26年山东春考数学回忆版三角函数
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02:25查看AI文稿AI文稿同学们，咱们这条视频来讲一下三角函数啊，两角和与差的题型，咱们先来看一下第一题，计算这一块相加的值为多少，对吧？想计算这种题型的话，我们得记一个公式啊。来，同学们，把这公式记一下， sine 括号加减 贝塔括号等于 sine alpha 乘以 cosine beta 加减， cosine alpha 乘以 sign 贝塔啦。好，我们把这公式记一下啊。来，我们就对应着看呗，这个很明显就对应的这个这一块的，对吧？那 alpha 对 应的就是三十度嘛，对吧？ beta 对 应的就是这个三十度啊，那也就是等于这一块东西就等于 sign 的 alpha， 我 们知道就三十度，就三十度，来加上贝塔，我们也知道是三十度，对吧？就等于 sin 的 六十度呗。那 sin 六十度等于多少呀？就二分之根号三吗？啊？就 c 选一下。好，再来看一下第二题，来，同样的计算这一块相加的值等于多少，对吧？好，那这个呢，我们要记一个公式了，括塞的啊， cosine 括号 alpha 加减贝塔。括号展开就是 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔。记得啊，这里有点不一样了啊，这里是加减，这里就是减或者是加啊， sign alpha 乘以 sign 贝塔。好，来了，我们观察一下这一块东西，对吧？它相加的对吧？相加的话对应的就是 cosine 相减的呗，对吧？相加它就相减了，也就是这里七十五度对应的就是 alpha 四十五度对应就背他呗，对不对？也就是七十五度减去四十五度啊。那有同学问了哈，他说这里是相减，为什么对应的这里，这里是相加，为什么对应这里是相减呢？那我都说了吗？你看观察这一块东西，这里面是加， 展开就减，这里面是减，展开就加啊啊，同学们，这里要记好，不要搞混啊，这里有点绕。好吧，那也是得出来就等于 cosine 的 三十度，那 cosine 三十度我们知道它就是等于 二分之根号啊，二分之根号三就是 a 选项啊，答案就是选 a。 好， 这条视频就讲完了。
07:07查看AI文稿AI文稿hello， hello， 同学们，大家好，我是大家的笑笑老师。那有的同学告诉老师说，老师我的三角函数值记不住，怎么办呢？那我下面的题也就不会做喽， 这个视频大家跟着老师一起默写一下，保证大家一遍就能记住。好，首先我们来回忆一下啊，在你初中的时候，我们一共学过哪些角的三角函数值？首先第一个是不是零度啊？然后是三十度，对吧？然后是四十五度，六十度， 九十度。初中是不是一共就学过这一些呀？啊，那我们没有学过二十七度吧，也没有学过二十六度吧， 到我们高中的时候还要学哪些呢？九十度以后的第一个是谁呀？是不是一百二十度呀？那你要怎么找呢？同学们，记住哎，六十度和它是对称的，也就是说它们之合 为一百八十度，好，它们之合是一百八十度，好，那下一个大家应该知道吧，和四十五是之合是一百八十度，好，三十度对应的是 相加，是一百八的，应该是一百五十度，对不对？那和零互补的是不是一百八十度啊？好，那这些是我们在初中， 在高中时候要用的一些三角函数值啊。那首先我们先看一下三应该怎么记呢？同学们，你只需要记住它的分母啊，它永远都是二就可以了哈，它的分母是二，那我们要怎么写呢？你就从根号零 一直写根，一根二，根三根四， ok， 到九十的时候它是一个分界点，那接下来一百二要怎么写呢？ 就找它的对称点就可以了。就是一百二和六十是不是互补的呀？那它和它的数字是一样的哈，也就根三，对吧。哎，然后 这个和这个是对称的，这是根二，那这个就是根一，这个就是根号零，对吧？啊，那你也可以这样记啊，先从根号零一直写到四，然后从四呢，再一直写到零就可以了。 好，是不是很简单呀？那同学们再看一下符号，那他们前面都是正号还是负号呢？大家要记住这个来源于什么呀？是不是 sign 它等于对边撇斜边吧，这是我们初中学过的。那如果在坐标系里面， 假设这个点是 x 的 y 的 话，那这个角的对边是谁啊？长度是什么？是不是 y 呀？那斜边呢？ 是不是半径 r 呀？单位圆里面斜边是半径 r， 也就是说那 sine 应该等于 y 比 r 吧，对不对？那 sine 等于 y 比 r， 那 我们知道哦， sine 的 正负是不是应该取决于 y 了？所以说前两个象限， 由于 y 轴是正的，那么三也是正，对吧？三四象限，由于 y 轴是负的，那么它的三值也是负的哈，好，那我们看，从零度一直到一百八十度，是不是属于前两个象限啊？ 啊？前两个象限，那它都是正数，对不对？所以前面是不是应该都是正号？正号，正号呀，对吧？好，那 sign 大家应该能记住了吧？好，那下面我们来看一下 cosine 余弦的呢， 那我们先写余弦的分母还是二哈，同学们，你就大胆的写就行了，分母是二，那分子呢？哎，刚才我是不是从根零写到的根四呀？现在呢，就是从根四，根三根二， 根一根零，哎，我倒过来写就行了，对吧？