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02:49查看AI文稿AI文稿那么时间不多了，我们的原则就是考试考啥咱学啥，所以咱们直接开始做考试真题。第一个，零向量，没有方向，零向量，你可以他说，你可以说他是无头苍蝇，但你不能说他没有方向，零向量是有方向的 不对。来第二个，两个单位向量相同，能相同吗？单位向量是指长度都是一，但是方向他可东也可西， 不对来 c 方向相反的两个向量互为相反向量。哎，那可不是相反向量，是指长度相同，而且方向正好了相反，所以说他没有说长度是相同的，打没？哎，最后一个 a c 平行于 bc， 我 俩都平行了，咱们可可不可以说共线呀？可以，来四 d， 正确选四 d， 下一个。第二个，两非零的向量，说夹角是锐角，说 a b c d 选哪个呀？来锐角。来，跟我一起说， cosine 的 锐角是正是负， 那么复习好多同学知道了 cosine 锐角 b 是 正啊，那所以说谁是正的？来搜索一下，直接选 a， 直接拿捏好吗？来第二个，考点是特殊向量。来，下面我们看这种题， 你甚至都不用看题，你看谁长得像终点，你节省你时间了啊，直接就是终点来下来结果是单位向量的式，来第一个了， a d 加 d e， 那 d e， 嗯， d e 不 就是 af 吗？ 所以它俩加起来不对角线吗？哎，加了 a e 再加谁？再加一个 d f， 那 d f 不 就是 ec 吗？哎呀， 那从他走到他那直接就是这个蓝色的线了。好，那么 a 蓝色的这根线你去看题，人家变成原来就是一，那直接选 a 了， 轻松搞定。来，咱们再看一个题，这个也是属于特殊项链，叫什么呢？求项量的一个单位向量的坐标。 你先把那个向量找到。哎。 ab 的 向量是指来用二减三负一来，一减零等于一，所以我们得到的一定也是一正啊。了。一负，所以要一负一正。那你这不对呀。 那你这不对啊，直接排除百分之五十的错误选项来下一个。我还得同时除以平方。什么平方？我除以他的平方加他的平方等于根号二，所以我这两个都要除以根号二。跟我一起直接选择 c。 直接看你。
839中职程老师
12:40查看AI文稿AI文稿十分钟掌握平面向量小题常考题型！看完本期视频，小题不再丢分！我已加入抖音精选应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，追根我的高考百日百课。 如果在考试中出现了平面向量的小题，那我们一定是要拿到满分的，它是一个比较基础的板块。那今天呢，我们就讲一讲这四个常考的题型。我们看到第一个 平面向量在几何中的应用，在三角形 a、 b、 c 中， c， a 向量等于 a 向量， c， b 向量等于 b 向量， d 呢是 a c 的 中点 c， b 向量等于两倍的 b e， 那 c、 b 向量它是我们画的图，是常用的对不对？我们只需要延长 c、 b， 然后再取我们的 b， e 等于一半的 c、 b 就 可以了。一定要会画图，让我们用 a 向量以及 b 向量去表示出 d， e 向量。好，那么第一问其实很简单，要求 d， e 向量，这里是点 d 啊？ d， e 向量的话，它与我们的 c、 e、 c、 d 是 不是连在一起？我们这用减法就可以了。 d、 e 向量，它等于 c、 e 向量减去 c、 d 向量，我们这里知道的是什么呢？ c、 e 向量，这里是不是 b 向量？那这里是二分之一倍的 b 向量，它的长度是它的一半嘛？ 所以 c、 e 等于二分之三倍的 b 向量。好，再看到 c、 d 向量，它是不是等于我们一半的 c a 啊？所以它只要减去二分之一倍的 a 向量，那么第一问呢，我们就解决了。看到第二问， 他说若 a、 b 垂直，我们的 d、 e 好， 这个角，他说现在是垂直的，他说直角 a、 c、 b 的 最大值是多少？这里给我们的条件就一个，垂直，对不对？我们把这个垂直来翻译一下， a b 向量怎么表示？ 我们把 a b 向量表示出来，它是不是等于我们的 c， b 向量减去 c， a 向量，所以呢，等于 b 向量减去 a 向量。 这里是我们顺着题目的思路去翻译的嘛，然后它们两个是垂直，所以呢，它们的数量积为零，那么也就是说，二分之三倍的 b 向量减去二分之一倍的 a 向量 乘以我们的 b 向量减 a 向量，它应该是等于零。我们这里呢，把这个二去掉就可以了，然后直接去展开，就变成了三倍的 b 向量的平方，也就它的模的平方吧，然后再加上 a 向量的平方，等于四倍的 a 向量 b 向量，我们自己就写向量的平方就好了，不需要去写模的平方，三倍的 b 向量的平方。好，那么到这里我们需要求的是这个夹角，对不对？那这里有没有包含这个夹角啊？我们的 a 向量点成 b 向量，是不是他们两个的向量的模去乘以他们夹角的余弦值啊？ 所以我们这里再翻译一下，三倍的 b 向量平方加上 a 向量的平方，等于四倍的 a 向量的模， b 向量的模 cosine， 我 们需要的这个角，对吧？我们设它为 theta， 然后我们把 cosine theta 表示出来， cosine， theta 就 等于三倍的 b 向量的平方加上 a 向量的平方，比上我们四倍的 a 向量的模，再乘以 b 向量的模。 好，那么到这里我想问一下，我要求的是他的范围，那么这里我们是不是用到什么呀？一个基本不等式，这应该要很常见了，对吧？他应该是直接大于等于，注意，我们刚刚讲过 b 向量的平方，他也就是他们的模的平方，对不对？所以我们这里直接使用基本不等式，对，分值使用，那么分母呢？肯定就是不变的， 然后分子我们变成了两倍的根号下，那么开出来直接就是根号三，然后 a 向量的模乘以 b 向量的模，我们这里一除就等于 二分之根号三取等条件，同学们自己去验算一下，是可以取得到等号的，所以呢，它是个减函数吧，它二分之根号三的时候，它是二分之啊，六分之派，所以最后我们能求出来，我们的 c， 它是属于 零到六分之派，六分之派它是可以取得到的，所以这个题目最后的答案呢，它就是六分之派。好，我们看到第二种题型，如图，在三角形 a， b， c 点 p， 它满足两倍的 b， p 向量等于 p， c 向量，所以这里就是一比 二，对不对？然后过点 p 的 直线与 ab 交于点 m 与 ac 呢？交于点 n， 它说 am 等于 x 倍的 ab 向量， an 向量等于 x 倍的 ac 向量。那我们就求二 x 加 y 这个题目，首先我们就需要求出什么呀？ x 与 y 它的一个关系，然后再去求它的最值。我们看到题目，首先呢，这里有一个一比二，对吧？还有这里他说 am 等于 x 倍的 aban 等于 y 倍的 ac， 那 么我们这里很明显会发现一个什么问题， mpn 它们三点是不是共线的？所以我是不是可以把 ap 用 am 以及 an 来表示出来？但是你看看 am， 它又有 x 倍的 aban 呢？它又等于 y 倍的 ac， 所以 我的 ap 可不可以先用 ab 与 ac 表出来？很明显这里是可以表示 ap 向量， 它是等于，这里是一份，这里是两份吧，所以它等于三分之一的 ac 向量，再加上三分之二倍的 ab 向量。然后我们再看一下，到这里我们并没有用到 am 和 an， 对 不对？但是我们这里能够求得出来 ac 向量呢，它是等于 y 分 之 a n 向量，所以这里变成了等于三分之一的 y 分 之 a n， 没问题吧？根据题目里直接变过来， 再加上三分之二倍的 ab 向量呢？等于 x 分 之 a m 向量， x 分 之 a m 向量。那么说了，我们的 p 点， n 点， m 点，它们是三点共线，所以一定就会有 三 y 分 之一，加上三 x 分 之二，它们是等于一的。如果这个同学们直接不能够写出来的话，那么就一步一步的去分析啊。首先我们的 a p 向量，它等于 ab 加上 b p， 然后 b p 呢，它有等于三分之一倍的 bc 向量。然后 bc 向量呢，我们可以用 ab ac 表出来，这个是我们之前在向量的里面讲过，如果不懂就看一下我们前面向量的一些基础视频，好吧， 那我们得到这样一个视频之后，然后他再问我们二 x 加 y， 这个不就是我们基本不等式的一的代换嘛，对吧？然后我们直接乘以一个三 y 分 之一，加上三 x 分 之二。好，我们把它乘开，就变成了三 y 分 之二 x 加上 我们这里一乘 x 约掉了三分之四，再加上这里呢变成了三分之一，再加上三 x 分 之二 y。 我 们这两项去使用我们的基本顿式，大于等于三分之四，加三分之一就是三分之五，然后再加上两倍的 我们开根号 x 跟 x 约， y 跟 y 约掉，所以三分之二平方开根号就是三分之二等于三分之四加三分之五，三分之九就等于三。所以这个题目呢，选到 a 选项，记得去验算一下，取等条件，这里是可以去等的，我就不验算了。 与数量机有关的问题，其实我们处理的方法有很多，我们之前讲到了有一个合集、集化横等以及投影法，如果同学们不知道的话，可以再去看一下那期视频，同学们可以自己去主页搜一下就好了。那么今天我们来用间隙法解决这个题目。题目给我们的是一个边长为二的正三角形，那么我们以底 一边， bc 为 x 轴，它的高呢？为 y 轴来做一个平面直角，坐标系 m n， 它们是这两边的动点，并且有 b m 的 长度是等于 c n， 就 让我们求 a m 向量乘以 m n 向量它的最值。问题， 如果我能够用坐标把这两个向量给表示出来呢？那么这个题目应该就能解决。我们来看一下这些个点分别是什么？首先我们看到 b 点，它是负一零， c 点呢，它是一零。好，我们的 a 点横坐标为零，纵坐标这里是一，这里是二，这里就是根号三喽， 所以我们的 a 点它是零，根号三。那我们的 m 点以及 n 点怎么去表示？如果我现在去设，因为我们的 b n 是 等于 c 啊， b m 比我们的 bc 是 等于 c， n 比 ca 的 嘛， 所以呢，我设 b m， 它等于 t 倍的 mc 啊，我们设 t 倍的 bc 好 了， t 倍的 bc， 那 么 c n 呢？它当然也等于 t 倍的 ca 了，那我们此时能不能把 m 点的坐标给表示出来呀？注意我们这里设的 t 的 范围，它都是怎么样？它都是小于等于一， 大于等于零的，我们注意一下，所以我们看到 m 点 b m 比 bc， 既然等于 t 的 话，所以我这里的长度是不是就是二 t， 那 它这里的坐标呢？是不是就是二 t 减一，能理解吧，因为它是负的嘛，所以我们的 m 点坐标是不能表出来， m 点，它是二 t 减一好，那么重坐标当然就是零了。还有一个 n 点的坐标，我们需要去表示吧， n 点，我们看到我们 c n 比上 ca， 它也是等于 t 的， 所以我们看到，那么这里是一个大的相似三角形，能理解吧，所以这里是一，那么它的重坐标呢？哎，不就是根号三 t 吗？根号三 t 那 么横坐标 那也就是一减 t 了，同学们这里自己去算一下，应该没有任何问题。所以我们的 a m 向量是不是能求出来等于 二 t 减一，因为 a 点的函数表为零，然后就是负的根号三。还有呢，我们需要的是 m n 向量等于 二减三 t， 然后再根号三 t。 好， 那我们两个向量都表示出来，最后让我们求的是什么呀？ a m 向量乘以我们的 m n 向量，我们直接带进去相乘不就可以了吗？用二 t 减一，乘以二减三 t， 然后加上它们后面两个相乘，我们写下来，二 t 减一，乘以我们的二减三 t 加上负的根号三， 乘以根号三 t， 我 们化简一下，最后化简出来等于负六 t 方加上四 t 再减二，这是一个关于 t 的 一元二次方程吧，我们去配下方 负六，然后呢， t 减去三分之一的平方，最后再减去一个三分之四，我看 t 能不能取到三分之一，很明显它是可以取到三分之一的吧，所以它这个开口向下对称轴，它是可以取得到，所以它的最大值呢，为负的 三分之四，这是我们用间隙法解决的这类的问题。好，下面我们看到今天的最后一个题型，已知 ab 向量是单位向量，并且呢，它们是垂直的，我们自然会想到间隙吧，或者说你说你不见隙也没有关系，你直接把 ab 向量写出来就可以了。我们可以把 a 向量写成什么呀？这里 这是 a 向量，然后呢，这边是 b 向量，所以我 a 向量的坐标是不是能够写出来，它等于一零，那么 b 向量的坐标呢？就等于零一，好，所以我们的 c 向量是什么？ c 向量我们是未知的对不对？我们可以设 c 向量， 它等于 x y 好， 那么到现在它给我们的条件只有这一个吧，那么 c 向量减 a 向量减 b 向量的模，它说等于一，碰到模等于一怎么办呢？我们先把它带进去， c 向量呢，是 x， y 减 a 再减 b， 所以 它就变成了 我们往下化简绝对值 x 减一，然后呢， y 也减一，表示这个向量的模能不能够理解？所以我们直接去平方就可以了， 那就等于根号下 x 减一的平方加上 y 减一的平方等于一，那么两边再同时平方呢，它就变成了 x 减一方，加上 y 减一方等于一，这个表示的是什么呀？是不是我们 x y 的 轨迹方程呐？所以其实我的 c 它就是向量 x y 嘛， 它不就是表示以圆心为一，一半径为一的一个圆吗？那我们 c 的 模表示的是什么呢？ c 向量既然是 x y， 所以 c 的 模长，它就等于 x 方加 y 方开根号，对不对？其实它表示的就是什么呀？我们这个 圆上面的任意一点到圆心的距离没问题吧？我们只需要过圆心去连我们的圆点，那么最短的时候是不就是这一块？那么最长的时候呢？就是在我们对面的时候，最短的时候，我们这里的长度是，这里是一一吗？所以这个长度是 根号二，所以最短的就是根号二减半径。根号二减一，那么最长呢？这边是根号二，那这边是一最长当然就是根号二加一了。所以这个题目选到 a 选项。以上就是本期视频的全部内容，虽然题目不多，但是它呢具有一定的代表性。 如果同学们发现了还有哪一块知识点不熟，赶快回去复习。那么今天呢，我们讲到这里，我张阳阳，我们下期视频再见！
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01:08查看AI文稿AI文稿来，高质高考压题向量小题压一压。今天压的是向量平行。好，第一个， a 平行于 b， 则内等于外。有的人说，老师，啥叫内啊？看着没？一共四个人，谁再站在里边？来，一和 m 站在里边则内等于外。内是啥？来，一和 m 相乘等于 m， y 二和二都是外面。二乘二等于四， m 直接等于四选二 b， 你学会了吗？来，下一个平行，内等于 y， 内是二 x， y 是 负六， x 等于负三选 a， 轻松搞定。来，下一个平行，内等于 y。 来，二乘一。二， y 是 什么？ y 是 负 m， 负 m 等于二，两边同乘负一， m 等于一个负。二选 a。 又拿捏了。来，最后一个题，老师，这个平行，他不是 这个贡献，它不是平行啊。那这个东西咋做呀？答，贡献这个东西在向量里头说，那就是平行，所以一样去做。来，内等于 y， 三 x 等于 y， y 是 二乘一得二，所以 x 等于三分之二。直接答案选 a。
