遵义市初三数学中考二次函数应用题题
欢迎来到中考数学路路通，今天我们来搞定二次函数综合应用。二次函数的综合应用是中考的热门考点，常见的有利润最大化问题和抛物线桥问题。 先看利润最大化问题，某商品进价每件十元，售价每件 x 元，每天可卖出五十减二 x， 即 x 减十乘五十减二 x 展开整理的 y 等于负二， x 平方加七零， x 减五百。这是一个开口向下的抛物线顶点处取得最大值， 用公式 x 等于负 b 除以二， a 等于负七十，除以负四等于十七点五。最大利润 y 等于负二乘十七点五的平方加七十乘十七点五减五百，等于一百一十二点五元。 再看抛物线桥问题。一座抛物线型拱桥，跨度二十米，拱高四米，箭坐标系以拱桥中心为圆点，跨度方向为 x 轴顶点在零四设。抛物线为 y 等于负 x， 平方除以二十五加四。 验证 x 等于十十， y 等于负一百，除以二十五加四等于零。正确，一辆宽四米，高三米的货车能否通过？ 货车宽四米，即 x 等于负二到 x 等于二，此时 y 等于负四，除以二十五加四等于三点八四米，三点八四大于三，可以通过。 综合应用的关键是建立坐标系，写出函数关系式，然后用顶点公式求最值。
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05:35查看AI文稿AI文稿关于九年级二次函数利润的应用题，从你接触他到参加中考，那么你将至少会做不下五十遍，那你是在哪一遍才真正彻底弄懂呢？其实就两个问题，第一，对于含餐应用题，学生普遍束手无策。第二，应用题的计算还是一个难点，今天老师一次性给你讲透这个含餐问题，而且还教会你计算的技巧。 我们看这个利润应用题，首先题目说每一件的进价，然后规定单件的利润不低于十， 不高于三十一，然后后面就是正常的啊，如果定价四十，每天可卖五十件，每上涨一元，少卖十件。 x 是 什么？圈出来单价啊，一定要明白 x， 然后 y 为销售量啊。现在第一问，写关系式以及自变量的取之范围。好，我们看第一个 x 为售价，其中说的这个利润，那就是售价减进价，这是利润，利润不低于十，不高于三十一，所以这个 x 将会在四十和六十一之间，然后销售量，销售量就是 根据这个啊，四十的情况，每天卖出五百件，然后每上涨一元，少卖十件，那就是在五百的基础上，每上涨一元，少卖十件，上涨了多少元呢？那就是上涨的 x 减四十元，相对比四十来说，上涨的 x 减四十，那就对应的有十个 x 减四十。 化简一下。好，这个就是第一问，第二问，定价 x 为多少的时候，利润可以得到八千九百六十，那我们就写这个利润啊，总利润我们用的是指都是单件的利润 乘以销售量，那单件赚多少钱，那就是 x 减三十，销售量是 y， 直接用就可以了，等于利润八千九百六，我们计算一下，这个是指化减。 好，那这个这个方程怎么算？对于一元二次方程，我们解法有三种，那我们优先考虑，解的时候优先考虑因式分解， 因此分解你的十字相乘优先考虑啊，你不要考，做的时候还要犹豫一下，然后因此分解，不好做的情况下，我们考虑配方法，如果配方法的数字有分数也不好做的情况下，我们才会最后考虑公式法。 那么对于这一个解方程，首先因此分解，我们发现三千五百九十六很难分解，也很难尝试出来，所以我们可以采用配方。这道题配方看着比较简单啊，因为这个前面系数比较简单啊，等于负的三千五百九十六。然后配方那就要求 对称完全平方，那就是 x 平方减二， ab 二 x y 加 y 的 平方系数除以二，再平方就是后面的数字除以二为六十六十的平方 三千六，左边和右边都加三千六，所以是 x 减六十，括号平方等于四，于是开根号就很好了，一个是五十八，一个是六十二，每一次算完，一定要实际问题带入啊，考虑实际情况，这个实际情况我们是有范围的啊， x 是 四十到六十一，所以这一个要舍去， 舍去，所以做个答，或者写个总结，写个所以啊，写个总结，所以这就是第二问好，第三问，第三问就有这个参数 a， 很多同学就不太会啊，我们来写，照样的，我们先写一下利润的解析式， 决定是每卖出去一件就会捐赠 a 元，那还是这个仍然是单件利润乘以销售量，那一件赚多少钱呢？ x 减三十的基础上还要捐出去 a 元，销售量仍然是 y 加九百。 题目说在这种情况下获得的最大利润是八千一百二十，那也就是说我们要求的是什么？求的是这个 w 的 最大， 要求这个利润的最大。好，那么一般情况下，我们怎么求最大啊？一般情况下我们怎么求最大？我们是要把这个市值化减，化减之后，当 x 等于负二， a 分 之 b 的 时候，因为它是开口向下啊， 二次项的系数二次项的系数是负十，它开口向下，所以当 x 等于负微分之 b 的 时候， 我们利润达到最大啊。那么对于这个展开，就是现在这个问题。首先第一个，这个展开不好写，因为是三项乘以两项不好写啊。所以呢，我们怎么来求这个此时的对称轴负微分之 b 啊？那么我们可以这样子来写， x 减三十减 a 负十， x 加九百，我们可以直接，我们可以这样子写，我们让这个值等于零来计算一下啊。这个算出来的就是与 x 轴的交点 x 一 和 x 二啊。那此时 x 一 等于三十加 a， x 二等于九十， 那对称轴是什么？对称轴此时是不就是 x 一 和 x 二的中点？中点我们有中点公式，二分之 x 一 加 x 二，就是对称轴，所以此时我们再填进去，这个对称轴就是二分之 x 一 加 x 二，就是一百二十加 a， 那 就算出来了。好，再求最大啊，因为题目中它是有范围的，我们要考虑一下，是不是要考虑一下这个最大值能不能够取到啊？题目说，因为这个 a 大 于二， a 大 于二， 所以我们可以得到什么？二分之一百二十加 a 是 大于六十一的，大于六十一，那么题目说的四十到六十一在哪里？对称轴比六十一大，那六十一在左边，这个是四十，那图像我们就只能取这部分，只能取这部分我们就可以看到他是在六十一的时候才会取到最大 啊，所以我们这个就是，所以当 x 等于六十一的时候， w 达到最大，代入进去算就行了。六十一减三十减 a， 负十乘六十一加九百，这就是最大啊，最大等于多少呢？题目说了等于八千一百二十啊，这个方程算完就是我们的结果了。
02:55查看AI文稿AI文稿二次函数实际应用轨迹问题同学们，接下来我们来看一道二次函数的实际应用，一道轨迹问题啊，也是我们常见的喷泉的问题。要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管 o a， 并在水管顶端安装一个喷水头，喷出的水的形状是一个抛物线型的，若给出水柱的高度和水平距离之间的一个表达式，那么我们来看啊，他这个表达式给的非常的有用啊，为什么呢？因为他给的是顶点式， 那么我们先把这一个图像大概再给他画出来啊，既然他考二次函数，我们必须得利用他的图像来解决一些问题啊，能够简化一些我们的计算量。那么既然有一个初试的一个喷水高度，那么我们肯定这一个喷泉的问题得这样去画他的图像。 那么这个 a 点就指的是耗物线与 y 轴的一个交点，也指的是这个喷水头的一个位置啊。那么和 x 轴的交点，比如说是点 b 吧，那么此时 o b 的 长度，它就代表的是 喷水的一个最小的距离。第一个它说水柱落地处距离池中心 o 的 距离为三米，也就是让我们求什么呀，点 b 的 横坐标呗。 这一个应该很简单，另 y 等于零就可以了，另 y 等于零我就可以得到了一个方程，大家注意一下啊，这个方程当中 x 减一括起来的平方千万别展开，我们先把三给它移项，得到一个负三等于负的 四分之三倍的 x 减一括来平方，然后呢，在两边同时乘以一个负的三分之四，那我就可以得到 x 减一括起来的平方就可以了，在这我们直接开方啊，就能得到 x 减一等于正负二，所以第一个应该是 三，第二个应该是负一，但这一个我根据图可以直接舍掉，所以点 b 的 坐标三都是零，那么喷出去的最远的距离就是三米。第二个水管 o a 的 长度，这个也比较简单，令 x 等于零就可以了，那我就可以得到， 把 x 等于零带进去就可以得到 y 就 应该等于负的四分之三加三，把它解出来就是四分之九， 二点二五米，这个也是正确的啊。那么第三个水柱到达最高点的高度是三米，那么我们来看一下啊，它给的水柱的 顶点解析式，我们很容易能读出来，它的顶点坐标应该是一到三，所以最大的高度就是三米，这个也没问题啊，所以答案应该选择的是 speed 选项。
37小Lin讲数学
01:55查看AI文稿AI文稿同学们，今天我们来学习二次函数与角度问题。第二课时，大家可以暂停几分钟看一下题目，或者尝试做一做，等会再看我的讲解。 现在我来讲讲这道题怎么解。第一步，利用特殊角度构造直角三角形。如图，点 p 是 抛物线上的一点角， b、 e、 p 等于四十五度， 由四十五度角可以联想到构造等腰直角三角形。具体怎么构造会使得解答过程更简单呢？我们不妨分析一下，这四十五度角涉及了三个点，两条线，要么做一 p 的 垂线段，要么做 b、 e 的 垂线段，哪个会更好呢？ 答案是做 e、 b 的 垂线段。原因是 e b 在 线段 d b 上，而 d、 b 是 固定不动的，也就是说，做 e、 b 的 垂线段相当于做 d、 b 的 垂线段。这样我们就构造出一个等腰直角三角形了。 第二步，利用等腰直角三角形构造一线三垂直模型，也就是分别过点 d 和点 m 做 d n 和 m h， 轴交 x 轴于点 n 和点 h， 得到两个三角形全等对应边的长度以及点的坐标。第三步，用待定系数法求直线解析式，得到 m、 d 的 解析式为 y 等于负三分之一 x 加三分之十三。 如图中的两个四十五度角，又可以得到 m d 平行于 c p， 所以 两条直线的解析式 k 值相等， 带入 c 点坐标，得到 c p 的 解析式为 y 等于负三分之一 x 加三，再连立直线 c p 和 d b 的 解析式就可以求出点 e 的 坐标了。
01:13:38查看AI文稿AI文稿不管你考几分，现在立刻停下来看亮亮的二次函数最热门八大类常考题型的总结，因为这很有可能是你考前最后一次完整复习我们二次函数题型的机会了。我们今天会从简单的图像性质到平移，以及我们选填压轴图像与系数方程不等式。 当然我们整个中考里面有一类应用题特别喜欢考，就是二次函数轨迹类的应用。那最后呢，我们会有三道压轴题，分别包括我们二次函数的含餐临界值问题，含餐区间问题、含餐定级了问题，以及我们二次函数最值问题和存在性的问题。 最常见的给出一个抛物线，对吧？哎，下的系数正确的是问什么呢？什么顶点呀，焦点呀，最值呀，增减性呀，巴拉巴拉的。那么通过图像，我们知道它是一个开口向上，并且顶点坐标呢？是三负四， 哎，这样的一个二次函数，那我们知道它的对应轴呢？很明显就是 x 等于三，对吧？好，当我们了解这一点之后呢，接下来我们就可以判断了， 好，顶点坐标是负三负四，不对，顶点坐标是三负四，所以 a 不 对。好， b 选项。说什么呢？说与 y 轴的焦点坐标是零负四。哎，我觉得这个比较容易错啊，很多人一看，哎，亮亮，哎，当然你看这后面是负四，对吧？所以肯定是零负四，那是一般式， 这是顶点式，所以你要把这个零，你把它给带进去。那我想问一下你， x 等于零的数， y 等于几呢？ 零带进去，零减三，负三平方九乘以二十八，十八减四 十四，对吧？所以也就是你与 y 轴的交点应该是零十四，而不是零负四，因此我们这个 b 选项呢，它是错的。嗯， 当 x 大 于等于三的时候，大于等于三就是在对正轴的右边了， y 数 x 增大而减小。胡说，这不是增大而增大吗？所以 c 也是错的。你会发现 唯独谁呢？ d 选项是正确的，最小值负四没有问题。为什么呢？我们这个开口向上的抛物线，所以在顶点处取得最小值，最小值呢，就是顶点纵坐标，也就是负四了，搞定。 那么函数的平移，大家记住八个字，叫做左加右减，上加下减。但是这个加减它是有一定要求的，比方说左加右减，这个加减呢，是在 x 上来进行加减的， 那么上加下减呢？这个加减是在我们表达式上面，你可以理解为整个函数的屁股上面，对吧？哎，在我们这个表达式上面 来进行加减。我们举个例子，比方说现在我们给出一个二次函数啊，就是它如何平移得到我们另外一个二次函数呢？那你会发现它是怎么变的？首先， 嗯，你这里加二了，对吧？左加右减，你只有往左移，你的 x 才会对应的加二。然后你又发现，你本来背平方的是 x 吗？ 现在背平方呢，是 x 加二，从这个 x 到 x 加二，它是不是加了两个单位？那既然你加了两个单位，左加，对吧？啊，就是往左移了两个单位，我们对应就加 好。然后加完之后，女伴在屁股上面，在外的这个表达式，屁股上面直接减二，上加下减，所以就是往左移两个单位，并且往下移两个单位，因此选哪个？因此我们选择 a 选项搞定。 其实在我们中考里面，你所遇到的有可能比这个更难，但因为我们之前跟大家讲过了所有的二三数魔鬼序号题的一个合集，所以今天我们就直接拿出一个比较具有代表性的，比方说像他了。 好，我们给出一个二三式外，对于 a x 方加 b x 加 c， 那 图像呢？如图所示。哎，你自己发现它有什么特点？好，下个结论，错误的是哪一个啊？也就是说有三个是对的，我们一个一个的判断啊。 首先第一个东西，那我们知道，嗯，开口向上，因此我们知道 a 大 于零，没有问题吧？好，接下来这个 b 怎么判断呢？那如果你知道左同右异，那就好了， 但如果你说这样的，我根本就不知道，对吧？怎么办？没关系， b 的 判断用什么呢？用对正轴。我们知道负的二 a 分 之比就是对正轴嘛，对，正轴在外轴的左边，对吧？所以也就是小于零了。好，接下来我们左右两边同时乘以二 a， 因为你 a 大 于零， 所以二 a 呢，是正的，对吧？你左边乘一个正数，右边乘一个正数，零乘以正数还是零嘛？乘以正数不变号。所以最终我们知道 b 大 于零， o， b 呢，也是大于零的。那最终 c 怎么判断呢？ 看它与外周交点，与外周交于负半周，所以我们知道 c 小 于零，因此你会发现 abc 的 乘积呢？是负的，对不对？完全正确啊， a 选项，这个是成立的，所以我们不选它。好，接下来我们再看。那 b 选项怎么去处理呢？你只要在整个函数里面遇到什么几 a 几 b 加 c 呀，那包括几 a 几 b 加 c 呀？ 啊，一般就是把 x 等于某一个数带进去，那带谁呢？带一带二带三，随便猜。不是的，我们其实一般看 b 的 系数就可以了， 你 b 前面系数是不是一，其实它指的就是 x 等于一所对应的函数值，不信你带进去 x， 一 带进去，你不就是 a 吗？一带进去不就是 b 吗？对吧？所以 a 加 b 加 c 就是 一所对应函数值，那一对应的函数值等于二吗？ 一对应的函数值，哎哎，真的等于二，对吧？