数学必修二三棱锥棱长相等怎么画
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02:34查看AI文稿AI文稿素描基础第二课，三人追，让面旗手戴上投影 边缘收形融入暗面边缘展开推出背景 颜色不够继续加重 卡出重点，拉开虚实， 拿出叉刀对齐边缘 突出中心，拉开空间 来点细节展示画面。 hi bro 明天见。
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06:35查看AI文稿AI文稿大家好，在高中真的见过很多同学，函数导数，圆锥曲线这些都学的不错，但是呢，一遇到立体几何中的外接球问题就犯愁，有些甚至都找不到外接球的球心在哪。像这样的， 你可以多去看看立体几何中些外接球的模型，这些模型呢，基本上就能覆盖整个高中百分之九十以上的外接球的问题，直接屏蔽掉，你的空间想象力，谁来了 都可以用，能够快速帮你去解决问题，对吧？只要你能够找到题目中对应的条件，那就能够直接去写结果了。 今天我们先来讲第一个，就是双直角共斜边模型，什么意思呢？就是在一个三棱锥中，如果说有两个直角三角形是共有公共的斜边的，那么我们这个斜边就是这个外接球的什么 直径，那也就说斜边的中点，也就是我们这个三棱锥外接球的什么球心。那我们来看一下，那为什么是这样的呢？我们先来看一下，在这个三棱锥 p 杠 abc 中啊，我们的已知条件直接能得到，或者说从我们的已知条件能推出来，这个什么 p a 垂直于咱们的 ac， 还有一个条件，那就是这个 p b 垂直于什么 bc， 那 现在看一下，在这个三棱锥中，你 pa 垂直于 ac， 这是一个直角三角形， pb 垂直于 bc， 这是不是也是直角三角形？在具体的问题中，这个直角三角形可以是题目中给的，也可以是由题目中的条件我们推出来的，对吧？ 得到这之后呢，现在我们来看一下，我们这个直角三角形有一个重要的性质，就是斜边上的中线是不是等于斜边的一半？那现在我们来看一下这两个直角三角形有一个公共的斜边，就是谁就是 pc， 对 不对？ pc 是 它的公共的斜边，我取 pc 的 中点， 记着 o 的 话，我连接 a o 和什么 b o 的 话，你会发现这个什么 a、 o， 是 不是它是等于二分之一倍的什么 p、 c 的， 同样的你这个 b、 o， 你 也等于二分之一的什么 p、 c。 那 现在我们来看一下，这样的话，这个斜边的中点到 b 的 距离，到 a 的 距离以及到 p 和 c 的 距离是不是都是相等的？那根据球的这个性质，那球心到这个球面上的任何一个点距离是不是都是相等的？ 那这个求 o 是 不就是这个三棱锥 p a、 b、 c 的 什么外接球的球心？那知道了这个结论之后呢，我们来看一下这个例题，题目中给了我们一个菱形 a、 b、 c、 d 边长，告诉我是二，这个角六十度，然后呢将这个 a、 b、 c 沿着这进行翻折之后，我们翻折的过程中我们要注意什么在变啊？什么不变？然后我们得到了一个三棱锥叫 p a、 c、 d， 注意这里给的条件是要表面积最大的时候去求它这个外接求的什么体积？那现在我们来看一下这个 a、 b、 c、 d 这个菱形，这个角度是六十度，边长是不是等于二？ 它在沿 a、 c 在 折叠的这个过程中，哪些是变的，哪些不变，对吧？因为我们最终要求的是表面积。 咱们来看一下在这个折叠的过程中， p a、 c 和 d a、 c 这两个面是不是保持不变，都是两个等边三角形，而 p a、 d 这个面和 p c、 d 这个面，这两个面的面积是不是在变化？但是它两个面面积在变化的过程中呢？ p c、 c、 d 这个是吧？这两个边儿是不变哎？ pa 和 ad 这两个边儿是不是也是不变的？而且 pa、 d 和 p c、 d 在 变化的过程中，它们两个始终是保持全等的关系，对不对？ 那你现在要让表面积最大两个面不变，我就不管它了，我只管这个 p c、 d， 让它在这个变化的过程中是不是面积最大，整个表面积是不是取得最大？好了，那你看一下这个 p c、 d 这个三角形，对吧？这个边是二，这个也是二， 这个角度是吧？在这个折叠的过程中，是不是在变化它变化的时候，在什么时候，这个三角形 p c、 d 的 面积最大，是不是就可以了？那现在我们来看一下，因为 我们现在已经学了三角形的面积公式，是不是二分之一，对吧？两个边乘加角的是吧？