3810中职程老师
33:01查看AI文稿AI文稿欢迎来到高考百日百科，一口气学完平面像辆奔驰定义，看完本期视频，四心问题直接拿捏！我已加入抖音精选应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，对准我的高考百日百科。 项链的四心一直是我们的高频考点，本期视频呢，我们将从四心的记忆方式，一直到我们的奔驰定律，包括后面的应用，为同学们逐一的讲解。首先我们来看到内心他有一个内字对不对？所以我们应该是什么呀？内切圆的圆心吧，那么内切圆的圆心，他又是什么的焦点呢？我们来看一下 内切圆他是不是到这个切点的距离为 r 对 不对？所以圆心他到每一条边的距离呢？都是相等的。 我们想想看，我们在三角形中有什么性质是到两边是相等的，自然想到了什么呀？角平分线对不对？所以我们的 a o 就是 我们角 a 的 角平分线，那么我们的内心呢？我们也就记住了，它是我们的角平分线的焦点，所以第一个它是角平分线 的焦点，那么第二个外心，外心的话，当然就是外接圆的圆心了。那么既然是外接圆的圆心，它到我们三个点的距离是不是应该都是相等？等于外接圆的半径为 r， 那 么此时我们看一下 o a 等于 o b， 那 是不是就有我们的这两个角，它也是相等的呀？所以我们这个 a、 o b 这个三角形，它是一个等腰三角形，包括我们的 a、 o、 c， b、 o c 呢，它都是等腰三角形。好，我们在 a c 上取一个中点为 d， 我 们去连接 o d， 你 会发现一个什么问题，我们的 o d 这条线呢，它是我们的 a、 c 的 什么的交点，它 不就是我们钟垂线的焦点吗？所以第二个我们就记住了，它是我们钟垂线的焦点，对不对？我们把外心不也就记住了它是什么的焦点吗？钟垂线啊，钟垂线的焦点，第三个重心，这个比较好记，它就是什么呀？ 中线的焦点，我们只要记一个谐音就可以了，重心呢，它就是中线的焦点。中线是什么呀？我们这里假设这个点为 d， 那 我们就有 b d， 它是等于我们的 dc 的 吧，而且我们的 a 啊，到这里的距离等于这里的距离，对不对？ 并且它这里有一个比较重要的结论，我们等会放到后面一起讲。好，那么最后一个呢？剩下的就是垂心，那剩下的当然就是一个什么高的焦点了， 三条高的焦点对不对？我们总共就四个嘛，你前面三个都记住了，后面剩下的一个自然就记住了吧。接下来我们来看一看这四个心分别有哪一些性质。看到第一个内心，它是我们角平分线的焦点对不对？所以它有第一个性质， b o 向量，它是等于南倍的。后面这个是什么东西？同学们还记得吧？我们在向量里面有讲到过， b a 向量除以 b a 向量的长，它就是表示沿 b a 向量这个方向的什么 单位向量吧，同样 b c 向量比上 b c 向量的周长呢？它也就是等于我们 b c 方向上的单位向量。 好，那么这边的单位向量加上这边的单位向量，根据我们的平行四边形法则，我们是知道它两个向量的，和肯定是在它的，在它们的什么呀？角平分线上对不对？至于是多长啊 b o 向量，它这里已经给了我们， 它是多长的 b o 呢？我们是不是可以乘一个男的就可以表出来？所以我们可以说 b o 向量等于男的被的 b a 方向上的单位向量加上 b c 方向上的单位向量。第一个我相信同学们很好理解，那么第二个呢？ 等我们讲完奔驰定律，再回过头来看到第二个性质，接下来我们再来看到外心它的性质，外心呢，它是中垂线的焦点，并且我们知道外心这个 o 点到 a 到 b 到 c 的 距离都是相等， 所以呢，我们有 o a 向量的模，等于 o b 向量的模，等于 o c 向量的模，这个性质很好理解。同样第二个性质呢，我们也讲完奔驰定律，再回过头来看，再接着往下看到 第三个重心，它是我们中线的交点，我们有的性质是什么呢？是 o a 向量。好，这里我们写成了点记，我们把它改成点 o， 好 了， 就我们中间这个点呢，我们把它改一下吧，改成点 o， 那 么就有 o a 向量加上 o b 向量，再加上 o c 向量，它是等于我们的零向量的，这个呢，很好证明。我大概提一下我们的 o a， 然后加上 o b， 再加 o c， 怎么去证明呢？我们想想看， o a 向量加上 o b 向量，它应该等于什么呀？这里它应该等于两倍的，我们这里记为点 d， o a 向量加 o b 向量，是不是等于两倍的点啊？ o d 向量，那么我没有知道我们的重心，它这个 o 点是将它的比例分为了二比一嘛，所以两倍的 o d 向量呢，就跟我们的 o c 向量是大小相等方向相反的吧，所以它们加起来就为我们的零向量。 我们这里写一下，我们记这个为点 d， 我 们有 o a 向量，加上我们的 o b 向量，就等于两倍的 o d 向量。然后我们的 o d 向量呢，它又等于负二分之一倍的 o c 向量， 所以两倍的 o d 向量再去加上我们的 o c 向量，就直接等于零向量。所以我们从这个就能推得到我们的 o a 向量加上 o b 向量，再加上 o c 向量等于零向量。好，我们这个一定要注意哈，我们这里的 c o 啊， 比上我们的 o d， 它是等于二比一的，每一条上面都是一样， a o 比上剩下的这条边也是二比一。 最后我们再来看到一个垂心，我们的第一个性质，它又该怎么证明？它这里说的是 h a 向量乘以 h b 等于 h a 乘以 h c 等于 h b 乘以 h c， 我 们来抽其中两个来证明，比如就证明我们的 h a 向量乘以 h b 向量等于 h b 向量乘以 h c 向量。我们一下向就变成了，可以提取一个 h b 向量吧， h b 向量括号 h a 向量减去 h c 向量，它应该是等于零的，对不对？那我们这里来看到我们的 h a 减 h c， 它是个什么东西啊？ 根据我们向量的减法，我们知道括号里啊，它应该就直接等于 c a 向量吧，所以 h b 乘以我们的 c a 向量。好，我们来看到它是等于零的，对不对？所以意味着我们的 h b 它是与我们的 c a 垂直的，我们来看到 h b 是 这条线，对吧？这条向量， 然后呢与我们的 ac 垂直，我只要把 h b 延长，它是不是刚好就与我们的 ac 垂直啊？所以能推到我们的 h b 是 垂直我们的 ac 的， 那么我们要证明的话，我们只要反过去往这里推就可以了，对不对？所以同样后面的也都能可以证明到。那么第二条性质呢？同样我们看完奔驰定律，再来看到这些性质的证明，下面我们讲几道有关于我们四星的一些题目。我们看到第一个 与向量 a 等于二分之七，二分之一， b 呢？二分之一负二分之七的夹角相等，并且模为一的向量是哪一些？ 我们想想看与我们的 a 向量，假设我们现在画一个 a 向量，我们随机画一个好了， a 向量这边呢，他是一个 b 向量，他与他们两个向量的夹角相呢？意味着什么呀？在他的角平分线上对不对？所以此时我们的另外一个向量，它有两种可能吗？可以是在这边摩擦为一，当然也可以在这边摩擦为一，都是有可能，对不对？ 所以我们来看一下它是怎么距离去写的？那么在角平分线上我们怎么样去书写呢？我们假设这个向量为 c 向量，那么 c 向量它是不是就等于我们 a 向量比上 a 的 膜，然后加上 b 向量比上 b 的 膜啊？ b 向量的膜，那么这个是什么意思？我们刚刚不是讲过吗？ a 向量比上 a 向量的膜就表示的是什么呀？ 与它这边方向相同的什么单位向量？我两个单位向量相加，那意味着就是什么呢？就是我们在这条角平分线上的向量对不对？ 但是它这里并不是表示与我们的 c 向量相等的吧，因为它怎么样还有魔长不能确定，所以我们只要在外面再乘一个 number， 它就可以表示什么呀？在角平分线上与我们 c 向量相等的向量。好，我们这里接着来化简一下，我们来观察一下这个题目， a 向量的模以及 b 向量的模，我们是不是可以直接算出来，你会发现他们两个的模长怎么样？是相等的吗？因为是二分之七的平方加二分之一的平方，这边呢，二分之一的平方加二分之七的平方，开根号肯定是一样的， 做，我们这个可以化简一下，它就等于男的被我都把它化成什么呀？分母都化成 a 向量的模，可以吧，它就等于 a 向量的模分之我们的 a 向量，然后呢，再加上 b 向量，我们直接把坐标带进去运算，就变成了男的被 啊 a 向量的模，然后我们 a 向量的横坐标加上 b 向量的横坐标二分之七加二分之一，也就是四，所以我们横坐标算出来是四，然后重坐标我们算出来呢，就是负三。好，那么我们现在知道 a 向量它的模是不是一个呃，长数，那这边也是个长数，那所以我可以其实可以写成什么呀？写成 k 倍的什么 四负三，所以我的 c 向量是不是可以用它来表示？那么我们的横中坐标之比啊，你会发现它就是四比负三吗？并且我们知道这里的 c 向量呢？当然有可能是有两个解对不对？所以我们这里排除了 a 选项，因为 a 只有一个解吧， 然后呢， c 也只有一个结，然后 b d， 我 们再来看一下，你要的是什么呀？横中坐标为四比负三，所以呢，我们只能选到 b 选项，这里它是四比负三，或者这里也是一样，四比负三，对不对？我们这里的比例不对吧？我们选择题有选择题的做法，希望同学们能够理解。 再看到一个多选择题，在三角形 a、 b、 c 中， d， e、 f 分 别是边 b， c， c， a， a、 b 的 中点图呢？我这里已经画好了点，记为它的重心。下列结论正确的。我们看到第一个 a、 b 减去 bc， 它说等于 ca 向量，我们来观察一下这个 a 选项， a b 减 bc， 我 们没有办法直接去减，对不对？我们向量的减法需要共起点吧，但是你会发现，我把 bc 啊移到右边去，就变成了 ca， 加上什么 bc， 它们是可以加的， 所以它其实想说的就是 a b 向量，它等于我们的 b c 向量，再加上我们的 c a 向量。而我们的 b c 加 c a， 它不就直接就是 b a 向量吗？我们的 a、 b 向量怎么可能会等于 b a 向量呢？所以第一个可能就错了。然后再看到第二个， 他说 ag 向量啊，它等于三分之一倍的 ab 加 ac， 我 们来看一下 ab 向量加上 ac 向量，它是不是等于两倍的 ad 向量，我们把它用 ad 来表示，用它的意思来写就是 ag 向量等于 三分之一，我们的 ab 加 ac 就 等于什么两倍的 ad 向量，没问题吧，所以就等于三分之二倍的 ad 向量，我们来看一下 我们的 a、 g 向量，它这里是几分两份吧，这里呢，是一份，对不对？这里是两份，所以我们的 a、 g 向量等于三分之二倍的 a、 d 向量，没有任何问题，那第二个呢？它就是对的。再看到第三个， a、 f 加 b， d 加 c， e 向量，等于零向量，我们看到 a、 f 向量，然后呢， b、 d 向量再加上什么 c、 e 向量，你会发现，其实有经验同学们，这里一眼看出来它就是对的吧。为什么？因为我们的 a、 f 等于什么呀？它等于我们二分之一倍的 ab 向量，再加上 b、 d 向量呢？二分之一倍的 bc 向量，再加上 我们 c、 e 向量，就是二分之一倍的 ca 向量，我们把它提取个二分之一，就是二分之一括号 a， b 向量，再加上 bc 向量， 再加上 c a 向量，它就等于什么呀？我们这里 ab 加 bc 是 ac， ac 加 c， a 呢，就是 a a 向量吧，所以它就是等于我们的零向量，没有任何问题。所以第三个它也是对的。再看到第四个，第四个 g a 向量加 g b， 再加 g c， 哎，这个不就是我们刚刚讲的结论吗？所以第四个呢， 也是对的。我们最后再来推导一遍，我们这里有 g a 向量，然后呢，再加上我们的 g、 b 向量，它应该等于我们两倍的 g、 f 向量，没问题吧？并且我们的 gc 向量，它是等于什么呀？它是等于负二倍的 g、 f 向量，很好理解吧，因为这里是二比一嘛。所以呢，我们最后 g、 a 向量加上我们的 g、 b 向量，再加上 g、 c 向量，它就等于两倍的 g f 向量，减去两倍的 g f 向量，所以最后呢就等于零向量，没问题吧？ 接下来我们再看到网上流传比较多的奔驰定律，那么奔驰定律它是一个什么样的描述呢？我们的点 p， 它是我们三角形内任意一点，然后连接 p a， p b， p c， 我 们这三条线把这个大三角形分成了什么？三个小三角形对不对？那我们分别记为 s 一、 s 二以及 s 三，那么就由我们的 s 一 它乘以 p b 向量，注意它是乘以它什么呀？ 对顶的这根线像什么？像天线宝宝头上那根角，对不对？所以 s 一 乘以 p b 向量，加上 s 二乘以 p a 向量，再加上我们的 s 三乘以 p c 向量，它是等于零向量的。好，那么我们怎么证明的呢？我们下面来证明一下。 我们先把我们的 a p 延长与 bc 交于点 q， 那 我们现在 b q， 我 们写上面一点，那我们现在 b q， 它比上我们的 q c， 它应该等于什么呢？我们来看一下，看到这两个三角形，这两个三角形它们什么关系？是不是等高的关系？所以这两个三角形的面积之比是不是就等于它的底边之比？所以呢， b q 比上 q c， 就 等于它们两个三角形的什么面积之比吧，它就等于 我们的 s 三角形 p b q 比上我们的 s 三角形 p c q 没问题吧？那既然我们得到了这个，那我们还能得到什么呢？我们来看到 a b q 跟我们的 a c q 与这两条边是什么关系？它们是不同底，但是呢，同样是等高的，对不对？在这个大三角形里面呢，我们把它同样分成两个三角形， 所以它还等于我们的 s 三角形， a b q 比上我们的 s 三角形 a c q， 那 得到这个式子有什么用？我们来看一下 a b q， 它是什么东西？ a b q 是 不是这个三角形？然后呢， a c q 是 不是这个三角形？这个大三角形对不对？那它能不能够推到 s 三比 s 一 呢？我们来想想看，你看看这两个三角形的面积之比，它是一个定值，对吧？它与这两个三角形的面积之比呢？是同样一个值。假设我们这边是四份，这边是一份， 那么现在整体这边也是四份，也是一份，对不对？那我们这里也是四份，也是一份，根据比例，那我们的 s 三比上 s 一， 它是不是仍然等于 b q 比上 q c， 相信同学们应该能够听懂哈，所以呢，到这里我们就能推到我们的 s 三比， s 一 等于 b q， 所以 b q 啊，它是 s 三份，然后 q c 呢？它是 s 一 份，对不对？所以我们向量 a q， 它是不是可以用我们的 比例来表示？