八年级下册动态几何题
那再来看一道中考考过的一个关于函数图像与动点结合综合分析的，也是 f 是 菱形的顶点， a 出发，然后沿 a、 d， 注意沿 a、 d 啊，第一次是拐弯到到 d 点，然后再拐到 b 点，这个过程 也就是 f， 是 这么一个运动路径，它的运动过程中呢，它的重度表表示的是 s， 三角形 fbc， 注意和 b， c 点线以后构成三角形的面积，随着时间 x 的 变化的图像要求 a 的 值， a 在 这里，那么还是找拐点发现拐点呢，就在这个地方是 d 点啊，它拐弯了，说明呢，到 d 点的时候， 这个它的运动时间，由于速度是一啊，时间是 x， 所以 它运动路程呢，其实对应的也是 x 路程。因此呢，我们发现起点是 a 的 时候啊，它的面积呢，指的是 b， a， c 一 直到 d 的 话， b， d， c 的 面积也是 a， 这个大，注意这个面积是 a， 那 么这个信息呢，我们可以得到，第一个啊，三角形 b， d， c 的 面积是等于 a 的， 第二个，它这个运动的路程也是 a， 说明 a， d 长也是 a， 那 也就是等于 bc， 其实也等于 dc， 等于 ab 啊，等于 a， 我 们标一下，其实这些长度都是 a， 然后再往后走，走到 b 点的时候呢，它它的路程变成 a 加根号五，那说明 b、 d 这个长呢，它就是等于根号五的，因为前面有个 a 了啊， b， d 是 根号五的，有这个数据，我们求 a 的 值，这里面还隐藏了一个信息，面积和底都是 a 的 情况下，我们知道这个高能在这里做高的话，由于面积是 a， 然后 bc 这个底是 a， 所以 通过这两个信息得到 d， e 是 等于面积的二倍除以底的底 bc 的， 那就等于二，所以这个长是二，这是个非常隐蔽的信息， 有这个二的话，这个 b、 d 是 根号五，那 b、 e 是 等于一的勾股定可以求出来。那在这个最后这个 r、 t 三角形 d、 e、 c 中，我们可以列出勾股定的方程，也就是一个直角边是二，另一个直角边呢？是 b c， b、 c 正好是 a 减一，它是 a 减一的平方，等于最后 a 的 平方 啊。这个我们把方程解出来就可以了，也就是四加上 a 方减去二， a 加一等于 a 方，发现 a 方抵消了，对吧？ a 方抵消之后呢，得到的就是二， a 等于五，所以 a 等于二分之五。这题目就选 c 了，非常经典的一个题目啊，大家可以认真自己总结一下。
粉丝1644获赞1.6万
相关视频
08:16查看AI文稿AI文稿雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，今天我们继续来看一下二四年八下期中考试的二十二题， 那这个题目的话呢，所谓的探讨真行的性质，其实大家得好好做啊，它已经有点接近于咱们中考的二十一题材料题的考察类型了， 就是给你一个所谓的新图形啊，咱们从来没有学过的一个知识点，让你利用学习数学的技巧和方法来去做这种题。哎，就拿这个题来说吧，首先探求真形，题上的材料一定得读一读 啊，比如说呢，从这个如真形开始定义，在四边形 a、 b， c、 d 里面，如果满足 a， b 等于 a d， c， b 等于 c、 d， 我 们就把这种什么呢？注意看啊，汉语解释两种啊，两组邻边分别相等的四边形叫做真形， 并且还给我们解释什么叫做正对角，哎，谁是对角线？这么说了一下，那么在这个题目里头呢，首先我们要填的空，就这里的一和二， 这什么意思呢？他做了两个推理，只写了因为的部分，哎，留下了所以的部分。那这个地方大家就得注意了 啊，因为 abcd 是 真形，所以怎么着？那么你看，推理二在四边形当中，因为怎么着怎么着，所以怎么样。其实这两个推理之间是有相互关系的啊，当你已知这个四边形是真形的话，那就能得到它的边角关系。比如说 abcd 是 真形啊，我就能得到这个，所以 abcd 是 真形啊，我就能得到这个，所以 abcd， c， b 等于 cd。 哎，这个第一个空后面就得这么写。然后第二个空后面怎么写呢？和它形成一种互为因果的关系啊，第二个空填的就应该是，所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 正形，就这么写就完事了啊，互为因果。 那么紧接着后面的性质你也得读一读啊，从整体上来看，我们发现角有什么特征，正对角相等，比如这里角 abc 等于角 a、 d、 c， 哎，就这个意思。那么第二个性质呢，说的就是正对角线垂直平分另外一条对角线。 那可千万别小瞧题目当中给你的这些啊，就是定力啦，信知啦，结论了，千万别小瞧这些东西，在后面做题的过程当中可能就会悄悄的用到 啊。那紧接着我们来看一下还有一个小问，他说我们把证明过程补充完整，就这道题的证明过程非常简单，为啥老师这么说呢？你知道的条件 就这么多，你想要证明的这个结论就不会很难。他想证 a、 c 是 b、 d 的 垂直平分线，那首先 a、 b 等于 a、 d， 大家不要把它想的太复杂，同学们，因为 a、 b 等于 a、 d， 哎，咱们不是说了吗，到角两边，按到线段，两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以就可以说点 a 就在线段 b、 d 的 垂直平分线上，因为 c、 b 等于 c、 d， 所以 点 c 就 在线段 b、 d 的 垂直平分线上啊，所以啊，人家说因为两点确定一条直线，所以 a、 c 垂直平分 b、 d， 这就搞定了 啊，那么最难的呢？哎，你说到了中考的时候啊，这二十一题材料题最难的也是在第三小问 啊，要么让我们吃亏作图，要么让我们去求一个啊，什么线段的长度了？这样的问题，那这种题目我们该怎么做呢？咱们首先来看 这个真形特殊不特殊？非常特殊。同学们，二倍根号三，二倍根号三，甚至还告诉你，角 b 是 九十度，那角 d 也是个九十度，这角 a 还是个一百二十度。 那么在这个题当中，老师不得不说了，这个题目里面就出现了我曾经说过的特殊三角形。你比如说，老师在这里，如果我把 b、 d 连起来，就会发现，同学们， 这个真形被我割成了一个一百二十度、三十度、三十度的等腰三角形，也还被我割成了一个六十度、六十度、六十度的等边三角形 啊。那这个，呃， a、 b、 d 三边之比是什么呢？如果你还记得老师给你说的这个结论，这个题做起来就是快，一比一比根号三，所以这个最长边的长度就是六，那同样道理， b、 c 啦， c、 d 啦，长度也就都是六，大得注意了啊！ 那么这样一来的话呢？哎，接着提上，让求谁来呀？求的是 b、 n 的 长，那咱就先先注意了，他说 a、 b、 m、 n 是 真形。同志们，那你说这个角 b、 a、 d 一定是个什么角呢？ 哎，那我们说这个角 b、 a、 d 啊，这个不能说角 b、 a、 d 啊，这个图只能这么画。同学们也就说，哎，他只能这么画啊，比如说这个样子， 好，大家请看啊，这一定是 m， 这一定是 n， 这中间给它记为点 o， 这 b、 n 一定是垂直平分这里的 am 的 啊，一定这个样子。同志们，来，我再来画一下啊，我再来画一下， 好， b、 n 一定是垂直平分 am 的。 那就说这个题上不是提到一个所谓的叫什么正对 角嘛，对吧？哎，正对角。在这个图当中，大家想一想，只能是角 b a， n 和角 b m， n 是 这个两个相等的正对角。老师，为什么不能是这个角 b 和角 n 是 这个，这个所谓的正对角呢？大家注意，本来给你的正弦 a、 b、 c、 d 就是 角 b 等于角 d 的， 那如果你想呢？如果角 b 等于角 n 的 话，那就意味着 n 要和 d 重合， m 就 和 c 重合了，和题上的说法是不符的， 同志们，这个大家能理解吗？所以图只能这样去画，你看这个对于征信的理解，对于题的把握，就是一个难点。那当你把图画出来以后，这个题做起来其实就比较简单了，为啥呢？你比如说这是一个 四十五度角呀？他说，老师，为什么本来角 abc 是 一个九十度，而我们也知道，你正形的这个对角线连起来以后呢？左半拉右半拉，肯定是边边边两个三角形全等的，所以，哎，这也是个角平分线嘛，哎，四十五度，四十五度， 而这个角 c 呢，又是一个六十度。咱就抛开别的不谈，同志们，当你拿到这个三角形的时候，看了啊， 特殊角，特殊角，又知道 b、 c 的 长度等于六。我问大家，怎么求 b、 n 呢？ 这还是结合我们之前学过的知识点，我要用特殊角，就得把它放到直角三角形当中，过点 n 做 b、 c 的 一条垂线，垂足即为点 p。 我把 pc 设为 x， 那 么 p n 的 长度就是根号三 x， 而 b p 的 长度也是根号三 x。 因为你这个三角形是一个等腰直角三角形呀，那这 b、 n 的 长度就等于根号六 x。 好， 这样一来，同志们，量律对应，根号三 x 加上 x 等于六，那么 x 就 等于 六。除以根号三加一，那 x 就 等于分子分母同时乘以根号三减一，化解结果就是三倍根号三再减三。而要求的 b n 长度根号六 x 就 等于九倍根号二，减去三倍 根号六。这道题你听懂了吗？拜了个拜，下个视频不见不散。
