铅笔头模型外凸该怎么做
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03:36查看AI文稿AI文稿平行线拐点模型当中一个拐点的第二个模型，你看这个模型，你看是不是像一个铅笔一样的，所以呢，它叫做铅笔模型，注意它的一个特点，我们上一个图形，它是内凹，这个呢是 拐点在两平行线间外凸，形成一个啊，铅笔的一个形状，那么它呢？角 b 加角 b o、 c 再加上角 c， 就 会等于三百六十度， 那么过这种拐点问题，常见的证明方法就是过拐点做已知直线的平行线，比如说我们做过点 o 过点 o 向左作 o q 平行于 a、 b， 那 么根据平行线间的一个传递性， o q 也会平行于 c、 d 啊， 那么三条直线两两平行，那么根据平行线间的一个性质，两平行，两直线平行同旁，内角互补，也就是 ab 平行于 o q， 那 么角 b 加角 e， 它是等于一百八十度的，那么同理可得 角二加角 c 也是一百八十度，因此它们合起来，这三角合起来就等于三百六十度，这是我们的第一种做法啊，第二种证明方法呢，我们就把它延长 好。第二种证明方法，例如我们把这个 c、 o 延长， a、 b 延长，相交于点一，那么怎么证明呢？同样的这一个角， 这一个角，根据在三角形 好，这个三角形 b、 o、 e 当中，它是它的一个外角啊，这个是三角形的一个外角，外角等于与它不相邻的两个内角之和，也就是这个角， 它要等于角一加上这个角三，也就是 o、 b 一 写到角三好，然后接着来看 a、 b 和 c、 d 是 平行的，平行的话， 两直线平行同旁内角互补，就是这个角 c 加角一等于一百八十度， 然后我们这个 a、 b、 o 和这个角三它是个零角角的关系啊，零角 零角角加起来也是一百八十度，而这个角三加角一就等于角 b、 o、 c 啊，所以角 a、 b、 o 加上角 b、 o、 c、 d， 它等于三百六十度。好，证明完毕。
02:15查看AI文稿AI文稿今天我们来学平行线拐点第二个模型啊，因为它长得像削尖的铅笔一样，所以把它叫做铅笔头模型啊。 那么他说 a、 d 平行 c、 d， 让我来探讨角 a、 角 c 和角 p 之间的数量关系。那我们上节课说过了，只要看到平行线的拐点，就在拐点上做一个辅助线啊，就是做一条平行线 啊，做一条平行线 e、 f， 然后去看内错角或者是同旁内角，那我们来看这里角 a 是 这个角， 角 c 是 这个角，那么从这里结构来看，我们啊，能看到它是一个什么呢？同旁内角，同旁内角啊，所以说我把这个 角一，这个是角二啊，那么也就说因为 a、 b 是 平行于 e、 f 的， 那么所以角 a 加角 e 是 等于一百八十度，两直线平行，同它内角互补，那么又因为啊， e、 f 也平行于什么 c、 d， 那 么所以角 c 加角二也等于一百八十度啊，一百八十度。 好，那么接着这个是一式，这个是二式，那么一式加二式就可以得到角 a 加角 c 加角一，加角二等于三百六十度。那么接着又因为 角一加角二是等于谁的角 p 的， 那么所以就可以得到角 a 加角 c 加角 p 等于三百六十度。 所以说铅笔头模型我们得到的就是这三个角的和是三百六十度，那么我们只需要知道其中的两个，就可以把第三个角求出来了， 那么这就是铅笔头模型。那么同学们自己一定要去推一遍，推完以后去做一下后面的练习。
15罗辑数学
03:43查看AI文稿AI文稿若 a、 b 平行于 c、 d 平行于 e、 f 平行于 g、 h， 它们四条线是平行的。角 a、 o、 b 等于角 a、 o、 g 等于一百零八度，这是一百零八度，这也是一百零八度。 a、 o 垂直于 o e， a、 o 垂直 o e， c、 o 垂直于 o g， c、 o 垂直于 o g， 则角 o、 c、 d 加上角 o、 e、 f 等于多少度？ 首先要知道一个铅笔头模型，两条直线是平行的，然后这个呢，是这样子的，这里是 a， 这里是 b， 这里是 c， 说明角 a 加上角 b 加上角 c 等于三百六十度， 这是铅笔头模型。