必修二立体几何补形法
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02:24查看AI文稿AI文稿以前咱们讲个简单几何体的体积，直接用公式就搞定，要是遇到复杂点的呢，可以试试。割补法，求体积。如图是一个直角题型，以他的下笔为轴旋转一周所得到的几何体体积是多少呢？ 要求这个几何体的体积，咱得知道他是啥样的，把这个梯形以下笔为轴旋转一周，发现没？他有一个圆柱和一个圆锥组成，要算整个的体积，得用圆柱体积加上圆锥体积。 先求圆柱体积等于底面积乘高，也就是派乘三的平方，再乘上四，结果得三十六派， 再求圆锥体积，底面积也是派乘三的平方，高是这一段，也就是五减四得一，所以体积等于三分之一乘底面积乘高得三派，那整个的体积就等于三十六派，加三派得三十九派，搞定。像这样 要求这种类型的几合体的体积，你可以把它分割成简单几合体，分别求出体积，最后加起来就行。 刚才用的是分割法，不过对于有的几何题，分割就行不通了。比如这个正方体，棱长为六， pq 为二，那三人锥 pqbd 的体积是多少呢？来看看图。棱长为六， pq 长是二，要求到是三人锥 pqbd 的体积， 显然分割法用不上，那可以试试补上一块就补成了三人锥 p、 b、 c、 d。 要求的六块体积就等于大三人锥 p、 b、 c、 d。 的体积减去补上的这一块 q、 b、 c、 d 的体积， 先求大三人锥的体积，底面是三角形， b、 c、 d 面积为六乘六除以二得十八，高是 p、 c。 长度不知道就先写着那体积就等于三分之一乘十八乘 b、 c， 再求 q、 b、 c、 d 的体积，底面也是三角形 b、 c、 d， 所以底面积也是十八，高是 q c 写过来，那体积就等于三分之一乘十八乘 q、 c， 他俩相减，把三分之一乘十八提取出来，括号里是 p c 减 q c， 发现没 p c 减去 q c 不就是 p q 吗？也就是二， 所以结果就是十二，这就是三人锥 p、 q、 b、 d 的体积了。看来对于这类无法分割的几何体，你还可以先给他补上一块，然后用整体减去补上的这块就行。 好了，以上就是科普法求体积的全部内容，对于这些不能直接用公式的几何体，你可以分割成简单几何体来算，分割不了的还可以先补再减。怎么样，你学会了吗？如果会了，就速速刷题去吧！
67初高中数理化老师
01:32查看AI文稿AI文稿一个神奇的现象，每年高考语文考完的时候，大家讨论的更多的是这个作文考的是什么，而数学考完，大家讨论的是数学难不难，很多同学遇到自己认为的难题的时候呢，就会去蒙去猜，其实数学你要把它学会，不是说简单的学几个操作步骤，而是学会它的一个基本原理。 你比如说这个洁面的原理，无非就是那几个公里和推论不贡献的三点，确定一个平面，那么如果两个点在平面内，那么两个点所在的直线也在平面内，直线和直线歪一点，确定一个平面，两条平行直线，确定一个平面， 两条相交直线去那个平面，其实他们才是解决这种不洁面问题的根本原理。我们举个例子， efg 分别是正方体棱的终点，那么 efg 这个平面去截着正方体得到的洁面，要把这个图做出来。第一呢，我们延长直 直线，找到棱的焦点，也就是延长 fe 会跟我们的 aeb 这条棱所在直线交易点，焦点是 h， 那么 h 和这连线并延长这条线呢？应该是在前面那个面锁在平面上， 那么这一点和这个爱点都是棱上的点，那么这两点连线呢？就是洁面的一个边了，过爱点 去做 ef 的平行线，产生了一个 ij 这条线，同理我们过这去做 ge 的平行线，最后我们连接 kf， 形成了一个封闭的图形，这个图形就是截面，学会原理，你的解题才能真正的畅通无阻。
1.7万河北石家庄高中数学刘老师
03:19查看AI文稿AI文稿大家好，我是刘老师。今天我们来看一下立体几何中涉及到外接球有两种非常特殊的情形，他可以用补行法来简化计算。我们任何一种方法你都要清楚的知道他的使用前提。那第一种情况就是当一个三棱锥当中，注意原条件是三棱锥 有三条侧棱，两两垂直的情况下，我们就可以采取补行法来处理他的相关外接球的问题。球半径呀，或者说确定他的球心位置都可以利用补行法。那么他具体补成一个什么东西呢？是补成了一个长方体。 在这个图长方体当中，我们可以说你把这几个点我已经标注出来的这几个点连起来之后，就可以看得出原本那个三棱锥 d abc 他放到这个长方体当中之后是一个 怎么样的相对位置。也就是说我们在圆三棱锥当中，你是把 a 点作为长方体的一个顶点，然后这样去建立了一个长方体出来。 这个长方体的外接球和咱们三棱锥的外接球是同一个球，原因就是 abcd 四个点全部都在这个球的表面上。那么这样的一个长方体去处理他的外接球问题怎么处理呢？很简单，就是他的对角线的 中心体，对角线的中心就是他外接球的球心，而长度的话自然也就非常好球了。 abc 我们 我们可以体对角线的长度是根号下 a 方加 b 方加上 c 方，这是他体对角线的长度对不对？那么他是等于二倍的 r， 就可以算出这个 r 了。 那么第二种情形是什么呢？第二种情形就是当一个三棱锥当中出现了三组对棱长分别相等，什么意思呢？就是说在这个三棱锥当中， ab 的长度和 dc 的长度相等， db 的长度 和 ac 的长度相等，以及 bc 长和 ad 长相等。那如果说这个数据不是很特殊的情况下，如果 你还利用传统的外接球问题的，你利用核心的那个知识点来解决他，很有可能这种情况下计算量会比较大。所以我们采取补行法，是比较科学，比较推荐的做法。他也是补成一个长方体。那 就见右边这个图，我已经把内部的这个 abbc 等就是这个三棱锥，我已经给大家画出来。 从这个图当中能不能看出来 ab 和 dc 是长度相等的，也就是说他完美的契合了咱们原本三棱锥当中三组对等长分别相等这个条件。同时呢，又可以保证咱们这个三棱锥的外接球和我补成的这个大的长方体的外接球是同一个球， 从而就可以进行一个计算上面的简化。那同样的，如果你知道这三条长度分别是 abc， 那我们可以通过这个构造方程组，你比如说我设这是 x， 这是 y， 这是 g， 可以求出 x 科四方加 y 方加 g 方来。同样的，我们也可以求出他就等于二 r 的平方。 ok， 两种特殊的方法，你听懂了吗？
65刘晶讲数学
24:00查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二，第八张立体几何初步八点五点三，平面与平面的平行来到了我们的平行的第三个，对吧？面面平行，好，我们来看一下。首先同样的第一道立体，如图，我们会看到 直线 l 和直线 m， 它们都平行于平面贝塔，而 l 和 m 呢，是属于这个平面阿法的，而 l 和 m 呢，它相交于一个点 a， 这两条直线它是相交的关系，然后呢，去证明平面阿法平行于平面贝塔。 同样的，我们上节课开头的时候就跟大家讲了，我们说平行，对吧？我们第一次接触平面与平面平行的这个概念，但是只要是平行，它的核心就是什么没有焦点， 那么没有焦点正无的问题，我们用反正法假设它不平行，那么我们尝试一下，会得到什么样的结论呢？我的平面阿法跟平面贝塔不平行的啊，比方说平面阿法这样子啊， 那么我们就会知道哈，阿法和贝塔它会相交，假设这条交线为 n， 那 么我们上节课的线面平行，告诉我们什么东西啊？ 这条直线幺，它位于阿法上面，而直线 n 呢，位于贝塔上面，是它们两个平面的交线，对吧？那这个时候呢，由这三个条件我们就能得到什么过 平行于平面的这条直线的这个平面和这个的交线跟这个平面，是啊，跟这条线是平行的关系，是吧？跟这条直线是平行的关系，所以呢，我们通过这样子的方式呢，就能得到这条直线幺和 n 是 平行的，那么后面呢，我们同理 m 和 n 也是可以证明平行的，同样的，相同的道理，我们过 m 的 这个平面和贝塔相交，那么这两条线也都是平行的，那根据平行线的传递性，那么就会有 l 平行于 m， 对 吧？那么 l 就 会跟 m 平行， 那 l 跟 m 平行，很明显就跟这个条件，就是它们是一个相交的直线，是矛盾的， 是矛盾的，所以与这个矛盾，所以假设不成立。所以呢，这里五个条件，这个就是我们面面平行的判定定律。如果一个平面内的两条相交的直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行符号表达语言表达如下， 来试一下，我们看一下，如果一个平面内，那现在这个平面是谁？阿法，那两条相交的直线谁啊？幺和 m， 那 么 ok， 这个是阿法上的两条直线，那幺包含于阿法， m 包含于 阿法，好与啊相交直线。第三个条件啊， a o 和 a， m 呢？是相交的，相交于谁啊？点 a 与另外一个平面平行，谁跟谁平行啊？直线，两条直线分别，所以 a o 呢，也平行于贝塔， m 呢也平行于贝塔，哈，把它写出来。所以这个地方有多少个条件来证明出这个面面平行？五个条件哈，所以有五个条件证明出来，判定出两个平面是平行的关系。那么这个地方呢，给一个应用实力，继续我们的木工师傅， 木工师傅呢？把水平仪，首先这个水平仪啊，他只能去证明一个方向上他是水平的，那么怎怎么证明这个桌面上他是水平的呢？他往一个方向坐， 另外一个方向也做，哎，不重要，具体什么方向不重要，关键是他们不能是平行的，他们得是相交的，对吧？他们相交的，那么只要是相交的方向不同的，两个不同的角度，那么两个都平行，那么就说明整个桌面他就是水平的，这个是一个，也是一个非常日常的常规的应用。 ok， 然后呢，我们来看一下课本的一道例题，如图，已知正方体，然后呢，求证这两个平面平行，那么我们会知道呢，我们要去证明两条直线跟某一个平面，嗯，比方说我们找其中的一个吧，比方说我们去证明 绿色的这个平面上面有两条直线，我们来看一下，比方说 dc 一 撇，因为都行哈，三条线都很好证明，比方说 dc 一 撇， 我们很容易能想到他跟谁平行，他跟 a b 一 撇平行，对吧？我们通过证明这个东西，那这个东西又怎么证明的呀？我们通过什么呀？ b 撇 c 撇 b 撇 c 撇， 跟 a、 d 跟 a、 d 干嘛？平行且相等，对吧？能够证明出来平行四边形， b 撇 c 撇 d、 a， 是 吧？那么根据平行四边形，我们再来证明出这个东西，证明出了，然后呢，通过三个条件结合另外两个条件，对吧？然后就能推出我们的这个什么 d、 c 一 撇是平行于这个平面， a、 d 撇 b 撇的，那么走两次这样的方式啊，这里是我们证明了 d、 c 一 撇，大家也可以去证明 b、 c 一 撇 去平行于这个平面， b、 c、 b 撇这条边就跟谁啊？跟我们的 a、 d 一 撇， b、 d 呢？跟我们的 b、 d 一 撇啊，是吧？通过线线平行，通过线线平行，你看我们的思路哈，线线平行来证明出我们的什么线面平行， 再通过我们的线面平行进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们的线面平行，进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们后续所学的这个 啊，那个线面垂直，面面垂直接新的概念，它其实最核心最基础的都是，首先回归到我们最熟悉的线线垂直和线线平行，它都是一个基础，它都是一个基础，从从一个到第二个到第三个，你们发现这样的规律，所以我们来看一下， 在正方体当中，我们这个地方用了什么呢？首先我们第一条用的是 a、 b、 a、 b 平行于 c、 d 啊，我们用的是 a、 b、 c 撇 d 撇的这个，我们去证明这个是一个平行四边形，进一步呢，我们证明出 这两条边是平行的，那么又因为啊，我们走程序，对吧？我们又因为一个条件，两个条件， 三个条件啊，我们千叮嘱万叮嘱的这三个条件，五个条件，那一定一个都不能漏，对吧？又因为这里集合集齐了三个条件，然后接着呢，我们才能证明 a、 d 撇平行于这个平面，对吧？啊？然后接着呢，我们有了这个 东西之后呢，我们再正下一条边啊，同理，因为它的逻辑是相同的，同理我们可以证明这一个平行于这个。看在这个答案当中，就反过来，我们在红色的里面找找两条线啊，去跟绿色的这个面平行啊，都是一样，对吧？找了这条边和这条边 跟它平行，然后最后呢再加三个条件，你看右音，你看一个条件，两个条件，是吧？然后呢，这里可以是三四个条件， 因为逗号隔开了两个表并列，逗号表并列，然后呢，相当于说 a d 一 撇属于啊，那个包含于这个平面， b 撇 c 呃， d 撇呢，也包含于这个平面，然后呢，所以这里算两个条件。这个地方五 同学们考试呢，就最好不要这么写啊，考试最好不要这么写好不好？然后呢，这个地方可以分开来写，两个条件会清晰一点，一二三四五个条件，所以我们证明出两个平面是平行的关系，严格的去按照这种严谨的逻辑思路去进行证明，然后我们来看它的性质， 面面平行之后，他有什么样的性质呢？第一个呢，就是跟直线平行的传递性是一样的，平面平行也有传递性质，对吧？就是说如果阿法平行于贝塔，而伽马又平行于贝塔，那么他可以传递过去，阿法就会平行于伽马。好，除了传递性呢，我们还有另外两个性质， 性质，一两个平面平行还在这个地方，阿法平行于贝塔，如果一条直线在其中的一个平面上啊，这里画出了一条直线幺，他在这个平面阿法上，那么该直线与另外一个平面平行， 这一条直线就会平行于另外那个平面啊，对吧？我们会得到这样子的一个结论，这个其实也很好证明， 因为直线幺我们说平面是没有交点的，那当然我们的 alpha 和贝塔都没有交点的，而这个直线幺是在 alpha 上面的，它当然是没有交点的，对吧？所以呢，这个是很好去理解的一个点。 那么第二个性质呢，就是如果两平面平行，同样的 alpha 平行于贝塔，那么分别属于两个平面的两条直线必然没有交点，对吧？我们会知道，因为 分别分别属于两个平面的两条直线 l 和 m， 它一定没有交点，因为它是分别属于两个平面，两个平面平行，它没有交点，对吧？那么没有交点，我们说有两种情况，是不是 要么平行像这种情况，要么就是像这种情况是意面的，对吧？它一没有交点，其实有两种情况， 那么当直线平行的时候呢？我们说如果一面直线不能确定一个平面，但是如果两条平行的直线能够唯一的确定一个不与该两平面平行的平面，没问题吧？伽马。那么所以呢，我们就猜想如下的结论，什么结论呢？两个平面平行啊，阿法平行于贝塔， 如果另外一个平面就是伽马，就是另外一个平面与这两个平面都相交啊，伽马交阿法会等于 l， 伽马交上悲惨会等于 m， 那 么这两条交线就会平行，那么三个条件就能推出 l 平行于 m， 理解它，然后说出来，对吧？这个符号语言，那么这个时候呢，我们去证明一下这个结论。我们来看一下 两个平面平行，如果它相交，那么两条交线平行，我们来看这个就比较简单了，因为我们直接我们都不用反证法了，因为我们说两 个平面平行没有交点，而分属于两个平面的两条线一定没有交点，而如果他们是在同一个平面上的，没有交点就没有交点，他分两种情况嘛？第一种情况就是不属同一个平面，那么就是异面，对吧？ 那么属于同一个平面，又没有交点，那么就是平行，那么他都说有第三个平面跟他们相交，那么就说明 l 和 m 是 干嘛？是共面的， 就相当于说共面的没有交点的这个直线直接我们顺着推，我们就能推得出来，他们两个相交一定是没有交点的共面啊，因为他们没有交点， 且你看我们有没有说专门给我们的两直线平行说这个符号语言呢？没有吧？没有说 l 和 a m 平行，是 l 和 a m 相交等于空，然后呢？干嘛？ 然后呢？就是他们两个不属于，呃呃，要属于同一个平面，有没有？ l， 呃，那个和 am 它都属于同一个平面，对吧？这里其实是三个，三个条件，对吧？三个条件推一个。