合肥四十二中二模数学几何压轴题
第十题，在矩形当中， e 在 c、 d 边上连接产生一个交点 f， 它说如果角 b a， c b a， c 这个角 等于二倍的角， c， b， e 等于二倍的这个角，然后因为是选择题啊，包括我们平时做题一个重要的技巧，等角设圆，所以二倍角，我们把这里设为 r 法，那上面就是 r 法。 已知数据， a、 b 等于四点五， b， c 等于六，四点五和六有感觉吗？它其实应该是三四五， 是三四五的一点五倍，所以可以先求出一个 a、 c 来。问题求线段 b， e 的 长， b， e 很 明显看到是在一个直角三角形当中，所以我其实只要把 e、 c 求出来，那解题突破口里面看起来最奇怪的条件就是这个二倍角，所以一定要把它用好了。 那在直角三角形当中， a、 b、 c 里面，因为这边是 r， 所以 旁边可以求出来是九十减 r 法。 好，当你看到二二法和九十减二法的时候，要立马能想到，说明这个角其实也是九十减二法， 三角形内角和嘛。所以现在图上我们就正出了有一个等腰， b 等于 a、 f。 好，然后在大伙接下来的初三看到这个图的时候，就会很习惯性的去找一个八字相似，当然限阶段我们可以直接用八字去进行倒角，首先对顶角说明这个角也是九十减二法，然后在这个地方有个内错，所以这角也是九十减二法，所以传递一下， 说明这里也是一个等腰。而我们正好要求 c、 e 这条路就通了，上面的等腰把四点五传递过来，然后我们刚刚求 a， c 等于七点五，所以 c、 f 等于三，那也就是 c、 e 等于三。在三六的情况下，求 b、 e 则一比二比根号五，所以答案是三倍根号五。第十四题，在平行四边形当中，角 b、 a、 d 等于六十度。 好，六十度是一个很特殊的角度，我们讲过六十度的两种妙用，第一个是可以把它放到等边三角形里，第二个是把它放到直角三角形里，自己先做个心理预期。 ab 等于二， bc 等于四 点， e 是 a、 d 边的一个动点好动点问题，以 c、 e 为边向右做了一个正方形。第一问，如果 e、 d 平分角 f e c 平分角 f e c f e c 是 九十度，那 e、 d 如果平分，就说明这个地方是四十五，然后各位，四十五也是特殊角呀。 所以自然而然的我们把这个直角给它补出来，补完以后你就会发现，顺便我们刚刚说的六十度可以放到直角三角形中，其实在这也实现了， 因为这个角就是六十，所以在数据之上啊， ab 等于二， cd 等于二，那现在我们就可以先求出这个是一，这个是根号三， 要求 a、 e。 我 们在图上直接走一个减法， a、 e 等于 a h 减去 e、 h 的 算法。首先前面 a、 d 是 四，然后我后面又补了个一，所以它是五， e、 h。 因为四十五度产生一个等腰直角三角形，所以 e、 h 等于 c、 h 是 根号三，所以第一个答案五减根号三。 第二问，连接 a、 f， 如果 a、 e 等于 e、 f 啊，这地方是一个等腰三角形，求三角形 a、 e、 f 的 面积。三角形面积计算公式，二分之一底乘以高， 所以自然而然地想到过点 f 往下做一个垂直好相等，把它设为 x， 然后注意啊，这个 x 其实是正方形的边长，所以这四条边都是 x。 好，然后接下来那想办法，因为要求 x， 而且还缺这个高怎么办？在正方形当中，当我做了一个垂直的时候，以及再结合这个角是六十度，所以呢，我其实过点 c 也可以往上做一个垂直， 然后这样子在正方形里面会出现一个全等，我们把里面这个叫 m， 外面这个叫 n， 三角形 e， m， f 全等于三角形 c， n， e。 好，然后接下来因为六十度还在，所以在 c， d， n 当中的数据可以出一下，这个边长是二六十度，所以 c， n 等于根号三，那就 d， n 出个一。 好，接下来我们把数据啊，图上能标的都标一标，比如说这个 bc 等于四呢，那 a， d 也是四，所以这个 e d 这一块，那就是四减 x， 然后注意啊，图中因为点比较多，要交错一点，看题目的时候仔细一些，然后接下来你就会发现，其实你想求的关于 x 的 方程已经出现了。放哪里？可以放在三角形 e， n， c 当中， e， n， c 看一下 e， n 的 长度，可以用前面的四减 x， 加上后面这个地方三十六十九十里面求出来的一，所以 e， n 是 五减 x， 然后 c， n 是 根号三， c， e 是 x 嘛， 所以列出方程，五减 x 的 方，加上根号三的方等于 x 的 方，然后好消息，这其实是个一次方程，所以我就可以直接求出来 x 等于二点八。 好，首先第一个解决了底的问题，然后接下来我们再看高高跟谁要跟这个全等要，所以 f m 走全等对应关系，它等于 e n， 而 e n 在 这。我们刚才求的五减 x， 那 把二点八带进去，所以是二点二。 好，那东西都齐全了。 s， 三角形 a， e， f 等于二分之一，底是 x， 高是刚刚求出来的，这个 f m， x 是 二点八， f m 是 二点二。然后在这啊，如果你觉得用小数计算有点麻烦的话，那就建议大家可以改成分数。然后我把两个答案都说一下，算出来的小数答案呢，是三点零八，如果按照分数算的话，它的答案是 二十五分之七十七。 这个题属于四边形，然后全等，还有勾股的一个结合。 第二十三题，在直角三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 c， b 等于九十度， c， d 垂直 a， b， c， d 是 这一个垂直这一个直角，这一个直角 点 e 为 a、 c 边上的中点。中点啊，连接 b， e， 这产生一个交点 f， 它再将三角形 c， f、 e 沿着 a、 c 给它折过去，得到了一个新的三角形。此时恰好有记， e 平行于 c、 d， 恰好有这两条边互相平行。第一问，判断这个四边形 c、 f、 e、 g 的 形状，并说明理由。第一问，这个图还是很可靠的，回答问题是菱形， 然后要想一下想走哪一条判定啊，在这都可以啊。但是因为作为折叠，其实我已经自带的是这样的，边是相等的了，所以由折叠得 三角形 c， g， e 全等于三角形 c， f、 e， 所以 对应边相等。 然后接下来去重点体会一下题目给的这个平行可以接上哪句话？就可以接上角平分线加平行线等腰一定会出现角平分线是什么来的？折叠呀？比如说你就找这两个角吧， 角一等于角二，然后呢，平行以后，角二等于角三，好， 在这补一个全等以后，角一等于角二，然后因为 e g 平行于 c f， 所以 角三等于角二，那串起来角一等于角三，说明这个地方是个等腰，所以 g c 等于 g e。 哎，你看看折叠带来的边相等，再看看我们等要求出来的长度相等，就会发现这四条边全部都串起来了。所以如果你像我这样走的这条路的话，那我们的判定依据就是有四条边相等的四边形是菱形。 第二问，求证 f 是 b e 的 终点，还是那句话，天下没有白给的。第一问，你要看看第一问，证完菱形以后，对证这个地方终点有什么帮助。 如果这样的题你见的比较多，比较习惯了，那其实就知道他应该想考察的是斜边中线的判定。 菱形不就是说明这两条边相等吗？那相当于是一个直角三角形 e c b 被切出了一个等腰，那谁有这个本事？斜边中线可以有，所以 我来正一下，角二等于角四，这个是直接有菱形可以得到的。然后呢，相应的 标个角五，标个角六， 所以因为 f e 等于 f c， 所以 角四等于角二，又因为角六是九十减角四， 角五是九十减角二，那你俩相等，不就说明角六就等于角五，所以可以证明得到这边也是一个等腰。 好，然后把上面这个等腰和这个等腰串一下，发现 f c 可以 作为中间商， 所以就有 f e 等于 f b， 那 言外之意就说明 f 是 b e 的 中点， 三个求 b、 d 比 ad 的 值， 怎么去考虑？考试的时候呢？你可以先拿尺子先让一让，拿尺子让一让，大概能看得出来这个答案啊，不出意外的话应该是一比二， 然后接下来呢？你就有思路，既然一比二，就肯定往终点去靠，所以接下来至少有两个方法，第一个方法天下没有白给的。第二问 f 是 终点要用上的，所以接下来可以这样子去做辅助线 做个垂直。那对接的是什么呢？对接是咱说的平行线间夹中点，八字全等会出现， 则首先 e、 h 平行于 ab， 而且可以证明得到三角形 e、 h、 f 全等于三角形 b、 d、 f 啊，这个判定依据，你走 a a s 或者走 a s a 都可以。好。然后这个全等之后怎么样去？首先第一个把目标的 b、 d 转化成了 e、 h 嘛， 所以 b、 d 比 a、 d 就 变成了 e h 比 a d 了，这不一眼看出来是个中位线平行，再加上题目说 e 是 中点，所以其实求得 h 是 c、 d 的 中点，因为 e 是 a c 中点， e h 平行于 ab， 所以 h 是 cd 中点，那合起来说明 e、 h 是 三角形 a、 c、 d 的 中位线， 所以 e、 h 比 a、 d 等于一比二，然后把这两个式子串起来，可以把 e、 h 换成 b、 d， 那题目要求的答案就出来了。 当然等这个法一写完了以后，你就会发现同样的辅助线，它可以换一个说法，因为你是用中位线作为突破口嘛。那你可以直接说，我就是取 c、 d 的 中点， 取的中点，然后这样中点和中点连接起来，直接变成中位线，然后再加上中位线还平行于第三边，所以这个地方垂直就出来了。好，这是第一种方法。第二个方法 还是以中位线为考量，我们可以过点 e 往这边做垂直。那我这回我就换个说法了，我换成取 a、 d 的 中点 就叫 m， 然后我们连接 em， 上面两个相等搞定了。你要想说明 b、 d 和它是一比二，所以其实说明 b、 d 要跟它俩相等，那在这个图上一看，这底下这不也是一个中位线吗？所以还是要用第二问的。 f 是 b、 e 的 中点， 则 e m 是 三角形 a、 c、 d 的 中位线， 所以 em 平行于 c、 d， 那 换句话说，其实就是 em 平行于 f、 d 了。所以接下来就可以写，因为 f 是 b、 e 中点， 而且 f、 d 平行于 em， 所以 中位线的判定证明得到 d 是 b m 的 中点， 所以 b、 d 等于 dm， 而上面 m 是 a、 d 的 中点，就等于 am 等于二分之一个 a、 d， 所以 b、 d 比 a、 d 等于二分之一。好，这个题是讲完了，但是其实我可以跟大家先预告一下，像这个图在初三也是可以出现的， 首先条件当中直角三角形，再做一个直角就可以触发射影定律。然后再者，现在啊，通过做的这些平移线做的中位线，那么到了初三，它其实是个一比二的相似，所以答案一比二。
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21:16查看AI文稿AI文稿大家好，我们来看一下这样一道题，这道题是咱们最近合肥二模的啊，解答题都是个十八题， 呃，这道题的话，难度是属于中等的，大家努努力是完全是可以拿到满分的。 好，我们来看题，第一个在面积为三倍根号三的梯形 a、 b、 c、 d 中啊，它的面积是三倍根号三， a、 d 等于两倍的 ab， a、 d 等于两倍的 ab 等于两倍的 bc， 一 比一比二的关系 好， bc 是 平行 a、 d 的 好， e 是 a、 d 的 中点啊，那既然 e 是 a、 d 的 中点的话，那这个，这个，这些这四条线的长度应该都是啊一样的， 那么将 a、 b、 e， a、 b， e 这样沿着 b、 e 给它翻折到这个 a、 e、 b 这个三角形上来。 ok， 我 们来看一下啊，这个地方我们比较核心的条件其实就是这个长度关系啊，长度关系加上这个翻折起来的，我们这个翻折前后的话，这个长度应该是保持不变的，就这个应该是等于这个的， 然后 a、 e 应该是等于 a、 e 的 啊，然后我们这里面这些长度啊，是相同的， 在梯形中啊，我们如果遇到这些长度相同的话，我们会很容易去想的，如果我们去连接这个 c、 e 的 话，那我们立马就能得到一个菱形，菱形一，二菱形 好，那么这个题目还给了一个面积三倍根号三，这个到时候怎么用呢？面积的话啊，我们梯形面积可能想到是呃底乘以高除以二，对吧？但是这个地方我们可以看一下，其实这里 这里面把这个梯形分成三个三角形，三角三角形，那么这三个三角形的面积其实应该是一样的，其实应该是一样的，因为这边啊是菱形嘛，对角线平飞，他俩面积一样， 然后他俩呢？他俩是底是一样的，高是一样的，那么这三个面积是一样的， 所以每个面积应该都是这个根号三，根号三。 ok， 这个是咱们读完题之后啊，读完题之后应有的一些想法，我们来看一下能不能用到这个题目之中。首先我们来看第一道题， 第一道题让你去证明 a a e a e 垂直于 a e c a e c， 证明这里看能不能是垂直的，那么跟垂直有关，因为我们这里有菱形啊，我们有菱形，那么我们很容易去想到， 我们很容易去想到去连接它的对角线，因为有对角线的话，它就会有这个呃，垂直的情况发生嘛？ 好，假设连起来，这个是 o 点啊，连 a c 交 b e 与 o 点， 然后我们这个 c e 也是连起来的，那就再连一下 c e 了啊，我们这里很容易得到，我们这个 a c 是 垂直于这个 a c 是 垂直 b e 的， a c 垂直 b e 的， 那么并且的话， a o 是 等于这个 o c 的， a o 等于 o c， 那 因为啊，因为是翻折过来的，因为翻折过来的话，那么 a o 的 话，应该会等于这个 a e o a o 应该会等于这个 a e o 的， 也就是说由翻折可知， 这个 a o 是 等于 a o 的， 嗯，那再由于下面这个是个菱形了， 那菱形的话，我这个 a o 还是可以等于这个 o c 的， a o 等于 o c， 那 也就是因为，那也就是 a e o， 对 吧？