那题目中你告诉你这个点坐标是一二，所以 b 选项完全正确好， c 一 样的，你看 b 前面的系数多少，是不是负一啊？所以其实它就是 x 等于负一所对应函数值，不信把负一你带进去。 好，当 x 等于负一的时候，你等于几？是不是 a， x 等于负一，你不就减 b 吗？后面加 c， 所以 它的确等于什么呢？等于负一所对应的函数值， a 减 b 加 c， 那 负一所对应函数之小于零吗？负一在哪？哦，负一在这，对吧，能不能看到这个是负一吗？ 那你这个负一所对的函数值。哒哒哒哒哒哒哒。哎，的确怎么样的哎，他的重做比较小零，所以小零怎么样也是对的啊。注意啊，我这里说的是 b 是 对的， c 是 对的，但这个要选择错误的，对吧？所以你会发现 abc 都是对的，那谁错？ d 选项一定错了， 也是，我们选的百分百是 d， 可是问题来了， d 怎么判定呢？哎嘿，你说这个 b 小 一，这咋弄？其实大家有没有这种序号题的时候， 他永远能够蹦出一个让我们摸不着头脑的，对吧？从来没有见过的，对不对？大家注意啊，你要知道，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白的。第二、三小问， 举个例子啊，你要知道，我们知道 bc 是 成立的，对吧？其实很多这种陌生的选项都可以由我们前面的正确选项来推导组合出来。比方说，孬，你想想这个东西等于几？这个东西等于二吗？哦，就是你等于二 成立的。这个东西它怎么样呢？它是小于零的，所以我们知道它是个负数，也没有问题吧？好，接下来你想想， 这里面有 a、 有 b、 有 c、 有 a、 有 b、 有 c， 而你这里面我只需要 b， 说明什么？如果我能够把这两个式子里面的 a、 c 给它消掉， 那是不是九只剩下 b 了，那怎么样消掉呢？挠你。比方把这个式子标做一式，把这个式子标做二式，一和二相减就可以了。你用一减去二，那么它等于什么呀？ 它不就是这个式子减去它吗？我的 a 跟你的 a 咔嚓是不是没了？我的 c 跟你的 c 咔嚓是不是没了？剩下你用这个正 b 减去一个负 b， 正 b 减去负 b， 其实就是二 b， 对 吧？好，那问题来了，嗯，那你要知道一是什么？哎，他是二呀，减去你是个什么？你是个负数，对吧？二减去一个负数怎么样？ 用二减去负数，他一定是大于二的，没问题吧？所以我们推出 b 大 于一，那你说 b 小 一，那肯定错了。搞定 好第四个二次函数与方程不等式，我们很多选择填空题就喜欢考它，包括我们很多大题里面的某些关键步骤呢，它的核心思路就源自于这里面的一些方法。好，这个题我觉得极其重要。 首先给出一个抛物线，嗯，好。当然 a、 b、 c 的 常数，我告诉你， a 小 于零，就是它是个开口向下的，对吧？好，它经过 a 点、 b 点，那你会发现这两个点的纵坐标小于零， 所以也就是怎么样呢？他是开口向下的，并且怎么样呢？并且与 x 轴交于怎么样？交于二零，负零，哎，就是一个横坐标是二，对吧？ 另外与 x 轴的一个焦点呢？横坐标是负四。好，现在下面有四个结论，一二三四，问，其中正确的有几个？那我们就一个一个来看了。首先第一个，他说这个一元二次方程，它的根是 x 一 等于二， x 二等于负四，这个怎么去处理呢？其实这个就是非常具有代表性的 函数与方程之间的联系。我们举个例子啊，比方说，我们随便给出个二次函数，好不好？比方说，哎，就比方开口向上吧，我们画个草图，就是 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， 好 吧， 好，现在有这么一个，怎么样呢？啊？ x 轴。那现在我想问一下，你如何求一个二次函数与 x 轴，对吧？哎，它的焦点呢？也就这两个焦点，你怎么求？ 首先这两个焦点的横坐标你知道吗？你不知道，对吧？但你知道 x 轴上所有点，他的纵坐标一定是零的，所以横坐标是几不知道。纵坐标是零， 横坐标是几呢？不知道，但我们知道纵坐标零，对吧？好，现在有一个问题，既然我知道这两个点的纵坐标都等于零，都等于零，而这两个点还在整个抛物线上吗？也就是我知道抛物线上有两个点的纵坐标是零，那如果求横坐标， 已知纵坐标，求横坐标，所以你只要把这个零带到 y 里面去就可以了，对吧？所以也就是整个东西等于零就行了。那你可以得到什么？你令它等于零，就是 a x 方加上 b， x 加上 c 等于零嘛？哦，你可以得到一个方程，对吧？ 你只要把这个方程解出来，那你解出来之后，我们焦点的横坐标不就出来了吗？举个例子，如果你这方求着 x 一 等于二呀， x 二等于五呀，那你会发现，那那二和五就是我们这里的横坐标，你这个就是二，你这个就是五，理解没有， 所以你会发现，喏，那我们这个方程跟你这个二次函数，大家观察一下有没有联系，你会发现二次函数的表达式和方程左边的表达式是完全一样的。也就是说， 如果以后你只要给出一个二次函数，你会发现，如果某个方程的表达式跟它完全一样，那你会发现，喏，这个方程的解就是你这个函数与 x 轴交点的横坐标，交点的横坐标一样的， 你这个函数与 x 轴交点的横坐标反过来就是我们这个方程的解。方程的解，你会发现，与 x 轴交点横坐标二，与 x 轴交点横坐标负四，所以你这个方程的解就是二和负四， 搞定，也就是一呢，它是正确的。好，接下来我们看第二个，也是告诉两点的横坐标啊，说在这个抛物线上啊，让我们判断 y 小 于 y， 其实这个是什么？这个就考察我们二函数的增减性了，只要什么什么 y 大 于 y， 大 于 y 小 于 y 的， 对吧？哎，增减性， 你这个开口向下的抛物线。哦。开口向下的抛物线对不对？对，准轴是几对准轴能告诉我吗？ 因为你要知道与 x 轴交点横坐标二，与 x 轴交点横坐标负四，所以把这两个交点横坐标相加除以二。这个我不用说了吧？所以我们知道对称轴是等于负一的，那如果你不知道，你打个草稿好了，对吧？ 哎，一个交点横坐标二，一个交点横坐标负四，因为这两个点是关于对称的嘛，所以把这两个交点横坐标相加除以二，明白了没有？哎， 好了，那么接下来呢？我把它画出来。当我们知道对称轴是负一之后，那现在我怎么去判断二的重坐标的大小呢？其实很简单，除了开口，除了对称轴，那接下来我们就要判断距离就行了，你塞点横坐标负五， 负五是不在对称轴左边，距离四个单位，对吧？你要知道，开口向下的抛物线，你离对称轴越远，你的函数值越小，你离对称轴越近，你会发现你的函数值越大。 我在对正轴左边几个单位，你发现是四个单位，对吧？负五到负一是不是四个单位？好，那我们知道派是几啊？派是三点，你可以理解为三点一四，好吧，三点一四很明显在对正轴的右边，而且距对正轴呢？多少个单位？ 三点一四减去负一吗？是不是四点一四？这个就是派对不对，横坐标是派， 所以你会发现哪一个？你这个父，我所对的这个高度是 y 一 吗？你这个派所对的这个高度怎么样呢？是 y 二，对吧？所以 y 一 大于 y 二，你说小于，那不对啊，所以我们知道二是错的。好，接下来看我们的第三个啊，其实第三个它跟我们上一个有一点类似啊， 他说对于任意的实数 t， 总有这个东西成立，哎，大家说亮亮这咋弄呀？对吧？乌七八糟的，都没有任何的思路。好，其实你会发现，你只要左右两边同时加上某一个东西就可以了。什么呢？你看到我们刚才遇到解几 b 加 c， 他 往往是把某个数带进去所对应的函数值，对吧？这里也是一样的， 几 a 几 b。 呃，没有 c， 没有 c， 我 就补，比方，我把左边加上一个 c， 它是什么呢？它是 a， t 方加上 b， t 加上 c， 对 吧？右边我也加上 c， 嗯，也就是小于等于 a 减 b 加上 c， 对 吧？你让我去判断这个不等式，我不，我只要判断这个不等式是否乘以就可以了。而这个东西呢，我们上一题讲到了，它是 x 等于负一所对应的函数值，对吧？ 而它是什么呢？其实大家有没有发现我们这个式子相对于这个式子它发生了什么变化？它无非就是把你这里的 x 变成了 t 吧，把你的 x 变成了 t 吧，你怎么样去把 x 变成 t 呢？也就是当 x 等于 t 的 时候，把 t 带到横坐标 x 里面去吗？ 那你这个式子不就变成它了吗？对吧？所以它就是 x 等于 t 所对应的函数值，你是 x 等于一所对应的函数值。那这个大招怎么比较呢？一般跟我们的顶点会有关系，比方说我们刚才说了，大家记不记得 它是个开口向下，并且对准轴是几呢？那二和负四相加的一半，也就是我们的对准轴是 x， 等于负一，对吧？你想想， 对称轴是负一，所以我们知道顶点的横坐标一定就是负一了，所以你把负一带进去，负一在整个抛物线里面，你所对应的一定是什么呢？这个一定是顶点所对应的纵坐标，明白了没有？哎，你是顶点纵坐标， 那顶点纵坐标怎么样？一定是最大的吧，也是最大值。那 t 呢？ t 等于几？任意实数 t 给正的负的就是提取任何数，对吧？也就是你随便带入一些数进去，所对的函数值一定小于等于我们顶点所对的这个纵坐标，对不对？ 肯定对呀，我顶点对吧？这是整个函数的最大值吗？你随便代入一个数，要么等于我的最大值，要么小于我的最大值，小于等于完全正确，所以三呢是对的。好，接下来我们再来看第四个，他说对于 a 的 每一个确定值啊，就是 a， 你 可以取正的负的啊，当你 a 确定之后呢？ 如果这个一二次方程，哎，此时不等于零，等于屁了。我告诉你，屁是个常数，但是屁大于零啊，像这个方程，我要要求你的根是整数， 那像这样的屁的值只有两个，我们看到脑袋都大了，对吧？哎，什么一个两个，我都不知道怎么去确定它。好，其实我跟大家说一下啊， 我们在迭问里面，大家都应该有这种思维，在我们遇到整个抛线的题型的时候，如果题干中出现了方程，那么往往就是怎么样呢？哎， 涉及到求焦点，你一般函数求焦点，他就会构造方程吗？其实这里也不例外，你看在整个函数的题型中，如果出现了方程，那这个方程是怎么得到的呢？举个例子，你看左边 a x 方加 b x 加 c， 这个不就是一个二次函数吗？没问题吧？ 那二三十五如何等于一个具体的数呢？我举个例子，比方说，呐，这是个抛物线好不好？这是 y 等于 a x 方加上 b x 加上 c， 对 吧？ 好，现在有这么一条线哎，这条线是 y 等于二，这是一条水平线，上面所有点的纵坐标呢，都等于二。现在我让你求这两个焦点，求这两个焦点怎么求？一样的吧，这两个焦点横坐标是几呢？我不知道，但我知道纵坐标一定是。 横坐标是几呢？我不知道，但我知道纵坐标一定是二，对吧？好，那现在问题来了，我已经知道抛物线上两个点，他的纵坐标呢？是二，我已知纵坐标，如何求横坐标？ 把重坐标等于二把它带进去嘛，对吧？所以你会发现，喏，那此时你可以得到 a x 方加上 b x 加上 c 等于几等于重坐标，这个二有没有问题？所以其实你有发现，如果左边是二三数，右边是一个固定的数， 其实就是求二三数和一条水平线的交点一样的。那如果我这个是五呢？那你这个不就变成五吗？这个不就变成五吗？对吧？ 你这不也变成五吗？这不也变成五吗？所以一看就知道是一个二三数和一条水平线 y 等于五产生交点，对吧？ 现在你这个屁指的是什么？那很明显，那么这个就不是五了，而是怎么样，而是屁嘛，对吧？一样的，这里所有的数字都换成屁，都换成屁，都换成屁是不可以了，所以它表示的是什么？它表示的就是一个二三数，我们重新画一下好不好？ 他指的就是一个二三数，干嘛呢？和我们水平线 y 等于 p， 二者的交点，我要求交点，怎么求呢？构造这个方程，所以你这个方程的解就是我们这个焦点的横坐标，对吧？好，你看看这个题，说我方程的解根是整数， 所以我只要保证整个图形相交之后，这个焦点，这个焦点是整数，不就可以了吗？好，那问题来了，我如何保证这些焦点是整数？这个该怎么处理呢？大家不要忘了， 我们整个抛物线，它与 x 轴，它与 x 轴，对吧？焦点是二零和负四零，就这个呢？是横坐标负四零，那这个呢？是怎么样呢？是二零。我突然想起一个问题，我前面是不是画了一个抛物线，我的左边是二，右边是负四， 哎，我去求对中轴，对吧？哈哈，这让人怪不好意思的同学们，哈哈，这其实什么都没有发生，对吧？看这里啊。嗯，对，就是这样的。嗯，好， 那接下来你会发现呢？呃，也就是你会发现，如果我这个直线，对吧？如果我这个直线，直线与抛线，它会产生交点，一个横坐标负四，一个横坐标二。那你想我再往上移，那这里面会产生什么呢？举个例子，我们会产生什么呢？ 我横坐标是负三，我横坐标这个解，因为你要知道整个对称轴是负一嘛，对吧？你这个往右边去了一个单位，这个就怎么样呢？哎，就是一了，能不能理解 这两个相加除以二等于整个对称轴负一嘛？好，所以你会发现，哦，那这个屁要求出来吗？其实不需要，对吧？哎，我 y 等于屁，在这里面，你只要知道屁可以取到一个数就可以了。 好，你屁在这里，比方就在这里，你这是不可以负二呀，你这是不可以等于零啊？负二和零这两个交点是不也是 整数？那你整个方程的根不也是整数吗？你再往上行不行？比方我再往上，再往上，你这个负二，再大一个单位负一，零呢？再小一个单位负一。哦，这两个一样， 这两个一样意味着什么？就意味着啊，你的屁在尖尖的，在这里，理解了没有，对吧？我们知道整个顶点的横坐标是负一吗？所以说整个直线呢，经过抛线的顶点啊，产生焦点，这个焦点横坐标负一。 那有时候练了这个不行吧。为啥不行？这个题有没有说这个方程一定得两个不相等实数根，你只要解出来根是整数，我只要相交交点横坐标是整数就可以了。所有几个有这样的一条线，看到没有？哎，我们交点是负三一。 好，所以你这个方程的解呢，就是负三一，还有这样的一条直线，对吧？哎，焦点横坐标负二零，所以我们知道怎么样呢？我们这个根呢，就是负二零，还有这样的第三条直线，喏， 嗯，此时你会发现我们焦点的横坐标呢？负一，所以你这个方程的根怎么描述呢？它是 x 一 等于 x 二等于几等于负一，对吧？是不是也是整数？ 所以这里有几条？一条、两条、三条。所以你对应的屁应该有一个、两个，三个不同的屁，对吧？你的屁值怎么只有两个呢？不对，所以整个题目正确的就是一三，也就是有两个了，搞定。 那像我们以前二次函数的应用呢，特别喜欢考我们利润呢，成本呀，它的最值问题。但是我们近几年像这种 诡计类的应用题越来越多了，我们把这个题放大，大概长这个样子。那接下来呢，我们就把这里面的很多话把它清掉，比方说，哎，是一座彩虹门的喷船啊，对吧？ 啊，各安装一个喷船就叽里呱啦。为了避免游客被淋湿，设计团队我们把整个题目呢稍微精简一下，它就大概长这个样子。所以你会发现很多难度的假象呢，都是命题人造成的。那我告诉你，如图是一座彩虹门 喷泉景观啊，就是喷出来，对吧？可能用这个光在上面一打，形成一个这个水形的彩虹。