什么是命题？命题就是能判断真假的陈述句。在这个命题中，判断为真的叫真命题。比如狗蛋不是女的，那判断为假的就叫假命题呗。 比如狗大师班里学习成绩最好的。这里大家一定要注意两个易错点，命体呢，有两个关键因素，陈述句能判断真假。所以呢，像什么，你今天吃了吗？这的空气真好呀， 通通都不是命题，而能判断真假。或者是这个语句是否为真在客观上是存在的，而不是你在主观上能不能判断出来。 比如外星人是存在的。你说他是不是真定题呢？不好说对不对，但他的真假在客观上 是存在的，那他就是命题。嘿，很有意思吧，好，继续。初中还学过，有些命题可以写成若 p 则 q 的形式，比如若 x 大于零， 则 x 加一等于一。在这里， p 就表示 x 大于零， q 则表示 x 加一等于一，此时就称 p 为命题的条件， q 呢，为命题的结论。 其实啊，任何一个命题都是由研究对象加对研究对象的某种判断这两部分组成的。矮个子大于三是一个命题吗？不是， 为什么呢？因为啊，他只有研究对象大于三的全体实数，但没有对研究对象的判断，所以大于三的实数不能判断真假。就好像你只说狗蛋， 而不对狗蛋做判断，自然就无所谓真假吗？
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01:50查看AI文稿AI文稿这个视频咱来讲讲命题。命题就是指能够判断真假的语句，所谓真就是对的意思，而假就是错的意思。至于这里的语句，我得强调一点，那就是他必须得是陈述句。由此可见，命题其实就是能够判断对错的陈述句， 只要符合这个要求，就一定是命题。比如会打妖怪的都是猴子，太阳比地球大，如果一直线和一平面垂直，那么他垂直于这个平面内的所有直线。 如果项链欧 a 加 o b 加 o c 等于零，那么欧就是三角形 abc 的垂形，这些陈数据你都能判断他到底对不对，所以他就是命题。但是像打篮球的个子都很高吗？明星都很漂亮吗？我很帅吗？小狗一定比小猫可爱吗？这样的问句， 你没办法判断他到底对不对，那他就不是命题。一般的咱把对的命题叫做真命题，错的命题叫做假命题。那刚才这四个命题哪些真哪些假呢？会打妖怪的不一定都是猴子， 也有可能是葫芦娃，所以这是个假命题。太阳确实比地球大，所以这是真命题。如果一直线和一平面垂直，那么他垂直于这个平面内的所有直线。 这句话其实就是线面垂直的性质定理，书上白纸黑字写着的明显正确，所以就是真命题。如 如果项链欧 a 加 a， b 加 o c 等于零，那么欧应该是三角形 abc 的重心，而不是垂心，所以这是假命题。看来要判断一个命题是真是假，你只要判断这个命题是否正确 就行，对的就是真命题，错的就是假命题。以上就是命题的基本概念，哥就给你讲到这，如果你觉得明白了，就自个刷题去吧。
1570数学王子特训营
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58:11查看AI文稿AI文稿请注意，本视频共计五十九分钟，主要讲解的是高中数学常用逻辑用语之命题，量词充分，遇必要条件自用版仅分享，如有侵权可联系下架视频。 哈喽，同学们好，欢迎打开本视频。什么是命题？ 哎，命题，命题听起来是不是蛮耳熟的呢？是的，在初中就学过关于命题的一些简单的小知识，来，我带你一起回忆一下吧。首先，什么是命题嘞？ 命题就是能判断真假的陈述句，怎么样，蛮符合你的印象吧， 继续哈。在这个命题中，判断为真的叫真命题。比如狗蛋不是女的，那判断为假的就叫假命题呗。比如狗蛋是班里学习成绩最好的。 哎呦，你问问狗蛋自己，他脸皮再厚也不敢这么说吧。那在这里大家一定要注意两个易错点。命题呢，有两个关键因素，陈述去能判断真假。所以呢，像什么？你今天吃了吗？这的空气真好呀！ 通通都不是命题，而能判断真假，或者是这个语句是否为真在客观上是存在的，而不是你在主观上能不能判断出来。比如外星人是存在的， 你说他是不是真命题呢？不好说对不对，但他的真假在客观上是存在的，那他就是命题。嘿，很有意思吧， 好，继续。初中还学过有些命题可以写成若 p 则 q 的 形式，比如，若 x 大 于零， 则 x 加一大于一。在这里， p 就 表示 x 大 于零， q 则表示 x 加一大于一。此时就称 p 为命题的条件， q 呢，为命题的结论。 以上就是初中学过的关于命题的知识，那到了高中，要求自然会更高一些。在继续深入学习命题之前，你要先学会一件很简单，但对未来学习具有重大意义的事情，会识别命题的结构。 嗯，这句话是啥意思呢？其实啊，任何一个命题都是由研究对象加对研究对象的某种判断这两部分组成的。来看两个例子哈，命题一，零是整数， 在这里呢，零就是研究对象，这里的研究对象是单一的元素，而他是整数，就是对这个研究对象零的某种判断。 例题二，如果实数 x 大 于三，那么 x 大 于二，在这里呢，研究对象就是大于三的全体实数，对吧？这里的研究对象呢，是一个集合，而不是 x 这个元素。 那我们对这个集合做了什么判断呢？就是这个集合中的每一个数都要大于二。 所以啊，识别命题的结构，就是能识别清楚研究对象是单一的元素还是一个集合，以及对这个研究对象做了什么判断。 哎，听起来还是蛮简单的，对吧？那么，这种单纯朴素的理解有什么用呢？它呢，可以帮你明白很多事情。比如， x 大 于三是一个命题吗？ 答案选 b， 不是。 为什么呢？因为啊，它只有研究对象大于三的全体实数，但没有对研究对象的判断，所以，大于三的实数不能判断真假。就好像你只说狗蛋， 而不对狗蛋做判断，自然就无所谓真假嘛。另外呢，也可以根据研究对象的不同，借助其核的真假嘛。另外呢，也可以根据研究对象的不同做判断，自然就判断出命题的真假。 比如，看命题一，从集合的观点看，就是零这个元素属于整数，这个集合它当然是真命题。 其实呢，当研究对象只有一个元素时，只要看这个元素是否符合判断，就可以判断真假了，很简单吧。而第二个命题呢， 从奇和的观点看， x 大 于三即为奇和 a， x 大 于二即为奇和 b。 这句话其实就是在说 a 是 b 的 子奇。 哎，也是这命题吧，学会了用奇和看待命题，未来就可以借助奇和运算解决很多复杂的问题了。所以呢，一定要掌握这个技能呦， 好，当研究对象为一个集合时，判断命题的真假似乎也不难。嗯，千万别这么想，研究命题时，很多错误都是出在这种研究对象为一个集合的命题上， 在下个视频会专门针对这类命题进行详细介绍。最后呢，再简单的总结一下这个视频学到的东西吧。 命题就是能判断真假的陈述句，同时它也是对研究对象的某种判断。研究对象可以是一个元素，也可以是一个集合。好了，就到这里，拜拜。 话说学完了什么是命题？实验失败班刮起了一阵命题强迫症，研究什么事都喜欢用命题描述一遍判断真假。比如所有的金属都是固体， 地球上的物体都受到重力的作用存在，不做作业也能考年级第一的学霸，每天都因此发生无数的争吵。如果狗蛋和小锤又抬上杠了， 他们俩对男生能劈叉这个命题进行了激烈的辩论。不要问我为什么会讨论这么奇怪的话题，少男的心思谁能懂啊？话题虽然无聊， 但他们争论的过程却很有意思。狗蛋说，我是男生，我不能劈叉，所以这是一个假命题。谁说我是男生，我能劈叉，所以这是个真命题啊！ 大家听明白他俩的分歧在哪了吗？嗨，他们聊的根本就不是一回事。狗蛋认为男生能劈叉，这个命题的含义是，所有男生都能劈叉，那只要有一个人不能，就是一个假命题。 而小锤呢，认为男生能劈叉的含义是，存在可以劈叉的男生，那只要有一个男生能劈叉，就是一个真命题了。典型的公说公有理，婆说婆有理。其实啊，之所以会发生这样的分歧，是因为这个命题的研究对象男生是一个群体， 当涉及一个群体的时候，对研究对象的描述需要尽量严谨。到底是所有都符合，还是一部分符合？限定的量词不同，这个命题的真假就不同。 为了避免这种歧义，今天我们要学习两类量词，全称量词和存在量词，以及相应的命题，学会如何严谨的表述命题。 先来说全称量词，比如所有都任意一个，这些表示全部的词语称为全称量词。