焦作二模几何压轴题
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14:13查看AI文稿AI文稿hello 同学们，我是数学王老师，今天我们来讲焦作二墨压轴题。我们先读一下题，如图，在等边三角形 a、 b、 c 当中， ab 等于三，那么 ab 等于 bc 等于 ac 都是等于三。 d 是 平面内一点线段， a、 d 绕点 a 逆时针旋转六十度至 a， e 啊 d 点和 e 点都是动点直线 b、 d 与 c、 e 相交于点 f， 若 a、 d 等于根号三，让我们去求 b、 f 的 最大值和最小值，那么要求 b、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运 动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹和 e 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹和 e 的 运动轨迹，它是跟着 d、 f 的 运动轨迹和 e 的。 那么 d 点和 e 点很明显是在以 a 为圆心，以 a、 d 的 长为半径的圆上。 我们先把 d 点和 e 点的运动轨迹给画出来，然后再看 f 点， f 点是在 bfc 这个三角形里面，如果 f 点在动的话，那么 bc 是 一个定长。 我们关关键是看 bfc 的 这个角度是多少。 ac 和 df 相交于一点，这个点我们设为 g 点 啊，那么 agd 这个角和 fcg 这个角是对盈点，两个角是相等的。然后我们再看 acf 和 abd 这两个角是什么关系。 那么 a、 b、 d 是 在 a、 b、 d 这个三角形里面，角 a、 c、 e 呢？也是在三角形 a、 c、 e 里面，因为 a、 d 是 等于 a、 e、 ab 是 等于 ac 这个角和这个角，它们两个都加 d， a、 g 是 等于六十度，所以这两个角也是相等的。那我们就可以去得出来，三角形 b、 a、 d 和三角形 c、 a、 e 是全等的，所以 a、 c、 e 这个角和 a、 b、 d 这个角我们是相等的，那还有一个对顶点，所以 g、 f、 c 这个角就和 b、 a、 g 这个角是相等的，所以角 b、 f、 c 是 等于六十度。好在一个三角形里面， bc 是 定长三， b、 f、 c 是 固定的角度，是六十度，那它很明显是在一个圆上，因为刚好 abc， b、 a、 c 这个角是六十度，所以 b、 c 所对的圆周角， b、 f、 c 所对的圆周角， b、 a、 c 都等于六十度。所以 f 点的运动轨迹就是在 a、 b、 c 这个三角形的外接圆的圆上。那我们把 f 点的运动轨迹给画出来， 画出来之后呢，它让求的是 b、 f 的 最大值，那么 b、 f 的 最大值， 因为 b、 f 是 弦，那么最长的弦肯定是直径，所以我们就是 b、 f 经过圆心的时候，我们把它求出来就可以了， 我们可以把它给单拎出来，这个是 b 点、 f 点，然后 c 点这个角度是六十度， bc 是 等于三， 所以 bc 比上 b、 f 就 等于 c、 n 六十度，就等于二分之根号三， 然后 bc 的 长我们知道是三，所以我们就可以求出来。 b、 f 的 长， b、 f 就是 三，除以二分之根号三就是三，乘以根号三分之二，最终求出来是二倍根号三 好，那么 b、 f 的 最大值就是二倍的根号三，我们就求出来了，然后我们去求 b、 f 的 最小值，因为 f 点是在圆上去运动， 并且它是在 b d 这条直线上，如果它往下运动的话， d 点就不存在了，所以我们是往上运动。那么什么时候 b f 它是最小的呢？我们需要看一下这个三角形 b c f b c f， 我 们在 f 点在运动的时候， 我们会发现，因为 bf 的 最大值是直径嘛？它如果 往上运动， bf 是 一直在变短的，然后角 fcb 也是一直在变小，然后角 fbc 是一直在变大的，所以我们要求 f b 的 最小值。其实我们可以根据角度，就是当角 f c b 最小的时候， b f 它就是最小的，也就是当 f b c 是 最大的时候， b f 就是 最小的。我们也可以去证明一下，过 b 点做 f c 的 垂线 相交于 h 点，因为 b f b f h 是 六十度，所以 b h 比上 b f 就 等于 sin 六十度， 等于二分之根号三，因为，所以 b f 就 等于三分之二倍根号三倍的 b h， 所以 当 b f 最小的时候，就是 b h 最小。那么 b h 在 直角三角形 b h c 当中呢？ b h 比上 bc bc 的 值是三，就等于 c 角 bch， 那 么 bh 就 等于三倍的 c 角 bch。 因为 正弦函数它在零到九十度，随着角度的增大而增大，所以当 bh 最小的时候，就是这个角 bch 最小的时候。那么 bch 什么最小呢？也就是 c f 这一条直线往上运动，直到和这个圆 a 相切的时候， 我们取得最小值，这个角是最小，那么这个时候 e 点是在这里， f 点是在这里，因为 d 点是 e 点是 d 点旋转过来的，所以 d 点是在这里 我们连接 a、 d 连接 b、 d， 因为 f 点是 c、 e 和 b、 d 的 这个交点，然后连接 a、 f 连接 a、 e。 因为 ec 这条直线和圆是相切的，所以这个是九十度。因为我们在在求那个最小值的时候，已经证明了 b、 a、 d 这个三角形和 c、 a、 e 这个三角形，我们是全等的，所以 b、 d 就是 等于 ec， 它们两个是相等的。然后我们看，因为 ac 是 等于三，那么 a、 e 是 半径，是根号三，所以 ec 的 长就是 根号六，所以 b、 d 是 等于 ec 等于根号六。好，这个时候我们只需要去求出来 d、 f 的 长，就可以求出来 b、 f 的 长，那我们来看 b、 d 是 等于 根号六， ad 是 等于根号三，所以 ad 的 平方加 b、 d 的 平方是等于 ab 三的平方，所以这个角也是直角， b、 d 和这个圆也是相切的好， ad 和 a、 e 相等， af 是 一个公共边，所以这两个三角形 a、 d、 f 和三角形 a、 e、 f 是全等的。我们证明了三角形 a、 d、 f 和三角形 a、 e、 f 是 全等的。因为 a、 d 是 旋转六十度到达 a、 e， 所以 d、 a、 f 这个角就是三十度，那么三十度 d、 f 比上 d、 a 是 根号三，就等于贪婪的三十度， 等于三分之根号三，所以 d、 f 的 长度就等于三分之根号三，乘以根号三等于一，好，那我们就求出来了 b、 f 的 最小值就是等于 b、 d 的 长，根号六，再减去 d、 f 的 长是一，最终是根号六 减一。我们来梳理一下这道题的思路。首先 abc 是 三个定点， d 点和 e 点在动，所以 f 点也在动，那么 d 点和 e 点的运动轨迹是圆，我们 观察 f 点是在 bcf 这个三角形里面，因为 bc 是 定长三，我们根据 abd 这个三角形和 ace 三角形是全等求出来 bfc 这个角是六十度，所以 f 点是在一个圆上，把 f 点的引圆给找到， 找到之后 b、 f 的 最大值就是直径，那么 b、 f 求出来直径是二倍，根号三，那么 b、 f 在 这个三角形 b、 f、 c 里面一直在动，我们要求它的最小值， 我们就是向上运动， b、 f 越来越小，那么 f、 c、 b 这个角越来越小，那么 f、 bc 这个角越来越大，所以我们依据一个角就可以了。 b、 f 的 长，我们它最小的时候， b、 h 取最小， b h 取最小的时候，这个角 f、 c、 b 是 最小的好，那么 f、 c、 b 最小的时候，我们是 fc， 这条线和原 a 是 相切，相切之后的话，我们根据 第一小问求出来的。 b、 d 和 ec 的 长是相等的，所以 b、 d 是 等于根号六，算出来 b、 d 等于根号六，因为 ad 等于根号三，所以 ab 是 等于三，那么角 b、 d、 a 这个角就是九十度， 所以 a、 d、 f 和三角形 a、 f、 c、 a、 f、 e 是 全等，那我们证明出来 d、 a、 f 是 三十度， 所以我们就求出来 d、 f 的 长度是一，那么 b、 f 的 长度就是 b、 d 减去一，就是根号六。减一，那么这道题我们就做出来了。
56河南数学王老师
14:55查看AI文稿AI文稿好，大家好，今天呢，我们一起来看一下今天刚烤的焦作一抹的十五体和二十三体，好吧，剩下的体等我们回头再看。 来看一下这个十五体的一个考察方法啊，是个十五体，如图角 a o b 呢，是等于六十度的，然后呢，点 m 呢？是 o v 上一点，这是个定长，对吧？啊，这个有一角，有一边了，点 n 呢，肯定分类讨论了，连接 m n 做点 o， 关于对称啊，其实就又是考察折叠了，对称不就是折叠吗？那这个时候呢，我们知道这个 o 和 o 撇是关于 m n 对 称的，对吧？在这个题里面，他少连了很多线，我们去一会去连一下，去分析一下，好吧，点 p 呢，是 m n 的 一个三等分点， 那看到三等分点大概可能要考到相似了，对不对？然后呢，当屁片 o 平行于 o b 的 时候，求 m n 的 长，哎，求 m n 的 长。那我们来分析一下这个题啊，我们来分析一下这个题，把图稍微放的大一点， 那这个时候我们来看啊，这个这个体上给我们的这个线段。首先呢，这个 o 和 o 撇是关于 m n 对 称的，所以呢，我们这个 o 撇 n 是 不是等于这个 o n 的？ 包括我们这个 o p 是 不是应该是等于 o 撇 p 的， 这是一个对应关系， 对吧？这是一个对应关系，包括我们这个 o m 是 不是应该也是等于 o p m 的， 对吧？我们先简单去分析一下，那我们来看啊，这个题里边，这个又加了一个平行线，又加了一个三等分点，那我们先来分析一下对称的关系，首先呢，这个对称的话，我们知道这个边是等于这个边的， 这是对称前后的一个对应边，包括这个边也是等于这个边的。然后呢，这个地方呢，折叠前后呢，这个对应角对称，这个对应角是相等的，再加上这个平行角平分线加平行的等腰，这就是折叠这一套东西，他就喜欢这样去考，好吧， 那这个角二，角一、等角二，角角一、等角三，角二、等角三，那就说明这个 o 撇 p 是 不是也等于 o 撇 n 了呀？也就是说这个地方我们能得到这个 o n o 撇 p， 它是不是一个菱形啊？ 这个地方是一个菱形，对吧？哎，这是我们从这个题里面可以去得到了一些关系，然后呢，这个题说了，这个点 p 呢是一个三等分点，是一个一比二的关系，一比二的关系，我们经常是不是就考察到去用相似呀？所以呢，这个地方呢， 我们就去构造平行就可以了，对吧？我们过这连接这个平行线于一点， 此时呢，这个时候呢，我们就得到这个一比二的关系，是不是又转换成这个边和上面这个边是一比二的关系了？所以这个时候呢，我们就把这个一比二这个关系呢也给他用上了。然后呢再加上这个体干的长度，这个 o m 十二，这个角是个六十度，那这个角是个六十度的话，这个地方是不是就是个一百二啊？ 答案，这个地方去构造这个相似啊，有很多方法，不止这一种啊，其他的也可以，我们就讲这一种，好吧，那这个时候呢，让我们去求的是 o n 的 长，那我们就设 o n 的 长是 x， 那 我们就设 o n 的 长是 x， 那 这个图里边呢？