60个几何模型
初中几何不管怎么考，都逃不出这六十个解析模型，让孩子把它吃透，数学拿满分都有可能！初中常考必考的几何模型，这本书都帮你汇总好了。 像三年三十五考的铅笔头模型、三年一百三十一考的八字模型、三年二十八考的将军印码模型、三年三十七考的手拉手模型等，每个模型都有例题讲解，从审题到图解分析，教孩子一步步完成解析， 遇到选择填空题，就能直接套用结论写出答案，看不懂也没关系，扫码还有名师讲解，学完再做对应练习，有学有练才能更快掌握，让孩子把它吃透。初中三年不用抄！
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950锦熙成长记
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78励志书店
00:49查看AI文稿AI文稿期下开始，数学拉开差距的就是几何题，家长一定要给孩子准备这本学而思初中几何模型了解，初中三年常考的几何模型都在这里了，把它看完就几乎搞定初中几何了。 你看像铅笔头模型、猪蹄模型、角平分线模型、截长补短模型、手拉手模型、将军印马模型等全都有，每个模型先帮你总结好条件和结论， 还教给你辅助线怎么画，重点是怎么证明，都讲的清清楚楚。还精选了典型例题进行剖析， 让孩子学的明明白白，不懂得扫码就可以看视频讲解。更厉害的是，还精选了各地考试专题，学练结合，才能更好的掌握模型。学而思是真的太了解学生了，赶紧给孩子准备起来吧！
28:03查看AI文稿AI文稿本视频耗时一年，制作共计一百五十分钟，带你一口气学完初中数学所有几何模型。详细的几何模型目录已发到评论区，本次更新十二个几何模型，时长二十八分钟，先点赞收藏再慢慢看吧！孩子们！ 再咱们来看模型十九海盗埋榜模型也叫逆旋转啊，看下这种模型特点，第一个，它形容的是两个等腰直角三角形，再来看三角 c b， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转好。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连先来，之后取它中点 f， 一 旦取连 f 中点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相等。之后呢， f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也是四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q， 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个也三角形，是不也是等腰直角三型，也是它垂直的好，你看一下这个红的和这个紫是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是加左手啊？ e 是 不也是左手？ p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好？那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，先练完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了 pe 等于 d q 也有两个拉手线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢？ f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下 f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二，破罗摸几的模型，也叫破石模型哎，这它是由三个模型 衍生的，咱们来看第一个模型，垂直变中点，什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b， c 和 d b， e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转，旋转的话它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个角是直角，那么把 m b 进延长，延长完之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b a b d 边相等，第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。诶，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把看这第二个图啊，我只需要把啊 b n 进行延长，延长完之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后大家看，非常关键的一个，那我全等完之后，看一下，我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再将它的垂直，那所以所形成的这两个三角形，小的三角形 d q n 和 a p n 是 不是全等？全等完之后，那你 na 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 再看下这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个， c e 等于二维的 b n， c e， 你 看一下。哎，我把这个擦掉。 好，他来重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 m e 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ m e 呢？ m e 一 线三垂直， m e 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b q 嘛。 啊， b p 就 能以 b n 减去 np， b q 等于呢？ b n 加上 q n， 这两个相加一定等于二倍， b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直，还是 a b、 c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转完之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p、 b 进行延长，到这儿肯定垂直。 好，那就看一下这个位怎么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱们把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正，这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造，全等就是构造拼四边形，拼四边形的话，这个角 b、 e、 m 加上这个角 c、 b、 e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a、 b、 d、 a、 b、 d 加上 a、 b、 d 加上这个 c、 b 是 不也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等，哎，这两个直角应该相等。好，就要再看这两个直角相等，那我，哎，我换一个颜色， 那我看一下，我这个 b、 e 是 不和 b、 d 相等，那进来看，这个 m、 e、 m、 e 是 不和 b、 c 相等？刚刚全等，是吧？那 b、 c 呢？又和 b、 a 相等，那所以这个 b、 a 是 不和 m、 e 相等，那我在这儿一封，这儿一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？好，我就种完了。全等完之后，好，全等完之后，接下来看非常关键的，全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一， a， 这角二吧，用钢边角二，这是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了，对吧？而这第一个结论就是垂直 好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好正了，刚刚我说了，我这个三角形刚刚不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这个也是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，也就是说我这个 ap 等于二，而 a、 d 等于二倍的 bp， a、 d， 咱们刚输了，全等。 