2026山东二模几何题
在矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 的 长度是六， ad 的 长度是八点一，在 ab 边上点 f 在 对角线 ac 上，并且 e f 和 b d 是 平行的， 点 g 在 bc 边上，并且 g f 和 e f 是 垂直的。然后让我们求线段 e、 g 的 最小值是多少？ 好，这道题是一位山东的同学发来的，他说他们二魔全军覆没了。那今天兔哥就带大家来拆解一下这道题， 可以看到他的条件还是非常简单的，只有一个平行加一个垂直。那我们就要思考了，平行会产生什么样的结果呢？ 是不是可以知道角 b、 e、 f 是 一个定角啊？很简单，因为它和角 a、 b、 d 是 互补的，而角 a、 b、 d 是 一个定角，所以它也就是一个定角了。 好，那垂直又会产生什么样的结果呢？是不是可以知道 b e、 f、 g 和角 e、 b g 是 对角互补的嘛？ 好，那现在外界圆已经画出来了，再来求一奇的最小值，是不是就变成了一个求圆内弦长最小值的问题啊？那这个问题我是不是跟你们讲过呀？我们通常会把它转换成求半径的最小值， 所以我们取出一奇的中点 o， 然后再连接 obf 还有 bf， 这个时候一奇是等于二倍 of 的。 好。接着，因为角 b g、 f 和角 b e、 f 是 对角互补的，所以角 b g、 f 也等于二法，它也是一个定角，那么它的圆心角 bo f 是 不是也是一个定角啊？ 而又因为这一个三角形是一个等腰三角形，现在它的顶角又是一个定角，所以求半径最小值的问题又可以转换成求 b、 f 的 最小值了。 我知道这一步肯定有同学理解不了，不要着急，我们过 o 点向 b f 做一个垂线就行了， 然后根据等腰三线合一，或者你用垂进定力也可以，反正这两个小角都是等于 r 法的，并且 h 点是 b f 的 中点， 那这个时候二倍的 o f 就 等于二倍的 f h 除以三眼法了，而二倍的 f h 又是等于 b f 的， 所以现在你们看明白了吗？ 好，那接下来是不是就没什么大问题了呀？自然是当 b f 和 a c 垂直的时候才能取到最小值了， 这个时候 b f 的 长度我们可以用等面积法来求，而塞耳法的值我们也是知道的。最后把它们俩带入计算就行了，算出来一级的最小值应该是六，你学会了吗？
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04:04查看AI文稿AI文稿这个动点再特殊点，跟他再普通的点是不是都是一样的结果？ 呃，今天我们还是用这个我们八大思维来挑战全国的各地的这个卷子啊，然后最近这个升职二，各地升职二模，这个刚刚考完。然后那个，呃， 网上公认的比较难的事件，像什么南京按摩的，像那个山东，呃聊城的，山东临沂的，包括呃武汉的，呃，这些事情公认是比较难的。呃，今天呢，我们就用我们八大思维挑战这个山东临沂的，山东临沂的这个压轴的单选题。 呃，我们先看一下这道题啊，这道题的话说的是一个左右焦点， f 一 f 二离心力与 f 的 根号三点，根号三， f g 在 椭圆一上，那我们根据这个特点的话，我们什么这个椭圆的话，我们 ab 是 很容易轻松的算出来的，是不是 我们 a 就 等于什么东西等于二， b 就 等于一， c 就 等于根号三吧，也就是它的方程就是 x 平方，除以个四，加上个 y 平方， 等于对不对？那 p 是 椭圆上的动点，这个动点假设在这，老师把这个图先画了，它以 p f e 为直径作圆， n， 这个这个点是 n 射线 o， n 以 n 交于点， q， q 不 在椭圆内部，则求这个向量，两个向量。 嗯，那我们怎么用这个题目，怎么用特值算法思维呢？特值，所谓的特值就是什么呢？我们前面都讲了很多啊，所谓的特值是什么啊？就是左顶点呢？右点呢？就是你这个点动点在特殊的点的位置， 特殊点的位置我可以在左定点右定点，可以在上定点下定点，也可以在这个，这个以这个什么这个焦点垂直的，以焦点，以焦点连线，以 x 轴垂直的这个位置也可以，就是一切只有特殊的位置都可以。 那像这个题目他是个动点，他是个动点，那这个动点的话，我们可以知道他是个动点，而且他这里算出来是一个什么是个定值吧？这个项链是个定值吧，那意味着这个动点干嘛？这个动点在特殊点，跟他在普通点是不是都是一样的结果？是不是？ 是不是？如果不是一样的结果，那他就会固定这个点了，他没有固定这个点，说的是个动点，那说明什么？在动点？在普通点，在任何普通点的位置跟他在特殊点的位置，只要满足题目条件的这种点，那肯定也是可以的吧？是不是？那哪个的特殊点是符合题目条件呢？我们可不可以假设这个 q， 这个什么？呃， p 点， p 点就在这儿，假设 p 点在这儿，左顶点这个位置， p 点在这儿的话，那这个 p f e， 这个就是 n 点就在这儿了吧？是不是？ n 点就是终点了吧？那这个 o n 呢？以它为圆，以它为焦点，那 q 点跟这 p 点是不是重合了？ 是不是？那这个时候老师可能会有人会说，老师，那你这个 q 点的话，在这个特殊点那说是点 q 不 在椭圆内部，是不是？那我觉得这里面有两个意思啊，第一，我在 q 点在这个椭圆上，所不属于不在内部啊， 我认为肯定是属于的，是不是？那即使说是它不属于，那我可不可以理解你把这个 p 点呢？无限接近于这个左顶点，那这个这样一个什么？那你这个 n 点是不是也无限接近这个点？那你这个 o n 跟它的交点在这个 q 的 话，是不是也是什么无限接近这个 p 点呢？是不是？对不对？ 那也没有问题吧？是不是？那也是符合的吧？是不是？ ok， 那 好了，那我们如果是 p q 什么都重合了，那我们这个东西就是不是就很好算呢？那 q f e 就是 什么？ q f e， q f e 乘以 q f r 就是 什么？就是什么？就是。呃，什么？ a 减 a 减 c 吧，是不是就是 a 减 c？ a 我 们知道是二， c 是 什么？呃，根号三吧，就是二减根号三，对不对？那 q f 二呢？是不是 a 加根号三呢？就是二加根号三。它的角度呢？就是零度吧？就是扩散是什么？扩散零度就是一吧，那这里就是四减三了，就等于什么？等于一， 这个答案选什么减 a， 明白吗？很轻松读出来。
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06:03查看AI文稿AI文稿来，朋友们给大家录制一下高新区二模的一个几何压轴题， 其中我们着重讲解第三问一，二问就简单对一下答案。我们第一问的答案是， c、 f 等于二百的 d、 j 所形成的角度数呢？是六十度。第二问，大小是否发生变化？不变化， c、 f 仍然是等于二百的 d、 j 加角仍为六十度。 好，我们来进入到第三问，他说如图三，当矩形 a， b， c， d 子边 a 得等于 ab 时，这句话翻译过来什么意思呢？是一个正方形点，一为直线， c， d 上溢于 dc 上一点， 他竟然说直线，那你看一下这个位置是 e 是 位于线段，所以说我们可能会发现 e 是 在两个位置， e 在 线段 c 的 上或延长线上，以 a 为边，在 a， e 的 右侧做正方形 a， e， f， g， h 为正方形 a， e、 f、 c 的 对称中心 连接得 h， 若 a 得的值是等于四，得 e 的 值是等于二，求得 h 的 求长度。好，我们来看一下这个题， 这地方既然我们知道它是一个正方形的特性体，在什么位置呢？正方形的特性，只要一连对角线，他们就会出现什么等腰值。你比如说我连一条 bc 的是一个等腰值，我再连接 a、 c 的， 那也说这个题目当中出现了四个等腰值。而且我还知道这地方是一个垂直，这每个角度都是四十五度，只要正方形的独特性。 好，我们来看一下他让我进行求解一下。 d、 h， d、 h 长度很显然是不能直接求的，他肯定是要利用到三角形的相似那，而且这道题特殊点告诉我了一个，他是正方形连接这条线连接 ac h。 好， 那老师连这条线你发现什么东西？我发现两个三角形的 相似。老师，你为什么能这么快？反是因为我是从正方形的独特性的角度进入手。