七年级数学乘法公式板书设计
司职大人，天塌了，西域进贡的七色牡丹到了原本的方花坛根本种不下。 圣上爱花如命听令，立刻把花坛向东向南各扩建，壁尺必须依然保持正正方方的规制，少一寸。我拿你试问， 但这红土乃是御用朱砂土，库房告急，你必须一次算准扩建后的总面积， 若浪费了一斗土，这花卉你就别想参加了。花坛要扩，水池要缩，石，路还得铺，这要命的三要活全赶今晚了。各位神算子，快帮我算算这第一道牡丹花坛的土方吧！ 大人，大方块加小方块，齐活啊！这就叫简约美！ 简约个头，光顾着头尾中间这两条护花沟被你吃了吗？漏掉这两条长土方，牡丹种在哪？空气里吗？给我填平！ 这就是完全平方和的营造法式，首平方尾平方积的二倍放中央，中间那两倍便是千万不能漏的护花沟。 为了贵妃赏花，要在四周修一圈栈道，水面必须向内缩减。 大人，这账没法算啊，我要是横着剪一条，竖着再剪一条，这角落重叠的水域岂不是被我扣了两次？这剩下的水面到底该怎么算？ 铺路最简单，大砖贴小砖，往那一摆，不就是个更大的方块路吗？省时又省量 啊！住手，照你这么铺是要摔死贵妃吗？那关键的填缝砖去哪了？把你那榆木脑袋填进去嘛！补齐！ 花红水绿路平，这才是大唐第一御花园啊，太美了！原来这园林之美全在这一增一减不留缝隙的算计里。这回我算是记住了，花开有序，方圆有法， 这严丝合作的规矩便是盛世的基石。
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04:20查看AI文稿AI文稿这王员外真是想一出是一出，眼看就要交货了，非要改尺寸，要把这块边长 x 尺的正方形桌面改成一边加长五寸，一边缩短五寸的长方桌。得亏我脑子转的快， 我想着一边加五寸，一边减五寸，这一进一出，周长没变，面积肯定也没变。这块正方形老料刚好够用，不用补料，还能省下我重新拼板的功夫，完美 不？切，不知道，一算吓一跳，大家帮我算算面积变没变， 慢着，周长没变，面积真的没变吗？万一这刀下去料子不够，那我这半年的工钱可就全搭进去了，这到底够不够欠啊？ 又要成又要加，这算个料单也太麻烦了，一项项展开，算的手都酸了。嘿，原来中间这些啰嗦的数都能抵消掉，只需头乘头，尾乘尾，中间什么都不用管。这规律我是不是发现晚了？ 这就是我发现的方圆之规，记住，结果永远是平方减平方，中间必须是减号哦， 不行，那块红木太贵，不敢动。我先拿这块废板子做个试验，假设这就是那张桌子，我挖去这一角，剩下的面积就是大方减小方。见证奇迹的时刻，移情换位，这缺角的方板瞬间变成了长板。来看看这新板子的长和宽变成了多少？ 这铜钉一盒一百零三文，要买九十七盒。这书太碎了，没带算盘，我还真算不清楚，等等，把它看成一百多三和一百少三，心中有百，这样瞬间不就清爽了吗？ 搞定，桌子改好了，这多出来的平方差小方块，也正如我所料，一分不差的切下来了。不过咱手艺人从不浪费，既然数学上注定要少一块，那我就在情义上给他补回来 这块五五二十五的平方差，就当是送给王员外的礼物了，让他也明白变通是有代价的，但这代价我能兜得住。
03:07查看AI文稿AI文稿这道七下期中真题一考出来，有百分之九十以上的孩子都拿不到分。这道题的难点在于如何凑， 那我们百分之九十以上的孩子因为不知道凑以及凑的核心方法和技巧，而导致他一分不得，那今天这个视频你一定要认真的跟我学完。这类题我们如何凑， 以及把我整理好的整式乘法必考的十大题型，你拿回去让孩子去练习，把它练透练熟。这类题型咱们考试的时候直接锁定答案，拿满分。好，下面让我们来看一下啊。首先是观察归纳应用 观察，我们会发现一二三 a 都是两个式子，前面是 x 减一，后面是一坨相加，然后 x 的 指数依次递减，最后结果是 x 的 四次方减一， x 的 四次方指数比前面的三要高一，所以说归纳的同学能做出来，他说，哎呀，王老师，我知道这个是 x 的 n 次方，那一直到最后就是 x 的 n 加一次方再减一， ok， 搞定。但是来到下一道题呢， 百分之九十以上的孩子会给郭老师写什么呢？写答案二的二零二六侧方减一。我们很多家长不知道，咱们真正在考试的时候拉开差距的不是第一问和第二问，而是我们的最后一问，所以说他就是在拉开差距，而他 如果你做错了分数，一分不得，那接下来我要告诉你凑的技巧和方法了哈，那我们先思考，你长成这个样子，如果要用上面的规律的话，他一定是我们的第二个括号里面的式子， 而第二个括号里面式子通通都是加法，所以你看加减加减加减，他有减法，因此大家不可以直接用这个公式，你得想为什么会出现减。注意， 如果所有东西都是加，那么这个 x 对 应的就是一个正数，如果有加有减，有加有减，我告诉你，这个 x 对 应的就是负数，所以这个 x 相当于是等于负二。