人教版七年级下册数学几何翻折练习题
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06:45查看AI文稿AI文稿全等三角形一定是我们出一下最难压轴板块，没有之一，尤其全等当中的陀罗伯基多模型学校不讲，但考试一定会考来。同学们，今天徐老师带你用一个视频，彻底通透陀罗伯基多的构造方法和结论。好吧，来，我们先来一起读下图哈。哎，图上是这样告诉我们的，首先， 其当中呢，有两个一大一小的等腰值 c、 a、 b 和我们的 e、 a、 d， 所以呢，这两个直角边是相等的，中间这个角等于九十度。其次呢，这两个直角边呢，也是相等的，中间这个角 e、 a、 d 呢，也是为九十度。好，接下来 连接 b、 d， 我 再过这个公共顶点 a 向这个 b、 d 做垂线，垂足点是 f 点。好，接下来我再延长 e、 a 和我们的 e、 c 边交于我们的 p 点。 陀螺模型多要证明的是什么呢？哎，这是 p 点为我们的 c、 e 的 终点，反过来就是要证明什么，这个 c、 p 和 p、 e 这两个边应该是相等的。 徐老师已经把全等三角形中所有辅助线的构造特点进行汇总总结，再结合考试经典例题，优中选优，整理成的全等经典一百题，刷完直接提升几何思维。需要的家长我发您一份。 好，来，同学们，哎，我们一起来分析一下这道题。好，那么这个模型的证明方法呢，主要是运用了我们全等当中一个非常重要的辅助线，叫做一线三等角。来，我们先来简单回顾一下一线三等角的证明方法和结论 啊，大家看到图哈，他是这样做的。首先在直线 b、 d 上呢，我们有三个相等的九十度角 b、 角 c 和角 d， 而且呢，还告诉我们 a、 c 和 c、 e 这两组边是相等的，所以接下来很明显就有一组三角形是全等的， a、 b、 c 和 c、 d、 e， 对 吧？它们俩是全等的，来，我们快速证明一下哈，我把这个角设为 r 法，这个角设为贝塔，那么很明显，这两个角之和等于九十度， 中间这个角呢也等于九十，所以这个角呢，也是为阿尔法，那这自然这个角呢，也是为贝塔，对吧？很明显，这两个直角三角形，它的三组角都是相等的，而且呢，还有一组斜边 a、 c 等于 c、 e， 所以呢，三角形 abc 一定是全等于三角形 c、 d、 e 的。 好，那么这个模型给我们在构造辅助线的时候，给了我们什么样的启示呢？首先你看我们连接 a、 e， 那你会发现三角形 a、 c、 e 它是一个等腰值，所以呢，我们在遇到等腰值的时候，怎么去反向构造全等呢？来，第一步，首先先去找我们的直角顶点， 这里呢， c 点呢，是我们的直角，顶点好过直角顶点在三角形的外侧，来，我们随便做一条直线。好，第二步 来我们再过这个 a 点和 e 点，这两个四十五度顶点，向这个直线做两个垂线，角 b 和角 d 等于九十，对吧？那么这个时候呢，我们就会构造一线三等角，那么自然这两三角它就一定是全等的。好，有了这个辅助线做铺垫之后呢，来这个模型 证明就很简单了哈，我们一起来证明一下。首先他告诉我们这个角是九十，这个角呢也是九十，那么 c、 a、 b 是 一个大等腰值， e、 a、 d 呢，是一个小等腰值，那么说遇到等腰值，我们可以去反向构造全等，所以呢，这里面有两个等腰值，我们就可以构造两组全等，对吧？来，如何构造呢？第一步来，先去找直角顶点，那么这里的直角顶点都是共顶点的，是不是 a 点？ 而且呢， p f 是 过 a 点的直线，所以呢，这里的三个相等的九十度呢，都应该在 p f 这条直线上 看到没有？好，来，我们来构造一下。好，首先我们先看左边的左边的大等腰值， c a b 来这条直线上已经有两个九十度了，一个是这个角，一个是这个角。好，我们只需要再去构造一个直角 就有全等了，那么这里的四十五度的一点是 c 点和 b 点， b 点已经做了，所以呢，你再过 c 点去做一个，哎，我可以什么去延长 ap， 再过 c 点呢？向这个直线做垂线，这个就是我们的起点，你看没有哎，一线三等角，三个九十度，再加这一组边相等，我们就有全等了哈，我们来找一下，所以呢，我们的 bfa， 对 吧？和，我们这个是 a t， c， 是 不是全等的哎，所以我们写的哈，第一组全等三角形， b f a 全等于三角形，这个是 a c c。 好， 全等之后来我就可以倒边了，这两组对一边肯定是相等的啊，所以我们的 c c 就 等于 a f 啊，第一组全等就出来了。