高一下1～5题立体几何图形画画
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01:21查看AI文稿AI文稿我的朋友你好，今日份画画又忘了录视频，重画了一幅，特意将四个角都向上折出立体感，结果涂色手滑涂错了脑子属实是离线状态，赶紧用高光笔遮盖补救，反倒让画面有点脏脏的感觉， 不过好在成品的立体效果超惊艳，整体很满意，喜欢几何图形的朋友真的可以试试这个画法。
16小花同学画小画
05:22查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学徐老师，这节课我们学习斜二侧画法， 大家先来观察一下这本书，它本身是一个矩形的形状，但是实际上我们观察时呢，它给我们的直观感觉呢，它并不是矩形的形状，它更像一个平行四边形。那这节课我们就学习一下水平放置平面直观图的一个斜二侧画法，如何把我们直观感觉的图形给它画出来。 那我们先来看一下这道题啊。在画平面直观图的时候，在圆图形当中呢，我们需要建立平面直角坐标系，那这里呢， ob 跟 o 的是垂直的，建立一个平面直角坐标系， 那这角 x o y 呢，等于是九十度。那直观图当中呢，我们需要建立一个新的坐标系， x 撇 o 撇 y， 新的坐标系当中呢，要使得这角 x 撇， o 撇， y 撇等于四十五度，或者是一百三十五度， 那么选择四十五建立一个新的坐标系。 圆图形当中呢，在 x 轴上的我仍然保持呢，在 x 撇轴上长度是不变的。那圆图形当中，跟 x 轴平行的仍然保持呢，跟 x 轴平行，它的长度呢，也是不变的，比如说横向的 这个位置关系呢，是不变的， 并且呢长度 它也是不变的。所以这个 o b 呢，在 x 轴上，那新坐标系当中呢，这个 o 撇 b 撇在 x 撇轴上长度是不变的。那在 y 轴上的这个纵向的我们保持呢，它在 y 撇轴上，这个长度呢，要变成原来的一半。 y 轴上的啊，要在 y 撇轴上，这个长度要变成原来的一半。 如果原来跟 y 轴平行的，那保持跟 y 撇轴平行，长度呢，也变成原来的一半。所以这画的时候呢， o 撇得撇在 y 撇轴上，长度呢，变成原来 o 的 长度的一半。完，嘚瑟，一根 x 轴平行，保持跟 x 撇轴平行，这个长度是不变的。我最后把 c 撇 b 撇给它连上啊，连完之后呢，我们把多一部分就给它擦掉，得到这个图形， o 撇 b 撇， c 撇得撇，这个图形就我们所画出的直观图啊。 那么先来看下第二期这个矩形呢，它是水平放置的平面图形的直观图，那给出直观图，我们如何去还原这个圆图形？这个方法呢？还是一样的，那在这里呢，他给出矩形 o 撇 a 撇的长度呢，为六。 o 撇 c 撇，长度呢为二。这个 c 撇得撇，长度呢为二。那我发现呢，这是一个等腰直角三角形，所以这角四十五度，所以这角呢，它也对应是四十五度。那 x 撇 o 撇 y 撇四十五度，那在还原成圆图形时呢，它又变成九十度。 那 o 撇 a 撇在 x 撇上圆图形当中呢，在 x 上这个长度不变的，原来是六，这个仍然是六。 那 o 撇得撇呢？在 y 撇轴上圆图形当中呢，需要在 y 轴上，长度要变成原来的二倍，这是二，二，这是两倍的根号，所以它的长度呢，这里要变成四倍的根号。