2026北京中考一模数学标准答案
同学们好，我们继续分享北京中考一模。今天我们看门头沟区的第二十八题。 在平面直角坐标系中，对于线段 m n 和 p q 两点， p q 规定不在直线 m n 上，然后给出如下定义， 角 m p n 与角 m q n 是 互补的，那么我们就称六点是 p 点。关于线段 m n 的 补角点， 通过这个对角互补，我们不难发现它是一个模型，就是 四点共圆啊，圆内接四边形中，这个对角是互补的啊，所以说可以借助这个模型来分析新定义。 那么如果说把 m n 当成一个弦， p 点在 u 弧上， q 点在列弧上，刚好符合要求， 但是要注意这里边他没有强调 p q 两点一定是在 m n 的 一侧。那么事实上我们可以把这个圆关于 m n 再对称一下，这个 p q 呢，还可以得出另外一组对称的点， 就是说这两个 p 点任何一个点或者两个 q 点，任何一个点，任意搭配都是符合要求的，哪怕 p q 两点在同一侧也可以。 所以说正确理解新定义，那么我们就知道了所有 p 点 q 点的一个轨迹啊，如果 p 点是在 u 弧上，两个 u 弧上， q 点呢，就在两个列弧上啊，反之也是可以的。 然后还要注意这个 p q 两点虽然说在 u 弧列弧上，但是不包含 m n 这两个点，因为这个里边有规定 p q 不 在直线 m n 上。好，我们深度理解了新定义，我们看他提出的问题， 第一问中，这个 m n 两点分别是负一零和一零， p 点是零三分之根号三都是给定位置的， q 一、 q 二 q 三呢，有坐标也是给定位置的，我们给它点出来， 那么判断这三个 q 点哪个是 p？ 关于 m n 的 补角点， 那么所有的 p 点不交点，我们可以规划一下，首先是以 m n 为弦，然后 p 点呢，在圆上，那你可以画一个辅助圆， 然后呢这个圆上这个，再把这个圆关于 m n 轴对称一下，得到另外一个圆，哎，然后不难发现，这个 p 点在这个列弧上，那么它的不交点呢，就应该是在 u 弧上 啊，所以说我们可以把这个弧勾导出来， p 点是在橙色的列弧上， q 点呢，就得在绿色的这个 u 弧上，那符合要求的点呢，就是 q 一 和 q 三。所以第一问结论， q 一 q 三 这个 q 三的话，呃，为什么在圆上？其实可以通过计算这个 q 三，它的横坐标是一，跟这 n 点是一样的高度的 m n， q 是 一个直角三角形，然后这个 m n 的 长度是二， 而 q 三 n 的 长度呢，应该是三分之二倍根号三，它俩的比值呢，是一比根号三，所以说这个也是倾斜三十度的，跟这个 p 点恰好经过 p 点，这个呢刚好 p 点又是中点，所以说 q 三一定是在圆上啊， 画图精准呢，可以直接确定，如果说怕画的不准，可以代数方法计算一下。 好，那我们看第二问。还有一个 q 点是点 p， 关于 m n 的 不交点，而且这 q 点的动作表要取到最大值啊，最大值呢就是最高点，那明显就是跟 y 轴的上半轴的交点， 那么它的取值呢，跟 q 一 正好是相反数，这个也不难计算，就是正好三好。第一问呢，相对比较简单啊，我们重点看第二问， 圆 o 的 半径为二，线段 m n 是 圆 o 的 一条弦角， m o n 呢是六十度，那么这个三角形 o m n 呢？必然是等边三角形啊，一个动态的等边三角形， 然后一次函数是 y 等于 x 加 b， 那 么 k 值确定是一，那就是说与 x 轴正半轴加角为四十五度，然后 b 值不确定，那就是它是个动态的直线，然后这个直线与 x 轴 y 轴分别交于 bc 两点， 然后线段 b c 就是 这个紫色的线段，它说线段 b c 上存在点 q 是 点 o， 关于 m n 的 角点，直接写出 b 值的曲值范围。 那我们首先要规划所有的点 o 的 角点都在哪？ m n 虽然是动态的，那我们动中找定，先让 m n 固定一个位置，然后呢，我们看 o 点的角点在哪？ 那么按照心经意的方法，首先是把这个 o m n 啊，三点共圆，把这个外接圆画出来， 然后观察 o 点是在 u 弧上，那么它的不交点呢？必然是在列弧上，在 m n 的 这个列弧上和 m n 列弧，关于这个 m n 对 称的列弧上，哎，就是这个轨迹， 先规划列弧，然后都对称过来，所有的不交点都在这个橄榄球的形状上啊，那么还要注意， m n 是 动态的，那么这个橄榄球呢，也会转，那么它的轨迹呢，必然就是圆环， 那么规划出了所有的布焦点的范围，然后呢，事实上就是求线段 b c 与这个圆环有交点啊，那么 q 点呢？就是那个交点。 好，那么我们计算一下这个值是多少，那首先我们要确定这个圆环的外圆和内圆的半径分别是多少？ 那我们可以过 o 点做 m n 的 垂线啊，那这个肯定是 o h， 肯定就是直径了， og 呢，就是半径， 这个 o、 m、 n 是 特殊三角形，是等边三角形，边长是二，然后呢，他这个 o h 呢，其实很容易算，就是二乘以根号三分之二，这个直角边和斜边的比，就是根号三比二， 所以说直径算出来，根号三分之四，半径呢，就是根号三分之二。那么这个小圆的直径和半径都对应了圆环的大圆半径和小圆半径。 好，知道了，大圆半径，小圆半径，那我们看 o c 的 范围，那么第一个临界状态就是 bc 线段与这个外圆相切， 我们可以连接切点 o d， o d 的 长度呢，就是大圆半径是， 嗯，根号三分之四啊，然后 o c 呢，是它的根号二倍，就是根号三分之四，再乘以根号二，根号三分之四倍根号二，然后化简整理一下，三分之四倍根号六， 那么这是 c 点取到最大值，也就是 b 值的最大值三分之四倍根号六。 那最小值的状态呢，就是 b c 这个线段内接于小圆啊，就是 b c 两点恰好在小圆边上，那么小圆的半径呢，就是 o c 的 值，那就是根号三分之二。化简之后，三分之二被根号三， 所以说两个邻界值之间的部分就是 b 的 曲值范围。 那么确定了 b 的 取值范围，还要注意另外一种情况，就是当 b c 线段在第四象限出现的时候，还有一组对称的范围啊，举复数的范围也要写上。 然后最最后一步就是这个等号能不能取，再确认一下，就是 相切或者是内接的时候呢？都是可以的啊，所以说等号可以去。好，谢谢大家。
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05:24查看AI文稿AI文稿东城区的一模考试呢，姗姗来迟啊，终于在五一之后呢就尘埃落定了。讲真啊，做完语文这道题之后呢，我纠结了整整两天，还是决定啊，说说这道题啊， 今日主题，咱们就来吐槽一下东城区的一模语文真题。整个五一呢，我带着初三的小伙伴呢，刷完了成武区还有周边的这个区的八套题啊，基本上呢，各个区都在参照中考考试的规范来出题， 无非就是题目的难度，还有就是选择材料不一样嘛，就像我特别喜欢哎今年石景山出的题一样。但是我也是真的对这次东城区的这个题感到很无语很心塞啊。 基础部分呢，别人家都是七道题啊，探自音自形，词语解释，成语标点，符号，并句，对联，仿写句子啊，但是东正区标心离意只有五道小题，标点和对联压根就没考虑 病句呢，还是花了两个句子让你判断，哎，哪个句子有毛病你才能下笔去改最后的仿写句子呢，还额外加上必须得给我用上关联词，感觉好像这个地方挖个坑啊，就等着你挑呢。 古诗词填空呢，是六选三啊，诗歌鉴赏直接整了两首诗歌放在那进行对比出题，他让你分析层深的这个千里，黄云白日勋的千里。哎，你说这样用词的表达效果是个啥？ 你说这种概述，他无非就是须止啊，又不是实实在在的是吧，所以程度上夸大，情感上放大罢了嘛。这试题难度又不大，但是他就纯纯膈应人。 接下来就是文言文啊，倒是有点东西了，因为他整了苏轼的继承天寺夜游和周敦颐的爱莲说两篇校内文言文啊，我感觉这个阵仗搞的挺大，但是吧，看题我就乐了，也就只有两道选择题，我以为要多有创意呢。 好，那么后面的对比阅读题呢，又拉来了韩愈的选段啊，进行垫背，整了一出桃园三结义啊，说分别说说他们三是如何借助自然景物来表达思想感情的。 我当时就给东城区的一个小姑娘讲解这个题的时候，我就说了，小姑娘跟我强调说，老师，这个题四分啊。我们老师可说了，这三个人分别说啊，各得一分，最后一分呢，写出任何一人的什么托物言志啊，我借景抒情就给你一分。我听了哈， 你这个分值分配的这么业余吗？哈，不应该有一分是给到语言组织能力的吗？明珠阅读啊，倒是也放得开啊，就是直接让你自个选一本看过的书，谈谈你的阅读心得及获得的过程。你看就不能好好让你说点东西，非得让你写写你是怎么获得你的阅读心得的 啊？看似好像很素养是不是啊？就是重视过程哈。实则我看了参考答案之后，我感觉出题组的老师自个都没有写明白他是怎么获得的，难道你又是为了标新立异，所以非得来这么一出？ 这还没完呢，文学类的文本的这个文章啊，选的我是没话说。真的挺好啊，但是后边的四道题里边有两道题给人整恶心了。 第十七题赏析花仙居的修辞艺术特点及妙处。您听听这出题，老师，你要不要看看你自己出的题是个啥啊？修辞艺术的特点及妙处，你真的以为孩子们懂啥叫修辞艺术特点吗？不好意思，我表示我都不是特别懂，我只知道修辞的妙处如何做答 接下来的第十九题啊，从结尾段的表达形式当中，你获得了怎样的启示？你说你要是结尾本身啊，他内容获得了什么启示？我觉得，哎，你还是在欣赏你自个选的这篇文章，他的内涵还有他的思想价值，但是你给整跑偏了。老师啊， 表达形式中获得了怎样的启示？你是在教孩子们写作文吗？啊，孩子们应该怎么答啊？我以后写文章，我也要按照这种结构和书写方式来整一下子，这是哪门子考法呀， 难怪那个小姑娘就很委屈是吧？老师，这道题我根本就没有读懂，他想让我干啥，我还安慰了孩子半天，我说没读懂，那就对了啊，因为这道题就不应该这么出， 最后的作文呢，就是没有啥说的啊，中规中矩一个命题作文啊，印象一个半命题，有句话让我不拉不拉。这道题做完之后呢，我又给孩子们讲了一遍啊，我当时就一个感觉，看看就得了啊，刷题还得看海淀和西城，哪怕石景山也成啊，哼， 二零二五年东城区的一模也不这样啊，是吧，去年一模题我觉得还挺好的，很有看点的， 怎么今年的画风就这么普遍呢？这个时候，孩子就默默的拿出了自己临摹的卷子，我看完之后就恍然大明白啊，感情这风格是从临摹就开始有了，这是一脉相承了，属于。是啊， 最后我还是想由衷的啊，就这个东城区的这道题，对小伙伴们说一句，如果这道题就是你考差了啊，真心不要伤感，你让你爸你妈啊给你重新打印一套海淀的和西城的题目，咱去做一做好不好？ 毕竟中考海淀和西城的教练员去参与，出题的概率要比东城区的大多了。再者就是这种又偏又怪的题目，也不是县级段的，他的考法是不是啊，纯纯的就是在玩概念，他不务实 不提也罢啊，咱就忽略即可。行了，咱也不多吐槽了，就到这吧。那东城区的家长，如果您对这次语文试题有什么想法，欢迎评论区留言。哎，咱们一起来探讨交流一下。
158果冻老师讲语文
03:51查看AI文稿AI文稿ok， 好， 同学们，好啊，那接下来给大家讲一道咱们二六年啊，万维预测的一个北京中考的一个代数综合的题目，好吧，然后这个题目实际上也是属于咱们构造线上数的一个常规类型，但是它在构造线上数的这个过程当中相对比较麻烦啊，比较复杂。 那咱们的孩子很多时候面临一个什么样的问题呢？就是当这个体干相对比较长，信息比较多的时候，那可能就会有点蒙啊，就是对于信息的提取和整合能力还是有待提高的，那我们看下这个题啊。呃，首先 a 是 大于零的开口向上，然后第一问咱就不说了啊， b 等于减 c， 包括第二问咱也不说了啊， m n 等于二分之十一，咱直接看最后一问啊。第三问说，既抛线与外轴交于点 b， 然后点 p 在 抛线上，然后分别过点 p 做 a 轴 和直线 a b 的 一个垂线，然后交 a b 于点 c 和 q， 然后 e 是 p q 上一点 p q 等于四倍的 pe， 然后做 ef 平行 a b， 那 这个我们按照规矩去进行画图的话，抛线对不对？ 抛线直线 ab， 这个直线 ab 我 可以求来解一式，因为 a 点和 b 点坐标我都是，可都是已知的吗？对不对？所以直线 ab 求来之后， y 等于 x 加一，那 y 等于 x 加一，那跟这个跟这个 y 轴的一个夹角就是四十五度，对不对？这个大家都知道， 然后随便找一点 p 做垂，做垂之后，然后与直线交一点 c 与这个，然后再做一个垂，对不对？然后与直线 a b 交一点 q， 对 不对？然后 pe p q 等于四倍的 pe， 就是 这个 e 点是 p q 的 一个四等分点，对不对？然后他又做了个平行，那也就意味着这块也是个直角，就是这个小的也是一个等 r t， 对 不对？ 然后让咱们说是 e f 的 长随着 m 的 一个增大而增大，那首先的话，你肯定要把 e f 给表示出来，对不对？那 e f 怎么去表示？ e f 跟谁是有关系的对不对？ e f 和 p e 是 相等的，那 p e 跟谁有关系？ p e 跟这个 p q 是 有关系？那到这很多没有做过这个， 因为他的这个线段的整体呈现是一个斜的斜着的一个线段，那对于一个斜线段的话，咱基本上都是斜话术，就是斜线斜向的线段的话，我们要把它转换为一个数值线段的一个动态变化， 所以很多小孩到这的话，他可能会执着于去求，呃， q 点坐标是什么？ p 点坐标是什么？求来之后，然后连点之间距离公式去求 啊，这样的话相对相对还是比较困难的啊，所以你看啊，这个我们刚才说了，我们这个线跟这个 y 轴加角是四十五度，对不对？那这样的话做完垂之后，这个东西就是一个等于二 t， 那 这个小的也是等于二 t， 然后 p q 是 等于四倍的 pe 的 话，所以我就可以得到我的 p， 我 的 p q 是 等于二分之根号二倍的 p c， 对 不对？然后我的 啊， p e 又等于四分之一倍的 p q， 这样的话我就可以得到我的 p e 实际上是等于八分之根号二倍的 p c 的， 所以这样的话，我就把我的 p e 和 e f 啊，就是 e f 转换成了一个斜值线段，转换成了一个数值线段的一个 构造向量数的一个问题，对不对？所以那接下来我们只需要去按照我们常规的逻辑去找出 c 点和 p 点的一个坐标，对不对？然后就表示它， 对吧？然后 y p， y c 都表示出来，然后去做叉，然后得到八分之根号二倍的一个 p c， 那 就是这个 e f 嘛，对不对？最后得到这样的一个式子，那这样一个式子去画图直接就完事了， 对不对？然后他说是在零到 a 加二分之一，所以他说增大而增大嘛？那增大而增大的话，那就从这开始，对不对？从那也就意味着 m 只能是从这一段待着， 对不对？那意味着我的 a 加 m 的 这个范围的右边界值 a 加二分之一，它要在二的左侧，对不对？所以 a 加二分之一小于二，所以 a 小 于等于二分之三。因为 a 大 于零，所以 a 大 于零小于等于二分之三，这个问题就解决掉了， 好吧，所以这个题是易某当中没有考到的一个点啊，它是将数值，它是将斜向的一个线段转换成数值线段这样一个过程，好吧，也是需要大家去整理到自己的那个知识点当中的一个类型的题，好吧，那就给大家讲到这啊，拜拜。
286北京中考数学压轴老师
13:35查看AI文稿AI文稿海淀一摸的这个新定义，这套新定义出的水平还是非常的高的啊，特别低三文可能会把你给绕晕几盒快，待说完新定义还能提智商。大家好，我是老谢啊，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的啊，海淀一摸的这个新定义， 这道新定义出的水平还是非常的高的啊，特别第三问，可能会把你给绕晕，但是呢，如果你用我的新定义吐诗啊，一点点去剖析，包括用我高中总结的三大思想，四大意识的剪软式的捏，你会发现这道题的最后一问，从头到尾也不难啊，并且我还有一些提速的技巧教给你。好，首先咱们看这个定义， 对定义你读完以后啊，我告诉大家，我讲新定义，我有一个习惯，为了让同学们理解的更清晰，我会在下一些新的定义，你不说这个三等距吗？哎，我首先给 t 到 l 的 距离起个名叫 d， 然后呢，我给 d 起名叫等距值，那么说白了就是说图形 r 上 有 k 的 点到 l 的 距离等于这个 d 啊，这是一个啊，第一问，很简单，我就不讲了啊，我给大家讲一下第二问，对，第二问，咱们看一看， 咱们现在定义中有 d 有 k 啊，本着剪软伸缩肌的精神，知道哪个或者哪个好研究，咱们就先研究哪个，咱们不难发现哎，线段 b 一 b 二， 它的等距的这个 k 对 应的是二，也就说要有两个数，两个点到外轴的距离等于这个 d， 那 么我们不难发现，对这个红色的线段 b 一 b 二来讲 啊，他这里边离这个外轴的有两个点都行的，最大值就是这个二分之一啊，也就是 d， 如果大于二分之一，你就找不到两个点了。你看我做的这个绿色的这两条平行线，他们到外轴的距离都等于二分之一啊，所以你你会发现，在这个 绿色两条绿色线之间是不是一直有两个点，他们到外轴的距离，哎，都可以是相等的，但是超过了就不行了。然后呢，这时候我们会发现，我们只需要让线段 a b 三和这个绿紫色的平行带有个交点就行了，因为人家说存在有个点 t 就 行啊，你只要这个点 t 能进入到这个绿色的平行带就可以 啊。 ok， 所以呢，我们全面系统虚动，我们会发现，点 a 只要是超过了这个横坐标，只要是小于二分之一，小于等于二分之一啊，大家会发现， 那么这个它这个 ab 三就一定会和这个紫色的平行带是有交点的，如果大的话就没有交点。 ok 啊，这个圈二很简单， 圈啊，这括号二，我告诉大家，有些人一看就蒙了，什么玩意啊是吧？又有 l 还有圆 c， 圆 c 里边两个坐标都不知道。然后呢，还有存在任意啊，一看存在任意就爆炸了。最可怕的是等边三角形还要旋转， 咱们旋转圆最简单对不对？因为旋转圆旋转多少度都没变化，旋转等边三角很讨厌啊。然后呢，还提出了三等距点，猛一看是很猛的，但是你要学会了，我高中四大意识的第一是减软式的，你先别着急，一下子把这里边所有的对象都研究明白，你先看看哪个是 清楚的， d 不知道是几，但是 k 等于三，那咱们就看一看什么样的一个点， 以它为中心的所有等边三角形，任意就是所有，对不对？所有等边三角形都能找到三个点到 l 的 距离都等于同一个直 d， 对 不对？ 那么咱们不难发现啊，大家看一看，因为我们中心确定了这个等边三角形只剩下转了，对不对啊？大家可以体会体会。当一个等边三角形的中心确定了以后， 你这个中心不变的情况下，三角形的位置是不是倾斜角，每个边的倾斜角还可以变，所以呢，我们就转，既然一涉及到转，我们就涉及到圆，一转，一个等边三角形很容易看着很乱，但是呢，这种内切圆就发挥作用， 你如果把这个三角形 p、 q、 r 的 内切圆做出来，你很容易发现这个内切圆。当这个 s 逗号一，这个点确定以后，它的内切圆是确定的，因为内切圆的半径，各位同学，你能做新定义，最后一位我相信你能算的出来。 当这个等边三角形它的边长是根号三的时候，那么这是一，这是一，这个内切圆的半径就是二分之一。 所以呢，咱们这道题本来说没有圆啊，等边三角形很难，但是咱们以圆为参照物，以这个等边三角形 p、 k、 y 的 内切圆，这个绿色的圆为参照物，我们会发现，如果这个等边三角形它不跨 l， 我 们就不能保证任意的一个三角形 p、 k、 y 都有三个点到 l 的 距离相等。你比如说大家看，现在就没有跨，我给你转一转，你看一看， 现在你会发现啊，没，没跨啊，现在跨了，我再把它再转回去一点。各位，就这种情况下，你看一看，你会发现，亲爱的同学们啊，这条红色的线我再给你们画一条， 各位请看啊，这个蓝色的线和这个红色的线啊，是平行的，你会发现蓝色线上的点肯定到红色线的距离都是相等的，你会发现如果这个等边三角形不跨这个红线 l， 你会发现永远除非他有些个边平行啊，但是那只是特殊情况，满足不了任意，你会发现在这个过程中，是不是最多有两个点到红线的距离相等，满足不了三，所以各位你能理解，也就是说我们要出现三， 就是只要这个等边三角形，他不跨过红色的线 l 啊，那么他就很难保证三个点。所以各位到这一步能理解吗？也就说因为我们结合抓住三，我们就找到一个点，就是说这个等边三角形，任意的等边三角形他都得跨 l， 那 么你能理解他对应的这个绿圆，他就得跨 l。 