北京版八下多变的简单几何图形
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07:08查看AI文稿AI文稿好的，同学们，今天我们要学一个集万千宠爱于一身的图形，叫做什么？当当当当，正方形终于正式登场了啊，来正方形呢，是啊，非常非常特殊的一个图形，既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形还是特殊的菱形，我们来看啊，它的一些这个性质， 正方形的对边平行，且四条边相等啊，对边平行呢，一般的平四都有，他肯定也有，对吧？而且正方形四条边相等，你从小学就知道吧，对吧？而且四条边相等是谁的特性来着？是菱形的特性来着，他也有 好不好？那么再来，正方形四个角都是直角，你小学也知道呀，对吧？那么角是直角谁的特性？矩形的特性啊，所以我菱形也有，对不对？集万千宠爱于一身啊。那么再来第三个，正方形，对角线相等且互相垂直平分，一个一个来看，先来说对角线相等， 其实你从小学就知道对不对？那对角线相等是谁的特性来着？矩形的特性，然后呢？对角线互相垂直谁的特性来着？菱形的特性来着，所以说之前矩形菱形有的，我正方形通通都有，好吧，啊，通通都有， 然后呢，互相平分，因为平四都互相平分，更何况正方形的啊，对角线一定互相平分，每条对角线平分一组对角，这个也是我们菱形有的，他也有， 好吧，那么在这呢，就特别特殊了，有什么呢？我们来看哈，每个角九十度，画一个九十度，九十度，九十度，然后接下来我们平分对角，既然平分的话，那就是四十五，四十五。好，那如果有这些四十五，有没有发现正方形里四十五特别多？正方形里的四十五度他有病， 有什么病？它有一个病叫传染病啊，它会传染给很多很多人，这些四十五度都会传染，不仅如此啊，我们还发现了对角线互相垂直，所以这些都是什么？同学们， a o， d， c， o， d， c， o， b， a o b， 还有 abc 啊， c d， a， a， b d 啊， c， b， d， 但凡我念出来的三角形呢，都叫等腰直角三角形，这里啊，我就不一一给大家去学了，有众多的等腰直角三角形， 然后还是哈，前面这是我们的边角线，最后是我们的对称性，正方形既是中心对称，又是轴对称好了，而且几条对称轴啊，四条，之前我们举行学的时候是什么呀？是我们这个连接对边的中点的连线，这样的所在直线是它的对称轴， 对吧？然后我们菱形还学了什么呀？是它对角线所在的直线是对称轴，因为我的正方形既是特殊的矩形还是特殊的菱形，所以我是有四条对称轴的， 好吧，我这里有四条对称轴啊，这是我们正方形的一些性质啊，非常的多，非常的，这个隐含条件也很多，大家在读题的时候呢，要看到这么多隐含的条件，尽量多去标一标好不好？而且呢，把这些到底 谁是菱形的特性，谁是矩形的特性一定要搞清楚了，后面我们再用判定的时候呢，也会啊，非常多的。那接下来我们开始练题， 好吧，看你看能不能啊，综合的去应用一下我们正方形的众多的一些性质。我们来看第一题啊，这里有个正方形 a、 b、 c、 d， 既然正方形了，那你赶紧给我标四条边相等四个角相等九十度，对吧？如果给你画对角线，那就不着急了，这有一个对角线对吧？那就四十五、四十五， 四十五、四十五，然后这里还有个等边三角形，你看嘛，哎，都是特漂亮的图形，对吧？等边三角形说明这三条边还相等。既然这边有个正方形，右边是个等边三角形，拼在一起之后，我觉得又来了一个什么图形， 你把眼睛放在 a， 这，放在 b 这，放在 e， 这还有什么图形啊？我说还有个等腰，对吗？是不是啊？这图形放在一起，这还有个等腰三角形啊。然后接下来让我们求角， b、 f、 c、 b、 f、 c 就 这个角度数，这道题一个度数都没给你，就你通过这个正方形和等边的特性啊找就行了。 好吧，因为我们知道等边每个角都是六十度，然后正方形每个角九十度，所以你在这个心形成的等腰三角形 b、 a、 e 当中我们都能看到啊，这里有一个什么呢？顶角 b、 a、 e 是 九十度加上六十度，那就是一百五十度， 所以它的底角 a、 b、 e 和这个底角 a、 e、 b 就是 一百八减一百五，是个三十啊，再除以二，那就十五度，所以我们这里呢有个十五度， 这里呢也有个十五度啊，但是你这个问号角，这怎么办？我这个问号角 f 点在这呢，看到了什么？我刚才那个四十五度有用了吧？是不是这个角 b、 f、 c 啊？是我们三角形 a、 b、 e 的 叫什么外角 啊？是我们三角形这个 a、 b、 f 啊， a、 b、 f 它的一个外角，那如果是它的外角的话，就会等于不相邻的内角的和啊，所以我们通过这个角 b、 f、 c 等于我们的角 a、 b、 f 加上这个角 b、 a、 f， 那 就是十五度，加上四十度就是六十度。好吧，这个题选我们的这个 c 选项啊，好，关键，核心在于什么？你发现了，一，这里有个等腰，二，这里有个外角，好吧，这是我们正方形的性质啊，众多的边角，赶紧给我标上，接着 别着急，再来练一个来，同学们，嗯，我们继续挑战啊，这个让你求边长，会求角了，会求边吗？已知正方形 a、 b、 c、 d 的 边长是一啊，来一一一，那么根据等腰直斜边啊，通过这我们的斜边，这个 b、 d 和 a、 c 这两条对角线就是一一跟号二， 因为这里等腰值太多了啊，然后连接 c、 e 平分，哦，这有个平分的关系， c、 e 平分，这个角 a、 c、 d 平分呢，就是二十二点五， 对吧？这角平分线的关系啊，那正方形对角线有个交点 o 互相垂直平分啊，边长是一的话，这些像 o， a， o， c， o， b， o， d 你 也知道是二分之根号二，对吧，众多边长都可以求啊。然后这里还有个角平分线的关系，这个怎么用？ 还不知道，一会看一看，求第一的场，求这个的场。好，来吧，接下来啊，角平分线，我之前在这个前面讲三角形视频当中给大家说过，看到角平分线关系，这里经常用四大名辅，对不对？所以说啊， 前面给大家讲的三角形的一些基础知识，在正方形这里依旧非常受用啊，四大著名的辅助线啊，我们有了角平分线，直接来做垂，因为什么？因为这边有个垂， 好吧，因为角平分线一个点 e 已经向这一边做了垂，那我赶紧也向这一边来个垂。做完这个垂之后呢，根据角平分线的性质， o e 和 e h， 它就相等。好吧， o e 和 e h 啊，这个点点边和这个点点边，这就是相等的。不仅如此，这还有正方形很多众多的四十五度， 你们发现做完垂之后，这个 d e h 还是个等腰值啊，看见了吗？同学们，这是个等腰值，所以说这个点点边也跟他们相等。然后呢，不仅如此，这是那个对称型的全等，所以这里的 c h 也等于这里的 o c 等于几？等于二分之二。既然这个是二分之二，那我觉得你的 d h 会求了， 边长是一，所以 d h 就是 一减二分之二，简单吧？然后让你求的 d e， 这是个什么？这是一减二分之二，简单吧。然后让你求的 d e， 这是个等腰值啊，朋友们，等腰值直角边是它， 所以斜边 d e 呢？就是它的根号二倍 d h 啊，前提你要能看出来，那就是根号二减一，根号二减一。这题是我们的 a 选项啊，正方形的性质，一个是求角，一个是求边，把我们众多的这些特殊条件一定要使用起来。
41张华初中数学
01:41查看AI文稿AI文稿数学的重点在哪里？抓住这几块，孩子的成绩大概率不会差。我是北京海淀任老师，今天我们讲第三部分，四边形， 初二下册几何最难最容易出压轴题的就是这张了。从普通的四边形到平行四边形，再到菱形、矩形、正方形，性质特别多，变化也多，引含的条件多，辅助线 思路自然就多，难度几乎没有天花板。学这一张，千万不能碎片化学习，一定要形成框架，系统化去学，从边角、对角线、对称性四个角度理清他们之间的转化关系，把性质和判定彻底吃透。 很多孩子都说辅助眼画出来我也会，可是自己做的时候想半天也不知道这个辅助线到底该怎么做。核心就是要吃透各种几何模型， 比如矩形的翻折模型、菱形正方形的对称模型、正方形的对角线旋转模型、悬图十字架十字架模型、半角模型、手拉手模型等等。 常考的题型也给大家梳理清楚了，比如用方程的思想在平行四边形中构造全等，结合勾股定律求线段的长度，线段的坠值问题与将近一码问题的综合，还有动点问题，构造中位线 啊，特别是直角、三角形、斜边中线等，都是压轴体高频考法。我是北京海淀任老师，关注我，带孩子一起学好数学！如果你的孩子数学有困惑，欢迎私信我，咱们具体问题具体分析。
