张宇16讲无穷级数多久结束
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03:07查看AI文稿AI文稿hello， hello， 大家早上好，今天的学习从无穷极数的例题开始，其实我写题的时候可烦躁了，因为按照正常的计划来讲，我今天应该美美的休息一整天的。 ok， 朋友们，然后我现在的话是写完了无穷极数的书上的例题， 然后的话，这一讲就是前面这个长竖向极数的，还有连散性判别，这个我没有办法给大家太多的那种 想法或者意见，因为我这样学的也挺云里雾里的。然后我觉得这一讲我学的最好的就是求和函数，之前买那个 收敛域求出来就行。然后的话就是如果大家那个和函数什么都不太会求的话，你就把 十六点三十和十六点三十一稍微背一下就好，因为其实挺简单的，我觉得挺模式化的，就是求和函数，然后，嗯， 有个展开成密级数的话，这这里的话题就会比较少一点，大家就可以把这个十六点三十七写一下， 嗯，然后最后那个福利业级数其实就是会算就行了，没有啥太难的。然后就是像这种的，大家稍微写一下就可以，嗯，然后课后习题和一千题等我写了再跟大家讲，然后现在我准备去背单词。 hello， 朋友们，现在是晚上八点十五分， 我终于背完今天的三百个单词了。嗯，但是我今天学习的时候其实很烦躁，因为按照正常计划来讲，今天我本来可以休息一整天的，但是我前两天不舒服，我就休息了，所以今天就没有办法休息， 不过今天没有去锻炼，我好好的睡了一觉，因为我感觉锻炼练的有点气血不足了已经。然后呢？我还发现了一个并不那么可能，听起来可能并不那么积极的一个事。就是 就是我今天没有去锻炼，我做一次的时候也很烦躁，但是我发现比之前 就是你闷头死学那种反而效率还高了。你正确率还高。我觉得有时候我脑子是不是贱？所以我觉得大家，大家一定要劳逸结合，不要就是你死死的就 傻。努力就是你努力的同时也要休息，就是给大脑一些缓冲的时间，也给自己一些理解的时间。嗯， 休息好了脑子才能转的快一些吧。嗯，然后今天就这样，大家明天见。拜拜。
20小董猫猫🍟
05:06查看AI文稿AI文稿三点五，三点五，这是我们一千题的 a 主题第三章的第五题说 f x 等于 n 方分之一 啊，然后呢是 n 加一的平方分之一，小于 x 小 于等于 n 方分之一，大家注意啊，这个呢，是 n 加一括号的平方啊，这个二呢，要写在这啊，小于 x 小 点 n 方分之一，那么 n 取一二，一直取下去， f 零等于零，是吧？则 f 一 撇正零等于多少啊？就是零点的诱导数等于多少。这道题目呢，是很好的，要利用什么呢？利用这个加倍准则 啊，就是现对于现在的考题来说呢，他所谓的这种新颖性啊。结，他所谓的这种新颖性呢，实际上是能够 通过命题的新颖来考察同学们对于概念方法的深刻理解和把握啊。你比方说这个题的题目谈到 n 取一的时候，那么大家看这个变成什么，这个到这个 n 取一，那么就是四分之一到一， 是吧？如果 n 取二呢，那么这边就变成了九分之一到四分之一啊。然后你如果是把这个 n 的 等于一二三往里带的话呢，你马上就会看的很糊涂了，是吧？一段一段一段，这是无穷段的分段函数了是吧？啊，那么虽然告诉我 f 零等于零了，可是 你可能都认为这个函数在这点是不连续的，他怎么会有又导数呢？事实上呢，这些都是表面现象，是吧？啊，我们知道 f 一 撇正零，按定义写，他就是 limit x 去零，正 f x 减去 f 零比上 x 减零，对吧？大家啊，由于讲了 f 零得零，那这个去不要写了，那这个不要写了，大家看你转化成什么了， 是吧？就是我们盯着目标看，你光看这个条件啊，你搞不清楚的是吧，你也都不知道这在写什么，可是当你看到了目标的时候，我们的目标是不就是在算一个极限啊？ limit x 去零正， f x 比 x， 对 吧？大家你就是在求这个极限啊，而这个极限现在的问题是说他是无穷段分段函数，无穷段分段函数我们是没法去研究他 怎么办啊？落背打不能用是吧？太冷公式不能用是不是啊？基本的其他的方法也不能用， 你说这个做很能变形，这个怎么变形啊，是吧？啊，所以这个时候呢，我们讲到了，哎，对了，对于这种棘手的极限问题，不要忘记了，我们解题有一个利器啊，加倍准则是放大缩小，有人说老师放缩太难了，怎么会困难呢？他不已经告诉我们了吗？ 大家看，这，我们是不是说 x 在 a 到 b 之间，请问 x 分 之一呢啊？由于 x 去零正，它肯定是大于零的了，它当然就大于等于 n 方小于 n 加一的平方喽， 对吧？你这个方数已经有了，而 f x 的 表达是就等于 n 方分之一啊，所以当你把 f x 藏在这的时候，相当于是 在三个位置都乘上了 n 方分之一啊。大家看到 n 去无穷大时，同学们，这是不等于一啊，这个是不趋向于一， 看懂了吗？啊，大喊一声，哪里跑，被逼近到一，对吧？这样呢，我们就说这个极限等于一故，这一点的右导数值呢，是等于一的， 这个题呢就解完了，这种题是非常精彩的啊，就是但凡在考研的试卷上出现这种题目啊，那么他就一定会有很高的区分度 啊，那么我在这呢，先提前跟大家说一句啊，就说我们到了三十六讲里面会给大家提一个呃，这个解析的一个程序， 你现在先跟我学的是知识啊，解析方法，我们等知识学的非常的完整充分的时候，我们一气呵成把解法交给大家啊，这个叫叫什么呢？这个实际上你要盯住目标啊，大家一定要盯住目标， 先不要被条件各各各种啊，这个分文复杂的条件所迷惑， 盯住目标，我的目标是什么？求优导数。优导数是什么？答，就是这么个极限，这个极限好不好？求求极限的方法来了，鲁比达法则、泰勒公式、等价物有效替换、恒等变形等等等等， 如果都不奏效，不要忘记有一个利器叫做加倍准则，而加倍准则就是放松，题目已经讲了，放松了，你看一气呵成算出来的结果就是答案。这个题就讲到这里。
11启航考研自习室