好，再看右边的等腰值， e， a d 这个小等腰值，那么一样的，首先目前呢，已经有两个九十度了，我再去在我们这个 我们的 p f 边做一个垂线，就有三个直角，那么过一点了，四十五度，零点过一点，再向这个直线做垂线， 这是我们 s 点，你看没有。好，三个九十度也出来了，那么所以呢？这个时候这两个直角三角形，它就是全等的，没问题吧？好，所以，哎， 三角形 e， s， a， 对 吧？全等于，这里是三角形 a， f， d 啊，它们俩全等的好，全等以后呢？一样的对边，所以 s， e 就 等于 a f， 对 吧？这两组边也是相等的。好。最后题目要求什么呢？求的是我的屁点，是 c e 的 中点，那就是证明这两个边是什么关系， 相等的，那就很好证了。哎，我只要证明这两个边所在的三角形是全等就可以了。你看没有，这两个直角三角形 很明显是全等的。好，我们证明一下，找下条件。首先对顶角相等，一组角两个九十度角七等于角 s， 对 吧？两个角。来，我们再找一组边， 哪个边呢？你看一下，我的 c t 等于 a f， s 一 等于 a f， 那 所以看，我的 c t 不 就等于 s 一 吗？你看，没有，这个边 等于这个边，这个边也等于这个边，那所以这两个边一定是相等的，所以两个角一个边，比如全等了吗？所以三角形 c p， t 全等于三角形， 这个是 e p， s， 所以 对应的边，我们的 c p 就 等于 e p， 所以 自然就算了哈。哎，我们的 p 点就是我们的重点啊，这道陀螺，陀螺的证明你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！
703攀攀讲思维
08:13查看AI文稿AI文稿全等三角形的综合考察一定是我们初一期末的绝对拉分神器，很多同学之所以不会构造辅助线，那是因为你知道的模型太少。来，同学们，今天薛老师带你用一个视频，彻底通透全等辅助线当中考平最高的绊脚模型的构造方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，他说 a、 b、 c、 d 呢？这个四边形是一个正方形，好，告诉我们两个关键角度，第一个 f、 d、 e 呢，等于四十五度，第二个 f、 e、 d 呢，等于八十三度。最后，题目求的是 b、 f、 e 这个角应该等于多少？ 徐老师已经把全等三角形中所有辅助线的构造特点进行规划总结，再结合考试经典例题，优中选优，整理成了全等经典一百题，刷完直接提升几何思维。需要的家长我发你一份。 好，来，同学们，我们一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察了我们全等辅助线当中一个非常重要的模型，叫做半角模型。来，我们先来简单回顾下 半角模型的构造方法和结论。好吧，来，大家看第二个图哈，它是这样说的，在正方形 a、 b、 c、 d 当中呢，哎，我们有一个动角 e、 a、 f， 它始终呢等于四十五度，哎，我可以说把这个四十五度角呢，绕着 a 点进行一个旋转，对吧？好，形成了两个动点，一个是 e 点，一个是我们的 f 点。哎，这种典型的半角模型，你看有一个大角九十度，哎，夹了一个半角四十五度，对吧？典型的大角夹半角就是我们的半角模型。那半角模型它有什么样的结论呢？我们来证明一下哈，大家看一下，虽然这个角是 动角，它是个定值四十五度，那所以呢，旁边这两个角，我把它设为阿尔法和贝塔，那么这两个角呢，很明显也是动角， 但是呢，这两个动角之合呢， r 加贝塔正好等于四十五度，对吧？九十度减去四十五度嘛，所以这两个角之合呢，始终等于四十五度。那么对于半角模型的核心思想呢，就是如何去拼接把这两个动角呢，拼成一个定值，大家看一下哈，这个时候，那么 r 这个角 正好在 a b， e 这个三角形呢，正好在 a、 d、 f 当中，没问题吧？那么这两个三角形都有一个相同的边， a d 等于 ab， 所以呢，我可以把三角形 a、 d， f 绕着 a 点旋转，九十度，为什么转九十度呢？来，因为这个时候 a d 和 a b 往下转九十度，正好可以重合，没问题吧？所以呢，我就可以把这个三角形呢整体旋转下来，就可以把 beta 和 alpha 拼到一起， 没问题吧？好，这是我们旋转思想，那如何去构造辅助线呢？