2025年中考数学试卷三角函数
如图，棱长为九的一个封闭透明的正方体容器水平放置在桌面上，其中水面的高度 b m 等于七。 将此正方体放在玻角为阿尔法的斜坡上，水面 m n 恰好与 a 齐平，其主式图如图二所示。则探径题，阿尔法等于几？ 这里面重要的就是 m n 和水平线平齐，那就是和这条线平行， 那么这个 a d 和这个坡面也平行，所以我们可以得到这个 alpha， 就 转化到角 d a， n 中， 我们确定它连接 d， a， n 等于几？它正好在直角三角形中，它就是 d， n 比上 a d 的 长， a d， 我 们知道它就是正方形。这个正方体的棱长九，那么 d n 需要求 既然它前后的变化有，那我们找它这样放置的重要的它想说的是什么？ 前后的这个体积不变，水平放置没有水部分的体积和在斜坡上放置这个体积是相等的，所以我们由它列等量关系。 图一中没有水部分的体积，即它是一个长方体，底面积九乘以九，再乘以高。高是二，它的体积就等于 这个斜坡上这个没有水部分，它的底面积就是三角形的面积二分之一乘以 d， n 乘以九，再乘以它的高。想象一下，这是一个主式图解面图，那它的高就是原来这个冷场九， 所以两个九约掉，那么 d， n 就 等于四，所以它连接阿尔法等于四。比上九。
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03:54查看AI文稿AI文稿这道求三角函数值的综合题是一位父亲专门为孩子来问的，现在的家长真是为孩子操碎了心啊，有没有同学能帮他一眼看出答案的？题目告诉我们，在矩形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f 分 别在 ab 和 ab 边上 点 b 和点 f， 关于直线 c、 e 对 称点记为 f、 c 的 中点，并且角 a、 b、 g 等于二分之三倍的角 c、 f、 d， 让我们求它定义角 a、 e、 f 的 值。首先看到题目给出了对称的条件，是不是马上就能想到连接 b、 f 这一步必须要形成条件反射，然后根据对称的性质，就有 e、 c 垂直平分 b、 f， 那么 b、 e 就 等于 e、 f， 这两个角相等，很容易证得这两个三角形全等。全等之后我们就能得到 b、 c 等于 c、 f。 同时角 e、 f、 c 等于角 c、 b、 e 都等于九十度。接下来我们看目标角度，角 a、 e、 f， 因为它的三边关系我们都不知道，所以我们要想办法转移这个角， 在另外的地方看看能不能有我们需要的三边关系。所以我们要把图中所有与这个角度相关的角都给它找出来。因为角 c、 f、 e 等于九十度， 而在直角三角形 aef 当中，角 aef 加上角 afe 也等于九十度。通过等量代换，我们就可以得到角 aef 等于角 cfd。 又因为矩形对边互相平行，根据两直线平行内错角相等，所以这两个角相等。 我们再来看角 aef 是 三角形 bef 的 一个外角，这个外角等于两个不相邻的内角相加。又因为 b、 e 等于 e、 f， 三角形 bef 是 等腰三角形，两个底角相等， 所以角 a、 e、 f 的 大小就是角 e、 b、 f 的 两倍。到这里我们就把所有和目标角相关的角都梳理完毕了。我们设更小的角 e、 b、 f 为 alpha， 那 么这三个角全部都等于二 alpha。 接着我们用上题目给出的关键条件，角 a、 b、 g 等于二分之三倍的角 c、 f、 d 带入我们设好的角度，就能算出角 a、 b、 g 等于三倍的 alpha， 减去角 a、 b、 f， 也就是三倍的 alpha， 减去 alpha， 结果等于二 r 法。这样一来，角 f、 b、 g 也和我们的目标角相等，这四个角全部相等。那题目特意给出角 f、 b、 g 等于这三个角 有什么用处呢？这个时候我们就要观察三角形 f、 b、 c 和三角形 b、 f、 g， 它们有公共角，又有角 f、 b、 g 等于角 b、 c、 f 两角对应相等，所以两个三角形相似，这就是我们熟悉的子母相似三角形。因为我们前面已经证出 b、 c 等于 c、 f， 所以三角形 b、 c、 f 本身就是一个等腰三角形，两个三角形相似，说明三角形 b、 f、 g 同样也是等腰三角形。 那题目一步步引导我们得到这个等腰三角形到底有什么目的？其实就是在提醒我们，等腰三角形有一个很重要的性质，就是三线合一。所以在这里我们看到等腰三角形，就要习惯性想到过顶点向底边做高。除此之外，我们做这条高还有一个重要好处，就是可以把角 b、 c、 h 围进一个直角三角形当中。 综合这两种原因，我们过点 b 做 f、 g 边上的高垂足记做点 h。 此时我们再来看题目还有一个条件，点 g 是 f、 c 的 中点， 结合三线合一点 h 也是 f g 的 中点，所以这里所有的线段全部都是倍数关系。我们设最短的这条线段为 x， 也就是 f h 等于 h， g 等于 x， 点 g 又是 f c 的 中点，所以 c g 等于二 x。 整条线段 c、 f 的 长度就等于四 x。 我 们之前已经知道 bc 等于 c f， 所以 bc 的 长度等于四 x。 再来看 c h 的 长度， c h 等于 h g， 加上 c g， 算出来就是三 x。 接下来在直角三角形 b、 c、 h 当中，我们利用勾股定律 b h 的 平方减去三 x 的 平方，算出 b h 等于根号下七倍的 x， 结合之前得到的角 a、 e、 f 等于角 b、 c、 f， 所以它们的正切值也相等。碳晶体角 a、 e、 f 就 等于碳晶体角 b、 c、 f， 也就是 b h 比上 h c 代入数值就是根号七倍的 x， 比上三倍的 x 约掉 x， 得到三分之根号七，所以最终碳晶体角 a、 e、 f 就 等于三分之根号七，你算对了吗？
135胡萝卜初中数学🥕
07:35查看AI文稿AI文稿同学们，欢迎来到数理化思维，我们来看一下黑龙江龙东地区二零二五年中考的一道三角形综合题。如图，三角形 abc 是 等腰三角形 ab 等于 ac， 设顶角为阿法点 d 是 直线 bc 上移动点连接 a、 d， 将线段 a、 d 绕点 a 顺时针旋转阿法至 a， e 过点 e 做 e、 f 垂直 bc 交直线 bc 于点 f。 第一问，若阿尔法等于六十度第一小问点 d 在 c、 b 延长线上求证 b、 f 等于 d、 f 加 bc。 熟悉模型的同学应该可以看出来，这是一个手拉手，并且还是基于等边三角形的。 为便于表述，我们将 d、 f、 b、 f、 b、 c 分 别设为 abc。 通过两个等边三角形，根据边角边的判定，可以得到三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 c、 d， 所以 b、 e 就 等于 c， d， 也就等于 a 加 b 加 c。 因为 e、 f 垂直 bc， 所以 在直角三角形 b、 e、 f 中运用勾股定律可得 e、 f 的 平方等于 b、 e 的 平方减 b、 f 的 平方，也就等于 a 加 b 加 c 的 平方减 b 平方。 有了 e、 f 的 平方，再通过直角三角形 d、 e、 f 可以 得到 d、 e 的 平方等于 e、 f 的 平方加上 d、 f 的 平方，也就等于 a 加 b 加 c 的 平方减 b 平方加 a 平方。 因为等边三角形的原因， d、 e 等于 ad， 我 们看看 ad 是 否可以用 abc 来表示 过 a 点做 a、 h 垂直 bc， 通过等边三角形 a、 b、 c 可以 得到 a、 h 等于二分之根号三 c、 b、 h 等于二分之 c。 再利用直角三角形 a、 d、 h 得到 a、 d 的 平方等于 a、 h 的 平方，加上 d、 h 的 平方。 因为 a、 d 等于 d、 e 平方后也相等，所以可以得到一个看起来比较复杂的关于 abc 的 等式。 可以利用完全平方公式展开整理后，可以得到 a、 c 加 bc 等于 b 平方减 a 平方 等式。两边因式分解，因为共同的因式 a 加 b 不 等于零，消去后得到 c 等于 b 减 a 既 b 等于 a 加 c。 这种思路偏袋鼠。我们再介绍一种纯几何的思路， 将三角形 e、 d、 f 绕点 e 逆时针旋转六十度，得到三角形 e、 a、 g。 注意，这里需要先证一下 b、 a、 g。 三点共线可以通过四边形 a、 b、 d、 e 对 角互补来证， 然后根据 h、 l 的 判定，直角三角形 e、 b、 f 就 全等于直角三角形 e、 b、 g。 所以 b、 f 等于 b， g。 也就等于 a， b 加 a， g。 由等边三角形得到 a， b 等于 b， c。 由旋转的性质得到 a、 g 等于 d、 f， 所以 b、 f 等于 d， f 加 b、 c。 第二小问，若点 d 在 b、 c 的 延长线上探求 b、 f、 d、 f、 b、 c 之间的数量关系 上一问的两种思路，在这一问都可以用。这里我们简单介绍一下几何思路，代数思路就留给有兴趣的同学自己研究。 将三角形 e、 d、 f 绕点 e 逆时针旋转六十度，得到三角形 e、 a、 m。 也要先正 a、 b、 m。 三点共线可以通过角 e、 d、 f 等于角 e、 a、 b 正得 这两个角分别所在的三角形各有一个六十度角，还有一对对顶角，所以可得两角相等。 那么旋转后 b、 d 对 应的 am 就 会与 ab 重合，所以三点共线， 然后通过 h、 l 的 判定得到三角形 e、 b、 f 全等于三角形 e、 b、 m， 所以 b、 f 等于 b、 m， 也就等于 am 减 ab。 