山东春考数学椭圆的标准方程
天呐，苏老师那个知识点能够理解呀？好的，我们来看一下求椭圆的标准方程有几种方法呢？首先的话就是根据定义，也就是说我们可以根据定义 定义法来求椭圆的标准方程，通过这个 x 方比 a 方加上 y 方比 b 方等于一来确定这个 a 方 方和 b 方的值，然后再结合交点的位置写出椭圆方程，也就是说看交点是在 x 轴上还是在 y 轴上，如果说交点在 x 轴上，那么 x 方下面这个数要大一些，是吧？如果说交点在 y 轴上，就 y 方下面的数要大一些，然后这个就是比较简单，咱们可以直接代数。然后还有呢，就是待定系数法，也是一个比较简单的方法， 这个的话，咱们可以根据这个焦点是在 x 轴 y 轴上直接设出标准的方程，然后根据 abc 来求解，其实跟定义法是一样的，只不过根据定义法来说，你通过就是说 任意点到两个定点的距离之和为定值来判断出他是椭圆，然后通过椭圆标准方程来求出 a 方 b 方，代数法也是这样的。嗯，那一般的情况下，咱们说求椭圆标准方程的题目呢？如果说这个焦点位置不确定哈，就说焦点 位置不确定的情况下，咱们可以怎么设呢？咱们就是说椭圆的标准方程，咱们可以设成设 a， x 方加 b， y 方等于一，其中的话 a 是 大于零的， b 是 大于零的，然后 a 呢是不等于 b 的， 也就是说这样的话，我们可以把这个 啊，交点是在 x 轴还是在 y 轴上的情况给它避免掉，就是不用分类讨论了，直接代数，哎，你求出来的是什么 ab， 结果就是什么，不需要再判断一次了。然后还有呢，就是说还有一个就是说与与这个椭圆方程 x 方比 m 加上 y 方比 n 等于一，叫什么共交点？ 共焦点的椭圆怎么设怎么设呀？也就是说咱们说共焦点是什么情况？共焦点它肯定是 c 相同， 而且的话焦点要么在 x 轴上，要么在 y 轴上，对吧？这个时候呢，咱们就说共焦点这个椭圆可以怎么设呀？可以将它设成这个 x 方比上 m 加 k 等于一，这个时候呢， k 要大于负 m， k 要大于负 n， 然后 m 不 等于 n， 为什么这么设呀？这个肯定是保证这个 x 方和 y 方下面的数不等于零，对吧？那其实呢，咱们说共焦点就是 c 相同， c 相同的话， 也就是说这个时候你可以怎么说呀？相当于是你这个 c 方，咱们说根据定义， c 方等于什么？ c 方等于 a 方减 b 方啊？那你看你这个代入，你这个 a 方是不是相当于是 m 加 k， 然后减去这个 n 加 k， 那 是不是就是 m 减了？以圆方程来看，以圆方程的 c 方 是不是也等于 m 减 n 呢？所以说这个时候你就能保证它是共交点的一个椭圆，对吧？ c 都一样了。 所以说这就是咱们说求椭圆标准方程的两个方法，第一个就是定义，第二个就代定系数。然后还有两种设法，就是焦点不确定的时候，可以直接就是说，哎，写成 a x 方加 b， y 方等于一的形式。还有就是共焦点的时候是本质上是 c 相同，所以说咱们直接可以设成什么 这个形式来，这个重点要记一下哈， 再记一下，也就是说 这个 x 方和 y 方下面的数都加上了 k， 因为他最后的话跟定义的话是简单的 c 方就是相同的，对吧？可以这么设，这样咱们做题要简单一些，下一个视频呢，会有相应的例题，同学们也可以看一看。
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02:23查看AI文稿AI文稿妈耶，苏老师，哪个题啷个做呀？好的，我们一起来看一下哈。以下方程表示椭圆的式，那首先呢，我们可以复习一下这个椭圆方程的这个定义哈，这个椭圆方程咱们是怎么理解的呢？也就是说，写成一般的形式的话，对于方程， x 方比 m， 加上这个 y 方比 n 等于一，这个方程的话，如果说它是一个椭圆方程的话，它的冲量条件就是 m 大 于零， n 大 于零，且 m 不 等于 n， 那 么我们知道 m 大 于零， n 大 于零，那么分了几种情况啊？也就是说，第一种情况， m 大 于 n 的 时候大于零，它是什么呀？它是焦点在 x 轴上的椭圆，对不对？ 在 x 轴上，也就是说它的长轴是在 x 轴上的。还有一个第二种情况，就是 n 大 于 m 大 于零的时候，它的焦点是在 y 轴上的，做一个这个区分就好了。所以说啊，哪个数大，它表示的就是 a 方，是不是？那 m 等于 n 的 时候是什么呀？ m 等于 n 的 时候，实际上它就是一个圆点在 呃，圆心的一个圆心在圆点上的一个圆了。好，那回过头来，咱们看这道题哈，那这个能表示椭圆的是什么呀？你看这个 a 选项，这个 m 和 n 相等了，它不是椭圆，它这个表示的是圆。 b 选项呢？咱们把它进行化简，要使右边这个数字为一，也就是说每一项都除以二，那么 x 方减去 y 方比上这个，嗯， 三分之二等于一，对不对？他表示的是椭圆吗？不是，中间必须得是什么？这个中间必须得是加号，对吧？所以说直接看这个符号，我们也能判断出来，也不用化简了。那好，那这个 c 选项呢？ c 选项的话，虽然说他都是负的，但是每一项都是负的，本质上就相当于是正的。化简之后他是什么呀？ x 方比 二分之一加上 y 方比三分之一等于一，他是一个椭圆，对不对？这个 c 选项是一个椭圆。好，接下来我们看这个 d 选项呢？ d 选项的话，他带一个 n 对 不对？那么我们要看这个， 看不出来，那我们看这里，这个是一，这个是零，是不是？他应该是一，他才能表示椭圆方程，所以这道题就一个答案，选 c。
76重庆苏老师
01:41查看AI文稿AI文稿妈耶，苏老师，哪个题啷个做呀？好的，我们一起来看一下。已知曲线 c， 它这方程是这个表示椭圆，则 a 的 曲值范围。我们知道椭圆的标准方程是什么呀？ x 方比 m 加上 y 方比 n 等于一，它的限制条件是 m 大 于零， n 大 于零，且 m 不 等于 n， 对 吧？所以说我们根据这三个条件就可以求出 a 的 取值范围了，也就是说四 a 大 于零， 三 a 加二大于零，且四 a 不 等于三， a 加二。那解一下，那这个就是 a 大 于零， a 大 于这个负的三分之二。 还有一个什么呀？这个解出来是什么呀？ a 不 等于二，那这个时候我们写这个结果是什么呀？结果是可以画一个数轴， 这个是零， a 大 于零， a 大 于负的三分之二， 然后 a 不 等于二，二跑掉，对吧？所以说这时候公共的部分我们就知道了，它这个取交集同时满足取交集，那也就是说 a 呢？它的范围就是这一个部分和这一部分不包含二这个点。所以说 a 是 属于什么呀？ 零到二并上二到正无穷的。那这个答案就出来了，比较简单。
02:30查看AI文稿AI文稿妈耶，苏老师，哪个题能得做呀？好，我们一起来看一下这道题目哈。如果方程 a 表示交点在 y 轴上的椭圆，则实数 a 的 取之范围。 好，那让我们一起来回顾一下椭圆的标准方程吧。那么 x 方比 m 加上 y 方比 n 等于一，如果说表示的是一个椭圆的话，那么有 m 大 于零， n 大 于零，且 这个 m 不 等于 n， 对 吧？如果说交点在 x 轴上，交点在 x 轴上的话，就是 m 大 于 n， 这个交点在 y 轴上，是不是就是 n 大 于 m 啊？好，基础知识复习好了之后，这道题是不是就很简单了呀？ 哎，我们要知道，这个方程表示交点在 y 轴上的椭圆，那么首先这个 a 方要大于零， a 加六要大于零，其次还要满足 y 方下面这个数要大于这个 x 方下面这个数，对吧？那也就是说是什么呀？ a 加六大于 a 方，一起来解一下吧。那么 a 方大于零，那就是 a 大 于零，且和和 a 大 于零或 a 小 于零，然后呢？ a 大 于负六，这个怎么解呀？ a 方减 a 减 六小于零，对吧？那这个时候我们可以十字相乘，一一二三，这个是负的，对吧？负三加二等于负一，所以说就是 a 加二， a 减三小于零，那解出来 a 是 什么范围呀？ 啊？ a 应该是 a 小 于三大于负二的，对吧？好，那这个时候我们干嘛同时满足取交集一起来画一下吧。那也就是说这个时候这是负六， a 要大于负六，还有一个什么呀？ 这个是负二和三之间，对吧？还有一个什么呀？ a 不 等于零，这个条件是不是相当于是 a 不 等于零啊？ 那就是说这个零点要刨除掉，所以说是公共部分就是负二到零和零到三，那么 a 是 属于负二到零并上零到三的。哎，选项中看一下是不是就是负二到三，写 a 不 等于零啊？那这道题选 d 是 不是？
03:31查看AI文稿AI文稿求椭圆的标准方程，那在求之前呢，先来回顾一下椭圆核心公式，可以看到这张图内焦点在 x 轴呢，它的图形是这样的，并且它的标准方程 x 的 平方在前面，那焦点在 y 轴的时候呢，标准方程就是 y 的 平方在前面。并且要注意一些关键的关系，比如说 a 的 平方等于 b 方加 c， 也就是说 c 方就等于 a 方，减 b 方以及离心率， e 等于 a 分 之 c， 还有长轴以及短轴。 好，那回顾完之后呢，来看第一小问，让我们求交点在 x 轴上，那刚刚老师带大家看了它的方程是， a 方分之 x 方加上 b 方分之 y 方等于一， 这里 a 要大于 b 且大于零，那代入进去就可以得到。注意，这里 a 方就等于三，三得九， b 方等于四，所以最终就是九分之 x 方加上四分之 y 方等于一。那第二位让我们求交点在微轴上，那第二位让我们求的是交点在 y 轴上， 同样先算 a 方和 b 方，那题目没有告诉我们 b 方，所以我们要先把它给求出来。这里 a 等于六，所以 a 方就等于三十六， c 方就等于二十， b 方就等于 a 方减 c 方等于三十六，减二十等于十六。且它的标准方程为， a 方分之 y 方加上 b 方分之 x 方，那代入进去就可以得到三十六分之 y 方加上十六分之 x 方等于一。 接着来看第三问，告诉了我们两个交点，很明显 y 轴上有数字，所以它的交点是在 y 轴的，并且通过正负三，我们可以得到 c 等于三，所以 c 方就得等于九， b 方等于四，那我们把 a 方求出来，就等于 b 方加 c 方等于 十三，那它的标准方程就是十三分之 y 方加上四分之 x 方等于一。来看第四问，告诉我们长轴长为二十，离心率为五分之三，交点在 y 轴上，所以这里二 a 等于二十， a 就 等于十，离心率等于一等于 a 分 之， c 等于五分之三，所以 c 就 等于五分之三， a， 也就是五分之三乘以十等于六。接着我们来计算， b 方， b 方等于 a 方，减 c 方等于六十四。交点在 v 轴 y 轴上带入进去，就可以得到 一百分之 y 方，加上六十四， x 方等于一。最后来看第五问，同样告诉了我们两个交点，并且 x 轴上有数字，所以它的交点在 x 轴上， p 为椭圆上的一点， 且 f 一 f 二的绝对值是 p f 一 和 p f 二绝对值的等差中项，让我们求它的标准方程是不是这道题上难度了。那首先我们知道交点在 x 轴，并且 c 等于二，所以我们就知道 f 一 和 f 二的绝对值呢？等于二， c 等于四啊，同学们也是要来记的它的焦距的关系。再通过等差中项的条件，二的 f 一 f 二绝对值等于 p f 一 的绝对值加上 p f 二的距离。又通过椭圆定义 p f 一 加上 p f 二等于二 a， 所以 这里二的 f 一 f 二，我们算出来等于四，所以二， a 等于四， 所以二的 f 一 f 二等于二，乘以四等于八，那 a 就 等于四。求出来 a 之后呢？再来算 b 方， b 方等于 a 方，减 c 方等于四的平方，减去二的平方等于十二。所以最后的方程就是十六分之 x 方加上十二分之 y 方，等于一，同学们都学会了吗？下课。
104卓佛-小陈老师高职高考
03:30查看AI文稿AI文稿妈耶，苏老师哪个题能做呀？好的，我们一起来看一下。如图，把椭圆 x 方比四加上 y 方比三等于一的长轴 a、 b 分 成十等份 过，每个分点做 x 轴的垂线，分别交椭圆上半部分于点。 p 一、 p 二、 p 九 f 到 p 九 f 的 距离之和。 好啊，那我们一起来看一下哈。那首先呢，我们知道，这个时候呢，我们知道这个 p 一 和 p 九，它是不是关于 y 轴对称的呀？这两个点肯定是对称的，对不对？ p 二呢？和这个 p 八应该是对称的，然后 p 三和 p 七，然后这有个 p 四和 p 六中间有一个点是 p 五，也就说它是两两对称的，中间有一个点 p 五呢，它是在 y 轴上。 好，那这个知道了之后呢，我们看一下哈。我们要想求这个距离之和，我们还可以找到一个什么呀，也就是说另一个焦点 f 撇，我们来看一下哈， 那也就是说，现在我们知道这个 p e 和 p 九既然是对称的话，那么 p e f 是 不是就等于 p 九 f 撇啊？这两段是不是相等的呀？ 那自然那个 p 二 f 和 p 八 f 撇是不是也是对称的，也相等？好，那这个时候呢，我们可以根据椭圆定义来写出什么呀，也就是说 p e f 加上 p e f 撇，它是等于二 a 的， 也就说这二 a a 是 不等于二 a 等于四，对吧？哎，接下来还可以写 p 二 f 加上这个 p 二 f 撇，他也是等于四的。好，一直往下写，写到什么呀？ p 九 f 加上这个 p 九 f 撇， 看是不是也是等于四的呀？这里面一共有几组啊？应该有九组，对吧？九组。哎，我们知道这个 p e f 刚刚说了和谁相等，是不是和 p 九 f 撇是不是相等的呀？哎，然后这个 p 二 f 呢？ 和这个应该是 p 八 f 撇是不是应该是相等的呀？所以说你会发现这里面是不是两组的值，也就是说它这个是等于什么呀？两倍的 p e f 加上 p 二 f 加上 一直加到 p 九 f， 对 不对？因为我是，我这个是不是都是对应着是相等的呀？ 也就是说我 p e f 和它相等， p 二 f 和它相等，哎，所以说我对称过来，我这个 p 九 f 是 不是和 p e f 撇是相等的？那相当于是我这个等号右边它是两组 p e f 加到 p 九 f 的 距离之和，对吧？那他整个的值是等于多少的呀？一共是九组吗？相当于是这边是不是九组九个四啊？那也就是说九乘以四等于三十六，那么所以我们所求的这个 p e f 加上 p 二 f 加上这个 p 九 f， 他 就等于三十六除以二，也就是十八。这道题呢？选 b。
