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常考的三类消去问题第一类消去问题,圆柱削成一个最大的圆锥。在这类问题中,大家要把握好一个关系,当圆柱削成一个最大的圆锥时,他俩是等底等高的。 我们知道等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的三倍,我们就可以假设圆柱的体积是三份,圆锥的体积就是一份,那么消去部分的体积就是两份。 这个题说圆柱消去十二毫米,也就是说消去部分的体积就是十二毫米,两份是十二立方米, 那么一份就是六毫米,那么三份就是十八毫米。第二类消去问题,正方体消成一个最大的圆柱。在这类问题中,大家要把握好一个关系。 我们来看这一幅图,正方体消成一个最大的圆柱,它俩之间的关系是什么呢? 棱长和圆柱的底面直径是相等的,棱长和圆柱的高也是相等的,所以棱长等于底面直径等于高。 这个题告诉我们,棱长为六分米,那也就是直径就等于六分米,高也等于六分米,那么 r 就 等于三分米。 r 知道了, h 也知道了。无论是让我们求圆柱的表面积,还是让我们求圆柱的体积,我们只要代入公式就可以了。 第三类消去问题,正方体消成一个最大的圆锥,同样的,我们先来看一下它们两个之间有什么关系。我们来看图,正方体消成一个最大的圆锥,通过看图可以看出, 正方体的棱长和圆锥的底面直径是相同的,正方体的棱长和圆锥的高也是相同的,所以棱长就等于圆锥的底面直径就等于圆锥的高 直径。知道了那半径 r 我 们就能求出来, r 和 h 都知道了,我们代入公式就可以求出来圆锥的体积是多少。

同学们大家好,我们来讲这样一道题,有一块正方体的木料,它的一个面的面积是二十五平方分米,把这块木料我们给它加工成一个最大的圆柱,这个圆柱的体积是多少?我们说知道求体积的话,我们必须要知道它的 底面积和高底面积,怎么求呢?我们来看这个条件, 这个正方体的木料,它的一个面的面积是二十五平方分米,对于正方体来说,它有十二条棱,长度相等,六个面完全相等, 所以所以这个正方体的边长就是五分米。 我们接着往下看,把这一块木料加工成一个最大的圆柱,什么时候最大?当这个圆柱的直径和这个正方体它的边长相等的时候,这个圆柱它的体积才会最大, 所以 d 就 等于五分米,我们知道 d 等于二 r, 所以 r 就 等于五,除以二等于二点五分米 有半径了,我们可以求出它的底面。接下来我们来看这个圆柱体的高是多少, 我们可以通过看图,我们通过看图可以知道这个圆柱体的高正好是正方体的边长,也就是它的棱长,所以高就等于五分米, 这个是五分米。现在条件都已经有了,所以我们进行计算,等于 pi r 的 平方乘高等于二点五的平方, 乘三点一四,再乘五等于 六点二五,乘三点一四,乘五等于九十八点一二五,带上单位是立方分米。

正方体中切出最大圆锥问题,正着切?看题思考,在一个棱长是十厘米的正方体中,正着切出一个最大的圆锥。圆锥体的体积是多少立方厘米?动画演示, 圆锥体最大的高是正方体的棱长, 圆锥体最大的底面直径也是正方体的棱长。 哆哆最大圆锥体底面直径和高都是正方体的棱长,都是十厘米。所以圆锥的体积为三分之一乘三点一,四乘五,平方乘十,约等于两百六十一点六七立方厘米。 同理,正方体中切最大圆柱问题,最大圆柱的高是正方体棱长。 最大圆柱底面直径也是正方体棱长。