根据旋转的性质， a、 m 等于 d， f 由等边三角形得到 a、 b 等于 b、 c， 所以 b、 f 等于 d f 减 b c。 第二问，若角阿尔法等于一百二十度 d。 在 c、 b 的 延长线上猜想线段 b、 f、 d、 f、 b、 c 之间的数量关系， 这一问没有了等边三角形，所以不能像之前那样旋转。不过，通过两个等腰三角形，我们还是比较容易得到三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 c、 d， 所以 b、 e 等于 c d 也就等于 b、 c 加上 d f 减 b f。 这样要求的三条边就被集中到了直角三角形 b、 e、 f 中。 由全等三角形还可以得到角 a、 b、 e 等于角 a、 c、 d 等于三十度， 所以角 c、 b、 e 就 等于两个三十度角之和等于六十度。 那么在直角三角形 b、 e、 f 中， b、 f 比上 b、 e 就 等于口三引六十度，从而得到 b、 e 等于两倍的 b f。 根据刚才得到的 b、 e 和三条线段的关系，所以 b、 c 加 d f 减 d f 等于两倍的 b f。 整理后可得 b、 c 加 d f 等于三倍的 b f。 严格来说，这一问还要考虑点 f 落在线段 b、 c 之外的情况，也就是 f 在 b、 c 的 延长线上，最终能得到同样的结论。 具体过程留给有兴趣的同学自行研究，谢谢观看！
27数理化思维
03:41查看AI文稿AI文稿各位同学好，今天我们来看一下济南市中考必考的三角函数应用。题中说入图是以学校平面是一图展板一、学习小组想要测量这个展板 最高点到地面的高度，它们绘制了图二所示的展板侧面表面图，测得 a、 b 是 一百二十厘米， b、 d 是 八十厘米，角 a、 b、 d， 这是一个直角九十度，角 b、 d、 q 等于六十度。 底面四边形 e、 f、 p、 q 为矩形， e、 f 是 五厘米。看完题目一定要注意要求结果精确到一厘米， 那第一位，让我们求此时转本点 b 到地面 p、 f 的 距离。因为题目中已知 底座四边形 e、 f、 p、 q 为矩形， e、 f 为五厘米，所以我们只需要过点 b 往 q、 e 所在的直线做垂线 b、 h 求出 b、 h， 然后再加上 e、 f 就是 此时点 b 到地面 p、 f 的 距离。 已知角 b、 d、 q 等于六十度，所以 c。 角 b、 d、 q 等于 c。 六十度等于 b、 h 比上 b、 e 等于 b， h 比上八十等于二分之括号三。所以点 b 到地面 p、 f 的 距离就是 b、 h 加上 e、 f 算结果进去了一厘米。接下来再看第二文。该小组调查时发现展板偏低，不方便阅读，所以他们想可以增大角 a、 b、 d。 当角 abd 从九十度增大到一百零五度后，展板最高点 a 到地面的高度增加了多少。因为点 b 到地面的距离是一个定值，所以我们只需要求出 ab 之间的高度差，就可以求出 角度变化前后高度增加了多少。 因为角 b、 d、 q 等于六十度，所以角 m、 b、 d 一定永远等于六十度。当角 a、 b、 d 等于九十度时，角 abm 就 等于三十度， 所以在这个三十、六十、九十的直角三角形中， a、 m 就 等于二分之一， ab 就 等于六十。 当角 a、 b、 d 增大到一百零五度后，角 abm 就 变成了四十五度。此时三角形 abm 就是 一个等腰直角三角形， 这时候 a、 m 就 等于 ab， 除以改号二，就等于六十倍改号二。所以 粘板最高点 a 到地面的高度增加了六十倍，根号二减去六十，然后计算结果精确到一厘米就可以了。
31吕老师讲数学
05:27查看AI文稿AI文稿来看这个啊，十四题啊，十四题，他这种题是属于纯计算啊，白给的分啊，一定要把它拿稳啊，越是简单的题啊，我们步骤越要写的完整啊，步骤要写规范啊，阅卷老师想扣我们分都扣不了啊，一定要写规范一点点。好，我们来看第一题啊， 好，第一题就是四题的第一，第一个小问啊，好，在做这个，做这个题之前哈，我，我想讲一些东西啊，你看这 a 的 负一次方，这个是不是应该等于二分之一啊， 是吧，这个东西一点这些公式要记清楚，记明白哈。好，这个你看这个，那，所以说这个，所以说这个四分之一的负一次方，那不就是多少，是不是就是四啊，对吧？就四分之一分之一，他答案就是四，那这个根号九呢？然后九不就是三吗，对吧？好，注意这个括号， 扩散以四十五度啊，扩散以四十五度，是不是等于二分之根号二啊？很多同学记不出，记不准这些三角函数哈，就一定不要死记硬背，其实这些所有的三角函数哈， 只只只需要竖形结合啊，竖形结合这些题轻轻松松就把它记住了。我以这个为例哈，比如说这个四十五度，四十五度是不是等腰直角三角形啊，对吧？四十五度，我画的不太好，画的不太行啊，等腰直角三角形，它是一个 啊，这个比如说这个直角 a、 b、 c 啊，这个角，这个角是直角，这个是等腰，是不是零为一吗？又勾股定力，是不是 b c 就 可以很快算出来？是不是根号二啊？是不等于 ab 方加上 bc 方，是吧？就根号一加一的平方加一的平方是不是根号二啊？ 是吧，对吧？哎，你看 cos 四十五度， cos 四十五度是什么东西啊？同学们， cos 是 不是临边比上斜边，对吧？以这个角为四十五度为例，临边是不是 ab p 上斜边， bc 是 不是一除以根号二，那不就是二分之根号了吗？所以说同学们，三角函数的题不要那些知这些啊，不用死记硬背啊，到时候考试万一混了，自己推一下就能推出来哈。其他的三十度，六十度这些一样的哈，什么正切这些也一样哈，我就在这里不再多讲，我们继续讲。 好，根号二减二，好，这个很，这是很多人的错点，就在这里了。根号二减二都绝对值，根号二和二。同学们，你说根号二和二谁大？肯定是二大，为什么？二是不是等于根号四啊？是吧？二的平方，对吧？开根号，所以根号写一张，那所以说这个 根号二减二，那不就应该等于二减根号二吗？是吧？因为正常情况是去绝对值的时候，这个小于的是括号前面打开的时候要填一个负号，对吧？所以说等于二减根号，这个就对吧。这个都我在这里就不多讲了，好，接着讲哈。所以说原式 当，当你考试的时候，考试的时候，你就把这些写上，这个，这个，对吧？这个写，写上，那这有这个底元式就应该等于四分之一的负的。刚才我写的四减根号角就减三， 再加上二乘以二分之二二，是吧？再加上这里的二减根号二， 是吧？二减根号二来四减三，是不是一啊？这个加上根号二，再加二，再减根号二，根号二和根号二约掉，答案就是三，所以说第一个答案就是三，很简单，这题答案就等于三。好，我们来看一下后面这个第二题啊， 第二题这样的，同样的啊，做这种题一定是把这个步骤尽量写全一点啊，比如说由一，对吧解，我就不写了，由一有，对吧？他标好了一和二由一，那五 x 减一大于这个括号打开，是不是三 x 加三啊？一项，对吧，所以五 x 把含 x 的 移到左边，不含 x 的 移到另一边。三。好，注意，移项的时候负减一移过来是不是加一啊，对吧？一项要注意，很多人就在五 x 减二，三 x 等于二， x 等于 大于三加一四，所以说 x 是 不应该大于二。好，一，这个短，那么看二有二可以得有二，你看这个是分四分四应该什么？是不是先通分啊？三和二的啊，对吧？最最小公倍数是不是六啊？那是不是二 x， 那 变成六 变成六，对吧？减掉三乘二啊，直接分子分母同时乘以二，再减去六分之三乘 x， 对 吧？小于等于一啊，所以 这个六分之二乘括号打开，二乘二， x 就是 四 x 二减一减二，再减去六分之三， x 再小于等于一，所以说啊，所以就是六分之， 这写的写屁啊，一到这里，所以说六分之四， x 减二再减三， x 是 不是小于等于一，也就是 写的太大了这个笔。所以说就是六分之四， x 减三， x 是 不是 x x 减二 小于等于一，一过来就是 x 减二小于等于六，所以说 x 小 于等于八，所以中上由一和二就得到 x 是 大于二由一的，是这个小于等于八，注意这个等号，别，别写错了哈，这个题就讲，讲到这里。
17小王150
08:54查看AI文稿AI文稿同学们，大家好，魏老师接着给大家讲二零二五年咱们的中考整体概率部分以及三角函数部分。然后同学们来看，这是一个自由转动的转盘， 这是一个自由转动的转盘，转盘被分为三个扇形，分别图有红白蓝三种颜色。呃，观察这种所落的区域，则重新转动转盘。嗯， 意思是啥呢？先转一会嘛，看落到哪个区域了嘛，再转一会嘛，对不？同学们，任意转的转盘一次转盘一次落在红色区域，红色区域是不是占了总个的多少？三分之一，那它的概率就是三分之一， 对吧？同学们，第二一问，任意转动转盘两次，第一次转动转盘，等转盘停止，再第二次转盘。用梳妆图画出这个非常简单。同学们，这都是相对来说咱们比较简单的题目了。开始么？首先呢，有几种可能么？哎，红白 蓝三种是不是都有可能呀？同学们，当你第二次转的时候，是不是又能转到红白蓝？ 转到白的时候是不是也能转到红白蓝？同样的嘛，同学们， 一共是不是有九种可能，对吧？同学们，一共有九种可能呢？求证中所落取与颜色不同的 概率是多少？那么同学们来看，他说要求一个颜色不同的概率，对不对？求一个颜色不同的概率。那么咱们来看，哎，这是不同的，这是也是不同的，这是不同的，这是不同的。 那么这是不同的。一共有九种可能，那么不同的概不同的，那么他的概率占多少？ 是不是一共有九种啊？不同的概率是六种啊，等于三分之二。这一题非常非常的简单，同学们，这一题是应该是咱们的六分，这六分非常容易就能拿到手啊。同学们， 好，咱们接下来看咱们的三角函数题目。三角函数题目那么常考的是什么东西呢？魏老师给大家做进一步的讲解。