几何题BD=CD用法
我们看这一道初中几何的题目啊，你的三角形 a、 b、 c、 d 点是 b、 c 上一点，而且 b、 d 等于 c， d， 角 b 等于三十度，角 a、 d、 c 等于四十五度，求角 c 的度数。怎么去思考？ 整道题的关键就是这里给出的终点，那我们要利用起来。怎么利用呢？你要求角 c 的度数，这地方四十五度，这个地方三十度，能否想到过 c 点往 a、 b 上做垂线呢？ 假设 c、 e 垂直于 a、 b 垂入 c、 e， 然后连接 d、 e， 这样可不可以啊？为什么这么操作呢？只要三角形斜边上的中线等于斜边的一半啊，这样就满足 d， e 等于 b， d 等于 c、 d， 而且大家可以看一下 这个角 e、 c、 b 是不等于六十多啊，因为角 b 三十多嘛，那么 c、 e、 d、 e 这就是一个等边三角形了吧。首先我们求出角 e、 c、 b 等于九十度，减去三十度等于六十度，所以我们要求角 c 度数，下一步要求角 a、 c、 e， 对不对啊？这地方我们又做了垂直，可以找线段关系对不对啊？刚才我们说了三角形 c、 d、 e 是等边三角形，那么角 e、 d、 a 等于六十度，减去啊，四十五度，那么就等于十五度，同样角 e、 d 呢？外角是十五度，对不对啊？所以说四十五度减 三十度等于十五度，说明什么？ e、 d 等于 e、 a 啊，等边上也行，而 e、 d 刚才我们说了是不等于 e、 c 啊，等边上也行吧，所以 e、 a 等于 e、 c， 所以角 a、 c、 e 等于四十五度。那让要求的角 c 不就是六十度加四十五度吗？ 是不等于一百零五度？这道题是非常经典的题目啊，过 c 点做成线是解题的关键。
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01:32查看AI文稿AI文稿标准答案中的辅助线是如何想到的？这个题会告诉你答案，给出一个三角形，告诉你 bd 等于 cd， 也就是两条绿边相等，求角 b 的度数。这题想直接求解非常困难，但如果我们知道巧用特殊角，那就完全不一样。 我们知道四十五度和三十度都是特殊角，那我们是把四十五度还是三十度放在直角三角形中呢？ bd 等于 cd， 所以 bc 是一条带有终点的线段。为了保留这条线段的完整性，我们过 b 点向对边做垂线构造，还有三十度的直角三角形， 三十度所对的直角边等于整个斜边的一半，所以我也等于绿边，也就是这三条线段相等，直角三角形的斜边上出现了终点。我们很容易想到连接 pd 构造斜边中线，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，所以我也是一条绿边，也就是这 四条线段都相等。此时你会发现我们构造了一个等边三角形。等边三角形的一个内角等于六十度，这个角等于四十五度，所以这个角等于十五度。而我们知道他是一个等腰三角形，你等于三十度，所以这个角也等于三十度， 而这个角是我们整个三角形的外角，所以等于这两个角的度数之和。你等于十五度，所以我也等于十五度。此时你会发现我们产生了一个新的等腰三角形， 你这个边是绿边，所以我也是一条绿边。此生这个题就会变得特别简单了，他是一个等边三角形，所以这个角等于六十度，而他是一个等腰直角三角形，所以这个角等于四十五度，用四十五度加上六十度，所以角臂等于一百零五度。
72南阳启元领世
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02:41查看AI文稿AI文稿好，同学们，好啊！今天这节课，我们一起来认识一个特别经典的几何模型，奔驰模型，掌握了他呀！等边三角形内一点的压轴题，就能一眼看出门道！ 好，同学们，看这道题，我们有一个等边三角形 a、 b、 c。 三角形里面藏着一个点 d。 题目告诉我们，三段长度 a、 d 等于三， b、 d 等于四， c、 d 等于五，要求的是什么呢？就是这个角 a、 d、 b 到底是多少度？ 这道题的诀窍来了，我们把线段 a、 d 绕着点 a 顺时针旋转六十度，就得到一条新的线段 ap， 然后把 p、 b 和 p、 d 都连起来，整个图就完整了。 