幂的乘法运算公式的变式
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03:01查看AI文稿AI文稿同学们好，今天的话给同学们讲解 a 的 乘法的课后习题，总共是两种比较重要的，然后首先我们来复习一下昨天讲解的一个公式，也就是说 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，尾数 a 的 m 加 n 次方，然后计算这个公式的前提的话是需要确认同底乘以，然后我们的第一道变式的话， 就是组成出的，我们需要进行一个转换。首先来看一下，第一个是 x 减 y 为整数的，后面都是 y 减 x， 所以 这里面的话，我们把第一个 x 减 y 的 一个底数进行一个互换，把它变成一个负的 y 减 x 的 一次 方，也就是说如果它的指数是七次方的情况下，转换的时候要注意提出一个括号放前面，后面的话，我们就照成 y 减 x 的 二次方，乘以一个 y 减 x 的 三次方，减去 y 减 x 的 六次方，然后前面的话注意它的一个运算符号，乘法、乘法、减法、减法，那我们这里面着重讲的是 b 的 乘法，所以我们把前面三个进行计算的时候， 就是负正正结果为负，底数不变， y 减 x， 指数三加一加二加三等于六，再把后面的减去 y 减 x 的 六次方。一旦涉及到减法的话，这时候就学到了我们上学期的一个合并同类项了， 所以我们这种答案应该是负的二符号 y 减 x 的 六次方。如果你需要把底数进行一个挂历，把它 x 放起的话，我们直接换，因为它的指数是六，是一个偶数，所以这时候不用提一个符号出来的，就直接写负二符号 x 减 y 的 六次方即可，这个是需要转换底数的。 然后第二个是需要我们的共生密运用的，我们来观察一下这道题，已知二的二 x 减一减去二的二 x 减三，四方等于九十六，和来观察一下二 x 减一与二 x 减三的关系。很明显，我们发现了二 x 减一比二 x 减三的话要大了一个二，那么这时候我们就可以写成， 也就是说我想要把二 x 减一变成二的一个和，这样的话就算是我们的反动成二的 二 x 减三加二减去二的二 x 减三等于九十六。然后我们再把二 x 减三看成一个整体，并无进行一个拆分，把这个加二进行一个公式的逆变法，把它展开就行了。那也就是说 a 的 二的 二 x 减三，四方乘以二的二 x 减三，四方就等于九十六。这时候这个部分可以进行计算，其实就等于四乘二零，二 x 减三，四方减去二，二 x 减三等于九十六。 一旦涉及到减法，就是我们的合并同类项的时候，就是四个减一个，三个二的二 x 减三四方。再利用等式的性质，两只两边同时除以三就等于二的二 x 减三，四方就等于三十二。又开始划重点了，三十号二的话，我们要把它转换一个密变成二的五次方， 那么在同底数 m 二和二都是相同的情况下，那就代表的是相同的两个 m。 所以 我们知道二 x 减三其实就等于五运用的设限值二 x 为八， x 等于四，我们就把这道题完成了。所以这道题的话，公式的密运用重点就在于一个拆和一个凑，这个是比较难的，你学会了吗？
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00:43查看AI文稿AI文稿密预算一共就有八个公式，你记住了，你就是全班的数学天花板。第一个，同底数密相乘，底数不变，指数相加。第二个，同底数密相处，底数不变，指数相减，底数不能为零。第三个，密的密，底数不变，指数相乘。第四个， 积的密，积中的每个因子分别取密，再相乘。第五个，商的密，分子和分母呢？分别取密，然后再消除，分母不能为零。 第六个，零指数密，任何非零数的零次密是等于了一的第七个负指数。任何非零数的负指数次密呢？它是等于了这个数的正指数次密的倒数。
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04:52查看AI文稿AI文稿这道题一旦考出来，我敢说百分之九十五以上的孩子都拿不到分。这是一道初一下半期关于逆运算的填空压轴题， 很多同学拿这题之所以没有思路，是因为你不会逆运算的恒等变形来，同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透复杂逆运算的变形方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，他说如果二的 x 次方等于三的 y 次方都等于七十二，好，题目呢，求的是 x 分 之三再加 y 分 之二，这两个式子之合最终等于多少？ 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题啊！这道题呢，主要考察了我们密运算当中的三个核心工具。来，同学们，我们一起来回顾一下哈算第一个公式呢，是我们的同底数密的乘法来，比如说 a 的 m 次方 乘以 a 的 n 次方，看到没有，同底数底数不变，指数相加，等于 a 的 m 再加 n 次方。好，这是我们第一个核心公式，好。第二个呢，叫做同指数密好来，比如说 a 的 m 次方乘以 b 的 m 次方来，这个时候呢，应该是指数不变，底数相乘，那就是 a 乘以 b 的 整体的 m 次方，对吧？好。第三个呢，叫做密的乘方， a 的 m 次方，整体的 n 次方， 底数不变，指数应该是相乘。哈，这三个公式啊，特别容易搞混，而且呢，也是我们例当中恒等变形的三个核心工具，好学了。这个时候呢，来这道题呢，就非常简单了，题目告诉二的 x 次方等于三的 y 次方等于七十二， 求 x 分 之三加 y 分 之二等于多少来，这要求突破口，如何去突破呢？我们先观察一下啊， x 和 y 都在我们的指数部分，对吧？所以指数我们应该凑一个 x 分 之三和 y 分 之二出来。那么要想指数相加，同学们看一下我们应该用哪个公式， 哎，要想指数相加，我们应该用哪个公式？很明显，第一个公式，同底数密的乘法， 底数不变，指数相加，对吧？所以我如果底数都是为 a， 我 凑一个指数 x 分 之三，再乘以 a 的 y 分 之二，哎，底数都是为 a， 那 么这个时候底数不变，指数 相加，大家看到没有？哎，所以呢，哎，我们要凑指数相加，就要把它凑我们的同底数密，对吧？那关键是这道题同底数，这个 a 应该等于多少呢？ 对吧？观察一下，前面告诉我们，这两个整体都等于七十二，所以呢，都跟七十二有关系，那底数我们都应该把这个 a 呢？哎，替换成我们的七十二，对吧？好，来我们看一下啊，哎， a 等于七十二，那我先去凑一个七十二的 x 分 之三次方， 那么这个时候，你看七十二既等于二的 x 次方，又等于三的 y 次方，那这个七十二呢？我可以把这两个整体随便选一个往里面去带入，对吧？到底选谁呢？ 观察一下，哎，到底选他还是选他呢？哎，肯定是选二的 x 次方，因为选二的 x 次方来 x x 可以 正好抵消掉，变成一个常数，对吧？来，我们试一下七十二替换成二的 x 次方， 再来个 x 分 之三，你看，这个时候呢，就变成第三个公式的逆的乘方，底数不变，指数应该是相乘等于二的 x 乘以 x 分 之三，看 x， x 分 子分母体消掉就应该是个定值，等于 三次方啊，然后答案等于我们的八，你看没有？好，同样再去凑一个七十二的 y 分 之 二啊，来，这个时候看一样的哈。哎，我们再把七十二很明显用三的 y 次方去替换，替换以后呢， y 和 y 也可以递消掉三的 y 次方，再来一个 y 分 之二，好， y 和 y d 消掉等于三的平方就等于九。好，这个是一式，这个是二式。哎，我们要想指数相加，应该让这两个同底数都是七十二的密，正好相乘，对吧？来一式乘以二式， 七十二的来，底数不变，指数相加 x 分 之三，再加上 y 分 之二。好，左边乘以左边，右边乘以右边，等于七十二。那七十二的指数呢？正好是一嘛。 那么所以看底数相同，所以指数呢，也是相同，所以 x 分 三再加 y 分 之二，就应该等于一，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！