嗯，好，然后圈起来收费。喷泉场地宽度呢？ ab 等于十六米。呃，就什么意思？整个 ab 是 十六的 啊，就是这段长度，对吧？好，现在 a m 等于 b n 等于零点八米，就是 a m 这个高跟 b n 这个高，对吧？它分别是零点八， 其实就是这一条红边，能看到吗？跟这条红边，它的高度呢？都是零点八。哦，零点八对吧？嗯，比较短。 好，当然我告诉你啊， a m 垂直 ab， 它是垂直底边的，同样 b n 也是垂直 ab 怎么样呢？它也是垂直底边的。嗯， 好，现在这个抛物线的顶点 c 到地面的距离是四点八米， o 就 它是个抛物线，因为 m 点和 n 点它的纵坐标，纵坐标是完全一样的， 抛物线上的两个点，如果纵坐标一样，那么这两个点一定关于抛物线的对称轴对称，因为整个 a b 等于十六，所以我们知道 c 的 横坐标呢，一定就是八。 那纵坐标呢？因为你到地面的距离是四点八，所以我们知道 c 的 纵坐标呢，也就是四点八。好，接下来第一个让我们求这个抛线的表达式，这个太简单，因为我知道顶点我肯定这么设，对吧？也就 y 等于 a 倍的 x 减八的平方，加上四点八。那接下来你随便带入一个数呢？ 比方说，我们肯定带这个嘛，你这个 m 点横坐标是零，纵坐标呢？零点八对不对？把这个点带进去， 横坐标是零啊，零减八，负八也是六十四倍的 a 加上四点八，等于几？等于零点八，对吧？哦，等于零点八，所以我们知道六十四。 a 呢，等于负四，所以 a 等于几？ a 等于负的 十六分之一。其实我们把 a 求出来，你整个抛线表达式我们就搞定了。嗯，也就是 y 等于负的十六分之一倍的 x 减八的平方，再加上什么呢？加上四点八。 好，接下来第二个，在 a b 上安装六个挡雨伞啊，一二三四五六，干嘛呢？就有人在下面看，那万一这个水溅到身上，那填感就不好了。 伞的顶端离地面的距离是三米啊，就每个伞的顶端对吧？到地面距离就整个高度呢，哎，一致都是三米，并且雨伞的间距相等啊，就每个雨伞呢，你们之间的距离都相等啊，要保证美观了啊。如果最外侧 最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的数值高度是零点三六，最外侧就是这两个伞，对吧？它的顶端 到水柱。水柱是什么？你水柱是怎么样？抛线型的吗？啊？就是到你这个水柱的距离多少？就这个数值高度多少？零点三六啊，就这一段是零点三六，对吧？零点三六。那其实我们知道，因为你整个整个伞的高度级呢？整个伞的高度是 三，对吧？所以你会发现其实这个点他的纵坐标知不知道你伞高是六？你这个伞的顶端到这个抛线的这个数值高度零点三六，所以我们知道这个点的横坐标不知道纵坐标呢？三点三六的是不是一样的？你这个点对吧？ 你的横坐标不知道纵坐标是不是也是三点三六呀？嗯，好，问题来了，那现在让我们求相邻两个挡雨伞的间距，求什么呢？也就是求我们，哎哎哎，对吧？他们之间的距离好怎么处理呢？其实你会发现，我知道纵坐标可不可以求横坐标？一定可以。 那我们整个抛线表达式知道了，负十六分之一倍的 x 减八的平方加上四点八等于多少？等于你的纵坐标三点三六，对吧？三点三六，所以也就是接下来它等于什么呢？嗯， 负的十六分之一 x 减八的平方等于挪过来负的一点。 你这么麻烦我们移过去啊，一点四四，对吧？那最终也就是你发现左右两边同时乘以十六吧，左边乘以十六呢？ x 减八的平方，对吧？右边这个东西乘以十六，这怎么弄 啊？乘以负十六，对吧？其实我一般我跟大家说下，如果是我，我会怎么算啊？呃，我，我一般会口算，怎么弄的？ 就是你把这个负的一点四四，你要知道一点四四是什么？哎，我把我平常这个口算的小技巧跟你们剧透一下，就是你要知道一点四四它是等于多少呢？它是等于一点二的平方，这个大家知道吧？一点二就是怎么样？一点二就是五分之六，对吧？所以你平方一下呢？也就是怎么样呢？ 二十五分之三十六，没有问题吧？所以你要知道这个玩意呢，它等于二十五分之三十六，你看看你自己想想一点二的平方，五分之六的平方，脑里面能不能算出来，我觉得没有问题吧，所以也就是它等于二十五分之三十六，你乘以什么呢？左边乘以负十六，右边乘以负十六， 你乘完之后不就符号这个变成正的吗？所以乘以十六，你不要算出来啊。为什么不要算出来呢？此时我们知道 x 减八等于多少，我把它清掉，你的平方等于这么多，那 x 减八等于多少呢？注意啊，正负 分母是二十五，嗯，谁的平方等于二十五呢？五吧，那剩下的谁的平方等于三十六六吧？谁的平方等于十六呢？ 四吧，所以也是等于多少？正负五分之二十四，那最终我们可以求出来 x 一 呢等于多少？五分之十六。那么 x 二等于多少呢？五分之六十四啊，就是我们知道一个横坐标呢？ 五分之六，对吧？一个横坐标呢？五分之六十四，那你会发现那整个的跨度，我们知不知道用你的横坐标减去他的横坐标嘛，所以也就接下来我们把它清掉了， 那你的横坐标减他的横坐标，用五分之六十四减去五分之十六，你换等于多少？等于五分之四十八，对吧？啊？这有几个距离？六八三一二三四五五个距离嘛，所以用它除以五就可以了啊。所以等于多少？ 我都不想写了，我都想直接写我们最终答案，二十五分之四十八，这个就是每两个相邻等于三的距离。搞定 好，接下来来到我们的压住部分。首先我们来讲二次函数含参零减值问题。哎呀，什么叫参数呀？啊的天，我举个例子啊，比方说 x 加上一等于八，你能不能求出这个方程？一定给求出来，对吧？一种 x 等于七，对不对？好，现在如果把其中某个数字变一下，比方我把这个八呢？变成小 m， 好， 那我想问一下， 你还能求出我们这个 x 等于具体的哪个数字吗？你求不出来了，对吧？所以像这种阻碍我们解方程的这种字母呢，我们就把它叫做参数。嗯， 那最终这个，我们把这个方程叫含参方程，那最终呢？我们算出了 x 等于 m 减一，你可以用参数也用字母来表示我们最终的解。那什么叫含参的函数呢？举个例子，比如 y 等于二， x 加上三，这个一次函数呢？ 它与 x 轴交点，它的草图你可以完整的画出来，对吧？但如果把后面这个三变一下，比方说加上什么呢？加上小 a， 请问那这个 e 函数，它与 x 轴、 y 轴的具体交点，你还求得出来吗？ 扯不出来了，对吧？你阻碍我去画整个一次函数的草图，你阻碍我去研究整个一次函数的怎么样呢？具体的性质，求焦点等等，像这种，我们就把它叫做参数，明白了吧？那对于参数呢，不管是方程呀，还是函数呀，在整个初中阶段，你都把它当做一个 数字来对待，只不过这个数字呢，你暂时不知道，那这里面的参数是谁呢？很明显就是我们的字母 a 了，对吧？ 那字母 a 一 旦知道整个抛线与 x 轴的交点， y 轴的交点对准轴位啊，对吧？我们都能求出来，那么这个呢，就属于含餐的二次函数，它所带来了一系列问题呢，我们就把它叫做二次函数的含餐问题，那么其中一种呢，就是我们要今天所讲到的零界值问题。 好，当 a 等于一的时候呢，求这个二三角图像的顶点坐标，这是不是太简单了？你比如把一带进去，所以整个抛物线 y 等于 x 方加上三， x 加上二，对吧？那最终我们可以把它配方下，也就是 x 加上二分之三的平方四分之九减四分之一， 那所以我们知道它的顶点呢？很明显，也就是负二分之三，负四分之一。搞定好，接下来我们看第二个，你不要看它很长，其实超简单啊，是否存在实数 a， 使得对于任意的实数 t， 你 看又来一个参数 t， 对 吧？ 当 x 取二加 t 和二减 t 的 时候呢？它对应的函数值始终相等，有吗？如果有，求出 a 的 值，如果没有，请说明理由。我如何保证我的函数值始终相等的？我问大家个问题啊，其实这个题说白了，考察我们的对称性， 你想想，给出一个抛物线啊，我首先想问大家问题，如果做一条水平线，他与这个水平线横坐标，哎，这个焦点呢，一个是三， 一个是七，大家能告诉我对中轴是几？画一条水平线交的横坐标三七，你把这两个交点横坐标相加除以二吗？对吧？所以也是对中轴一定是五，没问题吧？ 相加除以二啊。好，再画这个抛物线的草图。我告诉你，二加 t 和二减 t， 他 所对应的函数值相等，函数值相等，那就表明他们的纵坐标一样，就是二加 t 的 时候呢。哎，你的纵坐标在这里， 二减 t 的 时候呢？你的纵坐标也在这里，好不好？因为这两个点的纵坐标是一样的嘛，所以你因此二者的连线一定是水平的吧。水平意味着什么？就意味着这两个点一定关于我们的对称轴对称，对吧？你一个横坐标是二加 t， 另外横坐标呢？二减 t， 哦，我们知道。那这个对称轴怎么表示呢？把这两个点的横坐标相加除以二，你和我相加 t 抵消了吗？二加二等于四，所以我们知道，也就是我只要对称轴等于二就可以了。好，那问题来了，也就是我要使得整个抛线的对称轴等于二，它就成立了。那对称轴呢？我们知道，对称轴等于 x 等于负的二 a 分 之 b， 那 么等于几呢？ 负的二 a 呢？那就是二 a， 对 吧？嗯， b 等于多少？ b 就 等于二 a 加一了哦，也就是二 a 加上一，那么等于几呢？等于二哦，等于二。好，接下来我们左右两边同时乘以负二 a， 左边乘以负二 a 呢？剩下分子二 a 加一，右边乘以负二 a 呢，也就是负四 a， 所以 我们可以求出来，六 a 等于负的六分之一。 搞定好，接下来我们看第三问，也就是最难的一问，当 x 在 一到二之间的时候， y 大 于 x， 这个结论呢？始终成立，让我们求 a 的 取值范围， 只要是含有参数，并且让我们求参数取值范围的，它都是考我们临界值的问题，在这里我们需要数形结合，那什么意思呢？比方说，我们首先看这个 y 大 于 x， 始终成立， 进去随便取一个点，我的纵坐标一定要比横坐标更大，对吧？那如果我们取一个点，横坐标是 x， 那 纵坐标呢？把这个 s 带到整个抛物线里面，我们可以得到纵坐标是 a x 方加上二， a 加一倍的 x， 再加上二。 好，我们知道这个纵坐标呢，要永远大于我。对，你的横坐标也是，我只要大于 x 就 可以了，说白了也是我只要使的这个不等式始终成立就可以了。好，那接下来我们把这个不等式呢 稍微的化解一下，也就 a x 方，我们加上二， a x 加上 x， 我 们再加上二，我要大于 x， 对 吧？ 那你会发现，喏，这两个它可以抵消掉，是吧？也是最终我只要使的 a x 方加上二， a x 加上二大于零就可以了，也就什么， 也就是当一小于 x 小 于二的数，这个不等式它是始终成立的，对吧？啊，在这种情况下，我们求 a 的 趋势范围，那可是问题来了，那这个不等式如何始终成立呢？其实你会发现，你只要遇到像这种类似的形式，你都可以把它当做二次函数的表达式， 它不就是 y 等于 a， x 方加二， a x 加上二，一个抛线的表达式吗？也就是对于这个二次函数，它在一到二这个范围里面，我的纵坐标永远是大于零的，就可以了。 当问题来了，那整个抛物线它的开口朝上还是朝下，你知不知道？你不知道，但我们可以推出来，你会发现前面是 a， 这里是二 a， 也就是我们知道整个抛物线它的对称轴是几呢？哎，我的对称轴一定等于负的二 a 分 之 b， 也就是等于负的二 a 呢，它就是二 a， 对 吧？ 它的 b 呢，也是二 a， 对 不对？所以我们求它整个抛线的对中轴呢，一定是负一，好，那么接下来我们开始分类讨论啊。第一种情况，我们考虑 a 大 于零，也就是开口向上，你要在这个范围里面，函数值永远大于零，那我首先把这个范围在我们整个竖轴上画出来，这个呢，是一，这个是二，好不好？ 一到这个范围，函数值大于零，你的对等轴是负一，也就是对正轴大概在这个位置，对吧？哎，负一，好，现在呢，你要知道，我们把这个 x 等于负一，这个线画出来，你这开口向上的对应轴负一，所以你把你整个抛线呢，你可以长这个样子，对吧？哎，行不行？ 那此时你会发现，一和二所对应函数值大概是这一段， 那他是不是永远是大于零的？没有问题，所以他是满足题的。好，那么接下来如果我把整个抛线变得越来越宽呢？比方说晋国赋一，我整个抛线可以长这个样子呀，对吧？满不满足题也可以长这个样子，对吧？ 满不满足题还满足？如果我整个开口箱上我变得更宽一些呢？此时你会发现喏，他还满足题吗？你会发现一到二这一段范围里面就是塌了，对吧？那么此时这一段 我的纵坐标永远大于零吗？就不是的。所以也就是如果窄的话，满足宽宽宽宽宽，它会逐渐的不满足。那请问什么时候会出现我们的 临界情况呢？也就是你整个图像刚好经过我们横坐标一零的时候，对吧？哎，经过我们这个点的时候，此时出现临界情况， 你整个抛物线在蓝色里面呢，可以，在蓝色的外面呢，它就变得不可以了。如果你比外面这个更宽，那就更不可以，它就大概长这个样子了，对吧？ 甚至呢，它会把整个二给包进去，是不是它就更不符合提议了？那问题来，我如何去求 a 的 取值范围呢？有两种方法。第一个就是你直接划入我们刚才的临界情况，也就是经过一零的时候，整个抛物线，你把一零直接带进去， 抛物线的 a 一定可以求出来，知道 a 我 们就可以斜取出方位了。还有另外一种怎么样呢？你想想，我如何保证我的纵坐标永远大于零呢？其实很简单，我只要像这个样子不就可以了吗？对吧？也如我这个直线呢， 你不能从一二之间穿过，你也不能从二旁边呢穿过，你只能在一的左边，怎么样呢？你这是一个地面嘛，你能在一的左边，你只要在一的左边这个地面穿过去就可以了，对吧？我如果在一的左边这个穿过去呢，其实很简单， 你只要保证一所对应的函数值怎么样呢？是大于零的，是不就可以了？那么此时你会发现呢？哎，我们在一到二这个范围里面，他永远总坐标呢？哎，是大于零的，所以你只要把一带进去，是不是？把一带进去， 我们可以得到什么？横坐标是一，那么你就是 a， 加上横坐标是一，那么你就可以得到怎么样呢？二， a， 对 吧？再加上二，干嘛一带进去？哎，你可以在一的左边穿过去，在一的右边穿过去。不行，哎，我想问一下，如果我们整个抛线告从一上面穿过去呢？ 从这里穿过去，请问符不符合 t 呢？就是一代数，如果等于零的话，那你会发现，喏，一到二之间是不是这一部分呀？这一部分我是不是注意啊，一到二我是取不到一，我取不到二，对吧？也就是喏，这个空心圈，这个空心圈在两个空心圈之间，我的纵坐标是不是永远大于零？是的， 一的纵坐标等于零，但是我这一段我取不到一嘛，所以我的纵坐标永远是正的，符合吗？符合，也就是经过一零的时候也可以，因此我是大于等于零了，对吧？一所对应的函数值可以是正的， 一所对应的函数值可以等于零，所以呢，我们最终求出来三， a 大 于等于负，二，也就 a 呢，大于等于负的三分之二，难道在这种情况下，我们 a 的 取的范围就是它吗？不是，为什么呢？因为我们有个前提条件， a 大 于零， 你在 a 大 于零的时候，你求出来这个取值范围，对吧？