高三五月联考安徽天一数学立体几何
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01:06查看AI文稿AI文稿这是天一大联考，安徽五月第二次联考，就是十四号考，整张试卷难度不大，新颖性也一般。但是有两道题是值得注意的，比如说这个第十七题， 这种解三角形，嗯，结合立体几何的题目，尤其应当注意啊，有可能会考也不一定是利用于郑燮定理啊，也可能是利用空间向量解决平面问题，因为 因为本质上是是是项链，他就不分什么空间平面的，他本质上不就是项链吗？好，然后还有这个第十八题啊，十八题虽然谈不上吸引，但是很经典啊， 很有训练性啊，大家可以做一做。就是，特别是啊，当成一个经典起来讲的话，还是非常非常不错的。
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10:15查看AI文稿AI文稿我们继续来看一下这个陕甘宁青四省联考的第十四题啊，这个第十四题是一个 这个立体几何的问题啊。到时候如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，我们有 b、 d 等于 bc 等于二分之一， b 的 a、 c 等于二分之一， b 的 a、 d 等于五分之根号五。我们简单翻一下，就是 bc 的 长度，这条长度是根号五，我们稍稍换一下啊， 好，这段长度是根号五，然后这段长度呢，也是根号五， a、 c 的 长度就应该是二倍根号五。 ab 的 长度呢，应该是五了啊，其实我们很容易得到，就是这个 a、 d 的 长度也属于这个二倍根号五。好，然后继续，那很容易得到这个三角形 a、 b、 c， 它应该是一个直角三角形啊，这应该是一个直角三角形，我们把这个直角边给他画上啊， 好，直角边画上之后，然后我们继续啊，再看下一个，下一个，他说线沿 a、 b 进行翻折，使点 d 到达 d 撇的位置，我们把 d 撇 沿着这个 a、 b 给它翻折，得到了 d 撇啊，连接这个 c、 d 撇连。连完之后呢，我们得到的是这个三轮锥 d 撇 abc。 好， 对这个三轮锥来说呢， 我们记这个平面 a， 这个 d 撇 a、 c 和平面 abc 所成的这个二面角为 r 法， d 撇 a、 c 和这个底面 abc 所成的这个角是 r 法。好，第二个是这个 d 撇 bc， 这个平面和底面 abc 所成的角，我们给它记做 b， 它，它现在让你求的是这个贪占，它被它减， r 法 求贪着它减比特减阿尔法。那很明显呢，这个题肯定不是想让我们直接得到这个比特减阿尔法，因为这种题我们一般有两个思路啊。第一个思路，我们最好能够直接去判断这个比特减阿尔法的这个大小，或者我们要整体去看这个贪着它比特减阿尔法的大小， 那如果他求的是贪整，他被他减二法的大小，求的是最大值，我们不妨把它展开，展开之后得到的应该是贪整的被他 减去贪整的二法，再除上一个一减去贪整，他被他再乘上一个贪整的二法。好，这里面如果咱们把贪整的被他看作是一个整体，比如说你把他看作 m， 把贪整的 n 看作是一个整体，比如说你把它看做 n 的 话，那我们整体这个式子不妨我们其实可以写成是 m 减 n， 除上一个一加上，这应该是加号啊，一加上一个 m， 好，这里面有两个变量， m 和 n。 如果我们把 m 用 n 来表示，或者把 n 用 m 来表示，那这个整体我就可以看作是一个关于 m 或者关于 n 的 一个函数。所以这个好，关于 m 或者关于 n 的 函数，我们是不是就可以判断这个最大值或最小值了？ 所以这个题它的本意其实想让我们得到的是这个 m 横之间的关系，也就是得到这个贪念的比特和贪念的阿尔法之间的关系。那我们先第一步应该先在这个图图里面啊，先去找到这个贪这个比特和阿尔法到底是谁，然后再去比较。那这个题我们 怎么处理呢？首先我们很容易得到刚才这个四边形，这个 a、 c、 b、 d， 它应该是一个真形，好，真形，然后我们继续把它翻折回来之后呢， 我们其实很容易得到这个 a、 b 和这个 c、 c、 d 撇应该是垂垂直的关系啊，那为什么垂直呢？