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00:46查看AI文稿AI文稿同底数密相乘，底数不变，指数相加，同指数密乘法，底数相乘，指数不变。合并同类项系数相加所得的结果作为系数字母和指数不变。同底数密除法，底数不变。指数相减，底数不能为零。 同指数密除法，底数相除，指数不变，底数不能为零。密的密，底数不变。指数相乘。积的密集中，每个因子分别取密，再相乘 商的密，分子和分母分别取密，再消除分母不能为零。零指数。任何非零数的零次密都等于一负指数，任何非零数的负指数密等于其倒数的正指数密。
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02:29查看AI文稿AI文稿m 的 运算是七年级下册的重点内容，那徐老师带孩子寒假提前预习，听完讲解，再把 m 的 运算八大题型拿走练习，让孩子这类题稳拿高分。那我们先看这道题，给了两个式子，让我们求 m 乘 n 的 值。 好，咱们先来看一下 m 的 运算有哪四大法则，对不对？那第一个就是同底数 m 相乘，底数不变，指数相加， 同底数密相除，底数不变，指数相减，还有密的乘方，底数不变，指数相乘， 那还有积的乘方等于每一个音式分别乘方。就这四大法则，那这四大法则你正着要会用，倒着你也要会用。那我们来看这道题，给出来这两个式子，让我们求的却是 m 乘 n， 那如何出现 m 乘 n 呢？我们先化解一下这两个式子，那么就是二的 m 加一次方，那么就相当于是不是二的 m 次方乘 二的一次方等于六，是不是？这就是逆应用，那所以我们就得到二的 m 次方等于三。好，那么再看三的 n 次方乘三的平方等于 一百四十四，那所以咱们的三的 n 次方，那就等于一百四十四，除以九上一个一九，这是五十四，那么六九五十四啊，所以咱们三的 n 次方等于十六，那好，那在这里我们得到了 二的 m 次方和坐上这个三的 n 次方，那你说在我们这里，我们如何出现 m 乘 n？ 你 看你要想出现 m 乘 n， 你 是不是得关注这样的一个基本公式， m 的 乘方，底数不变，指数相乘，那所以你看，我们要想出现 m 乘 n， 关键点来了，敲黑板了，那就是， 所以我们让二的 m 次方进行括号 y 的 n 次方，那么它不就等于二的 m 乘 n 次方吗？是不是那么二的 m 次方等于几呢？正好是三，所以它就等于三的 n 次方等于十六， 所以这个左边是二的 m 乘 n 次方，十六正好是二的四次方，两边一对比，所以咱们得到 m 乘 n 就 等于十六，你学会了吗？
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07:41查看AI文稿AI文稿初一的家长注意了，命的运算是我们旗下考试的重点内容，百分之九十的同学面对这样的问题，总是无从下手，或者是一做就错，公式都记不清，更别说做题了。其实关于命的运算就是这六大公式，今天刘老师带你拆透这六个公式背后的底层逻辑。我们来看一下。 第一个， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方，这是一个投底数密的乘法对吧？底数是相同的，但是两个底数相同，指数是不同的，所以底数不变，指数相加。那么这个公式它是怎样推导而来的呢？我们可以看一下， a 的 m 次方，就代表有 m 和 a 相乘，也就是 a 乘 a， 再乘 a， 一 共有 m 个 a， 然后去乘以 a 的 n 次方，也就是乘以 a 的 n 次方。有 n 个 a 相乘，也就是 a 乘 a， 再乘 a， 这里的话就有 n 个 a 相乘。那他们来看一下，我们数一下，这一共有多少个 a 相乘呢？是不是 m 个加上什么 n 个，所以一共有 m 加上 n 个 a 相乘，那么就是 a 的 m 加 n 次方啊，这是同底数密的乘法。第二个， a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 减 n 次方啊，这两个也是底数是相同的，但是指数不同，做了除法，那么我们就要要底数不变，指数相减，为什么呢？我们来看一下， a 的 m 次方代表 a 乘 a 乘 a 乘 a， 要 m 个 a 去除以 a 的 n 字吗？也就是 a 乘 a 乘 a 乘 a， 那 这里的话有 n 个 a， 是 不是？那上下一抵消？注意， m 是 大于 n 的 啊，也就上面的 a 多，下面的 a 要什么少？那么我们通过约分 a 和 a 约掉， a 和 a 约掉，一直约下来之后的话来一定要观察，那么剩什么呢？哎，他比他多，那是不是剩 m 减 n 个？什么 a 是 不是剩 m 减 n 个？ a 相乘，那么就等于 a 的 m 减 n 次方 啊，这是同底数 b 的 除法。我们再看第三个公式，这个是什么？叫 g 的 乘方，为什么？你看 a 和 b 是 不是相乘，相乘的结果不就是 g 吗？所以这个叫 g 的 乘方啊， g 的 乘方。我们来看一下 g 的 乘方等于什么呢？就是把括号里的每个音式， a 要乘方， b 也要乘方，也就等于 a 的 m 次方乘以 b 的 m 次方。那么这个公式的推导是怎么来的呢？我们来看 ab 的 m 次方，应该是有 m 个 ab 相乘，是不是也就是 ab 去乘以 ab， 再乘以 ab 再乘以 ab， 一 直有多少组 ab 相乘呢？是不是 m 组好？也就这里的话，一共有 m 组， a b 相乘，那 a b 就是 a 乘 b， 也就意味着是 a 乘 b 乘 a 乘 b 乘 a 乘 b， 是 不是一直有 m 组？这样的 a b 相乘，也就有 m 和 a 以及 m 和 b 相乘？ m 和 a 相乘就应该等于 a 的 什么 m 次方？是不是 m 和 b 相乘，就应该等于 b 的 m 次方？所以 a b 的 m 次方就应该等于 a 的 m 次方乘以 b 的 m 次方，这就是积的乘方。要把这里的每个音式进行什么乘方啊？这个一定要注意好，我们再看下第四个，这个叫做什么呢？叫做 me 的 乘方啊，因为 括号里是 a 的 m 次方，这个也读作 a 的 m 次 me， 这个 a 是 底数。 m 是 什么指数？整体 称作什么？ me 读作 a 的 m 次幂，也读作 a 的 m 次方。好，那这个公式是怎么推导出来的呢？我们来看一下 a 的 m 次幂的 m 次方，应该是表示 n 个 a 的 m 次方向乘啊，也就是 a 的 m 次方乘以 a 的 m 次方，再乘以 a 的 m 次方， 省略号再乘以 a 的 m 次方。那么这里的话应该有多少组 a 的 m 次方呢？是不是应该有 n 组？ 是不是好，有 n 组，那这的话就不是同底数幂的什么法乘法吗？ a 的 m 方乘以 a 的 m 方乘以 a 的 m 方来，这就是同底数幂的乘法。底数是不变的，是不是底数是不变的？指数相加，那么这里的 m 要什么？加 m 再加 m， 加省略号再加 m。 有 多少个 m 相加呢？因为有 n 组 a 的 m 乘方，所以这里的话 应该有 n 个 m。 