我把能标注的我都给它标注一下，好吧？ 嗯，就是我标注一下，那这个是 x， 这个是 x， 这个也是 x， 这个也是 x， 那 么根据上下这个八字相似的话，这个是 x， 那 这个是不是应该是二 x 呀？然后呢这个是 x， 这个长度是不是应该也是二 x？ 所以呢，这个时候呢，我们就得到了一个东西，我把这个东西给大家描出来，好吧， 我把这个东西给大家简单描一下，就是这个二的已知边，还有这个二 x 所在的这个边，还有三 x 的 这个边。你有没有发现这个图里边有一个两边一角，虽然这两边是未知边， 那这是一个三 x， 这是二 x， 这是一个一百二嘛？那我们这种这种碰到两边一角的体是不是经常去做垂直啊？所以呢，我们去做一个垂直，构造一个勾定点就可以了，就是我们过这个地方去构造一个垂直 交这个延长线与点啊，这个有点不太像了，我擦一下，这个倒无所谓， 然后呢我们过这个地方去做一个垂直，对吧？那此时这是一百二的话，这就是一个六十，所以呢这是一个三十，那这是二 x 的 话，这是 x， 这是根号三 x。 所以呢到这我们是不是就可以列方程了呀？也就是这个，呃， x 加二扩起来的平方，然后呢去加上这个根号三 x 扩起来的平方，然后呢是等于三 x 扩起来的平方的。 好吧，那这个题你能做到这的话，那这个题我们求出来 x 是 不是就是我们 o n 的 长了呀？所以这个题呢，这就是其中的一个答案啊。另外一种情况就是在当点 n 在 左侧的时候，当点 n 在 左侧的时候，那这是两种情况，然后呢我就不画了，我给大家展示一下我做出来的这个结果， 大家看这种情况，我就简单给大家说一下，好吧，第一种情况呢，就是这个图右半块的部分，这个解出来这个 x 呢，是等于五分之 这个二减二倍，根号六是个负的嘛，所以 x 等于二分之二加根号六，那在左侧的时候也是一样的啊，也是跟右侧的思路是一样的， 也就是说这个做对称之后，这个地方也是一个菱形，然后呢一比二呢，也是做平行线，构成一个八字形的一个相似，通过设 o， n 是 x， 那 这个边也是 x， 对 吧？那通过一比二的关系呢？这也是二 x， 那 这个也是二 x， 所以呢，再借助这个内错角平行嘛，这是一个六十度，所以这个是二 x， 这个是三 x， 对 吧？这是一个，呃，三 x， 然后呢，这是一个， 这是一个二，然后呢就组成了这样一个三角形，跟我们这个题是不是差不多呀？啊？跟我们这个题差不多，所以这个题呢，我们也是去通过去做这个， 通过去做垂直啊，这个时候呢，这个这个地方是一个三十度吗？这是个六十度，这个边就是 x， 这就是根号三 x， 所以呢，在这个，在这个这个三角形里边勾定点是不是就可以了呀？就是二减 x， 因为整个长十二嘛，二减 x 平方，加上这个根号三 x 扩起来，平方是等于这个三 x 的 平方的。 那这个最后求出来这个答案呢，跟这个答案有点像啊，也是也是，这个五分之二加减，有一个是负的，所以是五分之二加二倍根号六，所以呢，就是五分之二加二倍根号六，还有一个是五分之二加二倍根号六，他俩合到一起的话，就是五分之二倍根号六加减二。 这是这个第十五题啊，那我们来看一下二十三题好了，我们来看一下这个二十三题。 这个二十三题的考察的话，这个题提到了，提到角了，我们来看一下这个题，我们先来看一下这个题，好吧， 那这个题说的是在 r t 三角形 abc 中， ac 等于 bc 直角，那这个地方是不是个等腰直角啊？其实考到这等腰直角，大家应该有个概念，等腰直角那个三线合一的那条线，它是一个特别重要的一条线，好吧， 点 d 呢？是边 a b 上的一个动点。来，我给大家说一下我的做题思路，点 e 呢是射线啊，射线就代表了这个体分为第一类和第二类了，然后呢保持 c d 呢，是等于 e d 的 这个地方是不是一个等边，然后呢，这个 c d e 这个夹角是既为 r 法的，然后呢过点 e 去做了垂直。 第一个题，当阿尔法大于零小于九十度的时候，让我们用等式表示这三个量之间的关系，那你会发现这个 af 啊，这个地方做垂直，再加上这是一个四十五度的话，其实 af 呢，它已经转换成了 ef 了，对不对？ a f 是 可以转换成 e f 的， 然后剩下的边就不好转换了，这个 d f 和 b d 呢，它就没法转换了。那这个题呢，这个时候呢，我们就就没有这个入手点了，对吧？那这个时候呢，我们可以从这个角度 r 法去去入手，从这个角度 r 法去入手， 我是这么做的啊，这个是个 r 法的话，我们就可以表示出这里边能表示的所有的角了，你比如说，呃，你比如说这个这个底角， 我把这个擦掉，我把这个擦掉，这应该用一个等量的圈来表示，那我们接着来研究这个角，这个是阿尔法的话，所以这个角它是不是就是九十度减去二分之一的阿尔法， 是吧？那这个角呢？就是二分之一阿尔法啊，这个角的话是不是应该也是九十度减去二分之一阿尔法，是吧？然后呢这个角它是一个四十五度，所以呢，我们是不是就可以表示这个角了呀？ 是吧？那这个角就是一百八减去四十五，再减九十，那这个角是一个四十五加上二分之一的阿尔法 啊，让我们来算一下，正好是不是一百八呀？这是这个角啊，二四十五加二分之一的阿尔法。那你上面表示这个阿尔法之后呢？我们知道这个角也是一个四十五，那这个时候你有没有发现一个问题啊？哎，就是这个角是个四十五加二分之一阿尔法，这是个四十五的话，其实这个角 这个绿色角是不是也是一个四十五加二分之一 r 法，它是一个外角吗？这个时候你会发现这俩角是不是相等了呀？这俩角相等有什么用处嘞？你会发现这个角， 这个角它所在的三角形是不是有一个 d e 的 这条线段，那我们这个角旁边也是连着这个 c、 d 这条线段的，所以这个时候呢，我们这个思路，我们这个思路就出来了，就是 c、 d 这条线再加上这个角的 r 法，那此时呢，跟我们这个题啊，我们这个换个颜色， 跟另外一个，就是这个第一个这条相等的线，还有这个四十五度加二分之一个 r 法，对吧？那它是一在一个直角三角形中，它是斜边，所以如果说此时我去构造一个直角三角形的话，是不就可以了？我过点 c 向这条线去做垂直， 是吧？我过点 c 向这条线做垂直，此时这俩三角形全等，全等。哎，你看这个有个边相等，是不是还都有一个直角相等 啊？然后呢，这个角是一个四十五度加二分之二法，这个角也是四分之加二法，那这个时候是不是全等了呀？所以这个题全等之后，我们这个题就得到了这个，这个，这个用个 m 来表示吧。好吧，这个 e、 f、 d， 他 就全等于三角形，这个 d m、 c， 是 吧？那这个全等之后，你看这个 a， 这个 e f， 这个 e f 呢？他就等于 dm 了， 是不是就等于 dm 了呀？而我们此时的这个 df 这个线段，它是不是也可以转换了？它可以转换成 mc 了，那我们知道 mc 相等的就比较多了嘛， mc 是 这个等腰直角三角形斜边上的高，所以这个 mc 呢，它也是等于 bm 的，是吧？那所以我们这个关系不就出来了吗？是不是？那你看这个，这个 a f 啊，这个 a f 等于 e f 呢？又等于 md， 是不是等于 md？ 那 这个，那这个 a f 和 b d 是 不是就可以拼了呀？是不是也就是这个 a f 加上这个 b d， a f 加 b d 是 不是就是 b m 了？而 b m 是 不是就是 c m？ 是 不是 c m c m 是 不是就是 d f？ 所以呢，就等于 d f， 那这是这个关系。那第二问呢？如果你第一问能想到这个过程的话，第二问的思路是一模一样的，好吧，第二问的过程是一模一样的。那在这呢，我就不画图了，大家看一下我画好的一个图，大家看一下我画好的一个图。 好，大家看一下第二问的这个图啊，就是当 当这个角度它大于零度小于一百八的时候，那我们知道当此时这个度数在这的时候，它是不是就等腰的话，就划到下边来了？那这个思路跟上一个这个思路是一模一样的，该干啥还是干啥，所以呢，我们就不细讲了，好吧，就是第一步呢，还是去正，就是还是做垂直，还是去正 d f e 和 c m d 这两个三角形全等全等之后呢，我们就可以转换了，也就是这个 e f 就是 等于 af， 然后是不是等于 dm， 但是你会发现此时的这个 b d 和这个 dm 它就不是一个相加的关系了，是不是一个相减的关系？ 所以呢，就是拿 b d 减去 a f 呢，就等于 b m， b m 是 等于 cm 的， 是不是等于 cm， 而这个 cm 呢，它是等于 df 的， 这是第二问啊，第二问和第一问的思路是一模一样的。好吧，然后呢，我们来看一下这个第三问， 第三问，那就相对来说就比较简单了，我们就可以借用第一问和第二问的图了，当阿尔法大于零度小于一百八的时候，然后呢，如果 a e 比 a c 是 一比二，让我们求 a f 比 b d， 那 你看这个图上我标注的 a e 比上 a c 是 一比二的话，那我们知道这个 e 点是不是就是终点啊？是吧？那所以此时呢，我们就设 af 是 x， 那 e f 是 不是也是 x？ 根据相似比一比二的话，所以 c m 是 不是二 x， 那 所以下边这个 a m 和 b m 都是二 x， 那 所以这个也就是 x 了， 是吧？再根据上一问的这个全等，这个 e f 是 等于 dm 的， 所以呢，它也是等于 x， 那 二 x 减 x 呢？这个 b d 也是 x， 所以 第一个呢，这个 a f 比上 b d 是 不是就是一了呀？是吧？然后呢，第二种情况，就是这个钝角的情况，此时的这个， 此时的这个 a e a e 在 这个位置，对吧？ a e 比 a c 这个地方是个一比二的话，那我们知道这个地方是不是也是个一比二啊？是吧？那这是一个八字形相似嘛？ 这个八字形相似，所以这个地方呢，它也是一个一比二，那这个地方和这个地方是一比二的话，我们就设这个是 x， 那 这个是不是就是二 x 啊？是吧？那这是一等的话，这是 x， 那 这也是 x， 那这是二 x 的 话，这个边它也是二 x， 这个边它也是二 x， 所以 二 x 减 x， 它也是 x， 所以呢，这个最后这个 a f a f 是 不是就是 x 呀？然后呢，去比上这个 b d， 此时的 b d 是 不是三 x， 所以呢，就是一比三了 啊？一比三，那这个题出的挺巧妙的啊。这个题，这个题，第一问，这个角度的用法跟我们二零二零年那个中考的考法是有点类似啊。那我们就是粗略的简单的去讲一下今天考试的这两道题，好吧？
