八下沪科版数学20章方差公式
同学们大家好，我们一起来看这道题目。样本数据一二三四五，则这个样本的方差是多少？那么什么是方差呢？ 我们首先来了解一下方叉的概念。设有 n 个数据， x 一， xr 一直到 xn， 各数据与他们的平均数的差的平方分别是， x 一减去 x 八的平方， x 二减去 x 八的平方，一直到 xn 减去 x 八的平方。 我们把这些值的平均数及 s 的平方 n 分之一乘以 x 减去 x 八的平方，加上 x 减去 x 八的平方，一直到 xn 减去 x 八的平方，来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方法。 根据方叉的概念和这个方叉的计算公式，我们可以知道 s 方表示的是方叉， 这个中括号里面的代数是表示的是各数据与他们的平均数的差的平方的和 外面的这个 n 分之一就表示这些核的。 请接受啊！为了便于记住这个方差的计算公式，我们可以将其呢编成一个口诀来帮助及 及方差等于差方和的 平均数。 在这里呢做个解释啊，并且做个强调，这里的茶方指的是各数据与他们的平均数 的差的平方。好在了解了方差的概念和方差的计算公司之后，我们再来解答这道题目的话，就会显得轻松许多。 我们首先要求出这组数据的平均数， x 八等于 一，加二，加三，加四，加五，再除以一共是五个数据，就除以五，结果等于三。 接下来我们就可以就这组数据的房产，根据这个计算公式，再结合这个 方叉的口诀，方叉等于叉方和的平均数，这里一共是五个数据，是吧？那就是五分之一乘以 一减去三的平方，加上二减去三的平方，加上三减去三的平方， 再加上四减去三的平方，最后加上五减去三的平方， 就等于五分之一，乘以这个中国号计算的结果为十，五分之一 乘以十等于二。一说这个样本的方叉是二，这道题目呢，就解答到这里，我们接下来了解一下这个方叉的意义。 方章他表达的是用来衡量一组数据的波动大小 及这组数据偏离平均数的大小， 也就是这种数据啊，以这个平均数的离散程度，我们知道呢，这个前面学过的平均数、中位数和重数， 他是描述一些数据的集中程度，而这个房产呢，是来描述这个数据的离散程度。 方差越大，那么数据的波动就越大，方差越小，数据的波动就越小，也就是看这个数据的稳定性怎样。 好，这道题目呢，就讲到这里，我们下次见。
粉丝6145获赞4.7万
相关视频
04:12查看AI文稿AI文稿原始的公式啊，老师和我想的值不一样呢。老师你说错没啊？没说错啊， 你初中是 n 分 之一吧。嗯，初中是 n 分 之一。 n 分 之一吧，高中是 p 一 p 二 啊，这个原始公式 ok 吗？这里有没有啊？这里还没有。这里有，我们等会直接整二十一啊。来，先别着急啊，跳，先跳着讲。先讲完这个第七题啊， 第八题讲二十一题啊，把这个做啊。你就来吧。来来一节。下节课就有什么 啊。数列你们学了吗？没有，你们学了圆锥，圆锥曲线都学了。哦，好，来方差，然后还有一个分成抽样的方差。 呃，这个子线来个记分。能能能，记得吗？什么意思呢？第一组数据 m 个，那平均数呢？是 x 一 八，方差呢是 x 一 方， 第二种数据呢？在思哲的时候我讲过。同学们啊，思哲的时候我讲过这个。什么这个 b q 三这个啊， x 二八，你别扯啊，我讲一都打印过啊，你别扯啊，这个分什么样啊？就是两种数据，能懂吧？ 两种数据给他，哎，合一起了，现在问你这个数据的分差多少，懂这意思吗？就是有一种数据 给你了，比如说男生身，呃，一百一百个男生啊，平均身高也比如说一米一米八，放一米九啊， 不到两米吧，哈哈。放方叉，比如说是十，懂那个意思吗？女同学身高一米七五，有点有点高啊，然后比如说平均啊，不是，比如也是一百个女生平均数身高一米七五，然后那有方叉， 这两个数据放在一起，问这组数放在一起之后的峰值是多少？首先呢，我们要求平均数啊，放在一起之后的平均数是不？ m x 一 八加 n x 二八比上 m 加 n， ok 吗？ 这是平均数，会求吧，这样的你们上大学就知道了，叫加权平均数。比如我举例啊，比如中中学，现在大一了，我只我，你选什么大学？有，有高数有数学啊。哎呀，数学，咱四学文学分啊，四学分， 假设那个英语口语啊，易学分。我是举例啊，数学呢，这是自忠实，自己有实力，正好雷老师也教过，哎，就一百分吧。哎呦，英语口语呢，这个可能就是六十一分吧，刚过就行，可以了。 那你那你的平均分怎么算？一百乘四，六十一乘一除五。有问题？没 大学这么算学分，所以大学的时候你们必修课学分都是四学分呀，三学分呀，分数高一点。什么体育呀，英语文学呀，英语口语呀，或者选修第二语，什么德语法语啊，都是一学分 啊。你要比如说想拿奖学金，必修课，你这这是老师六十一分。我的天呐，分这差不少呢。同学们啊， 所以我们现在说的什么意思呢？把平均数求完，然后公式啊，就是 s 方等于 m 加 n 分 之 m， 推导过程就不讲了，这个课就没必要讲这个啊， 然后再加上 ok， 这样的。
184刘晓数学150
07:43查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天我们来学习初中八年级数学下册第二十章数据分析的第五课时方差。学习之前呢，我们首先来明确一下我们这一节课学习的目标。第一呢，我们知道 了解方差的意义及其他的作用。第二呢，我们会求一组数据的方差。第三个呢，我们会用方差的知识解决实际的问题。 学习的重点呢在于方差的意义以及他的用处。学习的难点的是运用方差公式进行计算。下面我们通过这个例题来学习方差的概念。农科院计划为某地选 选择合适的甜玉米种子。选择种子的时候呢，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题。 为了解决甲、乙两种田玉与种子的相关情况，农科院各用十块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量。如图表所示， 这个第一栏呢，是甲在十块试验前的产量，这个第二栏呢，是第二行，是乙 种植在这十块田里面的产量。那么下面我们来思考一个问题，根据这些数据的估计，农科月应该 选择哪一种玉米种子去推广呢？那么根据上表呢，我们先求出两组数据的平均数呢。 x 的平均数呢，是七点五三七，叠他的这个产量的平均数 约等于七点五三七。而乙的品种的这个平均数呢，常见平均数是七点五一五。 那么说明在试验田中，甲乙两种甜玉米的平均产量相差是不大的。那么我们可以估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大。 为了直观的看出甲乙两种甜玉米产量的情况，我们将两种数据化成下面这个图。甲图呢是甲种甜玉米 的产量的分布，中间这条直线呢，就是那个平均数。这是一种甜玉米的产量分布。 