来以我们的 ab 与 ac 为基底，根据我们之前的定比点啊，定比分点，或者说我们的鸡爪模型都是可以的吧？我们的 a q 向量好， 它就等于你这里是 s 三份，这里是 s 一 份，总共多少份？总共是 s 一 加上 s 三分，对不对？那我们 a q 向量，它用 ab 向量表示的就是对面的比例，我之前有讲到过，就是 s 一 加 s 三分之 s 一 倍的 ab 向量，然后呢， 另外一边就是 s 一 加上 s 三分之 s 三倍的 a c 向量。好，那么我们这里怎么样得到了 d 一 加上 s 三分之 s 三倍的 a c 向量？好，那么我们这里怎么样得到了 d 一 加上 s 三倍的数值，对不对？ 那到这里我们再来看一看我们这个大的三角形呢？它与我们这个小三角形什么关系？它们是不是同底不等高？所以呢，它们的面积之比就等于高之比，当然也等于什么呀？我们的 a q 比上 p q 对 不对？所以我们能得到 a q 比上我们的 p q， 它就等于我们大三角形的面积 s， 那 么 s 它就是 s 一 加上 s 二，再加上 s 三吧，然后再比上我们的 p q 呢？ p q 所，呃，这边所形成的三角形的面积就是 s 二，对不对？所以比上 s 二好。我们到这里的时候，我们是不是能推到我们的 a p 比上我们的 a q， a p 比上 a q 它又是什么呢？所以我们下面这个 a q 它是 s 一 加上 s 二，加上 s 三，那我们 a p 根据我们的比例，呃，评分来说，我们的 a p 应该就是多少？就是我们的 s 一 加上 s 三，对不对？ a p 它代表这两个嘛？这个比例， 然后它减掉这个比例就可以了，所以我们能得到这样第二个式子。我们把这个呢稍微的去化解一下，我们就能得到我们的 a p 向量，它就等于好，我们把它写过来， s 一 加 s 二，加上 s 三分之 s 一， 再加上 s 三，乘以我们的 a q 向量没有任何问题吧？也就是我们把这个乘过去就可以了。那这个呢，就是我们的第二个式子。我，我们为什么要用到第二个式子？ 你看看我们这里有什么呀？这里是不是 a q？ 那 我最后要要的是什么东西？ p a p b， p c， 对 不对？我这里有 a p 向量，它可以看成什么 p a 向量，加个符号就可以嘛。然后呢，我再把我们的 a q 怎么样？ 直接带进来。好，那么下面呢，就是一些计算过程了，我们就带进来之后就能得到 a p 向量，它就等于 s 一 加上 s 二加上 s 三分之 s 一， 再加上 s 三。 然后 a q 向量呢，它是等于 s 一 加 s 三分之 s 一 乘以 ab 向量，再加上 s 一 加 s 三分之 s 三乘以我们的 a c 向量。我们去化解一下，这个都约掉了，对不对？所以它直接就等于我们 s 一 加 s 二加 s 三，用一个 s 来表示啊，不然显得有点麻烦。 就等于 s 分 之 s 一 乘以 a b 向量。我们说了，我们要的是什么呀？要的是 p b pa pc， 你 这里 ab 没有任何作用啊，所以我把 ab 看成什么呀？看成 a p 向量，加上我们的 p b 向量，同样再加上后面的 s 分 之 s 三， a c 向量呢，就写成 a p 向量，再加上 pc 向量。这里同学们可以怎么样自己去化解一下？这里应该就不难了， 我们把这个 s 乘过去 s， 注意它是 s 一 加 s 二加 s 三，对不对？就我们乘过来之后，得到了 s 一 加上 s 二，再加上 s 三倍的 a， p 向量，它就等于我们 s 一 倍的 a， p 向量，再加上 s 一 倍的 p b 向量，再加上 s 三倍的 a p 向量，再加上呢 s 三倍的 p c 向量。最后化简完之后，同学们能够得到我们的奔驰定律， s 二倍的 a p 向量，等于 s 一 倍的 p b 向量，再加上 s 三倍的 p c 向量，我们一下向，最后呢就得到了 s 一 乘以 p b 向量，再加上 s 三乘以 p c 向量，再加上 s 二乘以 pa 向量，等于我们的零向量，他呢就推出来了我们的奔驰定律推导过程，同学们了解一下就可以了，但是这个 结论呢，同学们是要把它记住的，好吧，记忆方式呢，我刚刚也跟同学们讲过了，就是我们的面积乘以什么他头上这根天线的向量吧，然后 s 一乘以的就是 p b 相等， s 二呢乘以就是 p c 相等， s 三呢就是乘以 p c 相等，然后他们加起来的和为零。好，我们根据我们的奔驰定律，再来看到我们前面四星的其他的一些星子，我们刚刚没有讲到的，我们看到第一个有关于内星的第二个结论，他给我们的是 a 倍的 a 是 哪个？ a 不 就是这个吗？这个就是 b， 这个就是 c， 对 不对？ a 倍的 o， a 向量加上 b 倍的 o b 向量，加上 c 倍的 o c 向量等于零。我们怎么用奔驰定律来解释呢？我们知道我们奔驰定律，我们可以把它写成三个面积吧，假设我们这里是 s 一， 然后这里是 s 二，这里呢是 s 三，我们能得到的是什么呀？ s 一， 然后乘以我们的 o a 向量， 就加上我们的 s 二乘以我们的 o b 向量，再加上我们的 s 三乘以我们的 o c 向量，它是等于零向量，对不对？那么我们这里 s 一、 s 二、 s 三，它们分别怎么去表示？我们想想看 s 一 它是等于什么？等于 bc 乘以它的高除以二，对不对？我们把它先表出来啊，我一步步写，希望同学们能够看懂。 s 一 等于二分之一的 bc 呢？就是小 a， 对 不对？然后再乘以它们的高，它的高是多少？它的高就是这条， 呃，半径嘛，对吧？再乘以它的半径 r， 然后再乘以我们的 o a 向量。同样我们的 s 二呢？ s 二是不是等于二分之一的底层高啊？高是一样的呀，所以它等于二分之一的 b， 再乘以 r， 再乘以我们的 o b 向量，再加上 s 三呢，同样它等于二分之一 c 乘以我们的 r， 乘以我们的 o c 向量，等于零向量。我这个式子是通过上面怎么样得下来的，对不对？我只是把 s 一 s 二 s 三表示出来了嘛。让我们来看到这里， 它是不是每项都有一个二分之一和 r 呀？我们可以把二分之一跟 r 怎么样约掉，对不对？所以呢，最后就变成了我们的 a 倍的 o a 向量，再加上 b 倍的 o b 向量，再加上 c 倍的 o c 向量，就等于零向量。我们这么来推导是不是简单很多？所以呢，这个就是我们用 奔驰定律的底层逻辑来直接推导出来的。那我们看到第二个有关于 y 型的它的第二条结论，它又是怎么推导出来的呢？同样，我们也用我们的奔驰定律来推导一下我们这里的第二条性质，这里也同样分成了三个三角形的面积，对不对？我们把它标为 s 一 s 二，这里呢？ s 三。 我们根据我们的奔驰定律有我们的 s 二乘以我们的 o c 上量，然后呢，再加上我们的 s 三乘以 o a 向量，它是等于零向量的吧？好，我们把面积给表出来，那么这里的面积怎么去表示？要注意哈，我们这里的等量关系是什么？是 o a 等于 o b 等于 o c 吧，所以我们这里用到的公式不会再次底层高了，而是什么呀？而是我们的两边和一夹角的问题。所以我们的 s 一 怎么去表示？是不是 o a 乘以 o c？ 然后呢？这他们假角的正弦值的，呃，再除以二，对不对？所以我们第一个可以表示出来我们的二分之一。然后呢，你要注意，我们不管是 o a， o c 还是 o b， 它都是什么呀？都是 r 吧。所以我们可以直接写成 r 方，然后再乘以 sin sin 多少角 a， o c， 对 吧？然后我们再乘以我们的 o b 向量，然后加上 s 二，我们也是一样的，等于二分之一 r 方，然后乘以我们的 sign， 我 们这里是角 a o b， 再乘以我们的 o c 向量，再加上我们的 s 三二分之一的 r 方。 呃， sign， 角 b o c， 再乘以我们的 o a 向量，等于零向量，没问题吧？我们只不过是把面积翻译下来了而已嘛。首先我们这里要确定的二分之一 r 方肯定怎么样？可以全部约掉，对不对？我们这里先不管它，它反正是可以约掉的，我们要注意的是什么呀？是这个角度，我们来看一下。 哎撒，硬角 a o c， 它是什么？什么角？ a o c， 它是不是圆心角啊？那圆心角与我们这个圆周角是什么关系？是不是两倍的关系？ 所以我们的角 a o c， 它是不是等于我们两倍的角 b？ 我 们能不能够理解它等于两倍的角 b， 两倍的 b 没，没问题吧？这个呢，是圆心角，这个是圆周角，所以它们是两倍关系，所以我们第一个就可以画成我们的 sign， 然后呢，我们去用两倍角来表示它没问题吧？就等于呃二 b， 然后乘以我们的 o b 向量，然后呢，再加上同样我们的 a o b， 它对应的圆周角是不是角 c， 那 就等于两倍的角 c 喽，所以是 sign 二 c， 然后呢，乘以我们的 o c 向量，再加上最后一个，我们的 b o c b o c 对 应的是两倍的角 a 嘛，就是 sin 二 a， 再乘以 o a 向量，它是等于零向量的。我们这里只不过是一些化简过程，你看看第二条性质是不是就证明出来了？我们用奔驰定律确实会呃简化很多。好，我们接下来看到下一个 重心，你用奔驰定律也是可以去证明的，但是它这种方法其实证明已经很简单了，对不对？我们这里再补充一个啊，我们基 o 点的坐标它是什么呀？假设我们的 a 点是 x 一 y 一， b 点呢？ x 二 y 二， c 点是 x 三 y 三，那我们 o 点的坐标就可以得到等于我们的三分之 x 一 加 x 二加 x 三， 然后呢，重坐标是三分之 y 一 加 y 二加上 y 三，后面我们用坐标运算的时候会用到啊，让我们看到第四个垂心，它的第二条性质又是怎么来的？ 这里呢？我们换个思路来证明，我们直接去证明我们的 s 一 s 二 s 三它之比。好，我们来看到 s 一 跟 s 二的关系。首先如果我们的 s 一 s 二，你去以 b c 跟 a c 为底， 那么他们的高呢？你会发现高跟底都没有什么联系吧？但是我们仔细观察这两个三角形，他们是不是有一条公共边 h c 啊？ h c， 我 们可以看成他们两个三角形的什么 各自的 d， 所以 第一个 s 二，它的高是什么呀？我们这一点记为点 d 好 了， s 二的高，它是不是就是我们的 a d 做垂直下来嘛？然后 s 一 的高呢？它是不是就是 b d 啊？所以我们有我们的 s 二比上 s 一， 它是不是就等于我们的 a d 比上我们的 b d？ 能不能理解？因为它这里是什么呀？高，我们的二分之一的底都是一样的吧？底是什么呀？底是我们的 h c 啊，我这里还是写的详细一点好了。有些同学可能听不太懂啊， 我不是说某一位同学，那我们的 s 二可以写成什么呀？二分之一的 h c， 那 它的高呢？不就是 a d 吗？那 我们的 s 一 怎么写？二分之一 h c， 然后再乘以我们的 b d， 对 不对？我们这里直接可以怎么样约掉？所以它就等于 a d 比上 b d， 那 a d 比 b d， 它跟我们这里的弹性有什么关系啊？ a d 比上 b d 好， 我们再来看到我们这里 a d 跟 b d， 你 看看，如果我们都去除以我们的 c d 的 话，你会发现它的比例是不是没有任何变化，它等于 a d 比上我们的 c d， 然后再比上呢？我们的 b d 怎么样？ b d， 你 也去比上一个 c d， 分 子分母同出一个数，它是不会改变大小的吧？所以你想想看， a d 比 c d， a d 比 c d 是 什么东西啊？它是不是沿着我们的这个角啊？然后呢，下面呢？ b、 d 比 c、 d 呢？ b、 d 比 c、 d 是 不是沿着这一半的角度，对不对？ 如果我们去这样看这个角的话，那我们求不出来，因为我们这两个角怎么样，它没有办法去表示出来对不对？或者说没有办法用 a、 b、 c 来表示，我们换个思路来想一想， a、 d 比上什么我们的 c、 d， 我 可不可以看成这个角 a 呀？角 a 的 什么？ tangent 的 a 分 之一，能不能够理解？我们这里是可 tangent 的 c， 它嘛，其实就是 a、 d 比上 dc 不 就是可 tangent 的 a 吗？那么就是 tangent 的 a 分 之一了，所以我们上面可以写成 twenty a 分 之一，那么下面呢，我们也不要去看成这个角，看成这个角，那么它就等于 twenty b 分 之一，对不对？所以它最后变成了什么 twenty b 比上我们的 twenty a， 能不能够理解这个呢？才是我们所需要去看成的角。 所以呢，我们的面积之比，你会发现 s 二它与它对顶的这个角 b 对 不对？它的正切值呢？ s 二比 s 一， 就等于 s 二它头上那个角的正切值，比上 s 一 它头上那个角的正切值吧，当然再比上我们的 s 三，就比上一个 tangent c 就 可以了， 所以它直接就等于 s 一 比上 s 二，那么就等于 tangent a 比上 tangent b， 然后呢，再比上我们的 tangent c。 好， 那我们面积之笔都知道了，你现在根据奔驰定律， 我们把怎么样把它三个面积表出来，乘以它们的向量啊，头顶上那个向量之和为零，然后呢，把面积笔带进去不就可以了吗？就能得到我们这个定律啊，希望同学们也能够去掌握。下面我们来看到几个有关于 奔驰定律的例题，那我们就结束我们今天这期课程。看到第一个题目是 o 在 三角形的内部，然后我们的 o a 向量加两倍的 o b 向量加三倍的 o c 向量等于零向量。他问我们三角形 abc 与我们三角形 a、 o c 的 面积之比， 我们看到这个它是不是很像我们的奔驰定律啊？我们的奔驰定律 o a， 他 前面对应的面积应该是多少？应该是我们这里我们写上一个 s 一， s 二， s 三， 所以我们会有我们的 s 一 乘以我们的 o a 向量，再复习一遍公式哈，然后再加上我们的 s 二，再乘以 o b 向量，加上什么呀？ s 三乘以我们的 o c 向量就等于零向量吗？我们来看一下。 所以呢，我们这里能知道我们它三个面积的比例， s 一 s 二， s 三的比例不就是什么一比二比三吗？所以我们可以令 s 一 等于，因为小题我们直接等于一好了，然后 s 二呢就等于二， s 三呢，就等于三，没问题吧？那现在我们三角形 a、 b， c 的 面积不就是总面积吗？ s 呢，就等于呃，六，对吧？然后我们的 aoc， aoc 是 s 二吧，然后 aoc 呢？ s 二是等于二，它我们面积之比不就是六比二吗？所以呢，最后答案就是三比一。能不能够理解用我们的奔驰定律做这类的题目实在是太方便了。我们先来再看到一个题目， 奔驰定律，他说已知 m 是 三角形内的一点，他给了我们这样呃，三个面积，他直接告诉我们公式吧。