北师大版七下基础将军饮马练习题
难倒百分之九十学霸 p v x 轴上的动点，求 p a 加二 p b 的 最小值。这题看起来很像将军印马，但是这里的系数不为一，今天教你个绝招，三秒搞定它！扩展知识，这是一个四边形，假设它的四边长为 abcd， 对角线为 m n， 那 么一定有 ab 加 cd 大 于 m n， 当它们四点共圆时，取等号。回到题目，以 ab 为斜边，构造一个直角三角形，设它为 x， 它为二 x。 根据托勒密定律可以得到一个这样的不等式， x 可以 提出来， ab 等于根号时， x 等于根号二。 所以只需让 c p 最小， 算出 c 点，坐标点到直线做垂线，最小 c p 等于三，此时刚好四点共圆曲等号，所以最小值就是三。根号五，你学会了吗？
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02:33查看AI文稿AI文稿我们一起来看一道将军银马的基础题。等边三角形 a， b、 c， b， d 呢？垂直于 a、 c， 那 马上就会得到 d 啊，是 a、 c 的 中点，因为这是等边，那么垂直三项合一，而 a、 d， a、 d 等于三点五， 那么 d， c 也是三点五，而 a、 c 等于七，那么这个等边三角形 a、 b、 bc 都是七， 同时呢， b， p 等于 a， q， b p 等于 a， q 都等于二， e 呢，是 b 对 上的动点，要想求 p e 加上 q e， 那 么这是一个基本的将之以法问题。 e 是 动点， 它的运动轨迹是在 b d 上，和 p 和 q 都是定点，那么这个时候要想求 p， e 和 q， e 的 最小值呢？我们就过 b、 d， 也就是 e， 它所运动的这条轨迹去做 p 或者做 q 的 对称点， 而 b， d 啊，它是垂直 a、 c 的 这样一个对称轴，我可以做 p 或者做 q， 我 直接呢做 q 的 对称点， 那么因为 a q 等于二，所以 q， d 啊就等于一点五，那么我直接在 d c 上找一点 q 一 撇，使得 d， q 一 撇等于一点五，也就是它们两相等，那么连接 e q 一 撇， 我们可以直接啊从全等的角度来证明，或者从这个中垂线的角度来证明 eq 等于 eq 一 撇，那么这样子呢， p e 加上 q e， 它的最小值，我就转化为了 p e 加上 eq 一 撇的最小值， 那么 q 一 撇，它也是定点，两个定点，一个动点，显然是连接 p q 一 撇， 交 b， d 啊，于 e 一 撇，这个时候三点共线，那么这个时候是最小值，所以它的最小值就是 p q 一 撇。那么接下来就要求 p q 一 撇。我们知道 ab 啊等于七， bp 等于二，所以 ap 等于五， 而 a q 二，这是一点五，这是一点五，所以加起来 a q 一 撇，这也是五。而 a b c 呢，是等边三角形，所以这是六十度，所以 a p q 一 撇，它也是等边三角形，那么等边三角形 p q 一 撇，就也等于 五，所以最小值啊，就是五，你学会了吗？我是专攻数学思维的陈老师，记得点赞关注。
02:17查看AI文稿AI文稿来吧，咱们来一道将军印马的问题。说在周长为八的正方形 a、 b、 c、 d 中， 正方形周长又为八，那说明每个边上都为几了二了呗，是不是？嗯，然后又说点一啥是 a、 b 的 什么中点？哦，所以 a、 b 都为几了一了？ 点 p 是 对角线 a、 c 上的一个什么一个动点啊？点 p 是 动点，求啥？求 p 加上个 p b 最小值为多少？哎，将就一码问题，最小是问题，对吧？那你做了这么多肯定知道啊。怎么做呀？ p 加 p b， 哎， e 点和 b 点是不都在 a、 c 的 一侧呀？ 你要求最小是啥？求是不要求他的对称点啊，那就是点 b 的 或者点 e 的 对称点是不是都可以，但哪个好做呀？当然是点 b 的。 为啥？因为点 b 的 对称点不就点 d 吗？ 为什么？你怎么知道他是正方形？正方形怎么了？正方形说明 a、 c 就是 他的什么 b、 d 的 垂直平分线。所以说你在写过程中一定要写这个啊， a、 b、 c、 d 啥东西了？正方形对，是不是？那所以说明 a、 c 它就是谁啊？就是 b、 d 的 什么？对？