南京玄武一模数学答案过程

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  2026南京玄武一模数学难点解析。#南京中考#南京一模#南京玄武#玄武一模#初三数学

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  上午刚结束的玄武区一模数学部分题目讲解，我们先看选择题第六题，这样的题目呢，你可以把它理解为就是四道简单题放在一块打包，反正题目不难，但错一个呢就不得分，所以考试的时候要特别细心。具体看一下， 已知下列四种变换，其中可以使这样的一个函数经过一次变化后，与 y 轴的正半轴有交点的。是第一个沿 x 轴翻折这种题目，你把这个 y 等于负二 x 加四的图像大致先给它画出来，画出来之后它沿 x 轴翻折，那你只要把这个点翻过来， 把这一连就可以了，对不对？这样一连你都不需要把它连出来，因为这个图像这样感受一下，它肯定就跟正半轴没有交点吗？所以第一个肯定是错误的。 第二个，向下平移六个单位，你这里的坐标是零四，你向下平移六个单位，肯定到下面来了呀，所以跟他正半轴没有交点，所以第二个也是错误的。第三个，绕圆点，按逆时针方向旋转九十度，那我就把这个点 绕的圆点逆时针旋转九十度，那这个点就到这里来了，对不对？那这个点大概就到这里来了，或者说你就知道了这个点之后，你直接让他垂直也可以，这样的话，他肯定是交于这个点的嘛。 最后一个，相对这里面难度当中复杂一丢丢的，但是基本上你百分之九十靠画幅也能够得出答案呀。 沿 y 等于 x 加一，那你把这个 y 等于 x 加一给画出来这条直线，关于这个图像翻折，那同样的还是找两个点呗。那你就让这个点，对吧？它本来就有焦点，那这个点肯定就在这里，是不是它关于它这个翻折肯定还在这里嘛？那你随便再找一个点，你比如说这个点翻过来就在这里，那这个点呢？翻下来就在这里，所以随便怎么样把它一连一下， 大概就这样的形式，他肯定会跟这个 y 轴的这个正半轴是有交点的，对不对？那肯定就正确了呀，所以正确的个数就两个，还是比较简单的。十五题，一道反比例函数中去求 k 的 题目， 告诉你三角形 abc 是 一个等边，三角形 a 点的坐标告诉了你是二，那这个 o a 就 等于二 ab 呢？又垂直 x 轴， 如果反比例函数经过 bc 两点去求 k， 那 这种题目基本上我们都是通过把其中的一个点的坐标给它设出来， 设出来之后呢，再结合题目给定的一些几何性质，去把另外一个点的坐标也给他表示出来，最后通通带入，就可以给他求出来了。当然在计算的过程当中，有时候会有一些解面方法，那具体我们来看一下，这是六十度，那这就三十度了。所以我显然可以考虑设，假设这是 h， 那我就设 c， h 就是 a， 那 么 a， h 这个就是二 a， 这个就是根号三 a， 那 么 ab 就是 二 a， 这样的话， d 点和 c 点坐标是不是统统就可以用 a 表示了？你看 c 点的坐标就是根号三 a 加二多少 a， b 点的坐标就是二，逗号二 a 是 不是？那你通通把这两个东西往往这里面带嘛？或者说这是反比列函数的话， x 乘以 y， 它就等于 k 嘛，那你就直接可以列出一个方程啊，那就是根号三 a 加二，乘以 a 就 等于二乘以二 a， 这个 a 肯定不等于零的，直接给它约掉。 所以根号三 a 加二就等于四， a 就 等于三分之二倍根号三，那 k 就 等于他乘以，他就四 a， 那 就是三分之八倍根号三。这就解出来了，这个题目出题人非常仁慈的，正常情况下，他如果把反比函数放在这里， 那很多同学正负号就会搞错的，所以这个题目他没有给你歪还是很容易的。看一下填空压轴第十六题，也是这张试卷比较难的一道题目。 在三角形 abc 中， dc 告诉你是四角， bac 告诉你是一百二十度，那么这个三角形它不是一个确定的三角形，它只是这条边 bc 确定了， a 是 不确定的，那么角 bc 是 一百二十度，这个符合我们的定长定角。所以这个 a 点的轨迹呢，它是一个圆， a 点是在这样一个圆上去动的， m 是 bc 上一点， 且 bm 的 长度是一，那就这个是一，这个是三。然后呢，使得 m a n 相似于 bac， 也就是 b 点 m 点， c 点是定点， a 点是在圆上去动的， a 点运动之后呢， n 点要使得它保持这两个三角形相似，所以 n 点也会动，就是 n 点是随着 a 点的运动而运动的。那么它到底是一个什么样的运动轨迹呢？我们来看题目，让我们求的是 m n 的 最小值，那我们刚才说了， m 点是定点， 你要求 m n 的 最小值，你就要把 n 点的轨迹搞出来， n 的 轨迹它是由 a 点的运动轨迹结合这个相似得到的，所以我们肯定要重点去研究这样一个相似的关系， 实际上它就是类似于旋转加放缩的相似，对吧？我们一直讲的一转成双，也就是除了这一组相似以外，我们还能够得到三角形 b a m， 它是相似于三角形 c a n 的， 那么这个相似 比较容易证明，我们根据 s a s 就 可以证明到它相似。好，它相似之后，我们肯定要用它的性质，对不对？那这个题目不可能是去运用它对应边乘比例啊，我们肯定是要运用它角相等，然后去结合其他的角度去倒角，那么我们会发现这个角它会和这个角相等， 这两个角一相等，它有什么好处呢？因为这个叉叉加这个 o o 啊，它是定角，它是六十度的，因为题目告诉你这个是一百二， 既然是叉叉加 o o 是 六十度，而这个角也是叉叉，那所以这个角叉叉加 o o， 也就是六十度。也就说我不管你 n 点怎么动， 你这个 n c 这条直线啊，它始终是保持这个角 n c m 是 等于六十度的，那 相当于是什么？相当于这个 n 点不就是在这个 b c 是 一条定的，我做一个假角为六十度的射线上去吗？是不是做一个假角是六十度的射线上去，那么 n 点就是在这上面去运动的，那 n 点在这上面去运动， m 是 定点，你要求它的最小值不就是过 m 做这条直线的垂线吗？那它是三，它就是二分之三，它就是二分之三倍根号三，所以答案就是二分之三倍根号三，实际上就是 a 点，你看这个 a 点运动，导致 n 点运动 他的轨迹，你可以怎么样这个用尺规给他做出来呢？ a 点、 m 点、 c 点、 n 点，他是四点共圆的，对不对？因为这是一百二十度，我们刚才已经证明到这个角是六十度，所以这四个点是不是共圆的，而 a 点又在这个圆上去运动，所以那 a 点定好了之后， 怎么去确定 n 点呢？只要把 a 点一旦定好了，假设在这个位置，那我是不是相当于做一个 a、 m、 c 这个三角形的外接圆，做它的外接圆。你看我假设我把它的外接圆做出来，做这个图形的外接圆，让它去跟这个这条射线去相交的这个地方，这里是不是就是 n 点， 对吧？就 a 点，一旦确定了，我这个三角形就确定了它的外接圆，就确定了它与这条定的直线的交点就确定了，那么 n 就 确定了，反过来也是一样的。如果 n 点假设跑在这里，你看我们刚才求它最小的时候，假设 n 点跑在这里了， 如果 n 点在这里定了，那么这个 n、 m、 c 是 不是就定了？ n、 m c 的 这个外接圆是不也就定了？那它的外接圆定了之后呢？它跟这个原来的圆 o 的 交点就是 a 点，所以可以根据 a 点 得到 n 点，也可以根据 n 点得到 a 点。当然考试的过程当中，学生不需要去研究他这么仔细，我们只需要根据这个情况把他的大致轨迹求出来，然后去看他只要在这条直线上去运动，然后求他最小时做垂直，就可以给他求出来了。 但也有同学可能会做垂直，然后利用设未知数去把它转化成函数，求最值的问题也可以去研究，但我觉得那个计算量比较大，可能会耗费一些时间 下二次函数。这一次一模考试的二次函数是一个区出的，比一个区简单选五的这道二次函数的题目，他的前两问和鼓楼区的二次函数几乎是百分之九十五一样的。第三问呢，更简洁一些，具体我们看看。 告诉你一个二次函数图像经过这样的一个东西，第一问是告诉你顶点坐标，让你去求 a， 那 么又知道顶点又过一个点，那自然就设顶点是 y 等于 a 括号 x 减二括号的平方加三，把这个一四带进去就可以了。四 就等于 a 一 减二十一，一的平方是还是这个加三，那么 a 呢？就等于一。第二问，当零到三的时候， y 的 取值范围， 这个 y 就 变成了 x 减二括号的平方加三这样的一个二次函数在零到三这个区间内的取值范围。那这个太简单了，开口向上，最小值呢，就是它的顶点，所以就是三小于等于 y 小 于等于最大值呢，就是离对称轴越远，那它的值就最大。对称轴是二，那么显然零到二的距离大于三到二的距离，所以把零带进去就可以了，那么就是七。 最后一问呢，看完真的是挺搞笑的，他说 a 大 于零时，顶点 p 的 重坐标的最大值。有可能同学在第一下读完这个题目之后啊，会被他绕晕了，无从下手。 或者说根据你看这个题目在第二问里面，第一问的条件是都不能用的，这些是不能用的。这个题目就剩一个东西，就他只过一四，意思就说告诉你一个二次函数 a 是 大于零的，然后呢？他过一四，就这么一个条件，他问你他的总坐标的最大值。 那有些同学呢，可能考虑把一四带去，那么四等于这个 a 加 b 加 c， 然后去通过这个 a 加 b 的 平方，再通过这个 a 加 b 的 平方去把它转化成这个求最值的问题。 也可以，但实际上你仔细想象一下， a 大 于零，一个开口向上的二次函数，它顶点的纵坐标，顶点的纵坐标是不是这个二次函数图像上面所有的点的纵坐标？最小的那个点呢？ 也就说它顶点的纵坐标，我假设它顶点的纵坐标为 y， 这个 y 是 不是应该小于等于它二次函数图像上的任意一个点？那你又经过一次，它是不是就肯定要小于等于四呢？ 也就是说，我这个顶点的纵坐标是一定会小于等于二次函数图像上的任意一个点的纵坐标，所以它一定会小于等于四，那它最大值是多少？最大值就等于四的时候，所以它最大值就是四。如果你去画图，你看一下它没有什么条件的，它就经过一四，因为一个二次函数图像经过这个点，然后开口向上 求它顶点的纵坐标的最大值，那不就是这个顶点为这个一四的时候吗？你画别的，你随便怎么画，你肯定会比它低啊。所以这个题目你只要读懂题目意思了，很快就可以得出答案。二十六题，这个题目难度也不算很高， 告诉你在一个平行四边形中，然后有一个外接圆，然后有个切点条件呢，就三个。第一个呢，这，这是一个平行四边形，第二个呢，它涉及到外接圆，那么就会有一些圆里面的性质。 第三个呢，就是相切。第一问，让你证明这两个三角形相似，那我们来看 a p e 这个三角形， a p e 和这个三角形啊，这一眼望过去，这两个角 是不就是这个弧 p e 所对的圆周角对不对？所以这两个角肯定就相等了，那么另外的角，我们把它找出来，找出来我们先看小一点的，那么如果它要相似，是不是就应该这个角 a e p 等于角 d p c 如果它相似，那么是不是应该这个角 a e p， 它一定会等于这个角 d p c 那么我们看这里面的两个角，根据题目的条件怎么去转换，那告诉了我是平行四边形，那这个角一看就是这个平行四边形，这个平行线当中的内错角，所以我自然会把它转化到这个角，也就说我只要去证明角 a b p 等于这个角就可以了。那你看这两个角，它都是弧 p a 所对的圆周角，所以它不就自然就相等了吗？这个只需要用平行倒一下内错角，然后用两个同弧所对的圆周角就可以正出第一问的相似了，还是比较简单的，对吧？第二问啊，告诉你半径，告诉你 a d， 告诉你 pc， 求 a e 这样的题目， 当你没有一眼看出思路的时候，先不管怎么样，把第一问的结论给它写出来， ap 比上 dc， 它就等于 pe， 比上 cp， 就 等于 a e 比上 dp。 题目要我们去求这个 a e， 那 我尽量要用到这样的一个式子。题目又告诉我这个 a d 和 pc， 那 我们看这里面哪些能求。接下来我们把它标注在图形当中去， 半径是五， a d 是 八，那我优先就会想到做垂直上去，但是又结合题目条件，这是切点，所以我自然想到是连接 po 并延长，这样的话就一举两得，是不是既可以得到垂直，又可以得到平分，又在同一条直线上，这样的话，假设它是 h， 那 么 a d 是 八，这个不就是四了吗？ 这个 o d 是 半径，它就是五了嘛，所以 o h 就是 三了嘛？哦，这个又在同一条直线上，所以我们就可以得到这个 p h， p h 它就等于八了，我们就算出来了。第一个关键性的要素， p h 知道了，那这个 ap 是 不是就可以给它算出来了？ ap 是 不是就是根号 a h 的 平方 加上 ph 的 平方，就是根号十六，加上六十四，根号八十，那就四倍，根号五，所以 ap 就 知道了，那这个东西我就知道了，是不是？那我们再看，还有什么东西能知道呢？ 那既然 ap 知道了，我们优先看一下下面的这个 dc 能不能知道 dc 在 这里，那它是不是就等于 ab 呢？ 它等于 a b， 那 我要求它，我刚才这个 ph 这条高又知道了，那我是不是可以过 a 点再做一条垂直下来呢？假设这是 m， 那 么 a m 是 不是就等于 ph， 它就等于八，而这一段又是四，所以这一段就是四， 这一段是四的话， p c 又告诉我是二，那这一段不就也是二了吗？所以这样的话 ab 和 cd 也可以求出来了，对不对？那 ab 它跟 cd 也可以求出来，就是根号下这个六十四加上四就等于六十八，六十八的话就十七乘以四二倍根号十七，那这样的话 cd 也知道了。你要求 a e， 那 我看 dp 这个不就等于 a p 吗？或者你直接在这里面勾五厘米，不是一样的吗？是不是 d p 就 等于 a p 嘛？它就等于这个根号八的平方加四的平方嘛，就等于四倍根号五嘛，这个也是知道的，这样的话这个题目就直接利用这一组比例式就给它算出来了。 我们代入一下， a p 是 四倍根号五， b c 是 这个二倍根号十七， a e 是 要求的 a p 还是四倍根号五，那么这个 a e 不 就等于交叉相乘除以它就是八十，除以二倍根号十七，那就等于根号十七分之四十，也就十七分之四十，根号十七就算出来了。

