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00:18查看AI文稿AI文稿二零二六山东春考的同学注意了，数学想从高分这套押题卷加核心公式直接背集合，不等式函数列数向量三角解析、几何例题集合、概率统计、考房全覆盖，公式全整理。我还给你们出了一整套完整的押题卷，待答案再解析，直接打印就能刷，考前刷到这套卷，考场直接稳拿分！想要完整版试卷和公式清单的评论区扣数学我直接发给！
285鸿图春考（清华学长）
07:07查看AI文稿AI文稿hello， hello， 同学们，大家好，我是大家的笑笑老师。那有的同学告诉老师说，老师我的三角函数值记不住，怎么办呢？那我下面的题也就不会做喽， 这个视频大家跟着老师一起默写一下，保证大家一遍就能记住。好，首先我们来回忆一下啊，在你初中的时候，我们一共学过哪些角的三角函数值？首先第一个是不是零度啊？然后是三十度，对吧？然后是四十五度，六十度， 九十度。初中是不是一共就学过这一些呀？啊，那我们没有学过二十七度吧，也没有学过二十六度吧， 到我们高中的时候还要学哪些呢？九十度以后的第一个是谁呀？是不是一百二十度呀？那你要怎么找呢？同学们，记住哎，六十度和它是对称的，也就是说它们之合 为一百八十度，好，它们之合是一百八十度，好，那下一个大家应该知道吧，和四十五是之合是一百八十度，好，三十度对应的是 相加，是一百八的，应该是一百五十度，对不对？那和零互补的是不是一百八十度啊？好，那这些是我们在初中， 在高中时候要用的一些三角函数值啊。那首先我们先看一下三应该怎么记呢？同学们，你只需要记住它的分母啊，它永远都是二就可以了哈，它的分母是二，那我们要怎么写呢？你就从根号零 一直写根，一根二，根三根四， ok， 到九十的时候它是一个分界点，那接下来一百二要怎么写呢？ 就找它的对称点就可以了。就是一百二和六十是不是互补的呀？那它和它的数字是一样的哈，也就根三，对吧。哎，然后 这个和这个是对称的，这是根二，那这个就是根一，这个就是根号零，对吧？啊，那你也可以这样记啊，先从根号零一直写到四，然后从四呢，再一直写到零就可以了。 好，是不是很简单呀？那同学们再看一下符号，那他们前面都是正号还是负号呢？大家要记住这个来源于什么呀？是不是 sign 它等于对边撇斜边吧，这是我们初中学过的。那如果在坐标系里面， 假设这个点是 x 的 y 的 话，那这个角的对边是谁啊？长度是什么？是不是 y 呀？那斜边呢？ 是不是半径 r 呀？单位圆里面斜边是半径 r， 也就是说那 sine 应该等于 y 比 r 吧，对不对？那 sine 等于 y 比 r， 那 我们知道哦， sine 的 正负是不是应该取决于 y 了？所以说前两个象限， 由于 y 轴是正的，那么三也是正，对吧？三四象限，由于 y 轴是负的，那么它的三值也是负的哈，好，那我们看，从零度一直到一百八十度，是不是属于前两个象限啊？ 啊？前两个象限，那它都是正数，对不对？所以前面是不是应该都是正号？正号，正号呀，对吧？好，那 sign 大家应该能记住了吧？好，那下面我们来看一下 cosine 余弦的呢， 那我们先写余弦的分母还是二哈，同学们，你就大胆的写就行了，分母是二，那分子呢？哎，刚才我是不是从根零写到的根四呀？现在呢，就是从根四，根三根二， 根一根零，哎，我倒过来写就行了，对吧？好，数字找对称，这个就是根一，然后这个呢，是不是根二呀？ 然后下一个这是不是根号三？哎，这就是根号四了，对不对？好，那数字我们确定，以后大家想我的正负号怎么办呢？那还是我们要推出来哈， cos 是 不是等于邻边 比斜边呀？对吧？啊，这是我们初中学过的邻边比斜边，那如果在一个坐标系里面的话， 以这个角，然后呢，这个点是 x 的 哦， y， 好， 所以说，哎，这条边是不是就是长度为 y， 这条边是不是长度为 x？ 斜边仍然是单位圆的半径 r， 所以 零比斜是不是应该等于 x 比 r 呀？ 那么 cos 的 正负是不是取决于 x 的 正负呀？那我们看在坐标系里面， 这个第一项线和第四项线，它对应的 x 是 不是都是正的？所以说，哎， q 三是 正的，正的，对吧？一次项线是正的。好，那我们看二三项线，它的 x 是 不是负的呀？所以它的 q 三就是负的，负的啊，所以说，哎， 二三象限 cos 是 负的，那我们从九十度以后，九十度以后哈， 是不是第二象限啊？那我们要给它加上符号，符号，符号符号就 ok 了。好，那我们下面再来记一下 tangent 应该怎么记呢？ tenton， 其实 tenton 非常简单了，因为 tenton 有 一个公式，是不是 tenton 等于 seven 比口 seven 呀？那我就拿第一行的去除以第二行的就不可以就可以了呀，对吧？好，那我们给他化简一下哈，第一个是不是零 除以二分之根号四是不是一啊？所以，哎， tenton 的 结果是零，对吧？好看。第二个第二是二分之一，除以二分之根三，所以结果是 三分之根号三，对吧？好，然后下面呢？四十五度的时候，二分之根号二，二分之根号二消除， 答案是一，对吧？六十度呢，二分之根三除以二分之一，是根号三，结果，对吧？好，那九十度呢？同学们， 正切是没有九十度的三角函数值的，对吧？为什么？因为此时余弦是零啊，我们 tenant 就 应该等于 tenant 九十，是不是就应该等于二分之根号四除以零，零能作分母吗？同学们，不能，所以说 tenant 九十是不存在的，对吧？好，那接下来是不是就对称着来，这就是根三，下一个是 一，下一个是三分，这个号三，然后是零，那由于这是正，这是负，所以前面都要加上负号啊，同学们，现在能记住了吧？是不是很简单啊？大家可以看完视频以后去自己默写一下。