那么同学们来看， 首先咱们只需要看最关键的东西，它肯定要求啥呢？咱们看要求的是啥？求 a、 b 的 高度呢？同学们，求 a、 b 的 高度呢？ 求 a、 b 的 高度。现在你看 a 的 最高点，这么从一点角， a c j a c j 这个角是十六点七度 角， a e j 这个角是二十二度。然后又告诉你， c d 等于 e f， c d 等于 e， f 等于一点七，所以说 g b 是 不是也等于一点七米， 对吧？同学们，那么归根结底，这道题其实是咱们要求啥呢？求 aj 的 长度呢？把 aj 的 求出来，加 j b 的， 他就等于 这个 ab 的 长度，然后他题目中肯定还告诉你，咱们一个 d， f 等于 c e， 也就是这点长度等于五点五米。同学们来跟着魏老师的思路来看，首先咱们接 求啥舍啥，我应该舍 a j 直接等于 x， 对 吧？魏老师的解体速度，用两个探点的值直接就把它算出来了，管用的思路都是啥呢？求什么？舍什么？要求啥，咱们舍啥把啥舍为 x， 这样比较好做一点。舍 a， j 等于 x， 那 么同学们来看，探证，它叫 a e g， 我 直接写个二十二度，探进去二十二度等于什么？探进去二十二度是不是等于 a g 比上一个 g e 啊？同学们， a g 比上 g e， 探进去二十二度等于多少嘞？同学们，探进去二十二度等于零点四， 所以，那么探进去二十二度等于零点四，所以，那么探进去二十二度等于零点四，所以，那么 g e 是不是就等于零点四分之 a j， 而零点四就等于十分之四？ a j 除以十分之四等于 a j 乘以四分之十，也就是 a j 乘以二分之五，那就是二分之五个 x， 对 吧？同学们， a j 等于二分之五个 x 了，哦，不对，这应该是 g 一。 同学们， a j 是 x 呀！ g e， g e 等于二分之五个 x， 那么 g e 的求出来了。同学们，那么来看， g c 的长度等于是多少？ g c 是不是等于二分之五个 x， 再加上一个五点五呀？ 哎，这道题到这已经结束了。同学们，探侦车十六点七度等于什么？探侦车十六点七度等于什么？同学们来看，探侦车十六点七度是不是等于 a g 比上一个 g c 等于多少？同学们，咱们来找一下，探侦车十六点七度等于零点三，也就是十分之三，对不对？ 那他就等于十分之三。同学们来看，那么咱们的这个是不是可以直接 a j 等于多少？ x？ j c 等于多少？哎，我直接列方程 x 比上一个 j c 是 不是二分之五个 x 加上一个五点五 等于十分之三？同学们，交叉一相乘嘛？交叉相乘之后就会得到这个。 呃，十 x 就 等于二分之十五个 x， 对 吧？同学们，三乘以二分之五是二分之十五，再加上一个三乘以五点五，三为十五，十六点五嘛。 到这同学们来看，我十 x 是 不是等于一个二分之多少？二十 x， 对吧？同学们，二分之二十 x 加上一个二分之十五个 x 等于十六点五， 哎！同学们来看，那也就是二分之五个 x 就 等于十六点五，同学们来看，二分之十六点五是多少？十六点五是不是二分之三十三？同学们， 那么咱们来看，那么二分之五个 x 就等于十六点五，是二分之三十三， 那么 x 等于多少？ x 是不是等于二分之三十三？除以二分之五乘以五分之二，那就等于五分之三十三， 五分之三十三等于多少？同学们，你看三十除以五是六，六点三，三十除以五，六点六米， 六点六米。同学们，我是不是还要把这个 g b 的 一点七米加上呢？对吧？因为啥呢？因为咱们 aj 是 x 呀， g b 是 一点七，要求 ab 的 长度，所以说同学们来看，那么 a b 就 等于 a j 加上一个 j b 么？是不是就等于一个六点六，加上一点七等于多少？八点三米么？同学们， 所以这个题到这就结束了。三角函数，其实咱们同学们这个做题中有些同学问题比较多，所以说你的首先你的思路要非常的清晰， 对吧？魏老师给俺教的都是求什么舍什么，求啥，你把啥舍出来，舍出来以后，然后你再进去用两个他的的值很容易就能做出来，这样的思路也是非常非常明亮的， 明白吧？同学们，希望大家下去以后把魏老师教的东西再好好再巩固一下啊！好，这节课咱们就讲到这里。
15庆阳老魏数学
05:34查看AI文稿AI文稿如果你现在有时间，你可以先跟我一起来做一下这道题，如果没有时间的话就点个收藏，到时候有空了就可以来看一下。这是最近几年很火的一种考法，把一个线段设为未知数，然后求一个函数表达式， 给了两个直角，然后说一个直径，直径所对圆周角就九十度嘛。接着说半径是一，也就是告诉我们 a 得是二呗， 然后他射 b 是 x， y 又是这么长一坨像大比嘎一样贼恶心的东西。 不过也是有迹可循的，看到上面两个乘积式，下方三个乘积式，所以很容易想到相似或者是三角函数，所以当务之急就是把角给别人导好。 三个垂直就想到一线三垂直的模型，或者说 k 型相似。三个红色的角相等，这个很容易看，然后黄色角相等也容易看 好。绿色角相等也是同样的道理，都是非常基础的。咱们把基层的工作做好之后，就可以下一步操作了。 af 乘得一，放到两个三角形里面去，我们直接标一首字母，我是很喜欢用三角函数去求的，这样的话找对应边也容易，只需要找角就 ok 了。 咱们扩散引一的话，一方面可以等于 ef 比 af， 另一方面可以等于得一比 a 的 a， f 乘得 e， 是 不是就是 b， f 乘 a 的， 然后你 a 的是二， 所以说这个地方就是等于二， b f 从里再观察下面这个式子，是不是可以用贪婪一去求。 同样也是找两个三角形， ab 比上 bf 就是 要等于 cf 比上 c 的 图形也就出现了 ab 乘 c 的 也是要等于 bf 乘 cf。 观察分子是二， bf 分 母又有 bf 和 bf， 自然可以约掉，然后二也可以跟二约掉， 此时这个就只剩下 c f 乘 c f 分 之一，所以说开根号开出来就是 c f 分 之一， 求出 c f 分 之一，观察一下 c f 长度是不是跟 b e 很 像，我们就可以直接大胆一搏， c f 就 等于 b 等于 x， 那 么这一个就可以转化为 x 分 之一了。好了，预判完之后还是要补证据的，我们再把角给标一下，同样用三角函数 sin f 是不是要等于 b 比 a 等于的， f 比 a 的， 所以 b 就 可以转换为 a 一 乘的 f 比上 a 的， 然后等于 x。 同理，我们可以用三 e 等于 c， f 比的 f 同时等于 a 一 比 a 的， 那么 cf 就 等于 a 一 乘的 f 比 a 的， 跟上面是一样的，也等于 x， 所以 我们的假设是成立的。再看要求的第二项，这是两个平方，那么我们 c f 等于 b 一 就等于 bf 呢？ 所以说 b f 的 平方就可以转化为 c 一 的平方，那么是不是很像一个平方和呀， 放到直角三角形 c 得一中， c 的 平方加 c 一 的平方，就是等于得一的平方，所以说这两个就相当于是得一的平方， 那么根号下四减得一的平方，这个四是不是二的平方，也就是 a 得的平方吧。 a 得的平方，减得一的平方， 然后再开根号放到直角三角形， a 得一中，他是不是就等于 a 一 了？ 所以说这个式子就变成了前面的的 f 乘 a 一 分之一。有没有觉得这个东西在哪见过呢？ 咱们先刹个车掉头，前面已经找到了 a 一 乘的 f 就 等于 a 的 乘 b， e， a 的 又是二，所以下面就变成了二比一就是二 x 分 之一了，那么这个题目也是做完了，也就是 x 分 之一加二 x 分 之一，通分就是二 x 分 之三。这个题目考的就是找相似找三角函数的基本功。
57Noki
07:45查看AI文稿AI文稿这个是带图像的考察二次函数图像与系数之间关系的选多选择题。 首先从图来看，它是开口朝下，对称轴在右，所以 ab 一 号交在 y 的 正半轴，所以 c 大 于零，所以 abc， abc 它们的乘积是要小于零，所以一是对的 好。第二个选项，那么由问题的条件会发现， a 是 在 a， 是 在负一到二之间，那么对称轴是一，那也就是说 另一个点应该是在三到四之间，三加负一等于二，二除以二等于一，所以另一个点应该是交在三到四之间。 对于任意实数 m 都有，那么这个怎么办呢？因为我们可以发现，当 x 等于一的时候，有函数的最大值，所以顶点为一。逗 m 题目已经告诉我们了，所以把 x 等于一代入就可以得到 a 加 b 加 c 等于 n 是 最大， 那么当 x 等于 m 的 时候，就有 y 等于 a， m 方加 b， m 加上 c 是 要小于等于 n， 所以连立起来就会有 a， m 方加上 b， m 加上 c 是 小于等于 a 加 b 加 c 的， 所以就会有 a， m 方加上 b， m 小 于等于 a 加 b， 所以移项移过去以后就得到 am 方加上 bm 减 a 减 b 小 于等于零，所以这里大于等于零，这个判断就错了，所以二是不正确的。 那么接下来第三个三， b 小 于二 c， 所以 我们可以知道， 这个 x 等于负一的时候，对应的函数值是大于零的，所以 x 等于负一的时候， a 减 b 加 c 是 大于零， 然后呢， x 等于负二的时候，就会有四， a 减二， b 加 c 是 要小于零， 然后对称轴负二， a 分 之， b 又是等于一，说明 b 是 等于负二 a， 所以 a 是 等于负的二分之一个 b， 那 么我们带到第一个设置里面去， 带到第一个设置里面去，我们可以得到什么呢？可以得到负二分之一，因为你这个选项里面没有 a， 所以 要把 a 削掉，所以带进去就负二分之一 b 减 b 加 c 大 于零， 所以就有二分之三个 b 移向移过去小于 c， 所以 三 b 小 于二 c， 所以 第三个选项是正确的。 