26年中考函数压轴题
hello， 同学们，我们来看一道二六年莆田质检函数压轴，那第一问跟第二问相对来说会比较简单一点，我们就直接讲第三问，第三问，他让我们求证 mc 平分这个角 a m b， 那 我们来读一下题，已知抛物线过这一个点，第一问函数解析式已经出来了， y 等于四分之一， x 平方减二，那我们可以把这个抛物线简单的给人家画一下，画完之后呢，他说 a 点跟 b 点为抛物线不同的两个点。那第一问的话，我们已经知道 m 加 n 点为抛物线不同的两个点，那 m 跟 n 之间的位置大概在哪个地方呢？ m 跟 n 的 中点是不是位于 m 加 n 除以二，是不是等于我们的二？所以呢， b 点是不是大概在这个地方？ a 点是不是大概在这个地方，而 a b 的 位置是相对的？ 那现在他跟我说 m c 垂直于 y 轴，那么这一条是不是就是 m c 垂直于 y 轴，垂直于这个 c 点连接 am 还有 b m， 然后问我们说 m c 是 平分角 amb， 那 同学们我们的本质是不是正？这两个角相等是不是就 ok 了？ 那么这两个角相等的话，这个角放在哪个三角形里面去研究？是不是放在这个三角形里面去研究？那如果说我们把这个 m c 给人家再延长出来交 a 点，像这个 x 轴引垂线交于这个 h 点的话，我们这边是不是可以得到这两个三角形是不是相似？ 那本来我们是不是这个角是不是放在这个三角形里面去研究？我们是不是可以把它变成在这个三角形里面去看？ 为什么呢？这样子我们是不是可以把这个 a 点的坐标给人家用上？那么这个角他是不是肯定是放在这个三角形里面去研究？我们是不是可以再做一条辅助线，由 b 点向这个 m h 引垂线是不是就 ok 了？ 那现在呢？我们想要正这两个角相等，目前各个重要点的坐标，我们是不是都给人家表示清楚了？ 而这个 a 点是 m 点， m 是 不是在抛物线上，是不是预点给他带进去就 ok 了？所以可以得到 a 点的坐标是不 m 到四分之一， m 的 平方减二，而 b 点的话是不 n 到四分之一， n 平方也减二， 那么这个时候我们是不是可以利用相似或者利用三角函数，把这两个角它的三角函数值求出来就可以了。那么第一个的话，这个角可以放在哪个三角形研究？是不是可以放在这个三角形研究？它是不是等于 a h 比上 m h 是 不是用 tension 就 可以了？那么我们给它写一下，那这个 a h 的 长度是不是就等于我们的四分之一 n 平方减二，再减去负一， m h 是 不是就等于我们的 m 减去负二？那这个式子是不是稍微给人家化解一下，他得到一个四分之 m 减二，那同样的道理，我们是不是还要这个角，这个角的 tangent 值是不等于 b 句比上 m 句，那 b 句怎么去表示呢？是不等于 这个 g 点的纵坐标是不是等于负一，跟这个 h 是 一样的，所以呢，是不是负一减去括号四分之一 n 平方减二，比上这段 m g， m g 等于多少呢？ 是不等于 n 减去负二？那我们给它写一下那同样的道理，负一减去四分之一， n 平方减二是不可以给人家化解一下，化完之后得到一个这样的式子。 那研究一下这两个 ten 值，如果说他们两个能够相等，那么这个两个角是不是就相等？这两个角一相等， mc 不 就平分了吗？所以呢，这两个 ten 值我们是不可以给人家用做差法， 一式减去二式可以得到什么东西呢？是不可以得到一个这个式子？那我们给他算一下， 它这一个化简完之后是等于四分之 m 加 n 减四，那 m 加 n 是 不是刚好会等于四把它带进来？四减四等于零，所以呢，这样子的话，它们是不是就相等了？相等完了之后呢？这两个角是不是就相等？ 这两个角相等之后，提议就得正 m c 平分角 a m b。 那 么这道题目我们就做完啦。
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07:36查看AI文稿AI文稿雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，继续来看一下二六年 陕西二模的二十二题，这道小题怎么样？同学们，简单哎， 模仿咱们的土豆问题啊，这个题，同样的套路，同样的操作题的话呢，老师就不给大家多读了，这个题目就很常规的操作， 呃，紧接着第一题对吧？问，你是几次函数，求求关系式。第二小题呢，哎，二次函数配配方。第三小题呢，直接写答案，引入一个参数，很常规很常规的题目，我们一起来欣赏一下啊！ let's go！ 这个题的话呢，首先第一题， 客房入住数，你注意啊，在题上，老师有个习惯，我一定把它标成我的 x 和 y， 就是 你要把一个信息对它进行数学化。同志们，这个真的很重要啊，是房价 x 标上什么函数呢？ 一次反比例还是二次？怎么看？同学们，注意一次函数啊，那就是一百七，我升到了一百八， x 增加了十， y 就 减少了六，你看是不是均匀变化的，我们再找一组数据，一百九升到了二百， 加了十，哎，那这个 y 呢，就减少了六，两组数据足够让你有一个定心丸了。同学们，没毛病啊，这就是一次函数，并且我们还知道单位变化率呢， x 每增加十， y 就 减少六，这单位变化率就是一个十，负的十分之六，也就是负的五分之三， 好负五分之三 x 再加上一个什么样的数呢？就需要大家，如果是正儿八经的话，同学们，你要写过程，就需要大家把一组数据带进去，如果是老师，我会把 x 等于二百， y 等于九十六这组比较简单的数据带进去，那最终可以算出来 啊，这就应该是二百一十六，你可以再带一组数据验证一下，这是我们做题时候的好方法。同学们啊，比如你再把一百六逗一百二带进去，确保咱做的是对的。 第二小题，一日营业额最大的时候，那这个 z 等于什么呢？ z 就 等于 x 乘上一个 y， 所以 化简之后，负五分之三， x 平方加二百一十六 x， 接下来呢，他问 z 最大，那很明显，同学们就需要进行一个配方的处理，负五分之，负五分之三提出来，括号里就是 x 平方减多少， 嗯，减去一个二百一十六乘以三分之五。你口算也行，手算也不差，同学们，中考不会因为你口算就给你多加两分的 啊。二百一十六除以三七十二，七十二乘以五呢，是个三百六减三百六十， x 配得配个多少？得配一百八十的平方，那就得再减一个一百八十的平方，这就是配方的原则啊，不能让式子的大小发生变化。 好，接下来就是负的五分之三， x 减一百八，括起来的平方。注意，外面还有一串数据呢，是加上一百八十 呃的平方乘上一个五分之三，也就是结果等于负的五分之三， x 减一百八十的平方，再加上一个多少呢？你可以算一下，应该是一万九千四百四十。 那继续呢？接下来过程得仔细啊，因为负五分之三小于零，得把这个情况说清楚，证明二次函数抛物线的开口向下是有最大值的 啊，解释清楚，所以当 x 等于一百八十的时候，营业额 z 有 最大值。说到这就可以了，题上问的只有 x， 不是 营业值是多少啊？同学们，到了第三小题这里呢，把题读完，你就明白这个题是啥意思了。好，公式已经给我们了， p 代表日毛利润等于营业额 z 减去什么固定的总成本？礼品总成本。大家读完题之后，一定要明白，这个礼品是跟什么绑定的，跟房间数， 这个什么固定成本也是跟房间数绑定的。所以我们可以这样去理解，你每开一间房，固定的支出成本就有一个三十加 m， 然后再去乘上一个 y。 好同志们，很多同学会感觉有点难，我们一起来看一看啊！ z 是 负五分之三， x 的 平方加上二百一十六， x 再减去 三十加 m 倍的，这个 y 是 个多少呢？ y 是 一个负的五分之三， x 加上二百一十六。接下来大家注意，你要去读题， 他说在房价不超过二百的时候，就说 x 小 于等于二百的时候，我希望 i hope that 啊，我希望什么嘞？毛利润能够随着房价的增大而增大。同学们，这个二次函数啊，开口一定是向下的， 那么我希望你的对称轴怎么样？同学们，你的对称轴能比二百小吗？我问问大家。不行啊，你必须保证你的对称轴至少至少都得有二百 啊！你的对称轴可以是二百零一，可以是二百零二，对吧？但绝对不能比二百小。你比二百小，你还能怎么保证？我在这个比如说啊，咱不说零到 二百了，一百六十到二百的环节当中，你怎么保证我外随 x 增大而增大呢？其实就是这个意思啊，对称轴是要大于等于二百的， 同学们，因此整个小题只和对称轴有关，那也就是说，负二 a 分 之 b 只和一个二次函数里面的 a 和 b 有 关。 所以这个题啊，你不用理他太多啊，负五分之三 x 方二次项系数先搞定，那么一次项系数都有谁呢？你稍微整理一下，加上一个二百一十六。好，你看啊，把系数乘起来，负的三十乘以负的五分之三是正十八， 负的 m 乘以负的五分之三是加上一个五分之三 m 背的 x。 够了够了，这个题直接写答案，不要往后算了， 负二 a 分 之 b。 同志们，咱们对号入座，结果就是负的啊，来最前面来个负的啊，二 a 负的五分之六分之 b， 那 是二百三十四，加上五分之三 m， 最终要求他干嘛呢？大于等于二百。同志们，这个地方老师跟他说一下怎么算。 首先，负号和负号呢，抵消了，咱不说了，接下来注意哦，我是要对左边的分数进行一个分数基本性质的运用，分子分母同时乘上一个五，一千一百七十，加上三 m， 比上一个 比上一个六啊，大于等于两百，最终算出来，三 m 大 于等于三十， m 大 于等于十。结合题上所说这个范围，同学们，你发现这个题有意思啊， m 是 小于等于二十的， 所以你说 m 的 最终范围大于等于十，小于等于二十，这个题就搞定了吗？拜了个拜，下个视频不见不散！