06:13查看AI文稿AI文稿来我们看一下交轴二模这个填空压轴题，如图，角 a o b 等于六十度， m 是 边 o v 上的一点 o m 等于二点， n 是 直线， o b 上一动点 连接 m n 做点 o。 关于 m n 对 称的点 o 撇，点 p 是 m n 的 三等，一个三等分点靠近点 n， 当 p o 撇平行于 o b 时， o n 的 长是多少？ 这个题的条件和结论之间的距离比较远，不太好组织到一块。下面我们具体的把这几个条件给它分析一下。首先就是确定点的条件，就是这个 p o 片和 o b 平 平行时， p o 片和 o b 平行时，这时有什么条件？这二直线平行内错角相等，这时角 o 片 p n 和角 p n o 这两个角是相等的，怎样知道？ 再一个呢？这个有轴对称 o o 撇。关于 m n 对 称，咱可知 o 撇 p n 和 o p n 这两个角相等，所以 o p n 和 o n p 这两个角是相等的，所以 o p 它等于 o n， 也就是说 p o 撇和 o n 是 相等的，这是它两个平行时具备这个条件。 再一个还有就是轴对称，这个 m 你 连接这个 m o 撇， m o 和 m o 撇也关于 m n 对 称，那这个 m o 撇他的长也是二，这个条件咱用上了。 还有就是这个平行啊，还有一个最重要的用处，就是因为这个角 a o b 是 六十度，过点 p 做 p q 平行于 o b， 交 o a 于点 q， 一 做这个平行线之后，这个角 a o b， 它的同一角 a q p， 这个角也是六十度。再一个呢，这个三等分点咱也用上了， p 是 m n 的 三等分点，这是 m q 比上 mo 也是二比三，咱可以求出这是 m q 的 长，是 mo 的 三分之二，也就是 m q 是 三分之四， 这是咱们重点看一下这个三角形， m q o 撇在这个三角形里边， m q 咱知道， m o 撇咱知道， m q o 撇这个角，咱知道，它是边边角这三个条件。边边角的三角形，呃，它是不确定的，就是 第三边的长有两种情况，所以呢，这里面咱就求一下这个 q o 撇的长就行。那咱过点 m 做 m d 垂直于 q o 撇 m q d， 这是个特殊的三角形角， m q d 是 六十度，所以呢，这个 m d 是 三分之四的时候， q d 就是 三分之二，那 m d 就是 三分之二倍的根。二三。 在 m d o 撇这个直角三角形中，斜边是二， md 是 二倍，三分之二倍的根号三。有勾股定律，咱可以求出 o 撇 d 的 长是三分之二倍的根号六。 求 o 撇 d， 这时，那这个 q o 撇 q o 撇，就是这两段之合，也就三分之二加上三分之二倍的根号六，也就三分之二倍的根号六加一。咱求出 q o 撇这一段的长。再一个注意，这个 q p m q p 和 mo n 这两个三角形相似，比是二比三，是 m p 比上 m n， 所以呢， q p 比上 o n， q p 比上 o n， 它就等于 o 撇， p 比上 o n， 也就等于三比三。二 啊，不是说 o p 啊， o p 比上这个 q p， 它就等于 o n 比上 q p 等于三比二，也就是说 q o 片把它分成五份的话，这个 p q p o 片占三份，也就是说， p o 片， p o 片占五分之三倍的 q o 片， q o 片是三分之二倍的根号六加一，再乘以五分之二倍的根号六加一， 那这个 q o 片其实也就是 o n 的 长，也就 o n 的 长， o n 是 五分之二倍的根号里加一。 但是这这种情况，咱这是呃点 n 是 指向 o b 上一点，这个点 n 在 o b 上，点 n 也有可能在 b o 的 延长， b o 在 射线 b o 上。如果是在这边的时候，咱看一下，刚才我说了，这个 m o 撇 q， 这个三角形是边边角两边，确定，你看 m， 因为 m o 撇，知道 m q， 知道这个角两边和夹角，咱确定这个三角不确定啊。这时和刚才那个一样，咱照样有 这样有 o 撇 d， o 撇 d 是 三分之二倍的根号六，这样有 q， d 是 三分之二。所以呢，这是 o q o 撇 q 的 长应该是三分之二倍的根号六减一。 所以呢，这个 o n o n， 它就等于 o 撇， o n 就 等于 o p， 这里边这个 o p p， 它与 o p q 的 比照样是三比二啊。所以呢，这时这个 o n 的 长应该是五分之二倍的根号六减一。也就刚才就是这个 o p q o p q 啊， o p q， 一个是三分之二倍的根号六， 加上三分之二，一个是减去三分之二，就那那有一点区别，看着图形是这两种变化，但是就是中间稍微多一个减号啊，变成这个这种情况就行了。好。
147李老师数学
16:04查看AI文稿AI文稿今天我们来一起学习 二零二六年焦作市中考二模数学试卷压轴题。大家好，很高兴又与大家见面了啊！接着我们近期的分享，今天我们将来分享一个焦作市的一个二模中考二模数学试卷，一个压轴题啊，大家有需要这个试卷朋友可以私信我，把这个试卷分享给大家啊。 试卷的话，整体也是比较简单啊，不像这个去年，然后呢，稍微有那么一点难度啊。这个试卷的话，只分享仍然只分享两道题啊，第十五题，还有第二十三题啊，好，我们先看这个第十五题啊， 第十五题是一个平行的一个存在性问题啊。嗯，对称加平移加这个平行啊。好，我们看一下啊，其中告诉我们的一个角，一个角， a o b 是 六十度啊， m 是 这个 边 o a 上的一个点，且 o m 是 一个定值，是个二啊， m 是 一个定，是一个定点点， n 是 直线， o b 上一点连接 m n， n 是 在 o b 上一个一个动点啊，然后过点 o 做 关于 m n 的 一个对称点， o p r 也说 o 关于 m n 对 称的，那对称的话，我们就连下这个什么呢？ o p 啊， o 化成实线啊， 也说 o p 和 o p r p 是 关于 m n 对 称的，那这个数，这两个角就相等啊。好， 其中说了减 p 是 m n 的 一个三分点，靠近 n 点，也就是说一比二关系啊。嗯，好条件是当 p o p r 就 p o p r 平行于 o b 啊， p o p 平行于 o b 啊。好，题中有一个很关键的信息点， n 是 o b 上一点也说不只是在 o b 这一边，也可能在 o 的 左边啊， o 的 左边， 那么题中被文化这个图形就是其中啊，就是满足满足要求的一个一个图啊，我们先先按着这个图形先来计算一下啊，题中让我们求 o n 的 长，那么怎么计算呢？ 好，我们观察一下，出现了两个角相等，还有平行，那我们就把这两个条件都利用上，这个时候就会出现一个内错角，所以说就出现一个等腰三角形，也说 o n 就 等于 o p 啊， o n 的 o p， 那 这个时候的话，其实呢，其实我们怎么去解说这个图形呢？怎么解除 o n 呢？其实可以去解啊，但是怎么样选择能够使我们的计算更加的简洁啊？简介，这些图形看起来比较简单呢，方法有很多啊，但是我选择的是 是是这么来做的啊，我肯定要借助于这个六十度的一个角，所以说我把它延长过来，构成一个 x 形的一个相似啊，平行，我这边仍然做出来一个平行线啊， 好，比如这个点是一个 e 吧。好，下面这个红色的是一个等腰三角，那么上面这个蓝色的一定也是等腰三角啊，因为对应角再加内侧角，对不对？所以说相等啊， 其中说的是 o n 长，那我们不妨去设一下，这个 o n 的 长就是一个 x 的 o n 长， x， 那 么 o p 的 长也是 x 的。 这个时候我们知道下面这个红色圆形和上面这个蓝色圆形是一个相似比，是 一比二的一个关系啊，因为点 p 是 它的三等分点，记住说了点 p 是 它的三等分点一比二，那么这个是二 x， 那 么这个是不是也是二 x 啊，对吧？好，当然还有一个角六十度啊，其实这个角就在这个地方啊，是个六十度角，那么这个时候六十度角的话，我们可以尝试去构造一个这样三角形啊， 好在过点 e， 把这个六十度放在一个直角三角形中去进行计算出来啊，运用上去啊，所以说我们这样的做一条垂直啊，那这样的话，是不是问题就变得比较简单了啊，对吧？二 x， 那 么这个边就是 x 啊， 又是逗角吗？那么这个边就是根三 x， 于是我们是不是就出现了一个勾股定律啊，所以第一个方程啊，就是三 x 扩至的平方啊，对吧？那就应该等于啊， x 加二扩至的平方，再加上一个根号三 x 扩至的平方啊， 好，我们一块来解一下，其实解起来也比较简单啊，九 x 方，就等于啊，这边是一个 x 方，加四 x 加四，再加三 x 方啊， 左边九 s 方，右边是一个四 s 方，所以就出现一个五 x 方啊，移过去减四 x， 再减四，等于零啊，这个因子分解啊，因子分解不了，所以我们直接选用这个求根公式啊， x 就 等于二 a 分 之负 b 四加或者减，对吧？我们先把它减上去啊，加或者减， 减加或者减去根号下 b 方是一个十六啊，然后呢，再加八十，是根号九十六，根号九十六的话，我们可以开出个十六十六乘六啊，那就是一个四倍的根号六啊，对吧？很明显，这个时候我们很明显是需要要取一个加号的啊，因为他这个边不可能是一个负值啊， 所以说我们去下分母，那就是一个去下，这个月下分啊，所以就是一个五分之多少呢？二倍根号六加二啊，好，这就是第一个答案啊。好，我们再看第二种情况，第二种情况需要我们自己去在图中去构造啊，其实方法都是一样的啊，来，我们先把这个图先擦一下啊， 第二种的话，我们其实这个点，这个点 p 始终是在这么一条线上运动的啊，这个大家应该可以理解，对不对？始终在这个线上运动的，所以说我们就近次序找到这个图形就可以啊，这个时候又会出现一个等腰三角形，就像刚刚一样。嗯，好， 好，我们近似，大约找到这个地方吧。好吧，在这个地方啊，假设这个点点 p 就 在这个地方，那么这个时候 m p 啊，延长下来， 好，延长这个地方吧。好，近似的话一下啊，其实呢，不标准也没有关系啊，但是并不影响我们去计算啊，那么这个点就是一个 n， 这个点就是一个点 p 啊。 好，那这个时候的话有哪两个角相等呢？就是说 o 撇应该到这个位置，这边是一个 o 撇， o 撇这个时候的角度的话，仍然是这个角，等于这个角，这个时候仍然有个内错角，所以说这个时候的一个等腰三角形出现在这个地方啊，这个这个边等于这个边啊，可能画的不是很标准啊，但是不影响我们计算啊。 啊，我仿照我们刚第一种的一个做法，对吧？我们仍然构造一个 x 形相似啊，所以说把过点 m 也来做一条平行线啊，也做成平行线，这个时候与它相交啊， 构造一个，因为它出现一个三等分点嘛， x 形相似啊。嗯，好，仍然我设 o n 是 一个 x， 那 么这个边也是一个等腰三角，那么上面是不是也是一个等腰三角啊？那就意味着是这个角，还有这边这个角，这俩角相等，对不对？ 这里也相等啊，这个边是一个 x， 那 么上面边二 x， 那 么这个边是不是也是一个二 x， 对 不对？这个边 x 还有哪个角是六十度呢？我们说这个大角，这个大角是一个六十度啊，所以说啊，这个是我们是不是可以借助这个六十度角，仍然去借这个三角形啊？ 比如说一个边是二，一个边是一个三 x， 一个边是二 x 啊，就两边有一定的关系，还有一个角一个一个边啊，比如说一角一边，还有另外两个边啊，有一定关系，那么这个时候我们仍然可以来解这个三角形啊， 怎么解呢？当然要把这个六十度角放在这个直角三角形中，所以说我可以在这边考虑做一条垂线啊，过点 o 做一条垂线啊， 那么这一段就是一了啊，因为三十度啊，所对的边啊，所对这条边就斜边一半，这个边就是根号三啊，所以说我们放在左边啊，可以解出来个三角形，所以说三 x 扩至的平方啊，斜边的平方就等于啊，二 x 减一扩至的平方啊， 然后呢，再加上一个方程啊，那就是九 x 方啊，就等于这边是个四 x 方啊，减四 x 加四 啊，加一啊，减加一，加加一加三，其实就是加四啊，对吧？好，继续整理，那就是五 x 方啊，加四 x， 然后减四等于零和高的方程，是不是非常的相似，对吧？所以说啊，直接用求根公式 二， a 分 之负 b 负四，那后面肯定是一个加号了，对不对？