武忠祥基础质考答案

那么对于这种细棒的直线问题呢，就是我们记住这个公式以后，拿到题目就直接套这个公式。例九啊，这也是过去考卷里边的一道考题，那在这呢，你看他说有一根长为一的细棒，位于这个 x 轴的零一区间， 那这呢是零，这呢是 x 轴，就是有一个棒啊，细棒位于这个零一区间上这样一个细棒，然后呢它是如何其线密度啊，就是单位长度上的质量，注意这个质量是非均匀分布的，这个密度是随着点的变化在变化，那么这个时候呢，要求细棒的直径的 x 坐标， 但是这个呢严格讲，那这个时候呢，也应该是用维元法或者元素法来解决这个问题，但是在这呢我们可以得到一个公式，那所以这个地方呢，求这种细棒的直径也可以直接用公式来算， 那么有什么样的公式呢啊？注意，这个细棒的执行的 x 坐标就等于谁，分母就是密度在这个区间上的积分身上，就代表这个细棒的质量啊，那么分子是谁？是 x 乘上密度在这个区间上积分，这两个一除就应该是这个细棒的这个执行的 x 坐标。 先让大家注意啊，对数学一的同学，那你看西方的执行坐标这个计算公式，跟我们在多元积分里边啊，那个平面摆啊，空间体啊，曲线段啊，曲面片，他们执行的计算执行坐标的计算公式是完全类似的， 那么所以懂同学来讲，我们就记住这公式直接用啊，那这个下面就是密度在你给的范围积分，那么上面的密度乘 x 在 你给的范围积分，这个就执行了 x 坐标，所以像这个题呢，就直接带进去， 带进去以后就算这两个定积分啊，这个是好算的，那么具体一算，那就可以得到这样一个值啊，最后一整理就是二十分之十一，那么这样这个细棒的执行坐标就算出来了。那么对于这种细棒的执行问题呢？就是我们记住这个公式以后，拿到题目就直接套这个公式。

所以以后见到这三个积分，你直接写答案，速度快，准确率高。比如说这样的题，二零一七年数学三考，这个题 拿到以后，跟刚才题类似呀，负派到派，那这个时候对称区间考虑奇偶性，这一看，第一项就是奇函数，第二项显然是谁啊？偶函数啊，所以我们立马就知道，那你这个积分应该等于谁？立马就知道，原式就等于第一项等于零，第二项等于二倍的零到派，然后这就是根号的，这叫派方减 x 方底的 x。 好了，最后就归结为算这个积分，这个积分呢，当然方法很多了，要算的话，那你说这个出现根号 a 方减 x 方，我们通常是做三角代换 x 等于 a 赛引体或者 a 或赛引体，再往下做，可以，不但慢了，而且还容易错。 那这个怎么做呢？哎，这个时候大家想想，这个积分零到 a 根号的谁啊？ a 方减 x 方 d x， 那 我们在这呢，假设 a 是 大于零，这个积分值能知道，如果能知道，他这本就是把 a 换成了 pi 吗？哦，实际上我们知道这个定积分是有几何以的， 它在几何上表示谁啊？它在几何上就表示这样一个圆 x 平方加 y 平方等于 a 方，在第一象限的谁啊？面积，四分之圆的面积啊，所以这个就应该等于谁四分之派 a 方啊。 所以那这题就不用算了，直接写二乘上四分之派 a 方，它的 a 是 谁派，那这再来一个派方，那所以这个时候立马就写答案，那就是二分之派的立方， 那这样的话，这个题主要考两个知识点，一个呢，第一步是奇偶星，第二步是用谁？几何 e， 那 么另外呢，我们在这方也顺便讲一下啊，就是关于几何 e 常用的几个结论，一个呢，就这个结论，还有一个呢，是什么？还有一个，就这个结论，大家看零到 a 根号的谁啊？根号的二 a x 减 x 方 d x。 哎，有同学说这个怎么能看出来呢？实际上大家注意这是谁？这是那个 x 平方加外方等于二 a x。 那么大家注意， x 方加一方等于二 a x， 它是一个什么？它是一个偏心的圆啊，这个是一个偏心圆，这是谁？这是 a， 但是半径跟它一样，那你零 a 积分是不是仍然是这个半径为 a 的 圆的面积的谁啊？四分之一，所以这个也等于四分之派 a 的 方， 那这个时候呢？那你像这个等于谁？如果这个地方写零二 a 根号的谁？二 a x 减 x 方 d x， 那 这是二 a， 这是半个圆的面积，所以这应该等于二分之派 a 方啊。所以所谓用定积分的定义，用定积分的几何意义来计算定积分，比较常用的应该是这样三个阶段，所以以后见到这三个积分，你直接写答案， 速度快，准确率高，而不要去硬算，不仅仅在亿元积分，在多元积分碰到这种积分也可以直接算，所以这个主要靠一个奇偶性和几何异两种方法的结合。好，这是我们要看的第十一。

这也是维方方程的一种综合题，这是把维方方程跟谁综合到一起啊？跟求极限综合到一起。我们再来看，比如说该的问题，他说 y 等于 y， x 是 这个方程，这是二阶线形式非。其次，满足这个条件的一个特点，做 x 就 像零的时候，这个极限 当然有一种想法，哎，我能不能把满足这个条件这个特点给它求出来啊？求出来我带到这算极限就行了。但是大家想这个 p 和 q 是 不知道的，所以这个还不是那么好求。 那咋办呢？那我现在看一下这个极限什么类型，我看看用什么方法。 x 去向零分子，显然是去向零分母呢，因为外零等于零，所以分母也去向零。零比零。哎，零比零，我们就想到了谁啊？洛比塔。 所以呢，我们把这个极限拿来以后，注意，它是零比零。首先做个等加代换，老远一加 x 方等于 x 平方，它是零比零。我要想用洛比塔，那这个时候注意，既然你 y 等于 y， x 是 这个方程的解，那这个 y 应该是二阶可导，那我们知道二阶可导，你至少可以用到一阶导数啊，所以可以用一次洛比塔。然后完了以后呢， 大家注意，因为 y 一 撇零仍然等于零，这仍然是零比零，那这个零比零能不能再用洛比塔？如果仅仅二阶可导，那就不能再用了。但是实际上我们说因为 y 等于 y， x， 它满足这个方程， 那我由这个可以知道什么？我可以知道二阶导数还是连续的。那有同学说，你怎么知道二阶导数连续呢？因为他二阶可导，所以外连续，外一撇也连续，这个也连续，所以知道外两撇连续，既然二阶导数连续，用洛贝塔就可以用到出现二阶导数， 那有同学说你这个 y 两撇零等于一，怎么知道的？哎，你看这个把零，你不知道它是几啊？这个把零带进去的这两项都等于零，那这个时候 y 两撇零就等于谁啊？ e 的 零字方等于一，因为二解导数连续，所以这个二解导函数在零点极限 就等于这一点的二阶导数，那么这样做就会得到这个极限等于二，所以大家看，这也是微分方程的一种综合题，这是把微分方程跟谁综合到一起啊？跟求极限综合到一起，你看这种问题呢？这个虽然是求一个跟 f 有 关的极限，那并不是说先解除 f 再求极限， f 不好解， 那所以我们直接求极限，但是一定要充分利用它，是这个方程的解这个条件，最后把这个极限求出来。好，这是我们要看的这个例二十五。那下面呢？我们这个时候正确的选项， c 选项。

但是这一道考题，大家看他把你二阶向量线长系数其次非其次求解和的方法和原理是不都考到了。所以对于这个高阶向量线方程来说的话，就是这个向量线长系数其次非其次始终是考察的重点。所以如果二阶长系数向量线其次方程他的通解是他， 则这个非奇次方程满足这个条件的特解是什么？那我知道你要找非奇次方程特解，我只要找非奇次方程通解定常数就行了。如何求非奇次的通解呢？那应该等于奇次通解加非奇次的一个特解， 非奇的特解怎么求？应该是待定系数法，待在设这个特解时候，他会牵扯到奇次方程的特征根，那为此呢，我们就得把奇次方程 a b 得定出来。那么大家看，对这个奇次方程知道他通解是他，怎么来得这个方程呢？ 实际上大家看，既然他的通解是他，我们就知道他有一个特征根是谁一，并且是谁二重的。 因为你看这是 e x 乘上 c 一 加 c 二 x 啊，这就知道二等于一是他的一个二重的特征根。那么知道这个以后，我们就知道他的特征方程是谁啊？那就是二减一的平方等于零，因为二等于一是他的二重特征根，所以特征方呢，就二减一方等于零， 那这样的话，我们就得到特征方程是它知道特征方程就能知道微分方程，所以 ab 就 知道了，那么 ab 知道以后，非奇次方程也就知道了。现在我要找这个非奇次一个特解， 那就代定奇数法。你这是一个多项 x， 可以 看作 e 零 x 乘上一个 x， 那 这样的话，我们这方设的时候，就应该设成谁 e 零 x 乘上一个你，这是个具体的一次，我这应该乘一个一的一次，这个 e 零 x 就 不用写了，然后完了以后还要看要不要乘 x k 次方， 那要看你拿不拿是特征方程的几乘根，对于我们这的话，拿不拿等于谁零，大家看零不是特征根，所以前面不用乘 x， 然后呢把这个呢带到上面这个里边去，这个带到上面也简单，因为这是个一次式，你带二节肯定等于零，实际上只有这个，那就是负二外一撇外一撇就是 a 呀，然后再加上谁，加上 a， x 加 b， 这个应该等于谁啊？就应该等于右端的 x， 立马就知道 a 等于一，然后 a 等于一， b 马上就得到二，所以这个非奇次特解就找到了，然后这样的话我们就能写出非奇次的通解。 然后完了以后呢，人家是要找非奇次满足这个数值调节的特解，所以我们再利用 y 零等于二， y 一 撇零等于零，再来定 c 一 c 二，那就是把 这两个分别带进去，我们会得到关于 c 一 c 二的一个简单的方程组，最后解出 c 一 c 二，那这样子带到上面的通解里边去，我们这个时候想要的这个特解就找到了。 大家注意，这是二零零九年数学一的一道考题，但是这一道考题，大家看他把你二阶线圈长系数其次非其次求解和的方法和原理是不都考到了？ 所以对于这个高阶的现象方程来说的话，就是这个现象长系数其次非其次始终是靠它的重点，所以这个呢，求解的方法不但要知道，而且要非常熟练。好，这就我们看的第二十二。

