无刻度直尺作角教程
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10:06查看AI文稿AI文稿无刻度指尺作图的四大天王，我们中考最喜欢考的四类，也就是他们啦。第一类，做高，也就是给出一个三角形，干嘛让你过 c 点向对边做垂线，找 ab 边上的高？那可是问题来了，那这个高怎么做呢？ 其实很简单，我们只需要做两步，第一个，你要做 ab 边上的高，你就把 ab 放在一个横平竖直的直角三角形中就可以了。我们知道这个边是一对吧， 而这个边呢，它的长度是四 o， 也就是 a b。 在 一个一乘以四的直角三角形中，我们是过哪个点做 a b 的 高呢？ o， 我 们过 c 点向它做垂线，对吧？所以第二步，你在一个一乘以四的直角三角形中，所以接下来我只需要过 c 点，画一个 四乘以一的直角三角形就可以了，也就是我们整个底边是四，你这个边是一，那么此时呢，我们连接这个顶点和 c 点，那么这一条斜边一定垂直于 ab。 肯定有同学问亮亮，哎，这是为什么呢？其实很简单啊，你这是一乘以四的直角三角形，所以如果把你这个尖尖角能看到吗？这个角非常小了啊，就这个角，哎，我把这个角绿角，我把它标成 ar 法好不好？那我们知道你是一乘以四的直角三角形， 我也是一乘以四的直角三角形，所以两个三角形全等对应角向呢？你是 arfa， 所以 我这个角呢，一定也是 arfa， 对 吧？接下来，如果你能看出八字模型，当然最好。如果你说这样呢？这谁看得出来？哎，不知道，没关系，牛贩，在这个蓝色的直角三角形中， 一个锐角是 alpha， 所以 我们知道另外一个锐角，也就是我们这个角，对吧？能看到吗？这个角它一定等于多少度呢？我和你互余吗？你是 alpha， 所以 这个角一定是九十度减去 alpha， 那 么接下来证明完毕，你会发现在这个小小的三角形中，能不能看到？ no， no， no， 对 吧？你这个角是 alpha， 你 这个角是九十度减 alpha， 也就是两锐角互余，因此呢，我们知道它一定是个直角三角形，说白了就是这个角是九十度的，能不能看出来就是这条边跟这条边垂直，哎，说白了也就是这个角呢？ 直角，也就是我们整个 a b 边上的高呢？你只要连接 c 点，再连接什么呢？连接我们这个格点能看到，不？对吧？哎，你把这两个点连起来欻连过去，哎，你会发现呢，这个就是我们整个 a b 边上的高。搞定 好第二个呢，在我们整个线段上取点 p， 那 这个 p 点有什么要求呢？使得 a b 比上 b p 这个边，比上这个边呢？等于三比五。亮亮，这个咋取啊？其实非常简单，你看到线段这笔，我们很容易想到什么相似，对吧？ 所以你只要往这边走三个单位，哎，你再反向往这边走一二三四五走五个单位，对吧？那此时你会发现，欻，把两个端点连接起来，哎，我就直接连实线了啊，所以你发现上下两个三角形一定是相似的，相似比呢，就是三比五嘛， 所以你会发现这个焦点就是我们要的屁，对吧？相似比，三比五，所以你这个 a p 呢，比上 b p 呢，不就等于三比五吗？哎，搞定 好第三个，做我们这个角，也就是他，他的角平分线，其实做角平分线他其实有很多种方法，我随便说两种，比方说整个图其实右边还有很多网格啊，只不过量的把右边的网格给清掉了，如果右边还有网格，你怎么办呢？你会发现这条线段他在一个三乘以四 的直角三角形中，对吧？所以你会发现我们可以求出这个边长度几呢？也就是这个边的长度，他是等于五的，剩下就减呢？我直接过 a 点 平行 bc， 就是 水平往右走，走走走走走，几个单位呢？比方说我走的长度和你这个一样，也是五个单位，明白没有？好，此时你连一下角平分线就出来了，为什么呢？如果我连这个角是 a r f， 我 和你相等吧，所以咱们这个角是不是也是 a r f， 对 吧？ 等于三角形。而你要知道这条线我是平行你另外一条边的两直线，所以我们知道这个角也是 a r f， 搞定了，对吧？所以你发现如果我们右边有网格的话呢？你只要把 a 水平往右边走五个单位，连接这个点，连接这个顶点，连一下 角平分线就出来了。当问题亮亮，不对呀，你看你不是把右边这个网格给清掉了吗？