是 不是 n 个 m 相加不就是 m n 吗？是不是 n 个 m 相加 m 个 n 个 m， a m 相乘相加的和不就是 m 乘以 n 吗？是不是好，所以等于 a 的 m n 次方。 好，那尤其是第五个，第六个。很多同学啊，只背背下了他最终的一个结论，但是很少有同学知道他们的推导过程，其实啊，他俩人的公式都是通过上面的一些东西推导而来。我们来看一下， 好， a 的 零次方等于一啊。当然了， a 是 不等于零的，当 a 等于零的时候，它是无意义的。 a 不 等于零，也就任何数的零次方都等于一。 a 不 为零啊，不为零的数，它的零次方等于一，它是怎么推导过来的呢？我们用的是同底数密的除法推导而来。我们来看一下 a 的 零次方等于一，那我是不是可以理解成 a 的 m 次方去除以 a 的 m 次方，朋友们来看一下，它是等于同底数密的除法，底数是不变的，指数要相减， m 要减 m， 那 同学们观察一下，那是不是等于 m 减 m 是 不是等于零？也就等于 a 的 零次方， 而 a 的 m 次方除以 a 的 m 次方，这两个数是不是相同？相同的两个数相除，它们的商是什么？一， 是不是？同学们，对吧？比如说二的三四方除以二的三四方，二的三四方是八除以二的三四方，八 八除以八是不是等于一？好了， a 的 m 四方除以 a 的 m 四方等于一， a 的 m 四方除以 a 的 m 四方，还等于 a 的 什么零四方都是它的什么结果？所以 a 的 零四方就应该等于这里的什么一。好，这是关于 a 的 零四方等于一这个公式的推导。我们再看一下最后一个 a 的 负 m 次方等于 a 的 m 次方分之一，它是怎么来的呢？好，这里的话就要用到这个公式以及这个公式。我们来看一下 a 的 负 m 次方，我们可以理解成是 a 的 零次方去除以 a 的 m 次方。同学们来观察一下， a 的 零次方除以 a 的 m 次方， a 的 零次方，我们知道是等于一的， 对吧？一除以它不就等于一除以 a 的 m 四方吗？是不是我们再根据同底数密的除法，它还等于什么呢？比数不变，指数相减， 零减 m 好， 那是不是就等于 a 的 零减 m 不 就负 m 吗？也就是 a 的 负 m 四方就应该等于 a 的 m 四方分之一，因为 a 的 负 m 四方是它的结果， a 的 m 次方分之一也是它的结果，所以这两人是什么相等的？所以 a 的 负 m 次方就等于 a 的 m 次方分之一，这就是关于逆的运算。几个公式的推导，你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路。
03:06查看AI文稿AI文稿尝试解决下列有关密的问题。第一题，三乘以二十七的 m 次方，除以九的 m 次方，等于三的十六次方，求 m 的 值， 那这边的三呢？二十七还有九，其实都是跟三有关系，我们可以把它的这个底数呢，全部都改成三。好，所以第一题它就变成了三的一次方，去乘以二十七，就是三的三次方，然后这个整体的 m 次方 再除以九，就是三的二次方的 m 次方等于三的十六次方。再来看左边就是三的一次方去乘以三的三 m 次方，再除以三的二 m 次方 等于三的十六次方。那同底数密相乘，底数不变，指数相加，同底数密相处，底数不变，指数相减，那它就变成叫做三的一加上三 m， 减掉个二 m 次方等于三的十六次方。 最后我可以得到的是，一加上一个 m 等于十六，所以 m 就是 十五。第二题， 已知 a 的 x 次方等于负二， a 的 y 次方等于三，求后面 a 的 三 x 减二 y 次方， 那 a 的 三 x 减二 y 次方等于什么呢？我们可以把它拆开，这里有个减号指数，如果是在相减，那就说明密在做除法运算，所以它相当于是 a 的 三 x 次方除以 a 的 二 y 次方， 那 a 的 三 x 方又可以写成 a 的 x 次方的三次方。 然后除以 a 的 二 y 次方，又可以写成 a 的 y 次方的二次方。也就等于你看 a 的 x 次方就是负二，那就负二的三次方除以 a 的 y 次方就是三，那就三的二次方。左边就是负八，右边就是九，所以应该是负的九分之八。 第三题，若 n 为正整数，且 x 的 二 n 次方等于四，求后面这个式子的值。这个前面呢，是 g 的 乘方，那它就等于乘方的 g， 也就是把这个二呢，放到三头上，放到 x 三 n 次方头上，那最后原式 等于九倍的 x 的 六 n 次方减掉。后面这个地方呢，是一个密的乘方，底数不变，指数应该相乘，所以应该是四倍的 x 的 四 n 次方， 那他们呢，都应该会和 x 的 二 n 次方有关系。左边可以写成九倍的 x 的 二 n 次方的二次方， 而 x 的 二次方由于是四吗，所以他就应该等于九乘以四的三次方，减掉四乘以四的二次方，那最后算一下就可以了，答案应该是五百一十二。
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03:02查看AI文稿AI文稿已知三的 m 次方等于五的 n 次方等于二百二十五，那么 m 分 之一加 n 分 之一的值是多少呢？遇到这种题别慌啊，我们先来分析一下它，现在看看。我其实知道三的 m 次方等于二百二十五， 五的 n 次方等于二百二十五，现在想要求的是 m 分 之一加 n 分 之一。 遇到这种题呢，你可以先想我怎样才能出现我所要的，那我所要的是 m 分 之一，看一看通过这个算式能不能出现 m 分 之一啊？ 哎，其实很简单，我就把 m 分 之一放到它的密指数上去，所以你会看到三的 m 次方，我给他乘个 m 分 之一，那么同样的，我的右边二百二十五也给他乘个 m 分 之一，是不是 m 分 之一就出现了呀？ 那同样的，对于 n 呢，我也做同样的操作，就会出现 n 分 之一了，所以五的 n 次方放在这里，左边 出现一个 n 分 之一，右边二百二十五也出现一个 n 分 之一。接下来我们整理一下，那么对于第一个，其实就得到了谁呢？得到了左边 m 乘 m 分 之一就是三，其实就是一啊，所以它其实是三的，一次方就是三， 那右边呢？就是二百二十五的 m 分 之一。同样的道理，第二个我们就能得到五，是等于二百二十五的 n 分 之一的。 那到最后我们想要谁呢？哎，我们想要的是啊， m 分 之一和 n 分 之一做加法，所以想想你的 m 分 之一和 n 分 之一怎样做加法呀？ 同底数密相乘，底数不变，指数相加。好，那我们现在把这两个算式去给做乘法就可以了。做乘法的话，左边其实是三乘五，右边是二百二十五的 m 分 之一次方，乘上二百二十五的 n 分 之一次方，然后左边我们就算出十五了，而右边呢，就是二百二十五的 m 分 之一加上 n 分 之一次方了。好，那现在你再观察一下这二百二十五应该咋变，你就会了吧？现在十五放在这里，那二百二十五应该变成什么？这个就考察你的基础计算了啊， 这块是谁呢？这块是十五的平方啊，所以二百二十五我们可以画成十五的平方，所以十五的平方，然后我们再 m 分 之一加上 n 分 之一，那么我们就把它算出来，这块是十五，是二倍的 m 分 之一加 n 分 之一左右的指数，我们对应相等一下，左边是十五的一次方，右边是十五的这么多次方，所以我们就会立刻得到。啥呀？ 那我们就会立刻得到啊，一等于二乘 m 分 之一加上 n 分 之一的值。所以同学们能快速告诉老师， m 分 之一加 n 分 之一等于多少吗？结果等于二分之一吧，学会了吗？ ok， 下课跟着拍拍思路打开。