先看三角形 a、 d、 p， 因为 a、 d 等于 a、 p， 假角又是六十度，所以它一定是个等边三角形。等边三角形的好处是什么？三条边都相等，三个角都是六十度，所以 p、 d 也等于三角 a、 d、 p 等于六十度。 接下来我们要找全等，注意看等边三角形 a、 b、 c 里面角 b、 a、 c 是 六十度。等边三角形 a、 d、 p 里面角 d、 a、 p 也是六十度， 这两个角都减去同一个角 b、 a、 d， 剩下的角 b、 a、 b 和角 d、 a、 c 是 不是就相等了？好，现在我们来比较三角形 b、 a、 b 和三角形 d、 a、 c。 第一组对应边 a、 b 等于 a、 c， 因为 a、 b、 c 本身就是等边三角形，第二组对应边 ap 等于 ad， 这是我们旋转得到的，对吧？ 夹角也找到了，刚才正过角 p、 a、 b 等于角 d、 a、 c。 边角边三角形 p、 a、 b 和三角形 d、 a、 c 完全全等，全等之后，对应边一定相等，所以 p、 b 就 等于 dc， 也就是五。 现在最关键的一步来了，同学们看三角形 b、 d、 p、 b 是 五， p d 是 三， b、 d 是 四，三四五眼熟吗？三的平方加四的平方等于二十五，正好等于五的平方。 由勾股定律的逆定律，三角形 b、 d、 p 就是 一个直角三角形，角 b、 d、 p 等于九十度。 好，最后一步，我们要的角 a、 d、 b 正好等于角 a、 d、 p 加上角 b、 d、 p， 也就是六十度加九十度。 所以这道题的答案，角 a、 d、 b 等于一百五十度。这个三四五配等边三角形的图形就是大名鼎鼎的奔驰模型，记住它哦！
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05:41查看AI文稿AI文稿大家好，看这道题。在四边形 a、 b、 c、 d 中，角 b 等于六十度，角 d 等于三十度， a、 b 等于 b、 c。 求 a、 d、 b、 d 和 c、 d 的数量关系。 a、 d 和 c、 d 是这个四边形的两条零边，而 b、 d 是它的对角线，那我们首先连接 b、 d。 连接 b、 d 以后，我们要求的是 a、 d、 c、 d 和 b、 d 它们之间的数量关系。而在我们已有的知识体系里头，并没有关 于求四边形的边和对角线数量关系的方法，那么就需要我们添加辅助线，把这三条边给他归置到一起。 如何添加辅助线呢？ a、 b 和 b、 c 是相等的，而他们的夹角是六十度， 那就以点臂为顶点，将三角形 b、 a、 d 顺时针旋转六十度旋转以后，那就得到 得到三角形 b、 c、 e。 那么这个三角形 b、 c、 e。 它和三角形 b、 a、 d 就是全等的。既然全等，那 c、 e 就等于 a、 d。 而 b、 e 就等于 b、 d、 b、 e 等于 b、 d。 那么他们夹的这个角 e、 b、 d 就是六十度，因为这个角是旋转角。既然这个角是六十度，那我再连接 d、 e。 连接 d、 e 以后，那么这个三角形 b、 d、 e。 它就是一个等边三角形。因为 b、 d 和 b、 e 相等， 而这个角 e、 b、 d 又是六十度。有一个角是六十度的等腰三角形，它就是等边三角形。那么既然 b、 e、 d。 它是个等边三角形，那么 b、 e 就等于 b、 d 就等于 d、 e。 这时候你看 c、 e 等于 a、 d、 d、 e 又等于 b、 d， 那么我们就把这三条边给它规制 的这个三角形 c、 e、 d。 中了。既然这三条边它是这个三角形 c、 e、 d 的三条边，那如果这个三角形它不特殊的话， 两边之和就是大于第三遍的，那么我们得到的就是一个不等关系。 那如果这个三角形它特殊呢？特殊的话，那么这三条边它又有啥样的关系呢？现在看这个三角形 d、 c、 e， 它特殊不特殊。 角 a、 b、 c 是六十度，角 a、 d、 c 是三十度，那么它们两个角的和就是 九十度，所以说角 a 加上角 b、 c、 d 就是二百七十度。角 a 加上角 b、 c、 d 等于两百七十度。 而角 b、 c、 e， 它和角 a 是相等的，因为这两个三角形全等，所以角 b、 c、 d 加上角 b、 c、 e 就是两百七十度， 这两个角的和是两百七十度，那么剩下这个角 e、 c、 d， 它就是个直角了。所以说这个三角形 d、 c、 e， 它是个直角三角形， 它还是比较特殊的。那么既然它是个直角三角形，就有 c、 d 方，加上 c 一方等于 d 一方，也就是 a 地方加上 c 地方等于 b 地方， 那么我们要求的这三条线段，他们的数量关系就是一个平方和的关系。好，今天到这，谢谢大家。