a、 d 这个三角形和这个三角形刚不正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a、 d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不就是 b p 的 二倍？所以说，我就证完了。哎，就是二倍啊。好，那接二，再看 最终的破锣磨几个模型，眼下定力，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现，如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形。 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直，那么如果说我其中这儿是垂直的， 这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的坡直定点。好，咱们来正一下。为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？嗲，这是角一在这呢，角一是不在这呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角一，这个角一是不是在这呢？为什么呀？因为同弧 c、 d 所对的这个角一和同弧 c、 d 所对这个角一是不相等啊。 所以，其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等。相等完之后， f m 是 不等于 f a？ f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点。好，看一下，我这个角在哪呢？ 我这个角，哎，是不在这呢？为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不相等。再来看，我这个红角是不在这呢，因为他们同时加上这个角都是九十度吗？ 对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加一角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢。好，那这两个红角是不相等，相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d c f 是 终点，所以我就中完了，好，大家学会了没有？他现在再看第三个 模型，二十一啊，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你的三角形 a， 制药三角 a b c， 角 c 九十度， a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 p c 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过屁点做这边一个垂直，哎，因为角偏定里 f d 是 不是挺等于 i， 这个 p d 是 不是挺等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊。好，那见了带一句看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边儿啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不也是 x， 那 它是不就是八减 x 啊？所以你所形成的这个扇形是不叫勾股定律啊？ 勾股定律，然后解除 x 是 不解，出来 x 之后，我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速地解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 tb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊。哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对吧？直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三，对吧？ 咱们继续看模型。二十二，矩形翻折模型。好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二，角三，然后第二个结论，可第三个角咱们看。 当你折叠时候，咱们记住，折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，那这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d e 等于 df， 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应边相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，因发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等，所以说 e a 是 不等于 e c 啊， e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e a， c 等于角， e、 c 也就成立的，也就角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等这一个直角，所以说这个三角形 f、 b、 c 和 a、 f、 e 是 不就全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a、 c 上，然后就已解决，把 a、 d、 f 折到了 a、 e、 f， 这若你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c， e 等于 a， c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之 后， a、 d 是 跑到 a e 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a、 d 是 跑到 a、 e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不就等于 a c 减去的？ a， e 也等于 a， c 减去 a d 啊，所以这个结论成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c、 f 等是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了。这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠中像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个 d 点对应点折到了 g， 这个 g 刚好是一百 f 是 它中间那个折。这个时候你要看一下 a g 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边，相等对应边，是不就是 a， d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a、 g， 你 这个时候你发现 a， g 是 不就等于 a、 d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看，哎，这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所对的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折的对应角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽贤图模型赵爽贤图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型。好，进来看一下，说在正方形 a、 b、 c、 d 哎，内部，然后在 a、 b、 b、 c、 d、 d、 a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e、 h、 g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两条直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样，它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 ef 是 不是就等于 f e 也等于 h g， 所以 这个就是个正方形了，所以我就正完了，是吧？