我们通过观察这个数据发现甜玉米甲种甜玉米产量的这个波动的要大一些，而乙种它的产量的波动要小一些。 那么我们能不能够用一个量来刻画这个波动的水平呢？统计学当中，我们就引入了方差这样一个概念。下面我们设有 n 个数据， x 一 x 二，一直到 x n， 那么个数据与他们的平均数 x 八的差的平方分别是。也就说我们用这个 x 一去减去这一组数据的平均数，然后 后就算进平方。 然后我们把这些直加起来之后再除以 n， 那么我们就得到了来衡量这一组数据波动的大小。我们把它叫做这一组数据的方差，计作 s 的平方。 方差呢，它可以反映数据的波动程度。方差越大，说明数据的波动越大，方差越小呢，说明数据的波动越小。下面我们来分析甲乙两种甜玉米的波动程度。 加玉米呢，我们用每一个产量去减去这一组产量的平均数，然后进行平方加起来之后除 为十，那么我们就得到了 s 的这个。甲的这个方差是约等于零点零一。 同理呢，我们求出了乙的方差是零点零零二。那么我们比较数据可以发现甲的方差是大于乙的方差的。那么我们就得出结论，乙种甜与的产量是比较稳定的。 下面我们再看一个例题。在一次芭蕾舞比赛中，甲乙两个芭蕾舞团都表演了五句天鹅红， 参加表演的女演员的身高如下图。这是假芭蕾舞团的身高数据，这个是乙芭蕾舞团的身高数据。那么问题是哪个芭蕾舞团女演员的身高 更加的整齐呢？那么我们就求这两个这个团演员身高的方差。我们首先求出平均值，假团的平均值呢，身高的平均是一百六十五厘米， 乙团的是一百六十六厘米。那么第二步我们计算方差，计算的方差呢？甲的方差是一点五，乙的方差是二点五。那么我们可以知道甲八六五团的女演员身高更加的整齐。 下面我们来思考两个问题。第一，如果一组数据 a 一 a 二一直到 a n 的平均数为 x 八，他的方差为 s 平方。那么另一组数据 a 一加二， a 二加二， a n 加 n。 那么他的平均数呢？仍然是他的平均数是 x 八加二。因为第二组数据与第一组数据相比，他每个数据都加了二码，那么他的方差是不变的，方差还是 s 的平方。 第二个呢，如果一组数据 b 一 b 二， b n 的平均数是四，方差为五分之四，那么另一组数据二分之一比二分之一比二二分之一 b n。 那么他的平均数呢？就是二，那么他的方差呢？就是五分之一。 我们把刚才的归来一下，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个长数，所得的一组新的数据，他的房差是不变的。 如果我们将一组数据中每一个数据都变成原来的 k 倍，那么所得的一组新数据的方差变为原数据方差的 k 的平方倍。这个希望大家能够记住。 今天的话呢，我们学习了方差。什么叫方差呢？方差是用来衡量一组数据波动大小的特征的量。 他的计算公式呢，是把这个数据减去这一组数据的平均数，然后进行平方，然后把每一个减了之后，这个平均之后一加，然后再除以 n， 那么就得到了这一组数据的方差。方差越大，数据的波动就越大，方差越小，数据的波动就越小。通过比较方差大小，我们可以判断数据的 定性。今天的课呢，我们就上到这里，欢迎同学们使用微信扫描二维码关注我们的微信公众号，获得更多初中数学的教学视频，谢谢大家！
184超哥数学
00:51查看AI文稿AI文稿方差就是考公式，方差题就是考公式，公式熟练就搞定。我们这个是考察方差教材上的原始的公式。那请同学们看这个题 等号啊，我已经标记了。等号什么意思呢？就意味着这五个根里面一定是一二三四都包含了，都有啊。那我我们不妨假设 a 一 是一， a 二是三， a 四是四。 什么叫分差最大值呢？最大那就是让我们这个波动性最大。 那 a 五等于几波动性大呢？你看目前这四个数的平均数是二点五，那显然 a 五要么是一，要么是四，一算就可以了，就这么简单。
88刘晓数学150
04:21查看AI文稿AI文稿已知一组数据的平均数是三，方差是二分之一，那么另外一组数据是在原数据的基础上扩大三倍，然后加上一，让我们去计算它的平均数和方差是多少。首先根据题目条件，我们先计算一下 这个平均数是怎么来的，是不是就是多项求和，然后再除以个数。好，那么此时呢，我们要想计算的是三 x 一 加一，然后一直加到我们的三 x 五加一。 好，那么此时我们在计算的过程中，可不可以作出一个嗯，拆分法，比如说我三倍的 x 一， 然后加到三倍的 x 五，把它作为一个整体，后面是不是就是五，然后除以五， 此时呢，我们又可以把前面这里提取出来一个三倍的出来。 ok， 这个时候呢，我们来计算一下，它这块是不是就是我们刚才的平均数，所以是三，所以是不是就是三 乘以三，然后再加上五除以五，那就是一，所以结果就是三乘三加一 就是十。所以你会发现一个什么规律呢？它的平均数其实是随着这个数据的变化而变化的，你比如说你扩大三倍，那平均数也扩大三倍，你加一，我平均数也加一。 ok， 这是我们关于平均数。 接着我们来看方差，方差的计算公式是什么呢？这就是我们 x 一 减 x 爬的平方，然后一直加到 x n 减 x 爬的平方的和， 然后乘以 n 分 之一。好，那么此时我们来思考一个问题，如果我们这个数是比如说求和的，对吧？就是在原来的基础上，比如说我们这个数加一，那么平均数是不是也加一？那么此时他们 的差和原来是不是一样的，所以当你去加上某个数的时候呢， 你这个地方是不会改变的，那么此时呢，我们的方差是不会改变的，这是第一种情况，然后接着我们再来思考第二种情况，那也就是我们现在如果是扩大了多少倍？比如说扩大了三倍， 那么此时我们现在的平均数是不是也扩大三倍？刚才我们讲过了，此时呢，我们能不能提出一个三出来，那就是三的平方，然后再乘以 x 一， 减去 x 八的平方，那么很明显， 我们是不是每一项都扩大了三的平方倍。把三的平方提出来，所以方差整体是不是就扩大三的平方倍？ 总结一下，那也就是说当我们去加上一个数的时候，不会改变方差，只有扩大了多少倍才会改变方差？所以比如说我们这道题，那就是直接用二分之一乘三的平方就是二分之九。 ok， 那 这就是我们关于方差的变化。总结一下这道题呢，咱们说了，主要就是两个，一个是平均数，如果我们在这个数据的基础上加上某个数的时候，那么平均数也会随之变化， 同时乘以多少倍的时候，平均数也扩大相同的倍数。如果既有我们的 乘法又加法，那也就是一种现象变换的时候，那么此时我们的变化和原来保持一致就可以了。 另外就是我们的方差方差，咱们说了是有三种情况，第一种情况，如果只是常规的加上了某个数，那么方差和原来保持不变。如果我们是同时扩大 k 的 平方倍， 如果我们既有乘又有加方差，只改变那个我们乘的那个平方倍就可以了，记住这个先心变化关系哦。
35优质课堂