这个扑克是八十七毫米长,五十七毫米宽,所以我们两侧每侧给它涂掉十五毫米, 它就是五十七毫米的正方形一个,这样子一共推六个, 后面没我先使慢点, 我们就需要这几种东西,六张图和透明胶,剪刀挖出来的 六个,这个弄好,然后把它装一起, 这个正方旗好了,但是需要的是它可以展开成一个平面图形,所以就要用到透明胶了。我们把它粘一下, 这里我们粘到第一个面上,粘多少无所谓,顶住这个角,拉紧透明胶带,朝下直粘。 现在我们粘好了一个边,然后再粘下一个,也是这样顶住这三个角,这三个面拉紧透明胶带朝下 粘住第三个边,然后把它剪断, 这样我们的纸盒是可以从这里打开的, 然后掐住这个可以打开的面,转一下放下去,这样子再粘到这两个面, 胶带两面出头一厘米,两厘米都可以粘平的,这一个面再剪掉, 还是掐住这个角,这三个面,把胶带扣下去, 这样子一个可以打开的四面体纸盒,六面体,呃,正黄气的纸盒就做好了, 还可以再装回去。

一个视频教会你如何解答洁面图题。洁面图通常有两种考法,第一种是规则洁面图,像我们这个题左边的图形呢,是立体图形,是有很多个形状相同的小正方形组成堆叠而成,里面呢有黑块,有白块。 题干的用法通常是定点洁面,像我们这个就是从 abc 三个点来洁面,像这种题目呢,他的套路非常明显,我们学会方法呢,就可以直接秒杀。 第二种考法是不规则洁面图,一般是任意角度洁面,像我们这个题,这边是圆柱啊,下面也是圆柱。像这种题目呢,它的难度就比较高,我们需要去熟练掌握一些常见图形的洁面,什么样的图形可以截出什么样类型的平面。 我们先来讲第一种考法的基本解决方法,针对这个题目,这是一个非常典型的规则图形,它让我们从 abc 三个点结面。 根据我的经验哈,一旦出现这种规则结面,三点结面的时候,通常是考察它的斜结面,通常是考察它的斜结面,无一例外都是斜结面。 那这次考察这个,这个是固定的,那我们就可以用一些固定的方法来做它通常是有两步啊,第一步是先画出三乘以三的方形外框,当然这个方形不方形无所谓,斜切面肯定不是方形的,重点在于这个三乘以三。 第二步呢,是观察切刀的黑块以及挖去的黑块。针对这个题目,咱们可以先画一下三乘以三的外框, 这个是三千三的外框,然后我们标记点,假设是俯视图,从上往下看啊,那这个点就是点 a, 那 这个呢就是点 b, 这个呢就是点 c, 然后我们截一下, 这里斜切面剪下来, a 这里肯定是黑色,我们给他涂黑,给他涂黑,然后中间这个呢也是黑色,给他涂黑,接着 b, c 这条边上中间这里也是空了一个,所以这个呢是要挖去,是要挖去,然后 c 这条边这里的黑块也是, 所以是可以切的。到这里我们再验证一下哈,他的洁面图就是这个,不过我们画出的是朝下的,而他画出的是这样朝上的,说明他有可能在考察角度的变换,我们是俯视图,他有可能考察仰视图 啊,这个是要注意的一个点。 ok, 这个就是咱们针对规则洁面图需要学会的,需要掌握的方法。根据这个方法呢,咱们再来解两个题目,第一题是二十年的国考卷,左边呢是非常典型的规则图形,根据 abc 来洁面, 我们根据我们的步骤啊,第一步呢,是先画出三乘以三的外框,然后标点 假设是俯视图吗?那这个是点 c, 这个是点 b, 那 这个是就是右上角是点 a, 然后前面的话, a 和 b 中间这个黑块肯定是截得到,可以图黑,然后所有的这个方块中间呢,这个黑块也是截得到, 然后 b 和 c 这条边上中间缺了一个,所以这个是要去掉,然后其他的图形全是保留的。因此啊,咱们可以直接把答案锁定到了 b 项,连在一起,锁定在 b 项。 我们再来看啊,这个图确实这样子哈,只不过我们画出的是左右,他画出的是上下,不过无所谓啊,角度不同而已,整体的一个形状是相同的。 再来看这一题,这个也是根据 abc 来截面,斜截面截下来,根据我们的步骤啊,第一步,先画出三乘三的外框, 然后标点,那这个就对应着点 b, 这个对应着点 a, 这个呢对应着点 c, 然后我们看啊, a 和 b, 他 这边和这边分别是空了一个,所以这个要去掉,这个要去掉,然后 c, c 这边 c 的 左边就在最前面,这个也是空的去掉,然后其他的全保留,而且这里呢是切不到黑块, 因为我们切的是这个斜的,斜的,因此啊,答案直接给到了 c 项,还是非常简单哈,你看这里就是非常清晰的展示了这么个洁面图,和我们画出的是一模一样的。 