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02:06查看AI文稿AI文稿密的运算有四大公式，那么这四大公式好多同学正着会用，但是倒着就不会用了，那你看我们这个题是典型的逆运用这四大公式，那么哪四大公式呢？来我们来看一看。同底数密相乘，底数不变，指数相 减好，第三个就是密的乘方，底数不变，指数相减好，第三个就是密的乘方，底数不变， 指数相乘，还有最后一个 g 的 乘方，等于每一个音式分别乘方，是吧？好，大家来看一下。我们这里给出了 a 的 m 次方等于四，其实有它你就能得到 a 的 三 m 次方，但是关键是如何得到 a 的 二 n 次方呢？ 你并不知道 a 的 n 次方是几呢？是不是？所以你看我们还要用到它和 a 的 m 次方，好，那我们来看看怎么减？那这个你看 a 的 m 加 n 次方， 同底数密相乘吗？底数不变，指数相加，那么等于二十四，而 a 的 m 次方等于四，我们给它带进来，那就是四倍的 a 的 n 次方等于二十四，那所以咱们 a 的 n 次方就等于六， 是吧？那我们就逆运用了 a 的 三 m 次方减去 a 的 二 n 次方，那么这里大家说选第几个？是不是第三个？逆的乘方，底数不变，指数相乘，它的倒着用逆运用，那就等于 a 的 m 次方。括号外的三次方减去 a 的 n 次方，括号外的平方，把数据往里一带，对吧？ a 的 m 次方是四，所以这是四的三次方，减去 a 的 n 次方的平方， a 的 n 次方是六 六的平方，那么六十四减三十六，不要最后一步算错了哈，那就太亏了，六十四减三十等于三十四，三十四减六，那么是不是就等于二十八，最终结果就出来了？
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04:55查看AI文稿AI文稿各位七年级的同学和家长们啊，大家好，我是你们的胡老师啊，期中期中复习时间紧，任务重啊！今天咱们把速快版七下数学的两大核心的板块，密的运算、整式乘法、图形的旋转轴对称和中心对称， 把必考的重难点给他拆开了，帮大家精准的去抓分，避开丢丢分的这个空啊！先来讲第一个板块，密的运算和整式乘法。这部分是期中代数部分的基础中的基础，计算占分别比较高， 而且也是最容易粗心丢分的模块，核心就有三个必抓点，第一个就是密的预算，三大法则记准不混淆。同底数密相乘密的乘方，还有积的乘方，那么这三个法则是必考的基础，很多同学总是记混， 给大家编个好记的口诀啊！藤底数密相乘指数相加不相乘密的乘方，指数相乘不相加积的乘方。把每一项都要乘方。特别提醒一下啊，负指数密和零指数密是易错点，任何非零， 它的零次密都等于一负指数啊，等于它正指数密的倒数。遇到题目啊，先看底数是否为零，一定不要踩坑了。第二个整式乘法公式要会正用和逆用平方差公式、安全平方公式， 这两个公式是期中压轴计算化简求值的核心，不仅要背熟，而且要灵活运用。 比如遇到整式化简求值的，一定要先化简再代入，步骤写完整了啊，千万不要跳步遇到呃，比如说计算九十九乘一百零一这种题，直接用平方差公式转化，一秒出结果。另外，整式乘法和因式分解是 互逆运算，期中常考他的互逆变形，大家要分清两者的区别和联系。第三个就是易错点，专项避空，细节决定分数计算的时候，最容易错在符号和漏项上面了， 比如说负 a 的 平方和 a 的 平方的相反数，他们的区别是什么？还有多项式乘多项式，容易漏成某一项，建议大家计算的时候标好每一项的项数， 避免漏算。那么接下来就是第二个板块了啊，图形的旋转像轴对称征对称这一块啊，这部分是几何入门的关键题型，以做图题、填空题、解答题为主的啊，难度不是很大，但考的很细啊， 核心就抓住三个，考那个考点。第一个就是轴对称，一定要找对对称轴，划准对应点。轴对称的核心性质是对应点连线 被对称轴垂直平分考试常考的两类题啊，一是根据对称轴画轴对称图形，第二就是已知图形， 然后求它的对称轴是什么，大家记住技巧啊，找对应点的时候，先过已知点，做对称轴的垂线，然后再延长到等长距离，就能够精准的找到对应点了。 如果是实际的图形，比如说角等腰三角形，一定要先判断对称轴的位置。第二个就是 图形的旋转了啊，抓准三个要素，理清它的角度。旋转的时候三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度，缺一不可。考试的时候常考旋转作图和旋转角度计算， 比如将三角形绕着某一点旋转九十度或者一百八十度，大家要先确定旋转中心，然后再根据方向和角度把每个顶点旋转后找到的对应点，最后再连接重图，特别注意的时候， 旋转前后图形的形状大小是不变的，对应线段是相等的，对角也是相等的，这是计算旋转后角度边长的关键的依据。三个征信对称一定要区分，一定不能搞混了。征信对称和轴对称是容易 混考的点啊，大家要分清楚，轴对称是沿着一条直线折叠以后能够重合的。 常见的正弦对称图形有平行四边形像偶数正偶数边形啊，考试常考判断图形是否为正弦对称图形，或者是找正弦对称点， 记住旋转一百八十度成和这个核心的判断标准就不会出错。同学们，家长们啊，以上就是这两大板块的七中核心的重难点，面对预算正在算对算快， 多练易错的题型，整理错题，本图形变换正在理解它的性质，规范作图，掌握核心技巧细节才能够不丢分。期中复习啊，也别盲目的去刷题，抓住两大板块的正点啊，针对性的进行突破，相信大家都能在期中考试取得理想的成绩。
78初中数学胡老师
02:22查看AI文稿AI文稿这道题太难了，月考最后一道填空题的压轴题，咱们很多同学都全军覆没，这种整式化简求值的问题，其实核心有一个关键思想，大家一定要知道，叫做降次法。今天啊，老师带大家用一个视频搞清楚这种复杂整式化简求值降次法的应用。 那有关于整式，这里啊，老师也把常考的易错的压轴题全做了一个梳理，一共有十大类题型，如果咱们孩子做这种题目，稍稍难一点的变形题就没有思路了，家长们一定要打印出来，带着孩子逐个题型的来进行学习，这样才是现在学习效率最高的方式。 下面呢，咱们就来一起看一下这道题啊。若 m 平方加 m 减一等于零，让你求这个代数式的值来先整理已知条件，已知条件这里我们有 m 平方加 m 等于一，这是我们能得到的第一个条件， 同样我们也可以得到 m 的 平方等于一减 m。 这两个式子对应的条件咱们都可以用一会，看看要用哪个。 我们想求它的值，而这里有一个 m 的 三次方， m 的 三次方前面肯定是带不出来的，所以我要拆分 m 的 三次方，把 m 的 三次方拆成 m， 再乘以 m 的 平方。 哎， m 的 平方对应的值我能求出来是啥呀？是一减 m， 那 这样我把 m 的 平方用一减 m 代换，这整个式子不就变成 m 再减 m 的 平方了吗？ 你会发现它由原来的相三次就降到了现在最高次项的二次，这个过程咱们就叫做降次， 我们用这个思想来给这个式子来进行降次化简求值，那原式是不是就等于 m 减 m 的 平方加上二 m 的 平方，再加二零二五了，对不对？ 来，现在我们一起看一下，二 m 再减去二 m 的 平方，再减 m 的 平方，还剩 m 的 平方再加 m 再加二零二五，继续该用什么了？对了，整体思想，我们利用整体思想会发现， m 的 平方加 m， 其实不就是这一块得出来的式子的值吗？ 他不就是一吗？对不对？所以这个式子咱们又可以求出来，他不就是一再加上二零二五吗？哎，最终的值求出来也就是二零二六了。那像这种整式化简求值的降密法，你现在学会了吗？
281依依老师初中数学