20:59查看AI文稿AI文稿方法不对，努力白费。今天给大家讲一下八年级期末考试的压轴难题，这道题目初二和初三的同学都可以做。首先先讲一下初二的方法， 那么用初二的解析方法去研究这个题目，思路特别多，但是我们如何寻找到一个最简洁、最容易想到的方法，那我们就需要找到这道题目的一个突破口。首先条件给了正方形 abcd， 看到了 b、 d 是 对角线，那从辅助线的一个长引的方法来看，我们很容易想到的就是把它的另一条对角线 a、 c 也连上。 因为正方形最特殊的是什么呢？就是它对角线的性质。这里 a、 c 和 b、 d 相等，互相垂直， 并且互相平分。那么每一条对角线所在的直线都是正方形的对称轴， 所以我看到 b、 d 上有一个 m， 自然想到的就是把 m、 c 也连上。那么我们异正 m a 和 m、 c 是 相等的， 那我们可以通过啊 b、 d 两侧的三角形存在一个翻折全等的关系，推出 a、 m 和 m、 c 相等。那再看一下条件，条件给了一个互补， 那这个互补有什么用？好，一个角是角 a m、 d， 另一个是角 a、 n、 c， 而这个位置也存在一个互补，所以我就看到了内错角相等于是可推 b、 d 和 c n 是 平行的， 那么就可以把刚才的这个对角线的直角可以导到角 a、 c、 n， 所以 我就看到了一个直角三角形 a、 c、 n， 同时看到了等腰三角形 a、 c、 m， 那 么等腰三角形的底边恰好是直角边，所以我能推什么呢？啊？我根据倒角可知，看等边对等，角擦角相等， 根据沪语可知，叉角加点角等于九十，这里的叉加这个点也是九十，于是推出两个点角相等，那么 m c 跟 m n 也相等， 所以 m a 等于 m c 等于 m n， 那 也就意味着我能推导出 m 是 a n 的 终点。 好，我能够推导出 m 是 a n 的 终点。好，那接下来我们继续来看此题。给了正方形的边长，还给了两条边的关系，它是 dm 和边长的关系是根号二比三。 那我们发现 dm 跟 ad 有 关， d o 跟 ad 也有关系，那于是就可以推出 dm 和 d o 的 关系。好，那在这不妨我们利用这个比例设一下两条边， 我们设比的一份为 x， 那 么 dm 它就可以表示为根号二 x， 而 ad 可以 表示为三 x。 进而呢，我们看到等腰直角三角形 a， d o 可以 表示出 d o 是 二分之三倍，根号二 x。 好 的，那么 dm 和 d o 都含 x， 所以 我就可以求一下两条边的一个比值，也就是 dm 比上 d o， 它就是根号二 x， 比上二分之三倍，根号二 x， 那么经过月份化简，我们可以把它化成二比三，那就意味着 dm 是 两份， d o 是 三份。那不妨我就在 m o 这个位置标记一份，所以就说明 m d 是 m o 的 二倍。 好，那请同学们继续再来看。刚才导出 m 是 中点， o 也是中点，那 m o 就是 a n c 的 中位线，所以我发现 c n 也是它的二倍。 那于是我们就可以推出这里的 dm， 它和 c n 的 一个关系。是什么关系呢？平行且相等。好，于是就可以导出这个四边形， m d n c， 它是一个平行四边形啊，这是一个平行四边形，那么这如果是个平行四边形，说明什么呢？它的对角线互相平分，那就意味着点 e 既是 m n 的 终点，也是边长的终点。 好了，那么导出点 e 是 终点之后，此题要求 n f， 那 么我们还是需要把 n f 进行一个转化。好，那么在这里 n f 可以 转化到哪去？根据平四的性质特点，它和这里的 啊 m 这个点，我们设它一个字母，设它为点 q， 它和 m q， 通过八字形全等可以推出它俩是相等， 所以我们要求 fn， 其实就是求 m q， 那 m q 又该如何求呢？大家观察一下，你看 q 这个位置，这个角，这个黄色的角，像不像一个直角呢？ 好，哎，我们发现这个角特别像直角，于是呢，这道题目你看它的关系特别多，这里既有数量关系，又有位置关系，都是通过我们题目当中的条件挖掘出来的。 好，所以当你这个位置大胆的提出一个猜想，我猜想他是九十度，那我们就要啊去推导出他为什么是九十。 好，那首先请同学们在这里观察一下这个叉角和这个叉角的关系。好，那这两个叉角的关系是相等的啊，根据刚才的一个等幺三角形等边对等角好了，然后这里这个角和这里这个角 是不是都是四十五度，于是就可以得到圆圈角和这个圆圈角什么关系呢？ 那这两个角就可以推出相等啊，这两角推出相等。而在这里大家又看到这里点 e 是 c d 的 一个中点，所以 a d e 和这里的 b c， e， e 正全等，所以上边的圆圈可以倒下来。 好，那圆圈下来之后，这个圆圈和这个圆圈相等，这里存在一个正方形的一个直角，所以摄影型出来，因此我们在这里可以移正一个九十度。 当然你想推这个九十度，还有其他的方法，你去通过这个 o b、 e、 c 啊，这个八字形推导出这个角，也是一个叉角，完全也可以推导出来一个垂直啊，所以这个推导垂直这块，大家可以在这运用不同的方法去推 好。当我们导出这是直角之后，我发现 m b 的 长度是可求的啊，它怎么求呢？我们知道了，大家看边长二倍根号五，我们知道边长是二倍根号五，于是就可以求出 o a 的 长度， 拿二倍根号五除以根号二，就是 a o， 那 么 a o 的 长度可求，它是根号十 好，而这里的 o m 是 o d 的 三分之一，也就是 o a 的 三分之一，所以 o m 它是三分之根号十啊，剩下的就都是计算好，那于是我们就可以求出，用勾股定律在二 t 三角形 a o m 中求出 a m 的 长度三分之十 啊，求出 am 三分之十，好，那接下来 am 的 长度当然也就是 cm 的 长度啊，所以这条边长度可求 好，而这里的 bc 是 二倍根号五。刚才我们说 bm 可求，它怎么求？看这两份， 三份啊，那这个也是三份，三份，一份四份，上边两份，下面四份，说明 m d 和 b m 的 关系就是一比二，那因此这里的 b m， 它就是整条对角线的多少呢？三分之二对角线是二倍根号五，乘根号二，也就是二倍根号十， 再乘三分之二，这就是 b m， 所以 它的结果就是三分之四倍的根号十。好，于是我看到 b m 可求 b c， 已知 c m 以求，所以这个黑色三角形知道了三条边，并且我们在这个位置看到了一个垂直的关系，所以我就想到了三角形 m b c 可解 啊，那么我们要求 f n， 就是 求这里的 m q， 所以 我不妨把 m q 设为 a， 我把 m q 设为 a， 那 么啊 q c， 它就可以表示为 m c 减去 a， 那 就是三分之十减去 a， 所以 我就可以利用这条边，也就是 b q， 利用这个公共边的平方，双勾股列方程。 好，所以我们列出的方程就是 m b 的 平方，那就是三分之四倍，根号十，括号 y 平方减 x 的 平方， 结果就应该等于 b c 二倍，根号五的平方减去三分之十减 a， 括号 y 的 平方。好，这里换成 a， 这是 a， 哈， 这是 a。 好 了，那于是我们根据这个方程，方程中仅有一个未知数 a， 那 我们去掉括号，最终求得 a 的 结果等于三分之四，而 a 是 三分之四，那 fn 就是 a， 所以 它的结果也是三分之四。 好了，那么这道题目呢？老师，从初二这个年级啊，这个阶段啊，从我们平时解决这个问题藏隐的辅助线套路，以及我们经常使用的一个推导方法，把这道推的思路给大家从头到尾啊捋了一遍。 好了，那么在初二这个阶段，除了可以用这种方法以外，我们还能够想到一个特有的方法是什么呢？好，那这道题目我们还可以运用建立坐标系的方法，也就是间隙。 好，当我们学习了一次函数以后，好，那这道题目你看我们可不可以建立一个坐标系，就是把这个正方形放在坐标系中。 好，那比如说我如何间隙呢？我可以以这里的点 c 为坐标原点，以 c b 所在的直线为 x 轴， c d 所在的直线为 y 轴，那我们建立这样的一个坐标系，那我建立这个坐标系的目的是什么？