  85金蝉子（数学）
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  难度适中！刚刚考完2026南京玄武区一模数学，考点全面！ 家长同学们好！今天解析2026玄武中考一模数学卷，整体难度适中、贴合南京中考命题，考点全面、重思维和几何推理，精准检测一轮复习水平。
  
  填空压轴考120°几何相似与轨迹最值，重在模型识别；解答压轴涵盖解直角三角形应用、圆综合、正方体动态探究，层层递进、好得分难满分。
  
  分数定位标准：
  108分及以上优秀
  95–107分良好
  72–94分及格
  72分以下务必回归课本狠抓基础
  
  整张试卷大多是课本原题变式，建议对照分数查漏补缺，专攻几何综合、动态探究和实际应用题，冲刺中考！#南京玄武区一模 #南京玄武区一模数学 #南京玄武一模 #南京玄武一模数学 #南京玄武一模

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  家长们同学们大家好！今天我和大家深度解析下二零二六年玄武区一模数学试卷。这张卷子整体难度适中，结构规整，考点全面，高度贴合南京中考的命题风格，重基础思维，结合推理和实际应用，计算量适中， 但对思维严谨性要求很高，非常适合检验一轮的复习真实水平。首先重点分析大家最关心的填空压轴题和解答压轴题 填空第十六题是整张试卷填空部分的难点，以三角形一百二十度角相似构造为背景，求线段 m i n 的 最小值，结合相似转化定点、定角轨迹和垂线段最短，不考复杂的计算，但非常考验模型识别和转化能力，很容易因为找不到关键点而丢分。 再看解答压轴部分，第二十五题是解直角三角形的实际应用，结合无人机飞行和汽车行驶靠仰俯角 直角三角形建模是南京中考必考的应用题型。第二十六题是源于平行四边形综合考切线性质相似，三角形线段计算贴合南京中考几何压轴的命题思路。 第二十七题是正方形旋转动态探究，以容器倒水为背景，考空间想象函数关系，最值与图像分析层层递进，得分易、满分难，完全匹配中考最后一题的风格。最后给大家说一下这张试卷的分数评判标准，方便大家自我定位。 一百零八分及以上为优秀，九十五分到一百零七分为良好，七十二到九十四分为及格，七十二分以下则需要尽快回归课本，必须抓紧扛起基础。 整体来看，这张试卷完美贴合南京中考的特点，重视课本基础，八成题目都是教材立体和习体的变形， 侧重考察推理转化、数形结合、数学建模等核心能力。题目梯度清晰，基础题稳，中档题全、压轴题巧，能精准的区分不同层次的学生。建议同学们对照分数定位，重点补 几何，综合动态探索实际应用这几类压轴题型，多总结模型，梳理思路，为中考冲刺做充分的准备。这份试卷我已经放到群里了，有需要进群领取。

  25数学老师在南京迈皋桥
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  南京一模 #南京玄武一模#“圆生线”#中考数学 #初中数学

  55皆有定数
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  01:38

  数学一模，各区难度大揭秘 #南京中考 #南京一模 #南京数学一模 #中考数学 #一模试卷分析

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  最近这段时间，我和班里的同学一起，把已经考过的除了建业区以外的其他区的一模卷子全都做了一遍，里面所有的选择、填空，最后一道，还有解答题，最后两三道大题，我们都在课上从头到尾仔细讲了一遍，分析了思路。 整体感觉下来，我们觉得这些卷子难度都还行，算是中等水平，没有那种完全让人摸不着头脑，特别特别难的题目。 最后那道压轴大题呢？四个区出的挺有想法的，不算老套。尤其是联合体的最后一题，和往年南京中考压轴题的风格比较像。其他三个区的最后一题都是比较新的题型，需要先看懂题目给的那个情境或者背景， 然后再去想怎么做。这题符合南京压轴题的一贯特点，以前没见过，但静下心来仔细读题，一步步分析，大部分的分数还是能拿到的，不至于完全没有思路， 一分都得不到。至于卷子里其他位置的题目，每个区都有一些稍微难一点的地方，但也有一些是比较常规好拿分的。整体感觉下来，鼓楼区的卷子相对简单一点，玄武区的稍微难一点，但也还好。 情怀区和联合体的卷子呢，感觉是相对最难的两个。当然这个只是我们总体的感觉，不一定是对每个人都一样，还得看每个人自己擅长什么，考试那天的状态怎么样。总的来看，这次英模来说还是比较友好的。 我觉得中等偏上水平的同学考到一百零五到一百一十分之间是很有希望的，基础特别扎实的优等生呢，冲一冲，一百一十分甚至一百一十五分以上也是完全有可能的。 总之，一模分数从来不是最终目的，找准当前薄弱短板才是核心价值，中考冲刺后半程，全方位提升综合能力才是提分的关键。加油！