而这道题呢，要求的是角 o、 c、 d、 o、 c、 d 加上角 o、 e、 f， 那 求出它应该怎么求呢？这就是一个铅笔头模型。 好，我们现在求的下面就是这里的角 a 加上角 c， 所以 只要求出来这里的角 b 就 可以，也就是这个地方的角 c、 o、 e， 那他要求出来角 c、 o、 e 怎么办呢？他说这个是垂直的，这个是垂直，接着说他是九十度，他是九十度，那两个九十度相加的话，就是一百八十度，而这一个角一共是一百零八度，这咋回事啊？这两个怎么还差了呢？ 就是因为这里垂直和这里垂直，多出来了 c、 o、 e 这个角，所以只要用一百八十度减去一百零八度就可以， 它们两个是一只的，因为 a、 o 垂直于 o e， c、 o 垂直于 o g， 所以 叫 a、 o、 e 等于九十度。 角 c、 o、 g 等于九十度。又因为 角 a、 o、 e 加上角 c、 o、 g 减去角 c、 o、 e 等于一百零八度， 所以角 c、 o、 e 等于它们两个相加是一百八十度，也就是一百八十度，减去一百零八度就是七十二度，角 c、 o、 e 等于七十二度的话， 又因为角 o、 c、 d 加上角 o、 e、 f， 它们两个相加等于三百六十度。减去七十二度， 所以角 o、 c、 d 加上角 o、 e、 f， 等于 他们两个相减就是二百八十八度，所以他们两个相加就等于二百八十八度。喵。
18🐰数小兔🐰
01:14查看AI文稿AI文稿中考常考的四十八个几何模型，第五个，铅笔头模型长得像铅笔头一样。 a、 b 平行于 c、 d， 角 e 凸出来，那么就有角 b 加角 c 加角 e 等于三百六十度。为什么呢？我们可以过点 e 做 a、 b、 c、 d 的 平行线， 这两个角是同旁内角，他俩相加一百八十度。这里也是同旁内角，他俩相加一百八十度。两个一百八十度相加，等于三百六十度。 当中间的角 e 不 止一个点的时候，有 n 个点的时候，它的结论变成了是一百八十度乘以 n 加一。为什么呢？我们可以过每一个角 e 做平行线， 同旁内角做平行线，同旁内角做平行线，同旁同旁内角。这样有多少组呢？有 n 加一组，所以角 b 加角 c 加 n 个角 e， 它的和是一百八十度乘以 n 加一。
03:06查看AI文稿AI文稿同学们，这类题辅助线只要画对了，就是白送分的题啊。我们来看铅笔头模型，还是那样，因为长相酷似铅笔，所以因此而得名叫铅笔头模型。大家来看啊，数学家们起名字啊，真的非常有意思啊，对不对？因为像什么，所以是什么？我们来看一下这个题， 那么这类题的辅助线画法啊，铅笔头模型有什么规律？它的辅助线画法有两种，大家记好第一种 啊，那么上底下底它是平行的关系，它有一个外拐点，那么这样的模型哈，我们称之为铅笔头模型。那么通过拐点处做一条平行于上底或下底的平行线，假设我们做啊，这样一条线，用虚线画啊， 画的可能不齐啊。我们做一条 c h 平行于 ab 这样一条线，是不是同样也平行于 e b 啊？因为刚才前那条线我已经给大家讲了，它的上底和下底是相互平行的，我们做 一条平行线，既平行于上底，也平行于下底即可。这是第一种辅助线画法，他们的关系是这样的，我们来看，因为上下平行，所以这个角角 b 和角 e 是 不是互为 同旁内角两直线平行，同旁内角是不是互补？所以角 b 加角一是不是一百八十度？那么同理，我们推断角 d 和角二他们也互为同旁内角吧，所以他们也是一百八十度吧。所以说我们来看 角 b 加角一，加角二加角 d， 是 不是就是两个一百八十度相加，等于三百六十度吧。那么也就是说角 b 加上角 b、 c d 加上角 d 是 不是等于三百六十度？好，那么这个等量关系我们写一下，就是角 b 加上角 d 加上角角 c， 对 不对？因为我们做了个辅助线，所以我们称之为角 b c d， 角 b c d， 它是等于两个一百八，对不对？三百六十度？ 好，这个关系式很明显是成立的，但是我们再来看啊，大家遇到铅笔头模型还有一种很常见的辅助性画法就怎么样？我把这个铅笔啊怎么样？我把它的这个 尖处给切掉，是不把这个三角形给切下来了，是不是？那么因为上底下底平行，所以这个角角一加上这个角角二是不是等于一百八十度？因为两直线平行，还是同旁内角互补吧。 那么再来看，那么我切下的是不是个三角形？所以三角形的三角形内角和这个角加这个角加这个角是不是同样是一百八十度啊？ 所以说他俩是也八，他三是也八，他们加起来是不是也三百六？所以同样满足角 b 加角 d， 加角 b c d 等于三百六十度。那么这个就是我们的铅笔头模型的辅助线画法，大家学会了吗？