我带到这里面去了，那我给它回过去啊，把括号去掉，就变成了负二的 二零二五次方加负二的二零二四次方加负二的二零二三次方加负二的平方加负二的一次方，再加上一， ok， 那 它是不就是 我们的第二个十字就长成了你想看的样子，你喜欢的样子。那 x 是 负二，那第一个括号是什么呢？是 x 减一，所以我们还要给他凑第一个括号，乘以负二减一，所以我们还要给他凑第一个括号，乘以负二减一，所以我们还要给它乘以几。 前面成了个负三，所以后面呢，我们要再除以负三才可以。那接下来大家再来看前面这个式子和这个式子，就可以用我们找到的规律吧。那么它就等于负二的二零二六次方减一，再除以我们的 负三，那就等于二的二零二六次方减一，除以负三，把负数给到上面就是三分之一减去二的二零二六次方才是我们正确的结果。好了，同学们，那我们今天内容呢，就到此结束了，我们下期再见。拜拜。
01:05查看AI文稿AI文稿苏科版七下数学本学期的知识框架可以分为三大板块，代数运算、方程与不等式、几何与逻辑。第七、八章是代数运算内容，需要大量练习，难点在于乘法公式里的配方法计算，还有整式乘法里的新定义问题、 规律探讨问题都是常考大题，尺规作图和图形的变换也是常考题型，是后续几何学习的基础。第十、十一张的应用题是考试分水岭，很多初中生会卡在列方程阶段，灵活应用消元法和换元法解析， 这时分题型规范就很关键。不同命题方程的底层逻辑是共通的，遇到实际问题，先圈出所有数量，再寻找两个等量关系。 不等式的难点在解决问题上带入实际应用题里，需要根据解的情况列不等式，求参数范围，尤其大题的信息量很多，可以划数轴找公共部分，既直观又准确。第十二章开始涉及证明初学时要模仿课本的规范格式，几何综合题也是期末常考， 这一部分压轴题可以在周末重点攻克，有条理的思考和表达，为后续的几何学习打好基础。这期就到这里，希望大家学期内都有进步。
02:44查看AI文稿AI文稿期下期中考试的压轴题一定会考乘法公式与几何综合问题。另外期下所有必考压轴题型已经全部整理好了，每个版本六十道题，电子版取件码五六五， 我们一起来看下这道题。两个正方形的边长为 a 和 b 拼到一起， a 加 b 等于十， ab 等于二十，求阴影部分的面积是多少？ 对于这种面积问题，核心解题方法就一定是要把面积表示出来，那在表示面积的时候，其实我们会发现有些面积它规则非常好表示，比如说下面的这个阴影部分的面积，它应该表示出来就是二分之一的底乘高 b 的 平方，但是会发现这个阴影部分的面积它不规则不好表示。那对于不规则的面积，我们的表示方法有很多种，这里韩老师带你用割补法来进行解决。 我们先把整个图形补成一个大的长方形，那你会发现阴影部分的面积其实就是等于长方形的面积，减去我们左边的这个 s 三角形 a、 b、 d 的 面积，再减去下边的这个 s 三角形 b、 c、 f 的 面积，再减去上面的这个三角形 d、 f、 q 的 面积。 于是我们就会发现，现在图中的这几个图形的面积，其实都可以被 a 和 b 用底和高来进行表示。那么接下来左边就是二分之一的 a 的 平 平方，因为 a、 d 也是 a， 那 么接下来下面这个地方是 a， 它的高是 b， 那 就是二分之一的 ab， 那 么上面呢，来看一下，它的底其实是 b， 那 么它的高呢？是 a 减 b， 那 就是二分之一的 b 乘 a 减 b， 那 于是乎我们说代入进去 长方形的面积，就是 a 乘 a 加 b， 长乘宽减去二分之一 a 方，再减去二分之一 a、 b 再减去二分之一的 b 乘 a 减 b。 对 式子进行化解，就是 a 方加 a， b 减二分之一， a 方减二分之一 a， b 再减去二分之一 a、 b， 再加二分之一的 b 方。发现 a、 b 减减，是不是就抵消？那么接下来 a 方减二分之一 a 方，就是二分之一的 a 方，加上二分之一的 b 方，那我们将二分之一 出来，就是 a 方加 b 方。这个时候会发现，已知 a 加 b， a 乘 b， 求 a 方加 b 方，就是咱们完全平方公式中的之二推二。那完全平方公式中的之二推二，就是 a 加 b。 整体的平方是等于 a 方加 b 方再加上二 a、 b 的。 而现在我们 a 加 b 是 等于十，那就是一百等于 a 方加 b 方再加二乘二十。所以 a 方加 b 方是等于六十的，那于是二分之一的它就等于三十，你听懂了吗？
109韩佳·数学思维