我们再来讲第二种考法叫不规则洁面图。其实针对这个不规则洁面图呢,没有一个万能的通用的方法来检查,我们需要掌握的就是一些常见图形的洁面图, 这有两个点要注意一下,第一个洁面图他一定是平面图,而且是封闭图形,不能出现一些开口方向,他一定是封闭的,像这个正方形是封闭的,不可能出现这种弧形带有开口的。第二个 洁面边数的极限是由该立体图形被切到的面所决定,比方说正方体他有六个面,所以洁面呢,最多是六边形,不可能出现七边形、八边形等等。 那下面这三个图形啊,正方体、圆柱体还有圆锥体是非常常见的三个基本图形,大家需要掌握它基本的一个洁面 向。正方体呢,它可以切出三角形、四边形、五边形和六边形,注意不可能切出直角三角形和钝角三角形,还有正五边形、七边形和更多边形。 圆柱体呢,可以切出这个矩形,就数值往下切。圆形,椭圆曲线加直线,不可能切出梯形三角形。圆锥体呢,可以切出三角形,圆形、椭圆曲线,直线不可能切出四边形和矩形, 因为这个圆锥体呢,它一共就是一两个面啊,就两个面,不可能切出四边形啊,还有这个图呢,可以问我要啊,可以直接问我要。 我们根据刚刚我们掌握的这个常见图形的结面图啊,可以把这个题目很轻易的解出来,他让我们找一个不可能是他的结面的。左边呢是立体图形,右边四个选项我们逐一带入哈。 a 项非常明显,从上往下切,数值往下切就可以切的到, 然后 b 向 b 向。我们注意啊,这就上下有两个图形,它们的宽度是一样的,宽度是一样的,那我们只能在右边这个图形开始切,右边这个图形开始切, 而且是切出这种长方形啊,长方形那只能斜切了,斜切是切的到的,给大家擦一下。 c 向它们的宽度不一样,那只能是它和它切起来切一下。 左边呢,左边是切出一个长方形,右边呢切出一个正方体,右边切出一个正方形,这是 c 项,然后看 d 项,如果要切出右边这个 l 型,就肯定要往这边切,要么是斜,要么是正,但是左边这个高度呢,不可能和它一样高, 因为这边是比较短的,所以 d 项呢,肯定是切不到的, d 型呢,就给到了 d 项哈,那下面三个图呢,分别是展示了 abc, ok, 以上就是我们关于如何解答洁面图题的方法,感谢大家的观看,我们下个视频,再见。

经典削切问题,正方体削成最大的圆锥,是以正方形边长的一半作为底面圆的半径,正方体的边长作为圆锥高的圆锥。 正方体削成最大的圆柱体,是以正方形边长作为底面圆直径,正方体边长作为高的圆柱。 圆柱体削成最大的圆锥体,是和圆柱体同底同高的圆锥体。

好了,同学们,咱们回想一下,在上学期咱们就认识了一些图形,长方形,正方形,圆柱形,是不是?大家还记得他们的样子吗?记得,这节课咱们把它拿出来 一起做一个游戏好不好?好,请拿出和老师一样的图形,举起来给老师看一下他叫什么名字?好,老师说一下 他叫什么名字?他的名字叫长方体。好了,孩子们,那你们数一数长方体身上有几个面。好,你来说。长 毛毛体下面有六个面,大家同意吗?同意,他的身上有六个面。好,再见。孩子们,去摸一摸,摸一摸,这些面你摸上去有什么感觉? 直挺来说,孩子,妈接你来的,有点滑,摸到我朝你的身上有点滑。好,谁愿意再说一声,有点滑。嗯,你也有点滑,谁愿意再说一遍啊?你来说。感觉平平的,真好,这是大家的感觉。 好,老师,请你。方体的身上有点滑,你摸起来是不是滑?滑的,平平的是大家真正的感觉。好的。孩子,下面再拿出和老师一样的这个举起来,他叫什么名字?