23:05查看AI文稿AI文稿好，我们看下这道题。如图，在坐标系中， a 的 坐标是零度四， b 的 坐标是八度零 连接 a、 b oc 平分角 a、 o、 b， 那 么角 a、 o、 c 和 c、 o、 b 都是四十五度，那么让我们求的是 a、 c 的 长， 那么有角分线，我们可以想到利用角分线分心的成比例处理， 或者是利用面积啊，做双垂，利用面积处理，那么利用角平分线分心的成比例处理，我们可以过 c 向 a、 o 做垂，过 c 向 o、 b 做垂足，分别是 m、 n， 那么三角形 a、 o、 c 的 面积 等于的是 a o 乘 mc 乘二分之一，那么再过 o 向 ab 做垂， 建立 a、 c 和 o w 的 关系， 那么它也等于的是 a c 乘 o w 长横折 三角形 o c、 b 的 面积 等于就是 o b 乘 c n 叉分之一，那么也等于 b c 乘 o w 叉分之一，那么它离 b， 那么因为 o c 平衡角 a、 o、 b， 所以 说 c、 m 等于的是 c n， 那 么它俩消掉二分之一消掉， o w 消掉二分之一，消掉。 那么 a o 比 o b 等于 a c 比 c b， 也就是说 a c 比 cb 等于的是一比二。 那么勾股三角形 a、 o、 b 可以 得到 ab 等于根号下 a o 方加 o b 方等于是四倍，根号五， 那么 a、 c 和 b c 的 比值是一比二，一共是三份，所以说 a、 c 的 长度等于的是三分之四倍，根号五。 那么这题我们也可以利用面积法啊，把 c、 m 和 c、 n 求出来。 那么三角形 a、 o、 b 的 面积 等于的是 o b 乘以 a o 乘二分之一，那么 oc 平分角 a、 o b， 所以 c m 和 c n 相等。 那我们可以设 c m 是 x， c n 是 x， 那 么 a、 o、 b 的 面积也等于三角形 a， o， c 的 面积加三角形 o， c， b 的 面积， 那么等于的是四乘 x 乘二分之一加八乘 x 乘二， 那么二分之一约调十二， x 等于三十二，那么 x 等于三分之八， 那么 m， c， n， o 是 正方形，所以说 o， m 等于 c， n 等于三分之八，那么 a， o 是 四，那么 am 等于三分之四。 勾股三角形 a， c， m 可以 得到 a， c 等于三分之四倍根号五。 要么通过角平分线分线的出比例处理，要么通过面积法求出 cm 和 c， n 的 长度啊。勾股三角形 a， c， m 去处理。 接下来看第二问， 那么现在我们已知的是 a 的 坐标是零到四， b 的 坐标是八度零 角 a， o， c 等于角 c， o， b 等于四十五度，这是个角分线 点 d 是 o， c 延长线上一点连接 a， d 和 b， d。 满足的是 a， d 等于 b， d 过 d 做 d， e 垂直于 s， 轴应该垂直于外轴与点 e。 那 么点 p 是 线段 e， d 上的一个动点，连接 pc， 那么 p 的 横坐标是 t 的 e， p 长是 t。 设 p c， d 面积是 s， 求 s 与 t 的 关系。那么首先因为 a， d 等于 b， d， o， d 平分角 a， o， b， 由此我们可以得到 d， a， o， b。 这是一个角分互补线，角分线离等， 那么能推出对角互补，可以利用双垂和翻折处理，那么用双垂处理过 d 向 o， b 作 垂度是 w， 那 么因为 o， d 平分角 a， o， b， 所以 我们能得到是 d， e 等于的是 d， w。 那么在 r t 三角形 d， a， e 和 r t 三角形 d， b， w 当中， d， a 等于 d， b， d， e 等于 t w。 那 么 r t 三角形 d， a， e 全等于 r t 三角形 d， b w 条件是 h l 由此我们可以得到 a， e 等于的是 b w。 我 们设为 a， 那 么 e 正 d， e， o w 是 正方形，所以说 o e 和 o w 相等，那么 o e 是 四加 a， o， w 是 八减 a， 那 么四加 a 等于八减 a， a 等于二， 那么 a， e 就是 二， a o 是 四， o w 是 六 b w 是 二， 那么过 c 向 o b 轴垂， 垂轴是 k， 那 么反向延长 c k， 这就是二， 那么这是垂直的，这是垂直。 通过一问，我们可以得到 c k 的 长等于的是三分之八， 那么 e r k o 是 矩形，所以说 k r 等于 e， o 等于六，那么 c r 的 长等于六减去三分之八等于三分之十， 那么 e p 是 t， e， d 等于 e， o 等于六，那么 p d 就是 六减 t， 所以三角形 p c， d 的 面积等于六减 t 乘三分之十乘二分之一， 等于三分之五，乘以六减 t 等于十，减去三分之五 t。 那么对于这个 a， e 等于二的处理啊，我们可以利用翻折处理， 那么 o， d 平分角 a， o b 我 们可以截长不短翻折 d， a， o， 那么就是在 o b 上截取一个点 w， 让 o w 等于 o a 连接 d w， 由此我们可以证明，三角形 o， d， a 全等于三角形 o， d， w 由此可以得到 a， d 等于的是 dw， 那么 a， d 还等于 b d。 那 么三角形 d w， b 是 等腰三角形， 那么 a， o 是 四，所以说 o w 就是 四，那么过 d 向 w b 作垂，垂足是 g， b w 是 四，那么 w g 等于 b， c 等于二， 那么 o d 平分角 a o b， 所以 说 e， d 等于 d g， 那 么 e， d， g o 是 正方形，那么 a， e 就是 二， 这是对于 a， e 等于二的数，那么后面求这个三角形 c， p， d 的 面积，那么和这个方法是类似的。 好，接下来看下第三问。 如图三线段 o b 上存在一点 q， 使得 o q 等于二倍的 pd， 那 么我们可以设 pd 是 a， 那 么 o q 就是 二。 a 点 g 在 q e 的 延长线上， q， e 等于二倍的 e， g 连接 j p 角， j 是 四十五度，求点 j 及 t 的 值， 那么 e， j 和 eq 是 一比二的关系，我们可以连接 p q， 那 么利用 g e 和 eq 的 关系，导出面积的面积比， 那么就是过 p 向 eq 做垂， 垂足是 h， 过 g 向 e， p 做垂，过 q 向 e p 做垂， 这是 i， 这是勾。 那么三角形 g， e， p 的 面积等于的是 g， e 乘 h， p 乘二分之一。三角形 e， p 数的面积 等于的是 eq 乘 h， p 乘二分之一，那么它俩一比， 那么这两个象形的面积比等于的是一比二啊。 g， e 比 eq 是 一比二， 那么三角形 g， e， p 的 面积也等于一， p 乘 gi 乘二分之一。三角形 e， p， q 的 面积 等于就是一， p 乘 q， g 乘二分之一， 那么它俩的比值等于一比二， 一 p 约掉，二分之一约掉。也就是说 j i 比 q， g 是 一比二，那么 q 等于六啊！