46植职数学胡老师
02:25查看AI文稿AI文稿同学们，咱们这条视频来讲一下三角函数啊，两角和与差的题型，咱们先来看一下第一题，计算这一块相加的值为多少，对吧？想计算这种题型的话，我们得记一个公式啊。来，同学们，把这公式记一下， sine 括号加减 贝塔括号等于 sine alpha 乘以 cosine beta 加减， cosine alpha 乘以 sign 贝塔啦。好，我们把这公式记一下啊。来，我们就对应着看呗，这个很明显就对应的这个这一块的，对吧？那 alpha 对 应的就是三十度嘛，对吧？ beta 对 应的就是这个三十度啊，那也就是等于这一块东西就等于 sign 的 alpha， 我 们知道就三十度，就三十度，来加上贝塔，我们也知道是三十度，对吧？就等于 sin 的 六十度呗。那 sin 六十度等于多少呀？就二分之根号三吗？啊？就 c 选一下。好，再来看一下第二题，来，同样的计算这一块相加的值等于多少，对吧？好，那这个呢，我们要记一个公式了，括塞的啊， cosine 括号 alpha 加减贝塔。括号展开就是 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔。记得啊，这里有点不一样了啊，这里是加减，这里就是减或者是加啊， sign alpha 乘以 sign 贝塔。好，来了，我们观察一下这一块东西，对吧？它相加的对吧？相加的话对应的就是 cosine 相减的呗，对吧？相加它就相减了，也就是这里七十五度对应的就是 alpha 四十五度对应就背他呗，对不对？也就是七十五度减去四十五度啊。那有同学问了哈，他说这里是相减，为什么对应的这里，这里是相加，为什么对应这里是相减呢？那我都说了吗？你看观察这一块东西，这里面是加， 展开就减，这里面是减，展开就加啊啊，同学们，这里要记好，不要搞混啊，这里有点绕。好吧，那也是得出来就等于 cosine 的 三十度，那 cosine 三十度我们知道它就是等于 二分之根号啊，二分之根号三就是 a 选项啊，答案就是选 a。 好， 这条视频就讲完了。
69中职数学大雄老师
01:56查看AI文稿AI文稿所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。
26数学孙老师
01:10查看AI文稿AI文稿所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每个普通人成才的机会。
60数学孙老师
07:05查看AI文稿AI文稿这道三角函数好题，精准击中考生痛点，咱猴哥用三种方法带您内化它！这是今天下午才考的二零二六青岛二模的第十三题，按道理十三题是送分题，但这个题得分率并不是那么高，优生肯定没问题， 优生没问题，但是中档生有的会卡，有的卡， 然后这是基础，一般的基础一般的卡卡卡， 对吧？我们就来看一下为什么会卡题目，它难在哪？我们要怎么去分析它，怎么去类化它？好，我们来看一只小阿法的阿法，贝塔的中边不重合，且 c 阿法加上根号三倍扩写贝塔等于 c 阿法加上根号三倍扩写阿法。 在考场上我说了第一种法意，当你没有思路的时候，我们找就带蒙的成分，所以找就是蒙。 咦蒙，因为找现在有两个角位置，然这答案基本上是一个定值。那么我们就直接令 阿尔法等于零度减化计算量，你就可以往下做了嘛。令阿尔法等于零，代用赛林等于零，就变成了根号三。 cosine 贝塔就等于赛盈贝塔加上根号三。移过来辅助幺公式就变成了赛盈贝塔减根号三， 函数被它就等于负的根号三，所以辅角公式二被塞盈贝塔减三分之派等于负的根号三。再移过来就推出塞盈贝塔减三分之派就等于负的二分之派，等于 在负的二分之二三、第三项线或第四项线三分之四派加上二 k 派。或 贝塔减三分之派等于三分之五派，再加上二 k 派。但因为正确，后面算的是周期，不影响，所以咱就可以直接抹掉它了。所以上面就推出贝塔等于三分之五派，相应的弹顶节阿尔法加贝塔弹力三分之五派就等于负的 根号三，所以答案填负的根号三。这个呢，推出贝塔等于阿尔派，然而与阿尔法中间重合，与阿尔法重合 是不是有矛盾了？所以这是法一带蒙的成分，其实它体现了一个方法，一个思想，叫一般特殊思想。 好，下面我们来介绍法二，法二，我们就叫同勾，显示同勾，把含有相同字母的摞在一起，这就是同勾，体现的是整体思想。 好，我们就得到塞赢阿尔法减根号三括号三括号，这是我们最自然的方法，对于很多优生的方法就是这种，塞赢阿尔法减根号三括号三等于 塞赢贝塔减根号三括号三，贝塔在辅助角公式二倍塞赢阿尔法减去三分之二等于二倍塞赢贝塔减 三分之派二和，先把它约掉，对吧？所以我们就得到剩余它，等于剩余它，所以在推出两种情况在诱导公式，要么阿尔法减三分之派等于贝塔减三分之派，再加上二 k 派，但这个是中边相同。糟了，没摸了，尴尬得很。 因为这我们就讲思路了嘛，这是不是中边相同啊，所以咱就抹掉。