02:13查看AI文稿AI文稿若直线 a、 b 平行于直线 c、 d， 则角 b、 角 c、 角 b、 o、 c。 满足什么关系好？我们来看到这样一幅图，考察的还是平行线间的关系，但是它现在是长成一个可爱的小猪蹄样子吗？ 不是的，那它长得像一个铅笔笔头对不对？如果我们把这里涂的黑黑的话，就是一个铅笔笔头，所以它叫做铅笔头模型。铅笔头模型里面这三个角的关系一样吗？两个指头尖尖相加，等于指缝？ 不是的，那现在我们怎么来解决呢？首先还是一样，做辅助线，过点 o 做一条直线 l， 平行于直线 ab， 平行于直线 c、 d。 好， 这一条直线 l 写一下，过点 o 做直线 l， 因为直线 ab 平行于直线 c、 d， 所以 根据平行的传递性，整个直线 l 平行于直线 ab 平行于直线 c、 d。 那 现在平行线间角的关系有什么呀？ 同行内角互补对不对？写一下，所以角 b 加角 e 等于一百八十度。两直线平行，同行内角互补。还有呢？那这个角二加上角 c 也是同行内角互补，写下来 角二加角 c 也等于一百八十六。然后我还知道什么呀？角一和角二拼起来就是整个角 b、 o、 c， 对 吧？又 角一加角二等于角 b、 o、 c。 所以 现在我要把角一和角二合起来，可是角一、三第一条算是你，角二、三第二条算是你，那我这时候就只能把这两条算式全部都加起来，那就得到了我们最后的结论，所以 角 b 加角 d、 o、 c 再加上角 c 就 等于一百八十度，加一百八十度等于三百六十度，这是我们的铅笔头模型。屏幕前的你听明白了吗？
04:56查看AI文稿AI文稿同学们好，我们来看一下初一必考题之铅笔头模型视频，最后还有个练习题留给大家，我们首先来看看什么叫做铅笔头模型呢？这个铅笔头模型和我们之前讲的锯齿模型它非常像，像它都是有个 a b 和 c 的 平行 啊，但是不同的是那个锯齿模型啊，它这地方怎么样？是左右来回来回这样子的，对吧？左右来回这样子， 他是这样子一个锯齿，而铅笔头模型他是往一边拐，看到没有，他只往这一边拐，最后拐回来了，对吧？那么这两个他的结论呢？是不一样的，但是他们的证明方法其实都是一样的，我们都是怎么样？我们都是过这个拐点去做已知直线的 平行线，对吧？我们之前锯齿模型这个结论的证明是不是这样子的呀？那同样我们今天讲的这个铅笔头模型，他的证明呢，也是这样子的，好， ok， 那 我们来看一下怎么来证明呢？ 那这个地方首先我们过 e 一 啊，来做一个和 a b 平行的线，好吧？我们过 e， 一 来做 a b 的 平行，然后再过 e 二来做 a b 的 平行，然后再过 e 三来做平行线，再过 e 四来做 a b 平行，再过这个 e 五啊，然后这地方是几个 e n， 也说中间其实它有很多个啊，其实还有很多个好这个地方呢，再过 e n 来做 a b 的 平线，那同学们来看一下，那这个地方他的结论是什么样子的？我们来看一下啊，那他这个地方总共有几个拐点呢？我们数一下，一二三四五六七八，他有八个角的拐点，那么这个时候所有他的结论是这样的，角 b 加上角 e， 加上角 e 二，加上角 e 三，这里一直加到角 e n， 是 吧？我这个地方假如说它是第六个吧，好不好？角是第六个，哎，我这个地方写了个 e n， 意味着它中间还有很多个点，都可以的啊。好， ok， 那 么这个是加上角这一三，加上角一四，加上角一五， 再加上角一六，再加上角的， ok， 那 这地方总共有几个角？一二三四五六七八。