好，数字找对称，这个就是根一，然后这个呢，是不是根二呀？ 然后下一个这是不是根号三？哎，这就是根号四了，对不对？好，那数字我们确定，以后大家想我的正负号怎么办呢？那还是我们要推出来哈， cos 是 不是等于邻边 比斜边呀？对吧？啊，这是我们初中学过的邻边比斜边，那如果在一个坐标系里面的话， 以这个角，然后呢，这个点是 x 的 哦， y， 好， 所以说，哎，这条边是不是就是长度为 y， 这条边是不是长度为 x？ 斜边仍然是单位圆的半径 r， 所以 零比斜是不是应该等于 x 比 r 呀？ 那么 cos 的 正负是不是取决于 x 的 正负呀？那我们看在坐标系里面， 这个第一项线和第四项线，它对应的 x 是 不是都是正的？所以说，哎， q 三是 正的，正的，对吧？一次项线是正的。好，那我们看二三项线，它的 x 是 不是负的呀？所以它的 q 三就是负的，负的啊，所以说，哎， 二三象限 cos 是 负的，那我们从九十度以后，九十度以后哈， 是不是第二象限啊？那我们要给它加上符号，符号，符号符号就 ok 了。好，那我们下面再来记一下 tangent 应该怎么记呢？ tenton， 其实 tenton 非常简单了，因为 tenton 有 一个公式，是不是 tenton 等于 seven 比口 seven 呀？那我就拿第一行的去除以第二行的就不可以就可以了呀，对吧？好，那我们给他化简一下哈，第一个是不是零 除以二分之根号四是不是一啊？所以，哎， tenton 的 结果是零，对吧？好看。第二个第二是二分之一，除以二分之根三，所以结果是 三分之根号三，对吧？好，然后下面呢？四十五度的时候，二分之根号二，二分之根号二消除， 答案是一，对吧？六十度呢，二分之根三除以二分之一，是根号三，结果，对吧？好，那九十度呢？同学们， 正切是没有九十度的三角函数值的，对吧？为什么？因为此时余弦是零啊，我们 tenant 就 应该等于 tenant 九十，是不是就应该等于二分之根号四除以零，零能作分母吗？同学们，不能，所以说 tenant 九十是不存在的，对吧？好，那接下来是不是就对称着来，这就是根三，下一个是 一，下一个是三分，这个号三，然后是零，那由于这是正，这是负，所以前面都要加上负号啊，同学们，现在能记住了吧？是不是很简单啊？大家可以看完视频以后去自己默写一下。
46植职数学胡老师
00:36查看AI文稿AI文稿三角函数特殊值记不住怎么办？把手伸出来，以你的左手为坐标系，它下面有几根手指零个，所以三零度等于零。它下面有几根手指一个，所以三三十度等于二分之根号一，也就是二分之一。 下面有几根手指两个，所以三四十五度，等于二分之根号二。下面有几根手指三个，所以三六十度等于二分之根号三。下面有几根手指四个，所以三九十度等于二分之根号四，也就是一。这就是正弦。你要算余弦的话，只需要数上面的手指就可以了。
22邓校长讲高考
02:39查看AI文稿AI文稿三角函数的公式又多又难记，怎么办？其实你只需要记住一张图就能速。通常用公式。这是一个半径为一的圆，我们称其为单位圆。把 x 轴上的半径逆时针旋转一定角度，得到 feta 角 端点向 x 轴引垂线段，这个垂线段就是 sine feta。 端点向 y 轴引垂线段，这条线段就是 cosine feta， 那 么这个端点的坐标就是 cosine feta。 dcosine feta feta 的 余角就是二分之 pi 减 feta。 可以 看到， sine 二分之 pi 减 feta 恰好等于 cosine feta 过端点作切线与 x 轴相交，这条线段先叫它 d 明显。灰色三角形和绿色三角形是相似的，对应边乘比例，所以 d 比 e 等于 cosine feta， 比 cosine feta， 那 么这条边就等于 cosine feta 分 之， cosine feta 就是 tianfeta。 三角形的斜边则为 cosine feta 分 之一，称作正割。 c 肯 feta 过端点的切线与 y 轴相交，这条边长先用 d 表示。 同样，灰色三角形和绿色三角形也是相似的，所以 d 比上一等于 cosine feta 比 sine feta， 于是 d 等于 cosine feta 分 之 cosine feta， 也就是鱼切 cotangent feta， y 轴上的边则为 sine feta 分 之一，这便是渔歌 cosine feta。 现在 feta 在 不断地变化，当向九十度靠近时，黄色的 tan 和粉色的 cayenne 在 无限地扩大， 但是永远无法取得九十度，因为此时已经不存在三角形了，所以 tanj feta 和 cayenne feta 是 趋近于无穷的。 同样，当 feta 向零度靠近时， cotangent 和 cosine 在 无限扩大，也无法取得零度，所以 cotangent feta 和 cosine feta 也是趋近于无穷的。 在整个变化的过程中，无论怎么变化， sine feta 和 cosine feta 始终在原内变化长度不会超过一，所以 sine 和 cosine 的 取值范围在负一到一之间。 再来看灰色的三角形，它是一个直角三角形。根据勾股定律可知， sine feta 的 平方加 cosine feta 的 平方横等于一。 同样看到绿色的直角三角形可以得到一，加上 ten feta 的 平方等于 cen feta 的 平方。再看这个紫色的三角形，可以得到一，加上 cosine feta 的 平方等于 cosine feta 的 平方。 你看一个图像我们就搞定了。单位圆弧度至点的表示、三角恒等式等等超过十个常用公式和概念，所以数学掌握好方法其实一点也不难。