二，然后 c 撇得撇，跟 x 撇轴平行，这个长度还是不变的， 然后再把 o c 连上，然后这里呢， c 撇 b 撇， c 撇 b 撇跟 x 轴平行，所以这 c 撇 b 撇呢，给延长一下啊，保持跟 x 轴平行，长度不变，所以这面的长度呢，整个的也是六，然后最后再把这个 a b 连上啊， 这样我们得出它的圆图形，那这个长度呢是二，这是两四倍的根号，根据勾股定律呢，我们求出 o c 长度呢，也等于六，所以圆图形呢，它是一个菱形， 那我再来看一下它的面积是多少，那我需要分析一下圆图形跟斜二侧图形它俩面积之间的关系，这个横向长度不变的，说明它的底是不变的。 那么再看高的关系，原来高是 h， 那 在这里呢，把这高呢在里变成 y， 撇轴上长度变成原来一半，这个变成是二分之 h， 然后你二分之 h 呢，再乘以三元四十五度，才变成新图形的高，所以它的高呢，会变成原来的一半，再乘上 三元四十五度。这时候我们会得出直观图的面积与圆图形的面积之比 等于二分之一，乘上三点四十五度，二分之根号等于四分之根号二， 那在这里呢，它直观图的面积呢是二六，是一十二，所以十二呢，比上圆图形的面积等于四分之根号二，那这又根据这关系呢，我们可以算出圆图形面积呢，等于这是四十八，除以根号是二十四倍的根号二， 那这里呢，带单位的啊，比方把单位加上去平方厘米，那当然呢，求这个面积时呢，也可以根据所还原出的图形去求它面积也是可以的。
32高中数学徐老师
12:38查看AI文稿AI文稿立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。
11.6万加数
15:19查看AI文稿AI文稿好，通过立体总结方法这一课，我们来一起学习立体图形的直观图的相关题型。首先我们看第一个题型， 那么关于画这个直观图，我们在讲解知识点的时候，通过画这个正方形的直观图已经总结了啊，那这个地方呢，我们再用斜二次画法来画一下正六边形， 那么对于这个正六边形呢，我们首先要建立坐标系，我们间隙的时候，尽量把更多的点放在坐标轴上，或者说呢让更多的线段在坐标轴上或者跟它平行， 那因为我们在画这个直贯图的时候啊，是由那个两变两不变这个条件的啊，首先我们看一下，画完以后，首先坐标轴我们需要变成 啊，夹角为四十五度啊，这是 o 撇，这是 x 撇 y 撇， 好，那我们看一下，首先我们取这两个点啊， 那这两个点呢，因为它在 x 轴上，所以它的线段的长度是不变的啊，所以我们从 o 到这个点去和原来相等，那这边呢，也和原来相等 好，然后呢就是这些点呢，因为它不在左边轴上，所以它不好取，我们可以取谁呢？我们可以取这个线段，这个线段在外一轴上，这时候呢，我们知道外一轴上线段要取为原来的一半， 那过这个点呢？哎，过这个点与 x 轴平行的这条线， 那平行关系不变，并且长度不变，那这样的话，我们也知道，这里我们可以做一条和原来平行的直线 啊，并且呢它的长度和原来相等啊，那同样的下边这些线呢，和刚才的道理是一样的，所以呢，我们取这个长度为一半的地方做平行线 啊，好，这是这两点。好，那这样呢，我们做完以后，顺次把它们连接起来就可以了。 好，这就是这个正六边形的平面直角图啊，我们发现你看它完全符合我们上课总结的两遍，两遍啊，夹角变了 啊，原来这个与 y 轴平行或在 y 轴上的线段啊，这个 都变为了原来的一半啊，然后其他的平行关系不变啊，你看这些边还是平行啊，这地方呢，因为画的长度的原因，看起来这个是平行啊，这俩呢也是平行。 好，这就是第一个题型复习型啊。第二呢，就是关于平面直角图里边的面积， 那直角图的面积和原来图形面积有关系，因为我们知道它里边这个长度夹角有变化，所以呢，这个三角形面积 和它直观图的面积肯定是不一样，那我们看，原来它是个正方形，边长为 a， 所以 我们看一下一个正三也行， 边长是 a， 那 么它的直观图我们画的话，可以先建立坐标系，我们可以以这个中线为 y 轴，以这个底边为 x 轴。