好， ok， 那 它的结论就会等于什么呢？就会等于一百八十度乘以这个什么，总共八个拐点，八去减一 a， 他们的角度和就会有这样的一个结论，那就会这样的一个结论， ok， 那 我们来证明一下。这个怎么来证明的呢？其实很简单，同学们看一下啊，那么这个地方有很多个平行线吧，那平行线他们形成的就会有什么，比如这两个角叫什么？叫同旁内角就会互补，对不对？他们加起来就得幺八零，那同，你这个角加这个角是不是也是幺八零啊？ 这个角和这个角互补，这个角和这个角互补，这个角和这个角互补，这个角和这个角互补，这个角和这个角是不是也互补啊？对不对？那同学们，你们数一下，这地方总共有几组同盘类的呢？ 一组、两组、三组、四组、五组、六组七组，对不对？所以他就会等于什么？他就等于八减一去乘以什么一百八。 这个地方其实很好理解，你就相当于这个地方有八个点，对不对？那中间总共能形成几条线段呢？总共就是七条线段，对不对？所以就是八减一去乘以什么一百八，好， ok， 这就是我们铅笔头的模型， 铅笔头，铅笔头，他是朝着一边去拐弯，那么他有几个拐点，那么他们所有拐点这些角的和啊，就会等于什么？一百八十度乘以这个什么拐点数解一啊？为什么解一？其实很好理解，对吧？因为你有八个点，那中间就有七段，那么所以就会有七组同盘内角啊。 ok， 那 我们来看一下题目吧。 看题，他说 ab 和这个 c 的 平行， m f 和这个 n f 垂直， m f 加 a b 呢于点 e 加，然后 n f 加这个 c 的 呢于点 g， 角一得一百四十度。好，这个角呢？是得一百四十度，他们这个角是一百四十度，然后他们求的是角二的绕度。来，咱们看一下 这个题目呢，你可以把它看成是角二的绕度。来，咱们看一下这个题目呢，你可以把它看成是角二的绕度。来，咱们看 b、 e、 f、 g 的， 对吧？好， ok， 那 我们现在讲铅笔头形，我就把它当铅笔头形来看喽。那这个是角二的话呢，这个角就应该等于它一百八十度减去角二吧，因为他们两个互为零步角，对不对？ 那所以就会有他加他加他，这三个角加起来就会得一百八十的多少倍啊？你看一下几个拐点，一二三有三个拐点，那么所以三减一就得啊，对吧？那么所以就会有一百八十度减角二，这个角加上这个角 f， 再加上这个角一，对不对？那么他是三个拐点，所以得一百八十度乘以这个什么？哎，三减一。好，我可以算一下吧，那么是一百八十度减角二加上九十度，加上这个一百四十度等于呢？ 这里就应该等于什么？呃，一百八十度乘以我就这样写个一百八十吧。啊？为什么这样写？因为这边有个一百八十度等着我们，那么一百八十度呢，给他约掉，对吧？那这边就是。呃，这两个加起来就是二百三十度，加上这个减去角二 等于什么？等于一百八十度吧，所以角二挪不来，它丢过去，所以角二就应该等于什么？二百三减八十，所以它就应该等于什么呢？所以它就应该等于五十度啊，所以角二呢？就得五十度。好，这地方还有一个练习题图给大家，大家完成后可以把答案写在评论区。
82刘云龙讲数学
03:05查看AI文稿AI文稿好，前面我们学习了多个拐点的第一个模型啊，就是猪脚的变形，接下来我们学第二个变形的模型，铅笔模型的一个变形，它多个拐点的一个问题。那么在这个之前呢，我们来先找一下它的一个规律， 比如说这一个是没有拐点的啊，拐点是零，它平行线间的一个角度和两直线平行，同旁内角互补，也就是一百八十度。 好，我们来看，这就是我们的正筒的铅笔模型，它中间一个拐点 c， 一个拐点的时候，我们是不是过这个拐点做了一个平行线，那么相当于是两个它，对吧？所以是 一百八十度乘了一个二，对吧？好，接着看第三个，两个拐点，那么两个拐点我们也是过拐点做平行线。 来，再来数一下，同旁内角会有几组， 这里 a、 b 和过点 c 的 这一个一组、两组、三组，所以它是三个同盘，内角就是一百八乘个三， 接着这一个有几个拐点？ c、 d、 e 三个拐点啊。好，三个拐点，那么它三个拐点的话呢？我们来看一下啊。 好，我们来看一下它几个拐点啊？ c、 d、 e 三个拐点，三个拐点的话，我们来看过它的时候， 有几个同旁内角，一、二、三、四，对吧？四个，所以是有一百八十乘四。 根据这个我们来找一下它的规律，这里零个拐点的时候是一个，就是一百八十 度乘一，一个拐点是两个，三个拐点啊，两个拐点就是三个，那么三个拐点的时候就四个，按照这个规律，如果是 n 个拐点的话，它就是一百八十度乘 n 加一的和，因为同旁内角的一个个数永远比拐点数多一啊。