各位，你看绿圆跨 l 的 话，他在转的过程中 是不是才能保证这个等边三角形啊，它是跨 l 的， 跨 l 这边俩点，这边一个点或者这边俩点，这俩点大于等于三就行，对不对？ ok， 咱们先明白了啊，各位，这道题的最后一问的第一个切片就是我们基于三得出一个结论，这个时候也就是说 这个 p q r 的 内切圆半径为二分之一的圆，它一定要和这个 l 有 交点才能出现三。 好，咱们再结合，就现在的这种情况看一看，你会发现出现三以后呢？各位，只要跨轴它出现三，你会发现很容易发现一个是什么呢？就是咱们那个等距值 d， 它可以是无限小的，对不对？你比如说现在这个蓝线，它是不是和这个红线离得非常近，你会发现红线两边各有一条平行的蓝线，是不是？这时候肯定至少能满足有三个点，甚至有四个点，对不对？所以大家能意识到，我们接下来要研究等距值了，而等距值这个 d 对 我们不难发现它可以足够小，那我们针对直接写出答案的这种题，我们就可以找它最大值了 啊，找最大值，说实话，老谢给大家讲一个在考场上非常快的一个方法啊，我们为了找最大值，我们直接各位啊，我还是在这个图上讲啊，我们直接找一个特殊情况，然后呢？大胆猜想，小心求证。这就是在考场上提速的，也就说如果这个 s 六号一这个点，它正好就在 y 等 x 这条红线上，咱们看一看是不是能找到一个最大值，这时候我们会发现它在旋转的过程中，你会发现这是一种极端情况，这时候你会发现 这个点到它的距离是二分之一，这边也一定有两个点到它距离是二分之一，这时候二分之一首先能满足，请问大于二分之一还能满足？你会发现但凡大于二分之一，右边右下方只有两个点，左上方是不是一个点就没有了 啊？因为人家要求的是任意，你只要有一种情况，你比如说一个啊，零点六吧，大于二分之一的数你零点六，你就不能保证 在这个等边三角形转一圈的过程中永远都有啊，能找到到 l 的 距离是零点六的三个或者三个以上的点，所以各位，我们现在是不是不难发现 d 的 最大值就是二分之一 啊，你如果不清楚的话，可以在这暂停一下，然后呢，找到 d 的 最大值二分之一的时候，这时候咱们就可以算 a 了啊，各位，也就是说这道题还有一点我没讲，这个弦 m 纯粹在这里边是个打酱油的， 因为人家定义是存在一个点就行，你弦 m n 上存在的点弦 m n 可以 是这个圆周上的任意两个点的连线，对不对啊？那么同样圆内的点 是不是也可以当咱们那个定义里边的点 t 啊？所以你会发现，只要这个红圆周和圆内任何一个点能到这个 y 等于 x， 这条线的距离 只要是能够是，呃，小于等于二分之一，是不是就满足题了？临界情况就是正好等于二分之一的时候，大家看这个长度等于二分之一的时候，那么这个点就可以当定义里边的点 t， 那 么这个长度就是什么呀？二分之三。 然后呢，哎，我们会发现，因为这显然这是个等腰值，所以这个长度是二分之三倍的根号二，所以这时候点 a 啊，就是这个点 c 啊，他最高最高就是这的啊，那么我们就会发现 a 他 就小于等于一，加上二分之三倍的根号二， 同底啊，你要确认一下是不是对称。然后呢，当这个点 c 在 下方的时候，哎，这个啊，也是这，这个二分之三，这个呢？呃，到圆形的这个距离也是二分之三倍的根号二，所以它大于等于一减去二分之三倍的根号二， 这个时候这道题基本上就可以写答案了啊，但是呢，我们刚才只是想当然的认为这个圆心，是吧？这个 s 逗号一，在这个 y 等 x 上，那有没有可能这个 s 逗号一，他再挪一挪， 这个 a 的 范围甚至比他还广呢？说实话啊，你可以确认确认，这个范围里边的每个 a 肯定都能找到一个 s 逗号一， 就是刚才这个一对号一，对不对啊？那么我们再看那范围有没有可能比这个数还大一点，比这数还小一点， 如果说所有的范围都在这里边，这就是标准答案了，是吧，这是正确答案了，如果有没有可能超过呢？各位，我们还可以有时间的话，可以再验证一下。怎么验证呢？用我讲高中新定义的一个逐步调整法，我们假设这个 s 对 号一不在一对号一了，他在这里。 各位同学，你不难发现这个红蓝圆啊，还是那个三角形 p q r 的 内切圆，你会发现，这个时候 我们再做一个和 y 等 x 平行的点，这个点它到 a 这个的距离，各位请看，也就是说这个长度就是咱们那个 d 的 最大值了啊，还记得那个原理吗？啊，你可以再重新看一下这个视频啊。所以说，如果我们这个长度是 t， 这个蓝圆的半径还是二分之一，那么这个 d 的 最大值 d max， 它就等于一减去这个长度，一减去二分之根号二 t 了。 这个时候呢，各位同学，你可以算一算啊，这个时候 d max 等于它，那么这个时候大家看啊，上面的这个圆， 各位，上面这个圆，它圆上离这个点最近的，就是这个一减二分之根号二 t， 然后呢，这个长度就是二啊，一加上啊，这个一减去啊，二，呃，一加上一减去二分之根号二 t 啊，这个长度就是它啊，那么这个长度再乘以一个根号二，就是这个， 就是这个长度，这个长度呢？我们看一看啊，他，呃，不好意思啊，这个 d max 不是 二，呃，不是一，是二分之一啊，是二分之一 减二分之根号二 t， 然后呢，加完以后是二分之三减去二分之根号二 t， 就是 这个这个长度，然后再乘以根号二啊，就是这个长度 就是二分之三倍的根号二，减去 t， 就是 这个长度，这个长度再加这个长度，因为这个是个等腰值，所以这个也等于 t， 所以 再加一个 t， 你 会发现这个高度仍然是 a 一 加上二分之三倍的根号二。 当然你也可以用同样的方法算一算，下边啊，下边他也会发现它甚至更小了，所以呢，无论如何，你把它只要 s 逗号一，不在这个位置，你会发现 a 呢， 肯定也都在这个范围内，最大不会超过一加上二分之三倍的根号二，最小不会小于一减二分之三倍的根号二，你可以再算一算， 这样的话，这就是答案了啊，我们可以再确认一遍，是吧？就是说针对 a 这里边的每个值，能不能找到一个 s 逗号一，我们说了都找一逗号一，都行 啊，就可以找到。 ok， 这道题就做完了，然后呢，这道题可能跟今年的中考题不一样，但是我告诉大家，用我这种新定义吐出的这几句话， 特别是我高中数学三大思想四大意识的剪软柿子捏，你会发现哪怕一道题前两分钟，前三分钟看上去再难， 你只要从剪软柿子捏，一步一步复杂情况要分拆，一点点拆，是吧？先研究三，再研究 d 的， 再研究 d 的 最大值啊，然后再研究 a， 然后最后再确认，你会发现其实再难的心理咱们也不怕。
94谢全民双提数学
03:02查看AI文稿AI文稿石景山一模的几何中难用好方法真不难，今天给大家介绍一个比较简单的方法，我们一起来看一下二零二零年北京石景山一模的几何综合 题目，告诉我们几个比较关键的信息。第一个在这里边有一个直角三角形，并且告诉我们这个角是阿尔法，这样的话怎么就能得到这个角是九十度减去阿尔法， 然后又告诉我们它里面旋转了一百八十度减去二倍的阿尔法，所以第一问我们就直接秒掉了二倍关系，这里咱们就不做过多的赘述了。好，同理呢，我们在这边也要简单的去说一下 a d 绕着点 a 旋转这样的一个度数，这里边呢有一个直角且是二倍的关系，所以对于手拉手稍微有一点点了解的学生都知道，我们可以在 a 处再去构造一半这样的一个三线合一的状态，也能出一个在 a 处顶角为一百八十度减去二倍阿尔法的一个等三角形， 等腰三角形加等腰三角形就会出手拉手模型，所以对于大家来说，这个三角形和这个三角形全等，那我们都是能快速得到的。好，接下来我们要去证明 p q 和 df 之间的一个关系，大家对于这个关系应该也都能快速简单的猜测出来， df 应该是等于二倍的 p q 的， 在证明的过程当中，我们可以八仙过海，但是这道题有一个更加简单巧妙的方法，也是二零二五年北京中考对于我们方法上的一个提示了，就是对于边的一个 用法，倒边。好，我们来看一下这道题到底该怎么去解决它，我们可以在这里面发现，因为你这条边和这条边是平行的， 然后我们根据手拉手的全等知道这个角是阿尔法，下面这个角也是阿尔法，那进而我们能得到这个地方有一个小等腰三角形，那 既然他有等腰三角形的，我们就以此为突破口，假设这边是 x， 那 这边是 y， 那 这样的话我就能得到这条边应该就是 x， 加上 y， 同理这条边应该也是 x， 加上 y， 又因为是轴对称，所以这个点是中点，那这条边应该就是中位线，所以这条边就是二倍的 x。 这样的话呢，我们还能得到这边应该是二倍的 x， 加上二倍的 y。 至此很多人可能就觉得我们这个导边是不是结束了，其实并没有，我们会发现 中间还有一个特殊图形，特殊图形就是可以辅助我们去导边的，所以这个特殊图形咱们也可以用起来，它是一个矩形，这个矩形的证明非常简单，四个直角直接给了，所以我们就直接设这边是个 z， 这样的话我们就能得到这边应该是 y， 加上一个 z。 好 了，各位，这个点 c 是 中点，咱们千万不能忽略。那至此我们能得到这一条边应该是二倍的 x， 加上一个 y， 再加上一个 z。 好， 同理，那这边和它应该是相等，因为它是一个等腰三角形， 这里边就涉及到了三线合一的用法，所以这边也是二倍的 x， 加上一个 y， 再加上一个 z， 我 们用这个大边再减去这个小边，你会发现这条边应该就是 z， 减去一个 y。 好 了，现在我们来看一下这里边的关系， d f 是 z 减 y 和 z 加 y， 所以 这边应该是二倍的 z， p q 是 z， 所以 它们之间二倍的关系就直接中出来了。 这就是我们所说的这道题比较巧妙的一个方法，极致的导边。在这两年导角和导边都成了咱们几何中的核心内容，大家呢一定要注意借助全等和中点进行设参，利用参数让关系呈现的更加明确，希望这个视频可以帮助到大家。
57小程老师讲数学
05:58查看AI文稿AI文稿今天来学习二六年西城一模的几个综合。首先我们来看题角， b a c 是 阿尔法， ab 等于 ac， cd 垂直于 ab， 这个时候很常见，北京中考很常见的直角三角形，给它补成等腰三角形好继续往下看。他说 b m 平行于 a c， 那 这个时候肯定是会出现一个倒角， p 是 d b 上一点 他说了 c a q c a q 和 a p c 是 相等的， a p c 设为 beta， 那么 c a q 它整体就是一个 beta， 那 么 b a q 就是 个 beta 减阿尔法。 ok， 他 说了，当 c a q c a q 是 阿尔法阿尔法时候，那就是 b a q 是 阿尔法了。求 b c p 的 度数，那因为 c p a 他 们都是相等的，对不对？所以 咱们就知道了，这个 abc 这个角他应该是一百八十度减阿尔法除以二，他应该是九十度减去一个二倍的阿尔法，那所以咱们就直接可以代入一个外角等于不相邻的两个内角之和， 这个外角两个内角之合。这杯塔咱们也知道是个阿尔法阿尔法，所以角直接写出来，角 b c p 就 等于角 abc 减去角 abc 等于二倍的阿尔法。减去九十度，加上一个二分之二法一定要变号，所以就等于应该是二分之五倍的阿尔法，二分之 五倍的阿尔法减去九十度。第一问咱们就做出来啊，主要来看来看第二问。咱们首先来梳理条件，首先 b a c 是 阿尔法， 那么 ab 等于 ac， 这两个边肯定是要用到的， b m 还平行于 ac， 肯定会出现倒角， p 是 d b 上一点做了 c a q， 咱们刚刚说了 c a q， 咱们说为贝塔，所以 b a q 就是 贝塔减 or 还等于 a p c a p c 就是 贝塔。这方面他说了， e 为终点的时候，让你求 d e 和 b q 的 关系，要不然你就找谁跟 b q 相等，要不然你就看谁是 d e 的 二倍，这个时候全等 d e， 要 e 就是构造全能集中。第二就是最近几千年初学的重点一直是直角三角形补充等于三角形。这个题考察方式在 二五年的中考，二五年的海淀一模，二六年的海淀一模，全部都体现，所以大家这个要做重点，那你看题中有哪些直角三角形，是不是一个 a， d p 就可以？这个 a， d， b 是 不是也可以包括 a， d， c 是 不是也可以？咱们首先第一个说个大三角形，比如说咱们倍长 a， d 倍长 a d 到点 n， 这样的话连接 c n 这样，那这个 c n a， 它就是等于一个 r 方，这是贝特，所以 p c n， 这也就是个贝特减 r 方，一个角相等了，还有一个角内错角，它俩平行，所以 abm， 它就是一个 r 方，这有两个角已经相等了。除此以外， c a 等于 c， a 等于 ab 等于 c n， 所以角也是相等的。咱们不难看出来，这两三角形其实已经全等了，是把那个凸比给你画了起来，也就是 abq 和 cpn， 这两三角形是全等三角形。如果知道全等三角形以后，第二步 咱们就判断他关系，既然判断他们的边的关系，肯定要构成等量关系，对不对？这个跟咱们二三年的中考题如出一辙，只要看见边程关系，如果乱的，咱们就直接设参数，咱们设餐。如果 e 是 e 是 这个 ap 的 终点，那么咱们就可以分别设，那么 d e 咱们就可以设为小 a， 那 么 d p d p 就是 设为小 b 就 可以了。因为 e 是 ap 的 终点，所以 a， e 就是 a 加 b， 那 p n 呢？ p n， e 是 a p， 然后 d d 又是一个 a n 的 中点，所以 d n d n 应该是二 a 加 b， 那 么 p n 因为 b q 跟这个 p n 挂钩了，所以 p n 应该应该是二 a 加 b， 再减一个 b， 所以 应该就是二 a， 这个时候咱们就可以转换过来了，所以 b q， 它就等于 p n 就 等于二倍的 d e， 所以 最后多出来 b q 就 等于二倍的 d e。 第一种解决方法咱们先总结一下。第一，第一问还是很简单，主要看第二问，条件一定要用上平行，一定会倒角。第二，边相等的时候一定要注意，因为首先咱们第一全等的 做法就是直接应用到几何综合现象做出来，首先只有直角用全等。第二，咱们要注重这一点，这直角三角形要补充直角三角形，这样的话会有 背长、中线、边相等，还会出现倒角。其次，如果遇到边长关系乱的情况下，你比如说 e 也是中点， d 也是中点，怎么办？那就分别设参数为小 a、 小 b， 这样的话， 一你不会觉得乱，第二很容易找到等量关系。好吧，那这道题就说到这，随后老师还会。
18蔚宁数学
09:44查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们来看西乘一模的代数综合，尤其是最后的取值范围，咱们再仔细斟酌一下。首先读题，他说 x 小 于等于二， y 随 x 增大而减小，大于等于二的时候， y 随 x 增大而增大，这句话咱们也可以读出来。第一， 他的对称轴一定是等于二的，所以他问咱们 a 跟 b 的 关系，直接代入进去， x 就 等于负的二， a 分 之， b 等于二，直接算出来， b 呢等于四 a。 这个问题很简单啊，我看第二条， a 等于二， a 等于一， b 等于二，那它的图像即为 c 一， 那么 c 一 的表达式，那一定就是 y 等于 x， 方减二 x， 这时候咱们可以看出来啊，如果 x 提出来的时候是 x 减二，那它一定经过的是零。逗号二，把这函数图像给它画出来， 那这样的话，这一定就是零，这一定是二。因为一字函数 k x k 大 于零，所以说他横过零零，而且是向上的，对不对？所以咱们把它 表示出来，这样的话，咱们就表示出来 y 等于 k， x， 这个图表示出来以后呢，我们知道了他对这周 x 是 等于一的情况，这个时候他说了 过点 p， t 等号零做 x 轴的垂线交于 c 一， c 二于 i， m， n 在 哪？ m 是 不是在 c e？ 也就是说，可能比如说 t 在 这 c e， 这是 m， 上面是 n， 这种情况，因为它是不断的运动，所以 m 呢？可能在下面， m 呢？也可能在上面 门的关系，所以呢，咱们还是用式子来表一切。所以说 m 的 纵坐标呢，就是 t 逗号 t 方减二， t n 的 纵坐标呢，应该是 t 逗号 k， t 带进去，所以式子表一切，加上他们的绝对值，等于绝对值， t 方减二， t 再减 k， t 加一个绝对值，他的 t 提出来，一方减去二加 k， 括住 t， ok， 这一步其实已经成功了百分之八十了。他说了，当 负一到三之间，这个 t 的 区域范围存在最大值，这个时候咱们就得画图了啊，往右放一下。好，我们首先来看他与 x 轴的交点，把这个 t 提出来以后呢，是 t 乘一个 t 减二减 k， 这个时候咱们知道了 x 轴一个是 t 等于零，一个是 t 等于二加 k， x 轴的交点画出来了，那这个时候只有两种情况，第一种，开轴点开口 有了，对称轴有了，剩下就点了负一肯定是在零的左边，这毋庸置疑，对不对？但是三呢？对称轴是一加二分之 k， k 是 大于零的，所以这个三 绝对不能在这里边零到对称轴上，所以三一定能在对称轴的右侧，有可能在二加 k 的 左边，有可能在二加 k 的 右边。第一种，咱们要满足的情况是， 三一定是要在对称轴的右边，所以就是三大于二分之二加 k， 这里边能不能取等，同学们， 如果取等三到这了，那说明什么呀？因为它是小于三吗？所以取最大值怎么样？可能就是在这个顶点之下，它取不到最大值，所以这里边不能带等号，就得出来 k 小 于四，哎，能听懂吗？ 三一定是在对称轴的右边，而且他不等于零，因为等于零，他取不到最大值，而且他给了咱们负一到三之间，那他的最大值就不会从负一跟三之间除，最多他要等于的话，可能会出现这种情况， 如果等于的话，可能会出现最大值，从这两个数里边出的情况，我没有等于，你看负一，他一直在下降，对吧？三也是，要不然在下降，要不然可能再稍伤伤身一点，所以说最大值一定就是在对圈轴的范围内。好， 明白了啊，这是第一种情况，也就是三在对称轴的右侧看，再看第二种情况，也就是说三在二加 k 的 右边。那很明显我们能看出来，那负一到对称轴的距离， 一个是一加二分之 k 一定是二点多，对不对？那么对称轴到三的距离呢？应该是一点多，而且这个三到这以后，你看二加 k， 所以 这个三肯定是刚刚起伏一点的长度。 那这个时候咱们需要满足什么呀？也就是满足我的顶点 m， 我 的顶点最大值要比你在负一的值要怎么样？取的是要大于我的顶点的值，我的顶点的值要 比你负一这个值要大于他。这个时候来发现一下，能不能取等安全码能不能取等是可以取等，为什么呀？因为他等于这个 m n 的 值的情况下，他是大于负一的，所以他取值一定在哪？在这个顶点之下， 他永远取不到这个顶点，所以是可以等于零的，可以等于零的，所以他的外值。当 t 等于二加二分之二加 k 的 时候， m n 等于四分之二加 k 的 平方， 他那等于负一的时候， m 是 k 加三，所以是 k 加三小于等于四分之二加 k 的 平方，算出来是正负二倍的根二，咱们肯定要首负，因为 k 是 大于零的，所以中上 画出标准来说是大于等于二分之二，小于四，我们来总结一下啊，你看这道题，西城的这道代数综合题，第一个哎，字比较多，但是第一本通常比较简单啊，咱们注意分辨就可以。第二 还是咱们常用的这些东西啊。一、画出第一图，也就是说咱们得把这个图画出来，他说他说 告诉你 c 一， 告诉你 c， 二告诉你教育局 m n 了，咱们把图画出来，一目了然，对不对？第二，他说 t 在 一负一到三之间最大值 m n， 咱们得表示啊，式子表一切嘛，所以咱们把 m n 的 绝对值算出来，因为咱们 m n 不知道谁高谁低嘛。 然后还要把咱们说它的与 x 轴的交点算出来，咱为什么要提它的共因式？是不是就想算 x 轴的交点，这样才能画出来图像？好，这是第一步，第二步，第三步就是画出型函数，也就咱们刚刚说的这一步。 哎，出现函数只有你把函数化出来，因为开轴点开口方向对称轴点的坐标，开口方向算出来以后，因为你有与横坐标的交点，那对称轴是不肯定出来了。对称出来以后，一个点可能确认，另外一个点不确认，那咱们就分类情况讨论。 如果是都不确认，那咱们就是取三类情况呗，可能在轴上，可能在走轴左，可能在左右分情况讨论。三，他说一定要认真审题， t 是 什么呀？负一到三都 是不是在这个对称轴零的左边一个值在对称轴的右边，咱们应该是标上以后再去分析，因为他说存在最大值，按负一到三 都没有提到，所以这架车就只能在对称轴这，所以只有分两种情况，第一种，三档在对称轴的右侧，因为负一到对称轴是二点多，对称轴到三档，一个是一加 多少段，那肯定就是一点多，最多就一点多，所以这个三肯定是在对弦中的右侧。这个时候咱们只能说二加二分之二加 k 小 于三，不能等于三。再重申一点，不能等于三，因为等于三的话， 他取值小于三，那他的取值就不是这最大值了，而是在哪，在最大值的下边。第二种情况，也就是说这个三就在右边的，我负一到对称中还是二点多，那我这个一加二分之 k 的 对称中，三到这个一加二 k 是 不是一点多啊？也就是说 负一到对称轴的距离要比对称轴到三的距离要远，所以负一的外值就会有大。负一的外值大的情况下，那我只需要满足我的最大值顶点最大值，我要大于负一的值，是不是就都满足了？ 我比负一的外值都大，那我肯定比三的外值大喽。所以咱们把负一和对称轴的值带入进去，等号， 这里边是可以取等的。为什么呀？因为这个 t 是 大于负一，他取不到负一，所以是可以取等的啊，我就等于这个位置好不好，他取不到负一这个点，他只会在负一在下边。 ok， 最后，综上忘前提， k 大 于零，所以把负的二分之根号二舍去，最后综上获得答案。好吧，这个题还是很耐人寻味的。二二五年的中考给了咱们 最大值找范围，按二六年的海底泥摩给了咱们范围找最大值， 但是这个代数出的还是这个上代宗，还是非常有吸引力，而且题目出的也比较新，但是他最终考察的点还是在老师刚刚说的几步里边，好吧？那就讲到这里。
