数学七下几何路灯模型
这个探照灯模型啊，我觉得还是有必要跟大家讲一下的，因为我发现还是有一些同学不太会。 那首先我们为什么要叫他探照灯模型呢？是因为有人觉得这个形状看起来像一个探照灯一样，所以就给他取了这么一个名字。 不过呢，这也就是听起来觉得挺新鲜的，相比之下，我还是更喜欢叫他定角定高模型，因为这个名字更符合他的本质。 由于这两个角对角互补，所以这四个点是共圆的。那根据圆周角定律，我们可以知道这两个角是相等的，看定角出现了， 然后因为这个三角形是固定的，所以它这一条边上的高也是固定的。看定高出现了， 好，关键点来了，为什么一定要去做这一个三角形的外接圆呢？因为这一个角是定角，而我们要求的是他所对的这条线段的最小值。如果我们把它放在一个圆里的话，那这就变成了一个求弦长最小值的问题了。 而由于这个圆周角是定角，所以它的圆心角也是定角。因为这是一个等腰三角形，所以求底边长度最小值的问题，也就变成了求腰长最小值的问题了，也就是求这个外接圆半径的最小值了。 所以现在你明白为什么一定要做外接圆了吗？好，接下来我们把题目的数据补上。 四边形 a、 b、 c、 d 是 一个矩形， ab 的 长度是六， ad 的 长度是八， e 点和 f 点是两个动点，并且 af 和 ef 是 垂直的。然后让我们求 g、 f 的 最小值，所以也就是求半径的最小值了。 这里我们应该过 o 点向 g f 做一个垂线，这样一来，这两个小角就都等于 alpha 了。因为 alpha 的 正切值等于四分之三， 所以我们令 f n 的 长度等于三 a， o n 的 长度等于四 a， 那 半径 of 的 长度就是五 a 了，所以 o a 的 长度也是五 a。 可以看到 o a 加 o n 显然是大于等于 a h 的。 当前仅当 n 点运动到 h 点的时候，才能取到最小值。 然后我们整理一下，也就得到了 g f 是 大于等于三分之二倍的 a h 的， 至于 a h 的 长度，我们可以用等面积法来求。最后我们把 a h 的 值带上去就行了，算出来 g f 的 最小值应该是五分之十六。 好了，不知道看完这个视频之后，你有没有学会定角定高这个模型呢？虽然说他就是一个死模型， 但你说他会不会考呢？他还是可能会考的，毕竟去年连云港就考到了。这道题我之前也讲过。所以说呀，还是那句话，多学一点东西总归是好的。
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00:47查看AI文稿AI文稿大家好，我今天又来给大家分享作品了，来家人们可以看一下这张作品，这个是我们讲的透视近大远小的一张作品，一个知识点， 那么家人们可以看一下，那么这个我是画的路灯，来可以看一下我身后的这个路灯，那么家人们看一下这个路灯是不是咱们已经垂直于地面了？那么咱们来看一下作品， 来看一下这个作品是不是所有的路灯都是倾斜的，那么这个就是一个孩子他的立体思维和空间思维不太好造成的。如果孩子是十岁以上或者十二岁以上， 他画的路灯或者是电线杆一直是倾斜的这种状态，那么他将来的数学一定是会有问题的，尤其是到了高中学立体几何的时候，那么他一定是学不明白的，就是咱们家长们认为学画只是学画画吗？
03:05查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，今天我们来一起做一道关于平行线拐点问题的题目。先读一下题，下图是汽车灯的抛面图， 从位于 o 点的灯发出光，照射到凹面镜上反射出的光线， b、 a、 c、 d 都是平行线。若角 a、 b、 o 等于 r 法， 角 d、 c、 o 等于六十度，则角 b、 o、 c 的 度数为多少？首先这道题是拐角问题，它属于我们平时所说的猪蹄模型，通过猪蹄模型的结论，我们可以秒出答案，角 b、 o、 c 就是这个角，它是等于角 a、 b、 o 加上角 d、 c、 o， 那 就等于 r 法加六十度。答案是选项 c。 但是我们学数学题，我们需要明白当中的原理，为什么有这个结论呢？我们一起来分析一下。首先，拐点问题解析的 核心方法是过拐点做平行线。我们先找到题目中的拐点是点 o， 已知 b， a 平行于 c、 d， 那 么我们就可以过 o 点做 o， e 平行于 ab， 因为 ab 平行于 cd， 所以 ab 平行于 o， e 平行于 cd 的。 由于平行，我们就可以得到内错角相等。因为 ab 平行于 c、 e， 所以 角 a、 b、 o 等于角 b、 o， e 等于法，角 e、 o， c 等于角 d， c、 o 等于六十度，就是这个角为 r 法，这个角为六十度，所以我们就可以得到角 bo， e 加上角 c、 o， e 就 等于 r 法加六十度，而角 a、 o， e 加 c， o， e 就是 角 b、 o、 c。 所以这一道题他的答案是 c。 这就是这一道题的一个答题思路。如果我们以后遇到题目上面有平行线，而且又有拐点的题目，我们就知道过拐点做已知平行线的平行线，再把 大角拆成两个小角，再用内错角相等来计算，这就是解决这类问题的通用技巧，同学们，你们学会了吗？看完视频一定要记得点赞、收藏，关注小卓老师，轻松学好初中数学，我们下期再见！
09:19查看AI文稿AI文稿大家好，我是翻墙数学快乐的涛哥，今天我们来分享一道这道这道题啊，首先我们啊看看这个题以后，在一个四四边形 a、 b、 c、 d 中啊， ab 等于 ab 等于 cd 啊，等于四啊，等于四 啊， a、 d 平行于 bc 啊，也就说这是一个等腰体型啊，角 b 等于六十度啊，角 b 等于六十度啊，点 e、 f 分 别是 bc 和 cd 上两个动点 啊，且 e、 f 等于六十度啊，六十度啊，这三角形 a、 e、 f 啊，面积的最小值。当我们读完题以后一看啊，这就符合昨天我们讲的那个探照灯啊， 探照灯的模型，那么我们探照灯的模型有有两类体型，那那第一类啊，就是这个这个三角形，在一个一个正方形或者是一个矩形中 啊，矩形中啊，我们我们用了啊，那个通用解法啊，第第六种就是昨天我们讲的一个定角啊，定角角 定高的啊，题型啊，首先我们看一下他的一个体型的，不符合在正方形和矩形那个那个那个那个题型啊，然后又看到啊，这个定角和加定高，那这些高是不是定高呢？因为他在动也不是，那么这道题我们来怎么解决呢 啊，如果这个题他不是符合这道题型的时候，我们首先啊需要一个转化思想啊，转化思想 啊，转化转化成这两这两类经典的题型啊，当我们看到啊，这个角是六十度啊，它平行，所以说这个这个角角 b、 a、 d 啊，等于一百二十度啊，因为它的平行啊，绿色角互补。然后又看到这这个角啊， e、 a、 f 等于六十度，那我们看到以后，我们就选到了另一个模型啊，叫半角模型 啊，八角模型啊，以前你们学的八角模型都是四十五度的，那真正的八角形，八角模型的本质是啥呢啊？本质啊，本质就是第一，就是啊，符合啊，本质是个几何特征，几何的特征。 特征。第一啊，第一点是要共点啊，比如说你看 a 是 那个点，第二啊，叫等线段，等线段啊，你看这个 ab 和 ad 也相等，也符合啊。第三步啊，那个那个九，这个九 要符合这个角 a、 b、 c 加上角 a、 b、 c， 哎，等于一百八十度啊，他说这个角和这个角又互补啊， 符合这这三个以后啊，他就适合用八角模型。你看我们把三角形这个 a、 b、 e 啊，沿着 a 点啊旋转，是不是旋转，然后因为这里和等线段是不是 b 点就和 d 点可以重合，那为什么说第第三个的时候要， 要要互补呢？互补的时候啊，首先你旋转过来以后，哎，这个一一撇在这里，是不是确定确保啊，这三点贡献啊，三点贡献啊，这是八角模型的本本质的，几何特征啊，几何特征啊，几何特征 啊，所以说以前你们学的那个那个八角模型的时候啊，要从本质上去理解啊，这例题怎么怎么解决？那么我今天先要通过啊，这个半角模型做一个等量转化啊，等量转化之后啊，看看我们符合 符不符合上面哪哪一种梯形那啊，首先是你把它旋转多少，哎，旋转六十度，嗯，旋转，旋转一百二十度，因为这个夹角是一百二十度，是不是旋转一百二十度以后这个点和它重合啊，也就说这条线也要旋转一百二十度啊，旋转一百二十度，嗯， 这样他，他也是这样过来啊，然后这样旋转过来 啊，旋转过来这个 e 就 到了， e 一 撇，是不是 a 一 撇啊？因为啊，这个这个角啊，加上加上这个小角等于六十度，是不是？它旋转过来以后，是不是这个角 加上这个角也等于六十度，也说这个角等于一百二十度了，是不是？哎，这就是那八角模型的那个那个理念啊，旋转过来以后啊，出全等，也就说这个这个三角形和它是全等的， 是不是？也就说 a f e 一 撇和这个 a f e， 哎，全等全等以后，我们就开始啊，看看啊，然后通过这个 a 点啊，做这条边的垂线， 哎，垂线，垂线啊，因为这个角是六十度，那么转过来以后这个角也是六十度，是不是它啊？是四，这个斜边是四，那么它的对边就是二倍的刚好三，是不是？就是，就是四，乘以三六十度，是不是 a 二倍刚好三， 那么也就说啊，这个 a f d e， 对 吧？啊，对，也就说这个 a g 是 不是就是这是边的高啊？哎，是不是符合了第二种题型啊？定角，是不是定角啊？定角 啊，因为他旋转过来以后，是不是，哎，这个角是不是也等于六十度啊？这个角就等于六十度，是不是我们就符合了定角加定高定定角，这个 这个一 f a e 一 撇，是不是等于六十度？哎，这条高 ad 这条高是不是夹在中间的一条高啊？他就符合这一个，符合这一个的时候，我们就昨天用那个，哎，可以用外角圆滑啊，外角圆滑就可以解决了啊， 啊，这就是这道题的关键，因为当你看到这个他他这种模型不符合这两种情况的时候，我们就要做一个等量转化啊，转换成这两种这种题型，当你转换到这种题型的时候，我们就就会了啊，昨天我们讲的外延法，首先他的外延线确定一个原先假设，这个原先在这里，是不是啊？大概啊，在这 应该是这个位置比较的啊，就说你连接啊，这个原线为 o， 连接这个 o、 d， 是 不是连接这个 o、 e 一 撇，再连接这个 啊？这个这一个，然后顺便做 o， 做它的垂径顶点，是不是？哎，做一个 o、 h、 o h 垂直啊，昨天我们就 啊写的那个啊，三角形，三角形 a、 e、 f， 是 不是通过八角模型我们就转化成三角形 a、 f、 e 一 撇，是不是？哎？此时这时候它的面积是不是等于二分之一？这个，嗯， 这个 f 定勾啊，对这个 f、 f 一 一撇啊，乘以这个 a、 d， 是 不是啊？因为这个 a、 d 是 是个定勾，是不是等于二倍根号三，那么也就说确定它啊，这个 f 一 一撇啊，一一撇，怎么怎么来确定呢？是不是？也就说啊，这个 它等于二倍的 d、 d、 h 是 不是？那这个 d、 h 啊？昨天这里说六十度，是不是？这里就是三十度啊？这里是三十度，是不是？哎，我们就是看看它这条，这个 d、 h、 d、 h 是 不是等于这个半径啊？ 等于半径乘以这个圆周角，这个是六十度啊，这个是六十，因为它这个角是六十，所以说这个是一百二，这个是六十，所以说等于乘以三百六十度，是不是乘以三百六十度 啊，乘以三六十度，那么万一有原因，这个 a o、 a o 加 a h 是 不是要大于等于这个 a、 d 啊？这个 a o 是 等于二啊，这个 a、 h 呢？ a h 等于二，乘以这个口算六十度啊，口算六十度啊，是不是它大于等于 a、 d 啊？ 通过这以后，我们再去算一下啊，这个 r 是 不是要大于等于啊？这个 aj， aj 是 二倍的根号三，是不是加上一乘以二分之一啊？也就说，嗯，它等于多少呢？乘以二四 啊，算一下啊，二分之三，这边二分之根号三，放上去放上二四倍的根号三啊，它也等于 三分之四倍的根号三，是不是也就说当二取最小值等于三分之四倍，根号三十三十啊， 这个这个 d、 h、 d、 h 的 最小值啊，就等于三分之四倍根号三啊，乘以这个三点六十度，三点六十度等于多少 啊？三六十度等于二分之根号三啊，根号三，所以它是不是等于二啊？这三三约等于二啊。 d、 d、 h 等于等于二的时候，是不是它的最小值，是不是它的最小值就等于四啊？等于四啊，它等于四的时候，那我们这个题啊，是不是它就等于啊？它的最小值啊，就说它的最小值， 这里的最小值啊，就等于二分之一。乘以这个，这个 f 一 啊，等于四，是不是再乘以这个 a、 d、 a、 d 是 不等于二倍刚好三啊？就是此时它就等于四倍，刚好三啊，啊，就是当你看到一个题的时候，符合一个模型的时候，哎，结果出来又不符合这两种题型， 那就需要一个等一个啊，转化数学的转化思想啊，让它符合上面这两类题型。因为这两类题型我们已经用通解法了啊，所以说今天就这个外角研法。是不是外角研法 啊？如何用一个转化思想？哎？用到个八角模型，有八角模型的本质啊。给你，给你符了一个，这个符合这个旋转啊，旋转，旋转的啊，几何的啊？特征啊。好，今天我们就分一楼了。
24朝闻数学涛哥