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01:15查看AI文稿AI文稿如图， a、 b 等于 a， c 等于二， a、 d 等于四。求 b、 d 和 c、 d 的 乘积。已知条件给出 a、 b 和 a、 c 相等出现等腰三角形可以做它底边的高 a 一。 根据三线合一，我们知道一点是它的终点， 则可以假设 a 一 等于 a， c 一 也等于 a， c、 d 等于 b， 要求 b、 d 乘 c， d 即等于二 a 加上 b 再乘 b。 虚括号等于二， a、 b 加 b 的 平方要求。这个代数式可以利用勾股定律求解。 在直角三角形 a、 e、 c 中， a、 e 的 平方等于二的平方，减去 a 的 平方，即四减去 a 的 平方。在直角三角形 a、 e、 d 中， a、 e 的 平方等于十六，减去 a 加 b 括号的平方。等量代换可以得到四减 a 的 平方等于十六，减去 a 加 b 括号的平方，从而可以求出二 a、 b 加上 b 的 平方等于十二。 这道题的难度不大，可是很多学生在做辅助线时缺乏思路，初中生想要考高分，掌握做辅助线的技巧和了解常见的几何模型。
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17:43查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天一起来看一下南头城学校的三模的几何压轴。然后这道题的话，因为内容比较多，所以的话我分成了两期，第一期的话是一二小问，然后第三问的话因为有两种情况，所以放在了第二个视频里面。 好，首先的话我们一起来读一下，这是一道新定义题目，他的定义是平行四边形一组林边的两个中点与不在这组林边上的顶点顺次连接所得的三角形。如果是直角三角形， 那么就称这个三角形为平行四边形的半于三角形。哎，我们看一下，也就是说在这个两个零边上随便的去找两个中点，然后的话连接和他们不在一边的这个顶点所形成的这个三角形，如果说他有一个角是直角的话，我们就称这个三角形为这个平行四边形的半于三角形。 好，了解了定义之后，我们来简单看一下第一问，我们说在这个矩形 a、 b、 c、 d 中 e 点和 f 点呢？分别是 a、 d 和 d、 c 的 中点。如果 b、 e、 f 是 直角三角形， 这个角 b、 e、 f 是 九十度，则这个 b、 e、 f 是 它的半圆三角形。告诉我们如果 b、 c 的 长度是八，让我们去求这个 ab 的 长， 然后这里的话底下给了一个呃，一个思路提示吧。这里的话小轩同学是根据三个垂直的条件，然后去利用这个直角进行一些倒角，然后去根据这个三角形相似把这个长度求出来。然后这个小军同学呢，看到这里有这个 e 点、 f 点都是中点，然后就想到这个背长中线， 呃，然后用倍长中线解决这个问题，这两个方法的话，其实我个人是更推荐这个，第一个用相似哈，因为相似的话我们去倒角可能更熟悉一些。倍长中线这个原理的话，我们先给大家过一下哈， 就是在一个三角形里，比方说这里是三角形 abc， 然后的话取这个 bc 边上的这个中点的，然后这个时候我们想要去求一些条件的话， 我们就是把这个 a 得延长，然后延长到和它原本的长度是一样的，然后使这个 a 得呢是等于这个得 e， 然后我们去连接这个 b e， 大家看一下，此时我们形成了这两个三角形， 因为得点是 bc 的 中点，所以 b 得是等于这个 c 得的，然后的话因为我自己做的这个延长嘛，所以这个 a 得呢是等于这个得 e 的， 然后再因为对菱角相等，所以我可以得到这两个三角形，它是全等的， 这样的话我就可以把这个 a c 转化到这个 b e 