正弦值，那就是 pc， 对 不对？乘上一个，这里是一个 cd， 再乘以 c 角， p c、 d 是 不是就可以了？那现在我们来看一下这前面是不是个定值，那现在只需要这个取得了最大值，这个取得最大值的时候，它是不是二分之派，对吧？也就是说在取得最大时候，这个角是不是直角？ 这个角是直角的话，那同样的这个 p a、 d 是 不是也是直角？那现在这就满足我们刚才讲的这个模型了，对吧？ 这个 p c、 d 和 p a、 d 这两个直角三角形有一个公共的斜边，就是什么 p d， 我 取 p d 的 中点就是这个三万锥 p a c d， 它的一个外接求的什么？求心？那现在的问题是不是转化成了求这个 p d 的 长度就行了？因为这个是二，这个是二，这还是直角，所以 p d 的 这个长度它是不是就等于二倍的根号二？那我们要求的这个 p a c d， 它的外接球的半径 r 是 不是就应该等于什么？ 这个一半？那是不是等于根号二？当外接球的半径都求出来了，我们要去求它的这个体积，直接带公式对吧？外接球的体积公式什么三分之四对吧？ 派二的什么立方对不对？直接带数据就行了，这个带数据我就不知道，算了啊，乘以根号二的立方 好了，这些模型呢，不止能够给你节省做题的时间，同时还能够帮助那些空间想象力不好的同学来快速的去解决这种立体几何的外接球问题。
86数学何思维
06:54查看AI文稿AI文稿本视频纯手工打造，耗时五百六十三分钟，总时长八分钟，带你一口气学会各种外接球模型，记住口诀，正棱锥中有限制，就在球心找勾股，先收藏再观看，下次遇到直接秒杀！不废话，我们直接开始 首先提到当中给了一个正三棱锥，也就是大家一旦看见正三棱锥，完全可以往这个模型里面靠。 我们发现，如果说我遇的是个正三棱锥，它有个特点，就是说点屁，它在底面圆， abc 的 外接圆的投影它在哪里呢？这里告诉大家，如果说我想画外接球，那么它的投影一定在外接圆的圆心上面，那我们一会来看一下，我们先回到这个圆体当中，在这个 p a b c 的 三棱锥的里面大概有这么一个心，那接下来我们连接一下 o p， o p 是 什么东西呢？同学们一起分析一下， o p 是 不是球心到我们整个的 球面上的一个距离，这个距离什么？这个距离，其实它就是半径，我们继续再往下看，那 o a 又是什么呢？同学们， o a 是 不是也是半径？那么 这两个半径就给我们提供了个思路，如果我能想办法把球心找到，找到球心之后，我再往底面圆做一个小小的投影， 这个投下来之后，投在底面的外心上面，我们设这个点为 o 一， 那是不是 o o 一 的距离就是 h 减二，那我们有了 h 减二之后，发现这里面是存在一个勾股钉里的，也就是说他在 o a o e 当中，这个外接球的半径呢？应该是满足勾股定律的，我们怎么列呢？一般来说，比如这个题目，我们知道高的，那么高是谁呢？其实不难发现，高应该是 o e p， 对 不对？那我们把这个要列勾股定律的这个小三角形给它画出来，就是这样的一个三角形， 大家可以手动列下勾股定律，那我这里也继续往下讲。我们发现大 r 的 平方，就是说 o a 的 平方，它应该等于小 r 的 平方加上一个 h 减大 r 的 平方， 这个就是我们正棱锥和正棱台、正棱柱他们共同经常使用的一种方案。 那我们把数据带进去，这个题应该就可以求解了。这里有个问题，小 r 怎么求？那么小 r 的 底面是一个正三角形对不对？ 正三角形，那它的边长是多少？它边长是三，那么它的高线是多少？是不是就是三乘二分之二三，那么它的这个 o e a 是 多长？ o e a 是 不是重心的位置？因为它三心合一，它既是外接圆圆心，它又是重心，所以它一定再乘个三分之二就可以了，它的长度呢，应该等于根号三。 那我们接下来的话呢，把这个大 r 的 平方再代入小 r， 代入 h， 我 们再算一下 h， 自然就是五了，我们整理一下， 那这样我就可以算出 r。 整个计算过程大家看似觉得很复杂，但实际上呢，为大家写好，大家感受一下这个运算过程。因为大 r 的 平方之后就会被约掉，所以它并不是一个二次函数，而是一个简单的向量的一次函数，这样的话，你会算出 r 是 等于二点八的。那这里这个模型，沈老师通过这样的一个例题， 通过这个非常直观的图形给大家讲好，希望大家呢一定学好之后要加以练习，大家可以一箭三连，关注我， 进入我的粉丝群，我的粉丝群呢，不定时的会发现练习题，你们有哪里需要的练习题呢？