那老师，这地方为什么是相似？首先来就是 ac 比上 ad 等于对二， h 间作为这个正方形的对角线的一个交点。那我就可以知道一个问题，就是说 a， e 等于二。 好，它是等于一个 a， e 比上 a， 这两边乘比例。那老师这个夹角相等怎么进正？这是一个角一， 这是一个角二，这是一个角三。我知道角一加角二，是不是这个地方是一个四十五度角三加角二， 这个地方是不是仍然也是四十五度？这就我给大家说的正方形的独特性。所以说我就可以推出角一实际上是等于角三，而两边成比例且夹角相等，实际上我是可以证明两三角形的相，三角形 a 是 相似于三角形 a 的。 由相似。我发现一个问题，所谓的求 d h， 那 我就发现了什么 c， e 比上 d h 的 比值，它实际上是 a， c 比 a 的 比值是跟二， 因此我求得 h 的 长度，我只需要去把 c 的 长度搞定就 ok 了。但是我们来看一下 c 的 长度等什么东西呢？ 而 c 的 长度好像是等什么？是等一个 c 的 长度减得 e 的 长度， c 的 长度知道吗？知道， a 的 长度是四，它是什么图形？正方形 a 的 等于 c 的， 所以说它是等于一个 c， d 减 d 减得 e 就等一个四减二这样。所以 d h 它是不是等于一个二分之勾？两倍的 c 就 等于二分之根二乘以二等于。这种情况下，实际上我是在解的是什么？在线段 c 的 上，那我现在思考一个问题，除了在线段 c 的 上，它能不能在 c 的 延长线上？也能，那它的图应该长什么样？我们随便画一下，我现在用黑笔念过来，随便找一点，比如说这个地方是一个 e， 好，我们来进行画，首先是以 a、 e 为直角边做的什么？做的是一个正方形，我们画一个正方形，这点是一个 h， 好， 这么多，我发现一个问题，我去连接什么？连接 a c 和 h， 好， 那这种，那我们来看一下 能不能得到一个三角形呢？然也是可以的，我可以得到三角形 a， c， e 是 相似于三角形什么呢？ a 的， 为什么 我们也可以看？首先我发现第一个问题，就是 a c 比上 a 的 还是这样，它是等什么东西？它是等一个 a e， b， a， 这样，好，这个角度是四十五度，这个角度是一个角，一，对不对？我们再来这个角度也是四十五度，对不对啊？ 此时我会发现一个神奇的东西，角 c、 a、 e， 它是等于什么角的 a， 因为它们都是等于四十五度，加同样一个角， 两边乘比例，且加个相等。所以说我们可以推出两个什么三角形是相似于三角形 a 的 a， 那 相似完之后，还是仍然按照之前那 c 比上的 h， 他实际上是等一个 a， 比上什么东西啊？比上一个对不对？好，来看啊？那此时我知道 a c 比上一个 a 的 值，他实际上是等一个， 那这样的情况下，还仍然推出来一个问题的 h 实际上是等于什么？二，那 c 的， 我们知道 c 的 值是几啊？是四得一的值是几啊？二，所以说我会发现它是等于一个 c 的 加的 e， 所以是等一个 c， e 乘以一个二分之二。答案是，所以为 或好。那么来看一下这整篇题干里面它是有什么需要我们总结的点，或有需要我们进行获得启发的点吗？如果说它这个题目一旦告诉我们是一个正方形，我脑投了什么东西啊？投的是 对角线，因为正方形的独特性体现在哪？体现在他一连对角线，他就会出现什么指连着一个对角线，一个等腰指啪，一连角的就四个，然后再加上大的是不是就好几个？所以说这才是正方形的一个独特线，拜拜。
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13:01查看AI文稿AI文稿好，今天我们来讲解一下近期刚考完的青岛二模的这个大题压轴题啊，这个题的话是一道非常好的树立新定义问题，它其中蕴涵的一些证明思想和一些证明方法，是我们高考或者说一些压轴题中经常常见的一些方法。今天我们来讲解一下， 在现在模拟卷横行的状态下，很多地方都在压概率压轴，概率压轴，那万一今年打个回马枪，又考一个树立新定义，所以这些题目我们还是要防的啊。那今天我们来看一看这道题。 若竖列 x n 满足 x n 减一，加 x n 加一大于两倍的 x n， 则乘 x n 为 l l 竖列。它这个新定义也非常简单，只有一行的定义啊，它说已知 y n 等于 n 的 立方，判断它是否为 l l 竖列。那如果你理解本质的话，我一下就看出它一定是的啊，为啥呢？它这个是什么意思啊？ 是不是相当于这个函数要有一个整体，要有一个下凸函数这样一个趋势？这样子的话，你看我任意两点的连线， 然后他的他的终点的这个东西一定在他这个两点连线的一个下方，对不对？所以这就是一个相当于是考察函数的一个凹凸性的一个感觉。但竖列是一个特殊的函数，竖列是一些曲离散的点，对吧？所以这个本质上，我们从图形上来看的话，就要呈下图函数，因为我们如果说 x 三加一， 加上 x n 减一等于两倍的 x n 的 话，相当于它是一条直线，如果一条直线上两个点，比如说这是一，对吧？打个比方，这一是三，那么这是二，哎，这个是相等的，但是他如果图形向下一点，对吧？那么我们这个一加二的除一加二除以二，是不是这个点， 对吧？然后是不是大于大于 f 二的，哎，是不是确实是比他大一点的，所以他其实本质上是一个图形有下凹趋势，下图趋势啊，那如果你知道这个的话呢，其实这个 a 这个非常好判断，他这个三次方肯定下上去的嘛，所以肯定是 l l 受力啊。当然如果你不理解这个也无所谓啊，我们严格证明一下， 我们来看，那就按照他定义喽，就是 y n 加一减去 y n 减一减去两倍的 n 的 立方，这个我们全部打开来一化解， 这个化解很简单啊，这化解出来是六 n， 那 六 n 当然大于零了，大于零了，所以说它 y n 就是 l l 竖列啊，所以第一问呢，是比较送分的，也是比较简单的。 好，我们来看第二本，他说已知竖列 z n 为 l l 竖列，若对若任意不相等的正整数 m p q 满足 m 加 q 等于二 p， 证明 z m 加 z q 大 于两倍的 z p， 哎，他这个是什么意思啊？相当于原来的我的 l l 竖列的定义是一定要三项是相邻的，对吧？三项相邻的，如果 他们是乘等差的话，相当于是如果等差的话，相当于是等于，对吧？他现在是大于的意思，现在他意思是这三项呢，也是乘等差的，对吧？但是呢，他还是要证明这样子，但是这三项呢，不一定相邻， 对吧？那我们要从原来的相邻的来推到一般的乘等差的，其实也是比较简单的，这个非常简单，让我们来看一下，那我们因为 z n 为 l 虚列，所以对任意的 n 大 于等于二，有 z n 加一，加上 z n 减一，大于两倍的 z n， 那 我们给它减一减，就是 z n 加一，减 z n 大 于 z n 减一， 对吧？然后呢，我们现在要证这个东西啊，那要证这个东西，我们即证就是 z m 减 z p 大 于 z p 减 z q 了，那我们把它写一下， z m 减 z p 呢？因为我 l l 数列都是跟相邻的象的关系，所以我给它相当于累加，累起来啊， z m 减 z m 减一， z m 减一， z m 减二，加上点点 z p 减一，减 z p， 对 吧？然后 z q z p 减 z q 呢？就是 z p 减 z p 减一，加上 z p 减一，减 z p 减二，然后这样一五逐渐地递推下去。 那么我们会发现啊，从上面来看，上面的项数是多少呢？是不是 m 到 p 加一，所以就是 m 减去 p 加一， 然后再加一，所以总共是 m 减 p 项。下面呢是 p 减 p 减去 q 加一，加一啊，所以是 p 减 q 项。那么因为呢， m 减 p 等于 p 减 q， 所以 它们的项数是一样的，那要正，这个比这个比它大，那这个是显然的，因为每一个分量都比它大， 这个为什么每一个分量比它大呢？因为我们刚才看到了，相当于这个数列是个递减数列啊。那如果我们考试的时候，我们再写的清楚一点， 因为呢， z n 减 z n 加一，减 z n 大 于 z n 减 z n 减一，大于 z n 减一，减 z n 减二，然后点点点低头下去。