04:36查看AI文稿AI文稿我们今天就来看一下黑板上这一道经典的常考的易错题啊，这道题目是我在三十多年前上初中的时候就在做的题目，到现在依然那很活跃，我们可以暂停视频，看一两分钟之内能不能正确求解。 我们今天通过对这道题的一个探讨，看这道题啊，这道经典题能带给我们什么样的启发？ 已知 m 方减 n 方等于六， m n 等于四，求 m 方加 n 方，哎，我们的做这种已知什么求什么，必然要让已知和所求产生联系。怎么去产生联系？先进行观察， 所求是 m 方加 n 方，哎，已知里面有 m 方，也有 n 方，但是之间是减，那我们如何去通过对已知的一个变形，从他那里面我们能，我们能构造出来这种形式，那么来看一下 这个，显然它是一个平方差的形式啊，我们把它展开以后，它会出现一个 m 加 n， 哎呀， m 加 n 出现了，但是所求是 m 方加 n 方，那怎么在这个基础之上能产生方呢？ 那么很显然就想到了啊，要对它们进行平方啊，想到这我们就可以进行尝试了啊， 看一下，那这个我们把它展开，那他就是 m 加 n 啊，用这个平方差公式再乘以 m 减 n 等于六，哎，这个 m 加 n 就 出现了，但是我们所求是平方加平方， 那么看一下，要出现 m 平方加 n 方，那我们很自然的想到了要对这个东东要进行平方， 那你给他一平方，是不是我们展开以后就出现了 m 方加上 n 方了，但是这是一个等式，你不能给他一个平方呀，我们为了达到我们出现 m 方和 n 方的这种形，我们对这个整式两边要同时整体平方，所以说我们要对它两边 这一边的话，那就是 m 加 n 的 平方，哎，再来个 m 减 n 的 平方等于三十六啊，这形式就是我整体给他这边一个平方，他是一个什么 g 的 密的形式啊？ g 的 密的形式，把这个平方给他两个啊，都带上去， 那么看一下，那这里我把它展开一下，这展开以后它就出现了 m 方加 n 方啊，再加上二倍的 m n， 完全平方公式嘛，对不对？然后把后面的展开， m 方加 n 方减二倍的 m n， 哎，它等于三十六。看一下，写到这一块以后，我们发现已知 m n 等于四，那么这一块就可以把它这个给它替换掉，替换掉以后，而且我你还有没有别的发现？ 替换掉了以后，我看一下， m 方加 n 方， m 方加 n 方，那我把这看成一个整体，它加上二倍的 m n， 这是它减去二倍的 m n， 这是一个什么东东呀？对了，这是一个平方差公式的一个 逆用啊，我们先把它带进去，那这是 m 平方加上 n 方，再加上二倍的 m n， 应该是加八，再来一个 m 方加 n 方， 再减去个八，等于三十六。看这一块我们刚才说过了，这是一个平方乘公式的一个逆用，是不是？哎？他他他加八，他减八，所以说就是 m 的 平方加上 n 的 平方的平方减去八的平方等于三十六， 那他看一下，那我们看一下。那通过这个式子我们就很容易能得到 m 方加 n 方的平方等于 这是三十六，再加六十四等于一百，那谁的平方等于一百啊？那所以我们容易能得出 m 方加 n 方等于正负十， 那正负十的平方是不等于一百？那么看一下做到这一步完了吗？没有。同学们一定要注意啊， m 方和 n 方他这两个都是非负的，平方是非负的，你两个非负数一加怎么能可能是负十呢？所以负十舍掉，最终的结果等于十这个题就做完了。
1.4万吃透数学@蒙正源
04:45查看AI文稿AI文稿初一密的运算，学着简单，考着难，一招破解所有题型！家长们，同学们啊，大家好，是不是很多初一孩子啊，一学到苏科版数学的密的运算这一章节，都觉得上课听得明明白白，公式也背的滚瓜烂熟，一到考试就彻底蒙圈了， 明明就四个基础公式，藤底、数、密相乘，除密的成方，积的成方。那么上课老师讲的题也很简单，到闭眼我都会做，可试卷上一变形，一混合，一加符号，一千负指数，瞬间就不会做了，扣分扣的特别的冤枉。 那么今天这条视频啊，我就把苏格版除以密的预算，所有的难点，空点解析的套路一次性给它讲透，不管是基础题，中档题，还是压轴难题，照着方法去做，保证不会丢分的。 那么首先啊，咱们先把最核心的问题说清楚，命的计算不是难在公式上面，是难在变形和符号上面，百分之九十的孩子丢分全栽在这两个地方了。 那我们来先回顾这最基础的四个公式，我用最简单的话来讲啊，比如说，第一个，同底数密相乘，底数不变，指数相加。第二个，同底数密相处，底数不变，指数相减。第三个，密的乘方，底数不变，指数相乘。第四个，积的乘方，每个因子分别乘方，然后再相乘。 就这四句话背下来不难，但考试绝对不会直接考你 i 的 平方乘以 i 的 三次方等于几的，他会绕着弯的去考你，那么接下来我给他分成呃，几大易错的题型，还有破解的方法， 真是考试的高频的空啊，一定要记牢！第一个符号判断的空，这是初一命的运算，丢分的第一名。记住一句话，负数的偶次密是正积，次密是负 底数。带括号和不带括号完全不是一回事。比如负 i 括号外面的二次方和 i 的 平方的相反数。很多孩子就直接写一样的答案，大错特错，前者是 i 的 平方，后者是 i 的 平方的相反数。那么破解的方法， 做题的第一步，一定要先确定它的符号，然后再算它的数字， 最后算指数，符号错了，后面全部白算。第二个，公式的逆用题型，考试中档题必考的课本正着交，公式考试偏偏反着考， 比如给你指数很复杂的式子，让你求值，正着算，你根本算不出来的，必须逆用公式，像二的二十次方乘以五的二十次方，直接算，算死。 那么逆应积的乘方啊，就变成二乘五，括外面的二十次方，他是等于十到二十次方就给出答案了是不是？ 那么看到指数相同逆应积的乘方，看到底数相同逆用同底数密消除，看到多层指数逆用密的乘方，看到大数整十整百优先想逆用。第三个， 混合运算综合题，试卷上的一些大题啊，计算题啊，全是这种加减乘除、括号，括号不同底数混在一起了，孩子一看就乱。破解的方法就是一定要记住解析的三步法，第一步，去括号， 统一底数，把负号处理干净。第二步，把乘除分开算，先算乘方，再算乘除，绝对不能跳步。第三步，合并同类项，检查符号和指数， 只要按步骤来，再复杂的混合运算都不会出错的。那么第四个，拓展拔高题了啊，也就是孩子说的考的难的压轴题，那比如说底数不同但是能够转化的指数，含未知数的比较大小的 规律探讨题。那么这些这种类型题啊，破解的方法就是统一底数或者统一指数，要么把所有底数就变成二三五这种最减底数，要么把指数化成一样的再比大小。规律题就写前三项，找循环， 绝对不用死算。那么最后给所有初一同学一句命的预算的终极口诀，先看符号，再看底数，公式记熟，逆用为主，不跳步骤， 不混正负。其实啊，命的运算真的不难，他就是初一数学的纸老虎，看着复杂，只要把符号呃这个这一关和公式应用关啊，步骤这一关给他把住， 不管试卷出什么变形题，综合题、难题，都通通能够轻松破解。家长们呀，可以把这条文案呃转给孩子，每天听一遍，做题，照着方法练 me 的 运算，这一张绝对能够拿满分！
438初中数学胡老师