10:01查看AI文稿AI文稿七年级的学生，我们来看一下这道期中考试必考的乘法公式与几何的运用相结合的一道题。 很多同学在做阴影部分面积表示的时候，第一，它容易在计算问题上出错，因为表达出来的式子一旦比较冗长， 很多时候就会犯一些低级的错误。其次，我把它表达出来之后，我无法根据已知条件进行，要不就是整体带入思想，要不就是知二退二。那我们来看一看这道第三小问，为什么 有些同学他会算错，他也是近期有一个学生拿过来问我的，他在第三小问的第二个点上，他就犯了这样的一个问题，我们来清晰有条不稳的把这道题完整的解答一下看一下， 我们直接来看第三小问。首先题目告诉我们 m 加三零是等于五的，还有一个新定义的规则，新定义的规则是什么呢？新定义的规则是 a 的 平方加 d 的 平方，也就是交叉平方和再加上另外的交叉乘积的形式，所以我们将原式 化简一下，原式是等于 a 这样的一个新定义， a d， 那 这里的 a d 就是 m 加上四 n 平方，加上 d 的 平方，四 m 减去 n 平方，再加上另外的对角线的乘积形式， 那就是负四乘以一个四 m 的 平方加上二 n 的 平方，那我们下面就要进行去括号，让它最后等于十三，看看化简出来结果是什么？等于， 然后我们再来合并同类项， m 的 平方 m 的 平方， m 的 平方消掉是等于 m 的 平方。 八 m m 八 m m 没有了，那所以是等于零的 m 的 平方呢？是六 m 的 平方，这边有一个负八，所以最后应该是十七减八， 那就是九 m 的 平方，所以我们得到了 m 的 平方，加上九 m 的 平方是等于十三的。 另外还有一个条件是题目给我们的 m 加上一个三 m 是 等于五的，那这个时候现在让我们求的是 m 乘以 m 乘七，就回归到了我们乘法公式里面的值二推二，所以我们将依次的 这个代数式进行。平方等于 m 的 平方加上六 m， m 加上一个九 n 的 平方，左边平方了，右边是不是也要同样的平方？然后呢，我们看一下， 这是题目中已知的十三加上一个六 m m 是 等于一个二十五的，所以六 m m 是 等于十二的 m m， 最后做成算出来它是等于二的。所以第三题的第一小问就被我们解答完毕， 那现在我们 m m 算出来之后，第二小问是不是也可以用？那我们来看一下第二小问如何很多同学就在这里面卡住了呢？ 阴影部分的面积表示，首先我们要把什么已知的线段长度标在我的图上， 这样子的话，你才能够在做题的时候清晰地看出来它高在哪里，底在哪里。或者说如果它是一个小小的长方形，那就是长在哪里，宽在哪里，如果你看错了，那后面所有的计算都功亏一篑。行，那 a b 这一段长度是九平， 我的 b f 这段长度是三 n， c， f 呢是三 m， d， c 呢是 m。 好 的，那现在求引部的面积表示整体减部分，那现在就是说整体是我的长方形 a、 b， c、 d 部分，把它分成了三个小部分，这是一号，这是二号，这是三号，而且一二三我标出来的必须要是规则的，我好去算它。 那所以我的 s 一 号是等于什么呢？ s 一， 它的面积是等于小长方形的长和宽长，这里面是三 n， 宽呢是 m， 所以 我表示出来的是三 mm s 二号， 二号是一个直角三角形，三角形面积要乘以二分之一，我们先写下来，然后底和高分别是 c d 九 m， 高是 h， d 是 三 m， 那 么它的面积表示就是二分之二十七 m m s 三号同样的是一个直角三角形，那三角形还是要写一个二分之一，底是三 m 加上三 m 高呢？这里面不是九 m， 而是九 m， 减去我的那一小段的 a 一， 对不对？ a 一 的话同样的是等于 m， 所以 我们最后等一会再化解，先写成二分之三 m， 加上三 m， 乘以一个九 m 减 m。 好 的，我们 把三小块的面积表示完毕之后，我们的 in 部分面积如何表示呢？ s in 部分面积是等于我们的长方形面积，也就是九零乘以什么三 m 加上三 m， 减去我的一号三 m m， 再减去我们二号二分之二十七 m m， 再减去我们的三号，减二分之。我们可以在这边分子稍微化解一下三九二十七 m 的 平方，减去一个三 m， 又加上一个 三九二十七二十七减三，加上二十四 m m， 再减去三 m 的 平方。所以我们现在就到了去括号 注意一下，这里我变符号了，因为前面是减，所以就变成了减十二 m m， 然后负号变成正号二分之三 m 的 平方。 那这个时候下一步就是合并同类项，我们来看一下 n 的 平方和二分之二十七 n 的 平方，那就变成二分之二十七 n 的 平方。乘积项，乘积项很多哦，我们可以先把前面的系数写在一起，二十七减三，减去二分之二十七，再减去十二，然后 mm 再 加上二分之三 m 的 平方，他没有同类项，所以进行整合一下，就是二分之三 m 的 平方，加上二分之二十七 n 的 平方。括号里面我们也来算一下，二十四减十二就是十二，减去二分之二十七， 所以呢，是等于二分之二十四，减去二分之二十七，等于负的二分之三，所以我们把这个加号改写成减号，减去二分之三 m m， ok， 所以 我们发现我可以把二分之一给它提出来，让我的系数变成整数， 就是三 m 的 平方，加上一个二十七 m 的 平方，再减去三 m m。 