04:33查看AI文稿AI文稿来看昨天的每日一题，这是一道椭圆体，来看题干条件。我们一边看题，一边画图，给出了椭圆 c， 它的右焦点为 f， 在 这里左顶点为 a， 上顶点为 b， 还给出了 a f， 这个线段长度为三，所以 a f 就是 a 加 c 等于三点。 p 是 椭圆 c 上的一点 p， f 垂直于 x 轴，我们做垂线 p f 垂直于 x 中。那么如何确定上面的点还是下面的点是点 p 呢？我们继续来看有 k o p 等于根号三倍的 k a b。 由于画出来 ab， 它的斜率 k 要大于零，所以 p 点是上面的这个点。第一问，让我们去求椭圆 c 的 标准方程。首先我们根据 a f 就 得到了 a 加 c 等于三。 我们不妨把点 p 设做 x p， y p。 由于 p f 垂直于 x 轴，所以 x p 等于三。我们把 x p 等于 c 带入到这个椭圆方程里，就得到了 y p 等于正负 a 分 之 b 方， y p 取正值等于 a 分 之 b 方。 根据给出的关系式， k o p 等于根号三倍的 k a b， 也就是 b 方比 a 等于根号三， b 比 a 算出来 b 就 等于根号三。再根据 a 加 c 等于三这个式子代入，就得到 c 等于一， a 等于二，算出来椭圆的标准方程就是四分之 x 方，加上三分之外方等于一。 来看第二问，现在说若过点负三零，我们把这一点设为 d 是 负三零，并且斜率不为零的动直线 l 与椭圆 c 交于两个不同的点，分别是点 t 和点 s。 过线段 ts， 它的中点是 q， 做这条直线 l 的 垂线与 x 轴和 y 轴分别交了 m、 n 两点。让我们去求 q， m 乘以 q n 这两个线段乘积的取值范围 我们来看，由于 l 的 斜率不为零，并且过定点负三零，我们首先把 l 这条直线方程设出来， y 等于 k 倍的 x 加三。同时呢，设这条直线与这个椭圆的两个焦点 t 和 s 分 别为 x 一， y 一， x 二 y 将直线 l 方程与椭圆 c 方程进行连立，得到了这个式子， 那么继续使用韦达三件套。首先要求 der 大 于零，因为要满足有两个焦点， x 一 加 x 二和 x 一 乘 x 二。在这里 der 大 于零解出来是 k 方，要小于五分之三。 那么 q 点我们设为 x 零， y， 它是 ts 的 中点，那么 x 零就等于二分之一 x 一 加 x 二， y 零就等于二分之一的 y 一 加 y 二。由于直线 m n 与 l 垂直，所以 m n 这条直线的斜率是负的 k 分 之一。我们把 m n 直线方程设出来，就是 y 减 y 等于负， k 分 之一倍的 x 减 x。 由于 l 这条垂线与 x 轴外轴分别交于 m n 两点，所以 y 等于零的时候算出来 x m 是 k， y 零加上 x 零加上 y 零。 接着我们根据两点之间的坐标公式，可以把 q m 和 q n 分 别表示出来。由于 q m， q n 里面分别出现了 y 零方和 x 零方，刚刚我们也算出来了 y 零和 x 零的式子，分别把它带入。最后得到一个只含有 k 有 关的式子来。看到这一步，我们如何整理？ 这是 q m 方乘以 q n 方，那么 q m 乘以 q n 是 等于三加四 k 方扩起来的平方分之 k 方倍的 k 方加一乘以十二乘九。我们接下来怎么处理这个式子？ 我们令三加四 k 方等于四 t， 那 么 k 方就等于 t 减四分之三， k 方加一就等于 t 加四分之一，来体验这样的换元的巧妙之处。 三加四 k 方等于四 t， 那 么整个分母就变成了四 t， 括起来平方，我们把繁杂的项放在了分子项，最后算出来是四分之二十七乘以一减去二， t 分 之一减去三，比上十六 t 方。 由这个式子我们知道这是关于 t 的 单增函数。现在我们来算 t 的 曲值范围，由于 k 方小于五分之三， t 等于四分之一乘以四 k 方加三，它是属于四分之三到二十分之二十七的。我们分别把 t 的 最大值和最小值带进去，就得到了 q m 乘以 q n 的 最大值和最小值， 算出来是零到九分之三十二。这道题的难点在于表达式表达出来之后该如何去求它的最大值最小值，这里用到的是它的巧妙换元。一般的我们会令分母作为一个整体，让分子去作为复杂项，会使你后面的化简过程更加的简洁。
138吃鱼就吐泡
01:23查看AI文稿AI文稿妈耶，苏老师，哪个题能得做呀？好的，我们一起来看一下。设 p， mx 方加 n， y 方等于一表示的是椭圆， q 呢？是 m 大 于零， n 大 于零，则 p 是 q 的 什么条件？那我们首先来看一下这个 p 能不能推出 q 啊？ 哎，那么 mx 方加 n， y 方等于一表示的是椭圆，那么我们自然能够得到这个 m 大 于零， n 大 于零，因为这是椭圆标准方程的限制条件，对不对？咱们可以复习一下。如果说一个方程表示的是椭圆的话，那么它就是满足 x 方比 m 加上 y 方比 n 等于一，限制条件是 m 大 于零， n 大 于零， m 不 等于 n， 对 吧？那这个 这个题目中的这个 m n 呐，作为 x 方和 y 方前的系数，它自然也就是正的。所以说 p 是 能推出 q 的， 那么充分性是不是就满足了呀？那么 q 能不能推出 p 呢？ 那肯定是不能的，对吧？只有这个 m 大 于零， n 大 于零是不能推出，他表示的一定是椭圆的，因为他还有个限制条件是 m 不 等于 n， 对 吧？如果说 m 等于 n 的 时候，这个时候他是不是表示的是个圆了呀？所以说这个是不对的哈，所以说 q 推不出 p， 那 就是说不必要，对吧？所以说这道题就是充分不必要选 a。
04:26查看AI文稿AI文稿已知椭圆 c 的 交点是 f 一 负一零， f 二的话呢，是一零，长轴的话呢，是四啊，让你去求它的标准方程，这里边交点的话等于几啊？交点是不是 c 啊？那个 c 是 不是就等于一啊？ 长轴长长轴是什么？是不是二 a 等于个四啊？所以 a 是 不是等于个二啊？那么这里边的话呢，我们存在的关系什么？是不是 a 方加 b 方等于 c 方啊？所以 b 方是不就等于 a 方减 c 方等于几啊？ 是不是四减一也就等于个三，所以 b 是 不是等于根号三呢？当然 b 等于根号三， b 等于三， b 方等于三就行啊。然后交点的话是在哪呢？负一零和一零是不在 s 轴上呢？所以它的函数图像长成什么样子， 交点在 s 轴，然后的话呢，这个这是 负一，这是一，这是几？这是不是 a， 这是不是二？这呢负二，这是不是根号三？这的话呢，是不是负根号三啊？ x o y 轴啊？这个就是我们我们那个图像公式啊。当然他问的第一步的话呢， 是不是标准方程 x 方比 a 方的话呢？搁哪 a 方是不是四啊？ 加上个 y 方比三是不等于一啊？这就是我们要求的第一步啊。第二步的话呢，人家问你说直线跟椭圆交于两点，求 ab 两点的中点坐标，既然你相交了，相交直接干嘛就可以了？ 相交是不是把它两个连立，就是把 x 方比四加上个 y 方比三等于一和谁？是不是 y 等于 x 加二，进行一个简单连力啊？ 简单连律的话呢，这里边只能去算了啊，只能去算的话呢，你看第一个的话呢，这种带着分数肯定特别不好算一二啊，然后把一的话干嘛？一是不是乘上个十二啊？ 然后他的话呢，是不是就变成谁？三 x 方加上个四 y 方等于个十二啊？ 然后再把谁带进来，再把二带进这里边来，就是变成谁了，是不就是三 x 方加上一个四倍的 x 加二的完全平方等于个十二啊？ 啊，这个就是我们要求的，当然的话呢，得简单化简一下这变成几，是不是三 x 方加上个四 x 方， 然后再加上这里边原本加的是谁？是不是二 a b 的 话呢？是不是就变成四 x？ 外边是不是变成四 x 的 乘次是不是十六 x？ 本来你是不是再加上二的平方加个四，然后是不是再加个十六 等于十二啊？然后再化简一下的话呢，三 x 方和四 x 方是不是到一块？是不是变成七 x 方，然后是不是加上个十六 x 加十六减十二是不是加个四 等于一个零啊？然后这里边你要求的是中点坐标的话呢？中点坐标怎么求啊？中点坐标的话呢，是不是根据韦达定律的话呢？ x 一 加上个 x 二等于是什么？是不是负 a 分 之 b 啊？来负 a 分 之 b 加起来是不是负的什么 负的七分之十六啊？然后既然说到终点了，说到终点的话呢，你终点坐标比如说是 x 零的话，是不是等于二分之 x 一 加上个 x 二啊？ 所以终点坐标是不是负的七分之，本来是负七分之十六，现在是不是负七分之八啊？ x 零 x 零有了，那是不是求一下外零 y 零带哪去？是不带这来是不是负七分之八加个二啊？等于几？是不是七分之六啊？ 对吧？相当于，因为这是七分之十四嘛？十四减八，七分之六，所以最后你的终点坐标就是什么 x 零外零，所以就是负的七分之八，然后得号七分之六啊，这个是我们要求的最终答案。
31教数学的孙老师
04:46查看AI文稿AI文稿数学有捷径就找王晓明，独立构建三阶段提升体系，帮助上万名艺考生突破文化课，一个专注艺考生文化课的宝藏，老师分享美好传递方法，点赞加关注，升学不迷路， 东熏西照，还是小明学好！大家好，我是你们的小明老师。来，咱们今天继续讲解大体椭圆方程与奇数化，这样的相对还比较麻烦一点呢，来看一下为什么。首先第一位，由题可知 把团方程求一下，上顶点是零， b 随 b 等于一，左焦点是负 c 零随 c 等于一， a 方等于 b 方加 c 方。这个题过于简单，了解的 a 方 b 方 c 方幺幺至二，所以 c 的 方程为 s 方比二加 y 方等于一。 ok， 这道题 e 是 横解式，但是呃对采用奇次化更简单一点来处理一下 好。第二问公点是 b 点哈，所以向下平移 铁 bar 一个单位，可以好好听一下奇的话。那么这是二分之一 x 方加 h， b g 设点设线的时候 叫 p 撇是 f 一 y 一 撇，撇平后的都带撇哈，与时区分。那这时候嘞，还有特别点，就它说的 out， m x 加 n， y 等于它过哪点呢？原来过负一点，现在过负一负一记负 m 减 n 等于一， m 加 n 等于负一，了解一下， 然后 形 y 加一方等于一和一，抵消了，所以 r 等于 s 方加 y 方是加 y 的 一和一，抵消了，直接是其自化原理 等于零，所以变成了就是一加二 n y 方加二 m x y 加零， x 方等于零这句话。不过 b 点就是因为 x 不 等于零， 所以两边同除以 x 方， y 比 x 平方加二， m， y 比 x 加二分之一，对不对？好吧，因为这个 b p 垂直 b q， 所以 k b p 乘 k b q 等于负一，因此咱们得到了知道叫一加二， a 分 之二，负一等于负一， 看到没？ ok， 那 这时候咱们发现了，写这了哈，一加二， n 等于负二分之一， 二 n 等于负的二分之三， n 等于负的四分之三。来代入 m 相加等于负一， m 等于负四分之一， 所以 k 等于负的 n 分 之 m 等于负的三分之一， f 等于负的三分之一。 对，因此 l 方程就点斜式， y 等于负三分之一就是 x 加一 就是负三， y 等于 x 加一，就说 x 加三， y 加一等于零。 ok， 这就是直线法则，你学会了吗？ 非常经典的平移，去的话非常简单哈，也可以用斜力双用啊，都可以啊，不连力都可以解决问题。 ok， 跟着小明去睡，睡得很简单，欢迎点赞加关注，我们下期再见！
72跟着小明学数学
20:13查看AI文稿AI文稿各位好，这是一道圆锥曲线的综合题，适合高二或者高三的同学。在这道问题中，我们不求能够把整道题做出，但是要尽可能的去拿分。整道题的流程清晰了，我们才能够理解每个得分点的环节和步骤。 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为二分之根号二，且右焦点点 f 啊，右焦点点 f 在 这里，它是 c 多少到直线 l x 的 好，它这边是负的， c 分 之 a 方的距离为三， 就说这段距离为三好。第一题，求椭圆的标准方程好，我们已知 e 等于二，分之根号二 好。然后呢， x 等于负的 c 分 之 a 方，直接代入进去，它就等于负二， c， f 是 c 多少零，所以三 c 等于三。那么我们推导出来， c 等于一， a 等于根号二，所以啊， 它的方程为二分之 x 的 方，加上 y 的 平方等于一 好。第二题，过 f 的 直线啊，就是说过 e 多少零啊，这个是 e 多少零了，已经 交直线于 a、 b 两点线段， a、 b 的 垂直平分线，分别交直线 l 和 a b 于 p c 两点。若 p c 等于两倍的 a b， 求直线 a b 的 方程。 在我们做圆锥曲线的问题的时候，我们也许我们不能把所有的分数都拿出来，但是呢，我们可能尽可能的得分，我们的目的是得步骤分 好。这道题中，呃，我相信，我相信高三的同学啊，或者是刚刚接触高二圆锥曲线的同学啊，也知道该用什么样的方法，用什么样的方法呢？设而不求北大定力， 我们去假设 a b， 因为 a b 是 经过一逗号零的嘛，我们可以用一下点斜式去假设 a b 的 函数解析式，那么 a b， 那 么 a b 的 坐标就可以求出来了，对不对？那 a b 好， 还有 a、 b 的 弦长，甚至是 p c 的 p c 这条线的 啊，这条这个弦的函数解析式啊，因为它经过 c， 因为它经过 c 嘛， c 是 ab 的 中点，对不对？好，我们开始干，但是我们要尽可能的拿分，所以我们怎么样？所以我们在假设这个坐标的时候，我们可以先 若 k 不 存在啊，因为我们要求直线 ab 的 方程吧，若 k 不 存在， 则 l a、 b， 它是 x， 等于一，好，带入进去，带入到这个方程里面去，那么 a、 b 它们是一逗号。把一带进去， y 方等于一减二分之一，等于二分之一，那么 y 就 等于正负二分之根号二。 好，这个时候 ab 等于 ab， 等于根号二，对吧？所以这个时候， 所以这个时候 pc 这个 c， 这个时候 c 点，是不是它正好在这个 f 上啊？因为它是 ab 的 中点嘛，对吧？好， p c 就 等于三，等于三，显然它不符合题，它不符合题啊，如果这道题是十四分 啊，十四分，那么第一问啊，十分，然后到这里来呢？就两分了，就两分了啊，这个分不拿白不拿。好，若 k 存在， 好，真正难的东西来了啊，若可以存在，我们就假设 l a b 为 y， 等于 k， 括号 x 减一， 然后怎么样？然后我们去假设 a 是 x， 一， 逗号 y 一， b 是 x 二，逗号 y 二，然后呢？我们可以得到， 我们可以得到什么？我们要把 l、 a、 b 这条函数解析式直接带入到这个椭圆的方程里面去， 怎么写呢？怎么写？将 y 带入，带入椭圆 啊，这样代入椭圆，然后怎么样呢？可以得到一个什么东西啊？好，我们来，我们来尝试一下啊，说到这里，可能有的同学就要退缩了啊，不要怕， 二分之 x 方加上。好，这边 y 的 平方是 k 方，括号 x 方减二， x 加一，对吧，然后这边这边一给它减过来等于零。好，两边同时乘一个二方便计算。 x 平方加上 啊，加上二 k 方， x 方减二， x 加一减二等于。好，我们开始合并同类项，这里二，这里 x 平方的系数是二 k 方加一括号 减去四 k 方 x， 然后加上两倍的 k 方减一等于。好，我们验证一下，对不对啊？ 要花点时间验证的，不然的话，后面的话就非常的难做啊。好，没有问题，二 k 方代入椭圆，可以得到二 k 方加一 x 的 平方啊，不好意思， x 的 平方减去四 k 方， x 加上加上两倍的 k 方减一等于零 啊，就是这样一个东西，那么适而不求，已经有了伟大定律，开始啊， x 一 加上 x 二等于 负的 a 分 之 b 吧，负的 a 分 之 b， 好， 那就是二 k 方加一分之四 k 方，对吧？