2026北京东城二模数学几何答案
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05:24查看AI文稿AI文稿东城区的一模考试呢，姗姗来迟啊，终于在五一之后呢就尘埃落定了。讲真啊，做完语文这道题之后呢，我纠结了整整两天，还是决定啊，说说这道题啊， 今日主题，咱们就来吐槽一下东城区的一模语文真题。整个五一呢，我带着初三的小伙伴呢，刷完了成武区还有周边的这个区的八套题啊，基本上呢，各个区都在参照中考考试的规范来出题， 无非就是题目的难度，还有就是选择材料不一样嘛，就像我特别喜欢哎今年石景山出的题一样。但是我也是真的对这次东城区的这个题感到很无语很心塞啊。 基础部分呢，别人家都是七道题啊，探自音自形，词语解释，成语标点，符号，并句，对联，仿写句子啊，但是东正区标心离意只有五道小题，标点和对联压根就没考虑 病句呢，还是花了两个句子让你判断，哎，哪个句子有毛病你才能下笔去改最后的仿写句子呢，还额外加上必须得给我用上关联词，感觉好像这个地方挖个坑啊，就等着你挑呢。 古诗词填空呢，是六选三啊，诗歌鉴赏直接整了两首诗歌放在那进行对比出题，他让你分析层深的这个千里，黄云白日勋的千里。哎，你说这样用词的表达效果是个啥？ 你说这种概述，他无非就是须止啊，又不是实实在在的是吧，所以程度上夸大，情感上放大罢了嘛。这试题难度又不大，但是他就纯纯膈应人。 接下来就是文言文啊，倒是有点东西了，因为他整了苏轼的继承天寺夜游和周敦颐的爱莲说两篇校内文言文啊，我感觉这个阵仗搞的挺大，但是吧，看题我就乐了，也就只有两道选择题，我以为要多有创意呢。 好，那么后面的对比阅读题呢，又拉来了韩愈的选段啊，进行垫背，整了一出桃园三结义啊，说分别说说他们三是如何借助自然景物来表达思想感情的。 我当时就给东城区的一个小姑娘讲解这个题的时候，我就说了，小姑娘跟我强调说，老师，这个题四分啊。我们老师可说了，这三个人分别说啊，各得一分，最后一分呢，写出任何一人的什么托物言志啊，我借景抒情就给你一分。我听了哈， 你这个分值分配的这么业余吗？哈，不应该有一分是给到语言组织能力的吗？明珠阅读啊，倒是也放得开啊，就是直接让你自个选一本看过的书，谈谈你的阅读心得及获得的过程。你看就不能好好让你说点东西，非得让你写写你是怎么获得你的阅读心得的 啊？看似好像很素养是不是啊？就是重视过程哈。实则我看了参考答案之后，我感觉出题组的老师自个都没有写明白他是怎么获得的，难道你又是为了标新立异，所以非得来这么一出？ 这还没完呢，文学类的文本的这个文章啊，选的我是没话说。真的挺好啊，但是后边的四道题里边有两道题给人整恶心了。 第十七题赏析花仙居的修辞艺术特点及妙处。您听听这出题，老师，你要不要看看你自己出的题是个啥啊？修辞艺术的特点及妙处，你真的以为孩子们懂啥叫修辞艺术特点吗？不好意思，我表示我都不是特别懂，我只知道修辞的妙处如何做答 接下来的第十九题啊，从结尾段的表达形式当中，你获得了怎样的启示？你说你要是结尾本身啊，他内容获得了什么启示？我觉得，哎，你还是在欣赏你自个选的这篇文章，他的内涵还有他的思想价值，但是你给整跑偏了。老师啊， 表达形式中获得了怎样的启示？你是在教孩子们写作文吗？啊，孩子们应该怎么答啊？我以后写文章，我也要按照这种结构和书写方式来整一下子，这是哪门子考法呀， 难怪那个小姑娘就很委屈是吧？老师，这道题我根本就没有读懂，他想让我干啥，我还安慰了孩子半天，我说没读懂，那就对了啊，因为这道题就不应该这么出， 最后的作文呢，就是没有啥说的啊，中规中矩一个命题作文啊，印象一个半命题，有句话让我不拉不拉。这道题做完之后呢，我又给孩子们讲了一遍啊，我当时就一个感觉，看看就得了啊，刷题还得看海淀和西城，哪怕石景山也成啊，哼， 二零二五年东城区的一模也不这样啊，是吧，去年一模题我觉得还挺好的，很有看点的， 怎么今年的画风就这么普遍呢？这个时候，孩子就默默的拿出了自己临摹的卷子，我看完之后就恍然大明白啊，感情这风格是从临摹就开始有了，这是一脉相承了，属于。是啊， 最后我还是想由衷的啊，就这个东城区的这道题，对小伙伴们说一句，如果这道题就是你考差了啊，真心不要伤感，你让你爸你妈啊给你重新打印一套海淀的和西城的题目，咱去做一做好不好？ 毕竟中考海淀和西城的教练员去参与，出题的概率要比东城区的大多了。再者就是这种又偏又怪的题目，也不是县级段的，他的考法是不是啊，纯纯的就是在玩概念，他不务实 不提也罢啊，咱就忽略即可。行了，咱也不多吐槽了，就到这吧。那东城区的家长，如果您对这次语文试题有什么想法，欢迎评论区留言。哎，咱们一起来探讨交流一下。
157果冻老师讲语文
13:52查看AI文稿AI文稿东城这道向量压轴，乍一看非常非常陌生，但是你只要看透了有核妖，你会发现这就是一道研究向量夹角的一道好题啊！ ok， 屏幕前的各位同学，大家好，我是每天都在研究如何帮我的学生冲刺一百二十加的一帆老师啊，那今天这个视频呢，给大家带来是咱们刚刚新鲜出炉的东城二模的这道向量压轴啊！那这道题呢，无论是从咱们的一个条件还是从结论来看， 都非常非常陌生，你比如说给了咱们三个不全相等的一个单位向量，对吧？摩乘等于一，然后又给了你这样的一个等式啊，这三个数量机的相等，最后让你去研究 x y、 z 这三个数量机， 对吧？ ok， 乍一看非常非常陌生，同时选项里边呢，还让你去研究 x y x y x y z x y z 对不对？各位，你看是不是乍一看特别特别陌生，但是各位，你只要看透了咱们有核药，那你会发现，你比如说这个 e 一 二 e 三都是单位向量，所以呢，你看，首先第一个，这三个数量之相等， 不就是他们几个之间那个夹角相等吗？ e 一 和 e 二之间的夹角 r 法等于 e 二和 e 三之间那个夹角。伽马 因为膜墙相等了，对不对？所以呢，那个数量机公司里面那个膜墙就被约掉了，对吧？就只剩下咱们一个角度了，所以是不是有时候他们三个之间那个角度相等，对不对？同时呢，各位有没有发现，无论是 x 还是 y 还是 z， 它里边都有什么呢？既有 a 向量，又有 e 一， 既有 a 项又有 e 二，既有 a 项又有 e 三，而咱们 e 一、 e 二、 e 三，它们三个的数量啊，三个的有摩擦是相等的，对不对？所以对于咱们这三个向量，即 x、 y、 z， 我 是不是只需要研究角度就行了， 对不对？我说只需要研究角度就行了，因为魔长都一样，对不对？这三个数量之之间，魔长都一样，既有 a 又有单位向量，总是要把咱们那个夹角给他搞定，是不是就能轻松搞定了？这道题 对不对？ ok， 那 关于咱们像这类条件怎么去翻译啊？这三个角度相等，同时还这三个相等的，究竟是想告诉我什么东西呢？如果你没看明白，那你一定要从咱们那个题干里面的不全相等，究竟是想告诉我什么条件里面出发 啊？什么叫三个项链不全相等呢？那换句话来说，说白了不就是有两个项链相等，对不对？或者是他们三个都不相等，对不对？所以呢，各位，你看，如果是两个项链相等的话， 比如说我这个 e 一 和这个 e 二呢？它俩是相等的，对不对？然后这个是 e 三，对吧？又因为贵，你看这个条件，不就是咱们膜长乘膜长乘一个夹角的一个余弦值，膜长乘膜长再乘一个夹角的一个余弦值 啊？长度乘长度再乘一个夹角的一个余弦值，对吧？你会发现这个条件就给你干嘛的呢？三个余弦值相等，三个余弦值相等，说白了无非就三个角度相等， 对不对？因为咱们向量夹角是零到一百八的，对吧？所以呢，首先第一个情况，假如说有两个向量呢，是相等的，那这个时候你会发现 e 一 和 e 二之间那个夹角， 或者是咱们 e 二和 e 三， e 三和 e 之间那个夹角，一定会有一个等于多少等于零，对不对？要么阿尔法等于零，要么贝塔等于零，要么伽马等于零，谁等于零都可以，因为这个地方是对称的，对不对啊？所以你看，比如说假如说阿尔法等于零的话，那这个时候这个角度是咱们伽马， 所以换句话来说，是不是相当于因为阿尔法等于贝纳尼伽马，我这个伽马也等于零啊，对不对？那这个时候阿尔法等于零，伽马也等于零，各位，啥意思？ 是不是？咱们记一记二和一三三个向量同向共线对不对？并且长短一样，那不就是三个向量相等了吗？就 对不对？所以你看各位一下就跟咱们提一下，就那个冲突了，所以两个相等，这个不行，所以一定是三个都不相等，对不对？如果你看不透，那你就给他把所有情况都给他列出出来， 对不对？能有多少个情况呢？你看最多也就俩，对吧？所以三个相等，如果都不相等的话，那这个时候， 并且它们三个夹角还都是一样的，所以它是不就是这样的一个三叉几的一个情况，对不对？这 e 三，这个是 e 一， 这个是 e 二，对吧？ ok， 并且呢三个角度是不都是咱们的一个一百二十度，一百二十度， 三个角度是不都是咱们一百二十度，对不对？所以你看条件呢？咱们就给它翻译完了，我就把这个这三个向量就给它矩阵化出来了，把条件给它矩阵化出来了， 那接下来我得看看结论了，看这三个数量机这个 abc 究竟让我去研究什么？那通过咱们刚才分析，他会发现又是让你去研究角度，因为发现这三个数量机之间长度都一样，对不对？ a 项的模长一样，单位下的模长也一样，所以我只需要研究咱们的一个夹角就行了， 对吧？ ok， 那 比如对于咱们 a 选项，那他说现在 x 大 于 y， 那 x 大 于 y 不 就等价于 x 减 y 大 于零吗？对不对？我若正确变换的话，那这个时候我就可以把咱们 a 向量给它提出来了， a 向量和这个 e 一 减 e 二，这个新向量的一个数量积大于零 a， 像这道题上是研究角度，那他这个数量就大于零，还是咱们这个非零向量？那换句话来说，现在不就相当于告诉你了，哎，我的一个扩散 c 塔是大于零的吗？对不对？ 扩散 c 塔大于零，我的一个 c 塔，他是不是就是我的一个锐角了，对不对？ ok， 那 这个时候我的一减 c 二怎么画呢？归你看，无非就向量的一个什么东西， 向量的一个减法，是不是？咱们这个同起点后指向前，对不对？ e 二指向 g 一， 所以你看咱们那个 e 一 二减去 g 一， 是不是就这一条了， 对不对啊？ e 二减 g 一 呢？就是这一条，对吧？ ok， 这咱们这个 e 二减去一个 g 一， 它指向咱们这个上面，对不对？方向朝上，对吧？那这个时候我这个 a 向量得朝哪个方向呢？ 因为数量之大于零，作用的 a 向量跟这个新的一个向量呢？它们俩这样的夹角也是一个锐角，所以你看各位，要么是这个情况，这是一个锐角，要么是这个情况， 这个是一个锐角，对不对？各位，两个都是锐角，那这个时候呢？让你去研究这个 z， z 是 数量之小于零，那数量之小于零不就相当于咱们那个告诉你了，哎，这个角度是一个什么角？这个角度是一个钝角，对不对啊？各位，你看第一个情况，当咱们那个 a 向呢？朝这个方向 啊，或者 a 向呢？朝这个方向，当咱们 a 向呢？朝右上角的时候，那这个时候他跟 e 三之间那个夹角，这个角是不一定是一个钝角啊， 对不对？这个 z 确实小于零的，但是各位，你再看看咱们这个左边呢啊，再看咱们右边呢，这个时候用到 a 下面朝咱们这个左上方的话，那就你会发现这个角是一个什么角？它是一个锐角，对不对？ 所以这个数量积是不是大于零的，对吧？所以你看 a 角是不是不对？因为他有可能有大于零的一个情况， 对吧？那咱们这个 b 选项呢？无非就给他多了一个绝对值，对不对？那对于像咱们市值里边出现这些绝对值，对，你看就两招，你要么就去讨论 x 和 y 的 一个正负， 要么你就把他俩给完全同时平方，对不对？把他俩同时平方，那加法都是咱们这个去把这个绝对值给它去掉，所以看到绝对值，各位不用慌，就是想方设法的去绝对值。所以你看 x 等于 x， 绝对值等于 y 的 一个绝对值，那说白了，要么就 x 等于 y， 对 不对？要么 x 等于负 y， 对吧？又因为各位，你看长度、长度、长度、长度、长度、膜长都一样，对不对？所以 x 等于 y 的 话，不就是咱们那个 cosine c 塔一等于 cosine c 塔二了吗？又因为角度是在零到一百八，所以你看不就是 c 塔一等于 c 塔二， 对吧？ a 向量和 e 一 之间那个夹角和 a 向量和 e 二之间那个夹角得一样。所以各位，你看现在我的 a 向量应该在什么地方？ 他是不是就应该在咱们 e 一 和 e 二他两个的这个一百二十度的一个角平分线上，对不对？ 他是不是必须得在这个角平分线上？因为只有这样的话， ok， 六十度，六十度，那如果你在角平分线上不就跟咱们 e 三是共线的吗？对不对？那你跟咱们 e 三共线的话，那这个时候 这个 z 数量积他就不可能等于零，对不对？因为数量积等于零的话，也就意味着什么呢？ a， 我 的一个角度，我的一个 c 塔三等于九十度，我 b 也是垂直的，但你看我现在是共线的，对不对？所以你看这个情况是不是也排除了？那如果是 x 等于负 y 的 话呢？ 那这个时候是不也就意味着扩展 c 塔一等于负的扩展 c 塔二，对吧？两个余弦值它俩互为相反数，那说白了，不就咱们那个 c 塔一 再加这个 c 塔二，他俩是互补的吗？对不对？他俩如果互补来，哥，你看这个时候他是一个什么样的一个形式呢？ 哎，他相当于是不就跟咱们 g 三就垂直的，因为只有这样的话呢？哎，他两个那个夹角才可能互补啊，对吧？哥，你看这个时候，比如说我这个 a 向量的一个方向朝上，那这个时候，哥你看这个角度是多少度 啊？