好，现在就看一三一三四，看第四个选项。若该函数与 x 另一个交点为 b 点和 b 在 三到四之间，且 p a b p a b， 我 们说 它是一个等边三角形，得 n 是 等于负 a 分 之三， 那这个就跟我们之前学的这个顶点三角形是等腰直角还是正三角形 dior 是 一个具体的值，因为 ab 就是 两根尖的距离，是 a 绝对值，分之根号 dior， 然后呢， 它的高和底的又是它的二分之根号三倍，知道 p 点的坐标是等于 负二 a 分 之 b， 四 a 分 之四 a c 减 b 方，那么四 a 分 之四 a c 减 b 方，就是等于负的第二特， 所以正三角形的高是等于二分之根号三倍的底边，所以这里就有四 a 分 之负第二特是等于二分之根号第二特， 两根尖的距离。那么这样我们就可以知道两边乘以四 a 就 会等于 根号三二倍，根号三根号第二。这样的话，平方以后，第二方就会等于十二个第二，所以消掉一个第二，就知道第二等于十二。所以当它是一个正三角形的时候， dealt 是 等于十二，那么当这个顶点三角形是一个等腰直角三角形的时候，那就意味着四， a 分 之负 dealt 应该是等于 二分之一个 a， b 也就是 a 绝对值分之根号 dealt， 所以 dealt 方就是等于四 dealt， dealt 就 等于四， 所以这个地方我们就可以把它形成做填空题，就形成记忆，也就 delta 等于十二，等价于它是一个正三角形， delta 等于四，等价于它是一个等腰直角三角形，那么在这个题目当中，它就是 delta 要等于十二了。 如果用用这个知识来做，那它就是一个秒杀题，因为它的顶点就是一逗号四 a 分 之负 delta， 因为这个时候是正三角形，所以 delta 是 等于十二，所以四 a 分 之负十二，那就是等于负三， 也就是 n 等于 a 分 之负三，就直接秒出来了，所以第四个结论是对的，所以选倒就可以了， 这就是我们做选择题用知识的好处，因为此时它是一个正三角形，说明德尔特是等于十二，所以只要把十二带进去，因为它的顶点在这个题目当中的顶点就是一逗 n 嘛，所以马上就可以知道 n 就 等于 a 分 之负三，这样就能够顺利的解决这个问题了。 好，同学们有没有学到？
2冬老师
07:45查看AI文稿AI文稿这个是带图像的考察二次函数图像与系数之间关系的选多选择题。 首先从图来看，它是开口朝下，对称轴在右，所以 ab 一 号交在 y 的 正半轴，所以 c 大 于零，所以 abc， abc 它们的乘积是要小于零，所以一是对的 好。第二个选项，那么由问题的条件会发现， a 是 在 a， 是 在负一到二之间，那么对称轴是一，那也就是说 另一个点应该是在三到四之间，三加负一等于二，二除以二等于一，所以另一个点应该是交在三到四之间。 对于任意实数 m 都有，那么这个怎么办呢？因为我们可以发现，当 x 等于一的时候，有函数的最大值，所以顶点为一。逗 m 题目已经告诉我们了，所以把 x 等于一代入就可以得到 a 加 b 加 c 等于 n 是 最大， 那么当 x 等于 m 的 时候，就有 y 等于 a， m 方加 b， m 加上 c 是 要小于等于 n， 所以连立起来就会有 a， m 方加上 b， m 加上 c 是 小于等于 a 加 b 加 c 的， 所以就会有 a， m 方加上 b， m 小 于等于 a 加 b， 所以移项移过去以后就得到 am 方加上 bm 减 a 减 b 小 于等于零，所以这里大于等于零，这个判断就错了，所以二是不正确的。 那么接下来第三个三， b 小 于二 c， 所以 我们可以知道， 这个 x 等于负一的时候，对应的函数值是大于零的，所以 x 等于负一的时候， a 减 b 加 c 是 大于零， 然后呢， x 等于负二的时候，就会有四， a 减二， b 加 c 是 要小于零， 然后对称轴负二， a 分 之， b 又是等于一，说明 b 是 等于负二 a， 所以 a 是 等于负的二分之一个 b， 那 么我们带到第一个设置里面去， 带到第一个设置里面去，我们可以得到什么呢？可以得到负二分之一，因为你这个选项里面没有 a， 所以 要把 a 削掉，所以带进去就负二分之一 b 减 b 加 c 大 于零， 所以就有二分之三个 b 移向移过去小于 c， 所以 三 b 小 于二 c， 所以 第三个选项是正确的。 好，现在就看一三一三四，看第四个选项。若该函数与 x 另一个交点为 b 点和 b 在 三到四之间，且 p a b p a b， 我 们说 它是一个等边三角形，得 n 是 等于负 a 分 之三， 那这个就跟我们之前学的这个顶点三角形是等腰直角还是正三角形 dior 是 一个具体的值，因为 a b 就是 两根尖的距离，是 a 绝对值，分之根号 dior， 然后呢， 它的高和底的又是它的二分之根号三倍，知道 p 点的坐标是等于 负二 a 分 之 b， 四 a 分 之四 a c 减 b 方，那么四 a 分 之四 a， c 减 b 方，就是等于负的第二特， 所以正三角形的高是等于二分之根号三倍的底边，所以这里就有四 a 分 之负第二特是等于二分之根号第二特， 两根尖的距离。那么这样我们就可以知道两边乘以四 a 就 会等于 根号三二倍，根号三根号第二。这样的话，平方以后，第二方就会等于十二个第二，所以消掉一个第二，就知道第二等于十二。所以当它是一个正三角形的时候， dealt 是 等于十二，那么当这个顶点三角形是一个等腰直角三角形的时候，那就意味着四 a 分 之负 dealt 应该是等于 二分之一个 a， b 也就是 a 绝对值分之根号 dealt， 所以 dealt 方就是等于四 dealt， dealt 就 等于四， 所以这个地方我们就可以把它形成做填空题，就形成记忆，也就 delta 等于十二，等价于它是一个正三角形， delta 等于四，等价于它是一个等腰直角三角形，那么在这个题目当中，它就是 delta 要等于十二了。 如果用用这个知识来做，那它就是一个秒杀题，因为它的顶点就是一逗号四 a 分 之负 delta， 因为这个时候是正三角形，所以 delta 是 等于十二，所以四 a 分 之负十二，那就是等于负三， 也就是 n 等于 a 分 之负三，就直接秒出来了，所以第四个结论是对的，所以选倒就可以了， 这就是我们做选择题用知识的好处，因为此时它是一个正三角形，说明德尔特是等于十二，所以只要把十二带进去，因为它的顶点在这个题目当中的顶点就是一逗 n 嘛，所以马上就可以知道 n 就 等于 a 分 之负三，这样就能够顺利的解决这个问题了。 好，同学们有没有学到？
0冬老师
01:49查看AI文稿AI文稿助力天津中考数学题型和解析。我们今天呢来到了第六题啊，第六题考的是特殊角的三角函数值计算啊，是八年八考 三角函数这一块板块，我们在中考当中一共是十三分啊，那么选择这个特殊角的计算是一个，那么大体有一个三角函数测高啊，今天这个第六题呢，他是竟然是特殊角吗？ 有内三个特殊角，三十四十五，还有六十对吧，我们通过他的这个正弦余弦正切啊，你去背也好啊，或者说我临场当中啊，如果说忘了啊， 我们一直告诉大家的是，怎么办？我要画图对不对啊？四十五度的话，他是一个等腰直角三角形，那么三边的比是一比一，比根号二啊，嗯，三十六十 九十对吧？三六九，那么他的三边比，因为三十度所对的直角边是斜边的一半啊，所以呢，三六九三角形三边比是多少？是一比 根号三比二啊，这是他的三边比，那么我们有了这个三边比，无论我求的是散扣散还是弹进他，对吧？那么正弦是什么？ 是这个角的邻边比斜边啊，正切呢？是对比 零啊，对比零，只要有三边的比例关系啊，这个我们特殊角啊，哪怕你临临时考试当中啊，我忘了对吧，我画出图也可以知道啊。 然后呢，我们就是他会给到这个系数啊，有这个分数对吧？分数还有这个根数啊，这个两个可能会迷惑你啊，再有就是前面会有这个负数啊，负数我们计算的时候再仔细一点，这道题呢，也是必须会的啊，也是白送分的题。
11周是圆白话数学
08:34查看AI文稿AI文稿同学们好，今天给大家分享一道中考题里边三角函数的应用的问题。同学们啊，看观察已知条件。同学们啊，这个 c d 是 一个遮阳棚，这是一堵墙，和地面是垂直的， 太阳光线从这个点 d 处射下来的时候，和地面形成的夹角是二十九点五度，正午的时候，太阳光线从这个地方照射到地面上形成的夹角是七十六点五度，知道两个角度，还知道这个 ab 的 长度是六点五， 还知道这个一系列的三角函数角七十六点五度，还有二十九点五度，他们三个的正弦、余弦正切都是已知的。就让我们来求一求 cd 这个遮阳棚到地面的 ab 的 距离是多少？你得首先找到 cd 到地面的距离是哪一块。同学们， 那么涉及到三角函数问题，像这种三角函数问题，咱们第一反应就是要想办法把它提供的七十六点五度还有二十九点五度放到直角三角形中去，这是第一个思维。第二个就是让你求 c d 到地面的距离，那你得首先找到 c d 到地面的距离是哪一段呢？ c d 到地面的距离是哪一段？显然可以是 c b， 我 们也可以过点地向地面做个垂直 dm 垂直于它也行。哎， dm 和 c b 都可以。那前面看一看，如果我做了这个 dm 垂直的话，是不是这个七十六点五和二十九点五同时都落进了直角三角形中圈， 所以说这种做法就是非常可取的。我看见有的学生他过点 a 做垂直。同学们啊，现实中学生有的过点 a 做垂直， 过点 a 做垂直的话，你只把这个七十六点五度的这个角放到直角三角形中去了，这个二十九点五度的角又跑到这个三角形里面了，你还得在这里证明他是一个矩形，这样做就反锁了，就麻烦一点了。 