好 的，我们化简完毕。那么现在我们的阴影部分面积表示的就是这一串代数式，这一串代数式我们如何去求解呢？我们的已知条件有什么告诉我。 我们上面第一问求出来的是 m n 等于二，还有吗？ 还有一个是我们通过新定义的规则算出来的， m 加三 n 等于五， m 加三 n 等于五，已知的是这两个条件，我如何通过乘法公式去算这里面的呢？ 如何通过第一次得到高次呢？那是不是我们需要将第一次的 m 加三 n 平方展开看一下， 是 m 的 平方加上一个六 m m 加上一个九 m 的 平方是等于什么呢？我们左边平方了，右边也要平方，平方完了之后，哎，这里面有个六 m m， m 是 一个已知条件，所以 m 的 平方加上一个九 m 的 平方加上六乘以二就是十二等于二十五。 原来我们 m 的 平方加九 n 的 平方是可以得到它是十三的，所以我们来发现看一下我圈起来的地方和我手写出来的地方有什么样的一个关系呢？哦，原来我可以整体代入，刚好是我们的乘以三倍， 这个时候我们就可以将其代入。原式等于二分之一，括号十三乘以三，再减去三乘以二，我们通过乘法公式这样的一个之二推二的一个背景，最后得到我们的二分之 三十九减六等于二分之三十三。所以这道题第一它的计算量是有点大的。第二我们算到最后应付分面期表示出来之后，如何去用乘法公式进行求解。所以这里面是一个 不能说是难点，但一定是一个重点，所以啊，要期中考试的一些小朋友一定要好好的掌握好它，那我们下次再见。
16Fx.数学
35:55查看AI文稿AI文稿学子一点通，数学倍轻松，欢迎来到学子数学， 今天我们探讨的是整数的乘除之乘法公式的拓展。首先请看要点梳理。一、平方差公式， 两数和乘两数差等于两数平方差。哪两个数的和乘以哪两个数的差就等于哪两个数的平方差。二、完全平方公式，两数和的平方等于第一数的平方加上两数这个二倍， 再加上第二十个平方。两数差的平方等于第一十的平方减去两数七的二倍，再加上第二十的平方减去位首平方为平方七的二倍在中央，首平方为平方七的二倍在中央。 三、三数和的平方公式，三数和的平方等于这三个数的平方和，再加上它们两两成积的二倍。 推而广之，三数的平方的和，三个数的平方的和等于这三个数的和的平方减去它们两两乘积的二倍的和。 或者说两两乘积的和等于三个数的和的平方减去它们的平方的和的差的一半。 公式的变式已拓展，根据 平方差公式，我们可以得到两个数的平方差除以两个数的和等于两个数的差。两个数的平方差除以两个数的差等于两个数的和。根据 完全平方公式，我们可以得到两个数的平方的和等于两个数的和的平方减去他们的二倍。两个数的平方的和等于两个数的差的平方加上他们的二倍。 两个数的和的平方等于他们的差的平方加上他们的四倍。两个数的差的平方等于他们的和的平方减去这两个数的积的四倍。好，同学们想一想， 其实很容易理解，我们比较这两边 a 加 b 的 和的平平方， a 与 b 的 和的平方，它里面多了一个二 a、 b 减去二 a、 b 就 等于它们的平方。合同里两个数的平方和就等于两数差的平方 加上二 a、 b， 因为这里面减去一个二 a、 b， 它就加上二 a、 b 才会相等。同理， 继续， a 加 a 分 之一的平方等于 a 的 平方，加二加 a 的 平方分之一， a 减 a 分 之一的平方等于 a 的 平方减二加上 a 的 平方分之一，我们由此可以得到， 实际上就是完全平方公式的变式。注意，两数，因为 a 和 a 分 之一是互为倒数，所以两数积的二倍恰好是二， 这里就有一个减二加二。 ok， 好，接着我们来看点题选讲，请看例一，利用乘法公式进行简易运算。第一题， 怎样减算呢？仔细观察，我们发现，四十又三分之一接近于四十，三十九又三分之二也接近于四十，所以我们就可以把它 转化为四十， 加上三分之一，乘以四十，减去三分之一，于是，那么就是两数和乘两数差等于两数平方差。 ok， 很 简单。好，下面我们看第二题。利用乘法公式进行减变运算。 分子是一千个平方，我们暂且不用理它分母，它是二百五十二个平方，减去二百四十八个平方，所以我们可以把它看成是 两数和乘两数差， 两数的平方差就等于两数的和乘以两数的差。继续， 分子是一千的平方。分子呢，二百五十二乘以二百四十八，它就恰好是五百 二百五十二，减去二百四十八是四，所以它就等于二千 分之一千的平方约分，所以就等于五百。 ok， 这是我们利用利用平方差公式来计算。 当然，你的同学发现了，老师我还可以运用平方用完全平方公式，你比如说分母，我可以把它写成是二百五十加二的平方，减去二百五十减二的平方分子 是一千的平方，然后我们利用完全平方公式， 最后同样可以很容易地计算出结果，等于五百。 