这个角度，因为哥，你看这个是咱们的角平分线 e 三，是不是咱们角平分线，对不对？这个是六十，这个也是六十，而这个呢，就是咱们一个三十，对不对？所以各位，你看现在，哎，我的一个 e， 我 的一个 a 向量和 e 一 之间夹角是三十度，和 e 二之间的夹角呢？是一百五， 他俩是不是刚好就互补了，对不对？所以你看如果互补的话，其实题目里面就想告诉你，其实就这个形形就是这个形式，对吧？这个时候我们的一个 z 向量刚好等于零啊，他的一个数量积等于零，对不对？ z 的 一个这个数量积量刚好等于零，因为他跟他刚好是垂直的， 对吧？哥，你看 b 是 不是也能轻松搞定？只要你对咱们这个绝对值有一个去绝对值的一个基本意识，有一个分类讨论的一个基本啊的一个基本操作，就能轻松搞定了啊。那对于咱们 c 卷型， c 跟咱们这个 b 呢？都是同理啊，都是一道题，都是同一个类型， 因为 c 是 什么呢？是三个绝对值相等，对不对？对，你看刚才 b， 咱们通过研究前两个绝对值相等得到是什么呢？ x 绝对值如果和 y 这个绝对值相等的话，那要么我的 a 向量跟这个 g 三是共线的，要么的 a 向量跟这个 z 啊， z 三呢，是 那个垂直的，对不对？无非就两个情况，那如果在第一个情况下的话，大家会发现啊，这个时候我的一个 z 向量的一个模长等于啊，它这个绝对值等于多少呢？哎，它是不是还取决于咱们角度？这个你可能还得去给它算一算，但是你通过这个第二个情形就已经可以杀死比赛了啊。各位，你看这个时候我的一个 z 等于多少？ z 等于零， 对不对？但是各位，你看这个时候我的 x 不 可能等于零吧？我的 y 是 不也不可能等于零？绝对是也是不也不可能等于零，对不对？为什么呢？因为这个时候这个角度和这个角度，他俩是不是都不可能是直角？ 不是直角，同时他俩又是分零向量，所以数量积是不就不可能等于零，对不对？所以各位，你看咱们这个 c 这种情况是不是就不存在？你看这种情况是不是不存在，对不对？哥，你看 c 是 不是也排除了？所以从选择题角度来说，一定选 d， 那 为什么选 d 呢？咱们来看一看，他告诉你这个数量就等于这个魔长啊，那咱们 x 等于什么呢？这个数量就等于魔长乘，魔长乘以咱们一个假角， 它如果等于抹长的话，那相当于是不就是告诉你了？哎，我的一个扩展 c 塔一等于一，对不对？所以我的一个 c 塔一呢？等于零，那 c 塔一如果等于零的话，意味着什么呢？ 哎，我跟咱们 e 一， 它俩是同向共线的，对不对？它俩都朝上咱们一个右上方， 对吧？这是咱们的 a， 这是咱们的 g e， 对 不对？那这种 y 和 z 是 啥呢？归你会发现 y 等于什么呢？啊？魔长乘以咱们这个魔长啊，也就乘以一呗，对不对？再乘以咱们这个 cosine theta， 然后呢，咱们这个 z 呢，也是同一 魔长，乘以再乘一个 cosine theta 三，对不对？来，各位，你会发现现在呢，我的一个长度呢？ a 上的魔长都一样，所以我是不是只要看这个夹角就行了， 对不对？那就是你看这是一个一百二，这是一个一百二，所以他俩是不是就一定相等啊，对不对？加角也一样，对吧？所以余弦值也一样，余弦值一样，魔长也一样，所以数量值也就一样，所以这道题最后是不是选 d 了， 对不对？所以各位总结一下其实这道题的一些复杂情况。首先第一个，你只要有一个具象化的意识， 如果不太会聚焦化，那比如说像题目里面出现这些不全相等的一个词条，我大不了就给它列举出来，对不对？两情况都给它列举出来，三个情况都给它列举出来， 那这样的话，你看你的一个啊，这样的话，你是不是一下就知道，哎？这个图该怎么画了，对不对？只要分类讨论，只要列举这道题一定就能轻松搞定。同时呢，也是从咱们有和要出发，因为现在你看要咱们研究 x、 y、 z 这三个数量积， 他们那个磨长的都一样，所以我说只需要研究假角就行了。所以你比如说数量 g 小 于零， z 等于零，数量 g 相等，和咱们这个数量 g 的 一个绝对值相等， 对不对？你看我是不是只用研究咱们这个角度就行了，对不对？用咱们的一个角度这个工具去研究就能轻松搞定了啊？ ok， 那 以上就是这道题的全部内容。
07:50查看AI文稿AI文稿你好，我们一起做一下这个东城高三二模的时期有机推断题，我们看一下体干，给了一个合成的路线，我还给了三个已知反应， 让我回答有关问题。 d， f 的 官能团 ok， f 在 这儿，所以直接能找到它的官能团，有抢击、歼击，还有探探双舰。我们再看第二问，它说 a 和 b 均能发生银镜反应，就说明它们是有全机结构的，它写出 a 与 极氧化二氧合氧反应的方程式，那我们先算一下 a， 它的不饱和度等于碳的个数，加一减去二分之七，算出来有两个，而这个体干中已经告诉我们它里面有个全积了，还得有个不饱和度，那显然就是一个碳碳双键，那这个呢？就是 a， 那 这样的话，我们就可以写它反应的方程式了，在这个反应当中，只是全积发生的变化， 旋积被氧化成缩积，再和氨气生成氨盐，就是一水二银三氨气配系数，这是这一位。我们再看第三个，它说 b 的 结构简式，而 b 转化成 d， 一定条件看一定条件的反应机理，那我看反应 e 有 什么特点。两个旋积，它们这个旋积在内和另外旋积的阿尔法碳，它们之间形成了双键， 同时拖去一个水，而在这儿它正好形成个双键，所以我们就从这儿断掉。这个位置就相当于是拳击的结构，而这个是这个拳击所对的阿尔法氢和阿尔法碳，直接它就是开环了 d， 我 们就可以 根据 d， 我 们就把它开环之后，那得到的就是 b 的 结构简式，那我们就写到这里，这个就是 b， 那我们在这也可以说一下这个 b 是 怎么生成的，那可以看到在这 a 当中它是 c、 h 三 n o 二，它和 a 反应得到 b。 根据探原子守恒可以知道 a 和它反应应该是按二比一反应，也就是有两个 a， 它和一个它。根据这个 b 结构解释可以看到应该是它作为加成试记，把 a 当中的碳碳双键给它加成了，这是 a 到 b 是 一个加成反应。 我们再看二三二四，写出符合下列条件 d 的 同分异构体异种即可。 d， 它要求是芳香族的化合物， 它既然是芳香族的化合物，我们知道它就是要有一个本环结构的，一个本环结构，那我们再看一下这个 d， 它的结由结构显示我们写出它的分子式是碳七氢一 二三四五六七八九。但 o 三在这里它还有核磁共振，有四组峰， 有一个峰的面积之比，可以看到它们加起来正好等于这个总共的氢原子个数。我们说一般有三，它往往这里面可以确定，它这里面应该是要有一个假基的结构， 剩下的全是二，哎，同时它还有三个氧原子还有个蛋，那蛋要么以这个消极的形式存在，同时我们也可以把它看作安基的形式，那这样话它还有三个氧，我们可以把它想成是抢击， 抢，抢击应该是有两个抢击，这样话就是三二二，另外两个应该是在绑环上 就对称，那还有一个氧怎么办？这个氧我们可以放到这个甲基上，让它成个明箭。因此根据这个我们就可以写出，应该是 可以是这样的结构，也可以是这种的，这样是这样的，这样都是满足的。任意写一种句型，我们再看第五问，下列说法正确的是 a 到 b 是 加成，这个没问题， b 到 d 这个就是一个，指强权锁合脱一个水， 我们看 d 到 e， 两步转换，五 g 五， d 到 e， 我 们先可以根据刚才那个 d， 我 们也洗出它那个分子式，它是 碳七氢九氮 o 三，我们看一下这个 e 是 九个碳，而这它是有三个碳， 那显然 d 到 e 这个过程中，它应该还得下来一个碳，原子场物肯定是不一样的，应该还得下一个二氧化碳水，所以这个不能选。再看 c， e 的 几何显示， e 和 f 生成 g， 那 这个时候我们可以在 g 当中去找到 f 的 那一部分，可以看到它长得比较像的就是这一块，显然从这断掉这个下方这块就是 f， 那上面就是 e， 在 根据 e 当中它是四个氧，应该是往这给它加一个抢金，应该这个写出有 c 这样的， 它是正确的。看四 d 一 模二的 k 与氢氧化钠中水解最多，消耗氢氧化钠几摩二，那我看与氢氧化钠反官能团只有脂基 烯基，脂基烯基正好是四摩尔，所以这也是第六个。这到 k， 这到 k 这个合成过程中，让我们写出 g 的 结构简式，那我们看 g 的 g 还有 l， k 在 这唯一知道的话 k， k 是 有 l， 加上这个这一步相对是按的反应三啊，按照这个反应三来的，那也就说在这里面相当于 l， 它可得到了 k， 那 这个时候我们只是需要相应的把 k 当中的 官能图案给它翻译成安基，那么就是 l 的， 那这样这个 l 其实还是比较好写的，那我们就写到这里，均是不变的，这是 l， 再看这个 g 就是 g， 这道 g 我 们看一下，这道 g 是 加热的，应该是发生的反应。二，那显然也就是说地有这种供讪听和双箭，它们之间也该形成个环。嗯，那我们可以看一下，应该是这里的 和这块他们连到一起，点到这让我看是六元换呗。一二 三四五六正好，一四加成，二三之间要出一个双键，那这样我们也能写出 g 的 这个就是 g， 把这个序号还标上，这是一二三四 五六，这是记圈，它记到 l 中每生成一模的 l 需要消耗几模的氢气，那我看它在这有什么变化？消积变成了氨积，二三的双键变成了单键，变成碳碳单键，那这个消积变成氨积怎么去思考它？我们就是根据氧环去考虑，也就是说在这消积，它要变成氨积， 在这相当于他是少了四个，少了两个氧，多了两个氢， 像那个价才升了六价，而是谁在还原他的亲戚，那对一个亲戚来说，他转移的电子只能是两电子， 你这就是相当于六个电子，所以转移电子要相等，所以这就需要三，也就是说一个消基去边上安基需要消耗三门的氢气，同时在这还有个双键，就是 二三上的双线，它和亲戚加成是需要消耗一毛的亲戚，所以一共加起来就是四毛，因此这个就是四毛的亲戚。好，那这个题我们就说到这里。
47:15查看AI文稿AI文稿好，我们来看下一个问题，如图四边形 a、 b、 c、 d 与 a b、 e、 f 呢，都是直角梯形，这里这两个字母我标反了，现在呢，我已经标注出来了，这个是 e 啊，这个是 f， 并且平面 a、 b、 c、 d 垂直于平面 a、 b、 e、 f。 当我们阅读一个题目的时候，读到这个位置，你就要发现这是一个非常非常关键的题目信息，你要敏锐的捕捉到这个题目呀，他在考我们面面垂直的性质，那么我们第一步一定要先找到这两个平面的交线， 现在这个交线呀，他就是 ab， 那 么哪条线垂直于 ab 就是 我们接下来要找的关键信息。 接下来他说 abcd 与 ef 是 互相平行的， cd 的 长度呢是一， ef 的 长度也是一， ab 是 二， ab 是 二， af 呢也是二。 b， a d 与 b a、 f 这两个角都是直角。好，读到这样的时候我们就发现了哦，这里边的 a、 f 以及 ad， 它们两个都垂直于交线 ab， 那 就说明 a、 f 垂直于下表面， ad 呢垂直于内表面。 第一问让我们去证明 bce 垂直于 af， 那 这就非常的简单了，因为 af 呀，它已经垂直于线表面了，它自然呢就垂直于啊 bc， 所以 第一问非常的容易。我们再来看第二问， 让我们去求平面 acf 与 bce 夹角的正弦值， 那么这是一个求二面角的问题，我们要先建立空间直角坐标系，那这个题解析就非常非常的简单， 直接，以 a 点为坐标原点，这个为 x 轴，这个为 y 轴，这个为 z 轴。那么我们把坐标写一写， a 点呢，自然就是零零零， c 点呢？ 二一零 f 点零零二， b 点零二零 e 点零一 二，这样的话呢，你只需要写 a， c， f 以及 b， c， e， 把法向量都给它写出来，然后呢，去求正弦值就可以了。注意啊，是要求正弦值这个题目呀，我们着重要讲的呢，是它的这个第三问， 这个第三问呢，勉强呀，也算是一个新的问法吧，就是说它把向量的这个考法更加具体化了。 第三问，他说如果空间当中存在着一个点 q， 并且呢，他满足 d q 向量等于喇么的倍的 d f 向量，再加上一个六倍的 b b 向量， 喇么的与六呢，都是属于 r 的， 并且呀， a q 它是垂直于平面 b c， e 的， 让我们去求这个 a q 的 长度。 由于第二问之中啊，我们已经建立了空间直角坐标系，那我要想求 a q 的 长度，有一个最简单的方案，就是我要是知道 q 点的坐标， 由于 a 点它是坐标原点，那么 a q 的 长度自然等于 x 方加 y 方加 c 方，再开根号就可以了。所以说，我们关键呀，是要把这个 q 点的坐标呢，它满足的合金， 它满足的核心条件就是 d q 向量等于喇么的 d f 加上 m 倍的 d b。 那 刚才我们写了 d 点的坐标呢，它是二零零，所以说这个 d q 向量 就等于 x 减二 y z， 而这个 d f 向量 等于负二零二，而 d b 向量呢，负二二零。那我们知道 d q 等于喇么的 d f 加上缪倍的 d b， 也就是 x 减二 y z， 它等于喇么的乘以一个 d f， 也就是负二喇么的，然后呢，再加上一个缪倍的 d b， 也就是负二缪 二缪零。于是乎呀，我们可以得到这样一个方程，就是 x 减二，它就等于负二栏的减二缪， y 呢，它就等于二缪，而 z 呢，就等于二栏的。 从现在我们得到的这个方程来看，我们是没有办法把这里边的阿拉伯和缪呢给它求出来的，因为啊，这里还有一个条件，就是 a q 向量垂直于平面 b， c、 e， 这就说明呢， a q 向量是平行于 b， c， e 的 反向量的，这个 a q 向量呢，它就是 x y， z， 而这个 b、 c， e 的 反向量，我们在第二问当中呢，是可以把它算出来的，它就是 一二一。