这里他说若 m 为三角形 a b， c 的 垂心，那给了我们一个这个式子，他，我们 cosine 角 a m b 的 值是多少？ 我们来分析一下。首先他问我们的是什么呀？这个角的余弦值对不对？他给我们的条件呢？三倍的 m a， 这个呢很明显是一个奔驰定律，所以我们 m a， 这里是 m 点， m a 对 应的这个面积，三角形的面积呢，我们把它看成三就可以了， 然后 mb 对 应的呢是四， mb 在 这里，所以这个面积它是四，那么剩下这个面积呢？就是五，对不对？我们这三个小三角形的面积我们用三四五来表示，所以呢，大三角形的面积是不是也知道 s 就 等于五加四加三就等于十二吧，它现在有什么呀？我们总共的面积是十二，它 给我们，呃，没有任何一条边的关系，那我们能不能通过我们的面积关系之笔，然后把它的线段的比求 投出来呢？我们之前也用到过吧，这个大三角形的面积是十二，那么这个呢？小三角形的面积是三，那么它们的面积之比是不是就等于它们的高之比啊？当然也就等于这两条线段之比，因为它们底是一样的嘛， 所以它总共是十二比三就等于什么？呃，四比一对不对？四比一的话，那这里的话我们设为 x， 那 么我们呢， 总共是四分，那这边不就是三 x 吗？那同样我们这两边能不能够也去用一下比例？我们总共是十二，对不对？那这里是四分，所以是三比一吧，所以总共就是三分。那我这里设为 y 的 话，这边呢，就是二 y， 那 么到这里有什么用？我们这里的线段这一条，这一条，这一条，这一条，我们设出来之后，就相当于已知的吧，你会发现这两个角啊，它们是什么关系？它们是相等的，对不对？ 既然这两个角相等，并且呢，它们还有什么两条边都有关联的话，那么我们是不是可以求出来？注意哈，它这个是垂心吧，所以我们这里一定是垂直的，它都是一个直角，所以呢，我们的 cosine 角臂 m g， 它是不是等于我们的 cosine 角 a m h 了？没问题吧？那我们看到 cosine 角，我们这个 b m g， 它怎么算呢？是不是我们的邻边比上我们的斜边就可以了？你会发现我们只需要用什么啊？这里是二 y 啊， 我们只需要用 x 比上二 y， 对 不对？所以 x 比上二 y， 就 等于我们还有一个吧，我们的口上 a m h a m h， 好， 那么这个呢，它的零边是多少？是我们的 y， 对 不对？斜边呢？是三 x， 所以 等于 y 比上三 x， 我 们交叉相乘就变成了 x， 三倍的 x 方就等于二 y 方，没问题吧？所以我们能得到我们的 x 方，比 y 方等于二，比上三， 所以呢， x 比 y 等于根号三分之二，好，那么到这里之后我们有什么用？你既然知道了 x 与 y 的 比例关系，你会发现一个问题，你这个角好像也没有办法去直接求它的什么 cosine 吧，因为它没有直角啊。那你想想看，这个角跟这个角什么关系啊？它是不是互补的？ 如果我能够求出我们的 b h g 夹角的余弦值呢？是不是也求出来了？所以我们的 cosine， 呃，我们的角 b m 啊，不好意思是，呃，是 m， 不是 h 啊？ b m g， 它是不是直接等于我们的 x 比上二 y， 那 x 比 y 等于这么一些，那 x 比二 y 呢？当然就等于二分之一乘以三分之 二开根号了。所以最后我们算出来它是多少，算出来之后我们是六分之根号六。那么另外这个角是它的补角吧，所以我们最后要算的角， cosine 讲 a m b， 它就等于负的六分之根号，六，对不对？所以这个题目我们选到 b 选项，用奔驰定理解决这一类的问题有点方便。好，那么本期视频呢？我们讲到这里，我们把我们的四星常考的一些题型以及我们的推论 或者说拓展吧，奔驰定律也能够讲得很清楚啦，希望同学们能够有所收获，再见！
119杨杨杨讲数学
03:08查看AI文稿AI文稿同学们，考试如果考到向量题型呢？那向量平行的题型那就是必考题型了啊。那怎么去做向量平行的题型呢？那我们就把它的一个标准方程啊，记下来，那遇到向量平行的题型就可以秒做了啊。来，我们先把标准方程先写出来， 假如给出来 a 向量，它等于 x 一 逗 y 一， b 向量给出来是 x 二逗 y 二。 说 a 平行于 b 向量，它的一个标准方程怎么写呀？就是 x 一 乘以 y 二减去 x 二乘以 y 一 等于零。好，这个就是它的一个标准方程。同学们，回去记啊，记下来，遇到平行的题型呢，就可以秒做了。来，我们先看一下第一题。 第一题项链 a 给出来坐标了， b 项链也给出来坐标了。问我们下列下列结论正确的是哪个，对吧？好，那我们就判断一下它是否是平行的呀，对吧？就套进去呗。套这个标准方程套进去是否相减等于零吗？对不对等于零呢？说明它就平行了啊。来，试一下，我们就把 x 一 还有 y 一， x 二 y 找出来吗？先把它标出来啊，慢慢来， y 这个是 x 一， 这个是 y 一， 这个是 x 二，这个是 y 二，对吧？分别找出来，然后就把它套进去，套到这标准方程，那它就等于三乘以 三就是三，三就是 x 一， 对吧？ x 一 乘以 y 二，那就乘以二减去 x 二，对吧？ x 二就是一乘以 y 一， y 一 就是六。好， 观察一下，那三乘以二就六，六减去六，对吧？那就是零呗。很明显就平行啊，两个项链就平行，那就 d 选项了啊。来第二题， 先读题，已知向量 a， 他 给出了坐标， b 向量给出来坐标。说了， a 向量平行 b 向量啊，让我们算 x 的 一个值是什么， 对吧？那平行，那就套平行的一个标准方程嘛。来，首先同样的把 x 一 还有 y 一， x 二， y 二找出来，然后就套这个标准方程呗，套进去嘛，就 x， x 乘以二减去负一乘以负四，对吧？等于零，那这里算一下。 嗯，我就把这个二写到 x 前面，这里就好看一点啊。来，减去负一乘以负四，那就等于四呗，减去四等于零，那 x 很 明显了解出来就等于二，答案就是 b 选项啊，就这么简单。来，最后一题，第三题， 已知项链 a 坐标 b 坐标啊，给出来 a 项链平行 b 项链，问我们这个 t 的 值是什么，对吧？来，也是套这个 平行的一个标准方程啊，套进去，那就是二乘以 t 减去四乘以三等于零二， t 减十二等于零， t 解出来就等于六，答案就是 b 选项啊，就这么简单。 好，这三道题就讲完了，你有没有听懂呢？最后为了检验同学们到底有没听懂啊，就出出了道，出了三道啊，同类型的题型，同学们可以回去做一下，有做出就把答案写在评论区里。好，拜拜。
255中职数学大雄老师
00:50查看AI文稿AI文稿本卷贴合山东新高考命题风格，覆盖集合复数、向量数列、圆锥曲线解三角形统计、立体几何、函数导数等高频考点。选择题侧重基础运算与逻辑判断。第一题考察集合补集与并集运算。 第三题明确向量贡献与平行的充分不必要关系。第六题利用正弦定理划边为角求得角 a 为派写杠。三 选择题结合独立性检验空间几何与三角函数性质，考察综合分析能力。填空题涉及向量模长、双曲线、渐近线、结缘弦长竖列求和，注重计算技巧，解答题梯度清晰。四、 棱锥空间向量正垂直求二面角解三角形与椭圆，综合考察几何运算、函数导数围绕单调性切线与不等式证明压轴概率题结合分布列与地推竖列整体重基础强思维，适配山东高考难度，适合考前查漏补缺。规范答题步骤，需要答案解析评论区领取。
29:24查看AI文稿AI文稿今天呢是咱们春天的第一节叫平面向量的向量的向量的向量算。这节课呢大多数我们都讲过了 寒假可能拓展的有点猛我发现哈哈我发现都讲了哈哈哈。只有一个没讲只有一个没讲只有这只有个重心质量法没讲了其他都讲了是吧其他都讲了。 像这个什么平面向量的线型预算综合呀，像这个什么基本定律啊，像这什么鸡爪模型啊，等额线模型啊，都讲了是不是没没没发现都讲了吗？啊 就只剩一点了只剩一点了。呃，当复习是吧那肯定不能当复习啊。那得加点东西是不是哈哈哈。那得加点东西那得加点。呃，让我们能够综合应用一下的四心讲四心四心的玩意用讲啊嗯， 四心那玩意用讲四心四心只要会个重心就行，其他的都不用管啊其他都不用管来平面向量向量的向量的向量算。各位同志们经历过寒假我们想一想啊，平面向量向量向量能考你们啥呀啊 平面向量向量向量算。各位，你们觉得能考你们啥 啊你们觉得就这玩意，这能考啥啊这能考啥？就这东西 啥玩意都考不了啊啥玩意都考不了就是限幸运限幸运才那急化横等式，你出来你看我打不死你啊还急化横等式。 限性运算一共就三个东西，一个叫向量的加法，一个叫向量的减法，还有一个叫什么？还有叫向量的数乘数乘。 为什么叫限性呢？就是哪就是他们至少都是一根线啊，至少还是线还没有到数量基上呢是不是？所以限性运算就是加法减法，还有数乘运算，就这三个东西。那各位同学们，加法减法能考，你来 屡一遍啊，我们屡一遍，你就会知道这些题能考你们什么了。好吧，第一遍来，向量加法能考什么？ 向量加法一共有两个啊，这这些东西你们不用看，你看这玩意干啥？是不是？你们看这玩意干啥？ 你看这玩意你能记住啊，尤其是新同学，不用担心。哎呦，老师上来就给我整这个，上来就跟我说加法考生，减法、数乘考生，我都不知道我这些玩意，我，对吧？这个我还不知道呢，是不是？不用管，你就看这就行啊， 向量加法一共有几个东西呢？一共有两个，是不是？其实呢，说白了本质上就一个。本质上是什么呢？叫三角形法则吗？本质上不是叫三角形法则吗？ 三角形法则。那三角形法则里边有什么呀？我们必须要求是什么叫首尾相连，是不是首尾相连去相加， 啥意思呢？就比如说 o a 向量加上 ab 向量，它就等于什么？它就等于 ob 向量，是不是它就等于 ob 向量？ o a 向量加 o b 加 ab 向量，是等于 o b 向量。为啥呀？因为这两个首尾相连，你看 a a 是 不是首尾相连？这个叫手，这个叫尾啊，这个叫手，这个叫尾， 所以首尾相连消掉，留下一个手，留下一个尾，这就是三角形法则体验在图里边就长这样，你看这是 o， 这是 a， 这样加 ab 相连，是不是首尾相连？在 a， 这首尾相连， 所以它就等于 o b 向量，所以这就叫做三角形法则啊，这叫三角形法则。好，那第二个叫什么？第二个叫平行四边形法则， 第二个叫平行四边形法则。能考能能能能能， 平行四边形法则是啥呢？就是如果两个向量不是首尾相连，怎么办呀？ 对不对啊？那你就比如说，如果这是 o a 向量，这里是 o b 向量，这两个向量共起点，共起点 o， 那 怎么求啊？咱们是不是有点 b 做 o a 的 平行线，有点 a 做 o b 的 平行线，这里是不是会有个交点 c 交点 c， 这是不是对角线？ o c 向量？ 所以 o a 项链加 o b 项链就等于 o c 项链啊，这就是对角线。那其实啊，其实呢，这个 o b 呢？哦，不是这个 o b 呢？非常简单，你如果把 o b 项链平移过来，平移到 a c， 是 不是一样的 把 o b 平移到 a c， 你 看这是不是还是个三角形法则？所以它其实本质上就是个三角形法则，只不过在三角形法则里边儿，如果题目里边儿给的是平行四边形，得了啊，就这个意思， ok 吧。好，那么这两个加减法则，各位同志们，我们能考点什么呢？在学校里边能考点啥呢啊？能考点啥？想想能考点啥？加法能考点啥？ 算，呵，第一个叫算，是不是啊？尤其是给个图像，是不是？尤其是给个图像说什么在一个什么正六边形里边，哪个项链加哪个项链，是不是就这？呵呵，对吧？就这 啊，在那个正六边形里边给个加加减，往往你算说这个项链加那个项链，是不是第一个就是这种？这种算啊，来，第二个能考什么？ 第二能考什么？除了这种还能考啥？没了是不是没了？哈哈，没了 第二个，其实呢，考察比较多一些，考察是哪个呢？考察平行四边形，考察的比较多， 就是主要是考察哪个东西呢？主要是考察的这个东西啊，就这个东西。各位，我在寒假的时候专门跟各位强调过，我说这是 o， 这是 a， 这是 b， 对 吧？如果这个中点，假如说这是 c， 那 么这个 o a 向量加上一个 o b 向量，就等于两倍的 o c 向量， 是不是 o a 项链加 o b 项链等于两倍的 o c 项链。为啥你做平行四边形，你过来，你做平行四边形，你过来。这个对角线是不是刚好是它两倍， 对吧？对角线刚好是它两倍，所以它就等于两倍的 o c 项链，这个考察比较多，为啥这个考察比较多呢？所有的运算里边，所有的运算里边几乎很多啊，都要用到它。另外还有什么呢？你就比如说推导那个叫什么重心的性质， 对吧？推倒一个三角形重心的性质，你就比如说 abc， 说这假如说这有个点 o 行不行？这是他的重心啊？然后呢？这就是，你看这就是他中线、中线、中线，是不是三个中线？你比如说这是 d， 这是 e， 这是 f。 好 吧， 那么我们知道，如果点 o 是 重心三角形 abc 的 重心，我们就可以知道。什么呢？我们就可以知道 o a 向量加上 o b 向量加上 o c 向量等于零向量， 是不是啊？等于零向量， o a 向量加 o b 向量加 o c 向量等于零向量。为什么等于零向量呢？就是这个就很简单了呀，你看，你就比如说在这个三角形里边，各位，你看在这个三角形里边加 o c 向量等于零向量呢？就是这个就很简单了呀，你看，你就比如说在这个三角形里边点 f 是 不是终点？是终点吧。 所以 o a 向量加上 o b 向量是不是等于两倍的 o f 向量？是不是两倍的 o f？ 那 两倍的 o f， 这是一个 o f， 那 两倍的 o f 呢？两倍的 o f 就是 方向朝朝这边，那你看 o c 呢？ o c 是 不是方向朝右？而且对于我们来说啊，重心，重心最大特点是什么？重心最大特点是把这儿分成二比一，二比一，二比一，是不二比一，二比一，二比一。 所以两倍的 o f 是 不是刚好和 o c 方向相反，大小相等，所以它俩一加，你再加个 o c 向量是不是等于零向量？这不就证明完了吗？重心性质多简单呀，是吧？重心性质多简单呀， 那不就等于这个吗？是不是书上的证明方法是旋转一百二十度不变，所以是零啊？ 要这么正吗？按我说的正行不行啊？按我说的正啊，哈哈，按我说的正行不行？按我说的正啊，别搁那旋转啊，哈哈，别搁那旋转， 别搁那旋转。这一下子就出来了。你在旋转什么呀？是不是这一下子就出来的东西？你在旋转什么呀？别，别搁那旋转啊，别搁那旋转。 然后呢，你就再来看，那么我们在题目里边还会有什么呢？我们在题目里边还会有一些，呃，还会有一些。咱们说那个，呃，重心里边还有一些什么推论，什么推论呢？你就比如说 a o 向量等于三分之一的 ab 向量，再加 ac 向量，是不是 什么 a o 项链的三分之一的 a b 项链加 a o 项链？好，各位同志们对不对？肯定对啊，那为啥呢？因为在三角形 abc 里边，在三角形 abc 里边，这个点 d 是 什么？点 d 是 不是中点？ 点 d 是 中点吧啊？点 d 是 中点。