ok， 好， 下面我们来看一看第三小题， 利用乘法公式进行简易运算。 怎样计算呢？ 一加二分之一，乘以一加二的平方分之一，乘以一加二的四次方分之一，再乘以一加二的八次方分之一，再加上二的十五分之一。 我们观察发现 平方平方平方。所以说我们如果我们将一加二分之一 乘以一个一减二分之一，我们就可以得到一减二的平方分之一。那么然后呢，就可以 继续利用平方差公式来计算的。 那么当我们乘以一个一减二分之一之后，一减二分之二分之一，那么原式就发生了改变，怎样确保原式的值不变呢？所以我们再在前面乘以一个二， 如果我们乘了一个二之后，那么二乘二分之一刚好等于一，一不改变原式的大小。二，可以运用平方差公式来进行简易计算。继续， 所以它就等于二乘以一减去二的平方分之一， 加上二的十五次方分之一。于是乎，我们就可以继续二乘以乘以，所以它就等于二乘以什么呢？一减去二的 十六次方分之一，再加上二的十五次方分之一。好，我们看继续下去，二乘以一减二的十六分之一， 它就等于二减去二的十五次方分之一，加上二的十五次方分之一等于二 五。巧不成奇，好，请大家强化一下。 第三，小题有一定有一定的难度，关键在于利用天象法。 通过观察，根据题目的特征，如果我们在圆式的前面添上一个二倍的一减二分之一，第一可以利用平方差公式进行减元运算，第二， 不改变原式的大小，然后一步一步的进行下去，最后就可以得到结果。 ok， 好， 参考答案如下，请同学们扫描一遍 第一题，第二题，第三 好，继续前题。请看例二乘法公式的灵活运用。配方法 一、 若三角形 abc 的 三边 abc 满足， a 方加 b 方加 c 方等于 ab 加 bc 加 c， a， 那 么三角形 abc 是 什么三角形？请我们判定此三角形的形状。 已知 a 方加 b 方加 c 方等于 ab 加 bc 加 c， a。 怎样根据这个已知条件来判定三角形的形状呢？ 根据这条件，我们联会联想到完全平方公式，所以我们利用完全平方公式即可判定 它决定完全平方公式。所以说我们首先可以两边同时乘以二 并一下等于零， 于是我们很快的发现它就是 a 减去 b 的 平方，加上 b 减 c 的 平方，加上 c 减 a 的 平方等于。 根据非负数的性质即可得到 a 减 b 等于 b 减 c 等， c 减 a 等于，所以 a 等于 b 等于 c， a 等于 b， b 等于 c， c 等于 a， 所以 等量代换 a 等于 b 等于 c， 故此三角形为等边三角形。 ok， 咳，好，继续来看第二项题。 若 a 方加 b 方加 c 方减 a， b 减 b， c 减 a， c 等于零，且 a 加三， b 加四， c 等于十六，那么 a 加 b 加 c， 则值。两个一致，条件好像相似， 所以我们首先将两边同时乘以二，即可得到二。 a 方加二， b 方加二， c 方减二， a， b 减二， b， c 减二， a， c 等于零。 于是同理， a 减 b 的 平方加 b 减 c 的 平方加 a 减 c 的 平方等于零，即可得到 a 等 b 等于 c。 那 么怎样求 a 加 b 加 c 的 值呢？因为因为 a 加三， b 加四， c 等于十六，所以我们就有 abc 相等，那么就是 a 加三， a 加四， a 八， a 等于十六， a 就 等于二， a 等于二，那么 a 加 b 加 c， 它们是相等的，所以就等于二乘以三等于六。 ok， 请同学们回顾一下 第一小题，参考答案。首先同时乘以二，然后配方，进而可以判定是三角形，是等边三角形。 第二小题思路向四。 ok， 好， 接着我们来看例三，请同学们看图，老师读题。 从边长为 a 的 正方形剪掉一个边长为 b 的 正方形，如图一。然后将剩余部分拼成一个长方形，如图二。 一、上述过程所结识的因式分解的等式 个大正方形减掉一个小正方形，那么阴影部分的面积就是什么呢？ 就是 a 方减 b 方，然后用剩余的部分拼成一个长方形，剩余的部分就是图一中的阴影中的面积。那么它是一个长方形，它的长是 a 加 b， 宽呢？自然是 a 减 b， 所以 它的面积就是长乘以块， 因为它们的面积是相等的，所以就得到了 a 方减 b 方等于 a 加 b 乘以 a 减 b， 是 不是截式、因式分解的等式呢？当然是，所以， ok！ 好， 下面来看第二小题。如果 要么求四 y 减三 x 的 值，一只九 x 的 平方减十六 y 的 平方等于三十，三 x 加四 y 等于六。我们看已知条件，它就是三 x 的 平方减去四 y 的 平方等于三十。 还有一个是什么呢？三 x 加四 y 等于六。由此，根据 平方差公式，我们既可以得到三 x 减四外，它就等于什么。