05:11查看AI文稿AI文稿呃，大家想象一个场景啊，呃，假设这是地面，我用一条直线来替代掉地面，在地面上呢，有一个电线杆，当然这电线杆肯定是和地面是互相垂直的啊， 我用 p d 来替代它，这里是垂直的，那么在电线杆的顶端，也就是 p 点，这挂了一个探照灯，这个探照灯所射出的这个光线的夹角呢，是不会发生变化的， 这个夹角始终是阿尔法。那么我假设这个探照灯可以在这个就是这个电线杆的顶端，可以呃，随意的转动啊，它在地面上就会形成一定的这个照射区域，我说它是 a b， 那么问，什么时候这个 a b 这个照射区域它会最小啊，它会最小，那么这就是我们的这个呃，探照灯模型 叫定角夹定高，底边最短 b 等腰，它是怎么正的呢？说，在三角形 a b p 当中， 角 a p b， 它是一个定角，始终是 r 法，然后 p h 是 垂直于这个 ab 的， 并且这个 p h 的 高度 是不会发生变化的，这电线杆嘛，电线杆的长度不会发生变化，然后就是问你啥时候这个 ab 最小？ 那么看到这呢？哎，大家可能想到了，呃，会存在隐元，当然 a、 b p 三点肯定是共元的， 只不过就是这个元是一个不断变化的元，它的大小不断的在发生变化的一个元啊，那么，哎，我把那个隐元画出来啊， 大概就这样子，圆心呢在这里，哎，我把它标做 o， 然后我连接这个 o a o b， 问的是什么时候这个 a b 最小，我把这个圆的半径我设为 r， 这我需要提醒一下的是，这个 r 的 不断的变化啊，它的大小是不断发生变化的， 那么 ab 它等于什么呢？我们来看一下啊。由于这一个角是 r 法，那么很容易知道角 aob 是 二 r 法。那当然如果我再过 o 点往这条边做一个垂线，我叫 r o g， 那么这个角 b o g， 它就也是 r 法，为什么表示这个角呢？因为我要用三角函数去把我 ab 的 长度表示出来。大家这我写一下， ab 是 等于这个二倍 b g 的， 那我们在三角形 b o g 当中来看， 这个角是 r 法，这条边是 r， 那 么我们的 b g 的 话呢？他就可以用这个三角法乘以 r 来表示，那么所以这个 ab 的 长度就成了二 r 倍 三氧二法，我们要使这一个 ab 的 值最小，大家看一下哈，我们说了这是定角，那么所以三氧二法也是一个定值，那就只需要保证这个 r 是 最小的就行了。 r 怎么样去最小呢？我再把这个 o p 连接起来一下。 由于我们的这个 ph 是 一个定值，大家看一下啊，那所以我们的 ph 也就是 h 嘛，它会小于等于这个 o g 加上 o p， 那 o g 怎么表示？还是要在三角形 b o g 当中来看， o g 这个角是 r 法， o g 比上 ob， 它就是 cosine r 法， 那么所以这个 o g 的 长度就是 r 乘以 cosine r 法， o p 的 长度现成的就是 r。 那 么问你什么时候这一个 r 是 最小的呀？那当然就是这一个 p 点， o 点， g 点，三点共线，也就是说啥呢？也就是说这个， 呃，就是我们就变成了这个样子，就是三，就是这个 h 点就移动到了 g 点这个地方来的时候， 它的值就是最小的啊，值就是最小的，这就是我们的这一个探照灯模型啊，探照灯模型就是我们要在口诀就是什么呢？定角夹定高底边最短 b 等腰啊，这是我们的探照灯模型，记得点赞关注哦。
55奔跑的蜗牛
08:27查看AI文稿AI文稿本视频耗时一年制作共计一百五十分钟，带你一口气学完七年级数学所有几何模型，先点赞收藏再慢慢看吧，还得慢。 好，来看模型一，线段双中点说已知 c 在 线段 a、 b 上 m、 n 分 别是 a、 c 和 b c 中点，则结论就是 m n 等于二分一的 ab。 怎么回事呢？咱们看下。因为 m 是 a c 中点，所以 m c 等于二分之一的 a， c， n 是 bc 重点，所以 n c 等于二分之一的 bc， 所以 说 mc 加上 n c 这两个合起来就等于二分之一的 ab 了。好，这是详细的一个证明的过程。好，咱们来看模型二，双角平分线模型好，若 o p 呢，是角 a o b 的 一条射线，然后 o m 平分角， 那个 b o p o n 呢？平分角 a o p 好， 所以结论就是角 m o n 等于二分之一的角 a o b 啊，这个呢，咱们可以看一下。因为两个红角相等，然后呢，两个直角相等，所以你会发现一个红角加一个子角，是不是刚好就等于二分之一的角 a o b 了？ 好，这是详细的证明过程。好，咱呢看模型三，主体模型说已知 a b 平行 e c， d， 则角 b o c 就 等于角 b 加上角 c， 这怎么回事呢？咱们说遇拐点做平行线好，咱们只要过 o 点做一个平行线，你会发现， 好这个角 b 是 不就等于这个角一，因为内侧角相等好，这个角二，是不又等于这个角 c？ 好， 所以你又发现两个直角了？和，是不刚好就等于两个红角了？和，而这是详细的证明过程。大家咱们看 模型四，铅笔通模型说已知 a b 平行于 c， d， 则角 b 加上角 b o、 c 加上角 c 等于三百六十度。这个也是咱们预拐点 o 直接做一个平行线啊，你会发现，那则这个角 b 加上角一是不一百八， 角 c 加上角二是不也是一百八？因为两只线平行，同邦的角互补，所以这三个角相加，刚好等于两个一百八就是三百六了啊，这是详细的证明过程。 好，咱们看模型五，锯齿模型说已知 a、 b 平行于 e、 f， 则角 b 加上角 d 等于角 c 加角 e a， 你 会发现，角 b 加角 d 是 不刚好是向左的角，角 c 加角 e 刚好是消运的，向右的角，所以说朝向左边那角的和就等于朝向右边角的和，这怎么做到呢？咱们还是 遇拐点 c 和 d 做平行线，做完之后，哎，你会发现内错角相等，这个角 b、 c、 n， 哎，是不是就等于这个角 b。 同样的哎，这个角 n、 c、 d， 那 是不是就等于哎，这个角可以发现。然后呢，这个角 p、 d、 e 是 不就等于这个红角？ 好，所以你会发现两个红角，这个角和，这个角和是不刚好就等于咱们这个子角了和，而这是详细的证明过程。还在。咱们看模型六，八字模型说 a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 那 则角 a 加角 b 等于角 c 加角 d， 这个怎么回事呢？咱们看一下， 因为角 a 加角 b 加上角一等于一百八好，角 c 加上角 d 加上角二是一百八， 这个角二和角一刚好对顶角相等，那所以说两个红角角 a 和角 b 的 和，就等于两个直角角 c 和角 d 的 和，然后我就整完了，对吧？然后再看说它的变形类型是拓展的，模型说 b、 p、 d、 p 分 别是角 a、 p、 c 和角 a、 d、 c 的 角平行线，也就是说这两个角相等， 还有就是这两个角像的，那么这个角屁啊，就等于二分之一的角 a 加角 c， 这个怎么推出来的呢？好，咱们看一下，这是用到了两个八字模型，第一个八字模型是这个八字模型， 这个八字模型你会，你能看出来？哎，我这个角 a 加上这个角是不就等于角屁加上这个角后，第二个八字模型呢，你是用到了啊，这个八字模型 好，你会发现这个角 c 和这个角是不就等于这个角屁加上这个角两个八字模型，然后呢，把你无关的角全部消掉啊，最后就推出来了角屁等于二分之一的角 a 加角 c。 啊，这个自己推一下， 好，进来看。模型七，废标模型说已知四边形 a、 b、 c、 d， 然后呢，则角 b、 d、 c 等于角 a 加角 b 加角 c。 好， 这个怎么推出来呢？咱们这个一共有四个模型，咱们用这个模型讲一讲，您发现一个三角形了，这个三角形的外角是被等于两个不相邻的两个内角和 好，一个扇形的这个外角是等于这两个不相邻的哪个两个内角和，所以我这两个直角的和是不刚好等于四个红角的和，四个红角和刚好就是角 b 加上这个角 b、 a、 c 再加上角 c， 所以 我就正完了。 好，接下来咱们再看模型八 a 字模型说如图，则角 d、 b、 c 加上角 e、 c、 b 就 等于一百八加角 a， 这个怎么得到呢？咱们说好，一个扇形的外角等于不相邻两个内角和 好，这个角 d、 b、 c 是 不等于角 a 加上角 b c a 好， 这个角 b、 c、 e。 是 不等于角 a 加上角 a、 b、 c 好， 你会发现角，这个角 a、 b、 c 加角 a c、 b 再加一个角 a 是 不是一百八？这时两个角 a 就 多出个角 a， 所以 说刚好就是一百八加上个角 a 了。 好，那如果说我把 d、 e 封上，就形成了这个图形，这个图形所读到结论是一样的，也是这两个角的和就等于一百八十度，加上这个角 a。 好， 咱们看一下， 比如，哎，这个图形好，咱们看一下。那这个角 a 加上角 b f、 c 好， 就等于角 d b、 f 加上角 f、 c、 e， 这个怎么正呢？好，咱们来看下边这个图形， 你会发现还是不相邻的一个扇形，一个外角是不等于不相邻的两个内角的和 一个赛信的这个外角是不等于两个不相邻的内角和，所以我就证完了两个子角是不刚好就等于这个角加上这个角。好，这是详细的证明过程。 来，咱们来看模型时，双角平行线模型好，第一个叫内内模型，也就是当两个角平面都是内角平行的时候，它相交于点 d， 那 么点 d， 这个角 d 就 等于九十度加二分之一角 a， 怎么推呢？其实我发现这个角 d 呀，加角二，加角四是不是一百八十度？ 好，接下来这个角 a 加上角一，角二，再加角三，角四是不是也是一百八十度？ 然后呢，角一等于角二，可以写成角 a， 加上二倍角二，角三等于角四，可以写成二倍角四等于一百八，再加上刚刚推的角 d， 加角二加角四等于一百八，这两个式子把角二角四消掉，怎么消呢？让二式乘以二和一式作差，然后整理完之后就把角二角四消掉了， 也就是能得到角 a， 角 d 的 关系，我就证完了。好，再来看第二个内外模型，也就一个角是内角平行，一个角是外角平行，所它所相交点 d， 那 么这个角 d 就 等于角 a 的 一半，哎，就是这个结论，咱们看这个怎么证呢？这个用的是一个四方形的外角，等于不相邻的两个内角合，你会发现这个角四是不等于角 d 加角二 a， 哎，第二个你会发现这个角三加角四是不等于角 a 加上角一角二， 对吧？然后呢，角一是不等于角二，可以写成 a 二倍的角二，角三是不等于角四，可以写成二倍的角四，所以就形成了这个式子。那接下来角地加角二等于角四，把角二角四交掉，怎么消呢？让二式乘以个二，然后跟一式作差，然后整理完之后就只剩下角 a 和角 d 了，我就挣完了。 好，接下来看下一个外外模型， a， 外外模型就是两个外角平行线相交于减 d， 那 么这个角 d 就 等于九十度减二分之一，角 a 跟刚刚那个恰角相反，而这个怎么正呢？好，看一下，这个也是，你又翻角二加角三加角 d， 是 不是一百八十度？ 好，接下来还有就是有一个，你会发现我这个角加上这个角是不等于角 a 加上一百八，好，也就是这个式的了， 您翻页，然后角一是不等于角二，角三是不等于角四，所以可以写成二倍的角二加角三，也就是这个三式。好，再加上刚刚咱们说的角二加角三较角 d 等于一百八，把这两个式子折长度的角二角三消掉。怎么消呢？你只需要让四式乘以二，乘以二之后，然后呢？跟三式作差，整理一下我就出来结果了。
3298数学思维阳老师
02:01查看AI文稿AI文稿一分钟搞定图不规给出一个图形，让我们求它的最小值。其实这种题型很简单，因为方法不定，听完就能拿满分。 只要是求线段加 k 倍的线段的最小值，就只有两种模型，第一种，模行动点在直线上，用弧 不规。第二种，模行动点在圆上用它是圆。这道题中动点 p 在 线段 a c 上动，轨迹是直线，直接锁定弧不规。弧不规模型的解题方法就一招，构造直角三角形。 只要系数 k 大 于零小于一，就使得系数后面的 b 为斜边，再让直角边比上斜边的比值等于 k 即可。这道题中的 k 是 二分之一，正好是三十度的直角三角形。三十度角所对的边是斜边的一半，所以以 a p 为斜边构造直角三角形， 使得顶点 a 或者顶点 p 的 角为三十度。这里因为 p 点是一个动点，所以我们选择定点 a 做一条三十度角的射线，过点 p 向这条射线去做垂线， 那么这里就是我们要的三十度角的直角三角形。那么二分之一的 a p 就是 p q 的 长度，要求的小 a 加二分之一的小 b 就 转化到了这个位置， 因为 p 点在 a c 上动，假设 p 点动到这个位置的时候，连接 p b 同样向三十度角的射线去做垂线。现在求的就是这两条线段和的最小值， 因为底下必须都是垂直的关系，才有三十度的直角三角形哦。所以要求小 a 加二分之一，小 b 最短，就用垂线段最短或点 b 做三十度射线的垂线。所以当 p 点运用到这的时候， p b 在 这个位置，二分之一的 a p 在 这个位置，那么它们和的最小值就是 b、 h 的 长度。 现在因为这个角是三十度，而在三角形 a、 b、 c 中，因为这个角是三十度。 三直角所对的边是斜边的一半， b、 c 等于三，所以 a、 b 等于六。那同样三直角所对的边是斜边的一半，所以 a、 h 等于三。根据勾股定律，不难求出 b、 h 的 长度是三倍，根号三搞定。
769韩佳老师数学方法
00:35查看AI文稿AI文稿期末开始，数学拉开距离的就是几何题，因为初中数学再难，也就这四十二个模型，让孩子把它吃透了，考试也就不怕了。就用一本的几何模型，像飞镖模型、手拉手模型、慕名已满模型、 奔驰模型等等，每个模型的结论是什么，证明过程怎么写，怎么套用到真题里，全都整理的清清楚楚，让孩子把它吃透。遇到选择填空题， 就能直接套用结论，写出答案，看不懂也没关系，扫码还有视频讲解，学完再做对应练习，有学有练才能更快掌握。配套的还有一本函数和应用题，让孩子把它们都吃透，初中三年的数学都不用愁。