垂直平分线， 哎，垂直平分线是吧？所以说明 p 点到点 d 的 和到点 b 距离是相等的。那所以说 p e 加上 p b 就 等同于 p e 加上给谁了？ p d 对， 而两边之和如果是三角形的话，说不定是两边之和大于第三边大于谁了？大于第一对吧，但人家也没说非得直角三角形吧，没有非得三角形吧。所以说他们可以贡献。贡献啥意思？那说明 p 加 p d 可以 等于谁？等于第一？ 那这句话啥意思？就表示为他俩的和最小值为谁为第一了？那我就把第一连出来就可以了，对吧？能求吧？当然可以求了，边上为几二 a 呢？一勾股定律第一能求吧？可以求答案几根号五刷水税吗？
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02:30查看AI文稿AI文稿一分钟学会将军一马最难的三动点问题，这种题型有一个非常简单的计算口诀，学会之后直接满分。已知一个直角三角形的三边长为十二、十六、二十 d、 e、 f 分 别是三边上的动点，求 d e 加 e， f 加 d f 的 最小值。对于这种直角三角形的三动点问题，有一个非常简单的计算口诀，这三条线段和等于直角三角形斜边上高的两倍。 具体推导方式就是将军印马模型的轴对称思想。因为有三个动点，所以不妨我们先假设一个点为定点。那么在这种题型中，我们一定是假设斜边上的这个动点为定点。那接下来只需要过定点，做关于定直线的对称点， 过点 d 去做 a、 c 的 对称点为第一，过点 d 做 b， c 的 对称点为第二。连接 d、 e、 f， 因为轴对称，小 c 就 转化到了这个位置。连接 d、 e， 因为轴对称，小 a 就 转化到这个位置。现在我们求的是这个小 a 加这个小 b 加这个小 c 的 最小值。 因为 e 点和 f 点是动点，所以当第二、 e、 f 第一运动到同一直线上，也就是连接第一、第二，那这三条线段和的最小值其实就是第一第二的最小值。 这里第一、第二是一定会经过点 c 的， 因为对称，我们可以将 d、 c 连接起来，可以得到 d、 c 是 等于 d 一 c 的。 同样因为对称， d、 c 是 等于 d 二 c 的。 而又由于对称，假设这个角为 r 角，那么这个角也为 r 角。那同样因为对称，假设这个角为贝塔角，那么这个角也为贝塔角。 由于 r 加贝塔等于九十度，那么所以阿尔法加二贝塔就等于一百八十度，也就意味着 d 二 c d 一 是三点共线的， 因为对称第一、第二的长度其实就等于二倍到 c， d 的 长度相当于求的就是 c d 的 最小值。那接下来就变得非常简单了， d 点其实是一个动点， c 点是一个定点，要求一个定点到斜边上，一个点最小，那其实就是过点 c 做 ab 的 垂线，那么此时它的最小值就等于二倍到 c h 的 长度。 求解 c h 我 们可以用到面积法，用二分之一的底 a， c 乘高 bc 是 等于二分之一的底 ab 乘高 c h 的 代入数值不难算出 c h 的 长度为九点六，所以最终的答案为十九点二，搞定。
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a 撇 b。 那么此时点 p 的正确位置就在哪呢？点 p 的正确位置就在哎，老师标的这个地方。这就是最典型的将军一马问题的缘起叫何小义，所以这个何小义指的是什么呢？ 的是两个定点 a 和 b， 要找它和 p 之间的距离之和最小。那么这两个定点 a b 得在动直线 l 的什么呢？ e 侧，不在 e 侧，我们要把它对称过去，所以来看这个题目当中，那么 a 和 b 在直线 l 的什么呢？ 同一侧了，我们就要把它对称过来，把 a 和 b 变成什么呢？ e 侧的，这就叫和小 e。 好，那理解什么是和小 e 了，我们再来看什么是叉。大同现在有一条直线 l， 上面有两个点 a 和 b， 我让同学们在直线 l 上找到一个点 p， 使得 p a 减去 p b 的绝对值，怎么样呢？要取最大，这就是差最大问题， 那么这个差什么时候才能最大呢？那假如说哈，还是我在 l 上先任意的找一个点 p， 那这个时候我连接 ap， 连接 bp， 再连接 ab， 我们会发现什么呢？ abp， 它是一个三角形， 那这个时候根据什么呢？