好，这个时候 x 一 x 二等于 a 分 之 c， a 是 二 k 方加一分之 c 是 什么啊？两倍的 k 方减一。好，到这里啊，又白得两分啊， 也不是白得的，是我们辛辛苦苦做出来的啊，又成功忽悠住这个批卷的老师了。 好，做到这里的时候，做到这里的时候，我们是不是可以直接去求出 ab 的 值？好，求出 ab 的 值，那么 ab 等于什么呢？等于 x 一 减 x 二的绝对值乘上一加上 k 方，对吧？啊， 这是这是，这是很基础的一个那个直线的一个直线，呃，那个 弦的长度的一个计算公式啊，我们这里就不展开了，好吧，不展开了啊，好，怎么办？ 怎么办？ x 一 减 x 二，我们不知道啊，我们只知道 x 一 加 x 二和 x e x 二，对不对？那么只能用暴力一点的方法， x 一 加上 x 二的平方减去四倍的 x e x 二啊，然后呢，对它进行开根号乘上 一，一加上 k 分。 好，好暴力的地方来了啊， 真正让同学们感到恐惧的地方来了，有很多同学他可能做到这一步，他就不愿意做了啊，但是呢，我觉得啊，没有什么好怕的，对不对？无非嘛，就是势子长一点嘛。 x 一 加 x 二的平方啊，它是二 k 方加一分之四 k 方，我们先把它写出来，慢慢来，不着急。 平方减去四倍的减去二 k 方加一啊，这边就变成了八倍的 k 方减一。 就这个东西，然后呢，这个东西要对它进行一个不好意思， 这个东西要对它进行一个开根号，再乘上一个一加上 k。 好，这边怎么处理呢？这边啊，这边很好处理，这边啊，因为分母都是一样的，那么这边上下两边同时乘以二 k 方加一，那么可以先把二 k 方加一给提出来啊，这边呢，变成了十六个 k 方， 十六个 k 方减去八 k 方减一，这边二 k 方加一。 好，这个东西先搞过来，然后再乘上一加上 k 方，对吧？好，下面这个东西我们先不管，我们管上面的，上面这个东西啊，是十六 k 方减去啊，这边十六个 k 方啊，十六个 k 的 四方啊，不好意思，这边是 k 的 四十 十六的 k 的 k 的 四次方，这边是减去，然后呢？再加上一个八的 k 方，那就是这边是减去八的 k 方，对吧？好，这边步步得正，加上一个八，加上一个 加上加上十六 k， 加上十六 k 方，然后呢？最后再减去一个八，好，看看对不对啊？这边十六个 k 方，呃，十六个 k 的 次次方是减去，然后这边十六 k 的 平方，十六 k 的 平方是加上 啊，没毛没毛病啊。这边是减去八个 k 方，八个 k 方，好，没毛病，好，这两边划掉啊，它就变成了八 k 方减八， 八 k 方减八啊，我，我建议这一部分的运算，那个同学们自己在草稿纸上进行啊。 哦，我这边有一点浪啊，我这边很容易会会算错啊，各位不要学我，二 k 方加一，那么这边上面就是八八啊， k 方减一啊，这边要开根号乘上一加上 k 方， 对吧？那它就是它是什么？这边还要算啊，二 k 方加一分之 八 k 的 四次方减去一是这样的，是这样的， 看看有没有算错。 嗯 啊，不好意思啊各位，刚才，呃，我自己啊，我自己也经历了一个很深刻的反省啊，这个算是这个算是最终写出来的 啊，我相信我相信这么多人在这里看我的运算啊，看我的运算，但是我觉得也没什么问题啊，我也不想再重新录这个东西了啊， 反正各位知道我什么意思就可以了，对吧。啊，好，那么这边总算是给他弄出来了这边总算是给他弄出来了，嗯 啊，因，因为因为刚才刚才那个计算出了点问题啊。好，那么这边这边二 k 方加上一啊，就说这边是没什么问题，二， k 方加上一分之。 好，这边啊，这边最后给它换出来。是这样一个东西啊，是这样一个东西啊，两边都有一个 k 方加一，那么就 k 方加一给它提出来， k 方加一，提出来乘上一个根号八，那就乘上二根号二啊，好，这个东西算出来是 二根号二，二根号二，括号一，加上 k 方。分，我估计下面画不了啊， 分之啊除，呃，除以这个二 k 方加一，二 k 方加一啊，是这样一个东西，是这样一个东西 啊，非常的艰难啊，非常的艰难，可能技术比较好的同学一下子就算，一下子就算好了。好，那么 那么在之后我们已经算出了 a b， 对 吧？我们已经算出了 a b， 好， 接下来要开始算 pc， 那 么 pc 的 解析式 p c 的 形式我们可以怎么样？我们可以用 c 点啊，我们可以用 c 点，我们用一下点斜式 y 等于负的 k 分 之一啊， x x 减去这一，是啊， c 点的坐标哦，我们还没有求出 c 点的坐标。好，那么 c 点的坐标是什么？ c 点的坐标 c 点坐标是二分之，括号 x 一 加 x 二，那就是二 k 方加上一分之二 k 方，然后把这个带到这个里面去啊，那这个我们就，呃，那个不给大家，不给大家观摩了啊。 c 点坐标是一加上二 k 方分之， ok， ok 啊，这个这个反正就是带到这个里面去就可以了。那么 p c 就是 y 等于负的 k 分 之一，括号 x 减去啊，减去 c 点的坐标二 k 方加上一分之二 k 方， 然后呢？然后呢？然后这边要在啊，因为我们知道 c 点的坐标嘛，对吧？然后呢，我们要再减去一加上二 k 方分之 k 啊，是这样子 的，是这样子的，因为它经过 c 点嘛，对吧？啊，它经过 c 点， 然后，然后我们可以得到 p 点的坐标，因为 p 的 横坐标是负二，对吧？负二，那么我们把负二代入到这个方程里面去 啊，在这里呢，就不演示给各位了啊，不演示给各位了，可以得到 k 一 加上二 k 方分之五 k 方加二， 所以 pc 的 长， pc 的 长啊，说是说真的啊，按照这个计算量，如果我做这道题啊，大概要花上大概二十五分钟左右的时间吧。 pc 的 pc 等于啊， pc， 那 么还还延续我们之前的做法，还之延续我们之前的做法啊，就是一加上配方啊，乘上，再乘上呢，那再乘上，那么 啊，这样的东西，或者是直接用 cp 或者是直接用 cp 的 那个点坐标去做啊，都可以，都可以。 最后呢，它的坐标是这样一个东西， 好好，又因为 pc 等于两倍的 a b 啊，就说就说呢，这样一个东西，等于两倍的它等于两倍的它，那么所以啊，我们中间这个这个步骤又省略了啊，所以啊，我们可以直接 啊，可得到，但是中间呢，肯定又有不超不小于五分钟的计算啊，五分钟计算可得到，可得到。 k 等于正负一，所以 y 等于 x， 把握住整条整条线啊，你想，各位想， 当我们其实其实在这个地方，其实在这个地方的时候呢，我们可以小心一点啊，生而不求伟大定律已经足够我们拿到这道题呃，小一半的分数了啊，接下来得分点在啊，得分点，这是一个 啊， ab 的 ab 的 斜长，然后 c 点的坐标一个啊，即使你中间可能有些算错的也不要紧啊。然后是 p c 的 斜长，然后是 p， 然后是 p 点的点啊，然后是 p c 的 斜长， 最后呢？再舍得到一个 k 啊，这些都是得分点，这些都是得分点，最后再得到一个答案是这样子， 希望这个长达二十分钟的天苦运算能够带给大家一些启发。
100教数学的老谭
03:54查看AI文稿AI文稿第八题，椭圆的标准方程，那我们讲这个的主要目的之一呢，其实跟我们在 写大题的时候的第一问其实是有关系的，那么大题的第一问呢，往往是要求这个表达式，所以呢，我们这个会练习的比较多一点啊，其实并不是说他是选择题，就跟这个大题是没有关系的，其实是息息相关的。 首先呢，是说已知椭圆的两个焦点呢，分别是它它，那么我们看到这个焦点呢，在 a 轴上，于是乎呢，我们首先画这个图，对吧？我们首先画下图，那么 x 轴， y 轴好，呃，那么这个 曲线是这样好，是这样，比如说我这个是 f 一 啊，这个是 f 二，那它的横这边是八负八，它的横这边是八，那我们由此呢，首先可以得到这个 c 呢，就等于八， 他说呢，椭圆上的一个点到俩交点的距离之和是等于二十，那么这呢是用到了它的定义， 那么距离之和呢，我们通常说的是二一，二一等于多少呢？二一等于二十，说明 a 就 等于几呢？十， 那么 a 等于十，然后呢，我们要求得它的这个方程是什么呢？ x 平方比 a 方加 y 平方比 b 方等于一，一定注意，大体的写法里边呢，后面这个 a 大 于 b 大 于零，一定得写，不写呢会扣分。那么我们有一个自带的 c 方，等于上课， a 方截去 b 方， 那么 c 方呢，是八的平方，等于呢？十的平方，然后解去 b 平方。如果你熟悉勾股数的话，那么很快会得到什么？六八十，那 b 数等于几呢？六， 当然呢，如果说你不输去勾股数，在这硬算也行， b 方呢，等于十平方，减去八平方的应该是三十六，所以呢， b 等于六，那么 a 等于十， b 等于六，所以呢，它这个方程是 x 平方，比上个十的平方是一百， 加 y 平方比上 b 的 六平， b 的 平方三十六等于一。然后呢，我们看到是选择谁呢？选择这个 b 选项。 好啊，就是说我们在看题的时候呢，一定要看慢一点，同时呢结合我们所画的图像，所画这个图呢，其实就是为了给自己看的啊，一定注意，这个就是说为了给自己看的， 其实呢，我们在做题时候呢，好多人呢，不愿意画图，就觉得这个呢比较麻烦一点。呃，对于男孩子来说呢，其实这个问题可能想不来啊，但是呢，如果是对于女孩子来说， 你不是说啊，今天呢要出去玩，今天呢要出去玩，然后呢，你化妆化了一个小时，对吧？啊？或者说有的画俩小时， 那你想你化这妆呢，你其实照镜子才可以看到，然后呢，可能看到那么一两分钟，对吧？你看多了之后呢，觉得自己也就那样，对吧？然后呢，其实是你是给为为了给别人去看的，你想为了给别人看，你都这么用心， 那你想给自己看着，能不能用心画一下，对吧？啊，这个也是突然想起来，所以说呢，呃，一定啊，这个图要画啊，而且要画好点。
28庞阿兴
02:33查看AI文稿AI文稿椭圆里面的内准圆，这种问题已经在模拟考试中出现了很多次，咱们来一起看一看啊。他说有一个椭圆，他的图形如图所示，方程给了 ab， 是 椭圆上的两个点满足，这个夹角是直角。然后问的是这个椭圆的离心率是什么？ 大家一定要记住，当 o b 和 o a 垂直的时候，此时 a b 的 连线一定会跟一个圆相切，这个圆就是椭圆的内准圆，那么这个圆的方程就是 x 方加上外方 等于 a 方加 b 方分之 a 方 b 方。那如果你知道这个结论，那这个题目还是很好做的。在内准圆里面有一个性质， 就是 o a 的 平方分之一，再加上 o b 的 平方分之一，等于 a 方分之一，再加上 b 方分之一。如果你知道了这个性质，那这道题就很好解决。来看， o a 的 长度跟 o b 长度有一个根号三倍的关系， 所以这个整体咱可以去转化，就变成三倍的 o b 的 平方分之一，再加上它，那整理一下，就是三分之四 等于 a 方分之一，再加上 b 方分之一。那有了这个结构，咱们要算离心率，那当然要从 o b 平方的范围入手。 o b 的 范围肯定是 a 到 b， 那 o b 的 平方大于等于 b 方，小于等于 a 方， 所以三倍的 o b 的 平方分之四，它一定大于等于三 a 方分之四 小于等于三 b 方分之四。然后他们再把这个式子代入，咱就会得到第一个不等式， a 方分之一，再加上 b 方分之一，大于等于三 a 方分之四。 整理一下， b 方分之一大于等于三 a 方分之一，那很明显，三 a 方比 b 方大，所以 b 方分之一大于三 a 方分之一，这个肯定成立，所以从这里面算不出离心率。那接着咱们再从这半部分去算， 开入之后会得到 a 方分之一一定小于等于三 b 方分之一，所以三倍的 a 方减 c 方一定小于等于 a 方。从这个地方咱们可以整理出离心率的范围就应该是大于等于三分之根号。六，小于一，答案就是 b。 所以 对于这道题目来说，大家一定要熟知椭圆的内准圆，它的判断依据以及性质。
512高中数学-李钰提分课堂
03:13查看AI文稿AI文稿好，第二个我们要知道椭圆的标准方程，它其实通过的是椭圆的定义动点到两个定点距离和，然后去掉根号平方推出来的啊，但是推导的时候几乎不考，我们说 s 方比 a 方加上 y 方比立方等于一， 那么这个要求是 a b 大 于零，它是椭圆。那老师问你，双曲线 a d， 你 们复习完了双曲线 a d 有 关系吗？没有 没有，只要大于九就行。而椭圆必须要求的是在 a 大 于 b 大 于零。然后其次我们说椭圆的焦点焦点，也就是说这两个定点在哪，它的焦点就在哪个坐 标轴，那么这两个啊，是 s 方 b 方谁下边的数大，那么就是焦点所在的坐标轴。那这里 a 大 于一大于零，是不是 s 方下边数大？ 所以说这个椭圆的焦点它就是在 s 轴上，那么椭圆的焦点在 s 轴上，这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是这 f 一 在这， f 二在这。好，那么我们第一个要知道椭圆的顶点坐标是什么？ 我们椭圆的顶点就是它与坐标轴相交的点，叫椭圆的顶点，那其实与坐标轴的焦点是不是 s 的 零或者是 y 的 零， 对吧？那么顶点这个 ab 的 坐标就是正负 a 到零，那么 c 的 就是零到谁正负 b。 那 老师问你个问题，如果说椭圆过零到二的点，那么这个二它其实不是 a 的 值，就是谁的值 b 的， 这我再说一遍，如果椭圆过坐标轴上的点，就委婉的就告诉你 a 或者是谁的这 b 的， 这听懂没？好，那么它的焦点焦点坐标就是在正负 c 动零。老师问你，椭圆的焦点在不在椭圆上？不 在，不在，它不在椭圆上。然后其次，我们它的范围，你这个椭圆中 x 的 取值范围就是大于等于负 a， 小 于等于 a， y 的 取值范围是大于等于负 b， 小 于等于得是 b， 对 吧？那么什么时候会用到它的范围？比如说给你椭圆方头 说椭圆上一点到一个定点最大值，最小值问题，往往会设点的坐标，根据它的范围去做。然后其次，我们椭圆是一个轴对称图形，它的长轴长是二 a， 短轴长是二 b， 相距是 按短轴长是二 d， 焦距是二 c。 好， 那么有些题他可能 给你的是长半轴长，所以读题时要认真，长半轴就是谁 a， 短半轴就是 b 啊，所以一定要读题认真。其次，他们仨之间的关系是什么？他们仨 a 方等于谁？ b 方加 c 方，椭圆中一定要记住谁最大 a 双笔先写对的啊啊，那么他的离心率呢？离心率 e 等于的是 a 分 之 c， 还等于根号加一减 a 方分之 b 方， 他的范围一定属于的是零到一的开区间，那么在这里面他如果接近于零时，那么椭圆是约圆，如果接触一时，椭圆是约点了解就行啊。
26沈阳徐思数学
