高一立体几何证明
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11:53查看AI文稿AI文稿一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到立体几何平行的全 体行，在这节课，我会给大家把见面平行，面面平行所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是怂问题。 那么首先呢，我们来看到线面平行，你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b， 使得 b 和咱们的 a 是 平行的，那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈， 那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推导咱们的 a 呀，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢，给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的， 但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边他是平行的哈， 所以说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b d 呀，对吧？所以说我们直接连 b d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时来我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的，而此时来咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目。 那么我们再来看看第二种题型，就是我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点， 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了， c e 在 这的，我们要去找它平行于平面， a， d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给它平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a， d， e 看起来就很像了，但是我要怎么去说明它看起来很像，但是实则它是一个平行关系嘞？你会发现哈， 这看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明它是一个平行四边形嘞？那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于咱们的 c， d， e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢， dc 为二的哈， dc 为二，那么平移上去， c， d， e 也是为二的，所以说你又有平行，又有相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈， 因为咱们的 c 一， 第一它是平行于 cd 的 cd 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 cd 一 啊，它是平行于 ab 的， 又因为咱们的 a 一， 它等于 cd 等于 cd， 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 cd 一， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以立刻推到咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c 一， 它平行于 a、 d 一， 然后你就可以说，哎，因为一个包含也是个平面，另一个不包含也是个平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 咱们再来看到第三个题型哈，就是证明面面平行，大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，他就可以唯一确定一个平面，他就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思。那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行四边的平的平行，那， 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我看到中点我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时来它让你去证明的是咱们的 a、 e、 e、 f， a、 e、 f 来画一下哈， a、 e、 e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d g 的 a d g， 哎，也就是后面这个大的三角形，那大家来观察一下哈，我们这两个平面，它会出现哪两组线线平行啊，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行， 对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么？先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e g 连 e g， 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形 哪一个嘞？是不是咱们的 a e g， d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d e 平行于咱们 e g 啊？对吧？ a e、 d e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b e、 c e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的，所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形，所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了。我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来？ 正，咱们的 a、 d 一 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b、 c、 d、 e 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a、 b 它是平行且等于 d、 e、 c、 e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写了？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢，我这里和这他是什么？他是相交直线哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得整两个平面是平行的。那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，它是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢？是一个点一个动点， 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e b f 时， p a 它要平行于 e b f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的， 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c 就是 四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行。你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大解题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页，这里群聊数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！
2.0万北大糖的魔法数学
14:10查看AI文稿AI文稿立体几何的线面关系证明已经不能叫做高频考点了，它是纯粹的必考内容，年年高考，张张试卷，几乎无一幸免。但是大家在第一次学习的时候，可能连线面垂直是个啥意思都不一定知道， 所以今天咱们从纯零基础视角一起来拆解线面关系到底是个啥？ 首先呀，是线面垂直，说直线垂直平面啥意思？大家在生活中有没有见过相关的例子呀？哦，电线杆笔直的插入平坦地面， 咱们引入实物来进行观察，当我们把视角放平、放平再放平的时候，最终平面又被压缩成了一条地平线， 而 l 一 正好垂直于它，这个就是线面垂直的本质。好的了解了基本定义，这时候如果在平面内随便放两条直线，你认为红黄两线之间会是什么关系呢？ 就比如这个 l 一 和 l 二，既然 l 二在平面内，那么当平面也被压缩成地平线的时候， l 二就和地平线重合，红线垂直平面， 红线就垂直平面内的线，而且并非个例。像这样一个更没有特点的 l 三，它也和 l 一 垂直吗？ 还是一样的步骤，在我们的视角给平面不断压缩，直到成为一条地平线，红线垂直平面就垂直平面里边的线。 任何平面中的线压缩后都一定和这个压缩线重合，被红线 l 一 垂直贯穿。 那么简单总结就是，只要红线垂直黄色平面，红线就垂直平面内的任何一条线。当然一定要交代黄线包含于黄色平面，这是已知线面垂直可以推的玩意，记作定里一 接着，如果这个定律反过来说，红线同时垂直于两条黄线 l 二和 l 三，并且两条黄线同属于黄色平面，您认为是否一定能够推出红线垂直黄色平面呢？ 还是老规矩，咱们引入实物平面，先看这种红线只垂直于一条平面内黄线的情况。那么不妨认真思考一下红线和平面之间的角度，它定死了吗？ 显然，在 l 一 和 l 二垂直的情况下，平面完全可以以 l 二为转轴 随意转动，并且这对 l 一 和 l 二的相互垂直不造成任何影响。换个视角看也是同样的道理，平面绕轴转动不影响黄色轴线和红线的相互垂直， 所以这个平面他不是固定的，和 l 一 不必然形成九十度的垂直角度。但是呀，如果我再引入一条 l 三也在平面阿尔法内和红线垂直了，咱们仔细观察一下， l 二和 l 三卡在一块，同时包含他俩的平面，是不是有且仅有这唯一的一个呀？他这下就真的转动不了了， l 一 必然像电线杆一样，从完全竖直的方向狠狠插入这个唯一的平面 l 一 垂直平面阿尔法。 呃，但是，如果 l 二和 l 三不相交，两个是平行关系呢？上边还一定能够推出下边吗？思考一下。 首先，平移是完全不改变几何关系的，而当我们将 l 二和 l 三平移到重合位置时，同时垂直 l 二、 l 三 仅仅相当于垂直平面里边的一条直线，而红线只垂直于平面里边的一条直线，根本推不出红线垂直平面。这是咱们前边最开始就推理过的，平行不行， l 二 l 三就得互不平行。但是试卷上更规范的表达是， l 二交 l 三等于 p， 有焦点就是不平行，直接给他替换掉。那么整个推导过程简单来说就是红线同时垂直于两条黄线，两条黄线互不平行，有焦点 属于同一平面，那么红线就一定垂直于这个平面。以后凡是碰到线面垂直，都需要这样的步骤才能把分数拿全。 就比如这样一道二三年的高考真题，要证明红线垂直黄色平面。根据刚刚的经验，只需要在黄色平面里边找出两条不平行的黄线，被红线垂直，黄色平面也就被红线垂直。 但是这两条黄线分别取谁？好嘞， p a a b 还是 p b？ 咱们先标数据 提杆，右手 pa 垂直，底面 abc 线垂直于平面，就垂直于平面内的所有线。比如面内的 b、 c 就 被 pa 垂直， ac 也被垂直， ab 还被垂直。 哎，这个 pa 和 bc 是 不是刚好就是咱们所需要的红色黄色垂直？对啊，哎，已经找到了一组垂直了。 接着咱们看棱锥的蓝色背面直角三角形底边长度根号二。 再看棱锥底面等腰直角三角形直角边 bc 垂直 b a 又得到了一个红黄垂直对。 接着就是标准的书写流程了，红色 bc 同时垂直于黄色的 pa 和 b a、 pa 互不平行，交于点 a， 而 pa、 ba 又都包含于平面 pa b， 所以 红线 bc 就 垂直于平面 pa b。 再看这样一道二三年的全国二卷实体，要证明红线 bc 垂直于黄线 da， 这线线垂直不应该初中就会了吗？ 但是呀，这俩是异面直线。咱们研究一下红色 l 一， 黄色 l 二，要证明红线垂直黄线，咱们是不是可以引入一个平面阿尔法， 黄线 l 二包含其中？只要我能证明红线垂直面内的黄线呀， 简单过一遍，要证明线线垂直，就得给黄线找个面，红线垂直，这个面红线就垂直黄线。 以上是意面直线的垂直证明方法，大家可以借助这道全国二卷的证明题来应用练习。 再比如，大家碰到这种更坏事了，要证明平面和平面面面垂直，好像又是一个新的知识点，红色平面阿尔法，黄色平面贝塔。如果说这两面相互垂直， 会是啥情况呀？咱们引入实物图一探究竟。凡是涉及平面的几何关系，方法非常明确，把平面都旋转到压缩成线的视角， 压缩线之间的关系就是平面之间的关系。好的，了解了面面垂直的本质之后，咱们得想个办法证明它。比如咱们引入一条 l 一 包含于平面阿尔法， 同时垂直平面贝特，就这两条，能推理出平面阿尔法垂直平面贝特吗？思考一下， 咱们还是引入实物图来加以研究。首先，红线 l 一 垂直这个平面 l 一， 就一定垂直这个平面的压缩线， 这是线面垂直的本质。现在说 l 一 包含于平面阿尔法，比如长这个样子。 这里请大家认真思考。当我以 l e 为转轴去转动这两个平面镶嵌而成的组合体时，不管这个平面阿尔法有多大，他也总有被压缩成线的那一天。 此时的红线 l 一 正好和平面阿尔法的压缩线重合，俩平面的压缩线相互垂直，就等效为面面垂直。 好的整体简单梳理一遍，只要红线 l 一 垂直，平面贝塔 l 一 就一定垂直。平面贝塔的压缩线 l 一 又是平面阿尔法里边的线， 整体以 l 一 为转轴，就百分之一万能够转到这个两个平面都被压缩成线的时刻，而平面阿尔法最终被压缩到和转轴共线，他的压缩线也和贝塔的压缩线相互垂直， 而压缩线相互垂直正是面面垂直的本质。大家同样可以借助一道经典例题来强化理解。 再接着进入第二部分，一条红线 l 一， 一个平面阿尔法。但这一次我说红线 l 一 平行于平面阿尔法，你能想到它的本质是啥不？ 咱们引入实物图，根据前面的经验，只要有平面，就得给他压缩成线，线平行于面，线就平行于面的压缩线，这是线面平行的本质。 那么在更多的考场环境下，如果需要证明线面平行，应该怎么做呀？ 比如在黄色平面内放置一条黄色直线 l 二，通过红线平行黄线来证明红线平行黄色平面，你认为这合理吗？ 当然一定要交代 l 二包含于平面阿尔法，思考一下好，还是引入实物图，凡是有平面，又要找几何关系，第一时间给它压缩成线。 红黄两线相互平行，而黄线又在平面阿尔法内，所以平面阿尔法被压缩成线之后，必然和 l 二位置重合，和 l 一 相互平行， 而线和面的压缩线平行，就是线面平行的本质。综合来讲，定律的大概流程就是，红线平行于黄线，而黄线又在这个面内，红线就一定平行于这个面， 这是线面平行的判，好像还有点瑕疵。这个 l 一 平行于 l 二，好像从来没说过 l 一 不能在 l 二这个平面内吧， 所以他当然是错的。一个平面内的线不可能平行于这个面本身，所以为了简单粗暴的切断这种可能性，我们直接在条件中加一句红线 l e 不 可以包含于平面阿尔法， 这样就百分百隔绝了。而线面平行这样一个判定定律，大家同样可以用一道高考真题来加以巩固。
9.9万加数
10:27查看AI文稿AI文稿啊，各位高中家长同学们啊，这个之前粉丝问我是张老师，你讲讲这个立体几何证明这个东西到底该怎么去学吧。啊，今天张老师给你们把咱们立体几何问题的处理逻辑给大家说一下， 有人说老师那立体几何那么长那么长，咱们不说具体，就你们所谓那些题型啊，咱们就说立体几何证明题的处理问题处理方法，证明题的处理方法，那么证明题的处理方法，咱们首先说我要知道立体几何证明咱们有处理哪些问题，是吧？ 啊？首先一条，一个是证明，一个是计算，咱们先说就说证明，证明的话无非就是什么啊，我的线面的什么垂直啊，平行啊，是不是？对不对？包括什么面？面的平行垂直是不是？ 这是问题，是不是让我证明哪个哪条线垂直于哪个面？是不是？或者证明哪条线平行于哪个面？是不是？我们先从问题出发这个问题，比如说啊， 是要证一个线面垂直问题，你看老师为什么不给你们用具体的举例，就是要告诉你，你们有的时候做题的时候大家做不上，或者说大家慌，就是因为你们杂念太多，你看这里头没有题， 我就直接是摆问题，我问你是不是咱们任何的那个图形，他甭管图形长成什么模样，是不是就这么大概就这么几样，是吧？ 是吧？就是证明线面关系呗，是不是？或者可能这是证明，哎，我证明个一面，证明个两条直线垂直，是不是线线，线面是不是？那再加个线线吧，是不是线线关系是吧？啊？ 我要正线面垂直，正出一个线面垂直之后来首先第一条先定位问题，搞定第二个第二步 上题目里边去定位去，此时我们才去定位去啊，我看了一题，几十题，我告诉你就怎么看，我都不看题，我第一步都压根，我就不看图，我就直接先看问题，你让我正啥？ 正完之后我先脑瓜子里头先反应出来啊？先变垂直，他需要什么东西啊？判定定理，性理是不是那些东西？然后紧接着第二步 上题目里找条件去，我要证明线面垂直，我需要哪些条件？此时干啥？用判定定理是吧？ 确定需要的条件，所需条件 啊，用判定定理确定所需条件 干啥？我这不正线面垂直吗？线面垂直咱们用干啥？我第一步首先是我要干啥？一垂二是吧？一条线垂直于一个面里的两条相交线，是不是？是吧？两条相交线，对吧？ 这就是所谓的判定定律，是吧？我用判定定律，我要确定一个我需要哪些条件， 你看这些这块我都不需要看图是啥？看图或者看条件， 需要看好了啊，我需要的东西。然后第三步它是干啥？去图形和条件中 找所需呗。 先看条件，因为我们比如说我线面垂直，我是俩条件，是吧？俩条件，两个垂直。两个线线垂直吗？是吧？两个线线垂直。我题目条件可能会有一个这个题目，这个有的条件他可能不是直接给你的， 我可能是用啥线面垂直的性质给你的，可能是用固定利率给你的，是吧？我给你一堆边长，让你给我算出直角来，是吧， 对吧？也可能是什么？比如说我是有等边，我三线合一这种东西，有中有终点是吧？有性质，几何性质。反正我能给出一个题目条件，一般的话大概就要有一个这个垂直条件，然后目的就是剩下的干啥？找剩下的找缺的条件 找，然后才是上题目找缺的条件，这时候找缺的条件时候干啥？大家记住了，找缺的条件时候你们要记着换个位。你比如说我现在 我如果给你一个，我证明 p a 垂直于一个平面 abc 就 这个底，一个垂直，就这么一个三中锥是吧？ p a b c 是 吧？我要证明 p a 垂直于 a b c 这一个简单图形，老师举个例子啊，那我现在这个有了，但是我另外一边我现在有一个垂直条件，你不管是我给你边长让你去给我求出来，然后或者是干啥， 另外一个我不知道，那我这时候不知道的时候，你记着，我就说我 pa 垂直于 ac， 我 找不定的时候，这时候干啥？记着要转换条件，我要正 ac 垂直于 pa， ac 垂直于 pa， 我 可以往下推， ac 垂直于 pa 所在的面儿 是吧？我不一定非得去挣个你，我跟 pa 和我，我挣 ac 垂直 pa， 我 有时候我可能挣不出来，就是这这个东西，老师只是举个例子啊，但具体的条件是不是会出现这种情况？那么但是我如果 ac 垂直 pa 所在的面的时候，此时我不一定非得 我非得去纠结于 ac 和 pa 的 垂直，我可以找 pa 所在的另外一个面的，我这个 ac 和其他的另外一个面的，我这个 ac 和其他的两个线段垂直就行了，是不是啊？对不对？ 条件的转化，转换干啥？我把它塞到另外一个面上去， 看见没有？就这种转换思想，然后有的说老师那有的还要做辅助线或者干嘛？做辅助线的原则是干啥？是让我们要找到我们所缺的条件是不是？那我做辅助线的原则是不是也跟这个一样啊？ 我得一点点找去，是不是啊？我要求点面距离，首先我得找点在面上的投影，那么我如果找不到，那就干啥？我找底面的垂面，就 过这个点的垂面就行了，是不是？找垂面，找交线，然后再做垂线，这么出来是不是 听明白了吗？但是前提是你得知道啊，我要做点面，垂点面距离，我要找啊， 点到面，点在面上的投影，也就是说把这过这个点的垂线，那这个垂线怎么去找？有的时候就就只有一个点，底下没有面，那怎么办？我找到这个垂面，找到交线，然后干啥？ 再往交线上做垂线去，是不是啊？有问题一步一步去找，去看见没有？这个路我是 由问题出发，问题需要哪些条件？需要的条件里面题目有哪些缺哪些？缺的东西我怎么去找？我用性质定律去找条件， 看见没有？而且我线面线面的找不着的话，我先找面面，然后再找线面升高为，然后再往低为转， 听明白了吗？就是立体几何是一个纯考逻辑思维的，有时候老师这玩意我们之后之后有那个间隙或者啥的，你们看一下子行，间隙这个东西有时候很无脑，是很无脑，但是间隙的这个东西有的时候 两条，我们高考出题立体几何这块东西需要考察我们的是对几何性质的掌握，直接拿间隙的话，几个几个几何性质这些东西就全都跑掉了，那变成直接考向量计算了，对吧？ 人家就是要让你去干啥？我要去间隙就不让你去间隙就不给你，这个咱们不给你，那个直角坐标系不让你做出来，你看咱们之前头两头两年，你看那个立即有人提是吧？就这样子，他不给你，系， 你没有这种三线垂直，你怎么找啊？你做都做不出来，你，你怎么整？我没有一个，我，我找不到两个垂面， 我找不到这两个互相垂直的面，我，咱找到两个互相垂直的面，我做垂线做，我做垂线是吧？我可以找到这种是不是？ 但是他这种都不给你，就是让你纯干啥？做几何证明你包括做角，包括做线面角，做二面角，怎么样子？我把把这个线面角，我把在立体图上，我线面角咱得是在一个平面上，是不是啊？ 把它转成平面的，把立体转平面，高位转低位是吧？找条件的时候找不着的时候干啥？低位转高位是吧？我线线找不着的时候往线面上找，然后再往 利用线面的性质，再往低位，再往线线上找，看见没有？这就是完整的一个啥。咱们立体几何的一个解析思路，就是大家做事的时候就这样子去做，先从简单题开始做，把性质定律 还有基本的辅助线是吧？我平行的时候干啥？找终点是吧？我垂直的时候干啥？我要先找垂面，是不是啊？对吧？ 就是这些基本的东西一点点往出练啊，一点一点练啊，纯练逻辑思维的。但是这个逻辑思维的路线从哪里起始？直接看问题，然后一步一步干啥？往下去找啊？听懂了吗？啊？
127张兵老师高中数学
12:38查看AI文稿AI文稿立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。
12.3万加数
01:59查看AI文稿AI文稿就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。
1.3万数学王超子老师
13:36查看AI文稿AI文稿立体几何作为高中数学里头与其他板块知识点明显格格不入的部分，也许各位亲爱的同学的学校的老师会平静的和你说一声，多动脑，多思考。显然这是一句正确的废话。 所以今天咱们借助八个非常经典的立体模型，同时从这本大家熟悉的不能再熟悉，题目质量可以充分放心的高考必刷题中精选四个专题，十分钟时间一并搞定立体几何中的核心计算内容。 当然嘞，任何计算的前提一定得是看得懂几何体是个啥子样子。首先是这样一个正方体，咱们观察一下它的三 d 立体构造，转动、转动再转动， 但是在试卷上只呈现骨架结构，简单对比一下，不难的发现，哎，这红色的虚线是什么玩意？哦，原来是肉眼无法直接看见，但是真实存在的透视虚线。 接着的一个几何体叫做圆锥，相信屏幕前的你并不陌生，那么大家不妨思考一下，红蓝两条线谁更虚呀？显然是藏在圆锥屁股后边的红线。 当然，立方体和圆锥的理解难度并不算大，我们看一下必刷题的固机提升部分，也就是偏基础的，这本套装非常齐全，翻开来从目录中找到我们研究的立体几何专题， 你看，能住、能追，轮胎几乎每一次考试都跑不脱，就比如这个，能追，他可是结结实实有五条侧能在身上的。那么大家边观察边思考， a、 b、 c、 d 五个选项，哪一个是它正确的试卷平面上的画法呀？显然是这个 b 最外沿的黄色一圈， 咱们眼睛一定能看到，一定是实线，边缘一定没有虚线。那这条红色的又是咋回事嘞？ 哦，他是几何体面向我们靠近我们的这一边，可以直接看见的棱也用实线，而除此之外，一定都是透视虚线。并且无论什么时候，这样的结论他是一定成立的。咱们回到书中， 视线左移看，这个棱柱，确实也是长得不是那么美观。五条侧棱五棱柱， 好的， a、 b、 c、 d， 你 认为哪个是对的呀？聪明的你一定想到了操作方法是一模一样的，黄色边缘 b 为实线，肉眼可以直接看见。 而这三条红色的棱呢？在几何体表面靠近我们的这一边，肉眼可以直接看见，剩下的红色虚线就必须要通过透视权线了。 好的，接下来这个会稍微复杂一点，主要是能的条数会稍微多一点。好的，差不多时间请做出选择。这是一道思考题， 基础的讲义部分没啥问题了，我们就可以用对应的练习册来加以巩固。需要注意顺序是固基部分偏基础项的。 简单来说，分成了六十个小专题，写一页就能够掌握一个小型的知识点。在咱们基础题身上的效率方面，性价比是非常高的。翻开看到里头的体积计算 条件，暂不细看，咱们先在脑海中建立三 d 感知，看看这个镶嵌在正方体框架里边的三棱锥是个什么情况，然后再来求体积。 呃，既然要求体积，先得把公式摆上来，任何能追的体积公式都是三分之一底层高，但是这个底面却没有唯一的答案。 你说 b f、 c 一 可以当底面， b 一 c 一， 那也可以， b f 一 貌似也不错。 f 一 c 一 好像还可以。 那究竟哪个好嘞？首先呀，咱们肯定希望他不难算，那怎么才算不难算嘞？ 哦，就是好算，这个 bfc 一 他就挺好算的。为啥嘞？因为呀，他直接干净利索的贴在正方体前表面上了。这里大家注意观察蓝色与紫色平面， 如果突然告诉你这俩平面中间可以直接用等号连接，你是否同意嘞？ 这个的确是对的，它就好像两条直线只要重合就是同一条直线，两个平面只要重合就是同一个平面。咱们看到的蓝色紫色好像面积形状大小都不相同， 为啥呢？像这一切都只是因为我们在画图的时候截取了同一个平面的不同区域，相当于选择性表达，都不是把完整的平面给画了出来。平面本身的面积是无穷大的，就好像我们常说的直线无限长。 好的，回到题目中来，这个紫色三角底边平面面积非常好，求二分之一底乘高，底一高二全知道。 哎，那这个高 h 嘞，也就是能追顶点 e 到这个紫色平面的距离后表面的 e 到前表面的距离 等于零，长等于二，底面和高。都晓得了这一题选择第二项 b， 就 这会看来，好像是刷了几道题目，但是嘞，这套组建绝对不只是单纯的给大家刷题用的， 你看，固机部分给咱们配套了专门的视频课程，七十一节视频精讲，相当于每个不懂的知识点直接送一节网课。而且书中的六百八十四道题主题精讲， 想看视频讲解，但是又懒得问人的，想保持效率，扫个码就完事了。那么用完了固基部分，我们就可以拿对点上分，简单来说就是拔高部分，这个组合键翻开来找到对应的强化辨识， 还是要求这样一个正方体框架中嵌入的棱锥的体积，大致观察一下它的构造， 其中 e 是 棱中点， o 是 底面中心。求黄色棱锥体积。别的先不管，求体积就得摆公式。接着进入选底面环节， 一号、二号、三号、四号，哪个底面不难算呀？ 都不好算，但也都差不多，那都半斤八两。我们就进一步考虑哪一个底面他对应的高更好算，而且高和底一定是线面垂直的吧。 所以这会咱们就认真想一想，能不能在黄色棱锥里边找出一个线面垂直来， 垂直在哪里嘞？思考一下，哎，你看正方体的这个对角，蓝色结面，他是一个矩形，标注好个别数据，然后请重点盯住他。 我发现呀，这个对角矩形面彻底铺平之后，两条黄色线段的紫色夹角好像有点蹊跷，原来呀，他就是九十度角，这个原因不知道你晓不晓得？ 好的，还是盯住他，慢慢放回正方体的对角面位置。根据紫色的九十度符号，两条红线之间是相互垂直的。 但是嘞，我需要的高和底面线面垂直，得有两组线线垂直来加以证明。 a、 d、 e o 和 e o 是 一组， d、 e o 和 c o 会不会是另一组嘞？咱把洁面补全一下。 这个蓝色的洁面三角形，每一条边都是正方体的对角线，所以这是个等边三角形， 中间的红线， d、 e、 o 垂直，底边 c a 也就垂直， c o， 红色、绿色也相互垂直了。 现在就晓得了，红线 d e o 同时垂直于蓝色的 e o 和 c o， e o， c o 都是平面 ceo 中的线段，两条线还互不平行。 当然我们最好不要这样写，只要不平行就一定会有交点，我们写上 e o 交 c o 等于 o， 就 可以完美且标准的代替 e o 和 co 互相不平行这一串花了。 得出红线垂直蓝色底面，那么对于这个黄色三棱锥，红线做高蓝面当底。最后带回公式，三分之一底乘高选择 a 选项， 这本对点上分色，它也是同样的道理。全面配套视频讲解，不会说好像更难更拔高，就敷衍了事，只给一个文字讲解，这个并不会的视频是一节不会少的。 咱们还可以拿出这个巧学速记小本本，这里边就是给大家整理的答题技巧和奇思妙想了。 模块速记这里推荐大家在考前进行快速补充。再就是这个小册子的后半部分，全是重要技巧。比如咱们看这样一道题， 他给到一个四面体， s a， b， c 是 一个棱长都一样的正四面体， 说 e 和 f 分 别是 s、 c 和 ab 的 棱中点，求 e， f 和 s a 的 线线夹角。嘶，这两个， 首先它是一个正四面体，说明很正。其次，既然是求棱和棱的夹角，咱们看正四面体有六条棱，正六，想到啥了不？ 没错，正六面体，这里请认真观察。直接给正四面体塞进这个正六面体中， 凭啥嘞？哦，正四面体的每一条棱，他都是正六面体的每一个面的对角线。 没错，再以后，看到麻烦的正四面体，直接给他塞在正方体框架里边就没得问题了。这时候再看红黄两线的夹角，聪明的你会做了不？ e、 f 分 别是上下底面的对角线交点，所以数值的红线 e、 f 就 平行于任何一条数值的蓝色棱， 比如 st。 现在红蓝互相平行，红线和黄线的夹角就是蓝线和黄线的夹角，显然前边是一个等腰直角三角形 c， 它等于四十五度。 这个就是小册子里边的补习法，能够放在这个小本子里边的技巧还是相当有含金量的。 哎，这还一个小本子，一目了然。核心干货，整个高中三年的核心知识点，它分成十三个大章节，严格按照教科书来的，不管是以前学了容易忘记的三角函数，还是咱才学完但是结论一堆一堆的复述， 再包括我们这会正在学习的立体几何，以及咱以后会碰到的结论重灾区圆锥曲线， 这些浓缩的知识点，说实话太重要了。在视频的最后还是老样子，我们从巧学速记里边取同专题的第二个题目，大家可以思考一下。