题目要求 fn 的 长度，那我就想办法把 f 的 坐标求出来，我把 n 的 坐标也求出来， 那么如果用间隙的方法去解决这个问题，就不需要推导那么多的关系了啊。你看，比如说 f 的 坐标怎么求呢？我只需要用到这个点， e 是 终点。好，当我推出这里这个点 e 是 c d 中点以后，根据正方形的边长，我可以求出 e 点坐标零度，根号五，根据边长可知， b 点坐标是负二倍，根号五都零，所以 e b 知道，那么 b e 的 解析式就可求了。 好，再来看我求 b e 的 目的是什么？我是为了要求出点 f 的 坐标，那 f 是 b e 跟 d n 的 交点， 那么 d 点的坐标知道是零到二倍，根号五，那么 n 点的坐标又该如何去求呢？好，那下面我们来看一下，刚才在这个位置我们发现了一个什么呀？平行四边形， 对不对？通过平行四边形，我们可以知道这个叉角和这个叉角是内错角，因为这里是四十五度，所以这个叉角也是多少度呢？这个叉角也是四十五度。 好，那么这个叉角是四十五度，我如何去求点 n 的 坐标呢？那我肯定得过点 n 向坐标轴画一个垂线啊，假设这个垂足为点 p， 那 也就意味着只要我求出 p n 和 c n 的 长度，我就能够表示出 n 点的坐标。 好，那 n 你 要求 n 坐标，你怎么求这两条直角边呢？那你就得知道 c n 呢？ c， n 跟谁相等？跟 md， 那 md 肯定可求啊，知道 ad， 然后 md 和 nd 的 关系有了，是不是这条线段可求？拿到这来用， 放到 r t 等腰直角三角形中，可以把这两条黄色的直角边都求出来，进而求出 n 的 坐标。那有了 n 的 坐标，就可以求出直线 d， n 的 解析式， 那么 d， n 的 解析式如果也求了，让它和 b e 连立相交，求出 f， 所以 它们俩就可以求出 f 的 坐标， f 的 坐标知道， n 的 坐标，也知道，那么两点之间的距离，就可以利用勾股定底来求。你看过点 f， 向它做一个垂线啊，设这个垂线啊，设一个字母为点 f 啊，点 f 有 了， 设这个垂足为点 s。 好， 那么在这个 r t 三角形中，根据 f 和 n 的 坐标，那么 sn 和 f s 都能求，最后勾股求一下 fn 也是可以的 啊。所以说，我们可以用一种尝试，一种新的方法，就是建立坐标系，然后去求两点间的距离啊。这是针对于初二的同学啊，我们采取的以上不同的两个思路，那么这道题目如果拿给初三的同学去做啊，那就容易得多。 好，来，我们看一下这道题目如果用初三的方法该怎么做呢？啊，我们在这里可以用到相似对不对？好了，我们也可以用到三角函数。好，那这道题目由于它的关系，你看特别多，这个关系既包括数量关系，也包括位置关系。 好，首先我们前面推导过这两条直线，什么关系呢？平行，我们导过这个 m、 d 和 c、 n 是 平行且相等的，所以说这对三角形我们异正，它是一个八字形的全等，所以可得点 e 是 m、 n 的 中点，因此这两条边的比就是一比一。 前面咱们通过推导线段知道 m、 d 和 ad 的 关系，那么我们就可以得到 m、 d 和整体 b、 d 的 关系。所以前面咱们也用到过这个关系，它俩字比是一比二，它俩字比是一比二。那么此题要求的是 fn 的 长度， 那么我不妨求 d、 n， 再求 f 分 d、 n 的 比啊，再求它俩的一个比啊，那这样的话是不是就可以求出 n、 f 的 长度了啊？那辅助线我之前还要用到这一条， 也就是说这里还是一个平行四边形，你 am 等于 mc， 根据平四 mc 就 等于 d、 n， 所以 咱们前面求出来的 am 是 三分之十，那就意味着 n、 d 就是 三分之十。那接下来就只需要求出 f 分 d、 n 的 一个比例关系就可以了， 在这里看到一比一，在这里看到一比二啊，所以 b、 d、 n、 m 啊，包括这里这个 b、 f， 老师把这几条边给大家描述一下啊，有 b、 d， b、 d 上有比例 好， d、 n 上的点， f 这个节点是带求的， m、 n 上有比例关系，一比一。 那接下来我只需把这个 b、 f 再连上。大家是否也看到了咱们鞍山市试模十五题出现的那个飞镖模型，在这个模型当中总共有四条边，两条边上有比例，就能求出七与两边上的比例关系。那么当时讲这个问题的时候，老师讲了十二个方法，十二个方向， 那我们在这里随便选一个点，我们可以做什么呀？平行啊，来运用平行线的啊，相似的基本模型去解决这个题。由于这道题目天然存在一个平行，而这个平行 c n 平行的恰好是黄色的边 b d， 而且这个 c n 恰好过飞镖模型一个点，所以我这道题不需要格外的做其他的辅助线。 好，那我们就只需要把你做的这个平行线让它和谁相交，让它和这个飞镖模型的第四条边 b f， 你 看你是选择了 m n 这条边上的 n 啊，你用到的是这个平行， 那么你就让这条平行线，嗯，它平行的是 b d， 让它和 b f 延长相交即可。那这个交点我们设它为点 q 啊。好了，在这里再说一下 n 是 怎么形成的？ n 是 m n 和 d n 的 交点，所以这个线段 m n 作为第一条边 d n， 第二条边 b d 第三条，那么 c n 平行第三条，那么跟第四条 b f 相交 啊。好了，那么交完之后，大家观察这个位置存在一个一比二，那不妨把这个边设为 a， 这个边设为二 a， 所以 整条边就可以表示为三 a。 好， 那再看到这个位置点 e 是 m n 的 一个中点，有中点，有平行，那我们在这可以得到一个八字形的一个全等， 大家看这个三角形和这个三角形，这俩是一个八字形的全等，所以 b m 是 二 a， 那 么 n q， 它的长度也是二 a， 它也是二 a， 那 么这个是二 a， 整体是三 a。 那 接下来请同学们跟老师再看一个八字形，也就是 b， d， n、 q， 看这个八字形，在这个八字形中，你不是想求 f 分 d、 n 的 比例吗？那么这两条线段的比其实就是二 a 比三 a， 也就是二比三，所以在这我可以求出 n， f 和 df 的 比等于二 a 比三， a 二比三，所以你要求的 n、 f， 它就是 d， n 的 五分之二，所以五分之二乘以三分之十啊，轻松的可以解出来，最后答案就是三分之四。 当然老师只讲了一种方法啊，之前说过，在这个黄色的飞镖模型当中，点 d， 点 m， 点 b， 包括这里这个点 e， 点 n， 还有这里这个点 f， 一 共有六个点啊，四条四条线段，两两相交，一共有六个点，这六个点过任何一个点向七与两边做平行，那么交第四条边于一个点，都能够把这道题解出来，所以这十二个方法大家有兴趣的可以去挑战一下。 好了，那这道题目呢，老师分别从初二和初三不同年龄段的同学给大家讲了不同的方法啊，希望同学们能够把这道题目 吃透，因为这道题目他逻辑性特别强，答题方法特别多啊，希望同学们能够用一题多解的方法来从中归纳一下，哪个方法更适合你呢？好了，这点这道题就给大家分享到这。
88张野数学