是等于二分之一个 a c 的， 那这个其实就已经可以去证明这个 a、 a、 e 是 垂直于这个 a、 e、 c 的， 因为我们知道直角三角形，直角三角形啊， 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，斜边的中线等于斜边的一半，那么这个定力逆过来也是正确的逆过来啊，如果中线三角形的中线等于这个他这个对边的这个一半的话，那这个三角形就一定是直角三角形。 其实我们可以通过画圆来证明画圆，我们过这个 o 点做这个圆啊，这只是补充一下啊，我们实际用的时候就直接用就可以了。 ok， 那 你因为这个 o 点就是外心啊，三角形 a、 b、 c 的 外心，那么这个 a、 b、 c 都在这个圆上，并且 b、 c 是 直径，那直径所对的圆周角呢？就是这个九十度啊。 ok， 这样我们第一题能证明出来啊。 好，第二题我们来看一下。第二题说 a、 c、 a、 c 等于两倍的 a， a 一， a、 c 等于两倍的 a a 一， 我们来看一下 a、 c 等于两倍的 a 等于二倍根号三，二倍根号三呢？我们把长度标一标啊，那我们 a、 a 一 就是根号三， a、 c 是 二倍根号三，那这个，那这个一半都是根号三，都是根号三。好，那我们还能得到什么呢？我们好像其他的都得不到了，对吧？ 第一个问的是平面啊，平面 a、 e、 b、 c 与这个 a、 e、 c、 d 是 形成的夹角，那这个问的是面面夹角了， 那我们应该是想着去啊，间隙，应该想着去间隙啊，那我们细的话啊，这里比较明显这个 o 点，因为这里是垂直的，我们希望这个是 x 轴，这个是这个 y 轴，那我们 z 轴怎么办呢？ z 轴看上去只能竖直，是不是只能竖直向上去，这样去间隙啊？ 那么我们现在想一想啊，我们缺什么？我们缺什么？因为我们接下来是要找这些点的坐标， a， e， b 啊， c 啊 d 的 坐标， 其实我们会发现下面 c 点好办，但是这个 b 点不太好办，这个 b 点，因为 b 点这个长度 b、 o 的 长度我们还没有求出来，那这里该怎么办呢？ 请注意，我们题目中刚才讲了，我们有这个梯形面积是三倍根号三这样一个信息啊，那么其实我们可以得到这个 a e， b 的 a e， b 的 这个呃，面积应该就是根号三了。 那 a、 b 是 等于 a 一 的， a， b 是 等于 a、 e 的， 那么 a、 o 其实是呃，我们就可以通过这个 b e 乘以 a o 除以二，是不是能算出这个 b， e 的 这个长度啊？ ok， 那 么这里我们写一下啊。呃，这个， 这个该怎么写？由 e 为 a d 的 中点啊，我们这个长度先把它正好啊。 e 是 a、 d 的 中点， 那么且 a、 b e， a， b c， e 为菱形，可知 s 三角形 a， b、 e 的 面积是等于，呃，三分之一个 s t 型 t 型 a， b， c、 d 等于根号三的，等于三分之一乘以三倍根号三，你写一下吧， 那也是等于二分之一个 b， e 去乘以这个 a o 的 b， e 乘以 a o， a o 是 等于 a、 c 的 一半嘛？ 二分之一个 b， e 乘以二分之一个 a， c 啊，二分之一个 a c， 那 么 a、 c 长度是知道的，这个可以推出来， b、 e 的 长度其实应该是等于二二乘以根号三，再除以二，所以这个面积就是根号三， 那么我们接下来这个长度搞定了啊，长度搞定了二， 那么这个长度是二的话，其实我们可以发现，因为，呃，这个和这个现在长度是一样了，这个和这个长度其实也是一样的，所以这里其实是一个正三角形， 那么正三角形你要呃求 a 一 点坐标的话，那是比较简单，我们做垂直，做垂直下来就可以了，对不对？ ok， 那 么这些点坐标其实啊就好搞了啊，我们 b 的 长度是二呢，这个是一，这个是一，这个是不是都是二？ 好，那我们就是说以 o 为圆点。 呃，这个地方大家考试的时候自己去写一下啊，我这里就简单一点了，如图间隙， 这里节省时间，我写简单一点，大家考试的时候要去写一下，那么我们这个时候来写坐标了，接下来就是坐标的事情了，有哪些点？有 a 一、 a 一 的坐标，我们向下做垂直，向下做垂，它的横坐标肯定是零，那竖坐标是这个，这个长度不是负的二分之根号三， 也是负的二分之根号三，这个 a 一 的这个数坐标啊，这个是纵坐标数坐标的话应该是二分之根号二分之三吧，二分之根号三乘以根号三。 好， b 点坐标一零零一零零，那个 c 点坐标的话是零，根号三零 d 点坐标 d 点坐标的话，横坐标是负二横坐标啊，横坐标是 d、 c 长度的这个相反数，纵坐标是根号三，竖坐标是零啊。 ok， 那 么接下来就是去求个法向量的问题啊，那这个地方我给大家省略一下，大家可以刻下自己去求一下 a、 e、 b、 c 的 法向量，我们求出来结果是啊，假设是 n 一 是根号三， e 根号三， 这个还有一个是 a、 e、 c、 d 的 这个法向量 n 二是等于这个零一根号三的啊，那这个时候我们那个夹角的余弦值啊，夹角余弦值肯定是我们要正的啊，就等于这个， 这个大家算一下是等于七分之二倍，很好奇的大家，这里啊，这里的步骤，大家课下可以自己去练习一下啊，这里 求法向量的过程啊，自己去练习一下啊。 好，我们来看第三个问啊， 那第三个问的话，它题目告诉我们 b e 是 等于 a a 一 的，那现在没有这个没有第二题的条件了啊，第二题的条件就不存在了。 ok， 那 我把这个长度这个给它擦掉啊， 这是第一第二题的长度啊，那么我们现在这个是，呃，是用不上的。 b e， b e 等于 a， a 一 看一下 b e 等于 a a 一， 它们就是长度关系，问的是体积的最大值， 哎，我们底面积不是固定的吗？底面积是固定的，其实是不是就是问高的最大值？那我们过 a 一， 过 a 一 点，做 a o 的 垂线， 过 a 一 做 a o 的 垂线啊，交到这个位置 abcdef， 对 吧？那么这个 aef 其实是垂直于这个底面的，垂直于底面的 呃，因为我们这里是可以去证明这个，呃， a e， a c 是 垂直于这个底面的嘛，这个是比较容易证明的，因为有这个对角线垂直嘛。好， 那么我们再来看一下，我们其实只需要去求出这个 a e、 f 的 这个，呃， a f 的 这个最大值就可以了， 我们来看看这个长度啊， b 等于 a a 一， 我们把这个长度细化一下，我们假设 b 一 的长度是二 x， 这是 x， 这是 x， 这个就是二 x， 那么我们根据面积啊，我们是不是还可以求出这个 a o 和 a e o 的 长度， a a o 跟 a e o 的 长度仍然还是相同的嘛。呃，那这里啊，我们写一下这个三角形的面积 仍然是等于二分之一个 b e 乘以 b e 乘以 a o 的。 好，我这里设啊，设 b e 的 长度是二 x， 二分之一个 b e 乘以 a o， 也就是 x 乘以 a o 等于这个是因为这个面积啊，还是等于三分之一个梯形的面积？就等于这个根号三，这个解出来， a o 是 x 分 之根号三 x 分 之根号三啊， 好，那么我们再来看一下，我们把这个三角形啊，给它画出来啊，这个这个三角形 长这个样子的， a o a e， 呃，这个长度是二 x， 这个长度是二 x， 然后这个下面写的是根号三比 x， 根号三比 x 啊， 那我们要关键求的是这个这个长度 a f 这个长度 a e f 这个长度，那么我们可以想到用这个等面积法来求这个 a f 啊， a e f， 那 么 我们这个面积的话，底乘以高除以二，还可以是二分之一个 a b sin c 嘛，那么我们呃，最好是求一下 sin 这个角吧， sin 这个角，那我们这里做垂直， 因为是等腰三角形，等腰三角形过 o 点做这个 a a e 的 垂线， a b c d e f g 啊， 做这个垂线之后，这个，呃，这个角啊，这个 c 叉，这个角是 c 叉啊，然后这个长是 x， 这个长是 x， 那 么这个时候我们过程啊，省略一点啊。 sine c 叉是等于， 就是 a g 比上 a o a g 比上 a o 等于 x 比上根号三 x 根号三比，所以是根号三分之 x 的 平方， 那么这个 cosine theta 就 会等于一减它的平方开根号，那我们的 sine 角 a e o a 是 不就等于 sine 二 theta， 那 就等于两倍的 cosine， 这个咱们化简一下，是三分之二 x 的 平方，根号下一减，呃，根号三，三减 x 的 四次方。 好，这个是 sine 这个大直角，那 a e f 不 就出来了吗？ a e f 应该是等于 a e o 乘以 sine 角 a e o a， 这个是 x， 根号三，这个是三分之二 x 的 平方。三减 x 四次方，这个是等于三分之二倍。根号三 x 三减 x 的 四次方。 我们要求七个最大值，很显然是要构造这个方，构造这个函数啊，我们把这个 x 送进去， 就变成了三 x 平方减 x 的 这个六次方的六次方。那我们啊，方便一点，我们令 x 的 平方是等于 t 的， 这个 t 是 大于等于零 啊。然后 g t x g t 就是 三 t 减掉 t 的 这个三次方，我们求这个 g t 的 最大值，那就 g 撇 t 三减三 t 的 平方 啊，就这样，那这里都是正的。那啊，这个地方穿根图就是一减 t 的 这个穿根图， 先增后减，所以啊，这地方当 t 等于一时，当 t 等于一时的话， g t 呃取最大值， 当 t 等于一的时候， gt。 取最大值，那么 gt 这个最大值是多少呢？ g 一 g 一 的话是二嘛， 那也就是说 a e f 的 这个最大值，它就等于三分之二倍根号三，再乘以这个根号二，也就是三分之二倍根号六。 那整个体积的这个最大值为这个 a、 a、 b、 c、 d 的 最大值是三分之一个 a， 三分之一个这个高乘以底面积，这个底面积是题目给的是三倍根号三， 也就是三分之一乘以三分之二倍根号六，再乘以三倍根号三，这个大家来算一下，是二倍这个根号二，这样我们就把这个题给它呃，解出来了啊。 呃，当然我在中间省略了一些步骤啊，省略一些步骤，大家可以去补充一下，大家可以补充一下。 ok， 那 这道题咱们就讲到这。
599一杨懂数学
14:11查看AI文稿AI文稿第十六题，这是一道非常经典的题目，在矩形 a， b、 c 当中，点 e 是 d c 边上的一个点，满足角 a c d a c d 等于二倍的角 c， a e 等于二倍的角 c， a e 等于二 r 法，所以这个角是二 r 法。那这边我们标 r 法。接下来点 f 还有点 g， 分 别是 a， c 和 a e 上的一个点，而且满足角 af g， af g， af g 等于二倍的角 c， d， f， 那 这个角我们标 b， 它，这就标二倍它，而且 a d 等于 af 好， a d 等于 af 这个地方有一个等腰， 因为如果 alpha 等于二十五度，让我去求角 a f g 的 度数，角 a f g 就是 求 b 它的度数。然后呢，我们现在这个图上，嗯，除了 a、 d 等于 af 没有标注图，其他的应该都标注出来了。 那 a、 d 等于 af， 在 这可以带来什么？嗯，等腰，所以这个角可以标九十减贝塔，那相应的等腰嘛？所以这个角也是九十减贝塔，而九十减贝塔在图上我们看出来有一个外角， 所以九十减贝塔等于外角的话，就是贝塔加阿尔法 得到一个很好看的式子， alpha 加二倍，它等于九十。第一问，所以它告诉我 alpha 等于二十五的时候，我直接代入可以求出 beta 角 a f g a f g 在 图上是二倍，它等于四十。第二问，如果 f g 等于二， c f 等于一，让我们去求 bc 的 长。首先注意到，我们刚刚在用阿尔法加二倍，它等于九十的时候是跟着大题干走的，所以说明这个条件还在。 然后以及题目中 a、 d 等于 a、 f 要求的 bc 都是同一个长度，所以呢，我们把它都设为 x， 然后一个未知数需要一个方程嘛？现在很奇怪的就是这些东西怎么样给它拼凑到一起呢？ 这个时候触发的是奇奇怪怪，构造出来阿尔法加二倍，它等于九十，这么好的条件我还没有用上，所以可以怎么用？受这个二的启发， 我如果把这个二向上延长，并且在这里构造一个直角，那不就可以得到二贝塔加阿尔法等于九十了吗？ 把二向上延长， 然后在这里做一个直角， 因为阿尔法加二，贝塔等于九十，所以我就可以标出来这个角是阿尔法。然后现在看看图上有没有什么进展。 有一个因为我们发现这个 a f m 三角形和 b c a 这个三角形是全等的， 首先大家都是九十啊，这个因为是填空题，所以全等。我简单写一下，首先大家都是直角三角形，我做了一个九十，而角 b 自己是九十， 然后题目给的 a f 等于 b c， 然后再者我上面构造一个阿尔法，然后原来的图当中这里走一个内错，这不也是阿尔法吗？ 所以得到三角形 a b c 全等于三角形 m a f 分解一至 a s。 好， 然后看看全等给我们带来了什么。首先 a c 在 图上是 x 加一，那所以 m f 也是 x 加一， 那这样子这个二发挥一下作用，就得到 m g x 加一减去二，那就是 x 减一。 然后在现在这个图上要求 x 的 长，大伙应该十有八九会想到往勾股定里去。靠，那现在我还缺一个 am 的 长 am 通过全等呢。我知道是等于 ab， 那 可是这个 ab 该怎么表达呢？ amf 这个地方看着很像啊，在上面出现了一个等腰三角形，那我们看我们能不能把它正出来， 比如说，因为下面这个角是二法，所以我可以求出这个角是九十减二法。哎，然后我发现不得了了，当一个三角形当中，一个角是二二法，一个角是九十减二法，我通过内角和自然而然就可以求出来这个角也是九十减二法呀， 一百八减，九十减二法，再减个二法，减出来就是它。好，那所以意外之喜。 因为角 m a， g 等于角， m g， a 等于九十减二法，所以 m a 等于 m g 等于 x 减一， 那么在这个三角形当中，现在三条边就齐了。