你就不如做这一条垂线，把他俩同时放到直角三角形中去。那么接下来咱们要求的就是这个 dm 的 长度是多少米了？咱设 dm 是 x 米，那同学们，观察三角函数 七十六点五所在的这个直角三角形，有一个 x 了，还有一个未知的线段 a m， 当然 a d 更不知道， 那么 a m 是 一个水平线， a d 是 个斜边。那再来看，这里还有一个六点五，还有一个二十九点五。想让我们要求的这个 x 同学们，他即使七十六点五的对边，也是二十九点五的对边。 而已知的线段呢，恰恰都在它的它两个的邻边上，都在它两个的邻边上。所以说这个 a m 不知道很是个问题， 如果这个 a m 要知道的话，这个问题就迎刃而解了。所以说 a m 的 未知也是一个问题，我们就给他继续设未知数。同学们啊，不要怕设未知数，他为什么提供了两个三角函数啊？就是为了让你列两个未知数，设两个未知数，列两个方程的。那同学们观察，摊着它七十六点五度， 我为什么列摊着它呀？因为未知的 x 和未知的 y 正好是七十六点五度的对边和邻边。 有的同学选择困难症的时候，你就这样选择，你看一看未知的边和已知的边组成的是对边啊，还是邻边啊，还是斜边啊？他用的是哪两条边，你就要用哪个三角函数，这里显然是对边和邻边的关系，所以我们就要用 tan 给他了。 tan， 这个七十六点五度，他就等于 x 比 y， 约等于谁呢？同学们，这里有了约等于二十一比五啊！ 再来看二十九点五度所在的这个直角三角形中，他的对边是 x， 而邻边是 y 加六点五，所以摊着它二十九点五度，就等于 x 比上一个 y 加六点五了， 而摊着它二十九点五度，它也提供了十四比二十五，实际上就是让你来列这样的一个方程组呢。同学们，求 x， y 就 可以了。 说到这里，可能有同学就觉着好，就这么个事啊，我就解这个方程组就可以了，实际上解方程组你不一定能解的出来。同学们啊，中考题他是有技巧的。接下来咱们就要来讲如何来解这个方程组啊！ 还要注意的一点是，这个方程组这个地方是一约等于号。同学们啊，一定要一约等于二解这个方程组，那么就是来解这个 x 比 y， 约等于五比二十一了，交叉相乘对不对？那就是五 x 等于二十一， y 这里也交叉相乘，那就是二十五 x 约等于啊，约等于。说着说着又折腾了，约等于 y 加六点五，乘上一个十四的样子，乘上一个十四的样子。那么接下来再观察这个地方。同学们啊，再观察这个地方，我把这里改一下啊，写成十四倍的 y 加六点五吧， 十四倍的 y 加六点五，解这个方程组，怎么解才能更简单？同学们，怎么解才能更简单？ 那么你列出他了，你就可以在后边直接解得就可以了。同学们， x 约等于什么？ y 约等于什么？直接解得就可以了啊。那下面这些过程我们都是草纸上进行的，怎么解？这个方程组才是关键。同学们啊，你要学会设两个未知数列方程组，这是第一关键，第二关键你会解， 好多的同学是列出方程组来，不会解，那么接下来观察这个方程组里面，发现我们这个 x 的 系数是倍数关系，那么我就把第一个方程的左右两边都乘上一个五，那就变成了二十五 x 约等于五一百零五 y 了， 然后我直接代入消元就可以了，那就是十四倍的 y 加六点五就等于一百零五 y 了。 展开整理，听见没有？展开整理，展开整理他也是有技巧的啊，十四 y 加上一个十四乘以六点五，六点五就是二分之十三，不要弄成这个给他盛起来啊，不要把十四和六点五盛起来，盛起来就麻烦了。 那么出现这个样子一下，十四乘以一个二分之十三，就等于一百零五 y 减掉一个十四 y， 一 百零五 y 减掉十四 y 是 九十一 y， 我 直接写成九十一 y 了啊， 倒过来，九十一 y 就 等于十四乘以二分之十三，也就是说你这个十四乘以二分之十，你老是不乘起来，这是为什么？就是为了减变运算对吗？ 不到最后一步，不要给它乘起来，那么 y 就 等于什么？ y 就 等于十四乘以二分之十三，除以九十一呗。除以九十一，那就是乘以九十一分之一啊。 那么接着看这个地方啊，我把这个发生数擦掉，我把这个发生数擦掉，你就看这个地方怎么变化啊。 y 等于的是十四乘以二分之十三，再乘上一个九十一分之一。 哎，我一直没有乘起来，原因就是这里他可以约分。同学们啊，不要约到不到最后，切记不要约啊，不要给他乘起来，十三和九十一约分，他就是个七呀。同学们，十三乘以七正好是九十一，你算一算对不对啊？ 然后这个七呢？又和十四可以约分，是个二啊，然后这个二和二又约分，所以 y 最后等于的是个一呀。哎， y 等于一带到这里来，那 x 就 求出来了。 所以说，这个题的关键就是我要教给你怎么计算更简单。同学们，不要到最后一步，不要给他乘出来，因为到最后约完了分再算反而更简单。 还要注意一点，这是第二个注意的点。同学们啊，如何解这个方程组？最后一点一定要检验啊，因为这个未知数出现在分母上了，经检验， x y 是 分式方程的解，且符合提这两句话，一句都不能少。 那么总结一下这个题的关键点，同学们，你得有两个角度的，出现的时候，通常就要设两个未知数 列方程组来解决三角函数的问题，这是第一第二解方程组的时候，不到最后一步，不要给他盲目的把那个数字给它乘出来， 这里十有八急都有可能，有些把十四和六点五乘出来，十四和六点五有这样乘吗？我见学生学生都是乘出来的。弟兄们啊，所以说我在这里给你讲一下这个分这个方程到底怎么解？简单带入消炎就可以了，最后别忘了检验，希望这个题目能够帮到大家。
45初中数学柳老师
06:59查看AI文稿AI文稿然后呢找到这个直角三角形的内心，那什么叫内心哈？呃，内心的话呢，按照定义来讲呢，就是他的这个角平分线的焦点，那一般呢是不用正的，就是我们可以默认呢，他是交一点啊，那知道他定义就是好了，他都是角平分线的，那这个题目呢，他相对给的呢特殊情况就是 如果 c d 呢和 c m 啊长度一样，然后 d 点的话呢，它还是中点好，那再告诉我们呢， b m 的 长度是等于一的， 那问 ab 的 长度呢是等于多少的？那做的时候呢，我先尝试的这个方法呢，就是内切圆，然后呢通过呢面积方法来做，然后之后的话呢就尝试用另外一种方式来做， 就是我们呢既然有内形，我们就把它连接起来看一下，也就是把这个顶点呢和这个内形呢连起来，那么连起来之后呢，正常呢是有个结论的， 我们在旁边的话，把这个支点呢再讲一下啊，比如这里呢有个三角形 a b c， 那 我们就可以得到一个小结论，就是这个角 o 呢，是等于呢九十度加上呢二分之一的角 a 的 好，那这个证明的方式呢比较好说好，我们可以这样来的，角 b 这边的话呢叫阿尔法，这边的话叫贝塔，角 a 的 话呢，其实可以也给它分一下 啊，比如叫做 c 塔啊，按照我们这个燕尾形的这个啊，就是说这三个角度相加，应该是得呢这个角 b o c 的 好，如果觉得这个呢不好理解呢，你可以理解为呢是一百八十度去减 alpha， beta 也可以啊，我们就用这个方式来说明它好不好，它等于呢一百八 减去 alpha 和 beta， 这个 alpha beta 的 话呢，本身有什么特点呢？它如果是就是单独一个是没有的， 但是呢，我们呢，知道呢，两倍的 alpha， 两倍的 beta， 加上呢整个的大角 a， 也就 b a c 啊，是等于呢一百八十度的，为什么它是内角和对不对？所以这样的话呢，可以把 alpha 加 beta 呢，可以单独的算出来，除个二就可以了，所以就九十度呢，减去呢二分之一的角 b a c。 那 如果我用这套证明方式呢，这个 theta 是 可以不用的啊， 也就是一百八十度呢，减去呢九十度，减二分之一的角 a， 这个 b a c 可以 缩写成角 a。 好， 那你化简一下， 它这个结果呢，就是九十加上二分之一角 a 的 啊，这是一个小支点，那么用到我们这个题目当中话呢，可以怎么来说哈，那我这样的也来一下，就是 alpha beta， 那 很自然的话呢，就可以呢，知道中间这个角是不是等于一百八十度，减去 alpha 和 beta， 那 因为呢，这个 alpha beta， 两倍的 alpha beta， 它的和是等于呢九十度的 啊，因为它加上角 b 角 b 是 等于九十度的，等于一百八，所以呢，二倍的阿尔法加二倍的贝塔等于九十，那因此呢，阿尔法加贝塔这个值呢，就知道了，它是等于呢四十五度的，那所以中间这个地方呢，它就是一百三十五度啊，那知道这个话呢，还不注意呢哈，用上我们这个条件，它这里呢比较特别，就是一百三十五度呢， 算不算特殊角呢？嗯，算，但是不够好，就是他的话呢，不是我们通常理解那个三六九或者四十五度，对吗？所以呢我们呢把它呢稍作延长，延长有两个方向哈，就是可以选择这边画呢，画过去做垂，他是一个这个等腰直角三角形。另外的话呢，往这个方向去画，然后做垂也是一个三六九， 不过呢这边这个方向就左边这个方向呢要好用一些啊，为什么呢啊？因为呢，这个 a d 啊和 c e 啊，这个方向它告诉我们呢，它是中点，而且的话呢，这个 c d 和 c m 呢又是相等等腰，所以呢这个角 o 这里呢，它其实垂直，对不对 啊？就 d m 和我们的 c o 垂直，所以从这个方向看呢，是有个中位线的，它比向左边那个呢要来的要方便一些，那这里呢藏着一个呢？呃，很重要一个事实，我们呢也看一下，先是通过中位线，我们可以知道这一段的长度说叫做 a。 好 了，它和我们的 这段 p o 的 长度它是相等的，这是我们刚刚说的这个中微线来的 d o 它是中微线啊，这边是中点的平行。那更进一步的话呢，因为这个幺三五的零步角是四十五度，所以呢 p a 的 长度多少呢？是不是也等于 a， 所以 它隐藏一个是就这个三角形啊，直角三角形，如果我们不去分析的话呢，你发现它这个 边和角都不知道 b m 是 没有什么用的啊，那你通过这种角度的分析，再结合中点，可以知道它这个隐藏这个角 c 啊一半，那个角度大小是固定的，那这样说这个角 c 就 应该是固定的。 