那么对于任意的 z i 减 z i 减一和 z j 减 z j 减一，只要有 i 比 j 大， 那么它一定会有这样子的， 那因为 m 是 比 p 大 的，所以说我 z m 减 t 和减去 z m 减一减 t 一定是大于 z p 减 t 减去 z p 减一减 t， 那 这个 t 就 代表它们的任意嘛，因为它有可能减一减二，然后减下去，对吧？就相当于是说，从这里我其实可以看出来啊， 只要它这个角标大的，它们两个做差的一个距离肯定比它角标小的做差距离要大。那所以这个就非常简单了，因为 m 是 比 p 大， 所以这个始终是比 p， 它相当于是每一项都比它大，然后它们的项数又一样，所以我们 z m 减 z p 当然是大于 z p 减去 z q 的， 所以这一问我们就结束了。也整体来说难度也不是很大啊，也不是很大，那我们来看第三问啊，他说若竖列欧米伽 n 为 l， l 竖列且满足欧米伽 n 是 比零大的，大于等于零，且满足它的一个求和是小于一， 那我们知道这个 n 的 求是个无限为求，这个 n 可以 非常非常大，意味着它不管怎么怎么加啊，它是一项都是正数，不管怎么怎么加，它始终是会小于一的， 对吧？不管怎么加，它始终是会小于一的。那么其实我们可以判断它 omega n 一定是有递减趋势，且加到最后这个 n 非常非常大的时候啊， 且这个 n 非常大的时候，就令面的 n 区域无穷大的，这个 omega n 一定是区域零的，对吧？因为如果你不区域零的话，你等会那个数越加越加越加，肯定会超过一的，这个是我们的一个趋势的一个分析，当然我们严谨的来书写一下这个过程啊， 然后呢？他让我证明的是不是这个东西，那对于一个证明的一个问题，而且这些东西都比较抽象的时候，我们在竖列中是非常常客的一个证明方法，叫做反正法。反正法的本质就是因为他条件比较少，我给他主动加一个条件，然后来推出矛盾， 所以这个反正法在竖列中是非常常见的，我们等会证明这个和证明这个全都用反正法来给你操作一遍，那我们一起来看啊，假设我们先在这个，我们先在这一遍， 假设存在 t 使得 omega t 减 omega t 小 于零，因为它本来说这个东西减去一定是大于等于零嘛？那我就假设存在某一个时候， omega t 减去， omega t 减一小于零， 对吧？然后我们知道因为 omega n 减， omega n 加一是递减数列，所以我们有零大于 omega t 减， omega t 减一，大于 omega t 加一，减 omega t 加二，然后加上大于点点点，这样减下去，对吧？然后所以即零。 这个时候你可能看的不太清楚啊，那我们就倒一下，倒一下，我们把大的大的像素放在前面，就给它颠倒一下啊，现在两边添个符号啊，像零小于 omega t 加一，减， omega t 小 于 omega t 加二，减 omega t 减一啊， t 加一，然后点点点加下去， 我们从图形上判断这个肯定是个矛盾的，为什么呢？我们画一个图啊，这是 t t 加一，然后 t 的 时候对应 omega t， 然后 t 加一的时候对应 omega t 加一， 那么因为 omega t 加一小于零的，然后下次 omega t 加二和 omega t 减一的距离，肯定，比如这个是 d 的 话，那这个肯定要比 d 大， 所以你这样子的话，你会想你后面越来越增，越来越增，肯定是一直往上走的嘛， 一直往上走的肯定不可能满足，加起来一定小于的，所以这是我的图形上的一个理解，那我们怎么把图形的语言翻译成代数的语言，这是各位同学需要学习的，那我们来看看严谨的怎么书写啊？ 那我们就设，哎，欧米伽 t 加一和欧米伽 t 的 一个距离是 d， 那 么我们假设有个 k， 那 么这个 k 比如说是比 t 加一要大的，对吧？我有一个欧米伽 k， 欧米伽 k， 我 可以这样子给它累加，就是欧米伽 k 减一，加上欧米伽 k 减一，减欧米伽 k 减二，加上点点欧米伽 t 加一减去欧米伽 t， 然后加上欧米伽 t， 那 么我们知道啊，它每一项，因为我们知道这个是 d， 对 吧？这个是 d， 然后呢？后面它是不是 这些东西，欧米伽 k 是 不是会比 d 要大的？这这个东西我们来看应该是要比 d， 是 比 d 要小的，我们来看一下，它是欧米伽 t 加一减欧米伽 t， 这个东西越大的话，它是不是越大， 对吧？所以我们对于一个欧米伽 k 啊，我们可以给它写成这样子，那么我们每一项都给它收缩成 d， 那 么总共是 k， 欧米伽 k 到欧米伽 t 里面有 k 减 t 项，有 k 减 t 项，所以我们是不是大于等于 k 减 t 乘以 d， 然后最后加上一个欧米伽 t， 对 吧？那这个我们方向应该是没有搞错的，我们可以看一下啊，对吧？因为它这个是逐渐的，你如果大的往小的去的话，它是不是越越往后面是不是越小的， 对吧？就是越，就是这个角标越大的话，它是越大的，那我全部给它放成 d 的 话，相当于给它放放成小的了嘛。所以是可以的啊，所以大于等于确实不等号，没有问题啊。 然后呢？那我们要来正矛盾，其实非常简单，他说所有加起来都是小于一的嘛，那我看我只要令这个东西大于等于一，可不可以取到呢？完全是可以取到的，如果我令这个东西大于等于一，肯定可以取到这么一个 k 的， 只要那解这个方程就是 k 大 于等于一减 omega t 除以 d 加 t 啊， 所以当 k 大 于等于一减 omega t 除以 d 加 t 的 时候，我们一定有 omega k 大 于等于一，那么与这个东西肯定是个矛盾的， 对吧？与这个东西肯定是个矛盾的，所以我们假设是不成立的啊。假设是不成立的，所以 omega n 减去 omega n 加一是大于等于零的， 所以我们左侧就整完了。好，那我们右侧的证明也是一样的，我们再次利用反证法，我们再证这个 omega n 减去 omega n 加一小于 n 方分之一，那我们还是反证啊，假设存在 t 使得这个东西是大于等于 t 方分之二的， 那因为我们前面已经知道 omega n 减去 omega n 加一这个东西，这个数如果把它看成一个竖列的话，它是单调递减去 omega t 加一大于 omega t 加二，所以这个是个单调递减的竖列啊， 所以我们这样写开来， omega 一 减 omega 二大于 omega 二减 omega 三，然后得到这样子，对吧？那我们也是给它累加啊，我们给我们给它累加一下，从 omega 一 开始累加我们这个累加，这样累加，所以积累累加就可以得到 omega 一 减去 omega t 加一， 每一项都大于等于 t 分 之二，那么我们总共有 t 项，那么是不是可以大于 t 分 之二？所以我们知道 omega 一 是大于 t 分 之二加上 omega t 加一的，那么同理，如果我从 omega 二开始的话， omega 二减去 omega t 减一，那么总共是有 t 减一个 t 方分之二， 对吧？我这样去放松的话，那所以是不是等于 t 方分之两倍的 t 减一，对吧？好，那我这样子的话，我们就写出了这么一串的东西， omega 一 大于这一串， omega 二大于一串 omega k 大 于两串 omega t 大 于这一串。然后呢，我们将其进行一个累加， 将其进行一个累加， omega 一 加 omega 二加零点 omega t， 那 这个东西因为下面都是 t 方，所以我可以看成 t 方分子二 t 嘛，给两边给它乘以 t 啊， t 方分子二 t， 然后呢，加上这个 omega t 加一，总共有几项有 t 项，对吧？好，那我们对这个进行 求和，这个东西是什么？这个东西是个等差数列啊，这东西是个等差数列啊，所以说我们对于这个东西，我们来对它进行求和。首先这个东西等于什么？是不是 t 方分之 二拿出来， t 方分之二拿出来，每个都是公式，然后然后 t 方分之二拿出来就是一，然后加上二，加上点点，再加上 t 啊，所以上面是个等等，那个等差竖列的求和，对吧？所以我们给它 进行放松，而且我们可以把这个放掉，为什么会把这个放掉呢？其实你把这个东西算一下就知道了。我们先把这个东西算一下，就首项加尾项乘以项数除以二，那么就是 t 已经是 t 分 之一加 t 了， 已经是 t 分 之加 t 就是 一加 t 分 之一了，这个东西已经比一大了，所以说我直接可以把这个给丢掉了，因为我们因为他题目干告诉我 omega n 大 于等于零嘛，所以我我要证明他有矛盾的话，只要证明加起来比一大，因为他也告诉我条件是不是总共加起来比一小嘛，对吧？那我就证明加起来比一大就矛盾了嘛。那其实 我把这个东西放掉的话，这个东西就比一大了，所以我大胆的就把这个东西丢掉了。那这个为什么能丢掉？其实本质上先把这个东西算出来之后才知道的，那我们知道这个东西算出来就一加七分之一，那么就大于一的，那么肯定与 sigma i 等于一到 n omega i 小 于一是矛盾的，所以这个题我们就证完了。 所以这个题呢，也是一道非常漂亮的压轴题，里面是考，主要是考察一个竖列的一个证明思维，这种思维往往是我们高手尖子生非常缺的啊，高中学生比较薄弱的，所以在做现在各地方模拟卷，在压概率压轴题的同时，我们这些竖列的一个常规压轴 和一些稍微有一点新定义的亚洲，我们也是要准备的，万一今年高考就考了这么一个呢？所以这题是非常好的一道亚洲题啊。那本题我们就讲解到这里。