3098学长26号呀
02:08查看AI文稿AI文稿二零二六届高考生注意了，如果你的目标分数在九十到一百分，恭喜你，今天这个视频专门为你量身打造的。 首先第一个你必须掌握的模块就是三角函数加减三角形，这个模块呢相对来说比较弱智啊，高考考压轴题的可能性非常小，我希望你这个地方彻底搞定。第一个就是考三角函数的各类公式，大概是十一类的样子，同角之间的关系，还有计划和差和差化机，我建议是掌握的 半角公式、降密公式、二倍角公式、万能公式、正切和等式等等，这些公式你都是需要掌握的，你需要 会推导。然后第二类就是考三角函数的图像，考法呢，相对来说是比较固定的。第一类就是考正弦型函数的各种图像的性质。第一个考法就是正弦型函数，余弦型函数、正切型函数。第二个考法是综合体，他有可能和既有性啊，单调性啊，周期性啊 综合在一起，就是跨正极综合，这是三角函数两大类考法，下一个就是解三而行，从题号上来看，他没考过特别难的题，所以大家务必拿下啊。第一个考法就是正弦定律，余弦定律的一些应用，你得知道什么时候用正弦定律，什么时候用余弦定律。第二个就是和最值结合在一起，基本上第一问 考一个基本定律公式的应用，第二步基本上就是考最值问题，第一个是基本不等式，第二个求最值的方法是一角，一函数就转化成一个角，然后第三个基本上就是二次函数结合在一起。基本上高考 会这三种方法我认为是足够的，第四个模拟题他有可能考到导数求最值，第五个如果考小题的话，他有可能考诡计。第三个考什么呢？ 肯定是三线问题，绝对是重中之重，就是中线，包括三等分线，四等分线，然后呢，角平分线问题就需要用角平分线定理，当然也包括脏角定理也会考到啊。还有就是高线问题，基本上都是用等面积法，所以三线问题也是减三角形的重中之重，相对来说考法是比较固定的， 因为毕竟这个地方他不是出压轴题的形式，你只要用心去研究，还是能够学会的。目标想考一百分的同学，大家一定要好好的努力，好好的去研究。
286赵礼显讲数学
01:56查看AI文稿AI文稿所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。
26数学孙老师
03:32查看AI文稿AI文稿同学们，我们今天来做一道全国甲卷的压轴题，算函数 f x 的 定义域为 r， f x 加一为奇函数，那说明它关于一零对称。 f x 加二为偶函数，那说明它关于 x 等于二直线对称。当 x 属于一二的时候， f x 的 表达式是这么多，若 f 零加 f 三等于六，则 f 二分之九等于多少？当时这个题目好像是我们函数这个知识点的周期对称性的综合考量， 那么在做这个题目的时候，标准答案就有这么多解析。但其实，嗯，我不太喜欢看这个答案，这个答案太多了。嗯，不看不看，今天教大家一个周期对称性的一个新方法， 你看啊，其实周期对称性有一些结论就是，假如这个函数 f x 啊，他关于两条直线对称的话，他他的周期能够算出来，他是等于二倍的两条直线相减。关于两个点对称，同样的周期还是等于二倍的两个相减。然后假如他关于一个点，关于一个直线对称，那他的周期就等于四倍的两两个点相减。嗯，这个这里的 周期是 f x 的 一个周期，而不是最小正周期，就是我只能求出它的周期，但是我不能求出它的最小正周期。什么意思哦？我们用图形来对这个题目进行一个理解啊，对这个结论进行理解，我们以三角函数的这个正弦函数为例，你想，我假如是关于 x 等于 a 和 x 等于 b 两条对称轴 对称的话，那他的这个周期是不是就是二分之 t， 对 吧？那两个点，同样这个点和这个点他之间的周期相减，是不是也是二分之 t， 然后同样这是一个点，这是一条直线，那点和直线两个对称的话，那他们之间相减就是四分之周期，所以一二三结论都能够挣出来了。 那么我们有了这个结论了之后，我们再回过头来看这个题，他说关于一零这个点和 x 等于二这条直线对称，那也就是说我的周期 t 等于四倍的二减一等于四，对吧？然后又因为你知道 f 零加 f 三等于六，然后 x 属于一二的时候， f x 等于 a， x 平方加 b， 那也就是说 f 零，我把它放到一二里面去，那就等于负的 f 二加上 f 三放到一二里面去，等于 f 一 等于零等于六，对吧？然后 f 一 是 a 加 b 减去， f 二带进去，应该是 a 减 b 等于六吧， 所以我就能够得到负三， a 等于六， a 等于负二，那我们就能够推出 b 等于二了，把 a 等于负二 带到这里面去啊。有一零这个点就能够推出 b 等于二，好，那我的 f x 的 这个函数表达式就能够求出来等于负二， x 平方加二，对吧？ 