八下数学笔记2026新版 几何的
呃，好，我们看一下这个第十六题啊，这是三中的作业是吧？哎，三中的作业啊。呃，这个题也蛮好的，这个题就是考上一个正方形的模型。 呃，就是正方形一定是本学期的重点，因为本学期期末大概率是不考反比例函数了。你们教材上没有新教材对不对？那么几何一定会加重，这是正方形中的一个知识点啊， 条件也很清楚，就一个九十度，那怎么做呢？我们看到九十度，其实我们讲三角形的时候讲过一个模型叫什么呢？ 叫 case 型，对不对？ case 型全等一线三等角吗？图像大概什么样子？这九十度，这九十度， 这垂直，这个太阳也跟这个太阳相似的，是吧？相当没学。如果这个面跟这个面相等，是不是两个太阳全等的？一线三的角还需要一线三垂直？那这个题九十度就是一个条件啊，怎么用？你看，其实最简单的方法，我跟你讲两个吧，其实本质上都一样的， 因为左边这个图画的有线，所以说我再重新复制一个图啊，两个图吧。那左边最简单的方法就是我们直接过点 e 做一个数值的向下的线， m n， 这个时候一下子就出现一个 k 字形了。哪个 k 字形呢？就这个三角形 和这个三角形， 对吗？那他们是不是全等的？我们可以证明他是全等的啊，你看这个角等于多少度？ 角到 a c 四十五度，对吧？为什么呢？因为这是正方形的对角线，对不对啊？正方形对角线是不是就是一比一比二 啊？不不，正方形对角就是平分每个角的呀，这个太阳跟这个太阳全等的吗？这基本性质没什么好说的。那所以说这个边是等于这个边的，对吧？那是不是就有这个边也会等于这个边啊？ 我们直接有边相等了，剩下倒角就很好倒，所以他俩全等了，明白不？那全等的，他不是让我们求这个 a e 吗？我是不是只要求这个直角边就行了？ 我们就不妨直接设这个为 x 吧。那这个边是不是也是 x 啊？用 x 表示其他边，这个是不是 x 减二， 能理解吧？哎，那对，那这个边是不是又等于这个边等于 x 减二了？ 发现没有，所以会列式子，这个五是不是就用上了左边这个五就等于右边这个 s 加这个就行了，对吧？所以五等于一个 s， 加上一个 s 减二， s 应该等于一个二分之七，对不对？那 s 二分之七这个边等于多少？ 是不是就二分之七倍根号二啊，清楚吧？那但是啊，这是做 k 字型就行了。但是我个人不是喜欢做 k 字型，我喜欢做什么呢？其实都一样的，原理是一样的，我喜欢直接往两边做垂直 过着九十度，角对角线上垂九十度，哈，我直接往这边做一个垂直，然后垂直为 m， 往这边做一个 n， 原理是一样的。那么我们看啊，因为这角一等于角二的嘛，都等于四十五度的嘛，那么角平分线的性质是角平分线上点到角，两边距离相等的，对不对？ 那这九十度，这九十度，这是个矩形，又因为这个边等于这个边，或者说这四十五度，这个边等于这个边，这是不是正方形啊，能理解吧？那我剩下就一样嘛，还是设它为 x 嘛。这 x 嘛，这 x 减二嘛， 对吧？那能得到什么式的？哎呦，好像直接这个边等于这个边就行了，对不对？ 是吧？这个以二加 s， 哎，不行不行，再加它直接 s 等于 s， 恒恒等于的，不行的，是吧？那还要再用一个什么呢？那就再用一个这个三角形跟这个三角形全等 全等，好证明吧，有九十度角，有九十度角，这个边是等于这个边的，对不对？那还能不能找别的角啊？可以的，这不是等于九十度吗？ 这个也等于九十度，然后红色的，这，这也等于九十度。两个九十度交在一起了，都减去中间角，我们是不是很好得到这个小角等于这个小角的角三等于角四啊？角够了，有边是不是也是全等的？ 那么也就是说这个还是等于 s 减二的，对不对？这是 x 的， 还能得到 x 加 s 减二等于五，剩下一样了， 两种思路，反正就是要做全等，能明白吧？这是这个题型的正方形，对角线上有九十度，知道吗？做 k 字形，或者说往两边做垂直。好，就这样的，可以整理一下啊。
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175小叮
08:19查看AI文稿AI文稿哈喽，机智的你，又见面了，这节课呢，咱们来看一道八年级的小压轴题啊，一道求最值的题型。 同学们呢，依然自己先暂停去思考，思考完呢，咱们一会回来，咱们一会见。好，咱们回来。首先这道题他和我们以前学过的平移型的将军一马，平移加上将军一马啊， 它是非常非常像的，对吧？我们回顾一下，将军印码呢，是有一个动点，两个定点，对吧？你看 上面 a 点这边， b 点在直线上有个 p 点， a p 加 b p 要最小。 平行将军码呢，它就不是移动的点了，它是移动的线段，它会说，哎，在这个线段上呢，有一个长度为，比如说小 a、 e、 f， 它是一个移动的线段，在这条直线上运动，让我们找 a e 加上 b、 f 最小， 或者有的题，它会这么出，它连接 a e， 连接 b， f， 连接 ab， 求 a、 b、 f、 e 的 周长最短。 实际上这道题我们要求周长最短，它有四条边，这是一号边，这是二号边，这是三号，这是四号， 那么一加二加三加四要最短，其中的一加二，实则它就是一个定值，对吧？ 那么求四边形的周长，它的本质依然是三加四是最短，那这就是我们的三，这就是我们的四。哎，当有线段的平移时候啊，线段的移动，我们就叫做平移型的将军嘛， 我们具体是怎么做的，大家还记得吗？你可以暂停思考一下啊，咱们一会回来，那咱们回来 平行的将军马，它的本质依然是划折为直啊，把我们这里的 a、 e 和 b、 f 划到同一条线段或者直线上来， 哎，那将军马的对称我们就少不了。首先以线段所在直线为对称轴做定点的对称点，你做 a 的 对称点也行，做 b 的 对称点也行。好，我们先做一个下来， 这里我们记为 a 一。 我们在刚开始学平行将军马的时候，很多同学还不太好理解，为什么我们要在这边构造一个平行四边形，但是八下咱们现在学了平行四边形以后，哎，它就好理解了。 那我们对称完之后不能直接连接，对吧？如果说我们直接连接看一下啊，我们直接进行连接啊，假设这里是我们的 f， 往回推呢？可能有我们的 e， 对 不对？因为 e 和 f 呢，是一个线段在平移，那么你会发现，如果这里是 e， 我 们连接 a e， 这个 a e 和 b f， 它有在同一条线段上吗？啊？ b f 当然在这，但这个线段显然不等于 a e， 对吧？所以有线段的平行性。将军马我们不能说简单，做完对称之后连接， ok 吧？