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06:23查看AI文稿AI文稿好，我们来今天学习二六年西城一模原重合。首先来读题， a、 b、 c、 d 均为圆 o 的 直径，那看到了直径，首先想到的是直角，所以他说 a、 e 垂直于 c、 d 呢？一定会想到垂直定里的会有两个 半径相连接，两个边都连起来，如果是半径的话，半径连接起来，这样的话就会出现边等、角等全等的情况。 ok， 如果他连接的半径的还可能与中点相结合，形成中位线 连接， a、 c 做点， b 做圆 o 的 切线，交 a、 e 延长线一点 g， 那 给了你切线的一定这个 a、 b、 g 一定是直角。 ok， 那 我们来看 c a e c a e 在 这里 等于二分之一的 aoc， 那 这个倒角很简单啊，一定是同弧所对的圆周角是圆心角的二分之一，也就是 aoc 是 等于二倍的 aec， aec 又等于 c a e 一 万很简单，直接秒杀了啊！看第二个连接， d e 刚刚说了，直径左对角直角，他不连 d e， 咱们也得连。继续他说了， d e 等于四倍的根号六 口三 c a e， 也就是还是说这个角 c、 a、 e 是 三分之根号六，看到了锐角，三角函数，那么所有的关系只要带直角，全部都是三比根号六，那我们就可以把它的边角无限的传导， 也就老师刚刚说的边角一定要传染，因为 a、 o c 他 是二 x， 那 么 c a、 e 就是 叉， 那么 c e a 也就是叉，有点必有叉，所以 a、 c、 o 就是 点， ec o 也是点。因为直径所对的角是直角，所以 e f e d， 他 也就是点了，那 c e c d e 也就是叉。 ok， 那 咱们就知道谁跟谁相等了，点跟点是不是都相等？叉跟叉都相等，所有跟叉相关的是不是只要带直角都是三比根号六， 角传染完以后咱们来传染边，你要带上什么呀？ d e 的 四倍的根号六，那 d e 是 四倍根号六，那咱们根据这个角 f d e 来说，邻边比斜边可以算出来 d f 是 八。勾股定律很简单， ef 就是 四倍的根号二，又因为 c e f， 它也是等于口算 a c e， 所以 邻边比斜边 c e 应该是四倍的根号三，二号固定里， c f 就是 等于四。 ok， 那 算到这里咱们再来看一下它，让我们求 e g 的 长度，咱们现在看 c d 其实就是十二，直径是十二，半径，也就是一个六 o 跟 o b， 那 么都是一个六边比斜边 ok， 四倍根号二，然后一个垂径定力 a f， 也就是个四倍根号二。这时候他说了，求 e j 的 长， e j 在 哪？同学们， e j 在 这下面，我们在想求边长呢？和了这么多边的关系，为什么还求不出来呢？勾定力咱们用过了，日角三角函数咱们用过了，那指成什么呀？相似对不对？那咱回忆一下，常见的相似都有什么呀？也就是 a 字型，还有什么呀？反 a 字模型还有什么呀？反 a 字模型，也就是上边的角是 共角的，有两个垂直，对不对？所以咱们来看，相似在哪里啊？同学们，相似是不是在这？也就是 a o f， a o f 换一个，换一个黄色的吧。 a o f 和 a g b 其实是 相似的，它们共用了一个直角边，对不对？和 afo 共用了一个角，其还有 afo 和 abg， 它都是直角，所以咱们可以得出来，三角形 aof 就 会相似于三角形 agb， 这个时候直接出比值，那么 a o 就 一定会比上 a g 等于 af 比上 ab， 这样的话我们可以看出来，大于进去 a o 是 六， a g 咱们不知道 a f 是 四倍的根号二， ab 是 十二，这样的话咱们得出来 aj 呢，其实是等于九倍的根号二，因为 a e 呢，是等于 a f 加 f， e 是 垂径定律，他们都是四倍的根号二。所以最后咱们得出来 e j 就 等于 a j 减 a e 等于根号二。好，那这道题咱们就讲完了，回顾一下。第一，首先是要读已知，你是要知道已知才能知道下一步的判定方法。 第一，他的直径，直径所在角是直角。第二，要有垂径定里，这个一定要存在咱们的日常积累，积累到笔记本上，好吧。第三，告诉咱们垂线可能会朝什么呀？垂线长定里 也可能告诉咱们是直角，四弧形角，圆周角，圆心角，它设计的非常广泛，考察的频率非常高，只要求角一定要优先考虑它。第二问，尤其涉及到圆的第二问，可能同学们不明白怎么做？ 第一就是要进行边角传染，因为已知条件告诉咱们，以后就是为了什么让咱们去做边角传染，把咱们图中能求的角跟边全部算出来，当给到锐角三角函数的时候，一定是 让咱找到谁跟这个 c a e 相等。那么则其他的角只要在直角三角形满足直角三角函数的条件，那他的比例关系都是三 b 根号六，把边长求出来，用相似就可以得出。好吧，那这道题求。
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04:09查看AI文稿AI文稿那我们来讲解第二种解决方法。首先来回顾一下已知条件，咱们说了角 b a c 是 r 方， a b 等于 a， c c d 呢？垂直于 abbm， 还平行于 a c， 这样的话 abm 就是 个 r 方。后面他说了 c a q c a q 等于 a p c， 所以 咱们第一问也说的贝塔，这也是贝塔，所以 b a m 就是 贝塔，减去一个。这个时候咱们刚刚说第一问，咱们是倍长了 ad 构成了一个等腰这三角形，然后 知道了全懂。那同学们，那老师说了，说用直角三角形来补成等腰三角形，那我 cad cad 这个直角形能被长， 那我 c、 d p 能不能被长？可以，那 c、 d、 b 能不能被长？不可以。为什么？因为咱们主要是导的是 c p a 这个角，还有跟这个角是相等的角，那咱们来看一下，如果咱们来 倍长 d p 啊，倍长 d p， 把这设以为一个点，这种情况下，那首先 a c a c 会等于 ab， 这两边是毋庸置疑的。第二个也就是角 c a b， 他是等于阿尔法的，还有一个什么角？还有一个是 abq， 这是阿尔法，他还差一个角。同学们，你看，已知他已经说上了 c a q 等于 apc， 阿兰比算 c a q 这个角等于 apc， 又因为怎么说了平行，所以 c a q 这个角还等于 a q m， 那 这时候咱们知道这三个角是相等的，那包括这个 c、 n、 p 是 不是也相等？因为等腰，所以同角的补角相等，得出 c n a 换一个角， 换一个颜色，所以就得出来这个 c n a 这个角和 a q、 b 是 相等的，那这个时候就不能看出来 a c n 和这个 a、 b、 q 他 们是全等的， ok， 他 们两个一圈等，那么这个 b、 q 就 会转化到 a、 n， 这对不对？那还是那句话，如果编程关系乱的话，就会设餐，所以 d 呢是终点，所以咱们把它设为 b 吧。小 b， 因为 e 呢是 a、 p 的 终点，那么 e、 n 咱们设为小 a， 所以 a、 e 是 不是等于 e、 p， 所以 就是等于个 a 加上二 b， 又因为咱们知道了这个 b， q， a， n 呢，就等于 b， q 就 等于 a， n 是 a 加二， b 加 a， 那 就等于二 a 加二 b， 那 么这个 d， e 呢？ d， e， d， e 是 不是等于一个 a 加 b， 所以呢，显然就是二倍啊，所以咱们就知道了， b、 q 呢就等于二倍的 第一。那这道题咱们说完了，还是总结一下，第一一定是要构造全等全等第一档工具。第二就是被长中线乘等腰。那咱还是回顾那个问题，那 c、 d、 b 能不能被长？那他如果被长，那这个角 就荒废啊，对不对？因为咱们知道了答案一直是藏在已知条件里边，一直通过已知来贴条件这结论，所以这道题咱们是用 c、 d、 p 做备尝。好吧，最后也就是射餐的问题，只要看见终点关系很乱，比如说 有好几个重点，有两三个重点，咱们就把设参数 a 跟 b 分 别设出来作对比，就能找到等量关系。好吧，那这道题咱们就讲到这里。
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08:08查看AI文稿AI文稿今年我觉得最有可能会发生的一个大的变化，也是今年咱们北京的数学的核心到点，那应该就是起动，北京中考稳中有变，今天我们一起来看一下北京中考在这几年考试当中出现了一些变化，可以简单的预测一下二零二零年北京中考可能会在哪些体状出现变化，也给孩子一个复习的方向，对 学家长大家好，我们来看一下近几年北京中考出现了哪些变化。第一个是二零二二年最初咱们中考历史舞台的一些题，第一个是三次图，第二个小函数的探究，第三个是多元一次方程与不懂事的一个方案问题，第四个解答这个作图问题，第五个二次函数的探究问题，第六个是集中的重点问题。在这里边各位家长和同学一定要注意，北京 中考考试内容是很稳的，考试知识点也是很少会发生特别大的变化的，但是在每年都会有五至六道题会出现一些变化，那么这五到六道题对于孩子的一个能力的要求就会非常的高，也是每年我们选拔的一个核心好， 从二零二二年开始，我们的变化特点也几乎是比较稳定的，二零二三年是相对来说比较难的一年，那么这一年发生了哪些变化呢？我们刚说了五到六个，我们现在一起来看一下。 第一个变化让学生感受最明显的就是选择题的第八题，考了一个小几宗的内容，但是第一年变化难度不是很大。第二个变化就是公，就是我们所说的填空题的十六题，从我们之前的方案的一个罗列美举的问题，变成了一个时间的一个优化问题，这个难度相对来说还是比较大的。至此，咱们的填空题的十六题，一直在和各位同学说 是第二问，直接放掉，争取拿一分好。第三个变化是应用题，东上了历史舞台，这一年考察的是图像类的应用题，一个我们家中经常会用的一个话，在这里面去进行考察。第四个变化是小函数，从两者的比较求 b 的 变成了三者 比较求避了，虽然说有变化，但是难度不大，对于孩子来说，他的变化微乎其微，但是也确实是卷子的一个调整方向。接下来就是变化比较大的两个点了，也是二三年比二二年难的问题。第一个就是二五题的函数探究问题，这道题从我们所谓的二次函数探究转化成了双火类的函数探究，它的变化非常的大， 导致很多学生呢坐起琴来可能没有那么明确的数值，主要是估值胆子不大，导致自己可能会吹九分九啊。接下来就是一个非常重要的东西，就是几宗，几宗在二零二三年发生了变化，将手拉手问题和终点问题结合在一块，也是网上很多老师说的进入了双模 型或者多模型时代，那么几宗的难度比二零二年高了很多，比二零二一年高了很多，所以这个变化对于我们来说是影响最大的一个变化，这是二零二三年，二零二四年北京中考 依旧稳中有变，在这里边作图，问题再次回归，然后成为了选择题。第七题，这是我们所说的第一个变化，难度不大，大家几乎都能做出来。第二个是从我们所说的第十四题从边长问题变转化成了角度问题，我觉得这个变化非常合理，各位家长可以看一下，前面的十四和十五题，求的都是边长。其实有一个知识点的一个 雷同的一个情况，从我们二四年开始，一个是角度问题，一个是编打问题，这个对于学生的考察就会更加的全面了。好，二四年的十六题也发生了一个变化，其实还是优化问题，但是它的场景设置的不一样，那么我们的考察的思维是完全不一样的。所以十六题让孩子在平时的时候去 练一些题没问题，但是大量去练一些题，我觉得收获不大，口才比较低，各位家长和同学一定要注意这样的一个变化。好，接下来是第二十一题。应用题从我们二三年的图形类应用题转化成了文字类应用题，这也是一个小的变化，很多孩子在读文字的时候会比较懵，这里边一定要提升一下自己的阅读理解能力，咱们 北京考试现在的阅读理解能力要求还蛮高的。接下来就是小函数从求 k 的 内容转化到了求 b 的内容，这个变化大不大呢？非常的大，因为在我们求 b 的 过程当中，我们是可以直接使用代入法求出最后答案的，但是求 k 的 话不行，因为你直接代入会漏掉答案。这个变化在当年也丢出现了，不少学生丢分，拉掉了北京很多的卷卷分。 接下来就是一个二四年中考刚结束，最火爆的话题就是我们所说的原宗，二四年的原宗难度相比 前几年的南中，难度增加的非常的多，很多学生做的都不适应，当年考试出来，很多学生都哭了，说圆中变得巨难，这也是我们所说的二四年发生的变化，一共也是六个左右，还是稳中求变，同时二五年我们的变化也是这个样子的。第一个也是大家能明显的感知到的一个东西，就是选择题的第八题，从咱们的小几中连续考了两年， 然后转化成了繁体函数与几何综合上的问题，这个变化我觉得非常的好，契合北京现在的中考，接下来的填空题当中的一道小题，考察了命题，因为知识点简单，所以说学生对于这个东西的关注度很低，但是我们一定要注意的是 填选会产生小变化，这一点大家一定要注意好。接下来十六题变成了一个生产效率优化问题，虽然都是优化问题，但是三个考试的方向完全不一样。 好，接下来的题目应用题再次的转化成了图形类的问题，所以我们大胆的预测，今年的应用题，如果不出意外应该是文字类的应用题，它可以是既保证稳，又在稳中有变，这一点各位一定要注意。接下来就是袁宗持续了二十四年的一个难度，但是在问法上出现了一些变化， 二四年的边长笔，二五年的是三角函数，那这些东西都是语言里边的非常综合性的内容，也是大家在之后做园农当中需要注意的，也是我们后续语言的考察方向，也就是说从二四年开始，园中作为综合题正式登陆了历史舞台。接下来就是去年热度最高的一个话题， 北京中考在每年考试的时候都可以引出一个非常火爆的数学点，那么在去年的火爆的数学点，那毫无疑问就是代数综合，从我们所谓的连续三年四年的大小问题，转化成了代数的新函数构造与最值问题，这个对于学生的影响非常的大，尤其是中 等同步偏上的学生影响特别大。这是二五年的北京中考变化，我们会发现他们依旧是六个左右的变化，那如果按照这样的规律，我们会发现北京中考的命题方向就是这样子的，稳中 求变，那么在二零二六年的话，我们的变化应该也是五到六个左右。所以学生在做今年的模考与去年中考的题目的时候，一定要注意有哪些东西可能是我们需要稍微拓展一点点的。第一 个是什么优化问题，这咱不说了，连续几年都在考，考试的内容也都不一样，那么二六年如果持续性的考优化问题，那么这道题他的考法和前面三道题的考法肯定不一样，这个大家一定要注意。 第二个是应用题，这个咱们刚刚也讲到了应用题如果不出意外的话，应该可以考文字类应用题，这是第二个，各位家长和同学一定要注意。前面三年咱们考察的内容是什么？是给一次应用一元一次方程和二元一次方程，那么也有可能会转化成考分式方程和一 二元一元二次方程，这个大家一定要稍微注意一下。第三个，我真的觉得小函数这道题可能会在求法或问法上去进行调整，它依旧会考察 k 和 b 对 于一次函数的一个影响，但是如何的去设置题可能会发生一些变化，导致很多题在这道题当中丢分，尤其是中等程度和中等处 天下的学生需要稍微注意一下。这道题很关键，这接下来原宗的难度可能依旧会保持二四年和二五年的难度持续增加，或者说保持不变。这个原宗他既然已经成为了咱们三大综合，所以家长和同学也能感受到今年的模考，以及我们所说的三月月考临模， 这些难度都非常的大，这一点各位一定要注意。接下来也是，尤其是在二五年，手拉手加终点问题的考试内容已经非常简单了，当时我的学生说六分钟解决问题，我也相信他是六分钟解决掉的，说明这个几宗的手拉手的构造学生已经学的非常的熟练了，那么我们接下来就要去调整方向，所以他也有可能会引爆今年北京 中考的热点。除此之外，这里面已经有五道小题了，按照我们刚刚说法，在前面的填空选择当中也会出现一个小题的变化，因为难度不大，所以大家关注度不高，这一点各位也一定要注意。 新定义在前两年一直有人说新北京要放掉新定义，考察一些新的问题，我觉得新定义在近几年是不会出现太大的调整的，当然这是我自己的判断，原因是在于新定义，是我们北京非常 好的一个考试题，也是全国包括高考都在往这个方向趋近的一个考试题，也是我们北京最具特色的一个问题。他把我们的数和我们的形结合的 非常的巧妙，做出的图形也非常的优美，我觉得这道题北京应该会继续延续考察，这个就是我们对于北京中考近几年的分析，也希望这个分析呢能给大家带来一点点提示和帮助。各位同学在做题的时候，尤其是这几道题，要给大家带来一点点提示和帮助。各位同学在做题的时候以防出现了变化。
83小程老师讲数学
02:37查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，马上我该中考一模了，然后呢，前两天北京市海淀区的中考救援会呢，刚开完，我们参加完，看完之后呢，其实先说结论啊，就是海淀区的 教学水平是很高，但是他的出题方向没有那么大能量，他并不能说左右所有区，所有地方的出题方向，所以大家就做个参考就行。海淀区为什么每年就大家老说这个出题出的挺好，要以他为标杆做参考，就因为其实 不光是因为海淀出题有出的有多好，其实是因为海淀出题特别的稳，就他不像有些曲线的就特别的跳跃啊，今年出个什么特别新鲜的，明天什么出个别出新材的，就有点偏了， 所以就是因为海淀出的很稳，他很保守，所以反而促成了啊，大家觉得海淀出题跟中考啊，高考特别的神似，所以就就这个原因，他比较稳。第一个先说结论，第二个就是他说了一个重点大家最关心的今年中考一模考什么，怎么考的问题， 今天中考英模考什么呢？还是那个老几样北京中考为例，还是那二十八道题。最关键的一句话先跟大家说，就是函数的考察，函数的考察其实就两句话，大家记住啊，就两个结论非常关键。第一个结论就是函数最值， 明确说了就还是考函数最值，那我们说函数最值，其实平时我们练的非常多，函数最值就那三个方向，第一个方向咱是不说几何最值， 他和几何相联系对吧？什么构造三角形啊，找到这个运动轨迹啊，什么等等等等，将军马，当然也有可能。第二个就是给了范围比大小，我个人认为给了范围比较比大小，用那个轴距法做或者平行法做。今年可能不会考了， 不排除其他省份可能会有，但今年北京可能不会考了。我把话搁在这，大家看对不对？第三个就是考增减性， 呃，增减就什么单调性啊，增减性啊，什么有没有啊？存在性问题，你看这是不搁存在性问题，先联系了，对吧？所以其实 最值就这三个考察的方向。第二句话就是考延伸或者题型进行延伸。什么意思呢？就是以前大家知道函数最值是不就出现在二十六题啊？这今年不一定了。今年函数最值可能出现在什么？选择题最后一道，填空题最后一道 我觉得甚至新定义或者中间的那个跟实际方向、实际生活相综合，那个函数图像题， 对，甚至于新定义是不都有可能。所以这要延伸性的考法就不一定只在二十六题出现。所以以上两点大家一定要注意，希望大家今年全都认真复习，中考一模，考出好成绩。