于是乎呀，我们还可以得到这样一个方程，那就是 x 等于 y 比上一个二，然后呢，再等于 z， 那么我们去解这几个方程就会得到呢，喇么的是等于四分之一，而缪呢，是等于二分之一的。然后我们再把这里的喇么的和缪啊给它 带回去，我们就可以得到每一个点的坐标，这里的这个 z 呢，它就等于二分之一，而 y 呢，它就等于一，那 x 呢，它就等于 二分之一。有了这三个坐标，我们再求 a q， 那 就非常非常的容易了。那这个题目呀，其实呢，它的本质还是比较简单的。 再来看下一个问题，把一副三角板按照如图所示的方式呢进行拼接， 告诉我们， ab 的 长度呀，是二倍根号六 ac 的 长度呢，也是二倍根号六角 bc， 这个呢是九十度角， bcd 呢也是九十度， 这个角呢是三十度。然后呢，把这个三角形 abc 沿着这个 abc 的 这个位置，并且呢让这个二面角呀为直二面角， 也就是说这两个平面呢，现在处于互相垂直的状态，我们又一次得到了这个互相垂直这样一个信息，那既然还是互相垂直的，那么我们还是要搞定交线呀，就是 bc， 谁垂直于 bc， 这是非常非常重要的一个信息。 左边这个图当中呀，我们可以分析到就是这个三角形 bc， 它是一个等腰直角三角形， 既然他是等腰直角三角形，那么我们很容易想到，我可以找到他的这个中点，假设这个中点为 o， 那 反映到右边这个图上，他就是这样的这个点呢，就是 o， 很 明显这个 p o 呢，他就垂直于 bc， 那 p o 垂直于 bc， 他 自然就垂直于平面 b、 c、 d， 它垂直于平面 b、 c、 d 自然垂直于 b、 c、 d 之内的所有线。第一小问，让我们证明 p b 垂直于 p c、 d， 现在我们知道的是 c、 d 是 垂直于 b c 的， 而这个 c、 d 呢，还垂直于刚才我们找到的这个 p o。 把这两个信息放在一起， c、 d 呀，它就垂直于这个平面 pbc， 那 它垂直于平面 pbc， 它就一定垂直于 pb。 而由于这个三角形 pbc 啊，它是一个等腰直角三角形，所以这个 pb 呢，还垂直于 pc， 那 我们把这两个信息放在一起， pb 既垂直于 cd， 又垂直于 pc， 它自然呢就垂直于平面 pcd， 这是一个非常容易证明的问题。 第二问，让我们去求这个点 c 到平面 p b d 的 距离， 这个题目呢，我们还是可以用两种方法加以解决。第一种方法当然就是建立空间直角坐标系，这种计算方式还是比较简单的，我们以 o 点为坐标原点，然后呢， o、 b 作为 x 轴，然后啊 做 c、 d 的 这个平行线，这个东西作为 y 轴，那这个东西啊，作为 z 轴，然后把 c、 p、 b、 d， 它的坐标都给它写出来。那这个 c 点，它的坐标呢，我们可以到左边的这个图当中进行计算， 这里这个 bc 的 长度呢，它是四倍的根号三。所以说这个 c 点的坐标呢，就是负二倍根号三， 零零 d 点的坐标 c、 d 的 长度呢，它是等于四的，所以说呀，它就是负二倍根号三，四零 b 点的坐标二倍根号三，零零 p 点的坐标呢，那自然就是零零 二倍根号三。那接下来啊，就是找什么法，向量之类的，用点面距距离公式进行计算就可以了。 方法二，还是使用等体积转化法。我们先来算这个 p、 b、 c、 d 的 体积，那它的这个体积啊，可以用三分之一 s， 三角形 b、 c、 d， 然后再乘以一个 p o 进行计算。 同时呢，它的这个体积啊，也可以用三分之一 s， 三角形 p、 b、 d 乘以我们要求的那个距离 h， 这个 p、 b、 d， 它的面积还是非常容易求解的，因为这个 p b 的 长度呢，是 二倍根号六，这个 b、 d 的 长度呢八。而 p d 的 长度呢，也非常容易算。在这个三角形 p、 c、 d 当中，使用勾股定律就可以算出， p d 的 长度呢，是二倍，根号十。 那么我们写出来之后就发现，哎，这三个长度呀，它正好是符合勾股定律的，所以它这个长度呢，就可以写成二分之一 p b 乘以一个 p d， 于是乎呢，用等面积法，它等于它就可以把这个 h 给它求出来，这是第二种方法，也是比较简单的。接下来呢，我们来看它的这个第三问问， 在这个线段 p d 上是否存在着一个点 e， 使得呀，这两个二面角所成的这个余弦值为二十八分之，根号十四。如果存在的话，让我们去求这个 p e 比上 p d 的 值， 那这又是一个探索型的问题。其实这种问题它非常非常的简单，它唯一的难点就在于这个计算量稍微有那么一点点大上，我们直接设这个 pe 向量是等于喇么的倍的 pd 向量的，然后呢点 p 的 坐标，刚才我们已经写过了，是零零二倍根号三，这个点 d 的 坐标 负二 b 根号三四零。我们先假设这个 e 点呢，它是 x y 以及 z， 于是乎这个 p e 向量自然就是 x y， z 减去 二倍根号三，它等于喇么的倍的 p d 向量，也就是负二倍根号三四，负二倍根号三，那么 x 呢，就等于负二倍根号三，喇么的 y 呢就等于四喇么的，而这个 z 呢，就等于负二倍根号三，喇么的再加上一个二倍根号三。这样的话呢，我们就找到了这个一点的坐标， 接下来你只需要用这个一点的坐标去写它这个法向量，然后呢就可以完成。对于这个问题的运算还是很简单的，只要耐心细致的去算，很容易知道答案的。那本题的最后答案是栏目的等于七分之一，同学们可以自行计算一下。 接下来呢，我们来看一个以圆台为考察背景的一个问题，如图，圆台的上下底面圆，心分别为 o 一 和 o 四边形 abcd 为下底面圆，它的内接正方形，并且呢， ab 等于 o 一， o 二是等于二的， e 和 m 呢，是上底面 o 一 和 o 二上的两个点，这里有一个 m 点，这里有一个 e 点， f 呢是 bc 的 中点，并且满足条件， abe 垂直于平面 abcd。 那 这又是一个面面垂直的问题，我们一定要找到交线，那交线显然就是 ab 了。 从我们目前知道的条件，我们知道底面它是一个正方形，那就是说 ad 垂直于交线， bc 也垂直于交线，所以 ad 和 bc 它们分别垂直于平面 abg。 而这个题他又告诉我， e a 跟 e b 是 相等的， e a 和 e b 相等，就说明三角形 e a b 它是一个等腰三角形，那等腰三角形又出现了三线合一的问题，我肯定是先想法找到这个 a b 的 中点， 我找到这个 a b 的 中点，向下一连，假设这个中点为 h 吧，那这个 e h 自然呢，也垂直于 a b， 它就垂直于下表面。 第一问，让我们证明 a f 是 垂直于 d e 的 这一问呀，它的核心考法其实呢，就是三垂线定义 一条斜线，他想要垂直于平面内的一条线，就需要平面内的这条线垂直于他的投影线。 刚才啊，我们过 e 点向下表面做的这个 e h 就 已经找到了 e 点在下表面的投影。那接下来呢，我们把这个 d h 呀给他连接起来，现在呢，我们把这个底面图形呀给他画出来。 这种证明垂直的方式呢，我们称之为交叉垂直，他用的原理呢，也是非常非常的简单的，并且呀，非常非常多的次数出现于各种形式的考试题目之中， 那么我们把这个底面图形呀先给他画出来，这个点呢是 h 点，这个点呢是 f 点， 我们怎么去证明 a f 和 d h 是 互相垂直的呢？这个方案非常非常的简单，我们只需要去证明这个角的正切值与这个角的正切值是互为倒数的即可。 我们已经知道下表面是一个边长为二的正方形，那就说明这个边等于二， a h 这个长度呢是等于一的，所以说这个弹性的角 a d h， 它就等于对边比邻边，也就是一比二，而这个弹性的角 d a f， 我们这样给他连接一条辅助线，当然呢，你也可以去求这个角，因为他俩是相等的，那么他的正切值等于对边比上邻边，自然呢是等于二比一的，一个是一比二，一个是二比一， 他们两个互为倒数，所以说这个角与这个角是互余的，那么这个角就一定是九十度， 于是乎呀，这个垂直就非常非常的容易了。我们已经知道 e h 是 垂直于下表面 abcd 的， 那么 e h 就 一定垂直于 af， 而我们又知道 d h 也垂直于 a f， 那 就说明 a f 呢，它是垂直于平面 e h d 的， 那么它就一定垂直于 d e， 这样的话呢，我们就完成了对第一问的证明，第二问，第二问，让我们去求圆台的体积，那这个还是非常的简单的，因为呢，我们是有圆台的体公式的， 我们只需要把下表面的半径以及上表面的半径呢都给它求出来就可以了。那下表面的半径很简单 o a 啊，它就是等于根号二的，那上表面的这个半径呢？它其实呀，就等于这个 h o 这个长度，那 h o 这个长度是等于一的，所以说上表面的这个半径 r 一 等于一，那 r 二呢，是等于根号二的，我们直接带到体积公式里头， v 就 等于三分之一派 乘以一个 r 一 的平方，加上 r 二的平方，再加上 r 一， 乘以一个 r 二，然后呢乘以它的这个高 h， 也就是这个 e h， 而这个 e h 呢，它正好是等于 o o 一 的，也就是等于二往里边代入，就可以得到它的这个体积。 接下来我们来看这个第三问，如果直线 f m 与平面 a d e 所成的这个角的正弦值为十分之三倍的根号十，让我们求点面距。 嗯，这一问呢，其实它的融合程度还是非常非常的高的，它属于呢，就是把平面解析几何和立体几何呀，给它融合到一起进行的一个综合考察。 呃，很多同学在解决这个问题的时候呢，因为我前面证明的这个过程啊，引入了一个 e h 这样一条直线，很多同学就会思索，哎，我能不能在 h 这个点去建立空间直角坐标系呢？ 因为这里上表面的这个点 m 呀，他并没有一个固定的这个位置，如果我们用 h e 去当坐标轴 z 的 话，就不太容易引入这个 m 点的这个参数值。所以啊，我们在解决这个问题的时候呢，还是要按照我们一般性质的处理原态问题的基本思路，那就是拿着这个 o o e 去当这个 z 轴，而 x 轴和 y 轴的选择呢，方法呢有两种，一种方法呀，是这样，我把 a c 和 b d 这两条线给他连上，因为呀他们两个都是正方形的对角线自动呢，就是垂直的，我就可以以这个当 x 轴，以这个当 y 轴，这是一种间隙方案，还有一种间隙方案也是比较容易想到的，那就是我这样去选择 x 轴，这样呢去选择 y 轴，这两种方案都是可以的，但是呢，还是以这个 o o 一 当 z 轴啊，这种方法是比较容易的， 因为刚才我说了这个题目他最大的难点就是把平面解析几何和这个空间向量进行了一个融合性的考察，我们关键呢要搞定这个 m 点的这个坐标，那 m 点的这个坐标我怎么搞定他呢？现在呢，我们就观察这个上表面， 它是一个半径为一的单位圆，这个 m 点呀，它就是单位圆上的一个动点。那么由平面解析几何的知识知道单位圆吗？我们在引入它参数的时候，只需要让它的横坐标为 cosine， 纵坐标为 cosine 即可，由于它的高度呢是二，所以它的竖坐标呢就是等于二的。这里我们之所以没用 x y 二这样的这个坐标形式进行运算，是因为你用了这个形式之后呀，最后还是需要用 x 方加 y 方等于一这个圆的方程，然后呢去解方程，那都是解方程，三角方程，他肯定要比 普通的那种方程要容易解一些，所以呢，我们把这个 m 点的坐标呀这样进行设是相对而言比较容易的。那现在呢，我们有了这个 m 点的坐标，我们再把其他点的坐标给他写出来，此时这个 a 点的坐标呢就是一 负一零，这个 d 点的坐标呢是一一零，而这个 e 点的坐标呢是零负一二， f 点的坐标呢是负一零零。把这些点的坐标都给他写完了之后呀，然后我们去搞定这个 a、 b、 e 这个平面的法向量，我呢就不去进行具体的运算了，它的法向量算完了之后呢，是二零一。好，那现在呀，就是 f m 向量，我们也给它写出来， 等于 cosine 加一 cosine 二 f m 向量与这个法向量的这个夹角呢，正弦值算阿了法， 那当然就等于向量与向量之间夹角的这个余弦值了。横乘横，纵乘纵，竖乘竖。上面啊就是二 cosine 加上一个四，下面呢是模，一个是根号五， 另一个呢就是 cosine 加一它的平方，加上 cosine 的 平方，然后再加上一个四，这个位置整理完了之后呢，就是六，加上一个二 cosine 右边呢是十分之三倍的 记号十。我们去解这个三角方程，解完了之后呀，他就是四 cosine 它的平方加上一个七， cosine 减十一等于零。再去解这个方程呢， cosine 它不是等于一的，它就是等于负的四分之十一的，那这个数肯定是不合理，我们直接给他舍掉， 那 cos 它，它是等于一的，那 cos 它自然是等于零的，那这样的话，这个 m 点啊，它就变成了一个固定点一零二，那我再去算 m 点到 a、 b、 e 的 这个距离，直接使用点面距距离公式就能给它算出来，最后这个距离呢是五分之二倍的 点五。这个题啊，只要在间隙的时候选择 o 一 o 二当 z 轴都是比较容易进行计算的下一个问题，这个题目呢是一道高考原题， 之所以把这个题目选出来，是因为呀，这个题目他在第一问的证明过程之中 非常非常的曲折，需要我们抽丝剥茧，层层递进的去分析每一个条件，只有你把每一个条件都分析到位了之后呢，他的这个证明才是一个水到渠成的过程。这和我们前面做的有些题目啊， 就大伤径庭，因为有些个题目我们用眼睛一看，大体上就能够明白他的思路，但这个题不然，他需要我们认真的去分析，把每一个条件都要分析到位。 