在渐细以后呢，我们做出 x 撇和 y 撇住，这样在原来上面的两个这个点的距离不变，那然后呢，这个要变成原来的一半啊， 所以呢，我们知道，你看这个三角形里边，这个底边长是 a， 是 不变的，那高呢？高，原来这个地方啊，是，这是 a， 这是二分之 a， 那 么这个高是二分之根三 a， 那么看这个呢，这个呢，显然这个不再是高了，因为它和地面不垂直，但是呢，我们知道这个长度是多少呢？它是在外中上，所以变为原来的一半是四分之根三， 那当然并不能说面积变成一半，那又由于这个高，应该怎么做呢？从这里做个垂线 是吧？所以呢，这个角又是四十五度，那我们就知道它们之间有根二 b 的 关系，所以它是高 h， 应该是等于它的二分之根二 b 啊，那也就是八分之根六， 所以呢，这个三角形的面积就是二分之一乘 a， 这是八分之根六乘八分之根六 a 啊，这样一算呢，应该是十六分之六倍的立方啊。好，所以这个面积呢？呃，应该是 d 选项啊，那在这个地方呢，我们可以把这个总结成结论啊，我们 可以把这个结论写一下，因为一个三角形，你看它的底边肯定是不变的，就是高 高呢，有两个变化，一是它本来原来高的长度，在这里它变成了圆的二分之一。那另外呢，那个我们从这个地方做垂线以后，发现新的高和原来的高线它有二分之二的关系 啊，那也就是说，那个现在呢，它的高的变化就是是原来的一个是减小了二减，减小为原来的二分之一。另一个呢，还有一个二分之跟二倍的关系，所以呢，这个直观图列三，三角形 s 撇啊， 应该等于原来的多少倍呢？先乘二分之一，因为底边不变，那高变为二分之一，再乘二分之二，就是四分之根二倍啊 s， 所以 大家可以把这个关系记住啊。 好，那么看同样的这个这个题，这个题是关于它的还原。你像三角形 a 撇， b 撇、 c 撇 啊，是三角形 a b c 的 这款图，那么在这个关系中， a 撇 c 撇，也就是下边的 o 撇 a 是 二，然后 b d 呢？ b 撇 d 和外周平行，那并且它的长度是一点五，那这样我们把它复原，复原呢，首先我们建立直角坐标系 啊，原来呢 o 撇 a， 那 在这里 o 就 其实就是 c 点啊，它的长度是不会变的，每一次它的长度是二，我们假设这个是二 啊，然后呢，呃，这个地方我们要注意的是啊， b d 撇 b d 撇呢，它是 和原来这个这个 y 轴 y 撇轴是平行的啊，那所以它现在在这个三角形中呢，它也是平行啊，那因此呢，这个地方就是垂直了， 那这样的话，我们看只要找到啊，这个地方，这个地地撇点的位置，我们做垂线就可以了，那地撇地撇点是多少呢？ 那这个地方我们看一下，可以知道，在这个三角形中啊，这个 b 撇 d， 因为这个地方和 y 撇中是平行的，所以这个夹角呢，是四十五度 啊，四十五度， 那因此呢，这个三角形中 好，这个地方呢，我们注意在这个三角形中啊，它这个地方是四十五度，那我们看在这里没法求出这个具体的点的 啊位置，所以呢，我们可以取原来啊，这个地方 o d 等于 o d 平啊，因为它和这边的长度保持不变的关系。那然后呢，我们这样做垂垂线， 垂线呢，原来它是一点五，现在呢，我们知道它应该是和原来有二分之一的关系，所以原来这个长度是三，那么这样我们就得到了 b 啊，然后呢，再去连接 bc 和 bc， 我 们就得出了这个三角形啊，这是它的复原图形，那原图形的面积 s 呢？ 那现在就是二分之一乘 o a 的 长，二是不变的，高呢，就变成了这个三，所以它的面积是三。