02:25查看AI文稿AI文稿ok， 孩子们，今天我带着大家一起来研究一下四十二个模型中的第四个模型，我们称之为铅笔模型，那么这个模型和我们昨天讲的 猪蹄模型很相近，大家会发现这个模型确实很像一个铅笔哦，它是这样一个形状，已知条件是 a、 b 和 c、 d 是 平行的。让我们研究一下角 b、 加角 d 和角 o 之间的一个关系。 好，我们模仿着猪蹄模型的特点，只要是看到拐点，我们就过拐点做平行线，大家会发现，做出来这个平行线之后，一个一组同旁的角，一组同旁的角，一共两组，那由此我们把这个擦掉啊，不然的话没有办法表示角 o， 那 这样子的话，大家会发现角 b 加角 d 加角 o 是 等于两个一百八十度的好。大家在想，如果说我们这个铅笔啊，稍微钝了一点点，就相当于它中间拐了一个弯，这样子好，如果说 b 点在这， d 点在这，这是 o 一， 这是 o 二， 模仿着刚刚的方法，这个地方过拐点做平行线，过拐点做平行线，大家仔细观察一下，这个里面就有一组 两组三组同旁内角，由此啊，这就没有这一线啊，把它擦掉，由此我们可以得到角 b， 加角 d， 加角 o 一， 加角 o 二，就等于三个一百八十度。 那么这样子的话，大家可以总结一下，如果说它一共有 n 个 o 点，如图所示，那么它将会有几个一百八十度呢？大家不妨去思考一下。角 b、 加角 d、 加角 o 一， 加点点点一直加到角 o、 n， 我 们刚刚说了，有一个 o 的 时候是两个一百八，两个 o 的 时候是三个一百八，那 n 个 o 的 时候就等于 n 加一个 一百八十度。那也说我们看到类似于这种铅笔模型的时候，我们仍然是过拐点做平行线，并且找到了它的规律， 大家可以根据我视频后面的视频去自己检验一下，需要网课的可以私信找我。
115数学陈老师
03:49查看AI文稿AI文稿各位小伙伴来给我看这道中考必考题，像这样的题目，如果你还不能够独立做出来，那你肯定是过不了九十分的，那么这是一道常见的几何模型题，它里面结合了所谓的铅笔模型， 看这是铅笔模型以及猪蹄模型。看这个是猪蹄模型，那你首先需要知道铅笔模型和猪蹄模型的结论，你才能够把它顺利解决出来。好听之前记得先点个赞，收藏一下，关注一下，方便随时复习。首先呢，我来给大家分析一下铅笔模型它有什么特点，有什么结论。 比如说啊，我现在有这么一个几何图形，好，他是一个铅笔状的形状，下面画一条线，跟上面进行平行，那么他就会得到这么一个结论，注意看，比如说这个角是一，这个角是二，这个角是三，那么角一加上角二加上角三，他就会等于三百六十度， 怎么来的呢？很简单，你只需要在这个地方画一条水平的平行线，那么大家看这两个同旁内角是一百八，这两个同旁内角是不是也是一百八？合起来是不是就是三百六十度？那么这就是铅笔模型的一个结论。 接下来呢，你还需要知道猪蹄模型的结论，前面的视频呢，我也有分享过，那我再说一下，来，我们来画一个猪蹄模型，好，是这样子的， 然后在下面画一条水平线，跟上面平行，那么在珠体模型里面呢，他就会有这么一个结论，比如说这个是角一，这个是角二，这个是角三，那么他就会有角二等于角一加上 角三这么一个结论。这个怎么来的呢？好，也不难证明，我们其实可以这样，我们可以在这个地方画一条水平线，那么这个角就等于角一到这来了，这个角三到这来了，那你看这个角二明显的是不是就等于角一加角三？ 好，这个也没问题，知道这个结论之后，我们再来看这个题目就好解决了。你看这是一个平行线，然后角一是等于三分之一倍的 a、 b、 f， 也就是这个角一是等于三分之一倍的这个角，那么这个 c 一 线呢？