而得到角一等于角二。又因为角三和角四是对零角，所以它们也相等。因为角一加角三等于九十度，所以角二加角四也等于九十度。于是我们可以证明出这两条线段相互垂直。 此时这道题就会变得非常简单了，我们只需连接 b、 e 和 c、 g 垂面四边形不就出来了吗？正方形边长已知，所以这两条对角线的长度轻松可求。又因为三角形 a、 b、 c 是 直角三角形，根据勾股定律， b、 c 等于三代入到我们的公式当中， e、 g 的 长度不就算出来了吗？同学们，你学会了吗？
130正能亮数学