这没有怎么办？一样的，我们知道这个边的长度是几呢？这个边长度我们求出来是五，对吧？ 一样的，你从 b 点直接把这个边延长，延五个单位，五个单位在哪？在这，对吧？所以你给我发，你连一下这是什么？ 连接下这个顶点跟这个顶点，你会发现这是个等腰三角形，对吧？就这个边等于这个边，我们自己主动构造的，你想想，我要去构造你这个顶角的角平分线，等腰三角形，有三线合一的性质吗？你顶角平分线不就是底边上的高，不就是底边的中线吗？做高会吗？ 之前不是讲的做高吗？那你这个中线会吗？就是我找整个边上中点，会不会？喏，几比几，对吧？我要在上面找一点 p， 使得 a p 比上 p， 呃，比方说来个 d 点吧，好不好？我要在上面找一个中点 p， 使得 a p 比上 p d 等于一比一，会不会？你要真的找一比的话，你往这边走一个单位，你往这边走一个单位，对吧？哈哈哈，你这是一吗？你这是一吗？对吧？ 你连一下这个焦点不就出来了吗？对不对？这个焦点就是我们的中点嘛，你这个 p 点是整个底边的中点，那根据三线合一的性质连接 b p， 底边的中线一定是等腰三角形，顶角的角平分线，但在这里面你会发现我们需要这么做吗？ 那完全不需要，对吧？哎，为什么呢？因为你连一下，你会发现比方这个是 d 点，你会发现我们刚好是怎么样的？经过我们网格的格点的，它是一个一乘以二的直角三角形，它也是个一乘二的直角三角形，对吧？所以其实你观察，你观察连接 a d， 它刚好经过整个正方形的格点，所以这里面你是不是要走，其实你也不需要，对吧？如果你看不出来你是像我们刚才这样构造一个 p 点，如果你看得出来也是怎么样呢？你直接连完之后，直接连接 b 点，跟我们这个相交的格点 连一下，它就是角平分线。好，我们继续往后了，再来看一下我们今天第四个啊，就是做对称点，这个是最难的，也是很多学生不会的 做 a。 关于 b、 c 的 对称点，我不管你是直角、锐角、钝角，不管什么形状，我们百分百都可以做它的对称点。怎么做呢？其实你想呀，做对称点其实本质的是，不过 a 点先做垂线，对吧？做完之后呢，你再把这条线段延长，你是几个单位，我就往这边再延几个单位，对吧？比方延延延到这，好吧， 他不一定在边上，也不一定在格点上面，对不对？我使得怎么样呢？这条线段等于他，那你这个不就是我们的对称点吗？是吧？但你发现我们用无刻度指使能不能完成这个操作， 那暂时完成不了，那该怎么办呢？像这种对称点的问题，我们只需要做三步。第一步，我们直接过顶点向 b、 c 做一条高，那这个高呢？我们刚才说了，这不就是低问的内容吗？你整个底边 b、 c 呢？在一个一乘以四的直角三角形中，对吧？这个边是一，这个边是四吗？ 好，现在问题来了，我要过 a 点做你这条边的垂线，你在一个一乘以四的直角三角形中，所以我只需要过 a 点画一个四乘以一的直角三角形就可以了。你这个是四，你这个是一。然后你会发现， 我们只要连接 a 点跟这个顶点，跟这个格点，我们连一下，对吧？你会发现它一定垂直于我们的底边。哦，就是过 a 点做垂线，我们就完成了。我顺便跟大家解释一下，四乘一的直角三角形，它的斜边跟你这个一乘以四的直角三角形，它的斜边一定是垂直的，我们刚才解释过了， 那我们平常做题需要怎么写呢？你只需要连接 a 点跟我们这个点连一下就可以了，所以其他图我就把它清掉了啊。所以我只需要连接 a 点跟你这个顶点，对吧？哎，我们连一下， 那我们知道我们顺便延长，那因此它一定是垂直 bc 的 第一步完成了，所以接下来我只需要在上面，对吧找一点，使得这条线段等于你这条线段，那不就对称了吗？ 好，接下来第二步呢，你去倍长 a c 或者倍长 a b 倍长 a 点所在的线段，你要么把 a c 呢往外延长一倍，你要么把 a b 呢往外延长一倍都可以。很明显 a b 延长的跑出去了嘛。所以你就把 a c 延长一倍，你是一个一乘以二长方形的对角线，对吧？ 所以你继续画一个一乘以二长方形的对角线就可以了。哎，背上之后呢，也大概在哪？大概在这个位置，对吧？这个点我就把它叫做屁点，可不可以？所以我们知道整个 c 呢，一定是 a c c p， 哦，就是整个 a p 的 中点了，对吧？ 