因为 e 勾 q o 是 矩形， a， e 是 二， a o 是 四， e o 是 六，所以说 ga 等于二分之一的 q 勾等于三， 那么我们延长 ga 交 x o 一 点 k， 那么 e， i k o 是 矩形，我们可以设 e， i 是 b， 那 么 ok 就是 b， ik 等于 e o 等于六， 那么我们通过面积法可以求出 i e 和 k q 的 关系， 那么就是三角形 j i e 的 面积加梯形 i e， q， k 的 面积等于三角形 j， q、 k 的 面积， 那么就是三乘以 b 乘二分之一，加上上底是 b， 下底是 b 加二， a 高是六乘二分之一，那么等于的是 b 加二， a 乘以九乘二分之一， 那么通过整理我们可以得到 a 等于的是 b， 那 么换个颜色，那么也就是说 i e 是 b 啊， i e 是 a， ok 是 a， 那 么 pd 也是 a， 由此能得到 ip 和 e d 相等等量加等量， ip 等于的是 e d， 那 么通过二问可以得到 d 的 坐标是六到六，所以说 e d 的 长度是六，那么它等于六， 那么高股三角形 j i p 可以得到 g p 等于根号下 g i 的 平方，加上 i p 平等于三倍根号五， 那么三角形 g h p 是 得到正态形， 所以说 p h 和 g h 相等，那么勾股三角形 g h p， 我 们可以求出 hp 等于是二分之三倍，根号十， 那么利用三角形 e q p 的 面积 可以得到一 p 乘六乘二分之一等于 eq 乘二分之三倍角时乘二分之一， 那么由此我们可以求出 e p 和 eq 的 比值，那么 e p 比 eq 等于的是根号十比四， 那么整个异地的长是六，所以一 p 等于的是六减 a， 那 么异形的长度等于一年是六减 a 除以根号十乘以四，那么乘以根号十分之四 等于五分之二倍根号时，乘以括号六减一， 那么 o q 是 二 a 勾股三角形 e q 可以 求出 a 的 值，那么就是 e o 方加 o， q 方等于 e q 方， 那么由此我们可以得到一般式 a 方加八， a 减九等于零，那么十字相乘 a 加九 乘以 a 减一等于零，那么 a 一 等于的是负九， a 二等于的是一， 那么负九舍掉 a 等于一，那么 a 等于 e g 的 坐标就应该是负一到九， 那么 e p 的 长等于就是六，减 a 等于五， 所以说 t 的 值等于五。 下期见。拜拜。
02:07查看AI文稿AI文稿我们再来看一道比较复杂的关于函数与几何图形相结合的题目啊，这个题目呢，这个是中考原体，也是考的难度相对来说啊，比较大的一个题目。 首先我们观察它是一个动点 p， 从顶点 b 出发，沿 bca 这么一个运动啊，到点 a 停止。图二呢，是 p 运动过程中，它的 bp 的 长度是 y， 注意它的 y 表示的 bp 随时间 x 之间的变化。图像最低点啊， m 是 最低点，然后求三角形 a， b， c 的 面积。 这个时候给大家一个建议，我们发现图二的这个函数图像呢，并不是特征的函数啊，有特征的函数，比如说像咱们后边会学习到的一次函数，二次函数或者反比函数，其实不重要，那我们需要把这个图二呢，给它转化成一些关键数据的提取 啊，就是我们有图了，我们把它的表格给编出来， x y， 我 们发现当 x 等于某一个数的时候，某一个数的时候，就是一个拐点的时候。好到一个拐点的时候，它有一个值是五，到有一个 m 点， m 点这个是最低点的时候啊，它是四，然后最后又到了某一个点的时候，它又是 为啥给大家写这个东西呢？我们观察这两个点，就是我一直刚才说的这个拐点啊，在这个地方他拐了或者结束了，我们看 p 从 b 往 c 运动，没有进行任何的拐弯，是吧？到 c 点的时候拐了一次，所以这个时候也就是他运动到 c 点的时候，他对的 b， p 呢，是五， 当到 m 点的时候呢，他的最小值，这个地方啊，最小值意味着 b 运动到过和 ac 的 距离最小，那就是垂直的位置， 这个位置等于六 m 吧，然后最后又到 a 点的时候，其实结束了，他又是五啊，那我们看一下啊，也就是 bc 他 就是五，也就是 b， a 他 也是五，那 b， m 他 是四，这三个信息， 那这就清晰了。三角形 a、 b， c 的 面积，我们根据这个几何数据，那就是三，他也是三个物理定律。所以 ac 呢，就等于六， b， m 呢，是等于四，底和高都有了相乘，除以二就是三角形面积是十二。 整个题目呢，最关键的啊，大家要识别出这个拐弯的点和这个终点，以及这是终点啊，以及最低点，这个 m 它所代表的图中的实际位置。找到这些数据，题目就解结束了。
30乐其数学
02:02查看AI文稿AI文稿恭喜你，数学又要进步了，听完这道题，数学能够多拿三分！一个靠在墙上的七字，上面下滑了四分米，问下面下滑了多少分米？那有的朋友说会不会一样呢？ 那通过这四个选项，哎，我们发现没有一样的选项，那我们就要通过计算来求到底下滑了多少。为了解析方便，我们不妨添加几个字母，好，我们来看 三角形 a、 b 的 o 和三角形 c、 d、 o 是 不是都是两个直角三角形呀？都是直角三角形，我们就可以利用勾股定律进行解析。七字的长度二十五分米是不变的，刚开始靠在墙上的时候，七字的角呢？距离墙底是七分米，也就是 a o 等于 七，七字呢，向下滑了四。那我们先把已知条件写上， a、 o 等于七， b、 d 等于四， t 的 长， a、 b 和 c、 d 是 同一个梯子，不变都等于二十五。让我们求滑动了多少，我们不妨呢？设为 x， 设 a， c 为 x， b、 o 的 长度是不是很好算出来？我们先把 b、 o 的 长度算出来， b、 o 就 等于 根号下 ab 平方，减去 a o 平方，那就等于二十五的平方。减去 七的平方是等于二十四的， b o 等于二十四，那 d、 o 是 不就出来了？ d o 就 等于 b o 减去 b、 d 等于二十。好，我们把 a、 c 设为 x， 在 三角形 c、 d、 o 当中， c、 o 平方等于 c， d 平方，减去 o， d 平方。 x 加七的平方等于四十五的平方，减去二十的平方。好，这样呢，我们能够解出来 x。 啊， 加七等于正负十五，第一个 x 一 等于八，第二个 x 二等于负的二十二，那负的二十二是不是要舍掉呀啊？梯组将滑动八分米，选择 c 选项，喜欢的朋友关注点赞也可以在评论区交流讨论。
62数学张老师
05:18查看AI文稿AI文稿好，今天我们学习思路六的第一题，如图，三角形 a、 b、 c 是 半径为八的等边三角形， 点 e 为高 b、 d 上的一个动点，将 c、 e 绕点 c 顺时针旋转六十度，得到 c、 f， 则三角形 cdf 周长的最小值是多少？那么要求三角形 cdf 周长的最小值， 三角形 cdf 等于 c d 加 c f 加 d f， 其中 c、 d 就 等于边长的一半，等于四。所以这道题目呢，就是要求 c、 f 加 d f 的 最小值，其中 c 点和 d 点是两个定力点， f 呢是动点， 那么 f 的 运动轨迹是什么呢？我们看到点 e 在 线段 b、 d 上运动， f 呢，随点 e 的 运动而运动，这就叫主从零动。 点 e 在 射线 b、 d 上运动，所以可以猜想点 f 也在射线一条，设一条直线上运动，这是根据夸的原理，点 e 在 直线上运动， f 也在直线上运动， 那么 f 的 运动轨迹是什么呢？我们让 e 点呢，放到 b 点的话，想一想 f 点在哪？当 e 点在 b 点的时候，三角形 c、 e、 f， 它是等边三角形，所以 f 呢，就在 a 点。 由此可以断定 f 的 运动轨迹就是射线 a、 f。 我 们可以看一下， 点 e 的 运动轨迹就是射线 a、 f， 那 么我们怎么来证明它的运动轨迹就是射线 f 呢？还有 a、 f 与角与 a、 c 成夹角是多少度呢？ 公顶顶 c 有 双等边三角形一就是三角形 c a、 b、 c 和三角形 c、 e、 f。 所以 有手拉绳，我们可以得到三角形 b、 f。 三角形 b、 e、 c 全等于三角形 a、 f、 c。 从而角 f a、 c 等于角 e、 b、 c 等于三十度，这个角等于三十度啊。 fa 呢，和钉并 a、 c 成钉角三十度，就说明 f 在 射线 a、 f 上运动，而且呢与 a、 c 成三十度角，因此 c、 d 呢，就是这条直线的同一盘的连体，所以这就符合将军野马模型。所以我们要求 c， f 加 d， f 的 最小值呢，我们只要做 c 的 对称点和 d 连接即可。 做 c 的 对称点和 h 和 f 连接起来的话，那么 h， f 呢，就等于 f c， 所以 f， d 加 f， h 就是 当 d、 f、 h 三点共弦的时候最小， 但 d、 f、 h 三点共弦的时候最小就等于 h d。 那 么 h、 d 是 多少呢？我们把 a、 h 也连接起来， h 零一起来之后呢，这个角是三十度，这个角也是三十度，所以角 c， a， h 呢，就等于六十度， a， h 呢，它等于 ac， 所以 三角形 a， c、 h 是 等边三角形， a， h， c 这等边三角形的边长呢，也是八， h， d 呢，是它的高， dc 等于四，所以 d， h 呢，就等于四根号三。 那么我们知道三角形 c、 d、 f 周长的最小值呢，就应该是四加四根号三。 四是 c， d 的 长，这个不能丢了。 d， f， d 加 f， c 的 最小值等于 h， d 等于四根号三。所以三角形 c、 d、 f 周长最小值就是四加四根号三。