04:24查看AI文稿AI文稿哈喽哈喽，大家早上好，今天的学习从二刷无穷极速的一千题开始，第一次发现这个标语，不知道是不是姓佳的，今天去健身房发现好多男生也都在爬坡，我等了好久才有跑步机，而且还是早上。我的天呐， 看，果然夏天要来了，大家都开始发力了。哈喽朋友们，今天写完了无穷极数的一千题，这张是我唯一感觉二刷和一刷 差别不大的一张，然后这一张的话我还是在这种嗯， 比较抽象的问题上就不太行。然后就这张呢也学到了两个公式，就是两角合叉 公式，还有大题里面后面有一个公式，还有第七题的第二问，还有第八题的第二问，他们用的方法是一样的，就是类似于放缩的这种啊，然后我觉得进步的话就是像这种， 这种题我能写对了，还有这种计算就是没啥问题了。然后大题的话就是大家都不管怎么样都练一练吧，因为其实算来算去还是挺挺需要好好算一算的。然后这个的话就是 学的第二个公式，因为这种说实话用的实在是太少了，我根本就是一开始写这个题的时候根本就是不知道，然后这个是二七版的，然后二六版的话就是会比二七版的多。有几个题不一样，就是 最后一个题，这个是和伯努利方程结合的，反正他其实也不难，就是算一下就好。然后就是 这个是这个是十二七版的第十九题，然后这个的话就是他那个奇数项和偶数项要分开，我刚刚就忘记说了，好好算一下，然后的话就是第一题还有第三题 跟二七版的也不一样，这种还是比较抽象的，感觉脑子就很萌一样。然后第二个题的话我也感觉用到的 知识挺多的，就是你先得判断他是正向级数，然后他又跟那个竖列极限那那个含念定律联合起来了， 然后还有最后就是那个比较叛逆法的极限形式。我真的觉得好像很多都是小题目里面，但是蕴涵了很多知识，我真的我感觉我真的是要好好的思考一下了，因为我感觉这一张真的是我二刷以来复习最差的一张了。 写完一千题我就去背单词了，嘿嘿，今天是躺着背的，而且我发现每次休息完之后我背英语单词都背的好快，就是比平时能快个十几分钟，现在是晚上九点半，终于背完今天的三百个单词了， 然后现在就是感觉很安静，因为晚上嘛，然后我们这昨天和前天一直在下雨来着，虽然就是小雨，但是一直下， 然后现在外面就会有一点青蛙的叫声。那我现在其实有点纠结，因为我后天要出门，我明天就不打算开心的。 嗯，一张了，我又在想要不要把无穷极数这的错题的类型好好的整理归类一下，就是看他会用到什么。因为这一张是我二刷以来就是感觉第二遍和第一遍没有 写题没有太大差别的一张为其他的章节就能够感觉到会比第一遍刷 嗯，理解更深刻一些。反正还是有点纠结，不知道现在这样整理有没有必要。 因为我觉得这个题的类型我见的还很少，说实话就是我全技术这。嗯，我也不知道强化课的时候会不会总结类型有一些纠结，然后今天就这样，大家早点睡觉，明天见，拜拜。
19小董猫猫🍟
01:10查看AI文稿AI文稿想象一下，你坐在考研数学考场上，选择题第五题是一个很复杂的求和函数题目，你看了一眼就以为可以用方浩的技巧迅速解析，但是算到一半却发现你没有背过其中一项的密集数展开试这道题你已经用了八分钟了， 此时你会不会后悔当初没有认真学习无穷极数先导后积、先积后导的基础概念呢？所以主播今天带来了无穷极数学习方法。毋庸置疑，方浩讲的无穷极数快速解析 在应对很多练习题时确实又快又准，但是在应对一部分重在考概念理解的题目时，比如正切函数的展开式时，你会束手无策。因为你没有背过题目中的这个密集数展开式，所以这个时候你只能使用万能的先导后积、 先积后导方法。因此，我认为无穷级数的学习必须以核心定义和概念为主，这一点在真题近几年的体现中越来越明显。而伍忠祥高数强化讲义里面就很详细的讲解了这个问题，他真的把先导后积、 先积后倒的方法讲到了全新的高度，甚至可以保证你不用被极数结论，也能做对题目。顺便一提，我觉得伍忠祥的连散性判断是我目前看到讲的最好、最容易理解，也是最实用的。最后总结一下，学好无穷极数，关键在于对核心定义、万能方法的掌握，而不仅仅是用被结论的方式做对简单题。
436阳阳咩
15:31查看AI文稿AI文稿主播主播，无穷极速的先积后倒和先导后积，我学会了，但我看有些人算这种题都是嘎嘎快，好像有什么口算的方法，是有什么东西老是上课藏着没讲吗？有的兄弟有的叫大学长。教你用小猪佩奇，以后这类题绝对不会错。 好，恭喜你刷到这个视频，看完这个视频之后，我教你一招小猪佩奇法来解决这种密集数求和的一些问题。一般来说传统方法这种要么先积后倒，要么先倒后积，要么就是像这种我们去凑那个三角函数跟指数函数吗？但是其实那个方浩老师以前讲过一个比较 啊好的一个方法叫做小猪佩奇法，当然这个东西的话，呃，我印象当中好像很多老师都讲过，但是管他叫小猪佩奇的也就方浩老师一个人啊，所以说我目前认为方浩老师是他的一个原创，然后我的话是把它整理了出来， 然后我们来看一下，就是我们遇见这种函数的时候，呃，先积后倒，先倒后积，很多同学都会，但是往往呢你会出现一个问题，就是说你算完之后其实心里是不踏实的对不对？那我们有没有办法就是降低他的计算量，并且增加他做准确的一个概率呢？其实是有的，接下来就给大家讲一下 那个小猪佩奇的一个方法，然后这个东西的话呢，也给大家整理成一个公式，速查，到时候啊，我这个会单独发一个作品啊到，然后你到时候去截图或者保存一下也就可以了。那我们来具体讲一下它的一个原理， 就是说我们呃它的一个方法的话，其实就是两个，一个把它就是把这三把这种题目我们可以把它大致的分为三类，一个是呃，像这种的话，我们管它叫做母型极数， 这个母是什么意思呢？就是说它的 n 啊，主要是集中在分母里面，然后像这种的话，我们管它叫子形极速，因为它的那个分母啊，它的那个 n 都是在分子里面，然后像这种的话，我们管它叫阶层极速，对吧？