还有全称量词的命题，比如所有菱形都是平行四边形，正数都大于零， 任意一个有理数都能写成分数的形式，通常称为全称量词命题。它们的共同特点是，研究对象全部都符合某个性质，所有菱形，所有正数，所有有理数。 全称量词命题，也简称全称命题。可不要注意的是，全称命题不一定非要含有这些全称量词。例如，若 x 是 整数，则 x 是 有理数。 你觉得这是全称命题吗？感觉上是吧，它实际的意思是，对于任意一个整数 x， 它都是有理数。 所以说我们判断是不是全称命题，不是看字面上有没有这类全称量词，而是看这句话的实际意义是不是表示全部都符合同理，就像球面是曲面，当然也是全称命题了。 下面我们接着说存在量词，顾名思义，就是像某些存在有一个这些表示至少存在一个的词语 含有存在量词的命题。比如某些三角形是直角，三角形存在平方等于三的有理数，有一个质数是偶数，通常称为存在量词命题，特点是研究对象中至少有一个符合某种性质 存在量词命题，也简称为存在命题或者特称命题。后面这种叫法现在课本上不太常用了，但还是需要指导一下。 这也有一点要跟大家提醒，咱们平时说话时提到，有些某些一般都表示好几个，但在数学中，有些就表示至少一个和存在是一个意思。 比如这个命题如果改成有些质数是偶数，那也是真命题。好了，关于全称量子命题和存在量子命题，我们就介绍完了。 在进一步练习如何判断这两种命题的真假之前，我们先插播一段小知识，是关于这两种命题非常有趣的简写方法。先说全称命题，比如对任意一个实数 x， x 方大于等于零，可以简写成任意 x 属于 r， x 方大于等于零。 这个倒着写的大写字母 a 就 表示任意的意思啊。关于这种写法，有一种流传于民间的解释啊，是任意，所有用英文写出来是 any， 这个符号可以看作 any 的 缩写啊，就就行吧， 大家多看几个例子，努力接受一下，毕竟以后会经常用的。对于存在命题，也有它的简写方式，比如存在时数 x 满足 x 方小于等于零，可以简写为存在 x 属于 r， x 方小于等于零。 这个反过来写的 e 就 表示存在的意思。民间的说法是它来自存在一词的英文 exist 的 缩写。 下面我们通过两个简单的小练习，来熟悉一下这两种命题如何判断真假。首先看第一个，任意一个基数的平方都是基数，显然这是一个全称命题。你先自己判断一下这是真命题还是假命题呢？ 答案选 a， 这是一个真命题。 判断真或者假，取决于这的研究对象全体基数是否都符合描述。对于任意一个基数，它的平方基数乘以基数，结果肯定还是基数全体都符合，所以是真命题。 通常来讲，要证明一个全称命题是真命题并不容易，要说明全体对象都符合描述才行。 然而要说明一个全称命题是错误的就比较简单了，只要找出一个反例就行。比如任取 k 属于 r， y 等于 k， x 是 一次函数，你只要找到一个反例， k 等于零，此时 y 等于零，不是一次函数，就能说明这是一个假命题。 好了，再看最后一个例子，先来熟悉一下符号，自己想想这个命题是什么意思，只存在一个 x 属于 r， 使得 x 方小于等于零，对吧？显然，这是一个存在命题，那么只要有一个研究对象符合描述，就是真命题。 很简单， x 等于零的时候， x 方等于零符合描述，所以是一个真命题。 小结一下，要证明一个存在命题是真命题很容易，只要找到一个符合描述的例子就行。 反过来，要证明存在命题是假命题就比较麻烦了。比如存在平方等于三的有理数，必须得证明所有有理数的平方都不等于三才行。 视频的最后总结一下，今天我们学习了两种重要命题，一个表示全部都符合，一个表示至少有一个符合。关于这两种命题，以及如何判断真假，大家不要刻板的记忆，尽量从实际意义去理解。 好了，今天先到这里，拜拜。 hello， 大家好，看完前面两个视频，相信大家对于命题这个概念已经有了全新的认识， 这个视频我们继续往下延伸，来学习另一个概念，命题的否定，命题的否定。这就是在说这个命题是错的吧？ 啊，要是这么想，就是典型的望文生义了。其实命题的否定本质上说的是另一个全新的命题，而他所表示的意思就是和原命题截然相反，或者说原命题不成立。 比如，如果零是最小的整数是原命题，那零不是最小的整数，就是他的否定。 如果珠穆朗玛峰是世界上最高的山峰是原命题，那珠穆朗玛峰不是世界上最高的山峰，就是它的否定。从形式上就能看出来，两者水火不容，非此几笔完全对立， 而且非此几笔完全对立这一特点不只是流于形式，从否定前后两个命题的真假性上也能体现出来。比如，你先来判断一下刚才这四个命题的真假，找找规律， 依次是假真、真假。哎，看出这里的对立关系了吧？ 一个命题和它的否定，在真假性上必然是完全对立的，既不可能都是真的，也不可能都是假的，一定是一真一假。 好了，现在你已经对命题的否定有了一个入门级的理解了。嗯？为什么说是入门级的呢？ 因为刚才这几个命题是最简单的一类，研究对象都只有一个，所以要么是，要么不是，一眼就能看出否定是啥。而当研究对象多起来时，问题就不那么简单了。 比如上个视频讲过的，全称命题，所有男生都能劈叉，你来想想他的否定是啥呢？ 相信不少人想的都是所有男生都不能劈叉吧。那到底对还是不对呢？咱们可以先从真假性上判断一下。如果这俩命题连一真一假都做不到，那这否定肯定不对吗？ 就劈叉这个高精尖技能来说，肯定大部分男生不会，但也存在大佬会，所以所有都能和所有都不能。这两个命题都是假的吧？你看，并没有做到一真一假，所以这个否定并不正确。 那这个命题的否定到底是什么呢？咱们不妨从头捋一捋。这个否定要表达的意思就是，所有男生都能劈叉，这个命题不成立，对吧？那这事什么情况下能发生呢？ 很简单，找到一个反例就行，只要存在一个男生不能劈叉，那我们就可以说他不成立了。所以存在一个男生不能劈叉，就是他的否定了。按照这个思路，你再来想想下边这个全程命题的否定该怎么写吧。 思路和刚才一样，只要存在一个质数不是奇数，那这个命题自然就不成立了，所以答案就是它啊。当然了，写成存在一个质数是偶数或者其他类似的话，只要意思一样也都没有问题。 写好以后，咱们再对着这两组命题和他们的否定归纳一下共同点。从句子的意思上看，因为全称命题说的都是所有对象都满足某种描述，要让他不成立，只要存在一个对象不满足这种描述就行。 所以简单来说，就是所有都的否定就是存在一个不。有了这个理解以后，如果见到用符号语言描述的命题写否定，就可以超快搞定了。 比如任意 x 大 于三， x 方大于九，你看他对应的就是所有都对吧？那他的否定就是先把前面的任意改成存在，再把后面的描述反过来，大于九改成小于等于九， ok， 直接搞定， so easy 吧！ 搞定了全称命题的否定，下面来看存在命题，比如这个命题存在一个三角形内角和不等于一百八十度，你觉得它的否定该怎么写呢？ 毫无疑问， a 选项直接在最前面加一个不字，肯定是对的，这就是最直接的否定嘛。但这种说法实在太别扭了， 那咱们把它再翻译一下，不存在一个三角形内角和不等一百八十度，说的不就是任意一个三角形的内角和都等于一百八十度吗？也就是 b 选项的说法喽。 简单来说，由于存在命题说的是 n 个对象中至少有一个满足某种描述，也就是这 n 个对象中可以有一个、两个、三个甚至 n 个对象满足这种描述， 那他的否定当然就是以上情况都不成立，也就是有零个对象满足这种描述说的直接一点，就意味着所有对象都不满足这种描述，因此他的否定应该这么写。 如果把这种理解转化成符号语言，也同样简单。比如下面这个命题，它的意思是存在实数 x 满足 x 的 绝对值小于等于零。所以否定就是任意实数 x 都不满足 x 的 绝对值小于等于零。也就是这样， 你看，只要把存在改成任意，然后把后面描述反过来就完事了。 最后，如果你把两种命题的符号语言放在一起，就能发现他俩的否定，可以用一种方法记忆统一分两步，第一步，任意改存在，存在改任意。 第二步，把后半部分给反过来，这样直接就能快速搞定，很简单吧。 好了，讲完这些，相信你对命题的否定已经了解的八九不离十了。