13:50查看AI文稿AI文稿各位同学，我是大刘老师，今天给大家讲解一下二六年海口市一模数学倒数第二个二次函数压轴大题。我们先来审一下题， 如图十三点， a 是 抛物线， y 等于四分之三 x 平方上的任意一点过点 a 作 a， b。 垂直 y 轴于点 b， 过点 b 作 c， d。 平行 o， a 交抛物线于点 c， d。 点 c 在 点 d 的 左侧。第一个题，弱点 a 是 弱点 a。 横坐标是一。第一个小问，求直线 c、 d 的 解析式。第一个小问比较简单，我们就不过多赘数了， c、 d 的 解析式是 y 等于四分之三， x 加四分之三。 第二个小问，求 o、 a 比上 b、 d 的 值。此题我们有两种解析思路，第一种是直接根据两点之间的距离公式去求出 o、 a 的 长度和 b、 d 的 长度。我们先来做第一种方法，根据两点之间的距离公式， o 点的坐标是零斗零， a 点的坐标是一斗四分之三，那么 o、 a 的 长度就应该是根号下一 减零的平方加四分之三减零的平方。所以我们两点之间的距离公式其实本质上就是一个勾股定律， 等于四分之五，那么 b 点的坐标是零度四分之三 d 点的坐标，我们把它假设为 x d y d。 但是呢，我们的 y、 d 在 直线 c、 d 上，呃，我们的 d 点在直线 c、 d 上，所以我们的 y、 d 可以 写成四分之三 x， d 加四分之三。 所以 b、 d 的 长度就应该是根号下 x d 减零的平方加四分之三， x， d 加四分之三。减四分之三 的平方化减一下，那就是四分之五 x d。 所以 我们所求的 o a 比上 b、 d 就是 四分之五， x， d 分 之四分之五。所以其实我们求出 x、 d 就 可以知道我们的答案了。因为化简之后发现 b、 d 分 之 o， a 是 x， d 分 之一，那么 如果我们要求出 d 的 横坐标和纵坐标，需要连立二次函数和一次函数，我们把它连立一下， y 等于四分之三， x 的 平方， y 等于四分之三， x 加四分之三连立，发现 x d， x 是 二分之一，加减根号五。因为 d 是 在右侧， c 是 在左侧，所以我们的 x、 d 应该是二分之一，加根号五。 所以我们要求的 x 底分之一就应该是二分之一，加根号五分之一。分母由里化之后，我们会发现答案是二分之根号五减一。 这个是第一个方法，第二个方法我们是可以通过三角形相似转化，我们做 d， e 垂直 y 轴与点 e， 他要我们求 o， a 比上 b、 d， 证明这两个三角形相似， o， a 比上 b， d 就 会是 ab 比上 d、 e， 我 们来写一下三角形 b， d、 e 相似于三角形 o、 a、 b， 那 么 o， a 比上 b、 d， 就 会是 a， b 比上 d e， 也就是 a 的 横坐标比上 d 的 横坐标 好。那么这么的我们也能知道，应该是等于 a 的 横坐标是一， d 的 横坐标是二分之一，加根号五，所以我们的答案还是一样。 这个是第一个题的第二题，设点 a 的 横坐标为 m， 是 说明 b、 d 分 之 o a 与 o a 分 之 b， c 的 值均等于同一个定值 k， 并求出该定值 k， b、 d 分 之 o， a。 还是可以根据刚刚的三角形相似转化一下。所以我们要做 d、 e 垂直 y 轴与点 e， 现在呢，又牵扯出一个 o a 比 b c， 所以 我们这边也应该有一组三角形相似，所以要做 c f 垂直 y 轴与点 f， 刚刚我们是需要连立一次函数和二次函数的，现在也一样，但是现在呢， a 点的坐标变成了 m， 那 么 c、 d 的 解析式我们就需要重新求，一定会是一个带 m 的 解析式。 首先 a 点的坐标横坐标是 m， 中坐标就应该是四分之三 m 的 平方，因为它在二次函数上，那么 o a 的 解析式就应该是 y 等于四分之三 m x， 那么 b d 的 话，它和 o a 是 平行的，所以 b d 的 k 会和 m， b， d 的 k 会和 o a 的 k 会是一样的，所以 b、 d 的 k 应该是四分之三 m， 那 b、 d 就应该是 y 等于四分之三 mx 后面再有一个 b， 那 么这个 b 呢，是和 y 轴的交点，和 y 轴的交点是 b 点，所以 b 点的重坐标就是我们的这里的 b， 那 b 点的重坐标和 a 点的重坐标是一样的，因为 ab 是 垂直于 y 轴的，所以 b 的 坐标应该是零到四分之三 m 的 平方， 所以 b、 d 的 解析式就是四分之三 mx 加四分之三 m 的 平方， 那我们把 y 等于四分之三 x 的 平方， y 等于四分之三 m， x 加上四分之三 m 的 平方，连立一下，会发现 x 会等于 二分之 m 加减根号五 m。 但是第二个题的话，我们的 a 点有可能是在二次函数的右侧，也有可能是在二次函数的左侧。当 a 点在 y 轴的左侧的时候，应该是下面的这个图我们还是一样做， d e 垂直 y 轴于点 e c f 垂直 y 轴于点 f， 那 么 此时我们要分类讨论，当 m 大 于零的时候， x d 应该是二分之 m， 加根号五 m， x c 应该是二分之 m， 减根号五 m， 那么此时 o a 比上 b， d 应该是 a， b 比上 e、 d， 此时它们两个都是在右边，所以等于 x a 比 x d 代入，也就是二分之 m， 加根号五 m 分 之 m 化简和分母由理化之后发现是二分之根号五减一。接下来我们要求 o a 分 之 bc， 也就是 bc 比 o a， bc 比 o a， 应该是这两个三角形相似，我们就可以把 bc 比 o a， 把它转成 c f 比 ab c f b a b， 也就是 x c 的 绝对值比上 x a 的 绝对值。 在上面的这个图当中， c 的 横坐标是负的，所以此时应该是负的 x， c 比上 x a， 也就是二分之 二分之根号五 m 减 m 比上 m， 所以 会是二分之根号五 减一。所以当 m 大 于零的时候，也就是点 a 在 y 轴的右边的时候，此时我们的这个 k 应该是二分之根号五减一。 那如果 a 点在 y 轴的左侧的时候，此时 x d 应该是二分之 m， 减根号五 m， x c 是 二分之 m， 加根号五 m， 那 么 o a 比上 b d 会等于 a， b 比上 e d， 也就是 x a 比上 x d 的 绝对值。 此时呢，我们的 a 点是在 y 轴的左侧， d 是 在 y 轴的右侧，所以会等于负的 x， a 比上 x d。 刚刚老师没有加绝对值的原因是因为 a 和 d 都是在右侧， 所以等于负。 m 比上二分之 m， 减根号五 m 等于二分之根号五加一。那 b c 比上 o a 会等于 c， f 比上 ab， 也就是 x c 的 绝对值，比 x， a 的 绝对值等于 m 分 之 m 加根号五 m， 二分之 m 加上根号五 m， 所以 化简一下是二分之根号五加一。综上所述， 我们的 k 应该是二分之根号五加减一。 此题的第三问出的有误，需要根据第一个题的题干才可求出，否则不可求出，它的参考答案也是根据第一个问的题干去求的。好，我们来说一下如果在第一个题的题干下，怎么去求 t 的 取值范围。 首先我们要明白， y 等于四分之三 x 减 t， 括号的平方是根据 y 等于四分之三 x 的 平方平移过来的，而且是左右平移，并且平移的距离就是 t。 我们先找到 c 和 d 分 别关于 y 轴对称的。在二次函数另一只的对称点，我们会发现，如果向左平移的情况下，我们的这个平移距离的 t 应该是在 c、 c、 e 的 长度 和。如果向右平移的话，我们平移的距离应该是在 d、 d、 e 的 长度两个长度之间。 这个是刚刚好和原线段 cd 恰好存在尾一交点的情况，如果再向左平移就脱离交点了， 如果再向右平移就脱离交点了，因为他说的是线段 cd。 刚刚我们在第一个小问当中已经求出了 x， c 是 二分之一减根号五， x， d 是 二分之一加根号五，所以我们的 t 的 取值范围应该是在一减根号五到一加根号五之间，且 t 是 不能为零的。如果觉得老师讲的清楚的话，可以点个关注。