05:30查看AI文稿AI文稿今天给大家分享一道特别好的几中填空题，选择清华附中期中考试的附加题。之所以说他好啊，是他在一个非常简洁的题干和图形中，却综合性的考察了初中几何中几个比较重要的知识点。我特别希望大家能够认真的做完这道题之后啊，跟我一起去总结一下我们怎么样才能学好初中的几何。首先我们看这个题， 他的核心辅助线就来自于这个角 a 减角 c 等于六十度，这个角 a 减角 c 等于六十度，有一个非常明显的提示，就是去构造这个六十，我们要在这个比较大的角 a 中去构造这个六十度，一旦构造完了之后，我们不仅可以得到一个六十度的特殊角度在这个位置，而且还可以得到他所剩下的这个角，假设是角一 角一，刚好是等于角 a 减去六十度，所以我们同时得到了一个等腰三角形， 这样一看我们就能明显的感受到这个辅助线他非常的合理，因为他充分的被使用上。这就是我们讲的第一个叫做很多辅助线他到底是怎么去思考的， 底层就是我是不是能够把这个辅助线更好的发挥出来。第二，当我做完这一步之后，哎，我还是没有办法能够求出具体的长度 啊，比如说这个点是 d， a， d 还是求不出来，虽然我知道 a， d 等于 d， c 怎么办？那我们就要回到那个特殊的六十一呢，向 a、 d 做一条垂线，假设这个点是 e， 根据这个特殊的六十度角，我们其实是可以求出 b、 e 的 长， a、 e 的 长， 但问题是还是无法很好的去使用这个等腰三角形，这就是本题的一个最大的卡点。那怎么办？哎，换一个思路，如果我这样做呢？这样去做，我就没有把 a、 d 和 c、 d 给它切割开来，我没有把 a、 d 切割出开来，我就得到的是完整的 a、 d 和 c、 d。 同时我在这个位置呢，也能得到一个特殊的六十度角，但我同学说了，老师你这个特殊的六十度角没有一个确切知道的边长， 那怎么办好？所以这个位置还需要综合另外一个知识，就是我在上面写到的叫做背靠背直角三角形。所谓的背靠背啊，就是这个地方有直角三角形，他们俩有一个公共的直角边。 本题是一个变式的背靠背直角三角形，更朴实的背靠背直角三角形的这个知识模块，我在这地方不做更多的展开了，我们就先讲具体的这道题。在这个位置，我就可以假设 a、 f 的 长为 x， 根据特殊的直角三角形，得到 a、 d 的 长为二倍的 x， dc 的 长为二倍的 x， 那 b、 d 的 长就是十五减去二倍的 x， b、 f 的 长就是五，减去上面那个 x， 这地方还有一个根三 x 特殊的直角角形，由此我们得到底下这个直角角形 b、 d、 f 三角形 b、 d、 f， 它是一个直角三角形，在直角三角形中呢，就会出现角五厘米，也就得到了根三 x 方的平方加上五减 x 方的平方等于十五减去二 x 方的平方。一展开之后，发现 x 的 平方相加 x， 直接求得是一个矩形的整数四， 那这样一下我就能得到更多的边长了，我们把这些边长给它展示到下面来，这条边是八，这条边是八，这条边是七。到这个位置之后我们再干嘛呢？再去利用前面刚刚说的这个长度 啊，他就比较清晰了，那我们就可以得到，由这个五可以得到，这是二分之五倍根号三。接下来我要求什么呢？求这个三角形 a、 b、 c 的 面积，我就需要知道这条高， 那这一条高怎么求呢？第三个知识点就是等面积法，这个并不算难，在我们初中应该是非常普遍的。假设这个点是 p 点，再做一条垂线，这个点是 q 点，我的目标是要求 a、 q， 我 已经知道 b、 p 了，我就可以得到三角形的面积 a、 b、 d 的 面积，它等于二分之一乘以底， a、 d 乘以高， b、 p 也等于二分之一乘以底， b、 d 乘以高 a、 q。 所以 就会得到 a、 d 乘 d， p 等于 b， d 乘 a、 q。 在 这里面呢，有三个都是知道的，这个是八，这个是二分之五倍，根号三，这个是七 a、 q。 要求啊，很容易求解出 a、 q 的 长等于七分之二十倍的根号三。 有了 a、 q、 f， 三角形 a、 b、 c 的 面积就等于二分之一乘以 b、 c 乘以 a、 q， 最终就算出来，呃，是七分之一百五十倍的等号三。我们讲完这道题之后，稍作总结，说一说它到底考察了什么呢？哎，它考察了多个我们初中几何中比较重要的知识模块。 什么叫知识模块呢？你比如说我们往前看，这个第二块背靠背的直角三角形 怎么去求解？他就是一个稍微复杂一点，又比较重要的一个知识点，最上面我们考的是什么？是你如何结合已知条件啊，去构造辅线，而一道综合的出的一个比较好的几何题， 他就是要去把这些每一个都不是那么难，但是却综合起来，需要你一个个攻克这么一种组合，变成了几何的组合。 我们需要做的就是首先要把每一个知识模块都给他学的非常的清楚透彻，然后要在综合题中反复去训练如何的去灵活去使用它，尤其是在某些几何题啊，你无法判断某一个思路，它一定正确，你还是需要去尝试， 这里面还需要速度，你能够非常快速的去试出每个看似可能性最高，优先在那个地方去发时间，这就是我们的几何综合北京对同学们的考察。
30北京初数程老板
05:20查看AI文稿AI文稿最近啊，在整理这个北师大版的教材啊，八年级下册的第一单元的几何证明过程当中啊，发现了一个问题， 就是现在初二的这届学生呢，他们用的是最新的北师大版教材，那相比于旧版的话呢，它做了一些小的变动哈，那旧版的北师大版的教材的第一单元，它就只有四个小节，那么新版的 教材呢，他增加了一个小节，就说他一共要学五个小节的几何知识。那包括，呃对于学生来说啊，我觉得一个最大的挑战困难是什么？包括我在做教案的过程当中，我发现比较大的问题就是这一单元的性质定力啊，这一单元的几何知识会比较多， 那对于学生来说就是哇，我刚开学我就要涌上来去学那么多的知识，所以呢，今天趁这个机会我们就来好好聊一聊啊， 怎么样去学好几何？怎么样无痛学几何几何呢？他又不像是呃代数那些知识哈，代数那些知识就只要是你有手就行，你只要掌握好了那些运算的法则，运算的方法，那基本上 你去手写，只要细心就行，但几何不一样，几何他会比较灵活。那么第一个呢，就是大家一定要把这个基础概念给掌握好，那么掌握好呢，分为几个方面哈， 怎么样才算叫掌握好啊？首先第一个大家再去学这些性质啊，啊，还有判定的时候哈，就我看我的学生在数学课本上都画的哇，密密麻麻啊，用红笔啊，蓝笔啊，把这些圈画的很好看啊， 但是一问三不知哈，那问我的学生，我说什么是垂直平分线的性质啊？什么是角平分线的性质， 他们都回答不出来的啊？所以第一个呢，就是你们要去死抠字眼。比方说垂直平分线的性质，它讲究的是点到点的距离， 那角平分线的性质呢？它讲的是点到边的距离，所以这里面就是到点和到边的这个一字之差，导致了我很多学生到这个地方是学不明白的哈，这是第一个范围。然后第二个的话呢，就是 像这些性质也好，判定也好，它每一个知识它产生都有一定的前提条件。举个例子，比方说我们说，哎，三十度所对的直角边是斜边的一半，那这个知识呢，它产生的条件一定是要放在直角三角形里面的，也就是说没有这个直角三角形，它这个性质压根就不存在。 那么按照这个逻辑框架去学这个性质的话，你就有这个方法。比方说，哎，我因为什么条件所以产生了什么样的结论 啊？包括说其实我们说学科都是相通的啊，这就好比类比如说你们大家都在在学那些语文啊，还有历史啊啊，比方说在学一些课本的时候，老师在介绍一些，呃，那些事件的时候，那么每一个事件他都有当下的那个时代背景，所以才产生了啊，这样或者那样的一个事件。 所以呢，学几何知识也不例外哈，他一定是有前因后果的，因为什么条件所以产生了什么样的结论，这一点非常的重要，这个也是几何的逻辑性。 然后第二个呢，就是第二层方面呢，就是一个应用了很多学生哎，我问他，我问他说，哎，等腰三角形有什么性质？他们会很 快速的回答我说，哎呀，是三线合一，但是呢，真正到了做题的时候哈，比方说出现一个等腰啊，出现一个终点，那么很多学生他就蒙圈了，他不知道哎，我要连接那个终点，因为这样一连我就能够用上三线合一的这个知识。所以呢，第二层的话呢，就是你要去加强知识点之间的这个应用， 加强哎，知识点与题型性的链接，那怎么怎么去加强呢？其实很好处理啊，这个就是你真的需要去多去做题，看到比方说一些像一些几何题，他会有设置一些体验，比方说他告诉你等腰，告诉你高，告诉你找平分线，或者告诉你终点这三个 呃，字眼哈，这些体，那么你要第一时间就是想到说，哦，这是等腰三角形的性质，他是考稳这个知识点，那这个是应用哈。然后第三个呢，就是对一些啊，理解能力或学习能力比较好的学生的提出来的一个要求哈，就是要去掌握 结合的模型，那么像这个单元比较经典的啊，考的比较多的就是手拉手模型，那么对模型来说呢？嗯，大家要学会去识别这个模型，它的 基础的条件是什么哈？像比方说，举个例子，像手拉手模型，他必须要产生两个等腰，然后呢，他的顶角的度数要相同，还有顶点要在一起。好，那只要满足了这三个条件，那么基本上他就会考察这个手拉手模型了哈，那手拉手模型呢，他有哪一些结论，大家这些就要去 掌握以及结论，每一个结论他是怎么去证明出来的，因为像这些模型他经常就考大体啊，考压轴题，考二二和二三的这个位置，所以像 模型的一些结论呢的过程，除了说大家要去记，要去掌握结论之外哈，大家还要去知道这些模型的过程 怎么写的啊？光记结论，光背结论是没有用的，所以呢，这个就是以上我们去学几何的这三个方面的这个要求哈，所以大家好好感受一下这个几何的魅力吧。