然后你这个 f 二分之九，我肯定是要把它放在这个区间里面去，那我减一个周期，它是不等于 f 二分之一，对吧？然后我再把它二分之一放到一二里面去，它关于一零对三，就等于负的 f 二分之三，对吧？ f 二分之三，那我的 f 二分之三等于负二乘以四分之九加二，就等于了负的二分之五。好，然后你这有一个符号，那所以我的原式 是不是就等于了二分之五啊？所以我们就选 d 啊。假如你掌握了这个周期对称的这个结论的话，我们可能最多就只是花一到两分钟就把这个压轴题做出来啊。当时这个题目好像是放在了十一题还是十二题，所以还是很有难度的啊。那我们再来做一道这这种周期对称性的练习题。 二，一年新高考二卷同样也是考这种，他说 f x 定义为 r， f x 加 x 等于二是他的对称轴， f x 加一是 g， 还是说明他关于一零对称， 走下面哪个选项是正确的？大家把答案打在评论区，有疑问我们去评论区解答。今天有关函数这一方面的周期对称性这个结论我就讲到这了，有需要这方面高考题的同学私信我，我把今天的奖励发给你。
63高中数学阳学长
01:10查看AI文稿AI文稿所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每个普通人成才的机会。
60数学孙老师
01:22
01:02查看AI文稿AI文稿一个视频秒杀三角函数的定义，好，让我们看题，已知角 alpha 的 中边经过点 p 负八负六，则 cos alpha 的 值为多少？ 那么我们要背过一个东西，是 r 等于根号下 x 方加上 y 方，那么负八是 x， 负六是 y， 好 把它代入用根号下 负八的平方加上负六的平方好，那么就等于根号下八八六十四加上三十六，好，根号下一百，根号下一百呢，就是十好。 cos alpha 呢？ cos alpha 就 等于被过，他的定义是 x 比二，那我们找一下 x， x 是 负八，然后负八除以十好， 就结果是负的五分之四好，答案是应该选 c 选项好，那么老师问你一个问题， c 幺二等于多少呢？好，给老师点个关注，轻松上本科！
306春考数学救星
00:43查看AI文稿AI文稿所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。
224数学孙老师
01:08查看AI文稿AI文稿所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。
18数学孙老师
04:17查看AI文稿AI文稿大家好大家好，我是李老师，如果你的数学还没到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂，搞会，快速提分。今天我们来讲的是二六年昌平二模的关于三角函数的题目， 他给了我们一个 sine， 我 们一个 x 加上六分之 pi 啊，然后说 f x 在 这个区间上单调递减， 然后问我们 omega 的 范围，这种时候怎么做？因为他问我的 omega 还是个范围，是吧？那就说明他在这上面单调递减，那不一定单调递减区间就是他。如果说在题目中，有时候他的这个单调区间能够判断出来，比如说二分之派到派是吧？他的 t 应该等于派， 那你一发现，哎，这就不是半个周期吗？那他就是能说到他是他的单调区间。但是这道题显然不是这个意思啊，因为最后让我们求的是 omega 的 范围， 说明这有一个可变的周期，然后求它的范围，我们来看一下怎么求解。首先 f x 在 二分之派到派上单挑去减，它的思路是一样的啊， 同样我们要去映射这个 f t， 因为 x 现在的范围是 pi 到二分之 pi， 那 我要去得到 omega x 加上六分之 pi， 我 就可以得到 t 的 范围，对吧？所以 omega x 应该小于等于 omega pi 二分之 pi， omega omega x 加上六分之派应该小于 omega 派加六分之派二分之派， omega 加上六分之派，哎，我是不是就可以把这个范围求出来了？所以我现在来令 t 等于 omega x 加上六分之派，我是不是就得到了 t 的 范围啊？ 所以 t 是 不是应该也是这样的范围？我们一个派加上六分之派和二分之派，我们一个加上六分之派，那我得到 t 的 范围有什么好处呢？因为 f t 他 是，他是啥呀？是不是应该是我令他为他之后，他是不就等于代替啊？ 我虽然说不知道 omega x 加六分之派的图像，但是我可以画出三一 t 的 图像，我是非常熟悉的，因为三一 t 图像不就这么画吗？是吧？这是派，这是二派， 这个我是很熟悉的，这是三一 t， 那 么我想说，他给了我，现在我知道了 t 的 一个定义域，说他在上面单调递减，那我是不是知道他一定应该在这个区间呀？单调递减，他一定是这个区间的一个子区间， 没问题吧？这里是啥呀？这里是不是二分之派？这里是二分之三派。因此我就可以得出一个结论，得到这个不等式啊。左边 是不是二分之派，我们给减去六分之派啊？加上六分之派。口误加上六分之派，他是不是就得大于等于这个二分之派？ 由于他周期函数，所以我要大于二分之派加二 k 派，我们要严谨一些，对吧？