三角形的三边关系，两边之差小于第三边，所以 p a 减 p b 的绝对值此时是会小于 a b 的，那不管怎么样，他的差永远会比 a b 之间的距离怎么样呢？要小。那什么时候能逼近 a b 呢？或者说能做到和 a b 相等呢？那就是使得三个点 a b p 构不成三角形的时候。那什么时候 a b p 三个点构不成三角形的时候呢？贡献的时。 所以我们要找的点 p 的正确位置应该怎么找？应该要直接连接 b a， 并且延长和动直线 l 交于点 p， 那么此时我们会发现 p b 减去 p a 刚好等于 a b 的长度， 所以这个时候我们说 p a 减 p b 的绝对值就小于等于 a b。 那什么时候取到等号 a b p 三点贡献刚好构不成三角形的时候取得等号，所以 p a 减 p b 的最大值就是 a b 的长度，所以这个时候就隐身出来了。差大同 含义，要找到两个线段差的最大值，那么这两个定点 a 和 b 得在动直线 l 的什么侧呢？同侧才可以，我们看这里 a 和 b 在直线 l 的同一侧，直接连接 a、 b 并延长交直线 l 一点 p 就可以了。所以什么是差大同和小异？那么差大同就是两个定点， 得在动点所在直线的同侧，那和小翼就是两个定点，得在动点所在直线的翼侧，这就是差大同和小翼的含义。那么知道这个含义之后，我们在做题的时候遵循一个什么步骤，能把将军一马的问题百分百解决掉呢？那么将军一马同学 咱们都知道，家长也知道，他的模型非常的多，又是两个动点啊，又是一个定点啊，又是三角形啊，又是四边形啊，又是平移啊，对不对？很多很多个模型，但是这个模型万变不离其宗，就是刚才的那个口诀，差大同和小易。那么针对将军一码问题，所有的模型哈都有一个共同的做题步骤，第一步， 区分动定，知道谁是动点，谁是定点，并且还要找到动直线，动点所在的直线就叫做动直线。所以第一步把动定区分好了，动直线找到了。然后第二步我们要做的就 什么呢？判断，判断什么？我们要求的是差大还是和小？要求差大他就要同，要求和小他就要异，所以就是我们的口诀，差大同和小异，想要求差最大，那么两个定点逮在动直线的同 侧，想要求和最小，那么两个定点逮在动直线的一侧。然后我们再去看题目当中给的图，他在不在正确的位置，那么在正确的位置我们就可以直接做了，那么大部分百分之九十九的情况是不在正确位置的，不在正确位置我们要怎么办呢？这就是第三步，做对称。那么这个对称怎么做？ 一定是做定点，动点本来就不确定了，所以你没有办法再去做他的对称，只能做谁的对称点，做定点。关于动直线的对称点，那么最后一步就是直接连线求直，那么看题目让我们求的是最直，还是要求的是点 坐标，那么根据题目不同的要求，然后我们去计算就可以了，所以这就是将军一码问题的做题步骤，那么这个步骤就可以解决百分之九十的将军一码问题。那么还有两类不能解决的就是垂线段最短的问题，以及 一图不归。那么知道做题步骤之后，我们接下来按照步骤来做一下具体的练习来看。第一题基础练习，他说如图，在平面直角坐标系当中， a 点和 b 点的坐标都告诉我们了。第一位，让我们在 x 轴上求一点 p， 指得 p， a 加 p， b 的值怎么样呢？最小好，这个时候要求谁求他？我们按照我们的做题步骤，第一步干嘛区分动定，找到动值， 那么在这里 a 点和 b 点是两个定点，那么 p 就是动点，那么动点 p 在哪里动？在 x 轴上动，所以 x 轴就是我们的动直线。然后第二步，我们去判断我们要求的 差大同还是何小易，我们要求的是不是何最小，那么何最小。根据何小易两个定点， a 和 b 得在动直线 x 轴的预测，那现在你会发现 a 和 b 在不在 x 轴的预测是不是很明显？不在， 所以就到了我们的第三步，要做对称对称，怎么做？要做动点，关于定直线的对称点，那这个时候两个定点 a 和 b， 你随便选一个关于 x 轴对称就可以了。那么比如说我们选 b 要做点 b 关于 x 轴的对称点，那这个点就是我们的 b 撇，那 b 撇的坐标，我们知道点坐标关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反，所以 b 撇的坐标就是负二到负一。