我们有没有在当时直线与直线的八点五点一单独说这个东西？没有，所以说我们的这个东西是整理不进的。这个就再一次提醒同学们不要去背， 不要去背啊，像我们说要锻炼自己的符号语言的这种表达能力，对吧？我们想到什么就说什么就可以了。所以这两个条件说明了他们相交，且他们没有交点，且在同一个平面内，所以他是什么？所以他是平行的。好，这个就是我们的性质。二，刚才有三个性质，对吧？第一个 平面的平行是可以具备传递性的啊，好吧？比如说我们的一楼的天花跟二楼的天花和五楼的天花，对吧？一楼的天花平行于二楼的天花，二楼的天花平行于五楼的天花，那么就传递性，对吧？一层一层的楼板， 同样的道理啊，对吧？然后呢，另外的两个性质啊，第一个性质就是我们啊这个，然后还有刚才的那个性质一和性质二，好吧，这两个归类一下有多少个性质？ 然后呢，我们继续来完善这个思维导图。我们上节课呢就说，哎，我们第一节课八点五点一线线平行，八点五点二线面平行，我们这节课呢讲的是面面平行，对吧？面面平行呢？平面与平面没有交点，好吧， 那么我们通过什么样去证明面面平行呢？通过线线平行，对吧？你们发现我们都是从哪里啊？你看线面平行怎么判定线线平行啊？平行线者不用讲。然后呢，线线平行去判定面面平行，所有的基点都是来源于线线平行， 为什么在每一句结论的时候呢，都给大家一个这样子的一个标题啊，对吧？那么他呢？有两个结论，我们不说那个传递性哈， 第一个呢，就是两个平面平行，如果另外一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行，所以呢，他的第一个性质是推出谁啊？我们先看清楚他推出了线线平行，第二个推出了什么？两个平面平行，如果一条直线在其中一个平面上，那么该直线与另外一个平面平行，他推出了一个线面平行， 然后我们来看一下他的关系，线面平行是不是能推断出什么呀？看到没有，我们如果想要推断线面平行，当大家的脑袋永远都想着啊，线面平行，我要证明啊，什么东西？这根这条直线跟平面上的一条直线平行，那他不一定在现实的条件当中他好去证，那么我们就会有另外的一条道路， 是吧？有另外的一条道路，大家能理解吗？这个就是整理的原因啊，这个是面面平行的关，同样的，谢谢。平行哎，这个也是证明平行线的一种方式，所以我们会看到一个点哈，比方说这道题目，我们来看一下 正方形 a， b c d， a b c， d 是 个正方形和正方形 a b e f a b e f 侧面的也是个正方形，所在的平面呢？相交于 ab， 那么在 a e， b， d 当上面呢？会有一点 p 和有一点 q， 是 吧？两点且 a p 等于 d q。 同学们先好好想一下这道题目哈，去求证 b q 呢？平行于里面的这个 b， e， c， 我们想一下，然后停下来想一下，我们来思考一下，我们想到线面平行，我们说什么？我们去证明什么？通常来说它的最核心，最简单、最基础的一个判定定律就是这条直线平行于上边的一条直线，对吧？ 那么这条直线它不好找，大家会发现大家会发现它不好找啊，那么这个情况下，我们就说我们怎么样去证明呢？我们怎么样去证明呢？同学们先看一下这个方向有没有办法能够找到， 那没有办法找到的话，我们是不是叫思考有没有可能是另外一条路径，这条路径，这条路径就是我们干嘛呢？我们先证明一个平面平行， 对吧？我们来看一下这个路径，先从面面平行一直证明正到他的一个先面平行，那么这个路径我们看一下怎么找找哈。首先他过点 p 做 pm 平行于 e b 啊，我做一个这样的平行过来的，然后呢，连接 m a m q， 哈，连接 m q 这个表述同学们一定要说清楚，千万千万不要说我做一个 p m 平行于 e b， 然后做一个 q m 平行于什么 b c 啊？这是不对的哈，你怎么知道做了两个平行线，它会相交于一点呢？所以不能这么讲啊，我是做了一条平行线，当然也可以从 q m 做过来，然后连接啊，对吧？我们这个地方只是做连接，所以要搞清楚，在我们的设定当中， p m 是 平行于这个 e b 的， 但是 m q 没有说平行于 bc， 哈，我们要看清楚这个点，然后呢，连接完之后呢，我们很容易证明说什么我们的 a e 等于 d b， 这个就不用说了吧，一个相同边长的正方形的对角线相等，就 a e 和 d b 相等，这个不用讲了吧？那这个时候呢，我们会有什么样的结论呢？首先第一个 a p m 的 三角形，因为它是平行于底边的，会和这个三角形 a e b， 它是干嘛相似的？那么它们相似呢？当然我们就能得到三边成比例，对吧？ 那么我们究竟要干一件什么样的事情呢？我们想，如果我们也能证明这个 m q 平行于 a d a d 平行于 b c， 那 么我们这个两个平面的平行问题就能得正了。 那这个时候，如果他们是，哎，像我说的，用题目嘛，用结论来推过程，对吧？这个不是搞科研题目，用结论可以推过程，因为他们这两个平面一定是平行的，那么所以这个平行于这个也一定会平行于 m q， 那 么所以我们会知道什么？ 我们用这个 d p 等于 d q 来做一个媒界看一下哈。我们首先 am 比上 ab 等于 ap 比上 a e， 这一部分是我们的相似三角形的结论，对吧？而后面的一部分呢，就不是哈，我们要看清楚这个式子啊，这一个部分呢，好， 我的 part 一， 这个是 part two， 那 么第二个部分呢？这个部分呢，是 a p 比上 a e 会等于 d q 比上 d b， 这是题目给的条件。首先 a p 等于 d q， 所以 这个等于这个 a e 和 d b 的 a e 和 d b， 刚才我们说了，它是正方形的， 呃，相等边长的正方形的一个对角线，它们相等，所以这个会等于这个，所以我们以这个作为一个什么？作为一个媒界， 以这个作为媒界，调节起了这两个的比值，那么有了这两个的比值呢，我们就会知道什么东西呢，就会知道它们是 相似的，就是我们的 b m q 和 b a d 两个三角形是相似的，再加上它们有一个公共的一个角嘛，对吧？那这个时候呢，我们就能证明了， m q 平行于 a d 又平行于 bc， 那 这个时候是不是就是，哎，五个条件，对吧？五个条件， p m 又平行于，呃，下面啊，我们要，还要，还得先证明啊，线面啊。对，我们还得先证明线面啊。又，因为 m q 呢，不属于不，不包含于这个面 b e c b e c 底面，而 b c 呢，是底面 b e c 上面的一条线，所以三个条件哈，这个地方一个条件， 两个条件，三个条件，所以 m q 平行于底面。同样的，我们相同的推理过程，是不是就能干嘛就能同理了？同学们一定要去多使用这样的，不然到时候呢，我们做题的时候就要写很多很多，对吧？因为它们的相同步骤，我们就没必要再写一次了，对吧？啊？同理， 异正 p m 又平行于这个底面，那这个时候呢？一个条件，两个条件，我们是不是又因三个条件，一个两条件，两个条件，三个条件，一二三总共五个条件，它们两个属于包含于这个平面，然后呢相交，对吧？于点 m 啊，一共三个条件，一共五个条件， 然后呢去证明出两个面平行，然后我们知道 p q 是 这个面上的其中的一条线， 所以 p q 看到没有？如果同学们没有刚才我们做的这个什么东西啊？那个思维导图，同学们就会出现一个问题，就是疯狂的在没有这个的时候，疯狂的在底面找一条线，会找得很辛苦 啊，会找得很辛苦，而这条线呢，它会变，关键是这条线它是会变，它不是一个固定的线。有没有发现，你比方说我的 q 在 这个位置对下来，我先不管，大大概是这样子的吧， 那我的 q 如果在这个位置，因为他给了 a p 等于 d q 嘛，他有可能长这个样子， q 有 可能在这里啊， d q 比较长呢， a p 也会比较长，那这此时对下来是这样子的， 那么我们当然就会发现，这两条线是不是是不一样的两条线，因为 b p q 也在变，这个的角度也在变，我们是很难证明的，除非我们要用动线啊，这个现在来说应该是解决不了的这个问题， 对吧？那所以呢，我们怎么办呢？这个东西我们就通过另外的一条路径，先证明他过这条线的其中一个平面，那这个就是我们刚才的思维导图， 当我们在大脑当中的时候，我们就会在这个图里面去搜寻有什么样的方法，我们想到有没有可能先证明一个平面平行于另外一个平面，不然你们就会干想没有其他的办法，所以呢，这个就是我们大脑当中要有一个清晰的思维导图的重要性。好， 接着我们来看一下例五，继续是课本的一道例题，夹在两个平行平面之间的平行线段哈，这两个平行线段阿法和贝塔呢，是平行的 两条直线呢，它是平行的，那么夹在中间的这个线段 a、 b 和 c、 d， 我 们要证明它相等，我相信这个应该也不难想到吧，很容易能够想到，它们连起来呢，这个是一个平行四边形，那么它的对边就会相等， 那么现在呢，我们来看一下怎么证明。首先 a、 b 平行于 c、 d 是 题目给的条件啊，已经有一个了，那么我们能不能证明 a、 c 也平行于 b、 d 啊？这个也很简单吧，最基础的我们的一个平面平面， a、 b、 d、 c 啊，这个平面是吧？那这个平面它会哎，首先我们要确定它是一个平面，对吧？为什么它是一个平面？因为 a、 b 平行于 c、 d， 所以 两条平行线唯一确定一个平面，所以这个是一个什么？这是一个平面。 我们如果要严谨的去证明，要先说明一下这件事啊，它是一个平面，不然 a、 b、 c、 d， 它不一定是一个平面啊，如果严谨的证明，那么这个平面跟两个平面阿法和贝塔相交于线， a、 c 和 b、 d， 它就会干嘛？ 就会平行，那么我们就会得到两组对边平行，就能证明到 a、 b、 d、 c 是 一个平行四边形，进而就能证明，所以这个不难证明哈，来看一下， 这个并不是很难证明，通过证明平行四边形，好吧，好，那么这个呢，就是我们的下一个结论。面面平行之间的线段长度，我们会知道它们是相等的。阿法，如果两个平面呢，是平行的，而 a、 c 在 阿法上面， b、 d 在 贝塔上面， 那么此时我们就能这两个条件说明它是一个线段，说明这个和这个是一个夹在中间的线段，而此时 ab 平行于 cd 啊，四个条件，我们就能说明夹在两个平行平面来看，两个平行平面 夹在线段是这两个平行线，这个四个条件我们就能推断出 a、 b 等于 c、 d， 对 吧？这个就是我们的这个性质新增的一个性质来看。第六，如图，已知 e、 f 是 正方体的棱的中点， e、 f 是终点，求证这个 b、 e、 d 撇 f 是 平行四边形啊，对吧？我们来看一下，那这个呢，我们可以怎么去证呢？我们可以啊，通过通过这个，比如说这个拉过来， 这个平行于这个且相等，对吧？相等长度就很好说明了，这个勾股定律就能证明了，是吧？ 平行我们要证明什么？拉过来之后，这个跟这个平行且向下且相等，我们就能证明这个打斜的 e、 b、 c， 比方说这是 m， 这是一个平行四边形，那么我们就能证明这个和这个平行且相等，进而这个 m、 c 和 d、 p、 f 平行且相等啊，这个不难证吧？所以我们这样子取这个中点 g， 然后我们这样连接， 然后证明 e、 g、 c、 b 是 个平行四边形，然后呢我们就能证明平行的传递性， 而且呢这个长度相等，对吧？我就简化了，因为这个很简单，考试也不会出这么简单的，我们就捋清一下思路，所以它是平行四边形。好，这个地方呢，同学们可能就想， 不用这么复杂，对吧？我直接干嘛？我直接这个平面 e、 b、 f、 d， 他 跟我们的左右两边和前后两边的两个平面相交，那么这个对边平行，这个平行不就得了吗？所以这里呢，就给同学们一个经典的一个错解， 也是刚才我们一直在提的一个点，我们在做任何一道空间题目，如果有四个点，务必要确定他是否共面。 像在这道题目当中，你如果用这样的方法，那有一个前提，你得先证明 e、 b、 f、 d 撇这四个点是共面的。我们题目的条件有说这个东西吗？没有说这个东西，你得先证明它是共面的，然后接着走这套流程， 那这个才是正确的。同学们一定要在以后做所有的空间几何的题目当中，都要注重注意 四点，他是否共灭的问题啊，是否共灭的一个问题，这个很重要哈，这个是非常的关键。好吧，那这个呢，就是我们的这节课的内容。好，我们下节课再见，同学们，拜拜。
317肖数说
08:29查看AI文稿AI文稿高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！
750老胡模型数学思维提升
09:31查看AI文稿AI文稿高中一体几何外接球，百分之九十同学都丢分，不会找球心，不会算半径，做题全靠蒙！外接球八大必考模型，一次性讲透所有题型全覆盖，套路固定，方法通用，学完直接秒杀所有外接球真题。那这八大模型的这个特征及公式我们已经给大家整理好了，大家可以截屏保存。 接下来我们来一一去讲解这八个模型的一个题型，还有它的一个知识，我们用很快的时间让大家把这八个模型都能掌握好。首先我们来先看一下第一个也就是我们的墙角模型， 这种模型的话，它的特征主要是三条棱，是两两互相垂直的，那如果遇到这样的形式的话，那他就是一个三棱锥，这样的三棱锥其实它可以还原成一个长方形， 那它这个三棱锥的锁定的外接球就跟我们长方形的外接球是一模一样的，而长方形外接球它就是它体对角线的一半， 也就是 a 方加 b 方，再加 c 方开根号再除以二就可以了。好，所以我们将来遇到这样的一个两两互相垂直的这样一个三棱锥，那我们就可以直接还原成长方形。当然我们还有一个别闹模型， 其实跟这也是一样的，它四个面都是直角三角形的时候，它也是能直接还原成长方形，公式跟这是一模一样的。那接下来我们来看一下 v 的 这道题目， 首先来看一下题目条件，底面 a、 b、 c 是 一个直角三角形，然后 ab 是 斜边，那求 c 角就是直角，然后 s、 c 是 跟底面垂直的， s、 c 等于三。然后他现在问我们的外接球的表面积，其实就是我们要求半径了，对吧？把半径求出来就可以， 怎样算呢？首先来看一下它是不是三条边，哎，两两互相垂直，那就 a 方加 b 方加 c 方，开根号除二就可以了。那我们这个题已经告诉你，斜边了，相当于底下的 a 方加 b 方已经是四了， c 方是不是九，那就是四，那个十六加九 是吧？十六加九就等于我们的二十五，然后再开根号，它的半径就是五，我们就算出来了二分之五，是吧？然后算完以后，我们直接带我们的表面公式，也就是我们的四派 r 方 就可以四乘以我们的派，然后再乘以我们的四分四分之二十五度，答案是二十五派， 这道题目就结束了，所以大家只要能识别清楚啊，如果题干中出现了这个三条，嗯啊，互相垂直，或者是我们的四个面都是我们的直角，三角形也叫边角模型，都是可以直接还原成长方形，对定它的一个体对角线的长度就可以，在这个公式就完了。 好，接下来看一下我们的模型二，也就是我们的对棱相等模型，它其实也是一个还原成长方形的，它的特点就是它的三条对棱是分别相等的，那这种情况的话，它相当于是我们的六个面的对角线，对吧？你两两相等以后，那刚好是能还原成一个长方体的， 所以今后遇到三棱啊，三组对棱啊，分别相等，那直接可以还原成长方题了。但它题干一般会告诉的就是我们的这三组对棱的长度，也就是我们所标的 x、 y 和 z 的 一个长度。那其实我们的 x 是 不可以写成 a 方加 c 方？ y 是 不是可以写成我们的 a 方？呃 y 可以 写成我们的 b 方加 c 方，然后我们的这个呃 z 的 话，就可以写成 a 方加 b 方，那相当于它们全部加平方以后，相当于是我们的 x 方是不是等于 a 方 加 c 方， y 方等于我们的 b 方加 c 方， z 方是等于我们的 a 方加 b 方。 那你现在要求的是 a 方加 b 方加 c 方，对吧？