根号下 b 方减 c c 啊，那这边仍然是一个四倍的根号六啊，所以说啊，这边换约分，那就是五分之 二倍根六减二啊，刚刚我们答案是一个加上二，对不对？所以说这个题有两个答案啊， o 文字长直接求出来了，其实并不是很难啊，我们要学会去画出满足要求图形，然后去利用我们所学的知识，然后进行这个计算就可以啊。好，这是第十五题，接下来我们看这个试卷的一个最后一题啊， 其实其他题的话，在我往期的分享当中啊，都有类似的题啊，我就不再做重复的分享了。好，二十三题啊，二十三题的话，它是一个 好啊，也不是很难啊，其实非常简单，其中给我们的数据都非常的都非常的这个好算啊，好，如图，在 r t 啊，三角形 a b c 中一个等腰折腰三角形啊， d 是 边 a b 边上一个动点，点 d 点 d 啊， 好， e 是 射线 c e 上一个动点始终保持了 c d 的 e， d 也说 d c e 等于 d e 啊，那这个时候其实点 d 就 在什么呢？我们先分析这个图形啊，点 d 就 在 点击啊，就在这个什么呢？线段 c e 的 一个垂直平分线上啊，只有这样的话才能满足啊，垂直平分线上点到现在两个人就相对，这便是垂直关系啊，就是说我现在有一条线始终是和 bc 是 平行的啊，好，第一问啊，第一问，当 r 法，这个 r 法角是这个等腰三角形的一个顶角啊， 顶角当 r 法小于零度啊，哎，大于零度，小于九十度的时候啊，让我们猜想这几个关系，好，我们先想九十度情况在哪呢？ 九十度的情况，那是不就应该在这个边的这个中点的位置，因为这样的话出现了一个小的一个等腰直角三角形啊，那这样的话，大家看一下，这就是一个直角对不对？这个角就是 f 啊，比如说此时这个 e 九的这个位置啊， 对吧？这两边是相等的啊，比如说点 e， 就 在 c a 之间移动的时候啊，我们观察一下 a f 啊，还有 d f 啊，还有 b d， 那这个时候的话，其实就有一个三角形全等啊，不知道大家能不能看出来了，我们可以在这边做出一条垂直啊， 首先我们先来找一下角，找一下角，首先这个等腰三角形啊，那么等腰三角形的两个直角相等，大角减去这边这个四十五度啊，对不对？当然这边这个大角也来减这个四十五度啊，于是我就出现了，是不是有两个角相等了， 那就是这边这个小角，那就应该等于啊，这个小角好，再加上其中告诉我们的 c d 等于 e d， 再加上直角直角，是不是角角边，角角边，对不对？角角边啊，所以这样三角全等全等完之后的话，比如这个点是 m 的 话，那就是我们就得到了 c m 啊， 就是 d f 啊， d f 就 应该等于 cm， 等什么呢？ cm 我 能不能说就等于啊 啊？ b m 对 不对？因为斜边啊，等于这条线，斜边中线就等于斜边一半啊，好， b m 又等于谁呢？ b m 是 不是就等于 b d 啊，再加上一个 d m， 而 d m 等于谁呢？ d m 光是加三角形的，是不是就等于 e f， 而 e f 恰好又等于 a f 啊？这边左边这个是一个小的等腰这条线啊， 所以说最后我们知道答案就是 b d 啊，再加上 a f 啊，这就是第一个结论啊，好，也就是说 d f 这边是个 d， 不是 o 啊，好，这是第一个的结论啊，好，我们先放到这个地方啊，然后再来第二个途中啊，第二个问的话，就是第一种情况的一个 一个一个简单的一个延续啊，好，当 f r 大 于九十度，小于一百八十度，我们先不说一百八十度在什么地方啊， 那这个时候，其实呢，我们就是说已经确定了点 e 就 在 c 的 延长线上，对不对？那我们就随便画一个图形啊，稍微延长一点吧，好吧， 稍微延长一点好，比如这个点就是一个 e 点。好，根据其中要求，左边出现了一个等腰直角三角形啊，来做出一个等腰直角， 那么这个点就是对应的 f 点啊，因为他说的是交到这个 a b 所在直线啊，这边是个等腰直角。好，还有还有什么呢？还有我们这需要找到，需要找到这个点 d 的 位置啊，点 d 的 话，其实我们就找到这个 c e 的 一个中点，然后做出了一个垂直平分线， 然后呢，那么这个点就是对应的 d 的 位置啊。好，我们仍然来连一下啊，有这个线段等于啊，这个线段，我们能不能像刚刚的一个结论一样来证明一下这个结论呢？ 是不是也有一个三角形全等呢？哎，非常好，也有啊，哎，我们做出来这么一个垂直啊，比如这个点仍然是这个点的话，我们把它标记成一个 n 点吧。好，比如说这边这个三角形啊，哎，和这边这个三角形全等吧。哎，答案是全等的啊，当然， 因为这边是相当于是四十五度啊，四十五度来减去这个角，又出现了这个角，对不对？而这边也是啊，四十五度角，这是一个四十五度角来减去等腰，我们刚说这个蓝色等腰三角形的一个极角，对不对？那算极角， 所以说就出现了这边这个角，所以说这俩小角又相等，再加上垂直，垂直啊，所以说角角边这俩三角形仍然相等。好，这个是我们的小结论，这个时候的 df 等谁呢？ 好， d f 啊， d f 是 不是就等于 c n 啊，对吧？ d f 仍然等于 c n 啊，哎，那就等于 b n 啊， b n 又等谁呢？ b n 我 们能发现，是不就等于啊， b d 来减去 d n， 那 d n 等于谁呢？ d n 三角形全等，是不等 e f， e f 又等 af 啊，所以说我们直接写出来，那就等于 b d 来减去 af 啊，发现这个尺子是不和上面这个尺子不太一样啊， 对不对？一个是相加，一个是相减啊，所以说结论不成立啊，我们写着正确结论变成正面啊。好，第三问当然也比较简单啊。 第三问啊，好，我先把这个行，先不擦图，这个图也可以啊，等会直接就利用这两个图来做啊。 好，我们看第一个啊，第一个，如 a e 比 c， a c 等于一比二，因为说点 e 是 ac 的 一个中点啊，点 e 是 ac 的 中点，那这个时候的话，那我们求的是 af 比上 b d 啊， 那 af， 哎，我们能不能说等于 b d 呢？哎，答案是，是不是就等于 b d 啊？来，我用绿色线段去描一下，好吧，你说 af 这个线段就等于 ef 这个线段啊，对不对？ 因为 e 是 重点，那所以说，那么也等于这个绿色线段，对不对？当然也等于这个绿色线段啊，也等于这个绿色线段，所以说这个时候你会发现 af 变成 b d， 是 不是答案就是一对吧？一， 好，这种情况啊，这种情况啊，这种情况啊，这种情况是什么呢？他说 a e 比 a c， a e 比 a c， 可能抽象的不是很标准啊，比如说我们直接来设一个边吧。好吧，仍然让我们求 af 啊，就是我设这一段这段小红色的啊，比如说是一个 a 吧，那么这一段也是 a， 当然这一小段是不是也是 a， 对 不对？ 而我们说了这一段和这右右边这一段是不是就是一个什么呢？一比二有关系啊？一比二，这个时候出现了一个什么呢？出现了一个啊，这个 x 形相似，可以吧？比如说这个是 a 的 话，那么这个是不是二 a 啊？当然下面是不是也是 a， 而这段也是 a 的 话，那就在中间这一段也是 a 啊， 那么这一段也是 a 啊，所以说这个时候我们能发现 b d 是 不是就是三 a a f 是 个 a， 所以 说这个时候就是一比三关系啊， 好题，非常简单啊，非常简单。好这个试卷的话啊啊，有需要这个试卷的朋友可以私信我把这个试卷分享给大家啊，这个试卷我们就分享这么多，如果说觉得我的分享对你有所帮助的话，记得点点关注，点点爱心，记得关注我们下个视频不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。
32心梦fly数理化
04:03查看AI文稿AI文稿今天上完课呢，我们来复盘一下二五年焦作二模第十五题的压轴题。 呃，这道题呢，是三角形 a、 b、 c 是 等边，三角形边的话是三， a、 d 是 根号三，旋转六十度到达这个 a、 e、 f 是 b、 d 和 c、 e 的 交点，让我们去求 b、 f 的 最大值和最小值。 那我们首先的话要找到 b， 要找到 f 点的运动轨迹，因为 d 点和 e 点的运动轨迹很明显是以 a 为圆心，以根号三为半径的圆上 啊。那三角形 a、 b、 d 和这个 a、 c、 e 呢？我们很容易去证明它们是全等的，因为 a、 d 是 等于 a、 e 角， c、 e 是 相等的， ab 和 ac 也是相等。 我们证明它完之后呢？因为 a、 c、 e 和 ab、 g 这个角就相等，对零角 a、 g、 b 和 f、 g、 c 也相等，剩余的一个角 b、 a、 c 和 g、 f、 e， 也就是 b、 f、 c 都相等，就等于六十度。 这样的话， b、 f 是 在 b、 c、 f 这个三角形里面，它有 bc 是 一个定值，是三，它的角度也是一个定值，是六十度，那么有定弦，还有定角度， 所以 f 点它就是在一个引圆上去运动，因为 b、 a、 c 这个角度也是六十度，所以 f 点的运动轨迹就是三角形 abc 的 外接圆。那这样的话，什么时候 b、 f 是 最大的呢？就是当 b、 f 是 直径，因为 b、 f、 c 是 等于六十度， b、 c 的 话是等于这个三。然后我们根据三角函数可以去求出来， b、 f 的 最大值就是二倍根号三， 这个是当 b、 f 取最大的时候。那什么时候 b、 f 是 取最小的呢？因为它一直是在运动，运动在左边的时候， b、 f 是 越来越短，那什么时候是最短呢？ 我们在三角形 b， c， f 里面过 b 点去做 f c 的 垂线啊，那么这个焦点呢？是定为 h 点，这样的话，因为 b f， c 是 等于六十度，所以 b f 就 等于三分之二倍。根号三 b h， 那 bh 的 长度我们可以用 bc 表示，它是等于 bc 倍的 c 角 bch， 所以 的话 bf 的 最小值和 角 bch 就 产生了联系，因为正弦函数在零到九十度之内，随着角度的增大，它的值是在增大。那什么时候是最小呢？ 就是角 b， c， h 最小的时候， b， f 的 值就最小，那就是 f c 啊，或者说 c e 这条直线，我们和圆相切， 相切的话，我们连接 af 很 好的可以去证明三角形 a， d， f 和 a f， e 是 全等的，那这个时候呢？因为 d， b 和 e， c 是 相等的，第一位我们已经证出来了啊，它是根号六，所以的话我们 这个角 d， a， f 和 e， a， f 就是 相等的，是等于三十度，因为 a， d 是 等于根号三，能够去证明出来 d， f 的 长度是一，因为 b， d 是 根号六，所以 b， f 的 最小值就是根号六，减一。
40河南数学王老师