00:56查看AI文稿AI文稿初中几何考来考去，无非就这六十个模型把它们都吃透，数学也就稳了。他把初一八个模型、初二三十三个模型、初三十九个模型都整理在这本初中几何模型图描写里了。让孩子从现在开始，每天掌握一个几何模型，等到考试小题套结论，大题套模型，别提多轻松了。比如 风筝模型、雨伞模型、手拉手拳等模型，将军引马模型、点线圆最直模型等每一个模型的已知条件、辅助线、画法、结论是什么、怎么证明的，都给孩子梳理的明明白白。搭配对应的典型真题，从找模型到套用模型，让孩子可以快速吃透每个考点。 有了这本书，以后做几何题就像查字典一样简单，关键扫码，还有免费的视频讲解，不怕孩子学不会。学完再用这本配套的练习册刷对应的真题，巩固提升，这样无论考试题型怎么变，都能从容应对，快速解题，初一、初二、初三都能用！家有初中生，快给孩子准备起来！
2蕾蕾同学
00:42查看AI文稿AI文稿旗下开始数学拉开差距的就是几何题，如果能让孩子每天坚持练习，掌握一个几何模型，等到期末就知道他数学学的有多好了。聪明的妈妈已经给孩子准备了这套模型图，了解初中几何，一本讲解，一本练习。 他汇总了初中三年所有的几何模型结论，像猪蹄模型、手拉手全等模型、将军印马模型等，每个模型不仅有公式速记，还教给你辅助线怎么画，就连模型怎么证明也讲得清清楚楚。关键是还精选了典型例题进行剖析，教孩子理清题思路， 不会的还可以看名师讲解，学完再去做对应的练习题精选，让孩子学会举一反三，彻底掌握解析方法，初一到初三都能用！
28:03查看AI文稿AI文稿本视频耗时一年，制作共计一百五十分钟，带你一口气学完初中数学所有几何模型。详细的几何模型目录已发到评论区，本次更新十二个几何模型，时长二十八分钟，先点赞收藏再慢慢看吧！孩子们！ 再咱们来看模型十九海盗埋榜模型也叫逆旋转啊，看下这种模型特点，第一个，它形容的是两个等腰直角三角形，再来看三角 c b， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转好。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连先来，之后取它中点 f， 一 旦取连 f 中点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相等。之后呢， f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也是四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q， 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个也三角形，是不也是等腰直角三型，也是它垂直的好，你看一下这个红的和这个紫是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是加左手啊？ e 是 不也是左手？ p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好？那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，先练完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了 pe 等于 d q 也有两个拉手线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢？ f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下 f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二，破罗摸几的模型，也叫破石模型哎，这它是由三个模型 衍生的，咱们来看第一个模型，垂直变中点，什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b， c 和 d b， e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转，旋转的话它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个角是直角，那么把 m b 进延长，延长完之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b a b d 边相等，第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。诶，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把看这第二个图啊，我只需要把啊 b n 进行延长，延长完之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后大家看，非常关键的一个，那我全等完之后，看一下，我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再将它的垂直，那所以所形成的这两个三角形，小的三角形 d q n 和 a p n 是 不是全等？全等完之后，那你 na 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 再看下这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个， c e 等于二维的 b n， c e， 你 看一下。哎，我把这个擦掉。 好，他来重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 m e 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ m e 呢？ m e 一 线三垂直， m e 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b q 嘛。 啊， b p 就 能以 b n 减去 np， b q 等于呢？ b n 加上 q n， 这两个相加一定等于二倍， b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直，还是 a b、 c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转完之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p、 b 进行延长，到这儿肯定垂直。 好，那就看一下这个位怎么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱们把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正，这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造，全等就是构造拼四边形，拼四边形的话，这个角 b、 e、 m 加上这个角 c、 b、 e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a、 b、 d、 a、 b、 d 加上 a、 b、 d 加上这个 c、 b 是 不也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等，哎，这两个直角应该相等。好，就要再看这两个直角相等，那我，哎，我换一个颜色， 那我看一下，我这个 b、 e 是 不和 b、 d 相等，那进来看，这个 m、 e、 m、 e 是 不和 b、 c 相等？刚刚全等，是吧？那 b、 c 呢？又和 b、 a 相等，那所以这个 b、 a 是 不和 m、 e 相等，那我在这儿一封，这儿一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？好，我就种完了。全等完之后，好，全等完之后，接下来看非常关键的，全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一， a， 这角二吧，用钢边角二，这是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了，对吧？而这第一个结论就是垂直 好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好正了，刚刚我说了，我这个三角形刚刚不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这个也是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，也就是说我这个 ap 等于二，而 a、 d 等于二倍的 bp， a、 d， 咱们刚输了，全等。 a、 d 这个三角形和这个三角形刚不正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a、 d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不就是 b p 的 二倍？所以说，我就证完了。哎，就是二倍啊。好，那接二，再看 最终的破锣磨几个模型，眼下定力，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现，如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形。 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直，那么如果说我其中这儿是垂直的， 这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的坡直定点。好，咱们来正一下。为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？嗲，这是角一在这呢，角一是不在这呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角一，这个角一是不是在这呢？为什么呀？因为同弧 c、 d 所对的这个角一和同弧 c、 d 所对这个角一是不相等啊。 所以，其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等。相等完之后， f m 是 不等于 f a？ f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点。好，看一下，我这个角在哪呢？ 我这个角，哎，是不在这呢？为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不相等。再来看，我这个红角是不在这呢，因为他们同时加上这个角都是九十度吗？ 对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加一角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢。好，那这两个红角是不相等，相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d c f 是 终点，所以我就中完了，好，大家学会了没有？他现在再看第三个 模型，二十一啊，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你的三角形 a， 制药三角 a b c， 角 c 九十度， a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 p c 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过屁点做这边一个垂直，哎，因为角偏定里 f d 是 不是挺等于 i， 这个 p d 是 不是挺等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊。好，那见了带一句看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边儿啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不也是 x， 那 它是不就是八减 x 啊？所以你所形成的这个扇形是不叫勾股定律啊？ 