温岭数学二模最后一题多方法
各位同学大家好，温岭和金华两个地区数学二模都已经考完，那么在这里边我第一时间做了二模的试卷。第十题，第十六题，二十三题，二十四题，非常建议大家去做一做，其他的题目同学们可以根据自己的实际情况进行选择， 那么两个地区呢？第十题，本次考察的内容都是重点，函数图像问题，第十六题，考察的内容都是翻折问题，所以同学们，这两类内容大家要重视起来。 二十三题，更推荐大家仔细的去看一看。温岭的试卷里面二十三题，二十四题，这一次考察内容都是原综合问题，那么各位同学如果需要试卷的话，可以私信我的账号进行领取。
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00:29查看AI文稿AI文稿这是今天刚考的台州温岭的二模卷，题目难度要比清华的统考卷要稍微难一点。比较值得做的题目有选择题的第十题，填空题的十六题，都是比较常规的题目， 难度比较大的题。在大题的第二十四题啊，其中的第二问相信很多人没有做出来啊，需要用到圆密定律里面的割线定律，非常值得一做。
416宁波朱老师
15:33查看AI文稿AI文稿好，各位同学呢，今天我们讲一下这个台州二模的试卷啊，这台州二模这个试卷呢，整体呢，除了难度并不算大，但是呢，我感觉它除了有些题目出来还是比较新颖的，这个二十三题出来还还不错啊，我给大家重点讲一下这个二十三题啊。 好，我们先看这个十六题啊，他说将 a b e 啊，然后三角形里面 d e 折叠呢，折到 f d e， 然后若重点来了，若 c f 等于三 a f， 对 吧？ f e 垂直于 b d。 好，那么我们说，如果看到，看到什么 c f 等于三倍的 f， 我 们要想到勾到什么，哎，平行相似，对吧？我们说平行相似， 是很容易将这个线段比例进行转化，对吧？所以这题呢，我们可以勾到一个平行相似，那，那再结合这个 f 一 垂直于 b c 呢？我们最简单的平行相是什么？我们勾 f 呢？做垂线，哎，我们假如这点为 e f g， 那么来看啊，哎，如果说 f g 平行于 a b， 那 么角 b 是 不是等于角 f g c 等于角 c 啊？哎，所以呢，它就可以得到什么哦，这个 g f 等于 c f 啊，所以什么 g e 等于 c， 一， 对不对？第二个，你 c f 啊，等于等于三倍的 af， 你 平行相似啊，这个 c f g 相似于 c a b 啊，是不是可以得到这个 c g 等于三倍的什么 b g 啊，对吧？所以呢，如果说 b g 为 x， 那 么它是不是三 x 啊，对吧？所以 e f 比上 e c 啊，那注意，我们这里还藏一个条件，就是什么，你这个 e f 啊，是等于什么 b e， 对 吧？所以它就 b e 比上 c e， 那 它就是什么哦， x 加一点五 x 比上什么一点五 x， 对 不对？ 所以它就是一个什么五比三啊，对吧？这题呢，哎，我们构造这个平行相似是最简单的，但是平行相似里面我们还要考虑到， 对吧？第一个，你肯定是构造平行相似的，因为你是一个比例，对吧？第二个呢，我们要结合这个 f 一 垂直于 bc， 所以 我们这样构造平行相似呢，再结合三线条，三线合一，那就比较简单了。好，我们重点讲一下这二十三题啊，这个二十三题是比较有意思的， 来，我们来讲一下啊。第一个呢，第一个呢，你就比较简单了，就直接印单，哎， 那么我们说五等于什么等于 a 减 b 加二， e 呢？ e 等于 a 加 b 加二，那么两次给它什么相加可以得到什么哦？ a 等于一，那么 b 呢，自然等于二，对吧？ 所以 y 等于什么？ x 方加二， x 加那带进去哦，我们一定要进行验算啊，像这个呢，我们就算错了，因为它 b 呢，等于负二，对吧？你看，一定要验出来，所以 y 就 等于什么？ x 方减二， x 加二，我们把一一带进去是二吧，是一吧，把负一带进去是五吧。好，他说二小于 y 小 于等于四，那自然呢，就是 二小于 x 方减二， x 小 于等于四，对吧？加二等于四，所以说零小于 x 方减二， x 小 于等于什么？二， 对吧？那么就给它两边加一，就一小对， x 方呢？减二， x 加一，小对什么三，对吧。所以我们解这个方程呢，它最后就是什么哦，就是一减根号，它 小于等于 x 小 于等于零，然后呢，二小于等于 x 小 于什么？一加根号三，对不对？如果从图像到哪看的话，它实际上就是这么一个图像， 这是二，这是四，那这边呢？是零，这边是二，这边是一减根号三，这边是一加根号三，对不对？那么第三问呢，就比较有意思了。 第二，他说 p q 啊，在第二个的取值范围内，什么意思啊？实际上就是什么？就是 p q， 这个 m m 加一啊，你要都小于等于四，对不对？ 那你解出来呢？实际上二小于等于小于等于三，对吧？那么这题呢，第一个核心你要知道哦，它 m 呢，是从二变化到三呢，对吧？第二个呢， 他说 q 大 于屁啊，所以呢，这题呢，我们要进行一个什么分类讨论，对不对？ 为什么要进行分类讨论呢？那我们把这个图呢，给大家详细的画一下哦，感受一下。第一个呢，这边它是这么一个图像，对吧？好，这是 零啊，这是二，解出来是零和二，对吧？那么画一个什么？我们画一个三，注意，我们先画个三，再画一个四啊四，那三呢，我们可以解一下，它实际上呢是 一减根号二和一加根号二，那么四呢，它就是一减根号三，原来是一加根号三，我们先把二三四给画出来啊， 让我们来看，我说二小于等于 m 小 于三，且什么 q， q 什么大于屁，对不对？我们先来看，那么既然 q 大 于屁， q 必定在 右侧，对不对？你 p 可以 在对称轴的右侧，就是说我们 q 呢，它必定在什么？ 在 x 等于一右侧，对不对？所以你 p 呢？这题我们先分类讨论，就是 p 可以 在左侧，也可以在什么右侧，对不对？那么先讨论第一种情况， p 在 左侧，我们来看啊，那么随着 m 的 随着 m 的 变大， p 呢？是在变小的，对不对？你看 m 变大， p 在 变小，哎， q 在 什么？ q 在 变大，所以这种情况是最简单的，那么 q 减 p 的 范围呢？它就是 就是什么哎，就是开就是 m 取最小的就是 m 等于二，这种情况， m 等于二，那么 m n 加一呢，就等于三，所以他就是什么一加根号二减去这边的什么零，对不对？那如果 m 等于三，他就取得最大值，就是什么 m 等于三，那这边呢？去到四就是什么一加根号三减去这边二就是什么一减根号二，它就是什么根号三加根号二，对吧？所以在这个 p 在 左侧的时候啊，那就是根号二加一呢，小于等于 这个 q 减 p 小 于等于根号三加根号二，对不对？那么 m 在 右侧呢，就比较麻烦了， m 在 右侧的时候啊，就是 p 在 右侧的时候， 我们发现什么，就是随着 m 的 变大，你 p 和 q 都在变大，对吧？所以这时候你就没办法，哎，你，你求 p 和 q 的 最大，对吧？所以我们这时候呢，我们给它减一下，就我们让零加一减去 m 是 不得 q 方减二， q 加二减去 p 方减二， p 减加二，对吧？那左侧的一就是 q 加 对 𠲎 q 减屁，那个 q 加屁加减二，对不对？ 那这个就比较有重要了，那实际上这时候 q 减屁呢，就得他妈一除以 q 加屁减二， 唉，那这时候，唉，我们这时候，大家看你，你 m 变大的， q 加 b 都在变大，所以你这个 q 加 p 的 最小值， 是不是就 m 等于二的时候，他们俩可以取得最小值啊，他们最小值就是什么？唉，就是二 加一加根号二，对不对？那么 m 等于三的时候，他取得最大值，就 q 加 p 的 最大值就是什么？唉，一加根号二加一加根号三，对不对？ 所以这边呢，我们带进去就是这边就一除以什么一加根号，这边就一除以什么根号三加根号对 𠲎， 所以 我们给他。 那既然你取最大，所以你到处呢，就取什么最小，对吧？你取最小，你到处就去取最大，对不对？所以他就是什么？ 哎，小于大于等于根号三减，根号小于等于什么？根号二减一，对不对？所以它就是这两个的一个倒数，对吧？哎，根号三减，根号小于等于 q 减 p 小 于根号二减一，对不对？你看非常对称吗？那这题呢，出的就非常好了， 质量还是比较高的，他考察了一个，是吧？哎，第一个就是什么 p q 在 预测的时候啊，我发现随着 m 的 变大，哎， p 在 变小， q 在 变大，所以 q 减 p 呢？实际上随着 m 的 变大呢，它在变大，对不对？ 那么当 p q 在 同侧的时候啊，我发现 m 变大的时候，你 p q 整体来变大，对吧？但是注意，这时候我们有一个约束条件，就是什么，一等于 p 减 q 乘一个 p 加 q 减二，对吧？你虽然两个都在变大，那么可以根据你这个来求得它的范围，对吧？因为你 你 p 加 q 随着 m 的 变大而变大，所以你有最大者，最小者，对不对？所以这题呢，我们要哎分类分 p q 在 同侧还是异侧 啊？我们说同侧和异侧是针对这个 s， 哦哦，不对称头，针对对称头，所以这题呢，出了非常不错，他这个二十三题还是很有这个思考的味道了，我们讲一下二十四题， 二四题呢，就是一个非常经典的一个圆的应用，那这题呢，难度不算大哦，主要是辅助线比较难讲。我们来看第一个说什么 b e 等于 b f， 对 吧？然后角 e， b f 等于一百度，求 e d f， 那 很简单啊， 我说这个角 e、 d， f 啊，加上角 e、 d a 呢，实际上得一百八十度，对不对？也就我们发现这个角 e、 d a 啊，它让加上角 a、 b、 f 也是一百八，对，所以角 e、 d、 f 呢，实际上就等于角什么 abc， 也就得什么八十度，对不对？ 哎，那么注意啊，你在这边有这个，你你你，你再看，对吧？ 我们再注意你这个角 bce 啊，是不得角 baf 啊，它的证明是不是一样的，对吧？那你加他一百八，那你加他一百八，所以我们要把这个结论呢记下去，你在第一问有这种结论，你第二问呢，也 就是这个角 b、 c、 e 啊，也是等于角 b、 a、 f 的， 对不对？好，我们看到呢，说正 c， e 等于什么 a f， 那 怎么正呢？ 对吧？所以我们要围绕这个 f 啊，做一个线，做一个中间线，既等于 f， 也等于什么 c e， 对 吧？所以我们自然想到过 c 呢，做一个平行线，对不对？因为它的等腰三角形呢，对吧？ 所以这题呢，我们做辅助线呢，我们可以这样做，那么做这个 e g 啊， e g 等于 cf， 那 么说这时候呢，你这个 g、 e、 f 呢，肯定是全等于什么 cf 一 的，它是很容易证明的， s a s， 对 不对？哎，那么你全段之后，你这个 g f 是 不是等于 c e 啊，对吧？第二个呢，就是什么你这个角 b g f 啊，是不是等于角 b c e 啊？因为你们都是一百八十度减去角什么 egc， 你 是一百八十度减去角什么 ecf， 这两个角是 相等的，对吧？哎，我们注意啊，你把这个条形拿过来啊，所以你这个角 b g f 啊，实际上也是等于角什么 b a f 的， 对不对？哎，那这时候呢，你是不是可以得到 a f 等于 g f 啊？那 a f 等于 g f， 然后什么这个条件 g f 还等于 c e 啊，是不是 a f 就等于 c 一 就证明出来了，对吧？所以第二个呢，是比较有意思的，就这个东，这个证明呢，就是这个辅助键比较难想，但你想出来呢，就比较简单了。第三个呢，就简单了。第三个呢，我们把它呢辅助键给画出来，对不对？ 然后他说求 a d 除以什么 d f， 哎，那么连接什么 b d， 你 这边是垂直的，对吧？所以我们自然想到过 f 呢，做一个垂直，对不对？所以这题就比较简单了，来，我们正弦，那么他们说 c b 等于 k 倍的什么 ab， 那 c b 肯定等于什么 b g， 因为你什么 c f 等于 g e 啊，对吧？ 所以你的 c b 肯定等于什么 bg， 所以 我们说这时候 bg 比上什么 ab 等于什么 k 比一，所以我们说这时候 ag 呢，就等于什么 k 加一倍的什么 ab， 对 吧？那如果我们做 f m 垂直于 ag， 那么这个 m 是 不是等于二分之一 k 加一乘以个 ab 啊，对吧？所以这时候这个 bm 长度啊，就是这个 a m 减去 ab 呢，它二分就变成二分之 k 减一乘以什么 ab， 对 不对？ 哎，实际上做到这边就差不多了，来我们看啊，你这个 a d 比上 d f 是 不是等于 ab 比上什么？没问题吧？证明呢，就比较简单了， 因为什么 a d b 相随什么 a f m， 对吧？所以 a d 比 d f 等于 a b 除以什么 b n， 那也就是什么哎， a b 除以二分之 k 减一 a b， 所以就什么二除以 k 减一，对不对？ 所以这个这题呢，第三问呢和第二问呢，就是教你第二问能做出来，第三问基本都能做出来，你第二问如果做不出来，那第三问基本也做不出来。 那么这这张视频呢，我们就讲到这这边啊，二三题出的还是非常不错的，值得大家学习，我们就讲完了。