就可以直接在群里提出要求，我会找对应的练习题发给大家，包括这个模型的相关练习。 光说不做假把式，沈老师呢还是带大家去练习一道，看一下这种题到底是怎么做的。那刚才呢，我们发现我们的模型当中是可以解决掉什么问题，是不是可以解掉 棱台，圆锥，圆台只要是正三棱柱，只要是带正字的，或者说它是对称的，对不对？我们是不是都可以解决？那包括这个题的什么？这个题是一个圆锥，那我先给大家把这个图画好了， 那么这里面会涉及到一个知识点，大家对圆锥的理解，如果大家对圆锥的理解有缺失，那么请大家关注我，可以看我后续的作品，我后续的作品一定会推出圆锥的问题的相应的讲解。那我们针对这个题，先针对 我们如何求外接求的体积来出发。首先我们发现侧面为半圆，那么这里就要用到我们圆锥的一些相关内容，就是说它展开的这段的周长，它应该是等于我的底面圆的周长，换句话说就是这一条应该是等于这一条的， 列出相等公式，既我们可以得到 l 和二 r 的 关系是相等的。画好之后呢，我们为了用上这个侧面，也就是说它的轴结面，那么什么是轴结面呢？这里给大家画好轴结面就是这个结面，我们求解一下 它的轴结面的算法，应该是等于二分之一的二 r 乘上 h， 进而它是等于根号三的，我们呢就可以画一下这里面 这个 l， 它我们刚才算出来，它就是等于二 r 的 里面这个边是 r， 它的高是不是就在这个位置上？我们是不是可以通过勾股定律给它表达出来，对不对？我们列于勾股定律，其实我的这个 h 就 等于根号下二 r 括号的平方减去一个 r 方，那整体代入即可，所以我的结果等于根号三的 r 方等于根号三 以上呢，就是我们对圆锥的运算。那下一步是不是我们要通过我们刚才讲的这个方法来快速秒提了？ 我们第一步可以先假设到这个球心的位置，那么球心不妨设在这，还是这句话，这个位置就是 r， 那 么这个位置他也是 r， 那 么这个东西是不是就等于 h 减 r， 那 么这个东西是不是就是 r？ 大家直接列出勾股定律是不就可以了？我们继续， 所以我就会有根号三减去一个 o 一， o 二等于个根号下 o 一 o 二括号的平方， 再加上一个 o b 的 平方，我们展开两边同时平方一下就可以了。具体计算过程呢，大家稍微书写一下，所以整理展开就可以得到。我们发现这种类型问题，它的 o、 e、 o 都是可以快速计算的， 回头我们再把大 r 计算出来就可以了。那么大家可以发现这个题，我在计算的过程，我假设了一下这个变量，我没有用 h 减大 r 来计算这个问题，而是用 o o e 来计算整个的过程，这样是有一个独到的优势， 比如说我整个的球心如果位于面的下面，那我 o 一 算出来就是个负数，这样方便大家对这个题型的理解。 那当然大家如果说老师我就想用你教我的公式记这个 r 方，它就等于 h 减 r 的 平方加上一个 r 方可不可以？其实也是 ok 的。 好，希望大家对这个方法要有一定自己的理解，那我们表达外界球体积就可以了。结束 那以上就是沈老师对这个圆锥这类外接球的一个算法的理解，希望大家在做完题之后呢，一定要反复的去思考，把整个题有缺失的地方告知沈老师。今天的这个知识点我就讲到这里， 大家可以关注我，一键三连，进入粉丝群领取相应的对应的资料。关注我，我是数学沈老师，带大家快速通关数学。
266本质数学沈老师
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04:46查看AI文稿AI文稿警告！高中数学立体几何板块还不会的看过来，本期视频带你一口气吃透对棱相等的外接球模型，学会直接秒杀题目，先收藏再观看！不废话，我们直接来看题目 有一类题就是三棱锥的个个边长都是相等的，让我们去求外接球的半径，这个时候我们怎么理解？其实沈老师告诉大家，在三个 三对棱他都相等的情况下，其实这样的三棱锥他是可以放进一个长方体当中的，我们不妨先假设他们的每个边长都是 a、 c、 b， 把它假设好，这个时候能发现他一定是能够放进长方体的 这个长方体的。那如果说大家对于这个长方体的这个画法有什么疑惑，大家不妨拿个长方体出来试一试。你把每一个对角线斜着画，比如说 上面这个对角线左下到右上的，下面这个对角线就是右下到左上的，这样都连起来之后，这个长方体里边一定会存在一个对龙相等的这么一个三棱锥。 