所以因为 am 方加上 af 方等于 m f 方， 所以 x 减一的方加上 x 方等于 x 加一，括号的方 解出来， x 一 等于零， x 二等于四，那零肯定是要舍去的，所以 b c 的 长， x 等于四。 这道题当年考的时候还是难住了很多人的，只是现在回头再看，比较麻烦的就是，怎么能想到这个图形是这样构造的呢？所以抓住我们平时讲的奇奇怪怪构造出来。我好不容易发现阿尔法加二，贝塔等于九十，所以我们就把这个条件构造出来， 然后下一步去证个全等，再结合一个勾股定律。第二十二题，折叠问题。在四边形当中， e 是 a， d 边的一个点，连接 b， e， 把三角形 a， b， e 沿着 b e 折下来，点 a 的 对应点是 f， 如图一，当四边形是正方形的时候，点 f 恰好落在对角线上，连接 a f 并延长交于点记，然后让我去求角 d g a 的 度数 d g a 这一画出来，这是个内错吧。然后 ab 又等于 b f 恰好落到对角线上，那不就这个角是四十五度，走一个等腰？好。第一问还是比较简单的，因为 b a 等于 b f， 所以 角一等于角二等于六十七点五度。然后再来，因为 ab 平行于 c d， 所以 角三等于角一等于六十七点五度， 就是要求的这个角 d j a 等于六十七点五度。好，这第一问明显是送分的。 第二问如图二，把它从正方形变成了矩形点， f 恰好落在了 a b 的 垂直平分线 m n 上。然后接下来在这个图中，他让我去求证 f o 等于二倍的 m o。 嗯，其实这个题不知道大伙对于这个折叠有没有感觉啊？如果我没有记错了，他应该是数学活动中用 a 四纸去折一个等边三角形的方法。第一步是产生一个对折的折痕 m n。 第二步是把 a 落到 f 上，那这样三角形 a b f 就是 一个等边三角形。 所以在这个知识之上，我先把 a f 连接起来，因为 m a 是 垂直平分线，所以 f a 等于 f b。 然后又因为折叠 f b 等于 ab， 所以 我们现在得到三条边相等，然后接下来要证 f o 等于二倍的 m o。 这学期呢，我们可以想到一个知识点，叫三十度角所对直角边等于斜边的一半， 然后在咱这个图上都已经正了等边了，那肯定是不缺三十度的。比如说，呃，走 fm 这个地方的三线合一，你就可以由角一等于角二等于三十度， 然后折叠前后角相等，那其实角三等于角四也是三十度呀。好，第一个垂直平分线，所以三角形 b o m 就是 我们说的那个三十度角所在直角边等于斜边一半， 因为角 o m b 等于九十，所以 b o 等于二倍的 m o。 而又因为这些，把数据一串，说明角二等于角四，所以 b o 等于 f o。 最后我们把这两个等量关系串一下，所以 f o 等于二倍的 m o， 你 就挣出来了。 第三问，嗯，题目这个图形大概的发展趋势是，第一问是正方形，然后第二问呢，把它变成一个长方形，然后第三问呢，再给它退化成一个普通的平四。 a， b， c， d 是 一个平四，而且 b c 等于二倍的 ab 等于八啊，其实也不是普通的平四， 因为这个地方有一个一比二，然后呢，它是把 a 折到 f 这里，所以其实 b f 也是四，这个地方也是四，而且角 a， b c 等于六十度。 那么在读条件的时候，我们就会发现，这个图是可以切割成左右两个菱形的，而且它还是很特殊的菱形，是有一个角是六十的菱形。那读到这对题目就可以有大概的预判了。点 p 是 ab 边上的一个点，它要连接 dp、 pdf 和 df， 然后要求 df 的 值。 嗯，现在看，感觉这个好像没有点 p 也没关系哦，因为 f 是 a 落下来的，它求的是 df 嘛。 好，首先跟着我们的思路走，先把这个菱形给它正出来。因为折叠前后相等，所以 a b 等于 b， f， a e 等于 e， f 是 已经存在的， a b， e 全等于 f， b e 这个全呢，不需要判定依据，因为它是折叠带来的， 所以 ab 等于 b， f， a， e 等于 e， f， 然后接下来是因为它给了我一个平行。那这个时候我们就出发的一个知识点是角平分线加平行线。等腰一定会出现这个角角一，这个角角二，这个角角三。 因为角一等于角三，折叠带来的，角二等于角三是平行带来的， 所以角一等于角二。哎，那这样等腰出场，所以 a、 b 等于 a、 e， 然后由折叠带来的已经我们现在等腰正得了，但四条边全部都串起来，所以左边就是个菱形。好，那菱形以后，这个四就可以扩散过去，那这个地方也是四， 所以呢？右半边这个四本来就是自带的，然后因为总长是八八减一下，这也是四，所以这其实它也是个菱形啊。然后接下来我们理一下怎么去求这个 df 的 长，这不答案就在眼前嘛，因为这是个一百二十度的菱形啊， 角 a、 b、 c 等于六十，传递过来得到角 b、 c、 d 等于一百二。所以这个题如果是填空题的话，出答案就很快。因为我们大家背过一百二十度的等腰三，角形是一比一比根号三，那是因为它是个解答题啊，所以我们稍微写一写， 然后接下来经过计算。嗯，那个详细过程我就不写了。又因为 c、 f 等于 f， e 等于 e， d 等于 dc 等于四啊，这边的数据是可以全部都算出来的，所以 e、 f、 c、 d 也是个菱形。然后接下来因为 ab 平行于 cd， 所以 同旁内角互补， 又因为其中一个角， 所以求得角 b、 c、 d 等于一百二， 然后这个一百二，大家的一比一比根号三呢？呃，因为课本上没有，所以也不能直接使用，建议大家去正一下。那这个求法就比较多，比如说你可以过点 c， 或者是连接 c e， 连接 c e， 然后直接走菱形的对角线，互相垂直平分就可以出数据了。 或者一百二十度。不还有一种用法是因为它的隔壁是六十嘛，所以呢，也可以这样做。垂直， 那这边用三十度角所对直角边等于斜边的一半，这里出个二，这里出个二根三，然后最后求 df 走一个大勾股。两种方法都可以啊，然后到这代入数据计算一下，这里是六，这是二根三，最后算出来是四倍根号三。 小豌豆来看，其实这个题，嗯，确实也不算难啊， 他应该是出题人没有舍得发挥，不然的话这个点屁在这啊，感觉跟题目没什么关系。
38数理化英加油站
05:22查看AI文稿AI文稿这道题我相信绝大多数同学都是蒙圈的，特别是针对第三小问，你看了作业帮的答案之后，你依然是蒙圈的，那杨老师教一种方法帮助大家去秒，包括为什么要想到这种方法，为什么可以想到这种方法？它的出发点是什么？ 那少部分同学在第二问当中也会卡，但是看过杨老师上一个视频的同学，第二问应该就能够轻松解决了。但是第三问还是要我们利用这个视频来解决一下，在正方形 a、 b、 c、 d 当中， a、 b 的 长等于几？是不是等于二的？ 然后呢？ e 是 c、 d 上的一个动点， e 是 c、 d 上的一个动点，连接 a、 e 交 b、 d 与点 f， 然后过点 f 做他的一个垂线，一边读题一边标，因为我们做几何的第一步就是标，把条件一定要标全了。然后第一小问，他让我们证明 a f 等于 f， g 又是老生常谈的问题了，可以向下做垂线 对不对？可以向这边做垂线构造，什么垂直构造全等对不对？那还有其他方法啊，你比如说你这个是不是也可以？我们四十五中的月考是不是也遇到了什么类型的题？都是老生常谈的题，知道吧？ 好，那第二问，他说过点 g 作 h， g 垂直于它，对不对？然后探索 b、 d 与 f、 h 的 关系。那杨老师在上一个视频当中是不是也讲到了这个类型的题，对不对？跟这个是很像的，那你要能够很快速的根据这个边等于这个边没有无缘无故的。第一问，哦， 这个边是等于这个边的，然后这个地方是直角，这个地方是直角，那你很快速的想到过他做他一个垂线延长到 c 这个地方，那是不是就能出现了？一线三垂直， 一线三垂直，这个地方是垂直，这个地方垂直，从而我就能得到这个三角形跟这个三角形是不是就全等的啦？全等的，那我假设这个点是 o 点， 那我们是不是就能得到这个 h f？ 它是等于这个 a o d 是 不是等于二分之一 a d， 那 b d 等于二分之一 b d， 那 我们第二小问是不是就拿下来了，对不对？那这个是不是考了一个什么胰腺肽垂直的一个模型？胰腺肽垂直，这个垂直，这个垂直，还有这个垂直程度稍微好一点，同学应该都难不住的。好，那第三问 难度就加大了。但是如果你能继续按照杨老师之前讲的做几何题的思路，延续前一问的思想，你就可以去把这道题去构思出来了。如果按照作业帮的那个方法，或者按照参考答案那个方法， 基本上把这道题做出来是很难很难的。好吧，那我们来看一下他让我求三角形 c e g 的 什么 c e g 的 周长，每个点怎么来的，要非常的清楚。 好，那根据前面两问，我们是不是知道这段长跟这段长相等，那这段长跟这段长相等的话，那如果我连接一下 ag， 我 第一步是不是延续了前面两问的思想， 是不是用到了这个跟这个相等？包括第二问是不是也用到了第一问的这个小结论？所以我们做压轴题，不要忘了前面证明出来的结论， 那我一连的话，你们告诉杨老师这个是多少度？是不是四十五度？好，那这个是四十五度，这个是不是九十度？我们出现了什么模型？半角模型，半角模型我们怎么去处理？我们是不是把这个 三角形可以旋转到那边来？旋转到这边来，是不是？那我们在交待辅助线的时候呢？我们不说旋转，我们可以说延长， 延长它使得这个等于哪个呢？使得这段长等于 b g， 可不可以加 e f g h， 假设这个是 m 点。好，那我们是不是很容易得到这个三角形跟这个三角形全等？那通过半角模型旋转，那这个三角形 他跟这个三角形是不是也是全等的？所以这条边就转化到这条边这个地方来了，对不对？那这个时候这个三角形的周长，它就等于什么？三角形周长，原本它是等于 g e 加上一个 g c， 再加上一个 c e， 对 不对？那现在我是不是可以写成了，它是等于一个 m e 加上一个 c e， 再加上一个什么 c g 的， 没有问题吧？好，那 m e 我 可以继续拆一下，它是不是等于 md， 加上一个 d e， 再加上一个 c e 加上一个 c g， 就是 这段长，它是可以拆成这段，加这段，再加这段，再加这段。好，现在我可以把这个调到这边来。哎，那你会发现是不是就是这两个边长之合， 所以它实际上就等于 b c 加上一个 c d， 那 就等于多少？是不是就等于四？哎，你看这种方法是去做，是不是就可以把它轻松拿下了？涉及到没有无缘无故的第一问，涉及到半角模型旋转的方法去处理，然后涉及到 三角形的周长边的转化，所以这道题的难度还是挺大的，把你的同学可以写一写，一起加油！
17:34查看AI文稿AI文稿很多同学基础题不失分，为独压轴题，频频丢分。二零二五年安徽省几何压轴大题来了，专项精讲每一个环节，找准破题关键点，干货满满，赶紧收藏！首先呢，他给了个正方形，他说 e 呢，是在边长上，然后呢， b， e 是 a， a 一 撇的中垂线，这条线它是它的中垂线， 也就说这两个圈还相等吧。 ok， 来，中垂线咋用？来？首先第一个点，你看到中垂线了，中垂线到底咋用呢？ 看到钟垂线，要想着干嘛？看到钟垂线，那我肯定想着干嘛。给他连等腰，找等腰， ok， 给他连等腰，或者说找等腰，等腰能不能找着，同样非常清楚呀？我知道钟垂线上的点到线段两端的距离是相等的。那么第一问呢，他给了这是一，那他是不是也是一？ 那？同理哎， b 到 a 和 a 一 撇的距离也是相等的，这个叉也是这个叉， ok， 哎，标到这里，得到了两组等线，其实给了什么？你看，除了等线之外，得到了两组等线，再加上公共边，其实给了什么？其实给了一组全等吧，这两个三角形，它俩是全等的，有问题没？ 一和一相等，叉和叉相等，加上公共边，得到它俩是全等的。好，拿到全等，我要去同步信息，仔细看啊，来，同步信息，那么它是直角的话，它也是直角呗， 唯一能同的就是它了，我先给它标上。标完之后呢，第一位，让我去求 ab 的 长，让我去求正方形的边长， 求边长的话，那就，哎，它能求，它能求，这条边也能求。来，选谁？我们选哪条边？我来理一下这个思路啊，仔细听。首先呢，拿到题之后给了个正方形， 然后呢，给了个动点，紧接着呢？他说，哎，这条线是这条线的中垂线，中垂线，我就要想到，干嘛中垂线？这里的辅助线意识是连等腰找等腰。哎，连等腰找等腰的话，他俩相等呗。等腰他俩也相等，等腰 得到这么多的等量， a i， 我 其实能够推出来紫的和红的这两个象形，它俩是全等的。 ok， 拿到全等之后，直角也过来了。 ok， 好， 再来。走到这里梳理完了，那我回到我的主线，我要求的是正方形的边长，求边长的话，他他他都行。 ok， 那 你想求谁？ 标到这里，我肯定要从已知出发呀。已知就给了一段 e， 我 要求边长，那我只需要把 d e 这一段求出来不就完事了？ ok， 来，走到这里，我接下来的方向是去求 d e 这条边。好，求线断长又要干啥了？来，明确了，我要求 d e 这条边。那么接下来呢？哎，求线断长又要干啥了？一个字要干嘛？ 求线断长？一个字还是给他？还是给他放上一轮刚强调的啊？在任何题目里面先放，先放。在任何题目里面求线断长，一定是先放， 我不能孤零零的看这一条线段，我得给他放到图形里面去看。 ok， 先放，放头往哪放来？已知都集中在哪里？一在这里，直角在这里，我的所求在这里，那你说能不选它吗？ 这个三角形能不选吗？我是不是只能选它了？已知所求都放这了，那都标在这了，直角只知道一条边，也求不了呀。还有一个关键信息，正方形里面要记得标什么？标四十五度呀， 正方形对角线要标四十五度，咋想到的呢？来，仔细听啊，仔细听。放这一步，放完之后，在这个图形里面，直角只知道一条边，求不了，还差角的信息。 边我能标的都标了，我接下来只能去看角了。看角的话，这是直角，这是多少度？这是对角线分出来的，这是四十五度， ok， 所以 说我接下来所有标的这个都是有方向的。不是说，哎，我试着这个能不能标，那个能不能标？图形已知所求，放一起之后，我要在这个蓝色的直角三角形边求线多长， 直角值到一，求不了，还差什么？条件？边我能标的都标了，接下来只差角了。