三十除以六等于五， 三 x 减四外等于五。要求四外减三 x， 所以 四外减三 x， 它是三 x 减四外的相反数，它就等于负五。 ok， 仍然比较简单。好，继续来看第三项题 计算。很显然，我们只能运用乘法公式进行减算了。怎样减算呢？减，原始的 一减二的平方分之一，就是一减二分之一的平方，一减去三的平方分之一，以此类推。好，我们就两数的 平方差，就等于两数的和乘以两数的差，两数的和乘以两数的差。继续， 两数的和乘以两数的差。 那么同样的就有什么呢？一加一百分之一，乘以一减一百分之一。第一步继续， 一加二分之一减二分，一加三分之一，一减了一减二分之，就是二分之一。一加二分之三，一减三分之一，三分之二，一加三分之一三分之四。 继续，一减四分之一。四分之三 乘一，次乘以 九十九分之九十八，再乘以九十九分之一百乘以一百分之九十九乘 一百分之一百零一。 ok， 好， 这是第二步继续。接下来怎么算呢？仔细观察发现，护卫倒数，护卫倒数，护卫倒数，护卫倒数 月分，或者说会倒数的 g 等于都等于一，那么于是乎我们就只有二分之一乘以第一个二分之一乘以最后一个一百分之一百零一， 结果等于二百分之一百零一。 ok， 好， 请同学们仔细的过一遍。 二三两题答案如下，第二下题很简单，关键是第三下题。第三下题思路也简单，在 计算的过程中，我们要注意细心对待每一步。 ok， 好，继续前行，请看真题演练， 先化解，再求值。 怎么化解呢？很简单好解，原式的完全平方公式，第一数的平方加上两数积的二倍，加第二数的平方减去 平方差。公式，两数合成两数差等于两数平方差。单项式乘多项式分别相乘，积相加。 好，然后我们合并去括号合并同类项，那就是二 x y， 二 x y 代入求值。因为 x 等于二分之一的二零二三次方， y 等于二的二零二二次方，所以原式 那就是二乘以二分之一的二零二三，再乘以二的二零二二。如何计算呢？请看 二分之一的二零二三尺二的二零二尺，所以我们可以把它写成二乘以二分， 指一的二零二二次方，再乘以二的二零二二次方，再乘以一个二分之一，于是 他们的成绩等于一，他们的成绩也是等于一，所以结果就等于一。 ok， 无论是化解还是求职啊，都比较简单， 化简的结果带入。 ok， 继续前行。请看练习二 乘法公式的灵活运用。换元法已知要求， 如果我们用常规方法展开来求 x 的 话，那么很复杂，或者说不可能， 那怎么办呢？因为已知是五加二， x 的 平方加二， x 加三的平方等于六十， 要求的是五加二， x 乘以二， x 加三。如果我们将它看成 m， 将它看成 n， 那 么就有 m 的 平方加 n 的 平方等于六十。要我们求什么呢？要我们求 m 乘以 n 等于多少， 那就很简单，因为 m 加 n， 或者说 m 减 n， m 减 n 的 平方等于 m 的 平方加 n 的 平方减二 m n， 所以 就得到二倍的 m， n 是 等于 m 减 n 的 平方，减去 m 的 平方。 二倍的 m n， 那 就等于 m 的 平方加 n 的 平方减去 m 减 n 的 平方。 好，如果我们设 五加二， x 等于 m， 二 x 加三等于 n， 那 么根据题，我们就得到什么呢？ m 的 平方加 n 的 平方等于六， m 减 n， 它恰好等于二， 于是就有二倍的 m， n 是 等于 m 的 平方加 n 的 平方减去 m 减 n 的 平方。 记，二倍的 m， n 等于 m 的 平方加 n 的 平方等于六。减去 m 减 n 的 平方等于二的平方，所以它就等于多少等于二。那么 m n， 我 们就求出来了 啊，等于六十。 sir 啊，等于六十，六十，那么它就等于五十 六，所以它就等于二十八。 继续那么第二项题呢？同样的，它们具有相似性啊，这样相似性。当然，我们仔细观察， 我们也可以这样来思考，如果我们设它是 x， 那 么二零二四减 m， 它就等于一减 x， 于是那么原式就是 x 的 平方加上一减 x 的 平方等于二零二五。 那么如果我们展开的话， x 的 平方加一减二， x 加 x 的 平方等于二零二五。继续，那就是二 x 的 平方减二， x 等于二零二四， 同时除以二，那就是 x 的 平方减 x 等于二零二四， 要求什么呢？它是 x， 它是一减 x， 那 么继续来看，它就是 x 乘以 x 减一，等于啊，那这又是同时除以二，一零一二，一零一二。 根据一个条件，我们可以得到 x， x 减一点一零一二，那么要 x 乘以一减 x， 所以， 那么 x 乘以一减 x， 它就等于负的一零一二。 ok， 虽然它们的思路略有不同，但是都是换元法的灵活运用， ok， 好，参考答案如下，请同学们仔细的过一遍。 第一下题是四，它们分别是 m， n， 然后利用完全平方公式得到 结果。