阶层极速，然后在考研范围内的话，基本上你你那种 先积后倒，先倒后积能做的题目，用这个方法他都能做，因为他们本质上是一样的，只不过呃，像这种方小猪佩奇这种方法的话，就把你四那个计算的过程相当于直接让你用那个公式给他背下来了。然后我们来看一下他是怎么样怎么样来看的。 首先第一个母型极数，就是说如果说你的分母有 n 的 话，那你优先往对数或者反正切上配，那我们来看一下，就是说母型公式它其实是有特征的。就是说啊，如果说你的分母是 n， 并且它不跳向，跳向是什么意思呢？就是像这种 你是 x 一 x 二 x 三这样子一直下去的，这种的话，那它就是不跳向。然后如果说你这里是 x 一 x 三 x 五，这种就是跳向，对不对？好。然后还有一个就是有没有交错向，交错向其实就是这一部分，对吧？你有没有呃负 n， 呃负一 n 减一这种地方，那这个其实就是他的一个交错项，然后这个的话，其实就是呃又有跳项，又有那个交错，对不对？然后像这种的话，我们把这几个给它记下来，就是负 啊， log 一 减 x 等于 c 个码 n 分 之 x 方，然后 log 一 加 x， 它是等于 n 分 之负，一 n 减一 x 的 n 次方，对不对？当然你一定要注意，这里它都是从一开始，这里都是从零开始的，如果说没有这个的话，你可能还得那样子，你比如说，如果说这个东西 n 等于零开始的话，那你这里是不是还 啊？不对，这个不可能从零开始，对吧？那我刚刚说错了。好，然后接下来的话就是我们来看一下这个具体的，比如说这个例子，这个例子如果假设啊，我假设你这四个都已经背会了，背会了之后，那我们怎么来做这道题呢？那其实很简单，你看啊，在这里， 在这里的话呢，它是 n， 然后 n 加一分之一，对不对？ n 加一分之一，不，不是我们基本项，但是我们可以看到你这个东西啊，它其实是分母，是 n 不 跳项，并且也不是交错的，对不对？那我们就往这边靠， 那你看啊，这个我们把它列，先列一下，它是不是 n 分 之一减掉 n 加一分之一啊，对不对？所以说它这个的话，我们可以写成这两个东西， 这两个东西的话呢，那前面这一个就是我们典型的一个母型极数，你看啊，括号一减 x， 我 们是会背的，所以说这个东西直接算出来括号一减 x， 对 不对？那后面这个，后面这个它不是一个标准的一个呃，母型极数，那怎么办呢？那我们还是一样没有条件，创造条件嘛，我们直接把这个写成这样子， n 加一，然后 n 加一，然后你这里乘了个 x， 前面要补一个 x 分 之一，对不对？好，然后这个东西的话，无非就是 sigma n 等于二，然后无穷 n 分 之 x n， 对 不对？这个东西跟我们标准的这个级数其实就差了个 x 嘛。 那你，那你直接把它加掉，加上 x， 然后再减掉 x， 这个是不是就是 sigma n 等于一到无穷 x n， 然后除以个 n 减掉个 x， 这个是什么呀？这个是不是还是刚刚那个东西啊？负的 log 一 减 x， 对 不对？那它就是负的 log 一 减 x， 减掉一个 x， 好， 然后有了这个东西之后呢？ 我们这个求和是不是把这两个东西加起来就可以了？所以说你加最终加出来的结果是不是就是这样子，对不对？那我们 s x 就 写出来，当然你这个定域要给他啊，那个收敛域，你这个东西是要自己记住的，对不对？然后有了这个收敛域之后呢？那我们再来看 啊， s 零等于多少？ s 零的话，那我们其实就是直接在这里看就行，在这里 s 零，那它是不是就是全是零啊？对不对？所以说我们这个和函数就应该是这样子，然后这个端点你能记住就记住，记不住的话你自己带进去试一下就行了。你看负一带进去，它是不是收敛的？它确实收敛的，因为它能算出来一个数，对吧？ 它是负二，然后 log 看一下啊， log log 二，对吧？它是能算出来，那它一定是收敛的。那你如果说把这个一带进去呢？端点一带进去， 那你会发现这里出现 log 零，那它自然是不收敛的，所以说你这个就不是它的一个收敛欲，对不对？所以这个你会，你会发现整个下来比你先积后倒快多了，对吧？而且你绝对放心这个东西，因为这些东西都是我们会背的嘛，对不对？ 然后有同学说，学长，那考试的时候我该怎么写呢？这都万一是道大题怎么办？那其实很简单，你像我这样子写就行了，像这个东西你直接写出来，对吧？写出来这个东西没有必要会正啊，这个反正都是一些常识性的东西， 然后像这个东西的话，你把它引导成这样子，那也没有问题，对吧？好，然后接下来我们看一下下一道题，下一道题的话，你看啊，这个密集数，密集数，它的收敛域集合函数， 那我们来看啊，这个东西我们怎么样给它拆呢？那首先我们先把缩敛域求出来，缩敛域这个我就我就不详细讲了，缩敛域求出来是负一到一，然后接下来就是说我们把 内部的这个东西啊，切成两个母形，那你把它列向之后，是不是变成这样子了？这样子那它就得到了这两个东西，这两个东西我们怎么拆呢？那我们还是按照原来的一个想想法， 就是我们看到这个东西，很显然它是一个跳向的，对吧？跳向的我们要往哪边凑呀？跳向的我们一定是往这两个方向凑，那我们看看它是不是有交错向， 有没有交错向？我们到这边来一看，哎，发现它没有交错向，所以说我们就确定了，我们肯定是往这个方向凑，对吧？那我们就把这个东西给它抄一下吧，那我们就把刚刚那个给默写一下吧，反正我已经背的很熟了。这个东西它是等于呃， sigma 二 n 加一分之 x 的 二 n 加一，对不对？这个等于二分之一 log 一 加 x 除以一减 x， 好， 然后我们来看一下第一个，第一个是不是这样子呀？那你跟这个东西差了个什么？就差了个二 x， 那 这个我们最喜欢了，我们就直接 二 x， 然后乘以一个二分之一，就是你这里乘一个二 x 的 话，那相当于就是这里也乘了个二 x 嘛，对不对？那这样的话是不是就是最后结果就是 x log 一 加 x 除以一减 x， 对 不对？好，然后有了这个东西之后，我们第一项是不是就算出来？