103大刘带你刷数学
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216木易数理化
03:19查看AI文稿AI文稿好，各位啊，呃，本来最后一个月呢，沈老师也不太想讲这种解答亚洲题了。呃，那昨天有一个粉丝问了这道题啊，温州热心的解答亚洲题啊，那今天来看一下 啊，条件呢，一定要注意好， ab 是 直径，然后还有这个条件，对吧？整个题干中就这么一个条件，你肯定要去想怎么用啊，然后第一问呢，也是在为后面啊，最后一问，压轴问，在搭台阶，你要一定要想清楚。那第一问呢，我们快速讲一下啊，先， 半径下的角 a 等于角 c， 又因为这个 o 一 等于 c 一 啊，所以角 c 是 不是等于这个角到 o c， 所以 这个角相等了好一会有用。然后第啊，求 a c 的 长，我们只要利用一个斜 a 字形相似，就这个三角形 c e o c e o 斜 a 字形相似于 c o a 啊， c o a 好， c e 比 c o 等于 c o 比 c a 啊，肯定能求啦啊，你自己理解一下，因为 c e 等于 o e o e 呢，就是这个半径减到 e 啊，好，那这里呢，主要第二问 啊，也是要先观察这个图啊，那你发现这个 b c e 是 不是有点像个等腰直角三角形 b c e 啊，所以我们可以往这条线上去想，那怎么证明它是等腰直角三角形呢？那我们喏， 这个角 a e o 前面应该能够想清楚，它是不是等于两倍的，这个角 a 等于两倍的角 a， 所以 啊， a 比一呢，也等于两倍的角 a 对 𠲎， 所以 这个 a e o 和 a b o 呢啊， a 比一是相等的，所以这里也有个斜一字形相似，就是 a o e 斜 a 字形相似于 a 一 b 啊，有个公共角角 a 等于角 a， 然后这两个蓝色的角相等，对吧？所以这个比例就是 a o 比 a 一， 就等于 a 一 比 a b， 然后等于 o 一 比比一啊，你根据前面两个比例啊，你能得出这个相似比就是一比根号二的，一比根号二， 所以 o 一 比比，一比根号，那你看 c 一 和 o 一 相等，对吧？如果是 o 一 为 x， c 一 为 x， 比一的话，就是根号二 x， 然后角 c 是 直径所对的圆周角，那你看这里 b c 勾股定律是不是也是 x？ 那 等腰直角三十七是不就证明好了？好， 所以有了这个证明好了之后，那做起来就方便了。这个半径 b， c 是 二，那 b 一 就是二，根号二， 然后这个角四十五度，这个角 a 呢一份，这个是两份，所以这个角度也能求得出来了。 a b 一 是三十度啊，这个你去想一下，三十度 b， a、 c 呢？是十五度， 所以我这里再做条垂线，再做条垂线。好，这里垂直 e f， 这个角 e、 o 比 o 多呢，也能求来是四十五度，四十五度，所以这里 e、 f 呢，是根号二啊，三十度所对直角边斜边的一半， b， f 呢？根号六， o f 等于 e f 根号二， 这样最后这个半径 r 就是 根号六，加根号二，思路就通了啊，好好理解一下。
108@沈老师
01:07查看AI文稿AI文稿今天给大家压道新疆中考数学二次函数压轴大题，我敢打赌一种，务必点赞收藏关注我，一起拿捏新疆中考命题规律！这道江超联赛足球射门的二次函数压轴题其他概率球今年的原题，我们直接来看这道压题。作为咱们新疆本土顶流足球赛事，江超联赛现在热度爆棚，不仅点燃了全疆球迷的热情，更是中考命题组格外青睐的本土热点素材。这道题就以联赛赛前训练为背景出题。 在一次江超联赛的赛前训练中，乌鲁木齐对队员丹尼在距离球门八米的 a 处起脚射门，足球飞行路线呈抛物线，当球水平飞行六米时到达最高点，此时球离地三米，已知球门高二点四四米，以球门底部 o 为圆点建立平面直角坐标系。第一问，球抛物线的函数解析式，并通过计算判断这一脚射门能否射进球门。第二问，若抛物线形状和最大高度不变， 球员需要向正后方移动多少米，才能让足球经过球门 o 点正上方二点二五米处？去年咱们凭借天山胜利最大的题型，今年依旧紧跟新疆中考命题思路，用本土体育热点命题， 核心考点完全固定不变。第一问，考察二次函数顶点式，找准顶点坐标，带入数值求解析式，再带入球门横坐标计算高度进行对比。这一问六分，稳稳拿到。 第二问，考察抛物线平移，形状不变，就是 a 轴不变，顶点跟着平移，最后带入坐标列方程，求解四分，轻松拿下新疆中考压轴的套路。就这样，外壳年年换，考点始终不变。去年考隧道，今年考咱们新疆人自己的江超联赛！赶紧点赞收藏评论区领取完整解析过程中考二次函数大体直接稳拿满分！
3291韩哥数学（沙湾）
17:35查看AI文稿AI文稿这个题啊，既考察了我们几何问题，又考察了我们这种图像拼音变化的问题啊，是目前咱们新中考的一个方向， 刚刚考完呢，大连市二模二十三题，好多小孩啊，很闹心，感觉出题人太难为我们了，特别是我们这个第一问，这个解析式啊，就很闹心， 后边算了一大堆比值，也很闹心。其实孩儿们啊，解析式那个确实啊，有点复杂，但这块求的是比值这个事，咱们根本不用算 x 的 值， 最终东西都能约掉，哎，很好算。那么下面咱们具体来看一下啊。这个如图抛物线啊，给了我们这个与 y 轴交点，然后说与 x 轴的 y 轴交点，分别是点 x， 点 b， 点 c， 点 m 段 m 的 抛物线上，且满足的是这个式子， 然后直线 o c 和直线 ab， 它相交于点 h。 首先我们 o c 这条直线也是知道啊， y 等于 x， 为啥？因为它的横坐标和纵坐标相等啊，这不都是 m 吗？哎， y 等于 x， 然后第一个让我们求 b 点坐标及 m 的 值， b 点坐标简单啊， s 得零，然后 y 就 能算出来了，零度号三，这白给分的是吧。然后第一问，他没让我们求解的式，他让我们求这个 m 的 值， m m 咋求啊？ m 在 抛物线上，那肯定带到抛物线里去啊，带到抛物线里边就是 m， 它等于 am 方加 bm 加三， 然后边还有一个 a m 方那个式子，等我把那式子整理一下啊， a m 方加 b m， 然后加 m 减六，它得零，对不？哦，这都有，这个 a m 方加 b m。 哦，这个我好像知道了，也就是说，等我把这式子整理一下，把 m 写在这， 然后你上下一减，你上下一减，是不是刚好就把 a m 方和 b m 方这俩式给约掉了？哎，就这个式子减，这个式子三减， m 加六是不得 m， 哎，所以这样我们算出来，二 m 的 九 m 等于二分之九。这道题啊，敌方确实好像没见过这样式的，额外也抛物线还给了一个方程，完了，最后，哎，我们还需要约定是吧，有点整体这种校园的思想啊。好，那么 m 的 值二分之九， 这个搞定啊，下一个 a 点坐标是六到零，然后让我们去抛线解析式，你这不相当于是经过了这两个点吗？一个是二分之九到二分之九，完，一个是六到零啊，那把这两个点带下去呗。 啊，带来啊，六到零，零等于六六三十六 a 加上六 b， 然后加上一个三，完了，二分之九到二分之九，二分之九等于四分之八十一 a 加上二分之九 b， 然后加上个三 啊，把这个二分之九先拿过来，这个三是二分之六，二分之六减二分之九等于负的二分之三啊。这边是零，先是把下面的十字化简给它，同时乘个呃，乘个四啊，乘四，然后八是一 a 加上二九于十八 b 啊，然后减去六。哎，所以孩们啊，为什么老师没约你看啊，这块你给他同时除掉个三，你看变成啥了？呃，零等于二十七 a 加上一个六 b， 然后减去个二。 我为啥没那啥呢？没把上面约分呢？就是因为我给他画成统一的不就行了吗？你看，这是六 b， 这是六 b 啊，往上下你做个叉不就把 b 约掉了吗？这个式子和这个式做叉，三十六 a 减二十七， a 是 九 a， 然后六 b 六 b 约了啊，三减负二五，然后得零， 那么 a 他 就等于负的九分之五，所以啊，我们这块啊，算出了这个 a 的 值， y 等于负九分之五 x 方，那 b 就 好做了，你把 b 再往往这里带， 往最简单的里边带。哪个里边简单呢？好像都不简单，是吧？往往这里带吧。负九分之五乘以三十六等于负的二十加六， b 加三等于二 啊，完了，六 b 减十七得零， b 等于六分之十七，哎，这块再加上一个六分之十七 x， 然后再加上个三。这抛线解式啊，六乘十的话是六十，然后七九六十三啊，一九得九，九加六的话一十五，一百五十三，那这超过二了是吧？对，准时候肯定超过二了，然后这个 他给的这个范围没超过二啊，你就知道这个事就行啊，对称轴是超过二了，这个数老师也没约分啊。好，咱们往下来啊， 说过点 p 做 s o 垂线 p 啊，我们假设 p 在 这吧，他没超过那个对称轴是吧？