08:24查看AI文稿AI文稿物理难题就这些，夏老师带你全拿捏精选立体解析速方差公式。这个第七题难度特别高，很多东西到现在为止都不知道该怎么处理。这种我，老师我你又没讲过是吧？这种图， a t 图你讲过？ v t 图你讲过 x e 图，简单，你也讲过这个 a h 图，这是啥玩意？所以你要自己判断，但凡在考试中，你见到一个图像，那个图像的两个轴不是你熟悉的图，那尤其是横轴不是 t， 纵轴不是 v， 就 不用说了，只要这个运动学图像是一个你不熟悉的，你要明白一件事，它根本就不是烤图像， 所有的你不熟悉的图像一定都是考公式，那这个话我也说过好多次，对吧？那么接着看，在这个图中间，纵坐标叫 a， 横坐标叫 h h 是 什么呢？上升高度就是一个上升位移，所以加速度和位移之间什么关系呢？请你知道，永远这个图 最有可能考的公式就是，速方差 v t 方减 v 零方等于二 a x， 当然最好加绝对值啊，或者你把 a 带正负啊。 那么这个事你如果想明白了，你就知道哦，二 a x。 所以 这个题的 a 和 h 的 面积是这个题的关键，这个面积其实代表的就是至少 a 是 正的的时候，当时的谓语的啊，这个，这个速度平方 差的一半，对吧？数方差的一半，那 a a h 吧。那好，那下面的这块面积呢？就是另外的反向之后的这个，这个 d 叉 b 方啊， d 叉 b 方的一半，对吧？好， ok， 所以 我知道，此题中面积 s 等于 a h， 所以 等于二分之一倍的 二 a x， 所以 等于二分之一倍的单调 v 方啊，单调 v 方是先求 v 方，再求 v 方的差啊，单调是加减啊方是乘除，先乘除再加减。那么这个题如果你能想到他其实考的是速方差，而且你能够想到这个题上下两块的面积啊，其实代表的就是速度平方差的一半。那么这个题呢，就简单很多了， 他说加速度 a 随上升高度 h 的 变化规律如图所示， h 在 不断增大，从零慢慢拉到十，而到十米的时候呢，它最后的速度刚好变成零， 所以说明出速度为零，对吧？禁止开始啊，出速为零末速度也为零，因此从零到二这一段过程中，这个面积我记作 s 一。 那我们知道 s 一 乘以二就应该等于现在在两秒啊，两米位置 的时候的速度的平方两米到五米没有加速，从五米到十米加速度变成负的，所以开始减速，所以这一段其实就是减速过程中间的这个 v 方，所以下面这个 s 二和上面这个 s 一 这个玩意代表的是 v 方减零方，下面这个 s 二如果加上负号，代表的其实就是零方减 v 方除以二，所以它俩加起来应该等于零啊，所以它俩的绝对值肯定应该是相等的。 那么这个题你明白这个道理之后啊，由于出没速度都是零，所以当然 v 方其实整个过程来看是零，因此 s 一 绝对值等于 s 二。那么由此呢，我们可以先算一下下面的面积啊， s 二等于多少呢？五减八等于三，底是三高是零点五，三乘零点五等于一点五，后面是个三角形。十减八等于二，高是零点五，二乘零点五，底乘高，不要忘了还要除以二，所以我写一下啊， s 二等于三乘零点五，加上二乘零点五，除以二，所以就是一乘零点五，三乘零点五加一乘零点五，其实加到一起就变成了这个，这个四乘零点五啊，所以就是两就是二，所以 s 一 等于 s， 二等于二， 那么这个面积如果等于二，首先这个高等于一。高等于一什么意思？就是当时零到两米范围内，它的加速度是一，所以加速度不是二， a 选项是错的。 同时我还知道，在这个过程中，这个面积啊代表的意思其实是 v 方啊，得一半或者是二分之一的它 v 方，所以这个面积本身是二，我们可以解得二分之一， v 方减零方啊，等于二，所以 v 方等于四，因此 v 等于两米每秒， 所以两米到五米范围内，水斗的速度大小为二米每秒是对的。这个题是单选的最后一道题，所以分你还是能拿着的，是吧？这个题选二 b 啊，好，做到这里难度不算太大，还行， c 和四 d 中， c 特别容易判断。八米到十米范围内， 那么在这个范围内，很明显加速度是从负零点五慢慢变到零呢，所以它做的是一个加速度不断减小的变，减速直线运动肯定不是匀，所以这个 c 很 容易排除 四 d 选项，你要想做出来这个事就难了。水斗自水面上升十米所用的时间是七点五秒，这到底是不是呢？所以需要你结合原来的 a h 图以及你算出来的一些东西，比如说速度等于两米每秒啊，比如说这个加速度等于一啊，等等等等，你要去画一下 v t 图， 我也带着大家在这啊，咱们就直接把这个题研究透啊，我们把这个 v t 图画出来，应该长成这样啊，还挺麻烦的。 出速度是零，不用多说，一开始加速度是一，而且你要注意，它是加速度是一的过程中走了位移是两米啊，所以面积是二，那么面积是二，它会走几秒钟呢？啊，其实这里也告诉你了，最后它的速度会变成两米每秒， 所以会走两秒钟，而这个面积就是底乘高除以二，所以这个面积是二，这个面积我拿红笔给你写啊，面积这是两米，两米往前往上走两米，继续从二到五，他不是时间啊，二到五是高度啊，所以接下来要走三米匀速，是吧？三米匀速还是走一个匀值，所以画出来这个图应该是个长方形， 而且呢，画出来这个图高是二，长方形的面积是三，所以这个长方形的宽应该是三，除以二等于一点五，因此这个位置其实应该是三点五啊，二加一点五，三点五，这一段是一点五，这一段是二啊，好，那么这两段都搞定了，比较麻烦的就是下面后面这两段 五到八米，他在干嘛呢？他在做一个反向的加速度，还是零点五，所以从这个位置我开始减速， 减速几秒我也不知道，但是减速一会他要再走三米，那么我知道这是二，那我估计啊，他应该待会这是个梯形啊，上底下底应该是跟三有关的，所以呢，待会走到这个位置，好吧，走到这个位置呢，这个比如说假设啊，这个斜率是零点五走到这啊，比如说高是一， 那那么这个 d r t v 啊，其实就是二减一等于一啊，二减一等于一，除以零点五，所以这个时间是二，我们来看一下这个行不行啊？好，这个时候呢，这个大一点的 上底是二，这个短一点的下底是一啊，他俩加起来等于三，三乘以高二再除以二，哎，对，正好，所以这个梯形面积等于三啊，我拿红笔写，所以这段过程你明白了啊，这段过程他其实持续了是两秒钟， 持续了两秒钟，这个位置其实应该是五点五秒，对吧？那么到这为止，这个题其实就还行啊，那么最后上升到十米，用的是不是七点五秒，对吧？那么最后上升到十米，用的是要远远大于七点五，为啥？你看啊， 此时此刻五点五秒，这个时候他已经走了八米了，对不对？走完八米之后呢，走到这个位置，他的速度当时是一啊，而且此时他就开始加速度随着位移的变化，而且在这个这个均匀的减小， 所以在 v t 图上呢，显示出来就是这样呐，加速度在不断的变小，不断的变小，而且最后你的加速度变成了平的，所以这就是一个非常典型的一个长尾效应，最后这个尾会拖的特别的长呐， 你给大家看一下，你这个高是一，如果你延续原来的斜率，拿一除以零点五，正好是二，那么这个位置就是七点五了，对不对？