那其实就是把这个式子全部，这三个式子全部一加，然后我们除以二，从而就相当于得到我们的一。加的话，右边是二倍的 a 方加二倍的 b 方加二倍 c 方嘛。所以 a 方加 b 方 加 c 方，它其实就是等于我们的 x 方加 y 方，再加上 z 方除以二就行了。 那你要的就是根号下 a 方加 b 方再除以二吗？那就相当于直接给这个整体开根号，除个二就行了。好吧，这就是我们的公式的一个凝练。所以我们遇到题目中，题干中只要告诉你三条均相等，那直接就这个模型了，直接就还原成长方题就可以了。那我们来看一下例二的这道题目，题干中给的是 p a 等于 p， b 等于 b， c， 然后 p b 等于 a c， p c 等于 ab， 就 不用画图，这是不是两两相等了？那这直接就对等，相等的图形，它就刚好是它三组，呃，这三个数值刚好就是它三组，这个边嘛，三组棱嘛，那就相当于直接就是 x 方、 y 方、 z 方，就分别就是 x 方加 y 方加 z 方，我给它除以二，再直接开根号，再开根号就是我们的，再除以二就是我们的半径了。那我们把数值带进来，那你的 x 方是三， 加上 y 方四，然后再加上我们的 z 方是五，除以二，上面是六，除上面六，再除以二就是二分之根六。 既然你二分之六的话，那你体积出来 v 就 等于我们的三分之四 pi 二立方，然后把我们的数值一带，就是我们的二分之根六的平方， 最后一展开一算，就可以做，答案是我们的根六 pi， 所以 这道题目就说到这，所以你将来遇到的就是我们的三三组对能相等，那就直接带这样的公式，对吧？把它记清楚。 呃，你要记好他题中给的棱并不是我们的长方体的长宽高，你要的长宽高就倒一下就行了，对吧？他们是有一个二 b 的 关系的。 ok， 好， 接下来看一下这个模型三，也就是我们的斗笠模型，那这种它的特点就是上面这个顶点，它是会落在底面的这个多边形，或者是我们的一个三角形的外心上面就可以了， 那相当于是我们的正三棱锥，正棱锥啊，或者是我们的圆锥其实都可以的。好，它的特点上你要求半径啊，求求的半径，那圆 o 在 球心在这，那我们把半径在这，这也是半径。 这个我们把这个 a o 一 啊，我们一般标成小 r， 就是 底面圆的底面外径圆的半径，然后我们的总 h 就是 高度，也就是 p o 一 就是 h 嘛， 这种 o o 撇不就是 h 减 r 吗？是不是？然后通过勾股定律就能列出这样的一个关系式，也就是 h 减 r 的 平方加上 r 方等于我们的 r 方，对吧？这个大家要注意清楚，主要还是列出一个 r 的 一个关系式，解出 r 就 可以。接下来看一下我们的例八的这道题目。 题中告诉了某圆锥的轴结面是为一个正三正三角形，侧面是八派。 然后我们问你，这个圆锥内接于球 o， 那 相当于这个球就是他的外接球了，是吧？问你球的这个球的表面不是表面积，那我们先来看轴结面，竟然是个等边三角形，那就说明啊，底面的这个圆锥的 直径跟我们的母线它俩是相等的，也就能得到 l 是 等于二 r 的。 题目中还告诉你了测面积等于八派，测面积公式，派 r l 是 不是等于八派， 那就相当于 l 乘 r 就 等于我们的四，那一个是等于二倍，那直接换代入对吧？相当于我们的二 r 方等于我们的 这个二等于八。对，刚才这等于八，然后 r 乘 r 的 l 乘 r 等于八，那现在二 r 方等于八， r 方是不是就等于我们的 四了？那 r 我 们就求出来是二，但没有完吗？那我们就直接在公式啊，可以我们直接算，但是我们现在前提是不要把我们的要要求的都要算完的。现在已经把这个半径咱是知道的，这是二， 里面半径是二，然后这个大半截我们要算的高，能算出来不？母线是不就是四吗？就这种长度 p a 是 四，那我们的这个高不就是二倍根三吗？ 现在小 h 就是 二倍根三，就出来勾股定律吗？那很快我们就能列出勾股定律，对吧？现在 h 减二，也就二倍的根三，减去我们的 r 的 平方， 再加上我们的四，也就是小二平方是四，等于我们的大二方，这个我们进一步算完以后，我们就能把我们的 r 算出来，对吧？ r 算出来，这个展开以后啊，这边是一个十二，减去四倍的根三， 加上 r 方加上四，是不是等于 r 方，然后 r 方消掉，然后这是四倍根三，这是四倍根三 r， 然后我们的这十六移过去，现在我们就得到了我们的 r， 应该是我们的呃，三分之四倍的根三， 三分之四根三，然后我们接下来就把这个公式一代就可以了。那你单算出来了以后，你这个表面积，对吧？球的表面积就是四派，二方 等于四乘以派，再乘以我们的就是九分之十六乘以三，这两一削十三，也就是我们的三分之六十四派。这题目结束， 所以大家将来如果遇到了这样类似于我们的上面顶点是投影点，能落在我们的底面的外心上面，那它就是个斗笠模型，那你就直接可以构建这个勾股定力就可以了。
2874数学石头哥
42:25查看AI文稿AI文稿老师好，请坐好，那今天我们来看一下空间几何体的外接球跟内接球的问题， 那么第一类像这种怎么办？在三人追中， s， a 跟 abc 垂直， ab 跟 bc 垂直， 我们重新画一下 s， a 跟 abc 垂直，然后 a、 e 跟 b、 c 垂直，现在这三段的长度知道，请问外接球， 各位这是什么模型啊？啊？变老模型，哪里来的长方体来了？那长方体的外锥球跟这个三轮球外锥球一样吗？一样，所以我们第一种 第一种类型的问题就是把几何体给它组成什么长方体或者正方体这种 补完了以后我们就去学长八里正八里的外接球啊，那这一补的话是一个长八里 外接球的直径是啥东西？长八里外接球直径 底的对角线，所以我们这个二二会等于根号，说 a 方加 b 方加 c 方，所以它等于二根号二的平方再加二平方再加二平方，这边是十六， 随便记搞定，对吧？所以第一章就是补体啊，第一章就用补体的方法来，那我们再看这个几，已知这个四面体怎么样？ p a， b c 等于 等于根号十， p a 跟 b、 c 相等，等于根号十。 好了， p b 跟 a、 c 是 相等的，还有呢， p c 跟 ab 是 相等的， 这有垂直吗？没有啊，它特殊在哪里啊？对人相等对吧？那对人相等它有多特殊啊？哎， 对人相等，他是长方体的对角面的对角线围起来的，所以如果碰到这种，那咋办？补一下是一个长方底，补一下是长方底。 那长方里的外切球跟这的外切球是同一个球吗？是同一个球 啊，所以我这个 p a， 那 我这十二，这三边数 abc， abc， 那 我们这三条 面的对角线那面的对，那对应的不就 a 方加 b 方等于十，然后呢？ b 方加 c 方等于十二，然后 c 方加 a 方等于十四，你看这条是不是？然后我们几这条线是什么？ 哎，平方相加，那怎么得到平方相加？全部都加起来数两倍的几对角线的平方， 对吧？等于这三个相加，这边是等于三十六，三十六，所以，所以十八 k 二就三个二， 所以他的直性是不等于几秒就等于三倍的，三倍的话，那这块地球搞定了，所以对人相对没有这样子的信心， 那咱们那如果这个三人对人垂直呢？又有什么表现？对人垂直，哎，地面垂直怎么办？转化为共面怎么转化？ 异面垂直，转化为共面的垂直常用的是哪一张？各位是摄影，那你斜线跟它垂直折什么呀？摄影要不要跟它垂直？ 所以这个 a o 是 垂直， b c， 那 同样呢？ c o 呢？垂直谁 ab， 那 这个摄影是什么心啊？ 高的焦点是不垂心啊，高的焦点就垂心了啊，所以这个结尾的结构大家很清楚啊。三人追，三人追好，那如果不好补体，那我们又用什么办法来呢？比如说柱体，它的外追求问题怎么处理？ 已知已知值三人柱顶点均在球上，侧人二根号三 底的话，有一个角度三十度， b c 是 一，请问该求的表面怎么求？ 那对球来讲，如果用一个面去截球呢？那得到的是一个圆，是一个圆，那如果他没有过球心，那这样就是小圆了。 那小圆的圆心跟球心是与这个面什么关系啊？哎，谁吃的是谁吃的， 所以我们反过来呢，我要找球心的位置，那我就把小圆圆心找出来，那球心是在他的上方，就在他的垂线上 过小圆圆心的垂线上面，我们就用这一招反过来取。大家们，那我们这个这个图形是不是长这样子的？ a b c 有 没有个小圆啊？那球心跟弦连起来，跟这面是垂直的，那 o o 二呢？是跟上里面是垂直的，而上下底面是平行呢，可见这三点什么关系？ 哎，这三点是共线的，三点是共线的，并且根据对称性，那我的球心在哪里？哎，这个助理呢？中间，所以我这个高是等于二分之 h， 球心到面的距离是等于二分之 h， 那 我二是什么？二是到这点的距离是不是二？ 可见我 o a o e， 这是一个什么原因？直线而言，那我只要把小二求出来，问题就解决了。 小二是啥东西？底的外接圆的半径，外接圆半径，想到哪个定律？正弦，所以我二 r 除以 a b 去三， 那这里的 a 数等于一，上 a 数等于二分之几，所以这等于几？所以我的小二就等于一了，那我的高呢？高数等于高三，所以大二就等于几啊，啊，大二就等于二，所以表面积四 pi 平方搞定啊， 所以我们就可以这样来赌。那边呢，那如果我是是一个这样的三轮锥呢？不是编到的三轮锥呢？那怎么办？我是这样的三轮锥怎么办？ 这三轮锥的外接球跟这铸的一样不一样哎，那么古人铸，那他的外接球跟你铸的外接球一样不一样。 所以如果车轮跟底下里面是垂直的，那这样的三轮锥我们就可以把它补成。什么呀？补成 啊，这个直的能柱是不直的能柱，把这种就补成直能柱。那用直能柱的话，就用这办法，大小啊，二分之 h 构成直角三角形，那我们就可以解决啊。 好，那刚才讲，如果侧棱跟底下垂直的这种锥是这样子的，那如果是不垂直的，那怎么办呢？ 如同在三棱锥 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 跟 b、 c、 d 都是边长为根号三的等边三角形， 那这个图形我就可以看作是把 b、 c、 d 掀起来，是吧？绕着 b、 c 翻起来的，如果翻到二面角刚好是九十度，则这一刻的外接球表面积是多少？ 这好补体吗？哎，不好补，成长方体，正方体这种是吧？那怎么办？关键就是球心的位置是吧？怎么找球心？ 把两个面的小圆圆心都给他找出来，他们的焦点是不是你的球心啊？ 那么 b、 c、 d 是 等边呢？是一个小圆圆心，是 o、 e， abc， abc 小 圆圆心，我给他记做 o 二， 那球心呢？哎，球心连起来，则 o、 o、 e 就 会垂直。谁 啊？垂直于平面 b、 c、 d、 o、 o 二呢？垂直于平面，哎，垂直于平面， a、 b、 c， 对 吧？都垂直，都垂直，那怎么样？ 这两个面都垂直，那我把这面给。哎，我们把这个平面 o、 o 一、 o 二给它延展一下，会怎么样呢？哎， 延展一下跟个 b、 c 什么关系？哎， 跟 bc 是 不是就要垂直了？因为因为你 l 是 不是垂直 o 一 o 后一也垂直 o 二，所以这个 l bc 是 不是跟这个面是不是，是不是就垂直了？ 那垂直的话，所以这一点应该是 bc 的 什么点？那这都垂直的垂，这个角是什么角？ 这个角就是在二面角的平面角，这个角就是二面角的平面角，那么它是先成几度， 而且 a、 o、 r、 e， 你 是等边的，这三点应该是空隙，这三点呢？也是空隙，对吧？ 所以这三点都是空隙的。因此我们的球心的位置是在这样一个三角形 a、 e、 d 里面，而且 a、 e、 d 是 直角，三角 看见没？那哪一个是半径啊？到 a 点，到 b 点，到 c， 点数都是啊，那么这个点是中心，那你边长是根号三，二分之，根号三乘以高三，所以高是几？ 然后是二分之三，所以上面那段是，这段是一，这段是二分之一，这段是二分之一，那这个 e、 c 就 等于几？ e c 是 等于二分之根号三，那你 o c 怎么求？所以 o c 的 话是求的半径， o c 就 等于谁 啊？那就是 c e 的 平方加谁啊？ e o e 的 平方，这是 c o e 的 平方，那 c o e 呢？再加谁？ o e o 的 平方是不是零 c 了？ 那相当于这边是一个编码的模型啊，这里就有一个编码的模型。所以我们把这三段平方一下，二分之二，二分之一是不是一再加这段是多少？二分之一，所以应该是一加四分之一，所以二方等于四分之， 所以它的表面积就等于五块了啊，五块了。 所以如果是一些啊，普通的三轮锥，那我们关键就是球形位置，球形位置搞定了，那这个就可以找出来了来。刚才是弯成九十度，是吧？现在我弯弯成这样子的 平面四边形， a、 b、 bc 还有 a、 c 是 相等的， a b bc 也就它这个等边呢？等边呢？边长是二，边长是二的等边， 然后还有一个是 c， a d 角 a 六十度，再来 a b 跟 b c 是 垂直的，那现在呢？沿着 a c 把它翻起来， 翻起来翻到什么程度？翻到它的外切球半径刚好是二，请问你这个翻的多大啊？这个二面角是正弦值是多少呢？ 关键就是要把球星给定位出来，是吧？怎么找球星？ 小圆圆心？把它给找出来，是不是小圆？两个小圆圆心这样子对对接起来，是不是球心就找出来了？ b c a c b 是 直角三角形 小月月星，这是 o， 是 a c 的 终点，所以球心是不是在那个垂线上面？再来， abc 是 一个等边等边呢？所以我后移是不是连起来 只有 o o 二？ o 一 是连起来，那因为它是等边的，所以 b o 一 o 二三点是共线呢？啊，三点是共线的啊。 大家们，现在我这个外接球的半径是二，哪个东西是二零点，距离是二，那它是二，这条边是几一， 而我 o o 二是其的底面呢？所以这条就等于几啊？ o o 二就等于几？根号三，根号三， o o 二等于根号三，那 o 一 o 二等于几啊？啊？ o 一 o 二是等于高的三分之一， 高是不等于根号三，谁最大等于几？三分之根号三，那这里有没有一个角度二百， 所以，所以我的口三二百就等于几？就等于 o 一 o 二除以谁？ o 五 o 二，那就等于三分之一。口三二百是不是等于三分之一？哎，那这口三二百跟我二根角什么关系啊？ 人上去一点，分别引垂线，对吧？这里数已经是垂丝的，那我就过 o 二去做一条 o 一 跟他垂丝，所以这整个数二面角，平面角，对吧？ 啊？那这二面角跟我 r 什么关系？说这边数还要再加一部分，而 o o 二数跟底面弦加了几十度，加了九十度，所以我这个二面角，那就等于 r 加几 九十就二百加九十，那我的正弦值呢？啊？那我的正弦值是不等于三二百加九十，那就等于谁啊？可三二百，那可三二百零几三分之，所以他的正弦值是三分之对，三分之 好，所以，所以你折腾什么程度？那关键是我们连起来把 o o 一 o 二这面延展完以后，跟你的折痕什么关系啊？垂直的，那你这个面一切进去，刚好是二面角和平面角， 也就是我们是用垂棱法来做这二面角，平面角，对吧？做一个面跟你的棱垂直，那得到的交线，得到的就是二面角的平面角，我们就放在这个三角形里面来取线 啊，这是这一题。在台底的外接球怎么写呢？已知圆台的上下比半径是一样，体积是这么多，请问该圆台的外接球表面写 球心在哪里啊？圆台球心在哪里？ 上下圆心跟球心三点共线，三点共线， 那么我的球心可能在这角你的外面，你这个台体比较扁一点的下垂在外面啊，那也可能是他两个面之间啊，那总之这三点一定是什么呀？共线啊， 那我上下底的半径是一二，这个到前面的距离数都是二，所以关键就是要把谁给的位高高，那体积跟高什么关系 啊？底级是等一个三分之一的高，再乘以谁上底，再加下底，再加上下底的等比中下已知它等于三分之四十八，所以 h 点几来？ h 是 等于二方程，方程根号 r 方减一是不是 o e o 再加谁？根号 r 方减四是不 o o 二，所以它加起来等于几？加二点二，对吧？那你如果在外面减一样不一样， 不管是加还是减，是都是减。