18羚羊老师的数学课
05:52查看AI文稿AI文稿大家好，左边这张图形两条对角线有什么特征呢？互相垂直？对的，今天我们主要学习 垂美四边形，要解决三个问题，一、什么是垂美四边形？二、这个魔性有何结论三、如何应用。什么是垂美四边形呢？主要特征是对角线互相垂直，我们判断 他的时候，就直接用两条对角线互相垂直来进行判定，或者是对角线连顶点所在的邻边分别相等。大家说菱形和正方形 是不是垂面四边形？是的，为什么？因为他们的对角线互相垂直，他的核心性质也就是结论有三个，一是对边平方和相等，我们可以通过勾股定律证明。二是面积等于对角线乘积的一半， 用等面积法可以证明。第三个中点四边形是矩形，根据中位线定力，大家看北美四边形的经典模型，这里条件是两对角线互相垂直。 请判断矩形是垂美四边形，这是正确还是错误的？菱形和正方形也是矩形，它们是垂美四边形，但不是所有的都是这样。大家看这样一个矩形，它们的两条对角线不是互相垂直。 垂美四边形有两个变式，一种情况是一条对角线 缩短之后，其中一个顶点在另外一条对角线的上面，另外一种便是其中一条对角线不断的往回缩，缩到三角形内部。这两种状况都满足条件，两对角线互相垂直，所以 它和经典模型的结论是一致的。垂类四边形模型有三个结论，结论一，两对边的平方和是相等的。结论二，四边形的面积等于两 对角线乘积的一半。结论三，中点四边形 e、 f、 g、 h 是 矩形， 右边这张图 e、 f、 g、 h 都是它的边上的终点，连在一起之后它就是矩形。这三个结论可以通过证明来得到。第一个结论是利用了勾股定律。第二个结论通过等面积法证明。第三个结论可以通过 中位线定力来证明。下面我们通过例子来学习垂面四边形模型的利用。如图，在长方形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四， t 是 a、 d 上的一点， a、 p 等于两倍的 p， d， c、 p 垂直于 b、 d， 求线段 a、 d 的 长。题目中给出了 c、 p 垂直于 b、 d。 这启发我们可以构造一个什么图形呢？我们抓辅助线连接 b、 p 就 可以构造垂美四边形 b、 c、 d、 p 左边三角形， a、 b、 p 是 直角三角形，因此我们可以通过垂美四边形和直角三角形的性质求出 a、 d 的 长。具体来说，这里 a、 p 等于 二倍的 p， d， 我 们可以使 p、 d 为 x， 则 a、 p 就 等于二， x， b， c 就是 三倍 x， a、 b 等于四，所以 c、 d 也等于四。 b、 p 我 们可以通过勾股定律得到 x 的 表达式，然后再通过垂面四边形的结论一，得到两对边平方的和相等，别出 x 的 方程，得出 x 的 值之后再乘以三，就能得到 a、 d 的 长度。下面我们看具体的解法，分三步， 第一步，欧账模型连接 b， p 是 p， d 等于 x， a， p 就 等于二， x， b、 c 就是 三个 x， a， b 等于 c， d 等于四。第二步，套用结论全美四边形的结论一就是两对边 平方和相等，通过变形之后得到 b、 c 的 平方等于 b、 p 的 平方，加上 c、 d 的 平方， b， p 的 平方等于 ab 的 平方加上 v， p 的 平方带进来就得到了。 这个是指第三步计算验证，通过上面的结论列出方程解的 x 等于三分之四倍的根号。三、 解答完毕。小结，垂面四边形模型在应用的时候从三个方面操作，一、理解模型。二、判断模型。三、套用结论。在理解的时候要注意三点， 一个互垂，两个变式，三个结论。如果知道了两条对角线互相垂直，就可以通过做辅助线来构造 锤美四边形。在解题的过程中套用方程思想来求长度，求面积。以上模型您掌握了吗？欢迎在评论区留言讨论！
53梁老师图解数学
06:33查看AI文稿AI文稿同学们好啊，马上就要期中考试了，是不是有点小紧张？别担心，今天我就来帮大家梳理一下北师大版八年级下册数学期中的重点内容，咱们一起把前四章的知识点吃透，轻松应对考试。首先咱们来说说占分最多的三角形的证明， 这可是几何的核心，大概要占三十呢。说到这，等腰三角形绝对是必考的，它有个重要的性质叫等边对等角。反过来，等角对等边就是它的判定方法。还有一个非常关键的三线合一，记住哦， 是顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合，这个在证明题里特别好用。如果一个等腰三角形里有一个角是六十度，那它就一定是等边三角形了。等边三角形三边相等，三个角也都是六十度，同样也满足三线合一。 接着是直角三角形，也是高频考点勾股定律， a 加 b 等于 c， 必须滚瓜烂熟。它的逆定律也很重要，可以用来判断一个三角形是不是直角三角形。直角三角形还有两个特殊性，至两个锐角加起来等于九十度，也就是互余。 斜边上的中线等于斜边的一半。在全等三角形的判定里，直角三角形还有个专属的 h l 定律，就是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。全等，这个可不能和其他判定方法弄混了。然后是垂直平分线和角平分线。垂直平分线上的任意 以点到线段两端的距离相等。反过来，如果一个点到线段两端距离相等，那它一定在这条线段的垂直平分线上。角平分线也类似角平分线上的点到角两边的距离相等，逆定力也成立。 这些性质在求角度、正线段相等的时候特别有用。这部分常考的题型有角度和边长的计算，全等三角形的证明，还有三线合一和垂直平分线的应用，偶尔也会遇到简单的反正法。 接下来是同样占三十左右的一元一次不等式与不等式组，这部分主要考计算和应用。不等式的性质是基础，也是易错点。性质一和二比较简单，就是不等式两边同时加减同一个数或者乘除同一个正数，不等号的方向不变。 但性质三一定要特别注意。当不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，这可是最容易丢分的地方，大家一定要记牢。解一元一次不等式的步骤。和解一元一次方程很像 去分母，去括号一项合并同类项，最后系数化为一。但在系数化为一的时候，如果系数是负数，就要用到性质三记的编号哦。解出来的解集还要会在数轴上表示空心圆圈表示不包含这个点， 实心圆点表示包含方向也要划对不等式组也是必考内容。解不等式组就是分别解出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分。这里有个口诀特别好用，同大取大，同小取小，大小小大，中间找大，大小小无解了，大家一定要理解并记住这个口诀 能帮我们快速确定解集。还要会求不等式组的整数解。实际应用题经常作为压轴题出现，这类题目要特别注意关键词，比如不超过至少，最多不少于等等。 这些词是我们列不等式的依据。解析步骤和列方程解应用题类似审题设未知数，列不等式组求解，最后作答，而且一定要检验解是否符合实际意义。 第三部分是图形的平移与旋转，这部分约占十五，主要考基础概念和作图。平移的性质很重要，平移不改变图形的形状和大小，对应线段平行且相等，对应角相等。 在坐标系终点的平移规律是右加左减，上加下减，也就是横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加下移减。 旋转的性质也类似，旋转前后图形的形状和大小不变，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角中心对称，是一种特殊的旋转。 关于原点对称的点的坐标变化规律是横纵坐标都变为原来的相反数，也就是点 x y。 关于原点对称的点是 x y。 这部分常考的就是在网格中进行平移或旋转作图，以及根据坐标判断图形的变化。偶尔也会有旋转和全等三角形结合的综合题。最后一部分是因式分解，约占十五，是代数的基础。 首先要明白因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，它有三大方法都是必考的。第一种是提供因式法，就是把多项式各项都含有的公因式提出来， 比如嘛加 m， b 加 make， 就 可以分解成嘛加 b 加 c。 