所以你这个时间肯定要比七点五多很多，所以最终的时间一定是要大于七点五的，不是七点五啊，这个题四 d 由此排除， 所以其实如果是考试的时候，你不需要把这个题的四 d 想的这么的清楚，但是我们现在竟然在讲这么一个很难的题，也希望大家关注一下啊。第一， 所有的运动图像一定是高考的重点好吧，当然也是模拟题的重点，这是第一个各位一定要关注的事情啊，图像这个想法以及这样的一种思路，不仅能帮助你解决很多问题， 也是老师考察你一个很重要的点，好吧，所以这个事我先提一下啊。第二件事，图像中间最重要的肯定是 v t 图，这个不用说是吧， v t 图大家一定要很熟悉，但是除了 v t 图之外， a t 图你也得熟， x t 图你也得熟，都考过， 那么像这种 ax 图 a h 图，只要是出现你不熟悉的图，一般都是考公式，而且这个公式呢，考的最多的就是速方差，这种题咱们至少已经从高三的呃，一轮复习的第一个月到现在至少已经讲过十次了好吧，所以这个东西各位一定要关注啊，一定要关注。 最后，你还需要具备一个能力，就是我无论给你是 a t 图也好，还是给你 ax 图也好，还是给你 x t 图，最终你一定需要有能力结合着提意， 结合着你对原来这个图的理解，然后把它画成一个 v t 图，因为毕竟 v t 图最好用的也是大家最熟悉的好吧，所以这种转化的能力各位一定要有啊。那么这就是这样的一道这个选择题给我们的启示啊！
246夏梦迪讲物理
03:02查看AI文稿AI文稿只要我知道总体均值，就能把样本方差写成数据点的函数。如果我的样本恰好是 x 一 和 x 四，我得到的值是二点五。 如果我的第二个样本点变为 x 五，我得到的值就会改变。我得到一个新的样本，方差为四。同样的，我的第一个样本点可以自由地变为 x 三， 所以我得到了一个新的方差值二，你明白了吗？如果我们知道均值 me 每一个样本点 可以自由变化，它们各自携带一段信息，且这些信息彼此独立。然而，如果我们不知道总体均值，就必须用样本均值 x 来估计它。 这存在一个大问题，因为尽管看起来样本方差依赖于两个样本，但只有其中一个可以自由改变。因为如果我的十一发生变化，我的 x j 就 会被强制改变。 这就是我的意思。假设十一和 x j 现在可以是连续的，而且我们已经利用了它们的用于估计总体均值。 x 是 样本均值。因此，如果我改变十一，我的 x 也会随之改变。 相应的，因此，它只有一个自由度的自由。实际上，自由度是只用于计算统计量的独立信息的数量估计过程。如果你有 n 个样本点，当你估计总体方差时，一块披萨已经被吃掉了。 最后一个无偏估计量的论证堪称经典数学统计论证。假设我们不知道总体均值，而我们仍然使用一除一 n。 如果这个公式是正确的，那么当我计算期望值时，应该得到总体参数方差。现在，我们来展开它。 x 下划线 i 减去 x 的 平方，可以展开成三项。 现在根本没有任何魔法，这仅仅是 a 加 b 平方。展开期望之后，我们需要两个事实才能继续。 第一个事实是样本点是相互独立的，它们是独立同分布的。第二个事实是期望是一种现行运算。 独立同分布假设使我们能够平等地对待每一个十一。第二个事实使我们能够为了将一移入或移出求和符号。现在我们的第一项本质上是总体方差，将它们相加 n 次后再除以 n， 所以 这就是 sum 平方。 最后一项是平均值 n 各样本均值方差的赋本。如果你已经看到了这里，你可能已经知道这个公式。如果你还不了解它，其实有一个很直观的含义。
37光剑AI
02:18
00:37查看AI文稿AI文稿中考数学先说一下方差的求法啊，有三步，第一步先求所有数据的平均数，第二步就是这些数据在和平均数做差，然后再平方，然后再求和。第三步 把这些和加在一块了，之后呢，再除以总个数，明白没？这就是方差。方差是什么意思呢？方差是刻画一组数据偏离平均数的波动 离散程度的一个统计量，那方差越小越稳定啊，所以考试这个总考明白吗？
21数学老师不讲数学
02:58查看AI文稿AI文稿同学们好，今天给大家分享一道中考题里边关于统计知识上的一个填空题， 虽然是一个非常普通的填空题，但是也能够难住一大部分同学，因为这个方差公式他记不住。小明在计算方差公式的时候，出现了这样的一组数据，他在计算某一组数据的方差， 他算出了这样一组数据，那么就让我们求一求这个方差公式里边的这个 x 一， x 二， x 三，一直到 x 十，这十个数据的和，这十个数据的和。 这是一个方差公式。同学们，那么你要想解决这个问题，你得背不过方差公式给你写出来之后，你得会识别这里边的十是什么呀？ x 一， x 二， x 三，一直到 x 十，显着就是这一组数据的方差，这里求的就是这一组数据的方差， 而这个五又是什么呢？关键是这个五你得知道它是什么？同学们，这里的十就代表着这一组数据一共有十个， 而这个五代表的恰恰就是这一组数据的平方平均数，这个五代表的是这一组数据的平均数， 也就是说方差公式是怎么产生的？朋友们，他求的依然是一个平均数，他求的是谁的平均数呢？是把每个数据减掉，这一组数据的平均数呢？是把每个数据减掉，这一组数据的平均数呢？是把每个数据减掉的平方的平均数。 这是求的依然是个平均数，十个这样的平方。同学们啊，十个数据就会产生十个这样的平方，都是谁的平方啊？每个数据减掉他的平均数以后的那个数据，他的平方的这个平均数， 那么 x 一 x 二， x 三 x 十就是这一组数据，这个五就是这一组数据的平均数，这个十就是这一组数据的个数，也就是说这一组数据的和加起来除以十以后就是我们的这个平均数五了， 所以这些数据的和就等于十乘以五等于五十了。 那么首先你得理解方差公式的这个里边的这些零部件，他到底是什么东西呢？前面就是这一组数据 x 一 x 二，而减掉的是这一组数据的平均数，这里是这一组数据的个数， 他求的依然是一组平均数，谁的平均数就是这些平方的平均数，谁的平方啊？每个数据减掉平均数之后的那些数据的平方的平均数。 哎，希望这个题能让大家对平对对对这个方差公式有一个深刻的理解。
39初中数学柳老师![高中数学方差简便算法总结[抱拳][抱拳]#高中数学二级结论 #方差](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/8975d24386a217521f22dac90d90cc4e~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2100952800&x-signature=B2SCMKoZ%2FnmknlCrDHn2mdxj%2B%2BA%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=202608012244349025DDCC1DCA91A5DC73)
00:11