第三步，过 p 点做 bc 的 平行线就可以了。因为你整个斜边 bc 在 一个一乘以四的直角三角形中，对吧？所以我这样过 p 点呢，我们依然怎么样呢？构造一个一乘以四的直角三角形就可以了，我们连一下。 哎，我们很容易正出。你是个一乘以四的直角三角形，我也是个一乘以四的直角三角形，而且我们所对的方向一样，因此我整个斜边和你这个斜边一定平行，在这里面我就不再说明了。那么接下来这个点呢，就是我们要找的 a 撇，为什么呢？因为你会发现在我们整个三角形 a a 撇 p 中，你看整个三角形 c 是 我们整个腰的中点，对吧？ 现在你过 c 点干嘛呢？你这条线是平行于这个边的，也就说白了，你这条线干嘛呢？你这个线它是平行于底边的，对吧？ 所以也就怎么样呢？给出一个三角形，你过腰上一个点做底边的平行线，平行线你不管用，相似还是平行线，分线段成比例定里，你是一比一。所以你这个蓝线跟我们这个绿线的焦点就是我们要找的 a 一 撇， 它大概在这个位置啊，并不是正方形的格点。以上就是我们所有的四类作图啦，跟着亮亮无脑学习。
7.5万亮亮巧解数学
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01:02查看AI文稿AI文稿这是线段 a、 b， 而你只有一个没有刻度的尺子，如何用它将这个线段一分为二呢？找一根一样长的绳子对折一下就好了。我要说一个小学二年级的方法， 尺子一端分别放在 a、 b 点，另一端旋转，画出圆弧，将上下两个圆弧的交点连接起来，交点 o 就是 线段的中点。很好，你利用了圆的半径和等腰三角形的性质。 这是一把没有刻度的三角尺，你还能用它想出别的办法来吗？哎，我有一个小学四年级的方法，直尺随意摆放，三角尺在直尺上可以滑动， 分别过 a、 b 两点，朝相反的方向画出相等的长度，连接两个端点，交点 o 就 会向 a、 b 平分。很好，你利用了平行四边形对角线平分的原理。我这还有一把圆规，你还能用它想出别的办法吗？ 太好了，我还有一个小学六年级的方法，过 a 画一条射线，用圆规截出两段相等的长度，连接 b、 d， 再过 c 做平行线，角点 o， 就 将 a、 b 分 成了两段。太棒了！这个你利用的是像三角形的性质，你还能想到其他的方法吗？
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02:51查看AI文稿AI文稿十一题，哎，又是一分钟来，一分钟之后，我们来讲倒计时，一分钟时间到来，所有同学看黑板，我们来看一下这个题目应该怎么做。一分钟时间到了，对于第一个，请在你图中画一个射线 b， c 上画一个点 d， 使得我们角 d a， c 等于角 b a c。 哦， d a c 等于 b a c d a c 等于 b a c。 哎，这不就做对称吗？嗯， d 简不简单？第一小问，这个超级简单，在上面找一个射线，找一个 d， 在 射线 b、 c 上面找一个 d， 这个 d 在 哪里？哦， d， 它的对称点就这个点，这就是我们的点 d。 第一小问，炮灰啊， 所以使得这两个角相等来送分。第二个，在图二中点 p 呢，为线段 b、 c 上的一个点点 p 为线段 b、 c 上的一个点。 先画线段 a、 b 的 中点 a， b 中点，这个中点会不会画呢？哦，中点肯定是这个点嘛，这个中点是不是大家都能画出来？所以这个中点我们给他取名叫 o 点。题目说了好，那么他就是我们的 o 点。 好，紧接着他又干一件事情，再将线段 a、 b 沿着 bc 的 方向进行什么？进行平移，进行平移，平移至 m n， 是 不是好？平移至 m n， 使它成为菱形。那菱形， 菱形就是五呗，一二三四五，一二三四五。哎，在这，这是 m， 一 二三四五，这，这是 n 啊，这是一个 m， 这是个 n， 这个画图结束了吧？好，下面这是第二小问结束。第三小问， 在这个二的基础上，先画一个平行四边形， a b p g a b p g， 哦，要一个平行四边，你看平行四边形是不是 p g g 在 这里啊， g 很 轻松就能搞定，应该没有人画不了这个 g 吧啊？ a g， 这个用虚线画 a b p g， 哦，这个 g 在 这里，这就是我们的 g 点好平行四边形画出来， g 有 了之后，下面让你画什么哦？在 a b 上找一个 q， 使得 a q 等于 b q， a q 等于 b q， 你 看一下， a q 等于 b q 怎么画？ a q 在 哪上面找 哦？ a q 等于 b q， a q 等于 a q 等于 b q， 哦，使得这一段跟这一段相等，那其实就使得这一段跟这一段相等，那不就是一个三兄弟画图吗？你只要画这个角的平分线就可以了，对不对？ 是不画这个角的平行线，或者我们也可以怎么样了？你可以看一下，也就意味着我要画这个角的平行线也是一样的嘛。所以接下来我们怎么办？这个角的平行线很好画，它是个菱形，把它一画好，这个菱形一画啊，这个点给它对称过去哦，这就是我们要的 q 点。结束教小朋友们，你第一位画少了，我第一位画少了啊，第一位还要画什么 哦？在 a b 上找个点哦，还要画个点 e， 使得 c e 等于 c b。 哦， c e 等于 c b 啊，那这不送分吗？ c e 等于 c b 怎么画哦，那就是画直角三角形，你看看是不是？我要画这个边，相当于是要使得 c e 等于 c b， 是， 是使这条边是等于这条边吧。好，如果使这个跟这个相等，那其实只是要画什么？画一个直角就行了哦，我接下来这个注意怎么办？ 你看怎么画？我这边是要画一这条边等于这条边，而 c 是 中点，所以我这个角如果是个直角，这不就它跟它相等吗？所以画一个直角就行了。所以过点 d 做这条 a b 的 垂线，咱会画不？哎呀，超级简单，应该没有人。不会吧？把这个点一连连完了之后，这就是我们要的这个点，这个点就是 e 点，对吧？这就是 m。 看。
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03:32查看AI文稿AI文稿一个视频讲透中考无刻度直尺作图。哈喽，大家好，今天晚上讲的是无刻度直尺作图。首先看那个高频考点做对称点的， 这个是不管在武汉的市调还是哪里，还是武汉二零二五年的中考试题中都出现过点关于直线对称的啊，来看一下过点，看这题过点， c 做 ab 的 对称点啊， c 做 ab 的 对称点，那我知道一个点，关于一条直线对称称的这个点肯定在这条 直线的垂线上面。那所以第一步我们要过 c 点，做 ab 的 垂线。垂线怎么做呢？来看一下我们竖格子， ab 是 横四竖三，横着四个，竖着三格，然后我们找 c 过 c 点，找横三竖四，这是横四竖三，找横三竖四的一二三四一二三， 过 c 点了，横三竖四 好，那么 c 的 边缘 a、 b 的 对称点肯定在这条垂线上面。 至于这里怎么做垂线啊，本质是利用相似的横竖，那 a、 b 是 横竖竖三，你找一个横三竖四，那么这两个三角形相似，跟卷边线是全等啊，相似得两个角相等，那所以这里得到垂直线。然后第一步我把做对称的那个步骤写一下，第一步是做垂线， 第二步做对称点，是既要垂直，还要保证相等，那么这一段也就是这一段要等于这一段，那这一段我们不知道在哪里取，怎么办呢？这垂直距离相等我们不好找，我们找斜距离，通过三角形中微线来构造。那么第二步我们是在 a、 b 上取个格点，取个取一个格点。为什么待会取格点，那么看 a、 b 上取格点，取 b 点， 取个隔点，然后对称，我们在对称的直线上取个隔点，并且背长背长，然后过该点做 a、 b 的 平行线。 b 点到他这点，这个被长点是第二步，我写一下第二步是取隔点被长， 第三步什么呢？做平行线分三步，取隔点，被长点做 a、 b 的 平行线，这被长点为 d 点。 那我们看过低点做 ab 的 平线啊，低点到低点是横着左右一两个，下一个 a 点也是右一个，下一个到这里，然后再连接这个点跟低点，那么这个点就是我们要做的对称点。 哎，我解释一下为什么是这样？第一步我们做了垂线之后，那么这你看一下垂线起码保证了这个点，因为一个点关于直线对称的话，那他这个点跟这个对称点连接起来肯定是垂直 a b 的， 然后这主要是保证本句来取个格点，在 a、 b 上取个格点，然后也对称，你看取格点的目的就是为了方便对称，如果随便取个点，你都不知道对称到哪去了。 