18王老师讲数学
04:55查看AI文稿AI文稿ok， ok， 改卷改卷，这也是直播做的？嗯，一开始感觉很差，渐 渐的后面都慢慢的都搞出来了，所以总在说做的还是可以的啊。刚进直播间就有人说这个试卷太简单了，叫我别做这个。但最近没试卷了呀，已经没试卷可做了。做完了啊，这个题就搞了很久很久，这个题没有太大把握，然后这边没问题，这个最后 搞不出来呀，就蒙了个。 d a 是 没问题的。这个题，嗯，一直想用减变方法，但就是想不到，算了算了，都不容易啊。哎呀，做这个题给我笑死了， 我做的时候没看到这个整体是七点五二是这么多，我带公式的时候把这个带成了，带成七点五二六，我还除以六十，把这个算哪边除以六十。 刚好直播间就有人看到了，他说他也是这样做的，给我笑死了，两个蠢货。这个一开始我算错了， 我还以为啊，这不是定值，结果还真的是这个零。这种题只能这样猜了，不然我搞这个道教公式，那不死人啊。嗯，这边我写了，这不写不动了，我不知道后面怎么把这个不等式解出来，解出来过后这个题就结束了， 我多写了一点，希望能多拿一点分数吧。 a b d c d e c b c 嗯，还可以的，这个我是一个一个列的，还去重，因为我一开始算出个，算出一个十九， 一通去重过后就 ok 了，就没有问题了。 d c a b d a c d。 可接受，五分之一，二分之杠六九分之三，没问题，还真的简单，这里二加二倍，杠三，三分之二，五分之二十， ok 的。 嗯，这个就改仔细一点啊，这个证明过程很简单，就不用说了。好看。下面是 负幺五幺四，九点五四啊，什么鬼啊？这个反正三点零七没问题。嗯，这个是稳的。这不用说了，零都算出来了，你说稳不稳？嗯 嗯， 算两遍。嗯，负二没问题。 嗯，这个是构造一个新的函数，就是 f x 减 x 的 函数。嗯，他也是有的，没有问题，就这样子的。可以不妨假设对不对。这等号差点漏了。 这边的话，这个做法不太一样啊，可惜了。嗯，我也不知道我这个对不对啊，扣七分吧， 就给了自己两份。我就写这么多，肯定不值的呀，都给少了。果然如直播间所说啊，这个一百四十稳的。呵呵， ok， ok， 果然简单。我也不知道为什么，过了这么久才开始做这个实验，一直做外地的，然后接下来几天都是做浙江的。
32实验员来了
04:15查看AI文稿AI文稿作为名校的压轴，我觉得出卷老师是非常仁慈的，这道题目同学们是完全可以拿到满分的。首先在第一问上，第一问上直接带 你看这个是不是给你个送分呐？那同学们看到这个问题的时候，我觉得第一问是完全不能拉开差距的， 第二问的时候呢，有那么一点点小差距，为什么他总有傻子，他会往里面带？他不知道是被谁蛊惑的啊。我再跟大家说一下，你遇到这个问题的时候，下次再往里面带的时候，我要打你屁股了啊，就 直接应该是这个样子，这个样子。他是 k， 他 是 k， 他 是二，他是二。加 b， 我 们说过很多次，只要是一样起的，只要是一样起的把，麻烦你把他们俩加在一起就是对称轴，看清楚了吗？好， 你看不清楚，戴个高倍望远镜，使劲看啊，看清楚啊，考试之前认真看都是来得及的。二 a 分 之 b， 所以 应该是长这样，所以 b 呢？也就等于负二，对吧？你看我这就傻瓜式的操作，你说你们不会，怎么可能， 也就是 x 平方减去二， x 减去四，好了，你再把二带进去，也就得到了这个 k 就 等于负四。结束收工，到手了，到手了，别嘚瑟啊，最后一问最后一问。最后一问也很简单，超级简单，来，我们一起来 往这边写写啊。下次再遇到这个问题的时候，你要有个大局观，就是你在打仗的时候，你一定要把自己当做一个将军，你要会布局，你看他问的是什么？问的是什么？问的 曲直范围跟谁来的？跟他来的从上到下。麻烦你阅读理解阅读一下，啥叫阅读啊？ 阅读跟这个改卷老师沟通一下。出题老师沟通一下。人家想告诉你什么？想告诉你范围的就是他。那我这些都是等量关系，等量关系，等量关系，等量关系，四个等量关系，四个等量关系啊，那我在 初一的时候，咱们在初一的时候就说过这个问题， t 等于一个负的 r 分 之 b， 等量关系全部用连立符号连立起来，对吧？我们要对齐颗粒度。 m 等于什么？ a 减 b 减四， n 等于什么？ 九 a 九 a 加上一个三， b 减去一个四， m 减 n， 它是等于八的。好了，一共有几个位置数？一个，两个，三个， 四个，五个，五个位置数。四个方程一定解不出来，所以他让我求范围，那么我可以用 a b 去表示，用谁表示？用 t 表示。麻烦同学们帮我算一下 a 减 b 等于多少？直接 带呀，带完了之后的话，它是等于一个这个样子的式子啊，就是 t 减一，一加上一个二 t， 那 么这个地方的处理它是有一点小小的技巧的，就是分子分母里面都有的时候，我们一定要把它分离掉。分离怎么分呢？就是把这个 分子里面配的有一个跟他一模一样，这个处理的话，我相信对大家来讲应该说是非常简单的，但是我出于对大家负责任，我必须要把饭喂到你的嘴里，所以他就应该是七减三，有了这样的话，那就结束了。七减一的范围是什么？ 大于一，小于三，所以七减一分之一应该是大于啊，三啊。上面的分子是三，所以应该大于一。小于几，小于几少？小于三对不对？小于三对吧？嗯，那就没了，彻底结束了。没有了，真的没有了。 你再加上一个二呗，也就是三到五， a 减 b 大 于三，小于五，没了， 彻底结束了。你说这个题目你这么分析下来，洋洋洒洒的写下来不帅吗？我觉得是非常帅的，你就是那个考场里面最帅的一匹小马，对吧？又希望同学们真的新的一年马到成功。也不算新的一年了， 就是新的一年中考马到成功。反正我是一个数学老师，说错话也没关系啊，只要咱们的题目收拾的很漂亮，合合逻辑就行了。好了，今天我们就到这里了，同学们散会，给大哥点点关注。
73阿源教你口算压轴
07:33查看AI文稿AI文稿好，今天我们来讲解一下近期学生提问比较多的这个福建厦门二简的填空压轴题啊。这个题的话，我看网上很多老师给出的方法是用间隙做法，但是我们一道小题目如果用间隙去做的话，那无非预算量也太大了。我们来看一下这个题如何用几何法来调节它。 他说已知梯形 a， b， c 兜 ab 平行于 c 兜， a 兜垂直于 ab 啊，然后呢， ab 等于 bc 等于 c， e 等于两倍的都 e 等于二。然后他说将这个东西翻折翻折到 a， e 一 撇， 然后 a 兜上 a 一 撇，上一点 m 满足 cm 向量点成 e， a 向量等于五。然后问我翻折过程中这个二面角的正弦值的最大值是多少？ 那我们首先啊对立体几何问题平面化，我们先把底面的这个梯形研究一下，看看底面是个什么梯形啊？底面是个什么梯形，他是不是这些都是二？我们先把底面的一个形状给研究一下，他这样子的话，你看这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 do， 对 吧？然后呢，他是不是我们知道他这里有个 e 点， 他说这个 c， e， c， e 也是二，对吧？然后呢这个是一，然后底下是二，这也是二，那我们在这里做条垂线的话，我们知道这个是不是一，因为这个，因为这一段跟这段一样的，这个是一的话，这一段是一，所以这段是一。那我们就意味着我们得到一个什么条件呢？我们知道这个角是六十度， 相当于这个角六十度，那我们底面呢，就基本上解完了，相当于我解出来这个角 a， e 都， 我们容易知道它是六十度，然后呢，我们来对一个关键条件的处理，对于这个项链怎么处理啊？ cm 项链点成 e a 项链，对吧？它是 cm 项链，点成 e a 项链，这两个项链既没有公共点， 也没有公共的焦点，对吧？那这个问题怎么来做呢？那我们一般就用向量激励转化，我们来看 cm 点成 e a， 我 把 cm 可以 看成 c e 项链加上 e m 项链， 然后点成 e a 向量，那我们这个乘开来就是 c e 向量点成 e， a 向量，加上 e m 向量，点成 e a 向量，这玩意等于五， 对吧？那我们知道 c e 向量点乘 e a 向量，这两个向量是点击好算的，相当于这个向量点，这个向量相当于这个向量跟这个向量点击，它们夹角是六十度魔，二乘一乘二乘以夹角于弦，所以是不是就是二？ 所以我们可以很轻松得到这个 em 向量点成 e a 向量是等于三的，对吧？好，然后呢，关键就是这个二面角 m 一 杠 bc 杠 e， 这个二面角怎么做呢？这个二面角其实做做法非常简单，我们只要过点 m 做 e a 的 一个垂线，垂足于 n， 然后再过 n 点做 b h 的 一个垂线， 再再做 bc 的 一个垂线，交于点 h。 啊，那这个时候二面角就做出来了，我们来做一下这个二面角，相当于我们再过点 n 做这个 n h 垂直于，相当于。我们如果用书写的话，相当于过 m 过 m 做 m， n 垂直于 e， a 于点 n， 对 吧？做垂足，然后再过 n 垂直于过 n 啊，我们再过 n 做 n， h 垂直于 b， c 于点 h， 那 么我们知道 e a 垂直于 m n， bc 垂直于 n h， 那 bc 跟 e a 是 平行的，所以我们知道 bc 垂直于 n h， bc 又垂直于 m n， 所以 bc 就 一定垂直于 m n， 所以 我们可以知道 bc 就 一定垂直于面 b b c 一定垂直于面 m n h， 对 吧？一定垂直这个面，那么我们就知道这个角就一定是二面角，所以角 m h n 即为所求二面角， 对吧？这个做角其实是比较简单的。好，那接下来我们来找一些数据， m n 这个东西怎么算呢？我们知道 我们我们来看 m n 怎么算，因为 em 向量点乘 e a 向量等于三，那我们可以用投影视角来说， em 点乘 e a， 可以 看成 em 在 e a 上的投影，相当于这个就可以等价于 e n 乘 e a 的 母是不等于三，对吧？