06:16查看AI文稿AI文稿今天我以叫做二模第二十三题这个压轴题为例，你应该具备什么样的数学思维框架？这个是最基本的思路啊。 呃，数学思维呢，我们就像这个导航一样，你的脑子里必须有这个画面，你的知识是油点成线，油线成面，油面成立体，它的知识是串联的。 我们在面对这个二十三题压轴题的时候呢？第三问，我们常考的就是说求线段的长度，求线段之间的比值， 你必须具备两个大的前提方向。第一个前提方向呢，我们是需要分类讨论，常见的分类讨论有三个， 第一个的话，我们就分段去讨论，它在线段 a b 上，在线段 a、 b 的 延长线上。第二个点，我们分角去讨论，分锐角、直角和钝角，如果说是直角三角形，那哪一个角是直角呢？又可以去进行讨论。 第三个的话，我们是分边替套，分边去讨论。如果它是等腰三角形，两个边，哪两个边两两相等，这个是讨论的方向。 第二个大的方向呢，就是我们前两问证明的结论一定是在第三问要用到的。如果题目当中给了你几个图，这几个图就是你突破的 方向，那我们到底应该具备怎么样的这个思维框架呢？你的脑子里首先要储备四到五种解线段长度的方法。 第一个，我们可以利用全等，利用相似三角形去求这个长度，那难点在于如何证明全等和相似。想证明全等和相似，我们要去做辅助线，想做辅助线，我们常见辅助线的做法，你一定要知道。 一、在等腰三角形里面，我们三线合一，可以去做这个辅助线。第二，在平行四边形里面，我们连接对角线会出现这个中点，中点有可能是三角形的中位线，包括菱形的对角线是互相垂直平分啊。 第三的话，我们的这个辅助线它可以是在三角形里边，刚才我说了，如果出现中点，它是在这个中位线。第四点，如果说它是一个四边形的话，我们可以把这个四边形 分成两个三角形，这两个三角形进行对比，我们构造全等三角形和 相似三角形。第四，如果说我们出现了三十度、四十五度、六十度这样旋转的角度，我们是需要再旋转三十度、 四十五度和六十度去构造全等三角形和相似三角形。如果给了我们一个固定的这个长度，我们可以构造一个固定的这个长度，去构造全等三角形和相似三角形。 第二种方法，我们可以利用三角函数去求这个长度，三十度、四十五度、六十度特殊的 角度，利用三角函数把这个长度给求出来。但是如果出现七十五度、一百零五度这样的角怎么办呢？我们需要大角分小角分成 三十度、四十五度分成四十五度和六十度，依然用三角函数去求这个长度，那如果这个角度是未知数怎么办呢？我们要把每个角度用这个未知数去表示出来。常见 表示未知数的这个技巧，在等腰三角形里面一百八十度减去这个未知数，再除以二是另外两个角度的这个 值。三角形的内角和是一百八十度，我们可以利用这个余角未知数加上这个角是等于九十度，还经常用到的就是三角形的外角等于另外两个角相加，这是常见的。如果说这个 要求的长度不在这个三角形任何一个三角形里边，我们怎么办呢？你需要去做辅助线，先把这个边放到直角三角形 里边，那我们要做的就是垂线。第三种方法，我们可以利用等面积法去求这个长度。在直角三角形里边， 两条直角边相乘，是等于斜边和斜边上的高相乘，所以我们可以去做斜边上的高这个垂线。那如果我们要去求斜边，它不是一个直角三角形，它是一个锐角三角形和一个钝角三角形， 怎么办？钝角三角形我们可以去延长这个底边，然后呢过顶点去做底边的垂线，构造一个直角三角形。如果说是一个锐角三角形怎么办呢？我们可以过顶点去做底边的这个垂线，把这个三角形分成两个小的三角形， 分别求出来底边这两段的长度。然后呢我们再构建一个面积的等式，两个小的面积等于这个大的三角形的面积。 如果说是四边形的话，可以把这个四边形分成两个三角形，再利用面积等式去求出来我们所要求的长度。第四，我们可以利用方程去求这个长度，想求的这个长度不知道可以把它设为 x， 或者说设为 a， 其余的长度先用这个 x 去表示出来。第二，我们再反复利用勾股定律或者说相似比去构造这个 关于 x 的 等式，最终解出来这个一元二次等式就可以了，所以 这些基本的思维框架你的脑子里必须清楚。所以大家不要再反复去读那个题干了，从题干当中我们是提取不出来思路的，你需要动手画图吧孩子。
41河南数学王老师
06:42查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看这样一道题目，五月八号刚刚结束的焦作二模的第二十三题， 我们来看题干在等腰直角三角内，当中 d 使斜边 a、 b 上一个动点，而且呢点 e 使射线 c 上一点。由此我们就可以知道这道题应该分两种情况， 在运动功当中保证 c、 d 做了一百伏垂直 a、 b。 这样 除了题干当中的等腰直角三角 a、 c、 b 之外，我们又得到了一个新的等腰直角三角形 a、 e、 f， 还有一个等腰三角形 c、 d、 e。 这是我们分析题干得到的一些结论。 第一问，让我们猜想 a、 f、 d、 f 和 b、 d 的 数量关系。通常情况下，我们在猜想三条线段外系的时候，大多数同学都会选择去判断两条短的线段之和等于第三条线段， 常用的方法就是截长补短，今天我们用截长的方法来做，那么截长的时候，我们首先可以从 d f 上截取一段等于 af， 或者一段等于 b、 d， 那 么现在我来在 d f 上截取一段等于 af， 比如这是 a 片， 那现在假如这是 a 漂的话， 我们截取的两段 a、 f 和 a p、 f 相等，所以只要能证明 a p、 d 和 b d 相等就可以了。 由于 c、 d 和 d、 e 是 一个等腰三角形，所以我们常见的辅助线就做底边的高，也就是三线合一的一道线，我们标注为 d p 二， 此时我们就发现 d、 p、 r 就是 c、 e 的 终点，而通过我们对称得到的 a、 p、 r， 那 么很快可以判断三角形 a、 e， a p、 r 也是一个等腰直角三角形，由此那么第三条线段都是平行的， 这样的话我们就可以利用在学习相似的时候一个定律，平行线分线段成比例定律。有时候如果 d 是 终点的话， 那么 cd 片儿比上 d 片 e 就 等于 b， d 等于 d 片 a， 所以 判断 a 片儿 d 就 等于 b、 d， 这样这个结论就成立了。 d、 f 等于 af 加 b、 d， 刚好和我们的猜测是一样的方法，就是在 d、 f 上截取 a、 p、 r、 f， 然后就证明 a 片 d 和 b、 d 相等，由此多出结论。而在最后应用当中，刚好就另外一种情况啊，有说如果 a、 e 比 a、 c 等一比二的时候，让我们直接写出 a、 f 比上 b 的 值，我们直接使用这个图形， 利用一个特殊的方法，设一个最等的边的长度，假设 c 片 d、 c、 d 片是一，那么 e、 d 片也是一， a、 e 呢？就是 r 啊， af 可以 得到，这是根号啊， 由于总长是四，所以 bc 的 长度也等于四，那么斜边长度就是四倍根号二，这段是根号二。刚刚我们得到结论，这段长度是四二倍根号二，所以可以得出这都是根号二。 由此就可以得出第一个结果， a、 f 比 b 的 比值等于一，即是当阿尔法大于零，小于九十的时候，那么如果说这阿尔法是大于九十，小一百八十的时候，我们可以根据提议把图形补充完整， 就是这样一个图形。现在我们再观察 d、 f、 a、 f 和 b 的 关系，明显刚才的结论已经不再成立。 这三角形当中， b、 d 最长， a、 f 最短，所以也是一个方法，就是我们可以在 b、 d 上接取一张线段，让它等于 a、 f 或者等于 df。 最后按照上边的结论去证明答案。上边的辅助线我们是对称了 a 片，我们现在再次找到 a 的 对应点 a 片，我们尝试一下用刚才的结论，刚才的方法能否完成 a 片在这个位置， 然后我们连接 a 漂 e a 漂，这样的话，我们发现 a 漂 f 加 d f 看似就等于 b d， 也就说有可能会出现一个结论，就是 a 漂 a、 f 加上 d， f 等于 b d， 刚刚我们又等幺三角形，所以我们还做了等那个三线合一的弧度线，我们在这做一个垂直，假如还标 d 漂， 又会得到一组平行线，一组平行线再次使用平行线分线段成比例定例。如果说这组边这组线段是平行的话，那么 cd 偏就等于 ed 偏，由此 bd 就 等于 a 漂 d。 这样的话，我们发现 bd 既然等于 a 漂 d 就 等于 a 漂 f 加上 df， 也就是 bd 等于 df 加 af。 由此第二个结论我们就得出了。再利用这个图形，我们可以继续求解。第三问， a、 e 比 a、 c 等一比二的时候，我们仍然是假设短的边，比如假设短边 af 等于一，我们现在表示其余的线段，这也是一， 这是二的话，那么 a、 e、 p、 r、 e 就 等于根号二，然后 a、 e 就 等于根号二。由于 a、 e 比 a、 c 是 二的话，那么 a、 c 就 等于二倍的根号二， 那 bc 也是二倍的根号二。我们再次计算出这个斜边 a、 b 的 长度， a、 b 的 长度就等于四，这段就等于四， 然后总长度 a、 p、 r、 b 就 等于二加四等于六。刚刚我们证明了 d 就是 a、 p、 r、 d 的 中点，所以 b、 d 等于三，所以可以轻松得到 a f 等于 b d， 比上 b d 就 等于三分之一。 那么就说我们在第三位的时候，就利用啊特殊制的方法把每条线段都表示出来，最终求出它比值。 总的来说，我们是利用平移线分线段成比例定例，然后采用截长博准的方法来证明出相关的结论，从而求出最后的比值。好，今天表扬这，谢谢大家，再见。
29阿治
05:53查看AI文稿AI文稿今天我们来看一下焦作二摸第十五题填空的压轴题 啊。这道题的话，我们需要分类讨论，他说如图角 a o b 等于六十度，因为点 m 是 边， o a 上的一点 o m 的 话，距离是固定的，是二点， a 是 直线， o b 上的 一点连接 m n， 那 所以说的话， n 点有可能是在 o b 上面，也可能是在 o b 的 延长线，所以一个是在 o 点的右侧，一个是在 o 点的左侧 点 o。 关于 m n 的 对称点为 o 撇点， m 是 m n 的 一个三等分点，并且是靠近 n 点。当 po 撇平行 o b 的 时候，让我们去求 o n 的 值是多少， 因为 o 撇的话是 o 的 这个对称点。那我们首先连接 o 和 o 撇啊，那这样的话， m n 和这个 o o 撇它就是垂直的， 并且 m n 是 垂直平分 o o 撇我们连接 o p， 连接 n o 撇， 可以知道 o p o 撇 n 是 一个菱形，那 m n 是 它的这个垂直平分线，所以我们连接 m o 撇， m o 撇的长度和 m o 是 一样的，是等于二。我们先把这些辅助线给做出来， 它让我们去求 o n 的 这个长度，因为 o p 的 话，我们是平行这个 o b 的。 我们看到这个平行线呢，我们在七年级的时候就学过一个技巧，就是我们要去延长这个平行线啊，所以七年级的时候我们再去做平行线的时候呢， 再求角度就是延长这个平行线，另一个就是我们去构造这个三角形，所以见平行线延长，这是一个最基本的辅助线的画法 啊。接下来呢，我们延长之后的话，它和 o m 我 们可以记为一个 c 点，这样的话 c p 和 o n 肯定是平行的啊，因为我们要去求 o n 的 这个长度，那 c p 的 话，肯定是 o n 的 三分之二倍， c p 是 o n 的 三分之二倍，我们找到了它的这个关系，然后 po 撇呢，和 o n 是 相等的，所以 c o 撇的话，就是三分之二， o n 再加 o n 是 三分之五， o n 三分之五， o n 的 话，现在我们是要求出来 c o 撇的这个长度，如果它的长度能够去求出来，因为它是等于三分之五倍的 o n， o n 的 长度就能求出来了。那 c o 撇除了可以用 c p 加上 po 撇，也可以用我们 呃过 m 点向 o b 去做这个垂线啊，和这个平行线 o 撇， c 交于 d 点，然后还交于这个和 o b 交于 e 点，还可以分成 c d 加上 d o 撇啊，只是这两个 啊，所以然后 c d 的 话，这个长度它是可以求出来的，因为 m c d 是 等于六十度， c d 就 等于 c m 的 一半， c m 是 三分之二倍的， o， m 就是 三分之四啊，一半就三分之二，所以 c d 的 长度是三分之二。