就是我们勾到这这一段，跟这一段相等，要做平行线，那你看那这个，那这条线，这条线呢？就构成了这条三角形的中位线了，它平行于它，并且 c b 又等于 b、 d， 所以 保证了这一段跟这段平行，并且那这一段的话就是这个三角形的中位线，那它中位线的话，那这一点就保证了，只要这是一点，那就保证了 c e 等于 e f。 好，我们再来看一个例子，过十一点做 a、 b 的 对称点 f， 第一步过十一点做 a、 b 的 垂线，那我们看一下 a b 的 垂线， a b 是 横二一二三四五，横二竖五，那么过十一点找横五竖二，一二三四五五个，两个横五竖二，找到了， 那第二步在对称线 a b 上取个格点，那 b 点很容易找到 b 点，然后被长，被长到了这里点，然后被长点做 a b 的 平行线。啊，这就是平行线，所以对称点，这就是我们要找的对称点 f。
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02:24查看AI文稿AI文稿尺规作图与无刻度尺尺作图，同学们，今天咱们来学习尺规作图。尺规作图就是只用圆规和没有刻度的尺尺来画图，而且要了解作图原理，保留作图痕迹，但不用写具体做法， 下面我一个一个给大家讲。首先是做一个角等于已知角和做一个角的平分线。做一个角等于已知角，就好比我们要复制一个角，用圆规和直尺能精准的把这个角复制出来。 做角平分线呢，就是把一个角平均分成两半，就像把一块蛋糕从中间切开一样。 接着是做一条线段的垂直平分线和过一点做已知直线的垂线。做线段垂直平分线就是找到一条线，他既能把线段分成相等的两段，还和线段是垂直的，就像给线段找了个中垂线保镖。 过一点做已知直线的垂线，就是从这个点出发，画一条线和已知直线垂直，就像给直线立了个标杆。然后是过直线外一点做这条直线的平行线，这就好像在一条路旁边再修一条和它平行的路，用圆规和直尺就能实现。 再来说做三角形，已知三边，两边及其夹角，两角及其夹边都能做出三角形。比如已知三边， 就像我们有三根不同长度的小棒，把它们首尾相连，就能拼成一个三角形。已知底边及底边上的高线。做等腰三角形，就像先确定房子的底边和高度，然后就能搭出等腰三角形形状的屋顶。 已知一直角边和斜边做直角三角形，就像知道了梯子的长度和它靠在墙上的高度，就能确定直角三角形的形状，还有做圆相关的过不在同一直线上的三点做圆，就像给三个不在一条线上的点找一个共同的加圆 做三角形的外接圆，就是给三角形找一个能把它包起来的圆做内切圆，就是在三角形里面找一个最大的圆 做圆的内接正方形和内接正六边形，就是在圆里面画出正方形和正六边形，让它们的顶点都在圆上。最后是过圆外一点做圆的切线， 这就像从圆外一个点出发画一条线，刚好和圆碰到但不穿过，就像给圆贴了一条线。
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05:21查看AI文稿AI文稿应一位家长的要求啊，给大家说说中考数学做图题，我会用最贴近中考实战的方式，把各地的主流考法题型、形式、解析的关键，结合一些中考真题，一次性给大家讲清楚。 全国各地中考做图题有三大类考法，分别是尺规做图、格点做图、无刻度尺做图。 我要说的是在我多年的教学初中数学的过程中总结出来的适合各类做图题的方法是， 先按照题目的要求，在草稿纸或是备用图上面把题目要求做的大致图形给画出来， 然后再去分析思考如何做才能得到这样的图形。最关键的还是要熟练掌握几何图形的性质和判定方法。下面就具体给大家说一说这三类考法。第一，尺规作图 主要的考法形式，第一啊，直接做图，做角的平分线啊，线段垂直平分线，过一点做垂线，平行线做全等三角形，做特殊三角形，包括等腰三角形啊，等边三角形，直角三角形 做圆的，切线做三角形的外接圆和内切圆等等。第二，先计算或证明，再作图。 给出图形的边长、角度等条件，先求出一些相关的数据或是推理过程，再用尺规画出图形。 三、作图和计算证明相结合，用尺规按要求画出图形后，求线段的长度、图形的面积以及图形的相似和全等，还有相关的梳理证明。