07:17查看AI文稿AI文稿立足学生认知，把握数学规律。本节课呢，我们来讲分布列的方差及其简单应用。当堂课的一个目标呢，是熟练分布列中的方差相关公式，并掌握它的简单应用就可以了。 我们首先回顾一下这个分布列中的方差公式，那么形式上看，这一个方差 dx 应该就是等于 随机变量大 x， 取 x 一 的时候，减去它的期望的完全平方乘对应频率对应概率 p 一， 再加上第二一个，取之 x， 减去期望的平方，再乘对应概率 p 二，以此类推，一直到最后一项 x n 减一 x 的 平方乘以 p n。 那 我们用用的比较多的呢，也就是第一个公式了， 大家不要忘了它还有第二个形式的表示。那么这个我们不再讲，那还需要记住的呢，是方差或者标准差是用来干嘛的呢？我们这句话就够了，方差或标准差越小，随机变量的取值就越集中啊。 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 其次呢，方差也有个性质， a x 加 b 的 方差等于 a 方 d x， 这些呢，我们简单了解一下就行了。好了，我们来看例一， 计算大 x 的 方差，哎，怎么去做呢？我们的方差公式需要有期望，所以我们第一问可以先求 x 的 期望值， 它应该是等于负一乘以二分之一，加上零乘以四分之一，再加一乘四分之一，结果呢，就等于这一个负的四分之一。 方差的计算公式就可以出来了， d x 等于第一个数 x 一 就是负一，减去这一个期望，那就是加上四分之一的平方， 再乘以对应概率 p 二分之一，再加上第二个数是零， 减去期望就加四分之一的平方乘以对应的概率四分之一，再加上最后一个数，一，减去负四分之一的平方乘以对应概率四分之一。 你看，这样把公式摆出来以后呢，我们就直接能够得到答案，它应该是十六分之十一，这是第一文的方差。那么第二， 如果要求 y 等于四 x 加三，它的一个均值和方差呢？我们就没必要说是去把这个 y 的 分布列写一遍，那样太浪费时间了。直接按照前面的公式，这一个 y 等于一，四 x 加三，也就等于四倍的一 x 再加三等于四，乘负四分之一，加三等于二，对看去做掉了。然后 d y 呢，一样的，它应该是等于 d 四 x 加三 等于四的平方乘以 d x 也就等于十六，乘以十六分之十一等于十一。 所以通过这一个例题呢，我们要知道期望和方差呢？代一下公式基本就能做出来了，尤其是第二组，如果记的期望和方差的性质，那么可以瞬秒。好了，我们来看另外一道变式， a 是 一个有范围的常数零到二分之一 随机变量， x 的 分布列呢，是下面这一个，并且 y 等于二 x 加一，他说当 a 在 零到二分之一上增大时，关于 d y 的 表述，而哪些是对的？其实这道题的核心是什么？应该是想让你去求 d y， 那么我们完全可以去先把这一个 d x 给它求出来，然后利用方差的性质去求 dy 就 行了。好了，我们首先看我们可以对这个分布列先做一些什么处理呢？因为我们知道分布列的概率啊，相加起来应该是一，也就应该有 a 加上 b 减 a 再加 b 等于一，那么这个式子可以得到二倍的 b 等于一，也就是 b 就是 二分之一，所以这里应该改成二分之一减 a， 这一个应该改成二分之一。 好了，有了它以后呢，我们先求期望，有方差要出，你必须有期望它等于零乘以 a， 哎，再加上 一乘二分之一减 a， 再加上这一个三乘二分之一，那么结果就应该是等于二减 a 了， 这就是我们的期望方差 dx 等于。好了套公式了，第一个数零减掉这一个 括号，二减 a， 这是期望的平方再乘以对应概率，再加上第二个数，一减去期望二减 a 的 平方乘以这个对应概率二分之一减 a， 再加上这一个第三个 三减去二减 a 的 平方，再乘对应概率二分之一。啊，这样呢，把这个式子稍微处理一下，最后结果他应该是算的负 a 方加上三， a 再加一， 有了它以后呢，我们就可以去求 d y 了，等于 d 二 x 加一等于二的平方乘以 d x， 也就是 四乘以负 a 方加三， a 再加一等于负四， a 方加上十二， a 再加上四。然后在这里面呢， a 应该是属于零到二分之一的。 那么怎么看 d y 的 这个增减型呢？我们可以看到函数，它是个二次函数，函数问题多，画图它无非就是一个开口向下的二次函数， 这里呢是对称轴， a 等于负二分之 b 就是 八分之一十二，整理一下呢，就是二分之三，所以零和二分之一零应该在这， 二分之一应该在这，而我们会发觉在这一端上随着 a 的 增大，它的这个 d、 y， 它的纵坐标应该是在逐步增大的，所以应该选 a 选项。
02:45查看AI文稿AI文稿我们蚌埠市八年级用的互课版，目前正在上多边形，我们互课版的八年级下册，整个整本书里面两张最重要的一张是一元二次方程，一张是我们的多边形，就正在上的， 那对于一元二次方程，它其实没有多说多难的题目，它就第一个它的解法，解法有三种，因式分解配方，还有我们的公式法有三种方法，还有就是根的判别式，用德亚塔大于零有什么呀？等于零有什么？小于零有根有什么关系？还有根与系数的 关系，这个是其实他没有多难的题目，我们不需要搞多难的题目，他因为他大量的都是计算，卡卡计算，你只要计算没有问题，基本上细心一点都不会有什么问题的。后面就是我们四边形，他的 两平行四边形、矩形、菱形、正方形，他的性质和判定定律特别多，尤其这个判定定律，每一个 多边形的判定力全部要烂熟于心，因为他有的时候证明题他会考，你，让你求这个四边形是个平行四边形，那你就用他的判定力，他只要满足平行四边形三个判定力的其中一个，就能证明他是平行四边形。那 还有其他的，他会参考着我们的三角形的中位线，他会考三角形的中位线，还有我们的动点问题，还有我们的最值问题， 还有就是我们的折叠问题，他考的比较多，有时候他会联系勾勾定律，还有就是全等去考，就考的比较复杂。四边形这一张有的时候还需要做辅助线。四边形这一张他是几何里面最难的，一元二次方程是我们代数里面最难的，所以八下有两个单元，一元二次方程和 多边形，这一张一定要好好学，你像一元二次方程，它是贯穿于整个初中的方程组的，你中考必考的，这个是肯定必考的，你像我们的多边形也是多边形， 它缠杂的折叠问题，还有哎，三角形的中线求最值动点，这个一直都是我们中考所考的，就是必考的题型， 所以说这两张一定要好好去学，把那个现在不上到四边形吗？把四边形放在心上，多把书上的定力，还有的例题，客户细题，多做一做，多去总结一下每一个判定定力，他之间有什么关系？你像 矩形，他有平行四边形所有的心值，他只需要有一个角等于九十度，那就可以判定他举行，继续举行，就像我们长方形 把那个差不多，还有菱形，菱形只要他是平行四边形，他满足一组对边相等，他就是菱形。还有我们的正方形跟菱形的判定力也有一点像，但是他还有一点的区别，所以自己要去多掌握，多看一看。好吧，大家一起加油！