那另外一种是两个。 好，前面我们找手写笔没电了，我们赶紧充一下电，继续给大家讲一下，前面是不是得到这中边相同啊？ 中同，我就讲一下，所以不满足。所以还有一种情况就是阿法减三分之派，再加上贝塔减三分之派要等于派加上 r k 派，所以他一怪就推出阿尔法加贝塔就等于三分之二派，再加派加上 r k 派，这个都是正切的周期，贪婪减 x 的 周期， 这不就抹掉了。所以弹挺前，阿尔法加上贝塔就等于弹挺前三分之二，它也等于负的根号三，这是法。下面我们来介绍。法三叫集合差化积， 合差化积对吧？也是一种思路。题目转换，刚刚是同，就是把相同字母的罗在一起，但合差化积不需要。剩下二法减，赛赢贝塔一个就是根号三倍 扩声二法减扩声贝塔扩声二法减扩声贝塔，对吧？那剩音呢？我们说了，口诀是前面是合角，后面是叉角，所以剩音呢？是 c 扩加上扩 c 减扩 c， 所以 这就是 这是 c 扩底。小调是二倍扩 c 就 变成二倍扩 c， 两个相加除以二法加贝塔除以二。后面剩音是两个相减除以二。 阿尔法减贝塔，后面同样等于根号三倍，这就是括括减 c c 减去括括加 c c， 它是负二 c c， 这是二 c 括，所以就等于负二倍。剩余两个相加，垂啊塞盈 二分之二加贝塔，再乘以塞盈两个相减垂啊，阿尔法减贝塔，对吧？然阿尔法贝塔中间不相同，所以这 是可以抹掉它的。得到剩二分之二法减贝塔就不等于零了嘛。所以咱约掉就，咱就推出贪婪减二分之二法加贝塔，贪，是不是这个除过来了，就等于负的根号三分之一，所以目标 贪婪减二法加贝塔就等于二倍角。公式二减，除以一减方，就变成二乘以 负的根号三分之一，再除以一减，它的平方三分之一就等于负。根号三分之二出一个数等于乘以它的导数二分之三， 也等于负的根号三。所以这个题一题三减，你都值得消化学习一下。只要法一是在考场上卡住的情况下，我们可以想办法去解决它，对吧？只要偏蒙的成分。但是这个前提是做多了知道它是一个定值，如果不是定值，那么就 有问解，反而是整体思想同构的方法，咱们再往下算，然后还用了一个诱导公式。对诱导公式的另层理解， 咱们两个相加等于派正弦之相等于弦之复为相反数。然后法三式和差化极也是我们新教材在教材上证明的一个公式，大家都值得学习一下。
55猴哥带你学数学
06:49查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们开始讲二零二六届高考数学考前压题的第九的一节课啊，三角函数的图像性质，聚焦单调性啊。 今天我们这节课开始的，就开始讲三角函数这个部分的压题啊，前面的八节课主要的是讲函数的这个部分内容啊，包括几何和不等式。 今天这节课之前呢，我们先还是看一下这个三角函数当中，近五年来我们高考的考试当中主要来考的哪些内容。这个表格呢是我统计的是这个近五年来新高考他的一个主要的考试的情况。 哎，这个部分呢，三角函数的图像和性质这些综合的这个部分，一共呢是考了五道题啊，这个部分相对来说是比较重要，也就是我们今天预测的这个部分，三角函数图像与性质的综合，这是这块。 然后呢紧接着内容就是哪个呢？就是说是这个考了四道题的这个给值求值啊。 然后呢是三角函数的这个图像当中的周长与边长的问题，这两个考了四道题，然后呢包括解三角函数的面积的问题，有三年考了，这是这三个主要内容， 然后呢其他的部分呢，就各考了一道和两道。余弦定力这个来理解三角函数啊，包括正弦定力来理解三角函数啊，就三角形，然后是二倍角的余弦公式。还有呢就是由 图像确定正于弦，定义它的这个图像及其我们所说的对应的一个这个这些式啊，大概就是这几个主要的内容。 然后呢还有一页呢，就是另外一页呢，主要就是哪个呢？就说是这个，比如是三角函数当中要看它的一个这个最值，还有呢是我们所说的是这个取值范围的一个问题啊，这是这块另外一个呢，包括我们所说的是这个二倍角啊，就是和差倍角的公式啊， 二倍角，还有呢就是解三角形，然后呢包括这个他的角度啊，还有这个求值的问题。另外呢是三角函数的这个单调性啊，还有正弦定的。其次我就不再一个一个说了，大概就是这样子的一个情况。 然后呢下面呢我们还是通过一道例题给大家讲一下这块这个部分呢，主要是考察了就是我们这个地方呢，主要是这个三角函数的图像及其性质啊，包括正弦与一弦和正弦的这个部分。 当然我们今天呢主要的是大胆预测，单调性考的比较多，因为这几年经常会考，但其他的现在大家也自己把它这个主动的记一下这块在解决这种类型的题目当中，我们记住一点，一定要把这个函数的看成个整体。怎么看成整体？举个例子， 比如说 y 等于 a 倍的三 e， 我 们的 x 再加上一个 f， 再加上 b 的 这个四的值， 这个是值的值。当中呢，我们要把来看的整体呢，把这个欧米伽 x 再加上一个这个 f， 看成一个这个整体来进行计算啊，看成一个这个整体啊，看成一个整体。 那么这个时候呢，我们比如说举个例子，这个时候你要回忆到我们三角函数当中哪一个呢？就是 y 等于三 x 这个地方，它的图像和性质啊， 比如说这个题是考察的单调性呢，你想单调递减区间和单调递增区间分别是啥？ 正弦函数的单调递增区间是属于负的二分之拍，到正的二分之拍，它是一个这个我们所说单调的一个情况啊，那当然要加个二块拍，然后递减区间呢，就是属于二分之拍加上二块拍，再到二分之三拍加二块拍，大概是这么一个情况。 好，这个题当中我们来看一下啊。