那这个时候你可以做，但是你可能就慢了，过零一这个点，做这个 y 等于烙印 x 的 期限，那这种题呢，拿到以后就得画个图，否则你读完还得再来读，所以我们再来看啊，看，这是 x 轴，这是 y， 那 这个 l 是 对数，对数虚线，我们比较熟悉啊，这是 y， 等于烙印 x， 然后他说过零一，假如说这就是零一这个点，过零一这个点引这个对数曲线的切线，那这个时候呢？他说切点就是这个点，把它记作谁啊？记作 a， 然后这个曲线 l 与 x 轴的交点，这是记作 b， 然后完了去 d 是 由曲线 l 与直线 ab 啊，曲线 l 就是 这个抛物线，直线 ab 就 在这沿一条直线， 这是直线 a b， 他 就围成那个区域，所以这个区域 d 呢？就是由这两点的直线和这个曲线所围成的。然后要求 d 的 面积，还有求这个区域 d 绕 x 轴旋转，旋转体的体积。 但是大家想，你不管算面积还是算体积，关键你得把这个区域确定下来，但是要确定这个区域，关键是要确定谁啊？这个点是知道的，关键是要确定这个点，那这个点一知道这个区域就确定下来。如何确定这个点呢？那主要是要根据这个直线过谁啊零一，并且跟它相切， 那这个地方呢？这个时候要通过他是他的切线来求这个点，那这个时候主要呢有两种思路，一种思路，我可以假设这个切点是 x 零外零， 那这样的话我们就可以写这个直线方程，切点是 x 零外零，那这点的斜率，切线的斜率，那就是它求导 x 分 之一，所以假设这个切点是 x 零斜率，斜率那是这个的切线，所以斜率就等于 x 零分之一乘上 x x 零， 这就是如果切点是它的话，切线方程应该是它。但是呢，关键问题，我们想找 x 零啊，如何找啊？这个时候注意，它可是过这个谁啊？零一这个点的，当你这个切线是过这个点，我就把这个点带进去啊，那你看，把 x 等于零， y 等于一带进去， 那好，这就变成了一减谁 law x 零，然后呢，这个时候 x 等于零， x 等于零，往这一带，后面就等于谁就等于负一。 好了，把负一移过来，那就得到二等于烙印的烙印， x 移过来 x 零，那我们是不是立马得到 x 零就等于谁一平方，所以就可以得到这个切点处的 x 零是一平方。那好了，这样子，这个点就知道了，那这个直线也能知道，这个区域就知道了。 好，还有什么办法呢？啊？那还有一种办法，我们可以直接写过一零点的切线方程， 因为你这个点是零，一 y 减 y， 零就是 y 减一 k 倍斜率，现在不知道，记住 k k 倍的 x 减 x 零就是 x x 零啊， x 零就是零，但是这个时候呢，你还得要确定谁啊？这个切点是什么？那如何确定呢？ 大家注意，实际上是你这个直线，也就是 y 等于一加上 k x， 他 跟谁跟 y 等于烙印 x 要在这点相切，就是他两个相切来定。这个地方的切点和这个斜率如何定呢？大家注意，他两个相切，这是几个条件？两个条件， 那有的同学光记得一个条件相切呢，就导数相等啊，这个解不出来啊，那相切是两个条件，一个呢是函数值相等，所以你的烙印 x 应该等于他的一加 k， x 相切要函数值相等，也要导数值相等，第一个球导是 x 分 之一，第二个球导是谁啊？ k， 所以 根据相切，我们列出两个式子，然后再来解 x 零。 那么大家注意，由第二个式子把 x 乘过来，我们就知道 x 等于一，再到上面我们这样子立马就得到 x 应该等于谁啊？应该等于一平方， 那我知道这个以后斜率也能知道呀，那这个 k 就 等于谁？ e 的 负二次方。所以这个时候呢，确定这个切点有两种方法，一种呢就是方法一，一种就是方法二，方法二，你最后你要确定这个 x 零的话，那这个时候就相切，在用的时候是两个条件，函数之相等，倒数之相等。有同学只用一个条件倒数相等，最后解不出来。 好，那这样的话，这个点知道区域就清楚了。现在呢，面积如何算？那么算面积的话，那当然这个区域你要用大学老师教的，可以用这个切线方程也能写出来，用它减切线方程，然后在这个做电接板，可以 怎么做更简单呢？但是这是个直线，下面是个三角形，我是不是可以用这个曲边三角形减三角线？三角形面积 没有必要用积分二分之一底乘高呀，而这个区别三角形的面积是谁，那就你这个烙印 x， 然后在谁啊？一到一平方的积分，所以你看这个面积就等于烙印 x 到一平方，一到一平方是这个区别，三角形减去下面三角形，三角形面积等于二分之一底乘高 高，是谁把这个一平方带进去？这个高显然是二，底呢，就是一平方减一啊，所以你看二分之一一方。 好哦，这地方应该有一方减一。抱歉啊，那这呢应该是一方减一啊，这是个打印错误，就这个地方呢，应该是一平方减一，这个一平方减，嗯，这个一平方减一，这就是底边的高。呃，这个底边的长度，然后再乘上谁啊？高啊？所以这呢不应该是一平方，这是一方减一，但是最后算一下 这个答案是谁啊？答案是二，这个具体我们不在这算了啊，那这个算的话，主要是算这个积分，大家注意这个积分要分布积分。好，这是这个面积，然后呢这个体积怎么算？就这个上面这个区域绕 x 轴转，那你注意这个呢，还不能直接带大学老师教的公式那，因为这个时候呢，大家注意这个底下是个空的， 那如果你要用元素法做，可以，但是就有点慢，二乘几方也能做，但是也不是最好的方法。最好方法谁啊？是不是跟刚才一样，用减法，先算它绕 x 轴转，再把下面也剪掉，下面这个三角形绕它转，转数是个锥呀。 哦，所以这个时候呢，先算上面这个转绕 x 轴转，这个有限成功是可以用啊，派 f 方，所以你看是派 f 方绕引方，那么一呢到一平方，然后完了以后呢，后面这个转数是个锥，这个锥的高是谁啊？高就是这段，这段就是一方减一， 这个底面元半径是二，所以这个时候呢是三分之派二方，二方是四，再乘上谁这个高，一方减一，然后对于前面这个积分烙印方 d x 是 不是也是要分布，这要分布两次？这个具体算的过程我们不在这算了，那么具体算一下的话，最后可以得到这个体积等于谁三分之二派，然后这是一方减一， 所以注意这个不管是面积还是旋转体体积，我们在做的时候切记不要说我记住哪个方法，所有题我都用它做， 那这个时候你可以做，但是你可能就慢了，所以一定要根据题目的特点灵活使用方法。你看我们算这个面积的时候，既没有直接用大学老师上下减，也没有直接用二重积分，那我们用的是谁啊？就是用这个取边三角形减去三角形， 这个呢也一样，也没有完全到靠大学老师的公式，我们是算上面这一块带公式再减下面减下面呢？不管是三角形的面积还是三角形转出来锥的体积都好算，所以一定是灵活选举方法，题目才能做的简单好，这是我们要看的这个例子。