首先呢一点，他是圆锥的顶点，这个条件看似简单，但是呢他的作用非常非常的大，因为顶点他在里面的投影正好是里面圆的这个中心， 同时它也意味着 b o 这条直线呢，它是垂直于整个这个圆面的， o 是 底面圆心， a e 呢是直径，并且呀 a e 跟 ab 的 长度是相等的， 底面直径与母线的长度相等。这就说明如果我们从侧面去观察这个圆锥的话，我们会发现这个圆锥的这个结面呢，它本质啊是一个等边三角形， 这三个位置的长度呢，都是相等的，并且呢这个角呀是等于六十度的三角形， abc 呢是底面圆的内接正三角形，那么我们把这个底面图形给他画出来，这里呢有一个内接的正三角形 abc， p 呢是 d o 上一个点，并且呢有这样一个非常古怪的信息， p o 等于六分之根号六倍的 d o， 这个条件它很关键， 而且呢，我们一眼看过去，并不知道这个条件它到底是怎么用的。第一问，让我们去证明 p a 是 垂直于平面 p b c 的， 我要证明线面垂直，我一定要能够证明 p a 呢，是垂直于平面 p b c 之中的两条相交直线的。 然而我们从目前分析的这些条件来看啊，没有得到任何一条跟垂直有关的信息。所以啊，我们要对这些条件呢进行一个重新的梳理。 a e 啊，它是底面的这个直径， 那就意味着 a e 这条线与 bc 这条线呢，他一定是互相垂直的，这是由垂径定律的性质知道的，这个位置是一个直角。现在我们来分析 bc 啊，它垂直于 a e， 而 bc 呢，还垂直于 d o， 既垂直于 a e， 又垂直于 d o。 把这两个条件给它放到一起，我们就可以得到。 bc 呢，它是垂直于平面 ape 的， 那么 bc 自然就垂直于 ape 之内的所有线，它垂直于 ap。 这样的话呢，我们就得到了一个非常重要的垂直关系， ap 呢，他至少已经垂直于 pbc 中的一条线了，那么我们需要他再垂直另外一条线，那我另外这条垂线上哪去找呢？ 通常来讲，如果我们在做题的时候，这种几何性质的垂直呢，我们用完了，那接下来的垂直啊，通常来讲都是跟长度有关的。 这种垂直呢，我一般称之为勾股垂直，因为我要用长度去正垂直，那无外乎就是找直角三角形，那这个条件呢，它就会显得尤为的重要，这个 p o 等于六分之根号六 d o， 也就是说这个 d o 呢，它是等于根号六倍的 p o。 现在我们观察这个结面式图，这个 b o， 它的长度呢，是 p o 这个长度的根号六倍。现在呀，我们不妨假设 a o， 也就是底面的这个半径是等于一的，那反映到这个结面式图里边，就是这个 o a 这个长度呢，是等于一的，那 d a 这个长度呢，自然就等于二。 所以说这个 d o 这个长度呢，它就等于根号三。反映到这边来，那么 p o 这个长度呀，它就等于二分之根号二。 也就是说这个位置呢，它是二分之根号二。那么在三角形 p o a 之中， 使用勾股定律， p a 的 长度呢，就等于二分之六， 而 p c， p b， p a 这三条线啊，它的长度是相等的，为啥呢？因为这个点 p 啊，它是来自于这个轴上的这么一个点，那么你过点 p， 向着底面的这个圆去做三条线，那这三条线的长度肯定是相等的，所以说这个 pc 的 长度呢，它也等于 二分之根号六。我们再观察底面圆的这个矢图，这个位置是 o， 如果这个位置是一的话，那么我们去做这个垂线去，很显然这个位置是二分之根号三呀，那么就说明 a c 的 长度呢，它是根号三。 现在我们观察三角形 p a c 这里边 p c 的 长度二分之根号六。 p a 的 长度二分之根号六，而 a c 的 长度呢，是根号三的 这个的平方，加上这个的平方，正好等于这个的平方，也就是说 ap， 它是垂直于 p c 的 三角形。 p a c 呢，它是一个等腰直角三角形，所以说 p c 也是垂直于 pa 的， 那结合刚才我们得到的 bc 也垂直于 pa， 所以 说 pa 这条线它就垂直于平面 pbc， 那 有了这个第一问作为支撑，我们再来看它的第二问啊，就要容易的多，让我们去求这个二面角 bpc 一 的余弦值，那就是搞定这几个点的坐标就可以了。 所以说呢，我们只要选择合理的方式去建立这个空间直角坐标系就 ok 了。那么这个位置呀，那肯定是当仁不让的这个 z 轴了，那我 x 轴和 y 轴怎么去搞定它呢？哎，我们可以用这里的 o e 当这个 x 轴，然后呢过 o 点去做这个 b c 的 平行线，用这个线去当这个 y 轴就可以了。剩下的呢，我们就是写这个坐标，这个坐标还是比较容易写的，我们写一下这个点 b， 自然就是负二分之一， 二分之根号三零点 p 零零，二分之根号二 点 c 呢，他跟点 b 啊，是对称关系，负二分之一，负的二分之根号三零，这个点 e 呢是负一零零。把这四个点的坐标写出来，剩下所有的认为啊，都变得非常的简单了。 最后呢，我们再来看一个以三棱台为命题背景的立体几何问题，如图，在这个三棱台之中， ab 呢，是垂直于 bc 的 这个图呀，他看起来非常非常的别扭，因为呢，他这个直角呀，放在这个位置， 这个位置啊，从我们的这个视觉直觉之中呢，总是感觉他不是很垂直，所以说对于这种非常别扭的这种题啊，我们要注意提防这种阴险的角度， ab 等于二 a 撇， b 撇等于四，下面的棱长呢是四，这个棱长呢是二， bc 呢是四倍的根号二 m 和 n 分 别是 a、 c 和 bc 的 中点，并且呢， an 垂直于 b 撇 n。 第一问，让我们去证明 a 撇 m 平行于 ab 撇 n。 对于这种线面平行的证明呢，我们第一选择肯定是在平面之内寻找一条线，然后让这条线去跟 a 撇 m 平行。那么我们观察这个仕图最容易想到的线呢，其实就是这条线。 我们假设这个为 p， 这个为 q， 现在呢，我们只要能够证明 a 撇 m 是 平行于 p q 的 即可。 我们先观察这个点 p， 因为这个几何体啊，它是一个三棱台， 三棱台呢，就意味着 ab 一定是平行于 a 撇 b 撇的。并且乞丐之中明确告诉我们， ab 比上 a 撇 b 撇呢，是等于 二比一的，那这就说明这个 p 点它一定是一个三等分点，也就是说 ap 比上 p b 片一定是等于二比一的。 同时呀，由于 m 和 n 分 别是 a、 c 和 b c 的 中点，那就意味着 m n 平行且等于 ab 的 一半。 m n 它是一个中位线，那就意味着 ab 比上 m n 等于二比一。那么我们就能够知道 q 点呀，它也是一个三等分点，所以说这个 a q 比上这个 q n 也是等于 二比一的。于是乎，我们就可以知道这里的这个 p q 呀，它一定是平行于 b 撇 n 的。 又由于 m n 平行且等于 ab 的 一半，那就说明 m n 平行且等于 a 撇 b 撇。 那么这个四边形 m n b 撇 a 撇呢，它是一个平行四边形 p q 平行于 b 撇 n， 那 么 p q， 它就一定平行于 a 撇 m， 所以 说 a 撇 m 呢，就平行于平面内的一条线，那么这个平行呢，就正完了。 当然了，这个题目呢，我们还有第二种证明方案，就是我们可以通过构造面面平行来证明线面平行。怎么构造呢？我们找到这个 n c 的 终点，假设这个终点呢，是点 p， 再找到这个 b 片 c 片它的中点 q， 然后我们顺次连接，把这个 p q 给它连上，然后呢，再连接这个 a q。 现在呢，我们观察这两个平面 m p 啊，它是 a n 的 中位线，所以呢，它是平行于 a n 的， 而这个 p q 呢，它又平行于 b 片 n。 同时呀，由于这个 p q 与 mp 呢是相交状态， a n 与 b 撇 n 也是相交状态，那就说明一个平面之内的两条相交直线，平行于另一个平面之内的两条相交直线，那么这两个平面自然就是平行的，那两个平面都平行了，那 a 撇 m 作为一个平面指定的一条线，它自然呢就平行于另外一个平面，这是第二种正法。接下来呢，我们来看它的第二问，让我们证明 ab 撇 n 是 垂直于 a 撇 b m 的， 那既然是证明面面垂直，我就需要在一个平面之内呀，找一条线，让他去垂直于另外一个平面。显然呢，这里呀，有这个垂直信息 和这样的这个长度信息，他是可以辅助我们完成对于这种问题的证明的。但是呢，这个垂直信息我们看着呀， 他还是很直接的。如果在第一问的证明过程之中，我们连接了这个 p q 这条辅助线的话，那么我们就知道这里的 a n 是 垂直于 p q 的， 这是一个非常重要的垂直关系，但是只依靠这一个垂直关系，我们没有办法完成后续的证明。 对于这种问题，通过前面几个问题啊，我们已经形成了一个比较良好的解决他的这个思路，就是当我对某一个问题看的十分不清楚的时候，我们一定要把他的这个底面给他画成一个平面图形，仔细研究这个平面图形的特点。 他这个平面图形刚才我说了，他非常非常的别扭，他故意把这个直角放在这个位置，我们从直观视觉上是没有办法直接看出特定的垂直关系的。没关系，我们给他画成一个平面图形 abc， 这里的 m n 啊，它是中点，那么我们把这个 a n 这条线给它连上，这个呢是四 b n， 这条线呢，它是二倍的根号二， 然后呢，我们再把这个 b m 给它连上。现在我们研究一下这个角它的正切值，我们不妨记这个角为角一盘前的角一， 由于 m n， 它是中位线，所以这个位置是直角，它自然就等于 m n 比上 b n， 也就是二比上二 b 的 根号二，这个东西呢，等于一比根号二，我们就不去化简了。接下来呢，我们再来研究这个角， 也就是这个角 b n a 弹它角 b n a 这个正确值呀，它正好等于 ab 比上 b n， 也就是四比上二 b 的 根号二。算完了之后呢，我们发现它正好等于根号二， 那这就说明这两个角的正切值是互为倒数的，它们相乘等于一，那这两个角一定就是互余的。也就是说这里的 b m 和 a n 呀，在这个位置它是垂直的，那么 a n 同时还要垂直这个 bm， 我 们把这两个垂直信息给它放到一起，就很容易得到。 a n 是 垂直于平面 b p q 的， 而这个平面 b p q 呢，它恰好就是平面 b m a 撇，而 a n 这条线，它又恰好在平面 a b 撇 n 之中，所以说这两个平面呀，就是互相垂直的。 这一问其实还是非常非常的难想的。他要求呀，我们有良好的解析习惯，一旦我们研究某一个问题啊，觉得他走到了一个死胡同的时候呢，一定要把他这个底面画成平面图形，仔细去对他进行研究。接下来我们来看他的第三问， b 撇 b 等于 c 撇 c 等于根号六，让我们去求 a b 撇 n 与 abc 所夹角的正弦值。 那这个题目做到这的时候呀，你可以发现就是这个三龙台，它其实是一个非常非常奇怪的三龙台，那这个奇怪的三龙台，我们想要通过建立空间直角坐标系的方式去确定一些点的坐标值呀，这本身其实是非常非常的困难的。 这个题目呀，我们就不能从空间直角坐标系的这个角度再继续向下思考了。 在第二问之中，我们证明了一个非常非常关键的信息，就是这两个面互相垂直，而且呢这条辅助线是非常非常之重要的一个辅助线。那么 第三问，让我们去求这两个平面所夹角的余弦值，而这两个平面他们的交线恰好就是 a n 这条线。 从二面角的平面角的定义出发，如果我们能够在两个平面的交线上 找到一个点，过这个点，向着这个平面去做一条线，过这个点向这个平面去做一条线，这两条线都跟这条已知的线是垂直的，这个位置是直角，这个位置是直角，那么我们就找到了这个二面角的平面角。 而在第二问的证明过程之中，我们已经证明了这样一个事实，那就是 p、 q， 它是垂直于 a、 n 的， b、 q 呢，它也是垂直于 a、 n 的， p、 q， 它恰好在平面 a、 n、 b 撇之中， b q 恰好在下表面 abc 之中。所以说，我们要找的二面角的平面角，要么就是这个角 p、 q、 b， 要么呢就是它的补角。当然了，我们要先集中完成对于这个角的运算上来。 题干告诉我们，这个 c、 c 撇的长度呢，是根号六，那就说明啊，这个 b 撇 n 的 长度呢，也是根号六。这个前面我们已经分析过了，它是一个平行四边形， 而 a、 n 的 长度呢，是等于二倍的根号六的。于是乎，由勾股定律我们就可以得到，这个 a、 b 撇的长度呢，是等于根号三十的。 现在呢，我们分析左面的这个平面，也就是这个 a、 b、 b 撇 a 撇，我们把它单画出来， a、 b 的 长度是等于四的， b、 b 片的长度是等于根号六的， a 片 b 片的长， a 片 b 片，它的长度呀是等于二的。 而现在我们又知道了，这个 a、 b 片的长度是根号三十。那么我们就可以啊，用余弦定比，把这个角的余弦值给它算出来， 这个余弦值 cosine 角 a、 b、 b 撇就等于十六加六减三十，比上二乘以四，再乘以一个根号六，也就是负的六分之根号六。 于是乎我们就可以知道，当我们把这个位置给他连接起来的时候，这个角的余弦值呀，他一定是等于六分之根号六的。 我们假设 a 撇 b， 这个长度是 x， 那 么六分之根号六，就应该等于四加六减 x 的 平方比上一个二乘二，再乘以根号六。 通过这个方程，我们可以得到 a 撇 b， 他的长度就等于编号六。而在第一问之中，我们已经确定了，这个位置与这个位置的长度之比呢，他是二比一，于是乎我们可以得到 b p， 它的长度就等于三分之二倍的根号六。现在我们观察这个三角形 b p q， 在 这个三角形之中，我们已经搞定了这个 b p 的 长度， 这个 p q 的 长度也很容易知道，它是等于三分之二的一撇 n 的， 也就是三分之二倍的根号六， b p 呢？还是三分之二倍的根号六，那么我们只缺这个 b q 的 长度，而 b q 这条线呀，它是来自于底面的。我们再回到我们最开始画的这个底面图形之中， abc m n， 把这个位置给它连接起来，这个点呢，它就是 q 这里边呀， b q 的 长度除以这个 q m 的 长度呢，还是等于二比一的。而这个 b m 的 长度 很容易计算，因为 b n 的 长度呢，它是二 b 的 根号二，而这个位置呢，它是二。所以说这个 b m 的 长度呢，它是二 b 的 根号三， 于是乎这个 b q 的 长度就等于三分之四倍的根号三。那么我们要求的这个二面角的平面角，它的余弦值 cos 角 b q p， 它自然就等于 b q 的 平方，加上 p q 的 平方，减去 b p 的 平方比上二乘以 b q， 再乘以这个 p q， 把我们计算得到的所有的长度呀，都给它带入其中，这个值呢最后就等于二分之根号二， 那么我们要求他这个正弦值，因为余弦值啊，我们还需要去确定他到底是锐角或者是钝角，但正弦值就不需要了，他一定呢就等于二分之根号。