尺规作图的解析关键在于 第一点，必须保留作图痕迹，这是得分点，如果擦掉了就会扣分，甚至不得分。 二、严格按尺规作图的要求，用圆规和无刻度尺作图，不能量线段长度和角的度数。三、熟记五种基本作图， 并能熟练的画出来。你记住，不管多么复杂的尺规作图体都是他们的组合。 四、要求写出作图过程的语言要规范。即使没有要求，写出作图过程，也一定要写出结论性的语言，也就是如图，就是题目所要求的图形。 第二，格点作图常考的形式有，平移、旋转、轴对称、中心对称、相似三角形、面积固定的图形 找特殊点啊，比如直角、顶点、线段的中点等，腰三角形的顶点角平分线上的点等等。 格点作图的关键点是大家要熟悉图形的特征，巧妙的应用格点的特征和图形的特点进行作图。 比如找格点中线段的中点，就需要借助矩形对角线互相平分的性质，利用相关性质做平行、垂直旋转以及求面积等等。 第三，无刻度支持作图。这是这三类作图题中相对来说难一点，建立在格点作图的基础之上， 常考察的形式只给一把无刻度的直尺，在特殊四边形和圆中做中点，做平行线，做垂线，找角的平行线，做圆的圆形和切线等。 用平行四边形的对角线找中点，矩形、菱形的对角线找中点做垂直 等。腰三角形三线合一可以做角形边线、三角形的高线，也就是做垂直，还有线段的中点，在圆当中利用直径所对的圆周角可以做直角，利用圆的性质找圆心等等。 比较起来啊，尺规作图相对简单，属于基础题，送分题。格点作图属于中档题，需要对相关图形的性质和判定熟练掌握。最难的 是用无刻度的直尺做图，对灵活运用几何知识的要求更高。最后叮嘱大家一句，你要想中考做图题拿满分，除了平时把几何图形学的非常熟练，还要去更多的练习，在平时练习中找方法， 不要所有的题目都等老师给你方法，要在平时的练习中自己总结方法，做到见多识广，熟能生巧。
11:19查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，今天我要讲解的是无刻度直尺作图，我把那个无刻的直尺作图大体上分为了八类，依次写在这个上面。好，我们现在从平行线来看， 比如说我要做 c 点，过 c 点做 a、 b 的 平行线来看。第一类，我要做过 c 点，做与 a、 b 平行且相等的，那其实可以理解为平移，那 a、 b 是 横二竖式，我们过 c 点也找横竖式平行移动的 横二竖十，这是过 c 点做 ab 的 平行线，当然这种都比较简单，来，我上个有点难度的，有个 m 点，它不是格点，是 ab 的 一个点，要过 m 点做 b、 c 的 平行线，我们来看一下怎么做啊？说一下思路，先 像这种非格点做平行线，做哪条边的，那我们第一步就取这边 b， 取哪条边的中点，你看 b、 c 的 中点就是一二三四五个，那 b、 c 的 中点的话，就是二点五个，但是二点五个我不能直接写，这样取一下，拉一下。 好了，这个点不就是 b、 c 的 中点吗？然后第二步，我们过 a 点连接这个中点的连线，然后第三步交叉相连，然后这里有个交点，把 b 点与它连接 点 m n、 n 点，就是我们所求的 m n 平行于 b、 c。 看看这个计算，先取中点，然后再交叉相连，就得到 m n 平行于 b、 c， 这是非格点的平行线做的。第二，我们来看一下垂线作图， 垂线做图，你说我要过 b 点做 a、 c 的 垂线，我们做垂线做图啊，一般是数格子底层，原理是用证明相似或者全等。那么看过 b 点做 a、 c 的 垂线， a、 c 是 横着三个，竖着四个，那么过 b 点就是横着四个，竖着三个，一二三四三个一二三这里，那把它连起来， 那么这就是过 b 点做 a、 c 的 垂线，这个焦点，这就是垂直了。底层原理呢，是这个三角形跟这个跟这个三角形全等，得到这个角跟这个角相等，那所以得到这个垂直线。垂直线一般是属格子， 那么讲垂线作图，比如过 b 点做 a、 c 的 垂直线， a、 c 是 横竖竖，那么过 b 点，我们找横竖竖三，一二三是一二三，在这里 竖格子，这是确定理由。原理是这个三角形跟这个角相等的，这个角相等，因为这个角加上这个角等于九十，所以这个角加这个角九十，它推出它是直角， 这是垂线作，所以我们主要就竖格子。原来是三乘以四的格子，我们就找四乘以三，三乘以四，你看横三竖四吗？