然后接下来我们来算一下第二项， 第二项是这个东西，这个东西的话，它本质上还是它的这个 n 啊，它没有跳向，你发现没？ n 没有跳向，本质上只是你这里在跳，你这里在跳的话，那其实影响不大，为什么呢？因为你可以看啊，在这里的话，我可以直接把它看成 x 方，然后 n 加一，对不对？ x 方 n 加一， n 加一，这个嘛， n 等于 看一下 n 等于零到无穷，那其实就是 sigma n 等于一到无穷，然后是 n x 平方的 n 次方，对不对？这个东西是什么？这个东西是不是就用这个公式就可以了，对不对？那就是括号一减 负 log 一 减 x 方，对不对？好，然后这个东西我们是不是就呃得出来？得出来之后呢？那我们把第一个跟第二个把它给合在一起，那是不是就出结果了，对不对？然后它的两个端点的话，我们就呃直接带进去取取一个极限，我们能算出来是二 log 二，然后这道题目我们就做出来了， 其实你看见这个答案你心里应该清楚的，像这种东西你用常规方法做，他的难度得有多大，对不对？但是如果说你会了这个小猪佩奇之后，那这种题目他的难度其实是很很低的，对不对？因为我们 相当于是我们把有计算量的这一部分，已经把它打包成模块给你了，对不对？打包成模块给你，你这做这个东西他就是会非常的轻松。然后第二个，第二个是子型计数，子型计数比母型计数还要简单，还要简单。我们来看啊，首先他要背的这这三个其实就就三个东西嘛，一个是常数型 系数，就说你只有 x， 呃，那这个的话，我们用等比数列求和公式，我们就求出来是一减 x 分 之一。 然后前面这个东西如果说你前面有一个 n 的 话，那我们就可以把它写成这样子，就是 n 加一 x n， 它积分等于一减 x 方分之一，这这个我们也要记住。然后如果前面是 n 加二， n 加一 乘以 x n 次方，那它其实就是一减 x 的 三次方分之二，这三个东西你把它记住，然后考研范围内的我们都能配错出来，为什么？因为理论上来说，你看我这里可以提供一呃那个常数项，对吧？ 这个东西我能提供长竖向，这个我能提供一次向加上一个长竖向，然后这个东西我能提供二次向加上一个长竖向， 那这样子我们无论遇到什么样的子形极数，我都可以把它拆成这三个的组合，这三个组合，然后我只要把这三个系数给解出来就行。像这种东西你用待定系数法肯定能做出来，但是往往我们遇不到那么复杂的，有的时候我们绕到 new， 还有这个 new， 我 们是直接能看出来的，对不对？ 那比如说我们来一道例题，就比如说像这个这个东西的话，反正那个收敛域大家自己算一下就行。然后像这个东西，这个东西我们是不是要凑成我们那个子形计数呀？我们来来凑子形计数，那我们来看啊，你这个 n 加一， n 加三， n 加一， n 加三，那二次项我们是有什么？我们二次项是不是有这个东西啊？我们二次项有个 n 加一，然后 n 加二，对不对？ 那离你这个少了个什么，是不是就少了个 n 加一啊？那我们把 n 加一写到这里，对不对？那我们是不是就凑出来了呀？相当于你这个东西，我只需要一个这个东西加上这个东西就可以，所以说你的这个答案绝对是这个加这个，不信你看 最后我们的结果一定是这个东西加这个东西，对不对啊？不对在这里，对吧？这两个东西好，然后接下来的话就是通分一下算出来这个，对吧？然后刚刚收敛域也算出来了，所以说我们 x x 是 不是就直接就写出来了？完全不需要先导后继或者先继后导，你看看呢？你看看就是在这里 他最有计算量的部分，我们已经把它背下来了，背下来的话我们直接直接写上就可以，然后考试的时候这个东西怎么写呢？那你就直接把这两个东西默写上去， 就是，呃，你可以写个已知，已知，或者说，呃，已知，对吧？你反正写了，把这两个拼图写上去，然后你再把这个东西啊，你给他拆成这两个东西，对吧？拆成这两个东西，那你 啊，我，我既然这两个东西是已知的，那我就给它放进去就行了，对不对？有的时候学长这样子会不会扣分？但是你要知道你自己在考试的时候，你先导后继，先继后导这个过程是没有分的，你只有最后的那一个答案分，你不要以为你啊写了一堆先接后导，先导后继这种东西有分，这种东西它是没有任何分数的，你要知道 就是在阅卷的时候，他只看你的思路跟答案，他其实中间过程他给的分数是没有的。然后我们再来看一下下一个东西，如果说这里多了一个负一的 n 次方，这个怎么办？因为你会发现我们子行极数里面好像没有跳向呀， 我们没有说过能能跳向，那怎么办？那其实很简单，我们没有条件创造条件，你这里有个负一的 n 次方，我大不了给你放到这里面去，我把这个极数变成 这样子嘛，负 x 的 n 次方，这样子不就行了？那这样的话，那算出来是什么？是不是就是一加 x 分 之一啊，对不对？一加 x 分 之一，那这样的话呢？我们就可以 可以通过这个思路，就是把刚刚的这个东西啊，把负 x 看成 x 就 可以了，对不对？那这样的话，他最后的结果是一加 x 的 三次方，然后三加 x， 对 不对？然后我们把那个端点，呃，然后我们把那个收敛域给他写一下就可以了，对不对？就比较简单， 然后最后一个，最后一个看似是最复杂，但他是最简单，考试也是经常考的。这个东西的话呢，也就是说我们看见但凡是有阶层的东西啊，就往这五个，五个上面靠，五个，甚至你都不是五个上面靠，你只要把前三个给他靠住就行，对不对？ 然后像这种的话，那普通阶乘无交错考虑 ex， 基数阶乘交错型考虑三 x， 偶数阶乘交错型考虑那个 cosine x， 对 不对？然后如果说是基数阶乘无，呃，基数阶乘无交错，我用这个，然后偶数阶乘无交错，那我就用这个，对不对？ 然后要你要知道，有些同学说，学长你这个东西我不背，我想要常规做法，但是你要知道对于阶乘进行结束，他的常规做法就是把这五个背下来。 常规做法，把这五个背下来之后，然后你所有的题目你都呃，都是往这个靠，你包括历年真题考这个的都是通过观察得来的。