还是平分这个角的， 这是需要注意的，然后他要问的是角一、角二和角三的数量关系是什么？好，那这个题呢，我们可以这么来解决，你看你可以把这个角一设置为阿尔法，这个角呢就是二倍的阿尔法，因为他整个角一是等于整个这个角的三分之一，那你这个是阿尔法，这个肯定就是二，阿尔法才能是整个角的三分之一嘛。 好，那么接下来呢，注意看这个角呢，我们可以把它设置为贝塔，那这个也是贝塔，因为这是角平面线分的，两个角是相等的。 接下来我们就可以通过 alpha， beta 去表示角一、角二、角三，你比如说角一，它就是 alpha， 那 角二它等于多少呢？你看这个角二啊，它明显是在这个猪蹄模型里面的，按照猪蹄模型，角二是不是等于这个 alpha 加上这个 beta？ 好， 那我们就把它写到这里来，角二是等于 alpha 加上 北塔了，那么角三他又等于多少呢？好，注意看角三是在哪里？角三是在这个地方，那我们说过角三，他是在这个铅笔模型里面看出来了吧？所以这个角三加上这个角加上这个角是不是等于三百六？那我们来试一下，所以他角三呢？他应该是这样的， 他是角三加上三倍的阿尔法，再加上两倍的贝塔，他是等于三百六十度的，那这个我们怎么去找关系呢？好，你看你这个角一等于阿尔法，这个角二等于阿尔法加贝塔，那这个地方有个三阿尔法加上一个二贝塔，那如果我把这个阿尔法提一个出来， 提一个阿尔法出来，那后面是不是两倍的阿尔法加上两倍的贝塔，那这个阿尔法是角一，这个两倍的阿尔法加贝塔，是不是就是 两倍的角二？所以我们很快就能找到这个关系，他就应该就是角三加上角一，再加上两倍的角二，是不是就等于三百六十度？那么这就是我们最终这个题目要的答案。 搞定了啊，明白了吗？遇到这样的几何题，你是需要知道这些几何模型的结论才能够顺利的解决出来，否则你可能会做的很复杂。听明白了，记得点个关注，方便随时复习。下个视频我们接着见，拜拜。
43磊哥大牛数学
03:10查看AI文稿AI文稿各位同学，我们上节课讲了平行线模型当中的这个猪蹄模型，今天我们讲另外一个模型啊，铅笔模型，我们画一下这个图啊，这里是什么 ab， 同样是平行于什么 cd 的 啊？然后两个直线 y 有 一点 e， 那 我们说结论，结论就是这个角 b， 加角 e， 加角 d 这三个角啊，他的这个核啊，是三百六十个啊。有了这个结论，当同学们遇到类似于这种模型的题目的时候， 给了你角 b， 给了你角 d， 你 可以立马求出角 e， 或者是什么让你求这样一个角，就是延长线的这个，让你求这个角的一个大小，我们也可以什么迅速的给得出来。那怎么样证明这个结论呢？很简单是吧？啊？我们跟猪蹄模型的证明方式啊，类似，我可以过点 e 做这个 ab 或者 cd 的 这个平行线， 那么我们看，假如说这里是角一，这里是角二，这里是角三，哎，这里是角四，那我们是不是一样的角一加角二等于一百八十度，同方内角互补角三加角四，也是什么同方内角互补一百八十度，因此我们说什么四个角相加，什么等于三百六十度 啊？这是第一种正法。还有一种证明方法就是延长这个，比如说我这里画的，那么构造出什么一个三角形， 那比如说这里是什么角五，这里是什么角六，这里是角七啊，那怎么知道呢？你看我们这几个数量关系当中，是不是角五加角二、加角三， 角五加角二、加角三，是不是什么？是不是一百八十度啊？对不对？他们构成了一个平角，对吧？那角六跟角四我们看是不是也是一个什么平角一百八十度， 对不对？那么角一跟角七是不是同样是同旁内角，对吧？同样是同旁内角，所以他也等于什么一百八十度 啊？另外我们看角五加角六加角七，是不是在一个三角形当中，所以角五加角六加角七，他也是什么等于一百八十度 啊？因此我们看这四个式子，哎，这三个式子如果相加，是不是右边等于吧五百四十度，对吧？右边等于五百四十度 啊？左边呢，是五六七相加，然后再加上角二、角三、角四、角和角一，也就是说啊，这几个角相加等于五百四十五，那其中角五加角六加角七又等于一百八十度。因此我们说什么角一、二加角三加角四加角一，是不是相当于是两个一百八十度，也就是 至三百六十度，对吧？哎，这么证明出来了，那么有了这个结论以后，当同学们遇到这种类似的模型的时候，就可以立刻的立马就可以得出答案，比如说给了你角一，给了你角四， 让我们直接去求角五的大小，我们就可以吗？立马得出答案了。好吧，这个模型，这个练习题老师也同时整理好了，需要的家长评论区留言我发给你。