156高中数学教研
09:32查看AI文稿AI文稿看一下二零二六历下二模的最后一个压轴大题啊，就这个几何体一个条件呢，就是这个角是 alpha， 而这个角是一百八十度减 alpha， 那 这两个角呢，肯定就是互补的，而且呢，它这个位置特点又是同胞内角， 所以呢，第一问这个就是同旁内角互补，两只线平行，所以平行。第二个呢，就是问这个角和这个角的关系啊？一个条件，这是中点， d 是 中点，然后这个边又和这个边相等， 所以根据中点我们就想到了什么被长中线，长线的方法就是被长中线，所以可以把这个延长交于点 f 吧， 那这样的话，这个三角形和这个三角形很容易正得，这两个三角形是全等的，嗯，对，菱角相等，是吧？相等，然后还有内错角全等之后呢，这个边等于这个边，这个角和这个角相等， 然后得 e 等于 a， d 是 一个已知条件，所以这样 a、 d 就 等于 d f， 所以 角 f 就 等于这个角， 这个角呢，是这个三角形的外角，就等于两倍的角 f 也就等于两倍的角 c、 e、 d， 这是一个正法。嗯， d 外比较简单，你可以多探索几个做法，比如说还有一个做法可以是这样，嗯，连接一下 a、 e， 那这个三角形就是一个等腰三角形啊，这两个相等，这个是中点，这个线又是平行线，所以我可以过的点做一条平线， 它和 ab 和 ec 都平行。平行线分线的成比例，这个和这个一比一，所以 af 与 ef 之比也是一比一，这说明这个点就是中点， 那得 f 就是 等腰三角形斜底边上的中线，底边上中线也是顶角的角，平分线，这个角等于角，这个角又内错角等于这个角，所以这个大角就等于这个角的两倍， 所以这样也可以挣出来。嗯，下面看第二项问，他说当 k 等于二的时候，就是 c、 d 是 b、 d 的 两倍， 而且 d、 e 是 a、 d 的 两倍，所以方法和一中的方法相同啊。就是一中的这个图形是一个投石问路 啊，通过特殊值找到一个具体的做法，看他能不能套在这种一般的情况上，或者说不太特殊的情况上。 方法的迁移，所以下面我们把方法迁移过来。第一个方法，就是啊，仍然是构造那种八字形的相似，是吧？因为这有平线，嗯，所以可以延长一的， 或者是延长 a 的 都可以啊。延长 a 的 这两个三角形相似，这个和这个一比二， 所以它和它也是一比二，然后这个与这个一比二是一个已知的，那这两个线就相等，所以这是一个等腰三角形，等腰三角形两个底角相等，而这个角是这个三角形的外角，所以它就等于两倍的角，这个 c、 e、 d， 这样我们就挣出来，它等于它的两倍。这第一个方法啊，第二个方法，刚才这个方法也可以， 就是把它也延长，再延长一倍啊，倍长，那这样，这个不就是等腰三行吗？ 是吧？下面过这个点做平行线，做平行线仍然是做平线，这个应该能得它的终点，是吧？因为你把这也延长一下， 嗯，这是一份一比二，那这延长一倍，他也是一份，那这个和边这个边又相等，是吧？所以一做平行线，所以这也是终点。 同样的等腰三形底边上的中线，也是底边上的高线，还是顶角的角，平行线，这个角就等于这个角，所以这个角是它的角一的两倍，也是这个角二两倍，这样也能挣出来。 嗯，所以说你在第一问的做法，你看两个方法都可以迁移到第二个图形中。 好，下面我们再来看这个圈二，如图三， ab 等于二， c、 e 这个边等于这个边两倍。求三角形 a、 e、 f 与三角形 abc 的 面积之比啊， 这两个三角形的面积之比。因为这两条线是平行线啊，所以 abc 这个三角形的这个点 c 到 ab 边的距离 和这个这个三角形啊，点 a 到 c、 e 的 距离，这两个距离是相等的，也就是这两个三角形的高相同 啊，所以 ab 是 c、 e 的 两倍，也就说明 abc 的 面积是这个三角形 a、 c、 e 面积的二倍。因为等高的三角形面积之比等于底之比 啊，所以下面只需要怎么样呢？它要求的是 a、 e、 f 和这个面积的比值，所以你只需要求出 a、 f 和 c、 f 的 比值来，因为这个三角形和这个三角形它俩是同高的，三角形高在这， 所以你只需要求出抵制笔即可啊，抵制笔就是这两个笔，下面仍然是相同的方法啊，迁移思路啊，方法迁移延长， 那这个三角形和这个三角形就是相似的，相似比一比二，所以这个就是一份，这个就两份而已知条件 a、 b 是 c、 e 的 两倍，所以说这个就是四份， 这样的话，我们就得到了这个啊， a、 j、 a、 j 和 ec 之比是二比五，是五比二的关系，因为这样就可以利用这两三角形得到 a f 和 c f 的 比值， 所以 a f 和 c f 之比就等于 a j 比 ec， 所以 就五比二， 这样我们得到这个三角形的面积是五份，这个三角形的面积是两份啊，一共是七份，一共是这个三角形面积是七份，这个面积是它两倍，这个是十四份，所以它们面积比五比十四就出来了。 好，这个题这是这个做法。当然这个题还也有别的做法啊，你比如说我们也可以按照刚才的方法，从这个地方做平线，嗯，然后下面，嗯，这个边和这个边之比一比二， 那这个 d j 和这个之比，就是啊，因为这个三角形和这个三角形相似，所以 d j 比 ab 就是 二比三，它和它之比二比三， 然后这个和这个之比是二比一的关系啊，所以你就可以设它是六份 啊，或者设它十二份。因为后面我们这里还有一个要整出啊，设它是十二份，那这个边就是六份，而这个边就是八份， 所以这样的话，我们得到这个边和这个边之比就是八比六的关系。又因为这个边和这个边也是二比一，这个是十四，那这个就是七。 因为下面我们主要就是找这个边和这个边的比值，这个边是七加八十五，这个边是六， 所以就是十五比六的关系，十五比六不就是同除以三五比二的关系。所以这样我们找到这个边与这个边之比五比二，剩下的就和第一班一样啊，他是五份，他是两份，一共是七份，所以这个是十四份，所以答案五比十四。 好了，这个题目这样我们回过头来看，它就是利用平线分线的乘比例，或者说构造相似的三角形 啊，因为有平行在，所以可以构造八字形的相似或者是 a 字形的相似，从而来解决问题。好了这个题目这样我们就分享到这里。
48济南数学潘林倩