好，我们一会儿回来啊， 那接下来我们要 a e 和 b f 最短，当然这个对称点我们要相互靠拢才比较好， 所以中间这里的平移，你不能往这边平移，对吧？你应该往这里的定点呢平移，平移到这儿平移多少呢？平移 a 个单位长度，这边呢，我们就记为 a 二了， 这个时候我们再进行连接，连接这里的 b a 二，好，这里呢就是我们的 f 往回推 a 个当 a 个单位长度，这里呢就是我们的 e， 当你把这里的 a e e 连接，哎，你会发现神奇的事情出现了，为啥呢？把它也连接了吧。 如果 a e 这里我记为一号线段，我们做了对称之后，这里的 a、 e、 e 也是一号线段， 那么我们这里它的长度是 a， 它的长度是 a， 是 平行的一组对边平行且相等，所以这是一个平行四边形，那么一号边就跑到这里来了。 好，这里是我们的二号边，是吧？是不是相当于就把 b f 和 a e 划到了同一条线段上？ 哎，你自己思考一下，对吧？哎，我们的平行将军嘛，就是这么做的。做对称，做平移连接， 对吗？那么这道题你会发现它有一点变形，确实有 e、 f， 有 固定的线段在平移，但这里不是两个点，这里是一个点， 对吧？但它的本质是相同的。当我讲完平易近将军嘛，你回过头来看自己能不能解决道题，你先暂停思考啊，一会咱们回来， 这里的步骤呢，依然是相同的，是吧？虽然刚才这边是两个点，我这里一个点，依然以动线段所在直线作对称点，这里是个正方形， a 的 对称点就在 c。 然后呢，咱们进行一定的平移啊，当然这里只有一个点，刚才是两点的时候呢，我们要朝里面个定点进行靠拢，这里是一个点啊，你往下坐或往上坐都 ok 了，我们就往这边坐吧。 平移平移多少单位长度呢？根号二，我们这里呢，记为 c 一， ok 吧？那剩下也就一样了，连接这里的 a c 一， 这个点呢，就是我们要的 f 往回退，根号二，这里呢，就是我们的一，对吧？好，你看连接这里的 c e， 这里 c e f e c 就是 平行四边形。当我们连接这里的 a e， 这里是一号边。好，这里是做了对称，这里也是一号边。平行四边形，这是一号边，所以把这个一号边和二号边的 a f 呀，我们这节呢就是 a e， 把 a e 和 a f 呢就到同一条线段上了， 对吧？哎，我们的目的也就达到了，这会儿 c e a 就是 我们要求的 a e 加 a f 的 最小值，那怎么求呢？显然是不是要去 a e a f a c e 呢？靠着它去找一个 直角三角形，对吧？直角三角形中间我们会发现本身它和它就是对称的，所以两个对称点给它一连接， 这里呢是垂直的，它是对称轴对吗？这里是垂直，我们做的 c e c， 它本身和 e f 又是平行的，那么这个地方就为垂直， 所以 a c e 所在的直角三角形啊，也就出现了，也就出现了。那这里为根号二， 那它的边长是四是吧？那整个这长度呢？是四倍。根号二，根据勾股定律，平方完之后三十二，平方完之后二是吧？所以这里的 a c 一， 也就是我们这里答案应该为根号线的三十四。好，咱们总结一下，除了我们看到有移动线段，能想到平行的将军网， 那这个地方你还要注意啊，对称点，如果以后咱们遇到有对称点，一定要去找找他的对称轴和对称点连线啊，这里有垂直关系，我们是经常常用的一个知识点， ok 吧，那么希望这节课对你有帮助，再见！拜拜！
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07:21查看AI文稿AI文稿雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚 hello， 各位同学，今天我们继续来看一下，这是山大附汾东校区期中考试的最后一题啊，八年级的这道题目，那这道题，哎呀，让大熊老师来说的话呢， 不是很难，同学们可以看一看啊，其实真的做起来的话呢，特别特别简单哈，感觉真的不是很难来。首先，作为一个旋转类型的题目，确实也是八下期中考试的常课啊，这里头有三道小题啊。第一题， 我有一些不同的看法，同志们，不知道你是不是和我一样这么想这么做的啊，你可以跟老师把你的想法留在评论区。这道题第一问，让我们证明 bc 是 垂直平分 a 撇 b 撇的。很多时候，同学们拿到这样一个题目呢，往往会忽略掉 垂直平分线的判定，哎，接着去干嘛？去挣全等了反而搞麻烦了，我们只需要搞清楚什么呢？第一，大家想想啊，这个 c b 撇是等于 c a 撇的， 这我们知道吧，因为你三角形 a 撇 b 撇 c 是 一个等腰直角三角形吗？那其实就说明点， c 已经在 a 撇 b 撇的垂直平分线上对不对？考前老师刚刚讲过， 还记得吗？继续往后，那我只需要证明 b 点也在 a 撇 b 撇的中垂线上就可以了。那也只需要干嘛呢？连接 b 撇 b， 连接 a 撇 b， 哎，能够证明这两条线段长度相等就可以了，你说老师那可以证明吗？当然可以了，题上特意给了一个条件，平行， 那平行的时候这是四十五度，紧接着内错角相等也能带来特殊的角度关系。这时候大家会发现，三角形 cbb 撇一定是全等于三角形 cba 撇的， 毫无疑问啊，一定是全等的。哎，老师老师，为什么呢？你看，首先呢， c b 撇等于 c b 啊，然后呢，又等于 c a 撇，那你可以说两组面积相等了，再加上角 b 撇 c b 等于角 a 撇 c b 此时此刻都等于一百三十五度啊，所以呢点 b 也在垂直平分线上，那两点确定一条直线，所以 bc 就是 a 撇 b 撇的 垂直平分线啊，我觉得这么做会更简单一些。至于第二小题的话呢，我们继续来看，说在旋转的过程当中， 好，同志们，你仔细读完题之后，你就会发现他这里并不像第一题一样，第一题是假定了一种特殊情况，让我们证明一个特殊的结论，从高情商做题法的角度来看，你就会知道，那说明这个题目一定要用到平行带来的角度关系。 但是第二小题大家就得注意了啊，绕点 c 旋转的过程当中，没说任何一个特殊时刻，就说在旋转过程当中， o 点是第三边所在啊，第三边的交点。 问大家线段 a 撇 o 与 b o 的 关系，那高情商反应就什么意思呢？同学们，这个关系应该是一种在运动过程当中保持不变的关系。 也就说，不管在旋转过程当中啊，我不需要一个特殊的情境，不需要平行，不需要垂直，在旋转过程中只要有焦点存在，就会存在 a 撇 o 是 等于 b o 的， 那这种题目我们一般怎么去证呢？