差角的话，能标谁？只能标四十五度，四十五度，一标，哎，一，一根号二结束。 那如果说做的时候卡在这里，是忽略了什么？已知所求，我往一起放，这一步能够想到，接下来，哎，我卡住了，我到底朝着哪个方向去标呢？ 通常来说，我们边你都是非常容易注意到的，你说这，这是个一，这个一你肯定能标上，但是这个角不一定能标出来，所以说边标完了，一定要注意去标角， ok， 也就是再强调一遍，也就说，哎，标的过程中 你要注意什么？边不够，要注意去看角。来，再来啊。第二问，第二问呢，他说 e 现在是个动点，但是呢，他说 a a 一 撇，关于 b e 对 称，来，我把这条线找一下， a a 一 撇在哪里？在这， 我们一个条件一个条件律啊， a a 一 撇，关于黄色的这条线对称，这个条件啥意思？就相当于翻折。怎么来的呢？首先呢，关于它对称，也就说它是对称轴呗，它是对称轴。对称轴是啥？对称轴就相当于对应点连线的中垂线，你看 给的不一样，但是其实给的结果是一样的。 ok， 他 说给了什么中垂线，给了什么对称，其实一模一样，你要能够分辨出来。 ok， 那 翻折呢？哎，得到中垂线，中垂线呢？我其实进一步直接得全等了呗，他俩也是全等的，有问题没？第一问的全等，我们已经推了，那么都拿到全等了。我标一下呗。那么这是直角 这是直角呗，那其他的啥都不知道。然后呢？唯一知道就是这条这条边正方形的边上，也就说图里面 所有绿色的线段表示的都是正方形的边长。 ok， 我 们同步一下这个信息。好，来，再来。接着呢。他让我正啥？他让我正这个角 c a p f。 让我正这个角是四十五度，让我去证明一个角是四十五度。我接下来肯定要干啥？ 我接下来肯定要去给他标脚倒脚了我接下来肯定要去给他标脚倒脚了。那标脚倒脚从何标起呢？那，那前面翻折翻折带等量。我从翻折开始标吧。仔细看啊。从翻折开始标的话，那我就说他是阿尔法， 说他是阿尔法。 ok， 翻过来，翻过来，他是阿尔法，那么九十度都摆折了，这就是一个九十减去二阿尔法呗。来，再接着标阿尔法，那么这个角也是九十减阿尔法， ok， 他 都九十减 r 了，那这是 r 吧，那这边是不同理，这是 r 吧，这是九十减 r。 标到这里之后，哎，我好像把能标都标了，那我就。但是我现在有点卡住了。 那我就看一下我的所求吧，从已知出发，我感觉我把我能标的都给他标上了，但是还是没有啥进度，我就再捋一下呗。来仔细看一下啊。我要正的是这个角，我要正的是这个角，而这个角是，哎，这里 这条线给他捅出去有焦点，然后得到的这个角。 ok， 那 么在这条，在这条红色的线上，这个角我给他表示出来了，我要表示这个角， 那我接下来表示谁就行了。在这个红色的平角上面，我要正，他这一段已经正出来了，那我只需要把这个角也正出来，也给他标出来。问题好像就能够接着往下推了。 我接下来肯定要去推 c a 撇 b 这个角，那我要标它了，我要标角，我也得放三角形里头标呀，来，这个角放哪个三角形里面？标那。那最直接的一个三角形，就这个三角形吧。 ok， 最直接的一个三角形就是它。这个三角形有啥特殊的？肯定想着放这个三角形吧。这个三角形，哎，绿边绿边相等。这个啥呀？等腰，等腰三角形。顶角。我还知道底角是不是直接标了来。底角是多少？ 顶角是九十减二，阿尔法的话，底角是多少度？底角是四十五加阿尔法啊，四十五加阿尔法。来，给他一标来，四十五加阿尔法四十五加阿尔法。 这是四十五加阿尔法，这是九十减阿尔法。你会发现，哎，他俩的合着不就是一百三十五吗？他俩的合一百三十五。那四十五结束结束 来，你说这个题几何压轴题目用到了什么？那其实放到初二也能做。 ok， 那 给初二的同学做完全没有一点问题，没有任何进一步的辅助线思路， 完全就是我们强调的基本的习惯。再来看就是啥呀，标设、方列，几何压轴，第二个初二同学也能做， 只用到了什么？只用到了我们平时强调的标设放列，标设放列，这个基本的做题习惯。串一下思路啊，仔细听这个思路，咋想到的，这才是最关键的来自己听啊。首先呢，拿到题你会发现，给了对称的条件其实和第一问是一模一样吧。 给了对称，我能够得中垂，中垂得全等，和第一问给的条件一模一样。拿到全等之后，直角我就能够通过去。 那么接着呢？让我去正，这个角是四十五度，我要去正角，那我接下来整个的方向，这个题目这一问的整个方向，这个基调，我就是去标角倒角确定下来了， 我接下来肯定要去标角倒角。标角倒角从何标起呢？目前只得到了这个全等，我就从全等带来等量标起呗。那我就说它是阿尔法，阿尔法，阿尔法这些角就都能标， ok， 但是这脚一飙，你会发现，哎，我接下来好像飙不下去了，没有动机，没有油头，我不知道该飙谁了。那咋整？已知飙的过程中卡出来。那我从所求出发再看看呗。我要正的是它这个脚已经飙出来了，你会发现，我只需要把这个脚给他整出来就行。 我要标这个角，怎么标？放图形里面呀，往哪放？等腰都摆这了，你不考虑这个等腰，这个三角形也能够确定下来， ok， 三角形确定下来，哎，等腰支到顶角，底角一标直接结束。有没有新的东西？没有任何新的东西， 只有我们强调的基本的习惯，标设放列，标着标着答案出来了，那么标的过程中一些难度比较大的时候，标的过程中卡住了怎么办？你说，哎，我从已知开始标，标着标着卡住了怎么办？ 那为了给你增加一点难度，哎，让你从所求出发，再看一看，你再感受一下。我来说，你来感受一下你自己做的题，简单的题目，我直接标出来了， 难度大一点的题目，哎，我从所求出发，从已知出发，两个方向往一起碰才能够出来。 ok， 增加难度来。第三问，给了这条边啊， 他说 c g 等于 c b， c g 等于 c b， 它俩是相等的，也就说图上所有的绿色线段都是相等的。 ok， 它都是正方形的边长。然后呢，在第一问的基础上，我得到了它俩是全等的，它俩全等，这是直角，我给一半。 ok， 接着呢，他让我正这个蓝色三角形的形状来，你乍一眼一看，这不就是个等值吗？ ok， 方向是非常明确的，我要正一个等值，我要正等值的话，要正几个点来，我要正等值的话，分几步来着？那正等值首先得什么线相等，再去正直角，所以说这里是有两步， ok， 要有两步，第一步呢，我要去正等线，第二步呢，我要去正九十度。我肯定是分为两步来正的。好，那你就一个个来吧。首先呢，我要正，我就先正等线吧。等线咱们正的比较多，我比较熟，我们先从等线开始。正，正等线的话，我正他们俩相等。 正等线关键还是在干啥？正等线关键还是在于放啊，我要正等线，关键还是在放，哎，放到两个三角形里面，我正他俩全等， 放到一个三角形边，我正等腰。那题目都摆在这了，我肯定要正什么？我肯定要通过全等来正，因为我证明我要正的就是等腰，我肯定要通过全等来正的， ok， 正全等的话，来正哪两个三角形全等呢？我要正他两先等，我要把他两往三角形里头放， ok， 往三角形里头放。 那么题目里面最多的等量就是正方形的边长，所有绿色的边都是正方形的边长， ok， 哎，那蓝的我得和绿的边长往一起放，他俩放一起，这个三角形 ok， 那 么这条蓝边哎也和这个绿边也能往一起放。 也就是说，我接下来只需要证明他俩全等值。正等值的话得有两步，第一步，正等线，第二步，正九十度正等线。那我就先从等线正起。 正等线关键在于放放两个三角形里面，把两条线分别放到两个三角形里头，我去正全等， 放到一个三角形的话，我直接正等腰，我都不放这了，我肯定是通过全等去正等， ok， 我 要正全等方向定下来了，那我要干嘛？我得把三角形找着， ok， 这也是个难点，找三角形咋找呢？结合已知的等量，题目里面最多的等量就是正方形的边长，所有绿色边都相等的， ok， 那 我肯定要带上绿色边去吧。那么，哎，蓝的绿的蓝的绿的放到了这样的三角形里面，也就说，哎，我接下来只需要证明这两个三角形全等问题就结束了。我既然要证他俩全等政权，等政权的，我得看一下已知啥，还差啥。 ok， 已知啥？绿的等于绿的，还有一条公共边， 我只需要证啥，他俩就全等了。只需要再来个啥，他俩就全等了。找个角嘛，来，只能找谁？只能找夹角。 ok， 也就说我接下来方向就非常明确，我要证他俩相等， 我要证他俩相等，我要证全等。我得看一下已知啥，还差啥？已知。两组等线。哎，我只需要证明夹角相等就完事了。所以说我接下来目标是非常明确的，我只需要把这两个角推出来，他俩相等结束，我要去正角了。正角图里面唯一知道的这个四十五度，一百三十五度。那我接下来只能干嘛？ 我只能去，只能去标角倒角吧。 ok， 只能和上一问一样，我去标角倒角，唯一已知的用不上。那怎么办？先设再标，先设再标。好，来开始标。标的话，那么阿尔法给好了，那我就直接从这开始标吧。阿尔法，阿尔法，那这个角呢？就是九十减二阿尔法。 上一问我们标出来的，我就不再细说了，我就直接标了。那么这是阿尔法的话，九十减阿尔法， 这是 r 法，然后这是 r 法，这是九十减 r 法。然后这个我们已经推出来是多少？四十五加 r 法是吧？然后这个角也是四十五加 r 法。那走到这里，我是把所有能标都标了， 但是此时还有条件没用。上来。谁个哪个条件没用？新给的一组条件我没用呢，标到这里呢？是上一问我标出来的信息。走到这里呢。第三问，新给了一个条件，这还没用呢，他说， c g， c g 在 哪？他俩 他俩相等。哎，他俩相等给我带来了什么？给我带来。等幺，我又可以标了。 ok， 他 俩相等，他俩相等，带来等幺，等幺等线对等角，那么这是九十减二阿尔法， 所以说这个角九十减二阿尔法，这是阿尔法，所以说这个角是九十减阿尔法。 ok， 他 是九十减阿尔法，那他也是九十减阿尔法， 那阿尔法还有没能标的？新的等线给我带来等角，哎，等腰三角形底角都标了，我接下来肯定要关注一下，谁底角都标上了，底角都标上了顶角，我是不得再标顶角来，也就说这个角 这是多少？底角是九十减阿尔法，顶角是多少度？顶角是二阿尔法， ok， 所以 说他是二阿尔法。哎，好像有点描透了。 这个角是四十五加 r 法，这是二 r 法，那我就能够得到这个角是多少，这个角就是四十五减 r 法。 我串一下，你仔细听啊，我的方向呢，明确了，我要去，就去这两个黄色角相等，我要去标角倒角。标的过程中呢，首先我把上一问标出来的，我先给他涂上，放上， ok， 这是我们上一个推导思路，标完之后呢，推不下去了，但是呢，第三问新给了条件，他两相等等线带来等角，底角一标顶角也知道顶角是阿尔法的话，他知道，那这一块也知道。哎，一个角标出来了，那走到这一步没问题的话，你再看谁能标。我的目标角是他俩，哎，其中一个已经标出来了 这个角，这个角是个直角，它是直角，这是四十五加 r 法，那么这个角我就能够标出来直角四十五加 r 法，九十减它，那么这个角就是四十五减 r 法结束了。没用九十度一减，它是四十五减 r 法结束了， 标到这里，我的目标达成了，我的等角正出来了。等角一出来，绿边，绿边，公共边夹角相等， 红的和紫的他俩就全等了。我们串一下这个 solo 啊，自己听。那么正等线的话，我是用了什么？放三角形？用了全等去正，正全等的话，已知啥，还差啥？还差一组等角。所以说我接下来呢，就去给他标角倒角，标角倒角， 那么通过标角导角呢？得到等角全等一出，等线有了，圈圈是相等的。第一步结束，我的第一个目标正等线达成了。走到这里呢，我已经推出来等线了，我要去推等角。那你看一下这一组全等呢，我知道这个角是一百三十五度， ok， 那 他是一百三十五。他俩全等的话，那么这个角也是一百三十五吧， ok， 他 是一百三十五，这是四十五，那他是直角吧，他是直角结束。九十度呢，就是利用全等，我去同步信息。那这呢是一个去年的中考几何压轴， 但是你你捋下来，你会发现，那初二同学也能做，学完全等之后我就能做了， ok， 而且方向是比较明确的， 标完之后，前两问就是基本的标设方列，基本的这个习惯，但这个题其实也是这个题还要注意啥？我要注意一个方向，等值确定下来之后，我要给一个具体的方向，我要正等线和直角。正等线咋正？你看还是全等的思维啊。正等线放一个三角形面正等腰放两个三角形面正全等。 接下来政权呢？已知啥，还差啥？这些思路呢，其实都是 try， 我 们用的比较多， ok， 所以 说这个题下来一定要再自己去捋一遍，再自己去捋一遍，你会发现对基本功的要求是比较高的， 对我们基本的标设放列的习惯，比如说等量怎么处理，等量多了怎么处理，哎，全等的证明对于基本功的要求比较高，所以下来大家再去理一理。好吧，那么这里呢，综合了个啥？正方形的性质，还有全等，你要想着咋挣咋找，最后呢还要有倒角标角的这个意识。
32跃动伊一数学