勾股定律，然后解除 x 是 不解，出来 x 之后，我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速地解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 tb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊。哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对吧？直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三，对吧？ 咱们继续看模型。二十二，矩形翻折模型。好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二，角三，然后第二个结论，可第三个角咱们看。 当你折叠时候，咱们记住，折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，那这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d e 等于 df， 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应边相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，因发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等，所以说 e a 是 不等于 e c 啊， e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e a， c 等于角， e、 c 也就成立的，也就角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等这一个直角，所以说这个三角形 f、 b、 c 和 a、 f、 e 是 不就全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a、 c 上，然后就已解决，把 a、 d、 f 折到了 a、 e、 f， 这若你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c， e 等于 a， c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之 后， a、 d 是 跑到 a e 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a、 d 是 跑到 a、 e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不就等于 a c 减去的？ a， e 也等于 a， c 减去 a d 啊，所以这个结论成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c、 f 等是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了。这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠中像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个 d 点对应点折到了 g， 这个 g 刚好是一百 f 是 它中间那个折。这个时候你要看一下 a g 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边，相等对应边，是不就是 a， d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a、 g， 你 这个时候你发现 a， g 是 不就等于 a、 d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看，哎，这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所对的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折的对应角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽贤图模型赵爽贤图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型。好，进来看一下，说在正方形 a、 b、 c、 d 哎，内部，然后在 a、 b、 b、 c、 d、 d、 a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e、 h、 g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两条直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样，它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 ef 是 不是就等于 f e 也等于 h g， 所以 这个就是个正方形了，所以我就正完了，是吧？这也是详细的一个证明过程。 我再来看二四风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种，哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖边好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就是这个地方是三尺。那你还发现哎，这种咱们用勾股定律结建方程。还比如说咱们说折断后的那个 高度是 a x， 也就这一段是 x 比总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎， u 数的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定律，因为它有个直角，对吧？每只 x 方加三方 a 就 等于十减 x 方，然后吹截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹数轴形是勾股定律的一个应用。再看出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型， 什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？就这一段 a b 出水三尺，因为它漏在水面上，三尺嘛， 然后接下来风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢？它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 反向后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。诶，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x， 值 内发现 p b 是 不等于 pc， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a 它是不是加上 a c 方就等于 pc 方，是吧？ pa 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢？这个 p c 呢？就 x 加三呢？所以直接解的 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看魔像，二十六、三七八和五七八魔像这个非常非常重要，犹如咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛，一个赛型三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到，其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形。为什么呢？咱们可以尝试一下 给，比如说有这么一个三角形等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a d 勾股定律， a d 就是 四根，四倍根三四 b 根三。好，你再看 e、 d， 这个 b、 d 是 不是四？ b d 是 四的话，这儿是三，那这儿是不就是个一，这儿就是个一，所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形这儿是四， b 跟三，这儿是一，所以勾股定律是不直接可以求出 a e 啊， a e， 你 求完之后发现 a e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满，它足够的敏感，它们一旦一拼，就是一个等边三角形 好备好，咱们继续进来看。蚂蚁爬行莫行，哎，这里是勾股定律那块经常会遇到说蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬，爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，这样把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面，翻成平面之后，哎，这边就是个 b， 这边就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方，就这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和让 b 和 c 沿成一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样了。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀？比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就是 a 一个长方 a b、 c 是 不？他的三个棱长，三个棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m、 n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看，有了之后呢？他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀？是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆筒的高，所以说圆的周长，圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面， a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去？行了，他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就是你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜。这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路上什么最短？哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边儿再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段儿这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的要什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇， 然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就 最短。什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b， 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续加 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a 地方， a 地方， a 加上 bc 方，好。