已知函数 f x 等于三亿，我们改 x 加六分之拍，在 x 等于负的三分之拍的时候取得最小值 f x 在 区间零到二分之拍，要找到它的单调减区间。 那这个题怎么算呢？先我们把我们给它取的范围求出来啊，这个数要记住，正弦函数当中它取的最小值应该是二分之拍，再加上一个这个二 k 拍啊，就是这个地方，你比如说把它带进去，就是它的最小值啊，就是这个函数，我们是把它看成整体嘛。 啊，这是下面这个 x， 不是 上面这个 x 啊，然后令 x 的 值等于负的三分之拍带进去，是不是就可以把这个我们给它取出来了？ 求出，我没改的时候呢？然后看这个函数的单调减区间，那意思就是说这个我没改 x 加上六分之拍，他的单调减区间应该是属于哪个呢？二分之拍 加上二 k 拍，然后呢？到二分之三拍，再加上一个二 k 拍，是不是可以把它写出来了？这是我没改 x 加六分之拍的取值范围找到了，找到之后呢？那是不是就可以把 x 的 取值范围算出来了啊？算出 x 的 这个取值范围， 算出 x 的 取得范围之后呢，它是零到二分之派的值，因为这地方有个 k， 令 k 的 值为一个特殊的值，大约是不是可以求出最后它的这个减区间了？大概是这么一个情况，那么我们具体来看这道题它的解析是怎么来算的？他先还是把文美感的这个取值找到， 当 x 的 直取负的二分之拍，再加上二 k 拍的时候，直取的最小。但他的解析当中并不是按照我这么来的，当你自己算的时候呢，建议按照我写的这个来算，就是说负的三分之拍 乘以我们的加上一个六分之拍，这个四的值呢，等于负的二分之拍，再加上一个这个二条拍，那你把它啊，这个相当这个地方没有 x 啊，就相当于这个地方呢，是这个，你把那个字带进去了，就说把这个 就是这个地方呢，就是说我们带进去的话呢，把维密感的值是可以求出来了，求出来之后他有个 k， k 的 话，令他为一个特殊的值，是不可以找到我们对应的这个维密感的曲值呢？算出来等于二。这两个方法是一样的，但是我建议用我这个方法来算， 然后呢再下一步呢，就是说我们用刚刚所这个函数当中你算出来，我们改之后，你要找到 x 的 取值范围，对不对？那 x 的 取值范围，按照我这么来说就可以带一个 k， 但它地方呢，没有带一个 k 啊，它是怎么来算呢？就是它令二 x 加上六分之拍的取值范围，令 x 等于零，它是等于六分之拍，二分之拍，因为它是单调的嘛， 那就是属于六分之七拍，那意思就是说这个曲子范围是这样子的，那整个的曲子范围跟哪个呢？六分之拍就是零到二分之拍，取一个交集就是属于六分之拍到二分之拍，他这样算的，但我不太建议按照这么来，我建议按照我这么来做，可能相对来说要好一些啊， 下面这道例题呢，自己下去当中写一下，跟这题是大差不差的，还是要把它看个整体，要把 f x 等于下面 a 乘下面 b， 要把它求出来啊，大概是这样一个情况。呃，今天呢，我们呢大概利用就是这一些啊，希望呢，对大家的这个学习呢有一定的这个帮助。
63你好小舟舟数学馆
02:08查看AI文稿AI文稿所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。
87数学孙老师
00:43查看AI文稿AI文稿所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。
224数学孙老师
00:50查看AI文稿AI文稿本卷贴合山东新高考命题风格，覆盖集合复数、向量数列、圆锥曲线解三角形统计、立体几何、函数导数等高频考点。选择题侧重基础运算与逻辑判断。第一题考察集合补集与并集运算。 第三题明确向量贡献与平行的充分不必要关系。第六题利用正弦定理划边为角求得角 a 为派写杠。三 选择题结合独立性检验空间几何与三角函数性质，考察综合分析能力。填空题涉及向量模长、双曲线、渐近线、结缘弦长竖列求和，注重计算技巧，解答题梯度清晰。四、 棱锥空间向量正垂直求二面角解三角形与椭圆，综合考察几何运算、函数导数围绕单调性切线与不等式证明压轴概率题结合分布列与地推竖列整体重基础强思维，适配山东高考难度，适合考前查漏补缺。规范答题步骤，需要答案解析评论区领取。
01:12查看AI文稿AI文稿同学们一个视频秒杀三角函数值域，那在讲之前，我们要知道求值域无非就两种，一个是散 e， 一个是扣三 n。 那 么好，我们要知道无论是散还是扣三，他们的值域都是负一到一。那我们首先来看这道题，三 x 加二，我们先看前面三 x， 那 我们就知道它的值域就是负一到一，然后后边再加二，那我们就整体再给他加上个二，负一，加二是一，一加二是三，所以是一到三 选地。下一题跟上面一样，那我们来只看三，把它当成一个整体，也就是三啊。后边不管是什么，它都是负一到一一样，然后它又成了个二，那我们就给它乘二，也是负二到二，然后又加一，所以再给它都加一，就是负一到三选 a。 下一题这个题一个样，不管它有多复杂， 散，后边都是一个整体散的值域负一到一，然后又乘二，负号不用管，这是前面减的乘二就变成了负二到二，然后这个时候用五去减五，减减二十七，五减二十三， 这个时候你不能写七到三了，小的在左边应该反过来写三到七，所以最小值是三选 d。 好， 你学会了吗？抓紧来学习吧。
7.8万小郭职教高考