最后来看一下完整的总结，记住，以后剩下要做的就是通过练习加深对他们的印象了。 这个视频先到这里，拜拜。 哈喽，大家好，上个视频咱们学了任意和存在两类命题的否定， 不过在写命题否定的时候，有一些极易写错，所以这个视频要教你如何快速准确的写出命题的否定，来加深你对否定的理解。 先看第一个，若 x 大 于三，则 x 大 于五。你来想想它的否定是什么呢？ 口袋上写的是，若 x 大 于三，则 x 小 于等于五。 有和他一样的同学吗？举起你的小手让我看看。嗯，举手的同学，恭喜你啊，做错了，这可是大家在写否定时最容易犯的错误，以为只要条件不变，然后否定结论就可以了。不对，但凭啥不对呢？ 哎，先讲个最简单的道理，命题和它的否定，肯定一真一假对不对？否则还叫什么否定啊？看这两个命题的真假，先看原命题，若 x 大 于三，则 x 大 于五。 假命题吧。比如 x 等于四，满足 x 大 于三，但并不满足 x 大 于五， 那这个命题若 x 大 于三，则 x 小 于等于五呢？也是假命题吧？ x 等于六七八等等等等，找谁说理去？嗯，两个都是假命题，那肯定是写错了。 命题的真假性是判断否定的一个标准，但也不能说真假相反就一定写对了。想彻底搞清否定该怎么写，还是要先理解清楚命题的含义。 命题是对研究对象的某种描述。那这个命题的研究对象是什么呢？ 所有大于三的实数没问题吧？所以，重点来了啊，仔细听，所有大于三的实数，意味着这是一个全称量子命题，写成符号元就是任意 x 大 于三， x 大 于五。 哎，改成这样，否定就脱口而出了吧。要否定全称命题，只要存在一个反例就行，所以任意改存在大于该小于等于存在。 x 大 于三，使 x 小 于等于五。你瞧， 写成文字语言呢，存在大于三的实数， x 使 x 小 于等于五，这才是对原命题的否定。 所以，写命题的否定，首先要搞清楚研究对象是什么，从而理解命题的含义。 根据研究对象，先判断命题的类型。注意，重点是，一定要判断清楚命题的类型是任意还是存在？还是说研究对象只有一个，弄清楚命题类型，再写否定就简单了。 方法知道了，下面来一起做几个练练手吧。先来做个简单的爽一下， x 等于二是方程， x 方减四等于零的根，你想想看它的否定是什么吧。 这个很简单，研究对象是 x 等于二，这一个实数是个体，直接否定改成不是就可以了。 x 等于二，不是方程， x 方减四等于零的根。 爽完了，再来看一个复杂点的菱形的对角线相等。哎，看到这个，有的同学心想，切，我寻思这也没复杂多少啊。研究对象是菱形个体啊，直接否定菱形的对角线不相等， 你觉得这么想靠谱吗？ 当然不靠谱啦，还是看看这两个命题的真假。菱形的对角线相等？不一定吧，这是个假命题没错吧。 菱形的对角线不相等还是假命题吧。比如正方形也是菱形啊，但它的对角线就相等。两个假命题肯定有问题，而问题就出在对命题类型的错误判断上。 看这个命题，他说的是某个特定的菱形对角线相等吗？不是吧，他说的是所有菱形对角线都相等，所以他还是全称两次命题。 那他的否定就是存在一个菱形，他的对角线不相等。说的简单一点，存在对角线不相等的菱形。 所以啊，在理解命题说什么的时候，一定要分析清楚研究对象到底是一个还是一堆。最后再来看一个命题，有些正整数 x 满足 x 减五小于等于零一样的，你先想想他的否定是什么吧。 研究对象是有些正整数 x， 嗯，有些显然不是个体，而是一堆，也不是全部，而是存在。 所以这个命题是个存在量词命题。存在正整数 x 满足 x 减五小于等于零。存在命题的否定存在改成任意结论反一下，任意正整数 x 满足 x 减五大于零。 怎么样？只要搞清楚研究对象的数量是什么样的，写否定就没啥难度了吧。不过还是要提一下，存在量子命题除了会像刚才这样以存在的形式出现，还会以至少存在多少多少，或者至多存在多少多少的形式出现。 比如将这里的存在改为至少存在四个，他的否定是什么呢？ 还是先理解命题再说什么至少存在四个，也就是有四个或五个或更多个正整数 x， 它们满足 x 减五小于等于零这个描述。 那它的否定就是没有这么多个正整数 x， 也就是只有三个、两个、一个或者零个正整数 x 满足 x 减五小于等于零。这样写就基本没问题了 啊。当然也能再精炼一点，写成最多有三个正整数 x 满足 x 减五小于等于零。 题目做完了，总结一下，对命题进行否定，要先搞清楚命题研究对象的数量是多少，这能帮助我们理解命题的类型以及命题的含义，从而快速写出它的否定。 好，这个视频就到这了，拜拜。 哈喽，大家好，这节课要学习两个非常重要的概念，充分条件和必要条件。 他们都是啥呢？来，先从充分条件说起。啥是充分条件呢？按照字面的意思，充分吧，就是指充足，足够，有我就够了。 举个通俗易懂的小例子，在某个平行世界里，罗大同学努力学习，终于取得了年级第一的好成绩啊。好吧，年级第一就年级第一吧，那你觉得在班级里他排名第几呢？ 显然是第一吧。年级第一当然也是班级第一，这个逻辑没毛病吧。所以呢，你是年级第一，就足以推断出你是班级第一，此时你就可以说年级第一是班级第一的充分条件。 注意了哈，虽然你不是年级第一，也有可能是班级第一，但只要你是年级第一，就足以保证你是班级第一。这就是有我就够了。怎么样理解什么是充分条件了吧。 那像这样的有我就够了的例子呢？还有很多，比如哈，只要下雨，地就会湿，一般来讲，下雨了足以推出地会湿，对吧？那下雨就是地湿的充分条件。 再比如，若两三角形全等，则它们的面积相等。全等是不是足以推出面积相等？所以三角形全等就是面积相等的充分条件？ 来归纳一下刚才这些例子的共性，它们呢，都有两个语句， p 和 q。 在 第一个例子中， p 就是 狗蛋，是年级第一， q 就是 狗蛋，是班级第一。如果 p 能推出 q， 换句话说，当 p 成立时， q 就 一定成立 啊。说的再精简一点，就是若 p， 则 q 是 个真命题，此时就说 p 是 q 的 充分条件。所以这个充分条件呢，其实是两个语句之间的关系，我成立，能推出，你成立，我就是你的充分条件。听明白了吧？ 以上呢，精练出来就是充分条件的定义了。来，注意啊，这个箭头就是推出符号，意思呢，就是 p 成立可以推出 q 成立。 那考你一下，如果设两个三角形，面积相等为 p， 它们全等为 q， 那 你来判断一下，此时 p 是 q 的 充分条件吗？ 其实就是在问面积相等能不能推出全等，这显然不行吧，所以 p 不是 q 的 充分条件。 好，下面咱们来说说什么是必要条件。在刚才的 p 推出 q 这个关系中， p 叫做 q 的 充分条件，然后呢， q 就 叫做 p 的 必要条件。 比如视频开头的例子，年级第一是班级第一的充分条件，反之，班级第一则是年级第一的必要条件。 嗯，是不是感觉有点疑惑，这哪里必要了呢？没关系，先记住这个定义，然后听我慢慢解释。 所谓必要嘛，是指必须一定要，没我就不行。 啥意思呢？来，就说这个例子吧，你是班级第一，不能证明你是年级第一，对吧？但是呢，注意听哈，重点来了，如果你连班级第一都不是，是不是可以证明你肯定不是年级第一？ 哎，听懂这个逻辑了吗？你想成为年级第一，必须得先成为班级第一吧，你说你连班级第一都做不到，你凭啥成为年级第一呢？所以想成为年级第一，不成为班级第一是不行的，这就是没我就不行。 所以呢，所谓必要条件，就是说我成立不一定能推出你成立，但是我不成立，你就一定也不成立。换句话说呢，只有我成立了，你才有可能成立， 所以我成立对你成立而言是必要，或者说必须的。这就是必要条件啊，还没懂的同学可以倒回去再听一遍哟。 好，现在呢，再回去看必要条件的定义，说 q 是 p 的 必要条件是什么意思？其实就是 q 只要不成立， p 就 一定也不成立。写成式子呢，就是非 q 能推出非 p 没错吧？ 但这个式子的成分呢，有些复杂。没关系，想一想它的逆否命题是什么？ p 能推出 q 吧，原命题和逆否命题是等价的，所以当 p 能推出 q 时，就说 q 是 p 的 必要条件。 你看，定义就是这么来的。