10:21查看AI文稿AI文稿好，各位同学们，今天呢，何老师来分享一下二六年这个安徽中考的第二十二题，这道题很多同学都说的是特别简单啊，但是其实我想说第三问，他的思路是比较简单，但是在实操方面，我估计还是有很多同学是没有办法做出来的，我们来一起找找问题啊。 我们首先来读读题，这个题告诉我们，在平行四边形 a、 b， c， d 中，咱一块读题， cd 呢，等于二倍的 ad， 那 这个你可以搞脑子记一下， cd 是 ad 的 两倍， 其中 cd 的 中点为 m， 那 这个时候我们就要去标记了啊，因为你本来是两倍，又取了中点，所以这里面会有等线段的关系，所以在这里我们直接可以去射源也好，怎么也好都可以 x， 因为我们的这个 cd 是 二 x， cd 是 二 x， 又因为 m 是 中点，所以咱也标 x x， 所以 我发现了这种新的等腰。第一位，让我们证明角 c 等于角，二倍的角， amd 这个角， amd 这个角，这个是难度比较低的，是吧，我们利用好咱们的性质就行了。首先等腰会带来的等角 r 法，平行带来的等角 r 法就非常简单了，所以我会得到角 d， a， b 啊，应该是等于二 r 法的。而利用平行四边形的对角相等啊，八年级同学都知道它是等于角 c 的。 第一问就得证了，非常简单。 第二位同学们，我们继续来，他说 m n 呢？垂直 bc， 做好垂直标记，垂直 p， e 呢？在线段 am 上 pe， 垂直 cd， 又是垂直 p， f， 垂直 bc， 然后呢，垂足呢，分别为 e 和 f， 让我们求 p f 减 pe 等于 m n。 其实在这里啊，我不知道有没有同学跟何老师是一样的，当我把这个条件刚读完的时候，我已经来感觉了。什么感觉呢？其实是等级法， 我不知道其他同学没有。有啊，老师想跟你分享一下，如果有，把这个等级法的敏感度培养挺高的。我觉得很多同学第一瞬间想就等级法，为什么呢？因为他做了非常多的垂线段，而垂线段我都可以把它看作三角形的高 啊，其实是有这样的一个思维定式的，对吧？但我们再看它要正什么，它要正的是 p f 减 pe 等于 m n， ok， 那 这种正法的话，他们有种什么感觉呢？其实说啊，硬说特征的话，它是有一种我们在八年级所学的有一种截长补短的感觉啊，截长补短 就是他不在同一根线段上存在这种线段的和差关系，所以我们的方法是把它整到一根线上，要么把长的 p f 进行解开，要么把短的进行一个补齐这样的操作。 但在这个题中，同学们你必须要去试啊，要去试，而不是不是说某个方法不行，而是要去试最容易想到的，我觉得应该是利用截长把长的 p f 给它截开，因为在这里大家来看啊，你在下方，在这里是存在角平分线的，而法而法， 我们在这，如果再给角平分线，这边又有垂直，所以我们想到角平分线的全等模型，是吧？你这边做个垂直，我这边再整一个垂直，就很容易构造出 pf 的 等量，把 pf， 把 pe 整到 pf 的 边上。就这老师的想法，那能否得到呢？ 能否得到？能否通一个辅助线得到这两种呢？答案是可以的，答案是可以的啊。在这里，老师的辅助线就是构造这种对称型的，全等把 pe 整到 p f 的 边上，所以我的辅助线是过点 m 去做 p f 的 垂直， 假设为 k。 因为老师你这做垂直 pe 真的 等于 p k 等吗？相等吗？你也没有角平分线啊， 但是特别你我们能注意到，如果我做出这一条垂直，这里边本身有两个垂直，所以我会得到一个矩形啊，咱们会得到一个矩形 m k f n， 而矩形的对边是平行的，所以 mk 平行于 bc， 而 bc 又平行于 a d， 所以 阿尔法就可以进行一个角的转移，我就会得到角平分线，所以它你一个辅助线可以达到这种两种目的 啊，可以达到两个目的，既垂直了，又过到角平分线了，所以我要写步骤，我会这样写，我们会做过点 m 做 mk 垂直于 p f。 嗯，那做完垂直之后呢？我会得到这个矩形 矩形 mk fn 啊，因为矩形的对边是平行的，是平行的，所以 mk 是 平行于 fn 的， 而 fn 又本身它平行四边形是平行于 a d 的， 所以我就进行一个这种我们平行线间的这种传递性类似，也好去理解它， 所以利用平行这个 r 法，角就可以进行转移。那这样的话，我就构造出了角平分线，所以 p e 是 等于 p k 的， pe 等于 pk， 而 m n 的 话，利用矩形的对边相等，它就等于 k f 就 得证了。所以我就知道 p f 减 pe 啊， p f 减 pe， 它其实就等于 p f 减 p k 就 等于 f k 就 等于咱们的 m n。 所以 第二问咱们就得证了 啊，这是老师的想法，利用角平分线去构造对称形的全等一个辅助线，达成两个目的，我们再看第最后一问啊，最后问有很多人说的很简单很简单啊，其实我觉得还是有一部分同同学能完全把它做出来的，其实思想方面很好实现，关键是你能否意识到这个线段到底怎么表示。 他说 p f 等于四倍的 pe， 就 我们的条件啊， p f 等于四倍的 pe， 那 在这里头你想一想，我们在第一问中没有白给的第一问呢？第一问我又得到了线段的和差关系， p f 又 p e 的 四倍，我当然要去设元表示线段，我们设 pe 为 a， 所以 p f 应该是四 a， 而 p k 也是 a， 所以 k f 是 三 a， m a 也是三 a， 这是咱们的标记，标短不标长，是吧？利用第一分的结论已经标好了，他让我们求的是 ap 比上 pm 的 比值， ap 比上 pm 这个特征是非常明显的。朋友们， ap 比上 pm， 这是典型的共线线段的比例 啊，我们可以通过平行的 a 字八字去实现这个比例关系。而何老师第一瞬间想到的是什么呢？是构造平行八字，因为在这里 p e 啊，它有一个小交叉， 小交叉是吧，我只需要，而 p e 又知道是 a， 所以 我只需要把 p e 轻轻的延长就可以了啊。所以老师的想到的复数线，第一种方法法一，延长 p e 有个焦点，我们假设其为 h 点。在这里。同学们，我们这个时候啊你，你进行一个延长，我就知道，因为平行八字嘛，所以 a p 比上 pm 就 应该等于 p h 比上 pe， 那 pe 就是 a 了。其实这个题的核心在于，你只需要把 p h 表示出来就可以了。那怎么去出这个 p h 的 长呢？可能会卡一下壳，如果你和何老师一样的想法，你可能会卡一下壳，那这时候老师要带你一起思考了啊，你要清楚这个延长的特殊性。 怎么特殊呢？我们知道 p e 是 垂直的，是吧？所以你延长过来， p h 也是垂直的，是吧？那怎么去求这个短线段的长度呢？就是你对于这根线的理解是什么？而我朋友们把它看成什么呢？把这个整个线段的 e， h 把它看作高，这是我的敏感度，我对于高比较敏感，它可以看作平行线间的距离，它是这个平行四边形 a， b， c， d， a， b 边上的高啊，所以我又想到了等积法， 等级法啊，所以我会得到啊，你这个等级法 ab 乘以 e h 是 平行四边形的高，而这个等级法跟谁有关系？我想把它用 a 表示出来，那不得不看谁呢？那当然要看 m n 这些东西了，很明显 a， 其他能表示不就这个三 a 吗？跟 m n 有 关系吗？当然是有的， m n 可以 看出什么呢？可以看作 bc 边上的高，而我们只需要把 mk 进行轻轻的延长。你很容易理解是什么呢？他其实就是这个小平行四边形的 bc 乘 m， 是吧，又可以进行一个等级，所以我在这里啊，老师很快进行了一个等级的联系，我会得到 ab 乘上 e h， 就 底乘高是等于这个大的平行四边形的面积应该等于二倍的。我们的这个平行四边形啊，老师没画出来，没标点这个平行四边形的面积的二倍，你们这两个应该是一样的，是一样的，所以就应该等于二倍的 bc 乘上 m， 而这个题已经告诉我， ab 啊，就是等于二倍的 bc 的 啊，题目中告诉我 ab 等于二倍的 bc， 所以 e h 就 等于 m， 这是老师对于等级法的敏感度。所以的话 m n 是 三 a， m n 是 三 a， 所以 e h 也是三 a， 所以 ph 是 二 a。 搞定了，所以这个题答案出来了，二比一就应该为二。 好吧，这是何老师讲的，法医利用等级法的敏感度，你是可以做出来的。那除了之外，朋友们，当然你也可以去构造平行 a 字也是可以的啊，也是没有问题的啊。然后老师你这个屁，嗯，它是一个，我想构造平行 a 字行不行？当然也可以，朋友们，我们可以延长， 延长这个 md 是 吧？过点 a 向这个 md 也去做垂直。 假设既为啊，这个 n 都有了是吧？假设既为 g 啊，所以我们想要如果你想这样去构造 a 字的话，也是一样的，本质思路是没有问题的，我们只需要把这个，因为他这个是一个上比下是吧？我们出上比权也行，只需要把 a g 求出来就可以了。那怎么出 a g 的 长呢？ 怎么出 a g 的 长呢？这个时候里面是需要一些发现的，是发现什么呢？这个里边发现的是全等三角形，而全等三角形需要你自己去发现啊。怎么去出 a g 的 长，我们能发现什么呢？ r f r f， 所以 我们发现这个角是二 r f 是 吧？又因为你的 a d 是 等于 cm 的， a d 是 等于 c m 的， 因为他们因为人家说了 c d 是 a d 的 两倍， m 有 中点，所以我们存在等线段二 f 角啊，这第一问得证没有白给的。第一问垂直和垂直，所以条件已经够用了。我们用 a， e， s 去证明三角形 a， d， g 应该是全等于三角形 a， d， g 看一下 m， c， n， 嗯，通过这个 a g 的 长其实就等于 m n 的 长，也是咱们的三 a 无所谓的，都可以的三 a， 所以 的话上比全是一比三，所以上上比下也是一比二，下比上啊，也是二比一都可以啊，都 ok。 当然你可以过点屁做平行都可以啊，方法很多，它本质是平行 a 字，平行八字这种共线先等之笔的特征。好吧，那这个题何老师就分享到这，希望大家能够 提前学习啊，八年级同学可以提前感受一下这种啊，九年级的考法，其他同学的话也可以对着答案看看你有没有想到何老师的想法。
01:08查看AI文稿AI文稿合肥中考数学几何压轴题，同学们别再对着他发呆了！其实二压轴题里每一个字都不是废话，出题人早就把解法藏在题目里了，关键就看你能不能听懂这套黑话。今天就给大家当一回翻译，普及一下有哪些黑话。第一句求证判断形状第一步 不是想结论，而是先在图上把相等的边，相等的角平行垂直全部都标出来，标完之后你会发现条件已经把路给你铺好。 第二句黑话，求线段长和角度看到圆。第一步就是连半径，连直径，找角关系，构造直角三角形，然后才是计算不连半径，你永远找不到突破口。第三句黑话，证明题每一步都要写已知条件，到推出中间结论，再到引用判定，再到最后得出结论。 逐渐画了也要说明为什么要画。只写结论不写理由，是最常见的扣分点。第四句黑话，求角度，角不是看出来的，是导出来的平行线传同位角内错角原理，连半径出等腰三角形，等腰对等角，一步一步往目标角传过去。第五句黑话，求面积，跟二次函数结合的时候别慌，先画草图 标关键点图再花也是纸老虎。这五句黑话背后的完整答题模板呢？手册已经全部整理进去了，每种题型怎么答，哪里最容易丢分？不会全做时怎么拿不走分，拿到就可以直接对着自己的漏洞开始用起来。需要的评论区扣手册，关注主播，我公益分享给你！
13合肥升学朱老师
05:35查看AI文稿AI文稿各位同学好，我们来看二零二六年四十二中二模卷的第二十二题啊。第二十二题，几何给了一个矩形 a， b， c、 d 对 角线 a、 c 和 b d 交了一个点 o， 然后我们的 c、 e 呢，是平分了这个角 a、 c、 b 的， 就是这里的角一和角二是相等的。嗯，我在下面这个图放大一点给你写啊， 因为那个图确实太小了，角一等于角二。好，然后呢？呃，他又说了， d、 f 是 垂直于我们的这个 c、 e 的， 就这里有一个直角啊，这是一个垂直符号啊。 呃， d、 f 和 c、 e 垂直，这里有个直角啊。好，那第一小题让你证明 c、 h、 g 等于我们的 c、 f、 g， 其实就是证明角四等于角五， 那在这里面，这不是典型的角平分线加一个这个。呃，垂直吗？你要注意，三线合一不能直接反推等腰啊。 啊，那我们这里用了跟答案一样的，我们用的全等，就我们怎么证明角五等于角四？你不能说由三线合一得这个 g 点为中点。不行啊，那你用全等的话，就是三角形 c、 h、 g 会全等于三角形的 c、 g、 f， 哪里来的条件啊？角一，角二公共边，以及这个垂直，所以是 s a s， 那 就导致角四等于角五啊。 好，第二小题，第二小题还是这个图，它让你证明我们的 o、 h 这一条边等于二分之一的 b、 f， 那 这一条做辅助线啊，二分之一的 b、 f， 各位同学，你能联想到什么？ 是不是中点二分之一嘛？因为你是水平的，所以我们完完全全可以联想到中位线。那这一题辅助线是过点 o 来做一个 o p 平行于我们的 b c， 因为 o 点为中点，而我们 o p 又平行于 b f e， 中点加 e 平行，是不是推中位线啊？ 所以 o p 会等于二分之一的 b f 啊？啊？然后接下来呢？这个等于二分之一 b f， 我 怎么去证明 o h 等于二分之一 b f 呢？那我只要证明 o p 和 o h 相等不就行了吗？ 永远无缘无没有无缘无故的上一问啊，你的这个平行可以导致角三是不是等于角四啊？角四等于角五，角五的对零角是角六 a， 所以 三和六是相等的，那就导致我们的这个 o p 和 o h 相等都占了整个 b f 的 一半啊。 好，第三小题，第三小题说在矩形 a b c d 当中交 a d 于这个点，呃， f， 哦， a e 平分啊，就现在是换了一个啊，这是还是一个矩形啊？然后我现在 a e 是 平分，就是我跟你重新写了九一等于九二，然后 b h 是 垂直于我们的这个 a c， 这里有个垂直，如果这个矩形的长和宽之比，它是四比七，求这个 f b 和 f g 的 这个比值， 那么我们这个是不是所谓的交叉型比例啊？交叉型比例我在之前就跟大家讲了，你要想方设法构造一个八字形相似，当然你这样构造九一九二不就用不到了吗？ 呃，所以我们这个怎么构造呢？我们用数值的来构造，来做一个 g m 平行于 ab， 那 么这一组八字形相似，我们要的这个 ab 比上一个 g m 好。 ab 比 g m 为什么跟角平分线挂钩啊？因为角一等于角二，两直线平行，我们的这个内错角相等又等于角三，所以导致 ga 和 g m 不 就相等吗？ ga 会等于 g m 啊？ 好，然后接下来这里的一个相似来，你看啊，题目要的 b f 比上一个 f g 被你转为了 ab 比上一个 g m， 因为等腰， ab 比 g m 又被你转化为的 ab 比上一个 ag， 对 不对？好， ab 比上 ag， 你 有没有发现，就是我们的这个角四的上影值倒过来啊，它是斜边比上一个这一条 直角边，角四又等于谁啊？角四加角六等于九十啊，角五加上一个角六等于九十啊，对吧？所以角四和角五是不是相等的，我只给大家写的分析啊， 那我要三角四，其实不就是要三角五吗？哎，你在这里面你看啊，这里是四只七，斜边勾股定力立马就出来了，是不是根号六十五啊？ 所以我们要的这个，呃， ag 比上一个 ab 呢？你可以用相似啊，我用的三角函数啊，它是三角四分之一，就是三角五分之一，那么就应该是等于 ac 比上对面的这个 ab， 所以 结果应该是四分之，刚好六十五 啊。那其实最后一道题就是三步走嘛，第一步做平行推这个蹬腰，第二步用 a 字啊，这个八字形相似，把它转化为 ab 比 g m， 然后又到了 ab 比 ag。 第三步呢，就用到三角形的 abg 和三角形的 abc 相似啊， 所以你可以用三角函数，你也可以用我在旁边给你写啊，或者是你可以用什么呢？相似三角形的 a b g 会相似于这个三角形的 a c a c b 啊？啊，那题目你刚刚不是说想要 ab 比 ag 吗？ ab 和 ag 刚好是自己比自己， 它会等于 a c 比上一个这个 a b 其实就是跟我们三角函数做法一样的啊，好，那这个是四十二中的二模点二十二题。