3.1万加数
43:49查看AI文稿AI文稿请坐，那今天我们把空间中线跟面这些垂直的问题我们再理理，但首先是 垂直，线跟线垂直，怎么判断线跟线垂直啊？你可以根据定义是吧？假小九十度，对吧？也可以，怎么样 深格考虑什么线和面垂直？那这个面我们往往去找的是什么面？ 空间中两条线要垂直，那要把意面的垂直转化为雾面的垂直，怎么转化为雾面垂直啊？把一条摄影到另外一个所在平面吧， 那实质上我们就证明线跟这个面垂直，这个办法叫做三垂线，是不是三垂线定律，所以线线垂直我们常见呢？这两招，那我怎么来判定线跟面垂直啊？ 根面里面任一条是地狱，但是好操作呢？ 每一条理都要去验证一遍，所以我们采取的办法是啊， 我们用两条线来代表这整个平面，所以他必须是这个平面的什么机机理， 所以通过线线垂直可以得到什么呀？线面垂直，那这个就是他的判定力，判定力。哎，那两个面垂直呢？ 什么叫两个面垂直啊？二面角，二面角，二面角是直的二面角，所以我们可以用定义来判断，我们去计算到二面角九十度，所以它们就垂直了。 或者呢判定定律，那就是线面垂直得到什么呀？面面垂直，一个面或另外一个面的 垂线，一个面过另外一个面去，那么这两个面就垂死了，所以我们要判断一下，直观判断，哪个面的垂线都好找，要找出来 啊。那么也可以由面面垂矢得到什么线面垂矢，所以可以用面面垂矢的。面面垂矢的怎么样性质定律来判断线和面垂矢 啊？当然，那面面垂直，他的判定定律是什么？垂直，对啊，那就一个面过另外一个面的垂线判定定，对吧？ 那当然这就是垂直。那我们还可以有用垂直来证明什么呀？平行，用垂直来证明平行怎么证啊？ 垂直一平面的两直线是平行的。垂直一直线的两平面呢？啊，也是平行的，对吧？所以由垂直来证明平行关系，这说明垂直跟平行之间有内在的联系。 好，大家，对吧？那我们先来看一下第一个问题，图图，这是一个三棱锥， 这两个面垂直，还告诉我们这一刻是垂直的， a 和 a b 是 垂直的。有这样线线垂直 来，弟兄们怎么选？ 也就你的车链是过屁座。这个啊，我们具体的车轮呢？车链上面 要线线垂直啊？线面垂直，哪个线？哪个面？到底是 a c 垂直， a b 锁在平面还是 ab 垂直？ a c 锁在平面，为什么是 ab？ 因为这一条要我们挣的，是吧？这条是已经有了，那你如果 都跟他垂直的，那叫 ab， 就 会跟谁垂直啊？啊？跟哪个平面？ p a 跟 o c 所在平面吧，那就是谁 p a c， 对 吧？所以你刚才你说的是什么？ 由面面垂直是吧？正面找一条跟 a b 垂直的吧。怎么找一条跟 a b 垂直的啊？过平做 a c 的 垂线，垂出记为 n， 那面面垂直可以得到什么啊？线面垂直，它就 p n 垂直于一面， a b c， 那 这样子 p n 就 会垂直谁啊？ a d， 所以，所以 a b 就 会垂直谁？ b a c， 所以 线线就平行了。好，所以两线垂直，把一条线分隔为一个面，分隔一个面，这个面往往找的是投影面， 但是，但是，各位，哎，我们这 a p 怎么样？跟 a b 是 已经共面了，我们找同一面，经常是把异面的变成共面，他已经是共面了吧？他已经是共面了，所以我们目标很明确，就是证明这对应的这个平面啊。嘴巴线伸折为面。 来，继续来看一下，底乘四轮锥，它的底是一个直角梯形，这两个角是直角。再来三段， c、 d 是 一个单位的话，那其他呢？ a b， b c， p， b c 都是两个单位 啊，把条件可设外，对吧？标起来啊。再来，这里还有两个面垂直，标注一下，那 pa 跟 b d 是 否垂直？请证明你的结论。 来来，我们承载了你 意面随形是吧？这两个是意面之间，那怎么办？ 摄影是吧，那这个把谁摄影啊？是 b d 摄影是在啊， pa 水上平面还是 pa 摄影呢？怎么做摄影啊？做 p 点去做垂线。垂线在哪里做啊？ 垂线在垂面里面，做交线的垂线。那我这里数有面面垂线，所以怎么做？ a b、 c 是 什么概念？ 等腰，所以我们取 b c 的 中点 m， 然后这坐下来以后， pm 是 垂的底面，所以 pa 在 底面摄影是谁啊？ am， 所以 我们目标，目标去证明谁 来目标证明 b d 垂直平面， a m 是 吧？朋友们， 那我只需 b d 跟谁垂直？ a m 这样 b d 跟 a m 垂直怎么测啊？那这个直观读不好看，我们把它的平面图还原出来，这个是 b d， 这个是 a m， 这看起来像九十度哈，怎么整？哎，别扔像，对吗？可以，还有什么办法？可以什么计算？计算哪个量？哎？正切哪个角？正切值？ 哎， b 啊， b a m 等于几？哎， 二分之一是吧？这个角正切出来二分之一，然后呢？再去算哪个角？正切这个角好算吗？ 不好算，不好算。这个角算哪个角啊？算哪个角？ d b c d， b c 也等于几，说明啥？ 说明这两个角是相等的，这两个角相等搞定了没啊？所以这个角跟他九十，那这两个角加起来垂直。垂线吗？搞定了，或者呢 两条线垂直，什么？项链？是不是项链啊？你说这样系行吗？ 总之可以利用几何三四全等，也可以用什么计算？计算什么？三角的或者呢项链的是不都行？请做。 那我个人比较偏好计算它的正确值，不是直角算一定。哎，这不很多直角吧，正确如何算？ 那么你如果算这个正切时呢？ a b d 呢？那应该他的正切跟他的正切相乘要等于几？ 以相乘等于一，是不是就赋予了把三角改为面？什么面 射影，射影面？对，把这个图影面，那其实就是叫做三垂线定力。是不是三垂线定力？ 好，接下来我们来看一下。面面垂直，那你要面面垂直，那就价格考虑。什么？线跟面垂直，那就一个平面要过另外一个平面的 啊？垂线就一个面过另外一个面的垂线。好，我们省题，这是一个四人柱 自然做那个底边是四边形哈，并斜差是正方形，圈出来第二个 a e a b d 和 a e b d 是 相等呢？角相等。求证，这两个面是垂直的。来思考一下。 uhh， 各位，我们的逻辑线条要面面垂直，那就面跟面垂直，而要线跟面垂直 啊，所以它最终的核心是线跟线的垂直，那我们要评估一下这两个平面谁的垂线好找？ a， b d a b d a， b d 往往是体对角线，是吧？ 这里好像不是那么好正的，是吧？还有那一个平面啊， a， e， a， c， c， 这是一个对角面，是一个对角面，好像它是站着的啊，好像它是不是站着的？ 那哪一条是它的垂线？一次是 b、 d， 对 吧？几何直观上面和线外一次是 b d， b、 d 有 垂矢的吗？啊？ b、 d 垂心， a、 c 的 一条还不够，对吧？那线段哪个条件粗啊？这个角你也可以怎么解读？ a， e， a 相对底面来讲叫它的什么线？ 斜线？哎，这个斜线的话，我们在上一次做了好多心投影，是什么心的问题，对吧？ 那今天这个斜线有什么特性？斜线跟面里面两条线所成角相等，与面中两条线所成角相等。 那有什么结论呢？则他在里面的摄影是什么啊？摄影是角平分线是吧？摄影是角平分线， 哎，怎么证明他摄影是角平分线？那这个角放在哪个三角形里面研究？ 而前面的是个 a， e， a、 d， 然后左边的是谁啊？ a e， a， d 这两个三角形 相等，那这两个数还相等完以后呢？啊，这两段是不是相等的啊？所以由这个相等可以得到的是 a， e， d 等于谁？ a， e， d， 对 吧？ 啊？利用群的得到这两个相等，这两个相等有什么用啊？啊？三线合一，那我们的 o 是 b、 d 的 中点，所以呢， a、 e、 o 垂直于 b、 d， 对 吧？ a， e， o 垂直于 b、 d 以后怎么样？ 那我这个臂力是不跟正面就垂直了，臂力跟正面的垂直了，所以呢，所以这束中线也是高，因此是他的绳线 来。三线和一是也是角边线，角边线，对吧？那好，那我 b d 跟正面里面是不是有两条线都垂直了，所以 b d 是 不是垂直？正面了， 所以得到 b d 垂直于平面， a c d， 对 吧？然后你一个面过另外面的垂线，所以面面就垂直了。 好，那这里面有三角形，我们是不是利用三角形来？如果没有三角形，咱们咱们怎么办啊？ 那就去过 a 一 哎，做正面的垂线是吧？ a h， 然后呢， 然后过 a e， 再做 ab 的 垂线和 ab 的 垂线，我们垂足即为 e f， 那 么 a e a e a e f 出全等呢？所以 a e 就 会等于谁？ a f 做 a e 等于 a f， 或者 a e 等于 a f， 那 a e 跟 a f 是 不是两条斜线？ 两条斜线相的折什么也相等，这也相等，所以 h e 等于谁？ h e 等于谁？ h f。 而 h e f f 是 不跟两边相垂直的， 所以这两段就叫做这个点到两边呢，距离，距离，如果相等到两边，距离相等，所以平行在它的什么线上？角平分线上，角平分线上， 所以它在角平分线上，所以勾上，勾上三角形来啊，勾上三角， 所以面面垂直，这样可考虑线面垂直，核心是线线垂直，而要线线垂直，又是线面垂直，是这种啊，循环的逻辑上面来啊， 第一次如果引入动点呢？那我们要去探讨跟垂直关系的动点问题，那怎么来想啊？好，我们看题，这是一个正的三楞柱， 底是正下弦没有歪掉，是直的楞柱，那叫正三楞柱。再来 a e a 四个单位， a b 两个单位， m 是 中点， m 是 a b 的 中点，证明两个面垂直 一周喽。看完图形，谁的垂线好找哎， 是 b m c e 的 好找，还是 a b e 的 好找呢？ ab e 的 ab e 是 我们前面的面，那它的垂线去哪里找啊？ 那找一个面的垂线，要得到线跟这面垂直，去他的啊，垂面，这前面，这个面跟哪个面是垂直的？已经垂直的 上里面，什么上里面就垂直了，所以他的垂线就是 再算里面根交线垂直的，那就是谁啊？ c e m c e m 垂直于平面， a b e 搞定对吧就好了啊，那这正三柱 底是一个正三角形，这个证明垂直线面垂直是不是好正？搞定了，所以面面垂直，那就有价格考虑。怎么样线面垂直，而线面垂直呢？ 又深，更考虑什么面面垂直，把这不好证的面转化为好证的这个面里面去转化的曲线啊。看第二个 b b 上面有没一点 q， 使得 a e q 跟 b m c e 垂直，如果有，把这个比值算出来， 哈哈哈哈 哈哈哈哈。 哎，王思凯，你怎么想 要找面的垂线？只要在垂面里面找 交线的垂线，而我 neq 竖在了垂面里面，所以要垂直，我只要找交线 bm 的 垂线，那请问 q 点在什么位置，我会有垂直呢？ 哎，跟刚才一样的，那就去算这个角的什么值，它的正确值是等于 q b 比去谁二？说 q b 比去二，这是 q a b 的 正确值。 来，这个角多少钱？我们去取这个角，那这两个角应该要干嘛？相等？相等，那这个角的正确等于几啊？ 啊？这个角的正弦 m b d e 是 四分之一啊，那你要相等，那就不要等了，那这样等的话， q b 就 等于几？ q b 等于二分之， q b 等于二分之一，那 b e q 跟它的比值呢？上面就二分之几，所以它的比值为几？ 一直为七啊，那我们写的上应该怎么写？当哎， b e q 除以勾 b 等于几的上七的时候， a q 就 会垂直于里面 b c e m， 然后呢，证明 如下是吧？先证什么？先证？这两个证先相等，所以呢，所以角角 q a b 是 吧？加上角加上角 m b， a 等于几度 九十，所以，所以 a q 垂直于 mb， 对 吧？ 为什么谁他这个线就谁的面？又因为两个面垂直出第一步已经正了 面，面垂直，然后再加个什么在面内，是吧？然后垂直交线，所以这边强调一下， a q 在 平面 a e b 里面，所以呢，截得出来没？ 所以我要线面垂直，我就去他的垂面里面找交线的垂线就行了。这垂面已经第一步证明完了，那我就用第一步的结论，马上就正第二步。 好，我们继续来看一下这个动点的问题。这是一个几何体长什么样呢？ e a 跟底面是垂直的，然后 e a 跟 dc 是 平行的， 那这个平行等于告诉我们什么？ dc 也跟底面怎么样垂直的？再来， ab 跟 ac 是 垂直的，所以这是一个什么模型？哦，这边是一个墙角， 这边是一个墙角，再来长度 d c 一个单位，那 e a 呢？两个单位， ab 两个单位， ac 两个单位。原来这个墙角也可以看作是 正方，而正方体的一部分，是吧？也可以看作是指三棱柱是切削下来的正方体切下来的部分。 好，那搞清楚几何体的结构以后， m 是 它上面的什么呀？中点，因为当 m 是 终点的时候，要这 bc 跟这个减面是垂直的，当 m 是 b d 的 终点时，求证 bc 跟这面是垂直的。 it's just it's just。 各位，这个面 e a m 长的有什么特点啊？ 不完整啊？有什么不完整？什么局部的？局部的什么？ 把这洁面给补齐了是吧？怎么补？不不不，不，做垂直，我们一般做中间做垂直不好做。你看几点连线是吧？几成点？ d c 的 终点 n， 然后连起来则 m a 跟 d c 平行，所以 m n 跟 e a， 所以 这四点是共面的，所以我的整个结面都长这样， 整个结面长这样，而且这个结面又长了什么特点？是站着的，是不是站着的跟底面是垂直的，然后我必须要跟他面垂直的，然后我必须要跟他面垂直。 那我只要去他的全面里面找交线，全面是吧？我的全面是谁啊？就你是谁呀？啊？ 我的前面说 a b c 啊，只要在 a b c 里面掉线是谁啊？ a n b c 跟 a n 垂直就行了。 b c 跟 a n 会垂直吗？所以 b c 垂直 a n， 而 e a 垂直谁？ b c， 所以 b c 会不会垂直？整个平面 搞定，这是一问，这局部不好看怎么办？延展对吧？对于几何体来讲，延展一下就看的好太多了。 哎，朋友们，继续看。第二问，现在问的是是否有点 m m 是 动呢？ 这不是终点吧，使得 e a m 和和 e b d 怎么样垂直？ e a m 跟 e b d 垂直。 如果有，把这个 m 点的位置找出来是吧？ 我要面面俱至，我只需 线和面垂直，只需线和面垂直，谁的垂线好走，谁的垂线好走？第一个 a m 是 这样子的 图，它的垂线如何走？ 但只需在底面里面跟谁垂直就好了 啊？就是 m 点现在动了啊，那我这个 n 撇吧， n 撇是不是也动了？那我只需在平面里面跟谁垂直？ a m 撇垂直，那行，那我就这条跟 a m 撇垂直吧。那跟你这边数一个焦点，我把这个焦点记做 f 吧， 我们只要找到 cf 跟 a n 点，随时搞定了，对吧？但很可惜 cf 在 不在 ebd 里面？不在什么 哦，要移到面里面去是吧？那就是要把 cf 移到上。怎么移上去？把 c 点移到谁 d 点，那把 f 点往上往上移到 g 点来就行了吧。那现在呢？要能移上去，刚好移到里面去，所以 g f 跟 d c 要什么相等？也是一个单位，所以我这个 g 点是什么点？ g 点是终点， 从下反推回来，你要能移回去，所以 g 点必须是什么点？终点，那 f 点呢？终点，那 f 点是终点？ f c 要跟 a 与 n 垂直，那 a 你 的位置确定了没？ 好，那我们把它平面图形还原出来，是吧？这两个单位这边中点，这不一个单位一个单位，然后连起来啊，然后呢？ f c 要跟谁垂直？ a n a n 是 不是垂直？ n 撇时候跑到这里来？这里要垂直， 怎么来？算？ n 点的位置正确啊？正确，是吧？正确，那应该是这个角的正确。跟谁啊？ 跟这个脚是要负来这个脚，跟这个脚要本来就得负于的，是不是啊？这个负于，那这个这个脚呢？ 啊？这个角跟这个角应该要干嘛相等，所以它应该是二比一，这个是不是二比一的？哎，那怎么算？我们做一个高下来吧。 那这个这个角跟这角是不是二比一的？所以我设这段为 x， 那 这段呢？二 s， 那 这段是二 s， 这段呢？啊，这段数也是二 s， 所以呢，整个就出来， x 三 x 三， x 等于二，所以 x 等于几？三分之二啊？ s 等于三分之二，那这边就等于三分之四，所以这点是什么点？三等分点，所以说 n 点也是几等分点？ 三等分，那 m 点呢？三等分点，用 b m 比 b m 去比啊，啊， 当这个上，那我们证明的，那怎么这样？当 dm 等于 b m 的 比为二的时候，然后我们取 m 点，使得这也是比值为二，所以是不是延展下来，是不是？ 然后啊，然后我们去证明这条线跟谁跟 f c 是 垂直的，所以 f c 垂直，这个面，对吧？ 右它是终点，所以取终点。这段跟这段平行，所以 f c 平行，谁 g d 啊？所以 g d 数也垂直面，所以面面就垂直了， 所以我们要线面垂直，那就线跟面垂直啊，在全面里面找交线的垂线，如果能一步到位，当然就好了，如果一步到不了位，那我们就两步，先把垂线找出来，然后再 平移，再平移进去。啊，这是动点，能这么来看究啊，这么来看究，去找它的充分条件。好，那同学们再把它跟方折结合在一起。 已知梯形中 a b 跟 p c 图形，这是底，再来 pa 等于 a， b 等于 bc， 然后 pc 是 pa 的 两倍， p c 是 pa 的 两倍啊，这一份这段呢？两份 a b 一 份 b c 一 份，这是一个什么图形？等腰梯形下底是上底的两倍， 然后 d 是 终点， d 是 终点，那么连起来呢 啊？这边是什么原因？等边？那这边是什么菱形？这菱形长的什么特点？六十度的菱形，是不是六十度的这个菱形？ 所以你先把这个平面图形的系数根据这些条件是不足够推出来了，所以因为这些条件你抄一遍，所以呢，三角形 a、 d 为等边呢？ 然后呢？ a、 b、 c、 d 为菱形，这菱形还有什么特点？且叫 b、 a、 d 等于这平面的问题，直接下结论。 好，那现在呢，我们把 p、 a、 d 翻起来， a、 d 是 不是它的轴？ a、 b 是 它的轴，在轴的轴的同侧，这图形有没有改变？翻起来以后构成四轮锥，所以翻起来的 p、 a、 b 是 什么图形？ 还是等边？ a、 b、 c、 d 呢？还是菱形？有没有改变？没有，但是 p 点到 b、 c 的 距离改变了，没？翻起来就改变了。那我们继续来往下看，使得它体积最大。求证 b、 g 跟 b， a、 d 求次， 体积最大啥意思？点 p 要跑到最高点去是吧？ 点 p 什么时候会跑到最高点去啊？他应该是值得，就值得 n 米小，所以他要体积最大则会怎么样啊？ 里面 p、 a、 d， p、 a、 d 垂直，谁？里面 a、 b、 c、 d 是 不是啊？他情绪上就告诉我们，这个面，这底面是垂直的，弯道垂直，弯道垂直，第一步既是终点。求证 b、 g 跟 p、 a、 d 垂直，那这个 b、 g 跟 a d 垂直， 那就 b、 g 跟 a、 d 垂直，那就 b、 g 跟 a d 垂直。 你怎么来说 b 七跟 a、 d 垂直啊？那你刚才说你是六十度，是什么菱形？所以呢？三角形 a、 b、 d 是 而等边三角形，所以呢？ b 七垂直，谁？ a、 d 因为体积最大，两个面垂直，所以在面对垂直交线则有线跟面垂直，所以第一步是不证明好了。 第二， e 是 bc 的 终点，在 p c 上是否有一点 f， 使得使得 d， e， f， p， f 和 a、 b， c、 d 垂直呢？ 钥匙的面面垂直充分线横， 谁的垂线好找啊？说 a、 b、 c、 d 的 垂线好找， a、 b、 c、 d 的 垂线在哪里啊？来一条啊。 那就去找 a、 b、 c、 d 全面里面找交线的垂线吧。它的全面是谁啊？它的垂线是谁啊？啊？ p g 是 吧？ 很遗憾 p g 不 在你那个面里面啊，平移过来是不是要找它？平移线 要过一条线跟正面平行，过线做面找用什么来投影这条线？所以我们把谁连起来？连起来， 连起来这点是什么点？中点？那你这个 f o 要跟 b 线平行，所以 f 点？是 啊，我们是不是已经来了？首先最终结论， f 点四啊， f 点四终点的时候是不是可以做得到了？ 那我们可以用平底把这一条 p 气换成谁，换成 f o， 而 f o 数在这平面里面呢？搞定。 所以我们判刑的时候还是按照找他的充分条件啊，把线把面面垂直问题这样个考虑线面垂直，而要线面垂直又深个考虑面面垂直， 然后我们就可以找到这条我们相应的线了啊，那今天就到这帅哥吗？
76汤老师
09:09查看AI文稿AI文稿咱们高一的同学家长们啊，咱们现在学到立体几何了，这里头呢，张老师给你们把咱们立体几何这一块东西，这个章节我们要学会哪些东西，要给大家总结一下的核心要点有哪些啊？这个不光是咱们现在啊，包括高考 咱们之后的这个要考察东西，我们把这个东西掌握了，也都够用了啊。然后呢，有一些乱七八糟的东西，咱们不需要去掌握的，张老师一会也会告诉大家啊， 来咱们听一下啊，主要能有哪些啊？首先咱们立体几何这一块，第一块啊，就是说小计算啥东西，几何体的表面积体积这块东西啊，是吧？ 这块全是一堆公式，是不是啊？追逐台，主要就是追逐台的表面积体积，是不是啊？然后这一块呢，就是一堆公式， 然后咱们学的时候大家就注意点啊，大家学的时候别背公式，因为这些东西我们追溯台，首先表面这个体积，那个公式好推，他也不难推，大家去推一下，就是我首先知道我这个追溯台展开之后，尤其是原锥，原住原台，他展开之后侧面就是什么东西，是不是啊？ 我可以是一个啥呀？我一个是矩形，一个是什么？一个是扇形，一个是扇环，是不是啊？把这些东西搞清楚之后，然后咱们再算那个面积，其实挺好算的，是吧？把这个东西推一遍，这样子的话，你看他跟母线呢，和半径啊，他们是什么关系， 就大家脑子就清楚了，然后再去背公式去知道吧？就是先推一遍，然后再来一个公式，这样子的话，他出题怎么出他都不怕啊，而且这块小计算特别容易出啊。然后第二个呢？这里头有第二个，就这个计算里边的第二个是什么东西呢？ 就是外接内切球这一块，是咱们大家很烦的一个点，就是外接内切球这块，这块张老师给大家说一声啊，就是外接球和内切球这块，我们研究的时候不去研究那些不规则的， 我们去研究这些规则的一些标准的几何体，比如说我正三棱锥、正四棱锥，然后你包括圆锥、圆锥、圆台这些玩意，我们现在去研究这些东西包括什么？我们等腰的底，底面有特殊形状的，比如等腰直角、三角形这种直棱锥，我们去研究这些东西去，因为它们的性质相对， 干啥简单，因为核心是啥？他们的问题是在哪啊？他们处理问题一定要在哪？我们那个大球所在的那个轴界面上是不是我们在那个界面上啊？就是界面上处理问题啊？ 也就是所谓的就是引出了咱们立体几何里边最核心的处理方式。第一个立体几何计算里边最核心的处理方式叫啥？高维化，低维 就啥，我要把空，我把空间处理，一个空间的问题转移到什么呀？就是空间上对应的那些参数是不是什么高了，什么半径，乱七八糟的，我转移到一个平面上去处理 啊？明白了吧？然后这是计算哈，然后第一块计算，然后第二块是哪块？就是咱们所谓的证明了是不是 我线面垂直平行的这些证明题，是不是啊？核心是啥？我线面平行是不是？一是线面平行，第二个是什么？最重要的一个是啥？线面垂直的证明 是吧？因为这块东西线面垂直的证明，我要后边还有什么涉及到什么？我正我找出来线面，找出来垂线之后，我既做线面角，还有一个啥？线面距，点面距离是不是啊？点面距离 是吧？点面距离的计算，当然点面距离计算我们还有一个其他的方法，就是所谓的什么东西？等体积法，但是这个等体积法核心是啥呀？我要把体积找出来，那找体积的时候我们算体积，其实还是得我们要找到好算的。那个线面垂直的就是那个 点面距离，然后再转化是吧？核心其实还是要做这个点线面距离，然后线面距离的这种证明咱们怎么做？我说了这个东西包括什么东西？你面面垂直哈，这都在写上哈，面面垂直 这个东西，我这个证明核心是啥？考逻辑思维哈，几何法，所谓的几何法这块记住了五星重要，这是咱们立即几何的核心的考察的东西 啊。己合法，逻辑思维就纯用我怎么样子去把我，你要让我证明那个东西，你让我证明东西一定是对的，那我把这个东西当成条件和已知条件去结合，我要推出来啥？我要证明我这个结论的这些条件到底有哪些呗？反推吗？对吧？ 我判定定例反着用回去是吧？我用成性质定例是不是？然后我找到我需要的条件再反再用回来是吧？然后我当我一个条件拿不着的时候， 低维条件找不到，比如说我线线吹只有俩，我只找到一个，此时干啥？找条件的时候记着啥低维转高维，干啥上高维上找条件去高维条件更多，然后再画回的， 明白了吧？这是证明题的思路，就是我线，我线线垂直不好正行，那我先正线面垂直，然后线面垂直的性质里边不有线线垂直吗？对不对？ 就是这么个逻辑思维，然后具体的做法的时候，大家去看张老师主页试听课里面讲了，是不是啊？我们立体几何里边我们线面垂直的证明，包括线面角的计算，是吧？都有啊， 然后再弄明白，来找张老师来我们系统的去学习。张老师，我想系统的就把这些东西学一下，可以跟张老师的课走。张老师，咱们高一线高一的课啊，有的，咱们看张老师的课最近都没买，是吧？因为啥？哎？张老师，你这立体几何部分怎么老不给我们更，我这两天就给你们更进去啊，这两天就给你们更进去 啊，然后可以可以下单了哈，大家都可以下单了啊，然后剩下的我说这面面垂直是啥呀？ 面面垂直的判定力实际上核心还是啥呀？我要找线面垂，线面垂直，然后面面这里头我们其实一个核心的是啥？哦？二面，面面关系这块都有一个二面角的平面角是吧？ 平面角这块东西，有人说老师这块东西不都是拿我们，我们大家都听过这个这个东西的话，都是拿什么空间向量做好做是不是？但是这个东西张老师要跟大家说一下啊，现在我们的考察方向， 这个东西需要大家尽量是需要大家去做，因为做这个二面角的平面角需要的逻辑要相对更复杂一些，他的考察的东西更多， 他考察的东西更多，逻辑考的更细，然后考察知识点，考察的更全面，你想想这那这个点知识点他就是好知识点啊，对不对？他能考察出大家的能力的， 对吧？然后二面角，平面角，那就无非就是干啥呀？我要定交线，是不是因为二面角的平面角一定在什么上？我两个面的交线的垂面上，是不是定交线，然后找交线的什么呀？垂面，然后干啥？做，做出 干啥？平面角，是不是，对吧？然后干啥？这就是我做出平面角之后，这不就又变成干啥了这了吗？高维画低维，然后干啥？解三角形计算去，是不是啊？ 然后这块中你看我们求点面距离，求这个二面角的平面角，求线面角，这些是属于计算，是不是啊？然后咱们点面距离的计算，这里头有等体积法，但是等体积法我们可能还是你等体积法，我得先把体积搞定啊。体积搞定就是啥？我用一个面， 我我用好算的一个面和距离，底和高，去把面体积算出来，然后再转化后回去是不是转化？然后你让我求一个特别我做不出来 这个点面距离的，就我找不到他投影在哪，是不是那种，是吧？那怎么办？那我找好做的，然后等体积法转换啊，这是一种什么空间的转换思想啊？ 就这些东西，咱们立体几何，其实你要说东西多吧，其实还好，这看着写的是不少，是吧？其实也还好，没有太多东西。还行，这块不属于咱们高中的一个难点， 但是呢，就是用的东西其实也挺多了，因为你说平面向量的东西，你包括解三角形的东西，那肯定是要熟练应用的，是吧？我，我这里计算的时候，我这里我计算三面角，计算二面角的时候，是吧？我这里头都是需要的， 是吧？我都是包括算什么这个距离的时候，我要算某一个长度的时候，都是需要什么？我们解，对，解三角形，你高为画低为，把那个平面做出来之后都是要啥解三角形去搞定的，是不是啊？对吧，这些基本功一定要扎实哈。 就这些东西啊，把这些东西学明白了立即集合就差不多了。搞不定的来找张老师来啊，跟着课走，我这几天就把课都给你们，更差不多了啊，听明白了吧啊？