好，这是画复原图， 下面我们再看第三个题型，关于立体图形的直观图的画法。那我们讲知识点的时候呢，画过这个正方体啊，那这个地方呢，让我们画这个 长方体，其实是一样道理，我们这个地方在一块画一下啊，首先呢，我们这个地方要建立左撇细 啊，这是 x 轴， x 撇入啊， y 撇，然后呢，这个地方要画一个 z 轴， 然后呢，长宽高分别是指三，所以呢，我们在 x 轴上取得它的长是三，这个不变 啊，这个长度是三，那我们假设这个地方是 a 点啊，那这一点是 b， 然后它的宽是二，宽是二，我们在外撇轴上取二， 那因为这个地方要变成原来的一半，我们假设是在这取了一啊，这是 d 点， 那这样呢，我们就可以做平行线，因为这个平行有 x 轴，所以它的长度不变也是三啊，做完以后呢，得到了这个点是 c， 那 然后连接 b 好了，那做出这个底面的图形以后，它的高是一点五，高是一点五，我们可以在 z 轴上从 a 点往上去一点五的长度啊，这个是一点五，我们取为 a 一， 那这样的话，我们可以直接用同样道理过 d 点做下面的垂线，也是长度为一点五，那这个就是 d 撇， 按这里做出啊，一点五的长度， c 撇，这里也是垂直，或者要平行于对准啊， b 撇，那这样我们连接 a 撇 啊， b 撇， c 撇， c 撇， d 撇，还有这个就可以了， 那我们做出这个图形以后呢，一般要求用实线啊，去画一下能看到的这些线条啊，那当然正面的这个可以看到， 然后呢侧面这些线呢，都是可以看到的，以及上底面这些都可以看到，那看不到的这些呢，我们用虚线，这样就画成了啊，它的直管图。 好，那么对于这个直管图啊，还有一种就是画圆柱圆锥， 那么首先这个底面圆，我们要注意啊，在画这个的过程中，首先底面圆，一般圆形的啊，对于这样的一个圆形， 我们一般是过它的圆心做两条垂线啊，作为 x 轴和 y 轴，然后呢也是一样去建立一个 直角坐标系，那当然画直观图的时候，它就不是直角啊， 这样我们还是一样，那这两边呢，取的线段长度跟 x 轴上的一样，这 y 轴上呢，要取到一半，所以我们画出来的圆呢，它应该成了一个啊扁的啊，这个椭圆形， 这么也行了，然后呢他要画里面是个圆柱，画出圆以后呢圆柱，首先我们画出啊他的两条母线 啊，然后同样的和下边这个面平行切相同的这么一个圆，然后上面的这一部分呢，那当然这是它的轴啊，上面这一部分呢是一个圆锥， 那圆锥呢，我们直接从这个轴上取一点，然后呢连接两边的这个团点就可以了。 好，这就是这里的这些图形，当然呢我们这些画立体图形啊，他考试的时候一般不会考，但是呢我们要会做图 啊，我们做图的时候呢，一般把握住刚才我们说的这些特点就可以了啊，快速画出这些图。哎，这本节课的主要考点呢？主要就是这个三角形的面积问题啊。
14飞天鱼数学
01:34查看AI文稿AI文稿很多老铁刚学立体几何啊，学不明白，真的不是你空间感差，也不是定力没有背会就是一个原因，图没画好，题就不可能做。对啊，今天我就讲透一个点，想要学好立体几何， 先从好好画图开始。第一，画图一定要画的标准，干净直观，虚线实线分清，平行线画平行，垂直线画垂直，不要随手乱画，图画的越标准，你脑子里的空间结构就越清晰，很多辅助线呢，一眼就能看出来。 第二，不会想象空中图形，那就多画几遍。同一个图形呢，换个角度画，画个视角画，画的多了，空间感自然就练出来了。 别光盯着题目的图看了，自己动手画一遍，理解程度完全是不一样的。第三，我们做证明题的时候呢，一定要边读题边标图，已知的平行、垂直相等线段，那全部在图上标出来，条件标全了，思路呢？自然浮陷， 比你在那空想十分钟都管用。第四，辅助线不会加，先把图完整。那么很多时候呢，不是你不会加，而是你图画的太乱，太潦草，看不到突破口啊。图画的规范了，该练哪里，该做垂线一目了然。 说到底，立体几何几乎没那么玄乎，你把图画标准，然后画清晰，画完整，空间感上来了，定力用活了，步骤也好写了，分数自然就上来了。来一句话，图画对立体几何会有一半。