那么 d o p m 的 长度，我们可以用 o p m 去的平方减去个 d m 的 虚增，然后算出来，因为 o p m 是 等于二，这个 m d 的 话，它的长度呢，是 m e 的 三分之二倍， e， o m 是 等于二， o e 是 等于一， m e 是 等于根号三，所以 md 的 话就是三分之二倍的根号三，这样可以算出 d o 撇的这个长度， d o 撇的长度我们算出来之后是三分之二倍，根号六，所以说 c o 撇就等于三分之二倍，根号六加三分之二，这是三分之五倍的欧温，欧温的话， 我们解出来是五分之二倍的格，号六加一，这个是在右侧啊，那么 o 点如果说是在左侧，我们画出来这个图之后呢，其实和第一种情况我们是一样的 啊，那这个时候呢，就是 o 撇儿 c， o 撇儿 c 的 话，它是等于 o 撇儿 p 的 话是 o n p， c 的 话是三分之二， o n 还是三分之五 o n o 撇 c 的 话，它是等于 o 撇 d 减去个 c d 啊，那 o 撇 d 的 话，因为我们第一位已经算出来是三分之二倍，根号六，然后 c d 的 话是三分之二，所以它是三分之二倍根号六减三分之二，所以 o n 的 话就是五分之二倍的根，号六减一啊，这是两种情况， 所以遇到我们的这个多解析呢，我们总结一下这个思路哈，首先的话，我们 n 点的话是可以在右侧，然后也可以是在左侧，那么大概率这个情况呢，就是一个是正的，然后一个是负的 啊，所以两种情况我们的这个解法它应该是一样的哈啊，所以我们做了第一个关键的辅助线呢，就是说我们延长这个 p o 撇，因为这个是我们七年级就学的平行线的这个辅助线啊，延长完之后的话，我们是 要去求 c o 撇的长度。 c o 撇的长度我们可以用两个等式去表示，一个是用 c p 加上 po 撇，一个是用 c d 加上 d o 撇，分别求出来它们的这个长度就是五，三分之五倍的 o n 等于三分之二倍，根号六加三分之二，然后再解开这个 o n 就 可以了啊，这是这道题的思路。
192河南数学王老师
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00:59查看AI文稿AI文稿郑州二模数学第二十二题第三问，百分之八十同学直接放弃前两问太简单，我们直接来看最难的第三问， 说抛物线平移，顶点始终在直线上运动，很多同学一看到平移就蒙了，其实平移并不改变 a 的 大小啊，所以我们直接就设顶点，是 a 就是 一嘛，那 y 就是 x 减 h 的 平方加上 h 减二。 你观察这个新的函数，它与外周的焦点的重坐标啊，根本就没有最大值， 但是它有一个最小值，你看它移动某一个点的时候，它又变成最小了。怎么求这个最小值呢？其实与外周焦点，那不就利用 x 等于零， 得到一个新的函数 y 等于 h 的 平方加 h 减二了吗？那直接求出它的最小值，那 y 就 等于负四分之九。关注我，用几个画板秒杀所有的中考压轴题！
87画板讲初中数学
28:05查看AI文稿AI文稿最后时刻压轴大题篇巅峰出世几何辅助线没思路，三秒教会你如何想到！这期是上海考生的福利哦，赶快收藏起来，二模前看一遍，多拿十分，是二五年上海的最后一道几何压轴。 那么读题平四面形 a b c d e f 为 b c c d 上两点 d 问，当 e 是 bc 的 终点时， e 是 bc 终点啊，然后第一个如图一啊，图一是在这里 啊，连接 e f， 如果连接 e f a e 等于 e f， 求证角比 a 一， 求证这个角一等于角 c f， 求证角一等于角二。好，那么它的一个证明呢？就是我们证明角相等。那么回到我们的知识点，或者说我们总结的一些方法技巧，这里面大家呃，不要愣着，赶紧截图，有这道题中总结出来的证明角相等的方法。 首先我们边看图边依次介绍第一个 s a s 型全等，那么根据它的中点，我们是有 比 e 等于 c e 的， 那么就能想到，哎，会不会可能这个三角形全等呢？证明角一点角二呢？那你发现它的加角完全不相等的，这个图里，它这个图是画的很准的，它角都不相等，证明不是一种方法。 那么第二个我们就可以想到什么呢？它既然不是图里面有的这个三角形全的，那么有可能就是第二种构造全的，那么我们再看到这种 s a s 型的就是什么叫 s a s 型呢？就是说 已经出现了在同一个顶点，这个 e 这个点这里卡出了什么呢？两组相等的边， a e f 比 e c e， 那 么一开始你以 s a s 形去看的时候，他们加角形，那么这个时候我们还有个方法，就是在一些题目里，我们就会分开来叉开来看，比如说这两条一起看，这两条一起看，也就是说比 e 和 e f 去连起来， a e 和 c e 去连起来，这样子就形成一种叫手拉手，还是叫这个脚拉脚的这种圈的。 那么你会发现啊，这个题目也不是这么去做啊，因为没什么用。但是呢，这种方法或者这种经验，这种我们要积累下来的模型，你要知道看到这个图你要有反应，你不能大脑一片空白，好吧，那么第三个就是倒角，也就是你在一开始想圆间图形中的权的 挣不出来，没有权的。第二种就是根据这个图形特征，我们想到构造这种叉开型的手拉手，类似这种权的也没有，那第三个我们就不想权的，我们看下有没有什么倒角的，为什么呢？因为他给了我们 a e 点 e f 这么个条件，那么我们就有 等腰，这个角是 c 它角，这个角是 c 它角，哎，一旦有 c 塔，你就发现这个平行四边形吧，那么此时我们就要研究 c 塔一二的关系了，你发现他们是一个什么同行，内角互补，也就是我们有角一加上角二加上二， c 塔它等于一百八十度， 然后你得到这个条件中，你就发现什么都干不了，因为你不能继续研究下去，而且有这个 c 塔， c 塔也不知道多少度，而你要的是什么呢？你要的一个表达是什么呢？你要证明的表达是角一等于角二， 那你发现现在这个表达是有一百八十度，有 c 卡，你又得不到角一和角二的与 c 卡的关系，不能消圆，是吧？会非常麻烦。所以你这个时候你只能先把这个方程，这个角的这个方程啊，这个角的这个方程先放在这里，先不着急，你就放在这，我们就接着用第四个方法。那么很多同学就会说，那我这样一个一个方法试， 考试的时候不是很浪费时间吗？啊，是是这样的，因为如果你练的少的话，你只能这样一个方法考试，或者说根据你自己这个题目的一个判断，你跳着，哎，有可能你用完第一个，你发现不是你瞬间想到是第四个，但有些人做的题目啊，做的多的自然而想到能够用第四个背长中线 或者说截长不短，那那怎么看到呢？因为你全面的方法都失败了。你根据这个之前啊，我也总结过的在几何模型里面的一些方法，也就是背长中线。什么意思？ 上行里面出中点出中线，和平型四边形的四边形里面出中线，特别容易考到。就四边形里面啊，特别容易考到被长中线，或者说你可以理解为一个内被长中线，因为它不是三角形的中线 啊，当然你也可以理解为它就是三角形的中线，为什么呢？ a e 他 不就可以把这个 a c 连起来吗？ a c 连起来他不就是 a e 不 就是中线吗？对吧？那你不连起来呢？你就可以理解为是一个内中线。内被长中线什么意思？我们为什么要内变成中线？因为我们这名角一点角二他们隔得太远了，也就是延长 a e 这里用红色的角一点角二，他们隔得太远了，也就是延长 a e 至点 t， 你要辅助线描述就是延长 a e 至点 t， 使得 e t e t 这条线啊，使得 e t 等于 a e， 然后呢，你再描述连接 tc。 好， 那么接下来你就，你要接，怎么写呢？我们就有，因为你是延长的嘛，那 b c 和这个 a e 本质是相交，你一旦延长 e 了，那这个就有个对顶角阿法，阿法角是相等的，然后呢，我们就有边相等，然后比 e 等于 c， 那 我们就有三角形啊，你就可以写三角形旋转，也就是三角形 a e b 全等于三角形，是吧？ a e b 三角形 t e c， 那 么理由是 s a s 全等是吧？一旦有了这个全等，我们的角一不就转到这里来了。好，那这时候有些人就很着急啊，说，因为 这有个易错点啊，因为 e t 啊，等于这个什么啊？你看这个图吗？这个一个点等，一个点 e t 等于一个 e f， 所以 角一就等角二，你别那么快。为什么呢？因为被抢东西的结算部分，经常就要证明一个三点共线的问题，也就是说你连接这个 tc 的 时候， 你要证明这个是互补的，因为你你不能保证它延长过来，你这个 tc 连起来和这个 cf 它们是同一条线，也就是说你可以以为我延长过来，我点 t 可能在这。那你这样子和 tc 连起来，这个 cf 是 平的吗？不是平的呀，这是两条线段，它不是共线的，所以你要去证明一百八十度。那怎么证明啊？很简单， 这个角 b 啊，它这个转到这个角 e c t 来，我们就为角三，那么角三和这个这右边这个角角四是一百八十度是吧？因为从内错角移过来，或者说 不是内错角啊，这里不是内错角啊，各位，为什么呢？因为我们还没贡献呢，我没贡献我们就用不了平行线，能理解吗？我们还没证明出 t c 和 c f 是 同一条线，所以我们不能用平行四面形的平行条线，所以我们这里只能用全的倒角角三等于角臂，而角臂加角四是一百八十度。所以呢，我们应该先说因为角三应该这么写啊，因为角臂 加角三等于啊，不是角三，我也写错了，应该说角四，角币加角四等于角币连角三，因为全等加角四连到多角币加角四是多少多？你应该在前面先写啊。呃， 我给他写好一点啊，很多基础的基础，大家基础话都不太懂了。因为角币加角四等于一百八十度吧。角币加角四等于一百八十度， 又因为全等，你可以说啊，因为这个全等，也就说你喜欢这个全等之后你要说所以角 b 等于角三，然后再说因为角 b 加角等于一百八十六，所以啊，这里直接所以了，所以角三加角四等于一百八十六。所以什么呢？所以 tc f 三点 贡献，所以干嘛？所以 tc f 一 旦成点贡献了，说明 tf 本身就是一条线段。那么这里你就可以说因为 这个 e t 等于什么呢？ e f 啊， e f 等于幺嘛，所以你说它是等幺造型，所以你说角一点角二， 我们就整完了，这是第一问，我们这个步骤啊，比较充分一点，是吧？那么后面我就讲的比较不会不会给他写那么长的过程啊，给他简约一点讲，主要重，重点是讲思路。好吧，那么最重要的还是这个，这个这个技巧，大家一定要把它截图啊，不要愣着啊，截图或者自己做做笔记，给它记住了怎么分析？好，我们下一个。 如果 c f 等于 e f， 也就是 f 是 中点连接 a， e 连接 b， f 交 a 与点 g， 求三角形 b e， g， 也就这个蓝色的比上三角形 a， e， f， 也就这个黄色的这个大两个长方形的比值，面积比值。好，那么首先我们来给大家总结一下，出现面积比值我们能有哪些思路？ 第一个就是面积比，我们通过这两个三角形正处相似，转成相似比的平方，这是最常见的，或者说是最方便的，考的比较多的简单题里面特别多，之前都是这么考。那么第二种方法啊，那这道题你能不能用呢？大家可以自己想一想啊。 ok， 其实是不能用的，你不能直接证明这两个相似，或者说这两个压根就不相似，因为它们最大的角都不相等， 是吧，你可以自己来计算啊，非常简单。那么第二个方法依次乘 s 一、 s 二，能算吗？