那我们来看一下在这里， 在这里的话你看啊，比如说看见这个东西，这这个东西我们怎么求？那我们首先看，哎，有交错像，对不对？有啊，我，我把这个擦一下吧，你看这里有交错像，那这个不用考虑了，这个也不用考虑了，对不对？然后看一下这个，这个的话是那个，呃， 奇数形式，奇数形式，那大概率是 sine x 嘛？但很可惜你的分子啊，它不是标准形式，我们要把它拆开来，拆开来之后你会发现，哎，那这里也好像出现了一个偶数项了，对不对？ 这里出现了一个偶数项，那我们就考虑用这个东西，对吧？这个东西反正我们知道它是 cosine x 嘛，所以说我们这一部分算出来其实就是 cosine， cosine x， 但是你这边的话， x 取一了，对吧？所以说它是 cosine 一， 第二项的话相当于你 x 取一，那就是 sine 一， 对不对？ sine 一， 但是你前面是不是还有个二呀？找一下，还有个二，所以说它是 cosine 加上二， sine 一， 这道题目它就是真题，而且标准做法它就是这个样子，对不对？ 然后还有一个，我们来看下一个吧，下一个的话，呃，像这样子，这个也是，这个也是真题，这个是真题里面一道填空题，你看在这里， 在这里我们缺的是什么？我这里有交错，这里有阶层，但是我们希望你这个应该是这样子的会比较好。这样子的话我们就只能套 cosine 的 公式，但很可惜，你这不是，那怎么办？没有条件，我们创造条件，我们就在这里写一个二分之一，然后这边写个二 n， 那 这样的话，那是不是就可以了？算出来是 cosine 根号 x， 然后最后的话把缩写写一下，然后找到题目我们就做出来了。好，然后这这些口诀的话，大家都自己写，呃，自己稍微记一下，其实从整个做下来的感觉来看， 其实我们最困难的就是这些公式，你要把它备注，然后这些公式备注之后，像这一类题目，我们只要像拆积木一样把它简单的做出来就可以了， 到后面的话其实一点难度都没有，你可以看啊，就是后面你随便哪个题拿出来，你其实都能，都能用这个东西来做，当然你那个题必须得是考研范围内的，考研范围内外的肯定不行。好，然后这这个记忆手册我后面还会发一个作品，大家到时候可以保存或者截一下图啊。好，然后今天这个视频就给大家讲到这里，谢谢大家。
3085茶楠Cian
09:02查看AI文稿AI文稿你认为的考研数学里的无穷极数题只能按部就班的做吗？错，这道题一招秒杀。好，我们书接上回啊，今天我们来讲一下这道题的第二问，第一问，我们是用了一个构造函数的方法解决了。好，我们看一下第二问，它让我们证明这个 n 到一无穷大 b n 减去 a n 收敛， 那么我们怎么去思考呢？它已经给出了 b n 收敛了，对吧？那么我们去想，如果 b n 收敛呢？极数 a n 收敛， 它是不是可以拆啊？因为你两个都收敛了，两个收敛，它就可以拆，可以拆，拆成 b n 减去极数 a n， 对 吧？好，这是在这种情况下成立的，但是呢，它必须要满足条件，就是 a n 的 极数收敛的，那么拆成这两个之后呢？你看，如果说 a n 收敛，它收敛，它收敛，是不是可以会推出它的这个 b n 减 a n 这个极数收敛，那么也就转化成这个问题，去证明 n 等于无穷大 a n 的 技术收敛收敛，对吧？你就转化成证明这，那么我们去如何去证明这个东西？我其实在这个 研究过程中呢，发现呢，它有一种很好的思路，就是说如果 b n 与 a n 是 同阶的， 但不等价的无穷小的时候， 它们就可以正出 b n 呢，它会等于 k 倍的 a n， 然后你看 k 倍的 n， 它很很巧妙，比如说啊，那么比如说我们就设一个 k 吧，就比如说是两倍的 b n 等于 a n， 那 么三倍的 b n 等于 a n， 那 么 a n 是 不是大于 b n 呢？能明白吗？就是说你可以放松它的系数，让这个 a n 介于几倍的 b n 与 b n 之间， 你理解吗？就是如果说这两个都收敛，那么中间的这个东西他是不是也收敛？如果他们是同接的话，你是不是一定有这个式子成立？有，这个式子成立之后，你比如说啊， b n， 他 是等于呃， 三倍的 a n， 那 你还是可以放缩，对不对？你放缩什么啊？你 b n 是 三倍的 a n， 那 a n 是 不是等于三分之一倍的 b n， 你 把这个数字减小一点，那 a n 是 不是大于四分之一的 b n 而小于呢？你看 a n， 它是等于三分之一 b n 的 你，那你一定是小于。 呃，小于多少呢？小于二分之一倍的 b n， 对 不对？是吧？那你介于这两个之间，如果这两边都收敛，中间这个是不是收敛？所以我们用到就是这样的一种思路。好，那我们如何去估计它的这个结数呢？ 这里介绍一种方法啊，你就是把它这两边做胎的展开，你就可以估计到 b n 和 a n 的 接触的差距是多少。我们看一下这个地方啊，这个式子左边很明显是，如果除以二的话，它是那个双曲正弦函数吗？对吧？而右边呢，它是双曲余弦函数，如果除以二的话，对不对？好，那我们就直接把它用胎的展开。 呃，左边展开呢？它是 a n， 它是正弦啊，双曲正弦，它这里只有一个符号的变化，三次方，是吧？然后加上 o 倍的 a 的 三次方。这边呢？右边呢，它是 a n 乘以里面是 e， 加上 e 加上二分之 b n 的 平方，是吧？然后再加上 o b n 的 平方。好，我们来看一下他们的接触差距是如何的啊？你把左啊右边这个式子打开，他说等 a n 加上二分之一 a n， b n 加上 o b n 平方， 左边呢？还是 a n 加上六分之 a n 三次方，加 o a n 三次方，是吧？很明显这个 a n 可以 约掉了，对吧？那么第二下就是它， 我们可以看到六分之 a n 三次后，它应该是等价于二分之 a n b n 的 平方，是吧？你把这个 a n 除掉，因为 a n 大 于零吗？