你把这两个结合起来，同大，你取大嘛？所以也就是在我们第一种情况下，我们求出来 a 的 取值范围呢？ o 是 a 大 于零的。好，那么接下来我们再来考虑第二种情况也是怎么样呢？ a 小 于零， 那 a 小 零呢？一样的，你在一到二这个范围里面还怎么样啊？你整个所有的函数值你都得是正的，对吧？而且我们知道对正轴呢，它是固定的负一，好，我们把整个对正轴把它画出来， 也就经过这条直线，并且在一二这一段里面，我的纵坐标永远大于零，你想想我能像这样画吗？这样画你一二一定取到下面的，对吧？那我也就是我需要怎么样？我需要你窄一点行不行？你要是变窄一点， 那更不行了，对吧？那一二取到更下面了，所以你整个抛线要变宽，你宽成这样的，哎，不行，你宽成这样的， 哎，你发现一到二之间，他只有一部分，对吧？他就这一部分是正的，所以你要继续宽，宽到什么程度，你会发现你宽到，哎，经过二的时候是不可以了，你在一二之间不行吗？在二的时候就可以了，你会发现一到二之间，你就是哪一段，就是这一段，对吧？他是不是永远怎么样呢？ 哎，大于零的对不对？好一样的，有量量，那二的时候不是等于零吗？注意啊，这个 x 他 取不到一，也取不到二，所以你这一段呢？他这两个端点永远是空心圈，永远是空心圈。理解。没有， 我取不到端点，在这两个空心圈之间，你会发现 y 永远大于零。那如果再宽一点，宽成什么样？我宽成这个样子行不行？那更行了，对吧？因为一二呢？哎，他们每一段对应的全都是 y 大 于零的， 也就怎么样。哎，我们的临界情况是什么呢？临界情况就是你窄了，不行，你得宽，对吧？最起码得宽到什么程度？最起码得宽到经过二零的时候 才可以。那问题呢，我怎么去求这个 a 对 应的曲值范围呢？有两种，第一个就是你把整个抛线呢，令它经过二零，也就是把二零呢直接带进去，你可以求出 a， 进而推出它的曲值范围。第二种，干嘛？ 就是你直接去用我们的代数来表示，你想想我如何经过二零，或者把这个二零把它给包进去呢？就像我们刚才所说的，对吧？你像这样的在一到二之间是不行的， 对吧？你经过二零呢？可以吧？因为你会发现一这一段空心圈，二这个空圈中间呢，的确总数比较大一点，或者你把这个二把它给包进去，是不也可以，对吧？那你会发现一二之间呢？ 哎，我这个图像有点夸张，对吧？也是满足的。那我直接画一个草图来辅助大家理解，比方大概长这个样子， 也就是你只要使得二所对应的函数值大于等于零就可以了。当二所对应函数值等于零，我就是经过二的，可以，对吧？当二所对应函数值大于零，那我一定是怎么样呢？在二的右边钻下去的，对不对？所以说，你只要把二 带进去，使得我对应的函数值这个点呢，大于等于零就可以了。好，二带进我们可以得到什么呢？把它带到这里面去，也就是四 a 加上把二带到这里面去，依然是四 a 再加上二，我怎么样？我大于等于零就行了。 好，所以我们求出来也就是怎么样八、 a 大 于等于负二也是怎么样？ a 大 于等于负的四分之一，难道我们求出来 a 就 等于这么多吗？不是的，因为我们是在 a 小 于零的前提下求出来的，所以我们最终取之范围呢，就是 负四分之一小于等于 a 小 于零。好，这是我们求的第二个方位，所以你可以这么说， a 大 于零，或者呢，负四分之一小于等于 a 小 于零。当然了，你会发现这两个方位你可以稍微合并一下，比方说，我可以把它写成 a 大 于等于负四分之一，且 a 不 等于零，这两个范围其实指的是同一个范围。好，那么接下来我们来搞定二次函数含餐的区间最值问题，以及二次函数含餐的定结论的问题，也如我们预期了，那我们首先来看前两位，他不需要图，所以我把这个图呢给去掉了。 那么首先给出一个抛物线，它与 x 轴只有一个交点，怎么样呢？二零与 y 轴交于点零二。其实这个题特别有意思，因为你不需要这个点的坐标，你单凭这一个条件，你就可以求出抛物线的表达式，但你给到了，那我就直接写了好不好？ 因为你告诉我交点是二零，所以也就是 y 等于，我口算一下，二分之一 x 方负二， a 分 之 b， 也就是减二， x 与 y 轴交于零二，对吧？加二就可以了。好，第一问我们就直接快速过了。好，接下来第二问，也就是当 x 在 这个取值范围里面， y 的 最大，这个最小值的差十二，那让我们求 m 的 值该怎么办呢？他给出了某一个范围，也就是在某一个区间里面涉及到我们的最值问题，像这种问题，咱们就把它叫做区间最值问题。对于所有的区间最值问题，我们只需要做一件事，也就是开火车就可以了。比方说呢， 我们整个抛物线的最值跟什么有关？只有两个东西，第一个开口方向，第二个对正轴，然后这里面开口方向向上，对吧？哎，我们知道整个抛物线开口向上，那这个对称轴可以求出来吗？啊？大家口算一下，对称轴呢，我们知道负的二十一分之一，也就对正轴是几， 哎，对正轴我们知道等于二，对吧？我们把整个抛线的轨迹呢，当做过山车的轨道，你把这段曲直范围呢，当做我们的过山车，我们分四种情况，第一种情况，当你这个曲直范围完全在对正轴的左边，比方说呢，就像这样的一段，对吧？哎，曲直范围在这里， 你会发现这个呢就是小 m， 这个呢就是 m 加一，那么此时我们整个方位里面它的最大，这个最小值呢？很明显在这取的最大值，在这取的最小值，对吧？好，一样的，我们这个过山车呢，接着往前走走走。第二种情况，它就会刚经过对正轴， 好，这是我们第二种情况，对吧？刚经过对称轴，你这个横坐标小 m， 这个横坐标呢？ m 加一。好，此时你会发现，在哪取得最大值？在这取得最大值，在哪取得最小值呢？千万不要觉得在这啊， 它经过了抛物线的顶点，所以在顶点处取得最小值。好，第三种情况就是我即将离开对称轴，就大概像这个样子，哎，我这个过山车呢？ 我这个火车呢，马上离开对正轴了。你这个顶点横坐标小 m， 这个顶点横坐标 m 加一，所以你看在哪取的最大值？在这取的最大值，反过来呢？在这，哎，不对，在这，对吧？在顶点这里取的最小值。好，最后一种情况， 我们怎么样？我们已经脱离对正轴了，就跑到完全跑在对正轴的右边了，对吧？这个呢，就是小 m， 这个呢，就是 m 加上 e， 所以 很明显，在这取的最大值在哪？在这取的最小值，所有的区间最值。问题，你只要分这么四种情况讨论，百分百可以全部都搞定，甚至你会发现 有些特殊类的区间最值，你只需要分三种甚至两种情况就可以搞定了。我们知道整个抛物线的开口向上也就大概长这个样子，那对准轴，我们求出整个抛物线对准轴，也就是 x 等于二。好，接下来我们来求第一种， 那你想想最大值和最小值，它的差是二吗？我们把 m 带进去，我们可以得到它的最大值二分之 m 方减二， m 加上二。好，然后我们再减去什么呢？ m 加一，它对应的是最小值，你说减去怎么样呢？哎，我们二分之一 把 m 加一带到 x 里面去。哎，我们可以得到这么多，对吧？我们知道最大值和最小值的差呢？等于二，也就是令他等于二就可以了。那么最终我们求出 m 呢？等于负二分之一，那这个负二分之一可不可以呢？你不要觉得求出来我们就直接拿走。不是的，你需要验证， 也是，当 m 等于负二分之一的时候，你整个的过山车是不是完全在对称轴的左边？你需要验证负二分之一，那你这个呢？就是负的二分之一，对吧？ 负二分之一加一呢，也是等于二分之一，那我想问一下，负二分之一到二分之一这个范围，它是不是完全在对称轴 x 等于二的左边完全符合？因此呢？哎，这个 m 求出来是 可以的。好，我们把 m 呢放在这里，接下来我们考虑第二种情况，我们知道整个对中轴呢，依然是 x 等于二，我把它写在下面啊，你是最大值，所以把 m 带进去，也就是二分之一 m 的 平方减二， m 加上二，对吧？最大值我减去谁呢？减去最小值， 最小值在顶点这里取到吗？那顶点的横坐标呢？是二，所以把二带进去，对吧？哎，等于几呢？把二带进去，呃，这个就是我们求出来 二减四加二，哎，你有发现整个纵坐标就是零，对吧？哎，所以我们知道它等于多少，它等于二，那最终我们求出来呢？ m 一 等于零， m 二呢？等于四， 那这两个 m 是 不都可以呢？还是说需要舍掉一个一样的，我们需要验证，当 m 等于零或者 m 等于四的时候，你整个取值范围是不是刚经过对正轴的时候，你整个取值是不是在顶点这里取？比方说当 m 等于零呢？你把零带进去，你是零吗？ 你这个是几？你这一对吧？我想问一下，零到一，他会穿过我们的对中轴二吗？ 你这个在对中轴的左边没有问题，一，他怎么可能跑到对中轴的右边呢？所以行不行？那不行，对吧？哎，是不可以的。那四行不行呢？如果 m 等于四，你会发现，那你这个就是四了， 你这个 m 加一呢，就等于五，你想想，五在二的右边可以，四在二的左边，怎么可能，对吧？如果 m 等于四，我就是四到五之间的，我就应该完全在对称轴的右边吧， 对吧？那我的最大最小值的取法跟这个图就完全不一样了，所以你可反，他也不可以，也就这种情况下呢，他是不成立的。 没有答案的。好，接下来我们再来考虑第三种情况。嗯，一样的啊，我们知道在 m 加一这里取的最大值，把 m 加一带进去，也就是二分之一倍的 m 加上一的平方，减去二倍的 m 加一， 对吧，我们再加上，我们减去最小值呢？在顶点这里取到，也就是把二带进去，当横坐标是二的时候，你带进，我们刚才算出来是零的啊。最大值减最小值，我们求出来等于几呢？喏，告诉你，差是二， 那么最终我们求出来呢？ m 一 等于负一， m 二等于三，一样的，我们需要验证这两个 m 可不可以。当 m 等于负一的时候，你把负一带进去，你这个就是负一嘛。把负一带进去，这个是零，你觉得可能吗？ 负一到零这个范围会不会经过的对称轴？零，他根本就不在二的右边，对吧？所以不符合 t。 好， 那如果 m 等于三呢？如果 m 等于三，那么你这个东西呢？它就会变成三，你这个东西就会变成四，对吧？ 那三可不可能在二的左边，如果我是三到四的这个范围，我会不会经过对称轴？不会，我会跑到这边去，对吧？所以你发现跟这个图形呢， 展示的它是相矛盾的，所以你发现它呢，也不存在 m， 那 么接下来就只剩下我们最后种情况了。一样的，我们知道对称轴呢？哎，是 x 等于二， 最大值是 m 加一，所以把 m 加一呢带进去，也就是我们二分之一的 m 加上一的平方，减去二倍的 m 加一，对吧？我们加上二，我减去什么呢？最小值是 m 所对应的函数值，那你把这个 m 呢，我们把它给带进去， 也就减去二分之一 m 的 平方减二 m 怎么样？加上二，我们知道他们的最大值减最小值等于几？等于二，所以因此呢，等于二。好，我们最终求出符合条件的 m 等于几。 m 等于二分之七， 那我们验证一下， m 等于二分之七，你整个图像长得是不是这个样子呢？ m 等于二分之七，就是你这个呢，是二分之七，对吧？你这个呢，等于二分之九啊， 三点五到四点五之间，它是不是在对准轴二的右边呢？哎，是的，完全符合，所以我们最终 m 有 两个，一个就是前面求的负二分之一，一个呢就是我们刚求的二分之七。搞定好，接下来我们看第三问。 好，现在告诉你，抛线的对正轴上有一个点屁二，二分之一，我们知道整个抛线的对正轴，我们第二位已经求出来，也是 x 等于二，对吧？好，上面有个屁点，屁点大概在哪？哎，比方说差不多在这个位置吧，可以吗？哎，放个红色的屁， 哎，臭子。那听半天不关注我的各位同学们好像这个样子。好，那接下来你会发现过点 n 的 直线， n 点在哪？ n 点在这，他是什么点？哦？他以 y 轴交于 n 点，零二抛线以外轴的交点就这个点的坐标是固定的，他多少呢？他是零 二，对吧？好，我们继续往后了，过这个零二呢，发现一条线，哎，如果你这个直线外的 k x 加与抛线只有一个交点，哎，不能没有，不能两个，只能一个。好，让我们证明这条直线平分什么？平分角？ o n p o n p 就 平分这个角，对吧？我把 n p 连接起来，就说白了，干嘛让我们求证这个角等于这个角，对不对？那你说这个咋证呀？其实首先我们知道啊，因为你这条直线干嘛呢？你这条直线是经过 n 点，经过零二的，对吧？哎，你经过零 二这个点，所以你整个直线相对于 k x 加上二，也就怎么样呢？我们这条直线 跟我们这个抛线，它只有一个焦点，那怎么去求焦点？很明显，我把这个抛线拿出来，也就二分之一 x 平方减二， x 加上二，我等于什么呢？ 等于你这个已知数，对吧？表达是 k x 加上二，我把这个 k x 移过来，也就是二分之一 x 的 平方减去二加 k 倍的 x 等于。那你想想， 我们整个直线和抛线干嘛呢？他只有一个焦点，那么也就意味着整个方程里求出来只能有一个数，对吧？哎，你不能有两个，不然就两个焦点。那如果只有一个数呢？很明显 d r t 等于零嘛， 也就是我们的 d r 等于 b 方， b 方不就是你的平方吗？你的平方前面带负号，负号要不要管？因为你前面带负号，负号也得平方嘛，是吧？所以最终 b 方应该等于我们这个也就二加 k 的 平方减去四倍的 a 是 多少呢？我不管为什么，因为 c 等于几， 这里有没有 c， 没 c， 没 c， 它是 c 为零，懂了没有？懂了吧， a 和 c 的 乘积，它就是零嘛？啊？就是减去四乘以 a 二分之一， c 呢？零，其实你会发现，这个东西是不是就直接消失了呀？就像那没减，对吧？我直接去掉好不好？ 哎，所以 b 方减 c， c 就 等于这么多，它等于几？它等于零。哎，你等于零， k 能等于几啊？所以你往 k 里面求出来，我就懒得写什么 k 一 等于 k 二等于巴拉巴拉的，对吧？我们觉得 k 它就等于负二， 明白没有？所以也就是你整个直线就是 y 等于负二， x 加上二的理解没有？整个直线的表达是知道了， o 点固定， n 点固定， p 点也固定。那接下来我们求证角平分线是不是要简单一点？那可是问题来了，哎，这个咋求呢？比方说这个是多少？这个是 y 等于负二， x 加上二，对吧？其实你会发现，那我想问一下啊，你平分 o n p o n p， 也就说白了，我们这个红角一定等于这个红角，对吧？没有问题吧？两个红角相等， 但你要知道我们有对称轴，它是平行外周的两只线皮，内错角是不是相等，也说你这个角它是不是又等于这个角呀？对吧？这两个角相等，能理解吗？啊？我标下你这个角呢， 哎，要等于这个角对吧？你这个角呢，还要等于它的内错角，还要等于这个角，其实本质上我们接下来只需要干嘛，我只要证明这两个角相等是不可以了，说白了也如我只要求证什么呢？求证 p n 一， 这怎么样呢？呃，这来一个焦点没有说，对吧？ 啊，就是 x 轴交点啊。那你这个，你差点忽悠我，那这个叫 q 点行不行，对吧？哎，我只要求证 p n q 它这个等腰三角形就可以了。说白了，我只要求证 p q 这个线段等于 n p 这个线段是不可以了。 