33勾三股四秒杀哥
01:22查看AI文稿AI文稿看到直角加双动点求线段最大值，很多同学直接放弃记住这个核心模型，直角三角形斜边中线加三角形三边关系，两步出答案。 已知角 b a， c 等于九十度， ab 等于一， ac 等于四， a 和 c 呢，分别在外轴和 x 轴上来回滑动，求 bo 的 最大值。 我们可以看到，无论我们的 ac 如何滑动，它永远都是直角三角形 aoc 的 斜边，所以取 ac 的 中点 m 连接 o m， 这样呢，我们 o m 的 长度呢？永远等于斜边直角三角形斜边 ac 的 长度的一半连接 b m， 令勾股定律求 b m 的 长度为根号。五、这样，当 o m b 三点共线时， b o 达到最大值，最大值是 o m 加 b m 的 长度 几何没有难题，只是你没有找对解析模型点。关注，分享更多中考高频考点！
03:33查看AI文稿AI文稿大家好啊，我们今天一起学习一道这个八下平行四边形部分。一道选择题 已知给的四边形 a、 b、 e、 d 和四边形 a、 f、 c、 d 是 平行四边形 a、 f、 d、 e 相交成直角， a、 g 得三， d、 g 得四，然后告诉你，平行四边形 a、 b、 e 的 面积是三十六， 求四边形 a、 b、 c、 d 的 周长。那既然求周长，我们知道这个四边形周长是不是等于 a、 d 加 ab 加 bc 加 dc 这个四边的和？那我们的任务先把这四边求出来，这个题就解了吧。那我根据已知，因为我们第一步根据因为 a、 g 等于三， d、 g 的 四， 那么所以 a、 d 得五，我们把第一个边是不是求出来 a、 d 得五了？嗯，又因为平行四边形 a、 b、 e、 d 的 面积是等于三十六啊，那我知道它面积等于谁？等不等于底乘高 d g， d， e 乘 a g 啊？ 所以就是 d e 乘 a g 等于三十六，对吧？那么 a g 得三，所以 d， e 是 不是等于十二啊？因为平行四边形吗？ d， e 和 ab 怎么呢？相等，所以 ab 也就等于十二。呃，又因为 d g 得四， 那么 eg 的 啥呀？所以 eg 是 不就等于 d， e 减 d g 啊？就等于十二减四是不等于八呀？ 那我因为平行四边形 abed 和 afcd 面积相等，所以我同理 我就能求出什么？求出 a， f 等于三十六，除以四等于九，也就是 c、 d 等于九，那么 f、 g 呢？是就等于九减三等于六啊， 那么我们在 r、 t 三角形 e、 g、 f 中， 我们是不能求出 e、 f 就 等于根号下八的平方，加六的平方是不等于十啊？ 那我 b、 c 得啥？那么所以说 b、 c 是 不等于 be 加 e f 加 c f 啊？因为是平行四边形嘛，所以 a、 d 和 b、 e 是 相等， b、 e 就 得五， e、 f 得十， a、 d 和 f、 c 也相等，它也等于十。所以 b、 c 我 们是不是等于二十啊？ b、 c 就 等于二十。 那我们看求四边形这个周长的话，我们这几个边都找没找到啊。我们来看一下啊，我们 a、 d 得五是不求出来了， ab 得多少啊？是不得十二啊？ 嗯， bc 求不出来得二十啊， cd 求不出来，得九啊。所以我这个四边形的周长是不是等于啥？是不是等于， 嗯，五加上十二加上二十再加九啊？所以是不等于 十七加九，二六是不是四十六？所以这道题答案就是四十六啊，同学们听懂了吗？听懂了，帮刘老师点点赞啊，点点关注，谢谢大家！
16数学刘老师
05:32查看AI文稿AI文稿来 b o 的 啥是最小值问题？看可以吧？求 b o 的 最小值问题，我们现在去思考一一下说，呃，题里面说， 射线的屁上有一动点 g 作矩形对不对？那在这里面咱们动点是啥？ 动点是不是这点？是不是这点？那么随着这点的运动，对角线焦点 o 是 不是也在运动？所以在这里面动点是这点和啥？是 o 点， 大家说我说的对不对？好一个动点，这一个动点 o， 那 我们现在要求 b o 的 最小值，它的本质就是让求点 o 的 啥，点 o 的 啥，求点 o 的 运动轨迹， 求点 o 的 运动轨迹，我们把点 o 的 运动轨迹找出来就行了，看可以吧。那么题里面呢，给出了一个啥是不等边三角形？等边三角形简单， a c 等于啥？是等于 a 的 a， c 是 等于 a 的 第二个呢？矩形对角线怎么样？互相怎么样？平分且相等，大家说对不对？ 你说，我说是不是？那么大家看一下这幅图来就说，呃， a c 等于 a 得 o， c 等于 o 得，我们是不是能推出一个知识点，就是 a o 是 是啥是 c 得的垂直平分线， 这没问题吧？嗯，那垂直平分线，那运动轨迹，这不就顺手拈来了吗？点 o 是 不是在这条线上运动？ 大家说我说的是不是？嗯，随着这个 g 点的增加，大家看你比如说很多同学这个发散思维能力不行，你有啥好不行的？你这样子画一个矩形， 是画一个矩形对角线交点，看到了吗？是不是也在变化？ 是，也在变化，这点他在射线上运动，所以这点他不停的往右，那么这个点 o 是 不停的想往右运动，能明白吧？那么你通过画几几幅图呢，你就能明白，这个点 o 确实在运动，而且我们通过数学原理也能得到点 o 的 运动轨迹是一条射线，这就是射线。啥 是不涉线 a o 是 不涉线 a o 那 点 o 的 运动轨迹是涉线 a o， 那 我问大家，那人家不是问这个 b 点到 o 点的距离对不对？那这个时候大家用心听， 点 o 的 涉运动轨迹是涉线 o a， 那 就相当于问的是点 b 到啥 o a 的 啥是距离，大家说对不对？是不是它的距离？这道题的本质不就是这样子，那一个点到直线的距离什么最短？是垂线段最短？那这还用做吗？来， ok 吧， 是不是这样子来？ 这 b o 最小是吧？那这个，这个角多少度？几分钟告诉我们说 a b 等于多少？ 四十倍，是不是四十倍的根二？那这个就是二十倍的根二，是二十倍的根二。所以我们就写，当 o b 垂直 o a 时， bo 怎么样？有最小值？ 最小值等于啥？二分之一 a b 等于二十倍的根二。 好了，这样愉快的结束了啊，现在我讲清楚了，讲明白了，没？听懂了吧？难度大吗？难度大不大？ 学数学题的时候问答案，就在，你看这是问题对不对？但这也是答案，因为题目中说的很清楚， o b o b o， 你说啥意思啊？ ob 他 是问题，他也是答案，为啥？因为 b 点是不是一个定点？那 o 点的运动轨迹找出来是不是就行了？ 所以答案藏于问题中核心很简单，让你把所有的精力拿拿出来干啥？研究典故的运动轨迹，而不是让你在那瞎算，知道吧？能明白吗？给自己。