加方程都是同解的方程啊，移过去平方根都是同解的方程啊，所以不管是加还是减，也就是 o 点在外面，这里面是都是这个方程啊，都是这个方程。哎，那这个有两个根号的怎么办？ 把一边给他移的过来，然后再给他移一个过来平方，那按平方就可以解出来了。所以这是抬体的时候，我们啊跟柱体一样的球心位置定出来就行了。 第五课的话是内切球，内切球，那常见几何体的，我们要明白正四面体的那个们， 哎，正四面体的 我要求那些求的半径，我用什么来求那些求半径啊？经常是利用等几级来算，对比一下，在初中我们六七元的半径是等面积，所以这里是等几级。 那我这里总共几个面？四个面，所以我是可以割成几个三棱锥。四个三棱锥，每个三棱锥面积是不等于 s 乘以二， 加在一起加一等于谁啊？哎，等于三分之的 s 乘以，所以我的二呢？ 我的二是零几，是不是四分之一 h 啊？所以球心就在这里的，对吧？所以这个二是四分之一的高，那射四分之三是谁啊？ 那你是四分之一 h 是 外接球是多少？是不是四分之二 h？ 四分之二 h 啊，那 h 又等于谁啊？再等于 a， 这段是多少啊？ 二分之根号三 a 的 三分之啊，三分之二谁知道？应该三分之根号三 a 一 减三分之一，所以高等于几啊？三分之二开根号三分之根号六， 三分之二的四分之一是不是四分之二 a 是 不是它的高啊？内切啊，外切球，内切球，应该是啊，再乘以四分之一，是不是十二分之根号六 a 啊？所以这个大家很清楚的话，它是它的三倍， 那外切圆的半径是内切圆的几倍？来？ 外星人逆行逆行，人啊，两倍，这里几倍，三倍啊，那边是两倍，这边三倍，对吧？啊，那我们再来看一下，逆行正是人追，各条人肠都为二。 请问他的内切球的表面积是多少？ 那第一种当然是等几级来，是吧？等几级， 所以他应该是三分之一的内切球半径乘以谁表面积？表面积，其中有四个是， 四个是等边三角形，对吧？还有呢？还有一个是正方形啊，正方形是不是？ 而体积又怎么算？三分之一底面积再乘以高，这高怎么写 那么高？我们是可以放在三角形 p e c 里面，而 e c 是 底下外接圆的半径， 外外接圆半径，所以这条是等于根号二，然后这里二，所以高点几根号二，高点根号二，那这样二是不可以取出来了，所以内些圆半径，那应该是二分之根号六件根号二， 当然我们第二种也可以直接来。大圆在哪里啊？哎，那跟这些同心，大圆肯定是在高高上面，那个底面的缺点是谁啊？是底的中心， 那个圈面的缺点在哪里？是等边的中心，所以它大圆在哪里？ 是不是在沿着高中间切进来的？是不是这个图形？所以我的，我的内切球的大圆是不是就是这个圆？ 这三边是几？这等于二，这条根号三，根号三啊，那不就是这个等腰三角形的内切圆的问题吗？啊，所以我们去找大圆的位置啊，大圆的位置 好，这是内切球，那一般来讲，我们都用整体球会居多一些。第六人切球的问题怎么来考虑？ 如果一个正三轮锥里面的边长是二根号三啊，侧轮长是二根号二，如果一个球跟这个 轮锥呢？所有的人都相切，所有的人都相切，则这个球的表面上是多的。 let's do it， let's go to the。 关键是什么？关键是缺点的位置以及球心的位置。 那如果它跟 b、 c 边有一个缺点是 a， 那 跟 a、 b 有 一个缺点， a、 c 是 不是有一个缺点？这三个缺点构成什么 啊？这三个斜点构成的是一个小圆，是一个小圆，对吧？然后呢，跟 p a、 p b、 p c 是 不是也有三个斜点？ 那这三个斜点的位置呢？然后对应的是不是也有一个小圆啊？ 而且这个小圆刚好是不是它的外接圆啊？是不是这三个点的外接圆， 然后呢，这 m 点 n 点呢？你是正三菱形，那我球心在哪里啊？哎，那球心的位置跟这个三点应该是在一个啊，这个界面上 是不是这里相切的？这边过来是不是这样？大概是这样子的，对吧。各位 来，那我求外的一点，引流求的切切呢？ 从圆外一点与圆的切线切线长什么关系？相等，那我求外一点呢？哎，那我球心跟它连起来，是不是跟这切线应该是什么？垂直的？那这垂直的 ph 是 公共呢？所以这三条切线长应该是相等的， 所以我说这三段都为 a， 那 这三段是不是都为 a 了？那一样呢？我 a 点出发呢，你是不是跟我这三个人是不是都相切了？所以我这三段都为谁啊？都为 b 对 不对？都为 b， 大哥们，那你这个 pa 跟 pb 是 不是相等呢？那你前面 a 去掉的谁？这底下这段也是谁？ b？ 那 如果这段等于 b， 那 这三段都等于几？都等于 b， 那 其他的是不是也都等于 b 啊？ 对吧？可见 b 就 等于根号三， b 是 不是等于根号三？ 那 b 零根号三， a 等于几啊？二根号二减去根号三，对吧？ 那如果不是这三人追这种，我们是不是就得到一个方程组？你有几条人长，我就得到方程组。那一般来讲就是啊，这个对人这边的两段，他们之间长度是有关系的啊。对人的两段长度是有关系的， 所以我们只要你摸清楚了，那接下来我们就要去什么呀？求解。是不是用什么来求解呢？用什么来求解呢？ 是不是找方程啊？找方程？那你这边是小圆，所以，所以球心跟它连起来，跟中心连起来，这应该是中心嘛，说跟这底面是垂直的，可是 p h o 三点就要 啊， ph 二三点是要贡献我这个能切球的球心跟底面中心连起来是跟底面垂直的，而 p 点跟底面中心是不是也跟这个底面垂直的贡献？ 那我这个里面的边长是二，根号三，所以里面的高是零三啊，里面的高零三，所以 a o 是 不是等于二？ o n 呢？ o n 等于一， 然后，然后这 h 到 a 里的距离是不是能切出半径是二？ h a h m 呢？数也是能切，求半径，数也是二， 那利用什么来列方者搞出来？那我 p h 等于谁啊？ p h 等于谁？根号二方加谁？ a 方是不是二方加 a 方？ a 方二根号二键根号三的平方， 这是 p h， 那 h o 等于谁啊？ h 加球形啊， h o 等于谁啊？根号二平方减去这两个加起来是什么？是不是整条高？ 那这个是二根二数，整个高点几数，整个高数点二，这个方程能把二取出来啊，那我们这二就可以取出来了。 那你回过头把之前做的人切球那个屏幕再去研究一下看啊，之前是给过的人切球的问题， 所以人切球的问题，关键你就抓住这个取决于外的点做球的切线，切线长一定是相等的，切线长一定是相等的啊，所以每个顶点出发的三条跟切点的连线长都是相等的， 所以这个我们就是计算一下。 第七，跟这些有关的坠石问题怎么来处理呢？来让我们看一下第九题。已知求 o 的 半径是一 轮锥的顶点刚好是 o， 轮锥的顶点刚好是 o 里面那四个点。在求 o 上求 o 的 球面上，则该四人锥体积最大的时候，它的高是多少？ let's do it， let's do it。 有没有想是什么？是能追？没有没有，但是我们自己可以创造条件是吧？应该是什么时候他最大？正四能追，正四能追，所以我们就按照正四能追什么叫体积最大来数是吧？ 正四能追，什么叫体积最大？那如果底是正的是能追，那怎么样？我们高跟底的神秘有关系？ 哎。高跟底的小圆是不是有关系？用小圆是不是有关系？那我们先如果高确定呢？高确定，那这个小圆半径定了没？ 小圆半径高什么关系？那就 r 方加 h 方等于， r 方加 h 方等于一。对于每一个确定的高，那它的体积是什么？ 哎，体积的最大值是什么？那就三分之一高再乘以。谁说底面积最大？对于每个 h 大 底面积最大，它都最大了，请问这底面积怎么求啊？ 里面这四边形的面积怎么求啊？哎，里面四边形 abcd， 我们是不是可以靠直线来说它是正方形的最大？为什么？ 这四边形我们可以用什么办法来？就用正角线来，是不是面积的二等于谁？嗯，二等于 a、 c 乘 b、 d 再乘以角角的啊？正弦值是不是它面积啊？ 对吧？四边形的面积，如果两条棱是啊，两个对角形垂直的，那不就两个乘起来吗？那如果不垂直，如果加了一个角度，塞阿法， 塞阿法来塞阿法，取多少下才最大？ e 最大，而你这 a、 c 跟 b、 d 取到什么的下角最大，是不是直径的下数最大？ 所以它在零二二乘二，二乘一，那就等于二。什么二呢？所以它的面积啊，体积最大，那应该是这个整数最大， 然后，然后这 h 在 变化，这 h 在 变化里面这最大的有没有最大的？这个最大的是不是所有的体积里面最大的那一个？ 那双变量怎么办？哎，那三分之一 h 乘以谁二，二二就等于谁 二，二就等于二，哎，减二 h 平方，所以它等于三分之二 h， 然后呢？一减 h 平方，哎，这怎么求这值啊？哎， g 是 和是定值，只有最大值，但是这两个加在一起会是定值吗？它有平方，它没平方咋办？ 平方一下，所以这个量的平方它就等于九分之四 h 平方，然后这边写成一选 h 平方，然后呢？一选 h 平方，但是这三个加起来是定值吗？啊？要一个二，那这里一个二，它前面就设计九分之二 a， b， c， a， b， c 和为定值极就有最大值。什么叫取得 啊？那三个数相等的时候，所以单写平方 h 平方等于几的时候，三分之一的时候就取得，所以它的高低点几？三分之六乘三，对吧？ 我们是三次函数的，我们可以用最棒的啊，都在笔试定式啊，那这是高考题啊，这是高考题， 所以你看起来很简单，跟平常训练的也差不多，但是它新的地方在哪里？它不是外界，外界球，而是什么球形，杠是什么零点，但是内容是不是都是一样的？ 关键就是我的前面小圆圆心跟他连起来是垂直的，然后构造构造这个，哎，直来求解决问题啊，那我们今天要讲的是这些。
230汤老师
25:33查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二第八章立体几何初步八点六点三，平面与平面垂直。好，来到了我们的本章的最后的一节课哈，也是我们的这个垂直的最后的一节课哈，面面垂直的关系 好，我们通过呢。跟之前一样，我们说除了线面垂直是一个特例，他得单独定义之外，别的都是先定义角。我们这里看一下哈，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。同学们说，哎，没看懂什么意思？ 从一条直线出发两个半平面，什么叫半平面？我这个地方这条直线截了这一边，你就不要去延伸了，平面是往四周 无限延伸的，对吧？那这边不要延伸了，往这边延伸一半的平面叫半平面，这个东西哈，半平面和平面不要觉得它很复杂，我们只需要去类比半平面是什么射线， 那么平面呢？就是直线好不好？那么我们的这个另外一个呢？你看这边被塔这个整体所形成的图形，它就叫做二面角， 那么平面呢，会有两个角，也跟我们的直线是一样的，直线我们会有什么？平面角？它实质上是两条什么两条射线组成的角，它是有 零度到一百八十度的，对吧？那么另外一个呢？我们两边延伸，它又变成了什么？变成了直线，它的范围就是零到九十度，这个叫直线与直线所成角。所以其实我们的直线也有两个，我们就可以完全类比。 说很多时候哈，我们在画图的时候，我们都可以这样画啊，这个是非常重要的一个技巧好吧，比如说我们画这个角度的一个侧面，他就是什么，如果是平面，我们就画成什么，画成直线，如果是二面角就是半平面，我们就画成这个射线啊，就这样子。 好，这个叫二面角，那么这条直线呢？叫做二面角的棱，那两个半平面呢？叫做二面角的面哈，整体的整个东西叫做二面角。好，棱为 a、 b， 面，分别为阿法和贝塔。棱是什么？ a 和 b， 记作什么呢？记作阿法 a， b， b， 就是 说 我用这边的一个面，然后呢这个 a、 b 这条棱再加上另外一个面来做命名啊，这是一个命名的规则。那么有时为了方便，也可以在阿法和贝塔里面 棱以外的半平面的部分分别取点 p 和 q， 然后将这个二面角记作二面角 p， a， b， q， 那 同学们说为了方便它不方便呢？我，原来阿法 a、 b 那 个贝塔不挺好的，我还得找两个点，找两个点之后，这两个东西有啥区别吗？对吧？那么这里问题来了哈， 我们为什么要这么做呢？我们要有背景的，比方说我们看一下我们的正方体，那么比方说我们要去形容这个二面角，绿色的两个组成的一个二面角，好吧，那假如我们要使用平面的方式，我们就要写成这样子，对吧？ a， e， d， e， d， a， 一 杠 a， d， c， d， 然后呢，我们如果取点的话呢，就 a， e， a， d， b。 所以我们会发现什么问题啊？我们是要看上下文的，刚才我们要找这个点 p、 q， 我 们当然不去找了，对吧？对吧？而且刚才呢，我们有个面，这个阿法、贝塔现在没有嘛， 所以呢，当我们有这个点，然后这个面也没有做一个命名阿法、贝塔干嘛的时候，我们使用这样的方式是会方便简洁很多的，这个呢就是关于二面角的这个命名的法则的问题，对吧？ ok， 接着呢，我们来看刚才我们是定义了什么东西是二面角，我们还没有讲这个二面角多大，接下来我们看生活当中我们常说把门 开大一点，那这个是什么大呢？我们会知道哈，刚才定义了之后，会知道这个门跟我们的这个平面可以形成一个，比如说这里截住半平面，那这个就能形成什么？门面和墙面的一半就能形成一个二面角，那么这个二面角多大呢？就会涉及到这里的问题。我们来看一下 在二面角阿法 l 贝塔当中的棱上面任取一点，又哪任取一点，哪个都不重要， o 以点 o 为垂足，在半平面阿法和贝塔内分别做垂直于棱 l 的 这个射线 o a、 o b 好 垂直于这个垂直哈，不是 o a 跟 o b 垂直啊，这个不一定，我是 o a 和这个 l 垂直， o b 和这个 l 垂直啊，对吧？那么则射线 o a 和 o b 构成的这个角 a、 o b 就 叫做二面角的平面角，这个东西是不是就 跟我们的什么跟我们的这个平面角很像，呃，一样的，对吧？这样子二面角的大小呢？可以用它的平面角来做度量，好吧，所以呢，我们的这个平面角就是来量这个二面角的 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角，你看我们先花很长的时间来定义什么是面面所成角，然后呢九十度就是 直二面角呗，就这样子，二面角的平面角的取直范围是零到一百八十度，零可以取，就是他们闭起来啊，像嘴巴闭起来这样子，一百八十度像，像我说的，其实就跟我们的这个平面角一样的，如果我们从侧面图去看，就是一样的东西啊，对吧？好， 接着我们说平面与平面所成角，这个呢，课本在我们的下一本书选 b 一 那里才定义呢？很多同这很多老师，包括很多教材编辑教材的人都表示不理解，那我其实我就直接在这个地方讲了，因为其实关联度很大，我觉得没必要 平面阿法和贝塔相交，我们刚才是干嘛？半平面就这里是没有的，这里是没有的，那现在我们形成了四个二面角，如果是平面的就形成了四个二面角，我们把这四个二面角当中不大于九十度的二面角 称为平面阿法和平面贝塔的夹角，所以我们说干嘛用直线去类比就可以了，一模一样。那么这个地方呢，我就先做一个我们现在所接触到的所有所成角的定义， 因为呢，我们并不需要通过背这个角度的定义来记住以下五种，其实一共是六种，但是呢，我们的六种在我们的选 b 一 那里呢，我们做一个定义，因为还缺了一个。好吧，那么这个地方为什么在这个地方我们先讲一次，后面又总结一次呢？因为就真的太多同学在记这个东西了，这个鬼东西了， 永远选举所成角当中的叫小指，我今天提一个点哈，就无论你们学数学也好，学英语也好，你一定要相信别人是有规则的， 对吧？不要认为数学家闲着没事干，是不是他是正常人，而且科学家最喜欢偷懒啊。数学，科学，学科。直线与直线所成角范围是零到九十度，为什么呀？因为我们说一条直线，一条直线 会形成一个角，两个角，那我肯定是不要这个大的角，我贪麻烦吗？是吧？所以我要所成的角是小的，所以是零到九十度，这个不用记。 接着，如果，如果是向量与向量呢？向量是有这个点的，就是不是两边延伸的，他们的定义是拖到同一个起点，那此时是不是也可以这样子，所以他是可以零到一百八十度，那同样的，其实他也有一个大于一百八十度的，肯定不要大的，就这样子。 