第二个结论就是它这个面积 a、 b， c 的 面积就是就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方 a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论。第二个结论，它的面积， 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不二分之一的 b、 d 乘以 a 啊，下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊，我把二分之一 b、 e 提出来， a 加 c， 那 是不就二分之一的 a、 c 乘 b、 d 啊？所以我就求完了。 好的，看模型。二十九，叫中点四边形的模型。什么叫中点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m、 n、 p、 q 是 这个任意四边形的一个中点，它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b、 d 的 一半， 然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等， m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形了，对吧？好，第二个，像这种的， 这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行且等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 和这个 n p 是 不是就平行且相等？那所以它是不是还是个平四边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n m n 是 不是平行等于 a c 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 a c 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不就跟 p q 平行其相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么要一必要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个菱形。 哎，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等是不意味着它和它相等啊？本来一个拼四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看，如果对角线垂直且相等的四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个平行四边形，对吧？因为对角线垂直，第二垂直的话，它就垂直了。用对角相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了，所以说它既是矩形又是菱形，那么它就是个正方形了。 好的，来看三十十字架模型，这的正方形那儿会正常出现。说在正方形内部， a 有 这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么尾弦呢？就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f， 只要垂直稳，那么稳，那么 a e 和 b f 它相等。为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b e， 它是全等的。哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？里丫直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 是啊，再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以它要全等了，主要加角 b 全等了，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线， a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 都成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的嘛。全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？好，他说这种，哎，例如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要证这个 三角形和这边这个三角形全等就行，对吧？还是全等？全等就仍然相等了。那还有一种是蛮非常极端的，就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是，你只需要正它和它这两个三角形全等，全等完之后，哎，它就又成立了。所以记住， 正是正方形内部如果说有垂直，那叫 b 相等来，如果相等也 b 垂直，所以这两个是互逆的。
5846数学思维阳老师
00:49查看AI文稿AI文稿期下开始，数学拉开差距的就是几何题，家长一定要给孩子准备这本学而思初中几何模型了解，初中三年常考的几何模型都在这里了，把它看完就几乎搞定初中几何了。 你看像铅笔头模型、猪蹄模型、角平分线模型、截长补短模型、手拉手模型、将军印马模型等全都有，每个模型先帮你总结好条件和结论， 还教给你辅助线怎么画，重点是怎么证明，都讲的清清楚楚。还精选了典型例题进行剖析， 让孩子学的明明白白，不懂得扫码就可以看视频讲解。更厉害的是，还精选了各地考试专题，学练结合，才能更好的掌握模型。学而思是真的太了解学生了，赶紧给孩子准备起来吧！
33:18查看AI文稿AI文稿好，今天呢，我们用一个视频来给大家讲明白，整个小学阶段最最重要的八大几何模型，以及他们之间该如何相互推导。同时呢，我们把他们的一个重要系数呢，从夯到拉，给大家再排一个顺序。 那么首先呢，第一个啊，做等高模型，这个模型它的难度系数呢，只有一颗星，但是它的重要程度，大家看它的地位啊，它是可以几乎把所有模型给推导出来的， 所以我们把它的重要程度排在第一个，叫做吭等高模型是什么呢？给大家画一个三角形，然后呢在这个三角形里面，我们在底边随便给他点一个点，然后把它切成两个不同的三角形，现在我告诉你啊，这两个三角形它的底边长度分别是 a 和 b， 那 么这两个三角形的面积之比 是几比几呢？等高模型的结论非常简单呢，其实非常简单啊， 这两个三角形呢，他们有一个相同的顶点，那么从顶点往下面画一个垂线，就相当于是他们的高了。那么大家有没有发现这两个三角形的高其实是一样的，一个是锐角三角形， 它的高就是这一条，对吧？另外一个是个钝角三角形，那钝角三角形的高呢，就是过底边往这边画个延长线，然后再从顶点往下面画个垂线，也是这条高，对吧？好，那么等高模型的结论是什么呢？就是两个三角形，如果是等高 的话啊，那么它的面积之比就等于底之比，这个其实非常好推导啊，你看第一个三角形是一个锐角三角形，对吧？它的高就是这个 h。 第二个三角形呢？这个是一个钝角三角形，那它的高呢？是过顶点往底边的延长线上面画一条垂线还是 h？ 那 你看第一个三角形，它的面积我们可以怎么写呢？底乘高除以二，也就是 a 乘 h 除以二。第二个三角形，它的底是这个长度是 b， 那 它的面积呢？就是底乘高除以二，也就是 b 乘 h 除以二。那两个三角形的面积之比，咱们来比一下，你 会发现相同的就可以抵消了，高跟高抵消了，除二除二抵消了，那你看面积之比是不是 a 比 b 啊？这就是我们得出的结论啊，只要是两个三角形是等高的，那 它的面积之比就跟它的底之间的比例有关，面积之比就等于底之比，非常简单，对不对？所以难度系数一颗星啊。那么接下来我们来看看如何从等高模型把其他的模型全都推倒出来。那么接下来呢，来看这个一半模型，一半模型难度系数只有一颗星。那 什么是一半模型呢？举个简单例子，比如说在一个长方形里面，或者说在一个平行四边形里面，随便在上面的某个位置点上一个小点，然后往下面连一条线， 连出来的这个阴影部分的这个三角形，它其实是整个平行四边形，或者说是长方形面积的一半。这个证明方法有很多种啊，咱们先从第一种证明方法来，就是等高模型来证明。怎么证明呢？很简单，比如说我现在就把这个长方形，我给他从对角线这里给 切开啊，连一条对角线，连完对角线之后，大家应该很清楚的能看到就对，角线肯定是能把整个图形一分为二的，对不对？那么对，角线分出的这个阴影三角形 很显然是它整个长方形面积的一半，而这个三角形跟我们想要正的这个三角形的面积是什么关系，大家能看出来吗？很明显是等高的吧，对不对？因为底是相等的，高也是相等的， 所以其实这两个的面积是完全一样的，等底等高面积就是相等的，所以它们其实就是等高的关系。所以你看我们因为这个阴影部分是长方形面积的一半， 所以我们可以很轻松的证明这个阴影部分也是长方形面积的一半。同时我们还能得出一个更厉害的结论，就是你不管这个点 往哪移动，它其实跟我们这个长方形面积的一半永远是相等的，永远是等底等高的，对不对？这个在数学当中又叫做等积变形， 面积是永远不会变的，等面积变形，同样的，这个也可以用等高模型来正啊。你看一个平行四边形，如果我们沿着对角线把它给分割开的话，那么分割出的这个三角形，那肯定是平行四边形面积的一半吗？好，那你看啊，这个三角形和我们随便点的这一个小点，他们两个是什么关系呢？ 这不是等高的关系，你看底是相等的高呢？因为平行线之间的这个距离是处处相等的嘛，所以他们的高也是相等的，也就说这两个三角形其实是等底等高的，那等底等高，那你这个点不管是点到哪个位置 组出来的这个三角形的面积永远是平行四边形面积的一半，这个大家能看懂，对吧？好，这是从等高模型的方向 去推导，当然我们还可以用其他的方法去证明啊，你比如说我们随便再画一个平行四边形，然后我也是随便点其中一个点，咱们来看这个三角形，它其实是平行四边形面积的一半，这个还可以怎么证明呢？这个我们还可以用 分割的方法去证明，就割补的方法，比如说我在这里也给他画一条平行线，画完之后大家看左边是个平行四边形，右边也是个平行四边形， 左边相当于是一条对角线，把平行四边形一分为二，这两个大小一样。右边也是个平行四边形，相当于把这个平行四边形对角线把它一分为二，左边等于左边，右边等于右边，那你说这两个是不是占了整个图形的一半 也是可以的，对不对？所以你看这就是一半模型啊，就是一半模型它的一个结论就是说，只要是这种情况下，这个阴影部分它永远是整个图形面积的一半。不管你这个点点到哪个位置， 因为一半模型这个本身使用的场景不算多啊，所以我们把它给到了一个最低的一个档位啊，叫做拉完了。接下来我们来进入下一个模型，风筝模型啊，风筝模型它的难度系数呢？大概是在两颗星，这个风筝模型怎么来的呢？它也是从等高模型推出来的啊。先给大家画一下风筝模型， 比如说我随便画一个四边形，很随意的画一个四边形，然后呢把这个对角线一连，那么连完以后呢？假如我现在告诉你啊，上面这条线段的长度是 a， 下面这条线段的长度是 b， 然后呢给这每个点 起个名字， a、 b、 c、 d， 好， 我们可以得出什么结论呢？就这相当于是一整个风筝像一个风筝的一个形状，那么这个风筝上半部分的三角形 s， 三角形 a、 b、 d， 它和下半部分的三角形 s， 三角形 cbd， 它们的面积之比呢，是等于这两个风筝的这个骨架的长度之比，也就是说等于 a 比 b， 这个怎么证明呢？这个其实非常好证明啊，我们给大家把这些三角形给它编个编号，比如说一二、 三、四。好，我们现在来证明一下，为什么上下这两个大三角形的面积之比等于这个风筝的骨架之比， 那我们根据等高模型来看一下啊，等高模型的话，你看啊， s 一 和 s 二，他们两个如果从这个顶点 b 来看，他们是不是同一个顶点， 对吧？同一个顶点，然后呢往这个底边画一条垂线，那么他们的面积之比是不是等于底之比啊？所以我们可以先得出第一个啊，就说 s 一 比上 s 二是等于 a 比 b 的， 这个大家如果正着看，看着不舒服，你可以把它斜着看，比如说我给大家重新画一下，我们可以歪着看， 这是 b， 这是 a， 这是 c， 这个长度是 a， 这个长度是 b 啊，那你看这是不是我们刚刚讲的这个等高模型，就是点 b 是 他们的顶点，然后呢这两个三角形他的高明显是相等的，那么他们的面积之比，这个第一个三角形和第二个三角形的面积之比，很显然是跟他们的底边的比是相等的，对不对？你这 看就舒服了啊，竖着看，可能大家看的没那么习惯啊。好，我们可以先得出 s 一 比 s 二等于 a 比 b， 同样的，我们还可以得出什么呢？还可以得出 s 三比上 s 四， 大家看是不是也是 a 比 b 啊？