12:09查看AI文稿AI文稿雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，今天我们继续来吐槽近深学八下期中考试的二十三题啊 啊，那么吐槽归吐槽，这个题目的话呢，本身我觉得还是非常有难度，非常有意义的啊，这个老师看到好题就忍不住的流下了兴奋的口水啊， 我们一起来看一下这道小题到底该怎么做。确实，对于八年级的同学来说，出这样的题目呢，哎呦，你有点过分了啊，是不最近进升学这个出的名校联考的初三题受到了影响呀， 哎，这题搞的确实是很有难度啊，但是你如果说实在是不会吗？也不是咱们八下的宝贝呢，已经学到了平移对称和旋转，学到了几何变换，那么大家要有前瞻意识，像这样的题目确实是大家将来会面对的动态分析的问题，我们一起来感受一下。首先， 这个，呃，老师要吐槽一下，这个这个这个这个元起，什么意思？我读到这个题的时候呢，有点蒙了啊，呃，怎么还给我整上意境了？元起， 我在人群中看到你啊，缘散缘落，我看你在人群中，什什么玩意啊，好忽略。我们直接来看题目， 把两块三角板啊，这么放到一起读读题啊，已知等腰。直角三角形 a、 b、 c、 l 是 过顶点的一条直线，两条直线平行。然后又说 一个关键的点，点 d 是 直线 l 上的一个动点，它是直线 l 上的动点，这情况就有点太多了，连接 b、 d， 以 d 为顶点做一个直角三角形，那么 d、 e、 b、 e 分 别交直线 a、 c， 注意啊，也是交直线 a、 c 于点 p 和点 g， 呃，那么其中 a、 b 等于五角， b， e， d 等于三十这个题目的话呢，大家就得注意了啊， 他说的是什么呢？ d e 和 b e， 他 说的是这两条边交直线 a， c 于 p g 两点， 告诉我们 ab 的 长度是等于五的，还告诉一个定角，这角 b、 e、 d 永远是个三十度，相当于。告诉我们什么呢？这个三角形 b、 d、 e 多大我不知道，但它永远是一个三十度，六十度、九十度的三角形。 紧记着，第一小题非常简单啊，重合的时候让我们证明 d b 等于 d p， 哎，这就非常简单了，重合的时候，你看啊，这是垂直的啊，又平行同旁内角互补。哎，我们说，哎，题上是不是也说了过点 d 啊，以点 d 为直角顶点 啊，那这个时候的话呢，如果 b、 d 垂直于 l 的 话呢，首先有个直角，其次呢，内错角相等，这个角是个四十五度，那这个角也是四十五度，非常好推啊。一个等腰三角形 d p 就 等于 d p 了，这没啥好说的，送分题第二小题说， 如果分析了什么 d 点在 b 点右侧的，但在 a 点左边呀，这种情形，让我们继续猜想 d b 和 d p 之间的数量关系。 当然，我们依旧是猜想这两条线段长度是相等的，可是该怎么证明呢？大家这个就得注意了，其实有的同学可能看不太出来，但是这个地方其实有个 b 型显招。如果我猜想 d、 b 是 等于 dp 的， 同学们就会出现一个情况，你发现 d、 b、 dp 这两条线段呢，他就会围成一个等腰直角三角形的感觉，哎，同学们，那这个时候你还会发现 d 点还有一条线叫做 d a， 那么这就让我们不禁想起了手拉手的构造，那我能不能围绕着点地，我再做一条垂线？同学们，老师这样来做 垂线，我把这个点特意记为 a 撇点，大家应该就明白老师的意思了，此时此刻，你就有了 d a 等于 d a 撇 d p 等于 d b 的 感觉。注意啊，同学们是有这样的感觉，似乎就有了手拉手全的那味就来了。那我们当然了，冷静下来，看一下咱们这样去构造到底能不能实现我心中的目标能不能正出来。 那我们首先来看一下，当你过点 d 做一条这样垂线的时候，其实我们还是很轻松的，能够证明 d a 是 等于 d a 撇的，因为这是个等腰直角三角形。其次， 那我们再来看啊，呃，还有什么呢？这个角度是一个一百三十五度，这个角也是个一百三十五度，一组角相等。再其次，这个角和这个角也相等，都等于九十度角，减去这个公共角， a 撇 d p， 所以 同学们，没问题啊， 虽然不是手拉手的边角边的证明方式，但是老师说了，它形似手拉手，我们构造出来这样一个图形，那么是由角边角推出来两个三角形，全等三角形， d a p 全等于三角形， d a 撇 b， 你 自然也就得到了 dp 等于 db 的 说法。好，前五分钟的时间给大家把这些小题梳理完，我们直接来看最后一问。 那最后一问在这里呢？同学们，很多同学说，老师有三个答案，但是我个人感觉啊，近身学的答案是不是错了呢？应该是有四个答案在里头的啊，我们首先来分析第一种情况 啊，其实这个题我觉得处理有点太难了，你又有点的变化，又有等腰三角形的分类讨论，那么在这个题当中，老师就只说可能的情况啊，看图二，我们会发现角 e 是 固定的三十度，那如果说 p g 等于 eg 的 话呢？这个也是三十度， 好，我们能怎么推呢？同学们，这个角就是一个六十度，这是九十度，这是三十度。你要求的 b g 就 应该是 ab， 长度是五，但是它占到了根号三份， 所以有一个答案就是 a g 的 长度等于三分之五倍根号三，那么 b g 的 长度就是三分之十倍根号三。正常来说啊，这个答案是你最应该能求出来的一个答案好， 当然很多同学其实坐到这里心态就炸了啊，这个题根本就别说求了啊，来三分之十倍，告诉大家这第一个答案，那么第二个答案，我们就得在备用图当中去疯狂画图了。第二个答案，他是不是可以长这个样子呢？我们假设 d 点出现在 b 点的左边，出现在这个位置。好， 如果你将 b d 连起来，胆子要大啊，大胆的去画一个三十度，六十度、九十度的这样一个三角形，我们大概给它画出来，把这记为点 e。 此时此刻，你看题上怎么说的， d e 和 b e， 同学们注意感受啊， d e 和 b e 交直线 a c 来把 a c 进行一个延长，怎么说呢， d e 是 交于点 p 的， 而而这个 b e 呢，是交于点 g 的， 大概长这个样子。那此时此刻你还说还可以吧？同学们，这个图有点像什么呢？有点像 e p 等于 eg 的 时候，那这个角是三十度的话呢？我们来推一下，哎，这下面每个角都是七十五度，你看这也是个七十五度， 再往后推一推，七十五度算特殊角吗？算，这是个四十五度，那这个角就是一个六十度，所以把七十五度做垂线给它分开。同志们，你知道 bc 的 长度是一个五倍根号二， 你要求的是 b g， 我 把它设为 x， 它就是根号三 x， 这也是根号三 x， 而 b g 的 长度就是二 x。 所以 这里头有个比较难算的东西啊，就是 x 就 等于五倍根号二除以一加根号三。这么多份，同志们啊，这么多份，好，那 x 稍微整理一下，分词分母同时乘上一个根号二减一，其实就变成了啊，这个二分之 根乘以根号二减一啊，这个什么乘以根号三减一啊，就变成了五倍根号六减五倍根号二。那么我要求的 b g 等于二 x 也就等于五倍根号六减五倍根号二了，是有这样一个答案的， 好，那么紧接着呢，我们再来分析下面一种情况啊，他说，老师不是还有个情况的吗？还有个答案的吗？是十。哎，不着急啊，其实情况还有，还有，不止这个十，这个十大概是怎么出现的？同学们，就是我们继续把地点，比如说往左移 啊，假如说移到这边好，这个图呢？它甚至变成这个样子啊，大家注意来看一下，变成这个样子，好，那这个时候啊，同学们说，不如就让这条线呢竖起来 好，你看一下，那有没有可能实现这种情况呢，这是 e， 这是 p， 这是 g， 让这个角和这个角相等，是三十度，那这也变成三十度了，这是直角，这就是个六十度啊，那这种情况下呢？这是五， b g 的 长度是他的。 哎，等我看一下啊，这是五，呃，我看这对不对啊，这是三十度啊，这是个一百二十度 啊。我们看一下， b g 在 哪里哦， b g 在 这里，那这个地方呢？老师来推导推导啊。这三十度，这个地方是六十度的话，那么这是五，这不就是十了吗？对吧？这图有点丑了啊，这大家可以修正一下。 好，这是第三个答案。那么接着老师要提出一个问题来了，我是哪里有错误吗？因为我发现了一个新的答案。同学们，我发现一个新的答案，这个题还能怎么做？大家一定要注意啊， 我可以把地点，因为还没有一个图是这样的题目的，我把地点放到他的右边， 比如说在这样一个位置，同学们假设地点在这里，然后再做出一个三十度、六十度、九十度的一个三角形来啊，同学们注意好， 这个图可能就有点太长了，大家注意感受一下啊。来，我把 b e 连起来。好，这个图按它的说法呢，再延长 a c， 再延长 a c， 同学们注意看啊，不着急，这个图缩小一点，再延长 a c。 好，首先我们说这个 a c 直线和 d e 的 交点，我记得是记为了点 p， 然后 b e 和 a c 的 交点 啊，那正常来说的话呢，是有这样一个图啊，同学们，是这样一个图啊， b e 和有有有同学这么说的吗？ b e 和 a c 的 延长线交于这样一个点 啊，但是大家得注意啊，同学，这个情况你说要不要把它算在里面呢？其实是不需要的啊，这种情况是不需要把它算到里头的，因为按照题上的说法，它的要求是什么？是边？我，我看它的意思啊，应该是边 b、 e 和这条边和 a、 c 这条直线有交点，那么你会发现，如果是这个图的话呢，就变成了 b、 e 这条线和 a、 c 这条线有交点了。其实很多同学算出来一个答案，说，老师，如果这个角是三十度，这是十五度，这是十五度，我似乎还能根据 啊，还能根据这十五度角的特殊条件算出来一个我们十五度角吗？是一比根号六，减根号二，比上一个根号六加 根号二，似乎能算出一个答案，好像是五倍根号六加上五倍根号二，但你要明白这个答案为什么不行？同学们，它不是这个记点，不是边和直线 a、 c 的 交点，所以大家明白了吗？那其实这个答案 还是没有错的啊，确实是有三个，但是该吐槽还是得吐槽，你这个题出的是不是有点太难了？