08:04查看AI文稿AI文稿来，同学们，求椭圆的标准方程，还有离心率啊。这里边的话呢，椭圆 c 是 它，然后两个焦点的话呢，是它和它，并且这里边的话呢， b 大 于零，然后小于二倍，根号是三啊， 且椭圆 c 的 短轴长和焦距是相等的啊。这里边首先第一件事， x 方向边是不是十二啊？你这个 b 方二倍根号三的平方是不是正好等于十二？所以它的焦点，并且还是告诉你了，负 c 零 c 零，所以它的图像长成什么样子， 是不是长的这样子交点在 s 轴啊？ 呃，并且的话呢，这里边的话呢，你的 a 方是不是等于谁？求一下吧。 a 方的话呢，是不是等于十二啊？所以 a 等于几？是不是等于二倍根号三啊？所以这个点是几？这是不是二倍根号三？这个点的话呢，是不是负二倍根号三啊？这一点的话呢，是 f 一 和 f 二， 然后这一块的话呢，这是短轴长，这是长轴长啊，人家告诉你了，说短轴长和焦距短轴长是不是二 b， 焦距是不是二 c 啊？所以根据题义的话呢，是不是二 b 等于二 c， 也就是 b 等于 c， 对 吧？ 然后因为这是椭圆，椭圆里边是不是存在 a 方等于 b 方加 c 方啊？啊，所以的话呢，这里边是不是就是十二等于来， b 方 加 c 方吗？不加 c 方我们加什么？我们加 b 方？因为 b 等于 c 啊，来，所以的话呢，这是不是十二等于个二 b 方啊？所以 b 方的话呢，是不是等于六？ b 方等于六， b 是 不是等于根号六啊？并且的话呢， c 是 不是也是等于根号六了？因为 b 和 c 相等了啊，所以的话呢，求这个标准方程，标准方程是不是直接带进去 b 就 可以了，是不是也就是 x 方比十二加上一个外方比上多少 啊？ b 方是不是六，对吧？所以比乘了六等于一啊，然后的话呢，这里边我们的离心率 e 是 不是等于个 c？ 比 a 来， c 是 不是根号六，对吧？然后 a 的 话呢，是不是等于几？这写的是不是二倍根号三呢？ 对吧？那所以的话呢，根号三，根号六啊，约的话呢，剩了根号二，所以离心率就是二分之根号二， 这是第一问啊，然后第二问的话呢，椭圆上是否存在一点屁，然后使这个 p f 一 垂直于 p f 二，若存在的话呢，求三角形它的面积，若不存在的话呢？啊，说明理由 啊，这里边的话呢，我们先不去看啊，就是这个垂直屁是不是可能在这，有可能在这，有可能在这，对吧？那这里边的话呢，老师先不在这张图上画了，老师再画一张图来， 这块就是我们的 p 啊， p f 一 垂直于 p f 二啊，它是它垂直的，垂直的话呢，这里边有一个最大的问题，首先 f 一 f 二是几， 这段的长度是几？是不是二 c 啊？啊，你看 c 等于几？ c 是 不是等于根号六，所以底下这个是不是二倍根号六啊？对吧？那所以对于我们呀，这是根号六了，我们随便设一个，比如说设这个边的话呢，我设成 x 来，这个边是几？ p f 一， 加上 p f 二等于几？椭圆的定义是不是这个边加上这个边等于二 a 啊？那二 a 等于几？二 a 是 不是四倍根号三，所以这个边 p f 二是不是四倍根号三减 x 啊？ 那所以根据什么？是不是可以找一下勾股定律了，对吧？你的 p f 一 的话呢，先写一下 p f 一 等于 x， 然后所以 p f 二的话呢，是不是等于四倍根号三减 x？ 因为它是直角三角形，所以是不是存在勾股定律啊？所以是不是就是 x 方加上一个四倍根号三减 x 的 平方等于是不是二倍根号六的平方啊， 对吧？然后简单化简一下，这是不是 x 方加上四倍根号三得平方啊？呃，是不是十六乘三，也就是四十八， 对吧？然后减去个八倍根号三 x， 然后再加上个 x 方等于几啊？这边是不是二的平方四刚好六的平方六四六二十四，对吧？然后再挪一下的话呢，这是不是 x 方？ x 方是不是二 x 方啊？ 然后再减去个八倍根号三 x 加四十八减二十四，是不是加二十四等于零啊？然后把它的话呢，再减呢？化解一下变成什么？是不是 x 方减去四倍根号三， x 加上个十二等于零啊？ 来到这，你说老师我看不出来这个东西有有什么东西，对吧？那你用求根公式也行啊啊，但是其实的话呢，它其实就是谁？是不是 x 减去个二倍根号三得万分之平方等于零啊， 对吧？是不是 a 方减二 a b 加 b 方啊？就是它啊？你说老师我看不懂这个用求根公式求一样能求出来它，所以 x 等于谁？是不是二倍根号三呢？ x 等于二倍根号三了？来，你这个边 p f 二是不是等于四倍根号三？减去二倍根号三，四倍根号三减二倍根号三是不是等于二倍根号三？那所以你的这个图形就变成啥了？ 这是垂直的，这是二倍根号六，嗯，这的话呢，是二倍根号三啊，这也是二倍根号三 啊，所以对于我们而言的话呢，我们求啊，我们求他的话怎么求？嗯，来，你看这边是这边线的这个点其实就到哪了， 就这个点，你看他说他垂直了，其实是不是就跑到这去了？跑到终点位置去，终点位置搁哪呢？是不是搁这呢呀？ 这一点是不就是 p 啊？并且这点坐标是几 b？ 刚才我们求了，是不是等于 c？ 是 不是等于个根号六啊？是根号六啊， 对吧？那所以其实啊，第一个存不存在？存在啊？它是存在的，绝对存在的，并且的话呢，让你去求它的面积啊，上边这有一个点，下边这是不是其实还有一个点， 但是因为这里边只让你求面积，这个两个的面积很明显，怎么样？是不是完全一样的？哎，所以对于我们而言的话呢，来求一下 s 三角形 p f 一 f 二等于什么？ 是不是就是二分之一倍的底乘高啊？二分之一乘上个底是几？是不是 f 一 f 二 f 一 f 二的话呢？是不是二 c 啊？二 c 的 话是不是二倍根号六啊？高是几高？是不是这一段 高中这一段是不是就是根号六啊？来，所以最后答案等于几？二分之乘二没了啊？根号六乘根号六是不是等于六啊？所以最后答案的话呢，就是六啊，这个就是完整的运算过程啊，有什么不会的，欢迎在评论区和私信跟老师随时沟通。
122教数学的孙老师
11:03查看AI文稿AI文稿同学们，当你碰到椭圆上去求动点距离最直的问题，或者与其相关的求离心率等等等等的问题的时候， 如果你按常规的设点 x y 设限带入 d 的 那个距离公式里面去做的话，其实你的消原和化简的步骤是很多的，计算量直接拉满了， 你如果稍不留意就会算错。那么如果用平移切线法呢？很多同学又觉得几何思路实在是太抽象了，我常常找不到那个临界的切点到底在哪里，考场上思路直接就卡壳了。今天我就给大家分享一个解这类题的全新的思路，它是一个更稳妥、更快、 计算量更小，并且耗时更短的方法。好，那我们话不多说，直接开讲。好，那同学们，我们依照惯例在讲解例题之前，先给大家讲一讲我们设这个椭圆参数方程的核心原理。 首先我们都知道标准的椭圆方程是不是就是这个东西， x 方比 a 方加 y 方比 b 方等于一， 那么它经常会给你一个椭圆上的点对不对？假设它是 p x 多少 y， 它有两个 x 和 y， 对 吧？两个互相约束的一个变量。 好，这个点一出，大家就跟我一起回忆一下。我们平常不论是在做选填题还是在做大题的时候，我们往往头疼的不是思路，而是它的计算，经常就是这个式子里，然一堆 m、 b， x、 y、 a、 b 这些未知量都燃在一块，你没有办法去很快的解决它，那也就是说它本质上这么多变量来源就是来源于这个 p 点， x 和 y， 它是两个互相约束的变量， 那这也是常规方法计算量大的根本原因，而我们的这个椭圆参数方程呢，就是用一个变量把这两个变量统一起来，那么怎么统一呢？我们大家去观察一下 这个式子，对于这个式子，我们如果把它写成 a 方分之一乘 x 方加 b 方分之一乘 y 方等于一的形式， 我们对于这个方程，大家去想一想，我们怎么样用一个变量同时去表示 x 和 y 呢？ x 方加 y 方等于一，对吧？我们先不看前面这个参数， x 方加外方等于一这种形式大家有没有觉得特别眼熟？ 是不是初中就会的三角恒等式， cos 一 方 c， 它加 cos 一 方 c， 它等于一。那好，这里的 x 和 cos 以外和 cos 一 对应了。哎，那这里就有同学要问了， 前面有 a 方和 b 方，你怎么样能够变成这个式子呢？是不是我们令 x 等于 a 倍的 cosine c 塔， 然后呢？ x 方是不是就变成 a 方倍的 cosine c 塔的平方？ a 方和 a 方分之一是不是就完美的消掉了？ 同样的，我们另外等于 b 倍的塞塞它外方是不是就等于 b 方倍的塞方塞它， b 方和 b 方分之一也完美消掉了？ 那最终我们的这个式子是不是就和它是等价的？那好，所以说我们从中发现了什么？椭圆上的任意一点 p x， 逗号 y 是 不是都能表示成这样的一个形式呢？只用一个参数 c 塔是不是就能去表示它好呢？这里要注意一个事情，很多同学他会关注这个 c 塔到底是什么， 这里我要给大家强调，这个 c 塔并不是椭圆上点和圆点联系的倾斜角，并不是，这是百分之九十同学的误区，这个 c 塔我们管它叫做离心角，感兴趣的同学呢，可以去了解一下离心角的定义。 那在这个方法里头，我们不用去管这个 c 它是什么，你就把它当成一个纯辅助角度的参数就好了，它既不代表直线的斜率角，也不代表实际的几何加角。它唯一的作用就是 把椭圆上的两个变量 x y 压缩成只含一个 c， 它的单变量完美的利用这个三角横等公式凑出椭圆的方程。 那好，这里插入了一个有关于 c 它的解释，我们继续。那这样的话，我们是不是就把 x y 一个二元问题转化为一个一元问题？我们后续计算是不是就会简单多，只听方法论是不行的，我们就用力题来给大家实操，用实践去证明一下。 好，我们大家可以看到这道题就是一道与这个点到直线距离有关的，并且还是什么求离心率的一道问题，对不对？那么对于这种问题呢，其实主流做法有两个，第一个 就是稍微笨一点的方法，我先去设 xy， 然后呢我用这个 y 去表示 x， 然后呢代入到这个 d 的 距离公式中，结合椭圆的性质解除 abc。 第二个是什么？是我先把椭圆的切线方程解出来，然后呢整理一下，带到第一种，解出这个 abc， 算出离心率。 但像这种方法呢，本质上是可行的，但是其实是还是太慢了。它们的计算量大的原因其实就在于我刚才说的，你要用一个量去表示另外一个量，必须得在双变量的条件情况下去解出来最终的离心率， 那么接下来我就用刚才给大家讲的原理，也就是椭圆参数方程表示一下点 p。 我 们刚才说是不是对于一个 p 点 x 轴号 y 来说， 我们都可以用 y 等于 b 倍的 cosine c， 它 x 等于 a 倍的 cosine c， 它表示呢？那你觉得这里我们是不是可以直接把 p 写成什么？ a 倍的 cosine c， 它 b sine theta。 那 好，这里我们直接把这个点带入到直线的距离公式里头，我们点到直线的距离公式是什么？是不是这个东西？ 那这里的直线呢？是不是 x 减二， y 等于零？所以我们直接把它带入是不就是 a 倍的 cosine theta？ x 码减二 y 二倍的 b 三，也测它比上一个什么根号下 a 方加 b 方，是不是一方加二方？呃，加负二的平方， 也就是根号下五，那好，我们会发现我们已经知道这个 d 的 最大值是五分之根号三十，也就是说它是一个根号五分之根号六，对不对？我们又知道 d 可以 用这个东西来表示，那么现在重点在哪里？重点是不是在 上面这个东西的处理，因为下面它已经是个定值了嘛，对吧？所以说我们把这个分子的 a 倍的 cosine theta 减二倍的 b sine theta 单拎出来，我们去观察一下这个式子，这个式子我们是不是完全可以用辅助角公式去处理？它等于多少？是不是根号下 a 方加 二， b 的 平方被的 sine sine 加 f i？ 那 好，这里同学要问了， sine 和 f i 我 不知道呀，我怎么样去解决呢？事实上这里根本是不就不用管 sine 和 f i 到底是多少，我们只需要知道 sine x 它的取值范围是不是一定是负一到一 正弦函数的值域，对不对？所以说我们要观察的是不是就是前面这个东西，所以说它的最大值是不是一定是取到一的时候， 那也就整体的最大值是不就是取到根号加 a 方加二 b 的 平方的时候？那好，我们把这个东西带入到原先的距离公式上去看，那是不是就变成了根号加 a 方加四 b 的 平方比根号五等于根号五分之根号六， 因为它是最大值，对不对？它也是最大值，它们俩是就相等，那也就是说什么 a 方加四 b 的 平方是不就等于六？然后呢，我们是不是可以借用最早一期我们求离心率的方法，也就是说设特殊值法，我默认 b 等于一，那它是不是就变成了 a 方加四等于六， a 方是不是就等于二？那既然 a 方等于二， c 方是不是就等于 a 方减 b 方等于二，减一等于一。所以呢，我们的 c 是 不是就等于一？ e 呢？是不是很容易就出来了？是， c 比 a 等于一，比根号二等于二分之根号二。哎，那我们就会发现，我们的离心率是不是就轻易被求出来了？好，我们再给大家梳理一下思路。首先这两个方法都不看，只要它跟距离最值有关， 我们就去设这个参数方程，设出来是不是能用同一个 c， 它去表示屁，带入到这个 d 中，是不是就能用 c， 它去表示距离？知道了 d 的 最大值，那也就说我们要去探寻 c 它取得多少的时候，它是不是最大的， 我们把分子淡定出来，因为分母并不影响它 d 的 取值。我们通过这个辅助角公式是不能把它变成一个前面有一个参数， 后面有一个 sine 的 形式 sine， sine 它加 sine 根本就不用管 sine 和 f 到底能取到多少，我们只需要知道 sine x 它的值域是负一到一的 b 区间就可以， 也就是它的最大值取的是不是就是取到一的时候？既然它取到一的时候最大，那也就说整个取到最大的时候是不是就是根号下 a 方加二 b 的 平方，也就说根号下 a 方加四 b 的 平方。好，那让整个最大值 是不直接就相等能解出它是六。最后呢，通过这个特殊值方法，我们令 b 等于一， 就能解得 a 方等于二。当然这里你也可以直接解，你令这个 b 方等于 a 方减 c 方也可以，然后再去直接去求 e 也是可以的。这里的计算量其实就呃区别都不大了，大家就 合理的选择方法就可以。那好，最后要给大家补充一下，参数方程并不是所有情况下都是最简变的方法，它最适合有关于距离限行代数 最值的这类题型，比如说点到直线距离，或者说让你去求这个 x 加二 y 这种一次性的最值， 但如果是角度最直，面积最直，或者说你如果强行用参数方程，反而有可能会让这个式子变得更复杂。所以大家一定要根据题目类型合理的去选用方法， 那么这道题的完整解法就到这里了，那么这一期的视频分享到这里就结束了，感谢大家的观看，我们下期再见。
7332讨人厌的数学