变上限积分，我们卷子被考的最多的一个点就是变上限求导，但是变上限求导呢，这个变来变去就这几个花样，所以我们就是通过这一道题给大家总结一下，我们以后看到变上限积分的题目牵涉到的变上限求导函数的类型和方法到底有哪些？实际上这就概括了啊，那好我们来看 接，首先看第一个，那第一个呢？注意这个呢，直接就有现成的公式可以用啊，那所以呢，我们就直接写啊，就这个求导，也就是说这个 e x 上面是 x 平方 f t 的 t， 这个求导等于谁？首先是把这部分变量替用上限带进去，乘上上限导数。二 x 减去谁啊？把这部分变量用下限带进去，别忘了乘下限导数，这就是线段截了，大学讲过，我们就直接用。然后呢，你看这个二 对这个呢？这有 x， 这也有 x， 这种是不好直接求。那一个基本方法是谁啊？先就是拆向，把 x 提出来，所以这个可以改写，因为你对 t 几分，这个 x 是 个参数，它可以拿出去，所以就写成 x， 零到 x， 然后 f t 底的 t 再减去谁啊？零到 x t 的 f t 就是方向，把 x 提出来为后面求导，就听了方便。那么这个时候呢，大家看它的导数，零到 x， x 减 t， f t， d t 求导就等于谁？就等于这两个相乘求导，它求导它不动，那所以就是零到 x， f t， d t， 还有一项它不动，它求导，那就是加 x， f x， 再减去这个求导，这个求导就是 x f x， 然后一消，最后就等于零 x f t， d t 啊，出现这种上面有 x， 里边有 x， 像这种呢就是叫做拆项，把 x 提出来， 那这个呢？上线有 x， 里边也有 x， 这种你看你拆项你就拆不了，那怎么办呢？这个 x 在 里边导数做不了啊， 所以这种呢，往往就做变量代换，把 x 换出来啊，那就是零 x， 然后你这是 cosine x 减 t， 扣起来平方抵 t， 做什么变量代换啊？那你这是 x 减 t 方，我就令 x 减 t 等于 u， 这个时候注意一边就是 cosine u 方， 这个时候大家注意，原来的积分变量是 t， 新的积分变量是 u， x 是 个参数，在这过程当中是长数，所以 d t 等于负 d u， 我 先写成 d u， 因为你还要换上下限，不要忘记换上下限啊， t 等于零又等于谁？ x， t 等于 x 又等于零，刚才嵌个符号，上下限调回来零 x， 那你注意这个呢，做一个变量代换以后，这就化成我们大家熟悉的类型了，那所以这个时候呢，你这个三这个地方就是零 x， cosine 的 x 减 t 方的 t， 这个求导就变成这个求导，那么这个呢，就是最常规的类型，只要把里边的 u 用上限 x 带进去， 大家注意这个和这个属于一个大类，那就属于上限和里边都有 x， 但是这个呢是拆箱，这个呢是换元， 这就是碰到上限和里边同时出现 x 的 时候，这种类型变上线求导常用的两种方法。 然后我们来看它，它呢既不变上线，也不变下线，但是求导数变量在里边，这个也是不能直接做，那怎么办呢？这种往往就是换元啊，把 x 换出来呀，所以这个一到二 f 的 x 加上 t 底的 t， 然后我们做一个变量代换，就是 x 加 t 等于 u， 那这样的话，这就是 f u d t 就 等于 d 的 u， 此时呢，大家注意，你这个 t 等于一的时候， u 等于谁？ x 加一， t 等于二的时候， u 等于 x 加二， 你看他就把它划成这个类型，那这个导数我们可以做啊，所以一到二， f 的 x 加 t 的 t， 这个求导就等于，首先把 u 用上键带进去，就 f， x 加二，再乘 x 加二，导数一不用写了。然后把 u 用下键带进去， x 加一，再乘 x 加一，导数一也不用写了。所以大家注意啊，这个地方是三大类型。第一种 就是求导数的变量只出现在上下线，直接用公式。第二种就是二和三，就是上下线和里边都有 x， 要么拆项提出来，要么换元。第三种 既不变上线，也不变下线，求导数变量在里边。那么这种问题处理的一个常用的思想方法就是换元，把里边的 x 换到上下线上，然后求导。 大家注意，变上线求导题目很多，但是求解的往往经常用到一个核心思想就是变上线求导，而变上线求导，变来变去，常见的就这三大类型，以及处理他们常用的方法，这就是我们举这个例子的背景。

命题的人很清楚，你哪里错容易错，哪里容易出错，他就在哪里出题。二零一六年数学二的考题，那大家看他说反常积分，他和他两个反常积分，实际上就是问这两个反常积分到底是收敛还是发散？ 那我们来看一下，那这个收敛还是发散？一个一个来。首先我们来看第一个，那这个是收敛还是发散的？那大家看这是负无穷到零，这谁啊？ x 方分之一， e 的 x 分 之一，实际上大家注意这个里面包含了两种反向积分，一个无穷区间，一个零还是一个无极点， 那这样子如何判定呢？三大方法定义比较法， p 积分谁方便啊？实际上我们在这主要是看出谁，你看这个 x 分 之一求导是不是等于负？ x 方分之一，所以这个元函数很好找。元函数求谁啊？就是负的 e 的 谁啊？ x 分 之一， 你看这个求导数，就等于它，这就是它的原函数。然后完了以后呢？我们只要带上下限带负无穷，就让 x 去向负无穷，然后带零，哎，带零，那怎么办？ x 去向零，那去向零正还是去向零？负啊？ 所以你现在是负无穷到零这个区间，要从你区间里边去向零，所以这个 x 正零负是不一样的。所以这个时候呢，我们来看带零负， x 去向零，负上面是负无穷，那应该是零 减去这个地方，那么减去这个地方，这有个符号，就变成加上 x 去向负无穷， x 去向负无穷，这是零异零次方，谁呀？一，所以根据定义这是一，那这个就是收敛。 然后另外一个呢？因为背记函数一样也是用定义零到正无穷，那你这个 x 方分之一 x 分 之一 d x 啊，这个呢？原函数仍然是负的， e 的 x 分 之一，这呢带零带正无穷， 那大家看带正无穷，那这个 x 趋向于零， e 零次方零正零负都是一，所以是负一减去就变成加上这个时候大家注意你的区间，可是零到正无穷，所以这呢，带零的时候， x 应该趋向零，正要从你这个区间里边去向它， 那这个时候大家可注意 x 趋向零，正，这个是正无穷， e 的 正无穷，那这个地方是加上一个正无穷，所以这就是无穷，那所以这个就是发散，所以你看这两个呢，实际上都是用定义 判定链散性比较方便，那最后的结论就是第一个收敛，第二个发散，收敛发散，所以选 b， 所以 它核心还是一个链散性的判定，那么这个方面用定义方便，用它的圆函数好找。但是作为命题的人为什么会出这个题呢？它不仅仅是为了考你这个反常积分，他还想考一个另外一个容易犯错的地方， 就是 x 分 之一在零点这个地方呢，会出现异无穷，看到没有？哎，这个要注意，我们在前面特别强调，见到异无穷就要注意了，一定要分左右。所以这个命题人出这个题不仅仅是会考你反常积分内在性判定，同时还想再考你异无穷这个地方，你 会不会出错？命题的人很清楚，你哪里错容易错，哪里容易出错，他就在哪里出题，所以你看他放在反常积分里面，又考你这个异无穷，这个知识点到底掌握了没掌握好，这是我们要看的第五。

啊，下面呢，我们来看二零零七年数一跟数二的考题，当然是考这个题目，他说这个二阶常系数非奇次方程这个的通解，大家说这是非奇次方程的特征方程，奇次方程的特征方程是谁？二平方减四二，然后再加上谁三等于零。 好，这个特征根让大家看，这个三可以看作是谁啊？负一乘上负三，所以这个地方呢，可以是二减三，乘上二减一 负三乘负一是三负三加负一负四，这个等于零。所以我们立马就得到两个特征根，一个是二，一等于谁三，一个是二，二等于谁啊？等于一。那么这样的话，其次的通解立马就可以写出来， y 等于谁，就是 c e 的 三 x， 然后再加上谁 c e 的 x， 这其次通解。 那现在呢，要找非奇的特解，所以我们在这列 y 星号等于怎么列？你前面是个常数二，我们这应该设成一个一般的常数， 然后完了以后还要看要不要乘 x k 次方，那现在就是那么大等于二，它是特占方，乘几重根，前面就应该乘 x 几次方，但是这个那么大等于二，它不是特占根啊，所以前面就不用乘 x， 这就待定特解设好了，然后呢，把这个带进去要定 a， 大家注意带进去，你这带还要算外一撇，外两撇，但是大家注意，这个外一撇、外两撇是不都有 e 二 x， 所以 这边也有 e 二 x， 我 们 e 二 x 不 写的话，这就是，这应该是三 a， 这求一次倒数乘上负四，这个求一次倒数是二 a 二 a 乘负四，这是负八 a， 然后这个地方是求两次倒数，这求一次倒数有二，求两次倒数，这是四 a， 所以 这个地方是四 a， 也就是如果我把这个带进去，两边把一二 x 一 消，得到的是这个式子， 那么这呢，大家看，这个地方是负四 a， 负四 a 加三 a， 那 就是负 a， 负 a 等于二，是不是立马就得到 a， 就 等于谁负二，这样的话，外信号就知道了，外信号就等于负的 e 的 二 x。 好 了，非奇次特解找到了，那么这样子非奇次的通解立马可以写出来，那就等于谁奇次通解， c e e x 再加 c 二 e x， 再加非奇次的特解减 e 二 x。 做完了啊，这就是一个二阶向量型长系数非奇次求通解。那第一步仍然是写奇次的特征方程，找奇次通解。第二步正确的设出非奇次，带点特解，然后把它带到原方程，定出非奇次的特解，最后就可以写通解。 所以对于这个线性长系数，非其次，两种非其次相，一个是指数乘多项式，一个指数乘多项式，再乘三角。我们都有一般的方法可以求出它非奇的特点，从而可以求出非奇的通解。 所以对线性方程来讲，线性变系数我们是停留在理论上，但对线性长系数，我们这个地方是落到实处，所以这个线性长系数其次非其次始终是高阶线性方程考察的一个重点，所以这呢不但要会，而且要比较熟练。