然后呢？直线与平面直线与平面，我们怎么定义的？我们的上一节课直线，我们的有一个摄影，对吧？投影，然后接着呢，这次也形成两个度，那我为什么，对吧？又是小的那个角度吗？简单的那个，然后就到了我们的这节课的半平面，对吧？半平面，我们说什么呢？我们就通过我们的平面角来做理解，对吧？ 射线，射线啊，这个是 o 啊，这个射线是一样的，这个就是半平面，而我们的平平面的整一个平面呢，就是直线啊，两个是可以完全对照的啊，这个地方呢，也是一个小的角，一个大的角， 平面一个小的角，一个大的角，所以这个东西呢，我从来一个都不可能背的哈，但我看到有些同学背的很辛苦啊，这个锁上角，这个锁上角背完之后呢，还会错啊，太夸张了，这个东西背来干什么呢？对吧？不，不要浪费这么多时间在这些东西上面所找到它的规律 啊，对吧？就是你们一定要知道，找不到规律是一定是你的问题。就像以前我们工作的时候就是在大公司，你如果觉得大公司的流程全都是很麻烦，很繁琐，都是有问题的，那一定是你的问题， 对吧？你一定要有这样的精神。很多同学看我的课，像我说的，如果我的课一百个人里面有五十个，有六十个没看懂，那么一定是我的问题。但如果有九十九个没看懂，有一个没看懂，那你就要知道，那一定是你的问题啊，对吧？这个是一个很简单的一个东西，我们一定要去理解对方啊，不要去这样死背， 所以这些东西节省很多的一些功夫，不要浪费时间在这些上面，这样子， ok， 我 们看一下利益。下列命题当中是真命题的，有两个相交平面组成的图形叫二面角呢，这个当然是错的， 一面直线 a、 b 分 别和一个二面角的两个半平面垂直，你看我们怎么画？这样的问题，我们要处理的时候怎么画两个半平面，还要去画平面，太难画了，对吧？太耗费时间了，用射线来表明就是这样子的，对吧？这个阿法， 这个贝塔，那我们会换另外一个颜色的笔，或者说画粗一点来表达，然后一面直线 a、 b 呢？分别跟它们垂直，这个是，哎，这个画细一点，对吧？这个是 b 啊，这个是直线，好吧，这个就清晰了，这个垂直，这个垂直则 a b 所成的角与这个二面角的平面角相等或者互补， 我们来看一下是不是的他们相等的相乘的角是这样子，这个，那这个是什么关系？互补，那有没有可能是那个什么？有没有可能是相等啊？有，比方说这个情况下小的，对吧？那这个时候，这个这个， 那这个时候呢？这个角和这个角就是相等的关系，所以我们怎么找他关系？怎么画，这样用剪图来画就可以了，明白吗？然后呢？所以这个是对的，这个是错的。 二面角的平面角呢？是从棱上的一点出发，分别在两个半平面内做射线所成角的 啊？半平面内所做射线，刚说做射线所成角的最小的角啊，那当然不是啊，这棱上出发干嘛要垂直，对吧？不是所成角的最小角是一定是垂直，那个是确定的，对不对？垂直，所以这个是错错的。二面角的大小与其平面角的顶点 在棱上的位置没有关系啊，这个是对的，对吧？我们说这个顶点是可以任意取的，哪里都可以，所以这题选二和四。然后接着呢，就是我们面面垂直的判定，那其实这个就是我们说的，我们定义了二面角，我们只要是九十度就可以了。那我们这个地方说一下有些什么样的情景呢？比方说 教室里面的墙面，墙面所在的这个平面与地面所在的平面相交，他们所成的这个二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上，那么一般的两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 啊，记作 r 法垂直于北塔，对吧？那么这个地方同学们说啊，半平面，半平面已经不重要了，因为它如果是垂直的状态呢，形成的两个半平面它都是九十度，对吧？那么画两个互相垂直的平面的时候呢？通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。我们来看一下 什么意思啊？画两个互相垂直的平面的时候，这个就会比较有立体感，对吧？这个是我们的画法。 ok， 然后接着我们看建筑工人呢，在砌墙的时候，常用铅锤来检测锁器的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的系绳紧贴墙面，什么意思啊？就说如果我们的这个，呃，木工师傅，我们要检测这个墙面 是否垂直于地面，他怎么做的？他垂下来一个这样子的，如果我们说右边的这个面，如果这条红色的绳子贴紧了这个墙， 那么我们就能认为这个墙面是什么是垂直的哈，这个方法我们说明了什么样的问题？因为我们刚才说我们定义了二面角，是啊，那个垂直是二面角，当二面角为九十度的时候，但是如果我每个场景都要去计算二面角等于九十度，就太麻烦了，所以我们有一个特别的判定方式， 那么这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，因为铅垂下来，这一个红色的线一定是垂线， 那么如果墙面经过他的垂线，如果他紧贴的时候，就说明他经过，那么墙面就可以判定与地面垂直，这个是这样子的一个应用，类似的结论呢，在长方体当中可以发现，比方说在右图的长方体当中， 我们的平面 a d、 d e、 a e 啊，也就是说我们左手边紫色的这个经过了平面下面的这个绿色的垂线 a a、 e， 对 吧？这个 a a、 e 是 底面的垂线，而左边的这个面经过了它，我们就已经可以判定它垂直啊这样子的东西。所以 一般的我们有下面判定两个平面互相垂直的定律，如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言表示为，对吧？这个就比较简单直接写出来。好，我们看。第二，在正方体当中求证 我们的平面 a 撇 b d a 撇 b d， 紫色的这个和平面绿色框的这个是垂直的关系，所以我们要很灵敏的看到哪些直线，我们是最好找的，应该能看到什么 b d， 我 们只需要去证明 b、 d 是垂直于什么？垂直于我的这个面 a c c 撇 a 撇的，而我的 b、 d 是 在这个平面 a 撇 b d 上的，那么这两个条件就足以让我去证明这两个平面是垂直的关系，所以这里其实只有两个，两个条件就能推反，而这个地方要五个，对吧？ 它垂直于两条相交的，而这个垂直这个 a a 一 撇呢？又垂直于它， a a 一 撇垂直于它呢？又要多一个步骤，我们要说明， a a 一 撇垂直于底面，它是底面的一圆，对吧？然后呢？这两条相交于点 a， 然后都属于这个平面，对吧？好，那这个地方在正方体当中， 然后呢，所以这个在正方体的对角线的关系， a、 c、 b、 d， 又因为 a、 a 撇和这个 a、 c 相交于 a， 而这两个呢，都在这个平面上五个条件，所以 b、 d 垂直于这个绿色的这个平面，而又因为又因 b、 d， 它在这个面 a 撇， b、 d 上面，所以这两个平面 垂直。看一下我们的表述哈，基本上这个表述是没有问题的，那么这个表述的语言它是精简的，怎么样去减少我们的书写？这个很关键，不要密密麻麻写一堆文章，然后还有一些点去是遗漏的，没有用的哈，数学不要嫌字多，一定要去精准、严谨、简洁就 ok 了，好吧， 然后看第三，如图，已知 p、 d 垂直于正方形 a、 b、 c、 d 所在的这个平面连接这些啊， p、 d 是 垂直的，它是一个 则一定垂互相垂直的平面。有几对？这里面就很考察我们有没有掌握到我们刚才的这个定律，我们怎么去找，我们怎么去找？我们一定要去有这个条理的去找。怎么样有条理去找呢？我们通过什么？因为 b、 d 垂直于这个里面，我们先通过线面，你看，我们通过线垂直于面， 然后呢，我们去找所有过 p、 d 的 平面来垂直于这个面， a、 b、 c、 d， 这样子我们就能做到不重不漏，对吧？过 p d 有 什么？有 p a， d， 有 p b d， 有 p c、 d， 所以 这个地方呢，我们找到了三个面的垂直关系，接着我们来看，同理 我们的 c、 d 和 ab， 它都会垂直于 p a、 d， 所以 那我们的 c、 d 和 a b， c、 d 和 a b 啊，这两条对吧？是平行的，它都会垂直于旁边的这个 p a、 d， 那 这里具体我们就不做证明了，对吧？这个也比较简单的证明，这个是直角，这个是直角，那么这个呢，我们就通过这组作为第二组 来找经过 c d 和 a、 b 的 都行，有什么有 p a、 b c， 有 a b、 c、 d 重复的，我们最后再排除掉它，我们最后再排除掉它。 第三组我们的什么呢？ a d 和 b c 啊， a d 和 b c 平行的两，这两个它会垂直于这个 p d、 c 的 这个面，那么这个时候呢，我们又找过 a d 和 b c 的 面，有三个，最后呢我们看 a c 垂直于 p d， b 啊，这个是很多同学可能会遗漏掉的啊，这个 p d、 b 和这个 a c， 那 么这个时候呢，过 a、 c 的 面会有两个，对吧？底面以及 p a c， 那 么所以这个地方怎么一共七对呢？三三三二，一共十一，那我们看一下重复的 p a， 这里出现了一个重复， 是吧？然后接着呢，这里出现了这三个都是重复的，然后我们来看一下还有什么啊？ pdc 啊，这个 pdc 和 a p d， 那 么和这个 p c、 d 这两个是重复的，所以 一二三四是重复的，所以十一减四等于七，我们就找出重复的部分就可以了。 所以这道题呢，关键要看我们是怎么样去把它分成四组的。如果我们要做穷举，我之前我说穷举也是有技巧的，同学们穷举也是有技巧的，所以我们要知道这个东西，我们在选 b 三就会特地的去讲这个点啊。 ok， 我 们的例四继续是课本的立体，如图， a b 呢是我们圆 o 的 直径， pa 呢？垂直于圆 o 所在的这个平面 啊？ pa 又是一个 pa， 是 垂直的 c 呢？是圆圆周上不同于 a b 的 任意一个点哈，随便的一个点，没有规则求证。我们的平面就是绿色的这个平面， 垂直于平面， b c p b c 啊，红色的这个平面，我们来想，当然，我们很容易能想到一定是跟什么相关，既然它任意，一定是跟我们初中所学的，我们直径所对的圆周角是九十度， 这个是相关的，对吧？那接着呢，肯定又跟 pa 平行于这个平面，那我们可以干嘛啊？ p 垂直于 pa， 垂直于这个平面，它就会垂直于 bc， 所以呢，我们就会知道这个是垂直的，就 bc， 它会垂直于 ac， 而 bc 呢，也会垂直于 pa， 那 这个地方呢？要去单独说明啊，在这个这个地方要有个证明，在这个地方，对吧？然后我们这两个相交 于点 a， 对 吧？然后这个和 pa 都在我们的 p a， c 上， 对吧？所有的这些，我们就能推动五个条件哈，这里两个哈，我们就能推出来 b c 垂直于这个面， p a c， 然后再加多一个什么，再加多一个 p c， 它包含于这个平面 p b c， 所以 得到 p a c， p b c。 平行 整个思维的脉络。你看，先这里拿整个思维导图，先从这里推出我们的这个这个结合这四个条件，我们得到了平行于平面，平行平面，再加多一个 b c， 得到了最终的，你看这个层级要很清晰，好吧，所以是这样子的一个东西，我们看一下， 直径所对圆珠角为直角，所以又因为，然后相交于 a， 所以 b c 垂直，平行垂直于这个平面 b b a c 又因为 p c 包含于这个面， p b c， 所以 这个很清晰很简洁的这个表达的过程，对吧？ 面面垂直的性质定律，面面垂直，我们来看它有什么样的性质定律。我们有以下平面与平面垂直的性质定律。第一， 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另外一个平面垂直，两个平面是垂直的关系。如果有一条直线 l 它垂直于谁？垂直于交线， 那么这条线呢，就会跟另外一个平面垂直。好吧，符号语言表达为这四个条件啊，同学们啊，再次提醒，不要被这些会发现，好多好多，是吧？我们说理解就可以了， ok， 面面垂直呢，还有以下的这个性质定律，我们去拓通一下。第一个呢，垂直于同一个直线的两个平面平行， 如果一条直线垂直于一个平面，那么其所有平行线也都垂直于这个平面。我们来看一下模型。首先我们来看一下第二个结论，如果一条直线垂直于个平面啊，这个是跟这个平面是垂直的关系，其所有的平行线，所有的平行线都垂直于这个平面， 好吧。第二个呢，是垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线，这个或者这个都一样，两个平面是平行的， 那么所以这两个结论呢，告诉我们很重要很重要的一个东西就是什么呢？这些性质，我们会发现一个一些一件事， 相对比线和面的平行关系，我这样也行，这样也行，这样也行，对吧？我的课桌我拿着一支笔，这样子也是平行，这样子也行，这样转都可以，所以没有办法，去干嘛呢？去锁定 啊，用了一个很通俗的词语，虽然一个平面的平行线和垂直线两者都是无数条的，但是垂直线的方向是确定的， 这个很多时候像我们玩的套圈圈，对，套圈圈啊，或者那些积木啊，对吧？一根棍子，然后套进去，我这根棍子我可以放在这里，可以放在这里，可以放在其他地方，但是只要是这样放它上面套的圈圈的这个方向就是 固定的，所以这个呢，我们有锁定的意义。这个给到后续我们解决平面的问题提供了重要的思路， 就是我们在后续的呃，那个选 b 一 的第一章，我们就会知道怎么去做平面的问题呢？我们要用法向量，就是不是用它平行的向量，而是用一条法向量，到时候就会讲这个问题，所以这些呢，都是我们一些理论的基础，好吧， 接着我们看例五，如图，已知平面 alpha 垂直于平面 beta， 直线 a 呢，也会垂直于 beta， 那 这个 a 呢，是不在平面 alpha 上的，判断 a 与 alpha 的 位置关系，当然我们从感官上面来说，从空间感来说，就知道它是平行的关系，那么我们怎么证明呢？我们来看一下，设 ar 加贝塔等于 m 啊，我们这个地方，因为在题目当中上面没有讲在阿法当中呢，做直线 b 垂直于 m 啊，我们做一个 b 垂直于 m， 那 此时因为阿法垂直于贝塔，而且呢 b 包含于阿法，我们哪里的结论就是前面我们说一个平面内垂直于它们相交的棱 的这条直线啊，它会垂直于另外一个平面呢？前提是两个平面垂直，所以我们就会得到 b 会跟 beta 垂直，而我们知道 a 跟 beta 也垂直。那前面又有结论，垂直于同一平面的两条直线相互平行， a 平行于 b， 然后接着我们就知道了 b 在 阿法里面，然后呢， a 不 在阿法里面，是吧？那么我们就能得到 a 会平行于阿法，简单的一个证明，对吧？我们会知道这个结论，然后是我们的例六，如图，已知 p a 呢，垂直于平面 abc， 底面 平面 a p a b， 就 绿色的这个面垂直于平面 p b c。 求证 b， c 垂直于平面 p a b。 当然我们这个条件，两个条件，这个条件应该一眼就知道 p a 垂直于 b， c 是 这样去使用这个条件的，那这个呢？我们要想一想。 那么从感官上来讲，我们是很希望能找到 a b 和 bc 垂直的，我们非常希望找这个，对吧？但事实上，我们没有条件能做到这样子的事情，我们就要用什么样的心智。我们就要过 a 做一条垂线， 那么这条垂线就会垂直于这个，能，这个时候我们就能运用这个条件，那么比方说这个是 d， 那 么 a， d 就 会垂直于这个平面 p b c， 那么进而 a d 就 会垂直于 bc， 那 么我们 bc 用哪两条直线来证明这个垂直的关系？用 a d 和 ap 啊，这两个相交的直线，对吧？我们要搞清楚。所以呢，过点 a 做 a， d 垂直于 p b， 垂足为 d 啊，这应该要加多一个垂足为 d， 对 吧？因为平面 p a b 加平面 p b c 等于 pp 啊，这是它们相交的一条能，然后呢？ a d 呢？又在这个平面 p a b 上面，所以 a d 呢？呃，会 垂直于我们的 p a p b c， p b c 啊，那接着呢？我们的 b c 在 这个里面，所以 ad 会垂直于它， 好吧，那这个就很好使用了。 pa 和 pc 的 关系，所以这里一个条件，两个条件，加多三个条件，三个条件，四个条件，五个条件，一共五个条件，我们就能证明，对吧？这个 b c 和这个平面的垂直关系。 好，这个就是我们的这节课，我们做一个总结，我们前面说了，我们的线线垂直，线面垂直，对吧？然后呢？面面垂直，两个平面所成角为直，二面角， 然后呢，如果一个平面过另外一个平面的垂线，这个是判定的方式，对吧？我们通过线面垂直来判定面面垂直，这本身 特殊，这本身也是一个判定方式，我们可以通过求得他们所称的角是指二面角，但这个东西呢，它更麻烦，比起这个要麻烦的多啊，对吧？所以我们一般用这个， 然后它的性质会有什么呢？线面垂直，两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，就他们的能，那么这条直线与另外一个平面垂直，我们会得到这个性质是关于什么？线面垂直，所以这是不是又有一个路径？ 我们想要知道线面垂直的时候不一定要通过线线垂直，我们这个路径他也走得通，对吧？像我们之前的立体，所以这个网络也是要慢慢去搭建，去搭建起来哈，这个就是我们的这节课，也是结束了我们的第八章的一个学习啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。