同样，这是左端点，这是右端点。右端点。我是比小于等于二分之三派呀， 得小于等于这个值，所以二分之三派 omega 加上应该是这 omega 加上六分之派，是不是应该小于等于二分之三派加上二 k 派？因此我知道，我只要解这个不等式组就可以了。 如何得到呢？首先我们把它们都移过来啊，那就是二分之派 omega 应该大于等于二分之派，减去六分之派，应该等于三分之派加上二 k 派。一下，这 omega 派应该小于等于二分之三派，减去六分之派，那就是六分之九。 减去六分之八等于六分之八派，六分之八就是三分之四派，加上二 k 派。继续，那我的 omega 是 不是应该大于等于它们乘以二啊？派分之二呀？派分之二，那就是三分之二加上四 k， omega 应该小于等于 三分之四加上二 k。 因此我说就把 omega 的 范围给求出来了。那么这道题那 k 就 等于零的时候，所以 k 应该是 omega 应该属于三分之二到三分之四。这道题选择二 b。
123北京高考数学_李老师
18:39查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好啊，我是可乐，这两天为什么更更新了？因为我喉咙比较严重啊，所以嗓子一直不好受。但是你们马上就要春季高考了对吧，有同学还经常问我，步骤答题，答题步骤啊，具体怎么去写啊，不是很清楚， 还有具体的逻辑啊，或者你对一些注写上的规范啊，那些不知道，今天我就选了六道题，六道题覆盖了有函数 三角，函数 a 集合，还有解析集合以及数列五大板块啊，为什么我要选六道题呢？因为这函数我多选了一道，一个是这个基有性，第二个是这个单调性，证明对经常会写错或者经常会写的不规范而引起扣分。那今天啊，我就给大家 从头到尾的把这个大体的嗯，写作步骤就成，给大家更新一下，讲一遍啊。先我们看第一题，这函数 f x 等于二， x 方加 mx 加 n， 最小值为二，对吧？然后数函数啊， f x 图像的对称轴为 x 等于一，我们通过这个信息我们就可以捕捉到，这里要写一个减，我们就可以捕捉到 t 得的 t 得 x 等于负二分之 b 都啊， r x 方加 mx 加 n 的 等于二， 过 m 是 等于负四， b 等于 m， 四 m 的 负四为开 x 这个二项 s 函数开口是向上的啊，最小值 带对称轴啊，得到负一等于二，负一等于二，负一等于二，是个最值，是个顶点，对吧？把它带进去 等于四， m 和 n 我 们都知道了，那我们就可以把式子算出来，那这个解析式就等于 f x 等于 x， 方减 x 加四。我们利用了哪几个隐藏知识点呢？一个就是对准住的， 第二个就是这个零点的啊，就这个零点的点，他是只有开口向向上的啊，开口向啊，划错了，只有开口向上才有最小值，对吧？开口向上，所以说大家捕捉的这些，我们看第二个怎么书写啊。 o 呃，这个函数的 g 五项， 呃，他说了 g x 等于 f x 加一，那么就由此而知，那就是什么 g x g x， 那 你可以把 g x 等于它等于什么？ f 的 x 加一啊，加一带你去，就是二的加一放加啊，减， 减四 x 加一，加四等于二 x 加一啊，减四 x 减四，加四等于二 x 放。话讲完之后 就得到这个数啊，那你写这里，我写那个，不对啊，写这个，那么等于这个之后，我先要写啊，它的定义域，两个圆点对称，必须要写这句话啊，不说这个函数它是不关于圆点对称的，就没有几何形，并且它的定义域一定是关于圆点对称的， 我们可以验验证几何形有 g x 负 x 负 x， 负 x 等于二等于二，负 x 方 g x， 你 看什么？ g a 的 负 x g x， 说明 g x 是 o 函数， g x 是 o 函数。大家把这个具体的步骤给捋一下，第一步是我们先化简出来最基本的解析式啊，我们在 根据这句话定义为二，然后语音就行开始判断 g x， 它等于的是 g x 还是负的 g x。 如果说等于负的 g x， 那 就是 g 函数吧，如果说等于 g x， 那 就是偶函数，不说是 非机配偶，对吧？不等于 g 的 负 x， 也不等于负的 g x， 那 就是非机配偶。那我们看第二十点啊，这证明 g 五线的步骤啊，看一下这个二十点，因为这个单根线呢，就跟我们 c 一 样，就是 d 等于 d 九， 我们看第一题啊， x 在 等于零到十五，求其解来说，若 f， 第一个条件啊，若 f 加一大于 f， 这个写下来，把这个对号写差了，就可以。 这边减函数性质减函数啊，你，你可以写，因得知减函数，就说你若 f x 一 大于 f x， 则 x 一 等于 x， 对 吧？ 减数吗？二是越大 x 轴越小， y 的 值数越大，然后 x 的 值数就越小，相反了，再加括号，相反呢？再减数。那根据题目的公式可以得知了啊，是 a 减一， a 加一要小于二啊，题目还给要求了，它是在零到中，求 a 加一在零，对吧？ 二大于零就不用说这三个条件。哎，我就可以解的， a 是 大于负一的，小于一的说写出求出实数 a 的 范围，稍微写一下集合形式，就说 a 的 比较范围写的规范一点啊，写这个也行，你写去也行，没什么太难问题。