主播，主播，无条件极值我学会了，最后有时候算出来极大值比极小值要小，我觉得一定是 a 算法了，所以直接给换过来了，我真是太聪明了，不可以，兄弟，不可以，这样，有可能答案算出来是错的。 好，恭喜你刷到这个视频，我相信在这个视频之前很多同学都没有注意到过这个问题，就是极大值他不一定是比那个极小值要大的，很多同学在做那个大体的时候，他怎么判断你这个是极大值？极小值他可能就是直接把那个 f 啊，把这两个值给他带进去，然后比较大的那个就是极大值，比较小的那个是极小值。 当然这种做法的话，百分之九十以上的题目是对的。但是呢，像这个知识点的一个考点啊，老头在专题里面早有记载，如果说你用这个结论来做的话，那他的极大值及效值是有可能搞反调的。那我们来看一下他的一个具体的一个例子，就是比如说在这里，在这里他说那个， 呃，我们先来看一下他的一个定义吧，就是，呃，根据我们统计期版教材的一个定义的话，他是说你这个，你这个点啊，比你领域里面所有的点都 大于，等于就可以。当然你如果说学过数学分析的话，他有些地方这个符号他是大于啊，当然这个我们不用去管他，像这种啊，这个角度的话不太有命题人，他不太会来为难你。 所以说像这个定义的话，我们可以看到他其实针对于你这个几大几小，他是一个什么范围里面的一个概念啊？他其实是一个区域性的一个概念，区域的一个概念你是没办法推到全区的。你比如说啊，有，呃，那个凤尾不一定比鸡头要差，对不对？ 你在鸡里面你是特别强的一个存在，但是在凤凰里面你可能啥都不是，对不对？所以说在这样的话，我们就可以直接得出结论，极大极小它都是一个呃 局部的一个概念，它不是一个全局的概念。所以说说从全局来看，我们的极大值不一定是比极小值要小呃，要大的。那具体有什么例子呢？我们可以看一下真题，它是怎么怎么来讲这个的？ 你看啊，在这里，这，这是二零二四，二零零四年考研数学一的一道真题，他题里面题目里面就给了你这么一个式子，然后让你来求他的一个截止点跟 截止，对吧？那前面的这些过程的话我就不重复了，反正都是非常常见的一种操作，对吧？一阶导，二阶导求一下，然后得到他的一个呃注点，对吧？注点，然后把它二阶导全部算出来，算出来之后呢，那我们就 可以知道它的一个可疑点是哪两个可疑点，一个是九三，一个是一个是那个负九负三，对不对？那我们怎么判断它是极大值还是极小值呢？那我们常规的做法， 呃，也不说常规吧，正确做法应该是什么正确做法？我们要看一下，你看这个 a 它是大于零的， a 大 于零的话，它就是一个极小值，对不对？极小值，然后在这里的话， a 它是小于零的， a 小 于零的话，它是一个极大值， 对不对？那到这里其实就可以了，你看极小值等于三，极大值等于负三。但是那那一年很多同学他会遇到一个什么问题呢？就是说这个极大极小，他算出来之后， 哎，默默地把这个给改掉，哎，这个是负三，这个是三。这就是因为他脑子里面有一个错误的印象，认为我的极大必须得比你的极小值要大，对不对？你哪怕不给它改掉，你考完之后我就问你放不放心 算这个东西写上去你放不放心？很多同学其实也不放心，但是看完这个视频之后，你应该能知道，就是说，呃，就是极大跟极小啊，它的大小关系，它其实没有任何必然的一个联系。为什么我们平时会有这种想法呢？是因为绝大部分题目当中， 呃，就是我们算出来的极大值，就是比极小值要小的。但为什么这个是这样子呢？我可以把那个图像画出来给你看一下。 好，然后我们用这个软件给它画出来啊，这个是我们题目里面的那个表达式，对不对？那我们来看一下它，这这里你可以看到这个函数啊，它是分成上下两只了，对不对？上下两只，上面一只的话，它是一个往上往下凹的这么一个感觉，所以说它上面这一个呀，根据我们的那个定义来说， 就是上面这个。当然我这个触控笔没办法写啊，但我我觉得你应该知道我在说哪个。就是上面这一个函数的话，你看啊，它很显然存在一个极角值，对不对？然后下面这一只的话，它明显存在一个极大值， 那从这个图像不难看出，我们的极角值就是比你极角值要大的，对不对？所以说这道题目我们就这么理解就可以了。 好，然后最后的话，我们把这个结论给它强调一下，就是我们的极大值啊，不一定小于极小值，它甚至有。可啊不一定大于极小值，它甚至可能远远小于你的一个极小值，对不对？好，然后今天这个概念就给大家讲到这里，谢谢大家。

这种题在我们过去大学书上有，但是考研卷子多次考，当然初次拿到这种题呢，我们会想，哎，那我把这个积分做出来，带进去再算这个就行了。但是大家注意啊，这种题这样出的时候，这第一个积分百分之九十都是记不出来的，所以大家看，没有前面这个派解的话，那就是我们非常熟悉的记不出来积分 t 分 子三元题， 那怎么办呢？你把这个记出来是去掉这个积分号，但这个记不好记啊，但这是个变上限积分，去掉积分号可以用谁啊？求导数啊？但是人家是让你算一个定积分计算定积分的，哪个方法会出现求导数呢？我们是不是就想到了分布积分， 因为一分布那个地方就会出现求导，所以我们这个是不是直接分布？直接分布以后，因为第二项就是这个求导，如果我们这还有 x， 我 也可以把 x 先凑进去，这个呢就直接分布， 所以这个想法就是这样来的。所以我们拿到这种题的话，方法一就是原式等于直接分布，那这就是 x f x， 然后代零代派，然后减去这两交换位置，这个 x 出来， f 求到，大家这个 f 求到等于谁？ 它求到不是就等于派减 x 分 之赛引 x dx， 然后领导派，这就是分布积分一次我们就得到这个，得到这个以后，大家大家看这个派，派派等于谁？派派，哎，这就是派乘上 f 派， f 派是谁？ f 派就是零派， 然后这是赛引 t， 这呢是谁派？减 t 得 t， 然后这呢是 x， 赛引 x 派减 x d x。 那位同学有问题了，他说，老师啊，你看你，刚才你说这个地方不好算，你到这这个地方不是跟这个地方一样，这照样不好算啊。是的，但是后面呢，也不好算，两项，如果一项好算，一项不好算，那肯定不好算，但是两项都不好算，未必整体不好算。这时候大家看这样的积分 有关系，区间一样，分母函数也一样。哎，那这个时候可注意，我们定积分的值与积分变成用什么记号没关系，所以把这个派常数可以写进去， 这两个积分可以合并啊，一合并就合并成谁啊？零到派，那么下面呢？是派减 x， 上面呢？把三 x 往出一提，大家都有个三 x， 那 边是不是又有一个派减 x， d x， 那 这个上下一消，最后就等于谁零派塞 x 的 积分塞以零派积分等于谁等于二，所以这步很关键，就是把这两个积分合并消去，缝上派减 x。 好，这是解法一，那大家看还有没有其他的方法呢？啊？大家注意，你看我们在这分布的时候出来这个形式，那么出来这个形式的时候，你看注意带零的时候这个等于零， 带零的时候啊，这个也等于零了，看到没有？因为从这个式子看出 f 零等于零，结果带派的时候你俩都不等于零，就出现这个数。哎，咱们就想能不能把零分配一下吗？那带零的时候你俩也有一个等于零，那不是前面就不用算了？但是注意，对 f， 我 们只知道在零点等于零， 所以我们当然希望这个代派等于零，但是你 x 代派不可能等于零，但是这个 x 从哪来的呀？它从 d x 来的，那这能不能让它出来个 x 解派呢？如果这不是 x， 这是 x 解派，代派就等于零了。哎， d x 能不能写成 d 的 x 解派，回文号上面添个常数没有问题啊 啊，所以你看题目一下就变简单了，也就说我们原式就等于谁啊？原式就等于零到派，然后这是 f x， d x 就 等于底的 x 减派， 就这么一个微小的变化，你看一分布，这个时候前面出来是 x 减派 f x， 然后这呢是带领带派减去交换位置这个地方出来的就是 x 减派，然后 f 一 撇 x 就是 派减 x， 再减 x， 这个直接分布出来，就是这样一个式子， 然后代派前面等于零代零，后面等于零没了，然后 x 减派，派减 x， 把括号拉进来一削，最后就直接剩下一个零派塞引的 x， 那 样就得到答案二 啊。大家看这步就非常巧，就是把那个 dx 写成 d 的 x 减派。大家注意这个思想不仅仅在这一个题目里边，其他很多题目里边能用到这个思想，它会给你带来方便。 好，这里边主要还是用了一个分布积分法，所以就是碰到这种带有变上限积分这种定积分的变上限积分定义的函数的定积分，那一个常用的思想就是分布积分，但是怎么用分布积分会来的更方便这个解法二，听了一种新的思想。