这里，然后的话我就可以得到这个中线的长度，然后把这个中线和这个这两条边能够结合在同一个三角形里，这个是我们被长中线的原理 好，然后我们来看一下第一问的话，用这两种方法分别是怎么去做，我们先来看一下如果用相似的话怎么去做好，这里的话，我们如果用相似，我们这里的话得到的 bc 的 长度是八， ab 是 我们要求的长度，这里咱们就直接设这个 ab 的 长度是 x， 我 们来看一下这个里面的角度关系哈， 说这个 abc 得呢是一个矩形，然后我们能够得到这个相等关系肯定是对边相等，并且的话这边两个角各自都是一个九十度，一点是中点的话，上边的 a e 和这个得 e 的 长度呢，分别就是四 好的 f， 因为 f 点是这个得 c 的 中点，所以的 f 的 长度我们可以用二分之一 x 表示出来。 我们说因为这个 b e f 是 这个半圆三角形，所以能够得到里边这个角的话是一个九十度，哇，特别经典的这个一线三垂直，对不对？ 哎，那这样的话我就可以得到 a e b 加上这个得 e f 呢，是等于个九十度，然后同时 a e b 加上这个 a b e 等于一个九十度。这个一线三垂直应该大家已经非常熟悉了哈，所以的话我们可以得到这个角 a b e 是 等于角得 e f 的， 这样的话我们看这两个三角形 a e f 和这个得 e f 很 明显就是一个相似的，相似之后呢，我们我们看这里的长度是不是都给我们了， 你就直接对应边应该是 a b 比上一个 a e 等于一个得 f 哦，得 e， 这里是 e 哈， 得 e 比上一个得 f， 然后这样的话我们就可以得到关于 x 的 一个小比例式，相当于方程，然后这样的话解出来 x 平方等于三十二，因为 x 的 话它是一个长度嘛，所以的话这里我们直接取 s 大 于零，直接开个根号 x 的 话就等于一个四倍根号二。 这是第一种直接利用一线三垂直去进行相似，这个我是比较推荐大家去正的哈。然后第二种方法的话，就是利用这个倍长中线 e j 的 长度呢，是等于 b j 的 长度，同时我延长 f d， 然后和这个 b e 的 这个延长线相交于这个点 j， 然后我们想办法去证明这个 a e b 和这个 的 e j 是 全等的，这个也非常的好挣哈，就根据刚才我们的这个理论，首先我的这个 b e 和 e j 是 我自己去构造的这个相等， 然后 a e 等于这个 e 的 呢，是因为 e 点本身就是 a 的 中点，然后再加上对顶角，首先的话我可以得到这个三角形 a e b， 它是全等于这个三角形的 e j 的， 这是的 e j， 哈， 好，这样的话我就能够得到这个得 g 的 话，首先是等于 a b 的， 并且的话这边一定是一个垂直关系，因为这个对应角相等嘛。然后的话，这里我们依旧是设这个 a b 是 x， 然后此时我们的这个得 g 也是 x， 这样的话，我们的这个 我们是想要把这个长度转化到这个 bfe 里面去，利用这个半圆三角形进行计算的嘛。然后这个地方我有这个 ab 是 等于 x， 然后 bc 的 长度是八，然后 ef 的 话，它作为中位线，它是会等于个二分之一 a c 的， 所以这个地方的话，我的 a c 可以 用这个根号下 ab 方加上 bc 方表示出来，就是等于一个 x 的 平方加上一个六十四，根号下 x 平方加六十四，那这样的话 ef 就 等于二分之一 的根号下 x 平方加六十四。好，那这个 e f 的 长度现在是有了，然后 b f 的 长度，我们可以，我们可以稍微转化一下哈，这个地方的话，因为这个角它是等于这个角的， 然后长度上这个 b b e 是 等于这个 e j 的 这边是一个中点，然后这里是一个垂线，所以的话我利用这个等腰三角形的这个二线合一，我是能够得到 b f 是 等于 f j， 同时这个角呢，是等于这个角，然后也就等于这个角，其实这几个角都是两两相等的， 我就可以把这个 b f 的 长度转化到求这个 f j 的 长度上去，然后这个得 f 的 话，它现在是等于这个 一半的这个 a b 嘛，它是等于一个二分之一 x， 这个的 g 的 话本身就是等于 a b 等于个 x， 所以 这里的 g f 呢，它要等于一个， 它的长度就等于一个二分之三 x 好， b f 的 长度现在也有了，然后这里的话最后还剩下一个 b e 的 长度， b e 的 长度的话，我可以放到这个里边，因为上面的 a e 等于四嘛，然后 ab 等于 x， 所以 我 b e 的 长度的话，是也可以用勾股定律把它表示出来，根号下 x 平方加上一个十六， 好，这样的话我的三条边都可以利用这个函数 x 平方加上一个十六，好，这样的话我再对它们整体进行一个一个勾股定律， 这样的话我还是能够解出来关于 x 的 一个方程，然后能解的 x 等于一个四倍根号二。