因为 s 三跟 s 四，他们也有一个共同的顶点点 d， 也就说他们也是等高的，因为从这个地点呢，往这边画一条垂线，这个就他们的高，他们的高是相等的， 那么高相等的情况，下面几支笔就等于底支笔，你也可以把它给斜过来看，所以 s 三跟 s 四呢，也等于 a 比 b。 那 么接下来我们怎么样证明一加三 和二加四的比也是 a 比 b 呢？因为你看嘛，整个三角形 a、 b、 d 就是 一根三的和，然后 c、 b、 d 呢，是二根四的和。那接下来我们就可以来取个特殊值，比如说啊，我们就把这个一根二呢，给它赋予了一个数值，这个数值的大小，当然 我们用了一个字母 x 来表示啊，这个 x 可以 是任意的一个确定的数。那我们把这个 s 三跟 s 四呢，把它的面积给它设成什么呢？因为它的比例关系是 a 比 b， 我 就把它一个设成 a y， 一个设成 b y 啊，这个 y 也是一个确定的数，对吧？因为这个大小呢，得看它的具体大小。 那么接下来你看啊，我们想求的这两个三角形 a、 b、 d， 它的大小其实是由一跟三组合在一块的，对吧？那一是 a x， 三是 a y， 那 我就把这两个加在一块，同样的 c b d 下面这个三角形，它是二跟四相加， s 二呢，我把它的大小设成了 b x s 四呢，我把它大小设成了 b y， 那 么把这两个加在一块，那么它们相加能不能化简出这个呢？显然是可以的，因为我们可以来个提取公因数，把这个 a 给它提出来，里面是 x 加 y， 把这个 b 呢也给它提出来，里面还是 x 加 y， 那么大家看 x 加 y， x 加 y， 怎么着啊？就抵消了，是不是就推导出了它的面积之比？确确实实也是 a 比 b， 这就是这个风筝模型。当然风筝模型除了第一个结论之外啊，还有一个小结论是什么呢？就是两个对角的这类两个三角形，它的面积的乘积也是相等的， 也就是说在蝴蝶模型里面， s 一 乘 s 四，它是等于 s 二乘 s 三的。这个结论也非常的简单，因为 s 一 比 s 二和 s 三比 s 四都相等，是都等于 a 比 b， 对 吧？我们写一下啊， s 一 比上 s 二 等于 s 三比上 s 四，它们的比例关系都是 a 比 b， 那 么根据我们的这个比例方程，这两个既然是相等的，那比例方程里面交叉相乘积相等，那你看一乘四等不等于二乘三呢？ 显然是等于的，对不对？我们学过这个比例的时候啊，解比例方程的时候，交叉相乘积相等，所以这个结论其实非常的好推导。那么风筝模型基本上是在我们的一些奥数题里面才会使用的啊， 平时在我们的一些常规的期末考试里面呢，大概率不会考到风筝模型这个结论，所以它的使用场景没有那么的广泛，我们把它的一个重要程度给到一个 npc， 那 么接下来我们再来看下一个模型，叫做燕尾模型。 燕尾模型和风筝模型这两个非常相似，它的推导过程也是非常相似的啊，难度系数相同，都是两颗星。首先先给大家介绍一下什么是燕尾模型啊？来给大家画一个燕尾模型，好，我们把它涂成阴影， 好，大家看啊，燕尾模型之所以叫燕尾呢，就是你看这里会有一个这样的像小燕的尾巴的一个形状，那么燕尾模型的结论就是说，这两个三角形的面积之比是等于它对应的这两个线段的长度之比的，那么写出来也就是说起个名字吧， a、 b、 c、 o、 s 三角形 a、 b、 o 比上 s 三角形 a、 c、 o 这两个小燕的尾巴，它的面积之比是等于尾巴对着这两个边的长度之比 等于 a、 b、 b， 这个怎么证明呢？其实也非常的简单啊，有点像风筝模型的证明，也是通过加减组合去证的。那比如说我们先来看第一个啊，这个也起个名字吧， a、 b、 c、 d， 大家先看啊，整个大三角形 a、 b、 d 和 a、 c、 d， 它们的面积之比是几比几啊？ a、 b， d 比上 s 三角形 a、 c、 d， 那 因为这两个三角形它们是有一个共同的顶点 a， 说明它们的高是相等的， 那高相等的情况，下面几之比是不是等于底之比啊？也就是 a 比 b， 这个能不能看出来？如果看不出来的话，我们可以把这个三角形给它旋转一下啊，比如说我们给它竖起来，你看就很舒服了啊，比如说这个是 a 啊，这个是 b， 这个是 c， 你 把它竖起来一看，你会发现特别的简单。那 我们看一下啊，这个三角形 a、 b、 d 和这个三角形 a、 d、 c， 它们是不是高是相等的？因为过顶点嘛，往下面画个垂线，高肯定是相等的，对吧？所以根据等高模型，高相等的情况，下面几之比是等于底之比。 所以我们说 a、 b、 d 和 a、 d、 c， 它的面积之比就是 a 比 b。 那 顺便我们把它的具体的大小给它，一个设成 a、 x， 一个设成 b、 x， 这是它的具体的大小，但这个大小是多少，那么不确定，所以拿了一个未知数 x 来引入啊。那同样的啊，我们再来看 s 三角形 o、 b、 d 和 s 三角形 o、 c、 d， 这两个三角形的面积之比是不是也是 a 比 b 啊？你看 o、 b、 d 和 o、 c、 d， 他们有一个公共的顶点 o 啊，然后明显是等高的，对吧？高相等的话，面积之比就等于底之比，这不就是等高模型吗？好，那么他们两个的面积之比也是 a 比 b， 那 既然是 a 比 b， 我 就把它设成一个确定的数，比如说我一个设成 a、 y， 一个设成 b、 y， 那 接下来你看我们想求的这个两块阴影部分的面积，其实就他们的差嘛。你看，比如说 a、 b、 o 是 怎么来的？ a、 b、 o 其实是由 a、 b、 d 减去 o、 b、 d， 也就是拿这个 a、 b、 d、 a、 x 减去什么呢？减去 o、 b、 d， 也就是减去 a、 y， 那 这个也是的啊，你看右边这个阴影怎么算呢？ a、 o、 c 怎么来的啊？它其实是由 a、 d、 c， 也就是 a、 c、 d 这个三角形，也就是 b、 x， 减去什么呢？减去这个小的 o、 c、 d 这个面积， o、 c、 d 的 面积。我们不是设把它设成了一个 b、 y 嘛，再减去 b、 y， 那 么减完之后，你看能不能得出 a 比 b 呢？用一个提取共因数就可以了。把这个 a 提出来，里面是 x 减 y， 把这个字母 b 提出来，里面是 x 减 y， 对 吧？那 x 减 y， x 减 y 就 消了，所以只剩下一个 a 比 b， 这个比例关系就推导出来了。你看这个证明过程跟我们讲那个风筝是特别像的，对吧？风筝是相当于是把两个三角形给它合起来了，燕尾呢，是相当于是拿大的 剪小的，这两个模型大家可以把它放到一块去记忆啊，我们经常就把这两个模型甚至是直接合成了一个模型，风筝和燕尾他们本来就是证明过程也是非常相似的。那么燕尾和风筝这两个模型呢？在我们的使用场景中，一般都是在一些竞赛题里面才会用的到，使用场景没有那么广泛 啊，所以我们把燕尾模型它的一个重要程度也放在了 npc。 接着我们再来看下一个模型，鸟头模型。鸟头模型也是可以从等高模型推导出来的，它相当于是等高模型的加强版，我们把它的难度系数给到三颗星。什么是鸟头模型呢？先来画第一个鸟头是这样子的， 一个三角形里面，我们再给他随便画一条线，这里面会出现两个三角形 a、 b、 c， 还有个大三角形 a、 d、 e， 这两个三角形的面积之比， 我们先说一下结论是什么啊？ s 三角形 a、 b、 c 比上 s 三角形 a、 d、 e， 它们的面积之比是直接可以口算的啊，就是这个是拿 a b 乘 a c， 下面呢是拿 a d 乘 a e， 也就说鸟头模型的结论是非常好记的啊，就是这个小的三角形，它的面积就是从这个顶点出发，把这两个短的线段成在一起。然后大的三角形呢，面积之比就是把这个从顶点 a 出发，把这两个长的边 它呈在一块。这个是怎么证明的呢？其实很简单啊，就是用到了刚刚说的等高模型，咱们来给大家画一条辅助线，就很好证明了啊。比如说我们就随便的连一下 b、 e 或者是 d、 c， 我 们给它构造出一个中间的三角形， 中间三角形是这个 a、 b、 e， 那 现在来看，我们把这个小的给它直接起名叫做小，这个叫大的我们给它构造出一个中不溜的 a、 b、 e， 我 们给它起名叫做中等大小啊，这样子我们写起来就方便一点啊。 那你看小的比中的是等于几比几呢？你看小的和这个中的，它们之间是什么关系啊？它们有个公共的顶点点 b 吧， 对不对？不断的用等高模型去看啊，就小的比中的，它们的顶点是 b， 小 的的底边是 a c， 中的的底边是 a e， 所以 应该是 a c 比 a e， 这个能不能跟得上？如果跟不上的话，我们可以把这个图形给它横 横着放，大家就看着舒服了啊。因为我们等高模型，大家都是喜欢把它横着看的，比如说把 b 点放在上面， a 点和 e 点放在下面啊，然后这个 c 点放在这，这是小的，小的是 abc， 中部溜的是 a、 b、 e， 那 这两个三角形它明显是等高的关系，因为顶点是 b 嘛，对不对？所以面积之比就等于底之比， 小的的底是 a、 c， 而中不溜的这个 a、 b、 e， 这个三角形，它的底是 a、 e， 所以 面积之比呢，就等于底之比 a、 c 比 a、 e。 同样的小的跟中的，写完之后我们再来看中的跟大的，比如说这个中不溜的三角形 a、 b、 e 和这个大三角形 a、 d、 e， 它们之间的面积关系是几比几呢？这个时候你观察啊，它们有个公共的顶点点 e， 对 不对？然后呢，公共的顶点找到之后，那我们就来看它的底，它的底是 ab， 它的底，所以它们两个是等高的关系。 很高的关系的话，那么面积之比就等于底之比，也就是 a、 b 比 a、 d。 当然大家斜着看肯定看着不舒服，我们可以把它倒过来看啊，怎么倒过来呢？比如说我们把这个 e 点放在上面，这样大家看着会舒服很多。然后我们的这个中部溜的三角形是 e、 a、 b， 假如这个是 a， 那 么这个中部溜的是 e、 a、 b 一点，我们就画在这吧。也就说我们这个中不溜的三角形 a、 b、 e， 它就是这一块，它跟这个大三角形 a、 d、 e， 它们是有什么特点呢？顶点是相同的， 也就说它们两个的高是相等的，就是我刚说它们的高是相等的，大家斜着看，可能看着没那么清楚啊，在我们竖着看就会非常清楚，对吧？它们是等高的，那等高的话，面积之比，你看是不是等于底之比？中不溜的三角形，它的底是 a b， 得出了他们的面积是 a b 比 a d， 那 现在我们的目标是想求小的跟大的的面积之比，那这个怎么求呢？很简单，你把这个小的比中的和这个中的比大的，你给它成在一块，那成在一块之后，大家看啊，那是不是中跟中就约分约掉了，对吧？就只剩下一个 小的比大的，那等于什么呢？就是把这个跟这个乘在一块就行了，也就是 a c 比上 a e 乘，上 a b 比上 a d， 那 乘的时候，你看我们是不是可以把它写到一块啊？对吧？分子跟分子相乘，然后呢分母跟分母相乘， 所以我们就可以快速的记出这个结论了啊，就是说鸟头模型小的三角形，它的面积就是把这两个相乘，大的呢就是把这两条边相乘，就得出了鸟头模型的结论了。当然鸟头模型呢，也会有一些变形啊，比如说就是这只小鸟，它的嘴巴可以把它歪到外面去。我们给大家拓展一下啊， 这个顶点还是 a， 然后这个是 d， 这个是 e， 这个是 b， 这个是 c， 也就说现在鸟头模型还有一种变形是什么呢？把这个小三角形直接歪到外面去，这是大的，那么他们的结论依然满足什么呢？依然满足小的跟大的的面积之比，等于 ab 乘 ac 比上 ab 乘 a e， 这是为什么呢？很简单啊，用一步就可以证明了，就是我们直接把这个点 c 呢给它挪到里面，起个名字叫 c 撇，那你看这个 a b c 和 a b c 撇，它们的大小是不是相等的呀？因为我构造一个长度 和 a c 相等的线段，叫做 a c 撇，构造一个相等长度的线段，那你说这个小的和这个小的面积是不是相等的？这是不是又用到等高模型了呀？对吧？这样侧着看，咱们看不出来的话，我们可以横着 看啊，相当于是顶点是点 b， 然后呢，这里有一个 c 点，这里有个 c 撇，然后点 a， 就是 他们的中点嘛，对吧？也就是我们做到一个条件，就是 a c 的 长度和 a c 撇的长度是一样长的就可以了啊。你想如果是一样长的话，顶点是点 b， 那 高是相等的，对吧？ 那底边又是相等的，那你说这两个三角形面积是不是相等？所以你看啊，就是我们只要把外面这个三角形给它扭到里面去，那是不是就回到刚刚这个场景了？那所以你看外面三角形的线段长度就是 ab 乘 ac， 这个 ac 和这里的 ac 片长度是完全一样的， 所以就是鸟头模型，它可以把这个三角形给它扭到外面去啊。但是你要知道这两个三角形的大小是完全一样的，因为还是等高吗？这是鸟头模型啊。那么鸟头模型它的使用场景不仅在我们小学奥数里面，可以用在 一些初衷的几何的一些计算当中，如果你会鸟头模型的话，你就不需要再一个个去推导了，有很多不会鸟头模型的同学呢，做这种三角形的面积关系的时候，都需要画一条这样的辅助线， 去通过小的和中的去算，然后再算中的跟大的啊。那如果你知道鸟头模型的话，你就可以省掉这一步，所以它其实在我们的计算当中帮我们省了很多的一个书写的过程。那么这个我们就给到一个叫做 人上人。接下来我们再讲下一个模型，沙漏模型，沙漏模型也是可以从等高模型推倒的啊， 难度系数也不高，两颗星。