01:02查看AI文稿AI文稿大家来一同看一下这个最值分析的问题，这个最值呢，利用的有平行四边形，对角线相等， 那对角线的交点 o 呢？肯定是平分了 o， f， e f 和 cd 的 cd 的 中点，那求 e f 的 最小值。我们知道 e f 是 等于二倍的 e o 的， 那求 e o 的 最小值就行了。 o 点是 cd 中点，它是个固定点。 e 点呢？在直线，在线段 ab 上运动， 那 o e 的 最小值呢？其实就是 o 到 ab 的 距离，垂线段的长，也就是当 o 点垂直于 ab 时， 这个是最小值。那这个最小值呢？其实是两个平行线之间的距离，我们可以放到一个顶点处分析，也就是求 c m 的 长， 这是最小值。再看数据，角 a 一 百二，所以角 b 呢，是六十度，那这里呢，是三十度，知道 b， c 是 四，所以根据直角三角形中三十度角所对的直角面是斜边的一半，得到 b m 到二。 根据勾股定律可以求出 m c 等于二倍根号三。大家注意，我们这个答案选的是 ef 的 长度最小值，那就是四倍根号三。
171乐其数学
05:46查看AI文稿AI文稿我们先来看第一问，他根据教材提示先先读题，哦， e 是 b， c 中点，然后 a， e， f 等于九十度， 让求 a， e 等于 ef， 提示是取 a， b 中点 g 连接 e， g， 然后证明 a， g， e 全等于 ecf， 然后就可以证出 a， e 等于 ef。 然后我们再看括号二，他这次没有说 e 是 中， e 是 bc， 终点就是一点，然后连接 a， e， 然后 a， e 垂直 e， f， a， e 等于 e， f， 他 要求的是 c， f 比上 b， e 的 值。 那我们可以想到直角三角形，我们做，我们做 aj 等于 ec 连接 j， e， 然后就可以证出三角形 aj 全等于三角形 f， ec， j， e 等于 c， f 因为 a 因为 aj 等于 ec， 所以 j， b 等于 b e， gb 等于 b， e 因为它是正方形， ab 等于 bc， ab 减 aj 等于 bc 减 c， e， 所以 g， b 和 b， e 相等。那在这个直角三角形中呢？ b， g， e 就是 个等腰直角三角形，所以 g， g， e 比上 b， e 就是 根号二，那 g， e 等于 c f， c， f 比 b， e 就是 根号二。我们再来看第三位，他这次说 abcd 是 菱形，那四条边都相等，然后 a， b， c 是 六十度，那么这个 b， c， d， b， a， d 就是 一百二十度。 他又说 abc 加 d， e， f 等于一百八十度，所以 f， e， d 就 等于一百二十度 d， e 等于 f， e 就是 d， f， e 是 等腰三角形， e， f， d 就 等于 f， d， e 就 等于三十度。 我们做 d， n 等于 d， n 等于 b e， a， k 垂直 k， d， mc 垂直 e， n 先先证全等证 b， e， f 全等于三角形 d， e， n 得出 e， n 等于 f b， 然后 e， n， d 等于 f b， e 因为 c， d 等于 bc， d， n 等于 b e， 所以 c， c， n 就 等于 ec， 这个 n， ec 就是 等腰三角形。 因为 b， c， d 等于一百二十度，所以 n， e， c 等于 e， n， c 就是 三十度，这两个小角是三十度， 这样我们就可以求出这个 d， n， e 和 f b， e 就 等于一百五十度，那么 f， b， g， 这个就是九十度， 那这，这个是九十度了。哦，这个就是九十度，因为这个是一百二十度。 这边就是 k， k， a， d 就是 六十度，那么他，那么他有一个角就是三十度。有一个角是三十度的直角三角形。斜边等于短边的， 短边等于斜边的一半，所以 k， a 等于二分之一 k， d， 因为 上面说 b， j 等于三 aj， 我 们设参数 b， j 等于三 x， aj 等于 x， 因为四条边都相等，所以四条边都等于四 x， k， j 就 等于 aj 加 ak， a， k 等于呃那个 k， j 就 等于三 x， 所以 b， j 就 等于 k， j 就 可以证出三角形 f， g， b 全等于三角形 d， c， k， f， b 等于 d， k 等于 e， n。 在 直角三角形 a， d， k 中， 呃 d， k 等于 e， n 等于二倍根号三 x， 因为 c， n， 因为 c， e， c， m 垂直 n， e， 所以 这个 e， m， 这个 e， m 就 等于根号三 x。 在 直角三角形 e， m， c 中 就可以知道 c， m 等于二分之一 c， e 进而知道 c， e 等于二 x， 那 么因为这 bc 等于四 x， 所以 c， e 就 等于二分之一 bc， 所以 e 是 bc 终点。
11大连李优数学
04:41查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下今晚的第二题。如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，这个四边形并没有说是什么四边形。题目给了 a、 d 平行于 b， c， a、 c 垂直于 b、 d。 好， 只给了一个平行，所以并没有说它是平行四边形。 但是给了啥呢？给了 a、 c 和 b、 d 这两条对角线垂直。好题目，我们再看题目点， e 为 a、 d 上的一点 连接 bc， 若 a、 e 等于 d， e 等于 bc， 什么意思呢？就是上面这条线等于这条线，又等于这条线。那好了，平行四边形无异了。为什么呢？因为 a、 d 上下平行啊，所以 a、 e 平行且等于 bc， d、 e 呢？也是一样， d、 e 也是平行于且等于平行且等于 bc， 说明什么？说明有两个平行四平行，第一个平行四平行 ab、 c、 e， 第二个平行四边形 b、 c、 d、 e 这两个都是平行四边形。好，平行四边形有许多性质，比如说对边相等呐， 对边平行呐。好，那我们看求什么？求 b、 e 等于 c 啊， b、 e 的 平方加 c 的 平方等于什么？我们看 b、 e 在 哪？ b、 e 在 这位置， c 在 啦， c 在 六六六。我发现这两条边不都不好用，所以我想转化一下， b、 e 在 平行四边形内，所以这条边的长度应该等于哪条边？应该等于 c、 d， 所以 应该等于这条 c、 e 在 四边平行四边 a、 b、 c 点，所以 c、 e 这条边应该等于哪条边？所以它等于 ab。 好，所以我实际上这道题要求的是啥？要求的是应该是 a、 a、 b 的 平方加上 c、 d 平方，因为 b、 e 是 等于 c、 d 的， 然后 ab 是 等于 c、 e 的， 加上 ab 的 平方。实际上求这个，求这个，我们看啥？看题目给它一个垂直。好。通过这个道理，我们立马想到啥垂面四边形模型好，所以这道题应该是什么？应该是垂面四边形模型。 什么是垂面四边形呢？就这种式的就是对角线垂直好，为什么说它式的呢？