02:00查看AI文稿AI文稿今天带给大家的是我们初一里面一个特别特别重要的模型，叫做铅笔模型，那么看一下，在这里铅笔模型呢，它是在两平行线之间存在着一个拐点，那么它的基本结论就是开口朝着同一方向的这三个角的度数之和为三百六十度，也就记 这里的角 b 加上角 c， 再加上角的等于三百六。那么为什么会有这个结论呢？我们进行一个简单的证明 过拐点 c， 我 们去做一条直线 l 平行于这里的 ab， 那 么这里的直线 l 呢？他将角 c 分 成了角一和角二两部分，同时直线 l 平行 ab， ab 又平行于 e d， 所以 直线 l 和 e d 也是平行的，这是我们平行线的传递性。 那么我们来看看，因为这里的 ab 它平行于直线 l， 所以 我们可以知道角 b 加上这里的角一，它等于一百八十度。 那么同样道理呢，因为这里的 e d， 它平行于直线 l， 所以 我们可以去知道角的加角一也等于啊一百八十度。 那么大家来看，我们在这里它是一百八，它也是一百八，我们左右两边同时相加，右边是不是直接就是三百六十度啊？ 而我们左边的这四个角的度数相加，同时角一和角二恰好组成了我们角 c， 所以 这里得出基本结论，角 b 加角 c， 再加角的等于啊三百六十度，从而证明出我们结论来。 那么这个铅笔模型再次给大家去重申一下它的特性。首先它是在两平行线之间存在的一个拐点，这是第一。 其二呢，它是开口朝同一方向的这三个角度数之合满足为三百六十度，那么这个结论你是否记住？如果你去能理解的话，大家可以去做一下我们右边这一个题，把答案写在我们评论区，记得点赞关注哦。
00:55查看AI文稿AI文稿今天我们来搞定平行线里的铅笔头模型，当两条平行线 a、 b 和 c、 d 中间拐了个铅笔头形状的弯，就有一个很好用的结论， 角 b p d 加上角 b 加上角 d 等于三百六十度。证明方法也很简单，过中间的拐点 p 做一条辅助线 p e 平行 a、 b 利用两组同旁内角互补，就能轻松推导出这个结论了。 这个模型怎么用呢？来看这道经典的公路拐弯题。公路第一次拐角 a 等于一百二十度，第二次拐角 b 等于一百五十度，第三次拐角 c 后道路和原来平行求角 c 的 度数。这就是典型的铅笔头模型。那么我们可以直接把它补起来，直接套用公式 得到一百八十度。减角 a， 加角 b、 加角 c 等于三百六十度。代入数据可以算出角 c 等于一百五十度。记住，铅笔头模型遇到平行线拐弯题，直接秒杀，你学会了吗？
04:01查看AI文稿AI文稿同学们，重点上分专题，平分铅笔头，那么这个是怎么一回事？我们来看啊，就是把一个铅笔头模型啊，我们砍呀砍，把它平分掉。我们看啊，假设啊， ab 这个边平行于 cd 这个边， 那么此时这个有一点 p， 那 么通过角 b 做一条关于角 b 的 角平分线，通过角 d 做一条关于角 d 的 平分线，我们相交于假设相交于点 q， 这个点 啊，那么这个点是点 q， 我 们来看哈，那么我们能够得到什么样相关的结论呢？我们来看哈，既然它是角平分线，说明我们假设这个角是 x， 那 么这个角是不是理所当然也是 x， 那 么这个角是 y， 那么意味着这个角是不是也是 y？ 我 们假设对不对？既然平分，说明这两个角和这两个角怎么样？都互互相等吧。那么此时我们来看啊，根据铅笔头模型之前我们讲过什么结论？是不是 两个 x 这个角加这个角加这个角应该等于多少度？三百六十度吧，是不是之前我们证证明过，对不对？我们错啊？如果大家 忘掉啊，如果有点遗忘，我们重新推导一下。我们通过点 p 做一条关于它的关于上下底边的平行线，那么这个边平行于上底和下底，那么此时我们来看二， x 加上这个小角是不是一百八十度啊？ 那么此时二外加上这个小角是不是也是一百八十度？