  6南京数学王老师
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  10:12

  2026南京联合体一模难点解析 压轴第27题#南京中考 #南京联合体#南京一模 #联合体一模##初三数学

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  讲一下刚结束的联合体一模试卷的压轴题，最后一题也是全卷最难的一题，属于临界位置的卡位问题。 类似的题型在二零二五年南京建业区二模压轴题，以及二零二五年南京的中考压轴题都有体现。那么具体我们来看一下这道题。四边形 a、 b、 c、 d 是 一个矩形， ab 是 三， ad 呢是 a， 这个是一个圆心角为一百二十度的这个扇形。 第一问是说，如果按照图一的方式去剪，并且是一个轴对称图形，让你去求 a， 那 这个很简单，这个 a、 d 呢？它就等于我们这样把它一连，这条弦长就等于 a， 那 要求它的话，我们做一个垂直就可以了。假设这是 o 点，这是 h， 因为圆心角是一百二十度，那么这个角呢，就是六十度，它就是三十度，所以这样的话，我们很快就可以得到。 这个半径呢是三，那么这个呢就是三，这个就是二分之三，那么这个就是二分之根号三， 那么这个 a 呢，就是三倍根号三。所以第一问呢，是属于送分题型。我们来看第二问，要从矩形中剪出一个半径为三的圆心角为一百二十度的扇形，则 a 的 最小值是多少？ 呃，这个是三，这个是 a， 你 要在这当中呢，去剪一个这样形状的扇形，那么这个图呢，实际上不是会特别好画，所以我们可以不妨换一个角度，我可以把这个扇形先画出来， 我就让这个扇形的半径是三，这个是一百二十度，可以把这个扇形先画好，画好了之后呢，我再来在他的外面去画这样的一个矩形，这样画起来呢，其实会更加容易一些，比如说就长这个样子， 当你扇形画好之后，你要使得这个矩形的这个 a 越小越好，你看我们图形是不是可以这样画，这里跟他 ab 边相切，这里也相切，然后画过来， 这样的时候 a 肯定就是最小的。那么此时我们来求一下 a 的 最小值，因为 o e 它就等于 ab， 所以 这个半径呢，就是三，那既然半径是三的话，那 o f 也就是三， o f 是 三的话，这个角是一百二十度，所以这个角呢，就是六十度。 你是三的话，那它 o c 就是 二分之三， o b 也是半径也是三，所以 a 的 值呢，就相当于是等于三，加上二分之三就等于二分之九。这样的话，我们这道题的第二问呢，也就给它求出来了，就是二分之九。第三问，很多同学也就是从这一问开始就看不懂了。我们看一下矩形 a、 b、 c、 d 的 顶点， a、 d 告诉你，在 l e 上 顶点 b、 c， 在 l 二上点 p、 q 分 别在 a、 d、 b、 c 上从中减出圆心角为一百二十度的最大扇形，与边 a、 d 相切于点 p， 这个信息很重要，且该扇形的弧的一个端点为 q， 这个也很重要，请用直尺和圆规在 l e 上做出点 a 的 位置， a、 d 所在的直线就 l e 这个扇形与 l e 相切于 p 点，那么我们知道这个圆心肯定就在这条垂线上，对不对？ 也是第一个信息。第二个信息， q 点又是这个弧上的一个端点，那么 o q 就 相当于是半径，而 p 点呢，又是切点，所以呢， o p 肯定就等于 o q， 那 要做 o p 等于 o q 呢？这样的话，我们只要把这个 p q 啊给它连起来，做一个垂直平分线，这样我们就可以把圆心 o 给它确定下来。 圆心 o 确定下来了之后，那你想 o p、 o q 都是它的半径，那我们是不是就可以以 o 为圆心， o q 或 o p 的 长度为半径去画一个圆，对不对？我们就可以画一个这样的圆出来，这个圆画出来了之后，我们再去找这个扇形的另外一个端点，那这个端点怎么找呢？你只需要让这个 e o q 啊，假设这是 e 点，假设这个角度画在这里，让这个 e o q 啊等于一百二十度， 那它是不是就是满足我们题目要求的扇形，所以实际上就是 e o q 这个角一百二十度，然后这个扇形确定好了之后，我们要做这个最大的扇形与边相切，那么这个 a 点呢？我们自然就会从这个临界的位置给它做一条垂线下来，这个位置呢实际上就是 a 点， 然后呢过这个地方呢再做一条下来，那这里呢就是 d 点，这里就是 b 点，这里就是 c 点，那这个图画的稍微不是特别的漂亮，同学可以自己去画一下，那大致呢就长这样的一个形式，就是我们要根据这个题目当中的几个重要信息，逐步的去推导出我们能推导出的位置，就这个你看切点 可以知道圆心所在的直线，再根据这个 q 点也是相当于圆上的半径，这样的话可以确定圆心。 圆心确定了之后呢，这个 q 点又是其中的一个端点，所以就可以确定另外一个端点 e， 另外一个端点也确定了之后呢，再根据我们前面讲到的卡位的这个内容呢，我们要使得它这个扇形面积最大，我们从这个地方呢做一个垂直过来，这样的话确定 a 点，但 a 点确定了之后呢，实际上 b 点、 c 点、 d 点也就给它确定下来了。所以这一问呢，就大致可以这样得到最后一问。 进一步探究发现，在矩形 a、 b、 c、 d 中，圆形角为一百二十度的最大，扇形的半径 r 随 a 的 变化而变化，请根据 a 的 不同范围写出 r 的 值或求 r 的 思路，可用含 a 的 式子表示。那么这类问题呢，我们可以尝试用一些极限的思维去思考， 比如说他的有一条边是三，那么我们就让这条边是三好了，另外一条边是 a， 既然 a 是 变化的，我就想象成 a 从无限无限小逐步变到无限无限大，那会是一个什么样的场景。那么比如说这里是 a， 我 们就让 a 很 小很小很小，就是一个非常非常瘦，非常非常高的这样的一个矩形。 那么此时你想一下，你在这当中去画扇形，不管你是画扇形也好，画半圆也好，你能画出来的图形呢，大概就是长这个样子的， 那么它的半径呢？始终就是这条，你看是不是就是这条短的，它的半径就是 a。 所以 第一种情况呢，就是当这个 a 啊，很小很小的时候，但小于多少我现在不知道。当它很小很小的时候呢，此时这个半径啊，它就等于 a， 这是第一种很瘦很瘦的，很高很高的，那么你有瘦高型的，就有这种很胖的，对不对？或者把它翻过来一下，那我们当 a 无限大的时候，就此时呢，这里是三，这里是 a， 就 让这个 a 呢特别特别长， 那你想当它特别长的时候，它不就把它理解为这个时候三是长的， a 是 短的，所以它的半径只能画成 a， 那 我此时三变成了短的， a 变成长的，那我最短半径不就变成三了吗？这个图类似于长这个样子了吗？ 那么此时这个半径不就是三吗？原来你三是长的， a 是 短的，现在你三是短的， a 是 长的，反正这个半径始终在这两种极限的情况之下，它都是等于短的那条。所以第二种情况呢，就是当这个 a 啊 大于等于什么东西的时候，我不知道多少，那么此时呢，这个半径呢是等于三。第三种情况呢，就是介于啊，这两者之间的时候， 但这两者之间他到底临界值是多少呢？实际上我们在第二问的时候，就已经求出来了他的一个临界值。我们来看第二问的时候，这个图 就是当他恰好画出这样的一个图形的时候，这个时候的这个是三，这个是 a， 我 们 a 把它求出来了， a 等于二分之九。你说当你的 a 在 大于二分之九的时候，那就进入到这种极限情况了。所以我们接下来就是当 a 干什么？大于这个东西 小于这个二分之九的时候是另外一种情况，那小于多少呢？其实我们也可以这样换一个角度来理解，当你是三，三是短的时候， a 是 长的，此时求出来的 a 是 二分之九，那我把它兑换一下不就好了吗？我让三变成长的， a 变成短的，就是这个长和宽， 一会你长，一会我宽，一会你宽我长。大家可以去想象一下这样的过程，就是你这样的一个瘦高的，我把它转过来，他不就变成他瘦，他高了吗？那反正还是这个图形，对不对？就相当于我把这样的图形竖起来，他不就相当于三是短的， a 是 高的吗？那这里三是长的， a 是 短的，大家自己去理解一下这个意思啊。 所以当他是三，当他是 a 的 时候呢，我们求出来一个临界值， a 是 二分之九，那我们现在把它换一下，换成什么呢？把三换到这里来，你就当这个地方为三，这个地方为 a 的 时候，那我们求出来是多少？你看 当这个是三的时候，那么这个是 a， 那 半径就是 a， 对 不对？半径是 a， 这个就是 a， 对 不对？那这个就是 a， 那 这个就是二分之 a， 对 不对？所以此时实际上就是 a 加上二分之 a， 它就应该要等于这个三。 计算是一样的，只是你把这个 a 和三的位置互换一下，所以这样的话，二分之三， a 啊，它就等于三，那么这个 a 呢？就等于二，所以这个临界情况呢，它就是二。 当他很小很小、很小，小到二为止的时候呢，他是这样的一个图形，那他的半径就是短的这条 a。 当他很大很大、很大、很大，大于二分之九的时候呢，那就是这样的一个图形，那他的这个半径呢？就是三，当他介于这个两者之间的时候呢？大于二 小于二分之九之间的时候呢，实际上就是我们第三问做图做出来的这个图形，那么我们看一下此时的半径是哪一个？就这一条把这个叫做 e 点，那么这里做一个垂直过来， 就是这个 o e 就是 半径，那么这里有一个 r t 三角形 o e m， 这里呢还有个 r t 三角形 o n q， 对 吧？这个幺是半径， 这个 o q 也是半径，然后这个 o m 呢，是不是就相当于是这条长的长的是 a a 减去半径，对不对？你这里给他这个过来，过来，过来，这是相切的，所以 o m 呢，就是换个颜色， o m 就是 a 减去半径， o n 呢 就是三减去半径。这样的话我们就出现了两个直角三角形，我们去解这个直角三角形就可以了，因为 a 的 长度是不知道的，所以他这个切的这个位置啊，也就不知道，所以你刚才做出来的一点的这个位置呢，也就是不确定的。所以我们就不妨设这个角为 r， 然后根据题目给定的这个角是一百二十度，我们可以通过倒角，那这个是九十度，这是一个三百六十度，三百六十度减去一百二，再减去九十，那就相当于三百六。 减去一百二，再减去九十，那就等于一百五十度，所以这两个角呢相加就等于一百五十度，那下面这两个小角相加就等于三十度，所以这个角呢就是三十减 alpha， 这样的话，我们就在两个 r t 三角形当中呢，把相关的这个内容呢都给它表示出来了，所以这个 sin alpha 在 r t 三角形 o e m 中啊， sin alpha 它就等于 a 减 r 比上半径，那么这个在另外一个 r t 三角形 o n q 中，那么这个 sin 三十度减 alpha 就等于这个 o n 比上半径 o n 呢？是我们刚才写的三减 r 去比上半径，这样的话我们就可以把这个 r 呢的求解出来，那最终我们不需要去计算他，让我们写出他的这个思路就可以了，对吧？所以整个这道题建议其他区的同学，有时间的话，可以把这道题 和去年的建业区二模题和去年的南京中考题放在一块去研究一下。其实他的答题策略基本是一致的，只不过说他在这一问上 出现了一些小创新，他通过持规做矩的形式让你来做最后一问的话，基本上跟那个逻辑是一样的，就是分析他很瘦很瘦很瘦的时候，很瘦高很瘦高，当他在分析他很大很大很大很大的时候，然后再分析他中取于中间的时候，而这每一问的特殊情况呢？其实在前面的一二三问呢，他又陆陆续续其实是让你去探究和验证过的，所以是这样一个循环往复的过程。