那继续我们不妨去设这个长方体的每个边长为 x、 y、 z， 那 这样我会发现，如果我能算出来整个长方体的体对角线是不是这样的，红色的这个三棱锥，他的外力球直径就可以算出来了，没错的，那我们继续，我们这里面发现这个 abc 其实隐藏了一些关系，比如说 a 方其实就等于 x 方加 y 方，对不对？比如 b 方就等于 y 方加这方，那比如说 c 方就等于 x 方加这方，那我们把这些关系写好，那写好之后我们把它整理一下， 我们就可以得到 a 方加 b 方加 c 方，把上面设置两两相加就可以得 a 方加 b 方加 c 方，等于二倍的 x 方加 y 方加这方。 那有了这个东西干嘛呢？因为大家不难发现，整个三棱锥的外接球的二 r 和长方体的外接球的二 r 应该是一致的。好，所以我们把长方体的二 r 写出来，它就是二 r 等于根号下 x 方加外方加 z 方， 那么我们再把这个 x 方加外方加 z 方，换成二分之 a 方加 b 方加 c 方，我就可以得到结果了，那我的结果就这个， 那这个公式就是一个经验公式，大家务必要把它背下来，以及我们在什么时候会用它呢？那自然而然就是 我们在这个三棱锥他对棱相等的时候，或者说四面体他对棱相等的时候就可以用。对棱是谁？对棱是 abc， 因为六个棱相等，他有三组 abc， 你 直接用就行了。 那沈老师再给予大家一定的总结。三棱锥对棱相等模型，首先你要读题有没有三组对棱相等模型，首先你要读题有没有三组对棱相等，如果有，你把它标出来，那么你的二啊，注意是二啊，他就一定等于根号下 二分之 a 方加 b 方加 c 方。细节注意一下，这个二在根式里面，这个二 r 算出来是提掉线，所以这里面他是有二的， 当然有很多可能会把这个二给他放进去，或者把这个二给他拿出来油理化一下，这都问题不大，只要大家能记住就可以了。好，这里弹一下 abc， abc 就是 三组相当的。对了， 话不多说，我们一起来用公式来验证一下我们这个公式的效果，能不能达到一个直接秒提的效果，我们一起来试一试。二 r 等于根号下 二分之五的平方加上一个二倍，根号五的平方，加上一个根号十三的平方，结果是不就直接出现了，大家不妨计算一下，那所以二 r 等于根号二十九， 这里面我们要算的是表面积记四 pi r 方是不是直接平方成个 pi 就 可以了，所以秒杀。这里大家可以发现沈老师对于这个题的理解是我们学会秒杀就可以了吗？ 不是这样的，我还是希望大家能够像我一样手动的画出一个长方体的里面存在的这么一个 对棱相等的三棱锥，这件事情我觉得比背公式更有意义。石老师给大家画一下，首先我画了一个非常特殊的长方体啊，如任何一个长方体都可以，那接下来看我操作，随便连一条， 底边连一条，这两边连一条，当然实际上看不见的线大家是要用虚线来表达的， 继续相连，在这个位置，我们再把这个面对角形相连在这个位置再一相连， ok， 成了，也就说每一个长方体当中都可以画出这样的一个对龙相等的四面体。希望大家把这个技巧理解好，先扭一扭， 一边扭一扭，第二边连线，第三边连线，那么三组对边相等就出现了。今天的课程给大家讲到这里，大家可以关注我，有很多比较有意思的数学模型， 我都会总结好发到我的粉丝群里面，希望大家一箭三连，关注沈老师，沈老师手把手带你通关数学。
148本质数学沈老师
05:26查看AI文稿AI文稿大家好，这个视频我们来看一下三棱锥外接球模型中的第二个叫对棱相等模型，什么意思呢？也就说通过这个已知条件，或者说我们可以推出来在一个三棱锥中，他这个相对的棱是相等的，这就叫对棱相等模型。 那对棱相等的这个模型呢？它是可以放到一个长方体重的，也就是说这个对棱相等的这个三棱锥，它和还原之后对应的这个长方体，它的外接球的这个直径和半径 是一样的。那我们就把一个我们不太熟悉的或者比较复杂的转化成一个我们熟悉简单的模型来进行调节。那具体怎么转化呢？我们来看一下这个三棱锥中的对棱相等，我们假设这三条棱的长度分别为 m、 n 和什么 t 的 话，那对应的在这个转化之后的这个长方体里面，你看一下它是不是就是三条 那面的对角线，对不对？因为在长方体也好，正方体也好，它对应两个面前和后两个面的这个对角线是不是相等的？左和右两个这面的对角线是不是也相等的？同样的上面这个面和下面这个底面， 它的这个相对的这两个对角线是不是也是相等的？这样子的话，我们就假设这个是 m， 这个是什么 n， 这个为 t。 