03:27查看AI文稿AI文稿目前全国各地区的高一同学们都学到了例题，几何，相关的几何体的性质必须要熟练掌握。这道题涉及到了正四棱台，什么是正四棱台呢？ 它的上下两个底面是相似而不全等的正方形，每一个侧面都是等腰梯形。来看这道题， 在正四棱台 abcd a 一 b 一 c 一 d 中， ab 等于三倍的 ab 一 等于六，也就是 ab 等于六。 a 一 b 一 等于二， a a 等于四，也就是测棱长等于四。 说，一只小蚂蚁从点 a 出发，经过棱 b b 一 上的点 p， 到达点 c， 让我们求 ap 加 pc 的 最小值。 同学们来思考一下，点 p 在 什么位置的时候， ap 加 pc 的 核最小呢？不知道假设点 p 在 这个位置，让我们求 ap 加 pc 核的最小值。怎么确定点 p 的 位置呢？我们把正四棱台的侧面展开，同学们请看， 每一个侧面都是等腰梯形，这是正面的展开图，右边还有一个侧面展开以后也是等腰梯形。是这样的， 我们把相应的字母标一下， a b a 一 b 一 c c 一， 要求 ap 加 pc 和的最小值。毫无疑问，两点之间线段最短， 把 a c 它一连。那么 a c 与棱 b b 一 的交点就是点系的位置，如何求 a c 的 长呢？ a b 一 等于三， ab 等于六， 我们由 a 一 b 一 向 ab 分 别做高， 所以呢，这一段是二，这一段也是二。侧棱长 a a 一 等于四。在这个直角三角形当中， 直角边是二，斜边是四，所以呢，这个角就是三十度，这个角是三十度，因此这个角它是六十度。 侧面展开图，它是等腰梯形，这个角是六十度，所以这个角也是六十度，那么这个角也是六十度，因此角 abc， 它就是一百 二十度， ab 等于六， bc 也等于六。所以三角形 abc， 它就是一个 顶角为一百二十度的等腰三角形，顶角为一百二十度的等腰三角形。三边比例关系是一比一，比根号三，所以 a c 等于六倍的根号三，因此 a p 加 p， c 的 最小值就是六倍的根号三。
00:16
03:42查看AI文稿AI文稿三分钟速同一面直线及解决方法在同一个平面中，两直线分为互相平行以及相交。相交又分为互相垂直以及不垂直，这些统称为共面直线。 而在立体几何中，这两条直线出现在两个平面内，它们既不平行也不相交，我们称它们为一面直线， 尤其注意任何这两个字。也就是说，即使两条直线出现在两个平面中，也有可能共面。 假设这条直线和对角线平行，那么这两条实线就互相平行， 他们重新构成了一个新的平面，所以这不是意面直线。同样的两条直线，如果有交点，他也会构成一个新的平面，这也不叫意面直线。综合刚刚讲的两种情况， 判断意面的关键就是看他是否平行相交。只要出现平行或相交的情况，就一定不意面。把刚刚所有的重点整理成一个表格， 额外补充一点，一面直线是也有可能相互垂直的，例如正方体重的这条是垂直于底边，它就垂直于底边。所有的直线，它们只要不平行不相交，就是一面的，它可以垂直。 第一个选项很明显， g h 平行于 m n， 它们一定是共面的。 