23:33查看AI文稿AI文稿哎呀，这又报错了，哎，这数据分析任务好难啊啊，就是这个找到了。大家好，欢迎来到 cda 认证的课程， 我们继续来讲第六章统计分析。这一节我们来讲两点分布，不努力分布。 两点分布的定义呢，是表示一个事件只有两种可能，结果，成功一或者失败。以零来代表。 两点分布呢，就是随机试验，只做一次试验出现的结果。而且结果呢，是肯定的， 确定的，只包括两种，一或者零。它的数学定义是 p x 等于一，也就是说成功的概率是等于 p， 那 么失败的概率 x 等于零呢，就等于一减 p。 任何一个随机事件，它的概率 p 的 和都是 e。 所以 说两点分布呢，可以记着随机变量 x 是 服从 b， 这是 b 的 减写，大减写括弧 e p e 就是 做一次 实验，比如我们投币，我们只投一次，我们投篮，我们只投一次啊， p 就是 它的概率， 那么它的数学性质是什么呢？一个就是期望均，也就是均值是 x 的 期望就等于 p， 也就等于成功的概率，它的方差呢？ x 的 随机变成 x 的 方差，等于 p 乘以减 p。 比如说我们投一次篮啊，我们投成功的概率呢，是百分之三十。 那很容易想到你投投篮不成功，就是一减零点三，就是零点七。也就是在投篮的过程当中，我们只有两种可能，要不你就投中，要不你就投不中。 那么这里还需要注意的就是两点分布，我们是只做随机试验，只做一次，比如我们投了，我们只投一次啊， 如果投多次的话，那就是二项分布。 我们现在来看一下啊，这个公式怎么推导出来的？因为我们以后这个以后讲正态分布啊，坎方分布啊，我们都会有这个期望跟方差的这个值， 所以我们再讲讲两代分布，把它推导一下，以后我们就不讲了，大家可以下去自己推导。 我们先呢复习一下期望的概念跟它的一些公式啊。 期望呢，是概率论和统计学中描述随机变量平均取值的基本概念，它的本质呢是随机变量的加权平均。 我们知道啊，均值呢，我们有可能是是 x e 加 x 加 x 乘以 n， 那 么也可能是分组的话，我们可以加权平均啊， 所以说他本质上是随机变量的加强平均，其中呢，这个概率呢，又可以当做权重啊，权重因为某一个取值的概率越大，那他在整个期望或者均值的 对期望和均值的影响就最大，就比较大。数学定义， 对于我们零散性的随机变量，如果随机变量 x 呢，它是一个零散型的 x 一 x x 二，它的取值是 x x 二，这里我们要注意一下啊，一般我们大写的字母呢，都代表的是随机变量，小写的字母呢，我们代表它的具体的一个取值啊，我们以前讲过随机变量 跟样本空间，随机事件这些概念，我们如果不清楚可以翻过去看一下，那么对应的概率就是 它等于，如果这个变量等于 x i 的 话， x s 是 具体的一个曲值，那么它的概率就是 pi 满足啊，所有得现变量，最后它的对应的概率最后的和一定是一， 这时候 x 的 期望可以定义为啊， x 的 期望就等于每次的取值乘以它对应的概率，然后把值和把它加起来。我们举个例子， 我们掷骰子啊，头掷骰子的期望点数一个一个骰子呢，它只有六米啊，从一二三四五六是吧？我们与一般的 x 来代表它这个 骰子的这个值啊，那么这 x 的 这个期望就等于什么呢？就等于它每次的它的所有的结果 乘以它对应的概率，很明显，它所有的结果是什么呢？它就是一二三四五六，它的对应的概率呢？都是六分之一，所以说它就可以等于 一乘六分之一，加二乘六分之一，加四乘六分之一，加五乘六分之一，加六乘六分之一啊，最后它的值就是三点五 啊，它表示什么意思呢？虽然每次不可能值出三点五， 但从长期平均看，点数趋近三点五，也就是说这个期望呢，它可以是分数啊，虽然说我们的我们离散变量呢，我们不能够取分数啊，但是我们的均值期望值可以 是一个分数的。比如再举一个例子，如果买彩票一次能中十元的概率是零点一，不中也就是零元的概率是零点九， 那么我们让 x 来代表这个买彩票的结果呢，就等于它每一次的结果跟它的概率的 乘积的和啊，那么还有他的结果呢，就是要么就中十元，要不就中零元，对应的概率是零点一跟零点九啊，把它加起来就等于一，他表示平均下来每次买彩票的期望收益是一块钱， 这就是针对雷散型随机变量它的期望的计算公式。举例子，我们再来看来看一下针对连续性随机变量 设， x 是 大写的， x 是 连续性的随机变量，它的概率密度函数是 f x， 也就是说当 取 x 这个值的时候，它的密度的程度是多少？它并不是指概率，则 x 的 期望定义为 x 的 期望就等于什么呢？从负无穷到正无穷，它的每个取值跟它的概率密度函数的 乘积，然后我们取定积分啊，也就是这里是对所有可能的取值进行加权，基本 权重是密恒密度函数值，也就是它的它 x 取值的时候，它的这个密，它这个 集中数据集中的程度啊。对于我们刚才讲的零散性变量的话，它是 x 乘以它的权重，乘以它的概率，所以这儿这个值不是概率，大家注意一下，比如我们举个例子， 如果 x 呢，服从右零到一，也就是一个均匀分布啊，这是个均匀分布 密度函数呢， x 等于 f， x 等于一，也就是说不管 x 取什么值啊，它的个它都等于一，那么它的 概率密度函数这个分布图形呢，就是横坐标，纵坐标，横坐标 a l 一 条直线是等于一啊，这就它的这个概率密度的这个分布曲线。 那对于这个 x， 如果取值，取这个，取零到一这个区间的话，那么 x 的 这个区棒呢？就是从零到一来对 x， 因为 f x 等于一嘛，所以我们就不写了，来求定积分，那我们可以，我们可以这个定积分就等于二分之一啊，它的就等于二分之一。 那么我们再来看一下期望的性质，期望有三个性质，一个是向量 x y 啊，对常数 ab 和随机变量 x y， 那 么 ax 加 b， y 的 期望就等于 a 乘以 x 的 期望加 b 乘以 y 的 期望。常数的期望呢， 就是它本身，所以我们可以把 a 和 b 提提到外面来啊，这就它的限极限，它就是常数的期望，如果 c 是 常数，那么 c 的 期望就等于它本身就等于 c。 另外一个性质就是非负性，如果随机变量 x 大 于等于零，几乎处处成立，则它的期望也会大于等于零。 这就我们回顾了一下期望，基于连续性的随机变量跟雷达性随机变量的数学定义啊，为我们我们来推导下面的这个方差根， 呃，跟期望二，两点分的方差根期望。我们先回顾一下它的公式， 那么我们来推导一下啊， 两点分布，那么它就是做一次随机试验，它的结果 只有两种，一或者零投中，投篮，投中还是投不中？嗯，呃，硬币，你是正面还是反面啊？ 所以说它的公式，刚才我们上面已经说了啊，零散性的随机变量，这个 x 是 啊， 那么它就等于它的每一次的取值，跟它对应的这个权重或者概率的乘积求和。很明显，它只有两个值，一个是一，一个是零。它如果 s 等于一的时候是等于 p， 那 零就等于一减 p， 所以 说我们可以算就算出来它的这个期望就等于 p。 