03:59查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享一道幂的运算，幂的运算，那么这个幂的运算往往它包含很多的技巧，有关幂的运算三个公式，咱们再来复习一下， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方同底数幂相乘，底数不变。指数相加 幂的乘方 a 的 m n 次方 积的乘方就等于把积中的每个音式分别乘方，那当然这三个公式它的逆运算运用起来也非常的巧妙。那首先观察咱们这个题目，朋友们已知 m 的 平方等于二的十次方，加二的十三次方， 求正整数 m 等于多少，求这个正整数 m 的 值是多少。那同学们看到这个题目有没有一个思路，通常这种题一般情况下怎么做呀？显然后边这两个这个密底数都是二，都是二， 那前面那个 m 肯定不是二，因为它的指数不一样，这个是二，这个是十，这个是十三。那么怎么整理呢？ 那么这里就通常采用的就是运用音序分解的方法，让他们俩的指数，比如说让后边的指数都给他变成二，那底数不就相等了吗？因为这两个等式是相等的， 或者说你把底数都变成 m， 让指数去相等，就这么两种思路。那么接下来咱们看一看，你让 m 变成二是变不成，那么我们就想办法让二最末尾的这个指数给它变成二就可以了。 哎呀， m 的 平方就等于咱们首先给他提取啊，公音式，这里边是二的十次方，这里边是二的十三次方，那么他们的公音式就是二的十次方，我们把二的十次方给他提出来，这里提走二的十次方，切记剩的不是零，而是一 加上一个二的，这是十三个二再相乘。我们提走了十个，还剩下三个， 那 m 的 平方就等于二的十次方。乘。以括号里边算出来，同学们，二的立方是八，八加一是九，而九显然他是三的平方，对不对？ 九显然是三的平方，那 m 的 平方就等于二的十次方。我们也给他弄出一个平方来，就运用这个 m 的 平方，其实就是二的五乘以二次方，再乘上一个三的平方， 那 m 的 平方就等于二的二的五乘以二次方。运用这个逆的逆运算倒回来，他其实就是二得五次方的二次方，再乘以三的二次方， 那么现在他俩的指数就变得一样了，那 m 方就等于二的五次方。算一算是多少呢？二二得四，四四十六，三十二的二次方， 三十二的二次方乘以三的平方。接下来利用一的乘方的逆运数， 指数相同，我们可以把指数给他提出来，继续给他提出来，那 m 的 平方就等于三十二乘以三的平方。把这个指数二给他提出来。运用这个公式的逆运算， 显然 m 的 平方就等于三十二乘以三，三三得九，二三得六，九十六得二次方，从而 m 就 等于九十六了。 哎，这个题就逆用了逆的乘方的逆余算，还逆用了 g 的 乘方的逆余算，从而得到 m 等于九十六。解这种题，你要么把指数变得相同，让底 底数去相等，要么把底数变得相同，让指数去啊相等。总而言之，就是用这三个密的运算。希望这个题目能够帮到大家。
61初中数学柳老师
09:25查看AI文稿AI文稿今天我们学习一下初中数学的幂的运算，那学幂的运算之前，我们先回顾一下什么是 幂，什么是幂呢？我们先给大家说一说 a 的 m 次方，这个整体我们称为叫幂， 其中呢，这个 a 称为叫底数， m 是 为什么叫指数？就是给他这个名字叫指数。等我们再说什么底数和指数的时候，要区分一下啊。区分一下好，我们开始选幂的计算。 第一个计算叫同底数幂的乘法运算。那什么是乘法运算呢？它指的是 a 的 m 次方，乘以 a 的 n 次方等于多少呢？ 我们知道 me 它的实际意义是什么？ me 的 实际意义应该是 a 的 m 次方，指的是有 m 个 a 相乘， 它的实际是这个意思。那 a 的 m 次方再次，继续再乘以个 a 的 n 次方，怎么办呢？继续再乘，中间还是乘法？哎，还是这一句，乘以 a 乘以 a 做个 a 呢？哎，它有 n 的 a 相乘， 关键是中间仍然是乘法。这个时候我们发现，实际上有多少个 a 相乘，实际上有 m 加 n 个 a 相乘，所以它答案等于多少呢？它答案就等于 m， a 的 m 加 n 次方。 由此我们可以得到的是什么？这是 a 的 m 次方，这是 a 的 n 次方，所以这个地方应该填的是 a 的 m 加 n 次方。 用文字来表述的是同底数密。相乘有两条线，第一个是同底，第二个是相乘底数，那就是 a 是 不变的指数啊，相加了。 这是我们学的第一个命令算法，乘法算法，它的重点是什么呢？第一个同底数密，指的是底数相同的密，那啥叫底数不同的密呢？比如说 a 的 三次方，还有 b 的 五次方，那这个就是底数不同了，那能不能算呢？按道理是不能算的，对吧？那就无法计算了。 底数可以是任意的实数，也可以是一个多项式，也可以是一个多项式。也就是说我们这里面的 a 啊，不仅仅是一个字母，也可以发一个数字进去，比如说三的五次方， 乘以一个三个七次方，这样的形式也是可以的。或者是把 a 换成是一个什么多项式，比如说 x 加 y 的 五次方，乘以个 x 加 y 的 七次方，这种模式也是可以的，也就是说对 a 的 要求多种多样的啊。第二个， 三个或三个以上的同底数位相乘时，也具备这样的一个性质啊。具体的事情， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，乘以 a 的 p 次方，你发现它的底数都是 a， 所以 a 的 多少次方呢？ m 加 n 加 p 次方，口诀仍然是这样的，同底数位相乘，底不变，是相加。好，我觉得这个地方大家都 ok 的。是第三个，可以打个信号叫公式的逆向使用，叫逆应用。 它的意思是说，把一个数密啊，把一个密分解成两个或者是多个同底数密积的形式，其中它们的底数和原来的底数是相同的，它们指数之和是等于原来的指数密的指数。即，哎，这个东西可以放大一点， a 的 m 加 n 次方，你可以写成 a 的 m 次方，乘以 a 的 n 次方。好，这里面最重要的就是这个地方，很多学生在操作的时候，把它写成 a 的 m 次方加 a 的 a 的 m 加 n 次方，它写成 a 的 m 次方加 a 的 n 次方，这是大错特错，最常见的错误就是这个错误，一定要改变它啊，去，这种是错误的啊。好，接下来我们看看例题， 第一个，四的二次方乘以四的三次方，乘以四的四次方应该等于多少呢？啊？格式应该写减元式啊， 应该四的二加三加四次方，大家应该是四的多少次方？哎，九次方，你可以不用具体的算多少啊。好，第二题，减元式， 这里面我发现有乘法，有加法，还有减法，是不是根据小学就学过，应该先算乘，然后加减，这两个相相互算的时候呢啊？呃， a 跟 a 它们算啊，所以答案是二倍子 a 的 几十方，三加四十方，应该是七十方， 加上这两个相乘，应该是也是 a 的 七次方，再减去后面这个相乘二 a 的 七次方就可以了，然后发现合并同类项， 对吧？合并同类项，这个和这个是同类项，而且一个一个负的，然后抵消了最大的是 a 的 七次方，也是非常简单的。我们看第三题，第三题，我们发现这个式子好长，对吧？但是关键的是我们分开了，这边是乘的，这边也是乘的，中间是一个加法， 所以，而且我们发现啊，这个命令算的时候底数是一个。什么是一个多项式啊？ x y x y x y， 所以 它这个原则底数不变的，对吧？ x 加 y 是 不变的，指数先加，那就是 n 加上 n 加一，再加上 m 减，这个中间是加法，细节点啊，注意加号后面仍然是 x 加 y， 然后呢？底不变，对吧？是相加 好，加完之后，结果是 x 加 y， 前面应该是二 n 加 m， 再加上 x 加 y， 那 是二 n 加 m。 哎，你发现这两式子长得一模一样，是不是合不成？立下几个两个，所以答案是二倍括号， x 加 y， 二 n 加 m。 这个合并同类项是我们上学期啊学过的内容了啊。我们看第四个， 第四个，我们发现它底数是多项式，但由于有一点区别，第一个底数是 x 减二 y， 第二是二 y 减 x， 这是一个非常常见的问题，就是底数是互为相反数的。 好，那底数互为相反数的话，其实也很简单，把底数稍微的变动一下，那要么是把第一个变成跟第二个一样，要么是把第二根变成第一个一样。连着都可以啊， 建议，我只是建议啊，改变那个指数是偶次方的哪一个啊？好，我们可以在函数纸上，假如你手上有函数纸，可以在 x 减二 y， 它实际上可以写成 x 变成 x 了，应该写成这样就行了。 再来一次啊， x 减 y， 可以 提取一个符号，以前是负二 y， 现在变成二 y 了，以前是 x， 现在变成负 x 了啊，提个符号就这样了。