题目中有 a n 大 于零，是不是 a n 大 于零，你把 a n 除掉，那么是六分之 a n 的 平方，是等价于二分之 b n 的 平方，没错吧？它们是不是同结的？你看它只差一个系数，那么也就相当于 a n 的 平方是等价于根号三倍的 b n， 是吧？那你如果说能够证明 a n 他 是小于两倍，你看把这个三放松嘛，放松，但是他肯定是我第一位，已经证了他是大于 b n 的， 对不对？因为你刚好三，你缩小一点，他不就是一吗？对不对？你放大一点就是二吗？他就介于一和二之间，因为他是刚好三吗？对吧？那不是很简单吗？这个这东西你已经证明出了，他就是这样的一个， 呃，刚好三倍的这个无限小，那么你把它放左左右，而两倍 b n， 他 肯定收敛了，对不对？右边啊，左边的这个一倍 b n 肯定收敛，题目中给的这个对不对？那中间这个必然收敛， 对吧？这样就是这个题目的全部内容，但是你要严谨的证明，这个东西他怎么去写呢？啊？你既然知道一个这样的思路哈，你怎么去写哈？当你这样子直接去说的话，也是能够得到分的，但是可能会有一些细节上的问题， 那我们如何去用更严谨的方式去证明呢？当然了，答案他也给出了一种思路，当然不同于我们现在这个方法，他给的不是我们这种估计接受的方法，他是严格的去证明的，但是我觉得他这个答案的方法很难想到。好吧，但是我们这里也可以讲一讲。嗯，他首先说的一 x 加上一负 x， 他 肯定是大于零二吗？对吧？因为你这个是一个那个悬链线吗？是不是 你最低点就是在零处渠道等于大一点二，这个没问题，那么你同时积分哈零到 x， 一 的 x 加一夫啊，这里面我们还要怎么办？一的 t 加上一夫 t d t 大 于等于两倍 x， 对 吧？好，那你这一记出来，它其实就那个正弦，双取正弦吗？对不对？它是一 x 加上一的夫 x， 好， 这是减号啊。 e 的 负 x 大 于等于 r x， 这时做个变量会令 x 等于二分之 m， 那 么就是 e 的 二分之 m 减去 e 的 负的二分之 m 大 于等于。右边这个是 m， 对 不对？我们把 m 令成 a n， 那 么就是 e 的 二分之 a n 减去 e 的 负二分之 a n 大 于等于等于。 嗯，对吧？我们要构造什么呢？我们这样做是为了什么目的呢？你看他这个地方像不像那种平方差呀？对吧？像平方差吗？等一下，是不是像平方差？他是等于一的 a n 减去一的负 a n， 如果你用平方展开的话，他就等于一的二分之 a n 加上一的负二分之 a n 乘以什么东西啊？一的二分之 a n 减去一的负二分之 a n 呢，对吧？我们刚刚这也放错了，这个地方他已经放错了，对不对？你是大于等于 a n， 那 就大于等于 a n 乘以一的二分之 a n 加上一的负二分之 a n 呢，没错吧？你大于他，那么他这个地方这个数字是不是跟他很像啊？你看他这里，我抄一下，他这是 a n 乘以 a n 加上一的负 b n 呢？而你这个东西呢？它就是等于它，对不对？而你又大于它，你就建立一个桥梁，那什么呢？就是 a n 乘以一的负 b n 啊， b n 加上一的负 b n， 它是大于等于 a n 乘以一的二分之 a n 加上一的负二分之 a n， 没错吧？这个 a n 大 于零，不用管了，约约掉，对不对？那么也就是一的 b n 加上一的负边是大于等于一的二分之 a 加上一的负二分之一，这不就是我们一开始设那个 f x， f x 等于一的 x 加上一的负 x， 因为它是一个单调递增的函数，对不对？单调递增再零到一上啊， 再零到一上单调递增的函数，那么它大于它，只有可能 b n 大 于它，对不对？是吧？没错，好，那么 b n 是 大于这个的那两倍的 b n 是 不是大于等于 a 了？而我们第一问正了，第一问正了，这个没有看过的可以看第一个视频。大于 b n 对 不对？ n 又大于 b n， 那 b n 不 就被夹，哎， a n 不 就被夹住了吗？对吧？你这个求和 n 等于无穷大 b n 两倍的二等于求和 n 等于无穷大 a n 等于求和 n 等于无穷大 b n， 是 吧？他不就被夹中间吗？由这个比较比较判别法， 那不就证明中间这个地方收敛吗？是吧？这我们就证明了 a n 收敛，那么 a n 收敛。收敛之后，我们刚不说他可以打开吗？打开成为 b n 减去 a n， 是 吧？又 a n 收敛，那他收敛，他收敛，整个计数就收敛，这个题也就得正。我可以回顾一下我们这个比较判定法这个历程啊，我们一开始是用估积的方法，估积方法我们得到这个，嗯， a n， 它等于根号三个 b n， 对 不对？等价于啊，等价于，那么 a n 肯定是可以被写成两倍， b n 大 于等于 a n， 因为你刚好三，它的左右两个整数是一和二，你只要做这样的一个放法，就写错写错是 b n 了，你只要做这样一个放缩， a n 就 可以被你夹住，被你夹住之后，他就可以证明他收敛。 所以他这个题目只是更严谨的这样去做了一下，确实发现他就是在这个里面，对吧？但我们一开始就通过这个本质的方法已经看出来了，他本身就是根号三倍的边， 他的接触是跟边是同阶的，那你只要证明某碰这种题目，只要碰碰到这种题目，你就证明他等于 k 的 边就行了。然后你把这个 k 你 取他两个加一或者减一，你不就可以证明他跟他在这两个一人之间吗？对不对？ 是吧？可以减 a b， 这样你就可以估计他接触，也就证明了 a n 受力。我觉得这一类题目还是比较难的吧。嗯，但是我这里给出了一种估接的方法，希望大家能够 认真思考一下，这个方法到底可不可行啊。当然希望大家也点个关注，因为我发现非常多人在那收藏了。嗯，今天的课就讲到这里啊，欢迎大家点个免费的赞和关注啊。