但是这个方法我觉得相对来说第一个 可能没有那么大众化，然后也没有那么好求，所以的话还是推荐大家用第一种方法。相似这个地方我也考虑过，是不是我这个地方想的太复杂，但是我好像没有用备长中线想到更简单的这个方法，如果说有想到更简单的方法的话，可以在评论区讨论一下。 好， ok， 然后我们来看一下第二小问。第二小问一就是先来读一下题目， 我们说如图二，三角形 c、 e、 f 呢？是平行四边形 abc 的 半圆三角形，这个时候给了我们明确的角 c、 f、 e 是 一个九十度， 然后对角线 a c 和 e f 相交于点 j， 告诉我们如果 a j 的 长度是三，然后 f j 的 长， a c 的 长度是根号三， f j 的 长度是一个三，然后让我们想办法去求这个 c 的 长。 好，我们看一下这个题，他给的我们的长度，一个是 a j， 一个是 f j 都是在上面这个三角形里，就是说如果说我想用上这两个长度的话， 我应该大概率是要用到相似全等或者辅助线，就是去把这两个线段长度转化一下，这里边的话我们是有这个直角三角形，然后有平行四边形，因为第一问的话给的是矩形嘛，第二问的话转化成平行四边形，这里边还有这个平行的关系， 让我们去求这个 c 的 长，也是需要考虑一下到底是求这个 c 的， 还是说转化到其他的这个线段上去。 好，读完题了，我们来看一下这道题的话，我们的辅助线可以怎么去做好，这这的话我们把这个图稍微放大一点点， 我们第一问的话，他给我们的一个思路就是让我们可以去延长，然后进行这个倍长中线的转化， 这的话我们选择去对这个 e、 f 动手，因为这个 e、 f 放在这个平行四边形里面的话，我们其实是没有什么思路去给它进行转化的，这步假如说我们把这个 e f 延长一下，大家看一下，延长一下这个 e f， 然后呢再延长一下 c b， 这样交过来。 好，假如说这边的话相交一个 m， 然后呢把这个 e f 再往上延长一下， 这样延长一下，然后呢再和这个 c 的 延长线，假如说我们相交于这个 n 点，看一下，这样有什么用哈？ 因为我们这里的平行四边形，其实我们没有办法在这个内部用上，假如说我想用这个 aj 和这个 j f 的 话，大家会发现没有一个平行相似能把它放进去，所以的话，首先我能想到的就是去构造平行， 那构造平行的话，因为这里本身就有平行四边形，所以我想到的肯定优先是用这个上面的这个 a 的 和底下这个 c b， 所以 的话我选择延长 c b， 然后利用这个 e f 把它延长过来，产生上边和下边。大家来看一下这个 因为一点是什么点？一点是中点啊，一点中点，这样我延长下来的话，上下是不会形成一个八字，这的话因为一点刚好是中点吧，所以上下的话就不是八字相似，而是一个全等，我就可以去正这两个红色三角形全等。 然后与此同时的话，如果说我们再去正一下这边 f 点，是不是同样也是中点， 这边依然是 a f 等于 f 得，然后还有这个平行在，然后还有这个对零角在，是不是也可以正这两个角，它也是一个全等的关系，这样的话我们就可以把这个里边这个不 就是我们不会怎么去处理这个 e f 转化到外边的这两个三角形里面去。好，然后我们来看一下，我们做完这个辅助线之后，我们先分别延长这个 e f 和 f e 分 别交 c b 的 延长线于 m， 交 c 的 延长线于 n， 然后我们先简单的来证一下这个全等，那全等的话其实大家已经非常的好证了， 这里的话有对零角，然后是不是有平行？ 好，然后首先我们就能够非常简单的得到三角形 a e f 全等于三角形 b e m。 然后重点来看一下我们证全等之后，我们要提取什么关键信息啊？我可以得到的长度是 a f， 它是等于一个 e m 的， 然后 b m 这个的话是等于这个 b m， 然后这个 f e 的 话，是不是等可以转换成等于这个 e m？ 