好 了，这样子的话，为了 方便我们去利用这个长方体起对角线来求这个对棱形的模型的这个三棱锥的外接球的半径，我们就假设这个对应的长方体，他的这个三条这个棱的长度分别为 a、 b 和什么 c。 那 现在我们来看一下，我们把这个还原成一个长方体，他对应这个三个棱的长度和 对应长方体的三棱之间有什么关系？我们先来看一下，在 a、 b、 b 一 这个直角三角形中，我们由勾股定律是不是能得到 m 方，是不是就等于这里是不是 a 方 加上 c 方，对吧？那同样呢，在这个 b、 e、 b、 c 这个直角三角形中，咱们的 t 方是不是就等于 c 方加 b 方？最后一个同理，我们的 n 方是不是就等于 a 方加 b 方？那那写这个关系呢？就是为了让我们最后得分公式是用 m 和 n、 t 来表示的，就是已知的这对棱相等的三条棱，对不对？好了， 那因为大家都知道，在长方体中，它这个体对角线就是这个长方体外接球的直径，对不对？那这个长方体的体对角线 d、 b、 e 怎么求呢？它很简单，就是三棱什么平方之合再开方，它就等于谁 a 方加上什么 b 方加上 c 方。 那现在我们看一下，我们要求这个和我们这有什么关系呢？你观察之后，你会发现我们这里的 m 方 加上什么 n 方，再加上 t 方里面的每一个 a 出现两面， b 出现两面， c 是 不是也出现两面？所以给它除以二，是不是就等于 a 方加上 b 方，再加上什么 c 方，是吧？那这样子的话，我们可以直接把这个公式化，那对棱相等这个三棱锥，它外接球的这个半径 就等于来看一下，是不是我们先要把我们三个棱，对吧？这个是 m 方加上 n 方加上 t 方，先要出个二，对吧？然后呢， 最后开方之后，这是不是它的起对角线？我们起对角线是它的直径，我们求半径，我们最终再给它除以二，是不是就得到了这个三棱锥的外接球的半径了？那以后我们 直接就可以带公式来帮助我们去解析了下来，我们看一个例题来看一下，这里给了我们一个三棱锥， p a， b， c， 告诉我 p a， b， c 相等，哎， p b， a c， a， p c， 什么 b 相等？ 那题目中告诉我这些是不是对棱呢？其实也很好区分，在一个三棱锥中看一下这个棱两个端点和这个棱两个端点没有公共的字母，它就一定是对棱，看一下这个是不是对棱， 这个是不是也是对棱，这是不是也是对棱？既然我们已经确定了，那我们现在就不必画图了，直接带我们的公式，我们的外接球的半径 二，他是不是等于来我们看一下三个棱什么的平方之合，注意这里，那我们带上中国号，第一个是不是五的平方，加上第二个是根号 十三的平方，然后再加这个是二倍的根号五的平方， 然后这个要干什么？记住这个啊，这个先要除以二，然后开方之后再除二才是我们这个的半径，对不对？有了半径之后，外接球的表面积我们直接带，那个外接球表面积的公式是什么？是不是四 派二的平方直接带计算交给自己算，这里我就不再算了。
67数学何思维
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04:45查看AI文稿AI文稿最后一次给大家全面总结一下外接球的所有的方法，最后一次把外接球的方法所有全给你总结一遍啊。 首先第一个看好了啊，你外接球，我最后再给你总结一次，所有的三轮追任意球，外接球，我们全先往这些模型上套，套不了了，你再去找球心再去做啊。 好，第一个就是长方体外接球，长方体外接球半径 r 应该等的是二分之根号加 a 方加地方加 c 方， 那么以下三种三种球是和长方体的球是已知的，我们画一下啊，就是它的外接球就是长方体的外接球。以下三种三个这个题 c 选项我要讲的东西很多啊， 你光会模型你也没用啊，你模型你套不进去有啥用啊？首先第一个墙角三角锥，就只要是你这个三棱锥的凹点，是长方形的凹点，就可以这样进行转化啊，所以第一个是墙角三棱锥，第二个呢，是对棱相等的三棱锥， 这个面就是以面作为作为边长，面对角线作为边长的啊，这个三棱锥都画实线，画虚线啊啊，这个三棱锥。然后还有一个是变道， 就是侧棱垂直于底面的三角锥啊，就这个就这三个三角锥，它可以转化成长方形的三角锥啊，一二三三四五啊，有一条侧棱垂直于底面的三角锥，它的这个外形属于半正公式， r 方就应该等于二分之一 h 的 平方，加上小 r 的 长度， 这是有一条侧能垂直于里面的三个柱，它就相当于组成什么呢？组成三龙柱里面不一定是直角三龙柱啊，组成三龙柱，所以它的这个垂心一定是上下两个外心的连线终点啊， 上下两个外心连线的终点就组成三龙，不是三龙柱吗？