算不了，你去算数也非常麻烦啊，因为我自己也去算了一下啊。第三种方法就转换成 s 三，就是转换成第三个面积，就说用第三个面积的一个表达式去替换他们两个，然后最后呢的比值呢，就能或者说引入一个未知数的意思， 比如说他等于多少多少 s， 那 么那么的 s 比上这个下面是什么？下面是 k 倍的 s， 那 s s 消掉就等于两个什么呢？两个长整数的比值，那不就是出来了结果，但是你发现 你如果去射这些东西的话，你们在最后像我这样的结果啊，也是不行的，因为这个小的呢，没办法去转换，是吧？未知数太多了。第一，然后还有一个方法，就转换成他的这个长度的笔直，什么意思？也就是通过观察割补啊，同时他有还有这两种方法呢，有可能结合起来 就是相当于三角形 a e f， 你 给它拆成 a g f 和 e g f， 这样子，他们就是两个三角形，你会发现他们是同高不同底，对吧？那这个时候 这个上写 a f 的 表达式，他不就可以写出来了吗？你，你可以写成什么呢？你就可以设成这个，这个单独一个高是 h 三，它的面积可以是 ag 加上 eg， 然后二分之一乘以底，然后乘以他们的高 h 三，对吧？ h 三拿出来，你可以是这么写，你可以是上面这种写法，也就是我，我画出两个高，我画出两个高，这下面的 h 一 是为了和 b g e， 然后呢产生一个关联，他们就可以在下面的就是二分之一的。什么呢？ 下面的 e f， 它就是呃 h 一 h 二就是通过 g f 来当同底但是不同高的这个三角形，那么去表达，那下面呢就是 b g 乘以一个 h 一 啊，这样子我们就可以转成两个线段的比，也就是 这个转换成第一比第二，这个意思就是说我们去算面积啊，通过面积二分之一底层高啊，同时有时候借助一下割补进行一个切割，把三角形进行切割，然后呢去换一种方式，算面积二分之一，底层高，转换成别的线段，目的就是什么呢？原先的三角形不相似，我们转成别的线段的比。之后呢，我们去看别的线段 的相似三角形，或者说是再去构造相似三角形啊，但是你发现这所有的方法都不行，对照的时候方法都行，那怎么做呢？他就在接近第一问， 第一道题，他这个图的一个非我们刚才讲的那道题的方法，那么刚才我们第一问是非常中线去做啊，相对来说麻烦一点，但是呢也是一个方法，我希望大家能知道，也是我自己做题的方法。那么这题还有个更快的方法，也就是延长借助平行线，什么意思？也就是说他这里 e 是 终点是吧？那么可以他已经把 a e 连起来是吧？那我就延长 a e， 延长这个 f c， 听清楚，我这延长，一旦延长，我们这里比如说产生一个 t 点，那我是延长过来的，那我内侧角是相等的呀，那我这个角一等于这个角一是吧？啊，这是角二，角一点角一，然后呢，对零角是相等的呀，然后一点，我们由于是延长，那么它一定有 线段相等，那么就一定有 a a s 型全等，一旦全等，那么的角一啊，不对角一啊，一旦全等，我们的什么 a e 这个勾就等于 e t 这个勾，那么 a e 它题目给了是等于 ef 的，是等于这个勾的，而由于是我们延长了我们形成的三角形，什么呢？我们形成 b， 形成一个三角形 e f t 的， 所以有这两个勾相等的，我们就推出它是等腰，我们角一就等于角二了，就正好了。同理的， 我们可以延长 e， 我 们也可以延长 e f 啊，我们也可以延长 e f， 延长 e， 因为因为什么呢？这里 f 它不是特殊点， a 点不是特殊点，就是说 a 点是顶点，我们去延长的话，它这个特殊性可能会比较特殊一点，能理解为什么 f 线还不是终点吗？当然它去延长也是一样的，有权的，因为你去延长，因为你只要是和 e 点连连接的一个线段延长过去，它必有这个 b， e 等于 e， 那 么它就 一定会有什么由于同时你延长，然后呢？你 b 位和平行四边形另外一主线它延长，另一个另外一主线延长，刚好 f 就 在这里， f 就 在这条线上，那它就有平行，一定有内错角，就有 a a s， 刚才是同理的， 它刚才是同理。大家感悟一下，一样的，都是过一延长，那么就有线段相等，同时他们就从一侧到另一侧，然后另外一条平行的边也延长，那么你一定有平行线内错角相等，能理解意思吗？所以它一定还同理有这个权的啊。角二 那么一样的道理，还是 a a s 全的，对，顶角一旦全的了，那么这个这个勾就跑到这来了，那同理还是一个三角形的，等腰角一点角二是吧？这就是第一问给我们的思路。而我们在做这种综合大题，特别是难的题目里的时候，他 这种在同一个小问里，或者说第一个问，或者说同一个小问里的第一个问，他们的一些服务性思路是差不多的，就可以相互借鉴了。所以当你第二问，你 在做第二问的时候，你的策略就是应该首选用什么的？第一道题，你做这个题的时候，你的辅助线思路你去尝试做，第二问，做不出来，再去想刚才的那那么那么些思路啊，那么这些思路怎么来？你说你考试时候没想到怎么来，那你就现在看这视频，把它总结下来，把它截图截下来，不要愣着。好吧， 都是这样的，结合题就是这么玩，结合题就是这么去多做题，多总结，因为不是所有人都能想到辅助线的，等你多去做题，多去看图，多去感悟啊。 那么在你要敢，你要学会揣摩出题的意图。他第一问是呢， e 是 终点，然后我们是延长 e 的 一个线段，那第一问他给了我们 f 的 终点，那么很显然我们第二问，你应该首选的就是去延长跟 f 有 关的线段，那么 我们还是依旧找顶点跟 f 相连的线段，它这个图形会比较好看一些啊，性质会比较特殊一些。所以这个时候我们就是干嘛呢？谁跟 f 连 a？ f 有 b， f 有 在这里呢？我们延连续延长什么 b f， 为什么？因为它这里产生了一个新的上行 b g 啊。而如果我们延长 b f， 它出来的一些图形肯定跟 b 这个顶点，以及跟这个 e g 有 有可能有关系， 专门延长变幅，那么接下来我们自然而照 b 对 应的这个边，它一定要延长产生三角形，哎，重画一下，好， 那么我们把这个图给它转一转，这个是 m 点，好，那接下来我们要干嘛呢？我们延长处有什么有相似，一直中点，我们就可以说这个是 k， 这是 k， 我 们上面呢？对，这个是对边。 ok， 好， 那么我们可以观察到， 首先我们延长过去，我们是有一个全等的，什么全等？三角形全等哪里？同样的呀？我们根据左边有全等，右边一定有全等，你延长，你只要去一个点和 m 点延长过去，然后对边平行的那个线段延长过去，一定有全等，同样还是 a s， a s 型全等， a s 型全等也就是三角形，这里是相等的，然后对零角， 然后那错角 a s 全等，那么此时这个 ok 就 能转上去了，是吗？ ok， 这里是 ok， 这是 k， 这是 ok， 这是四 k， 那 你发现你得到这个 ok 之后，上面是有四 k， 然后呢，这个时候就是你对图形的把握能力了，你发现这里刚才的全等是一个什么八字形的 全等，接下来就会读什么呢？八字形的相似，要学会在平行四边形中找，多找这种八字形的相似，多去构造，多去延长。平行四边形的一些做体习惯，就是多去延长，特别是一些中点线段。好吧，好的，是一个经验的问题，你怎么去观察到八字形在哪里呢？我们看图在这里，我这上面这个 我就不写了，只检验一下。所以通过这个八字形相似我们可以知道什么呢？ k 比相乘四， k 是 一比四，等于其他线段的比，等于什么？等于 b， g 比乘什么呢？ g 比乘什么呢？ g， 哎，你看 a g 比 g 这个东西是什么东西啊？我瞬间反应到，这是 a、 e、 f 这个三角形里面的两个三角形的分别的一个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 a、 e、 f 这三角形里面的两个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 b g 比，这面是没错的，这里面倒倒过来啊，是 g e 比上一个 a g， 所以 这里是四分，这里是一分。哎，你这里就瞬间翻译了，这是四分之一分，你再观察上行 a f 他 们的底 啊，不对，他们高是相同的。那好，这是经典的上行里面切割出来的两个长形，也就我刚才说的这个长形可以通过割补切成两个长形，同时他们他们是干嘛的？同高的，那么我们就根据求他们底底的比例，我们就可以用一个未知数去表示它们的面积， 也就是说这是一个 s， 那 么根据底的一个比例，双面积它就是四 s， 所以 此时三角形 a、 e、 f， 它就是五个 s， 所以 我们只要知道 b g 它是几个 s 就 行了，那么 b g 是 几个 s， 我 们反过来想，哎，一开始 s 哪来的？不就通过这个线段比例来的吗？而线段比例关键的就是这两个线段，所以我们就看一下这个这个三角形 b g 有 哪些线段和这个 g e、 a g 有 关系。那你看 离他挨得最近的是不是这个三角形？这样 g e f 上面那个 a g f 虽然说有一种八字形的感觉，但它们是不相似的，所以我们找 g e f， 同时 g f 还跟这个 b g 又在同一个三角形里面啊，这三角形 b e f， b f， 然后通过 e g 这条线段拆成了两个方形，同时它们又是同高的，和刚才一个情况是一样的。所以我们今天只要求求什么呢？你的目标就知道了呀，你就知道我们的需求，我们只要知道 b g 比上 g f 它是多少，这个比例我们知道了，那么这个 b g 那 么同高，那么根据底的比例， b g e 这个长形的 s 多少 s 我 们也知道了，我们的目标就是求 b g 比 g f， 而当你观察到我们要求 b g 这个线段比 g f 这个线段的时候，你就知道弧线是啥，这也是一个 一个固定的一个套路，一个图，或者说你不知道这个图，那你就去想，我们刚才做出辅助线，得到我们的有效条件，这个辅助线是跟 f 这个终点有关的，是延长，那这一次依旧和 f 有 关啊，然后你就可以去奇思妙想，看能不能想到辅助线，那么辅助线是什么？那我觉得你按到第一个想是最容易想到辅助线的，也就是 那么辅助线就是过点 f 去做 a e 的 平行线，那么我们是可以做到这么个辅助线的，过直线外一点做已知直线的平行线是可以做到的。然后交 a d 于点 t， 交 b c 的 延长线于点 n， 那 么这个时候 我们就可以得到全等啊，同理的还是有全等，为什么呢？相等，相等，然后呢？内错角还是平行？内错角 a s 和 a s a 都行， 一旦全等了，我们就有啥呢？我们就有这一段是相等的，也就是 f 还是这个 t n 的 中点。那我们的目的是什么呢？我们刚才得到了，这是四份，这个是一份你你可以把它理解，为什么呢？我们就可以设一下啊，这是四 d， 这是一个 d， 那 总共这个 a e 就是 五个 d， 那 你会分成 t、 n 呢？ 我们说这是平行线，那么上面是不是也是一组平行线？那他们就是一个平行四面形吗？所以这是五 d， 五 d 的 话呢？它是终点，那这个就是二点五 d。 聪明人都知道，我要干嘛呢？这是干嘛？平行线分线到成比例定，或者说是我们的平行型 a 字型相似了， 有了这个相似，我们 b g、 b g、 f 就 可以转一下了吗？也就是说我们最终的目的就是为了得到 b g、 b g、 f， 而他处于这么个图形里面，我们就想到了，我们去做做这个 g、 e 的 平行线，那就做他的一个平行线吗？ 然后呢？