那么 e a 是 二，所以我们就可以知道 e n 就是 等于二分之三。那么我们例题结合问题平面化 n 的 位置就在这个地方，然后呢？ m n 是 垂直于 e a 的， 所以我们画一下这个 m 在 哪里？ m m 就 在这里， 所以我们从图形上可以轻松得到，这个是二分之三，整一段是二，所以这个是二分之一，所以然后因为这个角是三十度，所以我们可到可以得到 m n 呢？它是等于六分之杠三的， 对吧？ m n 是 六分之杠三。然后我要求这个 n h 嘛， n 到这个 bc 的 距离，这个非常简单， n 到 bc 的 距离就是 e 到 bc 的 距离嘛， 那就是 nh， 我 们也可以算出来 nh， 他 就是 nh， 就是 什么？这个是二，这是六十度，所以这是一，这是根号三，所以就是根号三喽， 对吧？那这个得到了之后，接下来怎么求这个正弦值？很多同学不会啊，那我们两条边知道了，又让我们求角，那我们可以利用什么？我们可以利用正弦定力，我们由正弦定理啊。所以这一步是很多同学卡住的， 他觉得他几何法都会都会都会做，但这一步卡住了，想不到啊。就是撒引角 m h n 比上 m n 是 不是就等于撒引角 n h m 比上 n h， 对 吧？相当于就是说这个角撒引角 m h n 比上 m n 等于 n h m 就是 n h m 啊， n h m 比上 n h n h， 应该是，这个应该是 n m h 啊， n m h， 应该这里写成 n m h 啊，三角 n m h 啊。相当于就是说这个角比上 m n 等于这个角比上 n h。 那 我们代入数据，我们就可以得到我们要求的撒引角 m h n， 它就是你把 m n 乘过去六分之根号三，下面是根号三，所以就是六倍的撒引角，那个 n m h， 对吧？那三那六倍的三角 n m h。 在 这个这个东西逐渐翻折的时候，你说这个 n m h 三角什么时候最大？那是不是可以打到九十度的时候？比如翻到某个时候， 它是打到九十度的时候，是不是最大，所以就小于等于六分之一了。这个在翻折过程中都可以做到的，因为 m n 相当于是在这个图形上相对位置固定了，我只要随着它这个东这个 a e 兜逐渐的翻折，这个往下翻的过程中，肯定有一个时候达到这个角是九十度的，因为这个这两个点也不会动了的，肯定能达到九十度的了，所以我们最大值正弦最大值就是六分之一， 所以这个题我们就做完了。所以这个题呢，就是说首先做出二面角，其实并没也不是很难，然后就是立体几何问题，平面化将这个向量进行分解，然后关键是在这里我们利用一个正弦定力去转换呢，快速求出它最大值。好，本题我们就讲解到这里。
187高中数学教研
28:05查看AI文稿AI文稿最后时刻压轴大题篇巅峰出世几何辅助线没思路，三秒教会你如何想到！这期是上海考生的福利哦，赶快收藏起来，二模前看一遍，多拿十分，是二五年上海的最后一道几何压轴。 那么读题平四面形 a b c d e f 为 b c c d 上两点 d 问，当 e 是 bc 的 终点时， e 是 bc 终点啊，然后第一个如图一啊，图一是在这里 啊，连接 e f， 如果连接 e f a e 等于 e f， 求证角比 a 一， 求证这个角一等于角 c f， 求证角一等于角二。好，那么它的一个证明呢？就是我们证明角相等。那么回到我们的知识点，或者说我们总结的一些方法技巧，这里面大家呃，不要愣着，赶紧截图，有这道题中总结出来的证明角相等的方法。 首先我们边看图边依次介绍第一个 s a s 型全等，那么根据它的中点，我们是有 比 e 等于 c e 的， 那么就能想到，哎，会不会可能这个三角形全等呢？证明角一点角二呢？那你发现它的加角完全不相等的，这个图里，它这个图是画的很准的，它角都不相等，证明不是一种方法。 那么第二个我们就可以想到什么呢？它既然不是图里面有的这个三角形全的，那么有可能就是第二种构造全的，那么我们再看到这种 s a s 型的就是什么叫 s a s 型呢？就是说 已经出现了在同一个顶点，这个 e 这个点这里卡出了什么呢？两组相等的边， a e f 比 e c e， 那 么一开始你以 s a s 形去看的时候，他们加角形，那么这个时候我们还有个方法，就是在一些题目里，我们就会分开来叉开来看，比如说这两条一起看，这两条一起看，也就是说比 e 和 e f 去连起来， a e 和 c e 去连起来，这样子就形成一种叫手拉手，还是叫这个脚拉脚的这种圈的。 那么你会发现啊，这个题目也不是这么去做啊，因为没什么用。但是呢，这种方法或者这种经验，这种我们要积累下来的模型，你要知道看到这个图你要有反应，你不能大脑一片空白，好吧，那么第三个就是倒角，也就是你在一开始想圆间图形中的权的 挣不出来，没有权的。第二种就是根据这个图形特征，我们想到构造这种叉开型的手拉手，类似这种权的也没有，那第三个我们就不想权的，我们看下有没有什么倒角的，为什么呢？因为他给了我们 a e 点 e f 这么个条件，那么我们就有 等腰，这个角是 c 它角，这个角是 c 它角，哎，一旦有 c 塔，你就发现这个平行四边形吧，那么此时我们就要研究 c 塔一二的关系了，你发现他们是一个什么同行，内角互补，也就是我们有角一加上角二加上二， c 塔它等于一百八十度， 然后你得到这个条件中，你就发现什么都干不了，因为你不能继续研究下去，而且有这个 c 塔， c 塔也不知道多少度，而你要的是什么呢？你要的一个表达是什么呢？你要证明的表达是角一等于角二， 那你发现现在这个表达是有一百八十度，有 c 卡，你又得不到角一和角二的与 c 卡的关系，不能消圆，是吧？会非常麻烦。所以你这个时候你只能先把这个方程，这个角的这个方程啊，这个角的这个方程先放在这里，先不着急，你就放在这，我们就接着用第四个方法。那么很多同学就会说，那我这样一个一个方法试， 考试的时候不是很浪费时间吗？啊，是是这样的，因为如果你练的少的话，你只能这样一个方法考试，或者说根据你自己这个题目的一个判断，你跳着，哎，有可能你用完第一个，你发现不是你瞬间想到是第四个，但有些人做的题目啊，做的多的自然而想到能够用第四个背长中线 或者说截长不短，那那怎么看到呢？因为你全面的方法都失败了。你根据这个之前啊，我也总结过的在几何模型里面的一些方法，也就是背长中线。什么意思？ 上行里面出中点出中线，和平型四边形的四边形里面出中线，特别容易考到。就四边形里面啊，特别容易考到被长中线，或者说你可以理解为一个内被长中线，因为它不是三角形的中线 啊，当然你也可以理解为它就是三角形的中线，为什么呢？ a e 他 不就可以把这个 a c 连起来吗？ a c 连起来他不就是 a e 不 就是中线吗？对吧？那你不连起来呢？你就可以理解为是一个内中线。内被长中线什么意思？我们为什么要内变成中线？因为我们这名角一点角二他们隔得太远了，也就是延长 a e 这里用红色的角一点角二，他们隔得太远了，也就是延长 a e 至点 t， 你要辅助线描述就是延长 a e 至点 t， 使得 e t e t 这条线啊，使得 e t 等于 a e， 然后呢，你再描述连接 tc。 好， 那么接下来你就，你要接，怎么写呢？我们就有，因为你是延长的嘛，那 b c 和这个 a e 本质是相交，你一旦延长 e 了，那这个就有个对顶角阿法，阿法角是相等的，然后呢，我们就有边相等，然后比 e 等于 c， 那 我们就有三角形啊，你就可以写三角形旋转，也就是三角形 a e b 全等于三角形，是吧？ a e b 三角形 t e c， 那 么理由是 s a s 全等是吧？一旦有了这个全等，我们的角一不就转到这里来了。好，那这时候有些人就很着急啊，说，因为 这有个易错点啊，因为 e t 啊，等于这个什么啊？你看这个图吗？这个一个点等，一个点 e t 等于一个 e f， 所以 角一就等角二，你别那么快。为什么呢？因为被抢东西的结算部分，经常就要证明一个三点共线的问题，也就是说你连接这个 tc 的 时候， 你要证明这个是互补的，因为你你不能保证它延长过来，你这个 tc 连起来和这个 cf 它们是同一条线，也就是说你可以以为我延长过来，我点 t 可能在这。那你这样子和 tc 连起来，这个 cf 是 平的吗？不是平的呀，这是两条线段，它不是共线的，所以你要去证明一百八十度。那怎么证明啊？很简单， 这个角 b 啊，它这个转到这个角 e c t 来，我们就为角三，那么角三和这个这右边这个角角四是一百八十度是吧？因为从内错角移过来，或者说 不是内错角啊，这里不是内错角啊，各位，为什么呢？因为我们还没贡献呢，我没贡献我们就用不了平行线，能理解吗？我们还没证明出 t c 和 c f 是 同一条线，所以我们不能用平行四面形的平行条线，所以我们这里只能用全的倒角角三等于角臂，而角臂加角四是一百八十度。所以呢，我们应该先说因为角三应该这么写啊，因为角臂 加角三等于啊，不是角三，我也写错了，应该说角四，角币加角四等于角币连角三，因为全等加角四连到多角币加角四是多少多？你应该在前面先写啊。呃， 我给他写好一点啊，很多基础的基础，大家基础话都不太懂了。因为角币加角四等于一百八十度吧。角币加角四等于一百八十度， 又因为全等，你可以说啊，因为这个全等，也就说你喜欢这个全等之后你要说所以角 b 等于角三，然后再说因为角 b 加角等于一百八十六，所以啊，这里直接所以了，所以角三加角四等于一百八十六。所以什么呢？所以 tc f 三点 贡献，所以干嘛？所以 tc f 一 旦成点贡献了，说明 tf 本身就是一条线段。那么这里你就可以说因为 这个 e t 等于什么呢？ e f 啊， e f 等于幺嘛，所以你说它是等幺造型，所以你说角一点角二， 我们就整完了，这是第一问，我们这个步骤啊，比较充分一点，是吧？那么后面我就讲的比较不会不会给他写那么长的过程啊，给他简约一点讲，主要重，重点是讲思路。好吧，那么最重要的还是这个，这个这个技巧，大家一定要把它截图啊，不要愣着啊，截图或者自己做做笔记，给它记住了怎么分析？好，我们下一个。 如果 c f 等于 e f， 也就是 f 是 中点连接 a， e 连接 b， f 交 a 与点 g， 求三角形 b e， g， 也就这个蓝色的比上三角形 a， e， f， 也就这个黄色的这个大两个长方形的比值，面积比值。好，那么首先我们来给大家总结一下，出现面积比值我们能有哪些思路？ 第一个就是面积比，我们通过这两个三角形正处相似，转成相似比的平方，这是最常见的，或者说是最方便的，考的比较多的简单题里面特别多，之前都是这么考。那么第二种方法啊，那这道题你能不能用呢？大家可以自己想一想啊。 ok， 其实是不能用的，你不能直接证明这两个相似，或者说这两个压根就不相似，因为它们最大的角都不相等， 是吧，你可以自己来计算啊，非常简单。那么第二个方法依次乘 s 一、 s 二，能算吗？算不了，你去算数也非常麻烦啊，因为我自己也去算了一下啊。第三种方法就转换成 s 三，就是转换成第三个面积，就说用第三个面积的一个表达式去替换他们两个，然后最后呢的比值呢，就能或者说引入一个未知数的意思， 比如说他等于多少多少 s， 那 么那么的 s 比上这个下面是什么？下面是 k 倍的 s， 那 s s 消掉就等于两个什么呢？两个长整数的比值，那不就是出来了结果，但是你发现 你如果去射这些东西的话，你们在最后像我这样的结果啊，也是不行的，因为这个小的呢，没办法去转换，是吧？