66数山有路
02:54查看AI文稿AI文稿第八题，已知正方 t w 和平面阿尔法则正方 t w 的 八个顶点中存在六个平面到平面阿尔法的距离相等，是平面阿尔法将正方 t w 分 成体积相等的两部分，我们看，要将 平面分成相等的两部分，只要这个阿尔法平面经过正方体的体中心就可以了。 经过体中心，要想存在有六个点距离相等，那么它应该怎么样呢？它应该是做一个与 对角线垂直平分的平面，哎，就可以了。我们画一下，我们看这个正六边形是经过 d、 b 一 撇这条直线的垂直平分平面，它经过 o 点，经过 d、 b 一 撇，中点 o， 那 么这样的平面呢？呃， 它是可以呃平分正方体的呢？与 b、 c 一 撇， a 一 撇这个平面平行的，所以呢， b、 c 一 撇， a 一 撇到平面距离相等。同样的， 对面的另一面的三个点， a、 c、 d 一 撇，它与距离也相等，呃， d、 b 一 撇是另外的，那么这样的话呢，呃，他就做到了 正方体八个顶点中六个平面的 r 法距离相等，并且呢，呃，将体积分成两部分，那么反过来说，呃，这就说充分性没有问题。如果这个平面是这个红色的 正六边形平面还是经过 o 点，他只要是倾斜一点， 那么倾斜一点了，哎，就是不与刚才这个平面平行了，那么呃， b、 c 一 撇， a 一 撇到平面距离就不相等了，他照样可以平分。所以这个题是充分，不必要， a 是 正确的。
81王老师7825
06:12查看AI文稿AI文稿接下来讲解一下我们的高考每日题的第五十七题。今天这道题目是我们的粉丝投稿来的 这道题目是啊，我们的四川乐山的二模的一道题目，这道题是跟二零二零年新高考专题非常类似，这道题目它主要都考察的是我们的交线隐藏的一个立体几何。那我们来看一下这道题目的题干。 题中给了一个 pc 是 跟底面垂直，底面是一个等腰梯形， ab 是 跟 cd 是 平行的角， abc 是 一个六十度， c， b， c、 d 还有我们的 cp 都是一。那我们先来看一下它的第一问条件。第一位让求的是 p a、 d 这个面跟我们的 p c、 d 这个面，它的两个交线啊是 m， 然后让求的是 m 和 ab 平行。那我把 p a、 b 和我们的 p c、 d 这两个面都画出来， 这是 p a、 b， 这是 p c、 d。 我 们要证明的是啊，这两个的交线，这两个交线跟 ab 平行。那这个第一问题是我们跟整体完全类似啊，它是考的是我们的线面平行的性质。 平面平行的性质怎样证呢？你现在是不是要证明的是 m， m 是 这个平面 p a、 b 和 p c， p d， c 的 交线，但这个交线并没有画出来，那我们其实并不用画它，你要知道这两个平面是相交于 m， m 就 模拟着画在这，这就是 m。 然后你先怎样证明这个 m 跟 ab 平行呢？那其实只要证明一下我们的 ab 是 不是跟我们的 pdc 是 不是平行的，因为 ab 是 平行于 cd， 然后我们的 ab 就 平行于 pdc， 那 你的 m 又是我们的平面 pab 和 pdc 的 交线，那我们直接通过线面平行的性质定律就直接得到了我们的线，就平行他们的交线了，对吧？过程我们给大家写一下。 好，这就是我们的第一问所得到的过程，主要是先强调一下线面平行，然后再通过线面平行的性质里直接得到我们要的线线平行。 第二问要证明的是平面 p a d 和平面 p b c 他 俩相交于嗯啊，在这个嗯也没有画出来，就相当只是这样两个蓝色的平面在相交，现在只有一个交点出现了，对吧？那个交线没有画出来，而这个题也没有办法向第一问，通过平行于转换的 这道题怎么做？他第二问上，你求的是这个 n， 也就是那个交线和 ab 的 余弦值，其实相当也是也不难，因为你要确定交线的话，你只要确定这两个平面 两个交点就行。因为两点两点确定一条直线吗？我们很简单，因为这个 ab， ad 和 cb 啊，因为它是梯形，里面是梯形吗？它一定会有一个交点的，那我直接把 ad 和 cb 进行反向延长，延长以后是不是这块会交交一个点 e， 这个 e 点 e 点肯定是在他俩的交线上面的，而 p 点也是在他们的交线上面的，所以我们把 pe 连 pe 就是 那个交线，而你题干中要求的 n， 那 就 n 就是 pe 了，对吧？所以这道题实际上就让你求的是 pe 与 ab 的 交线的一个余弦值，对吧？这两交线余弦值，那我们直接就间隙，很简单啊，因为这道题目的话，我们现在是先间隙，隙在哪呢？题中给你的 pc 是 跟底面 abc 垂直了，所以 pc 肯定是 z 轴， 那我们的 x 轴、 y 轴在哪呢？呃，这个角和这个角是六十度的情况下，三角形 a， b， e 就是 等边三角形，那很容易得到我们的 d， e， d， c 也是个等边三角形，这块是一的话，说明 e， c 也是一， 那 c， e 本来也是一，说明 c 点就是我们的 b， e 的 中点，那通过三线合一的话，那肯定知道这个 a、 e， b 啊，就是一个九十度，从而你就知道了我们的 a、 e， b 就是 我们的 y 轴， x 轴， bc 是 y 轴。好了，把这个空间直角坐标系一键，那我们题干中要求的东西也就很简单了，咱就能很快就能把 pe 点坐标还有我们的 a 点坐标和 b 点坐标标出来就可以了。接下来我们标一下这个 a 点坐标， a 点坐标是根三零零， b 点坐标是零一零， e 点坐标这段长度也是一，所以 e 点坐标是零 负一零， p 点坐标是我们的零零一。然后接下来就把 p 和 ab 的 坐标都给它算出来。 p 向量坐标用我们的一点减去 a 的 p 点，它应该是我们的零负一负一 ab 向量坐标， b 减， a 是 我们的负根三一零。然后接下来就是我们的这个。我要求的是 pe 和 ab 的 加角的余弦值嘛，那就相当于是把这两个加角设成一个 c 叉角，然后 cosine， c 叉就等于这两个加角的 cosine 值， 也就是它两的数量积， pe 向量的数量积乘以 ab 向量，再除以它两的模， 然后我们把它竖竖数值带进来，横乘横，纵乘纵竖，也就是上面是个负一，下面应该第一个是根二，第二个是二，最后答案整理化简是四分之根二， 相当于就是我们的这两个加角的余弦值就是四分之根二，题目就结束了，它相对来说还是比较基础，比较简单的， 主要的难点就在于这两个隐形的线段啊，隐形交线并没有画出来，所以需要大家分析。第一位是通过平行线面平行性质分析出来。第二个就是通过我们的延长交点啊，做出我们的两个点，然后从而就能得到我们的这个交线， 徒儿就能把这道题解出来。好吧，这道题我们就说到这里，需要了解更多的高考数学知识，以及我们的高考一轮的复习内容，我们可以关注石头哥，后期我们会陆续更新高考每日题，以及我们的二七届的高考新一轮。好，那今天我们就说到这里，拜拜。
87数学石头哥
03:11查看AI文稿AI文稿这是一道去年中考的填空压轴题，全班几乎全军覆没，其实如果我们用鸡爪模型的话，可以立马瞄见好同学们，我们来看题啊。那么有同学说，老师这个鸡爪模型是什么意思呢？就是我们在一个图形当中，如果能够看到这样的一个图形朋友们，他就是我们的鸡爪模型， 其实他的本质是什么呢？就是我们的手拉手，他会告诉你有两条线段相等，那么你需要去构造出另外一条线段，因为在这个正方形当中，我们知道共端点等线段旋转全等看一看，所以一定会有旋转全等，那么其实手拉手模型的本质也是旋转全等， 那如果我们看一下这样的一个鸡爪模型，让你去构造出一个手拉手的话，我们是不是在做一个相等的线段，就转一个相等的线段吗？所以这个和这个是相等的，如果我们管他叫大手，这个边大手大手拉，小手一连， 所以这个三角形和这个三角形是不应该是全等的，我们一定会有这个夹角相等啊，那剪掉之后呢？所以你这两个角它不就是相等了吗？是不是？所以我们鸡爪模型它的本质就是一个手拉手模型，是一个旋转全等啊？好，那同学们，我们来看， 如果我们在这个图形当中，咱们看到有一点发三线，你发现了吗？ a 点啊，它发出来三条线段，并且有两条线段是相等的，谁呢？就是 ab 这个线段和 ad 这个线段相等， 然后这有一个 pa。 那 么接下来如果我们按照手拉手模型去构造的话，从一个顶点出发，要引出四条线段，两两相等，但是这是三条线段，有两条相等的线段，所以这条线段我们看 ab 这个线段它怎么形成的？是不是应该是这样逆时针转了一个九十度，所以接下来我也可以把 pa 这个线段给它逆时针去旋转九十度。 ok， 那 我们来做一下啊，咱们现在把这个 pa 这个线段给它逆时针转九十度。好，那么这个点啊，咱们就教他于一个屁撇点， 做完之后呢，我发现这个角它就应该是个九十度，这个边长告诉我是一个根号二，那这个边它也是一个根号二，我们把这个 pp 撇给它连上，它就应该是一个等腰直角三角形，所以呢，我们再把这个 p 撇 d 给它连上。 那么连完之后啊，我们能够发现这里边会有一组全等三角形，也就是说三角形 a p b 这个三角形它应该全等于三角形 a p 撇 啊，这是一个边角边的一个全等啊，因为这个角它也是一个直角嘛。然后呢，我们把这个中间这个角减去，剩下这两个点角，如果标点的话，它应该是相等的关系啊。 然后我们看一下吧，现在我们要求这个 p d 的 一个最大值，所以我能够知道的是 p d 它应该小于等于这个 p p 撇二，然后加上我一个 p b 的 长度是一个四，它和 p 撇 d 是 对应边，所以这个边也是四。 所以呢，咱们的这个 p d 它应该小于等于这个 p p 撇，它应该是一比一比二，所以它就是二，所以小于等于二加上一个四，然后就是六。那么什么时候咱们这个 p d 的 值达到一个最大呢？应该是你的 p p 撇，然后 d 这三点共线的时候， 它会达到一个最大值，所以 p d 的 一个最大值它就应该是一个六，所以这个值它应该是六。好，那我们看一下这个题其实本质上就是一道旋转全等的题目，就非常的简单。 那么如果以后在题目当中遇到一点发三线，我们要想到去构造一个手拉手模型，构造一个旋转圈等，好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！
5588杜丽丽老师讲初高中数学
05:28查看AI文稿AI文稿东城高三二模的一轮题目是说芒种，讲到这个题的时候，大家可能会说，终于换题了，不再是思变类的。其实呢，说芒种，它也是一道思变类的，还是一道思变类的？隐性的思变，它含着什么样的思变呢？收和种啊，芒种这个时候要收麦子， 收割，然后还要种下新的庄稼，收获种的四遍还可以用。咱们之前写过的是终点，也是起点，所以把它当做中考作文备考的一个重要的题目来写。就以芒种为题，是特别好的一个神题呀， 真的是一道好题，那它可以是寓意类的、成长类的，传统文化类的、思辨真情类的都可以。我们来看一下译论文的解读，对这个题目的解析。芒种是二十四节气之一，那很显然它是寓意类的了。 这一时间，农民既要抢收麦子，又要种新的作物，因此民间也常称其为芒种，也就是说闲忙的忙。农谚云，芒种不种，再种无用。 这一节气不仅只是农时，更蕴藏着成长和发展的智慧。所有题都是这样，所以说所有的题我们都可以用一个宏大的序式，青年加时代加关系思变， 那这个所有题都囊括在内了，因为每一道题你都要写到青年到高中一论，这主体就是青年， 请以说毛中为题写填一论文是寓意是思变思变的收与众啊。从农时的智慧延伸到个人成长，社会发展， 所以我们首先解读这个题，芒种的本意就是抢收，大家看这题里边给了抢收成熟的麦子，再加上播种新的作物，关键词是芒，它是这一个节点，是终点， 也是一个起点，体现了坚固、紧迫、行动。当然，这个终点呢，在这个时节上，不管说这个麦子它收成有多少，是丰收了。那我们人生呢，到这个终点的时候，不一定说就收获了 啊，世俗意义上的那种成功，拿到了一等奖，二等奖。可能说此时此刻我是个失败，那么这个失败，他又是下一个成功的起点，我又种上了新的作物 啊，是不是完全可以用？是终点，也是起点。咱们第九讲做备考，第九讲练过的一个题目来迁移，就是说继续问啊，咱们还继续说，回到议论文浓艳的深意，芒种不种， 再种无用，是把握时机。呃，错过了时机呢，再努力也没有效果了，延伸到 人生、社会和家国。所以说，我们确定的中信论点，就可以是浓艳的智慧，正是时代发展的真理，既要守住过往的收成，也要抓住当下的时机，播种未来的希望。然后分论点一， 芒种之收。收是指沉淀过往，蓄力前行，沉淀过往。那可能这个收的啊，咱们不要被呃思维定势局限，收的呢，可能是一个失败的成绩， 不如意的结果。然后芒种之种呢？种呢，是我把握这个时机，我要种下新的希望。看分论点三呢，是这个芒，就是 收和种都要收，是收的经验。种呢，是众心的希望，统筹兼顾，方得长远。这是易洛文的一个框架。 呃，开头，这个开头继续也可以用啊，可以引用这样的语句， 然后结尾，芒种无言，却藏着最朴素的智慧，浓艳简单，却道尽了成长的真谛。同样也可以写在继续文里，就说他用的继续文、议论文都是可以的。然后好的论据呢？比如说， 呃，收住了脱贫攻坚的成果，种下了乡村振兴的种子，推动乡村全面发展， 科技发展呢，可能收的是过往的这个成绩。经验，种下的是未来的，未来的目标，未来的挑战。传统文化呢，收住的是千年的非遗古典文化的精髓，收住的是传统，种下的是创新， 种下的是科技创新，这就是芒，种就是芒，其实呢，也是繁忙的芒。给大家一篇继续文，中考继续啊，这是我最想让大家写的一篇，芒种 用的是二胡这个素材，不再是唢呐了，大家可以参考一下，参考一下这个提纲啊，然后完成自己的一篇原创范文啊。在这个八十七篇原创范文里面，有很多可以迁移的， 当你理解了，你能进行审题立异了，你发现呢？这个题目用成长类的都可以迁移，那么议论文想提高，还是要经过老师的详批详改，拿到一类上。