基础跟章鱼强化换武忠祥？学姐被问了不下几十次，但真正讲清楚怎么操作的回答几乎没有。大部分人就甩一句可以换或者别换了，然后补一个看个人情况就结束了。这跟没说一样，学姐考研的时候，基础全程跟的章鱼体系， 武钟祥的强化课也认真听过做过对比，最后数一一百四十三。无论你基础跟的是谁，强化幻听，吴老都不会出现任何问题，他就是那种无缝衔接的万金油选手，但可行不等于随便换。前期基础不牢固，后期刷题突破举步维艰，这是二六届太多学姐用亲身经历验证过的事实。换老师从来不是问题，基础没吃透才是问题。 先把张宇的基础阶段走扎实，再讲什么时候用什么标准切到伍忠祥，最后是强化阶段的用书搭配，三个环节扣起来，才是这套组合真正能跑通的样子。基础阶段的核心是夯实基础，这直接决定后续复习的上线，包括你强化阶段换谁，怎么换，效果全取决于这个地基打的多深。学姐当时在练习真题和基础题时，发现 很多似曾相识的题目依然解不出来，这说明基础复习存在效率低下的痛点，一千题第一章就错了一半。这种基础不牢固导致的挫败感让我意识到，必须找一个能把知识点拆细的工具来弥补断层。 后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。章宇的基础三十讲有一个很重要的设计没讲得开，偏基础知识结构上会详细去说这一讲哪些是重点，这个地方你一定要仔细听。 学姐当时犯过一个错，一上来闷头看立体，结果漏掉了老师反复强调的考点提示，后来回头补，才发现那些提示才是真正的备考指南。学习方法，上预习、听课、做题三步缺一不可，一遍过的知识不多，基本上大家要通过两到三遍的学习才能彻底学会。一 遍没听明白很正常，数学本身门槛就在那里，但这三步走完之后，很多人会卡在一个地方。三十讲解决的是听懂的问题，一千题考验的是会做的能力，中间还差一个练透的过程， 这中间的断层不是靠多刷几遍能填上的。如果习题测的难度相当于十五层楼，无论是张宇一千题，还是武忠祥六六零题，都假设你已经站在第十层左右，但实际上很多同学可能才在第三至四层。结果就是考试时一百五十分的题目中，有一百二十分是似曾相识却解不出来的。学姐后来用了智能型才想通 考研数学关键是要把知识点划分的够细。智能型做的就是把三十年真题和大纲知识点全部拆解成大概六百个考点，每个考点配专门的题目，从各个角度反复练。他不让你做已经会的题，系统自己检测你哪有漏洞，然后就盯着那出题， 你的时间花在刀刃上，效率完全不一样。到底什么时候算基础打完了可以开始切武忠祥，不要以为听强化课就进入强化阶段了，听强化课只是手段，目的是提高解题能力。 拿什么标准判断两个硬指标，第一个是一千题， a 组一刷正确率，如果做到百分之八十至九十以上，说明你基础阶段拿到了真正的会做能力，可以放心切。如果只有百分之四十至五十，那说明地基没起来。这时候换伍忠祥意义不大，他讲的知识点不一定是你遗忘的，有些在他基础课里讲过，强化课里不会再讲，针对性差，时间性价比不高。 学姐当时观察到一个很普遍的陷阱，看老师解析率还在百分之五十以下。第二个标准是时间正常节奏，从现在到五月底打完基础， 六月做扫尾和切换准备，七月正式进入强化。但这里有个现实问题，张宇基础课一百四十小时听完加消化加重听至少一百天，按传统节奏跑完基础再切武忠祥，强化阶段直接被压扁。 学姐当时是用智能型把这一段压缩了三十讲，可以少花一半时间，方法是对照列表推进，不需要逐次跟课。上课哪里没听懂，在智能型点不知道， 系统会把那个知识点拆开，一步步带你过数一两个半月，数二两个月，比传统方式省出不少时间。智能型等级二，满格去刷一千题基础篇一刷正确率基本能稳在百分之八十以上。 强化换五中祥用书搭配怎么定？为什么是五中祥两个字深合稳。五中祥强化的概念剖析、易错点提醒、题型规范，在主流老师里已经堪称顶级水平，尤其是中值定律的双中值问题，积分几何应用、多元微分概念这几个板块讲解水平确实优于大多数老师。 你基础阶段已经用张宇建好了知识框架强化，换武忠祥来深挖细节，这个组合是一加一大于二的，武老能保住你的基本盘，他的讲解篇稳扎稳打， 不会因为是强化课就跳跃太大让你跟丢。对比来看，张宇更想拔高上限，他选举的例题明显偏难，如果基础没听，语歌衔接会有断层。武忠祥就没这个问题。但用书的搭配上，有几个地方要注意，数一的同学，最后两张要自己找部。 武钟祥在数一专题上的例题，全面度和深度不太够复杂，题型覆盖不足，极数部分建议听听其他老师现面积分可以补刷张宇十八讲的例题。 数二可以优先跟武钟祥的强化，他对数二核心板块的讲解几乎是公认最好的，只需要额外注意数列极限和反常积分判点书没刻好也是真的。张宇的十八讲一年一更加大量前瞻性新体，而武钟祥的强化讲义更新幅度不大，里面相当比例是真题圆体， 所以听课为主，讲义当框架用就好。习题测这一层，强化阶段建议一千题 b 组和五中祥严小题搭配，一千题 b 组负责拔高上限，五中祥严小题负责稳住基本盘，但这两本加起来量很大，全刷不现实。 学姐当时就靠智能行筛，她的 ai 才会根据你掌握的东西预测你哪些题大概率会建议跳过，实际要做的大概是习题测的两三层，把跳出来的题集中练，效率才上来。 强化阶段，先把专题在智能型上刷到等级三，再去做严选择题，正确率直接能到位，综测每天坚持大概三十分钟，按你自己的遗忘节奏推题。不是统一时间表，三门课同时维护，不用自己手动安排复习计划，把时间花在薄弱环节上，这才是高效复习的核心，避免了无效的重复劳动。关于刷题方式，基础阶段用非独立做题， 看到一道题会做就做完，想一会没思路立刻看答案，把这道题当成新例题来学。学姐当时的教训就是，基础阶段死磕太久， 一道题想不出来就硬扛，效率极低。到了七月，切到武忠祥后，就要过渡到独立做题。再说二六真题给的信号，重点内容重点考，章宇标注的重点绝对不是随便写的， 边角知识也不能忽视。二六说二考了连续引力这种冷门考点，智能型的覆盖是最全的，计算量大也是突出特点，平时不自己动手算，考场上一定出大问题。三是讲建体系，武忠祥强化学细节，智能型定位薄弱点，按节奏来，二期考研加油！