哎，可以利用我们的截长补短，来，我们试一下啊。哎，我可以把 d f 这个边倾到我们的 e b 上来，大家看一下啊，哎，我可以延长 e b 来延长 e b 至 t， 这个时候呢，使 b t 等于 df， 对吧？好，我们再连接这个时候我们的 a t， 哎，我们就可以得到这个三角形跟这个三角形 a， d， f 和 a b t， 它一定是全等的来， a， d 等于 ab 九十度，九十度， b， t 等于 d f 边角边不就全等了吗？对吧？好，全等以后来这个角为贝塔，那这个角呢？也是为贝塔，你看阿尔法和贝塔，我们就拼到一起了，它们俩之合呢，正好是一个定值四十五度，对吧？所以这个角， 哎，他应该是个定值四十五度。好，来，半角模型第一步，我们先去旋转啊，得到一组旋转型的全等啊，用我们的截长补短去体现的。好。第二个来，我们还有一组对称性的全等，哪俩全等呢？ a t e 和 a f e， 那 么它们俩正好是沿着 a e 对 称全等的，可以证明一下啊，看四十五度，四十五度没问题吧？好， a e 等于 a e 公共边。好，我们的 a t 呢？又等于 af， 所以 边角边不就全等了吗？好，全等以后看，我们的 e f 和 e t 对 应边就是相等的，那你看一下，我把这个边设为 a， 那 这个边也是为 a， 这个边呢？设为 b， 那 这个边就是 a 加 b， 对 吧？那这个边和这个边相等，它也是为 a 加 b 来。所以半角模型的第一个结论就出来了， 中间这个长边等于这两个短边相加，哎，第一个就是 b e 加上我们的 df 等于我们的 e f 啊，这第一个结论。好，第二个结论，那什么中间这个三角形来，它的周长等于什么呢？你看这个长边等于这两个短边相加。好，这个三角形的周长呢？我还需要再加这两个边，你会发现，哎，正好等于这个边， 再加这个边，正好是我们正方形的两个边长之合，对吧？来，所以呢，我们三角形 c e f 的 周长等于二倍的 bc 啊，是我们第一个结论哈。好，第二个结论我们再来看，那么这个时候呢，那么， 哎，我可以过 a 点向我们的 e f 做一个垂线，来做一个垂线，我们把这个垂足点， 那么把这个垂足点呢？哎，我们设为我们的 m 点啊，设为 m 点看，哎，这个点设为我们的 m 点垂足点。 好，这个时候你看，哎，我们有一个高，那就是 am， 那 么 am 这个高呢？一定是等于我们正方形的边长 ab 的 好不好？来第二个节目哈，就是 am 等于 ab， 那 如何去证明呢？它们俩是全等的， 对吧？它们俩全等，那所以面积是相等的。好，这两个底边也是相等的，底边对应的高呢，也自然是相等的，对吧？所以这两高 am 始终等于 ab 等于正方形的边长。好，是第二个结论。好，第三个结论。 来第三个结论。那么就是我们这两个角，角一和角二应该是相等的，就是 a e 是 角， b e m 的 角平分线， 很好证明吧？我证明这两个三角形，它们俩是全等就可以了呀。来， ab 等于 a m， a e 等于 a e。 好， 直角等于直角，我们 h l 斜边等于斜边，直角边等于直角边，是不全等啊。所以第三个结论，角一等于角二来，除了角一等于角二，我们还有一组角分线。好，来，这里角三和角四也是相等的，那同样的 a m 等于 a d， 对吧？好，然后呢，我们的 a f 等于 a f， 哎，直角三角形，斜边等于斜边，直角边等于直角边，对吧？ h l 是 不是全等了？那所以这两个对应角也是相等的，角三 等于角四，所以呢， a e 是 角平面线，我们的 a f 呢，也是角平面线。好吧，这就是我们全等当中的半角模型的所有结论。好，有了这个做铺垫之后来这道题就非常简单了， 看一下哈，他就是个典型的绊脚模型，看 a、 b、 c、 d 是 一个正方形，对吧？好，这个角呢，是四十五度，他告诉你的。好，这个角呢是 f、 e、 d 呢？是我们的八十三度。题目求 b、 f、 e 这个角应该为多少度？来，你看一下哈。首先这两个角都在三角形 d、 f、 e 当中，这两个内角知道，所以呢，这个角就出来了，所以得到角 d、 f、 e 来等于几百八， 减去八十三度，再减去四十五度，对吧？等于多少？五十二度来，这个角等于五十二度，先把它算出来来，根据我们半角模型结论， d、 e 和 d、 f 这两个正好是角平分线，对吧？好，那么这个角跟这个角也是相等的，它也是为五十二度。 那最后求这个角，那就好算了呀，用一百八减去这两个五十二数，剩下的就是我们的 b、 f、 e， 对 吧？所以最后一步想， b、 f、 e 就 等于一百八， 减去五十二度，再乘以二，最后答案等于七十六度，所以再提最后答案哈， b、 f、 e 应该等七十六度。这道绊脚模型的综合考察，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！