06:22查看AI文稿AI文稿好，这节我们来学习任意角的三角函数，这是我构成我们三角函数部分的一个基础知识点啊。我们先来看我们找到一个点，这个点是怎么找到的？就是我们现在学到的这个角 有了使边和中边的概念，使边是在 x 轴上，那中边你去通过旋转得来一个中边。我们假设中边上有个点为 p， 为 x y， 但是你要知道这个 p 是 任取的啊，所以 p 值它能够对应的横轴的长度为 x， 纵轴的长度就为 y， 那 么这个时候如果要想求阿尔法的这个分值，我们就能把它放到了这样一个直角三角形里边去理解了啊。 好在这个直角三角形里边分 r 法是不是就等于它的对边比上它的斜边？斜边我们用 r 来表示，实际上这个斜边就是我们说的根号向 x 方向外放吗？嗯，很好。那口算 r 法是不就是我们的邻边比上我们的斜边，那探探它 r 法就是我们的对边比上邻边 好，这是关于你要知道了它中边上一个点的坐标，那我们可以通过点的坐标直接套用公式就可以求出它的算值，口算值和它的值，也就是三角函数值，通过这种方法可以去求 好。另外一种就是我们除了通过这种方法来求，因为这种方法带给我们的主要是它的一个 正负的问题啊。还有另外一种形式也可以来判断正负，那就是通过象限角来判断正负。这个象限角我们学到这里也是大家上学的过程中都已经掌握过，关于这象限角的知识， 我们还需要带着大家一起来背一下，叫一全正，也就在第一象限分，口分和贪婪，他都为正，二正弦，三正切四余弦 啊，除了这些之外，然后其他的位置都为负，所以我们通过这个来进行判断，因为在春季高考里边只讲到了一个贪婪的啊，还有一个口贪婪的，我们就在春季高考里边是不学的啊，春季高考和单招的部分知识里边都没有口贪婪， 下考里边是有的啊，口贪婪实际上也是一切，他是个鱼切啊，所以有的地方他背的时候是这样背，一正弦一，一全正，二正弦三双切四鱼弦，也都一个道理啊。好， 然后关于特殊角，三角函数值也是这样来做的啊，你们去通过这个三角函数值来判断每一个象限，它要为正为负，那么通过例题来讲解这部分的知识。好，第一题， 这里是不是直接给了我们一个中边的点，那我们求三口三和它的是不是直接可以求了？因为中边的这个点是不在第几项线，第一项线吗？那第一项线的三口三和它的是不是都为正啊？也就口三三为 y 比 r， r 等于根号下 三方加四方吧，也就是它的斜边是不是等于五啊？所以我们就可以 y 比 r 就是 四比五，然后口算就为三比五，它呢？它就为四比三啊， y 比 x 好。 第二，我们继续来看，他说 r 法是第一象限角中边在 y 等于 x 上，实际上你看他一说了 y 等于 x， 我 们就马上想到了，是不是他这个地方就为四十五度啊？让我们求甚 阿尔法，那我们就来找我，随便在这里是不是就可以找到一个点，假设这里为一为一，这里就是根二吧。那我们就可以直接套用公式 算阿尔法就是 y 比二，是不是一比根二就是二分之根二？或者我们直接知道了它是四十五度，是不是直接可以去求啊？算四十五度二分之根二，口算四十五度，是不是也是二分之根二？它乘以它四十五度就等于一，阿尔法就为四十五度啊。直接就可以求出 例三例三这一部分。我们来看， r 法是第二向前角，这里讲第二向前角，它 x 值为负， y 值为正啊。口算值告诉我们了口算是怎么来的，我们说口算 r 法是 x 比上 r， 我 们的 x 值已经有了，等于负根二，那 r 呢？ r 是 不等于根号下负根二的平方加 y 的 平方等于二加外方，最终等于负二分之二， 所以二加 y 方是不是等于四啊？我们就能解得了 y 就 等于多少。 哎，雨桐说，老师，我解出来 y 方是不是等于二，我推得 y 等于正负二，但一定要记得啊，它这里的阿尔法数 b 二三形角，我们刚才说这个 y 已经确定了它是不是正值，所以它只能取正二，不能取负二。 好， y 取好了以后，那你是不是这个三就可以比较了三是不是就 y 比 r 啊，然后看见它呢？ y 比 x 啊，好，要记住了哈，我们说的这个 r， r 因为是个斜边，所以 r 是 个正值啊， r 是 个正值，这不要搞错， 下边来判断象限来三分之派。第几象限？第一象限对不对啊？第一象限，第一象限为正，为负为正啊啊，三个都为正啊，负九十，负九十，是不是为第几象限？ 负九十，上了轴上去了，是不是到了轴上？你想它等于几啊？它等于零吧？好，它的一百七十五，一百七十五是第二象限，第二象限它为负， 然后四分之十七，四分之十七，显然这里是不带着旋转，带着旋转，我们就要把旋转给它扣掉，比如说四分之八，四分之十六，最后只剩下了四分之派啊，扣掉那些二派的旋转，看是减一个二派还是减两个二派，最后只剩下了四分之派。四分之派第一项线，第一项线它为正 好，第五，求算阿尔法减口算阿尔法，既然阿尔法的值都告诉了嘛，算三分之派，是不是算六十多等于？ 好，我们怎么去记算和口算啊？我们这样去看算和口算是不是算特殊值？三十度，四十五度，六十度是不这样来的，我们去记一二三理论啊，那三十度就是二分之根一，就是二分之一，然后四十五度，二分之根二，然后六十度就是二分之根三， 最终回到九十度。九十度是它最大值，就为一，然后零度是它最小值，就为零，因为它是逐渐增加的嘛。 好，这样扣三，四十五度呢，是不？二分之根二啊，二分之根三减二分之根二，等于二分之根三减根二。好，这部分的知识比较简单啊，大家应该快速的可以把它看完。下面是本节课的一个教学练习课堂训练。
27刘校长的数学课