未知数太多了。第一，然后还有一个方法，就转换成他的这个长度的笔直，什么意思？也就是通过观察割补啊，同时他有还有这两种方法呢，有可能结合起来 就是相当于三角形 a e f， 你 给它拆成 a g f 和 e g f， 这样子，他们就是两个三角形，你会发现他们是同高不同底，对吧？那这个时候 这个上写 a f 的 表达式，他不就可以写出来了吗？你，你可以写成什么呢？你就可以设成这个，这个单独一个高是 h 三，它的面积可以是 ag 加上 eg， 然后二分之一乘以底，然后乘以他们的高 h 三，对吧？ h 三拿出来，你可以是这么写，你可以是上面这种写法，也就是我，我画出两个高，我画出两个高，这下面的 h 一 是为了和 b g e， 然后呢产生一个关联，他们就可以在下面的就是二分之一的。什么呢？ 下面的 e f， 它就是呃 h 一 h 二就是通过 g f 来当同底但是不同高的这个三角形，那么去表达，那下面呢就是 b g 乘以一个 h 一 啊，这样子我们就可以转成两个线段的比，也就是 这个转换成第一比第二，这个意思就是说我们去算面积啊，通过面积二分之一底层高啊，同时有时候借助一下割补进行一个切割，把三角形进行切割，然后呢去换一种方式，算面积二分之一，底层高，转换成别的线段，目的就是什么呢？原先的三角形不相似，我们转成别的线段的比。之后呢，我们去看别的线段 的相似三角形，或者说是再去构造相似三角形啊，但是你发现这所有的方法都不行，对照的时候方法都行，那怎么做呢？他就在接近第一问， 第一道题，他这个图的一个非我们刚才讲的那道题的方法，那么刚才我们第一问是非常中线去做啊，相对来说麻烦一点，但是呢也是一个方法，我希望大家能知道，也是我自己做题的方法。那么这题还有个更快的方法，也就是延长借助平行线，什么意思？也就是说他这里 e 是 终点是吧？那么可以他已经把 a e 连起来是吧？那我就延长 a e， 延长这个 f c， 听清楚，我这延长，一旦延长，我们这里比如说产生一个 t 点，那我是延长过来的，那我内侧角是相等的呀，那我这个角一等于这个角一是吧？啊，这是角二，角一点角一，然后呢，对零角是相等的呀，然后一点，我们由于是延长，那么它一定有 线段相等，那么就一定有 a a s 型全等，一旦全等，那么的角一啊，不对角一啊，一旦全等，我们的什么 a e 这个勾就等于 e t 这个勾，那么 a e 它题目给了是等于 ef 的，是等于这个勾的，而由于是我们延长了我们形成的三角形，什么呢？我们形成 b， 形成一个三角形 e f t 的， 所以有这两个勾相等的，我们就推出它是等腰，我们角一就等于角二了，就正好了。同理的， 我们可以延长 e， 我 们也可以延长 e f 啊，我们也可以延长 e f， 延长 e， 因为因为什么呢？这里 f 它不是特殊点， a 点不是特殊点，就是说 a 点是顶点，我们去延长的话，它这个特殊性可能会比较特殊一点，能理解为什么 f 线还不是终点吗？当然它去延长也是一样的，有权的，因为你去延长，因为你只要是和 e 点连连接的一个线段延长过去，它必有这个 b， e 等于 e， 那 么它就 一定会有什么由于同时你延长，然后呢？你 b 位和平行四边形另外一主线它延长，另一个另外一主线延长，刚好 f 就 在这里， f 就 在这条线上，那它就有平行，一定有内错角，就有 a a s， 刚才是同理的， 它刚才是同理。大家感悟一下，一样的，都是过一延长，那么就有线段相等，同时他们就从一侧到另一侧，然后另外一条平行的边也延长，那么你一定有平行线内错角相等，能理解意思吗？所以它一定还同理有这个权的啊。角二 那么一样的道理，还是 a a s 全的，对，顶角一旦全的了，那么这个这个勾就跑到这来了，那同理还是一个三角形的，等腰角一点角二是吧？这就是第一问给我们的思路。而我们在做这种综合大题，特别是难的题目里的时候，他 这种在同一个小问里，或者说第一个问，或者说同一个小问里的第一个问，他们的一些服务性思路是差不多的，就可以相互借鉴了。所以当你第二问，你 在做第二问的时候，你的策略就是应该首选用什么的？第一道题，你做这个题的时候，你的辅助线思路你去尝试做，第二问，做不出来，再去想刚才的那那么那么些思路啊，那么这些思路怎么来？你说你考试时候没想到怎么来，那你就现在看这视频，把它总结下来，把它截图截下来，不要愣着。好吧， 都是这样的，结合题就是这么玩，结合题就是这么去多做题，多总结，因为不是所有人都能想到辅助线的，等你多去做题，多去看图，多去感悟啊。 那么在你要敢，你要学会揣摩出题的意图。他第一问是呢， e 是 终点，然后我们是延长 e 的 一个线段，那第一问他给了我们 f 的 终点，那么很显然我们第二问，你应该首选的就是去延长跟 f 有 关的线段，那么 我们还是依旧找顶点跟 f 相连的线段，它这个图形会比较好看一些啊，性质会比较特殊一些。所以这个时候我们就是干嘛呢？谁跟 f 连 a？ f 有 b， f 有 在这里呢？我们延连续延长什么 b f， 为什么？因为它这里产生了一个新的上行 b g 啊。而如果我们延长 b f， 它出来的一些图形肯定跟 b 这个顶点，以及跟这个 e g 有 有可能有关系， 专门延长变幅，那么接下来我们自然而照 b 对 应的这个边，它一定要延长产生三角形，哎，重画一下，好， 那么我们把这个图给它转一转，这个是 m 点，好，那接下来我们要干嘛呢？我们延长处有什么有相似，一直中点，我们就可以说这个是 k， 这是 k， 我 们上面呢？对，这个是对边。 ok， 好， 那么我们可以观察到， 首先我们延长过去，我们是有一个全等的，什么全等？三角形全等哪里？同样的呀？我们根据左边有全等，右边一定有全等，你延长，你只要去一个点和 m 点延长过去，然后对边平行的那个线段延长过去，一定有全等，同样还是 a s， a s 型全等， a s 型全等也就是三角形，这里是相等的，然后对零角， 然后那错角 a s 全等，那么此时这个 ok 就 能转上去了，是吗？ ok， 这里是 ok， 这是 k， 这是 ok， 这是四 k， 那 你发现你得到这个 ok 之后，上面是有四 k， 然后呢，这个时候就是你对图形的把握能力了，你发现这里刚才的全等是一个什么八字形的 全等，接下来就会读什么呢？八字形的相似，要学会在平行四边形中找，多找这种八字形的相似，多去构造，多去延长。平行四边形的一些做体习惯，就是多去延长，特别是一些中点线段。好吧，好的，是一个经验的问题，你怎么去观察到八字形在哪里呢？我们看图在这里，我这上面这个 我就不写了，只检验一下。所以通过这个八字形相似我们可以知道什么呢？ k 比相乘四， k 是 一比四，等于其他线段的比，等于什么？等于 b， g 比乘什么呢？ g 比乘什么呢？ g， 哎，你看 a g 比 g 这个东西是什么东西啊？我瞬间反应到，这是 a、 e、 f 这个三角形里面的两个三角形的分别的一个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 a、 e、 f 这三角形里面的两个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 b g 比，这面是没错的，这里面倒倒过来啊，是 g e 比上一个 a g， 所以 这里是四分，这里是一分。哎，你这里就瞬间翻译了，这是四分之一分，你再观察上行 a f 他 们的底 啊，不对，他们高是相同的。那好，这是经典的上行里面切割出来的两个长形，也就我刚才说的这个长形可以通过割补切成两个长形，同时他们他们是干嘛的？同高的，那么我们就根据求他们底底的比例，我们就可以用一个未知数去表示它们的面积， 也就是说这是一个 s， 那 么根据底的一个比例，双面积它就是四 s， 所以 此时三角形 a、 e、 f， 它就是五个 s， 所以 我们只要知道 b g 它是几个 s 就 行了，那么 b g 是 几个 s， 我 们反过来想，哎，一开始 s 哪来的？不就通过这个线段比例来的吗？而线段比例关键的就是这两个线段，所以我们就看一下这个这个三角形 b g 有 哪些线段和这个 g e、 a g 有 关系。那你看 离他挨得最近的是不是这个三角形？这样 g e f 上面那个 a g f 虽然说有一种八字形的感觉，但它们是不相似的，所以我们找 g e f， 同时 g f 还跟这个 b g 又在同一个三角形里面啊，这三角形 b e f， b f， 然后通过 e g 这条线段拆成了两个方形，同时它们又是同高的，和刚才一个情况是一样的。所以我们今天只要求求什么呢？你的目标就知道了呀，你就知道我们的需求，我们只要知道 b g 比上 g f 它是多少，这个比例我们知道了，那么这个 b g 那 么同高，那么根据底的比例， b g e 这个长形的 s 多少 s 我 们也知道了，我们的目标就是求 b g 比 g f， 而当你观察到我们要求 b g 这个线段比 g f 这个线段的时候，你就知道弧线是啥，这也是一个 一个固定的一个套路，一个图，或者说你不知道这个图，那你就去想，我们刚才做出辅助线，得到我们的有效条件，这个辅助线是跟 f 这个终点有关的，是延长，那这一次依旧和 f 有 关啊，然后你就可以去奇思妙想，看能不能想到辅助线，那么辅助线是什么？那我觉得你按到第一个想是最容易想到辅助线的，也就是 那么辅助线就是过点 f 去做 a e 的 平行线，那么我们是可以做到这么个辅助线的，过直线外一点做已知直线的平行线是可以做到的。然后交 a d 于点 t， 交 b c 的 延长线于点 n， 那 么这个时候 我们就可以得到全等啊，同理的还是有全等，为什么呢？相等，相等，然后呢？内错角还是平行？内错角 a s 和 a s a 都行， 一旦全等了，我们就有啥呢？我们就有这一段是相等的，也就是 f 还是这个 t n 的 中点。那我们的目的是什么呢？我们刚才得到了，这是四份，这个是一份你你可以把它理解，为什么呢？我们就可以设一下啊，这是四 d， 这是一个 d， 那 总共这个 a e 就是 五个 d， 那 你会分成 t、 n 呢？ 我们说这是平行线，那么上面是不是也是一组平行线？那他们就是一个平行四面形吗？所以这是五 d， 五 d 的 话呢？它是终点，那这个就是二点五 d。 聪明人都知道，我要干嘛呢？这是干嘛？平行线分线到成比例定，或者说是我们的平行型 a 字型相似了， 有了这个相似，我们 b g、 b g、 f 就 可以转一下了吗？也就是说我们最终的目的就是为了得到 b g、 b g、 f， 而他处于这么个图形里面，我们就想到了，我们去做做这个 g、 e 的 平行线，那就做他的一个平行线吗？ 然后呢？我们这个时候做平线，我们这个长度是不知道的，所以我们延长，延长刚好平是平行，他等于五 d， 哎，这个是中点，全等二点五 d， 把这个比例就知道了，就这么巧，就这么神奇，这是辅助线呢，我们给大家一个好的思路，能想到的，而不说死记硬背，当然大家把这个土背下来也是有必要的，所以我们就有了 这个相似的比啊，相似比是多少？一比二点五，所以我们这个比上这个是一比二点五，那就相当于说一份二点五份，那这个是几分？这个是一点五分，这是一份，所以他们的比值就知道了，是一比一点五， 也就是十比十五，那个二比三。