很简单，我先过点 c 向 a、 b 做一条垂线， 假设垂足即作点 o， 然后我们再连接这个 d、 o 撇好 d、 o 撇连完之后呢， 我们刚已经说了，我是过 c 点，做的是 a、 b 的 垂线，所以这个垂直关系是已知的，那我们很容易得到这个三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 b、 d， 它俩应 a、 a、 b、 d 撇啊，它俩应该是全等关系，由全等可得。既然你 c、 o 是 垂直于 ab 的， 那就说明我 d 撇 o 肯定也是垂直于 ab 的， 这样我们就能推出来一个结论，就是这个面 d 撇 o、 c 应该是垂直于这条线 a、 b 的 啊，这个应该比较容易获得。好，那 a、 b 和这个平面 d 撇 o、 c 垂直之后呢？那是不是 a、 b 就 应该垂直于这个 d 撇 c 了，对吧？好，垂直完了之后呢？然后我们继续。那我如何去求 这个平面 d 撇 bc？ 我 们先求第一个，应该是先求的是 d 撇 a、 c 和 abc 所成的这个二面角呢？很简单，我们如果你熟悉这个三垂线定力的话，这个题应该很简单了啊，那不熟悉也没关系，你看我下一步我过。 其实我们首先搞清楚，就是我们求一个求二面角，就是求两个平面所成角，你可以看作是求一条垂线。我们还是把这个图先画一下吧，简单画一下啊， 随便来两个平面啊，比如说这个平面是阿尔法，这个平面是贝塔，那我们如何去求它俩的二面角呢？好，我可以在平面阿尔法，在平面贝塔内找一条直线，让它和这个交线是垂直的关系。下一步 我们过这个点向平面阿尔法内做一条垂线，比如说我们去做 l l 在 平面阿尔法内的投影，应该是它， 对吧？那这条直线和他的投影所成的这个角，是不是就是我们要求的这个二面角的平面角，对吧？那这也是一样的，其实你是个 d 撇 o 可以 看作是一条垂线，那他的投影其实我们很容易找。我先过 d 撇向他们的交线 a c 做一条垂线，哎，先做一条垂线啊，垂足，我们这个 画的不太恰当，应该在这个位置啊，比如说这个点，我们记做 h 点，对吧？做 d 撇 h 垂直于 a c， 下一步呢？我们连接这个 o h。 好， 如果你把这个 o h 连起来之后呢？我们很容易证明这个 a c 应该是和这个平面 d 撇 o h 应该是垂直的关系，那就说明这个角就应该是我们所找的这个二面角， 就应该是我们所找的这个二面角的平面角，很容易证明。好，同样的道理，我过 d 撇点向 bc 做一条垂线， 好，再做一条垂线，假设垂直去做 m 点，然后我连接一下这个 o m。 好， o m 连起来之后，你也很容易证明这个交线 bc 和这个平面 d 撇 o m 应该是垂直的关系。好，那就说明我们的这个角就应该是 r 法， 这应该是，这个角是 alpha 啊，这个角应该是比特了，那这两个角我们都给它找到了，找到之后，然后我们继续来观察啊，继续来观察。好，下一步我们该怎么看啊？ 好，下一步我们很容易得到，因为我们在前面的这个比值关系里面，它已经告诉我了，就是 这段长度啊，我们很容易推出来的结果应该是这段长度和这段长度的比值应该很容易获得。 因为你看在这个三角形里面，他给我的关系，假设这是一份，这是两份，这是根号五份。我们做的垂线，好做的垂线，那说明这里面所有的直角、三角形，他都应该是相似的关系。 那相似的关系我们怎么看呢？就说明这个角对应的也是一样的，那这个角肯定和这个角是相等的，他们的正切值都应该是一比二，说明他比他就应该是一比二，那就说明他比他就是一比二了。好，我们先把这个贪婪的阿尔法给它表示出来，我们在这贪婪的阿尔法在这个图里面，是不是应该等于 d 撇 o 再比上一个 h o， 对 吧？这是第一个。好。第二个，我们再写出来这个 tan 的 贝塔， tan 的 贝塔在这儿是不是应该等于这个 d 撇 o 比上一个 o m， 对 吧？