我们再可来看一下方叉，对于两点分布的方叉，嗯，它不管是离散，不管是离散或连续随机变量，其公式都可以表示为 x 的 随机变了。 x 的 方差就等于 x 的 平方的均的期望减去 x 期望的平方。那么这个公式是怎么得来的呢？我们再看一下， 我们看一下这个，这个公式怎么得来的啊？ 对离散型的随机变量呢， x 的 这个期望就等于它的结果乘以它的权重或者概率之和，它的方差呢？是随机变量与期望之差啊， 随机变量有一个随机变量，它取了一个值，它跟它的期望的差，哎，就是代表了它的它们的差别，它对它均值的差别的平方 的期望值啊， 为什么要平方呢？就是因为我们方差是看这个一一堆数据的这个离散程度嘛，基于这个在均值附近的摆动， 那么我们平方以后呢，它就没有负数了，如果你是均值的话，如果你是不平方的话，你可以有负的，有正数，最后就就抵消了，是吧？ 而且我们平方以后，你越离的这个均值越远的地方呢，那你平方以后就就会放大，那就是我们就会看得更清楚，就跟放大镜一样。所以说方差就是随机变量于它期望平方以后 的期望值，期望值对离散变量的话，就乘以它的权重， 那么根据起方的定义呢？离散随即便的函数期望公式为这个 e x 等于这个。刚才我们也讲了啊， 那么它也可以写成这种形式啊，一个 x 的 g x 就是 x 的 一个函数，它的这个起方就等于啊， 对 g x 的 边上取某个 x i 的 值啊，最后的和它跟这个是等价的，跟这个是一样的啊， 那么也可以描述为呢？这个可以描述为 g x 的 期望为这个 e 就 等于 这个取某个 x i 值乘以它的权重求和，如果我们令 g x 等于 x 减 x 的 期望的平方，这时候我们就会看到我们求随机变 x 的 方差啊，因为这是 g x 的 求 g x 的 方差，我们就是 直接把 x 这个式子带进来，那就是求 x 减 e 啊，这是一个这是它的 x 距均值的平方的期望啊，那么它就等于什么呢？等于 等跟这个式是相等的，如果你是零下形式变换的话，那就等于你取一个一个的 x 代表的一个一个的值 啊，减去你这个期望的平方，再乘以你的权重的和加起来啊，所以说呢，由这个你就可以看到啊， 这个是这个呢，它是等于 x 的 方差的，而这个呢也等于它，所以它呢 就 x 的 方差呢，就等于 e 啊，就是 x 减去 x 的 期望的平方的期望， 这是我们我们定一下这个啊，就是说对于离散性随机变量的话，它最初的公式是这个， 那它也可以写成这样的形式啊，对于连续性随机变量的简单了啊，它的期望是等于 啊，求积分，定积分， x 乘 f， x 从 a 到 b 求定积分啊，它的方差随机，那个随连续性随机变量的方差，就是你随机变量减去你的那个期望的平方，你再求期望就是方差吗？ 实际上这个期盼我们在呃样本， 样本里面，我们就是实际上就是每一个每一个有一个样本空间里面的每一个值减于它的均值，然后平方再除以 n 或者除以 n 减一，就是这样啊，那么它实际上真的就是求均值，只不过在概率里面呢，它用这个期盼这个符号 e 来表示。 我们再来看一下，为什么这个公式也等于这个公式，我们来看 这个 x 的 方差呢，就等于不管是雷线型的随机变量和联形随机变量，我们都会写成这个是横长类的啊。然后我们把这个这个平方呢，我们把它展开啊，它就是 x 的 平方，减去二 x 乘以 x 的 期望加 x 的 期望的平方，根据期望的现形性质，我们把它带进去啊，它就等于它就等于 什么呢？等于 e x 的 平方，对吧？然后呢，因为 等于二 e x， 我 们对这个 x 再求期望，再对这个 x 的 期望， 再求期望，因为这个这个期望呢，它是一个常数嘛，所以说实际上它就等于对它对常数再求期望，就等于它本身，所以说它 就等于这个也一样啊，期望的平方再求期望，它就等于 e x 的 平方，是一样的，所以它就会，就会，这个式子，就会简化成以什么呢？简化成就是 e x 平方的期望，减去 这两个相乘就是二 e x 的 平方，再加这个就是等于它本身 e x 的 平方啊，这两个，这两个一减， 这两个负二，这个一减，那它就等于 x 平方的七磅减去 x 七磅的平方。 记住，这个大家比比较比较拗口啊，这个是 x 平方的七磅，这个是 x 七磅的平方啊，这不一样啊，那最后我们得到公式就是，哎， x 的 方差就等于 x 平方的期望减去 x 期望的平方啊，我们记住这两个公式。首先我们记住这两个公式啊， 一个是不管是对于雷线型或连线随机变量，一个就是随机变量， x 的 方长就等于啊 x 减去期望的平方的期望。 另外一个公式就是 x 的 这个方差就等于 x 平方的期望，减去 x 期望的平方，这两个公式，我们记住这两个公式，我们再来看 两点分布，刚才我们已经推导了这个期望了，是吧？我们再来看， 那我们有刚才的公式，我们知道了， x 的 这个方差就等于 x 平方的期望，减去 x 期望的平方了，那这个 x 平方的期望又等于什么呢？它就等于零散性，它，因为它是零散型的嘛。二两点分布，那就是每个 投掷的这个，比如我们掷着它的结果的平方乘以它对应的概率 的和，那我们在两点分布，只有两个结果，一种是一，一个是零，那这个一的平方乘以 p， 加零的平方乘以一减 p， 那 最后这个是零，那他就等于 p， 是 吧？那 x 平方的期望就等于 p， 那 整个这个 x 的 这个方差就等于这个等于 p 减去呢？ e x 期望，我们刚才算出来，它等于 p 啊，它等于 p， 所以 说它就等于减去 p 的 平方，那就等于 p 乘以减 p 啊，这就是这两个公式的推导。我们以后在 在这个两项两项分布啊，正态分布啊， t 分 布、卡方分布、 f 分 布，都会有，这个是都会有它的，它的性质里面都会有这个气浪的方差，我们推导 逻辑跟方式都是一样的。好，今天我们讲到这里。
10:47查看AI文稿AI文稿这个视频呢，我们来详细的讲解一下离散型随机变量方差的性质。那为什么要学方差的性质呢？其实就可以通过学这一些公式，然后我们可以用方差的性质或者说定义法来求离散型随机变量的方差。 好，那我们先来思考一个问题，你能推导出 g x 与 d i x 加 b 的 关系吗？ 这里肯定是可以推导出来的，对吗？我们怎么去推导呢？它推导的核心其实就是使用方差的定义和数学期望的性质，我们先来明确这个核心的定义与性质，可以吧？首先方差的定义是不是 g x 等于 e x 减去 e x 这个整体的一个平方，对吗？ 那么我们的希望的性质是什么呢？它有个限行性质， e a x 加 b， 然后等于 a 倍的 e x 再加 b。 好， 那到这一步是可以确确定的。好，那接下来我们的目标是先把 d a x 加 b 给解出来，那第一步我们根据数这个数学的期望 e a x 加 b， 那 它就应该是等于什么？是等于 e 的 x， 然后再加上 e d， 那 结果也就等于 a 倍的 e x 加 b， 那 代入什么？代入方差的定义公式， 此时 d i x 加 b， 那 就等于什么了？