那这个 p 点呢？坐标知道 n 点，坐标知道怎么求？你可以通过两点间的距离公式或者通过怎么样的？哎，勾股定律，我把它放在一个横平竖直的直角三角形中，行吧， 你的横坐标二，你的横坐标零，横坐标相差两个单位。纵坐标二，纵坐标二分之一，纵坐标相差怎么样呢？二分之三个单位，所以你发现你通过勾股定律，对吧？你可以求出 n p 等于几？等于二分之五，也就这条线段呢，是二分之五的，也是怎么样？二点五我写哪比较好？我写这吧。 哎，你这个线段二分组能看到。好，一样道理，你会发现，那现在我要求 p m p q 这个边怎么求 q 点？你可以把 q 点坐标求出来，咱们知道 q 点的横坐标已经是对称轴，对吧？横坐标是二，纵坐标呢？把二带进去， 哎，你会发现纵坐标是负二吧。好，接下来你会发现 p q 也是我们想要的。嗯 啊，你纵坐标二分之一，我的纵坐标负二，二者相减呢，你会发现我们这条线段我们算出来的长度呢，也等于二分之五，对吧？好，所以剩下你会发现，那这个边和这个边相呢？等腰三角形， 所以你这个角就等于我这个角，这个角等于他的内错角，因此你会发现，那这两个小角我们就正出相等了，因此角平分线推的完毕，搞定。 它的图呢，大概长这个样子。那我们首先来看一下它的前两小。问，那我们给出一个抛物线，你会发现这个抛物线呢？ a 已经知道了，但是 b 和 c 不知道有几个未知的字母，我们就需要几个坐标，那告诉你呢，经过 a 点，经过 b 点，那 a 点呢，也是这个点的坐标，它是负一零， 还经过 b 点，也就这个点坐标呢，三零。所以你只要把这两个点带到抛物线里面去，那么整个抛物线的表达式我们就会求出来，也是 y 等于负 x 方，加上二， x 加三，好，计算过程我就省略了。好，接下来我们再继续往后啊，好，与 y 轴交于 c 点，那整个抛物线表达式求出来，那其实 c 点坐标呢，也是我后面的 c， 对 吧？也就交零三的 好，现在点 d 和点 c。 关于抛物线的对称轴对称，其实整个抛物线的对称轴，我们也知道啊，整个抛物线的对称轴， 对吧？你可以把这两个点的横坐标呢，把三和这个负一相加除以二。所以我们求出对称轴呢，是 x 等于一， 或者你用这个负二分之 b 呢，也可以求出来，对，正轴呢，是 x 等于一。那既然对称的话，所以我们知道这个地点呢？哎，你到我们的对正轴一个单位，再走一个单位，所以是二纵坐标呢，一样的。嗯， 好，接下来第一问，让我们求直线 a d， 就是 这条直线。那你想想，我知道 a 点坐标，知道 d 点坐标，所以整个 e 函数呢，就是 y 等于 x 加上 e。 那 求解过程省略了，抛物线表达式呢？我们刚才也已经求出来。好，接下来我们看第二问 好，他说在整个直线 a、 d 的 上方有一点 f， 我 要在直线 a d 的 上方，要在整个抛物线上， 所以引入怎么样呢？我只要在这段曲线上怎么样呢？放给 f 就 可以了。那不管 f 在 哪，我永远过 f 点做垂线啊，过 f 点直接做一条垂线垂足呢，是 g 点。好，现在让我们求什么呢？求这条线段 f， g 也就是它的最大值。很多同学都会说，亮亮，哎呀，你这个这样这样的垂线段斜着的我没见过，但你要竖直的我就会了，对吧？但我告诉你啊，像这种垂线段和竖直的线段，它的处理方式是完全一样的，只不过呢，我们稍微做一个转化就可以了。比方说， 那首先我想问大家一个问题，你能告诉我这个角多少度吗？哎，就这个小角。其实我们知道 e 函数的 k， 你 的 k 是 一吗？ 只要一个一次函数，它的 k 是 一，那么它与 x 轴夹角一定四十五度。这个结论在我们中考里面可以直接使用。除此之外呢，你还可以求这条一次函数，它与 y 轴的交点，对吧？这个是不是零一啊？所以你会发现这个长度是 这个长度呢，也是一，对吧，所以它是个等腰直角三角形，所以这个角四十五度，因此这个角也是四十五度的。好，那么接下来我想过 f 点往下做一条铅垂线，也是平行于外周， 比方说呢，在这里没有屁，行，那我就在这里我放个屁了，这个焦点呢，就是屁点，对吧？一样的，你这个角四十五度，所以我这个小小小小的等腰直角三角形，因此我这个角跟这个角是不是都等于四十五度，对吧？你这个小小的尖尖角， 哎，跟我这个减减都等于四十五度，所以你会发现，我就是一个等腰直角三角形。等腰直角三角形。我的直角边和斜边什么关系呢？斜边是直角边的根号二倍，所以你整个 f g 一定等于什么呢？等于斜边除以根号，也就是二分之根号二倍的 f， 对 吧？所以接下来我只要求线段 f， 怎么求呢？这个太简单了， f 点，我们知道， 横坐标小 m 好 不好？纵坐标呢？把 m 带进去，也说 f 的 纵坐标是负 m 的 平方加上二 m 再加上三的，对吧？把它带进去， 好，那你这个 p 的 横坐标也是小 m， 纵坐标呢？把 m 带到一次函数里面去，它在一次函数上面吧，所以纵坐标是 m 加上一，因此最终你会发现，喏，我们只需要用二者的纵坐标做差，用你这个纵坐标，对吧？减去我这个纵坐标就可以了，所以也就是等于多少？ 等于二分之根号二倍的，你减去它，计算过程呢，我省略就是负 m 的 平方加上 m， 再怎么样，再加上二，对吧？好，那么整个函数的表达式，你会发现， 我最终结果不就是一个关于 m 的 二次函数吗？所以我们化解一下，等于负的二分之根号二，对吧？ m 的 平方加上二分之根号二倍的啊 m， 然后呢，我们再 加上根号二，那么最终配方的过程我就省略了，等于负二分之根号二倍的，嗯， m 减 m， 也就是 m 减去二分之一倍的 m， 平方四分之一，八分之一，也就是加上 八分之九倍的根号，所以我们知道，那当 m 等于二分之一的时候，我们能够取得最大值，那么整个 f g， 对 吧？线段的最大值呢？也就是我们这里的八分之九倍的根号搞定。 所以我们知道，当 m 等于二分之一的时候，此时我们整个线段 f g， 它的最大值呢，可以取到八分之九倍的根号。搞定。好，接下来我们看第三位，也就是存在性的问题，现在我告诉你， m 是 整个抛线的顶点， 那其实这个抛物线我们可以写出来，对吧？它等于负的 x 减一的平方，再加上四，所以我们知道顶点坐标呢，也就是一四。好，我们继续往后了。嗯， 屁点是外轴上一点啊，就屁点在整个外轴上动来动去，在哪呢？我不知道，比如我随便放一个点屁点在这，好， q 点是整个坐标平面那一点啊，可以在这在这，在这，任意位置都可以，对吧？好，现在以 a m p q 为顶点的四边形，它是一个以 a m 为边的矩形，说白了四个点围成一个长方形了。让我们求什么？求 q 点的坐标，求哪个点？ 求在整个平面内运动这个点的坐标。那该怎么处理呢？其实很多同学说的呢，什么矩形，菱形、正方形，那存在性问题，我觉得好难，对吧？我告诉你，越特殊的四边形，它越好处理。举个例子，比方说四个点， 他想围成一个长方形，哎，就大概长这个样。那请问如果我构成一个长方形，我随便取其中的三个点，他一定给围成什么？比方你取这三个点好不好？他能够围成什么东西？ 他一定围成一个直角三角形，对吧？同样的，那如果我取其他的三个点呢？比方我取这个三个点，他会围成什么？是不是也是直角三角形？又或者说我取什么呢？我取其他的，对吧？哎，我取这边的三个点，我取这边三个点，你会发现 no， 是 不是也可以形成一个直角三角形？所以你要注意啊， 矩形的存在性问题，永远把它变成直角三角形的问题来进处理，也就是你随便取三个点，你最起码先得保证是个直角三角形， 你剩下一个点加入进来，对吧？你这个点再加进来，你才有可能形成一个矩形嘛。所以在这里面你要选三个点，那我们选哪三个点呢？首先你要知道，喏， a 点坐标是固定的，我肯定优先考虑它，以及你会发 m 点，坐标也是固定的，我也会考虑它，对吧？所以把这两个点固定下来。固定下来。好，剩下的你会发两个动点， 一个呢？屁是外轴上一点在哪不知道，它相当于是动点，另外一个在整个平面内运动，它也是个动点，我们优先考虑哪个呢？注意啊，优先考虑半动点。 什么叫半动点？就是有一个点，虽然它动来动去，但是它的横坐标或者纵坐标有一个永远不变的，像这种点，它叫半动点，对吧？你会发现屁点呢？ 它的横坐标是零吧？纵坐标不知道，所以你就发现它的横坐标是固定的，你是个半动点，所以我们选择 p 点 o， 有 人把 p 点加入进来，说白了，你说我要使的怎么样呢？三角形 a m p 干嘛？它永远是个直角三角形就可以了。 好，那也就是我们把矩形的存在性问题呢？把它变成一个直角三角形的存在性问题。那问题来了，你是个直角三角形，谁是直角边，谁是斜边，你知道吗？不知道，所以因此我们需要做的就是分类讨论，我们把直角顶点当做分类讨论的对象，比方说，我们首先考虑 a 为直角顶点， a 为直角顶点呢？那你怎么样？你直接过 a 点做垂线就好了，对吧？哎，就像这个样子，是不是？所以你这个 p 点大概在哪？ p 点大概在这里啊？好，接下来我告诉你，你去求这个 p 点的方式有很多很多，相似一三数，对吧？ 包括我们用两点间的距离公式也可以，比如我令 p 点的横坐标呢？哎，我们知道是零纵坐标啊，那就小 m 好 不好？嗯，好，那接下来你会发现你这个直角三角形，我连一下， 哦，你说这个屁点好不好？求，太好求了，对吧？为什么呢？你比方说你用两点间的距离公式，我们之前讲过很多次啊，对吧？横坐标就是，你要知道啊，你的平方能表示出来吗？整个斜边的平方能不能表示横坐标减横坐标，我用 m 减四吧，就是 m 减四的平方，对吧？ 加上纵坐标减纵坐标，用一减零吧。啊，就是两个点之间距离呢？一减零就是一， 我跟大家说一下两点间距离公式，两个点，把纵坐标相减平方，再把横坐标相减平方，对吧？如果你开方， 对吧？你加上一个根号，那么它指的就是这条线段。但因为你是直角三角形，我要满足过古定律， a 方加 b 方等于 c 方吧，所以把整个斜边的平方表示出来等于这么多，好，接下来那么这一条直角边的平方表示出来等于这么多，好，接下来那么这一条直角边的平方，对吧？加上 纵坐标减纵坐标 m 的 平方，是不是 m 的 平方？好，你指的是这条线段的平方，我再加上什么呢？加上剩下这条直角边，那一样的横坐标减横坐标呢？相差两个单位 二的平方，加上纵坐标减纵坐标啊，四的平方。所以其实你会发现，那我跟大家说一下，它指的是什么呢？指的是 o a 的 平方，对吧？它指的是 o a 的 平方， 它指的是什么？指的是我们 a m 的 平方。两点间距离公式，在我们整个量的各种视频里面出现的次数太多了。好吧，你直角三角形满足勾股定律吗？ 理解了没有，所以剩下我们需要做的就是把整个方程解出来。求解方程，过程呢？哎，交个量量。那最后你会发现，也就是 m 的 平方减去八 m， 加上十六，加上一等于一，加上 m 的 平方，加上加四加十六，我索性加二十，可以吧？ 所以你会发现，喏喏，也就是我们知道负八 m 等于多少，等于移过来，等于四 c m 等于几 m， 等于负的二分之一。好，也就是我们求出来这个 p 的 坐标多少？也就是零 负二分之一，对吧？好，有量量。你去构造一个直角三角形，但是我要一个矩形的矩形在哪呢？其实你要知道，你再加上一个 q 点， q 点，它就大概在 这个位置嘛，这个位置嘛，对吧？你三个点围成了一个，呃，直角三角形之后，那 q 点在这，他不就变成一个矩形了吗？这题让我们求什么？求 q 点坐标，对吧？好，那么此时会用到平行四边形的坐标公式，什么意思呢？矩形是不是也是个平行四边形，对吧？ 哎，你这个 m 点跟我们这个 p 点是相对的点，你这两个点横坐标相加是零，你这两个点横坐标相加是一，所以这两个点的横坐标相加一定也是一。你的横坐标负一，所以我的横坐标一定是二。一样的， 你这两个相对点，纵坐标，纵坐标相加几四加负二分之一，二分之七，对吧？所以我们这两个点纵坐标相加也等于二分之七，你是零，所以我的纵坐标呢？二分之七，这个就是我们求出的第一个 q 点。好，接下来我们考虑第二种情况，也就是我们的 m 呢，它是个直角顶点， 那 m 是 直角顶点，所以我们知道。注意啊， p 在 外轴上，所以你要过 m 做垂线与外轴相交，对吧？这个焦点就是我们的 p 点，是不是一样的道理？ p 点坐标呢？我们还是令它是零小 m， 好 不好？一样的，我们用勾股定律，你连接 ap 嘛， 我是一个直角三角形，是不是？所以你要知道，你的平方加我的平方等于 ap 的 平方。好，那你的平方可以表示出来吗？其实你用勾股定，你也可以求，对吧？好，嗯，我们用两点间距离公式啊，横坐标减横坐标啊，横坐标的平方加上纵坐标减纵坐标 啊，纵坐标的平方，它指的是什么？指的是我们这条线段啊，也是 am 的 平方。好，接下来我再加上你这个 pm 的 平方，一样的横坐标减横坐标 一的平方，再加上怎么样呢？纵坐标啊，减纵坐标。哎，我们就用 m 减四好不好？哎，我们用 m 减四的平方，那么一定等于什么呢？等于整个斜边的平方。喏，横坐标减横坐标相差一个单位， 嗯，以及纵坐标减纵坐标呢？相差 m 个单位。好，这里我就不再写了啊，最终你算出来这个东西等于多少？二十加上一加上 m 平方减八。 m 加上十六等于多少？等于 一加 m 方，对吧？一样道理，你会发现一咔嚓没了， m 方咔嚓没了，对吧？所以也就是我们得到负八 m 二十加十六，三十六移过去负的三十六，所以 m 等于几呢？八分之三十六，也就是 多少？二分之九。哎，我们就说 m 等于二分之九，也就是 p 点的坐标呢，是零 二分之九的。好，那么接下来当我们求出 p 点坐标处，你 q 点在哪？你都是一个直角三角形，所以 q 点只要参与进来，对吧？就大概在这个位置，对不对？我不就是一个大大大大的长方形了吗？好，那问题来怎么求？一样的 矩形也是个平行四边形，只要是平行四边形一定满足我们的坐标公式还有什么意思呢？也就是这两个点的坐标值和你的横坐标零，我的横坐标负一， 横坐标相加等于负一，所以我们横坐标相加也等于负一，你是一嘛？所以我等于几？我等于负二，对吧？哎，我的横坐标负二，那纵坐标呢？ 纵坐标相加二分之九，所以我们纵坐标相加也是二分之九，你是四四就二分之八嘛，所以我等于二分之一。哎，这是我们求出来第二个 q 点。 好，接下来我们再考虑。屁为直角顶点，其实这种情况你不需要再讨论的。为什么呢？比方说屁点，呃为直角顶点，差不多在这，对吧？哎，就是你这个角呢，是个直角， 是不是在这里？那你这个 a m p 呢？对，它的确是个直角三角形，屁股直角顶点，但你要知道，此时如果你构造一个矩形，如果你构造一个矩形，对吧？ 哎，就你这个 q 点，差不多在哪呢？哎，差不多，我不一定在外轴上啊，我这画了一个草图，可能在外轴左边，对吧？好，那你会发现它是不是一个长方形矩形呢？是的，但这个题目有要求， 就是你的 am 只能作为矩形的边，此时你这个 am 呢，是整个矩形的对角线，对吧？哎，所以你会发现，哎，不需要再考虑了。是不是因此我们这里的 q 点只有两个， 搞定。那顺便说一下，如果违边这个条件，去掉 a m， 可以 作为对角线，怎么处理呢？一样的嘛， 你令它的横坐标零，纵坐标 m， 用两点间距离公式把这个边这个边表示出来，像我们刚才一样构造勾股方程来进行求解就可以了。那么以上就是亮亮今天跟大家讲的八类二次函数的必考题型了。那问题来了，哎，亮亮你去年也讲了二次函数大盘点，跟今天有什么区别呢？ 这个去年我们所讲的知识点非常多，也非常全，我们的面积最值问题啊，等腰三角形存在性问题啊，相似存在性问题啊，几何的临界值问题啊。而我们今年呢，会在去年的基础上做了一些补充，比方说呢，我们的图像与系数， 我们的方程与不等式，我们的轨迹应用包括呢？含餐代数临界值问题，包括区间最值定结论啊，包括我们的线段最值问题和我们举行的存在性问题。 另外呢，就是我们今年的内容更加倾向于我们这两年中考的新题型，所以建议大家这两个视频都不要错过了， 如果你的时间非常充分，那这两个一起看当然更好了。如果你说亮亮我时间很紧，我就想快速的突破一下， 冲刺下我们的中考，怎么办呢？那就建议直接看我们最新的这个视频就可以了，亮亮还给大家准备了练习题，配合使用，相信你的二次中考高分跟着亮亮无脑学习。