00:37查看AI文稿AI文稿u n 是 收敛的，而他先除以 n。 那 有人想了， u n 是 收敛的，那你除以 n， 那 不就更小了吗？是吧？然后你再填个正负号，它就除以正负交错，它不更会小吗？因为正负会抵消的，所以它显然是收敛的。 你看这个，我们前面证明过了， u n 都收敛了，那它的虚零呢？那它的平方会更小吗？更虚零是吧？好像收敛的这个 u r n 减一减一肯定收敛的呀。它的 u r n 也是收敛的呀。那它收敛减收敛不是也是收敛的吗？ 是吧？ u n 都收敛了，那么 u n 收敛，那么 u n 加 e 也收敛，那么收敛加收敛还是收敛呢？你这么一分析的话，全对了，是吧？啊，就最重要。
2749冬天的访客
02:36查看AI文稿AI文稿无穷极数里最难最难的奉送起来，我们如何去思考破解这样的难题呢？好，同学们，今天我们来看一道无穷极数里非常难的题，它是跟数列相综合的，然后呢，这个题呢，它也是这个章与一千题里的无穷极数这一章的第七题。好，我们看下题， 设数列 a n b n 满足，这个是指，对吧？然后 a n 和 b n 都是在零到一之间的，且呢，这个 b n 的 极数收敛。第一题证明 a n 大 于 b n， 那么我们看这个式子哈，先解，先写一个解，我们看到这个式子，你想到什么呢？你看这个什么 e 的 a n 减去 e 的 负 a n 等于 a n 倍的什么？ e 的 b a n， 呃， b e 的 b n 加上 e 的 负 b n， 对 吧？ 你看这两个式子有什么关联？我感觉他是不是像是那种求导得来的，对不对？那么你如果有这种想法的话，那证明这个题其实离破解就不远了，对吧？因为你看啊，比如说我们令 f x 等于一的 x 减去一的负 x 的 话，那么 f a p x 就 等于一的 x 加上一的负 x， 是 吧？因为你感觉到他们两个就是像是那种导出的关系，对不对？好，那么左边这个式子呢？他不就是 f a n 吗？ 而右边这个式子呢，它不就是 f 导数 b n 吗？对吧？它也就是 f a n 会等于 a n 倍的 f 导数 b n， 那 你想到什么？你是不是想到这个什么拉格尔公式中定义啊，对不对？你不是 f x 减去 f 零 是吧？等于 x 减零除以 f 一 导数一撇克萨呀，它是不是长得像这个拉格尔？是不是？那你就尝试去看嘛，来，我们看一下 f 零是谁？ f 零是等于一的零次方，减去一的零次方等于零，对不对？ 那么这不就是我们要的吗？ f 零等于零，那不是 f a n 减去 f 零等于 a n 减零，是吧？ f 撇可赛，那他呢？又等于 a n f 到 b 了，那不就是代表 f 撇可赛就等于 f 一 撇 b 呢？那可赛不就是 b 了吗？ 是吧？因为在这个区间内，在零到一内，他是单的递增的，对吧？你等于他只有一种可能，就是你完完全全你，你的音变量是等于它，对不对？ 好，我们看一下这题我们怎么去弄啊？那这个可赛他是小于 a n 大 于零的，对不对？那么可赛他就是 b n 吗？有只 b n 是 小于 a n 大 于零的，那这里不就是我们要证吗？ a n 大 于 b n， 这里不就已经证出来了吗？ 是吧？好，这是第一问啊，而这个第二问呢？我们看一下，他是求这个 b n， 对 吧？ b n 减 a n， 它是收敛的。那么这个题目怎么去做呢？我们留到下一期来揭晓，欢迎点个关注，来听下一期课程。
01:55查看AI文稿AI文稿数一数三专项该怎么去学？很多数一数三的同学在学极数和线面积分的时候都感觉到头大，尤其是跟章鱼的同学，你会发现他的内容非常多，而且课时很长，好不容易把一张听完，准备去做题，发现前面的知识已经忘了，那这个时候我们应该怎么去解决？ 如果你现在是在基础阶段，那么我们今天听完课之后，直接就去找对应的课后题或者一线题 a 里面的题，把能做的题先给做了，我们就不要再等到这一章全部听完之后再去写了。你像十六讲和十八讲， 每一讲听完可能都要一周左右的时间，都要一星期左右，所以很很有可能我们听完一讲之后，前面的知识就已经忘了，所以一定要及时去做题，把能做的题先给做了。如果你已经过了基础阶段，现在是在强化阶段， 我们到时候怎么去学这两讲的内容？我建议大家到时候做题目的时候，不要直接去做一千题 b 组题啊，直接去做八八零里面综合片的大题，为什么？因为这两讲内容很多，我敢有百分之八十的同学在学这两讲的过程中，吸收效果很差，感觉学不明白。但一千题 b 组题又比较难， 比真题要难的，他适合拔高的时候去做，他题目太灵活了。而八八零他的题目更常规，方便大家整理一些方法来应对这些常规的大题。 等我们把常规题做明白，熟悉完之后，我们再去做一千题 b 组里面比较灵活的题目，比较难的题目，这样效果会好很多。其实我们最后再做整体的时候，你就会发现这两讲的内容在整体当中套路也就那几个。大家把常规题做完之后，基本上整体上的题就会写了， 就会对这两点的大纲或者说思维框架有个很好的认识。最后再提醒一下大家，很多知识很多概念，虽然在我们听课阶段没有去听懂，但是当我们做了几道题之后，你慢慢就会对这个知识有个清晰的了解，所以大家不要恐惧做题啊，听课和做题它是相互作用的， 在正常的逻辑下，我们一般都是听完课去做题，这是没毛病的，听完课去做题，这是正常的逻辑。但有的时候我们如果课上的内容没听明白，去做两道题之后，它会反作用于我们对课上的内容有个更好的理解，说不定这个概念你就明白了。