同志们， 非常简单啊，观察题目当中，没有特殊的角度，没有特殊的旋转，只有一个纯粹的旋转型的全等 啊，那我们在这个题当中，你想要证明两条线段长度相等，又回到了我们最初的问题上，两种方法，要么去放到三角形里面正全等，要么就是正等腰。那在这个题当中，同学们， 我们连接 a 撇 b 啊，我个人认为这应该是最简单的一种证明方法了啊，大家看看有没有更简单的，连接起来以后，由于 c a 撇等于 c b 啊，所以呢，这两个底角老师给它记为阿尔法。 那接着你看这个角呢，就是四十五度减 r 法，而这个角呢，也是四十五度减 r 法，你看，就这么巧，所以等角对等边 a 撇 o 就 等于 b o 啊，这个就固定长度啊，这个两段长度呢，就固定相等了。 好吧，第三小问呢，呃，其实你看这个和近深学比起来，这简直就跟是这个，这 怎么说呢啊，小小小小小小小小屋，建大大大大大大大大屋的感觉啊。这题第三问显得有点太简单了啊，图也不需要你画，只需要搞清楚一件事，我的主人公是三角形 a 撇 e c， 大家注意看啊，我拿红笔给大家再画一下，主人公是这个三角形，那么他想让这个三角形是一个等腰三角形的时候，我们当然知道了，你得分三种情况讨论。并且我知道这里的角 a 撇，它是固定的四十五度。那这个题就简单多了， 要求谁呢？求旋转角。在这个题目当中，你得搞清楚旋转角是谁，比如说角 b c b 撇，这个角，它是我要的旋转角，或者呢角 a c a 撇，这也是我要的旋转角啊，这个角度，那所以大家请看，他说 这是六十，这个一点怎么来的呢？是直线 a 撇 b 撇啊， a 撇 b 撇和直线 c e 啊 c、 d 的 交点，也就说这点 e 点 c 点 d 是 三点共线的，这个角它也是固定的三十度，那题就变得简单多了。第一种情况， 如果说 e 当顶点的时候，角 a 撇 c， e 就 应该等于角 a 撇等于四十五度，这个时候旋转角呢？ c， 它再加上个三十度就等于七十五度，这是第一个答案。 第二个答案，同志们，如果角这个这个 a 撇点啊来当顶角的话，那么底角的度数，角 a 撇 c e 的 度数就是一百三十五度的一半，也就是六十七点五度。 好，再加上个三十旋转角就等于九十七点五度，这是一个答案。第三个轮到 谁了？点 c， 当等腰顶点的时候，那啊当当这个等腰的直角三角形的啊，这个当这个等腰顶点的时候啊，那么角 a 撇 c e 的 度数就应该等于九十度了，此时此刻再加上一个三十度，就等于一百二十度啊。所以你看这道题 就相对来说比较简单了啊，同志们，还有其他更好更精彩的题目可以随时分享给大熊老师啊！还是那句话，同学们多多提问，你的成绩就会提高，多来和大熊老师交流吧！拜了个拜，下个视频不见不散！
04:07查看AI文稿AI文稿来看题啊，正方形 a、 b、 c、 d 当中，这个 e 和 f 是 a、 d， 还有 d、 c 的 中点，那第一问呢？让我们判断 a、 f 和 b、 e 的 关系，那我觉得这个还是非常简单的，直接用全等就可以证明， 你看啊，这个 b、 a 和 ad 长度相等， ab 等于 ad， 对 吧？第二个，你的 a、 e 和 d、 f 都是正方形，边长的一半，所以其实 a、 e 是 等于 d、 f 的。 第三个，你会发现这个角是一个九十度，这个角也是个九十度，那就是角 b， a、 d 等于这个角 d， 那 么这三个条件放到一起，我们就可以证明，三角形 b、 a、 e， 它是全等于三角形 a、 d、 f。 那 这个就非常简单，第一问搞定，那关键其实在于这道题的第二问怎么做？第二问让我们证明 c、 g 和 c、 b 相等。那大家看到这个东西的时候就会想，哎，老师，那我要证他是个等腰三角形。很多同学就会琢磨，那你发现在这道题里，其实这么想他不太容易去做。 而这道题有一个非常关键的信息，就是各位同学，你既然已经做了第一问，你得到了 b、 a、 e 和 a、 d、 f 全等，那你这个全等给你带来了什么？ 其实各位同学，如果你稍微了解过正方形的模型，你会发现在这个题目当中， b、 e 和 af 我 们是可以推出来，它是互相垂直的，那因为你的全等全等告诉我们说，这个角一和这个角二是相等的，角一是等于角二的， 这个没有问题。然后你看啊，这个角二和这个角三，角二和角三加起来是不是九十度，角二加上角三等于九十度，所以你会发现我们得到了角一加上角三等于九十度，那角一加角三九十度意味着什么呢？是不是意味着你的 b、 e 和 a、 f 是 垂直的？ 好，那也就是说这个角是九十度，所以 b e 垂直 a、 f。 好， 那么你看到这个地方是九十度，你会有什么想法呢？老师，那你有九十度没有用啊，你没有直角三角形，难道我要连 b、 f 勾到直角三角形吗？ 非也，这道题关键的还是你要利用终点去处理一些信息，你会发现这个地方有一个点， f f 是 dc 的 终点， 我们都说终点你一定要会用，怎么用？尤其是在有平行线的情况下。我举个简单的例子，假如说这两条线是平行线，那只有一条线段，这条线段上有个中点，如果你又发现了这还有一个线段， 那我请问你，我在不跟你做任何的提示的情况下，我就问你，你觉得怎么做辅助线？那我觉得这个辅助线应该很容易做，你直接把这条线延长，延长之后可以得到什么？可以得到这两个三角形是一个八字的全等，这个是非常重要的几何模型。 好，所以你看在这道题当中， a、 d 和 b、 c 是 平行的， d、 c 上有一个中点 f af 连起来，那你觉得怎么做辅助线？是不是你只要把这个 af 延长就行，那延长到哪呢？延长到和 b、 c 所在的直线相交，延长到比如这个点，这个点叫做 h， 那这么一来，你会发现在这里面你就构造了一个八字的全等，那我这个 h 画的没有很标准，因为这边被我自己挡住了，我们会发现 a、 d、 f 这个三角形和 h c f 这个这俩三角形全等。简单写下思路啊，三角形 a、 d、 f 全等于三角形 h， c f， 那 既然全等是不是意味着 bc 和 c h 相等， 所以 bc 就 等于 c h， 那 这就意味着什么？你这个 c 点摇身一边变成了 b h 的 中点。再强调一遍，我这个 h 画的不是很标准， c 变成了 b h 的 中点，那么你的 b、 g、 h 本来是个直角三角形，你现在 b h 是 斜边， c 是 斜边的中点， g c 就是 斜边的中线， 那 g c 就 应该等于二分之一的 b h， 那 就应该等于等于 bc。 所以 这道题搞定整体的思路其实就是这个样子。 你说这道题难呢？其实也不难，但是呢，你很容易想不到这样的辅助线做法。所以建议各位同学，尤其是八下的孩子们，什么时候画辅助线，这件事情很重要， 重要的不是你看了答案之后，你觉得啊，辅助线这么做很正常，平行线加终点，那我们就可以勾造八字的全等去转移线段。