14小顾老师吖
00:41查看AI文稿AI文稿今天给大家分析一下长丰县四十二中二模数学试卷，同样的经典。第十题，安徽特色中考求最值。隐形元 像第十七题啊，这道题作图找一下对称点。第十八题解直角像。二十二题的话呢，还是常规的相似几何的压轴题，二十三题的话呢，相对来说比较新颖一点了啊。二次函数跟一次函数结合 和伟大地理一元二次方程求一下最值。整体来说的话来考到一百一到一百二算比较优秀了啊，考到一百三十分以上都是很佼佼者了。
55顾老师说中考
02:21查看AI文稿AI文稿高中老师都说咱们初中数学都是小菜苗，口算就行了，但是呢，几何压轴题除外，这个难度相当大。那甘老师我要补充一句，初二的几何压轴，他也是小菜苗，口算就行。 你关注耿老师，我们一起来口算一下这道合肥四十八中的选择压轴题。首先两个正方形，一个 a b c d， 一个 c e f g， 这个是二，这个是二。另外 c e 是 六，这个也是六。六 c h 呢？垂直于 a f， 这是垂直的，要我们求谁？求 c h 的 长， c h 是 一条垂线， 垂线，我要求垂线的长度。那首先想什么？等面积法。第二个想什么？把这个垂线段放到直角三角形里面，用勾股定力。这是我们八年级在只学了勾股定力这一个计算工具的情况下，没有学相似情况下，没有学三角函数的情况下，所能想到的两个途径。 那我观察一下，到底是用等面积法呢？还是用勾股令？很明显，等面积法能够直接秒我们把 ac 一 连，我们再把 cf 一 连，你就发现什么？发现了直角三角形，为什么正方形对角线四十五度角， 四十五度角，所以中间是直角，那么我们就把 c h 这条垂线段完美的放进了一个直角三角形当中，而且直角三角形的直角边长度都知道，六倍根号二，二倍根号二，所以接下来等面积法就一下子出来了。好股股利，你把 a f 求一下， a f 是 根号，下二倍的根号二括号外的平方，加上六倍根号二括号外的平方。 好 af 能算出来四倍根号五，这是四倍根号五。那么接下来等面积法直接列出来， s 三角形 a， c， f 等于二分之一， a c 乘以我们的 c f， 它也等于二分之一。 af 乘以我们的 c h， 所以二倍根号乘以六倍根号等于四倍根号。五乘以我们的 c h。 高 c h 出来了五分之六倍根号，五，难吗？我们其实不需要一分钟，半分钟就能搞定，这就是所谓的压轴题。
101合肥数学甘老师7-9
00:20查看AI文稿AI文稿咱们安徽沪科版八年级的同学一定要做一下去年四十二中考的期末试卷，这份试卷含盖的知识点还是非常全面的，而且整体的难度呢，属于中等偏上的，很多期末常考知识点这里面都覆盖了。如果说你需要试卷，可以进咱们主页粉丝群，李老师来发给你。
137合肥李师傅讲初中数学
03:23查看AI文稿AI文稿倒角呢，是初中几何的灵魂，这句话我说了没有一百次，也有九十九次，尤其是合肥的孩子听了更多， 不知道我这句话是否走进了你的内心关注耿老师，再听我说一次啊！首先，这是合肥四十二中八下期末的第十题选择压轴题，我们看通过倒角，它简单不简单，这是一个矩形 a， b c d 点 e 呢？在 c d 上 给了一个二倍角关系，那我们就给他设了啊，设这个小角为阿尔法，那么二倍的角为阿尔法设好以后，他有一个 ab 边等于四点五， bc 边等于六，要我们求 b e 好， 求 b e， 我 们习惯的把 b e 放到直角三角形里面去，发现 b c、 e 缺边长，缺谁缺 c e。 目前的这个条件，没有办法直接把 c e 求出来，而且已知边也不足以去直接把 c e 求出来，那么这个时候二倍角就成了我们做题的关键提示。我们要干嘛？有二倍角就有什么等角， 二倍角关系没有用，等角关系，等量关系才有用。我们给他设一下矩形直角多意味着互与关系多，所以我们首先从互与关系开始导起，那么这个角很显然就是九十度减阿尔法，对不对？好，我们继续导一下， 这个角是阿尔法，这是直角，那么这个角就是九十度减二阿尔法，那么他旁边的这个角就是阿尔法。 好，导到目前，这里还有一个外角等于不外，那么九十度减二阿尔法，加上阿尔法等于九十度减阿尔法，你会发现出现了等角关系，两个底角相等，这两个边就相等，所以整个 a、 f 这条边等于四点五， 好，还没有结束。我们目前如果把 f、 c 求出来，那整个 a、 b、 c 这个大直角三角形所有的边长全部出来了，对不对？所以我们完全可以通过勾股定律把 a、 c 给它求出来，等于 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方开根号，它等于二分之十五，等于七点五， 那么 a、 c 我 们也给它求出来了，是七点五，我们继续现在要求这个 b， 我 们还缺 c、 e、 c、 e， 我 就只能放到这个 e、 c、 f 这个三角形里面去求了，这个三角形不像直角三角形，对吧？完全不像。那我们能不能通过再次的导角给它导出等量关系出来？我们试一下。那么对，零角也是九十度减 alpha， 目前这个三角形里面有九十度减 alpha， 有 二， alpha， 对 不对？好，其实这个角 跟这里的阿尔法角互余，所以它是九十度减阿尔法，你会发现我们又出现了九十度减阿尔法，九十度减阿尔法角又出现等角，所以这个边等于我们的 f、 c 边 f、 c 能求吗？当然能求， f， c 等于 ac， 减去我们刚刚求出来的 a， f 等于七点五减四点五 等于三， f、 c 等于三，那么 c、 e 等于 c， f 也等于三，所以我们要求的 b、 e 把它放到直角三角形 b、 c、 e 里面去用勾股定，你直接能求 b、 c 的 平方加上 c， e 的 平方开根号，等于六的平方加上三的平方开根号等于三倍的根号五，你学会了吗？
385合肥数学甘老师7-9
00:36查看AI文稿AI文稿这份四十二中的二模试卷非常非常适合大部分学生做练习，基础生、中等生都非常适合。前段时间的包核二模，幺核二模说实话有点难了， 大部分学生做起来都是很头疼的，但是这个试卷不一样，非很多题目虽然说都是一些老题，但是呢，不耽误他是一个好的题目。如果说你这段时间真的有用心在学的话，那这份试卷他会给你一个反馈的。 好吧，除了二十三题第三问之外，其他题目都算是常规题，好好做，好好练。后面呢，我会把第十题和第二十二题详细的给大家分析一下。
108合肥李师傅讲初中数学
04:39查看AI文稿AI文稿这个题我相信绝大多数同学在处理第一问的时候就会卡了，卡在哪里？卡在，嗯，不太好去正，这个角是直角， 因为你不会采用倒角的方法。这是我们合肥四十二中去年的一道期末考试题，巧了，那年中考正方形为背景，也考了这一个 类型的倒角问题。那这个题的含金量不跟杨老师说了，那接下来我们一起来看一下这道题具体怎么去操作。 ab 的 长等于多少？根号十，那是不是就是 ad 的 长等于根号十，对不对？正方形即是正方形 abc 内部的一点，它在内布， d 一 长等于 ab， 第一场等于 ab， 你 看他给的第一场等于 ab， 他 不说等于 ad， 那 就是为了绕一下对不对？那所以这个边跟这个边相等，跟这个边是不是都相等？那这里面产生了两个等腰三角形，等一下我们可能会用到， 好，那然后过点 d 作 d f 垂直于 a e。 好， 第一个等腰三角形大部分同学都会用， 就是你 d f 垂直于它，那这地方是垂直的，然后结合这两个边相等，所以 d g 这条线是不是就是 a e 的 垂直边边线？然后是直接把它延伸的讲解了， 然后是不是得到 a g 等于 g e 了？所以第一小问，他让我判断 a e g 的 形状，那么这个三角形就已经是一个等腰三角形，对不对？已经是一个等腰三角形，那么很明显它 有没有判断完？没有判断完，你看他长得这个样子就像什么？还有一个直角吧，那接下来我们就怎么去挣直角？杨老师之前讲过一句话，好的几何题，他一定是同时由边到角，由角到边的，他一定是通过倒边、倒角同时进行才可以把它完成， 你只通过边的关系，不能足以把它挣出来。好，那接下来我们继续往下看，那这个三角形 a、 d、 e 是 等腰三角形，这个也是一个什么三角形？等腰三角形，那我们说做几个题？一标二设三列式， 那到目前为止这个条件我们是不是都标完了，对不对？那我们讲是角，这个角是什么算法？可不可以？那这个角是不是也是算法？ 那这个角假设是白塔，那么这个角它是不是也是白塔，对不对？好，不要忘了这个角是多少度？是不是九十度？那所以阿尔法加、阿尔法加贝特加贝特应该等于多少度？是不是等于两百七十度？根据四边形的内角和乘 以三百六等于两百七十度。由此我们是不是得到了阿尔法加贝特等于一百三十五度？大哥，结果已经出来了， 这个是一百三十五度，那这个是不是四十五度？这个是四十五度，它是等腰三角形，这是四十五度。所以这地方是不是就是直角？第一问是不是就拿下来了？并不是，很简单的一道题，而且这道题不是压轴题哦，它只是我们的第二十二题的第一问， 很多同学容易卡好。第二问更加经典，他说 g f 的 长等于多少？ g f 的 长， 你给了我 g f 的 场等于一个根号二，那你这个是根号二，根据第一问，这是不是也根号二？那这段场就是多少，是不是就是二，对不对？这段场就是二，那他让我去求的是 c e 的 场，我们怎么去求？ 让我去求的是 c e 的 场，那到目前为止，我们求一个现在的场，是不是只能采用什么方法？ 勾股定律的方法，对不对？那我就要把 c e 放在一个直角三角形当中去求，那 c e 这段在不在一个直角三角形当中？在。因为第一问我已经证出来这个角是直角，所以我想把 c e 放在一个直角三角形当中去做的话，我是不是连接一下 a c， 那 a c 的 长能不能知道？ a c 的 长能知道。因为这个是根号十，所以它是二倍根号五。二倍根号五，这个是二，这个是二，这个是二倍根号五。那这段我加上是 x， 是 不是用勾股定律就可以把这个长求出来了， 对不对？所以第二问的思路是，我们求现在的场只能用勾股定力，能用勾股定力就要把 c e 放在一个直角三角形当中，那没有无缘无故的什么疑问，这道题是不是就拿下了？同学们，你学会了吗？继续加油！
12:43查看AI文稿AI文稿上次我们总结了安徽中考函数压轴题目前的考察特点，以及我们的通用解法，今天我们来看看安徽中考几何压轴题他的现在的考察特点是什么？以及他的解法通常是怎么样子的？ 首先我们来看这一题，是二五年的安徽中考真题，其实难度一点都不大， 我们来看看。那么现在的考察特点呢？基本上也就是围绕着三角形，特殊三角形以及特殊四边形的性质 去考察，那么再加上一些我们基本的角的推理，线段的推转换， 以及我们一些基本的模型，全等相似勾股。 那么他还会不会考察我们以往特别热点的手拉手模型啊，三角形的和四边形的一些模型的构造呢？其实不会，现在的考察是要什么呢？我们要的是推理， 我们要的是逻辑推理，而不是说凭空去构造，根据模型去构造一个辅助线，那样的考察他不是难，他是说，哎，我学过这个模型的同学，他就是简单，而我没学过的模型同学，这是天方夜谭。那这个不叫数学难度的考察，也不叫推理， 那我们现在来看看，今天就根据这道题，看看他到底啊会是不是这样子的，只需要我们根据推理就能够解决这些问题。 那么在做题之前，老师要说一下啊，老师做题有一个习惯，每次必须给自己三问，第一问，第二问，第三问，第一问是什么？ 我们有什么？做题的时候我们看有什么条件，这一步很重要，为什么说重要？很多同学题目还没分析完就去做题，第二步他问什么？ 那有些人说，老师我题目读完了，我没思路，那你要考虑他问什么，可以用他的问题去联系我们的条件，看他们之间产生了什么联系，这个很重要，他们之间是必然有一个联系的。 第三个看好之后就问需要什么。有的时候我们如果去构造辅助线，也是从这一步来的，那么我的问题和我的条件之间，它们要产生联系，需要我去构造一组全等相似还是去转化呢？好， 那么说完这三问，我们就开始做题。首先点 a 撇在正方形 a、 b、 c、 d 内，那么我们就不要忽略正方形的性质，首先这里面有什么边相等， 对吧？这四条边相等，并且对角线是四对角线的夹角是四十五度，这个很重要，很多同学会忽略我们的这个什么呀？做题里面的特殊角，那有的时候可能甚至我们的思路都要从特殊角去走。 好，我们继续看，他说若 b a 撇的延长线经过点 d， 且 a、 e 等于一，然后这里啊，线段的垂直平分线 b、 e 是 好，既然 b， e 是 垂直平分线，那么也就是说边相等有两组，对吧？其实还有一组，这里我没标 a， 这里是 h 的 话，等于 a 撇 h 好。那么现在我们的关系基本上分析差不多了啊，我们就看 由他给的条件我们能推出什么。首先 a、 e 等于一，那么 a 撇 e， 他 就等于一，对吧。那么联系到这个四十五度，我们遇到四十五度，他只在一种图形里面特殊，那是什么图形啊？等腰直角三角形，那我们看这里有没有直角， 哎，这里因为它是正方形，所以这个角是直角，折叠过来这个角是直角，那么隔壁就是直角，所以通过我们推理它有什么我们就可以得到 有什么呢？三角形 a 撇 d、 e 是 等腰 r、 t 三角形 ok， 根据等腰 r、 t 三角形的三边比例关系，一比一比根号二，那么 a e 撇 e 等于一， a 撇 d 等于一， d e 等于根号二，然后再看它问什么， 其实对于简单的题，根本不需要第三步产生联系， ab 等于谁，就等于我们的 a d， 也就是 一加根号二，非常的简单，所以他这里考察了我们正方形对角线的特点，对吧？