好了，听明白的逻辑，咱们梳理一下。 p 推出 q 时，说 p 是 q 的 充分条件， q 是 p 的 必要条件。那问你个简单的问题，如果 p 是 q 的 必要条件，说明谁能推出谁呢？ p 是 q 的 必要条件，就是想让 q 成立，没 p 就 不行。 也就是说， p 不 成立，则 q 一定不成立。所以，非 p 能推出非 q 写成逆否命题，就是 q 能推出 p， 所以 这个充分条件和必要条件。也可以这么说， p 推出 q 时， p 是 q 的 充分条件， q 推出 p 时， p 是 q 的 必要条件。 在解决问题时，往往呢，都是用这种说法，但他和定义本质上是一样的，都放在这，你来跟去，有我就够了，没我就不行。这两个对充分和必要的理解，自己看看吧，看懂了就可以继续了。 好，最后呢，把充分条件和必要条件合到一起，如果 p 能推出 q， q 也能推出屁，也就是屁和 q 可以 互推，此时屁既是 q 的 充分条件， 也是 q 的 必要条件。这时咱们就说 p 是 q 的 充分必要条件啊。当然了，此时 q 也是 p 的 重要条件啊。当然了，此时 q 也是 p 的 重要条件。 举个例子哈，比如两直线平行和同位角相等，他俩就可以互推吧。 这时我们就说两直线平行是同位角相等的充分必要条件，简称充要条件，写的时候用这个双箭头连接两个语句，表示他俩是等价的。 好了，这个视频呢，咱们学习了什么是充分条件、必要条件以及冲要条件。下个视频会介绍一个重要技能，用集合来理解、认识和判断充分条件和必要条件。那一起来学习吧，拜拜！ 同学们好，上个视频介绍了什么是充分条件和必要条件。但是呢，作为高中数学最容易混淆的七大概念之一， 你以为光知道定义就可以了？太年轻，抱着这种想法的你的师兄师姐们好多呢，都被这部分内容折磨的可惨喽。 来这个视频就带你继续深入理解充分条件和必要条件。学懂这个视频，这两个概念在你的面前就真的变成小菜鸟了。 先回顾一下这俩概念哈， p 是 q 的 充分条件， p 是 q 的 必要条件。这俩说法都是啥意思来着？你自己想想呗，想好了就可以继续了。 当 p 能推出 q 时，就说 p 是 q 的 充分条件。当 q 能推出 p 时，就说 p 是 q 的 必要条件。你想对了吗？ 简单的讲呢，在一个推出关系中，前者是后者的充分条件，后者则是前者的必要条件。 来，再来个具体的例子，你判断一下 p 是 q 的 什么条件。等会呢，我会就着这个例子讲解充分条件和必要条件的深入理解。 先看 p 能不能推出 q， x 大 于二十啊，都比二大了，肯定也大于一吧。所以呢， p 是 q 的 充分条件， 那 p 是 q 的 必要条件吗？那就得看 q 能不能推出 p 喽。注意，必要条件呢，是后者推前者。你想啊，大于一一定也大于二吗？ 不一定吧，一点五大于一，但显然它不大于二，所以， p 不是 q 的 必要条件。此时就说 p 是 q 的 充分不必要条件。反之， q 则是 p 的 必要不充分条件。 好，接下来咱们要就着这个例子，从其和的角度来理解一下，充分条件和必要条件又是什么意思。 嗯，有点费解，是不是这玩意还能和集合扯上关系来？真相是这样的，先把两个条件写成集合， p 就是 x， x 大 于二， q 就是 x， x 大 于一。很明显， p 集合是 q 集合的子集，对吧？ 这其实就是集合与充分必要条件的关系了。如果 p 能推出 q， 则 p 集合就是 q 集合的子集 子时呢？ p 是 q 的 充分条件， q 是 p 的 必要条件。呃，可以这么记忆，两个集合有子集关系时，小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件。 那一定是这样的吗？来，还是看这两个集合怎么从集合的角度来理解 p 推出 q 成立呢？ p 推出 q 成立的意思呢？就是说 p 成立时， q 也一定成立，对吧？ 换句话说，就是满足条件 p 的 x 一定也满足条件 q。 好了，那满足条件 p 的 x 是 啥呢？就是 p 集合的元素嘛，它又一定满足条件 q。 哦，那是不是就是说 p 集合中的所有元素都在 q 集合中来？你对着这两个集合想一想，是这么回事吧。 好了， p 集合中的所有元素都属于 q 集合。哎呦，那 p 当然就是 q 的 子集喽。 好了，再说一遍。结论，如果两个集合有子集关系，那么小集合推出大集合，小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件。挺好记的吧，那如果两个集合相等呢？ 那就互为充分必要条件呗。好，你来用一下这个结论判断一下 p 是 q 的 什么条件。 答案，选 b。 这两个语句对应的集合 p 呢，是负一正一， q 呢，只有正一两个集合有子奇关系吧。大集合是小集合的必要条件，所以选 b。 好了，这个视频呢，就说到这，主要内容呢，就是两个集合有此即关系时，小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件。拜拜。 哈喽，大家好，上个视频我们学习了充分条件和必要条件这个视频，我们来看看在具体的题目中，要怎么判断是充分条件还是必要条件。 今天的题目啊，都不难，主要的目的是为了帮助大家梳理清楚判断的思路和流程是什么。先看老者身体，找找感觉。给了两个集合 a 级合理元素是二和 a 方带了个参数 a， 问题是参数 a 等于二，是集合 a 交集合 b 等于四的什么条件？是充分条件还是必要条件？ 怎么判断充分还是必要呢？目前能帮我们判断的只有定义吧，那就严格按照充分必要条件的定义呗。定义怎么说的来着？ 两个语句， p 和 q， 若 p 推 q 成立，则 p 是 q 的 充分条件。反过来， q 推 p 成立，则 p 是 q 的 必要条件，没错吧？ 按照这个定义，现在问的是 a 等于二，是 a 交 b 等于四的什么条件，那谁是 p 谁是 q 呢？来看定义， 定义中说的都是 p 是 q 的 什么条件。所以前面的 a 等于二要记为 p， 后边的 a 加 b 等于四要记为 q。 那 根据定义，只要 p 推 q 成立，那就是充分 q 推 p 成立呢，就是必要。 哎，说到这，思路就已经理顺了吧，下面我们只要做两个判断题就可以了，不过也先不着急直接做判断，因为 a 交 b 等于四这个语句啊，不够精简，可以化简来仔细看看 ab 这俩集合， a 里边已经有四了， b 里要想有四，只能是 a 方等于四吧，那 a 就 等于正负二，所以 a 交 b 等于四，就可以化简为 a 等于正负二。 化简之后再判断 p 推 q 和 q 推 p 就 特别简单了，可以直接做判断。先看 p 推 q， 当 a 等于二时， a 等于二或 a 等于负二也成立吧。所以 a 等于二可以推出 a 等于正负二。 一下没反应过来的同学也可以直接想， a 等于二是可以推出 a 方等于四的对不对？而 a 方等于四不就等价于 a 等于正负二吗？ 但是反过来不行， a 等于正负二，推补出来 a 等于二没问题吧？或者呢，从集合的角度来看，把 p、 q 当成两个集合，那 p 就是 q 的 子集，小集合能推出大集合，所以 p 推 q 成立， q 推 p 不 成立。 两道判断题做完答案选空分，但不必要答案选 a。 这道题本身并不难通过，它就是想给大家完整展示一遍判断充分必要条件的流程。 首先，题目要判断谁是谁的什么条件，前面这个谁呢，就记为 p， 后边这个谁就记为 q。 分 清 p 和 q， 然后只要做两个判断题， p 推 q 成立就是充分， q 推 p 成立就是必要。 在判断这俩关系时，你可以直接判断，也可以借助集合来给你点时间熟悉一下这套方法，没问题了，就可以点击继续了。下面这题你先自己做一下，选出你的答案。 答案是 d， 你 做对了吗？ 首先，这题要判断 a 大 于 b 是 a 方大于 b 方的什么条件， a 大 于 b 在 前，那它是屁， a 方大于 b 方在后，它是 q。 