465崔亮数学
00:56查看AI文稿AI文稿今天咱们说说海淀区中考一模排名如何参照选择目标学校。今天这个预测仅是个人的猜测，请千万不要对号入座。 第一题对分数线，也就是北大附中以上的分数线，对应的大概分数为四百分，大概排名为一千六百五十名。第二题对分数线，大概截止到北航实验三百七十八分， 大致排名在五千六百名。第三题的分数线大致截止到海淀实验，估计为三百五十四名，大概排名在九千四百名。 第四题的分数线也就是不慢谱号线大概有可能是三百零五分，排名在一万四千名左右。如果您的分数达到了两百九十分，有希望可以冲一下咱们的七年贯通培养项目，那如果您的分数低于二百六十五分，也许提前招生会给孩子更多的可能性。 再次声明，以上的分数排名纯属个人娱乐，请勿对号入座。关注我，中考不迷路，上岸更轻松！
89韬哥学业规划
01:31:05查看AI文稿AI文稿今天我们用一张二零二六年最新的中考异模数学试卷，带领大家进行一场最完美的一轮复习。时间宝贵，咱们直接开始。首先我们来看第一题， 下来交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是哪一个？什么叫中心对称图形呢？就是把这个图形绕着某一个点旋转一百八十度，能够和自身重合，那么它就属于中心对称图形了。 什么是轴对称图形呢？就是关于某一条直线对称，对吧？哎呀，它能够左右两边完全重合，我把它叫做轴对称图形， 所以你有发现它属于轴对称图形，但不属于中心对称图形。它属于轴对称图形，但是不属于中心对称图形。而这个呢，它既不属于轴对称图形，也不属于中心对称，所以这里面满足条件的只有我们的 a 选项。好，我们看立二， 现在我告诉你，有一个坡坡高呢，是等于一的，就是这个是一，而且水平距离 bc 呢，等于根号三。问，我们整个斜坡 ab， 也就是这条坡，它的坡度是什么？ 其实我们一个斜坡的坡度是用这个斜坡的高啊，也就是用一比上整个斜坡水平上的宽度，也就是比上根号三，所以我们知道坡度呢，也就是三分之高三，所以这题我们选的依然是 a 选项。好，接下来我们继续往后第三题。 如果 x 比上 y 呢，等于四分之七，那么 x 减 y 比上 y 的 值等于多少？其实这个题考的是我们见比设参，它的一个怎么样的方法技巧啊？比方说呢，你可以令它是七 m， 对 吧？那么它就是四 m 了，那么整个分子呢，它就会变成七 m， 减去四 m， 整个分母呢？它就会变成怎么样呢？四 m， 对 吧？哎，我们除以四 m， 所以 也就是三 m 比上四 m 等于多少？等于四分之三，所以选 d。 当然，像这种题，其实尤其是选择题目，你我我建议大家直接怎么样呢？ 你把这个就当做七，你把这个呢？就当做四，那整个题目它就会变成七，减去四，再除以四等于几呢？那不也是四分之三吗？搞定 好，接下来我们再来看第四题。 o 第四题看起来好像有一点点难度，对吧？有一个立方体的木块静止在斜面 o v 上啊，就是，这是个木块对吧？这是我们的斜面。好，它的受力分析呢？如图所示哈， 受力分析其实是我们高中物理里面的一个分支了。好，它的重力计的方向数值往下啊，这个就是这个物体自身带的重力。 好摩擦力 f 一 的方向与鞋面平行，就这个方向呢，和我们的鞋面是平行的，往上了，他到底想干嘛？支持力啊，就是我们这个面对他的一个弹力，对吧？哦，往上弹的一个力怎么样呢？与鞋面是垂直的哦，也就是这个呢，你如果把它延长，跟整个鞋面是垂直的关系。好，我们继续往后了。 如果鞋面的坡角角一等于三十度，就这个角多少度呢？啊，我告诉你是三十度的。好，现在让我们求什么？求支持力？ f 二啊，就是这一条线与我们重力啊，重力计这条线他们的夹角的度数是多少？那么这个你一看就知道，他肯定是一个钝角，并且跟我们三十度有关吗？ 和三十度有关的钝角，你说是哪一个呢？很明显，对吧？当然如果你说这样呢，我想系统性的求其怎么办？其实这里面方法很多， 但我个人觉得比较常规，比较简单的方法是哪一种呢？举个例子，比方说我直接把它延长出来，你正面你可以用什么平行线来进行搞定，对吧？啊？亮，在这里我索性就用什么呢？就用我们的呃八字模型吧啊来进行处理 啊，因为你要知道这个是垂直的吗？也就是这个角呢，它是九十度，对吧？这个角是直角，这个角呢是 直角，能看到，画的比较小。哈，好，你会发现喏，还有啊，我把它标一下，也就是我们这个角能看到吗？这个角 跟我们这个角这两个绿角是相等，大家能不能看到？把它放大，可以吧，两个绿角相等啊，对顶角吗？那么此时你会发现在这个三角形以及这个三角形中能不能看到？在这个，这个，这个这个三角形跟这个三角形中，对吧？我的对顶角等于对顶角， 我的直角和直角对应相等，你垂直吗？所以这个角一定是九十度，对吧？三角形内角和呢？一百八十度。现在我有两组内角对应相等，一组内角对应相等，两组内角呢？对应相等，对吧？ 对，我们的第三组内角一定对应相等，你这个角是三十度，所以我们知道也就是这个角能看到吗？这个角它一定也是 三十度。理解没有。当我们求出这个角等于三十度，那剩下的它的零补角，也就是我们角二呢一百八减去三十度嘛，所以也就是一百五十度了，因此这里我们选什么？哎，我们刚才说和三十度有关的，对吧？很明显也就是 b 选项了。 当然在这里面，如果你像这样做平行可不可以呢？也可以做出来方法非常多啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，我们再来看一下第五题了， 第五题这个题其实本质上考的是我们相似的判定呐。首先我告诉你，三角形顶点都在正方形的网格格点上呐，像这种这种这种都在格点，对吧？那么下面鹰眼三角形，你发现它的顶点也在格点上，那么哪一个相似呢？ 其实我告诉你，这个题正常情况你应该怎么做呢？我讲两种方法，第一个呢就是我们所谓的常规的方法，第二个就是流氓法。好，首先标准方法他是这么描述的， 你这个三角形在网格里面三边可以求，你这个边长度是几呢？这个边的长度一定是我们的单位一，对吧？好，那这个边的长度呢？它是正方形的对角线，在这个等腰直角三角形中，你可以求出来它是根号二，没有问题吧？ 剩下的那这条边的长度等于多少呢？嗯，你会发现他在一个一乘以二的直角三角形是一根号二，根号五。 那么我请问各位同学们，那我们剩下的 a、 b、 c、 d 每一个三角形的边长可以求出来吗？百分百可以举一个例子，比方说这个边长是几呢？是根号二，对吧？这个边长是几呢？你会发现它在一个一乘以三的 一乘以三的直角三角形中，你用勾股定律可以求出来，这个边是根号十，也就是这里的每一个每一个三角形，它的三边你都可以求出来，哪怕慢一点。 求出来之后呢？我们知道相似的判定里面有一种两个三角形，如果三边对应成比例，那么这两个三角形一定相似，对吧？但是在这里面你会发现我们需要怎么样呢？一二三四， 我们要求四个三角形的三个边，我们要求十二条边，而且我们要比来比去的比较麻烦，那这里有没有稍微快一点点的方法呢？哎，首先你要知道我是不是一个钝角三角形，没问题吧？我这个钝角三角形的钝角等于多少度呢？首先这个角是九十度直角，没问题吧？ 剩下你会发现我们这个角呢，也就是这个角多少度呀？这个角这是等腰直角三角形吗？因此我们这个角一定多少度是不等于四十五度，没问题吧？ 那此时你会发现我们整个大大的钝角等于多少度？四十五度加九十度，也就整个钝角他一定是一百三十五度，没有问题吧？哦，我是一个含有一百三十五度的钝角三角形，你但凡跟我相似，你是不是必须得有一个一百三十五度才可以，对吧？ 那请问 abcd 哪个三角形，哪个钝角三角形它有一百三十五度角呢？很明显只有谁只有 a 选项，对吧？你这是九十度吗？ 你这是一个等腰直角三角形，这个角四十五度吗？九十度加四十五度，一百三十五度。除了 a 选项之外，你会发现 bc 里它都不含有一百四十五，一百三十五度，为什么呢？你比方说你这个角是四十五度，你这个角一定是小于九十度的，对吧？这个角是不是百分百小于九十度， 所以你整个角一定是小一百三十五度？不行，同样的，我们再看 c 选项，就你这个角是直角，对吧？但你这个角呢？它大于四十五度，为什么呢？你会发现我们连一下，对吧？连一下，你是个等腰直角三角形，因此我们这个角呢，等于四十五度， 对吧？那你整个大角不就大于四十五度吗？那你加在一起，所以我们知道，那整个大大大大的钝角一定大于一百三十五度，也不满足题。 好，最终我们再来看 d 选项，那 d 选项怎么判定呢？你想想，如果我这个角等于一百三十五度，那么这两个角相加一定等于四十五度，那么也就是每个角等于多少度呢？每个小角一定等于二十二点五度，对吧？那它等于二十二点五度吗？ 你想想，你连接一下，对吧？我们知道它是一个等腰直角三角形，咱们这个角呢，百分百等于四十五度嘛？ 四十五度是整个三角形的外角，那么肯定等于这个角加上这个角了。你想想，你是二十二点五度，那我这个角不也是二十二点五度吗？能不能理解？就这个角他也是二十二点五度， 那么也就是我们是一个等腰三角形了，也就是你这个边呢长度。哎，这个，这个边的长度怎么样呢？等于这个边的长度，你觉得可能吗？ 我这正方形的边长是单位一吗？你这个是正方形对角线根号，对吧？所以很明显，也就是我们可以推出来这个角，能理解吗？这个角跟我们这个角它的大小是不相等的，因此呢，它不可能是四十五度一分为二的二十二点五度。因此呢，我们 d 选项 它也不是一个含有一百三十五度的钝角三角形，因此满足题的只能是我们的 a 选项。好，我们继续往后了，再来看一下我们今天的例六， 这里考的就是我们位次图形，让我们找位次中心啊，也就是有一个三角形 a、 b、 c， 还有另外一个三角形 a、 b、 c， 对 吧？那么请问它的位次中心的坐标是什么？什么是我们的位次中心呢？它的特点就是你的 a 点跟 a 对 应点的连线， 以及你的 c 跟 c 点对应点的连线，对吧？哎，我不知道交于哪啊？包括你的 b 点跟 b， 你 对应点的连线，你一定会交于同一点，这个三条直线相交的同一点就是我们这两个位置图形的位置中心。 既然三条直线会交于两点，我们真的需要把三条直线都画出来吗？不需要，我们只需要画两条就可以了。比方说，首先我们画 a 跟 a 点，哎，这一条直线把它画出来，所以我们知道 v 四中心一定在我们的 y 轴上。好，接下来我们再找怎么样呢？找我们的 c 跟 c 点这两个对应点， 你会发现这两个多一点，他在一个二乘以三的怎么样的大大的长方形中，所以你接着画的话，他依然会在一个二乘以三的大的长方形中，也就是怎么样呢？他整个的连线是这么走的，他会走二乘以三的这个长方形矩形的对角线，对吧？ 所以也就是在哪里呢？啊？就在这个位置，那么这个点呢，很明显就是零负一，所以我们选择 d 选项。搞定。好，接下来我们再看一下 例期，其实你我发现前面整体来说都比较简单，例期其实也不难啊。好，我们给出一个烧瓶球的半径是五厘米。好，我们知道它的半径呢，等于五。好，液体已过半，现在我告诉你， c、 d 等于七厘米，整个 c d 是 七，那就相当于告诉你，这个边的长度呢，是等于二的，对吧？半径是五吧。 好，那么请问圆中的弦 a、 b 的 长度等于多少？这个题很明显考的是我们的垂径定理，那么正常情况下，我们的线应该用虚线表示，我就直接连了啊，我们知道圆的半径是五吗？你的半径是五。好，那么此时我们用勾股定理，我们可以求出来，那剩下这个边的长度呢？哎，求一下， 斜边是五，直角边呢是二，用勾股定律我们求出来，等于根号二十一，对吧？根据垂线定律，那么这个边也是根号二十一，所以整个长度呢，也就是二倍的根号二十一，选 c。 好， 我们继续往后了，这是我们今天的例题，我们再看例八， 例八，它属于我们三角函数的一个实际应用。好，首先学生甲在量体 a 处，量体在哪？在这里，对吧？测的弧形岛。 c 啊，就是弧形岛啊， c 点在其南偏西十五度的方向上，什么意思啊？就是 哦，把 a 当做一个我们的观测中心啊，这左西右东，上北下南嘛，这时候就是我们的南，这边就是我们的西，对吧？ c 在 a 的 南偏西，南偏西，就是从南边往西边，这边偏段，偏十五度，对吧？偏十五度的方向， 其实就是告诉你角一等于十五度嘛。哎，好，我们把它清掉。那说白了，咱们白说了，也就是这个角等于多少度呢？它等于十五度 是吧？哎，我把它标出来可不可以？哎，我把它写在旁边，这个角是等于十五度的。好，我们继续往后 右，从 a 处向正东，正东就是水平，往右干嘛呢？行驶三百米到达凉亭 b 处，也就是告诉你这个长度是三百。好，测得弧形 c 在 其南偏西，六十度，一样的嘛，对吧？ no， 这是南岸， 这是 c 在 b 的 南偏西，六十度啊，这个六十度已经给你标出来了。好，我们继续往后啊，已经标出来，我们就不用管他了。 好，那么请问此时 b 和 c 之间的距离，也就是 bc 的 长度等于多少？其实在这里面，我们知道他相当于告诉我们怎么样两个条件，第一个条件就是我们这个角他一定是三十度，没有问题吧？好，第二个条件是什么呢？他相当于告诉你这个角他的度数等于多少度。 这个角是九十度吧，没问题吧？九十度加十五度，其实也就是一百零五度。那我想问一下，剩下的我们这个角的度数等于多少度， 也可以求，对吧？三角形内角和一百八十度吗？减去一百零五度，再减去三十度，所以我们知道剩下的一定是 四十五度。挠，我就觉得比较简单了。在一个还有特殊角的直角三角形中，我们知道其中任何一条边，他所有的边长，所有边长全部都可以求解出来，为什么呢？比方说我们过 a 点直接做垂线 对吧？做垂线，比方说亮在这里放个屁，看到没有，我在这放了个红色的屁啊，臭死，那踢一半就逃跑了，各位同城。 哎，我们知道三十度所对的直角边是整个斜边的一半，就是一百五，对吧？所以你这个等腰直角三角形，我们这个边也是一百五了。 你不管用勾股定力，还是根据特殊直角三角形三边比的关系，我们都可以求出来，这个边呢是一百五十倍的根号三，所以整个程度呢，那自然就选择 b 选项了，一百五加上一百五十倍的根号三，其实比较简单啊。好，接下来 我觉得目前稍微有那么一点点难度的，也就是我们的第九题。嗯，这里看起来好像很火人的样子，就是很多推看到这么亮了，我脑袋都大了，对吧？这怎么处理？其实我个人觉得比较简单啊，给出一个抛物线啊，像这样的啊，我告诉你， a 大 于零，开口向上吧， 它与 x 轴交于 a 点 m 零交于 b 点 n 零，并且 m 呢，在这个范围里面，请问 n 的 取舍范围是什么？ 其实这个理本质上他也是有流氓法的，但我个人觉得我们完全没有必要去掌握那么多的，让大家觉得怎么样呢？ 呃，需要记的方法，我们直接用标准方法来搞定，可不可以？首先我们可以得到两个条件，第一个条件，开口是向上的。第二个条件，他的对称轴是二分之一，因此我们可以画出一个开口向上的抛线，就大概长这个样子，现在怎么样呢？他与 x 轴，注意他有两个焦点，对吧？他有两个焦点。 那问题来，有人亮亮，那你这个 a 点跟 b 点谁在左谁在右呢？你又没有说，对吧？那乌七八糟的，那谁知道呀？好，其实因为这个题目，我告诉你，我们的对正轴是什么？咱们整个抛线的对正轴多少呀？ 抛物线对中轴是二分之一，对吧？那对正轴也就是 x 等于二分之一嘛？你其中一个焦点是什么呢？我现在已经告诉你，其中一个焦点的横坐标是负一到零之间，对吧？也就是这个呢，是负一，这个呢是零吧， 对不对？所以很明显也就是你这个 m 呢，那一定在对称轴的左边吗？对称轴二分之一非零，不都在二分之一的左边吗？好，问题来了，那另外一个焦点的横格标 n 的 取值范围是什么？其实这个题你会发现看起来好像很难的样子，其实它考的是什么呢？三个字，抛物线的对称性。 什么意思呢？你想讲啊，那你这个焦点在两个整数之间，对吧？那关于对称，那我这个点他也可以在两个整数之间吗？那请问这两个整数分别是什么呢？比方说，那请问这个点，对吧？ 那比方说我另这个点跟他关于对称轴对称，大家告诉请问这个点是多少？你可以用对称器，你也可以用距离嘛。比方说，同学们，实在不会的，你到我们对称轴二分之一个单位吧，对不对？所以你到我们的这个，呃，这个对正轴呢，也是二分之一个单位嘛？ 对称轴本来就是二分之一，你再往右边走二分之一，所以我们是几呢？哦，就这个点，对呢，就是一嘛，对不对？ 那剩下的你说另外一个点呢？他在两个怎么样呢？整数点之间嘛？剩下一个点一样的道理。 no， 你 会发现，哎，你索性求吧，负一在对应轴，负一在二分之一的左边，二分之三个单位，对吧？那你往右边走个二分之三呢？ 二分之一加二分之三减，那不就是二吗？对吧？所以也就是我们剩下一个焦点，我把它清掉了，那么剩下你这个焦点呢？一定在一到二之间，所以这个题呢，我们选择 c 选项搞定，是不很简单，不过如此吗？ 好，接下来我们再看一下我们今天的例式哦。这个题看起来好像就有一点点的难度了，呃，是吧，很多同学比较头疼的什么？呃？选择题的压轴题，填空题的压轴题。 好，我们一起来看看这题它到底有什么样的一个难度啊？给出一个矩形纸片，我告诉你， a、 b 是 十二的哪一个？就这个边等于十二。好， a d 等于十，就这个边呢？它的长度是十，我把它在图中标注出来， 好点， e 是 中点，那么也就是这个边是六，这个边是六，我们尽量把题案中的条件标注在我们图示里面。好，现在问题来了，把这个纸纸片呢折叠两次，第一次怎么折？ 使得，哎，沿着他们这样翻折，对吧？使得 a 点翻折到 e 点。这里其实我跟大家说一下，你可以把这些边呐，这些边呐，这些边呐全求出来，为什么呢？他是六吗？ 你另他是 x 可不可以？这个边不就是十减 x 吗？没问题吧？你把这个图形翻折到这里，你这边是不是也是十减 x？ 你 在这个直角三角形中用勾定力，你一定可以把 x 求出来，就是你在拿到题干的时候，你的脑海里面一定要有怎么样呢？啊？第一种像这种反应， 好，接下来我们再看，当然我们先放一下干嘛呢？好，接下来连接我们的 m e， 呃， n e 就 连了很多，之后呢？第二次折叠，你怎么折？哎，使得 n 与 e 重合，就像这样再折一次，对吧？使得 n 点跟 e 点重合，这是怎么折的？大家观察一下 哦，也就是折痕是 h g 了，对吧？沿着这里折叠是不是？哎，是的，你这个 n 点呢？折到哪去？折到 e 点这里，你这个 b 点呢？就落在 b 点，说白了也就是把这个图形，对吧？沿着 h g 折叠到这个图形，哎，这看起来好像不是特别的友好，好，现在问题来了， 折完之后呢，其实整个图形的形状、位置、大小、折痕全都是固定的。现在让我们求什么？求 e h g 哪个角 啊？ e h g， 也就这个角，对吧？我把它标出来，也就是我们这个直角它的正切值，嗯，是不是这个角？ e h g， 求三角函数方法，它只有三种，第一种干嘛呢？就是你判断它是不是特殊角，对吧？如果这个角是一个特殊角，那就不用说了。哎，我，其实我就 今天就尽量不要见题讲题吧，这个题其实我们直接讲非常快啊，但是我希望跟大家去分析他的底层逻辑，分析他的一些怎么样的处理方法。这个特殊角，如果他是三十度，四十度、六十度，那你就不需要管他在什么样三角形中直接求解就可以了？ 好，第二种方法是什么呢？如果他不是特殊角，对吧？你根本就不知道他多少度，那么此时你就需要把它放在一个直角三角形中，如果不在呢？你可以作出一些，对吧？哎，我们需要构造 哎，或者寻找一个直角三角形，如果没有，你得做垂线，这是第二种方法。第三种方法是什么呢？就是等角转化， 如果一个角的三角函数，你会发现在这里面怎么都无法求解，不好求，对吧？那你此时你就需要稍微的转换一下，你不好求，我就找一个和你相等的角来转化一下，进行求解就可以了。比方说，那我想问一下各位同学们，因为你要知道 正面他会产生折痕啊，注意，我们把这个四边形翻折，得到这个四边形，对吧？那我请问，根据对称性，我们这两个直角相不相等是不一定相等的，对吧？ 啊？他一定等于我们这个直角两只角相等，我可不可以求这个角的三角函数呢？