那这个时候到了最后一步，连线求值，直接连接 a b 撇 a， b 撇所在的这个点 p， 此时 p a 加 p b 撇，就会使这个式指的值最小。那么怎么求 p 点坐标呢？我们就要把 a b 撇的直线解析式给他求出来，那这个直线解析式怎么求？同学们可以选择用待定系数法，或者也可以用林老师教大家的快速求 k 法，把这个解析式给他求出来。那么快速求 k 法怎么去算呢？那在这里直接得 k 就等于纵坐标差，那么三减负一，比上横坐标差二减负 二，那么结果就等于多少？一，所以 y 就等于 x 加上 b， 那这个 b 等于多少呢？随便带一个数，比如说把点 a 带过去，当 x 等于二的时候， y 等于三，那这个 b 就等于几了， b 就等于一，所以我们就可以快速得到这个直线解析式，就是 y 等于 x 加一，那么得到这个直线解析式之后，点 p 在哪里？ p 在这条直线与 x 轴的交点上，所以我们直接令 y 等于零，就可以得到 x 等于负一，所以就可以得到此时 p 点坐标就是负一，逗零， 我们就把它算出来了，这就是第一问，要求什么呢？哎，何小异类型的。那再来看第二问，说让我们在 x 轴上求一点 q， 使得他们的差的值最大。所以按照我们的做题步骤，还是第一步要区分动定，找到动直线，那么在这里 a 和 b 是两个定点， 就是动点，那么动点 q 在 x 轴上运动，所以 x 轴就是我们的动直线。然后第二步就是去判断，根据差大同和小翼要求差最大，那么两个定点 a 和 b 得在动直线 x 轴的同侧，那在不在同侧，我们会发现 a 和 b 就在 x 轴的同， 所以到这一步就不需要做对称了，直接怎么样呢？直接连接并延长点 q， 就在这个位置求出答案即可。那此时点 q 怎么去求呢？点 q 是直线 a b 与 x 轴的这个焦点坐标，所以我们只需要把直线 a b 给它求 出来，那么利用快速求 k 法，那么 a b 的 k 值就等于纵坐标差三减一，比上横坐标差四，所以 y 就等于 k 是多少？二分之一，二分之一 x 加 b， 那这个时候我们选一个点坐标怎么样呢？带进去， 比如说把 a 点坐标带进去，那么就可以得到二分之一乘二，再加 b 等于三，那么 b 就等于三减一等于多少？等于二，所以我们就可以得到了这个 a， b 是 y 等于二分之一， x 加二，然后点 q 是这条直线与 x 轴的交点坐标，我们就令这条直线当中的 y 等于零，就可以得到二分之一 x 加二等于零，也就是二分之一 x 等于负二，那 x 等于 负四，所以 q 点坐标就是负四。逗零。好，这就是将军一码问题的基础应用，所以完全是套用连老师在前面教大家的做题步骤，只要按照做题步骤来，这种问题百分百可以解决，并且算 算出正确答案。那么接下来我们进行一下难度的升级，如果碰到再难一点的题目怎么办？我们来看他说，如图这条直线， y 等于三分之二， x 加二与 x 轴和 y 轴分别交于 a、 b 两边，那么 c 和 d 分别是 a、 b 和 o b 的什么点呢？重点，那么根据这条直线的解析式，我们可以得到 b 点坐标是多少呢？零逗二，另 x 等于零，得 y 等于二，那么我另 y 等于零呢？就可以得三分之二， x 加上二等于 于零，也就是三分之二， x 等于负二，那么 x 就等于负二，乘上二分之三就得多少，就得负三，所以 a 点坐标就是负三逗零。所以根据直线解析式，我们可以求出 a、 b 的点坐 标，那么他现在说了 c 和 d 分别是 a、 b 和 o b 的终点，所以根据终点坐标公式，那么点 d 是 o b 的 终点， o 点坐标是零豆零，那么 d 点坐标就是零豆一，那么 c 点作为 a、 b 的终点，那么 a、 b 两个点横坐标加起来除以二，纵坐标加起来除以二，所以 c 点的坐标就是负的二分之三豆。 好，那么得到了这个 cd 的坐标之后，他又说了点 p 在哪里？点 p 是 o a 上的一个动点，那么要求他最小的时候 p 点坐标是多少？好，题目读完了，是不是很快就能确定他是将军一马的考题？那这个时候按照陈老师前面教大家的步骤，第一步干嘛呢？区分动定，找到动 直线，所以在这里 pc 和 pd 当中， c 点和 d 点就是两个定点， p 就是动点，那么动点 p 在哪里动？在 oa 上动，所以动直线就是 oa。 