  129金蝉子（数学）
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  22:27

  南京玄武一模压轴详解，除整体不难，很友好

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  好，各位同学，今天我们来讲一下这个南京玄武翼盟的压轴题哦，这个 c 六 t 呢，还是有难度的 c 六 t 呢？我们来讲它主要呢有两种思路，第一种思路呢叫叫代数法， 第二个四种呢，叫几何法。那我们先讲一下代数法来，我们来看说 b c 等于四角 b a c 等于一百二十度，对吧？第二，第二个 m m 相似于 b a c， 对 不对？那我们说 m m 相似于 b a c， 是 不是角 c 等于角 m 嘛？ 第二个就是角 m a m 等于角 b a c 等于一百二十度，对不对？那么角 c 等于角弦，我们想到什么？我们想到 a m c m， 它什么 四点共圆，对不对？所以如果它四点共圆的话，那么我们说，哎，我们来不妨给他拉一下看看啊。那如果说 它四点公圆的话，那么角 m a m 是 不是加角 m c m 等于什么？一百八十度啊？那意味着这个角 m c m 就是 六十度，对不对？所以这题呢，我们可以围绕这个六十度做文章啊， 那么我们可以呢过 n 呢？做它垂线，对不对？我们假设它为 x， 它是不是三点 x 啊？那它是不是就根号三 x 啊？那字体呢？我们通过这方法呢，就可以把 m 呢最好就求出来了，对吧？这叫代手法。好。第二个呢，我们讲一下它的几何法， 结合法呢，就是有有一定难度啊，它需要一定的转化哎，我们讲一下哦，就是说 m a m 相似于这个 b a c， 对 吧？所以我说这个 ab 呢，比上 m 等于什么？ 这个 bc 啊， bc 比上 m m， 对 吧？那么把 bc 等于四给它带进去呢？所以这个 m m 实际上就等于什么？ 四，乘以 am 除以 ab， 对 不对？那我们只需要求什么？ 四 a m 除以 ab， 我 们只需要求这个 a m 比上 ab 的 最小值，对吧？那这个最小值怎么求呢？我们一般呢又要重求这个 ab 比上 n 呢，就是求一个动点， 两边的比例的话，我们正常会喜欢构造繁衍变化来求，比如说我们这里呢，我们过 n 呢，我们做一个， 我们做一个比较有趣的尝试啊，比如说我们做角 b m e 啊，等于角 b a m， 那 结合角 b 等于角 b， 我 们是不是可以得到一组相似啊？就是什么 bm 一 相对于 b a m 对 勿对。那这种相似呢，我们可以得到两个条件，第一个呢，就是这个 b e 比上 b m 等于 b m， b e 比上 b m 等于 b m 比上 b a， 那也就是说第一个就是 b e 呢，乘以 b a 是 等于 b m 的 平方等于一的，这是一个定值，这个条件呢，是比较重要的。第二个条件呢，就是我们可以进一步呢，把这个 am 比上 ab 啊，转化，为什么呢？你看 am 比上 ab， 转化为什么 m e 比上什么 mb， 哎，你看这时候 mb 是 定值，所以我们将两个动点呢，这时候是叫画两个动段转化，为什么 转换一个就两个动点线呢？我们转换一个，那么这时候 m b 长度就一对吧，所以这时候呢，这个 m m 的 最小值啊， m m 或者他就得四倍的，什么四倍的 m 一 对吧，这是一组比较重要的结论。好，那么我们下面就求这个 m e 的 最小值，对吧？那我们想要求什么？求点 e 的 轨迹就可以了，对吧？那怎么做呢？哎，下面呢，我们说，我们先看什么，什么 a 的 轨迹在哪，对吧？ 那么角 bc 呢，等于一百二十度，然后角 bc 等于四呢？所以我们说 a 的 轨迹肯定是一个圆，对吧？那么先定它了，什么圆心？我们假设 o 为圆心的话， 那么发会发现这个角 b、 o、 c 得多少度啊？哎，有同学看不出来，那么比如说我们可以把这个 b、 o 呢，我们给它延长一下，哎，我们延长到这边来看，我们假设这个 d 啊，在圆上，那么说这个角 b、 o、 c 是 不得二倍的角 d 啊，这是一个圆都角的圆心角吧，第二个角 d 呢，加上角 b、 a、 c 是 不得一百八十度啊，这四点共圆，对吧？所以角 b、 o、 c 呢，也得一百二十度。 哎，一比一比的吗？根号三，所以这个半径呢，实际上就是这个 b、 c 长度啊，就 b、 c 除以个根号三，所以这个 b、 d 的 长度就是二倍的半径，就是八，除以根号三，对不对？ 好，那么注意，这里我们要注意一个核心的，第一个 b、 d 等于八除以二，第二个呢，我们说 b、 d 是 什么？ b、 d 是 这个直径，所以角 b、 a、 d 呢，等于九十度， 对不对？那这是一个比较重要条件。好，那我们来说，我说遇到，遇到 b、 e 乘以 b a 的 e， 我 们怎么办？我们是不是构造一个 b、 d 乘以 b h 的 e 啊？那自然 b h 呢，它就是八分之更高三，对不对？那我们把 h 呢给做一下， 它大概在这边哦，这时候我们发现这个 b、 h 啊，乘以 b d 呢，等于 b e 乘以 b a， 所以 我们把这个 b， 把 b、 e 给挪过去， b h 比上 b e 呢，实际上就等于什么？ b h 比上 b e， 就 等于 b a 比上 b d， 实际上是不是意味着这个 b h e 相似于什么？ b b h e 相似于 b h e 相对于 b a d， 对 不对？所以这个角 b h e 呢，就等于角 b a d 呢？就等于九十度，那么我们可以得到哦， 既然你是九十度的话，那么我们是不是得到你这个点 e 的 轨迹呢？就是什么？就是直线啊，对不对？ 并且 b h 等于什么？八分之根号三，所以你说这个 m e 什么时候最小？我们这时候再把这个图呢，再给它画一下来， b m 这边长度是一，然后 b h 呢？是八分之根号三，那我们是不是过， 并且它是在这个垂线上运动的？我们说，哎，既然你们俩垂直的时候，它是不是最小，那怎么求出这个最小值？我们过它做一个垂线，那这两边是不是相等的，对吧？那 b m 是 一，这边是不是二分之一啊？那这边长度是不是二分之根号三，所以这个 b e 的， 哦不，或者说这个 m e 的 最小值就二分之根号三，减去八分之根号三就对了吗？ 八分之三倍刚好上，所以他的最小就四乘以八分之三倍刚好上，也就二分之三倍刚好上，对不对？那这个呢，就是我们说的繁衍棉花， 那么他的繁衍棉花呢？做这题呢，难度是比较大了，如果大家如果不会四点广元的话，呃，这题基本是做不出来了，就是你几何啊，做出来的话，你，但是啊，基本更做不出来啊。好， 下面呢，我们讲一下二十六题，二十六题呢，实际上是比较简单的，哎，没，没啥难度，二十六题，比上面的题呢简单多了，来我们讲一下啊， 第一个，我们看看条件，第一个，平行四边形对不对？第二个呢，外接圆，第三个呢，相切，好，我们来围绕这三个条件，我们来一起看一下。第一个，求证， ape 呢，相似于 dcp， 对 吧？那我们来看第一个， 弧 p e 是 不是对应两个角啊？哎，大家看到了吧，角 pa 等于角什么？ p d 对 不对？第二个呢，我们说，我们来看这个弧 a p 啊，是不是也对应两个角，角 a e p 啊，等于角什么 adp？ 哎，我们注意啊，注意，平行四边形的 ad 平行于 bc 啊，所以这个角 a d p 啊，实际上等于角什么？ d p c， 哎，这个条件， 这两个相等二，你说一和二，是不是推导出来，这个 a p e 相对于什么 d c p 啊，对不对？所以第一问呢，就非常简单，对吧？哎，第二呢，就更简单了， 来我们看哦，第一问的条件，先翻出来来我们看，这时候我们发现，哎，这个 a 来看 a p 啊， a p 比上 a e 是 不是等于什么？ a p 比 a e 等于 c d， c d 比什么 c c c d 比上 dp 对 不对？所以这个 a e 乘以 c 乘以什么？ c d 等于什么？ ap 乘以 dp， 对 不对？这是一个相似的条件。第二个呢，我们来研究啊， 这牵线有没有啊？我说如果我们连接 op 的 话，我们发现 如果切线的话，是不是意味着 o p 垂直于什么 b c 啊？那么说这个 ad 平行于 b c， 所以 o p 垂直于什么 ad？ 那 ob 垂直于 ad， 大家想到了什么？垂直定律啊，对吧？所以这个 a f 是 不是得 d f 等于四啊？ 那么这个 o f 呢，是不得根号下半径的平方减四的平方是不得三啊，那就做出来了三四啊。所以以 a p 长，实际上等于 d p 长，就根号一下，什么四方加八方，实际上就是什么四倍根号五，对不对？那么 a p 乘 d p 呢？就是八十，对吧？ 哎，好，我们继续呢，求一下这个 cd 啊，实际上我们说什么，哎，你 cd 的 长度啊， 是不是就等于 a b 的 长度啊，对吧？那 a b 的 长度怎么求呢？我们过 a 呢，做垂线对不对？垂垂 h， 那 a h 等于 p f 等于什么八？那 b h 呢？是不是等于 bp 减去 hp 啊？ 那这边是四，这边是四，这边六，所以 b h 就 等于什么二啊，对吧？那么 ab 的 长度就根号加二方呢？加八方也就二倍，根号十七啊，对吧？所以 a e 就是 八十，除以二倍，根号十七 就行了，就十七分之四十倍的根号时期也比较简单啊。我们讲一下第二十七题，二十七问呢，实际上是比较简单的，大家不要被这题吓到了，我们就想想看啊，你在倒水的过程中啊， 水的体积肯定不变，对不对？第二呢，水的形状是能度，有同学说，哎，老师，这个不是能度啊，对吧？那么注意看哦，我们看这个 a、 e、 h、 d 这个面，比如我们看这么一个面和， 你看这一面是不是整体平移到后面那个面啊？我们是不是可以理解为它是这么一个， 它是这么一个图形，它前前面这个图形，然后这边是一个黏住，对不对？它是不是这么一个这么一样的黏住啊？哎， 能看出来吧？哎，是这样的，它就是这么一个黏住啊，所以它是黏住啊。第三呢， e， f， g， h 是 正方形，那肯定不是，它面积肯定也不是，因为我发现这个就 h e r h e， 它在变化，对不对？ h e 长度在变化。 好，这题呢，就差不多了，它还有一个条件呢，就是什么？就是它的体积不偏啊，我们说体积等于什么？等于底层高，对吧？那底就是 s， a， a， e， h， d 乘以个高，是不是就等于这个？它高是不是 ab 的 长度是不是三啊？那么 h 等于 s 乘以三，刚开始差等于多少？等于三，乘以三乘以的吗？哎， 哦，这边是乘以八。哦，写错了，它的高 a、 b 是 八，二三乘以八，它的刚开始面积什么体积，什么三乘以八的平方，对吧？所以我们说这个 s， a， e， h， d 啊，它就得二。是，这是这题的比较核心的一个结论，就是它怎么变呢？它的面积是不变的，因为它高是始终一样的，所以你面积肯定是不变的。那这题呢，就有个核心结论，就是 s， a， e， h， d 啊，它永远等于二十四。好，我们来看，第一问呢，说第二问，说 e， f， g， h 经过点 d， 那 是不是变成这种形状啊？然后让我们求 d， e 的 长度，那么说，这时候 a， d， a， d 等于 d， h 是 不是等于八，这边是不是八？那么说它的面积是什么？二十，所以 a， e 的 长度是不是六啊？哎，所以你说这个 d， e 长度就什么十啊，是不是很简单啊，对吧？第二个 我们来看，哦，它在旋转过程中啊，图像像这样的，那这两个点再大的，哎呀，我其实我们能感觉到的，那么这个 r 法一是不是就这个点啊？对吧？那 r 法二是什么点呢？我们画给大家看一下啊， r 法二实际上就是这么一个点， r 法二呢，就是这么一个点，这边呢就 r 法二这边，所以 a 撇长度变成了八，对吧？或一 r 法二实际上就是什么 e 和这个 a 撇重合，对不对？ 那这边是八，这边是不是就六啊？所以 r 法二呢，就是一个四比三，三比四，对吧？哎，大家能感受一下它的这个运动过程呢， 哎，就是刚开始呢，这个这个 hd 啊在变小，然后 ae 呢在增大，对不对？然后呢 hd 呢降着降着一直降到降为零了，它就 h 呢到 d 上了，对不对？ 这是什么意思呢？我如果把它这样画一下的话，就刚开始它是这么一个样子的，对吧？然后随着这边的减小，那这边是不是在变大， 对吧？因为你在过程中你要保证它的面积 s 始终等于二十不变啊，实际上你在这边减小，这边一定在增大，对不对？而且我们发现 你减少了和增大了应该一样，对吧？那直到这种情况下，你这边三呐三完全正到这边，所以这就是个六比八，对吧？第然后呢他到这边呢就情况就比较特殊了，就是在这种情况下，他实际上呢就是这么一个模型， 对吧？好，我们待会再讲这这种情况，然后呢他这边呢变成八之后啊，就是我们来把这个这边图再画一下，这边变成八的时候呢，哎，他这个点呢又往这边跑了，对吧？所以这边呢又缩，他就最后呢又回到这么一个形状，对不对？ 哎，他就是整体运动过程呢，就是这类似于这么一个运动过程。好，那么呢，可能有有点大致有点出入来，然后我们开始做题啊， 所直接写出 y 关于 r 法的表达式，那我们来看这种情况，第一种情况就是我把这个图呢给挪到这边来了，那么来分析一下哦，那么我发现 h 第一个呢， h d 加 a e 等于六，对吧？ 哎， h d 加 e 等于六。第二个呢，我们发现这个 h d 和 a e 啊，都是垂直于什么 ad 的， 对不对？第三个呢，这个角 m 就 等于 r 法，对不对？所以这个扩散 r 法子啊， 是不是等于这个 md 比上 m h 啊？ md 比上 m h 是 不是等于这个 am 比上什么 m e 啊？对 𠲎， 我 们说 md 等于 m h 等于 a m 比上 em， 其实我们小学学过，我们可以比如念它为 k， 那 么发现 a m 呢， 就是 a m 减去这个 md 啊，也比上 em 减去 m h 也是等于 k 的， 那是不是意味着这个 ad ad 比上 h e 啊，也是 k 啊，对吧？ 哎，所以这题呢，就比较简单了，就什么意思呢？我们再给大家写一下啊，来来，我们看哦，扩散， 扩散 r 法等于，这个，我们这样写吧，等于 a m 比上 m e 也等于 dm 比上什么 hm 也等于什么。这个一四减二是实际上就什么 am 减去 ddm， 就 什么 ad 比上什么 h e， 对 吧？所以这个 h e 就是 y 啊， y 就 等于什么 ad 八除以什么扩散算法，对不对？ 第一个比较简单，八除以扩散啊，第二个呢，也简单啊，那么当 r 变到这边来，这边是 r， 这时候，哎，这个角就变了吗？九十度减 r， 所以呢， 这个零小于 r 法，小于 r 法一的时候呢， y 呢就得八除以扩散 r 法。第二个呢就是 r 法二小于 r 法小于九十度的时候， y 呢就得八除以什么扩散九十度减 r 法，对不对？实际上我们知道这东西就是上 r 法，对吧？那无所谓了，你考场中写什么都一样的， 对吧？最后呢我们分析一下它，最后这种情况，就是我们刚刚说过的这么一种情况， 对吧？当这时候这两个面它这个三角形的时候，那么说这边是不是阿法？那么注意，这时候贪阿法就等于什么 a e h 等于 a e 比上什么 a h， 对 吧？那么说 a e 实际上就得 a h 乘以什么它，我们知道这两个相乘等于什么？就是 a e 乘以 h 的， 就就等于什么 a h 的 平方乘以贪啊法是不是等于四十八？所以我们说 我们就可以得到哦，这时候 a h 呢就是根号四十八呢，除以根号贪啊法是不是等于四十八？所以我们说我们就可以得到哦，这时候 a h 呢，就是根号贪啊法，对不对？ h 四倍除以它 r 八，那 a e 呢？自然就是根号四十八乘一个根号，它 r 对 不对？因为它等于它乘以它 r 八，对吧？所以我们就把这个 a h 和 a e 写下来了。那最后呢，我们给他来一个什么？来一个 勾股定律，那么我们说这个 h e 呢，就是 a e 方呢？加 h 方 开根号，实际上就四倍，根号三乘以根号呀，对 𠲎 贪耳法加一除以贪耳法，对不对？唉，实际上这个他就是一个高中的基本不等式哦，那他这种基本大家想也能猜出来哦，就是他 就是 p q， 在 它终点的时候，就四十五度的时候，就 r 法得四十五度的时候，这两个都得一，所以它取了一个最小值，就是四倍，高二乘高二的四倍根中，是吧？那好，那我们下面来证明一下，为什么 s 加加 x 分 之一，在 x 得一的时候它取的最小值哦，实际上呢，它这个呢可以写成，我们可以写成这种模式哦， 它这叫这。在高中呢，它叫基本不等式，就是我们可以写成什么 x， 就是 根号 x 啊，平方加上一除以根号 x 的 平方，对不对？然后我们可以给它减二，再加二，我们发现它实际上就变成根号 x 了，减去一除以根号 x 的 什么 平方再加二，我发现他永远大于的幺，对吧？什么时候取得最小值呢？就是根号 s 等于一除以根号 s， 他 是不是取得最小值，他实际上就是可以写成这种形式啊，这个呢叫基本不等式考这个呢有点略微超纲。 那这张试卷呢，我们就讲完了，他整体呢，重在理解难度，难度，个人感觉呢，这个十六题可能有点大哦， 然后这个最后一题，可能最后一问吧， p q 的 这个最低点可能不太好说。好，那这张试卷呢，我们就讲到这边。