过点 p 做 s o 垂线，这是 p 点，然后做 s o 垂线与直线 o c 相交于点 e 与直线 o， c 相交于点 e， 呃，与直线 a、 b 相交于点 f 相交点 f， 呃，将三角形 p c， e 的 面积， p c， e 的 面积，呃，与三角形 p a、 b 的 面积分别记为这个完，两三根面积的比值等于四分之九减二分之一 啊，完了，求 p e 比 p f。 孩儿们，这都说的是个啥呀？ 整了好多陌生的字母是吧？那其实啊，如果说 p 的 这个横坐标是 e 的 话，你纵坐标是不是都能表示啊？这个咱们都先不管，咱们先考虑点其他的，考虑什么呢？ 这个 p e c 的 面积，它当然咋求 p e c 的 面积，它是不是等于 p e 乘以？哎，这个高是吧？这个高， 这个横度标是二分之九，这个横度标是 e， 那 你这高是不是就是二分之九减去我们那个横度标 e， 对 吧？底乘高除二，这就是三角形 p e c 的 面积 p e 当底，然后我们那个二分之九减一是高，然后五十二。啊，它比上我们哪个三角形 p a b p a b， 孩儿们，这不水平关系乘以前垂高吗？你 p a b 的 面积，它不就是 p f 乘以这个 o a 吗？ 啊，我，我再解释一下为什么这个事啊？假如说你把这块设为 p h， 你 这个 p a b 这个三角形我刚才是没连在你心里自己知道咋回事啊？它是不是等于 p f b 乘以 p f a 这俩面积的和，是吧？加在一起， 那你 p f b， 你 是不是 p f 乘以 o h 除二，然后 p f a， 你 是不是 p f 乘以 a h 除二？ 哎，所以它就会变成了 p f。 一个是乘以 o h 除以二，然后 p f 再乘以 a h 除以二，那变成啥了？这变成二分之一变 p f 乘以 o h 加 a h p 公式，那你不就是 o h 加上 a h 的 啥呀？是不得 a o， 哎，所以它就是比上二分之一倍的 p f 乘以 a o a o a o 常知道啊， a o 是 不是六啊？ 然后它等于啥呀？等于四分之九减去个二分之一， 而这里边这个二和这个二我们是不能约掉，最终求的就是 p e 比成 p f， 哎，那这个六我们是不是能乘过来？没毛病，是不是？乘能乘过来， 但是孩们先别乘，你看看这个二分之九减 e， 四分之九减二分之一 e 呀，你这个四分之九，我能不能写成这样的二分之九减 e， 就是把这个块你给它提个二分之一出去，你提个二分之一，是不是这样式的了？然后咔嚓一下，它就约掉了， 对不？然后你把这个六乘过来，你六乘过来乘二分之一是不是三？然后左边是不就剩的就是个 p e， 它比成一个 p f， 这就完事了。所以 p 比 p f 的 值啊，那就是等于三。所以说啊，这一问，我们根本不需要把这个它的长度用那个含义去表示出来，然后最后把那个小一再求出来，这个不需要啊， 约掉了啊，看了吗？孩们约掉了，下面我们来看最后一问啊，最后一问是我们这个平行四边形跟抛物线结合问题，并且啊，这个还是动的，然后求这个焦点问题啊。来，我们接着来看一下， 这还是啊，刚才那个抛物线是求完了，是不变的，完了，还有那个什么这些点坐标 c， 点 a， 点坐标什么都是不变的。然后说那啥点 q， 它从点 c 出发， 从点 c 出发，沿着折线 c h 还有 h a， 沿着这个折线运动，运动到点 a 呢，停止， 然后以 o b o q 为边做平四，以 o b o q q 在 这上边啊，在这个 c h 和 h a 上运动啊，为边做平四，而且这个平四啊，它都给你确定了是 b o q h， 那 h 在 那上面啊， b o q h， 它在这个折线上动，对吧？ 设 q 的 横度标是 d 小 d 啊，当这个 b o q n b o q n 这个平四，呃，内部 不含边界啊，这个平行四边形内部的抛物线从左向右是下降的。这句话好好理解啊，平行四边形，它内部包着抛物线的某一段，然后这某一段呢？从左向右是下降的。哎，让你求得的范围， 哎呀，我也不知道那个对的范围在哪，咱们就先画一个吧。咱们先假设 q 在 这儿， b o b o q n， 它如果是平四的话， b o q n 是 平四的话，这个长度是不是三？那这个高度是不是也是三？ 哎，那此时我们看啊，我这样好像这个平四它没包着跑步线是吧？没包着，呃，那啥时候是包着了呢？你看啊，你把这个 q 再给它往右一点， 往右一点啊，哎，到这了啊，然后还是一组对边平切相等。 b o， 这是 q， 这是 n， 你 看此时这个平四，它是不是就包着这个抛物线一小段的，而且从左向右是不是减少的？哎，那从刚才没有交点到现在啊，这个平四和抛物线两交点，它是不是给我临界啊？ 那个临界。那啥是临界？就是刚好我们那个 q 在 这，然后 n 在 这个位置，刚好这高度是三，它就是个临界啊。那此时，那我们好求，你就设坐标呗，你设这个临界的时候，那个坐标 啊，横坐标是 d， 那 这个纵坐标它也是 d， 用 q 点呢？在这个直线 y 的 x 上边嘛，然后这个这这块临近的时候，这个 n n 的 横坐标是 d， 纵坐标往抛物线里带呗。负九分之五 d 方加上六分之十七 d， 然后加上三， 然后上减下，刚好是不等于三。上减下负九分之五，对方加上六分之十七对，加上三，减去我们这个对啊，刚好等于三对啊，然后这个三约掉 负九分之五，对方加上六分之十一对，他得零。完了，你 提个得啊，用一至分解法解，负九分之五得加上六分之十一，然后得零，那一个得得零，那肯定舍了。另外一个呢，就是负九分之五得，呃，加上六分之十一，它等于零 十一，除以六等于九分之五。对，六分之十一乘以五分之九等于对，然后我们这块约个分二三，那么十分之三十三， 所以这个当 d 等于十分之三十三的时候，刚好是个临界，然后你再往右一点点就行了啊，所以我们这个 d 的 范围 d 是 大于十分之三十三，然后你不能无限往下大呀，因为他在这个折线上动呢，你不能超过点 c 啊啊，但等于点 c 的 时候是不行，等于点 c， 你 看， 等于点 c 行，它包着这一段可以啊，所以它等于点 c 行，小于等于 c 的 横坐标二分之九。哎，这是咱们第一个范围，孩们啊，先把这个理解了啊，然后我们再理解下一个范围。来，老师，把这个蹭一蹭啊， 下一个范围，我们这个点 q 啊，它就在在下边这块了，在这啊，那还是临界的时候是不？刚好这个长度是三。呃， b， o， q， n， n 刚好是接头的这个抛物线上，对吧？那此时就是我们 n 的 坐标，还是的逗，负九分之五的方逗号六分之十一的，然后加个三，这是我们 n 的 坐标，而此时我们这个 q 的 坐标，它的横坐标也是的。 但纵轴标是不是得带你 ab 这条直线了？ ab 这条直线啊，这是三，这是六 y 等于负二分之一 s 加三，所以它就是负二分之一，对加三。孩们应该能反应过来是不是你这个 啊？直线解式啊，再用两点，那是写过程方法，或者你用这个点正切二分之一，它就等于负二分之一啊，然后上面减下边负九分之五，对方加上六分之十七，对，加上三，减去这个加上二分之一。对，再减三，然后得三， 上面跟下边啊，然后他俩约掉了。负九分之五，对方加上这是六分之十七，这个是六分之三，六分之二十，对，然后等于三， 呃，六分之二十，约个分用六分之二十啊，是三分之十，然后再乘个九吧，乘个九不就去分母了吗？乘个九乘负九吧。 呃，五，对方乘以负九，呃，负九减三十，对，呃，这个乘负九三九二十七，二十七的话挪过来就正的二十七，然后得零，对啊，这个方程 五的方减三十的加二十七等于零，好像一直分解不了。那你就公式法啊，的等于二分之负 b 三十加减刚二下 b， 方减 c， c 方九百减去四五二十 四 a， c 二十乘以二十七，我们在上面算一下子啊，呃，九百减去这个二十乘二十七，呃，二七是四，呃，二二得四五，算一下啊。零 六，然后三三百六十，三百六十，开根号六六三十六六六倍根号十，然后前面是三十加减，然后这块是十，然后用几月份呢？用 只能用二约啊，二约的话是五分之十五加减三倍，根号十。 那我们取的正的还是取负的那个啊？它就是取加的那个，是吧？减不行，因为你那个十五假如减去三倍根号十啊，根号十是三点多乘以三，那是九点多，九点多的话，你这块相当于就是五点多一点，五点多一点除以五就是一点多，你一点多不行啊，你这一点多太小了， 是吧？你取大的那个，所以啊，我们另外一个的范围就是大于啊，五分之 十五减去加上三倍根号十啊，然后他不能无限往下大下去啊，他顶多到 a 这块重合啊，到 a 这块行啊，你再往下来就不行了，因为它的射线是， 所以它小于等于 a 的 横坐标小于等于六啊。最后我们是这两个答案，那么这道题啊，我们建议大连市以外的城市的那个家长把这道题点赞收藏，然后让孩子先做一下，最后听老师的视频讲解。
169佟老师思维