第二种是公式法，主要有平方差公式 a b 等于 a 加 b 和完全平方公式 a 二 f 加 b 等于 a b， 要熟悉公式的特点，能准确运用。 第三种是十字相乘法，对于二次三项式， x 加 p 加 q， x 加 p， q 可以 分解成 x 加 p， x 加 q。 这个方法在解析中非常实用，大家要多练习。 音式分解的步骤一般是一题二套三检查，先看有没有共音式可提，提完共音式后再看能不能套用公式。最后一定要检查分解是否彻底，有没有漏写，共音式符号是否正确，结果里不能有中括号。好了，四个章节的重点内容就梳理到这里， 最后我再强调几个高频易错点，大家一定要注意哦！解不等式时运用性质，三乘除负数不等号方向一定要变，一向要变号，别忘记了因式分解要保证分解彻底，注意符号问题不要漏。提供因式 三线合一只有在等腰三角形的底边上才成立，腰上可不行。 h l 定离仅限于直角三角形全等的判定作图题，特别是旋转作图，一定要把旋转中心、 旋转方向和旋转角度标清楚。期中考试的试卷结构大家也可以参考一下。选择填空主要考察基础概念性质和简单计算。解答题一般会有不等式组的求解，应是分解三角形的证明或计算。平移旋转作图，最后通常会有一道不等式的实际应用题 作为压轴题。同学们，这些知识点都是期中考试的重中之重，希望大家回去后能结合课本和练习，把它们好好巩固一下，遇到不懂的地方多问老师和同学，千万不要把问题留到考试前，数学学习没有捷径，只有多思考，多练习 才能真正掌握。加油，相信你们一定能在期中考试中取得好成绩！你们觉得哪个知识点最难掌握呢？可以在评论区告诉我，我们一起讨论讨论。
68好好学习的坦克
14:14查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来攻克一道非常有分量的几何压轴题啊，选自的是三分钟学八年级下学期期中考试的第二十四题。 那这道题呢，非常经典啊，它考察了我们几何学习中的两大核心能力，一是你有没有无中生有的辅助线构造能力，二是利用前一问的结论去解决后续问题的逻辑链条。 那很多同学看到这道题呢，会觉得很难，觉得线太多太乱，但是别怕，今天我们不讲复杂的定律，就回归最朴素的几何直觉，我们要利用四边形的内角和去找角的关系，利用手拉手模型去构造全等。 然后，那么先看这道题啊，呃，题目呢，说的是如图，在正方形 a， b， c， d 的 边， c， d 上有一点 e， 点 p 为线段， b， e 上的动点不与 b， e 重合，连接 pc 过点 p 做了 p， n 垂直 pc， 且 p n 是 等于 pc 的 连接， d， n 空二一呢说，点 e 点 p， 如图 e 所示的位置 做 n， m 垂直， n， d 交直线， bc 于点 m， 交直线， b， e 于点 q， 然后圈一样补充完整的图形啊，这个图形我已经补充好了，我们直接看圈二 好来。圈二在说什么？说，求证。角 c， n， d 等于角 b， m， n， 我 们观察这两个角它们所处的位置啊， c， n， d 是 在这里的， b， m， n 是 在这里。 哎，这两个角我们放在这里啊，我们很轻易的就可以观察到一个事情，就是它们两个角都和一个四边形产生的关联，就是我们的四边形 d， n， m， c。 好 吧，来，为什么说是跟它产生关联啊？我们把前面已知的信息标在图上，首先有 d， n 和 n、 m 是 垂直的， 有这个正方形，它的角 b、 c、 d 也是垂直的。哎，我把两个直角符号标出来之后，大家很轻易可以看到，在这个 d、 n、 m、 c 的 四边形当中，已经有了一组对角相加，是等于一百八十度的， 那我们知道四边形内角和，也就是呃三百六十度，所以现在我们可以清楚的是，角 c， d n 加角 c m， n 也要等于一百八十度， 对吧？因为我们四边形四个角是三百六，其中两个角是一百八，那另外两个角肯定也是一百八了。那你再观察这个角和它相加一百八， 那我们的角 b、 m、 n 和它是不构成了邻补角啊，也就是此时角 b、 m、 n 加上角 c， m， n 也是一百八十度。 哎，所以这个时候我们发现一个是互补，一个是邻补，它们是不最终得到的，就是这样，两个角 是相等的呀，对吧？所以这一步啊，非常基础，但是非常重要，它为我们后面的解析铺平了道路。然后那我们看第一问的重头戏啊，则是圈三，需要我们去写出 p b 和 p q 的 数量关系，并证明 我们可以考试的时候，我们肯定先观察一下，此时 p b 呢？在这里， p q 在 这里。其实我们不管是用肉眼看，还是说你考试的时候真的用纸去量一下，我们很轻易的就能写出它的结论，一定是 p b 是 等 p q 的， 对吧？这个结论我们可以很轻易的写出来，但我们要怎么去证明它呢？哎，我们要观察一下啊，此时 p n 和 p c 它们两个中间也有一个夹角九十度，而且 p n 还是等于 pc 的， 这是一个非常关键的信息啊，我们看到这个信息应该想到的是什么？马上就应该想到手拉手， 马上就应该手想到手拉手，并且我们应该立刻要想到把这个手拉手去补充完整。那我们怎么做呢？哎，我们延长 np 至点 h， 使得 p h 是 等于 p n 的， 连接 b h 和 h c。 哎，我把我们做的辅助线写出来啊，首先是 p h 是 等于 p n 的， 哎，我们做完这条辅助线，你发现没，我使 p h 等于 p n， 并且它们之间和 p c 构成垂直关系，这里是不是产生一个连等啊？是等于 p c 的。 哎，此时我把 c n 再连接到一起，你发现没，这个时候我的三角形 n、 c、 h， 它是一个等腰直角三角形， 也就是我们现在就可以利用正方形和等腰直角三角形的性质就去构造全等了。那你看一下，现在有 c n 是 等于 c h 的， c a、 c n 是 等于 c h 的。 其次，因为我们是等腰直角三角形。哎，你发现没，两个小直角，它们有部分重合，那剩余的小角 是不满足相等关系啊，所以现在有角 b、 c、 d， c、 n 的。 然后接着是一个什么呀？哎，就是我们正方形，它四边相等，也就是 bc 等于 dc， 这是正方形的边长吗？这样三个条件是不马上就可以推出我们两个三角形 b、 c、 h 是 全等于三角形 d、 c、 n 的， 利用的是边角边的判定方式，那通过全等我们马上就可以知知道的信息就可以是角 c， b、 h 是 等于角 c、 d、 n 的。 哎，我们把 cbh 在 这里， cdn 在 这里。哎，你发现没，这两个角除了是不是第一上一问，我们也求出了关于 cdn 的 关系啊， 对吧？它和这个角相同，哎，我们把它连着写在这里啊，也等于角 bm n， 那你观察一下啊， c b h 和 b m n 这两个角是不恰巧是一个内错角的关系？那我们说内错角相等，此时是能够得到 b h， 就 平行于 n m 了，对吧？ 平行了，那你要想到，你看这里啊，又有中点，又有平行， 是不？我们马上就能够得到第二组全等三角形，是谁和谁全等啊，马上我们就可以写出来，是不就是 b h p 是 全等于三角形 q n p 的， 能理解吗？我们平行能够出角等角等，又有边等，是不是角角边就可以了，对不对？所以这个时候两个三角形全等马上就得到，我们想要证明的不就是 p b 等于 p q 吗？ 来，你看啊，我们这一问啊，它的逻辑是非常紧密的，它的核心有什么？你要先关注到 有垂直，有相等，考虑手拉手，然后呢，考虑要证明的结论是终点，所以我们要利用倍长中线去构造全等，把分散的边集中到一个三角形上，对不对？ 来，最后啊，我们看这道题的第二问，也是最后一问，最后一问说什么呢？说点 e 为 cd 的 中点的时候，正方形的边长为二角， p n d 等于一百三十五度，要去求线段 p c 的 长。 哎，这道题它的精髓在于什么？在于要巧用前面的结论来判断特殊位置。那有哪些特殊位置啊？我们回顾一下整个的圈一，整个的括号一， 哎，在括号一中，我们构造了一个点 h， 使得 n c h， 它能够构成一个等腰直角三角形，对吧？那我们说等腰直角三角形，这里是不就出现了，哎，四十五度角啊， 对吧？那题目给我们的是什么？