第二小题是四，一个代数式等于 x， 那 么另一个就是一减 x， 然后从已知条件出发，我们就可以得到 x 的 平方减是等于幺零幺二，那么要求的恰好是 x 减 x 的 平方，所以我们就可以得到结果， ok， 好， 最后我们来看练习三， 观察下面设置，观察下面设置，猜想 一二三四。 当然我们可以继续写下去， x 的 六次方减一除以 x 减一，它就等于 x 的 五次方加 x 的 四次方加 x 的 三次方， x 的 平方加 x 减一， 以此类推，继续。所以，那么就有 x 的 七次方减除以它，它就等于 x 的 六次方加 x 的 五次方， x 的 四次方， x 的 三次方， ok， 那 么进而又有 x n 次方减一，除以 x， 它就等于 x 的 n 减一平方，加 x 的 n 减二平方等于几？加，加到 x 的 平方加 x 加 b。 好， 最后我们来看一看怎样根据我们 得到的结论来计算它的值呢？ 很显然，我们可以把这个二看成是 x， 那 么于是它就等于什么呢？它就等于二的二零二六次方减一 除以 x 减二减零，那它就等于二的二零二六四的减七。 看似很难，实际上很容易治老虎。 ok， 参考答案如下，请同学们过一遍。 今天的探讨到此结束，数学小青松，学子一点通，再见！
9许子数学
09:16查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，本系列视频将为大家讲解初一数学下册专题训练。 今天是专题一密乘除的第一讲同底数密乘法。在讲同底数密乘法之前，我想先让大家了解一个概念，什么是密？对于形如二的三次这样一个式，那么二就是它的底数，三叫做它的指数， 那对于二的三次方这个结果来说，我们就把它称为密，所以我们也可以读作二的三次密。好，我们先看第一个知识点，对于任意底数的 a 与任意正整数 m 和 n， 那 么 a 的 m 次密乘以 a 的 n 次密的结果，那 a 的 m 次密。很显然， a 的 n 次幂就意思是 m 跟 a 相乘，那 a 的 n 次幂就是 n 个 a 相乘。因为它们的底数是相同的，所以它们每个成像的音式也都是 a， 那 么 m 跟 a 相乘，再乘以 n 个 a， 那 也就是 m 加 n 个 a 相乘，那 m 加 n 个 a 相乘，结果是什么？自然是 a 的 m 加 n 次幂。所以我们就有一个 式子，对于 a 的 m 加 n 次幂的乘法来说，例如 a 的 m 加 n 次幂，所以我们就可以写成底数不变，指数相加的形式， 这是一个等式。好，所以我们要推出来我们的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 好，上面上面讲的是两个幂相乘情况，下面咱们推广一下到多个幂相乘情况看这个三个幂相乘， a 的 m 次乘以 a 的 n 次，再乘以 a 的 p 次，那也同理，也可以用上面这个乘法法则，也是底数不变，指数相加，不过它有三个因子，所以它有三个指数相加，就是 m 加 n 再加 p。 那既然下面这个乘法的逆应算也是成立的，也就是 a 的 m 加 n 次，也是可以拆解为 a 的 m 次乘以 a 的 n 次。为什么呢？因为 a 的 m 加 n 次就是相当于 m 加 n 个 a 相乘嘛。那 m 加 n， a 相乘，自然可以拆成 m， a 乘以 n 个 a， 所以 自然就有 a 的 m 加 n 次幂，就等于 a 的 m 次幂乘以 a 的 n 次幂。好，所以咱们所需要知道知识点， 下面我们来看题型，以同底数密的乘法及其逆应用。我们先看例一，若三的 x 次密减二的绝对值加上三的 y 次密减四的绝对值等于零，则三的 x 加 y 加二次密等于多少？我们先看题干，题干给了两个绝对值相加的结果，那对于绝对值来说有什么性质呢？ 也就是任意一个数的绝对值都是一个非负数，因为负数的，因为绝对值表示的是，哎，这一个数到 坐标原点的距离就它绝对值啊，那不管这个数是正还是负，它的坐标原点距离永远是个正数，所以这个绝对值永远是个非负数。我们回到体感，那对于两个绝对值和为零，那么就必然有两个绝对值都为零，即三的 x 减二绝对值等于零， 三的 y 减四绝对值等于零，即三的 x 之密减二等于零，三的 y 之密减四也等于零， 所以我们就可以得到三的 x 次幂等于二，三的 y 次幂等于四。我们回答了问题，当然就是三的 x 加 y 加二次幂，现在就是出现三的 x 次幂和三的 y 次幂呢？那怎么要得到三的 x 加 y 次幂呢？来跟前面咱们那个运算法则，自然咱们想到同底数幂相乘， 哎，是不是就是三的 x 加 y 次幂？那么和题目一对比，少了个二，二哪来呢？