哦，第三种，第三种是。 第三种是啥来着？第三种是正能追和什么呢？正能追和正能台，正能追正能台的手法都是一样的。好，我们先画一下正能追啊，因为它是正能追，所以顶点在里面的投影是什么？顶点在里面的投影是， 哎，它的外形也就是中形啊，因为里面正三角形，所以这是点 p， 这是 a， 这是 b， 这是 c 啊，点 p 在 里面的投影，这个点是点 o， 然后呢，我们找一下，它的外形一定要落在这条线上，这是 o 一 吧，这是 o。 好， 我们连一下，它也是剪一个直角三角形啊， 所以这段长就是 r， 那 么这段长也得是 r， 这段长就是 h 减 r， 这段长是底面外径圆，外径小 r， 所以 它的公式是 r 方，等于的是小 r 的 平方加上一个 h 减 r 的 平方， ok， 这是正能追，正能追啊，那正能抬呢？你就记住我们我之前给大家讲过，只要是棱台问题，都在干嘛第一时间是个化成棱锥。你像你这次考试，你是棱台，你化成棱锥这个题做起来就要比你不化成棱锥， 反正你画上去可能也做不出来，是吧？啊，对，没发现哎，但是你画成棱锥的话，你是不是很快就可以把 a 选项出来了，对不对？哎，你图一画出来， a 选项一选完，你就走出来拉拉走，对吧？好，下面我们看啊， 棱台，棱台啊，和棱锥的感觉大概都是差不多的，公式都是一样的。如果是正棱台的话，啊，棱台怎么去找呢？棱台也得是上下两个外心的连线 都得是这样的，你这不是连他吗？那球形就在这上面呗，只不过这个球形你不知道在哪，那你怎么去建立哪条关系呢？这是半径 r， 这是半径 r， 这是上面小半径 r 一， 这是下面小半径 r 二。所以他根据公式就应该是根号下 大 r 的 平方减去 r 一 的平方，加上根号下大 r 的 平方减去 r 的 平方等于 h， 这是其中的一种情况。注意啊，这是其中一种情况，不是说棱台用六根来算的，因为我现在放这种情况下，这个球心弧是在内部，棱台是不是可以？球心弧是在外头， 如果球心 o 在 外部的话，它就应该是什么样子，它得是根号下 r 方减去 r 一 的平方，减去根号下 r 方减去 r 二的平方，等于一次是两种情况啊。所以你考试的时候，那你说老师考试时候我用不用分析？ 我用不用分析这个球心 o 到底在内部还是外在部？不需要分析，你全部都用第一个做，第一个做不出来，再用第二个做就完事了。 你第一个做不出来，第二个就这么就这么去做几个，你绝对比你判断出你要方便，因为你会发现第一个做不出来的原因是什么。你拍完之后，平方等于是个复制，平方的复制，所以就不出来了。好，这是正能推正能抬的作用啊。
3006大连浩然数学
04:00查看AI文稿AI文稿这道题呢，是二零一九年的一道执教高考题，我们看一下侧棱和底面的边长都是一侧棱哎，这叫侧棱， 底面边长都是一，这样的一个正三棱锥，它的体积是多少啊？那注意了啊，正三棱锥，什么是正三棱锥？正三棱锥就说它的顶点，将来它的色影，顶点的色影一定要落在底面 b、 c、 d 的 中心上，这叫做正三楞椎。而正三楞椎是不是都是正四面体？为啥要提正四面体？因为这道题他说了侧楞和底面的边长都相等，那这个它就是一个正四面体啊，正四面体。注意了啊，正四面体是正三楞椎的一种特殊情况， 正三棱锥，只要说这个顶点，顶点的射影落在底面的中心上，也就说高一点，顶点高一点，高一点，那说成的三棱锥，它都叫正三棱锥，但是只有它的各个棱，我们来看一下，是六个棱啊，六个棱都是都相等的时候才叫正四面体，而这道题正是出的正四面体。正四面体大家一定要掌握，因为考试的时候往往 以它为背景来设计题。我们来看一下，当它的边长都是一的是多少。首先我们知道棱锥的体积公式， v 等于三分之一 h， h 代表的是底面积， h 代表的是高，那这个底面积很好求。底面积是一个等边三角形，它的边长是一，那这样的一个等边三角形的面积是四分之根三，也就说刚才我想给大家说的，只要是正三角形，它的面积就是四分之根上 a 方 a 代表的是边长 边长，那么这个 a 七注意了啊， a 七不太好求，也就是这个正三楞锥，这个正四面体，它的高，怎么求啊？注意了啊，它这个摄影，摄影一定是落在了下面三角形 b、 c、 d 的 中心上，它所谓摄影就是这个啊，假说是 o a 的 a 的 摄影，这一点呢，是 o 点 o 点 a o 一定是垂直于底面， b、 c、 d 的， 一定是垂直的，那么这个 a、 o 的 长度是多少？