一定可以，其实你有发现，那根据对称性，这还是九十度呢？他本身就在一个直角三角形中，对吧？好， 他多少度你知道吗？反正我是不知道的，我相信在座各位同学，你们也无法直接判断出来他是具体多少度。好，问题来了，你把它变成这个角，那又能怎么样呢？我想问一下各位同学们，因为你要知道脑，咱们是把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？ 我们这个角是直角九十度吧，你翻折到这里面，这个角是不是也是九十度？没问题吧？我们刚才说了，那你这一条折痕他怎么样呢？就是你要知道啊，你对应点的连线 一定被我们的折痕垂直平分了。哎，这个大家懂不懂？也是，这个角一定是直角，对吧？那我想问一下你呢？垂直于 e n， 我呢也垂之于人，那我请问这两条线它平行吗？也就这两条绿边，这两条绿边它平不平行？ 百分百是平行的，两只线平行，对吧？哎，比方说被我们第三条边所接，所以你要知道哦，咱们的同位角相等， 也就是咱们这个角跟我们这个角它是不同一角，所以它相等的，是吧？啊，也就是我们这个角呢？哎，我们转换成，你只要求这个角就可以了。好，那这个角接下来那又该怎么求结呢？其实你会发现，这个角本质上它等于哪个角， 它就等于我们这个角，对吧？是不等于这个角有没有问题？所以你只要把这个角把它求出来，我们依然可以轻松搞定。 其实到这里我们就已经可以直接求解了，但是为了让整个题目变得更加简单，好，我继续等角转换。比方说，哎，我去干嘛呢？我去连接这一条线，大家看清楚啊，我连接一点跟 a 点，对吧？哎，我们把它标成一条虚线，可不可以？ 好，我们知道，因为咱们是干嘛呢？咱们是把这个三角形翻折到这个三角形了，对不对？所以我们 a 点和 e 点是对称点吧。说白了，我们知道这个角一定是直角九十度，如果把这个角标做 a r 法呢？你会发现我们剩下了这个小小的绿角，也就是我们这个角，哎，这个角 它一定等于多少度呢？一定是九十度减去 a r 法，对吧？好，这么标有什么好处呢？此时你会发现，在我们整个大大大大的直角三角形中，我一个锐角是九十度减 a r 法，此时你会发现剩下这个角， 它不就是我们想要找到的 alpha 吗？此时你会发现，我们需不需要像刚才这样引着未知数呀，去构造方程，完全没必要，对吧？最终你会发现我们要求解的这个角，我们最终把它转化到这个直角三角形中去了，也是怎么样呢？哎，我们知道这个边呢，它是六的吗？对吧？ 以及我们这个边呢，它等于多少？等于十，对不对？所以你方我们需不需要引入未知数？完全不需要。这个角它的正切值等于多少？等于它所对的直角边，比上相邻的直角边，也就用十比上六，所以我们最终求出来三分之五搞定。 所以你会发现所有很多所谓的压轴题，它其实处理的方法是非常有限的，而且它的突破口呢，也往往都是一些常规的内容。好，接下来我们看填空题第十一题，那给出一个三角形啊，告诉你， a c 大 于 a b， a c 大 于 a b， 我 们自己就可以看出来 好， d 点在 a c 边上啊， d 点呢？跟 a c 不 重合的。好，我们需要再增加一个条件，就可以使得 a、 b、 d 哪个三角形？就是这个三角形，相似于 a、 c、 b， 对 吧？哎，相似于整个大三角形，你这个都画的其实不是特别标准啊， 我们要学会利用不太标准的图形求出我们标准答案。其实很简单，你会发现这个三角形跟整个大三角形，它本身就有一个公共的顶角，对不对？所以在这里面你千万不要去为难自己啊，我们再加上一组等角就可以了，干嘛呢？我使得你这个三角形的角 a、 b、 d， 对 吧？ 等于什么呢？等于整个大三角形，它的角 c 就 可以了，也就是角 a、 b、 d 等于角 c 就 可以了。当然，如果你说我要舍得两组边对应成比例，可不可以呢？也可以。或者你说我们这个角等于这个角，呃，就是这个角等于这个大角，行不行呢？也可以，对吧？ 你只要属于我们相似的判定都可以了。简单，我们就过得稍微快一点点。好，接下来看一下我们的例式二，这个东西属于我们的反比例里面的等比模型。好，在这里我也尽量跟大家讲的详细一点。 首先给出一个反比例函数， y 等于 x 分 之一啊，就是这条直线呢，是 y 等于 x 分 之一，对吧？为什么？因为 k 大 于零嘛，它经过一三项线，对不对？所以经过第三项线的啊，它的 k 是 正的，那 x 小 于零，就是我们取它第三项线，是吧？横格标负数的，也就这个半截。好。现在我们连接 o a， 连接 o a， a 点在哪呢？不知道，你可以把它当做一个动点嘛？现在我永远过 o 点做 o a 的 垂线和另外一个反比的函数呢，交于 b 点，我告诉你，是 o b 等于三倍的 o a， 就是我这条线段的长度，永远是你的三倍。好，在正面我们就索性先，哎，我们先直接把它写出来吧。就是这条线段呢，它是三 m 好 不好，这条线段呢，是三 m 的 长度，你这个线段呢是小 m， 我是 你三倍。 好，现在问题来了，嗯，那当 a 点在这个图像上运动的时候，点 b 呢？在另外一个反 b 的 函数图像上运动，这个反 b 的 函数呢？就是 y 等于 x 分 之 k， 对 吧？现在让你求反比函数的表达式。其实我告诉你啊，这个等比模型的结论是什么呢？它的结论就是 你这两个 k 之比的绝对值，对吧？一比上 k， 哎，就是你要知道我们平常为什么要去学习很多的方法技巧，二者之比的绝对值一定等于什么呢？ 它一定等于。哎，这两个之比的平方等于这两条线段之比的平方啊，等于 o a 比上 o b 之比的平方，这个结论百分百成立， 对吧？ o a 比上 o b 是 一比三嘛，所以它就应该等于一比三的平方，所以它们的比值一定是一比九，理解了没有 啊？既然是一比九，那剩下你会发现他就比较简单了。为什么呢？因为你要知道你这个 k 是 呃，一，对吧，所以我们这个 k 呢？当然，我是经过二四象限的吗？ k 是 负的，所以他一定是负九。 所以你不妨当你学学会很多方法技巧之后，我们做题呢？那别人可能要五分钟呀，十分钟，甚至没有思路，那我们可能十秒钟就只能能够直接口算出来。好，问题来，这个问题我们该怎么去证明呢？其实很简单，对吧？因为你要知道，在我们这一条直线上呢，在一条直线上，我们出现了一个直角，九十度吗？ 那在一条线上出现了直角，所以如果你过端点分别往下做垂线，比方过 a 点往这边做垂线，对吧？哎，比方说就像这个样子，嗯，一样的，我们再过 b 点往这边做垂线，就像这样的， 对吧？那我把它标下，也就是咱们这个角呢？它是直角，它是直角，它是直角。那我请问 各位同学们，左右两个三角形相不相似？就是左边这个三角形跟右边这个三角形很明显，它一定是相似的，一线三垂直，我就不再说了，可不可以？ 那请问这两个三角形的相似比是多少呢？比方，这个我把它标作 m， 这个把它标作 n， 可以 吧？也就是三角形 o a m， 它一定相似于三角形 o a m 和怎么样呢？和我们的 b o n， 对 吧？和 b o n 两个三角形一定相似。相似比多少？很明显，你的斜边是 m， 我 的斜边是三 m， 也就是它的相似比呢？相似比多少？ 相似比，它就是等于 o a 比上 ob 的。 我先懒得用什么 e 比三呀啊，或者 m 比三 m 来表示，就是 o a 比 ob， 没问题吧？以这个线比上这个线，那不就是我们的相似比吗？好，那现在我想问一下，请问接下来那我们的 k 跟什么有关呢？ 相似比等于这么多，那我请问这两个三角形的面积比等于多少？大家能告诉吗？面积比等于多少？面积比是不等于相似比的平方是不等于 o a 比上 o b 的 平方没问题吧？你会发现 o a 比 o b 的 平方不就出来了吗？ 而这两个三角形的面积比还等于什么呀？举个例子，比方，你这个 x 分 之几呢？我就是 k 一， 可不可以？你这个呢？就是 k 二，可以吗？一个 k， 一个 k 二，那你要知道， ab 都是反比例函数图像上的点，你向 x 轴做垂线与坐标原点与坐标原点所围成这个直角三角形，面积等于多少？它是不是二分之 k 一 的绝对值？你这个面积是不等于二分之 k 二的绝对值，有没有问题？ 所以你用这个面积比上这个面积，那不就是 k 一 的绝对值比上 k 二的绝对值？ k 一 比 k 二， 那其实就是 k 一 比上 k 二的绝对值，我们是不是证明完毕？那也就是你只要过坐标原点，对吧？你发射一个九十度角，这个角呢，和两个反比的函数交 a b 两点，你要知道， 那么这两条线度啊，比值的平方一定等于这两个 k 之比的绝对值，因此这个结论呢，我们在这里就证明完毕了。你刚才这个就是 k 一 吗？对吧？你这个就是 k 二，理解没有？ 嗯，不就是怎么样呢？等于二者比值的平方吗？对吧？所以剩下你会发现，喏，它 o a 比上 o b 是 几比几？ o a 比上 o b 在 整个题目中，哎，我把整个题目还原了好不好，不然大家可能看起来觉得有一点点乱。 这个题我并没有单纯的说就题讲题啊，如果只是单纯就题讲题的话，我们完全可以脱离这个结论，对吧？啊？快速告诉大家，很明显，这个值多少就是一比九，是不是 啊？ k 等于多少？ k 一 他是一吗？所以也就是怎么样呢？ k 二的绝对值，你这个是一了，你这个下面 k 二绝对 k 二是负的吗？注意啊，他是经过二四象限的，所以你这个 k 一定是负的理解没有， 一比上一个负数绝对值等于一比九，所以这个 k 呢？你想想一比上一个负数的绝对值，对吧？中等一比九的，你这里面负数只能填几，只能填负九，理解没有。 好，那么接下来我们继续往后再来看一下我们的第十三题。这个题我个人觉得就简单一点点啊。首先给出一个平行四边形， a， b， c， d。 啊，我是一个大大大大的平行四边形， e 是 a、 d 的 中点，就是这条边呢，等于这条边两边相等， 现在点 f 是 c、 b 延长线上一点啊， f 在 整个 c b 的 延长线上，就像这个样子啊，并且 e、 f 的 平行 b d， e， f 平行 b， d 就 像这个样子，对吧？其实你要知道啊，咱们这一条线，它是平行于这条线的，对吧？ 另外这一条线呢，还平行这条线，是不是因此我们知道它也是一个平行四边形嘛？两组对边分别平行，它就是平行四边形了。好，现在我告诉你， a g 比上 a， e 等于 a。 呃，什么意思？ a g 比上 a e。 其实我告诉你各位同志们，就是在我们平常考试，如果你处理比例关系，尤其像这种，对吧？让你求比例关系最快的方式 就是令分母式单位一也是，我就令你是 a， 我 令你是一，对吧？那我比上你不就是 a 比一吗？你会发现整个题目里面就只含有一个字母了啊，对吧？那当然他也是一，但如果你说练了不行啊，那我们要是大题写过程怎么办呢？好，如果你大题写过程，你就引入两个未知数好不好？ 其实我更加建议平常自己做题的时候，尤其是选择填空，你就使得其中一个边为单位，一会更快的啊。好，我比上，你呢是 a 倍的。好，那我也是小 m， 你 这个边是二 m， 所以 这个边呢，也是二 m， 对 吧？以及你是 m， 所以 我们这个边呢，也是 m， 对 边相等吧。平行四边形 好，那接下来你会发现，喏，在这个三角形跟这个三角形中，大家能不能看到两直线平行？首先咱们知道内错角相等，对吧？ 哎，内错角相等，平行吗？另外，你还会发现我们的对顶角相等，咱们的对顶角相等，所以你会发现这两个三角形什么关系？它就不再是简单的相似，而是全等，对吧？这两个三角形，红角等于红角，绿角等于绿角。我有 m， 你 有 m， 所以 全等了。 你是 am， 所以 我们知道剩下这个边呢，它也是 am， 对 不对？就这个边是 am， 就是 这条边嘛。 好，剩下让我们求 b g 比上 f c。 b g 是 什么呀？它不就是 am 吗？好，整个 f c 呢，它不就是三倍的 m 吗？咔嚓，约掉了，所以等于三分之一。嗯，也是比较简单简单，我们就过得稍微快一点点啊，我们继续往后啦，哒哒哒。 好，再来看一下我们今天的例十四，其实这个题它的处理方法我个人觉得比较多，这个题我们最少可以用三种不同的方法来进行处理啊， 比方在边长为四的正方形，它的外侧啊，边长为四行，你的边长了四，你的边长了四，我们就把它标出来。好，现在我们干嘛呢？做一个直角三角形 a d， 使得这个角 a e d 呢，等于九十度，就这个角呢，是一个直角， 好， a d 呢？三十度，哪个角？也就是我们这个角是三十度的，对吧？啊？就是这个角啊，这个角 多少度？他是三十度，那其实我们可以求出很多线段的长度，比方说呢，你要知道咱们正方形的这个边长等于几？边长等于四吗？对吧？三十度所对的直角边等于斜边四的一半，所以我们知道这个边是二，以及你用勾股定律或者特殊直角三角形，我们求出来二倍根号三。 好，接下来我们看看这里到底想干嘛啊？好，第一个，让我们求 a e 和 d 的 长度和 a e 和 d， 哈哈，你这个有点瞧不起我了，也就是二加上二类根号三吧，对吧？长度和好。第二个，如果 o 是 a c 的 中点， 对角线的中点，正方形的性质大家必须得知道啊。连接 o e， 让我们求 o e 的 长是什么？ 这个题你可以直接怎么样的？用勾股定力，对吧？那求一条斜边，最常见就是把它放在一个横平竖直的直角三角形。先这么去求，可不可以？我告诉你，百分百可以， 你再遇到这种方正的几何图形里面，如果你没有思路，你想要拿下满分，你可以用间歇法都可以，对吧？那么在这面我用一个我个人觉得比较常见的方法啊，叫做边等角补模型，什么意思呢？首先你连接我的对角线也不算连接对角线吧，连接我们的 o d， 对吧？那么根据正方形的对，正方形的对角线是互相垂直平分且相等的，所以他是一个等腰直角三角形，明白了不？所以连接完毕之后，我们知道也就是这条绿边呢，他一定怎么样呢？等于这条绿边， 嗯，对吧？我这个方法，我个人觉得计算量是比较小的啊，绿边等于绿边，并且咱们这个角呢，一定是直角，他一定是九十度，对吧？ 哎，直角，好，现在我告诉你，所以你看看，你们平常错过了很多很多的几何，哎，哎，你们真的错过了很多的几何模型，什么叫做边等角补模型呢？边等角补就是一个四边形，如果零边相等， 对角互补，那你看看，这是不零边相的，这是不零边相的，对吧？我对角是不互补，对角是不互补，那么此时像这种图形，它的万能处理方法，旋转，你只要旋转，百分百就会轻松处理，你会翻很多答案，他会告诉你，同学们，转一下，为什么转呀？ 为什么要这么转，对吧？你倒是说呀，好，怎么转呢？你会发现连接对角线，他会把整个图形分成一个两个三角形，你随便旋转任何一个三角形就可以。怎么转呢？比方把这个三角形我们直接转到这里， ok， 哎，差不多就转到这里吧，就转过来，好不好？哎呦，我觉得稍微有一点点误差吧， 哎，就这样吧，好吧，就这样，我们把它转过来，有这样的，那对角互补有什么用呢？边等有什么用呢？你把这个三角形转到这里， 因为你这个绿边跟这个绿边相等，所以你把这个三角形转过来之后呢，你可以靠着这个绿边，对吧？那角补。对角互补有什么用？ 其实你要知道啊，我们这个角跟这个角对角互补，那么我们这个角跟这个角对角也是互补的。好，把它标一下，比方我把这里的三十度，我把它给清掉。嗯，如果我令这个角呢？比方这个角它是 arva， 可以 吗？这个角是 arva， 那 剩下我令这个角呢？它是贝塔， 就是用蓝角。这个角呢？我令它是 beta。 好， 角补有什么用？你把这个三角形旋转过来，你这个角是 alpha， 所以 我们知道，那剩下这个角它是不是也是 alpha， 对 吧？我们刚才说了吧，你的对角是互补的，你的 alpha 加 beta 一 百八十度， 那 ar 法在这，贝塔在这，那相加一百八十度，所以它是个大大的平角，懂了没有？如果你没有对角互补这个条件，你旋转过来呢？那它就不再是一个平角，它就不再是一条线，它就会翘起来，就翘成什么样子，就翘成可能像这个样子。懂了， 不对吧你，你整个图形，它就不再是一个完整的三角形了，它是一个三角形加另外一个三角形，它是个四连形，懂了吧？ 哎，对角互补可以保证，哎。比方放个哎屁，可以保证 p d e 三点在同一条线上。好，那旋转完毕，我们可以得到什么呢？其实我们百分百可以得到一个等腰三角形，哎，为什么呢？比方说我另这个边是一个红边好不好？你这个三角形有一条边是红边，可以吧？ 你把这个三角形旋转到这里之后呢？你这个边是红边，我们这个边一定也是红边，所以看到没有，你只要旋转边等角部，一定可以得到一个等腰三角形。 当然了，你把这个三角形转过来，你这个边是二，所以我们知道这个边呢，它也是二，对吧？就是 p d 这个边它也是二。那然后呢？注意啊，咱们这个角是九十度，九十度意味着什么？你可以用旋转的思想去处理，或者你说这样哈，我不太会用各种思想。行，那你这个角是 a r 法，可以吧？ 好，接下来你这个角呢，是贝塔行不行？哎，我们就不再用刚才的 a r 法，贝塔重新再来这个角直角嘛。那你不就相当于告诉 a r 加上贝塔是不一定等于九十度的，没问题吧？ 你把这个三角形旋转到这里，你这个角是 alpha， 所以 我们知道这个角呢，一定也是 alpha， 对 不对？我们刚说 alpha 加 beta 等于九十度嘛，你这个是 alpha， 你 这个是 beta， 所以 相加等于九十度呢。这个角是一个大大的直角，因此你会发现 我们可以得到一个大大大大等腰直角三角形。我们知道斜边是二加二倍根号三，那么请问直角边 o e 的 长度呢？等腰直角三角形，你从斜边到直角边，你除以根号就可以了，理解没有， 对吧？从斜边到直角边，二加上二倍根号三，这个就是我整个斜边吗？从斜边到我们的直角边，你除以根号就行了。除以根号，你除以根号呢？他就是根号，对吧？你除以根号呢？你算出来的根号六。嗯， 所以这个题你看，虽然是个大题，他为什么敢出填空呢？一般同学你去猜什么根号三呀，根号七呀，对吧？哎，什么二倍根号呀，你们猜一个的话，很难猜中的，根号加根号六。搞定。好，那接下来我们继续往后再来看一下我们今天的解答题。 那么解答题其实我们全国有百分之八十以上的中考，我们整个大题里面特别喜欢考我们这种怎么样呢？实数的运算跟我们逆的运算呀，啊，绝对值的化解呀，我们这种三角函数呀，对吧？哎，综合起来考察分值比较高。 呃，然后呢，又比较简单，所以大家千万不要轻易的丢分。好，一样的，首先我们我就不写几了，扩散六十度等于多少？ 扩散六十度，其实大家得知道啊，你画一个六十度的直角三角形，对吧？六十度，这个角就是三十度嘛， 哎，一二根号三，对不对？所以扩散六十度就是他的邻边比上斜边是不是二分之一，所以也就是三乘以二分之一。好，我们减去一个数，只要他不等于零， 他的零次方呢？一定等于几？一定是一，明白，没有什么派的零次方呀，哎，这个八的零次方呀，七分之五零次方都等于一，好减去。那么像这种负指数密怎么办呢？比方说七的负二次方，他说等于七的二次方，再来一个分之一的 比方说呢？哎，这个这个五的负三次方，他就是先把五三次方再来个分之一就可以了。好，这是我们负指数密，他的怎么样呢？一个运算的法则，所以在这里面你去算他怎么办呢？首先负四分之一，你先来一个平方，对吧？ 不，四分之一，你先求它的平方，它的平方等于多少？等于十六分之一嘛，对吧？你再把它倒过来，求它的倒数，你想想十六分之一，它的倒数呢？是不等于十六，所以这个东西你求出来它就是十六的，理解了吧， 我们减去十六。好，最终我们减去，最后还有一个什么呢？有一个绝对值，一样的绝对值，你在去处理的时候，你首先判断里面的正负根号三减二，那这个不用说了，一定是负数吧，负数带绝对值去掉之后呢，变成自身相反数，那么它的相反数等于多少？ 你减我的相反数，就是我减你根号三减二，相反数就是二减根号三，所以最终我们求出来等于多少？等于二减根号三，所以最终我们求出来等于二，再减根号三， 所以也就是，哎，加上根号三，呸，所以最终我们求它等于根号三，怎么样呢？我们最终再减去十七又二分之一， 对吧？把前面放在一起等于这么多，你用这种代分数或者假分数都可以啊，这种答案都是对的。好，我们继续往后了，我们再来看一下今天的例十六，这个题其实我个人觉得也比较常规啊，然后把这个图稍微的缩小一下，不然大家可能看不到，哎，再缩一点点好不好？ 