那么到第二步了，就去判断我们要求什么样啊？和最小，是不是和小易和小易说明两个定点 c 和 d 在动直线 ov 的什么呢？预测，那么你会发现现在 c 和 d 在不在 ov 的预测，他很显然在同测，对不对？不满足要求，所以这个时候就到了第三步，要做对称，怎么做对称？要做定点，关于动直线的对称点，那现在定点 c 和 d 都是，我们选择一个把 它关于动直线 o a 对称就可以了，那么选谁呢？我们选 d 给它对称过来，做点 d 关于 o a 的对称点，那 d 撇的坐标就是多少零的哦， 负一，所以这个时候我们就可以得到了 p d 和谁的长度， p d 和 p d 撇的长度就相等，所以相当于变成了让我们求 p c 加上多少 p d 撇的最小值。那这个时候只需要怎么样呢？做完对称直接连线，所以这个时候 p 点的正确位置就在这， 那么怎么把 p 点坐标给它求出来呢？我们就要求出直线 c d 撇的解析式，那 c d 撇的解析是怎么去求 还是快速求？ k 法，纵坐标差比上横坐标差，结果就等于负的三分之四，所以 y 就等于负的三分之四。 x， b 是多少？它跟 y 轴交于零度负一，所以 b 就直接是负一，那么 y 等于负的三分之四， x 减一。当我们想要求 p 点错标， p 就是这条直线与 x 轴的交点，所以直线解析是求出来以后，我们直接另位等于零，那么就可以得到负的三分之四。 x 减一等于零，也就是负的三分之四。 x 等 一，那么 x 就等于多少呢？负的四分之三，所以 p 点坐标就是负的四分之三。逗零，我们就把它给算出来了，这种就是再复杂一点的将军一码问题， 那么再来再做一个更加复杂的，看看老师的那个步骤是否可行。他说如图，在这个平面直角坐标系当中，告诉我们， a 点坐标是十二 斗三，必点坐标是二斗七。好，两个定点已经把坐标告诉我们了。那么现在 x、 y 轴上分别有 p、 q， 让我们求四边形的周长最短，问周长的最小值是多少？要求这个四边形的周长最短。那么这个四边形 p a b q， 它的周长本来等于谁？这个 四边形 p a b q， 它的周长就本来应该等于什么呢？ b q 加上 p q， 再加上 p a， 再加上 a a b， 这个就是这个四边形周长的最小值。这个时候我们来看周长，我们已经把它写出来了，那么在这个周长当中，根据 a、 b 两个点坐标已经知道了，所以谁的长度是固定的， a、 b 的长度是固定的，我们就先把 a、 b 的长度给它算出来，那么根据两点间的距离公式， a、 b 的长度就等于横坐标差的平方，横坐标差的平方就是多少，二， 二和十二差就是十十的平方，再加上纵坐标差的平方，那么七和三它的差是四四的平方，所以结果就等于根号下一百，加上十六，结果就是根号下一百一十六，所以在这里 a b 的长度是固定的，那就是根号一百一十六，根号一百一十六，化减一下是多少呢？就是 二倍根号二十九，那么再加上 b q， 再加上 p q， 那么再加上 p a， 所以这个四边形的最小值就是 b q 加 p q， 再加 p a， 那这个时候他们仨的最小值怎么去求？好开始套用陈老师前面教大家的步骤。那么第一步区分动定，找到动 直线，那么在这里我们说 q 点和 p 点两个都是什么点？都是动点，所以这个题有几个动点了？两个动点，然后 a 和 b 两个是什么呢？两个是定点，所以两个定点，两 两个动点就区分开来了。然后这个时候再来看两个动点，他就有两个动直线，那这个时候动点 p 在哪里动？在 x 轴上动，所以 x 轴是动点 p 所在的直线，那么动点 q 在 y 轴上动， 所以外轴是动点 q 所在的直线，所以两条动直线 x 轴和外轴，我们就已经给他确定下来了。那么紧接着我们怎么样呢？第二步就是判断我们要求的是差大还是和 小，我们要求的是不是和的最小值，那么和小就要求什么呢？要求 e， 所以两个定点 a 和 b 得在动直线 x 轴和 y 轴的什么呢？ e 侧，他现在在不在 e 侧？明显 a 和 b 两个点既在动直线 x 轴的同侧，也在动直线 y 轴的同侧， 所以这个时候不满足要求，我们要干嘛呢？到了第三步，做对称，做定点。关于动直线的对称点，那么他现在有两个动直线，所以我们要做 两个对称，所以这个时候我们来看先做谁呢？ a 点离 x 轴比较近，我们就做点 a， 关于动直线 x 轴的对称点，定点 a， 把它对称过来就是 a 撇，那么 a 撇的坐标就是十二豆负 三。这个时候我们连接 p a 撇，会发现 p a 和 p a 撇的长度什么关系相等，所以这个时候我们要求的最值变成了二倍，根号二十九，加上这个 a p 就给他变成了 a 撇 p， 这个时候关于动直线 x 轴的对称点做好了。那还有关于动直线 y 轴的对称点呢？我们就做什么呢？做定点 b， 关于动直线 y 轴的对称点 b 撇， 那么 b 撇的坐标就是负二逗七，那么此时连接 b 撇 q， 会发现 b q 和 b 撇 q 什么关系相等，所以这个时候 b q 就把它变成了 b 撇 q， 所以这个四边形的周长就变成了二倍， 根号二十九，加上 b 撇 q 加 q p， 再加 a 撇 p 的最小值来给他描一下， b 撇 q 在这儿， p q 在这儿， p a 撇在这儿，要求这三条橙色的线的最小值，那这个时候最小值是什么？我们要说要使得 b 撇 a 撇 p 和 q 四点共 线才能有最小值，是不是两点之间线段最短啊？所以这个最小值我们直接连接 b 撇 a 撇，所以这个最小值直接就是二倍，根号二十九，加上什么呢？ b 撇 一撇，好，这就是最小值。那么 b 撇的坐标是负二到七， a 撇的坐标是十二到负三，所以这个时候根据两点间的距离公式，那么 a 撇 b 撇的长度我们就能把它做出来了，横坐标差的平方，那就是 十二减负二，那就是十四的平方，再加上纵坐标差的平方，那就是十的平方，把它算出来就是根号二百九十六，那二 二百九十六就是二倍根号七十四，所以答案就是二倍根号二十九，加上二倍根号七十四，那么这么一个复杂的题目我们就把它解决掉了。所以总结一下，遇到将军一马类的问题，我们就按照这个步骤去做。第一步区分动定，找到动直线。第二步去 判断是要求差大同还是和小易是否符合要求，那么不符合就到了第三步做对称，要做定点，关于动点所在直线的对称点，然后最后一步就是连线求值，那么按照这个步骤可以解决百分之九十的将军密码问题。
1.5万数学大招姐
17:25查看AI文稿AI文稿将军一马三动点模型，今天我们来看下这道题，已知直角三角形 abc 中那个角 b 是 九十度，然后 ab 是 等于六， bc 等于八，好，那这里的话呢？ d、 f 是 三个动点，是不是好点？ d 是 在 ac 上运动， e 是 在 ab 上运动， f 是 在 bc 上运动，那求 d e 加 ef 加 f d 的 最小值， d， e 是 这条 e， f 这条 f， f， d 是 这条，是不是？也就是说我们只要求出这个三角形 d， e、 f 它周长直角值就可以得到这三边 直角值，是不是？好，那这道题该怎么做？那首先你看它这里是三动点，是不是？三动点的话，我们总结以往我们做这题下两动两定啊，对吧？两动一定像这种模型啊，都是 有定点，是不是？那这里我们也是做定点的对称点，而这里呢，没有定点，都是三个动点，那这里我们就要采取 一种方法，就是我们可以捏不是三个动点，我们可以随机取一个动点，对吧？任意选一个动点，我们看它有一个定点，然后做对称点，那我们把它作为一个定点后，就可以得到就是一个两动一定模型，对吧？我们就是把这难度给它降低了一个层次， 那这里的话呢，我们可以有三种选择，你可以选择点 e， 选点 f 或点 d， 那 这里我选择点 d， 那 我们把这个点 d 作为定点， 对吧？好，那这里我们把点 d 作为定点，那做点 d 的 对称点，那我们可以先做点 d 对 称点，嗯，关于 a、 b 对 称，可以吧？ 对吧？这里是点记为第一，而这里的话，我们可以再做点 d 对 称点，关于 b， c 对 称 d 二，对吧？好，那这里完了后呢，你看我们要再连接一下 d e， 连接一下 d 二 f 啊，这里完了再看这里的，有的同学会说，你看这里有没有在连接第一第二啊？有的同学会说，直接连接第一、第二啊。这里如果你连接第一、第二话，你不确定就是说你这里的第一 b 第二是否是三点共线，是吧？有可能说你连接第一第二号这个 点 b 是 在 d 一 d 二上面，或者是 d 一 d 二直接穿过去，对不对？这里我们不确定三点是否共线，所以这里我们要表示的就是先连接 d 一 b， 再连接 d 二 b， 对吧？