14.2万亮亮巧解数学
01:30查看AI文稿AI文稿同学们好，咱们现在讲解一道有关二次函数中飞机滑行的问题，咱们会相近出几道题的视频，然后大家对比来看一下这种题的区别。 呃，比如说飞机着落后滑行的距离， s 关于 t 的 函数关系式是这个，那么它是一个二次函数，他说飞机着落后滑行多少米才能停下，那么这个题从哪去分析呢？首先飞机如果是停下的话， 他滑行的距离应该是此时是最大的距离。比如说飞机从 a 处开始着陆了，那么滑到 b 处他停下，那么此时这个 ab 这个路程是飞机在滑行过程中的最大值。也就是说这个题间接的是让咱们求这个二次函数的 最值问题，那么咱们可以通过配方的方式去求，也就是说，当在二十五秒的时候， t 等于二十五秒的时候，他滑行的最大距离是七百五十米， 那么也就是这个空就该填七百五十米。这个题大家不要误会啊，不要说是不是我让 s 等于零的时候，他才是最大的，那不是啊， s 等于零的时候，他是刚开始着落的时候， 刚开始着落的时候啊。所以说这个题是求顶点重坐标，而不是求与 x 轴交点坐标，因为这个 s 本身表示滑行的距离，实际上这段这个函数它的有效函数只有这一小段， 其他部分就是飞机已经停下了，这是二十五秒的时候，对呢，是七百五十啊。好，这题给大家讲解到这里。
24盘锦数学海红老师
03:24查看AI文稿AI文稿好，前两节课我们学习了什么呀？源于几何的综合解析对不对？今天我们来看一下中考的另一个必考点和常考点，那就是二函数， 这一题是他们这次二模考试的数学试卷的最后一题，大家不要一听到最后一题就觉得这一题肯定很难，或者说一定写不出来这种。但事实上，二次函数的 如果作为最后一题的话，这其实是一个大部分学生可以拿到的分值。那下面我们就来看一下这一题。 首先他说了已知抛物线 y 等于负， x 平方加 b， x 加 c， 那 么我们从这里面能看出来什么呀？他给了一个信息，就是 a 是 等于负一的，好 的，顶点为 p， 也就说 p 是 这个函数的顶点，与 x 轴交于点， a x 一 零， b x 二零。好，这个题目就这么多，那我们首先我们来看第一问， 若 x 一 加 x 二等于二， x 一 乘以 x 二等于负三，这是什么呀？他这给的是什么呀？就是伟大定律。 那他给这个我们就能得到什么呀？ x 一 加 x 二，它就等于什么呀？ 它就等于负的 a 分 之 b， x 乘以 x 二等于 a 分 之 c， 好，他是不是又给了这两个的值，他就等于二，他就等于负三。那么好，我们分析题目可以得到什么？ a 等于负一，对不对？那么事实上我们的 b 是 不是和 c， 是 不是就能求出来啊？ b 就 等于二， c 就 等于三。好，那我们就能得到什么呀？这个抛物线的表达式就是什么呀， y 等于负， x 平方加二， x 加三，对不对？那么好，我们再来看他叫我们求什么呀？ 求抛物线的顶点 p 的 坐标对不对？那好，他是叫我们把这个式子换成什么呀？顶点式对不对？他就等于提一个符号出来， s 平方减二， x 减三， 我们能看出什么？这是负二，对不对？那么很明显我们就可以把它画成什么呀？平方减二， x 加一，减一减三， 那这个是不是大家都是数值的，就等于负的 x 减一的平方，然后把这两个数提出来就是四？好，我们把它画成顶点式了，你看是不是特别能的清晰的看出来 p 的 坐标就是多少一四， 你看这题就这么轻而易举的解出来了，并不是说压轴题就一定很难，他肯定会有一两小问，也是给分的，对不对？好，我们这节课就到这里，我们等下节课再来跟大家说第二问。
08:10查看AI文稿AI文稿hello， 各位同学，大家好，让我们开启今天的冲刺，今天的话，杨老师带大家完成一道二次函数的题。我们先来看题， 如图，在平面直角坐标系中，直线 y 等于二分之三， x 加三与 x 轴外轴分别相交于 c、 d 两点。抛物线 y 等于负的四分之一倍的 x， 减二的平方加 k， k 为常数，经过点 d， 且交 x 轴于 a、 b 两点。 第一，求抛物线表示的函数解析式。第二，若 p 为抛物线的顶点，连接 addp cp， 求四边形 a、 c， p、 d 的 面积。我们来先看第一个题， 第一个题的话，直线是一次函数，这个解析式是告诉我们的，它与 x 轴的和 y 轴的交点分别是 c 和 d。 抛物线的话，其中含有一个未知常数为 k， 它与 y 轴相交于 d 点，与 x 轴相交于 a 点和 b 点。那么第一位让我们求二次函数的这个解析式。 由于二次函数的话，只有一个未知数为常数 k， 我 们只要求出这个 k 的 话，就可以求出来这个解析式。那么我们观察图像的话，这个地点的话，它既在一次函数的图像上，又在 抛物线的函数上，所以的话，我们只要求出地点的这个坐标，然后带到这个抛物线的解析式中，把这个 k 求出来，就能够求出来这个完整的解析式。我们知道这个一次函数的解析式， 那么当一次函数的解析式中 x 等于零的时候，我们就可以求出地点的纵坐标，那么这样的话就能求出地点的完整坐标，再带到抛物线的解析式中，就能求出这个 k。 下来的话，我们来书写一下这个答案。 八、 x 等于零，代入 y 等于负的二分之三， x 加三中得 y 等于三，所以的话，我们知道点 d 的 坐标的话是零三， 我们再将点 d 的 坐标代入 y 等于负的四分之一倍的 x 减二的平方，加 k 中， 我们可以得到负的四分之一倍的零减二的平方，再加 k 等于三，我们减得 k 的 话是等于四的，即抛物线的解析式为， y 等于负的四分之一倍的 x 减二平方再加四。 好，我们现在来看第二个题，第二个题告诉我们 p 点为抛物线的一个顶点，那么抛物线的解析式有的话，那么这个这个解析式的话正好是顶点式，所以的 p 点的坐标很容易得到是二四。 然后让我们连接 a、 d， dp， 我 们先连一下，连接 a， d， dp 是 连起来的，然后还有 pc 也是连起来的，那么就是这样， a、 c、 p、 d 这样一个四边形，我们观察知道的话，因为 pc 它是垂直于 x 轴的， 这个是题干在这标出来，但是这个的话需要我们等会来正的，然后 o、 d 它和 o c 是 垂直的，那么这样我们分一下的话，可以把这个四边形 a， c， p、 d 分 成这个 o， c， p、 d 和三角形 o， d， a， 那 么我们只要知道这个 a、 c、 p、 d 等的坐标的话， 那么这个梯形和这个三角形的面积我们都能求出来，然后这个大的 a、 c、 p、 d 的 话，它的面积等于这个右边的这个梯形，再加上左边的这个三角形的面积，我们就能求出来。所以的话，我们现在的重点的话就是求这几个点的一个坐标， 我们下来来书写一下这个答案，看一下这些坐标是多少 由一，我们知道抛物线的解析是 为 y 等于负的四分之一的 x 减二平方加四，所以点 p 我 们很容易求出来，就是二和四。 我们再来看一下这个 c c 点的话，它是依次函数与 x 轴的一个交点，所以将 y 等于零代入一次函数的解析式中，代入 y 等于负的负的二分之三， x 加三中得 x， 这个我们解出来的话是二， 所以的话这个点 c 的 坐标就是二和零，所以我们现在知道点 c 的 坐标是二零点 p 的 坐标是二四，那么 p 和 c 的 横坐标相等，所以的话这个 p c 它是垂直于 x 轴的，这个的话我们等会来说明一下。所以我们现在得到 pc， 它就是 p 点的纵坐标等于四，然后 oc 的 话，它是 c 点的横坐标，它等于二。我们现在写又因为 p 二四和 c 二零 横坐标相等，所以我们知道 pc 它是垂直 x 轴的，这个垂直 x 轴有什么用呢？ 我们观察一下，在四边形 o c， p d 中的话， p c 它垂直于 x 轴，那么这个 o d 的 话，它和 o c 正好是 x 轴和 y 轴形成的这个夹角，所以的话这两个角都是直角，所以的话四边形 o c， p d 的 话，它就是直角梯形。 我们现在再来看一下这个 o c 和 p c 求出来了，然后 o d 的 话，我们需要知道 d 点的坐标，由于 d 点的话，它的坐标我们第一问的话是知道的， 又因为 d 点的坐标的话是零三，所以这个 o d 它的长度的话是等于三的，所以在直角梯形， 在直角梯形 o c， p d 中， 这个梯形的面积现在我们就能求了。 o c， p d 等于二分之一， 上底加下底 o d 加 p c， 再乘 o c 等于二分之一，乘三，加四，再乘以二，等于七。然后 o d， 我 们知道 o a 的 话，我们需要知道 a 点的横坐标， 那么我们现在来求将 y 等于零代入抛物线的解析式。 y 等于负的四分之一倍的 x， 减二的平方再加四中 得 x 一 等于负二 x 二，它是等于六的。显然， a 点的坐标的话，它是一个横坐标的话，它是一个负的。 所以我们就很容易知道 a 点的坐标的话是负二零既 o a， 它是等于二的。所以三角形 o a， d， 它的面积的话等于二分之一。 o a， o a 再乘 o d 等于二分之一，乘二，再乘三等于三。所以这个四边形 a c， p d， 它等于这个梯形的面积。 o c， p d 再加三角形 o， a， d 的 面积等于七，加三是等于十的。
46初中数学杨sir
05:23查看AI文稿AI文稿我要，所以和 y 做交 点，不能一句话说完，左右两边分开走， 别说一直等。这句话一出口，老师听了就口， 别再糊涂看不是 十字点。讲完，接下来进入立体实战。立体三、对于二字函数 y 等于负的括号 大量说法正确的是哪 一负四，因为 a 等于 一直数范围内，没有最大值，在看区间负一小于等于 x 小 内，所以最小值就是顶点的 y 值。负四最大值要看两个短点，当 x 负一减一的平方减四等于四，减四等于零，当 x 等于二，是 y 等于括号二减一的平方减四。 负三，较大的数是零。所以当 a 一 般是先配方区间最值看顶点和端。
295数学rap思维
01:55查看AI文稿AI文稿同学们，今天我们来学习二次函数与角度问题。第三课时，大家可以暂停几分钟看一下题目，或者尝试做一做，等会再看我的讲解。 现在我来讲讲这道题怎么解。第一步，利用特殊角度构造直角三角形。如图，点 p o c 加角 o， c e 等于四十五度，也就是角 o， t e 等于四十五度。 由四十五度角可以联想到构造等腰直角三角形具体怎么构造会使得解答过程更简单呢？我们不妨分析一下， 这四十五度角涉及了三个点，两条线，要么做 o t 的 垂线段，要么做 t e 的 垂线段，哪个会更好呢？答案是，做 t e 的 垂线段。 原因是 t e 在 线段 c e 上，而 c e 是 固定不动的，也就是说，做 t e 的 垂线段相当于是做 c e 的 垂线段。这样我们就构造出一个等腰直角三角形了。第二步，利用等腰直角三角形构造一线三垂直模型， 也就是过 f 点做 f h 垂直， x 轴加 x 轴于点 h， 得到两个三角形全等对应边的长度以及点的坐标。 第三步，用待定系数法求直线解析式，得到 c f 的 解析式为 y 等于 r x 加三。 在由图中的两个四十五度角又可以得到 c f 平行于 p o， 所以 两条直线的解析式 k 值相等， p o 的 解析式为 y 等于 r x。 最后连立直线 p o 和抛物线解析式就可以求出点 p 的 坐标了。