p 推 q 成立就是充分， q 推 p 成立就是必要。这个思路没问题吧？ 接下来判断这俩是否成立，很可惜，他俩都不成立，反例嘛，也很好找，这毕竟只是一个出众级别的判断题。让 a 等于一， b 等于负一，你看 p 推可不成立吧。 让 a 等于负二， b 等于一， q 推 p 也不成立吧，不充分也不必要，所以选 d 好 了。这两道题还算中规中矩，不过出题老师有时会在问法上为难我们，比如下面这题， 这题问的是一元二次方程， x 方加 x 加 m 等于零，有实数解它的一个必要不充分。条件是什么？ 首先看到二次方程有实数解，想必你肯定有算得它化解它的冲动吧，有实数解，就意味着得它大于等于零，算一下就是一减四。 m 大 于等于零， m 就 小于等于四分之一。 化解完成，就可以把原来的语句划掉了，换成 m 小 于等于四分之一。所以这题其实就是在问 m 小 于等于四分之一，所以这题其实就是在问 m 小 于等于四分之一，所以这题其实就是在必要不充分条件是什么？ 嗯？坐到这里，又有同学开始犯迷糊了，分不清楚谁是 p 谁是 q 了，此时只要严格按照定义来就可以了。 定义怎么说的 p 是 q 的 什么什么条件，对吧？所以不论题目怎么说，你只要把说法换成谁是谁的什么条件就可以了。 对于这道题，仔细听好，就是哪个选项是 m 小 于等于四分之一的必要不充分条件，你来想想是不是和原来的问法是一个意思， 所以这里哪个选项就是 p？ m 小 于等于四分之一，就是 q 不 充分，说明 p 推 q 不 成立，必要说明 q 推 p 成立。这样就把这道题彻底捋清楚。 那答案选谁呢？先看 q 推 p 成立， m 小 于等于四分之一，能推出哪些选项呢？ m 不 大于四分之一，能推出 b 和 d 吧，也就是能推出 m 小 于等于四分之一和 m 小 于四，但是 p 推 q 还得不成立，而这俩 m 小 于等于四分之一，可以互推，所以不能选 b， 只能选择 d。 或者从集合的角度来看， q 推屁成立，说明什么呢？小集合推大集合，说明 q 是 屁的子集，但是屁推 q 不 成立，说明 q 是 屁的真子集，这样也能得出答案的。 题目做完了，来总结一下，判断充分必要条件。只要做好这么两件事，第一，把题目的描述改为谁是谁的什么条件， 然后前面的谁就是屁，后边的谁就是 q。 第二，判断屁推 q 和 q 推屁是否成立，前者成立就是充分，后者成立就是必要。判断时可以直接判断，也可以借助集合来判断， 做好这两件事，判断充分必要条件这类问题的思路就没有问题了。另外，在解题熟练之后，也可以跳过社 p、 q 直接来判断，这样就达到了判断充分必要条件的理想境界了，加油吧，少年！这个视频就到这了，拜拜！ hello， 大家好，前面的视频我们从不同角度认识了命题这个新朋友，今天我们要进一步认识一下他的几位兄弟。逆命题否命题和逆否命题 先来说逆命题，从名字就能看出，它的意思是把本来的命题倒过来说， 比如，若 x 等于一，则 x 平方等于一。如果我们把本身这个命题称为原命题，那么它的逆命题就是，若 x 平方等于一，则 x 等于一。 总结一下，若 p 则 q， 它的逆命题就是把条件和结论颠倒一下，若 q 则 p， 比如两直线平行，内错角相等，逆命题就是内错角相等，两直线平行。很简单吧。 说完了匿名题，我们来看下一位否定题。什么是否定题呢？比如，若 x 等于一，则 x 平方等于一，它的否定题就是，若 x 不 等于一，则 x 平方不等于一。注意，要对条件和结论都否定。 总结一下，若 p 则 q 的 否定题是，若 p 不 对，则 q 不 对。可以简单记为，若非 p 则非 q， 这个拐一下的符号就表示否定。那你想想，两直线平行，内错角相等，它的否定题是什么？就是两直线不平行，内错角不相等。太简单了吧。 下面我们来认识一下今天最后一位朋友。逆否命题，从名字就能看出，它应该是关于原命题既逆又否的命题，大家可以先猜一下，若 x 等于一，则 x 平方等于一，它的逆否命题是什么？ 答案选 b， 猜对了吗？逆否命题，既要逆也要否，我们可以先写出原命题的逆命题，再写出这个命题的否命题。注意，条件和结论都要否定， 就是若 x 平方不等于一，则 x 不 等于一。当然，我们也可以先否再逆，先写出否命题，再写这个否命题的匿命题。两种方法都可以，大家自行选择。 简单总结一下，若 p 则 q， 它的逆否命题是，若非 q 则非 p。 比如两只线平行，内错角相等，它的逆否命题就是内错角不相等，两直线不平行。 好啦，关于命题的几位兄弟，我们已经一一认识完了，连同原命题一起，它们四个叫做命题的四种形式。那接下来的问题是，学习他们有什么用呢？ 坦白告诉大家，逆命题和否命题还真没什么用，只是一种形式，大家接受就好。然而，逆否命题还是有很大用处的，因为它和原命题同真假。 没想到吧，原命题为真，它也一定为真，原命题为假，它也一定为假。我们可以用前面的两个例子来体会一下。先来看第一个原命题，若 x 等于一，则 x 平方等于一。 很明显，这是一个真命题，它的逆否命题是，若 x 平方不等于一，则 x 不 等于一。由条件可以得出， x 不 等于一，且 x 不 等于负一。因此结论正确，这是一个真命题， 说明逆否命题和原命题同为真。那我们再看看它的逆命题和否命题的真假。逆命题是，若 x 平方等于一，则 x 等于一，显然这是假的， x 平方等于一， x 应该等于正负一。 而否命题呢？是，若 x 不 等于一，则 x 平方不等于一， 因为 x 等于负一时，这是不等于一的一种情况吧。 x 平方等于一，与结论 x 平方不等于一并不符合，所以这也是假命题。 通过这个例子，我们看到原命题为真，他的逆否命题也为真，不过一个例子还不足为据。我们再来看第二个例子，两直线平行内错角相等，他的四种命题分别为以下几个，大家来判断一下他们的真假吧。 答案选 a。 这四种都是真命题，来回来去都是我们初中用乱了的性质，都是真的。 对比以上两个例子，这两个原命题都是真命题，然而它们各自的逆命题、否命题有时为真，有时为假，说明逆命题或者否命题的真假和原命题根本没关系。 而逆否命题呢？在这两个例子中，原命题和逆否命题都是同真假的。坦白告诉大家，这个结论对于所有命题都成立， 为什么呢？其实从集合的角度来想很好理解，若 p， 则 q， 是 说从 p 能推出 q， 对 吧？如果我们把 p 和 q 看作两个结合，你觉得谁是谁的子集呢？ 想不清楚的话，我们可以画个文图，你觉得 p 在 小圈里还是 q 在 小圈里？ 应该是 p 在 里面， q 在 外面， x 属于 p， 它一定属于 q。 反观右边这个图， x 属于 p， 它不一定在 q 里面，所以说 p 是 q 的 子集。 那么我们来判断一下它的逆否命题的真假，也就是非 q 是 不是一定能推出非 p。 如果 x 不 属于 q， 说明它不在这个大圈里，那它当然也不在这个小圈里了，也就是 x 不 属于 p， 这就说明非 q 一定能推出非 p， 这个逆否命题也是真的很清楚吧。 刚才我们证明的是，如果原命题为真，他的逆否命题也为真。其实同样的道理，如果原命题为假，他的逆否命题也为假。总结为一句话，就是原命题和他的逆否命题同真假。 这个结论很重要，它意味着，当我们不好直接判断一个命题的真假时，可以尝试去判断他的逆否命题的真假。 比如，若 x 平方加 y 平方等于零， y x 等于零，且 y 等于零，相信大家下意识都觉得这是对的，因为这个式子我们太熟悉了。然而，为什么这个命题就是对的呢？ 回想一下，第一次遇到，通常我们都是这么想的，如果 x y 都为零不成立，那就是至少有一个不为零， 则 x 平方加 y 平方大于零，也就是 x 平方加 y 平方一定不为零，说明 x、 y 都为零不成立。可以推出 x 平方加 y 平方等于零不成立。 这个命题正是原命题的逆否命题，既然它是对的，那么原命题肯定也是对的。举这个例子就是想告诉大家，利用逆否命题来判断原命题的真假，其实是我们一直在用的思考方式。 好啦，视频的最后总结一下，今天我们认识了四种命题，以及他们之间的关系，其中呢，原命题和逆否命题同真假。好啦，今天就到这里拜拜。