543肖数说
07:56查看AI文稿AI文稿外接问题绝对不会做题，那么今天我就用五分钟带你彻底学会外接球的秒杀模型补行，学会了补行，你就可以快速的口算出来百分之八十的外接球题型。有很多人都在问我外接球到底应该怎么做哈？ 这节课呢，我就给大家讲一个非常常考的模型，就是补刑法不成什么？同学们长方体，正方体，为什么咱们补刑法非常好用来，因为你思考哈，咱们长方体正方体它的外接球好不好球，非常好球。 咱们外接球的定义是模子，就是我外接球的球心到每个顶点的距离都是相等的，那你想咱们长方体当中我连接体对角线，那么我中间这个点，它是不是到我整个八个的顶点都是一模一样长的呀？对吧？ 所以说咱们长方体首先它的外接球半径是不是好求的？咱们的二 r 是 等于多少来假设长宽高个为 abc， 不 管他谁是谁哈， 就等于根号加 a 方加 b 方加 c 方，这里算的是谁来算的是咱们体对角线的长度哈，它就是这个公式，那么你就可以把咱们的 r 给它解出来，那这时候你再去求外界球的体积啊，面积啊，再代公式就可以了。 那么我们再来想哈，既然是补乘法，我什么样的图形非常好补成长方体或者正方体呢？ 我们来看一下咱们的长方体，它最大的特征是什么？哎，它有非常多的垂直对不对？你看我是不是有线面垂直，我又有下面的两两垂直的，所以一旦你在题目看到，哎，我三组边三个边是两两垂直的好长方体图形。 而如果说，哎，我是一个线面垂直，我底面还有一个两两垂直的，好，它又是一个长方形模型，理解了吗？好，这是第一个它的大特点，第二个是非常容易忽略的，这是咱们的对棱相等， 什么意思嘞？唐老师，对棱相等吗？你看哈，宝贝，咱们的这一条边是不是和咱们下面的对角线哎，这一条边它是相等的，对不对？ ok， 你 继续来看， 咱们的这条边是不是和咱们的这一条边又是相等的，对不对？然后我们继续来看，我们后面还有，哎，这一条边和咱们这一条边是不是又是相等了，对不对？ 所以你会发现，在咱们的连起来的对折的这个对角线的情况下，它是两两相等的，而在这样的摆放下，这个三棱锥，它看起来很不规则，但实则它也是可以放到咱们的外接头里面来的， 甚至这个模型比它要更容易烤一点，为什么呢？因为它看不出来，它看不出来可以放在长方底当中，它隐藏起来了，所以它一定是比这个垂直的更难看出来，更容易烤到的。 那么我们先来看到第一个题型哈，就是咱们的墙角模型出现了很多个垂直的时候，如果说一个三棱锥，他两条侧棱两两垂直，你看垂直、垂直、垂直，那你看是不是就是在咱们长方形的一个墙角啊？如果说 s a 等于二啊，在二在哪里呢？在二在这，然后 s b 等于四，这里等于四， 则该外接求半径为多少？那么二 r 等于根号下 a 方加 b 方加 c 方的，那么咱们再去把 r 给它求出来，就是为三的，那你看， a 选项就出来了。如果我是出题人，我肯定会问它的，呃，一个表面值或者体积是多少哈？它的表面值呢？是等于四派 r 方的 体积呢？是等于三分之四倍拍 r 三方的。那么我们接着来看第二个题型对棱相等的模型。 以这一个正四面体，它的表面积为二倍根号三。同学们，正四面体有四个面，对不对？四个面面积为二倍根号三的， 而你们知道一个正三边形，它的表面积为多少啊？假设它的边长为 a 的 哈，这是一个公式，就是四分之根号三倍 a 方，这是它的表面积的。所以四乘上四分之根号三倍 a 方，也就等于二倍根号三的哈。 所以呢，这两个一约，然后呢，根号三一约， a 方等于二，所以 a 是 等于根号二的。也就是说咱们的每一条棱长，它是为根号二的。 然后他说 a、 b、 c、 d 都在一个球面上，则球的体积为多少？那你思考了，我是不是正四面体，它非常满足我对棱相等，而且每一条棱都相等啊，那它一定可以放在咱们的长方体，尤其是正方体里边。那么感情好，咱们放到正方体面来， 那么如果说我这一条能长为根号二，所以说咱们正方体的边长应该为一，一的对不对？所以这时候我们再计算二， r 等于根号下一方加一方，加一方等于根号三， 所以 r 是 等于二分之根号三的。它最后一句话问体积为多少？ v 等于三分之四倍 pi， r 三方的答案算出来是二分之根号三倍 pi 的 over。 那么我们来看到第三个题型哈，这是对棱相的模型，但这时候呢，它是一个普通的四面体哈，已知四面体当中呢， a， b 等于 c， d， a， c 等于 b， d， a， d 等于 bc， 它其实就是模子啊，它就是对应的对角线的长度，对不对？ 那你想哈，假设咱们这一个长方体，我给它外接了一个，它的边长为 abc 的， 我不用管哈，我直接怎么做题呢？哎，这一组是不是为二倍根号五的？ 那么咱们不妨去看咱们 a 方加 b 方，比方说，这一个面，它的对角线长度就是为咱们的二倍根号五的，我就这样去看。 那么此时这一个对角线，假设是 b 方加 c 方，就是 b 方加 c 方开根号，它就是为根号二十九的，我不用去管谁对那谁，我就这样做。那么这一个是不是还剩一个 a 方加 c 方的？所以 a 方加 c 方开根号，它就是为根号四十一的。 就是。为什么要这样写嘞？就是对应的是不同面，它的对角线的长度就刚好是为这么多的哈， 那么这时候我们在干嘛嘞？我左两边同时平方，就会得到， a 方加 b 方等于二十，这里来是 b 方加 c 方等于二十九，这里来是 a 方加 c 方等于四十一。我现在干嘛？我一二三相加在一块， 一二三加在一块，你会发现我左边是谁啊？左边是二倍的， a 方加 b 方加 c 方，每一个人都是加两次的，而右边是二十加二十九，再加一个，谁来加一个四十一的为多少？是不是为一个九十的？ 所以你就会得到咱们的 a 方加 b 方加 c 方等于四十五的，那么最后我要去问这一个体对角线的一半二 r 等于根号下， a 方加 b 方加 c 方，也就根号四十五，也就是三倍根号五的， 那么 r 是 不等于二分之三倍根号五，所以 v 呢？咱们的 t 以及是为三分之四倍 pi r 三方的对不对？所以算出来答案应该是选咱们的 c 选项的。 那么到这里大家都理解了，为什么我在这的时候我没有一一对应，哎，他跟他必须要配对，他跟他必须要配对，他跟他必须要配对，不需要的，我只需要干嘛？打一个幌子， 就只要让他们相等了，然后两边同时平方，然后在干嘛呢？全部加在一块，再除上一个二，咱们就会得到啊，起对角线的平方了。大家理解这个意思没？所以说如果你听完我这节课，你就一定会做以下的题目。 视频的最后我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭，百分之一百，四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这个炫标就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序，我是北大堂，我们下期再见！
3594北大糖的魔法数学
41:51查看AI文稿AI文稿好，那今天我们来计算二面角的大小，我们通过第二面角， 然后呢，平面角是九十度，就叫做十二面角，两个平面就垂直，这跟初中定义两个直线垂直是对立的， 那这一局我们的任务就是来求这个二面角的大小。那首先我们回顾一下什么是二面角？一条能出发的两个半平面构成的图形出二面角， 那怎么来度量它的大小呢？它需要用平面角来度量，是吧？ 那哪一个角是它平面角能上去一点，分别处垂线所形成的图形，比如说我们的图中是一个钝角，这是它平面角， 为什么这个脚可以来衡量贝塔香奈儿法的位置呢？ 别人就不行呢？啊？最大？什么最大？什么角度最大？如果我做 b 点不垂直的呢？ 那这条线 b o 撇跟 r 所成角在哪里啊？ 哎，我们刚才是钝钝的二面角，是吧？所以它的射影是谁啊？ 我们把这点记做 h 好 不好啊？那 bo 跟 bo 撇所成的角是谁啊？ 这两条线跟二把所成角是谁啊？一个是 b o h， 一个谁？ b o 撇 h 谁更大？因为对边带一样长一样长，而 o 撇 h 比 o h 来的长，所以这个角度应该来的大， 所以我们用的是用的是什么角？是面里面的线和另外一个平面所成角里面最大的角，最大的角，这就确定呢？这是唯一的来定义， 来定义贝塔相对二法的情节程度，对吧？那比如说在这里，那应该在这个陷面角的什么角？五角，如果钝角的时候是最大的陷面角的五角，最大的陷面角是什么呀？五角，如果他是内二倍角呢？ 那就是我们的什么最大的陷面角，最大的陷面角啊， 好，那第一个是大小的度量来看题，这是一个三轮锥， v c 根号三，其他都是二， 其他全是二。请问 b a b c 大 小谁是零？ ab 两个半平面， v a b 跟 c a b， 那 我怎么做它呢？你们讲我们注意到 v a、 b 是 什么原因？ 等边， c a d 也是等边能上取一点，分别引垂线，那就取什么点，那就去取谁的终点。 a b 终点，我们把它记作 m 吧。然后呢，连接 m v 跟 m c 兄弟连起来，连起来。然后呢，则怎么样？则 v a v m 垂直于 ab， v m 垂直于 ab， v c 呢？ m c 呢？垂直于 ab， 所以呢， a 角 c v m c 为 二面角的平面角。六，这三段都知道，所以这个角度几度？六十六十，然后下结论。所以二面角的大小多少？ 其实是三步骤是吧？第一步是干嘛呢？对吧？第一步，我们在做的是什么？什么活来度，把这个角度做出来。 第二步，我叙出了一堆来证明这个角数是二面角的一面角。 然后第三步，去去什么取，把这角给取出来，所以有三步骤。那我们把这种求二面角的方法叫什么法来，第一个方法叫什么法？定义法是吧？ 特别的构成这两个半平面是有特点的，是不是那两个都是全等的？等边塞，那我 v m 若垂直连接 cmcm 度也一定垂直啊，这两个是全等啊。 来，接着我们拆开第二二面角六十度， 那我们画一个四域图，二面角六十度，等于是 l a、 b 在 a、 b 分 别在二百根贝塔内，到它的距离是二根四，这是两个单位，这是四个单位距离，距离是垂直的。 然后再来这条长度为十，长度为十， 求 ab 跟 l 所成角正弦值是多少？ 呃，事实我都看明了，是吧？在哪个东西没看到？没看懂啊。六十度在哪里啊？ 能上几点？分别引垂线？哎，我虽然是引了垂线，但是几个点 两个点，说明啥意思啊？说明我 a、 c 跟 b、 d 这两个异面直线所加的几度。 我真的那意念直接转下六十度那意念了怎么办？共灭。怎么变成共灭呢？你已知之爱。 其次，我要求线 a、 b 跟 l 所成角，我也得去什么啊，所以也得去平移。所以怎么做过 c 做 b b 的 平行线，然后再过 b 做 c， b 的， 这全部都搬过来了。 哎，当完以后这个 a、 c、 e 这个平面长的什么特点？ 这个平面跟人什么关系啊？哦，你们人是不是垂直的？这个 c、 e、 b、 e 有 什么特点？ c、 d， b 是 什么？什么形啊？什么矩形啊？ 那我所乘角在哪里？ a、 b 跟 l 所乘角在哪里？哪个角？ a b a b a b 换哪里？研究 ab， a、 b， e 是 什么原因？因为 b、 e 跟正面什么关系？所以说什么原因？ 我的六十度在哪里？ a c， a、 c、 e， 这是根据什么来的啊？还是刚才那个问题出定义法？上局一定有分别是以权限六十，这等于二，这等于四，这 道等于几十，所以这条是什么？十 正弦值等于谁啊？就等于两倍的根号差除以几啊，对了没？所以刚才这个二面角我们怎么处理呢？第一把你有锤子吧，横上取一点，分别引全线， 如果是一点引全线，一步到位都是两点的半移在一起就变成一点了吧。你过来啊，你过来啊！第三题， 已知三人追踪， s a b 九十， s a c 九十，还有 abc 也九十，知道吗？ s a 跟 ab 相等， s b 跟 bc 相等， 那信息我都给它可塑化了，在图上给它标识出来了，清晰可见，对吧？ 这是啥东西啊？哦，原来是编码的模型，编码的模型对吧？第一步，这名 s b， c 跟 s a、 b 垂直，判定定命 运垂直，通过评估一下谁的权限好走，是 s a， b 好 还是 s b c 好？ s b c y 似的是不是？ 而 s a、 b 是 绿色的，它又是边到的模型，所以它的垂线是谁啊？啊？ b c b c 垂直于平面 s a b， 然后我 s b， c 过 b c 垂直了没？ 二，求二面角 a s c b 来思考一遍。 uhh， 那这个编码的模型所有的长度，这个关系度都清楚了。所，所以我们设 a b 为 a， 但是都可以标注出来的 啊，那构成这个二面小的两个半平面， a s c 角三角 形，斜边为几？哎，斜边为二 a， 所以 这两边直角边 a 跟二三 a， 另外一个呢？ s c， b 呢？啊？ s c， b 是 等腰直角三角形 能上去一点分别引垂线好做吗？是吧？不好做，这招怎么办呢？ 我们的目标是不是做能 l 的 垂线， 那如果要线线垂直，那什么呢？我们线线转换什么？空间里面线线转换成什么？是不是成了固面的线？线垂直也就转换什么线，找一条线在另外一个面呢？啊，是说射影所成的角 摄影垂直是斜线垂直吧，你看我们这是 s c， 这里面一个 a， 这里面是一个 b。 来，那你要用摄影三垂线来找摄影，所以我过 a 列记住 s， b， c 的 垂线， 这步 a 点在这边的摄影做出来了。那如果我这里做垂直呢？我做摄影垂直，则一定有什么斜线做垂直， 或者我斜线如果垂直，那摄影呢？而且这是一个什么原理？所以我们第二招用三垂线法来做 三垂线啊。三垂线， 因为这两个半平面同一点做不好做，因为两个半平面不是相等的，对吧？咱们也没什么确定不好做，所以我们去构建会知道在哪。 那怎么样？那现在到底是 b 去做 s， a， c 的 垂线好做，还是 a 去做 s， b， c 的 垂线好做？ b 比较好做是不是？ 然后过 b 点做 s、 c 的 垂线，那就只要做谁的垂线就行了啊，是不是？兄弟，那这条线我就去做 b e 吧。 b e 谁是 a c？ 那 b e 会不会谁是背面？