无论你是什么时候刷到这条视频，高数基础准备跟武忠祥，那么你都可以参考一下我这样的规划，如果你是五月之后开的呢，我非常建议你就采取这条路线，然后跟武忠祥老师，如果你的目标是在一百二十分以上的话， 建议走这条路线，如果你对这一部分感兴趣，可以直接跳到第二部分。咱们首先看第一条路线，也是大多数人催更的一条路线， 就是说高速基础学完学现代，那么这个逻辑是什么呢？这个逻辑就是你高速基础学的还不错，你可以先学现代，在学现代的时候呢，去复习你的高速，达到高速进入过渡阶段这个状态，然后你再进行高速强化，你高速强化的时候就会比较爽，但是这部分要求你的高速基础 学的比较不错，而且没有做过六六零，因为咱们学现代的时候呢，高数主要做的就是六六零，那如果你高数基础学的很一般，那我建议你直接走第二条路线，那么高数基础也是一样的，咱们做基础研选题， 这个不必多说。好，那么咱们再走这条路线啊，最重要的部分就是两个延线题和八八零啊。然后在学现代的时候呢，就一边学现代，现代的时间占百分之六十，然后高速的时间呢占百分之四十，那么高速就是一边复习讲义 加错题，加你的这个基础延线题的错题，然后你可以再搞一本六六零，那么你们可能会觉得六六零比较难，那么你就去做这个 基础讲义上六六零建议的那些题，你把这些题做了就行了，然后我们重点讲一下这个现代，现代的话呢，你基础阶段不做题，强化的时候再做八八零现代，因为现代和概论部分只需要完成八八零这一本习册就够了。 那么学现代你可以考虑跟御老哎，或者可以跟咱们的爪子哥，无论你跟哪两个老师，这两个老师基础阶段听不懂都是非常正常的。御老的话呢，他比较适合基础比较差的，就是你学高中基础学的比较难受， 你感觉你的数学基础不是很好，那么没咋的，我觉得咋子哥是目前讲的比较不错的一位，所以如果你想学一下现代，而且能学的舒服的话，就可以考虑跟咋子哥，只是他的基础讲的比较浅， 那么高数基础差不多，如果是数二的话，就是四十五到六十天左右，那么如果是数一数三的话，那就是六十天到七十五天左右。那么现在的话呢，建议你控制在四十五到六十天啊，四十五到六十天。 然后你在学高中基础过完现代的时候呢，你可以花三到四天去复习讲义，并不是说让你在三到四天之内就把讲义全部复盘完，就是可以先开始这个动作，然后等学现代的时候呢，咱们再继续去复盘讲义，只是把时间降低比例了， 然后咱们进入高数强化，现在学完之后进入高数强化，哎，咱们在学完现代的时候啊，一定要去重点复习自己的强化讲义啊，你的八八零呢？哎，可以在基础阶段补做，然后强化的时候做八八零基础，等到学高数的时候， 你可以一边学高速强化，一边再去回顾现代，回顾现代咱们就做八八零综合，当然你在现代的时候把八八零全部做完也是可以的。那咱们在高速的时候呢，你就去做现在的错题，那学现高速的时候呢，也是一样的，百分之六十时间是高速强化，那就是五强化，强化延展题，强化延展题， 然后呢记住在每一讲，就你在学第一讲之前，一定要复习一下第一讲的基础讲义，然后百分之四十的时间或者到百分之三十的时间啊，你这个高速的时间可以高一点，百分之七十也是可以的，百分之四十到百分之三十的时间呢，去复习这个现代的强化讲义啊，现代讲义， 现代讲义，然后加上你的这个八八零的现代题啊，你暂时先不要考虑去做其他的习侧，先把八八零搞定，然后你高数学完之后，哎，咱们数二就进入习侧阶段了，就比较简单了，咱们就把八八零完成就行了，把八八零的高数完成，对吧？ 你现在要有时间的话呢，你再可以考虑一下其他的习侧，后面会给大家整理。那么八八零高数做到综合的时候呢，咱们开真题，哎，如果你的时间比较多呢，你可以再补一下一千币也是可以的。 当然如果你觉得八八零的基础太简单了，你想直接上综合也可以的啊，也可以的。然后专题呢，就放在你最后一本习册的强化的时候做，比如说如果你最后一本习册安排的是一千币， 那你就在做一千币的时候做专题，如果你安排的是八八零，那就在做八八零综合的时候做专题，然后专题做完做模拟卷。那么这部分规划呢，我会放在冲刺期的时候单独给大家规划，因为还太早了，我在五月底会出一个第一个冲刺期的视频，大家如果感兴趣的话可以关注一下我。 然后概论的话呢？呃，因为我们在学概论，你同时要复习现代也高数，也要复习这个，也要学习概论，所以这个时间是比较紧的，因为你同时复习两个东西会比较累啊，所以我建议你这两个时间呢？嗯，放在一比一， 一比一啊，那么你在高数的时候呢，可以只复盘你的错题，加上这个八八零高数，那么现在呢，就仍然去复盘自己的错题，那么概一论呢？你就可以跟方浩。哎，其实跟现在思路也差不多，基础阶段不做题，强化的时候做八八零，当然你在复习高数和现在呢，也可以只做错题啊，不做新题，也就一个月的时间吗？ 那么高数强化其实也是四十五到六十天左右。好，那么然后初一的同学们就进入跟数二一样的这个习测阶段，刷习测就完了。好吧，那么这个就是高数学完学现在的所有流程。 好，那咱们就来详细的看一下这一条路线，无论你是几月开啊，你想高数基础学完高数强化都可以，我更建议五月之后的同学们走这条路线。好，咱们高数基础做什么？做咱们的基础研选题啊， 基研我就这样写吧。基研，然后强化的时候做强化延展题叫强研。那么你在高中强化的时候呢？记得比如说你在要学第一章的函数极限连续准备这一张强化了，一定要在 强化之前把你的基础讲义部分，也就基础延展题这一张对应的错题全部都复习完毕之后再去开高中强化。那么强化延展题一定要做啊， 如果你高数基础实在做不动基础语言题的话呢，你就把讲义上的题都弄懂嘛，但是这个是最低要求，这样你后面学高数的话会比较累，所以建议你基础阶段能做题还是做就做题。然后现在基础跟强化呢？嗯，咱们一样的，我就推荐你跟没咋的，你也别考虑其他老师了，你要觉得没咋的讲的听不懂就去跟玉老好吗？ 然后这个时候呢，咱们得分两部分，一部分就是你的现代学习啊，现代学习的时间呢要占百分之六十，那么高数呢？高数复习要占占百分之四十。 然后基础阶段咱们只完成讲义上的，讲义上的题啊，讲就是讲义上老师的题以及他的课后预习，全部搞定就 ok 了。这个是基础阶段，咱们强化阶段呢，做八八零，你全部按照我的规划来是没什么问题的。 然后强化阶段咱们积强化阶段，学完一章就完成这一章的基础综合，你可以等这一章的讲义二刷完再做，或者你后面安排时间做也行。那么高数复习呢，咱们就复习讲义，强化讲义， 然后呢加上一讲的八八零啊，加上八八零基础，加上八八零基础，当然你想加综合也可以的。然后等你现在基础学完之后呢，紧接着现在强化学完之后，咱们进入习一这阶段，那么习一这呢，就补全八八零啊，补全八八零， 把八八零所有部分全部写完就可以了。然后后面你要时间比较多的话呢，你可以再补一下一千币，那么时间没有那么多的话呢，你就可以直接上真题啊， 当你时间比较多，也可以边做一千币边加真题啊，这样的话你的上限会更高啊，可能能充个一百三，一百四这样，那么如果你是数一的话呢，你就后面也是高数现代复习， 然后和这个，嗯，该论的学习，该论学习，这两个时间差不多就是一比一吧， 因为你同时复习两个东西也挺累的，概率的话你就跟方号基础阶段不做题，强化的时候做八八零，高入阶段的话呢，你就可以直接做八八零的剩余部分，八八零的剩余部分，如果你时间比较多的话呢，你可以先复习讲义，再做八八零， 如果你要时间没有那么多，直接上题就行了，这个也看你自己安排。然后这个学完之后也是一样的，进入习册阶段时间比较多，做一千币，时间不多的话，咱们直接快速的把八八零的题目过完之后，咱们直接进入真题，然后后期模拟卷 征集和模拟卷。这个阶段呢，我建议大家可以到时候参考一下我的规划，我会在五月底发布第一个冲刺期的视频，大家可以关注一下。还有就是你们一定要记得去复盘自己的错题啊， 复盘自己的错题就是把所有的错题在二十万以下，你不要跟我说你看答案了算不算对？不算对，就算错了也不算对，全部都给我重做一遍啊，不要搞这种。嗯，掩耳盗铃的事啊，要多复盘错题啊。 第二个就是听完课之后一定要记得做做题，不要光听课。好吧，那么这个就是红开的全程规划，以后你出现任何的问题都以这条视频为准，因为这就是我所有的思想，已经是非常完整的思想，大家可以好好的领会一下，关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。

宝子们，作为数一一百四十三分上岸的学姐，太懂你们纠结张宇一千题和伍忠祥六六零题的心情了，毕竟这两本都是考研数学的热门题，选对了能少走很多弯路，选错了既浪费时间又打击心态。今天就掏心窝子跟你们说清楚两本书怎么选，先刷哪本，全程干货，不啰嗦， 先给大家划重点，两本书定位完全不同，没有绝对的好坏，只有适配与否，而且不建议二选一，最优搭配是先刷六六零，再刷一千题，适配数亿基础强化的完整节奏。先跟你们说说两本书的核心区别，你们对照自己的基础对号入座就好。 五中祥六六零题核心就是小题大做，深挖概念，全书全是选择和填空，刚好贴合现在考研数学选填占比超百分之五十的趋势。 它的难度很有梯度，高数部分偏难，侧重概念辨析和易错点挖掘。现代和概率相对基础，特别适合基础阶段打捞根基，帮你戒掉浮躁，吃透细节。我当时基础阶段刷六六零，每天十至十五题，虽然错的不少，但每道题复盘完都能发现自己的知识漏洞，比盲目刷大题有用多了。 在复习过程中，面对海量的题目和琐碎的知识点，如何系统性的掌握真题逻辑非常关键。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的，它让我彻底告别了盲目刷题的焦虑。 吴老师的题目侧重细节，能够帮你把那些似是而非的概念理清楚，这种打桩式的复习在考研数学中至官重要，只有基础足够扎实，到了后期强化阶段才不会因为基本功不劳而处处碰壁。 再说说章宇一千题，它的特点是题型全、难度高，思路活，既有小题也有大题，高数部分难度拉满，很多题偏技巧性、综合性，甚至有些题会超出真题难度。现代和概率也比六六零更有深度。 这本书适合强化阶段，用来拔高锻炼解析思路和计算能力，但绝对不适合基础薄弱的时候上手。说到这，我就想起去年有一阵子，我被张宇一千题虐的心态崩了， 就在那时候偶然试了之能行，最让我印象深刻的是他不让你随便看答案，刚用的时候，每道题都得自己想办法，第一步怎么下手只能硬想，说实话挺痛苦的， 但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症，慢慢的看到题目自己能摸出思路来了。那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截， 不会就直接看答案，绝对不行。一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批。真正高效的方法拆分，然后发现智能型的拆分知识点功能简直就是神奇。 我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，而且看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点，而知能行，就能把一道题拆分的很清晰。 把一道综合性很强的题目拆分成多个基础知识点，让你逐一排查，直到找到这道题中你的知识盲区，再对该知识点进行更细致的训练。 当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了。经常就出现这种情况，真能行，给我出了一道题，不会，他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。等到你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目。哎，这题我会了，没错，就是这么神奇！ 然后我再去写六六零，正确率完全不一样了，提高了好几倍。我还作死的去试了试其他没有使用过智能型的章节，依旧是没思路计算乱错，真的特别神奇。 h h h h 感觉又生气又好笑。彻底搞懂每个知识点 真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后，再刷下一道题。那谁又会这么有空去一道题一道题拆呢？ 而且本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一张都不错了，还拆知识点，过于高估自己的水平了。所以回头看，智能型竟然可以帮你拆分加训练，不得不感叹当代人工智能算法的伟大。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课，培养了自己的学习思维。 如果我有一道题做错了，智能型会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分至逐一攻破。当然，如果有一个知识点做错次数较多，智能型就会变换多样的题目形式，全方位帮我复习巩固该知识点。 题目形式并仅限于我做错的题目，智能型会防止我为了做对而去专门记答案，变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级。 等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，每个等级的题目数量也是不固定的哦，都是因人而异，独家定制。因为你刷题量的多少，并不代表着你上考场时候的考试水平。 有很多人在刷完汤一千八百题以后做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 有很多人在刷完汤一千八百题以后做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二块满格。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习。不过也不用灰心，只要每天完成综测，按照智能型给你安排的时间认真进行专题训练，你的等级就会提升的很快。 当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了，回一下私信我的考研一二。智能型从来没有 app， 没有 app， 没有 app， 所以 你搜不到 app 是 对的，智能型只有网站与智能型走过的这一年，让我终身受益，希望学弟学妹们可以抓住，成为这位只对你好的老师，努力前进吧！ 说实话挺痛苦的，但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症。慢慢的看到题目自己能摸出思路来了。那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截。 真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后再刷下一道题。所以回头看真能行，竟然可以帮你拆分加训练， 不得不感叹当代人工智能算法的伟大。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课培养了自己的学习思维。当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了。 当然，如果有一个知识点做错次数较多，智能型就会变换多样的题目形式，全方位帮我复习巩固该知识点。智能型会防止我为了作对而去专门记答案，变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级， 等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，每个等级的题目数量也是不固定的哦，都是因人而异， 独家定制。因为你刷题量的多少，并不代表着你上考场时候的考试水平，有很多人做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习。不过也不用灰心，只要每天完成综测，按照知能行给你安排的时间，认真进行专题训练，你的等级就会提升的很快。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了。与知能行走过的这一年，让我终身受益。 回一下私信我的考研一二，智能型从来没有 app， 没有 app， 没有 app， 所以 你搜不到 app 是 对的，智能型只有网站 与智能型走过的这一年，让我终身受益。真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后再刷下一道题。 不得不感叹当代人工智能算法的伟大。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课培养了自己的学习思维， 希望学弟学妹们可以抓住，成为这位只对你好的老师，努力前进吧！两本书定位完全不同，没有绝对的好坏，只有适配与否，而且不建议二选一，最优搭配是先刷六六零，再刷一千题适配数一基础强化的完整节奏。只要坚持下去，你们一定能像学姐一样在考场上取得理想的成绩！