10:18查看AI文稿AI文稿下面我们看一下二零二六这个四中二模的最后一个几何压轴大题。嗯，直角三角形，这个 a、 b、 c 呢，它是一个固定的 b、 c 的 长度是四， a、 c 的 长度是八， 这个是四，这个是八。直角三角形，然后 c、 d、 e 呢，也是一个直角三角形， c、 d 和 c、 e 之比是一比二。嗯，下面第一问判断 b、 d 和 a、 e 的 数量关系， 那这个还是比较容易的，是吧？因为 c、 d 比 c、 e 是 一比二，而 c、 b 比 a， c 也是一比二，所以 c、 d 比 c、 e 就 等于 c、 b 比 a、 c， 又因为这个两个角都和中间的角互余，所以它们两个角也相等，所以两边对应成比例，且加号相等，两个三角形相似。三角形一相似， a、 e 就 和 d、 b 之间的关系就是一比二， a、 e 就是 d、 b 的 两倍。因为相似比就是二， 所以第一问就是手拉手的相似，或者说我们称为叫旋转相似。那第二小问有一个添加了一个已知条件啊，得 e 和得 e 和 b 得是相等的，求 a、 e 的 长度 啊。这个相似呢，仍然保持第一问当中的相似，所以得 b 和 a、 e 的 关系就是一比二的关系。所以当它是 a 的 时候，这个长度应该是二 a， 而得 e 呢，又是 a， 现在它和得 b 是 相等的，所以下面呢，我们看，嗯，这它们的长度是三 a 得 b 的 长度是 a， 这样我们只要证明一下，这个角是九十度，那勾股定底就可以了，对吧？因为 bc 的 长度是四， ac 的 长度是八，勾股定底可以算出 ab 四跟五。 所以下面呢，需要我们来证明一下，这个角是九十度，这个角是九十度呢，也是我们常见的手拉手相似的一个重要的结论 啊，就是根据相似之后，对应角相等，全等也是这样，对应角相等，然后通过一个蝴蝶形的相似，哎，就这个相似能推出这个角是九度啊，因为，哎，我们把它画一下， 我们用红色的线， 就是这个结构。三角形相似，对角相等，这个角和这个角是相等的，这里又有一对对对顶角，所以这个角的度数就和两个大手的夹角相等，而两个大手的夹角就是九十度。 所以这样我们勾股定力就可以了啊。勾股定力在这个三角形中应用 a 方加三， a 的 平方等于四根五的平方，从而就能求出 a 的 值，也就知道了 a、 e 的 长度。下面看一下第三小问， 如图三的点在三角形 a、 b， c 的 内部， b 的 长度告诉我们了 b 的 长度是二， 然后下面过一点，做了一个 e， f 垂直于 ab 于点 f， 这里有一个点 p， a， p 的 长度是 af 的 二分之一。 当三角形 abp 的 面积取最大值时，三角形 abp 的 面积取最大值时，求 bp 的 平方。 好，嗯，这个之前的手拉手仍然是成立的啊，仍仍然是成立的，也就是这个三角形和这个三角形仍然是相似的，相似比是一比二，所以这样的话，我们就会得到 a、 e 的 长度是四， 而这个地方呢，我们需要判断点 p 的 运动轨迹， 是吧，才能知道 abp 什么时候会最大啊，因为三角形 abp 当中呢，这个三角形它到底是确定的啊，这个长度我们已经求过了四根五，所以要看它的高最大高最大呢，就是点 p 离 ab 这条线的距离， 所以下面我们需要找 p d 的 轨迹啊，它有一个非常嗯，好的条件是 ap 和 af 之比是一比二的关系，嗯，所以下面我们想怎么样用能够应用这个和这个是一比二的关系，这个， 嗯，而且呢， e p 呢？在这样一个直角三角形中，所以我们想怎么样来构造一下这个直角三角形，嗯，这个直角三角形到底是有什么用处？它两个之比是一比二有什么用啊？ 在这个直角三角形当中呢，有一个角是这个角，这个角呢？ p 点啊， a p， 它的一个顶点就是 a， 所以 下面我们构造一个反 a 型的相似啊，就是做垂线或点 p 做垂线， 这个是字母 j 吧，做完这个垂线之后呢，这两个三角形就是相似的啊， a p、 j 相似于三角形， a e、 f 反义形相似，公共角都有一对直角，所以对应边成比例 啊，所以斜边 a j 比上啊， a e 就等于 ap 比上 af， 这样 ap 和 af 之比是一比二，这样我们就发挥上了它们两个边的关系的作用。 而 a e 的 长度是个定值，所以 aj 比上四就等于一比二，这样我们得到 aj 的 长度就能算出来是二，这个是二，当 aj 的 长度是二确定了， 而角 a、 p、 g 始终是保持九十度啊，始终保持九十度，所以出现了定角对定边的结构。 定角对定边，说明点 p 是 在一个圆上运动的啊，这就是我们常说的引圆，或者说叫辅助圆， 而这个角是一个直角直角也就是圆周角，他所对的这个边一定是斜边，所以这个圆的大体的样子应该是这个样子，嗯， 答题就是这个样子的。所以，下面什么时候点屁地，它离这条直线比较远呢？那显然就是当它是，当它这个地方恰好垂直， 嗯，和圆心正好垂直于这条直径 a j 的 时候，离这条线最远。嗯，这样我们知道这个长度是半径是一，这个也是一。 嗯，所以说，这样可以利用勾股定律就可以来求 b p 的 平方了。嗯，因为这时候 a o 的 长度也是一，所以这样 b o 的 长度就是四根五减一 啊。下面购物定理啊， b p 的 平方就等于 o p 方加上 o， b 方就等于一方加上四根五减一的平方。 看，这就是为什么题目呢，最后让我们求的是 b p 方，而不是求 b p， 因为它带着根号，再开方要开不出来，很能开，对吧？所以它才让你求 b p 的 平方， 然后再减去八倍的根五，所以最后答案八十二，减去八倍的根五。好了，这个题目到这里，这样我们就解决了。 回过头来，我们发现啊，前两问都还是比较简单的。这个题第三问啊，主要要判断点 p 的 运动轨迹，就是 p 点什么时候离 ab 这个三角形的底儿比较远 啊？在这个地方呢，我们利用了一个相似啊，重新构造了一个相似 a、 e、 f 和 a p、 j 相似， 从而 ap 和 af 之比变成两个三角形的相似比。这样得到什么呢？得到 ag 的 长度是个定值，这样求出了它的长度二，定角对定边的结构就出现了，从而解决了 p 点的运动轨迹的问题。 其他的方法呢，不太好想啊，因为，嗯， a p 的 长度和 af 之比是一比二， a p 和 af 有 关系，然后 af 呢，在这样一个直角三角形当中，它和 e 点的位置也有关系， 而 a e 的 长度呢，是一个定值，和 b 的 有关系是 b 的 二倍，所以下面呢，它们的关系都互相的能联系到一块， 所以是比较难以处理啊，所以还是想办法构造了这个相似方法比较好。好了，这个题目这样我们就分享到这里。
40济南数学潘林倩
00:34查看AI文稿AI文稿这套济南二模建议认真刷一遍，因为他身上有往年真题的影子。第六题是构造函数比大小的经典套路，做顺就是送分。第七八题分别在二零年和二二年新意卷里有几乎一样的原型。第十八题结合了二零年新意卷圆锥曲线压轴思路，高考最爱考 第十九题。二四年九省联考新定义加数列结合，典型的新高考风格。刷完它，你能看清三个问题，概念是真懂还是只会背？知识是闪的还是串成网？计算稳不稳？关键时刻掉不掉链子。我给大家整理好了暗号，零一二七，拿去下载打印，考前再过一遍，错过真的会拍大腿！
648赵礼显数学规划
04:23查看AI文稿AI文稿下面我们看一下二零二六高新二模的选择题第九题，也就是这个选择题当中的小压轴题。已知这个矩形的长和宽分别是八和六， 然后呢，下面连接对角线之后呢，尺规作图做出了角平分线，然后这里呢，又做了一个垂直 啊，与对角线交于点 m， 与另外一个长交于点 n， 求 m n 的 长。嗯，这个地方有垂直，所以这个 b m 既是角平分线，又是这个三角形的高线，所以两线合一， b 能反推成等腰三角形， 这个地方很容易正全等就行了，这个角公共边还有这个角，所以这样我们得到这个长度也是八， 然后这个得 c 是 六， bc 是 八。勾股定律就能求出 b 的 对角线的长度是十，所以这个长度就是二啊，这个小三角形 和这个三角形相似，所以相似。然后这个也是个等腰三角形，所以它就是二，而且相似比是四比一的关系。 等我们求出 n d 来了， n d 一 出就能求 n c 勾股定底就可以了。 那这两个三角形相似相似比是一比四，那这个和这个一比四，那它就占这个总长的五分之一，这样我们就求出了 m n 的 长度。 好，这是第一个方法，下面我们再来讲一下第二个方法。因为我发现这个和这个实际上是十字架模型啊，所以，嗯，这个三角形和这个三角形是相似的三角形。 而且我们发现一个问题，就是这个角的正切是四分之三 啊，所以这个地方可以用什么呢？可以用二倍角公式得出这个角的正切来，或者说 这个地方应该记住的，我们称叫一二三四模型啊，就是什么角的二倍，他的正切是四分之三呢，这个角的正切一定是三分之一，这个需要记着啊，当你觉得二倍角公式还挺简单的时候，我们却在这个地方直接能记住这个式， 就是这个角的正切是三分之一，他的二倍恰好是四分之三，这是非常好的数啊，非常合适经常来设计题目，所以这个地方需要记住， 所以这个角的正切三分之一，那这个角的正切也是三分之一啊，这个角和这个角相等呀，所以这个就是六，这个就是二， 这样我们能求出来这个总长啊，这个这个长度呢？可以怎么求呢？嗯，这个这个长度是八啊，三分之一就能求出这个是这个长度来， 这个长度和这个长度相等的，然后用这个总长度去减去它就可以了啊，这个是一比三比根十的关系，那这个就是二根十 啊，这个是一比三比根十，所以八除以根号十就是他啊，就是十分之八根十，所以就五分之四根十，那他就五分之八根十啊，然后二根十减去五分之八根十， 就是五分之二根式，所以这个题答案就是 b。 回过头来，我们发现第一个方法就是考察等腰三角形的一个性质以及相似就能解决了。第二个方法我们是灵活运用了一个一二三四五模型啊，实际上是记住了 这个正切是四分之三的，这个角的一半，他的正切从这里就直接进行了突破啊，从而能解决 m n 的 值，所以对于有些问题的积累， 在解决问题当中也会起到非常大的作用，可以大大提高你的解题效率。那快一点把潘老师讲的这个知识点掌握起来，并转给其他的同学。好了，今天这个题目我们就分享到这里。