这是 a， 根号 a， 根号三 a， 谁这条长度 二， a 除谁根号三 b 去做正面的垂线垂足，我记住 e 这条长度是几？二， a 除根号三。接着呢？ 先生，你过 b 点去做人的垂线可以，你过 e 点去做人的垂线，可不可以效果一样一样。 那到底是 b 点好做还是 b 点？为什么 b 点好做？那取它什么点？取中点连起来，这个 b o 是 不是全是 n c？ 而 bo 在 s a， c 的 射影是谁啊？ o e， 哦， bo 跟 s c， 谁是谁？ o e 呢？谁是谁？这个角就是 二面角呢？一面角，而且这个三角形是什么意思？ 那 o b 多长嘞啊？ o b 是 a 这么长，是不是？所以这个角的什么值可以搞定了？正弦值，所以正弦值？是啊， 二除以 c 搞定了没？不有可能是二啊，根化二大于一，根化二除以根化三搞定了。 因为我要做人的垂线嘛，是不是叫做人的垂线？ 所以，所以我要斜线跟你垂直，我摄影跟你垂直就行了吧？摄影跟斜线不也垂直啦？所以我们勾线，勾线，线面垂直来勾线这个二面的弧面的。 大哥们，那刚才我们做出来的这个面跟人什么关系啊？垂直的什么跟人垂直啊？所以我要找二面角和平面角，其实就是找一个面跟人怎么样垂直， 所以找一个面跟人垂直，所以我们这种话就叫做垂楞管。啊，垂楞管， 那既然跟人垂直，所以我做的这个面跟阿尔法贝塔什么关系啊？做也垂直了，第一次，那就是垂面法， 我如果做一个面跟阿尔瓦贝塔都垂直呢？我做一个面跟你阿尔瓦贝塔都垂直呢？那我跟你的交线什么关系？垂直的，那就 l 是 垂直我这个面，那 l 是 垂直我这两条线，所以这个角是二面角，平面角， 那其实都是一回事的，就是做一条，做一个面跟人怎么样？做一面跟人垂直就行。那要做一个面跟人垂直，就是做一个面跟阿卡贝塔都垂直，是做面的曲面。 好，接下来我们来看一下，已知平面被塔内有一条直线，是 a c a c 跟二百三十度， a c 跟 b d 四十五度，请问这个二面角的大小多大？ 哎，三十度这条线在哪里啊？过 a 点做这面的怎么样？垂线，这垂足为 a 型，然后呢？ 所以这个角度几度？三十度，这个角度三十度， a c h 三十度，我 h 跟里面谁知道把脚面都摆上要求的平面角在哪里啊？ 这二面角的平面角在哪里啊？啊？三垂线法是吧？有线面垂直的，我只要做交叉垂线就行了嘛，所以过过 h 点也行，过 a 点呢也行。过 a 做 b d 的 垂线垂足为 o， 然后连接 o h， 所以 这个呢？而且 a h o 什么概念？不知道这样的哎，搞定了没？ 哎，那现在我这个二面角大小都减减，直角大于谁啊？啊？ a o h 是 吧，都减下 a o h 设了，它为 a， 那 c o 呢？ ac 呢？ ac 更换为三十度，谁搞定了？ a h， a h 是 二倍的根化二，二倍二是它一半，二分之根化二 a 一 半呢？三十度 这个数只要占一半一半 a， 那 a o s 数两边知道了， 一边是他这个角的什么值？左边对边，一边是边边，所以这角的什么值可以取出来啊。所以正弦等于几啊？二分之根号二，所以大小四十九。好的， 那刚才我们是用这一定是吧。用三垂线法，三垂线， 斜线，垂直的摄影角，所以得到的是二面角的平面角，用三垂线法来做来。那继续我们再看。 已知 abcd 是 一个正方形， pa 跟底下垂直，并且 pa 的 长度跟 ab 一 样长。 九 p a b 跟 p c d 所成二面角的大小。 哎，这个模型叫什么？羊马是吧？ 现在这个二面角长的什么特点呢？各位 能能没刨出来是不是？但能是不存在的。我们这两个半明明是有交界的吧，有姑娘对一条交界这种的话，我们把它叫做无能二，命小啊。 第一种结话，零人怎么办？五人法是不是 怎么补这两人？这两人长得什么样？那不就是球 p c d 跟 p a b 的 交线了？ 你都知道他是养马了，那补一下，这是谁啊？从宋康里的一条人啊。为什么 我们说 p a b 交 p c d 于 l l 有 什么特点呢？ l l 是 跟谁平行，为什么 l 跟 ab 平行呢？那个点， 为什么 l 跟 ab 平行呢？过线这面找标线什么前提？所以这线是平行呢？因为 ab 平行 c 力，所以 ab 会不会平行平面 pcb， 然后呢？过线过线又 ab 再平面 pcb 中过线 做了一个面，找到谁交线，结论， a b 平行，谁来了？右 pa 垂直于底面，所以 pa 垂直谁 a b 所以 pa 垂直，谁来了， pa 又垂直来了， 那 pd 会不会垂直 l 啊？也会是吧？选 pd 也垂直 l。 所以 二面角的平面角是谁啊？啊？ a p d 什么 a p d？ 这不就是我们二角平面角， 那这个角度为几度？四十，所以这个二内角大小为补，能把能给补出来，但是大家你们发现我们补来补去补来的寂寞， 哎，你们都不要把二段就行了哈。为什么不要把二段也行啊？你要做二面小的比面小，事实上是 做一个面，做一个面跟谁谁吃，跟 l 谁吃，是吧？要做一个面，跟他交界谁吃。就是要做一个面跟这两个面都垂直， 都要做一个面，跟这两个半明面都谁吃啊？所以刚才我们有一个方法，几方法是叫什么法啊？水念法是吧？来，我们具体怎么实施， 先证谁先证平面 p a d 垂直平面 b a b， 然后平面 p a d 垂直于平面 b c d 这两个平面交于 l 则怎么样？ 这两个平面都跟他垂直，他的交界跟我这平面有什么关系？你看地板平面比，这个地板平面跟你左边的墙面，他们的交界跟我这平面有什么关系？所以我 l 跟跟谁 p a d 是 垂直的， 所以呢？ pa 会不会垂直 l p d 会不会垂直 l？ 所以呢？咱们下结论说三个角平面角对不对 啊？在这个角度是不是四十五度？搞定了没？所以五个人二面讲两招，一定要把它补出来，是不是 一定要把它补出来？第二招呢？第二招，我们找他的面的水面或者人的水面 啊，那这是我们今天啊讲的内容就是侧面讲我们常见的招数啊，第一招是地面法，第二招是全面法 啊，第三招是三权现法，对吧？第三招是三权现法。第四招呢？ 就冷的水面跟什么啊？根面的水面对吧？把它吹起来叫做什么啊？常见的是这三招，常见的是这三招。 好，那今天第二个任务，上一周大家做的一些题目，我们来点评一下吧，对了， 难受的地方在于什么？ 如果没有根号五，咱们彩笔的招数是将军一号啊，将军一号拉直的是不是折线度拉直的？ 但是这屏幕的特点是，这是一个直角三，这条边为一，这条边为谁？你看数据太吉利了。根号五根一啥意思？破 m 做他的什么线？ 你说 m 撇吧，那我这是不肯定大于等于根号五倍的谁 啊？根号五倍的 m n 撇是不是谁啊？你这不根号五比一嘛，所以根号五倍的 m n 撇就是谁啊？就是 a m 撇是不是 另外一条呢？ m a， m a 是 斜线段最小，什么叫最小？垂直的上最小，那就 m n 撇吧。 那现在就变成 a m 撇加上 m n 撇吧。 a m 加上 m n 撇等于谁啊？这恰好是不是等于 ab 的 长度啊？因为我们这边是一个什么形，所以它就是 abd 的 长度，是不是就等于杠五？ 所以呢，当然以后我们学完语言以后，根号五倍啊，经常会去找他的叫做还原点啊。还原点，因为我们语言可以看作是到两定点距离之比，是一个 定值，对吧？所以根原上点根号五倍就等于另外一段。这有一个系数的问题，我们记得以后也经常会用到这一招啊，这一招啊，当然今天我们就这样。另外一个呢？ 另外一个角度，一个根号五跟 pm 存在一起有点像。什么面面积？总面积除以二分之根号五，这面积可以分成几块？ a， b， e， m 跟谁啊？ b e， m c 是 吧？ 那这面积数等于二分之根五乘以 p m 再乘以什么高高，你把 p m 变成什么？又高来？ p m 是 大于 二分之一乘以 m a， 再乘以这个角度 r， 好 吧，除以 m n 跟 b c 的 夹角处 r， 这是贝塔吧，对吧？上面是阿尔瓦这个贝塔，阿尔瓦贝塔有戒吧，所以给他放松一下，所以起来练习。 二分之一根号是谁？这边呢？二分之一左边呢？好了吗？两边都乘以二，是不是根号就出来了？所以第二个你要想到这里面是面积，所以可以面积把它记住 啊。再来再来，一四七面一十五皮， 打一个正方形的纸片。那你翻折的问题，我们首先 把它的平面图画一下咯， 我现在要把 a b， e 绕着 a e 处翻起来， 直角三角形，绕着斜边翻起来是什么？这样是不是旋转体了？是不是旋转体了 啊？刚给同学提到出两个圆锥，那旋转体的问题要注意啥？轴的什么线？垂线？那就过 b 做 a 的 垂线 是不是垂直过来，刚好是它什么点？终点，这是二，这是一随这段为二除根号，整条根号随这段为三除根号。那你这是二根号。这边出一个三等分点 啊， f o 的 三的分点数，这个，这个 b e 是 吧？呃，这有 b b 撇啊，我就 b e 啊，看见没？那你就翻起来呢？翻起来长得怎么样？ 这是 o 是 吧？所以这翻起来以后是一个啥？是一个圆圈的底啊？那翻到背面去，是不是这边的三角形？这里啊？ 翻到底下来是不是这个？所以点 b 撇的轨迹是什么？是一个圆，并且 b 撇 b o、 m 这四个点呢？共面是不是共面的？ 因为你这边要垂直吧，延长过去下一个终点啊，所以这个 f 啊， b 啊， o 啊， b 就 空空面了。再来， b 撇在里面摄影是谁啊？ 你这个 b o b b o， b 撇这个面的里面都垂直了，所以 b 撇在底下摄影出这条线上的某个点，摄影出在线上某个点， 没毛病吧？来，这 a b c d 哪个选项需要解释一下？ 比如 c 选项好不好？ c l 会零点吗？ f 点，然后 b 撇 f 跟底面所乘角， 线面所乘角就是谁了？ b 撇 f， 谁 用 b 撇 f， 而这这些是共面呢？共面呢？我看不懂，我把平面图画出来，这是 b 啊，这是 o， 对 不对？这是 b， 这里还有一个三分之一，这点是 f 点，你是长这样子的， 然后这个连起来什么社会最大？切切的话连起来是九十度，最大的一记，二除根号最大的一记， 单独跟好友，谁的挣钱是最大啊？不是这么多事情想恨着，明白吗？要再比如说，谁知道问题呢？ b 撇 b 会跟 a e 谁生呢？那 b 撇 b 的 投影是谁啊？ b f， 那 b f 跟 a e 会谁生？那是不是斜线这里也垂直的啊？斜线都可以做出来对吧？是旋转的问题。 再来，若两条异面所成角七十度，或空前一点，跟它们都成七十度，这样直线有多少度？ 所成角？那我们是不是都可以移到一起来啊？可以吗？ 那如果我过点 p 做一条直线，跟它所成角如果相等，这条直线长的什么特点？ 这个角跟这角相等啊？那我这上面找一点 q 做正面的射影，做 o， 然后过这做垂直过来， 比如说 q e 垂直啊，这个真 q 是 吧？这是 o 啊， q e 垂直 a q e， 如果垂直 a， 那 o e 呢？垂直 a， 那 q f 垂直于 b， 那 o o f 呢？ 这两个脚相等刚才这只直角，所以左右两侧的两个三有什么关系？全等，这两段是不是相等？ 这两段对于底面来讲叫什么？叫斜线？那斜线如何相等呢？投影是不相等， 这两段相等是啥意思啊？到角的两边距离相等，所以这个点在哪里？ 所以我们现在解决了一个问题，如果过点 p， 要做一条线，跟 a b 所成角相等，那这个这条直线 l 在 这底面射影，一定是谁啊？是角平分线， 所以你看我们这个是七十度是吧？那七十度这个区域里面是不是这个叫做角平分面啊？从上到下还有呢？还有是不从下到上 只有两个区域，上面可以做，做一条，底下能做一条。还有两个平面是谁啊？钝角一百三十，一百一十度，这边是不也有啊？ 看见没？看见没？这个角度，这个最小是几度啊？三是三十五，所以跟 a、 b 三十五这样子有几条？ 是不是？有，且只有在这个面上的这条，然后四十度有几条？ 这一边是可以做一条四十度的，底下能不能穿上来一条？可以。而在这个区域里面，你是一百一甚至几度？五十五最小几度， 最小是五十五。那你要做四十度，能做的来吗？做不来对吧？做不来， 因为我们刚才为什么这个是最小的？为什么三十度最小？三十度是什么？躺着的都躺着的， 所以我这个斜的一定比躺着的来着什么大，所以最小是几度啊？三十五是最小是三十五。来回到本题， 他说要做七十度的，是不是？那你这里最小几度？三十五，所以在这个区七十可以做几条？两条这边是几度？最小几度？五十五也可以做几条。什么时候是三 条？那七十度改到几五十五，那这样子线可以做几条？什么时候两条 三十五到五十五之间是多两条三十五度的叫几条？三十度？没有，没有是吧？搞定了吗？ 因为所成角是可以进行平移的，所以你都移到一起来，变成过一点的线。
121汤老师
18:03查看AI文稿AI文稿hello， everybody， 我是 神奇小猪。有的题目是不好解析的，有的题目是你即便会解析了某些点的坐标，你不好求。 所以接下来我们来看第二类题目不好求坐标的难题。我们举两道题目，一道题呢是二零一九年浙江高考，他最后问了一个线面角。一道是二零一五年的浙江高考题，问的是一个二面角。今天讲的浙江高考题真的好多呀。 他最后问什么其实并不重要，你关键是你把细建出来，然后把一些关键的点坐标求出来，剩余的都是套路问题，就给大家留作业了啊。所以接下来我的任务是帮助大家间隙帮助大家找点坐标 来看。第一题说现在有个三棱柱，那很显然，这不是直的，这斜的三棱柱哈。然后给了我一个面面垂直。又出现了今天第二道题了，面面垂直的线 线线垂直线，面就垂直线，面一垂直线跟面上另外一条线，最后就线线垂直啊，那我来看看标一标是哪两个面嘞？一个是它 a a c c， 一个是 abc 是 这个。嗯，那交线显然那就是 abc 了。我一会看看谁跟 abc 是 垂直的哈。咱继续往后先看一看， abc， 九十度，爽，哎，给了我一个直角是吧？ abc 是 三十度 abc， 哎，这是三十度，爽，相当于底面是一个三十九十的一比二比根号三的三角形。 又过一些条件，哎呦，这三个棱长都相等谁呀？这是 a a e 哎，然后 a e c， 然后 a c。 好 家伙，你这啥玩意？你这不就是三角形的三条边吗？那这意味着它是一个等边三角形。等边三角形垂直小妙招又来了，出现等腰或者等边，干嘛？ 三线合一。所以他下面说了啊， e、 f 啊，都是终点，他即便不给我终点，我也得自己点出来，然后连接 a、 e、 e， 这是我必干的一件事情， 因为有了它，咱线线就垂直了。哪条线呀？哈？你这个跟底面一直，底面是交线，底面一旦是交线，不是找到根交线垂直线了吗？ a、 e 就 跟底面整个线面垂直， a、 e 就 跟底面上任何一个线 a b b c、 a c 都垂直。所以后续我一定会用上 这个线面垂直的条件呢，可能利用它进行一个间隙啊，也有可能利用它呢，去证明一些东西。比如说，第一问，我看他问我什么啊？我还没看嘞，他问我，这个 e、 f 是 不是垂直于 bc 的， 谁呀？我再画个图，大家看着可能更清晰一点， e f 是 这个， bc 是 这个。哎，这个线线垂不垂直？说实话，这斜着线我不太好看啊。那让我正线线垂直，没办法，硬着头皮正啊。我先来看看这里面谁是垂直条件比较多的？肯定是 bc， 因为 bc 呢，在底面上 bc 跟谁垂直啊？首先，题目人家给了一个垂直 bc 第一步，人家跟 a、 b 是 垂直的，这我想一会可能是不是要用得上啊？ 然后 bc 还跟谁垂直啊？刚讲的那 a、 e、 e 是 垂直于交线的线，那么 a、 e、 e 就 跟整个底面垂直，整个整个底面垂直，它就跟底面上任何一条线，包括 bc 是 垂直的， 嘿嘿。所以 b c 啊，还跟 a、 e、 e 这条线垂直，那其实那不就有了吗？怎么通过两条绿线的垂直条件过度到这个蓝线呢？ 小笨蛋，你底下这个 a、 e、 b 这个绿线是不是能平移到 a、 e b e 上去啊？那不同一条线吗？对不对？