那，那看第二位，很多同学就是第二位，不太会写，你看 他说 g x 等于负的 x， 怎么怎么证明啊？就是第一啊，是大于 x 大 于 x 大 于 x。 说完之后你问他，因为 f x 在 零到正无穷是减函数，所以 f x 一 大于 f x， 必须先，嗯，先判断啊，他说先判断吧，他跟你说，你先说函数减函数，先去说，你判断一份啊， 说就是你回你这个如果说打一本的话，得就如果说打草纸的话，多的话你就在打草纸演示一下啊，那是分还是减啊？如果减的话，在下定的去减，然后根据减号来去推论啊，然后则 f x 一 回复的 f x 二 g 的 x 一 小于 g 的， 所以 g x 对 到正无穷啊，上按掉正 啊，底增写错了，但是底增底增啊，这是定义法，我们还有个作啥，还有个求差法，就是求单调，我们可以用单调 y 比上单调 x， 如果说单调 y 比上单调 x 大 于零的话，就是增函数，小于零的话就是减函数。 单调 y 什么呢？就是 y 一 减 y 啊，像 x 二 x 一 减对齐啊，一和一对齐，二和二对齐，你说就可以用这种方法也行，用定义法也行，但是如果说定义法合理的话，就用定义， 具体流程就这样啊，说大家如他，如果说这个题目大家先判断的话，一定要啊，一定要说先判断，因为这占一分啊，判断就占一分，如果这题不会做，大家就蒙了一个， 还至少蒙对了，就占一分了。第七题，梳理啊，梳理的步骤首先这个题目呢，说了 a n 大 于零， a 等于一二的 a n 加一次方减， a n 等于零，对吧？由这个题目我们就得知啊，写由这个题目知，是吗？得知， a 二倍的 a n 加一减 a n 等于零，我们移向二倍的 a n 加一减 a n， 那 等于 a n 啊，移向对，那 a n 加一比上 a 不 等于二分之一，对吧？这个呢，是不是求 q 的 就是公比的椭圆公式啊，这个性质公式对吧？算出 q， 那 谁说，因为他说了 a 一 等于一吗？那谁说？那么写啊，一定要写清楚 a a 啊，这个表示的 a， a， a 是 轴向为一用我欠我这么写，轴向为一公比 二分之一的尾数列，那么写一定要写，想完全都没数列，那写通向公式，把通向公式表示出来，公式写出来，嗯， 我们记得 n 减一次方，我们记 n 减一次方。然后再看第二题。若 b n， 大家可以截图保存一下，把这句话一定要写了，把这句话一定要写， ok， 那 看第二题。若 a， b， n 等于 log 二， a， n 的 对手 l， v， d， a， n 的 对手，那怎么算了？那先把 b， n 带进去，把这个我们的 a， n 带进去， n 等于根一二为 d， n 减一， n 减一的对数等于负的 n 减一等于减，为什么这么算？二分之一指什么？是不是二的负一次方呀？二的负一次方乘上 n 减一多少？是不是二的一减 a 减 二的减 a， 二和二约掉剩下的值乘以零。 log a 的 a， b 等于什么？等于 b？ 就 把这个对数的运算法去熟悉一下，我们算出来之后， b， n 等于一减 a， 对 吧？ a 等于减，我们要去辨别一下它到底是等查出来等于谁来用这点方法。就是 b n 加一 b n， 为什么说一加减 n 加一减一加 一减一加，这个 a 没了，减一没了，等于负一，所以说我们求它是一个常数，对吧？等于常数，要求公， 就验证它是等差数来。等比数来。你就这么求啊，求一遍，先求一遍公差，如果说公差求起来是个长数，那就说直接是个等差数连。如果说公差求不起来是个长数，你接着用， 那我写了个 a， n 加 e 比上 a， 求求 q， 如果 q 是 个长数的话，哎，这个是根比数啊，就用这个就还别数列啊。 ok， 我 们求出来了之后， e 我 们也整，是吧？ 你把一写出来，一是多少？你写个 b， b 是 零， b 是 零，把一等于是零，一减一等于零吗？对吧？ log 以二为底，零能怎么等于零？一等于零啊，那这么写啊，像我刚写那样，出了一边是走向为零，公差 d 等于一的等差数。要写名啊，写名 写完之后啊，我们看求的是什么，求的是不是 s 九零， s 九零，那求 s 九零的话就 s 九零，我们要把这个公式写出来，九零减八十九二 四零零五，四零零五， ok， 就是 第二题，其实步骤还是非常好写的，大家只要注意这句话可以公式表达，那就不会扣分了，基本上这个题就不会怎么扣分了，大家只要把公式写清楚啊，那很好做的。 如果说他看他求 ab， ad 的 长，对吧？那根据这个题目，根据题目这些题目来说，看角 b 的 四角表，然后在 b、 c 上 b、 d 等于六，那就根据这些内容啊，去算一下，按 x a、 b、 d 当中角 b 四十五度， 角 b a、 d 还可以说五分之三，对吧？这三那三等于五分之四，所以说 cos 也没有 a、 d 等于五分之四， 根据哪个公式啊？根据三零加勾三，因为这公式把零的二十八写出来之后，就角 a b d， 角 a b a d b 等于一百八十度减四十五度，减掉角 b a d， 角 b a、 d 啊，确实有点感冒，然后 b、 a、 d 之后，所以 三，他就等于就是一百三十五度角平分的公式，我们就算出来，最后是等于十倍的七倍根，是不是七倍根，一步都不要紧，他就根据步骤就可以， 因为所以一定要保证逻辑的紧密啊，这连接的要顺手，不要突然的直接，所以了啊，直接，所以前面没有英文的公式的话，你这题显得很突兀，就大眼容易显得是超了，知道吧？