好，那 b g、 b g、 f 二比三，那么 s 就 知道了，也就是 b g 那 个三角形，三角形 b e g 比上三角形 g、 e、 f， 它的面积比是二比三，那么我们的 b e、 g 就 等于什么呢？这个 g、 e、 f 我 们设成了 s 对 不对？上面那个是四 s， 没问题吧？所以呢，我们移过去就是三分之二 s， 这两个一比 s s 一 约，对吧？就是三分之二比上一个五，所以就等于十十五分之二啊，就是二比十五。这一问就结束了，那么这个总结我教大家把这个好好总结，好好的收藏，这期视频含金量贼高。第三问，求 a f 长度。这一问的话，我一开始是 自己想了一个创新方法，然后失败了，可以贴出来给他看一下我的做的过程啊，是失败的啊，所以这种总结出来就是说这种几何综合的很多问的他基本上辅助线都是一样的，或者说出类旁通的，为什么这么说呢？我们先读一下题目， 他说连接 aef， 那 么这里的话就是说一点 f 点是一般的点了，没有具有上两问的一个终点性质了，所以是非常一般的，所以你发现从上往下是由特殊到一般的一个终点性质了，所以是非常一般的。你看如果 a 点五，给你平行四边的长度了， a 点三， 然后专门给你什么的 c f 等于一，那你解这个是二，哎，这个比例是知道的。三等三等分点，然后给你角相等。好的，三个一线三等角啊，我一开始想一线三等角，这个是角相等啊，我们就画成圈圈，好吧， a f e 啊，这个圈啊，这个弧吧，嗯， a e b 等于 a f e 等于 e f c， 哎，你看到这个的话，这个 e f 是 不是像角分线了？那你就想到角平分线的各种弧线思路， 那现在大家可以自己记一下，角平分线到角两边距离是相等的，如果说出现了一个垂直，那我们立马做另外一个垂直过去，是吧？还有另外一种，第二种的话，就是角平分线上出现了一个什么呢？垂直于角平分线的线，我们就给他延长，是吧？出等腰啊，出旋转， 然后第三种的话，就是角平分线定律往这边延长延长，那么我们这个比乘这个等于这个比这个啊，当然刚才我就是用角平分线定律做的，然后呢？失败了，但我还没去找一下，大家可以帮我看一下哪里出了问题，是吧？来帮我看一下。然后那这一个呢？还有第四种啊，就是也就是我们这道题考察的什么呢？ 角平分线在平行四边形里出现，或者平行线很多的时候出现平行线的一个背景题目里，我们就一定首选 g， 干嘛构造怎样？三角形怎么构造呢？ 你有这么个思路，你想到了去干嘛？把这个延长一下，把这个延长，把这个延长，那这个时候我们这个弧是不是等于这个弧，它这里不就出等腰了吗？我们可以说这个是 p， 那 么 a f， 我 们求 a f 的 长度是不是等于 ap 这个长度啊？因为求 f 的 长度，是吧？我们转成求 ap 了， 哎，就转换了一下，是不是角平分线出平行线构造等腰，这是你能想到的思路，我们总结下来，那么如果你没有这个思路，我们怎么做的？第一问，我们是怎么做的？第一问，当他说 e 是 终点的时候，我们可以这么去延长，是吧？然后呢？ 构造一个全等，然后呢？同样道理，得到等腰对不对？得到它这个角形的是不是？那第二问，他是干嘛呢？第二问他就给了多给了个 f 之终点，那我们就是延长什么呢？我们就是延长，往 f 这个方向去延长，往 f 这个方向去延长，然后呢？再延长这边，是吧？去构造全等，所以 这一次我们同样的，不仅仅左边我们要去构造，右边也构造，因为什么呢？因为这里一次 e f 都不是重点，它的性质非常不特殊，所以我们同时去延长啊，这个 e f 往下延长，构造一个长形，然后这个 e f 再往上延长，再构造一个长形，这样我们就 把特殊性质拉满了，就非常的特殊，这样子的话，我们就有更大的概率能做出题目，你就可以这么去想，好吧，你可以把这个图给记下来，嗯，我，我是习惯的去，就是记这种思路，记这种尝试的思路， 这样子你做几何题呢？就可以。呃，挨个去试，至少你有思路，不会说一片空白，不知道辅助线是什么，或者说你不会知道，你会说我没有，没有，没有什么思路没有，就考场上我什么都下不了笔。所以我再说一遍，页幅往下延长，不仅仅是说出等腰，更是为了接见。第一问往上延长，不仅接见第二问，更是为了 把这个一比二的比例利用的利用起来啊。他为什么给你 c f 一 啊？我专门给你这个条件，在这里有个二，为什么给这个条件就是一比二，为了测出 e c 点 x 是 二 x 题目条件呢？每一个条件他都是我们要发挥到淋漓尽致，把它们都用到位了，题目才能做出来，我们接着看。 那么我们接下来长度条件我们分析完了，接下来我们看角度条件，首先这两个角线的是角，平分线的一个条件，没问题，但是这个角线的你一定要去得到东西啊， 如果没有到东西，你这题也是做不下去的，那是什么呢？很关键的一步叫外角定力，你是这个大角是不等于里面这个弧加上这个点，但是这里也是弧，说明里面这个这个点是等于这个点，能理解吗？ 外角定力啊，这个初一就学了，我就不太多说，很简单，所以这个点是等于这个点，哇哇哇，使劲点好，就这样，这个点，这个点， 而且你还你还发现啊，上面这个什么呢？ a 字型，我们也要把这个给它拎上去，这个我们先换成 x， 内扣角，这个是 x， 然后呢？这个是这个圆圆的啊，然后这个弧， ok， 然后上面这个 a、 e、 f， 你 会发现和下面这个是一模一样了，所以它这个角也是 x 啊，这个角也是 x， 咱们就用这个叉在这，那么你会发现下面其实也会有这个叉，然后这个这个圆啊，这个弧，是吧？所以你们的这图里面有很多的这种这个弧 圈叉的这种三角形是相似的，三个角都现在相似吗？所以里面会有一些特殊的一些三角形相似，那么这里首选的，大家在考试里首选的去找什么呢？反 a 字形相似， 也就是这样的切过来，然后呢？这是公共角，然后这两个角是相等的啊，这是 r 法，这个是 r 法， ok， 我 们在这道题里面呢，是谁呢啊？就是我们的三角形观察这个图形啊，三角形， 我换这个，这个点，三角形 e a f 相似于 e a f 相似于 e a f 的 话，你看是不是？呃，这个 e t 为 就这个一一个圈圈叉，圈叉，是吧？这就是反义词相似吗？那这个相似，那就这个相似，我们又可以得到什么呢？那个比例是，也就是我们，呃，再自己整理一下吧。最后的答案就是，我就写，快点， a 一 方等于 e f 乘以 e q， 而我们的 e q 呢？它可以写成三倍的 e f， 这就等于三 e f 方，所以我们就可以得到 a e 是 等于根号三倍的 e f， 好 家伙， a e 等于根号三倍的 e f， 我 们设为 x， 什么设为 t， 这是二 t， a e 等于三倍的 e f， 根号三倍的 e f 等于根号三倍的 t， 好 家伙，这样的三角形，我们该说这样的三角形，这个弧圈叉，这种三角形，他们的什么呢？就是这个这个圈圈，它左右两条边的比例是一比。根号三， 好家伙，那你瞬间反应到有长度的有没有弧线叉，有长度的上下？有啊，那你瞬间就可以得到长度了，这样 e c e c 是 什么呢？一比二三，那这个长的不就是直接根号三吗？ e c 直接知道了，那上面不就二倍根号三吗？我，天呐，那就基基本就要做出来了，那现在还欠你一个什么呢？那么我们的目标是什么呢？我们目标是求 a f， 而 a f 已经通过一个 平行出等腰转成这个什么 ap 了，说明就观察 ap 的 三角形有没有相似啊。答案是有的，那我们这里就要结合看一个大范围的什么呢？结合这个二倍杠三，这样求出来了，也就是刚才求出来的二倍杠三，结合这个五，也就是有 a q 这个长度，然后 ap 这个长度，然后形成了一个大三角形，和哪个三角形相似呢？ 我们的三角形 b， e， p 啊，这个一个什么呢？平行形的啊，这个平行线你可以理解为平行线，分线段成比例定理，你也可以理解为是我们的这个叫 a 字相似，是吧？ a 字型相似，所以 出现相似的时候有有选啊，优先找反 a 字型，反 a 字型，然后呢，这个八字形，还有我们的平行线分线段成比例定理的这种 a 字型啊，啊，都有很多，就这三大类好吧， a 字一类， 八字型一类，平行线一类，总共三类，然后每一类 a 字型和八字型都有对应一个反反反 a 反八，然后平行线平行线的话就基本上就是一个这种类型，好吧，比较多。 ok， 我 们就给大家总结好了， 通过这几个字，希望大家也是收获满满，好吧，然后呢，呃，仔细品味，放在收藏夹里，时不时拿出来看一下，扣签收获的确是很多的，说不定就给你遇到了这种平行平行平行四边形的那种几何，你就哎多拿了几分，对吧，好好收藏，收藏起来好好看啊，没看完，好好看。 这样的相似之后，我们就可以写出相似方程，也就直接写了，我们直接写比翼比向什么呢？下面的那个 a q 等于在哪里等于什么呢？我们要求的是 ap 呢，那就用比翼比向 ap。 那 么接下来我们看一下啊，直接就带进来了啊，直接带进来了，比翼减多少呢？比翼不就是上面是五，这里是刚好三，所以是五减刚好三，是吧？比上 a q 呢？ a q 是 五，加根号三，等于什么呢？比屁，比屁是什么？比屁我们可以转成 a p， 有 没有 a p 要求吗？所以上面这个是什么？这个长度是三，所以它可以等于 a p 减去三，比上我们的 a f。 好， 那 a p 就是 我们要选的 a f 嘛，对不对？所以我们就可以把它设为一个 x 直接求了，或者说啊，我们就直接写了啊，就这个移过去五减根号三倍的 a f， 等于五加根号三倍的 f， 减去一个三倍的五加 高三，然后这个移过来五减五，约了加一个括号三，所以这里是二倍根号三 a f。 哎，不对啊，不对，不对，出问题了，这上面是二倍根号三，上面二倍根号三，这是二倍根号三，这里是二倍根号三，所以这里是三倍根号三，所以接下来三三一约。把这个根号三除过去，这 a f 的 长度就直接知道了。 a f 的 长度应该同时乘以根号三，应该是三分之五倍根号三，加上。 好家伙，这里又是一个计算的一个错误啊，这我们今年只改一个数据啊，还有一个数据没改呢，这减三，这边乘过来，应该是减去什么的。三乘五，加二倍根号三，所以这也是二，所以这里也是二，所以这里同时除以根号三，过去三分之五倍根号三，加上。上面的话是六。 我差点我脑子又不好使了。那你就可以写成三分之五倍根号三加二。 ok， 正确答案就这个啊，所以呢，你蒙是蒙不到的，数填填空题也是蒙蒙出来的。好，那么这期视频呢？三三个问，我希望大家可以分别由上到下分别去看，循序渐进的看你感悟这种 连续的，这种几何中和他的一个辅助线思路是差不多的，助类旁通。我希望大家可以好好的学习，好好总结起来，平行的平行，四边形的 a 字型，八字型，还有这种相似的魅力， 这期视频真的是非常的干货，大家考前一定要拿出来再看一遍，特别是我们这个上海的考生啊，上海考生。好吧，那么我们这个下一期视频不见不散，我是修树。
1913修数（数学博主）