好，我们先说这个角 c 的 一半，也就是天津贝塔这个事情啊，它是等于呢 a 除以二 a 就是 一比二的看。好，那我先坐这里的话呢，这个三角形其实形状就固定下来了，固定下来之后的话呢，我们再来看一下另外一个点，就是我们看到这个三角形呢， c d 呢？这边的话呢，边长啊，比如说这个边长就是 x， 它利用中点的话呢， d a 就 也是 x 啊，因为形状一定的话呢，也是 x， 那 因为形状一定的话呢，也就是角度，比如说啊，这个贝塔，二位贝塔，如果告诉你是六度， 是不是这个 x 可以 计算出来，只不过线的话呢，它不是一个特殊角而已，它只是一个固定的角，那就设到我们的第二个值点了，就是这个二倍的贝塔，二倍的贝塔， 它的三角函数值是多少？那可以用呢？ tangent 啊，也可以呢，是用这个，其他的三引和三引都可以表示，所以关键呢是要知道这个二倍的贝塔是多少，那第二个值点我们就这样来看。这里呢有个角是贝塔啊，在直角三角形里面，它告诉我们呢，它的这个 tangent 值 是等于呢一比二了，现在我们来分析呢，他的二倍角就二倍的贝塔，他三角函数通常做法呢，就是画个等腰就好了，不破坏直角 使这个角呢等于贝塔，那么这个角用外角知识知道哈，两个角相加就是二贝塔了，那这个二倍的话呢，另外两边不是不知道吗？ 我们可以呢，稍微做个假设就可以，假设呢，其中一条边呢为 x 等腰，另外一条边就是 x， 那 么剩下这一段是就等于了二 x 来的，所以我们可以在这里面话呢，进行一个购物定律来计算，也就是得到呢一的平方加上呢二减去 x 括号的平方 等于呢 x， 这个 x 是 不是就顺道可以解出来？好，那么计算出来的话呢，这个 x 呢是等于四分之五，那咱们给他带进去哈，这边就是四分之五，这边呢是等于呢四分之三，所以他的话呢，这个比例的话呢，三边的比例是可以知道的，那就是呢隧道我们这个图形里面已知条件呢，另外呢，这个斜边的话呢，是等于呢二 x 的， 那这个呢，我们的二倍塔，这叫它的零边，这叫它的斜边，那我们零边比斜边话呢，就用什么呢？用我们的余弦 就是 cosine 二倍，它等于呢在这个实战当中是 bc 比上的 ac 就 好了。这个结论的话呢，我们再看一下这个刚刚那个推导里面的，我们去看一下这个 cosine 倍，它是多二倍，它是多少，它这个零边的话呢，是等于这条边 等于四分之三，然后斜边的话呢是等于这条边等于四分之五，这它的这个二倍它的余弦值，那在这里呢，就当然也是等于呢五分之三的，所以 bc 这个长度呢，给它带进去是一加 x 的 啊， a c 的 长度呢，是等于二 x 解压这个方程，那可以算出来呢，这个 x 值呢是等于五，那么给带进去哈，那这个的话就是二 x 是 等于呢十，这边的话呢是等于 x 加一是等于呢五加一等于六，所以呢这个 a b 的 长度呢，就应该等于呢八了啊，六八十，所以最终答案呢是等于呢八。
37一起学初中数学
11:06查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，这里是青铜老师啊，我们的二调已经结束了，首先啊，这个恭喜所有二调出了成绩已经上岸的同学啊， 但是没有上岸的同学也不要灰心，我们还有我们的中考啊，但是更重要的是我们要在这个二调里面吸取一些教训，对吧？啊，当然老师更想分享的是我们渝中区二调的一个三角函数的一个专题啊， 它这个出法就非常贴切我们之前所有讲的这个三角函数这个整体，对吧，很符合我们经典的出法。然后老师也借助这个题来给简单的再带大家来练一下三角函数这个题，让大家的考试里面这三角函数能够把这个十分更有把握的拿起来。 ok， 那 我们一起来看一下现在， 呃，这道渝中区的啊，二调考试的真题，因为这个扫描板他的这个，嗯，这个题干不是很清晰啊，老师把这个主题干放在上面了，然后大家可以看一下，老师是已经看过题了，简单，这个大家可以截图看一下之后，然后再来听老师讲啊， 好，这题的角度的数据啊，但是大家还是要认真看题的，可能有一些他没有标啊，是隐藏条件，对吧？好，然后这里面这道题里面是没有什么隐藏条件的啊，那就给了一个三十度，给了一个四十五度，然后呢，他又给了两个数据，一个是 a b 的 距离，就是一个二十海里，对吧？ 还有一个，呃， d a 之间的距离是一个十三海里， ok， 那 我们说这道题一般情况下我们要么就割，要么就补嘛，对吧？他让我们求的什么？求 c、 d 的 距离，对吧？ 啊？很明显这边是四十五度，利用起来，这道题是割也可以，补也可以啊，那我们这里面就选择割，那我们现在肯定是先把这个四十五度围绕着它去构造特殊的直角三角形。 ok， 这个四十五度利用起来，然后这三十度也利用起来好，就形成了一个，这么 一共有一个矩形，对不对啊？一个矩形啊，一个含三十度角的直角三角形，还有个含四十五度的直角三角形。 好，那我们来看一下这边给的数据啊，一共就是一个二十和十三，那接下来我是不是我要利用这个二十和十三把这个题求出来呀？那这个十三是不是我们有直接可以转化的边， 那这个边是不是直接可以转化？因为这个是十三，那一比一，一比一比根号二，对不对？那从根号二到一，我就要乘个二分之根号二，那所以说它乘了二分之根号二 a n 应该等于二分之十三倍的根号二 啊，来这边是不是这一撮也等于二分之十三倍的根号二啊？但是你好像还是没办法求出 cd， 因为你归根结底你要求的是 dm， dm 乘上一个二，那才等于 cd 呢，对不对啊？那所以说我们先要求 dm， 那 果断 列方程嘛，对不对啊？这个二十还没有用起来呢，所以说我们就列设这块为 x 好 了，是换个颜色比设这块为 x， 那 左边这一段 c m 就是 根号三 x， 没有任何问题，因为这矩形对过来，这也是根号三 x 啊，那这个就已经很明了了，二分之十三倍的根号二， 加上根号三倍的 x， 一 共等于二十的嘛，那这个方程非常简单的就列出来了二分之十三倍的根号二。 好，那这个方程就非常简单的列出来了二分之十三倍的根号二，再加上一个 根号三 x 等于一个二十，对吧？好，老师，这个有点复杂，怎么减啊？那你就正常正常方程怎么减，我们就怎么减，就把这个减去一个二分之十三倍的根号二移过来就 ok 了 啊。然后 a， 老师，这边根号三 x 怎么处理？除过去啊？除以一个根号三，相当于乘一个三分之根号三，那相当于二十减去二分之十三倍的根号二，乘上一个三分之根号三，对吧？ 这就结束了呀，来，那我们看一下，那这玩意就等于一个三分之二十倍的根三减去一个六分之十三倍的根号六。 眉毛，对吧？那接下来这是 x 对 不对？到了 c、 d， 我 还要再乘个二啊。你把它乘个二就可以了，你也可以先通分再乘二啊，也可以先通分再乘二，然后最后我们把这个数据带进去算就可以了啊，也是比较简单的啊。当然这个计算可能稍微复杂了一点，但还没有那么难啊， ok， 当老师的一些学生啊。呃，就线下课的学生还是？呃，跟老师反映这个，这个三点函数，这个计算太阴间了啊，老师其实也觉得有点阴间啊，但是这个计算就是这样的，没有办法， 他这个就是刻意的在增加计算量啊。这个题目，呃，因为他前面有一些题目出的可能比较简单啊，所以说他这道题还是增加了一点计算量。好， 那我们来看第二问好，第二问啊，还是一样的，这里面老师把这个题干放给大家，好，那第二问，他说啥了？他说这个，呃，甲从 a 点出发，对吧？沿 a d， 那 这是甲，对吧？呃，然后乙从 b 点出发，那这是乙，老师随便点的， 那这是乙。 ok， 来，那甲和乙都已经有了，那他说乙的速度是甲的根号二倍，那咱们就设甲的速度为 x 呗，那乙的速度，那就根号二 x， 那 咱把乙往前挪一挪， 因为乙的速度是根号二倍的嘛，乙的应该快一点，那咱们就让乙来这，那所以说这一搓就是我们的根号二 x 啊，这一搓就是我们的 x 嘛，咱们就假的这个速度，他们是同时出发，那同时出发就证明他们时间用的是一样的，那速度乘时间又等于路程， 你时间一样的话，对吧？你这时间一样，你就路程比，就速度比，就是路程比，所以说我们就可以直接这么设啊，就和我们的动态函数一样。其实啊，那所以说这块就是 x， 这块是根号二 x。 那 接下来大家说啊，题干又说啊，这个甲乙之间的距离是甲到这个顶点 a 到这个距离的根号三倍，那咱们就直接设这个甲乙之间的距离为根号三 x， 不 就可以了吗？好，那现在都设完了，第二步是啥啊？第二步直接构造直角三角形，你想怎么构造怎么构造啊？这但是有一个前提条件，就是你这个构造方式一定要能用上特殊角，你看 我这构造是不是有一个四十五度呀？那我肯定很舒服呀，因为我这个 x， 我 知道这是根号二这边吗？那这个到一这条边我就乘个二分之根号二，所以说这块就是二分之根号二 x， 这块也是二分之根号二 x， 这就比较舒服啊。所以说 我们构造这样三角形的时候，尽可能的去利用特殊角啊。特殊角。好，那接下来，接下来怎么办呢？那这，这是不是已经是好老师换个颜色的笔啊？二分之根号二 x 了，那这边是不是也是这边也是一个二分之根号二 x 啊？ 那这边又是一个啥呀？那根号三 x， 那 剩下这一搓是不可以减？这个减写成二十，减去一个根号二 x， 再减去一个二分之根号二 x 呀。所以说 你减掉这一撮，减掉这一撮，剩下的不就是一个直角三角形吗？我是不是可以用勾股定力来表示了？那这一撮是多少？是不是二分之根号二 x？ 而这一撮是题目给的根号三 x， 而最后这一撮是用整个这个二十减掉根号二 x， 再减掉我们用特殊角代换出来的二分之根号二 x。 嗯，结束了，在这个直角三角形里面应用勾股定力解方程就可以了。