三乘以四，那么反过来找横竖竖竖三。但有时候格子的问题啊，数量问题，我们不一定要，一定要找横竖竖竖三，也可以找它缩小的比例，找横二竖一点五。那关于一点五，就可能涉及到中间作图了。中间作图， 好，第三个点，我们来看一下中点作图，你说我随便选，要选 b、 c 的 中点， b、 c 点二点五的，就取这个点，这是中点。总是取到 b、 c 的 中点， 这是基数格，偶数格很好说，偶数格，你说你要取 b、 e 的 中点， b 点是格点，那这个点是直接数格的吗？是，他就是中，他就是 b， 这点就是 b、 e 的 中点。来，我来上点难度的啊。 比如说这两个点， m n， m n 是 这条线上的一个点， n 点是这条线上的一个点，要取 m n 的 中点，怎么取呢？虽然我们横，它不是格点，但是我们有一点缺点， m n 的， 你看一下它那个数值高度，我们是知道了，你说横着我们知不知道数字？知道了，数字是两个数字高度，那我们直接把它连接 那终点，到这个点就是终点了。理由原理是什么？过这一点做垂啊，这个点为什么是中点？过这点做垂线，这里做垂线，当然这个垂线不是我做图做出来啊，是用几何证明方法看一下，现在这道跟这道相等，然后这是直角，这直角还有一种对点，所以这两三个圈的，从而得到它是它的终点。 但终点里面其实还有一种作图是比较难啊，那我们看一下在哪一种作图比较难，就非格点类的，比如这里是 m 点，这里是 n 点， 我看怎么做 m n 的 中点，这里我主要讲一种思路啊，用三角形的重心交于一点，我取这个点，在这个取这个格点，这点是 p 点，然后看一下连接 p m， 那这个点我可以很容易得到，这个点是 pm 中点，同样的连接 pm， 那 这个点我们也很容易得到，它是 pm 的 中点，然后你看这三角形 pm 的 n， 可以 把它中线连接，然后这个点也是它的中线一点点，那这里得到一个焦点，这个焦点不一定是这条曲线啊，然后把它连接， 得到了这个点，这是我们就是利用中线交一点 q 点， q 点就是 m 的 中点，这也是一种做图啊，当然其他的还有三角形的中线做平线吗？用中点做平线得到另外一个中点，还有些平时喜欢做图方法得到中点都行。下面我来讲一下 角平分线。角平分线做做一个角的角平分主要依据是什么？是根据那个构成等腰三角形，三线合一。比如说我要做 c m 平分 角， a c b， 我 们构造等腰线，那 c a 用勾股定律的差是等成三竖折斜着等于五个，那 c b 它也是五个，所以我们直接取 a、 b 的 中点就可以了，这是等腰线就行了。沿肩 这是 m 点，其实 m m 是 m 的 中点，那这个时候既是角平分线，也是中中线，理由是 c a 等于 c b， c a 等于 c b 都等于五个，取个中点和三角对应。所以角平分线做一个角，角的本最本质，最普遍的方法就是构造等腰三角形，取顶角的角，取底边上的中点。 好，第五类作图。我们来看一下旋转作图，第一个是旋转中心，第二个旋转方向，第三个旋转角度。当然一般的最多的常见的话是旋转角数，比如说 a、 b 绕 b 圈，九转九数，逆时针，逆时针转九数， a、 b 要 b 点到 b 点不动，逆时针转九数，那还相当于是做垂线吗？来， a， b 是 b， a 是 横二竖式，找横四竖二，一二三四竖二转到这里来。 逆时针旋转九十度啊，这个点就是 a 旋转位数。我这里想一下，顺时针跟着时针墙上那个挂的中时针方向旋转，一样的话，这个方向就是顺时针，而反方向这样叫逆时针。所以逆时针就是这样的啊，这是顺时针。刚才我说了做垂线怎么做横二竖向，这是横竖竖二，这是旋转做图。 那么看一下，咱按比例作图，假设我们要在这里取一点一点在 a b 上取点一，使得 a e 比上 e b 等于 a e 比上 e b 等于一比，比如说一比二吧，知道一比二是吧？那我们看一比二怎么构造啊？我们就说分比例的话，我们主要是利用相似构造八字形相似，所以八字形相似是这种形式， 利用这一段比这一段一比二，可能得到这一段比这一比二好。其实我我的口诀是左拉右拉或者向右拉左拉向相反方向，当然也可以上拉下拉或者下拉上拉，那我就以左拉右拉为主，主要是右拉上下两个八字形，三角形全等啊。