以及边的关系，然后再联系到一组我们常考的折叠过去的常见考法，也联系到了我们购物定义，对吧？第二问， 我们观察图二，现在我们的 b a 撇，它不在对角线上了，所以这个四十五度用不了了。然后呢，让我们证明，在运动的过程中， c a 撇是四十五度， 那么也就是隔壁这个角是一百三十五度，有同学说这是我们的倒角对吧？倒角没问题， 但是不要忽略我们的条件，很多同学在折叠问题里面做不出来，他就是忽略了什么的条件呢？上来就倒角，忽略了边的条件， 那么回到这一上一问，我们发现边的条件其实是非常多的啊，这四条边相等，这两条边相等， 那么接下来就可以开始倒角了。倒角，首先设一个角，设这个角是 alpha， 这个角也是 alpha， 为什么我们刚刚说垂直平分线，那么它上下相当于折叠过去的，所以这两个角是 alpha， 这个是垂直，那么这里就是九十度减 alpha， 这里是九十度减 alpha， 这里沪于阿尔法，九十度减阿尔法，九十度减阿尔法，阿尔法，这里九十度减二阿尔法。哎，这里你看刚才我标的等腰，等腰的话，那么我就可以推出这个角，它应该是一百八十度 减九十度减二二阿尔法，这里是二阿尔法，除以二就等于四十五度加阿尔法， 所以这里就是四十五度加 r 法。其实到这我们发现已经做完了，你也可以继续算啊，如果没看出来这里就是四十五度减 r 法。内错角，这里就是九十度减 r 法，外角也可以算出来，所以这里不管是从外角还是从这个 这个地方补角，这里我们都可以求出来。那最先求出来的这个角角 a a 撇 c， 它不是应该等于一百三十五吗？它等于谁呢？角 a a 撇 b 加角 b a 撇 c， 就 等于九十度减阿尔法，加四十五度加阿尔法，你会发现阿尔法约掉了，也就是一百三十五度， 没问题吧？所以在我们的这个问题里面，不要去忽略边的关系，对吧？其实也就是我们第一步有什么你要去忽略边的关系，对吧？其实也就是我们第一步有什么你缺条件一定是做不出来的。 好，所以这里面他既然依然用了边的四边形、正方形边的关系，对吧？以及我们基本的倒角。好，我们来看第三问， 问啊，给了新的条件有什么？ 第一问，有什么？我们回顾到事先的条件啊？这里边相等边相等，边相等，边相等，边相等边相等，对吧？那新的条件是 c g 等于 c b 好， 又多了一组等于两组 c g b 和 c d g 好， 那么回到这里我们再看问什么？ 问三角形 a 撇 d g 是 什么形状？相信大多数同学都可以判断出它应该是等腰三角形， 那有的同学就在纠结他究竟是不是直角三角形，对吧？那很多同学就在纠结第一步，这个时候很简单，你难道考试不带量角器吗？量角器用来干什么？量特殊角，除了这里，你可以甚至去做动点里面的定角，定弦问题， 都可以量出它的特殊角，所以这里面我们看经过你一量，哎，你发现三角这个角 d a 撇记它就是九十度，对吧？ 那我们就要证明它是等幺 r t 三角形，那么既然是等幺，也就是说我们看这个时候就是你可以联系到那个什么，从问什么去联系有什么了。 d a 撇和 a 撇，这它俩是一定相等的，对吧？既然它俩是一定相等的，再联系到我们的问题条件 d c 和这个 c g， 它俩也是一定相等的，再加上公共边上下两个三角形，一定全等， ok， 那 么从全等我们反过来就可以证明它是等腰了，对吧？ 这是第一个，我们正反等腰，第二个倒角就是九十度，就倒角就行，这个交给同学们自己再倒一遍，其实也一点都不难，我们先做第一个，先证明他是等腰， 我们看有什么条件啊？ c g 等于 cd， 这是第一个边相等，第二个 c a 的 c a 撇等于 c a 撇， ok， 那 这两组三角形 c d a 撇和三角形这个 三角形 c g a 撇，他们两个如果要全等的话，就缺一个条件了，两边都有了，对吧？缺一个谁？很明显两边的话和它的夹角全等，那么就证明这个角一和角二就行了。 那我们来看看角一和角二相等好不好？证，我们根据上一问的条件，我们可以求出这个角 b c a 撇，它是四十五度加尔法，对吧？那么要想求出角一，只需要减去这个 b、 c g 就 行了。好，这个 b c g 它等于谁呢？我们标这个 b c g， 我 让它等于角三， 从下面来看就很简单啊，因为它也是在一个等腰三角形里。我们刚刚总结了，如果你前面没有去分析这个边的条形，这个时候你的脑思路就会乱， 根据前一问，这里是九十度减阿尔法，这里是阿尔法，所以这个角它就等于旁边那个角九十度减阿尔法， ok， 那 么上面那个角我们角三就等于谁呢？ 一百八十度减去二倍的九十度减阿尔法，对吧？角三我就算出来了，角三算出来，那么角一就算出来，角二也就算出来了。因为什么角一等于角 bca 撇减，角三可以直接算， 那么角二也就算出来了， ok， 所以 总结到这呢，我们来看一下整道我们安徽中考的压轴题，他的考察特点其实就离不开这几方面，三角形、四边形的性质以及特点，正方形的对角线对吧？正方形的边长， 其次是角的转换，线段的转换，以及我们基本的全等相似勾股的推理，其实这里面除了相似，我们全部都用到了， 那么只要你这些基础掌握的扎实，去一步一步的按照这三问去推理，那么中考压轴题一定是可以解决的，希望对几天后的中考对你们有帮助。
489合肥杨帆提升
21:05查看AI文稿AI文稿hello， 同学们好，我是数学大兵老师，我们来讲一讲这个二五年合肥四十二中二模卷的几何压轴，这是一个结合特殊四边形为背景的几何综合体，一起来看一下哈。它告诉我们，这是有一个矩形 a， b， c， d， 然后 a， b 是 大于等于 b c 的 对角线交于点 o， 而且还有一组互相垂直的线段， 就是 e f 和 a e 垂直，那如错所述，可以把这个垂直给它交出来，就是这是一个直角啊。第一问呢，他说若 a b 等于 bc， 通过这一个附加条件，我即可得证这个矩形一组棱边相等，那就变成了正方形 a， b， c， d 了。好，那对角线互相垂直，平分且相等，而且还平分对角，每一个角都得的是 a， e 等于 e f。 第二个，让我们去证这三个线段之间存在的数量关系，那看到这个倾斜的直角，我们以前一直在念叨的倾斜的直角常用一线三垂直，那我即可用一个一线三垂直的方法来去证他。我就可以过点一哈去做这个 ab 的 平线。假设这个交于 m， 那 个这个交于 n， 我只要去证明这个三角形 a， m， e 和这个三角形是 e， f， n， 这两个三角形全等，那就可以说明什么你 a， e 和这个 e、 f 相等了。那一起来看看怎么去正反。首先做完这个平行以后，我即可得出来一个矩形，就是 ab am， 这是一个矩形，那矩形对边平行且相等，所以我可以得出来这个 b n， 这一个 b n 和这个 m 是 相等的。那同样的，我刚才说了平分对角，那这是四十五度，你这又是垂直，这个也是一个垂直，所以我可以得出来这个小的三角形 b， n， 它就是一个等腰直角三角形。那你的 e、 n 哈，这条边和 b， n 就 相等，那也和 m 相等即可得证。什么呢？即可得证我们这个一组对边相等了，然后再利用这个角有垂直，这一个小角和这个小角是不关系的，相等那两个三角形即可找到全等 i e 就 等于 f e 了。 好，一起来给它标记一下。 第一个，第一小问，我们来证明一下，我们是过点 e 做的 m， n 平行于 ab， 交 ad 于点 m， 交 bc 于点 n。 首先由我们这个 a、 b 等于 bc， 加上这个矩形 a、 b、 c、 d 两个条件一合并，它就变成一个正方形 a， b， c， d 了啊，因为，所以可以得出这个结论，那则我们这个 b、 d 哈，就是平分， 平分角 a、 b、 c， 得出来这个角 a、 b、 d 等于角 c， b、 d 都是等于四十五度的啊。然后我们做完这个平行以后呢，即可得出来我这个垂直，垂直以后，我们来 你的 b、 n 和 e、 n 所在的这个三角形即可说明它是一个等腰直角三角形了。好，再来说明一下哈。首先异正我们这个四边形 a， b， n， m 为矩形， 做完这个矩形以后，我们得出来第一个就是 a， m 等于 b， n 这个矩形的证明还是比较简单的哈，因为你做了平行，这个角是九十度，这个角也是九十度，有三个角是九十度的，那说明这个角是九十度，或者是说明这个角是九十度，都可以说明它是一个矩形了啊。 好，证完这个之后呢，你的 b、 n 和 am 相等，这是一点，那我们再去证一个等腰，直角三角形。刚说的还有一个是三角形 b n e 为等腰， r t 三角形即可得出来， b n 和这个 an e 是 相等的，这是两个相等的腰，这个边和这个边相等，也和这个边相等，然后再 e 证，指出全等 有角度有角，这个是 a e， f 等于九十度可以推到这个角 a e m 等于这个角 e， f， n。 然后异正旋转来了异正三角形 a， m， e 全等，这个三角形是 e n， f 全等，我们就是对应的是角角边， 那则我们的 a e 就 等于 e f 可以 得证了，这是对应的。 好，正完这个以后哈，那再来看第二个，他让你去证明这个 ab 还有 b f 和 b e 之间的数量关系，我依旧还是用这个辅助线都可以去。正因为你全等可以得出来的，你的 m e 和这个 f n 相等，就是我们这条边 和这条边是相等的，你看你的 m e 跟 a b 之间差一个水啊，是不是就差这一段，你加上这个 n e 就 行了。 n e 和 b e 呢？二分之根号，二倍的 b e， 那 b a 呢？也是二分之根号，那不又把 a b 还有 b e 都拎出来了，好，来写一下哈。 第二问，我们由 e 全等即可得出来，我们对应的 m e， 在 这里看，它和这个 n f 就 相等， 那 m e 呢？我们和 ab 之间的关系就差一个 e n， 再由 ab 等于 m， n 就 等于 m e 加上 n e 啊。这时候再来看哈，你的 f n， 它是由哪部分组成的？ b f 加 b n， 加上我们这个是 b n 来 b n， 我 们刚才继续得证了，它是和这个 e， n 还有 i m 都相等， 它这个是二分之根号根的 b e， 所以 你看你的 a b 有 没有出来，它就是变成谁了。那它其实就是相当于是我们的 b f 加上我们这个 b n， 再加上 e n 来 b f， 再给它换成二分之根号二倍的 b e， 再加二分之根号二倍的 b e， 那 最后结果就出来了，就等于 b f 加根号二倍的 b e 可以 得成。这是但呢，这只是第一问的一种接法， 法一就是用了一线三垂直， 但呢，我们还有一个法二， 反而呢，我可以利用一个接长不短的思想啊，但是这时候呢，我第一个是要去做垂，可以这样去做，我来把这个思路点一下哈，就是过这个点 e 去做 b d 的 垂线， 交这个 a b 与一点，我假设这是一点 g， 此时你做完垂直以后呢，我们这个 b e g 这个三角形是一个等腰直角三角形，因为四十五度也出现了呀，这个也是等于四十五度的，那所以你的记忆和这个 b e 就 相等。然后再来看你这两个小角， 这个角和这个角也是相等的啊。当然第一问，你这个角也可以去得证，证完这两个角相等，然后我们又有什么边对应相等，我只要再找一个条件，找哪一个呢？来，刚才说了这是九十度，你这个做的不是垂直吗？也是九十度。 同时去掉之后，你看看所得的这一个叉和这个叉什么关系了？就是 a e g 和 f e b， 它俩也是相等的角， 此时我们可以利用角角边证到什么全等，他证到全等以后，也可以说明 a e 和 f e 相等啊，这个就是第二种方法，但呢他做第二问会更快了，截长补短。因为你此时你看 b e 在 这里， 那 b g 呢？刚好是根号二倍的 b e， 那 a g 和谁相等，又和这个 b f 相等？第一问得证呢，直接可以得证。好，我们一起来看一下这个法二。法二，我们就是 过点 e， 我 们做的是记 e 垂直于 b d， 然后将我们这个 a b 与点 g。 首先我们可以异正正方形 abcd 啊，从而可以得出来我们这个三角形 b， e、 g 为等腰直角三角形 啊，这个等腰直角三角形以后呢，所以我们可以得出来，我们 b e 和 e g 相等 啊，这是一个全能条件出来了，然后再由八字形导角， 直接可以导出来我们这个角 e i、 b。 这个此时写角 e， i g 等于这个角 e、 f、 b， 再加上我们这个角 a， e、 f 等于这个角 g， e、 b 等于九十度，从而可以得出来这个角 a， e、 g 等于这个角 f、 e、 b。 同时去掉中间这个小角，它的剩余的两个角相等，然后 e 正水了即可。 e 正三角形，我们这个 a、 e、 g 全等于这个三角形 f、 e、 b， 此时它用的就是我们讲的九角边 证到全等以后呢，那则 a e 就 等于 e f 啊，这是第一小问呢证明。那第二小问呢，更简单了，我们由等腰二 t 三角形，它对应呢就是 b， e、 g 即可得出来，我们这个 b g 就 等于根号二倍的 b e 啊。在这里，那我又知道，通过全等由三角形 a、 e、 g 全等这个三角形 f、 e、 b 得出来，对应边是相等的，那我们的 a g 和 b f 就 相等， 那 ab 是 什么呢？因为 ab 它是由这个 a g 加上 b g 组成的， 那所以 ab 又出来了，就等于我们对应的一个 b f 加上这个根号 b 的 b 可以 得成了，这是第一大问的。 好，我们继续来看这个第二大问啊。我告诉你， f b 是 十二， b c 等于八，我们给它标上去，这是十二，这也是十二， 这是八，这就是八。然后 b e 呢？是二分之一的 o， b e 点是 o b 的 中点，那 o 点又是这个 b d 的 中点，这是一个 d。 好， 即可得出来，我们这个 e 其实就是 b d 的 四等分点， b 是 占它的四分之一啊，这是要知道的。我们刚才第一位呢，用了一个一线三垂直的辅助线， 正则的全等。