04:53查看AI文稿AI文稿大家好，我是风妙爱数学，我们继续来看二六年西湖区一模的第二十三题啊，还是一个二次函数的压轴大题， 只不过这个二次函数它是通过表格中的数据给了三个已知的点，对不对？那第一个小问，让我们去求二次函数的表达式以及 m 的 值，那这个非常简单的，用待定系数法 带入三个已知的点就能得到这个解析式的，所以我大致的把这解析式写出来啊，这个 y 就 等于负 x 的 平方加上二， x 加三， 然后将什么 x 等于一给他带进去，对吧？那这样的话变成了负一的平方加二加三等于负一，加五是等于正四的，也就是 m 的 值就是正四啊。再看第二个小问， 他说 a 点是 n 多号 y 一， b 点 n 加三，多号 y 二，他都在这个二次函数图像上面，并且 n 的 取值范围是在零到二之间，来比较 y 一 和 y 二的大小， 并说明理由。那我们来看一下这个二次函数的解析式，我们是不是都是知道的，对不对？这个是 y 等于负 x 平方加上二， x 加三，咱们把它画成一个顶点式的形式，可不可以啊？ 那是不是就变成了什么负的括号 x 减一的平方加四啊？那这里面对称轴，咱们来给他计算一下是不是一，而且这个 a 它是负一，开口是向下的， 对不对？那我们说你对于开口向下的二次函数来说，点到对称轴的距离越远，函数值什么越小，是不是有一个 下元小的口诀，对吧？那现在你比较这两个点重坐标的大小关系，是不是就可以通过比较这两个点到对称轴距离的远近来进行比较呀，对不对？那我们来看一下啊， 那这个 n 到对称轴的距离可以用 n 减一的绝对值来表示，对吧？ n 加三到对称轴的距离呢？用 n 加三减一的绝对值化解一下，是不是 n 加二的绝对值？ n 减 n 是 在零到二之间，那 n 减一的绝对值是不是小于一的，对吧？那 n 加二的绝对值呢？它是不是大于什么 二的？所以 n 加二的绝对值肯定是大于 n 减一的绝对值的，那这样子的话，我们就能得出来这个 b 点它离什么对称轴更远一点，那根据我们什么 下元小的口诀，那所以说这个 y 二是不是小于 y 一， 那这个第二小问就是什么 这样的答案啊？那我们来继续看一下第三个小问。第三个小问是这样说的， x 在 负一到 t 之间，函数值的取值范围是在零到四分之十五之间，求 t 的 取值范围，那我们说这个二次函数的解析式我们是完全知道的，对不对？是 y 等于什么？ 负 x 平方加上二， x 加三，对不对？那这里面对乘轴是不是就定死了，对吧？对称轴是等于一的， 但是这个自变量 x 的 范围呢？它是不确定的，有一个参数 t 存在，所以这个是范围动，那它是我们经常讲的轴定范围动的题型，我们说遇到轴定范围动的题型，咱们一定要把这个什么 二次函数的解析式给它大致的画一下子。那图像画出来之后，我们首先来判断一下，哎，这个 y 它的最小值能够取到零的对不对？ x 是 从负一开始的，那我们就从负一向右边进行移动，对吧？ 它是能够取到零，但是它能不能取到最大值呀？我们的最大值是 x 等于一的时候，函数的最大值是几啊？ 是不是等于正四？那这个正四哎，这个函数是取不到的，所以说我们这个自变量的范围是一定不能包含对称轴的。 那 t 是 小于一的，但是能够一直小下去吗？当然不可以的，我们看另外等于什么？四分之十五的话，我们能不能解一下这个 x 它的一个值 负 x 平方，加上二， x 加三等于四分之十五，对不对？所以 x 一 我们能够算出来是等于二分之一的， x 二能算出来是等于什么？二分之三的， 这里面值有两个啊，但是我们根据前面的分析知道 t 是 在小于一的，所以这个值应该是舍去的，所以 t 只能等于二分之一， 这样的话我们 y 才能取到它的一个最大值是四分之十五的，所以这里面 t 的 值就填等于二分之一就可以了啊，这就是这一题的答案。
04:55查看AI文稿AI文稿各位同学，我是大刘老师，今天给大家讲解一下二六年海口市一模数学最后一个填空题和倒数第二个填空题。第十五题难度还是不高的， 我们先审一下题，会发现他说的这个尺规作图是角平分线的尺规作图， 所以我们能知道角 a、 b、 p 等于角 c、 b、 p， 而四边形 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形，所以 c、 d 和 ab 是 平行的。那两直线平行内错角相等，我们就能知道角 c、 e、 b 会和角 a、 b、 p 相等，那么我们就会知道 c、 e 和 c、 b 是 相等的，因为 等角对等边，它告诉我们的数据是说 ab 是 六， ad 是 三， 那我们就能知道 bc 是 三， c、 e 和 c、 b 相等，所以也会是三，而 ab 是 六，则 cd 也会是六，所以 d、 e 会是三。 那对于这两个三角形 a、 d、 e 与三角形 c、 f、 e 来说， 它们两个可以用 a、 a、 s 证明三角形全等，或者是 a、 s、 a 都可以证明三角形全等，所以我们的 c、 f 就 会等于 a、 d， 所以 等于三。 第十六题，如图十点， p 是 边长为二的正方形 a、 b、 c、 d 内部的一点，且角 a、 p、 d 等于九十度 点 e 是 bc 边的中点，将线段 d、 p 以 d 为中心，逆时针旋转九十度，得到 d、 q 连接 q、 e、 c、 q 则角 d、 q、 c 等于多少度？ 由于 d、 q 是 d、 p 旋转而来的，所以 d、 q 和 d、 p 相等。由于四边形 a、 b、 c、 d 是 正方形，所以 ad 等于 dc， 那么我们的 a、 d、 c 是 等于九十度。我们是逆时针旋转九十度，所以角 p、 d、 q 等于九十度。去掉公共的角，剩下这两个角相等，所以我们可以通过 s、 a、 s 证明三角形全等， 所以角 d、 q、 c 的 长度最大值为， 那我要知道 e、 q 的 最大值。先先明白哪个是定点，哪个是动点， e 点是 定点，因为它说是 b、 c 的 中点， q 点是动点，那 q 点是动点是要满足什么前提条件呢？那我们需要满足 d、 q， c 是 九十度， 那我要满足 d、 q， c 是 九十度，它的轨迹应该是在哪里呢？因为直径所对的圆周角都是九十度，所以我们 q 点的轨迹应该是在以 dc 为直径， dc 的 中点， o 为圆心的圆上。 我们可以画出 q 的 轨迹图， 也就是说我们 q 的 轨迹应该是在这一个圆上，那 eq 的 长度的最大值。我发现在 q 运动的这个过程当中，当我们的 e、 o、 q 在 同一条线上的时候，我们的 eq 的 长度就会是最大，因为此时 e、 o 的 长度是固定的， 也就是根号二 o q 的 长度也是固定的，也就是圆的半径，也就是 d、 c 的 一半，所以是一。 所以当一 o、 q 在 同一条线上的时候，我们的 e、 q 的 长度就会是最长的，也就是根号二加一。 此时点 q 会运动到这个位置。如果觉得老师讲得清楚的话，可以点个关注。
20大刘带你刷数学
13:44查看AI文稿AI文稿这类题堪称中考二次函数的压轴王，同时啊，也是高频考点，百分之九十孩子呢，都不会做，为啥呢？因为很多孩子面对平行四边形的存在性问题，他不知道对点公式，所以说呢， 千万不要算到崩溃，老师今天用最简单的方法叫做对点法，教你彻底拿下平行四边形存在性的这类压轴题。好，我们来看题目。 首先我们来看一下啊，这个题的大背景我不用多说，就是抛物线对吧？其中呢，它有一个特征是 a 圈起来啊， bcmn， 我 问大家第一个问题啊，这是一个非常重要的点，请问 平行四边形 b， c， m、 n， 如果我是这么写，它有什么要求吗？听好了，它一定你的平行四边形是 b c， m n 或者是 b c m n， 它是有顺序的， 听懂了吧，但是如果题目中它这里明确的说是这样子啊，叫做 b c m n 为平行四边形，它是这样用顿号给你连接的。那么这一类题的一个典型特征就是什么分类讨论 无顺序，也就是说啊，你是 b c m n 可以， 或者是 b c m 等等等等都行， 听懂了吗？啊，所以说教给孩子们啊，拿到题目审题的时候，这是非常关键的一步。好，紧接着我们来看一下 第二点，第二点呢，他这里说了啊，你看，抛物线解析式给到了，其中呢，我们告诉你， b 点的坐标是能直接表示是零，逗号负三 是吧？然后呢， c 点的坐标用我们的什么英式分解， x 加三乘以 x 减一等于零，对吧？ y 等于零，所以 c 点坐标呢，也能出来是负三逗号零啊，这是我们的负三逗号零。 好，那你会发现这个平行四边形的两个点 bc 都已经知道了，那么接下来我们来看一下剩下两个点怎么找， 其中呢？有一个点是在抛物线上，一说到抛物线，大家应该都很清楚，干嘛 无非就是 a 逗号 a 方加二， a 减三，是不是它就是一个抛物线上的解析式的表达？好，这是我们的 m 点，紧接着呢，我们来看一下 n 点在哪啊？ n 点呢？是在 a 抛物线的对称轴上。