好，咱们这方程列下， 那这边这个直角边咱们就给它起个名叫 p 和 q 吧。好吧，这个 p 就是 q， 然后这边再给一个呃， h， 好， 那我们就在这个 r t 三角形 q p h 中，对吧？ 啊，那我们就是，呃， hp 就是 多少二分之根号二的平方， x 的 平方加上我们的什么呀？呃，这个 二十减去二分之三倍的根号二 x 的 平方，等于我们的根号三 x 的 平方。 ok， 那 接下来解方程就可以了解方程就可以，了解方程的时候我们注意啊，你开平方大家都会，对吧？啊，这里需要老师带着大家解一下吗？我简单写一下吧。啊，来，那这边你平方完事了之后， 这个计算步骤，如果觉得大家觉得没有必要，能看到这就可以了，如果这个计算还有问题的同学可以继续往下看啊， 这边就变成了一个二分之根号呢，就变成了二分之一的 x 的 平方，这个没啥毛病，然后再加上一个四百减，再加上一个四分之十八倍的二分之九，是吧？啊， 因为 a 方加 b 方嘛，对吧？ a 方加 b 方减二 a b， 那 a 方加 b 方，那这个 b 方就是一个四分之二分之九 x 方，然后再加上再减去吧。啊，再减去一个二 a b， 就是 a 乘 b， 首先对不对？ 还要再乘个二，二约掉了，那就变成了六十倍的根号二，对吧？这老师抄错了是吧？六十倍的根号二 x， 好， 再加上一个 啊，没有了，这边没有了，就等于三 x 方了， ok， 那 这个就解呗，那你一约这边一共是一个五 x 方，对不对？五 x 方减三 x 方，那还剩一个二 x 方，二 x 方减六十倍的根号二 x 加四百等于零。 好，那我们继续最后一步计算， ok， 我 们最后一步计算，如果是到我们化简成了这个地步啊，我们直接可以套公式法了。 那有些。哎，老师，那十字相乘，这个一看，这个是个二四三相，是我十字相乘，行不行呢？啊？这，这个也可以，但是很难找，对不对？因为你这带着根号二呢，一旦带着根号二，你凑数据非常难凑，题目中他可能压根就没想让你凑出来。那所以说咋办？我们直接 对吧，直接套公式就 ok 了呀。那二 a 就是 二分之负 b， 负 b， ok， 那 我负 b 就是 三十倍的根号二，加减根号下 b 方减四 a c， 那 b 方那就九百乘二一千八倍。呃，这个四 a c， 那 就是减一个八百呗，那就约的是十倍的根号 十的吗？对不对？你这个平方减 c， c 是 一千一千，不就十倍的根号十吗？没有任何问题，你变成了十五倍的根号二，再加减一个。什么呀？这个五倍的根号十啊， 对吧？看，那你乍眼一看，这五倍根号十肯定是根号下二百五十啊。你十五倍的根号二，你把这个十五塞进根号里面，它是根号四百五，那是减出来，不是负数。哎，老师，那怎么舍解呢？难道这俩解我都要写上去吗？ 这个肯定不一定的，对不对啊？我们经过计算，我十五倍的根号二加五倍的根号十，大家不觉得太大了吗？你这个 a、 d 一 共才多少呀？十三，你这一看，十五加五倍的根号十，很明显太大了。那所以说怎么办呢？那这个肯定要舍掉，舍掉， ok， 那 我们这道题结束 啊。呃，如果这道题对你有收获，或者是对你这个三点函数整个解题包有帮助的话，记得给老师点个关注啊。同时，呃，如果有想和老师线下合作的这个同学啊，可以直接私信我。
127重庆初升高rock老师
14:14查看AI文稿AI文稿有问题的条件，我们会发现表格当中有两组数据很特殊，分别是一斗负四和三斗负四，所以由这个一斗负四，三斗负四，我们可得到对称轴， 所以对称轴就是 x 等于一加三的一半就是等于二，所以二就是对称轴。 那么 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， 这个负二， a 分 之， b 是 等于二的，说明 b 是 等于负四， a， 然后 这个解函数就可以写成 y 等于 ax 方减四， ax 加上 c， 那 么又有表格当中我们可以知道，因为 x 等于零的时候， y 是 等于 m， 说明 c 就 等于 m， 然后 m 的 范围是在零到二之间的 零到二之间，因为 m 是 在零到二，所以 m 是 要大于负四的， 所以我们大是可以可以画出这个函数的图像的，因为你是一到二之间的交点，然后对称轴是二，那么至于这个开口， 我们是不是可以判断出来它是开口向上，这样的话就有，因为这样的话我们可以 大致得到它的函数图像。对称轴是等于二，所以经过 再往下一点点，一个是一道复四和三道复四，一道复四和三道复四， 所以这个 m 肯定是要大于负四的，在这个负四的上方， 所以判断出来 m 是 大于负四， 所以 a 是 大于零， c 是 大于零， b 等于四， a 是 小于零的，所以 a、 b、 c 是 小于零，所以结论一是对的。然后第二问 到对称轴的距离，一个是负二到二的距离是等于四，一个是七到二的距离是等于五，然后因为四是小于五，开口朝上到对称轴的距离 越远，函数值越大，到对称轴的距离越小，函数值越小，所以 y 二是要大于 y 一 的，所以第二个判断也是正确的， 那么第三个给到有两个 两个不相等的舍数根叫我们判断，那么现在是加了绝对号 这样的一个抛物线，也就是要考虑的是 y 等于 ax 方，加上 b x 加 c 的 绝对值和 y 等于 s 减一， 他说这图像会有两个交点，也就是这个方程会有两个根。 那么我们来看表格当中已经有四和 s， 那 么对称轴就是二的话，它和零和 m 是 对称的，所以由条件我们可知， 这里的零逗 m 与四逗 s 是 关于对称轴，对称轴 x 等于二是对称的， 所以这个 m 等于 s， 所以 m 也等于 c 嘛，所以这个 m 和 s 和 c 都是相等。 那么因为 m 是 在零到二之间，所以这个时候的 s 也在零到二之间， 那么当 s 大 于一的时候，因为你是 s 减一嘛，所以当这个 s 减一大于零， g s 大 于一的时候，那么这个 s 减一就在零 到一之间。那我们刚才讲到了它是带绝对号的这个抛物线跟 s 减一的交点问题，那么我们来考虑在原来已知的这个抛物线当中加了绝对号以后，这个图像是不是 x 轴底下的部分就要翻上来， 所以我们将会得到一个 w 一 样的图形，那么这个时候又有题目条件，我们可以知道 m 的 焦点是在 零到二之间的，也就这个焦点。那么现在当 s 减一大于零，也就是 s 大 于一的时候，这个 s 减一是在零到一之间， 所以这个时候我们看到它是会有四个焦点，这个时候是有四个焦点是没问题的，但是呢，当这个 s 减一刚好是等于零， g s 等于一的时候， 那么这个时候 y 就 刚好变成了 x 轴，所以这个时候有图像呢，有两个焦点。 那么第三种情况是，当 s 减一小于零， g s 小 于一的时候，那么意味着这条直线将会在下方， 这个时候于图下就没有交点，这个时候 s 减一小于零，在图 x 轴下方就没有交点，所以这个时候是无交点，也就是无舍数根。那么意味着三是什么呀？三是错误的，这样就得不到了。 第四个选项是 s 加上 n 的 范围在负三分之十六和负四之间。那我们知道，在这个题目当中，二逗 n 它代表的是顶点，那么也就是开口朝上面，这是最小值加上四所对应的函数值，它们的范围是在 这两个值之间。那应该怎么去考虑呢？所以我们不妨把这个 n 用四指来表示出来， 所以由条件我们可以得到，当 x 等于二的时候，这个 n 是 等于四， a 加上二， b 加上 c 的， 因为 c 已经知道就是等于 s 嘛，这个一开始我们就知道，因为 s 等于 m 等于 c 嘛， 所以然后当 x 等于一的时候，是等于负四的，所以 x 等于一的时候呢，又是等于负四的， 所以负四是等于 a 加 b 加 s 的， 然后是当 x 等于三的时候，又可以得到的是 对应带进去三带进去是负四嘛，所以是负四是等于九， a 加上三， b 加上 s 的。 所以我们就可以用消元的办法解一个字母方程，这样的话我们就可以得到 n 是 等于四， a 加上二 b 加上 s， 然后因为前面已经做出来 b 是 等于负四 a 的， 所以 c 是 可以， s 是 可以表示出来的。 也就是说把下面两个数字一加，我们可以得到 s 是 等于三 a 减四的，所以再把三 a 减四带进去，就得到负四 a 加上这个三 a 减四，所以它就等于负 a 减四了， 所以它是等于负 a 减去四，然后因为 s 已经知道了 s 是， 因为 s 是 等于 m， 因为 m 是 在零到二之间的，所以这个 s 也在零到二之间，那么也就是三 a 减四是在零到二之间， 所以这样就可以求出 a 的 范围，所以 a 的 范围就在三分之四到二之间， 在 a 的 范围就求出来了。所以 n 加 s。 为什么 n 加 s？ 因为问题求的是 n 加 s 的 范围，所以 n 加 s 就 等于 n 加上三 a 减四，就是求这个玩意儿 n 加 s， 对， 那么也就是负 a 减四加上三 a 减四，就等于 二 a 减八。好了，现在已经知道 a 的 范围，所以求二 a 减八的范围了。 a 在 三分之四到二之间，所以二 a 是 在三分之八到四之间间，所以二 a 减八，就在三分之八减八到四减八之间。 所以通过计算我们就可以知道二 a 减八，二 a 减八是在负的三分之十六到负四之间， 所以第四个结论是正确的。这样的话，那么由条件我们可以知道，它是经过 这里的零斗一和四斗一，因为它刚好要能够取到最小值，所以取到的就是这两部分要刚好包含它的 顶点零斗一和四斗一，那也就是说我们取到的范围这个就是 x 等于 t 和 x 等于 t 加上二 这一段，也就是 x 等于 t 和 x 等于 t 加二， 这样的话我们就可以得到相应的值了，也就是 t 加二是等于零，所以 t 是 等于负二，或者是 t 是 等于四，所以答案错在 t 等于二这个上面， 所以第五个结论是错的，这样的话一共是有一、二四三个结论是对的，所以选 c。 那 这个题目呢？就比较综合，那做这样的题目，我们只有通过反复的训练，特别是第三问他的计算，这种不等式加 方程组，加字母方程组如何去算？是我们这个阶段一定要克服的。