528攀攀讲思维
00:40查看AI文稿AI文稿我上初中的时候，怎么没人告诉我初中几何无非就考这六十个模型，初一八个模型，初二三十三个模型，初三十九个模型。学会了这些，三年的数学成绩不用愁，就是这本初中几何模型图，包含了初中三年数学常考的所有几何模型， 每一个模型的条件和结论是什么，怎么证明的，怎么画辅助线，都梳理的很清楚。有了这本书之后，做几何题就像查字典一样简单，遇到不懂的，先在书中找到几何题所属的模型，然后套用该模型对应的答题模板，题就解出来了。 还有免费的名师视频讲解，把模型和辨识模型都吃透了，无论题型怎么变，都能轻松应对。每天花三十分钟就能学会一个解析模型，家里有初中生的，准备一套吧！
0童学图书
03:11查看AI文稿AI文稿这道七下数学平行线的证明问题，堪称是天花板的难度，很多孩子一看到他就无从下手。 但是这种题呢，我们期中考试、期末考试、月考，又是年年必考，还特别容易丢分。那今天呢，某老师就一分钟教大家正推加倒推两步法，咱们专治这种压轴证明题， 再配上某老师给大家整理好的平行线压轴题提分宝典，大家拿回去让孩子去练习，我们期末考试的时候稳稳拿分。 好，下面让我们来看一下啊。如图， a、 b 平行于 c、 d， 角一和角二相等，角三和角四相等，让我们去证明这组平行线。首先我们要知道两个角相等，我们在做题的时候要用相同的字母把它俩给标出来，比如说角一和角二相等啊发啊发， 角三和角四相等，背他背他。同时你要注意，遇到很明显的对零角相等，我们也要给它标出来，比如说上面这个小角，它也是一个背他。那接下来让我们去证明 a、 d 平行于 e、 b。 我 说我们一共两步，叫做正推加倒推。 正推指的是要仔细分析我们的已知条件，看看有哪些信息我们还没有挖掘出来。比如说这里面有一组平行线 ab 和 cd 平行，我们还没有用，那接下来我就要考虑 ab 和 cd 能不能帮助我去导这些已知的等角。小哈法和小维塔和这些角是有关系的， 那我会发现，哎，它俩平行，刚好角 e 和这里的小小的角 a、 c、 d 是 相等的，那么它也是 ar。 好， 那还能再导其他的吗？发现 可以了，那就结束，那接下来我们再倒推法去反推我们要证的这个结论去想什么可以帮助我们去推。你俩是平行的呢？思考一下，要么是内错角相等，要么是同旁内角互补，要么是同位角相等。那我们在题目中把这两条线描出来，去分析一下 a， d 和 v， e， ok， 跟这两条线有关系的。在这两条线上角度上的有哪些呢？你看是不是一个是这个 r 法 和一个是下边这个北塔，我们逐步的去分析。如果我想用这个 alpha 了，我就想如果我能挣出来角 e 也是 alpha， 那 这道题是不是就迎刃而解了？那你来观察角 e 是 不是 alpha 呀？仔细观察，你看角 e 在 三角形 e， f、 c 中，如果你知道我们的拖鞋模型呢？这个题秒出， 它是 alpha 加 beta， 这个是 beta， 那 这个 b 是 alpha。 所以 说老师我不知道拖鞋模型啊，没关系，我再给你敬一下哈。你来看这个角，如果我给它标一个数字，把它标成 角五，那大家来看，角 e 加上 beta 加上角五，内角和就是一百八十度， 然后角 b、 c， e 是 个平角，也就是说 alpha 加 beta 加角五也是一百八十度。 那么这个式子和这个式子是相等的，我就可以得出角 e 和阿尔法是相等的，所以在这可以得出角 e 就 等于阿尔法，也就是等于角二 内错角相等。两直线平行，我就可以得出 a， d 和 e、 b 是 平行的了。好了，同学们，那今天内容你学会了吗？我们下期再见！拜拜。
1159梦如初中数学
00:18查看AI文稿AI文稿期末数学最难的二元一次方程组几何问题，考来考去就这几页纸，命中率百分之九十八。期末数学期末高频易错应用题专项突破二元一次方程组的实际应用几何问题，老师精心为大家整理了常考易错的真题，有完整版可打印。
23小初资料宝库