所以，哎，这一个粉线太厉害了，跟这个绿的垂直，跟这个绿的也垂直啊，跟这俩绿的都垂直，就跟绿的所形成的面垂直了线面一垂直，它就跟面上任何一条线，包括 e、 f。 是 不是垂直的 全都是套路，你只要掌握了垂直小妙招，没有你不会做的垂直题目。好了，那第一问，做完之后是不是该见细了？你甭管他问我，哎，是哪条线跟哪个面细 咋见？咱得先在这个底面上是不是找到某一个点它的垂直条件最多的地方。说实话，有两种方法，你可以一点见，以一点见的好处。这个 z 轴直接就是 e a 一 没问题，但是 x y 你 怎么选呀？ 底面是一个 a、 b、 c 的 直角，呃，三十、六十、九十的三角形，你意识中点，你咋在这平面上选 x 轴跟 y 轴呢？哎，你如果这个其中一条线贴着这个 a、 c 长度啊，你无论是 e a 也好还是 e c 也好，其实都行啊。 比如说你贴着 e a 键，这是 x 轴，那 y 轴可不是跟 c b 垂直的， y 轴得跟 x 轴垂直，你得这样键这么做不是不能做？可以啊啊，这个 z 轴是好算的，但是你那个 b 点坐标好像没有那么好表示啊，你得通过平面图形一点一点去推它在 x 轴 y 轴上，这这个截距是多少？ 那我换一个思路，我是不是也可以以 b 点间隙啊，对不对啊？ b 点，这不也有垂直吗？啊，一个 x 轴一个 y 轴也是可以做的呀，两种方法的难度，哎，没有差太多啊。哎，那我看这个 b 比较舒服，我今天就以 b 间隙了 啊。以 b 点，那肯定是，这是一个轴，这是一个轴，那 z 轴？是啊， z 轴是过 b 点跟整个底面垂直的线。垂直线？谁啊？其实应该是 a， e， e， 对 不对？所以那我怎么办呢？我就过 b 点，做一个跟 a、 e、 e 平行的一条线。 哦，两条线平行的，我已经剪好了，这是 x， 这个是 y， 这是 c。 我 这么精细的好处在哪？在于这个点 a 啊，点 c 啊，都在坐标轴上，对不对？好，那今天我要讲个什么呢？他让我求这个线面角，我这得把 e、 f 这项量表出来，把这平面的法向量也表出来啊。 那我一点一点来啊。首先 a 点， c 点坐标都好求，这题目里面没有给我任何的边长条件，对不对？没关系啊，我也不设 a 了，我就设呢， bc 长度是一， ab 长度是根号三， ac 长度是二，好不好？设一法，所以 c 点坐标一零零， a 点坐标零，根号三零。 那注意，这 a 一 点我怎么求？它是由一点往上平移了。这么长，是吧？啊？多长呢？整个长度？这个它是一个等边三角形，等边三角边长，这是二，是吧？啊，所以这个长度就是一，它这个长度应该是根号三 往上平移。根号三这么长，好，那我就先找到一点，然后找到 a 一 点就可以了。一点好求啊，一点是 a、 c 的 中点，它俩相加除以二，它俩相加除以二，它俩相加除以二。所以 a 一 点的横纵坐标应该分别是二分之一，它俩相加除以二，应该是二分之。根号三，纵坐标是由零往上平移，根号三这么长， a 一 点并不难求， a、 e 点有了，其实谁就有了呢？这面你看啊，这面是由 a、 e、 b、 c 构成的啊，你 b 点是圆点啊， c 有 了， a、 e 也有了，所以理论上这面的法向量我是可以求的，这不用我再求一遍了吧？所以整个问题我是能做出来还是不能做出来，我就看这个 e f， 哎，这线段的向量我能不能求喽？ e f 在 这里，那对于某些同学来说，最终的问题变成什么了？变成，哎呦，你 e 点坐标，咱刚才其实是能求的 f 点坐标，你怎么求啊？ 这个点它太淘气了，它织出去了，这个点并不在任何的 x o z 或者 y o z 的 平面上，它织出去了，这 f 点作为一个终点，你想求的话， a 点已知，你一定得求织出去的那个 b 一 点 能不能求？说实话，可以求，求点 f 的 方法非常非常多，今天我给大家介绍两种方法，大家自己来对比，你喜欢哪种方法？ 法一应求 f 点坐标，那我就求 b 一 呗，对不对？哎， b 一 怎么求？ b 咋定义？它是三棱柱的一个底面，对不对？那三棱柱上下是不是应该是全 等图形呢？我 a e b 的 这个方向跟 a b 的 方向理论上应该是大小相等的同一个方向，对吧？换句话说，我 b a 向量跟 b e a e 向量应该是同一个向量， 嘿嘿。哎，那我 b a 向量已经有了呀， b a 向量，那不就是零杠三零吗？那意味着，哎，我 b e a 一 的这个向量也是它。哎，那我还已经把 a 一 点坐标求出来了，刚才不是说了吗，是二分之一，二分之杠三杠三， 哎，也就是说，这项量的中点我已经知道了，你整个向量知道，你中点坐标也知道，那起点坐标其实也应该知道吧？啊，所以我硬求的话，那就这样求，我设 b 点是 x、 y、 z， 我 不知道嘛，我就设终点坐标，我已知是二分之一二分之杠三杠三。 那末这个向量我用中点减 t 点，它应该是二分之一减 x， 二分之杠三减 y， 根号三减 z。 嘿，这坐标跟这个零根号三零应该是完完全全相等的坐标，所以二分之一 x 等于零， x 就是 二分之一。二分之杠三减 y 是 等于杠三，所以 y 呢，应该是负。二分之杠三 杠三减 z， 应该正好等于零，所以 z 呢，等于杠三。这里面 x、 y、 z 这坐标咱就有了哦， b 一 点坐标有了， a 一 点坐标也有了，那我继续中点坐标公式，点 f 坐标是不是理论上可以求？没问题哈，你应求 f 坐标能算呢？但是今天我必须要给大家介绍另外一个思路。法。二， 哎呀，这 f 点织出来了，他太淘气了，哎，但是我为啥要求 f 点坐标来着？我为了要求 e、 f 这项量的坐标，对不对？他不是让我求先变角吗？那我可不要把中点起点这么一减，把这项量求出来吗？但是我们转而一想， 既然我们最终目标是要求 e、 f 这个线的这个向量，我求 f 点坐标只不过是中间的一步，我可不可以略过，绕过求点 f 这一步，我直接把 e、 f 表示出来呢？可不可以？这就是我们今天的第二个方法，我不求 f， 我 直接一步到位，我直接把 e f 求出来， 那可不就没有刚才那么一大堆运算了吗？哈？那问题来了， e f。 你 打球向量第一节课，想用 e 点走到 f 点，可不一定是走这条直线，我也可以先由 e 点走到 a 一， 再由 a 一 走到 f， 对 不对？ 所以我们运用向量的向量的向量，它等于 e a 一 向量加上 a e f 向量，谁是 e a 一 啊？我知道啊， e a 一 不就是呃跟 z 轴垂直的往上平移根号三长度的这个向量吗？所以 e a 一 我是可以求的啊，就是零 零根号三。哎，我只要把 a e f 这个向量求出来， a e f 啥？ a e f 是 二分之一的 a e b e 我 先记下来，我怕忘了啊。二分之一 a e b e， 那 不终点嘛。那 a e b e 又是谁？ a e b， 你 在看着上面，看着你看着支出去了，但是我把它平移到下面来， a b 我会求啊，它就是二分之一倍的 ab， 那 ab 是 多少来着？那你 b a 是 零，根号三零，你 ab 就是 零，负根号三零呗。所以 ef 向量太好求了，零加上二分之一零。逗号，零加上二分之一倍的负根号三。 继续，这轴是根号三，加上二分之一倍的零，就是根号三。爽，下次再遇见某些点，特别淘气支出去了，你一定非得求这点坐标吗？ 咱可以绕开点的坐标，直接求向量坐标，用向量的限行运算，咱把它放到一个新的路径上去，你选一个路径好求的是吧？这里面因为有个垂直，所以我就选 e a e f 这新路径了。 但有些题目啊，抛开这道题，有可能绕得更远。比如说，我想要 e 点走到 f 点，我可以绕着楞走，比如说我由 e 点，先求 e a， 再求 a a e 一， 最后再加上 a e f， 也是可以的。 所以今天给大家讲了两个方法，对吧？大家自己去看哪个方法适合自己哦，那我 e f 求出来了，我这个面的发现了也有了，所以呢，线面角我今天可就不给大家再算一遍喽，我直接公布答案了，这道题的答案是五分之三，这是大家今天的小作业 啊，那光举一道题还不够啊，我觉得再给大家举一个比较淘气的小题目啊，二零一五年浙江高考，呃，还是一个三楞柱， b a c j 是 九十度， 这看这个也不像九十度啊，你别管人家画的怎么样，人家说九十，那就是九十啊。然后又告诉了一些条件，角 a、 b a、 c 都是二，这是二，这居然也是二，那不就等腰直角三角形吗？对不对？所以一会这道题我还没开始做呢，我底面分析出来了，他是等腰直角，那么这道题如果连辅助线的话，你说连啥？ 这是等腰三角形，我是不是一定要取 b、 c 的 中点，然后三线合一？这有垂直啊，用不用得上？我一会看，他又告诉了一个条件，叫 a a e， 哦，这个斜出来的这个侧棱长度是四的，然后 a e 啊，在底面的摄影，正好是 b、 c 的 中点。啥叫投影点？投影点就是我过 a 点做一个线面垂直啊，垂直点，他说正好是谁，正好是 b c 中点。好家伙，不用我写了，他直接给我了 b c 中点，比如说我设成 o 好 了， 那这题的意思就是说，哦，我 a e o 连起来这个投影点，这条线正好跟底面是线面垂直的。哎呦，这都有线面垂直了，同学们，你说咋间隙啊？我肯定过 o 点列一个数值的线面垂直这个 z 轴出来， z 轴已经有了。那问题是 x 轴 y 轴你怎么找？ 咱过底面这个 o 点找垂直太好找了，我是不是连接 o a 呀？这就是我要的 x 轴跟 y 轴喽。 这第一问，我做我都不想做了啊，所以，哎，我直接上来，我其实我想象了啊，就可以直接间系了。这是 x 轴，这是 y 轴，这个是 z 轴。 反复利用咱们的这个垂直小妙招出现，等腰三角形还真的就去连 a、 o 了，哼。哎，你不连还不行哈，多损呢。 来，那我来看看他问我什么？第一问，他让我证明 a、 e、 d 跟平面 a、 e、 b、 c 线面它垂直不垂直没劲，你线面垂直就一个方法，你就是在这个面上找到两条线都跟这条绿色的线垂直就可以了啊。 那我 a、 d 跟这个一二三谁垂直啊？这 a、 d 在 上顶面上，你好像不好看，我是不是可以把它平移一下呀？我刚才不是已经把这个 a、 o 连起来了吗？ 我把这条绿线移到下边来去看，那可好看多了哦。这条线已经跟谁垂直？已经跟 b、 c 是 不是已经垂直了？有一对线线垂直了啊？那接下来我再找一个，我随便找。比如说，我再证明一下，这个绿线也跟 a、 e、 c 垂不垂直啊？这线线垂直咋证明？ 呵，这俩都不在一个面上，这是一面直线，发生不了关系，所以我想发生关系我得连起来。哎，你看我把这这两点我连起来啊，这是连起来强行有关系才行。 你看我这个绿线，它现在已经跟这个 bc 这条蓝线三线合一，是垂直的了。然后呢，刚才题目又告诉我， a 一 点在底面上，这个投影底，啥叫底面投影？底面投影就是这线跟底面垂直，线跟底面上任何一条线啊，包括这个 a o 是 不是线线垂直？ 所以 a o 作为交际花太厉害啦，它跟 c o 垂直，它跟 a e o 又垂直，那它就跟香蕉的两条蓝线所形成的蓝面线面垂直，所以多好挣啊，你只要按照垂直小妙招这么来做，垂直问题全部解决，绿线往上平移一下，就是 aed， 所以 证明完毕， aed 垂直于 aebc 这个面。 哦，第一问简单啊，那关键今天咱要讲的其实是第二问，他问了我一个二面角，那我肯定把这个面跟另外一个面的法向量求出来，对不对？我先来看一下 a e、 b， d 是 谁？他是 a e、 b d。 哎，说实话，这 b 点呀， a 点都在坐标轴上，这个肯定是好求的。这个地点说实话，好像没有那么好求，是吧？他支出去了，他很淘气。然后呢，我继续来看另外一个面是谁，是 b d b e 又跑这来了， 你按照求点坐标的方法，哎呦，你这个蓝面啊， d 点 b 一 点，那坐标也得求，哎，硬求能不能求？就像刚才说的，硬求是可以求的， 其实两道题是一道题，上下俩底面是不是都是全等三角形啊？这上下的棱啊，这方向都是一样的，你可以利用向量去做，去慢慢算。当然，我也可以绕过点的坐标，我直接求向量的坐标， 比如说回过来啊，你看，先拿这绿面来说，你说你求哪两个线了？好求，这 a 一 和 b， 我 的坐标肯定是能知道的。 a 一 b 肯定是好求的啊，我直接来求， 这是二，那么 o b 呢？应该是根号二， b 点坐标零，根号二零，那 a 点坐标这个高是多少呢？我目前好像没有办法题目中直接给我，但是他告诉我了，斜边是四，哎，斜边是四这个边，哎，这个边是根号二，是吧？ a o 长度嘛。所以我可以利用一个勾股定律把 a、 e、 o 求出来，应该是根号下十六减二。哎呦，根号十四，够恶心的，零零，根号十四，那么 a、 e、 b 这面上其中有一个向量，我就有了，终点减起点零，根号二，负根号十四， 那接下来大家必不可少的哎，你这个一个向量有了另外的一个向量，你是选 a、 e、 d 呀，还是选 b、 d 呀？好像你看着哎，都跟地点有关系，好像你需要把地点求出来，但是你如果不求地点，你绕过去，你直接求 a、 d， 能不能求啊？ a d， 那 不就是 a o 吗？ 你 a、 e、 d 不好求，我下面 a o 还不好求吗？人，这俩是相等的呀，咱 o a 应该是根号二零零，那么 a o 就是 负根号二零零，所以，哎，俩向量都有了，我直接这法向量是可以求的了，大家自己做作业自己来求。 接下来我来看另外一个面是谁啊？ b d b 想求这面的法向量，先选这面上的两个向量啊。选项量的时候，你一定把 d 点坐标求出来吗？不一定，我可以直接求向量，比如说 b b 一 好不好求，我不求 b 点坐标，我也知道这个向量可以转移到 a a 一 上，简直不要太轻松。 a a 点。刚才说了是根号二零零是吧？所以 a a 一 是。呃，负根号二零，根号是四。 接下来这一边用完了，你就用另外两条边，你说这两条边用哪个好用啊？我肯定用 db 一 好算。 db 一 是啥？ db 不 就是底面的 o b 多好啊。 o b 是 零，根号二零，上下两个向量，再求一次另外的一个发行量。 法向量一有二面角，也就有了 n 一。 你算完是零，根号七一，但是法向量是有无数个的，大家只要保证自己算完，这个是它的倍数关系就可以了。另外的这个 n 二化简完，应该是根号七零一。 好了，以上就是今天的全部内容再给大家讲了，有些题目的图形太难看了，不好见细。比如说第一题或者题目中给的那个条件特别刁钻，你需要先证明出来垂直条件，然后才能见细，挺难的啊。 第二类问题，他有可能在第一类问题的基础上，哎，你光费劲巴拉见好细还没用，某些点他太淘气了，他支出去了。那我怎么求线面角或者面面角啊？ 两个方法哎，你自己水平高，你可以硬求点坐标，只要这图形确定了，坐标肯定是可以求的。 或者咱可以动动脑子，咱绕过点的坐标，直接求向量坐标咋求向量坐标咱利用向量算什么？平移啦，或者由一点走到 f 点，我选一个新路径啦，都是可以应用的。哎，把一个立低几何的问题转化成一个向量的问题来做。 好了，今天介绍这几道题，难度啊，都不算低。那希望大家学完之后有所收获。环节撒化 啊啊。
972一数儿的课高二
00:59查看AI文稿AI文稿进榜晚自习提分加营养加心理加油站加大学专业提分技巧，数学立体几何建立空间直角坐标系式通法证明平行垂直用向量法 计算角度距离，用向量或几何法遇到不规则图形尝试补行或割补。营养补给站烤前两周这样吃，每天一颗鸡蛋补充蛋白质， 牛奶五百毫升，补钙坚果一小把补脑蔬菜水果多样化，保持饮食习惯不变，避免肠胃妊娠。 心理加油站专注力训练番茄工作法学习二十五分钟，休息五分钟，关闭手机通知，用闹钟代替手机计时。专注力是可以通过训练提升的。大学专业解读信息安全专业电子科大北游、 复旦培养顶尖网安人才，就业方向包括网络安全工程师、渗透测试员、安全运维等。数字化时代，人才缺口巨大。