11:18查看AI文稿AI文稿在第三个节的学习过程中啊，我们主要学了它的几个基本的关系式，比如说常用的第一个叫 sin alpha 方加 cosine alpha 方等于一， 很多题目中如果给到了你关于一，我们通常就用它来替代啊，它是一个默认的已知条件，这个不需要我们说题目里边要不要有交代啊。剩下的关于商数，商数，我们的摊减，它就等于啊分比口分，这个大家都知道啊。好，通过我们的例题，我们直接来看这部分的题型要怎么记 分。阿尔法等于五分之三，我们说阿尔法为第二象限角，我们说第二象限角，口算为正为负， 是不是为负啊？啊？一权证二正弦嘛，所以第二项线里边口三是为负的。然后我们看这个可以通过两个思路去解决，比如说我们可以套公式， 公式就是算 r 法方加口算 r 法方是不等于一，所以算 r 法方是五分之三的平方，加上口算 r 法方就等于一。最后解得口算 r 法方是不等正负五分之四，因为第二项线是我们口算 r 法就为负的五分之四。 好，有了口算和算，我们知道它念它是不是等于算比口算，哎，把两个一比之就能求出来。 还有一种想法，有同学说，老师我说这个算 r 法，因为它等于 y 比 r， 我 们说这里的 y 是 不是就是正值啊？但第二项线我的口算 r 法是不是就等于 x 比 r， 那 我有了 y， 有 了 r， 那 我 x 就 能求出来 它是不是 r 等于根号下 x 方加 y 方吗？那我 x 就 能等于四啊？呃，但是在第二项选项， x 为负，负四比 r， r 等于五，我可以直接出结果， 行不行？也可以啊，因为有的同学说，老师，我知道了，我已经知道了这个 x 和 y 了，我不用去求口算了。那我这个题变得更省事了吗？那我要求探证，它不就是 y 比 x 吗？那 y 等于有了，那 y 等于有了，那是负四， x 有 了，它是三，是不？负四分之三， 对不对？反了对不对啊？好，你们去看它摊着它， x 是 不等于是等于 y 比 x， 但是 y 是 谁啊？ y 是 sin 上面对应的 y 啊，这是大家很常见的一种问题啊，很常见的一种问题， sin 上面的这个值对应的是 y 啊，千万不要搞错，它是三， x 是 我们刚才求的那个负四啊，负四分之三。 好，这题型一定要千万要注意啊，就是我们从做之前，包括上节课，大家就会在 y 和 x 上出问题啊，一定要记住， sun 是 y 比 x 啊，它是由那个图像得来的，要求 sun， 然后这里是 y 值，这里是 x 啊，是对边儿比斜边儿啊，一定是 y 在 上头。 好，例二，给了三，求探见他啊！这个我们其实可以用公式直接求啊。呃，如果是填空选择，我们就直接用刚才的方法，直接把 x y 搞出来是不就行了啊？但是如果大题不行，大题你必须先要设出这个 p 点为 x y， 它要在它的这个中边上， 你有了这个设法以后，你才能引入到这个 x y。 但是如果做选择填空题的话，你可以直接用 x y 啊，比如说，上面这个是不是 y， 下面这个是不是 r 啊？那你的 x 是 不是就好求了？ 直接求出来，因为 r 的 平方等于 x 方加外方，也就是十六等于九加外方推得啊。外方是不等于七，那 y 就 等于正负根七吧啊， y 就 等于正负根七， 所以探探它， r 法是不是就应该取得两个值啊？都有正负的，因为它没有规定它是第几象限，因为我们可以通过分 r 法去判断，分 r 法为正的时候，它是第几象限，一二象限，一二象限它的探探它是不可正可负啊。 哎，也是做一个参考条件啊。好，括号二，给你一个贪整它派到二分之三，派第几项线？第三项线吧。第三项线分和口算是不都为负啊？哎，好，我们想贪整它怎么来？是不贪整它，塞它等于塞，塞它比口塞塞它就等于等于多少， 等于二分之一。这题里面也告诉我们了，同时 sine theta 方加口 sine theta 方，是不是还等于一样？通过两个式子，两个未知数是不是解出 sine theta 和口 sine theta 了啊？ 好，然后去验证的话，我们可以用我们刚才的方法继续去验证这个是不是 y， 这个是不是个 x 啊？那我们这个 r 什么就知道了。 r 就 等于根号，下一方加二方就等根号五，所以三等于 y 比 x， 一 比根五是五分之根五啊。然后口算 c， 它是不是五分之二根五啊？去验证一下，同时再来看什么 所在的象限为负啊？这不要搞错，验证的时候这样去验证。呃，多学方法，尤其学两个方法，是不是你验证的时候能够去通过不同的方法 去验证一遍啊？尽量多学习方法啊，不是说让你用同一方法再做一遍，有可能你出现了问题，再做一遍，还出现同样的问题，所以你要尽量去用什么，用不同的方法去验证同一个问题，结果一样，那最后你的检查过程啊，就会变得准确率就很高。 好，下一个这部分里边化简也是一个重点题型，比如说我们看这个题可以直接化吧，因为上面是三点的三点，所以我们把三点的三变为三点，比口三点 减一，那下边这部分是不要同分了，变为口分随他，分之分随他减，口分随他啊，这样上下一消除，除以下边是不等于乘以下边的相反数啊，啊，最后等于口分随他啊，具体的你可以看下边的这个解析步骤，都能看得出来啊。 然后我们再继续看第二个根号下的这部分，根号下这部分要求它为第二象限角，怎么去取得它？看到了这个圣菲塔方，也看到了这个圣菲塔的四次方，然后我们就来想这是怎么来的 啊？这个 t 里面的解析里我们可以看得到啊，因为我们可以提取工艺因素啊。