44施老板数学思维
22:48查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们来看看这一套栏山卷，八年级刚刚今天刚刚考完的八年级的栏山卷， 这套试卷呢，难度说实话，表面看上去呢，比较基础，但是实际上比较的有难度的，还是比较有难度的， 要求我们对于课本，尤其是课本上的定力啊，二级定力这这一块要掌握的非常好， 对平行四边形的各个判定性质，包括面具公式都是要掌握的非常好，甚至还要求我们把那个课本的例题 啊，都是要非常熟悉的，那所以呢，有的同学呢，那如果说只注重于难题，没有注重这些细节，没有注重这些基础的话，那肯定是不是很好的，所以呢，这套试卷我觉得得高分是很不容易的啊， 那么我们来看看，为什么这道题要紧扣课本呢？我们来看看第一题，第一个，第一个的话选 dog 是 吧？对减二次根式要求里边不能有分数也不能有啊，开得进的对吧？这八里边有四，第二个呢 是二三四肯定不行的，第三个呢，这个比较有迷惑性，我觉得第三个可能会有一个扣分项，第三个呢，就考我们的什么呢？就是平行四边形和等腰梯形一组平一组对边，平行一组对边相等， 对吧？那 c 选项人 b， a， d， 本来它们俩平行就能得到这个，所以 c 选项是错误的，那我们来看 b 选项和 d 选项， o a 如果等于 o c 的 话， o a 如果等于 o c 的 话，就是这个是中点的话，那我们这个是中点的话，我们可以证明，通过三角形全等可以证出来， a d 和 bc 既平行又相等，唯独这个 d 选项， d 选项又是等腰体形，你看看了， a o 等于 d o， a o 等于 d o 的 话，只能说明上面这个是等腰三角形，那么这个等腰梯形完美符合，对吧？所以这个第三题选选 y 第四题，人家问的是斜边，也就最长边，所以呢是选 c 的 第五题，十二边形，十二边形三百六十除以十二等于三十，是吧？每一个外角的度数三十，那内角的度数就是十一百五十。第六题，那五分之根号五 考的是化简，是吧？选 boy 第七题呢？第七题，我们以前做过这个题，在平时的练习当中就做过这个题，我们要把 s 三写成 s 一 加 s 二，再加上 s 二等于五十加 s 一， 那么 s 一 s 一 没有了，所以 s 二等于多少呢？等于二十五， 而这个三角形当，而这个三角形和 s 二呢，是同底等高，是吧？多了一个二分之一，所以它应该是二分之二十五。选 c 第七题， 第八题，一看，这个题啊，考的就是学中半啊，菱形加上学中半，菱形对角线互相垂直，且且 o h 是 他的学中半，所以他如果告诉我们 d h o 等于二十度，那这个就是二十度，那这个也是二十度，是吧？那这个就是七十，这个是七十，所以 b a d 等于四十度。选 boy 第九题考的是勾股定力，那这个呢？这个比较简单，直接就送了，这个是哎， 这个是十五，对吧？每小时十六的话，这个半小时八，那这个十七，八十五，十七考的是那那几组什么五十二十三啊啊七，二十四，二十五呀，八十五十七啊九，四十四十一啊，这些非非常规性的这些这些这些搭配 好了，那么所以这个题选倒等用半个小时吗？第十题，这个是有难度的，但是有难度，我们说过了，像这种题目当中，你可以量啊， 你可以量啊，所以这个题呢，上第一个 e h 等于 ab， e h 等于 ab， 不 会怎么办？你就量啊，第一个可以量的出来的。第二个 a b h 等于 e e h， e c 也可以量啊，第三个 他第三个不好量，对不对？那我们还是正儿八经讲吧。好了，第一个我们来看第一个，第一个呢， e h 这个里边考的是学中班，你看这里边有个垂直 c e 呢，是垂直的，那么 e h h 又是中点，所以 e h e h 等于二分之一， bc 等于 b h 也等于 ab， 斜中半，第一个是正确的。第二个呢，那就考的同角的与角相等啊，那我们来看了，既然是斜中半的话， 那么角一就等于角二是吧？那它的与角，它的与角是 h e c， 所以 它俩第二个是相等的。 第三个表面看上去啊，第三个我们来看看哦，这俩这俩呢，是一个等腰三角形， 这一个呢，已经有一个角相等了，那我们现在就求这个角相等，或者说呢，在这里边 ab 呢，又等于这个，那实际上呢？而我们知道这个是四十五度，难点就来了，我们如果他全等的话，这个角是否等于四十五度， 那我们找一个和它四十五度的角，我们试一试不就行了吗？你用尺子，你用两角去量一量它是不是四十五不就可以了吗？但实际上它不是。为什么只有连接 d h 的 时候，这个蓝色的角才是四十五度，这个 c h e c h e 可不等于四十五度，那么所以它们俩是不全的， 所以 c 是 错误的。我们再来看最难的，这里边比较难的 d 啊， d 的 话，我们刚才在第二个当中，我们得到了这一个角，等于这个角，等于这个角， 对不对？那我们知道了这个角，这个角，这个角三吧，角三等于谁呢？角三等于四十五度加阿尔法，是不是角三等于四十五度加阿尔法，而哪一个呢？这一个角，这个角也是 四十五度加阿尔法，对不对？也就是角三等于角四等于这个 b， 角 b o， b， a 等于角 o， a， b 等于角三嘛，它们都等于四十五度加上角 f 啊，或者四十五度加上角 g a 什么 h， 所以呢，这个也是阿尔法， 既然是阿尔法的话，那么 a c a c 就 等于 c c f， 那 也等于 b d。 因为矩形的对角线相等，所以第四个是正确的。第十题选 c， 你 看这个选择题的话，我觉得第十题是一个扣分点，是吧？第三题的话，粗心的话可能也会出现一个，所以呢，现在来说的话，你扣了三分或者扣六分了，基础知识掌握不牢靠。第十一题，一二根号五，一减根号五，这个没毛病，这一个呢，有意义， 有意义，指示分母要求有两个，第一个分母，第二个被开方数，二次根式的被开方数，所以呢，是 x 大 于八，不要加等号了，也不要自作聪明，写上 x 不 等于零啊， x 不 等于零之类的连式分子，和它没关系啊，不要自作聪明。 