那么两个一百八十度相加，是不是就是三百六十度？是不是这个角加这个角加这个角等于三百六十度？为什么？因为两直线平行同旁内角是互补的吧，所以他和他是一百八，他加他是一百八。所以说啊，我们来看 两个 x 加两个 y 加这个角屁啊，我们来看啊，等于 三百六十度，这个是我们铅笔头模型的一个结论啊，我们要记住，对不对？那么此时我们来看啊，角 q 等于什么？那么此时哈，我通过角 q 也做一条关于上下底边的一个平行线，那么此时这个角 和这个角是不是互为内错角，两直线平行，内错角相等，它是 x， 那 么同理，这个角应该就是 y 吧，所以说，角 q 应该等于什么？我们能够轻易得出，角 q 是 不是等于 x 加 y 啊，对不对？ 是这样吧，那么两个 x 加两个 y 是 不是就是二倍的角 q 就 等于两个 x 加两个 y 吧，那么所以它就是二倍的角 q 加角 p 等于三百六十度，对不对？ 那么这是结论哎，如果大家这个结论感觉哎，不太好记，咱变个形，那么二倍的角 q 是 不是等于三百六十度减去角 p 啊？ 实在不行，咱再变个形，那么角 p 是 不是等于这个三百六十度减去二倍的角 q， 是这样吧，所以说啊，推导过程大家一定要会推，那么角屁和角 q 之间的等量关系就是他们啊，但是我们常用的关系啊，常用的，比如我们书上的定义啊，这种关系 p q 的 关系往往是由二是我们变形得来的，它 放啊，这个等式，两边同时除以二，也就是说角 q 就 等于一百八十度减去二分之一角屁。 那么这个公式啊，是我们书中啊，教材当中所常用的推导公式。所以说啊，只要大家会方法，不论他怎么变啊？不论他怎么变，所以说啊，大家都要会会推导，那么这个是重点。
03:07查看AI文稿AI文稿铅笔你肯定用过，铅笔模型你听过吗？搞定出一下压咒邪修大招。第二招，铅笔模型依旧是上下一组平行线，它的结论是，所有角的和加一起，看看等于几个一百八。 要想解决这个问题，依旧是过拐点做平行。本题的拐点是 p 二过 p 二做 l 三，平行于 l 一。 因为 l 一 跟 l 二平行，所以 l 三跟 l 二也平行。平行。公理推论， 那么我们看到 p 一 这个角和我们目标角的一部分角一相加，是一个一百八，剩下的这个角二跟下面的 p 三加一起是一个一百八，而一二一起又拼凑成了我们的 p 二。 所以我们发现这四个角加在一块是几个一百八呀？两个一百八。说现在我的铅笔呀，用了一段时间之后，笔尖变钝了，出现了四个小角，那这四个角一加一起等于几个一百八呢？要想解决这个问题，依旧过拐点做平行。 我们做了两条平行线，现在这四条线都是平行的。继续我们 p 一 和角一打包一个一百八， 角一下面的这个角角二跟角一是不就拼成了我们的目标角？ p 二角二加下面的角三，又是一组同旁内角互补。第二个一百八， 角三下面的这个角角四，他俩拼一块，正好构成我们的目标角角三角四跟底下的这个 p 四拼一块，第三个一百八，所以他们四个加在一起就是三个一百八。 所以大家发现规律了吗？对于一个变钝的铅笔头模型来说，它这里有多少个角，那就是这个减一乘上一百八。 来看这道考题， l 一 平行于 l 二，角 a 是 一百三十度，角 p 是 九十度。问我们这个红色小角的度数，今天是斜修大招二，那说明咱们已经有两种方法可以解决这道题了。先来看本节学的铅笔模型，大家看到铅笔了吗？ 描已知角的边角， a 角 p 一 描，然后往哪里拐，往右一拐，就出现了我们的铅笔模型。那这里是几个角？ 是不是三个角？三个角三减一，也就是两个一百八角， a 的 一百三十度，加上角 p 的 九十度，再加上右边的这个阿尔法，这个小角就等于两个一百八，三百六十度。 于是我们就能求出 r 法这个角，进而用零五角 p b、 c 角求出来了。这是本节课学的斜销大招一，猪蹄没停，大家还记不记得了？那这题的第二种解决方式，我们把这条线延长一下，你看到猪蹄了吗？ 九十度的角，屁是不就等于这个角加上我们要求的这个角啊？那这里是一百三，这里就是五十，两种方法你都学会了吗？
102初中math铭迪老师