好，接着往下看，那这个 b m 现在它的长度等于 a f f 点的话，同时又是这个 a 的 中点，因为我们第二问的话，给了这个谁的长度啊？给了这个 a a j 和这个 f j 还是没有办法先转化，只能先去转化这样的一个倍数关系。所以的话我们能够得到 b m 呢？等于 af， 然后又等于这个 f 得，然后它是等于一个二分之一倍的 a 得，然后同时又等于一个二分之一倍的 bc。 为什么要转化这么多呢？因为等下我们想要把这些就是所有的这个条件全部串起来。 好，所以的话看一下 a f 的 长度，它等于什么？它等于三分之一倍的 cm。 好， 假如说这个是一，这个是一，那这个长度也是一，那底下的 b c 的 话就是二，所以的话 c m 整体占的长度就是三， a f 占一份， c m 占三份，所以的话 a f 的 长度呢就是一个三分之一倍的 cm， 然后我们看同理，同理的话大家看一下这个是不是也是一样的，他占一份，他占一份，然后他也占一份，这样的话我们的这个 fe 看一下， fe 和 fn 也是相等的，然后这个 ae 的 长度呢？ 他又等于。好，这边是他占一份，然后他占一份，他占一份，然后相等这边的 c 的 是不是占两份？整体的 c n 是 不是占这个三份？那这样的话我的 a e 的 长度是不是也是占这个 c n 的 三分之一？ 好，那这样的话我们就可以得到 a f 的 话是等于个三分之一的 c m， 然后 a e 的 话是等于一个三分之一倍的 c n， 然后并且这边的长度关系，这个 ef 呀等于这个 f n， 然后还等于这个 em。 看一下，然后我们这里换个颜色来看一下。好， 现在呢我们还有这个平行四边形，所以的话我们还有两组对边是分别平行的，然后我们现在可以开始用我们的这个 aj 和这个 aj 了，来看一下 aj j c， 它等于一个 f j 比上一个 j m 好， 我们构造了上下这两个粉色的三角形的相似，并且相似笔的话来大家看一下，相似笔的话我不小心擦掉了 这个自动擦出功能，真的很烦。好，这样的话相似比的，相似比的话，我们是不是可以说 a j 比上这个 c j 等于个 f j 比上一个 j m 等于 a f 比上 c m 好， 我们相似比是有的，相似比的话就是上比下是一个一比三的关系， 然后的话我们是不是有这个 aj 的 长，有这个 fj 的 长，所以的话我们根据这个相似比直接读到 cj 的 话，是等于一个三倍的 aj， 等于一个三倍根号三， mj 的 话是等于一个三倍的 fj， 等于个九。 好，然后我们稍微擦一下这个里面的线段， 好，大概大概把它里面的样子擦出来哈， ok， 然后继续来看一下，在这里把把这个延长线再连回来， 好，然后看一下我们的 f m 的 长度。 f m 的 长度呢？我可以用这个 f j 加上这个 j m 来表示，这个 j m 的 话，我们刚才算的是等于九， f j 的 话等于三，所以的话它俩加起来等于个十二， 同样的这个 e f 的 长度，他就等于这个 f n 的 长度。 f n 看在哪里啊？ f n 在 这里 等于这个 e m 的 长度。这三段他们三个都是两两相等的，就等于一个六，因为 f m 的 话是等于 e f， 然后整体的这个 e m 吗？是他们的两倍，所以的话每个都是六。 好，然后现在再放进来看一下，这里的话是不是还有个直角三角形没有用啊？来看一下 c f 一， 这里有个直角三角形，所以的话可以用勾股定力，这里我们求出了 c 这的长度。哦，放在这个三角形里。 好，这里我们求出了 c j 的 长度，是一个三倍根号三，然后 f j 的 长度我们求出来是等于三，这样的话根据勾股定律是不是可以求出这个 c f 的 长度，哎，直接就是一个斜边的平方，减到这道边的平方，再开根号算出来是一个三倍的根号二， 知道了这个 c f 的 长度之后，我们再把它放到一个新的直角三角形 c f n 里面去， c n 的 长度的话，它作为这个斜边，它应该等于 c f 的 平方，然后加上这个 f n 的 平方，然后再开根号，这个 f n 的 长度呢？刚才我们算出来已经是等于六了， 然后这个 c f 的 长度是，我们刚刚算出来是等于三倍根号二的，这样的话我们就可以把整个 c n 的 长度给它算出来。 c n 的 长度的话，就是等于根号底下三倍根号二十八， 然后再加上一个六的平方三十六，然后这样算出来的话，我们的 c n 的 结果是一个三倍根号六，好，整个的这个 c n 长度有了，然后这个 c 的 的话，是不是三份他占两份啊？他就等于一个三分之二倍的 c n 长度为一个二倍根号六，好，这个是我们的第二小问，然后第三小问的话，我们就放到下一个视频里面一起去讲解。