03:40查看AI文稿AI文稿无穷极数里的题还能用二重积分来做，这真的是太奇妙了。来，同学们，今天我们来分享一道题，这个题也是这个二期考研的这个章鱼一千题里面的一十六章的二十二题，然后呢，这个题呢，我个人觉得他这个答案写的不是很好，那我们可以尝试用二重积分的思路来把这个题给秒杀。来，我们来看看怎么做啊？ 首先他说当 x 小 于，这肯定手点半径嘛，对不对？都不用管它，那它就是看这样一个式子，它等于什么东西呢？对吧？你看一下，哎，这里面是不是，哎？是不是很像那个什么 e x 的 展开式啊？对不对？好，那我们来写一下 n 等于无穷大，是吧？好，那你里面这个视频写成 k 等于一，对吧？你从一开始加一直加到 n 嘛，对不对？它是 k 的 阶乘分之一，对吧？然后再乘以 x 的 n 次方，哎，你看这个东西是不是似曾相识，他这个 n 是 从一到无穷，是不是感觉是跟这种这种连续上的这种积分一样， k 呢？是从一加到 n， 一 加到 n 不 就一加到 x 吗？对不对？ 是吧？你感觉他是不是二种积分啊？这不就是二种求和吗？二种求和难道不能用这种交换积分次序吗？对吧？你是不是有这种联想的？来，我们今天就介绍一种这种方法，其他本质上是一样的。来，我们可以画出它这个图像，你在交换积分次序的时候是不是也要画图，然后去交换，对不对？你底下这个是 k， 上面是 n， 对 吧？一一，因为他们都从一开始加吗？对吧？ 那不就上面这个范围，然后呢，我们可以看一下它范围哈，你看这个 k， 它是大于一的，对吧？那不就上面这个范围哈，你看它必须小于 n 呢？ n 小 于无穷大的，对不对？ 所以它这里面有个 n 大 于 k 大 于 k， 不 就是这条斜直线吗？不就是这个这条直线吗？ n 等于 k， 而 n 大 于 k， 不 就是这个直线上方的这个内容，对吧？就这一块的面积，只不过呢，它刚才不一样，它是离散的点，它不是完完全全的这种连续的这个面积，它是离散的点，对吧？但这不妨碍我们用这个 交换求和次序，对不对？好，来，你看它先是后积的这个 n， 先积的这个 k， 对 不对？那我们就换嘛，对吧？它肯定是先后积的这个 n， 对 不对？它后积这样子积的，对不对？ 是吧？你看他后积，对吧？一到正无穷，然后先写的这个 k 等于一，对不对？ k 等于不就这条线吗？后写的这个 k 等于 n， 对 吧？ k 等于 n 不 就这条线吗？不就是他就是这样积吗？那你反过来积吗？对不对？你反过来积不就很简单吗？你，你先找到这个一吗？一到无穷吗？你这样子积吗？ 那就是 k 等于一到无穷大，是不是？然后你画一条直线，对吧？先交呢？先交它，对不对？先交它，那不就是 n 等于 k 啊，是吧？然后后交的是无穷大了，看不见，对吧？无穷大，哎，你看这个里面东西肯定是不变的，就跟二乘积分一样，里面东西肯定不变啊，你看这个东西他怎么做呢？你看，哎，你看这个 n 等于 k， n 等于 k， 开始急，对吧？你那个 k 就 跟他无关系，是不是？那你可以拿出来对不对？ k 的 阶乘分之一对吧？里面是 n 等于 k 无穷大 x n 次方是吧？哎，我们可以先算这个东西，你看这个很方便吗？这不是那个等比极数吗？等比极数不就这个东西吗？它的公比是 x 是 吧？它第一项什么 x， k 次方没错吧？你已经把它记出来了，前面就是 k 的 阶乘分之一， 然后 k 从一到无穷大，没错吧？好，你看它从 k 从一到无穷大，那跟 x 有 个鬼关系对不对？你把 x 直接拿出来对不对？ k 等于一无穷大 x k 是 吧？哎，你看这不就是哎，那个一 x 的 泰勒展开式吗？但你要注意哈，这里非常非常小心啊，这是 k 等于不是 k 等于零啊，对吧？所以它是等于一 x 减去一是不是？而前面是一减 x 分 之一，哎，那不秒了吗？一减 x x 减一吗？是吧？答案不就选这个 e 选项，这个， 哎，你看这本质上是一类东西，对吧？你只是交换了它求和顺序， 就跟二重积分里面他有些是不是先积，他不好积，你要换一个积分次序，他就好积了，就跟他这里说的是一样的，是不是？ 没有问题吧？那其实这里我们给出了这种思路，其实希望二期考研的同学们能够了解到这个思路吧。点上一个免费的关注，求求了，很多人在那里收藏啊，白嫖是吧？哈哈，我每天都更新的，每天都会有新的题点，点上一个关注不迷路对不对？好，今天课就到这里，感谢大家收听。
164小蔡聊数学（考研数学）
02:57查看AI文稿AI文稿哈喽哈喽，大家早上好。在阴沉沉的天中开启了今天的高数学习，今天是把无穷极数的课后习题写了一下，然后我就是想知道是不是今天很多地方都在下雨。 学了两个小时之后就是有一点懈怠了，我就去健身房爬坡去了。回家之后遇到的小猫咪，不知道是不是之前喂的那只，然后我就去楼上拿了点猫粮和水给他吃，但是他没有喝水。然后现在呢？我写完了无穷极数的课后习题， 嗯，就是他第一题的话，我现在就是第二遍写，发现其实挺简单的，但我不知道第一遍的时候为什么没有写对。然后呢？现在看的话就是第二个就是极数性质，性质二，然后其他的话就是很多都是在注市里 就可以一眼看出答案的那种。而第二个题的话就是考这个基本不能试吧。嗯，这个题就是已经给出来 a n 比一下就好，这个的话可能用到了那个内向极数，注是里面有写到的，就是正数项和负数项那里 有给出结论，然后现在第四题，第五题，还有这边的第。嗯，还有十一题都跟那个泰勒公式结合了， 然后像六七八这种其实只要会算就可以了。然后剩下这几个大体我觉得大家一定要都去算一下，就是很多都是我们第一次见的类型吧，什么基数，这种就是基数像偶数像要分开的。嗯，然后 就是十五十六比较简单，其他的话大家其实都可以好好写一下，然后我现在就去背单词啦。 okay， 朋友们，现在是晚上九点钟，刚刚背完今天的三百个单词，然后今天的，嗯，学习时间其实也不是很长， 然后我明天的话要回去帮忙干活，就是不知道你们的地方有没有过过庙会。这种就是亲戚们呀，或者是同事啦，发小了会。嗯，拿着牛奶或者是嗯，小面包啦，这种就买一箱礼品，然后来家里一起吃顿饭喝酒什么的。 嗯，然后就是因为我是在我是农村人，就是村子里就会那个街道上就会摆一些嗯，这种小孩玩的，坐的那种小车转的，然后还有那种， 嗯，扎飞镖的，反正明天我要回家帮忙做饭端盘子什么的。嗯，然后今天就这样，早点睡，大家明天见。拜拜。
25小董猫猫🍟