很简单，再乘一个二就行， 这样就得到三的 x 加 y 加二次幂，那么我们把值带进去，三的 x 次等于二，三的 y 次等于四，那三的平方咱不变，它是一个结果，咱们得乘过来，结果就是二乘四，再乘三，再乘三就等于 二十四，再乘以三等于七十二。好，这道题答案就出来是七十二，好，我们看下一个题，变式 计算三的 m 次密乘以三 n 的 结果，哎，这道题很简单了，用前面的乘法法则，同底数密来说，同底数密相乘，那肯定是底数不变，指数相加，再选三的 m 加 n 次密，选 c 好， 便是一根二。已知 x 加 y 加三等于零，则二的 y 次密乘以二的 x 次密的值是，他现在前面给你一个题干上给你一个式子，结果为零，他让求两个密的乘积，哎，咱发现题干上并没有给你一个密，所以咱们就要 构造一个密出来，那他已经告诉你， x 加 y 加三等于零。题题目要求二的 y 次幂乘以二的 x 次幂，怎么发现二的 y 次幂乘以二的 x 次幂是一个等底数幂的乘法，我们就先 把它结果求出来，等于二的 y 加 x。 哎，咱们观察这个指数，现在出现了 y 加 x， 再观察前面这个式子，也有 y 加 x 次，只不过他多了一个加三，那加三怎么来呢？哎，咱们就要再乘以一个二的三次幂 就自然就变成了二的 y 加 x 再加三。哎，那又因为 y 加 x 加三等于几等于零，所以就是二的零次。那我们都知道，任何数的零次都是一，所以等于一，意思就是二的 y 次乘以二三次，最后结果是一，也就是二的 y 加 x 乘以二的三次幂等于。那咱们题干上要求的是二的 y 次幂乘以二的 x 次幂，也就是二的 y 加 x 次幂。自然咱们变一下形，把 y 加 x 次幂留下，把二的三次幂除过去，就变成这样一个式子。哎，咱们答案就出来了，二的三次幂分之一是多少？八分之一，所以答案就是八分之一。 好，我们看今天最后一道题，便是一杠三，若整数 m 等于二的 n 次幂乘以五的八次幂是一个十位数，则 n 的 所有可能值是。哎，他们告了一个 数，限制了它是一个十位数。那十位数题目上给了几个条件？给了两个条件，一个是这个式子，另一个就是限定这个式子的大小，就是十位数，但十位数是一个数字符号形式，那十位数怎么表示呢？我们都知道二的零次幂是一，是个一位数，十的 一次米是十是两位数，十的二次米是一百，是个三位数，那十位数自然就可以推到十的九次，应该就是一个十位数，对吧？那意思就是一个十位数就是可以用十的九次方来表示。 那因为题目上要求 m 等于二的 n 次乘以五的八次，也是一个十位数，那他肯定是大于最小十位数，使得九次密，也就是 m 就 大于等于使得九次密。是不是小于等于使得十次密，也是最小的十一位数，所以我们就可以把这个式子填进来吧，所以就可以变成二的十次，九次小于等于二的 n 次乘以五的八次，也就小于使得十次。 哎，他们求 n 的 所有值，是吧？那我们就想办法把五的八次密给他，一道左右两边把二的 n 次给留下来。所以咱们根据不能式的基本性质啊，所以可以得到 图里面同时乘一个正数啊，符号是不变的，说明就是这样，除以十的九次米，除以十五的八次米小于等于十的十次米，所以五的八次米。哎，我们都知道十等于二乘五，咱们是不是找见五了？原来是十没办法和五进行一个约分，所以咱们找见十等于二乘以五的九次米，除以五的八次米等于二的 n 次。 哎，这样就行了，咱们找见五了，那对于二乘以五的九次密，咱们就可以写成二的九次密，乘以五的九次密，再乘以五的八次密，就剩下二的九次密乘一个五。那右边同理，剩个二的十次密乘一个五。 我们再整理一下，也就是二的 n 次是不是大于等于二的九次乘以五，是不是小于等于二的十次乘一个五的平方。 我们的变形又因为五五是一个大于二的平方，小于二的三次，所以要想使这个不等式成立，只需要二的 n 次大于等于二的 九次乘以二的三次这个式子成立，那么就可以使得二的九次乘以五小于等于二的 n 次这个式子成立。哎，同理，右边这个式子，要想使得二的 n 次小于等于二的十次乘以五的平方乘以，也就是因为五的平方是二十五大于 二的四次，小于二的五次。所以要想使这个式成立，二的 n 次必须小于等于二的十次乘以二的四次。咱们整理一下这个式子上面这个式子有时二的 n 次必须大于等于二的十二次，小于等于二的十四次。 因为他们三个式的底数是相同的，所以只需要比较指数就行。 n 就是 大于等于十二，小于等于十四，那他的所有的可能又因为 n 是 一个整数，所以他的可能值就是十二、十三、十四 c。 今天的小课堂结束啦，同学们有什么问题都可以大胆在评论区提问哦！评论区留言，三桃自习室即可领取举一反三资料 hell that money break it down girls hit you hella lulu this fight don't believe me just watch！