我们要求出来 怎么办？我们来连接一下， a m a m， 我 们来观察这个三角形 a m o 这个三角形，这个三角形它就是一个直角三角形，而这个 a m 的 长度，我们可以算出来，它是二分之根，根三的，而这个 o m 的 长度不太好算 o m 的 长度， o m 的 长度怎么来算，怎么来算？我可以把这个底面儿呢，做一个平面儿给大家拉出来，拉出来呢，下面它就是一个，就是一个，呃，等边三角形啊，等边三角形，你看一下，这是 b d， c 啊， b d， c， 然后这个终点 m m， 然后这个 o 点在哪呢？ o 点它，我们知道正三角形的中心，中心是它的角平面的交点，或者说高的交点都可以，这点是 o， 所以 说要求这段的距离，这段距离 o m 的 距离。注意了啊，这个应该是，这都是垂直的啊，这都是垂直的，所以说你求 o m 的 长度怎么办呢？可以借助于这个小的直角三角形 o b o 就是 c b o 啊， c m o 这个三角形去解决啊，由于 cm 这段是二分之一，二分之一啊，而这一个呢，是 这个。注意啦，整个大角是六十度，这角是三十度，三十度啊，所以三十度所对的边和六十度所对的边，他俩有一个关系，什么关系？就是三十度所对的边的根三倍等于六十度所对边的长度，也就是说拿二分之一除以一个根三， 就得到了 o m 的 长度，等于个六分之根深，这是 o m 的 长度， o m 的 长度算出来之后，然后下面我们是为了算 a o 的 a o 的 a o 怎么算呢？ a o 等于根号下，在这样的直角下去三角形中去解决，应该等于 a m 的 平方， a m 的 平方去减去一个 o m 的 平方。代入数据能得到这个结果是三分之根六，三分之根六，我们就算出来了 a o 的 长度啊， a o 就是 高，所以这个时候呢，我们代入公式 v 就 等于三分之一，乘上底面 四分之根三，然后乘上这个高三分之根六，三分根六，所以最终能算出来，算出来这是这个约一个，他应该等一个跟三，然后再约一个，这个是一个根二，在上面呢，就有了一个根二，下面是一个十二，所以最终结果是十二分之根二。记得点赞关注哦！
12静待花开🌹
05:11查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天继续来分享一套期中考试的真题卷，这道题他说四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形，一条边长是三，一条边长是四，然后有一个角是三分之派。好，它大概长这个样子， 然后它说要将 a、 b、 d 沿着直线 b、 d 翻折，那么我们先把 b、 d 连起来，其实就是条对角线， 得到一个三棱锥， a 撇 b、 c、 d。 哎，那我们要先清楚，要大家要先想到这个图形大概长什么样子，它就相当于说我把这个底面，我沿着 b、 d 这个棱，我给它立起来， 变成这样子， a 撇出现在这个位置，以 a 撇为顶点， b、 c、 d 为底面，它可以构成一个三棱锥。好，他说 a 撇、 c 为根号十三，那我们大概找到这个 a 撇的位置，让我们求三轮锥 a 撇、 b、 c、 d 的 外接球的面积，那么我们还是一样要求外接球表面积，肯定还是要求这个 球的半径，那么我们来观察一下，我们现在可以知道哪些东西。 ab 是 四，那我所以我折叠 a 撇 b， 他 也是四， ab 是 六，那所以 a 撇 d， 他 也是 那 a、 d 是 三，所以 a 撇 d 也是三，然后又是平行四边形，所以 a 撇 b 会等于 c、 d。 这两个边都是四， a 撇 d 是 三，那 bc 也是三，这也是三。所以我们观察到这个地方的时候，大家一定要想到它其实就是一个对棱长相等的三棱锥。那么我们对于这种对棱长相等的外接球求法 只有一种，就是把它补成一个长方体。我们先来验证一下，要求一下 b、 d 的 长度，只有 b、 d 等于 a 撇 c 的 时候，我们才能说它，严格的说它对棱长相等。好，那这个 b、 d 怎么求？我们知道角 a、 b 方加 a、 d 方 减去二倍的 a， b， a、 d 考三 a 啊，就算出来 b、 d 方 b、 d 方等于 a， b 方加 a， d 方减去二倍的 a， b， a、 d 算 a， a、 b 方是十六，加九减去二乘四乘三，再乘以二分之一， 算下来是十三。