所以 ab 向量加上 ac 向量等于两倍的 ad 向量，是不是等于两倍的 ad 向量，那它等于两倍的 ad 向量，也就是说 ad 向量就等于二分之一的 ab 再加 ac。 好， 请问 那因为这里边是不是二比一的 ab 再加 ac？ 好， 请问那因为这里边是不是三分之二的 ad？ 是不是所以整个 a o 向量是不是就是三分之二的 a d？ 那 你再乘以二分之一呢？是不是就是三分之一？ 所以就是 a o 就是 三分之的 a b 加 a c。 所以 你会发现所有的跟重心相关的都是用的什么性质？都是用的这个东西啊，都是用的这个东西，这个东西用的是最多的啊，请同志们记住好不好？ 说这个东西，这个是终点的时候用的是最多的，就 ab 加 ac 等于两倍的 ad， 这是最多的啊，用的最多好不好？这就是项链的加法，就这就靠这项链的减法是什么来加法？说完了项链的减法是什么？ 项链的减法，它也是个三角形法则，对吧？它也是个三角形法则，就是你就是啥呢？你就比如说 o a 向量加上 o b 向量啊，不是什么加减 o a 向量，减去 ob 向量是不是等于 b a 向量，是不是等于 b a 向量，对吧？等于 b a 向量，那这就相当于啥呢？当时跟你们说那个笑脸，是不是这是一个向量，这是个向量，那它减，那它一减就循环过来吗？对吧？这不是减循环过来吗？ 这里是 o a， 这里是 o b， 但是减呢？一定记住是共起点啊，共起点才能减，不共起点没法减啊，所以 o a 减 ob 就是 b a 向量。 那这个东西咋证明的呢？这个东西其实为啥说它是三角形法则呢？因为其实 o a 向量减 o b 不 就是加上负的 o b 吗？减不就是加吗？加上负的 o b 吧。所以是不是等于 o a 向量再加上 bo 向量， 对吧？那你看，这有个 o， 这有个 o， 这两个 o 是 不是首尾相连？首尾相连，那是不是就剩下 b a？ 你加个不对，剩下 ab， 这是手，这是尾，这是手，这是尾， 这两个 o 首尾相连，那剩下的手是 b， 尾是 a， 所以 是 b a。 你 如果你要是不习惯，你就写成啥，你就给他改个位置，说是 b o， 再加 o a 行不行？这样一消是不是剩下 b a， 对 不对？这样一消是不是剩下 b a？ ok 吧， 开背诵了，语速好快啊。那个就是有不满意的，我司的服务标准是服务宗旨是有不满意的可以随时申请转班或者退费，好不好 啊？如果，如果嫌讲的太快的，可以去一本班，一本班会讲的稍微慢一点啊，一本班会讲的语速慢一些啊，双一流班讲的语速会快一点好吧。啊， 好，这是我们项链减法。好，那各位同志们，项链的减法它能有什么作用？项链减法能有什么作用？能考什么题？第一个运算对不对？第一个运算是不是第一个运算 好？第二个呢？运算就是给图再加，那给图跟刚才那个加法一样。好，那这个减法还有别的吗？ 还有别的吗？在很多题目当中记住了，削字母啊，削字母，削字母。 什么叫削字母呢？你就比如说有一些我们不需要的字母，在向量的运算里边有一些不需要的字母，我们要消掉其中某一个字母。用什么？用向量减法就可以消掉某一个字母， 是不是？你就比如说啊，这个在这个题目里边那个 o 跟我们所要的都没有关系。好，那我用向量的减法，尽量把 o 给它消掉，是不是尽量把 o 给它消掉， ok 吧？来，第第三类题，叫什么？叫向量的数？成像量的数程更简单，是不是向量的数程，这有个 a 响亮，对吧？这有个 a 响亮。 前段时间那个有关佳哥的满意度调研里面有一个问题，我思德福宗的，你胡说八道啊，在这，哈哈哈哈， 你不会填的这个吧？啊，你要，你要填这个，我去翻一翻，你要给我填这个你就完了啊，你要填这个你就完了，哈哈，我思德福宗，哈哈。 来，各位朋友们，假如说现在给了我们一个 a 向量啊，这有个 a 向量，这里有个 a 向量。好，那你不知道二 a 吗？那二 a 不 就把它延长一倍吗？这不就二 a 吗？三 a 不 就再延长一个吗？四 a 不 就再延长一个吗？这，这叫做向量数乘， 所以就是在 a 向量上边与喇么的就是给喇么的，就是什么呢？喇么的是个数字，给 a 前面乘个几倍几倍的 a， 几倍的 a， 那你就比如说负 a， 负 a， 就是 这样的负 a， 这就是方向相反，大小一致叫负 a， 这叫负二 a， 这叫负三 a， 是 不是？这叫负三 a？ 所以 各位同学们，你们发现了没有，那么的如果大于零，它就是什么 两个项链。 a 项链与拉姆的 a 项链是什么？是不是叫同方向？叫同向？如果拉姆的小于零，是不是叫反向？是反向的吧。哎，那有了这个数乘以后，那各位同志们，那如果我告诉你， 如果我告诉你，我说 a 向量与 b 向量两个共线，两个项链共线， 那所以 a 向量是不是就等于 lamb 的 被的 b 向量，那 lamb 的是几？求就好了嘛？是不是？你，你看长度嘛，长度之比就是几嘛，对不对？拿长度之比去求就好了呀。 啊，这就是这种题，好，那这种题会怎么考察你呢？第一种大哥，这种题会怎么考察你呢？第一种大哥，这种题会怎么考察你呢？第一种大哥， b 向量吧， 他会给你什么？他会给你两个基底。就比如说我现在有两个不贡献的非零项链， e 一 和 e 二不贡献的非零项链，对吧？不贡献的非零项链。 我现在告诉你什么呢？我现在告诉你，我说 a 向量加上二，什么？ a 向量？我说 e 一 向量加上二倍的 e 二向量与什么？ k 倍的 e 一 向量加四倍的 e 二向量。我说到贡献， 但求 k 是 几？见过正题吧？肯定都见过，是不是？那这个两个向量相加是什么？两个向量相加值，两个向量相加叫一个向量啊， 对不对？向量加法，向量减法，通过加法或者减法得到的向量是一个向量，所以它是一个向量啊，它是一个向量， 对不对？他是一个项链，他是一个项链，那这两个项链贡献那是意味着什么？是不是意味着 e 一 项链加二倍的 e 二项链等于拉姆达倍的 k 倍， e 一 项链加四倍 e 二项链，是不是？你肯定有拉姆达吧，那这个拉姆 达 k 倍的 e 一 项链加四拉姆达， e 二项链 是不是四拉幂的一二相等？那所以，所以各位，这个一一，他的系数是几？他的系数跟这这个系数是不一样，是不是叫做对应项系数相等？所以一是不是等于拉幂的 k， 那 这个系数是不是二？这个系数是不是四拉幂的，所以二是不是等于四？拉幂的去解就行了。所以拉幂的就得到二分之一，所以 k 就 得到二， 是不是？所以那么的等于二分之一， k 就 得二，也就说这里的 k 就 得二，我们就能解出来，是不就能解出来？这是利用什么？这是利用贡献，这是利用贡献啊。同志们，这是咱用贡献，用贡献的方式，用对应项系数相等去解。 我们还说过，我说我们是用比例关系就行，对不对？等比例增长，你看这，这是个二倍一二，这是个四倍一二，是不是两倍的比例？所以我这个 k 呢，跟前面也应该是个两倍的比例，也就是说一比 k 就 等于二比四，所以就算出 k 等于二， 我们用比例对应，用对应的系数之比，一比 k 等于二比四就可以了，是不是一比 k 等于二比四，所以 k 等于二， ok 吧。 啊，咱们有新同学在，所以我把这个东西给各位讲的比较详细一些，好吧。啊，各位各位也当复习一点啊。好，第二种来第二类， 第二类考察的向量数乘还会考察什么？还考察三点公式。我如果说 o a 向量等于拉幂的 o b 向量， 我如果说 o a 向量等于拉幂的 o b 向量，那请问假如说拉幂的不得零的时候啊，假如说拉幂不得零的时候来，请问各位，请问 o a 向量等于拉幂的 o b 向量，那对于我们来说，说什么？这是个向量，这是个向量。是不是在说 o a 向量与 o b 向量是共线的 两个向量贡献，而且他们有一个公共点，这里是个 o a， 还有个 o b， 那 你们说他们是不是三个点？因为他们有接连上的点 o， 所以 这两个向量贡献是不是一定说明什么？一定说明这三个点是贡献的， 是不是三个点贡献 o， a、 b 三点贡献是吧？好，那假如说，我说 o a 向量等于两倍的 cd 向量，请问 o， a、 c、 d 四点贡献吗？啊？ o a 项链得两倍的 cd 项链，请问 o a cd 四点贡献吗？不一定。是不是，为什么不一定啊？如果这是 o a， 如果这是 cd， 你 你，你说贡献，你说项链贡献不贡献？项链贡献呢？但是四个点贡献吗？不贡献呢？ 那为什么上面这个可以，因为上边有什么？因为上边有公共点，两个项链有公共点，你这有公共点吗？没有公共点呀，没有公共点，你四点贡献什么呀？是不是啊？这就是平面向量的向量的向量。就这些题。 好，复习完了就这些题啊各位，就这些题，就这些题。来，我跟你们说，我吧唧，我拿个题出来，请问这道题你们不会算吗？ 说，已知正六边形 a、 b、 c、 d、 e、 f 当中下列表达是第一个，两倍的 bc 加 dc。 你 见过两倍的 bc 吗？我没见过， 是不是？我没见过两倍的能相加，我没见过两倍的能加一倍，都没见过那两倍的 bc， 那 我就得转换呗。你看这个是不是 bc 啊？那两倍的 bc 是 不是就是这个 a d 啊？ 是不是就 a d？ 那 这就是咱们所说的在正六边形里，正六边形刚好是中间，是不是他的两倍？这是正六边形啊，所以他就是 a d 项链 a d 项链加 dc 项链 d d 消了就是什么？就是 ac 好， 所以与 ac 相等相等。第一个对了 好。第二个说 f e 加 e d， f e 首尾相连，消掉就是 f d， f d 是 谁？ f d 就是 这个， f d 是 这个， f d 是 这个。请问他和 a c 一 样不一样一样啊，大小相等，方向相同啊， 两个不是平行的吗？大小又相等，所以它也等于 a c， 所以 它也对好。第三个说两倍的 e d 减 f a， 两倍的 e d， 我 们是不是又得把两倍的 e d 给它去换掉？ 那 e d 是 谁？ e d 是 从左到右啊， e d 是 从左到右，从左到右，这是不是叫 e d？ 那 两倍的 e、 d 是 不是就 fc？ 两倍的 e d 就是 fc， fc 减 fa， 那 向量减法，这不就是 ac 吗？所以它就是 ac。 截了第四个不用判断了。第四个还用判断吗？不用判断了吧？是不是只有 d 选项了呀？是不是只有 d 选项了吧。简历上没有图，没图不能自己画。正六边形很难画吗？老师，简历上没有图， 我这不是因为上课才给你画的吗？我要让你们做题，我还给你们画个图，哎，但是这图也不是我画的。哈哈哈，教育老师画的也不是我画的。 说化解以下格式结果为零向量的有。各位同志们，就这种东西，你放心吧。只有什么这种东西啊，没有图，没有图的里边，甚至他没有说什么正六边形啊，什么什么各种形状，是不是里边像这种东西就只有什么只有。请记住了，连平行四边形法则都没有， 只有首尾相连和共起点的减法，别的都没有。你就算吧。 b b c c 消了，剩下 a a a a 不 就是零向量吗？ 好， ab 减 ac 就是 cb， cb 加 bdd 消了剩下 cd， cd 再减 cd 零 b 也对。 好 c 选项 o a 加 o d 再加 ad。 好， 你看这个 o a 和这个 ad， o a 和这个 ad， 这是不是 a a 首尾相连消掉了吧。剩下是不是 o d， o d 再加 o d？ 所以 是不是两倍的 o d？ 两倍 o d 是 零吗？没说呀。 好 q q 消了剩下 np， 是 不是剩下 np 再加上 m n 再加上 m n 减 m 减减 mp， m n 减 mp 它是什么呀？ m n 减 mp 是 不是就是 p n n p 加 p n 是 不是零向量， 所以叫 a b d？ 你 说这种题要是，哎，出了我都头疼。射点啊，这个题待会说。哈哈。 sorry， 这个题待会说。算了，在这说了吧。 这个题大家都见过说点 m 是 线段 bc 的 终点，高考不考这么简单。这这肯定是新生，我都看，都不用看是不是 设点 m 是 线段 bc 的 终点，然后呢？点 a 是 在线段 bc 的 终点，点 m 是 线段 bc 的 终点。 是是是新生吗？是吧？是新生是吗？我一猜就对。老同学都不敢说这种大话哈，是吧，老同学都不敢说这种大话。 点 m 是 bc 线段的中点，然后呢？点 a 在 直线 b c y 啊？点 a 在 直线 b c y， 点 a 在 直线 b c y。 现在说 bc 的 平方得十六，所以 bc 的 长度就是个四。哎，我为什么要画它呢？为啥画它呢？ bc 的 长度就是个四。 现在说啥？说 ab 加 ac 哦？ ab 加 ac 你 要不要用什么？同志们，你要不要用对角？你要不要求出这个对角线呀？ 这是不是叫做 ab 加 ac？ ab 减 ac 是 谁？ ab 减 ac 就是 cb 啊。啊，这就是 cb 啊，这是什么？同志们，这是什么？这是什么？这是什么？ 对角线相等的平行四边形。所以这个四边形是什么 啊？对角线相等的平行四边形。所以这个四边形是什么 啊？说菱形啊，又来菱形，这肯定也是新生对吧？老生是不敢说菱形的是不是？这，这一看也都是新生， 老生说菱形。寒假被我骂了十分钟，你们是没，你们是小学六年级都没上还是怎么着啊？对角线相等的平行四边形叫菱形，我怎么没听说过呢？你们在哪听说的呢啊？ 对角线相等的平行四边形，都是矩形，矩形，所以这些都是直角这些都是直角，这些都是直角。 然后呢？说什么呢？说 b c 等于几？说 b c 等于四，是不是 b c？ 刚才咱说的是不是等于四？所以这是二，这是二，这是二，这是二，对不对？所以 am 是 几？ am 不是 二吗？对吧？ am 不是 二吗？ m 十二万，就这很简单啊。好，那各位同志们，我可没说啊，这是他们，这是他骂你们的啊，我可从来没这么说过啊。 好吧，这可从来我没这么说过，我只，我说的是老生啊，这，这是他在骂你们啊。 好吧，我说，我顶多说个什么我顶多说个我顶多说个还得是咱们班是不是？我顶多说个还得是咱们班。别的话我都说不出来了 啊，别的话都说不出来啊。清北班这会写清北班，对不对？清北班这会写清北班啊，一本班我都。这我都写一本班，是不是就咱们班我得写一个还得是咱们班啊，没法写就只能写，还得是咱们班。 好来，各位同学们，那像这道题是什么呢？这道题是一个非常简单的一个，叫什么呢？叫做举行的几何意义。是不是举行的几何意义？还有一个是什么呢？还有一个咱们在寒假还讲过一个举行，还讲过一个几何的意义。是什么来着， 还记得吗？假如说 a 的 模长等于 b 的 模长等于二，并且并且 a 加 b 的 模长也等于二， 所以请求 a 减 b 的 模长等于几，还记得这题吗？还记得这题吗？啊？ 还记得题目， a 的 模长等于 b 的 模长等于二，并且 a 加 b 的 模长等于二，所以 a 姐妹的模长等于等于几。平方，是吗？那你一看你也是新生呗，哈哈，对吧？平方你也是新生呗。咱们说 a 的 模长是二， b 的 模长也是二，你就比如说这个是 a 向量，这个是 b 向量， 两个向量之合还是二，那两个向量之合还是二。什么呀？咱们是不是要给它做个平行四边形法则？ 做平行四边形法则吧。那这个对角线。各位，那这个对角线就是我们所要的 a 加 b 吗？这不就我们所要的 a 加 b 吗？这我们要的 a 加 b， 对 不对？那结果他也是二啊？结果他也是二， 那这个不也是二，这个不也是二。这平行四边形吗？这不都是二吗？那不就是菱形吗？菱形中间也是二。请问这个是什么形状？这个三角形是不是正三角形？这个三角形什么形状？是不是正三角形？这俩三角形不是正正三角形吗？那 a 向量减 b 向量，两个共起点，向量相。