08:13查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天呢，咱们接着讲万维中考的高频考点，我们来讲函数的实际应用，这可是中考数学的核心大题，不管是一次函数、二次函数还是反比例函数，考法呢，都很固定，掌握了方法就能够稳稳拿分。来我们看题， 某品牌的新能源汽车售后服务有两种方案，私人充电桩有安装费，然后充电服务费是一度零点六元。公共充电桩呢，没有安装费，直接一度是一点五元。 综合情况下呢，充一度电可以行驶八千米，然后设充电方式为安装。私人的总费用是 y 一， 公共的是 y 二，累计充电的度数即为 x， 他 把未知数都给咱设好了，让我们求 y 一 y 二与 x 之间的函数关系式，那就是 y 一 等于多少， y 二等于多少，写出来就好了， y 一 是多少？两千七加上零点六 x， y 二呢？一点五 x， 能不能直接这么简单的写在这里？不行啊，我们这是大题，要有几。 那我们设私人充电桩，它的函数表达式为， y 一 等于 k 一， x 加上个 b 一， 这里面的 k 一 不等于零， 然后再设另一个 y 二等于 k 二， x 加上个 b 二，这里面的 k 二不等于零。然后再把这里面的数两千七是 b 一， 然后 k 一 为零点六，这里面的 b 二为零， k 二为一点五，要把这个给它序数上去，然后再写。答， 哎，我们看第二问，两年内居住在同一个地方，每年行驶一万千米，分析它用哪种充电方式，共划算一万千米需要多少电， 除以多少，除以八八。在这里一度电跑八千米，它是等于个两千五百度的电， 两千五百度是个 x 啊，我们代入到 y 一， 再代入到 y 二，我们的 y 一 是多少来着？零点六， x 加上两千七， y 二是个一点五， x 把 x 等于两千五带进来， y 一 就等于个四千二， y 二呢？ y 二是等于个三千七百五，它俩一对比，选谁？选 y 二， y 二是什么？是公共充电桩。 关于依次函数的是不是很简单？来，我们再来做下面这道题。 来，我们看第二题，拱桥上的各点，最高点左侧为负，右侧为正，然后任意找一个点，量它的距离水平距离为 x， 数值高度为 y， 然后记录下来。第一问，让我们根据表中的数据描点连线， 画函数图像，再求表达式，自己去在上面找找点，连一连，然后画出来的，它就是一个曲线，就是一个二次方程。 那我们设它的表达是设 y 等于 a， x 方加上 c， a 不 等于零。那又问了老师， a x 方加 b， x 加 c 啊，你的 b， x 去哪里了？我不要，我为啥不要？对称轴是 y 轴，所以它的 b 为零， 然后呢？选两个点代入，选谁呢？选这俩，这俩好代呀。 x 等于零， y 等于八等于 c， 也就是它就等个八， c 等于八，然后这个点带进来，我们求出来的 a 是 个负的零点零八，所以 y 就 等于负的零点零八， x 方加上个八，完了没有？没有啊， x 大 于等于负十小于等于十， 划线的时候也不要超过这个点，也不要超过右面的十啊，一定要不要把这个忘了，重点呀，这个颜色不太好。重点 来，我们再来看。第二问，说施工人员要装两个桥墩，高为四， 这里是四。现在呢，要在横杆 c、 e 上方再设置一个面积为十八平方米的矩形广告牌儿，矩形广告牌儿的长和宽是整数， 且矩形广告牌关于抛物线拱形的，它这条线对称，让我们设计一个广告牌的设计方案，我们这个方案设计出来之后，是不是能刚好在这或者说低于它？不能是这样子的，也不能是这样子的，对吧？ 那十八平方米，它长宽均为整数，一共有几种方案呢？一乘十八， 第二种二乘九，第三种三乘六，第四种，六乘三，第五种，九乘二，第六种十八乘一来，肉眼可见，排除谁 换个笔的颜色。十八能不能要？不能，为啥？这是长，这是宽，它宽都十八了，这个 m 点总共才八，这里又是四，所以说宽大于四的都不能要，它不能要，它也不能要，那长呢？把 y 等于四， 代入我们刚才求的 y 等于负的零点零八， x 方加上个八，我们求出来， x 一 是等于负的五倍根号二， x 二是等于五倍的根号二，所以它俩的距离是个十倍根号二， 它能不能要？不能要？超了？剩下这俩行不行？看是可以的，六九都在范围之内，三二也都在范围之内，但是呢，当 它的长为六，或者说长为九的时候，它的宽加上这个四有没有超过这个点，我们再给它求一下就行啦。当长为六， 也就是说 x 就 等于六比二等于三的时候，我们的 y 是 等于个七点，七点，七点多少来着？我看一下啊，七点二八， 七点二八，然后这是四，这是三，四加三小于七点二八，也就是说并没有碰到这个桥，所以它是可以的，那么当长为九，也就是 x 等于九比二等于四点五， y 等于多少呢？ y 是 等于个六点三八，六点三八行不行呀？来，它的宽是个二，二加四 等于个六，小于个六点三吧，所以它也可以，这两个方案都可以选一个都 ok。 好， 我们今天的题目就到此结束了，总结一下呢，函数它的实际应用就三步，第一步，定模型，看它是一元方程还是二元方程， 然后呢，把它的解析式求出来，根据题目中给出来的点，把它的解析式求出来，再结合提意去确定它的取值范围。取值范围一定不要忘了， 关于函数的实际应用思路呢，就是这样，把这两套题自己下去再看一看，那么满分，这种题拿满分就轻松拿捏了。好，我们下次再见。如果还想继续听这种 类型的题，我们就点个关注吧，后续呢，我们就继续去刷万维的高频考点，把它的类型题都给大家讲解一下，好，拜拜喽！
14小初爱学习
01:50查看AI文稿AI文稿同学们好，咱们接着讲一道爆竹升空的问题，那么这这几个题咱们连续讲，这几个视频都是有关二次函数的实际应用的题， 那么爆竹在呃空中上升的时候，它上升到最大高度的时候，它就开始爆炸了，就是这样的过程啊。所以说这个题间接的，咱们读好题之后也是求顶点中坐标的意思，也就是说当它上升到四十五米高空的时候，它 就点燃了，大家一定要注意这个特点啊，不是说令 h 得零，令 h 得零是他落地的时间了，落地的时间了。其实咱爆竹的话，咱们不考虑他多长时间落地啊，就是当点燃那一刹那，他升空了， 升空，比如说是三秒钟升到最高高度，那不一定落地也用三秒钟，因为他那个爆炸前后他那个质量啥不一样啊。所以说这咱不要讨论，咱们只需要读懂题，这个题就是求顶点，重坐标，求这个知识点就可以了。 呃，现在连续讲了三个这样的实际应用，大家可以对比一下啊，就是飞机停机的问题，汽车刹车的问题，还有爆竹声空的问题，当然咱们还有后续。呃，咱比如说，比如说扔铅球，就是体育项目中这个铅球、铁饼、标枪， 那么这些个都是求的是远度，都是跟远度有关系。那比如说，嗯，你跟高度就没有关系了，比如说用 h 来表示标枪上升高度，他给你一个解释，那么像这样题让你求标枪的成绩，咱们肯定是 h 等于零的时候得的那个结，对应的结果是标枪的成绩。 那所以说这一定要注意这些细节，就是撇标枪和汽车刹车他们的区别啊。如果 h 代表标枪的高度，因为标枪的话它有一个最高度，它要下降的呀，所以它下降地面的时候，它运行的这个，当 h 的 零的时候，咱们所对应的才是它的成绩。好这几个题咱们也讲到这里。
46盘锦数学海红老师
13:14查看AI文稿AI文稿好看，今天这个题啊，今天这个题呢，好几个同学在问这个是，呃，你们解析与检测上， 呃，就想想是上册的第几页，忘了，昨天那个同学给我说了啊，一个亚洲题。呃，我还是说一下啊，这个亚洲题呢，嗯，平时可以练，但是如果你是一百一十分啊，少练第三问什么意思？ 呃，因为可能练这一道题你需要半个小时四十分钟是吧？然后，但是呢，你一百分以内的题，哎，还没有做特别熟的那那道练那样一道题可能只需要十分钟，对吧？你练一个这个顶练四个那个三个那个，对吧。 所以尽量先把中等题啊，基础题中等题的分拿满分，然后再去刷这种题目，好吧，然后，呃，我来讲讲这个题，然后你们， 呃，这个可以反复听好吧，可以反复听，我讲的细一点就行了啊。前两问比较比较简单啊，第一个他说抛物线经过一零啊，就一个未知数，一个参数 a， 对 吧？那所以直接把 a 带进去，直接直接把一零带进去就行了，对不对？ 接着把一零带进去，然后得到这个 a 等于六啊，所以这个解式答案呢是答案呢，就是 a 等于六啊，这个解式确定了，就是 x 平方减六， x 加五，对吧？ x 平方减六， x 加五，所以这个函数是确定的， 开口应该没那么大， v 是 一嘛，对吧？好，然后对称轴负二， a 分 之 b 是 几呢？是 x 等于三，然后就想想啊，这应该是这样的， 哎，好，大概图像就这样了啊。 x o y x 等于三交点，这个点是一零，这个点是五零对称吧，对吧？ 嗯，这个交点是几，这个交点是零五，对吧？与 y 轴的交点 c 啊，定点坐标，定点坐标多少我忘了算。定点坐标是三负四，好像是吧？ 应该是啊，三负四。然后这个时候呢，说了啊，你看第二问，他说过点 a 零 t， 那 你看，我们说这个 a 的 横坐标是零啊，那零横坐标是零的点通通在哪？在外轴上，对吧？通通在外轴上， 与 x 轴平行的直线啊。过点 a 且与 x 轴平行的直线，那与 x 轴平行的直线随便画，与 x 轴平行的直线什么相等？纵坐标都相等，对不对？然后呢，它与抛物线交于 b 点 c 点， 那我们说与一条横线与抛物线交于 b 点 c 点，那么这个时候 b 点 c 点一定是关于因为纵轴外相等吗？一定是关于对称轴对称的，对吧？一定是关于对称轴对称的，因为它的外相等， 然后下一个条件切 b， 是 啊，这是 a， 是 吧？这是 a， 切 b 为线段 a 四的中点啊，但那这个位置不对，对吧？因为再再怎么样，再往下点，是吧？再往下点随便画，老师画的不像不像没关系啊， 大概位置就行。好，就比如说在这，这是 a 点啊，这是零 t， 这是 b 点，这个焦点是 c 点，对不对？所以这个时候呢， 我们就说这个他俩对称了吧，哎，他俩对称，然后 b 点呢？是这个终点，对吧？ b 点是终点，然后呢？这个时候，那，那老师这咋弄，这个题咋算呢？那你看， 因为 b 点是 a 点和 c 点的终点，对不对？那所以这个时候终点坐标公式是什么呢？终点坐标公式是， 呃，二分之 x 一 加 x 二，任意两个点啊。二分之 y 一 加 y 二，这就是重点，对吧？重点坐标两边的，简单来说就是两边的加起来除以二就是中间的，对吧？好了，这个时候， 呃，这里边两个中点啊，第一个是 b 是 a， c 的 中点，然后第二个是这个，这个，这个 b 和 c 是 不是关于对轴对称的？那么这个点其实也相当于是 b 和 c 的 中点的点，对吧？那比如说 先看得，因为啥呢？因为得，这知道啊，是吧？因为得的横多标是三，所以呢，我能这样说，比如说，我设 b 的 横多标是 a 啊，光看横的标就行啊，光看横的标就行， b 的 横坐标是 a， 那 么 c 的 横坐标会不会表示？想想动动脑子，因为 得。再说一遍啊，得是 bc 的 中点，然后得是三，横得的横坐标是三， 然后呢？呃， b 的 横的边是 a， 所以 c 的 横的边是多少呢？那这个时候量中点坐标公式是不是应该 b 的 加 c 的 除以二是得的，对不对？ b 的 加 c 的 除以二是得的。那意思就是， 呃，中间的得先乘以二，是不是减去一边的就是另一边的？你看啊， 比如这是 b 吧，不好描述啊，因为你们看不到 a 加 b 除以二是不等于三，两边的加起来，除以二是中间的，对吧？所以你就能看出来，你就能算出来 a， b 等于多少 a 呢？你看把这二乘过来，是不是 a 加 b 等于六， 所以 b 等于多少？六减 a 是 吧？ b 等于六减 a， 那 好了，这个时候 c 我 们也可以换成一个字母呢，那这就是多少？这就是 六减 a。 哎，重的不管不知道，不用管它啊。那，那这个时候来看啊， 那这是根据 bc 的 终点得得出来的这个关系，接下来就看 a b， c 就 行了。 a， b， c， b 是 a， c 的 终点，那一样的， 那怎么办？两边加起来除以二，中间的那就是两边的是 a 加 c 除以二是 b 吧，那就是零加六减 a 除以二就等于 a 就 完了， 所以这个时候六减 a 就 等于二， a， 对 吧？ a 等于二，对吧？所以 a 等于二， a 等于二， a 是 什么东西？ a 是 b 点的横的标呀，对吧？这你一定要认真听这个啊。一个是根据的是 bc 的 中点哎，得出来 这个 b 和 c 的 坐标的关系，然后再根据 b 是 a， c 的 中点啊，得出来这个 a， a 的 关系，对吧？算出来 a 等于二嘛。这个时候 a 等于二， a 是 什么？ a 是 b 点的横坐标，我们要求的是 t， t 是 什么？ t 是 b 点的纵坐标，对吧？所以这个时候只需要把 x 等于二代入解一式就行了，对不对？所以把 x 等于二代入啊，代入？代入是多少？呃，二得四，四减十，二加五，对吧？然后 y 等于， 呃，负三，对吧？ y 等于负三，好，所以这是第二问，你们可以反复听啊。哎， t 是 负三啊， t 是 负三，你们可以反复听，然后这是 呃第二问啊，这是第二问。到这，绝大部分同学坐到这就可以了，明白吧？先把前面的基础题、中等题拿到，然后再把第三问讲讲看。好啊，解式是固定的， y 等于 x， 平方减六， x 加五，好， 他说 x 图像还是这样的，图像还是这样的，这是 x 等于三， 这是 x 轴，这是 y 轴，好。 x， 呃， m m 小 于三，小于 n 就是 m 和 n 是 不是就在 对称轴的左右两边，对吧？因为 m n， 你 看 m n x 大 于等于 m 小 于等于 n， 那 么 m n 是 横的边啊，对不对？就是横的左右的范围，对吧？那 m 小 于三， m 在 三的左边，大于三， n 在 三的右边，对吧？一左一右啊，在对称轴的一左一右，记住了啊， 抛物线的一段啊，你看抛物线的一段加在两条均与 x 轴平行的直线， l 一 l 二之间啊， l 一 l 二之间，然后两条横线啊，那他说两条横线之间的距离为十六，那啥意思？纵坐标的差是十六，对吧？你比如说一条横线在可可下边这儿， 是吧？另一条横线呢？就在他的上面十六个单位就行了，对不对？纵坐标差十六，然后随便画看，随便画，这是 l 一， 这是 l 二，可以吧？那这个时候，那你看，这样的话，在抛物线是不是在这两条直线之间有一部分 不大明显啊？就这吧，是不是这段？所以这段，那他问的是啥呢？他问的是 n 减 m 的 最大值啊， n 不是 大吗？ n 在 右边， m 在 左边，所以 n 减 m 的 最大值是不是就是最大的横坐标的差， 对不对？就是抛物线啊，这一段上最大的横坐标的差，那应该是从这是不是到这，对不对？所以你说老师，那为什么不能再往下点，或者再往上点？来，我们演示一下，好吧，你如果这条线啊，如果这条 横线再往下，你看啊，下边不用管，它下边超出就行了。然后比如说 l 一 跑到这来了， l 二在这，那你是不是最大的横的边这一段吗？现在该这一段了，是吧？在在这两条之间之间的吗？ 就这一段了，那它的横的边差最大，是不是从这到这，对吧？你只要再往上移，越来越大，哎，越来越大，越来越大，越来越大，你说老师往上无限吗？不对啊，因为这两条线的 纵坐标差是固定的，你这条线往上平移， l 一 往上平移， l 二也是往上平移的，对不对？那平移到什么时候最大呢？来， 所以要多画图啊。那平移到什么时候最大呢？如果下边这条线 过顶点啊，这是 l 二，那这个时候 l 一 在多少？刚刚他顶点写了多少？三负四，对吧？三负四，那所以它的往上十六个单位啊。负四，因为重坐标嘛，是吧？十六个单位是多少？ 嗯，负四加十六嘛，那是正十二，是吧？正十二，正十二应该很往上啊，很往上，这样在这，所以，那这个时候的 这就是 n 十六，这就是 m 十六，知道吧？纵轴，呃，不是啊，十二啊，十二，对，这是十二，因为从负四开始的嘛，一个是 n 十二，一个是 m 十二，对吧？那所以这个时候呢？ n 和 m 的 差是最大的， 对吧？这个时候的横坐标的差就是从 n 到 m 是 最大值，那这个怎么算呢？那这不是点的纵坐标，知道了吗？点的纵坐标是多少？点的纵坐标是负十二，正十二，对吧？那所以 y 等于十二，代入就行了。 y 等于十二，那就是十二等于 x 平方减六， x 加五，对吧？所以解出来 x 一 等于多少呢？就看啊， x 等于负一啊。 x 二等于正七， 所以这个时候，呃，那最大的这个负一就是 m 嘛，对吧？负一就是 m 左边的，然后七就是 n， 就是 右边的，所以这个时候最大值等于几？最大值等于八。答案等于八。你说老师那下面的看明白了是吧？因为他与往上相交，然后交点之间的距离 和左右距离越来越大吗？那能不能再往上？那再往上我们看看啊？再往上，如果我把 l 二算了，我不擦。原来了啊，如果 l 二也往上看， l 二现在跑这来，那么这个时候他说的是一段啊，那你得出来的要么只有这一段， 对吧？要么只有右边这一段啊，要么只有右边这一段。从这开始的右边这一段，那都不符合题义啊，为啥呢？因为我们要的是 m 小 于三，小于 n， m 必须在左边， n 必须在右边来，对吧？这两个点必须在三的一左一右，所以这种情况就不成立了，明白吧？所以呢，最大值就是刚才的过下边的线，过顶点 上面的线啊，就是中的标，加个加个十六就行了啊，就这意思。所以这是这道题目，这比较典型的一道题啊，你们把中间的那个画图啊，好好琢磨琢磨。