显然这个 o h 的 长度是 o m 的 一半，你分母是它的两倍，那就说明反过来，我贪占它贝塔，应该反而是两倍的贪占它阿尔法， 这样贪占它阿尔法和贪占它贝塔它们之间的关系，我们就把它找到了，找到之后你把它带进去，相当于在这个题里面 m 是 n 的 两倍， 我们相当于可以写成是 m 等于二 n。 好， 如果 m 等于二 n 的 话，你把它带进去，我把 m 用 n 来替代，那这个式子就变，上面就变成了 n， 好，下面就变成了一，加上一个二 n 方，我们就变成了这样一个式子。好，这样一个式子。然后我们继续给他写分子分母，用同除法，同时除个 n， 上面就是一下面就可以写成是 n 分 之一，再加上一个二 n。 好， 很明显它的分母是大于等于 二倍根号二，对吧？好，它的分母显然是大于 等于这个二倍根号二的，那我反过来，这个分数反而是小于等于二倍根号二分之一， 我们给它化减的结果就应该是四倍根号二。所以我们这个贪定它别再减，二法的最大值就应该是四分之根号二。刚才好像读错了，这是四分之根号二啊。好，第十四题呢，我们就给它讲解完成啊。
11钟雾数学
14:58查看AI文稿AI文稿大家好，我是求实线的王老师，下面我们来看一下这个天一的第十五题啊，违反了联考，给了我们一个图，这个图，这是上面有个小摆球，底下又有个小摆球啊，这个，这个还是比较嗯，新奇的一种一种啊，不过这个也并不困难啊，这是碰撞固定在空中 光滑的导轨啊，质量为三 m 出来的质量 m 的 滑块 a 啊 a， 这个是重的啊， a 的 静止状态，质量为 m 的 b 与侧面连接，与 a 的 侧面连接， 使小球 b 悬空静止好，就此栓起来了，栓起来，这个 b 是 掉在下面，然后质量为 m 的 c， 质量 m， c 是 b 和 c， 质量都是 m 啊。用长为 l 的 细线连接于固定点 o o 点到轨道的数值距离也位啊，到数值也位啊。将小球 c 拉到 o 点的左侧啊，这都拉到左侧，手一松， 水冲就掉了，掉了，打完了 a， 打完了 a， a 被弹走了，因为这个 c， 它是 e m， a 是 三 m， e m 三 m。 碰撞的时候呢，相当于三 m 会有一个二分之一为零的速度往前冲啊，这个 m 就 会有一个负的二分之一为零的速度返回了， 返回了就相当于剩的二分之一为零啊，它已经超左了两个，因为一半。这个时候我们一个规律，就像什么从上面下来的时候，速度是多少啊，压力是多少？这些差不多啊，对错，嗯，很容易求解啊，你能很容易能解出来，因为弹性碰撞必然是满足这样的关联的啊， 禁止释放最低点弹力，碰撞时间极短，是个支点。好，我们把它求什么啊，因为由释放运动到数值夹角为六十度的时候，小球 c 重力的顺时针数值夹角为六十度，数值夹角六十度，那相当于在这个位置啊，这到六十度啊，六十度， 那他的瞬时功率，重力的功率，重力的功率，那就看他的数值速度了吧。速度啊，你是个固定的点，你到这个位置什么速度？你可以算出来啊，可以算出来。我们把这个东西擦掉就不要啊，一下就不要了，这跟三没关系啊，就现在从这到那，你的速度是什么样的？你的速度肯定是垂直这根线嘛， 这样，这速度大小多少？同样也能算出来啊。好，我们就可以算出来，那你这是六十多，那这不是三十度吗？三十度，所以我们就是 m g l 乘以三十度， 那就等于二分之一。 mv 方啊，这样 v 方，那通折，我们就可以把 v 算出来了。三亿三十也是二分之一嘛，对吧？ v 等于根号 g l， v 就 等于根号加 g l， 对 吧？根号加 g l 是 多少？ 零？哎，这个前面没有给数字，那给数字，那就好了，那我们不要算了吧，就 g l， 好， 那就是 g l。 那， 那他现在问什么？他问的数值是顺时针功率啊，那我们要给它推， 你这数字是斜着的，我们要把它变成水平的数值的啊，要看数值的分量，那数值的分量多少？二分之高三，好，所以我们的微垂直，微垂直就应该是二分之。根号三，那再乘以这个根号结了啊，乘以 v， 根号结了，好，那它的数值功率啊，除以数值功率 p p m g 乘以这个 v 吗？ v 值啊，那就是 m g 啊，再乘以二分之，刚好三和这个放在一块吗？根号三 g l， 三 g l。 好， 那这个，这个就算完了啊， 这个，这个难度不大，你就是要知道这个地方我们要投影啊，我们得投影就是这个这个数值上的投影，这个才真正起到作用。你不能，不能讲，哎，我的速度算出来了，是多少就多少了，那不是这样的啊， 碰掉了，这是第一问啊，第一问还是比较友好的啊，那这样呢？ c 与 a 相碰后瞬间瞬间， a 的 细线上的哪里啊？ b 的 细线上的哪里是哪里？短相碰瞬间呢，跟这个 b 肯定没有关系啊，就是刚开始的时候它碰碰撞跟 b 没有关系。 好，我们刚才已经大概分析了一下它这个速度，碰撞的速度你看是回去一半啊，碰前的速度是多少啊？碰前速度 m g l 等于二分之一 mv， 方啊，二分之一 m， 比如，比如我们这叫 v 一， 二分之三就 v 二啊， 嗯，就 v 零吧 v 零吧 v 零吧 v 零吧。好，我们喜欢用 v 一 v 二这些数来表示，初十的初十啊， v 一， 那同样，我们就算出来这个 v 一 啊， v 一 就等于根号下二 g l。 好， 它跟 v 二相状的 a 相状 a 根本没有数啊。好，然后我们写它们这个动量和这个动能的表达式啊，动能的表达式呢？就是 m 乘以 v 一， 这最初的动量啊，等于后来的动量啊， m 乘以 v 一 一撇 加上三 m 乘以 v 一 一撇的平方加上二分之三 mv 二一平方加上二分之三 mv 二一的平方。 好，连力求解，我们就可以求出来，我们的 v 二一撇等于二分之 v 一， 二分之一啊，好，二分之七啊， 高解啊，好，这就是我们的 v 二啊，就算出来了，那么我这个 a 的 速度是这么朝右，那你 b 呢？ b 不 动了， b 是 不动的，但是我们是不是可以把它想象成 b 是 朝左的，这其实是在朝左的，对吧？ 好，所以你这个相对速度吗？你朝左，我们看这个 b 上面的拉力呢？拉力 t 减去一个 mg 的 质量也是 m 吗？你不就应该等于 m， v 方除以二吗， 对吧？ m v 方除以二，这里除以就是 l 啊， l 直接写成 l， 那 这个 v 什么东西呢？ v 是 不是就是 v 二一撇的平方，对吧？ v 二一撇平方吗？ v 二不是写成这样， v 二 一撇，这样一撇，你们的相对速度就是 vip 啊，一个动一个动。好，那就上这了，带进来啊，带进来，我们就能得出来，我们的 t 就 等于 m g 加上这个东西 v i p， 嗯，二分之几的平方，二分之几 m g m g 加 m g， 二分之 m g， 二分之三 m g。 啊， 二分之三 m g。 好，这是二分之三 m g。 然后我们再看这个第三问，讲什么东西？讲，如果从若从 c 与 a 碰撞结束，到 b 第一次上升到最高点，使用时间为 t， 那 这段时间内 a 滑动的距离是多少？ a 用的距离是多少？ 碰碰完了之后啊，到 b 运动到最高点， b 为什么能运动到最高点啊？因为 a 在 往右拖， a 在 往右走， b 不 走啊，那相当于就 b 到最高点，那 b 到最高点。比如讲 a 走到这边，那 b 就 变成这样了，你的最高点不再变高了啊，其实就是相当于共速了，对不对？就是共速嘛， 你们俩现在共速了，那共速了，你上升到最高点上的是多高？这不是可以求出来吗？来，可以求出来啊，好，他告诉我们用的时间叫 t， 那 这段升到最高点总共用的时间叫 t， 告诉我们一个时间 t， 告诉时间 t。 哎，这个题有点古怪啊，为什么要告诉我们这个时间 t 呢？这段时间内包括 a 移动的距离为多少？ 这段时间内距离有多少？滑块 a 比 b 多走多少我是知道的。滑块 a 自身走多少，那这个不清楚啊，那我们先画个图想一想啊，这也也是不够了啊我们，嗯，把这个，把这个 c 去掉啊， 在这边先画个图想一想啊。大概想一想我们的 v t 图 v t 图啊，一个快一个慢。 