哎，所以我可以发现 b、 d 其实也是根号十三，那当 b、 d 是 根号十三的时候，它们就是一个 b、 d 等于 a 撇 c 都是根号十三，严格的来说它就是一个对棱长相等的四边，那么当它们对棱长相等以后，我们就来看一下啊。我们以这个图为例， 红的这两个边相等，蓝的这两个边相等，黑的这两个边相等，这是不是一个对棱长相等的四棱锥？我们如何把它补到长方体内呢？那其实就是 令这分别相等的六条棱作为长方体的六个面的面对角线，就恰好可以补成一个三轮锥， 观察一下，这是红的，旁边这个也是红的蓝的，然后还有一条黑的是在正面，正面一条 后边一条可能比较抽象，但大家如果换个角度的话，其实完全没有问题。比如说我们以这个地方，这有个小底面，以它为底面的话，我们的顶点其实就应该是它，也就是 a p。 所以 我们要先求一下这个地方长方形的外接球， 那么长方形的外接球半径大家一定知道，他的半径一定是体对角线的一半，那就是二分之根号下长的平方，加宽的平方，加高的平方。那么我们要找一个关系，就是我们分别画的这个三轮锥的这个 六条棱分别与长方底的长宽高都对应什么关系呢？我们不妨令这个蓝色的就是 x， 令红色的是 y， 令黑色的是 z。 我 们可以观察一下，红色这条边正好是 宽的平方加高的平方开根号，黑色这条边正好是长的平方加高的平方开根号。蓝色正好是长和宽，所以我们可以写成这个样子啊。到这个样子以后，我们只需要把 x 方加 y 方加 z 方加起来 就会得到两倍的以对角线的平方，那么我们就可以得到由上面那个式子，我们把上面这个式子可以发现，它除过去是二 r， 它平方以后是四 r， 所以 它这个部分再乘以二就会变成八 r 的 平方。那么至此我们就得到了一个重要的结论， nice！ 对 于对棱长相等的四面体的外接求半径与它们的棱长一定会满足这个关系，就是 x 方加外方加 z 方等于八 r 的 平方。 好，然后我们来把它再去算一下， x 方是九加十六加十三，再给它除以八，再给它开根号 就等于八分之三十八，然后再给它除以二四分之十九，它根号以后变成二分之根号十九。所以我们可以得到 r 等于二分之根号十九以后，那么它的表面积就是 四派， r 方就是四派，乘以四分之十九，那就等于十九派。
38函数魔导师
03:06查看AI文稿AI文稿用三百六十五天讲明白高中数学的三百六十五个知识点。今天要学的是平面结三棱锥， 今天我们来研究一下平面来结三棱锥所得的锥体的体积之比。 你比如说三棱锥 p、 a、 b、 c 有 一个结面去结，它与这个棱的焦点分别是 e、 f、 g， 如果上面这个 p e、 f、 g 这个三棱锥，那么它的体积是 v， 用 v 一 来表示的话，下面这个 a p a、 b、 c， 我 们用 v 二来表示，那么意思就是 v 一 比 v 二都得少。 那我们说既然是体积之比，就得把体表达出来。那么对于上面这个三棱锥体积和下面三棱锥体，它们的底没有任何联系，如果按照 e、 f、 g 和 abc 的 话，底是没有联系的，那么高呢？也没有联系， 我们可以换一个底，我们可以以侧面为底，那么也就是说你上面这个三棱锥的体积考虑的是可以用三分之一倍的底，面积用的是三角形 p、 e、 f 的 面积，那么乘以的是这个高，高是 大 g 这个点到这面距离，我可以表示成 d， 这么写大 g 到这面距离。那么对于底下这个三棱锥的体积，它是三分之一倍的三角形，那么 p a、 b 的 面积， 我再乘以的是 c 点到这面距离， c 点到这面距离，那么这个面积怎么来表达？ 我们可以考虑用二分之一的 a、 b 三 c 公式，所以它等于的是三分之一乘以二分之一倍的，那么 p e 乘一个 p f 再乘一个三，这个角，我设这个角是奇的角， 我再乘以一个三，以习的，我再乘以的是大 g 到这面的距离，那么就是三分之一乘二分之一，这里什么 pa 乘以个 p b， 再乘一个三，以习的再乘以，那么 c 点到这面距离，对吧？ 你会发现约掉，约掉、约掉，而这个大 g 到这个面距离和 c 点到这个面距离，我们做垂直来看，我们做垂直来看，你会发现他俩的之比就等于他俩之比， 也就等于的是 pg 比上 pc， 这是 pg 比上 pc， 所以 我们最后得到的结果呢？那就是 v 一 比上 v 二，那就等于的是 pe， 这是 pa， 这个是 p f， 这是 pb， 那 么这个是 pg， 这个是 pc， 结果就是它。同学们，你们听懂了吗？
54关关有数