等于 e， 那 括号，那这边的话，我们写 i x 加 b， 再减去 e i x 加 b 的 这个整体的一个平方。好，那接下来干嘛？替换我们期望的值并进行化简？ 就应该等于 e 啊，那还是我们打一个大括号，括号， i x 加 b， 然后减去括号 a 倍的 e x 加 b。 注意哦，这边的话还要这个加个括号整体的一个平方，再打个括号， 接下来我们来化解这个方括号内部的这个化简式，我们来看一下里面这个化简应该是什么？ i x 加 b 减去一个 a 倍的 e x， 然后再减 b b b 就 没有了，那就是 a x 减去一个 a 倍的 e x， 对 吗？那这两个的话是有同类项的，我提取出来一个 a， 也就是 a 倍的 x 减去 e x， 对 吗？ 那现在我把这个化简后的结果带入进去，结果也就是 e a， 然后这边的话是 x 减去 e x 括号的一个平方。 接下来到这一步之后，我们怎么办？就根据期望的性质就乘出 a 的 平方，可以给它提到我们的期望 e 的 这个符号的外面，那结果也就等于 a 的 平方乘上 e， 然后这里面的话是 x 减去 e x 的平方。那现在我们来看一下这个是什么？这个本来就是我们的方差，对吗？所以结果换掉，那就是 a 的 平方乘上 d x， 好 来两个的关系是不是就出来了呀？ 所以这里我们就理解了，对于随机变量，你只要加上一个常数，它的方差是不变的，因为你加常数只是平移了我们数据的离散程度。 但是如果说你的随机变量在前面乘以一个常数 a 了，那他的方差就会变成原来的多少倍，变成原来的 a 的 平方倍，因为乘以常数会拉伸或者说压缩我们的分布方，那对于对方差的影响肯定是平方级别的。 所以现在的话，结论我们是要知道的， d a x 加 b 就 等于 a 的 平方乘上 d x， 那 d x 呢？给它展开是 e x 的 平方，减去 e x 括号的平方。 在这里的话，我们要注意几个结论，就是当 a 等于零， a 等于一和 b 等于零这几种特殊的情况，如果说 a 等于零的时候，方差也是等于零， 常数的方差等于零，那么如果说你只是加上了一个常数，对吗？那他的一个方差是没有发生改变的，那如果说你的常数 a 与随机变量的乘积，那他的方差就变成了随机变量方差的 a 的 平方倍，这几个结论我们要清楚。 好，那接下来呢，我们就通过题目来感受一下已知 x 的 分布列，如图所示，下面有三个问题。第一个要我们求 x 平方的分布列， 我们先看一下 x 的 分布列， x 的 所有的值都有，对吗？下面的 p 它是有一个未知数的 a， 那 么我们可以先把这个 a 解出来，因为分布列的性质，我们知道这个 p 概率的和为一， 所以此时就是二分之一加四分之一，加 a 等于一，那么我们的 a 就 应该是四分之一，没错吧？ 好，那现在看一下 x 的 平方分布列， x 的 取值是负一零一，那它的平方之后，那你只有两个值，一个是零，一个是一，对吗？所以我们 x 的 平方分布列，我们也可以给他表示一下。 好， x 平方，它的取值只能是一零和一，那我们的 p 呢？怎么写？ 当取零的时候，我们的概率是四分之一，当取一的时候，你这两个应该相加，也就是四分之三，好，分布列就确定了。 那第二题呢？是计算这个 x 的 方差，我们有两种方法，因为两个式子的化解是不一样的，对吗？那不管怎么样，我们先要求什么？先要求 e x， 对 吗？好， e x， 那 e x 就 等于负一乘以二分之一 加零乘以四分之一，再加上一乘以四分之一，得到的结果是等于负的四分之一。好，那接下来我们的 方差 ex 就 等于什么？第一个是负一加四分之一的平方，再乘以二分之一。 第二个呢，是零加四分之一的平方，再乘以四分之一。第三个呢，是一加四分之一的平方，再乘以四分之一，这样得出来的结果刚好是十六分之十一，这是方差。那还有 另外一种方法，就是第一种方法，第二种方法，那我们还是一样，你 ex 已经解出来了，我们再解一下 ex 的 平方，可以吧？因为刚才的话 x 平方分布列我们已经解出来了，那 ex 平方呢？就是零乘以四分之一， 加上一乘以四分之三，得到的结果是四分之三，所以方差。你可以用另外一个变形，就是 e x 的 平方，减去括号 e x 的 这个平方，所以结果应该是多少了？ 四分之三，减去一个负的四分之一的平方， 结果等于十六分之十一，对吧？好，那这个第二问题我们也解完了，有两种方式，你这两种方法都是 ok 的 啊。好，接下来看第三个。若 y 等于四， x 加三，求 y 的 均值和方差， 那我们一个就是根据什么期望的性质，一个呢，是根据方差的性质来，可以吧？好， y 等于四， x 加三，所以那我们的 y 呢？就等于什么？等于 e 四 x 加三，展开的话，刚好是四倍的 e x 再加三，那 e x 我 们刚才已经解出来了，是负的四分之一， 四乘以负的四分之一，再加三，结果等于二，没错吧？好，那我们的方差是什么呢？方差就等于它的平方，因为和后面的这个三是没有任何的关系的，只和前面 x 的 系数有关系，所以应该是四的平方，再乘以 d x， 所以 应该是十六乘以十六分之十一。好，最后答案是等于十一， 还是蛮简单的，对吗？好，那如果说我们先把条件和问题都改一下哦，现在改成了设随机变量 x 的 分布列，如下图，若 y 等于二， x 加二，则 dy 等于什么？ 那我们还是要先求什么？先求一个 e x， 还有一个 d x， 一个期望一个方差，这肯定要解出来，然后再根据性质来，对吗？ 那此时我们的 e x 就 等于负一，乘以二分之一，加零，乘以三分之一，加上一乘以六分之一，结果是等于负的三分之一。好，那么我们的 d x 就 方差应该是 负一加三分之一的平方，乘以二分之一，加上零，加上三分之一的平方，再乘以三分之一，那然后再加上一加上三分之一的平方，乘以六分之一， 得到的结果刚好是九分之五。那接下来呢？我们看啊，在这里我们还是那句话，你后面加长数，其实没有涉及到我们的方差，跟没有关系，我们只看 x 前面的系数变成它的平方倍， 所以此时 d y 呢，就应该是等于什么了。这个应该就是二的平方乘以 d x， 也就是四，乘以九分之五，得到的结果是九分之二十，也就是我们的 d 了，对吗？ 所以你会发现这一块难度也是蛮小的，对吗？他是一步一步来的，如果说你随机变量的均值你求不清楚的话，那后面我们的方差也不清楚，那如果说你的均值和方差都会解，那你根据他的性质也能求出相关的一些方差和均值。 好，总结一下求随机变量 y 等于 x 加 b 的 方差的方法，你可以根据定义法先求出 y 的 分布列，再求去均值，再求方差，那你也可以根据性质 来求出最后的方差，这两种都 ok， 你 要根据题目的意思来灵活地去使用。好，如果这些都理解的话呢，我们后面再做个练习巩固一下，看看是不是会了。
92高中数学沈老师