把分 c 叉方是不是提出来，然后里边变成一减分 c 叉方，这样的话，一减分 c 叉方，我们就想到了分 c 叉方加口分 c 叉方是不是等于一啊？所以它就等于口分 c 叉方嘛 啊，然后通过我们的开平方是不直接出来一个，开出来的一定是一个绝对值，千万不要忘了啊，因为是第二项线，第二项线我们知道分为正，口分为负啊，所以他们俩开出来这个绝对值是不就 一个正一个负，它俩加起来就是负，如何去把它调正？是不要加一个负号，要会做啊。这个作为一个重点题型，你们可以整理到自己的推理本上。 好，例次，在例次里边我们去看我们的贪婪的阿尔法，给我们贪婪的阿尔法，那这个题里边又没有贪婪的阿尔法，那是不是我们就要向贪婪的阿尔法去靠拢啊？啊？这里有这么几个方法啊。有同学说，老师，我知道了贪婪阿尔法， 你让我化减式的，我觉得比较麻烦，我摊着它 r 法就等于乘 r 法 b， 口乘 r 法就等于负三，所以我可以通过它得到乘 r 法等于负三倍的口乘 r 法， 这个没问题吧？然后我用负三倍的口乘 r 法去替换我这个 t 里边的每一个乘 r 法，我这样就可以解除值了，可不可以？可以啊，而且准确率也比较高啊。如果其他方法不会的同学可以用这个方法去解决。 那有的同学还要问，老师，我还想学另外一种方法，那另外一种方法肯定是从这个式子上下手吧，让这个式子如何去凑出它这三阿尔法来？比如第一个，我们举例，上面是三阿尔法， 下边也有 sin 二法，所以我们就要通过这个式子是不是给它构建它的二法？那构建的时候是不是要上下都出现它的二法？那我们就要去看什么，看里边的 sin 二法，如果它的最高项为 sin 二法，那我们上下就同时除以 cos 二法。 好，第二个也要除以 cos 二法，下边也要除以 cos 二法。只有上下同除，是不是它的大小才不变 啊？最终我们等于贪着他阿尔法加二，比上贪着他阿尔法减一，是不是这样来做啊？也是可以的啊。 那同学说，老师我第二个怎么办？第二个是不是分母？只有有分母，有分子是分数的形式的时候，他的分母和分子才可以同乘或者同除，他大小才不变。所以既然他不是分数，我们就给他创造分母，那分母给他搞谁啊？ 那肯定是搞一个一啊，只有你搞出一个一了，它的大小才不变，这是一个典型的提醒啊。好，搞完一以后我们就知道了，它就等于三 r 法，口算 r 法，因为一可以变为三 r 法方，是不是加口算 r 法方？ 对，很好，但是我们说要想除口算尔法还是除啥，是不是要看的是算尔法，但这里算尔法的最高向是不是算尔法的平方，所以它整个是不是要除以最高向的那个啊？所以上下同时除以口算尔法的方，因为下边有一个方啊， 是不是这样他来解答的时候我们就知道了，上边一曰，他就等于 啊，约的不对，约的是后边啊，等于三 r 法，是不是比上 q 三 r 法等于等于它 r 法下边呢？这一约是不是又等于它 r 法方后边是不是加上一？这个题是不是这样就可以做出来？ 好，这些题想大家去好好看啊。第三个我们就不用讲啊，第三个是不是上面出来一一就变成了三 r 法方？是不是加 q r 法方？看这个三 r 法最高向是不是二次方，所以上下同除多少？同除 q 三 r 法方， 一定要去看，前面它是平方，我们就出平方，它是一次项，我们就出一次项。好，例五，我们再来看一下，这里要求这个东西，那相当于是不是我们知道了 x 加 y 等于二分之根五，那么就要求 x 乘外，这怎么来呢？ 因为我们知道了，看到了塞尔法和口塞尔法，我们就马上想到了塞尔法方和口塞尔法方，对不对？所以我们只需要把我们的塞尔法加口塞尔法是不给他平方，平方以后他就变为了塞尔法方加口塞尔法方加二倍的塞尔法。口塞尔法等于多少？ 因为这个我们知道等于二分之根五，所以它整体是不等于四分之五啊，这个又等于一，所以它能不能求出来？可以求出来了啊，下边这个题呢，是不方式一样，还是要用只是平方再平方 等于谁？等于三阿尔法的四次方加口三阿尔法，四次方加上二倍的三阿尔法方，口三阿尔法方，是不是这么来的？好，这个等于谁啊？ 等于一啊，对不对啊？所以它等于谁？它是不是等于减去二倍的三阿尔法方？口三阿尔法方， 嗯，刚才三阿尔法口三阿尔法是不是已经学过了？所以这里是不是直接带进去就能求出这个数来？ 这利物啊？这部分的题型，嗯，题型比较多啊，但是做题的难度不大，全是计算题，我们讲的稍快一些，给大家把知识点梳理完啊，你就可以正常的来做后面的客户训练啊，遇到的问题我们再通过课下的方式再来解决。
02:57查看AI文稿AI文稿明天数学上考场，记住以下几点，直接让你多拿十几分，每一条都是干货，同学们先点赞收藏啊！好！第一个，选择填空题部分，基本上前十五个选择和前四个填空啊，都是基础送分题，比如说集合复数，重要条件， 三角函数，包括用到的诱导公式啊，辅助角公式啊，二倍角公式啊，还有咱们的竖列，竖列的话是通向公式，前向和公式，还有这个竖列的一些性质 啊啊，再一个，不等式，二次函数不等式，还有绝对值的不等式是吧，向量部分，向量的坐标计算，向量的内积啊。再一个，函数的定义域，函数的奇偶性，单调性的考察，圆的方程，圆的标准方程，一般方程还有它的半径是吧，还 有两条直线的位置关系等等啊，立体几何里边什么三式图啊，斜二的画法，求这个几何体的面积体积啊，预算经理，二项式定律，排列组合，概率是吧，出样用样本估计总体等等啊，这些题都是咱们考试里边的一些热门题型，同学们在做 题的时候，读题的时候慢一点啊，避免看错题，算错数啊。