因为我们看一下这个中间 a、 c 和 b、 d 交于这个点，我们称之为 o 点。那我们会发现一个什么问题？我们发现我们发现 o、 b 的 平方 加上 o、 c 的 平方应该等于 bc 的 平方。 r o a 的 平方加上 o、 d 的 平方应该是等于 a、 d 的 平。 题目已经给了， bc 等于根号五， a、 d 应该等于两倍根号五，所以 abd 的 平方应该是二。呃，因为 a、 d 的 平方应该等于两倍根号五的平方应该等于五，所以这个值我是知道的。 那现在我们交换组合就行了。为什么呢？因为刚才是在三角形 o、 b、 c 里面和三角形 o、 a、 d 里面，那现在我只要把 o、 a、 o、 b 放在一个三角形里面。 好，所以我们这两个放在一个角三里面。那我发现 o、 b 的 平方加上 o、 a 的 平方，它应该等于 ab 的 平方，然后 o、 c 的 平方加上 o、 d 的 平方，它应该等于 c、 d 的 平方。 好，所以 ab 的 平方加 c 的 平方就应该等于 bc 平方加 a 的 平方，所以等于五加二十，所以这个答案是二十五。 好，这地方告诉我们一个结论，啥嘞？就是对角线相互垂直的一个四边形，四边形。那这个是四边形， 我们由啥呢？我们由 abcd 由 ab 的 平方加上 cd 的 平方，得与 bc 的 平方加上 ad 的 平方。为什么这样？就是因为勾股定律。好，这个结论就是垂面四边形的一个结论。 好，垂面四边形在在哪呢？在矩形里面还会出现一次啊？到时候我们遇到，我们到具体再讲。
66霍山数学徐哥
06:42查看AI文稿AI文稿今天一条视频讲明白蚂蚁爬行最短路径问题。蚂蚁从 p 点到 q 点有三种走法，前面从上面、从前面从右侧面 从左侧从上面三种走法打开后，上面侧面长高宽起点终点线段最短，求斜边 勾股 p q 等于根号下方加一加 c。 括号的平方展开后，后面是两倍的 b， c 前面再从右侧到终点展开后， 前面右侧长弯合并成一个直角边，两定点线段最短，如斜边一样，用勾股与两个直角边平方之合拍出来，去掉括号， 最终 a、 b 展开左侧面，上面起点终点线段最短， 求斜边。用勾股 a 加 c 括号，平方加 b， 平方开根号去括号。三种方式前面相同，哪个乘积最小，最终就是最短 最短，两边乘积最小。所以结论，长方体蚂蚁爬行最短路径等于根号下最长边平方加上最短，两边和平方 开根号。模型二，圆柱从 p 点绕一圈同侧的 q 点或者是起点中点逆侧绕一圈，圆柱展开长方形， 起点中点长为圆柱底面周长高为宽。两点线段最短， 求斜边，依然用勾股两个直角边的平方开根号侧展开 长方形旧点正好在正中。两定点线段最短，求斜边，用勾股两个直角边平方 之合开根号。模型拓展而形问题结合将军引马 拦住木桶，蚂蚁从桶的外壁爬到桶口，再进入内壁，求最短路径定点定点，两定两定移动，将军引马 做一定点对称点连接另一定点焦点为所求 p o 加 o q 就 等于 p 撇 o 加 o q 三点共线折线段最短，求 p 撇 q 斜边用勾股宽为半周， p 撇 q 就 等于直角边 h 一、 平方 开根号问题，正方体零乘二点爬到西撇，有三条路径从前面左右侧面 展开 b 点 c 撇线段最短。二、一、二， 用勾股根号下平方加三平方， 结果根号十三，根号符合最短边加次长边， 因为正方形没有次长边，这已经是最短两边结合，所以结果就为根号十三。模型看题八里面周长六，这里是三，都是八， 所以离上面。如蚂蚁从 a 从外壁爬到内壁的 b， 终点是圆柱展开长方形高收长 a， b 先到容器口，再爬到里面。 两定点移动点均匀吗？找对称点，一撇连另一定点，垂线直角竹斜边 六四五，所以对称过来。五、勾股一撇一，等于根号下六的平方加上九的平方 开根号等于三十六，加八十一，根号一百七 等于三根号十三，最短路径就为三根号十三，蚂蚁爬行问题，长方体最短路径就是用钩骨最短两边合并成一边，最长边轮住。 注意同侧还是异侧，一点在外臂，一点在内臂，在内臂跟外臂的两个点。这个问题会结合 将军营吗？今天的蚂蚁爬行就讲到这里，这样简短的语言描述是否清晰，评论区告诉我。
108小山石
09:53查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，今天给同学们分享的是武汉市光谷实验中学八年级下册数学期中试卷的第二十四题，那也是一道压轴题， 已知如图，一、在平面直角坐标系中，直线 ab 交两坐标轴于点， a， a 零 b 零 b 两点满足根号 a 加四加 b 方减八， b 加十六等于零。那看到这个式子，我们可以想到完全平方公式，所以先将它进行化简， 也就是 b 减四，括号的平方等于零，那根号和平方都是具有非负性的，所以这是一道典型的零加零等于菱形，所以可以求得 a 是 等于负四， b 等于四，那这一点 a 我 们的坐标就知道了。 a 点的坐标是负四零。 那第二问， p 为第二象限的一点 pa 垂直 x 轴于 a， 若 ap 等于一，那 p 点的坐标我们是不是也可以求出来是负四一 在坐标轴上啊？注意，这里有个限定的条件，坐标轴，也就是 x 轴和 y 轴上是否存在点 c， 使得 cp 等于 o c， 也就是让我们去找一个等腰三角形，那我们找等腰三角形给大家总结了一个口诀，就是两元一中垂， 那这里很明显 cp 和 o c 是 腰，那 po 就是 底，所以我们只需要考虑中垂线的这种情况就可以了。那么若存在要去求出点 c 的 坐标，若不存在说明理由，那我们先去把这个 po 的 中垂线画出来， 那此时交于这个纵轴的啊，就是我们的 c 一， 交于横轴的就是 c 二，那为什么 c e p 是 等于 ceo 的 呢？为什么它就在中垂线上呀？因为中垂线有一个重要的性质，就是垂直平分线上的点到线段两岸是距离相等的，所以 c e p 等于 ceo， 那 同理 c 二 p 也是等于 ceo 的。 那此时啊，我们要去证这个什么呀？线段相等，还要去求出这个坐标，那我们可以先设 c 一 至零 m， c 二就是 n 零， 那我们可以用两点间的距离公式去表示它，然后去求出 m n n 的 值。那我们假设啊，分类讨论。第一种情况就是 c e p 等于 c e o， 那 c e p 等于 c e o c e p 的 一个距离就是根号下零减减四，就是四方加 m 减一的平方等于 c e o， 也就是 m， 此时有根号，我们要开方，对不对？所以就是四方加 m 减一的平方等于 m 方，我们可以求得 m 等于二分之十七， 所以 c 一 点的坐标就是零，二分之十七。那么第二种情况就是 c 二 p 等于 c 二 o， 那 此时也是先将距离表示出来， c 二 p 就是 负四减 n 的平方，加上一减零，也就是一的平方等于 n。 那 这里要注意是什么呀？负 n 对 不对？那此时我们依旧是将它进行平方，那也就是四加 n 的 平方，加一方等于 n 方，可以求得 n 是 等于八分之十七，所以 所以 c 二点的坐标就是负八分之十七零。好，那第二问啊，主要就是大家一定要记住怎么去找等腰三角形，那要用到这个口诀，两圆一中垂。 好，接下来我们来看到第三问，第三问是比较有难度的，但是啊，如果我们对这个 g o h 的 啊，这个特殊角比较了解，也是很容易去做出来的。 好，我们先来一起读题，点 d m， n 为第四线向上的一点，过点 d 去做 x 轴和 y 轴的垂线交直线， ab 于 g h 两点斜角 g o h 等于一百三十五度，就是这个角为一百三十五度。那刚才我说的这是一个特殊角，为什么特殊呢？我们这个 g o h 可以 去构造两个等腰三角形， 而且这两个等腰三角形的顶角相加的和是一个直角，你说它特不特殊？那我们来一起要验证一下啊。那首先我们是不是得去找到这样的一个等腰三角形啊？那我们去做 t o 的 中垂线，再去做 o h 的 一个中垂线，它们是相交于点 m 的， 那此时我们连接 m h， 连接 m o， 可以 得到 m h 是 等于 m o 的， 因为中垂线上的点到线段两段距离相等，我们再连接 m g， 那 么 m g 也是等于 m o 的， 所以这里我们就构造了两个什么呀？等腰三角形。那刚才我说了啊，我们此时可以去证得这个角下这个角它是一个什么直角，对不对？ 