2冬老师
04:50查看AI文稿AI文稿有问题的条件，我们会发现它有对称点， 那它的对称点是从表格当中可以看出来是一逗二和二逗二，所以对称轴就是等于二分之三，然后能不能求出函数的解析式呢？ 因为负二 a 分 之 b 是 等于二分之三，那么 b 就 等于 b 就 等于负三 a， 所以 y 就 等于 a， x 方减三 a， x 加上 c， 然后是 这个时候如果把一逗二带进去，那么二就等于 a 减三， a 加上 c， 所以 c 也可以用含 a 的 式子来表示， c 的 话就是二， a 加上二了， 那么这样的话，整个函数解析式就变成了只有一个参数，那么就是 y， y 等于 a， x 加上二， a 加上二了， 所以对称轴也是知道的， x 是 等于二分之三，那么当 c 小 于等于零的时候，也就是二 a 加上二小于等于零， 所以 a 是 小于等于负一的。 a 小 于等于负一的话，那就是开口要向下，所以 a 选项是错的，那么两个根， 一个根是负一，一个根是四，所以从 因为 x 等于负一的时候，从表格当中 y 是 等于 m， 那 么 这样的话就可以表明这个带进去以后是符合表格当中 x 等于负一， y 等于 m， 所以 这个选项是对的。 又因为对称，所以负一加上四除以二是等于二分之三，所以负一逗 m 和四逗 m 就是 对称点，所以与 m 的 交点是负一逗 m 和四逗 m， 这个是对的， 它是一个多选择题， c a 逗 c 在 这个函数的图像上，那么这个怎么做？ 因为把 a 勾 c 代入的话，就会得到 c 是 等于二， a 加上二， 那么刚好我们刚才做出来的 c 也是二， a 加上二，在这里所以这个结论就是正确的。 那么最后一问，代数是 bc 的 最大值，是二分之三，代数是 bc 的 最大值，那这个怎么做？ 因为 b 是 等于负三， a， c 是 等于二， a 加上二，所以这个代数是 bc 就是 负三， a 乘以二， a 加上二， 那么在这种情况下，我们可以把它化成二次函数，那就是等于负六， a 方 减六 a， 所以 把它化成顶点式，就是负六，乘以 a 加二分之一的平方，加上二分之三。 所以当 a 等于负二分之一的时候，这个 b、 c 有 最大值，这个最大值就是二分之三， 所以它也是正确的。所以 b、 c、 d 三个选项都是正确的。
1冬老师
05:46查看AI文稿AI文稿王老师讲数学，今天讲关于三角函数的一道模拟真题啊，讲我们开封万岁山的一道题型来看看。开封是一个历史文化名城啊，有独特的民族文化 以及精彩纷呈的节目活动，吸引来了来自全国各地的大量游客。二零二五年开封清明文化节期间，仅万岁山武侠城景区三天接待的游客量啊，约五十二万人次啊。这是一个题目的背景，我们主要来看这种这个题目信息啊，如图， a、 b、 c、 d 分 别是万岁山大宋武侠城景区中的四个景点， b 在 a 的 正东方向， c 在 a 的 北偏东三十度方向，且在 b 的 北偏西十五度方向。地点呢，在 a 的 正北方向，并且在 c 的 北偏西五十三度方向，而且知道 ab 至两千米，求 ad 的 长， 然后小括号里给出了一些啊，参考数据啊，这道题该怎么做呢？怎么去用这些三角函数呢啊，一般都是在这个直角三角形里头去解，所以你看有三十度角，五十三度角和十五度角，五十三度 和十五度都不是特殊的角，所以你看他提供的这些信息里边，五十三度三， cosine 五十三。那么我们先来分析啊，也就是说把这个五十三度角啊， 如果能够放在直角三角形当中，就可以用它的 sin、 cosine 和 tan 的 值了。所以第一个思路我们会想到把过 c 点做 a、 d 的 垂线， 把五十三度放在这个直角三角形当中，这样一来角 d 就是 五十三度。 好，那么我们来看他给的参考信息啊，散五十三是五分之四，也就是四比五好，散音就是对边必斜边好是四比五， 那么 cosine 呢？是三比五，也就是领边必斜边，那就领边这地方是三啊，三比五。那么这样来看，如果我设 d g 为三 x， 那 么 c d c g 就是 四 x， 然后 d c 就是 五 x 啊，如果我把 a g 这部分也用几 x 来表示，我求出 x， 就 能得到 a、 d 整体的一个长度。好，那我们接着分析 啊。再来看三十度角，这样一来，也在这个 a、 g、 c 这个直角三角形当中了，所以我们会用到三十度角，所对的直角边等于斜边的一半，得到 a c 啊，是八 x 啊，然后再用 a g 呢，就是四倍的根号三 x。 好， 这样一来， a d 啊， 就等于啊，三 x 加上四倍根号三 x， 那 么我求出来 x 这道题就能解出来了，怎么来求 x 呢？我们这个十五度该怎么去用呢？啊？咱们继续看啊，在这个啊 d a、 b 当中，这个角是九十度，所以剩余这个角应该是六十度啊，六十度，这个又是一个特殊角啊，达到特殊角，它应该放在直角三角当中，所以过 b 点向 a、 c 再做一个垂线，如果垂足是 h， 那么这样一来，这个 a、 b、 h 就是 三十度角啊。来看， a、 b、 e 是 个九十度啊，减去一个十五度，减去一个三十度，所以这个地方就来到一个四十五度角，那这个 三角形 r t 三角形啊， c h b 就是 一个等腰直角三角形， 也就是 c h 就 等于 b h， 然后再借助 ab 是 两千米，所以 b h 呢，就等于根号三千米， a h 就 等于一千米 啊， a c 就 等于 c h 加上 a h， 然后把数值带入进去， c h 在 这里是根号三，然后加上 a h 就是 一 啊， a c 求出来， a c 求出来以后，我们在直角三角形 a c g 当中，例如这个直角三角形当中，用三十度角所对直角边等于斜边的一半，所以我们就可以得到啊， c g 就 等于二分之一了， a c， 然后我们把数值带入进去 c g 就是 四 x， 二分之一的三加根号三加一，这样我们就可以解出来 x， 我 们就可以求出来 x 等于八分之一加根号三，然后我们带到 a d 里面， a d 等于三 x 加四倍根号三 x， 所以 我们直接代入， 然后根据他的这个精确结果，就可以约等于三点四千米。在解决三角函数这种题型的时候，我们要注意啊，三角函数就是在直角三角形里头可以用到，所以我们的思路，第一个要构造直角三角形啊，就是做垂直啊，或者是经过角的转换啊，把它 啊构造到直角三角形当中啊。第二个思路就是构造特殊角，或者是利用这些特殊角啊，三十度角，四十五度角，或者是六十度角，把它们放在直角三角形当中进行解决，这种题型啊，这种题型你学会了吗？
20王老师讲数学
02:41查看AI文稿AI文稿这是台湾省的中考数学题，台湾台湾的中考数学题，我们来看它的内容，浏览一下哈，我们看浏览一下，你看一题的话， 袋鼠运算哈，迷的运算，这是一个图形的袋鼠壳画，这是一个方程组，这是三角形内外角角关系，这是坐标平面的坐标变换，这是统计概率，统计概率哈，这是数据描述的， 描述了的哈，数据描述了个图形去对它进行分析，然后在下边呢，可能是一个简单的应用题嘛。啊，这里是代数乘法公式题目， 这个是概率题模啊，概率题模，然后这是方程的题目，这也是方程题模，这是坐标走道刻画，这是平移变换。 然后这一个应该是三角形分析嘛？三角形分析，这一个有数的分析，十八题数的分析， 十九题应用题，相当于我们一元二次方程。二，二元一次方程组，这样子的，这是个多边形的分析题目，内外角关系分析， 这一个有个二次函数哈，一个二次函数啊，这里我以为没有考二次函数，但是二次函数考的比较简单，它没有和几何图形结合，简单的就是它基本性的作分析。这里有三角形的啊，重心问题哈，三角形重心中线的焦点，靠着中线的性质， 看样子是图形的旋转和圆结合， 然后概率，这也是数据分析做大题了哈，数据分析做大题，二十七题大概是一个方程应用题没有了啊，就是这样子的题目， 那么他们说起来的话，他们就没考什么。没有学习三角函数啊，没学习三角函数， 没有对平行四边形加强的学习，没有哈，对二次函数图上的学习学习的很简单，只是对二次函数的解析是极基本性质。有一个题目， 所以说我们台湾省的题目还是比较基础和简单的。我就简单的介绍他发一个视频。好，再见。
33初中数学胡老师
02:12查看AI文稿AI文稿各位家长大家晚上好，今天我们来聊一聊深圳中考数学。咱们来先看二零二五年， b 加是八十分， a 是 八十八分， b 加是九十五分，分数比较高，说明试题比较简单。下面我们来分析一下去年深圳中考数学真题的变化情况。 首先强控压轴题，他不是单纯的三角形的综合内容，而是和圆结合一起的，可以利用一线三垂直证明三角形相似求出来。第二点十四题，也就是计算题，少了 圆角函数特殊值内容。十五题也是计算题，他不是按往年一样考分式的化简求值，而是像天津中考一样，考察的是解不等式组的内容。 第三个十八题，也不是单纯考圆的内容，而是圆和四边形、菱形结合在一起的综合题，以及考察了尺规就图 第四个十九题，二次函数的内容考察的是我们生活的情景，演唱会我们需要排队、现场人数、排队人数以及过安检的时间等内容的。二次函数的综合主要考察学生 的理解和分析能力。就最后一题，二十题啊，这题虽然还是四边形的新定义题型，但是它的考点更多的是三角形的知识点， 主要是等腰三角形的定制与判定，重点是等腰三角形的分类讨论，涉及到的知识点有三角形全等三角形相似，并运用了一些深圳中考四边形的知识点，这就是去年数学真题和晚年的一些变化情况， 相信自己！
4学大观观