02:55查看AI文稿AI文稿这道题每年必考，所以啊，一定要学会角 b 加角 d 等于多少度？看图形，角 b 是 这个角，角 b、 c 是 三， c 一 等于四， b、 c 等于五， 这个角是直角，这个角它也是直角，也就是说， a、 b、 c 和 c、 d、 e 是 两个直角三角形，直角边都知道，斜边就可以算出来，即使斜边算出来，因为不是特殊值，这个角 b 和角 d 度数啊，很难计算。 那咋办呢？要想求出他们的和，大家可以思考一下，既然不能够直接求出，我们能不能把角的和角 b 这两个角凑合到一块，如何凑合呢？非常关键。我们能不能把这个直角三角形平移一下，好想做平移三个单位， 那么这个角就是角 d 了，这个角是角 b， 我 们只要求出这两个角的和就 ok， 那 么这段是一了，这段就是四了，而 a、 c 等于五，如果说四再加上一，是不是刚好等于五啊？我们能不能在这里续一小段， 这小段是一，四加一，刚好就是五了啊？假设这里是 m 点，这里是 n 点，我们能不能把 a、 m 连接起来啊？把 a、 m 给它连接起来， 同时呢，把 a、 n 也给它连接起来。连接以后，你会发现，这个角它是直角平移过来的，对吧？ 他是五，四加一等于五，他是五，对边相等，这个角都是直角，所以啊，这个角他一定也是直角，对吧？这里都是直角了，所以呢，现在这个大的图形，他就是一个矩形了， 这里是一，这里是一，这里是四，这里是多少？是不是一加三等于四啊？这样的话，这两个三角形是不是全等了？ 是不是 s a s 角都是直角？ s a s 全等以后， 斜边是不是相等了，他们的斜边就相等了？他们相等以后，这个角加上这个角九十度，那么这个角和它呢？又是相等的，所以这个角加这个角九十度，因此呢，这个角它就是九十度，它是九十度， 那么这两条边又相等，因此呢， a n b， 对 吧？也就是 a b n 就是 一个等腰直角三角形，等腰直角三角形，每个底角四十五度， 这样这个角加这个角等于多少度啊？是不是一百八十度？减去四十五度就是一百三十五度，所以啊，它的和就是一百三十五度。
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01:43查看AI文稿AI文稿啊，同学们，我们今天来学一个比较全新的定底啊，这个在选填和大体中呢，也是非常好用哈。首先我们看在这个三角形 abc 中， a 的 角平分线，则 ac 比 ab 等于 cd 比 b、 d， 就是 说 ac 比 ab 等于 cd 比 b、 d， 这个你就记得是长的和短的之比，等于，下面是长的和短的之比，然后我们再来正一下啊， 那么这个就是证明他的一个图了，这个给大家放大一点啊。首先呢，我们 a、 d 是 他的角平分线，我们呃过点 d 呃，分别做这个 d、 f 垂直于 a、 c， d， e 垂直于 ab。 然后你看这个 d、 e 和 d、 f 他 俩是相等的，因为是角平分线，然后因为 a、 b、 a、 b、 d 的 面积和 a、 d、 c 的 面积，他俩高是相等的，所以说他们的面积之比等于底之比等于 ab 比 ac， 然后我们再过 a 做这个 bc 的 垂线，就是 ag 垂直于 bc， 这样这个 ag 既是呃 abd 的 高，又是 adc 的 高，那他们的这个高也是相等的，这个面积之比等于底之比，就是 也就说三角形 abd 的 面积比上，三角形 adc 的 面积等于 bd 比 dc， 因为他俩的面积之比都是恒定的，所以说这个 ab 比 ac 是 他们的面积之比， bd 比 dc 也是他们的面积之比，那他们这两个是相等的，所以说呃 ab 比 ac 等于 bd 比 dc， 然后这个就挣出来了。
201画图几何学