第二点，如果遇到卡壳的题目啊，要立即跳过春考，选择填空里边基本上没有超纲的题目啊，呃，一道题如果超过两分钟，没有思路啊，同学们一定要果断的去放弃啊，直接 标记一下，然后回头全都做完之后啊，再回来做，别因小失大，浪费时间。第三个，填空最后一道题啊，呃，如果不会，那就蒙一个特殊值，你比如 蒙一个零啊，正负一啊等等的啊啊，写了就有机会得分。第二大部分啊，就是咱们的解答题，解答题的话啊啊，一定要把这个会做的拿满分，不会做的尽量去拿步骤分啊，前四个题一般是函数、竖列、三角函数，还有咱们的立体几何， 一定要把咱们的公式啊，代入化简结论啊，这四步啊，一定要把它体现出来，不能只写一个结果，这个是没有分的啊， 比如说咱们在树列里边啊，树列里边你用到的是哪个公式，哪个通向公式啊，或者前一项和公式一定要把它写出来标明啊。好，最后一个压轴体这个解析几何第一问是必须要做出来的，一般就是求一个标准方程啊。第二问的话，不会你就去把它写公式啊，一般都是直线 设直线方程，要先讨论斜率不存在的时候是不是啊，然后在斜率存在的时候一般是用点斜式设出来之后和直线去直线曲线去连力，连力完之后得到一个方程，然后写 d r t 啊，然后写伟大定律啊，如果，呃， 后边没有时间了，这个到这个地方就可以了啊，到这里的话基本上九分的话也能得到五到六分啊。然后呃，最后的话就是同学们啊，一定要放平心态啊，发挥出平时的这个水平就可以了啊，加油加油！
1025春考数学郭师傅
03:32查看AI文稿AI文稿同学们，我们今天来做一道全国甲卷的压轴题，算函数 f x 的 定义域为 r， f x 加一为奇函数，那说明它关于一零对称。 f x 加二为偶函数，那说明它关于 x 等于二直线对称。当 x 属于一二的时候， f x 的 表达式是这么多，若 f 零加 f 三等于六，则 f 二分之九等于多少？当时这个题目好像是我们函数这个知识点的周期对称性的综合考量， 那么在做这个题目的时候，标准答案就有这么多解析。但其实，嗯，我不太喜欢看这个答案，这个答案太多了。嗯，不看不看，今天教大家一个周期对称性的一个新方法， 你看啊，其实周期对称性有一些结论就是，假如这个函数 f x 啊，他关于两条直线对称的话，他他的周期能够算出来，他是等于二倍的两条直线相减。关于两个点对称，同样的周期还是等于二倍的两个相减。然后假如他关于一个点，关于一个直线对称，那他的周期就等于四倍的两两个点相减。嗯，这个这里的 周期是 f x 的 一个周期，而不是最小正周期，就是我只能求出它的周期，但是我不能求出它的最小正周期。什么意思哦？我们用图形来对这个题目进行一个理解啊，对这个结论进行理解，我们以三角函数的这个正弦函数为例，你想，我假如是关于 x 等于 a 和 x 等于 b 两条对称轴 对称的话，那他的这个周期是不是就是二分之 t， 对 吧？那两个点，同样这个点和这个点他之间的周期相减，是不是也是二分之 t， 然后同样这是一个点，这是一条直线，那点和直线两个对称的话，那他们之间相减就是四分之周期，所以一二三结论都能够挣出来了。 那么我们有了这个结论了之后，我们再回过头来看这个题，他说关于一零这个点和 x 等于二这条直线对称，那也就是说我的周期 t 等于四倍的二减一等于四，对吧？然后又因为你知道 f 零加 f 三等于六，然后 x 属于一二的时候， f x 等于 a， x 平方加 b， 那也就是说 f 零，我把它放到一二里面去，那就等于负的 f 二加上 f 三放到一二里面去，等于 f 一 等于零等于六，对吧？然后 f 一 是 a 加 b 减去， f 二带进去，应该是 a 减 b 等于六吧， 所以我就能够得到负三， a 等于六， a 等于负二，那我们就能够推出 b 等于二了，把 a 等于负二 带到这里面去啊。有一零这个点就能够推出 b 等于二，好，那我的 f x 的 这个函数表达式就能够求出来等于负二， x 平方加二，对吧？ 然后你这个 f 二分之九，我肯定是要把它放在这个区间里面去，那我减一个周期，它是不等于 f 二分之一，对吧？然后我再把它二分之一放到一二里面去，它关于一零对三，就等于负的 f 二分之三，对吧？ f 二分之三，那我的 f 二分之三等于负二乘以四分之九加二，就等于了负的二分之五。好，然后你这有一个符号，那所以我的原式 是不是就等于了二分之五啊？所以我们就选 d 啊。假如你掌握了这个周期对称的这个结论的话，我们可能最多就只是花一到两分钟就把这个压轴题做出来啊。当时这个题目好像是放在了十一题还是十二题，所以还是很有难度的啊。那我们再来做一道这这种周期对称性的练习题。 二，一年新高考二卷同样也是考这种，他说 f x 定义为 r， f x 加 x 等于二是他的对称轴， f x 加一是 g， 还是说明他关于一零对称， 走下面哪个选项是正确的？大家把答案打在评论区，有疑问我们去评论区解答。今天有关函数这一方面的周期对称性这个结论我就讲到这了，有需要这方面高考题的同学私信我，我把今天的奖励发给你。
63高中数学阳学长
00:41查看AI文稿AI文稿高中数学最难的三角函数十六道题全部练完，考试稳进前！三解三角形大题六大题型十六道题题型一，解三角形的最值及范围问题 提醒二、三角形中线问题提醒三角平分线问题提醒四，有关外接圆内切圆问题 提醒五，与平面相量结合，完整电子版领取！