02:45查看AI文稿AI文稿同学们，咱们这条视频呢，讲一道椭圆离心率的题型啊。好，我们先读题，椭圆它给出来这个方程，对吧？要么求它离心率，离心率的话就套个公式呗，一等于 a 分 之 c， 一 就是离心率嘛，对吧？主要算就算两个东西， a 跟 c， 好 吧， 好，那我们先看一下这个 c 啊，先把这 c 求出来。 c 怎么求呀？就套个公式， c 的 平方等于 a 的 平方，减 b 的 平方啊，我们主要把 c 的 平方求出来了，那 c 不 就求出来了吗？对不对？好， 那我们首先要把这个 a 的 平方， b 的 平方找出来吧。 a 的 平方， b 的 平方怎么找呀？好，注意啦，这里有个坑，很多同学就是因为这道题的简单啊，往往就会掉到这个坑里面 啊。很多同学他会把这个前面这个数字看成是 a 的 平方，把后面的数字看成是 b 的 平方。不是这么看啊， 要判断哪个是 a 的 平方，哪个是 b 的 平方，这下面的数字就看哪个数字大，哪个就是 a 的 平方。五跟十十是不大，那十就是 a 的 平方，也就是 a 的 平方等于十，哪个数字小，哪个数字就是 b 的 平方。五是不是要比十小呀？五就是 b 的 平方啊， 好，来，我们找出来 a 的 平方跟 b 的 平方了，就往这里面套。 c 的 平方是不求出来了。十减去五就等于五， c 的 平方就等于五，那 c 是 不等于根号五呀？把这平方移过来，对吧？就加一个根号啊。 好，那 c 我 们算出来了吧，就带进去，等于根号。五除以 a 是 什么呀？ a 我 们还要求，对吧？来，我们知道 a 的 平方等于十了，对吧？把这平方移过去，移过去就加个根号呗，是不是？所以说啊， a 就 等于根号十，对吧？好， 把这个 a 带进去啊，来，注意了，那选项里面没有这个答案呀，是不是选项没这个答案呀？那我们就注意了啊， 分母的位置不能有根号啊，那根号十，怎么才不能有根号？再乘一个根号十呗，对不对啊？再乘一个根号十，下面乘一个根号十，上面要跟着乘根号十啊， 那下面就变成了十了，对吧？根号就没了，那上面就变成了根号五十，对吧？那根号五十的话，你要开根吧，开根出来就变成了十分之五倍根号二，对吧？啊，五倍根号二， 好，五被根号二，但是注意啦，最后的一步，记得要约分啊，约分 啊，这里也是很多同学扣分的一点啊，没有约分，那五跟十约掉对不对？那下面就变成二了，上面这五就没了，就变成了二分之根号二。好，答案就是 a 选项了，你有没有听懂呢？ 最后为了检验同学们啊，到底有没有听懂，那这道题就留给同学们啊，有做出来就把答案写在评论区里。好的，拜拜。
55:32查看AI文稿AI文稿请注意，本视频共计五十五分钟，主要讲解的是高中数学圆锥曲线与方程之椭圆的几何性质。自用版仅分享，如有侵权可联系下架视频 hello， 大家好，之前的视频我们从椭圆的定义出发，推导出了它的标准方程，就是这两个萌萌哒的式子。 但是呢，建立方程只是手段，真正的目的在于利用方程更准确地研究图形的几何性质。所以今天这个视频我们就要结合图形和方程，双管齐下的研究一下椭圆的各种几何性质， 比如大小、形状以及对称性等等。首先还是以焦点在 x 轴的椭圆为例， 我们发现虽然有的椭圆大，有的椭圆小，但无论大小都是一个封闭图形，上下左右都有范围。那对于不同的椭圆，具体的范围是什么呢？ 不难看出，椭圆与坐标轴的四个焦点很重要，起码从图上看，他们的坐标就决定了椭圆的范围， 所以首要的任务是求出这四个点。一旦涉及到精确的数量关系，就必须回到标准方程。 先计算与 x 轴的两个交点，令 y 等于零，得到 a 方，分之 x 方等于一，很容易算出 x 等于正负 a， 所以 负 a、 零和 a 零就是与 x 轴的两个交点。 同理，零 x 等于零，算出 y 等于正负 b， 说明零、负 b 和零 b 是 与 y 轴的两个交点。我们也把这四个交点称为椭圆的顶点。 学了这个新概念，顺手做个小练习巩固一下，你来算出这个椭圆的四个顶点吧。 答案，选 a， 分 别令 y 和 x 等于零，解出 x 等于正负三， y 等于正负二，所以这四个顶点分别是负三零三零和零负二零二，就像这样。 好啦，回过头来，知道了这四个顶点，那么椭圆的范围就很自然了。横坐标应该大于等于负 b， 小 于等于 b， 椭圆就位于直线， x 等于正负 a 和 y 等于正负 b 所围成的矩形框里。 但现在还有一个问题，我们从顶点坐标推出范围建立在四个顶点，分别是最左、最右、最低、最高的点的前提之下， 但实际上视觉可能产生误差。出于严谨，还是要从代数的角度验证一下。很简单，直接根据标准方程计算一下 x 和 y 的 范围就好。 先求横坐标的范围，重点放在 a 方分之 x 方上，把其他项甩到另一边去，它肯定是大于等于零的。其次，还得小于等于一，因为 b 方分之外方也是非负的嘛。 于是就得到 a 方分之 x 方的范围。解不等式很容易算出 x 大 于等于负， a 小 于等于 a。 同理，可以算出 y 的 取之范围是大于等于负 b 小 于等于 b。 确实和刚才的结论吻合，不过呀，明显算顶点的方法更简单。所以今后求椭圆的范围，还是先算出四个顶点比较好。 比如刚才的例子，四个顶点有了，马上就能算出 x 大 于等于负三小于等于三， y 大 于等于负，二小于等于二，就是图中这个矩形框。 大家注意，小锤提出这个问题，说明他还是认真思考了的，但是结果并不对，不能说定域和值域，因为椭圆根本就不是一个函数， 你回想一下函数的定义，必须满足自变量的每一个取值都有唯一的函数值与之对应，同样，无论是 x 还是 y， 都不满足这一条，所以只能说是取值范围。 刚才我们研究了椭圆的顶点和范围，可以看出顶点确定了这个椭圆的大小和位置就确定了。不仅如此，还发现这四个顶点是两两对称的，这给我们一种强烈的感觉， 椭圆似乎也是一个对称图形，你觉得呢？ 相信大家都会选 d， 起码看起来他既关于 y 轴对称，又关于 x 轴对称，还关于圆点对称， 但是光靠肉眼观察不行，可能会有误差，比如右边稍微扩大一点点，嗯，看着可能相差并不大，所以还得从代数上验证一下。你还得从代数上验证一下。你还记得要验证一个图形，关于 y 轴对称应该怎么操作吗？ 就是在椭圆上任取一个点 m n， 看看它关于 y 轴的对称点，负 m n 是 否也在椭圆上，换句话说，看它是否满足椭圆的方程。 带进来算一下，等于 a 方分着 m 方，加上 b 方分着 n 方，因为 m n 这个点本身就在椭圆上，满足这个式子等于一，这样就证明了负 m n 也满足椭圆的方程图形。确实关于 y 轴对称， 接下来要验证椭圆。关于 x 轴对称，你觉得需要证明下面哪一点也满足方程呢？ 答案，选 b。 需要验证 m 负 n 也满足椭圆方程，带进去看一下没有问题，说明椭圆也是关于 x 轴对称的， 下面关于圆点对称就很容易了，验证负 m 负 n 也在椭圆上就好，带进去也没有问题。 所以我们就从代数上证明了椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形， 这里还有两个小概念需要提一下，对称中心也称为椭圆的中心，除此之外，这两段都是椭圆的对称轴，因为 a 大 于 b， 所以 我们把长的这段叫做椭圆的长轴， 长度等于二 a， 短的这段叫做椭圆的短轴，长度等于二 b， 长轴和短轴的长度也就是我们前面提到的矩形框的长和宽。 现在有了对称性，加上椭圆的顶点，我们发现了一个很方便的事，可以根据四个顶点迅速画出椭圆的大致样子。 比如你拿到一个方程，分别令 x 和 y 等于零，求出四个顶点标在图上。又因为椭圆是对称图形，马上就能画出椭圆的样子。 可见，一旦这四个顶点确定了，椭圆的位置、大小，甚至是形状基本都确定了。我们给这个方法起个山寨的名字，叫四点定位法。 现在对于焦点在 x 轴的椭圆已经大概研究清楚了，那焦点在外轴的呢？这个很简单，完全不用重新研究一遍，用四点定位法就能搞定一切 拿到方程，比如四分之 x 方加上八分之外方等于一，你先来算出它的四个顶点吧。 答案，选 a 还是分别令 x 和 y 等于零，算出这四个顶点是负二零二零和零负二倍根号二零二倍根号二，将它们标在坐标轴上，图案的位置、大小、形状基本都确定了。 接下来范围长轴、短轴都可以从图上读取出来，对吧？ 所以无论焦点在哪个轴，应用四点定位法都可以迅速确定椭圆的位置和形状。 又到了最后的总结时刻，今天我们从观察图形和研究方程两方面入手，研究了椭圆的顶点范围、对称性等等，但这些都可以归结到椭圆的四个顶点上，确定了它们就能大致画出椭圆的样子。 但还有一个问题没有深入研究，为什么有的椭圆圆一点，有的椭圆扁一点，到底跟什么因素有关呢？请收看下个视频，神奇的离心率，今天先到这里拜拜， 欢迎回来上个视频。我们研究了椭圆的基本几何性质，比如顶点 范围、对称性等等，不过最后遗留了一个问题，为什么有的椭圆扁一点，有的椭圆圆一点，应该如何衡量椭圆的扁平程度呢？ 这个视频就给大家揭开这个秘密，同时还会引出椭圆的一个重量级概念，赶紧开始吧！ 想必大家也感觉到了，椭圆的扁平程度和长短轴有关系，比如这两个椭圆，他们的长轴一样长，明显短轴更长的这个更圆。 也就是说，在 a 相同的前提之下， b 越小，椭圆越扁， b 越大，椭圆越圆。 看来可以根据 ab 的 相对大小来衡量椭圆的扁平程度。那你觉得应该如何描述 ab 的 相对大小呢？狗蛋和小锤分别提出了 a 减 b 和 b 比 a 两种方案，你觉得哪个更合理呢？ 答案，选 b。 别忘了，咱们的目的是为了描述扁平程度。举个例子来看，这两个椭圆，第一个椭圆的长短轴同时拉伸到原来的两倍，就是第二个椭圆，所以它们的扁平程度是一样的， 此时它们的 b 比 a 都是二分之一，但 a 减 b 呢？明显不相等吧。所以描述扁平程度应该用比，而不是用叉。 那么这次要讲的重量级概念就是 b 比 a 喽。我都问的这么刻意了，肯定不是嘛，不要激动，我可不是故意调戏你，今天的主角呢，其实是他 c 比 a， 他也可以衡量椭圆的扁平程度。可能有些人又觉得我在调戏你，怎么可能，我们可是严肃的数学视频好不好！ c 比 a 确实可以衡量扁平程度，不信的话，先上个图让你感受一下。 来看这个椭圆。现在让 a 的 值不变，始终等于二，看看随着 c 的 变化，椭圆会怎么变？请注意观察动画， 你看出什么了吗？ 答案，选 a。 当 a 的 值不变时， c 越接近于零，椭圆越圆， c 越接近于 a， 椭圆越扁。不过这只是个特例，为什么对于所有的椭圆， c 比 a 都能衡量扁平程度呢？ 那是因为 bba 和 cba 是 有很大关系的，比如还是之前那两个椭圆，它们的 bba 都是二分之一，对吧？ 此时有 a 等于二 b， 而根据 b 方等于 a 方减 c 方，就能得出 c 方等于 a 方减 b 方，也就是 c 等于根号下 a 方减 b 方。把 a 的 值代入式子，就能得到 c 等于根号三 b， 因此 cba 就 等于二分之，根号三。这说明啥呢？说明只要 bba 确定了， cba 也就确定了。 这点呢，可以通过这个式子看出来。至于它是怎么来的，大家可以暂停一下，琢磨琢磨。所以，如果两个椭圆，它们 b 和 a 的 比相等，那它们 c 和 a 的 比必然也相等， 所以 c 比 a， 当然可以衡量扁平程度啦。不仅如此，像什么 a 比 b， a 比 c， c 比 b， 只要是 a、 b、 c 的 比，都可以衡量扁平程度。 但是重点来了，数学家最终在这些式子中挑了一个最独特、价值最高的。想必大家也猜到了，就是 c 比 a， 并把它称作离心率。用字母 e 来表示， 来给你几秒钟记住这个定义线， 因为 a 大 于 c 大 于零，所以 e 的 范围是零到一。 那么你觉得 e 是 更靠近零，椭圆更扁，还是更靠近一椭圆更扁呢？ 答案，选 a。 当 e 越接近一，说明 c 越接近 a。 回想一下 abc 之间的关系，此时 b 就 越小，因此椭圆越扁。 反过来，当 e 越接近零，说明 c 越接近零，从而 b 越接近 a， 椭圆就越接近于圆。 一直到 b 真的 等于 a 了，此时 c 等于零，意味着两个焦点重合，在圆点彻底变成一个圆，半径等于 ab 的 值，它的方程是 x 方加外方等于 a 方。 发现没有离心率真的是一个非常优秀的概念，不仅能清楚地定义椭圆的扁平程度，还把最开始根据长短轴得出的 a、 b 的 结论，后来得出的 a、 c 的 结论都统一起来了。 没反应过来的同学暂停对着图自己在琢磨琢磨 好啦，我们通过动画再来体会一下，随着 e 的 变化，椭圆的形状是怎么改变的。 e 从零到一，椭圆由圆到扁，是不是很清楚？说到这，想必你肯定很困惑，凭啥 c 比 a 的 价值最高呢？ 在未来你会发现， c 比 a 除了可以描述扁平程度，还有其他重要的意义。不过这就是后话了。 知道了离心率的概念，今后拿到椭圆方程，就得会算离心率了。比如这个椭圆离心率 e 等于 c 比 a， 所以 只要算出 a 和 c 就 行了。 a 很好算，明显这两个系数十是 a 方，五是 b 方，所以 a 等于根号十。 那 c 等于多少呢？利用 a、 b、 c 之间的关系， c 方等于 a 方减 b 方就能求出 c 等于根号五。接下来把 a、 c 的 值代入式子，就能得到离心力， e 等于二分之，根号二。 图形大概是这样， 刚才举的例子是焦点在 x 轴的，那还有焦点在外轴的呢？ 注意，离心率是描述椭圆扁平程度的，跟焦点在哪个轴没关系。所以还是有 e 等于 a 分 之 c， 根据椭圆方程求出 a 和 c 就 行了，你自己来算一下吧。 选 b 很 明显， a 方等于二十五， b 方等于十六，所以 a 等于五。 根据 c 等于根号下， a 方减 b 方，就能算出 c 等于三，于是 e 等于五分之三。 好啦，又到了总结时刻，今天学习了椭圆的离心率， e 等于 a 分 之 c 范围是零到一， 一月接近于零，椭圆越圆，越接近于一，椭圆越扁。可能有人觉得这结论记不住呀， 给大家介绍一个特别有趣的方法，你看，一月接近于零，零本身是圆的，椭圆刚好也圆。一接近于一，一本身是扁的，椭圆刚好也扁。 这种方法是不是很好玩呀？不过真的想不起来时，建议大家还是根据易的定义自己推导一下，加深理解。最后椭圆的几何性质都在这里了， 不过这些完全不用死记硬背，只要理解四点定位法加上离心率，其他都能推出来。今天先到这里，拜拜！ hello， 大家好，前面几个视频我们认识了两种椭圆的标准方程， 并且发现有了标准方程，就能快速提取出椭圆的几何信息，比如说 a、 b、 c 的 值，还有焦点位置等等。举个例子来看这个椭圆，它的焦点坐标是什么呢？ 选 c 选错的同学要注意了，看一下方程。首先， y 方下面是六， x 方下面是四，六大于四，这说明啥？ 焦点在 y 轴上对吧？忘记判断焦点位置的同学可要时刻谨记。拿到椭圆的标准方程，得先看焦点在哪，否则会吃大亏的。 接下来， a 方等于六， b 方等于四，所以呢， c 方就等于 a 方减 b 方等于二， c 就 等于根号二，那焦点的坐标就是零正负根号二。只要记住先判断焦点在哪，再找 a 和 b， 就 不太容易做错题了。 下面你再来看看这道题吧。已知椭圆的方程长这样，要求它的焦点坐标，感觉很诧异对不对？椭圆的方程不都是这个画风吗？那这个方程也能表示椭圆吗？ 不要慌张，来把刚刚的这个方程和它放在一起对比一下，看出什么了吗？ 哎，聪明如你，想必发现了，在这个方程左右两边同时除以十二，化简一下哟，这俩方程一模一样，对吧？所以啊，三 x 平方加二外方等于十二，确实是椭圆方程， 方程一样，那焦点坐标必然也一样，还是零正负根号二。 做完这道题，相信你也发现了，正是因为椭圆的标准方程很好用，所以啊，出题老师会故意出一些长得不标准的方程。此时呢，我们要先把方程标准化，也就是变成 x 方除以几加外方除以几等于一的形式， 然后就可以提取 a、 b、 c 和焦点了。那你来看看这个椭圆的方程该怎么标准化呢？ 方程右边已经是一了，不需要动。