我们说题目给的 p n d 是 不一百三十五度啊，那也就说在括号二里是不规定了，此时 d n c， 它要是一个直角，对不对？那我们把这个图补充完整。 好，老师这里已经把图补充出来了，此时也就意味着 dnc 是 等于，哎，九十度的，是我们刚刚得到的，也就是此时 dnc 是 垂直于 nc 的， 对不对？ 那你还记得第一问的时候哪里出现了直角吗？我第一问还在这里啊，对吧？第一问的时候是不是在 n m 和 n d 这里也出现直角了？哎，你就发现了，原本是 n d， n m 是 九十度，现在变成 d n c 是 九十度，我是不是可以把它看成点 m 与点 c 重合了， 也说这个 m 点它挪到点 c 的 位置了，对吧？这是一个非常关键的发现啊，点 m 跑到了点 c， 更准确的说，我们说 n c， 它其实就垂直 b e 于点 q 了， 哎，也说原本的点 q 移动到了这个位置，那现在的问题变成了什么？变成了，我们说在这个直角三角形中， b c e 这个直角三角形中 c q 的 长为多少？ 你能不能求出 c q 的 长？我们怎么求在一个直角三角形中去求它斜边上的高，我们要用什么呀？哎，我们要用等面积法，对不对？也就是现在是 b e 乘 c q 应该等于 bc 乘 c e 啊，对吧？那我们现在找一下这其他的三条线段分别有多长？首先题目说了，正方形的边长是二，也就是 bc 为二， e 呢，是 c， d 中点，那 c e 就是 e， 那 根据勾股定律，我们是不能得到 b e 长度就是根号五啊，所以这里相当于根号五去乘 c q 等于二乘一，那 c q 的 长不就是五分之二倍根号五吗？我们得到 c q 的 长度，我们去看一下 pc 它怎么求来。在我们这个直角三角形， 另外一个直角三角形，这个直角三角形是 c p、 n。 好 吧，这个直角三角形怎么得到的？哎，一个是垂直，一个是啊，相等，是题目中的等腰直角三角形。在在这样的直角三角形当中， 此时这个角度是不是四十五度啊？那我们前面提到了，说此时 n c 是 不是也是垂直于 b e 的 呀？ 也就是你发现没，我又找到另外一个小的等腰直角三角形，就是 直角三角形 c q p 嘛，对吧？那在这个直角三角形当中，因为它有四十五度，所以此时 pc 和 c q 的 关系是不是根号二比一的关系啊，对吧？那我们 pc 的 长不就可以求出来了吗？它不是用根号二去乘 c q 不 就可以了吗？所以最终我们求 pc 的 长度不就是五分之二倍根号 十吗？好，这道题整体我们就讲完了，大家回头看啊，整道题其实虽然看起来有些复杂，但我们只抓住一个关键的信息就可以掌握全题是什么？是你有没有看到信息转化信息的能力？ 比如说这里啊，我们看到了垂直，其相等，是不是要想到等腰，直角等腰，我们是不是要考虑到会不会出现手拉手啊？ 在看到让我们求证的这个关系式，它很显然是相等关系的时候，我们是不考虑有终点试着去背长中线呀， 尤其是最后一问你，大家一定要敏感地捕捉到 mc 点重合的这个特殊位置，这是我们解题的关键信息。那希望这堂课能够帮助到大家，我们下节课见。
24:22查看AI文稿AI文稿同学们，你们好，今天我们一起来学习北师大版初中数学八年级下册第三章第一节图形的平移。第一课时， 同学们，你们坐过缆车吗？你知道缆车里有什么样的数学知识吗？让我们一起来看一个小短片吧！ 日常生活中，会看到很多物件沿着同一个方向移动的画面，比如飞翔的鸟，奥运赛场上国歌响起，缓缓升起的国旗， 游戏里姿态不变却瞬移出来的忍者们，以及那些你最爱的视频里没了就觉得少了乐趣的各种弹幕。它们呢，都体现了一个重要的特性，就是平移，也就是把一个静态的图形沿某一直线方向移动的现象。 在几何的世界里呢，可以利用平移的性质来制作很多的图案。比如，如果你现在有一个兵马俑的盖章，怎么能用它在一张白纸上制作出一排兵马俑部队呢？ 很简单，就是利用平移的性质，沿着一条水平直线重复的盖章，你还可以另辟一排又一排，继续的盖下去，一直下去就会变成秦国庞大的底下军队。 古今中外呢，各地的人们也利用平移创造出很多高大上的经典图案，比如古罗马的高架运水渠，阿拉伯风格的拱门， 中国宫殿的天花板，甚至慈禧老太后衣服上的花纹，都是可以用平移组成的。 同样的，你可以看一下你们家的地板或者瓷砖，或者外面人行道上的砖。平时呢，你看他们就是一块一块排出来的，但是仔细一看，说不定你也会发现他们也符合平移的性质，也就可以平移一块地板或者瓷砖就能组成的图形。 说了这么多的例子，无所不在的平移，在几何世界里概括起来就是说把一个图形沿着某一直线的方向移动，会得到一个新的图形。 新图形呢，与圆图形的形状和大小完全相同，而这个移动的直线呢，并不一定是水平的横线，也可以是竖线或者是斜线。 怎么样，同学们是不是很有意思呢？让我们进一步来学习图形的平移。那么什么是平移呢？你可以给平移下一个定义吗？在这里按下暂停键，自己先总结，用自己的话来说一说 本节的第一个知识点，平移的定义。在平面内，将一个图形沿着一个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。那么在平移过程中，有什么变化的量和不变的量呢？ 变化的量是图形所在的位置，而不变的量是形状和大小。也就是说，我们可以得出平移前后两个图形是全等的。 根据平移的定义，提取关键词，得出平移的三要素，一个图形，一个方向，一个距离，这个也是称为平移的三要素。那么我们已经知道了平移的定义， 其实与平移有关的概念还有许多，让我们继续来学习吧。让我们来做一道练习，巩固一下本节的重点知识一吧。 本题的答案为，位置选 a。 因为平移改变的只是图形的位置，而形状和大小都没有发生改变。 平移时，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，那么三角形 a、 b、 c 平移到了 d、 e、 f。 其实在平移当中还有很多与平移有关的概念，让我们一起来看一看吧！ 对应点，对应线段和对应角，四边形 a、 b、 c、 d 经过平移得到四边形 e、 f、 g、 h。 那 么 a 和 e， b 和 f， c 和 g、 d 和 h， 它们之间是平移前后对应的点，所以我们给它取名叫对应点。 那么线段 a、 b、 线段 e、 f、 线段 b、 c、 线段 f、 g、 线段 c、 d、 线段 gh、 线段 a、 d 和线段 e、 f 都是平移前后所对应的线段，我们简称为对应线段。 那么在这个移动的过程当中也会产生一些角角 a 角、 e 角、 b 角， f 角 c 角， g 角 d 和角 h， 这些角都被称为是对应角， 我们一起再来看一看这些概念吧。对应点，平移前后两个图形中能够互相重合的点。对应线段，平移前后两个图形中能够互相重合的线段。 对应角，平移前后两个图形中能够互相重合的角。有同学可能会说，图上还有一些线，我们没有提到对，就是虚线， 虚线 b、 f、 c、 g、 a、 e 和 d、 h 这样的虚线被称为是对应点的连线。好了， 我们已经对平移有了一定的认识，那么平移有什么样的性质呢？ 一起来做一做。课本上六十五到六十六页的题目， 请大家在这里按下暂停键，自己先思考，再来听视频吧。同学们，我们之前学过线段有怎样的关系，要从两个方面去探索，一个是位置关系，一个是数量关系。 那么你去观察一下，看一看 a、 b 和 e、 f 有 什么样的关系呢？ 对，我们会发现 a、 b 和 e、 f 是 既平行又相等，那么对应的角有什么样的关系呢？通过测量我们也可以发现对应角之间是相等的关系，那么还有一个是对应点的连线 跟问题一是同样的探索方式，大家去量一量，测一测，看一下它们的位置和数量关系又是怎样的呢？ 好，通过测量我们也可以发现它们也是平行且相等的关系。那么根据刚才的探索，我们是不是可以得到平移的性质了呢？一起来总结一下吧。 平移前后的图形是全等的，经过平移对应的线段是平行且相等，对应点所连的线段呢？也是平行且相等，对应的角是相等。 那么在平移的过程中会不会发生特殊的情况呢？让我们一起再来动手试一试。用三角板直尺画平行线的方法你们还记得吗？我们一起来回顾一下吧。 在这个平移过程中，对应点所连的线段有怎样的关系呢？