5超越自我
15:38查看AI文稿AI文稿欢迎来到零基础急救班，我是小张老师，今天给大家带来平面向量讲解，我们直接开始开始他的学习吧。什么叫平面向量啊？那么重点在于什么啊？在于这两个字，向量。那向量是什么东西呢？首先向量 啊，什么叫单一的量啊？单一的量就是标量， 哎，大家可以简单理解什么叫标量。标量就比如标价，我们去商场买东西，他上面有个标价，对不对？有个标签，他会告诉你三十元，五十元，这是一个单一的一个价格。比如说我们今天跑了一个， 哎，跑了一个就是说校园跑，我跑了多少米？这个八百米，这个八百米也叫做什么呀？标量，单一的量，比如说你今天，哎，呃，你刚才向哪边转了？你向左转，你向向左转，这个左也是个单一的量，是你的方向， 但是我们项量他是不一样的，就是项量。啥意思？项量，他是个复合的量，哎，复合的量，那你说这个名字你就能理解了，第一个字叫项， 而且他还是个复合的量，那就相当于什么呢？他既有大小，他有长度， 这个大小就指这个向量的长度。这个方向呢？就好比他往哪往哪指，他如果往哎，右上方的右上方啊，这比如往右，我也可以说他向北向南， 这是指他的方向啊。所以说项链我理解了啊，就是一个既有大小也有方向的量，不用死记硬背，就大概我们了解了啊，那你说，那比如说我既有大小又有方向，我要理解这个项链是什么意思，就比如说项链 ab 是 指什么呀？ 从 a， 哎走到 b， 我 们把向量理解为一种什么呢？哎，走路，一个人走路，我从 a 走到 b， 那 这么一下子，这个 这个学习直接就生动起来了，在我们脑海中直接就呈现了这个动作，从 a 走到 b， 你 说是不是向量，我们直接就理解了，哎，所以我简写为向量 ab 啊，那你说我向量 ab 加 b h 呢？有的同学，你不会这种题，但是你走路，你会想明白，比如说， a 是 咱哪家，咱哪家，咱先去咱哪家，然后去 b 家， b 家是你朋友家，然后 h 家最后是你家，那你实现了什么？你怎么走的路啊？ 先去咱奶家，再去咱朋友家，路过咱朋友家，紧接着又回了家，所以应该等于什么呀？直接等于 a h， 我 们项链我们只取最开始的以及最后的，所以说这个项链相当于等于 a h， 也就是从 a 从咱奶家 到 h， 咱回了家，对不对？这就是项链，其实项链就是什么，项链就是走路。那好，那我知道项链走路了，那我知道他有什么好处？有一种题，咱直接就会做了， 项链的化解，你化为走路的问题，那简单的 so， so easy。 那 我们直接看来这种题， 从 a 走到 e， 再从 e 走到 b， 直接相当于什么？来？从 a 走到 b， 那 从 a 走到 b， 又从 b 走到 c， 直接相当于什么？路过了 b 相当于从 a 走到 c， 我 选四 d， 没有问题。好，那这个题，嗯，有的同学可能说，老师我是不是应该先画图啊？什么二三四 不需要化，我们先化解后面的东西，我看它到底要干什么。 哎，从 a 走到 b， 再从 b 走到 c， b 是 路过的，消没了，从 a 走到 c， 哎，又加了一个 c， a， 这是啥意思呢？这就好比是画蛇添足，我从 a 走到了 c 家，我上 c 家串门了，我又从 c 家返回了我自己家。我走没走？ 我没走，那就是什么项链啊？那我没动，对不对？那是，我就是，哎，那我就是零项链。 哎，那我就会了。来，咱们再练两个小题，继续实战啊。老师，那如果我碰到负号怎么办呢？那我负号，老师，我不会了，我什么手弦尾尾尖手，我总容易击昏，怎么办呢？来，教给大家一个方法， 当负号你去搞不定它的时候，你想负是不是就是反着来啊？你有三块钱，那负三是不是你就欠三块啊？负和正是反着来的。那好，那我问你， a， c 是 从 a 走到 c， 那 负的 a c 呢？ 那是不是就从 c 走到 a 啊？哎，这样我们一下就明白了，原来负的 a， c 是 ca， 那 我就重新给它写一下， 那减那负的 c d 呢？那就是 dc 喽！ 妈呀，我舒服极了，为什么我看到了希望啊？ 从 b 走到 d， 再从 d 走到 c， 相当于从 b 走到了 c 啊。哎，那这个呢？从 c 走到了 a， 那 我写在这来 ca 加上一个 ab， 从 a 从 c 走到 a， 又从 a 走到 b， 是 不是相当于 cb 啊？ 我乐爆了，为啥呀？太开心了！从 c 走到 b， 又从 b 返回自己家中，相当于原地踏步，零零向量。来吧，四 d， 相信你已经学会了，来，咱们一起做，你可以暂停一分钟，去把这两个小题做出来，好不好？来，回来， 反着的 b 走到 a， 反着的 b， a 负 b， a 就是 ab。 开开心心从 a 走到 b， 又从 b 走到 c， 相当于什么呀？从 a 走到 c， 在 前面加上一个 pa 来跟我一起读 pa 走到 a， 又从 a 走到 c， 相当于 pa 走到 c， 答案就是 pc 选四 d ok 不 ok？ 那 下面题也是如此来。负的 c， d 等于正的 d， c， b， e 超下来负的 d， e 等于什么呀？正的 e， d 来跟我一起看，从 b 走到 e， 再从 e 走到 d， 就是 b， d， 再加上前面的 dc， 从 b 走到 c， 从 b 走到 d， 再从 d 走到 c， 就是 从 b 走到 c。 别忘了再加一个 a， b， a， b 加 bc， 从 a 走到 b， 再从 b 走到 c 来 ac 好 了吗？是不一点问题都没有啊，相信你已经完全搞懂了，过了，好，那我们继续。 那你说，老师，哎，项链这个东西，我回过来看，嗯，项链是啥呀？项链是走路。那么提到了走路呢，我就能想到 走路的人是行人。我们每一个人，其实在生活中我们都是一个，我们都是一个在走人生道路上的一个行人，行人，那么每一个人和我们之间的关系是什么呢？有的人，就比如说我们的同学， 我们的家人，是我们同行的人，我们可以这样理解，哎，那如果有的人跟我们不同行，我们相当于，哎， 我们是不是这样错过去了，那我们就可以这样的人。嗯，就理解为我们生命中的过客，对不对？所以向量他也是如此。如果说向量是平行的，那他是不是则同路啊？跟我们走的是同一条道路，那就什么呀？ 我们同路的人有一句口诀叫里应外合。什么叫里应外合呀？来，直接看题型教给大家什么叫里应外合。哎，咱俩平行，咱俩同路，咱俩同心同德，里应外合是不理所当然呢，来， 这就是里，大家都在里边，里边来，负二乘以三减 k， 这叫里边相乘。外和是什么意思？外边相乘，这是圈，这是圈。外面一相乘，一乘 k 来负六加 k 乘以二，二 k 啊，等于 k， k 等于六选 c， 就是 这么做，里应外合，里面的这俩小东西 等于外面。这俩小东西相乘是不很简单呀，来，这个， a 平行于 b， 则 a b 里应外合，里应 里应就是三乘一，外和就是负二乘负 k， 负二乘负 k， 三等于二 k 同时除以二 k 等于二分之三，检查一下， 没有问题，选择 c。 来，咱们再练一下，继续实战。 平行来，里应外合，它乘它等于 m， 它乘它等于四 m 直接选二 b 没问题了，平行是吧？里相乘，里应外合，二 x 等于外合， 六乘负一等于负六，同时除以二 x 等于一个负三选 a， 那 我们就搞定。哎，向量平行原来就是用一个小故事我们就能记得，就像人生中同路的人，里应外合这四个字送给大家。 那好，那向量除了平行呢？很多题还有另一种题型，大家应该猜到的，那就是什么呀？那就是垂直， 那垂直。大家想一下，如果一个人在人行马路上，你看咱们经常会过红绿灯，你往 东西走的时候，其实还有一个什么南北的红绿灯，哎，你们两个人是正好错开的，是不是会这种行为啊？你们两个人就像人生中的什么，就像过客一样， 你们只是相遇，但是你们没有什么交集。所以说我们说项链也也是易燃也是如此，项链如果垂直，那就像一个小人生哲理似的。那小程老师说，项链垂直，那就好比两个过客， 过客与过客之间只能是一场空，那我说项链就是，什么叫相成为零 好，什么意思啊？老师，你说的这么玄乎，什么叫相乘为零？简单点说，就是横坐标乘横坐标加纵坐标乘纵坐标等于零，非常简单的这个东西，记笔记好，直接做两个向量相乘，则一场空来， 这是横，这是横来。三乘以负二加上 m 乘以五，这叫横乘横加重，乘重等于多少？负六加五， m 等于零。好，把负六移过来，五 m 等于 六， m 等于五分之六，选择 c， 相信你就掌握了。来，咱们再来练一下这四个小题最后的练习来，两个向量相乘来，相乘一场空，它乘它 负三加上纵坐标相乘二乘以 m 加二， m 等于零，二 m 等于三， m 等于二分之三。 ok， 二分之三选四， b 来这个题，相乘为零来，他差相乘三 k 减负，一乘二等于减二等于零，三 k 减二等于零， k 等于二 k 等于三分之二， ok， 三分之二选 a， 它与它相乘来，横坐标相乘三乘三等于九，纵坐标相乘 减四 x 等于零，没问题吧？四 x 等于九， x 同时除以四 x 等于四分之九，选择 c。 那 么 ok， 我 们看最后一个题，是不是也直接一相乘啊？是不是直接一相乘？什么二乘一加一个， x 乘一等于零，然后 x 等于负二，你会发现没有答案，哎，为什么没有答案呢？ 大家看清楚这个题，他说的是二， b 加 a 和 a 垂直， 那前面是 a 向量和 b 向量，这是同一个事吗？这不是同一个东西。那我们得怎么办呢？我们得先把 a 加二 b 是 不是得算出来啊？然后再跟 a 垂直，是不是应该这个理啊？对了， 来，咱们擦掉。那 a 加二 b， 咱们怎么算呢？咱们就正常算，加法就用加法，乘法就用乘法。这个很简单，向量的加减乘除，跟咱们实数没有啥区别。哎，没有啥区别。所以 a 我 写在这里是二都一， b 是 一。逗 x， 二 b 呢？不就同时乘以二吗？对吗？横坐标也乘二，纵坐标也乘二，对不对？来，一乘以二，来 x 是 不是也乘二啊？那等于什么？二逗，二 x， 好， 这是 a， 这是二 b， 那 a 加二 b 是 不是就把它们加起来啊？我是不是讲的已经很细致了？ 所以 a 加二 b 等于什么？就加起来来，他加他。横坐标加横坐标是等多少？二加二等于四， 来，纵坐标加纵坐标，这是一，这是二 x， 纵坐标相加就是二 x 加一，相信同学都跟上了。 那么与 a 垂直， a 垂直，我再写一遍， a， a 是 多少呢？ a 是 二，都一垂直则一场空，则横坐标乘横坐标等于纵坐标，乘纵坐标等于零。来，横坐标相乘是谁？ 二乘以四，这是横坐标加上纵坐标相乘来，它乘以它，二 x 加一乘以一，是不？还是二 x 加一 等于零，我再把它合起来来。二乘四等于八，八加一等于九，也就是二 x 加九等于零。 好，也就是二 x 等于负九 x 同时两边除以二等于多少？负的二分之九选择四 d。
3080中职程老师
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12:59查看AI文稿AI文稿十分钟速通平面向量必考小题，一共五大题型，从线面表示讲到向量共线，从基本定律讲到坐标表示，看到就是赚到。 我们先来看到平面向量最常考的概念变式题哈，会难倒非常多的人。下列说法中正确的是。首先 a 选项，他说单位向量都相等，大错特错。同学们， 你们一定要记住，向量相等指的是两个属性都要相等，一个是方向，一个是大小，也就是咱们的魔长。 而咱们的单位向量，他专指的就是说咱们俩的大小和魔长是相等的。但是我没有说方向啊，所以说跟这个选项类似一个考点哈，就是咱们的相反向量。汤老师，相反向量就是咱们俩的方向相反喽。大错特错 指的是咱们的大小必须要相等，而方向同时是一个相反的，它是两个属性，必须要满足 b 选项，它说平行向量啊，不一定是共向量，咱们的平行和共向量，这是一个意思，所以说它肯定也是错的。 我们再来看到 c 选项哈，对于任意的向量， a、 b、 b 有 a 加 b 的 摩长小于等于 a 的 摩长，加上 b 的 摩长，肯定是对的，这就是向量不等式哈。 那么怎么证明呢？我给大家讲两边同时平方哈，同时平方就会得到什么来，左边是什么来，就是 a 的 平方再加上 b 的 平方，再加上二 a 点乘 b 的 魔长这个样子。 而右边呢，是 a 的 魔长的平方加上 b 的 魔长的平方，再加上两倍的 a 的 魔长乘上 b 的 魔长的哈，这是右边， 你看左边和右边，他究竟缺了什么东西啊？哎，两边的 a 方 b 方肯定都是消可以消掉的哈，这个平方其实就是魔长的平方， 那么你看，其实最后得到的是说左边的二倍的 a 点乘 b， 他 是小于等于右边的二倍 a 的 魔长点乘 b 的 魔长的。 如果说你学过数量积哈，你知道说 a 点乘 b 它是什么东西啊？同学们，它是等于 a 的 模长乘上 b 的 模长乘上它们俩的夹角 cosine c 它的。 你们来看哈，我这一个扩散以及它是属于负一到一之间呢，对吧？我外面再加一个绝对值的话，那么此时这一整坨东西，它一定是要小于 a 点乘 b 的 魔长的，对不对？所以说这个不等式就得证了呀，所以 c 一定是对的。那我们再来看 d 选项， 若 ab 满足 a 的 模长大于 b 的 模长，且 ab 同向，则我告诉你们，这就是概念的错误，这两个向量是不能这样直接比较大小的，你只能对模长进行比较大小，所以这道题选 c。 我 们来看到第二个题型还现象表示，在三角形中点 d 类为中点，所以说这里这里你都写成是二分之一，而点 e 等于二倍的 e c， 也就是说这里为一，这里为二嘛， 就说比例关系，这里就是三分之一，这里就是三分之二嘛，对吧？然后呢，他现在说记，咱们的 ab 等于 a， 这一条为 a 向量， 而 ac 等于 b 这一条为 b 向量。他最后问 ed 为多少？我告诉大家，咱们的 a 向量和 b 向量，他们俩的起点都是谁？都是 a 的， 所以说 a 被称作是这类型题的首领。那么你后续无论要表示什么向量， 都是用首领来领导的，那你看咱们的 e d 怎么写成是首领领导嘞？是不是用 a d 减 a e 就 可以了呀？这就是向量的减法哈，如果你不了解减法的，那你就用一下加法，就是用 a 来破开嘛，对吧？就这个样子。 而咱们前面来可以写成是负 a e 嘛，所以跟上面也是一模一样的。那么我们现在写成了 a d 减 a e 之后，该怎么办呢？