相似，那左拉右拉 n 要一比二，上面比下面一比二， a 点拉到这里来， b 点往右拉两个，这样，然后把它连接。 这个就是我们说的一点，你有损啊，这个三角形上面跟下面这个三角形相似比例的话，这道是一，这道是二，所以这道比这道一比二，所以比例做也算是比较简单，只要是就进一个口，就左拉右拉，如果左拉右拉不方便，那就上拉下拉都可以啊。 比如这个一比二，往这里拉，往下拉钥匙一比二，往这里拉，往下 a 点往下拉一个， b 点往上拉两个，也可以得到效果， 这一道比这道一比二，所以得到他这个一点。就是我们用的也是一比二，这道比这道一比二，这叫这不是我起的，叫上拉下拉一点上拉一点下拉，只要保证这个比例一比二就可以了。而点关于直线对称，这个是常考的意思， 做 m 点，关于 a b 对 称的点，那点关于直线对，多分三步，第一步做垂线，第二步 取取格点被长。第三步做平行线。那我们按照这三法，首先第一步过 m 点，做 a、 b 的 垂线，那 a、 b 是 横二竖式，我们找横竖竖二，一二三四，横竖竖二。 第一步找到垂线，过 m 点做 a、 b 的 垂线。第二步在对称直线上 a、 b 上取一个格点，那其实我就可以直接取 a 点，然后被长，那就到这里来了。 取格点是为了方便背上，如果你随便取个点，都不知道背上哪去了，所以我们一般都取格点啊，确实取个点，然后取一些中点，类似于中点的点。然后第三步做平线，过至该点背上点做直线 a、 b 的 平行， a、 b 是 横二竖竖，那我们也找横竖横竖，当然你找横一竖二也行，这是横一竖二， 那跟这里的横竖说啊，这个交点，他这条平行于这条交点 n 点，就是我们要做的 m 点。关于 a、 b 直线 a、 b 的 对称点，这是点。关于直线对称，这个这个作图是经常考啊，他是有时候不是考的那种将军马。来看下最后一个正切值作图， 如果要在 a、 c 上找一个点， m 上取点， 按进了叫 a、 b， m 等于 二分之一，那像这种写，我就有一个口诀啊，做谁的正确答案，我们就第一二个字母绕着第一个字母旋转九十度，那 ab， 那 你看 ab 绕 a 旋转九十度，那这是横二竖九，我们就横竖。说到这里了， 这是为一点，那有的同学说绕这边去，那这边肯定不行啊，因为我们这在 a、 b 上面找点，所以你旋转方向时注意一下，尽量跟我们三角形有相交的，那现在相当于是在这个上面找一个点。先我随便换个点啊，两边点， 它这个角 abm， 那 先我们分析下这个点是什么点啊？这次直角我们用旋转角数 am， 它这个角就是 am 比上 ab 等于一比二，就这边，那我们写下 am 比上 ab 等于一比二，我们分析下这是什么点啊？ 因为 ab 我 旋转角数得到 a 一， 那 ab 又可以变换为 a， 所以 a m 比上 a 一 等于一比二，那 a m 比上 a 一 比二，其实就是 a 一 的终点吧，那我们就找 a 一 的终点，那我们就找 a 一 的终点，那连接就可以了， 主要我们在 a 一 上面找，所以这个点 m 在 这里。 那假设我们找四分之三的点，怎么办呢？那我看还是这样，就是假设这里找看见了叫 a b n 等于四分之三，我们看这个 n 点怎么找啊？还是一样 a b a b 第二个字母绕着第一个选择九数， a b 选择九数，到这里来了， 这是一点，然后在这个上面找一个点， a b n 等于三比四。那其实根据我刚才分析，你看一下这个 n 点， a n 比上 a b 三比四，所以 a n 比上 a 一 也等于三比四，那换算一下，这是 a n 比上 a 一 等于三比一吗？ a n 比上 a 一 等于三比一，那就成了我们上面的比例作图，上三下一，那么就左拉右拉 上面三个，下面一个，来看一下怎么怎么拉的，再看四往右边拉三个，往左边拉一个，不就这个点吗？ 这是三比一，那可以得到三比一，那只得到这是 n 点，所以 a n 比上 a 三比一， a n 比上 a 一 三比四，所以 a n 比上 a， b 三比四，他直接把边再连接就可以了，这就三比四嘛出来了。
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