好，那么大家告诉我，在解析式确定的情况下，请问 n 点的什么坐标是固定的呢？没错，就是我们的对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b， 也就是负的。什么呢？二 分之 b 是 二，答案就是负一，所以说对称轴上的这条线是横坐标等于负一。 ok， 那 么我们的 n 点呢？就在这上面来回移动了。 好，那现在我问大家一个问题，你告诉我 m 点难确定还是 n 点难确定？很明显，你 m 点是这条抛物线上面随便跑的一个点，所以说我们要干嘛？听好了，我们要找一个 易得三角形，而这个三角形由谁组成呢？肯定你不找 m， 因为 m 不知道它在哪，是不是相对来说， n 点是比较轨迹比较清晰的，就在这条直线上，对吧？我随便先画一下啊，假如这么一个三角形 好，大家会发现一个什么点呢？当你这么一画，因为我们知道一个平行四边形是不是由两个三角形组成的，对不对？我既然这么一画，那你告诉我 m 点大概率在哪里呢？是不是有可能是这么去画的？有可能啊，先大概画一下，是不是这样的一个情况， 对不对？这是一种情况，还有可能呢，是这样子去画的，对吧？如果 n 点是活动的啊，它不是固定的，比如说有可能是这样去画的一个情况， 对吧？这是 m 点，是不是还有可能怎么画呢？还有可能这么去画，大家先大致了解一下，三角形在这摆着，你的那个是不是这样去画了一个，然后这个点呢？恰好在抛物线上， 各位听明白了吗？所以说呢，这个题我们找到了这个易得三角形，然后给他干嘛？翻一下，翻一下，翻一下，就能把平行四边形是不是先拼凑出来， 是不是？好，所以说这一步呢，大家先了解就可以了。好，接下来整个题目最重要的核心来了，我问大家，像这种两个动点去划平四边形是难，还是我把这个几何问题 转变成代数问题难呢？很明显，你会发现化是一件特别难的事，因为你这个 n 点实际上也是一个动点，是不是也不确定？那接下来我们整个这个题最核心的知识点我来了啊，就是如何把几何中的平行四边形去给他做一个代数化的操作。 ok， 那 这里呢，我给大家讲一个叫做对点法的东西，什么叫对点法呢？我来随便举个例子啊，比如说这里呢，我们来看一下，这个三角形是 b、 c、 m、 n， 这个平行四边形。好，根据平四边形的性质叫什么？叫做对角线互相平分， 对角线相互平分。 ok， 所以 说我连接它，连接它。好，你告诉我什么特征呀？是不是你这个对称中心既是 b 和 m 的 中点，也是 c 和 n 的 中点呢，对不对？好，那这里我就找到了 o， 为什么呀？是 b m 的 终点，同时 o 也是什么 c n 的 终点，有没有问题？好，没有问题的家长我们继续来探讨。您发现，说到终点，终点，我们就要提一个东西，叫什么？对，叫终点。公式 在初一的上学期，其实我们是简单了解过的，你比如说啊，告诉你 a m b， 请问 m 是 他们的中点怎么办？是这段距离等于这段距离。我来写一下，就是 b 点的数值减去 m 点的数值，等于 m 点的数值减去 a 的 数值。 所以我们钟点公式是有个推导过程，是 x b 减 x m 等于 x m 减 x a， 对 吧？所以说，我们得到了一个把它挪过来是二倍的 m 的 横坐标，等于 a 的 横坐标加 b 的 横坐标， 对不对？好，拿到了这个式子，我们就得到了什么？你看是不是 m 点的横坐标等于二分之 a 点的横坐标加 b 点的横坐标， 听懂了吧？那你会发现，哎，很关键的信息来了，就是中点的横坐标等于二分之什么？一左一右两个点， 那它放在平面上是不是也是如此？我来举个例子啊，比如这里是 o 点的横坐标，这里是 b 点的横坐标，这里是 m 点的横坐标，大家告诉我它是中点的话是什么？是不是 等于二分之 x b 加上 x m， 对 吧？同样的道理， o 点还是 c 和 n 的 横坐标，那就是二分之 x c 加上 x n， 各位能不能看懂？ 能不能看懂？可以吧。那你想，既然横坐标是这样，那请问纵坐标呢？ o 点的纵坐标一横一纵两个坐标组成吗？是不是就等于二分之 b 点的纵坐标加上 m 点的纵坐标，再有二分之 c 点的纵坐标加上 n 点的纵坐标？ 能理解？好，这两个公式是我们对点法最核心的两个公式，由竖轴给大家推演到整个坐标系，你看我画一个坐标系， 大家能理解吧？好，那接下来我们来总结一下对点法的核心，对点法的核心是什么？来，就看这个图去说话哈，就是你这两个分子，你看二分之它等于二分之它，所以什么 b 点的横坐标加上 m 点的横坐标加上 n 点的横坐标，对不对？与此同时，纵坐标 b 点的纵坐标加上 m 点的纵坐标加上 n 点纵坐标， 各位是否清楚了解？那现在我随便给大家画一个，你看你是否能直接得到啊？比如说我们画一个勾圈 k、 s， 怎么办？好，我们直接写，看着图就能写，对不对？就是 j 的 横坐标加上 k 的 横坐标，加上 a 的 横坐标，对不对？好， j 的 动作标加上 k 的 动作标，等于 q 的 动作标加上 a 的 动作标， 明白了吗？所以说呢，我们在存在性问题当中，大家只要找到谁的对点是谁，他就一定能组成什么？根据平四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平四边形， 对吧？你答案是不是就迎刃而解了？好，我讲这个对点法跟这个题的必然联系是什么呢？来，各位 好，那么根据对点法呢？我们现在就可以干嘛把这个几何问题转化成哎，代数问题啦？好，我们来看一下怎么分类讨论啊？首先我们重新来画一下那个 n 点呢，大概在，比如说在这个位置，对吧？ b c n 呢？如果长成这样， 好，大家现在自己也想象一下，对吧？那么你怎么分类讨论呢？很明显，我是不是拿这条边去当对角线，对吧？然后呢，那中点就在这里，然后你可以构造一下那个 m 点是不是大概在这个位置，对不对？好，那我们来写一下啊。第一种情况，假如 c n 为对角线， 那么根据你的对点法，你能得到什么呢？想啊， m 和 b 是 不对点，那么我们可以得到 m 的 横坐标加上 b 的 横坐标，等于 c 的 横坐标加上 n 的 横坐标， 对吧？好，然后你会发现，根据这个式子我们来看啊， b 的 横坐标是几？因为 b 点坐标一开始是求了的， b 点坐标是几？是不是零，逗号负三， c 点的坐标是不是负三，逗号零， 所以说 b 点这里呢，我们可以带进去是几零等于好，然后呢， n 点的横坐标是负一，对吧？对称轴能理解，对称轴是不是负二， a 分 之 b， 答案就是负一，对吧。然后呢， c 点的横坐标是几？是不是负三？好，大家现在告诉我能否求出 m 点的坐标， 完全没有问题，对不对？所以说 m 点的横坐标就是负三，负一，是不是负四？那么 m 点的横坐标出来，那么你告诉我解析式在这里是不是纵坐标也能求出来，对不对？我们来求一下啊， m 点的纵坐标的话，就是负四，带进去啊，是十六减去二，四得 八，然后再减三，所以答案就是八减三十五，好，因此第一个答案呢，它在抛物线上，且我们发现它的动作标，你验证一下啊， m 的 动作标加上 b 的 动作标，等于 c 的 动作标加上 n 的 动作标，我们来验证一下是否成立， 对吧？这里是五五，加上 b 的 动作标是负三，就等于二，这里 c 的 动作标是零， n 的 动作标是几，是不是也能求出来，对吧？当然这个这个题它没有求出 n 的 坐标，但大家应该知道 n 坐标是几就是二， 对吧？所以说这个时候 n 的 坐标就是我们的负一，逗号二， m 的 坐标呢？就是几四负四，逗号五，好吧，这就是符合条件的 m 坐标就出来，这是第一种情况，好，那么第二种情况我们再来画个图， 对不对？是不是他可以当对角线？他当对角线，那个中点是不是大概在这个位置，对吧？ n 点你可以画一下，是不是这样一个，是不是这样一个平四边形？好，再根据对点法我们来再继续写啊？第二种就是当我们的 bc 为对角线， b， c 是 对角线的话，可以得到什么呢？你看图说话， n m， 那 就是 n 的 加上 m 的 等于 bc 对 点法， c 的 加 b 的， 好，往里带一下呗。 c 的 加 b 的， c 的 加 b 的是负三，对吧？然后这里是负一嘛？因为 n 点就在这条直线上，对不对？那这里是几？是不是 x， m 就 等于负二， 是吧？他出来了以后，你再带进去纵坐标，对不对？所以说纵坐标是不是又有了，对吧？负二带进去是四减四，减三，是不是减三？所以这个时候 m 点坐标是负二，逗号负三，对吧？因为他只求 m 点坐标好不好？这是第二种情况，好。第三种情况，谁当对角线？ 是不是他去当对角线？他当对角线的话，你会发现那个点大概就在这个位置，对吧？画一下图大概就在这个位置， 图是很难画的啊，但是，所以我就说嘛，几何法是很难画的，但是你用代数思维对吧？你去验证一下这个点是不是在抛物线上就可以了。 ok， 好， 怎么去求呢？好，我们来写一下啊。好，第三种情况，谁当对角线？是不是我们这里的 b n 当对角线， b n 是 对角线， b n 对 角线的话，我们就可以得到什么呢啊？ b n 对 角线就是得到了 a， c 的 加上 m 的 等于 n 的 加上 b 的， 对不对？然后呢， n 的是负一， b 的是几呢？ b 的 坐标是零，对吧？ c 的 坐标是负三，加上这里是几，算一下， 负一，这里应该就是正二，对不对？所以 m 坐标就出来了， x， m 就 等于正二。好，你再带进去取 y 的 坐标， y 的 m 等于几？二带进去是四加四减三，但是五，对吧？所以说第三个答案呢， m 点坐标就是二，逗号五。 ok， 以上呢，就是完整的一道题，直接写答案，根据我刚才所讲的什么方法对对点法来解决什么 平行四边形中的存在性问题，当然大家呢，还是要验证一下啊，验证啥？你把 n 点坐标求出来，看他是否能满足，纵坐标也满足，对吧？同时满足的话，发现三个答案是都可以留下来的。好，各位，关于对点法，你学会了吗？