02:21查看AI文稿AI文稿的，我们来看一下十三题哈， c、 d 是 a、 b、 c 的 一个中线，那么也就是我们的什么？ a、 d 是 等于我们的 b、 d 的 啊， ca 等于 ca 等于 ca 等于 c， d、 a 等于 c、 d 将三角形 b、 d、 c 沿 c、 d 折叠，得到 e、 d、 c， 那 我们折叠，我们会想什么？第一个是折叠，我们会出现一个三角形，全等吧。呃，那还用 折叠？我们正在考什么？就是折痕和那个对应点的一个连线，它是垂直平分的这样一个关系。好， 那我们再往下看，他说若 b、 d、 f 等于九十度，那就是这个角。 b、 d、 e 等于九十度，这个地方是九十度，那我们知道折叠是什么？ 折叠它有等角，那这里是不是就是罗马就能算的出来？那这个吃饭地方是不是一百三十五度？这个地方也是一个一百三十五度，那么这个地方是一百三十五度的话，那是不是它的一个补角就是四十五度？ 好，那也就是这个角就是四十五度，那这个 c cd 又等于 c， 那 这个地方依然是四十五度，那这是一个什么图形？是不是一个等腰直角三角形，对吗？那么对于等腰直角三角形，我们会想什么，对吗？所以我们立即 经常会考的就是三线合一，那我们立即往那个 a、 d 做垂线，假设它是一个 h 点，那么 c、 h 垂直且平分 a、 d， 那 我们现在是不可以设值了。这个地方是一，这个地方也是个一， 我们的 a、 d 又等于 b、 d， 那 么 a、 d 是 等于二的， b、 d 是 不是也是一个二？好，那我们分析完所有的条件了，我们来看来，求什么？求贪婪的一个 e， 贪婪的 e， 那 是什么？贪婪的 e 它是这个角 哦，但我们知道折叠，折叠的话，那这个角 e 是 不是还等于那个角 b， 那 么我求贪婪的 e 是 不是就是求贪那个 b 的 一个问题？那现在贪婪的 b 经过我刚才分析的一个条件，它是不是等于 c h 比上我的 b h 好？ c h 等于一，那我的 b h 是 二加一等于三，所以我这个贪婪的 e 它就是三分之一。
25李老师数学思维
02:38查看AI文稿AI文稿我们先看一个视频，考了试卷你倒是给俺讲，你也不讲，你不讲我又不知道怎么做，不知道怎么做我就错，错了你就凶我说我们这样的中考没希望。 天台的同学和家长，你是不是也跟视频里面的孩子跟家长一样，现在十分的迷茫，还有点依赖性，也不知道现在具体要做什么，没有重心， 一味的跟着学校的进度去完成任务，到最后你会发现自己的提升效果是非常的低的。那今天陈老师的话就教大家几个方法，也是陈老师百试百灵的方法。 那首先第一点的话，同学你一定在这个时候一定要清楚去反思一下自己到底失分是在哪里， 不要一句笼统的说，哎，比如说我们一百分左右的孩子说，呃，就是压轴题不会做，那压轴题不会做，我们要分清楚到底是哪一类的压轴题，是我们函数的压轴题，还是我们图形的压轴题，或者是填空题的压轴题，一定要对自己进行一个彻底深入的解剖， 然后去精准的垂直到位，就是对标我们的问题专题的去突破。那这样子的话，我们在中考时候再提个十来分啊，比方说你现在还有在一百分左右的同学，提个十来分还是非常的容易的，这也是陈老师 一直在教学里面跟同学们去强调的一点，一定就是剖析自己找到问题的所在的原因， 然后专题专练，这样子就能够把大家的分数提上去。然后还有一点的话，就是作为家长，我们现在要帮助孩子尽可能的减少压力，而不是去增添压力。 那马上我们天台的二模啊，初三的二模就开始了，那家长要做的事情是考完二模之后，带着孩子去分析他的问题，一定要精准的去找到他的问题，才能够针对性的解决，给他进行提分，不然的话做的都是无用功。 那现在已经是中考的最后冲刺阶段了，已经没有四十天了，如果你现在还这么稀里糊涂的，都不知道自己问题出在哪里 啊，一味性的就是去应付作业，或者是没有自己的一个计划，那这样子我们其实在最后是很难够提升成绩的， 所以说这一点的话，不管是同学还是家长一定要高度一致重视，如果有什么问题的话可以在评论区留言。
01:32查看AI文稿AI文稿各位淮北的家长们，我是数学廖老师，孩子数学最后一两大题不会做，千万别空着这条视频，点赞、收藏、转发给孩子看！学会下面五招亚洲题，咱也能扣出好几分！ 第一，亚洲题，第一问是送分题，无论是倒数第二题还是最后一题，第一问通常都比较基础，要么就是正全等，要么就是求解一时算角度，让孩子一定要静下心来读一遍题，百分之八九十都能做出来， 先拿下这四到六分再说。第二，不会算的几何题，尺子量角器直接上。安徽中考几何图都是按比例来画的，求线段长度，知识量，求角度量角器量，选最接近的那个数，屡试不爽，白减三分。 第三，最值问题，带端点，遇到最大值、最小值，比如二次函数。动点问题，不会劣势， 直接把动点可能的位置、短点和特殊点、边界点带入表达式，算一算，哪个最大最小就写哪个，至少能蒙对一半。第四，选择题用特殊指法，不会算就带零一负一，快速排除干扰项， 蒙题概率翻倍。第五，解答题抄条件，写步骤，把已知条件抄上，由提一得，最后再把结论抄上。 或者你也可以从后往前推，从已知结果推过程。即使你不知道这一步怎么来的，你只要写上，就会给你步骤分。记住，中考数学不怕不会做，就怕控制不写这五招，赶紧练一练，多拿十分，轻轻松松。会不会的家长赶紧转发起来！
238新宇数学
03:47查看AI文稿AI文稿各位同学，大家下午好，今天我们讲一下高三二模数学的一个压轴题，单选的第八题，他考察的是圆锥曲线问题，并且是一个动点的问题，难度比较大，常规方法解起来比较吃力。 大家可以先看到题目，他告诉你的离心率是二分之，根三点，根三二分之一。在椭圆上有这两个条件，我能够求出椭圆方程，这没有问题。 之后点 p 是 动点，而那个 q 呢，是与点 p 这个动点有关系的，它让你求的是向量 q f 一 点成像量 q f 二等于多少？ 大家通过选项能发现它是一个定值，那既然是一个定值，那 p 点在任何位置，实际上算出来的结果应该都是一样的，那我就不放射点 p 在 椭圆的上顶点，把它位置固定， 这个题就很容易的能够解解决，看具体给大家解答一下，大家参考一下。大家可以看到这个图，我把 p 就 定义在椭圆上顶点，现在我先求椭圆方程离心率二分之根三，那就是 e 等于一，减 a 方分之， b 方 等于二分之，根三之后根三二分之一。在椭圆上，我就能得到 a 方分之三， 加上四 b 方分之一等于一，我很容易的能够推导出这个 a 方 b 方的值。 a 方是四， b 方是一，那椭圆的方程也就有了那椭圆方程，有了那 f 一， 坐标负根三零 f 二，自然就是根三 零，那点 p 的 坐标自然也就有了零一。 n 是 p f 一 的终点，大家想终点坐标公式，点 n 的 坐标 p f 一， 两个坐标相加除以二，就是负二分之根三 二分之一。它既然是以 n 为圆心， p f 一 为直径的圆，那么 p f 一 长度我可以求一下。 p f 一， 大家通过计算，它是二，那么半径也就是一。大家有没有发现， n 点的坐标到 o 点，它正好的长度也是一，这个长度也是一，它是一， o n 两点之间的距离是一。所以说 n 点不只是 p f 一 的重点，它更是 o q 的 重点，因此 q 点的坐标我就可以用钟点坐标公式来表示了。 再来 q 点坐标就是负根三一，这样的话，向量 q f 一， 末减出负，根三减负，根三没了零零减一，负一。向量 q f 二， 大家通过运算一下，你能够得到根三减负根三二倍的根三零减一负一，它俩的数量积直接就出来了。 向量 q f 一 点成像量 q f 二，横坐标乘以横坐标是零，纵坐标乘以纵坐标是一，得到的结果是一，所以这个题最终答案就是一。好，谢谢同学们收听！
164临沂数学王老师
08:55查看AI文稿AI文稿好，现在还有多少孩子拿到这十七题没思路的，不会画辅助线的？那今天老师就通过一道例题，和平二模的一个十七题， 给大家讲明白，十七题它涉及到哪些考点，以及我们该从哪几个方面去思考它的辅助线怎么做好。现在我们来读一下这个题干部分，如图，在正方形 a， b， c， d 中， a， b， c， d 啊， ab 等于三。好，我们先把现在把条件标上去， ab 等于三，就是说这个大正方形，它边长是三啊，其外部有一个正方形 d， e， f， g， 外边有个小正方形 d， e， f， g 对 角线 g， e 的 延长线经过点 c。 好， g， e 的 延长线正好过这个正大正方形的顶点 c 啊， e， f 等于根号二，小正方形的边长告诉我们是根号二，求对角线 g， e 的 长，这个非常简单呀， g， e 的 长直接勾股吗？ e， e 根号二，对吧？所以 g， e 的 长就是二， 第一问没问题，第二问连接 b， e。 那 对于我们中考的话，第一问也是一个送分儿的，这个题啊，一分儿白拿。好，现在来看一下。第二问连接 b， e， 点 m 是 b， e 的 终点， a 出现了终点。拿根儿粉笔啊， 好， m 是 b， e 的 终点。好， m 在 这儿，它是这一段 b， e 的 终点，说明 b m 就 等于 e m 呗。然后点 n 是 ab 的 终点。好，又出现一个中点，点 a 这一段等于这一段，这一段等于这一段。好， 让我们去求线段 m n 的 长。哎，你看这个题是不是出现了终点？出现终点，老师之前讲过，就是第，首先要想到什么，第一个当然要想到中位线， 然后第二个就是这个等腰三角形三线合一， 这个就是像我们那个南卡尔摩那个题就用到了第二个啊，第三个，这个，呃，斜边直角三角形，斜边上的中线是斜边的一半斜 边中线，然后第四个去用这个倍长中线，构造全等三角形， 这个用的比较少啊，用的最多的就是中位线，还有这个第二点，等腰三角形三角合一，当然最最多的还是第一个中位线，那看这里边出现两个终点，那我们首先要想到的就是中位线，我们这个题 老师是怎么去呃推的呢？我们要这样想啊，你看要从这个呃条件出发，去 一步步去倒推，推出来 m n 的 长，那怎么去倒推呢？我们来思考一下啊，告诉我们这个 m 和 n 分 别是中点了，那我们就想到中位线了呀，是不是？那中位线怎么去做呢？直接去连 a e， 肯定是要在三角形里面，是不是连接 a e 以后，我们发现 m n， 它不就是这个三角形 b e a 的 中位线吗？那说明 m n 是 不是就等于二分之一的 e a？ 那现在问题是不是就转化成了，如果说我们知道了 e a 的 长度，那 m n 是 不自然而然就知道了它的一半嘛？ a e。 来，你来看一下这个题里边出现了两个正方形啊，那正方形，两个正方形，它是非常特殊的，就可以去怎么样看到，看到什么 有两个三角形是全等的 e g、 d， 它就等于 e d， 是 不是这条边等于这条边？然后我们再来看这个 c d 是 不是等于 a d 呀？ c d 等于 a d， 而且这个什么这里是不是这两个角是相等的，你看九十度加它，九十度加它，把这两个角相等的，那我们可以得到哪两个三角形全等呢？是不是就能得到这个三角形和这个三角形是全等的？ 边角边，那全等以后，因为刚才我们说了，我们要求 a、 e 的 长， a， e 的 长它不好求呀，所以说我们通过题里边这个给出的这个啊，两个正方形，我们可以把它转化， 通过运用全等，哪两个全等？ g， d， c 和这个 e， d， a 三角形，三角形 g， d， c 和三角形 e， d， a 全等， 那全等以后，我们发现这个 a、 e 的 长是不是就转化成了这个 c、 g 的 长了？如果说我们把 c、 g 的 长求出来了以后，那 a， g， a、 e 的 长也就知道了，关键是看 c， g 的 长怎么去求呢？看一下题里边还有没有条件我们能用了， 没有了是不是？那这个时候我们就要想到啊，去构造辅助线了，因为我们知道是不是知道这个小正方形的长，也知道这个大小正方形的长，也知道这个大正方形的长要求 c， g， 怎么去求呢？正方形它是很特殊的呀，是不是我们想要求 c， g 的 长，你看肯定是要放到这个呃， 直角三角形里去看，为什么呢？