我们这个时候做平线，我们这个长度是不知道的，所以我们延长，延长刚好平是平行，他等于五 d， 哎，这个是中点，全等二点五 d， 把这个比例就知道了，就这么巧，就这么神奇，这是辅助线呢，我们给大家一个好的思路，能想到的，而不说死记硬背，当然大家把这个土背下来也是有必要的，所以我们就有了 这个相似的比啊，相似比是多少？一比二点五，所以我们这个比上这个是一比二点五，那就相当于说一份二点五份，那这个是几分？这个是一点五分，这是一份，所以他们的比值就知道了，是一比一点五， 也就是十比十五，那个二比三。好，那 b g、 b g、 f 二比三，那么 s 就 知道了，也就是 b g 那 个三角形，三角形 b e g 比上三角形 g、 e、 f， 它的面积比是二比三，那么我们的 b e、 g 就 等于什么呢？这个 g、 e、 f 我 们设成了 s 对 不对？上面那个是四 s， 没问题吧？所以呢，我们移过去就是三分之二 s， 这两个一比 s s 一 约，对吧？就是三分之二比上一个五，所以就等于十十五分之二啊，就是二比十五。这一问就结束了，那么这个总结我教大家把这个好好总结，好好的收藏，这期视频含金量贼高。第三问，求 a f 长度。这一问的话，我一开始是 自己想了一个创新方法，然后失败了，可以贴出来给他看一下我的做的过程啊，是失败的啊，所以这种总结出来就是说这种几何综合的很多问的他基本上辅助线都是一样的，或者说出类旁通的，为什么这么说呢？我们先读一下题目， 他说连接 aef， 那 么这里的话就是说一点 f 点是一般的点了，没有具有上两问的一个终点性质了，所以是非常一般的，所以你发现从上往下是由特殊到一般的一个终点性质了，所以是非常一般的。你看如果 a 点五，给你平行四边的长度了， a 点三， 然后专门给你什么的 c f 等于一，那你解这个是二，哎，这个比例是知道的。三等三等分点，然后给你角相等。好的，三个一线三等角啊，我一开始想一线三等角，这个是角相等啊，我们就画成圈圈，好吧， a f e 啊，这个圈啊，这个弧吧，嗯， a e b 等于 a f e 等于 e f c， 哎，你看到这个的话，这个 e f 是 不是像角分线了？那你就想到角平分线的各种弧线思路， 那现在大家可以自己记一下，角平分线到角两边距离是相等的，如果说出现了一个垂直，那我们立马做另外一个垂直过去，是吧？还有另外一种，第二种的话，就是角平分线上出现了一个什么呢？垂直于角平分线的线，我们就给他延长，是吧？出等腰啊，出旋转， 然后第三种的话，就是角平分线定律往这边延长延长，那么我们这个比乘这个等于这个比这个啊，当然刚才我就是用角平分线定律做的，然后呢？失败了，但我还没去找一下，大家可以帮我看一下哪里出了问题，是吧？来帮我看一下。然后那这一个呢？还有第四种啊，就是也就是我们这道题考察的什么呢？ 角平分线在平行四边形里出现，或者平行线很多的时候出现平行线的一个背景题目里，我们就一定首选 g， 干嘛构造怎样？三角形怎么构造呢？ 你有这么个思路，你想到了去干嘛？把这个延长一下，把这个延长，把这个延长，那这个时候我们这个弧是不是等于这个弧，它这里不就出等腰了吗？我们可以说这个是 p， 那 么 a f， 我 们求 a f 的 长度是不是等于 ap 这个长度啊？因为求 f 的 长度，是吧？我们转成求 ap 了， 哎，就转换了一下，是不是角平分线出平行线构造等腰，这是你能想到的思路，我们总结下来，那么如果你没有这个思路，我们怎么做的？第一问，我们是怎么做的？第一问，当他说 e 是 终点的时候，我们可以这么去延长，是吧？然后呢？ 构造一个全等，然后呢？同样道理，得到等腰对不对？得到它这个角形的是不是？那第二问，他是干嘛呢？第二问他就给了多给了个 f 之终点，那我们就是延长什么呢？我们就是延长，往 f 这个方向去延长，往 f 这个方向去延长，然后呢？再延长这边，是吧？去构造全等，所以 这一次我们同样的，不仅仅左边我们要去构造，右边也构造，因为什么呢？因为这里一次 e f 都不是重点，它的性质非常不特殊，所以我们同时去延长啊，这个 e f 往下延长，构造一个长形，然后这个 e f 再往上延长，再构造一个长形，这样我们就 把特殊性质拉满了，就非常的特殊，这样子的话，我们就有更大的概率能做出题目，你就可以这么去想，好吧，你可以把这个图给记下来，嗯，我，我是习惯的去，就是记这种思路，记这种尝试的思路， 这样子你做几何题呢？就可以。呃，挨个去试，至少你有思路，不会说一片空白，不知道辅助线是什么，或者说你不会知道，你会说我没有，没有，没有什么思路没有，就考场上我什么都下不了笔。所以我再说一遍，页幅往下延长，不仅仅是说出等腰，更是为了接见。第一问往上延长，不仅接见第二问，更是为了 把这个一比二的比例利用的利用起来啊。他为什么给你 c f 一 啊？我专门给你这个条件，在这里有个二，为什么给这个条件就是一比二，为了测出 e c 点 x 是 二 x 题目条件呢？每一个条件他都是我们要发挥到淋漓尽致，把它们都用到位了，题目才能做出来，我们接着看。 那么我们接下来长度条件我们分析完了，接下来我们看角度条件，首先这两个角线的是角，平分线的一个条件，没问题，但是这个角线的你一定要去得到东西啊， 如果没有到东西，你这题也是做不下去的，那是什么呢？很关键的一步叫外角定力，你是这个大角是不等于里面这个弧加上这个点，但是这里也是弧，说明里面这个这个点是等于这个点，能理解吗？ 外角定力啊，这个初一就学了，我就不太多说，很简单，所以这个点是等于这个点，哇哇哇，使劲点好，就这样，这个点，这个点， 而且你还你还发现啊，上面这个什么呢？ a 字型，我们也要把这个给它拎上去，这个我们先换成 x， 内扣角，这个是 x， 然后呢？这个是这个圆圆的啊，然后这个弧， ok， 然后上面这个 a、 e、 f， 你 会发现和下面这个是一模一样了，所以它这个角也是 x 啊，这个角也是 x， 咱们就用这个叉在这，那么你会发现下面其实也会有这个叉，然后这个这个圆啊，这个弧，是吧？所以你们的这图里面有很多的这种这个弧 圈叉的这种三角形是相似的，三个角都现在相似吗？所以里面会有一些特殊的一些三角形相似，那么这里首选的，大家在考试里首选的去找什么呢？反 a 字形相似， 也就是这样的切过来，然后呢？这是公共角，然后这两个角是相等的啊，这是 r 法，这个是 r 法， ok， 我 们在这道题里面呢，是谁呢啊？就是我们的三角形观察这个图形啊，三角形， 我换这个，这个点，三角形 e a f 相似于 e a f 相似于 e a f 的 话，你看是不是？呃，这个 e t 为 就这个一一个圈圈叉，圈叉，是吧？这就是反义词相似吗？那这个相似，那就这个相似，我们又可以得到什么呢？那个比例是，也就是我们，呃，再自己整理一下吧。最后的答案就是，我就写，快点， a 一 方等于 e f 乘以 e q， 而我们的 e q 呢？它可以写成三倍的 e f， 这就等于三 e f 方，所以我们就可以得到 a e 是 等于根号三倍的 e f， 好 家伙， a e 等于根号三倍的 e f， 我 们设为 x， 什么设为 t， 这是二 t， a e 等于三倍的 e f， 根号三倍的 e f 等于根号三倍的 t， 好 家伙，这样的三角形，我们该说这样的三角形，这个弧圈叉，这种三角形，他们的什么呢？就是这个这个圈圈，它左右两条边的比例是一比。根号三， 好家伙，那你瞬间反应到有长度的有没有弧线叉，有长度的上下？有啊，那你瞬间就可以得到长度了，这样 e c e c 是 什么呢？一比二三，那这个长的不就是直接根号三吗？ e c 直接知道了，那上面不就二倍根号三吗？我，天呐，那就基基本就要做出来了，那现在还欠你一个什么呢？那么我们的目标是什么呢？我们目标是求 a f， 而 a f 已经通过一个 平行出等腰转成这个什么 ap 了，说明就观察 ap 的 三角形有没有相似啊。答案是有的，那我们这里就要结合看一个大范围的什么呢？结合这个二倍杠三，这样求出来了，也就是刚才求出来的二倍杠三，结合这个五，也就是有 a q 这个长度，然后 ap 这个长度，然后形成了一个大三角形，和哪个三角形相似呢？ 我们的三角形 b， e， p 啊，这个一个什么呢？平行形的啊，这个平行线你可以理解为平行线，分线段成比例定理，你也可以理解为是我们的这个叫 a 字相似，是吧？ a 字型相似，所以 出现相似的时候有有选啊，优先找反 a 字型，反 a 字型，然后呢，这个八字形，还有我们的平行线分线段成比例定理的这种 a 字型啊，啊，都有很多，就这三大类好吧， a 字一类， 八字型一类，平行线一类，总共三类，然后每一类 a 字型和八字型都有对应一个反反反 a 反八，然后平行线平行线的话就基本上就是一个这种类型，好吧，比较多。 ok， 我 们就给大家总结好了， 通过这几个字，希望大家也是收获满满，好吧，然后呢，呃，仔细品味，放在收藏夹里，时不时拿出来看一下，扣签收获的确是很多的，说不定就给你遇到了这种平行平行平行四边形的那种几何，你就哎多拿了几分，对吧，好好收藏，收藏起来好好看啊，没看完，好好看。 这样的相似之后，我们就可以写出相似方程，也就直接写了，我们直接写比翼比向什么呢？下面的那个 a q 等于在哪里等于什么呢？我们要求的是 ap 呢，那就用比翼比向 ap。 那 么接下来我们看一下啊，直接就带进来了啊，直接带进来了，比翼减多少呢？比翼不就是上面是五，这里是刚好三，所以是五减刚好三，是吧？比上 a q 呢？ a q 是 五，加根号三，等于什么呢？比屁，比屁是什么？比屁我们可以转成 a p， 有 没有 a p 要求吗？所以上面这个是什么？这个长度是三，所以它可以等于 a p 减去三，比上我们的 a f。 好， 那 a p 就是 我们要选的 a f 嘛，对不对？所以我们就可以把它设为一个 x 直接求了，或者说啊，我们就直接写了啊，就这个移过去五减根号三倍的 a f， 等于五加根号三倍的 f， 减去一个三倍的五加 高三，然后这个移过来五减五，约了加一个括号三，所以这里是二倍根号三 a f。 哎，不对啊，不对，不对，出问题了，这上面是二倍根号三，上面二倍根号三，这是二倍根号三，这里是二倍根号三，所以这里是三倍根号三，所以接下来三三一约。把这个根号三除过去，这 a f 的 长度就直接知道了。 a f 的 长度应该同时乘以根号三，应该是三分之五倍根号三，加上。 好家伙，这里又是一个计算的一个错误啊，这我们今年只改一个数据啊，还有一个数据没改呢，这减三，这边乘过来，应该是减去什么的。三乘五，加二倍根号三，所以这也是二，所以这里也是二，所以这里同时除以根号三，过去三分之五倍根号三，加上。上面的话是六。 我差点我脑子又不好使了。那你就可以写成三分之五倍根号三加二。 ok， 正确答案就这个啊，所以呢，你蒙是蒙不到的，数填填空题也是蒙蒙出来的。好，那么这期视频呢？三三个问，我希望大家可以分别由上到下分别去看，循序渐进的看你感悟这种 连续的，这种几何中和他的一个辅助线思路是差不多的，助类旁通。我希望大家可以好好的学习，好好总结起来，平行的平行，四边形的 a 字型，八字型，还有这种相似的魅力， 这期视频真的是非常的干货，大家考前一定要拿出来再看一遍，特别是我们这个上海的考生啊，上海考生。好吧，那么我们这个下一期视频不见不散，我是修树。
1884修数（数学博主）