再用正弦定点 d 比上三厘米， b、 d 等于三角 b， a， d， a、 d， 我 们就可以结束之后是五倍的更。这题的计算量还是稍微大，所以大家都注意一下，计算量大的时候，我们该怎么把容长的减化为减短的步骤， 就是重要的公式啊，点啊，因为所以啊，都要不要盲目的去删减。我们看第二步，二 b、 d 等于三， d， c 啊，因为因为二 b、 d， 我 们写英文等于二等于三， d， c 都是之后啊，我们就得到了 b、 d 等于六，这是因为嘛，所以说我们所以啊，然后 d， c 等于四， b， c 等于十。对，那我们在这之后，我们就写 cos 角 a， d， b 所以 固定，对吧？一，减分之七倍的平方，所以这个半角 a， d、 c 等于负的十分之一。 又在三角形 a， 你 怎么想？如果说你要表达在哪三角形的公式当中，你要写你要在哪三角形公式啊，有一线定律，有哪公式来得有一线定律的地方等于 a， d 方加 dc， 方减二乘 a， d， c 乘 q 三的角度，对吧？角 a， d， c 啊，一线定律公式啊，对方等于方加 b， 方减二 ab 的 q 三 c， 对 吧？说我们解出来之后啊，等于七十四啊，说 ac 就等于改好这个题呢，这也不难，也是计算问题啊，大家在写过程之中，每一道步骤，对吧？都踩点上，不要盲目的乱写一些没必要的步骤，做了预算要保存在纸上，不要重新来。这个我们继续下一题，看来吃不住的来了，对，吃不住 就是这个理解和，理解和，理解和呢，它还是非常的这个多的，非常的多的，大家看应该怎么做啊？理解和呢，要求这个 e、 f 垂直 b， d， e、 f 垂直 b， d 垂直 b、 d。 那 就想怎么要让 e、 f 垂直 b、 d 啊，最好要去找空心的点，我找一个平点，它终点吗？对 哎，为什么连线之后他就成一个中线了？平行，那我们知道底面是正方形，对吧？方形的这个对角线是不是垂直啊？垂直，对啊，我要垂直，不用写了，我们要先写，我们要第一步的话啊，是直接取一个焦点就行了。取个焦点啊，先来取一个这里哦， ac 于点点啊，行不行？那之后啊，因为 f 分 别 a、 d 一 d， c、 d、 e 的 中点角 d， e， a、 c 为三角形，说 f 为三角形 e、 c 的 中位线，所以说 e、 f 就 等于二分之一平行且等于二分之一 a、 c 六 d、 b 又 d， b， d， a、 c、 b 为正方形 a、 c 垂直 d， b， e、 f 垂直 d， b， d、 b。 算出来，算出来，算出来之后呢？那个点位啊，它求 a、 d 一 a， d、 e 和 b、 c 的 b、 c 的 啊，那更简单了，你把 b、 c 移过去就行了，共存在一个三角形，这里如果说一面的话，就把它保存在一个一个面里就可以了。这么写， b、 c 平行 a、 d。 你 说要，要不写名号在哪个角啊？就说 a、 d 一 与 b、 c 合成角，与 d 一 再与原形与 a、 d 所成角的合成角， a， d， a， d， e， a、 d。 就 大家一定要，嗯说明一下啊，说明一下，就是 啊，与谁哪个边和哪个边的总成角啊，然后我再写啊，等于谁和谁的总成角，是吧？他去求的是不是这个总成角，那你说他的总成角等于 a， d 一 与 a， d 的 总角可以了，整一下再写就可以。 我用它参与什么很容易，用固定就可以得出了。 d 它是等于三等， d， d， e 它是等于四等。那 tangent 角 d， e， a， d 等于 d， d， e 除以 a， d 的 说，角 d， e， a， d 三朵因为反弹两个时候用计算机算了应该你们没有计算机，他应该顶多让你求到正切值，就可以让你求正切值几何的。这个大体要讲究这个性质和定力，有公式三大要素亦不可缺。 我们看最后押注题，二零二五年押注题来这个题是很简单，那么看点啊，他是在抛线啊，统一上是吧，我们直接带住还是直接带去？ o， a 方加 b 方。四等于一，离心率多少？ e 等于 a， b， c， 对 吧？ a， b， c 啊，呃，等于多少？等于三分之七， 我们可以啊，稍微处理一下，因为 c 就 等于三分之七， a 换呃，移向一下让 a， b， c 关系是吧？等于 a 方等于 b 方加 c 方，对吧？可以得到 b 方等于九位加 a 方。哎，我们都换成了一种的 未知数啊，未知数我们就变成了二十九， a 方加上十八 a 方等于一啊，得到 a 方等于二十七 方等于二十七，那 b 方等于九分之二， a 方就等于二十七，加上 y 方除以六，这我们就可以最基本的把这个方程求出来。在真正的考试时候，大家把 d a 一 共算出来就不错了，就就不说不错啊，就是可以下面题可以可看可不看了， 咱们这三分就不错了。我看既然我们讲了，就把这个题讲下，如果点 b 的 抛线以 a b 为直径内过圆点 o 会出现 a b 的 方程， 我们看点 a， 它在抛物线上，对吧？