289张兵老师高中数学
01:24:16查看AI文稿AI文稿一个视频带你搞定立体几何的线面角问题，五种方法一网打尽，尤其是高一的宝子们，你们还没有学空间向量，不能无脑间隙，那你一定要看完这个视频，详细讲解基本原理，教你怎样做辅助线，怎么写证明过程。 看完这个视频，你就是掌管线面角的神。好了，点击全屏观看，开始你的成神之路，来吧！先来研究一下定义，那什么叫做线面角呢？平面上的一条斜线。什么叫斜线啊？这个线与这个平面斜交，它不垂直，这条斜线和它在平面上的适应 当形成的这个角呢，就叫做线面角了。所以说我想把线面角做出来，必须干啥？是不必须做一条线面垂直啊，做一条腿线，好，这样我才能得到垂足啊。 垂足与斜足之间的这个线段长度就叫做射影。我们看一看这个直线与平面所成角的个曲折范围， 它是大于等于零度，小于等于九十度的，注意它和意面直线所成角这个范围的区别。好，那我们就应用这一个线面角的定义，来看看这一个最简单的入门级别的题目啊。先热热身，大家先看看这个题目，一个正方体当中， 这个直线 a、 b 与 a、 b、 c、 d 所形成角的大小是多少？那我先要找到这个角是谁。好， a、 b 在 这里， a、 b、 c、 d 是 这个底面，那我会发现，哎，这条线和这个面是不是有一个交点啊？但这个交点是什么？ 通过定义，我们会发现，这个焦点是不是就是斜阻？那我在 a、 e、 b 这条线上我又找到一个点，干啥玩意做这一个面？ a、 b、 c、 d 的 垂线，那么这不太简单了吗？当然是过 a、 e 点做这个 a、 b、 c、 d 的 垂线啊，它就是谁？ a、 e、 a 是 不是这条侧棱啊？好把它给找到了，那 a 是 不是就是垂足啊？ b 是 斜足，那说所以说摄影就是谁？ ab， 那 么 a、 e、 b 是 斜线，摄影是 ab， 那 么它们的夹角 a、 b、 a、 e 是 不是我们要找的角啊？那这个角 a、 b、 a、 e 是 多大小啊？ 我一下就发现了，那是不是应该是一个四十五度啊？来，快点看一看这第二个题目，先找到这个角是谁，然后再去确定它的大小。 a、 e、 b 和谁的夹角啊？和 a、 b、 c、 d、 e 的 夹角同样呢，是有一个交点，是谁呢？是不 b 点？ b 点？是不所谓的斜足啊？ 那我要在 a、 e、 b 上找一个点是不？干啥垂直于这一个面儿， a、 b、 c、 d、 e 这个是正方体， 它每一个面都是正方形，那正方形的对角线是什么样的？是不是互相垂直的？也就是说你能不能得到这个 a、 e、 o？ 它就是垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 垂足，就是 o 啊， b、 o 就是 矢量呢？斜线是 a、 e、 b， 那 么它假角应该是哪一个角？ 是不是这一个角 a、 e、 b、 o 啊？那我们具体看看怎么操作，我带大家具体写一下步骤好不好？就是怎么能发现用定义法的呢？这个东西是不大家非常关心的事啊，你怎么就知道我要做哪条线呢？辅助线咋做呢？好处啊，对吧？我们直接给他搞。第二问，他说这个 c、 e、 g 与这个平面 bc， c、 e、 b、 e 所形成的这个角的正弦值是多少？求这个正弦值。 好了，我们先要把这个角给做出来呗。你怎么知道该用定义法了呢？我们对于这种题啊，用定义法就一定有什么出现前提啊？大家把这个东西做做笔记好不好？如果不知道什么时候他就该用定义法，什么时候用等体积，什么时候用垂面。哎呀，这些东西我都会提前告诉大家我是怎么做到的， 那是不是成功就可以复制了？我能做出来，你们也肯定能做出来，那它有一个什么前提呢？我们先找这个平面啊，哪条线和哪一个平面的左乘角，先找平面，找到这个平面，那我一定要有一个平面，有一个平面 或者是一条线和这一个所求平面 和所求平面儿。对于这个题来说，所求平面儿就是谁呀？这不就是 b c c e b 呀，和这个所求平面儿要干什么呢？垂直，也就是说我要么有面面垂直，要么有线面垂直， 能懂不？如果你找不到已知啊，你是从已知当中，或者是从隐藏条件当中去找，而不是你做辅助线做出来的，听听明白没？这一个是已知条件给我们的，是已知条件给我们的，不是我们做辅助线做出来的。 当我发现有这么一个玩意出现，那么它大概率就可以用定义法。这个概率多大呢？百分之九十，所以几乎考试的时候你发现这种情况就可以直接想定义法了。那我这个定义法该怎么去用呢？该怎么去用？ 那一二三步咱开始啊，一看一二三步，第一步干什么呢？找焦点，找这一个斜线 与这一个所求平面儿。焦点 找这个焦点是干啥玩意儿？这个焦点是不就是斜足啊？对吧？对于这个题来说，焦点就是谁？ c e g 和这个面儿 b c c e b e， 你 就不看这个题，你是不是也能马上找到它就是 c e， 对 不对？ c e 就是 斜足， 那我们有很大的可能性就是过另外一个端点，这条斜线上的另外一个端点是点 g， 过这个点 g 做面的垂线呀，我们根据定义法是不要在这条斜线上找一个点垂直于这个面啊， 对不对？好，那么我们就有很大的概率是过另外一个端点，过这个斜线 另一端点的话，它也得是某一个特殊点，就比如说等分点， 为啥呢？因为我们把它给做出来，并不是说我只得到这个角就行了，我才要把这个角的余弦之后某一个三角函数直接给求出来，所以我就要能求这种边，对吧？那做出来的边没法求，那是我没有用啊。所以我一定是过这个斜线 它的另外一个端点，或者是说这个端点上的这条线段上的中点，或者是某一个等分点。什么过它去做面的垂线，过这个斜线的另外一个端点呢？做面的垂线， 但是呢，我们肯定要坐在这个面，这个面是不是用可，可能是用三角形去表示的，可能用细边形去表示的，那我这个面我坐在面上肯定好难受啊，我做不了啊，那我想干什么？垂直于某一条边就能得到线面，垂直行不行？ 好，就比如说这个面儿，它是不是用这个四边形去表示的？是这个面儿表示的是 b c c b， 是 不是一个四边形去表示的？那我想的是什么呢？我过这个特殊点做的这条垂线是不垂直于我，这条垂线是垂直于 b、 c、 c 一 b 一 的某一条边，从哪实现线面垂直的呢？这不一定是往它某一条边做垂线得到线面垂直，这就是这一个前提的重要性了。 因为我们有一个面或者有一条线垂直于这一个平面的，这不就可以先得到一个什么了？从这一个面面垂直或者线面垂直也好，我们最终的目的是不是得到线线垂直？ 大家说是不是这样？以这样这么一个线圈垂直，我再给它干出，另外我是不是做出另外一个线圈垂直？那你说我垂不垂于面啊？我能不能得到线面垂直了呢？对不对？ 好，这就是前提的重要性啊，为什么要有这个前提好，一定是垂直于某一条边啊？垂直于这个面上，因为这个面肯定用三角形或者四边形去表示的，我去垂直于这一个图形的某一条边，从而实现了线面垂直，从而实现线面垂直。 那么我们就可以直接去得到这个线面角是哪一个，明白不？就是用这种操作啊，得到线面角是哪一个？那我们看看这个题该咋整吧，好不好？ 现在读读题啊，他说是一个剩三楞柱来了，剩三楞柱提供了什么？提供了这个侧面是不与剩下两个底面是垂直关系？有没有线面垂直啊？朋友们， 这个出三棱柱是不是又隐藏了一个向量垂直给我们？然后他说所有棱长都是二 e、 f、 g， 分 别是这三条棱的中点，是谁的中点？我们直接看图就行了，这就不用读题了，那么直接看第二问， 现在我们找到了它的这个焦点，也就是说斜足是 c 一， 那么我们要过 g 点另外一个端点，是不是所谓的 g 点？我是不是要过 g 点做 b c c 一 b 一， 它某一条边，是吧？它总四条边，我从哪条边的垂线就可以实现线面垂直呢？ 大家看你坐哪一条边儿？我当然是坐 b、 c 这条边儿了，对不对？ b c 这条边儿，因为我要看这点在哪一个面儿上是不？这点可以是在 a、 b、 c 上，也可以是在 a e a b b 一 上，对不对？ 好，那很明显，它这一个 j 或这点想做 b b、 e 垂线是不是很难啊？ 是不是有点扯淡了？所以说我们就直接干什么过 g 点做 b、 c 的 垂线，好直接实现第二条啊，第二条是什么呢？过这个 g 点做这一个 g h 吧， g h 垂直于 b c， 好 吧， g h 垂直于 b c， 咱把它给画出来啊， j h 垂直于 bc， 然后我们马上的连接这一个 c、 e、 h， 好， 连起来，大家看看啊，我就想请问大家，这个 j、 h 是 不是垂直于这个面？ b c c e b e 的 是不是这个样子？它就是吧，一定是，为什么呢？因为是不是有一个线面垂直啦， 对吧？我面面垂直啊，我们得到这个面面垂直，那这个面面垂直，我也给大家记一个顺口溜好不好？就是我上学那会啊，因为我比较笨嘛，我就想了一些办法，怎么能弥补我和学霸之间的差距呢？我就记一些结论呢， 这就是一个什么比方呢？就比如说我们去加工一堆零件，哎呦，这一堆零件我要组合组成一个什么样的玩具， 是吧？就和我们拼乐高一样，我把它拼成一个什么样的玩具，那我如果从单一零件开始去拼，是不是很复杂，很难？但是如果我们把它拼成某一个一个又一个的小单元，我再去组装的时候是不是就会快的多？ 那我们现在去记这种结论，或者是记这个方法的过程当中是干了一件什么事，是不是提前做一个半成品出来？那我以后看见这一这一个结构，我就可以拿这个半成品出来用，是不是他就会很快，那我和学霸之间的差距就会越来越少，甚至他还没有我做的快。 那这就实现了，我打败了他。好，来吧，那咱看一看，该咋证明呢？朋友们，该咋证明？是不？我们再从已知条件当中搞一个线面垂直出来是不就可以了， 对不对？来了吗？顺口溜啊，大家记一记。顺口溜，对于垂直来说的，对于垂直来说好用啊。有面面， 有面面，有面面是啥意思啊？有面面的意思啊，就是面面垂直，有面面找交线做垂值得线面， 那有线得到这个线面，我有时候就到这就停，还有些时候干什么呢？我要从这个线面是个得线线。 好，这就是我们经常会用到的一个东西，你如果遇到面面垂直有很大的可能性，你就得用这句话，对吧？好，现在我们就看了它有一个什么事， 刚才有没有发现？好，我们看它从已知条件这个正三棱柱，我们得到了这一个 a、 b、 c 和这一个侧面 b、 e、 b、 c、 c、 e 是 不是互相垂直的？互相垂直，它们两个交线是不是 b、 c？ 那么这个 c、 e、 c 或者是 b、 e、 b 是 不都是垂直于这个 bc 的？ 都是垂直于交界的？所以我这个 c、 e、 c 是 不是垂直于底面 a、 b、 c 的？ 那垂直于这个底面 a、 b、 c， 我 们会得到什么有用的东西？ 会得到什么有用的东西？是不是这个 c、 e、 c 就是 垂直于 g、 h 的？ 当然有同学会说，老师，你这不，你你，你这么做，这不费劲吗？对对对对，是费劲，但是我想要给大家稍微解释一下啊，稍微解释一下 是费劲的啊，那，那我们如果直接用的话会是什么样？那我现在是不是干出一件什么事来了？我做了一个线线垂直，是吧？ 我做了一个线线垂直，就是做了 j、 h 垂直于 b、 c。 刚才不也说了吗？那算了，我写下来好不好？我写下来啊，把这个过程给大家写一写，那我从这一个正三楞柱 是不是垂直于这个面 b、 c、 c 一 b 的 呢？对吧？是垂直的，那这个线面垂直，我们刚说了有面面，呃，有面面垂直，有面面找胶线，那么它们的胶线是谁呢？我们发现它的胶线是不是 b、 c 啊？那我又干什么做垂线？做这一个胶线的垂线，我现在做没做，我做的这一次是不是垂直于 b、 c？ 那也就是说我们有了这一个谁呢？垂直于交线，那我这个 j h 垂直于 bc， 那 我们能不能得到一个什么东西啊？这个 j h 就是 干啥玩意的？就是垂直于这个面 bc、 cb 的， 有没有毛病？是不是可以给它搞定啊？对不对？是不是很开心的就解决到这个问题了？那我是不是得到线面垂直了？这一个面是不是所求的面是我们要求的这个面， 对不对？线面垂直有了，那你还不知道是哪个角吗？ h 是 不是就是垂足？ c e 是 斜足，那么顺呢？就是 c h， 它有这个斜线 c e j 的 夹角，那我这一个角 j c e h 是 不是我们要找的斜面角啊？ 是不是就搞定了？好，斜面角就搞定了，现在他想干什么？求做之前值做这个 c 角 j c e h 想去求它，是不就老鼻子简单了？为什么说陷面角比较简单呢？因为我做出这个陷面角来，必定伴随这一个直角三角形。那直角三角形的正弦怎么去求？ 是不？它太简单了，我都不用什么余弦定力啊，什么正弦定力？这这一坨东西是不直接出动知识搞定，那它就什么 g h 比上谁？ c e g c e g 就 斜边啊，斜线就是斜边。好吧，那我现在干啥玩意就行了，把 g h 给出出来，再把 c e g 给搞定，是不就完事大吉了？ 好，那么朋友们啊，这一个 jh 是 不太简单了，它说了是一个正三棱柱，那底面 a b c 就是 一个什么图形，咱把它给画一画呗。大家看一看啊， a b c 就是 什么玩意呢？是不是一个等边三角形啊？ a b c， 那 这个 j 是 不是它的终点啊？我做了这么一条垂线，大家看，这个 h 就 应该是什么是 b c 的， 什么，是不是四等分点啊？朋友们，如果你直接看不出来，我再给你画一条线，你能不能看出来呢？ 这一个 k 吧，这一个 k 是 不是 b c 的 终点？有没有毛病？没问题吧？那么现在你垂直，你也垂直，你说我这个 h 是 不是 b k 的 终点？是不是就是 b c 的 四等分点？那么这个小玩意简不简单呢？ 是吧？这就很简单。我为什么一定要强调 h 是 什么呢？因为我想还得把 c h 给求出来啊。为什么要求 c h？ 因为我要求 c j c e j c e j， 我 必须要勾股才能勾股出来，明白不？所以这么一环套一环啊， 很快的，我们就会得到一个比较好的事情了。这个 g h 你 能不能直接搞定啊？这个 a k， 因为它的边上都是二二， 所以 a k 是 个根三，那么 g h 是 不是二分之根三？中位线嘛，很容易搞定了。 c h 就是 什么？我们说 h 是 靠近 b 点的四分点，所以说 c h 就是 什么二分之三嘛，对不对？这不很快嘛？ 好，我们还知道测棱是啥呢，它每条棱长都是二啊，那也就是说这个测棱长 c e c 是 不也是二啊？你说 c e c 也知道了， c h 也知道了，我想求啥呀？我当然是想去去求 c e h 了，对不对？ c e h， 咱一勾股，咱勾股不了吗？ 它是斜边，对吧？那我这个二分之三，这个二就是多少，这个二是二分之四啊，那你说这个 c e h 就是 多少，是不是二分之五？你建勾股，你千万不要硬上，一定不要平方，不要直接平方，你要看看它们几个数之间有没有满足勾股数啊， 尤其是这种一个是整数，一个是分数的，你敢不敢把它通分一下，把整数变成分数，你看一看分子满不满足勾股数呢，对不对？做题不要硬上你，要不然你为什么做题慢呢？人一歪眼，能做出来的又快又对，你还在平方开平方 干啥呢？这是对不对？好，那么 c e h 有 了，我们再去整什么？这个 g h 也有了，那 c e g 我 还勾股不了是咋地，对不对？好， c e g 再给他勾股一下吧。 好，用。这一个数和这个数现在就完蛋了吗？是不是他一个根三，一个一个五，我是不是用不了了？完犊子了，用不了了，那这个 c e g 就 老老实实的平方去求吧，是吧，他应该是什么呢？根号下二分之根三的平方，然后再加上这个二分之五的平方等于几啊？ 这小数还挺好的嘞，什么根七啊？好了，那咱把它给搞上吧。它就应该等于什么？二分之根三比上根七应该等于什么？ 哎呀，不是什么好玩意啊，十四分之刚好二十一，搞定了没？这一题。唰，这个流程就出出现了，我们第一个题讲的慢，是为了给大家试用条件，什么时候用定义法，我定义法怎么做，然后具体一步一步，然后我带大家做了，做这个 怎么去求值啊？通过这个流程，我希望能带给大家的是什么呢？希望能带给大家的是做题的通法，解题，通法。那我们用这个通去做一做第二题，看看它好不好用。那我再做后面题目，我就不给大家详细求了好不好？我们就做辅助线，咔咔，做几个辅助线就行了，好不好？看看这个通数能不能用啊。 来，我撕掉了啊，需要截图就截图吧。好，不需要截图，那我们就继续搞了。好吧，搞第二个题啦。第二个题，刚才说什么呢？已知这个三角形 a、 b、 c 与这一个三角形 d、 b、 c 所在的这个平面呢？互相垂直，来吧， 面面垂直有没有啊？朋友们？面面垂直是我们想要的，我想要，然后再有了什么呢？ a、 b 等于 b、 c 等 b、 d。 哎呦，标一标 a、 b 等于 b、 c 等于 b、 d。 哦，这三条边相等，然后呢？这一个 说这个 a、 b。 呃，角儿 c、 b、 a、 c、 b、 a 是 这个小角儿啊，然后 d、 b、 c、 d， b、 c 是 这个角儿啊，都是六十度。哎呀，他整的这么费劲，我看见这两个条件，他是不是就想跟我们说，这个三角形 a、 b、 c 呀，和这一个三角形 b、 c、 d 啊，它是全等的， 两个正三角形是不就这么个意思，整了半天整了，这么玩意儿？好，第一问，咱也是不做，直接搞。第二问啊， a、 d 与这个 b、 c、 d 所成角的大小。那第一步干什么来着？第一步， 找焦点对不对？找焦点，这焦点是谁啊？ a、 d 和 b、 c、 d 的 焦点是不点 d？ 好， 第一步，找到点 d 了，它就是什么斜足， 你怕我痛苦不好用啊。然后第二步干啥？是，不过 a 点做什么？做 b、 c、 d 的 垂线，我现在 b、 c、 d 有 没有一个面和它垂直是不？有啊，有，怎么整？找胶线是不就行了？那紧胶线直接做胶线的垂线是不就线要垂直了？朋友们， 所以第二步干什么？有线有面面垂直的太香了。这种题就是送分的，直接连点都不要了，直接就送给我们分是吧？有面面找交线，交线是谁？咔就找到了。 bc 是 交线对吧？那我现在干什么？不就是过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，那我直接过 a 点做 bc 的 垂线不就行了吗？对不对？ 那我做 a、 e 垂直于 b、 c 是 不就行了？那我当然，我这个 e 点就是什么玩意啊？我这个 e 点是不就是 b、 c 的 终点？为啥？因为它是一个正三角形啊。 a、 b、 c 是 不是正三角形？我要利用三线合一嘛，有条件我不用，我大傻子对不对啊？这个 e 点 它就垂直的吧，我取 b、 c 的 中点，直接连接 a、 e 是 不就行了？你做辅助线有很多种描述方式，你爱咋描述咋描述，你自己用起来爽就行了好不好。 嗯，当然了，你一点是终点，你也得用三线合一，是不是正垂直？你这个垂直，你是不是反过来也得正？这个一点是终点，你反正你都得用，你怎么去做弧线，爱咋咋地呗。那我通过这一个线线垂直，那我得到了什么呢？我说就得到了，你这个 a、 e 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的， 我为什么同垂直于交线就垂直于面？是不必须有面面垂直在里头啊？我没有面面垂直，我直接得什么？一得一个错啊，是不是啊？我得到这一个垂直了，那这不就完事了吗？干啥玩意，一点是不就是垂足了对不对？一不就垂足吗？ 那我这个二面角，我呸，我这个线面角就是谁，我们把这一个 d、 e 给连起来吧。我都没画虚线啊，大家在做图的时候要画虚线好不好？我在店铺上我画虚线不好画啊，画出来歪歪扭扭的，比这个扭的更重，我怕大家看不清楚啊，所以没画虚线， 原谅我啊。啊，那我们现在就会得到了，摄影就是谁啊？斜线 a d 的 夹角是不就是我们要找的线面角？所以第三步直接得线面角就是谁交 a d e 就是线面角啊，你再去求的话，那我们去求这种，不管是你看，尤其是他让我们去求所乘角的大小，这个题是不是有点过分了？比较简单是吧？所乘角大小几角求百分之一万，他是个特殊角对吧？你一万你怎么整？ 你是求它角，我能画它，我能求出它是多少度来吗？是不一定是个特殊角，所以你不管是求它的成弦值也好，余弦值也好，是不都行，或者甚至正切值是不也行？你这个题我甚至都不用求，为啥呢？它两个是全等的正三角形，你说这个 d e 和 a e 这两条勾 是吧？因为一点是终点吗？是不是它是分别是这两个正三角形的高，那你说这两条高相不相等？全等了，它对应高能不相等吗？是不是 a e 等于 d e 等于直角三角形？你说多少度？我还算。算个屁，是不是直接四十五度搞定了 对不对？开心不是很简单啊，好用啊，随便找题啊，随便找题，通通好用。好这个第三个啊，再看这第三个，第三个巴拉巴拉，说这么多咱不做了，留给你们了啊，自己去看一看我说的好不好用。好吧，这一个题他倒是没给你啥，没给你面面垂直还是给你啥了？ 谢面垂直对不对？是不给我们谢面垂直了？那我再去做的话，哦，这个题我稍微说一说啊。稍微说一说， 大家可能从这个题当中得到什么隐藏条件？请问大家，请问一下大家，我有一个线面垂直，我这个 p a 是 垂直于底面的 a、 b， c 的， 而且我这个 a b， c 是 一个直角三角形，那你能得到啥玩意儿？朋友们， 通过这两条件啊？我划线的这两个条件，大家能得到什么有用的信息，好心里有数了吗？那我给大家说，如果你想的跟我想的不一样，那你做笔记以后，碰见这种东西，你就可以直接得这个结论，肯定好用，明白不好，我们就会得到这一个，是不是？它是一个三棱锥啊， 对不对？这一个三棱锥，三棱锥总共几个面？是不是四个面？好，太好了，四个面全是 二 t 三角形，那这对这个题来说非常有用啊，我全是二 t 三角形，那么你去求边长的时候也好，求你得到其他的线面垂直，也很简单，明白不好，那我们通过这个条件进一步的结论，还可以得到新的 线面垂直，不止一个，明白不？不止一个， 好，就是这些隐藏条件啊，那么第三题大家就能做了，尝试一下好不好？尝试一下啊，留给大家当练习去用了啊，练习好，我们翻页再继续看，要不要再做几个呀？ 这种要不要再做了？我感觉做两个差不多吧，再做一个好，第四个排着来了啊，第四个，看看它是个什么活， 一次能追 a 杠， b， c， d， e， 它又有一个面面垂直来，你看面 a， b， c 垂直于面上， b， c， d， e 啊， 现在又知道了这一个 c， d， e， 找到它， c， d， e 九十度，然后 b， e， d 九十度，哦，这是一个直角梯形对不对？这个底面 b， c， d， e 是 不是个直角梯形啊？ 现在知道了， a、 b 等于 c， d， a， b 等于 c， d 很 重要啊，等于二好， d e 这一个 d， e 等于 b， e 都等于一标上它 a、 c 呢？等于根二。好了，我们现在第一问也是不做了，直接做第二问，求这一个直线 a、 d 与这一个 a、 b、 c 所成角的正弦值。 好，来吧，第一步怎么办？第一步是找公共点，对不对？找公共点？哪个点？公共点 是吧？ a 点，那 a 就是 斜足了呗。第一步是不搞定了，那么第二步是我过要过 e 点做什么？做 a、 b、 c 的 垂线，我是不是要利用面面垂直啊？我怎么利用面面垂直？有面面找交线，交线是谁？ b、 c， 那 我赶快的过一点，做 b、 c 的 垂线是不是就搞定了？我说哎呦，这个玩意是不是又把 c、 d 去延长一下？这个破东西 还整的这么花花，对吧？把它给延长一下是，不过 e 点做这个 e、 f 吧，做 e、 f 啊，哎呦，写不好了， e、 f 垂直于这个 b、 c 是 不就行了？找到角线，我马上的过另外一个端点是不？ e、 f 垂直于 b、 c 与点 f 是 不就搞定了， 对不对？这不就完事了吗？垂直，那这个 e、 f 就 百分之一万是干啥呢？这个 e f， 我 这个 e、 f 是 不就肯定是垂直于这个面 a、 b、 c 的？ 为啥？是不又是通过这个面面垂直得到的？面面垂直，我又垂直于交线了，那你说我这个 e、 f 垂不垂直于这个 a、 b、 c 这个面啊， 对吧？垂直，现在垂直有了，那么现在干啥就行了。那我就需要把谁给连接起来了？朋友们是不把这个 a、 f 给连接起来就行了，对不对？ a f 给连接起来来了，快速的连接一下，那么我们知道这个 f 是 个啥玩意儿？是不是垂足 好，现在矢尾就是谁了？矢尾就是 a f， 那 斜线是 a e， 所以 我这个角是哪一个角找到了，是角 e， a f 就是 现在角 找到了。再求值是不就简单了？不，无非就是求三条边儿，当然不用非得求三条边儿，是不求，求出这个 e f， 求出 a e 来就行了。用个求值哦，正切值。天呐，嘴瓢啦，说得不对啊，正切值呢，就是 tangent 角 e a f， 它应该是谁呢？当然就是 e f 比上谁了，比上 af 了。那你把 ef 给求出来，把 af 给求出来是不就行了？那我怎么去求线的长度呢？之前是大家光看我操作了，那我怎么去求线段长度？给大家说一说啊？你不要用立体几何的思维，听见没？我去求线段长度，把它放在平面图形当中。 所以说大家要有一个非常重要的想法啊，我要把线所求的这条线放在平面中， 那哪个平面它运行起来简单，我放在哪个平面当中？我最好的平面是不就有直角的平面，对不对？我可以勾股定力啊，实在不行是不？我再去用什么余弦定力再去求，对吧？所以它想做出来是不也蛮简单的对不对？ 好，大家就可以自己求一求了好不好？自己求一求吧啊，还是比较简单的 好。呃，第五题，再做一个，再练，再练一个，看看通法好不好用啊？说，我从来就没用多余的东西啊，有没有用多余的东西？