29教点有用的语文
05:07查看AI文稿AI文稿大家好，那今天来看一下二六年东城初三下一模的第二十七题几何综合的题目啊。嗯，那么我们已经补全了图形，一边看一下这个图，然后边读一下这个题目。 如图，在三角形 a、 b、 c 中，这个角 a、 c、 b 是 一个六十度，然后 ab 大 于 ac， 将 ab 绕点 a 逆时针旋转一百二十度，所以这个 b、 a、 d 这个角是个一百二十度，得到线段 a、 d 点 d 做 d， e 平行于 bc， 交 a、 c 的 延长线于点 e、 f 为 c， e 的 中点。那么第一问是补全图形，然后再求证一下，角 b 等于角 d、 a、 e。 那么像这样的平面角度问题，我们一般倒一下角就可以，那我们可以设角 b 为 r 发角，因为角 a、 c、 b 是 一个六十度，所以角 b、 a、 c 应该是个一百二十，减去 r 发，那么角 b、 a、 d 也是个一百二十度， 然后这个角 e、 a、 d 它就也是一个二八角，那么就可以了。二位是判断 af 与 bc 之间的数量关系并证明，那我们可以去量一下 af 的 长和 bc 的 长，会发现 bc 的 长它正好就是 af 的 二倍， 那这个关系应该就是 bc 等于二倍的 af， 那 我们应该去找一下 bc 的 终点，或者是把 af 给他延长一下二倍，那么这两种思路都应该 把 af 延长二倍的要更好做一点，因为 bc 的 终点在这里并没有什么特殊的性质，那么这里面 f 是 终点，我们可能会容易想到终点模型， 比如说我们把 d、 f 连接并延长交 b、 c 上一个点，然后可以得到一个长中线的全等，然后这个新的线段它就应该等于 e， 这个思路的话，应该是做不太出来的，但是可以帮助我们把这个思路它最后的结果给它找到啊。就是如果我们把它连到这边呢，会发现这条线段，比如说 c k 的 长，它应该就等于 d e 的 长， 然后呃，这样的一个情况下，我们可能会呃把这个 a c a f， 然后呃，因为 c f 等于 ef， 如果我们想让这个 a e 这个线段给他延长一下，得到一个二倍的 bc， 我 们这边应该延长的一个长度的应该是和 ac 是 相等的。比如说我们把它叫做 p， 那我们会发现呃，这个时候我们 a c， 它就应该理论上要等于 e p， 然后呢这个角 d e p， 它也是一个六十度角， 那我们就会发现一个点，我们挣出来这个三角形全等之后，那么得到的应该是一个 ak， 等于一个 d p， 如果我们这个 d c， 它等于这个呃 ap 等于 af 的 二倍的，我们应该得到的是这个 ac， 要等于这个 d p， 那也就是说我们这个 d e， 它就呃等于 c k， 然后再加上这样的一个六十度角，然后这个 ak 又等于 ac， 也就是这个 akc， 它必须得是一个等边三角形。 那如果是个等边三角形的话，我们直接构造等边三角形就会比我们这样子发现它需要是个等边三角形，它会更好一点，因为等边三角形的性质要更多一点，有一些性质我们没有办法直接证明出来。 那么另外一个角度呢？如果我们这个 a b c 和这个 a p d 要全等呢？我们这个角 p 的 度数它也必须得是六十度，所以呢，我们是直接去构造这个 d， e、 p 是 一个等边三角形，再去想办法证明这个 a p、 d 和 a、 c、 b 全等，它是要更加靠谱的， 那我们把这个多余的辅助线给它去掉，那我们现在就可以呃呃，因为这个角 b、 c、 a 是 六十度，这个角 b、 c、 e 就是 一百二十度，所以这个角 a、 e、 d 也是一百二十度，这个角 呃 e、 p 就是 六十度。然后可以再去做一个 e p 等于 d e， 然后可以构造一个等边三角形，就三条边都相等 啊，那么接下来呢？呃，而且还可以得到这个角 a、 p、 d， 它是一个六十度角。那么接下来看一下 a、 b、 c 和这个 a p、 d， 就 会发现这个角 b、 c， a 和角 p 都是六十度， ab 和 a p 相等，它是旋转得到的， 然后这个角 a、 b、 c 等于角 p a、 d， 这个角是第一位要证明的这个角，然后我们就可以用两角一边，然后它全等，那么就可以得到 a， p 是 等于呃 c 的， 那么呃 a p 的， 它又等于的是 a e 加上 e p 一 p， 它又等于 a c， 这样的话呢，我们这个 a p， 它就等于二倍的 af。
04:19查看AI文稿AI文稿在这里呢，我们直接用纯几何法来解决，分算量小得可怕，他说直线 p b 于平面所称的角为六十度，并且呢， p b 的 长度是不是还是一的？那我们先把题看一下吧。来， a b 的 长度是一个根二， a c 的 长度呢，是等于三的角 b a c 呢？四十五度。那我们有预先定理是不可以求 b c 的 长度 bc 方啊，就应该等于二加九减二乘根二再乘三再乘二分之根二是不是十一减六等于五，所以 bc 的 长度不就是根五吗？好，他说直线 p b 又等于一，那就是一， 它与平面 a b c 所称的角是一个横为一个定值六十度。那么大家可以把一根笔啊放在桌子上，然后呢，让这个笔与桌面所称的角永远是一个六十度，是不是我们去活动这根笔， 我们就会发现呀，这根笔呢的活动的就构成了一个圆锥状的东西，是不是倒着的圆锥？所以呢，这根笔的顶点啊，也就是 p 点在底面上的投影所形成的轨迹啊，是不是就是一个圆啊？因为 你是，咱们做一个垂直下来，那这个假设叫 h， 这是长度是一，那么角 p b h 是 不是相当于横为六十度？所以呢，我们的 b h 的 长度 就横为二分之一，那么 h 点到 b 点的距离永远为二分之一的话，那么是不是 h 点的轨迹就应该是以 b 为圆心，二分之一为半径，是做出来的一个圆。 那么这个圆到底会不会跟 ac 相交呢？以及他跟其他边的关系到底是啥呢？我们是不是得需要简单的做一个计算，我们得需要看看 b 点到 ac 的 距离是个几啊？咱们过 b 点做 ac 的 垂线，我们这个垂足叫 m 吧，而角 b a c 是 不是等于四十五度角？那所以啊，你的 b m 的 长度是不是很显然是等于一的？也就是说，以 b 为圆心，二分之一作半径， 所画的圆是不是正好交于他的一半？那咱们大概画个圆吧，是吧，就是这样的一个东东，那这是不是就是 p 在 abc 上的投影 h 点的轨迹啊？ 好，那么现在我们研究的目标呢？是平面 a p a c p a c， 也就是后面的这个面，是吧？ 与平面 abc 夹角，它要的还是还是夹角的垂直范围？那么我们现在啊，点 p 是 不是到平面的距离是一定的？我们可以利用三垂线定力是不是来做出这个二面角来？也就是我先过 p 做平面 abc 的 垂线， 垂足为 h， 再过 h 做 a c 的 垂线，比如说这个点叫 n， 垂足为 n， 是 不是连接 p n？ 我 们是不是就很容易能够证明 p n 也是垂直于 ac 的， 从而啊，叫 p n h 就是我们的要找的二面角的平面角。那么在这里呢， p h 的 长度一定是不是是应该等于二分之根三？所以啊，我们是不是只需要来计算 h n 的 长度， h n 的 范围不就可以了吗？而 h 点是一个轨迹的轨迹，不是一个圆儿吗？ 是不是很显然转化为点 b 到 a c 的 距离加减半径不就可以了吗？所以 h n 的 范围不就应该是属于二分之一到二分之三？所以呢，我们就可以来计算，摊进它角 p n h 不 就应该等于二分之根三 比上 h n， 而 h n 的 范围在这，因此最后算下来的结果不就应该是三分之根三到根三吗？所以角 p n h 不就应该是属于六分之派到三分之派这样的一个范围？所以你看这立体几何运算量真小了。我最喜欢这样的立体几何题了。所以大家呀，不能过于依赖间隙是吧？有的情况下没办法的间隙，有办法的情况下间隙啊，运算量太大。
857青蒿数学
18:53查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来看一下这个二零二六年锡林二魔的立体几何大题啊。 本道题呢，难度系数比较低，可以说是历年来的难度系数最低档啊。他说有这么一个四轮锥，底下是一个直角梯形， a、 d 和我们的 bc 是 平行关系，而且 c、 b、 a 是 九十度，我们在这标一下，那呢，顺手这个地方也是九十度，是吧？ pa 和底面垂直，那么 pa 和整个底面的每一条线都垂直。呃， ab 等于 bc 等于二，分之 a， d 等于一，我们把数据填好， ab 的 长度是一， bc 的 长度是一，然后 a、 d 的 长度是二。呃，然后 pa 的 长度没有给第一问，他问 pc 和 cd 垂直， 我们给大家稍微画一下啊， pc 这条线和我们的 cd 这条线，这两条线呢，目前为止它是处于一个相交的关系，它让我们去挣这两条直线垂直。我们方案有如下的几种啊，我们来一一破解。 嗯，我们高三的同学们，复习立体几何一定要追求一题多解啊，不然的话，我们老师只用一个做法的话，这个在高考里面会吃大亏的。 法一，法一呢，就是找这两条线的长度啊，包括 p d， 包括 p d， 把 p d 长度也找出来，然后证明三条线的长度满足勾股定律，那可以这样垂直，对吧？这个思路也是行得通的。好，那我们实施一下 a、 c 的 长呢？大家都知道，这个肯定是根号二，不用我说，然后 cd 的 长，我们来给大家划一下， 一，一，二，我们挪，挪过来，挪下来啊，这是一，这是几，那就是一，这一移过来，所以这边是什么呢？根号二 好，根号二，所以 c、 d 的 长出来了，接下来我们看一下 p c 的 长，那么 a p 的 长这个题目当中没给我们可以设 a p 的 长为 t， 设 a p 的 长为 t 了之后，那这个 p c 的 长自然就是根号下替方加二 没有问题，因为 pa 和整个底面垂直， ac 在 底面上，所以 pa 和 ac 垂直啊。呃，根据勾股定律，根号下梯方加二，那这个 p d 长也是一个道理， pa 是 垂直 a d 的， 所以说这个地方是根号下 梯方加四，然后我们来看一下。呃， p， c， c， d， pd 这三条边的这个数量关系， 一个是根号二，一个是根号下梯方加二，一个是根号下梯方加四。我们把三个平方发现是可以满足勾股定律的，他的平方是几呢？他的平方是二，他的平方是一个梯方加二，他的平方是一个梯方加四啊，然后我们可以发现他加他是等于他的满足勾股定律，所以说垂直啊。 好，我现在把它擦掉。法一，我们就留个名就行了啊。通过这个勾股定力，我们看一下法二，线面垂直 初级者想问 pc 这条直线还是给大家标一下啊？嗯， pc 这条直线和 cd 这条直线垂直，那么我们可以通过线面垂直来得到实线， 我们会发现 cd 它和 pac 这个面挺像垂直的。 如果我们能证明 cd 和 pac 这个面垂直，那么目的也就自然达成了。 cd 和 pa 垂直，这是非常这个显而易见的，因为题目里说 pa 垂直于底面， a， b， c， d， 然后我们的 cd 又包含在 a， b， c， d 上，所以呢， pa 自然是和这个 c d 垂直，那么 c d 也就自然和 pa 垂直，这是一条，我们需要再找一条，因为大家都知道线面垂直需要正线垂直面内的两条相交直线，所以光 c、 d 垂直 pa 还不够，我们可以再来一条，比如说 c d 垂直于 a、 c， 那 么怎么去解决？可以根据数据去解决，我们刚才标过数据了哈， ab 等于一， bc 等于 e， a d 等于二，那么而且这是个直角，那这个地方是根号二，刚才这一块我们也给大家计算过了，这个地方是根号二，刚才算过啊，我们会发现根号二，根号二，二满足这个勾股定律，所以呢， c、 d 也就和我们的 a、 c 是 垂直关系。 最后别忘了一定要去交代一下，我们的 pa 和我们的 ac 是 相交于点 a 的， 这个不能忘，忘了就得扣分。所以我们的 cd 自然就和平面 pac 是 垂直的， 然后又因为我们的 pc 是 包含有平面 pac 的， 所以呢，我们的 cd 自然就和 pc 垂直，那么 pc 就 和 cd 自然垂直。