我要烟台， 来推掉，我要娶你，不？

呃，六零这个第二章，呃，这个第二章其实我错了，有一些因为，嗯，这个六零就是他是作为一本这个基础前期强化的吗？因为我现在强化做， 然后我有的时候会轻，就是大意轻敌，然后我觉得他可能会比较简单，其实有的时候，呃，你会觉得你做起来当时很爽，就是你会感觉像嗑瓜子那样，就是一道一道题一道题，因为他都是小题目，所以你会觉得，呃做起来蛮爽。但是他这本习题测呢？因为他 就是他会给你概念，概念挖的比较深，比较那个，呃，比较细，然后如果你对概念有一点点不了解，他可能会在这个地方给你出题目，然后你在做这个题的时候你会发现，哎呀，感觉有点稀里糊涂的 感觉，好像是这样，然后你就选了发现，哎，其实不是，其实他就是，他就是故意考你这个点，我觉得这一点就是六零，他这个，呃，做这几张都是给我这种感觉，就是他会在你就是，呃理解不是很深刻的地方给你，给你就是出题目，然后 这一张我觉得有几个点吧，然后我记比较深的就是因为这个导数吗？导数这里他的定义是不是跟极限有关？跟极限有关的话他就会有那种， 呃，有一道题好像是极限四则运算，就是能不能拆，他必须两个极限都存在才能拆吗？那种题目，然后这个题目好像错错了一道，对其他还好，然后看一下我这张错题吧。嗯，对，这张就这样。

高数基础，如果你是跟五中长的，在学习现代的时候一定要进行奖励的复盘和错题刷，很多人自己不知道怎么复盘做题，一知半解，想有人带着去系统梳理，不用自己瞎摸索的，大家可以看一下五中长老师团队新推出的高数基础复盘十七课， 这课相当于是免费学的，为什么这么说呢？因为只要你全程打卡了，课程费用就是全部返还给你，这相当于是一种变相的监督了。 并且最好的是他还会送吴老师的强化书，高等数学辅导讲义和英选题，还有三三零 c d 册等，包括之后的真题卷，还有模拟卷等等，都是全部送给你的， 相当于你从现在到考研数学结束，你的所有考研资料是一步到位了，这我就感觉真的省了不少钱了。十七节课，然后不仅会直播复盘高等数学基础篇，还会在线解决大家在备考数学过程中的问题，会带着大家刷高频错题，然后做章节模考，你检测一下自己到底有没有学会。 还有我觉得最好的一点就是可以群内答疑，你不用再去各种搜题什么的，然后帮我们省太多时间了， 可以在你进入高速前帮你扫平基础的障碍，然后把一些基本理论啊，概念和方法都学的透彻一些。 对于基础薄弱，听课懂，做题不会，然后自制力比较差的同学，我觉得这个陪跑式的复盘课是比较合适的，然后能帮你稳固夯实基础，为后期强化，然后冲刺进行一个铺路。

啊，兄弟们大家好，最近我的评论区里面又出现了一种声音，就是跟你说基础，基础，章鱼强化跟五龙翔，我，我不知道这群人是怎么想的，能提出这个观点的人，我觉得他压根没有学过考研数学，或者说他对考研数学理解就是非常的， 就是我感觉说出这种观点的人大概率就是自己也没有经过深思熟虑，并且还持续不断的把这些错误观点继续传播，有些营销号，包括有些考研博主他也会说这样观点，我觉得这种学习规划简直是大错特错。你看这个章鱼技术三十强我就不说什么了，你这么厚， 你记住三讲课高数部分，据据别的统计就一一百一十个小时，你这一百一十个小时看下去了，你再看吴老的这个高数辅导讲这是吴老强化书，吴老强化书他也要讲五六十个小时，据应该差不多，因为一节的话大概是，呃，两小时到两点五小时，然后一共是有二十四节，你这一看下去就一百六十个小时，而且是纯看课， 你如果做笔记呢？你不可能说你这个笔记，你就你在看课的时候就哇一下子全部看懂了，那，那我觉得你也非常厉害了，你这样看你要一百六十个小时，各位，什么什么什么意思啊？你跟昌宇的话，你本来你一百一十个小时你就已经掌握的不错了，然后你再要花五十个小五六十个小时再去看一下吴老的课，你不觉得很很恐怖吗？ 吴老的课他为什么强化阶段他会讲的比较细，讲的比较好，就是为大家所那个，呃，就是一直大家都说吴老的强化课是最夯的， 因为他基础阶段他有些没有讲，并且呢他强化阶段讲了些知识之后，再给你重新梳理之后，你会发现你变得非常清楚，这是跟洪开才跟吴老辅导，跟吴老强化会比较好，你跟张宇说白了你基础阶段已经打的比较好了，你跟什么在为什么要跟吴老？你就老老实实把这个张宇的技术三这个技术三讲吃透了，这个高中分的吃透，你再看一下这高中十八讲就完了呗，你看这高中十八讲才多少？ 你说学这个是不是你这一套学下来你也要不少时间呢？比红开还要多？还是总体时间还是要多一些的？你还要再跟吴老的强化，你这就是既要就要，你我我，我敢说你如果这样跟下来的话，你这个两百个小时花下去，你乘乘效甚微，因为你侵占你听的课越多，就侵占你这个做题的时间，我感觉这样学下来的话基本上三十分差不多吧，考研数学，但不能说可能七八十分，对吧？反正我觉得结果不会很好。 所以说不要再吹这种什么基础章鱼强化五中奖这种高数学思维，我觉得真的是差到离谱。我，我说白了，如果你真的要选这种基础基础章鱼强化五中奖，除非是你说这个章鱼的这个基础三等奖听完之后他的课后题全都不会做，他这个一千题的正确率只有百分之五。 那我觉得你可以试一试强高等数学辅导奖励，但是我说白了这种情况下你基本上可以就是你，你说明你学习能力有些问题，或者你存在一些问题没有解决。所以说我觉得你不要 任何人，不要再吹这个基础章鱼强化武装墙了，这完全就是错误的学习规划好吗？因为我是自己学了的，我连章鱼的基础三小我都不想去听，因为太长了，所以我选舞蹈，所以说我，所以说我真的我真的想不要在我评论区下面再说这种话了。然后呢？也希望一些，呃，考研博主希望一些营销号也不要再说这种话，你们简直误人子弟。