03:09查看AI文稿AI文稿同学们，遇到这种已知命题是一个假命题，然后让我们求参数取之范围的问题，你们不会还是用这种先把命题解出来，然后根据假命题叨叨叨叨叨的方法做吧？ 这种方法很容易出错啊。就是在这种题中，如果我能把假命题变成一个真命题，我直接顺着思路去解，是不是就会简单很多？那现在的问题就是，我怎么能改变命题的真假呢？ 我们说命题的否定可以做到，那对于一个存在这种量词的命题，他的否定怎么变呢？我们说要先把存在变成任意的，然后条件不变，这个时候 结论要变成相反的，好，它是一个真命题。 那现在我们说呀，对于所有的 x 来说，我这个形式二次的这个东西，他都要小于等于零， 那我们说这个东西它是形如二次，因为我们规定了二次项的系数必须要不等于零。那这个题没告诉我们 a 不能等于零，所以我得先讨论 a 等于零的情况。 第一个 a 等于零时，左边是负三，然后右边小于等于零，我们发现他横成立，哎，说明 a 等于零，可以， 那当 a 不等于零时，我们说这个二次函数，他要小于等于零横乘。 如果说他是一个开口朝上的二次函数，他是不是不管一开始是什么样，他至少会有大于零的部分，因为他是一个往上涨的吗？ 所以他呢？不行，我们必须得是开口朝下的情况，那开口朝下是什么样的呢？是不是必须得是这种情况呀？我们得不能有正的部分，也就是说不能有两个根， 那我们的灯塔等于 b 方减四乘 a 乘 c， 放前面这个灯塔是不是必须得小于等于零？ 我呢？现在提个四 a 出来，四 a 乘上 a 加三小于等于零， a 小于等于零，大于等于负三。那在 a 小于零的情况下，我是不是这个解最后应该是 负三到零呀？对吧？因为你在第二种情况下是不能等于零的，但是在第一种情况下，我们说 a 等于零成立，所以综上他还是可以取到零的。 那学会了吗？在我们这种题，如果告诉我们命题是一个假命题，让我们去求参数，我们上来先把命题变成否定，变成一个真命题，然后再去解决它。
500讲数学的暴躁孙
01:50查看AI文稿AI文稿这个视频咱来讲讲命题。命题就是只能够判断真假的语句，所谓真就是对的意思，而假就是错的意思。至于这里的语句，我得强调一点，那就是他必须得是陈述句。由此可见，命题其实就是能够判断对错的陈述句， 只要符合这个要求，就一定是命题。比如会打妖怪的都是猴子。太阳比地球大，如果一直线和一平面垂直，那么他垂直于这个平面内的所有直线。 如果向量 oa 加 ob 加 oc 等于零，那么 o 就是三角形 a、 b、 c 的垂心。这些陈述句你都能判断他到底对不对，所以他就是命题。但是像打篮球的个子都很高吗？明星都很漂亮吗？我很帅吗？小狗一定比小猫可爱吗？这样的问句， 你没办法判断他到底对不对，那他就不是命题。一般的咱把对的命题叫做真命题，错的命题叫做假命题。那刚才这四个命题哪些真哪些假呢？ 会打妖怪的不一定都是猴子，也有可能是葫芦娃，所以这是个假命题。太阳确实比地球大，所以这是真命题。 如果一直线和一平面垂直，那么他垂直于这个平面内的所有直线。这句话其实就是线面垂直的性指定里书上白纸黑字写着的明显正确，所以就是真命题。 如果项链 oa 加 ob 加 oc 等于零，那么 o 应该是三角形 abc 的重心，而不是垂心，所以这是假命题。看来要判断一个命题是真是假，你只要判断这个命题是否正确就 就行。对的就是真命题，错的就是假命题。以上就是命题的基本概念，哥就给你讲到这，如果你觉得明白了，就自个刷题去吧。
36在线学习高中部
04:04查看AI文稿AI文稿同学们好，这里是大众数学前一次课呢，我们讲了什么叫做命题，是吧？能够判断 对错的句子，我们就称之为命题。那既然能够判断对错，那么就一定会有对的，也一定会有什么错的。 好，下面呢，我们来看一下这几个句子。第一，如果绝对值 x 等于二，那么 x 等于二， 这个是对的还是错的呢？啊？当然这个是错的，为什么？因为绝对值 x 等于二，绝对值未必等于二，是吧？他还有可能等于什么呢？负二，所以这个 是错的。我们再来看第二个，对顶角相等，这个对吗？啊，这个是对的啊，这是我们前面得到的这个对顶角的结论，是吧？对顶角一定相等啊，所以这个对的。 第三，内错角相等，两直线平行啊，这个很明显是正确的，是吧？这是我们的平行线的判定。再看第四个，两个互补的角， 是零补胶，这个对吗？啊，前面我们学零补胶的时候，我们介绍过了，零补胶呢，他一定互补，但是互补的胶一定是零补胶吗？ 这个就不一定，就像长方形啊，这个角是九十度，这个角是九十度，他跟他是互补的，但是他们两个不是零部件，是吧？啊，所以呢，这个是错的。 那由此我们可以看到命题，他有对的，也有错的， 那么正确的这个命题呢，我们就称为真命题，错误的呢，我们就称为假命题。前面我们讲过命题，他的结构，他是有体色 和结论，是吧？两部分构成的，那么像这个二和 三，他是由提色黑除结论是吧？如果提色是正确的， 他推出的这个结论呢，也是正确的。那么这样的命题呢？我们就叫做真命题啊，意思由提示得到一个正确的结论啊，这个就叫做真命题啊，必须是正确的结论 啊，有他呢？能够得到一个正确的结论，这就叫做真命题。 那是相反，是吧？如果有提示得到一个错误的结论，那就是什么假命题啊？就像第一和第四， 这个是提示，但是得到的这个结论是错的，是吧？这个也是一样，提示得到的结论是错误的，所以这个就叫做假命题。好， 那么判断命题真假的依据啊，就是看这个结论到底是正确的还是错误的。 如果觉得是正确的就是真问题，觉得是错误的呢，就是假问题。好了，那么真问题和假问题我们就介绍到这里，再见。
146大众数学
02:26查看AI文稿AI文稿你已经学过圆命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题，这个视频咱来讲讲他们之间的真假关系。 比如这个命题，如果 x 等于一，那么 x 方加二， x 减三等于零。咱先把它的逆命题、否命题和逆否命题都写出来，然后再判断他们之间的真假关系。 显然，他的逆命题就是，如果 x 方加二， x 减三等于零，那么 x 等于一。否命题就是，如果 x 不等于一，那么 x 方加二， x 减三不等于零。逆否命题就是，如果 x 方加二， x 减三不等于零，那么 x 不等于一。接下来咱去找找他们之间的真假关系。 首先得判断一下圆命题的真假，如果把 x 等于一带入这个方程，他就等于零，所以圆命题是真命题。再来看逆命题的真假，如果 x 方加二， x 次减三等于零，那么 x 等于一或负三，而他只说 x 等于一，所以他是个假命题。再来 判断一下否命题的真假，否命题说，如果 x 不等于一的话，这个方程就不成立。但其实这个方程的解是负三和一，既然 x 不等于一，但如果 x 等于负三，方程也还成立，所以他 他是假命题。最后再判断一下逆否命题的真假方程， x 方加二， x 减三等于零的减是负三和一，所以当他不等于零时， x 肯定不得一，他是个真命题。 好了，咱现在已经把这四个命题的真假判断出来了，那他们之间到底有什么关系呢？发觉没，元命题和逆风命题都是真的，而逆命题和否命题都是假的。所以元命题和逆风命题的真假性相同，而逆命题和 否命题的真假性也相同。那么圆命题和逆命题、否命题之间的真假关系一定相反吗？比如这个命题，如果 x 等于一，那么 x 加一等于二，他显然是真命题。而 他的逆命题是，如果 x 加一等于二，那么 x 等于一，显然他也是真命题。而他的否命题就是，如果 x 不等于一，那么 x 加一不等于二，他显然也是对的。所以，圆命题和逆命题、否命题之间没有必然的真假关系。 好了，以上就是四种命题的真假关系，你只要记住，原命题和逆否命题的真假性相同，逆命题和否命题的真假性也相同，而原命题和逆命题、否命题之间没有必然的真假关系。你明白了吗？如果明白了，就去刷题吧！