23济南数学潘林倩
15:39查看AI文稿AI文稿好，咱们听一下，看一下，呃，二零二六年聊城二模的第十一题，这个选择题的压轴题， 这个题目楞长为二的正四面体。当我们看到正四面体的时候，我们就去想正四面体的相关东西 点，撇是三角形 b、 c、 d 的 中心 m 点在平面 a， b、 c 内运动，平面内运动点 n 是 棱上的移动点。下来说法正确的是，那么我们在这儿 先来简单的回复一下，回顾一下，嗯，正四面体的相关重要的几个结论。 有这样几个 正四面体的重要结论，将棱长为 a 的 正四面体转化为边长为二分之根二 a 的 正方体的问题， 那我们再分析正四面体的高就变成了正方体，哎，这个体对角线的三分之二， 所以咱们知道这个正方体现在是二分之根二 a， 它指的是正方体的棱长，而这一个是 a。 现在，现在我们再看正四面体的体积啊，表面积，外接球半径、内切球半径， 相对论之间的距离以及正四面体的中心角高分成了三比一，相对论，互相垂直这八个重要的结论，希望咱们团队能把它解熟， 用上这八个重要的结论。头脑中你如果存在这些的话，咱们的选项，本题是除了选项 d， 其他很简单，咱们看这几个选项，选项 a， 选项 b 说 m n 平行于平面 m， n 平行于平面 b， c、 d。 就 看咱们下面画的这个图，画这个图 m n 平行于平面 b c、 d。 并且 a n 比 n d， a n 等于二 n 点是三等分点， 那这数的 m n 如果要和平面 b、 c、 d 平行的话，那 m 点的运动轨迹只能是这的 b e 啊 c e 为什么？唯一性定律，过点 n 与平面 b、 c、 d 垂平行的平面，尤其只要一个，这个平行平面就是现在画出的 b、 e、 c、 e、 n， 所以它与平面 a、 b、 c 的 交线 b、 e、 c、 e 就是 m 点的运动轨迹。 而这时候 am 大 小，我们知道 a、 b、 e、 c、 e 这是一个小小的正三角形， 而它在正三角形 a、 b、 c 内，显然这个距离最小值就是三分之二正三角形 a、 b、 c 的 高线。所以选项 a， 正确选项 a 正确。 选项 b， 选项 ab a n 比 n d 等于一，说明 n 点是 ad 的 中点 m n 垂直 ad。 那我们知道微型定律，过点 n 与 a、 d 垂直的平面，尤其只有一个，那根据我们的正四面体的呃，这些相关，我们知道我连接 b、 n 连接 c、 n， 那 我就知道 过点 n 与 a、 d 垂直的平面，这唯一平面就是 b、 c、 n。 换句话说， m 点现在是在 b、 c 啊这条线上运动， 以 m 的 运动轨迹找 m n 的 最小值， m n 的 最小值不就是 b、 c 的 中点 m、 o 与 a、 d 的 中点 n 之间连线了吗？这就叫啥？相对楞， 相对棱之间的距离二分之根二 a 本题中的棱长 a 是 二，所以 这个距离根正确，最要根二也正确。那选样 c 呢？选样 c 更简单， m 点是在平面 a、 b、 c 内， m 点在平面 a、 b、 c 内， d 点到平面 a、 b、 c 的 距离就是正四面体的高，而正四面体的高。三分之根六 a a 等于二三分之二倍的根六， 那我们知道三分之二倍的根六和根二的大小关系，三分之二倍的根六，他是比根二要大的， 它比根儿要大的。换句话说，换句话说，以点地为球心，以根儿为半径的球，它和平面 a、 b、 c 连公共点都不存在， 就是因为根儿小于正四面体的高。那你就别管 m 点 a、 m 和 p、 c 垂直，这这一条你都不需要，因为 m 点，它本身就在 a、 b、 c 内。 以 d 点为球心，以根儿为半径的球，连平行 a、 b、 c 的 哎， 都碰不到。平 a、 b、 c， 它怎么可能会有平 a、 b、 c 的 内的点，使得 dm 取最小值，这样呢？这不可能的，所以选项 c 是 错误。本题重点难点是选项 d， 选项 d， 我 们怎么去做分析？哎，我们学过和最小 啊，小何最小学过什么？学过将军隐马学过对称一样道理。这就找对对称这个题目 选项 d 的 处理方案。我们可以有这样一些一种像这似的，我画的这个图， 画的图， p 点放在底面 a、 b、 c、 d 内 p 点的中心嘛。我关于平面 a、 b、 c 的 对称点 p 二， 关于 a、 d 的 对称点 p 一， 连接 p 一 p 二，这是个最根本的，我把平面 a、 d、 e 画出来，向右边图中 这我建立了一个平面直角坐标系，我把这个 e 点坐标、 d 点坐标、 a 点坐标搞出来，然后利用对称 找出 p 点坐标和 p 点坐标，然后 p 一 片的距离。这也能做的出来，不过太麻烦，运量太大。一个选项 一个选项就这二分，我们算多长时间不打恰当。当然，呃，也有说啊，老师，我能不能算出呃这来，来个 愚蠢定谬啊。可以，他的运转量仍然很大。好，我们，我们今天我给你们分析一个另外一个方法。 怎么另外的方法？我仍然是画图看这儿，那个下面蓝色的，我给他勾造了一个相同的相同的正四面体， 那么 f 点就是 d 点的对称点。关于屏幕 a、 b、 c 的 对称点，我连接 fe， 我 连接 fe， 连接 f， e， e 点是 b、 c 的 中点 p 点。关于平面 a、 b、 c 的 对称点， p 一， 在这出来了，那么关于 a、 d 的 对称点 p 二，怎么去找？我先先仍然是构造这么一个， 然后往这来撇出来了。哎，换句话说，我们这些东西啊，都是在平面 a、 d、 e 内来画的。所以我把平面 a、 d， e 从平面移出来，画着右边这个图， 当右边这个图。呃，左边对应的 f 点，我这改成 d 撇点啊， 那这是怎么画的？蓝色的 e， a、 d， 现在我的 e， a、 e、 d 回来，这是个菱形，这是个菱形。 这时候我们发现 e 点的关于 a、 d 的 对称点一， p 点关于它的对称点 p 二都有了。 找 a、 d 的 中 a、 d 的 中点是不是点 a 啊？现在还不知道，我再去找 字儿的对称 p 的 对称点， p 点对称点 p 一。 嗯，那说计算呢？我先把图画完，再搞计算，现在的目标是 p 一。 p 二的大小， 我们知道 a、 o 是 o， e 的 二倍，所以我把 e 点向右延长到 e 二， 这时候的 a、 d， e 二， d 撇，这也是个菱形，变成为二。 这时我发现一个问题，发现什么问题？ p、 e 点作为 d 撇， e 的 三等分点， 这个 a， e 的 三等分点 o， p， e， p， e， o 和 a、 d 撇平行，当然也会和 d、 e 二平行， o 点是三等分点，这也三等分点在这个菱形内，这平行且相等，所以我会发现 p 二以及 a、 d 的 中点以及 m 点三点共线， 这三点贡献，那么 p e 点和 m 点这两个是不是这四个点贡献呢？这需要证明， 因为刚才说这三个点共线，这是没问题的了，要 p 一 点和这三个点要再共线的话，这个题目就很好做了，我们看它是不是共线啊。哎，什么呢？这是三等分点， e 点是 m 一 二的中点， 这三等分点，我这儿延长后交叉是它的终点。哟吼，这也是 m f 二的 m f 一 的三等分点。呃，三等分点， 这时候你会发现它是与它平行的， 它是与它平行的。而在 a d， e 二 d 撇这个菱形中， m 点是 a e 二的中点，这个点也是它的中点，这儿 和字平行好了，那么他也就该和字平行，他和他平行，这时候就说明这四个点贡献了呗。哎，好，这题目好，算了这四个点贡献了。现在我们发现 p 一 p 二 是平行于 a， d 一 当然也是平行于 d 一 二 很容易的发现它们的长度到终点，这是一，这也是一。 m f 一， 这是一，而 mp 一， 这是占三分之二，所以答案 答案那是二加三分之二，三分之八，这是我们的第十一题的它的分析 好，希望他们能明白。