所以这个式变成什么呢？应该是负的符号二 y x， 再继续的一个平方，哎，注意一下。 注意什么呢？这里的符号是在平方以内的啊，看到吗？啊，注意了，再继续乘以个二 y 减 x 的 平三次方，因为它是偶次方，所以这个符号 是没有效果的，对吧？我们记到偶次方应该还是正的，所以答案还是二 y 减 x 的 二次方，再乘一个二 y 减 x 的 三次方。所以最后结果是多少呢？是二 y 减 x 的， 先加二加三，等于五次方。好，这是第一个例题。 好，接下来看第二个例题。 第二个例题讲的是逆向匀算。逆向匀算， a 的 m 乘以 a 的 n 是 可以写成 a 的 m 加 n 乘法，那反过来， a 的 m 加 n 乘法，它是可以回去的。回去的时候中间是什么？哦，中间仍然是乘法，这里要注意一下。 那接下来看这道题，二的 x 加二次方是不是相当于 x 加二个二相乘，对吧？所以那我可以这样子去分解，前面有有 x 二相乘，再继续乘，还得继续乘，不是乘，是乘，后面还 得十。所以我们可以推出来，二的 x 乘以几啊，乘以四等于二十二， x 等于几啊，二的 x 四方等于五。这答案就出来了。
24数学陪跑刘老师
07:18查看AI文稿AI文稿尊敬的各位评委老师，大家下午好，我是面试初中数学的三号考生，今天我试讲的题目是桶底数密的乘法，下面开始我的试讲， 上课同学们好，请坐！同学们，课前我们一起来看一组视频，展示的是我国超级计算机天河一号，它每秒可以进行十到十五次方计算，那么工作十到三次方秒可以进行多少计算呢？ 哎，该如何列式子呀？快速思考一下，你来说说哦，十的十五次方乘十的三次方， 那我们观察一下这个柿子有着怎样的特点呢？哦，它是桶底树密的乘法，那对于这样的柿子该如何进行计算呢？哎，带着这个问题啊，让我们一起进入今天的课堂，桶底树密的乘法， 我们回到刚才的这个问题观察一下，看看你有没有什么思路呢？老师提示一下，可以利用有理数乘方的意义， 你来说，因为你知道十的十五次方是十五个十相乘，十的三个十相乘，一共有十八个十相乘，所以是十到十八次密。嗯，思维非常敏捷，请坐。 那么根据刚才的这个解析思路，我们继续来探究一下， 观察一下老师写的这几个式子，它们都有怎样的特点呀？哦，也都是同底数密的相乘， 那么请同学们依据刚才的这个解析过程啊，在你的练习本上，试着将这几个试字的答案写一写，然后前后桌四人讨论一下，看看。哎，它的结果和它的因素之间有着怎样的关系呢？现在开始 看到大家讨论的都很激烈啊，来，第二位小组代表你来说说你们组的讨论结果哦，因为二的三次方是三个二相乘，二的五次方是五个二相乘，一共有八个二相乘，所以是二的八次方， 以此类推。第二题等于没错，第三题呢？对了， 那么你们小组观察到它有什么特点了吗？ 哦，它的底数是没变化的，那指数呢？哦，指数是相加的关系，我们一起来验证一下。三加五等于八， 三加七等于十， m 加二等于 m 加二。嗯，似乎是有这样的规律，我们可以总结一下，哎，如果是同底数密相乘的话，它的指数没有变化， 它的底数没有变化，指数呢？哦，是相加的关系。那如果是更一般的情况呢？如果是 a 的 m 次方乘 a 的 n 次方呢？其中 m 和 n 都是正整数， 请你在你的练习本上写写算算，验证一下，然后同桌之间交流一下，看看你俩的结果一样吗？ 嗯，已经有小组得到答案了，来，第四小组代表你来说，哦， a 的 m 四方是 m 个 a 相乘， a 的 n 四方是 n 个 a 相乘， 一共是有 m 加 n 个 a 相乘，所以结果是没错， 所以结果是 a 的 m 加 n 四方。这样我们就得到了更一般的情况，对于同底数密相乘，哎，底数不变，指数相加。这个呀，就是我们同底数密乘法的法则， 对于同底数密乘法，底数不变，指数相加。 那么大家已经对同底数密乘法有了一定的了解，我们小试牛刀，做几个题练练手吧。找一位同学上黑板反演其他同学在你的练习本上完成，你来吧， 老师在巡视过程中啊，看到大家也是做的又快又准，我们一起来看一下反演同学的结果， 底数不变，指数相加，非常正确，看来大家掌握的都不错。那么谁能来说说你这节课学到了什么呢？好，来，你来说说哦，你了解了同底数密乘法的法则，嗯，非常好，你来呢？啊，你又补充 哦，你说你体会到了小组讨论的重要性，集思广益才能得到正确答案。非常好，请坐。 看来大家都收获满满，那本节课也要接近尾声了。课后，请同学们完成术后习题，需要余力的同学完成术后的思考探讨题。本节课我们就上到这，同学们下课。
3092理理理事国
08:37查看AI文稿AI文稿那同学们大家好，今天我们讲一下 mid 运算，大家都知道 mid 运算里面有不少公式呢， 那公式我们一定要多理解，如果说理解的不好呢，我们一定要至少做到记住啊， 特别牢的记住，那在做题的过程当中去理解这个公式它的含义，推导公式的过程，那这里面我们有主要有六个公式，第一个是同底数密的乘法， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，底数不变，指数相加。 第二个呢是密的乘方，底数不变，指数相乘。第三个是积的密 等于密的乘积。第四个呢是同底数密的除法， 底数不变，指数相减。那这里面有两个推论，第一个就是零次幂， 那零次幂呢？它可以通过上面同底数幂的除法来理解，等于 a 的 m 减 m 次方等于 a 的 m 次方除以 a 的 m 次方当然等于一，这里面因为 这个 a 的 m 次方作为分母啊，除数那当然一定要不能为零，所以这边有个小的要求， a 不 等于零。 第四第六个是负指数密，那我们还是用同底数密的除法来理解，负 n 次密可以理解成 a 的 零减 n 次密，那然后再用密的除法的逆运算来解释，等于 a 的 零次方除以 a 的 n 次方 等于爱的引次方分之一。这六个公式一定要记得非常熟练，阶段呢，理解清楚，用我们学过的知识点，比如说啊，同底数密的乘法，那为什么是底数不变，指数相加， 他一定要理解清楚了啊，那我们接下来讲一道例题，那这么一道例题还是非常常见的，这里面是 u 十七分之八的二零二五次方和负的二十五分之十七的二零二六次方，他有个什么特征呢？其实这个题非常常见啊。第一个是 底数啊，这两个密的底数是不一样的，底数什么关系呢？其实如果说你稍微算一下，这两个应该是互为负倒数啊，这是我们经常喜欢用的这个形式。第二个呢，是指数不一样 啊，一个是二零二五次方，一个是二零二六次方，那我们怎么算？通过变形我们能够运算的其实有这两个， 一个是底数一样的，我们用同底数密的乘法，一个是指数一样的，我们用密的乘积的密来计算。那所以我们这边就有两种解题方式。法一， 那我们就是转化指数，把指数变成一样的，我们用 g 的 幂来匀算，那其中一个是二零二五次方，一个是二零二六次方啊，其实都可以啊，你就把二零二五换成二零二六，或者说把二零二六换成二零二五，都是可以的， 那我们就把我通常喜欢把这个多的减少，把它拆开来就可以了。那这个原式可以写成啊，这个一又十七分之八，我们就换成十七分之二十五 的二零二五次方，再乘以负二十五分之十七的这个二零二六，我把它换成二零二五再加一，然后可以把它写成十七分之二十五的 二零二五次方，乘以负二十五分之十七的二零二五次方，再乘以负二十五分之十七的一次方。这里面做了一个变形，就是把这个， 呃，二零二五加一这个指数，把它拆开来，用同底数密的乘法把它拆开来，对不对？ 那这时候我们前两个他的什么是一样的？是不是会发现他的指数是一样的？他的指数一样，我们再用 g 的 幂来解释吧。我们可以把它重新整理成 十七分之二十五乘以负二十五分之十七，整体的二零二五次方，再乘以负二十五分之十七， 那这个时候里面这个中括号里面它其实是几？