点 a 在 抛物线上，那二期望我们等于二 p 乘，比如说 p 等于，那么这样 或者抛物线呢？有一个点就可以出来，一个点就可以出。求哪个点我们射哪个点？射点。第一步那题永远是第一步，射点射 b， x 零多少 y 零啊？ 由角 a o b 等于九十度啊，得到 o a o b 等于三 x 零加 二倍的 y 零等于零，那又因为什么？又因为 y 方的零，它等于四三分之四 x 零。那么你可以与这个长方形进行连理，它解，用这个什么。第二步就是连力，连力，连力解的多少？解的 y 零等于 负的九分之八，所以说 x 零零是吧？肯定得到了二十七分之十力。斜率就很好学了， a b 的 斜率就很好学。 b 点，我们有了 a b， 我 们有了斜率等于 ab 的 斜率，就 ab 的 斜率 k 等于 y， 二减 y e x r 减 x， e， 得到了 分子六五分子六之后我们用点斜式啊，点斜式，二减二等于五分之六， x 减三，再化为一般式后，一般式变成六， x 减五。三点啊，就是小于啊，小于 x 也行，小于 y 也行，只保留一个未知数，根据这个另一个未知数的关系旋转，另一未知数 变为一半。考生基本上就按照这四步四步走，基本上你如果说列到连利的话，就能给到你两倍左右，尽量是不变的，也能给你两倍，这点东西也没什么太问题。那今天我给大家先讲到这里，嗯，预祝大家存款成功，马上就要高考了，加油！
283中职可乐老师【数学提分】
02:08查看AI文稿AI文稿所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。
87数学孙老师
04:55查看AI文稿AI文稿高中数学有这么一类三角函数题型，题目读完就能快速识别并直接秒杀。今天主播从海量高考真题中找出三道经典真题，让你彻底学会三角正确的构造。 全国新课标一卷第六题，选项放一边，快速扫一眼题目，看到题干已知正确值，并让我们求出含有正余弦的复杂方程。 通过三角函数的三值关系，快速识别出这道题就是构造贪警，而构造贪警只需要看余弦。这类题型一共就分三种情况，掌握了就不用怕任何变化。第一种就是所求的分式当中含有余弦的情况，我们让分式同时除以扩增应。 第二种情况就是所求分式中含有余弦的平方要同时除以可乘以的平方。第三种比较特殊，所求的不是分式，这个时候我们就要在分母补上一个一，让它构成分式。具体我们回到题目，通过三道真题彻底教会你 从题目所求的分式入手，看到式子含有二倍角，一个正弦二倍角公式，将其打开， 再将括号去掉，题干分式变成了现在这个样子。通过观察不难发现，分式中含有余弦，那自然就是第一种情况，我们让它同时除以 cosine theta， 显然绿色部分就是我们所构造出来的场景，我们把它替换掉， 而黄色部分能直接进行约分，进一步整理得到现在这个样子。贪婪 c 塔题目中已经给出了，现在我们就要解决 c 隐 c 塔的平方。 哎，已知贪婪 c 塔，让我们求 c 隐 c 塔的平方，那我们要优先求出 c 隐 c 塔。简单画一个三角形，确定 c 塔角的位置， 把负二看成负一分之二，那么他的对边和邻边分别为二和一， 斜边自然就等于根号五， c、 e、 c、 t 就 等于对边，比上斜边也就等于五分之二倍。根号五，那么 c、 e、 c、 t 的 平方也就知道了 它是等于五分之四。此时此刻，万事俱备，题目所求的分式，我们将相应的值带入进去，答案也就选出来了。 我们进入下一题，天津卷的第十七题，这是一道大题，第一小题让我们求出正确函数的值，第二小题同样给了我们一个含有任意弦的方式。我们先看第一小问， 依旧从题干的等式入手，一个正确两角和公式进行初步的分解。贪婪四分之派等于一，我们将其代入，然后交叉相乘并让它们相等，通过化解，第一小问轻松解决。 我们重点来看第二角纹，同样从这个复杂的分式入手，发现分子和分母都含有二倍角，直接利用二倍角公式将其打开整理后提干，复杂的分式看起来就顺眼多了。观察分式，我们不难发现，含有余弦的平方， 那自然就是第二种情况了。我们让分子和分母同时除以 pi 二法的平方，黄色部分同样直接约分化掉。 哎，那分子上剩下的这个分式呢？不着急，我们将 cosine 的 平方拆开， 发现能同时约掉一个 cosine 耳法，而剩下的绿色部分恰好构成了弹解耳法，也就是说，提杠所求的复杂分式变成了现在这个样子。我们将第一小问所求的值带入进去，第二小问也就解决了。 大家会发现前两道题都是以分式的形式呈现，接下来我们进入今天的最后一道题，全国新课标三卷第五题。显然这道题不再以分式的形式呈现，但题目依旧告诉我们谈简而法的值， 让我们求出这一串式子。我们从这个式子入手，他自然就是我们刚刚所讲的第三种情况，我们给他的分母补一个一，让他构成分式。 我们会发现，根据三角函数的基本公式，一，是不是等于三叶尔法的平方加可三叶尔法的平方呢？再看分子含有二倍角，一个正弦，二倍角公式将其打开观察分式，发现含有余弦的平方。这个时候就回到了第二种情况， 分子分母同时除以可三叶尔法的平方同样的黄色部分，这是我们所构造出来的弹解尔法。 经过简单整理，题干所学的式子变成了现在这个样子，我们将相应的正确值代入进去，那么答案也就选出来了。
148数学真题怪