这就是这道题的法二。好，我们接下来看法三， 法三基底， 这个是什么意思呢？我们给大家表述一下。嗯，大家都知道，空间向量当中啊，可以选三条不共面的来当基底， 然后借助这三条基底呢，可以表示其他的任何向量。大家注意，这三条基底不一定是垂直的啊，你可以随便选，比如说你选个 a c， a d， a p 都是可以的啊，只要它是不在一个平面上就行，至于垂直不垂直无所谓。 哎，我们把数据还是标上啊，这是一，这是一，这是二，然后呢， a p 的 场，不知道哈，接下来怎么去使用这个基底呢？我给大家展示一下。 那么出题者他不是想让我们证明这个 c p 啊， p 啊，这个 c p 和这个 cd 是 垂直关系吗？是吧？ 好，我们一个一来，比如说我们把 c、 d 用我们的肌底给它转化出来，那 c、 d 如何转化成肌底呢？ c、 d 向量，同学们，是不是等于 c、 b 向量加上 b a 向量，再加上一个 a d 向量，这一点是毋庸置疑的。 接下来啊， c、 b 是 我们的基底吗？不是，因为我们选的是 a b， a d， a p 啊，那所以说 b c 呢啊，这个 c、 b 就 换成基底，怎么换？ c、 b 和 ad 是 有关系的，我们发现 c、 b 的 长是 ad 的 长的一半，而且还是平行的，但是要值得注意的是， c、 b 和 ad 是 反着的，所以说 c a、 b 要写成负二分之一的 ad， 然后 b a， 我 们要的基底是 ab， 是 吧？所以说呢， b a， 我 们就写成这个负的 ab 啊， 好，写成负的 ab， 然后 ad 保留 a、 d 画个点和平同的一项二分之一的 a d 减去 a b 啊，这就是我们写出来的 c、 d 这个距离。 接下来我们继续写我们的这个 pc 啊，或者说这个 c p 啊， cp 吧， pc 都一样啊，都一个画 pc， 我 们可以通过 pa 加 ac， 当然减法啊，向量的减法，熟练掌握的同学就写减法，效率会高啊。 pa 呢，是基底吗？ pa 是 ap 这个基底的反方向啊，所以写成负 ap， 然后加 ac。 接下来呢，我们就想办法把这个 a、 c 和 g、 d 挂上钩，可以做个平行四边形啊，大家能看得出来吧，相当于是我做了一个 a、 b， c h 这样的一个平行四边形，甚至是个正方形啊，所以 a c 向量是等于 ab 加 a h， 负 a p 加 a c， 刚才我们说等于什么呢？等于这个 a b 加 a h 啊， a b 加 a h， a h， 我 一次性写成二分之一的 a d 吧。 好，这就是我们的 pc 向量就写完了。接下来出题者要我们去证明，这个 pc 和这个 cd 是 垂直的，我们可以借助两个向量的点积为零来得到实线 pc 点成 cd。 嗯， pc 我 们刚才写的是什么呢？写的是这个负 ap 加 ab 加二分之一的 ad 乘以 cd， 那 就是二分之一的 ad 减去一个 ab。 接下来我们括号打开啊， ap 和 ad 一 碰头 就不用写了，因为 ap 和 ad 还有什么 ab 啊，这三条线是两两互相垂直的，一碰头就是点七为零啊。所以说什么 apad 再不写了， apab 也就不再写了， a b a d 不 再写了，然后这个地方是个啥？这个地方是个负的 ab 方啊，这个要写一写，然后这是什么呢？这是四分之一的 a d 方，这个要写一写，然后其他的碰头都是零啊。好，接下来我们把数据往里面待一待， 大家都知道向量方等于向量的模的方， ab 的 模式几一，那一的平方还是一，那就是负一，这一个 a d 的 模式几是二二的平方四四再乘四分之一得一，然后等于零。 所以得出结论，我们的 p c 确实和我们 c d 是 垂直的，这就是这种题的思路三。好，接下来我继续查找 我们换思路四。这道题虽然说简单哈，但是我们为什么要讲这么多，是因为想构建这个 给一套完整的线线垂直的证明逻辑啊。我们给出四个方法，我们在高和当中就能这个随机应对啊，此法不通，我就马上换路吗？间隙， 好，由于这些是拿来互相垂直的，我们刚才已经论这个啊，我们就给它间隙。那么我们用的是这个右手啊，右手坐标系啊，所以这个 ab 方向是 x 轴， 这个是 y 轴，这个是 z 轴。细线完了之后，我们就直接上来就写坐标啊，他要正的那两个垂直。我先，哎呦，咋这么粗，我给大家描描一下啊， ok， 来， p 的 坐标是什么？是零零 t， 因为 a p 的 长度给是多少？没给是吧？然后 c 的 坐标还记得吗？应该是个幺幺零啊，我再不标了，这个地方的坐标应该是个零二零。好，我们现在把这些该写的向量写出来， 那么 p c 向量， p c 向量就是 c 的 去减，去 p 的 终点减起点嘛，幺幺零，减去零零 t 就 得幺幺负 t， 然后再搞一个 c、 d 就 好了呀， c d 就是 d 的 减 c 的， d 的 减 c 的， 也就是负一，然后一，然后零，然后我们将 p c 和 c、 d 进行一个点击，横乘横，然后加纵乘纵，然后数乘除，没有就不写了，然后等于零， 所以 pc 和 cd 垂直啊，这就是法四。这以上就是我们在立体几何当中这两条直线垂直，那么最常用的四种解决思路就是这样。 好的同学们，我们接下来看一下这道题的一个第二问啊，嗯，他说 a 杠、 p、 c、 d， 我 把这几个顶点标一下啊， a 杠， p， c、 d 这四个点所形成的是个三轮锥啊。然后大家对这种题已经见得多的麻木掉了，直接就肯定是要换底的， 他把 a 当顶点， p， c， d 当底面，这个底面也不太好算，高更不好算了啊。所以我们把它换成 v p 杠 a， c， d 啊， v a 杠 p， c， d 给它换成 v p 杠 a， c， d， 这样就稍微好算一点。我们把数据标一下啊，幺幺，根号二，这是二，这是根号二，刚才都是算过的，底下是个等腰直角三型 s， a、 c、 d 的 面积等于根号二乘，根号二乘二分之一，也就是等于一， 所以 v 等于三分之一的 s h， s 是 一， h 不知道，然后等于这个三分之一，所以现在 h 知道了 h 等于几一。 那么我们按这个 p 杠 a、 c、 d 去算的话，那个高肯定是 pa 啊。因为我们知道 pa 和整个底面是垂直的，这是题目的已知信息，所以说这个东西等于一。 那么接下来我们看一下，他问的又问的是什么东西啊？他问的是这个 pc 和 pa 啊，我把这个猜一下，给大家标一下啊， pc 这个东西和我们的谁呢？ pa 所成的夹角的正切值。那么这种题啊，就是求向量角，主要的思路有两种法，一是几何法， 就是不去间隙啊。但是大家要知道，一般情况下能用几何法做出来的这个立体几何，尤其是第二纹，都是比较水的啊，那么这道题也不出意外啊，水都不能再水了。嗯， 用几何法的话，那就要从这个 c 点往这个平面啊，往我这个平面角是不是做垂线嘛？我要去找这个线面角是不是做垂线？那垂线都不用做，就是 c b 啊，为啥就是 c b 呢？那我们想 c b 和 ab 垂直吗？垂直呗，这是题目的信息。 c b 和 pa 垂直吗？垂直，因为 pa 垂直地面， c b 在 地面上，所以 pa 和 c b 垂直，所以 b c g 和 ab 垂直，还和 pa 垂直，所以 c a b 和这个平面内的两条相交直线垂直，所以 c b 和整个平面垂直 啊。那既然和整个平面垂直了之后，那所以我们过 c 点往这个 pa b 面上做垂线垂足，就自然是 b。 然后呢，那所以说线面角很容易就知道就是谁啊？就是 cpb， 就是 我们的线面角 c， 它，那接下来我们解决这个角的正切值了，就相当容易了，来个对边比上里面就好了。这个数据我记得是一吧， 然后我看这是一，这是一，这就是根号二啊，而且这还是个直角，因为 c b 和整个底面垂直的，那么 c b 自然就和 p b 也是垂直的， 所以说 c b p 是 直角三角形，那么 c 塔的对边比零边就是一，比根号二就是 f 这个号。好，接下来我们看一下法，二，就是间隙， 我们把刚才的过程全部擦掉，现在我们来给它建上一个细， 嗯，那就这样，这样这样啊，我们采取的是右手系，所以这是 x， 这是 y， 然后这是 z， 然后计算这个平面的发向量以及 pc 的 向量。当然这个平面的发向量就太过于简单啊，不用见啊，不用，不用求，因为 p a b 它是处于 x 和 z 所构成的平面内，所以外轴上的东西都是它的发向量，所以 它的发向量我们直接编一个在外轴上的就行了，比如说零和零。好，这个发向量就好了。接下来就求一下这个 pc p 的 坐标是多少呢？ p 的 坐标应该是零零幺啊，然后 c 的 坐标的话应该是个幺幺零哈，所以说我们的 pc 向量就是一个 c 的， 像 p 的， 那就是幺，然后幺，然后负幺，紧接着给这个东西来个点击除，什么机？触摸机？ cosine p c 法向量。就是啊，你也可以不加啊，点击触摸键，那就是横乘横一乘零，不写了啊，纵乘纵一乘一，然后竖乘竖负一乘零，不用写了，整个加下来就乘一。 摩羯呢，他的模式一我们就不写了，他的模式根号下三就是根号三，你要化简化就是三分的高三，那可以说，哎，为啥不对呢？那这个地方就要注意，有一个小小的细节就有点阴啊，希望大家这次考试没有被阴到。 嗯，这是 c， 这是 p， 这是一个平面的方向量。我们现在算的什么？算的是这个角的和弦是吧？这个角的和弦 cosine 怎么 cosine 怎么搞？零边比斜边啊。那么这段就相当于是个根号三，这段呢，就相当于是个三啊，这段就是根号六。 那么这个初级者问的是什么？这个 pc 和这个平面，对吧？在这儿，所以 这道题的最终答案应该是这个角的正切值，那就对边比零边根号三，比根号六，所以是根号二分之一，所以是二分之根号二， 所以说这里要从这个三分之三转化到这来。这个地方确实有点阴啊，平时我们做的这种其实很少，你看平时我们大部分遇到的问题是啥？线面角的那个，那个正弦值比较多一点啊？今天问的是正切值。好，本道题到此结束。
02:08查看AI文稿AI文稿好，大家好，距离高考越来越近，今天的话我们大胆来预测一下二零二六年新高考二卷解答题的出题顺序，为大家接下来的冲刺做一定的参考。好，我们先说结论，那解答题的话，第一道大题会考察概率统计，而且测中会以非限性回温来出题， 第二道大题的话会考察我们的数列，第三道考察我们的例几何，然后最后两道的话就是回归我们传统的主流压轴格局，就是解析几何加导数。 为什么这样去预测呢？主要原因有两点，第一点的话就是基于我们新高考二卷的密题滚动规律，以及压轴题跨模块融合的两大原则。说人话就是二十四年的话，我们已经考察的是以解析几何作为压轴题，然后综合了一点数列。 二五年的话是以概率统计作为亚洲题，然后也综合了一点数列。所以二六年的话就该我们导数回归，然后作为传统的亚洲题，然后他会叠加一点三角的知识。 因为前两年已经分别以解析几何和概率统计作为亚洲题，所以今年的话该把导数作为亚洲题，然后前面的话 三角和竖列二选一出大题的话已经连续两年以三角函数出大题，然后今年的话该以竖列出大题，这样的话三角正好作为与导数融合将处最为恰当。 第二个原因的话，就是大家会发现前一年新高考一卷的出题顺序对下一年新高考二卷的出题顺序会一定的导向作用。 比如具体我们看二四年新考一卷他的大体出题顺序和二五年新考二卷的出题顺序一模一样，所以我们也大胆去预测二六年新考二卷的出题顺序和二五年新考一卷的出题顺序会一样， 这样的话，两点原因分析下来大家会发现它的结果是一模一样的，所以这就是我们得出今年的初级顺序的一个依据。好答案，具体今年二六年的真题怎么去出，那我们一起拭目以待。好关注薛老师学习数学不迷路，让我们一起把课本变薄，等你变厚！
4394高中数学宣老师
03:15查看AI文稿AI文稿今天我们继续来讲这道流量明星，就说这个正方形呢，在全国各地市的考试中呢，出现的次数比较多，所以呢，我最近呢非常非常想跟同学们说一下，这个分是很容易拿到手的，网上那些说这个分多么多么难打的，全是在妖言惑众， 那我今天呢就带同学们来证一下啊，就说我把这个题目读完之后，我的答案就自然浮现在眼前，同学们跟我一起来浮一下啊， 这两个角相等的，右边相等，所以角相等，所以这个角也相等。找这个时候让我们证明是平分的，也就是角一等于角，二 角一等于角，很简单呀，你找跟他相关的，什么叫相关的？你东西被偷了，那你首先想的是不是我周边的人呢？我的邻居啊，是吧，谁谁谁谁谁，是不是？所以你就找跟他相关的互鱼的互补的，我找到了互鱼，所以这两个角相等，同角的与角相等没了。 第二步的时候也极其的简单，说这个 b a e 是 等于阿尔法，那就这个角是等于阿尔法，这个角是四十五度，所以这个角就是四十五度加阿尔法。五角星， 他呢也是等于四十五度加阿尔法，也就这个角四十五度加阿尔法，这个角是四十五度，这个角也四十五度，所以这两个三有相似，他就必须有的啦。很简单， 那最后一问的时候说这个 o e 是 等于四的，我们要给同学们解决什么要要领先的思想啊，不要说那些七的八的没有用的，就同学们的用起来的最简单的极简的想法，就从第二问的时候，我们已经证明了这两个角相等的对不对，所以这个大角跟这个大角也是相等的。同学们，为什么想不到？我告诉你们，你看 我在这个图里面我就做了很多的标记，是吧？我平时都跟同学们说过很多遍，你自己要善于做标记，你不要什么都等着我，好像看着我写很开心的样子，等到考试你就傻眼了。那么到了这个时候呢，你就要发现啊，为什么我标了这个你没发现吗？它对的是它，它对的是它， 这两个角又相等，所以这个三角形就是三角形 o、 e、 b。 同学们写的时候注意啊，三角形 啊， a、 c、 e 这两个三角形是相似的，并且他们的相似比是一比二。结束收工了，我可以拜拜，再见了。为什么 就说明这个边是等于几的？等于八的哇，我已经得到它等于八了，你说我都知道它等于八了，对我来说是不是小意思了？没有了，彻底结束了。为什么这么说？因为 b、 e 比上一个 c 一 等于一个一比二，它们相似在这个地方已经证明了，所以我就把它八 求什么 a f， a f 也就等于个八，乘以个三分之二等于个六。你看我这道题目从头到尾写的有那么多吗？啥也没写呀，你说你跟学生说多难多难多难， 我觉得不对的，我们把思路给理理，就是很简单，你就把一些已知角标一标，什么结论啥的，就上一问这名的结论，标一标彻底解决了， 你是不是觉得神清气爽？哇，你的自信又回来了。好了，同学们，我们今天就到这里了，可以在评论区告诉我，你想让我帮你解决什么样的问题？散会。