82巨灵石
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
11.8万亮亮巧解数学
14:22查看AI文稿AI文稿下面我们看一下二次函数的压轴题，嗯，也就是四中二模第二十四题， 这个题目呢？第一小问，求表达式，嗯，这个二次函数的表达式已经给出了，嗯，只差 b 和 c， 需要求带入两点坐标即可求出。第一问呢，也挺简单，嗯，这个关系式应该是 y 等于 f 方减去二， x 减三， 可以配方法换成顶点式， x 减一的平方减去四，所以对点轴是 x 点一，顶点坐标一，逗号负四。下面看第二小问说呢，点 e 落在这个对点轴上， 嗯，然后 c b 这个三角形是一个直角三角形，并且点 e 呢，在第一项线，如果是这种情况的话，就是 他是一个锐角三角形，嗯，所以直角三角形就是临界情况。那什么时候是直角三角形呢？要分类讨论到底是哪个角是直角，比如说，第一种情况角 e 是 直角， 第二种情况角 b 式直角，这是两种临界情况啊。第三种情况，角 c 式直角的话，就应该朝下，这个点 e 就 不再第一象限了啊，所以这样这种情况就不需要考虑了。 所以点 e 啊，这个点是一种临界状态， e 一 这个点也是一种临界状态。这两种情况恰好都构成了直角三角形，所以当点 e 落在这个 e e、 e 之间的时候，它就构成了一个锐角三角形。 所以此时我们只需要把啊 e 一 和 e 这两种位置求出来就可以。我们先来求一下这个 e 一 的坐标，这个实际上很容易求啊，因为这个角是直角角， c b e 是 直角， 嗯，而 bc 这条直线 k 值是等于一的啊， b 点坐标三，逗号零， c 点坐标零，逗负三，所以 obc 恰好构成等腰直角三角形。 嗯，所以下面这条直线和这条直线互相垂直，所以上面这个角度也是四十五度啊，四十五度的话，这个长度是二，所以这也是一个等腰直角。三角就是 e 一 b， 这是一个长度，就是二，所以此时 e 一 的坐标就是 e 一， 逗号二。 那下面看第二种情况，就是角 b， e， c 是 直角的时候，就这个角是直角的时候，这个时候是直角的话，我们可以采取的方法可以利用，嗯，构造一线三垂直的相似，过点 e 做平行于 x 轴的直线啊，然后过点 b 做 b， m 垂直于这个 dm， 嗯，那这两个三角形就是一三角的相似。 我们可以设一下点 e 的 坐标，比如说是一逗号 a 吧，那这个是 a， 这个是三，这个是一， 这样 e， m 的 长度就是二，这个是 a， 这样我们就可以把这些线段都标一下长度，三角形相似，再写出对应边。 嗯，所以就是 c， n 比上 e m 等于 n， e 比上这个 b， m 交叉相乘， c， n 乘以 b， m 等于 n， e 乘以 e m 代入数据， c， n 乘以 b m， c， n 的 长度是三，加 a 再乘以 a 等于一，乘以二， a 方减去加上三， a 等于二。配方法求下 a 的 值， a 方加三， a 加上四分之九，就等于二，加上四分之九，加二分之三的平方等于四分之十七，所以 a 等于 负的二分之三，加减二分之根号十七。又因为 a 的 值一定是一个正数，它落在第一项线 啊，所以这个取负的二分之三加上根号十七啊，就这个答案。 所以此时啊，一点的坐标，它的纵坐标就处在这个数和二之间， 嗯，也就是 a 必须得大于二分之负三，加上根号十七小于二的时候，这样它就能保证它是一个锐角三角形。 下面我们来求一下 e 点的坐标和 m 之间的关系啊。因为直线 a， e 呢，经过点 a， 所以 可以把点 a 的 坐标带入，嗯， 把点 a 的 坐标带进去，也就是，嗯，零等于负 m 加 n， 所以 推出 m 等于 n， 所以 这条直线的关系式就是 y 等于 mx， 再加 m， 嗯，然后点 e 的 横坐标是一，把 x 等于一，带入 y 等于二 m， 所以 一点的坐标一逗号二 m， 嗯， a 就 等于二 m， a 的 范围是大于啊，大于二分之负三，加上根号十七小于二，所以二 m 就 大于这个， 所以 m 就 大于四分之负三，加根号十七小一。这样我们就求出了第二位。下面再来看一下第三位，嗯， 第三位呢？说是如图二，当 n 等于一的时候， 点 m 是 在抛物线的第四象限，连接 m c 并延长交直线 a d 与点 n， 然后连接，求三角形 b m， n 面积的最大值。 下面 n 如果等于一，那直线 a d， 这条直线的关系式就是， y 等于 mx， 再加一，再把 a 点的坐标负一，零代入， 所以零等于负， m 加一，所以 m 等于一。所以这条直线的关系式我们就求出来啊， y 等于 x 加一， k 值是一， 嗯，然后下面这个三角形 b， m， n， b 点的坐标是三斗零，而 c 点坐标呢，是负三，斗零斗负三。 所以在这里说明什么呢？说明就是 o b 和 o c 相等的，嗯， o b 和 o c 相等一连，那就说明这个直线就是一个，嗯，构成了，这是一个等腰直角三 啊，所以这个这个角度数就是四十五度，而四十五度说明它的 k 值恰好是一，所以和这条直线它是平行线。既然是平行线的话，下面连接一下这个 bc， 如果是平行线啊，说明一个问题，平行线怎么样呢？可以进行等积变形， 就是当点 n 在 这个上移动的时候，三角形 b c n 的 面积是不变的，所以我可以平移到这个点的这个位置，它的面积也是不变的，是个定值啊。此时， 嗯，得的坐标呢，是零斗一，嗯，所以这条直线呢，就是他的长度啊，这条线的长度就四，而这个是宽，最高就是三，所以二分之一乘以四，再乘以三，面积就是六啊。所以 也就是说明这个 b o c 或者是 b n c 这个面积是不变的，总是六， 嗯，就 bnc 的 面积是不变，总是等于六。那要想求面积的最大值怎么办呢？那只需要求出 bcm 这个三角形的面积最大值来就可以，而 bcm 就 好求了。 bcm， 因为它是一个什么样的？是一个斜三角形，是吧？这个斜三角形我们见过很多次了，可以化写为直，用牵捶法就来就可以来处理。 哎，这个是 m n 吧，假设它是 m n， 然后呢，这个三角形的铅垂高，就是它水平宽是 b 的， 而 b 的 长度呢，是一个确定的数，是三， 嗯，所以铅垂高乘以水平宽，这个三角形的面积就等于二分之一 m n， 再乘以 o b 二分之三倍的 m n， 所以 下面我们来求一下这个 m n 它的最值。因为这两个点的坐标当中，横坐标一致，所以设横坐标， 设横坐标是 m 吧。啊，那 m 点的纵坐标就代入关系式即可啊，负 m 方， m 方减二， m 再减三， 而点 n 横坐标也是三，也是 m， 它的坐标 m 逗号直线 abc 的 关系式是 y 点 x 减三， m 减三 啊，所以铅垂高就是 m 减三，再减去 m 方减二， m 减三啊，也就是这个 m n 铅垂高的长度，去掉括号。 嗯，然后它的 m n 的 表达式就是这个 是一个关于 m 的 二次函数，可以求最大值，因为开口向下啊，配方一下就可以了。 嗯，负的 m 方减去三， m 配方加上四分之九啊，然后再紧接着减去四分之九，拿到括号里面来，就还是加四分之九。负的 m 减去二分之三的平方加四分之九 啊，这是 m n 的 最大值，就是四分之九。当 m 等于二分之三的时候， 水平宽是水平宽是三嘛，所以这个数乘以三，再除以二啊，所以它的最大值就是二分之一，乘以 m n 的 最大值就是四分之九啊，再乘以水平宽是三， 所以等于八分之二十七啊，所以也就是说，这个 bcm 这个三角形面积最大值就是八分之二十七，然后再加上蓝色的这个图形的面积啊，就这块， 嗯，算出来，刚才我们算出来答案是六，所以最终的面积最大值是六，加上八分之四十八，再加二十七， 百分之七十五啊，这样我们就求出了这个三角形面积的最大值。所以这个题目主要是什么呢？主要是我们发现这条线和这条线是平行的啊，因为这条直线 k 值是一啊， k 值一直都是一 啊。而下面这个 bcm 这个三角形可以牵垂的方法轻松解的 啊。而上面这个三角形，嗯，加在两条平行线之间，所以它的面积不变性啊，所以可可以把点 n 拖到点得处，求三角形得 bc， 我 在视频当中也是这样录的啊，当然你也可以把它拖到点 a， 求 abc 的 面积也可以，都可以啊。 好了，这样这个题目我们就分享到这里啊。