这里你会发现我们整个中考里面喜欢考我们这种旋转呀面积哈，那往往也是送分了。好，那首先给出一个格点图形，它每一个小正方形的边长呢？都是一个档位 啊，就是边长都是一边长，都是一对吧。好，现在 abc 的 顶点都在格点上面， o 就是 这个，就是三角形 abc， 它的格点呢？顶点都在格点上面。好，普通，建立平面直角坐标系，使得圆点是 o， ab 坐标分别是这么多，其实这个量呢，就直接画就可以了好不好？ 嗯，负三负一，所以我们整个平面直角坐标系呢，就大概长这个样子？好，大家来验证啊，你会发现 a 点坐标包括我们 b 点坐标呢？是不是题干中所给出的这样，嗯，这是我们的 x 轴，这是我们的 y 轴，以这个呢是我们的坐标原点，可以吧？ 好，接下来这个题第二问，我觉得有些同学他可能就会丢分了，他干嘛呢？现在我们要以 o 为位次中心， 化州三角形的 v 四三角形 a d、 c， 干嘛使得这两个三角形的相似比是二比一，注意啊，我和你相似比是二比一，对吧？你说前面是后面这个图形的二倍， 注意以谁以 o 为 v 四中心吗？其实我告诉你，它应该正常情况下，它应该有两种怎么样的图形？我可以像这样去发射一个 v 四中心吧，大家懂不懂？使得我们的 a 一 在这里，明白吗？ 对吧？我们的 c 呢？在这里，以及你的 b 一 呢？ b 一 在这里，懂吗？哎，这个边等于这个边， 这个边等于这个边，以及呢？这个边等于这个边，懂了没有？他也是以 o 为谓词中心的，但是你要注意这个题目，那两个第一个呢？他要求我们怎么样呢？嗯， 呃，在格格点这个图形中去作图，对吧？另外一个，你想想你，你这边都没有格点，你怎么找呀？你不好找，是不是我们要利用网格来进行作图嘛？所以在这面我们有第二种方法，也是怎么样呢？哎，我们连接 a o b 延长，是吧？ 注意啊，因为你要知道你这个连接 a o， 他 在一个什么？他在一个一乘以三的长方形中，他跟我们前面题目比较像，那你就反复的走一乘以三的 长方形，对吧？走它的对角线，这不就是一乘以三的这个长方形的对角线吗？这不就是一乘以三的长方形的对角线吗？对吧？走到对角线，你说走到哪个位置呢？你就走到这个位置，这个点就是我们要找到的 啊，怎么样呢？ a 一 了，对吧？这是我们的 a 一， 好，一样道理，接下来我们再找另外一个啊。好，我把它清掉了，清掉，不要了。 呃，然后接下来我们再找另外一个。呃，找 b， 他的位置对应点。好，一样的，你看他也是一乘以三的直角三角形吗？我们走走走，走一乘以三的直角三角形，走一乘以三的直角三角形，是不走到这里了呀，所以这个点他就是我们的 b e， 对 吧？好，最终我们再来找下 c 点啊，清掉，清掉，大家看起来可能会更加舒服一些。 c， 他 就在一个什么呢？他在一个二乘以三的直角三角形，对吧？二乘以三的直角三角形，我们走二乘以三的， 我们走二乘以三的吗？这不就二乘以三的一个直角三角形，对吧？二乘三，二乘三，所以你有发现我们这个点呢？哎，哪个就是这个点， 对吧？他就是我们的 c 了，所以这种扭法我们连接起来，我换个颜色连啊，好不好？换个比方说，胖胖的紫色吧， 连一下，他就是我们要找的我们的 v 四图形了。好，接下来我们看第三个，第三个是把某一个三角形绕着某一个点顺时针方向旋转九十度。什么叫顺时针呢？这是你们家的钟表，对吧？哎，你们家中表一边往这边转，这个叫顺时针， 那这边呢？就叫逆时针。首先你不要把这个方向给弄混了啊，不然的话你就直接嗝屁了，也就是把这个三角形绕着 b 点顺时针往这边转九十度。很多同学亮亮，我怎么去把一个三角形旋转呢？其实很简单啊，你就转什么呢？转对应顶点或者转转边，你直接旋转的话，很多同学可能不知道， 为了方便大家理解，我把这坐标系都清掉了，这样的话，我们做起来可能会更加的直观一点点。其实很简单，你把这一条线绕着 b 点设置针转个九十度是不可以了。那怎么样旋转线呢？很简单，你把这个线放在一个直角三角形中，理解没有， 对吧？他在一个二乘以四的直角三角形中，你旋转完毕之后呢？你把这个整个直角三角形绕着 b 点旋转九十度吗？你这个数值的他不就转到水平的位置了吗？就转到这里了，懂了没有？你这个水平的，他不就转到数值的位置了吗？ 懂了吗？就像这个样子吗？各位同学能不能理解，你这个二乘以四的直角三角形绕 b 点旋转九十度，就会到达我们的 a 二， 看到没有，这个点就是我们的 a 二了，明白了不啊？就像这样一样的道理，那接下来我们再转 o 这个 c 点，我觉得旋转是比较简单的啊，为什么呢？你这个线它就是水平的吗？三个单位，所以你转完之后是不是就是三个单位啊？所以我们这个，哎，我们的 c 二呢？就在这里，对吧？ c 二就在这里，是不是？其实我个人觉得这个图好像也不是特别标准，为什么呢？你绕 b 点旋转的话哈，其实有 b 二吗？他没有，对吧？其实这个三角形他就是我们旋转后的我们对应的图形。 b 点呢？你绕着 b 点转吗？这不就转完之后的我们旋转之后的三角形吗？ 搞定好简单，我们就过的稍微快一点点，我们继续往后了，一起来，再来看我们今天的历时期。 这个题其实本质上是我们三角函数的一个应用，其实我们现在全国各个地方三角函数以前有什么呢？有什么羊角福角问题，有什么方位角的问题，对吧？有我们的什么坡度问题。但是全国现在 慢慢慢慢的更形成我们三角函数的生活中的实际应用，比如水龙头呀，我们的行李箱呀，对吧？哎，我们的夹子呀，我们的这个平常生活的这种什么呢？照明灯呀，就是跟我们的实际生活联系的，它依然是什么呢？ 依然是我们所谓的什么仰角、俯角的问题啊。好，现在某校为了检测师生的体温，再需要这么安装了。某型号的侧卧门。好，如图，是侧卧门的。呃，前面是一图，现在我告诉你整个 a d 的 顶部 a 处距离地面是二点二米。你发现这种题的就是比较啰嗦， 你就直接告诉整个高度是二点二就可以了，对吧？就整个高度多少呢？是二点二我就不带单位了。 好，为了了解自己有效的测温区间，身高一点五米的小熊做了如下实验。啊，身高一点五米对吧？他在地面 n 处时测的，嗯，就是测温门开始显示额头的温度，就是在这里的时候开始测温度，此时在额头 b 测的阳角是十五度，阳角是什么呢？ 就是这个角，说白了啊，就这个角，对吧？你抬头去看你这个 a 嘛，你的水平视线跟你的啊，就是水平线跟你的视线所夹的这个角，就是我们，怎么样的啊？阳角十五度， 好，那然后呢？在地面 m 处就是你小葱跑到这里，对吧？那么此时阳角十五度，阳角十五啊，四十五度， 仰角多少度呢？仰角是四十五度，也就是告诉你怎么样呢？这个角它又等于四十五度了啊，就这个角对吧？它等于四十五度，一般像这种角度呢，我们都会尝试把它放在直角三角形中。好，我们继续往后了。 小聪的身高是一点五米，所以也说你这个 b n 是 一点五，你这个 c m 也是一点五，对吧？好，现在我告诉你，小聪在地面有效测温 m n， 让我们去求这一段的长度该怎么办？ 这个长度也就是求 bc 或者求 m 都可以，对吧？怎么求结呢？首先你要知道啊，这个十五度和这个四十五度。十五度，知道三角函数四十五是一个特殊直角三角形，所以我们都容易想到要把它放在一个横平竖直的直角三角形中，哎，也就大概长这个样子， ok， 好， 把它延长出来。 好，延长出来之后呢，比方说，呃，这个角呢，也就是九十度了，我在这里就放一个屁，行不行？你这二点二，先走开， 放个黑色的屁吧，看到没有？亮了，放个屁，臭死。那些听一半逃跑的各位同学们，好，现在你要知道咱们整个的高度多少？整个高度是二点二吗？ 而你这个高度一点五，这个高度一点五，所以咱们这个高度也是一点五，对吧？因此我们可以知道剩下的这一段的长度等于多少呢？这一段长度他这一点是二点二，减去一点五，也就零点七，没有问题吧？ 啊？这个长度它一定是零点七。好，现在我想问一下，四十五度怎么用的？你是一个等腰直角三角形，所以我们知道这个边的长度是不是也是零点七没问题吧？零点七。好，剩下的你让我求谁？你让我求 m n， 对 吧？我不，我只要求 bc 不 就可以了吗？ 求 bc， 我 不，我只要求整个 p b 是 不是就可以了？那接下来怎么求？这是一个含有十五度的直角三角形，我知道它的对边，我要求它的邻边，我要用什么？我一定要用它的正切值，对吧？也就是我们知道 tan 紧的 十五度，它等于多少呢？我就不再写什么 a p 比上 pb， 我 就不再写了，我直接用零点七比上 pb， 可不可以用零点七比上 pb， 它等于多少？约等于零点二七嘛？哦，约等于零点二七，但说白了 也就怎么样呢？左边乘以 pb， 右边乘以 pb， 右边乘以 pb 呢？也就是零点二七倍的 pb 等于多少？等于零点七，对吧？ 那接下来也就是 p b， 你 可不可以求出来？一定可以吗？你把 p b 求出来，约等于多少？你用零点七除以零点二七吗？哎，我们打个草稿，零点七除以它呢？其实就是七除以二点七，就是七十除以二十七嘛？ 七十除以二十七，我们上几呢？上三不够上二，好吧，二五十四，也就是剩下十六十六，我们上几呢？呃，你借了一个零，也是我们上 九，可以吗？试一下好不好？哎呸呸呸，什么叫亮亮你唱我揍你啊，求你，我们上上六行吗？六，一百二，四十二，不行，我们上五，对吧？好，五七三十五，一百三，剩下二十五，对吧？ 呃，那剩下也就二百五十除以二二十七呢？那此时我们好像真的可以上亮刚才所说的 九了。对，我们试一下啊，你上个九七九六十三，对吧？哎，六十三，嗯，一百八，二百四十三，所以也就于七。哦，也就是怎么样呢？ 他是二点五九，你在上就是上二三也不够，对吧？所以也就是他是约等于二点五九的，有没有问题？ p b 是 二点五九吗？整个是二点五九，所以我们整个 bc 的 长度呢？也就是我们要求的你的 m n， 对 吧？它就等于 bc， 等于什么呢？用这个二点五九，我减去你这个零点七吗？减去零点七，所以等于多少？等于一点 八九，但你要知道这个题目精确到零点一啊，精确到怎么样？精确到我们小数点后一位，所以我们知道它约等于多少？约等于一点九。 好，我就不带单位了，最终作答的部分呢，量就省略了好不好？所以其实你有办法像这种题呢，我个人觉得还是比较常规，也是比较简单的。好，接下来我们继续往后了， 我们再来看一下我们今天的例十八这个题，它相当于是我们相似的一道简单的综合应用了啊，我个人觉得难度也不高。好，首先呢，我们给出一个三角形 abc， 大 大大大三角形 好， d 分 别在两边上， d 点在这，一点在这啊。然后呢， d、 e 平行 bc， 而我们 d、 e 呢， 是平行于 bc 的， 对吧？哎，那既然平行，我们知道这个三角形跟整个大三角形百分百就是相似的。好，现在 a、 f 比上 f、 d， 我 告诉你 a、 e、 f 比上 f、 d 干嘛呢？等于 a， d 比 d， b 等于 a， d 比上 db， 这啥呀， 这个边比这个边，等于这个边比这个边，风马牛不相及，乌七八糟的，对吧？好，第一步，让我们求成 e f 平行 d， c， e f 平行 d， c。 其实我们去求两直线平行啊，当然，你可以用什么同位角，内错角，同旁内角，对吧？除此之外呢，在我们整个相似里面，你有两种方法，第一个，就用相似去证明我和你相似了吗？ 这个三角形要是相随整个大三角形，那不用说，我一定跟你平行，我就不再多解释了啊。第二个呢，用平行线分线段成比例定义，什么意思呢？比方说 d， 我 直接放这里啊， 因为 d 平行 bc， 好 吧，我们知道 d 是 平行 bc 的， 我考试，哎呀，我怎么直接比了呢？因为他 d 是 平行 bc 的， 对吧？两直线平行这个边，平行这个边。那我请问各位同学们， a、 d 比上 b、 d 等于什么？所以我们知道 a、 d 比上 b、 d， 它一定等于什么呢？ 哎，当然，这个题说了，等于 af 比 f、 d， 对 吧？啊，还等于 af 比 f d 好， 行，等于 af 比上 f、 d， 题目说的嘛，是不是 还等于什么呢？你这个线跟这个线平行，所以我左边比左边，那就一定等于右边比右边，对吧？所以它一定等于 a e 比上 e、 c， 结束了， 没了，搞定了你会发现 a、 f 比 f、 d 就是 这个边比这个边等于什么呢？等于这个边比这个边吧，对吧？所以我们知道，那这两条线一定平行， 平行线分线段乘比例定里是不是？那你只有这两条线平行，才能左边比左边，等于右边比右边吧，理解了，没有百分百是平行的啊。 好吧，好，当我们推出来平行之后呢？那第一问不就搞定了？那其实我们也知道这个三角形一定相似于整个大三角形，对吧？好，接下来我们继续往后了。这里我告诉你， a f 这三 af 这个边是三， f d 是 六，这个边是六，那你比我是一比二吗？所以这个边比这个边一定也是一比二了，对吧？没问题吧？所以也就是我们知道 a e 呢，比上 e、 c 就 等于你的三比六，也就是一比二的吗？是不是？我是 m， 你 一定就是二 m 了，一比二， 好，你要注意啊，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白。第一小问，第一问我们就用到了吗？一边，好，现在我告诉你， d 是 六倍根号三，这个题太简单了，这个边呢？六倍根号三，让我们求什么？求整个底边 bc 的 长度等于多少？我们刚才说了， 这个三角形一定相似于整个大大大大三角形，相似比是几比几，你不要觉得是一比二啊，这个三角形它的 m 比上整个大三角形三 m 相似比是一比三的，你是六倍的高三，所以整个里边十八倍的高三。简单，我就快一点，我就不再写标准过程啊， 我们直接过了。好，接下来我们来看一下我们后面的例十九。好，其实在我们正考里面，除了我们常规的像全等的判定呀，箱子的判定这种题目之外，还有一种他很多题目他喜欢考我们这种常规的四边形， 什么平行四边形，矩形啊，菱形，正方形，他简单的性质与判定的综合，比方说他就是一道非常具有代表性的题目。好，我们一起来看看。 首先我给出一个长方形，也就是矩形 a b， c， d 在 这里，对吧？好，延长 a d 至 f 点延长 a d 到 f 有 什么要求呢？使得 d f 等于 a d 好， d f 等于 a d， 并且我们知道这个角一定是直角。哎，其实你会发现啊，各位同学们， 那你这条线不就是 a f 的 垂直平分线，有没有问题？我这个线我既垂直，你吗？我怎么样？我还平分你吗？对吧？ 所以它是垂直平分线，垂直平分线上点到线段两端距离相等对不对？以及垂直平分线上点到线段两端距离一定相等的。好，我们继续往后了，说白了就是怎么样呢？子边等于子边对吧？ 以及呢？绿边等于绿边，但是子边跟绿边相不相等，不知道啊，你目前为止你是不知道的，明白了没有？子边等于子边，绿边等于绿边。 好，这个题目先来告诉你，那过 a 点做 a e 平行， c f 就是 a e 呢？和 c f 是 平行的，那平行其实在几个题目里面就相当于怎么样呢？嗯，告诉你内错角同位角之间的关系，就这个角呢？它等于这个角，对吧？ 是不是这两个角相等？那又能怎么样？注意啊，因为你这个三角形，对吧？绿边的绿边等腰三角形，它有三线合一的性质， 你是底边上的中线，底边上的高，你一定是顶角的角平分线，所以这两个角相等，明白没有？ 这两个角相等，你是 a r 法，我也是 a r 法，我也是 a r 两个 a r 相等，所以咱们是等腰三角形，所以紫边跟绿边相等，也就我们可以推出四边相等，好不好？四边相等我就不再说了。这边，哎呦吼，四边相等，也就是这些角呢，我都把它清掉，可以吗？ 哎，这边角度七秒，我们正出它是个啥呀？它就是个菱形嘛，我就把它都标成子边，咱们都把它标成子边，可以吗？好，你给我发第一问，让我们证明菱形，我们就搞定了。 好，接下来我们看一下第二问好，连接我们的 b 交 a d 于点记。什么意思啊？但你发现我们后面好像跟点记没有关系啊，他说当 ab 等于二， ab 是 二，你角 a c b a c b 是 哪个角？ a c b 是 我们这个角，对吧？这个角， 这个角的正切值是一比二的啊，就是我的对边比上我的零边是一比二的，所以我们知道旁边这个边呢，他就一定是四啊，就是咱们这个边是四。其实让我求什么？求 b 的 长，这是不是有点过于简单了， 对吧？你是二吗？所以我这个边不也是二吗？那菱形的对角线相等且互相平分，这个边不也是二吗？你让我求 b， 这这这啥意思呀，对吧？ 而且你要知道这是一个长方形，长方形这个角还是个直角，对吧？所以你发现在这个大大大大直角三角形中，一条直角边四，另外一条直角边也是四，根据勾股定律，所以也就求出来四倍根号。这个题你会发现我们没有写任何的我们的函数标准过程，求解完毕，我们直接过了啊 啊，所以你看前面大题，我个人觉得都比较常规。好，接下来我们再看第二十题。这个题我觉得也不难。好， ab 是 圆的直径啊， ab 呢？而不是圆的弦啊。好， o d 垂直 ab， 那 你过圆心向弦做垂线，不用说了，垂进定力，这个边一定等这个边，对吧？ 好，垂直是 h， 好， bc 呢？垂直 ab， bc 垂直 ab， 那 已经标出来了，好，连接 a、 d 延长交 b 啊，这个，这个交 a d 的 延长线呢？于 c 点。好，现在问题来了，第一个求证， d 是 ac 的 终点， d 是 整个 ac 的 终点，也就是求证这个边等于这个边，对吧？其实证明的方式也有很多，比方说我求证，嗯，你用相似于整个大三角形一定相似的， 相似比是几比几呢？你这个三角形用这个边比上整个大三角形的这个边，相似比是一比二， 所以你这个三角形的这个边比上整个大三角形的这个边相似比是不是也是一比二？那 d 不 就是终点了吗？对吧？那除此之外，还有还有没有什么其他的方法呢？有，比方说，各位同学们， 我们就用到我们刚才所谓的垂进定律的结论吧，好不好？我们比方说连接一下 b d， 连完之后你要知道，首先这两个角相等，我觉得各位同学应该没有问题吧，是吧？就是这个角，对不对？ 等于这个角没问题吧，为什么呢？因为你垂直于弦，你平分弦，而且平分弦所对应的弧，也就是这条弧一定跟这个弧相等，等弧对等弦嘛，所以也就这条弦等于这条弦，对吧？嗯？等弦 对等角吗？所以，哎，也也不呸。不是啊，说你是个等腰三角形，所以两底角相等，除此之外，你还可以垂直平分线的。我既垂直你，我又平分你，我不就是等腰三角形了吗，对吧？哎，我到你两边距离相等吗？等腰三角形，所以这两个直角一定相等。 好，我离你是阿尔法，我离你是阿尔法。好，接下来你有法，我们用最笨的方式，你是个大大大大直角三角形，对吧？啊，这个角是直角的，题目中说的 对不对？你这个角是 ar 法，所以我们知道这个角一定多少，一定是九十度减 ar 法，你这是一个大大的直角，没问题吧？拿走 ar 法，所以这个角呢，也是九十度减 ar 法。 好，到这里就证明完毕了。那依然是重点。为什么呢？你是个等腰三角形，所以咱们这个蓝边一定等于蓝边，对吧？等腰， 同时我也是一个等腰三角形，这个绿角等于绿角嘛。所以呢，我也是个蓝边。哦，你是蓝边，我是蓝边，你也是蓝边。三条蓝边相等地是个重点，所以我发现我们不管怎么样都可以挣出来搞定， 我们用两种不同的方法去推倒他了。啊。好，现在我们再来看一下那。哎呦，这个行吧，不要就不要，有什么大不了的，清掉 都不要了，可以吗？我们主要来看第二问，第二问现在告诉你， ab 呢是六，这个是三，这个是三了， ac 是 二倍的根号十三，那你这个边呢，就是根号十三，对吧？ 你要知道我们刚才第一问求证，你是终点吗？这不就根号十三吗？这个不也是根号十三吗？对吧？我们都知道根号十三，但是中间呢，我把它用一个彩色的点把它割开， 让我们求圆的半径，这是有点过于简单。首先你要知道啊，这是个直角三角形，知道斜边，直角边，我们可以求出这条边的长度几呢？这个边的长度一定是二，虽然这个度不是很标准啊，你让我求半径，那我首先得把半径给构造出来，对吧？好比方我们去连接 o a 吧， 可以吗？好，连接完毕之后，也就是差不多长这个样子，连接 o a， 那 此时扭法我们要求半径，我就令半径是 r， 可以吗？你这个是不是也是半径呀？对吧？也是半径拿走两个单位，所以剩下你会发现这条线段的长度呢？是 半径减去二，是吧？那最终在这个直角三角形中，咱们用勾股定律可以直接求解吗？