  103王老师讲数学
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  02:34

  南京初三一模数理化试卷分析 #南京中考 #南京初三一模#初中数学#同城优先推荐#家长必读

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  南京啊，各区的初三一模啊，已全部结束，我花了大量时间把南京的各区要梳理化的一模整体卷全部刷完，完整的整理了一遍，今天的这条视频啊，专门给南京所有初三家长深度呢，拆解二零二六南京一模数学各区啊，知识难度排名 最后呢，再告诉大家，不同层次的孩子到底该刷哪个区的一模卷，听完呢，直接就能用。 首先呢难度啊，排名第一的是四驱联合体的数学卷，妥妥的今年一模数学的难度天花板，也是公认最难的，填空压轴，几何综合函数，大体压轴，整体思维量直接拉满。全程呢，都是复杂的建模，加上高难度的分类讨论 很多呢基础啊，一般的学生坐到后半段直接坐不动，心态崩盘。全区呢，平均分啊，普遍偏低，想拿高分呢，真的特别难。 第二名呢就是鼓楼区，整张试卷呢，中档题要占比高，几道大题压轴区分度极强，想冲高分拿满分不容易。难度呢，仅限仅次于联合体。 第三名呢，就进贤区了，出题风格呢，非常灵活，题型啊，辨识非常多，整体记错量大，难度比正式中考还要高一个档次。第四名呢就是玄武区，题型呢，规整标准，中考所有的考点呢，覆盖全面，整体难度适中，出题节奏呢，完全贴近中考。 最后呢，就是清快区了，所有区里边哈，难度最友好的最接地气的基础题呢，占比高，题目呢，不偏不怪，就能真实考出孩子的实际学习水平。结合呢，今年哈南京数理化一模的出题特点，我给各位家长啊，分三类 讲清楚不同孩子该怎么刷哪个区的一模卷。如果孩子呢，想拔高冲刺，专攻压轴题，锻炼难题解题思维。数学呢，就刷联合题。 鼓楼区物理化学呢，优先刷鼓楼建业。如果孩子呢，想对标中考难度，摸底要真实实力，精准估分的数理化三科呢，直接优先刷清华玄武的一模卷。如果孩子呢，基础薄弱，想夯实基础啊，练做题手感， 建立考试信心的就多刷情怀玄武的卷子，不要盲目的去硬科难题怪题了。南京的初三一模已经正式收官，接下来呢，我会持续更新啊，南京本地最新的考试动态，真实的学情分析！中考呢，各科全套备考，备考干货！

  32溧水初中数理化李老师
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  01:29

  南京初三一模！各区差异大，家长别盲目估分！ #南京家长 #初三一模 #家长必看 #南京中考

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  南京一模已经结束了，琴姐今天一条视频带大家了解五大核心问题，家长们赶紧点赞收藏啊！这次最要命的据说就是建业区的物理和语文卷子了，物理呢主要是题型比较新，不少类别的题目它难度都跟以前相比加倍了， 能考到九十分已经算是优秀的孩子了，语文的细节扣分也比较多，想拿高分是比较难的。五楼区的难度呢，跟去年相比要略低一些，主要是数学太友好了，考到一百一以上反正还是可以的。 历史、道法、英语、化学呢，难度有一些情怀的难度呢，是比较平和。数学跟去年相比呢，也要简单一些，一百零八分以上还是算优秀的学生， 但是道法和历史呢，容易扣分。联合体的难度和去年基本持平，数学呢是最难的，中高的难度考到八十七分的，他的考点基本掌握了，考一百零八分，数学联合体就是非常优秀了。 玄武区这次的物理考察的相当的全面，区分度比较高，九十分以上算是优秀，六十八分呢算是合格。最后琴姐想提醒一下大家，一模呢，他只是一个试金石， 并不决定着你中考的成绩，从自一模到中考，如果适当的复习，中考比一模呢，二三十分没有太大的问题。如果想知道如何精准的判断你一模试验的这个难点，清早请检！

  15芹姐聊教育
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  10:27

  2026南京一模考前练习卷讲解 #南京中考 #南京一模 #中考数学 #压轴题解题技巧 #dou是知识点

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  讲一套南京一模考前练习卷的部分难题，先看十六题，这道题和二零二五年建业区一模试卷压轴题的考察内容差不多，是一个逆等线的问题。我们看在给定的直角三角形中，角， a 是 九十度角， c 是 三十度， ab 是 四，所以所有的边都可以求出来， d 是 它的中点， p、 q 分 别是动点，并且保持这样的一个等量关系，让我们去求 p、 q 的 最小值， 那么两条边相等， a、 p 和 q、 d 始终保持相等，要求 p、 q 的 最小值， p 是 动点， q 也是动点，那这样的逆等线问题呢？我们尽可能地通过平移把它转化为一定移动，所以我可以考虑过 d 点做 p、 q 的 平行线，平行且让它相等，这样的话，构造一个平行四边形出来。 假设这里是 m， 那 么 q 点就挪到 d 点这里来了， p 点就挪到 m 点这来了。 d 点是定点，你要求 p、 q 的 最小值，就相当于求 dm 的 最小值。你要求 dm 的 最小值的话，那么 d 点是定点。我们主要是看一下 m 点它的一个轨迹会是什么样子的，那么我们这里会发现 a、 p 跟 q、 d 是 相等的， q、 d 跟 pm 又是相等的，所以这样的话相当于 a 这样平着去做一个等腰，你可以正到这个 a m 所在的这条直线，实际上就是这个角的角平分线，这个角 c a m 这个角是不是等于这个角？等边对等角是不是，那这个角是不是等于这个角？我们做的是平行，是不是内错角相等，所以这两个角是不相等，所以得到的是不是它是角平分线，这样的话就相当于是让你去求 d 点到这条角平分线的距离， 它就是最小值。而题目又是给定的这个特殊条件，这是直角三角形，然后呢，这个又是中点，所以我们把它一连，这就斜中半，它不仅普通的斜中半，它这个角还是六十度，所以这个三角形就是个等边三角形，那么 a d 的 这条边的长度啊，就是四，你看这条边是四， 你这个是六十度，那它就是六十度，它就是三十度，它是三十度，那么这个角，这个角也是等于这个角等于三十度，所以这个三角形就是一个特殊的等腰直角三角形，那么它就是四，除以根号二， 我们就等于两倍根号二，所以这个 p q 的 最小值呢，就是两倍根号二。第二十六题这题的话，与二零二四年鼓楼区奥摩的二次函数的题目是涨得差不多的，雷同度百分之九十， 那我们一起看一下。第一问，是让你证明图像与 x o 总有两个公点，那大家去算一下，等它就可以了，我就不计算了。第二问，让你经过两个定点，给它求出来那分离参数，提出 m x 方减一，加上二 x 减一，那么让这个东西等于零就可以了。所以第一个呢，就是经过一逗号一带进来，带进来就一一， 然后还有是负一，负一，带进来就负二减一负三，所以它经过这两个点。那么第三问， m 一 四一，图像与线段 a b 恰有一个公共点，直接写出 m 的 垂直范围。 那么第一个呢，是因为二次项系数是含参数的，所以你肯定要讨论开口向上，开口向下的情况。第二个呢，是这个线段不好使，它本身是也在运动的，但相对比较好的是，第一这个点是定死了的。第二呢，这两个点呢，它都是一条平行于 x o 的 这条线上的，所以我们把知道的东西先给它画出来， b 点是四一，然后这两个定点在这里。那我们上来先讨论。第一种情况， 假设开口向上，那就是当 m 大 于零时，当 m 大 于零的时候，你看开口向上，那你画这个图像，那么有可能是这样的，那么也有可能是这样的，对吧？但是不管如何，我们就以其中一个作为代表， 假设它经过这个点的，此时 m 是 大于零的， m 是 大于零的话，那就在这个右侧，你在右侧，你跟 b 组成的这条线段，你看在这里能行吗？在这里肯定不行，对不对？在这里的话，它就没有焦点了，在这边就没有焦点，那肯定不行，得在哪里啊？得跨过这个点，这是一个临界点，得跨过这个地方，在它的左边 还行。所以我们很简单，第一问呢，就是 m 要大于零小于一，那不要忘记我们关注零界点是不是可以取，如果 m 等于一，那你看这个 a b 此时跟这个奥数还说不正好就交在这个一这个点嘛，所以等于是可以的 好。第二种情况，当 m 小 于零时，按照我们做题的套路，先看相切可不可以，那如果开口向下横过这两个点，那能不能相切？能相切相切的时候是不是？就是，哎，他就是顶点嘛，是不是？所以此时就什么？这个对称轴，就是直线 x 等于一，那对称轴我们把它求一下，负二， a 分 之 b 就是 负 m 分 之一，负 m 分 之一就应该要等于一， 所以 m 就 应该等于负一。这是第二种情况，相切的时候不相切，你看开口向下， 我们假设画一下这个图像，你看一下啊，你通过画这个图啊，其实你能够感觉到开口向下 m 小 于零， m 小 于零的话，这个时候你要使得 a 点 b， a 点是在这一侧，对不对？因为 m 小 于零嘛，那你这个 a b 要跟他有一个焦点，你就不能跑到这边来，是不是？你如果 a 点跑到这来，不就交两个点了吗？不就交这两个点了吗？所以 a 点肯定要在这个焦点的右侧， 在焦点的右侧和零之间，就在这么小小的一段里面，这样才行，那我们就把它分别求一下，这个点是不是一一关于对正轴对正过来的点，那我们根据钟点公式，很容易求出来，这个是一一， 那就是一加 x 除以二就等于负 m 分 之一，我们给它求一下，那就是把这个负一就写在上面去，那 m 加 m， x 就 等于负二， x 就 等于负二减 m 除以 m 就 等于负 m 分 之二减一， 那么你的 m 要在它的右侧，所以 m 就 应该要大于负 m 分 之二减一。我们解一下这个不等式， m 是 小于零的，所以给它乘一下，那这里要编号就是负二减去 m， 那 得到 m 平方加 m 加二 小于零，你给它配方一下，这个东西永远不可能小于零，所以这个呢，要给它舍去，这是这种情况，那另外一种情况，如果这种图像不行，哎，这这两个点，你看这两个点，这两个点， 这两个点在它两只的时候，也就这个比较瘦小的时候，比较瘦小的时候不行，那我们看一下它在同一只的时候能不能行？我们把图画一下同一只，如果是这样的时候，你看行不行？如果是这样的话，你看 a 点是小于零的， a 点的横轴表示 m 小 于零的，它这个要 跟他有只有一个焦点，那么你看是不是必然会交这个点，这个点是一定会交的，对不对？因为你 a 点是在这个在这一段的，在这一段的话 ab 一 连是不一定会交在这个点，那你要只有一个焦点，那你就 b 点就不能跟他交了，你 b 点不能跟他交，他就类似于这个导弹就应该打到这里来，这样的话才行。 所以我们就要保证什么，我们就要保证当 x 等于四的时候，带进去的这个二次函数的值啊，它就大于一，或者你把函数值这个一带进去吧，带进去的话就是十六 m 加上八减 m 减一，它应该要大于一，那么就十五 m 大 于负，六 m 就 应该是大于负的五分之二，所以这种情况呢，就是 m 大 于负，五分之二小于零， 所以综上所述呢，就是 m 大 于负，五分之二小于零，或 m 大 于零小于等于一，或 m 等于负一，这样的话就完整了。 来看最后一题，这是一个在正方形纸片中去折叠的问题，那么它要满足的条件是这个 pa 和 c q 啊，折叠之后要落在这个上面，就这个 pa， 哎。关于一条折线去折过来之后呢，要落在这上面，那这个不就是做它的角平分线吗？是不是？所以第一问，他让你做尺规作图，那么就是过 p 点做角 a p q 的 这个角平分线，这样做过来就可以了， 这就是 e 点，然后这个 q f 也是一样的，这个折过去要落在这个 p q 上面，那就是做它的这个角平分线，这个就是 f， 然后还加了一问，设 p e q f 的 这个焦点为 o， 让你去求这个角度， 那么这个焦点是什么东西的焦点？是角平分线的焦点，那我们肯定要，就肯定就要结合角平分线的性质，对不对？那角平分线的话，你看一下这两个角相等，这两个角相等，那么只要出现角平分线的问题，就容易出现什么这是 o 点，那我可以考虑做垂直，做垂直，你看它就有点类似什么模型了， 像不像我们的这个正方形当中的半角模型，像在一个新的正方形当中，对不对？那我们看一下，哎，看这两条边他会不会相等？因为你是角平分线啊，那角平分线上的点是不是到角的两边距离相等啊？这里给他干一个垂直出来，那么这个假设这是 m， 这是，嗯，这个 o m 是 不是就应该等于 o n 呢？ 同理， o n 是 不是就应该等于这个 o j 呢？ o m 是 不是就应该跟 o j 是 相等呢？所以这做的两条垂直过来构成的这个四边形是不是一个正方形呢？ 那它是一个正方形，这个又相等，这个又相等，显然这全等全等，所以这个角呢，就符合我们的半角模型，它就是四十五度，这是第一问，我们再看第二问，在一的条件下，一的条件，那 p e 就是 角平分线了，这就角平分线了。使得 bc 落在直线 p q 上面，就这条线， 这条线折过去呢？要落在 p q 上面，这啥意思啊？这不就是把这个 q 得给它延长吗？这个 bc 给它延长吗？你要翻过去，刚好落在它上面，那不就是过这个点？这个点假设是 h、 m、 n 分 别在边 a、 b、 c、 d 上，那么这里就是 m， 这里就是。嗯，交点就是 g。 呃，尺规刚才说过了，给他这个延长延长，交一点，然后做个角平分线过去就可以了。他还问，你这个 g 落在正方形纸片的哪一条对称轴上面？ 那根据我们刚才的这个第一问的思路也是同样的，这个角平分线加平行啊，他就要出等腰，是不是你这角平分线加上这个平行，他必然会出等腰，这个是圈圈，圈圈，他也是圈圈，所以这是不是就是一个等腰三角形啊？ 那这是一个等腰三角形，这就是角平分线，所以是不是三线合一啊？那三线合一， g 是 不是就是这个 p e 的 中点呀？既然 g 是 p e 的 中点的话，那它显然就在这条对称轴上了，是不是就在这个 ab 和 cd 的 这个垂直平分线 这条对称轴上？所以这样的话，第二问其实也不是很难。最后一问，在正方形边长为八，在二的条件下，二的条件下，当点 p 为边 a、 d 的 中点，这是中点，那这就是四。随着 q 点的位置变化，三角形 p a， m， 这个这个，这个三角形周长是不是会发生改变？ 如果不变，求出它的周长，如果改变，求出它的最小值，并求出此时折痕 m n 的 长度，那么在二的条件下，这个 e 点在哪里啊？ 这个 m n 是 折痕对不对？刚才我们知道了这个是什么？这是不是三线合一啊？延长过来之后是不是三线合一啊？三线合一，那这个 p e 是 不是应该要跟它垂直？那么这里就是 e 点， 我们看这个三角形的周长 ap 加上 am 加上 pm， ap 不 就是四吗？这已经给定了，所以是不是让我们去求 am 加上 pm 的 最小值，或者说它是不是定值？ 那 pm 呢？因为这里是垂直，这又是中点，那这不就垂直平分线吗？ m 是 不是就在这个垂直平分线上？那 mp 是 不是就能转化到下面来？是不是就转化到下面来了？就有点像什么？这个是不是有点像将军印码的问题了？ am 加 pm 嘛，给它对上到 e 侧来，对不对？所以就变成了 am 加上 me， 那 这样的折线最短，那不就是连起来让它三点共线的时候最短吗？那只有当 e 点也在跟这个 b 重合，那是不是就三点共线呀？所以这个它的值 肯定是会改变的，这个要答一下，会改变，改变，那它最小值是多少呢？最小值是不是就是当 e 点跑到 b 点这里来，那周长是多少？周长是不是就这个加上这个，加上这个就八加四十二，最小值就十二，那此时 m n 的 长是多少？ m n 的 长怎么求呢？这个图啊，它又转化成，前面我们第一问做的时候呢，它是类似于在这个图里面有一个小的半角模型，那么现在呢？它又有点类似于什么模型啊？它是不是像像一个十字架模型啊，你看这个 p e 和这个 m n 是 什么关系呢？你可以做一个垂直过来，假设这是 h， 这里再做一个垂直过来，假设这是结巴。 你看这个三角形 p h e 和这个三角形，这个 m、 j、 n， 它是不是全等关系啊？这个是不是比较容易正到呀？因为这条边跟这条边肯定是相等的，对不对？而且这两个三角形是 r t 三角形，那么它相似是非常容易正的，一个九十度，另外一个互余的角很容易去正到，所以这样的话就可以把这个 m n 干啥？ 这个 m n 就 转化为了去求 p e 了吗？而且他说的是此时，此时是什么时啊？此时 e 点不就跑到 b 点来了吗？所以你要求这个 m n 的 场不就是求 p b 的 场吗？那这个是八，这是四，那就根号六十四加十六，八十十六乘以五四倍，根号五。所以这样的话，第三问也就求解出来了，这道题目还是不算特别难的。