好，然后呢，我们这里再连接一下 d、 b， 那 连接 d、 b， 我 们就可以看到有关系的它这里的是，这样有什么意思呢？你看，那这里的话有个交点， 我们记为点距，可以吧？好，那这里的话，也就说是三角形 d 一 距 b 和这三角形 d 距 b 就 打勾，这两个大三角形有什么关系？全等是不是，对吧？我们做对称，同理，下面这边 这两个大三角形 d b f 和 d b f 也是全等，对不对？好，那也是说，你看，那全等的话，我们可以当什么？是不是这里的 d 一 b d 对 不对？ d 一 d 一 b 是 等于这里的 b d 的 对不对？好，而这里的 b、 d 呢？和这个 b、 d 二 对不对？那这里你看哈，那如果说我们这里可以确定三点公线哈，那这里你看就可以得到，这里的 b d 二等于 b d d 一 b 等于 b d， 那 这里的 b， 这里的 b d 一 就等于 b d 二呢？ d 一 d 二就等于两倍的 b d。 好， 那问题是怎么想得到三点共线？你看，那这里是，你看这里这个角是不是？我们记为角一，这个为角二， 这个的话，角三，这个角四，看这里的角一是等于角三，因为这里是对称，角二等于角四，是不是？而这里角一加角三是等这角一加角二 是等于什么？是等于角 abc 等于九十度，因为它是直角三角形 abc， 对 吧？那是九十度。好，所以说你看这个角一等于角三，角二等于角，所以可以得到什么？是不是？这个角三加角四也是等于九十度， 对不对？好，所以说可以得到。记这个角第一 b， 第二是等于这个一百八十度，你理解吗？好，一百八十度，所以可以得到第一 b 第二，三点 贡献，可以记吗？好，三点贡献，那三点贡献完了，所以就可以得到什么？ 是不是可以得到这里的 d 一 d 二等于两倍的 b d， 对 不对？好，这里就可以到这里这个关系，那你看 d 一 d 二等于两倍的 b d， 那 这里我们只要得到这里，你看这里说什么？最小值，是不是？ 而这里你看我们是把这个三角形我们给它展开了，对不对？就三边组成一个三角形，展开了就得到这条， 这里我用蓝色实线描出来的，就是我们展开后得到这条，是不是就这条啊？对吧？ d e 转移到 d e， 然后呢？ e f 不 动， 是不是？还是条？然后呢？这个 d f 转移到 d 二 f， 是 不是？ 那蓝色实线描出来这三点就是这里这个三角形 d e f g 三边 最小的时候，对吧？最小的值，好，那至少你看，那这里要根据两点之间线段最短，对不对？连接第一，就先连接第一 b， 再连接第二 b， 而这里我们得到三点是贡献的，就是这三点贡献，所以就可以得到它，这里就是 第一，第二等于两倍的 b、 d， 对 吧？好，那这里完了后呢，我们就可以可以到这里的第一，第二，就是 看这里三边最小值，那问题是你看我们这里只要得到这里的 b、 d， 它最小的时候，对吧？就它最小值 b、 d， 那 就可以得到这 d、 d 二的长度，它最小值，是不是？好，那问题是怎么才能得到 b、 d， 他 这里是最小值， 那你看什么情况下会是呢？那是不是是垂直的时候，对不对？就垂线了，你说 b、 d 垂直于 a、 c， 好， 这个点即为 d 三，来吧， d 三，也就是说这里是垂直的时候，它这里是 b、 d 最短的时候，可以理解吧？也就是说我们可以只要求出 b、 d 三的长度就可以得到。 你看这里 d 一、 d 二是有两倍的 b、 d 吗？而这里我们是 b、 d 得到最小值，这 d 一 d 二 等于两倍的 b、 d 三，只要得到 b、 d 三的长度，就可以在两倍下可以得到 d 一 d 二长度 g， d， e 加 e， f 加 f， d 的 最小值，可以理解吧？好，那这里就分析到这， 我们写个过程。 那首先这里我们也是做一下对称，那我们把点 d 作为定点， 做 d 的 对称点 d 一 与 d 二。好，这里写的就是 d、 d 一 哈和 d、 d 二，关于 a、 b 与 b、 c 的 对称。 回家好，完了后呢，这里我们再连接一下，你看这里，我们连接一下 d 二 f 和 d、 e。 好， 那完了后，你看这里再看，那这边呢？连接下 d、 e、 b、 d 二、 b 和这里的比例可以这样，好，那这里就是我们做图，这里这么做，可以吧？