24济南数学潘林倩
06:17查看AI文稿AI文稿ok， 来看青岛二模的改卷。这套做的是非常的不好，这个题太难了，甚至我出现了空，直接空白呀。 这种是非常少见的。先看一下总体的难度，前面好像没什么印象啊。都一般，这里也很一般，但为什么用了十七分钟？我不知道，呵呵呵，就是思路比较简单，但预算量呢，比较大。 嗯，这边的话我确实没有办法啊，也不是特别会啊，我就蒙了个 a 了，而不是说啊，我就只能算出一个 a， 这个 b 选项我算出来只有七个，所以我就没选 c， d 里面呢。嗯，其实两个都选都没关系的啊， 我这边最终是选择了蒙到一个 c， 应该只会扣两分，然后都填空题。这个我确实是不太会啊。没有办法，我图都画不对，我画出来怎么也不可能是一个六十度十五十六没有什么问题吧。十六我看一下， 实际我差点写不出来啊。这个题是最耗时间的题目，应该是我的方法不是特别好啊，最后解出了 t 的 一个根号二也就那样吧。这个题体验非常差。 嗯，这边反而比较简单。是的，我们会发现我的十六题就用了二十三分钟，十七题只用了十四分钟就完整搞定了。然后这个十八题的话，这个十八题前两个问最后都是搞定了的。 是的，最终也是拼了老命把这个第二问好像搞定了，写完了第三问的话确实想不出来。容易想到的肯定是我们贪婪的二分之 x， 但可惜他定义域不对。那我就没有办法了啊。这边第二问也是。 就是就是说最后打算混分的，但混着混着发现呢，我好像已经挣出来了，所以这里也是搞定了的。那么整体难度真的是非常大啊，包括这边 啊，这个过程比较多，这边很难，这个也挺难，这个预算量大，这个不会 啊，对吧，所以难题特别多啊。这套试卷，嗯，接下来就直接改变。好的，我这个能不能上一百二呢？就是一个问题啊，应该是上不了了啊，空了太多题目了。好的， b a c b b a c b， 这边是 d b d b a d。 嗯，没问题。对，就是耗时比较多，但是都做对了。这里是 b c d b c d， 然后 abd abd， 答案是 abd。 哎，可惜了啊，蒙错了一个 啊，少他两分呢啊，非常的可惜，负六分，这边没问题，这边控制的，所以就负五分。嗯，基本上呢，上一百二都是一个问题啊。然后先算平均数，这个二十八 x 频率为四，得出的这个是零点五，这次就不需要估算啊，刚好合适。最后这里是七点三，这里算出个零点六二和零点零八作比较，然后没有问题，这里是 ok 的。 第十六题，第一个题，第一问得出 p 点二，没有问题， 接下来就是一通运算，最后呢，答案是根号二，记住，根号二。呃，问的是方程吗？我看题目，哎呀，问的真的是方程，完了完了，我得出 m， 等于二，没有写方程，所以这里还得再扣一分，哼哼， shift， 这里也是根号二。呃，四分之一肯定没问题的啊，我是 c e b 的 长度搞错了吗？哎呀，这这怎么回事？这个，哎呀哦，哎呀，这少根号二，哈哈。呃， 到这里就有十四分，所以这里只需要扣一分，对不对？答案已经写的很清楚了啊，镜头之外去了，到这里的话就得出那么大等于四分之一，这一步已经是有这个十四分了，所以后面只有一分扣一分，非常的合理啊，靠。 嗯，然后十八题，这里的第一问的结论是， k 派加十二分之派或者 k 派加十二分之五派。没问题，四分到手，这里分第一类， x 大 于等于零时。 嗯， g x 等于零是无解的，舍掉了。我是有解，但舍掉了。第二类就是 x 小 于负二十，我是小于等于负二十，这个端点值应该是不会出现什么问题的，我们看这个答案对不对吧，哎，过程太多了，最后是 a 等于 啊，答案是错的。好吧，哈哈哈，这也太难了吧，这个谁能搞定啊啊，对吧，反而这个他是这样子的，他这个才是压轴知道吧，第三问只有两分，哈哈哈。哎呦， 来来来，太晚了，我怎么没想到嘞，哎，足型给分吧。我们第一类写完了，到这里已经得了六分了，然后 x 小 于二十，判断第二大于零，所以，嗯，我这里最多应该是得一个八分，最多得八分啊，负九 十九题没有问题。这边的话，是的，我觉得我这证明是没问题的啊。 对啊，还要负十分，没了没了没了，非常差，这里就十九分，二十分，二十一分加十一分，二一加十一，三十二幺幺八分，我甚至觉得自己燃尽。 嗯，你说这里少了两份而已，这里两份失误，所以算在一起，所以刚好就是一百二左右，刚好就一百二。那么这个试卷我觉得难度就有点过大了啊，过大，用力过猛啊。青岛同学啊，非常不好的试卷。
138实验员来了
03:19查看AI文稿AI文稿今天天桥二模的试卷已经考完了，我们来看一下整体的难度。这套卷子呢，我感觉难度算是比较中规中矩，但是呢，他有些题目考的会比较新鲜，或者说平时见的不是很多，包括一模的试卷，给我也是这种感觉啊，就是题目不是特别的常规啊。 然后我们来看一下题目，九题难度比较适中啊。我记得当时天桥一模的第九题考了一个角平分线定律，好多同学就比较懵，没太想出来。这个题呢， 比这一模的难度要小了很多。第十题是一个比较常规的二函数与新定义结合的，这种题型去年考的还是比较多的，今年各个模考里边出现这个题，出现的频率就不是很高。 然后第十五题，这个题的难度我觉得要比这第十题大了不少啊。没有考比较常规的折叠问题，考了一个一线三垂直和构造相似啊，我觉得这个题不是很好做啊， 有就是后面的这个大题啊。二十三题，这个题呢，看起来考了一个新定义的题，叫被边矩形，他外面包的这个壳子特别厚，需要你能先搞清楚这个定义是什么， 有了定义之后去拆分这个被边矩形啊，我实际上是把它拆分成一个直角三角形，有了直角三角形以后，要考虑到跟直角三角形结合比较多的一线三垂直的结合，那我觉得这个题的整体难度来说要稍微的大一点点啊，他没有那么好得分。 我记得天桥一模的试卷，当时二十三题也是考了一个新定义的题，大家对于这种新定义题的做法都是会有一种天然的恐惧感，总觉得读不太懂题，所以这时候其实就是考验了大家的读题分析能力啊。实际上读完了题以后再去做未见得很难，但是很容易糊住一部分同学。 然后这次的第二十四题，整体来说难度不是很大，他的第三问问的比较新鲜，问什么时候这个三角形是一个锐角三角形，其实就是找一个临界状态，看他什么时候是直角三角形，所以他考的是一个直角三角形存在性的问题，如果能分析到这一点的话，剩下的部分就不是很难了。 然后这个题呢，跟二五年的历下三模的反比例函数那道题的第二问考的特别像，大家如果要是想再去练一下对应的这一道题目啊。 然后二十五题，这个题考的是一个十字架模型，正方形、矩形、平行四边形里边的十字架模型。第四问来说，整体的难度就非常大了，近几年在这个各个模考里边，十字架模型没有在大题里边出现过了哈。这个题应该得是 三四年以前的考试题，里边曾经有过类似的题目，但是近几年不太常见了。我记得天桥一模的这个几何压轴也考的 比较新鲜。安桥这两次模考的卷子怎么说呢？你说难吧，他确实有点难。然后问法呢，确实也比较新鲜，就是 感觉没有那么常规，可以在这些题目上多去拓展一下你的思路。哎，中考说不定考到的就是一些比较偏的，这种知识点也不好说，所以大家可以做一做，去拓展一下，看看哪些题型是你没有见过的， 大家也可以做一做，去感受一下这些不同的问法，遇到的时候该怎么去解决。但是呢，也会有一个问题，我总觉得这种题可能会让一些有实力的孩子考不出来特别好的分数，不知道咱们天桥区的同学和家长对这套卷子的感觉怎么样？欢迎在评论区里大家探讨一下呀！
125秋解数学 济南初中