方体,那 你来看一看他的身上有几个面,注意把话说完整,正方体的身上有六个面,很好,大家同意吗?同意,也数的是六个面,是不是啊?那你再摸一摸这些面有什么感觉?摸摸看, 好,老师请你。我觉得也和长方体一样,滑滑的,平平的,摸起来感觉差不多。他的意思是, 欣欣,再来说一说你的什么感觉?我的也是跟段思容一样的,你同意他的观点?同意。好,刘泽兰,我也摸着这个正方体身上有点滑滑的, 还有点拼拼,是吧?孩子们是非常好,现在能不能跟一个这样的提起来,他叫什么名字?白鹿。那老师请你出来摸一摸他的上下两个面,你有什么感觉? 感觉甜甜的很好,感觉滑溜溜的。嗯,真好,你再说感觉滑滑的很好,是不是这样的感觉?是,我感觉滑滑的,还有点平平的。哎,真好,你还要啥滑滑的,还有点平平的。是的,这是大家摸的感觉好的很。 再拿出和老师这样的接起来,他叫什么名字?对,他的名字就叫三棱柱。那老师请你也来摸一摸, 他的身上有几个这样平行的面?他的身上有几个这样平行的面,大家同意吗?同意。他说三棱柱的身上有五个平行的面,大家同意。他说三棱柱的身上有五个平 的面,同意吗?同意。好的,孩子们,那这些咱们在这些图形上都找到了一些形形面,是不是?这节课咱们就来认识这些立体图形身上的 形面图形。那你能想办法把他们刚才摸的这些形形的面转到你的纸上吗?能,把它从立体图形身上剪下来,能吗?能,谁有方法? 你准备怎么办?把它印在纸上,再用一支铅笔涂上,你听明白了吗?听明白,谁愿意?再说一说。好。段思柔,把它们印在纸上,再涂上颜色,他们印在 纸上怎么印?你的意思就是说把这些图形印在纸上,再用铅笔沿着这个边缘画下来,是吗? 好,请大家把这些一起推上,平平的面请下来,咱看谁请的面最多好吗?开始 好了,孩子,停下来,大家找的非常好啊。好,请坐好。谁愿意到前面来汇报一下,你找到了几个偏前的面,你印在纸上几个。好,请你来。拿着你的皮筋到前面来。好了好了,孩子们, 请看大屏幕,看讲讲心情的同学,浅下来的面多不多?多好,讲一点, 这个面你是从谁的身上找到的?是从长方起上面找到的。那你能说,那就是说 长方起上的一个面就是什么?他是不是他现在有自己的名字了?他不是长方形。好,请看。对,他现在叫长方形了。那你来说一说,你在长方形上面找到了什么形?我在长方 也找到了长方形,对吧?孩子们?对,那也就是说这个长方形它是长方体的一个面。好,长方形就是长方体的一个面。对,是一个面。好,请你来说,这个图形你是在哪找到的? 我是在圆柱上面找到的。哦,那你所以就能怎么说圆柱的一个面就是圆形,同意吗?孩子们,同意。你举起来给 大家看一下,圆柱的一个面,圆形的。对,是圆形。好的,是把圆形写在黑板上,很好。继续,这个图形是在哪找到的?这个图形是我在正方形上面找到的。所以我们怎么说?所以正方形 上面的一个面就是正方形,你听明白了吗?听明白了,他就说正方体上的这个面 好像是什么形?正方形。对,它是正方形的。好的,还有这个图形在哪找到的?这个 同学是我在三棱柱柱上找到的,他现在的名字叫。对,他现在的名字就是啊,三角形了。好,请你来。那你能说这个三角形是在哪找到的?再给大家说一遍吗?这一个三角形是我在三棱柱上找到的 一个面就是三角形的。很好,他找的好不好?掌声鼓励他回去。好, 谁能到前面再给大家看一下。好,那个拿给你的。好,请你给大家说一说,你这些平面图形都是在谁的身上找到的?都是在是在三角柱上的一个面找到的。哦,同意吗?孩子们,同意。这个长 方形是在长方形的一个面找到的,长方形是在长方形上的,这个长方 的一个面就是长方形。嗯,对的,这个他就是长方形,长方形是 长颈上的一个面。对,是的,这个对应在哪找的呢?这一个圆形是在圆珠上找到的,大家同意吗?孩子们,同意, 找的好,同意,他的观念很好。