c 选项中连接 g m 和 h n， 虽然 g h 和 m n 不 直接平行，但是这两个线平行，因为它们俩都平行于这条棱，所以这四个点在同一个平面内，它们是共面直线。 同样方法，我们做题就可以秒出答案。第一个选项中照样的做 q r 的 平行线连接对角线。 ps， 因为是中点，所以 ps 就 平行于这条对角线， 那么 a 选项一定是共面的， b 选项连接这条虚线，也可以判断互相平行， c 选项以后面的这条能长为桥梁。最后一个选项中四个点不共面，因为你没有办法找到图形中有任何平行线，也找不到 ps 或 r q， 可以 相交。 通过 b 选项的另一种方法，我们来学一学洁面，先把这几个点连接起来，如果我们把 p q 直接连接起来，那么会发现左侧它是空出了一部分。 这里的洁面需要我们把补充完整，所以我们从最简单的平行线先思考。 r q 的 平行线是连接，这边是中点 找到 ps 的 平行线以及 sr 的 平行线，所以正方体的截面是一个正六边形。那么今天问题来了，这个多选题你能选出正确的答案 吗？评论区告诉老师，今天内容就到这里，我们下一期再见！
240晔子老师 数学方法
04:59查看AI文稿AI文稿别总让小朋友看电视、玩手机了，不如给他安排一套三 d 几何拼贴画。爱玩拼图游戏的孩子，专注力明显会更集中，立体空间思维也能得到很好锻炼。 相关研究发现，孩子在动手拼拼图的时候，大脑里负责记录空间关系的顶叶区域会变得格外活跃。简单来说，经常玩拼图的孩子，以后遇到图形题、 空间想象力、题目时，理解更快，表现也更优秀。这套拼贴画一共有四个不同主题， 玩法轻松无门槛，孩子按照对应的数字，将精美的图案贴到对应位置，就能完成一副好看的作品。循序渐进的进阶式训练，难度慢慢提升，让孩子越玩越专注，越玩越聪明。 假期不要总是让孩子看电视、玩手机了，给他一套这样的几何拼贴画吧，他可以专注玩很久。材料都是配齐的，不需要剪刀和胶水，每幅图上都有好几十个数字，孩子只要对照数字，就可以直接上手贴，在一撕一贴的过程中，不仅能锻炼手眼协调、 专注力和观察力，还能培养孩子的空间思维能力，每完成一幅图，孩子都能收获满满的成就感。真的很不错，我的拼贴画作品。今天我要拼贴画，选一个吧，就是攻击，我贴的很准。 哇，一百多个贴纸已经完成了这么多了呀，太棒了吧！最后一个了， 攻击就完成啦！ let's do it！ 别总让小朋友看电视、玩手机了，不如给他安排一套三 d 几何拼贴画。爱玩拼图游戏的孩子，专注力明显会更集中，立体空间思维也能得到很好锻炼。 相关研究发现，孩子在动手拼拼图的时候，大脑里负责记录空间关系的顶叶区域会变得格外活跃。简单来说，经常玩拼图的孩子，以后遇到图形题、 空间想象类题目时，理解更快，表现也更优秀。这套拼贴画一共有四个不同主题 玩法轻松无门槛，孩子按照对应的数字，将精美的图案贴到对应位置，就能完成一副好看的作品。 循序渐进的进阶式训练，难度慢慢提升，让孩子越玩越专注，越玩越。这是一款非常适合小朋友玩的三 d 立体几何拼图画，一共有四款主题类型，里面包含了很多种不同的图案， 每一种都非常的精美。孩子在玩的过程中，无形就锻炼了他们的动手能力。自带磨切，好撕又好贴，只需要根据批注的轮廓图、成品图，找到相应的位置，轻轻的一按就能搞定，整个过程特别的简单，完成后满满的成就感。 这是一款非常适合小朋友玩的三 d 立体几何拼图画，一共有四款主题类型，里面包含了很多种不同的图案，每一种都非常的精美。孩子在玩的过程中，无形就锻炼了他们的动手能力。自带膜切，好撕又好贴， 只需要根据批注的轮廓图、成品图，找到相应的位置，轻轻的一按就能搞定，整个过程特别的简单，完成后满满的成就感。 别总让小朋友看电视、玩手机了，不如给他安排一套三 d 几何拼贴画。爱玩拼图游戏的孩子，专注力明显会更集中，立体空间思维也能得到很好锻炼。 相关研究发现，孩子在动手拼拼图的时候，大脑里负责记录空间关系的顶叶区域会变得格外活跃。简单来说，经常玩拼图的孩子，以后遇到图形题、 空间想象类题目时，理解更快，表现也更优秀。这套拼贴画一共有四个不同主题玩法。