1297数学王子特训营
08:15查看AI文稿AI文稿假言命题什么时候为假呢？他的矛盾规则该如何去速记呢？各位，听大家好，我是徐老师，今天我们来看咱们必学知识点的第十四期假言命题的矛盾命题在逻辑推理中主要涉及到的就是关于真假的判定，所谓的形式逻辑就是对于大家真假判定的理解和认知。 小 m 题当然也存在为假的情形，那他的假该怎么理解呢？我们这里通过一个例子让大家能理解第一哪项为真，可以说明大王没有兑现他的承诺？大王对小王的承诺是，如果你考了第一名就带你去迪士尼， 他可以先按语义来简单理解一下。假如说我是大王，屏幕前的各位是小王，那我说了，如果你考了第一，我也带你去了。这种情况下是不是证明了我说的是真话？ 因为我说的如果你考了第一就带你去，充分条件有他一定行。那就是考了第一就带你去啊。我现在考了第一了，带我去了呀，是不是第二考了第一但没带他去， 他想考了第一没带他去，这是不是就没有兑现承诺呀？你不是考了第一带我去吗？为什么我考了第一你没带我去？是不是第三和第四小没考第一也带他去了？那这种情况下能不能说明我没有兑现承诺呢？大家想想看，我承诺的前提是什么？你考了第一带你去对不对？ 但是你没考第一的场景，咱俩有没有相关的约定？没有。既然咱俩没有相关的约定，那你凭什么说我没有说真话？ 大家想这个关键，所以第三种情况和第四种情况都无法证明我说了假话，因为你没考第一的情况下，我没说呀，咱俩既然没有约定，那可做可不做呀，对不对？就像你对你女朋友的承诺，只要你今天不生我气，我就带你去吃好吃的，那她今天生气了，那你如果特别爱她，你依然会带她去啊？有没有可能？有可能。 所以说在这样的情景下呢，我们就有了假面题矛盾公式的总结。我们不可能在考场上每道题都完全的去语意理解，但也不能完全的去套公式。所以大家会发现，最好的学习状态应该是在理解规则的基础上去进行记忆。 那么站起来我们看，如果就我们在前边给大家做了归纳，充分条件有他一定型箭头向右，所以应该是这样的，第一考第一批带他去 q， 这种情形不能说明没有兑现承诺， 考了第一，但没带他去，说明了第三没考第一，非 p 且 q， 不 能说明第四非 p 且非 q， 这也不能说明对不对？所以大家看能说明的就只有啥 p 且非 q， 也就是说 p 推 q 的 矛盾命题其实是 p 且非 q 这样表述。 这里有个细节，有同学说这为什么不是 p 推非 q 这样表述，大家会发现假一命题是一种约定，既然是约定，就是假如你做了这件事，那我该如何 对不对？这种约定只能用什么去推翻呢？事实，只有事实才能推翻你的约定，所以它既然是事实，就一定是且连言命题，所以这是它的公式。那我们这里给大家做一个总结， 当假言命题 p 推 q 为真时，只能得出 p 且非 q 为假，其余结论都不必然为假。也就说为假的场景就只有一种可能， 那我们只要牢牢记住这种可能就行，他的记忆关键是前真且后假，那就是 p 取肯 q 取否，符号是且，对吧？所以大家看，在这种情况下，我们第一步也要去处理啥符号，把它写成箭头，写成箭头需要啥？ 写成箭头需要充分条件直接向右，必要条件直接向左，除非，否则取否向右对不对？那么这是咱们前面的几期给大家总结的，所以当发现假言命题的符号化是他最核心的基础， 然后才有了他的逆否等价的规则和矛盾的规则，以及变货的规则。所以大家一定要分两个维度去学。那么这样的话呢，我们来看， 这是当年考过的一道真题，看大家能不能三十秒之内出答案，如果有答案了，可以发在公屏上。当然大家平时学习有任何的疑问可以随时跟我交流，当然也可以加我主页上的粉丝群啊，也会在群里给大家发代练打卡。 我觉得一天让你学十个小时可能很难，但如果每天学上几分钟，学上十几分钟，这样的话，大家在工作之余，在学习之余，就能有一个非常好的效率。那好哪项？如果为真，说明断定不成立，那我们的这个处理就不去想太多了。第一个，只要就充分条件向右，所以 p 推 q 不成立的，一定要满足谁呢？一定要满足 p 且非 q， 我 们只要对一下字母就好了。不起雾 p 没按时起飞，非 q， 这个是假的。起雾了，非 p 且按时起飞 q， 这不对。第三，起雾了，非 p 延期就是没按时起飞吧？非 q， 这也不对，所以选谁啊？ a 呀，对不对？所以看像这种题目呢，就是最基础最基础的送分题，在考场上是只要理解这个规则就能做对的题目。 我们再来一个这道真题，也是一道比较经典的考题，大家看，如果上述命题为真，则哪项不可能为真，也是不可能为真，也是问哪项一定为假哟，也就是说大家会发现，只要他问哪项一定为假，那么重点考的就是啥矛盾的公式， 那么对矛盾公式的理解就体现出大家对这一章的学习和认知好，不知道大家有没有答案了，你看他说这个只有才能，对不对？同样的，我们也是要把它，哎，只不过你看这里还有一个且， 所以大家会发现呢，现在的考题，命题老师经常是把假命题和联联选命题放在一起来进行考察，那么对于且命题的判定，那就是真则全真， 对吧？意假则假，所以 q 一 和 q 二只需要有一个是假的，那么整个的打开作为整个的这一部分，这个必要条件 q 而言，那就是假的， 对吧？所以我们在看选项的答案，你只要按照它这个矛盾的公式去进行处理，答案很快就能出来。那就是说，第一要读懂这篇文章，所以这个是否 p， 这个是否 p， 这个是 p， 这个是否 p， 这个是 p， 所以 我们就可以把答案锁定在 c e 上，对不对？你得满足批且非 q 啊，缺一不可呀，因为它是一个且命题连言吗？缺一不可，两个都需要满足， 那么如此以来从未接触过生物学知识，那他一定是没有生物学背景啊，这不就是批且非 q 吗，对不对？因为对于文学造诣和生物学背景，我需要两个都假吗？不需要，一假则假，对吧？也就是熊老师是个男人，并且熊老师有一千个亿，这话一看就是假的，肯定没有一千个亿啊， 想，哈哈哈，一千亿斤八步为币吗？哈哈，太难了是不是？所以大家就会发现，虽然小老师是个男人没有问题，但是他有一千个亿是假的，这个前面就是假的，就这个一样的呀，有文学造义，并且生物学专业背景，你没有生物学专业背景，那肯定是假的呀，所以选择谁啊？谁啊，对不对？ 那么大，看这两个都还好，但是我们再看一个，第三个可能出现的情况是大致可能出现的情况在咱们考试中也是一种常见的问题，那可能出现大家想怎么办？那就是排除 一定假，对不对？那么大家可以暂停一下，做一下，看这个应该选哪个呢？好，同样考验大家的基本功。我们来看这里有一个啥除非，否则打一下除非，否则该怎么符号呢？ 左边取否向右啊，对不对？你可以在你的题目旁边是不是简单的写下的，就是不强制推出不缓解， 对吧？那找矛盾就是 p 写非 q 啊，你就去看呗。好，我们看这里缓解是非 q， 强制是非 p， 这肯定有可能，对吧？不缓解 q， 那 肯定有可能，因为得分 q 没有强制是 p， 这肯定是不可能，没缓解是 q， 有 可能。一二四一 这道真题是不是也很简单？所以大家会发现，对于形式逻辑的考题而言，能不能按理解去做呀？当然可以， 但是按理解去做有两个问题是，第一，他不一定能百分百做对，第二可能会影响判断推理的速度。所以为什么形式逻辑我们要重点去把它进行符号化、公式化，就类似于数学一样去推理，主要是那啥提速。 ok， 好， 这是这块。那我们今天给大家留一个作业，大家看一下屏幕前的这道题应该选哪一个呢？这道题是真题中的最近十年比较热门的考点，欢迎大家在评论区留下你的答案哦！点赞加关注，考研不迷路！