你有时候会质疑说，老师，你这个题是你找的，你肯定要找对你有利的呀。 我真没有啊，我这是瞎找的，来再看一看吧。啊，这一个第五个啊，那说如图，等腰直角三角形 a、 b、 d 这一个角 b、 a、 d 呢？是一个九十度哦，它是一个等腰直角三角形，这一个角 b、 a、 d 九十度。并且呢，这个等腰直角三角形 a、 b、 d 和这一底面底面，这个 c、 b、 d 是 吧？它还是一个等边三角形啊，互相垂直来，又有面面垂直了有没有？那我想去求界面角，我该不该直接用定义法就搞定了呢？这不肯定行啊， 好，这个 e 点说是 b、 c 的 中点，然后 a、 e 与面 b、 c、 d 做成角大小，来看看 a、 e 与 b、 c、 d 它们的这个假角。呸，它们公共，它们的公共点是哪个点？这不一下就找到了，是点 e， 是 不是这个 e 点，它是不是就是斜足了？ 那我赶快的干什么？什么？过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我要干啥啊？朋友们？我是不是？你好有面面垂直，我照交线。交线是谁呀？ b、 d 呀，你做 b、 d 的 垂线，能不能很迅速啊？ 你过 a 点做 b 的 垂线，我这个直接找 b、 d 的 中点就行了，我们让它点 f 吧。那我直接连接 a、 f， 这里垂不垂直是不？百分之百垂直啊，对不对？我直接过 a 点做这个 a、 f 垂直于 b、 d 什么就会得到什么呢？就会得到这个 a、 f 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的 线面垂直。搞定了，那么 f 是 不是垂足啊？ 咱赶快的把 e、 f 给连接起来，那么我们就会得到了。把 e、 f 给连接起来，那么 e 点斜足， f 点垂足是不摄影啊，就是 e f 啊，摄影与斜线 a e 的 夹角角， a e f 是 斜面角。 不知道你们有没有笑话，我就说老师你为什么每一次还得再判断一下你为什么这么慢。其实我能一眼看出来， 但是我真怕错，因为以前犯错真的就是挨揍的，你们现在肯定没有这个体验，是不是？这么痛并快乐的体验已经失去了我们那时候，哎，你找不对你会做，做不对那等着挨对上讲台挨揍啊。 现在能有这个想法不？你们肯定经历不经历不着，你可以问问自己比自己大多少岁的一些哥哥姐姐们啊，或者是自己的父母，看看有没有这种痛并快乐的体验。所以说现在你们的生活还缺少一点乐趣啊，是吧。 啊，这个线面角我找到了，找到了再去做的话是不又就去求这些长度啊，是不很简单呐？去求线的长度是不一定要把它放在面当中，各个面当中再去做才能简单起来对不对 啊？画辅助线是不是很容易理解很好做，所以数学很难吗？找到方法而已啊，是不？你现在缺少的是什么？一个人给你把这个方法给你总结下来，那我再去做题，我是不是瞪眼？瞪大眼珠子瞅就能瞅出来这就是所谓的学霸用瞪眼法，学渣跑断腿啊是不是？ 那我们怎么能成为学霸。复制我呀对不对？复制黏贴还不行吗？ 你再不记也能考过这个分啊。我说实话我我当时高考考一百四十多分，但是现在再让我去考现在的新高考我不行，我真不行，考一百四我也考不上。说实话我也考不上，除非他不考新定义了。除非他不考新定义，那我还有可能考上一百四。那我要不然就一百三十多分吧。 那对你们来说够不够？差不多够了是吧？那你复制我完全可以啊，我跟你说，我也是个大傻子呀， 我为什么后来也能可可能考这么好，甚至我现在都能当老师，我也可以把这个方法都给教给你们。你看我的思路好不好，是不是也很好啊？你们也可以的，千万不要否定自己啊，我们都很厉害。来，后边的题不做了，我们看下一种方法好不好？等体积 来吧。够等体积了。那等体积？他为啥我这个定义法这么好用？我不全都用定义法呢？他也有解决不了的问题啊，就比如说这个前提条件他实现不了，那我怎么用？你说呢？对不对？前提条件都用不？都没有，都满足不了，那我咋用？ 我神了，我用不了对不对？所以说它就衍生出了等体积。那我们说一说等体积法什么时候用？呃，这个前提满足不了了就是什么呢？你也是找这个面， a e f 这个面对吧？ a e f 有 没有一个面或者是有一条线垂直于 a e f 呢？ 就是从已知条件当中找啊，你找有没有吗？包括隐藏条件啊。已知条件包括隐藏条件，有没有能找到任何一条线或者一个面垂直于 a e f 能，是不是找不到？找不到怎么办？等体积，明白不？等体积就是为了弥补定义法而存在的。其实我说到这呢，有同学就会研究了，老师你你要讲五种方法呢？我们铁了这一个间隙还有两种缝缝呢， 你丁一凡和等体积都可以把这些事全都干完了。那你后面两种方法是干啥用的？当然是为了我们做题快了对不对？你方法有的是啊，我这两种方法虽然可以解决所有问题，但是 限定有局限性，他就慢呗。那我做选择填空，或者是说有一个题，哎，他给我了一些奇奇怪怪的一些结论，比如说角度问题，给了我很多角度。那我去求线段长度的时候很费劲。那你说我为什么要费劲巴拉的再去求线段长度？我干嘛不用三余弦 对不对？这就是三余弦它的价值。那除了三余弦之外还有一个纯面法，纯面法是对等体积的补充， 对等体积的补充一会说好不好，大家慢慢期待一下啊。哎呀，我这个人比较坏是吧，我讲着讲着就会把后边的一些东西跟大家说一说，是干啥呢？大家别走神啊，你上这么一节课，你不跟在学校里一样啊，你在学校里刷就交那么点学费就学了，你上我这你得不得交钱呀？ 你花这个钱你别花，冤枉了我们，花完这个钱我要学到东西啊，我马上。哎，这节课我收获挺多的。那这才是开心加愉快的事对不对？ 所以我希望大家每一堂课都有收获，所以别走神好不好？有疑问可以提出来啊，好不好？来， 我们还是拿第一个题打个样好不好？我就把它的步骤写一写，思路写一写，思路是啥呢？我们一定是干什么呢？前提条件不满足了，也就是说找不到一条线或一个面 为值于这个面， a、 e、 f 这个面 a、 e、 f 哪来的？是不就是问题啊？就让我们去求的这个面，求证的这个面。好，它就是求证的这个面我找不到，那马上先想等体积， 那什么时候如果你逮着一个等体积，你就会做，那么我们再把垂面法给搞定， 题目就会越做越简单。那这个题是不？我们通过刚才很容易就发现了，没有任何一条线或者是面与 a、 e、 f 垂直，那咋整呢？你说前面的过程也都是一样啊，我们第一步也是找焦点， 找焦点，焦点就是 b、 c 与这个面的焦点。完了没有啊？没有焦点怎么办？平移就是不平行。现在我们遇见了第一个大问题了，我天呐，它没有焦点怎么办？给它搞一个焦点出来，没焦点 做平行啊，做谁的平行啊？当然是做 b、 c 的 平行，接了看看 b、 c 平行于谁，马上地发现它平行于 a、 d， 对 不对？看看四边形， a、 b、 c、 d 是 个正方形嘛，对不对？对边平行， b、 c 平行于 a、 d。 现在告诉我有没有焦点了， a 是 不就是焦点？是不？马上找到了焦点就是 a 啦， a 是 不就是斜足啦？第一步搞定了，那么第二步干啥玩意？第二步是不？这一条斜线上面还有另外一点点 d？ 什么？我过点地做这个面 a、 e、 f 的 垂线？完犊子，为啥呢？因为这个地点，什么做这个 a、 e、 f 每一条边我都垂直不了，是不是就是因为它第一个条件满足不了？那所以说我一做，我能把这个垂足给搞到，但是我就不知道它具体位置在哪，你说呢？什么垂足的具体位置？我不知道在哪， 我就过这个点，这一做 a、 e、 f 的 垂线，是吧？那么我这一个点 d 做 a、 e、 f 的 垂线实际上是什么？是不是地点到 a、 e、 f 的 距离？也就是说我们现在既然， 既然我们找不到这一个线面垂直，是吧？我们要做这个线面垂直，我找不到垂足是不？我们现在面临第二个问题啦，我过地点做这一个 a、 e、 f 做这个面 a e、 f 的 垂线， 回族确定不了在哪儿， 不跟我们做线线垂直一样，我们能直接做出垂足来，那我做这一个过一个点，做一个面的垂线，完了，是不？我们具体画不出来啊，我又不是个机器，对不对？我不是个机器啊，我画不出具体位置啊，我确定不了具体位置，那我就转明白吧，就是第二步，我们就来一个转化， 来个转化，怎么转化？是我们就把这一个垂线就是谁呢？我们就转化成地点到面 a、 e、 f 的 距离。 所以说这第二步就是射距离，我们就是射这一个点 d 到 a、 e、 f 的 距离是啥玩意？是 h 好 不好？我们射它为 h 啊， 这就是第二步，射它的距离为 h。 那 么现在朋友们，我们得没得到一个 三棱锥，注意，我说的是三棱锥，一定是三棱锥，如果这一个面，就比如说 a、 e、 f 这个面，现在它是用三角形去表示的，万一它是用四边形去表示呢？我当然要取四边形的某一部分呢？取三个点是吧？取。正在举手是什么意思？有问题吗？是 你有问题就开麦问啊，反正也没多少个人，好吧。啊，我先继续说啊，我继续说，我把这个东西给补充完整啊，把它说完， 那我们现在一定要注意啊，我要得到一个三棱锥，一定要得到一个三棱锥啊，第三步是我们一定要得到的是一个三棱锥。为啥要得到的是三棱锥？因为它可以用等体积啊，三棱锥是个四面，我任何一个面都可以作为底面出现，对不对？你可以用等体积法去做， 所以这个 h 就 一定能求啊，你说呢？好，我们这个三菱锥啊，而且啊，而且我发现一个特点，朋友们，我发现一个特点不是很准确，不是很准确啊，但是这个特点大部分的题目都有， 如果你是用等体积，如果他是想让你用等体积去求，那么最终求的一定是一个减值，大家看这么减值 那就有见多少，你去求线面角的正弦值就有很大概率超过百分之五十了，也就是说概率是百分之六十多，百分之六十五到七十左右。我没有具体统计啊，我不可能每一个题我都研究研究，因为我现在已经过了这个阶段了哈，就是我，我重点大部分的用等体积法的题，他一定是 用一定不对啊，是大部分用求这个线面角的正弦值啊，我有点打乱同学们的思路了啊，不好意思啊， 呃，我们这个三棱锥一定是搞到一个三棱锥，对吧？就像我刚才说的，哎，我现在如果这个底面或者是所正的这个面 aef 它是一个四连线的面，干什么？我是取三个点啊，是不也要给它强行的搞出一个什么来？搞出一个三角形面来，明白不？那我就可以给它搞出一个三棱锥来了。那这三棱锥就是什么？ 闭眼看就行了，什么过地点，做这个 aef 的 垂线肯定是哪一个三棱锥地方。 aef 是不是 d 杠 a e f d 杠 a、 e、 f？ 那 么我们用等体积的目的是干什么？什么？求 h？ 求 h？ 所以 说等体积是不是现在变成了求体积问题？求这一个三棱锥 d 杠 a、 e、 f 体积问题， 把它变成体积问题了吧。来呗，我们肯定得用到的是哪一个呢？用到它的体积啊，是不是换一个颜色啊？那我肯定要求 v， 哎呦，没换成好，肯定 v， 第一个 a、 e、 f， 我 要给它换一个底面是比较好求的。这个底面那就是谁啦？朋友们，谁你换成谁？它简单。 f 杠什么玩意？ a， d、 e 对 不对？ f 杠 a、 d、 e 是 不就行了？好， f 杠 a、 d、 e。 现在我们就来求 h 了，求 h， 那 么表示一下，它是一个三棱锥对不对？我的公式能不能带？所以它就是三分之一这一个 a、 e、 f 的 面积，对吧？乘上什么？乘上 h 等于啥玩意？三分之一这一个三角形 a、 d、 e 的 面积乘上谁？这笔高是谁？朋友们，高是不是 ab 啊？ 这个等体积咱就不讲了吧。这不，我之前的课已经讲过了，咱就不讲了哈，它就是 ab， 那 么 ab 的 长度是多少？是不是二啊？把它拉掉了换成二。现在我们是不是就求三角形 a、 e、 f 的 面积和三角形 a、 d、 e 的 面积啊？来吧，求一。求 a、 d、 e 的 面积，该咋求呢？哎呦，这个 a、 d、 e 简不简单，好不好求啊？是不比较好求啊？哎呦，我天呐，真是开心啊！三角形 a d e 的 面积，因为它是什么？它是不是一个直角三角形啊？它是直角三角形，那它就应该是什么？ 这个三角形面积 a d e， 大家有没有发现 a d 是 多少？底面是不是一个正方形啊？也就是 a d 是 不是二啊？ 哦， e d 是 不是二啊？所以它的面积二分之一乘二乘二，对不对？等于二。好，这一个我把拉掉了，也是二，那么现在就换成了求这个三角形 a e f 的 面积了，它就难求了。 a e f 是 不是挺坏的？这个角，这个三角形，是吧？这个三角形挺坏的，再把它求一求吧。 那我们去求的话，哎呀，还还好吧，是不可以直接先得到 a e 是 多少？勾股是二根二， 我们是不是还可以得到这一个 a f 多少？勾股，对不对？当然了，我们用勾股的时候，是不是这个 f b 就是 一啊，这里是二，那么 a f 等于多少？是不是根五？好了，那么我们还会得到什么呢？ e f 啊，是不还缺个 e f 了？ e f 咋求呢？ e f， 大家看 e f 的 球，哼，它是不是一个直角三角形？朋友们，是不是，是不是一个直角三角形啊？ 呃，前面应该会用到啊，前面应该会用到，那我直接给大家这一个是一个直角三角形啊，那这个 e f 应该是什么？ 不是不是，呸，我说说的不对啊，不是说它是一个直角三角形，我们要得到的是谁呢？那你去去得，我，我给大家画一画啊。我的问题，我给大家画啊，那我现在把这个 b d 给连接起来好不好？ b d 啊，给连接起来。来吧，会有这么一个图形出现啊。 这一个，这个点是谁呢？ e， 这个点是 d， 这是 b， 这是 f。 来，现在有谱了没有？有没有谱？它是不是二？它是二，它是不是一？你去求它，能不能求？朋友们，能不能啊？不不不，它不是，它不是二，它是 b， d 是 不是应该是二跟二啊？ 啊？能不能求啊？朋友们，你看这个 e、 f， 我 往上做这么一条线，你看我们在求线段长度的时候，我是不是都是附着于平，把它给搞到平面里头了？ 我啥也去搞别的东西了吗？是吧？别的东西我没搞啊，我都是想去求线段长度，我去给他找平面，我最好找的就是有直角，对不对？找有直角的，因为某一条线他可能属于很多平面， 那这是我允许的吗？我当然不想了，对吧？我要给他找他所在的某一个平面，哎，这一个平面的图形是一个什么样？它就是图形，它里面有垂直风气，你因为直接有垂直，你要么三线合一有垂直，你要么菱形对角线会像垂直。说你。总而言之，你不直接告诉我，你也得间接告诉我， 对不对？好，这就是我们能得到的，它应该是多少？它是不是就二分二？二的根，二这一块长度是不是就一？所以你能不能勾股一下根号？下啥玩意？二根二平方加上一的平方。哎呀，太好了，这不得 里面是九啊，什么开根号？就是三， e、 f 也有了。那你看啊，我因为我们发现这个 a、 e、 f， 它不是特殊三角形的，它不是特殊三角形。那怎么办？你不是特殊三角形，你怎么去求面积？ 这用不用到我们前面学的解三角形的题，解三角形的思维，四条边都有了，朋友们，怎么去求面积？我当然先用余弦定力，将余弦值给求出来，再把余弦值换成正弦值。我可不可以用公式了？这不就可以了， 现在苦哈哈的又上线了，什么要求口算用余弦定力啊，这是我最不爱干的事。代数运算，我不行啊，我水平不够啊。 a e 的 平方加上 e f 的 平方，减去 a f 的 平方，比上啥玩意二倍的 a e 乘上 e f 吧，代数呗，好不好，代数我代数总该比我快吧， 八加九减五，对吧，比上什么呢？二乘二跟二再乘三，那么它应该等于多少？呦，这个数还挺好嘞哈，二分之二，哎呀，太好了，那我们就可以得到这个 c 音了，是吧？ c 音减 e f 就是 多少也是二分之二啊，速度嘛，人家对不对？好， 太开心了，我们搞到了，那它的面积能求了不？这一个面积是不就可以求了？二分之一的这一个 a e 呀，乘上 e f 啊，再乘上乘音加 a， e f 啊， 代数呗，它应该是多少？二分之一，哎呀，二分之一乘上二根二，再乘三，再乘谁呢？再乘这一个，二分之根二等于多少？算一算， 咔咔约掉了，然后二二约掉了，剩下个三了，对吧？面积是三，那现在代数吧，把它咔搞里头，它是三，那么现在能不能得 h 啊，通过这一个 h 是 不是就显身了？ h 等于多少啊？朋友们？ 嗯，三分之一，三分之一，咱先约角啊， h 是 不就三分之四？太好了， h 三分之四，那么现在比较劲爆的东西就来了啊，那求且值是谁？我这上面这个角就是 c 塔，我是这个角是 c 塔，那这一个色音 c 塔就应该等于什么呢？等不等于这个 h？ 这个 hr 比谁啊？比斜线，比这条斜线，斜线是谁？是不是 a d 啊？朋友们，是不是 a d？ 现在我们是不是只要知道 a d 是 多少，这活完成了好，是不是？知道的，一定要记住这个这个东西啊， 是不是你只要能把这个这个垂线给做出来，你说我这一个线段角的正弦值是不是 h？ 比斜线对不对？呸，我这个余弦值是不是点比斜线？ 我今天晚上嘴老不好用啊，大家听见错误帮我改一改啊。好什么，就这么一个玩意，代数率算得三分之四等于什么？二等于十三分之二，搞定， 学会呢，好了，整理一下啊，看这第二个啊，第二个题啊，还有这还是全国假卷的，呃，四棱锥 p 杠， a， b， c， d， 呃，趁这个话头啊，跟大家稍微说一说啊，我们这个立体几何，你甭管平常做的多么费劲，多么难，高考， 反正 b 题几何高考题没出现一次难题。哦，也不能这么说，都见过两三次啊，很难的题目出现过两三次，其他的题目都是很平常的题目，就和解三角形一样，它是一个常规题， 都是怎么做呢？很容易得分，第一问肯定正平行或者垂直，第二问干什么呢？去求角度三大角问题。但是一面直线所成角一般不求，一般是斜面角或者是二面角，考二面角角的角的可能性更大，或者是已知二面角是多少度。去求斜面角的这种题目，或者是出现动点的这种题目， 他可能考察的是这个样式，那但是这种题呢，你现在用几何法可能做起来费劲，但是我们慢慢的，如果有学到空间向量的朋友们呢，就会觉着，哎呀，不就是代数运算吗？ 所以说我们假期里讲的这个空间向量就是非常好的一个工具了。那高考的第二问，第三问可能都是间隙去做， 所以说大家现在几何法先好好学一学，我们把这种通法给学到，那么有一些比较复杂的题目，比如说重点问题，轨迹问题，我们就可以用空间向量去做了，所以大家不要害怕。好吧，不要害怕，我们高考肯定考的是常规题 你，当然你现在学的是立体几何，他当然会有很难的题目给我们做了，肯定会有很难的题目。 那这些东西我实在学不会怎么办？先放弃也不丢人嘛，那我们到后来学了更好的方法，再去回过头来再解决这个题，是不也行啊？反正能解决掉就可以，不要在乎是哪一个阶段我能学会。好吧，眼光放长远一点， 那我们就开始喽。这个第二问啊，全国假卷这个第二问啊，呃，四棱锥 p 杠 a b c d， p d 是 垂直于这个底面 a b c d 的， 然后有了一个什么玩意呢？ c d 是 平行于 ab， ab 等于 dc 等于 cd 等于一。哎呦，这是个啥玩意？朋友们，这是个什么东西啊？ ad 等于 cd 等于 cd， 然后它和 bc 是 这么一个关系。那我请问你们看我画波浪线的这个东西讲到的是什么？ 朋友们想到的是什么东西？等腰梯形，而且它们的上底线和腰之间的关系，满足一比一比二，那么它就是一个什么东西呢？百分之百会出现垂直关系， 这个东西百分之百会出现垂直，这就是我们的垂直模型里面有的东西，对不对？垂直模型有的，如果你看见这个已知条件，马上想不到这个事，那你做做起题来就费劲了。 那这一个东西呢？垂直模型可能有有新同学没没上过我的课，或者是说有些他没领过这个资料的，你可以看一看这一个，这个等腰梯形，它满足一个什么关系呢？你看 它们之间的关系，等腰梯形的话，它满足一比一比一比二，那我就一定会得到这一个玩意儿。 b d 是 垂直于 c b 的 是不是？为什么？自己去挣，能不能挣出来， 对吧？自己去挣一挣啊。好，如果你得不到这个东西，说明你这些常见的一些模型你心里做不到，心中有数，那咋办？你做题还能很快吗？隐藏条件你都找不到，你还做个屁，对不对？所以你就要干什么？停下来，反过头来去干，干这些线线垂直的常 见的，那么其他的都是用什么干呢？其他的在这里面没有的就是相似，他有些题目可以用相似去做。 好，你再回过来了啊。所以说大家看见这种条件一定马上想是什么样的结论啊？马上想结论，好吧，马上要想结论呐，来吧，再继续看啊，它让我们去求什么呢？这个 d p 和这个 p a b 所形成这个角的正弦值，来吧， 焊几个标志，一个标志是正弦是不？有可能是等体积。再有就是这一个 p a b 这个面有任何一个面和它垂直吗？有没有有线或者是面能与它垂直 的是不？不行啊，对不对？找不到已知条件当中有这种隐藏条件，找不到，那怎么办？ 等体积喽，对不对？等体积了啊？等体积，那我们第一步怎么搞？是不？找到谁焦点？什么焦点？就是 p 点， p 点就是斜足了呗。 好，第二步干啥？是不过地点做这个面的垂线，我当然就是设了，是吧？设这个 d 到 p a b 这个面啊，我没写面面 p a b 的 距离 是什么玩意儿？为 h 是 吧？下面儿第三步就是干什么了？等体积就上呗，那我肯定会得到。那从第二步就会得到 g 到这个面儿距离当然是哪一个面积啦， 哪一个的体积啦？ d 杠 p a b， 是 吧？然后等体积法就上，干啥玩意是不？我给它换呀，我看底面用谁比较合适？这不就很简单吗？观察一下就发现了， p 点是零点，底面是谁？ a b d？ 喏，完事了，朋友们，搞定了，是不是很简单？ 来吧，第三个题，第三个题目，看一看，他说这一个四棱锥 p 杠 a d c d a d c d 这个矩形呢？ p a 是 垂直于这个底面的。来又有啥了？ 看这两个条件，你得到的隐藏条件是什么？这一个某一条线垂直于了底面，我们之前在前面的时候说过，是吧？定义法的时候说过，一个线和一个面垂直，我这个面是个直角三角形，那我会得到的面，所有的面都是什么？都是直角三角形，那么对于这个来说，它底面是个矩形。哦， 那我得到的结论还能出现很多不一样，呵呵呵，是不？不会啊，它是不？我四个侧面全都是直角三角形对不对？四个侧面是不全都是直角三角形？ 好，这个条件就是什么呢？我通过那个定义法，那个第三题是吧？隐身出来的是不？它的这个四棱锥，它的四个侧面 均为二 t 三角形，那当然了，它也有很多线面垂直喽，对不对？ 然后 e 点是中点，他叭叭的说了这么多东西啊， e 点是中点，然后已知这个 ab 等于二，写上 ab 等于二， a d 等于二，根二 pa 也等于二。让我们去求这个线 a， e 和这个面 p c、 d 所成角的大小。我们看 p、 c、 d 有 哪一条线和 p c、 d 是 垂直的吗？没有吧，或者是面是不是也没有？有没有？有面有没有面？好像是有的哈，面是有的 哦，这个题还可以用别的方法去做，但是我们这题我们用等体积吧，好不好？我假设我没，没瞅见，我没发现，好吧，我是眼有点瘸，我，我有点没发现，那我就用等体积去做啊。那现在第一步干啥玩意儿？是不找焦点？焦点是谁？ a e 和这个 p c、 d 当然是一点喽，一点是不就斜足 下一步干啥？说过点 a， 设这个 a 到这一个 p c、 d 的 距离 v h， 对 吧？然后第三步，然后就是第三步喽，第三步干啥玩意儿啊？ 我现在，哎呀我天呐，我去找这一个面儿，那我跟这个是不？我要看这个第二步啊，你不用去干啥？不要去，你非得跟跟 e 扯上关系，不要这么头铁好不好， 不要非得这么刚啊，对吧？所以我们找的是谁啊？是不是这一个 a 杠 p c、 d 是 不是他一定要出现，那么要给他转换？那 a 杠 p、 c、 d， 那 你转换的话，你该不该连接 ac 啊？对不对？好，连接 ac， 那 就会出现啥玩意呢？朋友们， 好，就会出现了啊？屁，是顶点，那么底边就是 a、 c、 d， 简单了不就搞定了？有没有疑问说你这个对 e 都没有关系了，咋为啥跟 e 点都没有关系呢？你要看嘛，你这个 e 在 哪个面上啊？这不 p、 c、 d 面上你 a 到 p、 c、 d 的 距离， 你或者是说你 a 到 p、 c、 d 的 距离和 a 到 t、 e、 d 的 距离不是一回事吗？啊？过一个点到某一个面的距离还会出现两个？不可能吧？所以你干嘛要难为自己呢？你为什么要非得用上 e 点呢？对不对？我不用啊，那我就不能求了，也能搞定对不对？ 好，也能搞定啊，当然了，你最后要去求它正弦值的时候，你是不是又用到要去求 a 一 啊？是不是？你这时候再用一点就行了对不对？好，学会等体接吗？学没学会，朋友们，学会了我们再继续进行下一种方法了啊。 后面的题目我们就不做了，这些题目我留给大家自己做做研究一下吧，好不好？有题可做。老师，你这个方法到底同不通用呢？你是不是研究一下啊？ 说你老师你讲这标东西你都不好不通用，你给我讲它干啥？他不会的啊，我一定会让它通用的，所以大家试一试好吗？然后下一个就是垂面法了，朋友们，垂面法。但是垂面法是什么意思呢？ 这个垂面法我们之前我刚才说了，就是之前说过这个垂面法是个啥玩意？是不是对这一个等体积法的一个补充？我们为什么忘了等体积法？是不是尽是因为这个垂足我不知道在什么位置？那如果我知道垂足在什么位置了，一幕是不是又变得简单起来？ ok， 好， 那我们就看一看怎么去找垂足在什么位置。这就是所谓的垂面法了啊。找垂足在什么位置？来读读这个题啊，读一读这个题，当然了啊， 能以垂面法的全部可以用等体积，明白不？也就说垂面法要死活学不会，那你不用会，我用等体积能做好不好？它不是说多么漂亮的方法。对对，你就这个方法多牛，它不是， 那你学不会无所谓。好吧，等体积能学会就行，但是我建议大家尽量能学会这个垂面法，因为等体积运算量可能是有点大，对吧？ 所以呢，我们才衍生出了锤面法，就是有一些学霸，他说成了一个事，你这个方法太笨了，我有一个更好的方法，所以就出现了锤面法，这就是什么？原来没有路是吧？走着走着是不就有了？这就是后人走出来的路。锤面法， 你有没有发现有很多的方法，你在学校里没有学，没有听，其实并不一定是你老师不会，而是他觉着不用讲也行，他觉着不用所有人都会。 我，我觉着我不用把话说的特别明白，大家也能知道是这种什么状态，对吧？好，咱详细的把这个题做一做，那这个第一题我们也是当做例题去讲了好不好？ 四棱锥 p 杠 a b c d， 这个 p d 是 垂直于底面的， c d 和 a b 平行，然后又有这么一个东西呢？ 等腰梯形是吧？满足这么一个比例关系，而它和前面这题是不一样的，对不对？是一样的。好，那这个题用回面法该怎么做呢？ p d 我 们就不用等体积了，我直接用回面法是什么意思呢？我们垂足法是什么意思呢？我做出一面和 p a、 d 垂直。 好，我们就是过 p d 的 面儿，我们要做啊，肯定没有，是我们要做一个过 p d 的 面儿， 它同时垂直于 p a、 b， 我 要实现这么一步操作，就叫做垂面儿了，也就是说我要做所求至这个面儿的垂面儿， 能懂不？那我怎么去做这个水面呢？我当然得利用已知条件这个线面垂直了，对不对？我要借助线面垂直啊，也就是已知条件，他一定得给我线面垂直，他不给我线面垂直，我做不了啊， 能懂不？好？也就是说我以前我们研究的是面，现在我们研究的是线，这条线， b d 这条线啊， p d 这条线是垂直于哪个面了？是不是？它肯定得垂直于某一面？那我再去做线面垂直， 那么我去通过这个线上垂直，我去做这一个面面垂直，得到一个垂面。好，具体操作过程啊，我们现在过地点做 a、 b 的 垂线， 我来了哦，过地点做 a、 b 的 垂线，让它是点 h 好 不好？这一个就是垂直的啊，好，具体写一写过程，要不然大家到后来忘了怎么办呢？是吧？因为这一个方法在学校里可能很多的地方都不讲的， 我们做了这个 d h 垂直 ab， 我 就其他的字我就不写了，巴巴的叫 ab 与点 h， 这种话就不写了。好吧，那第一步操作为什么要这样操作呢？因为这个 p、 d 是 不垂直于这个面儿 a、 b、 c、 d 的。 大家这个过程写一写啊，因为你在网上找这个方法，你就用作业帮用所有的搜题软件，你搜出来的都不可能是这种方法，明白不？所以说大家这个题要上点心啊，你用搜题软件搜不到啊，其他的我们强调的可能能搜到 啊，可能因为它大部分可能也是用的间隙的方法去做的，所以说你一搜搜出来的是间隙是非常有可能的。那我给你们的方法步骤就很重要，对吧？ 你在网上搜不到啊，我这个 p、 d 垂直这个面 a、 b、 c、 d， 那 我能得到什么呢？