3821郭嘉老师数学思维
03:25查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我是初中数学林老师，二六中考百日冲刺打卡啊！我们来到了第七十一天，那今天呢，我们来看二四年中考题的一道选择压轴题，二次函数的内容啊， 他说已知一个二次函数自变量应变量的几组对应值啊，如下表所示，你会发现，既然给了这么一个表，我们说三个点就能求出一个二次函数，对吧？所以这道题其实二次函数已经告诉你了啊，我们算一算就可以了。但是呢，作为选择题啊，别急着算，一定要看一下选项， 大概率会让你算，对吧。但是呢，你优先先看选项来。第一个， a 开口向上啊， b 呢，是说 x 大 于零， y 怎么怎么变啊，这种题看的是什么？哎，其实看的就是对称轴，对吧？来第三个是经过什么什么向西啊，这个也是，有了 这个二次函数之后，就可以画出草图了，对吧？第四个看的也是对称轴， ok， 所以 我们来把这道题的这个式子给它算出来啊，这个题就结束了。 呃，首先，我们发现有零零，对吧，零零的话呢，说明 c 是 零嘛，对吧？其次呢，我们带入任意两个点啊，带两个简单的往进一带一求就好了啊。带一下，带进去之后，我们发现，负八就等于四 a 减二 b， 对 吧，负三就等于九 a， 嗯，加三 b 啊，然后带入消元，加减消元都可以啊，这里边呢，我想用加减消元，用加减消元的话，就得对这两个式子进行变形啊，这是一至是二啊，我们把一式呢变一下变成， 呃，乘个三，负二十四就等于十二 a 减六 b， 对 吧？给二式呢，乘个二，也就是负六等于二九一十八 a， 然后加六 b， 对 吧？哎，出现了这两个式子，那将这两个式子直接相加就好了， 负三十就等于三十 a， a 就 等于谁负一 a 等于负一，反着带回去，对吧？带回去之后，负八就等于负四减二 b， 那 b 不 就等于二吗？ ok， 这道题已经结束了啊，来，我们把这草稿一擦，然后这道题的式子就列出来了， y 就 等于负 x 的 平方加二 x 啊，对吧？ 然后图像再看 c 啊， c 图像经过二三四向线啊，我们来画下草图，开口向下经过这个零点，对吧？然后注意啊，问题是经过的是这样的二三四，还是这样的一三四，这个取决于啥？取决于对称轴，所以你会发现 cbd 啊，这三问全部指向于对称轴是谁？所以我们赶紧算对称轴啊，二 a 分 之负 b， 求对称轴，也就是二 负一，然后负二，负二分之负二就是一嘛，对吧？所以对称轴叫 x 等于一， x 等于一呢，当然对称轴在这边了，在这边的话就是一三四啊，所以 c 肯定是错误的。 那呃， d 是 对称轴，是 x 等于一 d 是 正确的啊，那我看一下 b 错在哪了？当 x 大 于零的时候， y 随 x 增大而减小 a 忘了啊， 大于零小于一这一段的时候，随着 x 的 增大， y 还在怎么样在增大呢啊？大于一之后才是随着 x 增大， y 在 减小啊。 ok， 所以 正确答案选择的是四 d 啊，这种题的。嗯，你想快速求解的一个思路就是 快速的先把这个式子给它求出来，求出来之后呢？哎，把对称轴求出来啊，这种题基本上就迎刃而解了啊，那今天的题咱们。
08:27查看AI文稿AI文稿这一道题是二六年啊，攀枝花是二摸的最后一道数学的中考数学的最后一道选择题，我们一起来看一下啊。 他说已知等腰三角形 o a b 啊，等腰三角形 o a b， 那 么显然啊，这个条件告诉我们什么呢？ o a 等于什么？ o b 其中还有一个角等于什么？九十度，也就这个角，它是一个什么？直角，也就是这个角，它等于一个四十五度啊，不知道我们能不能用上，先标记好， 他说点 ab 分 别是 y 等于 x 分 之 m 和 y 等于 x 分 之 n 的 图像上的一点啊，也就是这一个是 y 等于 x 分 之 m， 这一个是 y 等于 x 分 之 n。 标记好，射线 o b 交于大点， 若 a 点坐标啊，若 a 点坐标是三斗一。问我们大点的坐标，显然就是要去求到什么呢？显然就是要去求到解析式吧，是不是解析式啊，那么你看啊，这里就有一个 啊，这里就有一个什么了，我们的垂直，所以我们首先根据 a 点坐标啊， a 点坐标告诉了我们 a 点坐标是多少嘞？ a 点坐标是 以三到一，那么 a 点在 y 等于什么？ x 分 之 m， 所以 m 就 等于三。乘以一等于三，所以 y， 那 第一个是 y 等于 x 分 之三， m 等于三啊，我们先解决掉，那么解决掉 a 点过后， 那么根据九十度等腰直角三角形，我们又知道 o a 是 等于什么？ ab 的， 那 o a 等于多少？是不是等于一个 a 点的坐标？三的平方加一的平方的算术平方根是不是根号十啊？也就是 ab 等于根号十，那 b o 呢？等于一个什么？ b o 很 显然等于一个根号二乘以一个根号十，一比一比根号二，对不对？根号二十，也就是二倍根号五啊，那么不管他用不用的上，我们先这样来解决啊，这是，那么接下来啊，我们看到这个直角，也就是这个九十度， 就是角 oab 等于九十度啊，那我们怎么利用它呢？很显然啊，就是我们的什么一线三等角，对吧？ 啊，一看啊，熟悉一点，我们就联想到一线三等角，所以他的标准辅助线就是过 a 点做一个什么垂线，对吧？过 a 点做一条垂线啊， 我们把它垂直，垂直一下，对吧？构造出我们所要的什么一线三等角啊，那么再过 b 点做一条什么垂线吧， 对不对？再过 b 点做出一个垂线，假设这是我们的 m 点吧，那么由于我们已经知道什么呢？ o a 等于什么？ ab， 那 么显然啊，显然 我们就可以怎么样啊，显然我们就可以知道这一个三角形 o 啊，这是 h 吧？ o h a 全等于三角形啊，就是 o h a 全等于三角形 a m b， 对 不对？ a m b 啊？ sorry， a m b， 这两个三角形必然是全等的，对不对？ 这两个三角形从几何的角度来说是全等，那么我们又知道什么呢？又知道啊，这是什么呢？根据 a 点的坐标三斗一，对不对？那我们的 o h 是 等于三， a h 是 等于一的， 而我们根据全等我们的 o h 这条线段，大家注意啊， o h 这条线段是不是等于 am， 对 吧？再来，我们的 a h a h 也就是这一条，这一小节是不是等于这个 bm 的， 对吧？等于 b 啊，我们把它标进去，那我们来看，我把数据标进去，这里是一，这里是三，他这里也是三，这里也是一，对不对？那很显然， b 点坐标我们就很容易找出来了， 对不对？用 b 点坐标找出来，我们看一下 b 点坐标是多少，他这个位置是三，那我们注意一下啊，这个位置是三 b 啊，那么 m 点 当我们找 b 点坐标，当然啊，为了清楚一点，我们可以先找到一个什么来 m 点坐标，大家注意看 我们的 m 点坐标，他的横坐标是不是三，重坐标是不是三加一等于四啊？也是 m 点的坐标啊，我们很容易找出来，是三斗 三斗四，我们说了这里一加三等于四，所以我们的 b 点坐标啊，那就很容易出来。 b 点怎么样呢？是在 m 点的方向向左移动了一个距离，对吧？向左移动一个距离减一嘛，那就是，那就是二斗四， b 的 十。那么找出了 b 点坐标的好处在于什么呢？我们就可以对什么 y 等于 x 分 之 n 这个反比例函数图像，大家很显然，我们就可以推出一个 n 等于多少呢？ x 乘以 y， 也就这里的二乘以四，因为 b 点嘛，他在这个 x 等于 n 上， x 分 之 n 上，对吧？等于八，对吧？那么 b 点坐标找到了，这个题他问的是什么呢？大点的坐标是问大点坐标， 那么 b 点大点坐标，那我把 o b 这条直线给它求出来，是不是就可以了？那我们的 o b 它是怎么了？由于 o b 过了什么点，它过的是一个圆点 的一条正比例，对不对？