第十三题，这个题呢，考的是二次根式，开出来以后带绝对值，那么这个开出来，因为我们这个是 m 减六，加上 m 减九的绝对值，六减 m 都可以，那 m 大 于六，所以这个出来是哎， m 减六，这个出来就是九减 m， 所以呢，答案是三。 第十四题，第十四题，那一般情况下，你可能会认为 a 在 这里做，然后呢？在这里，在这里，在这里画，求这两个三角形，但是我们不知道点 c 啊，咱们不知道点 c 的 坐标是在哪里， 对不对？我们也不知道，你怎么知道这个是四十五度呢？所以这个不是这样算的，而是将军一马，这个题考的是将军一马，对不对？连接了以后 a 撇对称点，因为入射角等于反射角，这个是 a 撇， 对不对？那这个是我们一给他连接三四五，所以他的路线长就是五。第十五题，考的是中点四边形，我们知道了矩形的中点四边形一定是一个菱形，因为 e g， 因为 e g 一定垂直于 a f 的， 对不对？所以呢，在这里边，那各自一半的话，考的是五十二十三，那零点五，一点二，一点三，一点三，乘以四是五点二。 第十六题，第十六题，这个这个比较综合，首先考的是将军印码啊，考的是将军印码，那么点 m 在 这上面，所以呢，我们要连接 啊，这个 m 在 这里边做一个对称，点 m n， 但是又又瞧的是他们的最小值，那什么时候最小呢？垂直的时候最小，所以呢，这这种情况最小 m 最小，又考的是等面积， 他说了周长是 m， 那 么他的边长边长呢？就是四分之 m， 乘以这个高等于面积 n， 所以 h 等于来个四 m 分 之四 n， 所以呢，不要怀疑，自己做出来就做出来了， 没有单位，并且呢，没有单位，所以这个题又是一个扣分点，所以呢，哈，现在扣分第十七题， 这十七题，哎呀，讲吧，四倍的根号三减去根号三，加上三倍的根号三，等于六倍的根号三，这个没毛病，这个直接除也行，化简完除也行。直接除的话，那你就根号十六加上根号八等于四加两倍的根号二， 这个呢，提取公因式 x 减二，当然你硬算也行。等于根号三加一，乘以根号三减一，是二，这个呢？ 啊，一点四一四，我们约等于一点四一四吗？咱都知道，所以呢， a 就 等于三加根号二减四，等于根号二减一， b 呢，等于三减根号二，三减根号二的话还是一点几。那再减一就是二减根号二， 所以呢， a 加 b， 所以 a 加 b 等于多少呢？等于根号二减一，加上 二减根号二等于一，所以呢， a 加 b 的 平方根为正负一啊，平方根有两个正负一。这，这好像七年级的题。 第十九题考的是什么呢？中位线 df 等于 f b， e 又是中点，所以呢？ ef 中位线 ef 平行等于什么？二分之一 ad， 是 吧，又，因为 ad 又等于 cf， 所以呢， ad 平行等于 cf， 所以 平行四边形，这个没问题。 第二问，第二问，这个题跟闹着玩一样，这题白送的啊，一，他说又是三，对吧？一三，而且呢，这个中位线，所以 d a 等于二， cf 等于二，对吧？二三，根号十三。 第二十题，那为什么回归课本？第二十题是课本上的，课本上列出举例子的话，举例子一个是必达格拉斯的这个图案， 一个是赵爽玄图，是吧？一个是赵爽玄图，赵爽玄图应该是长这样的。 还有一个是这个加菲尔德总统，这个总统的总统的政法呢，就是利用了等腰梯形啊，就是利用了梯，不是等腰梯形，是梯形。梯形的面积公式是什么呢？上底加下底，上底加下底是 a 加 b， 高呢，也是 a 加 b， 上底加下底乘以高除以二 等于这个，这个是由什么呢？这个等腰直角三角形二分之一 c 方加上两个 ab， 也是两个。这个阴影部分两个二分之一 ab， 等号两边同时乘以 ab， 同时乘以二分之一啊，同时乘以二， a 加 b， 括起来平方，也就是 a 方加 b 方加二， ab 等于 c 方加二 ab， 所以 a 方加 b 方等于 c 方。这个就是考你的正法啊。 第二问，第二问的话呢，考的是勾股定律的逆定律啊。勾股定律和逆定律，那么我们来看的话，那这一个是， 这个是二，这个是四，由固固定逆定律的话，两倍的根号，呃，由固定理的话，两倍根号五，这个是四，这个是六，那由逆定律的话，这个的平方是二十，他的平方是十六，加起来刚好是三十六，所以这个是垂直的， 所以这个的面积呢？这个尖形，这个，这个，这个啊，回旋标的形状，像高端导航的一样的。这个形状呀，它的面积呢？是整个的。呃， 二分之一四乘以五，整个大三角形减去底下这个小三角形啊，减去四四乘以二倍的根号五，所以呢，答案是四分之根，四倍的根号五减四。 有单位吗？有单位，所以呢，我们要给他一个括号，厘米的平方，平方厘米啊。 第二十一题，二十一题呢，只归作图，这个只归作图，做的是什么呢？做的是角平分线，考的是菱形的判定当中，我们知道菱形的性质里边有一条是对角线，对角线平平分一组对角， 但是到了判定里边，他就没有了，那没有了怎么办呢？没有了，这个我们上课时候说过了，他实际上用的是平行加平分的三等角，在这里边，既然是角平分线的话，那么角一就等于角二， 是吧？那么既然由平行角一又等于角三，也就是角一等于角二等于角三嘛，所以什么呢？ ab 等于 b e， 那 又因为 ab 和 af 相等啊，所以呢， b e 平行等于 af， 所以呢，平行四边形，那这俩又相等，又有邻边，所以菱形 一组零面相等，对不对？那第二问，第二问考的是菱形的面积公式，两种，两种表示方法。第一种呢，他说我们来看了整个的平行圆形的面积三十六 ab， 也就是这个底啊，底 比上它，因为它们的高是一样的，所以呢，因为 ab 等于三分之二 bc， 所以呢， s 菱形就等于三分之二 s 平行四边形。平行四边形等于多少呢？等于二十四，那 b f 又等于六，所以我们可以得到了二分之一乘以六，乘以 a e 嘛，等于二十四， a e 等于八，那所以呢， a o 等于三， b o 等于四，再由勾股定律可以证得这个是五，是吧？到目前为止还是送的。 第二十二题，二十二题，第一，第一个平行加平分三等角，你看，又折叠了，昨天晚上我们讲课的时候呢，我们压了压了一个折叠，但是没想到出的这么简单，对不对？我们来看的话，这一个 角一等于角，角一等于角二等于角三，是吧？那所以呢？ egf e e egf， 哦，是这个角啊，这个角呢？那就是六十六的同旁，六十六乘以二的同旁的角啊，一百三十二，应该是四十八，对不对？四十八度。 