03:58查看AI文稿AI文稿你好，欢迎来到全民自学数学工厂，三分钟讲透数学。今天我们一次性讲透真命题与假命题。 它是命题仅有的两种核心状态，也是数理逻辑力最基础的判断标准。前面我们已经学过，能够判断真假的陈述句就叫做命题。任何一个命题，判断结果只有两种，要么为真，要么为假，绝对没有中间模糊状态。 先给你清晰好懂的标准定义，命题陈述的内容符合客观事实，数学公理定义和定义就叫做真命题。命题陈述的内容违背客观事实和数学规则，相互矛盾，就叫做假命题。 一句话既死，超好理解，说的对的就是真命题，说的错的就是假命题。举几个典型例子，一眼就能分清。对顶角相等符合几何事实是真命题。两直线平行，同位角相等，属于数学定律，是真命题。 三加二等于六，明显违背计算规则是假命题。所有质数都是奇数，能找到质数，二是偶数，所以是假命题。生活里也一样，所有鸟都会飞，举出企鹅这个反例就能判定它是假命题。 两条核心规则一定要记牢，判定假命题特别简单，只要举出一个反例就足够。想证明一个说法是错的，根本不用否定所有情况，只要找到一个不符合的例子，它就是假命题。比如，正数都大于一，不对零点五就是反例。 再比如，一个数的平方一定是正数，也不对零的平方是零，不是正数，立刻推翻。 但反过来想证明一个命题是真的，可就没这么容易了。哪怕你试了一百个、一千个例子都成立，也不能说他一定对，必须靠公理定义和严谨推理才能确认他是真命题。就像三角形，内角和是一百八十度， 不是靠测量几个三角形下的结论，而是经过了几何证明。高频易错点一次性讲透。 很多人容易陷入一个误区，句子是错的，就觉得它不是命题。这里一定要分清，只要是陈述句，能判断对错，哪怕说法是错的，它依然是命题，只是归类为假命题，并不是非命题。比如一加一等于三这句话是错的，但它依然是命题，属于假命题。 千万别把假命题和非命题混为一谈。在数学体系里，真命题和非命题汇为一谈。在数学体系里，真命题也叫基本事实 公里，是一个理论体系里我们先接受下来不加证明的基本命题，是整个数学推理的起点，比如两点，确定一条直线过直线外一点，而且只有一条直线和已知直线平行，这些都是平面几何力的公里。 第二类是定律。定律是依靠公理和定义，经过严谨推理证明之后确定成立的真命题。比如对顶角相等勾股定律，都属于定律。我们平时学的数学公式、运算法则，全部都是经过验证的真命题、 真假命题的本质。真命题和假命题本质就是对一句话对错的精准定性。数学推理的过程就是从已知真命题出发，一步步推导出新的真命题，同时用反例识别排除假命题。 不光学数学能用日常分辨观点判断对错，也能用帮我们不被错误说法误导。最后，极简总结，符合事实和数学规则就是真命题，违背规则能举反例，推翻就是假命题。判假一个反例就够用。判真必须严谨，证明 错的句子也是命题，只是归为假命题。
06:29查看AI文稿AI文稿假一命题该怎么变成货呀？它的规则该怎么记呢？推变货，货变推好难呐！各位大家好，我是徐老师，今天是我们必考考点的第十五期假一命题的等价命题。假一命题的推变货呀，是咱们考试中一个非常重要的工具性的考点，这是一个工具性的考点， 什么叫工具型的考点呢？就是他往往不直接考，他会间接考察。那这个蜕变货在什么情况下会用得着呢？有两种情形，一种是在真假判定的时候，一个呢是在处理复杂结构的时候。 这两种情形最近这些年呢，就二一年考过一次，其他的情形呢，都考的比较少。密西老师呢，在这一节上确实设计的题目比较少，但他却是一个非常重要的工具，那保不齐他今年就会考， 所以还是建议屏幕前的同学稍微掌握一下，其实就是多了一个公式呗。那我们来看充分必要条件的假一命题的规则， p 推 q 等于非 p 或 q， 二者要么同时为真，要么同时为假。那么在这里呢，我就想给大家做一个变形，大家看它的变形是这样的， 如果 p 推 q 为真，在我们上一期中给大家介绍过，假面型的矛盾呢，是 p 且非 q， 对 不对？因为有它一定型的矛盾，就是有它不行， 那么原命题如果矛盾，那就一定是假的。如果对于这个矛盾命题再取一次矛盾，那就是真的了，也就是取了双重否定，就等同于肯定， 所以它的核心原理啊，是这样，我们再取一次否定，对吧？再取一次否定，大家发现它的变形就应该是非 p 或 q， 也就是 p 取否变非 p 且取否变或非 q 取否变 q， 也就是说这是它的这块，所以它俩是等价的， 它的核心原理是双重否定，等于肯定。那么在这个基础上呢，大家对它的理解关键是只要把它的变形公式能够记住就行，也就是说大家观察一下会发现这个 p 取了否定，也就是前件为假， q 呢？不变，后件为真，符号是火蜕变火， 对吧？就是前见假，后见真。推变货这个公式啊，就需要大家熟练，所以推变货的等价为什么在考试中考的较少，就是因为他不太符合这种逻辑思维习惯， 他只是通过公式化、定理化去进行变形。所以命题老师在这为什么不重点考察就在于此。那我们来看看大家对这个公式记的怎么样？ 来，同样的，大家跟着我一起做练习，在做练习的过程中，欢迎大家踊跃的留言评论，这样的话呢，能让我看到大家在学习的时候的热情，也能刺激熊老师继续不断的去更新。好，我们看。只要坚持自律就能收获成长，第一步怎么办？箭头， 但万一假言命题的处理，第一永远是箭头优先，先把箭头画出来，然后去看他究竟是考逆否等价，还是考矛盾变形， 还是考推变获的等价变形，就这三种变形嘛，那你看，坚持自律 p 啊，吃货成长 q 啊，对不对？那就是推啊，那等同于一定是非 p 获 q， 我 是不是就只要看一下它是不是非 p 获 q 就 行？好，第一个，坚持自律 p 或者非 q， 这不对吧？ 第二个，没坚持自律非 p 或者收获成长 q， 哎，这对吧？第三个，或者没坚持自律非 p， 没收获成长非 q 或，这不对吧？第四个，坚持自律 p 或者收获成长 q， 这不对吧？所以只能选二， 对不对？也就说这种等价变形的原理就需要大家认真的去理解， p 位要去否定，就是 p 要变， q 是 不变的，原本是什么样就是什么样，推变成啥或咋样。来来来，来，再来一个同样的三十秒出答案哦。 你看，他说你只有拥有会员资格才能观看付费影片，哎，只有才，只有才能第一位怎么办？后退前呢？ 是不是箭头向左？所以它也等于谁？非 p 或 q， 是 不是？我们来对一下，观看影片 p 没有会员非 q 或，这不对。观看付费影片 p 或者拥有会员资格 q， 这也不对。不 能观看付费影片非 p 或者 q a， 这是对的。不能观看付费影片非 p 或者非 q， 这不对。 那么当然这里就会有同学说，老师，这个地方，这个顺序没关系吗？大家想想看啊，对于选言命题和连言命题而言， p q 前后的顺序其实无所谓，就比如大家想，我或者长得好看，或者有才华，就等同于我或者有才华，或者长得好看，因为这两句话都表明啥？ 我的才华和好看至少有一个呀，当然还有我既好看又有才华，我既有才华又好看，没问题啊，都表明我才华和好看怎么样都满足，是不是？所以 c 怎么样，会了吧？哎，来来来，没关系，再来一个，再来一个，还有再来一个。这个我们把前面的稍微融合了一下，来看三十秒有没有答案？好，他说，你看，他说除非怎么着，否则你想想看，啥叫除非否则呢？对啊，除非，否则同时出现，我们说过要把它取否向右啊， 对吧？那这样一来，那就是不携带身份证，推不入园，对吧？那么在这种情况下呢，就是说等于谁呢？就等于入园推带， 我们一般来讲，把它处理成这样会比较好理解，为什么？因为这样的话，大家会发现它没有否定什么，比较简单嘛，是不是？那一定为真的，那就是等于非 q 推非 p 的， 或者等于非 p 或 q 的， 是不是？那我们看第一个，没有携带身份证，这应该是非 q 啊，也能入圆 p， 哎，这不是矛盾吗？这是假的。 第二个，只有才能箭头向左呀，入圆 p， 带身份证 q， 哎，这，对啊，是不是？第三个？若则，哎，你看， 箭头向右啊，不携带身份证，非 q， 不 入圆非 p， 这也对啊，对吧？第四个，或者，或者，哎，这也是货呀，那不入圆非 p 啊，带身份证 q 啊，这也对啊， 所以应该是二三四，是不是这样？这样的话呢，我们就把假言命题的这些基本符号化和规则给大家介绍完了，任何的学习啊，都需要大家花一些时间和精力，而我的 愿望或者说期待，就希望大家能在整个学习的过程中能够更加轻松。没有一条路是坦途， 每条路可能都充满荆棘，但在充满荆棘的过程中，也许我们需要一些工具，需要一些陪伴，所以希望能够陪伴大家今年上岸。好了，本期的分享就到这，咱们精彩不断，下期不见不散哦！点赞加关注，考研不迷路！