是负一？那负一的二零二五次方是不是还是负一？那就变成负一 乘以负二十五分之十七，那整理一下等于二十五分之十七，那这是我们通过 把它转化为指数相同来写题。那法二我们能不能把它换成底数相同呢？ 那其实也可以，只不过呢稍微麻烦一点，那我们还是先把它写成 二十十七分之二十五的二零二五次方，再乘以负二十五分之十七的二零二六次方， 那这时候我们先去考虑把这个符号能不能把它去掉，对不对？把这个符号能不能去掉？因为外面是二零二六，他是个偶数，是不是？他是不是也等于二零二五分之十七的啊？不是。二十五分之十七的二零二六四方，就这个符号是不是可以直接去掉的， 对不对？我们第二个方法呢，就是考虑把它转化成底数是一样的， 那这时候我们换哪一个其实都可以，我们可以考虑一下能不能把这个十七分之二十五换成底数是二十五分之十七的这么一个指数的形式。 那其实你会发现这个二十五分之十七和十七分之二十五，它是不是互为倒数啊？那我们可以整体的把它写成负一次方就可以了，然后呢，在外面二零二五次方，再乘以 二十五分之十七的二零二六次方，整理一下啊，这时候就是 me 的 乘方，那就是负一，乘以二零二五，就是负二零二五次方， 再乘以二十五分之十七的二零二六次方，这时候就变成同底数， me 的 乘法底数不变，指数相加，变成二十五分之十七的负二零二五，再加上二零二六， 那整理一下，等于一，那就是指数等于一，那就是二十二十五分之十七啊，那这里面呢，我们就只通过不同的方法把它写完， 那这里面我们需要总结一下是什么呢？就是对于密的运算啊，对吧？当然第一个公式的记忆是很重要的啊，理解，通过记忆也能够加深理解。第二个呢，我们在计算的时候呢，你要把握一个准则，第一个是公式， 第二个呢，准则是什么呢？就是在密乘计算过程当中啊，准则要不然是底数一样， 底数相同，第二个呢，指数相同， 那这里面如果说底数和指数都不一样，那我们可以通过不同的方式进行转化，换成一样的，对不对？那好，我们今天就讲到这里，大家可以自己总结一下，再见。
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07:44查看AI文稿AI文稿好，咱们这节的话来讲这个同底数幂的乘法。嘿， 好，首先我们来回顾一下啊，回顾一下我们之前所学过的关于这个什么呀？呃，这个幂的一些运算啊， 首先我们看一下啊，这个十的什么呀？十的十五次方，对吧？那么这个在由利数当中它属于什么？它是属于幂的形式，对吧？ 好，那么咱们在密的一个当中，把这个实叫什么呀？是不是把这个实叫做底数呀？对不对？哎，把这个实叫做底数，然后呢？这个实我们叫什么呀？ 这个实我们是不是叫这个指数，是吧？哎，叫这个指数。好，这属于咱们回顾的内容啊，回顾内容，好， 那这时候咱们根据这面啊，根据乘方的定义，我们来看一下，那假设说给咱们一个十的什么呀？哎，十的七次方乘以什么呀？乘以一个十的八次方。好，那这个我们该怎么样去进行一个运算呢？我们来想想， 那其实咱们根据它的一个定义，咱们其实很好理解啊，也就是说十的七次方它表什么？它是不是表示这个 七个十相乘，对不对？而十的八次方呢？它表示什么？它是不是表示这个 什么呀？八个十相乘对不对？那么在这个情况下，那么十的七次方乘以十的八次方的话，那是不是我们可以把它们相乘在一块，对不对？那你看七个十，然后呢？这边是八个十，那乘在一块一共多少个十呀？ 是不是十五个十，对不对？好，那这时我们放在一块的话，最终就是多少呢？是不是十的十五次方呀？对不对？十的十五次方。好， 这就是我们属于比较简单的一个幂的计算，好，那刚才回顾过了，关于这个十，它叫底数，那么十五呢？叫指数，这个属于我们之前学过的啊，关于这个幂的一些基础内容。好， 那么我们来看一下这个小的例子啊，我们来看一下关于这个飞船的发射啊，那么这里面它提到什么呀？飞船的速度是七点九，乘以什么呀？乘以十的三四方米每秒， 好，这个是速度在我们的行程问题当中，对吧？速度好，然后呢？ 飞行了什么呀？时的四次方秒啊，这是什么呀？这是时间对不对？时间好，问，一共飞行多少米？显然求什么呀？求的是路程，对吧？求的路程，这时候这个路程我们可以怎么样？根据行程问题，那路程等于什么？等于这个 是不是速度乘以时间呀？对吧？哎，速度乘以时间。好，那这里面的一个核心点在于什么呀？一个核心在于这个出现了什么呀？密的乘法 我们该怎么样去计算，对吧？而且我们发现这两个密的计算乘法怎么样？底数都是十，对吧？哎，所以说这个对于我们来说什么呀？是新内容，对吧？哎，这个对于我们来说是新内容啊。好， 那十的三次方乘以十的四次方，这个结果等于多少呢？我们来思考一下， 根据咱们刚才的一个小的例子，其实我们会发现，那这是三个式相等，这是四个式相等，那么乘到一块应该怎么样？是，应该是七个式相乘，对不对？所以应该是十的七次方， 对吧？好，那所以说咱们今天来正式的。哎，学习一下，关于什么呀？同底数幂相乘的一个计算。好， 那么咱们看，刚才计算当中，咱们其实遇到了啊，十的三次方乘以十的四次方， 我们发现其实它是什么呀？它就是底数为十，对吧？哎，两个幂的相乘。好，那第二个是十的 m 次方乘以十的 n 次方， 注意啊，这里面 m n 我 们怎么样都是正整数。好，那其实这三个例子给到我们的一个怎么样？相同点是什么？大家来观察。相同点是什么？ 其实它相同点是不是都是底数相同啊？对不对？哎，在这里面我们发现什么？他们的相同点是底数相同。 ok， 好， 那咱们来研究一下啊，到底这个应该怎么去算啊？我们来研究一下。好，那首先十的三次方乘以十的四次方，十的三次方呢？是三个实相乘，对吧？四次方是四个实相乘。好， 那三个十相乘，再乘以四个十相乘。好，那根据我们乘方的意义，一共几个十相乘啊？是不是七个十相乘？七个十相乘，我们写成什么？是不是就要写成这个十的七次方，对吧？哎， 这个是上面是根据什么呀？根据我们的一个乘法的一个结合率，对吧？结合率。好， 那所以说这个最终结果我们是不是就算出来了，对吧？哎，最终要写成十的七次方。逆的形式啊，逆的形式。 好，那根据刚才的第一个例子，其实我们对于这个 a 的 三次方乘以 a 的 四次方，我们是不是就可以去算了，对不对？那这个时候 a 的 三次方是什么呀？三个 a 相乘，对不对？ a 的 四次方是四个 a 相乘，那它们乘到一块就是什么呀？哎，我们数一下，一共是不是就七个 a 相乘啊？那七个 a 相乘是不是就是 a 的 七次方，对不对？ a 的 七次方， 那接着十的 m 次方乘以十的 n 次方呢？那十的 m 次方是 m 个十相乘，对不对？好，那十的 n 次方怎么样？是 n 个十相乘，对不对？好， 那最终它们成在一块儿，哎，那多少个？是不是应该是 m 加什么呀？ n 个十，是不是？哎呀，你左边这一部分是 m 个十，右边这一部分是 n 个十，对吧？那最终乘到一块是，那就是 m 加 n 个十，好，那最终就应该是什么呀？是不是应该是十的 m 加 n 次方啊，对不对？十的 m 加 n 次方？好， 这是关于这个啊？这个好。那咱们来看一下，咱们在刚才计算前后，咱们观察一下啊，对，这种同底数密相乘的预算，我们发现怎么样？哎， 那计算前底数是十，计算后底数是不是还是十呀？对不对？而指数，咱们发现计算之前，你看这个一个是 m， 一个指数是 n， 而计算后相当于是。咱把指数干嘛了呀？ 这是把指数相加了，对不对？所以说其实咱们就得到了什么呀？同底数密乘法的什么呀？同底数密什么呀？相乘 底数发现什么呀？不变。而最终指数是什么呀？是不是相加了呀？对不对？相加了？好，这就我们得到最基本的一个预算法则啊。好。