好，这个滑快的是走的快的，走的快的他慢慢就减速了啊，慢慢减速啊，你这个，你这个，你这个，力越越厉害啊，刚开始就不减，后来减的快啊，应该是， 那是这样啊，这种啊，水平方向上面都这样，这样这样啊，速度慢他他没问题啊，因为有这个杆子撑着的。那你这个呢？你，你也得变成这样，我们知道它是三 m， 它是一 m 啊，四分之三啊，四分之三，你改变四分之一， 就是这个是我们的 vr 一 撇，那这个呢？应该是四分之三倍的 vr 一 撇啊，我们共速的时候应该是共的这么个速度啊，这么个速度。好，那这个 vr 一 撇，我告诉我们总共时间是 t 的 呗 告诉我们总共时间是 t a。 哦，划划，划过来啊，总共用了 t 时间，现在我知道啥我能知道啥？嗯，我知道他现在共速了。那你共速的话，你，你上升的这个高度应该多少？你上升的高度，你对应这个水平的距离不就是你多走的吗？多走的不觉得 没在这吗？这就是多走了，水呢？就多走了这么多吗？好，那我们来算一下啊，算你多走，多刹刹车，控速，因为我们这里面没有没有这个其他的能量了啊。没有其他的能量，那你对控速来讲的话，就变成了，我们先写小一点啊， 叫三 m v 二一撇，应该就等于四 m 微攻，对吧？三微攻啊，那然后我们这个数值的高度呢？叫 m g， 嗯， l 减去这个 h 数字的高角，它现在还剩个 h 啊， l 减 h， 这就是我们的重力势能增加，那应该就等于这代 g k 啊，点这个 e k 重力势能，呃，都能减少啊，就变成了这个重力势能增加。重力势能增加多少呢？增加了 l 减 h 啊，现在这个叫 h 啊，就增加了 r 减 h， 这个 e k 是 多少啊？ data e k 啊，这个应该是， 应该是没问题的，你们说本来是二分之一乘三 m， 然后 v 二平方，现在是二分之四 m 乘 v 公的平方了，从三 m 变成四 m， 那 速度就要变成四分之三，速度变成四分之三，速度平方，四分之三平方，然后你质量变成三分之四啊，所以三分之四啊，抵消了一个，所以到最后啊，我们损失的这个能量就四分之一啊，四分之一 字母之一啊，啊，这个叫乘以这个，嗯，二分之三 m v r 一 撇的平方，应该是这么多啊，好，因为这个里面没有没有给具体的这个数字啊，谁不表示出来就行了，我们 v r 撇平方，知道知道吧，根号下 g m。 好， 我们一开就知道了，我们把这个带进来啊，这个 v r 一 撇平方二分之 g l， 二分之 g l， 就是 四分之十六分之三 m g l 啊，所以这个东西就等于十六分之三倍的 m g 啊，好，你是 m g， 对 不对？ m g 啊，那你是现在，嗯，差了十六分之三被 m g 啊，那你总共是 m， 总共是 l， 对 不对？你像这十六分之三呢？这一节不就相当于是十六分之十三吗？这节就相当是十六，这节是十三，这是十三，这是十六。 那这节是多少？十三十六，嗯，这应该不是一个特殊的值啊，十六平方减去十三个平方，二十九乘以三八十七吧，八十九乘以三八十七，那八十一的话就好了。八十七啊，这个，嗯 嗯，八十七啊，根号八十七吧，十六分之根号八十七啊，所以你这一节的这个相对位置啊，就是十六分之根号八十七 l， 这不是吧，哥巴基啊，那然后你，你整个的这个走过的这个路程是多少？这三段加起来啊？这，这一段，这一段，那然后你们两个的这个加速度，这个加速度，这个加速度，同一时刻啊，你就做的改变，分别是多少？ 始终是三倍的关系啊，所以下面这个应该是上面的三倍，如果这个叫 s 的 话，底下应该是三 s， 这是三 s 啊，所以我们现在相当于是什么啊？整个这个过程不就是 四，哎，这是第三问了吗？怎么第三问还在算？这个拉力大小？拉力大小，哎，这没到第三问对吧？这是刚才是第二问啊，第二问算了啊，我们现在是第三问啊。呃，我我我，这四四，什么东西？ 四 s 啊，加上我们这个十六分之根号下八十七 l， 这个，这个，我是不是哪怕算错了，这速度怎么会这么复杂呢？ 这怎么这么复杂就不可思议啊。好，嗯，这么多加到一块应该等于什么？应该等于 v r 一 撇乘以时间 t， v r 一 撇就是二分之几啊。 根号啊，再乘以时间 t， 这就知道了啊。