86阿源教你口算压轴
04:29查看AI文稿AI文稿普通这张二模卷，估计不少人考场拿到卷子的瞬间都愣住了的，密密麻麻的文字，二十二题，折纸类的材料题，二十四题呢，新定义类的二次函数都是创新点，有点头疼，但是呢，坐着坐着就很舒服了，长嘘一口气，普通还是普通，并没有很为难大家，难度上还是相对温和的。 来，咱们具体看看重点的题目，选择题第六题，特殊四边形的判定每年都有规律了，每年都有五六个区考这种题的，考察孩子们关于四边形判定方面的基本功。比方说去年的杨浦、虹口、 金山、静安等等，大家一定要对平行四边形以及特殊的平四，包括菱形、矩形、正方形，还有就是梯形等腰梯形。就这些，对他们的性质和判定一定要门清， 包括各种的异同点，包括他们常用的辅助线，都得弄明白。我之前整理过一张思维导图，待会呢分享在评论区，供大家参考。复习填空十七题，考察圆内接正多边形的问题，这道题很简单，注意把握住对称性就行了。 好，十八题，十八题考察的是动源于三角形三边公共点的个数啊，关键在于锁定临界状态。 好，锁定临界状态这里呢，要注意到，圆 e 和边 a、 c 还有 b、 c 始终都是有一个公共点的，那么他说的三个公共点，剩下的一个点在哪呢？只能在 ab 上产生于两种情形，它有两种状态， 一个是圆 e 边 ab 相切，另外一个呢，是圆 e 刚好过点 b 好。 这两种状态呢，都符合提纲要求，注意千万注意，一定不要漏解 类似的动源于三角形焦点问题的题目，前年二模考了好几道，包括长宁的十八题，这个青浦的十八题，还有金山的十八题等等大题部分。二十二题啊，以折纸为背景考察三角笔，跟今年杨浦二模的二十五题背景框架是类似的，其实操操作起来很简单，纯纯的纸老虎， 跟着题干，文字逐步的去理解就行了。注意这里第二问用了一个勾股定律，第三问用到一线三垂直，这个很长，考的一个点。 二十三题几何证明它是圆圆相交为背景的圆圆相交提醒过大家很多次了，我们脑海中立马条件反射出什么圆圆相交的问题，一定会考察连心线垂直平分公共线一定会考察这条，这条定律。 有了这样的一个理念，针对这里的第二问，绝对是秒杀的存在。这个定律经常在二十五题结合圆圆位置关系做计算的，只不过这里普通考了证明题而已。 那第一小文利用的是锤定理。这个类似的让我印象比较深刻的题目有二十四年浦东的二十五题，还有二十四年松江的第二十三题， 二十四二次函数。今年浦东考的是新丁一类的，也算是跟上潮流了，去年闵行，前年杨浦二模都是二次函数考的新丁一类，一模有很多的去考的这种，说实话，这道题的参数还真挺多的，考孩子们全卷做到这里，如果没有十足的耐心，可能会有点焦躁。 这里的第二问理解题干后，我们需要先求出 m n 之间的关系，然后结合题干给的平行四边形计算平移量就行了， 计算来说的话是不难的。第三问，根据两个一次函数一一对应点的坐标，结合问题给的这个七十五度，以及题干隐藏的这个四十五度，这里需要合理的转化，转化为角 p m o 的 范围，根据坐标列正切值相等啊，列正切值就可以了。 是二十五题，这个几何压轴，不得不说框架出的很好，非常正统。为什么这么说呢？就是他跟近几年的中考卷二十五题的风格非常相近，比方去年中考卷的这个二十五，前年二四年中考卷的这个二十五，包括二二年中考卷的这个二十五，你们感受一下。所以小朋友们，你们考完以后一定要好好的琢磨这道题， 近几年中考都是这种特点，他的线条不会非常复杂，作图呢也不会非常的难，但是，但是就看你能不能结合最基本的 a 字八字啊，挖掘出关键性的关联点。 第一问，正相似就不多说了，边角边或者角角相等都可以正。第二问是球面积比，本质上就是球底边的比，他给的是对称，对称，我总结的初中几何辅助线上，怎么说呢，见到对称或者说中垂线，你一定要连接等腰，这里连了等腰以后，还可以得到一个一组共边相似， 再结合八字形延长，可以就可以求出比例关系了。第三样，我们给了两条线段之间根号五的比例关系和提杆的正切值，根号五完全一样，这里提示的不能更明显了，大家一定要学会观察数据特征啊，他两个肯定有关系，就看你能不能善用，能不能挖掘出来？ 好了，全卷的分析就到这里，特别提醒孩子们，大家考后一定要好好的复盘这个二十五题，好好的琢磨琢磨线段间的比例关系是怎么转化的，怎么去锁定相似的，还有他的角度是怎样具有传递的，这道题非常有价值。
75权老师话日常
02:22查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，今天我们用三分钟快速吃透二零二六年和平区的数学二模这套试卷，满分一百二十分，考试时间一百分钟，整体难度中等偏上，非常贴近贴近中考。基础题占了六成，中等题两成半，压轴题一成半，区分度很明显。 首先我们来看题型结构，十二道选择三十六分，六道填空题六十六分，考点全面重思路，几何综合和函数结合是本次的最大亮点。 选择题部分，一到六题全是基础的送分题，密运算三式图、根式估算轴、对称科学计数法，特殊角的三角函数稳稳拿分。七到十一题考反比例分式化解伟大定律，尺规作图和旋转，难度适中，细心就不会错。 第十二题，抛物线拱桥应用题，三个结论，判断容易忽略，安全距离三米是选择里面最容易丢分的一道题。填空题十三到十六，概率整式平方差，依次函数全是基础。 第十七题，正方形综合考中卫线和全等，思路不对的话很容易卡扣。第十八题，网格作图，还是跟以前一样的难度。 解答题部分，十九题不等式组二十题统计图表都是一定要拿满分的。二十一题，原综合，二十二题解直角三角形，计算量偏大，角度和数据别抄错了。 二十三题，依次函数形成图像分段，解析式和速度套路也比较固定，稳稳得分。最后两道压轴题，二十四题，梯形折叠，中考必考的模型，注意分类讨论和重叠面积。 二十五题，二次函数加正方形的存在性，线段最值是全卷最难，先转化再用将军印码，能写多少步骤就拿多少分给大家三个实用的得分策略，第一，基础绝不丢分，选择前十题填空，前五题必须全对。第二，几何抓模型，旋转折叠、切线、中位线， 见到题目就要认识模型。第三，时间要分配好，选择填空控制在三十分钟以内，留足时间攻克最后三道亚洲题。总的来说，这套试卷基础友好，压轴有力，完全模拟了中考的风格，只要基础稳，几何通、函数熟， 就能够拿到理想的分数。想冲高分，重点突破几何综合和函数最值的灵活转化，这份二模试卷，就是你中考前的最精准的一次练兵，吃透它，中考更有底气！
19天津周老师
11:21查看AI文稿AI文稿下面我们看一下高新二模的几何压轴题。第二十四题。第一小问， c f 与 d g 的 数量关系， c f 和 d j 的 数量关系。这两个，嗯，这个地方呢，我们可以利用平线分线段成比例来做，嗯，因为这个是个矩形，这个大的也是个矩形，所以这条线和这条线是平行的， 所以 c f 比 d j 就 等于 a f 比 a j， 而这个角的度数是二比一的关系。 c f 和 d j 所成的角， c f 和 d j 所成角，就这个角，嗯，所以它就是六十度。第二小问，就是旋转形的相似，也叫手拉手相似，因为 af j 这个三角形和 ac 的 本来就是相似的，经过旋转， 嗯，所以下面旋转之后呢，仍然能得到 a f 比 a j 就 等于 a c 比 ad。 又因为角一加上角二等于角二加上角三，所以角一等于角三，这样我们就两边对应成比例，且加上相等，就正负了相似， 所以 c f 和 d g 的 数量关系仍然是相似。比，就是 a f 比 a g 等于二比一，并且它们所成的锐角应该是延长这个 c f， 也就是这个角。三角形相似之后呢，所以可以得到这个角和这个角是相等的， 所以在这个图形当中，哎，出现了一对蝴蝶形的相似， 或者说反八形的相似啊。这两个角相等是对应角，这两个角是对零角，所以这个角的度数就是六十度。 这也是手拉手全等，或者是手拉手相似的一个重要结论。就是第三边所成的角度总是等于两个大手的夹角，而且是通过一对蝴蝶形的相似得到的。 所以说，第二位仍然是不变的，数量关系也不变，夹角大小也没有发生变化。 下面看一下第三小问，矩形的边 a、 d 等于 a、 b， 这样这个就变成了一个正方形， e 是 直线 c、 d 上的一点直线 c、 d 上。 然后呢，后面这个又是个正方形，告诉我们了 a、 d 的 长度是四， d， e 的 长度是二，求得 h， 嗯，因为 h 点是 a、 e、 f、 g 这个正方形的中心，所以连接 a、 h 这个 a、 e、 h 就是 一个等腰直角三角形， 嗯，下面根据根据图二，就是上一问，嗯，这个小的三角形， 小的三角形，嗯，它会和有有一个三角形是相似的，哪个三角形相似呢？这个是等腰直角三角形，所以下面连接一下这个 a、 c， 那 a、 c、 d 这个扇形也是一个等腰直角扇形。 a、 e、 h 等腰直角扇形。所以此时 a、 c 比 a、 d 等于根二， a e 比 a h 也是根二，所以 a、 c 比 a、 d 就 等于 a、 e 比 a、 h。 这两个角又是相等的，角一加角二四十五，角二加角三四十五，所以角一定角三。这样我们就正出了这个三角形 a、 c、 e 和三角形 a 得 h 相似， 所以扇形相似定边成比例。 c、 e 和 d h 之比，就是跟二比一的关系啊。所以这种情况下，这个长度 d、 e 是 二，所以 c、 e 也是二， 二除以根号二，就是得益正常。这是第一种情况。第二种情况呢，无非就是点 e 落在 cd 的 延长线上，嗯，所以下面画下图，嗯，就是落在 cd 的 延长线上， 嗯，一点在这，嗯，然后下面我们画一下 a、 e、 f、 g 这个正方形， 然后找到它的中心 h， 方法完全相同， 这样这个三角形 a、 e、 h 仍然是一个等腰直角三角形，所以下面还是要连接 a、 c， 所以大手拉小手，嗯，这个和这个就是大手，这个和这个就是小手，大手拉小手，嗯，大手拉小手，所以 a、 c、 e 这个三角形相似于三角形 a、 d、 h 啊，两侧已经相似了，方法和图三的证明是完全相同。这样的话， 要想求得 h 的 长度啊，得 h 的 长度呢，就和 c、 e 是 对应边 相似，比是根二比一的关系，而这个 c 的 长度是四，得一的长度是二，所以 c、 e 总的是六六除以根号二，答案就是三根二。 这样这两个题目呢，就是完全的，嗯，利用了，嗯，我们称为叫旋转相似，或者说手拉手相似，嗯，那证明了，嗯，这题目难度并不是很大。下面我们再说另外一个方法啊， 这个第三小问，第二方法是可以这样，就是我们发现，当我们连接 a、 h 这个三角形是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形，我们常见的思路可以用一线三垂直来做，所以这个地方我们可以构造一个一线三垂直，那这个就是这个样子的， 这个是二，这个长度是四，这样我们能求出这个 a、 e 的 长度是二根五， a、 e 的 长度是二根五，则 e、 g 的 长度是二根十，所以这样 e、 h 的 长度就是根号十，和 a、 h 相同，都是根号十， 下面一线三垂直，我们把它构造出来， 导出来之后呢，这个三角形和这个三角形相似的，所以啊，全等啊，所以这个边和这个边相等，这个边又和得 m 相等，所以这是一个等腰直角三角形， 设它是 x， 它也是 x， 这样我们勾股定律就可以求出这个 x 啊，就二加 x 的 方，勾股方程加上 x 方等于根号十的平方， 这样就能算出来， x 应该是等于一或者是负三负三舍掉。 嗯，这样得一次的长度就是根二，一比一比根二嘛，同理，嗯，这种情况下也可以用这种方法，嗯，构造一线三垂纸，一线三垂纸呢，可以构造成，哎，这个样子， 就这个三角形和这个三角形是全等的。三角形一全等，仍然得到这个边和这个边相等啊，这个边又和这个边相等， 这个长度是根号十啊，所以下面 我们也是设它是 x 啊，设它是 x， 这样这个边的长度呢，这个也是 x 啊，所以这个就是四减 x， 嗯，勾股定律 f 方加上四减 x 方等于十，求出来 x 等于一或三， 同理，得 h， x 应该是等于一，三舍掉啊，得 h 的 长度就是三根二啊。因为此时这时一个等腰直角三角形啊，这是三，这是三，那它就三根二 好了。这是第二个方法啊，第二个方法就是根据等腰直角三角形构造一线三垂直。 嗯，这个题目本来设计的方向就是，嗯，用手拉手的相似来做啊，手拉手的相似更适合一些，因为前面呢，都是手拉手的相似啊。这个题目呢，比较简单，我们这样就分享这里。
22济南数学潘林倩