那么第二个探求 e f g 的 形状，我们在第一个已经写出来了，是吧？因为折叠由折叠角一等于角二，因为它是个矩形，所以呢？ dc 啊，平行于 ab， 所以 角一等于角三，所以角二等于角三， 对不对？不要了，这种题的解析，解析细节就是先写形状，再写理由，先写等腰三角形，对吧？再写理由。 第三问，第三问呢？这个，呃，我记得在什么时候呢？我们讲过一个，就是如果在里边画一个菱形啊，折叠的时候，我记得确实是讲过了这种，这种，我们做过这种题， 就是折叠了像这种矩形的一折叠的这个图案，当时那个题是这个图案一定是一个菱形，然后呢，让我们判断这个菱形的面积最大值 什么时候最大呢？就是这个菱形的，也就是这个折叠了以后，这个 b 撇啊， b 撇刚好与点 d 重合， 这个 b 撇刚好与点 d 重合啊，所以呢，这个是 f c 撇， b 来个括号表示重合，是吧？第三问， 那么为什么呢？我们可以这样理解，我们可以这样理解，这是一个等，这是一个等腰三角形，我们根据等腰三角形的话，那肯定是尖越细，也就说这个角越小，这个角越小， 或者说呢，这个角越大，它的底角越大，那么这个三，这个这个等腰三角形越尖，对不对？越尖的话，它边长越长，因为我们在这里边的话，折叠过来的话，这个是 x， 这个是 x， 这个是九减 x， 这个是三，对不对？ 那这种情况下， x 越长， x 这个底越长，它的高是不是就越长啊？它的它的它的它的长度就越长，所以在这里边呢，我们就可以看到了啊，因为这两个三角形，是是是，是这两个三角形相等的，我们高是一样的，所以呢是吧， 只需要这个 df， 或者说呢，这个这个点是 e 是 吧？或者 b， e 最长，那么在这里边解得三四五 啊，三四五 a， e 等于四 e， b 等于五的时候最大啊，那么这个面积的最大值你自己算，那这个就是五，这个就是三，是吧？这个也是五，因为它是一个菱形。好了，那么或者说呢，你就这样吧， 那么第二十三题，二十三题这种题呢，属于一道经典老题了，同步上或者说自主上应该都有。我们昨天晚上的话，还复习了一下，昨天晚上这个题是这样的，你看第前两位是一模一样的。 第三问呢，他这个点 e 跑到了 b 的 左侧，我们昨天晚上做的是点 e 呢，跑到了 b 的 右侧，对不对？那都是一样的。这个题呢，他考的不是三垂直，因为这个题长得乍一看着去的话，很像三垂直，难免有同学 做了这个三垂直，但是这个题不是这样的，而是截长补短。第一问，第一问的话，那肯定是 s a s 呀，是吧？那第一问的话，那那那在这里连接取中点 m， 那 取中点 m， 这个角一百三十五，这个角一百三十五，然后呢，同角的与角相等，角一等于角二，是吧？ am 等 am 等于 ec， 所以呢，这个是 a s a， 那 么易判定 a m e 全等于对应边的，一定要写好 e c f， 对 吧？那第二问，同样的第二问呢，我们怎么写呢？我们在我们在 a b 上取一点， 和刚才一样， m 使结 m 使 a m 等于 ec， a m 等于 ec。 啊，这样吧，所以呢，这个 b e 就 等于 b m， 同样的这个是一百三十五度，同样的这个是一百三十五度，同样的角一等于角二。这种类比题，第一问会做，第二问就会做，第三问就更不在话下了，对不对？那第二问就出来了，送了 啊。这个题十三分的话，能不能看最后一题，这五分怎么来的？我们来看去的话，这个点 e 跑出去了，跑出去了，点点 e， 我 们做的是 c e 等于 am， 那 么点 e 跑出去了，那么这个 am 呢？这个 c e 好 长的， 那么只有两种情况，要么 am 往上跑， am 往上跑的话，我们连接的是使什么呢？使 b e m 是 一个等幺三也行，但是如果你这样的话肯定不行，那么我们只能往哪跑呢？让他往下跑，把它擦了，这个呢，只能往下跑， 我们可以延长延长 ab 至 m 是 bm 等于 b e， 或者呢，你也可以写 am 等于 c e 都可以，那么仍然的 bm 仍然是四十五度，这个角是四十五度，那么根据这个对顶角角平分线吗？四十五度，四十五度 对不对？那么在这里边的话，四十五，四十五，那还有一个角呢？哎，同角的与角相等，这个 角一和角二都有一个共同的与角，角三，对不对？那当然了，还有 am 等于 am 等于 ec， 仍然是 a s a 全等，那全等了以后呢？他说了啊，说了以后呢？求 ef 的 长度， ab 等于三， c f 等于根号二， cf 等于根号二，那么 e m 就 等于根号二，由勾股定律，并且四十五度设，这个是 x， 这个是 x， 我 们轻易求得。 bm 等于一， b e 也等于一，而 ab 等于根号三。啊，是根号三吗？ 啊？根是三，对不对？啊？三一三，根号十，所以这个答案就是根号十。那我们总结的话，实际上呢，你们一讲了以后呢， 也比较简单，对不对？但是确实啊，确实是，是吧，那当然了，图二我们还要看了，这里边还漏了一个，我还漏了一个，也就是这里边了，也就是这一个，在延长线上的时候也不变啊，变不变，他没让我们， 没让我们成立之后成立，对不对？那所以呢，肯定是成立的，为什么呢？因为这个题是这样的，你看跑这来了，对不对？ 那所以呢，那这个题呢？那可能是啊，延长 c e， 跑到这里边， c e 那， 哎，在这里往上延长， 是吧？变成这样了，这个是 m， 所以 这个题呢，实际上它中间它应该给我们一副，应该给我们一副备用图的啊， 你看，你看，这套试卷是不是特别紧靠课本？不管是不管是不管，是各种定律的运用， 包括画图，我们昨天晚上，嗯，我还想着是折叠，找了几个折叠的，是吧？找了几个折叠的，结果也没有考的折叠，是吧？这种黄金的，还有一些这种画图的，这次结果没考，这种画图的这种格点画图没考。那 好了，教师，这总来说呢，你对对答案，以后你看自己得多少分啊？好了。
298积佳数学韩cc
00:37查看AI文稿AI文稿八下数学勾股定律八大热点题型全部吃透，稳进班级前三。八下数学勾股定律八大热考题型专练一、风吹竖折二、蚂蚁爬行 三风吹荷花模型四三七八和五七八模型五，重美四边形 六、直角三角形锐角平分线七、图形翻折问题八、赵爽悬图取件码幺幺六。
36姚老师带你上重高