这也是详细的一个证明过程。 我再来看二四风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种，哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖边好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就是这个地方是三尺。那你还发现哎，这种咱们用勾股定律结建方程。还比如说咱们说折断后的那个 高度是 a x， 也就这一段是 x 比总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎， u 数的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定律，因为它有个直角，对吧？每只 x 方加三方 a 就 等于十减 x 方，然后吹截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹数轴形是勾股定律的一个应用。再看出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型， 什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？就这一段 a b 出水三尺，因为它漏在水面上，三尺嘛， 然后接下来风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢？它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 反向后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。诶，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x， 值 内发现 p b 是 不等于 pc， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a 它是不是加上 a c 方就等于 pc 方，是吧？ pa 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢？这个 p c 呢？就 x 加三呢？所以直接解的 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看魔像，二十六、三七八和五七八魔像这个非常非常重要，犹如咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛，一个赛型三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到，其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形。为什么呢？咱们可以尝试一下 给，比如说有这么一个三角形等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a d 勾股定律， a d 就是 四根，四倍根三四 b 根三。好，你再看 e、 d， 这个 b、 d 是 不是四？ b d 是 四的话，这儿是三，那这儿是不就是个一，这儿就是个一，所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形这儿是四， b 跟三，这儿是一，所以勾股定律是不直接可以求出 a e 啊， a e， 你 求完之后发现 a e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满，它足够的敏感，它们一旦一拼，就是一个等边三角形 好备好，咱们继续进来看。蚂蚁爬行莫行，哎，这里是勾股定律那块经常会遇到说蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬，爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，这样把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面，翻成平面之后，哎，这边就是个 b， 这边就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方，就这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和让 b 和 c 沿成一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样了。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀？比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就是 a 一个长方 a b、 c 是 不？他的三个棱长，三个棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m、 n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看，有了之后呢？他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀？是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆筒的高，所以说圆的周长，圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面， a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去？行了，他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就是你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜。这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路上什么最短？哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边儿再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段儿这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的要什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇， 然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就 最短。什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b， 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续加 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a 地方， a 地方， a 加上 bc 方，好。第二个结论就是它这个面积 a、 b， c 的 面积就是就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方 a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论。第二个结论，它的面积， 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不二分之一的 b、 d 乘以 a 啊，下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊，我把二分之一 b、 e 提出来， a 加 c， 那 是不就二分之一的 a、 c 乘 b、 d 啊？所以我就求完了。 好的，看模型。二十九，叫中点四边形的模型。什么叫中点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m、 n、 p、 q 是 这个任意四边形的一个中点，它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b、 d 的 一半， 然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等， m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形了，对吧？