这个 a、 b 是 不是属属于这一个 a、 b、 c、 d 这个面啊，对不对？所以我们能从通过它得到什么？是不是得到这个 dp？ 哎呦，写 dp， dp 垂直于 a、 b 啊， 对不对？所以说你看看嘛，我们做了一个线线推直啊，我们又得到了一个线线推直是不？从线面得线线，那我两个线线，我能通过这两个东西得到啥玩意呢？我能不能得到这一个 ab 是垂直于这个面谁的？我把这个 ph 给连起来啊？朋友们，连起来，那我们就会得到这个 a、 b 呢？是不是垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？是不是？朋友们，是吧？ 那我们还会发现一个事情，还会发现一个事情，是什么呢？这个 a、 b 呢？是属于这个面贴 a、 b 的，是吧？我们现在这么些垂直。哦呦，是不有这么多垂直？现在我能不能得到通过这个线面垂直我再得到， 得到啥呢？能不能得到这个面 p、 a、 b 是 垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？什么通过线面垂直直接得面面垂直？因为面什么？ a、 b 这个 p a、 b， 过这个面，过这条线，过 a、 b 这条线，对不对？ 是不是这样？那我得到我想要的垂面了，得没得到。所以说大家看，我们一定要有的条件是哪一个？做这种垂面法一定一定要有的条件是哪一个？是这个绿色的，这个绿色的条件 g、 d 垂直于这个面 a、 b、 c。 是不是？我通过线面垂直是不可以得到线线垂直两个线线是不得线面得线面是不通过线面得面面。搞定了，我想要的东西就有了。那你说我费劲巴拉的搞出这么一个东西是为了啥呀？我为啥就一定要做一个面面垂直呢？就是因为下边这句话啊。 下面这句话注意，那我用一个黑色，黑色的字体去写吧。哈，那就是什么？我，我现在写这个斜足，是不是点 p？ 我 该干什么？过这个地点，是不是做垂线，做这一个 p a、 b 的 垂线？所以说我过这一个地点做这一个面儿 p a、 b 的 垂线。 维族在这一个面儿 p a、 b， 我 就写的详细一点儿了啊。面儿 p a、 p a、 b 与这一个面儿 p d、 h 的 交线上，对不对？这是一个什么？是不是基本值对不对？你看我过地点做 p a、 b 的 垂线，过地点做 p a、 b 的 垂线，这个垂足 回路是不是既在 p a、 b 这个面上，也在 p d、 h 这个面上，对不对？是不是一定得是这样？那么它既然一定是这样的话，那它是不是在这两个面的交线上呢？朋友们， 是不是？所以说你就要记住了，如我为什么要做这个线面垂呃，面面垂直，是不是？我再去做垂线的话，我就知道垂足在什么地方了，对不对？垂足在什么地方？那我们这个垂足我让它是谁呢？是点 j 好 不好？ 我这 g 没有用啊，我这举重没有用，我就给大家演示一下。好吧，那我们既然知道它在 p h 上，我随便点一个点就是 h， 你 说我这 h 点它在哪？影响我线面角是谁吗？影不影响我线面角是谁？ 是不是影不影响我这个 g 点？你在 p h 上的哪个位置影响我的线面角是谁吗？是不永远不影响，因为我的线面角就是谁啊？ 就是这个 d p g 是 吧？ d p g 也就是谁呀？ d p h 是 不是就是角？ d p h 它和这个垂足有关系吗？是，我们就找到这条交线就行了呀， 是不是我做界面垂直，面面垂直想要找的是谁交线？那我这一个夹角就是谁呢？这个交线与斜线的夹角 对不对？交线与斜线也不能说是假角交啊，就是假角。交线与斜线的假角是不是交线与这个斜线的假角是不就是这一个线面角了？好，就是谁呢？交线与斜线 线面角 好，这种做法就一定会比什么快，就一定会比等面积等等体积法要快，对不对？就一定要快。为啥呢？你现在是不是直接求什么这个角的正弦值？那我写 步骤补充完整了啊？步骤补充完整了，那我先要看看我求的是谁？是我用正弦，对吧？他要求正弦值嘛？求求正弦值，正弦 c 角 dph 就 应该等于谁？就等于 p， 不 对不对。什么 d h， d h 比上 ph 是 不是？那我是不是只要把 d h 给求出来， ph 给求出来就行了， 对不对？那我看已知条件吧，从已知条件当中找 d p 是 不是等于根三？我知道了，那么 d h 呢？ d h 又是多少？朋友们具体看看应该等于多少？ 我很快就可以求出来。 d p 等于根三，这个 d h 我 简单算一下啊，它是二分之根三，那这个 p h 我 们用勾股定律就会得到，它应该是二分之多少？二分之九，然后应该是二分之根号十五啊， 得到了这些东西呢，要往里代数就行了，你看是不会比等体积要算的快一点。二分之根三比上二分之根号十五，那它就应该等于多少了呢？五分之根号五是吧。 你就用这种做法，比间隙做的也要快的，比间隙法做的也要快，懂了没？垂面法有没有看懂？有没有看懂啊朋友们， 看懂了不好，那我们再做一个吧。垂面法再做一个好不好？来，我们把。要截图吗？截图就往上截啊。 那我们看下边这个东西，下边这个东西呢？挺好的。这个题我为什么非常想讲一讲呢？因为我们在做立体几何的题目当中，是吧会遇到这种折叠问题啊，一个平面图形哎，我经过折叠 会得到哦，就做他不太好啊。这二面角咱还没讲哈。二面角还没讲，那这个题咱先保留着吧，好不好？先保留着啊，先保留着，等我们 呃，学完二面角大家再回来过头来用这个纯面法再做做好不好？但是这种题非常好啊，这种题真的非常好，折叠问题非常好，因为折叠问题我们一定要找不变量，对吧？一定要找不变量，在折叠的过程当中它永恒不变， 对不对？或者是说我们折完了之后还用折到哪个点？在折叠过程当中变成了哪个点呢？对不对？哪个点进行变化了？要知道，那这一个平面图形当中的平行关系， 呃，不能这么说，垂直关系会不会发生改变？它某两条线的垂直关系会不会发生改变呢？ 是吧？不会啊，不会发生改变啊。好，后边的题目咱就不做了，吹面法就讲这么一个就行了。讲的太完了， 大家把这个吹面法的过程步骤给整理了吗？整理了啊，如果，如果实在没有听明白吹面法是怎么个东西，那你就用等体积法去做就行了好不好？别难为自己啊，没有必要是不是， 它又不是多么优秀的个方法。三与弦，三与弦，这个方法我建议大家听一听行吗？我建议大家一定要听一听啊， 三与弦，三与弦定律呢？为方便我们去做题，它会提供很多帮助的啊。这个三与弦定律指的是一个什么事呢？我现在是吧，做了一个线面垂直得到了一个摄影，然后呢？我这个摄影所在这个面阿尔法还有这么一条线， 他过了这个斜足是吧？过了这个斜足和射影形成一个假角，那我们就会得到三种角了。第一种角是什么呢？线面角 o、 a、 b 这个线面角。那第二种角是谁呢？第二种角是这一个射影与射影所在平面 当中的某一条线形成的夹角，最后一个角是这条斜线与阿尔法平面当中这个线所形成的夹角，那么他们三个存在这么一个关系，我刚才叭叭这么说你有没有人敢说？哎呀，老师，这个东西真难记啊，我天呐，哪个角是哪个角，好乱呀， 那我给大家来一个节奏好不好？那我们以线定角，然后用这一个结构呢？去记公式，那我这个结构是什么呢？第一条线先写线啊，三条线定三个角，三条线分别是斜线， 就是说平面的这条斜线，这条斜线是不是对于这个图来说就是 o a 啊？对于这个图来说就是 o a， 那 这条斜线，然后嘞？第二条就是射影， 我写上啊， o a， 那 射影是不是就是 a b 啊？第三条线就是和射影在同一个平面并且过斜线的这条线 就是这条线，就是奇奇怪怪的一条线，我也不知道给他起个什么名。好吧，你自己用语言描述一下吧。啊？就是什么呢？和这个摄影所在的平面是同一个面，是不？然后呢？ 当然了，就是在哪个平面内，是不在阿尔法这个平面内啊，并且他过斜线。呃，过斜竹，过斜竹啊，过斜竹是不是与摄影形成夹角的这个这条线 啊？这条线对我们来说就是 a c， 对 吧？三条线写出来了，那么我们就可以斜角了啊，给大家画这两个之间的夹角就是 theta 一， 这个两个之间的夹角就是 theta 二，这两个之间的夹角就是 theta。 看像不像一个笑脸啊？它笑了吗？有没有笑？ 不光笑了，还吐舌头了呢，对吧？有画画天赋，还行，哈哈，能弄不用三条线定三个角，斜线是这样，然后阿尔法平面内的另外一条线， 那要过斜线，要过这个斜足啊，过斜足。那这 c 叉一就是什么？记住了，我这个 c 叉一呢？就是斜面角啊。 c 叉一就是斜面角，记住这个东西就行了。 陷面角，当然你不记也无所谓，这个斜线与射影的夹角你能不知道是陷面角吗？是吧？是我有问题还是你有问题？ 你肯定会知道的，对吧？所以肯定是我有问题了。那我们肯定是什么呢？这个最跨度最长的这一个 cosine theta 等于什么呢？等于这两个小人相乘， cosine theta 一， 乘上 cosine theta 二。看出这个结构了吗？通过这一个图，是不是这个结构我就出现了。看懂了，不？ 看懂了，那我们做这个第一个题啊。第一个题，我不让你用别的方法，就用三鱼弦啊，他用别的方法也能做，不是不能做，而且也挺快的，但是我就我就挺坏的，我非得让你用三鱼弦，我们尝试一下好不好？那么遇见题目不要慌什么，先写三条线，第一条线是什么？斜线着斜线说 ab， a， b， 然后找射影是吧？现在是一个这样四面体，他是不是已经帮我们把回族嘿，是不是已经帮我们把这个线面垂直给搞定了，对吧？线面垂直已经给搞定了，是吧？ ah， 垂直好，也就是说什么呢？我们知道了第二条线射影是什么？是不是 b h， b h， 然后第三条线就是和 b h 过斜轴，有，有这种角的这种， 那么我们用谁用谁都行啊。用 b c， b d 是 不都行啊？我用 b c 吧，好不好？随便啊，是随便，你用 b、 c 和 b、 d 都行，只要他给我协助和这个摄影是在同一条线上，满足这点条件就行，不用纠结是谁，懂不？不用纠结是谁，好，现在画笑脸了。 他两个之间是我要求的 c 塔一，他两个之间是 c 塔二，他两个之间是不 c 塔。然后我们去标这些角度好不好？ 但他既然想让我们去求线面角，我肯定肯定得不到 c 叉一了，对吧？然后我们看 c 叉二是多少？ c 叉二是 b、 h 与 bc 的 夹角。来吧，它是一个正四面体。 朋友们，什么叫做正四面体？什么所有长均相等的三棱锥，所有长均相等的三棱锥，对不对？就是正四面体，所以底面这个 b、 c、 d 是 不是等边三角形啊？那这个 b、 h 通过这个三线合一，咱可以得到。那这个角 c、 b、 d 是 多少度啊？ 说三十度啊，搞定一个。说他三十度，那我再看 c， 他 再看 c， 他 就是谁呢？ a、 b 与 b、 c 的 夹角对不对？ a、 b 与 b、 c 的 夹角，你说这个角是多少？那么 a、 b、 c 当然也是同边三角形了， 那你说 c， 它是多少？六十啊，对吧？那现在用公式，口塞音六十度等于口塞音 c 塔一，是不？这是我们要求的，再乘上口塞音三十度，你说口塞音 c 塔一能不能求？然后反过来求塞音 c 塔一，能不能得了？简不简单？ 当然了，你用定义法是不是也很简单呀，对吧？也很简单，没毛病吧，是不是？用啊，用这一个用定义法是不是也很简单？但是我，我不说了吗？我比较坏，我非得让你们用三鱼弦吗？那三鱼弦学会了没有？ 明白了吗？然后我们做一个浙江卷，好吧，浙江卷比较难啊，比较难。那我们看一看，也是看第二本啊， 这么一个三棱台，我要把它擦掉了啊，要截图的，赶快截好不好？要截图赶快截啊，我要干第二。问了第二题了啊，这个第二题我想给大家补充结论，所以必须你看大家，我必须要把它擦掉，因为地方不够，我要给大家记结论了啊 啊，朋友们，搞定了吗？好，擦掉啦，我们看第二个。呃，第二个题目在这个三棱台 a、 b、 c 杠 d， e、 f 当中，这个平面儿呢？呃， a， c， f d， a， c， f， d 是 垂直于底面 a、 b、 c 的， 然后告诉我，四十五度，四十五度谁呢？ a、 c、 d 标一标吧。 a， c、 d 是 这个角，四十五度，还有哪个角呢？ a， c、 d 这个角， 这个角也是四十五度。好，这两角看到了吗？我用点啦，我点点是不？这两个点点就是都是四十五度的啊。 d， c 等于二倍的 bc， d， c 等于二倍的 bc 啊， bc 呀，等于二倍的 bc。 注意看这个结论，这个条件有什么用啊？ bc， 划错，天呐，我这个眼珠子不好用呢，为什么呢？ d、 c 等于二倍的 bc 有 什么用？咱借助它第一问吧，好不好？咱第一问，它不正了啊，借助它的第一问 d， 呃，这个 e、 f 垂直于 d， b 垂直于 d， b， 那 么，那么 e、 f， 因为它是一个三棱台，对吧？那这个 e、 f 是 不是平行于 bc 的？ 那我们能不能得到这一个 bc 是 垂直于 db 的？ 那我再结合这一个条件，我能不能得到这一个三角形是一个什么样的直角三角形？ dbc， 这里是不是垂直的？是不是？它是二，它是一，它是不是跟三？这只是关系啊，并不是说它具体的值啊，只是说它的关系是不是这样的。多少度？有没有谱？ 六十度，三十度，这不有这么一个结论好。然后这个题不知道大家看见了这两四十五度的想法是什么？ 我不知道大家的想法是什么？看见了这一个 a、 c、 b 和 a、 c、 d 都是四十五度，哎，从一个点分出来的三条线对吧？ c、 d， c， a、 c、 b 两两就是相邻两个的，呸，也不能这么说，就是 a、 c 和 c、 d 的 夹角四十五度， a、 c 和 b、 c 的 夹角也是四十五度。你通过这个蓝色的东西，你能想到的结论是什么？你在心里有没有一个什么样的结论？如果没有，回去弄你的数学老师啊， 他不给你们记是不行的啊。我们有这么一个结论啊，点在平面内摄影的常见结论是什么？ 第一个自己看一看啊，我们用到的是第二个，第一个自己看不是说他没有用啊，你需要看好。那我们用到的结论是什么呢？经过一个角的顶点，引这个角在平面的斜线，如果这个斜线与这个角的两边 假角都相等，那么该斜线在平面内的射影是这一个角角平分线所在直线。你看看我们这个题满不满足这一条线 斜线与这个角两边的夹角相等，有没有？ a、 c 和这个 d c 四十五度， a， c 和 b c 四十五度。那我 a、 c 上有一点，我在 b、 c、 d 上的投影应不应该在这个角 b、 c、 d 的 角平分线上？应不应该， 是不是就应该了？那这一条好不好用？你在学校里老师给记了吗？ 那这会我为什么一定要问？你看见这种这两个等角，那 a、 c、 b， a、 c、 d？ 那 a、 c 什么？ a、 c 什么， 是吧？一定问你这个东西的原因，你如果知道这条，那这个题有很多缝线，如果你不知道，你老老实实地用定义法去用，用，用间隙法去做吧。间隙没有，我这个方法要简单啊， 啊，几何一般，比极限还要简单，一般只是说一般啊，那我们现在它不就是 d、 f 和这一个 d、 b、 c 所成的角吗？ d、 f 我 平不平行于 a、 c 啊？那我们看啊，这个 d、 f 这个标东西是不是平行于这个 a、 c 的？ 我强调这事干啥？我想做辅助线啦，朋友们，我现在咔过这个 d 点做，这个 d、 o 垂直于 a、 c 是 吧？它垂直于 a、 c， 哇，我现在做了这么一条线，那你说我这个 d、 f 与这一个面所形成的角等，不等于这个 c、 o 与这一个面形成的角呢？也就是说啊，我们实现了一步转化啊，是什么样的转化？这个 d、 f 与平面 d、 b、 c 所成角，就等于这个 c、 o 与这一个平面 d、 b、 c 缩成角，是吧？因为它平行。那么现在我们可不可以用这个第二条这个结论呢？那我这个 o 点，我 o 点在这个 d、 b、 c 这个面儿上的 垂线，呸，它的射影是谁呢？是谁在什么位置？ 是不？我们就一定会有这么一个东西出现啊，我们就一定会得到这一个点 o 在 面 d、 b、 c 在 这个面 d、 b、 c 的 摄影，呃，这个摄影，我们说是点 g 吧，好不好？摄影 g 就 一定在这一个角 d、 c、 b 的 角平分线上 就得到它了，明白不？就一定在这个角平分线上？ 好了，那在角平分线上咱把它画出来呗，是吧？搞出来，把角平线给做出来，那这个 g 点就一定在哪啊？ 随便给它来一个位置吧。好吧，我们就假设在这吧。现在，那我们能不能得到这个 o、 g 就是 垂直于这个面儿啊，是不是？我们是不是就可以得到了？噢， o g 呀，你这个标东西就是垂直于这个面儿 b、 c、 d 的， 对不对？好，我写成这个破玩意来，是为了干啥？是为了干啥呢？朋友们，三鱼弦再用一用呗，好不好？三鱼弦用一用啊，来 用线得角，第一条线是什么？斜线？斜线是谁？ c、 o？ 第二条线是谁？摄影啊，摄影是谁？斜足垂足是 j， 斜足是 c， 所以 说它是 c、 g。 第三条线是和过这一个过，这在这个 b、 c、 d 当中找一条线是，不过这个斜足啊，那当然可以是 b， c 是 不也可以是 d、 c 啊？那我们要它是谁，你爱是谁是谁，我就 d c 吧，好不好？ d、 c。 现在来找角，找角第一个是不？这就是线面角，我要求的我动不了，然后这个 c 它是不也能找？来吧，挨着找 c， 它二、 c、 t、 c、 g 和 dc 的 夹角 c、 g 和 dc 的 夹角。来吧，这个 dc， 这个 c、 g 是 什么？是不是减分线？这个角 d、 c、 b 是 多少度？注意看这里 d、 c、 b 多少度？六十度，它的减分线说明它是多少度？三十度， 对吧？好，然后再看 c、 t、 a， 也就是 co 和这个 dc 的 夹角 c、 o 和 dc 的 夹角，是不是？ c 和 dc 的 夹角多少度？四十五度， 能不能做了？简单不？你这个题，你说你用别的方法，你用什么方法能比这个快？我真不信。不服啊。 我是不服的。那我直接代数了。口塞音四十五度等于这个口塞音 c 塔一，乘上口塞音三十度，能不能得口塞音 c 塔一了？能不能得？能得口塞音 c 塔一？它现在要求正弦值塞音 c 塔一搞定了没？ 完事了朋友们，简单不？当然你会说，老师，我用等体积，我能不能做？我能做。我知道你能做不快呀，是吧。
617JQK数学做题家
42:25查看AI文稿AI文稿老师好，请坐好，那今天我们来看一下空间几何体的外接球跟内接球的问题， 那么第一类像这种怎么办？在三人追中， s， a 跟 abc 垂直， ab 跟 bc 垂直， 我们重新画一下 s， a 跟 abc 垂直，然后 a、 e 跟 b、 c 垂直，现在这三段的长度知道，请问外接球， 各位这是什么模型啊？啊？变老模型，哪里来的长方体来了？那长方体的外锥球跟这个三轮球外锥球一样吗？一样，所以我们第一种 第一种类型的问题就是把几何体给它组成什么长方体或者正方体这种 补完了以后我们就去学长八里正八里的外接球啊，那这一补的话是一个长八里 外接球的直径是啥东西？长八里外接球直径 底的对角线，所以我们这个二二会等于根号，说 a 方加 b 方加 c 方，所以它等于二根号二的平方再加二平方再加二平方，这边是十六， 随便记搞定，对吧？所以第一章就是补体啊，第一章就用补体的方法来，那我们再看这个几，已知这个四面体怎么样？ p a， b c 等于 等于根号十， p a 跟 b、 c 相等，等于根号十。 好了， p b 跟 a、 c 是 相等的，还有呢， p c 跟 ab 是 相等的， 这有垂直吗？没有啊，它特殊在哪里啊？对人相等对吧？那对人相等它有多特殊啊？哎， 对人相等，他是长方体的对角面的对角线围起来的，所以如果碰到这种，那咋办？补一下是一个长方底，补一下是长方底。 那长方里的外切球跟这的外切球是同一个球吗？是同一个球 啊，所以我这个 p a， 那 我这十二，这三边数 abc， abc， 那 我们这三条 面的对角线那面的对，那对应的不就 a 方加 b 方等于十，然后呢？ b 方加 c 方等于十二，然后 c 方加 a 方等于十四，你看这条是不是？然后我们几这条线是什么？ 哎，平方相加，那怎么得到平方相加？全部都加起来数两倍的几对角线的平方， 对吧？等于这三个相加，这边是等于三十六，三十六，所以，所以十八 k 二就三个二， 所以他的直性是不等于几秒就等于三倍的，三倍的话，那这块地球搞定了，所以对人相对没有这样子的信心， 那咱们那如果这个三人对人垂直呢？又有什么表现？对人垂直，哎，地面垂直怎么办？转化为共面怎么转化？ 异面垂直，转化为共面的垂直常用的是哪一张？各位是摄影，那你斜线跟它垂直折什么呀？摄影要不要跟它垂直？ 所以这个 a o 是 垂直， b c， 那 同样呢？ c o 呢？垂直谁 ab， 那 这个摄影是什么心啊？ 高的焦点是不垂心啊，高的焦点就垂心了啊，所以这个结尾的结构大家很清楚啊。三人追，三人追好，那如果不好补体，那我们又用什么办法来呢？比如说柱体，它的外追求问题怎么处理？ 已知已知值三人柱顶点均在球上，侧人二根号三 底的话，有一个角度三十度， b c 是 一，请问该求的表面怎么求？ 那对球来讲，如果用一个面去截球呢？那得到的是一个圆，是一个圆，那如果他没有过球心，那这样就是小圆了。 那小圆的圆心跟球心是与这个面什么关系啊？哎，谁吃的是谁吃的， 所以我们反过来呢，我要找球心的位置，那我就把小圆圆心找出来，那球心是在他的上方，就在他的垂线上 过小圆圆心的垂线上面，我们就用这一招反过来取。大家们，那我们这个这个图形是不是长这样子的？ a b c 有 没有个小圆啊？那球心跟弦连起来，跟这面是垂直的，那 o o 二呢？是跟上里面是垂直的，而上下底面是平行呢，可见这三点什么关系？ 哎，这三点是共线的，三点是共线的，并且根据对称性，那我的球心在哪里？哎，这个助理呢？中间，所以我这个高是等于二分之 h， 球心到面的距离是等于二分之 h， 那 我二是什么？二是到这点的距离是不是二？ 可见我 o a o e， 这是一个什么原因？直线而言，那我只要把小二求出来，问题就解决了。 小二是啥东西？底的外接圆的半径，外接圆半径，想到哪个定律？正弦，所以我二 r 除以 a b 去三， 那这里的 a 数等于一，上 a 数等于二分之几，所以这等于几？所以我的小二就等于一了，那我的高呢？高数等于高三，所以大二就等于几啊，啊，大二就等于二，所以表面积四 pi 平方搞定啊， 所以我们就可以这样来赌。那边呢，那如果我是是一个这样的三轮锥呢？不是编到的三轮锥呢？那怎么办？我是这样的三轮锥怎么办？ 这三轮锥的外接球跟这铸的一样不一样哎，那么古人铸，那他的外接球跟你铸的外接球一样不一样。 所以如果车轮跟底下里面是垂直的，那这样的三轮锥我们就可以把它补成。什么呀？补成 啊，这个直的能柱是不直的能柱，把这种就补成直能柱。那用直能柱的话，就用这办法，大小啊，二分之 h 构成直角三角形，那我们就可以解决啊。 好，那刚才讲，如果侧棱跟底下垂直的这种锥是这样子的，那如果是不垂直的，那怎么办呢？ 如同在三棱锥 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 跟 b、 c、 d 都是边长为根号三的等边三角形， 那这个图形我就可以看作是把 b、 c、 d 掀起来，是吧？绕着 b、 c 翻起来的，如果翻到二面角刚好是九十度，则这一刻的外接球表面积是多少？ 这好补体吗？哎，不好补，成长方体，正方体这种是吧？那怎么办？关键就是球心的位置是吧？怎么找球心？ 把两个面的小圆圆心都给他找出来，他们的焦点是不是你的球心啊？ 那么 b、 c、 d 是 等边呢？是一个小圆圆心，是 o、 e， abc， abc 小 圆圆心，我给他记做 o 二， 那球心呢？哎，球心连起来，则 o、 o、 e 就 会垂直。谁 啊？垂直于平面 b、 c、 d、 o、 o 二呢？垂直于平面，哎，垂直于平面， a、 b、 c， 对 吧？都垂直，都垂直，那怎么样？ 这两个面都垂直，那我把这面给。哎，我们把这个平面 o、 o 一、 o 二给它延展一下，会怎么样呢？哎， 延展一下跟个 b、 c 什么关系？哎， 跟 bc 是 不是就要垂直了？因为因为你 l 是 不是垂直 o 一 o 后一也垂直 o 二，所以这个 l bc 是 不是跟这个面是不是，是不是就垂直了？ 那垂直的话，所以这一点应该是 bc 的 什么点？那这都垂直的垂，这个角是什么角？ 这个角就是在二面角的平面角，这个角就是二面角的平面角，那么它是先成几度， 而且 a、 o、 r、 e， 你 是等边的，这三点应该是空隙，这三点呢？也是空隙，对吧？ 所以这三点都是空隙的。因此我们的球心的位置是在这样一个三角形 a、 e、 d 里面，而且 a、 e、 d 是 直角，三角 看见没？那哪一个是半径啊？到 a 点，到 b 点，到 c， 点数都是啊，那么这个点是中心，那你边长是根号三，二分之，根号三乘以高三，所以高是几？ 然后是二分之三，所以上面那段是，这段是一，这段是二分之一，这段是二分之一，那这个 e、 c 就 等于几？ e c 是 等于二分之根号三，那你 o c 怎么求？所以 o c 的 话是求的半径， o c 就 等于谁 啊？那就是 c e 的 平方加谁啊？ e o e 的 平方，这是 c o e 的 平方，那 c o e 呢？再加谁？ o e o 的 平方是不是零 c 了？ 那相当于这边是一个编码的模型啊，这里就有一个编码的模型。所以我们把这三段平方一下，二分之二，二分之一是不是一再加这段是多少？二分之一，所以应该是一加四分之一，所以二方等于四分之， 所以它的表面积就等于五块了啊，五块了。 所以如果是一些啊，普通的三轮锥，那我们关键就是球形位置，球形位置搞定了，那这个就可以找出来了来。刚才是弯成九十度，是吧？现在我弯弯成这样子的 平面四边形， a、 b、 bc 还有 a、 c 是 相等的， a b bc 也就它这个等边呢？等边呢？边长是二，边长是二的等边， 然后还有一个是 c， a d 角 a 六十度，再来 a b 跟 b c 是 垂直的，那现在呢？沿着 a c 把它翻起来， 翻起来翻到什么程度？翻到它的外切球半径刚好是二，请问你这个翻的多大啊？这个二面角是正弦值是多少呢？ 关键就是要把球星给定位出来，是吧？怎么找球星？ 小圆圆心？把它给找出来，是不是小圆？两个小圆圆心这样子对对接起来，是不是球心就找出来了？ b c a c b 是 直角三角形 小月月星，这是 o， 是 a c 的 终点，所以球心是不是在那个垂线上面？再来， abc 是 一个等边等边呢？所以我后移是不是连起来 只有 o o 二？ o 一 是连起来，那因为它是等边的，所以 b o 一 o 二三点是共线呢？啊，三点是共线的啊。 大家们，现在我这个外接球的半径是二，哪个东西是二零点，距离是二，那它是二，这条边是几一， 而我 o o 二是其的底面呢？所以这条就等于几啊？ o o 二就等于几？根号三，根号三， o o 二等于根号三，那 o 一 o 二等于几啊？啊？ o 一 o 二是等于高的三分之一， 高是不等于根号三，谁最大等于几？三分之根号三，那这里有没有一个角度二百， 所以，所以我的口三二百就等于几？就等于 o 一 o 二除以谁？ o 五 o 二，那就等于三分之一。口三二百是不是等于三分之一？哎，那这口三二百跟我二根角什么关系啊？ 人上去一点，分别引垂线，对吧？这里数已经是垂丝的，那我就过 o 二去做一条 o 一 跟他垂丝，所以这整个数二面角，平面角，对吧？ 啊？那这二面角跟我 r 什么关系？说这边数还要再加一部分，而 o o 二数跟底面弦加了几十度，加了九十度，所以我这个二面角，那就等于 r 加几 九十就二百加九十，那我的正弦值呢？啊？那我的正弦值是不等于三二百加九十，那就等于谁啊？可三二百，那可三二百零几三分之，所以他的正弦值是三分之对，三分之 好，所以，所以你折腾什么程度？那关键是我们连起来把 o o 一 o 二这面延展完以后，跟你的折痕什么关系啊？垂直的，那你这个面一切进去，刚好是二面角和平面角， 也就是我们是用垂棱法来做这二面角，平面角，对吧？做一个面跟你的棱垂直，那得到的交线，得到的就是二面角的平面角，我们就放在这个三角形里面来取线 啊，这是这一题。在台底的外接球怎么写呢？已知圆台的上下比半径是一样，体积是这么多，请问该圆台的外接球表面写 球心在哪里啊？圆台球心在哪里？ 