因为只有直角三角形，我们才又能用勾股定力或者是边角关系 sine cosine 去求解它的长度对不对？它显然没在一个直角三角形里，那该怎么办呢？去构造直角三角形呀，过点地 做 c g 的 垂线垂直。好，那垂直以后，我们看是不是出现这个时候出现直角三角形了？出现直角三角形以后，这个正方形它是很特殊的呀，它的对角线是不是垂直平分的？那我们是不是可以知道这一段的长度？这块我给它标个字母吧。假设这个 垂足就是 m， 那 g m 的 长是不是就是一呀？因为它这个地方边长是根号二嘛？一，一，根号二，对不对？那我们再把 c m 的 长求出来以，是不是就把这个 c g 的 长知道了？ c m 长等于什么呢？你看 c、 d 的 长，我们是不是就这个大正方形的这个边长，它就是三，然后这个地方 dm 也是一。那显然 c m 的 长就是用勾股定律嘛。在三角形 c， m、 d， 在 这个三角形里用勾股定律，那它的长就是 c d 方减 m， d 方，再开根号九减一是八嘛？那这个 c， m 的 长就等于根号八，不就二倍根号二嘛。然后这个 c m 的 长是一 啊，不是 g m 啊，刚刚是 g m， 这个 g m 的 长是一。所以说 c g 的 长是不是就求出来了？ c g 的 长它就是二倍，根号二加一。那我们看 c g 的 长求出来了以后，刚才我们是不是构造了一个全等三角形，这个 e、 d， a 和三角形 g， d， c 全等吗？全等以后，这个段长是不就等于 a e 了？ a e 就 什么 a e， 它不就也是二倍根号二加一吗？ 好， a e。 知道了，刚刚我们说这个 m， n 不是 中位线吗？三角形 e b a 的 那中位线它不就是 a e 的 一半吗？那这个的长度不就是根号二加二分之一吗？那你看这个题是不是要从这个结论出发？我们要求的是 m n 的 长度好，因为有终点， 有终点，我们想到中位线，中位线 a e， 知道 a e， a e 不好求，那怎么办？通过题里边这个正方形，它很特殊呀，我们就 就比较容易看到啊。你大家看一下，比较容易想到全等三角形，就是出现了你这个线一连这两个三角形是不是很明显？能，大概，你看它是不是像全等，那就去正呗，正全等去边这个角 边角边，全等，全等以后，把这一段的长度转化成这一段的长度，那我们发现 c g 啊，它又又不好求，那怎么办呢？那不就是一步步地 逼着我们去做这个辅助线去嘛。你看，没办法，我只能是过点地做一下这个，呃，垂线， 然后垂足是 m， 这样不就出来直角三角形了吗？出现，出现直角三角形里边。之前我说过，出现直角三角形我们才好求长度。怎么去求？一个是勾股定律，一个是特殊角度，三十度、六十度、四十五度啊，去用 sine cosine 去求角度，就是这两个方法。所以说你看， 不是说这个辅助线随便去乱做的，我们从结论出发，一步步去得到我们想要的，这个自然就能想到了，对吧？ 那这个是和平，和平二模，这个题不难啊。呃，比难开的那个要简单很多，所以我说我觉得像它更贴近于我们中考的这个难度，而且它是 考考察的这个中点中外中卫线和我们中考也是相契合的。
44小宁爱数学
02:17查看AI文稿AI文稿二零二六温岭二模初三科学试卷分析先来看温岭二模的选择题。前九题没有什么难度，除了第六题需要掌握相关物质的名称， 这部分很多同学错，既然考到了，我们就全面讲一下易错题。氢氧化钙俗称消石灰，氢氧化钠俗称烧碱，活碱克星钠，碳酸钠俗称纯碱，生石灰是氧化钙。 第十题 d 选项，细胞膜上的凝集元与运输功能无关。十一题没有太大问题。十二题错得比较多，难度稍微高一点。 首先闭合开关两灯均不亮，就排除了 c 和 d。 如果是其中一个短路，闭合开关总会有一个灯亮，现在都不亮，所以不可能是短路。如果是 l 一 断路，则测得 a、 b 端电压为零伏，综上应该是 l 二断路。 十四题没有太大问题。十三题要注意，视网膜和光屏成的象都是十象。十五题的选项是相互作用力，这里要注意。二十题中的第二小题， n 等于三，第二空的答案应该是一百零五乘三减三百等于十五，注意填空题加上单位牛，不然不给分。 二十五题的第三小题我们要注意是部分导体切割磁感线。很多同学存在误区，认为只要由导体切割磁感线， 加上闭合电路，就能产生感应电流，整个导体切割磁感线不会有磁通量的变化，也不会产生感应电流。第二十六题未蛋白酶失活后就无效了， 就好比煮熟的鸡蛋，降温后也变不成鸡蛋液。第二十九题是常见的压强和浮力的计算大题，难度不大，计算注意公式和格式， 这里要分布，写公式是最好的。第三十题要注意，计算第二小题的电阻后，要先减去二零的电阻，再去对照图二找二一的电阻。难度最大的是第三十二题的第二小题，主要考察杠杆原理， 这里很多同学看不懂图三，找不到动力臂，这题就基本上没有进一步的思路。这里动力臂是液压干道支点， o 的 垂直距离就是五米。接下来就代入公式，注意算出来要除以二， 因为有两个液压杆，我这里专门做了回收塔的三 d， 很多同学对这个回收塔没有概念，借魔图形供同学来思考理解。
466elon 数科老师（温岭
01:35查看AI文稿AI文稿今天青岛二模结束了，这次考试的时间完全是按高考模式来的，第一天上午语文，下午数学，第二天下午英语，第三、四天分别是物理、政治、化学、历史、生物、地理。 这两天王老师一直在忙中招申请，一旦也注意到了网上的一些言论，比如这次青岛二模的数学考的很难之类。 今天我想跟各位家长和同学们说一句，要是被二摸的难吓住了，就真的中计了，因为二摸成绩一点都不重要了，别看分了，要抓节奏了。怎么抓？三件事，第一，二摸挖出的漏洞， 凡是绊倒你的地方，说明这块知识还不够扎实，需要针对性的补。第二，应对的好的地方，要总结你的答题策略，时间分配，心态调整，哪些是有效的？这些方法能不能迁移到高考，能迁移的才是真本事。 第三，也是最重要的，从二模开始，身心状态要调到高考频率。什么意思？就是你的生物钟要开始跟高考对齐了。 每天上午八点到十二点半，一早做物理、历史，九点多开始做语文，临近中午做生物和政治，下午三点后做数学、英语、地理、化学。为什么？因为你每天在那个时间段接触对应的科目，时间一长，一到那个点，你的大脑就 自然的兴奋，就进入了那门学科的状态，这个兴奋感比多做两套卷子都管用。二毛之后还有二十九天，看淡成绩，赢在高考。我是王倩，你在升学规划上的心理减压师。
189升学规划王语嫣
03:12查看AI文稿AI文稿这是一道多解题，怎么才能把所有的可能性都考虑清楚，然后不会有遗漏呢？我们来分析下图形，直角三角形 abc， 他的长度是四，他的长度是六，在这条边上有个可以移动的点，点 d 连接 id， 然后顺时针旋转九十度旋转到这里。题目问题是，当这个蓝色是等腰三角形的时候，橙色的长度等于多少？我们移动下图形，你看 蓝色的形状始终在发生变化，我们需要把所有的可能性都考虑一下。先来看第一种情况，如果 dc 等于 de， 现在蓝色就是一个等腰三角形，这时能发现 dc 的 长度等于这条边的长度六减去 x。 再来看 d e 的 长度， d e 等于 id， id 的 长度等于根号下的四的平方加上 x 的 平方，然后根据这个只有 x 的 等式，可以算出 x 等于三分之五，这就是第一种情况。我们再来看第二种情况， 当点 d 来到这里，这个时候 c d 等于 c e。 求下现在 c e 的 长度都可以表示出来， 等于六，减去 x。 其次，他是一个直角，可以为了这个角构建全等三角形出来，可以过这个点给这条延长线做垂线垂直数点 f， 因为这条边等于这条边，他是直角，所以这个三角形和这个三角形就是全等三角形，他的长度是 x， 他的长度是四， 所以 ef 的 长度是 x， df 的 长度等于四。知道了 df 的 长度，再减去 dc 的 长度， 那么 cf 长度也能表示出来，等于 x， 减去二。然后在这个直角三角形中，根据勾股定律，可以列一个只有 x 的 等式，最后算出 x 等于四倍的根号，三减去四， 这是第二个答案，也是图形的第二种情况。我们再来看下第三种情况，如果这条边等于这条边， 比如说现在他们俩长度相等，根据等边三角形三线合一就能知道 c、 f 的 长度等于 d， f 的 长度，我们就知道 c、 d 的 长度等于六减 x， 那么 df 的 长度就是二分之六减 x， 同时这个图形也有全等三角形， 这个蓝色的三角形和这个三角形是全等的，所以 df 的 长度 等于 ib 的 长度，这不就是一个新的等式吗？二分之六减 x 等于四，可以算出 x 等于负二， x 是 线段长度，不能等于负数，所以说负二可以舍去，这样就能知道 b、 d 的 长度。有两种可能，如果这样分析的话，我们就能非常肯定的说，这个题我们是不可能有任何遗漏的，谢谢大家的关注。
131赵胖讲数学方法
13:01查看AI文稿AI文稿好，今天我们来讲解一下近期刚考完的青岛二模的这个大题压轴题啊，这个题的话是一道非常好的树立新定义问题，它其中蕴涵的一些证明思想和一些证明方法，是我们高考或者说一些压轴题中经常常见的一些方法。今天我们来讲解一下， 在现在模拟卷横行的状态下，很多地方都在压概率压轴，概率压轴，那万一今年打个回马枪，又考一个树立新定义，所以这些题目我们还是要防的啊。那今天我们来看一看这道题。 若竖列 x n 满足 x n 减一，加 x n 加一大于两倍的 x n， 则乘 x n 为 l l 竖列。它这个新定义也非常简单，只有一行的定义啊，它说已知 y n 等于 n 的 立方，判断它是否为 l l 竖列。那如果你理解本质的话，我一下就看出它一定是的啊，为啥呢？它这个是什么意思啊？ 是不是相当于这个函数要有一个整体，要有一个下凸函数这样一个趋势？这样子的话，你看我任意两点的连线， 然后他的他的终点的这个东西一定在他这个两点连线的一个下方，对不对？所以这就是一个相当于是考察函数的一个凹凸性的一个感觉。但竖列是一个特殊的函数，竖列是一些曲离散的点，对吧？所以这个本质上，我们从图形上来看的话，就要呈下图函数，因为我们如果说 x 三加一， 加上 x n 减一等于两倍的 x n 的 话，相当于它是一条直线，如果一条直线上两个点，比如说这是一，对吧？打个比方，这一是三，那么这是二，哎，这个是相等的，但是他如果图形向下一点，对吧？那么我们这个一加二的除一加二除以二，是不是这个点， 对吧？然后是不是大于大于 f 二的，哎，是不是确实是比他大一点的，所以他其实本质上是一个图形有下凹趋势，下图趋势啊，那如果你知道这个的话呢，其实这个 a 这个非常好判断，他这个三次方肯定下上去的嘛，所以肯定是 l l 受力啊。当然如果你不理解这个也无所谓啊，我们严格证明一下， 我们来看，那就按照他定义喽，就是 y n 加一减去 y n 减一减去两倍的 n 的 立方，这个我们全部打开来一化解， 这个化解很简单啊，这化解出来是六 n， 那 六 n 当然大于零了，大于零了，所以说它 y n 就是 l l 竖列啊，所以第一问呢，是比较送分的，也是比较简单的。 好，我们来看第二本，他说已知竖列 z n 为 l l 竖列，若对若任意不相等的正整数 m p q 满足 m 加 q 等于二 p， 证明 z m 加 z q 大 于两倍的 z p， 哎，他这个是什么意思啊？相当于原来的我的 l l 竖列的定义是一定要三项是相邻的，对吧？