这东西知道，那你 s 时候就知道了， s 知道了，那 s 求出来过之后我不就知道了我走多少了吗？我对我这个五五块来讲，我走的就是三三 s， 加上这个十六分之八十七，刚好八十 g 啊。好，先把 s 求出来， s 就 等于这，这个已经没有细节了，我们算这个是没有细节了。根号加 g l 啊，就看你会不会算是小心不小心啊。十六分之根号加八十七 l， 然后除以四啊，除以四啊，好，那我们走过的路程，走过的路程 x 就等于三 s 加上十六分之根号下八十七，哎呀，三 s 加十六分之八十七，那等于三 s 就是 四分之三倍的根号下 g l 除以二 g t 减去十六分之根号八十七，哎呀， 再加上十六分之根号八十七，哎呀，好，你是减了四分之三，加了四分之一啊，那所以就变成四分之三。这么多，加四分之一这么多啊。四分之三倍的根号下 g l 除以二 g 往前面去啊。嗯，加上四分之一倍的，哎，那不就不四分之一倍的了，就是六十四分之六十四分之一了，你四乘十六百六十四，根号加八十七 l， 根号八七啊。好，那这个 算完了啊，算完了，这个东西没有什么技巧，我们的关键的地方就在于啊，在于我们要把前面这个数字要列出来啊，就这个，哎，你能看出来这玩意是哦，它是三 s， 它是，它是一 s 啊，它们是有个倍数的关系啊，你如果看到这个关联，那这个题做起来就会方便一些，你看不出来关联，那难度可能就会稍微大一点啊，稍微大一点，那这种关联啊，我们在这个二二年的， 二二年的这个全国卷，全国喜卷啊，就这种安徽省的这个考题啊，二二年那里面有一个碰撞小球的这个碰撞中间加个弹簧那种啊，相当于就用到了这个二二年喜卷。这种安徽省考的这个试卷啊，那最后一题，那个压轴的那个题啊，相当于就是用到了这个方法， 用到这个方法好，那个题在当年考试的之后啊，我，我也录过视频啊，完整的这个视频好， 现在刚开始考的这个时候就是难度是大，现在我们经常练习这种啊，这种类型的题，他，他老是出，老是出，那我们就练吧，练着练着就熟练了，就知道应该怎么做，固定的套路就能做出来了。好，行，那我们我再看一眼，有没有了，这个就圆满结束了啊，看有没有了， 嗯，就没了啊，那我们就讲，就讲到这里啊，嗯，这个题我们就分享到这里，整体来看呢，这个题的难度不是很大，那第二问，第二问考虑到一个相对速度，相对来说 a 走，其实相当于就是 b 在 走啊，就相当于 b 在 走，那我们有的时候会画，这么 会画这么个东西啊，讲这个轨道啊，这个轨道啊，这轨道是光滑的啊，地面，地面光滑的。那你往下走，你走走走，走到这了，走到这你往右冲啊，你是在往左走的，你是在往左。那这时候压力是多少啊？知识是多少？ 这时候这知识力你要逮住不动，知识力是三倍的。 mg， 他 动起来之后，这个知识力他反而更大，因为现在这个速度，虽然你们两个，你们两个速度都减小了啊，就是你这小球的速度减小了，他有速度了吗？你速度肯定要减小，但是人家的速度是超速的，我们两个相加呀，这种看相对速度时候相加加起来反而就大了， 加起来反而更大了啊。好，所以这个相对速度本身难度也不是很大啊。不是很大，就这个都是考过的常规题啊，就是整体来看，我们这个这个卷子还比较常规，中规中矩。 嗯，跟我们的考试也比较匹配吧，我们考试也是都是比较常规的，就按照这种类型的准备啊，基本上就没问题啊，没问题，好，我们就分析到这里啊，祝同学们学进步，再见。
00:25查看AI文稿AI文稿安徽高三五月的天翼大练考刚结束，就是很多同学反映就是数学，还有这个 物理化学还好啊，生物比较难，还有这个数学有点难度，你们去做一做吧，感受下这个题型吧，多见见题型啊。我把这个卷子给大家整理好了啊，电子版包括这个打印器全套刷一刷安徽初高中资料就找，离不开。
11安徽李不开
00:16查看AI文稿AI文稿一起来看看刚结束的江南市校高三五月联考数学试卷，题目分析难度依旧如此，重点训练解析几何的运算能力、导数压轴题的放缩技巧以及立体几何的空间想象能力。没做过的拿去给孩子做一做，要的找我！
58合肥桂老师