上下圆心跟球心三点共线，三点共线， 那么我的球心可能在这角你的外面，你这个台体比较扁一点的下垂在外面啊，那也可能是他两个面之间啊，那总之这三点一定是什么呀？共线啊， 那我上下底的半径是一二，这个到前面的距离数都是二，所以关键就是要把谁给的位高高，那体积跟高什么关系 啊？底级是等一个三分之一的高，再乘以谁上底，再加下底，再加上下底的等比中下已知它等于三分之四十八，所以 h 点几来？ h 是 等于二方程，方程根号 r 方减一是不是 o e o 再加谁？根号 r 方减四是不 o o 二，所以它加起来等于几？加二点二，对吧？那你如果在外面减一样不一样， 不管是加还是减，是都是减。加方程都是同解的方程啊，移过去平方根都是同解的方程啊，所以不管是加还是减，也就是 o 点在外面，这里面是都是这个方程啊，都是这个方程。哎，那这个有两个根号的怎么办？ 把一边给他移的过来，然后再给他移一个过来平方，那按平方就可以解出来了。所以这是抬体的时候，我们啊跟柱体一样的球心位置定出来就行了。 第五课的话是内切球，内切球，那常见几何体的，我们要明白正四面体的那个们， 哎，正四面体的 我要求那些求的半径，我用什么来求那些求半径啊？经常是利用等几级来算，对比一下，在初中我们六七元的半径是等面积，所以这里是等几级。 那我这里总共几个面？四个面，所以我是可以割成几个三棱锥。四个三棱锥，每个三棱锥面积是不等于 s 乘以二， 加在一起加一等于谁啊？哎，等于三分之的 s 乘以，所以我的二呢？ 我的二是零几，是不是四分之一 h 啊？所以球心就在这里的，对吧？所以这个二是四分之一的高，那射四分之三是谁啊？ 那你是四分之一 h 是 外接球是多少？是不是四分之二 h？ 四分之二 h 啊，那 h 又等于谁啊？再等于 a， 这段是多少啊？ 二分之根号三 a 的 三分之啊，三分之二谁知道？应该三分之根号三 a 一 减三分之一，所以高等于几啊？三分之二开根号三分之根号六， 三分之二的四分之一是不是四分之二 a 是 不是它的高啊？内切啊，外切球，内切球，应该是啊，再乘以四分之一，是不是十二分之根号六 a 啊？所以这个大家很清楚的话，它是它的三倍， 那外切圆的半径是内切圆的几倍？来？ 外星人逆行逆行，人啊，两倍，这里几倍，三倍啊，那边是两倍，这边三倍，对吧？啊，那我们再来看一下，逆行正是人追，各条人肠都为二。 请问他的内切球的表面积是多少？ 那第一种当然是等几级来，是吧？等几级， 所以他应该是三分之一的内切球半径乘以谁表面积？表面积，其中有四个是， 四个是等边三角形，对吧？还有呢？还有一个是正方形啊，正方形是不是？ 而体积又怎么算？三分之一底面积再乘以高，这高怎么写 那么高？我们是可以放在三角形 p e c 里面，而 e c 是 底下外接圆的半径， 外外接圆半径，所以这条是等于根号二，然后这里二，所以高点几根号二，高点根号二，那这样二是不可以取出来了，所以内些圆半径，那应该是二分之根号六件根号二， 当然我们第二种也可以直接来。大圆在哪里啊？哎，那跟这些同心，大圆肯定是在高高上面，那个底面的缺点是谁啊？是底的中心， 那个圈面的缺点在哪里？是等边的中心，所以它大圆在哪里？ 是不是在沿着高中间切进来的？是不是这个图形？所以我的，我的内切球的大圆是不是就是这个圆？ 这三边是几？这等于二，这条根号三，根号三啊，那不就是这个等腰三角形的内切圆的问题吗？啊，所以我们去找大圆的位置啊，大圆的位置 好，这是内切球，那一般来讲，我们都用整体球会居多一些。第六人切球的问题怎么来考虑？ 如果一个正三轮锥里面的边长是二根号三啊，侧轮长是二根号二，如果一个球跟这个 轮锥呢？所有的人都相切，所有的人都相切，则这个球的表面上是多的。 let's do it， let's go to the。 关键是什么？关键是缺点的位置以及球心的位置。 那如果它跟 b、 c 边有一个缺点是 a， 那 跟 a、 b 有 一个缺点， a、 c 是 不是有一个缺点？这三个缺点构成什么 啊？这三个斜点构成的是一个小圆，是一个小圆，对吧？然后呢，跟 p a、 p b、 p c 是 不是也有三个斜点？ 那这三个斜点的位置呢？然后对应的是不是也有一个小圆啊？ 而且这个小圆刚好是不是它的外接圆啊？是不是这三个点的外接圆， 然后呢，这 m 点 n 点呢？你是正三菱形，那我球心在哪里啊？哎，那球心的位置跟这个三点应该是在一个啊，这个界面上 是不是这里相切的？这边过来是不是这样？大概是这样子的，对吧。各位 来，那我求外的一点，引流求的切切呢？ 从圆外一点与圆的切线切线长什么关系？相等，那我求外一点呢？哎，那我球心跟它连起来，是不是跟这切线应该是什么？垂直的？那这垂直的 ph 是 公共呢？所以这三条切线长应该是相等的， 所以我说这三段都为 a， 那 这三段是不是都为 a 了？那一样呢？我 a 点出发呢，你是不是跟我这三个人是不是都相切了？所以我这三段都为谁啊？都为 b 对 不对？都为 b， 大哥们，那你这个 pa 跟 pb 是 不是相等呢？那你前面 a 去掉的谁？这底下这段也是谁？ b？ 那 如果这段等于 b， 那 这三段都等于几？都等于 b， 那 其他的是不是也都等于 b 啊？ 对吧？可见 b 就 等于根号三， b 是 不是等于根号三？ 那 b 零根号三， a 等于几啊？二根号二减去根号三，对吧？ 那如果不是这三人追这种，我们是不是就得到一个方程组？你有几条人长，我就得到方程组。那一般来讲就是啊，这个对人这边的两段，他们之间长度是有关系的啊。对人的两段长度是有关系的， 所以我们只要你摸清楚了，那接下来我们就要去什么呀？求解。是不是用什么来求解呢？用什么来求解呢？ 是不是找方程啊？找方程？那你这边是小圆，所以，所以球心跟它连起来，跟中心连起来，这应该是中心嘛，说跟这底面是垂直的，可是 p h o 三点就要 啊， ph 二三点是要贡献我这个能切球的球心跟底面中心连起来是跟底面垂直的，而 p 点跟底面中心是不是也跟这个底面垂直的贡献？ 那我这个里面的边长是二，根号三，所以里面的高是零三啊，里面的高零三，所以 a o 是 不是等于二？ o n 呢？ o n 等于一， 然后，然后这 h 到 a 里的距离是不是能切出半径是二？ h a h m 呢？数也是能切，求半径，数也是二， 那利用什么来列方者搞出来？那我 p h 等于谁啊？ p h 等于谁？根号二方加谁？ a 方是不是二方加 a 方？ a 方二根号二键根号三的平方， 这是 p h， 那 h o 等于谁啊？ h 加球形啊， h o 等于谁啊？根号二平方减去这两个加起来是什么？是不是整条高？ 那这个是二根二数，整个高点几数，整个高数点二，这个方程能把二取出来啊，那我们这二就可以取出来了。 那你回过头把之前做的人切球那个屏幕再去研究一下看啊，之前是给过的人切球的问题， 所以人切球的问题，关键你就抓住这个取决于外的点做球的切线，切线长一定是相等的，切线长一定是相等的啊，所以每个顶点出发的三条跟切点的连线长都是相等的， 所以这个我们就是计算一下。 第七，跟这些有关的坠石问题怎么来处理呢？来让我们看一下第九题。已知求 o 的 半径是一 轮锥的顶点刚好是 o， 轮锥的顶点刚好是 o 里面那四个点。在求 o 上求 o 的 球面上，则该四人锥体积最大的时候，它的高是多少？ let's do it， let's do it。 有没有想是什么？是能追？没有没有，但是我们自己可以创造条件是吧？应该是什么时候他最大？正四能追，正四能追，所以我们就按照正四能追什么叫体积最大来数是吧？ 正四能追，什么叫体积最大？那如果底是正的是能追，那怎么样？我们高跟底的神秘有关系？ 哎。高跟底的小圆是不是有关系？用小圆是不是有关系？那我们先如果高确定呢？高确定，那这个小圆半径定了没？ 小圆半径高什么关系？那就 r 方加 h 方等于， r 方加 h 方等于一。对于每一个确定的高，那它的体积是什么？ 哎，体积的最大值是什么？那就三分之一高再乘以。谁说底面积最大？对于每个 h 大 底面积最大，它都最大了，请问这底面积怎么求啊？ 里面这四边形的面积怎么求啊？哎，里面四边形 abcd， 我们是不是可以靠直线来说它是正方形的最大？为什么？ 这四边形我们可以用什么办法来？就用正角线来，是不是面积的二等于谁？嗯，二等于 a、 c 乘 b、 d 再乘以角角的啊？正弦值是不是它面积啊？ 对吧？四边形的面积，如果两条棱是啊，两个对角形垂直的，那不就两个乘起来吗？那如果不垂直，如果加了一个角度，塞阿法， 塞阿法来塞阿法，取多少下才最大？ e 最大，而你这 a、 c 跟 b、 d 取到什么的下角最大，是不是直径的下数最大？ 所以它在零二二乘二，二乘一，那就等于二。什么二呢？所以它的面积啊，体积最大，那应该是这个整数最大， 然后，然后这 h 在 变化，这 h 在 变化里面这最大的有没有最大的？这个最大的是不是所有的体积里面最大的那一个？ 那双变量怎么办？哎，那三分之一 h 乘以谁二，二二就等于谁 二，二就等于二，哎，减二 h 平方，所以它等于三分之二 h， 然后呢？一减 h 平方，哎，这怎么求这值啊？哎， g 是 和是定值，只有最大值，但是这两个加在一起会是定值吗？它有平方，它没平方咋办？ 平方一下，所以这个量的平方它就等于九分之四 h 平方，然后这边写成一选 h 平方，然后呢？一选 h 平方，但是这三个加起来是定值吗？啊？要一个二，那这里一个二，它前面就设计九分之二 a， b， c， a， b， c 和为定值极就有最大值。什么叫取得 啊？那三个数相等的时候，所以单写平方 h 平方等于几的时候，三分之一的时候就取得，所以它的高低点几？三分之六乘三，对吧？ 我们是三次函数的，我们可以用最棒的啊，都在笔试定式啊，那这是高考题啊，这是高考题， 所以你看起来很简单，跟平常训练的也差不多，但是它新的地方在哪里？它不是外界，外界球，而是什么球形，杠是什么零点，但是内容是不是都是一样的？ 关键就是我的前面小圆圆心跟他连起来是垂直的，然后构造构造这个，哎，直来求解决问题啊，那我们今天要讲的是这些。
230汤老师
41:22查看AI文稿AI文稿正在高一下饱受立体几何大题折磨的同学们快点看过来，如果说线面角你还不会用定义法去找二面角，搞不懂如何用三垂线法，只会去用搜题软件寻求帮助的话，你会发现那些答案全部都是一些坐标系、 间隙、空间向量的方法，而这种方法我们根本不会遇到，这种纯几何的问题我们几何法又搞不拎清的时候，别着急，我们认真看完这条视频，今天宋老师一条视频带你双考点通关，吃透定义法求线面角，掌握三垂线法求二面角， 两大必考几何法解决立体几何大题，一口气讲清楚，看完直接套用刷题，立体几何基础分，稳稳拿捏。首先我们开始第一个板块，叫做定义法求线面角，那么这是我们三大角里面的啊， 第二个，第一个其实应该是意面直线所成角啊，但那个在大体里面的话呢，考的比较少，我们在大体里面考的最多的就是线面角和 二面角，那什么叫做线面角呢？既然要用定义法，我们先把定义给它搞清楚啊，其实它的过程是这样的啊，这里是一个平面阿尔法，然后呢，有一条直线 l， 它和我们的阿尔法交于 a 点，紧接着我做了一条紫色的垂线，要注意啊，其实这个 p 点是很随意的， 就在这条直线上，除了 a 点的位置啊，随便选择一个点就是 p 点过 p 点做底下这个平面的垂线啊，也就这里的 p h 是 垂直于底面 r 法的，那么这个时候啊，垂直为 h， 我 再去把刚刚 p a， 也就是直线 l 啊，与 r 法的交点 a 点，还有我们的 h 点连接即可啊， 这个我们用黑色的线来表示，那么这条线就像一根影子一样，它也确实是影子，它被称之为叫做直线。 l 在 平面 r 法上的摄影， 那么教材上的概念就告诉了我们，此时的角 p a h 就是 我们的线，面角定义在右边啊，大家可以快速的浏览一下。紧接着啊，我把这个三角形给它拎出来之后， 想要在题目中求解出现面角这个 theta 的 所有信息，比如说什么余弦值啊， 正弦值啊啊，更有甚者啊，这个角就比较的特殊，或者说比较的好求，就是三十度或者六十度的话，那我就可以求这个角的大小，但一般啊，在高中为止啊，我们现在求题目的角度的时候啊，很多都只是用三角函数来代表了，对不对？所以我们可以求余弦值或者正弦值， 想求什么余弦值，我就只需要把 a h 的 长度给它搞出来，然后再把 a p 的 长度再求出来，是不是就直接用零边比斜边即可？ 那如果说求正弦值是不是也就是 p h 的 长度，也就是紫色线段的长度，再除以红色线段的长度即可？ 这些呢，其实都不是很困难，因为我们这个直角三角形，说实话，从初中开始一直到高中，已经玩的非常非常的明白了，我只要能在这三条边里面知其二就可以，但是核心是如何能把这个三角形 给它做出来。那我们来看一些题目啊，我都没有放题干，我就直接告诉各位啊，这是一个广东的月考题，他呢说这是一个正三楞柱啊，正三楞柱的意思就是 上下两个面都是正三角形，然后呢侧棱还都垂直于底面，这样的一个什么是不是直棱柱？那这样的棱柱里，它让我们求什么呢？啊？让我们求这条红色的线 b c 撇啊，或者 b c 一 和我们底下这个平面 a c c 一 a 一 的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的这个子线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e a c e a e 就是 垂直的， 这样的话呢，我们就可以把我们的摄影，也就是 c e 再给它连起来。根据刚刚我们的定义，其实 b c e 和 c e e 就是 我们的线本身，还有我们的线的摄影，那他们之间的夹角其实就应该是我们的。什么是线面角， 所以这种题目是比较简单的，我连题干都没有放，我就直接给大家稍微看一下这个图就可以了，因为他现在的这个垂线 b e 是 题目里面怎么样，在图里面就自带的， 所以我一眼就能看到，那它的投影呢，我也就可以顺势画出，那线面角呢，也就不再有难处啊。那紧接着云南这道题目有什么样的一个问题呢？ 云南这道题目的话，它是这样的，它告诉你的条件是 a b c 这个平面啊，这是一道高二的期末考试题，它说是 a b c 这个平面垂直于底面 b c 岛，然后让你去求的是这条红色线 a e 和底面 b c 岛的夹角有这个线面角问题， 你告诉了我， a b c 垂直于 b c 岛， b c 就是 这两个垂直平面的交线，而垂直平面的交线有一个非常特殊的性质，就是我们的第八个性质啊，叫做 面面垂直的性质定律。其实我们只需要把这里的我做辅助线的时候，只需要过 a 点做 b c 的 垂线，它就定然会和底下的 b c 岛应该是垂直的。 所以我现在把这个点如果标为 h 点的话， a h 就 可以充当起我们刚刚在定义里面模型中的那条紫色线段，它呢，应该就是 a 往底面做的垂线，自然而然 h 和 e 连在一块的这条线就可以被称之为我们刚刚的黑色线段，也就是 a e 这条红色线段在底面的投影。 所以现在的线与投影之间的夹角，也就是此时的 a e h 这个角就应该是我们的目标线面角啊，这个 c 塔，那这是云南的一道高二的期末题啊，其实难度也不是很高啊，都可以比较丝滑的或者很简单的做出这样的辅助线啊。 但紧接着呢，这是一个最近啊我的学生在问我的这样一个作业题啊，这道题其实最近在一次比较正式的考试里面也有出现过，是北京的一模考试啊，二六年的北京一模考试好像也考了这个类似的一个问题啊，这道题目 它让我们求的是啊，右边一个楞柱嘛，左边拼了一个楞锥啊，让我们求的是 b c e 在 a b 一 岛这个平面上的一个所谓的夹角，或者说它的线面角，那我就比较懵了啊，尤其是对于我们高一的孩子而言啊，那这个问题还是相对有一些难度的，因为现在的 c、 e、 b 上来就和刚刚的模型不一样， 它呢，和 a、 b 一 岛没有一个非常明确的焦点，对不对？所以我没有办法过另一个点啊，虽然另一点比较随意嘛， 但是刚刚这题都很明确，就另一个点就是 b 点啊，就是 a 点上面这个，广东的就是 b 点上面这个，云南就是 a 点，做底面的垂线即可。而这里呢， c 一 b 和平面 a、 b 一 岛都没有交点，另一个点更加不知道该从哪里去找了，对不对？题目变难的逻辑呢，就可以从这些角度来让它变难， 比如说啊，他可以搞来一些动点让你去研究，也可以让这里的线和我们的目标面，就目标线和目标面看起来八竿子打不着，那我们就需要通过一些以前学习过的内容啊，去进行一定的 转移。比如说啊，第一个比较丝滑的方式就是我们刚刚有微微提到一点点的意面直线所成角，意面直线所成角的问题就是所有的直线啊，其实我都可以通过平移把它挪到我想要去的位置， 当我把它挪到想要的位置的时候，我就可以通过我比较熟悉的形式去求线与线的夹角，那线面角也是一样啊，线面角里的线也可以去挪到，或者说平移到我们希望他在的位置，那就做平行线就好了，能够做出合理的平行线，我们就可以 像我们刚刚那样一样啊，去做这样的辅助线，并且把这种题目转换成跟刚刚那种啊，云南还有广东这样的题目啊，一样难度的这样一些题， 我们来讲两道可能稍微复杂一点点的题目啊，大家一起来感受一下。首先第一个在棱长均为二的正三棱柱， a b c a e b c e 中，这个正三棱柱啊，那我们简单画一下这个草图， 正三棱柱的长相也是相对比较规整的啊，所有的底面都是正三角形，然后呢，侧面也都是矩形了，然后侧棱也都垂直于底面。 m 的 话呢，是 a b 的 中点啊，我们标一下啊，比如说这里是 a， 这里是 b， 这是 c， 那 下方就是 a e b e c e 没有图，那我们就要自己画，所以这里是 a b 的 中点，我们把它标出来，这应该是我们的 m 点， n 点是侧面 a c c e a e 内任意一点， 这就是我刚刚讲的第一个逻辑，把题目变难的第一个定点，那么此时我们的 n 点在侧面乱动，问你 m n 与平面 a c c e， a e， 它的所乘角的取值范围是怎么样的？那么现在 n 点在边界还有这个平面外都有它所带的一个位置，那现在我们来看一下，如果说我们取出 a c 的 中点的话， 它会有一个点是不叫做 o 点，为什么这么来做呢？你仔细想一下，因为我们现在的 m n 随便画一个，比如说 n 点在这个位置，那么 m n 和这个面的夹角我应该要干嘛？应该是要去做所谓的 a c c e a e 的 垂线。再说呀， 因为你现在的 n 点不知道在哪，但好歹也是一个什么，是不是好歹也是一个我们这里和平面 a c c e a e 的 一个 交点，所以呢，可以为之一用啊。但是呢， m 点是一定是面外一点，所以我需要去过它做什么？ 就是做我们的这个平面的垂线。那么为什么选出了 o 点这个中点呢？我选完中点是要选四等分点的， 为什么这么选呢？因为作为正三棱柱而言，我如果把 a c 的 中点 o 点选出来，再把 a o 的 中点，比如说 h 点给它选出来的话，那么 m h 这条线可不简单， 它是垂直于 a c 的 上方的 a b c 这个平面，作为一个正三棱柱而言，它一定是垂直于 a e c e c a 的。 垂直于 a e c e c e 之后的话呢，我现在的 m h 又是我人为的去做的什么？是不是垂直于 a c 的 一条线？ a c 什么身份呀？ a c 啊，其实是我们的 abc 这个平面和那个平面 a e c e c a 的 一个交线， 所以现在面面垂直，我又做了它们两个交线的垂线，那得到的结果一定是我们的 m h。 怎么样，它待在我们的 a b c 里的一条直线，它就一定会垂直于 a e c e c a 是 不是这个平面？所以啊， 这个 h m 不是 别人呀，它是谁呀？它是老紫呀，刚刚那个模型里面的紫色线段呀，它是那个垂线，所以 h 点就是 m 点在这个平面上的投影，那么 h m 就是 老黑啊，就是我们刚刚所说的投影。所以 n m 是 我们的目标线啊。平面 a c a c e a e 是 我们的目标面，而目标线在目标面里的投影就是 h n， 所以 这个角我找到了，就是 m n h 这个 c 塔就应该是我们的线面角，那么如果说 m n h 是 我们的线面角的话，那我们现在的这个正弦值的取值范围应该 有了一个小小的眉目，为什么呢？因为所谓的 sine theta， 它应该是等于 m h， 对 边就是 m h 嘛，那么斜边就是 m n 啊， m h 其实是个定值哦，因为我们上方是一个人长均为二的三楞柱，所以上方是一个人长或者说边长为二的一个正三角形。 b o 就 应该是根号三，所以呢， m h 就 应该是二分之根号三，这上方是一个定值啊，就是二分之根号三。而下方的 m n 呢？ 开始乱动了啊， m n 是 真的不知道了， m n 是 一个会动的长度，所以我们现在想求 sin c 的 取值范围就已经非常明确了，我只需要把 m n 的 取值范围给它求出来就可以了。那 m n 等于多少呢？ m n 其实就应该等于根号下 m h 的 平方，再加上我们的 h n 的 平方， mh 的 平方，加上 h n 的 平方，里面的 m h 就 应该是一个定值，就是二分杠三，所以平方完就是四分之三，再加上 h n 的 平方， h n 最短最短应该是多少？ 最短最短最短其实应该是零哈，因为它现在这个 n 点确实可以跑到是不是 h 点的位置啊，所以最短应该是零，所以此时加上了这个 h n 的 范围呢？我们稍微的书写一下， h n 最小最小应该是零，最大最大呢？ 其实最大的时候啊，这个 n 点应该要跑到哪里？应该是跑到是不是我们的 c 一 点的时候，此时的 h n 可以 取到真正的最大值。 那么 h n 多长呢啊？这里的长度应该是二分之三，这边的长度这个棱应该是所谓的二，所以此时我们的 h c e， 也就是我们 h n 的 最大值，应该等于根号下二分之三的平方，再加上我们的二的平方， 所以得到的结果应该是四分之九，再加上四啊，也就根号下四分之九，再加四啊，这稍微算一下就是四分之二十五，所以开出来过以后就应该是二分之五。 所以这里的 h n 的 长度啊，最小最小应该是零，最大最大呢，应该是二分之五。 那这样求完之后啊，我们 h n 的 长度出来了，那么 m n 的 长度的范围应该是多少呢？那最小是不是也就是二分之二三啊？因为 h n 最小是零嘛，加四分之三的开根号就是二分之二三，那最长的话呢，应该是四分之三，再加上 h n 的 平方 就是四分之三，再加上四分之二十五，也就是四分之二十八，四分之二八，开出来应该是二分之二倍，根号七，也就是根号七哦，所以这样我们求出来的结果啊，就应该是 m 的 长度是在二分之，根号三 到根号七，于是把这个 m n 的 长度丢带到我们最开始的这个式子里面来，终于终于可以出结果了啊， m n 取最小值的时候，反而我们的算它应该取最大值，刚好就是一啊，这也顶天了啊。 确实，这个时候我们的 m n 就 应该和底面是垂直的，所以九十度的正弦值也就是一啊，所以算出来的结果就应该是十四分之，根号二十一，那答案 应该就已经出来了，应该是十四分之二一到一。实际上我们就还是通过定义法，把线面角找到，把线面角的正弦值给它，怎么样 凸显出来之后啊，我们再去明确这个取的范围到底是因为谁在动，我发现是由 m n 在 动，而 m n 的 长度呢，又是由 h n 来决定，所以我求出 h n 的 范围，一步一步的回推到我们的 m n 的 范围，那这个问题就已经解决掉了。 话不多说啊，我们直接来看一下这里的第二题，就是我刚刚啊放的那个图。这道题目是我这几周啊，刚好有个同学问我的一道题， 他作业帮一搜啊，小圆搜题一搜，搜出来嘛，就是间隙。这道题间隙确实还可以啊，但错就错在我是个高一下学期的学生，我还没有学过间隙，你给我来个间隙是不是害我们 啊？如果我偷个懒，抄个答案上去的话，老师一眼就知道我是不是在搜题了。所以我们现在还是要去学习这个几何法。 几何法永远是我们通往间隙或者通往立体几何大成之上的必不可少的一个步骤。好，我们来看一下这个。这个题目有个第一小题，我略讲一下，不是今天的重点，这里什么三棱柱啊， abc 又是正三角形， ab 呢，又是等于二啊， c c 一 垂直于平面， abc， c c 一 呢是根号三，捯是 c b 延长线上一点延长过去啊，而且捯 b 呢，又等于 bc， 就 延长了一倍啊。 他说，假设 a c 的 中点为 e， 让我们证明 c e e 平行于 a b e 岛。 好的，那么这个问题其实并不是非常的难啊，因为现在我只需要去把这边这个中点再点出来啊，然后连接连接 b e 啊，再连接，假设中点是 m， 我 把这个 m e c e b e 给它连出来之后啊，就完事了啊， 因为现在下面这个长度是延长一倍的，所以 m e 和倒 c 之间应该是中位线的关系，那就应该是长度等于 b c， 但是又平行于 b c， 总而言之啊， m e 就 会平行于 b e c e 啊，当然，其实平行等于 b e c e 啊， 从长度上来说，它等于下方的倒 c 一 半，那就等于 b c 用于三棱柱，它就会等于是不是上方的 b e c e。 所以 这里简讲一下，就是构造这样的一个平行四边形即可啊，我就可以证明出，此时 b e m 和我们的 c e e 是 平行的， b e m 和 c e e 平行就可以推出啊， c e e 应该是平行于 a b e 岛的。这是这样的第一小问，但是第二小问，不少学生啊，都比较痛苦，它这里应该是 b e c e 与平面 a b e 岛夹角的正弦值。来，我们来看一下啊， 各位，写完第一题不要忘记啊，写第二题的时候，往往可能还有点帮助的啊，或者说可能会突破啊，我们那些思维的定式，第一小题的这个结论可能也会得给我们一点提醒， b e c e 在 这个位置 与平面 a b e 倒的夹角，我该怎么办呢？其实这道题目啊，当时我在思考的过程里面是这样来想的，如果我直接去做垂线的话，我都不知道做哪去了， b e 确实在 a b e 倒上，那 c e 我 往这个面做垂线，我做哪去了？ 根本就搞不清楚啊，所以现在就非常的难受啊，但现在我可以干嘛？我是不是可以进行一个转化？就像刚刚我们所讲的一样啊，你既然已经说出了这里是一个什么， 是不是一个平行四边形，所以现在呢，我们的这里的 m 点，还有这里的 e 点 m e 是 不就平行于 b e c e， 所以 b e c e 和平面 a b e 倒的夹角，这就等价于 m e。 有 些人说 m e 还不够好，那非常非常好啊， m e 其实还是不够好啊， me 这个身份其实完全可以再换成谁，是不是换成左侧的蚯蚓？如果你换成了蚯蚓的话，那么这个问题就相对会变得比较简单了。 首先啊，我现在过 b 点往这个面去做，垂线就是目标线是蚯蚓，目标面是 a b e 蚯红线就是蚯蚓，那我现在子线就是垂线段啊，这里的 b h， 我 完全可以过 b 点直接去做这个 a b e 蚯蚓垂线， 虽然我有一点点不太清楚啊，你会垂到哪里去，但是呢，至少是垂在，是不是我现在目力所及这个面内的啊，比刚刚一定是要好不少。所以这就是我们简化题目的一个逻辑，我可以把这里的线 移移到我想要的位置，然后再去用我们定义里面交的那个模型去画图，你的算力，你的这个计算的难度以及成本一定会降低，所以我们过 b 点做这个垂线，会得到这个 h 点，那么接下来这个三角形 b d h 就是 我此生要去 钻研的，是不是这样的一个三角形？嗯， b d h 这个三角形呢？它其实应该是一个什么样的？应该说是直角三角形， 而 b d 的 长度我是知道的啊， b d 的 长度其实就应该也是几啊，是不是也就是二？因为 ab 是 二嘛， bc 也是二啊，这边也是二，你言传一倍，那 b d 是 不是也是二？ b d 是 二过以后，那 b h 呢？ b h 呢？ b h 不 清楚，但是我可以用等体积法，我用回忆起来一个非常重要的知识点啊，叫等体积法，其实 b h 就是 什么？是不就是 b 点到哪里啊？ 就是到我们的 a b 一 岛这个三角形的面积。当我这样写过以后啊，我会知道，第二小问的突破口已经出来了， 它就应该用等底积法 v b 杠 a b 一 岛这个体积来进行转化。