那现在我如果去构造一线三垂直的话，他出的就是相似了。来，我们继续做，还是做这个 m n 平行于这个 a b， 那 相似比是多少呢？我们可以给它求出来。因为 e 点是 b d 的 其中一个四等分点， b e 比上 b d 是 一比四，那 b n 比上 b c 呢？也是的，那我们这个就是二， 那同样你的 e n 呢？它也是这个 c d 的 四分之一，那就是三，那你 m 也是等于二的，所以它的相似比就是二比三，那我们 m e 这边是九。哈， 此时我就可以把 f n 给它求出来了。 f n 知道你的 b f 呢，不就可以知道了吗？对吧？这个一知道，接下来他让你去求的是谁啊？求的这个 f p 和 eq 的 比。你看 f p 在 哪里能用线表示出来？ eq 在 这里。那你想想，我们此时 f p 和 eq 之间没有关系，我即使把这个线段求出来之后，你如果再去把这个 e p 给它求出来，那个计算率就比较大了 啊，再去接上这个 f、 p、 e、 q 接上都不小，所以我可以给它利用相似来去转换。比如我们这里面还存在一个什么 八字形的相似，在这里你的 p e 比上 e q 是 多少？就是 b e 比上这个 d， e 就是 一比三。如果去解释这个 p e 这一小段长哈， 这个是 a， 那 你的 q e 就是 等于三 a。 那 我现在只要把这个 f p 也用 a 来表示出来，不就可以了吗？怎么表示呢？我刚说了，你把这个 f b 都求出来了， f b 和这个 b n 的 比，不就是你的 f p 和这个 p e 的 比吗？ 哎，出来了，那它的比值都用 a 来表示了，比值不就出来了吗？来。所以这个方法依旧可以在这个第二大文来进行试用， 还是一样的过点 e 做的是 m n 平行于谁呢？ ab 交这个 a， d 于点 m， 交这个 b， c 于点 n， 我 就不再去做追溯了啊。紧接着呢，我可以 e 正相似 e 正三角形 i m e 相似于这个三角形，对应的是 e、 n、 f， 而且我们相似比是多少呢？就是你的 m 比上 e、 n 啊。再由我们这个 b e 等于二分之一的 o b 即可得出来，我们这个 b e 比上 b d 就 等于谁呢？ b n 比上这个 bc， 也等于我们这个 e n 比上这个 dc 都是等于多少呢？是倒出来是一比四的，所以相似我就不交代了。这个平行再相似比较简单，所以你的 b n 就 等于二，你的 e n 呢？就等于三， 那则相似比哈，我们的 m e 比上 n f 就是 等于你的 am 比上这个 n， e 或者 e， n 就是 等于二比三的， 这个二是可以通过矩形可以得出来的。这二比三以后呢，所，所以我们的 n f 就 求出来了，因为你的 m 一 等于九呀，啊，猜一乘，那就是二分之二十七，再求出来，我们这个 b f 啊，就是 n f 减去这个 b， n 就是 二分之二十七减二，那就二分之二十三了。好，然后我们由 这个相似三角形 b， p， e 相似于三角形，这个是 d q， e， 这个相似要写一下，它是八字形相似，我即可得出来，我们的 p e 比上 q e 就是 等于 b， e 比上 d， e 是 等于一比三。我可以解设 p e， 哈，等于 a， 那 则 q e 我 们就等于三 a， 然后再由我们的 f b 比上 b， n， 它是等于 f p 比上 pe， 我 可以把这个 f p 给它表示一下，这是 f p 比上 pe 哈，那即使此时我们的 f p 就可以用这个 a 来去给他表示了。因为 f b， 你 刚求的是在这里二分之二十三，然后 b， n 呢，我们是二，那就是变成了四分之二十三，再乘 a， 你 就四分之二十三 a 则要求的哈，要求的你的 f p 比上 e， q 就 出来了，上面是四分之二十三 a， 下面是你给他解释的三 a 就 出来了，就等于几呢？我直接写就过了哈，就是等于十二分之二十三 啊，这是继续用一线三垂直来去整，但呢，这只是一个法一，其实我还有个法二法二呢，就是万能法。哎，在我们这个几何里面，永远的是哈，也不是说万能，大部分的几何体呢，我都可以利用这个方法叫四点共圆。 我如果把这个 a q 给你连接，你会发现我这是垂直， 这是垂直。如果取 i q 的 中点，你这样一连接，即可说明我们这个 i e、 q d 四点共圆。 它都四点共圆了，那我就可以说明角之间的关系了呀。如果把这个角换一个颜色哈，如果把这个角标记成 alpha， 那这个角它也是变成谁了，也是变成 r， 那 这个 r 的 值，它可以求出它内的值是几呢？就八比十，我们对应的是二比三，所以你的 eq 比上这个 a e 也是可以说明是二比三。那如果我给他这边是三 a， 那 我们的 a e 就 可以表示成二分之九。哎， 那再来看哈，我们这个垂直依旧还在，这边也是垂直啊，这个呢，也是垂直。我继续可以说明这个 a e b f， 它是四点公园，一样也可以取 a f 的 中点来去证明四点公园，这些都是不会扣分的。那它对于那角呢？ 这个继续是 r， 那 这个角也是 r。 发现了哎，我即可说明我们这个二分之九 a 的 同时，我即可说明这个 f e 也可以用 a 来去表示，它去掉 a 不 就等于 f p 了吗？都可以用 a 来去表示。好，这是法二。我们来给它写一下哈， 就是连接这个 i q， 然后取中点去正四点公园， e， 正点就是 a e q d 四点公园， 这时候四点公园以后呢，它则我们这个角 e， i q， 就 等于这个角是 e、 d， q， 我们都给它记作 alpha， 方便去表示哈。然后我们由它的 alpha 等于谁呢？是 bc 比上这个 c d 等于八比十二，也就是二比三。 我们还有一个就是 eq， 继续给它解释为多少呢？是三 a， 我 就可以得到我们此时的 a e， 哈，就它来比值，可以得出来这是二分之九 a e 是 二分之九 a 了。再来另外一个，再由 点 a e b f 这个四点共圆， 我即可得出来。什么呢？得出来另外一组对应角相等，就是这个角 a b e 等于这个角 a f e， 它也是等于 f 啊，所以推出来我们这个 a e， 那 它的 f e 就 等于 a e， 比上这个 f e 也是等于二比三的。 此时，那此时呢，我即可把这个 f e 给你表示出来，用 i 来去表示 f e， 那 就等于四分之二十七 f e。 知道了，刚才我们这个 e p 继续是通过八字形相似给他解释的 i， 那 则我们的 f p， 哈，就是 f e 减去 p 减去这个 p 就 变成了四分之二十三 a， 四分之二十三 a， 再比上刚才的 eq， 那 所以你的 f p 比上这个 eq 哈， 还是一样的。四分之二十三 a， 比上我们刚才的三 a， 最后结果还是十二分之二十三，这个就是利用四点共圆的方法来进行求解的。
25数学大兵老师
03:56查看AI文稿AI文稿期末前要是跟孩子说你要努力，要努力，这样的话基本上属于没什么大用处的话。那我们期末前大家要怎么样？要多刷真题，刷好题。 什么样的题叫好题呢？关注甘老师，我带你一起用两分钟刷完合肥四十二中的这道第二十二题。首先这是一个正方形，告知你了，边长是根号十，根号十，根号十， 并且 d、 e 等于 ab， d， e 在 这， ab 在 这， ab 又等于 c、 d， 所以 这两个边长相等，其实还等于 a， d， a、 d 也是正方形的边，那么出现了一个双等腰， 双等腰我叫干嘛？我叫倒角，我给他做一下标记，假如这个角是 alpha， 那 这个角也是 alpha， 假如这个角是 beta， 那 我们这个角也是 beta。 好， 标完以后继续看，做 d， f 垂直于 a， e 啊， f 点是一个垂点， 知道垂点以后，那我们先看 d。 问啊，要我们判断 a、 e、 g 这个三角形的形状，这个其实是非常好判断的。 好，为什么呢？首先这是一个什么东西啊？这是一个垂直平分线， d、 f 跟 a、 e 是 一个垂直平分线的关系， 对不对？等腰三角形三线合一嘛？ d、 f 是 垂直平分线，那么垂直平分线上的点 g 点到线段两岸的距离相等，也就是说 g， a 等于我们的 g 已经得到它是一个等腰三角形了。还有没有关系我们没有发掘出来呢？我们说有 什么样的关系呢？我们从这个四边形 a、 e、 c、 d 发现这是一个直角，也就是说贝塔加上贝塔，加上阿尔法，加上阿尔法，加上九十度的直角，等于四边形内角和三百六十度，这样一来， 两倍的阿尔法加贝塔等于两百七十度，说明阿尔法加贝塔等于一百三十五度。 阿尔法加贝塔在哪？在这，他是一百三十五度，那么他就是四十五度。刚我们说了，这是一个等腰三角形，这也是四十五度，说明这个顶角是九十度，所以第一问三角形 a、 e、 g 就是 一个等腰直角三角形。 好，这是我们的第一位，我们继续看第二位，他给了我们 g， f 是 根号二，这是根号二，我们说这是一个等腰直角三角形， f 点是中点，又是垂点，三线合一，所以四十五度，四十五度 都是四十五度，那么这个也是根号二， ef 也是根号二，所以 g 这个边就等于二。 a， g 这条边也是二， 他要我们求谁？求 c e， 求 c e， c， e 所在的线段 g， c 对 吧？不知道，但是 g e 我 们知道是等于二，所以我们把 g c 给它求出来，其实就可以了。 好，求 g c 之前， g c， g 点附近有一个直角，对吧？直角，把直角放到直角三角形里面去，我们看行不行？直接把干嘛？把 a、 c 放到直角三角形里面去，我们看行不行直接把干嘛。把 ac 一 连，我们连了 ac 以后，会发现 我们就很好的把 a， g、 c 这个直角放到了直角三角形里面的。啊，放进了直角三角形里面，那 ac 能求吗？当然能求， ac 放到勾股定律里面去求，就是 ab 的 平方 加上 bc 的 平方开根号也是根号十，根号十十加十二十，等于二倍根号。 ac 出来了以后，我用勾股定律 g、 c 也能求出来，对不对？能求出来就是 a、 c 的 平方减去 a g 的 平方看根号，那么就等于四 g， c 出来了，等于四，那我们的 ec 就是 等于四，减二等于二，简单不简单？
658合肥数学甘老师7-9
02:37查看AI文稿AI文稿啊，亲爱的同学们，大家好，今天王老师给大家带来一题反比例函数的几何异形之类的综合类题目，这是一道合肥的中考模拟题。好，我们来看一下这道题目哈。呃，如图， 菱形 a、 b、 c、 d 是 一个菱形，并且告诉我们 b、 d 是 平行 x 轴的， 那 a、 c 和 b、 d 分 别是菱形的对角线，菱形的对角线垂直是且互相平分的。然后题目中连接 o、 e 交 a、 d 与 f 点，然后反比例函数图像经过这个 f 点， 那我们由题可得，我们 f 是 不是 a、 d 的 中点啊，对不对？好，那我们来看一下啊，题目中给我们菱形的面积是等于十六啊，让我们求 k 的 值。那这道题目呢，我们要理解一下，给我们这个题，给我们这个， 我们来得到什么啊？那我们看一下啊，解 s 菱形，它等于什么呢？菱形是怎么算的？ 它应当是二分之一乘，对角线，应当是二分之一乘上 a， c 乘上 b、 d， 它是等于十六，那所以呢，我们 a、 c 乘上 b、 d， 它应当是等于三十二，对不对？ 好，那在这种情况下，我们可以设 f 点的点坐标啊，设 f 的 点坐标， f 点坐标红坐标，我们可以怎么表达呢？朋友们，我们可以将它理解成它等于四分之三倍的 b、 d。 纵项呢，可以理解成什么呢？它等于四分之三倍的 a、 c， 所以呢，我们由题义可得，我们的 k 值，它应当是等于四分之三倍的 b、 d 乘上四分之三倍的 a、 c， 那它就等于十六分之九倍的 b、 d 乘上 a、 c， 那 它就等于十六分之九乘上三十二， 那最终答案应当是等于十八啊，所以我们这个 k 值是等于十八的啊。好能理解吧。这题非常经典，建议大家重点收藏一下啊。
02:25查看AI文稿AI文稿嗯，各位同学们大家好，今天王老师给大家带来一题 关于引援的动点最值问题啊。嗯，首先看题目，而 t 三角形 a， b， c 中角， c 等于九十度，题目中告诉我们 a， c 等于十， b， c 等于十二。 然后题目中告诉我们 d 点是上面的 b， c 上面的动点。 呃， c， d 为它的一个直径啊， c、 d 为它的直径，那因为是动点，所以这个圆是在不断的变大或变小的，是不是？好，然后看到这个直径两个字，你要干嘛呢？同学们，你要做的干什 是？您看到直径你就要能理解的是，这个是直角并的圆周角为九十度。然后题目中让我们求的是 b、 e 的 最小值， 求某个边长的最小值。第一个我们要看，首先 b 点是确定的点， e 点是动点，那在这里面我们研究的是什么呢？我们研究的是动点的运动轨迹问题， 对吧？那在这里面毫无疑问的是什么呢？我们以 a、 c， 因为这个是不是垂直的？我们应该以 a、 c 的 中点为圆心，我们假设它为 f 点，以五为半径做一个引元。 我这画实线了啊。好，这个就是我们所谓的呃， f 点啊， f 点， e 点的轨迹问题。那 b 在 什么时候最短呢？应当是连接 b、 f 的 时候。 所以我们的 b、 f 由勾股定律能够得到的是，这个是五，这个是十二，五方加十二方，它应当等于十三，所以我们的 b、 e， 它应当等于什么呢？应当等于十三减五， 答案等于八，答案等于八，所以 b、 e 的 最小值为八啊。
00:30查看AI文稿AI文稿河北八项数学期末最难的一个题呢，就是举行这类几何综合压轴题。按照往年期末教研题的命题标准啊，这类题是用来区分筛选尖子生的，但我们团队老师把历年的期末试题啊都做了一遍之后呢，发现一个规律，就是每年考的 题虽然不一样，但是考察的题型几乎都是一样的，所以我们专门从矩形、菱形、正方形这三大题型里面呢，针对性的筛选出了二十道精选题，懂得呢，都懂，从现在开始呢，孩子只要吃透这些题目呢，期末数学那还不会的呢，你关注朱老师，我拉你进粉丝群。
89合肥升学朱老师