啊，兄弟们大家好。呃，为什么我不建议技术张宇强化五中强？这是第二期这个系列的视频，其实我不打算出第二期的，因为聊这个话题节奏就比较大，但是呢，我觉得还是有些同学可能呃，他还在摇摆中，想自己还要不要就是按照这个学习路径走下去，我是极力不推荐。首先我今天，呃，我今天要给大家讲这话题，我会好好跟大家聊一聊这个话题。呃，为什么我不建议说是技术张宇强化五中强？首先第一点， 第一点大家早就知道了，那就时长，时长问题，对吧？时长问题，那么你一套跟下来的话，你粗略估计你看课大概要两两百个小时，如果是你背数的话，一点零 一倍速的话，差不多这个时间，那你如果说你二倍速，三倍速这种这种去看的话，你如果乘二点零，乘三点零，我觉得这个是非常非常，那个，我觉得最快也就一点五吧，虽然吴老可能语速比较慢，但我觉得最快也就一点五了。你如果通过这个，我觉得吸收就会比较少吸收，吸收的就是 吸收少，而且效率不是很高了。首先这是第一个点，第二个点，我想说说现在这个抖音上这些考研规划类博主，那么我们他们基本上的硕士都是九二的，你没有学校背书吗？对吧？大家都不信你，那么我想把这类博主分为两种，第一种呢，他是本科就是九二的， 本科，他就是九二的。第二种呢，他本科不是九二的，他本科是双非，甚至是四非，甚至是二本，甚至是民办，甚至是大专。好吧，那我就想把，呃，把这个考研类博主分为这么这么两类。 呃，那么我想说你，你作为一个普通的这个同学啊，你更应该去听哪类这个考研博主规划呢？我觉得更应该听下面这一类的。为什么呢？因为本科九二的人跟我们普通人 他有什么区别呢？我想跟大家聊一个这个事情，本科九二的人，他首先他一个执行力，他执行力就超强，我想干什么？我想到了，我觉得他对，立马去做了。那普通人呢？我们就执行力没有那么强，我们可能是犹豫的，对，我们，我们可能有没有这个癖，哎，我们可能是犹豫的，对吧？我们不知道了一个事情，不知道他对还是错，我们一直在犹豫，我们可能知道他对我们还是因为各种各样的问题，我们还在，人家已经做了一半了，我们还没有做，这是第一个问题。第二个问题，天赋。 这是一个很残酷的话题。你，你不得不承认，人家考到九二本科考九二就是有天赋的，虽然有一些地域性的问题，但人家就是有天赋的。天赋代表什么？天赋可以有几个方面解读，第一个，吸收信息能力，吸收信息，处理信息。人家看了几个规划，看了几篇经验帖，就知道自己这一整年怎么学了，你有没有这个能力？第二个，能不能找到适配自己的，能不能找到适配自己的规划， 我觉得这也是一个很重要的能力，市面上有这么多这个规划，你监听，虽然说监听则明，偏听暗，但是有很多同学都是听了太多，导致自己完全不知道怎么走了，那我觉得你找到适配自己的，这也属于一种能力。第三个能力他们有，我觉得本科九二他们有超高的容错。为什么我这么说，为什么我说他们有超高容错呢？我想讲讲这个问题 啊，就容错这个上面就容错，容错这个方面来说，我为什么说本科九二的他们有超高的容错呢？首先第一个，我们从就业上来讲，如果他没有考上，如果他没考上， 他可以直接去就业，因为我们知道这叫什么金，呃，金，金本银硕，对吧？金，本银硕，然后是什么？童博，大概就是这个意思，就是说你本科含金量很高的，那你没考上，你可以直接就业，对吧？所以我觉得他们这是第一种融通。但是我们可能可能普遍的大部分同学，我们如果没考上直接去就业的话，就业没有那么好，但他们可能直接就业就还不错，这是第一个融错。 第二个他们的天赋会为他们都提懂不懂这个意思？就算他们选择了一条很烂很烂很烂的学习路线，比方说基础章鱼、强化吴忠祥，即使他们这么选了，即使他们这个规划已经烂到不能再烂了，在我看来他们还是能考到一百五、一百四、一百三。 有很多呀，上次我，上次我发那个视频下面有很多种天赋，哥在那献血，就是发自己成绩说我跟着基础章鱼跟强化武中强，我就是考到这么高，没问题啊，那是因为你本来就有这个天赋。我，我对，你本来就有这个天赋呀。我，我说白了，我，我没有你们这样天赋，很多同学也没有你们这样天赋，所以我觉得不能这样子做，这就是我为什么非常抵制这个原因。你要知道百分之九十的同学，他们都不是双，都，不是九二的， 他们都不是九二的。百分之十的比例还可以再夸张一点，因为我们如果调查一下的话，应该是只有百分之七才是二幺吧，大概是这样子，而且 二要你要知道。呃，百分之九十九的博主，他们的这个硕士都是九二的啊，百分之，我觉得百分之五十可能他们的本科就是九二的。这一类人，他们掌握了相当大的话语权，在传在整个抖音或者各种自媒体平台上传播，传播上来说，他们掌握了相当大的话语权。所以说你不要觉得他们说什么他们就是对的，他们对他们说的可能完全就不适合你， 因为他们本身就是有天赋的人，我们是没有天赋的人，我们如果按照他们这个做，我们就会输的很彻底。这就是我想讲的，为什么我非常不建议技术张宇强化五中祥， 因为这些有天赋的人，他掌握了百分之九十的话语权，导致你看不到，导致你你你，你主观上就认知为你你，你也要按照他们这个有天赋的人这个规划来做，其实我觉得这是非常不可取的，我们普通人你不要看现在网上发的这些一百五、一百四、一百三这么多，其实你真的能考这么高分吗？我真的是要打个问号的， 你就算按照他们的规划来，踏踏实实走下去，对吧？是不是很也很难达到？这个，这个我想我还想跟大家说一说多一点，我想跟大家讲一下耐听王这个事情 还是刚才那个因为我们的天赋不如别人，我们天赋不如别人，导致什么？我们处理信息，我们处理信息甚至辨别信息，我们处理信息，辨别信息的能力就弱一点， 这，这没什么好承的，没什么不好承的，对吧？我们比方说市面上有一百篇这个考研上岸题，你可能看了一百篇，你还是不知道怎么做，但是有可能有些有天赋的，对吧？九二爷他们只看了两三篇就知道自己怎么做了，对吧？所以这是第一个。你 如果说有博主让跟让你跟着基础章鱼强化武忠祥，导致你变成了耐听王，这是你的问题吗？我觉得这不能算你的问题，因为如果有，如果在相当大的有，有，在相当长的一段时间里面，有很多博主在跟你说，比方说有十位博主都跟你说这个套路， 你会不信吗？我肯，我就算，就算是我，我也会信啊，因为你掉到信息简房里面了，对吧？大家都跟你说，这样是最棒的，最好的，最好，我，当然这样做，是不是我也会这样做？ 所以说成为耐天王其实不是你的主观意愿。我为什么抨击这套方法，就是因为他虽然适合那百分之十的九二爷，但是他不适合百分之九十的普通同学，这就是我为什么抨击他。所以说我真的非常不建议大家去跟这种规划，呃，我是真的觉得这规划不太好。 嗯，当然呢，有一些同学通过这个有一些非常有天赋的选手，那么通过了这种方法能够成为考的比较高的，我觉得你也不要就是太，呃，就是太，那个在评论区里面就是说我觉得其实真的不是，不是很科学。

这个考题呢？考这个题，他说 f 在 这个区间上有定义，并且这个零点极限等于零， 然后 a 呢？说如果这个极限等于零，零点就可导，如果这个极限等于零点就可导， 对不对啊？大家注意，你看他都问零点可导啊，零点导数存在呢？ 注意，这个是零点的极限。我们讲过这个东西，它与谁啊？这个东西与 f 零无关， 因为极限里面这个 x 是 趋向零而不等零，所以它是与 f 零无关的。 那你注意，这也是零点极限啊，这也是零点极限啊，这里边也没有出现 f 零。注意，这两个极限都与 f 零是无关的。 你想你 ab 选项，你给的这条件都跟 f 零无关，但是你问的这个东西，我们说这个东西是与 f 零怎么样有关的， 那你想想，你给的条件，你都决定不了 f 零，他说倒数可是跟 f 零有关，这怎么能对呢？这一看就是错误的， 这就是抓住要点。那些同学经常说老师反例为什么举不出来？反例举不出来就是没抓住要点，你抓住这个要点，反例就很好举啊。好，你给这两个举反例，你说举谁？ f x 等于好，零点极限等于零，除根号零除平方等于零，你说谁？那我 x 要不等于零， 我就取立方。为什么想立方呢？立方既能保证这个既能，还能保证这个，也能保证除平方等于零啊。 但是注意那一零，这得写谁？你得注意你给的条件跟零点函数值没关系。我现在零点函数值我可以随便写啊。 那随便写，我写一，我写五也行，但是我为什么要写一呢？你看我这样写了以后，我说你题目条件全部满足，零点极限等于零，这个极限等于零，这个极限等于零，是不是都满足？ 你能推零点倒数存在吗？你现在看一下，这个函数在零点倒数显然是不存在。为什么不存在？我为什么这要写一呢？那他在零点都不连续，你说对不对？不连续怎么能推出零点倒数存在呢？ 这种反例就是这样想出来的，就是你举反例，你也要能抓住这个问题的要害，你才能举出反例啊。这个问题的本质没抓住，你怎么能举出反例？肯定举不出来。好了，这三个都错了，这两个都错了，再有一个错，那剩下一个一定对。 那这两式说啊，在零点可导，零点可导，一个推这个等于零，一个推这个等于零。那你先来看一下，这个在零点可导就推这个除平方极限等于零，我说这一看就错误的反例，太好想了， f 等于 x， 大家看是不是符合你这个条件，是不是也符合零点可导？但是这个极限等于零吗？等于无穷哈， 好了，这三个都错了，剩下还一个一定对。做完了，这个排除法是不是也很好做啊？好，那位同学说，能不能直接说明这个对呢？当然还可以啊，那你注意看，他告诉这点可导，可导就能推，这点怎么样？连续啊？ 哎，连续，那好了，这一点的极限，零点极限就等于零点函数值啊。 哦，那好了，那这个时候这点可导，那就变成谁啊？这个极限存在啊，那就变成了 x 趋向零的时候， f， x 比 x， 这个极限导数存在呢？就变成这个极限存在等于它。 那位同学说，怎么说明这个极限存在等于零呢？那这个思想就很简单，把这个要看的这个极限改写成已知极限的形式。啊。 那位同学说怎么改写呢？哎，那你 x 就 像零，你本来是 f 除以根号，已知是 f 除以 x。 哎，那我就除个 x 乘个 x 啊。 我说做完了，你现在看。好，那你得注意，这上面是一次，下面是二分之一，这俩删除极限是不等于零， 那么这个导数存在，这一项的极限就等于那点导数。零点导数。好了，这一项存在，后面这个又去向零，零乘这个极限是不是就等于 f 一 撇零乘上零， 零乘这点倒数不就是零吗？上完了也可以直接说明它。对，这是二零二零年数学一的考题。