13:51查看AI文稿AI文稿你家孩子是不是也存在这样的问题，几何压轴题，辅助线不知道往哪个方向想，或者看答案能看懂，但是不知道辅助线怎么来的，为什么这么做？那这个视频你一定要看完，我正在用四期视频梳理整个八下的几何模型辅助线，帮助孩子建立完整的知识体系， 他看完这个至少能拿到题，知道往哪个方向去想。那咱们前面第一期已经讲过了勾股动力的三大应用，今天是第二期，讲的是四边形的一个变换，需要电子版资料的评论区留言。 咱们今天讲的是这个第二块的内容，主要是包括了这四个部分，那其中这个边角构造的话，边角构造其实咱们学全等的时候就已经学过了，那这些部分里面这四个都是特别特别重要的， 那像这个四六七都是属于你必会的内容，那这个平移构造的这个问题， 他是属于压轴题里，如果出现的话，他一定是难度是很高的，所以这个你可以是高分段同学，你是选学的，如果你能到一百以上，我就建议你一定是要学这个，如果你是刚刚过一百分，那你这个就是可学可不学，因为你刚过一百分呢，这个难度压轴题你做起来是比较吃力的。那我们先看第一个边角构造， 边角构造的核心特点啊，只要出现一组角相等或互补，那这组角的邻边也相等的话，那咱们就可以去构造全等三角形。所以它的特点是非常明显的，就只要有一组角是相等的，并且这组角的邻边也相等，那你就可以去构造角的另一边相等， 这样就能出来 s s a s 的 全等。或者是如果出现了一组角和这个角的对边相等的话，你也可以选择去构造这个边角构造全等，只不过这时候你构造的方式稍微变化了一下。 至于互补的情况，其实就是相等的一个特殊情况，就是相等的一个变形。我们先看这里的第一个，就是一边一角的一个基本图，那对于一边角构造的话，你像这里面比如说有 a、 b 等于 d e 体体出现这个条件了。其次还有这个角 b 等于角 e， 你 只要推边推角，发现了一组角是相等的， 并且角的邻边这里的 a、 b 和 d、 e 是 不是相等的，那你就可以去选择构造角的另一边，让角的另一边相等，他们俩是不是能组成全等三角形？ 那所以构造的方式有下面的第一种，比如说你可以把这里的 b、 c 延长，使这里的 b、 g， 咱们这里你可以做一个 b g 等于 e、 f， 那 现在是不是就能构造出这个三角形 a、 b、 g 和三角形 e、 f 全等了？ 或者是你可以在这个长边 e、 f 上截取一段，比如说你可以截取这个 e、 h 等于 b、 c， 那 这时候这个三角形 d、 e、 h 和这个三角形 a、 b、 c 是 不是也全等了？ 所以角和角的一边相等，你只要截取角的另一边相等，是不是能构造出 s a、 s 全等？那它的应用条件是非常非常广的，也是现在重点出现的一个类型。第二个就是我刚才说的一边一角互补，如果出现角互补的话，那其实咱们就给它还原成角相等就行， 因为两个角互补，那指着这个角的邻补角是不相等的，那以这里面举例子，你先角 b 和角 e 是 互补的，那并且这组互补的角，它的邻边你看是不是有 ab 和 d、 e 是 相等的？那咱们的构造方式，你第一种可以是把这个小，把这个 d、 e、 f 延长，延长出来之后它这个补角是不是和角 b 就 相等了？那现在是不就变成了刚才咱们说的一边一角相等的，邻边是相等的， 那咱们截取角的另一边 b、 c 等于 e、 m， 是 不就能得到这两个绿色的三角形等？那第二种形式你可以把这里的 c、 b 延长，那是不是就能得到这两个叉角是相等角 e 和这个角 abm 相等， 那这时候也是一边一角相等，两个叉角相等，以及叉角的邻边 a、 b 和 d、 e 相等，那再截取角的另一边，使 b、 m 等于 e、 f， 是 不就能构造出这两个绿色的三角形相等？这个就是属于一边一角相等它的一种变形，属于给你的一个角互补和邻边相等的情况。 那我们再看下一个，下一个部分是平移，那对于平移的问题，咱们说适合高分段，你选学的一百一以上的，我建议你一定是要研究这个东西。像这回大连三十四中的月考题，那个期中考试的题就出现了，最后压轴题就是出现了一个平移的问题， 这个题的得分率就非常低，很多孩子都是不会做的。那我们看啊，就是什么时候你适合用平移，比如说你题里遇到这种 x 型线段的时候，你就可以去平移，既有两条 x 型线段，比如说有一个 a、 b 和 c、 d 给你它俩相等了，或者让你求这个角，比如说这种角让你求这个角的数量关系， 或者角的位置关系，它俩它俩的假角多少度这种，那再比如说在正方形里经常出现的，你像这种， 比如说是这样的，这给你一个四十五度，那咱们通常也是通过平移的方式去解决，我这里面通过平移我就可以把他们这两个线段的端点转化到同一条边上去，那比如说咱们看啊， 你比如说是在这种情况下，那现在已知的是 ab 和 cd 这两个边相等，那咱们通过平移，比如说第一个里面我是不是可以把 ab 往这平移， 使平移之后这个点 a 和点 d 重合，那这样你一定要记着平移的话，一是会出来平行四边形，第二个是出会出来等腰三角形，你看这里面是不就出现了 a、 b、 b 撇 d 撇是个等腰，是个平行四边形。 同时那因为原来的 a、 b 和 c、 d 相等，现在是不是就变成了 a、 c、 d 和这个 b 撇、 d， 它们俩相等，就变成了一个等腰三角形？ 那这里平移方式很多，我只要平移之后使这个相等边的端点重合就都可以，那所以这个二、三、四这几个方式都可以。那对于平移的问题，咱们常见的是在正方形里的这种十字架结构， 比如说咱们正方形里是不是有一个圆图的十字架，比如说正方形里现在有两个线，它俩相等的相等是不是能得到垂直？那通常它的变形的话是有这种形式的，比如说现在是有两个线是这样垂直的， 这样那咱们就可以通过把这两个线平移回初，使的这种把它俩顶点平移回正方形的顶点，是不是能变成最初的十字架的结构？比如说我把这个线往上平移，把它平移到这了， 然后再把这条线往这平，把它平移到这来，你看是不是就变成了最初始的十字架里头？那把它变个形，是不就是咱们学的正方形的半角模型？咱们正方形的学完半角模型之后，你看如果现在是有两条线是这样的，我给大家画一下，有一条线是在这， 然后另一条线是在这，那我是不是可以通过平移？我把这两条线，比如说我把这个线往这平移，是不是就能把它的端点平移回正方形的顶点， 然后第二个线往上平移，是不就能把它的端点平移到这了？那现在这个角是不就变成了一个四十五度的一个半角模型？假如说已知这个角是四十五度啊，你平移完事之后，是不就平移回半角模型的情况了？所以在正方形里面咱们用平移的方式是非常多的啊。 下面这两个图就是我给他一个正方形的常见的平移的结构。那咱们通过这道题来看一下平移的问题你该怎么去解决？ 