同学们，你们看哈，我的 a d， 它是不是等于二分之一倍的 a c 的， 其实也就是二分之一倍的 向量的，对不对？然后我们再来看 a e a e 的 话嘞，它必须要这样走过来，所以 a e， 它其实是等于 ab， 再加上一个 b e 的， ok， 那 我们知道了，咱们的 ab 啊，它是等于 a 向量的，而 b e 嘞，这是需要思考的哈，我们单拎出来写 b e， 它是等于三分之二倍的 bc 的， 而 bc 嘞，你还是要组合一下，写成什么嘞？ bc 就 等于 ac， 再减去一个 a b 的， ok， 所以 说 a c 是 多少是 b 向量，而 a b 嘞是什么向量？是咱们的 a 向量的，所以说你再给他带回到这个式子里面来哈。所以最后呢，咱们求出来就是为负三分之 a 再减六分之 b 的， 选咱们的 b 选项的。 我们来看到向量共线的应用哈，考的非常的多，如图呢，在三角形 a b c 中， m 点是一个中点。同学们看到这句话，马上好戏又出现了， 因为咱们的 a m 这条向量，它是不等于二分之一倍的 ab， 再加上二分之一倍的 a c 啊，这个要牢记了哈。然后我们再来看 g 为一点，然后 a g 等于二倍 g m， 就是 说 a g 的 在这， g m 在 这，也就是说一，这里为二，对不对？所以说比例关系，这里是三分之一，这里是三分之二的， ok 了。然后他说过， g 点的直线呢，分别交 a b 和 a c 于 p q 两点， 此时来 ab 是 等于 x 倍的 ap 的 ac 呢？等于 y 倍的 a q， 你 不用去管它后面问的是什么东西。同学们，因为我们现在又可以得到另外一个贡献也，这是咱们的 p g q 贡献呢。 所以说，你想方设法的得把这个式子给它化成 p g q 的 关系式哈，你看啊，咱们的 am， 它等于多， 多少倍的 a g 啊？它是不是等于二分之三倍的 a g 啊，对吧？而咱们的 a b 嘞，它等于多少？它是不是等于？哎，在这的是 x 倍的 ap 的， 而咱们的 a c 嘞，在这里，它是不是等于二分之一 y 倍的 a q 的， ok， 就 这个样子。 然后此时嘞，我们再把二分之三哈，给它两边都除一下，除过去就会得到 a g， 它是等于多少？三分之 x 倍的 ap， 再加上 三分之 y 倍的 a q 的。 而由向量贡献定律哈，咱们三点贡献，那么此时咱们的系数之和三分之 x 加三分之 y 应该是等于一的， 所以我们就得到了咱们的关系是 x 加 y 等于三的， ok， 那 么此时我们的向量部分的知识已经结束了哈，后面一句话问的是什么来？是咱们不等式的内容哈，带着大家复习一次， 此时呢，咱们 x 分 之四，再加上 y 加一分之一，此时应该咋整呢？同学们，我应该在外面乘一个分母，对不对？就是我们在这乘一个 x， 加上 y 加一。哎，为什么要这么乘呢？因为乘了之后哈，这里相乘可以约掉为四， 这一相乘可以约掉为一的，而这两个一相乘为 y 加一分之 x， 这两个相乘为 x 分 之四倍 y 加一。那你看这两个东西是不可以用一次基本不等式啊，就把它答案做出来了哈。 但是你思考一下，我们在外边儿，我如果乘上一个 x 加 y 加一，我是不是乘上了一个系数啊，对吧？ x 加 y 等于三的，那么 x 加 y 加一，它就等于多少等于四的，所以在这儿，它本质上是一个四，那么我乘了一个四，我还要再去乘一个四分之一呀，才能把这一个给它削平哈。 所以此时呢，我们把这个四分之一提前里边东西相乘一下，这里相乘就是为四，这里相乘呢，就是为一的，再加上一个 y 加一分之 x， 再加上一个 x 分 之四倍 y 加一。 ok， 此时的话呢，我就大于等于四分之一，然后里面五保持不动，加上二倍 根号下这两坨东西哈，相约，我们来约一下哈，约约约约约，所以里边呢，还剩下一个二倍根号，四一致二的， 所以此时就等于四分之一乘上五加二乘二就是四的，所以最后答案是四分之九的。选咱们的 b 选项，你当然也可以去检验一下它的取等条件哈，肯定是存在的，否则它不可能是填选择题哈，检验呢，也就是说，这坨柿子等于这一坨柿子时，此时咱们可以取得这个最小值。 我们来看到第四题哈，平面向量的基本定律，如图嘞，在三角形中， c m 等于 number w 的 c b n， c 呢？等于 mi 倍的 a c 不 用管了哈。然后此时若 a m 与 b n 相交于点 q， 而且 b q 嘞等于五分之三倍的 b n 的， 也就是说我这一段为五分之三，我这一段为五分之二。同学们感情好，已经来好戏了，就是说在咱们的这一个三角形里边， q 点的比例关系已经出来了，那么由咱们的平面向量基本定律哈，大家一定要牢牢谨记了，我用一个特殊的三角形给大家画清楚哈， 你们来观察一下，此时嘞，我如果知道这一段是占 number， 这一段是占一减 number 的， 也就是一个比例关系，也就是相当于这里是五分之一，这里是五分之四的。那么此时咱们的 a p 应该怎么表示嘞？你就记住，对边乘，对边，对边乘，对边再相加， 那么此时 a p 就 等于 number 大 倍的 a c， 再加上一减 number 大 倍的 ab 的， 就这个样子的。那 那么此时哈，我们就可以写出来，在咱们的三角形 cbn 中，此时咱们的 c q， 它是不是就应该等于五分之二，再乘上咱们的 c b 哈， 五分之二乘上一个 c b， 再加上一个五分之三乘对边 c n 的 哈。 ok， 此时我们已经写出来了 c q 它的一个关系式，那 那么我们继续来思考一下，我们要求 number 和 miu 之间的关系哈，咋求嘞？哎，你会发现我在这其实还有一个三角形，对不对？在咱们的三角形 c m a 中，我又可以用一次平面向量基本定你啊，那么咱们的 c q 是 等于多少嘞？它是不是由这三个点相组合呀，对不对？然后呢，我们来看我们的 c b 是 不是可以调换成 c m 啊？由这一个关系式哈， c b 嘞，它等于 number 分 之一倍的 c m 的 哈，然后你前面还有个系数五分之二的， ok， 就 这样子。 然后呢，再加上五分之三倍的 c n 呢？也给它调换成咱们的 c a 哈，由这个式子你可以写成是 c n 等于喵倍的 c a 的 两边同时调换一下顺序，所以此时我再乘上一个喵倍的 c a 的， 那 那么由，咱们是三点共线的，系数之和一定是为一的。所以说咱们的五分之二乘上 luma 分 之一，再加上五分之三倍的 mu， 它应该是等于一的。 我左右两边同时乘一个五 luma， 也就会得到二加三 muuma 等于五 luma 了，你看选谁呀？是不是选咱们的 c 选项？ 我们来看到最后一道题哈，坐标表示如图，在一个四边形当中，咱们的 d、 a、 b 这一个角为一百二十度，而咱们的 d、 a、 c 这里为三十度，结合一百二十度，这一个肯定是个直角九十度的。 然后此时咱们的 a、 b 等于一， a、 c 呢，是等于三的 a， d 嘞，等于二的。然后他现在问 a c 等于 x 倍的 a b 加上 y 倍的 a d， 问 x 加 y 为多少啊？那肯定是要间隙了。 好，我们以 a 点为圆点哈，间隙如图，我们来写一下各点坐标， a 呢，就是为零零的，现在涉及到了说 a、 c、 b、 d 四个点哈，所以说我们把每个点写出来，咱们的 d 点呢，它是为二零的， 咱们的 c 点呢？哎，你看一下，我这里为三，这里为三十度，所以这里做个垂直下来，这里就应该为二分之三，这里就为二分之三倍根号三哈。 对， c 点坐标是二分之三倍根号三，二分之三的，我们再来看一下咱们的 b 点哈。 b 点呢？在这里的我们来看，这里是一百二十度，所以这里为六十度，为六十度的情况下，那么这里为一，这里就为二分之一，这里就为二分之根号三的。 所以说 b 点坐标就是为负二分之一，二分之根号三的。而咱们的 a、 c 嘞，其实也就是为咱们 c 点坐标哈，而咱们 a、 b 嘞，其实也就是为 b 点坐标，而咱们 a、 d 嘞，其实就是为咱们 d 点坐标。 所以我们现在可以把比例关系给它写出来，也就是说咱们的这个横坐标等于负二分之一倍 x， 再加上二倍 y 的， 然后这一个纵坐标等于二分之根号三倍 x 加上零倍 y 的 哈。所以呢，你就去把 x y 给它解出来， 解到 x 等于根号三， y 等于根号三，那么 x 加 y 可不就等于二倍根号三吗？那么我也给他整理好了我的两万字逆向解答解题一百兆，它包括了高中所有常见的二级结论，大家一定要及时下载打印，点击我的主页置顶资料就可以免费领取。 我还会赠送给那些前三十名添加到我的同学一个一 v 一 的深度提分分析，看看你的数学到底是哪个环节出了问题。数学从来都不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！
2781北大糖的魔法数学
04:21查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来学习平面向量。在数学中，有些量只有大小，比如长度、面积，我们称之为标量。 而另一些量既有大小又有方向，比如力、速度、位移，这就是我们今天要学习的向量。 向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，也称为魔箭头的方向，表示向量的方向。我们用字母上面加箭头来表示向量，比如向量 a、 向量 b， 或者用起点和终点表示，如向量 ab。 如果两个向量大小相等且方向相同，我们称它们为相等向量。值得注意的是，向量相等与起点位置无关，只要大小和方向相同即可。 而方向相同或相反的非零向量，我们称之为共向量或平行向量。向量加法有两种几何方法， 第一种是三角形法则，将两个向量首尾相接，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量，就是和向量。第二种是平行四边形法则，以两个向量为邻边作平行四边形对角线就是和向量。 向量的减法可以转化为加法向量 a 减去向量 b， 等于向量 a， 加上向量 b 的 相反向量集合上，我们将两个向量的起点放在一起，从向量 b 的 中点指向向量 a 的 中点的向量，就是 a 减 b 的 结果。 实数与向量的乘法叫做数乘。当 lamda 大 于零时， lamda 乘以向量 a 的 方向与 a 相同，长度变为原来的 lamda 倍。当 lamda 小 于零时，方向相反，长度变为原来的绝对值倍。特别的，当 lamda 等于零时，结果是零向量。 两个向量的数量积也叫做点积，定义为向量 a 的 摩乘以向量， b 的 摩再乘以它们夹角的余弦。 数量积的结果是一个标量，不是向量。当两个向量垂直时，数量积为零。数量积在物理中表示功的计算。 平面向量基本定律告诉我们，如果一一和一二是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 尤其只有一对实数 lamda e 和 lamda 二，使得 a 等于 lamda e 乘以一，加上 lamda 二乘以一二。 我们把不共线的一一和一二叫做表示，这以平面内所有向量的一组基底。当基底向量互相垂直时，我们称之为正交分解。 最常用的是建立平面直角坐标系，用单位向量和 g 作为基底。这样任意向量 a 可以 表示为 x 乘以 i， 加上 y 乘以 g， 即作坐标 xy。 其中 x 和 y 分 别是向量在 x 轴和 y 轴上的投影。 有了坐标表示向量的运算就变得非常简单。两个向量相加，只需要对应坐标相加，相减则是对应坐标相减。数乘运算就是用数乘以每个坐标数量积的计算是对应坐标相乘再相加。这个公式非常重要。 向量在平面几何中有着广泛的应用。例如，要证明两条线段平行，只需要证明对应的向量是共向量。要证明两条线段垂直，只需要证明对应向量的数量即为零。向量法可以将复杂的几何证明转化为代数运算。 向量在物理学中无处不在。力的合成与分解遵循向量加法的平行四边形法则，功的计算等于力向量与位移向量的数量积。当力与位移垂直时，比如匀速圆周运动的向心力，这个力不做功速度、加速度也都是向量。 今天我们系统学习了平面向量，从几何表示到坐标运算，从基本定律到实际应用，向量作为一种重要的数学工具，架起了代数与几何之间的桥梁。希望大家能够熟练掌握向量的各种运算，并灵活运用于解析之中。
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16:01查看AI文稿AI文稿项链有个概念。第一个，项链有个概念，你得知道什么叫项链？把既有大小又有方向的量叫做项链，所以叫项是项是方向，量是大小。项链啊，这样好记吧，项链一定要知道哈，大小和方向缺一不可。 这里边有个概念，比如说零项链，零项链就是膜啊，也说大小为零的项链叫做零项链。 方向是不确定的，你说向哪是向哪？方向不确定，他不是没有，不是没有，是不确定， 不是没有是不确定啊，这个要记清楚啊，不是没有，是不确定来。相等相等就是大小相等，方向相同叫相等，相等，相反相等是大小相等，且方向相反， 一定有大小啊。共向量就叫平行向量，说白了吧，就是两个向量，平行向量 a 和向量 b 平行。一会具体讲， 如果说向量怎么表示？用起点中点画一项有向线段，起点中点画一条有向线段。一定不要忘了写这个，没有这个就不对啊，这个叫向量的符号， 也可以用单独一个字母向量 a 和向量 b 表示，但是不要忘了这么个符号，没有这个符号就不对啊，这是向量符号。 第二个向量的信息运算有加法、减法和数乘加法，说白了吧，它就是首尾相接。什么样的首尾相接？ 你可以看这个三角形法则哈。首尾相接，这是项链 a， 这是项链 b， 首尾相接相接在这啊，由最终的起点往最终的终点画一条有向线段三角形法则。 首尾相接三角形法则，那如果不他首尾不相接怎么办？那就用平行四边形法则，这是项链 a， 这是项链 b。 你 在这， 这是向量 b， 我 平移到这来，和画一条和向量 b 一 样大小，一样方向的向量一样的，就凑出来一个三角形了啊，还是三角形法则，首尾相接， 由起点往终点画一条右向线段平行四边形法则啊，这个你得知道项链的减法，你知道了项链的加法，你就会了项链的减。项链 b 等于项链 a 加项链 b 的 相反项链，这个叫相反项链。 符号，符号，符号不是符号，符号写这来吧，符号在项链当中代表方向， 不代表大小。搞清楚啊，符号在向量当中代表方向啊，符号向量当中代表了方向。向量 a 减向量 b 等于向量 a 加向量 b 的 相反向量一样的。 这个很简单哈，这个我给你举个例子，向量 ab 减向量 cb 等于向量 ab 加负的向量 cb， 这样的话，向量负的向量 cb， 你可以把它化成。化成这种啊，把相反相量吧，大小相等，方向相反换回来，这样就能首尾相接等于相等 a c， 这点你要会哈，会哈 这样的数乘，数乘很简单啊，就给这个数乘进去就行了。