你的平方，也就是半径减二的平方， 加上你的平方，就是我们垂径定律非常常见的一种题型，对不对啊？等于斜边的平方，所以我们求出半径的平方减去四倍，半径加上四加上九等于多少？等于半径的平方左右两边咔嚓了，我们知道四倍的半径等于十三，所以我们求出的半径呢，等于四分之十三。 计算过程，那样写的就稍微快一点点啊，我们继续往后了。好，接下来我们再来看看，我们后面稍微有一点点的，终于来了，对吧？我觉得这个题目算是我们所有大题里面有那么一点点分量。第二十一题， 好，首先我告诉你，你是角 e r 法角贝塔都是锐角，一个角的正切是二分之一，一个角正切是三分之一啊，求这两个角的度数之和。 好，如图一，小亮同学呢，在边上唯一的正方形的网格中画出了角 b a d 和角 c a d。 其实我告诉你，这个叫做一二三四五模型，他在我们处理某些特殊三角形或者某些怎么样的，嗯，线段求解的时候非常非常的快啊， 好，然后干嘛呢？在图中画出角 b a、 d 和角 c a d， b a d 是 哪个角？ b a、 d 是 这个角，对吧？你发现这个角呢？它的正切值不就是，喏，它在个一比二的直角三角形中吧，对吧？所以这个角的正切值呢，就是二分之一的，对不对？这个角的正切值二分之一， 好，剩下还有一个角 c a d c a d 在 哪？ c a d 其实就是这个角嘛，对吧？你会发现这是一，这是三，所以这个角的正切值呢，不就是三分之一吗？啊，一个是 a r a， 一个是 beta， 所以这两个角的度数之隔也就是这个角了，是不是阿尔法加贝拉就这个角嘛，对吧？好，现在问题来了，嗯，按照这个思路，求阿尔法和贝拉，也就是求这个角的度数之隔，这个很简单啊，那我们去求，既然能求出来，你觉得这个角可不能比方七十三度呀， 哎，四十六度呀，像这个咋求我都不会，对吧？更不要说你们了，说他很显然是一个特殊角，特殊角，它往往出现在特殊的直角三角形中，我们连接 bc 好 不好？ 连接 bc 之后，你会发现我们可以得到什么结论呢？你会发现呐，各位同学们呐，我们这是什么？这是一个一乘以二的直角三角形，对吧？同样的，我们这是一个什么呢？这也是一个一，哎，这也是一乘以二的直角三角形，看到没有 啊？大家都是一乘二，大家都是一乘二的直角三角形，所以这两个三角形一定全等。理解了。没有全等对边相等嘛，所以你这个子点 一定怎么样呢？等于此边，我们目前正出它等腰了，我们再正出一个直角就可以了，对吧？直角怎么正的？非常简单，比方说啊，我用最快的方式把它标注出来，我令这个角呢，是 a r f 可以 吗？那你全等对应角相等，这个角一定也是 a r f 没问题吧？好，接下来我再用这个角呢，我再令这个角是，嗯，比方说，这个角我把它丢一边去啊，这个一走开，我再令这个角是 b 的， 对吧？再用这个表示 beta 搞定了。因为你会发现，在我们这个直角三角形中，喏，在这个直角三角形中， a r 加 beta， 哎，我我，我们这个题有 a r 加 beta， 哎，你就忽略一下好不好？忽略忽略啊，你把 a r 加 beta 一定是九十度嘛，对吧？ a r 加 beta 一定是九十度直角，你这是 alpha， 你 这是 b 呢？我们刚说 alpha 加倍到九十度，苏宁凡他一定是一个直角，理解，没有。苏宁凡，我们是一个等腰直角三角形。因此，这个题，我们本来要求的这个角多少度呢？就这个角，对吧？一定是四十五度 好不好？哎，所以第一问呢，我们求出来四十五度，搞定了。好，接下来我们再来看一下啊。呃，第二问，第二，我觉得他跟第一问好像没有什么关系啊，那我就直接把它清掉了，我把这个也清掉了，可不可以？ 我把这个咱本来就不能带有阿尔法和贝塔，所以我都把它清掉。四十五度。好，现在我告诉你，如果一个角正切是刚好三，另外一个角正切是三分之刚好三，求阿尔法解密了，其实你要知道谁的正切等于刚好三呢？在这里面我就不再详细解释了。可不可以？我们前面其实已经讲的比较憨了，对吧？这个角是六十度， 对吧？你这个角多少度呢？这个角三十度，对应完我们再处理三角函数，我们如果知道它的特殊角，你就先把它求出来，就这两个角相加呢？你这完全送分的吗？九十度。 第二问比第一问更简单。好，这个题难的是我们的第三问。好，现在我告诉你，埃尔法，贝塔，呃，包括那个，这，这个念什么我已经有点忘了啊，对吧？他们都是锐角。嗯，现在我告诉你，我的正极是七分之一，对吧？ 啊？并且这两个角相加等于它让我们求它的正值，该怎么办？嗯？ 是 c 卡马还是 f 七龙啊？好像不对啊，好像是，不管读什么，嗯，就是求它的正值。就是首先我们需要构造一个三，一比三和一比七的。首先一比七，你要知道它是比较难构造的，我们先把它构造出来。可不可以画一个七， 这是怎么样呢？这是长度为七，没问题吧？是不是你数一下长度为七，然后另外一个长度为一，是吧？就像这个样子，那所以你要知道这个角就是我们的 beta 角，这个角是不是我们的 beta 角 把它标出来，就这个角，是不是这个角是咱们的贝塔角？好，那，呃，正确，是一比七。那现在这个一比三怎么弄的？一比三，你会发现如果你像这样画的话，他就有点麻烦了，是吧？我们用用用这个蓝色的画吧。一比三，你这么画出来， 这有啥用呀？你这个角呢？是埃尔法，埃尔法加贝塔，就这个角你放根本搞不定，对吧？这，这怎么求解？ 有点麻烦。那么在这面我们会想，一比三为不要放在一乘以三，我可以放在二乘以六的直角三角形中，可不可以，可以吗？对吧？我做两个一乘以三吧，所以你有法，也就这个边是二，剩下一个边是六，行不行？行吧？那所以也就是这个角呢？它就是我们的阿尔法，是吧？ 它就是我们的 a r 法，所以你所谓的就是让我们求这个角的正切值了，怎么求呢？有量了，可是这个好像也搞不定啊，大家会发现，其实我们刚才标注的是一个什么，它就是一乘以三的直角三角形，大家记不记得等下我在这里把它标出来啊？黑色的， 黑色的，大家记得吗？这是一个二乘以六，哎呸，二乘以六的一个直角三角形，对吧？ 好，接下来你会发现，各位同学们，如果我把这个去掉呢？看清楚啊，你，你，我这个红线怎么移动？你这个贝纳角肯定是不变的吗？对吧？我红线怎么移动，你这个贝纳角肯定不变吗？是吧？你这个角依然是不变的。好，接下来大家看看，如果我连接这条线呢？ 连接起来，大家观察一下，你会发现我把这条线放在了一个直角三角形呢，我也把它放在了一个 v， 为，能看到吗？所以切正反，这个边是一吧，这个边是三吧？哦，你是个二乘以六直角三角形，你两边这里是一比三，我也在一个一比三的直角三角形中。请问接下来各位朋友 护理完毕了没有？是不是已经搞定了？然后把它清掉不要了？把它清掉不要了，可不可以？所以大家能想到吗？你会发现呐，咱们这个直角三角形两只角边是一比三，我们这个直角三角形两只角边，这里也是一比三，所以这两三角形一定是相似的，对吧？ 啊，那既然相似，那我请问一下，举个例子，比方说我们令这个角，我就不再去像刚才那样犯错了啊，比方我令这个角是 x， 好吧，相似了，那你这个角是不是也是 x？ 没问题吧？好，接下来我再令这个角是 y， 比如这个角我们令它是 y， 对 吧？你告诉 x 加 y 等于多少度？它是一个直角三角形嘛？所以我们知道 x 加上 y 一定等于九十度，那你是 x， 你 是 y， 我 们刚说 x 加 y 等于九十度嘛，所以我们可以推出，那这个角百分百是一个直角， 对吧？所以我们把 ar 法加倍啦，直接把它放在了一个直角三角形中，你让我求整个大角它的正切值，对吧？你只要用这条边比上这条边就可以，那这个需要求出来吗？你可以把这个边求出来吗？你可以把这个边求出来，但这需不需要？求不需要， 因为你会发现这个三角形跟这个三角形相似比是几比几？我的一比上，你的二相似比是一比二吗？所以你用这个直角三角形的斜边比上这个直角三角形的斜边，那不就等于相似比吗？那不就是一比二吗？所以你把它的正切值呢？就是二分之一。 嗯，好吧，其实这个题主要考察我们所谓的一种转化思维了，我们接下来继续往后了，再来看一下我们今天的第二十二题，其实这个题你会发现呢，我个人觉得还没有我们前面那道圆难的 好。首先，在我们三角形 a、 b、 c 中，我告诉你， ab 的 ac 的 啊，就是 ab 这个红边，对吧？等于 ac 这个红边，这两个红边是相等的好 啊， d 是 bc 终点。你这么说的话，我觉得就有点看不起我，你连接 bc， 他 百分百是个等腰三角形吗？你取终点，所以也就是我们知道这个边等于这个边，对吧？你这会还知道这个角呢？一定是直角，对吧？这个角一定是直角啊，就这个角一定是 我标这里吧，一定是九十度，可以吧？嗯，好，现在你看它又给出一个条件，角 abc 谁啊？ abc 就是 这个角，对吧？它的角平分线，交 a， 交 a d 一 点啊，这是个角平分线，角平分线。那行吧，我就把它标出来，你这两个角角相等吧，就是咱们这个角，对吧？ 怎么样呢？哎，我画的稍微好看一点点吧，就咱们这个角怎么样？一定等于这个角， 两个小角相等，两个蓝角相等。好，问题来了，嗯，现在我们以 o a 圆心啊， o e 为半径，以 o a 圆心， o e 为半径干嘛呢？ 呃，点 o 在 延长线上面，对吧？我们画个圆。好，如果 ab 是 二倍根号三，你想想啊，你这是二倍根号三，对吧？你是二倍根号三，我也是二倍根号三，你 b d 是 刚好三呀，你 b d 是 刚好三。其实说白了它是个什么东西？各位同学们， 他不就是一个等边三角形吗？对不对？等边三角形，你现在让我求半径，这咋处理？等边三角形 每个内角怎么样？六十度，你平分这个角三十度，所以呢，你要知道没有问题吧？等边三角形吧，所以这两个角都是三十度， 你是个直角三角形，所以我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们要求怎么样呢？求圆的半径。哎，我把这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢？拿走 连一下，这不就是半径吗？嘿嘿，那，那你会发现剩下我觉得非常简单。为什么呢？这个边是半径吧， 这个边是半径吧，两边相等吧。等腰三角形，等腰三角形一旦含有六十度，他立马是个等边，对吧？这不百分百是等边，那其实说白了也就是我们这个角呢，他也是六十度，是不是这个角，这不也是六十度的直角三角形，你看看较长直角边是刚好三吧。 嗯，这个直角边是刚好三，所以你不管根据勾股定律还是特殊直角三角形三边比的关系，这个边呢，他是一，这个边呢十二， 所以也就是我们求了第一半，你十二，当然这个题的方法很多啊，对吧？方法非常非常多啊，我们在这里随便说其中的一种。好，我们把它清掉了。清掉了好，第一个的条件在第二个里面有能用吗？他就不能了，因为他说的弱吗？对吧？ 那所以你会发现这些长度呀，这些特特殊的线段呀，你就不能再用了啊。好，我们都把它清掉。好，接下来我们一起来看第二问清的。第二问是什么呢？是圆和 a d 延长线交界 f， 呃，你把 a d 延长，对吧？和圆交 f 点好， m 是 c f 的 中点好，也就是我们告诉你这两边相等的，对吧？这个边等于这个边。其实我们知道这是一个直角三角形嘛，直角三角形斜边中线一定等于斜边的一半，也就是这三条线段一定相等。好，接下来 连接 md， 边延长的交于 n 点，对吧？让我们求什么？求 b n 等于 b d， 哈哈， b n 等于 b d， 这太简单了，我们为什么这么说呢？首先你会发现呐，各位同学们， 咱们可以标注一些角度啊，也就是我们可以推出这个小的蓝角，它一定等于这个小的蓝角，对吧？等于幺三角形，两底角相等吗？ 而你要知道，这个角呢，是我们这一段弧所对的圆周角，那么一定等于这段弧所对的另外一个圆周角也是怎么样呢？咱们这个角它也是一个蓝角。 好，那到这里你会发现还有什么呢？这个蓝角它的对应角是谁？我先把你这个绿色的九十度清掉啊，好，它等于这个角，对吧？ 好，当我们知道这两个角相等之后，整个题目就结束了，为什么呢？因为你要知道咱们这个角是直角的，是吧？我们刚才已经标注出来了。嗯，好，你会发现呢，那也就是你跟我相加是直角九十度，那么我跟你相加自然也是直角九十度，没问题吧？ 也就你会发现咱们这是一个直角三角形，我标哪比较好？标这里，对吧？这个角一定是九十度，那这时你会发现 我这是一个三角形。那我顶角的角平分线吗？角 abc 的 平分线，一个三角形，顶角的角平分线同时是底边上的高，那么他一定是等腰三角形，所以也就是我们可以推出怎么样呢？哦，也就是 b， d 这个边呢？一定等于边，这个边证明完毕，搞定 好，接下来我们看最后一题。那么给出一个抛物线 y 等于 a， x 方加 b x 减三，与 x 轴交于 a 点，负四零啊，就是 a 点坐标呢，是负四零的，我们把它在途中呢，把它标注出来。 好， b 点坐标是一零， b 点坐标一零，与 y 轴交于 c 点，其实 c 点坐标我们也可以求出来，对吧？也就是零负三，我们看一下它到底想干嘛？ p 点是直线 a， c 下方抛物线上一点，也就是又在直线 a， c 的 下方，又在抛物线上，所以 p 点只能在这一段红色的圆。哎，这个，呃，弧线上运动好。 b 问，让我们求 a 加 b， 其实说白就是让我们求二次函数表达式啊，你想想知道，三个点坐标求二次函数表达式，我就直接省略了好不好。 y 等于四分之三， x 平方加上四分之九 x， 再怎么样呢？减去三，所以 a 等于四分之三， b 等于四分之九。因此呢，我们可以求出来 a 加 b 等于几，我们直接求出来。等于啊三， 好不好？简单，我们就过的稍微快一点点。好，这个题的第二个主要考察我们所谓的面积问题啊，好连接 a、 p、 c， p、 bc 啊，你会发现，把 a、 p 连接起来，把 c、 p 连接起来，把 bc 连接起来干嘛呢？ 好过 p 点做 x 轴的垂线啊，垂轴是 f， 和直线交一点，对吧？好，他帮我们做了很多线， 说当 p、 a、 c， 也就是这个三角形的面积等于五分之四倍的 a、 b、 c 等于这个三角形面积五分之四倍的时候，让我们求 p 点坐标。 其实我告诉你这个题常规的方法是什么呢？注意就是把 a、 b、 c 的 面积求出来，可不可以求知道 a、 b、 c 的 面积一定可以求出来，对吧？ 求完出，求完之后呢，那么五分之四倍的我们自然就会轻松搞定了，也就是我这个面积，整个三角形的面积等于一个固定的值， 你可以把这个三角形面积把它表示出来吗？用我们的牵扯法就可以了。在这里面我们会用到另外一个我个人觉得更加有意思的方法，叫做什么呢？叫做平行线的方法。什么意思呢？你想讲你这个三角形跟这个三角形，他们是不是有一条公共的底边？ a、 c 没有问题吧？ 那现在我要面积等于你的五分之四，底是公共的，是相等的，是重复的，我如何使得面积是你的五分之四呢？ 很简单，我只要使得 p 点到你的距离我的高和 b 点到你的距离，我只要使得这两条高是一个四比五的关系，说白了 就是我这条高是你的高的五分之四是不就可以了？好，如何保证我的高是五分之四呢？我们只要做一条平行线就可以轻松搞定了。首先呢，我们把直线 a、 c 把它画出来，那我想问一下，直线 a、 c 的 表达式咱们可不可以求出来？各位同学 一定可以，对吧？为什么呢？因为你要知道我们 a 点坐标是负四零， c 点坐标零负三吧，是吧？你是负四零，你是呃，零负三，呸，所以我们知道整个直线表达式一定给求出来，给我一点时间，好吧，零减负三三，呃，负四减零，负四三除以负四，也就是 负四分之三，也就是 y 等于负四分之三， x 再减去三。好吧，大家可以验证一下，你会发现量求的是对的。好，接下来我们过 b 点呢，直接做他的平行线，过 b 点做你这条直线的平行线。好，做完之后大概长什么样子呢？就大概长。哎，我把它画一下啊， 我把它画成虚线，可以吗？嗯，也就差不多长这个样子。那你要知道啊，两直线平行 k 是 相等的吧，你的 k 是 负四分之三，所以我的 k 一定也是负四分之三，对吧？好，那问题来了，我这个 b 怎么求呢？ 因为你要知道，咱们经过一零，我们不是随便画的平行线，我们是过一零点所做的平行线，有时候你把一零带进去，一定一定可以使得整个等式成立，对不对？所以你说你后面加的是几，你把一零带进去吗？横坐标零等于负四分之三，对吧？ 哎，有数量的我不理解，注意听清楚啊。你把横坐标一带进去吗？右边不就是负四分之三加上谁吗？等于左边你把 y 等于零带进去吗？是吧？所以你发现这里面就是四分之三了， 是不是你加上四分之三才能等于零吗？哦，也就是我们的屁股是什么呢？咱们后面这个屁股是加上四分之三。好，问题来了，各位同学，我如何使得 b 点到你的距离和你这个 p 点到你距离是 五分之四倍的关系呢？其实很简单，你首先看看他相当于往上平移了几个单位。我把这个都清掉啊，你想想从我们下面这个线到上面这个线，从这个线到这个线往上平移了几个单位得到的呀？你往上平移了，从负三到四分之三，他相当于往上平移了 四分之十五，相当于往上平移了四分之十五个单位，对吧？ 你往上平，我往下平移距离只要是你的四分啊，只要是你的五分之四是不就可以了？你往上平两个单位和往下平移两个单位之间距离相等吗？你往上平移和往下平移距离，对吧？哎，我往下平移，如果往下平移 四分之十五个单位，那么 p 点到你距离跟你 b 点到它距离百分百是相等的。但现在我要保证我的高是你的五分之四吗？那我干嘛？我直接乘以五分之四就可以了。理解，没有 咔嚓，咔嚓咔嚓也是。我们怎么样呢？往下平移三个单位就可以了。好，也是怎么样呢？我们往下移三个单位就可以轻松搞定了。 往下移三个单位我们可以得到什么样的直线呢？也就是差不多啊。哎，我随便画一下，在哪不知道啊，就差不多在这个位置，可不可以？嗯，大概长这个样子，你想想这条直线往下平移嘛，那也是在屁股上直接减三，对吧？所以也就是等于负四分之三 x， 你再减三呢？那不就减六了吗？哦，也就是我们这条直线上与抛线的交点就是我们要的 屁点了，理解没有？则是 b 到我的距离跟屁到他距离，我的距离一定是你的五分之四，面积就是五分之四，所以这个交点呢？这个就是我们的第一个屁，这个就是我们第二个屁。我们可以把所有屁点一个不拉全都求出来 好吗？可是问题来了，这个屁怎么求呢？太简单了，你讲讲二函数表达式，知道了你这个一函数表达式，也知道求二者的焦点简不简单？非常简单，对吧？使得它等于它构造方程吧。所以也就是怎么样呢？嗯，我写一下， 四分之三 x 平方加上四分之九， x 减三等于负，四分之三 x 减去六啊，这里的空间不够了，所以我直接稍微口算一下，给我点时间啊， 等一下我好不好？我同时移过去，四分之三 x 加上四分之二，也是加三， x 加上三分之四 x 方加上三分四 x 加上四。哎，刚我们求出来也就是他是 x 加二的平方，对吧？哎，等于零，所以我们求出来也是 x 一 等于 x 二等于负二啊。比如我们求出来 x 一 等于 x 二等于负二，其实这个意味着什么？各位同学们，就意味着也就是我们最终怎么样的。 它刚好是相切的，是吧？它只有一个焦点。为什么呢？我们算出来整个方程的解只有一个对应的数字吗？也是，我们求出来。你这个坐标呢？我写哪？写这里吧。哎，好不好？这里写不下，所以屁点的横坐标也就是负二，对吧？ 嗯，那纵坐标是多少呢？纵坐标。一个把屁点带到这里面去啊一个把屁点带到整个抛线里面去啊。那我们肯定带到这里面去了。乘一下二分之三减去二分之十二也是怎么样呢？等于负的二分之九 好不好？负的，哎，等于这个负的二分之九，我们直接写负的二分之九。好，我们写到这里。嗯，好，接下来我们再继续往后来看一下。第三问啊，其实我个人觉得第三问这个题 有一点放水了。你就是他属于角度的存在性问题，但是我个人觉得有点过于简单了。他是怎么描述的？你看啊，他是这么问的，有点过分。清掉清掉，都清掉，好不好？都清掉，这都不要了。 嗯，他这么说的。那同学们点 m 是 直线， a c 上方，抛线上一动点啊，又在 a c 的 上方，又在抛线上，所以要么在这一段，要么在这一段，对吧？哦，要不要分类讨论呢？嗯，并且使得 m a o 等于 o c a o c a 是 哪个角？ o c 是 这个角吗？就这个角的，它的大小多少呢？