好，那这里 我们再看，那你看，这里的 a、 b、 c 是 九十度，角一加角二，这里是不是等于九十度，而角一等于角三，角二等于角四， 那这里的话呢？我们要这么确定，就确定这 d 一、 b 二是否三点共线，然后再往下可以再次得到这里的 d 一， d 二等于两倍的 b、 d 三，对吧？这是为下面这里做铺垫，那这里因为角一，这也是等于角三的，是不是因为他这 项式全等角二等于角四也是同理，而且这角一加角二等于九十度， 所以说可以得到什么？角三加角四也是等于九十度啊，九十度，那所以说可以得到角第一， b、 d 二等于多少？两倍的九十度，一百八十度，是不是啊？一百八十度，那这里一百八十度的话，你看，所以第一、 b 第二、三点 攻陷，可以了，可以了。好，三点攻陷，那完后呢？你看，那这里我们可以到手有，因为说这里是不是 b 第一等于 b 第二，对不对 哦？ b、 d 一 等于 b、 d， 而这里的 b、 d 二是等于 b、 d 的， 对吧？好，那这里你看，也就是说这里 b、 d 一 等于 b、 d 二 可以得到什么？是这里的第一，第二等于两倍的 b、 d， 对 吧？好，能得到这个结论，那完了后再看，你看，那这里的 b、 d， 它最小的时候就可以得到，这里是 b、 d 三，对不对？好，那因为说 什么？这是 a、 b 等于多少？六， bc 等于八， 那这里 三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求出来？等于什么？这里是不是可以得到？就是二分之一的底乘高 等于二十四？好，然后这里象形 a、 b、 c 面积是二十四，那完了后呢？再看得到面积是二十四，而这里你看 b、 d、 三，这刚好是 垂直的时候，你以为说这一节是它的高，那是它的高的话，你看我们是不是可以先求一下 a、 a、 c， 也就是它这个底边的长度，我们只要得到 a、 c 里面的长度，那这里的高是不是很好求了？问题是怎么才能得到 a、 c 这底边的长度呢？你看，那这里要用到勾股定律，也就是说你看 这个 ab 是 六， bc 是 八，那你说 a 方加地方等于 c 平方，可以这样，你一说套进去六平方加八平方等于 a、 c 平方呢？ a、 c 就 可以求出来它是等于多少，是不是？好， 那有一位数。你看这里是不是可以就是 a 方加 b 方等于 c 平方，那可以套入，就是六平方加八平方等于 a、 c 平方，那 a、 c 的 平方等于三十六，加六十四 一百，那么这里的 a、 c 就 会等于什么？ 其 a、 c 等于正负十，对，刚刚一百，对吧？好，那这里 a、 c 这种十纳，你要确定啊，这里它是边长，那边长肯定是正的，对吧？是正数。 好，那这这一句话肯一定要写出来，因为这里是分析它，这里是取舍，要取它哪一个数字正确的。好，这一句话一定要写，然后边长它是为正数的。所以说 你看这里的 a、 c 等于正负十，这里要舍去负十，那么 a、 c 就 会等于十。好，那可以得到 a、 c 等于十号，那所以这个 b、 d、 三等于什么，对吧？总面积得到底边知道高还多少？什么？是不是二十四乘以二除以十，这二十四是总面积哈，这有没有得到？ 四八除以十等于四点八，那好，等于四点八，所以我们知道 b 第三对四点八可以理解吗？四点八，那完了后呢？它是四点八，所以你看 这里的话，你看我们可以得到是 d 一 d 二等于两倍的 b， d 三，对不对？所以 d 一 d 二等于二乘以四点八， 九点六可以得到它，最后这里它这里 d 一 d 二是正好是九点六，而这里你看 这里是不是第一 e f， 对 吧？ f d 就是 这三边组成了这个三角形，而这里的第一、第二就是这个三角形，它这里最小值在这第一第二，那所以说我们这里就可以得到，对吧？我们这里通过 这里，我们通过设他一个动点为一个定点，然后这里是通过他这里做对称，那这里还不要忘记他这这个点 d 其实实质上他还是个动点， 那这里也是要取他的垂线段，就是因为垂线段是最短嘛？是不是垂线段最短就可以得到他这里 d 一 d 二是九点六，那可以到最后就是 d e e f f d 最小值 的最小值 为九点六，好，那这里最后它答案就是九点六。
69松亭