145迅速点👏👏👏
01:16查看AI文稿AI文稿同学们，今天我们来学习二次函数与角度问题，第四课时大家可以暂停几分钟看一下题目，或者尝试做一做，等会再看我的讲解。 现在我来讲讲这道题怎么解。如图，点 m 为直线 b q 下方抛物线上的一点填减角 m b q 等于三分之一。由锐角三角函数联想到要构造直角三角形， 具体怎么构造更好求呢？那肯定是过已知点做已知线段的垂线段会更好求了，也就是过点 q 做 q， d 垂直于 b q， 交 b m 于点 d， 这样我们就可以得到 q d 比 b q 等于一比三。进而想到构造两个三角形相似，也就是过点 d 作 d h 垂直 y 轴得到三角形 bo q 相似于三角形 q h d 个边的长度以及点的坐标。利用待定系数法求出 b d 的 解析式。在连立直线 b d 和抛物线解析式就可以求出点 m 的 坐标了。
00:18查看AI文稿AI文稿中考数学最难的二次函数的应用！六大类型练会不丢分题型一，利润最值问题。题型。二，图形面积最值。题型。三，动态抛物落地模型。题型四，分段二次函数综合。题型五，图形运动问题题型六，新定义表格图像。
18也是（进裙岭）
18:52查看AI文稿AI文稿好，各位同学，大家好，我们今天来看一下贵州省模拟中考数学试卷第二十四题，二次函数这道题，它和我们遵义物川啊， 那个红花岗区，这些红花岗区我们看啊，遵义红花岗区考的是那个水火界啊，这里有个发射平台，然后呢，这边有个回收平台，那个是一样的考法啊。第三问其实也不是那么很难， 那么第一问呢和第二问啊，它是属于我们的简单题，特别是第一问啊，你看我们 o a 的 高度是五分之二，所以说这个时候我们就能得到 a 的 坐标 是零五分之二，然后喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为五啊，抛线为一，与礼花筒 o a 的 水平距离为一米的时候，达到最大高度，那这个这两句话讲的就是什么？他的顶点坐标 是一五分之八，然后之后火星岩原来抛物线继续运动，抛啊，落到地面上的这个 b 点。第一问，求抛物线 y 一 的函数表达式， 那我们求二次函数，我们说知道顶点坐标，我们就可以把它设成顶点十啊，所以说第一问啊，尤体 可是 y 一 等于 a 倍，括号 x 减 e， 括号平方加五分之八，然后呢，我们将点 a 的 坐标零五分之二代入 y 一 的，那就把 x 换成零零减一，负一再平方啊，一乘以 a 说 a 加上五分之八， y 换成多少呢？五分之二解得，这样就能解出 a 负的五分之六，所以这个时候我们抛物线 y 一 的函数表达式 就为 y 一 等于负的五分之六，括号 x 减一，括号平方加上五分之八 啊，这第一问我们就这样轻松的搞定，那么第二问呢，小明点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为三米的这个地方，问是否存在安全隐患，请说明理由。那这个题啊， 我们来分析，如果小明站在恰好站在 b 点，他是不是有安全隐患，然后或者他站在 b 点左边一点点 啊，因为他有一个身高啊，对不对？你这样落下来是不是也有可能存在安全隐患？那只有站在哪里啊？不会有呢？站在 b 点的右边或者啊，他的身高告诉我们的话，你看这个是五分之八，五分之八大啊，就是一点六米。假如说小明啊，身高比一点六米要高，他站在左边任何一个地方是不是都有安全隐患， 对不对？所以说这个时候啊，我们站在 b 点右边，它就不存在安全隐患， 所以这个是这样分析下来的话，我们就有两种计算，我可以把第一问当中的这个 y 一 令它的啊 y 等于零，算出 x 啊，然后拿来和这个三作比较， 如果比三小，你就说什么意思呢？你令这个 y 一 等于算出来的 x， 是 不是就相当于能求出 b 点的横坐标， 拿来和三做比较，如果比三小，哎，它就不存在，如果比三大呢，它就存在安全隐患 啊。还有一种算法是什么呢？我们就可以把 x 点三带到 y 一 当中去啊，我们来看这个时候啊，它的 y 是 这样的，所以说我们这里我选用的是第二种方法啊，我们当 x 点三是 我们 y 一， 它是等于负的五分之六乘以三减一括号的平方加五分之八， 这个算出来是多少呢？三减一得二二，再平方四，负的五分之六乘四，那就是负的五分之二十四加五分之八，那就负的五分之 十六，他是这样的，是不是小于零的？哎，有的同学做到这里，他说，老师为什么这个时候是负的？哈，好，那我来解释一下，如果这个地面不存在情况下，我的这个烟花的抛啊，他的运动路径是不是要继续这样下来？ 那比如说这个点，我这样这样运动下来，我比如说这个点，它的这个中坐标啊，刚好是负的五分之十六，那么也就是说它的横坐标是不是就一定是在 b 点的右边 啊？它是小于零的，所以这个时候我们就能得到 o b 是 一定小于什么呢？三，那所以这个时候我们小明 不存在安全隐患， 这是我们的第一问和第二问是很简单的啊。那么第三问呢？他和我们遵义红花岗区的那个烤的那个水火剑就有异曲同工之妙了啊。我们来看 射喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花铺，且抛物线的顶点都在这条直线 y 等于 五分之六， x 加五分之二。下如图三，其中一条抛物线 y 二，表达式告诉我们，与这条直线 y 等于五分之二相交于点一 a 一 点是不是现在是一个定点？ 然后设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为 y， n 等于 x 平方加 b， x 加五分之二，且与直线 y 等于五分之二相交于点 f， 经测算 ef 小于等于五分之二，那我的 f 是 不是有可能在一点左边，也有可能在一点的什么右边？而且这个时候我们能得到 f， 它往左是不是最多 五分之二个单位，往右也是最多五分之二个单位，所以这个时候我们就能够可以把 f 的 零界零界点给它求出来， 求出零界点以后，再带到这个 y n 里面来，就可以把 a a 的 这个取值范围给搞定好。我们来看一下这个第三问， 那么现在比如说哈，我是不是要先求 e 的 坐标，因为 y 二与这条直线交于点 e 嘛，所以说稳定。 y 二等于负的二分之三，括号 x 减五分之四，括号平方加上二十五分之三十四等于五分之二，那么这个是可以解出 x 的 负的啊。五五分之二十五分之二十五分之三十四，移过去，这个是二十五分之十咯。二十五分之十减二十五分之三十四，那就是 二十五分之 负的二十五分之二十四。然后把这个负二分之三除过来，那就乘以负的三分之二，这里约掉一个三，这是八，那就是负负的正二十五分之十六。 所以我们开方，那就是 x 减五分之四，左边是剩下这个等于二十五分之十六开方， x 减五分之四等于正负五分之四，所以 x 一 算出来是负五分之四，移过去正的五分之四，那就是五分之八。然后如果是负的话，这个移过去五分之四减五分之四。 x r 是 零，所以这个我们要这样来舍去 啊，为什么有个零呢？就是相当于它在 a 点的时候， y 也是负的五分之二。好，所以这个时候 e 点的坐标就多少呢？ 五五分之八，五分之二，然后因为我们的 e f 它是小于等于五分之二的， 所以我们就能得到 f 的 横坐标，它是大于等于我五分之八。往左数五分之二个单位，是不是得到 f 的 横坐标，是不是就是五分之六？ 往右边数五分之二个单位，五分之八加五分之二，那就是五分之四就是二。好， f 的 啊横坐标的取值范围我们求出来了，那么如果我再把 f 的 横坐标啊的这个关系也搞定，那么你看，如果我们来分析，按照这个图三， f 在 这里的时候， 那么它的顶点在这里， a 点和 f 点是关于它的这个对称轴对称的， 对不对？所以说这个时候我们 f 的 啊这个横坐标求出来了，那么他根据我们的这个对称性，我们就可以求出 f 的 啊， a 左边的这个时候，它的这个对称轴，那就是这里是零，这里是五分之六，那这个数就是我们 x 等于五分之三呢，对不对？也就是说这个时候 y、 n 它的对称轴是五分之三， 那么这个点，这个点他的横，比如说这个点他的横坐标是五分之三，我把这个五分之三带到这条直线上来，因为他顶点坐标是在这条直线上的，所以说顶点的重坐标是不是也出来了？哎，所以说这个时候我们就要分类讨论， 当 f 的 坐标为五分之六，重坐标是五分之二的， 此时啊，我们抛物线 y、 n 的 对称轴 为直线， x 等于 二分之零加五分之六，那就等于五分之三。好，我们当 x 等于五分之三时， 我们求它的重坐标喽，点点重坐标，把它带到直线里面来，那就是 y 等于五分之六，乘以五分之三加五分之二， 这是二十五分之十加五，这个是二十五分之十，那就二十五分之二十八， 所以这个时候 y n 它就等于什么呢？你看这个就是顶点横轴表，这个就是 y n 的 顶点的纵轴表，那就是 a 倍，括号五分之三哦。 x， x 减五分之三，括号平方加二十五分之二十八，让它啊。 这个时候抛物线 y、 n 的 这个表达式，我们就可以这样表示出来，然后 f 点是不是在上面，所以我们加 f 的 坐标是多少呢？五分之六，五分之二代入 y n， 把 x 换成五分之六，五分之六减五分之三，那就是五分之三。再平方二十五分之九，二十五分之九 a， 然后加上二十五分之二十八 y 换成五分之二，你看这样我们就能解出一个 a， 解的 a 等于多少呢？这个移过去是负的二十五分之二十六，然后乘除以它，那就乘以九分之 二十五，这样约掉我看看那个地方有没有算错啊？ 二十五分之十八加二十五分之十，二十五分之二十八，五分之六带进来五分之三，再平方二十五分之九， 哦，这里，这里算错了啊，这里刚往这通分了，这个是二十五分之十嘛，二十五。所以说同学们计算的时候，不要像你要是这样粗心大意的，一定要细心一点啊。这个我们把 二十五分之二十八移过去，那就二十五分之十减二十五分之二十八，那就是负的二十五分之十八，除以啊，除以二十五分之九，那就乘以什么呢？九分之二十五 约掉 a， 算出来是负二。然后第二种情况是什么呢？当 f 的 坐标为二五分之二十， 那么这个时候，此时我们啊，抛物线 y， n， 它的对称轴 就为直线 x 等于，比如说 f 跑在右边了，这个时候它顶点还是在这条直线上面， a 和 f 仍然关于它的对称轴对称 数，那就是二分之零加二等于多少呢？一，好，我们把顶点的横坐标是一带到直线里面去，当 x 等于一的时候， 我们 y 是 等于什么呢？五分之六乘以一加五分之二 等于五分之八。那所以说，这个时候，我们抛物线 y n， 它的作啊，表达式是不是就 a 倍括号 x 减 e 括号平方加五分之八，对不对？哎，这个表达式 啊，是不是就和我们的 y 一 看着是不是就很像了，对不对？好，然后呢，将 f 的 坐标 二五分之二代入 y n， 二 x 换成二二代进来，二减一得一，一的平方，那就是 a 加五分之八 等于 y 换成五分之二，因为这写不下了，那么我们就能解得 a 是 多少呢？负的五分之六。所以说啊，再加一个什么呢？中上所述，我写这样的啊，因为那也写不下了。 我们 a， 它的取值范围是不是大于等于负的五分之六和负二啊？负的五分之六要大而大于等于负二，小于等于负的 五分之六啊。这道题第三问我们就搞定了。
329热爱讲台的数学李老师
04:45查看AI文稿AI文稿二次函数的应用之最大利润问题这类题目考频较高，我们试着用一个方法来解决所有同类型的题目。某商场销售一批名牌衬衫，成本为三十元，若按七十五元的价格出售，平均每天可售出二十件。为了扩大销售，增加盈利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降价一元，商场平均每天可多售出四件。 若商场平均每天盈利两千一百元，每件衬衫应降价多少？若想获得最大利润，应降价多少元？最大利润是多少？我们这类题目只要能理解悟透一个每字就能攻克 获取利润。我们就简单地考虑单件利润和件数。单件利润等于售价减成本， 件数等于销售的基础量，加减变化量相成，就得到利润。我们一起完成这个表格，就能掌握这类题目的处理办法。 按照七十五元的售价，销售时，成本是三十元不变，单件利润就是七十五减三十等于四十五元，基础量是二十，变化量为零。若售价为七十四元，成本依然是三十，单件利润就是七十四减三十等于四十四元， 基础量还是二十，价格变化了一元，变化量就是四件。 假设售价为七十元，成本依然为三十元，此时单件利润为七十减三十等于四十元，基础量还是二十，变化量是五。除一乘四等于二十件。 假设售价为 x 元，成本为三十元，单件利润就是 x 减三十元，基础量为二十，降价为七十五减 x 元。 除一就是里面有几个亿元，再乘四就是能多卖几个四件，就得出变化量， 利润就等于单件利润，就是括号内 x 减三十，乘基础量二十，加上变化量四倍的括号内七十五件 x。 销售量是一个整体，就需要用中括号括起来， 能理解透每字才能分析透这个题目。请快速阅读一下这个题目。 我们套用利润等于单件利润乘件数，完成表格就能解出这个题目。我们首先设每件衬衫降加 x 元， 题目信息得出，基础量为二十，成本为三十元，售价就是七十五减 x 元，单件利润等于售价减成本等于七十五减 x 减三十。 化简得出单件利润为四十五减 x， 变化量就是 x 除以再乘四化简得出四 x。 第一问，利润为两千一百元，单件利润乘件数就得出括号内四十五减 x 乘括号内二十加四 x， 就 得到了屏幕所示的一元二次方程解的 x 一 等于十 x 二等于三十，这里需要舍去一个减，这里根据尽快减少库存就需要舍去十， 所以答案就是三十。第二问就是获取一个二次函数关系式，根据二次函数性质得出最大值。 根据提议，我们得出屏幕所示的二次函数关系式，并整理得出如下答案， 二次函数开口向下有最大值，根据对称轴等于负的二 a 分 之 b 代入得出 x 等于二十。 当 x 等于二十时，最大利润就是四十五减二十。再乘二十加八十， 得出最大值为两千五百元。运用利润等于单件利润乘件数就能攻克此类题目。
62胡溜溜数学