  66金蝉子（数学）
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  04:46

  26南京鼓楼区中考一模数学深度解析-第6题 剖析考点，解读技巧，定位弱项，复习巩固#南京鼓楼区 #南京中考一模 #中考数学 #初中数学 #中考冲刺

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  好呃，各位粉丝啊各位同学大家好，我们今天给大家来分析一下呃江苏南京鼓楼区一模的数学试卷啊，呃，那么试卷从整体拿出来讲的话啊，我们呃 还是比较简单的啊，他教我们联合体，嗯教我们这个情怀区相比较而言的话还是偏简单的啊啊，我们这个今天呢上午啊，玄武区的时间也出来了啊，但玄武区的呢还是比较难的 啊，那么接下来呢，我们就给大家分析一下我们呃这套教材当中的一些重要的一些题目啊啊，或者说一些压轴题。 我们来看一下这个呃选择题的第六题啊，它是一个考的是一个符合函数啊，考的是一个一次函数和我们的这个反面的函数啊，它们的一个性质。 好，他说呃，这个符合函数 y 等于 y 一 减 y 二，那么下面结论中正确的是哪一个啊？第一个他说这个新的这个函数呢，它是一个 中心对称图形啊，我们讲什么叫中心对称图形啊，那么中心对称啊，应该是啊，如果说啊，如果说 a 点的横坐标是 x 啊，纵坐标是 y 的 话，那么如果说 a 点关于啊这个 这个圆点成中心对称啊，那么它具有什么样的一个特点呢？那么它的这个 a 撇点的坐标应该就是负 x 和负 y， 对 吧， 那我们可以去用这个性质呢，去啊，去做验证啊，去做验证，那么这个地方呢，我们看第一个啊，第一个他说 y 啊， y 等于 y 减 y 二，那么 y 就 等于什么？等于这个 x 减去 x 分 之四， 那么这个时候呢，我就啊我们看一下，我们就用这个中推上的，现在去带进去验证它，看看能不能成立啊，如果是成立的话，那我们这就是的啊， 所以说这个题目呢，我们啊，拿到它我们也可以不用去画图啊，不用去画图，那么画图的话，我们讲这个这个选择题啊，会啊，可能会浪费很多时间啊，我们有的时候在做题的时候啊，我们要用最快的方法去解决这个选择题或者填空题啊， 那我们就把这个负 x 带进去，那么 y 把负 x 带进去的话，应该就负 x 加上 x 分 之四，对吧？那么那就应该等于 y 的 吗？我们把符号提出来，就 x 减去还是减去 x 分 之四，对吧？是不是？那应该就是负 y 啊，应该就等于 x 分 减去 x 分 之四， 对吧？那么我们这样，我们把这个负 x 带进去啊，它确实能够推出什么这个负 y 啊，那么证明呢，它是关于圆点乘中心对称的 啊，这是我们的第一个问啊，所以第一个问正确啊，那么第二个问，他说该函数图像与 x 说啊，没有交点啊，那么有没有交点的话，应该是吗？应该是令 y 为零啊，对吧？第二个问啊，令 y 为零，那么看看有没有解。令 y 为零，就是 x 减去 x 分 之四，应该等于什么？ 应该等于零，那么这样是 x 平方，应该是等于四，所以 x 应该等于什么？等于正负四啊？等于正负二，等于正负二， 有有没有啊？有没有减，有减，对吧？那么这种情况被我们称为叫啊有减啊，那有减的话，那么二就是错的，我们看第三个啊，他说当 x 大 于零时， y 随着 x 的 增大， a 增大啊，这个，这个对不对呢？啊？他考的是单调性啊，考的是单调性， 那么那我们可以对这个函数进行看啊，观察 y 应该等于什么？ x 减去 x 分 之四，那么首先这个当 x 增大啊， x 在 增大，那么这个 y 呢？这个地方也在增大，其实，其实，那么后面这个 x 分 之四在增大，证明这个是在减小， 对吧？减小，然后再减去一个，呃，对吧？再就是再减去一个，减小的是，那么这个整体呢？我们可以把它分解成增大的，对吧？所以说我们整体的话，他也是增大的，所以第三个呢，也应该是没有问题的。第四个选项啊， 到当 x 大 于 x 大 于二时， y 大 于零，那么 y 等于 x 减去 x 分 之四啊，那么当 x 大 于二，如果说 x 大 于二的话，那么那这一项的话就是什么？就是，呃，那就是负的 x 分 之四，那它应该是什么？呃，大于二， 那这项应该是什么？呃，这个 x 比 x 大 于二，比二大，那么 x 比二大的话，那我们 x 分 之四呢？它应该是 小小于二的，对吧？ x 分 之四应该是小于二的，对吧？小于二的，那么小于二的话，那么也就是这个 x 大 于二的，大于二，一个大于二的数减去一个小于二的数啊，那肯定是什么？肯定是大于零的，对吧？所以肯定是大于零的，所以说我们第四个问呢，它也是正确的，所以这道题答案应该是选择什么？ 选择 c 啊，三个问全正确。好，这是我们的选择题的第六题。