好，第二个，像这种的， 这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行且等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 和这个 n p 是 不是就平行且相等？那所以它是不是还是个平四边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n m n 是 不是平行等于 a c 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 a c 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不就跟 p q 平行其相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么要一必要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个菱形。 哎，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等是不意味着它和它相等啊？本来一个拼四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看，如果对角线垂直且相等的四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个平行四边形，对吧？因为对角线垂直，第二垂直的话，它就垂直了。用对角相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了，所以说它既是矩形又是菱形，那么它就是个正方形了。 好的，来看三十十字架模型，这的正方形那儿会正常出现。说在正方形内部， a 有 这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么尾弦呢？就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f， 只要垂直稳，那么稳，那么 a e 和 b f 它相等。为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b e， 它是全等的。哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？里丫直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 是啊，再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以它要全等了，主要加角 b 全等了，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线， a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 都成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的嘛。全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？好，他说这种，哎，例如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要证这个 三角形和这边这个三角形全等就行，对吧？还是全等？全等就仍然相等了。那还有一种是蛮非常极端的，就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是，你只需要正它和它这两个三角形全等，全等完之后，哎，它就又成立了。所以记住， 正是正方形内部如果说有垂直，那叫 b 相等来，如果相等也 b 垂直，所以这两个是互逆的。
6293数学思维阳老师
00:40查看AI文稿AI文稿七年级不能心软，一定要狠抓几何的模型知识，因为初中数学的重难点就是几何模型，既抽象又难理解，所以不能大意。有远见的妈妈都给孩子准备好了这套模型图，描解初中几何，囊括了初中三年的六十个几何模型，像猪蹄模型、雨伞模型、手拉手模型等都是必考的。 每个模型的结论、证明过程，还有怎么做辅助线都给你梳理好了。还有对应的真题讲解，一步步教会孩子吃透每一种解析模型。课后还有真题练习，帮助孩子进一步加深对知识点的掌握程度。 全书都搭配了老师的视频讲解，不怕孩子搞不懂。吃透这套几何模型，数学就是你的强项科目！
00:48查看AI文稿AI文稿你永远也考不过一个从七年级开始就每周掌握一个几何模型的孩子，因为初中数学拉开差距的就是几何题。推荐这套初中几何模型图描解，包含了初中三年所有常考模型，象手拉手模型、雨伞模型、将军印马模型、 图不规模型、四点共圆模型等等。每个模型的图式、已知条件、辅助线画法和结论都用表格梳理好了。接着是模型证明过程，让孩子掌握解析原理。最后通过真题手把手教你学习解析思路和答题步骤，遇到不懂的 扫码就能看视频讲解。配套还有一本几何专项练习，每学完一个模型，及时做一夜练习，每天三十分钟吃透一个几何模型，把他们都吃透了！初中三年的数学都不用愁，家里有初中生的，快准备起来！
4蕾蕾同学
00:42查看AI文稿AI文稿如图， ab 平行 d 角 abc 等于二十度，角 c、 d 等于六十度，则角 b、 c、 d 等于多少度？ 这是典型的 m 模型，看过这本书的可以直接写结果，角 b、 c、 d 等于角 abc 加角 c、 d 等于二十度，加六十度等于八十度。结论怎么证明都有详细过程，每道题都有视频讲解模型延伸和拓展模型。典型例题，从答案到解析，孩子一看就懂， 学完后再来巩固练习和做中考题，就能彻底吃透这个模型。初中常见常考的几何模型都在这本万维初中数学几何模型里面，每天练一练，打开解析思路，提高解析速度和正确率。
00:43查看AI文稿AI文稿剑十五中垂线，剑三零做垂线，剑四五研两线，幺二零补直角。孩子如果学会了画辅助线，初中几何也就不怕了。 推荐这套初中几何描剪模型图，包含了初中三年所有常考模型，像手拉手模型、雨伞模型、将军印码模型、 胡不规模型等，每个模型的图式、已知条件和结论都用表格梳理好了。接着是模型证明过程，让孩子了解解析原理。最后通过真题手把手教你学习解析思路和答题步骤，遇到不懂的还能扫码看视频讲 解搭配练习册使用，有学有练，才能检查出孩子的薄弱点。家有初中生的快准备起来吧！
53阿硕学姐
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2蕾蕾同学
00:45查看AI文稿AI文稿这六十个解析模型都不让孩子背，还指望他的数学考上一百一十分吗？初中数学想考高分，就一个绝招，那就是每天背一个快速解析的模型，掌握建模能力。 等到了考试，大题秒出思路，小题轻松作答，直接准备好这本模型图，秒解初中几何！整个初中阶段必考的六十个几何模型都整理好了， 比如双中点模型、燕尾模型、中垂线模型、呼不归模型等。每个模型不仅有公式速记，还教给你辅助线怎么画，就连模型怎么证明也讲得清清楚楚。 重点是还精选了典型例题进行剖析，解析思路特别清晰，不理解的地方扫码就能看。名师讲解，基础不弱的孩子也能学懂，学完及时拿出练习片做题巩固，学练结合，真正掌握模型解析技巧。
10洛洛上学去
00:49查看AI文稿AI文稿初中几何考来考去，无非就考这六十个模型，把这些模型都吃透了！初中三年的数学不用愁，初一八个模型，初二三十三个模型，初三十九个模型，就用这本初中几何模型图描解，包含了初中三年常考的几何模型，像常考的将军银马模型、手拉手模型、 不规模型、四点共圆模型等等。孩子遇到不会的题，只要能判断这个题是什么模型，就能像查字典一样找到模型。结论，每个模型的图式、已知条件和结论都用表格整理好了， 模型证明过程也整理的清清楚楚。最后通过一道真题，手把手教你解析思路和答题步骤，不懂的还能扫码看视频讲解搭配练习册使用，里面都是精选的题目，每天十五分钟，学炼结合，吃透初中几何模型！家有初中生的快准备起来吧！
17小初必备考点
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16蕾蕾同学
00:57查看AI文稿AI文稿你永远也考不过一个从七年级开始就每天掌握一个几何模型的孩子，因为七年级的数学成绩百分之四十是由几何题决定的。你就吃透这本几何模型图，了解到了期中期末想拿低分都难。 就是这本初中几何模型图了解，囊括了初一的八个模型、初二的三十三个模型、初三的十九个模型、向常考的将军印马模型、 线尾八字模型、手拉手全等模型、 a 字模型、点线员最直模型。每个模型的已知条件是什么，辅助线怎么画，结论是什么，证明的方法都拆解的清清楚楚。再结合典型真题，从找模型到透用模型，让孩子掌握解析思路，吃透答题技巧， 每个模型扫码就能看视频讲解，哪怕是基础差的孩子也能学会。学完一个模型就用配套的专项练习，及时做真题训练，学会举一反三，彻底掌握几何模型的解析技巧，孩子的几何就稳了，家有初一到初三的孩子都可以用。
298涵涵和乐乐同学