因为 v b 杠 a b 一 岛啊，就应该等于三分之一倍的 s 三角形啊， a b e d 啊， 就应该等于三分之一倍的 s 三角形 a b e、 d， 再去乘上我们现在的目标是不就是 b h 三角形 a b、 e、 d 的 面积啊，我是可以去给它求出来的，这个我马上再说， b h 是 我想要的东西。 紧接着啊，这个三棱锥的体积除了可以这样写以外，是不还可以写成 v b 一 杠 a b 倒，那它的体积是不可以等于三分之一倍的 s 三角形 a b 倒啊， v b 一 杠 a b d， 这个三棱锥的体积是不还可以写成三分之一倍的 s 三角形 a b d， 然后再去乘上我们的 此时的高啊，那此时的高其实就是 b b 一 啊，这我也不啰嗦了啊，因为你 b 一 作为顶点的话，它往下做垂线不就是 b 一 b， 好 吧，所以这样的话呢，两者一划等号，我只需要去把这个，这个还有这个给它求出来，那 b、 h 的 长度是不也就直接啊， 出现了那么一个人来解决就好了呀？像 s 三角形 a、 b、 e 倒这种东西啊，有点难度啊，但是我今天也写的不会很详细了啊，我就直接把这些边稍微标一标，这里就应该是二，这里也是二，而这边应该是一百二十度啊，应该是一百二十度啊， 好，那我这里稍微擦一下啊，或者说我拿蓝色的笔啊，绿色的笔啊，稍微给大家标一下啊，这里是二，这里也是二，这边是一百二十度，所以 a、 d 长度应该是二倍根号三。那么 a、 b 一 的长度呢，应该是二 根号三，对吧？它说 c、 c 一 等于根号三啊，所以应该是二根号三的勾股数啊，应该是四加三开，根号应该是根号七，所以 a、 b 一 是根号七，而 b、 e、 d 呢， b、 e、 d 的 长度应该是多少呀？哎，这里是垂直，是根号三，这边也是二，所以这里也是根号七啊。这个三角形 a、 b、 e、 d 这个三角形， 它在我们的心中就已经很明确了，应该是两条边都是根号七，谁啊？ b、 e、 d 还有我们的 b、 e、 a 啊，都是根号七，然后呢， a、 d 之间是二倍 根号三，所以这个高呢，就应该是根号七减根号三啊，或者说根号七的平方，减根号三的平方，也就是开个根号，也就是二，所以它的面积啊，就应该是二分之一，再乘上二倍根号三，再乘上一个二，就应该是二倍根号三喽， 所以 s 三角形 a、 b、 d 的 面积就是二倍根号三，而 s 三角形 a、 b、 d 呢？ 这已经搞定了啊， b h 放一放啊， a b d 呢，很简单吧，应该是二二二倍根号三的一个等腰钝角三角形，所以它的面积的话呢，应该是 根号三啊，这个我就简讲了啊，大家都会求的啊，因为它的形状是二二二倍根号三啊，这样的一个等腰钝角， 那最后一个 b b 一， 我也是知道的啊，就应该是根号三，所以上式全部给它累下来，就应该是三分之一乘上二倍根号三，再乘上我们的 b h， 再去等于啥呢？等于下面这个二号式子，也就是三分之一再乘上 s 三角形 a b d 啊， a b d 的 话呢，就是根号三，所以再乘上一个 b b 一， 于是我就非常清楚了啊，此时的 b h 的 长度应该会等于多少，是不是等于 b b 一 的一半，也就是二分之根号三， 所以我刚刚说此生要去研究这个三角形啊，搞定了啊，这里是 d， 这里是 b， 这里是 h 啊， b h 的 长度是二分之根号三啊， 那么 b d 的 长度就是二的情况下，我们就可以正确的得到这个结果啊，它的正弦值就应该是二分之根号三，再除以二，就应该等于四分之 根号三啊，所以右边的一切全部都是在为什么我们这个所谓的 b h， 也就是这个直角三角形里面的啊，这个 b 点到底面或者说到目标面的距离 啊，就刚刚那个紫色线的长度在服务啊，所以这些过程等体积法就是这样来用的。好，那还有一道题目也可以快速的说一下啊，就是这个第三题，这其实是非常新的武汉三调啊，就是高三的武汉的 一道模考题啊，完三道的质量也是非常非常高的啊，这道题目前在网上吹的也很厉害，那么实际上我觉得他做的确实不错，他把解三角形还有我们所谓的立体几何啊，都放在了一起去考，但是我们今天只看一问，就是这里啊，这个第三小问， 这个第三小问是让我们求的就是限面积，如果说你在高三的时候学会了间隙，就疯狂在间隙的话，当然是可以的，你现在上网搜的很多答案应该都是在间隙，然后说就比较难，比较难点，也比较难算，对不对？但其实这道题目啊，如果你熟练掌握几何法的话，你会写的非常非常的顺利， 因为他现在在前面两问里面啊，尤其是第二问，他让你算了一个东西，叫做 p 杠 abc 的 体积。 好吧，那这里啊，我默认各位是会的。好吧，我就直接把这个体积的公式或者说体积的结果告诉你啊， v p 杠 abc 啊，就是四分之根号十五。那么问题来了，它现在的 p 杠 abc 的 体积是四分之根号十五，让我求的是 b c 到什么，是不是与平面 p a b 的 夹角。那么我们现在根据刚刚的定义的话，应该是过 c 点做什么？是去做这个平面的垂线，这是刚刚的垂线段，紫色线段，那么这个垂足即为 h 的 话， 紧接着我们的 h b 就 应该是我们刚刚的黑色线段，也就是 c b 这个线段在 p a b 目标线在目标面上的投影。所以说我们现在的线面角已经出来了，就是这个 c， 它 bc 长的已知啊，因为这里是直角，那现在想要求这个 c， 它的正弦值的话，斜边就是 bc， 而 bc 长的已知就是根号六。 所以这道题目在第三小问里只有一个问题，就是把谁求出来，就是把 c h 求出来啊，为什么？因为 sin theta 等于 c h 比上 bc， bc 等于根号六，所以只有一个东西不知道就是 c h， 那 么 c h 到底是多长呢？第二小问告诉了我 p 杠 abc 的 体积， p 杠 a p c 的 体积恰好又是什么？根据我对于三棱锥如此之深厚的了解，它就应该等于是不是 c 杠 p a b 啊？ v p 杠 a b c 就 等于 v c 杠 p a b， 而 v c 杠 p a b 就 等于三分之一倍的 s 三角形 p a b 再乘上我们的 c h c h 就是 c 到 p a b 的 距离，也就是以 p a b 为底面， c 为顶点时候，这个三棱锥的高。所以问题再一次的减化为去求什么？是求三角形 p a b 的 面积，那么紧接着我就只要求三角形 p a b 的 面积就可以了，它告诉我 p a 等于一，这题目说的， 然后呢？ ab 等于三啊，这也是题目说的，然后 p b 呢？等于二倍根号三，所以 p a b 这三角形是一三 二倍根号三啊，是这个样子啊，所以 p a b 这三角形是一三二倍根号三，是这样的一个形式啊，那我们再不记是不是也能把它的面积给它求出来，只需要稍微调用一点点我对于解三角形的了解即可。此时对于这个东西而言，我们假设这个角为 r 法 啊，假设这个角为 r 法，那么 cosine r 法就应该等于多少？ ok， 这地方稍微差一小嘴儿啊。我觉得这个 r 法我选的不好， 因为我发现啊，这三条边里面有一有三啊，有二倍根号三，所以我会选择这个角为 r 法啊，因为这是 a 嘛，这是 p 嘛，然后这边是 b 啊，我会选角 a， 或者说角 p a b 为 r 法。那么此时的 cosine r 法就会等于啊，一的平方加上三的平方，再减去二倍根号三的平方，也就是减去一个十二，再除以二乘以一乘以三啊。 上面是十减十二就是负二啊，下面就是六，所以 cosine r 法等于负的三分之一，那么 sine r 法其实就应该等于正的三分之 二倍根号二啊。这是利用 cosine 加 cosine 等于一即可。于是现在的 s 三角形 p a b， 利用减角形里面的三角形面积公式，就应该等于二分之一乘以一，再乘以三，再乘上三分之二倍根号二。所以这样得到的结果啊，应该就是，呃，削掉一个二， 再写了一个三，应该就是根号二，于是四分之根号十五啊。左边这两坨是一样的。第二小问告诉我，等于四分之根号十五，那就应该等于三分之一再乘以根号二，再乘上 c h， 所以 c h 的 话，应该等于 三倍根号十五，再除以四倍根号二，也就是八分之三倍根号三十。 我刚刚最开始说的 sine theta 等于多少？ sine theta 是 不是应该等于 c h， 再去比上我们的根号六， c h 是 八分之三倍根号三十啊。所以这样除上一个根号六过以后，这个 sine theta 就 应该是等于 八分之三倍根号，所以这道题目的答案一定是正确的啊，你可能间系得到结果也一定是匹配的。但是如果我去用的是几何法，就是我们高一下期刚学立体几何的这一套方法。用的是定义法的话，你会发现你的步骤会非常非常的少 啊，会在前三道大题里面为你节省下来非常多的时间啊，这是一件非常好的事情。 所以定义法求解我们的先面角，大家一定一定要学明白啊，或者说一定一定不可以去， 既希望于间隙解决所有的问题，而应该在这个阶段去把这个方法也学扎实，这是第一步，第二步，再去学间隙之后两条腿都学好了，你才能在立体几何的世界里面走得比较安稳，走得比较顺利啊。 好，那么接下来我们来看第二块啊，在大体里例题几个最喜欢考的三大角之三就是我们的二面角，那么今天我主要讲的方法叫做三垂线法， 他也有定义法啊，但定义法有些时候可能没有那么的好用了啊。三垂线法呢，我认为是非常好用的，还 有一些更快的方法，比如说投影面积法，那今天我们可能提不太到啊，如果需要的同学可以啊，联系我的后台，然后我们再去聊这个问题， 再去分享，共同探讨这样的问题就好。那三垂线法求二面角是什么呢？我们先把二面角了解一下啊，这个定义我觉得还是比较简单的，有笔记本电脑一样的啊，这样掀开过一个状态，其实就是一个线 l 啊，然后呢，向两边出发，是不是有两个半平面 r 法和贝塔，那么这个形状就叫做二面角啊，这个两半平面就叫做二面角的面啊，这个没有问题。紧接着我现在如果选择了啊，一个点 p， 就是棱上选个点 p， 然后以 p 为垂足，这样做，这样做啊，就全部是垂线做了 p a 还有 p b 啊，其实都是射线喽，那我们现在做了射线 p a 还有 p b 啊，它们之间夹这个角，叫做二面角的平面角 啊。其实到最后啊，大家说话都已经开始模棱两可了，或者说的没有那么严谨，其实我们最终在求二面角的时候啊，很多时候都是在求二面角的平面角，二面角这个三个字，其实只代表上方的那个图形，仅此而已 啊，他其实并没有那么那么重要啊，重要的大小其实是附托于或者说赋予我们的二面角的平面角。所以其实我们讲的定义法呀，或者说三垂线法，都是在两个平面中啊，去寻找我们的二面角的平面角。那什么叫三垂线法啊？这是今天的重点。三垂线法是这样的啊， 我们现在已经有了这样的两个平面，阿尔法还有贝塔啊，然后上面呢，却有着所谓的比较糟糕的 p 点和 q 点啊， 为什么这么说啊？因为如果说是比较好的 a 点和 b 点，它应该是这样的一个效果啊，就我选择了一个 o 点之后啊，做了一条垂线， ok， 就是 垂线，再做一条垂线，这边就是 b 点，那么这样的话， a o b 就是 二面角的平面角，这没有问题。 但实际上呢，我们现在的 p 点和 q 点，或者说大多数想把题目变得稍微难一点的题目，他都会去把这里的 p 点和 q 点给它错开。 也就是说，如果我过自己的 p 点啊，去做这个棱的垂线，哎，会垂到这里的 m 点，我过这里的 q 点去做这条棱的垂线，会垂到这里的 n 点。怎么说？错位了？ 那错位其实也有方法去解决啊，就比如说我可以去做平行线嘛，把 q n 平移到左边这个位置，是不是也行 啊？但这就比较麻烦嘛，我要画好多条线啊，但我可以用稍微简单一点的方法啊，或者说更加直接的方法去解决这个问题。怎么做的呢？是这样的啊，先过这里的屁点，直接一条擎天柱就立在下方的 背它上啊，就 r 放的屁，直接做一条垂线，垂直于背它。 r 放的屁做一条垂线， p h 垂直于背它。 h 为垂足的话，这是第一条垂线。三垂线，第一条垂线先 垂面，紧接着我过这个 h 点，再做一个 h o 垂直于谁？垂直于我们的交线，也就是我们的棱 l 啊， 做这个交线 l 的 垂线，这样垂完之后得到了 o 点之后再相连。连什么？连？最开始的 p 点和 o 点，那么现在的这个角就是我们的 p o h， 这个角就是一定是我们的二面角的平面角。 为什么这么说呢？因为我们的 p h 垂直于底面贝塔，而 l 呢，又在我们的贝塔里，所以 p h 包怎么样的包和我们的 l 是 垂直的，而我们的 h o 呢，又是我自己做的，垂直于 l， 这说明什么啊？当然还要补充一些啊，就是 p h o 相交于 h 点，并且我们的 p h 和 h o 呢啊，又都在我们的 p o h 这个平面里，所以我就可以证明 l 应该是垂直于平面， p o h 的 l 垂直于平面 p o h 之后的话，我们现在的啊， p o 和 o h 都在这个平面内啊， 那就可以说明我们现在的 p o h， 它应该是和我们的 l 垂直，之后就可以说明我们的 p o h， p o 和 o h 就是 都垂直于我们的。什么 是不是我们的这个公共线，或者说我们这个棱啊，公共棱，于是 p o h 啊，就应该是我们现在的这个二面角的平面角 好吧，所以我们现在就可以非常了解三垂线法的做法，它应该是这样的一个步骤，一垂面，二垂棱，三相连角 b 线啊，那么第一个就是我们的红线啊， 一垂面，第二个就是我们的绿线，就是二垂棱。垂完过以后啊，我们就会把最开始的 p 点和我们最终的这个垂足 o 点啊给它相连，那么角 p o h 就 应该是我们的什么二面角的这样的一个平面角啊。 那么学会了这个方法之后啊，我们来看一道题，这道题没记错的话，应该是宁波市啊，宁波九校这个非常著名的联盟的一道期末考试的题目啊，在三轮锥 p 杠 abc 里面， pa 等于 bc 啊，都等于一 ab 等于根号三 好数字标完了啊， p a 垂直底面， abc 平面， p a b 只垂直于 p b c， 那 么 m 是 pc 的 中点，求证 ab 垂直于 bc， 这个其实应该并不是很难啊，也不是我们今天的重点啊，我们就稍微说一下就好啊，其实我现在只需要去做这里的 a h 的 这样一条线就好，为什么？因为题目里面出现了 p a b 垂直于 p b c， 这是一个面面垂直，看到面面垂直，找交线去做交线垂线，这是一个雷打不动的切入点啊。当我把 a h 做出来之后，这条线一定会怎么样？根据面面垂直性质定律，它会垂直于 p b c， 那 么它垂直于 p b c 的 话， b c 这条线就会垂直于 a h 啊。 bc 垂直于 a h， 这是第一点，而 bc 还会垂直于谁？还会垂直于 pa？ 所以 简写就只要这样写就好了啊啊，让大家感受一下即可。 为什么还垂直于 pa？ 因为 pa 垂直于 abc， 所以 pa 还会垂直于 abc 的 所有的线，包括 bc， bc 垂直于 a h， bc 也垂直于 pa， 再结合它们俩相交，它们俩都在哪？是不是都在 pa 里？就可以推出我们现在的这个 bc 应该会垂直于左边这个平面，是不是 pa b， 那么 b c 垂直于 p a b， p b c 就 会垂直于 p a b 里面所有的线包括什么？是不是包括我们的 ab 啊？ 这不是今天重点啊，我们稍微说一下就行，就可以证明出 b c 垂直于 ab 啊，证明线线垂直，实际上是要证明线面垂直。 ok， 那 么接下来看一下今天的重点是这个。第二小问，让我们去求解的是 p a b 和 m a b 的 夹角，那如果说我要间隙的话，当然可以间啊，你去搜一下，你就会发现怎么去间隙的。那现在我们来看一下啊，如何去用三垂线法去解决。为什么要用三垂线法？因为你现在的 p a b， 如果你去过 p 点做这个公共弦的垂线，会垂到 a 点。如果你去过 m 点做这个公共弦的垂线，你会垂到 a b 的 啊，某一个位置啊，可能是中点，对吧？我没有详细的去探究啊，但归根结底，它和 p 点做的垂线，它不再交于同一个点，所以这个二面角的平面角没有那么那么的好找。那怎么办呢？那我们就可以开始使用三垂线法 来。我当然可以去使用 p 点，也可以使用 m 点，但如果我要过 p 点做 m a b 的 垂线的话，来一垂面嘛。 如果选择了 p 点，你就要往着另一个面，就是 m a b 去做垂线，你会垂到外面去。但是如果你过 m 点，你选 m a b 的 步桨去垂直于 p a b 的 话，很简单，你只需要去做 p b 的 垂线就可以了， 这个非常好做。因为第一小问证明了 bc 垂直于 a b p 这个平面， 所以现在其实你只需要去做 b c 的 平行线，就会得到 p a b 的 是不是垂线。 于是我会把这里的 p b 的 中点 o 点给它点出来，那么 m o 就 会垂直于 p a b 这个平面， m o 垂直于 p a b 这个平面， 这就是 e 垂面已经到位了。紧接着我只需要再去做这里的 a b 的 垂线， 谁会垂直于 a b 啊？ p a 不 就垂直于 a b 吗？所以现在 o 点是中点，我只要再把下面的这个 h 点，也就是 a b 的 中点再点出来，这条线是不是就会垂直于底下的 a b c？ 那 当然也会垂直于 a b 喽。所以一垂面是做出了 m o， 二垂棱是做出了 o h 三相连，就是连接这里的 m h。 于是现在的二面角的平面角被我找到了啊，就应该是这里的 m h o 这个平面啊， ok， 本来看不到线，应该用虚线来画啊，怕各位看不清，所以我画成了一个实线。那么这里就应该是我们的二面角的平面角，是不是 c 塔？ 于是你现在让我求这个夹角的大小啊，我就把这里的 m o 啊， o h 啊， m h 啊啊，反正三个里面搞清楚，两个不就行了吗？那他告诉我， bc 等于一啊， 那 bc 等于一的话，中位线 m o 的 长度是不是就应该等于二分之一来， o h 也是中位线啊，你告诉我 pa 也是一，所以 o h 它不就也应该是二分之一吗？而且这里还应该是垂直的，所以这个图画出来 我都画丑了，它应该是一个什么？是不是等腰直角三角形？也就是说，此时的 m h o 应该是一个二分之一，二分之一等腰直角三角形。那 c 塔在这个位置啊，不是四十五度，也得是四十五度了啊，所以这道题目的结果应该是四分 之派。所以这就是所谓的三垂线法啊，本来是 p 杠 a， b 杠 m， 那 p 点不好用，直接被我排除在外，我就用 m 点，一垂面，二垂棱，三相连，那我们的二面角的平面角就直接浮出水面。 好的，那么今天的视频到这里就结束了，数学想提分，关注宋老师，点赞收藏视频，高中三年，我将陪大家一起冲刺高中数学，记住哦，关注宋老师每个视频，送大家一个解题小妙招。
1.1万宋你一招解数学
25:56查看AI文稿AI文稿啊，同学们大家好啊，张老师呢，今天借这道题啊，给大家讲一下子咱们现在立体几何这一块啊，线面垂直的证明思路，咱们证证明线面垂直的这个题很多，是吧？ 借着这道题咱们证明讲一下这种线面垂直的证明思路，还有一个什么，我们线面求线面角的时候，或者做线面角，或者找线面角的这个流程应该是什么样子的啊？来我们看一下这个题，借着这个题 提这个东西，千变万化，借着一道题，学明白我们解决一类问题的思路，这是一道 线面垂直证明线面角的计算，这属于一类现实问题，是吧？我们要学明白如何去解决这些问题。借着这一道题啊来 说，这个是一个啥呀？ a， b、 c、 d 是 一个平行四边形啊，这个平行四边形，然后呢？ a、 d 等于 b， d 等于二， a， d 垂直于 b、 d 啊，然后 b、 f 呢？是这个中 b、 c、 d 的 中线，然后把干啥折叠使 c 点， 把这个 b、 c、 f 啊，把这个 b、 c、 f 折叠，哎，跨折上去， c 点到 e 点，然后把 a， e， d， e， c， e 连上啊，然后 c、 e 呢？等于二，然后问你第一个证明，第二个求证正确值。做这种题的时候，我们的第一步要干啥呢？哈， 条件太多太乱啊，那么这种时候记记住了啊，做例题，几何的问题，尤其是不管是证明题还是计算题啊，第一步干啥 来，老师写这第一步是干什么东西啊？ 已知条件，还有一个啥？ 隐性的已知条件啥意思？我拿这些已知条件我能推出来的东西干啥？给你边角，我能推出来其他的边角，因为一个三角形，像这种我能推出来其他的东西， 图形的性质啊，这个这个它等于它，它又垂直于它，等腰直角有角，是不是这些？这叫啥？隐性的已知条件，由我们给定的已知条件，我们能推出来的，把它全都推出来啊。 就是就是，啥意思？在图形中把它标出来，能标的都标出来，该有的垂直标出来啊，给你边长了，但是没给你角度干啥？可能有勾定逆定律，能做出垂直来的，把它标出来， 明白了吗？第一步，先干这个事去。为啥？因为。否则你到时候在证明的时候，如果你没标出来，你没有把它完整的刨出来的时候，需要的时候你想不起来 他需要的，比如需要的垂直，需要的角的时候，原明明这个条件是有的，但是你做的时候，你可能你大脑里边你没有把它刨出来，你就当成没有， 明白了吗？先把这些条件给我刨出来啊，这些都不难，很简单，有已知条件，我们能刨出题里边的能给定的东西。先刨出来啊，先干这个事啊。很简单，来， 先刨这个已知条件啊。 a、 d 等于 b， d 等于二，二垂直标出来，然后这个能不 能，能不能算？没毛病吧？二倍根号二是吧？ ab 来， b、 f 为 abcd， 中线来这个三，这个是垂直，这个是不是也是垂直？这是平行四边形，是不是？ b、 d 可以 垂直于谁啊？ bc 是 不是？然后这个是啥？也是等腰值，这个也是二，那这个也是几？也是二，是不是？中线？是不是啊？ b、 f 知道是多少不？这是二多少？ 中线又是啥？高，是不是来有垂直没能标的全标出来，知道吧？然后这个多少已知条件的二是不是来？ 这个是根号二？这多少根号二来还能标出来，还能标出啥来？这个也是根号二是吧？这边 b f， c f 这都根号二，这块 c f 和 b f 垂直是不是标出来了？是不是还有啥 折叠？是不是？我折叠这两？那折叠意味着啥？我这个 bcf 和这个 bef 这两个三角形是啥？全等三角形是不是？我是把 bcf a 轴上去的是不是？所以 ef 是 多少 根号二是不是啊？对吧？ 然后呢？还有啥？ 这个我不知道，但是来根号二，根号二，二勾股定，你一定 是不是又做出来了啊？但是这些东西是不是都得算一下？就是你要这这种的话，我们能， 我们是能标出来或者一眼直观看出来的，或者算出来的勾股数很简单嘛，但是这个东西如果你真你需要用到的时候，你是不是还得自己再算一遍？为啥让你那个是证明的过程要严谨，但是你们自咱们自己在刨出来这些隐性条件的时候，看见没？你要先标出来 知道吧？因为这些东西到时候你你在做题的时候你就会发现，哎，这些已知条件都在这，大不了我再做 你写流程的时候你要把它再多写一遍啊。这个流程怎刨出隐形证？你这个隐形隐着条件其实由他不是还是往出算的吗？是吧，对不对？来，先弄完之后行了吧？差不多了吧。行，大概先这些，然后干啥？ e f 垂直于平面 a b c d 下边，我们该到刨出所有的这些条件和隐性已知条件都已经先差不多刨差不多了，是吧？然后紧接着下一步干啥啊？证明线面垂直的证明 第一步是干啥？我要正 e、 f 垂直于平面 a、 b、 c、 d 是 吧？ 有人说啊，老师，对，我知道线面垂直的判定定律是一垂二，是吧？就是 e、 f 垂直于平面 a、 b、 c、 d 里边的两条线是吧？ 那么这两条线我到底 e、 f 到底是垂哪两条线是吧？首先第一个我知道了，咱们看这里头刨出来的隐形条线里面有谁有谁 有 e、 f 垂直于 cd 是 吧？这个里边有。然后我还再找另外一个呗，就谁 e f 和谁相交线嘛，就是和 cd 相交的这和 c、 d 相交的这条线，那很直观的应该是找 b f 是 吧？或者是啥？那我可我可以，也可以找其他，那我看一下，我说可能，可能是找 b f 是 不是更方便一点，是不是啊？ b f， 然后这是啥？在这个三角形什么 b e、 f 里头。哦，对了，我们刚才刨条件说 b e 是 啥，我说了 b e、 f 和 b c 和这个 b c、 f 三角形全等的 b e 和 b c 这个是几？ b e 等于等于二是吧？ 然后剩下我看一下啊，根号二，根号二，二啊，这有一个垂直 ef 和是 ef 和 b f 又有一个垂直， 是吧？找一锤二。如果有人说老师这个条件这个题目好找，如果不好找的时候怎么找？我们要干啥？ 把结论当条件记住了啊？证明题的时候，例题结合证明的时候给我记住了，我们要推第一步，我要证什么东西的时候，如果不好找的时候，那这时候干啥？ 把证明的把这个结论要证明的东西，你要知道让你证明他一定是对的，把这个条件和题目中以这条件结合，再去看能推出来其他的条件不啊？明白了， 比如这里头如果让你挣个现线的，就比如说咱说让你挣现线的，现线的和这个题目条件里有的现线的，或者我们刨出的以这条件里的现线的结合出来，可能会结合出来什么？ 线面是吧？线面垂直是不是？然后那线面垂直之后对应的又性质又有哪些？这样的一步步往前推，我们需要证明什么东西是吧？你看这个题，那我就是说我是由证明一垂二，我由什么 判定？这里我直接得到，我要证明 e f 和这个面的两条线好了。那 e f， 首先 e f c d e f 和 b f 是 吧？那剩下的就是干啥？我要写什么？写证明流程了是不是？ 写证明流程的时候就是啥？我要先证 e f 和 c d e f 和 b f 是 不是啊？ 然后这样子就干啥？把这个条件已知条件和跑往往出挖隐性的已知条件的这个流程是不是你这个计算流程你是不是得挨个写上啊？是不是啊？ 那证明的时候咱们怎么写？那你看我证明的时候，因为 ef 是 多少？ ef 等于谁啊？ e f 等于 c f 是 吧？然后呢？ b e 等于谁？ b c 等于几二是吧？然后呢？ c f 等于啥？嗯？ c f 等于二分之一谁？ c d 是 吧？等于二分之一 ab 是 吧？等于谁？ 二分之一乘以二乘以根号二是吧？等于谁？等于根号二，没毛病吧？因为我这是直角嘛， 这块的话，你要 a b 直接你自己算一步也行。就是说我这是啥？ a b 等于二乘以， 这倒也没毛病，我就直接直接它勾股数算就行了呗，就一样这么写就行了，也，也也不算不严谨，没毛病。 cf 是 它，然后啥？所以 这块写个 e f 等于 cf 吧，等于二分之一， c d 来 e f 和 cf 有 了， e f 有 了来， b f 呢？有了吧， b f 等于啥？一样的，是不是啊？ 斜边中线等于斜边一半， b f 等于二分之一， c d 等于谁？ 根号二，所以在三角形 c e f 是 不是 因为谁？我 p f 方加上 e f 方等于 b e 方，是不是所以角谁？ b f e 等于多少？二分之派，所以 e f 垂直于 b f 又 e f 方加上 c f 方等于谁？ c e 方嘛，所以 e f 垂直于 c d， 因为 b f c d 包含于平面 a b c d， 所以 e f 垂直于平面 a b c d 是 吧？ 你也可以加上你去写不平行，这都可以，是吧？就这个流程倒是很简单，我们说了，我们线面垂直，就是要找啥？一垂二，然后我们找线面垂，由线面 变成谁啊？变成找什么？两个线线，是不是啊？ 两个线线是不是， 对吧？ 然后找这两个线线垂直的时候，我们有各种方法了。我，咱们这个里头用的都是啥？勾股定力，逆定力是吧？ 这种是啥？社交什么？给我们编长的时候让我们去找，用勾股定逆定理的时候，用勾股的逆定理去找垂直，还有那种垂直线线，单个的线线垂直我还可以用谁？线面垂直的性质是不是？我再继续找去是吧？ 这种是啥？我，我要找这个线面垂直，我要找两条线线垂直。好了，我找到需要的两条线线的时候，这两个线线怎么证明呢？我可以用勾股定型理论，然后我单独的正这个线线垂直。你要知道看一看 证明题是一步一步往下探的，我其实就是此时变成了证明两个单个的线线垂直了，然后我要正线线垂直的时候，我有的时候咱们得怎么找？我说除了勾股定型理论还有什么找？还有怎么找啊？ 我要用线面垂直的性质，就是我再正一个线，这个线所在哪个面上有线面垂直，是不是？所以就推出来反推出线线垂直来，是不是？那我再正线面垂直，我再要找什么东西啊？我要正线面垂直的时候，我下边再再找什么东西？我还是反过来再找另外两个 线线垂直，是吧？看见没？这是所谓的逻辑推断，立体几何，所谓的逻辑证明啊，看见没有？ 