你看这里面他给了角十九度，又给了这里的 b、 d 和 c、 e 相等，有他们俩相等，还有一个 b、 c 和 a、 e 相等， 现在要求这个角度数，求这个角度数，指着我们是不是要求 a、 d 与 b、 e 的 夹角，那像这种交叉型的线段求夹角，那是不是可以通过平移的方式？所以我第一种方式，我可以把这里的 a、 d 往上平移，把这个 d 平移到 b 的 位置上。平移之后， 那咱的辅助线的话，因为平行之后你是勾到平行四边形的，所以你可以说做 a m 平行 bc， 且 a m 等于 b d， 那 现在这个 a m、 b d 是 不就是一个平行四边形？平行四边形对边平行相等，是不就能得到 a、 d 和 b m？ 他俩是平行相等的，那咱们想求这个 a、 f、 e 的 度数，现在是不只要求这个 m、 b、 e 的 度数就行，那我们再看他给的条件里，那对于这题给的条件，你看他是不是给了一个 b、 d 是等于 c、 e 的？ 那咱们平移之后，现在是不是就有 a m 等于 c e 有 这俩边相等，同时还有这个 a、 e 和 b c 相等，所以咱们怎么办？是不就连接 em， 构造这组一线三垂的全等？连完 em 之后，它俩是不是就直接 s s 全等了？ 全等之后是不就能推出三角形 b e m？ 它是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形，它的角 m、 b、 e 是 不就是四十五度？所以它的同位角这个角 a、 f、 e 是 不也四十五？最后答案就是 四十五度，那咱们再来看下一种，下一种就是四边形旋转，旋转和翻折绝对是几何压轴里面出现频率最高的这个问题， 那图形的三大运动，平移、旋转、翻折，其中平移出现的相对来说少一点，因为跟他相关的辅助线既灵活，相对来说也比较少一点，但是旋转和翻折里面就非常多，所以旋转和翻折他的出题频率绝对是远高于平移的问题。 那我们看平旋转的问题通常用用了什么方法？那常见的题型，我们先看四边形的旋转，通常在菱形、矩形和正方形里面， 其中菱形和矩形里面只要出现三十六十了，是不就一定会出现等腰或者是等边三角形，那有等边三角形旋转，咱是不通常都是构造手拉手， 所以旋转的话，手拉手绝对是最常用的题型之一。其次正方形里面是不也会出现半角和手拉手的旋转？然后正方形里其实还有一个比较特殊的啊，叫对角互补四边形，对互四的话，你可以把它看成是构造一个手拉手的问题。 那最常见的旋转是在菱形和正方形中出现的旋转，那我们看旋转的原则，不管是哪种旋转，旋转的方法其实跟咱们上上期视频讲的购物工具旋转其实是一样的啊。旋转就几类方法，第一个是构造手拉手， 第二个是半角模型，第三个是对角互补四边形，那第四个像飞马点什么在四边形就比较少了，那对于这三个，他不管哪种方式旋转，只要难一点的题，都是你自己需要去构造辅助线旋转， 那你就要需要记住辅助线旋转，你识别出旋转之后，你你就要知道旋转的原则是什么。不管哪种旋转，你都是先找到一组公共边的顶点，那比如说有一组相等边，他俩有公共顶点，那咱们就绕着这个相等边的重合顶点旋转。旋转多少度呢？就是把这个相等边转到另一个相等边上， 就这样旋转，比如说在这个图里边，那这时候我是不是可以把这 a、 b、 e 绕点 b 旋转，把这个 b、 a 是 不能转到 b、 c 这条线上来，是不就能把 b、 a、 e 转成了 b、 a、 f 上？那比如说第二个图里是不也可以是一样的方式， 那这里面我是不是就可以把这里的 e、 c 往上转，转到这个 e、 f 上来，对吧？这里面相当于其实咱是不就是构造的一个手拉手的全等，这里面你可以把三角形 a、 b、 c 看成一个等边，然后 f、 e、 c 也是一个等边，两个等边，然后通过旋转去构造手拉手的全等。 最后就是这种的绊脚模型旋转，绊脚模型旋转的话咱们在第一期视频里已经讲了，所以咱们不再去多说他的原则什么的，你就看一下在常见的正方形的绊脚模型旋转，他通常是什么样就可以，如果有绊脚模型旋转不太清楚的，可以去看一下第一期的视频。 最后就是这个四边形的翻折，那四边形的翻折，其实关于翻折的问题，他的辅助线的话，比如说像角平分线的翻折，或者是等腰对称的翻折，他是都是属于翻折。但咱们今天只说这个关于四边形翻折， 那四边形翻折的话，通常出现在矩形、菱形、正方形里面，那我们要注意的是以下几个点，第一个 辅助线，常见的翻折的辅助线的思路是连接对应点的连线，这个是同学们最容易忽略的，因为只要是翻折就是轴对称，那轴对称咱们在八上学全能上学的时候学过在轴对称的那一章，如果是北师大版的，他们是在旗下学的， 那关于轴对称里面有一解释说轴对称的性质，对应点的连线是不一定是被这个对称轴垂直平分的。 比如说以这个图一第一个图举例子，我把这个小的四边形 a、 b、 f、 e 翻到了上面来，翻完之后你看这里对应点是不是 a 和 g， 咱们对应点的连线是不一定被这个对称轴 e、 f 是 垂直平分的， 那这个是非常有用的一个条件，或者是你要连接 b、 h、 b、 h 是 不是也是被 e、 f 垂直平分？那第二个就是找直角三角形，因为翻折，尤其是矩形或菱形的翻折，咱们通常的方法是你要找一个直角三角形去列勾股盈利方程，所以这里的核心你是要找到哪个直角三角形去列勾股盈利方程， 有时候是需要双钩五分是比较麻烦的。然后第三个就是在翻折问题里，我们通常会出现等腰三角形，大家一定要注意你翻折之后是否存在等腰三角形，还是以这个头举例的。你比如说翻折之后，那翻折的对应角，这俩角是不相等，所以这个对称轴是不相当于这个大角的角平行 那角平分线再加上平行这俩角相等，是不就能出现直角三角形？也就是说这里的 i、 f 和这个 i、 e， 它俩是不是一个等腰？那对于第二个图里，你看翻折对应角相等，然后等于它的内错角是不是也是有 i f 等于 i e， 那 后面图也是翻折这俩角相等，然后等于它的内错角是不是也是有 i f 和 i e？ 后面每个图都是，所以对于翻折的问题的话，如果是四边形翻折，我们要记得那个辅助线连接对应点的连线， 以及去找它是否存在直角三角形，然后如果求边长的话，你就可能是需要用到找个直角三角形去列勾股定律的方程。
187喜欢数学的张张张张
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