04:30查看AI文稿AI文稿功能，活动会凸起三百六十度，活动角长方形会制长方体、正方体、 圆柱体、圆锥不等边三角形，看，等边三角形，还有圆形哦！
0小柯优选
01:28查看AI文稿AI文稿南海区家长啊，这个学期的时间真的非常短，很多学校都在赶，进度赶得飞快。高一的新课现在已经讲到立体几何的八点四节了， 空间点线面啊，立体几何确实非常难，特别考验学生的空间想象能力啊，对学生来说是个不小的挑战。 这周五上课，我就发现了哈，孩子们做这类题目非常的吃力，尤其是那种没有配图的题目，连图都画不出来，根本没法下笔。所以呢，我专门带着学生画了画三能追，三能助、能抬这些图形，然后呢，让他们去求高，求表面积，求体积， 慢慢熟悉这类图形可能会遇到的计算。其实立体几何里呢，会画图真的非常重要啊，可能学校老师时间紧，很少带大家画图，所以刚刚接触立体几何的同学啊，可能看到这些图啊， 试一试自己能不能画出来啊。好吧，除此之外呢，也有个好消息哈，呃，学校里讲完这张就要暂停上新课的，之前一直都在赶进度，接下来正好啊，有时间把前面的知识点复习一下，比如说三角函数向量减、三角形负数等内容啊，好好的巩固一下， 不复习的话呢，很多知识点啊，都掌握不牢，这段时间算是给大家一个喘息的时间了哈。五一之后呢，高一可能就要进行一个统考，南海区大部分的高中都会参加啊，也请啊孩子们自己重视起来。
25佛山数学吴老师
02:34查看AI文稿AI文稿位家长，上周孩子们学线面垂直，结果一，做线面平行的题，脑袋瓜子又空了。别急，今天我再给总结一下。 先说基础概念，线段平行、线平行、四边形、三角形、三角形、中立线平面。会看绘画立体图形这些不懂的去网上查，我只说关键字， 两种长考题怎么解？第一种，正线面平行的题目，没有直接正的，都要转化成线线平行或面面平行。方法一，转化成线线平行 平行四边形对边平行，三角形中位线平行对应一二三号图形就能正线面平行。 方法二，转化成面面平行，两个面平行了，里面任一条线都平行，另一个面对应四号图形，反过来线面平行推线线平行。知道交线和这条线平行就行，不多讲。二种梯形正面面平行， 也没有直接正的，要转化成线线平行或线面平行。方法一，转化成线线平行， 线线平行来两组两组相交线互相平行，对应五号图形，两个面就平行。方法二，转化成线面平行， 线面平行来两组两个相交线分别线面平行对应四号图形，推出面面平行，反过来面面平行推线线平行到交线平行即可。 总结，敲重点，正线面平行，正面面平行，都是转化成另外两种图形， 但我要强调，这些方法听懂了，不等于你会用真正的提升来自自己。死磕死磕。步骤，找一道典型的平行题，不要看答案，不要拍，不要搜。 第一步，判断题目要正什么，下面还是面面。第二步，尝试两种转化路径。 第三步，如果卡住，把已知条件逐条写出，看哪个图形能套上。 第四步，推不下去就换一张纸重画，反复试，直到你用自己的话把整个推导过程讲清楚，画一两个小时完全正常。这道坎谁也替不了你 每死磕一道题，你的逻辑能力就上一个台阶。坚持三次平行问题再无疑惑。从今天开始自己磕。
19数学有旭