就这体体图形是千变万化的，但是你要知道我们要处理的几何关系是就那么几种， 那么要处理这些几何关系需要的条件也就那几种，然后这些条件他所谓大家觉得又是题型特殊，都在哪里头？哎？这图形千变万化吧，是吧？你像这个题是折叠，那么折叠的时候有哪些对应边和对应角的关系啊？对吧？ 大家要搞清楚这个事情，是吧？ 就是借着一道题顺道给大家说说啊，有折叠问题的时候，大家怎么样去对应边边对应角是吧？这个题其实这个角和这个角也是对应的，是吧？对吧？ b c d 和谁？ b e f 是 不是？ 是吧？这个证明过程怎么去溯源，去找到我们需要的条件都听懂了吧？然后紧接着下一块该着谁了？来计算了，是不是 计算陷面角？其实吧，就是大家在计算陷面角的时候，很多人迷糊的点在哪呢？很多人迷糊的点。老师，这个投影在哪里头？我找不到 是吧？你要垂线在哪里头？我不好找是吧？图太图太复杂了，我，我空间想，那不行，大家想一下子，你无论如何，无论什么样子的图形，我线面角一定是啥？这是一条线，这是一个面，是吧？ 顶点，线面角的顶点一定是线面的焦点。 先把线面的交点找到，它就是七十点，然后剩下的干啥？我一条直线，咱们一般情况下你取两点吧，你比如这个题是 a e 那 么一个题，这个交线是谁？ a e 和谁？ b e f 是 吧？ 和 b e f 嘛？面， b e f 其实找焦点特别好找来，这个有异，这个也有异，线面转交上去就一个点，你找它们两个相同的那个点就行了。异点先找线面焦点，然后找啥， 第二个找，就我现在是啥另外一个点啊，在平面的投影。 哎，这个题大，这个要大家要注意一下子啊，找这个另外一个点，咱们对于这个题来说，我是找 a 点 在 b e、 f 上的投影，记住了啊，是，此时你不要把一点给我看进去，就找 a 点和这个平面，也就是说我只看谁是 a 和 b e f， 这就 a 和这个面， 不看这个点啊，此时不看这个点啊，你会看乱套的啊，我就找 a 点在这个面上的投影，也就是啥意思，我要找过 a 点的直线， 或者是啥，平面与这个平面垂直， 直接找直线的话有垂直的线，那此时呢？这个投影就投影就直接找到了，是吧？但是大多数时候没有人 给你那么清楚的东西，是吧？所以大多数时候都是干啥？我要直接先找到过这个点，比如说这个题来过，我要找谁过 a 点 且与谁我要的这个平面， b、 e、 f 垂直的平面，哎。第一步，先找它， 然后确定啥 交线，然后大家是不是就想明白了啊？我有垂面的时候，我往垂面上做垂线，是不是就交点？这样子，如果有，直接做好了就更好，如果没有的话，干啥？我有点有确定的交线之后，我往上做一步垂线，这就是所谓的找辅助线吗？ 是吧？那我此时啥意思？我这个线就有了，是不是 没毛病吧？ 确定交线，然后要么是找或者过 a 点向交线做垂，是吧 是吧？这样子的话，我这个这条线是不是就做出来了？这是完整的流程啊，计算线的角是我怎么去找这个流程啊？大家一定要看清楚，看明白了吧啊？这个流程看明白了吧？然后来我实操一下子。 第三个来找陷面角的流程，在图里边找啊， 来，第一步，焦点是谁？陷面焦点是谁？ e， 找到了吧。第二个来，我就直接盯着 a 点了，过 a 点和 b， e、 f 垂直的平面。 上上个条件来， e、 f 垂直于谁 a， b， c， d， 所以 谁 b e f 面， b， e f 垂直于面谁 a b c d， 这没毛病吧？直接找就行了，我 e f a b c d 来， b e f a b c， d， 看见没？直接找相同字母，这就特别好瞅，用这种东西去找我们的线，线和线面去扩展，去明白，没有相同字母，它就一定是一块嘛？是不是就这种它好拼接 啊，然后这样子找到之后，我有面面之后来就确定谁交线是谁交线是谁 b f， 然后啥找？我直直接过 a 点 往 b f 上面做垂线，是不是在绳上头来过一点，往 b f 上做垂线来，这个是四十五度，是不是？这个多少？四十五度 ab 就 垂直于 b f， 是 不是找到了？是不是其实就是谁 ab 就 垂直于了 b f？ 这个题是找到的，是不是？如果不找到，我们直接做出来之后，然后干啥？解三角形计算就行了，是不是啊？这个题是找到了，那行 a 点带 b， e、 f 的 投影就是谁就是 b。 好 了， a e b 就是所谓的什么所成的角，是不是啊？对吧？这是投影吧，这是 a 点在 b、 b、 e、 f 平面上的投影吧，这是焦点吧，把三个一连是不是啊，对吧？角 a e、 f 就是 角，角 a， e b 就是 谁啊？就是那个 线面角，人家问你求正切值，也就是切 这个是啥子垂直的，是不是啊？ 所以弹性的角谁 a e b 就 等于谁啊，对比谁 邻是不是邻是谁啊？ b e 是 吧？ a b 比上 b e， 我 们刚才都刨出来了，是吧？是二倍根号，二比上谁二等于谁根号看见没有？这个找线面角这个流程看明白了吧？啊？ 这一道完整的题啊，证明证明流程怎么找条件？我们这道题里边用的是啥？构建模型，但也可以用啥？用线面 把线面垂直，我要证明的拆成两个线线垂直，然后再每一个线线垂直，我要再去找两个线线垂直用啥？再用其他的线面垂直的性质去反推出来我想要的线线垂直，是不是？然后结合起来找 拼成我需要的条件就是我要证明的这个东西是不是判定定力，对吧？啊，听懂了吧？然后线面角的证明，线面角的找的过程哈，让他自己去看去啊，都给你们写上了，是不是完整的第一步，第二步，第三步，干啥？是不是给你们实操了一下？是不是啊？ 这个题是啥？直接找剩下，如果找不到就干啥，直接往交线上做垂就行了，是不是？这就所谓的啥？做辅助线是不是？找投影对不对？啊？听明白了吗？ 一步一步来就行了。第一步，定点，然后干啥？找这个的时候定定这个和这个面的时候记住了，先别瞅其他的，其他的都不瞅，明白了吗？啊？ 听懂了吗？好。
64张兵老师高中数学
10:13查看AI文稿AI文稿对于高一的学生来说，下学期最重要的内容之一就是例题几何，今天我们给大家分享一个例题几何解答题。 这个题一共有两问，第一问是证明线与面平行，第二问是求四面起，也就是三能锥的起级。那么首先我们来看第一问，要证明线与面平行，就要证明这条线和这个面上的其中一条线平行，就能得到线与面平行。 但是如何证明两条直线平行，我们得知道最精简的有两个方法，第一个就是三角形中微线平行于底边，第二个就是平行四边形对边平行。那我们先考虑一下中微线的方法， 因为题目说了，这个 n 是 b c 的 中点，然后这个 am 是 等于二倍的 m d， 也就是这一段的二倍，说明这个 m 它是 a d 的 三等分点，而不是一个终点， 那么也就说明 m n 的 连线并不是一个中微线，因为 m 不是 中点，那我们就开始考虑第二个方法，就是平行，四边形对边平行，但是我们得先做出这个平行四边形，如果涉及到中点的题目， 我们要做这个平行四边形，我们可以考虑用中微中微线的方式去做啊，用中微线的方式去做，这也是一个高考热门考点，那么关键是一个中点不行，得再取一个中点连起来才是中微线吧。那么另一个中点在哪里取？ 是在这个平面的三条线上去取，对这个器来说，我们直接在这个 p b 这条线上取一个中点 e， 那 么接下来把这条中微线给它连起来，那么再把最后一条边连起来，我们的目标四边形也就出现了，是 a m n e。 好 了，我们来证明一下这个 p b 的 中点 e 完了之后，我们接下来连接的两条线，首先第一条线就是中微线，那么这个地方是不应该就是一个 n e， 还有一条线就是四边形的最后一条线。 然后接下来我们证明四边形的这个方法是这样的，我们首先根据一组对边平行，再根据平行四边形得到另一组对边平行。 这个思路大家要懂啊，我再给大家说一遍，先根据一组对边平行且相等得到它是一个平行四边形，再得到另一组对边平行。所以我们的思路是这样的，我们先根据这个中微线和它的对边 am 平行且相等得平行四边形。来，我们来正一下，首先从中微线出发，因为这个 e 是 我们取得 p b 中点， 那么接下来这个地方 n 是 其目已知的 p、 c 中点，那么这两个中点的连线就是一条中微线，也就得到了这个 e n 为三角形 p b c 的 中微线。 那么中微线是有两个性质的，第一个性质就是中微线平行于底边，它的底边就是这个 b c。 那 么接下来还有一个性质，中微线等于底边的一半，题目是不是已经已知这个 b c 等于四，所以它的一半就是一个二？好了， 然后我们接下来再看，首先是平行的事， e m 平行于 bc， 而题目又告诉我们，这个 ad 也平行于 bc， 但 ad 是 不就是 am， 它两个是同条线， 所以 am 平行于 bc， 根据平行与同一条直线的两条直线。什么平行？好了，那么既然 n e 和 am 都平行于 bc， 它两个就平行了，那么这个时候对边平行已经证明，再证明对边相等， 那我们现在只需要证明这个 am 是 不是也等于二就行。因为题目是这样说的， am 是 等于二倍的 md， 这是一个三等分点，所以我们就得到了 am 是 不应该就等于三分之二倍的 ad。 那么题目也说了， a d 是 应该是等于三的，所以带进去之后他就等于二，那这样一来，我们是不就得到了这个 am， 他 等于这个 n 一？ 再加上我们刚才又证明了 am 平行于 n， 一 根据一组对边平行线相等得到了它是一个平行四边形，这个地方是 a m n e， 那 么再得到另外一组对边平行，也就是 m n 平行于 a e， 那 么这个 a e 就是 这个平面 p e b 上的一条线。那么根据线与面平行的判定，镜里平面外的一条线和平面上的一条线平行，就能得到线与面平行。 好了，这就是平行四边形对边平行的一个手段。根据一组对边平行且相等得到它是平行四边形，再得到另一组对边平行。当然这个四边形的作图方法，我们是根据构造中微线的方式构造出来的，这也是经典考究。接下来我们看一下第二问， 我们接下来要求的是一个三等锥 n 杠 bcm 的 体积，那么首先我们要算高和底面积，因为我们知道体积是三分之一，底面积乘高， 那么这个 bcm 是 在 a b c d 上的 a b c d， 它确实是一条有一条垂线，但是这条垂线它并不过这个上顶点 n， 那 么要想过上顶点 n， 我 们就得让过 n 点做一条 pa 的 皮筋线，因为这里面有一个原理是这样说的， 说线垂直于面，过这条线的平行线也垂直于这个面啊，就是说线垂直于面，这条线的平行线也能垂直于这个面，那我们就做一个平行线呗。那么假如说这个地方是 f， 好 了，这是第二问，我们现在做一个 n f 平行于 p a， 而且交这个 a c 与 f， 这个没问题吧？那么如果是这个样子的话，然后我们接下来就可以做了。首先 p a 是 垂直于这个面 a b c d 的， 那我们这个 n f 平行于 p a， 那 么线垂直于面，那么过这条线的，也就是这条线的平行线是不是也垂直于这个面？这条线的平行线也能垂直于这个面，这是一个重要性质，那么这个时候我们的高已经出现了，那这个高怎么算？ 这个其实是一个中微线的问题。来，我再把这个说一下，你看为什么他说它是一个中微线的问题，因为题目说了这个 n 是 这个 pc 的 中点， 那么我们又做了一个 n f 平行于 pa， 所以 我们就得到了这个 n f 为这个三角形 p a c 的 中微线。 这个利用的性质其实也很简单，就是在一个三角形中过其中一边的中点， 做另一边的平行线，那么所做的这条线就会是一个中微线。再把这个话说一遍，在一个三角形中，过其中一条边的中点，做另一个边的平行线，所做的这条线就是三角形中微线。那么这个既然是中微线的话，他是不是也就等于底边的一半，也就是二分之一 p a， 那么也就算下来之后， p a 是 四，也就二分之一乘以四等于二，这就是高。那么接下来算一下底面积，底面积，当然要是在底下这个面中去算，来，我把这个面再给大家单独画一下，因为题目说了一些信息， 说 ab 等于 ad 等于 ac 是 不等于三， ab 等于 ac， 说明这个地方首先是一个等腰三角形，我把这个等腰三角形给大家画清楚， 这个地方是 a， 这是 b， 这是 c。 好， 那么这个边是不应该等于三，这个边是不也等于三，这个边是不应该等于四，是不应该是这个样子？那么接下来还有一段是一个 ad， 就 随便画一下吧，这个是一个 ad， 那 么这个地方是一个 m， 那 么接下来我们要的是什么？这个 bcm 这个三角形。 好了，其实你看啊，这里面有一个重要的性质，因为 a d 平行与 b c 两条平行线之间的距离是永远相等， 所以说你现在要求 bcm 的 面积，那么 m 到 bc 的 距离，实际上也就是 a 到 bc 的 距离。 a 到 bc 的 距离，那就简单啊，我们可以做一个三线合一的线，对不对？这个地方假如说是，这也就是说我们现在取一个什么 bc 的 终点，这， 那么接下来就可以连接呗，连接一下这个 ag， 这个 ag 实际上就是两条平行线之间的距离也是 bcm 的 高，那么这个也有好算了，因为它是中点的话，这个占一半。 那么接下来我们先用勾股定律算一下 ag ag 是 不是应该就等于根号下 ab 方减去 b 方， 那也就是一个根号，下三的平方减去二的平方，九减四，是不是等于根号五？好了，那么接下来就可以算这个三角形 bcm 的 面积了，它等于二分之一底乘高， 底 bc 高就是 a j， 也就是二分之一乘以四，再乘以根号五，那么这个算下来之后就是二倍根号五，那么最后我们就可以算起极了 n 杠 bcm 三分之一的体积就是三分之一底面积， b、 c、 m 乘以高，高就是刚才的 n、 f， 也就是三分之一乘以二倍根号五，再乘以二，那就是三分之四倍根号五。好了，这个题整个做完了，你们学会了吗？
13:09查看AI文稿AI文稿警告高中数学，球与多面体的洁面问题绝对是例题几何里最容易丢分的压轴小题。今天宋老师一条视频把球与多面体的洁面问题一次性讲透，听完这套方法，遇到洁面题直接稳稳拿分！ 数学想提分关注宋老师，高中数学难题我带你们全部攻破！言归正传，我们来看题目 前面的视频都在为新阶段的高一学生在服务，那么高三正在备考同学也对力敌几何部分有这么一丝的疑惑，其中比较经典的一个问题，或者说比较大众的一个问题，就是这个球与多面体的洁面问题。 当然洁面问题其实也是一个大类，它其实也有平面与多面体的洁面问题，但球与多面体的洁面会更挑战我们的这样的一个空间想象能力，所以对于大家来说难度也会更高一点。那么今天宋老师就带大家一起来理解一下球与多面体 会如何去产生洁面以及洁出来的东西，它那个胶线的长度，我们该怎么样去求解。 接着往下来看一看我们今天的正式内容。首先我希望各位能够去回忆一下的，应该是我们在初中就学过的一个定律，叫做垂进定律， 当时我们学习的是一个平面图形圆和一条直线相交，那么它很自然就会产生 ab 两个交点，而 ab 的 一个弦，那这个弦的长度怎么来求？我们当时的做法是把 o 点，也就是我们的圆心去连接到我们的其中一个端点，比如说 b 点， 再去过 o 点做垂直于我们的弦，希望我们这边比如说是 h 点，那实际上我现在阴影部分所描述出来的就是一个非常朴素的直角三角形，而这个直角三角形呢？三边分别是什么？分别应该是我们圆的半径，还有我们圆心到直线的距离，以及我们的弦长的 一半。哦，一定要注意，是一半，所以我现在写出来勾股定的式子是弦长的一半的这个平方啊，应该会等于斜边的平方，再减去我们的距离的平方，也就是我们的耳方，再减去我们的地方。 所以这样我只要知道了半径，再知道了我们的圆心到直线的距离，我就可以求出我们的弦的一半，那乘二就是我们的弦长。所以当时我们在平面图形里面去求解相交弦的弦长，就只需要这样来做就行。 而他到了三维的世界里面，圆变成了球，而我们的直线变成了平面，再去相交，产生的就不再是形，而是相交的一个平面，就是截面。 那一个西瓜拿刀怎么切？切出来，其实它的姐妹都是个圆，对不对？像圆锥，圆锥，我斜着切，横着切，或者说我竖着切，切出来可能是椭圆抛物线，或者说双曲线，可能不一定，但如果是一个完整完美的球体的话，你不管在什么位置，只要你切到了这个球，切出来一定是圆，那么这个圆， 它的半径就是它最重要的特征是多少呢？其实只需要在右侧的图中，我们稍微看一下，球出本来的球心到不再是线了，应该是到这个平面的距离，以及我们球的半径大耳。接下来上面的这个 o a 其实就应该是我们洁面的半径小耳， 而他们之间依然也会满足一个非常完美的勾股定律，就应该是我们的小耳的平方，就是洁面的这个圆的半径的平方，应该就会等于我们的大耳方，再减去小 d 的 平方。 所以说如果这个平面是我们在一个理想的平面，就是一个可以无限延展的平面，那么此时这个平面 与这个球产生的结面必然是一个完整的圆。注意是完整的圆，那这个完整的圆，只要我知道了这个半径，它的周长也好，它的面积也好，它的什么什么无所谓都好，我都能求得出来。 但很多高中的题目，尤其到了高考的时候，他会非常的恶心，他不再是一个平面和球的结，而是拿一个多面体。 什么叫多面体？多面体的每个面其实是很受限的，有没有看见？比如我现在提出了最朴素的两个，一个就是长方或者说正方， 另外一个就是这样的一个，其实是个墙角模型，就是三轮锥，一个简单三轮锥做了一个这样的动图给大家稍微来观看一下，我现在左边这个，左边这个最简单。我现在这个正方体有什么特色？它其实是一个六面体，讲白了，其实它有六个表或者六个这样的 平面，侧面都会和这个球有可能相交。那我现在画这个球呢，微微的小了一点，它只和左侧的阿尔法，后侧的贝塔以及下侧的伽玛是不是产生了 啊？交面，而这个时候阿尔法贝塔伽玛，我们必须要说它不是一个完整的平面，它应该是一个局部的平面，平面的一部分，所以它和这个球截出来的，比如说贝塔和这个球截出来的图形也不再是一个完整的 这样的一个圆了，对不对？你现在过的就是球心，我们假设到过球心只是举个例子，那这个 d 就是 零，那你截出来的截面的半径也就应该是本身这个球的半径就应该是大 r， 但是现在我发现它真正能在上面展示出来的只有九十度的一个圆形角，有四分之一的圆，所以你想让我求，比如说胶带的弧线的这个长度，那也是圆的整个周长的四分之一， 我没说错吧？所以这个环节相对而言就会多那么一步。我们并不是一个完整的平面和一个球的结面了，而是平面 的一个局部和球去产生结面，那会有什么影响？来我们看一下右边，右边这是一个墙角模型，它的平面也是比较局部的，每个平面其实都已经不再是完整平面，而是一个一个小三角形。 那教出来会怎么样？我们一起来动态的感受一下。各位观看一下这个视频，这是我拿鼠标稍微先拖动了一下，立体的感觉，让大家稍微建立一下，这个球的大小会变好。你看它变小的过程里面，它和 a 导 c， a 导 b， 还有我们的下方的 bc 导，其实都是有 交线的，对不对？而这个交线呢？因为我去把球形放的比较简单，就放在了我们这个正中间，就放在了我们这个顶点导上，所以你此时交出来的也就是应该是半径为这个球的半径的 球体，注意啊，就相当于此时这个半径，也就是我们此时这里应该就是什么，是不是就是球的半径？球的半径也就是这个黄色的点点到导点这个位置就应该是球的半径，就应该是不变的，没问题。紧接着如果它再去转动，再去变大，来注意看 它现在怎么样和前面的 a、 b、 c 那 个斜置的平面是不是也产生了相交的地方？一开始我太小了，还没有够到这个 a、 b、 c 是 这个平面， 现在我终于粘到了 a、 b、 c 这个平面了。那么现在怎么样？我就可以把我们的问题变得更加复杂了，让你去求它和 a、 b、 c 交出来的交线的长度，那这个问题就比较难了。首先我们要求出导点是不是到 a、 b、 c 这个平面的距离， 这是刚刚的 d 小 d， 上一页 ppt 里面是不是小 d 求半径我是知道的，那么整个结面就交出来这个平面的半径是可以用勾股定律把它求出来， 当我把勾股定律给它求出来之后，是不是这个完整的圆就是我们的交线的周长呢？或者这个完整圆都在呢？不是。你看此时此刻，其实我这个圆只有三段，就在上面黄色的点点在最前面的时候，黄色的点点是不是有三段在上面？来，我们再放大一点，你看 甚至都会没了，再变小，再变小，小小小小小，它就会浮现在这个位置的时候，差不多这个位置的时候，就是 a、 c、 a、 b 还有 bc 这三条棱上面那个边上的那个黄点点重合的时候，那个时候才是什么？ 才是刚刚刚刚好，是我们的什么？是不是一个完整的圆都在上方？刚刚好好都是一个完整的圆，是不是都在上方？那么这个时候的话呢？这个完整的圆才能够全部算。但如果说我这个球还比较大的时候，比如说像这样的一个状态的时候， 那其实在 a、 b、 c 上的交线其实也只有什么？是不是只有三段弧？乃至现在你比如说你把你的目光盯向 a、 d、 c 这个平面， a、 d、 c 这个平面和这个球体产生的交线，其实也只有两段 圆弧，也只有两个圆弧，并非是完整的一个扇形的弧长， ok 吗？所以它可能会有这样的一些考量，你就需要去考虑我这个圆，这个结的圆到底在这个局部的平面上究竟呈现了几成，或者呈现了几分之几，然后再去求它的面积，再去求它的什么周长，是这样一个做法。 那么相对的，这样向南的题目我们放在群里的配套练习之中，如果各位可以的话，到群里面找我来要电子版就可以了。好，那接下来的话，我们来看一道非常经典的高考题，这道题目是清高考一卷，还有一道高考真题， 它是这样说的，是直四棱柱，直四棱柱， a、 b， c 倒 a 一 b 一 c 倒，一能成均为二。开始画图，这个图其实并不难画，然后呢角 b、 a 倒呢？又是六十度，其实就是一个什么？ 是不就是一个菱形，这里是 b， 这里是 a， 然后这里是 c， 这里是倒嘛？然后直四人柱，所以这样坐下来，坐下来人长均为二。这画的也不要太夸张，应该各个面其实都是 正方形，除了上下底面是菱形以外，侧面呢均为正方形，这样的情况，他说以倒一点来，倒一点，在这个位置以倒一为球心，根号五为半径，然后与谁的交线长是与后面这个平面 b c、 c e、 b e 的 这样一个交线的长度。那么现在我们来思考一个问题， 我要去做这个交线，要把这个结面做出来，刚刚讲的关键量是哪些？还记得吗？第一个应该是球心到平面的距离 来，我们俯视图里面底面是一个菱形哦，相当于是一个呃，六十度，非常标准的二二二二，然后假角是六十度一百二十度是这样的一个菱形，这里是 a 一 点，这是 b 一 点，这是 c 一 点，这是倒一点。倒一点是我们的球心 b 一 c 一， 就是我俯视图里面的 b 一 c 一 c 一 c 这个平面的一个 攀缩后的一条线，对不对？所以我现在倒一点，这个球心到我们 b 一 c 一 的距离应该是根号三， 也就是说刚刚那个公式里面的小 d 应该是等于根号三的球的半径，其实里面直接给了就这里应该是画出来一个球，球的半径应该是根号五。所以把这些标准量、基本量要写出来，那就意味着如果这个平面 b c、 c 一 b 一 是一个完整的平面的话， 它和我们这个球产生的结面的半径一定等于多少呀？是一定等于根号呗。再开个根号，其实就是根号二喽， 所以小耳应该是等于根号二，小耳如果等于根号二的话，按道理说，我现在应该是画一个根号二为半径的圆，然后周长每每一算二 pi 耳不就是二倍根号二 pi 吗？ 就完事了，对不对？但实际上这道题不是的，这里的这个球做出来过以后，在这边的结面的圆心应该在 b、 e、 c 的 中点，也就是我们刚刚做这个垂线，这个 h 点，这个 h 点，这结面也长这样。 紧接着呢，我们画出来的应该是一个半径为根号二的原理，不要忘记 b、 c 一 整个的长度。来，我们把这个面给它拎出来，这是一个，其实是一个正方形，这里是 b 一， 这是 c 一， 然后这里是 b， 这是 c， 中间这个点应该是 h 点，整个 b、 c 的 长度其实只有二哦， 然后你现在却要画一个半径为根号二的圆，那按道理说，你画画画画应该画这么大，但是我现在的洁面只有 b、 e、 c、 e、 c、 b 这么大，所以真正能在这个图上面体现出来的，应该是我绿色的笔记所描出来的这段 圆弧的长度，也就是从这里的 p 点到这个 q 点弧， p q 才是我真正的结果。而 hp 和 h q 就是 我们刚刚求的小耳，就应该是根号二，这边呢，应该是一，因为 h 点是 b、 c 的 中点，所以 h 点的两边应该是一和一， 那这里也是根号二喽，所以这边也是一喽一喽，很基本这样的几何量，那么此时这里就也是四十五度，所以一目了然。中间的 p、 h、 q 这个圆心角就应该是九十度， 所以你现在这个 p、 q 这个弧，就是题目里面要的这个交线的长度。而这个交线的长度呢，其实就应该是一个根号二为半径的圆的周长的四分之一，所以应该等于四分之一再乘上二派小耳， 二派小耳呢，其实就应该是二倍根号二派，再乘上一个四分之一，其应该是二分之根号二派，所以这道题的交线长度就应该是二分之 考二倍牌，所以这道题目非常非常的经典，非常的经典。但距离今年的高考其实也有一定的年头了，在平时的高一下的期末考试，期末考试，我相信如果有高一同学在听的话，也一定会看到过 啊，一定有一部分同学看到过，做到过。这样的题目对于高一的孩子来说，难度还是有一点高的，但对于高三的孩子来说，你们的立体几何空间想象能力已经培养了，少说两年有余了吧， 对吧？所以想这些问题可能会稍微简单一点，但是呢，多想想准没坏处。现在新高考卷对于我们的立体几何的要求也在逐步的提升，只会单纯的间系这种暴算的方法可能不够了， 去年的外接球问题，可能看准经典建系统的方法，你有没有用透啊？可能也没有吧，所以，路漫漫其修远兮。各位，虽然距离高考的时间并不长了，但是能进步一点，总能进步一些， ok 吧？好了，关注宋老师，每个视频，送你一招，解决一个小问题。好，那今天的内容我们就讲到这，拜拜各位！
200宋你一招解数学
02:43查看AI文稿AI文稿本期视频来看高一数学立体几何通过结面延展的方法证明垂直的问题。已知直三棱柱这个侧面有一个面是正方形， ab 等于 bc 等于二， ef 分 别为所在棱的中点 b f 垂直于 a 一 b 一， 然后 d 点现在是图中没有标出来，它是在 a 一 b 一 线段上的动点， 现在要证明 b f 是 垂直于 d e 的。 那么现在问题来了，这个 d 既然是动点，为什么要正垂直呢？大家观察一下这个 d， 我 标出来当地位于左、中、右三个位置的时候，这个 d e 连线是什么样的呢？是这样的，那现在要证明无论 d 在 什么位置，这个 d e 始终垂直于 b f 吧。那说明什么呢？什么样的线动起来之后和另外一个线一定垂直， 那就是线面垂直，对吧？如果一条线垂直于一个面，并且这个动线是在面内的，那这个动线始终垂直于这个垂线。所以说下面我要形成一个垂面连接 a e、 e 和 b e e。 嗯，证明 b f 始终垂直于 d e， 也就是要证明这个 b f 是 垂直于平面 a e、 b e 的 吧。好，下面如何证明线面垂直？最常用的方法就是证明这条线和面内两条相交直线都垂直，那线已经有这个 b f 垂直于 a e、 b e 了。 想要证明这个 b f 还垂直于面 a e、 b e、 e， 那 只需要在这个平面 a e、 b e、 e 内再找一条和 a e、 b e 相交的线，并且证明它和 b f 垂直就行了， 对吧？那现在很显然，这个现成的这个面里很难找到一条和 b f 垂直线。那我想到了一个平面延展，我将这个面 a e、 b e e 向右继续延展，所以我过一点做一条 这个 a e、 b e 的 平行线啊，和 b c 有 一个交点，设为 h， 然后再连接 b e h。 原来的平面 a e b e e。 就 延展为了平面 a e b e h e 吧。很显然，在右侧面有一个线 b e h。 我 现在能不能证明 b f 垂直于 b e h 呢？呃，在右侧平面内，我可以利用初衷平面几何的三角形全等正出 三角形 b b、 e、 h。 是 全等于三角形 c、 b f 的 理由很简单，应该是边角边啊，这个加角都是九十度，证明全等以后， 继而可以得到这个 b f 是 垂直于 b e h 的， 那么这个分析的思路就完成了闭合啊。最后咱们写证明过程的时候，就是从后往前写就可以了，大家理解了吗？
38张老师数学思维