先来给大家画一个沙漏，这个沙漏有一个特点啊，就是上下两条边，它是平行的，假如我告诉你上面这个线段是 a， 下面这个线段是 b， 那 么沙漏模型的结论很好记，就是对应线段成比例。比如说我们把这个设成 a， 这是 b， 这是 c， 这 d 中间这个点是 o， 那么沙漏模型的结论就是什么呢？就是 a， b 比上 c， d 等于 a， o 比上 d， o 又等于 b， o 比上 c， o 都等于 a 比 b， 这就是它的结论。你看因为上下相对，然后这个跟这个是对应的线段，然后呢，这一个线段跟这个线段也是对应的关系。 那么沙漏模型的结论就是说这些对应线段都是成比例的。这个在我们初中几何里面，它又有一个名字叫做相似比， 因为这两个三角形它是相似三角形嘛，在我们初中里面啊，我们会把它称之为叫做相似三角形，那么相似三角形的对应线段是成比例的，那怎么证明呢？我们现在来给大家证明一下啊，其实沙漏模型的证明呢，它不仅要用到等高，它还用到 我们风筝模型的结论。现在来用一下风筝模型啊，风筝模型，大家还记得是什么结论吗？就说 o、 b 比 o、 d， 它实际上是等于两个三角形的面积之比的。我们刚刚讲的这个风筝模型，大家可以切回去看一下啊，风筝模型是什么呢？ 再回忆一下啊，风筝模型指的就是说上面这个三角形，它跟下面这个三角形它们的面积之比，是等于这个风筝的这两个骨架的线段长度之比的。那风筝模型你也可以反过来用，怎么反过来用呢？就这个骨架的长度之比，比如说 b、 o 比上 c、 o 就是风筝的两个骨架，它的长度之比呢，就等于它所在的这两个三角形的面积之比，也就说它是等于三角形 a、 b、 d 比上三角形 a、 c、 d， 这是第一步我们用到了一个风筝模型的结论。好，那么这个 a、 b、 d 和 a、 c、 d 我 们来看看啊，它们又是什么关系呢？ a、 b、 d 这个三角形，如果我们求它的面积的话，它是底乘高除以二，对吧？它的高给大家画出来啊，就比如说是这一条过顶点往这个底边的延长线上面画一条垂线，同样的这个 a、 c、 d， 它的高我们也给大家画出来啊，过顶点往下面画个垂线， 有没有发现它们的高是相等的，因为这是平行线嘛，对吧？相对于是个梯形，那梯形的高肯定是相等的，所以我们把这个高给它表示出来。你看 a、 b、 d 的 高呢，是拿 底乘高除以二，也就是 a 乘 h 除以二， a、 c、 d 的 高呢？这个看着更舒服啊， a、 c、 d 这个三角形底乘高再除以二，也就是 b 乘 h 除以二。哎，有没有发现这两个三角形是啥关系呢？ 是等高的关系，就是等高模型了啊，高相等的话，对吧？那面积之比，那不就等于底之比吗？所以就等于 a 比 b， 那 同样的，你想证 a o 和 d o， 那 就两个字，同理对吧？同理可得一样的方法啊，就是你把 a o 和这个 d o 也用风筝模型把它转化成两个三角形的面积之比， 再用等高去正，所以这就是我们的这个沙漏模型啊。那么这个沙漏模型呢，因为它不仅在小学奥数里面用的比较多，到了初中学到相似三角形之后也会用，所以它的使用场景是非常非常广泛的，我们把它的一个重要程度放在了顶级。 讲完这个沙漏，顺便来把金字塔给它快速的讲一下啊，因为金字塔和沙漏可以说是几乎完全一样的，今天呢，我给大家讲明白金字塔模型，它的难度系数呢， 跟沙漏一样，两颗星，但是如果你沙漏模型已经听懂的话，那金字塔模型就是一瞬间你就明白了啊，就什么是金字塔模型呢？就你把沙漏的这个上面这个三角形给它倒过来，给它折进来，折成什么样呢？来我们看一下啊，就相当于是点 o 在 这， 我把这个 a o b 啊给它往里面一翻折，翻到这 a 点跑到这了， b 点跑到这了啊，就画了一个平行的往里面一翻折。所以现在我们就来看看啊，这个金塔模型它的结论是什么呢？ o， 然后这是 b a c d， 相当于是把这个 a b 给它对折过去了。那么刚刚这个沙漏模型的结论它都满足 什么结论呢？就是 o b 比上 o c 对 应边这个边跟这个边，然后等于什么呢？等于 o a 比 o d 和这个边比这个边，对吧？对应边乘比例嘛，还等于什么？等于 b， a 比上 c d， 也就是 a b 比上 c d， 比如长度，假如是 a 跟 b 吧，那么它们都等于 a 比 b， 其实也是我们初中几何中的一个相似三角形，叫做对应边乘比例。那金字塔和沙漏本身就是一样的，只是倒进来了，那么在这个金字塔里面还有一个比这个结论还要更重要的结论，叫什么呢？叫做 o b 比上 bc 等 于 o a 比上 ad， 这个也是在初中用的比较多的啊，有句话叫做平行线分线段乘比例就是来自于这里，就他比他等于他比他， 这个怎么证呢？来，其实可以从上面这里来证明。你看，既然这个 o b 比上 o c 等于 a 比 b， 那 我现在就可以把这个 o b 呢，给它设一个具体的长度。比如说设成一个 a x， 那 么 o c 呢？它的长度，你看 o b 比上 o c 等于 a b b 嘛，对不对？我就可以把这个 o c 呢给它设成一个 长度，是 b x， 那 我们想要的 b c 呢？它就是 b x 减 ax， 我 们看这个具体的长度啊， o b 的 话，我们就写成一个 ax， 然后呢， b c 的 长度是拿 o c 减 o b， 也就是 b x 减 ax， 这是这个线段的具体的长度，我们给它写出来了啊。同样的看 o a 和 o d， o a 比上 o d 也等于 a 比 b， 那 我就把 o a 的 长度呢，给它具体的设成一个字母叫 a y， 因为这两个长度不一定相等嘛。这个不是说它是个等腰三角形，对吧？可能一个长一个短，所以把这个长的设成 a y， 把这个 o d 呢？因为 o a 比 o d 等于 a 比 b 嘛，所以我把这个 o d 给它设成 b y， 整个长度 o d 设成 b y， 那 么你看 a d 是 多少啊？来写一下啊。 o a， 我 们把它设成了 a y， a d 的 长度显然是拿 o d 减 o a， 也就是拿 b y 减 a y， 那 这两个相不相等呢？我们来提取一个共因数，上面是 a x， 下面是 b 减 a 倍的 x 上面是 a y， 下面是 b 减 a 倍的 y， 把 y 给它提出来，对吧？那你看 x x 抵消了 y， y 抵消了相不相等，很明显是相等的， 那他们相等，那上面这个就相等了，那就说我们就可以轻松的把它挣出来了啊，这个结论是非常重要的啊，再说一下，这个结论在咱们初中数学当中叫做经典的结论叫做平行线，分线段成比例，那么如果说这两个线段的比例是相等的，我们反过来还可以得出这两条线是平行的。 所以这个金字塔模型在我们的小学奥数啊和初中几何中使用的频率都非常高啊，所以它的重要性不言而喻，我们把它放到了 顶级，它跟沙漏是一个级别的。那么接下来我们再来看最后一个模型啊，蝴蝶模型。蝴蝶模型呢，它是由等高和沙漏一起推出来的啊，它的这个难度系数呢，就相对比较高了啊，三颗星难度，因为它的推理过程比较复杂，但结论你一旦记住之后呢，做题速度会非常的快。什么是蝴蝶模型呢？它是在一个梯形里面研究四 三角形的面积关系。比如说现在我给你随便画一个梯形啊，然后我告诉你，梯形的上底是 a， 下底是 b， 那 么我们是可以快速的得出这四个三角形之间的面积的比例关系的。比例关系是什么呢？就是 s 一 比上 s 二比上 s 三比上 s 四，等于 a 方比 ab 比上 b 方，再比 ab。 那 么接下来我们来给大家证明一下啊，其实我们只要挣前三个就行了， 因为 s 二跟 s 四呢，它是相等啊，为什么相等呢？这个我们得从等高模型说起，你看啊，整个大三角形 s 三角形 a、 d、 c， 它和 s 三角形 b、 d、 c 是 不是相等的？这个为什么相等呢？因为这两条是平行线嘛。那说明这两个三角形的高是不是相等的？ 顶点 a 往下面画个垂线画个高，从顶点 b 往下面画个垂线画个高，那梯形的高肯定是相等的，对不对？然后它们的底也相等，那说明这两个三角形是等底等高的，所以 a、 d、 c 的 面积和 b、 d、 c 的 面积是相等的。既然你们的面积都相等，那我从你们这里面都减掉一个三， 把这个第三个三角形给它剪掉，把编号三的这个三角形剪掉。那剪完之后，请问剩下的两个三角形相不相等呢？二根四剩下的肯定也相等嘛，对吧？相当于是你们这两个三角形本来就一样大，我又给你们同时咔嚓剪掉了一块，剪掉完之后，左右两个肯定相等，剩下的就相等。所以剪完之后，我们可以得出 s 二和 s 四是相等的啊。 那么接下来我们想正他的比例关系，我们只需要正前三个，因为二跟四是相等的，我只要把二算完之后，那四跟他就是一样的了，这个怎么正呢？这个其实就要用到我们的这个沙漏模型了，咱们先来看这里面有没有个沙漏呢？就是这个三角形和这个三角形 是不是一个沙漏啊？那么沙漏模型里面告诉我们了一个结论，就是对应线段是成比例的，比如说你看我们这里面的对应线段，我们来找一下啊， a、 b 和 c、 d 是 对应的，那么 b、 o 和 d o 是 不是也是对应的？所以我们可以得出 b o 和 d o， 它的长度之比也是 a 比 b， 这叫对应线段成比例，这是根据我们前面讲的沙漏模型得出来的，那么它的对应线段就成比例，这个比例就叫做相似比。 所以你看啊，我们可以得出什么呢？得出 a， b 比上 d， c 等于 b， o 比上 d， o 等 于 a， o 比上 o， c 都等于 a 比 b 好， 那比如说我们现在就来研究 s 一 和 s 二，你看 s 一 和 s 二，它的面积之比等于几比几呢？大家看一下啊，它的面积之比，因为它们有个公共的顶点嘛， 所以其实 s 一 和 s 二它们的关系是等高的关系。如果你看不出来的话，我们可以把这个三角形给你横着画，就把 a 点画在上面，你就看着很舒服了。等高模型 a 点在上面， b 点 和 d 点在下面，对吧？然后 o 点我就画在这，这样子看，大家会看着很舒服。这两个三角形一个是一，一个是二，它们明显有个公共的顶点，然后它的高是相等的，所以它的面积之比呢，就等于底之比。一个是 o、 b， 对 吧？那长度就是 a 比 b， 它们的面积之比就是 a 比 b， 这是 s 一 跟 s 二。那我们再来看 s 二跟 s 三， s 二跟 s 三，它的面积之比是等于多少呢？ s 二跟 s 三，大家看它有个公共的顶点 d， 只要找到公共顶点，那就能说明它们是等高的，那高相等的话，面积之比呢，就等于底之比，这个底呢就是 o a 和 o c， 如果你看着不舒服的话，我们也可以把这个点 d 啊给它画在上面，然后 a 画在下面， c 也画在下面，对吧？然后 o 就 画在这个位置，那你看这是 s 二，这是 s 三，那二跟三的面积之比，因为有个公共顶点 d 嘛，那么它们是等高的，那面积之比就等于底之比。我们不断的在用这个等高模型，那 a、 o 的 长度和 o、 c 的 长度。刚刚说了，这是沙漏模型里面的结论，也就是 a 比 b， 这 a， 这是 b， 所以 s 二比 s 三呢，也等于 a 比 b， 那 么他比他是 a 比 b， 他 比他也是 a 比 b。 我 们想要画个连笔，画个连比来，咱们可以横着写啊，就 s 一 比上 s 二等于 a 比 b， s 二比上 s 三也等于 a 比 b， 那 么想要画成连比的话，我们就要找到中间桥梁 s 二，这是咱们在小学阶段的一个经常的基本操作， 把相同的这个给它统一，对吧？你这里是 a， 这里是 b， 那 怎么办呢？那我就可以求一个最小公倍数，最小公倍数 a 跟 b， 那 搞个乘积，那就是 ab， 对 吧？这里相当于是同时扩大 a 倍，那所以前面 a 乘 a 就 变成 a 的 平方了，这里呢，相当于是同时给它扩大 b 倍。都乘个 b， 那 这里是 ab， 这里就是 b 乘 b， 也就是 b 的 平方。你看，我们相当于是把 s 二给它统一成了 a b， 那 你看 s 一 比 s 二是 a 方比 a b， s 二比 s 三呢？是 a b 比 b 方，那连在一块就是 a 方比 a b， 再比 b 方，我们就得出这个结论了。那得出完这个结论之后， s 四呢？因为刚刚说了嘛， s 二和 s 四是相等的，所以我们都把它写成 a b， 就是整个的一个蝴蝶模型了啊。而且这个模型呢，大家会发现有个很神奇的事情啊，就是如果你把这每一块的面积加在一块， a 方加 ab， 再加 b 方，再加 ab， 它刚好是等于什么呢？等于 a 方加二， ab 再加 b 方，这是咱们初中的一个完全平方公式，也就是 a 加 b 的 平方。所以我们如果从分数的角度来看的话，你只要告诉我上下之比是几比几，我就可以先把整个面积的 总分数给它求出来，是上下两个数的和的平方，那每一个的分数分别就是这个，大家可以去算一算啊，这就是我们快速的去计算每一个三角形占了总面积的几分之几，你可以把它当成一个总分数，总分数是 a 加 b 的 平 方，每一份分别是 a 方、 abb 方还有 ab， 这是我们数学中啊，八大模型中的最后一个模型叫蝴蝶模型啊，这个模型呢，你一旦掌握之后，可以大大的提升你的计算速度啊，它的一个特色呢，有点像鸟头模型， 说你哪怕不知道这个结论，你也能求，只是计算速度会很慢，但你一旦知道这个结论之后呢，你可以把你的计算速度提升十倍左右，所以我们把它的一个重要性放在了跟鸟头模型一样的地位，叫做人善人啊，所以蝴蝶模型跟鸟头模型 相同的地位。这就是我们整个小学阶段必备的八大数学模型，你最好是能够像我这样子把它整个模型做一个互相推导，那么你就是几何模型当中的高手了。 我们说模型是咱们整个几何学习的最高境界，第一层境界是会背公式，第二层境界是会用方法，什么平移、旋转、对称差不变融式原理，那最高境界就是我们的几何模型。今天我们这个模型就给大家全部讲完了啊，大家可以点赞收藏，我们下次想要学什么可以在评论区留言。