老师把刚才的过程转移到电脑上面了,大家请看好。大家,这个已经认识了,他是什么?这个 它到底是什么呢?对,它的名字是正方体。那咱们把正方体上的一个面,老师把它移下来,正方体上的一个面就是正方形,那咱们就可以说 正方形是正方体的一个面。你好,你会说吗?会,现在说一说。正方形就是什么呢?正方形就是正方体的一个面, 正方形就是正方体的一个面。好,好听,你这个起的很好,正方形就是正方体的一个面。真棒。接着往下看,这个红色的它是什么?长方体。好,请看长方体上移下来一个面是什? 长方形,那咱们可以怎么说?好,请你来。长方体就是长方形的一个面,你同意吗?同意。 仔细听,他说什么?长方体就是长方形的一个面,他说长方体是长方形的一个面。你同意?大家都同意,同意。想想看他说长, 谁来说,刚才仔细听了没有?请你再说一遍,长方形是长方体, 长方形是长方体的一个面。他这次说的和刚才说的一样吗?不一样,你发现了吗?这是什么?你发现了?你告诉大家,他上次说的是,他上次说的是长方形是长方, 长方体是长方形的一个面。是,我认为那是错的,应该是长方 体是长方形的一个面,长方形是长方形的。对,好,请坐下。大家注意表述,先记住他的名称好了,孩子,他的名字叫什么?长方体,长方体,长方体上一个面是 长方形,所以咱们说长方形是对,千万别把自己绕进去了,刚才有两个同学绕进去好了,孩子,仔细看, 是不是这个图形是什么?圆柱,大家仔细看好了,圆柱上的一个面是什么?圆柱上的一个面就是圆,那谁能说一说 圆形就是什么?圆形是圆柱的一个面,同意吗?同意,圆 形是圆柱的一个面。好的,请你来说一下。圆形是圆柱的一个面,很好,所以咱们就说 圆形是圆柱的一个面,也可以这样说,圆柱的一个面就是圆形,很好。大家再看最后一个图形是什么?能柱,请看能柱的一个面。哎,能柱的一个面是三角形,很好, 三角柱的一个面是三角,三角形是三。能柱的一个面,也可以,大家同意吗?同意,这个表述很好。 大家看刚才咱们认识了几个这样的平面图形,四个,你能记住他们的名字吗?能,通过刚才的画面, 你能记住他们的样子吗?能,请看老师手里的这个图形是什么方形?谁来说一说他长什么样子? 用自己的语言描述一下,你们说他长不大,又有点长,他认为还有谁要说的? 它还长的方方的长,长的好像圆圆的,方方的,它的样子你记住了吗?记住了,它有点薄薄的,它是一个平面图形,一个薄薄的。好的,孩子们记住它长的什么样子吗?这个图形 它叫什么?正方形,正方形长什么样子啊?好东西,正正方方的,很好, 你来说正正方方的,这样表示的还有点方方的,方方的,正正的方方的,一看就是一个正方形,真棒。 大家看这个,这是什么三角形?他是什么三角形?他长什么样子?三角形的,他三个角上都有一个尖,他有三个尖,他说三个尖,谁知道是顶点,就三角形的顶点 尖,尖的同意吗?孩子们,同意,有三个这样的尖,他叫顶点,有三个顶点是吗?是对,这样的图形就是三角形。最后一个 行不行?圆形的样子很好记,什么样子啊?有点圆,圆的。好的,有点圆圆的就是圆形。好了,同学们,你能记住他们的样 子吗?能。那老师,这还有一群可爱的知心宝宝,他们忘记回家了,你 能帮助他们找到自己的家吗?能,好的,老师先给他,他的家就在这里。长方形,圆形,正方形,三角形。你把这些童星宝宝都送回到他的家里去好不好?好好的,请坐好, 把钱都送回家好了,孩子们,快点帮这些新宝宝找到他们的家好了,孩子,请坐好。大家看这些蒲公英宝宝是不是都找到自己的家了?对,第一个家是谁的好朋友?第二房的家是圆的,第三房的家 是正方形,最后一方的家是正方形。真好,好的孩子,这些这些宝宝都找到自己的家了。那下面就需要发挥咱们班同学的观察能力和想象能力了,在咱们的教室里面你能找到 哪些平面图形?