那我们来一起证明一下。我们假设这里这个角是角一，那这个角就是角二。那角 m o g 为角三角， m o h 为角四，角三加角四，是一百三十五度的 角一加角二等于那角一，可以看作一百八十度，减两个什么呀？底角就是二倍的角三，同理角二也是一百八十度，减二倍的角四，那也就是三百六十度减二倍的角三加角四，那角三加角四，也就是我们的角 g o h 是 一百三十五度的，所以就是三百六十度减 二百七十度，等于九十度，那所以这里 g m h 啊，就是一个直角，那我们看到 a 点啊， a 点是负四零， b 点是零四，所以三角形 o a b 是 一个什么三角形呀？三角形 o a b 为等腰直角三角形，那这里啊，我们会出现非常多的等腰直角三角形， 那由于这里 a o 是 平行 g d 的， 所以这个角是不是也是等于角 b a o 都等于四十五度，所以三角形 h g d 也是等腰直角三角形 h g d 啊，也是等腰直角三角形。那由于 m h 是 等于 m g 的， 又这里是一个直角，所以 m g h 是 不是也是一个等腰直角三角形呀？ m g h， 那 此时啊，这些都是什么呀？等腰直角三角形，那我们可以得到 m h d g 是 一个正方形， 此时 m g 是 垂直 x 轴的，所以这里啊，是不是也是一个直角呀？那我们可以假设啊， m g 垂直 x 轴啊，相交于点 n 点，那在这个三角形 m n o 中啊，我们可以用什么呀？勾股定律，但是我们第一问要去证明的是 h a 方 加 g b 方等于 g h 的 平方，那我们是不是得去转换一下呀？那假设啊， h d 啊，与 x 轴的交点为一点，那么 h a 是 在这个等腰直角三角形 h e a 中啊，那我在写啊，在直角三角形 h e a 中， h a 是 等于根号二倍的 h e h e 是 不是又等于 m n， 所以 它是等于根号二倍的 m n， 那 么在直角三角形，我们依旧去找下一条边，就是 g b， 那 g b 是 在直角三角形 g b， 假设这一点为 f g b f 中， 那 g b 是 等于根号二倍的，什么 g f， 那 g f 是 不是又等于 n o 呀？所以是等于根号二倍的 n o， 那 最后一个就是在直角三角形，就是 g h 的 平方，那 g h 的 平方，它是在直角三角形 m h g 中， g h 等于根号二倍的 m h， 那 m h 又等于 m o， 所以 就等于根号二倍的 m o。 那 此时我们在这样的一个直角三角形 m n o 中，是不是已经找到了 m n n o 和 m o？ 那 此时我们要去求的是什么呀？平方，那所以我们要继续转化， h a 的 平方是等于二倍的 m n 的 平方， gb 的 平方等于二倍的 n o 的 平方， g h 的 平方等于二倍的 m o 的 平方。那此时我们在直角三角形 m n o 中， m n 的 平方加上 n o 的 平方等于 m o 的 平方，那也就是二倍的 m n 的 平方加二倍的 n o 的 平方等于二倍的 m o 的 平方， 此时也就是也就是 h a 方加 g b 的 平方等于 g h 的 平方啊，所以我们就转化成功了。那这一问怎么去转化的？首先是我们要知道这个 g o h 是 一个特殊的一个角，我们可以构造两个等腰三角形，那等腰三角形的顶角之合就是九十度。 再然后我们也看到要证明的是 h a 方加 g b 的 平方等于 g h 的 平方，很明显这是什么呀？勾股定律对不对？那由于这三条边啊，并不是在一个直角三角形里的，所以我们需要将它转换到一个直角三角形里的三边，那此时我们就可以用这个勾股定律啊去证明这样的一个式子。 那接下来我们再来看到这个第三问的这个第二小问，他也是根据我们这个第一小问有关系的，也就是 h a 的 平方加 g b 的 平方等于 g h 方， 那此时 m n 是 在这个地址的，那我们要去转换，我们是不是得把这几条线段啊，能用 m n 来表示啊？那此时 h a， 它是在直角三角形 h， 我 们假设这一点还是 e 点，这一点为 f 点 h a 它是在这个等腰直角三角形 h a e 中的，所以 h a 我 们可以转化为根号二倍的 h e 的 平方加 g b 的 平方，那 g b 又是在这样的一个直角三角形 g b f 之中的，那我们也是可以将它转化成根号二倍的 b f 的 平方 等于 g h， 那 么 g h 是 在等腰直角三角形 g h d 中的，那我们可以转化成根号二倍的 d h 的 平方。那关键是现在这个 h e 怎么去求呢？那 h e 在 这里 h e 是 等于 a e 的， 对不对？那么 a e 我 们知道 a 点 a o 是 四， o e 呢是 m， 所以 它可以是二倍的 h e 方加二倍的 b f 的 平方等于二倍的 d h 方，那二就可以约掉。所以 h e 就 就是加四加 m 的 平方，加 b f 的 平方，那 b f 我 们知道 b o 是 四，那 o f 是 嗯负 n， 所以 是四减 n 的 平方等于 d h， 那 d h 在 这里 h e 我 们已经求出来的是四加 m， 那 d 是 负 n， 所以 就是四加 m 减 n 括号的平方，那我们最终可以求得 m n 等于负八，那这个式子啊，需要大家去化解，然后去削圆，最后 m n 等于负八。那这一道题啊，我们首先在这个第二问考察等腰三角形，那等腰三角形要记住一个口诀，就是两圆一中垂。在我们的第三问 特殊的点在于这个角 gh 是 一百三十五度，那以它这个角为底角，我们可以构造两个等腰三角形，它们的顶角相加和是九十度的，那么让我们去证明这样的啊，我们要把它什么呀？放在直角三角形里，用勾股定律，那这道题啊就讲解到这里。
02:20查看AI文稿AI文稿江苏八年级娃的家长看一下，这是去年徐州期末考试的填空压轴题，这道题不难，但是孩子很容易出错，因为他是一道几何题，但是题目并没有给出我们图形，所以这里有一个小技巧，就是当几何题没有给图的时候，无图有偶，我们需要分类讨论。 其实出题人就是想考察孩子的仔细读题、审题的习惯和审题能力，因为题目当中会有关键词提示我们需要分题讨论。我们一起来看一下。在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于五角 b、 a、 d 的 平分线交直线 bc 于点 e， 若 c、 e 等于三，则平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长为多少？根据题意，我们先画出一个平行四边形 a、 b、 c、 d。 那 因为 b、 c 是 平行四边形的一条边，所以它是一条线段。但是题目条件又强调了是角 b、 a、 d 的 平分线交直线 bc 于点 e， 所以此时点 e 的 位置是不确定的，点 e 有 可能在点 c 的 左边，也有可能在点 c 的 右边，所以我们要分两种情况。第一种情况，当 e 点在 bc 左侧，也就是在线段 bc 上时，如图一所示。那我们知道平行平分得等腰， 也就是 a、 d 平行 b e， 所以 这个角 b a、 e 等于角 a、 e、 b、 e， 然后因为 a、 e 平分角 b a、 e 等于角 b a、 e， 那等量代换角 b a、 e 就 等于角 b e a， 所以 ab 是 等于 b、 e 的， 那 ab 就是 五， b、 e 也是五， 然后 c、 e 又是三。所以第一种情况， ab 加上 bc 就是 五，加八等于十三，那所以此时周长就是十三，乘以二就是二十六，所以第一个答案就是二十六，那第二种情况，当 e 点落在 bc 的 右侧， 也就是在射线 bc 上时，那 ab 还是五，那同样的道理， b e 等于 ab 等于五，然后 c e 又等于三，所以 bc 就 等于二，那此时 ab 加 bc 就是 五，加二就是七， 所以周长就是七的两倍，就是十四，所以第二个答案就是十四。最后总结一下，我们解决这种是几合体，但是题目当中没有给图或者只给了示异图的， 我们就需要通过仔细读题、审题圈、画关键词来看一看是不是需要分类讨论，从而避免漏写答案。大家明白了吗？好，关注杨老师学习更多解题方法，咱们下期见！
40苏科版数学杨老师