那再看看左边吧，它得变成 x 方除以几加外方除以几的形式，也就是要把系数的三二移到分母上去。 该怎么移呢？三放在分母上就是三分之一。三 x 平方就变成了这样。虽然看起来有一丢丢别扭，但我们的目的是标准化，为了达到目的可以不择手段嘛。 那同样道理，把二外方变成外方，除以二分之一， ok， 标准化就完成了。不难看出，它的焦点还是在外轴上。 abc 还有焦点坐标什么的也都可以顺手写出来了，你自己看看，没问题就可以继续了。 掌握了标准化这个技能，下面我们还要继续和出题老师的脑洞作斗争。这次要面对的是带参数的椭圆方程。 读题，椭圆方程里有个参数，知道焦点在 x 轴上，要求 m 的 取值范围和焦点坐标。 狗蛋同学，你可别高兴的太早，谁告诉你这个方程已经标准化好了？来看看椭圆的标准方程，这儿可还有个括号呢，对不对？括号里给的是 a、 b 要满足的条件， 别看它好像很不起眼，但它也是标准化的重要环节。就拿这道题来说吧，虽然这式子看着很像椭圆的标准方程，但仔细想想， m 等于负一时，它是个椭圆吗？ 不是吧，那 m 等于九十呢？虽然是椭圆，但焦点在 x 轴上吗？不在吧。那 m 怎样时才能真正表示焦点在 x 轴上椭圆呢？ 选 b， 首先这是个椭圆，所以 m 要大于零，然后呢，交点在 x 轴上，所以 x 方所在的分母也就是八，需要更大一点，这就是 m 的 取值范围了。 遇见带参数的方程，除了形式上要变成标准方程之外，还得写出参数的取值范围，这才算完全标准化了。 下面我们就来求焦点坐标吧。在这个方程里，八更大，那 a 方就是八， b 方就是 m， 所以呢， c 方等于 a 方减， b 方等于八减 m， 那 c 就是 根号下八减 m， 焦点在 x 轴上，因此焦点坐标就是正负，根号下八减 m 零。 这题已知了焦点的位置，所以比较简单，但是啊，如果我们不知道焦点在哪，就得分焦点在 x 轴和 y 轴分类讨论了，具体步骤放在这里，感兴趣的同学可以看一下。 回顾一下这道题，标准方程中含参数，我们首先要写出参数的范围，完成标准化，并且要注意是否知道焦点的位置。 那接下来就是这个视频的大 boss 了，椭圆方程既没标准化，还看参看看应该怎么做吧。 这题里椭圆的方程含有参数 k， 知道焦距为四，那就是 c 等于二倍，就要求 k 的 值。 狗蛋同学别着急，既然说了这个是椭圆，那它肯定就是你看着不习惯，只是因为没有标准化，那我们先来把它变成 x 方除以几加上外方除以几等于一的形式吧。 首先，这个方程右边不是一，那就先同时除以十，变成这个样子。现在 x 方这部分没问题了，那外方这里呢？有两个问题，第一，前面是个减号，那把减号放到 k 这，这就变成加号了。 第二呢，负 k 在 分子上，需要把它放在分母上，也就是负 k 分 之一，那整理一下分母，就是负 k 分 之十， 这样形式上就是标准方程了吧。然后还有参数 k 的 范围。这题没告诉我们焦点在哪，就得分类讨论了，讨论时再加上 k 的 范围就好。 如果焦点在 x 轴上，这时 x 方下的分母二更大，也就是二大于负的 k 分 之十大于零，大的那个是 a 方，所以呢， a 方等于二， b 方就等于负的 k 分 之十，那 c 方就是这么多，也就是二加上 k 分 之十。 之前算过， c 等于二，所以二加上 k 分 之十等于四，那 k 等于五，算到这可别太高兴， k 等于五可不满足这个范围吧。所以啊，要舍掉，这就是完全标准化的好处。 同理呢，交点在 y 轴上的话，就有二小于负的 k 分 之十，那这个时候呢， a 方 b 方 c 方分别是这么多，然后我们就可以求出 k 等于负的三分之五。完整的步骤在这你可以暂停看一下。 总结一下，在这个视频里，我们学会了一件事，如何把非标准的椭圆方程完全标准化，一是要整理成合适的形式，二是要给出参数的取值范围，然后就可以提取 abc 的 值和焦点位置这些信息了。 同时啊，如果焦点的位置不确定，那就需要分类讨论。好了，这个视频就到这，下期再见，拜拜！ hello， 大家好，这个视频的主题又是大家喜闻乐见的求方程。先来简单回顾一下求方程的思路，首先得设出要求的方程，然后就是求出各种参数。 那我们在求椭圆方程的时候，也可以延续同样的思路，设方程呢，很简单，因为只学过两种椭圆方程，它们的区别就是焦点的位置不同。 在具体的问题中，只要看看焦点在哪个轴上，就知道该设成哪种方程了。 然后就是求参数。在椭圆的标准方程中，甭管是哪个，都是只有两个参数 a 和 b， 因此只要把条件转化成关于 a 和 b 的 式子，就可以把它们求出来了。那这类问题中都会出现哪些条件呢？ 转化条件时要注意什么呢？这个视频我们就通过三道题来初步研究一下，大家要重点学习的是每一个条件是如何跟 a、 b 扯上关系的。 拿到题目，可以一边读题一边画一个草图，椭圆过点零负三，而三零是右焦点，所以图大概长这样。因为焦点在 x 轴上，所以方程就可以设成这样。 下面就得用这俩条件求出 a、 b 了。先看零负三，它和 a、 b 有 什么关系呢？ 由于焦点在 x 轴上，所以它就是短轴的一个端点，因此 b 等于三。第一个条件搞定下一个条件，右焦点为三零，它又代表什么呢？就是 c 等于三呗。 但是咱们要求的是 ab， 那 就得用 a 方等于 b 方加 c 方了，把 bc 代入，就可以算出 a 方等于十八 到这就不用继续求 a 了，因为标准方程中就是 a 方嘛，又知道 b 方等于九，所以标准方程就是十八分之 x 方加上九分之外方等于一。 这道题目特别简单，相当于直接给出了 b 和 c， 随便一算答案就有了。不过接下来的问题可就没这么简单了，咱们来看看 已知椭圆的一个焦点为零二，点三负二，在椭圆上求椭圆的标准方程。读完题还是可以画个草图， 哎，这回焦点跑到 y 轴上了，那方程就得设成 b 方分之 x 方加上 a 方分之 y 方等于一了。 接下来还是把条件转化为关于 a b 的 式子，求出来 a 和 b。 第一个条件焦点为零二，和上一题一样，就是 c 等于二， 下面还是要给它转化成关于 ab 的 式子， a 方减 b 方等于 c 方等于四。那第二个条件呢？点三负二在椭圆上，它该怎么用呢？就是让三负二满足这个椭圆的方程呗。 也就是说 b 方分之九加上 a 方分之四等于一。现在两个条件都转化好了，我们得到了一个方程组，那我们就把它解出来， 这有俩位置处，那先削掉一个，把一式整理一下，带入到二式，就是这样，然后去分母整理一下，最后就能得到一个四次方程。那你打算怎么处理它呢？ 答案是 b， 虽然方程是四次的，但是只有 a 的 四次方和 a 的 平方嘛。把 a 方看成一个整体，这就是一个关于 a 方的二次方程了，而且可以因式分解， a 方就等于一或者十六， 然后再回方程组，解出 b 方分别等于负三或者十二，把带负数的这组解给舍掉。最后答案就是它了。 我们发现只要算出来 a 方和 b 方，依然不用求出来 a 和 b， 直接就能写出来答案。 最后这里还要特别强调一下，这次椭圆的焦点在 y 轴上，所以标准方程是十二分之 x 方加十六分之 y 方等于一。不少小伙伴费半天劲算出来了 a 方和 b 方，但最终的答案却写成了这个 结果，只能望着鲜红的叉子欲哭无泪。所以你看思路啊，都是一个吓唬人的方程而已。 其实这道题还有一种可以口算答案的方法，看图，一个焦点是零二，那另一个焦点自然就是零负二。根据椭圆上的点是三，负二很容易可以算出，这条边就是三，这条边就是五， 那利用椭圆的定义，直接就能知道二 a 等于八。下面就不用多说了吧。 这种方法虽然好用，但是解方程组的方法在未来会不断的出现，所以还是建议大家多练练计算，否则到了后边因为算不出数而做不对题得多糟心啊。 最后再说说这类题中出题老师最喜欢的一个陷阱，就是不告诉你焦点的位置， 比如只说了 a 等于三， b 等于二，条件很好用了对吧？但是此时满足要求的椭圆的标准方程有两种，焦点在 x 轴上的和焦点在外轴上的。 前一种对应的标准方程是九分之 x 方加四分之外方等于一，而后一种是四分之 x 方加九分之外方等于一。如果少了一种后果，你是懂的， 所以当无法判断交点位置时，就要两种情况都算一遍。带着这个想法，我们来看看今天的最后一题，读完题，你觉得过点 a 负六零意味着什么呢？ 答案，选 c。 这道题并不能判断出焦点的位置，所以得两种情况都算一遍。如果焦点在 x 轴上，像这样标准方程就得用这个。此时点 a 是 长轴端，点 a 就 等于六。 如果焦点在外轴上，标准方程就得换成这个，此时 a 又变成了短轴，端点就是 b 等于六。下面把两种情况都算出来就可以了。 a 等于六十，计算比较简单，因为离心率 e 可以 表示成 a 分 之 c， 它等于三分之根号五，那我们马上就能求出来 c 等于二倍根五。再利用 a 方加 b 方等于 c 方，就能算出 b 方等于十六。 此时椭圆的标准方程就是三十六分之 x 方加上十六分之 y 方等于一。过程很简单，看懂就可以继续了。 那 b 等于六十呢？计算就稍微繁琐一点了，因为通过离心率，也就是 a 分 之 c 等于三分之根五。没法直接求出 a 和 c， 还得结合 a 方等于 b 方加 c 方解方程组。 这里啊，有一个运算上的小技巧看，这可以把 a 设为三 k， c 设为根号五 k， 然后就能迅速算出 b 等于二 k。 通过 b 等于六，就能求出 k 等于三，于是马上就能算出 a 等于九。所以对应的椭圆标准方程就是三十六分之 x 方，加上八十一分之外方等于一。最后来汇总一下这两个标准方程就是答案了。 题目都做完了，来简单总结一下求椭圆的标准方程，思路很简单，只要求出来 a 和 b 就 行。而在具体的题目中，要注意先判断焦点在哪个轴上，以便选择不同形式的椭圆方程， 然后才是把条件转化成关于 a 和 b 的 式子，求 a b。 好 了，这个视频就到这里，拜拜。 通过之前的学习，我们知道了一件事，要求椭圆的标准方程，大部分的时候就是要求出 a 和 b， 所以 我们也会努力地把条件转化成 a b 有 关的式子。 但是很多小伙伴在做题的时候发现，只要是几何题，总会遇到那种条件又多又乱，完全看不出来该怎么解决的问题。 在初中的时候就有很多这种题目，这时候啊，往往要添加很多莫名其妙的辅助线，让人不明觉厉。 到了高中，坏消息是依然会有大量这样的问题，但是好消息是学习了解析几何，只要掌握了一种基本想法，几何条件代数化，就可以基本告别辅助线了。只要算算数，这个问题就能迎刃而解。还有这么神奇的事， 那今天咱们就通过一道题跟大家分享一下。如图所示， ab 是 这个椭圆的两个顶点， c 是 ab 的 中点， f 是 椭圆的右焦点，并且 o f 的 长度是根号。二 o c 的 延长线交椭圆于点 m， 若 m f 垂直于 o a， 让我们求椭圆的标准方程。 虽然问题非常直白，求椭圆的标准方程也就是要求 a 和 b， 可是这条件却绕来绕去说了这么一大串。不少同学看到这，内心已经一团乱麻了，不知道该干什么。 先别慌，此时啊，刚刚提过的一个基本想法，几何条件代数化就该派上用场了。 先来回想一下之前做解析几何问题时遵循的流程，首先是把题目中的几何条件翻译成各种代数式，然后才是求想要的参数。 现在这两步没法一气呵成了，但至少第一步还是可以先做的吧。做完之后，从一群具体的代数表达式中寻找突破口，总比盯着这些乱七八糟的题目条件要容易一些嘛， 那咱们就开始吧。为了不遗漏任何信息，我们首先要把每一个条件都用代数表示出来。注意啊，这里可是每一个，那先来数一下。嗯，一共有六个条件，那先看第一个， 把它带出画，那 a b 两点的坐标就分别是 a、 零和零 b 很 简单吧。第二， c 是 a， b 的 中点，这说明 c 的 坐标是二分之 a， 二分之 b， 下面两个可以连在一起看， f 是 右焦点， o， f 还等于根号二，那就能写出 f 的 坐标了，就是根号二零， 同时还有 c 等于根号二。嗯，别忘了啊，咱们要求的是 a 和 b， 所以 先顺手把 c 等于根号二转化成 ab 之间的关系，也就是 a 方等于 b 方加二。 好了，前面几个条件都顺利带出话了，不过接下来这个条件就有点麻烦了，你来想想他应该怎么翻译呢？ 答案，选 c。 这个条件其实出了两件事，首先， m 在 o c 这条直线上，其次， m 还要在这个椭圆上， 所以 m 的 坐标要满足 oc 所在的直线方程。通过这俩点的坐标可以确定直线是 y 等于 a 分 之 b x。 同时还要满足椭圆的方程， a 方分之 x 方加 b 方分之外方等于一。 不过啊，估计会有同学心里不踏实，这明明是一个条件，现在却拆成了两个，这样不会有问题吗？ 有一种方法可以验证你翻译的对不对，就是来看看能不能反过来用这两个式子反推出原来的条件 检查一下。有了这俩条件，的确可以确定椭圆的焦点，但是却不能确定这个焦点究竟在第一项线还是第三项线。 所以啊，还得打个补丁，先限定一下 m 的 横坐标必须得大于零。把刚才这些内容代数化就是这样， 先把 m 的 坐标设为 m n， 其中 m 要大于零，它满足直线方程，就是 n 等于 a 分 之 b m， 最后还有 a 方分之 m 方，加上 b 方分之 n 方等于一。 哎，就是这几条了，解决完最难的这个条件，最后就只剩这个 m f 垂直于 o a 了。这次比之前容易不少吧，它意味着 m f 垂直于 x 轴， 那换句话说，就是 m 和 f 的 横坐标相等，结合刚才的 f 点的坐标， m 的 值就直接能确定下来了，等于根号二。而之前这些带 m 的 式子也就可以继续化简一下了。变成这样， 终于，所有分乱复杂的几何条件都代数化成了简单的式子，而他们就是题目的全部信息了。要求椭圆的标准方程，也就是要求出 a 和 b 的 值。观察这些式子，你来想想，如何才能求出 a 和 b 呢？ 你看啊，这仨式子可以看成关于 a、 b、 n 的 方程，刚好是三个方程，三个未知数， 那把它们组合在一起，我们想要的 a 跟 b 自然也就算出来了。所以，这最后一步就是解方程组。解这个方程组的第一步，当然还是先消元，不过在这里消元的顺序有好几种。 先说一种最自然的吧，只要把二代入三，就能把 n 消去。得到这样一个式子， 整理一下，然后划掉上下的 b 方，变成了 a 方分之二，加上 a 方分之二等于一，也就是 a 方分之四等于一， 显然 a 方就等于四，然后就能顺藤摸瓜带回到一式了，求出 b 方的值等于二。 既然 a 方和 b 方都好了，那就不用再求 a、 b 了吧，把它们直接带回去，四分之 x 方加上二分之外方等于一就是椭圆的方程了。 怎么样处理代数确实比处理几何简单多了吧？哇！当然，除了这种消圆的方法，也可以把一式变个形，然后带入后边两个式子，消掉 a 或 b 之后再消 n， 同样也可以把 a 方和 b 方给解出来。过程放在这里，感兴趣的小伙伴暂停看一看。 好了，题目做出来了。最后总结一下，遇到这种条件特别多的问题是，如果不知道从哪里下手，可以先把每一个条件都代数化，然后对着要求的参数寻找解题的突破口。 