数乘分，这个写的是大小，表示的大小。大小方向怎么判断方向在底下呢？这个 number 大 于零，方向相同， number 等于零，方向任意。 其实说白了吧，这个就是零向量啊，这个就是零向量，零向量 lamb 的 小于零， lamb 的 小于零，那就是方向相反。我说了，符号在向量中代表着方向， 这个简单哈来，再往下，向量的坐标表示向量的坐标表示在直角坐标系当中。向量就是由起点往终点画一条有向线段，咱如果向量 a 点，它的坐标是一多少二？ b 点，它是二多少二？ 一逗号一，二逗号二啊，说错了，下面 ab 怎么表示有终点坐标减去起点坐标，终点是 b， 起点是 ab 减 a 呀，二减一等于一，二减一等于一，就是横坐标减横坐标纵坐标减纵坐标就是终点坐标减起点坐标。 一定要知道哈，这个啊，很重要，如果说向量的直角坐标的啊，预算，如果向量 a， 我 用 x 一 y 表示向量 b， 我 用 x 二 y 表示它俩。向量 a 加向量 b， 这是用坐标表示哈。横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标 减呢，就是横坐标减横坐标坐标减纵坐标。这是向量的数乘，就是 lamb 的 乘以向量 a， lamb 的 乘以就是 lamb 的 乘以。向量 a 等于 lamb 的 乘以 x e。 逗号 lamb 的 乘以 y e 啊，这个你要记清楚啊， 这里边有一个向量的内积，这个叫向量的内积啊，这个叫数乘，这个叫内积。 不一样啊，内积很简单啊，这个就是向量 a 和向量 b 的 内积，就是 x 一 乘以 x 二加上 y 一 乘以 y 二。 经常考啊，经常考啊，自己一定要记下这个啊。来，再往下向量加角的定义向量加角的定义就是向量 a 和向量 b 的 加角啊，向量 b 的 加角这个法啊， 知道哪个夹角就行了啊， ok， 向量 a 和向量 b 的 内积等于向量 a 等摩乘以向量 b 等摩乘以向量 a 和向量 b 加角的余弦值 余弦值这里边考的比较串的一点哈啊，这是个公式，你给他记过？行了，这样的话，相当于把向量 a 和向量 b 的 内积再和它的坐标联系起来了 啊，内基和坐标联系起来了啊，这个你要明白，这个你自己再注。注意看一看啊，这个 x 一 x 二 y 一 y 二就在这呢啊，和这一样的我直接挪过来的，我就具体不说了啊。 如果项链 a 和项链 b 垂直，那就是项链 a， 项链 b 的 内基是零啊。为什么内基是零？ 是谁呀？ cos 九十度等于零啊，没错吧，零乘以这俩不就等于零吗？向量 a 和向量 b 的 内积在这呢，它俩相乘， 这个对应的横坐标和纵坐标。这是向量的坐标表示啊，考的比较多，等于零啊，平行就简单了，对应起来向量 a 和向量 b 啊，对应起来的横坐标比横坐标等于纵坐标比纵坐标就对应起来的坐标比值相等啊， 交叉相成，就得到了底下这个 x 一 乘以 y 二等于 y 一 乘以 x 二啊， 这个说的比较快啊，因为我都写完了。这里边向量的加法啊，重点掌握向量的加法。什么呀？向量的三角形法则和平形四边形法则啊， 这两个啊，你一定要知道啊，剩下数乘什么的还是比较稍微简单一点的哈，下面内积内积注意用啊，坐标表示这样我要说的底下的向量的坐标表示及预算啊。剩下的垂直考的比较多，垂直考的比较多。垂直垂直垂直垂直。 ok， 继续复数 负数。首先你得知道什么是负数哈，负数相当于啊，在实数范围之外又扩大了一部分，我要搞清楚实数、虚数、纯虚数和负数的关系。 实数范围之外又搞了一个虚数，虚数里边有一个纯虚数，实数和虚数共成，共同构成负数，负数一般用 z 表示， z 等于 a 加 b i， a 呀，就叫实部， b i 叫虚部。 当 a 等于零， b 不 等于零的时候，就 a 等于零，相当于没有实部啊，没有实部，那不就只剩虚部了吗？叫纯虚数。 当 a 不 等于零， b 等于零的时候，也说 b 等于零，是不是没有虚部？没有虚部，只剩实部，那叫实数。 当 b 不 等于零的时候， a 我 也不知道的时候，那叫虚数。因为 b 不 等于零嘛，我不知道 a 等不等于零，是不是这个时候才叫虚数。来，我教你一招哈，怎么去区分这个。只要带 i 的 都叫虚数，只要带 i 的 都叫虚数，能明白吧？只带 i 的 叫纯虚数啊，你要搞清楚啊，这里头为什么我要引入一个虚数包括复数的一个概念呢？要记清楚， i 方等于负一，这个是重点， 重中之重啊，你什么都不明白，无所谓的啊，你一定要知道，爱方等于负一，只有在复数范围之内，也就说只有在虚数当中，爱方才等于负一在实数范围之内，那个爱方是不存在的啊，因为在实数范围之内，任何数的平方都大于等于零，对不对？ 好，继续负平面内负数的几何意义就很简单哈，你要把 x 轴让它想象成叫实轴，其实就是实部的部分， y 轴你把它想成虚轴，就是虚数的部分。我就画了一个类似于向量的东西。 这个呢，可以用 z 等于一加 i 表示啊，一就是他的实部， i 就是 他的虚部，说白了吧，一就是他的实轴， i 就是 他的虚轴， 可以对应表示起来一多少一这个坐标给他表示你把负数的模就是这么写啊。他，其实啊，你可以理解成啊，负数和向量有那么一点点的，这种向量的坐标表示的时候的那种关系，你听懂吗？ 这个是不是可以表示一个项链？用坐标表示的项链可以吧，这个就是负数的膜膜，因为项链里头咱也用这种形式去表示膜，对不对？ 一样的，你可以类比去记一记，你理解这个事就行了。好吧，再举个例子，这等于一减二 i， 那 就是对应的坐标是一逗号负二，这是它的负数的平方加虚部的平方 等于啊，开根号等于根号五，虚部这个地方是负的，也就一加这么写吧。来，一加这么写，搞清楚，一定中间是个加。搞清楚啊，好，继续。 负数相等和公和负数，再加上负数的运算啊。加减乘来假设向量 a 啊，不是向量 a z 一 负数 z 一 等于 a 加 b i 负数 z 二等于 c 加 d i 实不相等，虚不相等才叫做负数相等。就是 a 等于 c， b 等于 d 啊， a 等于 c， b 等于 d 才叫负数相等。那实不相等虚数互为相反数呢？也就说 a 等于 c， b 等于负底，叫共二负数，这两个叫共二负数， 它不叫负数相等了。负数相等就是十不等于十不虚不等于虚不共恶，负数就是十不相等，虚不互为相啊，共恶负数。两个共恶负数，它的模是相等的哈，它是模相等的哈，模相等，我写上吧，模相等，共恶负数模相等，模长相等模相等。 要搞清楚模相等啊，这是一个知识点。来，继续读，快一点啊。 z 一 加 z 二等于实部相加，加上虚部相加相减，就对应起来的实部相减，虚部相减 相乘，就按照什么呀？字母相乘算一块行了，字母相乘给它算一块行了。别忘了 i 方等于负一啊。你看它乘以它，加上它乘以它，加上它乘以它，能听明白吧？就这么乘到最后得到了一个 b d i 方啊， 因为 i 方等于负一，你不能留着 i 方啊。任何只要是负数，不是相等，负数相乘里边只要有一个 i 方，你要把 i 方等于负一写进去，这样的话，你就是 a c 减 b d。 因为 i 方等于负一嘛， 再加上这个，这就是它的实部，这是它的虚部，能理解吧。我举了个例子，一加 i 乘以一减 i， 那 正好是一方减 i 方，因为 i 方等于负一嘛， 就是一减一减，负一等于一加一等于二，一加一等于二啊，我拓展了一下哈，因为有加减有乘，有加减有乘。我再告诉你一个除法啊，除法也很简单，叫分母实数化。什么意思？ 一加二除以一减二，我把一减二，因为分母不能有 i， 分母不能有 i， 那 就是一减 i 乘以一加 i， 这不就是按照完全平方式这嘛，挪过来了，是不是 底下这个就变成了二？上头这个就相当于一加 i 的 平方啊，用完全平方式展开得到了这个，到最后 一加 i 比上一减 i 等于 i 啊，这是化简到最后的啊。你按照我这个思路来行了，叫实数化分母实数化。继续啊，在复数范围之内实系数的一元二次方程的解法， 你看哈，这个是不是咱要说的一元二次方程的什么呀？一般表达式啊，这里边是不是咱知道有德特叫判别式？德特等于 b 方减 c， c 大 于零，它有两个不相等的实数根， 而它等于 b 方减 c， c 等于零，那就两个相等的实数根，其实就是一个实数根的，对吧？而它等于 b 方减 c， c 小 于零，那就是没有实数根，这个没毛病吧？它没有实数根，那怎么办？那有什么呀？没有实数根，那就是有， 有虚根呐。哎，没有实根就有虚根。这么来，在当而它等于 b 方减 c， c 大 于零的时候，咱是不是？这是它的什么公式法解 方程啊？解它两个实数根呐，是不是来这里头？是不是 b 方减 c， c 大 于等于零，来 b 方减 c， c 小 于零的时候，因为它不能开根号啊？小于零，它不能开根号，那怎么办？我给它反过来， c， c 减 b 方，不就是大于零了吗？ 对不对？因为 b 方减 c， c 小 于零，那反过来 c， c 减 b 方，是不是大于零了？对，是不对，能明白吧？ 这么绕一写之后，后头加上一个 i， i 什么呀？叫虚数单位？ i 是 虚数单位啊。 ok， 这样的话，把它划剪开，实部写到前头，虚部在这写到后头，实部写到前头，虚部写到后头，这就是它的在虚数，在复数范围之内的虚根， 在负数范围之内的虚根。它两个虚根呢？依然满足微大定律， x 一 加 x 二等于负的一分之 b， x 一 乘以二等于一分之 c。 这个搞清楚啊，我给你写在这啊， i 是 什么呀？ i 是 虚数单位啊，考试的时候它会提示你的，放心啊， i 是 虚数单位。 ok， 继续这里边哈。考试的时候，二五年的时候考了一个负数的加法，负数的加法，负数的加法。 ok， 继续这里边哈考试的加法，负数的加法。 还有呢，你得会求复数的幺二，你得知道公二复数这里边乘法啊，你要注意 a 方等于负一好了。大面上啊，基本就是这些了，再有什么我没有考虑到的呀，可以欢迎啊，私信问我哈。好了，今天就这样，不会的单独问。
00:54查看AI文稿AI文稿家长们、同学们注意！山东日照二零二六届高三一轮模拟数学试卷，我给你们一次性讲透！这套卷子完全对标新高考，难度适中、考点超全， 是一轮复习最标准的检验卷。选择、填空、覆盖、集合、向量、立体几何、结面、排列、组合，基础题必须稳稳拿满，一分不丢多。选择题考统计、数列、三角函数坑点多，考细节 最容易拉开差距。大题部分解三角形、双曲线一题几何、导数、数列压轴题型经典，计算量大，特别考验一轮复习的扎实度。想考一百二十分以上，中档题不失误，压轴题敢动笔。 基础薄弱的孩子，先把选择、填空和前四道大题抓牢。一轮模考不是终点，是查漏补缺的关键。把这套卷吃透，一轮复习才算真到位，高考数学才能稳稳上岸。
1高考冲刺
04:45查看AI文稿AI文稿朋友们大家好，今天我们来看这一道连口小题。已知平面向量 a 向量等于一个负一根号三 b 向量等于一个二分之二，三二分之一，若 k 倍的 a 向量加上 b 向量，垂直于 a 向量减两倍的 b 向量，则 k 等于多少啊？在这个做这些呢，我们首先要复习一下我们的一些 向量的计算原理啊，比如举例子啊， m 向量呢，等一个 x 一 y 一， n 向量呢，等一个 x 二 y 二啊，那么如果有一个常数啊，一个整数 a， 也比如这个整数是一二三十九啊啊， a 乘一个 m 向量， 它等于多少呢？它就等于一个 a 倍的 x 一 啊， a 倍的 y 一 啊，就是这个原理。那么啊，我们举例往这里看，这里啊，那么这里的 k 的 a 向量，你看这里啊， k 的 a 向量就等于多少啊，是不是一个负 k 根号三 k 啊？好，那么现在还有就是我们这个 m 向量加上 n 向量应该等于几呢啊，等于一个，这个 x 一 加 x 二， y 加 y 二啊，还有就是我们这里如果是 m 向啊，如果是减的话啊，这就变成减号就可以了啊， m 向量减成 n 向量呢，就等于一个 x 一 乘以 x 加 y 乘 y 二，就是横坐标相乘加上纵坐标相乘啊，那么这里我们就可以看了，这里的 k 倍的 a 向量加上这个 b 向量啊，也就是它啊，就等于几呢？是不是就等于一个 嗯，负的 k 加上多少啊，加上一个二分之三吧，就是啊，横坐标相加吧，然后再啊，纵坐标相加啊，就是一个根号三 k 加一个 二分之一，好，那么现在这是这个了。然后还有这里一个 a 向量减两倍的 b 向量，然后我们先可以算一下这个两倍的 b 向量呢？他啊，根据这一个原理，他就等于多少啊？他是不是等于一个根号三一啊？那么我们这里一个 a 向量减两倍的 b 向量呢？就等于一个 我们的 a 项，是啊，在这里吧，啊，就是一个负一横着点，横着标，减去多少呢？减去一个根号三，然后还有这里的根号三，横着点，横着标啊，减一吧，啊， 你这里的相减，然后我们还要知道啊，就比如说啊，这里如果有 m 向量垂直 n 向量的话，那我们得到什么呢？就得到 m 向量点成 n 向量等于一个零，那么你看我们这个题目条件，这里说啊，这两个向量相垂直，是不是啊？你看向量相垂直相等等于零吧，是吧？那么我们这里的话，这里的一个 k 倍的 a 向量加上 b 向量相乘，一个 a 向量减两倍的 b 向量，应该是就等于零吧，是吧？因为这是一个垂直，对吧？垂直啊，等于零，那么就是一个，你看 这两个相乘吧啊，横坐标，横坐标相乘，那么就是一个嗯的负 k 加二分之根号三乘以几，再乘一个负一，减根号三啊，然后再加上一个根号三， k 加二分之一乘一个根号三 减一啊，这个等于零，那么我们就可以计算一下了啊，那么这边呢，先可以把我们这里的一个啊，两个符号，你看这里一个，我们可以把这个符号提出来啊，把这个符号提出来啊，是不是有一个负的 负可以加二分之根号三啊，然后一加根号三，然后这边呢是加上一个这个根号三加二分之一，乘以一个根号三减一，那么我们 这边啊，又可以看到我们这里有一个呃，负 k 啊， k， 然后减去一个二分之根号三，就把这个符号提进去啊，然后一加 根号三啊，这边呢可以加上一个呃，三 k 啊，可以把它点转过来啊，就是这个乘这个三 k， 然后再减去个二分之根号三，然后再加上一个二分之根号三，然后再减去个二分之一，那么这个下面呢，就是啊，再把它像这样的乘 k 乘一，然后再减去个二分之一，那么这个 k 加根号三 k， 减一个二分之根号三，然后再减一个二分之三啊，然后就加三 k， 减根号三 k 加二分之根号三减二分之一啊，那么我们看这里可以消掉很多了，这里一个根号三 k， 根号三 k 消掉了，我们这里的一个 k 三 k 加起来就几 k 啊？就是一个四 k 啊，然后这里的负的二分之三跟这个又消掉了，这里的一个 减二分之三，减二分之一，就是减几啊？减四吧，啊，减四，减减二，减二，减二等于一个零，那么这个 k 就 等于等于一个二分之一吧。啊，好朋友们，我们这里就选择一个 a 选项啊。
171芜湖数学石老师