  10南京江北数学冷飞老师
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  04:17

  2026中考数学模拟题精讲——南京一模 #热门 #南京 #中考 #中考数学 #中考数学压轴题

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  大家好，今天和大家分享的是来自于南京一模的一个填空压轴题啊，这个题呢，总体来讲的话呢，难度不算大，但是呢他设计的还是有一点独到之处的啊，我们来看一下，如图 三角形 abc 中啊，告诉我们呢， bc 是 等于四的，然后呢这个角 bac， 它是呢等于呢对应的这个一百二十度，那这个时候啊，实际上我们知道呢，这个 a 点的轨迹啊，它应该是一小段圆弧， 那么然后接着说呢，说 m 呢是边 bc 上的一点，那么以 am 为边 做一个三角形的 m， a， n 与 m 呢？ b， c 呢是相似的啊，与 b a， c 是 相似的啊，与 b， a， c 是 相似的，然后告诉我们 b m 等于一求是谁呢？线段 m n 的 一个最小值， 那么通过题目的描述啊，大家会发现这个里面呢点 m， 它是一个定点，那么我们要想求出 m n 的 最小值，关键是找清楚 n 点的一个轨迹， 那么我们能够利用到的条件就是两个三角形相似。大家呢主要要关注啊，这两个三角形相似的时候呢，有一个公共的顶点 a， 我们把这类的相似啊，称作叫手拉手相似，那么手拉手相似呢，就能够产生呢，一个结论就是，如果两个三角形手拉手相似，那么你把它左边这个顶点和左边的顶点连接起来，与公共顶点， 然后呢再把右边的顶点与右边这个顶点连接起来，我们把 c n 连上， 那么与公共顶点 a， 那 这个时候这两个三角形仍然是相似的，那怎么去证明呢？大家呢，可以自行的去做一下啊，实际上很简单，用两边对应乘比例加角相等就能证出来啊， 那么我们发现呢，如果 abm 与 acn 这个相似，那么我们就知道呢，角 b 和角 acn 呢，就应该是相等的， 然后角 b a c 等于一百二十度，那么角 b 加上角 a c b 就 应该等于六十度，那角 b 要跟 a c n 相等，所以我们发现呢， n c b 这个角啊，是个定角， 它就是六十度，那这个说明啥呀？说明点 n 的 轨迹，就是过点 c 与 bc 乘六十度角的一条射线上。 那这个时候啊，我们要求 m n 的 最小值，那大家马上就想明白了，点到直线垂线段最短， 过 m， 往这做一个垂线 m h， 这个 m h 呢，就应该是 m n 的 最小值。 m h 等于多少呢？等于 m c 乘以六十度的正弦， 那么我们整个 b c 边是等于四，那么 m c 当然就等于三了，因为 b m 等于一三，乘以二分之二三就行了啊，那么等于二分之三倍的高三，就是 m h 的 值，那也就是呢，我们对应的 m n 的 最小值， 大概在这种程度啊，我们就取得了这个最值啊，哎，这是这个题啊，这是这个题来自于南京一模的一个题目，还是挺有意思的， 大家呢也可以试着呢。呃，在这个里头可以多思考一下啊，再做一些呢，这个其他的一些方法或者是题目，比如说这个题啊，我们还有一种问法，求 am 比上 ab 的 最小值， 哎，求 am 比上 ab 的， 呃，这么一个最小值啊，这么一个最小值，那么大家呢，可以自行的再尝试一下，有没有什么比较好的一个解决问题的一个方法啊？好，今天的分享呢？就到这。

  39中考数学压轴题
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  08:47

  2026南京建邺一模选填难点解析#南京中考#南京一模#建邺一模#初盘数学#数学基础提升

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  讲一下建业区一模数学的部分填空题，第十四题，一道翻折的题目，将矩形折叠，使 a 点落在中点一处， a b 是 十 b c 十二则折痕 m n 的 长。那么 根据他这个中点五和五的话，我们随便设一下假设，设他为 x， 那 么他就是十二减 x， 根据翻折 m 一 呢，就是十二减 x， 这样的话，我们在这样的一个 r t 三角形当中，就可以把 x 给解出来，就是 x 平方，加上五的平方，就等于十二减 x 的 平方，这样的话 x 就 等于幺幺九，除以二十四。 x 解出来之后呢，我们根据这个是中点，我们可以得到这样的两个三角形呢，是一个全等的关系，所以这一段呢，也就是 x， 那么这个做垂直下来之后呢，这个 g c 呢？也是 x， 所以 我们要去求 ng 的 话，我只需要用 n h 减去 g h 就 可以了，那么 n h 呢？我们根据翻折的性质，这个角它和这个角是相等的，也和这个角是相等的。 所以我们会发现三角形 h m n 是 等于二三角形，也就说 m h 就 等于 n h 就 等于两倍的 m 一 就等于二十四减去二 x。 这里我们先不用把它算出来，因为你算出来之后呢再减，这里还要重复计算，我们不妨就让它先用 x 表示，这样的话， ng 就 等于这个 m h 减去 g h， 也就是二十四减二 x， 再减二 x， 那 就是二十四减四 x 把它代入进来，那么它就等于二十四，减去六分之幺幺九，就等于六分之二十五。 所以这样的话，这个直角三角形 n g 是 等于六分之二十五， m g 是 等于十十，就是六分之 六十，实际上呢，六分之二十五，就是六分之五去乘以五，那么六分之这个六分之六十呢，就是六分之五去乘以十二，所以这个 m、 n 呢，它就是六分之五呢去乘以十三，所以答案就是六分之 六十五。第十五题移到反比例函数的题目，那么这样的题目呢，我们基本上的方法都是将反比例函数图像上的两个点， 用字母把它的坐标给表示出来，也就是说，用同一个字母把 m、 n 的 两个坐标的关系给找出来，然后直接给它带入，就可以列出一个方程。那么这个题目告诉了我们是 o m 和 b n 相等，所以基于这个呢，我们考虑有两种方法。方法一， 我们过 m 点做一个垂直过来，过 n 点呢，也做一个垂直过去，这样的话，我们很显然可以得到这样的两个三角形呢，它是全等的关系。那我不妨就设 m 点的坐标为 a a， 因为它在这个 o、 c 上面，那这个长度就是 a， 这个长度就是 a， 这个长度也是 a， 这个长度也是 a， 这样的话， a、 n 点的这个坐标呢？我们看下怎么给它表示它的纵坐标，是不是就是用四减去 a， 它的横坐标呢？是不是就是用这个 b 点的横坐标？你看这一段 c 点的横坐标是四四， b 点的横坐标是八零，这段长度是八，那么这段长度也就是八， c 点的横坐标呢，是四，所以它就是十二减去这一部分，那就是 n 点的横坐标， 这样的话， m、 n 都在这个反比例函数图像上，所以呢， x 乘以 y 就 等于 k， 那 么 a 乘以 a 就 应该等于十二减 a， 乘以四减 a， 这样的话，我们给他解一下，就是四十八减去十二， a 减四， a 加 a 的 平方，这样的话四十八就等于这个十六 a， a 呢给它解出来就是三， a 是 三的话，那 m 的 坐标就是三三， 所以 k 呢就等于九。这是第一种常见的方法。通过构造全等，第二种方法也比较容易想到，因为它告诉我们 o m 和 b、 n 是 始终相等的，而 o m 和 b， n 又始终是平行的，所以这里也比较容易想到这个四边形。 o m b n 就是 一个平行四边形， 那么它既然是一个平行四边形的话，那我们看 o b， 它和这个 a、 c 就是 互相平分的，那么这个就是它对角线的交点 o 点，同样的这个 m n 一 连呢，它肯定也是经过这样的一个 o 点，这样的话，我们就可以通过这个中心把 m n 的 这个坐标 的关系给构造出来。这个 o 一 撇既然是 o b 的 中点的话，那我们可以把它求出来，这个 b 点的坐标呢是十二四，所以 o 一 撇的坐标呢，就是六 二。这样的话，我们还是设 m 的 坐标为 a a， 那 我们设先设一下，假设 n 点坐标是 x y， 我 们是不是就可以得到？ x 加 a 除以二就等于六， y 加 a 除以二就应该等于二，这样的话，我们把 x y 给求出来，那么 x 呢就等于十二减 a， 这个 y 呢就等于四减 a， 那 么与这里求出来是一样的，在进入到下一步呢，那方法是一模一样的。所以在求这个 m 与 n 两点之间坐标关系的时候呢，我们一个常见的方法是通过构造权的， 另外一个方法呢，就是通过这个平行四边形找到它的这个中心，把它的这个坐标给求出来之后呢，再建立起两者之间的关系。填空题的第十六题是一道等边三角形裁剪正方形的问题， 这道题目两分性价比很低，很有可能学生投入大量时间之后，最终有可能会得到一个错误的答案。那么这道题目在二零二四年鼓楼区二模考试压轴题当中也有探讨一个差不多的问题，当时这个鼓楼二模的 这个拼接呢，它是拼接一个矩形，那么这道题目呢，拼接的是一个正方形，具体我们来看一下，当等边三角形剪开后，拼成一个正方形，问你下列结论正确的是？那么正方形无非我们还是从这里延伸出来，先把它拼成矩形，然后再让它邻边相等，这样的话就得到正方形。 那拼接矩形的话，实际上我们可以把这个等边三角形分为四大块，比如说这个是第一个模块，第二个模块，第三个模块，第四个模块， 我们可以保留其中的一块不动，然后把其他的三块呢给他拼到一块去。那随便你是保留哪一块不动，我们这里就保留三不动好了，把一二四拼接过来。那么一呢直接可以平移，通过平移平移到这里来。 二和四呢，我们可以通过旋转加平移，也就我可以做 b 关于 f 点的对胜点， d 关于 f 点对胜点，实际上就是把这个二啊这样旋转过来，这样把它这样弄过来，把这个四呢这样转过来，这样的话让他无缝拼接到一块去，那拼接到一块去之后，他会得到一些什么样的这个性质呢？我们一起可以这样去看一下， a d 平移到这里 m d 一 撇，所以 a d 和这个 m d 一 撇肯定是相等的，那么这个二又是旋转过来的，所以这个 b d 和 m d 一 撇也是相等的，那这样的话，我们就可以得到这个 a d 和 b d， 它是相等的。第二个我们等价判断，这个比较比较容易出错。我们看第三个 d h 和 i g d h 它平移之后是不是得到 d 一 撇 h 两撇，那么 d h 是 不是又旋转得到 d 一 撇， h 一 撇，所以这两条它就是相等的， 分别都等于这个正方形的边长的一半。同样的，这个 i g 和这个 i 一 撇 g， 它也是旋转过来，它也相等，它也等于边长的一半，所以这样的话我们就可以得到这个 d h 和 i g， 它们都是相等的，都等于正方形边长的一半，所以这个第三个也是正确的。 第四个， f h 和 e i， 那 我们看 f h 在 这里， e i 在 这里，它们有什么样的关系呢？ f h 加上 f h 一 撇，加上 i h， 比如这三段相加， 他是不是就等于这个正方形的边长？就这一段加这一段加这一段等于正方形的边长，而这两段相加， e 一 撇， a 一 撇和 e 一 撇 h 两撇，也等于正方形的边长， 而这个两段是相等的，所以就相当于是两倍的，两倍的 h f 加上 hi 就是 正方形的边长。同样的，这个 e 一 撇 h 两撇，他是等于 e h 的， 他是等于 e i 加 i h， 所以 他也等于两倍的 e i 加 i h， 这样的话，我们就可以列出这样的式子， 这两个是相等的，所以也可以得到这个 f h 和 e i 也是相等的。实际上拼成矩形的话，我们满足这个条件就可以了。当然它还有一个隐藏条件，就是 b 点关于 f 点，对伸过来是 m 点， c 点关于 g 点，对伸过来是 m 点，所以 f g 就 等于二分之一的 b c。 你 看鼓楼的这道题目，它做的就是这个东西，使得 f g 等于二分之一 b c， 那么这个 f g 跟 b c b f 就 下面了。你看第二文当中的 b f 和 c g 这两条有什么样的关系呢？按原来如果只是拼接成矩形的话，我们只需要保证 b f 加上 c g 等于二分之一 bc 就 可以了，但是它这里要拼接成正方形，你得邻边相等。 所以呢，我们理论上来讲，就不仅是要保证它是这个二分之一倍的关系，那我们可以直接去判断它符合与不符合就可以了。 b f 等于 c g， 如果 b f 等于 c g， 那 下面这四段都是相等的对不对？四段都相等的话，我们不妨就设设这个边长，设这个等边三角形的边长啊，就为四。那么我们刚才也讲过了，这个正方形的边长，它相当于就是这个 i 一 撇 e 加上 h 两撇 e 一 撇，实际上就是这一条， 加上这一条，那我们又挣到了 e 跟 f h 相等，这我们就 e f 是 正方形的边长，那我们去验算一下，首先它是否满足我们基本的拼接面积是否相等， 如果他俩相等那边长，我们设他为四，这样的话，你看这一段就是一，这一段是二，而这个又是六十度，所以这个一连肯定就是直角三角形了，这样的话，这个 e g 我 们就可以给他算出来，就是根号三 f g， 那 他自然就是两份，那么这个 e f 呢，就等于根号七，因为正方形的边长，我们就给他算出来的是根号七，那正方形的面积呢，就等于七，而等边三角形的面积呢，我们用二分之一 乘以底，乘以高，那么给他算出来呢是四倍，根号三显，这个三角形和这个正方形连面积都不相等了，那他自然不可能会相等，所以呢，这个二是错误的，这样的话我们就选一三四。 在考试的过程当中，实际上这道题目如果要去给他研究透的话，我个人认为性价比不是特别高。如果按照题感的话，可以先把你有把握的写上去，之后没有把握的稍微猜一猜，回过头来再看也行，当然如果你一眼就能够发现，那另当别论。