当然了，除了椭圆之外，遇到其他的解析几何问题，同样可以用这种分析方法，以不变应万变。好了，这个视频就到这里，赶紧做个后边的题型巩固一下吧，拜拜！ 在椭圆的世界里，有一个重要的概念就是离心率 e， 它等于 a 分 之 c， 取值范围是零到一的开区间。 虽然离心率看上去简单，但他却备受数学家们的青睐，这是为什么呢？因为啊，离心率是一个很有内涵的概念。从几何上看，离心率描述了椭圆的扁平程度。 离心率相同的椭圆，虽然个头可能不一样，但是他的胖瘦程度也就是扁平程度完全一样。 从代数上看呢，离心力 e 等于 c 和 a 的 比值。那换句话说，只要知道了 c 和 a， 就 可以求出来离心率了。 其实，即使不知道 c 和 a 的 具体值，只要能求出来 c 比 a， 也能求出来离心率。听着是不是有点费解，不知道 c 和 a 的 具体值，也能求出来 c 比 a 吗？ 咱们来看个例子，这有一个苗条的椭圆，已知 a 等于二， b 等于一，求它的离心力 e。 那 你来动手算算 答案，选 b 这么简单的题，肯定难不住你。根据 a 方等于 b 方加 c 方，就可以求出来 c 等于根号三，所以 e 就 等于 a 分 之， c 等于二分之根三。 那现在把题目稍微变一下，把这个条件改为 a 等于二 b， 那 离心率又是多少呢？还是二分之根三吗？ 你瞧，只有 a 等于二 b， 就 没法求出 a 和 c 的 具体值了吧。但是离心率依然可以算出来，只要沿用同样的办法就可以。首先求 c， c 等于根号下 a 方减 b 方， 然后把 a 换成二 b， 就 可以算出来 c 等于根号三 b， 所以 e 等于 a 分 之， c 就 等于二 b 分 之根号三 b， b 被约掉之后， e 还是二分之根三。 你看这道题，就是不知道 a 和 c， 但是依然能求出来 e。 从几何上理解，所谓 a 等于二， b 就是 椭圆的长轴始终是短轴的两倍， 所以虽然椭圆的大小可以变，但是它的扁平程度始终不变，因此离心率 e 是 确定的。 从代数上理解呢， a 等于二， b 就是 a 和 b 的 比值确定，那再根据 c 方等于 a 方减 b 方，就可以算出来 c 和 a 的 比了，当然也能确定下来离心率。 照这么看，求离心率的关键就是把条件转化为 c 和 a 的 比。那下面咱们就来看两道有点难度的考试真题，研究一下在复杂的条件下如何找到 c 和 a 的 比值。 这道题要求离心率 e， 那 目标就是求 c 比 a。 为此，只要把所有的几何条件都代数化，转化成 abc 的 式子就好。反正 b 是 可以用 a 和 c 表示的嘛。 那咱们边读题边在图上标注第一个几何条件， f 是 右焦点，那坐标就是 c 零， 然后 b 是 上顶点，那坐标就是零 b 继续 b f 的 延长线交椭圆于点 d， 且 b f 等于二倍的 f d。 哎，这是一个挺复杂的条件，他包含了两个几何信息。首先 d 得在椭圆上，所以 d 的 坐标就满足椭圆方程。我们设 d 点的坐标为 m n， 那 就有 a 方分之 m 方，加上 b 方分之 n 方等于一。 不过这里的 m n 还没用 abc 表示出来，那先把它放一边，再看看最后一个几何信息， b f、 d 贡献，并且 b、 f 等于二倍的 f d。 你 觉得这个条件该怎么用代数表示呢？ 这种在一条直线上知道几比几的条件啊，可以用向量来处理，就是 b、 f 向量等于二倍的 f， d 向量。 根据这三个点的坐标， b、 f 向量就等于 c 负 b， 而 f、 d 向量呢，等于 m 减 c， n， 于是 c 负 b 就 等于二 m 减二 c 二 n 让横纵坐标分别相等，就可以求出来 m n 了， m 算出来等于二分之三， c n 等于负的二分之 b。 现在 m n 也用 b c 表示出来了，那带入这个式子，再整理一下，哎， b 正好消掉了，只剩下了 a 和 c， 那 再整理一下，开个根号就得到了 a 分 之 c 等于三分之根三 cba 就 这么算出来了，它就是离心率。回顾解析过程，不难发现，解决问题的突破口，还是之前说过的，把所有的几何条件都转化为式子，在这里就是关于 abc 的 式子。 然后啊，离解出 cba 也就不远了。可是啊，并不是每一次都能转化出这么简单直白的关系式。 下边这道题将会给你展示一类特殊的式子，通过这类式子也能求出来 cba， 但是需要你学会一个特殊的技巧，而这类式子又经常出现，那咱们来看看到底是什么吧。 读题已知条件很简单， f、 a、 b 是 三个特殊的点，那直接就能写出来，坐标， c 零负 a 零零 b 三角形 a， b， f 是 一个直角三角形， 那只能是 a， b 垂直于 b f。 那 这个条件该怎么代数化呢？ 方法有很多，咱们还是选择最简洁的向量法， ab 向量等于 ab， b， f 向量等于 c 负 b， 它俩垂直就是数量积为零，那写成方程就是 a， c 减去 b 方等于零。 既然要求 c 比 a， 这个 b 就是 多余的，那就把 b 方换成 a 方减 c 方呗。得到 a 方减去 a， c 减 c 方等于零。嗯， 看这个式子，也不觉得它跟 c 比 a 有 什么关系，那应该怎么办呢？ 解决问题的思路啊，还是要从最初的 e 等于 a 分 之 c 里找。把这两个式子放在一起， 要求的是 e， 那 就消掉 a 和 c 呗。先把二式看作 c 等于 a， e， 再再回到一式中， c 就 先消掉了。得到这么一个式子 来，瞪大眼睛仔细看，你发现了什么？没错，每一项都含有 a 方， 显然这里 a 不 能等于零，那就可以把所有的 a 都消掉，很神奇吧！现在就只剩 e 了解下二次方程， e 就 等于二分之负一加减根五，那么椭圆的离心率是多少呢？ 答案，选 c。 别忘了，椭圆的离心率是属于零到一的开区间的，所以二分之负一减根五显然是不对的。检验一下，二分之负一加根五是在这个范围内的，所以本题的答案就是它了。 做完题，咱们来重新看一下这个式子， a 方减 a， c 减 c 方等于零，它就是我们之前提到的能求出 c 比 a 的 特殊的式子。特殊之处就在于它的各项次数都是二， 每一项次数都相同的式子又叫其次式。通过这个其次式，其实我们可以直接得到。 cba 来看我秀一波操作，在等式的两边同时除以 a 方， 整理一下，这就是一个关于 a 分 之 c 的 方程了。而 a 分 之 c 又等于 e， 那 这就是一个关于离心率 e 的 方程了吧。在其次的方程里啊，想求 a 分 之 c， 只要除以 a 的 最高次方就可以了。 再举个例子，比如这样，你自己来暂停看一下吧。 最后总结一下，求椭圆的离心率其实就是在求 c 和 a 的 比， 如果没法求出来 a 和 c 的 具体值，那就要先把条件都用 abc 给表示出来，然后结合 c 方等于 a 方减 b 方，整理出 a 和 c 之间的关系式， 通过它求出 a 分 之 c 就是 离心率了。好了，这个视频就到这里，拜拜。
38:27查看AI文稿AI文稿请注意，本视频共计三十八分钟，主要讲解的是高中数学圆锥曲线与方程，指椭圆的标准方程。自用版仅分享，如有侵权可联系下架视频 这个视频我们要从公元前四世纪的古希腊开始说起，那是风和日丽的一天， 数学家梅内克缪斯的好朋友们来到爱钱海边给他过生日，为了庆祝梅老板三十大寿，朋友们很用心的准备了一个圆锥体的生日蛋糕。 看到这么数学的一个蛋糕，煤老板满心欢喜，欣喜之余啊，问题来了，怎么分这个蛋糕呢？如果就这么等分，实在是没有创意，岂不是辜负了朋友们的一番苦心？ 那不如我们斜着切吧！于是煤老板像这样斜着切了一刀，万万没想到，这一刀下去可不得了了，真是开天辟地一般，新世界的大门就此打开，你瞧，出现了什么？ 一个压瘪的圆？对，没错，其实啊，他的学名叫做椭圆， 切圆锥能切出椭圆。这下数学家们可坐不住了，纷纷对着蛋糕虔诚叩拜，感谢神的眷顾，让我们发现了这一神奇的现象。煤老板看到一脸不屑，跟神有个屁关系啊，还不是老子发现的！ 一向冷静严谨的煤老板隐隐感觉事情并没有这么简单，于是把刀再倾斜了一点，让刀面跟圆锥侧面的母线平行， 然后又切了一刀。万万没想到，这一刀下去又不得了了，你瞧，这回出现了什么？一条不封闭的曲线， 瞧这形状，有点像二次函数的抛物线啊！没错，他的确就是抛物线，神奇不神奇？ 哎，等等，虽然咱们现在知道他叫抛物线，可是两千多年前的煤老板可没法把他和抛东西的轨迹联系在一起。不过啊，他坚信这条曲线一定是一条不平凡的曲线， 一不做二不休。最后啊，煤老板把刀竖直了过来，再次切了下去。于是，又一条曲线映入眼帘。他乍一看很像刚才的抛物线，不过仔细观察之后，总觉得有点区别。至于这具体区别在哪，煤老板也说不清楚。 这个问题啊，最终还是被后人发现的。到底什么区别呢？最直观的区分方法就是再找一个一模一样的圆锥， 先把它们尖对尖的固定好，这时你再用刚才这两种切法切这一组圆锥，就会发现形成的两组曲线截然不同。 后一种切法中上下出现了两条曲线，而且这两条曲线看起来是相同的，对称的待在那里，所以此后人们给他取名为双曲线。 双曲线这个初衷不是学过吗？其实啊，咱们原来学的反比例函数图像的双曲线，也是可以通过切圆锥切出来的。 不过，反比例函数并不能表示出所有的双曲线。今天我们切出来的双曲线是更宏观的双曲线，他们的具体区别今天我们先不讲，以后再慢慢研究。 再说说切出来的另一种曲线。抛物线，因为它的结面是平行于母线的，所以只有可能跟一个圆锥相交，与另一个圆锥永远不可能有交点，因此抛物线只有一只。 因为椭圆双曲线、抛物线这三种曲线都是切圆锥切出来的，所以啊，数学家们干脆给他们起名为圆锥曲线。 好吧，我承认，切蛋糕的故事是我编的，公元前四世纪怎么会有蛋糕吗？不过啊，确实是没内克米尔斯本尊通过切圆锥发现的圆锥曲线。 听完我刚编的故事，下面咱们来上一节手工课，跟我拿起刀，亲手切一切圆锥，咱们来最直观的感受一下圆锥曲线到底是怎么切出来的。 这个就是我们已经做好的圆锥。首先我们要让刀面稍微倾斜，看看切完的界面是什么样子。 哎，果然出现的是一个椭圆，跟我们预想的完全一样。下面我们让刀面继续倾斜，直到和圆锥侧面的母线平行，这时我们再切下去， 洁面的轮廓就是一条抛物线，如果我们让刀面更加倾斜一点，这时再切下去，出现的曲线跟抛物线很像，但是他已经不是抛物线了，而是双曲线的一支。 继续倾斜刀面的话，直到竖直方向切出来的曲线都是双曲线， 总之就是以母线方向为分界，刀面与母线平行就是抛物线，比这个更平就是椭圆，比这个更陡就是双曲线。 这说到圆锥曲线啊，一个不得不提的数学家就是阿波罗尼奥斯，这个名字你可能不太熟悉，这里我必须得隆重介绍一下，他在数学上的地位可是跟大名鼎鼎的欧几里德平起平坐的。 这么说吧，这哥们在两千多年前就把圆锥曲线的几何性质一丁点都不剩的全给总结出来了，以至于到今天几乎都没有人能插得上嘴。 这么看来，说他跟欧吉里德平起平坐一点都不过分吧。其实啊，圆锥曲线不仅能帮我们解决数学问题，它的作用可大着呢。 天文学家们发现这些美妙的圆锥曲线还是宇宙中行星运动的轨迹，比如地球绕着太阳转，月球绕着地球转，它们的轨迹都是椭圆。 还有一些星体可能每过一段时间我们就能观测到一次，比如哈雷彗星，它的运动轨迹就是一个围绕太阳转的椭圆。 而还有的星体啊，可能从无穷远处运动过来，由于太阳对他的引力，使他达到了近日点，但是呢，这个引力不够强，离开了近日点之后又回到了无穷远处。这种运动轨迹就是双曲线的一支或者是抛物线。 更神奇的是，随着坐标大师迪卡尔创立解析集合，人们发现把圆锥曲线放进坐标系之后，可以用一个二元二次方程完美的表示，并且还出现了很多令人瞠目结舌的袋鼠性质。 那这些集几何与代数于一身，横跨数学与天文学的圆锥曲线到底蕴涵着哪些特殊的性质呢？它和方程又是如何碰撞出火花的呢？就让我们一起来进入这全新的一张圆锥曲线吧！ 啊， 这个视频咱们就来正儿八经的认识一下椭圆这个图形。一个首要问题就是椭圆到底是什么？换成官方语言就是椭圆的定义是啥？ 毕竟只有有了确切的定义才能深入的研究嘛。那你觉得应该怎么定义椭圆呢？一个压扁的圆， 压扁这种不精确的词作为定义肯定是不行的。为了回答这个关键问题，下面我给你演示一个重要技能，如何画出一个标准的椭圆。 椭圆的定义就隐藏在这个技能中，一定要仔细看，怎么才能画出一个标准的椭圆呢？可不是你们这种随手画出来的山寨椭圆啊，得是非常正规的标准的椭圆。 其实前面饭团已经说出来了，重点就是要找到两个固定的点，除此之外呢，还需要借助一根绳子和一根水彩笔。下面我们就来具体演示一下， 回放一下，大家再看一遍， 是不是感觉特神奇？不过隐藏在这个画法中的椭圆的定义到底是什么呢？我们可以通过动画来分析一下。这是两个定点，上面绑了一根固定长的绳子， 笔尖始终把绳绷直，运动一圈，它的轨迹就是一个椭圆， 换句话说，是笔尖画出来的无数多个点构成了椭圆。那我们就得搞清楚这些点都满足什么样的共同特征，不妨任选其中的两个点，你来思考一下。 答案，选 b。 因为运动的过程中，笔尖始终把绳子绷直，所以点 p 到 f 一 f 二的距离的和， p f 一 加上 p f 二就等于绳子的长度。 同样的，如果它运动到这，它到 f 一 f 二的距离的和还是等于绳子的长度， 很明显，其他的点也一样，它们的 f 一 f 二的距离和都等于绳子的长度。也就是说啊， p f 一 加上 p f 二始终是一个定值。 其实这就是椭圆的严格定义，平面内与两个定点 f 一 f 二的距离和等于常数的点的轨迹就叫做椭圆。 而且数学家们还给这两个固定的点起了个名字，叫做焦点，两个焦点之间的距离 f 一 f 二叫做焦距。 看见这俩词，可能有一些反应快的同学已经产生了联想。实话告诉你，这儿的焦点和你们初中故里里面的其实是一回事，后边会有一个专门的科普视频给大家介绍。 那说回定义，我们发现这还有一个不起眼的小括号，刚说了 f 一 f 二的距离是焦距， 所以这明显是一个限制条件，意思是与两个定点的距离的和必须得大于焦距，只有满足这个条件才是椭圆，这是为什么呢？ 换句话说，当小于焦距或者等于焦距时，就不是椭圆了，那又是为什么呢？你先来自己思考一下。 首先，如果点 p 到 f 一 f 二的距离的和比 f 一 f 二这段还短，这个根本不可能嘛。 如果等于 f 一 f 二呢？那点屁只能在这条线段上，只要跑到线段外边，等号就不成立了。比如，这就两边和大于第三边。再比如，这你瞧，又多出来一段。 所以啊，相等的情况只能在线段上总结一下。椭圆的定义有两个关键概念，一个是两个定点的距离和要等于长数，另一个是这个长数必须大于焦距，这两者缺一不可。 刚才我们一直是从理论上来认识椭圆，多少还是有些抽象，下面我们来多看一些例子，看看取不同的焦距和距离和画出来的椭圆都是什么样的。 比如，当焦距等于四，距离和等于六，也就是 f 一 f 二的距离和是六，画出来是这样的。 如果焦距不变，把距离和改成十，画出来就是这样的。再或者，让焦距也变大，等于九，距离和还是十，画出来的椭圆就是这样的， 是不是对椭圆更有感觉了？好了，全方位的搞清楚椭圆的定义，你来做一个小练习巩固一下。 答案是 d。 