它是一个正比例函数啊，它是个正比例，那么所以 ob 它就是 y 等于 k， x 啊，经过了什么点？ b 点，我把它写，把 b 点，我们再写到这个位置，对吧？ ob 这条直线，大家注意啊，经过了 b 点坐标， 所以我们直接把这个 x 换成二， y 换成四，那么就会发现这个 k 是 不是就直接看出来等于二了，所以 y 等于什么？二 x， 那 我们只需要这个大点坐标，那就是 oby 等于二 x 这条直线， 对吧？与 y 等于 x 分 之 m， 这一个在这个反比例函数在第一相线的一个交点，那么 m 等于多少？ x 分 之三，我们开始已经找出来了， y 等于 x 分 之三，所以我们连一下啊，就找出我们的大点坐标了，对不对 啊？那么这里把找出来就是二 x 啊，他等于一个 x 分 之三，那么也就是说我们的二 x 方等于三， x 方等于二分之三， x 等于什么呢？ 我就直接写了啊，二分之根号六，那么负值被我们舍掉了，我简单写一下啊，负值被我们舍掉了，因为我们的大点坐标， 他的横坐标只可能是一个整数，二分之根号六，那么又由于大点在什么 y 等于 x 中， y 等于是不是二 x， 这里有一个，你看我们把这里啊， x 带成二分之根号六，是不是大点坐标就是二分之根号六，逗号根号六啊， 就算出来了，所以这道题他的答案选什么呢？选 b 啊，那么这道题啊，答案选 b， 所以 这道题啊，他主要就是考察的是什么一线三等角，当然这里还有一些其他方法可以解这道题啊，大家。
31文科脑的数理魂
00:56查看AI文稿AI文稿咱们二六年中考的孩子都赚到了，因为数学压轴题就是下面这八道，一、二次函数的最值问题。二，取值范围问题。三，二次函数与相似三角形。四、相似三角形的判定和性质。五、二次函数的图像与几何综合。六、公共点问题。七、二次函数与一次函数的交点问题。八、存在性问题。 不知道怎么练的，可以直接用这套新华书店的中考数学压轴题，他把中考数学能考到的所有压轴题型都总结好了，你像三年考了四十五次的二次函数与相似三角形，考察多个知识点的综合运用。 很多孩子一看题就蒙了，他直接把答题方法、答题步骤以及涉及到的考点在原卷上标注的清清楚楚，一步步教孩子踩准得分点。关键就连传统文化题、数学文化题、跨学科融合题等新趋势题型也整理好了， 这就是中考的风向标，提前吃透了，不管考试怎么变都不怕。另外，扫码还有三十套中考真题，让孩子提前适应考试强度。初三最后一个月，用好这套卷子，六月中考金榜题名抓紧安排上！
05:14查看AI文稿AI文稿嗯，好，同学们，我们看一下二零年滚出一模的第二十三题啊，这个是二次函数的压轴题对吧，但是我感觉这道题还是不是那么难的啊，我们争取拿满分好不好，成绩基础的同学也要看一下啊，这个也可以拿满分的。 首先给了一个解析式，有两个参数，一个是 b， 一个 c， 一个 c， 两个二函数啊。然后说外一的图像经过某一个点，第一问，求 b 的 值，是不是很简单呢？那就只需要把这个点二多少 c 带入这个外一就行了，对不对？ 那么很容易解出来 b 等于负四的啊，因为这一问比较简单，详细的过程我就不写了。然后我们看第二问，第二问会不会做呢？第二问，他说 y 一 的最小值是 t， y 二的最小值是 s， 然后让证明这个题怎么做的。这个题也很好解，也很简单的，就是最值嘛，我们怎么求最值啊？第一问，已经知道这个 b 等于负四了，是不是我们进行配方就行了？ 平方减二， x 加 c， 就是 把二提出来， x 平方减二， x 加 c， 里面 s 平方减二， x 加上一个一次性系数一半的平方加一减一， 再加 c， 哎，在二倍的前面三项变成 s 减一的平方，然后呢，减二加 c 对 不对？ 那么是不是 y 一 的最小值 t 啊，就等于谁啊？当 s 一 的时候取得最小值，是不是就是负二加 c， 也就四减二，能明白吗？ 那同样道理，对 y 二进行配方好不好？ y 二配方的结果是什么呢？我直接写了啊，视频时尚原因，二倍的 s 减二的平方加减八乘以等于一个 c 减八的，能明白吗？那现在大家看啊， t 等于它， s 等于它， 那么所以减一下不就行了吗？ t 减 s 是 不等于就等于六了，所以是不是 t 等于 s 加六？哎，这一问就证明出来了， 简单吧，也是比较简单的啊。好，我们看一下第三问，第三问稍微难一点点，其实也还好，就是多字母问多字母问题，就直接消餐就行了，知道吧？那这道题怎么消呢？ 我们看啊，首先点 a 是 经过 m 多少 n 的， 我们能不能带进去啊？只要经过点，只要经过点，我们就带入就行了，知道吗？ 把 am 多少 n 带入 y 等于什么？什么得，好吧，那得到什么 n 等于什么？ n 就 等于一个二倍的 m 平方减去一个四 m 加 c， 是 不是？那同样道理，再把这个 b 带入第二个式子，我们可以得到 q 等于什么？二 p 方减八， p 加 c， 明白吧？那同样的还有一个式子呢，就是 m 加 n 等于 n 等于三吗？ 又因为 m 加 p 加 p 等于三啊，所以是不是 p 就 等于三减 m 啊？我们只需要把这个 p 等于三减 m 带入左边这个式子就行了，明白吗？ 然后是，所以 q 等于什么呢？就是二倍的二倍的 p， 把它换成一个三减 m， 三减 m 的 平方减去八倍的三减 m 加 c， 然后我们给它展开，就会得到一个什么呢？这个很简单，对不对？ 二倍的什么展开九减六 m 加 m 平方减去一个二十四加八 m 加 c 吧，再给他化解，继续化解。哎，十八减十二 m 加二 m 平方减二十四加 m c， 整理一下子，你看降四排列二 m 平方，对不对？这两个合在一起是什么？是不是减去四 m 啊？然后再看后面的常数，十八减二十四等于减六，再加 c， 对 不对？好，我们现在观察这两个式子啊， n 的 值，他问我们 n 跟 q 的 关系吗？ q 等于后面这个式子，你仔细观察会发现字母部分这一部分是完全相同的，发现没有， 对不对？那所以 n 减 q 等于什么？不就等于一个前面减去后面这个不就等于六了吗？对吧？这一部分减去这一部分，后面是负六，所以变成六了。这道题就讲完了，简单不？
35浙江数学李
00:47查看AI文稿AI文稿给你一个从来没有见过的数学概念，让你当场学，当场就用！今年压轴题啊，大概率就这么考！ 方向二函数题可能更加深强调探索过程与新定义。二十六题啊，可能 不再满足于求抛物线解析式加求最值的这种老套路哦 no！ 而是更加强调的是新定义、新定义问题或探索研究的过程的呈现。比如给你一个新函数概念或几何变换的规则，如除浓点对冲函数， 让你现场学习，现场应用，哦 no！ 这就重点考察了你的抽象能力和计时学习的能力，记得关注再走哦！
13南通数学王老师
02:32查看AI文稿AI文稿我永远相信，只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复现在所有的努力。 要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油，牛马人， 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复现在所有的努力。 要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油，牛马人， 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走还得靠你自己。加油，牛马人！ 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走还得靠你自己。加油，牛马人！ 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油！牛马人！ 我永远相信只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来。既然没有天赋，那就去不断重复 现在所有的努力，要么赚阅历，要么赚财富。成功没有捷径，人生也没有白走的弯路，路要怎么走，还得靠你自己。加油，牛马人， 我永远相信，只要你努力了，就不可能什么都没有。既然不是天才，那就一步一步来，既然没有天赋，那就去不断重复现在所有的努力。要。
15爱学习的曼曼
00:29查看AI文稿AI文稿经常中考数学压轴题，它的核心考点就这几个题型一，填空压轴题，那基本上呢，就是固定考三角形的内线段。提醒二，二次函数的实际应用，也就是把实际问题转化成二次函数问题，要熟悉二次函数的基本性质， 要保障计算正确。提醒三，那就是几何变换综合体，它是以折叠、旋转为主，贯穿了填空和大体，这也是孩子们最容易查题的题型。我已经整理出来咱们经常中考数学压轴题需要的家长压轴。