我不知道，但我知道这个角一定是固定的，对吧？哎，我只要舍得这个角等于这个角就可以了啊。其实你要知道啊， m a o m a o 是 什么呀？ m a o 其实你会发现 就是我们一条线。哎呦吼，就是我们这一条线怎么样呢？跟我们 a o 的 夹角，对吧？哎，我要跟整个 a o 的 夹角呢，会产生一个锐角，我要舍得。这个锐角怎么样呢？等于你这个角，是不是这个意思？ 好，其实正常情况下这个锐角应该有几个呢？应该是有两个的，为什么呢？我可以在你的上方产生一个加角，我使得这个加角等于你，对吧？我还可以怎么样？我还可以在你下方产生一个加角，对吧？使得这个加角，但你有办法下方呢？ 我们这个点就跟 c 点重合了，是不是？而且这个题目明确要求只能在抛线的上方，所以这个题我个人觉得它就比较简单，是不是？嗯，就这个点呢？就是我们的 m 点，这个该怎么求？这个我个人觉得比较简单啊， 我们在角度的存在性问题。我顺便说一下啊，整个初中阶段所有角度存在性问题，他只有三种方法，第一种方法干嘛呢？我写哪？我写这吧，好不好？第一种方法也就是构造全等或者相似。第二个就是干嘛呢？嗯，构造直角三角形斜边中线。 构造直角三角形斜边中线，好不好？来进处理。第三个干嘛呢？第三个做平行， 做平行啊，所有角度的存在性问题用这三个方法都可以搞定，比方说在正面，原来呢，我们该怎么处理呢？其实这个理我觉得用这三种方法中的任何一个都有点小题大做了，我怎么样使得这个角等于这个角呢？ 你这个题太没有水平了，你其其实直接把 c 点对吧？你对称上去找 c 一 撇啊，这两个角是不就相等了？其实我们这个原理是什么呢？这个原理它就相当于是构造全等啊，明白了没有？嗯，好，也就是我在这先把这个线清掉， 好不好？咱们首先找一个对应点，四点坐标是零三吧，我又找出一个点，使得这个点的坐标，是啊，零负三，我找出这个点是零三，这样的话，我这个点跟这个点啊，是不是就对称的？对称完毕之后，你会发现，你一旦把它连接起来连一下， 你这么想吧，其实你这么连，对吧？这个三角形跟这个三角形是不一定全等呀，全等三角形对应角，对应角自然就相等了，是不是？所以一定相等，你把这条线延长吧。哎呦，你这个还有点为难，我还把它延长， 对吧？延长。所以你要知道，这个点就是我们要找到 m 点，此时 m a、 b 呢，指的不就是这个角吗？它自然就等这个角了，是吧？ 那剩下我们该怎么求解呢？一样道理非常简单喏，我们知道 a 点坐标，知道这个点的坐标，知道两点坐标，求这个一次函数表达式非常简单，等于三减零，等于三零减负，四三除以四，四分之三，哎，口算一次函数 四分之三 x 加上三就可以了。好，现在你会发现，知道一次函数表达式，知道二次函数表达式，求二者的焦点，这个求焦点还需要量去描述吗？ 使得这个函数和这个函数表达式相等，对吧？也就是四分之三 x 平方加上四分之九 x 减三，等于什么呢？等于这个东西我真的担心，有些同学可能我不构造，他就觉得有点卡壳啊，所以最终我们求出来整个方程的解是什么呢？ 呃，等一下，我觉得我用表达定理求是不是更快一些？移过去，移过来，负六，对吧？二者相乘等于三分之四，乘以负六， 负八，负四二，对吧？也就是我们的 x 一 呢，等于负四， x 二呢？等于二，是吧？这个方法我们也会讲哦，在这里面我们就不再多说了啊。你说我们最终求出来有两个焦点，一个焦点横坐标负四。为什么呢？因为这条线与抛线的焦点是 a 点吗？横坐标不就负四吗？ 所以另外一个焦点横坐标是二，也就是指的是 m 点的横坐标是二。纵坐标呢？你肯定带到这里面去吗？ 嗯，二分之三加上二分之六，也就是怎么样呢？二分之九好不好？所以我们求出来也就是 m 点的坐标， m 点的坐标，横坐标二，纵坐标二分之九。搞定，跟着亮亮无脑学习。
48.1万亮亮巧解数学
06:13查看AI文稿AI文稿好，我们来学习二六年西乘一模选择压轴题，我们读完图，看完题以后，我们可以发现它这个反比例函数 y 等于 x 分 之 k， o a 乘 o b 大 于 k 大 于零，那么 k 一定是在一三象限， o a 乘 o b 大 于 k 呢？那这个 c 一定是在反比例函数的右上方，这是我们读题可以得出来的。看结论，角 o e、 d 一定是锐角三角函数，锐角三角形一定，那咱们就可以看成换一，而且他说 这个 d 跟 e 在 哪？ d， e 是 不是交于这个反比例函数之上啊？所以这个 d e 是 不是能变？当我们 d 跟 e 的 距离拉近的时候，也就第一种情况的时候， 是不是他就成钝角了？所以这个考试的时候，第一咱们想到的方法是，只要他的点是固定的，那这个题其实很好确认，你只要带进去， 把它当做一个正确的值，带进去看看符合不符合提议即可。那如果他的值是不固定的，你比如就像这个第一，他可能也在这，那咱们就可以自己去 变化图形，看看有没有反驳出来，比如说能不能找到一个对角三角形来。第一问 很好说，而且第一他的变化是非常大的，只要他不是说是往两边扩散，而是第一往中间扩散，就一定会出现一个钝角，所以说把一排了，那二一定就是对二，对了以后那是不是咱们就判断三跟四了？那咱们这时候咱们也看一下 这个第二问，他说全等，咱们怎么证明全等？首先我们来看这个图，看圈这图这个边 发现没有 bc 是 不是跟 o a 平行，所以说这个 g， e， b 和 d f， a 这个角一定相等的平行吗？垂直 d， a， f 跟 g、 b， e 这两个角垂直，所以这个 g、 b， e 和这个 d、 a、 f 它们是相似的，那是不是就剩下找边了？因为它是函数，所以咱们就是式子表一切。你要想知道这个 g 他是多高，那是不得看一下这个一次函数他的表达是什么呀？正是因为这个 e、 d， 咱们是不是可以表示出来？因为横坐标 咱们不知道，但纵坐标知道这个 e 纵坐标是不是小 b， 所以 他的横坐标是不是就可以带进去？所以 k 分 之 b， 逗号 b， 那这个 d 也是一样的，横坐标是 a， 那 a 带进去，那 y 就是 等于 a 分 之 k， d， e 求出来以后呢，咱们连立方程就能算出来。依次函数的表示， y 等于负的 a 分 之 b， x 减 a， 括号加上 a 加 k， 这样呢，我们就直接可以代入进去，算出来 b j， 这个 j 的 坐标呢？那肯定就是 b 加上 a 分 之 k， 因为 o b 呢，它是一个小 b， 对 不对？所以 g， b 就是 a 分 之 k， 它也就等于 a， d， a， d 是 同理的， 咱们通过列式也能算出来，但是考试的时候没有必要全算出来，咱们可以用巧妙的方法，第一问只要排除以后，第二问肯定是对，咱们看选项对吧？看第三个，他说 g、 e， g、 b 的 面积 e 去 b， 他的面积为二的时候， k 等于可能是四，那这块咱说了，那他这个四可能就锁的太死了，为什么呀？因为这个四可能都没达到二的那个标准，你比如说他可能是大于 六，他可能大于六，但是你要是可能是四，四都没达到，那具体咱们怎么列式？因为咱们知道他坐标，所以说应该是二分之一的底乘高，那这个 e 咱们知道横坐标是 k 分 之 b， 那 高高是不是 a 分 之 k 这 b， 所以 咱们直接能算出来二 ab 分 之 k 方，他就等于二， 那 k 方一定就等于四 ab 了。这个时候考试的时候，只要咱们有坐标能算出来，那就一定能代入。但是用巧妙的方法来说，这个 k 可能为四的时候，那他有时候可能取不到四，可能就比四大。 那咱们从列式也可以发现， k 等于四的时候， ab 其实也是等于四的，所以说这 ab 它是不能不满足题。 ok， 那 咱们就看第四个 oeb 和 o e、 d 的 面积可能相等，这个时候还是这个 e、 d 是 不是在中间转动，对不对？那只要它图形有变动，咱们直接就可以用角平分线定里去，因为咱们找到了这个 e 撇，在这个方位的时候，咱们利用角平分线定里 o e， 只要能平分 c、 o a， 那 是不是事就可以判定这个 o e、 b 和这个 o e、 d 他 们是相等的， 因为平角平分线的点到两边距离相等，算出来他们两个全等，那他们的面积就一定会相等。好，那所以最终答案就是选择一跟四。那这道题咱们讲完了，咱们说一下 这个题考场上该怎么做。第一，首先还是要精读题，所有的不管咱们是通过技巧 还是说计算得出来的数，一定是读题，先通过题目中的判断再去做选择，而且它的选项具有排除性，你看后来的选填 就比较难了，因为他只有四选二，但是第一个比如一二通常是有一个非常好选择的，所以说最后咱们就直接看三四就行。那四他的面积因为一是在动的，所以咱们就 不管他坐到哪，是不是总得有一个他们俩是角平分线的地方？角平分线是不是就能证明两个三角形全等，从而证明面积全等？好吧，那计算就按咱们刚刚老师计算过程来算就行。那这道题就讲到这。
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02:13查看AI文稿AI文稿我们今天来学习防山一模的填空压轴。首先来读题，他说了每套午餐搭配的是主食，主菜和配菜各占一份，而且是五个志愿者小组，那我们通过图表可以看出来，主食是不是最少的呀？ ok， 他 说工作之余只能再完成主菜或配菜一项加工任务。也就是说如果我要是主食加主菜，或者是主食加配菜两种 形式，如果只有 a 组、 b 组一起加工，那 ab 组一起加工的话，我们看到了主食是固定的，主菜和配菜是不多，所以说他最多就是一百套， 因为你主食完成以后，你主菜配菜完成了以后，他跟主食不搭成一份啊，对不对？他要的是完整午餐。所以第一问很简单，看第二问，如果有四个小组一起加工，最多能配齐多少？ 四个小组咱们看到了，首先你是不是要保证主食的供应量？主食供应量起来以后，主菜和配菜其实是好搭配的，所以我们看到首先把 d 组给排掉， d 组排掉以后， a 组、 b 组、 c 组、 e 组主食一共是能 都说什么呀？二百三十份，那主菜咱们肯定是要择优去制作的，对不对？那比如 b 组 他主菜能制作的多，一组主菜制作的多，所以说咱们就拿 b 和 e 去主做一个主菜配菜呢？也就是 a 组跟 c 组做的多，所以一共 是一个是二百三，一个二百二，一个二百三。那他说了是完整套餐是一比一比一 各一份，所以说最终答案是二百二。好，那总结一下，第一还是要审题，你要知道是首先第一个每套午餐它具体搭配什么？ 第二我需要的时候它是怎么一个运算规律？是主食在搭配的是其中一份，而不是说这三份一块去一组就可以制作，对不对？同学们，好，那这道题就讲。
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05:30查看AI文稿AI文稿同学们，今天我们来讲解二六年西城一模的填空压轴。首先我们来看第一个读题，他说了分为场地是一、二、三，分别是三个项目完成以后才算维护完成，甲乙丙分别负责的是 a、 b、 c。 关键点来了，同一场地同一时间只能进行一个项目维护，一个项目维护完才能进行下一个场维护，也就是 abc 是 挨着来的，一个项目维护的时候，另外一个人不能进去， c 必须最后完成，所以这个 ab 的 先后咱们是不是可以调换？ ok， 那 我们来看，如果只维护场地一，场地二，那大家就交替来呗。 所以大家来看，当 b 是 八的时候，先维护 b 的 话，场地一那是不是 a 就 可以是六？ 哎，那场地一的八分钟做完以后，那 a 的 六分钟马上就可以阶梯做完。哎，那场地二 a 的 做完以后呢？八分钟以后咱们 b 再做四分钟维护场地二吗？ 因为 ab 他 第一个场地一是十四分钟对不对？所以说他肯定是坐最后边，那场地二呢？他是十分钟就做完了，那他这个 c 二场地二是不是只能坐 c 一 啊？所以说这个 c 一 只能坐场地二， 那 c 二只能是在十六分钟，十四分钟以后再做，这两分钟他说是最少需要多少分钟，那肯定是得把时间最长的那个算出来，对不对？所以是八加六加二，它是等于十六的啊！同学们， ok， 咱们看第二个， 若三块场地都要维护，至少需要多少分钟？那我们得搞清楚了， c 必须是最后一个完成的，所以甲乙要尽量不闲着对不对？那甲乙的时间尽量咱们要利用的是要充分起来啊， 所以我们来看， 这个时候呢，老师画了一个时间轴啊，咱们来去做对应一下，考试的时候，同学们也可以按这样画啊。第一个， 那场一的时候，那 a 咱们是不是可以做六啊？ ok， 那 这个时候咱们这是 a， 那 a 的 顺当中，那 b 是 不是也可以做一个六分钟的呀？因为 b 做六分钟，他们的时间是不耽误。 好，那这就做 b， 这个时候我们发现了，接下来我们该怎么做？是不是 a 的 a 跟 b 场地一，场地三六分钟都做完以后， 那 b 接下来能紧接着做什么呀？是不是做一个四分钟啊？因为这个 a 他 除了六分钟做完以后，他只剩什么五跟七，所以他再怎么样，那这个 b 肯定是做延长，所以让 b 先做一个四分钟，这样呢，他还可以再做长一。 ok， 这儿做了一个 b 四分钟以后，那么这个 a 是 不是能时间长一点啊？好，那所以那这个 a 肯定就是七分钟，咱先把时间长的做完， 这样的话， b 在 场二做到十分钟以后，紧接着它可以把最后的那个八分钟是不是做完， 这样画是不浪费时间啊？那紧接着 a 做完以后，可以把最后那几个五个数是不是能紧接着做出来 b 啊？ ok， 那 这就是 a， 因为 c 是 最后一个完成的，是不是？同学们，所以咱们做完以后，那首先场三就是 c 了， c 是 c 三， 好，那这就是 c 三，最后呢？那厂一、厂二是同时进行的，所以 c 一 c 二在厂一先做还是厂二先做，那都无所谓，因为结果都不影响，那比如说厂二做了一个 c 一 做了一个 c 一， 那么二十二十一分钟乘一，那就得做这样，那看咱们综合算下来，那其实最终下来得数应该就是二十一分钟，因为最少需要二十一分钟嘛。所以这个题考察一个什么呀？统筹规划的一个能力。咱们先把答案写上， 咱们首先知道是同一个场地，只能是一个项目维护 c 是 最后完成的，所以咱们尽可能把 ab 的 时间调整的合适，而且尽量不要浪费时间，提高效率即可。 而且老师提示同学们一定要学会画出轴，画出时间轴，这样的话咱们才不会乱。你比如说，哎， a 做完以后，那时间 那 b 有 没有可能没做完呀？是不是通过话术轴是不是就一目了然了？好，那这道题就讲到这。
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03:11查看AI文稿AI文稿好，我们来学习吸声移默的方程应用问题。首先来读题，他说了竹节人是传统民间文具，竹节和线绳组装而成，那制作一个竹节人需要 分成九段长竹节，他说是分为头和上节，一段长竹节，头和上节，它是一个长竹节，另八段长短竹节为四肢，也就是说 一二、三四五六七八，这八节都是什么呀？短竹节相等的，对不对？短竹节与长竹节的比是一比二，一比二，头长和上身的比是一比三， 头宽比头发头长少零点五米，那这个时候别着急，求什么，能射什么，对不对？你看，最后他说竹节人完全张开手臂的臂长，臂展是二十二厘米， 咱们先履行下关系，问高度由谁构成，是不由这个竹节长来构成，所以咱们就可以射呗。解射这个头长他一定就是 x， 那 他的上身因为是一比三，所以上身就是三 x， 头宽，因为他是少零点五，对不对？咱们表示出来，所以 x 减零点五。还有一个是下身，下身上边写上了他是一个四 x， ok， 下身就是四 x， 所以 咱们标出来头长是 x， 上身是三 x， 下身是四 x， 这样的话，咱们这个直接可以列 是的，也就是根据题一题，因为他说的 b 展是二十二厘米， b 展是不是四块，一块是二 x， 因为长轴接是不是二 x？ 一 共是四 x， 那 一块就二 x， 那 也就是说他的 b 占二十二厘米，也就是四个长竹节，也就是八 x， 加上什么，加上头宽，头宽是怎么样？是头比头长少零点五，所以应该是 x 减零点五，最后等于一个二十二，找出等式关系， 所以解得 x 是 等于二点五，竹节总高度，总高度是不是一共八 x， 所以 说八 x 等于二十。答， 把它打全一下，总高，这个竹节人的总高就是二十厘米，一定要把单位也给他标清楚。总结一下，首先就是图识结合，图识也可以说图文结合，也就是图跟文章你一定要相结合到位。第二， 你要知道他的等量关系是不是在找他等量关系一定在哪，那前面最后边是不是 b 长为二十二，咱们通过求射出来未知数以后求它们等量关系，那前面头宽比头长是少零点五厘米， 说明什么？说明是不是头长和头宽的比例，这是不共同构成了。这个 b 展，好吧，重要的就是找等量关系，也就是图文结合。
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03:30查看AI文稿AI文稿北京中考一摸英语刚考完，我敢说，百分之九十的小学家长现在正亲手把孩子送进中考英语的坑里，这次难哭了，一片出彩声。词汇量、阅读速度、难度题材全方位保障，最难的题已经摸到大学四级的门槛。扎心的是，中考只筛选校内不培养，跟着校内体系走， 就算次次考一百分，也达不到中考要求。谁信了小学英语的虚假成绩，谁初中都被甩在后面。今天我就用一摸实锤数据告诉你到底难在哪，你家孩子差多少？小学落后了怎么补，每天怎么干，全是落地干货，快来抄作业！先说难度，我把朝阳、西城、海淀三个区的一模卷子全部拆了一遍，这次的难是全方位 降维式打击的难。一、词汇量爆涨，不再是新课标要求的一千八百词了，额外增加了百分之二十的学术词拓展。 海淀试卷考了 dna 修复，西成卷考了沉没成本。命物全是以前高中才会出现的词。二、阅读难度对表大学四级海淀第一篇什么是真正的自我？蓝思志一千一百二，全是心理专业术语西成第一篇规划命物蓝思志一千一百五， 大学四级的蓝思志是一千到一千二，中考阅读难度已经堪比前几年的大学四级了。三、阅读速度翻倍以前每分钟读七十次就行，现在必须达到每分钟八十次。一篇四百八十次的阅读，三分钟必须读完。稍微慢一点，整张卷子做读完。四、 题材放飞海淀 c 片的生物类阅读革命蓝鲨鱼长寿秘密西城 c 片社会心理学，人们为什么会说谎？西城 b 片 vr 帮助生病弟弟看世界 科技人文类，以前靠故事，靠生活常识，现在百分之七十是科普心理、行为经济学。这些内容小学教材里一篇都没有。 既然中考英语那么难，小学如何精准监控英语达标程度呢？于是我给大家做了这张年级英语程度的对照表，按照中考一摸难度倒退，达标就是刚刚好，不用焦虑，没达标就是落后了，要抓紧画两条死线，大家绝对不能碰。死线一，一年级结束必须搞定自拼加一千听力词汇 盲听简单的英文动画片。死线。二、三年级结束必须过自主阅读门槛，也就是 r a z 的 低级蓝思值两百加，能够自己独立读英文绘本。只要有一条没达到，你家孩子已经落后至成一年了，现在不补，到了五年级 怎么都追不上了。核对完，具体怎么做呢？分达标和不达标两种情况，给你们手把手的教程。情况一，达标了怎么保持？不用加量，按部就班即可。一二年级每天累积四十分钟上下学步上二十分钟 r a z 精读。 三、四年级每天累计五十分钟上下学路上二十分钟熏听，晚上三十分钟，二十分钟 r a z 精读加十分钟的配套练习。周末一小时加加小灶桥梁书的贩毒。 五六年级每天累计五十分钟上下学路上二十分钟熏听，晚上三十分钟分为二十分钟的科普贩毒，加十分钟的计时做题。周末一小时开开十分阅读的小灶。 情况二，落后了怎么紧急补救呢？核心原则叫抓大放小，先搞定阅读，语法和写作全部往后放。一二年级落后了，每天加十五分钟的自拼训练，用牛津树自拼的绘本或校友所背的自拼课，配合字母积木动画片，先搞定自拼再看阅读。三四年级落后了，立刻停掉所有的语法班，把时间都砸在阅读上。用 r a z 精读加桥梁书传读组合，每天四十分钟，三个月就能追上一年的进度。五六年级紧急补救，直接跳过桥梁书上国家地理少儿分级加神奇巧车，每天固定三十分钟的即时阅读 秒表，掐时间强迫自己三分钟读完一篇四百次的文章。先把速度提上来。最后提醒大家一句，英语是唯一一门可以提前学，提前拉满优势的学科。小学的偷懒，初中要用三倍时间来补，到了高中根本补不回来。我把 w 表和每天的执行计划列成一份完整的电子版，进我的粉丝群，自己领取。
545硬核的刘老师