  66金蝉子（数学）
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  02:03

  2026 玄武一模数学新鲜出炉！作为南京含金量最高的一模卷，它直接透露出了今年中考的命题趋势。不管是基础题、中档题还是压轴题，都精准对标了南京本土特色。#南京中考 #南京初中 #南京初三一模 #南京中考冲刺 #南京六大

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  hello， 大家好，我是潇潇老师。今天刚考完的玄武一模数学真的是含金量非常的高，也比较贴合我们南京市的中考。它延续了玄武一贯的稳中带心的命题风格，难度梯度也比较合理， 创新度拉满，区分度极强，直接对标南京二零二六年的中考命题趋势。整套试卷满分一百二十分， 官方划定的六大险为一百零八分，四大险为一百一十三分，这个分数直接对应中考档位， 参考价值极高。整张卷子特别贴近生活，从共享充电宝统计电动汽车充电建模到无人机追及汽车的实际场景，把数学知识和真实生活深度结合，完全贴合新课标改革的方向。 压轴题全是南京本土高频考点。第六题是一次函数翻折平移旋转综合变换，和往年中考反比例函数变换呼应，易错点是忽略自变量的取值范围。 第十六题手拉手相似结合动点轨迹，本质是考察阿式圆刮豆原理，是几何压轴的必考模型。解答题是层层递进，考点全面覆盖。第二十三题，一次函数建模，核心是理解斜率及能耗率。 第二十五题结合无人机场景考解直角三角形。第二十六题源于相似结合，核心是垂径定力和勾股定力。 第二十七题，动态几何压轴，相比其他区的一模，情境更简洁，更侧重数学思维。玄武一模直接释放了中考的新趋势，函数图像变化、 几何模型深度化，压轴题重思维，轻包装。如果孩子在这些模块频频丢分，找不到复习方向，都可以来找我，我可以帮孩子精准拆解薄热点，吃透南京特色题型，稳稳冲刺中考高分！

  23南京潇潇老师
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  00:58

  26建邺初三一模数学试卷简析！ #中考数学 #南京中考数学#建邺一模数学简析

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  二零二六建业初三一模数学整体难度中等偏稳，基础题巨稳。选择题前五题填空题前十题解答题前二十题细心就能拿满分。空挡题灵活但不偏。几何折叠反比例分式方程解三角形都是常考模型 难题集中在第十六题和二十七题的第二问，十六题比较容易半路卡人心态，十六题等边减轻。正方形全卷最优秀的一道题考全等，线段相等空间构造不是死算，考眼力和逻辑对的多的都是几何高手。 第二十七题矩形绿道加半圆，动态周长，第一问直接算最大，周长第二问切角限制重新设计。考建模画图最直，完全是南京中考压轴风格，不考怪，但是但考思路清晰。建业这张一模卷基础不坑人，中档考能力，压轴考水平，计算量稍大， 本分试卷九十五到一百零五分算是良好状态，一百零八分以上算是优秀分数了。最后如果需要建最后，如果需要建业一模数学试卷的同学可以私信徐老师。

  11南京中高考 徐老师
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  07:25

  2026中考数学模拟题精讲——南京一模 #热门 #南京 #中考 #中考数学 #中考数学压轴题

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  大家好，今天跟大家分享的是来自于南京一模的一个填空压轴题，这是一个设计的比较有意思的一个旋转的问题啊。呃，难度呢，并不是特别大，但这个题呢，我觉得设计的还是比较新颖的，我们来看一下， 如图，呃，在直角三角形 a b c， 中角 a c b 啊，是等于九十度的，然后告诉我们这个 bc 这条边啊，它的长度呢，是三，我们把它标出来啊， ab 这条边是五，那三五，那另外一条边就是四，是不是？所以就是一个三四五的一个直角三角形，将三角形 abc 啊绕 ac 的 中点 o 逆时针旋转一定的角度，得到三角形 a 撇， b 撇， c 撇， 当我们这个 a 撇 b 撇这条线恰好经过了点 c 的 时候，那么让我们求 b b 撇的一个呢长度， 那很显然，大家看呢，我们这个东西，如果我们一个动画的角度来讲，你拿这个三角形绕着这个点转，他呢经过一次点 c， 如果你继续转的话啊，回过头来有可能呢，呃，还会经过一次，所以他约定了一个什么呢？就是二发在零度到九十度之间， 哎，有这么一个呢，约定的这么一个概念啊，约定这么一概念，那么现在让我们求的是 b b 撇的一个长度，很显然呢，现在的 b b 撇没有在任何一个特殊三角形里面去， 在咱们初中阶段呢，现在大家要想求得 b b 撇的长度，那么方法无外乎就两种，一种呢是用相似三角形，另外一种呢就是解勾股定律，当然现在用哪一种呢，我们猜不出来，我们可以啊分析一下题目中的条件， 这个里面呢，由于我们有一个旋转，所以有很多角啊，它都有一些相等的关系，我们为了更好地看出来这些角和角之间的关系啊，我们给这个角呢进行个标注，角 a 呀，我标注成二法角， cba 呢，我们标注成 b 特， 哎，一个阿尔法和比特啊，我用不同的颜色标注出来，这样大家看起来方便一点。那么由于呢，我们在这个里面呢，是把三角形 a b c 做了一个旋转，得到了 a 撇 b 撇 c 撇，所以 a 撇这角也是阿尔法。 c 撇 b 撇 a 撇这个角呢也是贝特。我们把这两个角呢也标出来，然后呢，我们还知道啊，这个 o 点呢，是 a c 的 中点，它也是呢 a 撇 c 撇的中点，所以 o c 和 o a 撇相等，那么 a c a 撇这个角应该呢也是阿尔法， 哎，这个角也是阿尔法啊，那么大家注意，阿尔法加贝特呢是等于呢？呃，我们对应的一百八十度的， 那么啊，等于九十度啊，说成一百八了，阿尔法和贝特之合是九十度啊，那这个阿尔法加上角 a 撇 cb 也等于九十度，所以 a 撇 cb 啊，也应该呢是贝特， 哎，这个角也是贝特啊，但是呢，我们在这里头啊，找到这些角之后呢，我们做了一个简单的一个标注，在这些角之间会有一定的相等的一个关系。 然后呢，我们接着看啊，我们呢，对应的呢，还是看中间这个 o c， 他 应该等于二分之一的 a c， 当然也等于二分之一的 a 撇 c 撇， 你看这 o 是 中点，这么一条线相当于是一个中线，等于这条线的一半，大家想到啥了？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以啊，我们连接上 c c 撇，这就应该是直角， 所以现在我们大家会发现呢，实际上点 c 是 啥呀？点 c 实际上是三角形 a 撇 b 撇 c 撇斜边上的高的那个垂足。 哎，那这个时候啊，我们大家就会发现， b 撇 c 就 已可以求了，那有了 b 撇 c 的 这个角还是 b 的， 大家注意啊，这个角 b 的 呀，那么我们也是已知的， 那这个时候啊，我们就会想到，要想求得这个 b b 撇的一个长度，我们可以过 b 点往这个 a 撇 b 撇上做一个垂线段，我们去解勾股定律， 那这个勾股定律怎么解呢？大家呢，注意看啊，这里头我们有两种办法，第一个呢，我们把 c h 要求出来， 求这个 c h 的 方法呢，又有两种，你也可以用呢，这个 bc 乘以呢？ cosine b 它你也可以发现呢，我们这个里头三角形 b 撇 c 撇 c 和我们呢，这个里头的这个 c b h 是 全等的，为啥呢？都有一条边等于三，都有一个直角，然后还有一个角相等，我们可以用角角边去证明两个三角边全等，这也可以，或者呢，你这个我们比如说这个 b h 的 长度 等于三乘以塞因比特，那么塞因比特应该等于多少啊？等于五分之四，是不是？哎，它就应该等于三分之十，等于五分之十二，而这个 c h 等于多少啊？三乘以口塞因比特，口塞因比特是多少啊？ 是五分之三，所以这个呢，是五分之九，而我们这个 b 撇 c 呀，也等于三乘以口塞因比特，实际上这个点 c 呀，又是 b 撇 h 的 终点。 好了，到现在为止呢，我们可以把 bh 求出来，把 b 撇 h 也求出来，解个勾不定理，这个 b b 撇就出来了啊，很好做了，我们来看一下啊， 我们这个 b 撇 c 等于 b 撇 c 乘以口三倍，等于五分之九，因为三角形的 b 撇 c 撇 c 全等于呢，三角形呢，这个 c b h， 所以呢，我们这个 c h 啊，就等于 b 撇 c， 它也等于五分之九，所以这个 b 撇 h 就 等于呢五分之十八， 然后咱们这个 b h 啊，等于 bc 乘以三为的等于三乘以五分之四，等于五分之十二。然后呢，我们去解一个勾股定力就行了啊，解一个勾股定力，最后呢得出来的结果， 五分之六倍的根号十三。这个题本身是不难的，实际上呢，我们这个题还有很多考法，比如说像我们这个题，大家想一想，我们能不能考察大家去求谁啊，求这个 a 撇到这点的距离，哎，这个也能求出来 哎，那么我们呢，也可以计算出来呀，我们旋转这个角度，其实我们绕着点 o 旋转了，多大角度啊？就是这个角 a 的 两倍，这个角等于这两角之和吗？ 角 a 的 两倍啊，实际上就这么大一个角度。这个题呢，我觉得还有很多考点呢，大家呢，可以在这里头去发掘的啊，哎，他也比较巧妙，你看点， c 是 a 撇 b 撇的这个边上高的这个垂足， 然后呢，我们这个 c 点呢，又是 b 撇 h 的 终点，然后这个焦点呢，又是 ab 的 一个终点，所以这个题这个图形啊，很有意思，大家可以多研究一下啊。好，咱们今天的分享呢就到这里。

  58中考数学压轴题
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  01:36

  从鼓楼数学一模，看中考数学风向！
  #南京一模#南京中考

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  我是南京升学徐老师，初三一模刚结束，我们来看一下鼓楼的数学卷。鼓楼的题型是比较接近中考的，我们中考数学总共有二十七道题，一到六是单选，七到十六是填空，十七至二十七题是解答题。 我们今天重点看一下中档题和压轴题。单选的第六题考的是复合函数的性质，一模卷的这道题难度不大。填空压轴的十五题考的是矩形的翻折， 翻折、旋转、平移动点轨迹，这个都是中考的一个重点。 填空压轴的第十六题是常考的代数推理问题，第十七、十八就不讲了，是解方程、因式分解、化简求值。 这种题只要计算不粗心，那基本就是送分题。第二十五题是二次函数的一个最值和增减性的问题，主要是考察学生的数形结合能力，大部分学生都能做出来。第二十七题今年是一个创新题， 以汽车转向为背景，结合三角函数和几何建模，非常有难度。这次鼓楼一模的数学卷就是中考的一个风向标， 大部分题目都是围绕课内的例题，题型改编，不依赖死记硬背和套路刷题，重点考察学生的理解、推理、分类讨论、树形结合和数学建模这些核心素养。

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