1511要文思维讲堂-前沿跨界科技
00:35查看AI文稿AI文稿夏夏开始数学，拉开距离的就是几何题，因为初中数学再难，也就这四十二个模型，让孩子把它吃透了，考试也就不怕了。就用一本的几何模型，像飞镖模型、手拉手模型、四点共圆模型、费马点模型等等，每个模型的结论是什么，证明过程怎么写， 怎么套用到真题里，全都整理的清清楚楚，让孩子把它吃透。遇到选择填空题，就能直接套用结论，写出答案，看不懂也没关系，扫码还有视频讲解，学完再做对应练习，有学有练才能更快掌握。配套的还有一本函数和应用题，让孩子把它们都吃透，初中三年的数学都不用愁。
01:56查看AI文稿AI文稿好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型，两锤一圆模型。好同学们，看这道题，平面内有两个固定点， a 和 b 连起来是一条线段， 我们要找第三个点 c， 使三角形 a、 b、 c 成为直角。三角形直角可能落在哪个顶点呢？答案有三种情况。先来第一种，如果直角在顶点 a， 那 c 在 哪里？ c 一定在过点 a 垂直于 ab 的 内条直线上。 你看，只要 c 落在这条青色竖线上角， a 就 自动是九十度垂直嘛，对吧？ 第二种情况，直角在顶点 b， 道理一模一样， c 就 在过点 b 垂直于 a、 b 的 那条橙色竖线上，道理一模一样， c 落在 b 处的橙色竖线，直角就在 b， 这两条垂线就是两垂的意思。 第三种最精彩，如果直角在 c 本身，那 c 的 轨迹是一个圆，就是以 a、 b 为直径画出来的这个圆。 为什么？因为直径所对的圆周角是九十度， c 在 这个圆上任意位置角 c 永远都是九十度。 注意啊， a 和 b 两点虽然在圆上，但 c 不 能和它们重合，不然就不成三角形了，圆上要去掉这两个点。好，现在把三种情况放在一起，青色和橙色的两条垂线加上金色的圆，合起来就叫两垂一圆。 记住这个口诀啊，两定一动找直角，两锤一圆可参考。遇到找直角三角形顶点的题，立刻想到这个图，这就是两锤一圆模型，两条垂线加一个圆，三种情况一网打尽，把它收进你的脑子里，考试用得上！
27AI+教育可视化
04:58查看AI文稿AI文稿数学开窍飞快的方法就是几何模型，如果你用几何模型教会孩子解题，你会发现孩子做几何题就像在抄答案这么简单。 妈，你能不能帮我把这本书买回来？我们老师的小孩都是用它来学习的，要不是偷偷看见老师的小孩也在用，我都不知道原来一本书就能彻底让我在初中三年都名列前茅。你看这个题，看下图，角 a 等于五十度，角 b 等于二十度，角 c 呢？等于三十度求角 d 等于多少度？好多同学看到这个图直接就蒙了，没思路。 但学过几何模型的同学都知道，这个叫燕尾模型。直接套用结论，角 d 等于角 a， 加角 b 加角 c， 所以 就是五十度加二十五度加三十度，那角 d 就 等于一百零五度，这就是几何里的燕尾模型。我套用模型结论就能轻松解决。 初中三年所有常考的模型都在这里了，铅笔头模型、燕尾模型、风筝模型、手拉手等等。每个模型先用知识表格对模型图已知和结论进行整理，还总结了一句话，口诀，帮助快速理解记忆。辅助线应该怎么画，模型怎么证明的，都讲的明明白白的，孩子看了一目了然， 他最大的亮点就是学完后有利题精讲。先教孩子如何分析考题中的模型，再套用对应的模型进行解析， 手把手带领孩子吃透，遇到不理解的直接扫码就有视频讲解。学完后再用这本练习篇精选了各地的考试专题，让孩子学练结合，更好的理解掌握模型。 赶快给孩子安排一套。初一下学期一开学数学第一张就是几何知识，一定要给孩子准备这本初中几何模型图描解，等开学你就知道它有多轻松！初中三年所有的重点模型都在这里了， 像燕尾模型，三年十四考，猪蹄模型，三年久考，手拉手模型三年三十九考，将军印马模型三年二十九考。每个模型的结论是什么，怎么推导出来的， 辅助线怎么画，他都详细的罗列清楚。做题时直接套用模型结论就能秒出答案，还对应的典型真题和视频讲解，举一反三，彻底吃透每个模型，学完再用练习篇进行及时巩固， 寒假把这些模型掌握了，轻松搞懂初中三年几何题，快给孩子带一套回去吧！我上初中的时候，怎么没人告诉我几何就考这六十个模型啊？初一 八个模型，初二三十三个模型，初三十九个模型，我要是提前吃透了，考试一定进班级前三。我见过最笨的父母就是孩子，都初三下学期了，还没给他准备这本初中几何模型图描解。 你们要知道，二六年中考几何就算再难，不管谁出题，不管怎么考，就考这六十个模型，你把它们都吃透了！中考数学就像翻书抄答案一样简单。这本书包含了初中三年数学常考的所有几何模型，像燕尾模型、八字模型、将军印马模型、胡不归模型、手拉手模型、铅笔头模型等。 每个模型的条件和结论是什么，怎么证明的，怎么画辅助线都梳理的清清楚楚。做题时直接套用模型结论就能秒出答案，还 还有对应的例题梳理思路，而且扫码还有视频讲解，不用报班，在家就能自学，学完一个模型就及时练习巩固。 里面都是中考历年考试真题，题型丰富，家有初中生的，每天看一看，练一练，考试遇到都是送分题。初中几何模型图描解七年级下学期一定要每天晚上掌握一个几何模型的解析练习，到期中考试很可能冲进班级前三， 永远也考不过一个每天掌握一个几何模型的孩子。因为七年级的数学成绩百分之四十是由几何题决定的，你就吃透这本几何模型图描解，考试想拿低分都难。梳理把初一的八个模型，初二的三十三个模型，初三的十九个模型都整理好了，像常考的将军仪码模型、手拉手模型、 a 字模型、图、不规模型，每 一个模型的条件、结论是什么，证明的方法都拆解的非常详细。再结合典型真题，从找模型到用模型，让孩子掌握解析思路，吃透答题技巧，基础差也没有关系，扫码就能看视频讲解，从理论到方法层层递进，几何基础打的太牢了。 配套还有一本专项练习，学一个模型就做一页真题训练，学练结合，彻底掌握几何模型解析的技巧。家有初中生的，抓紧准备一套吧！ 妈，你能不能帮我把这本书买回来，我们老师的小孩都是用它来学习的，要不是偷偷看见老师的小孩也在用，我都不知道原来一本书就能帮助我在初中三年级和学习稳步提升。你看这个燕尾模型题，看下图，角 a 等于五十度角 b 等于二十五度，角 c 呢，等于三十度，求角 d 等于多少度？ 好多同学看到这个图直接就蒙了，没思路。但学过几何模型的同学都知道，这个叫燕尾模型，直接套用。结论，角 d 等于角 a， 加角 b 加角 c。 所以 就是五十度加二十五度加三十度，那角 d 就 等于一百零五度。 这个模型的结论是怎么来的？怎么证明的？怎么画辅助线的？翻开这本初中几何模型，找到燕尾模型，这一页写的清清楚楚，每个模型不仅有插图，有口诀，辅助孩子理解理解题思路， 看不懂的地方还能扫码看视频讲解初中三年的几何，一共就这六十个模型，这本书都帮你总结好了。孩子解题的时候，只要判断出这个模型是什么模型， 然后就像查字典一样，找到所属的模型，就能直接套用题，很快就解出来了。每个模型学完，再搭配同步的练习片，一套两本，全国通用。寒假用好这套书，初中几何学习会更轻松高效，快准备起来吧！
06:07查看AI文稿AI文稿全等三角形的综合考察一定是我们初一下册最难压轴板块，没有之一。很多同学之所以不会构造辅助线，是因为你知道的模型太少。 来，同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透初一下册考平最高的辅助线一线三等角的构造方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。哎，题目是这样说的，首先告诉 abc 呢，它是一个直角三角形，哎，这个角等于 九十度，好，接下来还告诉 c、 a、 d， 哎，这个角呢，等于四十五度，对吧？好， c， a， b 呢，这个大角等于六十七点五度，好，接下来告诉我们一组边 a、 b 等于十四。题目最后求的是 c、 d 这个边应该 等于多少？徐老师已经把全等三角形中所有辅助线的构造特点进行规划总结，再结合考试经典例题，优中选优，整理成了全等经典一百题，刷完，直接提升几何思维，需要的家长我发你一份。 好，来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察我们全等辅助线当中一个非常重要的模型，叫做一线 三等角模型。来，同学们，我们先来简单回顾一下哈，一线三等角的构造方法和技巧，好吧，来，大家看第二个图哈。哎，他是这样去构成的，首先在直线 b、 d 上呢，我们有三个相等的九十度角 b， 角 c 和角 d 都等于九十度，对吧？好，接下来题目呢，还告诉一组边相等，就是 a、 c 等于我们的 c、 e， 那 么这个时候呢，很明显，我们就一组全等产生，就是 a、 b， c 和 c、 d， e， 它们俩是全等的，对吧？来，我们去快速证明一下，我把这个角呢设为阿尔法， 这个角呢设为我们的贝塔，你看，没有阿尔法加贝塔，就应该正好等于九十度来，因为中间这个角呢， 也是九十，所以这个角呢，也是为 r、 f， 它们俩相加九十嘛，对吧？所以这个角呢，也是为贝塔奥特曼看，所以这两个三角形的三个角分别对应相等，而且呢，还有一组边相等，所以它们俩一定是 全等的，好吧，那么三角形 a、 b、 c， 哎，全等于三角形 c、 d、 e， 对 吧？好，这就是我们的一线三等角模型。那么通过一线三等角模型来也给我们一个很重要的启示，那什么启示呢？看，我们如果去连接 a、 e， 那 么三角形 a、 c、 e 就是 一个等腰值，对吧？那么如果题目当中出现了等腰值，那我如何去通过一线三等角去构造全等呢？ 很简单哈，来，我过这个直角顶点 c， 往三角形的外侧去引一条直线，看到没有？ b、 d 这条直线。好，接下来再过这两个四十五度的顶点， a 点和 e 点，分别向这个直线做两条垂线，你看，所以这个时候呢，这两个三角形就一定是 全等的，对吧？好，有了这个模型做铺垫之后呢，来看这道题，我们就非常简单了。好，来，我们看一下，他说在直角三角形 abc 当中来，这个角是九十度，好，然后呢？哎， a、 c、 a、 d 等于四十五度，这个角等于四十五度， 对吧？好，我们的 c、 a、 b 呢，等于六十七点五度，那这个角呢，也是为二十二点五度，哎，他们俩相减嘛，二十二点五度，对吧？好， a、 d 边等于十四，题目求 c、 d 这个边应该等于多少？那么首先很明显，这道题的突破口呢，就是这个四十五度，对吧？看到四十五度， 我们应该立马想到等腰直角三角形，对吧？来，如何够到等腰值呢？大家思考一下。哎，我可以什么呀？过这个地点 做一条直线，与 a、 d 是 垂直的，来看一下哈。好，你看这个是垂直的，对吧？这个是我们的细点啊， d 七和 a d 垂直，那这个什么呢？ a 七 d 就是 一个等腰值，来什么？看到等腰值，我们总结了， 立马想到一线三等角，哎，怎么构造呢？过这个直角顶点，引一条直线，有了呀，是不就 b、 c 好， 再做三个相等的九十度，这个时候呢， 这有个九十，这呢，也有一个现成的九十。好，所以接下来我再做一个九十度，就可以构造全等。那过四十五度顶点，一个是 a 点，一个是 t 点， a 点已经做了，对吧？所以接下来我再去过这个 t 点，向我们的 bc 边做一条垂线 s 点， 那你看，这个时候一条直线有三个相等的九十度，又有一组边相等，所以三角形 t， s， d， 哎，就应该是全等于三角形，这个是 dba。 好， 那么全等以后，我们的对边和对应角相等，这个 ab 等于十四，那么所以 s， t， s， d 也是为十四，对吧？所以 s， d， 哎，就等于 ab 啊，等于，这里是十四。好，接下来求什么呢？题目求的是 c、 d， 我 只要再把 c、 s 求出来就可以了， 对吧？ cs 怎么求呢？大家看一下我们题目当中还有什么条件没有去利用，哎，很明显，二十二点五度，对吧？那么因为权的这个角跟这个角对应相等，它也是为 二十二点五度好，接下来又因为这个角是六十七点五，这个角是九十度，所以呢，这个角 c 也出来了二十二点五度，对吧？哎，你发现什么？三角形 t、 c、 d 应该是一个等腰三角形好，所以三角形 t、 c、 d 为等腰三角形。那么最后一步就出来了，你看，等腰三角形过起点向 c、 d 做垂线。 想到什么三线合一，所以 s 点就应该是我们的 cd 的 中点，所以来 cd 就 等于二倍的 cd， 对 吧？等于二乘以十四，等于二十八。所以这道题最后答案 cd 呢，应该等于 二十八。这道全等三角形当中的一线三等角模型，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！
628攀攀讲思维