三项相邻的，如果 他们是乘等差的话，相当于是如果等差的话，相当于是等于，对吧？他现在是大于的意思，现在他意思是这三项呢，也是乘等差的，对吧？但是呢，他还是要证明这样子，但是这三项呢，不一定相邻， 对吧？那我们要从原来的相邻的来推到一般的乘等差的，其实也是比较简单的，这个非常简单，让我们来看一下，那我们因为 z n 为 l 虚列，所以对任意的 n 大 于等于二，有 z n 加一，加上 z n 减一，大于两倍的 z n， 那 我们给它减一减，就是 z n 加一，减 z n 大 于 z n 减一， 对吧？然后呢，我们现在要证这个东西啊，那要证这个东西，我们即证就是 z m 减 z p 大 于 z p 减 z q 了，那我们把它写一下， z m 减 z p 呢？因为我 l l 数列都是跟相邻的象的关系，所以我给它相当于累加，累起来啊， z m 减 z m 减一， z m 减一， z m 减二，加上点点 z p 减一，减 z p， 对 吧？然后 z q z p 减 z q 呢？就是 z p 减 z p 减一，加上 z p 减一，减 z p 减二，然后这样一五逐渐地递推下去。 那么我们会发现啊，从上面来看，上面的项数是多少呢？是不是 m 到 p 加一，所以就是 m 减去 p 加一， 然后再加一，所以总共是 m 减 p 项。下面呢是 p 减 p 减去 q 加一，加一啊，所以是 p 减 q 项。那么因为呢， m 减 p 等于 p 减 q， 所以 它们的项数是一样的，那要正，这个比这个比它大，那这个是显然的，因为每一个分量都比它大， 这个为什么每一个分量比它大呢？因为我们刚才看到了，相当于这个数列是个递减数列啊。那如果我们考试的时候，我们再写的清楚一点， 因为呢， z n 减 z n 加一，减 z n 大 于 z n 减 z n 减一，大于 z n 减一，减 z n 减二，然后点点点低头下去。那么对于任意的 z i 减 z i 减一和 z j 减 z j 减一，只要有 i 比 j 大， 那么它一定会有这样子的， 那因为 m 是 比 p 大 的，所以说我 z m 减 t 和减去 z m 减一减 t 一定是大于 z p 减 t 减去 z p 减一减 t， 那 这个 t 就 代表它们的任意嘛，因为它有可能减一减二，然后减下去，对吧？就相当于是说，从这里我其实可以看出来啊， 只要它这个角标大的，它们两个做差的一个距离肯定比它角标小的做差距离要大。那所以这个就非常简单了，因为 m 是 比 p 大， 所以这个始终是比 p， 它相当于是每一项都比它大，然后它们的项数又一样，所以我们 z m 减 z p 当然是大于 z p 减去 z q 的， 所以这一问我们就结束了。也整体来说难度也不是很大啊，也不是很大，那我们来看第三问啊，他说若竖列欧米伽 n 为 l， l 竖列且满足欧米伽 n 是 比零大的，大于等于零，且满足它的一个求和是小于一， 那我们知道这个 n 的 求是个无限为求，这个 n 可以 非常非常大，意味着它不管怎么怎么加啊，它是一项都是正数，不管怎么怎么加，它始终是会小于一的， 对吧？不管怎么加，它始终是会小于一的。那么其实我们可以判断它 omega n 一定是有递减趋势，且加到最后这个 n 非常非常大的时候啊， 且这个 n 非常大的时候，就令面的 n 区域无穷大的，这个 omega n 一定是区域零的，对吧？因为如果你不区域零的话，你等会那个数越加越加越加，肯定会超过一的，这个是我们的一个趋势的一个分析，当然我们严谨的来书写一下这个过程啊， 然后呢？他让我证明的是不是这个东西，那对于一个证明的一个问题，而且这些东西都比较抽象的时候，我们在竖列中是非常常客的一个证明方法，叫做反正法。反正法的本质就是因为他条件比较少，我给他主动加一个条件，然后来推出矛盾， 所以这个反正法在竖列中是非常常见的，我们等会证明这个和证明这个全都用反正法来给你操作一遍，那我们一起来看啊，假设我们先在这个，我们先在这一遍， 假设存在 t 使得 omega t 减 omega t 小 于零，因为它本来说这个东西减去一定是大于等于零嘛？那我就假设存在某一个时候， omega t 减去， omega t 减一小于零， 对吧？然后我们知道因为 omega n 减， omega n 加一是递减数列，所以我们有零大于 omega t 减， omega t 减一，大于 omega t 加一，减 omega t 加二，然后加上大于点点点，这样减下去，对吧？然后所以即零。 这个时候你可能看的不太清楚啊，那我们就倒一下，倒一下，我们把大的大的像素放在前面，就给它颠倒一下啊，现在两边添个符号啊，像零小于 omega t 加一，减， omega t 小 于 omega t 加二，减 omega t 减一啊， t 加一，然后点点点加下去， 我们从图形上判断这个肯定是个矛盾的，为什么呢？我们画一个图啊，这是 t t 加一，然后 t 的 时候对应 omega t， 然后 t 加一的时候对应 omega t 加一， 那么因为 omega t 加一小于零的，然后下次 omega t 加二和 omega t 减一的距离，肯定，比如这个是 d 的 话，那这个肯定要比 d 大， 所以你这样子的话，你会想你后面越来越增，越来越增，肯定是一直往上走的嘛， 一直往上走的肯定不可能满足，加起来一定小于的，所以这是我的图形上的一个理解，那我们怎么把图形的语言翻译成代数的语言，这是各位同学需要学习的，那我们来看看严谨的怎么书写啊？ 那我们就设，哎，欧米伽 t 加一和欧米伽 t 的 一个距离是 d， 那 么我们假设有个 k， 那 么这个 k 比如说是比 t 加一要大的，对吧？我有一个欧米伽 k， 欧米伽 k， 我 可以这样子给它累加，就是欧米伽 k 减一，加上欧米伽 k 减一，减欧米伽 k 减二，加上点点欧米伽 t 加一减去欧米伽 t， 然后加上欧米伽 t， 那 么我们知道啊，它每一项，因为我们知道这个是 d， 对 吧？这个是 d， 然后呢？后面它是不是 这些东西，欧米伽 k 是 不是会比 d 要大的？这这个东西我们来看应该是要比 d， 是 比 d 要小的，我们来看一下，它是欧米伽 t 加一减欧米伽 t， 这个东西越大的话，它是不是越大， 对吧？所以我们对于一个欧米伽 k 啊，我们可以给它写成这样子，那么我们每一项都给它收缩成 d， 那 么总共是 k， 欧米伽 k 到欧米伽 t 里面有 k 减 t 项，有 k 减 t 项，所以我们是不是大于等于 k 减 t 乘以 d， 然后最后加上一个欧米伽 t， 对 吧？那这个我们方向应该是没有搞错的，我们可以看一下啊，对吧？因为它这个是逐渐的，你如果大的往小的去的话，它是不是越越往后面是不是越小的， 对吧？就是越，就是这个角标越大的话，它是越大的，那我全部给它放成 d 的 话，相当于给它放放成小的了嘛。所以是可以的啊，所以大于等于确实不等号，没有问题啊。 然后呢？那我们要来正矛盾，其实非常简单，他说所有加起来都是小于一的嘛，那我看我只要令这个东西大于等于一，可不可以取到呢？完全是可以取到的，如果我令这个东西大于等于一，肯定可以取到这么一个 k 的， 只要那解这个方程就是 k 大 于等于一减 omega t 除以 d 加 t 啊， 所以当 k 大 于等于一减 omega t 除以 d 加 t 的 时候，我们一定有 omega k 大 于等于一，那么与这个东西肯定是个矛盾的， 对吧？与这个东西肯定是个矛盾的，所以我们假设是不成立的啊。假设是不成立的，所以 omega n 减去 omega n 加一是大于等于零的， 所以我们左侧就整完了。好，那我们右侧的证明也是一样的，我们再次利用反证法，我们再证这个 omega n 减去 omega n 加一小于 n 方分之一，那我们还是反证啊，假设存在 t 使得这个东西是大于等于 t 方分之二的， 那因为我们前面已经知道 omega n 减去 omega n 加一这个东西，这个数如果把它看成一个竖列的话，它是单调递减去 omega t 加一大于 omega t 加二，所以这个是个单调递减的竖列啊， 所以我们这样写开来， omega 一 减 omega 二大于 omega 二减 omega 三，然后得到这样子，对吧？那我们也是给它累加啊，我们给我们给它累加一下，从 omega 一 开始累加我们这个累加，这样累加，所以积累累加就可以得到 omega 一 减去 omega t 加一， 每一项都大于等于 t 分 之二，那么我们总共有 t 项，那么是不是可以大于 t 分 之二？所以我们知道 omega 一 是大于 t 分 之二加上 omega t 加一的，那么同理，如果我从 omega 二开始的话， omega 二减去 omega t 减一，那么总共是有 t 减一个 t 方分之二， 对吧？我这样去放松的话，那所以是不是等于 t 方分之两倍的 t 减一，对吧？好，那我这样子的话，我们就写出了这么一串的东西， omega 一 大于这一串， omega 二大于一串 omega k 大 于两串 omega t 大 于这一串。然后呢，我们将其进行一个累加， 将其进行一个累加， omega 一 加 omega 二加零点 omega t， 那 这个东西因为下面都是 t 方，所以我可以看成 t 方分子二 t 嘛，给两边给它乘以 t 啊， t 方分子二 t， 然后呢，加上这个 omega t 加一，总共有几项有 t 项，对吧？好，那我们对这个进行 求和，这个东西是什么？这个东西是个等差数列啊，这东西是个等差数列啊，所以说我们对于这个东西，我们来对它进行求和。首先这个东西等于什么？是不是 t 方分之 二拿出来， t 方分之二拿出来，每个都是公式，然后然后 t 方分之二拿出来就是一，然后加上二，加上点点，再加上 t 啊，所以上面是个等等，那个等差竖列的求和，对吧？所以我们给它 进行放松，而且我们可以把这个放掉，为什么会把这个放掉呢？其实你把这个东西算一下就知道了。我们先把这个东西算一下，就首项加尾项乘以项数除以二，那么就是 t 已经是 t 分 之一加 t 了， 已经是 t 分 之加 t 就是 一加 t 分 之一了，这个东西已经比一大了，所以说我直接可以把这个给丢掉了，因为我们因为他题目干告诉我 omega n 大 于等于零嘛，所以我我要证明他有矛盾的话，只要证明加起来比一大，因为他也告诉我条件是不是总共加起来比一小嘛，对吧？那我就证明加起来比一大就矛盾了嘛。那其实 我把这个东西放掉的话，这个东西就比一大了，所以我大胆的就把这个东西丢掉了。那这个为什么能丢掉？其实本质上先把这个东西算出来之后才知道的，那我们知道这个东西算出来就一加七分之一，那么就大于一的，那么肯定与 sigma i 等于一到 n omega i 小 于一是矛盾的，所以这个题我们就证完了。 所以这个题呢，也是一道非常漂亮的压轴题，里面是考，主要是考察一个竖列的一个证明思维，这种思维往往是我们高手尖子生非常缺的啊，高中学生比较薄弱的，所以在做现在各地方模拟卷，在压概率压轴题的同时，我们这些竖列的一个常规压轴 和一些稍微有一点新定义的亚洲，我们也是要准备的，万一今年高考就考了这么一个呢？所以这题是非常好的一道亚洲题啊。那本题我们就讲解到这里。
155高中数学教研