想想看教室里面有哪些平面图形?黑板是长方形的,他说黑板是长方形的,你同意吗?同意。他说黑板就是确切的说应该怎么说,你同意他的说法吗? 为什么?因为这个是黑板的一个面是长方形的,他们应该这样说,你同意吗?黑板的一个面是长方形,你同意是不是?你认为你俩的表述,谁的表述更好?更可能的答的非常好。也就是说 黑板的什么?孩子们一个是什么形?长方形。这个桌子的一个面是长方形是吗?是的,窗户的一个面是窗户,正方形的窗户有的没的一个面是 长方形,是吗?我知道是的,板凳的一个面是长方形。你想的真好。

今天一条视频讲明白蚂蚁爬行最短路径问题。蚂蚁从 p 点到 q 点有三种走法,前面从上面、从前面从右侧面 从左侧从上面三种走法打开后,上面侧面长高宽起点终点线段最短,求斜边 勾股 p q 等于根号下方加一加 c。 括号的平方展开后,后面是两倍的 b, c 前面再从右侧到终点展开后, 前面右侧长弯合并成一个直角边,两定点线段最短,如斜边一样,用勾股与两个直角边平方之合拍出来,去掉括号, 最终 a、 b 展开左侧面,上面起点终点线段最短, 求斜边。用勾股 a 加 c 括号,平方加 b, 平方开根号去括号。三种方式前面相同,哪个乘积最小,最终就是最短 最短,两边乘积最小。所以结论,长方体蚂蚁爬行最短路径等于根号下最长边平方加上最短,两边和平方 开根号。模型二,圆柱从 p 点绕一圈同侧的 q 点或者是起点中点逆侧绕一圈,圆柱展开长方形, 起点中点长为圆柱底面周长高为宽。两点线段最短, 求斜边,依然用勾股两个直角边的平方开根号侧展开 长方形旧点正好在正中。两定点线段最短,求斜边,用勾股两个直角边平方 之合开根号。模型拓展而形问题结合将军引马 拦住木桶,蚂蚁从桶的外壁爬到桶口,再进入内壁,求最短路径定点定点,两定两定移动,将军引马 做一定点对称点连接另一定点焦点为所求 p o 加 o q 就 等于 p 撇 o 加 o q 三点共线折线段最短,求 p 撇 q 斜边用勾股宽为半周, p 撇 q 就 等于直角边 h 一、 平方 开根号问题,正方体零乘二点爬到西撇,有三条路径从前面左右侧面 展开 b 点 c 撇线段最短。二、一、二, 用勾股根号下平方加三平方, 结果根号十三,根号符合最短边加次长边, 因为正方形没有次长边,这已经是最短两边结合,所以结果就为根号十三。模型看题八里面周长六,这里是三,都是八, 所以离上面。如蚂蚁从 a 从外壁爬到内壁的 b, 终点是圆柱展开长方形高收长 a, b 先到容器口,再爬到里面。 两定点移动点均匀吗?找对称点,一撇连另一定点,垂线直角竹斜边 六四五,所以对称过来。五、勾股一撇一,等于根号下六的平方加上九的平方 开根号等于三十六,加八十一,根号一百七 等于三根号十三,最短路径就为三根号十三,蚂蚁爬行问题,长方体最短路径就是用钩骨最短两边合并成一边,最长边轮住。 注意同侧还是异侧,一点在外臂,一点在内臂,在内臂跟外臂的两个点。这个问题会结合 将军营吗?今天的蚂蚁爬行就讲到这里,这样简短的语言描述是否清晰,评论区告诉我。

一号圆柱是由正方体加工而成的,体积是最大的吗?不是最大的,你看还有很多空间,还可以再大一点。 二号圆柱是正方体加工而成的吗?体积最大吗?不是,不是,加工不了这样大的圆柱,它的底面有点太大了,正方体的底面加工不了这个圆柱的底面。 三号圆柱是由正方体加工而成的,体积最大吗? 是的,体积已经最大了。当底面的圆的直径等于正方体的棱长时,底面就会最大。 那高呢?圆柱的体积最大不仅跟底面有关,还和高有高,最大也是等于正方体的棱长。看这个圆正好占满正方体的底面,此时直径等于棱长四,半径等于二。 那么圆柱的高呢?高往上你看,当高等于棱长四时,就是一个最大的圆柱了。