我们会发现对应点所连的线段 a、 d 和 b、 e 以及 c、 f 是 平行的关系，但是 b、 e 和 c、 f 之间，它们是在同一条直线上， 跟我们前面学的有一点出入。那么在平行过程中，对应的线段有什么样的关系呢？那么对应的线段是 b c 和 e、 f 以及 a、 b， d， e， a c、 d f。 在 这个过程当中， a b 和 d e 以及 a、 c 和 d f 之间的关系依然是平行且相等的关系，但是 b、 c 和 ef 之间，它们是相等，但是是在同一条直线上。所以通过这个探索，我们继续完善一下我们的平移的性质吧。 一个图形和它经过平移所得的图形中， 一对应点所连的线段平行或在同一条直线上且相等，那么平行或在同一条直线上，指的是线段的位置关系，而相等指的是线段的数量关系。 二、对应线段平行或在同一条直线上且相等，跟第一条是一样，第一个指的是位置关系，第二个指的是数量关系。 三、对应角相等。那么我们已经通过观察得到了平移的性质，让我们一起来做一道练习巩固一下吧！ 经过平移对应点所连的线段对选 c。 可能有的同学会说，老师，我不知道，我也知道怎么为什么选 c， 因为三短一长，选最长。但是同学们，我们在做题的时候还是要有理有据， 已经学习了平移的概念，又学习了平移的性质，那么你会画出平移后的图形吗？ 一起来尝试一下课本的例题一吧！同学们，你们学会了吗？自己来尝试一下吧！ 这里有一道练习。三、让你画出三角形 a、 b、 c。 沿着 a、 d 的 方向平行后的三角形。请大家按下暂停键，自己先尝试画图，再来看视频吧。 老师先展示第一种画法，连接 a、 d。 同样的，我在过点 b、 c 分 别作线段 b、 e、 c、 f， 使得它们的线段与 a、 d 平行且相等，从而得到对应的点 e、 f， 接着连接三角形 d、 e、 f 的 三条边，从而三角形 d、 e、 f 就是 三角形 abc 平移后的图形。那么除了这种方法，还有没有别的办法呢？ 那么还有什么其他的办法呢？我们可以平移三角形的一条边，另一条边，最后一条边，从而得出的图形也是平移后的图形。除了这种方法之外，我们还能怎么做呢？ 可以连接对应点的连线，并且将这个对应点的连线进行平移，从而得到一个新的三角形，也是我们平移后所得到的图形。 那么通过刚才的学习，我们已经学会了用多种方法去平移三角形，那么我们一起来看一看本节课我们学习了什么内容呢？ 首先是平移的概念，在平面内将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 同时我们要注意，平移不改变图形的形状和大小，改变的只是图形的位置。 另外，根据定义提取关键关键词，得出来平移的三个关键词，一个图形，一个方向，一个距离。那么接着我们又学习了平移的性质 有三条，一、对应点所连的线段平行，或在同一条直线上且相等。二、对应线段平行或在同一条直线上且相等。三、对应角相等。 以上就是我们本节课的学习的主要内容，那么你学习的怎么样？一起来做一个课堂小测吧！请大家按下暂停键，把这三道题先做完，再来听老师的讲解。 一、下列平移做图，错误的是我们很容易得到。本题答案为 c， 因为平移没有改变图形的形状和大小，而这两个小国旗是属于轴对称的。如果是平移的话，这个小旗的尾巴应该是朝着外面的，而 abd 都是属于平移的范畴。 二、下列图案分别是一些汽车的标志，其中可以看作由平移得到的是 依然选 c， 因为 a 是 不可以的，那么我们会知道 a 是 轴对称图形， b 也是轴对称图形， 那么 d 选项就跟我们本题的内容没有关系，而 c 选项是一个圆环移动到另外一个圆环，再平移到第四个圆环，以此类推。 第三题我们会发现这个问题比较难解决，但是我们可以怎么样呢？利用本节学习的内容，将这个小桥横着的 移到这条这个长方形的长的边上去，那么竖直的线呢？移到这个宽这里来，我们会发现这个小桥的长 和长着的横着的小，我们会发现这个小桥横着的线段加起来就是这个长方形的长，而竖着的线段加起来就是这个长方形的宽，我们就可以得到长加宽是一百米，而荷塘的周围， 而荷塘的周长就是两个长加宽，也就是答案为两百米。再来看一道这个题目相对有一定的难度，还是请你按下暂停键，等一下再来听讲解。 第五题依然是关于平移的题目，那么这个我们会发现他求的是平移的距离，那么我们首先要搞清楚的是，平移的距离在图当中是谁的长度呢？ 对，是线段 a d 以及线段 b e 的 长度，也就是我们要去把它转化成求 a d 或者是求 b e 的 长度，给我们的条件是 ab 的 长是八，而 abc 的 角度是三十度。 通过这个条件我们很容易想到一个特殊的直角三角形，也就是三十度所在的一个直角三角形，那么这个问题就转化成了这样的一个图形， 因为 ab 是 八，所以我们能够得到 ac 的 长是四。 那么我们再来看一看平移的距离是 b f， 要怎么样去求这个 b f 的 长度呢？我们能够看到它告诉我们的另外一个条件是 四边形 a、 b、 e、 d 的 面积是八，那么对于这个四边形来说，它的面积是怎么求的呢？我们来看一看，它会不会是一个特殊的图形呢？根据平移，我们能够知道 a、 d 和 b、 e 一定是相等的， 因为平移前后对应点的连线是平行且相等，那我们就可以得出来 a、 b、 e、 d 是 一个平行四边形。那么对于平行四边形的面积的计算，我们可以得出来什么呢？ 得出来 d 乘以高就是它的面积，也就是 b、 e 乘以高，这里面就是四，它的答案就等于八，从而我们可以求出来 b、 e 的 长是等于二的， 所以平移的距离就是二，也就是我们本题的答案应该选的是二。 这里老师也给出了分析，你们可以再次看一看，这个题目做着挺过瘾吧，那我们再来看一看，还有更过瘾的。 第六题也是请大家按下暂停键，自己先尝试，再来听老师的答案和讲解。 这道题目相对比较容易，我在这里呢只是给大家展示一下，请同学们自己去完成。 第七题，我们来看一看这道题要怎么样去解决呢？请大家按下暂停键，自己先尝试，再来做一做吧。 这道题目相对有一定的难度，但是我们前面已经学过了第三和第四题，利用的都是平移的东西， 利用的都是平移的知识，那这道题我们是不是依然可以使用平移的知识来解决呢？我们一起来看一看，有两种平移的方式，第一种方式看我左边这个图， 第二种方式，看右边这个图，那老师已经把图形展示给你看了，你现在能够自己去解决吗？ 在这里老师给出答案，你自己去算一下吧。最后是一个画图题，大家先按下暂停键，自己先尝试，再来听老师的讲解吧。 这个题目我们先来看第一小题，若把小船平移，使点 a 平移到点 b， 请你在图中画出平移后的小船，你是怎么想的呢？ 对于这个小船，它不像三角形那么简单的一个图形，这个图形是一个梯形和一个三角形的组合，我们应该怎么样去做呢？ 画这种图形的原理就在于，我们只需要把拐点找出来，画出它拐点对应的新的位置即可。 我们先来看一看 a 移动到 b， 从 a 移动到 b， 相当于是先向右移动七个单位长度，再向上移动一个单位长度。那我们再来看现在的这些点， 这里有一个点，同样的方式，依然是向右移七个单位长度，再向上移一个单位长度，这个就是新的位置。接着我们再来找这个点，向右移 七个单位长度，再向上移一个单位长度。再来找左边这个点，向右移七个单位长度， 再向上移一个单位长度。再来看这个点，向右移七个单位长度，再向上移一个单位长度。 同样的道理，这个点也是先向右移七个单位长度，再向上移一个单位长度。 还剩下一个点就是这个点，向右移七个单位长度，再向上移一个单位长度。现在我们就可以把这个图画，把对应点的连线写出来了， 把对应的点画出来即可。嗯， 那么这个小船我们就画完了，再来看第二小问，若小船先从 a 点航行到达 岸边 l 处，找一个点 p 进行补给，然后再航行到点 b， 要求航程最短。那你要怎么样去找出这个位置呢？ 对，这个问题就是我们之前讲过的将军一马的问题。那怎么样去找出来这个屁点的位置呢？我们只需要过点 a 做直线 l 的 对称，点 a 撇， 然后连接 a 撇 b 的 过程当中， 直线 a b 与 l 所交的点就是我们要求的点 p 的 位置。好了，本节课的内容就到此结束了， 不要忘记完成作业哦！