选 a 的 同学肯定是看到了两个定点，还有一个动点到它们的距离和等于常数，马上就选了椭圆。 但我们刚才强调过什么呀，要构成椭圆，必须得满足距离和大于焦距。画一个草图看一下，焦距等于八，跟距离的和相等，所以肯定不是椭圆点。 m 的 轨迹应该是 f 一 f 二这条线段， 那如果把题稍微改一下，变成 m f 一 加 m f 二等于十，现在距离和就大于焦距了，所以 m 的 轨迹就是一个椭圆。因此啊，如果碰到椭圆的定义，一定别忘了这个前提条件。 好了，又到了最后的总结时刻，这个视频我们介绍了椭圆的定义，最核心的概念就是两个定点的距离和必须等于常数，当然，别忘了这个常数还必须得大于焦距。 下个视频我们将会介绍一些关于椭圆的非常有意思的知识，比如，你知道椭圆和西西里岛的囚犯有什么关系吗？又和古希腊的歌剧院有什么关系呢？赶紧来点开下个视频吧，这个视频就到这里，拜拜。 大家好，欢迎回来上个视频，我们正式认识了椭圆，还记得它的定义是什么？ 平面上到两个定点的距离的和等于定长的，这些点的轨迹就是椭圆， 这两个点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，这点别忘了还需要满足距离和大于焦距。 不过啊，光从定义来认识椭圆，感觉还是比较枯燥和单一。所以今天这个视频咱们就来介绍一些关于椭圆的非常好玩的事，一方面拓展一下课外知识，另一方面通过这些有趣的事加深对椭圆的理解。 首先，我们在这张最开始那个切圆锥的视频里边提到过，太阳系所有行星运动的轨迹全都是椭圆。其实啊，这就是著名的开普勒第一定律， 所有的行星在围绕一个大质量的物体，比如太阳的引力作用下就会围绕它。以椭圆的一个焦点上， 就以火星为例吧，除了太阳之外，在遥远的某一处还存在另一个焦点。在运动的过程中，火星始终到这两个焦点的距离和等于常数。 当他运动到离太阳最近的地方时，叫做近日点，离太阳最远的地方时叫做远日点。但是啊，因为这两个焦点离得相对比较近，椭圆看起来并不是那么的扁，更近似像一个圆的轨道， 所以在近日点的时候并不会被烤焦，远日点的时候也不会被冻成冰块。 不仅如此，开普勒定律也适用于人造卫星，所有的人造卫星也都围绕着地球，以椭圆轨道运行，地球也是位于椭圆的一个焦点上。 那为什么这些天体运动的轨迹都是椭圆呢？这个啊，跟万有引力定律有关，感兴趣的同学可以自己下去查查资料，或者问问你们的物理老师。 除了形形轨迹，椭圆还有一个有意思的物理性质，简单来说，就是从椭圆的一个焦点发出来的所有的光或者声波经过椭圆反射之后，都会汇聚到椭圆的另一个焦点上， 比如这样这样或者这样。所以啊，我估计，焦点和焦距这俩名字，八成就是根据物理的光学性质取的。 可能有人想说，这有什么意思，哎，你可千万别小瞧这些物理性质，他背后的奇闻异事可多了去了。 相传啊，在几百年前，西西里岛的统治者曾经利用这个原理设计了一座坨球形的岩洞，监狱，犯人和看守者分别在坨圆的两个焦点上， 这样一来，犯人说任何话，看守的人都能听得清清楚楚。所以啊，你根本甭想搞什么密谋了。 除此之外，在古希腊也曾有过这种结构的歌剧院，会安排歌手在椭圆的一个焦点处演唱，最神的是最贵的座位啊，并不是在靠近歌手演唱的地方，你猜他在哪？ 答案是 b， 就是 在椭圆的另一个焦点处，因为这儿的音乐效果才是最好的。咱先不管这些故事是真是假，就椭圆的这种特殊的物理性质，确实是千真万确的。 好了，各种花边的故事都讲完了，最后总结一下，通过连续的两个视频，我们从各个角度认识了椭圆。 不过，光知道椭圆的概念，只是在几何直观上有了认识。想要进一步研究一些其他的问题，比如说，为什么有的椭圆扁一点，有的椭圆圆一点， 它是不是一个轴对称的图形，椭圆的面积能算出来吗？等等等等。解决这些问题啊，单靠几何手段可就比较困难了。所以，下个视频我们就要把几何问题代数化， 首先就要建立椭圆的方程，一起期待吧！今天先到这，拜拜。 hello， 大家好，上个视频说过，想三百六十度全方位的研究椭圆，最朴实的方法就是把椭圆代数化，也就是建立椭圆的方程。 可是怎么操作呢？嗯，回想一下圆的方程是怎么建立的？首先把圆放进坐标系里，然后设出圆上任意一点的坐标， 根据圆的定义列出方程化，简得到答案。所以今天我们就按照相同的思路来推导椭圆的方程。首先要把椭圆放在坐标系里， 放哪呢？理论上放哪都行，但是回想一下圆的方程，圆心在圆点和圆心不在圆点，明显前面的方程更简单。 所以为了更容易研究椭圆的性质，建议把椭圆放在最特殊的位置，比如把它的两个焦点放在 x 轴上，并且关于圆点对称，接下来还不能连方程，求圆的方程时，得先射出圆心和半径， 因为确定了圆心和半径，圆才能确定下来。而对于椭圆，要确定了焦距，以及椭圆上一点到焦点的距离和椭圆才能确定下来。所以需要先设出这两个关键的参数。 设椭圆的焦距是二 c， c 大 于零，那么两个焦点的坐标就是负 c 零。再设椭圆上任意点 m 与两个焦点的距离和等于二 a。 肯定有人要问，为什么用 a 和 c 呢？嗯，国际惯例，不要在意这些细节，重点是你觉得 a 和 c 有 大小关系吗？ 选 a， 椭圆必须满足距离和大于焦距，也就是二 a 大 于二 c， 所以 a 是 大于 c 的， 这点很关键，一定要记住， 条件都准备好了，下面就可以把椭圆的定义代数化了，设点 m 的 坐标是 x y， 根据椭圆的定义， m 满足 m f 一 加 m f 二等于二 a， 那 m f 一 和 m f 二又是什么呢？ 答案，选 a 正负号不要搞错了，把它们俩带入刚才的式子。关于椭圆的方程就列好了。 如果我告诉大家这就是椭圆的方程了，你们肯定想打死我，这也太复杂了吧！没错，还得继续化简。 接下来你会欣赏到很多秀计算功底的操作，而且一旦化简完，结果特别爽。 我们会得到一个非常对称非常简洁的方程，差不多是 x 平方除以一个数，加上 y 平方除以一个数等于一。这种形式强烈建议大家跟着我认真化简一下，对你们以后化简解答题也很有好处。 下面就来化简吧。第一步，你打算怎么做呢？ 选 a 的 同学，直接平方得到的是这个， 不用计算，看看都能吓死你了。之所以会这样，是因为原式中最复杂的就是两个根号直接平方，两个根号乘到一起，简直像两个魔王合体。所以啊，要对付他们，更简单的方法是逐个击破。 啥意思呢？就是先移向外平方，比如把这个根式移到右边，变成这样，再平方得到这个式子。 嗯，只有一个根号，起码比刚才那个好一点，可还是很可怕呀，哎，不怕，仔细看看，把根号外的括号都打开，好多项能抵消，剩下的可以合并 再除以四，最终得到这么一个乖宝宝。现在只剩下一个根号了，那就再平放一次呗。方程展开整理一下，先把能抵消的都干掉， 再把 x 放在一起， y 放在一起，其他的放在右边，就是这样。 按说这个式子已经很难化简了，不过数学家们眼光异于常人，他们敏睿的发现，左右两边可以同时除以 a 方乘以 a 方减 c 方 一分，之后化简成这样。都这样了，应该不能化简了吧？你要是这么想啊，就太小看数学家了，他们可是有对称强迫症的。你看别的，都是 x 方、 y 方 a 方之类的，这儿却是 a 方减 c 方，这能忍吗？ 可是，就算不能忍， a 方减 c 方，只能变成 a 加 c 乘以 a 减 c， 变不成平方呀。 嘿嘿，你还是太年轻了，之前说过 a 大 于 c， 所以 a 方减 c 方大于零。既然是正的，那直接令 a 方减 c 方等于 b 方不就行了吗？ 怎么样？没想到还能这么玩吧。不过要说明两点，第一，因为 a 和 c 都是正的，为了保证字母和谐，规定 b 也是正的，而且很容易发现 a 是 大于 b 的， 因为 b 方等于 a 方减 c 方嘛。 第二，虽然这个 b 看似是人为规定的，但它也有几何意义，这一点在以后你就知道了。 于是，现在得到了一个更简洁、更对称的方程，也就是视频一开始跟大家介绍的形式。这啊，就是椭圆的方程了，同时它只能表示中心在圆点。关于坐标轴对称的椭圆，所以它有叫做椭圆的标准方程。 比如十六分之 x 方加九分之外方等于一五分之 x 方加上四分之外方等于一，这些都是椭圆的标准方程。 当然，这里还要跟大家强调，方程里的两个参数 ab 是 有限制的，也就是 a 大 于 b 大 于零，这点非常重要。知道了这个，当我们拿到一个椭圆方程，马上就能分辨出谁是 a 方，谁是 b 方。 比如这个椭圆，你觉得 a 方和 b 方分别等于几呢？答案，选 a， a 方大于 b 方，我们就不具体说了。 好啦，视频快结束了，总结一下，今天我们根据椭圆的定义建立了它的标准方程， 椭圆的焦距二 c 和到焦点的距离二 a 共同决定了它的标准方程。所以，焦点在 x 轴上的椭圆，它的标准方程就是这样，其中 b 方等于 a 方减 c 方。 不过除此之外，还有交点在 y 轴上的像这种竖直的椭圆，它的方程也是 a 方分至 x 方加上 b 方分至 y 方等于一吗？哎，这些内容我们下个视频再跟大家介绍，今天先到这里，拜拜， 欢迎回来。上个视频，我们根据定义，建立了焦点在 x 轴的椭圆的标准方长，椭圆的焦距二 c 和到焦点的距离二 a 共同决定了它的方长。 但为了让式子更对称、更美观，我们引入了新的参数， b 设 b 方等于 a 方减 c 方，于是就得到了这个形式。 不过，上个视频的结尾还留了一个疑问，如果把椭圆竖着放交点放在 y 轴上，它的方程也是 a 方分至 x 方加上 b 方分至外方等于一吗？你思考的结果是什么呢？ 答案，选 b。 并不是。就算是相同的图形，只要它在坐标轴中的位置不同，方程肯定就不一样。最简单的例子就是直线长得都一样吧，但位置不同方程千差万别。 所以啊，我们需要重新建立焦点在外轴的椭圆的方程。一听这个，好多同学又浑身瘫软，感觉有万里长征要走。 不要慌，有了焦点在 x 轴的作铺垫，焦点在外轴的套路一模一样，总共还是那几步，把椭圆放进坐标系里，设出椭圆上的一个点，根据定义列方程，最后化简得到答案。 好啦，首先还是设椭圆的焦距是二 c， 不 过要注意，这次两个焦点的坐标可就是零负 c 和零 c 了。 在设椭圆上任意一个点， m 与两个焦点的距离和等于二 a， 同样的，需要满足距离和大于焦距，也就是 a 大 于 c。 条件准备好，接下来把椭圆的定义代数化，根据定义 m 满足 m f 一 加 m， f 二等于二 a。 你 自己来列方程吧， 答案选 b。 因为焦点在外轴，所以是 y 加 c 和 y 减 c， 千万别搞错了。 方程列好了，下面肯定又是各种秀操作的化简，但因为这个式子和我们上一节碰到的结构相同，化简技巧也完全一样，所以这里我们就不再重复。过程放在这，大家可以暂停看一下， 不过强烈建议自己先算一遍，对你们计算功率的飞升非常有好处。总之，一通操作之后，最终得到下面这个式子。 接下来还是令 a 方减 c 方等于 b 方，于是我们就得到了焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程 是 b 方分之 x 方加上 a 方分之外方等于一。当然，这里肯定还要满足 a 大 于 b 大 于零，并且 b 方等于 a 方减 c 方， 把它和焦点在 x 轴的方程放在一起对比一下，发现它们俩其实就是把 x 和 y 掉了个盖，本身是 a 方分至 x 方，加上 b 方分至外方，现在变成 b 方分至 x 方和 a 方分至外方，是不是感觉很神奇？ 其实这绝非偶然，也不是我们化简过程中用了什么魔法，对比一下最初根据定义列的两个方程，发现只要把前面这个方程里的 x 和 y 颠倒一下，就和第二个方程一模一样， 所以化简结果完全一样也就不足为奇了。或者还有另一种特别神奇的理解方法，看图，从焦点在 x 轴到焦点在外轴，就是逆时针旋转了九十度，对吧？ 怎么样才能知道逆时针旋转九十度后的方程呢？可以这样把椭圆连坐标轴一起逆时针旋转九十度，此时椭圆在这个坐标系中的方程还是 a 方分之 x 方加上 b 方分之 y 方等于一， 这个很好理解。你把头歪过来看，椭圆和坐标轴的位置都没变，所以方程肯定也没变。然后把旋转后的 x 轴变为 y 轴，所以方程里的 x 要变成 y， 接着把 y 轴变成 x 轴，但是方向要反过来，所以方程中的 y 变成负 x， 整理一下就得到右边的式子了。所以说，如果两个标准方程只是把 x 和 y 下方的系数颠倒了一下，就代表它们是形状相同的椭圆，只是焦点在不同的坐标轴而已，比如这两个椭圆，对吧？ 但是现在还有一个问题，就是这两个方程长得实在太像了，到底怎么区分哪个的焦点在 x 轴，哪个的焦点在 y 轴呢？ 来，我们可以结合图形理解一下。焦点在 x 轴的椭圆方程是这个 a 方的头上是 x 方，焦点在外轴的椭圆方程是这个 a 方的，头上是外方。发现了没有， a 方的头上是谁，焦点就在哪个轴上。 有了这个结论可太方便了，只要拿到一个方程，马上就能判断出焦点在哪个轴上。 比如说，十二分之 x 方加上十六分之外方等于一。首先看这两个系数谁是 a 方，因为 a 方大于 b 方，所以明显 a 方等于十六， b 方等于十二。 接下来 a 方的头上是谁，焦点就在哪个轴上，这里是 y， 所以 焦点在 y 轴上，就像这样。那你自己判断一下这个椭圆的焦点在 y 轴上，就像这样。那你自己判断一下这个椭圆的焦点在 y 轴上，就像这样。那你自己判断一下这个椭圆的焦点在 y 轴。 答案选 a。 你 看这个椭圆方程加外方相当于加一分之外方。分母上的两个系数分别是五和一，所以 a 方等于五，它的头上是 x 方，所以焦点在 x 轴， 而且还能算出焦点坐标。 x 轴上的焦点是负 c 零和 c 零，现在需要算出 c， 想到怎么算了吗？ 就是利用系数 abc 之间的关系，在建立方程的时候，我们设 b 方等于 a 方减 c 方一项，就能得到 c 方等于 a 方减 b 方 a 方 b 方一目了然，所以 c 方等于四，很容易解出 c 等于二， 于是焦点坐标就应该是负二零和二零。通过这个例子，我们学会了如何根据一个椭圆的标准方程算出它的焦点坐标。 第一步，先判断焦点在哪个轴上，这个很简单， a 方的头上是谁，焦点就在哪个轴上。接下来计算焦点的具体坐标，关键要利用 c 方等于 a 方减 b 方，根据这个方法，你自己来巩固一下吧。 答案，选 d。 很 明显， a 方等于二十， b 方等于十二， a 方的头上是 y， 所以 焦点在 y 轴上，那么坐标应该是零负 c 和零 c。 接下来根据 c 方等于 a 方减 b 方，算出 c 方等于八，不过别忘了要开方 c 应该等于二倍根号二，所以焦点坐标是零负二倍根号二和零二倍根号二。 视频的最后我们来总结一下，通过连续两个视频，我们分别建立了焦点在 x 轴和焦点在外轴的椭圆的标准方程， 并且学会了如何根据方程求出椭圆的焦点坐标，不熟悉的同学可以再复习一下。 最后要告诉大家的是，这两个之所以叫标准方程，是因为将椭圆放在了最特殊的位置，如果放在其他地方， 椭圆的方程还有别的形式，比如这样的，还有这样的，不过这些高中阶段不做考察，感兴趣的同学可以自己下去了解一下，今天先到这里，拜拜！